Pauta Certamen3

Universidad Técnica Federico Santa Marı́a
Departamento de Matemática
MATE11,
2o Semestre de 2022
Certamen 2
Nombre:
Paralelo y nombre del profesor:
Problema 1:
(30 puntos)
p
√
x2 + p − p
(a) lim p
√ ,
x→0
x2 + q − q
√
4
x−1
(b) lim √
x→1 6 x − 1
Calcule los lı́mites siguientes:
siendo p, q > 0
Solución:
(a)
p
p
p
2 + p − √p
2 + p + √p
2 + q + √q
x
x
x
+p− p
lim p
√ = lim p
√ p 2
√ p 2
√ x→0
x2 + q − q x→0
x2 + q − q
x +p+ p
x +q+ q
p
√ x2 + p − p
x2 + q + q
p
= lim
√
x→0
(x2 + q − q)
x2 + p + p
p
√ x2
x2 + q + q
p
= lim
√ x→0 2
x
x2 + p + p
p
√
√
√
√
x2 + q + q
q+ q
q
= lim p
√ = √p + √p = √p
2
x→0
x +p+ p
p
x2
√
(b) Hacemos u12 = x, entonces
MATE11- Certamen 3
√
4
√
6
x = u3 y
x = u2 . Además, si x → 1 entonces u → 1. Tenemos
√
4
x−1
u3 − 1
lim √
=
lim
x→1 6 x − 1
u→1 u2 − 1
(u − 1) u2 + u + 1
= lim
u→1
(u − 1)(u + 1)
2
u +u+1
3
= lim
=
u→1
u+1
2
1
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Departamento de Matemática
Problema 2:
(30 puntos)
Determinar a y b en R de modo que para la función f (x), definida
por
f (x) =

a(x3 −x)


 3(x−1)
2ax + b


 x2 −16
x−4
si
x<1
si
1≤x≤4
si
4<x
lim f (x) y lim f (x) existan.
x→1
x→4
Solución: Para que lim f (x) y lim f (x) existan debemos tener
x→1
x→4
lim f (x) = lim f (x)
x→1−
x→1+
∧
lim f (x) = lim f (x)
x→4−
x→4+
Ahora:
(i)
ax x2 − 1
a x3 − x
= lim
lim f (x) = lim
x→1− 3(x − 1)
x→1−
x→1− 3(x − 1)
ax(x − 1)(x + 1)
ax(x + 1)
2a
= lim
= lim
=
−
−
3(x − 1)
3
3
x→1
x→1
(ii)
lim f (x) = lim 2ax + b = 2a + b
x→1+
x→1+
(iii)
lim f (x) = lim 2ax + b = 8a + b
x→4−
x→4−
(iv)
lim f (x) = lim
x→4+
x→4+
(x − 4)(x + 4)
x2 − 16
= lim
+
x−4
x+4
x→4
= lim x + 4 = 8
x→4+
2a
= 2a + b y de (iii) y (iv)
3
Se tiene el sistema de ecuaciones siguiente:
De (i) y (ii), tenemos
2a + b =
2a
3
8a + b = 8
=⇒
8a + b = 8
6
a= ,
5
b=−
8
5
.
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2
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Departamento de Matemática
Problema 3:
(a)
(25 puntos) Decida si las series siguientes son convergentes o divergentes:
1/3
∞ 2
X
n −1
n=1
n3 + 3
∞
X
nn
(b)
2n n!
n=1
(a) Consideremos la serie divergente
lim
n→∞
∞
X
1
y usemos el criterio de comparación al lı́mite:
1/3
n
n=1
1/3
n2 −1
n3 +3
1
n1/3
= lim
r
r
3
3
n→∞
n2 − 1
n· 3
= lim
n + 3 n→∞
n3 − n
=1
n3 + 3
Por lo tanto, ambas series presentan el mismo comportamiento; en este caso, como la serie
diverge, entonces la serie
X n2 − 1 1/3
n3 + 3
∞
X
1
1/3
n
n=1
tambien diverge.
(b) Usaremos el criterio del cuociente. Sea an =
nn
2n n!
(n+1)n+1
2n+1 ·(n+1)!
nn
2n ·n!
(n + 1)n
(n + 1)n · (n + 1) 2n · n!
·
n→∞ 2n · 2 · n! · (n + 1)
nn
n
1 n+1
= lim
= lim
n
n→∞
n→∞
2n
2
n
1
1 n
e
= lim
1+
= >1
n→∞ 2
n
2
an+1
lim
= lim
n→∞ an
n→∞
= lim
por lo tanto la serie diverge.
MATE11- Certamen 3
3
Universidad Técnica Federico Santa Marı́a
Departamento de Matemática
Problema 4:
(15 puntos)
Suponga que la serie
∞
X
an , donde an > 0 para todo n, es convergente.
n=1
Use la desigualdad
1
ab ≤ (a2 + b2 ),
2
para probar que la serie
∞
X
√
∀a, b ∈ R
an an+1 es convergente.
n=1
Solución:. Sean a =
√
an
y
√
b=
an ·
√
√
an+1 . Usando la desigualdad sugerida, se tiene
an+1 ≤
1 √
√
( an )2 + ( an+1 )2
2
es decir
√
1
(an + an+1 )
2
∞
∞
∞
X
X
X
1
1
Como
an es convergente, entonces también lo son
an y
an+1 .
2
2
n=1
n=1
n=1
∞
X
√
an an+1 es convergente.
A partir del criterio de compàración se sigue que la serie
an · an+1 ≤
n=1
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