1
NÚMEROS REALES
Página 27
REFLEXIONA Y RESUELVE
El paso de
■
Di cuáles de las siguientes ecuaciones se pueden resolver en Z y para cuáles es
necesario el conjunto de los números racionales, Q.
a) –5x = 60
b) –7x = 22
c) 2x + 1 = 15
d) 6x – 2 = 10
e) –3x – 3 = 1
f) –x + 7 = 6
El paso de
■
ZaQ
QaÁ
Resuelve, ahora, las siguientes ecuaciones:
a) x 2 – 9 = 0
b) 5x 2 – 15 = 0
c) x 2 – 3x – 4 = 0
d) 2x 2 – 5x + 1 = 0
e) 7x 2 – 7x = 0
f) 2x 2 + 3x = 0
Unidad 1. Números reales
1
Números irracionales
■
Demuestra que √2 es irracional. Para ello, supón que no lo es: √2 =
p
. Eleva
q
al cuadrado y llega a una contradicción.
■
Obtén el valor de F teniendo en cuenta que un rectángulo de dimensiones
F : 1 es semejante al rectángulo que resulta de suprimirle un cuadrado.
1
F–1
F
2
Unidad 1. Números reales
UNIDAD
1
Página 28
1. Sitúa los siguientes números en el diagrama:
)
3
3
√3 ; 5; –2; 4,5; 7, 3; – √6 ; √64 ; √–27 ; √–8
Á
Q
Z
N
2. Sitúa los números del ejercicio anterior en los siguientes casilleros. Cada número puede estar en más de una casilla.
NATURALES,
ENTEROS,
N
Z
RACIONALES,
REALES,
Q
Á
NO REALES
Añade un número más (de tu cosecha) en cada casilla.
NATURALES,
ENTEROS,
N
Z
RACIONALES,
REALES,
Q
Á
NO REALES
Unidad 1. Números reales
3
Página 29
3. Representa los siguientes conjuntos:
a) (–3, –1)
b) [4, + @)
c) (3, 9]
d) (– @, 0)
4. Representa los siguientes conjuntos:
a) { x / –2 Ì x < 5}
b) [–2, 5) « (5, 7]
c) (– @, 0) « (3, +@)
d) (– @, 1) « (1, + @)
Página 30
1. Halla los siguientes valores absolutos:
a) |–11|
b) |π|
c) |– √5|
d) |0|
e) |3 – π|
f) |3 – √2|
g) |1 – √2 |
h) |√2 – √3 |
i) |7 – √50 |
2. Averigua para qué valores de x se cumplen las siguientes relaciones:
4
a) |x| = 5
b) |x| Ì 5
c) |x – 4| = 2
d) |x – 4| Ì 2
e) |x – 4| > 2
f ) |x + 4| > 5
Unidad 1. Números reales
UNIDAD
1
Página 31
1. Simplifica:
12
b) √x 8
6
e) √64
a) √x 9
d) √8
4
2. ¿Cuál es mayor, √31 o
12
c) √y 10
5
9
f) √81
8
3
√13 ?
3. Reduce a índice común:
12
18
3
a) √a 5 y √a 7
b) √51
9
y √132 650
4. Simplifica:
—
a)
(√√√—k )8
5 3
—
3
b) √√x 10
—
c) √(√x )6
Página 32
5. Reduce:
3
5
a) √2 · √2
Unidad 1. Números reales
3
6
b) √9 · √3
4
8
c) √2 · √2 · √2
4
3
d) √8 · √4
5
6. Simplifica:
5
a)
√x
3
√x
b)
√a · b
3
√a · b
b)
√9
3
√3
6
c)
√a3
3
√a2
4
d)
√a3 · b5 · c
√a · b3 · c3
7. Reduce:
3
a)
√32
√3
5
c)
√16
√2
4
d
√729
√3
8. Suma y simplifica:
a) 5 √x + 3 √x + 2 √x
b) √9 · 2 + √25 · 2 – √2
c) √18 + √50 – √2 – √8
d) √27 – √50 + √12 + √8
e) √50a – √18a
6
Unidad 1. Números reales
UNIDAD
1
Página 33
9. Racionaliza denominadores y simplifica cuando puedas:
a)
c)
e)
5
b)
√7
√
7
3
3
√50
2
g)
3
i)
3
√25
3
√36
Unidad 1. Números reales
d)
f)
h)
j)
3
3
√4
1
√a3
4
√18
1
3
√40
2
3
√100
7
10. Racionaliza denominadores y simplifica cuando puedas:
a)
