Curso básico de variable compleja

Álgebra superior.
Curso completo
Carmen Gómez Laveaga
Introducción a la
geometría avanzada
Ana Irene Ramírez-Galarza
José Seade Kuri
Álgebra superior I
Antonio Lascurain Orive
Álgebra superior II
Antonio Lascurain Orive
Invitación a las geometrías
no euclidianas
Ana Irene Ramírez-Galarza
Guillermo Sienra
Un acercamiento a los
fundamentos de cálculo. El
infinito y los números reales
L
a variable compleja es una rama central de la matemática (aplicada y teórica),
más aún, es una herramienta fundamental en la física. Esta bella rama presenta
al estudiante de la licenciatura una visión unificada de la matemática, ya que
interactúa con otras ramas como son el cálculo (análisis), la geometría, el álgebra,
la topología y la teoría de números.
Este libro es una introducción formal a la variable compleja, que incluye
la teoría básica del curso Variable Compleja I impartido en la Facultad de Ciencias
de la UNAM para los estudiantes de física y matemáticas.
El primer capítulo trata de los fundamentos, esto es, el álgebra y la
geometría de los números complejos, el estudio de algunas funciones y la teoría
elemental de la analiticidad y la conformalidad. En el segundo capítulo se discute
la integral compleja y se prueba formalmente el teorema de Cauchy en su forma
general para curvas cerradas homotópicas. Este resultado, junto con el lema de
las integrales de tipo Cauchy, permiten mostrar hechos importantes, como son las
fórmulas integrales de Cauchy, el teorema de Liouville, el teorema fundamental
del álgebra y la fórmula de Poisson. El tercer capítulo inicia con los teoremas de
Weierstrass y Taylor; posteriormente se prueba el teorema de Laurent y se analizan
las singularidades aisladas. El libro concluye con la aplicación del teorema del
residuo al cálculo de integrales reales impropias y trigonométricas.
Javier Fernández García
Una introducción a la geometría
hiperbólica bidimensional
Antonio Lascurain Orive
Cálculo integral de
varias variables
Javier Páez Cárdenas
ISBN: 978-607-02-4555-8
9 786070 245558
Curso básico de variable compleja
Otros títulos de esta
colección:
Antonio Lascurain Orive
Temas de Matemáticas
Antonio Lascurain Orive
Curso
básico de
variable
compleja
Tercera edición
Antonio Lascurain Orive
Es doctor en Matemáticas por la
Universidad de Columbia, Nueva
York. Realizó su tesis doctoral bajo
la dirección de Troels Jørgensen.
Desde 1979 es profesor en las
áreas de álgebra, análisis, geometría y topología en la Facultad de Ciencias de la Universidad
Nacional Autónoma de México.
Ha impartido en múltiples ocasiones la materia Variable Compleja I y dirigido numerosas tesis
de licenciatura sobre geometría
hiperbólica. Ha publicado diversos artículos de investigación en
prestigiosas revistas nacionales y
extranjeras. Es miembro del Sistema Nacional de Investigadores (SNI) desde
1992. Su principal área de investigación es la geometría hiperbólica. Algunas de sus publicaciones son: “Some Presentations for
Γo(N)”, en Conformal Geometry
and Dynamics (2002) y “On Commutators and Hyperbolic Groups
in PSL(2, R)”, en Journal of Geometry (2014). Es autor, en esta misma
serie, de los libros Una introducción a la Geometría hiperbólica
bidimensional, Álgebra superior I y
Álgebra superior II.
Antonio Lascurain Orive
CURSO BÁSICO
DE VARIABLE COMPLEJA
FACULTAD DE CIENCIAS, UNAM
Lascurain Orive, Antonio
Curso básico de variable compleja / Antonio Lascurain Orive
-- 3 edición. -- Reimpresión. México : UNAM, Facultad de Ciencias,
2013.
v, 218 páginas : ilustraciones ; 22 cm. - (Las prensas de ciencias) (Temas de matemáticas)
Bibliografía: páginas 203-204
ISBN: 978-607-02-4555-8
1. Funciones de variables complejas. 2. Variables (Matemáticas).
I. Universidad Nacional Autónoma de México. Facultad de Ciencias.
II. título. III. Serie. IV. Serie
515.9-scdd20
Biblioteca Nacional de México
Curso básico de variable compleja
1a edición, 2007
2a edición, 2011
3a edición, 2013
1a reimpresión, 2016
2a reimpresión, 2020
© D.R. 2013. Universidad Nacional Autónoma de México.
Facultad de Ciencias.
Ciudad Universitaria. Delegación Coyoacán,
C. P. 04510, Ciudad de México
Coordinación de servicios editoriales: [email protected]
Plaza Prometeo: tienda.fciencias.unam.mx
ISBN: 978-607-02-4555-8
Diseño de portada: Laura Uribe Hernández
Prohibida la reproducción parcial o total de la obra por cualquier medio,
sin la autorización por escrito del titular de los derechos patrimoniales.
Impreso y hecho en México.
A Adda Stella
A Guadalupe y Antonio
Prólogo
La variable compleja es una rama central de las matemáticas teóricas y
aplicadas, además de ser un pilar fundamental de la fı́sica. Una formación
matemática sólida incluye conocimientos de variable compleja, ya que ésta
proporciona una visión unificada del álgebra, el análisis, la geometrı́a y
la topologı́a. Más aún, temas estudiados al inicio de la licenciatura que
involucran pruebas largas o complicadas, como los cı́rculos coaxiales o algunos
aspectos de la geometrı́a analı́tica del plano, se comprenden de manera simple
y clara bajo la luz de la variable compleja. Asimismo, muchas integrales
reales impropias y algunas trigonométricas, solamente pueden resolverse con
la variable compleja. Hadamard llegó a decir que el camino más corto entre
dos verdades del dominio real pasaba por el dominio complejo.
La variable compleja es también fuente de dos ramas muy importantes en
la actualidad: la geometrı́a no euclidiana y los sistemas dinámicos. Por una
parte, las transformaciones de Möbius complejas determinan en gran medida
lo que sucede en la geometrı́a hiperbólica (cf. [3] y [15]), por otra, el estudio
de la iteración de las funciones racionales complejas contribuye a entender
temas de gran relevancia en dinámica (cf. [4]).
El propósito de este texto es exponer en forma clara y sencilla los temas del
programa vigente, aprobado por el Consejo Técnico, de la materia Variable
Compleja I que se imparte en la Facultad de Ciencias de la Universidad
Nacional Autónoma de México (UNAM). El libro está dirigido principalmente
a los alumnos de las carreras de Fı́sica y Matemáticas que han aprobado los
cuatro cursos de cálculo diferencial e integral. Puede ser de utilidad también
para los estudiantes de las carreras de Ingenierı́a que encuentren difı́cil la
comprensión de esta materia debido a la carencia de pruebas formales en sus
cursos, ası́ como para los alumnos de la carrera de Actuarı́a interesados en
obtener una formación matemática más amplia. Es preciso mencionar que los
resultados se prueban rigurosamente, lo cual es muy formativo para los estuv
vi
diantes; este enfoque les permite además tener la certeza de que sus cálculos
son correctos.
Cabe señalar que aunque existen muchos libros muy buenos sobre el tema,
por ejemplo [1], [6], [8] y [12], muy pocos son adecuados para cubrir el temario
de la materia Variable Compleja I. Ciertamente el texto más apegado al
programa vigente es el de Marsden y Hoffman [12], sin embargo, éste tiende
a ser enciclopédico y complicado para un sector importante de alumnos, lo
cual incide en el alto ı́ndice de reprobación en esta materia.
El presente libro, basado en gran parte en el de Marsden y Hoffman [12],
pretende establecer los mı́nimos que el estudiante debe saber para aprobar
con la máxima calificación el curso de Variable Compleja I. El método es
completamente formal y pone énfasis en buscar la simplicidad en las pruebas.
Por ejemplo, el uso del número de Lebesgue permite simplificar la prueba de
la versión general del teorema de Cauchy que aparece en [12]. También, la
prueba del lema de las integrales de tipo Cauchy (que me enseñó Lipman
Bers) es más simple que la que aparece en [12].
En el primer capı́tulo se establecen los fundamentos básicos de la teorı́a,
esto es, el álgebra y la geometrı́a de los números complejos, ası́ como algunas
funciones muy importantes, entre éstas, la exponencial, el logaritmo y las
trigonométricas; se concluye con la teorı́a elemental de la analiticidad, a
saber, las ecuaciones de Cauchy-Riemann y la conformalidad. El segundo
capı́tulo trata de la integral compleja; después de establecer los resultados
y definiciones básicas, se prueba formalmente el teorema de Cauchy en su
forma general para curvas cerradas homotópicas. Este resultado, junto con el
lema de las integrales de tipo Cauchy, permite probar, sin mayor dificultad,
una cascada de importantes consecuencias, como son las fórmulas integrales
de Cauchy, el teorema de Liouville, el teorema fundamental del álgebra, la
fórmula de Poisson y muchas otras más. El tercer capı́tulo se inicia con el
teorema de Weierstrass (también llamado de la convergencia analı́tica), que
es la base para establecer los discos de convergencia de las series de potencias
y el teorema de Taylor. Posteriormente se prueba el teorema de Laurent y
se estudian las singularidades aisladas, lo cual lleva a la prueba del teorema
del residuo. El libro concluye con la aplicación de este teorema al cálculo de
ciertas integrales reales impropias (de funciones racionales y otras definidas
por la transformada de Fourier) y de las integrales llamadas trigonométricas.
El aspecto geométrico de los fundamentos de la variable compleja no se
discute ampliamente en este texto, ya que no corresponde al temario vigente
de la materia Variable Compleja I, sin embargo, algunas de estas importan-
vii
tes ideas pueden consultarse en los primeros dos capı́tulos de [10]. Véanse
también las notas de Santiago López de Medrano [5].
Deseo agradecer a diversas personas que contribuyeron de una u otra
forma a la realización de este trabajo; Héctor Cejudo Camacho, por el esmerado trabajo y el empeño en la elaboración de las figuras. Luis Rodrigo
Gallardo Cruz, por la captura de la versión en Vı́nculos Matemáticos en el
año 2000, la cual fue muy útil para la realización del presente texto. José Lucio Sánchez Garrido por la elaboración de la Figura 2.25 y la captura de mi
primera versión sobre este tema en el año de 1992. Mi agradecimiento también a los estudiantes que se han inscrito como mis alumnos en esta materia,
enriqueciéndome con sus comentarios e intervenciones. Gratitud igualmente a muchos de mis colegas por sus valiosas y pertinentes enseñanzas, en
particular a uno de los dictaminadores del presente libro, por su cuidadosa
revisión. Asimismo a Adda Stella Ordiales de la Garza por la corrección de
estilo y cuidado de la edición, además de su constante apoyo y estı́mulo.
Finalmente, a las autoridades de la Facultad de Ciencias y de la Dirección
General de Asuntos del Personal Académico DGAPA, que me apoyaron para
la publicación de este libro con el proyecto PAPIME EN107-403.
En esta tercera edición agradezco en particular a Fernando Santana Plascencia, cuya revisión minuciosa del texto contribuyó a mejorar la edición, y
a Raybel Garcı́a Ancona, por la reelaboración de algunas figuras.
Contenido
1. Fundamentos y analiticidad
1.1. Álgebra de números complejos . . . . . . . . . . . .
1.1.1. C es un campo . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2. Significado geométrico de la multiplicación .
1.1.3. Raı́ces n-ésimas de complejos . . . . . . . .
1.1.4. Otras propiedades básicas . . . . . . . . . .
1.2. Plano complejo extendido, continuidad . . . . . . .
1.2.1. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2. Proyección estereográfica y métrica cordal .
1.3. Algunas funciones importantes . . . . . . . . . . . .
1.3.1. La función exponencial . . . . . . . . . . . .
1.3.2. La función logaritmo . . . . . . . . . . . . .
1.3.3. Potencias complejas . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4. Las funciones trigonométricas . . . . . . . .
1.4. Funciones analı́ticas . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1. Diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2. Ecuaciones de Cauchy-Riemann, analiticidad
1.4.3. Conformalidad . . . . . . . . . . . . . . . .
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1
1
1
4
11
14
17
17
19
27
27
31
36
42
47
47
49
63
2. Integración
2.1. Fundamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Versión particular del teorema de Cauchy, ideas intuitivas . . .
2.3. Teorema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Fórmula integral de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Principio del máximo, lema de Schwarz y funciones armónicas
71
71
80
88
111
124
ix
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x
3. Series y aplicaciones
3.1. Fundamentos y teorema de Weierstrass .
3.2. Teorema de Taylor . . . . . . . . . . . .
3.3. Series de Laurent, singularidades aisladas
3.4. Teorema del residuo, aplicaciones . . . .
Contenido
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139
139
154
166
183
Glosario de simbologı́a
201
Bibliografı́a
203
Índice analı́tico
205
Capı́tulo 1
Fundamentos y analiticidad
1.1.
Álgebra de números complejos
1.1.1.
C es un campo
Definición 1 El conjunto de los números complejos, denotado por C, consiste en todos los números de la forma a + i b, donde a, b ∈ R.
Es importante destacar que existe una correspondencia biunı́voca de C
con R 2 mediante la asociación
x + i y −→ (x, y).
Por ende, se pueden identificar los números complejos con los puntos del
plano. La parte real del número complejo a + i b es el número real a, y
la parte imaginaria es el número real b. De esta manera, al eje X se le
llamará eje real y al eje Y se le llamará eje imaginario. Si z ∈ C, z = x+i y,
se escribirá
Re z = x e Im z = y.
Definición 2 Se define una operación de suma y multiplicación escalar en
C como sigue:
(x 1 + i y 1 ) + (x 2 + i y 2 ) = (x 1 + x 2 ) + i(y 1 + y 2 ),
a (x + i y) = a x + i a y, a ∈ R.
1
´
1.1. Algebra
de números complejos
2
az
z+w
w
z
z
Figura 1.1: Suma de complejos y multiplicación por escalares
El significado geométrico de la suma y de la multiplicación escalar es el
usual en espacios vectoriales (véase la Figura 1.1). Es claro también que la
suma de complejos cumple las propiedades de conmutatividad, asociatividad,
y que también todo número complejo tiene un inverso aditivo, donde el elemento neutro es el origen. Obsérvese también que Re (z + w) = Re z + Re w
y que Im (z + w)
√= Im z + Im w. La definición del producto en C conlleva
la ecuación i = −1.
Definición 3 Se define una operación de producto en C como sigue:
(a + i b)(x + i y) = a x − b y + i (a y + b x).
Para recordar esta definición es útil notar que queremos i 2 = −1. El
significado geométrico de la multiplicación se discutirá en la siguiente subsección. Nótese que 1 + 0 i es un neutro multiplicativo. Esta operación de
producto es conmutativa, asociativa y distributiva. Probamos aquı́ la primera
y la última propiedad, quedando la segunda como ejercicio.
Escribiendo
(a + i b)(c + i d + e + i f )
= a c − b d + a e − b f + i (a d + b c + a f + b e)
= (a + i b)(c + i d) + (a + i b)(e + i f ),
se prueba la distributividad. También, las ecuaciones
(a + i b)(c + i d)
= a c − b d + i (a d + b c)
= (c + i d)(a + i b)
1. Fundamentos y analiticidad
3
prueban la conmutatividad. Como se ve en estas igualdades, estas leyes del
producto son consecuencia de las mismas propiedades de los números reales.
Ahora, dado z = a + i b, z = 0, un inverso multiplicativo de z es un
número w = x + i y tal que z w = 1, esto es
ax − by = 1
b x + a y = 0.
Este sistema tiene como única solución
−b
a
, y = 2
.
x = 2
a + b2
a + b2
A w se le denota por z −1 o por 1/z. Hemos probado el siguiente resultado.
Teorema 1.1.1 El conjunto de los números complejos C constituye un campo.
z = a + ib
|z |
b
a
Figura 1.2: Norma de un complejo
Nótese que el campo de los números reales está incluido de manera natural
en los complejos, la asociación
x ∈ R −→ x + 0 i ∈ C
es un monomorfismo de campos. Bajo esta identificación, se conviene en que
los reales son un subconjunto de los complejos. Se escribe simplemente x
para denotar x + 0 i.
EJERCICIOS 1.1.1
1. Demuestre que el producto de números complejos cumple la ley asociativa.
´
1.1. Algebra
de números complejos
4
z
z/|z|
sen θ
cos θ
θ
1
Figura 1.3: Argumento de un complejo z
1.1.2.
Significado geométrico de la multiplicación
Se define la norma o longitud de un número complejo √z = a + i b de la
manera usual para vectores del plano R 2 , esto es, |z| = a 2 + b 2 (véase la
Figura 1.2). Evidentemente, se tiene
|Re z| ≤ |z| y |Im z| ≤ |z|.
Ahora, dado z cualquier complejo no nulo, si la longitud del arco en el
cı́rculo unitario que va del vector e 1 al vector z/|z| (en el sentido contrario
a las manecillas del reloj) es θ y |z| = r, es claro que z puede expresarse
de la forma
r (cos θ + i sen θ)
(véase la Figura 1.3). También,
z = r (cos ψ + i sen ψ),
donde ψ es cualquier número de la forma θ + 2 k π, k ∈ Z. A estas expresiones se les llama polares; al número ψ se le llama el argumento de z, éste
se denota por arg z. Obsérvese que el argumento no está definido unı́vocamente, sin embargo, si es tomado en el intervalo [0, 2 π), éste es único. El
siguiente resultado describe la esencia de la acción geométrica del producto.
1. Fundamentos y analiticidad
5
zw
w
α+β
β
z
α
Figura 1.4: El argumento del producto es la suma de los argumentos
arg(−i) =
3π
2
arg(−i)(−i) = 3π
arg(−1) = π
Figura 1.5: El argumento del producto de −i por −i
Teorema 1.1.2 Para cualesquiera z, w ∈ C, se tiene
(i) |z w| = |z| |w|,
(ii) arg (z w) = arg (z) + arg (w).
La afirmación de la segunda parte del teorema se debe interpretar de tal
manera que si se toman valores arbitrarios de los argumentos de z y w,
se tiene que la suma de éstos es uno de los argumentos del producto z w
(véanse las Figuras 1.4 y 1.5).
Demostración. Escribiendo
z = r 1 (cos θ 1 + i sen θ 1 )
y
w = r 2 (cos θ 2 + i sen θ 2 )
´
1.1. Algebra
de números complejos
6
se tiene
z w = r 1 r 2 [cos θ 1 cos θ 2 − sen θ 1 sen θ 2 + i (cos θ 1 sen θ 2 + sen θ 1 cos θ 2 )]
= r 1 r 2 [cos (θ 1 + θ 2 ) + i sen (θ 1 + θ 2 )] ,
lo cual prueba el teorema.
zw
γ
w
z
α
α
γ
1
Figura 1.6: Interpretación geométrica del producto con triángulos semejantes
El teorema anterior exhibe un hecho fundamental, multiplicar complejos
es sumar sus argumentos y multiplicar sus normas. Véanse las Figuras 1.4 y
1.5. Es importante recalcar que en la segunda parte del Teorema 1.1.2, la suma de los argumentos no necesariamente es el argumento del producto, aun si
se toman todos los argumentos en cuestión, en el rango de [0, 2 π). Por ejemplo, −i y −1 = (−i)(−i) tienen argumentos 3 π/2 y π, respectivamente.
En este caso,
3π 3π
+
= 3 π ≡ π mód 2 π.
2
2
Se sigue también del Teorema 1.1.2 que dados dos complejos z, w, w = 0, se
tiene
z
|z|
,
=
w
|w|
1. Fundamentos y analiticidad
7
es decir, la norma de un cociente es el cociente de las normas. Este hecho se
sigue de la siguiente ecuación
z
z |z| = w = |w|.
w
w
Otra interpretación geométrica del producto de dos números complejos
z y w se obtiene al dibujar dos triángulos semejantes, como se muestra en
la Figura 1.6. El Teorema 1.1.2 prueba que en efecto el punto z w es uno de
los vértices del triángulo descrito por w y el origen, ya que se sigue de la
proporcionalidad que
|z|
|z w|
=
.
1
|w|
z
ψi (z)
Figura 1.7: La función z → z i es una rotación de π/2 en el sentido positivo
Estas interpretaciones geométricas del producto también se pueden ver
en un contexto de funciones. Dada w ∈ C se define ψ w : C → C como
ψ w (z) = z w, es decir, ψ w es multiplicar por w, lo cual es rotar un ángulo
igual a arg w (donde 0 ≤ arg w < 2 π) en el sentido contrario al de las
manecillas, y aplicar una homotecia: contracción si |w| < 1, dilatación si
|w| > 1 (si |w| = 1 la función es solamente una rotación). Por ejemplo, ψ i
es una rotación de π/2 radianes en el sentido positivo (véase la Figura 1.7).
En general, para cualquier w, ψ w es una transformación lineal de R 2 en
8
´
1.1. Algebra
de números complejos
R 2 , ya que es la composición de una rotación y una homotecia. Esto también
se puede probar directamente: si λ, μ ∈ R y z 1 , z 2 ∈ C, entonces
ψ w (λ z 1 + μ z 2 ) = λ z 1 w + μ z 2 w = λ ψ w (z 1 ) + μ ψ w (z 2 ).
Nótese que este mismo argumento muestra que esta función ψ w también es
lineal como función de C en C.
z
z
Figura 1.8: La conjugación de un complejo
Definición 4 Dada z = a + i b ∈ C se define el conjugado de z, denotado
por z, como a − i b.
La conjugación es precisamente la reflexión sobre el eje real (véase la
Figura 1.8). Evidentemente, z = z, z + w = z + w y |z| = |z|. También es
inmediato que z = z si y sólo si z ∈ R.
El conjugado de un producto es también el producto de los conjugados,
esto es,
z w = z w.
Esto se sigue, ya que si z = a + i b y w = c + i d, se tiene
z w = a c − (−b)(−d) + i [a(−d) + (−b)c] = a c − b d − i(a d + b c) = z w.
Como en el caso de la norma, esta propiedad también se extiende al cociente,
esto es, dados z, w números complejos se tiene
z
z
=
.
w
w
Un argumento, casi idéntico al que se usó, para probar que la norma de un
cociente es el cociente de las normas, prueba este hecho.
1. Fundamentos y analiticidad
9
Las siguientes tres propiedades, cuya prueba es inmediata, se usan frecuentemente y son de gran utilidad.
z z = |z| 2
(1.1)
z + z = 2 Re z.
z − z = 2 i Im z.
z
θ
z −1
z
Figura 1.9: El inverso multiplicativo de un complejo
Cabe destacar algunos aspectos muy importantes de la primera de estas
identidades; por una parte exhibe de manera inmediata sin ningún cálculo el
inverso de un número complejo no nulo.
1
z
.
= z −1 =
z
|z| 2
Por otra parte, esta descripción del inverso multiplicativo de un número z
ilustra nuevamente la geometrı́a que define la multiplicación de complejos:
el inverso es un número cuyo argumento es − arg z, esto es, es un número
que se encuentra en la semirrecta que va del origen a z. También, como al
multiplicar complejos se multiplican sus normas, el inverso de z está en el
cı́rculo de radio 1/|z|. En resumen, el inverso de un número complejo no
nulo z se obtiene al reflejar dos veces: primero sobre el eje de las abscisas y
posteriormente sobre el cı́rculo unitario (o viceversa)
z −→ z −→
z
z
1
=
= ,
|z| 2
|z| 2
z
cf. Figura 1.9.
´
1.1. Algebra
de números complejos
10
Obsérvese, que como multiplicar complejos es sumar sus argumentos, esto
también significa que dividir complejos es restar sus argumentos. Por ejemplo,
si se tienen tres puntos distintos en una recta z 1 , z 2 , z 3 , apareciendo en ese
orden, entonces necesariamente
z3 − z1
∈ R+ .
z2 − z1
Nótese que esta condición no sólo es necesaria sino también suficiente para
que tres puntos sean colineales.
Otra aplicación de la identidad (1.1) es que muestra la manera adecuada
(en la mayorı́a de los casos) de dividir números complejos, esto es,
zw
zw
z
=
=
.
w
ww
|w| 2
Por ejemplo:
2 + 3i
(2 + 3 i)(4 + 2 i)
1
7
=
=
+
i.
4 − 2i
20
10 10
EJERCICIOS 1.1.2
1. Demuestre que wz = wz .
i)2
2. Exprese (2+3
de la forma x + i y.
4+ i
3. Demuestre que α es raı́z de un polinomio real si y sólo si α lo es.
4. Sean z 1 , z 2 , z 3 , z 4 complejos en un cuadrilátero que aparecen en orden
cı́clico y positivo, demuestre que estos complejos son concı́clicos (esto es,
2 z 3 −z 4
existe un cı́rculo que los contiene) si y sólo si zz 13 −z
< 0.
−z 2 z 1 −z 4
1
5. Sean z 1 , z 2 , z 3 ∈ C tales que cumplen zz 23 −z
=
−z 1
tres puntos determinan un triángulo equilátero.
√
6. Sea z = x + iy, pruebe que |x| + |y| ≤ 2 |z|.
z 1 −z 3
,
z 2 −z 3
demuestre que estos
7. Demuestre que en un paralelogramo la suma de los cuadrados de las diagonales es la suma de los cuadrados de los lados.
1. Fundamentos y analiticidad
1.1.3.
11
Raı́ces n-ésimas de complejos
Con la interpretación geométrica de la multiplicación, conociendo el argumento de un número complejo veremos que se obtienen fácilmente sus raı́ces
n-ésimas. Mostramos primero una fórmula para encontrar las raı́ces cuadradas sin usar el argumento.
Proposición 1.1.3 Dado z = a + i b ∈ C, z = 0, se tiene que z tiene
exactamente dos raı́ces cuadradas dadas por
⎞
⎛
√
√
2 + b2
2 + b2
a
+
a
−a
+
a
⎠ si b > 0,
+i
±⎝
2
2
y
⎛
± ⎝−
a+
√
a2 + b2
+i
2
−a +
⎞
a2 + b2 ⎠
2
√
si
b < 0.
Demostración. Si z = a+i b, z = 0, se busca w = x+i y tal que w 2 = z,
i. e. (x 2 − y 2 ) + i(2 x y) = a + i b. Esto nos da el sistema
x2 − y 2 = a
2 x y = b.
(1.2)
(1.3)
Elevando al cuadrado estas ecuaciones se tiene
x 4 + y 4 − 2 x 2 y 2 = a 2,
4 x 2 y 2 = b 2,
y por consiguiente
x2 + y 2 =
√
a 2 + b 2.
Ahora, sumando y restando a esta última ecuación aquella definida por (1.2)
se obtiene
√
√
a + a2 + b2
−a + a 2 + b 2
2
2
,
y =
.
x =
2
2
Finalmente, la proposición se sigue de la ecuación (1.3).
´
1.1. Algebra
de números complejos
12
Por ejemplo, las raı́ces cuadradas de 1 − 2 i son
⎞
⎛
√
√
1+ 5
−1 + 5 ⎠
+i
.
± ⎝−
2
2
El siguiente resultado se sigue directamente de la interpretación geométrica de la multiplicación (Teorema 1.1.2).
Corolario 1.1.4 (Fórmula de De Moivre)
Si
entonces
z = r (cos θ + i sen θ),
z n = r n (cos nθ + i sen nθ).
Esta última fórmula nos permite encontrar las raı́ces n-ésimas de cualquier complejo no nulo sin mayor dificultad (conociendo el argumento).
Teorema 1.1.5 Sea z = r(cos θ + i sen θ) ∈ C, z = 0, entonces z tiene
exactamente n raı́ces n-ésimas dadas por la siguiente fórmula
√
θ + 2kπ
θ + 2kπ
+ i sen
, k = 0, 1, 2, . . . , n − 1.
w k = n r cos
n
n
Demostración. Se busca w = ρ(cos ϕ + i sen ϕ), tal que w n = z, esto es
w n = ρ n (cos nϕ + i sen nϕ) = r (cos θ + i sen θ),
de donde
ρ n = r,
y n ϕ = θ + 2 k π,
por lo cual
ρ =
√
n
r
y ϕ =
k ∈ Z,
θ + 2kπ
.
n
Finalmente, dos argumentos
θ + 2 k1 π
,
n
θ + 2 k2 π
n
definen la misma solución si y sólo si
θ + 2 k2 π
θ + 2 k1 π
−
= 2 m π,
n
n
m ∈ Z.
1. Fundamentos y analiticidad
13
Esta última condición se cumple si y sólo si
k 1 − k 2 = m n,
m ∈ Z,
por lo que tomando k = 0, 1, 2, . . . , n − 1 se obtienen todas las raı́ces.
Obsérvese que habiendo obtenido la primera raı́z, las otras raı́ces se obtienen rotando esta raı́z por un ángulo 2π/n, de manera consecutiva, en
el sentido positivo. Por lo que las raı́ces n-ésimas siempre describen un
polı́gono regular de n lados. Por ejemplo,
√ una de√las raı́ces cuartas de −16
es w 0 = 2 (cos π/4 + i sen π/4) = 2(1/ 2 + i/ 2), las otras se obtienen
multiplicando por i, i 2 , y i 3 . Es decir, éstas son i w 0 , −w 0 , −i w 0 = w 0
(véase la Figura 1.10).
La fórmula de De Moivre es útil para expresar cos nθ y sen nθ en términos de cos θ y sen θ. Por ejemplo, tomando n = 3, se tiene
(cos θ + i sen θ) 3 = cos 3θ + i sen 3θ.
El miembro izquierdo de esta expresión se puede desarrollar también usando
la fórmula del binomio de Newton obteniéndose
cos 3 θ + i 3 cos 2 θ sen θ − 3 cos θ sen 2 θ − i sen 3 θ,
y tomando la parte imaginaria se tiene sen 3θ = 3 cos 2 θ sen θ − sen 3 θ.
w1
w0
w2
w3
−2
Figura 1.10: Raı́ces cuartas de −16
´
1.1. Algebra
de números complejos
14
EJERCICIOS 1.1.3
1. Calcule las raı́ces cuadradas de 3 + 4 i y de 1 + 2 i.
2. Calcule las raı́ces sextas de −64 y las raı́ces cúbicas de 8 i.
3. Demuestre que 1 + z + z 2 + · · · + z n−1 = 0, donde z es una raı́z n−ésima
de la unidad, z = 1.
n−1
n
4. Demuestre la identidad 2 n−1
= k=1
sen πnk . Sugerencia: factorizar la
expresión 1 + z + z 2 + · · · + z n−1 usando las raı́ces n−ésimas de la unidad,
posteriormente evalúe en z = 1.
θ
sen n θ+
2
,
2 sen(θ/2)
5. Demuestre que 1 + cos θ + · · · + cos nθ = 12 +
donde θ no es
un múltiplo par de π. Esta identidad se atribuye a Lagrange. Sugerencia:
calcular la parte real de 1 + z + z 2 + · · · + z n , donde z = cos θ + i sen θ.
1.1.4.
Otras propiedades básicas
Como en el caso real, los complejos también satisfacen la desigualdad del
triángulo y la de Cauchy-Schwarz.
Proposición 1.1.6 (Desigualdad del triángulo) Sean z, w ∈ C, entonces |z + w| ≤ |z| + |w|.
Demostración.
|z + w| 2 = (z + w) (z + w) = (z + w) (z + w) = z z + z w + w z + w w
= |z| 2 + 2 Re (w z) + |w| 2 ≤ |z| 2 + 2 |w z| + |w| 2 = (|z| + |w|) 2 .
De la misma manera que sucede con los números reales, se cumple la
siguiente variante de la desigualdad del triángulo
|z| − |w| ≤ |z − w|.
Esto se sigue ya que |z| = |z − w + w| ≤ |z − w| + |w|, por lo cual se tiene
|z| − |w| ≤ |z − w|, etcétera.
La desigualdad del triángulo y la fórmula de De Moivre son útiles para encontrar cotas superiores e inferiores.
Por ejemplo, el supremo de la expresión
√
|i z 4 + i| en el disco {z | |z| ≤ 2} es 5, ya que
|i z 4 + i| ≤ |z| 4 + 1 ≤ 5,
1. Fundamentos y analiticidad
15
√
√
y claramente este valor es tomado en ± 2 y en ± 2 i. Más aún, este valor
no es tomado en ningún otro punto, ya que si z = r (cos θ + i sen θ), se tiene
|z 4 + 1| 2 = |r 4 (cos 4θ + i sen 4θ) + 1| 2
= |r 4 cos 4θ + 1 + i r 4 sen 4θ| 2 = r 8 + 2 r 4 cos 4θ + 1.
Teorema 1.1.7 Sean z 1 , z 2 , . . . , z n y w 1 , w 2 , . . . , w n dos n-eádas de números complejos, entonces se cumple la desigualdad de Cauchy-Schwarz
|z 1 | 2 + · · · + |z n | 2
|w 1 | 2 + · · · + |w n | 2 .
|z 1 w 1 + · · · + z n w n | ≤
Demostración. Una prueba muy ingeniosa es la siguiente. Se toma
a =
n
2
|z k | ,
b =
k=1
n
2
|w k | ,
u =
k=1
n
z k w k,
y v =
k=1
u
.
b
Bajo esta notación se tiene
0 ≤
n
|zk − v w k | 2 =
k=1
=
n
n
(zk − v w k ) (z k − v w k )
k=1
zk zk − v
k=1
n
zk wk − v
k=1
n
wk zk + v v
k=1
n
wk wk
k=1
2
= a − v u − v u + |v| 2 b = a − 2 Re (v u) + |v| b
uu
|u| 2
= a − 2 Re
+ |v| 2 b = a − 2
+ |v| 2 b
b
b
|u| 2 |u| 2
|u| 2
= a−2
+
= a−
, i. e., a b ≥ |u| 2 .
b
b
b
Una manera más natural de probar la desigualdad de Cauchy-Schwarz es
usar la siguiente igualdad atribuida a Lagrange,
n
n
n
2
2
2
z k w k =
|z k |
|w k |
|z j w k − z k w j | 2 .
−
k=1
k=1
k=1
1≤j<k≤n
Dejamos la comprobación de esta identidad como un ejercicio para el lector.
Es importante mencionar también que los números complejos son únicos,
como lo muestra el siguiente resultado
´
1.1. Algebra
de números complejos
16
Proposición 1.1.8 Sea K un campo que contiene a los reales y para el cual
toda ecuación cuadrática tiene solución, entonces K contiene a C.
Demostración. Sea j ∈ K solución a x 2 + 1 = 0. Afirmamos que
F = {x + j y | x, y ∈ R} ⊂ K
es isomorfo a C.
Sea φ : C → K dada por φ (x + i y) = x + j y. Claramente φ es un
homomorfismo de C en F y φ(C) = F , por lo que basta mostrar que φ es
inyectiva.
Si φ(x1 + i y 1 ) = φ(x 2 + i y 2 ), entonces x 1 + j y 1 = x 2 + j y 2 , y necesariamente (x 1 − x 2 ) + j (y 1 − y 2 ) = 0. Finalmente, si y 1 = y 2 , se tiene
j=
x2 − x1
y1 − y2
y x 2 + 1 = 0 tiene solución real, lo cual es absurdo, de donde y 1 = y 2 ,
x 1 = x 2 y K contiene un subcampo F isomorfo a C.
Otro resultado que describe también la unicidad de los complejos es el
teorema de Fröbenius, que dice que si K es un campo tal que R ⊆ K y
dim R K < ∞, entonces K = R o K = C. La prueba de este resultado es
tema de un curso más avanzado, por lo que no se incluye en este texto.
Terminamos esta subsección describiendo las rectas y algunas de las cónicas
en el lenguaje de los números complejos. Por ejemplo, la recta que pasa por z 1
y con la dirección del complejo z 2 se expresa fácilmente en forma paramétrica
{z ∈ C z = z 1 + t z 2 , t ∈ R}.
Véase la Figura 1.11. Por otra parte, el cı́rculo de radio r con centro en a
está dado por
{z ∈ C |z − a| = r}.
Asimismo, una elipse con focos en w 1 y w 2 , y semiejemayor l, se determina
por la siguiente expresión
{z ∈ C |z − w 1 | + |z − w 2 | = 2 l}.
De manera similar se puede denotar la ecuación de una hipérbola.
1. Fundamentos y analiticidad
17
z2
z1
Figura 1.11: Recta descrita por dos números complejos
EJERCICIOS 1.1.4
1. Demuestre la identidad de Lagrange.
2. Sean z 1 , z 2 , . . . , z n números complejos, ¿bajo qué condiciones se tiene que
|z 1 + z 2 + · · · + z n | = |z 1 | + |z 2 | + · · · + |z n |?
3. Encuentre el ı́nfimo de |z 3 + 2 i| en la región {z | |z| ≥ 2}, y describa en
qué puntos se alcanza.
1.2.
Plano complejo extendido, continuidad
1.2.1.
Continuidad
Definición 5 Sea A ⊂ C, se dice que A es abierto en C si ∀z ∈ A existe
> 0, tal que D(z, ) = {w ∈ C | |w − z| < } ⊂ A.
De los cursos de cálculo recordamos que los discos D(z, ) son abiertos.
Estudiaremos las funciones con dominio un subconjunto del plano complejo
(generalmente abierto) y con codominio C. A éstas se les llama funciones
complejas de variable compleja. Obsérvese que también se pueden pensar
como funciones de R 2 en R 2 . Usualmente denotaremos a estas funciones
como
f (x + i y) = u(x + i y) + i v(x + i y),
1.2. Plano complejo extendido, continuidad
18
donde u y v son funciones reales. Algunas veces escribiremos también f (x, y),
u(x, y), etcétera.
Definición 6 Sea f : A ⊂ C → C y a ∈ C punto de acumulación de A.
Se dice que lı́m f (z) = L si
z→a
∀ > 0 ∃ δ > 0, tal que si 0 < |z − a| < δ, se tiene que |f (z) − L| < .
Siendo esta definición idéntica a la equivalente para funciones de R 2 en
R , todas las propiedades demostradas para dichas funciones son válidas en
nuestro caso, por ejemplo, la unicidad y el hecho de que el lı́mite de la suma
es la suma de los lı́mites. Más aún, las mismas demostraciones hechas en
cálculo real de una variable también sirven para probar lo siguiente:
2
(i) Si lı́m f (z) = L 1 y lı́m g(z) = L 2 , entonces
z→a
z→a
lı́m f (z) g(z) = L 1 L 2 .
z→a
(ii) Si lı́m f (z) = L 1 y lı́m g(z) = L 2 , L 2 = 0 y g(z) = 0 ∀ z, entonces
z→a
z→a
lı́m
z→a
f (z)
L1
=
.
g(z)
L2
La continuidad se define igual que en los cursos de cálculo.
Definición 7 Sean A ⊂ C y f : A → C, se dice que f es continua en z 0 ,
si
∀ > 0 ∃ δ > 0, tal que si |z − z 0 | < δ, se tiene que |f (z) − f (z 0 )| < .
De nuevo como en cálculo, la suma, producto, cociente y composición de
funciones continuas son funciones continuas. Asimismo, la convergencia de
sucesiones de números complejos se define de manera idéntica al caso de R n .
Definición 8 Se dice que la sucesión de números complejos z n , n ∈ N,
converge a z 0 , si ∀ > 0 existe N ∈ N, tal que si n > N, se tiene entonces
que |z n − z 0 | < .
Por supuesto, el lı́mite es único, y dadas dos sucesiones w n , z n , n ∈ N, se
tiene que si w n → w y z n → z, cuando n → ∞. Entonces
1. Fundamentos y analiticidad
19
(i) w n + z n → z + w, cuando n → ∞;
(ii) w n z n → w z, cuando n → ∞;
(iii) si w = 0,
zn
wn
→
z
,
w
cuando n → ∞.
Obsérvese que para una sucesión z n , n ∈ N, se tiene que z n → z, cuando
n → ∞, si y sólo si Re (z n ) → Re z e Im (z n ) → Im z, cuando n → ∞.
Esto se sigue ya que
|z − z n | =
Re z − Re (z n )
2
2
+ Im z − Im (z n ) .
Como en R n , se dice que una sucesión z n , n ∈ N, es de Cauchy, si dada
> 0 ∃ N ∈ N, tal que si n, m > N, entonces |z n − z m | < . Se sigue
también como en los cursos de cálculo que una sucesión en C es convergente
si y sólo si es de Cauchy.
Usaremos con frecuencia para probar continuidad el siguiente hecho (válido en cualquier espacio métrico): una función f : A ⊂ C → C es continua en
z 0 ∈ A si y sólo si para toda sucesión z n , n ∈ N, tal que z n → z 0 , cuando
n → ∞, se tiene f (z n ) → f (z 0 ), cuando n → ∞.
EJERCICIOS 1.2.1
1. Demuestre la última afirmación de esta subsección.
2. Demuestre que una sucesión en R n es de Cauchy si y sólo si es convergente.
Sugerencia: probar primero que un subconjunto infinito de un compacto tiene
un punto de acumulación.
1.2.2.
Proyección estereográfica y métrica cordal
La proyección central descrita en la Figura 1.12 sugiere que el plano complejo
se puede pensar como la esfera unitaria en R 3 sin el polo norte. Resulta natural entonces que el polo norte corresponda a un punto ideal que representa
al infinito.
Definición 9 Los puntos del plano complejo junto con ∞ forman el plano
complejo extendido, denotado por C.
1.2. Plano complejo extendido, continuidad
20
(x1 , x2 , x3 )
e3
x21 + x22
x3
1
|z|
z
Figura 1.12: La proyección estereográfica
El incluir el sı́mbolo ∞ es particularmente útil en el contexto de las
transformaciones de Möbius complejas
z −→
az + b
,
cz + d
a d − b c = 0,
a, b, c, d ∈ C.
(1.4)
en C
(cf. [10]). La esfera
Éstas son las únicas biyecciones meromorfas de C
unitaria
S 2 = {x ∈ R 3 |x| = 1},
llamada esfera de Riemann, es el modelo requerido para incluir el punto
al infinito. Para asociar cada punto en el plano con uno en S 2 usamos la
siguiente idea geométrica: se toma el plano x 3 = 0 como el plano complejo
C, y la lı́nea que proyecta el polo norte e 3 = (0, 0, 1) de la esfera de Riemann
a cualquier otro punto x = (x 1 , x 2 , x 3 ) en dicha esfera.
Esta lı́nea cruza el plano complejo en un único punto, para encontrarlo
se parametriza
e 3 + t (x − e 3 ), t ∈ R,
y se debe cumplir
[e 3 + t (x − e 3 )] · e 3 = 0,
1 + t (x − e 3 ) · e 3 = 0,
1
t =
.
1 − x3
1. Fundamentos y analiticidad
21
De donde el punto asociado a x es
1
(x − e 3 )
1 − x3
x1
x2
x3 − 1
= e3 +
,
,
1 − x3 1 − x3 1 − x3
x1
x2
=
,
,0 .
1 − x3 1 − x3
e3 +
Una prueba geométrica de este hecho se obtiene observando que la proyección de x debe tener la dirección de (x 1 , x 2 ), y por semejanza se obtiene
que
x12 + x22
|z|
=
1
1 − x3
(véase la Figura 1.12). Con base en estas ideas, se define la función
ψ : S 2 − {e 3 } −→ C,
dada por (x 1 , x 2 , x 3 ) −→
x1 + i x2
.
1 − x3
Se afirma que ψ es una biyección de S 2 − {e 3 } al plano complejo C.
1. ψ es inyectiva. Para demostrar esto se construye la inversa. Obsérvese
que si z = ψ (x 1 , x 2 , x 3 ), como (x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ S 2 , se tiene que
x + i x 2
x12 + x22
1 − x32
1 + x3
1
2
=
=
|z| 2 = =
2
2
1 − x3
(1 − x3 )
(1 − x 3 )
1 − x3
y despejando
x3 =
|z| 2 − 1
.
|z| 2 + 1
También
z+z =
(1.5)
2 x1
,
1 − x3
y
x1
z+z
(z + z) (1 − x 3 )
=
=
2
2
esto es,
|z| 2 − 1
1−
|z| 2 + 1
x1 =
z+z
.
|z| 2 + 1
z+z
=
2
2
2
|z| + 1
(1.6)
,
1.2. Plano complejo extendido, continuidad
22
Finalmente, como
z−z =
se sigue que
x2 =
2 i x2
,
1 − x3
z−z
.
i (|z| 2 + 1)
(1.7)
Por consiguiente, ψ es inyectiva, ya que z determina (x 1 , x 2 , x 3 ).
