Regla o correspondencia Una función es una regla, o una correspondencia, que relaciona dos conjuntos de tal manera que a cada elemento del primer conjunto corresponde uno y solo un elemento del segundo conjunto. Ejemplo: Se pide a 4 alumnos, primero, que escriban su nombre y edad; y después, que escriban su nombre y la marca de celular que les gusta. Rosana ……. 18 José……..….. 20 Julia…………. 25 Pedro………. 17 Rosana ……. Samsung, Iphone José……..….. Huawei, Sony, Samsung Julia…………. Blu, Iphone Pedro………. Iphone Definición Una función f desde un conjunto X hacia un conjunto Y es una regla que asigna a cada elemento x en X un elemento único y en Y. El conjunto x se llama dominio de f. El conjunto de elementos correspondientes y en Y se denomina imagen de f. * A menos que se diga lo contrario, se considerarán a los conjuntos X e Y como numéricos. Valor de una función Sea f una función • El número y de la Imagen que corresponde a un número x escogido del dominio es el valor de la función en x, o la imagen de x en y, f(x). • El valor de y depende de la elección de x, por lo que se le denomina variable dependiente; a x se la llama variable independiente. • Con frecuencia se definen funciones mediante una fórmula o ecuación: • 𝑦 = 𝑥2𝑜 𝑓 𝑥 = 𝑥2 Muchas veces se comparan a una función con una computadora. La entrada x es transformada por la máquina f en la salida f(x) Gráfica La gráfica de una función f es el conjunto de puntos ሼ 𝑥, 𝑦 /𝑦 = 𝑓 𝑥 , 𝑥 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑓ሽ En el plano cartesiano, como consecuencia de la definición, una función se caracteriza geométricamente por el hecho de que toda recta vertical que corta su gráfica lo hace exactamente en un punto. Tipos de funciones Polinómicas Algebraicas Racionales y = 2x+1 y = 2x3+3x2-2 y= 2𝑥 2 +3𝑥 5𝑥 3 −𝑥 2 Radicales 𝑦 = 2𝑥 + 1 Exponenciales 𝑦 = 𝑒 −2𝑥 Logarítmicas 𝑦 = log 𝑥 + 5 FUNCIONES Trascendentes 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 Trigonométricas 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 Dominio e Imagen Ejemplo 1: 𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙𝟐 − 𝟐 Ejemplo 2: 𝒇 𝒙 = 𝒙 − 𝟏 Ejemplo 3: 𝒇 𝒙 = 𝟏 𝒙 Ejemplo 4: 𝒇 𝒙 = 𝟏 𝒙−𝟐 Funciones Polinómicas Son las funciones del tipo: 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒏 𝒙𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏 𝒙𝒏−𝟏 + 𝒂𝒏−𝟐 𝒙𝒏−𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟏 𝒙 + 𝒂𝟎 • El Dominio de una función polinómica son todos los números Reales • n es un número natural y el valor más alto nos da el grado del polinomio. • 𝑎𝑖 son los coeficientes del polinomio, números Reales. • Si 𝑓 𝑥 = 𝑎0 la función es constante. • Si 𝑓 𝑥 = 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 con 𝑎1 ≠ 0, la función es lineal. • Si 𝑓 𝑥 = 𝑎2 𝑥 2 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 con 𝑎2 ≠ 0, la función es cuadrática. Función Lineal • Una función lineal es una función que cambia a una tasa constante respecto a su variable independiente. • Su gráfica es una línea recta. • Su ecuación general es: m= pendiente de la recta b= ordenada al origen La pendiente de la recta: m • Mide la inclinación de la recta respecto al eje positivo de las x. • No es un ángulo, es un número. • Por definición es la tangente del ángulo de inclinación. 