UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE
FACULTAD DE INGENIERÍA
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA
Notas de Cátedra
Capítulo 1: Lógica Proposicional
Autoras: Prof. Noemí O. de Goicoechea y Prof. María R.
Gasparini.
Revisión y reedición 2020: Prof. Claudia Beneyto
A.X=B
A K3x3
A
A=
0
0
r(A)
=
r(A) r(A’)
r(A’)
Departamento de Matemática- Instituto de Matemática
Nociones de Lógica Formal
La lógica es la ciencia formal y rama tanto de la filosofía como de las matemáticas que
estudia los principios de la demostración y la inferencia válida, las falacias, las paradojas y la
noción de verdad.
En toda definición, propiedad o demostración matemática es preciso que se conjuguen la
claridad, la economía y sobre todo la eliminación de las ambigüedades del lenguaje ordinario, lo
que se logra con la introducción de símbolos y conectivos. Estudiaremos: el concepto de
proposiciones simples, operaciones con proposiciones que nos permitirán obtener proposiciones
generales que se utilizarán a través del desarrollo de toda la asignatura.
Proposiciones Simples
Definición: Las proposiciones son oraciones declarativas a las cuales puede asociarse sólo uno
de los siguientes valores de verdad : verdadera (V) o falsa (F).
Ejemplos
- Julio Bocca es escritor (F)
- 8 es número primo (F)
- Existen infinitos puntos (V)
- Julio es músico (VoF) tendríamos que
conocer a Julio)
Estas son oraciones declarativas y por lo
tanto:son proposiciones
Contra ejemplos
¿qué hora es? (interrogativa)
¡ Salga de aquí (imperativa)
¡ Qué barbaridad (exclamativa)
Ojalá llueva mañana (desiderativa)
no son proposiciones
Observación: Sean las siguientes oraciones declarativas:
-
Romeo ama a Julieta.
- Julieta es amada por Romeo.
Si bien son diferentes desde el punto de vista gramatical, tienen el mismo significado, razón
por la cual las consideramos como la misma proposición.
Así como en álgebra se usan letras para representar números, y de este modo escribir
expresiones generales tales como x + y = y + x (cuyos casos particulares: 2 + 1 = 1 + 2 ; 3 + 5
= 5 + 3 ..... etc.) también en lógica se usan letras (p, q, r, s, ... ) para representar proposiciones. De
modo que tendrá sentido escribir: p = el conejo salta.
Si p es una proposición y queremos expresar que su valor de verdad es V o F escribimos:
V (p) = V o V (p) = F respectivamente.
Conviene destacar que no compete a la lógica establecer el valor de verdad de las
proposiciones.
Operaciones con proposiciones
Así como en álgebra se estudian las operaciones entre números, en lógica se estudian las
operaciones entre proposiciones. A partir de proposiciones simples es posible generar
proposiciones compuestas mediante símbolos que llamaremos conectivos lógicos. Cada uno de
ellos permite definir una operación interna y cerrada en E, esto significa que la operación entre
dos proposiciones es otra proposición (llamada proposición compuesta).
Las operaciones que estudiaremos son: negación, conjunción, disyunción, diferencia
simétrica, implicación y doble implicación, unitaria la primera y binarias las restantes.
Conectivo
Operación Asociada
Significado
Negación
no p; no es cierto que p
Conjunción
p y q
Disyunción
p o q (en sentido incluyente)
Diferencia Simétrica
p o q (en sentido excluyente)
Implicación
p implica q ; si p entonces
q
Doble implicación
p si y sólo si q
Negación
Definición: Negación de la proposición p es la proposición no p, notada ~ p o también -p cuya
tabla de valores de verdad es:
p
V
F
-p
F
v
Se trata de una operación unitaria, pues a partir de una
proposición se obtiene otra que es su negación.
Ejemplo : Sea la proposición p = todo hombre es honesto
~ p : no todo hombre es honesto
~ p : no es cierto que todo hombre es honesto
~ p : existen hombres deshonestos
si : V( p ) = F
V( - p ) = V
Conjunción
Definición: Conjunción de las proposiciones p y q es la proposición p q (p y q).
Cuya tabla de valores de verdad es:
p
q
pq
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
V (p q) = V sólo cuando V (p) = V V (q) = V
Ejemplo: 1) p = Juan es alto ; q = Luis es alto ; p q = Juan y Luis son altos. V (p q)
V (p) = V
y V(q) =V
2) p = Hoy es lunes ; q = mañana es sábado ;
p q = Hoy es lunes y mañana es sábado.
V( p ) V
V( p q ) F pues no coexisten
V( q ) V
Disyunción
La expresión “o“ es ambigua en el lenguaje corriente, es usada en el sentido excluyente e
incluyente.
Pero desde el punto de vista lógico, es decir cuando no nos interesamos en el contenido de las
proposiciones sino exclusivamente en su valor de verdad, tenemos dos símbolos diferentes:
Disyunción incluyente
Definición: Disyunción de las proposiciones p y q es la proposición p q en sentido incluyente
cuya tabla de valores de verdad es:
p
q pq
V( p q ) = F solo si V( p ) = F V( q ) = F
V
V V
V
F
V
F
V V
F
F
F
Ejemplo: p = Juan es alto , q = Pedro es alto , p q = Juan o Pedro son
altos
V( p q ) = F sólo si Juan y Pedro son bajos,
es decir V( p ) = F V( q ) = F
Diferencia simétrica o Disyunción excluyente
Definición: Diferencia simétrica o disyunción excluyente de las proposiciones p y q es la
proposición p q en sentido excluyente, cuya tabla de valores de verdad es:
p q pq
V V
V
V F
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V( p q ) = V solo si V( p ) V( q )
Ejemplo: p = hoy a las 18 hs. vamos a clase ,
q = hoy a las 18 hs. vamos a remar
p q = hoy a las 18 hs. vamos a clase o a remar.
pq
F
V( p q ) = V solo si V( p ) V( q ) significa o bien p, o bien q
pero no ambas.
Implicación condicional
Definición: Implicación de las proposiciones p y q es la proposición p q ( p implica q o si
p entonces q ) cuya tabla de valores de verdad es:
p q pq
V V
V
V( p q ) = F solo si V( p ) = V V( q ) = F
V F
F
p se llama antecedente de la implicación
F
F
V
V
q se llama consecuente de la implicación.
V
F
Ejemplo:
p = gano el quini
q = te invito a un asado
p q = si gano el quini entonces te invito a un asado.
Podemos pensar esta implicación como un compromiso condicionado por
“p” , y
podemos asociar la verdad de p q al cumplimiento del compromiso si V( p ) = V y V( q ) =
F el compromiso no se cumple y la proposición p q es falsa.
Si V( p ) = F quedo liberado del compromiso, puedo o no invitarte al asado y la proposición p
q es verdadera.
Doble implicación o bicondicional
Definición: Doble implicación de las proposiciones p y q es la proposición p q ( p si y solo
si q ) cuya tabla de valores de verdad es:
p q pq
V V
V
V F
F
F
F
F
V
V
F
V( p q ) = V solo si V( p ) = V( q )
La doble implicación puede definirse también como la conjunción de una implicación y su
recíproca.
p
V
V
F
F
q pq
V V
F F
V V
F V
q p (p q) (q p)
V
V
V
F
F
F
V
V
Ejemplo: p = ABC es un triángulo, q = ABC tiene tres lados, p q = ABC es un triángulo si
y solo si tiene tres lados.
Aquí : “p es condición necesaria y suficiente para q” y “q es condición necesaria y suficiente
para p”
Reunimos las operaciones en una
p q pq pq pq pq pq
tabla:
V V
V
V
F
V
V
V F
F
V
V
F
F
F V
F
V
V
V
F
F F
F
F
F
V
V
Tautología: es una proposición compuesta cuyo valor de verdad es siempre verdadero.
Contradicción: es una proposición compuesta cuyo valor de verdad es siempre falso,
cualesquiera sean los valores de verdad de las proposiciones simples que combinan.
Leyes o tautologías : Su demostración se reduce a la confección de la tabla.
Involución : - ( -p ) p
de la conjunción : ( p p ) p
de la disyunción : ( p p ) p
Idempotencia
de la conjunción : p q q p
Conmutatividad
de la disyunción : p q q p
de la conjunción : ( p q ) r p ( q r )
Asociatividad
de la disyunción : ( p q ) r p ( q r )
Distributividad :
-de la conjunción respecto de la disyunción
- de la disyunción respecto de la conjunción
p ( q r ) ( p q ) ( p r)
p ( q r ) ( p q ) ( p r)
Leyes de De Morgan :
-la negación de una conjunción es equivalente a la disyunción de las negaciones.
- ( p q ) -p -q
-la negación de una disyunción es equivalente a la conjunción de las negaciones
- ( p q ) -p -q
Ley de la negación de la implicación -( p q ) p -q
Ley de la reducción de la implicación p q -p q
Demostraremos algunas de ellas :
Conmutativa de la disyunción : p q q p
p
q
pq
qp
pq qp
V
V
V
V
V
V
F
V
V
V
F
V
V
V
V
F
F
F
F
V
Ley de la reducción de la implicación p q -p q
p q -p -p q
p
q
V
V
V
F
V
V
V
F
F
F
F
V
F
V
V
V
V
V
F
F
V
V
V
V
Funciones proposicionales
Sea x un objeto determinado perteneciente a un cierto conjunto. Llamamos a x variable o
indeterminada. El símbolo P( x ) representa una propiedad relativa a la indeterminada x .
Ejemplo: x N ; P( x ) : x es primo
Esta expresión se llama función proposicional en una variable. Como vemos no es una
proposición, pues a menos que se especifique x , nada podemos decir acerca de su valor de verdad.
Pero para cada especificación de x , la función proposicional se transforma en proposición.
Definición: Función proposicional en una variable o indeterminada x es toda oración en la que
figura x como sujeto, la cual se convierte en proposición para cada especificación de x.
Ejemplo:
xN
p(x) : x es primo ( función proposicional )
p(5) : 5 es primo ( proposición V )
p(6) : 6 es primo ( proposición F )
Se presentan también funciones proposicionales con dos variables o indeterminadas.
Ejemplo: P( x , y ) : x divide a y ( función proposicional )
P( 5 , 10 ) : 5 divide a 10 ( proposición V )
P( 2 , 7 ) : 2 divide a 7 ( proposición F )
Cuantificadores
Mediante un proceso llamado cuantificación podemos, a partir de funciones proposicionales
obtener proposiciones generales.
Introducimos dos símbolos asociados a la indeterminada x : ( x ) ; ( x ) llamados
cuantificador universal y existencial respectivamente.
x : P( x ) significa “ para todo x se verifica P( x )”
( x ) / P( x ) significa “ existe al menos un x , tal que se verifica P( x )”
!( x ) / P( x ) significa “ existe un único x, tal que se verifica P( x )”
La función proposicional quedó cuantificada universalmente en el primer caso y
existencialmente en los otros dos, convirtiéndose en una proposición general.
Ejemplo: x N ; P( x ) : x es primo ( función proposicional )
La cuantificamos universalmente:
x N : x es primo ( proposición general F ) para que sea verdadera, deben ser verdaderas
todas las proposiciones particulares asociadas a ella.
La cuantificamos existencialmente:
x N / x es primo ( proposición general V ) para que sea verdadera basta que por lo
menos una de las proposiciones particulares asociadas a ella sea verdadera.
EJERCITACIÓN
1) Sean las proposiciones “Laura trabaja” y “Laura va de compras”. Escribe la expresión
simbólica, enuncia en lenguaje coloquial y construye la tabla de verdad para las siguientes
proposiciones compuestas:
i) Disyunción de la primera con la negación de la segunda
ii) Conjunción de sus negaciones
iii) Implicación de la primera como antecedente y la segunda como consecuente.
iv) Negación de la disyunción
v) Equivalencia entre la negación de la primera y la negación de la segunda
vi) Disyunción de sus negaciones
vii) Implicación de la segunda como antecedente y negación de la primera como
consecuente.
A modo de ejemplo, desarrollamos el primer ítem. Designamos las proposiciones simples:
“p”: Laura trabaja
;
“q”: Laura va de compras
Entonces: i) Disyunción de la primera con la negación de la segunda
Expresión simbólica: p q
Lenguaje coloquial: Laura trabaja o no va de compras
Tabla de verdad de la proposición compuesta:
p
V
V
F
F
p q
q -q
V
F
V
F
V
V
V
F
F
F
V
V
2-Determina la verdad o falsedad de cada una de las siguientes proposiciones compuestas:
a) 2 < 3 3 es un entero positivo
b) 2 3 3 es un entero positivo
c) 2 < 3 3 no es un entero positivo
d) 2 > 3 3 es un entero negativo
e) 2 3 3 es un entero negativo
Desarrollamos el primer ítem para ejemplificar.
a)
2<3
3 es un entero positivo
V
V
V
3- Sean los siguientes enunciados:
p: 21 es múltiplo de 3
q: 5 es divisor de 40
r: 6 y 25 son coprimos
x: 4 es múltiplo de 8
y: 20 es divisor de 10
z: 38 es número primo
i) Determina el valor de verdad de cada uno de ellos
ii) En base a lo obtenido en el ítem anterior, determina el valor de verdad de los siguientes
enunciados compuestos:
a) ( r z ) ( y q)
b) – [ ( - q p ) ( - p q ) ]
Para responder el ítem a) debes recordar que:
c) ( p q ) ( z y)
Un número entero a es múltiplo de otro número entero b sí y sólo sí existe un tercer número
entero k, tal que k . b = a . Simbólicamente a b k.b a , con a, b, k Z. Entonces:
a es múltiplo de b a es divisible por b
b es divisor de a b divide al número a
Un número es primo sí y sólo sí es divisible por sí mismo y por la unidad
Ejemplos: 11, 23, 53, 61, 97
Un número es compuesto si tiene otros divisores además de sí mismo y la unidad.
Ejemplos: 8, 15, 24, 77, 100
Dos números son coprimos sí y sólo sí el único divisor común entre ellos es la unidad.
Ejemplos: 5 y 36, 88 y 9, 12 y 7, 26 y 57
A modo de ejemplo, desarrollamos brevemente las dos primeras proposiciones compuestas
a)
( r z )
( y q)
(
(
)
V
)
V
V
b)
– [ ( -q p ) ( -p q ) ]
– [ (
)
(
– [
) ]
]
– [V]
F
4- Encuentra el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
a) ! x R / x 2 = x
b) x Z / x 3 + 1 = ( x + 1 )3
c) x R : ( x + 1 ) 2 = x 2 + 2x + 1
d) ! x N / x 2 = x
e) x N : x 2 es par
f) x Np : x 2 es par
g) ! x Z / x < 1
h) ! x Z / 2x + 5 = 1
i) x, y N :
xy
2( x y)
2
j) x , y R :
xy
2( x y)
2
k) x R / x2 = x x + 1 = x
l) x R / x 2 – 2x- 3 = 0
m) x R : x 2 – 2 x – 3 = ( x + 1) . ( x - 3 )
n) x N : ( x – 1 ) . ( x – 2 ) = 0
o) ! x R / 7 x – 14 = 7
p) ! x R / x2 + 4 x + 3 = 0
Para ejemplificar, desarrollamos los tres primeros ítems.
a) ! x R / x 2 = x
pues x 2 x 0 xx - 1 0
es F
x1 0
x2 1
existen 2 valores reales¸ tales que x 2 x
02 0
12 1
no es único no se cumple la proposición propuesta
b) x Z / x 3 + 1 = ( x + 1 )3
Operando
con
x 3 1 x 1
3
es V
ambos
miembros
de
la
x 3 1 x 3 3x 2 3x 1
3x 2 3x 0 3xx 1 0
x1 0
x2 1
existe al menos un x Z que cumple la proposición
propuesta.
0 3 1 0 1 1 1
3
Verifiquémoslo:
igualdad:
13 1 1 13
c) x R : ( x + 1 ) 2 = x 2 + 2x + 1
00
es V
pues es una identidad (igualdad que se verifica para todo valor asignado a la variable)
se verifica la proposición propuesta
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ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA
Notas de Cátedra
Capítulo 2 : Estructuras Algebraicas
Autoras: Prof. Noemí O. de Goicoechea y Prof. María R.
Gasparini.
Revisión y reedición 2020: Prof. Claudia Beneyto
A.X=B
A 0
A K3x3
A= 0
r(A) = r(A’)
r(A) r(A’)
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ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
Ley de composición interna
Se denomina Ley de composición interna u operación interna entre los elementos de un
conjunto A, a toda aplicación o función de AxA en A.
Aclaración: generalizamos las operaciones: suma, resta, multiplicación etc. con el símbolo *
y lo denominamos estrella, asterisco u operación.
AxA
A
,
1
1 , 2 12
2
1 , 2 Ax A A2
;
12 A
También podemos enunciar la ley interna u operación interna de la siguiente manera:
Si 1, 2 A : 1 * 2 A * es ley interna
Esto significa que al operar con dos elementos de un mismo conjunto A, si el resultado
pertenece al conjunto A, entonces la operación es una ley interna cerrada en A; diremos
simplemente: ley interna.
Ejemplo: En NxN.
Si
, 2
1
1 , 2 1 2
, 2
g
g 1 , 2 1 2
,
h
h 1 , 2 1 2
1
1
2
Son leyes de composición interna y h, no lo es la aplicación g (la resta de dos números
naturales no siempre es un número natural). La aplicación g sería ley de composición interna en
el caso de estar definida en los conjuntos Z, Q o R.
Ley de composición externa
Se denomina Ley de composición externa definida entre los elementos de un conjunto A, con
operadores en V a toda aplicación o función de VxA en A.
Ejemplo: Si A es el conjunto de los segmentos contenidos en un plano y N es el conjunto de
los números naturales, una ley de composición externa en A con operadores o escalares en N es el
producto de números naturales por segmentos del plano.
Propiedades y elementos notables en una ley interna
1.- Se dice que es asociativa en el conjunto A si:
1 , 2 , 3 A: 1 ( 2 3 ) ( 1 2 ) 3
Contraejemplo: la división es ley interna en Q
a : (b : c) (a : b) : c
b a
:c
c b
c
a
a
; no asociativa
b bc
a:
2.- Se dice que es conmutativa en el conjunto A si:
1, 2 A : 1 2 2 1
Ejemplo: Son conmutativas la suma y la multiplicación de números. No lo son la resta y la
división.
3.- Existencia de elemento neutro: e es neutro de A respecto de si:
e A / A: e = e =
Ejemplo: En R, “1” es neutro respecto de la multiplicación: 1 1 ; “0” es neutro
respecto de la suma: + 0 0
Teorema: Si existe elemento neutro, éste es único. En efecto: si e y e’ verifican 3, entonces:
e'e = ee' = e' (e es neutro)
e = e'
ee' = e'e = e (e' es neutro)
como el neutro es único podemos redefinirlo utilizando !
! e A / a A : a * e = e * a = a
4.- Existencia de elemento simétrico: Sea A un conjunto provisto de elemento neutro “e”:
' es simétrico de respecto de si:
A, ' A: ' = ' = e
Ejemplo: Sea el conjunto R. Si = · ; ' se anota 1 y se denomina inverso. En R todos
los elementos excepto el 0 (cero), admiten inverso.
Si = + ; ' se anota y se denomina opuesto.
Teorema: Si la ley es asociativa y existe elemento simétrico ' del elemento , éste es
único:
Supongamos que existen dos elementos simétricos ' y ' ' :
λ'(λ λ' ' ) ( '* ) λ' '
λ' e e λ' ' (por definición de simétrico)
λ' λ' '
(por definición de neutro )
Nota: Si se probó que la ley es conmutativa, puede enunciarse la existencia de neutro y
simétrico de la siguiente manera:
! e A / A : e =
A, ' A : ' = e
5.- Existencia de elemento absorbente: 0 (cero) es elemento absorbente de A respecto de
si:
0 A / A :
0 = 0 = 0
Ejemplo: En R el número cero es elemento absorbente respecto del producto. Observe que
cero es elemento neutro respecto de la suma en R.
Estructuras Algebraicas
Se dice que un conjunto M, que está dotado de una o varias leyes de composición (internas o
externas) posee cierta estructura algebraica si se verifican determinadas propiedades
Estructura de Monoide
Sea una operación interna definida sobre el conjunto M . Al par (M, ) se lo llama
monoide: 1 , 2 M :
(1 2 ) M
Son modelos de monoide: N, Z, Q, R, C con la suma algebraica. En cambio (N, -) no lo es.