c)
e)
g)
1
b)
—
√2 + 1
—
√a – 1
1
f)
—
2 √3 – √5
1
√2
+
—
—
—
√x + √y
√x + √y
d) —
—
√x – √y
a–1
—
x+y
—
1
—
√2 – 1
+
1
—
√2 + 1
—
—
—
—
3 √2 + 2 √3
3 √2 – 2 √3
h)
1
—
—
√x – √y
+
1
—
—
√x + √y
Página 36
1. Halla:
a) log2 16
b) log2 0,25
c) log9 1
e) log4 64
f ) log7 49
g) ln e 4
d) log10 0,1
i ) log5 0,04
8
Unidad 1. Números reales
UNIDAD
1
2. Halla la parte entera de:
a) log2 60
b) log5 700
c) log10 43 000
d) log10 0,084
e) log9 60
f ) ln e
Unidad 1. Números reales
9
10
Unidad 1. Números reales
UNIDAD
1
Página 39
2. Calcula en notación científica sin usar la calculadora:
a) (800 000 : 0,0002) · 0,5 · 1012
b) 0,486 · 10–5 + 93 · 10–9 – 6 · 10–7
3. Opera con la calculadora:
a) (3,87 · 1015 · 5,96 · 10 –9) : (3,941 · 10 –6)
b) 8,93 · 10 –10 + 7,64 · 10 –10 – 1,42 · 10 –9
Página 41
LENGUAJE MATEMÁTICO
2. Expresa simbólicamente estas relaciones:
a) 13 es un número natural.
b) – 4 es un número entero.
c) 0,43 es un número racional.
Unidad 1. Números reales
11
d) π es un número real.
e) Todos los enteros son racionales.
f ) El intervalo [3, 4] está formado por números reales.
3. Designa simbólicamente estos conjuntos:
a) Los números enteros mayores que –5 y menores que 7 (utiliza
valo abierto (–5, 7)).
Z y el inter-
b) Los números irracionales (utiliza Á y Q).
c) Los números racionales mayores que 2 y menores o iguales que 3.
d) Los números que son múltiplos de 2 o de 3 (el conjunto de los múltiplos de
•
p se designa p ).
4. Traduce:
a) {x éZ / x Ó – 4}
b) {x éN / x > 5}
c) {x éN / 1 < x Ì 9}
d) {x éZ / –2 Ì x < 7}
5. ¿Cuáles son los números que forman el conjunto (Á – Q) 傽 [0, 1]?
12
Unidad 1. Números reales
UNIDAD
1
Página 43
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS
PARA PRACTICAR
Números racionales e irracionales
1 Clasifica los siguientes números indicando a cuáles de los conjuntos
Q y Á pertenecen:
)
5
2; √3 ; 0,6; 127; – ; π;
7
√
N, Z,
16
43
; –13;
9
13
N:
Z:
Q:
Á:
2 Escribe tres ejemplos de cada uno de los tipos de números que aparecen en
este esquema:
NÚMEROS:
° ENTEROS °¢ NATURALES
§
£ NEGATIVOS
° RACIONALES ¢
§
§ FRACCIONARIOS
REALES ¢
£
§
IRRACIONALES
£
3 Busca tres números racionales y uno irracional comprendidos entre
Unidad 1. Números reales
4
5
y .
7
7
13
1
4 Indica cuál, de cada par de números, es mayor:
)
140
a) 99 y √2
)
c) 4, 89 y 2 √6
)
b) 0,526 y 0,526
d) –2,098 y –2,1
5 Indica si cada uno de los siguientes números es racional o irracional:
)
13 √ 2 √4 π
5
–547; √8 ;
;
;
;
;
; 0,342
2
3
2 17
Potencias
7 Halla sin calculadora:
(
3
3
–
2
4
) (
–2
1
7
–
3
9
)
–1
+4
8 Simplifica, utilizando las propiedades de las potencias:
a)
36 · 25 · 52
93 · 43 · 5
b)
34 · 16 · 9 –1
5–1 · 35
c)
152 · 8 –1
63 · 102
d)
a –3 b –4 c7
a –5 b2 c –1
☛ Mira el problema resuelto número 2.