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 𝒕𝒈α = 𝒎 = 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 La pendiente de la recta: m • El signo de la pendiente indica si la función es creciente o decreciente: • Si m es positiva, la función es creciente, porque a medida que aumenta x, también aumenta y. • Si m es negativa, la función es decreciente, porque a medida que aumenta x, disminuye y. • Las rectas azul y roja tienen pendiente positiva • La recta verde, tiene pendiente negativa. La pendiente de la recta: m • Si la recta es horizontal, su inclinación es 0 grados, por lo tanto su pendiente es m=0. Se suele llamar función constante. • Una recta vertical, tiene pendiente infinito (tangente de 90 grados). La ordenada al origen: b • Representa el punto de corte de la recta sobre el eje y o de ordenadas. • Se calcula haciendo x=0. • Puede ser positiva, negativa o nula. Raíz o cero de la recta • Es el punto en que la recta corta al eje x, o de absisas. • Se calcula haciendo y=0. • Puede ser positiva, negativa o nula. Ejemplos 1) 2) 3) 4) 5) 6) 𝑓 𝑓 𝑓 𝑓 𝑓 𝑓 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 =𝑥 =𝑥+1 = 𝑥-1 = 2𝑥 = −2𝑥 − 1 2 = 𝑥 3 1 7) 𝑓 𝑥 = − 2 𝑥+1 Punto – Pendiente: permite encontrar la ecuación de la recta cuando los datos son la pendiente m, y un punto por donde pasa la recta. Ecuaciones de la recta Que pasa por 2 puntos: permite encontrar la ecuación de la recta cuando los datos son las coordenadas de dos puntos por donde pasa la misma. Ejemplos 1) Encontrar y graficar en base a sus características, la ecuación de la recta que pasa por el punto A(2, 3) y tiene pendiente m=2. 2) Encontrar y graficar en base a sus características, la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(2, 3) y B(-2, -4) Rectas paralelas y perpendiculares Las rectas paralelas tienen la misma pendiente 𝒎𝟏 = 𝒎𝟐 Rectas paralelas y perpendiculares Las rectas perpendiculares, forman entre sí un ángulo de 90 grados, y la pendiente de una es la recíproca de la otra cambiada de signo. 𝟏 𝒎𝟏 = − 𝒎𝟐 Ejemplos 1) Encontrar y graficar en base a sus características, la ecuación de la recta que es paralela a 𝑦 = 2𝑥 + 3 y pasa por el punto A(2, 3). 2) Encontrar y graficar en base a sus características, la ecuación de la recta perpendicular a la obtenida en el punto anterior y que pasa por el punto B(-2, -4) 3) Encontrar la intersección entre las rectas 𝑦 = 2𝑥 + 3 y 𝑦 = −2𝑥 +5 Función cuadrática Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma: 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 donde a , b y c (llamados términos ) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero . En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos tiene un nombre. Función cuadrática, su gráfica: la parábola Función cuadrática, su gráfica según los coeficientes 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 𝒂>𝟎 𝒂<𝟎 Cálculo de sus puntos característicos: El vértice Cálculo de sus puntos característicos: sus raíces Cálculo de sus puntos característicos: corte en y Forma factoreada de la función cuadrática Ejemplo 1 Una pieza rectangular es 4 cm más larga que ancha. Con ella se construye una caja de 840 cm3 cortando un cuadrado de 6 cm de lado en cada esquina y doblando los bordes. a) Halla las dimensiones de la caja. b) Graficar la función área en relación con el lado de la caja. Ejemplo 2 El diámetro de la base de un cilindro circular recto es la mitad de su altura. a) Expresar el volumen del cilindro como función de su altura. b) Expresar el volumen del cilindro como función del radio de la base. c) Calcular el volumen cuando la altura es 1,50 m Funciones polinómicas de cualquier grado 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒏 𝒙𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏 𝒙𝒏−𝟏 + 𝒂𝒏−𝟐 𝒙𝒏−𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟏 𝒙 + 𝒂𝟎 