Obsérvese también que la función
z+z
z−z
|z| 2 − 1
π(z) =
,
,
|z| 2 + 1 i (|z| 2 + 1) |z| 2 + 1
es inversa por la izquierda de ψ.
2. ψ es sobre. Un cálculo sencillo muestra que π es también una inversa
derecha de ψ (ejercicio).
Haciendo corresponder ∞ con el polo norte e 3 , se obtiene una biyección
y el modelo buscado. A esta biyección se le llama la proyección
de S 2 en C
estereográfica. Geométricamente es evidente que el hemisferio sur (x 3 < 0)
corresponde al disco unitario
Δ = {z ∈ C |z| < 1}
y el hemisferio norte (x 3 > 0) al exterior de este disco; la fórmula (1.5)
también muestra este hecho de manera analı́tica.
En esta representación esférica del plano complejo no hay una interpretación fácil de la suma y el producto, su ventaja radica en que ∞ no es
un punto distinguido. Convendremos en que toda recta incluye al punto ∞.
El siguiente resultado exhibe una propiedad fundamental de la proyección
estereográfica.
y cı́rculos
Proposición 1.2.1 Bajo la proyección estereográfica, rectas en C
2
en C se transforman en cı́rculos en S y viceversa.
Demostración. Probamos primero que un cı́rculo en la esfera se transforma
en una recta o un cı́rculo en el plano. Un cı́rculo en S 2 es la intersección de
un plano con la esfera, por lo que sus puntos satisfacen una ecuación de la
forma
a x 1 + b x 2 + c x 3 = d.
1. Fundamentos y analiticidad
23
Por lo tanto, este cı́rculo es la imagen bajo la proyección estereográfica de
un conjunto cuyos puntos satisfacen la siguiente ecuación en el plano
a
z−z |z| 2 − 1 z+z +
b
+
c
= d.
|z| 2 + 1
i (|z| 2 + 1)
|z| 2 + 1
Escribiendo z = x + i y, se obtiene
2 a x + 2 b y + c (x 2 + y 2 − 1) = d (x 2 + y 2 + 1),
que es la ecuación de una recta o un cı́rculo en el plano, dependiendo si d = c
o si d = c (al completar cuadrados no se puede obtener un radio negativo,
puesto que se trata de la imagen de un conjunto no vacı́o).
Probamos ahora que una recta en el plano se transforma en un cı́rculo en
la esfera. Una recta está definida por la ecuación
a x + b y = c.
Estos puntos, bajo la proyección estereográfica, son llevados al conjunto de
puntos en la esfera definidos por la ecuación
x x 1
2
+b
= c,
a
1 − x3
1 − x3
a x 1 + b x 2 = c (1 − x 3 ),
los cuales están contenidos en la intersección de un plano y la esfera, es decir,
se trata de un cı́rculo. Como π(∞) = (0, 0, 1) satisface dicha ecuación, este
cı́rculo pasa por el polo norte, lo cual también es evidente a partir de la
construcción geométrica.
Finalmente, un cı́rculo en el plano está definido por las siguientes ecuaciones
| z − a | 2 = r 2,
(z − a) (z − a) = r 2 ,
|z| 2 − a z − a z + |a| 2 = r 2 ,
por lo que usando (1.5), se tiene
1 + x3
− 2 Re (a z) = r 2 − |a| 2 .
1 − x3
1.2. Plano complejo extendido, continuidad
24
Si a = a 1 + i a 2 , z = x + i y, entonces Re (a z) = a 1 x + a 2 y y la
imagen del cı́rculo en la esfera está definida por las siguientes ecuaciones
1 + x3
− 2 (a 1 x + a 2 y) = r 2 − |a| 2 ,
1 − x3
1 + x3
x1
x2
− 2 a1
− 2 a2
= r 2 − |a| 2 ,
1 − x3
1 − x3
1 − x3
1 + x 3 − 2 a 1 x 1 − 2 a 2 x 2 = (r 2 − |a| 2 ) (1 − x 3 ).
Se sigue entonces que estos puntos están contenidos en un plano y por lo
tanto constituyen un cı́rculo en la esfera.
Es útil obtener en términos de z y z , puntos del plano complejo, una
fórmula de la distancia entre sus proyecciones en la esfera. Si denotamos éstas
por (x 1 , x 2 , x 3 ) y (x 1 , x 2 , x 3 ), se tiene
(x 1 − x 1 ) 2 + (x 2 − x 2 ) 2 + (x 3 − x 3 ) 2 = 2 − 2(x 1 x 1 + x 2 x 2 + x 3 x 3 ).
Ahora, usando (1.5), (1.6) y (1.7), se sigue que
=
z+z
|z|2 + 1
x 1 x 1 + x 2 x 2 + x 3 x 3
z + z
z−z
z − z
|z|2 − 1
−
+
|z |2 + 1
|z|2 + 1
|z |2 + 1
|z|2 + 1
=
|z |2 − 1
|z |2 + 1
2 z z + 2 z z + |z z | 2 − |z| 2 − |z | 2 + 1
(1 + |z| 2 ) (1 + |z | 2 )
−2(z − z )(z − z ) + (1 + |z| 2 ) (1 + |z | 2 )
(1 + |z| 2 ) (1 + |z | 2 )
(el último paso equipara numerador y denominador).
Por consiguiente,
=
(x 1 − x 1
)
2
+ (x 2 − x 2
)
2
+ (x 3 − x 3
)
2
= 2−2
2 |z − z | 2
1−
(1 + |z| 2 ) (1 + |z | 2 )
4 |z − z | 2
.
(1 + |z| 2 ) (1 + |z | 2 )
es particularmente novedosa y útil
Esta nueva fórmula de distancia en C
porque incluye el punto al infinito. En este caso, si z = ∞, se tiene
=
x 1 x 1 + x2 x 2 + x 3 x 3 =
|z| 2 − 1
,
|z| 2 + 1
1. Fundamentos y analiticidad
25
por lo que
(x 1 −
x 1
2
) + (x 2 −
x 2 )2
+ (x 3 −
x 3
)
2
= 2−2
|z| 2 − 1
|z| 2 + 1
=
4
.
1 + |z| 2
Estos cálculos inducen la métrica buscada en C.
Definición 10 Se define la métrica cordal en el plano complejo extendido de
la siguiente manera
⎧
2 |z 1 − z 2 |
⎪
⎪
,
si z 1 , z 2 = ∞.
⎪
⎪
⎨
1 + |z 1 | 2 1 + |z 2 | 2
d C (z 1 , z 2 ) =
⎪
⎪
2
⎪
⎪
,
si z 2 = ∞.
⎩ 1 + |z 1 | 2
Como S 2 es un subespacio métrico de R 3 , esta distancia define en efecto
El término cordal proviene de que se miden cuerdas en
una métrica en C.
la esfera
d C (z 1 , z 2 ) = |π(z 1 ) − π(z 2 )|.
Proposición 1.2.2 Las métricas cordal y euclidiana inducen la misma topologı́a en C, es decir, definen los mismos abiertos en C. Además
d C (z n , ∞) −→ 0
si y sólo si
|z n | −→ ∞.
Demostración. Para la primera parte hay que probar que la función identidad
Id : C E −→ C C
es bicontinua, donde C E es el plano complejo provisto con la métrica euclidiana, y C C con la métrica cordal.
Si |z n − z| → 0 cuando n → ∞, entonces |π(z n ) − π(z)| → 0 cuando
n → ∞, ya que la función π es continua, lo cual prueba que la función Id es
también continua. Ahora, por la continuidad de ψ, si d C (z n , z) → 0 cuando
n → ∞, entonces |π(z n ) − π(z)| → 0 y |ψ π(z n ) − ψ π(z)| = |z n − z| → 0
cuando n → ∞.
Para la segunda parte, sea z n , n ∈ N, una sucesión en C, tal que
|z n | → ∞ cuando n → ∞, como
2
d C (z n , ∞) = ,
1 + |z n | 2
1.2. Plano complejo extendido, continuidad
26
se sigue que d C (z n , ∞) → 0 (ejercicio).
Por otra parte, si d C (z n , ∞) → 0 cuando n → ∞, dado
N , tal que si n > N , se tiene
2
1 + |z n
|2
(ya que se puede tomar
<
y por lo tanto |z n | >
4
2
> 0 existe
−1
< 2). Por lo que, dado M > 0, tomando
M =
4
2
tal que
− 1,
se obtiene |z n | > M, si n > N . Esto es, |z n | → ∞.
Una de las virtudes de haber introducido la métrica cordal y el modelo
de la esfera de Riemann es que nos permite de manera casi inmediata probar muchas de las propiedades básicas de las transformaciones de Möbius.
El estudio de estas funciones, que son importantes en muchas ramas de las
matemáticas, permite al lector profundizar en los aspectos geométricos de la
variable compleja. Los ejercicios siguientes fueron planeados con ese propósito, más información sobre el tema aparece en [10].
EJERCICIOS 1.2.2
1 +i x 2
1. Demuestre que la función estereográfica (x 1 , x 2 , x 3 ) → x 1−x
de la
3
esfera de Riemann en el plano complejo extendido es suprayectiva.
2. Demuestre que si z n → ∞ cuando n → ∞, entonces d C (z n , ∞) → 0,
cuando n → ∞.
3. Las transformaciones de Möbius definidas en (1.4) se extienden a la esfera
como sigue: si c = 0, T (∞) = ∞, y si c = 0, T (∞) = a/c y
de Riemann C
T (−d/c) = ∞. Demuestre que estas funciones son continuas en dicha esfera
con la métrica cordal.
4. Demuestre que si A, B son matrices que representan (de la manera obvia)
dos transformaciones de Möbius f, g, respectivamente, entonces la matriz
BA representa la composición gf , que también es de Möbius. Concluya
mostrando que estas transformaciones son funciones bicontinuas de la esfera
en sı́ misma, y que además constituyen un grupo.
1. Fundamentos y analiticidad
27
5. Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en ternas
de puntos de la esfera de Riemann. Sugerencia: dada una terna, encuentre
una función de Möbius que la mande en 1, 0, e ∞.
6. Pruebe que las transformaciones de Möbius son composición de algunas
de las siguientes funciones: rotaciones, homotecias, traslaciones y z → 1/z.
Concluya mostrando que las transformaciones de Möbius preservan la familia
de cı́rculos y rectas.
7. Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en la familia
de cı́rculos y rectas.
8. Demuestre de dos maneras que el lugar de los puntos que cumple la
ecuación | z−a
| = k, k ∈ R+ , a, b ∈ C, a = b, constituye una recta o
z−b
un cı́rculo (llamado de Apolonio).
z+c
9. Sean a, c complejos, tal que no son ambos nulos, probar que | ac z+a
| = 1,
si |z| = 1. Interpretar geométricamente.
10. Probar que la función z → 1/z es una rotación de π radianes en la esfera
de Riemann alrededor del eje x.
11. Probar de manera analı́tica y geométrica que dados dos puntos z, w ∈ C,
se tiene que sus proyecciones en la esfera de Riemann son antı́podas si y sólo
si z w = −1.
12. ¿Cuál es la imagen de una recta por el origen bajo la función z → 1/z?
1.3.
Algunas funciones importantes
Antes de proceder a estudiar las funciones de variable compleja de manera general, exhibimos algunos ejemplos. Comenzamos extendiendo al plano
complejo algunas funciones muy importantes del cálculo real.
1.3.1.
La función exponencial
Recordamos de los cursos de cálculo que la función exponencial se puede
desarrollar en series de potencias, esto es, si x ∈ R, entonces
ex = 1 + x +
x2 x3 x4
+
+
+ ··· .
2!
3!
4!
1.3. Algunas funciones importantes
28
Pensando de manera intuitiva se puede sustituir en esta identidad x por
i y, y ∈ R, y obtener
eiy = 1 + i y +
(i y) 2 (i y) 3 (i y) 4
+
+
+ ··· ,
2!
3!
4!
reordenando los sumandos se tiene
e
iy
=
y2 y4
+
− ···
1−
2!
4!
+i
y3 y5
y−
+
− ···
3!
5!
,
lo cual sugiere
e i y = cos y + i sen y.
Estas observaciones, junto con la propiedad del cálculo real e s+t = e s e t ,
motivan la definición de la exponencial compleja.
ez
iy
eiy
1
Figura 1.13: La exponencial manda rectas horizontales en semirrectas por el
origen
Definición 11 Dado z ∈ C, z = x + i y, se define e z como
e x (cos y + i sen y).
Es inmediato de esta definición que esta función es una extensión de la
exponencial real y que
|e z | = e x ,
por lo que esta función no se anula. También es evidente que si n ∈ Z,
entonces
e 2 π n i = 1.
1. Fundamentos y analiticidad
29
Obsérvese además que
arg (e z ) = y.
En cierto sentido la geometrı́a de la función exponencial es simple, por
ejemplo, la imagen de la recta horizontal Im z = y bajo esta función es la
semilı́nea que surge del origen con argumento y, esto es, la que pasa por el
punto e i y = cos y + i sen y. Nótese que dicha recta, Im z = y, se transforma
biyectivamente en la semilı́nea abierta. Por otra parte, dada x ∈ R, la lı́nea
vertical Re z = x se transforma en el cı́rculo de radio e x , recorriéndolo un
número infinito de veces (véanse las Figuras 1.13 y 1.14).
Geométricamente también es claro que la función exponencial restringida
al rectángulo infinito
R 0 = {z ∈ C | 0 ≤ Im z < 2 π}
es inyectiva y cubre todo el plano complejo menos el origen (veáse la Figura
1.15). Es fácil visualizar el punto e i y , éste es el único punto en el cı́rculo
unitario con argumento y, dicho de otra manera, ∀ w ∈ C, w = 0,
e i arg w =
w
.
|w|
3π
π
Por ejemplo, e i 2 = i, e π i = −1 y e i 2 = −i, véase la Figura 1.15. Como
en el caso real, la exponencial compleja distribuye la suma en producto.
ez
x
ex
Figura 1.14: La exponencial manda rectas verticales en cı́rculos
1.3. Algunas funciones importantes
30
π
3π
2
i
πi
e
3π
4
i
e2
i
= i
π
ez
e4
i
eπ i = −1
1
π
2
i
e
5π
4
e
i
e
3π
2
i
7π
4
i
= −i
Figura 1.15: La exponencial manda el rectángulo infinito 0 ≤ Im z < 2 π
biyectivamente en C − {0}
Proposición 1.3.1 Dadas z, w ∈ C se tiene
e z+w = e z e w .
Demostración. Si z = x + i y y w = s + i t, tenemos
e z+w = e (x+s)+i (y+t) = e x+s [cos(y + t) + i sen(y + t)]
= e x+s [cos y cos t − sen y sen t + i (sen y cos t + sen t cos y)]
= e x e s (cos y + i sen y)(cos t + i sen t) = e z e w ,
como consecuencia del mismo hecho para variable real.
Esta proposición exhibe una segunda prueba de que la exponencial compleja no se anula, ya que ∀ w ∈ C se tiene que e w e−w = e 0 = 1. Como ya se
mencionó, los complejos de la forma 2 k π i, k ∈ Z, son enviados al 1 bajo
la exponencial, de hecho estos puntos constituyen la preimagen de 1: si
e x (cos y + i sen y) = 1,
se sigue al tomar las partes imaginarias que y = (entero) π, y al tomar las
partes reales que y = 2 k π, k ∈ Z, y x = 0.
1. Fundamentos y analiticidad
31
Proposición 1.3.2 La función exponencial compleja es periódica, todos los
periodos son de la forma 2 k π i, k ∈ Z.
Demostración. Se sigue de la Proposición 1.3.1 que 2 k π i, k ∈ Z, es un
periodo. Ahora, si w es un periodo, por definición
e w+z = e z
∀ z ∈ C.
En particular, tomando z = 0 se tiene e w = 1, y w = 2 k π i, k ∈ Z.
Obsérvese que el mı́nimo periodo es 2 π i.
EJERCICIOS 1.3.1
1. Sea A = {z ∈ C | 0 < Re z < 2, −π/2 < Im z < π/2}. ¿Cuál es la imagen
de A bajo la exponencial?
π
2. Exprese e (4+i 6 ) en la forma x + i y.
3. Demuestre que la función exponencial compleja no está acotada en ninguna
semirrecta por el origen (salvo en el eje imaginario). Describa la imagen.
4. Demuestre que bajo la acción de la función exponencial, dos lı́neas horizontales, simétricas con respecto al eje x, se transforman en dos semirrectas
por el origen que son conjugadas una de otra.
5. ¿Qué puntos del plano complejo cumplen e i w = e i w ?
1.3.2.
La función logaritmo
Como en el caso real, el logaritmo es una inversa derecha de la exponencial,
sin embargo, dada la periodicidad de esta última función, se debe restringir
el codominio de logaritmo (para que también sea inversa izquierda). La afirmación de que la exponencial restringida al rectángulo horizontal infinito R 0
es inyectiva se puede generalizar (véase la Figura 1.16).
Proposición 1.3.3 La función exponencial restringida al rectángulo infinito
R y 0 = { z ∈ C | y 0 ≤ Im z < y 0 + 2 π}
es biyectiva sobre C − {0}.
1.3. Algunas funciones importantes
32
(y0 + 2π)i
e y0 i
y0 i
Figura 1.16: La exponencial manda el rectángulo infinito y 0 ≤ Im z < y 0 +2 π
biyectivamente en C − {0}
Demostración. Si e z = e w , z, w ∈ R y 0 , entonces
e z−w = 1
y
w − z = 2 π n i, n ∈ Z.
Por lo cual z = w, ya que la distancia entre las partes imaginarias de dos
puntos cualesquiera en R y 0 es menor que 2 π. Por lo tanto e z | R y 0 es
inyectiva. Ahora, dado u ∈ C, u = 0
u = |u|
u
= ex eiy
|u|
si y sólo si
log |u| = x
y e i arg u = e i y .
La segunda ecuación tiene un número infinito de soluciones, una de las cuales
satisface y 0 ≤ y < y 0 + 2 π. Por consiguiente, e z | R y 0 es suprayectiva.
Nótese que en la prueba de la proposición anterior la asociación
u −→ log |u| + i arg u
establece una función inversa, lo cual sugiere la siguiente definición.
1. Fundamentos y analiticidad
33
Definición 12 La función con dominio C − {0}, codominio R y 0 y regla de
correspondencia
log z = log |z| + i arg z,
arg z ∈ [y 0 , y 0 + 2 π)
se llama rama de logaritmo.
Obsérvese que hay una infinidad de estas funciones; el problema es que un
mismo sı́mbolo denota a todas ellas, por lo que se debe manejar con cuidado
la terminologı́a. Reemplazando el dominio por una superficie de Riemann,
que tiene la forma de una espiral infinita, se puede definir de manera única
esta función (cf. [12] capı́tulo 6); sin embargo, en este texto sólo discutiremos
las funciones con dominios que son subconjuntos de C − {0}.
Nótese que para que el logaritmo sea función, es necesario restringir el
codominio; por el momento éste será tomado de la forma
x + i y ∈ C y 0 < y ≤ y 0 + 2 π , y 0 ∈ R,
o
x + i y ∈ C y 0 ≤ y < y 0 + 2 π , y 0 ∈ R.
e i y0
(y0 + 2 π) i
log z
y0 i
Figura 1.17: Las ramas de logaritmo mandan cı́rculos concéntricos al origen
en intervalos verticales
La geometrı́a de la función logaritmo es la inversa de la exponencial:
cı́rculos concéntricos al origen se desarrollan en segmentos de lı́neas verticales,
y semirrectas que parten del origen se transforman en rectas horizontales.
Estas afirmaciones son evidentes al escribir la función en forma polar
log r e i θ = log r + i θ,
1.3. Algunas funciones importantes
34
(véanse las Figuras 1.17 y 1.18).
Un ejemplo de estas funciones se obtiene tomando y 0 = 0, y como intervalo para el argumento (0, 2 π], en este caso
log (1 − i) = log |1 − i| + i arg (1 − i) = log
√
2+i
7π
.
4
Sin embargo, si y 0 = −π, y se toma el intervalo (−π, π],
√
π
log(1 − i) = log 2 − i .
4
log z
ei(y0 +t)
(y0 + t)i
eiy0
y0 i
Figura 1.18: Las ramas de logaritmo mandan semirrectas por el origen en
lı́neas horizontales
Teorema 1.3.4 El logaritmo es la inversa de la exponencial en el siguiente
sentido: si log z representa una rama de logaritmo, entonces
e log z = z
∀ z ∈ C − {0};
también, si se elige la rama y 0 ≤ y < y 0 + 2 π, entonces
log (e z ) = z
∀ z ∈ R y0.
Demostración. Como log z = log |z| + i arg z,
e log z = e log |z| e i arg z = |z|
z
= z.
|z|
Recı́procamente, si z = x + i y, donde y 0 ≤ y < y 0 + 2 π, se tiene
log (e z ) = log |e z | + i arg (e z ) = log (e x ) + i y = z.
1. Fundamentos y analiticidad
35
Esto se sigue ya que arg (e z ) = arg (e i y ) = y, por la forma en la que se
eligió la rama de logaritmo.
Nótese que en la proposición anterior si z ∈
/ R y 0 , entonces no necesariamente log (e z ) = z, por ejemplo, si y 0 = 0, y z = 2 π i, se tiene
log (e 2 π i ) = 0. Posteriormente, se restringirá el dominio del logaritmo a conjuntos de la forma C − B y 0 , donde y 0 es un real fijo y
B y 0 = {z ∈ C | z = t e i y 0 , t ≥ 0}.
El objeto de esta restricción será lograr que el logaritmo sea una función
continua.
Proposición 1.3.5 Sea log z la rama de logaritmo cuyo argumento toma
valores en [y 0 , y 0 + 2 π), y z, w ∈ C − {0}, entonces
log (z w) = log z + log w
mód 2 π i.
Demostración. Por una parte,
log |z w| = log |z| + log |w|,
y también
arg (z w) = arg z + arg w
mód 2 π.
Este último resultado se entiende mejor a la luz de un ejemplo: tomando la
rama cuyo argumento toma valores en [0, 2 π), multiplicamos los complejos
√ 1
i
√ −√
= −1 − i, ahora
− 2i
2
2
√
√
1
3π 7π
i
+
log (− 2 i) + log √ − √
= log 2 + log 1 + i
2
4
2
2
√
13 π
= log 2 + i
, por otra parte
4
√
13 π 5 π
5π
log (−1 − i) = log 2 + i , y
−
= 2 π.
4
4
4
EJERCICIOS 1.3.2
1. Calcule log (3 − 3 i) con las ramas [−π, π), [0, 2 π) y [− π2 ,
3π
).
2
2. Calcule
todos los valores que toman las distintas ramas de logaritmo de
√
3
1
+
i
.
2
2
1.3. Algunas funciones importantes
36
1.3.3.
Potencias complejas
Se probó que dado un número complejo no nulo se cumple que
e log z = z,
para cualquier rama de logaritmo que se tome. Si n ∈ N, se tiene entonces
que
n
= e log z e log z · · · e log z = e n log z .
z n = e log z
!
n veces
Estas consideraciones sugieren cómo deben definirse las potencias complejas.
Definición 13 Sean z, w ∈ C, z = 0, y log una rama de logaritmo, se
define
z w = e w log z .
Por ejemplo, si
1
i
z = √ − √
y w = i
2
2
se sigue, tomando la rama con valores en [−π, π), que
zw = e
i
log 1−
iπ
4
π
= e 4.
Obsérvese que, en general, es necesario elegir una rama de logaritmo para que
la asociación z → z w sea una función. Por ejemplo, como se vio en la sección
de las raı́ces n-ésimas, la asociación z → z 1/n toma n valores. En contraste,
la asociación w → z w es más simple, puesto que en este caso log z es una
constante. Es muy importante enfatizar que al tomar las distintas ramas de
logaritmo, los valores obtenidos difieren por factores de la forma
e w ( 2 π n i) ,
n ∈ Z.
Esto se sigue ya que dada una rama de logaritmo denotada por z → log z,
cualquier otra es de la forma z → log z + 2 π n i, n ∈ Z, por lo cual todas
las posibles ramas de z w son de la forma
e w(log z+2 π n i) = e w log z e w (2 π n i) ,
n ∈ Z.
En el ejemplo que acabamos de mencionar los otros valores de z w son
e
π
4
e i (2 π n i) = e
π
−2 π n
4
,
n ∈ Z.
1. Fundamentos y analiticidad
37
Nótese también que para z ∈ C fija ( z = 0), z w está unı́vocamente determinada, es decir, no depende de la rama de logaritmo que se elija, si y sólo
si w es un entero. Esto se cumple dado que
ew(2πni) = 1 ∀ n ∈ Z
⇐⇒
wn ∈ Z ∀n ∈ Z
⇐⇒
w ∈ Z.
En consecuencia, si w no es un entero, para que la asociación z → z w sea
función, hay que elegir una rama especı́fica de logaritmo.
Proposición 1.3.6 Sean z ∈ C, z = 0, y p/q ∈ Q fijos, donde p, q son
primos relativos y q es positivo, entonces z p/q toma exactamente q valores
que son las raı́ces q-ésimas de z p .
Demostración. Basta analizar cuántos números distintos hay de la forma
e
p
(2πni)
q
,
n ∈ Z.
Se tiene
p
⇐⇒
( 2 π n i)
p
eq
= eq
p
(n − m) ∈ Z
q
(2πmi)
⇐⇒
,
n, m ∈ Z,
n≡m
(mód q),
puesto que (p, q) = 1, por lo que z p/q toma exactamente q valores. También, para cualquier rama z → log z se tiene
q
p
log z
= e p log z = z p .
e q
Proposición 1.3.7 Sean z ∈ C, z = 0 y w ∈ C − Q fijos , entonces z w
toma un número infinito de valores.
Demostración. Si w ∈ C − Q, entonces
e w 2 π n i = e w 2 π m i,
⇐⇒ e
w 2 π (n−m) i
n, m ∈ Z,
= 1 ⇐⇒ w (n − m) ∈ Z ⇐⇒ n = m.
1.3. Algunas funciones importantes
38
Una segunda prueba, para el caso w = x + i y ∈ C − R, se obtiene al escribir
e w 2 π n i = e−2 π n y e 2 π n i x .
Por lo que si e w 2 π n i = e w 2 π m i , al tomar normas se tiene que
e−2 π n y = e−2 π m y
y n = m.
Con base en el concepto de potencias complejas se pueden definir las
funciones que son raı́ces n-ésimas.
√
Definición 14 La función raı́z n-ésima, denotada por n z o z 1/n , se define
como
log z
e n ,
donde log z es una rama de logaritmo.
Aunque existen una infinidad de estas funciones, se sigue de la Proposición
1.3.6 que para un complejo fijo no nulo existen exactamente n raı́ces nésimas. Más aún, éstas son las mismas que las descritas en la Proposición
1.1.5. Para mostrar esto se puede tomar la rama del logaritmo cuya parte
imaginaria toma valores en (0, 2 π], la raı́z n-ésima está dada entonces por
e
log z
n
= e
log r i θ
+
n
n
=
√
n
re
iθ
n ,
donde z = r e i θ , θ ∈ (0, 2 π]. Como en las demostraciones de las Proposiciones 1.1.5 y 1.3.6, las otras n − 1 soluciones se obtienen rotando consecutivamente esta solución en el sentido positivo, por un ángulo de 2 π/n, esto
es, multiplicando la solución por
e
2πki
n
,
k = 1, 2, . . . , n − 1.
Analizamos ahora la geometrı́a de algunas de estas funciones. La función
elevar al cuadrado
z −→ z 2
dobla el argumento y eleva al cuadrado la norma (ya que multiplicar complejos no nulos es multiplicar sus normas y sumar sus argumentos), por lo
1. Fundamentos y analiticidad
39
que transforma el primer cuadrante en la cerradura del semiplano superior
H 2 , y ésta a su vez la transforma en todo el plano (véase la Figura 1.19).
z2
z
z2
2θ
θ
1
Figura 1.19: La función z → z 2 duplica el argumento
z2
√
z
√
Figura 1.20: La función z → z, usando la rama [−π, π), es la inversa de
z → z 2 , restringiendo el dominio de esta última a la unión del semiplano
derecho abierto con el eje imaginario inferior (abierto)
La función z →
está dada por
√
z, definida al tomar la rama de logaritmo [0, 2 π),
√
θ
√
z = r ei 2,
√
donde z = r e i θ . Como θ/2 ∈ [0, π), z es un real positivo o un punto en
el semiplano superior: el efecto es dividir el ángulo en dos, por lo cual esta
raı́z cuadrada es una inversa (izquierda y derecha) de la función elevar al
cuadrado, cuando esta última se restringe a la unión del semiplano
superior
abierto H 2 y los reales positivos. En contraste, por ejemplo, (−i) 2 = i.
z −→
1.3. Algunas funciones importantes
40
√
Por otra parte, si se toma la√raı́z cuadrada z definida por la rama de
logaritmo [−π, π), se tiene que z toma valores en el conjunto formado por
la unión del semiplano derecho y el eje imaginario inferior abierto (véanse
las Figuras 1.20 y 1.21). En general (a semejanza del logaritmo), cualquier
rama de la raı́z cuadrada definida en C − {0} es una inversa derecha de la
función elevar al cuadrado. El siguiente resultado describe algunos aspectos
de la geometrı́a de la función elevar al cuadrado.
1
θ
√
θ
2
z
z
Figura 1.21: La función z →
√
z usando la rama [−π, π)
Proposición 1.3.8 La función z → z 2 transforma las lı́neas verticales y
horizontales (excluyendo los ejes) en parábolas.
Demostración. Si z = x + i y, entonces
z 2 = x 2 − y 2 + 2x y i.
Para analizar la recta Im z = c, c = 0, hacemos un cambio de variable
2 x c = t.
Con esta notación, la imagen de dicha recta consiste en los puntos de la
forma
t2
2
− c , t , t ∈ R,
4 c2
lo cual define una parábola. El mismo análisis, aplicado ahora a las rectas
verticales Re z = c, c = 0, muestra que sus imágenes constituyen el lugar
de los puntos de la forma
t2
2
c −
, t , t ∈ R,
4 c2
1. Fundamentos y analiticidad
41
que de nuevo definen una parábola. Nótese que la segunda familia de parábolas se obtiene al reflejar la primera familia por el eje imaginario.
En la Figura 1.22 se ilustra la prueba de la proposición anterior: la imagen
de la recta Im z = 1 es la parábola definida por
t −→
t2
−1
4
que cruza al eje imaginario en ± 2 i y al eje real en −1. Asimismo, la imagen
de la recta Im z = 2 cruza a los ejes en ± 8 i y en −4. Si se toman ahora
las imágenes correspondientes a las rectas dadas por Re z = 1, 2, se obtienen
las otras parábolas que pasan por 1 y 4, respectivamente. En la sección de
conformalidad al final de este capı́tulo se entenderá por qué estas parábolas
se intersecan ortogonalmente.
8i
2i
-4
-1
1
4
−2i
−8i
Figura 1.22: La función z → z 2 transforma rectas verticales y horizontales
en parábolas
1.3. Algunas funciones importantes
42
EJERCICIOS 1.3.3
1. Calcule todos los valores de (1 − i) 4−2i , z i y i w .
√
2. Describa la imagen del conjunto C − {0} bajo la función 3 z definida por
la rama de logaritmo [−π, π). ¿Cuál es la imagen de dicho conjunto bajo la
raı́z cúbica definida por la rama de logaritmo [0, 2 π)?
3. Demuestre que si w ∈ R, entonces |z w | = |z|w .
4. Exhiba z, w ∈ C, para las cuales no se cumpla |z w | = |z| |w| .
5. Demuestre que la función raı́z cuadrada definida por la rama de logaritmo
[0, 2 π) transforma las lı́neas verticales y horizontales de C − {R+ ∪ {0}} en
ramas de hipérbolas.
√
√
6. Sea w ∈ C − {0} y
una rama de la raı́z, ¿se cumple 1/w = 1/ w ?
1.3.4.
Las funciones trigonométricas
Como e i y = cos y + i sen y, se tiene que
cos y =
e i y + e−i y
2
y
sen y =
e i y − e−i y
.
2i
Esto sugiere la siguiente definición.
Definición 15 ∀z ∈ C, se definen las funciones trigonométricas
cos z =
e i z + e−i z
,
2
sen z =
ei z − e−i z
.
2i
Claramente estas funciones son extensiones de las correspondientes funciones reales. Es evidente también que estas funciones complejas cumplen las
identidades: cos z = cos(−z) y sen(−z) = − sen z. Además, heredan otras
de sus propiedades como funciones reales, como se muestra en el siguiente
resultado.
Proposición 1.3.9 Dados z, w ∈ C, se cumplen las siguientes igualdades
(i) sen 2 z + cos 2 z = 1,
(ii) sen(z + w) = sen z cos w + sen w cos z,
(iii) cos(z + w) = cos z cos w − sen z sen w.
1. Fundamentos y analiticidad
43
Demostración. Probamos primero (i)
sen 2 z + cos 2 z =
=
e i z − e−i z
2i
2
+
e i z + e−i z
2
2
e 2 i z + 2 + e−2 i z
e 2 i z − 2 + e−2 i z
+
= 1.
−4
4
Para probar (ii), nótese que la expresión sen z cos w+sen w cos z está dada por
e i w + e−i w
e i w − e−i w
e i z + e−i z
e i z − e−i z
+
=
2i
2
2i
2
ei(z+w) + ei(z−w) − ei(−z+w) − e−i(z+w) + ei(w+z) + ei(w−z) − ei(−w+z) − e−i(w+z)
4i
=
e i (z+w) − e−i (z+w)
= sen(z + w).
2i
La prueba de (iii) es análoga a la de (ii) y queda como ejercicio.
Usando esta proposición se deriva fácilmente que las funciones sen z y
cos z son periódicas y su mı́nimo periodo es 2 π (ejercicio). Además, se sigue
directamente de la Proposición 1.3.9 (ii) que la función coseno es la función
seno aplicada a la composición de la rotación por el origen de π radianes,
seguida de la traslación por π/2, esto es,
π
sen
− z = cos z.
(1.8)
2
Es interesante que las funciones complejas seno y coseno se relacionan con
las funciones trigonométricas hiperbólicas reales, esto es, si t ∈ R se tiene
cosh t = cos(i t) y i senh t = sen(i t).
Probamos la segunda identidad, la prueba de la primera es más simple.
e−t − e t
e t − e−t
e i( i t) − e−i (i t)
=
= i
= i senh t.
sen(i t) =
2i
2i
2
1.3. Algunas funciones importantes
44
sen z
− π2
− π4
- π6
π
6
π
4
π
2
−1
− 12
1
2
1
Figura 1.23: Las función z → sen z transforma rectas vérticales en hipérbolas
Para analizar la geometrı́a de la función z → sen z mostramos primero
cuál es la imagen bajo esta función de las rectas verticales y horizontales,
para esto escribimos
sen z = sen(x + i y) = sen x cos (i y) + sen (i y) cos x
= sen x cosh y + i senh y cos x = u + i v. (1.9)
En consecuencia, los puntos de la imagen de la recta Im z = y 0 , y 0 = 0,
cumplen la ecuación de la elipse
u2
v2
+
= 1,
cosh 2 y 0
senh 2 y 0
ya que sen 2 x + cos 2 x = 1. Nótese que la imagen da un número infinito de
vueltas a dicha elipse.
También la imagen de la recta vertical Re z = x 0 , x 0 = k2π , k ∈ Z,
satisface
u2
v2
−
= cosh 2 y − senh 2 y = 1,
sen 2 x 0 cos 2 x 0
y por lo tanto constituye la rama de una hipérbola (por conexidad es solamente una rama).
En el eje real, se sigue de (1.9) que sen z = sen x, por lo que éste se
transforma en el intervalo [−1, 1], que se puede pensar como una elipse
1. Fundamentos y analiticidad
45
degenerada. Por otra parte, en el eje imaginario, se tiene sen z = i senh y, por
lo que se transforma en sı́ mismo, caso que también se puede considerar como
una hipérbola degenerada (cuando las dos ramas se juntan en una sola). Otros
casos degenerados suceden con las rectas Re z = π/2 y Re z = −π/2, que se
transforman en los segmentos reales [1, ∞) y (−∞, −1], respectivamente,
ya que en estos casos sen z = ± cosh y (esta situación lı́mite es cuando las
ramas de las hipérbolas se doblan en un segmento, véase la Figura 1.23).
Claramente, este comportamiento se repite en todas las rectas verticales que
son de la forma Re z = π/2 + k π, k ∈ Z.
Intuitivamente es claro entonces que si restringimos la función seno a la
región
#
"
π
π
,
z ∈ C − < Re z <
2
2
ésta se transforma biyectivamente en C−{z | Im z = 0, |Re z| ≥ 1}. Dejamos
la verificación formal de este hecho como un ejercicio para el lector. Para
probar esto es útil usar la relación sen(π−z) = sen z, que es una consecuencia
inmediata de la Proposición 1.3.9.
Terminamos esta sección analizando algunos aspectos de las funciones
inversas del seno. Para esto, si sen z = w, entonces
e i z − e−i z
= w ⇐⇒ e i z − e−i z − 2 i w = 0 ⇐⇒ e2 i z − 2 i w e i z − 1 = 0.
2i
Esta ecuación cuadrática tiene soluciones
√
√
2 i w ± −4 w 2 + 4
iz
e =
= i w ± 1 − w 2.
2
Por lo que tomando las distintas ramas de logaritmo se obtienen todas las
preimágenes de w bajo la función seno. Esto es
√
i z = log i w ± 1 − w 2
o
√
z = −i log i w ± 1 − w 2 .
(1.10)
Por ejemplo, si w = 0 y se toma la rama de logaritmo cuyo argumento toma
, 32π ] se obtienen los valores 0 y π. Por consiguiente, todas
valores en ( −π
2
las preimágenes del 0 bajo la función seno son k π, k ∈ Z.
1.4. Algunas funciones importantes
46
Posteriormente mostraremos que la fórmula descrita en (1.10) nos permite, tomando ramas adecuadas, encontrar una función inversa (analı́tica) del
seno en la región C − {z | Im z = 0, |Re z| ≥ 1}.
Una fórmula análoga se puede obtener para la función coseno. Las otras
funciones trigonométricas se definen como en el caso real, de la manera usual,
por ejemplo,
tan z =
sen z
,
cos z
donde z =
k π + π/2, k ∈ Z (es fácil verificar que éstos son los puntos donde
se anula el coseno complejo).
EJERCICIOS 1.3.4
1. Pruebe la identidad cosh t = cos(i t).
2. Pruebe que el mı́nimo periodo de las funciones sen z y cos z es 2 π.
3. Pruebe el tercer inciso de la Proposición 1.3.9.
4. Resuelva cos z = −1/2, cos z = 0 y sen z = i.
5. Demuestre la identidad sen z − sen w = 2 sen z−w
cos z+w
.
2
2
6. Demuestre que en la región {z ∈ C | −π/2 < Re z < π/2} la función sen z
es inyectiva, probando que las imágenes de las restricciones de esta función
a segmentos horizontales son ajenas.
7. Demuestre que en la región {z ∈ C | − π/2 < Re z < π/2} la función
sen z es inyectiva, usando el Ejercicio 5.
8. Demuestre que la función z → sen z transforma biyectivamente la región
{z ∈ C | − π/2 < Re z < π/2} en la región C − {z | Im z = 0, |Re z| ≥ 1}.
9. Describa la geometrı́a de cos z en la región {z ∈ C | 0 < Re z < π}.
Sugerencia: usar (1.8).
√
10. Sean log y
dos ramas cualesquiera de logaritmo y de la raı́z cuadrada,
respectivamente.
Demuestre
que si z = 0, ±i, entonces se cumple la identidad
1
1
1+i z
= cot i log 1−i z .
z
1. Fundamentos y analiticidad
47
1.4.
Funciones analı́ticas
1.4.1.
Diferenciabilidad
Definición 16 Sea A abierto en C, se dice que una función f : A → C es
diferenciable en el sentido complejo en z 0 ∈ A, si
lı́m
z→z 0
f (z) − f (z 0 )
z − z0
existe. Este lı́mite, llamado la derivada, se denota por f (z 0 ).
Se dirá que f es diferenciable en el sentido complejo en A, si lo es en cada
punto de A.
Definición 17 Sea A abierto en C, f : A → C, se dice que f es analı́tica
u holomorfa en z 0 ∈ A, si f es diferenciable en el sentido complejo en una
vecindad alrededor de z 0 .
Es conveniente formular de esta manera la definición de analiticidad puntual,
ya que por ejemplo la función z → |z| 2 es diferenciable en el sentido complejo
en el origen, sin embargo como se podrá constatar posteriormente (usando el
Teorema 1.4.2) esta función no es holomorfa en ninguna vecindad del origen.
Se dice que una función f es holomorfa (o analı́tica) en A si lo es en cada
punto de A. Si la función es holomorfa en C se dice que es entera.
Evidentemente, las funciones constantes son enteras y tienen derivada 0,
también la función idéntica es entera y su derivada es la función constante
z → 1 ∀ z ∈ C. Algunas propiedades de la analiticidad como las que mencionamos a continuación se prueban de manera idéntica al caso real (de una
variable), por lo que se omiten las demostraciones. Primero, si f (z 0 ) existe,
entonces f es continua en z 0 . También, si A es abierto en C y f y g son
analı́ticas en A, entonces
1. α f + β g es analı́tica en A y
(α f + β g) (z) = αf (z) + β g (z) ∀ z ∈ A y ∀ α, β ∈ C.
2. f g es analı́tica en A y
(f g) (z) = f (z) g(z) + f (z) g (z) ∀ z ∈ A.
1.4. Funciones analı́ticas
48
3. Si g(z) = 0 ∀z ∈ A, entonces f /g es analı́tica en A y
f (z) g(z) − f (z) g (z)
f
(z) =
∀ z ∈ A.
2
g
g(z)
Nótese también que se sigue de manera inmediata a estos hechos que
cualquier polinomio a 0 +a 1 z+· · ·+a n z n es una función entera y su derivada
es a 1 + 2 a2 z + · · · + n a n z n−1 . Estas propiedades implican asimismo que
cualquier función racional
a0 + a1 z + · · · + an z n
b0 + b1 z + · · · + bn z n
es analı́tica en C, excepto en los ceros de b 0 +b 1 z+· · ·+b n z n . Por supuesto,
la regla de la cadena se cumple para las funciones analı́ticas. Incluimos la
prueba de este hecho para mostrar la cabal analogı́a con el caso real.
Proposición 1.4.1 Sean A, B abiertos en C, f : A → C y g : B → C
holomorfas, tales que f (A) ⊂ B, entonces g ◦ f : A → C es holomorfa en
A y
(g ◦ f ) (z) = g f (z) f (z) ∀ z ∈ A.
Demostración. Sean z 0 ∈ A y f (z 0 ) = w 0 . Se define para w ∈ B
$
g(w)−g(w 0 )
− g (w 0 )
si w = w 0 ,
w−w 0
h(w) =
0
si w = w 0 .
Obsérvese que como g (w 0 ) existe, h es continua en B, y por lo tanto
lı́m (h ◦ f )(z) = h(w 0 ) = 0.
z→z 0
Ahora, ∀ z ∈ A reemplazando w por% f(z) y despejando
de
& % en la expresión
&
arriba, se tiene (g ◦ f )(z) − g(w 0 ) = h f (z) + g (w 0 ) f (z) − w 0 , por lo
que si z = z 0 ,
f (z) − w 0
(g ◦ f )(z) − g(w 0 )
= h f (z) + g (w 0 )
.
z − z0
z − z0
Finalmente, tomando el lı́mite en esta expresión cuando z → z 0 , se obtiene
el resultado.