14
Unidad 1. Números reales
UNIDAD
1
9 Expresa los siguientes radicales mediante potencias de exponente fraccionario y simplifica:
3
a)
5
√a2
—
√x 2
b) —
√x
· √a
c)
1
4
—
√a3
10 Resuelve, sin utilizar la calculadora:
5
3
c) √625
3
f) √0,001
a) √32
b) √343
d) √0,25
e) √84
4
3
11 Expresa como una potencia de base 2:
1
a)
b) (–32)1/5
√2
8
c) ( √2 )4
12 Calcula utilizando potencias de base 2, 3 y 5:
a) 4 ·
c)
( )
1
3
· –
3
2
3
(–5)3 (–8)3 (–9)2
152 · 204
( ) ( )
b) –
d)
1
2
4
·
2
9
–1
·
1
8
(–30)–1 · 152
103
13 Expresa en forma de potencia, efectúa las operaciones y simplifica:
4
—
√a3 · a –1
a)
—
a √a
Unidad 1. Números reales
b) 161/4 ·
3
√
1
1
· 6—
4 √4
15
14 Justifica las igualdades que son verdaderas. Escribe el resultado correcto en
las falsas:
a)
c)
a2 · b –2
=1
a –2 · b2
–3
b) (3–2)
8
3–2 – 5–2
=
15
3–1 – 5–1
d)
( )
1
3
–2
2
( )
1
27
=1
– (–3)–2 =
80
9
15 Demuestra, utilizando potencias, que:
a) (0,125)1/3 = 2 –1
b) (0,25)–1/2 = 2
Radicales
16 Introduce los factores dentro de cada raíz:
3
3
a) 2 √3
d)
16
3
5
3
√
b) 4
25
9
√
4
e) 2 √4
1
4
√
3x
8
c)
2
x
f)
1 3√15
5
Unidad 1. Números reales
UNIDAD
1
Página 44
17 Saca de la raíz el factor que puedas:
3
a) √16
3
d) √8a5
g)
√
16
a3
b) 4 √8
c) √1 000
125a2
16b
f)
h) √4a2 + 4
i)
e)
√
1 1
—+—
4 9
√
√
a
a
—+—
9 16
18 Simplifica:
6
a) √0,027
8
b) √0,0016
4
c)
9
1+—
16
√
19 Simplifica los siguientes radicales:
3
a) √24
12
d) √64y 3
Unidad 1. Números reales
6
b) √27
4
e)
√
81
64
3
c) √–108
8
4
f) √625 : √25
17
20 Reduce a índice común y ordena de menor a mayor:
4
3
b) √6, √4
3
4
5
d) √72 , √9, √100
a) √4, √3, √2
4
c) √6, √10
3
6
21 Realiza la operación y simplifica, si es posible:
a) 4 √27 · 5 √6
3
b) 2
2
4
·
3
√ √
6
d) ( √12 )
27
8
c) √2 ·
3
3
e) ( √32 )
√
1
8
3
f) √24 : √3
22 Efectúa y simplifica, si es posible:
3
a) √2 · √3
3
b) √a ·
3
√
1
· √a
a
6
—
( )
√32
c)
—
√8
3
3
—
3
—
d) √2 √3 : √√4
☛ En b) y c) puedes expresar los radicales como potencias de bases a y 2, respectivamente.
18
Unidad 1. Números reales
UNIDAD
1
23 Expresa con una única raíz:
4 3
—
3
a) √√4
4
—
4
b) √2 √8
5
c) (√a3 · √a4 ) : √a
24 Racionaliza los denominadores y simplifica:
a)
d)
2 √3
b)
√18
3
√2
—
3
—
3 + √3
—
√2 – 1
c)
—
√2
2
—
—
√72 + 3 √32 – √8
e)
—
√8
25 Calcula y simplifica:
a) 5 √125 + 6 √45 – 7 √20 +
c) √125 + √54 – √45 – √24
Unidad 1. Números reales
3 √80
2
3
3
3
b) √16 + 2 √2 – √54 –
21 3√250
5
d) (√2 + √3 ) (√6 – 1)
19
26 Simplifica al máximo las siguientes expresiones:
3
3
3
3
a) 3 √16 – 2 √250 + 5 √54 – 4 √2
b)
√
2
–4
5
√
18
+ 1
125 3
√
3
3
c) 7 √81a –
3
2 √3a4
+
8
45
—
√3a
5
27 Efectúa y simplifica:
2
2
a) (√3 + √2 ) – (√3 – √2 )
b) (√6 + √5 )2 √2
c) (√5 – √6 ) (√5 + √6 )
d) (2 √5 – 3 √2 )
2
e) (√2 – 1) (√2 + 1) √3
28 Racionaliza y simplifica:
—
a)
d)
20
—
2 √3 – √2
—
√18
3
—
√5 – 2
—
b)
e)
—
2 √3 + √2
—
√12
11
—
2 √5 + 3
c)
1
—
—
2 (√3 – √5 )
—
f)
—
3 √6 + 2 √2
—
3 √3 + 2
Unidad 1. Números reales
UNIDAD
1
29 Efectúa y simplifica:
a)
