RAZONES Y PROPORCIONES - ARITMÉTICA TS

ATA
AS
Razones y
go jalo lalo l4TaS
Teoría y práctica
twitter.com/calapenshko
Oscar Espinoza Anccasi
Lumbreras
Asociación Fondo de Investigadores y Editores
A
Razones y
proporciones
Oscar Espinoza Anccasi
Lumbreras
Editores
twitter.com/calapenshko
twitter.com/calapenshko
Razones y proporciones
e
Autor; Oscar Espinoza Anccasi
Titular de la obra: Asociación Fondo de Investigadores y Editores
Editor: Asociación Fondo de Investigadores y Editores
Diseño y diagramación: Asociación Fondo de Investigadores y Editores
Asociación Fondo de Investigadores y Editores
Av. Alfonso Ugarte N." 1426, Breña. Lima-Perú. Telefax: 01-332 3786
Para su sello editorial Lumbreras Editores
Página web: www.elumbreras.com.pe
Primera edición: diciembre de 2012
Primera reimpresión: octubre de 2015
Segunda reimpresión: enero de 2017
Tercera reimpresión: junio de 2018
Cuarta reimpresión; agosto de 2019
Tiraje: 1000 ejemplares
ISBN: 978-612-307-275-9
Registro del proyecto editorial N.* 31501051900582
"Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú” N.? 2019-06904
Prohibida su reproducción total o parcial. Derechos reservados D. LEG. N.? 822
Distribución y ventas al por mayor y menor
Teléfonos: Lima: 01-332 3786/ Provincia: 01-433 0713
¿ventas
OD elumbreras.com.pe
Esta obra se terminó de imprimir en los talleres gráficos de la Asociación
Fondo de Investigadores y Editores en el mes de agosto de 2019.
Calle Las Herramientas N.? 1865 / Av. Alfonso Ugarte N.* 1426, Lima-Perú.
Teléfono: 01-336 5899
S
.1/naIce
TRE
A
EE
9) INTRODUCCIÓN
a
RAZÓN
De
e
a
o
A
11
11
O
E
11
Razón geométrica
13
Observaciones de las razones geométricas canina
acaricia
14
Uso de las razones en problemas de edades, mezclas y móviles... iconos
16
En problemas de edades cocinan.
16
En problemas de Mezclas... cnniiiicnnciaicia
17
En problemas de móviles
18
ci
cc
Problemas resueltos
20
Problemas propuestos
coccion icono
62
"N PROPORCIÓN
Definición...
UCEaRS
Clases de PrODOrCIÓN
coc
Proporción aritmética
nin
oOió
A
rta
74
cc
74
a
Propiedades de la proporción geométrica
a
A
74
76
coo.
Serie de razones geométricas equivalentes [SRGE)
78
30
twitter.com/calapenshko
DiSfiniCión: san
a
Propiedades de la serie de razones geométricas equivalentes cc
Serie de razones geométricas equivalentes CONtiINnuUa cnica
Proa
il
ere
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IMA
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twitter.com/calapenshko
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ma
+
PRESENTACIÓN
La Asociación Fondo de Investigadores y Editores - Afined, promotora de
Lumbreras
Editores, presenta a la comunidad
educativa el texto Rozones y
proporciones, perteneciente a una nueva serie de temas escogidos donde se
realza el valor analítico y crítico en la enseñanza de las ciencias.
La nueva
Colección
Temas
Selectos
se caracteriza
por
brindar
a los
alumnos preuniversitarios contenidos dinámicos y precisos que afianzan sus
conocimientos en temas especificos en los cursos de matemáticas, ciencias
naturales y razonamiento matemático. De esta forma, Lumbreras Editores
abre una nueva línea de publicaciones poniendo énfasis en el enfoque didáctico y cuidadoso en la relación teoría-práctica.
Hay temas principales en cada materia que necesitan de mayor profundización y análisis para la comprensión y resolución de los ejercicios, por eso
nuestra editorial seguirá publicando nuevos títulos hasta completar una nu-
trida colección que permita mantener el reconocimiento y la confianza de los
estudiantes, al manejar una teoría sucinta, directa, con ejercicios aplicativos
y problemas resueltos y propuestos por niveles.
Lumbreras Editores quiere reconocer el esfuerzo conjunto que ha sig-
nificado esta publicación, en la cual ha participado un grupo de profesionales de primer nivel, cuyo esfuerzo es un apoyo fundamental a nuestro
anhelo de una educación cientifica y humanística integral. En este proceso,
deseamos
reconocer
la labor del profesor Oscar Espinoza
Anccasi, de la
plana de Aritmética de las academias Aduni y César Vallejo, por su labor en
la elaboración del presente material, gracias a su valiosa trayectoria en la
enseñanza preuniversitaria.
Asociación Fondo de Investigadores y Editores
¿INTRODUCCIÓN
as rercenesmc il
Una de las actividades que realizamos diariamente es la de comparar cantidades; por ejemplo,
comparamos
precios, longitudes, volúmenes,
pesos,
etc. Dentro de estas comparaciones hay dos formas de comparar estas cantidades, una de ellas es la que nos permite averiguar cuál es la mayor de
ellas, que se realiza mediante una sustracción, y la otra nos permite averi-
guar cuántas veces está contenida una en la otra, que se realiza mediante la
división; a estas comparaciones se las denomina razón. En las comparaciones
que pudiéramos realizar con las cantidades, encontraremos razones que son
iguales; y al formar una igualdad de dos razones se está generando una proporción.
Esta idea de proporción es usada desde tiempos muy remotos, como es
el caso de los babilonios y egipcios, quienes usaban las proporciones para
realizar cálculos comerciales y construcciones arquitectónicas. En el campo de la geometría, Tales de Mileto estableció proporciones entre magnitudes geométricas, que posteriormente fueron usadas por Arquímedes y
otros geómetras griegos. En el Renacimiento se usaba las proporciones en
las obras de arte,
que muestra una
razones también
del movimiento;
especialmente la proporción áurea o la divina proporción,
armonía visual entre el objeto y sus partes. El uso de las
se extiende a otras ciencias como la fisica, en el estudio
la química, en la combinación de elementos para formar
compuestos; y la aritmética, para resolver situaciones relacionadas a magnitudes, tanto por ciento, interés y descuento.
El presente texto tiene como propósito ofrecer una explicación más
amplia y detallada sobre razones y proporciones utilizando las herramientas
didácticas para su mejor conocimiento de este capítulo del curso de Aritmética; no solo porque sea necesario para una preparación preuniversitaria,
sino también porque se usa con mucha frecuencia en nuestras actividades
cotidianas.
Para ello, este libro presenta un método didáctico para conocer el capíi-
tulo, ya que de manera sencilla se abordan los aspectos teóricos para luego
ver la aplicación de la misma en problemas resueltos. Como
parte del texto
se ha incluido problemas propuestos, los cuales están en relación directa con
los problemas resueltos, de forma que si no se supiese hacer un determinado problema propuesto, siempre existen uno o más problemas resueltos de
igual característica, por ende se sugiere hacer todos los problemas resueltos
antes de hacer los propuestos.
Agradecemos a la Asociación Fondo de Investigadores y Editores, a través de su sello editorial Lumbreras Editores, por el respaldo y las facilidades
en la publicación de este libro, esperando que sirva de estudio para futuras
publicaciones en beneficio de la sociedad.
“El DEFINICIÓN
Es la comparación de dos cantidades mediante una operación matemática.
Ejemplo
Mijail y Verónica fueron al tópico de su academia, y la enfermera les tomó algunos datos que a continuación se muestran:
a
| Nombre:
| Edad:
; Peso:
Estatura:
a
Nombre:
Verónica
Mijail
18 años
Ea
¡ Edad;
16 años
64 kg
De
' Peso:
52 kg
1,68m
: Estatura:
1,60m
A partir de la información brindada por estos jóvenes se pueden crear muchos enunciados comparativos, como por ejemplo que Mijail pesa 12 kg más que Verónica o que la relación de las edades de
Verónica y Mijail es de 8 a 9.
24] CLASES DE RAZÓN
RAZÓN ARITMÉTICA
Es la comparación de dos cantidades mediante la sustracción. Consiste en determinar en cuánto
excede una de las cantidades a la otra.
11
LUMBRERAS EDITORES
Es decir, si a y bson las cantidades, su razón aritmética será
a—-b=r
Donde
*
UN
(: antecedente
* — b: consecuente
*
r: valor de la razón aritmética
Ejemplo
El sueldo mensual de Aurora es 5/.1500, mientras que el de Carlos es 5/,1200, Realicemos la comparación de sus sueldos mediante la razón aritmética.
sueldo de
Aurora
sueldo de
Carlos
A partir de la comparación realizada podemos concluir lo siguiente:
*«
El sueldo de Aurora excede al sueldo de Carlos en 5/.300.
+
El sueldo de Carlos es excedido por el de Aurora en 5/.300.
*
El sueldo de Aurora es mayor en 5/.300 al sueldo de Carlos,
*
El sueldo de Carlos es menor en 5.300 al sueldo de Aurora.
APLICACIÓN 1
Si la suma de dos números es 80 y su razón aritmética es 16, ¿cuál es el menor de los números?
Resolución
Sean A
y B los números. Por los datos tenemos
A+B=80
A-B=16
JE)
24=96
>
A=38 y B=32
Por lo tanto, el menor de los números es 32,
12
RAZONES Y PROPORCIONES
a
APLICACIÓN 2
La edad de Alberto excede a la de Bono en 8 años, mientras que la edad de Cecilia es excedida por
Bono en 2 años. Si se sabe que Cecilia tiene 15 años, determine la edad de Alberto.
Resolución
Sean A, B y Clas edades de Alberto, Bono y Cecilia, respectivamente; por lo tanto
.«
e.
A-B=8B
(Alberto excede a Bono en 8 años).
B-C=2
[Cecilia es excedida por Bono en 2 años).
e — C=15
De las razones aritméticas se determina que 8=17
y A=25.
Por lo tanto, Alberto tiene 25 años.
RAZÓN GEOMÉTRICA
Es la comparación de dos cantidades mediante la división. Consiste en determinar cuántas veces
cada una de las cantidades contiene la unidad de referencia.
1
>=
Fla
Es decir, si a y b son las cantidades, su razón geométrica será
Donde
*
a:antecedente
*
b:consecuente
*
ki valor de la razón geométrica
Ejemplo
El peso de un león es 200 kg, mientras que el de una cebra es 300 kg. Realicemos la comparación de
los pesos mediante la razón geométrica.
peso del león
200 :2!
300
¡3
—
valor de la razón
peso de la cebra
13
A partir de la comparación realizada podemos concluir lo siguiente:
Los pesos del león y de la cebra están en la relación de 2 a 3.
La razón geométrica de los pesos del león y de la cebra es 2/3.
La relación de los pesos del león y de la cebra es de 2 a 3.
Los pesos del león y de la cebra son entre sí como 2 e5 a 3.
Por cada 2 kg que pesa un león, la cebra pesa 3 kg.
Observaciones de las razones geométricas
1.
De las dos razones (aritmética y geométrica), la de mayor aplicación es la razón geométrica; es
por ello que cuando un texto solo menciona la palabra razón, se entenderá que se trata de la
razón geométrica.
Si al antecedente y al consecuente de una razón se les multiplica una cantidad, esta no se altera.
Ejemplo
Silos númerosA y 8 son entre sí como 3 es a 5, esto significa que
A_3x1_3x2
B
5x1
5x2
3x3
_3x4_
5x3
5x4
_3xk
—
5xk
Si en dos o más razones geométricas hay una cantidad que se repite, esta debe tomar un único
valor.
Ejemplo
Tenemos tres cantidades, 4, 8 y €; donde 4 y 8 son entre sí como 3 es a 2, mientras que B y C son
entre sí como 5 es a 7; entonces se debe cumplir que
A E 3X5k
B
=
2x5k
B Ñ 5x2k
C
-
7x2k
5e puede observar en la primera razón que 8 es como 2 y en la segunda
razón es como 5;
pe
pero como se trata de la misma cantidad, multiplica-
mos al primero por 5k y al segundo por Zk,
Con esto tenemos las cantidades de la siguiente forma: A=15k, B=10k y C=14k.
14
'
y
RAZONES Y PROPORCIONES
4.
Enel planteamiento de los problemas debemos distinguir el término veces con el de veces más.
Ejemplos
+
Aes2veces
B significa que A=28B
+
Aes2veces más que £ significa que 4=38
+
Mes 7 veces más que ÑN significa que M=8N
*
Pesmedia vez más que O significa que p=0+5>
Q
2
APLICACIÓN 3
3
En un salón de 60 alumnos, la razón de varones y de mujeres es 7 ¿Cuántas mujeres hay en el salón?
Resolución
Sean V y M las cantidades de varones y de mujeres que hay en el salón, de las cuales se sabe que
V+M=60
pia
M
2ke
Luego V+/M=60
3
3k+2k=60
k=12
twitter.com/calapenshko
Por lo tanto, hay 24 mujeres.
APLICACIÓN 4
En una granja se observa que las cantidades de gallinasy de conejos están en la relación de 3 a 2,
mientras que las cantidades de conejos y de patos son entre sí como $ es a 3. Si en total se contaron
124 animales, ¿cuántos conejos hay en el corral?
Resolución
De las comparaciones tenemos
N.? de gallinas _ 3(5k)
N.? de conejos
2(5k)
La cantidad de conejos debe ser la misma en
ambas relaciones, por eso a una multiplicamos-
N.? de conejos _ 5 (2k)
N.o de patos
por Sk y ala otra por 2k.
3(2k)
15
LUMBRERAS EDITORES
Además
gallinas + conejos + patos = 124
15k+ 10k+ 6k= 124
k=4
Luego
twitter.com/calapenshko
conejos = 10k = 40
Por lo tanto, hay 40 conejos.
APLICACIÓN 5
El dinero que tiene Kevin es dos veces más que el de Elizabeth, y esta tiene el doble que Patricia, Si
Patricia tiene 5/.40, ¿cuánto dinero tiene Kevin?
Resolución
De los datos tenemos
Dos veces más equivale
a res
Veces.
+
Dinero de Kevin=3 (dinero de Elizabeth)
*
Dinero de Elizabeth=2 (dinero de Patricia)
=> dinero Elizabeth =5/.80
q€E-_xAAAá<-—<-<<<MMM«M¿¿SIAA¡¿
5/40
Luego, el dinero de Kevin es 3(80) =5/.240
Por lo tanto, Kevin tiene 5/.240.
EN PROBLEMAS DE EDADES
Se cumple que la diferencia de edades de dos personas siempre es la misma a lo largo del tiempo
(presente, pasado y futuro).
Ejemplo
Si Rocío y Natalia tienen 18 y 12 años, respectivamente, la diferencia que existe entre sus edades
siempre será la misma.
16
E
RAZONES Y PROPORCIONES
PASADO
RocíoE
14
NATALIA
g
PRESENTE
|
18
'
12
|
O
|
|
FUTURO
30
A
,
24
diferencia
( de edades )
dl
6
e
5
Observe que la diferencia de las edades de
estas dos personas siempre es la misma,
APLICACIÓN 6
Las edades de Arturo y Raúl están en la relación de 4 a 1; pero dentro de 10 años, sus edades estarán
en la relación de 7 a 3. Halle la edad de Raúl,
Resolución
Elaboramos un cuadro con las edades de Arturo y Raúl.
10 años
A
PRESENTE
ARTURO.
FUTURO
4 (4k)
A
]
RAUL
7 (3k)
>
3 (3k)
(decdodes) — 314K)
4 (3)
¡
"
|
1 (4k)
dif
:
|
|
Observe que para que las diferencias sean las ]
mismas, multiplicamos por factores que hagan
que cumplan
la igualdad.
_—_—_—__ e]
Estas diferencias deben
ser las mismas,
Del cuadro
-
16k+10=21k
twitter.com/calapenshko
k=2
Por lo tanto, la edad de Raúl es 4k=8 años.
EN PROBLEMAS DE MEZCLAS
Se cumple que al extraer una cantidad de una mezcla, la relación de los ingredientedes la mezcla
inicial y de lo extraído debe ser la misma.
17
LUMBRERAS
EDITORES
%
Ejemplo
Si tenemos una mezcla de 30 L de agua con 45 L de alcohol y de esta extraemos 30 L, tendremos
mezcla inicial
mescla final
extrae
Como en la mezcla inicial
los ingredientes están en
agua
la relación de 23 3, loque
se extrae también debe
alcohol
A
alcohol
a
-
e
agua
Da
30-12
181
|£
estar en esa relación.
total=45 L
total=30 L=5k
6 L=k
total=75 L
APLICACIÓN 7
De un recipiente que contiene 40 L de alcohol y 20 L de agua se extraen 18 L de la mezcla. ¿Cuál es la
razón aritmética de los volúmenes de alcohol y de agua que queda en el recipiente?
Resolución
mezcla final
mezcla inicial
extrae
alcohol
agua
Por lo tanto, la razón aritmética de los volúmenes de alcohol y de agua de la mezcla final es 14 L.
EN PROBLEMAS DE MÓVILES
es igual
Se cumple que para un mismo tiempo, la relación de los espacios recorridos por dos móviles
ala relación de sus velocidades.
18
Miaarrrras
RAZONES Y PROPORCIONES
Ejemplo
Si un auto se mueve a una velocidad de 60 km/h y un bus, a 40 km/h, tal como se ve en el gráfico,
tendremos
__
Y
SAA
——————_—_—_—_—_——
Cato
dbus
Para un mismo tiempo se cumple que
dauta
E 60
sE 3k
deus
40
2k
APLICACIÓN 8
Dos móviles salen de las ciudades A y 8 rumbo a su encuentro uno del otro con velocidades que
están en la relación de 7 a 3, Si hasta el encuentro las distancias recorridas por ambos se diferencian
en 80 m, ¿cuál es la distancia entre las ciudades A y B?
Resolución
Graficamos el problema.
E
=0
A,
7k
>
)
punto de
al
|
|
3k
E
8
E
Observe que las distancias que recorren
hasta el encuentro están en la misma
relación que las velocidades.
Además tenemos
7Tk-3k=80
k=20
Por lo tanto, la distancia entre A y B es 10k=200 m.
19
++
PROBLEMAS RESUELTOS
paa
¿0
m
Por lo tanto, Gabriel pesa 44 kg.
NIVEL BÁSICO
_ CLAVE (D)
PROBLEMA N.? 1
Al comparar los pesos de cuatro amigos, resultó
que el peso de Alejandro excede al de Bruno en
8 kg, el peso de Gabriel es excedido por el de
Bruno en 2 kg, y Daniel, que pesa 4 kg más que
Alejandro, pesa 58 kg. Halle el peso de Gabriel.
A)
42 kg
D)
44 kg
B)
40 kg
C)
52kg
E)
50kg
Resolución
PROBLEMA
N.” 2
Calcule la razón aritmética de dos números cuya
suma
es 64 y se encuentran
en la relación de
11la5.
A)
20
D)
12
Bj)
18
C)
24
Ej]
30
Resolución
Sean
Sean M y N los números; donde
A: peso de Alejandro
.«
B: peso de Bruno
G: peso de Gabriel
.
M+N=64
mM
11
===
D: peso de Daniel
N
5
—3
M=11k
y N=5k
Como
Por los datos tenemos que
A-B=8
kg
B-=-G=2kg
M+N=64
(Alejandro excede a Bruno en E kg).
(Gabriel es excedido por Bruno en 2 kg).
11k+5k=64
k=4
D-A=4 kg
——
58 kg
Por lo tanto, la razón aritmética de los números
es 11k-5k=6k=24.
Entonces
A=54 kg, B=46kg
20
y
G=44 kg
HUA
CLAVE
KÁZO-Á
EROS
PROBLEMA N.* 3
La suma, la diferencia y el producto de dos números están en la relación de 13, 1 y 84, respectivamente. Halle el mayor de los números.
A)
15
Dj)
18
RAZONES Y PROPORCIONES
Bj
12
Cc)
24
E)
9
Resolución
A)
14
Dj)
16
Bj
24
O
32
Ef
12
Sean P y Q los números. De los datos tenemos
.
q
===
Q
P=3k
—
1
[el mayor de los números)
Q=1k
Resolución
razón aritmética
Si los números son A y B, tenemos
A+B=13k
(1)
A=B=1k
(11)
AXB=84k
(111)
*
—
o
PxQ-(P+Q)=32
(3k)(k) -(3k+k)=32
3k*-4k=32
k(3k-4)=32
TE
De (1)
y (11)
A+B=13k
apar
k=4
20
2A4=14k
4A=7k
Por lo tanto, el mayor de los números es
(el mayor de los números)
P=3k=12,
B=6k
_Cave(B)
Reemplazamos los valores de A y B en (111)
(7k)(6k)=84k
k=2
PROBLEMA
Por lo tanto, el mayor de los números es
A=7k=14.
En una granja donde solo hay cerdos y pollos,
la relación
_Cave (A)
N.? 5
entre las cantidades
de cabezas
y
de patas es de 4 a 13. Determine la relación de
cerdos y de pollos que hay en la granja.
A) 3a2
PROBLEMA
N.* 4
Bj)
5a3
C)
7a4
números dan coma resultado 32. Calcule el ma-
D)]
3as5
yor de los números.
E)
1a2
Dos números están en la relación de 3 a 1. La
razón aritmética del producto y la suma de los
21
LUMBRERAS
EDITORES
Resolución
Resolución
Sean C y
Sean A y 8 los números; donde
P las cantidades de cerdos y de pollos
que hay en la granja.
+
c+P
N.?* de cabezas
—E>
40+2P
3
A+10_7k
B+10 8k
4
E
N.* de patas
A+B=40
13
_ A=7k-10
B=8k-10
e
Cada cerdo tiene 4
Cada pollo tiene 2
patas, entonces el
total de patas es 40.
patas,
Reemplazamos los valores de A y B en el primer
entonces el
dato
total de patas es 2P.
>
Entonces
C+P
_4
ac+2P
13
13C+13P=16C+8P
A+B=40
(7k-10)+(8k-10)=40
15k=60
k=4
Luego
A=7k-10=18
5P=3C
als
Lu
| un
B=8k-10=22
Por lo tanto, la razón aritmética de los números
Por lo tanto, la relación de cerdos y de pollos es
es B-A=4,
_CLavE
de 533.
_Clave
PROBLEMA N.* 7
PROBLEMA
La suma
N.? 6
de dos
números
es 40, y cuando
se
le agrega 10 unidades a cada uno de ellos, su
razón es 7/8. Determine la razón aritmética de
los números.
A)8
D) 10
22
B)
4
En un aula de 60 alumnos se observa que la
cantidad de mujeres es dos veces más que
la cantidad de varones. Si en el salón hubiera
5 mujeres y 3 varones menos, ¿cuál sería la
relación de mujeres y de varones?
Cc)6
A)
1013
E) 12
D) 742
B) 5a2
C) 331
El 337.
RAZONES Y PROPORCIONES
"un
Resolución
daños
Como el total de alumnos es 60, esta cantidad
resulta de sumar las cantidades de varones (V) y
¡Presente |
de mujeres (M1), entonces
Santiago
Mes dos veces más que V,
entonces M=3V.
|
As
A
Jorge
|
|
3k-4
|
Futuro
|
3k
|
5k
|
|
5k-4
A
—Áá
La suma de
edades es 32
V+M=60
>
V+3V= 60
(3k-4)+(5k-4)=32
k=5
V=15
M=3V=45
Luego, si hubiera 5 mujeres y 3 varones menos,
tendríamos
EE
varonesfinal
15-3
des en el presente es 10,
Como la diferencia de edades de dos personas
siempre es la misma, dentro de m años la diferencia seguirá siendo 10 años.
A
12
En consecuencia, la edad de Santiago es 11 y la
de Jorge es 21; además, la diferencia de eda-
3
_Cuave
Por lo tanto, la relación de mujeres y de varones
sería de 10 a 3.
_ CLAVE (A)
PROBLEMA
N.? 9
Las cantidades de problemas resueltos por DaPROBLEMA
niela y Érika en una hora están en la relación de
N.? 8
Si las edades de Santiago y de Jorge suman 32
años, y dentro de 4 años sus edades estarán en
la relación de 3 a 5, halle la diferencia de sus
resolver 93 problemas en total, ¿cuántos problemas hizo Érika?
edades dentro de m años.
A)
8
D)
6
B)
10
o
12
El
4
Resolución
Elaboramos un cuadro
tiago y de Jorge.
con
3 a 4, y las cantidades de problemas resueltos
por Érika y Fiorella en el mismo tiempo están en
la relación de 6 a 5. Si en una hora ellas lograron
las edades de 5an-
A)
B)
c)
D)
E)
27
48
12
36
30
23
LUMBRERAS EDITORES
A
Resolución
a
Resolución
Sean D, E y F
las cantidades de problemas re-
Sean A, K y V las cantidades de dinero que tie-
sueltos por Daniela, Érika y Fiorella en una hora.
nen Aurora, Karen y Verónica. Al comparar estas
De las relaciones tenemos
cantidades tenemos
La cantidad
D = 3x3k
de problemas
E
resueltos por
K
4x3k
E
ser la misma
iguales
6x2k
(
K_5x2k
F 5x2k
VW
=>
D=9k, E=12k y F=10k
Como en total resolvieron 93 problemas
—>
2x5k
Deben ser
(
Érika debe
=>
A _3x5k
3x2k
A=15k, K=10k y V=6k
Además
A+K+V=5/.248
9k+12k+10k=93
k=3
31k=5/.248
k=S/.8
Por lo tanto, Érika hizo 12k=36 problemas.
_ CLAVE (D)
Por lo tanto, Aurora tiene 15k=5/.120.
_Cuave (C)
PROBLEMA
N.” 10
La cantidad de dinero que tiene Aurora es a la
cantidad de dinero que tiene Karen como 3 es a
2; además, la cantidad de dinero que tiene Karen esa la cantidad de dinero que tiene Verónica como 5 es a 3. Si entre las tres tienen 5/.248,
¿cuánto tiene Aurora?
A)
B)
C)
D)
E)
24
5/.240
s/.180
S/.120
S/.210
5/.200
PROBLEMA
N.” ||
Dos recipientes
de 60L
de capacidad
están
completamente llenos de vino y de gaseosa; en
el primero, la relación de la cantidad de vino y
gaseosa es de 7 a 3, y en el segundo, por cada
2 L de gaseosa hay 3 L de vino. Calcule la razón
aritmética entre la cantidad de vino del primer
recipiente y la cantidad de paseosa del segundo
recipiente.