Estructura de Semigrupo
Se llama semigrupo a todo monoide (M, ) cuya ley interna es asociativa.
En particular: si la ley interna es conmutativa el semigrupo se llama conmutativo.
Si existe elemento neutro se dice que el semigrupo tiene neutro.
Si la ley es conmutativa y con neutro se dice que el semigrupo conmutativo con neutro.
Ejemplos:
(N, +) es un semigrupo conmutativo sin neutro (0 N) .
(N0, +) es un semigrupo conmutativo con neutro.
(N, ·) es un semigrupo conmutativo con neutro (1 N) . Como el neutro es 1 se dice también
semigrupo conmutativo con unidad.
(Z, .) es un semigrupo conmutativo con neutro.
Estructura de Grupo
Definición : Se dice que un monoide ( G , ) posee estructura de grupo, o simplemente G es
un grupo si se satisfacen las dos condiciones siguientes:
- ( G , ) es un semigrupo con neutro.
- Todo elemento de G posee simétrico.
Si además verifica la propiedad conmutativa se denomina Grupo conmutativo o Grupo
abeliano
Al analizar una estructura conviene verificar si se cumple la conmutativa antes de verificar la
existencia de neutro y simétrico, pues ahorraremos efectuar operaciones, estas se reducen a:
e =
' e
Si la operación *= + se dice que el grupo es aditivo, su neutro se denomina cero y el elemento
simétrico de cada elemento es su opuesto.
Si la operación * = · se dice que el grupo es multiplicativo, su neutro se denomina uno y el
elemento simétrico de cada elemento es su inverso.
Ejemplos:
(N, +) no es grupo ( e = 0 N ) .
(N0, +) no es grupo (e = 0 N 0 , pero no verifica G 4 ) .
(Z, +) es grupo abeliano.
(ZP, +) es grupo abeliano (siendo ZP: enteros pares).
(ZI, +) no es grupo ( e 0 Z I , siendo ZI: enteros impares).
(Q, +) y (R, +) son grupos.
Al analizar (Q, ·) y (R, ·) debemos tener en cuenta que todo elemento tiene inverso excepto el
cero (elemento absorbente de dicha operación), entonces se lo excluye. Se utiliza la siguiente
notación:
(Q-{0}, ·) ; (R-{0}, ·) y también (Q*, ·) ; (R*, ·)
Estructura de Anillo
Sea A un conjunto no vacío, dotado de dos leyes de composición internas. Se dice que A tiene
estructura de anillo respecto de (estrella) y (cerito), o también la terna (A, , ) , en ese orden,
es un anillo si se cumplen las siguientes propiedades:
I.- El par (A, ) es grupo Abeliano (cuyo elemento neutro que denotaremos por “e” o por
“0 (cero)”, suele denominarse elemento cero o nulo).
II.- El par (A, ) es un semigrupo.
III.- La operación (cerito) es doblemente distributiva respecto de la operación (estrella).
1 2 3 1 2 1 3
, , A
2 3 1 2 1 3 1 1 2 3
Si (A, , ) es un anillo tal que la operación
conmutativo.
(cerito) es conmutativa, se dice que es un anillo
Si (A, , ) es un anillo tal que existe un elemento neutro para la operación
que es un anillo unitario o un anillo con unidad.
(cerito), se dice
Al elemento neutro de (A, ) lo denotaremos por “u” o por “1 (uno)”, de ahí la denominación
de anillo unitario.
Ejemplo:
(Z, +, ·) es un anillo conmutativo y unitario.
(ZP, +, ·) es un anillo conmutativo ( u = 1 ZP ).
Sea el anillo (A, +, ·). El elemento neutro de (A,+) se denota e=0 y el elemento neutro de
(A,·) es u=1.
Si 1 , 2 A con 1 0 2 se verifica 1 2 = 0 se dice que 1 y 2 son divisores de
cero.
Si 1 , 2 A con 1 0 2 se verifica 1 2 0 se dice que el anillo carece de
divisores de cero.
Se llama dominio de integridad a todo anillo conmutativo con unidad que carezca de divisores
de cero.
Ejemplo: (Z, +, •) es un anillo conmutativo con unidad.
(Z P , +, •) es un anillo conmutativo ( u = 1 ZP ) ;
ZP Z .
(Z P , +, •) subanillo del anillo (Z, +, •) .
Estructura de Cuerpo
Se denomina cuerpo a un anillo unitario en donde todos sus elementos, a excepción de“e
(neutro)”, tienen simétrico respecto de “ (cerito)”. Dichos elementos suelen llamarse también,
elementos inversos, lo notamos 1 .
Para designar al conjunto, utilizamos la letra K, para las leyes internas *=+ y
elementos neutros son e=0 y u=1.
=·
los
Damos ahora una definición análoga a la anterior:
Se dice que la terna (K, +, ·) es un cuerpo si:
- El par (K, +) es un grupo abeliano.
- El par (K-{0}, ·) es un grupo.
-La operación “(producto)” es doblemente distributiva respecto de la operación “ (suma)”.
1 2 3 1 2 1 3
, , A
2 3 1 2 1 3 1 1 2 3
Si además la segunda ley de composición es conmutativa diremos que la terna (K, +, ·) es un
cuerpo conmutativo.
Ejemplos:
Son cuerpos: (Q, +, ·) ; (R, +, ·) ; (C, +, ·).
(Z, +, ·): no es un cuerpo (sus elementos carecen de inverso; 2 Z pero
1
Z)
2
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ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA
Notas de Cátedra
Capítulo 3 : Matrices 1º parte
Autoras: Prof. Noemí O. de Goicoechea y Prof. María R.
Gasparini.
Revisión y reedición 2020: Prof. Claudia Beneyto
A.X=B
A 0
A K3x3
A= 0
r(A) =
r(A’)
r(A)
r(A’)
Departamento de Matemática- Instituto de Matemática
Matrices (1º parte)
El álgebra matricial es un tema de gran importancia en los cursos de matemática, estos conceptos
son básicos para el estudio de la física, la estadística, la economía, la ingeniería.
En las actividades cotidianas a veces es necesario disponer (para su mejor comprensión) un
conjunto de números en una formación rectangular, con filas y columnas.
Por ejemplo: un entrenador de básquetbol desea llevar un registro de la actuación de tres de sus
jugadores. Podemos considerar la siguiente disposición:
Partidos
Goles
Tiros libres
Jugados
jugador "A"
16
110
62
jugador "B"
14
85
42
jugador "C"
16
73
55
o simplemente:
16 110 62
14
85
42
16
73
55
A este cuadro lo llamamos matriz, la definimos formalmente:
Matrices sobre un cuerpo K
Definición: Sea un cuerpo numérico conmutativo ( K = Q, R C ) una expresión del tipo :
a11
a 21
A
a
m1
a1n
a 22 a 2n
1 i m
; A aij
donde
m
x
n
1 j n
a m2 a mn
a12
en la que figuran m x n números de K, colocados ordenadamente en m filas y n columnas, se llama
matriz de números de K con m filas y n columnas ( o matriz de clase m x n, o bien matriz m x n ). Se
trata de un ordenamiento rectangular de números.
aij significa el elemento situado en la i-ésima fila y en la j-ésima columna.
Ejemplo: a34 es el elemento de la tercera fila y la cuarta columna.
El conjunto de todas las matrices de clase m x n con coeficiente en K se anota A Km x n ; si no
hay dudas respecto al cuerpo K se escribe Am x n.
2 3 4
;
Ejemplos: A
5 1 7
2i
3
B 4 3 4i ; B C3 x 2
i
5
A R2 x 3
El elemento a22 = 1
El elemento a22 = 3 + 4i
Tipos de Matrices
si m < n : horizontal
a) si m n Am x n es rectangular
si m > n : vertical
b) si m = n An x n es cuadrada.
a11 a12 a1n
a 21 a 22 a 2n
A
siendo aij con i = j la diagonal principal
a
n1 a n 2 a nn
c) si m = 1 n 1 A1 x n es la matriz fila
.
. . .
d) si m 1 n = 1 Amx1 es la matriz columna
.
.
.
.
e) Matriz escalonada :
i) Todas las filas no nulas ( si las hay ) preceden a las filas nulas.
ii)
En cada fila no nula, el número de ceros que precede al primer
elemento distinto de cero es mayor que el número de ceros de la fila anterior.
a11 a12
0 a 22
Ejemplo:
0
0
0
0
a13
a 23
0
0
a14
a 24
= A4 x4
a 34
0
Igualdad de matrices
Sean A, B Km x n / A = ( aij )m x n B = ( bij )m x n
A = B aij = bij
i , j
1 i m
con
1 j n
23 5 1 5
,
A 2
0
3
4
0
Ejemplo :
8 6 5
A B
B
9 1 0
Matriz traspuesta
Matriz traspuesta de A = ( aij )m x n es la matriz de elemento genérico aji de clase
n x m. la denotamos At
At = ( aji ) n x m
2 5 7
Ejemplo: si A
3 4 9
At
2 3
5 4
7 9
Matrices cuadradas particulares
AK
nxn
a ij 0
es diagonal
a ij 0
a) A K
nxn
si i j
si i j
3 0 0
A 0 4 0
0 0 2
a ij 0 si i j
es escalar
a ij 0 , si i j
5 0 0
B 0 5 0
0 0 5
a 0
b) I Kn x n es unidad o identidad , de elemento genérico a i j' ij
a ij 1
1
I 0
0
0
1
0
si i j
si i j
0
0
1
a11 a12
superior aij = 0 i j 0 a 22
0
0
a13
a 23
a33
c) A Kn x n es triangular
a11 0
inferior aij = 0 i < j a 21 a 22
a
31 a32
0
0
a33
Matriz simétrica
Una matriz cuadrada es simétrica si y solo si es igual a su traspuesta.
AK
nxn
es simétrica
A=A
t
A + At
Si A es simétrica se verifica:
4 5 6
A A 5 3 1 +
6 1 2
t
4 5 6
5 3 1 =
6 1 2
(aij = aji i j)
4 5 6
A 5 3 1
6 1 2
es simétrica
8 10 12
10 6 2
12 2 4
Matriz antisimétrica
A Knxn es antisimétrica -A = AT
(aij = -aji ; como aii = -aii los elementos de la diagonal principal son ceros)
0
1 2
0
t
A 1
0
9 - A = A = 1
-2
2 9
0
T
Si A es antisimétrica verifica A-A es antisimétrica
2
- 9
0
-1
0
9
2
0
0
A–A = -2
4 - 18
t
-4
18
0
es antisimétrica.
Álgebra Matricial
Definiremos las operaciones con matrices, veremos sus propiedades y estructuras. Marcaremos
las diferencias con el Algebra Clásica.
Suma: La suma de matrices está definida sólo para matrices de la misma clase.
Definición: Sean A, B Km x n ; A = ( aij )m x n B = ( bij )m x n A + B = ( aij + bij )m x n A + B
Km x n
Entonces la suma de matrices pertenecientes a Km x n es una operación binaria interna cerrada o
simplemente verifica la ley de cierre.
2 3
4 3
2 4 3 (3) 6 0
A 4 5 , B 5 4 A B 4 5
5 4 9 9
6 7
6 5
6 6 7 5 0 12
Propiedades
Asociativa:
Conmutativa:
A, B, C Km x n: (A + B) + C = A + (B + C)
A, B Km x n: A + B = B + A
Existencia de neutro: N Km x n / A Km x n A + N = A / N [ 0 ]m x n es decir aij = 0 i j
Existencia de opuesto: A Km x n - A Km x n : A + (-A) = [ 0 ]m x n ,
si A = [ aij ]mxn
-A = [-aij ]mxn
( Km x n , + ) es un
Grupo Abeliano
Producto de una matriz por un escalar
Dada la matriz A Km x n y el escalar K definimos la operación externa de producto
de una matriz por un escalar, como la matriz A Km x n :
A = [aij] mxn = [ aij]mxn (se multiplican todos los elementos de la matriz por el escalar)
1 3 2.1 2.3 2 6
2
5 4 2.3 2.4 10 8
Propiedades
1)
2)
3)
4)
(A+B) = A + B
el producto es distributivo respecto a la suma de matrices.
(1 + 2) A = 1 A + 2A el producto es distributivo respecto a la suma de escalares.
1 (2 A) = (1 2) A
asociatividad para escalares.
1.A=A
el neutro de un producto es 1 R
(Kmxn, +, K, . ) es un Espacio Vectorial.
Llamamos indistintamente: matriz o vector fila a
matriz o vector columna a
(a11 ... a1 n ) R1 x n
a11
mx1
R
a
m1
Resulta entonces que en una matriz de clase m x n, cada fila es un vector perteneciente a R1 x n (es
decir cada vector tiene n componentes) y como son m filas hay m vectores filas con n componentes
cada una. Análogamente cada columna es un vector perteneciente a Rm x 1 (es decir cada vector
columna tiene m componentes) como son n columnas hay n vectores columna con m componentes.
a11 a12 a1n
a 21 a 22 a 2n
..................................
a m1 a m 2 a mn
2 3 4
dos vectores fila de 3 componentes: (2, 3, 4) y (5, 6, 7) ó tres
A
5 6 7
2 3 4
vectores columna de dos componentes , , .
5 6 7
Ejemplo:
Producto de matrices
Dos matrices son conformes o conformables cuando el número de columnas de la primera es
igual al número de filas de la segunda.
Sean: A Km x p de elemento genérico aik A = [ai k]m x p
B Kp x n de elemento genérico bkj B = [bk j ]p x n
Am x p y Bpx n son conformes.
2 3
5 4 7 9
son conformes
Ejemplos: 1 2 y
1
3
2
8
3 4
El producto de matrices está definido sólo para matrices conformes. Es obvio que las matrices
cuadradas del mismo orden son conformes.
Definición: Sean las matrices conformes Am x p y Bp x n , se llama producto de A por B, en ese
orden, a la matriz:
C Km x n / [ci j ]m x n
p
= aik · b kj con
k 1
mxn
1 i m
1 k p
1 j n
Resulta útil el siguiente esquema:
A.B
=
a11
a 21
b11
b12
blj
bln
b21
b22
b2 j
b2 n
b p1 b p 2 b pj
b pn
c ln
c 2n
a1 p
a 22 a 2 p
c 21
c1 j
c 22 c 2 j
c m1
c m 2 c mj
a12
c11
c12
a i1
ai 2
a ip
a m1
a m 2 a mp
cij
c mn
C
p
cada cij ai1b1 j ai 2 b2 j ... aip b pj aik bkj
k 1
Observamos que el 1º subíndice de a está en correspondencia con el 1º subíndice de c y el 2º
subíndice de b está en correspondencia con el 2º subíndice de c.
El segundo subíndice de a es igual en cada término al primero de b, variando de 1 a p
p
C25 = a21 b15 + a22 b25 + .... + a2p bp5 = a 2k b k 5
k 1
El producto en Kmxn (matrices rectangulares) no está definido, es decir ( Kmxn , . ) no tiene
estructura
Pero el producto para matrices cuadradas de la misma clase está definido
A, B Knxn: A . B Knxn
producto es ley interna cerrada.
para matrices cuadradas de la misma clase, el
Para esta ley se verifica:
-Propiedad Asociativa: , A, B, C Knxn : ( A . B) . C = A . (B . C)
-El producto de matrices, en general no es conmutativo: si bien A . B Knxn y B . A Knxn en
general
A.BB.A
1 1
.
Ejemplo: A
0 0
1
1
1 0
B =
1 0
0
1 1
0
0 0
A.B=
A.BB.A
B.A=
1 1
2
0
1 0
1
1
0 0
0
0
1 0
1
1
Esta es una diferencia importante entre el álgebra clásica y el álgebra matricial.
-Existencia de elemento neutro
I Knxm / A Knxn
A . I = I . A = A . I = [ai j ]mxn Inxn es el elemento neutro del producto
a ij 0 i j
si I es la matriz unidad I = [ aij ]mxn
a ij 1 i j
-No toda matriz cuadrada admite inverso multiplicativo.
Por todo lo anterior diremos que (Knxn , . ) es un Semigrupo con identidad o con unidad.
Analizamos ahora la terna (Knxn, + , . )
(Knxn, + ) Grupo Abeliano
(Knxn, . ) Semigrupo con Identidad (El elemento neutro del producto es la matriz unidad)
Se demuestra que el producto es distributivo respecto de la suma
A . B . C Knxn : A (B + C) = A . B + A . C
(Knxn , + , . ) : Anillo con identidad
No es un dominio de integridad, ya que éste anillo tiene divisores de cero, es decir existen matrices
no nulas cuyo producto es la matriz nula.
Observamos otra diferencia entre el álgebra ordinaria y el álgebra matricial.
Partición de matrices
Una matriz puede ser particionada en submatrices o bloques. El esquema de partición que
utilizaremos con frecuencia es:
Matriz particionada en columnas
a11 a12
a 22
a
A 21
a
m1 a n 2
a ln
a 2n
= (A1 A2 --- An) donde A1 =
a mn
a11
a 21
;
a
m1
a ln
a 2n
a
mn
En forma análoga podemos particionar la matriz A en filas
A1'
A '2
'
'
A=
donde A1 = (a11 - - - aln ) ; - - - , Am = (am1 - - - amn)
A'
m
a12
a22
A2 =
- - - An =
a
m2
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE
FACULTAD DE INGENIERÍA
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA
Notas de Cátedra
Capítulo 4: Determinantes
Autoras: Prof. Noemí O. de Goicoechea y Prof. María R.
Gasparini.
Revisión y reedición 2020: Prof. Claudia Beneyto
A.X=B
A 0
A K3x3
A= 0
r(A) =
r(A’)
r(A)
r(A’)
Departamento de Matemática- Instituto de Matemática
Determinantes
Tengamos en cuenta que K es un cuerpo conmutativo y K n x n, el conjunto de matrices cuadradas
de orden
n
con coeficientes en K. Sea A una matriz particionada en columnas, es decir:
a11 a ln
A
= (A1 A2 . . . An) donde: A1 =
a
n1 a nn
a11
a 21
. . . . . An =
a
n1
a ln
a 2n
a
nn
Determinante es toda función que asigna a cada matriz de clase nxn un escalar llamado
determinante de la matriz.
D: K n x n
A
K
D (A) = A
D
La notación A= (A1 A2 ...... An)
D (A1 A2 ........An) pone de manifiesto que la
función determinante es función de las n columnas de A.
Definición: Una función de los vectores columna de la matriz Anxn se llama determinante si satisface
los siguientes axiomas:
Ax1: D (A1 .... A’j + A”j ..... An) = D (A1 .... A’j .... An) + D (A1 .... A”j .... An)
Ax2: D (A1 ....Aj ....An ) = .D ( A1 .... Aj .... An )
Ax3 : D (A1 .... Aj .... Ak .... An ) = - D.(A1 .... Ak .... Aj .... An )
Ax4 : El determinante de la matriz identidad vale uno .
1 0 0
0 1 0
= 1 D ( e1 e2 ------ en ) = 1
D
0 0 1
base canónica
Cálculo de determinantes
Determinante de segundo orden
Si n = 2 A
a11
a12
a11.a 22 a 21.a12
a 21 a 22
Al producto de los elementos de la diagonal principal se le resta el producto de los elementos de
la diagonal secundaria.
Determinante de tercer orden : Regla de Sarrus
La Regla de Sarrus consiste en repetir las dos primeras filas, sumar los productos de los
elementos la diagonal principal y sus paralelas y restar los productos de los elementos de la
diagonal secundaria y sus paralelas.
a11
a12
D( A) a 21 a 22
a13
a11.a 22 .a 33 a 21.a 32 .a13
a 23
a 31.a12 .a 23 a 31.a 22 .a13
a11.a 32 .a 23 a 21.a12 .a 33
a 31
a 32
a 33
a11
a12
a13
a 21 a 22
a 23
Nota : Si repetimos las dos primeras columnas en vez de las dos primeras filas, se llega al mismo
resultado final.
La Regla de Sarrus vale sólo para un determinante de orden tres.