3
—
—
√3 – √2
–
—
2
—
—
√3 + √2
—
—
—
√7 – √5
√7 + √5
b) —
— –
—
—
√7 + √5
√7 – √5
Página 45
Notación científica y errores
30 Efectúa y da el resultado en notación científica con tres cifras significativas.
Determina también, en cada caso, una cota del error absoluto y otra del
error relativo cometidos.
–5
–4) 8,3 · 108
a) (3,12 · 10 + 7,03 · 10
3
4,32 · 10
Unidad 1. Números reales
21
7
9
· 10–5 + 185)
b) (12,5 · 10 – 8 · 10 ) (3,5
6
9,2 · 10
3
· 10 4 + 385 · 102
c) 5,431 · 10 – 6,51
8,2 · 10 –3 – 2 · 10 –4
31 Ordena de mayor a menor los números de cada apartado. Para ello, pasa a
notación científica los que no lo estén:
a) 3,27 · 1013;
85,7 · 1012;
453 · 1011
b) 1,19 · 10 –9;
0,05 · 10 –7;
2 000 · 10 –12
–7
–5
32 Efectúa: 2 · 10 – 3 · 10
6
5
4 · 10 + 10
33 Expresa en notación científica y calcula:
60 0003 · 0,000024
· 72 000 000 · 0,00025
1002
34 Considera los números: A = 3,2 · 107; B = 5,28 · 104 y C = 2,01 · 105
B + C . Expresa el resultado con tres cifras significativas y da
A
una cota del error absoluto y otra del error relativo cometidos.
Calcula
Si A = 3,24 · 106; B = 5,1 · 10–5; C = 3,8 · 1011
y
D = 6,2 · 10–6 ,
35 calcula
A
+ C · D. Expresa el resultado con tres cifras significativas y da una cota
B
del error absoluto y otra del error relativo cometidos.
(
22
)
Unidad 1. Números reales
UNIDAD
1
Intervalos y valor absoluto
36 Expresa como desigualdad y como intervalo, y represéntalos:
a) x es menor que –5.
b) 3 es menor o igual que x.
c) x está comprendido entre –5 y 1.
d) x está entre –2 y 0, ambos incluidos.
37 Representa gráficamente y expresa como intervalos estas desigualdades:
a) –3 Ì x Ì 2
b) 5 < x
c) x Ó –2
d) –2 Ì x < 3/2
e) 4 < x < 4,1
f ) –3 Ì x
38 Escribe la desigualdad que verifica todo número x que pertenece a estos intervalos:
a) [–2, 7]
b) [13, +@)
c) (– @, 0)
d) (–3, 0]
e) [3/2, 6)
f) (0, +@)
39 Expresa como intervalo la parte común de cada pareja de intervalos
(A 傽 B) e (I 傽 J ):
a) A = [–3, 2]
B = [0, 5]
b) I = [2, +@)
J = (0, 10)
Unidad 1. Números reales
23
40 Escribe en forma de intervalos los números que verifican estas desigualdades:
a) x < 3 o x Ó 5
b) x > 0 y x < 4
c) x Ì –1 o x > 1
d) x < 3 y x Ó –2
☛ Represéntalos gráficamente, y si son dos intervalos separados, como en a), escribe: (– @, 3) 傼 [5, + @)
41 Expresa, en forma de intervalo, los números que cumplen cada una de estas expresiones:
a) |x| < 7
b) |x| Ó 5
c) |2x| < 8
d) |x – 1| Ì 6
e) |x + 2| > 9
f ) |x – 5| Ó 1
42 Averigua qué valores de x cumplen:
a) |x – 2| = 5
b) |x – 4| Ì 7
c) |x + 3| Ó 6
43 Escribe, mediante intervalos, los valores que puede tener x para que se
pueda calcular la raíz en cada caso:
24
a) √x – 4
b) √2x + 1
c) √–x
d) √3 – 2x
e) √–x – 1
f)
√
x
1+—
2
Unidad 1. Números reales
UNIDAD
1
44 Se llama distancia entre dos números a y b, al valor absoluto de la diferencia entre ellos:
d (a, b) = |a – b|
Halla la distancia entre los siguientes pares de números:
a) 7 y 3
b) 5 y 11
c) –3 y –9