1. Fundamentos y analiticidad
49
Por ejemplo, la función
f (z) =
z4 + 2z3 + 1
z2 + 1
es holomorfa en C − {±i} y usando las observaciones anteriores se puede
calcular fácilmente su derivada
2z 5 + 2 z 4 + 4 z 3 + 6 z 2 − 2 z
(4z 3 + 6 z 2 )(z 2 + 1) − 2 z (z 4 + 2 z 3 + 1)
=
.
2
2
(z + 1)
(z 2 + 1) 2
EJERCICIOS 1.4.1
1. Demuestre la identidad (f g) (z) = f (z) g(z) + f (z) g (z).
2. Encuentre una región donde
3 z 4 −2 z 2 +i
z 3 −27 i
2
sea holomorfa, calcule la derivada.
3. Sea f la función de R 2 en R definida por f (x, y) = (x 2 + y 2 , 0) (en
notación compleja z → |z| 2 ), calcule su matriz jacobiana.
4. Sea f (z) = p(z)/q(z), donde p(z), q(z) son polinomios sin raı́ces comunes
y de grados distintos, supóngase también que n es el mayor de sus grados
y que α es un complejo no nulo. Pruebe que la ecuación f (z) = α tiene
exactamente n soluciones contadas con multiplicidad.
1.4.2.
Ecuaciones de Cauchy-Riemann, analiticidad
Las funciones analı́ticas además de satisfacer propiedades que son comunes
al caso real constituyen una clase más restringida, por ejemplo, probaremos
que si una función es analı́tica, entonces tiene derivadas de todos los órdenes,
es decir, es C ∞ en el sentido complejo. El resultado clave que marca una
clara distinción entre estos dos tipos de funciones lo establece el Teorema
1.4.3.
Dado un abierto A en C y una función f : A → C, esta función también
se puede pensar como una función f : A ⊂ R 2 → R 2 . Recordamos del
cálculo que f es diferenciable en el sentido real en (x 0 , y 0 ) ∈ A, si existe
una transformación lineal Df(x 0 , y 0 ) de R 2 en R 2 que satisface
lı́m
(h, k)→(0, 0)
f (x 0 + h, y 0 + k) − f (x 0 , y 0 ) − Df(x 0 , y 0 ) (h, k)
= 0.
|(h, k)|
1.4. Funciones analı́ticas
50
Usaremos en el siguiente teorema el hecho (fácil de probar) de que si g es
una función compleja tal que lı́m g(z) existe, entonces existen lı́m Re g(z)
z→z 0
z→z 0
y lı́m Im g(z), y además
z→z 0
lı́m g(z) = lı́m Re g(z) + i lı́m Im g(z).
z→z 0
z→z 0
z→z 0
Teorema 1.4.2 Sean A abierto en C y f : A → C una función holomorfa
en z 0 ∈ A, entonces si f (z) = u(z) + i v(z), se tiene
∂v
∂u
(z 0 ) =
(z 0 ),
∂x
∂y
∂u
∂v
(z 0 ) = −
(z 0 ).
∂y
∂x
(Ecuaciones de Cauchy-Riemann)
Demostración. Sea z 0 = x 0 + i y 0 , por hipótesis
f (z 0 ) = lı́m
z→z 0
f (z) − f (z 0 )
.
z − z0
En particular, si nos aproximamos a z 0 por la recta horizontal Im z = y 0 ,
se tiene que
u(x, y 0 ) − u(x 0 , y 0 ) + i (v(x, y 0 ) − v(x 0 , y 0 ))
f (x, y 0 ) − f (x 0 , y 0 )
=
,
(x − x0 ) + i (y 0 − y 0 )
x − x0
y tomando el lı́mite cuando x → x 0 , se obtiene
f (z 0 ) =
∂u
∂v
(x 0 , y 0 ) + i
(x 0 , y 0 ).
∂x
∂x
Esta última afirmación se sigue de la observación previa al teorema.
Análogamente, aproximándose ahora por la recta vertical Re z = x 0 ,
la expresión
f (z) − f (z 0 )
z − z0
se puede escribir como
u(x 0 , y) − u(x 0 , y 0 ) + i (v(x 0 , y) − v(x 0 , y 0 ))
(x 0 − x 0 ) + i (y − y 0 )
u(x 0 , y) − u(x 0 , y 0 )
v(x 0 , y) − v(x 0 , y 0 )
=
+
.
i(y − y 0 )
y − y0
1. Fundamentos y analiticidad
51
Nuevamente tomando el lı́mite, ahora cuando y → y 0 , se obtiene
f (z 0 ) =
1 ∂u
∂v
∂v
∂u
(x 0 , y 0 ) +
(x 0 , y 0 ) =
(x 0 , y 0 ) − i
(x 0 , y 0 ).
i ∂y
∂y
∂y
∂y
Igualando estas dos expresiones para f (z 0 ), se obtienen las ecuaciones de
Cauchy-Riemann.
Nótese que la prueba del resultado anterior proporciona fórmulas explı́citas para la derivada, dadas por
f (z) =
∂v
∂v
∂u
∂u
(z) + i
(z) =
(z) − i
(z).
∂x
∂x
∂y
∂y
Obsérvese que se tienen también otras expresiones de la derivada en términos
de las parciales de u(z) (o de las de v(z)). El lector podrá notar asimismo
que en el enunciado del Teorema 1.4.2 se pudo haber reemplazado la hipótesis
de analiticidad por diferenciabilidad compleja, ya que solamente se usó esta
propiedad en la prueba. Dicho teorema establece condiciones necesarias para
que una función sea analı́tica; el siguiente importante resultado generaliza
este hecho estableciendo condiciones suficientes y necesarias.
Teorema 1.4.3 Sea z 0 un punto en un conjunto abierto A, y f : A → C
una función, entonces f es holomorfa en z 0 si y sólo si en una vecindad
de z 0 , f es diferenciable en el sentido real y satisface las condiciones de
Cauchy-Riemann.
Una consecuencia fundamental de este teorema es el hecho de que cualquier
función f : A → C (A abierto en C) con derivadas parciales continuas en
una vecindad de z 0 ∈ A, y que además satisface las condiciones de CauchyRiemann (en dicha vecindad), es analı́tica.
Para demostrar el teorema se necesita primero un lema que muestra la
relación que hay entre las dos descripciones de la función lineal en R 2 que
resulta de multiplicar por un complejo, a saber, en términos de complejos, y
en términos de matrices reales de dos por dos.
Lema 1.4.4 Una matriz ac db con entradas reales representa bajo multiplicación matricial, la multiplicación por un número complejo si y sólo si a = d
y b = −c. El número en cuestión es a + i c o a − i b.
1.4. Funciones analı́ticas
52
Demostración. La operación conmutativa de multiplicar por el número
a + i c, en notación compleja, está dada por
(x + i y) −→ (a + i c) (x + i y) = (a x − c y) + i (c x + a y).
Esta función lı́neal es también la definida por la matriz ac −c
a , ya que
a −c
x
= a x − c y, c x + a y .
c a
y
Viceversa, si la matriz ac db representa la multiplicación por α + i β, se
sigue que para todo número complejo x + i y ∈ C, se tiene
a b
x
= (α x − β y, β x + α y),
c d
y
es decir,
a x + b y = α x − β y,
c x + d y = β x + α y.
En particular, tomando los valores particulares (1, 0) y (0, 1) se obtiene
a = α,
c = β,
b = −β
y d = α.
El Teorema 1.4.2 y el lema anterior permiten probar ahora sin gran dificultad el resultado principal.
Demostración del Teorema 1.4.3. Si f es holomorfa en z 0 , entonces
∀ z en una vecindad de z 0 existe
lı́m
w→z
f (w) − f (z)
,
w−z
que denotamos por f (z). Este lı́mite es equivalente a
f (w) − f (z) − f (z) (w − z)
= 0,
(w − z)
lı́m
w→z
que a su vez equivale a
lı́m
w→z
|f (w) − f (z) − f (z) (w − z)|
= 0,
|w − z|
1. Fundamentos y analiticidad
53
o usando coordenadas reales,
lı́m
w→z
|f (w) − f (z) − Df z (w − z)|
= 0,
|w − z|
donde Dfz es la matriz que define el número complejo f (z) (en virtud del
Lema 1.4.4).
Este último lı́mite muestra que f es diferenciable en el sentido real en z
y que satisface las condiciones de Cauchy-Riemann en ese punto. Este lema
muestra también que todos los pasos son reversibles.
El Teorema 1.4.3 permite también exhibir otros importantes ejemplos de
funciones holomorfas. Denotaremos también a f (z) por
d (f (z))
,
dz
o simplemente
df
.
dz
Proposición 1.4.5 La exponencial es entera y su derivada es ella misma.
Demostración. Como e z = e x cos y + i e x sen y, se tiene que e z es de
clase C ∞ real; además
∂u
∂v
(z) = e x cos y =
(z)
∂x
∂y
y
∂u
∂v
(z) = −e x sen y = − (z).
∂y
∂x
Se sigue pues del Teorema 1.4.3 que e z es analı́tica ∀z ∈ C, y que
d (e z )
= e x cos y + i e x sen y = e z .
dz
z5
Otros ejemplos se derivan de este resultado, por ejemplo, la función e −4
5
es entera y su derivada es (5 z 4 ) e z . También, se tiene que las funciones sen z
y cos z son enteras. Además, como en el caso real
d (sen z)
= cos z
dz
y
d (cos z)
= − sen z.
dz
Esto se sigue ya que
d (sen z)
=
dz
El otro caso es análogo.
eiz
2i
i−
e−i z
2i
(−i) = cos z.
1.4. Funciones analı́ticas
54
Las ecuaciones de Cauchy-Riemann permiten también detectar fácilmente funciones que no son holomorfas, por ejemplo, la función f (z) = z. Si
denotamos f = u + i v, se tiene ∀ z que u(z) = x y v(z) = −y, por lo que
∂u
∂v
(z) = 1 = −1 =
(z)
∂x
∂y
y f no es holomorfa en ningún punto del plano.
Volviendo al caso general de las funciones holomorfas, resulta que sus partes reales e imaginarias tienen propiedades muy distintivas, como se muestra
a continuación.
Definición 18 Sea A un abierto en C y u : A → R una función de clase
C 2 , se dice que u es armónica en A si ∀ z ∈ A se tiene
∂2u
∂2u
(z)
+
(z) = 0.
∂ x2
∂ y2
A esta expresión se le llama el laplaciano de u y se le denota por ∇ 2 u.
Proposición 1.4.6 Sea A un abierto en C y f : A → C holomorfa, entonces u, v son funciones armónicas en A, donde f (z) = u(z) + i v(z).
Demostración. Probaremos en el siguiente capı́tulo que si una función es
holomorfa, entonces es de clase C ∞ en el sentido complejo, por lo que basta
verificar que los laplacianos de u y v son cero. Como en A se tiene
∂u
∂v
=
,
∂x
∂y
se sigue que
∂2u
∂2v
.
=
∂ x2
∂ x∂ y
por lo que
∂2v
∂2u
=
−
.
∂ y2
∂y∂x
También se tiene
∂v
∂u
= −
,
∂y
∂x
En consecuencia, al sumar ambas ecuaciones se tiene ∇ 2 u = 0. La prueba
para la función v es análoga.
En algunas aplicaciones a la fı́sica es conveniente expresar las condiciones de Cauchy-Riemann en coordenadas polares; para encontrarlas se usa la
función polar definida de (0, 2 π) × R+ en R 2 por
T (θ, r) = (r cos θ, r sen θ),
1. Fundamentos y analiticidad
55
donde R+ = {x ∈ R | x > 0}. Se restringe el ángulo a (0, 2 π), ya que
de otra manera, si, por ejemplo, se toma como dominio (0, 2 π] × R+ , se
tendrı́a que T −1 no es continua en el eje real positivo. Esto se puede mostrar
tomando la sucesión
e
2πi
n ,
n ∈ N,
la cual converge a 1, sin embargo
2πi
T −1 e n
= 2nπ , 1
no converge a T −1 (1) = (2 π, 1). Véase la Figura 1.24. Es claro que un
argumento similar se aplica si se toma como dominio [0, 2 π) × R+ .
T −1
2π
Figura 1.24: La función polar inversa no es continua en R 2 − {0}
Proposición 1.4.7 Sea A una región en C−R+ y f : A → C una función
analı́tica, f (z) = u(z) + i v(z). Entonces ∀ (θ, r) ∈ T −1 (A)
∂v
∂u
(θ, r) = −r
(θ, r)
∂θ
∂r
∂v
∂u
(θ, r) = r
(θ, r),
∂θ
∂r
y
donde u = u ◦ T y v = v ◦ T . A estas igualdades se les llama ecuaciones de
Cauchy-Riemann en forma polar.
56
1.4. Funciones analı́ticas
Demostración. Tomando T (θ, r) = z, z ∈ A, se tiene
⎞
⎛
∂v
∂u
(z)
−
(z)
⎜∂ x
∂x ⎟
⎟ −r sen θ cos θ
⎜
D(f ◦ T )(θ, r) = ⎜
⎟
⎠ r cos θ sen θ
⎝∂ v
∂u
(z)
(z)
∂x
∂x
⎛
⎞
∂u
∂v
∂u
∂v
−r
sen
θ
(z)
−
r
cos
θ
(z)
cos
θ
(z)
−
sen
θ
(z)
⎜
∂x
∂x
∂x
∂x ⎟
⎜
⎟
= ⎜
⎟.
⎝
∂v
∂u
∂v
∂u ⎠
−r sen θ
(z) + r cos θ
(z)
cos θ
(z) + sen θ
(z)
∂x
∂x
∂x
∂x
Por consiguiente, como esta última matriz es precisamente
⎛
⎞
∂u
∂u
(θ,
r)
(θ,
r)
⎜∂ θ
⎟
∂r
⎜
⎟
⎜
⎟
⎠
⎝∂ v
∂v
(θ, r)
(θ, r)
∂θ
∂r
se sigue la proposición.
Nótese que el resultado anterior se puede adaptar a dominios diferentes a
C − R+ , variando el argumento, esto es, tomando otras funciones polares con
dominios (y 0 , y 0 + 2 π) × R+ . Existe un resultado análogo al Teorema 1.4.3
para coordenadas polares: si A es una región en C−R+ y f : A → C es diferenciable en el sentido real y se satisfacen las condiciones de Cauchy-Riemann
en forma polar, se concluye que f es analı́tica en A. La demostración queda
como ejercicio para al lector. De nuevo, esta situación también se aplica a
otros dominios.
Una manera de probar la analiticidad de una rama de logaritmo en un
cierto dominio, es usando las ecuaciones de Cauchy-Riemann polares. Para
poder hablar de la derivada del logaritmo, se necesita restringir el dominio
para que esta función sea continua. Esto sucede ya que en los dominios donde
se definió originalmente la función rama de logaritmo no resulta ser continua.
Por ejemplo, si se toma la rama con valores del argumento en (y 0 , y 0 +2 π] la
sucesión
e i (y 0+1/n) , n ∈ N, converge a e i y 0 , cuando n → ∞, sin embargo
i (y +1/n)
log e 0
no converge a log (e i y 0 ) = (y 0 + 2 π) i, véase la Figura 1.25.
Si se toma el intervalo [y 0 , y 0 + 2 π), un argumento similar se aplica.
1. Fundamentos y analiticidad
57
Por consiguiente, consideraremos dominios de la forma
C − B y0,
(1.11)
donde B y 0 = {z ∈ C | z = t e i y 0 , t ≥ 0}.
(y0 + 2π)i
log z
y0 i
eiy0
Figura 1.25: El logaritmo no es continuo en C − {0}
Proposición 1.4.8 Sea f la rama de logaritmo definida en C−B y 0 y cuyo
argumento toma valores en (y 0 , y 0 + 2 π), entonces f es holomorfa en este
dominio y
1
f (z) = .
z
.
Demostración. En forma polar, si z = r e i θ se tiene
f (z) = log r + i θ.
Como log r y θ son funciones de clase C 1 de r y θ, también lo son de
x y y. Esta última afirmación se puede comprobar usando el teorema de la
función inversa aplicado a la transformación polar T (θ, r) = (r cos θ, r sen θ).
En consecuencia, para probar que esta rama de logaritmo es holomorfa en el
dominio C − B y 0 , basta verificar que se cumplen las ecuaciones de CauchyRiemann polares. Usando la notación de la Proposición 1.4.7, esto se obtiene
directamente
∂u
∂v
= 0 =
∂θ
∂r
y
∂v
∂u
= r
.
∂θ
∂r
1.4. Funciones analı́ticas
58
Para calcular la derivada se observa primero que
1 ∂r
∂ (log r)
(z) =
(z),
∂x
r ∂x
por lo cual
f (z) =
∂θ
1 ∂r
∂θ
∂ (log r)
(z) + i
(z) =
(z) + i
(z).
∂x
∂x
r ∂x
∂x
Ahora, estos valores los podemos encontrar con la matriz inversa del jacobiano de la función polar, esto es, como
−r sen θ cos θ
DT (θ, r) =
,
r cos θ sen θ
se sigue que el determinante de esta matriz es −r y
⎛
⎞
⎛
∂θ
sen θ
⎜ ∂ x (z)
∗
−
⎟
⎜
⎜
r
DT −1 T (θ, r) = ⎝
⎠ = ⎜
⎝∂ r
cos θ
∗
(z)
∂x
⎞
∗⎟
⎟
⎟,
⎠
∗
donde T (θ, r) = z. Por consiguiente
f (z) =
sen θ
1
z
cos θ
1
−i
= 2 (x − i y) =
= .
r
r
r
|z| 2
z
Posteriormente, usando el teorema de la función inversa complejo daremos
una prueba muy simple de esta proposición. También, en el siguiente capı́tulo
mostraremos dominios de analiticidad del logaritmo más sofisticados.
Definición 19 A la rama de logaritmo cuyos argumentos toman valores en
(−π, π) se le llama la rama principal.
Por ejemplo, usando la rama principal la función z −→ log(z 2 ) es holomorfa en
A = C − {z | Re z = 0} .
Esto se sigue ya que si z ∈ A, entonces z 2 = 0 y arg (z 2 ) = π. Sin embargo,
si se busca una región de analiticidad se debe restringir el dominio a uno de
los dos semiplanos.
1. Fundamentos y analiticidad
59
Se pueden construir otras funciones enteras con las potencias, por ejemplo,
si se toma un complejo no nulo b y cualquier rama de logaritmo, se tiene
que la función f (z) = b z es entera y su derivada está dada por (log b) b z .
Esto se sigue de la regla de la cadena, ya que b z = e (log b) z .
Proposición 1.4.9 Si se fija una rama de logaritmo, la función z −→ z b
es analı́tica en la región de analiticidad de dicha rama de logaritmo, y
d zb
= b z b−1 .
dz
Se sobreentiende que z b y z b−1 usan la misma rama de logaritmo.
Demostración. La función z b = e b log z es holomorfa en el dominio de la
rama de logaritmo elegida debido a la regla de la cadena. Ahora
d e b log z
b
= e b log z = b e− log z e b log z = b e (b−1) log z = b z b−1 ,
dz
z
donde z b y z b−1 usan la misma rama de logaritmo.
Obsérvese que z es entera si b ∈ N ∪ {0}, z es holomorfa en C − {0}
si b ∈ Z, y si b ∈
/ Z, los dominios de analiticidad de las funciones z → z b
son los descritos por la Proposición 1.4.9.
Un caso de particular importancia en la Proposición 1.4.9 es la función
raı́z n-ésima, z −→ z 1/n . Una función de este tipo es analı́tica en cualquier
región de la forma (1.11), y en ese dominio
1
d z 1/n
1
−1
=
z n .
dz
n
b
b
Terminamos esta sección exhibiendo los dominios de analiticidad de otras
funciones que, de manera similar a las ramas de logaritmo y a las potencias
presentan en la frontera de su dominio lı́neas de corte y puntos de corte, que
se les llama también de ramificación.
√
z + 1 podemos elegir el dominio
Por ejemplo, para la función g(z) = e√
de la rama principal de logaritmo para z → z . Por lo tanto, para encontrar
un dominio de analiticidad de la función g(z) se necesita caracterizar
{z ∈ C | e z + 1 ≤ 0}.
1.4. Funciones analı́ticas
60
Primero, e x+iy ∈ R si y sólo si y = k π, k ∈ Z. Si k es par e z = e x > 0.
Si k es impar e z = −e x , en este caso −e x + 1 ≤ 0, siempre que 1 ≤ e x , lo
cual se cumple si y sólo si x ≥ 0. Por consiguiente
A = C − {x + i y ∈ C | x ≥ 0, y = (2 n + 1)π, n ∈ Z}
es la región buscada, y
d (e z + 1) 1/2
dz
=
ez z
(e + 1)−1/2
2
∀z ∈ A
(véase la Figura 1.26).
3πi
πi
−πi
Figura 1.26: Dominio de analiticidad para z →
√
ez + 1
Mostramos ahora que tomando la rama de la raı́z definida por la rama de
logaritmo con argumento en (0, 2 π), la función
√
z −→ z 2 − 1
es analı́tica en C − B, donde
B = {z ∈ C | Im z = 0, |Re z| ≥ 1}
(véase la Figura 1.27). Para esto, basta observar que z ∈ B si y sólo si se
cumplen las condiciones
Re (z 2 − 1) ≥ 0
y
Im(z 2 − 1) = 0.
1. Fundamentos y analiticidad
61
z
r2
r1
θ1
θ2
−1
1
Figura 1.27: Dominio de analiticidad para z →
√
z2 − 1
√
Una segunda descripción de la función z 2 − 1 está dada por la siguiente
expresión
√
r 1 r 2 e i (θ 1 +θ 2 )/2 ,
(1.12)
donde r i , θ i , i = 1, 2, se determinan de acuerdo con la Figura 1.27, bajo las
condiciones 0 < θ 1 < 2 π
√ y −π < θ 2 < π. Para probar esta
√ afirmación,
obsérvese primero que si z +√1 es raı́z
cuadrada
de
z
+
1
y
z − 1 es raı́z
√
cuadrada de z − 1, entonces z + 1 z − 1 es raı́z cuadrada de
(z + 1) (z − 1) = z 2 − 1.
√
Ahora, se toma para definir z − 1 la rama de logaritmo con valores en
(0, 2 π), por lo que esta función es holomorfa en
C − {x + i y ∈ C | y = 0, x ≥ 1}.
Es claro también de la Figura 1.27 que, como la función
por
√
z − 1 está definida
1
z −→ e 2 (log |z−1|+i arg(z−1)) ,
donde 0 < arg z < 2 π, se tiene que
√
√
z − 1 = r 1 e i θ 1 /2 .
√
Finalmente, para z + 1 se toma la rama principal, por lo que esta función
es holomorfa en
C − {x + i y ∈ C | y = 0, x ≤ −1}.
62
1.4. Funciones analı́ticas
También, como z + 1 = z − (−1), se sigue de la Figura 1.27, como en el
otro caso, que
√
√
z + 1 = r 2 e i θ 2 /2 .
Por consiguiente, la función descrita en (1.12) es holomorfa en
C − {z | Im z = 0, |Re z| ≥ 1}.
√
Más aún, las dos descripciones mencionadas de z 2 − 1 definen la misma
función, dejamos la verificación de este hecho como ejercicio para el lector.
EJERCICIOS 1.4.2
1. Verifique directamente que se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann
para la función z → 3 z 3 + 2 z.
2. Sea A una región en C − R+ y f : A → C diferenciable en el sentido
real y tal que cumple las ecuaciones de Cauchy-Riemann en forma polar,
demuestre que f es analı́tica en A.
√
3. Demuestre que las dos descripciones que se exhibieron de z 2 − 1 al final
de esta sección, son la misma función. Sugerencia: usar un argumento de
conexidad y continuidad.
4. Demuestre que la función z → sen z no es holomorfa en ningún punto del
plano.
5. Encuentre un dominio de analiticidad para la función z → log(z − 7 + i)
y calcule la derivada, donde log denota la rama de logaritmo con valores en
( π2 , 5π
).
2
6. Encuentre un dominio de analiticidad para la función z → log(e z + 1) y
encuentre la derivada, donde log denota la rama (0, 2 π) de logaritmo.
7. Demuestre que la función f (z) = z 5 /|z| 4 , si z = 0, y f (0) = 0, cumple las
ecuaciones de Cauchy-Riemann en el origen, sin embargo no es diferenciable
en dicho punto. Sugerencia: aproximarse al origen por una recta a 45 o .
√
8. Encuentre una región de analiticidad para la función z → z 3 − 1 usando
la rama principal de logartimo. Calcule la derivada.
√
9. Encuentre una región donde la función z →
z + 1 sea holomorfa,
usando la rama (0, 2 π) para definir la raı́z. Calcule la derivada.
10. Exhiba una familia infinita de funciones de C en C diferenciables en el
sentido real pero no analı́ticas.
1. Fundamentos y analiticidad
63
11. Usando la Proposición 1.4.12, pruebe que si f es una función holomorfa
en la región A = {z ∈ C | |z − 10| < 10−10 }, y se tiene que su imagen
está contenida en la recta Re z = −3, entonces f es constante.
1.4.3.
Conformalidad
La regla de la cadena para funciones de varias variables reales junto con las
ecuaciones de Cauchy-Riemann proporcionan una interesante y fundamental
interpretación geométrica de las funciones holomorfas.
Teorema 1.4.10 Sea γ : [a, b] → C una curva diferenciable contenida en
una región A, supóngase también que f : A → C es holomorfa, entonces
f ◦ γ es una curva diferenciable y
(f ◦ γ) (t) = f (γ(t)) γ (t)
∀ t ∈ [a, b].
Demostración. La regla de la cadena real implica que
(f ◦ γ) (t) = Df (γ(t)) γ (t).
A su vez, la demostración del Teorema 1.4.3 dice que esto puede escribirse
como
(f ◦ γ) (t) = f (γ(t)) γ (t).
El Teorema 1.4.10 conlleva la geometrı́a local de las funciones analı́ticas; muestra que en los puntos donde no se anula la derivada, la función,
infinitesimalmente, es aproximadamente una rotación en el sentido positivo,
seguida de una homotecia —las cuales pueden ser triviales—. Para mostrar
esto, suponemos que bajo las hipótesis del teorema, se tiene también que
∀ t ∈ [a, b] γ (t) = 0 y f (γ(t)) = 0. Ahora, si denotamos a la curva
imagen f ◦ γ por φ, se tiene
φ (t) = f (γ(t)) γ (t),
y por consiguiente φ (t) = 0. Más aún, la dirección de la tangente a φ en
φ(t) está determinada por
arg φ (t) = arg f (γ(t)) + arg γ (t)
(mód 2 π).
Esto dice que el ángulo que forman las tangentes a φ en φ(t) y a γ en
γ(t) es arg f (γ(t)), es decir, no depende de la curva γ, sólo depende del
punto z = γ(t) y de la función f (véase la Figura 1.28).
1.4. Funciones analı́ticas
64
f
φ
(t)
φ(t)
γ (t)
γ(t)
Figura 1.28: Las funciones conformes rotan positivamente las tangentes
Estas hipótesis también implican que dos curvas cuyas tangentes forman
un ángulo θ en z se transforman en dos curvas cuyas tangentes forman un
ángulo θ en f (z). Esto se sigue, al tomar dos curvas diferenciables γ 1 , γ 2 ,
con derivadas no nulas que se intersecan en un punto z ∈ A, denotando las
curvas imágenes por φ 1 , φ 2 , y restando las siguientes expresiones
arg φ 1 (t) = arg f (γ 1 (t)) + arg γ 1 (t) (mód 2 π)
arg φ 2 (t) = arg f (γ 2 (t)) + arg γ 2 (t) (mód 2 π),
donde γ 1 (t) = γ 2 (t) = z. Véase las Figuras 1.29 y 1.30.
φ2
γ2
f
φ1
θ
z
θ
f (z)
γ1
Figura 1.29: Las funciones conformes preservan ángulos
Hemos probado algo de gran importancia: las funciones holomorfas con
derivada no nula preservan ángulos. A esta propiedad se le conoce como
1. Fundamentos y analiticidad
65
conformalidad. En el contexto de funciones complejas de variable compleja,
una definición precisa es la siguiente.
Definición 20 Sea A una región en C y f : A → C analı́tica. Se dice que
f es conforme en z ∈ A, si f (z) = 0.
Esta definición se generaliza a funciones de R n en R n (cf. [3], p. 7). Un
ejemplo no trivial de esta propiedad de preservar ángulos se presenta con la
ortogonalidad de las rectas verticales y horizontales en el plano que la función
exponencial transforma en cı́rculos concéntricos al origen y semirrectas por
el origen, respectivamente (los cuales también se intersecan ortogonalmente).
Véase la Figura 1.15.
f
z0
f (z0 )
Figura 1.30: Efecto local de una función conforme
Por otra parte, si la derivada de una función holomorfa en un punto es
nula, entonces no se preservan los ángulos. Por ejemplo, la función z → z 2
tiene derivada nula en el origen y transforma el eje real positivo en sı́ mismo,
mientras que transforma el eje imaginario positivo en el eje real negativo, por
lo cual, en el origen, un ángulo recto se transforma en otro de π radianes
(véase la Figura 1.19).
Otra propiedad que se relaciona con el término conforme, es el cambio
lineal de escala. Bajo las hipótesis del Teorema 1.4.10, si la función f es
conforme en z 0 ∈ A, se sigue de la desigualdad del triángulo que
f (z) − f (z 0 ) = |f (z0 )|.
lı́m
z→z 0 z − z0 1.4. Funciones analı́ticas
66
Este lı́mite significa que la razón de contracción (o dilatación) lineal de
cualquier segmento (que comience en z 0 ) bajo f es, en el lı́mite, constante, y
no depende de la dirección que se elija. Por supuesto, este cambio, en general,
varia de punto a punto.
En particular, si γ(t) = z 0 y γ (t) = 0, se tiene
|φ (t)| = |f (γ(t))| |γ (t)|,
esto es, los vectores tangentes a curvas por z 0 se dilatan o contraen por el
factor |f (z 0 )| (o se preservan en norma, si |f (z 0 )| = 1).
Resumiendo, una transformación conforme, infinitesimalmente, cerca de
z, es aproximadamente una rotación por un ángulo arg f (z) seguida de
una homotecia por un factor |f (z)|. Dicho de otra manera, si una función
es conforme en un punto z, y se tiene un vector tangente w a una curva
diferenciable por z, entonces el vector tangente a la curva imagen en f (z)
se obtiene al rotar w por arg f (z) y al multiplicar su norma por |f (z)|.
Por ejemplo, si f (z) = z 4 − z 2 , se tiene que f (z) = 4 z 3 − 2 z, y
entonces f (−i) = 6 i, por lo que infinitesimalmente, f cerca de −i es
aproximadamente una dilatación por un factor de 6, seguida de una rotación
de π/2. Más precisamente, dada una curva diferenciable γ por −i con vector
tangente w en dicho punto, la curva f ◦ γ tiene como vector tangente en
f (−i) el vector 6 i w.
Teorema 1.4.11 (De la función inversa) Sea f : A → C holomorfa,
donde A es una región en C, supóngase también que f es continua en A,
y que f es conforme en z 0 ∈ A. Entonces existen abiertos U y V en C,
tales que z 0 ∈ U y f |U es una biyección sobre V . Más aún, f −1 : V → U
es holomorfa y ∀ w ∈ V, si w = f (z) se tiene
(f −1 ) (w) =
Demostración. Se tiene que
⎛∂ u
Df (z 0 ) = ⎝
∂x
det Df (z 0 ) =
f
.
(z 0 ) − ∂∂ xv (z 0 )
∂v
(z 0 )
∂x
∂u
(z 0 )
∂x
1
(z)
2
+
⎞
⎠,
y
∂u
(z 0 )
∂x
∂v
(z 0 )
∂x
2
= |f (z 0 )| 2 = 0.
1. Fundamentos y analiticidad
67
Por consiguiente, usando el teorema de la función inversa para funciones de
R n en R n , se deduce que existen abiertos U y V en C, z 0 ∈ U tales que
f |U : U → V es una biyección; f −1 es diferenciable en el sentido real en V,
y ∀ z ∈ U se tiene
⎛ ∂u
⎞
(z) ∂∂ xv (z)
∂
x
1
⎠.
I ⎝
Df −1 (f (z)) =
det Df (z)
∂v
∂u
− ∂ x (z) ∂ x (z)
Por lo que f −1 satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann en V y por lo
tanto es analı́tica. Además
∂u
∂v
f (z)
1
1
−1 (z) − i
(z) =
= .
(f ) (f (z)) =
2
det Df (z) ∂ x
∂x
|f (z)|
f (z)
La hipótesis de que la derivada deba ser continua fue necesario incluirla en
esta fase del texto, sin embargo no es necesaria, ya que como se mostrará en
el siguiente capı́tulo, si una función es holomorfa, entonces tiene derivadas
de todos los órdenes en el sentido complejo. Por otra parte, obsérvese que el
Teorema 1.4.11 establece una biyección local y no global, como puede fácilmente detectarse en el ejemplo f (z) = z 2 , ya que esta función en cualquier
vecindad del origen no es biyectiva. Véase la Figura 1.19.
A manera de una aplicación del teorema de la función inversa se exhibe
una segunda prueba de que las funciones rama de logaritmo son holomorfas en
sus dominios de analiticidad, con derivada z → 1/z . Usando la notación de la
Proposición 1.4.8, probamos que la rama de logaritmo definida en C−B y 0 , y
cuyo argumento toma valores en (y 0 , y 0 + 2 π), es holomorfa en ese dominio
y su derivada está dada por z → 1/z. Para esto restringimos el dominio de
la exponencial a la banda infinita
R y 0 = {z ∈ C | y 0 < Im z < y 0 + 2 π}.
Si denotamos a esta restricción como f , se sigue entonces del Teorema 1.4.11
que la función inversa f −1 es analı́tica en C − B y 0 , ya que ∀ z ∈ R y 0
f (z) = e z = 0.
Más aún, escribiendo w = e z , donde y 0 < Im z < y 0 + 2 π, se tiene
−1 1
1
1
= z = .
(w) = f
f (z)
e
w
1.4. Funciones analı́ticas
68
Se puede deducir también del Teorema 1.4.11 que existe una función inversa del seno, que es holomorfa en la región C − {z | Im z = 0, |Re z| ≥ 1}.
Esto se sigue de la descripción que se hizo anteriormente sobre la geometrı́a
de la función seno, y del hecho de que en la franja |Re z| < π/2 , la función
seno no tiene singularidades, esto es, puntos donde la derivada se anule (en
los puntos ±π/2 la función se ramifica, es dos a uno). Se tiene entonces
que la función z → sen z es una biyección conforme entre ambas regiones.
Sin embargo, no es evidente qué ramas se pueda tomar en la relación (1.10)
para la raı́z cuadrada y para el logaritmo, de tal manera que esta fórmula proporcione la inversa. Un análisis detallado, considerando los distintos
cuadrantes, muestra que tomando
la rama principal, se tiene
√doblemente
que en efecto w → −i log i w + 1 − w 2 define la inversa en la región
C − {z | Im z = 0, |Re z| ≥ 1}. Dejamos la verificación de este resultado
como ejercicio para el lector.
Se concluye este capı́tulo probando que una función holomorfa definida
en una región con derivada nula es constante. Para esto, observamos primero
que si A es una región en C y z, w ∈ A, entonces existe una poligonal
(esto es, una curva formada por un número finito de segmentos de recta
consecutivos no alineados) totalmente contenida en A que une z con w.
Dejamos la verificación de este hecho al lector.
Proposición 1.4.12 Sea A una región en C y f : A → C analı́tica, tal
que f (z) = 0 ∀ z ∈ A, entonces f es constante en A.
Demostración. Sean z, w ∈ A y γ : [a, b] → A una poligonal que une z
con w. Entonces existe una partición a = x 0 < x 1 < x 2 . . . < x n = b, tal
que γ| [x i−1 , x i ] es diferenciable, i ∈ {1, 2, . . . , n}. En dichos subintervalos
se tiene
(f ◦ γ) (t) = f (γ(t)) γ (t) = 0,
escribiendo f = u + i v, esto implica que
d (u ◦ γ)
d (v ◦ γ)
(t) = 0 =
(t),
dt
dt
por lo que estas funciones son constantes (en los subintervalos) y
u ◦ γ(xi ) = u ◦ γ(xi−1 ),
v ◦ γ(xi ) = v ◦ γ(xi−1 ),
∀ i ∈ {1, 2, . . . , n}. Por lo cual f (z) = f (w).
1. Fundamentos y analiticidad
69
EJERCICIOS 1.4.3
1 Interprete geométricamente la no conformalidad de la función z → z 4 en
el origen.
2. Describa el comportamiento infinitesimal de la función f (z) = 3 z 2 + 2
cerca de 1 + i.
3. Demuestre que en una región del plano complejo, cualesquier dos puntos
se pueden unir por medio de una poligonal. Sugerencia: usar un argumento
de conexidad.
4. Sea B = {z ∈ C | Im z = 0, |Re z| ≥ 1} demuestre queusando
√ (doble
mente) la rama principal de logaritmo, la función z → i log i z + 1 − z 2
es una biyección conforme de C − B en {z ∈ C | |Re z| < π2 }. Esta transformación es una inversa de la función seno.
5. Demuestre que si una función f es conforme en un punto z, entonces la
matriz jacobiana de f en z es el producto de una matriz escalar por una
matriz ortogonal especial (elemento de SO(2)).
6. Demuestre que si una función g es holomorfa en un dominio D y se anula
en todo punto su derivada n-ésima, entonces la función es un polinomio de
grado menor o igual a n − 1. Sugerencia: aplicar inducción sobre n.
Capı́tulo 2
Integración
En este capı́tulo se prueban algunos de los resultados más importantes de la
variable compleja como son el teorema y las fórmulas integrales de Cauchy;
posteriormente se muestran algunas de sus consecuencias, a saber, los teoremas de Liouville y fundamental del álgebra, y varios otros, como el principio
del máximo y la fórmula de Poisson que soluciona el problema de Dirichlet
en el disco. El uso del número de Lebesgue permite simplificar la prueba
de la versión general del teorema de Cauchy —para homotopı́as de curvas
cerradas— que aparece en el libro de Marsden-Hoffman [12].
2.1.
Fundamentos
En esta sección se establecen las propiedades básicas de la integración compleja y el teorema fundamental del cálculo complejo.
Definición 21 Sea h : [a, b] → C, h(t) = u(t) + i v(t), donde u y v son
funciones continuas. Se define
)
)
b
h(t) dt
)
b
como
b
u(t) dt + i
a
a
v(t) dt.
a
Definición 22 Sea γ : [a, b] → C una curva continua. Se dice que γ es de
clase C 1 por tramos, si existe una partición a = x 0 < x 1 < . . . < x n = b de
[a, b], tal que ∀ i ∈ {1, 2, . . . , n} γ| (x i−1 , x i ) es diferenciable y la restricción
de γ al intervalo (x i−1 , x i ) tiene una extensión continua a [x i−1 , x i ].
71
2.1. Fundamentos
72
Integraremos principalmente a lo largo de curvas que sean de clase C 1 por
tramos. La integración sobre curvas solamente continuas se usará únicamente
en la parte teórica de la prueba del teorema de Cauchy.
Definición 23 Sea A una región en C, f : A → C una función continua
y γ : [a, b] → A una curva de clase C 1 . Se define
)
)
f (z) dz
b
como
γ
f (γ(t)) γ (t)dt.
a
Se extiende esta definición en forma natural a curvas de clase C 1 por tramos
(sumando cada contribución). Recordamos del cálculo que si se tiene una
curva γ : [a, b] → A de clase C 1 , donde A es una región en R 2 y g : A → R
es una función continua, entonces se definen las siguientes integrales llamadas
de lı́nea:
)
) b
g(x, y) dx =
g (x(t), y(t)) x (t) dt
y
γ
a
)
)
b
g(x, y) dy =
γ
g (x(t), y(t)) y (t) dt,
a
donde γ(t) = (x(t), y(t)) . El siguiente resultado muestra que la integral
compleja está formada por cuatro integrales de lı́nea.
Proposición 2.1.1 Sean f (z) = u(z) + i v(z) y γ(t) = (x(t), y(t)) como en
la Definición 23. Entonces
)
)
)
f (z) dz = [u(x, y) dx − v(x, y) dy] + i [u(x, y) dy + v(x, y) dx] .
γ
γ
γ
Demostración. Sin perder generalidad se puede suponer que la curva γ
es de clase C 1 , y en este caso se tiene
f (γ(t)) γ (t) = [u (x(t), y(t)) + i v (x(t), y(t))] [x (t) + i y (t)]
= u (x(t), y(t)) x (t) − v (x(t), y(t)) y (t)
+ i [u (x(t), y(t)) y (t) + v (x(t), y(t)) x (t)] .
2. Integración
73
Una forma de recordar la fórmula anterior es escribir
f (z) dz = (u + i v) (dx + i dy) = u dx − v dy + i (u dy + v dx).
*
*
Escribiremos algunas veces γ f por γ f (z) dz.
Si γ 1 : [a, b] → C y γ 2 : [b, c] → C son curvas de clase C 1 por tramos,
tales que γ 1 (b) = γ 2 (b), se define la curva γ 1 + γ 2 : [a, c] → C por
$
γ 1 (t) si t ∈ [a, b] ,
(γ 1 + γ 2 )(t) =
γ 2 (t) si t ∈ [b, c] .
Ahora, si esta nueva curva está en el dominio de continuidad de una función
compleja f , se sigue de la misma propiedad para integrales reales que
)
)
)
f =
f+
f.
γ 1 +γ 2
γ1
γ2
Por otra parte, si A es una región en C, f, g : A → C son funciones
continuas y γ es una curva en A de clase C 1 por tramos, entonces se sigue
directamente de la definición que
)
)
)
f +g =
f +
g.
γ
γ
γ
Esta observación y la siguiente proposición implican que la integral compleja,
a semejanza de la real, es lineal.
Proposición 2.1.2 Sea A una región en C, f : A → C una función continua, γ una curva en A de clase C 1 por tramos y α ∈ C, entonces
)
)
α f = α f.
γ
γ
Demostración. Basta probar la proposición para curvas de clase C 1 . El
resultado es consecuencia de la siguiente afirmación: dada h : [a, b] → C
continua y α ∈ C, se cumple la siguiente propiedad
)
)
b
b
α h(t) dt = α
a
h(t) dt.
a
2.1. Fundamentos
74
Esto se sigue, ya que suponiendo válida la afirmación se tiene
)
) b
) b
)
αf =
α f (γ(t)) γ (t) dt = α
f (γ(t)) γ (t) dt = α f.
γ
a
γ
a
Para probar la afirmación, sean α = c + i d y h(t) = h 1 (t) + i h 2 (t),
entonces
) b
(c + i d) (h 1 (t) + i h 2 (t)) dt
a
) b
) b
[c h 1 (t) − d h 2 (t)] dt + i
[c h 2 (t) + d h 1 (t)] dt
=
a
a
) b
) b
h 1 (t) dt + i
h 2 (t) dt .
= (c + i d)
a
a
También, dada A una región y γ : [a, b] → A de clase C 1 por tramos,
se define −γ(t) = γ(a + b − t), es decir, −γ recorre la misma curva que γ,
pero en sentido inverso. Ahora, si f : A → C es una función continua, se
sigue del teorema de cambio de variable real (aplicado dos veces) que
)
)
f = − f.
(2.1)
−γ
γ
Usaremos el siguiente resultado de cálculo para probar que la integral
compleja no depende de la parametrización. Recordamos que una parametrización unitaria es aquella cuyos vectores tangentes tienen norma 1.
k
k((C))
0
x
(C)
x
k(0) k(x)
Figura 2.1: Parametrización unitaria, x ∈ [0, (C)] va a un punto k(x), cuya
distancia a lo largo de C de k(0) es precisamente x
2. Integración
75
Teorema 2.1.3 (Parametrización unitaria) Sea C la curva descrita por
la función g : [a, b] → R n de clase C 1 , y con derivada no nula*en todo [a, b].
t
Si : [a, b] → [0, (C)] es la función longitud, i. e., (t) = a |g (s)| ds y
−1
ϕ = , entonces la parametrización de C dada por g ◦ ϕ : [0, (C)] → R n
es unitaria.