Ejemplos para interpretar los axiomas de definición:
Ax1 :
Ax2 :
Ax3 :
Ax 4 :
1 3 4
2 2 1
1 2.5
2 2.3
3 1
4 2
1 0
0 1
1 3
2
2 2
1 7
2 3
1 5
2 3
1 10
2
6
1 4
2 1
2 6 (1 8) 4 7 11
3 14 11
2.(3 10) 14
6 20 14
1 3
(4 6) (2) 2
2 4
64 2
1 0 1
Propiedades que se deducen de los axiomas
Propiedad 1 : Si dos columnas son iguales el determinante vale cero. Suponemos Aj = Ak
por Ax3
D (A) = D (A1 -- Aj -- Ak -- An)
=
D (A1-- Ak -- Aj -- An )
D (A) = - D (A) D (A) = 0 (ya que el único número igual a su opuesto es el cero)
1 1
22 0
2 2
Propiedad 2 : Si una columna es nula el determinante es nulo. Se entiende aquí que una columna es
Ejemplo:
o
o
el vector nulo 0 que lo podemos expresar 0 o0
o
(se lee "cero por el vector nulo")
⃗ − −𝐴𝑛 ) = 𝐷(𝐴1 − −𝑜 ⃗0 − −𝐴𝑛 ) =
𝐷(𝐴) = 𝐷(𝐴1 − −0
⃗ − −𝐴𝑛 ) = 0. 𝐷(𝐴) = 0
𝑜𝐷(𝐴1 − −0
Ejemplo:
1 0
00 0
2 0
Propiedad 3 : El determinante no varía si a una columna se le suma una combinación lineal de las
restantes.
Sumamos a la primera columna una combinación lineal de las n - 1 columnas restantes.
n
i Ai
i 2
D (A) = D (A1A2 -- An )
por Ax1 y Ax2
n
D(A) = D ( 𝐴1+
i Ai
𝐴2 − −𝐴𝑛 ) = 𝐷(𝐴) + 𝜆2 𝐷(𝐴2 𝐴2 − −𝐴𝑛 ) + − − + 𝜆𝑛 𝐷(𝐴𝑛 𝐴2 −
i 2
−𝐴𝑛 = D(A)+o+o+---+o=D(A)
Ejemplo:
1 3
2 4
1 5.3
3
2 5.4 4
1 3
5
2 4
16 3
22 4
3 3
4 4
1 3
2 4
5.0 4 6 2
64 66 2
Propiedad 4 : Si los vectores columnas son linealmente dependientes el determinante es nulo. Si
son linealmente dependientes existe una combinación lineal; expresamos A1 como combinación
lineal:
n
A1 i Ai
i2
n
D (A) = D (A1A2---An ) = D i Ai A2 An
i 2
por Ax1 y Ax2:
= 2D(A2A2 An ) 3D(A3A2A3 An )
por P1
+ n D( An A2 An ) o + o + ------- + o = o
n
Nota :
Si A1 =
i Ai
i 2
n
i Ai A1 o
Entonces A1 A2 ...... An son l.d. en caso
i 2
contrario son l.i., es decir ninguna columna es combinación lineal de las restantes.
Ejemplo
10 2
15 3
5.2 2
5.
5.3 3
30 30 0
2 2
3 3
5.0 0
Habíamos definido determinante como una función que asigna a una matriz cuadrada un número
llamado determinante de la matriz.
a11
a12 a1n
a 21 a 22 a 2n
a n1 a n 2 a nn
Además cada fila es un vector de n componentes (se tienen m vectores filas de n componentes),
análogamente para vectores columnas.
Por las propiedades concluimos que un determinante vale cero cuando entre sus vectores fila o
entre sus vectores columna existe una combinación lineal. O sea son linealmente dependientes.
Si por el contrario, el determinante no vale cero, no existe combinación lineal entre los vectores
fila o los vectores columna de la matriz. Estos vectores son linealmente independientes.
Propiedad 5 : El determinante de una matriz es igual al determinante de su matriz traspuesta.
A At
2 1 0
Ejemplo:
A 1 1 1 8 3 0 0 4 4 11 8 3
3 2 4
2 1 3
A t 1 1 2 8 0 3 0 4 4 11 8 3
0 1 4
Esta propiedad nos conduce al siguiente enunciado:
Cada propiedad enunciada para columnas de un determinante da una propiedad análoga para
filas.
Propiedad 6 : Si A , B , Kn x n : D ( AB ) = D ( A ).D ( B )
Menor complementario del elemento aij
Sea A = ( aij )n x n
a11 a12
a 21 a 22
A
a i1 a i 2
a n1 a n 2
a1 j
a2 j
a ij
a nj
a1n
a 2n
a in
a nn
Para cada elemento aij se define el menor complementario del elemento aij como el determinante
de la matriz de orden n-1 que se obtiene de A suprimiendo la fila i y la columna j. Lo designamos
Mij.
Adjunto o Cofactor del elemento aij
Si Mij es el menor complementario del elemento aij , el producto (-1 ) i+j Mij recibe el nombre de
adjunto o cofactor del elemento aij . Lo designamos Aij.
Aij (1) i j .M ij
si i j es par : A ij M ij
donde
si i j es impar : A ij - M ij
Ejemplo:
a11 a12
Sea A a 21 a 22
a
31 a 32
M 21
M 23
a12
a13
a32
a33
a11
a12
a31 a32
a13
a 23
a 33
A31 ya que i j 3 1 4 ( par )
A23 M 23 ya que i j 2 3 5 ( impar )
Propiedad 7:
Si en un determinante
entonces :
A
el único elemento no nulo de la primera columna es a11 ,
A a11.M11 a11. A11
2 3 4
1 1
A 0 1 1 = 2.1.3 - 2.5.1 = 2 (1.3-5.1) = 2
5 3
0 5 3
Ejemplo:
Consecuencia
El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal
principal. En efecto, aplicando reiteradamente la propiedad 7 se tiene:
5 2 4 2
A
0 3 1 6
0 0 1 7
3 1 6
1 7
0 1 7 = 5.3
= 5.3.1.2
0 2
0 0 2
=5
0 0 0 2
Cálculo de un determinante aplicando procedimiento gaussiano ( Gauss)
Vamos a hallar el valor de un determinante de cualquier orden aplicando propiedades; dado ,
aplicando propiedades, podemos llevarlo a la forma ’ y también a ”
=
a11
a12
.........
a ln
a11
a 21
a 22
.......... a 2n
a n1
a n2
.......... a nn
’ = a11.A11
’ =
0
0
a12
a1n
a 22 a 2n
a n 2 a nn
’’ =
a11
a12 a1n
0
a 22 a 2n
0
0
a nn
’’ = a11.a22....ann
Recordamos las siguientes propiedades:
Si multiplicamos una fila de una matriz por un número el determinante queda multiplicado por
dicho número. (particionamos una matriz por filas)
f1
f1
det f i det i f i i (significa que a la fila i la multiplicamos por i)
f
f
n
n
Si a una fila le sumo otra multiplicada por un número el determinante no se altera.
det
f1
fi det fi
fn
1. f1
fn
f1
(significa que sumamos a la fila i la primera fila
multiplicada por 1).
f
f1
'
Combinando las dos propiedades: det f i ' det i f i 1 f1 i .
i
f
fn
n
Veamos en un ejercicio como aplicar las propiedades para obtener el valor del determinante.
3 1 4
Sea: 2 5 2
4 2 1
Aplicamos Gauss y observamos que cada vez que modificamos una fila se altera el valor del
determinante
f1 (fila 1)
3
1
4
f2 (fila 2)
2
5
2
f3 (fila 3)
4
2
1
3
1
4
3.2-2.3
3.5-2.1
3.2-2.4
3.4 - 4.3
3.2 - 4.1
3.1 - 4.4
No se modifica la 1rs fila
Modificamos la segunda fila: 3 f2 –2f1, el
sustraendo no modifica el valor del deter. pero la
fila dos está multiplicada por 3, entonces el det.
queda multiplicado por 3
En forma análoga modificamos la tercera fila:
3f3 – 4f1, con lo que el det. queda multiplicado por
3
3
1
4
3 3
3 1
3 4
2 2
2 5
2 2
3 3
3 1
3 4
4 4
4 2
4 1
1
13
2
4
-2
-13
3
0
0
3
Llamamos a
1
Resolviendo los determinantes
4
' 0 13
2
0
13
2
Esto es equivalente a:
Seguimos con el procedimiento:
quedó multiplicado por 3.3 se deduce
'
3.3
3
1
4
0
13
-2
0
2
-13
3
1
4
0
13
-2
0
se modifica la 3ra fila 13f3 – 2f2, el
determ. queda multiplicado por 13
13 13
13
2
2
2
13
2
3
1
4
0
13
-2
0
0
-165
3
1
Llamamos a este determinante " 0 13
0
0
4
2
165
su valor es el producto de los elementos de la diagonal principal: " = 3 . 13 (-165)
Como " queda multiplicado por 3 . 3 . 13, resulta
3 .13 (165)
55
3.3.13
Conclusión:
Dado un determinante, aplicamos Gauss hasta obtener el determinante de una matriz triangular.
El valor del determinante dado es igual al de la matriz triangular dividido por los pivotes, ellos
aparecen tantas veces como el número de ceros obtenido debajo de los mismos.
5 2 3
1 0 4
Ejemplo:
= 0 + 16+9 -0 -60 -10 = 25 -70 = -45
(aplicando Sarrus)
2 3 5
5
2
3
' 0 2 17 5
0
11 19
5
2
11 19
5.(-38 - 187 ) = 5. ( -225 ) =
3
' ' 0 2
17
0
225
0
2 17
5. ( 2 ).( 225 )
5.(225)
45
5.5
5.(2).(225)
45
5.5.(2)
Este procedimiento puede ser utilizado para calcular determinantes de cualquier orden.
Propiedad 8: Si en un determinante A el único elemento no nulo de la j- ésima columna es aij
entonces:
A = (- 1 ) i + j .aij.Mij = aij.Aij
1 4 0
Ejemplo: A 2 5 7 7(1)
3 6 0
1 4
3 6
7(6 12) 7(6) 42
Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea
2 400 0
2 4 0
5 1 3 5
0 1 0
2 0 0
2 0 0
3 5 0 3 5 1 3 5 0 3 = 4.A12 + 1.A22 + 2.A32
3 002 1
3 2 1
2 4 0
3 0 1
3 0 1
3 2 1
Es el desarrollo por los elementos de la segunda columna.
Generalizando
n
A a1 j . A1 j a 2 j . A2 j a nj . Anj aij . Aij
i 1
n
A ai1 . Ai1 ai 2 . Ai 2 ain . Ain aij . Aij
desarrollando por los elementos
de la j-ésima columna
desarrollando por los elementos
j 1
de la i-ésima fila.
Ejemplos : Desarrollamos por la primera fila:
1 2 3
4 5 1 1.
2 1 2
5 1
1 2
2.
4 1
2 2
3.
4 5
2 1
= 1.( 10 - 1 ) - 2.( 8 - 2 ) + 3.( 4 - 10 ) =
=
9
-
12
-
18
= -21
Desarrollamos por la primera columna:
1 2 3
4 5 1 1.
2 1 2
5 1
1 2
4.
2 3
1 2
2.
2 3
5 1
= 1.( 10 - 1 ) - 4.(4 - 3 ) + 2.( 2 - 15 ) =
=
9
-
4
-
26
= - 21
Propiedad 9: En todo determinante A la suma de los productos de los elementos de una línea
por los adjuntos de una paralela es nula.
𝑛
∑ 𝑎𝑖𝑘 . 𝐴𝑖𝑗
𝑖=1
a11
a12
A a 21 a 22
a 31
a 32
a11 a12
a12
a13
a 23 a 21 a 22
a 22
a 23
a 31 a 32
a 32
a 33
a13
a 33
( por prop. 3 )
Desarrollamos ambos determinantes por la primera columna:
3
3
3
3
i 1
i 1
i 1
i 1
A ai1 Ai1 (ai1 ai 2 ) Ai1 ai1 Ai1 ai 2 Ai1
0 (para que se verifique la igualdad)
3
ai 2 Ai1 0 que es la suma de los productos de los elementos de la segunda columna por los
i 1
adjuntos de la primera .
Matrices y Determinantes
103
Desarrollamos ambos determinantes por la primera columna:
A a i1 Ai1 (a i1 a i 2 ) Ai1 a i1 Ai1 a i 2 Ai1
3
3
3
3
i 1
i 1
i 1
i 1
0 (para que se verifique la igualdad)
a i 2 Ai1 0 es la suma de los productos de los elementos de la segunda columna por los
3
i 1
adjuntos de la primera .
Matriz Adjunta
Definición: Dada una matriz A cuadrada, se llama adjunta de A ( notada Adj A ) a la matriz que
se obtiene reemplazando cada elemento de la traspuesta de A ( At ) por su adjunto.
a11
a
A = 21
a
n1
a12 a ln
a 22 a 2 n
Adj A =
a n 2 a nn
A11
A12
A
ln
A21 An1
A22 An 2
A2n Ann
Observa que los subíndices de la adjunta coinciden con los de la traspuesta.
A11
A
Y también: Adj A = 21
A
n1
A12 Aln
A22 A2 n
An 2 Ann
T
Esta última expresión nos dice que para obtener la adjunta puede reemplazarse cada elemento
de A por su adjunto y luego trasponer esta matriz.
Ejemplo:
1 0 1
A 2 1 0 ,
3 2 1
1 2 3
T
A 0 1 2 ,
1 0 1
1
2
0
adj A =
2
0
1
adj. A =
0
1
1
1
1
0
1
2
0
1
2
2
3
1
3
1
2
0
1
1
1
1
0
2
3
1
3
1
2
0
2
1
1
3
1
3
0
1
1
1
2
3
1
3
1
2
0
2
T
1 2 1
2 2 2 o bien
1 2
1
1
1 0
1
1 2 = 2
1
1 0
1 2
0 1
0
1
2
0
2
0
1
T
2 1
2 2
2 1
104
Matrices y Determinantes
y son idénticas
Adj. A =
2 1
1
2 2 2
1 2
1
Nota:
Si bien las dos formas son correctas aconsejamos la segunda porque hay menos posibilidades de
cometer error.
A Kn x n : A . adj. A = A . I
Propiedad:
siendo I la matriz identidad
En efecto, aplicando:
Producto de matrices; definición de matriz adjunta; desarrollo de un determinante por los
elementos de una línea; y la propiedad de los determinantes; “ La suma de los productos de los
elementos de una línea por los adjuntos de una paralela es cero”.
a ik Aij 0
n
O sea
i 1
A11 A 21 A n1
A12 A 22 A n 2
A ln A 2n A nn
A . adj A =
A
0
A . adjA
0
a11
a 21
a n1
0
A
0
....
....
....
....
a12 a ln
a 22 a 2n
a n 2 a nn
0
1
0
0
A
0
A
A
0
0
0
1
0
....
....
....
....
0
0
A I
1
Ejemplo:
1 0 1
A 2 1 0 ,
3 2 1
2 1
1
A 2 , adj A 2 2 2
1 2 1
2 0 0
1 0 0
A . adj A 0 2 0 2 0 1 0 = A I
0 0 2
0 0 1
0
A
0
0
0
A
Matrices y Determinantes
105
Matriz inversa
Definición:
A K n x n es regular, inversible o no singular si y solo si existe una matriz de la misma clase
(notada A-1 ) tal que pre o post multiplicada por A da por resultado la matriz identidad. regular
A es inversible A -1 / A.A -1 A -1 .A I
no singular
A-1 es la inversa de A
La inversa es única.
La condición necesaria y suficiente para que una matriz cuadrada sea regular es que su determinante
sea distinto de cero.
A K n x n es regular ó inversible A 0
Cálculo de la inversa utilizando la adjunta
Por prop. de la adjunta:
A.
A . adj
A= A I
adj A
I
A
Por definición de inversa:
A . A-1= I
Como la inversa es única:
A-1 =
adj A
A
(fórmula para calcular la inversa a partir de la adjunta)
Del ejemplo anterior:
1 0 1
A 2 1 0 , A 2 0 ,
3 2 1
A 1
1
1
2 1
2
1 1 1
1
1 1
2
2
2 1
1
adjA 2 2 2
1 2 1
106
Matrices y Determinantes
1 1
2
2
1 1 1
1
1 1
2
2
1 0 1 1
0
0
2 1 0 0
1
0
3 2 1 0
0
1
1
Verificamos que A . A-1= I
A. A1
Rango de una Matriz
Al estudiar determinantes hemos visto que:
1 esta definido D
D K n x n 2 D D T
3 D 0
l d
nos dice que las líneas son
4 D 0
l i
Definición: Sea A Kmxn . Se llama rango de la matriz A (notado r (A)) al orden, del
determinante de mayor orden, no nulo, extraído de la matriz A.
Entonces queda claro que si D es el determinante de mayor orden extraído de A Knxm tal que
D 0 resulta por 4 :
El rango de la matriz es el máximo número de líneas (filas o columnas) linealmente
independientes.
Observación:
Si m n puede ser
m n r (A) m n
n m r (A) n m
Si m = n r (A) m = n
Operaciones o transformaciones elementales (lo enunciamos para filas, vale para columnas)
a) Intercambiar la fila i con la fila j
b) Reemplazar la fila j por fj con 0
c) Reemplazar la fila j por j fj - i fi
Observe que b) y c) indican combinaciones lineales de fila.
Es inmediato observar que dichas operaciones no alteran las dimensiones de una matriz y tampoco
varían su rango (ya que no alteran la nulidad de un determinante).
Matrices y Determinantes
A Kmxn
Si
A Knxn
107
escalonar
mediante dichas operaciones es posible
dicha matriz
triangular
obteniéndose otra matriz B de la misma clase y de igual rango (El procedimiento gaussiano es un
método conveniente para realizar tales operaciones). Se dice que A y B son matrices equivalentes
(notado A B) si una puede obtenerse de la otra mediante transformaciones elementales; resultan A
y B de igual dimensión y rango.
Para hallar el rango de una matriz , se aplican transformaciones elementales, utilizando el
procedimiento gaussiano, ya hemos señalado en determinantes que la modificación de cada fila
equivale a realizar combinaciones lineales.
Ejemplo:
f2 -2f1
3 - 31
4 - 41
son las combinaciones
lineales realizadas
1
2
3
4
2
3
4
5
3
4
5
6
4
5
6
7
5
6
7
8
1
0
0
0
2
-1
-2
-3
3
-2
-4
-6
4
-3
-6
-9
5
-4
-8
-12
1
0
0
0
2
-1
0
0
3
-2
0
0
4
-3
0
0
5
-4
0
0
A B1 B2 (son equivalentes)
A, B1 ,
=A
(aplicamos Gauss)
= B1 (aplicamos Gauss)
= B2
B2 K4x4
r (A) = r (B1) = r (B2) = 2
(dos es el orden de un determinante no nulo extraído de la matriz, todos los determinantes de orden 3 y
de orden 4 son nulos).
Verifique que el rango de la matriz P es tres, siendo P:
2 1 3
1 4 2 P
3 2 4
108
Trabajo Práctico - Matrices y Determinantes
Para resolver estos ejercicios te sugerimos:
Leer la Teoría y analizar sus ejemplos.
Consultar con tu Tutor si tienes dudas.