A)
12L
Dj 9L
8)
181
C) 10L
E) 8L
RAZONES Y PROPORCIONES
Resolución
A) S/.80
Como los dos recipientes contienen vino y ga-
D)
B) S/.60
C) S/.40
5/.30
E)
s/.20
seosa tendremos
Resolución
1.4 recipiente
2? recipiente
Tenga en cuenta
fatal
wnó
Baseosa
] a
mensual
gasto
1.
mensual
ahorro
mensual
Ko
Mes pasado
601
10k=60
k=6
Sm=60
m=12
Entonces hay 42 L
de vino y 18 L de
Entonces hay 36 L
de vino y 24 Lde
Bascosa
faseosa
ncia
SAA
3k
gasto
2k
==
ahorro=k
Por condición del problema
3k+2k=800
k=160
Luego
42-24=18
Por lo tanto, el mes pasado ahorró S/.160,
Por lo tanto, la razón aritmética de la cantidad
de vino del primer recipiente y la cantidad de
gaseosa del segundo recipiente es 18 L.
_ CLAVE
Mes actual
anancia
tt
gasto
5m
=——
3m
—=3
ahorro=2m
Por condición del problema
5m+3m=800
m=100
PROBLEMA N.* 12
Lo que gana y lo que gasta un taxista todos los
Por lo tanto, el ahorro de este mes fue 5/,200.
meses suman 5/.800. Si el mes pasado lo que
ganó y lo que gastó estaban en la relación de 3
Finalmente, la variación del ahorro en estos dos
a 2 y este mes lo que ganó y lo que gastó están
meses es $/,200-5/.160=5/.40,
en la relación de 5 a 3, ¿en cuánto ha variado lo
que ahorra en estos meses?
_Cuave (C)
25
LUMBRERAS
EDITORES
PROBLEMA N.? 13
Por lo tanto, la relación de vino y de agua es de
Se tienen dos barriles con igual capacidad total-
27313,
mente
llenos; el primero
contiene 3 L de vino
_CLave (a)
por cada 2 L de agua, y en el otro la cantidad de
vino es tres veces la cantidad de agua. 5í se mezclaran ambos barriles, ¿cuál seria la relación de
vino y de agua?
PROBLEMA
A)
27313
A una reunión asistieron 60 personas, donde
8) 2a1
C) 334
D) 17312
Ej)
N.* 14
por cada
5 varones hay 7 mujeres. ¿Cuántas
parejas deben retirarse para que la relación de
varones y de mujeres sea de 2 a 3?
2738
A] 10
Resolución
B)
5
DJ 8
a
4
El
6
Los recipientes están completamente llenos y
tienen
la misma
capacidad
(mismo
volumen).
Entonces de los datos tenemos
Resolución
De los datos tenemos
5ise retiran x parejas, se
retiran Y varones y «mujeres
SS
total: 5(4k)
total: 4(5k)
Pará que los totales sean iguales,
multiplicamos al primero por 4
yalsegundo
Inicio
Final
Varones
5/5) =25
(25=x)
Mujeres
7(5)=35
(35=x)
Total
12(5)=60
por 5
Si mezclamos estos dos recipientes en uno solo,
Donde
25-x_2
tendremos
35-x
>
3
x=5
Por lo tanto, deben retirarse 5 parejas.
26
RAZONES Y PROPORCIONES
A
Otra forma
Seretiran x parejas
Inicia
Final
Varones
5(5)=25
2k
Mujeres
— 7(5)=35
3k
Total
12(5)=60
A)
45
DJ
36
B)
42
C)
30
E)
24
Resolución
Sea P el peso de la canasta vacía. Luego según
los datos del problema tenemos
*
Situación inicial
Debemos tener en cuenta que si se retiran o ingresan la misma cantidad de varones y mujeres,
f peso de sr) =N
( manzanas /
la diferencia entre los varones y las mujeres no
cambia.
:
A
— (Pes de | -p
canasta
Entonces
Inicia
Final
Varones
25
2k=20
Mujeres
35
3k=30
Diferencia
10
—BBE_
k=10
Por lo tanto, deben retirarse 5 parejas.
*
Situación final
Cuando se venden 15 kg de manzana,
queda (N —15) kg de manzana
_ CLAVE
peso de las
manzanas
N-15=3k-15
—
PROBLEMA
N.? 15
En una canasta
llena de manzanas
se observa
que el peso de todas las manzanas
es al peso
de la canasta llena como 3 es a 4. Si se venden
15 kg de manzanas,
la nueva
relación es de 2
a 3. Calcule cuántos kilogramos de manzanas
quedaron después de esta venta.
3k-15
2
(3k-15)+k
3
peso de la canasta
P=k
9k-45=2(4k-15)
9k=45=8k-30
k=15
27
LUMBRERAS EDITORES
Por lo tanto, al final de la venta la cantidad de
Por lo tanto, la edad de Miguel es 44+m=10 años.
manzanas que queda es
_ CLAVE (D)
3k-15=3(15)-15=30 kg.
_Cave (€)
PROBLEMA N.* 17
PROBLEMA
Las edades de Alberto y de Jorge están en la re-
N.? 16
lación de 7 a 3, pero hace 3 años estaban en la
Sonia nació 6 años antes que Miguel. Hace
m años la relación de sus edades era de 5 a 2 y
relación de 5 a 2. ¿Cuál será la edad de Alberto
dentro de 8 años?
dentro de m años será como 11 esa 8, ¿Cuál es
la edad de Miguel?
A]
67 años
D)
70 años
B)
71años
C)
65 años
E)
60 años
A)
9 años
B)
12 años
C)
15 años
Resolución
D)
10 años
Recuerde que la diferencia de las edades de dos
E)
11 años
personas siempre es la misma.
Entonces tendremos
Resolución
Si Sonia nació 6 años antes que Miguel, la diferencia de edades de Sonia y de Miguel siempre
será 6 años. Luego tendremos
maños
E
A
| Pasado Presente
Sonia
(2)
| Miguel
2(2)
maños
3años
8 años
PE
Pasado
|
|
Presente | Futuro
| Alberto
5(4k)
7(3k)
Jorge
2(4k)
| 3(3k)
X
|
8(2)
!
diferencia
hos minas)
7
AN
AS
3)
iguales
are
E
ars
De la tabla
21k-3=20k
k=3
De la tabla
10+2¿m=22
m=6
28
|
|
Futuro |
112)
|
x=21k+8=71 años
Cue
twitter.com/calapenshko
RAZONES Y PROPORCIONES
PROBLEMA
N.* 18
PROBLEMA
N.” 19
Las edades de Ana y de Beatriz están en la rela-
Las edades de Edwin y de Arturo están en la re-
ción de 8 a 5, pero hace 8 años la edad de una
lación de 7 a 5, respectivamente, y hace x años
de ellas era el doble de la otra. ¿Cuál será
estaban en la relación de 3 a 2. Si dentro de 2
años sus edades sumaran 64, halle x.
la
suma de sus edades dentro de 4 años?
A)
56 años
B)
60 años
C)
64 años
D)
52 años
Ej
48 años
A]
B)
C)
D)
E)
2
8
6
5
4
Resolución
Graficamos una tabla con las edades de Ana y
de Beatriz,
Baños
Resolución
De los datos tenemos
daños
xaños
2¿años
a
Pasado
Ana
| 2(3k)
|
ek)
Futuro
Pasado
|
|
Mo
Esos
Beatriz
Presente
|
1(3k)
Presente
3(2k)
Arturo
2(2k) | 5(K) | 5k+2"
A
|
|
7K) | 72
A
¡
recia) sn 1(3k)
31) — Pidentasuma
TA igualesA
:
diferencia
de edades
(de edodes) >
z (2k)
SA
21k)
Iguales
De la tabla se observa que
E2k-8=6k
De la tabla se observa que
k=4
e
7k-x=6k
x=k
Dentro de 4 años, ellas tendrán (8k+4) y (5k+4)
años. Por lo tanto, la suma de sus edades dentro
de 4 años será
13£k+8=060 años
|
_ CLAVE
*
Futuro
Edwin —
E
5(k)
A
(7k+2)+(5k+2)=64
k=5
Suman
LUMBRERAS EDITORES
.
PROBLEMA N.” 20
Se mezclan 48 L de gaseosa con 64 L de agua. Se extraen 35 L de dicha mezcla y se reemplazan por
gaseosa, luego se extraen 28 L de la nueva mezcla y se reemplazan por agua. ¿Cuál es la razón arit-
mética entre las cantidades de agua y de gaseosa obtenida al final?
A)
10L
8)
30L
€)
20L
DJ
25L
E)
15L
Resolución
De los datos tenemos
mezcla inicial
queda
se reemplazó
extrae (35 1)
Dor Easebsa
gaseosa
agua
agud
nueva mezcla
mezcla final
extrae (28 L)
gaseosa
AEUZ
E
A
Se reemplazó
gaseosá
-
112 L
A
281
Luego hallamos la razón aritmética de agua y de gaseosa de la mezcla final
61-51=10
Por lo tanto, la razón aritmética de agua y de gaseosa al final es 10 L.
30
por agua
e
A
PROBLEMA
acia
N.+? 21
De un recipiente que contiene 30 L de agua y 50 L de alcohol se extraen 24 L y se reemplazan por
alcohol. ¿Cuántos litros de agua se tendría que agregar a la mezcla para que las cantidades de agua
y de alcohol sean iguales.
A) 38
B) 24
C) 36
D) 72
E) 28
Resolución
De la mezcla inicial
queda
extrae (24 L)
— 5e reemplaza
por alcohol
tica
Sicono
ne
===".
8(3)
Como se debe agregar agua para que al final los volúmenes de agua y de alcohol sean iguales, entonces
21+x=59
x=38
Por lo tanto, se debe agregar 38 L de agua.
_ CLAVE (A)
PROBLEMA
N.* 22
De 75 L de una mezcla de gaseosa y de vino se extraen 20 L, de los cuales 12 L son de gaseosa. Calcule
la razón aritmética de los volúmenes iniciales de gaseosa y de vino.
A)
8L
8)
15L
€)
10L
D)
251L
El
35b
31
LUMBRERAS
EDITORES
Resolución
Tenemos una mezcla de gaseosa y de vino, de la cual no sabemos las cantidades iniciales.
mezcla inicia!
extrae (201)
La gaseosa y el vino
están en la relación
deja?
gaseosa
vino
pi
e
Como la relación de gaseosa y de vino que se extrajo es de 3 a 2, en la mezcla inicial la relación de
gaseosa y de vino también debe ser de 3 a 2. Entonces
3k+2k=75
volumen
inicial MN
¡E
—=
k=15
volumen
de gaseosa
inicial
de vino
Por lo tanto, la razón aritmética de gaseosa y de vino es 3k-2k=k=15 L.
_ CLAVE
PROBLEMA
N.? 23
En una fiesta se observa que por cada 5 varones hay 7 mujeres. La relación entre los que bailan y
los que no bailan es de 1 a 2, respectivamente. ¿Cuántas mujeres no bailan, si de los varones 50
bailaban?
Aj
125
B)
120
C)
100
D)
75
E]
Resolución
Graficamos un diagrama de Lewis Carroll.
Varones 5(1k) | Mujeres 7(1k)
|
2k
|
3k
iguales
2k
| Bailan 1(4k)
|
Sk
' No bailan 2(4k)
dá
|
32
.
80
RAZONESY PROPORCIONES
PROBLEMA
Donde
varones+mujeres=12(1k) — Deben ser iguales
porque ambos
aora ol
N.* 25
En una fiesta, las cantidades de varones
que
bailan y de mujeres que no bailan están en la
relación de 3 a 2; además, la cantidad de mujeres es tres veces más que la de varones que no
Además
2k=50
—
bailan. Si hay 52 personas que no bailan, ¿cuán-
k=25
tas personas asistieron a la fiesta?
Por lo tanto, hay 5k=125 mujeres que no bailan.
_ CLAVE (A)
PROBLEMA N.* 24
A)
B)
Cc)
D)
E)
148
152
140
132
120
En una fiesta, la cantidad de varones y de mujereses de 3 a 1; además, la cantidad de varones
que bailan es a las mujeres que no bailan como
4 es a 3. Halle la relación entre la cantidad de
personas que bailan y las que no bailan.
Resolución
Graficamos un diagrama de Lewis Carroll.
Varones
A)
1/2
D)
3/5
B)
2/3
C)
2/5
E)
2/7
Mujeres 4(5k)
3(4k)
A
1(5k)
|
(4k) | Bailan
| 2 ' (4k)
| No bailan
Resolución
Graficamos un diagrama de Lewis Carroll.
Observe que las mujeres es como 4 pero tam-
Varones 3(7k) - Mujeres 1(7Kk)
ak
-
17k
PE
|
a en
a
'
"e
bién
como
5, por tanto
homogeneizamos
aan
relaciones.
No bailan
Como hay 52 personas que no bailan
las
;
AA
E
SC
Lsumando resulta TK)
=>
5k+8k=52
k=4
Entonces
—_ 8k
2
personas que no bailan -20k
5
personas que bailan
_ CLAVE (0)
Por lo tanto, a la fiesta asistieron 37k=148 persondas.
_cuave (A)
33
LUMBRERAS
EDITORES
PROBLEMA
N.? 26
Las velocidades de los móviles A
la relación de 7 a 5. Si cuando
llegó al punto de partida del más
le falta 180 m para llegar al punto
el más veloz, halle la distancia que
y B están en
el más veloz
lento a este
donde partió
los separaba
vez, Rafael recorrió A metros; mientras que hasta que estén separados 80 m por segunda vez,
Sandro recorrió B metros. Halle la razón aritmética de By A.
A)
10
inicialmente.
D|
80
A)
B)
C)
D)
E)
Resolución
420m
315m
700m
630 m
180m
B)
108
C)
40
E)
20
De la primera condición
Va=3
O
v=2
APS
CO
TASK
g0m
2k
400m
Resolución
Sea D la distancia que los separa inicialmente.
Del gráfico
3k+80+2k=400
V¿=/
AE
2
A
==
-—
Py
180mM
k=64
A
=>
d¿=5k
7 ]
¡
=
A=3k=192 m
De la segunda condición
A lega al punto
0
de partida
de 8
Ss 50
Del gráfico
80m
3P
1804+5k=7k
90=k
A
“SP-80
A
B=5P
D=7k=630m
Como la distancia de separación es 400 m, ten-
_ Crave (D)
dremos
3P+(SP-80)=400
P=60
=>
PROBLEMA
Rafael y Sandro que están separados 400 m parten uno al encuentro del otro con velocidades
que son entre sí como 3 es a 2. Hasta el momento en que
34
B=5P=300 m
N.*? 27
están
separados
80 m
por
primera
Finalmente, la razón aritmética de By A es
B-A=300-192=108 m.
ala
_ CLAVE
RAZONES Y PROPORCIONES
PROBLEMA
N.? 28
PROBLEMA
Dos personas que están separadas
3600m
sa-
N.? 29
En la academia Aduni, por cada 3 varones hay
len al encuentro con velocidades que son entre
5 mujeres, mientras que en la academia
sícomod es aS, Luego del encuentro continúan
Vallejo por cada 7 varones hay 2 mujeres, Si por
en la misma dirección y el más veloz llega al extremo opuesto luego de 96 minutos. ¿Cuánto
cada 7 varones de Vallejo hay 10 mujeres de
tiempo (en minutos) más se demoró la otra per-
sona en llegar?
A)
B)
C)
D)
E)
40
45
48
52
54
César
Aduni, calcule la cantidad de estudiantes que
hay en la academia César Vallejo, si en Aduni
hay 240 mujeres más que varones.
A)
300
D)
1800
B)
540
E)
2000
E)
1200
Resolución
De los datos tenemos
Academia Aduni
Resolución
Academia César Vallejo
varones _ 3k
varones _ 7m
mujeres
mujeres
5k
2m
De las condiciones del problema
Va=5
encuentro
v¿=4
Además
varones
de Vallejo
ao
mujeres
de 4duni
Sk
Va=5'
v¿=4
:
k=120
Reemplazamos en (1)
96(5)_4
>
|
(0
5k-3k=240
Sk
Por MRU
t(4)
_7m
Como en la academia Aduni hay 240 mujeres
más que varones
=>
4k
7
===—
10
5k
2
5
10
B0=m
t=150 minutos
En consecuencia, A se demoró 150-96=54 minutos más que la otra persona.
m_
5(120)
_Cuave (E)
Por lo tanto, el total de alumnos de la academia
César Vallejo es 9m=540.
_Cuave (B)
35
LUMBRERAS
EDITORES
PROBLEMA
N.” 30
Resolución
En una reunión se observa que por cada 8 mujeres hay 7 varones, y la relación entre peruanos y
extranjeros es de 3 a 2. Si el total de asistentes
es 300 personas, ¿cuántos varones peruanos
asistieron sabiendo que son la mitad del total
Razón inicial
a-b=r
(1)
Razón final
b
a >
r
2a--=5
(11)!l
de extranjeros?
Reemplazamos (1) en (11)
A)
40
D)
Bj)
50
C)
60
35
E)
2
le =b)
2
80
Resolución
Graficamos un diagrama de Lewis Carroll.
total =300
Mujeres 8(20)
Varones 7(20)
1
|
)
|
po
peruanos
*
3(60)
total
1
|
extranje A
300
Por lo tanto, la razón geométrica de los términos de la primera razón es de 3a 2.
x=
A
74120)
_Cuve
total de extranjeros
=60
_ciave (D)
PROBLEMA N.? 32
NIVEL INTERMEDIO
Si A esal doble de B como 2 esa 3, mientras que
PROBLEMA N.” 31
el triple de B y el doble de € están en la relación
de 7 a 5, halle en cuánto es excedido C por A, si
Si al antecedente de una razón aritmética se le
duplica y al consecuente se le reduce a su mi-
la suma de 4, B y Ces 429.
tad, el valor de la razón aritmética se quintupli-
ca. Calcule la razón geométrica de los términos
de la primera razón.
A)
3al
D)
7a5
36
B)
332
Cc)
245
E)
4a3
A)
B)
C)
D)
E)
11
43
56
36
33
RAZONES Y PROPORCIONES
Resolución
Resolución
De los datos tenemos
Desarrollamos
A
*
2
A
.
38
—
20
_7
ZA
5
hi
Homogeneizamos
tener el
gallinas _ 4 (3k)
pavos
mismo valor
B_14(3k)
A
==
Cc 15(3k)
o
entre la cantidad
de gallinas, pavos y pollos.
4(14k)
783738304)
28
3
B
3
las relaciones
1(3k)
Homogeneizamos la
cantidad de gallinas
gallinas _ 3 (4k)
pollos
2 (4k)
el valor de B, con lo cual te-
nemos
Luego
A=56k, B=42k y C=45k
gallinas=12k
pavos=3k
Además
pollos=8k
A+B+C=429
Además
143k=429
pollos =pavos=40
k=3
Bk-3k=40
>
k=8
A-C=11k=33
Por lo tanto, Ces excedido por4 en 33,
Por lo tanto, en la granja hay 12k=396 gallinas.
_ CLAVE (E)
PROBLEMA
_ CLAVE (D)
PROBLEMA
N.” 33
N.? 34
Enunagranjase observa que la cantidad de galli-
La cantidad de dinero que tienen Paulo y Vale-
nas es tres veces mas que la cantidad de pavos,
rio está en la relación de 3 a 7, mientras que la
y la relación de gallinas y de pollos es de 3a2,
de Valerio y Ethel está de 5 a 3. ¿Cuánto dinero
Si la cantidad de pollos excede a la cantidad de
pavos en 40, ¿cuántas gallinas hay en la gran-
tiene Valerio sabiendo que si Ethel le diera 5/.18
ja?
la misma cantidad?
A) 48
D] 96
B)
72
C)
36
E)
108
del dinero que tiene a Paulo, estos dos tendrian
A) S/.160
D) S/.175
B) 5/.210
Cl :5/.350
E) 5/.420
37
LUMBRERAS
EDITORES
Resolución
Resolución
De las comparaciones tenemos
El total de personas siempre es 300.
Paulo
3(5k)
Valerio
> 7(5k)
|
Valerio ai 5(7k)
Ethel
Homogeneizamos la canti-
1.* apuesta
2. apuesta
A_3k
A im
B
B
dad de dinero de Valerio
3(7k)
2k
5m
5k=300
5m=300
k=50
m=50
Entonces
Paulo=15k
l
Valerio=35k
A_
==
Ethel=21k
Además, si Ethel le diera 5/.18 a Paulo, ellos ten-
=—_
B
Disminuye en 130
180
A _
=—
120
B
a
|
50
250
Por lo tanto, 130 hinchas se pasaron de A hacia B.
_cuave(D)
drian la misma cantidad.
21k-18=15k+18
k=6
PROBLEMA
Por lo tanto, Valerio tiene 35£k=5/.210,
_ CLAVE
N.” 36
De un examen de Matemática se sabe que las
cantidades de varones aprobados y de mujeres aprobadas están en la relación de 3 a 2; los
varones desaprobados y las mujeres desaprobadas son entre sí como 2 es a 5; además, las
cantidades de varones y de mujeres están en la
relación de 4 a 5, Si la cantidad de varones que
PROBLEMA N.”? 35
hacen apuestas 50-
no aprobaron es excedida en 18 por las mujeres
bre dos equipos (4 y B) favoreciendo inicialmen-
que aprobaron, ¿cuántas mujeres fueron desaprobadas?
Un grupo de 300 personas
te al equipo A en una razón de 3 a 2 frente al B:
luego favorecen al 8 frente al A en una razón de
5 31. Determine cuántos hinchas de A se pasaron a 8, sl esta cantidad es mínima.
A) 95
D) 130
38
B) 100
€) 115
E)
140
A)
B)
Cc)
D)
E)
24
105
30
32
120
RAZONES Y PROPORCIONES
Resolución
Resolución
Graficamos un diagrama de Lewis Carroll,
No olvidemos que la diferencia de las edades de
dos personas siempre es la misma.
Varones 4
Mujeres 3
3n
in
naños
¿n años
GE
ES
2m
aprobados
5m
Pasado
Ñ
desaprobados
3
7(2k)
An
pan
Ximena
4(2k)
Presente
Futuro
]
|
5(3k)
15k+2n- Suman
|
3(3k)
E: A
9k+2n
6 años
Donde
=
varones
—
3n+2m_4
mujeres
—
2n+5m
ide edades
5
15n+10m=8n+20m
De la tabla
7n=10m
n=k
n _ 10
m
Además
7k
17k+11k=56
Por dato tenemos
k=2
flecos
que )aprobaron
varones
que | _
noaprobaron)
Por lo tanto, la edad de Sharon es 15k=30 años.
—
¿2n
- 2¿m =18
2(10k)-2(7k)=18
—=
_ CLAVE
k=3
Por lo tanto, no aprobaron 5(7k)=105 mujeres.
_ CLAVE
PROBLEMA N.” 38
La edad que tiene Lourdes y la que tendrá Dario
dentro de 12 años están en la relación de 5 a 6;
PROBLEMA
además,
N.? 37
Las edades de Sharon y Ximena están en la relación de 5 a 3, pero hace n años estaban en la re-
lación de 7 a 4. Si dentro de ¿n años sus edades
sumarán 56 años, ¿cuál es la edad de Sharon?
A)
45 años
Dj
60 años
B)
30años
la edad que Darío tuvo hace 15 años
es la mitad de la que tendrá Pedro dentro de 12
años. Si actualmente las edades de Dario y de
Pedro son entre sí como 6 es a 5, halle la edad
de Lourdes dentro de 8 años.
C)
1l5años
A)
39 años
E]
75 años
D)
50 años
B)
47años.
Cl) 48 años
E)
52 años
39
%
LUMBRERAS EDITORES
PROBLEMA N.? 39
Resolución
Graficamos
una tabla con
las edades de
Lour-
Se tienen tres recipientes de vino, cuyos conte-
nidos están en la relación de 9, 5 y 10. 5e pasan
des, Dario y Pedro.
15 años
12 años
e
Pasado
Presente
Futuro
a litros del primer al segundo recipiente, y luego
b litros del tercero al segundo, pasando a ser la
nueva relación de sus contenidos de 4, 6 y 5,
respectivamente.
Lourdes
3
Dario
lm
Pedro
Calcule
el volumen
final del
segundo recipiente, si o+b=69,
6
|
6
5
0)
2m
Nos piden la edad de Lourdes dentro de 8 años.
Del cuadro tenemos
m+15 _6
2lm-12
5
A)
B)
C)
D)
E)
1201
1801
96L
126L
1441
Resolución
De los datos tenemos
5m4+75=12m-72
Contenidos iniciales
a
b
21=m
Reemplazamos
===
15 años
9(5k)
12 años
PAS
Pasado
Presente
S(5k)
Futuro
Contenidos finales
Lourdes |
Dario |
10(5k)
volumen
total
24(5k)
Homogeneizamos
el total
TÍ (8)
21
; Pedro
volumen
total
4
4(8k)
6(8k)
5(8k)
15(8k)
Por lo tanto, Lourdes tiene 40 años y dentro de
Debemos tener en cuenta que los contenidos
8 años tendra 48 años.
de cada recipiente han cambiado; pero el volumen total de vino no tiene que cambiar
ya que
_ CLAVE (0)
40
solo se está realizando un traspaso de vino.
RAZONES Y PROPORCIONES
Ahora comparamos los contenidos iniciales con
los finales para saber el valor de a y b.
Con ello tenemos los volúmenes iniciales
m litros
a=45k-32k=13k
litros
b=50k-40k=10k
volumen
total
Pero
6(3k)
o+b=23k=69
4(3k)
3(3k) — 13(3k)
d
k=3
Deben ser
iguales
Contenidos finales
¿
Por lo tanto, el volumen final del segundo reci-
piente es 48k=144 L.
