Universidad del Valle de
México
Nombre del profesor:
Eduardo García Ramírez
Fecha de entrega
29/03/2020
Ejercicios
1. Usar la división sintética para obtener el cociente y
el resultado del siguiente ejercicio.
𝟐𝒙𝟑 + 𝟏𝟔𝒙𝟐 + 𝟐𝟖𝒙 − 𝟖
𝒙+𝟓
Desarrollo y explicación del problema
Paso 1: ordena el dividendo en forma descendente de acuerdo a su exponente, si
falta algún exponente coloca un cero en el lugar correspondiente.
𝟐𝒙𝟑 + 𝟏𝟔𝒙𝟐 + 𝟐𝟖𝒙 − 𝟖
Paso 2: Se escriben los coeficientes del dividendo respetando su signo y el
coeficiente del divisor con el signo contrario de la siguiente manera
2
16
28
-8
-5
Paso 3: Se baja el primer coeficiente (2), como indica la flecha.
2
16
28
-8
-5
2
Paso 4: Se multiplica el divisor (-5) por el coeficiente que se bajó (2) y el resultado
se coloca bajo el campo que esta abajo del 16 y se realiza la operación de los
coeficientes de suma o resta según corresponda.
2
-5
2
16
-10
6
28
-8
Paso 5: S e repite el paso anterior, hasta realizar con todos los coeficientes las
operaciones de multiplicación y de suma o resta según corresponda.
2
-5
2
2
-5
2
16
-10
6
28
-30
-2
-8
16
-10
6
28
-30
-2
-8
10
2
Paso 6: Se definen los coeficientes y el residuo que quedo resultante
2
-5
2
16
-10
6
28
-30
-2
COEFICIENTES DEL COCIENTE
-8
10
2
RESIDUO
La respuesta se expresará de la siguiente manera, escribiendo los coeficientes y
agregando la “x” como corresponda bajando un grado a los exponentes, es decir
como en este caso nuestro dividendo es de tercer grado, nuestro cociente será de
segundo grado (uno menos) y el residuo será 2.
Resultado:
𝟐𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟐 +
𝟐
𝒙+𝟓
2. Hallar todas las raíces racionales de
𝒙𝟒 + 𝟔𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝟐𝟔𝒙 − 𝟐𝟒
Paso 1: Identificar el termino independiente y el coeficiente principal.
Termino independiente: 24
Coeficiente principal: 1
Paso 2: Encontrar los divisores del termino independiente (desde el numero 1 al
24) y del coeficiente principal.
Divisores del termino independiente: 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 +12 + 24
Divisores coeficiente principal: 1
Paso 3: Encontrar las posibles raíces dividiendo cada factor del término
independiente entre el coeficiente principal
±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ± 8, ± 12, ± 24
±1
Posibles raíces = ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ± 8, ± 12, ± 24
Paso 4: Buscar las raíces utilizando la división sintética para determinar cuáles de
las posibles raíces son verdaderamente raíces del polinomio, para saber cuáles
son raíces verdaderas el residuo de la división deberá ser igual a cero, de ser
diferente el residuo no será raíz.
Nota: Según el grado del exponente del polinomio será la cantidad de raíces que
se encontrarán, en este caso se deberán encontrar cuatro por el grado de
exponente que se tiene en el polinomio ya que el exponente más alto es 4 (𝑥 4 )
1
1
1
1
-1
1
6
1
7
3
7
10
-26
10
-16
-24
-16
-40
6
-1
5
3
-5
-2
-26
2
-24
-24
24
0
Como el residuo es diferente a 0 el 1
no es raíz
El residuo es igual a 0 por lo tanto 1 si es raíz
NOTA: El procedimiento se puede seguir de la manera anterior colocando los
coeficientes originales del polinomio en cada operación de la división sintética que
se realice o se puede realizar con los coeficientes resultantes de cada operación
para ahorrarse tiempo y espacio, como se muestra en las próximas operaciones.
(Se realiza la siguiente demostración con un procedimiento diferente al anterior
con el fin de conocer los dos procedimientos).