1- Escribe explícitamente las siguientes matrices:
a) A a ij
2 x3
c) B b ij
1x 5
1 si i j
d) M R 3x 4 / m ij
0 si i j
Como ejemplo, desarrollamos el ítem b)
a
11
a 21
a 31
a
41
2- Dadas las matrices:
1 1 0
C
0 1 1
a12
a 22
a 32
a 42
0 si i j es primo
b) A R 4 x 4 / a ij
1 si i j no es primo
a13 a14
a 23 a 24
a 33 a 34
a 43 a 44
1 0 1
D
0 1 1
0
0
A
1
0
0
1
0
1
1 1 0
E
0 1 1
1
0
1
0
0
1
0
1
1 1 0
F
0 1 1
Coloca verdadero (V) o falso (F) según corresponda. Justifica la respuesta.
a) C = D
0 2 0
b) C F
0 2 2
c) C + E Matriz nula
Rta: V
d) ET = F
Rta: F
Rta: V
Como ejemplo, desarrollamos el ítem a)
C = D es F porque c12 d12
En efecto: si C, D K2x3 / C = cij
2x3
1 i 2
C = D cij = dij i j con
1 j 3
y D d ij
2x3
Trabajo Práctico - Matrices y Determinantes
109
1 3 6
3 – Dada la matriz A = 0 1 5 verifica que:
2 4 7
a) A + AT = B / B es simétrica ( B Knxn es simétrica B = BT bij = bji i j )
b) A – AT = C / C es antisimétrica
(C Knxn es antisimétrica C = - CT cij = -cji i j , con cij = 0 i = j )
c)
1
1
B C A
2
2
2 3 8
Rtas: a) B = 3 2 9
8 9 14
3 4
0
b) C = 3 0 1
4 1 0
3 2
x1
1 2
4 - Dadas las matrices A = 3 4 , B = 1 5 y C = x 3
4
x
5 6
3
5
i) A + 2.B = 3.C
x2
x 4 . Calcula C tal que:
x 6
2
0
ii) A + B - C = N / N es la matriz nula
Rta: C 4 1
iii) 2.A + 3.B - 5.C = 5.A
12 5
Rta: C 6 5
3
5
9
9
5
9
5
12
27
5
Como ejemplo, desarrollamos el ítem i)
Si A + 2 . B = 3 . C C =
1
. (A + 2 . B)
3
5
2
5 2
1 2 6 4 5 2
3
3
5
1
A + 2 . B = 3 4 2 10 5 6 C . 5 6 C
2
3
3
5 6 8
13 12
6 13 12
13
4
3
5-
1 2 0
a) Dadas las matrices A = 3 1 2 , B =
0 2 4
2
1
1 y C =
0
3 5
Realiza, si es posible, los siguientes productos C.B, B.C y A.C
1
12 0
1 2 2
110
Trabajo Práctico - Matrices y Determinantes
b) Verifica que la matriz A es idempotente ( A Knxn es idempotente A2 = A)
2 3 5
A = 1 4
5
1 3 4
c) Verifica que la matriz B es involutiva ( B Knxn es involutiva B2 = I )
4
3
3
B = 1 0 1
4 4 3
d) Verifica que la igualdad A . B = A . C (con A N) no implica necesariamente que
B = C, siendo:
1 3 2
1 4 1 0
2 1 1 2
A 2 1 3 B 2 1 1 1 y C 3 2 1 1
4 3 1
1 2 1 2
2 5 1 0
1 2 2
e) Verifica si la matriz A = 2 1 2 es solución de la ecuación A2 – 4 . A – 5 . I = N
2 2 1
f) Calcula los elementos de la matriz X = (x1 x2)1x2 sabiendo que
2
3
X. 4 y X. 8
0
1
g) Verifica que A . B = N aunque A N y B N
5 5
A=
9 9
y
3 3
B=
3 3
Nota : Las matrices que cumplen esta propiedad se llaman "divisoras del cero".
Como ejemplo desarrollamos el ítem a)
C2x3 . B3x2 son matrices conformes, el producto es posible
C . B = P / P = pij
2x2
Nº de columnas de B
Nº de filas de C
Trabajo Práctico - Matrices y Determinantes
111
Resulta útil el siguiente esquema:
C.B
1
2
0
1
-1
2
-2
-1
2
0
1
3
-5
1
+0
2
+3
1 + 0 + (-6)
1 + 0 + (-5)
-2 + 2 + 10
5
4
C.B=P= 2
5 10
2 x 2
Observa que cada elemento de la matriz producto P se halla:
p 11
p 21
1
2
0 1
1
5
. 0
2
3
1
1 2 2 . 0 5
3
p 12
p 22
2
1
0 1 . 1 4
2
5
2
1 2 2 . 1 10
5
B3x2 . C2x3 son matrices conformes, el producto es posible, resuelve
Rta:
5
2
B . C = 1
13
2
5
2 2
10 13
3 x 3
4
A3x3 . C2x3 no son conformes, no es posible el producto
Nota: Observa que C . B B . C pues el producto de matrices, en general, no es conmutativo.
3 3 0 1
d) Rta: A . B = A . C = 1 15 0 5
3 15 0 5
f) Rta: X = (2
2)1x2
112
Trabajo Práctico - Matrices y Determinantes
6 - Halla el valor de los siguientes determinantes:
a)
2 1 10 3
3
0 15 4
5 2 26 6
1
3 5 10
b)
Rta: 29
3
4
6
8
c)
2
4
5
7
1 1
5
8
0 10
2 14
1
1
2
3
8 10 14
5 0 2
4 5 7
4 6 8
Rta: 10
d)
Rta: 10
0 3
2
1
2
2 2
1
3
1 1
2
1
3
1 2
Rta: –4
e)
3
4
6
8
2
4
5
7
Rta: 200
Como ejemplo desarrollamos los ítems a) y d)
=
a)
’ =
2.2 - 31
2.3 - 51
2.4 - 11
’’=
3.3 - 12
3.4 - 72
Δ
Δ' '
2 3.32
2 1 10 3
3 0 15 4
5 2 26 6
1 3
5 10
2 1 10 3
0 3 0 1
0 1 2 3
0 7 0 17
2 1 10 3
0 3 0 1
0 0 6 8
0 0 0 58
2.3.6.58
29 Δ 29
2.2.2.3.3
1 1
5
8
0 10
2
4
quedó multiplicado por 2
quedó multiplicado por 2
quedó multiplicado por 2
quedó multiplicado por 3
quedó multiplicado por 3
=
d)
' =
'' =
2.3 –1 . 1
2.4 –3. 1
''' =
(-3)3 – 4 2
(-3)4 – (-4)2
iv =
(-20). 4 – (-4)3
Δ
Trabajo Práctico - Matrices y Determinantes
0 3 2
1
2 2 2 1
3 1 1 2
1 3
1 2
2 2 2 1
0 3 2
1
1 3
1 2
3 1 1 2
Como el cero no puede ser pivote
hacemos un número par de
permutaciones para que no cambie el
signo del valor del determinante.
en 2 no necesitamos obtener un cero
2 2 2 1
0 3 2
1
0 4
4 5
0 4 4
1
quedó multiplicado por 2
2 1
2 2
0 3
2
1
0 0 20 11
0 0
4 1
quedó multiplicado por -3
2 2
2 1
0 3
2
1
0 0 20 11
0 0
0
24
Δ iv
2 2 .(-3) 2 . (-20)
quedó multiplicado por 2
quedó multiplicado por -3
quedó multiplicado por -20
2. (-3) . (-20) . 24
4
2 . 2 . (-3) (3) . (-20)
= 4
7 - Reemplaza x , y, z, u por dos cuaternas distintas, tal que A 0 (aplica propiedades de los
determinantes).
0
5
2 3
0 11 1
4
A=
3
0 4 11
x
y
z u
113
114
Trabajo Práctico - Matrices y Determinantes
8 – Halla el valor de x en las siguientes ecuaciones:
6
2 2x
3 1 x 1 0
2x
4
2
a)
4
x
4
x 3 2
c)
4
x
0
x 1 x 1
x 1
Rta: 1
x2 4
2
0 4 x
d)
0
x
0
0
1 x 0
2
x 0
1
Rta: x2 0
x 5
3
b)
e)
2 x 3
6
4
0
2 0
2
1 2 x
Rta: x
f)
x 1 x 1
16
x 1 x 1
Rta: x 4
4
5
Como ejemplo desarrollamos los ítems a) y b)
a)
4
x
4
x 3 2
4 . 2 – x . (x -3) = 4 8 – x2 + 3x = 4 -x2 + 3x + 4 = 0
x2 – 3x – 4 = 0 x
3 9 4.1.( 4 )
2.1
x1 = 4
x2 = -1
Verificamos:
Para x = 4
4 4
4
1 2
Para x = -1
4 1
=4 8–4=4 4=4
4 2
8–4=4 4=4
ó
Trabajo Práctico - Matrices y Determinantes
b)
115
Aplicamos Sarrus en el primer miembro de la ecuación dada:
6
2 2 x
3 1 x 1 0
2 x
4
2
12. (1+x) – 12 . (2 + x) + 2. (2 –x) – (2 – x) . (2+x) . (1+x) + 24 – 12 = 0
12 + 12x – 24 – 12x + 4 – 2x – (4 – x2 ) . (1 + x) + 24 – 12 = 0
4 – 2x – (4 + 4x – x2 – x3) = 0 4 – 2x - 4 – 4x + x2 + x3 = 0
x3 + x2 – 6x = 0 x . (x2 + x – 6) = 0
x1 = 0
x2 + 6x – 6 = 0
x2 = 2
x3 = -3
Verifícalo!
4
1 2
2 1
, B = 3 0 1 ,
9 - Dadas las matrices A =
3 4
0 3 0
2 3
C = 1 2
4 0
Rta: C-1
1 2 1
D 1
1 2
2 1
1
1 1
1
1
E
2
1
1 2
2 1
F =
4 2
0
1
1
0
Rta: D
0
0
0
1
1
1
Rta: E
314
514
1
14
1
14
3
14
5
14
1
14
3
14
5
14
1
0 1
1
1 1
1 3 2
2 1
1
0
0
0
1
Rta: F-1
halla la inversa de cada una de ellas (si es posible) como ejemplo determinamos A-1 y B-1
Te recordamos que:
A Knxn es regular o inversible A 0
116
Trabajo Práctico - Matrices y Determinantes
2 1
K2x2 es cuadrada
A=
3 4
A
A-1
2 1
= -5 0 es regular
3 4
3
2
AT =
1 4
4
-1
A = 5
3
5
4 1
, A-1 =
, adj A =
3 2
4
5
3
5
1
5
2
5
1
5
2
5
Verificamos
4
5
A . A-1=
3
5
1
5
2
5
2
-1
8 3
5 5
2 2
5 5
3
-4
12 12
5 5
3 8
5 5
1 0
=I
A . A-1 =
0 1
1 2 4
B = 3 0 1 K3x3 es cuadrada
0 3 0
B = 33 0 es regular
B-1
Trabajo Práctico - Matrices y Determinantes
1 3 0
T
B = 2 0 3
4 1 0
3 12 2
adj B = 0 0 11
9 3 6
0 3
1 0
3 0
Adj B =
1 0
3 0
0 3
2 3
4 0
1 0
4 0
1 0
2 3
117
2 0
4 1
1 3
4 1
1 3
2 0
3 12
2
33 33
33
11
-1
0
B-1= 0
B =
33
3
6
9
33 33
33
2
1 4
33
11 11
1
0 0
3
3 1
2
11 11 11
Verifícalo!
1 2
10 - Dada la matriz A =
3 4
2
Rta: A 1
32
0 0
Rta:
0 0
i) Si existe, calcula A 1 y verifica que A . A-1 = I
ii) Calcula A 2 5.A 2.I
iii) Calcula
1
A 5.I
2
1
2
1
Rta: A 1
11 - Problemas
a) Tres compañías aéreas realizan vuelos Buenos Aires – Santiago de Chile, consignando en
una tabla la cantidad de pasajeros por compañía y día de vuelo:
Día
Compañía
I
II
III
Lunes
Jueves
Sábado
20
40
30
32
45
22
35
42
25
118
Trabajo Práctico - Matrices y Determinantes
i) Expresa estos datos en forma matricial (A)
ii) ¿En qué día la Compañía I transportó mayor cantidad de pasajeros?
iii) En qué día la Compañía III transportó menor cantidad de pasajeros?
iv) Expresa en forma coloquial que significan los elementos a11 , a22 y a33 en el problema.
b)
La casa matriz de Supermercados Oeste S.A. ha consignado en la siguiente tabla de ventas (en
miles de $), registradas de lunes a sábado, en tres sucursales:
Día
Sucursal
M
N
P
Lunes
Martes
Miércoles
Jueves
Viernes
Sábado
15
20
26
33
30
28
13
14
10
16
12
9
18
23
17
19
7
8
i) Expresa estos datos en forma matricial (A)
ii) Indica el valor del elemento a34 y qué representa en el problema.
iii) Señala el día de mayor venta en cada sucursal (indica el elemento aij respectivo)
iv) ¿Cuál fue la sucursal de menor venta el día lunes? (indica el elemento aij respectivo)
v) ¿Qué días, cada una de las tres sucursales, realizaron una venta inferior a los $ 20.000?
c) Sabiendo que el stock de un depósito de materiales de construcción está resumido en la siguiente
tabla
Material
Cemento
Cal
Pegamento
Nº de Bolsas
800
500
400
y que los costos por unidad son $ 15.- , $ 6.- y $ 17 respectivamente.
i) Expresa los datos en forma matricial. (A)
ii) Calcula efectuando operaciones entre las matrices, el capital invertido en dicho depósito.
d) En las siguientes tablas se indican:
i) El número de papeles y varillas necesarios para fabricar tres modelos distintos de barriletes.
Papeles
Varillas
Modelo 1
2
3
Modelo 2
4
6
Modelo 3
5
8
ii) El plan de producción para los meses de agosto y septiembre
Modelo 1
Modelo 2
Modelo 3
Agosto
150
200
400
septiembre
300
180
600
Trabajo Práctico - Matrices y Determinantes
119
La empresa Cristina S.A., fabricante de barriletes, quiere determinar el número de papeles y
varillas necesarios para concretar dicho plan de producción.
I)
Expresa en forma matricial los datos consignados en las tablas.
II)
Calcula el número total de papeles y varillas necesarios para cumplir con el plan
de producción de ambos meses (aplica operaciones entre matrices).
Las respuestas implican resolver los problemas, solo te daremos la siguiente ayuda:
Problema a)
20 40 30
i)
A = 32 22 42
45 35 25
iv) a11 = 20 = número de pasajeros de la Compañía I del día lunes
Problema b)
ii) a34 = 9 ( $9000) = ventas de la Sucursal P del día jueves
iv)
sucursal M ; a11 = 15 ($15000)
Problema c)
i)
ii)
A1x3 (indica los costos por unidad)
B3x1 (indica el stock del Depósito)
C = (21800)1x1 (indica el capital invertido en el depósito)
Problema d)
I)
A2x3 (indica número de papeles y varillas necesarios para fabricar los tres modelos de
barriletes).
B3x2 (indica el plan de producción para los meses de agosto y septiembre)
II)
3100
4320
Papeles
4850
6780
varillas
agosto
septiembre
C=
12 – Calcula el rango de las siguientes matrices:
1 2 3
A= 3 5 2
2 4 1
r (A) = 3
1 2 3 2
B = 2 3 5 1
1 3 4 5
r (B) = 2
120
Trabajo Práctico - Matrices y Determinantes
4 6 2 8
r (C) = 2
C=
2 0 8 10
2 3 1 4
r (D) = 1
D=
6 9 3 12
2 3
1 2
E=
0 7
1 3
1
2 2 3
2
5
4
6
F=
r (F) = 4
1 3 2 2
2
4
1
6
1 1
3 5
r (E) = 4
1 5
4 0
1 1 0
G = 0 0 1
1 1 1
4 1
2 1
M=
0 1
6 0
0
1
3
1
3
3
1
6
r (G) = 2
1 0 1
H = 1 1 0 r (H) = 3
2 1 1
r (M) = 3
1 2 0 3
P = 1 3 1 4 r (P) = 2
2
1 5 1
5 4 3 2
S = 10 8 6 4 r (S) = 1
15 12 9 6
10 8 12 14
U=
5 4 6 7
8 3 6 10
r (T) = 2
T=
3 1 2 3
r (U) = 1
El rango de una matriz es el máximo número de líneas l.i., para determinarlo realizamos
transformaciones elementales.
El procedimiento conveniente es el gaussiano que nos permite triangular o escalonar una
matriz.
Trabajo Práctico - Matrices y Determinantes
Como ejemplo hallamos el rango de las matrices A, B, C y D.
1 2 3
A 3 5 2
2 4 1
1 2
3
0 11 7
2 – 3 . 1
3 – 2 . 1
0 8
5
1 2
3
0 11 7 r (A) = 3
3 – (-11) . 2 0
0 111
1 2 3 2
B 2 3 5 1
1 3 4 5
1 2
3
2
2 – 2 . 1 0 1 1 3
3 – 1 . 1 0 1
1
3
1 2 3
2
0 1 1 3 r (B) = 2
3 – (-1) . 2 0 0 0
0
4 6 2 8
C
2 0 8 10
4 6
2 8
r (C) =2
2 – 2 . 1 0 12 36 24
2 3 1 4
D
6 9 3 12
2 3 1 4
r (D) = 1
2 – 6 . 1 0 0 0 0
121
122
Auto-evaluación - Matrices y Determinantes
AUTO-EVALUACION
4 8
A = 0 5 , determina la matriz opuesta y traspuesta de la dada: -M y Mt.
2 1
1- Dada la matriz
2 - Dadas las matrices:
2
3 5
A = 1 0 0 ;
0 2 3
Calcular:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
0
1 2
3
0 ; D=
B= 4
2 1 2
2 3 4
y E=
2 1 4
1
1
1
4
2 A - (-3) B
A.B
B.A
Comparar apartados b) y c). Emitir conclusión
D . E ¿qué significa el resultado de este producto?
¿Es posible realizar A . D? ¿Porqué?.
3 - Una empresa fabrica televisores, produce tres modelos de distintas características en tres tamaños
distintos. La capacidad de producción (en miles) en sus plantas de Corrientes y Concordia están
dadas por las matrices A y B.
MODELOS
TAMAÑOS
1
2
3
I II III
5 3 2
A = 7 4 5
10 8 4
I
II III
4 5 3
B = 9 6 4
8 12 2
a) ¿Cuál es la capacidad de producción total de las dos plantas?
b) La empresa decide aumentar su producción en Corrientes en un 20%. ¿Cuál será la nueva
producción de esa planta?.
4 - Hallar el valor del siguiente determinante:
1
2
A=
1
1
1
1
2
1
2
1
1
2
1
1
2
2
Auto-evaluación - Matrices y Determinantes
123
5 - Verificar si la matriz A admite inversa, en caso afirmativo, calcularla.
1 1 2
A= 3
1 1
2 2 2
Soluciones
4 8
-M = 0 5 ;
2 1
1-
2-
a) 2 A – (-3) B
4 0 2
Mt
8 5 1
Matrices conformes
4
0
6 10
3 6
2 0 0 - 12 9 0
0 4 6
6
3 6
2A
(- 3) B
b)
A.B
B3x3
A3x3
2
3 5
1 0 0
0 2 3
=
4
9
4
10 9
0
6 7 12
0
4
2
2
0
14
1 2
3
0
1 2
6 6
1 2
9 6
[ A . B ]3x3
c)
B.A
A3x3
B3x3
0
1 2
4
3
0
2 1 2
2
1
0
1
5
3
3
0
2
4
12
10
5
0
3
6
20
4
[ B . A ]3x3
d) Comparando se concluye: A . B B . A. El producto de matrices no goza de la propiedad
conmutativa.
124
Auto-evaluación - Matrices y Determinantes
e)
D.E
E3x1
D2x3
2 3 4
2 1 4
1
1
1
4
0
0
Producto que da como resultado una matriz
nula (la designamos O
(D . E)2x1
D O E O , sin embargo D . E = O
significa que existen divisor de cero en el
producto de matrices, es decir el producto
de matrices no nulas da por resultado la
matriz nula .
f) No es posible, pues no cumple la conformidad por el producto de matrices: el nº de
columnas de la primera (A) sea igual al número de filas de la segunda matriz (D).
3 - a) La matriz producción de las dos plantas es:
9 8 5
A + B = 16 10 9
18 20 6
b) Aumentada la producción un 20%, la nueva matriz producción será:
6 3,6 2,4
A' = 1,2 A = 8,4 4,8 6
12 9,6 4,8
4 - Lo puede resolver por cualquier método. Aquí hicimos por Chio.
1
2
1
1
5-
1
1
2
1
2
1
1
2
1
3 3 3
1
5 3 5 3( 3) 3(5) 3.6 9 1
2
3 3 4
2
= -6
A K3 x 3 cuadrada
1 1 2
A 3
1 1 24 0
2 2 2
1 3 2
t
A 1 1 2
2 1 2
;
A-1 (A es regular o inversible)
0 6 3
Adj A 8 6 5
8 0 4
0
1 Adj A 1
A
A
3
1
3
1
4
1
4
0
1
8
5
24
1
6
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL
FACULTAD DE INGENIERÍA
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA
Notas de cátedra
Capítulo 6: Ecuaciones. Sistemas de ecuaciones
Autoras: Prof. Noemí O. de Goicoechea y Prof. María
R. Gasparini.
Revisión y reedición 2020: Prof Claudia Beneyto
Departamento de Matemática- Instituto de Matemática
Ecuaciones Lineales
Sabemos que la ecuación de una recta Ax + By + C = 0 es una ecuación lineal en dos
variables, la ecuación de un plano es de la forma Ax + By + Cz + D = 0 ecuación lineal en tres
variables; ambas pueden representarse gráficamente: pero las ecuaciones de más de tres variables
no admiten representación gráfica.
Ejemplo: 3x + 2y + 1 = 0
;
3x + 2y + 4z = 3 cuyas gráficas son respectivamente una
recta y un plano.