Es ilustrativo constatar que ∀ t ∈ [0, (C)], g ◦ ϕ(t) es el punto que se
encuentra a una distancia t de g(a) a lo largo de C (véase la Figura 2.1).
Corolario 2.1.4 Sean g : [a, b] → R n
zaciones de una curva C de clase C 1 ,
f (t) = 0 ∀ t ∈ [c, d], g(a) = f (c) y
difeomorfismo h : [a, b] → [c, d], tal que
y f : [c, d] → R n dos parametritales que g (t) = 0 ∀ t ∈ [a, b],
g(b) = f (d). Entonces existe un
f ◦ h = g.
Demostración. Por el teorema de parametrización unitaria existen difeomorfismos ϕ 1 : [0, (C)] → [a, b] y ϕ 2 : [0, (C)] → [c, d] tales que g ◦ ϕ 1
y f ◦ ϕ 2 son parametrizaciones unitarias. Debido a la descripción de una
parametrización unitaria g ◦ ϕ 1 = f ◦ ϕ 2 , por lo tanto, g ◦ ϕ 1 ◦ ϕ−1
2 = f. Ahora, sean A una región en C, f : A → C continua y g 1 : [a 1 , b 1 ] → A,
g 2 : [a 2 , b 2 ] → A dos parametrizaciones que recorren una curva γ en A en el
mismo sentido, y que tienen derivada no nula. Se sigue entonces del Corolario
2.1.4 que existe un difeomorfismo ϕ, tal que g 1 ◦ ϕ = g 2 , por lo que si se
escribe f ◦ g 1 (t) g 1 (t) = u(t) + i v(t), se tiene
)
b1
f (g 1 (t))
g 1 (t) dt
a1
)
b1
=
[u(t) + i v(t)] dt
a1
b2
=
)
)
[u (ϕ(s)) ϕ (s) + i v (ϕ(s)) ϕ (s)] ds
a2
b2
=
a2
f ◦ g 1 (ϕ(s)) g 1 (ϕ(s)) ϕ (s) ds =
)
b2
f (g 2 (s)) g 2 (s) ds,
a2
como consecuencia del teorema de cambio de variable.
Se concluye
que si γ sólo se anula en un número finito de puntos, en*
tonces γ f no depende de la parametrización (se sobreentiende que las parametrizaciones recorren la curva
* en el mismo sentido).
Como ejemplo calculamos γ (Re z) dz, donde γ es el segmento de lı́nea
que une el origen con el punto −1 − i. Se puede parametrizar γ : [0, 1] → C
2.1. Fundamentos
76
como γ(t) = −t − i t. Por lo cual γ (t) = −1 − i y
)
)
1
(Re z) dz =
0
γ
(−t)(−1 − i) dt
)
1
(t + i t) dt =
=
0
1
t 2 t2
1 i
+i
= + .
2
2 0
2 2
1+i
i
1
Figura 2.2: La curva γ determinada por el perı́metro del cuadrado formado
por los puntos 0, 1, 1 + i e i
*
Como un segundo ejemplo evaluamos γ (Im z) dz, donde γ es el perı́metro
del cuadrado formado por los puntos 0, 1, 1+i e i. Se parametriza γ como
⎧
t
0 ≤ t ≤ 1,
⎪
⎪
⎪
⎨1 + (t − 1) i
1 ≤ t ≤ 2,
γ(t) =
⎪
(3 − t) + i
2 ≤ t ≤ 3,
⎪
⎪
⎩
(4 − t) i
3 ≤ t ≤ 4,
véase la Figura 2.2. De esta manera
)
(Im z) dz =
γ
)
1
=
0
=
j =0
j+1
j
Im (γ(t)) γ (t) dt
) 3
) 4
(t − 1) (i) dt +
(1)(−1) dt +
(4 − t)(−i) dt
1
2
3
2
4
t2
t 2 − t i − 1 + −4 t +
i = −1.
2
2 3
1
0(1) dt +
)
)
3
2
2. Integración
77
Recordamos que la longitud de una curva de clase C 1 γ : [a, b] → C
está dada por
) b
|γ (t)| dt.
(γ) =
a
El siguiente importante resultado —análogo al caso real— que exhibe cotas
superiores para la norma de una integral, se usará frecuentemente.
Teorema 2.1.5 Sean A una región en C, γ : [a, b] → A de clase C 1 por
tramos y f : A → C continua. Entonces,
) (i) si f γ(t) ≤ M ∀ t ∈ [a, b], se tiene f ≤ M (γ);
γ
) )
(ii) f ≤
γ
b
f γ(t) γ (t) dt.
a
* b La integral a f γ(t) γ (t) dt se denota por
)
|f | |dz| .
γ
Demostración. La primera parte (i) es consecuencia de la segunda (ii),
para probar esta última se afirma que si g : [a, b] → C es continua, entonces
)
b
a
)
g(t) dt ≤
b
|g(t)| dt.
a
Esta afirmación prueba (ii) al tomar g(t) = f γ(t) γ (t).
El truco para probar la afirmación es expresar la integral de manera polar.
Escribiendo
)
b
g(t) dt = r e i θ ,
a
se sigue de la afirmación en la prueba de la Proposición 2.1.2 que
r = e−i θ
)
)
b
b
g(t) dt =
a
e−i θ g(t) dt.
a
También, se sigue de la definición de integral que
)
) b
−i θ
e g(t) dt =
r = Re( r) = Re
a
b
a
Re e−i θ g(t) dt.
2.1. Fundamentos
78
Finalmente
) b
)
= r =
g(t)
dt
a
b
Re e−i θ g(t) dt ≤
a
)
b
−i θ
e g(t) dt =
a
)
b
|g(t)| dt.
a
Ilustramos el teorema con un ejemplo, si γ es el semicı́rculo inferior unitario recorrido en el sentido positivo, entonces usando la primera parte del
Teorema 2.1.5 se tiene
)
2 ez 2e
dz ≤ π
,
5
γ 5z
ya que en el cı́rculo unitario la norma de la exponencial es e cos t , t ∈ [0, 2 π].
*
Algunas veces se usan integrales del tipo γ f |dz|, éstas se definen como
*b
f (γ(t)) |γ (t)| dt, donde γ es una curva de clase C 1 por tramos que
a
está definida en el intervalo [a, b] y que toma valores en una región donde la
función f es continua. Terminamos esta sección con el teorema fundamental
del cálculo complejo que, al igual que el caso real, permite calcular integrales
de manera inmediata, sin hacer muchas cuentas.
Teorema 2.1.6 (Fundamental del cálculo complejo) Sea A ⊂ C una
región y f : A → C continua, supóngase también que f = g , donde g : A → C
es holomorfa, y que γ : [a, b] → A es una curva C 1 por tramos en A. Entonces
)
f = g γ(b) − g γ(a) .
γ
En particular, si la curva es cerrada, es decir, γ(b) = γ(a),
)
f = 0.
γ
Demostración. Si γ es de clase C 1
)
) b
) b
) b
f =
f γ(t) γ (t) dt =
g γ(t) γ (t) dt =
(g ◦ γ) (t) dt
a
a
a
γ
= g γ(b) − g γ(a) ,
la última igualdad se sigue fácilmente al escribir g ◦ γ(t) = u(t) + i v(t) y
aplicar dos veces el teorema fundamental del cálculo real. El caso general se
sigue sumando todas las contribuciones.
2. Integración
79
*
Como ejemplo evaluamos γ 3 z 2 dz, donde γ es
√ el segmento de la elipse
dada por 2 x 2 + y 2 = 1 que une z = i y z = −1/ 2 en el sentido positivo
(en general, siempre que se integre sobre cı́rculos, elipses o curvas simples
cerradas, se tomarán las curvas orientadas positivamente, es decir, al recorrerlas, la región acotada que delimitan estará a la izquierda). En virtud del
Teorema 2.1.6 no es necesario parametrizar la elipse, ya que
d (z 3 )
.
dz
3z2 =
Por lo cual
)
−1
√
2
2
3 z dz =
γ
3
1
− i 3 = − √ + i.
2 2
√
Es crucial notar que si se toma cualquier otra curva que una i con −1/ 2,
se obtiene el mismo resultado, ya que la función z → z 3 es entera.
El siguiente ejemplo es de particular importancia y se usará posteriormente. Sea γ el cı́rculo de radio r alrededor de a ∈ C y n ∈ Z, entonces
$
)
0
si n = −1,
(z − a) n dz =
2πi
si n = −1.
γ
Esto se sigue, ya que
si n ≥ 0 o n ≤ −2,
(z − a)
n
d
=
dz
1
(z − a) n+1
n+1
en C − {a}, y por el Teorema 2.1.6
)
(z − a) n dz = 0.
γ
Por otra parte, si n = −1 parametrizando γ como γ(θ) = a + r e i θ , donde
θ ∈ [0, 2 π], se tiene que γ (θ) = i r e i θ y
) 2π
) 2π
)
1
i r eiθ
dz =
dθ
=
i
dθ = 2 π i.
(r e i θ + a) − a
γ z −a
0
0
Es importante destacar que no existe ninguna función holomorfa con dominio en C − {0} cuya derivada sea z → 1/z. Si esta función existiera,
80
2.2. Versión particular del teorema de Cauchy, ideas intuitivas
usando el Teorema 2.1.6 se tendrı́a
)
1
dz = 0,
γ z
donde γ es el cı́rculo unitario, sin embargo esto contradice el cálculo hecho
en el ejemplo anterior. Recordemos que la identidad
d (log z)
1
=
dz
z
es válida solamente en el dominio de analiticidad de alguna rama de logaritmo. Como ya se discutió, el logaritmo no es una función continua en C−{0},
y por lo tanto tampoco puede ser holomorfa en dicho dominio.
EJERCICIOS 2.1
1. Demuestre la identidad (2.1).
*
2. Calcule γ 3 z 4 dz, donde γ es cualquier curva de clase C 1 por tramos
que une i con 7.
3. Sea γ*: [0, 2 π] → C dada por γ(t) = i + 4 + 3 e i t y f (z) = (z − i − 4)−7 ,
calcule γ f .
*
4. Calcule γ f, donde f (z) = Im z y γ es el segmento de lı́nea que une 2
*
*
con −i. ¿ Se cumple Re ( γ f ) = γ Re f ?
*
5. Demuestre que | γ f | ≤ 34 log 2, donde f (z) = sen z y γ es el segmento
en el eje imaginario que une el origen con (log 2) i.
*
*
6. Calcular γ |z|dz|3 | y γ |dz|
, donde γ es el cı́rculo de radio 2 con centro en
z
el origen.
2.2.
Versión particular del teorema de Cauchy,
ideas intuitivas
.
Es didáctico exhibir de manera intuitiva algunas ideas geométricas relacionadas con el teorema de Cauchy, sin embargo en las pruebas formales de las
secciones subsecuentes no se usarán estos resultados. Recordamos que una
curva simple cerrada es una curva continua que sólo se autointerseca en sus
2. Integración
81
puntos finales, es decir, si γ : [a, b] → C es una parametrización de dicha
curva, la única autointersección es γ(a) = γ(b).
int(γ)
γ
ext(γ)
Figura 2.3: Una curva simple cerrada separa en dos componentes al plano
El famoso teorema de Jordan de la topologı́a (cf. [14] capı́tulo 4) establece
que una curva simple cerrada divide a C en dos componentes; a la componente acotada se le llama el interior de γ, y a la no acotada se le llama el
exterior. Éstas se denotan por Int(γ) y Ext(γ) respectivamente, véase la
Figura 2.3. Nótese que una curva simple cerrada no necesariamente es un
objeto simple, ya que este conjunto puede constituir un fractal, por ejemplo,
el conjunto lı́mite de un grupo cuasifuchsiano cf. [15], p. 226.
Una manera fácil de probar una versión particular del teorema de Cauchy
es aplicando el teorema de Green que se estudia en los cursos de cálculo.
Este teorema establece que si A es una región en C que contiene una curva
simple cerrada γ y a su interior, de tal manera que este último es una
región elemental en el sentido de los cursos de cálculo, y se tienen definidas
dos funciones reales P y Q de clase C 1 en A, resulta que
)
)
∂P
∂Q
(x, y) −
(x, y) dA.
P (x, y) dx + Q(x, y) dy =
∂x
∂y
γ
Int(γ)
Este teorema se generaliza a otro tipo de curvas, por ejemplo, a aquellas
cuyos interiores se pueden descomponer en un número finito de regiones
elementales, al bisectar con segmentos verticales y horizontales (cf. [13], p.
357).
82
2.2. Versión particular del teorema de Cauchy, ideas intuitivas
Teorema 2.2.1 (De Cauchy, versión particular) Sea A una región en
C que contiene una curva γ como la descrita arriba, y a su interior, supóngase
también que f : A → C es analı́tica y f es continua, entonces
)
f = 0.
γ
Demostración. Escribiendo f = u + i v,
)
)
)
)
f =
(u + i v)(dx + i dy) =
u dx − v dy + i
u dy + v dx
γ
γ
γ
γ
)
)
∂v ∂u
∂u ∂v
−
dA + i
−
dA = 0.
−
=
∂x ∂y
∂x ∂y
Int(γ)
Int(γ)
La penúltima igualdad es consecuencia del teorema de Green, la última de
las ecuaciones de Cauchy-Riemann.
Se verá después que la condición f continua es consecuencia de que f
sea analı́tica. Más aún, probaremos de manera rigurosa en la siguiente sección
una versión mucho más general de este importante resultado.
El teorema de Cauchy es de gran utilidad para calcular integrales, por
ejemplo, si se tiene la función f (z) = e sen z , y γ es el cuadrado determinado
por ± i, ± 1, entonces como f es entera tenemos, sin necesidad de calcular,
)
e sen z dz = 0.
γ
También, si γ es el cı́rculo −3 i + 2e i θ , 0 ≤ θ ≤ 2 π y* log z denota la rama
de logaritmo definida por (π/2, 5π/2), se sigue que γ log z dz = 0, ya que
dicha rama de logaritmo es holomorfa en una región que contiene el cı́rculo
y a su interior.
Es crucial notar que si la función no es holomorfa en el interior de la
curva, entonces la integral no necesariamente es 0. Recordamos para esto
el ejemplo de la integral sobre un cı́rculo concéntrico al origen de la función
z → 1/z. A continuación damos una versión intuitiva del Teorema de la
deformación 2.3.12. Este teorema es uno de los más importantes del curso y
tiene como consecuencia inmediata la versión general del Teorema de Cauchy
2.3.13.
2. Integración
A
83
γ1
γ2
τ
σ
Figura 2.4: Teorema de la deformación, versión intuitiva
Teorema 2.2.2 (De la deformación, versión intuitiva) Sea f una función analı́tica en una región A que contiene una curva simple cerrada γ 1 .
Supóngase también que γ 1 puede ser deformada continuamente en A a otra
curva simple cerrada γ 2 , de tal manera que a la región comprendida entre
estas curvas se le puede aplicar el teorema de Green. Entonces
)
)
f =
f.
γ1
γ2
Posteriormente se definirá formalmente esta idea de la deformación, se dirá que
γ 1 es homotópica a γ 2 .
Demostración. [Intuitiva] Se traza una curva auxiliar σ como en la
Figura 2.4. A la curva γ 1 + σ − γ 2 − σ se le puede aplicar el teorema de
Cauchy, ya que aunque esta curva no es simple cerrada, se pueden tomar
copias paralelas a σ obteniendo una curva simple cerrada τ, como en la
Figura 2.4, y después tomar el lı́mite. De esta manera
)
)
)
)
)
f = 0, por lo que
f+ f−
f − f = 0.
γ1
γ 1 +σ−γ 2 −σ
Lo cual implica
)
σ
γ2
σ
)
f =
γ1
f.
γ2
84
2.2. Versión particular del teorema de Cauchy, ideas intuitivas
Podemos aplicar este resultado para conocer el valor de algunas integrales,
por ejemplo, si γ es una curva simple cerrada que no contiene al cero, pero
lo contiene en su interior, y se le puede aplicar el teorema de Green, entonces
se tiene que
)
1
dz = 2 π i.
γ z
Para mostrar esto se puede tomar un cı́rculo suficientemente pequeño alrededor del origen de tal manera que esté contenido en el interior de γ. Si
denotamos a este cı́rculo por λ, se intuye entonces que γ se puede deformar
continuamente a λ —esta última afirmación se puede probar rigurosamente
usando nociones básicas de la topologı́a algebraica—, por lo que usando el
teorema de la deformación se sigue la igualdad de arriba.
El teorema de la deformación se puede generalizar como mostramos a
continuación. Sean γ 1 , γ 2 , . . . , γ n curvas simples cerradas en el interior de
otra curva simple cerrada γ, de tal manera que a la región comprendida
entre γ y las curvas γ i , i = 1, 2, . . . , n se le puede aplicar el teorema de
Green. Supóngase también que f es analı́tica en una región que contiene al
conjunto
n
+
Int(γ) −
Int (γ k ) ,
k=1
entonces
)
f =
γ
n )
k=1
f,
(2.2)
γk
véase la Figura 2.5, para el caso n = 2. Para mostrar la validez de este
resultado de manera intuitiva se dibujan curvas auxiliares σ 1 , σ 2 , . . . , σ n
que unan γ con γ 1 , γ 2 , . . . , γ n respectivamente, de esta manera se construye
una curva simple cerrada τ, cf. Figura 2.5. Ahora, ya que el interior de τ
está contenido en el dominio de analiticidad de f, se tiene
)
f = 0.
τ
Además, salvo cantidades que se pueden hacer arbitrariamente pequeñas, τ
consiste en recorrer γ en la dirección original, γ 1 , γ 2 , . . . , γ n negativamente y σ 1 , σ 2 , . . . , σ n en ambas direcciones. Estas últimas contribuciones se
cancelan obteniéndose (2.2).
2. Integración
85
γ
γ1
σ2
γ2
σ1
τ
Figura 2.5: Teorema de la deformación generalizado, versión intuitiva
Definición 24 Se dice que una región A en C es simplemente conexa, si
toda curva continua cerrada γ en A se puede deformar (en A) a una curva
constante (es decir, a un punto). En este caso se dice que γ es homotópica
a un punto.
Intuitivamente A es simplemente conexa si no tiene hoyos (véase la Figura 2.6). Con esta definición, el teorema de Cauchy se puede reescribir como
sigue: sea f analı́tica en una región simplemente conexa A con derivada
continua, y γ una curva simple cerrada en A a la que se le puede aplicar el
teorema de Green, entonces
)
f = 0.
γ
A continuación mostramos un ejemplo intuitivo que muestra que si una
función es holomorfa en la vecindad agujerada de un punto, y además es
86
2.2. Versión particular del teorema de Cauchy, ideas intuitivas
acotada en esa vecindad, entonces
se comporta como una
función holomorfa.
Sea A el disco agujerado z ∈ C 0 < |z − z 0 | < r y f analı́tica en A,
supóngase también que la función está acotada por M en A. Resulta bajo
estas hipótesis que si γ es una curva simple cerrada en A que contiene en
su interior a z 0 , y a la que se le puede aplicar el teorema de Green, se tiene
)
f = 0.
(2.3)
γ
Esto se sigue del teorema de la deformación, ya que intuitivamente es claro
que γ se puede deformar a un pequeño cı́rculo
alrededor
de z 0 . Si el radio
de dicho cı́rculo es , escribiendo C = z ∈ C |z − z 0 | = , se tiene
por el Teorema 2.1.5
) )
f = ≤ 2 π M.
f
γ
C
Como esto es cierto para toda (suficientemente pequeña), se sigue (2.3).
Este hecho es natural, ya que posteriormente demostraremos que si una función es holomorfa en un disco agujerado y además está acotada, entonces es
holomorfa en todo el disco.
Terminamos esta sección con un resultado sobre ciertos casos donde las
integrales sobre curvas que unen dos puntos fijos, no dependen de las curvas
que se tomen.
Figura 2.6: Región que no es simplemente conexa y región que sı́ lo es
2. Integración
87
Teorema 2.2.3 (De independencia de trayectorias, ) Sea A una región simplemente conexa en C y f : A → C analı́tica, entonces si γ 1 y
γ 2 son dos curvas que unen z 1 con z 2 en A, de tal manera que juntas
constituyen una curva simple cerrada a la que se le puede aplicar el teorema
de Green, se tiene
)
)
f =
f.
γ1
γ2
Demostración. [intuitiva] Sea γ = γ 1 − γ 2 , entonces el resultado se
sigue del teorema de Cauchy, puesto que
)
)
)
f =
f−
f = 0
γ
γ1
γ2
(véase la Figura 2.7).
γ1
z1
z2
γ2
Figura 2.7: Teorema intuitivo de independencia de trayectorias
Cuando se haya probado el Teorema de la deformación ( 2.3.12) será evidente que este resultado se generaliza a cualesquier dos curvas de clase C 1
por tramos, que unan z 1 con z 2 , independientemente de que éstas se autointersequen.
2.3. Teorema de Cauchy
88
EJERCICIOS 2.2
sen z
1. Calcule la integral de f (z) = e|z| 3 en el cı́rculo {z | |z| = 2}.
*
2. Calcule |z−7|=5 log z dz, donde log z es la rama principal de logaritmo.
√
*
z 2 − 1 dz, donde la raı́z se define tomando la rama
3. Calcule |z|=1/2
(0, 2 π).
2.3.
Teorema de Cauchy
En esta sección se probará de manera formal una versión muy general del
teorema de Cauchy que se aplica a curvas cerradas de clase C 1 por tramos,
simples o no, y no se usará el teorema de Green. Se prueba primero una
versión local que es pieza clave en la prueba del caso general.
R1
R3
R2
R
Figura 2.8: Prueba del lema de Goursat
2. Integración
89
Teorema 2.3.1 (Lema de Goursat) Sean A una región en C, f : A → C
analı́tica y R = [a, b] × [c, d] ⊂ A, entonces
)
f = 0.
∂R
*
Demostración. Para cada rectángulo P denotaremos por I(P ) a ∂P f.
Bisectando el rectángulo R al dividir la base y la altura en partes iguales,
se obtienen cuatro subrectángulos que denotamos por R 1 , R 2 , R 3 y R 4 .
Como las fronteras comunes de estos subrectángulos R i , i = 1, 2, 3, 4, se
cancelan
4
4
I(R) =
I(R i ) y |I(R)| ≤
|I(R i )| ,
i=1
i=1
por lo que alguno de los R i satisface
|I(R i )| ≥
1
|I(R)| .
4
Denotamos a dicho subrectángulo R 1 . Iterando este proceso (véase la
Figura 2.8), se obtiene una sucesión de rectángulos R, R 1 , . . . , R k , . . . que
cumplen
(i) R ⊃ R 1 ⊃ R 2 . . . ,
(ii) |I(R)| ≤ 4 k I(R k ),
(iii) R k tiene diámetro D/2 k , donde D es el diámetro de R.
Se afirma que el conjunto
∞
,
Rk
k=1
consiste exactamente en un punto. Es claro que no puede contener más de
un punto, ya que diám (R k ) → 0. Para probar que no es vacı́o se puede
tomar un punto z k en cada subrectángulo R k , y se tiene que la sucesión
z k , k ∈ N, es de Cauchy, ya que si l ≥ k
|z k − z l | ≤
D
.
2k
2.3. Teorema de Cauchy
90
Por lo tanto, ∃ z 0 ∈ C, tal que z k → z 0 , cuando k → ∞, y como todos los
rectángulos R k son cerrados, z 0 está en la intersección de todos ellos.
Ahora, como
)
)
z dz = 0 =
dz,
∂R k
∂R k
se sigue que
)
%
k
I(R ) =
∂R k
&
(f (z) − f (z 0 ) − (z − z 0 )f (z 0 ) dz.
También, como f es analı́tica en z 0 , dado
> 0 existe δ > 0, tal que
|f (z) − f (z 0 ) − (z − z 0 )f (z 0 )| <
|z − z 0 | ,
si |z − z 0 | < δ.
Finalmente, si k es suficientemente grande se tiene que diám (R k ) < δ,
por lo que en virtud del Teorema 2.1.5 se tiene
D
(∂R)
I(R k ) ≤
,
2k
2k
y usando (ii)
|I(R)| ≤ 4 k I(R k ) ≤ 4 k
D (∂R)
=
4k
D (∂R),
lo cual implica I(R) = 0.
Usaremos para la prueba del caso global, la siguiente generalización del
lema de Goursat.
z0
R
Figura 2.9: Prueba de la generalización del lema de Goursat
2. Integración
91
Corolario 2.3.2 Sean A una región en C, y f : A → C una función continua, supóngase también que esta función es holomorfa en A − z 0 , donde
z 0 ∈ R ⊂ A, y R es el interior de un rectángulo. Entonces
)
f = 0,
∂R
Demostración. Suponemos primero que z 0 ∈ ∂R. Se subdivide R como se
describe en la Figura 2.9. En dicha partición se denota por R 1 , R 2 , R 3 , R 4
y R 5 a los subrectángulos que no contienen a z 0 , y por R∗ al que sı́ lo
contiene (si z 0 es un vértice son cuatro los subrectángulos, sin embargo el
procedimiento es el mismo). Se tiene por el lema de Goursat que
)
)
)
5 )
f =
f +
f =
f.
∂R
i=1
∂R i
∂R∗
∂R∗
Ahora, por compacidad f está acotada en R por un real positivo M ,
)
f ≤ M (∂R∗ ).
∴ ∂R
Como evidentemente (∂R∗ ) se puede hacer tan pequeña como se quiera, se
sigue que
)
f = 0.
∂R
Si z 0 ∈ Int R, el argumento anterior claramente se puede aplicar, en este
caso se obtienen nueve subrectángulos.
Nótese que el corolario anterior se generaliza a cualquier función que sea
continua en toda la región, y holomorfa salvo quizá en un número finito
de puntos. Para probar este hecho, basta subdividir el rectángulo en subrectángulos que solamente contengan un punto donde la función podrı́a no
ser holomorfa. El siguiente teorema es otro ingrediente básico para la prueba
del Teorema de la deformación (2.3.12).
Teorema 2.3.3 (Local de la primitiva) Sean f : A → C analı́tica, donde A es una región en C. Supóngase también que R = [a, b] × [c, d] ⊂ A,
entonces existe g : U → C analı́tica tal que g = f en U , donde U ⊂ A es
una vecindad abierta de R.
2.3. Teorema de Cauchy
92
τh
R
z
z+h
λz
z0
P
ψz
Figura 2.10: Prueba del teorema local de la primitiva
Demostración. Usando el Lema 2.3.11 se puede suponer que existe otro
rectángulo P, tal que R ⊂ Int P ⊂ A, y tal que los lados de P son paralelos
a los de ∂R. Sea z 0 el vértice inferior izquierdo de P, para cada z ∈ Int P
se definen λ z y ψ z como las poligonales descritas en la Figura 2.10, que
unen z 0 con z. Explı́citamente, si z = x + i y y z 0 = x 0 + i y 0 ,
$
x 0 + i y 0 + t(y − y 0 )
si t ∈ [0, 1],
λ z (t) =
x 0 + (t − 1)(x − x 0 ) + i y
si t ∈ [1, 2].
De manera análoga se parametriza ψ z .
La función primitiva, es decir, aquella cuya derivada es f, se va obtener
al definir
)
f.
g(z) =
λz
Para probar que g es holomorfa en Int P y que g (z) = f (z) para toda
z ∈ Int P, notamos primero que se sigue del lema de Goursat que
)
)
f =
f.
λz
ψz
Ahora, si h ∈ R es suficientemente pequeña
)
g(x + h, y) − g(x, y) =
f (x, y) dz,
τh
2. Integración
93
donde τ h es el segmento horizontal que une (x, y) con (x + h, y), y como
la variación vertical de τ h es nula, se obtiene
) x+h
g(x + h, y) − g(x, y) =
f (t, y) dt,
x
al tomar x como parámetro para τ h . Nótese que esto se cumple también si
h < 0, ya que en este caso
) x
f (t, y) dt.
g(x + h, y) − g(x, y) = −
x+h
Por consiguiente
g(x + h, y) − g(x, y)
1
=
h
h
Se afirma que
lı́m
h→0
1
h
)
)
x+h
f (t, y) dt.
(2.4)
x
x+h
f (t, y) dt
= f (x, y).
(2.5)
x
Esto se demuestra en forma similar al teorema fundamental del cálculo. Por
continuidad, dada > 0 existe δ > 0, tal que |f (t, y) − f (x, y)| < , si
|t − x| < δ. Por lo cual, si 0 < h < δ
) x+h
) x+h
1
1
f (t, y) dt − f (x, y) = f (t, y) − f (x, y) dt
h
h x
x
) x+h
h
1
= .
|f (t, y) − f (x, y)| dt ≤
≤
|h| x
h
* x+h
La primera igualdad es cierta ya que x f (x, y) dt = hf (x, y), y la penúltima desigualdad se sigue de la prueba del Teorema 2.1.5.
El caso h < 0 se demuestra en forma similar y queda como ejercicio. Por
lo tanto se cumple la igualdad (2.5). Escribiendo
g(z) = g 1 (z) + i g 2 (z) y f (z) = u(z) + i v(z),
se sigue entonces de la relación (2.4) que en Int P
∂g1
∂g2
+i
= u + i v.
∂x
∂x
2.3. Teorema de Cauchy
94
Usando ψ z en lugar de λ z se obtiene de manera similar
∂g2
∂g1
+i
= −v + i u.
∂y
∂y
Esencialmente, esto se sigue ya que al tomar como parámetro el segmento
vertical, aparece en la derivada el valor i; dejamos la verificación de los
detalles al lector. Finalmente, como u y v son continuas y las parciales de
g 1 , g 2 existen y están relacionadas por las ecuaciones de Cauchy-Riemann,
g es analı́tica en Int P , y en dicho conjunto
g = f.
1
1
2
γ1
γ 12
0
γ0
Figura 2.11: Curvas homotópicas
El siguiente resultado es consecuencia inmediata del teorema fundamental
del cálculo complejo y del de la primitiva local.
Corolario 2.3.4 Bajo las hipótesis del Teorema 2.3.3, si además γ es una
curva cerrada de clase C 1 por tramos en R, se tiene
)
f = 0.
γ
2. Integración
95
El siguiente resultado, que se usará posteriormente, generaliza el teorema
de la primitiva local y se sigue del Corolario 2.3.2, ya que en la prueba del
teorema de la primitiva local se usó la analiticidad de la función f, solamente
para aplicar el lema de Goursat. Nótese que como f es continua, las parciales
de g1 , g2 lo son, lo que asegura la analiticidad de g (junto con la validez de
Cauchy-Riemann).
Corolario 2.3.5 Se puede generalizar el Teorema 2.3.3, debilitando las hipótesis, suponiendo solamente que f es continua en A y analı́tica en A−{z 0 } ,
donde z 0 es un punto arbitrario en R.
Habiendo probado los resultados locales necesarios para probar el Teorema de la deformación (2.3.12), se introducen ahora algunas definiciones y se
prueba un caso particular.
Definición 25 Sea A una región en C, se dice que las curvas γ 0 : [a, b] → A
y γ 1 : [a, b] → A son homotópicas (como curvas cerradas) en A, si existe
una función continua H : [a, b] × [0, 1] → A, que cumple
(i) H(s, 0) = γ 0 (s),
(ii) ∀ t ∈ [0, 1],
H(s, 1) = γ 1 (s),
se tiene
H(a, t) = H(b, t).
Es conveniente pensar a la segunda variable como el tiempo, ası́, en el
tiempo 0 se está en la curva γ 0 y en el tiempo 1 en γ 1 . Esta definición
exhibe la forma rigurosa de decir que γ 0 es deformable a γ 1 (véase la Figura 2.11). Obsérvese que las curvas s → H(s, t) se pueden autointersecar,
nótese también que una curva constante es cerrada. Mostramos ahora un
ejemplo: sea A la región {z ∈ C | 1 < |z − (7 + i)| < 4}, entonces los cı́rculos |z − (7 + i)| = 2 y |z − (7 + i)| = 3 son homotópicos en A como curvas
cerradas. La homotopı́a está dada por
H(s, t) = 7 + i + (2 + t) e i s ,
donde s ∈ [0, 2 π], y t ∈ [0, 1], véase la Figura 2.12.
Definición 26 Se dice que una región A en C es simplemente conexa, si
cualquier curva continua y cerrada es homotópica, como curva cerrada, en
A a una curva constante, es decir a un punto.
2.3. Teorema de Cauchy
96
•
Figura 2.12: Cı́rculos homotópicos en un anillo
A las curvas descritas en la definición anterior que se pueden deformar a
un punto, algunas veces se les llama nulhomotópicas.
Definición 27 Se dice que un subconjunto A de R n es convexo si dados
dos puntos cualesquiera en A, el segmento que los une también está en A.
Esto es, ∀ x 1 , x 2 ∈ A y ∀ t ∈ [0, 1] se tiene
x 1 + t (x 2 − x 1 ) ∈ A.
Al segmento {x ∈ R n | x = x 1 + t(x 2 − x 1 ), t ∈ [0, 1]} se le llama la
combinación convexa de x 1 y x 2 , también se escribe como (1 − t) x 1 + t x 2 .
Algunos ejemplos de regiones convexas
son los discos y los semiplanos, por
ejemplo, si z 1 , z 2 ∈ D(z 0 , r) = {z |z − z 0 | < r}, entonces
|tz 2 + (1 − t)z 1 − z 0 | = |t(z 2 − z 0 ) + (1 − t)(z 1 − z 0 )| < tr + (1 − t)r = r,
donde t ∈ [0, 1], véase la Figura 2.13. Nótese que la intersección de regiones convexas es convexa. El siguiente resultado muestra que en las regiones
convexas una curva se puede deformar en cualquier otra.
Proposición 2.3.6 Sea A una región convexa en C y γ 0 , γ1 : [a, b] → A
dos curvas continuas y cerradas, entonces γ 0 es homotópica a γ 1 en A.
Demostración. Se define una homotopı́a H : [a, b] × [0, 1] → C como
H(s, t) = t γ 1 (s) + (1 − t) γ 0 (s),
2. Integración
97
donde 0 ≤ t ≤ 1. Puesto que γ 0 y γ1 son continuas, también lo es H,
además, para t fija,
H(a, t) = t γ 1 (a) + (1 − t) γ 0 (a) = t γ 1 (b) + (1 − t) γ 0 (b) = H(b, t),
por lo que s → H(s, t) es una curva cerrada.
Finalmente,
H(s, 1) = γ 1 (s),
H(s, 0) = γ 0 (s),
y como A es convexa, ∀ (s, t) ∈ [a, b] × [0, 1], se tiene que H(s, t) ∈ A. z2
tz2 + (1 − t)z1
z1
z0
Figura 2.13: Los discos son convexos
Como consecuencia inmediata de esta proposición, se sigue el siguiente
resultado al tomar una curva continua y cerrada, y una curva constante.
Corolario 2.3.7 Una región convexa es simplemente conexa.
Definición 28 Se dice que una homotopı́a como la descrita en la Definición
25 es de clase C 1 por tramos, si las restricciones a segmentos horizontales
o verticales son de clase C 1 por tramos.
2.3. Teorema de Cauchy
98
1
H
γ1
0
a
b
γ0
Rj
Figura 2.14: Prueba del teorema de la deformación para homotopı́as de clase
C 1 por tramos
Teorema 2.3.8 (De la deformación para homotopı́as C 1 por tramos)
Sean A ⊂ C una región, f : A → C una función analı́tica, γ 0 : [a, b] → A y
γ 1 : [a, b] → A curvas cerradas de clase C 1 por tramos, supóngase también
que existe una homotopı́a H : [a, b] × [0, 1] → A de clase C 1 por tramos
entre ellas. Entonces
)
)
f =
f.
γ0
γ1
Para probar el teorema se necesita el lema que se enuncia a continuación.
La prueba de este resultado se sigue fácilmente usando técnicas básicas de la
topologı́a de R n ; queda como ejercicio para el lector; alternativamente este
resultado puede consultarse en [2], p. 89.
Lema 2.3.9 Sea M un subconjunto compacto de R n , y sea {U j }nj=1 una
cubierta abierta de M . Entonces existe un número δ > 0, llamado número
de Lebesgue de la cubierta, tal que si W es un subconjunto de M de diámetro
menor a δ, entonces W ⊂ U j para alguna j.
Demostración. [Del Teorema 2.3.8] El conjunto compacto H([a, b]×[0, 1])
puede cubrirse por medio de un conjunto finito de rectángulos abiertos R j ,
con la propiedad de que para cualquier j, f | R j = g j , donde g j es una
2. Integración
99
función analı́tica en una vecindad de R j . Esto se sigue por compacidad,
usando el teorema local de la primitiva.
Ahora, la colección {H −1 (R j )} es una cubierta abierta de [a, b] × [0, 1].
Sea U j un abierto en R 2 tal que U j ∩([a, b] × [0, 1]) = H −1 (R j ), y sea δ el
número de Lebesgue de la colección {U j }. El siguiente paso es subdividir el
rectángulo [a, b] × [0, 1] en una colección de subrectángulos cerrados {W i }
definidos por una retı́cula de diámetro menor a δ, véase la Figura 2.14.
Obsérvese que como para cada i, W i ⊂ H −1 (R j ) para alguna j, se
tiene que H(W i ) ⊂ R j , y dado que H(∂W i ) es una curva cerrada C 1 por
tramos,
)
f = 0,
H(∂W i )
ya que en R j , f es la derivada de una función. Por consiguiente, como se
cancelan todas las integrales definidas por los segmentos verticales y horizontales que no forman parte de la frontera de [a, b] × [0, 1], al ser recorridas
en ambos sentidos, se tiene que
)
)
)
0 =
f =
f−
f.
i
H(∂W i )
γ0
γ1
Nótese que la función H restringida a {a} × [0, 1] define la misma curva
que la definida por la restricción de H a {b} × [0, 1], pero esta última se
recorre en sentido contrario, por lo que estas contribuciones se cancelan. Es didáctico constatar que en la prueba del teorema anterior las curvas
H(∂Wi ) no son necesariamente simples y pueden intersecarse unas con otras.
Para probar el teorema de la deformación en su forma general se necesitan
dos lemas. El primero, que se enuncia a continuación, establece que toda
curva continua se puede aproximar por otra curva de clase C 1 por tramos.
Lema 2.3.10 Sea λ : [a, b] → C continua y
> 0, entonces existe una
1
curva γ : [a, b] → C C por tramos, tal que |λ(s) − γ(s)| < para toda
s ∈ [a, b].
Demostración. Sea > 0, por continuidad uniforme existe una partición
a = s0 < s 1 < . . . < s n = b, tal que para i = 1, 2,. . . , n − 1 se tiene
λ(s) ∈ D(λ(s i ), ) ∀ s ∈ [s i−1 , s i+1 ].
2.3. Teorema de Cauchy
100
Se define la curva γ como la poligonal que une los puntos λ(s k ). Más
precisamente, ∀ k ∈ {0, 1, 2, . . . , n − 1} se define
γ [s k , s k+1 ] = ψ k ◦ φ k ,
donde φ k : [s k , s k+1 ] → [0, 1] está dada por
φ k (s) =
s − sk
,
s k+1 − s k
y ψ k : [0, 1] → C por
ψ k (t) = t λ(s k+1 ) + (1 − t) λ(s k ).
De esta manera, γ|[s k , s k+1 ] describe el segmento que une λ(s k ) con
λ(s k+1 ). Además, es una composición de funciones afines, y es, por lo tanto,
de clase C 1 , es decir, γ es de clase C 1 por tramos. Véase la Figura 2.15.
Finalmente, si s ∈ (s k , s k+1 ), por construcción se tiene que λ(s k ) y
λ(s k+1 ) pertenecen al disco D(λ(s), ), además γ(s) está en el segmento
que une λ(s k ) con λ(s k+1 ). Por consiguiente, como los discos son convexos
se tiene que
|γ(s) − λ(s)| < .
Aplicando este razonamiento a cada subintervalo se sigue el resultado.
λ(sk )
γ(s)
λ(sk+1 )
λ(sk−1 )
λ(s)
Figura 2.15: Una curva continua se puede aproximar por una de clase C 1
por tramos
En el contexto del lema anterior se dirá que λ y γ son curvas -cercanas.
A continuación probamos que la distancia entre dos conjuntos ajenos en R n ,
uno compacto y otro cerrado, se alcanza.
Lema 2.3.11 Sean A, B subconjuntos ajenos de C, B cerrado y A compacto. Entonces existen u ∈ A y v ∈ B, tales que |u − v| ≤ |z − w|, para
cualesquiera z ∈ A, w ∈ B.
2. Integración
101
Demostración. Se puede suponer que B también es compacto, puesto
que si z 0 ∈ B y M = diam(A ∪ {z 0 }), se tiene que D(z 0 , 2M ) ∩ B, que es
compacto, contiene a todos los puntos de B que estén más cerca de A que
z 0 . Para demostrar esta afirmación tómese z 1 ∈ B, tal que
d(z 1 , A) < d(z 0 , A).
Como la función distancia es continua y A es compacto, existe w 1 ∈ A tal
que
d(z 1 , A) = d(z 1 , w 1 ),
por lo tanto,
d(z 1 , z 0 ) ≤ d(z 1 , w 1 ) + d(w 1 , z 0 ) < 2M,
véase la Figura 2.16.
Finalmente, si B es compacto, A × B es un subconjunto
de
compacto
4
R , ya que si A ⊂ D(0, r 1 ) y B ⊂ D(0, r 2 ), A × B ⊂ D 0, r12 + r22 ,
y también si (z n , w n ) → (z, w), n ∈ N, donde z n ∈ A y w n ∈ B, entonces (z, w) ∈ A × B, por lo que el lema es consecuencia de que la función
(z, w) −→ |z − w| es continua.
D(z0 , 2M )
w1
A
z1
B
z0
Figura 2.16: La distancia entre un compacto y un cerrado se alcanza
Para probar el teorema de la deformación de manera general sólo nos falta
definir la integral de una función sobre una curva continua (cerrada) que no
2.3. Teorema de Cauchy
102
necesariamente sea de clase C 1 por tramos. Para esto, sea A una región en
C, f : A → C una función analı́tica, λ : [a, b] → A una curva continua y
cerrada, = d(λ([a, b]), A c ) y γ 1 , γ 2 dos curvas cerradas, de clase C 1 por
tramos, -cercanas a λ. Nótese que ambas curvas están en A.
Definimos una homotopı́a entre γ 1 y γ 2 como sigue
H(s, t) = t γ 1 (s) + (1 − t) γ 2 (s).
Es claro que esta homotopı́a es de clase C 1 por tramos cuando se restringe
a segmentos verticales y horizontales, además H toma valores en A, ya
que ∀ s, γ 1 (s) y γ 2 (s) están en el disco D(λ(s), ) que es convexo. Por
consiguiente, se sigue del Teorema 2.3.8 que
)
)
f =
f.
γ1
γ2
Definición 29 Sean A, f , λ y como arriba, y γ una curva cerrada de
clase C 1 por tramos, -cercana a λ, entonces
)
)
f =
f.
γ
λ
Las observaciones anteriores muestran que esta integral está bien definida.
Finalmente, probamos el teorema de la deformación.
Teorema 2.3.12 (Teorema de la deformación) Sea A una región en C
y γ 0 , γ 1 dos curvas cerradas de clase C 1 por tramos, que son homotópicas
como curvas cerradas en A. Supóngase también que f : A → C es holomorfa,
entonces
)
)
f =
f.
γ0
γ1
Demostración. Sea H : [a, b] × [0, 1] → A una homotopı́a de curvas cerradas entre γ 0 y γ 1 , y
= d H([a, b] × [0, 1]), A c .
Como H es uniformemente continua, existe δ > 0 tal que si
|(s 1 , t 1 ) − (s 2 , t 2 )| < δ,
2. Integración
103
entonces
|H(s 1 , t 1 ) − H(s 2 , t 2 )| < /2.
Sean 0 = t 0 < t 1 < . . . < t n = 1 tales que
|t j − t j+1 | < δ
∀ j ∈ {0, 1, . . . , n − 1} .