_Cuave (E)
volumen
total
A
13k
)
11113k )
Ll1(13k )
3(13k
3(13k)
iguales
PROBLEMA N.? 40
Tenemos
tres recientes (4, 8 y C) que
contie-
Luego
nen gaseosa; donde el contenido de A es al de
m=18k-13k=5k
B como 3 es a 2 y el contenido de B es al de €
n=(12k+5k)-13k=4k
como 4 es a 3. Si deA se pasan m litros a
go de 8 se pasan n litros a C de manera
contenidos de los tres recipientes sean
halle en qué relación se encuentran m y
A)
334
D)
2a3
B)
5a4
C]
3a2
E)
5a3
B y lueque los
iguales,
n,
Por la tanto, la relación de my nes de 5 24.
_ CLAVE
PROBLEMA
N.? 41
En una reunión, las cantidades de varones que
Resolución
bailan y de mujeres que no bailan están en la
Realizamos la comparación de los volúmenes de
relación de 3 a 5; además, el número de mujeres que bailan es una vez más que el número de
A,ByC.
varones que no bailan, Si hay 78 personas que
no bailan, ¿cuántas mujeres están bailando?
volumen de 4 e Ix2
volumendeB
2x2
| Deben ser iguales
volumendeB_4
volumende
€
3
A) 12
D) 48
B)
72
C) 36
E)
24
41
LUMBRERAS
EDITORES
o
Resolución
Varones
De los datos tenemos
Varones
3(2k)
E
Mujeres 7(5k)
ar
EE! 37) 0
5(5k)
:2(7K) i
Batan
Mujeres
ELE
23
5(2k)
1(3k)
bañan
ia pan
¡Nobailan
+
¡
Está suma (3) nos da el total
No bailan
de mujeres, pero por dato
tenemos que es como 7.
Entonces homogeneizamos
Además
nó bailan=13k=78
Además nos dicen que si se retiran 24 parejas
k=6
(24 varones y 24 mujeres), la relación de varones y de mujeres seria de 40 a 29.
Por lo tanto, hay 6k=36 mujeres bailando.
En consecuencia
a6k-24
_ 40
_ CLAVE (O)
35k-24
29
1334k-696=1400k-960
PROBLEMA
N.? 42
k=4
En una reunión, la cantidad de varones que
bailan y de mujeres que no bailan están en la
relación de 3 a 2, y la cantidad de varones que
Por lo tanto, hay 14k=56 mujeres que no bailan.
no bailan y la cantidad de mujeres son entre sí
como
5 es a 7. Además
rejas se retirasen,
_ CLAVE (A)
se sabe que si 24 pa-
la cantidad de varones y de
mujeres estaría en la relación de 40 a 29. Halle
cuántas mujeres no bailan.
A) 56
B) 14
C)
28
D) 12
E) 18
Resolución
Graficamos el un diagrama de Lewis Carroll.
42
PROBLEMA N.” 43
Un depósito contiene 64 L devinoy 16 L de agua.
Si se extraen 20 L de la mezcla que se reemplazan por agua y nuevamente se extraen 20L
que también se reemplazan por agua, calcule
la razón aritmética de las cantidades de vino y
de agua que hay al final.
A) 8
D) 3
B)
12
qu
E) 17
a
RAZONES Y PROPORCIONES
Resolución
Tenemos una mezcla de 80 L de vino y de agua (64 L y 16 L), de la cual se extraen 20 L y se reempla-
zarán con agua.
mezcla inicial
mezcla resultante
extrae (20 L)
Luego de la mezcla resultante se vuelve a extraer 20 L y también se reemplaza por agua.
mezcla resultante
mezcla final
extrae (20 1)
agua
vino
total:
B0L
Por lo tanto, al final la razón aritmética de agua y de vino es 44-36=8.
_ CLAVE (A)
PROBLEMA
N.? 44
En un recipiente se mezclan
30, 20 y 50 L
de vino, gaseosa y agua, respectivamente; luego de la
mezcla se extraen 20 L, pero es reemplazado por una mezcla solo de vino y de gaseosa. Si al final la
razón aritmética de la cantidad de agua y de vino es 4 L, halle la cantidad de gaseosa que se tiene al
final.
A)
181
B)
20L
C)
28L
D)
24L
E)
221
43
LUMBRERAS
EDITORES
Resolución
Planteamos la mezcla inicial, la extracción y la mezcla final.
Se extraen 20 L y
solo se reemplaza
por una mezcla de
mezcla inicial
mezcla final
vino y de gaseosa
vino
vino | (24+m)L
gaseosa
agua
gaseosa |
(16+m)L
agua
- 40 L
Er
total:
total:
100 L
De la mezcla final m+n=20
Pero
agua final- vino final=4
40-(244m)=4
m=12
=>
12+n=20
=>
n=8
Por lo tanto, al final se tiene 24 L de gaseosa.
_ CLAVE (D)
PROBLEMA
N.? 45
Dos autos separados por cierta distancia parten hacia su encuentro con velocidades de 40 km/h y
de 56 km/h. Si cuando están separados 80 km por segunda vez al de menor velocidad le falta 88 km
para llegar al punto donde partió el otro, ¿cuál es la separación inicial?
A)
220 km
B)
208 km
C)
300 km
D) 420 km
E)
320 km
Resolución
Sean A y B autos; como sus velocidades son 40 km/h y 56 km/h, estas se encuentran en la relación
de5a?7.
44
RAZONES Y PROPORCIONES
Planteamos el problema mediante un gráfico.
v.=3
A
A
V¿=5
a
encuentro
|
E
¡240
|
3k=90
5k=150
DE
E
Del gráfico se deduce
x+E80
%
_3
280+88
ZN
7
FA
A
¿A $
90
3P
x=40
e
E
150
2P
Se deduce que Antonio llega primero a su destino, mientras que a Santiago le faltará 150—2P
para llegar a su destino.
Por lo tanto, la separación inicial es 208 km.
_ CLAVE
Del gráfico 3P=90
P=30
=>
PROBLEMA N.”* 46
Por lo tanto, a Santiago le faltará 90 m para lle-
Dos amigos, Santiago y Antonio, se encuentran
separados 240 m y parten con el objetivo de
llegar al punto
de donde
150-2P=90
partió su amigo
gar a su destino.
_ CLAVE (B)
con
velocidades que están en la relación de 3 a 5,
respectivamente, Si luego del encuentro sus velocidades son proporcionales a 2 y 3, respecti-
PROBLEMA N.” 47
vamente, ¿cuánto le faltará al más lento cuando
el otro ya logró su objetivo?
Dos móviles (4 y 8) parten de M rumbo a ÑN, y
A)
60m
tivamente.
B)
90m
velocidades de 4, B y C cambian a la relación 2,
xy 7, respectivamente. Si cuando se produce el
C) 120m
D]
150m
E)
80m
Resolución
Planteamos el problema mediante un gráfico.
C parte de N rumbo a M. Las velocidades de A,
B y C están en la relación de 3, 5 y 2, respecProducido
el primer encuentro,
las
segundo encuentro lo que le falta recorrer a €
para llegar a M y lo que le falta a B para llegar a
N están en la relación de 31 a 12, halle x.
A)6
D)4
B) 5
Cc) 1
'E 3
45
LUMBRERAS
EDITORES
Resolución
Sl en una carrera de 100 m Wálter le ganó a Vic-
Resolución
Graficamos
tor por 20 m, quiere decir que Wálter recorrió
A
ca
Ca
100 m, mientras que en ese mismo tiempo Vic-
2
o
28) ¡CE
E
tor solo recorrió 80 m.
Ye
velocidad de Wálter
_100_5s(5k)
velocidad de Victor
80 4(5k)
Ñ
3(9k)
2(9k)
a
Mi
En encuentro
29k)
Ahora, si en una carrera de 200 m Victor le gana
a 5imón por 20 m, por lo anterior tendremos
|
LA
velocidad de Victor _200_ 10(2k)
ATREA
velocidad de Simón
e
N
-2(2k) 7(2k) x(2k)
180
9 (2k)
Al homogeneizar las relaciones tenemos que la
velocidad de Victor debe ser la misma.
Finalmente en una carrera de 100 m entre Wálter y Simón tendremos
Observe que la distancia de separación
entre
2
A y B cuando se produce el primer encuentro
debe ser el mismo en el primer y en el segundo
gráfico;
entonces
podemos
homogeneizar
é
-
Por el último dato
18k-2xk
e
Ey
las
razones,
31k
a
Simón
18P
7P
100
_ 31
|
25P
12
Donde 25P=100
x=6
PROBLEMA
|
ao
N.* 48
—=
P=4
Porlo tanto, Wálter le ganará a Simón por 7P=28,
_ciave(D)
PROBLEMA N.” 49
En una carrera de 100 m, Wálter le gana a Vic-
El costo de 3 pantalones es equivalente al de 7
tor por 20 m, y en una carrera de 200 m, Victor
le gana a Simón por 20 m. ¿Por cuánto ganará
camisas, y el costo de 3 camisas es equivalente
Wiálter a Simón en una carrera de 100 m?
pas, ¿cuántos pantalones se podrá comprar?
A]
40m
D) 28m
46
B)
56m
al costo de 2 chompas. Con el costo de 14 chom-
O
48m
A]
E)
64m
D)5
9
B) 6
O 7
E) 4
RAZONES Y PROPORCIONES
Resolución
Resolución
Sean
Como 5/.N es el dinero
inicial, realizamos
un
gráfico que represente a S/N.
a: el precio de un pantalón
b: el precio de una camisa
c: el precio de una chompa
Gastó en
No gastó
el cine
enelcine
2k
e
Donde
*
ps
3a=7b
a
pa
7(2k)
b 3(2k) *.
7k
2
3b=2c
A
at
No gastó
cenar
en cenar
2(14)
Deben tener la
ñ
misma cantidad
b_2(3k)
c
A
Gasto en
3(14)
E
Lo que la
queda es 5/42
3(3k)
Observe que lo que no gastó en el cine es ¡igual
Nos piden
a lo que gastó en cenar más lo que no gastó en
l4c=x-a
cenar.
Reemplazamos
7k=28+42
14(9k)=x/14k)
k=10
9=x
Por lo tanto, se puede comprar 9 pantalones.
Por lo tanto, en el cine gastó 2k=5/.20.
_ CLAVE (A)
_ CLAVE (A)
NIVEL AVANZADO
PROBLEMA N.” 50
Milenko salió el fin de semana con S/N. Prime-
ro fue al cine donde la relación de lo que gastó y
PROBLEMA
N.? 51
no gastó fue de 2 a 7; luego fue a cenar y del di-
La razón
nero que le quedaba, la relación de lo que gastó
y no gastó fue de 2 a 3. Si luego de esto solo le
cuadrados es 180, se invierte al sumar 6 al me-
nor y restar 6 al mayor. Determine el producto
queda 5/.42, halle cuánto gastó en el cine.
de dichos números.
A) S/.20
A) 184
D) 256
D) 5/.12
B)
$/.15
C)
$/,18
E)
5/.40
de dos números,
B) 198
cuya
diferencia
de
C) 216
E) 300
47
LUMBRERAS
EDITORES
Resolución
Resolución
Sean a y b los números.
Nota
Dato:
La razón armónica es la comparación de las
o*-b?*=180 (el menor es b)
inversas de dos cantidades mediante la sustracción.
Además
Si las cantidades son y y b, su razón armónica
a-6_b
será
la.
b+6 a
=-==h
o
b
a*-60=b*+6b
ga: antecedente
a?—b?*=6(a+b)
hb: consecuente
(o—b](a+b)=6(a+b)
a—=b=6
L
(1)
h: valor de la razón armónica
Sean a y b los números; siendo a>b, de los datos tenernos
Del primer dato
a*-b?*=180
*
a-b=3
(1)
bxa=40
(11)
(a—b)(a+b)=1830
6(a+b)=180
a+b=30
111)
De (1)y (1)
o=18
=>
b=12
oxb=216
_ciave(C)
De (1)
y (11)
a=8
=>
b=5
PROBLEMA N.? 52
Las razones aritmética y armónica de dos núme-
ros enteros positivos son 3 y 3/40, respectivamente. Halle la razón del doble del menor con
Luego
doble del menor —
mayor—=
el mayor de los números.
2b _2(5)_5
q
B
4
Por lo tanto, la razón del doble del menor con el
A)
2a3
D) 5a4
48
B)
4a3
C)
1a2
E)
3a2
mayor de los númerosesde5a4,
_Cuave (D)
RAZONES Y PROPORCIONES
PROBLEMA N.? 53
La razón de dos números es 3/5 y la razón armónica
del doble del menor con el triple del
mayor es 1/40. Halle la razón aritmética de los
números.
A)
10
B)
9
D) 6
Cc)
8
E)
12
A)
B)
Cc)
D)
E)
120
100
90
150
180
Resolución
Debemos tener en cuenta que sia un grupo de
Resolución
Sean a y b los números; donde a < b, por los
datos tenemos
a
3k
b
5k
111
personas se le incorpora o retira cierta cantidad
de parejas (un varón y una mujer), la diferencia
de
las cantidades debe ser la misma.
1
15k
40
5-2 1
30k 40
=>
Llegan
x parejas
¿parejas
e
2a 3b 40
1. 1
1
6k
Se retiran
k=4
inicio
queda
final
Varones
7(3k)
4(4k)
13(2k)
Mujeres
3(3k)
1(4k)
7(2k)
43K)
3(4k)
6(2k)
1
|
diferencia
de varones
En consecuencia
y mujeres |
]
Estas diferencias
b-0=2k=8
deben ser las mismas
Por lo tanto, la razón aritmética de los números
De donde
es 8,
x=21k-16k=5k
_ CLAVE (0)
PROBLEMA
N.? 54
Al comenzar una fiesta de promoción, la cantidad de varones y de mujeres estaba en la rela-
¿=26k-16k=10k
Pero
x+2=15k=150
k=10
ción de 7 a 3, pero luego de 2 horas se retiraron
x parejas, por lo que la relación fue de 4 a 1,
pero luego de una hora más llegó z parejas y la
nueva relación fue de 13 a 7. Six+*z=150, halle
la cantidad de asistentes al inicio.
Por lo tanto, la cantidad de asistentes
al inicio
es 12k=120.
|
_Cuave (A)
49
LUMBRERAS EDITORES
a
PROBLEMA N.? 55
Las capacidades de tres tanques cúbicos son proporcionales a 1, 27 y 125; se distribuye 2800 L de
agua en los tres tanques, de modo que todos tengan el mismo nivel. Determine la razón aritmética
de los volúmenes del mayor y del menor recipiente,
A) 600L
B) 19201
C) 830L
D) 2001
E) 9601
Resolución
Tenga en cuenta que si los tanques son cubos, la capacidad está dada por su volumen, cuyo cálculo
es la longitud de su arista elevada al cubo.
volumen=27k?
ledouak
volumen=1k?
volumen=125k?
_
lado=5k
lado=k
lr
k
k
volumen de agua=k*[
d
e
3k
volumen de agua
volumen de agua
(31) =9k*%
(Sk) =25k
Como el agua que se distribuyó fue 2800 L, tendremos
K' (+9 +25k"(=28000
twitter.com/calapenshko
k*(=80
>
25k 1-k=24k (=24(80)=1920
Por lo tanto, la razón aritmética de los volúmenes del mayor y del menor recipiente
es 1920 L,
AO
50
RAZONES Y PROPORCIONES
PROBLEMA
N.” 56
PROBLEMA N.? 57
En la librería Ortiz por cada 3 cuadernos que
Susana gana en 2 días lo que Nelly gana en 3
venden regalan 2 lapiceros, y por cada 2 libros
días; Pilar gana en 5 días lo que Rosmery gana
que venden regalan 5
tre el número de libros
es de l a4 y en total
¿cuántos libros vendió
en 3 días; y lo que ganan Susana en 4 días, Pi-
A]
24
D)
830
Bj
lapiceros. 5i la razón eny de cuadernos vendidos
regalaron 124 lapiceros,
esa librería?
40
C)
36
E)
16
lar lo gana
en 5 días. Si lo que ganan
Nelly y
Rosmery juntas en 2 días excede en S/, 66 a lo
que ganan Susana y Pilar en un día, halle cuánto
gana Rosmery en 4 días.
A)
5/.120
Dj
5/.40
B)
S/.160
C)
5/.80
E)
5/,88
Resolución
De los datos tenemos
N.? de cuadernos vendidos _ 3m
Resolución
N.*de lapicerosregalados
Sean
N.* delibros vendidos
N.* de lapicerosregalados
N.*? delibros vendidos
2m
N: lo que gana Nelly en un día
5n
4
R: lo que gana Rosmery en un día
3m
*x_n
Bk
P: lo que gana Pilar en un día
_1_2n
N.* de cuadernos vendidos
—»Y
$: lo que gana Susana en un día
_2n
Donde
m
Además sabemos que el total de lapiceros regalados es 124
2¿m+5n=124
2(8k)+5/34)=124
*
25=3MN
=>
5
N
3x5k
2x5k
Deben ser
iguales
+
SP=3R >
S
4S=3pP
k=4
ÓN
MN:
A
5_5x3k
P
o
|
Deben ser
iguales
4x3k
Por lo tanto, la librería Ortiz vendió
Además
2n=2(3k)=24 libros.
SS
| Observación
5i bien el número
lapiceros regalados apare-
cen en ambas relaciones, no podemos homo-
2(N+R)-(S+P)=66
2(10k+20k)-(15k+12k)=66
k=2
geneizar estas porque se trata de cantidades
| diferentes.
Por lo tanto, Rosmery gana 4/20k)=5/,160 en
AS
á dias.
_ CLAVE (A)
_Ciave (B)
51
LUMBRERAS
EDITORES
PROBLEMA
PROBLEMA
N.? 58
En una granja se observó que el número de pavos, gallinas y gansos están en la relación de 2,
3 y 5, respectivamente,
Luego
de cierto tiem-
N.? 59
Las edades de Elizabeth y Katherine se encuentran en la relación de 9 a 10. Si hace 6 años la relación de las edades de Elizabeth y de Cristian era
po se vendió tantas gallinas como gansos y se
compró tantos pavos como la mitad del total de
de 2 a 3 y dentro de 8 años las edades de Katheri-
aves que había al inicio, siendo la nueva rela-
la edad que tendrá Cristian dentro de 2 años.
ción de gallinas, pavos y gansos de 1, 7 y 3. Si la
cantidad inicial de animales estuvo comprendida entre 142 y 158, ¿cuántos gansos y gallinas
quedaron?
A)
22 años
D)
26 años
A) 60
DJ
B) 70
€) 80
90
E)
100
ne y Cristian estarán en la relación de 7 a 8, halle
B)
24 años
Resolución
Final
gallinas a=3k
gansos=5kK
Se vende la misma
compró 5kpavos
AA
Presente
2m
9
Futuro
T
payos=7m
Katherine
E3nmsos=3m
de
10
¿
ei
Cristian
total =10k
ira
4 e
2k+5k=7m
|
presea
3m
7n
E
po
Bn
a
|
|
Como se compraron 5k pavos, tendremos
i— MNecesitamos hallar
la edad de Cristian
De la tabla
k=m
y
¿am+6_9
Tn-8
Además
10
20m+60=63n-72
142 <10k<158
total de
ánimales
*
al inicio
14,2 <k<15,8
20m+132=63n
(1)
3m+14=8n
(11)
De (1)
y (11)
115
n=4
Por lo tanto, la cantidad de gallinas y de gansos
que quedaron es 4m=4k=60.
_ CLAVE (A)
52
30años
8. años
Pasado
Elizabeth
“entidad de gallinas ¿¿Jinas=1m
E
yde gansos, pero se
E)
De las edades de las tres personas tenemos
LAA
pavos=2k
20 años
Resolución
6años
Inicio
C)
y m=6
Por lo tanto, dentro de 2 años Cristian tendrá
(3m+6)+2=26 años.
51
_Cuave (D)
RAZONES Y PROPORCIONES
PROBLEMA
N.” 60
Entonces Teodora
y Francisca
Las edades de Teodora y de Josefina están en la
años, respectivamente.
relación de 4 a 3; la edad de Francisca y la que
Luego
tienen 24 y 15
tuvo Teodora hace 6 años son entre si como 5 es
(24 +x)=(15+ x)+=(15+x)
a 6; además, la edad que tendrá Francisca den-
tro de 9
Josefina
la edad
edad de
años será una vez más la edad que tuvo
hace 6 años. Dentro de cuántos años
de Teodora será media vez más que la
Francisca,
A)
2años
B)
D)
6 años
5años
C)
3 años
E)
8. años
AAN
—>
3
AN
x=3
Por lo tanto, dentro 3 años la edad de Teodora
será media vez más que la edad de Francisca.
_cuave(C)
Resolución
Planteamos
un
cuadro
con
las edades
de
las
personas.
6baños
Pasado
Teodora |
Josefina
Presente
6n
1
Francisca
S años
EA
4m
|
EC
|
5n
PROBLEMA N.” 61
Futuro
|
que 100 pero menor que 200, halle la cantidad
2
Donde
.«
En una fiesta la relación de varones y personas
que no bailan es de 5 a 7; además, la relación de
los varones que no bailaban y del total de mujeres era 2 a 3. Si el total de asistentes es mayor
de personas que están bailando.
A)
40
D)
44
B)
36
€)
38
Ej
60
6n+6=4m
3n+3=2m
(0)
Resolución
Graficamos un diagrama de Lewis Carroll.
+
im-6
5n+9
1
=-—
Varones 5n
2
6m-12=5n+9
5n=2m
6m=5n+21
(11)
m=6
y n=3
iguales 12. *
A
52m
;
.
|Bailan
em
2m
De (1)
y (11)
Mujeres 3m
'7n-=2m;
mi
Noballan?n
e
Es
a
sumar 3m
53
LUMBRERAS
EDITORES
7
Del diagrama
(5n—2m)+(7n—2m)=3m
12n=7m
»_
m
A)
42
Dj)
40
Bj)
65
Cc)
18
E)
45
Resolución
Tk
12k
Recuerde
h
En los problemas donde haya personas bai-
lando estas deben hacerlo en pareja, es decir, |
Además
la cantidad de varones ballando es igual a la
100< total < 200
100<5n+3m=<
de mujeres bailando,
200
100 < 5(7k)+3(12k) < 200
Varones (65)
114..<k<2,9
2 (único valor)
Mujeres
Fuman|
3m
LL
|
AAA
7AMAIA
Sn | 2m>,
IUUAAAAAI;
A
Bailan
¡IA
¿No bailan
Por lo tanto, la cantidad de personas que bailan
es 2(5n—2m)=22k=44,
Esta cantidad es la
mitad de las mujeres
que no bailan.
_ CLAVE (D)
Nos piden hallar 5n+2m.
Del gráfico se deduce
PROBLEMA N.* 62
*
3m+5n=55
(1)
A una fiesta asistieron 65 varones y m mujeres,
de los cuales en un determinado momento se
observó que la cantidad de varones que bailan
pero no fuman con las mujeres que bailan pero
sí fuman están en la relación de 3 a 2; y la relación de las mujeres que bailan pero no fuman
y de los varones que bailan y fuman es entre sí
Además
3aim+5Bn=¿m>+7n
m=2n
De (1) y (11) se concluye que
como 7 esa 5, Si la cantidad de varones que no
n=5 y m=10
bailan es 10 y esta es la mitad de las mujeres
5n+2¿m=45
que no bailan, halle la cantidad de personas que
bailan y fuman,
54
(11)
y
PROBLEMA
RAZONES Y PROPORCIONES
N.” 63
Dos clases de pisco (quebranta y acholado) están mezclados en tres recipientes. En el primero en la
razón de 2 a 1, en el segundo en la razón de 1 a 3 y en el tercero en la razón de 1 a 1. Luego se extrae
cierta cantidad de cada recipiente, tal que los volúmenes que se extrajeron del primero y del segundo
están en la relación de 2 a 3, mientras que la relación de lo que se extrajo del tercero y del segundo es
de 2 a 1.5Si con lo extraído se forma una nueva mezcla que contiene 284 L de pisco acholado, ¿cuántos litros se extrajo del segundo recipiente?
A) 721
B) 801
Cc) 1201
D) 1321
E) 1441
Resolución
Recuerde que si de una mezcla se extrae cierta cantidad, los ingredientes deben estar en la misma
relación que la mezcla inicial.
Tenemos
quebranta
acholado
|extrae Y
[extrae Va
Donde
Para que la relación de los
EPPEA
piscos sean enteros, esta
cantidad debe tener tercia ¡
V,_ 2x1x3x4k
5o0n
iguales
As
W,"
3x1x3x4k
V,
2x3x3x4k
> 1x3x3x4k
Entonces tenemos
quebranta
[E
(0)
acholado
[Aj
55
LUMBRERAS
EDITORES
Como se mezclan estos tres, la cantidad de pisco acholado será
8k+27k-+36k=284
=>
k=4
Por lo tanto, del segundo recipiente se extrajo
36k=144 L.
En conclusión siempre se va sacar 1/5 del total.
Si siempre se va a sacar 1/5 de la mezcla y se
va a completar con agua, el volumen total siempre será el mismo. Pero los volúmenes de vino
y de agua siempre estarán cambiando en cada
extracción.
inicio
_ CLAVE (E)
PROBLEMA
N.”? 64
luego de 4
AA
3
De un recipiente que está completamente lleno
de vino se extrae 1/4 de lo que no se extrae y se
extracciones
completa con agua; luego de la mezcla resultante se extrae otra vez 1/4 de lo que no se extrae
y se completa con agua. 5i este procedimiento
pe
se realiza cuatro veces luego del cual la razón
v)))= 28
la 4 4 A ty)
de vino
625%
aritmética de los volúmenes de vino y de agua
es de 452 mL, ¿cuál es el volumen de vino que
se tenía inicialmente?
volumen final del 28
256
A) 3L
D) 6,251
369V A
e
B) 2,51
de agua
C) SL
E)
3,4L
369
625
256Y
a
625
SN
V=2500 ml =2,5 L
Resolución
_ CLAVE
Nota
5i de una mezcla se extrae la mn parte, entonces
de cada ingrediente también sale la món parte.
Ejemplo
vino
gaseosa
PROBLEMA
|
|
Sica extrae 1/5 de la mezcla,
entonces sale 1/5 de cada
ingrediente y quedará 4/5
de cada ingrediente.
extrae== no extrae
noéxtrae
extrae
1k
noextrae 4k
56
MN.” 65
De un recipiente lleno de vino se extrae n litros,
luego el recipiente se llena con agua. Ahora, de
esta mezcla se extrae n litros y nuevamente es
llenado con agua, tal que la relación entre la
cantidad de vino y la cantidad de agua sea de
9 a 16. Halle la relación entre la capacidad del
recipiente y la cantidad extraída.