Generalizando: a las ecuaciones
Ax + By + C = 0
; Ax + By + Cz + D = 0
las podemos escribir:
a11 x1 + a12 x2 = b1 ; a11x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1
donde el primer subíndice de a está en correspondencia con el de b (como es constante e igual a
uno, podría suprimirse, pero veremos su utilidad al trabajar con más de una ecuación lineal) y el
segundo subíndice de a, en correspondencia con el de la variable. Adoptamos esta escritura, con el
fin de ahorrar alfabeto y facilitar la cuenta de las variables, ya que a veces es necesario trabajar con
4, 5 --, n variables y ésta es una motivación suficiente para definir ecuaciones que superen a la
geometría.
Ecuación lineal en n variables
Una ecuación lineal en n variables es de la forma:
n
a11x1 + a12x2 + a13x3 + -----+ a1n xn = b1
ó también :
a 1 j x j b1
j 1
Donde aij son llamados coeficientes y b1 término independiente ; aij, b1 K (cuerpo), K
debe ser especificado previamente, nosotros trabajaremos en general con K = R.
x1, x2, -----, xn , son símbolos llamados variables, indeterminadas o incógnitas, debemos elegir un
conjunto universal al cual pertenezcan las xj , por lo general dicho conjunto es el mismo cuerpo
dado, al escoger un cuerpo, los xj toman valores en dicho cuerpo.
Conjunto Solución:
Una n - upla x1' , x 2' , x3' ,......x n' R tal que: la proposición
∑
es verdadera,
es una solución de la ecuación.
Remarcamos que los xj son símbolos y la operación aij . xj no está definida, en cambio los
x1' , x 2' , x3' ,......x n' R , son números, y la operación aij . x 'j está definida.
n
con a11 0 para cada
x1 b1 aij x j a11
Si despejamos una variable
j
2
conjunto de valores que asignemos libremente a x2, ------, xn , se tiene un valor determinado para
x1, se dice que esta ecuación tiene (n - 1) grados de libertad.
La ecuación de la recta tiene un grado de libertad.
La ecuación del plano tiene dos grados de libertad.
En particular si:
1) a1j = 0 , 1 j n b1 = 0 (o sea 0x1 + 0x2 + ------- + 0xn = 0) Existen infinitas
soluciones.
La ecuación se denomina indeterminada
2) a1j = 0 , 1 j n b1 0 (o sea
es el conjunto vacío.
La ecuación se denomina incompatible.
0x1 + 0x2 + ----- + 0xn = b1 0) La solución
Ejemplo: En la ecuación del plano:
Si
0x1 + 0x2 + 0x3 = 0 cualquier terna satisface la ecuación la gráfica es todo el
espacio INDETERMINADA
Si
0x1+ 0x2+ 0x3 = b1 0 ninguna terna satisface la ecuación. Solución =
INCOMPATIBLE
Particularizamos para una sola variable: Dada a11 x1 = b1
{
Ejemplo:
3x = 4
3x = 0
0.x =0
0.x=z0
4
Compatible determinada
3
x = 0 Compatible determinada
se verifica x R - Compatible indeterminadas
no se verifica para ningún valor de x Incompatible
x=
Sistemas de ecuaciones lineales
Se llama sistema de ecuaciones lineales a un conjunto de ecuaciones lineales que tienen el
mismo conjunto solución.
Escribimos un sistema de m ecuaciones con n incógnitas:
a 11 x 1
a x
21 1
a m1 x 1
a 12 x 2
a 22 x 2
a m2 x 2
n
o bien :
a ij
j1
x j bi
a 1n
a 2n x n
a mn x n
b1
b2
bm
con 1 i m para cada valor de i
Términos independientes
Variables
Coeficientes
El sistema se denomina:
tenemos una ecuación lineal
General si si m n
Cuadrado si m = n
Homogéneo si bi = 0
(1 i m
Todo sistema puede expresarse en forma matricial como A . X = B , donde:
a11
a
A 21
a
m1
a12 a1n
a 22 a 2n
a m 2 a mn
matriz de los coeficient es
x1
x
X 2
x
n
matriz de las
incógnitas
b1
b2
B=
b
m
matriz de los términos
independiente
Para un sistema homogéneo la expresión matricial es: A . X = 0
Conjunto Solución:
x1
x2
x
3
Una solución de tal sistema es una n – upla X= que satisface simultáneamente todas las
.
.
x
n
ecuaciones del sistema. El conjunto solución lo denotamos: S = {X / A . X = B}
Si el sistema es homogéneo: SH = {X / A . X = 0 }
Sistemas Cramerianos
Sea un sistema cuadrado (número de ecuaciones = número de incógnitas)
a11x1 a1n xn
a x a x
nn n
n1 1
b1
bn
o sea
A nxn X nx1 Bnx1
Si además A 0 , es decir la matriz A es regular o inversible
el sistema se llama
Crameriano. Podemos enunciar:
Un sistema es Crameriano m = n y A 0
Teorema de Cramer
Un sistema A . X = B crameriano admite una solución única.
En efecto siendo A 0 , A-1 / A-1 A = A A-1 = I
AX=B
si pre-multiplicamos miembro a miembro por A-1
A-1 A X = A-1 B
I . X = A-1 B
resulta X = A-1 B
Y como la matriz A-1 es única y B está dada, la matriz A-1 B es la única solución del
sistema. Éste teorema proporciona además un método de resolución: por matriz inversa, se
calcula A-1 y se la multiplica por B.
Es importante pre-multiplicar ambos miembros, pues si lo pos-multiplicamos, en el segundo
miembro queda B.A-1 , y este producto no está definido ya que las matrices no son conformes.
Regla de Cramer
Para obtener la regla de Cramer explicitamos
X =A-1 B.
Recordamos que la matriz de los coeficientes, particionada en columnas es:
a 11
A
a
n1
A-1B =
a 12
a n2
a 1n
A 1 , A 2 , , A n
a nn
b1
b2
bn
A 11
1 A 12
A
A 1n
A 21
A 22
A 2n
A n1
A n2
A nn
de donde se deduce la regla de Cramer:
x1
x2
xn
x1 =
1
b1 A 11 + b 2 A 21 + - - - - + b n A n1
A
El numerador es el desarrollo de un determinante por los elementos de la primera columna,
donde dicha columna es B.
x1
D BA2 An
A
x2 =
xn
D A1 B A3 An
A
D A1 A2 B
A
(las Aj son las columnas de A)
Ejemplo:1) Sea el sistema
x z 4
1 0 1
A 2 1 0
2 x y 3
3 x 2 y z 8
3 2 1
A 20
es un Sistema Crameriano
a) Resolución por matriz inversa (al estudiar matriz inversa hemos calculado A-1)
4
3
8
A-1 . B = 1
1 12 1
2
1 1 1
1
1
1
3
2 1
2
solución 1,1,3
b) Resolución por regla de Cramer:
x1 =
DBA 2 A 3
A
4 01
310
8 21
2
2
DA 1 BA 3
1 ; x2=
A
2
141
2 30
381
2
DA 1A 2 B
2
1 ; x3=
2
A
1 0 4
2 1 3
3 2 8
2
6
3
2
Gráficamente, cada una de estas ecuaciones representa un plano, y como la solución única, los
tres planos se intersectan en el punto S=(1,1,3).
2) Sean los sistemas cuadrados:
x z 4
1 0 1
A 2 1 0
2 x z 3
3 1 1
3x y z 7
A =0
x + z = 4
1 0 1
2x + y = 3 A 2 1 0
3 1 1
3x + y + z = 9
A =0
No son cramerianos no tienen solución única.
Pueden tener infinitas soluciones o sea todos los puntos de una recta.
r
O bien su solución podría ser el conjunto vacío. Los tres planos no se interceptan.
Sistemas Equivalentes
Definición: Sistemas equivalentes son los que tienen el mismo conjunto solución.
Combinación lineal de ecuaciones de un sistema
x y 4
cuyo conjunto Solución es S = 3, 1
Sea el sistema
x y 2
E 0
x y 4 0
* 1
Podemos escribir dicho sistema: *
x y 2 0
E 2 0
donde E1 es la 1ra y E2 la 2da ecuación.
Sea E combinación lineal de E1 y E2
3E1
2 E2
3x 3 y 12 0
E 3E1 2 E2 5 x 16 0,
2x 2 y 4 0
E es combinació n lineal de las ecuaciones del sistema, S = 3, 1 es solución de E :
E = 5 3 + 1 1 - 16 = 0 ; es decir la solución del sistema es también solución de E.
Resulta entonces:
E 0
* 1
E 2 0
E 0
*' E 1 0
E 0
2
donde E es combinació n lineal de E 1 y E 2 ,
* y *' tienen el mismo conjunto solución * y *' son sistemas equivalent es.
E1 0
E 0
2
Generalizando:
Em 0
y
E 0
E 0
1
*' E 2 0
E m 0
Entonces * y *’ son equivalentes
m
con E = i Ei
i =1
Teorema fundamental de equivalencia
Este teorema establece en que condiciones se puede cambiar una ecuación por otra.
E1 0
E1 0
n
Dado *
Si E = i Ei / i 0 agregamos E *’
i 1
E m 0
E 0
m
E 0
según hemos visto estos sistemas son equivalentes.
n
Podemos escribir: E = 1 E1 + i Ei
i 2
(suponemos 1 0).
n
Despejamos E1 = (E - i Ei ) 1 (nos dice que E1 es combinación lineal de E2 , E3 ... E ,)
i 2
E 0
E 0
2
Suprimiendo E1 formamos el sistema equivalente al *’ y por lo tanto al * * ”
E m 0
Si comparamos * con * ’’ hemos cambiado E por E1 siempre que se verifiquen las condiciones
dadas E es combinación lineal de E1, E2 , ... Em y el coeficiente 1 de E1 no es cero.
Consecuencias del teorema fundamental de Equivalencia
Dado un sistema podemos obtener un sistema equivalente si:
a)
E 1 0
E i 0
E 0
j
E m 0
E 1 0
E j 0
E 0
i
E 0
m
Permutamos ecuaciones (es obvio)
E1 0
b) Ei 0
E m 0
E1 0
Ei 0
c)
E 0
j
Em 0
E 1 0
Ei i Ei
E m 0
i 0
E 1 0
Ei 0
E E E 0
j
i i
j
Em 0
multiplicamos una ecuación por un escalar no nulo
sumamos a una ecuación otra multiplicada por un escalar
Conclusiones
1) Dado un sistema AX =B si aplicamos a ), b) y c) en forma reiterada obtenemos sistemas
equivalentes.
2) Observamos que obtener sistemas equivalentes es análogo a obtener matrices equivalentes
(las operaciones elementales definidas para matrices están en correspondencia con a), b) y c).
3) En consecuencia para resolver un sistema, buscamos un sistema equivalente más sencillo,
eliminando ecuaciones e incógnitas, aplicando la eliminación de Gauss.
4) En la ecuación: AX =B, al considerar las columnas de A y B como vectores de Km , la
ecuación puede ser escrita:
a 11
a 12
a 1n
b1
a 21 x a 22 x a 2 n x b 2 ;
1 2
n
a m1
a m2
a mn
bm
Lo que pone de manifiesto que B es combinación lineal de las n columnas de A.
Ejemplos:
Trabajaremos con sistemas sencillos que admitan representación geométrica, pero esto no quita
generalidad, ya que el análisis en un espacio n- dimensional sería el mismo.
a11x1 a12 x2 b1
'
a21x1 a22 x2 b2
a11 a12
,
A=
A’ =
a21 a22
matriz de los
coeficientes
a11 a12 b1
= (A / B)
a21 a22 b2
matriz de los coeficientes ampliada
con la columna de los términos
independientes
Ejemplo 1
x y 4
Sistema equivalente
0y 2
Ecuación lineal incompatible el sistema es incompatible
S=
Ejemplo 2
x y 4
*
x y 2
1
1
1
0
1
0
1
-1
1
-2
1
1
4
2
Gauss
4
-2
4
1
r (A) = 2
r(A) = r (A’) =
número de incógnitas
r (A’) =2
Sistema equivalente
x y 4
x + 1 = 4 x = 3 S = {(3 , 1)} solución única
y 1
sistema compatible determinado
Ejemplo 3
x y 4
2 x 2 y 8
1
2
1
0
1
2
1
0
4
8
4
0
r(A) = 1
r(A’) = 1
r(A) = r(A’) número
de incógnitas
Sistema equivalente:
x y 4
0x 0y 0
Ecuación lineal indeterminada se verifica, x,y R; en particular para x, y / x + y = 4
Si x = R y = 4 - S = {(, 4 - ) / R} Sistema compatible indeterminado.
Infinitas soluciones.
Observa detenidamente lo que señalamos con respecto a los rangos en los ejemplos dados; si el
sistema es compatible (ejemplo 2 y 3), r = rg (A) = rg (A') (es decir el rango de la matriz de
coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada con la columna de los términos
independientes); si el sistema es compatible determinado, r = n (rango igual al número de
incógnitas) Ejemplo 2 .
Si r < n el sistema es compatible indeterminado (Ejemplo 3).
Si el r(A) r(A') el sistema es incompatible (Ejemplo 1).
Estas observaciones se formalizan en el siguiente teorema:
Teorema de Rouché Frobenius
Dado un sistema general:
a 11x 1 a 12 x 2 a 1n x n b1
a x a x a x b
22 2
2n n
2
* 21 1
a m1 x 1 a m2 x 2 a mn x n b m
Expresión Matricial : A
X
B
mxn nx1
mx1
Si la matriz de los coeficientes A está particionada en columnas la podemos escribir:
A= (A1 A2 ---- An).
Llamamos matriz ampliada a la matriz A’ tal que A’ = (A/B) = (A1 A2 ----- An B)
Enunciado:
El sistema AX = B es compatible si y sólo si el rango de A es igual al rango de A’, r(A) = r
(A’) = r, es determinado si r = n (n es el número de incógnitas) e indeterminado si r < n
Recordamos este enunciado mediante el siguiente algoritmo de clasificación:
Consecuencias del teorema de Rouché Frobenius
Los sistemas homogéneos son siempre compatibles.
En efecto:
A . X = O r ( A ) = r ( A/ O ) Compatible.
Siempre O SH (solución del sistema homogéneo), ya que A . O = 0
solución TRIVIAL (x1 = x2 = .... = xn = 0)
Si:
r<n
indeterminado (infinitas soluciones)
Si:
r=n
determinado (la única solución es la trivial)
Ejemplos
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE
FACULTAD DE INGENIERÍA
ÁLGEBRA Y
GEOMETRÍA
Notas de cátedra
Capítulo 7 :Espacios vectoriales
Autoras: Prof. Noemí O. de Goicoechea y Prof.
María R. Gasparini.
Revisión y reedición 2020: Prof Claudia Beneyto
Departamento de Matemática- Instituto de Matemática
ESPACIOS VECTORIALES
Definición de Espacio Vectorial
Definiremos previamente las operaciones que intervienen en esta estructura que
estudiaremos.
Suma de vectores
Sea V un conjunto cuyos elementos llamaremos vectores.
Por suma en un conjunto V se entiende una relación tal que: a dos elementos
v 1 , v 2 V les hace corresponder un tercer elemento v1 + v 2 V que se denomina suma
de v 1 y v 2 .
En símbolos:
v 1 , v 2 V : v 1 + v 2 V
Esta operación es una ley de composición interna cerrada en V. Es interna porque los
dos elementos que intervienen en la operación pertenecen a V (están dentro) y es cerrada
porque el resultado de la operación también pertenece al mismo conjunto
Producto de un vector por un escalar
Sea K un conjunto de escalares (K = Q, R C) donde K es un cuerpo.
Por producto de un elemento de V ( v V ) por un escalar K se entiende una
relación que a cada par λ v le hace corresponder otro elemento vV .
En símbolos:
v V, λ K : λ.v V
Esta operación es una ley de composición externa cerrada en V. Es externa pues
participa un elemento del conjunto de escalares, externo a V y cerrada porque el resultado
de la operación pertenece a V.
Definición: Sea V un conjunto no vacío, a cuyos elementos llamamos vectores
v, v 1 , v 2 , ...,V y sea K un conjunto de escalares , 1 , 2 , ...,K (K tiene estructura de
cuerpo). Se dice que V es un espacio vectorial sobre K si existen dos operaciones: una
suma de vectores y un producto por un escalar que satisfacen los siguientes axiomas:
1) La suma es asociativa:
v 1 , v 2 , v 3 V : v 1 +( v 2 + v 3 ) (v 1 + v 2 ) + v 3
2) La suma es conmutativa
v 1 , v 2 V : v 1 + v 2 v 2 + v 1
3) Existencia de neutro
0 V/ v V : v + 0 = v
4) Existencia del opuesto o simétrico
v V, ( v) V : v + ( v) = 0
5) Distributividad del producto respecto a la suma de vectores
v 1 , v 2 V, λ K : λ (v 1 + v 2 ) λ v 1 + λ v 2
6) Distributividad del producto respecto a la suma de escalares
v V, λ 1 , λ 2 K : (λ 1 + λ 2 ) v λ 1 v + λ 2 v
7) Asociativa para escalares
v V, λ 1 , λ 2 K : λ 1 (λ 2 v) (λ 1 λ 2 ) v
⁄ ⃗
⃗
⃗
8)
(“1” neutro de la multiplicación del cuerpo
K funciona como neutro en el producto por un vector)
El signo! indica que 1 es el único elemento neutro
La definición de suma y los cuatro primeros axiomas se relacionan con la estructura
aditiva de V pueden resumirse diciendo (V, +) es grupo abeliano. La definición de
producto por un escalar y los cuatro últimos axiomas se refieren a la acción del cuerpo K.
Decimos entonces que la cuaterna (V, +, K, ·) es un Espacio Vectorial
Vectores Geométricos
Llamamos vector geométrico a todo segmento orientado.
r
A
B
Como un segmento se determina por dos puntos A y B, el vector queda perfectamente
determinado si se dan esos dos puntos, en un cierto orden. El primer punto se llama origen
y el segundo extremo del vector. Al vector geométrico de origen A y extremo B, lo
notamos: v AB .
Llamamos módulo del vector AB a la longitud del segmento AB , lo notamos: v AB .
Llamamos sentido del vector AB al que determinan los puntos A y B tomados en ese
orden.
La dirección del vector AB es la dirección de la recta r (llamada recta soporte) o sus
paralelas.
dirección
Entonces un vector tiene tres características que lo determinan: sentido
módulo
Dos vectores libres son iguales si tienen igual dirección, sentido y módulo.
v
w
x
Trabajaremos en el conjunto de los vectores libres del plano, al cual denotamos V. Nos
son familiares las operaciones “Suma de vectores”, “Resta de vectores” y “Producto por un
escalar ”, cuyas representaciones gráficas son:
Suma de vectores
v3
v1 v 2 v 3
v2
v3
v1
Figura 1
v2
v v1
v1
Figura 2
v1
v2
2
v1
v2
v2
v1 v 2
v1 v 2
v1
Figura 3
Figura 4
Figura 1: Datos
Figura 2:
v 1 v 2 v 3
regla del polígono
Figura 3: v 1 v 2 = v 2 v 1 regla del polígono nos conduce a
Figura 4: v 1 v 2 regla del paralelogramo
Se verifica que :
v 1 , v 2 V : v 1 + v 2 V (“+” es ley interna cerrada en V)
Resta de vectores
D
v2
v1
Figura 5
v1 v 2 D
v1 v 2 D
v2
v1
v1 v 2
= v 1 ( v 2 ) D'
- v2
Figura 6
El vector D de la Figura 5 es igual al vector D' de la Figura 6.
Vemos que restar dos vectores es igual que al primero sumarle el opuesto del segundo,
siendo el opuesto un vector de igual dirección y módulo pero sentido contrario.
Producto de un vector por un escalar
v
v
v
v
v
0
0
0 1
Figura 7
Se verifica que:
v V, λ R : λ v V El producto de un vector por un número real es otro vector, por
lo tanto “.” es una ley externa cerrada en V.