Denotamos por λ t j a H|([a, b] × t j ), obsérvese que
λ t (s) − λ t (s) < /2 ∀ j.
j
j+1
Ahora, la curva γ 0 es C 1 por tramos, mientras que λ t 1 puede ser sólo
continua, pero como por construcción son /2-cercanas se sigue de la definición que
)
)
f =
γ0
f,
λt1
ya que d (λ t 1 ([a, b]), A c ) ≥ d (H([a, b] × [0, 1]), A c ) = .
El siguiente paso es tomar una curva auxiliar ψ 1 , C 1 por tramos, que
sea /2-cercana a λ t 1 . Esta nueva curva es - cercana a λ t 2 , ya que
|λ t 2 (s) − ψ 1 (s)| ≤ |λ t 2 (s) − λ t 1 (s)| + |λ t 1 (s) − ψ 1 (s)| < /2 + /2 = ,
por lo que
)
)
)
f =
γ0
)
f =
λt1
f =
ψ1
f.
λt2
Iterando este proceso se obtiene el resultado deseado. Esto se puede hacer,
ya que ∀ j si ψ es una curva (C 1 por tramos) - cercana a λ t j , como
d λ t j ([a, b]), A c ≥ d (H([a, b] × [0, 1]), A c ) = ,
se tiene por definición que
)
)
f =
λ tj
f.
ψ
Es importante destacar que esta versión general se aplica a curvas que se
pueden intersecar, o también a curvas que se autointersecan. A continuación
mostramos un ejemplo: sean γ el cı́rculo unitario |z| = 1 y
f (z) =
1
.
z 2 − 1/4
2.3. Teorema de Cauchy
104
γ
γ1
− 12
0 ψ
1
2
1
γ2
Figura 2.17: Homotopı́a entre el cı́rculo unitario y la curva ψ
*
Una manera de calcular γ f es obtener una deformación de γ a una
nueva curva ψ formada con los cı́rculos de radio 1/4 con centros en −1/2 y
1/2 (que denotamos por γ 1 y γ 2 , respectivamente), junto con el intervalo
[−1/4, 1/4], recorrido en ambos sentidos, como se muestra en la Figura 2.17.
Es claro, a partir de dicha figura, que se puede construir una homotopı́a de
manera explı́cita, que no pase por los puntos ±1/2 (ya que en estos puntos
la función no es holomorfa). Deben parametrizarse las curvas ψ y γ de tal
manera que se pueda llevar a cabo la deformación descrita en la figura. Con
el objeto de precisar esta idea, mostramos como debe ser la parametrización
en un primer intervalo que puede tomarse como [0, π/2]. La curva ψ se
parametriza de manera natural, esto es, ψ(s) = 1/2 + e i s /4, en cambio γ
se debe parametrizar adaptándose a ψ, esto se puede obtener escribiendo
γ(s) = 1/2 + k e i s , donde el número k debe cumplir
2
1
+ k e i s = 1.
2
Al resolver esta ecuación se obtiene
√
cos 2 s + 3 − cos s
k =
2
(ejercicio).
2. Integración
105
Es claro que este proceso puede continuarse y ası́ obtener la homotopı́a,
la cual se define como sigue
H(s, t) = t γ(s) + (1 − t) ψ(s),
H : [0, 4 π + 1] × [0, 1] −→ C − {±1/2},
esto es, se toma la combinación convexa correspondiente al momento t entre
las dos curvas, el número 4 π + 1 acontece al tomar las contribuciones de
todos los subintervalos. Nótese que de hecho la homotopı́a no intersecta los
interiores de los discos que rodean γ 1 y γ 2 . Por consiguiente, es posible
aplicar el teorema de la deformación (a pesar de que la curva ψ no es simple),
y obtener
)
)
)
f =
f +
f,
γ
γ1
γ2
ya que las contribuciones en el intervalo [−1/4, 1/4] se cancelan. Ahora,
z2
1
1
1
=
−
,
− 1/4
z − 1/2
z + 1/2
y usando el teorema de Cauchy se sigue que
)
)
)
dz
dz
dz
=
−
= 0 − 2 π i.
2
γ 1 z − 1/4
γ 1 z − 1/2
γ 1 z + 1/2
Un cálculo análogo aplicado ahora a γ 2 , muestra que
)
)
f = 2 π i, y por ende
f = 0.
γ2
γ
En muchos casos es importante apelar a la intuición para encontrar homotopı́as. Por otro lado, usando herramientas básicas de la topologı́a algebraica
en muchos casos puede detectarse si dos curvas son homotópicas o no lo son.
La versión general del teorema de Cauchy es una consecuencia inmediata del
teorema de la deformación.
Teorema 2.3.13 (Cauchy) Sean A una región, f : A → C analı́tica y γ
una curva cerrada C 1 por tramos, que es homotópica a un punto en A,
entonces
)
f = 0.
γ
En particular, cuando A es simplemente conexo, esto se cumple si γ es
cualquier curva cerrada de clase C 1 por tramos.
2.3. Teorema de Cauchy
106
Demostración. Si γ : [a, b] → A es homotópica a ψ : [a, b] → A, ψ(t) = z 0 ,
para algún z 0 ∈ A, se sigue del teorema de la deformación y de la definición
de integral que
)
)
f =
f = 0.
γ
ψ
γ
-3
-1
1
A
Figura 2.18: En las regiones simplemente conexas se aplica de manera inmediata el teorema de Cauchy
Esta versión general del teorema de Cauchy nos permite detectar de manera formal que muchas integrales son nulas, por ejemplo, sea A la región que
consiste de intersecar el semiplano {z | Im z > Re z} con el disco D(−1, 2),
y γ cualquier curva cerrada de clase C 1 por tramos en A. Entonces
) 2
z +z+1
dz = 0,
z
γ
esto se sigue del teorema de Cauchy, ya que dicha región al ser convexa es
simplemente conexa, y la función que se está integrando es holomorfa en A,
nótese que la curva γ puede autointersecarse, por lo que es necesaria esta
nueva versión del teorema de Cauchy. Véase la Figura 2.18.
Existe un importante teorema de la topologı́a que complementa al teorema de Jordan y permite establecer que el interior de cualquier curva simple
2. Integración
107
cerrada es simplemente conexo. Se dice que dos subconjuntos A, B en R n
son homeomorfos si existe una biyección f : A → B, tal que tanto f como
f −1 son continuas.
Teorema 2.3.14 (Shoenflies) Sea λ una curva simple cerrada en C, entonces Int λ es homeomorfo al disco unitario cerrado Δ = {z | |z| ≤ 1}.
Una prueba de este resultado puede consultarse en [14], pp. 68-69. Este
teorema es de gran utilidad en nuestro contexto, pues nos dice que el interior
de una curva simple cerrada, por complicada (y tipo fractal) que sea, es
una región simplemente conexa. Esto se sigue, ya que si se denota por f el
homeomorfismo que va de Int λ en Δ y si φ : [a, b] → Int λ es una curva
continua y cerrada; como Δ es simplemente
conexo, existe una homotopı́a
H : [a, b] × [0, 1] → Δ, tal que H [a, b] × {0} = f ◦ φ y H [a, b] × {1} es
un punto. Por lo que al tomar f −1 ◦ H se tiene la homotopı́a buscada.
Estas observaciones permiten detectar, vı́a el teorema de Cauchy, que
muchas integrales son nulas. Por ejemplo, sean A la región determinada por
el interior de una curva simple cerrada λ y p(z) un polinomio cuyas raı́ces
no están en A, entonces si γ es una curva cerrada C 1 por tramos en A, se
tiene
)
dz
= 0.
γ p (z)
El teorema de la deformación permite también probar un teorema global de
la primitiva.
Teorema 2.3.15 (De la primitiva) Sea A una región simplemente conexa
y sea f : A → C holomorfa, entonces existe g : A → C holomorfa, tal que en
los puntos de A se cumple
g (z) = f (z).
Además, esta función g, llamada primitiva, es única salvo una constante.
Demostración. La unicidad es inmediata: si g 1 , g 2 : A → C son dos primitivas, se sigue entonces del Teorema 1.4.12 que h(z) = g 1 (z) − g 2 (z) es
constante, ya que h (z) = 0.
Para la existencia, se define
) z
g(z) =
f,
u
2.3. Teorema de Cauchy
108
donde u es un punto fijo en A y dicha integral significa integrar f a lo
largo de cualquier curva en A, C 1 por tramos, que una u con z. El teorema
de Cauchy implica que la función g está bien definida, pues al tomar dos
trayectorias se forma una curva cerrada.
Ahora, si z, z 0 ∈ A, se tiene
) z0 ) z
g(z) − g(z 0 )
1
− f (z 0 ) =
f−
f − f (z 0 )
z − z0
z − z0
u
u
=
1
z − z0
)
z
f −
z0
1
z − z0
)
z
f (z 0 ) =
z0
1
z − z0
)
z
f (w) − f (z 0 ) dw.
z0
Finalmente, por continuidad, ∀ > 0 existe una δ > 0, tal que si
|z − z 0 | < δ, se tiene |f (z) − f (z 0 )| < . Tomando δ de tal manera que
D(z 0 , δ) ⊂ A, se sigue del Teorema 2.1.5 que si 0 < |z − z 0 | < δ, entonces
) z
g(z) − g(z 0 )
1
− f (z 0 ) =
f (w) − f (z 0 ) dw
z − z0
|z − z 0 | z 0
1
≤
|z − z 0 | = ,
|z − z 0 |
ya que se puede usar como curva de integración el segmento de lı́nea que une
z con z 0 . Por consiguiente, g es analı́tica y g (z 0 ) = f (z 0 ).
Terminamos esta sección con un resultado que permite establecer dominios de analiticidad para las ramas de logaritmo más sofisticados que los que
se presentaron en el primer capı́tulo.
Teorema 2.3.16 Sea A una región simplemente conexa que no contiene al
0, entonces existe g : A → C analı́tica tal que e g(z) = z. Además, g es única
salvo constantes de la forma 2 π n i, n ∈ Z.
Demostración. Probamos primero la existencia de dicha función. Por el
Teorema 2.3.15 existe una función analı́tica g definida en A, tal que
g (z) =
1
z
∀z ∈ A.
Ahora, fijando z 0 ∈ A, este punto está en el dominio de alguna rama de
logaritmo que denotamos por log z, y se puede redefinir g sumándole una
constante, de modo que g(z 0 ) = log z 0 , por lo que e g(z 0 ) = z 0 .
2. Integración
109
Afirmamos que e g(z) = z ∀ z ∈ A. Para demostrar esto tómese
f (z) =
e g (z)
.
z
Como 0 ∈
/ A, f es holomorfa en A, y como g (z) = 1/z se tiene
1 g (z) 1
1
g (z)
+e
e
f (z) =
− 2 = 0,
z
z
z
por lo que f es constante en A. Puesto que f (z 0 ) = 1, dicha constante es
1, y e g (z) = z ∀ z ∈ A.
Para probar la unicidad se observa primero que si se tiene una función
holomorfa en una región que cumple e g(z) = z, se sigue al derivar dicha
expresión que g (z) = 1/z. Ahora, si se tienen dos funciones holomorfas en
A que satisfacen
e g 1 (z) = z
y
e g 2 (z) = z
∀ z ∈ A,
entonces e g 1 (z)−g 2 (z) = 1. Finalmente, tomando de nuevo un punto z 0 ∈ A,
se tiene g 1 (z 0 )−g 2 (z 0 ) = 2 π n i, n ∈ Z, y como g 1 (z) − g 2 (z) = z1 − z1 = 0,
la función g 1 − g 2 es constante, por lo que
g 1 (z) = g 2 (z) + 2 π n i ∀ z ∈ A.
A la función g descrita en el teorema anterior se le llama rama de
logaritmo y se denotará también como log z. Esta función generaliza el
tipo de dominios de analiticidad para el logaritmo que se describieron en
el primer capı́tulo. Por una parte, incluye todos esos dominios, ya que si
B y 0 = {z ∈ C | z = t e i y 0 , t ≥ 0}, entonces C − B y 0 es simplemente conexo
y por la unicidad del teorema, la rama correspondiente es precisamente una
de estas funciones, ya que ∀ z ∈ C, z = 0, se tenı́a e log z = z. También, esta
nueva definición incluye dominios más sofisticados, como el que se muestra
en la Figura 2.19.
EJERCICIOS 2.3
1. Probar los dos detalles faltantes en la prueba del Teorema 2.3.3.
2. Pruebe formalmente que el semiplano {z | Im z ≥ m Re z + b, m, b ∈ R}
es convexo.
2.4. Teorema de Cauchy
110
3. Demuestre el Lema 2.3.9.
4. Exhiba dos subconjuntos cerrados ajenos de C, cuya distancia sea 0.
5. Calcule el valor del número k mencionado en el ejemplo que aparece a continuación del Teorema de la deformación (2.3.12), y encuentre la parametrización de la curva γ en el intervalo [π/2, π].
6. Demuestre formalmente que el anillo A = {z | 1 < |z − z 0 | < 2} no es
simplemente conexo, donde z 0 es cualquier punto del plano.
7. Sea γ el triángulo
* descrito por los puntos i, 2 i y 2 i − 1, demuestre de
dos maneras que γ log(z 3 ) dz es nula, donde log denota la rama principal
de logaritmo.
*
8. Calcule |z|=2 z 2dz+1 .
9. Sea A una región estrella desde w, es decir, si z ∈ A, entonces el segmento
w + t (z − w) ⊂ A, donde t ∈ [0, 1]. Pruebe que A es simplemente conexa.
* dz
2
10. Sea γ la elipse x4 + y 2 = 1, demuestre formalmente que γ z+1
= 2 π i.
0
Figura 2.19: Dominio de analiticidad para una rama de logaritmo
2. Integración
2.4.
111
Fórmula integral de Cauchy
En esta sección se prueban las fórmulas integrales de Cauchy, lo cual conlleva
el hecho de que las funciones analı́ticas son de clase C ∞ . Se exhiben también
algunas de las consecuencias de estas fórmulas, como el teorema de Liouville
y el teorema fundamental del álgebra.
0
Figura 2.20: Curva de ı́ndice 2 con respecto al origen
En primera instancia se define el ı́ndice de una curva cerrada de clase C 1
por tramos, con respecto a un punto que no está en la curva. De manera
intuitiva, el ı́ndice es el número de vueltas que la curva efectúa alrededor del
punto (véase la Figura 2.20). Para precisar esta idea rigurosamente, hacemos
antes unas observaciones que motivan la definición. Recordamos de la sección
2.1 que
$
)
0
n = −1,
(z − z 0 ) n dz =
2πi
n = −1.
|z−z 0 |=r
Esto se generaliza a curvas que consisten en recorrer n veces dicho cı́rculo,
por ejemplo, la curva γ(t) = z 0 + e i t , t ∈ [0, 2 π n], rodea n veces al punto
z 0 , y se tiene que
)
)
dz
dz
1
= 2 π i n, o
= n.
z
−
z
2
π
i
z
−
z0
0
γ
γ
2.4. Fórmula integral de Cauchy
112
Más aún, si ψ es una curva cerrada de clase C 1 por tramos, tal que z 0 ∈
/ψ
y γ es homotópica a ψ en C − {z 0 }, se sigue entonces del teorema de la
deformación que
)
1
dz
= n.
2 π i ψ z − z0
Es natural pensar que al ser γ y ψ homotópicas, estas curvas deben rodear
el mismo número de veces a z 0 .
También, es intuitivamente claro que una curva simple cerrada de clase
C 1 por tramos γ, que contiene a z 0 en su interior (esto es, rodea a z 0 una
sola vez), es homotópica a un pequeño cı́rculo alrededor de z 0 , por lo que
)
1
1
dz = ± 1.
2 π i γ z − z0
1
Por otra parte, si z 0 ∈ Ext γ, entonces la función z−z
es holomorfa en una
0
región que contiene a la curva γ y a su interior, por lo que el teorema de
Cauchy implica que
)
1
1
dz = 0,
2 π i γ z − z0
ya que en virtud del teorema de Shoenflies, la curva γ es nulhomotópica en
1
el dominio de analiticidad de z−z
. Esto último se sigue, dado que la homo0
topı́a que deforma el cı́rculo unitario en el origen se puede jalar a deformar
γ en un punto de su interior. Las ideas anteriores desembocan en la siguiente
definición.
Definición 30 Sea γ una curva cerrada de clase C 1 por tramos en C, y
z 0 ∈ C − γ. El ı́ndice (o número de vueltas) de γ con respecto a z 0 se
define como
)
1
dz
.
2 π i γ z − z0
Este número se denota por I(γ, z 0 ). Nótese que la curva
γ(t) = z 0 + r e i t ,
0 ≤ t ≤ 2 π n,
tiene ı́ndice n con respecto a z 0 , en cambio
−γ(t) = z 0 + r e−i t
n > 0,
2. Integración
113
tiene ı́ndice −n. Ahora, si γ y ψ son dos curvas cerradas de clase C 1 por
tramos que no pasan por z 0 , y γ es homotópica a ψ en C − {z 0 } , entonces
se sigue del teorema de la deformación que
I(γ, z 0 ) = I(ψ, z 0 ).
En este momento se intuye que el ı́ndice debe ser un entero, como se prueba
a continuación.
Teorema 2.4.1 Sea γ : [a, b] → C − {z 0 } una curva cerrada de clase C 1
por tramos, entonces
I(γ, z 0 ) ∈ Z.
Demostración. Abusando un poco de la notación, es natural considerar la
función
) t
γ (s)
g(t) =
ds,
a γ(s) − z 0
ya que g(b) = 2 π i I(γ, z 0 ). Ahora, si t ∈ [a, b] y γ es de clase C 1 en una
vecindad de t, aplicando el teorema fundamental del cálculo a las partes real
e imaginaria del integrando, se sigue que
g (t) =
γ (t)
.
γ(t) − z 0
(2.6)
Por consiguiente, en dichos puntos se tiene
(−γ (t)) d −g(t)
(γ(t) − z 0 ) = e−g(t)
γ(t) − z 0 + e−g(t) γ (t) = 0,
e
dt
γ(t) − z 0
y e−g(t) (γ(t) − z 0 ) es constante por tramos. Más aún, dicha función es
continua, puesto que g(t) es continua. Esta última afirmación se sigue de
la definición de curva C 1 por tramos y de la continuidad de integrales con
discontinuidades simples. Se concluye entonces que e−g(t) (γ(t) − z 0 ) es constante, en particular
e−g(a) (γ(a) − z 0 ) = e−g(b) (γ(b) − z 0 ),
(2.7)
y como γ(a) = γ(b), resulta que e−g(b) = e−g(a) = e 0 = 1, por lo cual
g(b) = 2 π n i, n ∈ Z. Esto es, I(γ, z 0 ) = n.
2.4. Fórmula integral de Cauchy
114
La motivación de considerar la función e−g(t) (γ(t) − z 0 ) en la prueba
del teorema anterior surge, ya que en virtud de la relación (2.6), la función g se puede pensar intuitivamente como log(γ(t) − z 0 ) + cte y como
e− log(γ(t)−z 0 ) (γ(t) − z 0 ) = 1, se sigue que la función e−g(t) (γ(t) − z 0 ) también debe ser constante, lo que permite encontrar fácilmente el valor g(b)
usando (2.7).
4i
ψ
-1
1
γ
−4i
Figura 2.21: Homotopı́a entre elipse y cı́rculo permite calcular el ı́ndice
Obsérvese que si γ es una curva simple cerrada de clase C 1 por tramos,
entonces
Int(γ) = {z ∈ C | I(γ, z) = 0} ,
es decir, se puede definir el interior de una curva en forma analı́tica y no
topológica, usando la integral que define el ı́ndice. Mostramos ahora un ejemplo, sea ψ(t) = cos t + i (4 sen t), t ∈ [0, 6 π], es decir, la curva consiste en
una elipse centrada en el origen, que se recorre tres veces en el sentido positivo, por lo que la curva debe tener ı́ndice tres con respecto al origen. Para
probar esto de manera formal se toma γ(t) = cos t + i sen t, t ∈ [0, 6 π],
2. Integración
115
entonces
H(s, t) = cos s + i (4 − 3 t) sen s
es una homotopı́a entre ψ y γ, véase la Figura 2.21. Por lo que se sigue que
I(ψ, 0) = 3.
Teorema 2.4.2 (Fórmula integral de Cauchy) Sea A una región, γ una
curva cerrada C 1 por tramos homotópica a un punto en A, f : A → C
analı́tica y z ∈ A − γ, entonces
)
f (w)
1
dw.
f (z) I(γ, z) =
2πi γ w − z
Nótese que si la curva es simple, esta fórmula es espectacular, ya que dice
que los valores que toma f en γ determinan los valores de f en el interior
de γ.
Demostración. El teorema de Cauchy se generaliza a funciones que son
continuas en una región A y que son holomorfas en A − {z 0 }, donde z 0 es
un punto en A. La razón es que la herramienta que se usa para demostrarlo
es el Teorema 2.3.3 (local de la primitiva), que puede ser sustituido por su
generalización, el Corolario 2.3.5 que debilita las hipótesis.
Sea z ∈ A − γ fija, se define
⎧
f (w) − f (z)
⎪
⎪
si w = z,
⎨ w−z
g(w) =
⎪
⎪
⎩ f (z)
si w = z.
Se tiene que g es analı́tica en A − {z} y continua en A, por lo que la
observación anterior implica que
)
g = 0.
γ
Finalmente,
)
)
)
f (w)
f (z)
f (w)
0 =
dw −
dw =
dw − 2 π i f (z) I(γ, z).
γ w−z
γ w−z
γ w−z
2.4. Fórmula integral de Cauchy
116
Es importante observar que esta fórmula es muy útil para calcular integrales, por ejemplo,
)
ez
dz = 2 π i e 0 = 2 π i.
z
|z|=5
También, si se quiere calcular
)
|z−1|=1
e z + cos z
z−
1
2
dz,
se puede encontrar una homotopı́a explı́cita procediendo como en la Figura
2.22 (ejercicio), y aplicar el teorema de la deformación, por lo que esta integral
es igual a
)
1
e z + cos z
1
2
dz = 2 π i e + cos 2 .
z − 12
1 1
z− 2 = 2
Para poder establecer el hecho de que las funciones analı́ticas tienen
derivadas de todos los órdenes, se necesita un importante lema. Al lector
no familiarizado con convergencia de funciones se le sugiere leer la primeras
páginas del capı́tulo 3, antes de estudiar la demostración de este resultado.
1
0
1
2
2
Figura 2.22: Homotopı́a entre cı́rculos tangentes
2. Integración
117
Lema 2.4.3 (Integrales de tipo Cauchy) Sean γ : [a, b] → C una curva
C 1 por tramos, ϕ : γ([a, b]) → C continua, n ∈ Z, n = 0, y
)
ϕ(w) (w − z) n dw,
g(z) =
γ
entonces g es analı́tica y C ∞ en el sentido complejo en C − γ [a, b] .
Además, si n = −1, para cualquier k ∈ N,
)
ϕ(w)
k
g (z) = k !
dw.
k+1
γ (w − z)
Nótese que esta fórmula se puede recordar derivando respecto a z dentro del
signo de integral. Usaremos el resultado siguiente, que será demostrado en el
capı́tulo 3 (Teorema 3.1.13). Sean γ una curva de clase C 1 por tramos en
una región A, y f n , n ∈ N, una sucesión de funciones continuas definidas en
γ y que además convergen uniformemente a una función f en γ, entonces
)
)
lı́m
fn =
f.
n→∞
γ
γ
Demostración del lema. Para demostrar el lema basta probar que para
cualquier z 0 ∈ C − γ y cualquier sucesión h k , k ∈ N, que converja a cero,
se tiene
)
g(z 0 + h k ) − g(z 0 )
−→ −n
(w − z 0 ) n−1 ϕ(w) dw,
hk
γ
ya que esto implica que g es derivable en z 0 y que
)
g (z 0 ) = −n
(w − z 0 ) n−1 ϕ(w) dw,
γ
e iterando este proceso inductivamente se demuestra el lema.
Ahora,
)
g(z 0 + h k ) − g(z 0 )
(w − z 0 − h k ) n − (w − z 0 ) n
=
ϕ(w) dw,
hk
hk
γ
ası́ que es suficiente demostrar que
(w − z 0 − h k ) n − (w − z 0 ) n
hk
ϕ(w) −→ −n (w − z 0 ) n−1 ϕ(w)
2.4. Fórmula integral de Cauchy
118
uniformemente en γ. Esto equivale a probar que
(w − z 0 − h k ) n − (w − z 0 ) n
−→ −n (w − z 0 ) n−1
hk
uniformemente en γ, ya que al ser esta curva un conjunto compacto, la
función ϕ alcanza un máximo en ella. Escribimos para abreviar, u = w − z 0 ,
probamos este hecho por casos.
z 0 + hk
•
z0
ω
γ
•
Figura 2.23: Prueba del lema de las integrales de tipo Cauchy
Si n > 0,
(u − h k ) n − u n
n−1 +
n
u
hk
n n−2
n n−3 2
n−1
n−1 +
u
hk −
u
hk + · · · + n u = −n u
2
3
≤ c |h k | + |h k | 2 + · · · + |h k | n−1 ,
para alguna constante c. Esta última desigualdad se justifica por la compacidad de γ, que implica que las normas |u| = |w − z 0 | están acotadas
superiormente (véase la Figura 2.23). Como el último término converge a 0,
cuando k → ∞, y no depende de w, este argumento demuestra la convergencia uniforme para este caso.
Si n < 0, escribiendo m = −n, se tiene
1
(u − h k ) n − u n
1
1
n−1 n−1 =
+
n
u
−
+
n
u
h k (u − h k ) m u m
hk
2. Integración
119
1
u m − (u − h k ) m
n−1 = + nu hk
(u − h k ) m u m
m h u m−1 − m h 2 u m−2 + · · ·
k
k
n−1 2
= + nu h k (u − h k ) m u m
m u m−1
n−1 ≤ +
n
u
+ c |h k | + |h k | 2 + · · · + |h k | m−1
m
m
(u − h k ) u
m
m ≤ − m+1 + ,
(u − h k ) m u
u
2
para alguna > 0, si k es suficientemente grande. La primera desigualdad
se sigue de que |u| y |u − h k | están también acotadas inferiormente, debido
a la compacidad de γ, véase la Figura 2.23.
Finalmente
m u m − m (u − h k ) m m
m m
m
(u − h k ) m u − u m+1 = (u − h k ) m u m+1 ≤ c |u − (u − h k ) | ,
donde c es una constante. Esta última expresión converge de manera uniforme a 0, lo cual termina la demostración del lema.
La fórmula integral de Cauchy junto con el lema sobre integrales de tipo
Cauchy tienen como consecuencia casi inmediata el hecho de que las funciones
holomorfas tienen derivadas de todos los órdenes en el sentido complejo.
Teorema 2.4.4 (Las funciones holomorfas son C ∞ complejo) Si f es
una función holomorfa en una región A. Entonces
i) f tiene derivadas de todos los órdenes en el sentido complejo;
ii) si γ es una curva cerrada, C 1 por tramos, homotópica a un punto en
A, y z ∈ A − γ, se tiene ∀ k ∈ {0, 1, 2, . . . } que
k!
f (z) I(γ, z) =
2πi
)
k
donde f 0 = f.
γ
f (w)
dw,
(w − z) k+1
(2.8)
120
2.4. Fórmula integral de Cauchy
Nótese que la fórmula (2.8), llamada fórmula integral de Cauchy para la
derivada k−ésima, cuando k > 0, generaliza la fórmula integral de Cauchy
mencionada en el Teorema 2.4.2.
Demostración. Probamos primero i) Dada z 0 ∈ A, existe r > 0 tal que
D(z 0 , r) ⊂ A. Sea ψ el cı́rculo ∂D(z 0 , r), recorrido una vez positivamente.
Como I(ψ, z) = 1, ∀z ∈ Int ψ (ejercicio), se sigue de la fórmula integral de
Cauchy que para estos puntos
)
f (w)
1
dw.
f (z) =
2πi ψ w − z
Como ésta es una integral de tipo Cauchy, el Lema 2.4.3 permite concluir
que f es C ∞ en D(z 0 , r), y por lo tanto en la región.
Para probar la segunda parte obsérvese que dicho lema también implica
que la función
)
1
1
I(γ, z) =
dw
2πi γ w − z
es analı́tica y C ∞ en el sentido complejo en C − γ, de hecho es localmente
constante por tomar valores enteros.
Ahora, por la fórmula integral de Cauchy, si z ∈ A − γ se tiene
)
f (w)
1
dw.
f (z) I(γ, z) =
2πi γ w − z
Finalmente, aplicando de nuevo el lema, ahora a la función G(z) definida
por f (z) I(γ, z), se obtiene inductivamente que
)
f (w)
k!
k
k
G (z) = f (z) I(γ, z) =
dw, k ∈ N.
2 π i γ (w − z) k+1
Este último teorema tiene muchas consecuencias de enorme importancia
en la variable compleja, como las que se muestran a continuación. Además,
es también de gran utilidad para calcular integrales, por ejemplo, si se quiere
calcular la integral
)
sen w + 3 w 4
dw.
(w − 1) 3
|w−1|=1
2. Integración
121
Escribiendo f (w) = sen w + 3 w 4 , como |z − 1| = 1 es homotópica a un
punto en el dominio de analiticidad de f (w), se sigue de la fórmula integral
de Cauchy para la segunda derivada que
)
sen w + 3 w 4
2
dw,
f 2 (1) =
2 π i |w−1|=1 (w − 1) 3
además, al derivar la función f dos veces se tiene f 2 (w) = − sen w + 36 w 2 ,
por lo que el valor de la integral es π i (− sen 1 + 36). El siguiente importante
resultado establece cotas para las derivadas k-ésimas y tiene como corolario
inmediato el teorema de Liouville.
Teorema 2.4.5 (Desigualdades de Cauchy) Sea f : A → C holomorfa,
donde A es una región en C. Supóngase también que D(z 0 , R) ⊂ A y que
∀ z ∈ ∂D(z 0 , R), se tiene |f (z)| ≤ M , entonces
k
f (z 0 ) ≤ k ! M.
Rk
Demostración. Usando la fórmula de Cauchy para la derivada k- ésima se
tiene
)
f (w)
k!
k
dw,
f (z 0 ) =
2πi
(w − z 0 ) k+1
|z−z 0 |=R
por lo que
k
f (z 0 ) ≤ k ! M 2 π R = k ! M .
2 π R k+1
Rk
El siguiente sorprendente resultado no se cumple en la variable real, por
ejemplo, la función x → sen x + cos x es de clase C ∞ en los reales y ciertamente está acotada.
Corolario 2.4.6 (Teorema de Liouville) Sea f : C → C entera y acotada, entonces f es constante.
Demostración. Utilizando el Teorema 2.4.5 para la primera derivada se
tiene que si M es una cota superior para los valores de la función, entonces
|f (z)| ≤
M
R
∀ z ∈ C y ∀ R ∈ R+ .
2.4. Fórmula integral de Cauchy
122
Por consiguiente, la función derivada f se anula en todo el plano y por lo
tanto f es constante.
A su vez el teorema de Liouville proporciona una prueba bastante simple del teorema fundamental del álgebra, como se muestra a continuación.
Recordamos que a los ceros de los polinomios se les llama raı́ces.
Teorema 2.4.7 (Teorema fundamental del Álgebra) Cualquier polinomio con coeficientes complejos y no constante tiene al menos una raı́z.
Demostración. Sea p(z) = a n z n + a n−1 z n−1 + · · · + a 0 un polinomio con
coeficientes complejos, n ≥ 1, y a n = 0. Si p(z) = 0 ∀ z ∈ C, entonces la
función 1/p(z) es entera. Para z = 0, se puede escribir
1
1
1
zn
=
=
a0 ,
a
n
n−1
n−1
p(z)
a n z + a n−1 z
+ · · · + a0
+ ··· + n
an +
z
z
por lo que al tomar el lı́mite cuando z → ∞, se tiene
lı́m
z−→∞
1
= 0.
p(z)
Por consiguiente, existe M tal que si |z| > M , se tiene |1/p(z)| < . También, esta función está acotada en el compacto D(0, M ), por lo que 1/p(z)
está acotada en todo el plano. En este caso, se tendrı́a por el teorema de
Liouville que la función 1/p(z) serı́a constante, y por ende el polinomio
p(z), lo cual es una contradicción.
El siguiente interesante teorema muestra, esencialmente, que si las integrales de una función continua en curvas cerradas se anulan, entonces la
función es holomorfa.
Teorema 2.4.8 (Teorema
una región A,
* de Morera) Sea f continua en
1
supóngase también que γ f = 0 para toda curva cerrada C por tramos γ
en A, entonces f es holomorfa en A, y además tiene una primitiva, es
decir, f = g , donde g es una función holomorfa en A.
Demostraci*ón. Recordamos que en la prueba del teorema de la primitiva,
la condición γ f = 0 equivale a la posibilidad de definir, fijando u ∈ A, una
función g : A → C holomorfa tal que
) z
f (z) dz.
g(z) =
u
2. Integración
123
Se probó (Teorema 2.3.15) que bajo tales condiciones g es holomorfa en la
región A y que g (z) = f (z). Finalmente, usando ahora el Teorema 2.4.4,
se sigue que f = g también lo es.
Otra consecuencia del hecho de que las funciones holomorfas son de clase
C , es que si una función es continua en una región y holomorfa, salvo
quizá en un punto, entonces en realidad la función es holomorfa en toda
la región. Esta situación evidentemente se generaliza a un número finito de
puntos.
∞
Corolario 2.4.9 Sea f continua en una región A y analı́tica en A − {z 0 },
entonces f es analı́tica en A.
Demostración. Se puede tomar un rectángulo contenido en la región, tal
que tenga al punto z 0 en su interior, aplicando entonces el Corolario del
teorema de la primitiva local (2.3.5), y posteriormente el Teorema 2.4.4 se
sigue el resultado.
EJERCICIOS 2.4
1. Exhiba de manera explı́cita la homotopı́a descrita en la Figura 2.22.
2. Complete el detalle formal faltante en la prueba del Teorema 2.4.4.
*
(z 2 +z) +cos(2 z+1)
3. Calcule la integral |z−1|=1 e
dz.
z−1
*
(z+2) +sen(2 z+1)
4. Calcule la integral |z|=1 e
dz.
z4
5. Sea f una función entera, tal que Re f (z) > 0 ∀ z, pruebe que dicha
función es constante.
6. Pruebe formalmente que el ı́ndice de la curva γ con respecto al origen es
−2, donde γ(s) = i + 2 e−i s , γ : [0, 4 π] → C.
*
|w| 2
7. Demuestre que la función g(z) = |w−3i|=5 (w−z)
4 dw es holomorfa en el
complemento del cı́rculo {w | |w − 3 i| = 5}. Calcule su derivada.
8. Sea γ una curva simple cerrada C 1 por tramos y f una función que es
holomorfa en una región que contiene a Int(γ). Supóngase también que la
función se anula en la curva, pruebe que la función f se anula también en
el interior de la curva.
9. Sea f una función entera, tal que |f (z)| ≤ M | z| n , si |z| > R, pruebe
que dicha función es un polinomio de grado menor o igual a n.
124
2.5. Principio del máximo, lema de Schwarz y funciones armónicas
2.5.
Principio del máximo, lema de Schwarz
y funciones armónicas
En esta última sección continuamos con las aplicaciones de la fórmula integral
de Cauchy, como son el principio del máximo para funciones holomorfas y
para funciones armónicas. También se prueba el lema de Schwarz, ası́ como
otras importantes propiedades de las funciones armónicas, en particular la
fórmula de Poisson que establece la solución al problema de Dirichlet en el
disco. El siguiente notable resultado establece que el valor de una función
holomorfa en el centro de un disco es el promedio de sus valores en el cı́rculo.
Teorema 2.5.1 (Propiedad del valor intermedio) Sea f analı́tica en
una región A y D(z 0 , r) ⊂ A, entonces
f (z 0 ) =
1
2π
)
2π
0
f (z 0 + r e i θ ) dθ.
Demostración. Parametrizando ∂D(z 0 , r) como γ(θ) = z 0 + r e i θ , y
aplicando la fórmula integral de Cauchy se tiene
1
f (z 0 ) =
2πi
)
γ
f (z)
dz
z − z0
1
y f (z 0 ) =
2πi
)
2π
0
f (z 0 + r e i θ )
i r e i θ d θ.
r eiθ
El siguiente resultado muestra que una función holomorfa no puede tener
máximos locales.
Teorema 2.5.2 Sea f analı́tica en una región A. Supóngase también que
|f (z)| ≤ |f (z 0 )| ∀z ∈ D(z 0 , r 0 ), entonces f es constante en D(z 0 , r 0 ).
Demostración. Se puede suponer que f (z 0 ) ∈ R+ . Esto se sigue ya que
si f (z 0 ) = w y w ∈
/ R+ , entonces la función w−1 f también satisface las
hipótesis del teorema, y además es constante si y sólo si f lo es. El truco es
usar la función real no negativa
g(z) = f (z 0 ) − Re (f (z)) .
2. Integración
125
Si r < r 0 , se tiene al usar la propiedad del valor intermedio aplicada a f
que
) 2π
) 2π
iθ
g z 0 + r e dθ = 2 π f (z 0 ) −
Re f z 0 + r e i θ dθ
0
0
= 2 π f (z 0 ) − 2 π Re (f (z 0 )) = 0.
En consecuencia, como la función θ → g(z 0 + r e i θ ) es real no negativa y su
integral es cero, se tiene que
g z 0 + r e i θ = 0 ∀ θ ∈ [0, 2 π],
y como este argumento se aplica para cualquier r < r 0 , se sigue que
Re (f (z)) = f (z 0 ) ∀ z ∈ D(z 0 , r 0 ).
Finalmente, el resultado se sigue de las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Teorema 2.5.3 (Principio del máximo) Sea f : A → C una función con
tinua, donde A es una región acotada en C, supóngase también que f A
es analı́tica. Entonces el supremo de los valores |f (z)| , z ∈ A, se alcanza en
∂A, y si en algún punto de A se alcanza este valor máximo, f es constante.
Demostración. Si existe z 0 ∈ ∂A tal que |f (z 0 )| > |f (z)| ∀ z ∈ A, no
hay nada que probar. De otra manera (por compacidad) existe z 0 ∈ A, tal
que |f (z 0 )| ≥ |f (z)| ∀ z ∈ A.
Sea f (z 0 ) = w 0 , denotamos por g a la restricción de f a la región A.
Escribiendo B = g −1 (w 0 ), se sigue de la versión local que el conjunto B es
abierto en A y por lo tanto en C. Si f no es una función constante, entonces
la restricción g tampoco lo es, y g −1 (C − {w 0 }) es un conjunto abierto, no
vacı́o, en A (y en C). Bajo estas hipótesis, la región A es la unión de dos
conjuntos abiertos y ajenos, lo que contradice que es un conjunto conexo.
Por consiguiente, la función g es constante, y por ende f también.
Al principio del máximo también se le conoce como el teorema del módulo
máximo. Este teorema tiene una gran importancia teórica y también es de
gran utilidad para encontrar cotas superiores de ciertas funciones holomorfas.
Por ejemplo, para encontrar el supremo de |cos z| en [−1, 1] × [−1, 1] se
puede escribir
cos(x + i y) = cos x cosh y − i sen x senh y,
126
2.5. Principio del máximo, lema de Schwarz y funciones armónicas
y al tomar la norma al cuadrado se tiene
|cos z| 2 = cos 2 x cosh 2 y + sen 2 x senh 2 y
= cos 2 x cosh 2 y + (1 − cos 2 x)(cosh 2 y − 1) = cosh 2 y + cos 2 x − 1.
Por el principio del máximo, el supremo de |cos z| se toma en la frontera del
rectángulo, por lo que se sigue de la expresión obtenida que éste se alcanza
en el eje imaginario, cuando se maximiza la parte imaginaria de z. Por
consiguiente, el valor máximo está dado por cosh 1, y éste es tomado en
± i.
Nótese que en general si A es una región en R n y f : A → R m es
continua y localmente constante, entonces f es constante. Esto se sigue, ya
que si la función toma el valor y 0 , y no es constante, entonces se puede
descomponer la región A en dos abiertos ajenos no vacı́os: la preimagen de
y 0 y la preimagen de su complemento. Volviendo a las funciones complejas,
obsérvese que una función holomorfa f definida en una región A, que no se
anula en ningún punto, no puede tener mı́nimos locales estrictos, ya que en
este caso la función 1/f tendrı́a un máximo local estricto, lo que contradice
el principio del máximo. Sin embargo, la función f (z) = z alcanza un valor
mı́nimo estricto en el origen. El siguiente resultado es una importante aplicación del principio del máximo que describe las funciones holomorfas del disco
en el disco que fijan al origen. Esencialmente estas funciones son rotaciones
o contracciones hacia el origen.
Teorema 2.5.4 (Lema de Schwarz) Sea f : Δ → Δ holomorfa, donde
Δ = {z | |z| < 1}. Supóngase también que f (0) = 0, entonces |f (z)| ≤ |z|
∀ z ∈ Δ y |f (0)| ≤ 1. Más aún, si existe z 0 ∈ Δ, z 0 = 0, tal que
|f (z 0 )| = |z 0 |, entonces f es una rotación.
Demostración. Sea
⎧
f (z)
⎪
⎪
⎨
z
g(z) =
⎪
⎪
⎩ f (0)
si z = 0,
si z = 0,
resulta que g es holomorfa en Δ − {0} y continua en Δ, por lo que se
sigue del Corolario 2.4.9 que g es holomorfa en Δ. Ahora, en el cı́rculo
|z| = r, r < 1, se tiene
2. Integración
127
f (z) = |f (z)| ≤ 1 ,
|g(z)| = z r
r
por lo que se sigue del principio del máximo que ∀ z ∈ D(0, r)
|g(z)| ≤
1
,
r
es decir,
|f (z)| ≤
|z|
.
r
Fijando z, y tomando el lı́mite cuando r → 1, en ambas desigualdades, se
tiene que en Δ, |f (z)| ≤ |z| y |g(z)| ≤ 1, en particular |f (0)| = |g(0)| ≤ 1.
Finalmente, si para algún punto z 0 = 0 se cumple que |f (z 0 )| = |z 0 |,
entonces la función g alcanza el máximo en un punto del interior, por lo que
en virtud del Teorema 2.5.3 es constante (esto se formaliza tomando cualquier
disco cerrado en Δ que contenga a z 0 en su interior). Se concluye entonces
que f (z) = k z, para alguna constante k, más aún como |f (z 0 )| = |z 0 |, se
sigue que |k| = 1.
A continuación extendemos el principio del máximo a las funciones armónicas. Se demostró que las partes, real e imaginaria, de una función analı́tica
son armónicas de clase C ∞ . El recı́proco, que es consecuencia del teorema
de la primitiva, también es cierto.
Teorema 2.5.5 Sea A una región y u : A → R armónica, entonces u es
de clase C ∞ y para cualquier z 0 ∈ A, u es la parte real de una función
holomorfa en una vecindad de z 0 . Si además A es simplemente conexa,
entonces existe una función f : A → C holomorfa, tal que Re f = u.
Demostración. Basta probar la segunda parte, ya que el disco D(z 0 , r)
es simplemente conexo. Considerando las ecuaciones de Cauchy-Riemann es
natural definir
∂u
∂u
(z) − i
(z), z ∈ A.
g(z) =
∂x
∂y
Se afirma que g es analı́tica en A. Escribiendo g = g 1 + i g 2 , se tiene que
en la región A
∂2u
∂ g1
=
∂x
∂x2
por lo cual
y
∂2u
∂ g2
= −
,
∂y
∂y 2
∂2u
∂ g2
∂2u
∂ g1
+
= 0.
−
=
∂x
∂y
∂x2
∂y 2
128
2.5. Principio del máximo, lema de Schwarz y funciones armónicas
También, en dicha región
∂ g1
∂2u
=
∂y
∂y∂x
de donde
y
∂ g2
∂2u
= −
,
∂x
∂ x∂ y
∂ g1
∂ g2
+
= 0,
∂y
∂x
ya que u es de clase C 2 . Al cumplirse las ecuaciones de Cauchy-Riemann se
concluye que la función g es holomorfa.