Al
la5
D)
5a2
322.
B) 233
E)
2a5
RAZONES Y PROPORCIONES
Resolución
PROBLEMA N.? 66
Sea V el volumen del recipiente.
Para ser parte de la empresa ABC se tiene que
5
Entonces
A
se extrae n, lo cual viene a ser la —
. W=n
parte del volumen y quedará q
como esto
dar tres exámenes eliminatorios y solo será
aceptado aquel que apruebe los tres exámenes.
En el primer examen pasaron 5 de 8, luego en el
segundo examen pasaron 2 de 3 y en el último
examen
se realiza dos veces, tendremos
pasaron 1 de 3, Si 496 postulantes no
fueron aceptados, ¿cuántas personas si formarán parte de la empresa?
inicio
agua
luego de 2
E
d
extracciones
vino
A)
90
B)
DJ)
120
30
C)
45
Ej
80
Y
Resolución
Tenga en cuenta
pa
final
de vino
ANA
V
A
5i el texto menciona que pasaron 5 de 8,
V
se entenderá que de un grupo de 8 personas pasaron 5 y no pasaron 3.
Como al final la relación de vino y de agua es
de 9 a 16, quiere decir que el volumen total es
como 25, de donde
Como se tiene tres fases podemos ayudarnos
de un gráfico
SxX3X3k
3X3X3k
pasaron
no
pasaror
1. examen
2X5X3k
1X5x3k
pasaron
z
5
¡
Por lo tanto, la capacidad del recipiente y lo que
se extrajo están en la relación de 5a 2.
e
1x10k
pasaron
AR
a
deben ser las mismas
2.* examen
2 x10k
Deben
no pasaron
ser
iguales
a,
'
Estas cantidades
nó pasaron
ds
—
3." examen
57
LUMBRERAS
EDITORES
E
Entonces se concluye que
+
total de postulantes=5x3x3k+3x3x3k=72k
+
total de personas que forman parte de la empresa =10k
»*
total de personas que no fueron aceptadas=72k-10k=496
=>
k=8
Por lo tanto, el número de personas aceptadas es 10k=80,
_ CLAVE (E)
PROBLEMA
N.” 67
Al recorrer una distancia de 500 m, A le saca a B 100 m de ventaja; al recorrer una distancia de
1000 m, 8 le saca a € 200 m de ventaja. ¿Cuántos metros de ventaja le sacará A a Cen un recorrido
de 800 m?
A)
200
8)
300
C)
160
D) 288
E)
140
Resolución
Graficamos
1. comparación
Va _500_5x5k
e
400 m
Va
400 4x5k
100 m
Deben ser
iguales
2.2 comparación
*—=
E
E
Ve
A
300 m
-
200m
3. comparación
B00=e
58
Va _1000_ 5x4k
800
4x4k
o
o
RAZONES Y PROPORCIONES
La relación de velocidades
debe ser la misma que la
relación de sus distancias.
800__25
800-x 16
x= 288
Por lo tanto, A le sacará 288 m de ventaja a €.
_ CLAVE (D)
PROBLEMA N.? 68
Dos amigos, Alberto y Benito, parten de la ciudad M rumbo a N, mientras que en ese mismo instante
sale Carlos de N rumbo a M; sus velocidades están en la relación de 3, 5 y 4, respectivamente. Producido el primer encuentro, Alberto aumenta en un tercio su velocidad, Benito disminuye a la mitad su
velocidad y Carlos disminuye a la mitad su velocidad; por lo que en el momento en que se produjo
el segundo encuentro, a Benito le falta 114 m para llegar a su destino. Halle la distancia entre M y N.
A]
162 m
B)
720m
C)
628 m
D)
200 m
E)
324m
Resolución
Al ser las velocidades proporcionales a 3, 5 y 4, pero luego se va a necesitar que la segunda velocidad
tenga mitad, trabajaremos con la relación 6, 10 y 8.
Entonces tendremos
1. encuentro
LARA
GO
Mo
6(3k)
a
OA
ae
lA
AA
|
—;
o
N
|
8(3k)
4(3k)
E
EO
Y
Mi
SK) 4)
S(Kk)
114m
AX
Esta distancia debe
ser la misma
59
LUMBRERAS
EDITORES
Del gráfico 24k-5k=114
k=6
Por lo tanto, la distancia de Ma Nes 54k=324 m.
_Ctave (E)
PROBLEMA
N.? 69
Tres ciclistas (A, B y C) parten simultáneamente de las ciudades P y Q; el ciclista A en dirección de P
a Q, mientras que los otros dos ciclistas partieron de Q a P. Las velocidades están en la relación de
6, 5 y 13, respectivamente; además cuando se produce el segundo encuentro el más veloz ya habia
llegado a su destino 38 minutos antes. Si el primer encuentro se produjo a las 18 horas, ¿a qué hora
partieron?
A)
15:29
B)
15:31
O)
15:33
D)
15:35
Ej
15:37
Resolución
Graficamos
6
t=11k
1." encuentro
18:00 h
t=11k
¡AY
p
Bi
so:
r=8k-38
+
EEE
“—
(O
¡e
13
O
4
6(11k)
p
t=11k
a
8(11k)
t=Bk
S(11k)
t=Ek
=—
YO
6(8k) — 5(8k)
66k=13(8k-38)
k=13
Por lo tanto, la hora en que partieron es
18:00-11(13) min=15:37.
_Cuave (E)
60
RAZONES Y PROPORCIONES
PROBLEMA
N.* 70
asaltos
Una liebre perseguida por el galgo le lleva a este
175 saltos de ventaja; por cada
8 saltos que
á
si
A
hace el galgo, la liebre hace 9; pero los saltos
del galgo equivalen
175 saltos
a 2 de la liebre. ¿Cuántos
saltos había dado la liebre hasta el momento en
que es alcanzada por el galgo?
125
850
135
225
300
y
de la liebre
Donde
a_8k
b
A)
B)
C)
D)
E)
AR
9k
Además, como los saltos del galgo es el doble
de la liebre, entonces
o saltos del galgo=2a saltos de la liebre
En consecuencia
2a-b=175
2(8k)-(9k)=175
k=25
Resolución
b=9k=225
Realizamos un gráfico.
61
+
PROBLEMAS PROPUESTOS
La suma, la diferencia y el producto de dos
NIVEL BÁSICO
números están en la relación de 5, 1 y 24,
respectivamente, Halle en cuánto es excediLa edad de Mario excede a la edad de Roxa-
do el doble del menor por el triple del mayor.
na en 2 años, y la edad de Vilma es excedida
por la edad de Roxana en 6 años. Si Vilma
tiene 17 años, ¿cuál es la edad de Mario?
A) 24
D)
A) 18
D] 25
B)
12
C)
16
E)
22
B)
20
16
C)
12
EJ
8
Antes de que empiece una asamblea había
690 personas, y por cada 8 varones habia
15 damas. Iniciada la asamblea llegaron 30
Si la relación de dos números es de 3 a 4 y
su producto es 768, halle la razón aritmét-
damas. Halle la nueva relación de los varones con respecto de las damas.
ca de dichos números.
A) 24/25
A) 16
Bj
12
C)
64
1/2
D) 8/45
C)
1/3
E)
7/16
UNMSM 2008-11
D) 24
EJ 8
En una granja en donde solo hay gallinas
y conejos, la relación entre las cantidades
de cabezas
y de patas es de 5 a 16. Si la
Las razones aritmética y geométrica de 4 y
cantidad de conejos excede a la cantidad
B (4 >B) son
de gallinas en 8, halle cuántos conejos hay
144 y 5/2, respectivamente;
además B es dos veces más que €, Halle €.
en la granja.
A)
15
D) 36
62
B)
B)
30
Cc)
32
A)
Ej
18
D) 20
26
B)
30
EC)
24
E)
18
RAZONES Y PROPORCIONES
Se sabe que 500 pobladores votaron dos ve-
ces por una moción sin abstenerse. En la
La relación de canicas que tienen Abel y
Beto es de 3 a 2, mientras que la relación
había 3 en contra, En la segunda votación
de canicas que tienen Beto y Carlos es de
3 a 5. ¿En qué relación se encuentran las
por cada 4 votos a favor hubo 1 en contra.
cantidades de canicas de Abel y de Carlos?
primera votación por cada 2 votos a favor
¿Cuál es la diferencia entre los votantes en
contra de la primera y los de la segunda vo-
tación?
A)
B)
C)
D)
E)
3a5
337
9a10
332
2a3
A)
220 pobladores
B)
200 pobladores
C)
250 pobladores
D)
260 pobladores
11. En una veterinaria, las cantidades de pe-
E)
270 pobladores
rros schnauzer y labrador son entre sí como
de 3 a5. Luego de vender 4 schnauzer y 6
UNMSM 1999
labradores, queda un total de 38 perros.
¿Cuántos perros schnauzer habia al inicio?
Se agrega 40 g de sal a 6 L de agua. ¿Cuántos litros de agua se deben agregar a dicha
mezcla para que por cada litro de la mezcla
haya 5 g de sal?
A) 1
D) 6
A)
18
D) 24
12
C) 30
E)
15
12, En una fiesta, los hombres y las mujeres
B)
4
cd 8
Ej
asistentes están en la relación de 3 a 1.
2
En una competencia automovilística, un copiloto observa que el número de personas
participantes es al número de autos como
23312. Luego de cierto tiempo se retiran n
Después de transcurridas 6 h se retiran 20
parejas y ocurre que la nueva relación de
hombres y de mujeres es de 5 a 1. Entonces
el número original de asistentes a la fiesta
fue de
el número de pilotos es al número de autos
A) 160.
B) 180.
como 9 es a 10. Halle n.
C)
autos, y un piloto participante observa que
A)2
D)6
Bj
B) 3
C) 4
E)7
200.
D) 220.
E) 240.
UNI 2000441
63
LUMBRERAS
EDITORES
13, Héctor fue a un centro comercial y se dio
1.
Las edades actuales de Carlos, Eduardo y
Roció están en la relación de 4, 7 y 5. Hace
cuenta que el costo de un televisor es al de
una cocina como de 71 esa 5, mientras que
10 años estaban en la relación de 3, 9 y 5.
al comparar el precio de esa cocina y el de
Halle la razón aritmética de las edades de
un equipo de sonido la relación era de 3 a
Carlos y Eduardo dentro de 8 años.
2. 5i para poder comprar los tres artefactos
necesita 5/.2760, ¿en cuánto excede el pre-
A) 6
D) 14
cio del televisor al equipo de sonido?
A) 5/.350
D) S/.580
B)
5/.300
C)
B) 8
Cc) 10
E)
12
S/.640
Las edades de Vilma y Patricia están en la
E) S/.660
relación de 5 a 7, respectivamente,
y hace
m años estaban en la relación de 2 a 3. Si
14,
Manuel va de compras llevando cierta cantidad de dinero. ¿Cuál es esta cantidad si
por cada 7 soles que gastó ahorró 5 soles y
gastó 800 soles más de lo que ahorró?
A) 5200
D) 3800
B) 4800
C) 4200
E) 3200
UNMSM
dentro de 17 años sus edades sumarán
70,
halle m.
A)6
D) 3
13.
2005-11
B) 8
Cc) 9
E)
En un recipiente
12
se ha mezclado 40L de
agua con 80L de vino, Cristina saca de
esta mezcla 36L y lo reemplaza con agua.
¿Cuánto habrá ahora de agua en el reci-
15. La señora Vilma tuvo su primer hijo a los
piente?
24 años, y en el año 2010 sus edades eran
como 5 es a 3. ¿En qué año nació su primer
hijo?
A) 1980
D) 1974
1987
Cc)
1976
E)
1983
20.
B)
28L
C)
32L
E)
76L
De un recipiente que contiene gaseosa y
vino se extraen 40 L por lo que en el reci-
Las edades de Kelly y Juana están en la relación de 3 a 1, pero dentro de 2 años sus
edades serán como 5 es a 2. Cuando Juana
nació, ¿cuál era la edad de Kelly?
piente quedan 54 L de gaseosa y 36L de
vino. Halle la razón aritmética de los volú-
A)
6 años
D) 4años
64
B)
A) 64L
D) 601
B)
l2años
menes
de vino y de gaseosa
que había
inicio.
C)
3años
A)
13L
E]
15 años
D)
26L
B)
18L
Cc) 16L:
E) 391
al
RAZONES Y PROPORCIONES
21. De un recipiente que contiene 30 L de agua
A)
9a2
y 60 L de alcohol se extraen 24 L, ¿Cuántos
D)
2a3
litros de agua se deben
las cantidades de agua y de alcohol sea in-
22,
C)
5a4
E)
8a17
25. En una reunión, las cantidades de varones
y de mujeres están en la relación de 2 a 7;
versa a la relación inicial?
B) 66
7a2
agregar a lo que
queda de la mezcla para que la relación de
A) 22
D) 24
B)
pero luego de que llegan 51 parejas, la nueva relación es de 5 a 9. ¿Cuántas parejas
deben llegar después de esto para que la
nueva relación sea de 5 a 7?
C) 48
E)
88
De una mezcla que contiene 30 L de alcohol
A)
50
y 20L de agua se extraen 15 L y se reem-
D)
70
B)
60
C)
75
E) 55
plazan con alcohol. ¿Cuántos litros de agua
se deberán echar a esta nueva mezcla para
26.
que la razón entre alcohol! y agua sea 3/4.
En una reunión se observa que el número
de personas solteras es al número de per-
A) 20
D) 34
sonas casadas como 3 es a 2; el número de
varones y el número de mujeres es como 2
es a 1. Si la cantidad de varones excede al
total de personas solteras en 20, ¿cuántos
B)
60
C)
30
E)
10
personas asistieron en total?
23.
En el cumpleaños de Mijaíl se observa que
las cantidades de varones y de mujeres es-
tán en la relación de 4 a 3, y por cada 5 mujeres que bailan hay 3 varones que no lo ha-
A) 240
D) 180
6)
120
C)
300
E)
250
cen. 5i 9 son los varones que no bailan, halle
la cantidad de asistentes al cumpleaños.
21. Jaime y Máximo están distanciados 800 m y
parten hacia su encuentro, Si producido el
A) 84
D) 91
24,
B) 42
C) 76
E)
70
encuentro lo que recorrió Máximo excede
a lo que recorrió Jaime en 200 m, halle la
relación de sus velocidades.
En una reunión se observa que los hombres
A)
8a1
y las mujeres están en la relación de 3 a 5;
B)
5a3
ca
71
DJ
332
El
1a3
los que bailaban y los que no bailan están
en la relación de 2 a 3. ¿En que relación están los hombres que bailan y las mujeres
que no bailan?
65
LUMBRERAS EDITORES
28,
Rubén y Samuel parten de la ciudad M rumbo a N, mientras que Ulises parte de Na
NIVEL INTERMEDIO
M, simultáneamente, con velocidades que
están en la relación de 5, 3 y 2, respectivamente.
Si la distancia
que
31. Se sabe que A-B y B-C están en relación
de la5, y Ces siete veces A; además su-
existe desde el
mando
punto donde sucedió el primer encuentro
es de 240 m, halle la distancia
A)
B)
C)
D)
E)
entre My N.
A) 2000 m
B) 2300m
C)
2600m
D)
1800 m
100. ¿Cuánto
es (CA)?
hasta el punto donde sucedió el segundo
encuentro
A, 8 y € obtenemos
E) 2100m
32.
3600
2500
3025
2304
3364
Al comenzar una fiesta se observó que por
cada 3 varones había 2 mujeres, trascurrido
29.
2 horas
Las velocidades de dos móviles (4 y B) es-
de mujeres fue de 4 a 3. Determine cuántas
veloz llegó al punto de partida del más len-
personas habla al comenzar la fiesta.
to, a este le falta 240 m para llegar al punto
donde partió el más veloz. Calcule la dife-
A) 120
D) 96
rencia de las distancias recorridas por ammóviles hasta el momento
en que
26 varones y 24 mujeres
con lo que la nueva relación de varones y
tán en la relación de 7 a 5. Cuando el más
bos
llegaron
se
8)
86
Cj
90
Ej 84
produjo el encuentro.
33.
A)
220m
D)
140 m
B)
240m
Una competencia
se inició con
de personas
C)
70m
minada
cantidad
Ej)
120m
bres y mujeres.
una deterentre
hom-
Luego, 8 mujeres salieron
de la competencia,
quedando
2 hombres
por cada mujer. Finalmente se retiraron 20
Sia y b son enteros mayores que 100, tal
que a+b=300, ¿cuál de las siguientes alter-
hombres y quedaron 3 mujeres por cada
hombre. ¿Con cuántas personas se inició la
nativas es la razón exacta de a/b?
competencia?
A)
5/3
A) 40
E) 3/2
D) 48
9/1
D) 4/1
8)
5/2
C)
UNI 2005-11
66
B) 44
C) 50
E) 52.
UNMSM
2007-1
RAZONES Y PROPORCIONES
34,
de
A]
80L
vino y de gaseosa en la relación de 2 a 3,
D)
72L
En un
recipiente
se
ene
una
mezcla
B)
120L
C)
90L
E) 1001
respectivamente, mientras que en otro re-
cipiente se tiene también una mezcla de
vino y agua en la relación de 3 a 1, respec-
37. Las edades de Roberto, Diana y Marcos es-
tivamente. 5 ambos recipientes contienen
tán en la relación de 5, 7 y 2, respectiva-
la misma
cantidad de líquido, ¿en qué re-
mente. Si hace 3 años la razón aritmética
lación se encontrarían el vino y la gaseosa,
si los contenidos de ambos recipientes se
de las edades de los dos mayores fue de 8
años, calcule cuántos años deben trascurrir
juntaran?
para que las edades de los dos menores estén en la relación de 7 a 10.
35.
A)
23317
D)
23314
B)
5a4
C)
7a3
E)
17312
A) 7
D)8
B) 20
Cd) 6
EJ 4
En la biblioteca de la academia se observa
que las cantidades de libros de Aritmética
38. Se mezclan 30 L de vino con 50 L de gaseo-
y de Álgebra están en la relación de 6 a 7;
los de Aritmética y de Geometría están en
la relación de 4 a 5; además, la razón arit-
sa. Luego se extraen 24 L de dicha mezcla
y se reemplazan por vino, luego se extraen
mética de la cantidad de libros de Álgebra
por gaseosa. Calcule la razón aritmética de
y de Geometría es 24, ¿Cuántos libros de
Aritmética se deben comprar adicional-
las cantidades de vino y de gaseosa que hay
al final.
32 L de la nueva
mezcla y se reemplazan
mente para que las cantidades de libros de
Aritmética y de Álgebra estén en la relación
de7a6?
A) 11
D) 104
B) 109
A) 23L
D) 16L
B)
24L
C)
15L
E) 261
C) 98
E) 100
39. Tres recipientes (4, B y C) contienen 20L
de agua cada uno, además 60, 30 y 40 L de
36.
vino, respectivamente.
Se tienen tres recipientes cuyos contenidos
están en la relación de 9, 6 y 10; pero si se
pasan o litros del primero al segundo y luego b litros del tercero al segundo, la nueva
relación es de 4, 6 y 5, respectivamente.
Calcule el volumen final del segundo recipiente, si a—b=8.
Si de 4 se vierten
m litros a B y de C se vierten 2¿m litros a B,
- por lo que la relación de vino y de agua en
el recipiente B es de 65 a 32, halle m.
A) 24
D) 96
B) 48
C) 36
E) 12
67
LUMBRERAS
40.
EDITORES
En una reunión, el número de extranjeros
es al número de peruanos como 2. es a 7,
bailan es al número de varones como 7 esa
respectivamente, Si entre los peruanos hay
dicha fiesta. Considere que el total es 180.
varones,
mujeres y niños que
8, halle el número de varones que asisten a
están en la
relación entre sí como 8, 4 y 3, halle la relación en la que se encuentra el número de
extranjeros con respecto a la diferencia que
existe entre el número de mujeres peruanas y niños peruanos.
A]
3438
Dj)
3238
B)
31a7
C)]
33a7
E)
3037
A)
65
D)
94
B)
70
C)
80
E) 115
Katty contó en su granja 30 gallinas y 20
conejos. Si este mes nacieron una misma
cantidad de gallinas y conejos, entonces
ahora se observa que la relación de patas y
de ojos es de 20 a 7. ¿Cuántos animales hay
ahora en el corral?
41.
En un salón hay m varones y n mujeres,
pero al incorporarse 15 varones y 5 mujeres, la relación de varones y mujeres es de 3
a 1. Determine el número de personas que
hay en el salón, si ahora la diferencia es 58.
A) 50
D) 80
8) 40
Cc) 60
Ej
70
Jorge quiere comprar 6 lapiceros negros por
A)
165
D)
90
B) 120
cada 5 lapiceros rojos, y 9 lapiceros negros
Cc) 116
E)
por cada d lapiceros azules. Si el bazar tiene
96
240 lapiceros negros,
150 lapiceros azules
y 170 lapiceros rojos, ¿cuál es la cantidad
42,
En el matrimonio de Sandra, las cantidades
máxima de lapiceros negros, azules y rojos
de varones y de mujeres asistentes son en-
que puede comprar?
tre sí como 4 es a 5, y en un determinado
A) 533
D) 369
instante se vio que por cada 7 varones que
bailaban había 3 mujeres que no lo hacian.
B)
451
C)
738
E) 574
5ien ese instante 120 personas no bailan,
halle cuántas personas concurrieron al matrimonio.
46.
Dos
autos
parten
A) 540
D) 320
separados
hacia
su
Durante
750
C)
480
E)
520
un momento
en una fiesta, el nú-
mero de varones que no bailan es al número de personas que están bailando como
5 esa 6. Si el número de mujeres que no
68
encuentro
cierta
distancia
con
velocida-
des de 80 km/h y 32 km/h. Si cuando están
8)
separados 42 km, por segunda vez, al de
menor velocidad le falta 108 km para llegar
al punto donde
43.
por
partió el otro, ¿cuál era la
separación inicial entre los autos?
A) 135 km
D) 100 km
B) 210km-
€)
175 km
E) 168 km
RAZONES Y PROPORCIONES
47. En una carrera de 400 m, Armando le gana
que en una
en 3 días. Pedro gana en 3 dias lo que Luis
carrera de 500 m, Bruno le gana a Diego
gana en 2 días. Si lo que gana Pedro en 5
por 100 m. Si se da una carrera de 600 m
días Jorge lo gana en 2 dias, ¿quién ganó
entre Armando y Diego, ¿quién ganará y
más y menos, respectivamente, en una se-
por cuánto?
mana de trabajo?
A)
Diego; 240 m
A)
Pedro y Andrés
B)
Armando; 360 m
B)
Jorge y Pedro
C)
Armando; 120 m
C)] Jorge y Andrés
Dj)
Diego; 360 m
D)
Luís y Andrés
E) Armando; 240m
E)
Luis y Pedro
a Bruno por 100 m; mientras
48.
Jorge gana en un día lo que Andrés gana
El sueldo de cierto
profesor más
lo que
NIVEL AVANZADO
gasta (mensualmente) suman 2000 soles;
dichas cantidades están en la relación de
mante-
51. Tenemos dos números impares consecuti-
niendo los gastos para que dicha relación
vos; al menor se le suma 60 y al mayor se
suba a 4/5, se debería aumentar su sueldo
le suma 40, entonces la relación será de 9 a
mensual
en
7. ¿Cuánto hay que sumarle al menor para
2 a 3, respectivamente.
Entonces
que sea tres veces el mayor?
A) S/.100.
D) S/.160.
49,
B)
5/.120.
C)
S/.140.
A) 48
D) 3
E) S/.180.
B) 21
Cc) 42
E)
420
En una reunión asisten 300 personas para
elegir entre dos candidatos (A y 8). Al inicio,
al preguntar por quién votarían la razón de
los votos de A y 8 era 3/2; desarrollada la
52.
La razón aritmética
de dos números
ros positivos es 4 y su razón
ente-
armónica
es
1/24. Halle la razón de los números.
votación, la razón se invierte. Si los votantes por B no cambiaron
por A, ¿cuál es el
número de votantes que cambiaron
tación?
su vo-
A]
2a3
B)
da3
C) 1a2
A) 100
D) 80
8)
120
Cc)
60
D) 3a5
E)
40
E)
3al
69
LUMBRERAS
53,
EDITORES
Las edades
de Ayda,
Carmela
y Daniela
56.
De las edades de tres personas se sabe que
son tres números enteros que forman una
suman 45 años; además las edades que ten-
progresión aritmética creciente en ese or-
drán dentro de 9 años los mayores estarán
den. 5 hace 3 años las edades de Ayda y
en la relación de 5 a 4, y las edades de los
de Carmela estaban en la relación de 21 a
dos menores hace 6 años era de 1 a 3. Ha-
27 y dentro de 6 años las edades de Ayda y
lle cuántos años tendrá el mayor dentro de
de Daniela estarán en la relación de 5 a 7,
daños.
halle la diferencia de las edades de Daniela
y de Ayda.
A) 8
D) 4
B) 10
A)
21
Dj
27
En
una
B)
25
Cc)
29
E)
30
Cc) 6
EJ:5
57.
reunión
se sabe
que
la cantidad
de varones excede a la de mujeres en 8. Si
Las edades de tres personas están en la
hay 12 mujeres bailando y entre los que no
relación de p, q y 5, respectivamente; ade-
bailan
más, la suma de las edades de las dos pri-
¿cuántos varones asistieron a la reunión?
hay 3 varones por cada
2 mujeres,
meras es igual a la de la tercera. Dentro de
6 años sus edades estarán en la relación de
A)
4, a y b, y dentro de 10 años más sus eda-
D) 36
24
B) 40
C) 32
E)
28
des sumarán 78. Calcule p-q:a:b
Aj
200
B) 210
58.
Cc) 140
de mujeres
E) 160
Dj) 240
En un concierto se observa que la cantidad
es tres veces más
que
la can-
tidad de varones que están sentados; las
cantidades de varones parados y de muje-
55.