Propiedades de la ley interna
1.- La suma es asociativa
v1 , v 2 , v 3 V :
v1 v 2 v 3
v3
v 2 v 3
v v1 v 2 v 3 (v1 v 2 ) v 3 v1 v 2 v 3
v2
v1
v1 v 2
2.- La suma es conmutativa
v1, v2V :
v1 v 2 v 2 v1
3.- Denotado por 0 (vector nulo) al vector, (0,0)
se tiene:
0 V/ v V : v + 0 = v
v2
v1
v1
v2
v v0
4.- Denotado por - v = BA
simétrico de v = AB .
el vector opuesto o
v
A
B
v V, ( v) V : v + ( v) = 0
Entonces: El par (V, +) es grupo abeliano
1 2
Hacemos:
2 3
Propiedades de la ley externa
respecto a la suma de vectores
v1 , v 2V, 1 R : 1 (v1 + v 2 )
1 v1 + 1 v 2
v1
⁄
⃗
1 v1
2 v
1 v
respecto a la suma de escalares
v V, 1 , 2R :(1 + 2 ) v
1 v + 2 v
8) )
1 v 2
v2
6) Distributividad del producto
7) Asociativa para escalares
v V, 1 , 2R :1 ( 2 v)
( 1 2 ) v
λ1 (v1 + v2 ) λ1 v1 + λ1 v2
5) Distributividad del producto
v
(1 2 )v
2 v
v
1 ( 2 v)
(1 2 )v
(“1” neutro de la multiplicación del cuerpo R)
Luego: (V, +, R, ·) es Espacio Vectorial
Propiedades que se deducen de los axiomas:
1) Un escalar cualquiera por el vector nulo, da como resultado el vector nulo
k R : k.0 0 en efecto, siendo 0 = ( 0; 0) y k R entonces
2) El escalar cero por un vector cualquiera, da como resultado el vector nulo
3) El producto del opuesto de un escalar por un vector cualquiera v, es igual al opuesto del
producto del escalar por el vector: ( – k ) . v = - ( k . v ) y de ésta propiedad se deduce
que si k = -1 entonces resulta -1 . v = - ( 1. v ) = - v .
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE
FACULTAD DE INGENIERÍA
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA
Notas de cátedra
Capítulo 8: Combinación lineal-Independencia
lineal.
Autoras: Prof. Noemí O. de Goicoechea y Prof.
María R. Gasparini.
Revisión y reedición 2020: Prof Claudia Beneyto
Departamento de Matemática- Instituto de Matemática
COMBINACIÓN LINEAL
Sea ( V, + , K , . ) un espacio vectorial donde se definieron dos operaciones
Una ley u operación interna, la suma entre vectores
v1 , v 2 V : v1 v 2 V
Y una ley u operación externa, el producto de un vector por un escalar
v V , K : v V
Reiterando estas operaciones definidas en los espacios vectoriales se tiene
n
i .v i 1 .v1 2 .v 2 - - - - - n .v n = v tenemos lo que se una denomina
i 1
combinación lineal, en símbolos: c.l. El vector ⃗ es el resultado de la combinación lineal.
Habíamos visto que los vectores geométricos ( con K = R ) tienen estructura de espacio
vectorial. Podemos entonces ejemplificar en dicha estructura.
Dados v1 , v 2 , v 3 , v 4 , v 5 R2 , se pide expresar v5 como combinación lineal de los
restantes.
4
4
v 5 i .v i i .v i 1 .v1 0.v 2 3 .v 3 0.v 4 1 .v1 3 .v 3
i 1
i 1
Vemos que podemos expresar ⃗⃗⃗⃗⃗ combinando linealmente cuatro vectores, ésta
combinación lineal no es única. Si usamos tres vectores para obtener ⃗⃗⃗⃗⃗ , tampoco la
combinación lineal es única. Esto quiere decir que en estos casos existen infinitos valores
de los coeficientes que permiten obtener el mismo resultado. Pero, si en R2 tomamos tres
vectores no paralelos, por ejemplo v1 , v 3 y v 5 , la combinación lineal para obtener ⃗⃗⃗⃗⃗ es
única, y cada vector es combinación
v 5 1 .v1 3 .v 3 y v1 (v 5 3 .v 3 ) 1
lineal
de
Si ahora queremos obtener el vector nulo como combinación lineal:
los
otros
dos
:
v
0 0.v1 0.v 2 0.v 3 0.v 4 0.v 5 0.v i ( se llama combinación lineal trivial)
i 1
4
0 i .v i v 5 i .v i v 5
i 1
i 1
Pero si tenemos sólo dos vectores no paralelos, por ejemplo v1 y v 3 la única forma de
obtener el vector nulo como combinación lineal de ellos es : 0 0.v1 0.v 3 ( ya que con
dos vectores no paralelos no se cierra el polígono).
Si tenemos dos vectores paralelos, por ejemplo, podemos obtener el vector nulo con
coeficientes distintos de cero:
a
0 2.a b (No es la combinación lineal trivial)
b
1
Y podemos expresar uno en función del otro: b 2.a a b
2
(A)
CONJUNTO GENERADOR
Dado un conjunto de vectores v1 , v 2 , , v n en un determinado Espacio Vectorial. Si
cualquier otro vector del espacio puede obtenerse como combinación lineal de eéstos
decimos que el conjunto es generador del Espacio Vectorial.
n
Definición: Si v V: i .v i v v 1 , v 2 , , v n es un conjunto generador
i 1
de V.
Se escribe v1 , v 2 , , v n = V se dice también que V es el conjunto generado por
v1 , v 2 , , v n .
En el ejemplo : Son conjuntos generadores de R2 : v1 , v 2 , v 3 , v 4 , v 5 =
=
=
v1 , v 2 , v 3 , v 4
v 1 , v 3 = R2 (el plano )
No se trata de una igualdad de conjuntos, significa que dichos conjuntos son generadores
de un mismo espacio vectorial (no se utilizan llaves).
Si ahora tenemos dos vectores paralelos, nos preguntamos si generan R2 ,es decir si
cualquier vector del plano puede obtenerse como c.l. de estos. Vemos que no.
vectores con esa misma dirección:
a , b R 2 , a y b sólo generan
a , b a b = R1 ( la recta )
II)
I) Consideramos ahora R3 (espacio
ordinario de tres dimensiones), y tres vectores
que pertenecen a un mismo plano .
Habíamos visto que dicho plano está
generado por estos vectores.
Consideramos x , x no es combinación
lineal de los v i , pero si tomamos
v 1 , v 2 , v 3 , v 4 , x = R3
Tomamos ahora tres vectores no coplanares :
v1' , v '2 , v 3' R3 x R3 ,
3
x i .vi' ;
i 1
v1' , v'2 , v3' R3
no coplanares
Como conclusión tenemos:
- Dos vectores no paralelos generan
- Dos vectores paralelos sólo generan
dirección
- Tres vectores coplanares no generan
mismo plano.
- Tres vectores no coplanares generan
o sea otros vectores con la misma
, sólo otros vectores pertenecientes al
DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL
{⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
Dado un conjunto de vectores en
,
⃗⃗⃗⃗⃗} se dice que es un conjunto de
vectores linealmente dependiente o simplemente linealmente dependiente, en símbolos l.d.,
si existe una combinación lineal entre los vectores que da el vector cero donde por lo
menos un coeficiente es diferente de cero. En caso contrario, se dice que A es linealmente
independiente, en símbolos, l.i. Es decir, cuando la única combinación lineal que da cero es
la que tiene todos los coeficientes cero.
Definición
a) ∑
{⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗}
∑
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗
{⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗}
Cuando el conjunto es l.i., como todos los coeficientes son nulos no podemos despejar
ningún vector en función de los otros, es decir no existe entre ellos combinación lineal.
Cuando el conjunto es l.d., se puede despejar cualquiera de los vectores cuyo coeficiente
no sea nulo, es decir algún o algunos vectores son combinación lineal de los restantes.
Ejemplos
a) En
dos vectores paralelos permiten obtener el vector nulo como combinación
lineal de ellos como vimos en el ejemplo (A) , y podemos expresar uno como c.l. del
otro, son l.d.
b) en
dos vectores no paralelos no pueden ser puestos uno en función del otro, son l.i.
c) En
tres o más vectores coplanares, como vimos en el ejemplo I, pueden expresarse
uno en función de los otros, son l.d.
d) En II vemos que ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
No pueden expresarse uno como c.l.
de los otros. Son l.i
b)
Base
Es todo conjunto de vectores generador y linealmente independiente.
En R2 dos vectores no paralelos constituyen una base.
En R3 tres vectores no coplanares constituyen una base.
El número de vectores de una base es la dimensión del espacio vectorial, se anota dim V n
=n
Dado un conjunto v1 , .... , v m
linealmente
independientes / v i Vn con n m puede
completarse este conjunto hasta formar una base; agregando uno a uno vectores que no
sean combinación lineal de los restantes hasta obtener n vectores v1 , .. , v m , ..v n ;
dicho conjunto de n vectores es linealmente independiente y por lo tanto base de Vn.
Coordenadas : Dada una base en un espacio vectorial cualquier vector de dicho espacio
puede expresarse como combinación lineal de los vectores de la base.
Sea e1 , e 2 R2 una base 1 , 2 R tales que:
⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ Ésta combinación lineal es única, si suponemos que existe otra
⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ restando miembro a miembro
⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
Siendo e1 , e 2 una base , son l.i., debe ser
1 1' 0 2 '2 0
1 1'
2 '2
Nos dice que la combinación lineal es única. Esto se generaliza para un espacio de
dimensión n.
Base canónica: Los vectores de esta base son versores: (vectores de módulo unidad),
perpendiculares entre si
1
0
0
1
0
En R2 : i ; j ; En R3 i 0 ; j 1 ; k 0
0
1
0
0
1
n
Generalizamos para R
1
0
0
0
0
1
n
En R : e1 = ; e 2 = ....... e n
1
0
0
En esta base las coordenadas se denominan componentes de un vector.
Veamos cómo probamos si un conjunto de vectores constituye una base.
Para fijar conceptos, sin perder generalidad trabajamos en R2, en base canónica, entonces
cada vector será identificado por sus tres componentes.
Planteamos la combinación lineal para probar primero si es generador:
1 .v1 2 .v 2 3 .v 3 v
El problema es encontrar
combinación lineal de v 1 v 2
1, 2 , 3 si existen, que nos permitan expresar v como
v3 ;
Expresamos los vectores por sus componentes:
a 11
a 12
a 13 a
1 . a 21 2 . a 22 3 . a 23 b
a
a
a c
31
32
33
a 11 . 1 a 12 . 2 a 13 . 3 a
tendremos el sistema a 21 . 1 a 22 . 2 a 23 . 3 b
a . a . a . c
32
2
33
3
31 1
Resolver un problema de combinación lineal equivale a resolver un sistema de ecuaciones,
interpretamos:
a) Si el sistema es incompatible: S = { }. El conjunto no es generador
b) Si el sistema es Compatible Determinado, la solución es única. Existen únicos
que permiten obtener la c.l. Ésto además indica que los vectores son l.i.
c) Si el sistema es compatible indeterminado existen infinitos
Gráficamente:a)
b)
Para probar si los vectores son linealmente independientes debemos analizar
1.v1 2 .v2 3 .v3 O
Debemos resolver un sistema homogéneo es decir a = b = 0, que siempre es compatible, si
es determinado los escalares i = 0 i y los vectores son linealmente independientes, si es
indeterminado, algún i 0 y los vectores son linealmente dependientes.
Ejemplo: Dados los vectores:
1
0
1
1
'
v1 2 ; v 2 1 ; v3 0 ; v3 3 Analizar
3
2
1
5
Analizamos {v1 , v 2 , v3 }
1
0
1 a
1 .v 1 2 .v 2 3 .v 3 v 1 . 2 2 . 1 3 . 0 b
3
2
1 c
1
2
3
1
0
0
1
0
0
0 1
a
1 0
b
2 1
c
0 1
a
1 2
b 2a
2 2
c 3a
0 1
a
1 2
b 2a
0 2 c 3a 2b 4a
1. 1 0. 2 1. 3 a
2. 1 1. 2 0. 3 b
3. 2. 1. c
2
3
1
Verificamos que son linealmente independientes
*”
{ v1 , v2 , v3 } son linealmente independientes
como es conjunto generador es base
Sistema equivalente al dado
1 3 a
*’ 2 23 b 2a
a 2b c
3
2
a
1, 2 , 3 , v b
c
v1 , v2 , v3 conjunto generador de R3 (como son tres) también es base de R3
1 1
a 1
1 0
1 1
Caso particular si v b 1 2 1 En efecto 1 2 1 1 0 0 1
c 1
3 2
1 1
3 0
'
Analizamos el conjunto v1 , v2 , v3
1 02 3 a
1v1 2v2 3v3 ' v . 21 12 33 b
3 2 5 c
2
3
1
Analizamos el sistema homogéneo:
1
2
3
1
0
0
1
0
0
0
1
2
0
1
2
0
1
0
1
0
5
1
1
2
1
1
0
a
b
c
a
b 2a
c 3a
a
b 2a
c 3a 2b 4a
*”
Se verifica
R son l. d.
Si
1 3 a
* 2 3 b 2a
03 a 2b c
ac
bajo estas condiciones resulta: 0 3=
2
0 se verifica 3 R, esta ecuación lineal es compatible indeterminada con infinitas
soluciones, el sistema es compatible indeterminado. Asignándole un valor a 3 , puede
obtenerse 1 y 2.
a 1
a c 11
En particular: si v b 1 que verifica b=
1, esto nos dice que v es
2
2
c 1
Sistema compatible a - 2b + c = 0 b
combinación lineal de v1 , v 2 , v3'
hacemos 3 = 1
2 = b – 2a - 3 = 1 – 2 . 1 – 1 = - 2
1
0
0
1
0 1 1
1 = a - 3 = 1 – 1 = 0 λ 1 2 λ 2 1 λ 3 1 0. 2 2 1 1 3 1
3
2
5
3
2 5 1
'
v1 , v 2 , v
3
son coplanares, y por lo tanto linealmente dependientes
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE
FACULTAD DE INGENIERÍA
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA
Notas de cátedra
Capítulo 9: Cálculo vectorial
Autoras: Prof. Noemí O. de Goicoechea y Prof.
María R. Gasparini.
Revisión y reedición 2020: Prof. Claudia Beneyto
Departamento de Matemática- Instituto de Matemática
CÁLCULO VECTORIAL
En esta unidad estudiaremos las operaciones entre vectores y sus interpretaciones
geométricas y aplicaciones, centrándonos principalmente en el espacio geométrico de tres
dimensiones.
Base Canónica
Los vectores fundamentales o versores son los vectores unidad (de módulo 1) ubicados
sobre los ejes coordenados y con sentidos coincidentes con el sentido positivo de éstos.
En R2: ( i , j ) versores perpendiculares entre sí: i (1, 0) ; j (0, 1)
En R3: ( i , j , k) versores perpendiculares entre sí: i (1, 0, 0) ; j (0, 1, 0) ; k = (0, 0, 1)
x
Sea R2, la base canónica i , j ; y el vector A R 2 de componentes A = (x1 , y1 ) A = 1
y1
Expresamos
como combinación lineal de los
A
y
A x 1 i y1 y
vectores de la base.
y1
A x1 i y1 j es la Expresión analítica del vector
j
i
x1
x
Módulo de A : A x12 y12
2
A x12 y12
Los ángulos que forman el vector con los ejes se llaman ángulos directores y sus cosenos:
cosenos directores cos y cos ; como 90 cos = sen
Observando el gráfico tenemos:
2
x
y
cos = 1 x1 A cos y cos = sen 1 y1 A sen
A
A
Elevando al cuadrado y sumando miembro a miembro estas igualdades
2
2
2
2
x 12 y12 A (cos 2 sen 2 ) cos sen 1 cos cos 1
2
Por lo tanto:
La suma de los cuadrados de los cosenos directores de un vector es igual a uno.
Idéntico análisis para R3
Expresión analítica
A x 1 i y1 y z 1 k
Por Pitágoras
2 2
2
A A' z12 como A' x12 y12
2
A x12 y12 z12
Los cosenos directores son:
x
y
z
cos 1 ; cos 1 ; cos 1
A
A
A
Entonces x1 A cos ; y1 A cos ; z1 A cos
2
2
x12 y12 z12 = A (cos 2 cos 2 cos 2 ) A cos 2 cos 2 cos 2 1
Generalizando para Rn: Si la base canónica es {e1, e2,..., en}
Expresión analítica: A x 1e1 x 2 e 2 . . . x n e n
Módulo: A x12 x 22 . . . x 2n
Versor
Se los simboliza A0 - Es todo vector de módulo uno: A 0 1
x 0 A 0 cos
A0 (cos , sen ) = (cos , cos )
En R2 : A 0 (x 0 , y 0 ) donde
y0 A 0 sen
En R3 : A 0 (cos , cos , cos )
Las componentes de un versor son sus cosenos directores.
Dado un vector A x 1 , y1 , z1 si queremos un versor con la dirección de A , basta
A x1 y1 z1
dividirlo por su módulo: A0 , , .
A A A A
3
Vector determinado por dos puntos cualesquiera
El punto A determina OA (x 1 , y1 )
El punto B determina OB (x 2 , y 2 )
OA AB OB
AB OB OA (x 2 , y 2 ) - (x 1 , y1 )
AB (x 2 - x 1 , y 2 - y1 )
componentes de AB
La distancia entre A y B es el módulo de: AB : AB (x 2 - x 1 ) 2 (y 2 - y1 ) 2
Punto medio de un segmento
Dados los puntos A = (x1, y1) y B = (x2, y2) hallamos
M = (xm, ym) tal que:
AM MB (x m x 1 , y m y1 ) (x 2 x m , y 2 y m )
x1 x 2
x m x 1 x 2 x m 2x m x 1 x 2 x m
2
y y y y 2y y y y y1 y 2
1
2
m
m
1
2
m
m
2
En 3 dimensiones el punto medio M de AB es el punto cuyas coordenadas son:
suma de x suma de y suma de z
,
,
2
2
2
Vectores paralelos
Si dos vectores son paralelos, uno puede expresarse como c.l. del otro.
En símbolos: A / / B A B
x 1 x 2
En R2: (x1, y1) = (x2, y2) = ( x2, y2)
y1 y 2
En R3:
=
x 1 y1
x 2 y2
x 1 y1 z1
x 2 y2 z2
4
En Rn:
x1 x 2 x 3
x
' ' . . . = 'n
'
x1 x 2 x 3
xn
Vemos entonces que:
Si dos vectores son paralelos sus componentes homólogas son proporcionales
Ejemplos
Dados los puntos A = (2, 1, 3) ; B = (4, 1, 0) ; C = (8, 3, 5) determinar:
i) El vector AB
AB = (4 – 2, 1 – 1, 0 – 3) AB = (2, 0, -3)
ii) El módulo del vector AB
AB =
2 2 0 2 32 4 9 13
iii) El punto medio del segmento AC
28
1 3
M
,
,
2
2
3 5
2
M = (5, 2, 4)
Producto escalar
Definición: El producto escalar de dos vectores (notado: A B ), es el número
correspondiente al producto de los módulos por el coseno del ángulo que forman:
A B = A B cos
Como cos cos B A = B A cos
B
de donde se infiere que el producto escalar es conmutativo:
AB B A
A
Interpretación geométrica del producto escalar
En el triángulo la hipotenusa es B
proy B A
cos
B
proy B A
AB A B
A proy B A
B
5
En el triángulo la hipotenusa es A
proyA B
cos
A
proy A B
B A B A
B proy A B
A
Conclusión: el producto escalar de dos vectores es igual al módulo de uno cualquiera de
ellos por la proyección del otro sobre la dirección del primero.
proy B A : Proyección de B sobre la dirección de A
proy A B : Proyección de A sobre la dirección de B .
Propiedades del producto escalar
Conmutativa: A B = B A
Asociativa de la multiplicación por un escalar: A B A B = A B
Distributiva respecto de la suma de vectores: A B C A B A C
Expresión en coordenadas (o en función de sus componentes)
Multiplicamos escalarmente los vectores de la base canónica i , j , k
i i = i i cos0 1 1 1 1
;
i j = i j cos 2 1 1 0 0
Resulta así la tabla de multiplicación del triedro.
•
i
1
j
0
i
0
1
j
0
0
k
Entonces dados dos vectores por sus expresiones en coordenadas:
k
0
0
1
y B x 2 i y 2 j z 2k
A x1 i y 1 j z1k
A.B x1 x 2 i . i x1 y 2 i . j x1 z 2 i . k y 1 x 2 j . i y 1 y 2 j . j y 1 z 2 j .k z 1 x 2k . i z 1 y 2k . j z 1 z 2k . k
x 1 x 2 .1 x 1 y 2 .0 x 1 z 2 .0 y 1 x 2 .0 y 1 y 2 .1 y 1 z 2 .0 z 1 x 2 .0 z 1 y 2 .0 z 1 z 2 .1
A B x1 x2 y1 y 2 z1 z 2
6
El producto escalar de dos vectores dados en coordenadas cartesianas ortogonales es
igual a la suma de los productos de las componentes homólogas.