Usando ahora el teorema de la primitiva, existe f : A → C holomorfa, tal
que en la región A se tiene f = g. Escribiendo, f = f 1 + if 2 , se sigue
f =
∂f 1
∂u
∂u
∂ f1
−i
= g =
−i
,
∂x
∂y
∂x
∂y
por lo que f 1 = u + k para alguna constante k ∈ R, y u = Re (f − k).
Nótese que se ha probado también que cualquier función armónica es de clase
C ∞ , al ser la parte real de una función holomorfa.
Obsérvese que el resultado también es válido si se sustituye Re f por
Im f , ya que Im (i f ) = Re f .
Definición 31 Se dice que u y v son armónicas conjugadas (o simplemente
conjugadas) en una región A, si existe una función f holomorfa en A, tal
que f = u + i v.
Corolario 2.5.6 Sea A una región simplemente conexa en C y u : A → R
armónica, entonces u tiene una conjugada en A.
Existe un método para encontrar la función armónica conjugada, que
ilustramos con un ejemplo. La función u(z) = x 3 − 3 x y 2 , z = x + i y, es
armónica en el plano (ejercicio); para encontrar su conjugada derivamos y
aplicamos las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Si v es la conjugada armónica
de u (ésta existe ya que C es simplemente conexo), se tiene
∂v
(z) = 6 x y,
∂x
∂v
(z) = 3 x 2 − 3y 2 .
∂y
Integrando la primera ecuación con respecto a x se obtiene
v(z) = 3 x 2 y + g 1 (y),
2. Integración
129
donde g 1 (y) es una función que no depende de x. Integrando la segunda
ecuación, ahora con respecto a y, se obtiene v(z) = 3 x 2 y − y 3 + g 2 (x),
por lo que al igualar las dos expresiones se tiene −y 3 + g 2 (x) = g 1 (y), y
necesariamente g 2 (x) es una constante, por lo cual
v(z) = −y 3 + 3 x 2 y + constante.
Algunos lectores podrán reconocer en este ejemplo la función z → z 3 , y
los cálculos parecerı́an innecesarios, sin embargo, el propósito fue decribir el
método.
Obsérvese que las ecuaciones de Cauchy-Riemann implican que la conjugada es única salvo una constante aditiva. Recordamos de los cursos de
cálculo que el vector gradiente en un punto, de una función de R n en R, es
ortogonal a su curva de nivel (la preimagen de dicho punto bajo la función).
Véase la Figura 2.24. El siguiente notable resultado exhibe que la propiedad de ser armónicas conjugadas conlleva información geométrica importante
(véase la Figura 2.25).
u(x, y)
(x, y)
u−1 (a1 )
Figura 2.24: Las curvas de nivel son ortogonales al gradiente
Teorema 2.5.7 Sean u y v armónicas conjugadas en una región A que
toman los valores a 1 y a 2 , respectivamente. Supóngase también que los
gradientes en todos los puntos de las curvas de nivel para estos valores no se
anulan. Entonces si estas curvas se intersecan, lo hacen ortogonalmente.
Demostración. Se sigue del teorema de la función implı́cita que u−1 (a 1 ) y
v −1 (a 2 ) son curvas diferenciables. Basta demostrar que para cualquier punto
130
2.5. Principio del máximo, lema de Schwarz y funciones armónicas
en la intersección
∇u · ∇v = 0,
que es lo mismo que
∂u ∂u
,
∂x ∂y
·
∂v ∂v
,
∂x ∂y
∂u ∂v
∂u ∂v
+
= 0,
∂x ∂x
∂y ∂y
=
lo cual se sigue de las ecuaciones de Cauchy-Riemann.
Figura 2.25: Curvas de nivel de las funciones armónicas conjugadas determinadas por z → z 2
Un ejemplo donde se visualiza claramente este resultado es con la función
f (z) = z 2 , que tiene como partes real e imaginaria a
u(x, y) = x 2 − y 2
y
v(x, y) = 2 x y,
respectivamente. Las curvas de nivel constituyen las familias de hipérbolas
que se intersecan ortogonalmente, como se describe en la Figura 2.25. A
continuación se prueban los principios del máximo y el mı́nimo para funciones armónicas, los cuales se siguen de los correspondientes resultados para
funciones holomorfas.
2. Integración
131
Teorema 2.5.8 (Del valor intermedio para funciones armónicas) Si
u es una función armónica en una región A que contiene a D(z 0 , r), entonces
) 2π
1
u z 0 + r e i θ dθ.
u(z 0 ) =
2π 0
Demostración. Usando el Lema 2.3.11 se puede suponer que existe r 1 > r,
tal que D(z 0 , r 1 ) ⊂ A. Se sigue entonces del Teorema 2.5.5 que existe una
función f analı́tica en D(z 0 , r 1 ), tal que Re f = u. Finalmente, usando
ahora el teorema del valor intermedio para funciones analı́ticas se tiene
) 2π
1
f (z 0 ) =
f z 0 + r e i θ dθ,
2π 0
y tomando partes reales se obtiene el resultado.
Teorema 2.5.9 Dada u una función armónica en una región A, tal que
alcanza un máximo local en z 0 ∈ A, i. e., existe r, tal que u(z 0 ) ≥ u(z),
∀ z ∈ D(z 0 , r), entonces u es constante en dicho disco.
Demostración. Existe f holomorfa en D(z 0 , r) tal que Re f = u. Ahora,
la función e f también es holomorfa en ese disco, y
f (z) e = e u(z) = e u(z) .
Como la exponencial real es creciente, los máximos de u son los de e u , por
lo que aplicando el principio del máximo para funciones holomorfas, se sigue
que e f es constante en D(z 0 , r), por lo tanto también lo son e u y u. Teorema 2.5.10 (Principio del máximo para funciones armónicas)
Si A es una región acotada en C, u : A → R es continua, y u A es armónica, entonces el supremo de los valores u(z), z ∈ A, se alcanza en ∂A. Más
aún, si en algún punto de A se alcanza este valor máximo, u es constante.
Demostración. Se aplica un argumento de conexidad casi idéntico al que
se usó en el correspondiente teorema para funciones holomorfas.
También se cumple el principio del mı́nimo para funciones armónicas. Si
A es una
región acotada en C, u : A → R es una función continua, tal
que u A es armónica, entonces el ı́nfimo de los valores u(z), z ∈ A, se
132
2.5. Principio del máximo, lema de Schwarz y funciones armónicas
alcanza en ∂A, y si en algún punto de A se alcanza este valor mı́nimo, u
es constante. Para demostrar este resultado, basta aplicar el principio del
máximo para funciones armónicas a la función −u.
Estos últimos resultados permiten, como en el caso de las funciones holomorfas, encontrar cotas, en este caso superiores e inferiores. Por ejemplo,
si u(x + i y) = e x cos y, entonces el valor mı́nimo de esta función armónica
restringida al rectángulo [0, 1] × [0, 1] se debe tomar en la frontera, por lo
que este valor mı́nimo es e 0 cos 1 = cos 1, el cual es tomado en i.
Terminamos este capı́tulo con una breve introducción al problema de
Dirichlet y su solución en el disco mediante la fórmula de Poisson. Dada una
región A en C acotada y una función u 0 : ∂A → R continua, el problema
de Dirichlet consiste
en encontrar una
función continua u : A → R, de tal
manera que uA sea armónica y u∂A = u 0 .
El problema de Dirichlet tiene solución si ∂A es suficientemente lisa
(véase [1] pp. 240-243). Las técnicas que se usan son bastante sofisticadas y
corresponden a un curso más avanzado de la variable compleja. Sin embargo,
en todos los casos, es muy fácil probar que si existe una solución, ésta es
única.
Teorema 2.5.11 Si el problema de Dirichlet tiene solución, ésta es única.
Demostración. Sean u y v soluciones y ϕ = u − v, entonces ϕ es
armónica en A y ϕ ≡ 0 en ∂A. Se sigue entonces del principio del máximo
para funciones armónicas que ϕ (z) ≤ 0 ∀z ∈ A, y del principio del mı́nimo
que ϕ (z) ≥ 0 ∀ z ∈ A. En consecuencia, ϕ (z) ≡ 0 ∀ z ∈ A.
Para resolver el problema de Dirichlet en el disco abierto, primero se
prueba una fórmula que expresa los valores que toma una función armónica
en el interior de un disco, en términos de los valores que toma en su frontera, es decir, el equivalente a la fórmula integral de Cauchy para funciones
holomorfas adaptado a funciones armónicas.
Teorema 2.5.12 (Fórmula de Poisson) Sea u : D (0, r) → R continua
y también armónica en D (0, r) , entonces si ρ < r
u ρe
iϕ
r2 − ρ2
=
2π
)
2π
0
u r eiθ
dθ.
r 2 − 2 r ρ cos (θ − ϕ) + ρ 2
2. Integración
133
z- = t2 /z
z
γt
0
Figura 2.26: Puntos inversos: truco para probar la fórmula de Poisson
Demostración. Como u es armónica en D (0, r) , que es simplemente
conexo, existe f : D (0, r) → C analı́tica, tal que u = Re f.
Sean 0 < t < r y γ t el cı́rculo |w| = t, usando la fórmula integral de
Cauchy se tiene
)
1
f (w)
f (z) =
dw,
2 π i γt w − z
lo cual se cumple para toda z en el disco abierto D(0, t). La estrategia es
modificar esta expresión en otra más adecuada, para poder separar la parte
real. Para esto se toma el inverso de z con respecto al cı́rculo |w| = t, que
está dado por
t2
.
z
A este punto lo denotamos por z-. Claramente, este punto es el inverso, ya
que |z| |z | = t 2 , véase la Figura 2.26. Obsérvese que z ∈ Int(γ t ) si y sólo
si z- ∈ Ext(γ t ). Por lo tanto ∀ z ∈ Int(γ t ), se tiene
)
f (w)
1
dw = 0;
2 π i γ t w − zya que dicha función es holomorfa en una región que contiene a Int(γ t ).
Usando esta observación obtenemos la siguiente expresión para f (z)
)
1
1
1
f (z) =
−
dw.
f (w)
2 π i γt
w−z
w − z-
134
2.5. Principio del máximo, lema de Schwarz y funciones armónicas
Como |w| = t, podemos simplificar el integrando
1
1
1
−
=
−
w−z
w − zw−z
=
1
w−
2
t
z
=
z
1
+
w−z
w (w − z)
|w| 2 − w z + w z − |z| 2
|w| 2 − |z| 2
=
.
w |w − z| 2
w |w − z| 2
Obteniéndose
f (z) =
1
2πi
)
γt
f (w) (|w| 2 − |z| 2 )
dw.
w |w − z| 2
(2.9)
Parametrizando γ t (θ) = t e i θ , θ ∈ [0, 2 π], si z = ρ e i ϕ , se tiene
) 2 π i θ 2
i ϕ
f t e (t − ρ 2 ) i t e i θ
1
f ρe
dθ
=
2πi 0
t e i θ |t e i θ − ρ e i ϕ | 2
) 2π
f t e i θ (t 2 − ρ 2 )
1
=
dθ.
2π 0
t 2 − ρ t (e i (θ−ϕ) + e i (ϕ−θ) ) + ρ 2
Al tomar las partes reales de esta última expresión, casi se obtiene la fórmula
de Poisson
) 2π
i ϕ
u t e i θ (t 2 − ρ 2 )
1
u ρe
dθ.
(2.10)
=
2π 0
t 2 + ρ 2 − 2 t ρ cos (θ − ϕ)
El problema es que se necesita sustituir el cı́rculo γ t por la frontera del disco
D(0, r), para ello se usa un argumento de continuidad uniforme.
Manteniendo ρ y ϕ fijos, la fórmula se cumple ∀ t, tal que ρ < t < r.
También, u es continua en D (0, r) y el denominador del integrando no se
anula (si t > ρ), ya que es mayor o igual a
t 2 + ρ 2 − 2 ρ t = (t − ρ) 2 > 0.
Se concluye que si ρ y ϕ son fijos, la función
u t e i θ (t 2 − ρ 2 )
g(θ, t) = 2
t + ρ 2 − 2 t ρ cos (θ − ϕ)
2. Integración
135
es continua en el compacto
#
"
r+ρ
tr ,
(θ, t) 0 θ 2 π,
2
y por lo tanto uniformemente continua.
En particular, si se toma una sucesión t n → r, n ∈ N, se sigue que dado
> 0 existe δ > 0, tal que si |t n − r| < δ, se tiene
|g (θ, t n ) − g (θ, r)| <
∀ θ ∈ [0, 2 π] .
Por consiguiente, escribiendo g (θ, t n ) = g n (θ) , se sigue que las funciones
g n convergen uniformemente en θ a g r (θ) = g (θ, r) , por lo que
) 2π
) 2π
1
1
g n (θ) dθ −→
g r (θ) dθ.
2π 0
2π 0
Esto se sigue del resultado equivalente al Teorema 3.1.13 para funciones reales
de variable real. La pruebas de ambos resultados (caso real y caso complejo)
son casi idénticas. Alternativamente, una prueba para el caso real se puede
consultar en [16] p. 162.
Finalmente, como todas las integrales de la sucesión son la misma, a saber
u (ρ e i ϕ ) , se sigue la fórmula de Poisson.
La fórmula de Poisson resuelve el problema de Dirichlet en el disco abierto
D(0, r), esto es, dada u 0 : {|z| = r} → R continua, la solución se obtiene
al definir
)
i ϕ
u 0 (r e i θ )
r2 − ρ2 2π
u ρe
dθ,
=
2π
r 2 − 2 r ρ cos(θ − ϕ) + ρ 2
0
si ρ < r y u (r e i ϕ ) = u 0 (r e i ϕ ). Resulta que u es continua en D(0, r), y
es armónica en D(0, r). La prueba de la continuidad no es simple, ésta se
puede derivar de [1] pp. 167-168. Sin embargo, podemos probar ahora que la
solución es armónica en el interior del disco, para esto necesitamos primero
un lema.
Lema 2.5.13 La fórmula de Poisson se puede reescribir como
) 2π
w+z
1
u 0 (w) dθ,
Re
u(z) =
2π 0
w−z
donde w = r e i θ .
136
2.5. Principio del máximo, lema de Schwarz y funciones armónicas
Demostración. En la prueba de la fórmula de Poisson (2.9) y (2.10) se
mostró que si w = r e i θ , entonces
) 2π 2
|w| − |z| 2
1
u (z) =
u 0 (w) dθ.
2π 0
|w − z| 2
Esto se probó primero para w = t e i θ , t < r y luego mediante convergencia
uniforme para w = r e i θ . En consecuencia, el lema se sigue de las siguientes
identidades
.
/
|w| 2 − |z| 2
w z − |z| 2 + |w| 2 − z w
1 |w| 2 − w z + w z − |z| 2
=
+
2
|w − z| 2
|w − z|2
|w − z|2
1
w
z
z
w
=
+
+
+
2 w−z
w−z
w−z
w−z
1 w+z
w+z
w+z
=
+
.
= Re
2 w−z
w−z
w−z
Volviendo a la solución del problema de Dirichlet para el disco, escribiendo
ρ e i ϕ = z, se sigue del lema que
) 2π
1
w+z
u (z) =
u 0 (w) dθ
Re
2π 0
w−z
) 2π
1
w+z
u 0 (w) dθ
= Re
2π 0
w−z
)
1
w + z u 0 (w)
= Re
dw .
2 π i |w|=r
w−z
w
Finalmente, la función
)
1
G (z) =
2 π i |w|=r
u 0 (w)
w−z
1
dw +
2πi
)
|w|=r
z u 0 (w)
w (w − z)
dw
es analı́tica C ∞ en C − {|w| = r}, ya que es la suma de una integral de tipo
Cauchy con el producto de la función idéntica con otra integral de ese tipo.
Por lo que la función u es armónica en el interior del disco {z |z| < r}.
2. Integración
137
La solución al problema de Dirichlet en el disco D(0, r) resuelve también
el problema para otras regiones conformemente equivalentes, ya que usando
la biyección conforme se puede jalar la solución a estos otros conjuntos. Cf.
[12] p. 347.
EJERCICIOS 2.5
1. Encuentre el valor máximo de la función z → | sen z| en [0, 1] × [−1, 1]
y diga en qué punto (o puntos) se alcanza.
2. Encuentre, integrando parciales, la función armónica conjugada de la función u(x + i y) = cos x cosh y.
3. Encuentre, integrando parciales, la función armónica conjugada de la función u(x + i y) = 14 x y + 2 y.
4. Calcule el valor máximo y mı́nimo de la función u(x + iy) = 2(x 2 − y 2 ) + x
en el conjunto [−2, 1] × [0, 1], y diga en qué punto (o puntos) se alcanzan
estos valores.
5. Sea f una función holomorfa en Δ = {z | |z| < 1}, tal que |f (z)| = 3
para toda z, demuestre que esta función es constante.
6. Sea A una región acotada y f, g funciones continuas de A en los complejos. Supóngase también que estas funciones son holomorfas en la región y
que coinciden en la frontera; pruebe que son iguales.
7. Demuestre que la función u(x, y) = x 3 − 3 x y 2 es armónica en el plano
complejo.
8. Pruebe que no existe una función holomorfa f : Δ → Δ, tal que f (0) = 0
y f (z) = i, para alguna z ∈ Δ.
9. El teorema del mapeo de Riemann establece que si A es una región simplemente conexa del plano complejo, y distinta de éste, entonces A es conformemente equivalente a Δ. Más aún, si f : A → Δ es una biyección
conforme, tal que manda un punto z 0 ∈ A al origen y f (z 0 ) > 0, entonces
f es única. Demuestre esta última afirmación.
Capı́tulo 3
Series y aplicaciones
En este capı́tulo veremos que la analiticidad de una función se puede definir
en términos de una serie de potencias convergente. Se desarrollarán los importantes teoremas de Weierstrass, Taylor, Laurent y del residuo. Al final
se aplica este último resultado para calcular integrales reales impropias y
trigonométricas.
3.1.
Fundamentos y teorema de Weierstrass
Recordamos del primer capı́tulo que una sucesión compleja z n , n ∈ N, converge a z, si ∀ > 0 ∃ N, tal que si n > N , entonces |z n − z| < .
0
Definición 32 Se dice que la serie infinita ∞
k=1 a k (de números complejos)
converge a s si0la sucesión de sumas parciales (es decir, la sucesión con
términos s n = nk=1 a k ) converge a s.
Se escribirá
∞
a k = s,
o simplemente
a k = s.
k=1
Se mencionó también que el lı́mite de una sucesión es único y que una
sucesión es convergente si y sólo si es de Cauchy. En el caso de las series, esto
se traduce en el importante criterio de convergencia que sigue.
0∞
Proposición 3.1.1 (Criterio de Cauchy) La serie
k=1 a k converge si
y sólo si ∀ > 0 ∃ N, tal que si n ≥ N, se tiene
n+p
a k <
∀ p = 1, 2, 3, . . . .
k = n+1
139
3.1. Fundamentos y teorema de Weierstrass
140
En particular, para p = 1 se obtiene un criterio útil de divergencia.
0∞
Corolario 3.1.2 Si
k=1 a k converge, entonces a k → 0.
0∞ 1
El recı́proco del corolario no es cierto: la serie armónica
n=1 n diverge
(véase la Proposición 3.1.6), sin embargo n1 → 0, cuando n → ∞.
Definición
0∞ 33 Se dice que la serie
serie
k=1 |a k | converge.
Proposición 3.1.3 Si la serie
converge.
0∞
k=1
0∞
k=1
a k converge absolutamente si la
a k converge absolutamente, entonces
Demostración. Aplicando el criterio de Cauchy, dada > 0 existe N, tal
que si n > N , entonces
n+p
n+p
≤
a
|a k | <
∀ p ∈ N.
k
k = n+1
k = n+1
Usando de nuevo el criterio de Cauchy, esto implica que
0∞
k=1
a k converge.
0
Obsérvese la utilidad de esta proposición, ya que la serie ∞
k=1 |a k | es real
y se pueden aplicar criterios de convergencia para series reales. A continuación
probamos varios de estos criterios a manera de repaso de los cursos de cálculo.
Proposición 3.1.4 La serie geométrica real
0∞
k=0
r k converge a
1
,
1−r
si |r| < 1, y diverge si |r| ≥ 1.
Demostración. Escribiendo
s n = 1 + r + · · · + r n,
se sigue que r s n = r + r 2 + · · · + r n+1 ,
por lo cual s n − r s n = 1 − r n+1 , y
sn =
1 − r n+1
.
1−r
3. Series y aplicaciones
141
Si |r| < 1, como r n+1 = ± e (n+1) log |r| → 0, cuando n → ∞, se tiene
s n −→
1
.
1−r
Por otra parte, si |r| > 1, entonces |r n+1 | → ∞, y la serie diverge. Si r = 1,
s n = n + 1 → ∞, y la serie también diverge. Finalmente, si r = −1, s n = 0
si n es impar y s n = 1 si n es par, por lo que la serie no converge.
Proposición
3.1.5 (Prueba de la comparación de series reales) Si la
0∞
serie
b k ≥ 0, y 0 ≤ a k ≤ b k , ∀ k ∈ N, entonces
k=1 b k converge, donde 0
0∞
∞
a
también
converge.
Si
k
k=1
k=1 c k diverge, y 0 ≤ c k ≤ d k , se sigue
0∞
que la serie
d
también
diverge.
k
k=1
0∞
Demostración. Aplicando el criterio de Cauchy, la serie
k=1 a k converge, ya que a k + · · · + a k+p ≤ b k + · · · + b k+p . Asimismo, si M > 0 existe
0j
0j
j ∈ N, tal que
creciente
k=1 d k ≥
k=1 c k ≥ M (ya que una sucesión 0
∞
de números positivos diverge si y sólo si no es acotada), por lo que
k=1 d k
diverge.
Proposición 3.1.6 (Prueba de las series p reales) La serie
converge si p > 1, y diverge si p ≤ 1.
0∞
n=1
n−p
Demostración. Si p ≤ 1, entonces n−1 ≤ n−p (puesto que n x es crecien0∞
0∞ −p
−1
diverge si la serie armónica
es diverte), por lo que
n=1 n
n=1 n
gente. Esta última diverge, ya que como
1
1
2
1 1
+
3 4
1 1 1 1
+ + +
5 6 7 8
..
.
2n
1
1
1
+ n
+ · · · + n+1
+1 2 +2
2
≥ 1
1
≥
2
1 1
1
≥ + =
4 4
2
1 1 1 1
1
≥ + + + =
8 8 8 8
2
..
.
1
1
n
≥ 2
= ,
n+1
2
2
3.1. Fundamentos y teorema de Weierstrass
142
0∞ 1
al sumar las desigualdades, se sigue que
n=1 n diverge a ∞.
Ahora, si p > 1, como x p = e (log x) p es creciente
1
1
1
1
1
1
1
s 2 k −1 = p +
+
+
+
+
+
1
2p 3p
4p 5p 6p 7p
1
1
1
+··· +
+
+
·
·
·
+
(2 k−1 ) p (2 k−1 + 1) p
(2 k − 1) p
2
2 k−1
1
1
≤ 1 + p + · · · + k−1 p = 1 + p −1 + · · · + k−1 p k−1 −1
2
(2 )
2 2
(2 ) (2 )
1
1
1
1
= 1 + p−1 + p−1 2 + · · · + p−1 k−1 <
1 .
2
(2 )
(2 )
1 − 2 p−1
log
1
(p−1)
2
La última desigualdad se sigue
que (1/2) p−1 = e
< 1. Por lo
0ya
∞
−p
n
están
acotadas
superiormente.
En
tanto las sumas
parciales
de
n=1
0∞
−p
consecuencia,
converge.
n=1 n
0∞
Nótese que si
serie de números positivos decreciente,
k=1 a k es una
0∞
0∞
j
es decir, a n+1 ≤ a n ∀ n, y si
j=1 2 a 2 j converge, entonces
k=1 a k
converge también. A este criterio se le llama prueba de la condensación de
Cauchy, esencialmente la prueba se sigue de las siguientes desigualdades:
a 1 ≤ a 1,
a 2 + a 3 ≤ 2 a 2,
a 4 + a 5 + a 6 + a 7 ≤ 2 2 a 4,
etcétera.
Proposición 3.1.7 (Prueba de la razón para series reales) Supóngase
que
a n+1 lı́m n→∞ a n 0∞
existe y es menor que 1, entonces
k=1 a k converge absolutamente. Si el
lı́mite es mayor que 1 la serie diverge, y si el lı́mite es 1 puede ocurrir
cualquiera de las dos cosas.
Demostración. Sea
a n+1 .
r = lı́m n→∞
an Si r < 1, tomando r tal que r < r < 1, existe N ∈ N, tal que si n ≥ N
a n+1 an < r .
3. Series y aplicaciones
143
0
Esto implica que0|a N +p | < |a N | (r ) p , y por comparación ∞
p=1 |a N +p | con∞
verge, es decir,
a
converge
absolutamente.
k
k=1
Si r > 1, sea r tal que r > r > 1, de nuevo existe N ∈ N, tal que si
n>N
a n+1 an > r
p
y |a N +p | > |a N | (r )0
, por lo que |a N +p | no converge a 0, cuando p → ∞,
∞
diverge.
y por consiguiente,
k=1 a
0k ∞
0∞
−p
Finalmente, las series
k=1 a k , a k = 1, ∀ k ∈ N, y
n=1 n , p > 1,
divergen y convergen, respectivamente, sin embargo
a n+1
lı́m
= 1 y
n→∞ a n
1
(n + 1) p
lı́m
= lı́m
n→∞
n→∞
1
np
n
n+1
p
= 1.
Proposición 3.1.8 (Prueba de la raı́z para series reales) Supóngase
que
lı́m n |a n |
n→∞
0∞
existe y es igual a r. Entonces, si r < 1 la serie
k=1 a k converge absolutamente, si r > 1 la serie diverge y si el lı́mite es 1 ambas cosas pueden
suceder.
N ∈ N, tal que si
Demostración. Si r < 1, tomando r < r < 1, existe 0
1/n
∞
n
n > N , |a n | < r , es decir, |a n | < (r ) , por lo cual
k=1 a k converge
absolutamente.
Si r > 1, tomando r > r > 1, existe N ∈ N, tal que si n > N , entonces
|a n | 1/n > r , y |a n | > (r ) n , ası́ que lı́m |a n | = 0 y por consiguiente
n→∞
0∞
a
diverge.
k
k=1
0∞ 1
Finalmente, la serie armónica diverge y la serie
n=1 2 converge, pero
n
lı́m
n→∞
n
1
= lı́m
n→∞
n
1
n
1
n
= lı́m
n→∞
e
1
log n
n
= 1,
3.1. Fundamentos y teorema de Weierstrass
144
por la regla de L Hôpital, y
1
n
= lı́m
lı́m
n→∞
n→∞
n2
1
e
1
(log n 2 )
n
= lı́m
n→∞
e
1
2 log n
n
= 1.
Regresamos al contexto de series complejas, a continuación se describen
los resultados básicos sobre convergencia uniforme de sucesiones y series de
funciones complejas de variable compleja.
Definición 34 Sea A ⊂ C y f n : A → C, n ∈ N, una sucesión de funciones.
Se dice que f n → f uniformemente en A, si ∀ > 0 existe N ∈ N, tal que
si n > N , entonces
|f n (z) − f (z)| <
∀ z ∈ A.
Definición 0
35 Sea A ⊂ C y g k : A → C, k ∈ N, una sucesión de funciones.
∞
Se dice que
k=1 g k (z) converge uniformemente a g, si ∀ > 0 existe N,
tal que si n > N , entonces
n
g
(z)
−
g(z)
∀ z ∈ A.
<
k
k=1
f+
x → xn
f
fk
f−
0
1
Figura 3.1: Convergencia uniforme y convergencia no uniforme
La idea intuitiva de convergencia uniforme y no uniforme se puede observar en los ejemplos (de funciones reales) que aparecen en la Figura 3.1. En
3. Series y aplicaciones
145
nuestro contexto de funciones complejas de variable compleja, la convergencia uniforme se puede establecer en términos de sucesiones de Cauchy como
lo muestra el siguiente resultado.
Teorema 3.1.9 (Criterio de Cauchy para convergencia uniforme) Si
A ⊂ C, y f n : A → C, n ∈ N, g k : A → C, k ∈ N, son sucesiones de
funciones. Entonces
i) f n (z) converge uniformemente en A si y sólo si ∀ > 0 existe N ∈ N,
tal que si n > N , se tiene |f n (z) − f n+p (z)| < , ∀ z ∈ A y ∀ p ∈ N;
0∞
ii) la serie de funciones
en A si y
k=1 g k (z) converge uniformemente
0n+p
sólo si ∀ > 0 existe N ∈ N, tal que si n > N ,
k=n+1 g k (z) < ,
∀ z ∈ A y ∀ p ∈ N.
Demostración. Basta probar la primera afirmación, ya que la0segunda es
consecuencia de aplicar dicho resultado a las sumas parciales de ∞
k=1 g k (z).
La prueba de la necesidad es casi inmediata, si f n → f uniformemente
en A, ∀ > 0 existe N ∈ N, tal que si n > N , se tiene
|f n (z) − f (z)| < /2 ∀ z ∈ A, lo que implica
|f n (z) − f n+p (z)| ≤ |f n (z) − f (z)| + |f (z) − f n+p (z)| <
∀ z ∈ A.
Para probar la suficiencia, nótese que si el criterio de Cauchy es cierto,
para cada z ∈ A existe lı́m n→∞ f n (z), cuando n → ∞, que denotamos por
f (z). Este lı́mite siempre existe, ya que los complejos constituyen un campo
completo, es decir, cualquier sucesión de Cauchy converge.
Ahora, dada > 0 existe N ∈ N, tal que si n > N , entonces
|f n (z) − f n+p (z)| < /2 ∀ z ∈ A y ∀ p ∈ N.
También, ∀ z ∈ A existe p z ∈ N, tal que
|f (z) − f N +p z (z)| < /2,
ya que f (z) = lı́m n→∞ f n (z). Por lo cual, si n > N y z ∈ A, se tiene
|f (z) − f n (z)| ≤ |f (z) − f N +p z (z)| + |f N +p z (z) − f n (z)| < ,
y f n → f uniformemente en A.
3.1. Fundamentos y teorema de Weierstrass
146
Como se mostró en el capı́tulo anterior, la convergencia uniforme es útil
en la variable compleja. El siguiente resultado, que se generaliza a un contexto más amplio, es otra instancia donde se constata la importancia de la
convergencia uniforme.
Teorema 3.1.10 Sean f n : A → C, n ∈ N, una sucesión de funciones continuas que convergen uniformemente en A ⊂ C a una función f , entonces
f es continua.
Más aún, si g k : A → C, k ∈ N, son funciones continuas y la
0∞
serie
g
(z)
converge uniformemente en A a una función g, entonces
k
k=1
g es continua.
Demostración. Como la suma finita de funciones continuas es continua,
basta demostrar el teorema para sucesiones. Para esto, dada > 0 y un
punto z 0 ∈ A, sea N ∈ N tal que
|f N (z) − f (z)| < /3 ∀ z ∈ A.
También, como f N es continua en z 0 existe δ > 0, tal que si |z − z 0 | < δ,
entonces
|f N (z) − f N (z 0 )| < /3,
Por consiguiente, si |z − z 0 | < δ,
|f (z) − f (z 0 )| ≤ |f (z) − f N (z)|+|f N (z) − f N (z 0 )|+|f N (z 0 ) − f (z 0 )| < .
Probablemente el criterio más útil para detectar convergencia uniforme
es el que establece el siguiente resultado.
Teorema 3.1.11 (Prueba M de Weierstrass) Sea A ⊂ C y f n : A → C,
n ∈ N, una sucesión de funciones, supóngase también que existe una sucesión
de reales no negativos M n , n ∈ N, que satisfacen
i) |f n (z)| ≤ M n
ii)
∞
∀ z ∈ A,
M n converge.
n=1
Entonces,
0∞
k=1
f k (z) converge de manera uniforme y absoluta en A.
3. Series y aplicaciones
147
0∞
> 0 existe N ∈ N, tal
Demostraci
ón. Como
n=1 M n converge, dada
0n+p
que
M
<
,
∀
n
>
N
y
∀
p
∈
N,
por
lo
cual
k
k=n+1
n+p
f k (z) ≤
k = n+1
n+p
|f k (z)| ≤
k = n+1
n+p
∀ z ∈ A.
Mk <
k = n+1
Es decir, las hipótesis0del criterio de Cauchy
se aplican (Proposición 3.1.9),
0∞
∞
por lo que las series
|f
(z)|
y
f
(z) convergen uniformemente
k
k
k=1
k=1
en A.
A continuación exhibimos un ejemplo donde se aplica la prueba M de
Weierstrass. Considérese la serie
∞
zn
f (z) =
,
n
n=1
se afirma que f (z) converge uniforme y absolutamente en
D(0, r) = z ∈ C |z| ≤ r , r < 1.
Escribiendo f n (z) = z n /n, se tiene que en dicho disco cerrado
|f n (z)| =
rn
|z n |
≤
≤ r n.
n
n
Denotando r n = M n , se sigue la afirmación, ya que
geométrica convergente.
0∞
k=1
M k es una serie
Es interesante observar que esta función f (z), en contraste, no 0
converge
∞
xn
uniformemente en Δ = {z ∈ C | |z| < 1}. Si ası́ fuera, la serie
n=1 n
convergerı́a uniformemente en [0, 1). Esto significa que para toda > 0
existe N ∈ N, tal que si n ≥ N , se tiene
x n+1
x n+p
xn
+
+ ··· +
<
n
n+1
n+p
∀ x ∈ [0, 1) y ∀ p ∈ N.
Ahora, como la serie armónica diverge, existe p ∈ N, tal que
1
1
+ ··· +
> 2 .
N
N +p
(3.1)
3.1. Fundamentos y teorema de Weierstrass
148
También existe x ∈ [0, 1), tal que x N +p > 12 (esto se sigue de la continuidad
de la función x → x m y el teorema del valor intermedio real). Juntando esta
información se obtiene
x N +p
1
xN
1
+ ··· +
> x N +p
+ ··· +
>
N
N +p
N
N +p
(x n decrece cuando n → ∞), lo cual contradice (3.1).
Sin embargo, obsérvese que la función f (z) es continua en Δ, puesto que
∀ z ∈ Δ existe r > 0, tal que z ∈ D(0, r), y en dicho disco hay convergencia
uniforme; por lo que en virtud del Teorema 3.1.10, f es continua en una
vecindad de z y por ende en Δ. De hecho, como veremos a continuación,
esta función es holomorfa en el disco unitario.
Es fácil demostrar que una sucesión de funciones complejas definidas en
una región A de C converge a una función f uniformemente en discos cerrados de A si y sólo si converge uniformemente en compactos de A (ejercicio).
Bajo estas hipótesis se dice que la sucesión converge normalmente en A. El
siguiente teorema es uno de los resultados más importantes de la variable
compleja.
Teorema 3.1.12 (Weierstrass) Sea A una región en C.
i) Si f n , n ∈ N, es una sucesión de funciones analı́ticas en A, tales
que f n → f normalmente en A, entonces f es analı́tica. Además,
f n → f normalmente en A.
ii) Si g k , k ∈
es una sucesión de funciones analı́ticas en A, tales que
0N,
∞
la serie
A, a una función g,
k=1 g k (z) converge normalmente en 0
entonces g es analı́tica en A. Además, g (z) = ∞
k=1 g k (z) normalmente en A.
Esta propiedad no es cierta en el caso real, pues convergencia uniforme no
implica que la sucesión de las derivadas converja a la derivada de la función
lı́mite, por ejemplo, si
f n (x) =
sen(n x)
√
,
n
se tiene que
f (x) = lı́m f n (x) = 0,
n→∞
y es fácil ver que la convergencia es uniforme en R. Sin embargo,
√
f n (x) = n cos(n x),
3. Series y aplicaciones
149
√
y f n (0) = n no converge a f (0) = 0. Para probar el teorema de Weierstrass se necesita un resultado adicional que establece un principio fundamental: bajo la hipótesis de convergencia uniforme, se pueden intercambiar los
signos de lı́mite e integral.
*
*
Teorema 3.1.13 ( lı́m = lı́m ) Sea γ : [a, b] → A una curva de clase
C 1 por tramos, donde A es una región en C.
i) Si f n , n ∈ N, es una sucesión de funciones continuas definidas en γ
que convergen uniformemente a una función f en dicha curva, entonces
)
) )
lı́m
fn =
f.
lı́m f n =
n→∞
γ
γ
n→∞
γ
ii) Si g k , k ∈0N, es una sucesión de funciones continuas definidas en γ,
∞
tales que
k=1 g k (z) converge uniformemente en γ, entonces
) )
∞
∞
g k (z) =
g k (z) ,
γ
k=1
k=1
γ
es decir, la serie se puede integrar término a término.
Demostración. Dada
> 0 existe N , tal que si n > N ,
|f n (z) − f (z)| <
ası́ que
∀ z ∈ γ,
)
)
) f n − f = (f n − f ) <
γ
γ
(γ),
γ
por lo cual se sigue la primera parte del teorema. La prueba de la segunda
parte se obtiene al aplicar i) a la sucesión de sumas parciales, ya que la
integral es distributiva con respecto a una suma finita de funciones.
Demostración. [Del teorema de Weierstrass] Solo es necesario demostrar
i), ya que ii) se sigue de aplicar i) a la sucesión de sumas parciales, puesto
que la derivada es distributiva con respecto a una suma finita de funciones.
Primero demostraremos que f es holomorfa en A. Dada la convergencia
uniforme esta función es continua. Sea z 0 ∈ A y r ∈ R+ , tal que D(z 0 , r)
esté contenido en A. Como D(z 0 , r) es simplemente conexo, se sigue del
150
3.1. Fundamentos y teorema de Weierstrass
*
teorema de Cauchy que γ f n = 0, para cualquier curva cerrada γ de clase
C 1 por tramos en D(z 0 , r), y ∀ n ∈ N. Ahora,
como f n → f uniformemente
*
en γ, se sigue del Teorema 3.1.13 que γ f = 0. Siendo esto cierto para
cualquier curva con estas especificaciones, el teorema de Morera implica que
f es holomorfa en D(z 0 , r).
γ
t
z0 r
w
A
Figura 3.2: Prueba del teorema de Weierstrass
Falta demostrar que f n → f uniformemente en discos cerrados. Hay que
probar que dados > 0 y D(z 0 , r) ⊂ A, existe N ∈ N tal que si n > N ,
|f n (z) − f (z)| <
∀ z ∈ D(z 0 , r).
Usando el Lema 2.3.11 se puede encontrar t > r, tal que D(z 0 , t) ⊂ A. Si
se denota por γ la frontera del disco D(z 0 , t), usando la fórmula integral de
Cauchy se tiene
)
1
f n (w) − f (w)
f n (z) − f (z) =
dw ∀ z ∈ D(z 0 , r).
(3.2)
2 πi γ
(w − z) 2
Obsérvese que si w ∈ γ y z ∈ D(z 0 , r), |w − z| ≥ t−r (véase la Figura 3.2).
También, por la convergencia uniforme en discos cerrados, dado un número
μ > 0, existe N ∈ N, tal que si n > N , se tiene
|f n (u) − f (u)| < μ ∀ u ∈ D(z 0 , t).
3. Series y aplicaciones
151
Por consiguiente, se sigue de (3.2) que para toda z ∈ D(z 0 , r), si n > N , se
tiene
μ
1
μt
|f n (z) − f (z)| ≤
2πt =
.
2
2 π (t − r)
(t − r) 2
Finalmente, escribiendo
=
μt
,
(t − r) 2
y despejando μ se sigue el resultado.
Obsérvese que aplicando el teorema de Weierstrass repetidas veces se obtiene que fnk → f k uniformemente en discos cerrados. Nótese que el teorema
de Weierstrass
0∞ non supone convergencia uniforme en la región A. Por ejemplo,
la serie
n=1 z /n converge en Δ, pero no uniformemente; sin embargo,
como converge uniformemente en D(0, r), r < 1, converge uniformemente en
cualquier
cerrado de Δ, por lo cual se aplica el teorema0
de Weierstrass
0∞ disco
∞
n
n−1
y
z
/n
es
holomorfa
en
Δ.
Además
su
derivada
es
, la
n=1
n=1 z
cual converge uniformemente en discos cerrados de Δ.
En algunos casos, el teorema de Weierstrass permite detectar si una serie
de funciones representa una función holomorfa, por ejemplo, la función
f (z) =
∞
zn
n3
n=1
es
analı́tica en Δ. Esto se sigue de dicho teorema, ya que si M n = 1/n 3 ,
0∞
n=1 M n converge y
n
z < 1 ∀ z ∈ Δ,
n3 n3
0∞ z n
converge en forma absoluta y uniforme en Δ. Más aún
por lo que
n=1
3
n
∞
∞
n z n−1
z n−1
=
.
f (z) =
n3
n2
n=1
n=1
El teorema de Weierstrass establece la analiticidad de una función muy
importante en la teorı́a de los números, a saber, la función ζ (zeta) de
Riemann definida por
∞
n−z ,
ζ(z) =
n=1
3.1. Fundamentos y teorema de Weierstrass
152
donde n−z = e−z log n y log denota la rama principal de logaritmo. Mostramos
que esta función es holomorfa en la región
A = {z ∈ C | Re z > 1} .
D
1
Figura 3.3: Dominio de analiticidad de la funcion zeta de Riemann
Para probar esto, se toma D un disco cerrado en A y
D a la recta Re z = 1, véase la Figura 3.3. Si z = x + i y,
−z n = e−x log n = n−x .
la distancia de
Ahora, si z ∈ D, x ≥ 1 + y |n−z | = n−x ≤ n−(1+) , puesto que
0∞la función
t → n t = e t log n es creciente. Escribiendo M n = n−(1+) ,
n=1 M n es
una serie p convergente,
por
lo
cual
usando
la
prueba
M
de
Weierstrass,
0∞
−z
se tiene que
converge en forma absoluta y uniforme en D. Se
n=1 n
sigue entonces del teorema de Weierstrass que la función ζ de Riemann es
holomorfa en A, Más aún
ζ (z) = −
∞
(log n) n−z .
n=1
Además, esta última serie converge normalmente en A.
3. Series y aplicaciones
153
0
1
D
Figura 3.4: El dominio de analiticidad de la serie geométrica compleja es Δ
Terminamos esta sección con un ejemplo. Calculamos
) ∞
n
dz.
z
|z| = 3/4
n = −2
Para encontrar el valor de la integral se toma D un disco cerrado en Δ, la
, véase la Figura 3.4. Como
distancia0de D al cı́rculo ∂Δ y M n = (1 − ) n0
∞
∞
n
la serie
M
es
convergente,
se
sigue
que
converge en forma
n
n=0
n=0 z
absoluta y0
uniforme en D. Aplicando entonces el teorema de Weierstrass se
∞
n
tiene que
es holomorfa en Δ, y por lo tanto
n=0 z
) )
)
∞
∞
dz
+
z n dz =
z n dz = 2 π i.
z
n = −2
n=0
|z| = 3/4
|z| = 3/4
|z| = 3/4
EJERCICIOS 3.1
1. Sean f n : [0, 1] → R, n ∈ N, las funciones dadas por f n (x) = x n , demuestre que estas funciones convergen puntualmente pero no uniformemente.
2. Demuestre que una sucesión de funciones complejas definidas en una región
A de C converge a una función f uniformemente en discos cerrados de A
si y sólo si converge uniformemente en compactos de A.
3.2. Teorema de Taylor
154
0
1
3. Demuestre que g(z) = ∞
n=0 (z−1) n es una función holomorfa en la región
{z ∈ C |z − 1| > 1}, calcule su derivada.
4. Pruebe que la sucesión z n = (−i) n + n1 , n ∈ N, no converge y que en
cambio z n = (2 + i) nnn! , n ∈ N, sı́ es convergente.
