MATRICES TIPOS Y OPERACIONES ¿Para qué me sirven? Resuelven muchos problemas: En la ingeniería se usa en las Celosías Planas, que me llevan a resolver sistemas de ecuaciones. Transmisión de calor en Placas, aquí se ve la distribución de temperaturas. https://areamecanica.files.wordpress.com/2012/12/ funcionamiento3-color-esp.png https://es.slideshare.net/lopezcolina/2-celosas Finalmente todo con el cálculo matricial • • • MATRICES - TIPOS - ÁLGEBRA DEMATRICES Estudio del genoma • humano • Circuitos eléctricos • Presiones hidrostáticas • Análisis de velocidades Espejos dieléctricos Teoría de grafos, redes etc. LOGRO DE SESIÓN Al finalizar la sesión, el estudiante ubica los elementos de una matriz por medio de la lectura de filas y columnas e identifica los diferentes tipos de matrices y realiza operaciones con matrices. TIPOS Datos/Observaciones OPERACIONES ¿Qué es una matriz?. Una matriz 𝐴𝑚×𝑛 es un arreglo rectangular 𝑚 × 𝑛 de números dispuestos en 𝑚 filas (reglones) y 𝑛 columnas. 𝐴= 𝑎11 𝑎21 ⋮ 𝑎𝑚1 𝑎12 𝑎22 ⋮ 𝑎𝑚2 𝑎13 𝑎23 ⋮ 𝑎𝑚3 ⋯ 𝑎1𝑛 ⋯ 𝑎2𝑛 ⋱ ⋮ ⋯ 𝑎𝑚𝑛 fila 1 𝑚×𝑛 columna 3 MATRICES - TIPOS - ÁLGEBRA DEMATRICES Ahhh ¡entonces ésta matriz tiene m filas y n columnas! 1 TIPOS DE MATRICES Matriz Fila Matriz Columna Matriz Rectangular Matriz Cuadrada MATRICES - TIPOS - ÁLGEBRA DEMATRICES 1 TIPOS DE MATRICES Matriz Nula Matriz Triangular Superior Matriz Diagonal Matriz Triangular Inferior Matriz Identidad ( 𝐼 ) MATRICES - TIPOS - ÁLGEBRA DEMATRICES 1 TIPOS DE MATRICES Matriz Transpuesta Matriz Simétrica 𝐴 = 𝐴𝑡 MATRICES - TIPOS - ÁLGEBRA DEMATRICES Matriz Antisimétrica 𝐴𝑡 = −𝐴 2 OPERACIONES CON MATRICES 𝐴∙𝐵 ≠𝐵∙𝐴 SUMA: Solo si tienen el mismo orden 𝐴 ± 𝐵 = 𝑎𝑖𝑗 MATRICES - TIPOS - ÁLGEBRA DEMATRICES 𝑚×𝑛 ± 𝑏𝑖𝑗 𝑚×𝑛 PRODUCTO: Solo si las columnas de la 1ra coinciden con las filas de la 2da. 𝐴𝑚× 𝑝 ∙ 𝐵 𝑝 ×𝑛 = 𝐶𝑚×𝑛 2 OPERACIONES CON MATRICES 𝑘𝐴 PRODUCTO POR UN ESCALAR: 𝑘 es un número llamado escalar. 𝑘𝐴 = 3 𝑘 ∙ 𝑎𝑖𝑗 MATRICES - TIPOS - ÁLGEBRA DEMATRICES 𝑚×𝑛 DIVISIÓN: No está definida para matrices. 2 3 6 9 = −7 1 −21 3 = 𝑘𝑎𝑖𝑗 𝑚×𝑛 𝐴𝑚×𝑛 ÷ 𝐵𝑞×𝑛 = 𝑁𝑂 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 2.1 ERROR EN LA SUMA 0 3 −1 𝐴+𝐵 = + −1 5 2 𝟐×𝟐 6 Solo se suman matrices del mismo orden 1 5 −4 𝟑×𝟐 2𝑥2 ≠ 3𝑥2 NO se pueden sumar matrices con diferentes ordenes MATRICES - TIPOS - ÁLGEBRA DEMATRICES 2.2 ERROR EN LA MULTIPLICACIÓN 0 1 𝐴∙𝐵 = −1 5 𝐴∙𝐵 = 3 −1 ∙ 5 2 2×2 0 −1 −5 10 Tiene que coincidir la columna de A con la fila de B 2×2 2×2 NO se debe multiplicar término a término 𝐴∙𝐵 = 0 −1 1 5 ∙ 2×2 3 −1 5 2 MATRICES - TIPOS - ÁLGEBRA DEMATRICES = 2×2 0+5 0+2 5 2 = −3 + 25 1 + 10 22 11 2.3 ERROR EN LA POTENCIA 2 3 𝐴2 = 2 5 = 9 25 −1 22 Se multiplica 𝐴 ∙ 𝐴 2 1 4 NO se debe elevar cada término al cuadrado 𝐴2 = 3 5 −1 3 −1 9−5 −3 − 2 4 −5 ∙ = = 2 5 2 15 + 10 −5 + 4 25 −1 MATRICES - TIPOS - ÁLGEBRA DEMATRICES EJERCICIOS EXPLICATIVOS 1. Determine 𝑀 = 𝐴𝐵 + 2𝐴, siendo: 1 −2 𝐴= 3 −1 0 2 1 𝐵= 0 2×3 −1 Solución: 1 −2 0 𝐴𝐵 = 3 −1 2 𝐴𝐵 = 2𝑥3 1+0+0 3+0−2 1 11 𝐴𝐵 = 1 13 −3 11 1 0 −1 𝑀 = 𝐴𝐵 + 2𝐴 3 1 −4 2 0 5 3 1 −4 2 0 5 𝑚1 ∙ 𝑚2 = −1 𝑀= 1 1 11 −3 13 11 3×3 𝑀= 𝑀= 3𝑥3 3+8+0 1−4+0 9 + 4 + 0 3 − 2 + 10 1 11 1 13 3 7 MATRICES - TIPOS - ÁLGEBRA DEMATRICES 2𝑥3 −3 11 2𝑥3 7 −3 11 15 2𝑥3 + 1 3 −2 0 −1 2 2 −4 0 6 −2 4 2𝑥3 Rpta.: 𝑴 = 2𝑥3 +2 𝟑 𝟕 𝟕 𝟏𝟏 −𝟑 𝟏𝟓 𝟐𝒙𝟑 2𝑥3 2𝑥3 EJERCICIOS EXPLICATIVOS 1 2 −3 0 2. Si 𝐴 = 2 0 4 ; 𝐵 = 3 0 3 −2 1 Determine 𝑋 si 𝐴 + 𝐵 𝑡 −1 1 2 2 5 −4 = 𝐵2 − 2𝑋 Solución: 2𝑋 = 𝐵2 − 𝐴 + 𝐵 0 𝐵2 = 3 1 −1 2 5 1 2 −4 0−3+1 𝐵2 = 0 + 6 + 2 0 + 15 − 4 1 2 −4 0−2+5 −3 + 4 + 10 −1 + 10 − 20 − 0 −1 3 2 1 5 1 1 −2 3 −6 2𝑋 = 8 11 −1 − 5 2 11 −11 27 1 8 −2 3 −6 1 2𝑋 = 8 11 −1 − 1 11 −11 27 −2 𝑡 0 −1 3 2 1 5 𝑚1 ∙ 𝑚2 = −1 −2 3 −6 2𝑋 = 8 11 −1 11 −11 27 1 2 −3 2 0 4 + 0 3 −2 0−2−4 3+4−8 1 + 10 + 16 MATRICES - TIPOS - ÁLGEBRA DEMATRICES Rpta: 𝑋 = 1 2 −3 7 13 −2 9 −17 −7 −9 33 1 2 −4 𝑡 −2 𝑡 6 −6 5 1 2 8 6 −6 LISTO PARA MIS EJERCICIOS RETOS Equipos de 5 estudiantes Experiencia Grupal Desarrollar los ejercicios en equipos Tiempo : 20 min EJERCICIOS RETOS 1. Si 𝐴 es una matriz identidad, Calcular 𝑥𝑦𝑧 + 𝑚𝑛𝑝 + 𝑞𝑟𝑡 si: 2. 3 1 −2 6 7 Si 𝐴 = −7 1 4 , 𝐵 = 8 4 8 3 6 −1 9 3. 4. 5. −5 −2 1 𝑥 𝑚−1 𝑛−2 𝐴= 𝑞+1 𝑦 𝑝−3 𝑟+2 𝑡+3 𝑧 6 3 −7 𝑦 𝐶 = 12 5 −6 , Resolver la Siguiente Ecuación: −1 14 10 2 𝑋 − 2𝐶 = 3𝑋 − 𝐶 − 2 𝐴 + 2𝐵 − 𝑋 1 𝑥 En una página deteriorada de un antiguo texto se encuentra que la matriz 𝐴 = 0 0 0 0 ∗ ∗ −6 leer la última columna ∗ ∗ 2 . Hallar 𝑥 + 𝑦 + 𝑧. ∗ ∗ −1 1 𝑎 − 𝑏 −1 Si 𝐴 = es una matriz simétrica, hallar 𝐴2 . 2 3 𝑏 𝑏−𝑥 𝑎−𝑥 4 Escribir Explícitamente las siguientes Matrices: 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 ∈ 𝐾 3𝑥2 / 𝑎𝑖𝑗 = 𝑖 + 2𝑗 𝐵 = 𝑏𝑖𝑗 ∈ 𝐾 3𝑥4 / 𝑏𝑖𝑗 = max (𝑖, 𝑗) 0 𝑦 𝑧 y del producto 𝐴2 𝐴𝑡 solo se puede Espacio de Preguntas Pregunta a través del chat o levantando la mano en el Zoom. Comparte tus dudas de la sesión o de los ejercicios y problemas que acaban de trabajar en los grupos. Si no tienes preguntas el profesor realizará algunas Tiempo : 10 min Conclusiones 1. Saber identificar los distintos tipos de matrices. 2. No podemos sumar ni restar si las matrices no tienen el mismo orden. 3. Para multiplicar dos matrices, el número de columnas de la primera matriz debe ser igual al número de filas de la segunda matriz. Datos/Observaciones Matrices Datos/Observaciones FINALMENTE Gracias por tu participación Hemos visto la importancia en la vida cotidiana del cálculo matricial Datos/Observaciones PARA TI Ésta sesión quedará grabada 1. Revisa los ejercicios indicados y realiza la Tarea de ésta sesión. 2. Consulta en el FORO tus dudas.
