Universidad Técnica Federico Santa Marı́a Departamento de Matemática MATE11, 2o Semestre de 2022 Certamen 2 Nombre: Paralelo y nombre del profesor: Problema 1: (30 puntos) p √ x2 + p − p (a) lim p √ , x→0 x2 + q − q √ 4 x−1 (b) lim √ x→1 6 x − 1 Calcule los lı́mites siguientes: siendo p, q > 0 Solución: (a) p p p 2 + p − √p 2 + p + √p 2 + q + √q x x x +p− p lim p √ = lim p √ p 2 √ p 2 √ x→0 x2 + q − q x→0 x2 + q − q x +p+ p x +q+ q p √ x2 + p − p x2 + q + q p = lim √ x→0 (x2 + q − q) x2 + p + p p √ x2 x2 + q + q p = lim √ x→0 2 x x2 + p + p p √ √ √ √ x2 + q + q q+ q q = lim p √ = √p + √p = √p 2 x→0 x +p+ p p x2 √ (b) Hacemos u12 = x, entonces MATE11- Certamen 3 √ 4 √ 6 x = u3 y x = u2 . Además, si x → 1 entonces u → 1. Tenemos √ 4 x−1 u3 − 1 lim √ = lim x→1 6 x − 1 u→1 u2 − 1 (u − 1) u2 + u + 1 = lim u→1 (u − 1)(u + 1) 2 u +u+1 3 = lim = u→1 u+1 2 1 Universidad Técnica Federico Santa Marı́a Departamento de Matemática Problema 2: (30 puntos) Determinar a y b en R de modo que para la función f (x), definida por f (x) = a(x3 −x) 3(x−1) 2ax + b x2 −16 x−4 si x<1 si 1≤x≤4 si 4<x lim f (x) y lim f (x) existan. x→1 x→4 Solución: Para que lim f (x) y lim f (x) existan debemos tener x→1 x→4 lim f (x) = lim f (x) x→1− x→1+ ∧ lim f (x) = lim f (x) x→4− x→4+ Ahora: (i) ax x2 − 1 a x3 − x = lim lim f (x) = lim x→1− 3(x − 1) x→1− x→1− 3(x − 1) ax(x − 1)(x + 1) ax(x + 1) 2a = lim = lim = − − 3(x − 1) 3 3 x→1 x→1 (ii) lim f (x) = lim 2ax + b = 2a + b x→1+ x→1+ (iii) lim f (x) = lim 2ax + b = 8a + b x→4− x→4− (iv) lim f (x) = lim x→4+ x→4+ (x − 4)(x + 4) x2 − 16 = lim + x−4 x+4 x→4 = lim x + 4 = 8 x→4+ 2a = 2a + b y de (iii) y (iv) 3 Se tiene el sistema de ecuaciones siguiente: De (i) y (ii), tenemos 2a + b = 2a 3 8a + b = 8 =⇒ 8a + b = 8 6 a= , 5 b=− 8 5 . MATE11- Certamen 3 2 Universidad Técnica Federico Santa Marı́a Departamento de Matemática Problema 3: (a) (25 puntos) Decida si las series siguientes son convergentes o divergentes: 1/3 ∞ 2 X n −1 n=1 n3 + 3 ∞ X nn (b) 2n n! n=1 (a) Consideremos la serie divergente lim n→∞ ∞ X 1 y usemos el criterio de comparación al lı́mite: 1/3 n n=1 1/3 n2 −1 n3 +3 1 n1/3 = lim r r 3 3 n→∞ n2 − 1 n· 3 = lim n + 3 n→∞ n3 − n =1 n3 + 3 Por lo tanto, ambas series presentan el mismo comportamiento; en este caso, como la serie diverge, entonces la serie X n2 − 1 1/3 n3 + 3 ∞ X 1 1/3 n n=1 tambien diverge. (b) Usaremos el criterio del cuociente. Sea an = nn 2n n! (n+1)n+1 2n+1 ·(n+1)! nn 2n ·n! (n + 1)n (n + 1)n · (n + 1) 2n · n! · n→∞ 2n · 2 · n! · (n + 1) nn n 1 n+1 = lim = lim n n→∞ n→∞ 2n 2 n 1 1 n e = lim 1+ = >1 n→∞ 2 n 2 an+1 lim = lim n→∞ an n→∞ = lim por lo tanto la serie diverge. MATE11- Certamen 3 3 Universidad Técnica Federico Santa Marı́a Departamento de Matemática Problema 4: (15 puntos) Suponga que la serie ∞ X an , donde an > 0 para todo n, es convergente. n=1 Use la desigualdad 1 ab ≤ (a2 + b2 ), 2 para probar que la serie ∞ X √ ∀a, b ∈ R an an+1 es convergente. n=1 Solución:. Sean a = √ an y √ b= an · √ √ an+1 . Usando la desigualdad sugerida, se tiene an+1 ≤ 1 √ √ ( an )2 + ( an+1 )2 2 es decir √ 1 (an + an+1 ) 2 ∞ ∞ ∞ X X X 1 1 Como an es convergente, entonces también lo son an y an+1 . 2 2 n=1 n=1 n=1 ∞ X √ an an+1 es convergente. A partir del criterio de compàración se sigue que la serie an · an+1 ≤ n=1 MATE11- Certamen 3 4