Las edades de Aurora y de Ely están en la
relación de 7 a 3, respectivamente;
pero
hace m años la edad de Aurora era dos ve-
ces más la edad que tenia Ely, y dentro de
n años la edad de Ely y la de Aurora estarán
en la relación de 5a 8. Sim+n=28, ¿dentro
de cuántos años sus edades estarán en la
relación de 25 a 137
AJ6
D) 16
70
B) 8
Cc) 9
E) 15
res sentadas están en la relación de 3 a 2;
las cantidades de personas paradas y sentadas están en la relación de 7 a 5. Halle la
cantidad de asistentes al concierto, si esta
es mayor que 1200 pero menor que 1300.
Aj
B)
Cc)
D)
E)
1224
1260
1250
1240
1236
RAZONES Y PROPORCIONES
59,
Las capacidades de dos recipientes están
A)
en la relación de 3 a 5, El primero está lleno
D) 300L
250L
B)
180L
C) 210L
E)
200 L
hasta la cuarta parte de su capacidad con
una mezcla de vino y de agua en la relación
de 5 a 3, y el segundo está lleno solo la tercera parte de su capacidad con una mezcla
de agua y de vino en la relación de 4 a 3,
Halle en qué relación se encuentran el volumen de vino del segundo recipiente y el
volumen que no está lleno del primero.
62, De un recipiente que está completamente
lleno de alcohol! se extrae 2/7 de lo que no
se extrae
y se completa
con
agua;
luego
de la mezcla resultante se extrae otra vez
2/7 de lo que no se extrae y se completa
con agua. Si este procedimiento se realiza
un total de tres veces, ¿cuál es la razón de
A) 1
D) 5/14
los volúmenes de agua y de alcohol que se
B)
3/7
C)
20/63
E)
5/17
tiene al final?
E
2
50.
7
En un corral en donde se cría solo gallinas
y cuyes se observa que la cantidad de patas
de todos los cuyes y la cantidad de alas de
729
o E343
343
y 33729
todas las gallinas se encuentran en la relación de man,
encuentran
Halle en qué relación se
63, A una sala de cine asistieron un total de 222
las cantidades de gallinas y de
personas, de las cuales se observó que por
cuyes que hay en el corral,
cada 5 varones adultos que ingresaban 3
lo hacian con un niño y por cada 3 mujeres
A)
E
2
n
B)
y
án
adultas que ingresaban
niño; además,
2 lo hacian con un
la relación de varones y de
mujeres adultos fue de 1 a 2. Si el costo de
una entrada de adulto es S/.10 y la de un
m
niño es $/.6, ¿cuál fue la recaudación de
esa sala?
D)
61.
2
Ep
n
LE
¿m
De un recipiente lleno de vino se extrae 2/3
de lo que no se extrae. Luego de lo extraido
se devuelve los 3/2 de lo que no se devuelve, con lo cual queda 168 L en el recipiente.
Halle la capacidad del recipiente.
A)
8)
C)
D)
E)
S/.1836
S/.1932
S/.2052
$/.2012
S/.1872
71
LUMBRERAS EDITORES
64.
El profesor Dany tomó
un examen
alumnos, del cual aprueban
que salieron desaprobados
examen
y ahora
a sus
A)
Ena; 1 minuto
3 de 5. A los
B)
Rocio; 1 minuto
C)
Terminan iguales.
les tomó
los que aprueban
otro
son 2
de 7. Si luego de esos dos exámenes
D) Ena; 10 minutos
los
E)
que aprobaron son 150 alumnos, ¿cuántos
Rocio; 10 minutos
desaprobaron?
67,
A) 120
D) 40
65.
B)
80
C)
60
E)
48
Dos
nadadores
acuerdan
partir
simultá-
neamente de los extremos de una piscina;
al llegar al otro extremo
inmediatamente,
cada uno regresa
repitiéndose
esto hasta
Salomón avanza en 4 pasos lo que Érick en
encontrarse tres veces y en este instante
el más veloz está a 260 m del extremo de
3; Rónald avanza en 3 pasos lo que Fran-
donde partió inicialmente. Halle la longitud
co en 2, y Érick avanza en 2 pasos lo que
del recorrido total del menos veloz sabien-
Franco en 3. Si la longitud que recorre Érick
do que las velocidades están en la relación
en 8 pasos excede en 336 cm a la longitud
de7a9.
que recorre Franco en cinco pasos, halle en
cuánto excede la longitud que recorre Salomón en 3 pasos a la longitud de Rónald en
A)
B)
C)
D)
E)
2 pasos.
A)
98 cm
B)
60 cm
C)
72 cm
D)
96 cm
Ej)
84 cm
6B.
Érick y Wálter parten de las ciudades Chincha y Cañete separadas O km con velocida-
des que son entre si como mesa n, respectivamente. Si cuando uno llega a la ciudad
Ena resuelve 3 problemas de RM en 7 minutos y 2 problemas
700 m
560 m
280m
980 m
840m
de RV en 5 minutos.
Rocio resuelve 2 problemas de RM en 5 mi-
del otro inmediatamente regresan a 5u ciudad de origen, hasta el segundo encuentro
cuál será la distancia recorrida por Érick.
nutos y 3 problemas de RV en 7 minutos.
En un examen que consta de 18 problemas
A) 2D
e
de RM y 12 problemas de RV, ¿quién terminará primero el examen y la otra luego de
cuánto tiempo terminará su examen?
72
PA
men
D)
2D0(m>+n)
m
mn
E)
D
RAZONES Y PROPORCIONES
69.
Una competencia consta de dos tramos. Los
70.
Un león persigue a un venado que le lleva
participantes 4 y B parten con velocidades
90 saltos de ventaja y da 4 saltos, mientras
en la relación de 5 a 4; en el primer tramo
que el venado da 5. Como 7 saltos del ve-
A obtuvo una ventaja de 140 m, y para el se-
nado equivalen a 5 del león, se desea saber
gundo tramo las velocidades están en la relación de 5 a 7, respectivamente. Si el segundo
cuántos saltos tendrá que dar el león para
alcanzar al venado.
tramo es un medio más largo que el primero
y ambos
competidores
llegaron juntos a la
meta, calcule la máxima distancia de sepa-
ración entre A y B durante la competencia.
A) 175m
D) 190m
B) 180m
C) 200m
E)
150 m
A)
B)
C)
D)
E)
150
450
175
125
600
twitter.com/calapenshko
73
PROPORCIÓN
(al DEFINICIÓN
a
La proporción es una igualdad numérica entre dos razones de la misma clase.
(| CLASES DE PROPORCIÓN
PROPORCIÓN ARITMÉTICA
Una proporción aritmética es la igualdad de dos razones aritméticas que tienen el mismo valor.
a-b=c-d
|
Donde
*
aya: términos extremos
*
byc:términos medios
*
e
yc
antecedentes
byd: consecuentes
Dependiendo de los términos medios, una proporción aritmética puede ser discreta o continua.
DISCRETA
CONTINUA
Es aquella cuyos términos me- , Es aquella cuyos términos medios son diferentes.
dios son iguales.
o-b=b=c
a=b=c-d
b: media diferencial de o y €
.
d: cuarta diferencial de a, by e
ar
74
ERA E
c: tercera diferencial de a y b
e.
RAZONES Y PROPORCIONES
Nota
En toda proporción aritmética, la suma de los extremos es igual a la
suma de los medios. Entonces si tenemos la proporción a-b=c-d,
se cumplirá que a+d=c+*b,
APLICACIÓN 1
De una proporción aritmética se sabe que los términos extremos están en la relación de 5 a 6, y la
suma de sus cuatro términos es 88. Halle la cuarta diferencial de dicha proporción.
Resolución
Sea la proporción aritmética a-b=c-d
—
a+d=b+c
Donde
y a+b+c+d=88
_-
o+d
=>
2(0+d)=88
(a+d)=44
11k=44
—=
k=4
Por lo tanto, la cuarta diferencial es d=24,
APLICACIÓN 2
En una proporción aritmética continua, los antecedentes están en la relación de 15 a 8 y el último
término es 4. Determine el primer antecedente,
Resolución
Como la proporción aritmética es continua, tendremos
o-b=b-c
toi
Están en la rela-
ción de 15238
15
LUMBRERAS EDITORES
Entonces
15k=8k=8k-4
k=4
Por lo tanto, el primer antecedente es a=15k=60,
PROPORCIÓN GEOMÉTRICA
Una proporción geométrica es la igualdad de dos razones geométricas que tienen el mismo valor.
Donde
*
ayd: términos extremos
*
bye: términos medios
*
gyc antecedentes
*
byd: consecuentes
Dependiendo de los términos medios, una proporción geométrica puede ser discreta o continua.
PP
PP
1
o
—_—
PP
e
e a
DISCRETA
CONTINUA
Es aquella cuyos términos medios son diferentes.
Es aquella cuyos términos medios son iguales.
a
bd
e
a_b
boe
d: cuarta proporcional de a, b y €
b: media proporcional de a y €
c: tercera proporcional de a y b
e
Nota
En toda proporción geométrica, el producto de los extremos es igual al pro,
;
a
ducto de los medios. Entonces si tenemos la proporción
que
a: d=b-c
76
q
€
e
» = 7 se cumplirá
1
E
A
o
RAZONES Y PROPORCIONES
APLICACIÓN 3
En una proporción geométrica, el producto de los términos medios es 42 y la suma de sus términos
extremos es 13. Halle la diferencia de los términos extremos.
Resolución
Sea la proporción q
e
bxc=42
e
a+d=13
- = k; donde se cumple que
=> axd=42
(1)
(11)
De (1) y (1) tenemos
axd=42
o+d=13
VA
IN!
6
7
Bb
7
Por lo tanto, la diferencia de los términos extremos es 1.
APLICACIÓN 4
Si A es la media proporcional de 9 y 36, y 8 es la cuarta proporcional de 12, 15 y 36, halle la razón
aritmética de A y B.
Resolución
Al ser A la media proporcional de 9 y 36, tendremos
9.4
A 36
324=A*
>
18=A
Al ser 8 la cuarta proporcional de 12, 15 y 36, tendremos
12_36
15
8
12(8)=36(15)
>
B=45
Por lo tanto, la razón aritmética de A y Bes B-A=27.
77
LUMBRERAS EDITORES
Observación
Podemos expresar una proporción geométrica continua en fun-
ción del último término y la constante de proporcionalidad.
6
bh
Si ====k,
b
€
2
.
cock
esto es lo mismo que —=—=k,
ek
€
APLICACIÓN 5
En una proporción geométrica continua de constante de proporcionalidad entera, la suma de sus
términos es 75. Calcule la tercera proporcional.
Resolución
Planteamos la proporción continua de la siguiente manera:
mk?
T—
mk
mk
z= —=k
m
—entero
Donde
mk? +mk+mk+m=75
Descomponemos al 75 de tal manera
mik?+2k+1)=75
que
se forme
un
cuadrado
perfecto.
mik=+ 1)=3x 5?
Por comparación
m=3
y k=4
Por lo tanto, la tercera proporcional es m=3,
(Cs PROPIEDADES DE LA PROPORCIÓN GEOMÉTRICA
Si con los términos de una de las razones de una proporción se realizan operaciones de adición o de
sustracción para mantener la igualdad de razones, estas mismas operaciones se deben realizar a la
otra razón,
E:
Loa
Sea la proporción 5 = á = k; entonces se cumplirá que
-
78
a
e_Kk
a+b
c+d
k+1
W
940
b
CA
a
RAZONES Y PROPORCIONES
b.
E
o=b
.
E
k
3
c-d
k-1
b
o+b_c+d_k+1
"
a=b
c-d
A
y
k-1
AN
d
%b_c-d_Kk-1
a+b
c+d
k+1
APLICACIÓN 6
l
a+3
b+5
Si se cumple que PES = ha
y a+bes 24, halle el valor de a.
Resolución
A
a+3
b+5
De la proporción inicial 4-3 = 5
da-=
(a+3)+(0-3) _ (b+5)+(b-5)
la+3)-(a-3)
.
:
aplicando la propiedad tenemos
a
ll
(b+5)-(b-5)
ab,
3.5
Además
o+b=24
3k+5k=24
k=3
o=3k=5
APLICACIÓN7
En una proporción geométrica se cumple que la suma de los términos de cada una de las razones
son 30 y 25; además, la razón aritmética de sus antecedentes es 2, halle la suma de consecuentes.
Resolución
re
E
E
Sea la proporción b = má
*
a+b=30
*
c+d=25
+
a-c=2
Por dato tenemos
Aplicamos la propiedad a la proporción inicial
79
LUMBRERAS
EDITORES
k
ti
Pero o-c=2
2
Reemplazamos
a=6k=12
c=5k=10
b=30-0=18
d=25-c=15
Por lo tanto, la suma de consecuentes (b+0) es 33.
€
SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES (SRGE)
DEFINICIÓN
También conocida como igualdad de razones geométricas equivalentes. Es la expresión que se obtie-
ne al igualar dos o más razones geométricas que posean el mismo valor.
Donde
*
030); 03;...; a,: antecedentes
*
by; bj; by;..; b,: consecuentes
*
ki constante de proporcionalidad
Ejemplos
1.
.12
30
24
4
Si E =15 = 2 = e
7
¿, esta es una serie de cuatro razones geométricas equivalentes de cons-
tante de proporcionalidad entera.
2.
,24
18
8
2
.
AN
E
Y A
Si 36 = 3 = 5 = 3 esta es una serie de tres razones geométricas equivalentes
de constante de
proporcionalidad menor que uno.
380
>
3,
RAZONES Y PROPORCIONES
.10
35
40
:
DUES
:
Si En = 21 = 24 = 3 esta es una serie de tres razones geométricas equivalentes de constante de
proporcionalidad mayor que uno.
Nota
En toda serie de razones geométricas equivalentes, el antecedente es
igual al consecuente multiplicado por la constante de proporcionalidad;
es decir, si tenemos la SRGE
quea=b-k;c=d+k
ES Es =
f
=k,
entonces se debe cumplir
y e=f-k.
APLICACIÓN 8
6
3
=—=-,
b
4
Si pee = aro
c
20
halle el valor de e.
Resolución
De la SRGE
a+2_a+b_6 3
£
2
b
de
Al ser esta la constante, las de-
L más razones también están en
esta relación
.
+
a 5?
b
4
o+b
20
=>
—>
b=B
3
==
4
0+b=15
Como ya sabemos que b=8, entonces el valor de a=7.
a+2_3
€
d
Como ya sabemos que a=7, reemplazamos en la igualdad.
222
> c=2
Cc
Por lo tanto, el valor de c es 12.
81
LUMBRERAS
EDITORES
APLICACIÓN 9
a
bc
Si —=— =>—, además 0+b=42, halle c-a.
6
15
21
Resolución
De la SRGE
b
a =—-= ¿E
1
15
21
2
5
a
b
—i
7
ce
A
2
Antes de colocarle la
constante, simplificamos los consecuentes.
k
5
7
Además a+b=42
2k+5k=42
=>
k=6
c-o=5k=30
PROPIEDADES DE LA SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES
E
by
b,
A
by
A
a
Dada la siguiente SRGE:
ba
n=k
suma de antecedentes Ml
0 +03 +03+...+0)
suma de consecuentes
by +b,+b3+....+b,
Ejemplo
10_35_40_5
—= 3
6 21 24
82
entonces podemos concluir que
_—
se cumple que
k
RAZONES Y PROPORCIONES
10+35-40_5
64+21-24 3
10+35 35+40_40-10_5
6+21
21424
24-6
3
Dada la siguiente SRGE:
E
E
E
bb ob”,
se cumple que
producto de antecedentes _ pg"
producto de consecuentes
>
91:07"03""Op
b¡ :b,-b3"...:b,
¿0
n: número de razones que se consideran en el producto
Ejemplo
Si
36
nta
27
o
12
3
entonces
,
podemos concluir1
qe
que
8]
36-27
13
24-18-8 (2)
36-27-12
13
APLICACIÓN 10
Si la suma de los antecedentes y consecuentes de una igualdad de tres razones geométricas equivalentes son 30 y 40, respectivamente, y la suma del tercer término y cuarto término es 35, halle el
segundo antecedente.
Resolución
.
a.
c
e
Sea la igualdad de razones b = Ai =k; donde
e
ag+c+e=30
*
b+d+f=40
e
c+d=35
83
LUMBRERAS EDITORES
Aplicamos la propiedad de SRGE
o+c+e
3
=k=-—
b+d+f
4
Como conocemos el valor de k, la SAGE será
c
d
e
f
Del último dato
c+da=35
3m+4m=35
—
m=5
Finalmente, el segundo antecedente es c=3m=15,
APLICACIÓN 11
En una serie de tres razones geométricas equivalentes, la suma de dos razones cualesquiera es 2/3;
además, el producto de antecedentes es 30. Halle el producto de consecuentes,
2
b
an
Sea la SRGE
| m
Resolución
=k; donde
Como las razones son iguales, al
2
sumar dos razones cualesquiera
3
el resultado será 2k.
*
suma de dos razones=-=2k
a
oxcxe=30
Nos piden bxdxf.
1
:
Del primer dato, k= 3
Por la propiedad
axXxcxe
=p
bxdxf
29
(2)
bxdxf
13
3
> bxdxf=810
Por lo tanto, el producto de consecuentes es 810.
84
reses
RAZONES Y PROPORCIONES
Nota
En una SRGE también
se cumplen todas las propiedades de la proporción
geométrica.
Si 2-£
£-k,
ba
f
a
o+b
c
crd
se cumple que
e
k
e+f
k+1
SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES CONTINUA
Una SRGE es continua cuando el antecedente de cada una de las razones (excepto la primera) es
igual al consecuente de la razón anterior. Por ejemplo, una SRGE continua de 5 razones sería de la
siguiente forma:
De donde podemos deducir que d=e-k;c=e-k%;b=e:k
la SRGE continua.
ek?
ek?
ek
y a=ek*, con lo cual formamos nuevamente
ek _ k
Con ello, todos los términos están en función del último término y de la constante de proporcionalidad.
APLICACIÓN 12
En una serie de tres razones equivalentes continua, los términos extremos están en la relación de 8
a 27. Halle el valor de la constante de proporcionalidad.
85
LUMBRERAS
EDITORES
Resolución
Planteamos la serie de razones geométricas equivalentes continua de la siguiente forma:
—
= —-
mk
= —
mk
= k
m
Donde
mk _8
m
27
ke?
3
]
2
Por lo tanto, la constante de proporcionalidad es 3
APLICACIÓN 13
En una serie de cuatro razones geométricas equivalentes continua, la suma del tercer y del quinto
término es 180; además, el cuarto término vale 72. Halle el cuarto antecedente,
Resolución
4
Sea la 5RGE continua Ll = e
nk?
nk
3
2
= pe,
nk
_
on
=k,
Donde
+
né+nk=180
*
nk?(k+1)=180
(1)
nk=72
(11)
Dividimos (1) + (1)
180
(k+1)=—
7
pl
2
Luego en (11)
3
n=)
2
¿
=2
=>
n=32
Por lo tanto, el cuarto antecedente es nk=48,
86
PROBLEMAS RESUELTOS
ENe
dy
A
+
NIVEL BÁSICO
5i Ces la media diferencial de 40 y 28, entonces
tendremos
40-C=C=28
PROBLEMA
N.? 1
Si A es la tercera diferencial de 42 y 26; B es la
40+28=20
=>
34=C
cuarta proporcional de 20, 30 y 18, y Ces la media diferencia! de 40 y 28, halle 4+8+C€.
A+B+C=71
_cuave (E)
A) 56
B)
67
€) 57
D) 78
E) 71
PROBLEMA N.* 2
Halle la cuarta proporcional de M, N y P si se
sabe que M es la tercera proporcional de 20 y
30, Nes la cuarta diferencial de 30, 18 y 48, y P
Resolución
es la media proporcional de 5 y 30.
Si A es la tercera diferencial de 42 y 26, entonces tendremos
42-26=26-A
A)
16
B)
D) 24
12
6)
23
E)
18
16=26-A
>
Resolución
A=10
Nos piden
Si Bes la cuarta proporcional de 20, 30 y 18, en-
30
8
208=18(30)
>
B=27
proporcional de M, N y P;
es decir
tonces tendremos
20 18
la cuarta
mM
Ñ Pp
N
x
Pero sabemos que
+
Meslatercera proporcional de 20 y 30
A
20 M
87
LUMBRERAS EDITORES
*
Neslacuarta diferencial de 30, 18 y 48
30-18=48-N
N=36
+
Peslamedia proporcional de 5 y 80
5
De los datos tenemos
*
+
C-V=D-M
C-M=16
*
Y-D=8
.
(1)
(11)
C+V+D+M=80
Pp
2=— 3 P=20
P 80
Del último dato
(C+M)+1[V4+D)=80
Y
Reemplazamos los valores de M, N y P
45_20
36
> C+M=V+D
Estas sumas
x
son ipuales
=>
45x=720
C+M=W+D=40
x=16
En consecuencia tendremos
Por lo tanto, la cuarta proporcional
de M, N y
Pes16.
_ CLAVE (A)
PROBLEMA
N.” 3
C=28
C-M=16
M=12
V+D=40
V-D=8
V=24
D=16
Por lo tanto, la diferencia de edades
Las edades de Carlos, Vladimir, Daniel y Mariano forman una
C+M=40
proporción
de Carlos
(28 años) y de Daniel (16 años) es 12.
aritmética en dicho
_ CLAVE (E)
orden, Si la edad de Carlos excede en 16 años a
la de Mariano, y Daniel es menor que Vladimir
por 8 años, calcule la diferencia de edades de
Carlos y de Daniel, si se sabe que la suma de las
edades de todos ellos es 80.
A)
17
D) 10
B)
15
PROBLEMA
N.” 4
Los términos extremos de una proporción aritmética están en la relación de 2 a 1 y los con-
C)
8
secuentes están en la relación de 7 a 5. Si la
E)
12
diferencia de los términos medios es 4, halle la
suma de cifras del tercer término,
Resolución
SeanC, V,D y Mlas edades de Carlos, Wladimir,
Daniel y Mariano, respectivamente.
88
A) 4
D) 7
B) 5
6.
El
8
RAZONES Y PROPORCIONES
Resolución
A)
6
Sea la proporción aritmética
Dj
8
Bj)
9
O 4
Ej)
11
o-b=c-d
Resolución
Donde
Sea la proporción aritmética continua
a
2Xx5k
d
1x5k
b_7x1k
.
d
o-b=b-c;
5Xxlk
donde a+c=2b
Le
Ezx==3
tercera diferencial
Como es el mismo termino,
Del primer dato
en ambas razones debe
tomar el mismo valor
o+b+b+c=128
A
:
Suman 26
Entonces la proporción será
4b=128
110k-7k=c-5k
|
8k
Además tenemos
gue
b=32
la diferencia
de medios
Del segundo dato
b+c=36
esd
32+c=36
8k-7k=4
k=4
c=4
En consecuencia, el tercer término es
Por lo tanto, la tercera diferencial es 4.
8k=32
_Ciave (C)
Por lo tanto, la suma de cifras del tercer término
es 5.
_ CLAVE
PROBLEMA N.” 6
La suma de los cuatro términos de una propor-
ción aritmética es 40 y el producto de los términos medios es 75. Halle la diferencia de los
PROBLEMA
N.? 5
términos medios.
En una proporción aritmética continua, la suma
de sus términos es 128 y la suma de los términos de la segunda razón es 36. Calcule la tercera
diferencial de dicha proporción.
A) 12
D) 14
B) 11
C) 10
E) 13
89
LUMBRERAS EDITORES
Del primer dato tenemos
Resolución
5ea la proporción aritmética
a-b=c-d;
a=t=128
=>
o=12+cCc
donde a+d=b+c
De la propiedad de la proporción
Por dato tenemos
o+c=2b
o+b+c+a=40
(12+c)+c=2b
to;
Suman b+c
6+c=b
2(b+c)=40
b+c=20
(1)
Del segundo dato
a+b=68
Además
(124+c)+(6+c)=58
bxc=75
(11)
De (1) y (11) se determina que
b=15
c=25
Por lo tanto, la tercera diferencial es 25,
y 0=5
_ CLAVE (D)
Por lo tanto, la diferencia de los términos medioses b=-c=10,
_ CLAVE (0)
PROBLEMA
N.* 8
En una proporción aritmética, los dos primeros
PROBLEMA
N.? 7
En una proporción aritmética continua, el pri-
términos están en la relación de 5 a 2, mientras
que los últimos están en la relación de 7 a 3, Si
la suma de los términos medios es 174, halle la
cuarta diferencial de dicha proporción.
mer término excede al último en 12 unidades;
además,
la surna de los dos mayores términos
es 68, Calcule la tercera diferencial.
A)
19
D) 25
Bj)
21
A
32
B)
28
E)
E) 24
D) 54
Cc)
23
E)
27
Resolución
De la proporción tenemos
cuarta
Resolución
Sea a-b=b-c
5 l E
la proporción aritmética conti-
o=b=c=d:
O
nua. Recuerde que a > b> c; además se cumple
o+c=2b,
90
27
5m
2m
Tn
3n
diferencial
RAZONES Y PROPORCIONES
Pero
Resolución
Il.
5m=-2¿m=7n=in
En una proporción
3m=4n
de los términos
m_4k
n
Falsa
geométrica, cualquiera
puede ser el mayor de los
términos.
3k
Ejemplo
Entonces la proporción aritmética será
40
Además
72 —< mayor término
30 54
5(4k) -2(4k)=7(3k)-313k)
ll.
nos dicen
Falsa
Una proporción aritmética discreta o conti-
B8k+21k=174
nua tiene siempre cuatro términos.
k=5
pe
qe
término
término
Por lo tanto, la cuarta diferencial es d=9k=54,
0
=
_ CLAVE (D)
IM.
PROBLEMA
término siempre es mayor que
El]
4?
término
término
Falsa
con cuatro números enteros consecutivos.
Ejemplo
tes proposiciones.
En una proporción geométrica,
ce
Nosiempre se puede formaruna proporción
N.? 9
Indique verdadero (V) o falso (F) en las siguienl..
b=b-
el primer
los demás
Con los números 8, 9, 10 y 11 no podemos
formar ninguna proporción geométrica.
_Cuave (D)
términos.
Il.
Una proporción aritmética continua
tiene tres términos.
ll.
Con cuatro
solo
números enteros consecutivos
siempre se puede formar por lo menos una
proporción geométrica.