Paso 5: En este paso se pasan los coeficientes resultantes de la operación anterior (1, 5, -2, -24)
para seguir con la identificación de las raíces que faltan
1
5
-2
-24
1
2
7
14
12
24
0
2
Paso 6: Se repite el paso anterior hasta encontrar las raíces que faltan.
1
7
12
1
-2
5
-10
2
-2
No es raíz
Paso 7: Como en la operación anterior no dio raíz, se pasa el penúltimo resultado
para seguir buscando la raíz es decir ( 1, 7, 12) que fue el último resultado con el
que se obtuvo raíz
1
7
12
1
3
10
30
42
3
No es raíz
Paso 8: Se repite la operación hasta encontrar las 4 raíces
1
7
12
1
-3
4
-12
0
1
4
1
8
8
1
4
1
-4
0
-3
4
-4
Las raices son:
X=1
X=2
X= -3
X= -4
No es raíz
Si es raíz
Si es raíz
3. Encuentra un polinomio sobre los enteros (con
coeficientes enteros) cuya función polinomial
correspondiente tenga los ceros 1/2, -1, -2 y 3.
Paso 1: Organizar los coeficientes que da el ejercicio con una x
X= 1/2, X= -1, X= -2 y X= 3
Paso 1: Organizar los coeficientes anteriores con el signo contrario
(𝑥 −
1
) (𝑥 + 1)( 𝑥 + 2)(𝑥 − 3)
2
Paso 2: Se aplica la propiedad conmutativa y para mover los coeficientes a
nuestro favor, y posteriormente la propiedad distributiva con los coeficientes que
se trabajara primero en este caso (x + 1) (x + 2) de la siguiente manera.
(𝑥 + 1)(𝑥 + 2)
= 𝑥 2 + 2𝑥 + 𝑥 + 2
Paso 3: Simplificar juntando los coeficientes que son iguales del resultado anterior
y da como resultado
= 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟐
Paso 4: Se multiplica el resultado anterior con el coeficiente que sigue que es
(x-3) utilizando el mimo método de la propiedad distributiva.
(𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟐) (𝒙 − 𝟑)
= (𝟑𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝟗𝒙 + 𝟐𝒙 − 𝟔
Paso 5: Simplificar como en el paso 3
𝟑𝒙𝟑 − 𝟕𝒙 − 𝟔
Paso 6: Se multiplica el resultado anterior con el coeficiente que sigue que es
1
(𝑥 − 2) utilizando el mimo método de la propiedad distributiva.
(𝟑𝒙𝟑 − 𝟕𝒙 − 𝟔 )( 𝒙 −
= 𝒙𝟒 −
𝟏
𝟐
)
𝟏 𝟑
𝟕
𝟔
𝒙 − 𝟕𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟔𝒙 +
𝟐
𝟐
𝟐
Paso 7: Simplificar el resultado anterior para obtener un polinomio con fracciones.
el resultado anterior para obtener un polinomio con fracciones.
𝒙𝟒 −
𝟏
𝟐
𝒙𝟑 − 𝟕𝒙𝟐 −
𝟓
𝟐
𝒙+𝟑
Polinomio con fracciones
Paso 8: Como las fracciones que tenemos son de ½ multiplicaremos el resultado
anterior por 2 para encontrar el polinomio con coeficientes enteros
= [𝑥 4 −
1 3
5
𝑥 − 7𝑥 2 − 𝑥 + 3] (2)
2
2
Polinomio con coeficientes enteros
Ejercicios con software Geogebra
4. Trazar, en el mismo plano cartesiano, las gráficas de
la relación dada:
a)
{(x, y) / y = x2 - 2, x є R}
{(x, y) / y = - x2 + 2, x є R}
5. Traza, en el mismo plano cartesiano, la gráfica de
cada uno de los sistemas de desigualdades
a) y < x + 2
2y+1 >3x
La imagen anterior cumple con las anteriores desigualdades
b)
2x –y > 0
x+y<3
y≥1
La imagen anterior cumple con las anteriores desigualdades
0