0∞
−n
cos (n z), demuestre que esta función es holomorfa
5. Sea g(z) =
n=1 e
en la región {z ∈ C | − 1 < Im z < 1}. Sugerencia: en discos cerrados,
acotar superiormente las funciones de la serie con los términos e−n , donde
es la distancia del correspondiente disco a la frontera de la región.
0
3
−z
es holomorfa
6. Explique por qué la función g(z) = ∞
n=1 7 i (log n) n
en {z ∈ C Re z > 1}.
0∞ i n
7. Demuestre que la serie
n=1 e n converge.
0∞
zn
8. Sea g(z) = n=1 2 i 2n , demuestre que esta función es holomorfa en
z +1
el abierto {z ∈ C |z| = 1}. Sugerencia: para el complemento del disco
unitario acotar superiormente en discos cerrados los términos de la serie por
funciones de la forma zkn , donde k es un real positivo apropiado al disco en
cuestión.
0
1
9. Sea g(z) = ∞
n=1 (2 − 3 i) n ! z n , pruebe que esta función es holomorfa en
*
C − {0}. Calcule la integral |z|=2 g.
0∞ i n
10. Pruebe que la serie
n=1 n converge, pero no absolutamente. Sugerencia: usar el criterio de las series alternantes de los cursos de cálculo.
3.2.
Teorema de Taylor
En esta sección demostraremos que f es analı́tica si y sólo si f se puede
expresar localmente como una serie de potencias, llamada serie de Taylor, la
cual es de la forma
∞
f n (z 0 )
(z − z 0 ) n .
f (z) =
n
!
n=0
Esta propiedad es otra instancia donde el cálculo real es distinto del complejo. Por ejemplo, la función
$ −2
e−x
si x = 0,
f (x) =
0
si x = 0,
3. Series y aplicaciones
155
es de clase C ∞ real y f k (0) = 0, ∀ k ∈ N (ejercicio); sin embargo, f no es
idénticamente 0 cerca de 0, por lo que f no tiene una expansión en series
de Taylor alrededor del origen.
Definición 36 Una serie de potencias compleja es una serie de la forma
∞
a n (z − z 0 ) n ,
donde z 0 ∈ C
y an ∈ C
∀ n.
n=0
El resultado que sigue es muy importante, esencialmente dice que si una
serie de potencias converge en un punto especı́fico, entonces converge hacia
dentro de dicho punto de manera normal y absoluta.
Lema 3.2.1 (Abel) Si para algún complejo z 1 la serie de potencias
∞
a n (z − z 0 ) n
n=0
converge, entonces dicha serie converge de manera normal y absoluta en
D (z 0 , |z 1 − z 0 |).
Demostración. Sea r 1 = |z 1 −z 0 |, se tiene que como |a n | r1n → 0, cuando
n → ∞, dicha sucesión está acotada, digamos por un real positivo M . Ahora,
si r < r 1 , basta probar que la serie converge de manera absoluta y uniforme
en D(z 0 , r), ya que cualquier disco cerrado en D(z 0 , r 1 ) está contenido en
uno de estos otros discos centrados en z 0 . Para probar esto sea
Mn = M
como
r
r1
< 1,
0∞
n=0
r
r1
n
,
M n converge. Además, en D(z 0 , r),
|a n (z − z 0 ) n | ≤ |a n | r n = |a n |
r n r1n
≤ M
r1n
r
r1
n
por lo que la prueba M de Weierstrass implica el resultado.
= M n,
El siguiente teorema establece un resultado fundamental: cualquier serie
de potencias converge dentro de un cı́rculo y diverge fuera de éste.
3.2. Teorema de Taylor
156
0
n
Teorema 3.2.2 (Radio de convergencia) Sea ∞
n=0 a n (z−z 0 ) una serie de potencias, entonces existe un número R ∈ [0, ∞], llamado radio de
convergencia, tal que si |z − z 0 | < R la serie converge, y si |z − z 0 | > R la
serie diverge. La convergencia es normal y absoluta en D(z 0 , R).
Al cı́rculo |z − z 0 | = R se le llama cı́rculo de convergencia, y al número R
se le llama radio de convergencia.
Demostración. Sea
∞
$
1
n
R = sup r ≥ 0 |a n | r
converge .
n=0
Se afirma que R es el radio de convergencia.
0∞
n
tal que r < r 1 < R y
Dada r < R, existe r 1 0
n=0 |a n | r1 converge,
∞
n
esto quiere decir que la serie n=0 a n (z 0 +r 1 −z 0 ) converge absolutamente
y por0lo tanto también es convergente. Se sigue entonces del lema de Abel
∞
n
que
converge en forma
absoluta y uniforme en D(z 0 , r).
n=0 a n (z − z 0 )
0
n
Ahora, si |z 2 − z 0 | > R y la serie ∞
n=0 a n (z 2 −z 0 ) converge. Escribiendo r 2 = |z 2 − z 0 | y tomando R < s < r 2 , se sigue del lema de Abel que
0
∞
n
en D(z 0 , s). En
n=0 a n (z − z 0 ) converge de manera uniforme
0 y absoluta
n
|a
|
s
converge,
lo cual
particular, si z = z 0 + s, se tiene que la serie ∞
n
n=0
contradice la definición de R. Finalmente, como la convergencia es uniforme
en D(z 0 , r) ∀ r < R, también lo es en cualquier disco cerrado de D(z 0 , R).
Nótese que el teorema anterior conlleva
por ejemplo,
0∞ mucha información,
n
a
(z
−
3)
converge
en z = 1,
si una serie de potencias de la forma
n
n=0
entonces no puede divergir en z = 4, ya que por el lema de Abel el radio de
convergencia es mayor o igual a 2, por lo que la serie debe ser convergente
para z = 4. También, este resultado del radio de convergencia junto con
el teorema de Weierstrass tienen como corolario casi inmediato el siguiente
hecho.
Teorema 3.2.3 (Las series de potencias son holomorfas) La serie de
potencias
∞
a n (z − z 0 ) n
n=0
es holomorfa en el interior del cı́rculo de convergencia.
3. Series y aplicaciones
157
Demostración. El resultado se sigue de que las funciones a n (z − z 0 ) n son
enteras.
El teorema de Weierstrass permite también derivar término a término,
y expresar los coeficientes de la serie con los valores de las derivadas de la
función en z 0 .
0∞
n
Teorema 3.2.4 (Coeficientes de Taylor) Sea f (z) =
n=0 a n (z−z 0 )
una serie de potencias, R el radio de convergencia y z ∈ D(z 0 , R), entonces
an
f n (z 0 )
=
n!
y f (z) =
∞
n a n (z − z 0 ) n−1 .
n=1
Más aún, el radio de convergencia de esta nueva serie es también R.
A estos coeficientes se les llama de Taylor
Demostración. Por el teorema de Weierstrass,
f (z) =
∞
n a n (z − z 0 ) n−1
∀ z ∈ D(z 0 , R).
n=1
c
0∞
n−1
Si
n
a
(z
−
z
)
converge,
donde
z
∈
D(z
,
R)
, se tendrı́a
n
1
0
1
0
n=1
n−1
que la sucesión n |a n | r1 , n ∈ N, estarı́a acotada, donde r 1 = |z 1 − z 0 |.
Esto implica que la sucesión |a n | r1n , n ∈ N,0
también está acotada Se sigue
∞
n
converge en
entonces de la prueba del lema de Abel que
n=0 a n (z − z 0 )
D(z 0 , r 2 ), donde r1 > r2 > R, lo cual contradice0la definición de R. Por
∞
n−1
consiguiente, el radio de convergencia de la serie
es
n=1 n a n (z − z 0 )
de nuevo R.
Para demostrar la primera parte, se evalúa
serie y sus derivadas en z 0 :
0la
∞
n−2
f (z 0 ) = a 0 , f (z 0 ) = a 1 , como f (z) =
,
n=2 n (n − 1) a n (z − z 0 )
se tiene f (z 0 ) = 2 ! a 2 . Iterando el proceso de derivar la serie de potencias,
inductivamente se sigue que
f k (z) =
∞
n (n − 1) (n − 2) · · · (n − k + 1) a n (z − z 0 ) n−k ,
n=k
y evaluando en z 0 se obtiene f k (z 0 ) = k ! a k .
Los criterios de la razón y de la raı́z reales se pueden adaptar a criterios
para encontrar el radio de convergencia de series de potencias complejas.
3.2. Teorema de Taylor
158
Teorema 3.2.5 (Criterios
de la razón y de la raı́z) Sea R el radio de
0∞
convergencia de
a
(z
− z 0) n.
n
n=0
|a n |
existe, o es ∞, entonces dicho lı́mite es
|a n+1 |
⎧
⎪
⎨1/ρ
n
|a n | existe, o es ∞, entonces R = 0
ii) Si lı́m
n→∞
⎪
⎩
∞
n
donde ρ = lı́m
|a n |
i) Si lı́m
n→∞
R.
si ρ = 0, ∞,
si ρ = ∞,
si ρ = 0,
n→∞
Demostración. Como se vio en la demostración del Teorema 3.2.2, el radio
de convergencia está dado por
$
1
∞
n
R = sup r ≥ 0 |a n | r < ∞ .
n=0
|a n |
n→∞ |a n+1 |
Para probar i) escribimos L = lı́m
y consideramos primero el caso
0∞
n
0 < L < ∞. Aplicamos el criterio de la razón real a la serie
n=0 |a n | r .
Si 0 < r < L, entonces
lı́m
n→∞
|a n+1 | r n+1
r
< 1,
=
n
|a n | r
L
0∞
n
y por lo tanto la serie
converge. En cambio, si L < r, dicho
n| r
n=0 |a
0
∞
n
lı́mite es mayor a 1 y la serie
|a
diverge. Para el caso L = ∞ se
n| r
n=0
tiene que ∀ r
|a n+1 | r n+1
= 0,
(3.3)
lı́m
n→∞
|a n | r n
y la serie converge en todo el plano. En contraste, si L = 0 para cualquier
valor r, el lı́mite en (3.3) es ∞. Por lo tanto, R, el radio de convergencia,
es L en todos los casos.
Para
0∞probar ii)n consideramos primero el caso ρ ∈ (0, ∞). Se tiene que la
converge o diverge, conforme a que
serie
n=0 |a n | r
lı́m
n→∞
n
|a n | r
(3.4)
3. Series y aplicaciones
159
sea menor o mayor que 1, respectivamente. Como lı́mn→∞ n |a n | = ρ, esto
equivale a decir que ρ r sea menor o mayor a 1, esto es, r < 1/ρ, o r > 1/ρ,
por lo que 1/ρ es el radio de convergencia. Si ρ = 0, el lı́mite en (3.4) es 0
∀ r y R = ∞. En cambio, si ρ = ∞, dicho lı́mite es ∞ ∀ r y R = 0. El criterio de la raı́z para series de potencias se puede enunciar de tal
manera que se aplica a cualquier caso.
el radio de conver0∞Especı́ficamente,
n
a
(z
−
z
)
está
dado por 1/ρ,
gencia R de la serie de potencias
0
n=0 n
donde
ρ = lı́m sup n |a n |
y lı́m sup es el supremo de los puntos de acumulación de la sucesión n |a n |,
n ∈ N. Esta fórmula se le atribuye a Hadamard, la prueba queda como
ejercicio para el lector, alternativamente se puede consultar en [1] p. 39. A
continuación 0
mostramos unos ejemplos.
∞
n
tiene radio de convergencia 1, puesto que a n = 1
La serie
n=0 z
∀ n ∈ N, y
|a n |
lı́m
= 1.
n→∞ |a n+1 |
0
zn
Por otra parte, la serie ∞
n=0 n ! tiene radio de convergencia ∞, es decir,
es una función entera, ya que a n = 1/n ! y
|a n |
= lı́m (n + 1) = ∞.
n→∞ |a n+1 |
n→∞
0∞
En contraste, la serie n=0 2 n ! z n tiene radio de convergencia 0, puesto
que
|a n |
1
lı́m
= lı́m
= 0.
n→∞ |a n+1 |
n→∞ n + 1
0∞ z n
Para la serie
n=0 n n aplicamos el criterio de la raı́z, se tiene que
1
1
n
lı́m
= 0,
= lı́m
n
n→∞
n→∞ n
n
lı́m
por lo que el radio de convergencia es ∞, y la serie representa una función
entera.
Se probó que una serie de potencias es una función holomorfa en el disco
de convergencia. El resultado recı́proco también se cumple, es decir, cualquier
función holomorfa es representable localmente por una serie de potencias, por
lo que ambas propiedades son equivalentes.
3.2. Teorema de Taylor
160
Teorema 3.2.6 (Taylor) Sea f holomorfa en una región A, tal que el
disco D(z 0 , r) ⊂ A, entonces ∀ z ∈ D(z 0 , r)
f (z) =
∞
f n (z 0 )
(z − z 0 ) n .
n
!
n=0
A esta serie se le llama serie de Taylor. Por ejemplo, la función exponencial
f (z) = e z es entera y ∀ n ∈ N se tiene f n (z) = e z , en particular f n (0) = 1,
y
∞
zn
∀z ∈ C.
ez =
n!
n=0
Antes de probar el teorema de Taylor se necesita un lema y una observación.
0∞
Lema 3.2.7 La serie de potencias
absoluta en Δ a
n=0
z n converge de manera normal y
1
.
1−z
En particular, la serie converge uniformemente en los cı́rculos |z| = r, donde
r < 1.
Demostración. Como ya se mencionó, el radio de convergencia de esta
serie es 1, por lo tanto se sigue la primera parte del lema. Para calcular
el lı́mite, nótese que la misma prueba usada para la serie geométrica real,
muestra que
1 − z n+1
sn = 1 + z + z 2 + · · · + z n =
,
1−z
por lo cual
lı́m s n = lı́m
n→∞
n→∞
1
1 − z n+1
=
,
1−z
1−z
ya que |z n+1 | = |z| n+1 → 0, cuando n → ∞.
0∞
Por otra parte, nótese que si
n=0 g n (z) converge uniformemente en
un
subconjunto
A
de
C
y
ϕ
:
A
→
C es una función 0
acotada, entonces
0∞
∞
n=0 ϕ(z) g n (z) converge uniformemente en A a ϕ(z)
n=0 g n (z). Esto
es cierto, ya que si |ϕ(z)| < M ∀ z ∈ A, entonces en virtud del criterio de
3. Series y aplicaciones
161
Cauchy para convergencia uniforme se sigue que dada
n > N , se tiene
> 0 ∃ N , tal que si
|ϕ(z) g n (z) + · · · + ϕ(z) g n+p (z))| = |ϕ(z)| |g n (z) + · · · + g n+p (z)|
≤ M
=
M
∀ z ∈ A y ∀ p ∈ N.
Demostración. [Del teorema de Taylor)] Sea t > r tal que D(z 0 , t) ⊂ A,
y γ(θ) = z 0 + t e i θ , 0 ≤ θ ≤ 2 π. Por la fórmula integral de Cauchy, si
z ∈ D(z 0 , t), entonces
1
f (z) =
2πi
)
γ
f (w)
dw.
w−z
Ahora se aplica el truco de Taylor, esto es,
1
1
1
=
=
w−z
w − z 0 − (z − z 0 )
(w − z 0 )
1
z − z0
1−
w − z0
∞
1
=
w − z0 n=0
z − z0
w − z0
n
.
Usando el Lema 3.2.7, se observa que para z fijo esta serie converge uniformez−z 0
mente en γ, ya que al variar w , los valores w−z
están todos en un cı́rculo
0
concéntrico al origen de radio menor a 1, véase la Figura 3.5.
f (w)
, w ∈ γ, está acotada, ya que es continua
Ahora, la función w → w−z
0
en un compacto. Por lo que se sigue de la observación previa a la prueba que
∞
f (w) (z − z 0 ) n
(w − z 0 ) n+1
n=0
converge uniformemente en γ a
⎛
f (w) ⎜
⎜
w − z0 ⎝
⎞
1−
⎟
1
f (w)
⎟
.
=
⎠
z − z0
w−z
w − z0
3.2. Teorema de Taylor
162
La convergencia uniforme permite aplicar el Teorema 3.1.13 y se tiene
)
γ
f (w)
dw =
w−z
) ∞
f (w) (z − z 0 ) n
dw
(w − z 0 ) n+1
γ
n=0
=
∞ )
n=0
γ
f (w) (z − z 0 ) n
dw.
(w − z 0 ) n+1
Finalmente, la fórmula integral de Cauchy para la n-ésima derivada implica
que ∀ z ∈ D(z 0 , t)
1
f (z) =
2πi
)
γ
)
∞
f (w)
(z − z 0 ) n
f (w)
dw =
dw
n+1
w−z
2πi
γ (w − z 0 )
n=0
=
∞
(z − z 0 ) n
n=0
f n (z 0 )
.
n!
En particular, la fórmula de Taylor se cumple ∀ z ∈ D(z 0 , r).
w
z0
z
γ
A
Figura 3.5: Prueba del teorema de Taylor
Obsérvese que se sigue del teorema de Taylor y del Teorema 3.2.3 que si
A es una región en C y f : A → C es una función, entonces f es analı́tica
en A si y sólo si ∀ z 0 ∈ A se tiene que si D(z 0 , r) ⊂ A, entonces f D(z 0 , r)
es representable como una serie de potencias. Nótese que esta afirmación es
3. Series y aplicaciones
163
válida, incluso si D(z 0 , r) no está contenida en la región A (ejercicio). También, es muy importante destacar que la representación en series de Taylor
es única (ya que los coeficientes, llamados de Taylor, están determinados por
las derivadas de la función en el punto z 0 ). A continuación mostramos un
ejemplo.
Usando la rama principal de logaritmo, calculamos la serie de Taylor de
f (z) = log(1 + z) alrededor del 0. Esta función es holomorfa en
C − {z ∈ C | Re z < −1, Im z = 0} ,
por lo que el radio de convergencia es mayor o igual a 1. Ahora,
f (z) =
1
,
z+1
−1
,
(z + 1) 2
f (z) =
f 3 (z) =
2 ! (−1) 2
,
(z + 1) 3
e inductivamente se tiene
f n (z) =
(n − 1) ! (−1) n−1
,
(z + 1) n
ya que derivando esta última expresión se tiene
f n+1 (z) =
n(n − 1) ! (−1)(−1) n−1
n ! (−1) n
=
.
n+1
(z + 1)
(z + 1) n+1
Por lo cual, f (0) = log(1) = 0, f (0) = 1, f (0) = −1 y
f n (0) = (n − 1) ! (−1) n−1 ,
y la serie de Taylor está dada por
log(1 + z) =
∞
∞
(n − 1) ! (−1) n−1 n
zn
z =
.
(−1) n−1
n!
n
n=1
n=1
0
1
Por último, si z = −1, la serie está dada por − ∞
n=0 n , la cual diverge, y
por consiguiente el radio de convergencia es exactamente 1.
Terminamos esta sección mostrando que la series de potencias se pueden
multiplicar de manera similar a los polinomios. Especı́ficamente, si f y g
son funciones analı́ticas en D(z 0 , r) y
f (z) =
∞
n=0
a n (z − z 0 ) ,
n
g(z) =
∞
n=0
b n (z − z 0 ) n
3.2. Teorema de Taylor
164
son sus representaciones en series de potencias, entonces
n
∞
f (z) g(z) =
a k b n−k (z − z 0 ) n ∀ z ∈ D(z 0 , r).
n=0
(3.5)
k=0
Para probar esto, primero generalizamos la regla de Leibnitz. Se afirma
que
n
n
n
(f g) (z) =
f k (z) g n−k (z),
k
k=0
donde f 0 = f y g 0 = g. Esto se demuestra inductivamente. El caso n = 1
es la muy conocida regla de Leibnitz. Ahora, suponiendo válida la fórmula
para n − 1, es decir,
n−1
n−1
n−1
(z) =
f k (z) g n−1−k (z),
(f g)
k
k=0
se tiene derivando que (f g) n (z) es igual a
n−1
n−1
n−1
n−1
k+1
n−1−k
(z) g
(z) +
f
f k (z) g n−k (z)
k
k
k=0
k=0
n
n−1
n−1
n−1
k
n−k
(z) +
f (z) g
f k (z) g n−k (z)
=
k
−
1
k
k=1
k=0
n−1
n
f k (z) g n−k (z) + f n (z) g(z) + f (z) g n (z),
=
k
k=1
lo cual prueba la afirmación.
Finalmente, probamos (3.5). Usando la afirmación y los coeficientes de
Taylor, se tiene que
n
1 n
(f g) n (z 0 )
=
f k (z 0 ) g n−k (z 0 )
n!
n ! k=0 k
=
n
n
f k (z 0 ) g n−k (z 0 )
=
a k bn−k .
k!
(n − k) !
k=0
k=0
3
z
alrededor de 0.
Como aplicación encontramos la serie de Taylor de z−1
0
∞
1
n
Se demostró que si |z| < 1, 1−z = n=0 z , y por la unicidad de la serie
3. Series y aplicaciones
165
de Taylor, ésta es precisamente
Por lo tanto, usando (3.5) se tiene
1 su
serie.
que la serie de Taylor de − 1−z
z 3 está dada por
−
∞
z n.
n=3
Si z = 1, esta serie diverge, por lo que el radio de convergencia es 1.
Como un segundo ejemplo calculamos los primeros términos de la serie
ez
. Usando (3.5), se tiene
de Taylor, alrededor del 0, de la función 31−z
3 ez
z2 z3
2
3
= 3 1 + z + z + z + ···
+
+ ···
1+z+
1−z
2! 3!
z2
z3 z3
= 3 1 + (z + z) +
+ z2 + z2 +
+
+ z3 + z3 + ··· .
2
6
2
EJERCICIOS 3.2
−2
1. Demuestre que la función f : R → R definida por f (x) = e−x , si x = 0,
y f (0) = 0, es de clase C ∞ real y que f k (0) = 0, ∀ k ∈ N.
2. Demuestre que se pueden debilitar las hipótesis del lema de Abel, suponiendo solamente que la sucesión |a n | r1n , n ∈ N, está acotada.
0
n
3. Diga por qué si una serie de potencias de la forma ∞
n=0 a n (z − (i + 1))
converge en z = 0, entonces no puede divergir en z = i.
0∞
n
4. Demuestre que el radio de convergencia
de la serie
n=0 a n (z − z 0 )
n
está dado por 1/ρ, donde ρ = lim sup |a n |.
0∞
n
5. Encuentre el radio de convergencia de las siguientes series:
n=0 2 n z ,
0∞ z n
0∞
z3n
n=0 2 n y
n=0 (27) n .
6. Demuestre que si A es una región en C, f : A → C es una función
holomorfa y D(z 0 , r) ⊂ A, entonces f D(z 0 , r) es representable como una
serie de potencias convergente en dicho disco.
7. Encuentre las series de Taylor de las funciones sen z y cos z alrededor del
origen, y pruebe formalmente que éstas son en efecto dichas expansiones.
8. Sea w ∈ C, w = 0. Encuentre la expansión de Taylor de la función
z → z w , definida por la rama principal, alrededor de 1.
9. Encuentre la serie de Taylor de la función z → cos(z 3 ) + 2 alrededor del
origen.
166
3.3. Series de Laurent, singularidades aisladas
10. Encuentre los primeros tres términos de las series de Taylor de las funciones: z → (cos z) e 2 z alrededor de π/2, y z → tan z alrededor del origen.
Sugerencia: usar (3.5).
11. Sea A una región en C, f : A → C una función holomorfa y D(z 0 , r) el
mayor disco abierto, centrado en z 0 , contenido en la región A. Demuestre
que si la función f no está acotada en D(z 0 , r), entonces r es el radio de
convergencia de la serie de Taylor para esta función alrededor de z 0 .
12. Exhiba una función f que sea holomorfa en una región A, tal que no se
pueda extender a otra función holomorfa definida en una región mayor (que
contenga a A), y con la propiedad de que para un punto z 0 ∈ A, el disco de
convergencia de la serie de Taylor definida por f, alrededor de dicho punto,
no está contenido en A. Sugerencia: usar la rama principal de logaritmo y el
punto −1 + i, recuérdese que las distintas ramas sólo difieren por constantes.
13. Derivando la serie geométrica encuentre la expansión de Taylor de la
función (1 − z)−3 alrededor del origen.
3.3.
Series de Laurent, singularidades aisladas
En esta sección se discute el caso en que una función f es analı́tica en un
anillo; se muestra que esta función tiene una expansión en series, llamadas
de Laurent. El caso particular en que el anillo es de la forma D(z 0 , r) − {z 0 },
es muy importante, ya que el análisis de la singularidad z 0 permite aplicar
la teorı́a al cálculo de integrales impropias reales, como se mostrará al final
del capı́tulo. Primero se establece un lema dual al de Abel.
Lema 3.3.1 (Dual de Abel) Sea b n , n ∈ N, una sucesión de números
complejos. Si la serie
∞
bn
(3.6)
(z − z 0 ) n
n=0
converge en un punto z 1 , entonces la serie converge de manera absoluta en
z ∈ C r 1 < |z − z 0 | ,
donde r 1 = |z 1 − z 0 |. Más aún, converge uniformemente en los conjuntos
z ∈ C r ≤ |z − z 0 | , r > r 1 .
3. Series y aplicaciones
167
γ2
γ1
z
z0
z0 + r1
z0 + r2
Figura 3.6: Prueba del teorema de Cauchy para el anillo
Nótese
que
el lema implica
que la serie converge normalmente en el conjunto
z ∈ C r1 < |z − z 0 | .
Demostración. Como la serie converge en el punto z 1 , la sucesión |br nn| ,
1
n ∈ N, está acotada por un número M. Basta probar que si r > r 1 , la serie
(3.6) converge de manera absoluta y uniforme en
z ∈ C r ≤ |z − z 0 | .
Esto se sigue de la prueba M de Weierstrass, ya que
n
n
bn
≤ |b n | = |b n | r1 ≤ M r 1 .
(z − z 0 ) n rn
r1n r n
r
Otro ingrediente necesario para probar el teorema de Laurent es una
fórmula similar a la integral de Cauchy, la cual se cumple en una región anular. Este resultado permite expresar la función en términos de dos integrales
que, como se verá posteriormente, una representa una función holomorfa
hacia adentro del anillo, y la otra, una función holomorfa hacia afuera del
anillo.
3.3. Series de Laurent, singularidades aisladas
168
Lema 3.3.2 (Fórmula de Cauchy para el anillo) Sea f holomorfa en
el anillo
A = z ∈ C r 1 < |z − z 0 | < r 2 ,
y γ j (θ) = z 0 + t j e i θ , j = 1, 2, donde r 1 < t 1 < t 2 < r 2 , y θ ∈ [0, 2 π].
Entonces ∀ z ∈ C tal que t 1 < |z − z 0 | < t 2 , se tiene
)
)
1
f (w)
f (w)
1
dw −
dw.
f (z) =
2 π i γ2 w − z
2 π i γ1 w − z
Demostración. Dada z fija en el anillo determinado por γ 1 y γ 2 (véase
la Figura 3.6), se define
⎧
f (w) − f (z)
⎪
⎪
si w = z,
⎨ w−z
g(w) =
⎪
⎪
⎩
f (z)
si w = z.
Puesto que g es analı́tica en A − {z} y continua en A, g es holomorfa en
A (en virtud del Corolario 2.4.9). Ahora, como γ 1 es homotópica a γ 2 en
A, se sigue que
)
)
g(w) dw −
γ2
g(w) dw = 0,
γ1
esto es,
)
)
)
)
f (w)
dw
f (w)
dw
dw − f (z)
−
dw + f (z)
= 0.
w
−
z
w
−
z
w
−
z
w
−z
γ2
γ2
γ1
γ1
Como el segundo sumando es −f (z) 2 π i y el cuarto es 0 (por el teorema
de Cauchy), esta igualdad establece el lema.
Teorema 3.3.3 (Laurent) Sea f holomorfa en el anillo
A = {z ∈ C | r 1 < |z − z 0 | < r 2 } .
Entonces ∀ z ∈ A se tiene
∞
∞
f (z) =
a n (z − z 0 ) n +
n=0
n=1
bn
,
(z − z 0 ) n
(3.7)
la convergencia es absoluta en A y uniforme en subanillos de A de la forma
A ss 21 = z ∈ C s 1 ≤ |z − z 0 | ≤ s 2 ,
donde r 1 < s 1 < s 2 < r 2 .
3. Series y aplicaciones
169
γ2
γ1
A
z0
ASS21
Figura 3.7: Prueba del teorema de Laurent
A la serie descrita en (3.7) se le llama de Laurent.
Demostración. Sean r 1 < t 1 < s 1 , s 2 < t 2 < r 2 y γ 1 y γ 2 como en
el Lema 3.3.2. Tomando z ∈ Int γ 2 fija y w ∈ γ 2 , se sigue de la misma
manera que en la prueba del teorema de Taylor que
∞
1
1
=
w−z
w − z0 n=0
y
z − z0
w − z0
n
=
∞
n=0
(z − z 0 ) n
,
(w − z 0 ) n+1
∞
f (w)
(z − z 0 ) n
=
f (w)
w−z
(w − z 0 ) n+1
n=0
uniformemente en γ 2 . Por consiguiente
1
2πi
)
∞ )
f (w)
(z − z 0 ) n
1 dw =
f (w) dw
2 π i n = 0 γ 2 (w − z 0 ) n+1
γ2 w − z
)
∞
f (w)
1 =
(z − z 0 ) n
dw
.
n+1
2 π i n=0
γ 2 (w − z 0 )
3.3. Series de Laurent, singularidades aisladas
170
Escribiendo
1
=
2πi
an
se obtiene
1
2πi
)
γ2
)
f (w)
dw,
(w − z 0 ) n+1
γ2
∞
f (w)
dw =
a n (z − z 0 ) n .
w−z
n=0
(3.8)
Como la serie converge ∀ z ∈ Int γ 2 , se sigue del lema de Abel que también
converge en forma absoluta y uniforme en A ss 21 , ya que este anillo está contenido en el disco D(z 0 , t 2 ).
Por otra parte, si z es un punto fijo en el exterior de γ 1 y w ∈ γ 1 ,
entonces
1
1
−1
=
=
w−z
z − z 0 − (w − z 0 )
(z − z 0 )
∞
1
=
z − z0 n=0
w − z0
z − z0
n
1
w − z0
1−
z − z0
∞
(w − z 0 ) n
=
.
(z − z 0 ) n+1
n=0
Nótese que en esta última serie la convergencia es uniforme en γ 1 , y por
consiguiente se puede integrar la serie término a término, obteniéndose
)
) ∞
−1
1
f (w)
(w − z 0 ) n
dw =
f (w) dw
2 π i γ1 w − z
2 π i γ 1 n = 0 (z − z 0 ) n+1
1
=
2πi
=
)
∞
n=1
γ1
1
2πi
∞
(w − z 0 ) n−1
f (w) dw
(z − z 0 ) n
n=1
*
γ1
f (w) (w − z 0 ) n−1 dw
(z − z 0 ) n
.
Obsérvese que los numeradores de los términos de esta última serie son constantes y no dependen de z. Por lo cual, escribiendo
)
1
f (w)(w − z 0 ) n−1 dw,
bn =
2 π i γ1
3. Series y aplicaciones
se tiene que
−1
2πi
171
)
γ1
∞
f (w)
bn
dw =
.
w−z
(z − z 0 ) n
n=1
(3.9)
Esta última serie converge ∀ z ∈ Ext γ 1 , por lo que se sigue del Lema 3.3.1
que la convergencia es uniforme y absoluta en conjuntos de la forma
z ∈ C |z − z 0 | ≥ s, s > t 1 .
En particular, también converge de esta manera en el anillo cerrado A ss 21 .
Finalmente, aplicando el teorema de Cauchy para el anillo y las identidades (3.8) y (3.9) se obtiene que
f (z) =
∞
a n (z − z 0 ) n +
n=0
∞
n=1
bn
,
(z − z 0 ) n
de manera absoluta en el anillo A, y uniforme en subanillos A ss 21 (ya que
cualquier punto de A pertenece a uno de estos subanillos cerrados).
Corolario 3.3.4 (Unicidad de la expansión de Laurent) Sea f holomorfa en el anillo A = {z ∈ C | r 1 < |z − z 0 | < r 2 }, supóngase también
que
f (z) =
∞
n=0
an (z − z 0 ) n +
∞
n=1
bn
(z − z 0 ) n
∀z ∈ A,
(3.10)
donde ambas series convergen independientemente. Entonces
)
)
f (w)
1
1
dw y b n =
f (w) (w − z 0 ) n−1 dw,
an =
2 π i γ (w − z 0 ) n+1
2πi γ
donde γ(θ) = z 0 + r e i θ , 0 ≤ θ ≤ 2 π y r 1 < r < r 2 .
Nótese que lo que dice este resultado es que la serie de Laurent es única, es
decir, solo depende de la función f, del punto z 0 y de los radios del anillo.
A los números a n y b n se les llama coeficientes de Cauchy.
Demostración. Por el lema de Abel y su dual, las series en (3.10) convergen
uniformemente en γ, por lo que también lo hacen las series
∞
∞
bn
f (z)
n−(k+1)
=
a n (z − z 0 )
+
.
k+1
(z − z 0 )
(z − z 0 ) n+k+1
n=0
n=1
3.3. Series de Laurent, singularidades aisladas
172
Si k ≥ 0, integrando término a término se tiene
)
f (z)
dz = 2 π i a k .
k+1
γ (z − z 0 )
También, si k < 0, se tiene
)
γ
f (z)
dz = 2 π i b−k ,
(z − z 0 ) k+1
y escribiendo n = −k, se sigue el resultado.
Algunas veces conviene usar la expresión unificada de la expansión de
Laurent, esto es
∞
c n (z − z 0 ) n ,
f (z) =
−∞
donde
cn =
1
2πi
)
γ
f (w)
dw.
(w − z 0 ) n+1
Presentamos ahora un ejemplo, calculamos la serie de Laurent para la
función
1
,
f (z) = 2
z − z3
alrededor del origen, en el anillo con radios r 1 = 0 y r 2 = 1. Nótese que
1
1
f (z) =
,
1−z
z2
0∞
n
recordamos que la serie geométrica compleja está dada por
y que
n=0 z
que converge en Δ. Por lo cual, podemos multiplicar esta serie por 1/z 2
puntualmente en el disco (salvo el origen), y obtener (por unicidad) que la
serie de Laurent está dada por
f (z) =
1
1
+ + 1 + z + ··· .
2
z
z
Como un segundo ejemplo (menos trivial) consideramos la función
f (z) =
z2
1
+1
3. Series y aplicaciones
173
y calculamos su serie de Laurent alrededor de z 0 = i, para el anillo con
radios r 1 = 0 y r 2 = 2. Podemos descomponer la función como sigue:
z2
1
1
−i
i
=
=
+
.
+1
(z − i) (z + i)
2(z − i)
2(z + i)
Ahora, z+1 i es analı́tica cerca de z 0 = i, por lo que usando el truco de Taylor,
descrito en la prueba del Teorema 3.2.6, se tiene (escribiendo w = −i)
1
1
−
=
=
z+i
(−i) − z
∞
1 =
z−i
−2 i n = 0
−2 i 1 −
−2 i
1
z−i
−2 i
n
,
lo cual es válido si |z − i| < 2 (véase la Figura 3.8). Por consiguiente
1
=
2
z +1
−i
2
∞
1
1 +
(z − i)
4 n=0
i
2
n
(z − i) n
es la serie de Laurent buscada.
• z0 = i
•
z
•
w = −i
Figura 3.8: Truco de Taylor:
1
w−z
=
1
w−z 0 −(z−z 0 )
=
1
1
(w−z 0 ) 1− z−z 0
w−z 0
Un caso de gran importancia es cuando se tiene una función holomorfa
en un anillo degenerado, esto es, una región de la forma
A = {z ∈ C 0 < |z − z 0 | < r,
donde 0 < r ≤ ∞.
(3.11)
3.3. Series de Laurent, singularidades aisladas
174
En este caso se aplica el teorema de Laurent y en el anillo A se tiene
f (z) =
∞
a n (z − z 0 ) n +
n=0
∞
n=1
bn
.
(z − z 0 ) n
Al punto z 0 se le llama singularidad aislada de f . En este caso existen
exactamente tres posibilidades excluyentes:
i) b k = 0 y b = 0 ∀ > k,
ii) b k = 0 para un número infinito de k’ s,
iii) b k = 0 ∀ k.
En el primer caso se dice que f tiene un polo de orden k en z 0 , en el
segundo que f tiene una singularidad esencial en z 0 y en el tercero que z 0
es una singularidad removible de f . Obsérvese que en este último caso f es
analı́tica en una vecindad de z 0 . Si el orden de un polo es 1, se dice que es
un polo simple.
Nótese que para conocer el tipo de singularidad, basta encontrar la serie
de Laurent. Por ejemplo, la función
ez − 1
1
= 5
5
z
z
z2 z3
+
··· − 1
1+z+
2! 3!
=
1
1
1
1
···
+
+
+
4
3
2
z
2z
3!z
4!z
tiene un polo de orden 4 en el origen. La siguiente definición es sumamente
importante, como se verá en la última parte de este libro.
Definición 37 Sea z 0 una singularidad aislada de una función f , al número complejo b 1 en la expansión de Laurent (3.7) se le llama el residuo de f
en el punto z 0 .
En el ejemplo previo a la definición, se tiene entonces que el residuo es 1/24.
A una función que es holomorfa en C, excepto por polos (como en dicho
ejemplo) se le llama meromorfa. Los residuos son muy útiles para calcular
integrales, como se muestra en el siguiente resultado y en la última sección
del libro, donde se calculan integrales reales impropias.
3. Series y aplicaciones
175
Corolario 3.3.5 Sea f analı́tica en una región que contiene un anillo de la
forma (3.11) y b 1 el residuo en z 0 . Si γ es cualquier cı́rculo con centro en
z 0 , y contenido en el anillo, entonces
)
f (z) dz = 2 π i b 1 .
γ
Demostración. Los coeficientes de Cauchy están dados por
)
1
f (w) (w − z 0 ) k−1 dw,
bk =
2πi γ
en particular, tomando k = 1 se sigue el resultado.
Mostramos ahora un ejemplo donde se aplica este resultado. Recordamos
2
3
que ∀ w ∈ C se cumple e w = 1 + w + w2 ! + w3 ! + · · · , en particular si z = 0
y w = 1/z, se tiene que
∞
1
1
,
ez =
n
!
zn
n=0
y se sigue de la unicidad de las series de Laurent que 0 es una singularidad
1
esencial de z → e z . Además, como el residuo es 1 se tiene que ∀ r > 0
)
1
e z dz = 2 π i.
|z|=r
Los siguientes cuatro resultados establecen criterios para distinguir los diversos tipos de singularidades. Éstos se atribuyen principalmente a Riemann.
Proposición 3.3.6 Sea A una región, z 0 ∈ A y f : A − {z 0 } → C analı́tica, entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes.
i) z 0 es una singularidad removible de f .
ii) f (z) está acotada en una vecindad agujerada de z 0 .
iii) lı́m f (z) existe.
z→z 0
iv) lı́m f (z) (z − z 0 ) = 0.
z→z 0
3.3. Series de Laurent, singularidades aisladas
176
Demostración. Evidentemente i) implica las otras tres condiciones. También ii) o iii) implican iv), por lo que basta probar que iv) implica que z 0
es una singularidad removible de f . Para esto se prueba que los coeficientes
b k en la expansión de Laurent son 0. Por hipótesis, dada
> 0 existe
δ > 0, tal que |f (z)| |z − z 0 | < si 0 < |z − z 0 | ≤ δ. En particular, si
|w − z 0 | = δ, se tiene |f (w)| < /δ. Se puede tomar δ < 1 y tal que
{z ∈ C | 0 < |z − z 0 | ≤ δ} ⊂ A. Por lo cual
)
1
f (w) (w − z 0 ) k−1 dw,
bk =
2πi
|w−z 0 |=δ
y aplicando el Teorema 2.1.5
|b k | ≤
1
δ k−1 2 π δ =
2π δ
δ k−1 < .
Por consiguiente
b k = 0 ∀ k ∈ N.
Proposición 3.3.7 Sea A una región, z 0 ∈ A y f : A − {z 0 } → C analı́tica,
entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes.
i) z 0 es un polo de orden menor o igual a k, o una singularidad removible.
ii) f (z) (z − z 0 ) k está acotada en una vecindad agujerada de z 0 .
iii) lı́m (z − z 0 ) k f (z) existe.
z→z 0
iv) lı́m (z − z 0 ) k+1 f (z) = 0.
z→z 0
Demostración. Si z 0 es una singularidad removible o un polo de orden
menor o igual a k, se tiene de la expansión de Laurent que (z − z 0 ) k f (z) es
analı́tica y se siguen ii), iii) y iv). Como ii) o iii) implican iv), basta probar
que iv) implica que z 0 es removible o un polo de orden ≤ k.
Usando la Proposición 3.3.6, resulta que (z−z 0 ) k f (z) tiene una singularidad removible en z 0 . Ahora, la serie de Laurent de (z − z 0 ) k f (z) se obtiene
multiplicando la de f (z) por (z − z 0 ) k (por unicidad), por lo que f (z) no
3. Series y aplicaciones
177
puede tener un polo de orden mayor a k (o una singularidad esencial), ya
que esto implica que (z − z 0 ) k f (z) no es holomorfa en una vecindad de z 0 .
La Proposición 3.3.6 permite detectar singularidades removibles que aparentemente no lo son, por ejemplo, la función
5 sen z
z
tiene en el origen una singularidad removible, ya que
5 sen z
lı́m z
= lı́m 5 sen z = 0.
z→0
z→0
z
f (z) =
Otra prueba de este hecho se obtiene al escribir la serie de Laurent
5
z3 z5
5z2
z4
5 sen z
=
z−
+
− ··· = 5 −
+
− ··· .
z
z
3! 5!
3!
4!
Corolario 3.3.8 Sea A una región, z 0 ∈ A y f : A − {z 0 } → C analı́tica,
entonces z 0 es un polo simple si y sólo si lı́m f (z) (z − z 0 ) existe y no es
0. Este lı́mite es el residuo de f en z 0 .
z→z 0
Demostración. Se sigue de la Proposición 3.3.7 que si lı́m f (z) (z − z 0 )
z→z0
existe, entonces z 0 es una singularidad removible o un polo simple. Si el
lı́mite no es 0, entonces z 0 es un polo simple (en virtud de la Proposición
3.3.6). El recı́proco y la segunda parte son consecuencia de la expansión de
Laurent.
Por ejemplo, la función
ez
4z
tiene un polo simple en el origen con residuo 1/4, dado que
f (z) =
lı́m
z→0
1
ez
z = .
4z
4
Corolario 3.3.9 Sea A una región, z 0 ∈ A y f : A − {z 0 } → C analı́tica,
entonces z 0 es un polo de orden k ≥ 1 si y sólo si existe g : V → C
holomorfa, donde V es una vecindad de z 0 en A, g(z 0 ) = 0, y se cumple
f (z) (z − z 0 ) k = g(z).
3.3. Series de Laurent, singularidades aisladas
178
Demostración. Si f tiene un polo de orden k en z 0 , entonces se sigue
de la expansión de Laurent que g(z) = f (z)(z − z 0 ) k es analı́tica en una
vecindad V de z 0 y g(z 0 ) = 0, ya que g(z 0 ) = b k .
Viceversa, si g(z) = f (z)(z − z 0 ) k es analı́tica y g(z 0 ) = 0, se sigue de
la Proposición 3.3.7 que f tiene una singularidad removible o un polo de
orden ≤ k en z 0 . Se trata de un polo de orden exactamente k, pues de otra
manera al expander f en series de Laurent se tendrı́a que g(z 0 ) = 0.
Este último resultado establece condiciones necesarias y suficientes para
que una singularidad aislada sea un polo de orden k. Por ejemplo, la función
f (z) =
ez + 7
(z − 1) 5
tiene un polo de orden 5 en z = 1. El conocimiento de los ceros de las
funciones permite también establecer criterios para detectar polos.
Definición 38 Sea f analı́tica en una región A, se dice que f tiene un cero
de orden k en z 0 ∈ A, si f (z 0 ) = 0, f r (z 0 ) = 0 ∀ r < k, y f k (z 0 ) = 0.