A)
B)
C)
D)
E)
VVV
FVV
FFV
FFF
FVE
PROBLEMA
N.+? 10
En una proporción geométrica de constante
7/2, la suma de sus términos es 90 y la diferencia de los consecuentes es 4, ¿Cuál es el mayor
de los términos en la proporción?
A) 42
D) 56
B) 24
€) 49.
E)
35
391
LUMBRERAS EDITORES
Resolución
De los datos
Como la constante es 7/2 formamos la proporción geométrica de la siguiente manera:
+
mn=3
m_¿n_ 7
2m 2n
|
2
3
Por los datos tenemos
e
(4m)j3n)=36
«
1
3m+4n=13
Do
Im+2¿m+?7n+2n=590
il
3
m+n=10
1
(1)
Luego
.
¿m-in=4
b=3m=3(3)=9 A c=4n=4(1)=4
m=n=2
(11)
b=c=5
De (1) y (11) obtenemos
m=6
_Cuave (€)
y n=4
Entonces la proporción es
42 _28_7
12
8
PROBLEMA
2
En una proporción, el producto de antecedentes
Por lo tanto, el mayor de los términos es 42,
es 240 y el de los consecuentes es 1500. Si se
_ CLAVE (A)
PROBLEMA N.? 11
4
Si Pa,
bd
3
además
se sabe
que o-d=36
N.* 12
sabe que la suma de los términos medios es 50,
¿cuál es la cuarta proporcional de la proporción
inicial?
y
A) 40
D) 30
B) 10
b+c=13, calcule b—c.
Resolución
A)
2
D)
6
Bj
4
C)
5
E)
7
Sea la proporción
Usamos la propiedad de SRGE
240
Resolución
Formamos la proporción a partir de la constante
a
E
4m_2n_4
ara
b
92
d
c) 20
E) 75
RAZONES Y PROPORCIONES
Formamos la proporción
Aplicamos propiedades a la proporción inicial
bd
a+b c+d
¿m 2n 2
Sm
55:
5
—
Bb_4_
cuarta proporcional
27
dá
40
5
Donde
+
Del tercer dato
(2mi(2n)=240
b+a=27
m-n=60
meros
enteros positivos
diia
5m+2n=50
*
dAk+5k=27
Observe que buscamos nú-
z
¿
—
k=3
que
es
e
Entonces la proporción es
20
Suman 32 Ca
25
= ==)
b=4k —
Por lo tanto, la cuarta proporcional de la proporción inicial es 5n=75.
Suman 40
Lo d=5k
Por lo tanto, el menor de los términos medios
es 12.
_ CLAVE (E)
_ CLAVE (D)
PROBLEMA N.?” 13
En una proporción geométrica, la suma de los
dos primeros términos es 32 y la de los dos últimos términos es 40. Halle el menor de los términos medios, si la suma de consecuentes es 27.
A) 25
D) 12
B) 30
C) 18
E) 15
PROBLEMA
N.? 14
La razón de horas de estudio de Pamela y de Kelly es la misma que la razón de horas de estudio
de Rodrigo y de Salvador; además se sabe que
Kelly estudia 4 horas más que Pamela, Salvador
estudia 3 horas más que Rodrigo y Kelly estudia
2 horas más que Salvador. ¿Cuántas horas en to-
tal estudian los cuatro?
Resolución
A A
Sea la proporción E Fi por dato tenemos
A) 42
B) 21
Cc) 32
.«
p9+b=32
.«
c+0=40
D)
es
b+d=27
E) 24
25
93
LUMBRERAS EDITORES
.
Sean P,K,R y 5 las horas de estudio de Pamela,
Kelly, Rodrigo y Salvador, respectivamente.
Del dato inicial tenemos
POR
—=-—
K
B) 145
RO
Resolución
E) 135
D) 130
Resolución
si
(proporción
geométrica)
5
c) 120
E
Sea la proporción E
bd
Por dato tenemos
Además
e
K=P+4d
e
S=R+3
s
K=542
=>
=>
P=K-4=(R+5)-4=R+1
K=(R+3)4+2=R+5
Reemplazamos en la proporción
R+1_
R+5
+
q—x=18
=>
0=18+x
+
b-x=24
>
b=24+x
e
c-x=30
=>
c=30+x
e
d-x=39
—=
d=239+x
Reemplazamos estos terminos en la proporción
RAR
18+x
_30+x
R+3
2d+x
39+x
(18+x)(39+x)=(30+x)(24+x)
El producto de los extremos es igual al producto
x2457x4+702=x*+54x+720
de los medios
x=b
(R+1][R+3)=R(R+5)
R4+AR+3=R*4S5R
=>
0+b+c+d=111+4x=135
Por lo tanto, la suma
3=R
de los cuatro términos es
135.
Luego
_ CLAVE (E)
R=3,5=6,K=8
y P=4
Por lo tanto, entre los cuatro estudian un total
de 21 horas.
PROBLEMA
_ CLAVE
N.” 16
Si las razones aritméticas de los términos de la
primera y de la segunda razón de una proporción geométrica son 15 y 45, respectivamente,
determine en qué relación estarian la suma y la
PROBLEMA
diferencia de los antecedentes de dicha propor-
N.? 15
Si a los cuatro
términos
de
una
proporción
ción.
geométrica se les quita una misma cantidad, se
obtiene 18, 24, 30 y 39, respectivamente, deter-
A)
mine la suma de los términos de la proporción.
D) 7/4
94
2/1
B) 1/4
0) 2/3
E) 3/2
RAZONES Y PROPORCIONES
Resolución
Sea dz
b
d
Por dato
la proporción. Nos piden
mk +mk+mk+m=63
2
c-a
mík?+2k+1)=63
Del dato tenemos
*
e
enteros que multiplica-
LA
(-g=d4d5
dos resulten 63,
7x3
Aplicamos las propiedades de la proporción
ga_£
b
Buscamos dos números
mlk+1)* =63
(-b=15
>
En
d
m=7
y k=2
consecuencia,
la media
proporcional
será
mk=14),
Y.
o=b
t-
Por lo tanto, la suma de cifras de la media proporcional es 5.
A
15
1
45
_ CLAVE
3
(O
c+o_4_2
co
2
1
PROBLEMA
N.? 18
Las edades de tres hermanos forman una proporción geométrica continua, cuya suma de
razones es 3/2. Halle la edad del hermano inter-
PROBLEMA
N.? 17
medio, si se sabe que el mayor le lleva al menor
Si la suma de los términos de una proporción
por 14 años.
continua de constante de proporcionalidad entera es 63, calcule la suma de cifras de la media
proporcional,
Aj
7
D
3
BJ)
6
18 años
B)
12 años
C)
24 años
Cc)
5
D) 21años
EJ)
8
E)
Resolución
20años
Resolución
Como la proporción es continua, tendremos
2
E
mk
A)
e
m
iz
Sean las edades 4, B y C.
A
B
3 = E =k
4]
Jl
(proporcióncontinua)
95
LUMBRERAS EDITORES
Donde
Resolución
AB
Sea la proporción geométrica continua
181 :c; 2
2
Lo]
k
ok
Por dato
TE
+
2
2
mk-m=48
m(k*-1)=48
A
Teniendo el valor de k podemos formar la pro-
e
mk+m=72
mik+1)=72
porción continua
92m
Dividimos (1)+(11)
4
e
Además tenemos
k+1
16m=-%m=14
Reemplazamos el valor de k en (11)
m
N.* 19
En una proporción geométrica continua, la diferencia de los términos extremos es 48 y la suma
de los consecuentes es 72, Halle la suma de cifras del primer término de dicha proporción.
96
3
Al
k=
Mc
Lu | Ln
=>
años.
_ CLAVE (0)
PROBLEMA
32
(k-1) (+1)
Por lo tanto, el hermano intermedio tiene
12im=24
2
3
m=2
9
8
12
10
15
(11)
12m 3
12m 16m
A)
B)
c)
D)
E)
(1)
3+1)=72
3,
m=27
Entonces el primer término es
er?
15
3
mk =27/ 2
=75
Por lo tanto, la suma de cifras del primer términoes
12.
—
_Cuave (C)
RAZONES Y PROPORCIONES
PROBLEMA N.? 20
Resolución
Si a los números 32, 92 y 242 se les suma n
unidades a cada uno, se forma una proporción
geométrica continua. ¿Cuál es el valor de n?
Observe
A)
10
Dj
15
B)
8
c)
12
E)
6
que
cada
una
de
las razones
tiene
y
como valor 3 [constante de proporcionalidad),
Resolución
Luego de sumar n a cada número, tendremos
32+n_
2+n
+b 5 > o+b=100
22=2
40 2
|
(proporción continua)
92+n 242+n
Aplicamos la propiedad de proporciones
32+n
=
(92+n)-(32+n)
(242+n)-(92+mn)
ES
*
150
2
> 10=75:
92+n
32n _92+n
BO
25
——=7
a+5
2
>
2c=5(80)
5
(32+n)5=2(92+n)
160+5n=184+2n
n=B
_ CLAVE (B)
PROBLEMA
A)
B)
C)
D)
E)
100
200
150
250
120
halle
10
pra
N.? 21
E
a+5
Por lo tanto, el valor de c es 200.
40
2
e,
PROBLEMA N.? 22
a 36_e
si -=====4, a+e=76 y b-f=5,
b
dad
f
v.a7E
halle la suma de cifras de e.
A)9
Dj8
B) 12
C) 10.
E 7
97
LUMBRERAS
EDITORES
Resolución
Resolución
De la SRGE
Nos piden la cuarta proporcional de e, b y a; es
(+)
o co0
decir ===,
b
x
)
eg
f
36
De la igualdad de razones
da?+4 _vbt+9 ve +16
E
ja
d
2
Aplicamos la propiedad de SRGE
PA
3
4
Elevamos al cuadrado todos los términos
dato
a+e
a?+4 a b?+9 ñ ce +16
b+f
4
76=4(b+f)
19=b+f
9
a?
4
—
==
4
4
p?
9
9
9
la fracción
16
16
Extraemos la
raíz cuadrada
=
2.
la
b=12 A f=7
3
Blin
b+f=19
Luego E =4
16
2
9 16
>
b-f=5
e?
Desdoblamos
—+- o =—+_—
p?
También tenemos
16
=k
Además tenemos que
e=2B
a+b+e=72
|
2k+3k+4k=72
1
k=8
Por lo tanto, la suma de cifras de e es 10.
_ CLAVE (0)
>
(=16,b=24
y
c=32
Reemplazamos en la pregunta
32
PROBLEMA N.” 23
16
o
Si
:
a? +4
2
=
b*+9
3
=
+16
4
.
, además
—>
x=12
a+b+c=72, calcule la cuarta proporcional de e,
bya.
A)8
D)6
98
Por lo tanto, la cuarta proporcional de c, b y a
es 12,
B)
10
E)
2
E)9
el
_Ciave (C)
RAZONES Y PROPORCIONES
PROBLEMA
2
¡
N.”? 24
2
2
b
AE
24
54
y 2b+c-a=36, halle la razón
150
aritmética de c y b.
A) 40
D) 36
8)
48
C)
30
E)
45
Resolución
De la SRGE
A)
12
D)
2
Bj
4
08
EJ
Le
dee
6
Resolución
Nos piden la razón aritmética de e y b; es decir,
c=b.
Aplicamos la propiedad de la SRGE
De la SRGE, simplificamos los consecuentes
HA+B+C)_,
30
AHBHE
15
Entonces tenemos
«|
Además por dato tenemos
2b+c-0=36
2(3k) +5k-2k=36
k=4
=
0=8,b=12
A+B+C=15k
e
A4+B=9k
.
B+C€=11k
*
A4+C=10k
>
A=4k,B=5k y C=6k
y c=20
Además por dato tenemos
Por lo tanto, la razón aritmética de c y bes 3,
_ CLAVE (0)
3A+2B-C=240
3(4k)+215k)-6k=240
k=15
PROBLEMA N.? 25
Se
sabe
CN
pre
344 28-C=240,
PRE
Reemplazamos
ARE
Calcule 4+B-£.
z
A+B=C=3k=45
_cuave (E)
99
LUMBRERAS
EDITORES
PROBLEMA
N.”* 26
Si se cumple que
a+á
PROBLEMA N.? 27
=
b+2
a+10
==
2a+b-6
— a+22
halle ab.
A]
40
D]
72
F
corb
bc
ac
5 —=====
2
4
3
media diferencial de a y b.
B)
80
C)
60
Ej)
45
Resolución
Aj
12
D)
10
B)
14
E)
15
0-x=x-b
_b+2_2a+b-6
+10
_as+b
x=
—
a+22
2
Igualamos las razones de dos en dos
(11
Aplicamos la propiedad de SRGE
a
Cc)
Nos piden la media diferencial de a y b: x.
[-)
a+4
13
Resolución
De la igualdad de razones
a
y a*+b*+c*=976, halle la
axb_bxc_axc
e
a. O
_2a-8
a+4
12
>
120=(20-8)(0-+4)
2
a
axb
bxc
a
1(3k)
c
213k)
E
2
126
= 24 — 32
3
4
El valor
de a
debe ser el
.
6a=0*-16
Pxe_axe
4
b_4k)
3
a
AnS
3(k)
16=a*-6a
=>
0=3k, b=4k
y c=6k
16=0(a-6)
ag
—>
2
Además, por dato tenemos
E.
0-8
at+b?4+c=976
(3k)?+(4k)?+(6k)?=976
Reemplazamos en la 5RGE
61k"=976
8 _b+2
12
=> k=4
18
Luego
8(18)=(b+2)(12)
3
o=12,b=16
10=b
12+16
axb=80
2
_ CLAVE
100
y c=24
=14
_cuave
(O)
RAZONES Y PROPORCIONES
ma
PROBLEMA
N.” 29
:
PROBLEMA
d
c—-b
Si se cumple que ——=——=
d+o
b
d
1
==,
3
cd
hal 2,
A)
1/2
D)
1/3
2
e
o
bd
ham
c+b
B)
3/4
N.* 29
Y
f
df
C)
2/5
A)
15
El
2/7
D)
8
¿
O
b+5d
bi4 e
b
B)
6
dc
12
Ej
9
Resolución
Resolución
De la igualdad de razones
A partir de la SRGE formamos el dato y la pre-
d
c-b_
d
gunta
1
A
e
==-==-—=k
b
d
»
Entonces se cumplirá que
d
——
=_—_——
d+o
—
(=0
c+d
o
o
.
b
Eb_l
b
d
¿5C,
a+5€
== k
5d:
L
3
d
.
cedente y al consecuente,
la cociente no se altera
c
b
E
4(k)
3(k)
ao
€
b
f
==—=k
elevando al
1
NG
= 3
cuadrado
Estas
cantidades
deben ser iguales
a = e =p?
p?
f?
por propiedad
ld=c+d
a? +e* sp
d 1(2k)
1d=c => ===
c 2(2k)
=>
=
Al multiplicar por 5 al ante-
3c-3b=b
3c=4b
b+5d
de la 5KGE
bi+f?
c=4k, 0=4k, b=3k y d=2k
Reemplazamos estos valores en el dato
Reemplazamos y tenemos como respuesta que
ad _4k-2k 2
c+b 4k+3k7
Sc+o
b+5d
0t+e?
e
rm
b+f
k+k?*=12
_ CLAVE (E)
k=3
101
LUMBRERAS
EDITORES
De igual manera formamos la pregunta a partir
de la SRGE
Aplicamos la propiedad de 5RGE
a? +e?
E
Ut
bd
LR
ere
f
16=k?
De
y Las
dxf
b
4=k
Luego tendremos
o.
c e
====-==34
bd
f
af: ib
Ta
Por propiedad
7
Lo]
y
——
“—
suma de antecedentes
“—
suma
a+CRe
o3
b +d+
cuave (A)
>
f
de consecuentes
b+d+f=18
Por lo tanto, la suma de consecuentes es 18.
PROBLEMA
N.” 30
2 ya
sit= ===,
—=16
bd
f
d*+b
_ CLAVE (0)
y la suma de ante-
cedentes es 72, halle la suma de consecuentes.
PROBLEMA
A)
B)
Cc)
D)
E)
N.? 31
Dada la igualdad de las siguientes razones
28
36
18
144
288
geométricas
40+0_32+b_72+c_ 56+d
d0-a
donde c+b-0=56,
A) 140
D) 161
Resolución
32-b
72-c 56-d
halle o0+b+c+d.
B) 210
C) 120
E) 175
A partir de la SAGE formamos el dato
a E
e
b _ d e f
Resolución
le
=
elevando los
términos
al
a
3
?
—
es
—=
e
=
—=
of
3
=k
cuadrado
De la igualdad de razones
40+a 32+b_ 72+6_ 56+d
40-o 32-b 72-c 56-d
RAZONES Y PROPORCIONES
Aplicamos la propiedad de proporciones
Resolución
(40+a)-(40-0)
(40+0)+(40-a)
Sea la SRGE
(32+b)-(32-b)_
(32+b)+(32-b)
oc
_(72+c)-(72-c) _ (56+d)-(56-d)
(72+c)+(72=c) (56+d)+[56-d)
bdf
>
a-b=6;c-d=12
y e-f=18
2a 2b_2c
2d
Además d+f=90
80 64 144
112
Aplicamos la propiedad de proporciones en la
56
Además por dato tenemos
Como
c+b-a=56
=>
il
=
Rltor
0=5k, b=4k, c=9k y d=7k
Ñja
mm ler
1|
40 32 3
SRGE
d
A
E
>
b
by
| EL
!!
Lu |,
a
=>
e
d+f=90
2k+3k=90
0k+4k-5k=56
k=18
k=?
En consecuencia
o+b+c+d=25k=175
_ CLAVE (E)
b=18,
d=36,
f=54
o=24,
c=48,
e=72
Por lo tanto, la razón aritmetica de los términos
extremos es f-a=30.
_ CLAVE (D)
PROBLEMA
N.* 32
En una serie de tres razones geométricas equivalentes, la diferencia de los términos
de cada
una de las razones es 6, 12 y 18, respectivamente. Si la suma de los dos últimos consecuentes
es 90, halle la razón aritmética de los términos
extremos.
A)
21
D) 30
8) 16
Cc) 42
E) 36
PROBLEMA
N.* 33
En una serie de cuatro razones geométricas
equivalentes, el producto de dos razones cualesquiera es 25/49 y la suma de los consecuen-
tes es 280, Calcule la suma de los antecedentes.
A) 120
D) 100
B)
240
€) 160
E) 200
103
LUMBRERAS
EDITORES
Resolución
¡0
Resolución
ce
y
ers
Si -=-=-=-—=“=k
bdf
al multiplicar dos razones
h
p
Sea la SAGE
términos de
lugares impares
cualesquiera, se obtendrá k.
Entonces
a
A
A
p=2
49
términos de
lugares pares
k==
Por dato tenemos
Luego la SRGE seria
ae
a.c
_e y
bd
f
5
h
7
+
a+c+e+g=150
*
b+d+f+h=270
+
h-g=32
Aplicamos la propiedad en la SRGE
Aplicamos la propiedad en la SRGE
¡bid+f+h:
a+c+e+g
7
b+d+f+h
Laso
150
270
o+c+e+9=200
_————
suma de
antececentes
5
==k
9
Por lo tanto, la suma de antecedentes es 200.
_ CLAVE (E)
Del último dato
h-g9=32
PROBLEMA
N.? 34
9n-5n=32
La suma de los términos de lugar impar de una
n=8
serie de cuatro razones geométricas equivalen-
tes es 150 y la de lugares pares es 270. Si la diferencia de los dos últimos términos de la SRGE
En consecuencia, el último término será
h=9n=72
es 32, halle la suma de cifras del último término.
Por lo tanto, la suma de cifras del último térmi-
A) 9
D) 7
104
B) 6
c) 12
E)
10
noes,
|
_Cuave (A)
A
PROBLEMA N.” 35
PROBLEMA N.? 36
De una serie de tres razones geométricas equi-
sil=l=£=2% a. d+b-c=1944 y
valentes continua, cuya constante es entera, se
sabe que la suma de los términos extremos es
196 y la diferencia del primer consecuente y del
último antecedente es 42, Halle la suma de ci-
b
d
bed
e
o:b:e-c:d-a+b:e=108,
calcule la suma de antecedentes.
fras del tercer término.
A)
9
B)
18
Cc)
D) 24
21
E) 27
A)
240
Dj
210
B)
300
Cc)
220
E)
180
Resolución
Resolución
Si la serie de razones geométricas es continua,
Se observa que la SRGE es continua
da
tenemos
mk?
mk?
mk
mk
mk
m
—=—=—=k,
e
kel
ek" ek
— =—
ek
Por dato
+
ek
ek
ek
e
= —=—=k
ek
mk+m=196
elim(9+1)=196
tle
?
E
(1)
De los datos
«
196 | 2
98
|2
ek xek+elóxek?=1944
4917
17
ek +0 =1944
1
+
axd+bxc=1944
e*k"=972
mki-mk=42
mik*—k)=42
e
7
(1)
(11)
tl
*
b
axbxe-cxdxo+bxe=108
4212
exekdxe-ek
21/13
HA
717
as
xekxek +ek?-e=108
108
e*k=108
De (1)y (11) se deduce que m=7 y k=3. Entonces
el tercer término es mk?=63.
(11)
Dividimos (1) + (11)
Por lo tanto, la suma de cifras del tercer término
es 9.
_ CLAVE (A)
105
LUMBRERAS
EDITORES
Reemplazamos el valor de k en (11)
Dividimos (1) + (11)
e*(33)=108
e*=4
13
k2+1
39
kk?
6
2
e=2
2k*+2=13k-13k
Luego hallamos la suma de antecedentes
15k*-13k+2=0
ek trek +ek?+ek=240
5k
-1
3k Pa
_ CLAVE (A)
best vé
5
PROBLEMA
3
Reemplazamos los valores de k en [1)
N.” 37
2
Si k=3
Si
A) 12
Por lo tanto, el cuarto término es
D)
B) 14
9
C) 15
E)
k=-
1
En una serie de tres razones geométricas equivalentes continua de constante de proporcionalidad menor a uno, la suma del segundo término
y del último consecuente es 39, y la diferencia
de los dos últimos antecedentes es 6, Calcule el
cuarto término de la serie.
5
a Eon
+1 =39
al faL+1]=39
a
a=27?
25
/
19
Tomamos
|
2
ak=27|
18
este
valor por ser
entero
]=18
_ CLAVE (E)
Resolución
5ea la 5RGE continua
ko
ak
—-—
E ak ko k<1
ak
ok
q
ak?+a=39
alk?+1)=39
+
106
(1)
ok-ok=6
alk-1)=6
N.* 38
En
de
una
serie
cuatro
equivalentes continua,
Por dato
.
PROBLEMA
(11)
razones
el producto
geométricas
de dos ra-
zones cualesquiera es 4/9. Determine la suma
de los términos de la última razón si la razón
aritmética del tercer consecuente y del tercer
término es 90,
A)
300
D)
400
B)
125
E) 405
E) 150
RAZONES Y PROPORCIONES
Resolución
PROBLEMA N.* 39
5ea la SRGE
En una serie continua, el primer y el último término están en la relación de 729 a 64, La suma
c
de antecedentes y la suma de consecuentes se
d
diferencian en 1330. Calcule la diferencia entre
Al multiplicar dos razones cualesquiera siempre
el noveno y el segundo término.
se obtendrá e
> ala
9
hal
A]
18
B)
183
Cc)
D) 198
3
Teniendo la constante de proporcionalidad podemos formar la SRGE continua
684
E) 532
Resolución
Como no sabemos cuántas razones conforman
e
la SRGE
-—
continua,
supongamos que son n; en-
tonces tendremos
CCA
A
o
1lóm
e
B¿lm
Donde
En consecuencia
a
36m
54m
8lm
Or
64
Aplicamos la propiedad de SRGE
l6m _24m_36m_54m_2
24m
A
nrziones
01 xGgX
3
ex pá
OÍDO A OA
IFRO
=k"
729
729 (3
18,
2?)
64
64
12
Además por dato tenemos
54m-24m=90
30m=90
Entonces son seis razones y la constante es 3/2.
m=3
Con esto podemos formar la SRGE continua
Luego hallamos la suma de los términos de la
última razón
54m+81m=135m=405
|
729m_486m_324m_216m_144m_96m_3
486m 324m
216m
1l44m
96m
64m
2
Además por dato tenemos
3
729m-64m=1330
_Cuave (C)
m=2
107
LUMBRERAS EDITORES
Ahora hallamos la diferencia del noveno y del
segundo término
486m-144m=342m=684
NIVEL INTERMEDIO
PROBLEMA
_cuave (C)
N.? 41
En una proporción aritmética, la relación de los
dos primeros términos es de 4 a 1, mientras
que la relación de los dos últimos términos es
de 20 a 11. Sila media diferencial de los térmi-
PROBLEMA
nos extremos de dicha proporción es 69, halle
la tercera proporcional del segundo y del tercer
N.” 40
En una serie de tres razones geométricas equiwalentes
continua,
cuya
constante
de
propor-
cionalidad es entera, la suma del segundo y del
último término es 70. Halle el primer término.
A)
B)
C)
D)
E)
término de la proporción aritmética.
210
63
150
126
189
Aj
800
D)
50
8)
80
Cc)
600
Ej
720
Resolución
Sea la proporción aritmética
o-b=c-d
+
4dm-1m=20n-11n
3m=9n
m=3n
Resolución
Entonces la proporción aritmética será
Sea la SRGE continua
ERA
ak?
ok
a
3
12n—3n=20n-11n
ez
2
Donde
12n-69=69-11n
nm=6
Por dato tenemos
ak +0=70
Como ke
o (k*+1)=70 A
—
—
7
=>
a=7
10
Z, busquemos
>
A
que
el producto de dos números
—
|
enteros sea igual a 70.
rn k=3
Nos piden la tercera proporcional del segundo
y del tercer término de la proporción aritmética
3n _200
E
lag
120
120xy
Por lo tanto, el primer término es ak?=189.
_ CLAVE (E)
108
x=800
a (A)
RAZONES Y PROPORCIONES
PROBLEMA
N.? 42
Resolución
En una proporción aritmética continua, los consecuentes están en la relación de 18 a 11 y la
suma de sus términos extremos es 108. Calcule
la suma de cifras de la media diferencial de di-
cha proporción.