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒏 (𝒙 − 𝒙𝟏 )(𝒙 − 𝒙𝟐 ) (𝒙 − 𝒙𝟑 ) …(𝒙 − 𝒙𝒏 ) Ejemplos 𝒇 𝒙 = (𝒙 − 𝟑)(𝒙 + 𝟑) (𝒙 − 𝟔) 𝒇 𝒙 = 𝒙 − 𝟑 𝟐 (𝒙 + 𝟑) (𝒙 − 𝟔) 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑 + 𝟒𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟒 𝒇 𝒙 = (𝒙 − 𝟑)(𝒙 + 𝟑) (𝒙 − 𝟔) 𝒇 𝒙 = (𝒙 − 𝟑)𝟐 (𝒙 − 𝟑) (𝒙 − 𝟔) Función Potencia Son funciones del tipo: 𝒇 𝒙 = 𝒌𝒙𝒏 Donde k es una constante y n un número real • El Dominio de una función potencia depende de n. • Si n es un número natural, son funciones polinómicas simples. Ejemplo 1 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝟗 Ejemplo 2 𝒇 𝒙 = 𝟗−𝒙 Ejemplo 3 𝒇 𝒙 = (𝒙 − 𝟏) 𝒙 Ejemplo 4 𝒇 𝒙 = 𝒙−𝟏− 𝟒−𝒙 Ejemplo 5 𝒇 𝒙 = 𝒙 − 𝟗 − 𝒙𝟐 𝟒−𝒙 Función Racional Son funciones que se forman haciendo el cociente de 2 funciones polinómicas: 𝑷(𝒙) 𝒇 𝒙 = 𝑸(𝒙) • La gráfica es una línea “continua” en los intervalos determinados por los puntos que anulan el denominador. • Su dominio de existencia es R excepto en los puntos que anulan al denominador Q(x). • Si el polinomio del numerador P(x) es de grado n, tiene a lo sumo n raíces, que son los cortes con el eje de abscisas. Función homográfica Es una función racional, cociente de dos funciones lineales: 𝒂𝒙 + 𝒃 𝒇 𝒙 = 𝒄𝒙 + 𝒅 c≠ 0 • Su dominio de existencia es R excepto el valor que anula el denominador (polo o asíntota vertical). • Posee como máximo una raíz. • Posee una asíntota horizontal. • Su gráfica son 2 ramas continuas simétricas, separadas por la asíntota vertical. Asíntota: recta imaginaria a la que se acerca una función sin necesidad de tocarla. Ejemplos Para graficar debemos obtener: • Dominio • Ordenada al origen • Raíz • Asíntota vertical • Asíntota horizontal 𝟏 𝟏) 𝒇 𝒙 = 𝒙 𝟏+𝒙 𝟐) 𝒇 𝒙 = 𝟑𝒙 − 𝟔 Función racional Para graficar debemos obtener: • Dominio • Ordenada al origen • Raíces. • Asíntotas verticales 𝒙+𝟏 𝟏) 𝒇 𝒙 = 𝟐 𝒙 − 𝟓𝒙 + 𝟔 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟖 𝟐) 𝒇 𝒙 = 𝟑 𝒙 + 𝟓𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟗 Función racional 𝒙𝟒 − 𝟒𝒙𝟐 + 𝟑 𝟑) 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝟒 Función racional con asíntota oblicua 𝒙𝟐 − 𝟗 𝟒) 𝒇 𝒙 = 𝒙+𝟏 Sobre asíntotas horizontales y oblicuas de funciones racionales • Si una función tiene asíntota horizontal, no tiene oblicua y viceversa. • ASÍNTOTA HORIZONTAL • Si el grado del polinomio del numerador es menor que el del denominador, la asíntota horizontal es cero, o sea y=0. • Si el grado del polinomio del numerador es igual al del denominador, la AH es el cociente de sus coeficientes lineales. • ASÍNTOTA OBLICUA • Aparece en funciones racionales cuyo grado del numerador es 1 número superior al grado del denominador. • Si el grado del numerador es mayor de 2 números diferente al del denominador, no tiene AO. Función por tramos Una función definida por tramos es aquella que no esta definida por una ecuación sola, sino por dos o más. Cada ecuación es válida para algún intervalo . Funciones por tramos: función valor absoluto Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a tramos, siguiendo los siguientes pasos: 1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces. 2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo. 3. Definimos la función a tramos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función. 4. Representamos la función resultante. 𝟏) 𝒇 𝒙 = 𝒙 −𝒙, 𝒇 𝒙 =ቊ 𝒙, 𝒙<𝟎 𝒙≥𝟎 Funciones por tramos: función valor absoluto 𝟐) 𝒇 𝒙 = 𝒙 − 𝟓 𝟑) 𝒇 𝒙 = 𝒙 + 𝟑 − 𝟐 Funciones por tramos: función valor absoluto 𝟒) 𝒇 𝒙 = −𝟑 𝒙 − 𝟐 Funciones por tramos 𝑥+2 𝟓) 𝒇 𝒙 = ቐ 2 −𝑥 + 3 𝑥<0 0≤𝑥≤1 𝑥>1 Funciones por tramos