Ejemplo: Sea A (2, 5, 1)
B 2, 1, 3
A.B 2 2 5 1 1 3 4 5 3 12
Expresión del módulo usando producto escalar
2
Si A B A A A A cos 0 A A A
(1)
En coordenadas: A A x 1 x 1 y1 y1 z1 z1 x 12 y12 z12
(2)
2
De (1) y (2): A x 12 y12 z 12 A x 12 y12 z 12
Entonces, comprobamos que el módulo de un vector es la raíz cuadrada positiva de la suma
de los cuadrados de las componentes.
Ángulo entre dos vectores
A B = A B cos = x 1 x 2 y1 y 2 z1 z 2
AB
cos = =
AB
x 1 x 2 y1 y 2 z1 z 2
x 12 y 12 z 12 x 22 y 22 z 22
Condición de perpendicularidad
Si A B cos 90º = 0 A . B = 0
Si los vectores son perpendiculares su producto escalar es cero.
Producto vectorial
Definición: El producto vectorial de dos vectores (notado A B ) es el vector C , con
las siguientes características:
7
Interpretación geométrica del módulo del producto vectorial
B
h
C A B A B sen
h
sen h = B sen
B
C A B
donde h es la altura del paralelogramo formado
por los vectores A y B , resulta:
C A B A h
Área del paralelogramo
A
Propiedades del producto vectorial
Propiedad no conmutativa:
pues de acuerdo con la regla del tirabuzón o de la mano
derecha resulta.
C A B
B
B
A
A
C B A
A B B A
Se llama propiedad anticonmutativa
Propiedad distributiva con respecto a la suma: A B C A B A C
Propiedad no asociativa: A B C A B C
8
Expresión en coordenadas
Multiplicamos vectorialmente los versores de la base canónica
z
i i i i sen 0º 0
k
i i = j j = kk = O
i j i j sen 2 1 1 1 = 1
y
j
i
i j=k
jk= i
k i = j
Por propiedad anticonmutativa, es:
j i = -k
k j = -i
i k = -j
x
Resulta la tabla de multiplicación vectorial:
0
j
k
j
0
-i
i
i
j
k
-k
k
-j
i
0
Dados ahora dos vectores por sus expresiones en coordenadas:
A x1 i y 1 j z1k
⃗
⃗⃗
⃗⃗
⃗
y B x 2 i y 2 j z 2k
⃗ ⃗
⃗ ⃗⃗ +
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗⃗
⃗⃗ ⃗
⃗⃗ ⃗
⃗⃗ ⃗⃗
x1 x2 .0 x1 y2 k x1 z 2 ( j ) y1 x2 (k ) y1 y2 0 y1 z 2 i z1 x2 j z1 y2 (i ) z1 z 2 0 =
y1z 2 y 2 z1 i x 2 z1 x1z 2 j x1 y 2 x 2 y1 k
y1
y2
z1 x 1
i
z2
x2
z1 x 1
j
z2
x2
y1
k
y2
(1)
Este resultado puede expresarse en forma del siguiente determinante simbólico:
i
j
k
Pues desarrollándolo por los elementos de la primera fila
x 1 y1 z 1 A B ,
como si en ella hubiera números se obtiene (1).
x 2 y2 z2
9
Ejemplo: Sean A 2, 3, 2 y
B 2, 3, 1
i j k
A B 2 3 2 = (3 – 6) i + (4 – 2) j + (6 – 6) k = -3 i + 2 j + 0 . k
2 3 1
Paralelismo de vectores
Si A // B A B A B sen 0º 0 A B = 0
Para que el determinante sea nulo, deben ser dos filas proporcionales, o sea:
x 1 y1 z 1
x 2 y2 z2
Verificamos nuevamente que si dos vectores son paralelos sus componentes homólogas
son proporcionales.
Ejemplos:
a)
A 2, 3, 4 y
A 3, 15, z y
b)
B 4, 6, z determinar z para que A // B
B 1, 5, 2 determinar z para que A // B
2 3 4
z=8
4 6 z
3 15 z
z=6
1 5 2
Producto mixto
Se llama producto mixto de tres vectores A, B, C al escalar: A B C .
Expresión en coordenadas
Si A x1 i y1 j z1k ; B x 2 i y 2 j z 2 k y C x 3 i y3 j z3k
De acuerdo a lo demostrado:
i
j k
y z2 x 2
B C x 2 y 2 z 2 2
i
y3 z 3
x3
x 3 y3 z 3
z2 x 2
j
z3
x3
y2
k
y3
x1 y1 z1
y2
x 2 y2 z 2
y3
x 3 y3 z 3
Teniendo en cuenta que la expresión A B C carece de sentido, puede omitirse el
paréntesis y escribir A B C , además si permutamos los productos: A B . C se llega
y
A B C x1 2
y3
z2
x
y1 2
z3
x3
z2
x
z1 2
z3
x3
10
al mismo resultado, entonces los suprimimos e indicamos el producto mixto con la
x1
A, B, C x 2
x3
notación:
y1
y2
y3
z1
z2
z3
Interpretación geométrica del producto mixto
A B P ; A B P S (Área del paralelogramo base del paralelepípedo )
A B C P C P C cos Donde h es la altura del paralelepípedo
h
P A B
Entonces
A, B, C P h Volúmen del paralelepípedo
h proy C P
C
B
A
Consecuencia: La condición necesaria y suficiente para que tres vectores no nulos sean
coplanares es que se anule su producto mixto.
11
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL
FACULTAD DE INGENIERÍA
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA
Notas de cátedra
Capítulo 10: Recta en el Plano
Autoras: Prof. Noemí O. de Goicoechea y Prof.
María R. Gasparini.
Revisión y reedición 2020: Prof. Claudia Beneyto
Departamento de Matemática- Instituto de Matemática
RECTA EN EL PLANO
Comenzaremos a partir de la presente unidad la parte de la asignatura denominada
Geometría Analítica. Las dos cuestiones fundamentales de la geometría analítica son:
-Dado el lugar geométrico de un sistema de coordenadas, obtener su ecuación.
-Dada la ecuación en un sistema de coordenadas, determinar la gráfica o lugar geométrico
de los puntos que verifican dicha ecuación.
Un punto que se desplaza según una regla fija describe una curva. Hallar la ecuación de
una curva y sus propiedades es un problema de lugar geométrico. Se busca una expresión
matemática que sea verificada por todos los puntos de la curva y sólo por ellos. Al punto
P “móvil” que “genera” una curva lo llamaremos “punto genérico”.
Recta que pasa por un punto y es paralela a un vector
P1 r
Datos:
u // r
r
P
u
P1
Sea P un punto genérico de la recta, entonces:
P r : P1P // u Ambos vectores son linealmente dependientes
existe entre ellos una combinación lineal.
P1P λu con λ R
Ecuación vectorial de la recta
Si fijamos una base canónica:
P1 (x 1 , y1 ) r
Datos:
u (u x , u y )// r
y
r
P1
P r / P (x, y) se verifica: P1P u con R
u
j
i
uy
x
donde P1P x x1 , y y1
u ux , uy
La igualdad de vectores implica igualdad de componentes
ux
x x 1 , y y1 ux , uy
x x 1 , y y1 ux , uy
Por
igualdad
de
pares:
x x1 u x
y y1 u y
despejando :
x x1 y y 1
ux
uy
Ecuación simétrica
x x 1 λu x
despejando variables :
Ecuaciones paramétricas
y y 1 λu y
Variando R se obtienen los infinitos puntos de la recta
(ux, uy) componentes del vector director, se denominan números directores de la recta.
Ejemplo:
Escribir la ecuación simétrica y las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por
P1= (5, 2) y es paralela al vector u = (1, 3). Representarla gráficamente
x x 1 y y1
La ecuación simétrica de la recta es:
ux
uy
Donde
P1 (x 1 , y 1 ) (5 , 2) r
u (u x , u y ) (1,3) dirige la recta
x 5 y2
1
3
es la Ecuación simétrica
x x 1 u x
x 5 1
Las ecuaciones paramétricas son:
y 2 3
y y1 u y
Para cada valor que asignemos a obtenemos un punto de la recta, por ejemplo, si
x 5 1 6
P2 6, 5 r
=1 se tiene:
y 2 3 5
65 52
1 , esto nos dice que P2 6, 5
1
3
satisface su ecuación, luego P2 6, 5 r
Verificamos en la ecuación simétrica:
r
P2 (6;5)
u
u
j
i
x
A partir de las ecuaciones desarrolladas obtendremos otras ecuaciones de la recta.
Ecuación explícita de la recta
Analizaremos en principio el caso particular de la
recta que pasa por el origen.
O r 0, 0 r , por lo que verifica la ecuación de
la recta.
Reemplazando las coordenadas del origen en la
ecuación simétrica y despejando “y” resulta:
uy
x0 y0
x
y
y
x
ux
uy
ux uy
ux
Al cociente uy ux lo llamamos “m”, resulta:
Esta es la Ecuación explícita de la recta que pasa por el origen O.
“m” se denomina pendiente de la recta y representa la tangente trigonométrica del ángulo
que forma la recta con el eje “x”
uy
m tg α
ux
Ejemplos:
a) y = 2 x ; m
c) y =
2
1
uy
ux
b) y =
1
1 uy
x ; m
2 ux
2
2 uy
2
x ; m
5 ux
5
y = (2/5)x
(u x , u y ) y (-u x , - u y )
Teniendo en cuenta que los vectores:
tienen igual dirección y
(-u x , u y ) y (u x , - u y )
módulo, pero distinto sentido; podemos tomar cualquiera de ellos como vector director de
la recta.
2 2 2
2
En efecto, sea: y = x ; m =
, es posible tomar como vector director
3 3 3
3
al que tiene coordenadas (3, -2) o bien (-3, 2).
y
(-3 , 2 )
2
y
2
3
-3
-2
x
1
-1
1
2
3
x
-1
-2
(3 , -2 )
r
Si la recta corta a ambos ejes, llamamos (0, b) al punto donde la recta corta al eje y
(0, b) r , reemplazando en la ecuación simétrica:
uy
x0 yb
yb =
.x
ux
uy
ux
uy
uy
y=
.x b ; donde
m
ux
ux
r
y
(0; b)
uy
u
x
y = mx b
Ecuación explícita
“b” se llama ordenada al origen, es decir:
(0, b) r .
Ejemplos: Representar:
a) y = 2x + 4
2 uy
m
u 1, 2
1 ux
b 4 0, 4 r
3
b) y = x 2
2
3 uy 3
3
m
2 ux
2
2
Vector director : - 2, 3 2, - 3
b 2 0, 2 r
Si la recta es paralela al eje x, llamamos (0, b) al punto donde la recta corta al eje y,
entonces reemplazando en las ecuaciones paramétricas:
y
x 0 u x
x u x
y b 0
yb
y=b
(0, b)
u u x , 0
x
Significa que: P r , P = u x , b con R , es decir la abscisa varía de - , y la
ordenada es constante e igual a “b” y = b es la Ecuación de la recta paralela al eje x.
Si la recta es paralela al eje y, llamamos (a, 0) al punto donde la recta corta al eje x,
entonces reemplazando en las ecuaciones paramétricas:
y
x=a
x a 0
xa
y 0 u y
y u y
u 0, u y
(a, 0)
x
Significa que P r ; P = a , u y con R , es decir la ordenada varía de - , y
la abscisa es constante e igual a “a” x = a es la Ecuación de la recta paralela al eje y.
Buscamos ahora las ecuaciones de los ejes coordenados, teniendo en cuenta las ecuaciones
anteriores: la ecuación del eje x es y=0 y la ecuación del eje y es x=0
y
x=0
y=0
x
Ecuación del haz de rectas
Buscamos la ecuación de todas las rectas que pasan por un mismo punto P1 = (x1, y1).
Podemos escribir la ecuación simétrica:
uy
y y1 x x 1
y-y1
( x x 1 ) donde u u x , u y es el vector director y la
uy
ux
ux
pendiente m
uy
ux
, al variar el vector director, varía la pendiente y obtenemos otra
recta.
Si escribimos: y - y 1 = m x - x1 con m R
obtenemos la ecuación del haz de rectas que
pasa por (x1, y1). Para cada valor que
asignemos a m R, obtendremos una de las
infinitas rectas que pasan por P1 = (x1, y1).
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
P1 x 1 , y1 r
Datos:
P2 x 2 , y 2 r
y
P2
P1
r
y2 - y1
El vector P1 P2 dirige la recta,
Sus componentes son:
y2
P1 P2 x 2 x 1 , y 2 y1
x2 - x1
y1
x1
x2
x
El problema se reduce a hallar la ecuación de una recta que pasa por un punto y es
paralela a un vector.
Entonces
P r : P1P// P1P2 son linealment e dependientes entre ellos una combinació n lineal
P1P = P1P2 con R x - x 1 , y - y1 x 2 - x 1 , y 2 - y1
Despejando variables:
x x 1 x 2 x 1
x x 1 λ x 2 x 1
y y 1 y 2 y 1
y y 1 λ y 2 y 1
Despejando :
x x1
y y1
x 2 x1 y 2 y1
Ecuaciones paramétricas
Ecuación simétrica.
Donde x2 - x1 , y 2 - y1 son los números directores.
Escribimos la ecuación simétrica de la siguiente manera:
y y1
y y
y 2 y1
x x1 , donde: m tg 2 1 es la Pendiente de la recta
x 2 x1
x 2 x1
Ejemplo:
Dados: P1 = (3, 3) ; P2 = (6, 7) ; u = (1, -1)
i) Hallar la ecuación de la recta que pasa por P1 y P2.
ii) Ecuación del haz de rectas que pasa por P1.
iii) La recta que pasa por P1 y es paralela al vector u = (1, -1)
i) y y1
y 2 y1
x x 1
x 2 x1
y3
4
y x43
3
73
x 3 4 x 4 3
63
3
3
y
4
x 1
3
4
3 1
3
4
P2 r 7 = 6 1
3
P1 r 3 =
P1 P2
satisfacen su ecuación
ii) y - y1 = m x - x 1 y - 3 = m x - 3 con m R
iii) r // u su pendiente m =
uy
ux
1
1
1
y 3 = mx 3 m = 1
y 3 = 1x 3 x 3 y = x + 3 + 3
y = x + 6
donde m = -1 ; P1 = (3, 3) satisface la ecuación. En efecto: 3 = (-1) · 3 + 6
3=3
Ecuación general o implícita de la Recta
Su ecuación se deduce a partir de los datos de un vector normal o sea perpendicular a la
recta cuya ecuación buscamos y un punto perteneciente a la misma. Por eso también se la
llama Ecuación de la Recta que pasa por un punto y es perpendicular a un vector
n
r
/
n (A, B)
Datos:
P1 r / P1 (x 1 , y 1 )
y
y1
P1(x1, y1)
n A, B
r
P r : P1 P n
su producto escalar es nulo, es decir:
n (A, B)
n P1 P = 0 siendo
P1 P (x - x 1 , y - y 1 )
x1
Entonces efectuando el producto escalar en función de las componentes:
n P1 P Ax x 1 By y1 0 Ax By Ax1 By1 0
llamamos C Ax1 By1 Ax By C 0
Ecuación general o implícita
Los coeficientes de las variables son las componentes de un vector perpendicular a la recta:
n A, B / n r
Dada la recta: Ax By C 0 , conocemos n A, B / n r , si queremos hallar la
ordenada al origen “b” y los números directores (es decir las componentes de u / u // r ),
partimos de la ecuación general y despejamos "y": y
Esta ecuación tiene la forma y = m x + b donde b
A
C
x
B
B
C
A
, y la pendiente m
B
B
Como m
uy
ux
A
u B, A o también u B, A .
B
En efecto:
u // r
u
n
u
n 0
n r
un BA A B 0
Ejemplos:
1) Dada: 2x + 3y + 6 = 0 como n A, B / n r resulta n =(2 , 3) y su vector director
es: u = (-3 , 2) (o su opuesto).
Gráfico
y
n (3, 2) / n r
2) Dada la recta 3x + 2y + 8 = 0
3
8
3
y x y x 4 (0, - 4) r
2
2
2
3
u (-2, 3)
2
n (3, 2)
r
m
uy
3
u (2, 3) / u n
2 ux
-2
-1
1
2
un (2) 3 3 2 0
-2
-4
3x+2y = 8
3
x
Estudio de las posiciones particulares de una recta a partir de la ecuación general
C
b
A
C
B
donde
y=mx+b
Ax By C 0 y x
A
B
B
m
B
Si C = 0 y = m x la recta pasa por el origen
Si A = 0
y=b
la recta es paralela al eje “x”
Si B = 0
x
C
a la recta es paralela al eje “y”
A
Si A = C = 0
y = 0 (ecuación eje x)
Si B = C = 0
x = 0 (ecuación eje y)
Ecuación Segmentaria de la Recta
Partimos de la ecuación general, consideramos una recta que corte a ambos ejes y que no
pasa por el origen:
Ax + By + C = 0 con A 0 ; B 0 ; C 0
Veamos las intersecciones con los ejes:
Coordenadas de A: (intersección con el eje x)
C
C
y = 0 x a P = , 0 a, 0
A
A
Coordenadas de B: (intersección con el eje y)
C
C
x = 0 y b B 0, 0, b
B
B
Si Ax + By + C = 0
pasando C al segundo miembro Ax + By = -C
dividiendo ambos miembros por –C:
A
B
C
x y
x
y
x
y
1 Ecuación Segmentaria
1
C
C
C
C
C
a b
A
B
Esta ecuación tiene un significado geométrico importante, observa en los siguientes
ejemplos:
Ecuación normal de la recta
Los datos para obtener la ecuación normal son: un
versor
r y el valor de p, distancia del origen a la
recta.
r y queremos un
Si conocemos
versor, lo dividimos por su módulo:
Pr
:
n 0 . OP n 0
OP cos 1.p p
p
n 0 . OP p
Si el versor está dado por
Si el dato es
sus cosenos directores,
se tiene:
= (cos , sen )
Efectuamos el producto escalar en función de las componentes
x cos + y sen = p
x. cos + y. sen - p = 0
A fin de comparar esta ecuación con la
ecuación general hacemos
Esto nos indica que el signo
Ecuación normal de la recta
del numerador y del denominador
deben ser contrarios.
A
B
C
x y 0
n
n
n
Ax By C
0
n
Ax By C
A2 B2
0
C
Nota: El signo del denominador se elige teniendo en cuenta que p de modo que
n
como C en la ecuación general está dado, elegimos el signo del denominador contrario al
de C, con lo que normalizamos la ecuación general.
Distancia de un punto a una recta
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Si realizamos el producto escalar en función de las componentes y tomamos - p según la
C
ecuación normal de la recta o sea - p =
n
A
B
C
Ax1 By1 C
d
x1 y1 d
n
n
A 2 B2
n
Si consideramos n 0 (cos , sen ) resulta:
x1 cos + y1 sen - p = d
Entonces, para hallar la distancia de un punto a una recta se reemplazan en la ecuación
normal las variables por las coordenadas del punto.
Interpretación del signo
Si bien la distancia, por ser una medida, se toma en
valor absoluto, el signo del cálculo realizado tiene
significado geométrico.
|⃗ |
Si d>0 significa que ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
o sea que
y el origen están en distintos semiplanos respecto
de r.
|⃗ |
Si d<0 significa que ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
o sea que
y el origen están en el mismo semiplano respecto
de r.
Si d = 0 significa que P1 r , entonces: P r / P = (x, y)
Se verifica:
Ax By C
A 2 B2
0
la ecuación Normal
Distancia entre rectas paralelas
Sean las rectas paralelas: r Ax + By + C = 0 r' A' x + B' y + C' = 0
Obtenemos un punto en una cualquiera de ellas y hallamos la distancia de dicho punto a
la otra recta.
Otra opción es normalizar ambas ecuaciones:
A
B
C
A'
B'
C'
r
x+
y+
= 0 r'
x+
y+
=0
n
n
n
n
n
n
|| ⃗ ||es la distancia de r al origen y que
Teniendo en cuenta que
distancia de r’ al origen
|| ⃗ || es la
Ejemplo:
Dada la recta: r 3x + 4y + 2 = 0 y el punto P1 = (2, 3)
a) Hallar la recta r’//r / P1 = (2, 3) r’.
b) Hallar la distancia entre r y r’.
a) r' 3x + 4y + C = 0 ; P1 r'
3·2 + 4·3 + C = 0
C = -6 – 12 = -18
C = -18 r' 3x + 4y - 18 = 0
b) r 3x + 4y + 2 = 0 ; P1 = (2, 3) r'
d=
3 2 + 4 3 + 2
- 32 42
El signo negativo significa que el origen está entre r y r'.