Sea la proporción aritmética continua
a-b=b=c=r
razón de la
proporción
Donde se cumple
0er]
c=b=r
Aj
7
B)
Dj)
10
8
o
9
E)
12
a=c=2r
Pero por dato tenemos que a-c=32
Resolución
=>
Sea la proporción aritmética continua
32=2r
l6=r
o-b=b-d-c
=3
Por lo tanto, el valor de la razón es 16.
¿5m-18m=18m-11m
_Cuave (A)
Donde
25m+11m=108
PROBLEMA N.” 44
m=3
De una proporción geométrica, donde cada término es los 2/5 del precedente, se sabe que la
diferencia de los términos extremos es 702. Halle la suma de los términos medios.
Luego
b=18m=54
Por lo tanto, la suma de cifras de la media difeA)
rencial es 9.
_Ciave (€)
210
B)
420
ec)
D) 140
120
E) 240
Resolución
Formamos la proporción convenientemente.
PROBLEMA
N.* 43
Si la diferencia de términos extremos de una
proporción aritmética continua es 32, calcule el
valor de la razón de dicha proporción.
Es los 2/5
del segundo
Asumimos 125n,
pues tiene tres
veces quinta
125n
dom
—307
Eslos2/5
A) 16
Dj) 9
9)17
C)
8
E)
12
del primer
término
2
LA
: (125n) = 50n
saldos 73
término
:20nm
(50n)=20n
BA
5
¿Bn
Es los 2/5
del tercer
término
NAT
(20m) =8n
109
LUMBRERAS EDITORES
Entonces la proporción es
Conociendo el valor de b tenemos
“
50n
g+c=100
o=80
—
8n
+
a:c=1600
c=20
Del dato
Por lo tanto, la razón aritmética de o y ces 60.
125n-8n=702
_ CLAVE
n=6
Por lo tanto, la suma de los términos medios es
50n+20n=70n=420.
PROBLEMA
_ CLAVE
N.? 46
En una proporción, la suma de antecedentes es
20 y la suma de consecuentes es 30. Si los términos extremos
PROBLEMA
son iguales, calcule
la diferencia
de los términos medios.
N.” 45
De tres números enteros positivos se sabe que
su producto es 64 000; además, su suma es 140,
y el primero es al segundo como el segundo es
al tercero. Halle la razón aritmética del mayor y
del menor número.
A) 15
Dj)
B) 18
10
Cc) 9
E)
12
Resolución
La proporción es
A)
60
Bj)
30
C)
Suman
40
E) 84
D) 72
20
*
a
_20-a
30-g
EE
a
Suman 30
Resolución
Sean a, b y e los números enteros positivos.
a*=(20-a)(30-a)
Donde
a?=600-500+a*
*
oxbxc=64000
*
o+b+c=140
.
a_b
(1)
o=12
(11)
Entonces la proporción es
b
a:c=b?
Reemplazamos (111) en (1)
b?=64 000
b=40
110
12 8
ce
(111)
18
12
Por lo tanto, la diferencia de los términos
me-
dios es 10,
_Cuave (D)
RAZONES Y PROPORCIONES
E
PROBLEMA
N.? 47
PROBLEMA
En una proporción geométrica se cumple que
la suma de sus cubos de los cuatro términos
es 2275. Calcule la suma de los términos, si la
constante es entera.
A)
B)
Cc)
D)
E)
26
30
24
25
20
¿Cuál es la diferencia entre los términos extremos de una proporción continua, si la suma de
los cuatro términos es 36 y la razón entre la
suma y la diferencia de los dos primeros términos es 3?
A)
12
DJ]
6
B)
14
Cc)
18
Ej
15
Resolución
Formamos la proporción geométrica continua
mk? 2 = —
mk = k
——
Resolución
mk
Sea la proporción
o
N.” 48
e
€
m
Por dato tenemos
e k; kez*
*
mié+mkemk+m=36
mík?+2k+1)=36
mík+1)*=36
Por dato
O+od+o+a=2275
mk? + mk _
5
mk*—
(bx 4+b*+(ak)+0?=2275
ett
d+
di 2275
k*—k
K(k+D) _,
(0+04)1+1)=2275
35
>
k=4,b=3
3
Ñ
3 2 +k =3
elt+ri)+al+1)=2275
Pq—_—
mk
(1)
K(k-1)
—
65
k+1=3k-3
y d=2
4=2k
2=k
Con estos valores la proporción es
(1)
Reemplazamos (11) en (1)
mik+1)/=36
Por lo tanto, la suma de los cuatro términos es 25.
_Cuave (D)
m-3*=36
m=4
111
LUMBRERAS
EDITORES
Por lo tanto, la diferencia de los términos extre-
Finalmente, el segundo término es a-6=12.
mos es mk*-m=4(2)?-4=12
Por lo tanto, la suma de cifras del segundo tér-
_Cuave (A)
PROBLEMA
mino es 3.
_Cuave (B)
N.* 49
En una proporción, la suma de los antecedentes
PROBLEMA N.”* 50
es 24, la suma de sus consecuentes es 16 y la
La suma de los términos extremos de una proporción es 17 y la suma de sus términos medios
suma de sus términos
extremos
es 22. Calcule
la suma de cifras del segundo término.
Aj)
9
D)
5
B)
3
o
4
E)
6
Resolución
Formamos la proporción con los datos que tenemos
Partimos asumiendo
es 18; además, la suma de los cuadrados de los
cuatro términos es 325. Halle la constante de
proporcionalidad si esta es menor a uno,
A)
B)
C)
D)
E)
2/3
1/2
1/5
2/5
3/4
un valor para el primer
término
¿24
bea:
q
al ¿4d-0o
o-6
22-00
“A
Suman
16
Sea la proporción
a+d=17
5e sabe que los términos extremos suman 22.
e
b+c=18
Entonces la proporción que formamos es
e
k<l.
abi
d=325
_24-0
a-6 22-a
Elevamos al cuadrado los dos primeros datos
a*+d*+2ad=289
a(22-a)=(24-a)j(a—6)
b?+c+2bc=324
220-0*=300-144-0?
a+bi+c +0 2 (bc+0d)2613
144=80
18=0a
112
=k
Por dato tenemos
e
a
|”
Suman
E
cia
Resolución
325
=
bc+od=144
”
RAZONES Y PROPORCIONES
Observamos en la proporción inicial que
Del dato
b.c=0:d, entonces
.
bxc=72
y b+c=18
|]
12
c+a—-b=208
6
|
|
12
6
30k+k-S5k=208
k=8
=3
*
axd=72
y a+d=17
l
|
y c=240
Luego, hallemos la media diferencial de a y c es
bl]
9 08
a=8,b=40
240-x=x-—8
9.8
x=124
Entonces la proporción inicial es
_cuave (C)
y
3
E
12 8 4
Por lo tanto, la constante de proporcionalidad
PROBLEMA
es 3/4.
_Ctave (E)
PROBLEMA
5e cumple que
Ab+Ba+Cd+Dc =9
N.? 51
Aa +Bb+Cc+Dd
ca
hb
¡LolsL y ero=b=208, halle la" media
al si 6l
diferencial de a y e.
A)
146
D)
132
B)
N.” 52
at+b?+c*+d*=164
Calcule a-b+c-d,
129
o
124
A)
718
E)
168
B)
716
C)
738
Resolución
Simplificamos los consecuentes de la SRGE
D) 726
E) 720
a_b_e
4l
o
41
Si
la]
6l
Resolución
Cc
De la igualdad de razones tenemos
4Ix5 4IxS5x6
=>
Az=ak, B=bk, C=ck, D=dk
113
LUMBRERAS
EDITORES
Igualamos la tercera y la cuarta razón
Reemplazamos en el segundo dato
ok -b+bk-a+ck-d+dk-c
39 _ b-2
2% 28
ak-a+bk:b+ckc+dk-d
20bk+2cdk
6=b-2
Ñ
+
Pk+bik+ck+ dk
B=b
Igualamos la primera y segunda razón
15
i—
40
por dato 164
2Ha-b+c-d)
164
no c+2
32
12Q=c+2
9
—=
10=€
a+b-c=7
_cuave (A)
a:b+c:d=738
_ CLAVE (0)
PROBLEMA N.” 54
PROBLEMA
N.? 53
Sia, by e son enteros positivos y se cumple
+6
—
c+2
o
b-2
=—=-—=-——,
5b
A)
da-4
3b
2b
halle 0+b-c,
16, halle la diferencia de los dos primeros consecuentes,
B) 6
7
En una igualdad de tres razones geométricas,
el producto de sus antecedentes es 5376 y el
producto de sus consecuentes es 2268. Si la diferencia de los dos primeros antecedentes es
C)5
D) 4
E)
3
A)
10
DJ
12
B)
Resolución
Resolución
De la serie de razones geométricas equivalentes
Sea la igualdad
S5Sb
4o-4
o
b-2
3b
equivalentes
2b
Iigualamos la primera y la tercera razón
o+b6 _a
55
=>
a]
c+42
ja
a+6_
==ik
f
Por dato tenemos
3b
*
pxoxe=5376
30+18=50
e
bxdxf=2268
%=9
«
O-c=16
11
C)
15
Ej
18
de tres razones
geométricas
o
Aplicamos la propiedad a la igualdad de razones
aXcxe
_ 3
bxdxf
RAZONES Y PROPORCIONES
Resolución
SealaskarÍ=£=£=k.
b
df
Aplicamos la propiedad de SRGE
5376 _
3
a+c+e
2268
b+d+f
Sp
—Y
k=?
64
Entonces la SRGE es
Tomamos las dos primeras razones
a
a
c 4
bd
2
c_,e_3
Suman*b
3
d
50
>xf
2
Suman
20
30 c_12_3
Por propiedad
20d
4%
b-d
16
8 2
3
Del primer dato
4
b-d
e
3
30+c+12=96
c=54
b-d=12
»
20+d+8=64
Por lo tanto, la diferencia de los dos primeros
d=36
consecuentes es 12,
_ CLAVE (D)
Por lo tanto, la diferencia de los términos de la
segunda razón es c-d=18,
_Cuave (E)
PROBLEMA
N.? 55
En una serie de tres razones geométricas equivalentes, la suma de los antecedentes es 96 y la
suma de los consecuentes es 64. Si la suma de
los términos de la primera razón y de la tercera razón son 50 y 20, respectivamente,
B)
24
C)
c
halle la
diferencia de los términos de la segunda razón.
A) 12
D) 15
PROBLEMA N.? 56
o+tb_20-b_36
si —=
ll-=c
a'
halle el valor de 20-2b+68£.
30
A)
36
E) 18
Dj
48
B) 10
0) 72.
E) 20
115
Lu MBRERAS EDITORES
Resolución
Resolución
Aplicamos las propiedades de la igualdad de ra-
Aplicamos la propiedad de SRGE
(+)
zones geométricas
(+)
[+]
Sto
MUala (IA
a+b a 2a—b _36
£
li=c
la
o0+5
0
15-0
b+7
ml
PH
+)
(+)
(+)
3a_36
12
'
0+8 b+1 27-0
a+tb+9
20
U
35
a+b+12
a =36x4
Nos piden a+b=x
o=12
x+9
35
20
x+12
Reemplazamos este valor a la igualdad
124b_24-b_36_,
c
l2-c
(+9)
12
x?+21x+108=700
De la segunda razón
24-b
+12)=700
+21x-592=0
9
Xx sn
12=c
X
24-b=36-3c
-16
x=0+b=16
3c=b=12
CLAVE
Nos piden
20-2b+6c
PROBLEMA N.” 58
20+2[3c-b)
En un conjunto de cuatro razones geométricas
2(12)+2(12)
=48
equivalentes continua, la suma
_ CLAVE (D)
meros
tres
consecuentes
últimos
de los tres pri-
es 1170 y la suma
consecuentes
es 468.
suma del primer y del cuarto término.
PROBLEMA
¿048
a+5
A) 12
D) 18
116
N.? 57
b4+1 27-0
1l5-a
b+7
Bj
16
¿ halle el valor de a+b.
€) 20
E)
22
A)
B)
C)
D)
E)
2400
2175
1890
1200
2300
de los
Calcule
la
RAZONES Y PROPORCIONES
Resolución
A)
290
Formamos la serie de las razones geométricas
D)
390
B)
210
Cc)
195
E)
120
equivalentes continua
mk
mk
mk
EE
Resolución
Sea la serie de razones geométricas equivalentes continua
De los datos tenemos
*
me+mk+mk=1170
o
mk(k*+k+1)=1170
»
d
=k
Al sumar tres razones cualesquiera se obtendrá
mk?*+mk+m=468
(11)
3k, entonces
Hk=2
Dividimos (1) + (11)
mkiki+Kk+1) 1170
muta)
k=-
£
(1)
mlk?+k+1)=468
=>
b
AS
nia
me
=>
k= z
3
Formamos nuevamente
168
la SRGE
16m 24m
_36m_5S4m_2
24m 36m 54m 8lm 3
2
Además tenemos
54m -36m=108
Reemplazamos el valor de k en (11)
m=6
m4
4
2
=468
m=48
Nos piden la suma del primer y del cuarto término
'
mk? + mk? =48,
4
[21
O,
5 Y
+48[>)
Por lo tanto, la mayor diferencia se da al restar
el último y el primer término
81m-16m=65m=65/6)=390
_ CLAVE (D)
=2175
_ CLAVE
PROBLEMA N.?” 60
aaa
bbb
bbb
coc
¡ ==
PROBLEMA N.? 59
En una
serie
de
cuatro
ecc
=c,
ddd
halle la suma de cifras
de a:b+c:d, si se sabe que a, b, c y d son diferazones
geométricas
rentes.
equivalentes continua, la suma de tres razones
es 2. Sila diferencia entre el cuarto antecedente
y el cuarto término es 108, calcule la mayor di-
A) 12
ferencia entre dos términos de la serie.
D) 10
B) 8
0) 9.
E)
11
117
LUMBRERAS
EDITORES
Resolución
Resolución
Simplificamos los términos de la SRGE
Sea la proporción aritmética cuyos consecuen-
a0a_bbb_ coc _.
bbb ecc ddd
tes están en la relación de 2 a 1.
110 111b6_11ic_,
111b 1l1c 111d
Por dato tenemos
a-21m=b-=m
LL cuarta diferencial
c
+
axb=1260
+
a+(2m)9+b*+m*=3384
a?+b*+5m*=3384
d
(1)
De la proporción aritmética inicial
Donde se cumple que
e
c-d:c
=
*
b=cc=e
+
a=b:c=0
a-¿m=b-m
d=1
a-b=m
(a—b)"=(m)'
a%+b?-2ab=m"
Al ser a, b, e y d cifras de numerales, estas son
a*+b*-2(1260)=m*
menores a 10; entonces el valor de c=2; b=4,;
a*+b'=m*+2520
o=B.
(11)
Reemplazamos (11) en (1)
Luego
m?*42520+5m?=3384
oxbxcxd=64
=>
m=12
Por lo tanto, la suma de cifras de 64 es 10.
_ CLAVE (D)
Por lo tanto, la cuarta diferencial es 12.
_ CLAVE (C)
NIVEL AVANZADO
PROBLEMA
PROBLEMA
En una
producto
N.? 61
proporción
Los términos extremos de una proporción aritaritmética
el
mética continua están en la relación de 13 a 7.
los conse-
Si se formara otra proporción aritmética continua con los dos últimos términos de la propor-
se sabe
de antecedentes es 1260,
que
cuentes están en la relación de 2 a 1 y la suma
de los cuadrados de sus términos es 3384, Halle
la cuarta diferencial.
A) 8
D) 11
118
8)
N.” 62
ción inicial como términos extremos,
diferencial sería 34. Halle la media diferencial
de la proporción inicial.
10
la media
Cc)
12
Aj
20
E)
13
D)
40
B)
30
Cc) 25
E) 50
RAZONESY PROPORCIONES
Reemplazamos el valor de a en el primer dato
Resolución
Planteamos la proporción aritmética continua
cuyos términos extremos están en la relación
del3a7.
20-b=c-9
29=b+c
(b<c)
by
(—= media diferencial
lim=-o0=0-71m
14
15 [(btoma su máximo valor)
13
16
1 28
20m=20
10m=0
Ahora planteamos la segunda
mética
proporción arit-
Por lo tanto, el máximo valor de b es 14,
_ CLAVE (D)
10m-34=34-7m
17m=68
m=4
Por lo tanto, la media
diferencial de la propor-
ción aritmética inicial es
PROBLEMA N.* 64
Cuatro
números
78 forman
o=10m=40,
_ CLAVE (D)
PROBLEMA N.” 63
Si 9 es la cuarta diferencial de a, b y e (b<c),
además 30 es la tercera diferencial de 3a y 45,
una
enteros
positivos
proporción
que
armónica.
suman
Si el úl-
timo término es cinco veces el primero, y el
tercer término es el doble del segundo, halle la
media diferencial de los términos extremos de
la proporción armónica.
A)
36
D)
18
B)
24
Cc)
12
E)
24
entonces el máximo valor de b es
Resolución
A)
B)
Cc)
D)
E)
15.
13.
12,
14.
11
5
-
Nota
Una
proporción
1
1
E;
término
Resolución
De los datos tenemos
«
es la igualdad
a-b=c-9
30-45=45-30
(b<c)
1
yA
1
de
1
]
]
2 A
3 :er
qe
término
término
término
1 z er
e
armónica
dos razones armónicas.
Sila proporción armónica es continta será de
la forma
1_1_11
ob
boe
a=20
119
LUMBRERAS EDITORES
Formamos la proporción teniendo en cuenta la
relación que existe entre sus términos.
Resolución
Dado que los términos son enteros positivos
partimos asumiendo
que la constante
porcionalidad es z dondeae
de pro-
2* y be
Z*:en-
tonces la proporción será
om
an
a
bm
bm
b
—=—==¡mMAnE
10n—10m=5m-2n
L*
12n=15m
n.-
15
m
12 4k
Donde se debe cumplir que
5k
*
am+bm+an+b-n=40
Además tenemos la suma de los cuatro térmi-
m(a+b)+n(0+b)=40
(a+b)lm+n)=40
nos
(1)
m+n+2n+5m=78
6m+3n=78
»
(om):(bm)-(a-n)-(b-n)=8100
a?-b?.m?.n?*=8100
¿m+n=26
2(4k)+5k=26
a:b:«m-n=390
(10)
k=2
=>
n=5k=10
De (1) y (11) buscamos los valores de a, b, m y n
m=4k=8
Como queremos hallar la media diferencial de
los términos extremos, este será
(a+b)[Ím+n)=40
;
z
5
8
3253
5mM=—x=x-=m
Entonces las proporciones son
x=3m=¿4
_ CLAVE
15105
9
6
3
159,3
10
6
2
9_6_3
1062
15
10
5
10_15_5
PROBLEMA N.” 65
¿Cuántas
a-b-m:n=90
1LJ441
5332
proporciones geométricas de térmi-
nos enteros existen en las que la suma de sus
términos es 40 y el producto de sus términos
es 8100?
6
9
15
9
3
9_15_3
3
6_9.3
10
15
6
10
2
$102
5
5:
15
4
Por lo tanto, existen 8 proporciones.
A)5
DJ8
120
B)
6
Cc)
7
E)9
RAZONES Y PROPORCIONES
PROBLEMA N.? 66
Pero como el costo de aduana por botella es el
Dos negociantes de vinos ingresan por una de
las fronteras del Perú portando uno de ellos 64
botellas de vino y el otro 20. Come no tienen
suficiente dinero para pagar los derechos de
aduana, el primero paga con 5 botellas de vino
y 5/.40; el segundo con 2 botellas de vino, pero
mismo, igualamos ambas razones
este recibe de vuelto 5/,40, ¿Cuál es el precio de
Por lo tanto, el precio de cada botella es S/,110,
5P+40 _2P-40
59
13
90P+720=118P-2360
P=110
cada botella de vino?
A)
B)
C)
D)
E)
S/.100
S/.96
S/.80
S/.110
S/.50
_ CLAVE (D)
PROBLEMA N.” 67
En una
es 87;
menor
rencia
proporción, la suma de los antecedentes
además, la suma de los consecuentes es
de 60, Halle el último término, si la difede los consecuentes es 46.
Resolución
Debemos tener en cuenta que los comerciantes
tienen que pagar los derechos de aduanas por
la cantidad de botellas que ingresan y no por las
botellas que tienen. Entonces
Aj)
18
Dj)
10
B)
14
0.6
E)
22
Resolución
*
Primer comerciante
Tiene 64 botellas y paga con 5 botellas más
5/.40; por lo tanto ingresan 59 botellas. En-
tonces por botella está pagando
—=
Para plantear la proporción partimos de la cons:
;
a
tante de proporcionalidad
p dondeaybe
Z”.
Entonces nuestra proporción será
a.m
an
a
—=—==:
precio de una botella
bm
5P +40
bn
b
MANE
£*
59
De los datos tenemos
=
Eosa(m+n)=87=3x29
LM,
Segundo comerciante
3
Tiene 20 botellas y paga con 2 botellas menos S/.40; por lo tanto ingresan 18 botellas.
bim+n) < 60
e
Entonces por botella está pagando
2P-40
18
23
3
e
29
bim-n)=46=2x23
y
—_
2
23
121
LUMBRERAS
EDITORES
De donde se deduce que
a=3,b=2,m=26
*.
y n=3
mla=b)j-n(a-b)=5
(m-—n)(a-b)=5
Ká——
Entonces la proporción es
(11)
——
5
1
De (1) y (11) se deduce que
2x26
2x3
2
o=2,b=1,m=8
Por lo tanto, el último término es 6.
y n=3
Entonces la proporción es
_Cuave (€)
Por lo tanto, la diferencia entre el mayor térmi-
no extremo y el menor término medio es
PROBLEMA
N.” 68
16-6=10.
En una proporción, la suma de los términos ex-
_ CLAVE
tremos es 19, la suma de los términos medios es
14 y la suma de los cubos de los cuatro términos
es 4851. Calcule la diferencia entre el mayor término extremo y el menor término medio.
PROBLEMA N.? 69
A)
7
D)
4
B)
10
C)
9
E)
5
En una proporción se observa que la diferencia
Resolución
Formamos la proporción a partir de la constante
a:m
an
a
bm
bn
b
—=—=-=;
(a,b,m,n|cZ
.
De los datos tenemos
*
acm+bn=19
*
bm+on=14
*
Om+roan+rbm+bin
4851
de los términos de la primera razón es 14 y la
suma de los términos de la proporción es 104.
Si la constante de proporcionalidad es entera,
determine la media diferencial de los términos
medios.
A)
33
D)
32
B)
34
C)
26
E)
28
Resolución
Al ser la constante de proporcionalidad entera
planteamos la proporción de la siguiente forma:
(a?+b*)]m*+n?)=4851
ak
bk
o
b
—==—=k;
A partir de los dos primeros datos sumando y
[k, a,b cl
restando ambas ecuaciones obtenemos
De los datos tenemos
*
+
mla+bj+nla+b)=33
(m+n)jlla+b)=33
an
122
3
(1)
de
ok-a=14
a(k-1)=14
7
2
5)
RAZONES Y PROPORCIONES
*
ak+a+bk+b=104
Por dato tenemos
a(k+1)+b(k+1)=104
,
(a+b)(k+1)=104
26 4
01)
ok +ok_3
dak+a
1
Ak UD _3
¿Usb
De (1) y (11) dado que todos los términos son enteros se deduce que
1
k=3
k=3,a=7 y b=19
*
Entonces la proporción es
ak +ak+ak+0=3600
olk+1)?=3600
a(4)?=3600
a=225
Para calcular la media diferencial de 7 y 57 realizamos
Por lo tanto, la media proporcional es
57-x=x-7
ak=225(3)=675.
x=32
_ CLAVE
_ CLAVE (D)
PROBLEMA
PROBLEMA N.? 71
N.* 70
En una proporción continua, la suma de los téer-
En una proporción continua se sabe que el pri-
minos de la primera razón es a la suma
de los
mer antecedente es 9/16 del último consecuen-
términos de la segunda razón como 3 es a 1;
te, Además, la media proporcional y la diferen-
ademas, la suma de sus términos es 3600, Halle
la media proporcional.
cial entre el mayor y el menor de los términos
extremos
de esta proporción forman
una pro-
porción aritmética continua, cuya tercera dife-
A) 320
D)
B) 675
360
C) 450
Ej
Resolución
Sea la proporción continua
ak?
e —
ok
a
K
rencial es 54. Calcule la suma
de los terminos
diferentes de la proporción inicial.
420
A)
B)
C)
D)
E)
2020
756
198
999
198
123
LUMBRERAS EDITORES
E
Resolución
A)
Sea la proporción continua
8)
A+B
A+B
a_b
b
A'B
2
A-B
D) 24:B
e
c)
A=B
E)
A+B
AB
A+B
A-B
Por dato tenemos
Resolución
g
0=—f
16
Observación
a_ 27
Para que los vinos sean de la misma calidad,
c
los ingredientes que se usan deben estar en
16m
la misma relación.
Situación inicial
Entonces la proporción es
9m
_12m
12m
16m
Luego
formamos
una
proporción
aritmética
continua
Alitros
12m-3m=7m-54
Cuando se van a intercambiar x litros de
vino en ambos recipientes, habrá vino del
primer tipo y vino del segundo tipo,
m=27
Finalmente
hallamos
B litros
la suma
de los términos
Situación final
diferentes de lá proporción inicial
9m+12m+16m=37(27)=999
_ CLAVE
PROBLEMA N.? 72
En un recipiente se observa que hay A litros de
Como queremos que tengan la misma calidad, la relación de los ingredientes debe ser
un tipo de vino y en otro se tiene 6 litros de otro
el mismo.
tipo de vino. ¿Cuántos litros de vino se deben
intercambiar para que ambos vinos sean de la
misma calidad?
124
a... PAZONES Y PROPORCIONES
Aplicamos propiedades
Nos piden
xx +(B-x)
A=x (A-x)+x
Xx
$/(a, —b, Ja, -b,)(a3 —b)(a4 —ba)
Y/(b,k-b,)(b,k—b>)(byk— ba )(bik—bx)
_B
A=x
A
Y, xb,x by xba(k-1)*
x4=4B=xB
á
81
79
qa (2.,) =12*.=5688
É
y
2
x(A+B)=AxB
AxB
x= —_—
A+B
Ax
Por lo tanto, se debe intercambiar
de vino.
cave (BD)
PROBLEMA N.? 74
En una serie de tres razones iguales se observa
que la diferencia de los términos de cada razón
es 30, 45 y 55; además, el producto de los consecuentes
PROBLEMA
N.*? 73
=k y se sabe
que
=181?*, además
. b, «b,:b3:b,¿=12",
498
a¡0,-03:04=18
halle $/(0, - b, )(a, —b, )(az —b3)(04 —ba).
es 203 742. Calcule el mayor de los
antecedentes, si la constante de proporcionalidad es menor que uno.