Por ejemplo, f (z) = z 3 tiene un cero de orden 3 en el origen, ya que
f (0) = 0, f (0) = 0, f (0) = 0 y f 3 (0) = 3 !. El siguiente resultado brinda
una forma alternativa de definir los ceros de una función.
Proposición 3.3.10 Una función f , holomorfa en una vecindad de z 0 ,
tiene un cero de orden k en dicho punto si y sólo si se cumple que
f (z) = (z − z 0 ) k g(z),
donde g(z) es analı́tica en una vecindad de z 0 y g(z 0 ) = 0.
Demostración. Probamos primero la necesidad. Si z 0 es un cero de orden
k, entonces en una vecindad
f (z) =
∞
a n (z − z 0 ) n ,
a k = 0.
n=k
Si z = z 0 se puede factorizar (z − z 0 ) k , obteniéndose
f (z) = (z − z 0 )
k
∞
n=k
a n (z − z 0 ) n−k
3. Series y aplicaciones
179
(nótese que la igualdad se cumple también para z = z 0 ). Es claro que ambas
series convergen o divergen simultáneamente, por lo que esta nueva serie
representa una función holomorfa que podemos denotar por g(z), obsérvese
que g(z 0 ) = a k = 0. La suficiencia se sigue de manera inmediata ya que la
serie de Taylor es única.
Proposición 3.3.11 Sea f holomorfa en una vecindad de z 0 , entonces f
tiene un cero de orden k en z 0 si y sólo si 1/f tiene un polo de orden k
en z 0 .
Demostración. Si f tiene un cero de orden k en z 0 , entonces
f (z) = (z − z 0 ) k g(z),
donde g es holomorfa en una vecindad de z 0 y g(z 0 ) = 0. Como
1
1
si z = z 0 ,
(z − z 0 ) k =
k
g(z) (z − z 0 )
g(z)
k
0)
es holomorfa en una vecindad agujerada de
se sigue que la función (z−z
f (z)
z 0 ; además z 0 es una singularidad removible (en virtud de la Proposición
3.3.6, ya que 1/g es holomorfa en una vecindad de z 0 ). Más aún, como el
k
0)
valor de la función (z−z
en z 0 es g(z1 0 ) = 0 (por continuidad), se concluye
f (z)
del Corolario 3.3.9 que z 0 es un polo de orden k de la función 1/f .
Inversamente, si 1/f tiene un polo de orden k en z 0 , entonces se sigue
del Corolario 3.3.9 que
(z − z 0 ) k
g(z) =
f (z)
es analı́tica en una vecindad de z 0 y g(z 0 ) = 0. Por lo tanto en una vecindad
agujerada de z 0 se tiene
f (z)
1
=
g(z)
(z − z 0 ) k
(nótese que f no se puede anular en puntos cercanos a z 0 ). Como 1/g es
f (z)
holomorfa en una vecindad de z 0 , la función (z−z
k tiene una singularidad
0)
removible en z 0 . Además, su valor en dicho punto es g(z1 0 ) = 0. Finalmente,
si z = z 0 se sigue que
f (z) = (z − z 0 ) k
1
,
g(z)
180
3.3. Series de Laurent, singularidades aisladas
la igualdad también se cumple en z 0 , ya que este punto es una singularidad
1
removible de f, puesto que (z − z 0 ) k g(z)
es holomorfa en una vecindad del
punto z 0 . Por consiguiente, f tiene un cero de orden k en z 0 .
Corolario 3.3.12 Sea f una función holomorfa en una vecindad de z 0 ,
donde este punto es un cero de orden k. Supóngase también que h es holomorfa en una vecindad de z 0 y h(z 0 ) = 0, entonces h/f tiene un polo de
orden k en z 0 .
Demostración. Se sigue de la Proposición 3.3.11 que 1/f tiene un polo
k
0)
de orden k en z 0 , por lo que g(z) = (z−z
es holomorfa en una vecindad
f (z)
de z 0 y g(z 0 ) = 0. En consecuencia, g(z 0 ) h(z 0 ) = 0 y como
h(z) g(z) =
(z − z 0 ) k h(z)
f (z)
es holomorfa en una vecindad de z 0 , resulta que h/f tiene un polo de orden
k en z 0 .
Mostramos ahora un ejemplo donde se puede aplicar este corolario. Sea
f (z) =
cos z
,
z3
entonces f tiene un polo de orden 3 en el origen. Esto se tiene, ya que z 3
tiene en ese punto un cero de orden 3 y cos 0 = 1. Otra manera de probar
este hecho es mediante la serie de Laurent
cos z
1
z
1
1
z2 z4
+
−
·
·
·
= 3−
+
− ··· .
=
1
−
z3
z3
2! 4!
z
2z 4!
Nótese que el residuo es −1/2. El siguiente resultado, que es consecuencia de
los Corolarios 3.3.12 y 3.3.8, permite simplificar en muchos casos el cálculo
de residuos para polos simples.
Corolario 3.3.13 Sea f (z) = h(z)
, donde h, g son funciones holomorfas en
g(z)
una vecindad de un punto z 0 , tales que h(z 0 ) = 0, g (z 0 ) = 0 y g(z 0 ) = 0,
entonces z 0 es un polo simple de f (z) con residuo
h(z 0 )
.
g (z 0 )
3. Series y aplicaciones
181
Demostración. Basta probar la segunda afirmación. Ésta se sigue al escribir
g(z) = g (z 0 ) (z − z 0 ) +
g (z 0 )
(z − z 0 ) 2 + · · · = (z − z 0 ) ψ(z),
2!
y observar que ψ(z) es holomorfa en una vecindad de z 0 y ψ(z 0 ) = g (z 0 ).
Por ejemplo, la función
z −→
tiene un polo simple en α = e
iπ
4
1
1 + z4
y su residuo está dado por
1
−α
.
=
3
4α
4
Si una función f tiene un polo de orden k en z 0 , entonces los valores
de los puntos cercanos a z 0 tienden a ∞, más precisamente
lı́m | f (z) | = ∞.
z→z 0
(3.12)
g (z)
Esto es cierto, ya que f (z) = (z−z
k , donde g es holomorfa y g (z 0 ) = 0,
0)
por lo cual en una vecindad agujerada de z 0
|f (z)| ≥
m
|z − z 0 | k
,
m > 0.
Esto implica (3.12), puesto que
lı́m
z→z 0
m
|z − z 0 | k
= ∞.
Sin embargo, en el caso de singularidades esenciales el comportamiento
es mucho más complicado, de hecho es espectacular, como lo describen los
siguientes resultados.
Teorema 3.3.14 (Gran teorema de Picard) Sea f una función holomorfa en una vecindad agujerada V de z 0 , donde este punto es una singularidad esencial. Entonces f toma en V cualquier valor en el plano
complejo, salvo una excepción. En dicha vecindad, cualquiera de estos valores
son tomados un número infinito de veces.
182
3.3. Series de Laurent, singularidades aisladas
La demostración de este teorema corresponde a un curso más avanzado,
véase [11] pp. 343-344 y [17] p. 283. Una versión más débil se puede enunciar
y probar.
Teorema 3.3.15 (Casorati-Weierstrass) Sea z 0 una singularidad esencial de una función f y w ∈ C, entonces existe una sucesión z n , n ∈ N,
tal que zn → z 0 y f (z n ) → w.
Demostración. Si el teorema no es cierto, se sigue que existe w ∈ C,
y una vecindad V de z 0 , tal que
|f (z) − w| >
Ahora la función
g(z) =
>0
∀ z ∈ V − {z 0 } .
1
f (z) − w
es holomorfa en V − {z 0 }, y como |g(z)| < 1/ ∀ z ∈ V − {z 0 }, se tiene que
g tiene una singularidad removible en z 0 . Más aún, z 0 es un cero de orden
k, k ≥ 0, de g. El cero es de orden finito, ya que de otra manera se tendrı́a
g(z) ≡ 0 en V , lo cual no sucede (g no se anula en V − {z 0 }). Por lo tanto,
1/g tiene un polo de orden k en z 0 , o es holomorfa en z 0 ; además, en esta
vecindad agujerada V − {z 0 },
1
= f (z) − w
g(z)
y f (z) =
1
+ w,
g(z)
lo que implica que f tiene un polo de orden k en z 0 , o es holomorfa en z 0 .
Estas afirmaciones contradicen las hipótesis y por ende se sigue el teorema.
Es útil recordar la geometrı́a de la función exponencial para entender
de manera intuitiva la fuerza de estos teoremas. Para esto considérese el
comportamiento de la función z → e1/z cerca del origen. Terminamos esta
sección con un último ejemplo. Se quiere analizar el comportamiento de la
función
z3
f (z) =
(e z − 1) 3
en una vecindad del origen. Para esto se estudia primero la función dada
z
por g(z) = e z−1 , esta última tiene una singularidad removible en el origen,
una manera de probarlo es tomar la expansión de Laurent. Más aún, como
3. Series y aplicaciones
183
1
también es holomorfa en una vecindad
g(0) = 1, se tiene que la función g(z)
del 0, y por ende la función f tiene una singularidad removible en el origen.
EJERCICIOS 3.3
1. Demuestre que se pueden debilitar las hipótesis del lema dual de Abel,
suponiendo solamente que la sucesión |b n | /r 1n , n ∈ N, está acotada.
2. Encuentre el residuo de la función
e z −1−z
z4
en el origen.
3. Encuentre la serie de Laurent y los residuos en el anillo 0 < |z| < ∞ de
las funciones cos3z y cos(1/z).
z
4. Encuentre la expansión de Laurent de la función
0 < |z| < 1 y 1 < |z| < 3.
*
5. Calcule |z|=6 sen(1/z) dz.
6. Describa el tipo de singularidad en el origen de
6
z(z−1)(z−3)
en los anillos:
z4
.
(cos z−1) 2
7. Calcule los residuos de π cot πz en cada una de sus singularidades.
*
8. Calcule |z−7|=1/2 π cot πz dz.
9. Suponiendo el gran teorema de Picard, pruebe el pequeño teorema de
Picard: una función entera no constante toma todos los valores complejos,
salvo (quizá) uno de ellos. Sugerencia: escriba g(z) = f (1/z) para definir el
comportamiento de f en ∞, pruebe que si una función entera tiene un polo
de orden k en ∞, entonces f es un polinomio.
10. Demuestre de dos maneras que la función
origen, ¿Cuál es el residuo?
3.4.
cos z
z2
tiene un polo doble en el
Teorema del residuo, aplicaciones
Terminamos este texto probando uno de los resultados más importantes de
la variable compleja básica, el teorema del residuo. Este resultado, que generaliza el teorema de Cauchy y la fórmula integral de Cauchy, es particularmente importante por su aplicación al cálculo de integrales reales impropias
y trigonométricas que no se pueden resolver mediante el cálculo real. Se probarán y darán ejemplos de tres de estas aplicaciones: el cálculo de ciertas
funciones racionales impropias, el de las integrales trigonométricas y el de
algunas transformadas de Fourier. Otros métodos se pueden consultar, por
ejemplo, en [12] capı́tulo 4.
3.4. Teorema del residuo, aplicaciones
184
Teorema 3.4.1 (Teorema del residuo) Sea A una región en C que contiene a los puntos z 1 , z 2 , . . . , z m y f : A − {z 1 , z 2 , . . . , z m } → C una función analı́tica. Supóngase también que γ es una curva cerrada de clase C 1
por tramos en A − {z 1 , z 2 , . . . , z m }, que es homotópica a un punto en A,
entonces
)
m
f = 2πi
Res (f, z j ) I(γ, z j ),
γ
j =1
donde Res (f, z j ) es el residuo de f en z j .
Antes de demostrar el teorema formalmente, exhibimos una prueba intuitiva
para curvas simples. El resultado es consecuencia del teorema generalizado
de la deformación, dado que por la fórmula de los coeficientes de Cauchy se
tiene que
)
2 π i b 1 (z j ) =
f (z) dz,
|z−z j |=r j
donde b 1 (z j ) es el residuo en z j y r j es suficientemente pequeño.
Demostración. Dada j ∈ {1, 2, . . . , m} existe r j > 0, tal que f se puede
expander en series de Laurent en
{z ∈ C | 0 < |z − z j | < r j } ,
ya que z j es una singularidad aislada de f . En particular, para alguna z j
fija se tiene
f (z) =
∞
a n (z − z j )
n
+
n=0
∞
n=1
Recordamos que la parte singular, es decir,
bn
.
(z − z j ) n
0∞
bn
n = 1 (z−z j ) n ,
converge en
el conjunto C − {z j } y lo hace uniformemente en {z ∈ C | |z − z j | ≥ } ,
para cualquier > 0 (en virtud del lema dual de Abel). Por lo cual, usando
el teorema de Weierstrass se tiene que
∞
n=1
bn
(z − z j ) n
es holomorfa en C − {z j }. Denotamos esta parte singular de f alrededor de
z j por S j (z), y se procede de manera análoga con las otras singularidades.
3. Series y aplicaciones
185
Ahora, la función
g(z) = f (z) −
m
S k (z)
k=1
es holomorfa en A − {z 1 , z 2 , . . . , z m }. Se afirma que z 1 , z 2 , . . . , z m son
singularidades removibles de g. Para demostrar esto, obsérvese que en una
vecindad {z ∈ C | 0 < |z − z j | < r j } tal que no contenga a otras singularidades, se tiene
∞
f (z) =
a n (z − z j ) n + S j (z);
n=0
y también en dicha vecindad
g(z) =
∞
a n (z − z j ) n −
n=0
j−1
S k (z) −
k=1
m
S k (z),
k = j+1
por lo cual lı́m g(z) existe, ya que S k (z) es holomorfa en z j , ∀ k = j.
z→z j
Consecuentemente, g es holomorfa en A, y el teorema de Cauchy implica
que
)
)
m )
g = 0, y
f =
S j.
*
γ
γ
j =1
γ
0∞
bn
Para calcular γ S j , nótese que S j es de la forma
n=1 (z−z j ) n , la cual
converge uniformemente en el exterior de cualquier cı́rculo alrededor de z j .
En particular, la convergencia es uniforme en γ y se puede integrar término
a término, por lo que
)
∞ )
bn
Sj =
dz.
(z
−
z j) n
γ
γ
n=1
Estas integrales son todas cero si n = 1, ya que γ es una curva cerrada y
los integrandos son derivadas de otras funciones; en consecuencia
)
S j = 2 π i b 1 I(γ, z j ).
γ
Recordamos de los cursos de cálculo algunos hechos sobre integrales impropias, antes de proceder a las aplicaciones al cálculo de integrales reales.
3.4. Teorema del residuo, aplicaciones
186
Definición 39 Sea f : R → R una función, entonces se dice que la integral
impropia
) ∞
) x2
f (x) dx
f (x) dx = lı́m
x2 →∞
x 1 → −∞
−∞
x1
está bien definida, si el lı́mite existe y es finito.
Si denotamos el lı́mite por L, esta definición dice que dada
N 1 , N 2 ∈ N, tal que si x 1 < −N 1 y x 2 > N 2 , entonces
) x 2
< .
f
(x)
d
x
−
L
> 0 existen
x1
*0
*∞
Nótese que si 0 f (x) dx y −∞ f (x) dx están bien definidas, entonces
*∞
también lo está lı́m −∞ f (x) dx. Esto se sigue, ya que dada > 0 existen
N 1 , N 2 ∈ N, tal que si x 1 < −N 1 y x 2 > N 2 , se tiene
)
0
x1
f (x) dx − L 1 <
2
donde
)
L1 =
Por lo cual
y
)
x2
0
f (x) dx − L 2 < ,
2
)
0
f (x) dx
y
−∞
)
x2
x1
f (x) dx − (L 1
L2 =
∞
f (x) dx.
0
+ L 2 ) < .
Es útil recordar el criterio
de comparación para funciones no* negativas:
*∞
∞
si 0 ≤ h(x) ≤ g(x) y 0 g(x) dx está bien definida, entonces 0 h(x) dx
*t
también lo está, dado que la función H(t) = 0 h(x) dx es creciente y acotada.
*∞
Usaremos el siguiente hecho: si la integral
* ∞ 0 |f (x)| dx está bien definida, entonces también lo está la integral 0 f (x) dx. Esto se sigue por
comparación, ya que 0 ≤ f (x) + |f (x)| ≤ 2 |f (x)| y f = (f + |f |) − |f |.
*∞
Definición 40 Sea f : R → R, se dice que −∞ f (x) dx está bien definida
*r
en el sentido débil o condicionado, si existe lı́m −r f (x) dx, cuando r → ∞.
3. Series y aplicaciones
187
*∞
Evidentemente, si −∞ f (x) dx está bien definida, también lo está en el
sentido condicionado (y por supuesto el lı́mite es el mismo). El recı́proco no
es cierto, por ejemplo, si f (x) = x, entonces
)
r
lı́m
r→∞
f (x) dx = 0,
−r
*∞
sin embargo, es claro que −∞ x dx no está bien definida en el sentido de
*∞
la Definición 39. Intuitivamente, para que la integral impropia −∞ f (x) dx
esté bien definida es necesario que las áreas que determina la función al
converger a ± ∞ se hagan pequeñas (véase la Figura 3.9).
Figura 3.9: En las integrales impropias bien definidas, los valores de la función
se acercan a 0 conforme x → ± ∞
Teorema 3.4.2 Sea f analı́tica en C, excepto por un número finito de
singularidades, los cuales no son reales. Supóngase también que
|f (z)| ≤
k
|z| 2
si |z| ≥ R,
R, k ∈ R+ ,
(3.13)
y que f toma valores reales en R, entonces
) ∞
f (x) dx = 2 π i
{Residuos de f en el semiplano superior}
−∞
= −2 π i
{Residuos de f en el semiplano inferior} .
3.4. Teorema del residuo, aplicaciones
188
τr
γr
−r
r
γr
Figura 3.10: Curva de integración para las funciones racionales definidas en
el Teorema 3.4.2
Demostración. Sea γ r como en la Figura 3.10, donde r > R se toma suficientemente grande para que todas las singularidades de f en el semiplano
superior estén en el interior de γ r . Por el teorema del residuo
)
f = 2πi
{Residuos de f en el semiplano superior} .
(3.14)
γr
Además
)
)
f =
γr
)
r
f (x) dx +
−r
f (z) dz,
(3.15)
τr
donde τ r es el semicı́rculo
* ∞ superior de radio r.
Ahora, la integral −∞ f (x) dx está bien definida, ya que las integrales
*0
*∞
f (x) dx y 0 f (x) dx lo están. Esta última afirmación se sigue de la
−∞
condición (3.13), puesto que
) x1
) x1
k
k
k
k
−
dx =
−→ ,
|f (x)| dx ≤
2
x
R
x1
R
R
R
*∞
cuando x 1 → ∞. Por lo que 0 f (x) dx está bien definida, análogamente
*0
se muestra que también lo está −∞ f (x) dx. En particular,
) r
) ∞
f (x) dx = lı́m
f (x) dx.
−∞
r→∞
−r
3. Series y aplicaciones
189
Finalmente,
)
f (z) dz = 0,
lı́m
r→∞
puesto que
)
τr
τr
k
k
f (z) dz ≤ 2 π r =
π −→ 0,
r
r
cuando r → ∞. Juntando esta información, el teorema es consecuencia
inmediata de (3.14) y (3.15). La segunda igualdad para el semiplano inferior
se obtiene de forma análoga.
Este teorema se aplica a ciertas funciones racionales, como se muestra en
el siguiente corolario. La prueba de este resultado se sigue básicamente del
hecho de que en un polinomio el término de grado mayor domina a los otros,
cuando se analiza el comportamiento en el infinito.
Corolario 3.4.3 Las hipótesis del Teorema 3.4.2 se cumplen si f (z) es una
función racional de la forma p(z)/q(z), donde p(z) y q(z) son polinomios
reales, grado [q(z)] ≥ 2 + grado [p(z)] y q(z) no tiene ceros en el eje real.
Demostración. Sean p(z) = a n z n + · · · + a 0 y q(z) = b m z m + · · · + b 0 ,
entonces m ≥ n + 2. Se afirma que existen k 1 , k 2 , R ∈ R+ , R > 1, tales
que
|p(z)| ≤ k 1 |z| n
si
|z| > 1,
y
|q(z)| ≥ k 2 |z| m
si
|z| > R.
Esta afirmación implica el corolario, puesto que si |z| > R, se tiene
p(z) k1
1
k1 1
q(z) ≤ k 2 |z| m−n ≤ k 2 |z| 2 .
Ahora, si |z| > 1 se sigue la afirmación para el numerador, ya que
|p(z)| ≤ |a n | |z n | + · · · + |a 0 | ≤ |a n | |z| n + · · · + |a 0 | |z| n
= |a n | + · · · + |a 0 | |z| n .
También
b m z m = q(z) − b 0 − b 1 z − · · · − b m−1 z m−1 ,
3.4. Teorema del residuo, aplicaciones
190
por lo que
|b m z m | ≤ | q(z)| + |b 0 | + |b 1 z| + · · · + b m−1 z m−1 ,
y
|q(z)| ≥ |b m z m | − b m−1 z m−1 − . . . − | b 0 | .
Si B = |b 0 | + |b 1 | + · · · + |b m−1 | y |z| > 1, entonces −1/|z j | > −1, j ∈ N,
por lo cual
|b 0 |
m−1
|b m | |z| − |b m−1 | − . . . −
|q(z)| ≥ |z|
|z| m−1
≥ |z| m−1 |b m | |z| − B .
En consecuencia, basta probar que
|z| m−1 |b m | |z| − B ≥ k 2 |z| m
|b m | |z| − B ≥ k 2 |z| ,
o
lo cual se cumple tomando k 2 < |b m | y
|z| ≥
B
.
|b m | − k 2
Para ilustrar una aplicación del Teorema 3.4.2 y del Corolario 3.4.3 evaluamos
) ∞
1
dx.
6
−∞ x + 1
El integrando claramente satisface las hipótesis del Corolario 3.4.3, y las
singularidades son
πi
α = e 6 , α β = i, α β 2 = −α, α β 3 = −α, α β 4 = −i, α β 5 = α,
donde β = α 2 , véase la Figura 3.11. El Corolario 3.3.13 muestra que estas
singularidades son polos simples y exhibe una fórmula para los residuos.
Basta considerar las singularidades en el semiplano superior, es decir, α, i,
y −α. Sus residuos son, respectivamente,
1
−α
,
=
6 α5
6
1
−i
=
6 i5
6
y
1
α
= .
6(−α) 5
6
3. Series y aplicaciones
191
Por consiguiente
) ∞
1
dx = 2 π i
6+1
x
−∞
=
−α
−i
α
+
+
6
6
6
=
πi
(−i − α + α)
3
2π
πi
(−i − i) =
,
3
3
√
puesto que α = 23 + 2i . A continuación establecemos la aplicación del teorema del residuo al cálculo de las integrales llamadas trigonométricas.
αβ = i
αβ 2 = −α
α
αβ 3 = −α
αβ 5 = α
αβ 4 = −i
Figura 3.11: Polos de la función z →
1
1+z 6
Teorema 3.4.4 Sea R(x, y) una función racional en dos variables x, y, y
1
1
1
1
z+
,
z−
R
2
z
2i
z
.
f (z) =
iz
Supóngase también que f no tiene polos en el cı́rculo unitario, entonces
) 2π
R(cos θ, sen θ) dθ = 2 π i
Res(f, z).
0
z∈Δ
3.4. Teorema del residuo, aplicaciones
192
Demostración. Sea γ(θ) = cos θ + i sen θ, θ ∈ [0, 2π], se sigue entonces
del teorema del residuo que
)
f = 2πi
Res(f, z).
γ
z∈Δ
El número de singularidades
ya que al evaluar R en los
de f es finito,
&
% puntos de la forma 12 z + z1 , 21i z − z1 , si z = 0, se puede multiplicar
el numerador y el denominador por una potencia adecuada de z y obtener
una función racional en z.
Finalmente,
) 2π
) 2π
)
i θ i θ
f =
f e
R(cos θ, sen θ) dθ.
ie dθ =
γ
0
0
Nótese que en el resultado anterior, la fórmula que define la función f se
puede recuperar fácilmente al recordar la parte final de la prueba del teorema.
Como ejemplo evaluamos
) 2π
dθ
, b > 1.
b
+
cos θ
0
Sea γ(θ) = cos θ + i sen θ y f como en el teorema, entonces
1
f (z) =
iz b +
=
1
2
z+
1
z
=
−2 i
1
z z + + 2b
z
−2 i
−2 i
=
,
z2 + 2bz + 1
(z − α 1 )(z − α 2 )
donde
−2 b ±
√
4 b2 − 4
= −b ±
√
b 2 − 1.
2
Por lo cual, la función
√ f tiene dos polos simples en α 1 y α 2 , el primero
está en Δ, ya que b 2 − 1 < 1 + b, y claramente el otro ( α 2 ) está en el
exterior de Δ. Ahora,
α 1, α 2 =
Res (f, α 1 ) = lı́m f (z) (z − α 1 ) =
z→α 1
−2 i
−i
= √
.
α1 − α2
b2 − 1
3. Series y aplicaciones
193
Por consiguiente
)
2π
0
−i
√
b2 − 1
dθ
= 2πi
b + cos θ
Nótese que también
hecho como ejercicio.
*
π
dθ
0 b+cos θ
=
√
π
.
b 2 −1
= √
2π
.
b2 − 1
Dejamos la verificación de este
Para concluir este libro se desarrolla una última aplicación del teorema
del residuo al cálculo de integrales definidas por la transformada de Fourier.
Se evaluarán integrales del tipo
) ∞
) ∞
cos(a x) f (x) dx y
sen(a x) f (x) dx, donde a > 0.
−∞
−∞
Definición 41 Sea f : C → C meromorfa, tal que toma valores reales en
la recta real y no tiene polos reales, a la función definida por
) ∞
g(t) =
f (x) e−i t x dx, t ∈ R,
−∞
se le llama la transformada de Fourier de f .
Esta función es de gran importancia tanto en la fı́sica como en varias ramas
de la matemática. Obsérvese que para algunos valores puede estar definida,
y para otros no.
*∞
Proposición 3.4.5 Sea f : R → R, tal que −∞ f (x) dx está bien defini*0
*∞
da, entonces también lo están 0 f (x) dx y −∞ f (x) dx.
Demostración. Se afirma que
* xsi se tiene una sucesión x n , n ∈ N, tal que
x n → ∞, entonces g(x n ) = 0 n f (x) dx es una sucesión de Cauchy. Para
probar esto obsérvese que si > 0, entonces existen N 1 , N 2 ∈ N, tales que
si t 1 ≤ −N 1 y t 2 ≥ N 2 , se tiene
)
t2
t1
f (x) dx − L < ,
2
3.4. Teorema del residuo, aplicaciones
194
donde L =
se tiene
)
= *
∞
−∞
)
f (x)dx. Por lo cual, si x n , x m > N 2 , digamos x n < x m ,
xm
0
)
f (x) dx −
)
xm
xn
0
xn
f (x) dx +
−N1
xn
)
≤ xm
−N 1
)
f (x) dx = )
f (x) dx −
)
f (x) dx − L + L −
xn
−N1
xn
−N 1
xm
xn
f (x) dx
f (x) dx + L − L
f (x) dx < .
Por consiguiente, se sigue la afirmación, esto es, g(x n ) es una sucesión convergente, digamos a un real m.
Ahora, si y n , n ∈ N, es otra sucesión real tal que y n → ∞, cuando
n → ∞. Se tiene por el mismo argumento que g(y n ) converge a un número
anterior
real m , y necesariamente m = m, puesto que el razonamiento
*t
implica que si s y t son suficientemente grandes, entonces
f
(x)
dx es
s
*∞
tan pequeña como se quiera (s < t). Por lo cual, 0 f (x) dx está bien
*0
definida. Igualmente lo está −∞ f (x) dx (usando un argumento análogo).
Obsérvese que la proposición anterior también es válida, si la función f
toma valores complejos, ya que la misma prueba se aplica para este caso.
Teorema 3.4.6 Sea f analı́tica en C, excepto por un número finito de
singularidades, los cuales no son reales. Supóngase también que f (z) → 0,
cuando z → ∞, entonces
) ∞
e i a x f (x) dx
−∞
está bien definida y es igual a
2πi
Residuos de e i a z f (z) en H 2 ,
donde a > 0 y H 2 = {z ∈ C | Im z > 0}.
Demostración. Dada
ciones:
> 0, sea R tal que cumple las siguientes afirma-
3. Series y aplicaciones
195
i) si |z| > R, entonces
ii)
2R
< 1 y
eaR
|f (z)| < mı́n
3
2a
3
,
3
,
a R > 1,
iii) las singularidades de e i a z f (z) que son puntos de H 2 están contenidas
en el disco D(0, R).
Nótese que ii) se puede aplicar, dado que el lı́mite de la función x → e2axx es
0, cuando x → ∞. Obsérvese también que las singularidades de e i a z f (z)
son las mismas que las de f (z). Esto último es consecuencia del Corolario
3.3.9 y del Teorema 3.3.15, ya que la exponencial es entera y no nula.
y1 i
•
•
γ
•
•
•
•
−x1
x2
0
Figura 3.12: Curva de integración para la transformada de Fourier
Para probar el teorema se toma la curva de integración γ descrita en la
Figura 3.12, donde y 1 > x 1 , x2 > R. Se sigue entonces del teorema del
residuo que
)
e i a z f (z) dz = 2 π i
Residuos de e i a z f (z) en H 2 .
γ
Por otra parte, al parametrizar γ de manera natural se tiene
)
) x2
e i a z f (z) dz = I 1 + I 2 + I 3 +
e i a x f (x) dx,
γ
−x 1
3.4. Teorema del residuo, aplicaciones
196
donde
)
I1 =
y1
0
)
I2 = −
x2
−x 1
)
I3 = −
Ahora
)
|I 1 | ≤
y1
0
a
≤
3
y1
0
e i a (x 2 + i y) f (x 2 + i y) i dy,
e i a (x + i y 1 ) f (x + i y 1 ) dx
y
e i a (−x 1 + i y) f (−x 1 + i y) i dy.
a
3
e−a y |f (x 2 + i y)| dy ≤
e−a y y 1
a
=
−a 0
3
1
e−a y 1
−
a
a
)
y1
e−a y dy
0
≤
3
.
Análogamente |I 3 | ≤ /3. También,
)
|I 2 | ≤
x2
−x 1
e−a y 1 |f (x + i y 1 )| dx ≤
≤
3
e−a y 1 (x 2 + x 1 )
2 y1
≤ .
3 eay1
3
La última desigualdad se sigue ya que la función x → e ax x es decreciente,
cuando x → ∞ (derivando se verifica que esto se cumple si a x > 1). Por lo
que
2 y1
2R
≤ a R ≤ 1.
eay1
e
Finalmente, juntando estas desigualdades se tiene
) x 2
iax
iaz
2 e
f (x) dx − 2 π i
f (z) en H Residuos de e
−x 1
= |I 1 + I 2 + I 3 | < ,
3. Series y aplicaciones
197
si x 1 , x 2 > R. Por consiguiente
) ∞
e i a x f (x) dx = 2 π i
Residuos de e i a z f (z) en H 2 .
−∞
Existe un teorema análogo para el caso a < 0. Bajo las mismas hipótesis
se tiene que
) ∞
e i a x f (x) dx = − 2 π i
{Residuos de f en el semiplano inferior}.
−∞
Este hecho se muestra de manera similar, la única diferencia es que el rectángulo de integración se construye en el semiplano inferior.
Corolario 3.4.7 Bajo las hipótesis del Teorema 3.4.6, si además f toma
valores reales en la recta real, entonces
) ∞
4
5
cos(a x) f (x) dx = Re 2 π i
Residuos de f (z) e i a z en H 2
−∞
y
)
∞
−∞
4
5
sen(a x) f (x) dx = Im 2 π i
Residuos de f (z) e i a z en H 2
Demostración. Como
)
) x2
iax
e
f (x) dx =
Re
−x 1
x2
%
Re e
−x 1
iax
&
)
x2
f (x) dx =
cos(a x) f (x) dx,
−x 1
el primer resultado se sigue al tomar lı́mites. El segundo se prueba de manera
análoga.
una función racional, donde el polinomio
Corolario 3.4.8 Sea f (z) = p(z)
q(z)
q(z) no se anula en los reales y se tiene que grado [q(z)] ≥ grado [p(z)] + 1,
entonces se cumplen las hipótesis del Teorema 3.4.6.
Demostración. Sean n, m los grados de p(z) y q(z), respectivamente.
Como en la prueba del Corolario 3.4.3 existen números reales positivos k 1 , k 2
3.4. Teorema del residuo, aplicaciones
198
y R > 1, tales que si |z| > 1, se tiene |p(z)| ≤ k 1 |z| n , y si |z| > R, entonces
|q(z)| ≥ k 2 |z| m . Por lo cual
|p(z)|
k 1 |z| n
k1
≤
,
≤
m
|q(z)|
k 2 |z|
k 2 |z|
si |z| ≥ R,
por lo que f (z) → 0, cuando z → ∞.
Mostramos ahora un ejemplo. Calculamos
) ∞
x sen x
dx,
2
2
−∞ x + m
donde m > 0. Para esto se calcula primero
) ∞
x eix
dx.
2
2
−∞ x + m
Se sigue del Corolario 3.4.8 que se cumplen las hipótesis del Teorema 3.4.6.
Es claro que la función
z eiz
g(z) = 2
z + m2
tiene exactamente dos polos, que son simples, en ± i m, por lo que basta
calcular el residuo en i m. Se tiene
Res (g, i m) = lı́m
z→i m
Por consiguiente
) ∞
−∞
e−m
i m e i (i m)
z eiz
=
.
(z
−
i
m)
=
z 2 + m2
2im
2
e−m
2
x eix
dx = 2 π i
x2 + m2
En particular,
) ∞
−∞
−m x sen x
dx
=
π
e
x2 + m2
)
∞
y
−∞
= π i e−m .
x cos x
dx = 0.
x2 + m2
Nótese que en virtud de la Proposición 3.4.5, como la función x →
es par, se tiene que
) ∞
x sen x
π (e−m )
.
dx
=
x2 + m2
2
0
x sen x
x 2 +m 2
3. Series y aplicaciones
199
Esto se sigue, ya que haciendo un cambio de variable x → −x = u se tiene
que
)
r
0
x sen x
dx =
x2 + m2
)
r
0
−x sen(−x)
dx
(−x) 2 + m 2
)
= −
−r
0
u sen u
du =
u2 + m2
)
0
−r
u sen u
du,
u2 + m2
por lo que
)
r
lı́m
r→∞
−r
x sen x
dx = 2 lı́m
r→∞
x2 + m2
)
r
0
x sen x
dx.
x2 + m2
EJERCICIOS 3.4
1. Demuestre que el teorema del residuo implica el teorema de Cauchy y la
fórmula integral de Cauchy.
*∞
2. Calcule −∞ xx+1
dx.
4 +1
* 2 π dθ
3. Calcule 0 2−sen θ ·
* 2π
dθ
, b > 1.
4. Calcule 0 1−2 b cos
θ+b 2
* ∞ cos x
5. Calcule 0 x 2 +a dx, a > 0.
*∞
dx.
6. Calcule −∞ x 4 +6x+1
x 2 +25
*π
dθ
·
7. Calcule 0 1+sen
2θ
* ∞ x sen x
8. Calcule 0 x 4 +1 dx.
* π dθ
* 2 π dθ
= 0 b+cos
, b > 1.
9. Pruebe que 2 0 b+cos
θ
θ
Glosario de simbologı́a
A: cerradura del conjunto A en el plano complejo.
arg z: argumento de z.
B y 0 = {z ∈ C | z = t e i y 0 , t ≥ 0}: semirrecta desde el origen.
∂A: frontera del conjunto A en el plano complejo.
n : coeficiente binomial.
k
cos z =
cosh t =
e i z +e−i z
:
2
e t +e− t
2
coseno complejo.
: coseno hiperbólico real.
C: los números complejos.
C 1 : con derivada continua.
C ∞ : con derivadas de todos los órdenes.
= C ∪ {∞}: el plano complejo extendido.
C
Df(x 0 , y 0 ) , Df z , Df (z): matrices jacobianas.
d(f (z))
dz
=
df
dz
= f (z) = lı́mw→z
f (w)−f (z)
:
w−z
derivada compleja.
d(z, A): distancia del punto z al conjunto A.
D(z, r) = {w ∈ C | |w − z| < r}: disco abierto.
Δ = {z ∈ C | |z| < 1}: el disco unitario abierto.
dC (z, w): distancia cordal de z a w.
e (x+i y) = e x (cos y + i sen y): exponencial compleja.
Ext γ: exterior de la curva γ.
f k : derivada k−ésima.
∇u: gradiente de u.
201
202
Glosario de simbologı́a
H 2 = {z ∈ C | Im z > 0}: el semiplano superior abierto.
Im z: parte imaginaria del complejo z.
*b
*b
*b
(u(t) + i v(t))dt = a u(t) dt + i a v(t) dt: integral de curva en el plano.
a
*
*
*b
f = γ f (z) dz = a f (γ(t)) γ (t)dt: integral compleja.
γ
*
u dA: integral doble.
R
*
w
z
f (u) du: integral sobre cualquier curva de z a w.
Int γ: interior de la curva γ.
*
*
f = |z−a|=r f : integral sobre el cı́rculo {z ||z − a| = r}.
|z−a|=r
)
)
∞
f (x) dx =
x2 →∞
x 1 → −∞
−∞
∂2u
∂ x2
∇2 u =
x2
lı́m
(z) +
∂2u
∂y2
f (x) dx.
x1
(z): laplaciano.
(γ): longitud de la curva γ.
log z = log |z| + i arg z: rama de logaritmo.
N: los números naturales.
∂u
:
∂x
w
z
derivada parcial de u con respecto a x.
= e w log z : potencia compleja.
Q: los números racionales.
Re z: parte real del complejo z.
Res(f, z): residuo de f en z.
R: los números reales.
S 2 = {x ∈ R 3 |x| = 1}: la esfera unitaria.
sen z =
ei z −e−i z
:
2i
senh t =
e t −e− t
:
2
∞
ak =
0∞
k=0
seno complejo.
seno hiperbólico real.
ak = a0 + a1 + a2 + a3 + . . .
k=0
Z: los números enteros.
Bibliografı́a
[1] Ahlfors, L. V., Complex Analysis, McGraw-Hill, 1966.
[2] Bartle, R. G., The Elements of Real Analysis, John Wiley and Sons,
New York, 1967.
[3] Beardon, A. F., The Geometry of Discrete Groups, Graduate Texts
in Mathematics 91, Springer-Verlag, 1995.
[4] ————— Iteration of Rational Functions, Graduate Texts in Mathematics 132, Springer-Verlag, 1991.
[5] Cano Figueroa C., Notas de variable compleja, Tesis de licenciatura,
UNAM, Facultad de Ciencias, 2003.
[6] Conway, J. B., Functions of One Complex Variable, Graduate Texts
in Mathematics 11, Springer-Verlag, 1978.
[7] Herstein, I. N., Topics in Algebra, Xerox College Publishing, 1964.
[8] Jones, G. A. y D. Singermann, Complex Functions, Cambridge
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bidimensional, 2a edición, Las prensas de ciencias, UNAM, 2015.
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volume III, Prentice Hall, 1967.
[12] Hoffman, M. y J. E. Marsden, Basic Complex Analysis, W. H.
Freeman and Company, 1996.
203
204
Bibliografı́a
[13] Marsden, J. E. y A. J. Tromba, Cálculo vectorial, Fondo Educativo
Interamericano, 1981.
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Texts in Mathematics 47, Springer-Verlag, 1977.
[15] Mumford, D., C. Series y D. Wright, Indra’s Pearls, Cambridge
University Press, 2001.
[16] Rudin, W., Principios de análisis matemático, McGraw-Hill, 1980.
[17] Titchmarsh, E. C., The Theory of Functions, Oxford University
Press, 1939.
Índice analı́tico
Abel
lema de, 155
lema dual de, 166
abierto, conjunto, 17
analı́tica, función, 47
Apolonio, cı́rculos de, 27
argumento, 4
armónica, función, 54
cordal, métrica, 24
corte
lı́neas de, 59
puntos de, 59
coseno, función, 42
criterio de la raı́z para series de potencias, 158
criterio de la razón para series de potencias, 158
Casorati-Weierstrass, teorema de, 182
Cauchy
coeficientes de, 171
desigualdades de, 121
fórmula del anillo de, 168
fórmula integral de, 115
fórmula integral para la derivada
k−ésima de, 120
integrales del tipo, 116
sucesiones de, 19
teorema de, 105
Cauchy-Riemann
ecuaciones de, 50
ecuaciones polares de, 54
cero de orden k, 178
conforme, función, 65
conjugada armónica, 128
conjugado, 8
continuidad, 18
convergencia uniforme, 144
convexo, conjunto, 96
De Moivre, fórmula de, 12
deformación, teorema de la, 102
derivada compleja, 47
desigualdad de Cauchy-Schwarz, 15
diferenciable en el sentido complejo,
47
Dirichlet, problema de, 132
eje
imaginario, 1
real, 1
entera, función, 47
exponencial, función, 27, 28
Fourier, transformada de, 193
función inversa, teorema de la, 66
función raı́z n-ésima, 38
funciones trigonométricas, 42
Goursat
generalización del lema de, 91
205
206
´Indice analı́tico
lema de, 88
parte real, 1
propiedades aritméticas de, 2
sucesiones de, 18
suma de, 1
unicidad, 16
normal, convergencia, 148
Hadamard, fórmula de, 159
holomorfa, función, 47
homeomorfismo, 107
homotópicas, curvas, 95
homotopı́a de clase C 1 por tramos,
Picard, gran teorema de, 181
97
plano complejo extendido, 19
ı́ndice, 112
Poisson, fórmula de, 132
infinito, punto al, 19
polo
integral de una función compleja sode orden k, 174
bre una curva, 72
simple, 174
integral impropia, 186
potencias complejas, 36
primitiva, 92
Jordan, teorema de, 81
teorema de la, 107
teorema local de la, 91
Lagrange, identidad de, 15
principio del máximo, 125
laplaciano, 54
principio del máximo para funciones
Laurent, teorema de, 168
armónicas, 131
Lebesgue, número de, 98
propiedad del valor intermedio para
Leibnitz, regla de, 164
funciones armónicas, 131
lı́mite, 18
propiedad del valor intermedio, 124
Liouville, teorema de, 121
proyección estereográfica, 21
logaritmo
analiticidad del, 57
raı́z
definición, 33
n-ésima, 12
propiedades, 34
cuadrada, 11
rama de, 108
radio
de convergencia, 156
rama principal, 58
ramificación
lı́neas de, 59
módulo máximo, 125
puntos de, 59
Möbius, transformaciones de, 20
residuo, 174
meromorfa, función, 174
teorema del, 184
Morera, teorema de, 122
Riemann
números complejos
esfera de, 20
multiplicación de, 2
función zeta de, 151
definición, 1
Schwarz, lema de, 126
parte imaginaria, 1
´Indice analı́tico
seno, función, 42
series
p, 141
de Laurent, 168
de potencias, 155
de Taylor, 160
Shoenflies, teorema de, 107
simple cerrada, curva, 81
simplemente conexo, 96
singularidad
aislada, 174
esencial, 174
removible, 174
Taylor
coeficientes de, 157
teorema de, 160
truco de, 161
teorema
fundamental del álgebra, 122
fundamental del cálculo complejo, 78
Triángulo, desigualdad del, 14
trigonométricas, integrales, 191
Weierstrass
prueba M de, 146
teorema de, 148
207
Curso básico de variable compleja
editado por la Universidad Nacional Autónoma de México
se terminó de imprimir el 15 de febrero de 2020
en Gráfica premier, S. A. de C. V.
5 de febrero 2309, San Jerónimo Chicahualco.
Metepec. Estado de México. CP. 052170.
El tiraje fue de 1000 ejemplares
Impresión offset sobre papel Book creamy de 60 g.
En su composición se utilizó tipografía
Computern modern 11/13 pts.
El cuidado de la edición estuvo a cargo de
Mercedes Perelló Valls