d) –3 y 4
Página 46
45 Expresa como un único intervalo:
a) (1, 6] 傼 [2, 5)
b) [–1, 3) 傼 (0, 3]
c) (1, 6] 傽 [2, 7)
d) [–1, 3) 傽 (0, 4)
Logaritmos
46 Calcula, utilizando la definición de logaritmo:
a) log2 64 + log2
b) log2
1
– log3 9 – log2 √2
4
1
1
+ log3
– log2 1
32
27
Unidad 1. Números reales
25
47 Calcula la base de estos logaritmos:
a) logx 125 = 3
b) logx
1
= –2
9
48 Calcula el valor de x en estas igualdades:
a) log 3x = 2
b) log x 2 = –2
c) 7x = 115
d) 5–x = 3
50 Halla el valor de x en estas expresiones aplicando las propiedades de los
logaritmos:
a) ln x = ln 17 + ln 13
b) log x = log 36 – log 9
c) ln x = 3 ln 5
d) log x = log 12 + log 25 – 2 log 6
e) ln x = 4 ln 2 –
1
ln 25
2
☛ a) Por logaritmo de un producto: ln x = ln (17 · 13)
26
Unidad 1. Números reales
UNIDAD
52
1
Sabiendo que log k = 14,4, calcula el valor de las siguientes expresiones:
a) log
k
100
b) log 0,1 k 2
3
c) log
√
1
k
d) (log k)1/2
53 Calcula la base de cada caso:
a) logx 1/4 = 2
b) logx 2 = 1/2
c) logx 0,04 = –2
d) logx 4 = –1/2
☛ Aplica la definición de logaritmo y las propiedades de las potencias para despejar x.
En c), x –2 = 0,04 ï
Unidad 1. Números reales
1
4
=
.
2
100
x
27
55 Calcula x para que se cumpla:
a) x 2,7 = 19
b) log7 3x = 0,5
56 Si log k = x, escribe en función de x:
k
a) log k 2
b) log
100
c) 32 + x = 172
c) log √10k
1 + log √—
a
log —
1
a
57 Comprueba que
=–
(siendo a ≠ 1).
3
6
log a
28
Unidad 1. Números reales
29
30
Unidad 1. Números reales
UNIDAD
1
67 Una parcela de 45 m de ancho y 70 m de largo cuesta 28 350 €. ¿Cuánto costará otra parcela de terreno de igual calidad de 60 m Ò 50 m?
Unidad 1. Números reales
31
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AUTOEVALUACIÓN
1. Dados los números:
–
)
58 51 π 4
3
5
;
; ; √–3 ; √–8 ; √23; 1,0 7
45 17 3
a) Clasifícalos indicando a cuáles de los conjuntos N,
b) Ordena de menor a mayor los reales.
c) ¿Cuáles de ellos pertenecen al intervalo (–2, 11/9]?
Z, Q o Á, pertenecen.
a) N:
Z:
Q:
Á:
2. Representa los siguientes conjuntos:
a) {x / –3 Ì x < 1}
b) [4, +@)
c) (–@, 2) « (5, +@)
3. Expresa en forma de intervalo en cada caso:
a) |x| Ó 8
b) |x – 4| < 5
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Unidad 1. Números reales
UNIDAD
1
4. Escribe como potencia y simplifica:
(4√a 3 · a –1) : (a √a )
5. Multiplica y simplifica:
3
6
√9a2b · √18a3b 2
6. Racionaliza:
—
a)
b)
4 + √6
—
2 √3
2
—
3 – √3
7. Reduce:
√63 – 2 √28 + √175
8. Aplica la definición de logaritmo y obtén x:
a) log3 x = –1
b) log x = 2,5
c) ln x = 2
Unidad 1. Números reales
33
9. Calcula x en cada caso.
a) 2,5x = 0,0087
b) 1,0053x = 143
10. Efectúa la siguiente operación, expresa el resultado con tres cifras significativas y da una cota del error absoluto y otra del error relativo:
(5 · 10 –18) · (3,52 · 1015) : (–2,18 · 10–7)
11. Expresa con un solo logaritmo y di el valor de A:
log 5 + 2 log 3 – log 4 = log A
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Unidad 1. Números reales