A)
18
D)
24
B)
21
Cc)
22
Ej
12
Resolución
A)
648
D)
1296
Bj
2844
O
1024
E)
5688
Sea la serie de razones
A
OS!
bd
Resolución
Donde
De la serie
b-0=30,4-c=45
0 _%_%_0_
by
b,
bz
Aplicamos las propiedades de SRGE
ba
A E
=a
181?
12
y f-e=55
d-e
fe
de
2
30
45
5
6
9
11
125
LUMBRERAS
EDITORES
al
Además por dato tenemos
Tenemos tres opciones para k y m
bxdxf=203 742
Si
(6m)(9m)11m)=203 742
k=3 y m=7
189 _63 _21_
63 21
m=/
7
Donde la suma de consecuentes es 91.
Entonces
b=42
=
a=12
d=63
=>
c=18
f=T11
=>
e=22
Si
k=7
y m=1
343 __B_ E
49
7 a
Donde la suma de consecuentes es 57.
Por lo tanto, el mayor antecedente es 22.
_Cuave (€)
Sik=2
y m=21
168_84_42_
84
42
21
Donde la suma de consecuentes es 147,
PROBLEMA N.”? 75
Por las alternativas, la respuesta es 91.
En una serie de tres razones geométricas equivalentes continua de constante entera, la dife-
_ CLAVE (E)
rencia entre el mayor consecuente y el menor
antecedente es 42, Halle la suma de los consecuentes.
PROBLEMA
Aj
94
B)
87
D) 98
Cc)
100
E)
81
Resolución
Formamos la serie de tres razones geométricas
equivalentes continua
mk 3 _ mk?2 mk
—=
mk
mk
=—=k;
m
keZ'
N.? 76
En una serie de cuatro razones geométricas
equivalentes continua, se cumple que la suma
de los dos primeros términos es a la suma de
las términos tercero y cuarto como 5 es a 2, Si
la suma de los antecedentes excede a la suma
de consecuentes en 2436, halle el penúltimo
consecuente.
A)
160
Dj)
225
B)
175
C)
140
EY
150
Por dato tenemos
mk?—=mk=42
Resolución
mk(k-=1)=42
Partimos la serie de cuatro razones geométricas
LI
73:
17
21.2
126
equivalentes continua
2
6
1
RAZONES Y PROPORCIONES
+
Por dato tenemos
mk +mk?_5
mk?+mk?
*«
2
e
25
0+l0=ck
(11)
2
b+27=6k
Para que se pueda dar la igualdad, k debe ser
por lo menos 5.
2
Reemplazamos (1) en (11)
(més+mii+mk+mk)-
bk+10=ck
(mi +mk?*+mk+m)=2436
10=k[c-b)
mk*-m=2436
mm
(1)
*
mk(k+10_5
mk Uk)
0=bk
+
3486
=>
m:=6b4
=
Por lo tanto, el penúltimo consecuente es
k=5
10
1
4
:
porque
k es minimo.
y c-b=2
Reemplazamos el valor de k en el tercer dato
mk=64| 5 )=160.
b+27=6(5)
_Cuave (A)
=>
b=3
Como c-b=2, entonces c=5
Finalmente en (11)
a+10=5(5)
=>
u=15
o+b+c=23
PROBLEMA
Si
a_
b
a+10
c
cul)
N.? 77
y b+27
6
=k, halle a+b+e,
si k es
entero y el menor posible. Considere que a, b y
PROBLEMA
c son enteros positivos.
En una serie de cuatro razones geométricas equivalentes se cumple que la suma de los tres pri-
A) 28
DJ)
B) 40
Cc) 25
30
E)
23
meros
N.” 78
antecedente
es 22, la suma
de los tres
últimos consecuentes es 57, el producto de los
tres últimos antecedentes es 1440 y el producto
de los tres primeros consecuentes es 972, Halle
la media diferencial de los términos extremos
Resolución
Si k es entero al igual que a, b y c, tenemos que
o_a+10_b+27_
=b
c
6
k
donde ke Z* y kes mínimo
de la serie, si se sabe que al sumar dos razones
cualesquiera de la serie se obtiene 4/3.
A) 17
D) 19
8) 20
Cc) 23
E) 14
12/
LUMBRERAS
EDITORES
-U
Resolución
A) 12
ao.
e
9
Sea la SRGE====-==“=k,
bd
f h
D)
Partimos del último dato; como todas las razones
valen k, al sumar dos cualesquiera se obtendrá
Resolución
22
—
3
ez
B) 32
24
E)
3
3p
3q
2¿m+2n+2p=22
—>
*
3n+3p+3q=57
>
*
2nx2px2g=1440
2
2b+4
k
k+1
AE
(+)
22
7b+5
22
=
b-1
n+p+q=139
=>
5b+1
g
Ab-A
m+n+p=11
=>
1l6-g_
AA
(-)
3
e
3mx3nx3p=972
(+)
Eo
b+5
De los demás datos
e
Y
a
0-2 _0a+6
2m_2n_20_24_2
3n
18
Aplicamos propiedades a la igualdad de razones
Teniendo k reconstruimos la SRGE
im
Cc) 16
7b+5
14b+10=22b-22
nxpxq=180
32=8b
mxnxp=36
De los cuatro datos se obtiene que m=2, n=6,
p=3
y
q=10 0
también m=2, n=3, p=6
y
g=10.
Reemplazamos el valor de b en las dos primeras
fazOnes
o-2 a+6
g
Pero como piden la media diferencial de los términos extremos,
2m=4
estos terminos serán siempre
3
y 3qg=30.
4430
2
=
PROBLEMA N.? 79
Si se cumple que
128
4a=32
>
YA.
_Cuave (A)
halle (a+b)k.
7
/a-14=30+18
Por lo tanto, su media diferencial es
X=
A
o-2_0+6 16-a_
k
b+5
5b+1
2b+4
k+1'
a=8
Luego
>
a-2_ 8-2.
2 _
b+5
3
4+5
k
k+1
k=2
(a+b)jk=24
_cuave
(D)
A se» 9
b
35
d
determine o+b+c+d. Con-
sidere que o, d, b y c forman
aritmética,
una proporción
—>
uu
| un
Sipa
65
_10
d
c|a
N.* 80
.
PROBLEMA
cerim
RAZONES Y PROPORCIONES
n
ñ
Pero por dato tenemos que a, d, b y c forman
una proporción aritmética
o=d=b=c
A)
65
D)
80
B)
68
C)
76
E)
81
1lim=-5n=3n=7m
¿0m=8n
pr, 28
n
Resolución
De la igualdad de razones
Igualamos
o 6
c_10
65b 35
o =p
d
Sk
Luego la igualdad de razones es
13(2k) _
65 _T(2K) _ 10
65
3(5k)
35
S(5k)
—
k=1
Igualamos
o+b+c+g=80k=80
_Cuave (D)
129
- PROBLEMAS PROPUESTOS
add
"O
En una proporción
NIVEL BÁSICO
aritmética continua se
cumple que la suma de antecedentes es 99
y la suma de los consecuentes es 57. Halle
5iA es la tercera diferencial de 52y 38, ade-
la media diferencial,
más B es la cuarta proporcional de 15, 10 y
21, halle la media diferencial de A y B.
A)
22
D)
12
B) 24
A) 38
D) 40
C) 19
B) 29
C) 39
E)
27
E) 17
En una proporción aritmética, la suma de
los términos extremos es 80 y los términos
Sean
medios están en la relación de 5 a 3, Calcule
*
[media diferencial de 73
y 37
+
C: cuarta proporcional de 6, 8 y 30
+
H: tercera proporcional de 2 y 6
la diferencia de los términos medios de la
proporción.
Halle la cuarta diferencial de /, Cy H.
A)6
D) 3
B)
8
Cc)
12
E)
7
A) 30
D)
8) 15
24
Cc) 18
Ej)
20
En una proporción aritmética, los términos
De
una
proporción
aritmética,
donde
el
tercer término es mayor que el segundo, la
suma de sus términos es 86 y el producto de
sus términos
medios es 450, Halle la suma
de cifras del tercer término de la proporción.
A)
6
D)9
130
B)
8
extremos están en la relación de 7 a 3 y los
términos medios son entre sí como 3 e5a 2.
Si la suma del segundo término y del último
término es 72, halle la media diferencial del
primer y del tercer término.
C)4
A) 44
E) 7
D) 22
B) 32
C) 46
E) 18
aL
RAZONES Y PROPORCIONES
mM
1.
En una proporción geométrica continua, la
11.
La suma de las razones de una proporción
suma de los términos iguales es los 5/13 de
geométrica es 6/5, la suma de sus cuatro
la suma de los extremos, Si la razón de la
términos es 56 y la diferencia de los térmi-
proporción es menor que uno, halle dicha
nos extremos €s 3, Halle el segundo término.
razón,
A) 1/7
B) 2/7
D) 1/3
C) 2/3
E) 1/5
UNMSM
2004-1
A)
30
D)
25
B)
20
du35
E)
5
12, De una proporción se sabe que los consecuentes están en la relación de 3 a 4, la
La diferencia del primer y del último tér-
suma de antecedentes es 14 y la diferencia
mino de una proporción continua es 120.
de los términos medios es 4. Halle la cuarta
Calcule la media proporcional, si la suma de
proporcional.
los cuatro términos es 300.
Aj
36
B) 63
D) 75
C) 54
E)
A) 12
D) 20
B) 15
Cc) 14
E) 16
48
En una proporción geométrica continua de
13, De una proporción cuya constante de proporcionalidad es entera se sabe que la
constante menor a uno, la suma de los con-
suma de los cuadrados de sus cuatro tér-
secuentes es 30 y la razón aritmética de los
minos
antecedentes es 4. Calcule la suma de cifras
cuatro términos.
es 290,
Determine
la suma
de sus
del primer término de la proporción.
A) 12
D) 8
8)
10
C)
6
E)
9
En una proporción geométrica continua de
constante entera, la suma de sus términos
A)
B)
C)
D)
E)
30
32
28
29
31
es 45. Halle la suma de cifras del mayor de
los términos.
A)3
D)2
14, Si —
B) 5
Cc)6
E)
4
A) 18
D) 13
E, PE
B) 16
2 halle c+a-b.
Cc) 15
E) 21
131
LUMBRERAS
EDITORES
Esta,
ba
19. En una igualdad de tres razones geométri-
f
cas equivalentes continua, la suma
F .. -2
E
ale
además
S0
5f+3b
dos primeros términos es 189 y la suma del
á
da—-f
de los
último término con el cuarto término es
336. Halle el último consecuente.
hallea 23E1]
deb-f!
Aj
4
B)
6
Dj 9
16. 1
aca
b
ce
C)
8
E)
12
tito
o
boe
A) 144
D) 96
E
Si
16
halleBb.
A)
4
D)
10
B)
12
Cc)
16
E]
8
a)
€)':36
E)
Jara
xJb+o
Je+16
2
3
A
En una serie de razones iguales, los antece-
B) 36
72
192
= k y la media
,
C) 56
D) 80
21.
E) 64
La suma, la diferencia y el producto de dos
números están en la relación de 17, 3 y 140,
dentes son 3, 5, 7 y 8, y el producto de los
consecuentes es 13 440. ¿Cuál es la suma
respectivamente. Halle el menor de dichos
de los consecuentes?
números.
A)
23
D)
92
En una
B)
46
C)
69
A)
20
E)
125
Dj)
14
serie de tres razones geométricas
menores de uno, la diferencia de los términos de cada razón es 7, 9 y 12, respectiva-
mente. Si la media diferencial del primero
y del quinto término es 19, calcule la suma
de los consecuentes.
A) 168
D) 84
132
48
diferencial de a y c es 80, halle b.
UNMSM 1995
17,
8)
B) 36
C) 56
E) 42
22.
Bj)
10
Ed
E)
0+e
c+e
€
b+f
d+rf
du
Si se cumple ——=--—====k,
p
16
RAZONES Y PROPORCIONES
23. 5
|
A] 42
a+b+18 —b+15_ 0+3
2lo+b)-18
0+15
b+12'
B) 35
Cc) 14
D) 21
E) 28
halle la tercera proporcional de o y b.
A) 20
D) 25
24,
$
B) 16
y9
Cc) 18
E) 15
Y
Ja-3 Jb=s vVe-7
calcule
UNMSM
2B,
B)
16
,
A) 4/7
D) 3/5
6
E)
12
30
12
halle el valor de 2%
a+b
ea ihE3600,
Cc)
o
b
geométrica
— ==—,
proporción
Ere
la suma de cifras de e.
A) 13
D) 10
Dada la
2007-1
B) 3/7
C) 2/3
E)
3/8
29. Calcule la razón de una serie de razones
geométricas
equivalentes,
donde
la suma
25. En una serie de tres razones geométricas
de cuadrados de los antecedentes es 116
equivalentes continua, cuya constante es
entera, la suma del segundo antecedente
con el último consecuente es 208. Halle la
diferencia del primer y del último antecedente.
y la suma de los cuadrados de los conse-
A) 480
D) 960
B)
720
C)
940
Ej
840
26. El primer y el último término de una serie
de tres razones geométricas equivalentes
continua están en la relación de 27 a 512,
y la suma de antecedentes es 1746, Halle el
cuentes es 29.
A)3
D)2
30.
B) 2/3
C) 4
E]
32
Si se cumple
a
bi
by
el
bi"
donde k.es un entero positivo, y que
segundo término.
A) 324
B) 524
D) 346
C) 428
Entonces el valor de k es
E) 432
Aj
27.
527
bodf
halle el valor de a.
b4dej=14 y esfast,
1.
D) 4.
B) 2.
E) 3:
Ele.
UINI 2008-1
133
LUMBRERAS
EDITORES
35.
NIVEL INTERMEDIO
En una proporción continua, la diferencia
del primer y del último término (en ese orden) es 64 y la suma de los consecuentes es
31, Si la razón de A y B es 3/2 y la de € y Des
96. Halle la suma de los términos diferentes
5/7, además la media diferencial de D y A
de la proporción.
es 26 y la tercera proporcional de B y C es
25, halle la tercera diferencial de A+B y D.
A)
12
D)
16
B) 18
C) 15
184
D)
166
B)
196
Cc)
212
E) 204
E) 28
36.
32.
A)
En una proporción de constante entera, la
suma
Si la suma de los cuatro términos enteros
positivos de una proporción aritmética
de los términos extremos
es 29 y la
de sus términos medios es 23. Halle la diferencia de sus consecuentes.
continua es 20, halle cuántas proporciones
aritméticas cumplen con dicha condición.
A]
2
B) 3
A) 3
D)8
C) 4
DI5
E)
4
Cc) 6
Ej9
6
37.
33.
B)
En
una
proporción
geométrica
de
razón
5/4, la suma de los términos es 45 y la di-
En una proporción aritmética continua, la
ferencia de los consecuentes es 4, Halle el
diferencia de los extremos es 134; además,
la suma de los antecedentes es a la suma
mayor de los términos de la proporción.
de los consecuentes como 9 es a 7, Deter-
A) 12
D) 18
mine la media diferencial,
A) 134
D) 201
B)
268
Cc)
128
E)
198
En una proporción
la
En una proporción, la suma de los términos
de la primera y del segunda razón son 25
y 10, respectivamente. Si sabemos que la
suma de sus términos es 172 y la diferencla de los términos extremos es 58, Halle la
diferencia de los antecedentes es 9, calcule
suma de antecedentes,
la diferencia de los consecuentes:
A) 112
D) 115
134
aritmética continua,
Cc) 16
E) 20
UNI 2012-1
38.
34.
B) 15
B)
113
C)
114
E)
110
A) 6
D) 15
B) 8
0)
12
E) 3
.
RAZONES Y PROPORCIONES
39.
A) 84
D) 70
En una proporción geométrica, la suma de
los extremos es 21 y la suma de los medios
B) 76
Cc) 60
Ej
90
es 19. Calcule el mayor de los términos de
dicha proporción, si la suma de los cuadra-
dos de los cuatro términos es 442,
43,
Calcule
tres números
mentados
40.
A)
10
D]
15
¿Cuál
B)
9
es la diferencia
entre
en 7, 9 y 11,
que
au-
respectivamente,
sean proporcionales a 13, 14 y 15. Dé como
respuesta el mayor de dichos números.
Cc)
E)
consecutivos
18
A) 35
D) 32
los extremos
de una proporción continua, si la suma de
sus cuatro términos es 36 y la razón entre
la suma y la diferencia de los dos primeros
B) 40
C) 34
E)
40
. En la siguiente serie de razones geométri.
ACE
OSG
términos es 37
cas equivalentes —=-=—=-—=-—
BODFAH
se cumple
que
41,
AJ
9
D)
14
8)
10
C)
12
e
B4+C+E+G=74
El)
16
e
A+D+F+H=124
ss
B+D+£+H=144
En una proporción, el tercer término exce-
Halle
A -B.
de al primero en 15 unidades y el último
término excede al primer consecuente en
18 unidades, Si el producto de los dos últi-
A)
B)
C)
D)
E)
mos términos es 1470, halle la suma de los
dos primeros términos.
A) 44
D)
B) 38
67
C) 53
E)
324
360
480
286
384
22
45.
La suma de las tres razones que forman una
42. En una proporción geométrica de términos
serie de razones geométricas equivalentes
pares de constante mayor que uno se sabe
que el consecuente de la primera razón es
igual a la suma de los términos de la otra ra2ón; además, la suma de los cuadrados de
continua es 2, Además, la diferencia entre
los términos de esta última
el último antecedente y el primer consecuente es 12, Calcule la suma de los. extremos.
razón es 208.
Calcule la suma de los términos de la proporción.
A)
60
D)
80
B)
70
€) 50
E) 55
135
LUMBRERAS
EDITORES
En una serie de cuatro razones geomeétricas equivalentes continua, la suma de los
0+2
0+4
b+2
2b-S5
43. 5 ===
30
==
3b-3
calcule 0: b,
términos de la primera razón más la suma
de los términos de la tercera es igual a 680.
A) 64
D) 84
A) 48
B) 32
C) 45
D) 64
E)
50. S
36
A M
p
C) 60
E). 72
m |
proporcionalidad es entera.
B) 40
Mu |os
Halle el cuarto término, si la constante de
,(M+P)A+EJNR4Z)=8*,
calcule ÍM-A-R +YP-E-Z,
47.
5 9B_€_£
be
f
d
y d-c=8b*,
2
hall a
rbó+be
A) 1
A) 512
D) 1024
E
€
B) 2
C) 3/2
D) 2/3
B)
1200
Cc)
1000
Ej 600
NIVEL AVANZADO
E) 5/2
51.
ABOD
extremos están en la relación de 9 a 5. Si la
48. Sabiendo que — == ==
MEG
En una proporción aritmética continua, los
DA?
diferencia de cuadrados de los términos de
(A+a)(B+b)(D+d)=Mf,
la segunda razón es un número de tres cifras
lo menor posible, halle la media diferencial.
calcule AS
a
A) 30
A) M
a) Ym
OQ
52.
14
En
una
21
Cj
12
E) 28
proporción
discreta
de
constante
entera, los términos medios son dos ente-
En
M
a1—
ros consecutivos, la suma de los extremos
es 28 y la diferencia de consecuentes es 5.
Calcule el mayor de los términos.
D) mM?
E) mi
UNI. 2001-11
136
Dj)
B)
A) 22
D) 19
B) 11
dl clk
E) 35
RAZONES Y PROPORCIONES
53.
En una proporción geométrica se cumple
que sus términos están ordenados en forma
creciente; además, la suma de sus tres mayores términos es 92 y la diferencia de los cuadrados de los términos extremos es 1881.
A) 80
D) 60
57.
debe sumar al antecedente y al mayor con-
secuente para que en ese orden formen una
proporción geométrica continua?
B) 72
En
una
proporción
B) 5
Cc) 4
E) 10
término están en la relación de 9 a 7, res-
pectivamente. Calcule la cuarta proporcio-
Halle la suma de los extremos de dicha pro-
nal, si la diferencia de los términos de la
primera y de la segunda razón son 45 y 60,
respectivamente; además, la constante de
proporcionalidad es menor que uno.
porción.
Cc) 28
E) 32
A)
8)
Cc)
D)
E)
55. En una proporción geométrica de terminos
28
En una proporción, el segundo y el tercer
cumple que la suma de antecedentes es
112 y la diferencia de consecuentes es 12.
B) 100
E)
cons-
tante de proporcionalidad mo es entera, se
A) 90
D) 96
30
En una proporción geométrica continua, la
A) 6
D) 8
cuya
Cc)
drados de los cuatro términos es 400, halle
la media proporcional.
C) 53
E) 36
continua,
45
suma de los términos de la primera razón
es a la suma de los términos de la segunda
razón como 6 es a 2. Si la suma de los cua-
¿Cuál es la cantidad entera positiva que se le
A) 48
D) 63
B)
enteros,
la suma
de los extremos
es
72 y la suma de antecedentes es 60. Si los
términos medios están en la relación de 8 a
9, calcule la media diferencial de los térmi-
108
120
72
60
24
nos medios.
59.
A)
68
8)
D) 34
51
C)
36
La suma de los cuadrados de los cuatro
términos de una proporción es 250, Si la
E)
72
diferencia de los extremos es 5 y la de los
medios es 13, calcule la suma de los cuatro
56. Si se sabe que b es la media proporcional
términos.
Ea
deo y
a” +b
1
c,0+b+ce=124 y =—=—,
SE
halle a: b,
Ei
25
A) 22
D) 28
B) 24
C) 26
E) 30
137
LUMBRERAS
EDITORES
De una proporción, cuya constante de proporcionalidad es mayor que dos, se sabe
63, Sean a, b,c y d números naturales, tales que
a oa+c b
que la diferencia de antecedentes es 7 y la
suma de consecuentes es 18. Determine
la suma de cifras del mayor término de la
proporción.
Ll
—===—===k;
Il.
d-c=39
b
d
c
keN/11; 2
A
)
Entonces el valor de d—b es
A) 8
A)
B)
D) 7.
10
1.
B)
3.
gs
E) 11.
Cc) 12
D) 14
E)
UNI 2006-11
64.
9
Si
10+a _11+b_ 100+c _
61.
10-a 11-b
En una proporción geométrica de términos
enteros positivos, cuya
constante de pro-
porcionalidad es mayor que
que 3, se sabe que la suma
dos de sus términos es 2925
de los términos de una razón
la diferencia de los términos
a+b+c=k*-1, halle el valor de k.
1 pero menor
de los cuadray la diferencia
es el doble de
de la otra ra-
zón. Determine la suma de cifras del mayor
de los términos de dicha proporción.
100-c
A)
5
D)
9
B)
10
B)
5
D)3
11
Ej
8
65. Sea r> 1. Si
1+a_20+b_50+c
A)6
Ec)
ll-o
C)4
20-b
=p3
50-c
a+b+c+1=1FÍ, halle el valor de r.
E)7
A)
62. Cuatro enteros positivos que suman 59 for-
8
Bj)
4
D) 2
man una proporción armónica en la que los
C)
6
E)
10
términos medios están en la relación de 1
a 2; además,
resulta ser la media proporcional de los
antecedentes. Calcule la diferencia de consecuentes de la proporción inicial, si el segundo término es menor que 11.
138
A)
13
D)
15
UNMSM 2013-1
la mitad del último término
Bj)
10
c)
12
E) 16
66.
5
a+3
5, a
o+9
za
b
0u+b+6
S
halle la suma de cifras de a-b,
A) 12
D) 48
B) 8
Cc 9
E)
24
RAZONES Y PROPORCIONES
57. En una serie de cuatro razones geométricas
Cuatro números enteros positivos (a, b, e y
equivalentes se observa que la suma de los
términos de cada razón es igual a 55, 30, 20
y 10. Calcule en cuánto excede la suma de
d) están relacionados de la siguiente forma:
ad b
b
los consecuentes a la suma de los antecedentes, si la suma de los cuadrados de las
cuatro razones es igual a 16/9.
a? +b
”
a+b+e
e
Si b=k- a, entonces a+b+c+d es igual a
A) k+k?+k-1.
A) 20
D) 15
B)
23
C)
18
Ej 24
68. Sia y bson números enteros positivos, además se cumple que
B)
k-k*+k+1.
C) k+k-1.
D) k-k+1.
EJ k+k2-k-1.
0+1_2b+5_0+b+2
b+1
7a—-1
50
UNI 2000-11
F
halle la suma de cifras de a: b.
A) 5
B) 7
Cc) 4
D)9
E) 8
70. $
|
ecumPle
siendo
4a+12 3b+16 Sa-5
gh
Aa
a, b y n enteros
5
8b-2
positivos.
=
n
n+1
Calcule
b-n+a,
A) 84
D]
56
B) 48
C) 52
E)
42
139
4 -30
"Nivel
«Alain
intermedio
51 . 50
15
29
43
57
16
30
44
58
17
231
45
59
18
32
19
33
47
61
20
34
48
62
21
35
49
63
22
36
50
23
37
51
10
24
38
52
11
25
39
53
67
12
26
54
$
RAZÓN
13
27
41
55
14
28
42
56
E
ly
..
"nivel avanzado
E
70
8
twitter.com/calapenshko
65
70
Claves.
PROPORCIÓN
15
29
43
C
57
16
30
44
E
58
17
31
45
B
59
18
32
46
B
19
33
47
E
61
20
34
48
A
62
21
35
49
C
63
22
36
50
D
23
37
51
B
65
10
24
38
52
A
66
11
25
39
53
£
67
12
26
40
54
B
68
13
27
41
55
D
69
14
28
42
56
A
+
BIBLIOGRAFÍA
INSTITUTO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES. Aritmética: análisis del número y sus
aplicaciones. Lima: Lumbreras Editores, 2008.
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08/09/2012).
twitter.com/calapenshko
Lu2mbreEditraoress: |
PL BL
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RT TE