Si tenemos en cuenta la distancia de r y r' al origen:
p=
2
-5
; p' =
- 18
5
d p p'
2 18
4
5 5
-
20
4
5
y
r’
5
(2, 3)
3
(-2 , 1 )
3x + 4y - 18 = 0
1
0
-2
2
x
6
(2 , -2 )
-2
3x + 4y + 2 = 0
r
Ángulo entre dos rectas
r1 A 1 x B1 y C1 0 n 1 r1 / n 1 = A 1 , B1
Datos:
r
A
x
B
y
C
0
n
r
/
n
2
2
2
2
2
2 = A 2 , B 2
2
n1
n2
r2
, el
r1
coseno positivo
corresponde al ángulo agudo.
Los ángulos que forman las rectas son los mismos que
cos
los que forman sus vectores perpendiculares.
n1 n 2
n1 n 2
cos α
A1 A 2 B1 B 2
A12 B12 A 22 B 22
Condición de perpendicularidad
r2
n1
r1 r2 n 1 n 2 n 1 n 2 0
n2
r1
A1 A2 B1 B2 0 A1 A2 B1 B2
A1
1
A
B
, nos dice:
1 2
A2
B1
A2
B1
B2
sus pendientes son inversas y de signo contrario.
Condición de paralelismo
n1
n2
r1 // r2 n1// n 2
r1
A1 B1
A 2 B2
A1 A 2
, nos dice: sus pendientes son iguales.
B1 B2
r2
Otra expresión del ángulo
u y1
tg 1
r1 y m1x b1 u1// r1 / m1 =
u
x1
Datos:
r y m x b u // r / m = u y 2 tg
2
2
2
2
2
2
2
ux2
y
r1
El ángulo que forman las rectas es el mismo
r2
= 1 - 2
u1
que el que forman sus vectores directores.
tg
u2
tg 1 tg 2
1 tg 1 tg 2
(Fórmula trigonométrica)
1
tg
2
x
90º
Condición de perpendicularidad:
1 + m1 m2 0 m1 m2 = 1
m1
tg
1
m2
pendientes inversas y de signos
contrarios.
Condición de paralelismo:
m1 m2 0 m1 m2
m1 m 2
1 m1 m 2
0º tg 0
pendientes iguales
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE
FACULTAD DE INGENIERÍA
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA
Notas de cátedra
Capítulo 11:Plano
Autoras: Prof. Noemí O. de Goicoechea y Prof.
María R. Gasparini.
Revisión y reedición 2020: Prof. Claudia Beneyto
Departamento de Matemática- Instituto de Matemática
1
PLANO
Ecuación general del plano
Plano que pasa por un punto y es perpendicular a un vector
n A, B, C
z
P1 / P1 = ( x1 ; y1 ; z1 )
Datos.
/
P:
P1
k
i
= ( A, B, C )
A (x-x1) + B (y - y1) + C (z -z1) = 0
Ax + By + Cz + ( - Ax1 - By1 - Cz1) = 0
P
j
D
y
Ax + By + Cz + D = 0
Ecuación general
x
Observamos que los coeficientes de las incógnitas son las componentes de un vector
perpendicular al plano.
Posiciones particulares de un plano: Ax + By + Cz + D = 0
z
D
1) Si A = B = 0 z = q
C
eje “z”
z=q
// “xy”
y
x
"xy"
2
2) Si A = C = 0 y =
D
b
B
z
eje y”
// “xz”
"xz"
y=b
y
y
x
3) Si B = C = 0 x = -
D
p
A
eje “x”
z
// “yz”
"yz"
y
x=p
x
4) Si C = 0 Ax + By + D = 0
z
// eje “z”
“xy”
y
x
"xy"
5) Si B = 0 Ax + Cz + D = 0
z
eje “y”
“xz”
"xz"
y
3
6) Si A = 0 By + Cz + D = 0
z
eje “x”
“yz”
"yz"
y
x
7) Si D = 0 Ax + By + Cz = 0
z
Pasa por"0"
0
y
x
Ecuación segmentaria
Partimos de la ecuación general y consideramos un plano que corte a los tres ejes, es decir:
Ax + By + Cz + D = 0 con A 0 ; B 0 ; C 0 ; D 0
Coordenadas de P
z
Q(0,0,q)
y=z=0x=
P ( p, 0, 0)
Coordenadas de B
q
x=z=0y=
b
B(0,b,0)
y
B ( 0, b, 0)
Coordenadas de Q
x=y=0z=
Q = ( 0, 0, q)
p
x
P(p, 0, 0)
Dado el plano de ecuación Ax + By + Cz + D = 0 , pasamos D al otro miembro restando
4
Ax + By + Cz = - D
Dividiendo miembro a miembro por –D
A
B
C
D
x
y
D
D
D D
denominador
x
y
z
1
D D D
A
B
C
Expresamos los coeficientes del numerador dividiendo al
x y z
1
p b q
Ecuación segmentaria del plano
Ejemplo:
Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto P1 = ( 1, 0, 1 ) y es perpendicular al
vector n (3, 2, 3).
Los coeficientes de las variables están dados por las componentes de n , determinamos el
valor de D:
Buscamos la ecuación de : Ax + By + Cz + D = 0 Como n / n = ( 3, 2, 3 )
Reemplazamos
3x + 2y + 3z + D = 0
; Como P1 = ( 1, 0, 1 ) 3 . 1 + 2 . 0 + 3 . 1 + D =0
D = -6
3y + 2y + 3z - 6 = 0 Es la ecuación general
3
2
3
6
x y z
6
6
6
6
x y z
1 Ecuación segmentaria
2 3 2
z
2
3
y
2
x
La ecuación segmentaria tiene un significado geométrico importante, ya que nos permite
representar el plano en forma directa.
5
Ecuación normal del plano
z
n
P
Los datos para obtener la ecuación normal son:
un versor y el valor de p distancia del
origen al plano.
Si conocemos
y queremos un
versor, lo dividimos por su módulo:
n0
p
o
y
x
P : n 0 . OP n 0
OP cos 1. p
n 0 . OP p
Si el dato es n
A B C
n 0 , , ; OP ( x, y, z)
n n n
Si el versor está dado por sus cosenos directores,
n0 = ( cos , cos, cos ) ; OP = (x , y, z)
Efectuamos el producto escalar en función de las componentes
A
B
C
x y z p
x cos + y cos + z cos = p
n
n
n
A
B
C
x y z p 0
n
n
n
x cos + y cos + z cos - p = 0
a fin de comparar esta ecuación
con la ecuación general hacemos
D
p
n
esto nos indica
que el signo del numerador y del
denominador deben ser contrarios
A
B
C
D
x y z 0
n
n
n
n
Ecuación normal del plano
Ax By Cz D Ax By Cz D
0
n
A 2 B2 C 2
6
D
n
Nota: El signo del denominador se elige teniendo en cuenta que p
de modo
que, como D en la ecuación general está dado, elegimos el signo del denominador
contrario al de D, con lo que normalizamos la ecuación general.
Distancia de un punto a un plano
d
P1(x1, y1, z1)
n
P1 = (x1 , y1, z1)
Datos
k
i
o
p
Ax By Cz D
0
A2 B2 C 2
o bien
= x cos + y cos + z cos - p = 0
=
j
De la ecuación n (A; B; C)
A B C
n 0 , , o bien n 0 (cos , cos , cos )
n n n
y
n 0 . OP1 p d
n 0 . OP1 p d
Realizamos el producto escalar en función de las componentes y tomamos – p según la
D
A
B
C
D
ecuación normal p x 1 y 1 z 1 d
n
n
n
n
n
Ax1 By1 Cz1 D
A 2 B2 C 2
d
o
x1 cos + y1 cos + z1 cos - p = d
Resumiendo, para hallar la distancia de un punto a un plano, se reemplazan en la “ecuación
normal del plano” las variables por las coordenadas del punto.
Si bien la distancia se toma en valor absoluto, veamos el significado del signo:
|⃗⃗⃗⃗ | (
) significa que el punto
Si d>0 , entonces ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
y el origen están en
distintos semiespacios respecto del plano π.
|⃗⃗⃗⃗ | (
) significa que el punto y el origen están en el
Si d< 0 , entonces ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
mismo semiespacio respecto del plano π.
Distancia entre planos paralelos
Sean los planos paralelos: Ax + By + Cz + D = 0 y
’ A’x + B’y + C’z + D’ = 0
7
Se toma un punto en uno cualquiera de ellos y se halla la distancia de dicho punto al otro
plano.
O bien normalizamos ambas ecuaciones generales (las dividimos por n ) y teniendo en
|| ⃗ || es la distancia de al origen y que
cuenta que
||⃗⃗⃗⃗ || es la distancia de ’ al
origen
Si el origen está entre y ’ d = p + p’
Si el origen no está entre y ’ d =
p p'
Ejemplo:
Dado el plano 6x + 2y - 3z - 63 = 0 y el punto: P1 = ( -8, 4, 3 )
a) Hallar ' / P1 '
b) Hallar la distancia entre y ’
a) ’ = 6x + 2y - 3z + D’ = 0
P1 = (-8, 4, 3) ’ 6 · (-8 ) + 2 · 4 - 3 · 3 + D’ = 0
- 48 + 8 - 9 + D’ = 0 -49 + D’ = 0 D’ = 49
’ 6x + 2y - 3z + 49 = 0
b) Distancia de P1 a / P1 = ( -8, 4, 3 ) ; = 6x + 2y - 3z - 63 = 0
d
6.( 8 ) 2.4 3.3 63
6 2 2 2 3 2
y también : p
=
48 8 9 63
49
=
112
16
7
63
49
9 p'
7
7
7
8
Como Sg D Sg D’ p + p’ = 9 + 7 = 16 = d
Plano que pasa por tres puntos no alineados
Primera deducción:
n
P0
P1
k
o
Sean los
puntos
P0 = ( x0 , y0 , z0)
P1 = ( x1 , y1 , z1)
P2 = (x2 , y2 , z2 )
P2
j
i
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗
Donde ⃗ es normal al plano y el problema se reduce a hallar la ecuación de un plano que
pasa por un punto (cualquiera de los dados) y es perpendicular a un vector ( n ).
Segunda deducción:
Con los mismos datos:
P :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑃𝑃
𝑃 𝑦 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃 𝑃 Son coplanares
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(𝑃 𝑃 𝑃
𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑃)
Po
Es decir su producto mixto es 0.
P2
k
o
i
Llamando
P1
j
A=
y1 y0
y 2 y0
z1 z 0
z2 z0
B=
z1 z 0
z 2 z0
x1 x 0
x2 x0
C=
x1 x 0
x2 x0
y1 y0
y 2 y0
9
Obtenemos la ecuación del plano:
A (x - x0) + B (y - y0) + C (z - z0) = 0
→
Ax + By + Cz + (- A x0 - B y0 - C z0) = 0
Ax + By + C z + D = 0
Tercera deducción: obtendremos las ecuaciones paramétricas del plano:
Datos : P0 = ( x0 , y0 , z0), P1 = ( x1 , y1 , z1)y P2 = (x2 , y2 , z2 )
Observamos que ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
(
)
Si P los vectores:
P0P , P0 P1 , P0P2 son linealmente
dependientes ,entonces existe entre ellos una
combinación lineal
P P0 λ 1 .P0 P1 λ 2 .P0 P 2
P1
P0 P λ 1 .P0 P1 λ 2 .P0 P 2
P P0 λ 1 P0P1 λ 2 P0P2
Esta igualdad de vectores implica igualdad de componentes homólogas; obtenemos las:
Ecuaciones paramétricas
x x 0 1 ( x1 x 0 ) 2 ( x 2 x 0 )
y y0 1 ( y1 y0 ) 2 ( y 2 y0 )
z z (z z ) (z z )
0
1
1
0
2
2
0
OBSERVACIONES
Tres puntos no alineados determinan 2 vectores linealmente independientes y todas las
combinaciones lineales de éstos 2 vectores linealmente independientes determinan el
plano ordinario; se dice: 2 - plano de R3 , entonces generalizando para Rn:
Número de vectores linealmente independientes
3 puntos no alineados
2 vectores linealmente Independientes
2 - plano : es el hiperplano de R
10
2 punto
1 vector
1 - plano : geométricamente esto es la recta
1 punto
0 vector
0 - plano : geométricamente esto es el punto
Generalizamos para Rn
(k + 1) puntos
k - plano de Rn
k vectores linealmente independientes
k
P P0 i P0 Pi
i 1
n puntos
(n - 1) vectores L.I.
(n 1) plano de R n
n 1
P P0 λ i .P0 Pi
lo denominamo s
hiperplano de R n
i 1
Ejemplo:
Hallar la ecuación del plano determinado por los puntos
P0 = ( -5, 0, 5) ; P1 = (2, 3, 2) ; P2 = (0, 0, 2)
Primer método:
P0P1 P0P2 n π
P0 P1 (7, 3, 3) ; P0 P2 ( 5, 0, 3 )
i
P0 P1 P0 P2 7
5
j
3
0
k
3 9 i 6 j 15 k n
3
n . P2P = (-9 , 6, -15) . (x - 0, y - 0, z - 2) =
- 9 ( x - 0) + 6 ( y- 0) - 15 ( z - 2) = -9x + 6y - 15z + 30 = 0
dividiendo por ( - 3 )
Segundo método:
3x - 2y + 5z - 10 = 0
P P, P P ,P P 0
0
0 1
0 2
x 5 y0 z5
7
3
3 = -9 (x + 5) + 6 (y - 0) - 15 (z- 5) =
5
0
3
= -9x + 6y - 15z + 30 = 0
dividiendo por (-3) 3x - 2y + 5z - 10 = 0
11
Tercer método:
P P0 λ 1 P0P1 λ 2 P0P2
x = -5 + 1 7 + 2 5
y = 0 + 1 3 + 2 0
z = 5 + 1 ( -3 ) + 2 ( -3)
obtenemos algunos puntos pertenecientes al plano.
x 5 7 2
si hacemos 1 = 1 2 = 0 y 3
z 5 3 2
x = -5
si 1 = 2 = 0 y = 0
z=5
( 2, 3, 2 ) = P1
(-5 , 0, 5) = P0
x = -5 + 14 = 9
si 1 = 2 ; 2 = 0 y = 0 + 6 = 6
z = 5 - 6 = -1
( 9 , 6 , -1 ) ?
3x - 2y + 5z - 10 = 3 . 9 - 2 . 6 + 5 ( -1 ) - 10 = 27 - 12 - 5 - 10 = 0 ( 9, 6, -1)
Ángulo entre dos planos
1 A1x + B1y + C1z + D1 = 0 n1 A1 , B1 , C1
Datos
2 A2x + B2y + C2z + D2 = 0 n2 A2 , B2 , C2
n1
2 A2x + B2y + C2z + D2 = 0
El ángulo formado por los planos es igual al
ángulo formado por sus vectores normales.
n2
Entonces el problema se reduce a hallar el
ángulo entre sus vectores normales.
1 A1x + B1y + C1z + D1 = 0
n1 . n 2
n1.n 2 n1 n 2 cos cos =
n1 n 2
A1A 2 B1B 2 C1C 2
A1 2 B1 2 C1 2
A 2 2 B 2 2 C 2 2
12
Condición de paralelismo:
Condición de perpendicularidad:
n1
n2
1 2
. =0
A1 A2 + B1 B2 + C1 C2 = 0
2
1
Ecuación del haz de planos
Sean los planos: 1 A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0
2 A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
1
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0
A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
r
La recta r está definida por ambos planos.
Cualquier combinación lineal de ambos planos
1 + 2 = 0
A1 x + B1 y + C1 z + D1 + (A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0)
13
( A1 + A2 ) x + ( B1 + B2 ) y + ( C1 + C2 ) z + D1 + D2 = 0
2
Representa un plano que pasa por r ya que cualquier punto de r anula 1 también anula
2. Como esta anulación tendrá lugar cualquiera sea , existirán infinitos planos que pasan
por r, (uno para cada valor de ). Por consiguiente la ecuación 2 representa el conjunto
de todos los planos, o sea el haz de planos que pasan por la recta r.
14
15
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE
FACULTAD DE INGENIERÍA
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA
Notas de cátedra
Capítulo 12:Recta en R3
Autoras: Prof. Noemí O. de Goicoechea y Prof.
María R. Gasparini.
Revisión y reedición 2020: Prof. Claudia Beneyto
Departamento de Matemática- Instituto de Matemática
RECTA EN EL ESPACIO
Recta que pasa por un punto y es paralela a un vector
P
P1
u
P1 r
Datos
u // r
r
Sea P un punto genérico de la recta
P r: P1 P // u
son linealmente
dependientes existe entre ellos una combinación lineal, es decir podemos expresar uno
de ellos en función del otro.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗
Con R
Trabajamos siempre en la base canónica
Son las
Ecuaciones vectoriales de la recta r. De cualquiera de ellas se obtienen
las ecuaciones cartesianas; tomamos la; la igualdad de vectores implica la igualdad de
componentes homólogas, resulta:
Ecuaciones
Paramétricas
x = x1 + ux
y = y1 + uy
z = z1 + uz
Decimos que u dirige la recta, o que u define la dirección de la recta, sus componentes
(ux , uy , uz) se llaman números directores de la recta.
Despejando en las tres ecuaciones e igualando resulta:
Ecuación simétrica
Si cambiamos ahora los datos:
P1 = (x1 , y1 , z1) r
DATOS
u 0 : VERSOR / u 0 // r; u 0 = 1
Las componentes de un versor son sus cosenos directores , u 0 = (cos , cos , cos ) ;
donde , y son los ángulos que forma u0 con los ejes coordenados llamados:
ángulos directores. Podemos expresar entonces la
ecuación simétrica de la recta como:
x x1 y y1 z z1
cos
cos
cos
En este caso los números directores son los cosenos directores
(cos , cos , cos ).
Si nos dan un vector director cualquiera y queremos un versor en
la misma dirección basta dividirlo por su módulo
u
u0 =
u
;
uy u u
2
2
2
u u x u y u z u 0 , x , z
u u u
Ejemplo: Datos: P1 = ( 1, 2, 1) ; u = (6, 2, 3)
Hallar la ecuación de la recta que pasa por P1 y es paralela a u .
Ecuaciones
paramétricas
x=1+6
hallamos otro punto
x = -5
y = 2 + 2
de la recta haciendo
y=0
z = 1 + 3
= -1
z = -2
(-5 , 0, -2) r
Lo verificamos en la ecuación simétrica
x 1 y 2 z 1
6
2
3
5 1 0 2 2 1
1
6
2
3
Hallamos ahora el versor que dirige la recta
x 1 y 2 z 1
6 2 3
u 36 4 9 7 u 0 , , la ecuación simétrica es
6
2
3
7 7 7
7
7
7
Verificamos que P= (-5 , 0 , -2) r
5 1 0 2 2 1
= -7
6
2
3
7
7
7
Recta que pasa por dos puntos
P
Hay varias formas de obtener la ecuación de la recta que pasa por
dos puntos vamos a repetir el razonamiento anterior. El vector que
dirige la recta es ahora el vector
P1
Datos P
2
P2
P1
P r : P1 P2 // P1 P son linealmente dependientes hay una combinación lineal y
podemos escribir: P1 P P1 P2
con R.
Fijando un origen y tomando una base canónica si P1 = (x1 , y1 , z1 ), P2 = (x2 , y2 , z2 ) y el
punto genérico : P = (x, y, z) podemos escribir
P P1 (P2 P1 )
donde sabemos que las coordenadas de los puntos son las componentes de los vectores,
P P1 (P2 P1 )
también podemos escribir:
Son las Ecuaciones vectoriales de la recta. De la ecuación , la igualdad de
vectores implica la igualdad de componentes homólogas; resultan así las Ecuaciones
paramétricas:
x = x1 + (x2 – x1)
y = y1 + (y2 –y1)
z = z1 + (z2 – z1)
Despejando en las tres ecuaciones e igualando, obtenemos la ecuación simétrica
x x1
y y1
z z1
x2 x1 y2 y1 z 2 z1
(x2 – x1 , y2 –y1 , z2 – z1) son los números directores.
Ejemplo:
Sean los puntos P1 = (2, 1, 2)
puntos:
Ecuaciones paramétricas
P2 = (3, 2, 1). Hallar la recta que determinan dichos
x = 2 + (3 – 2)
y = 1 + (2 – 1)
z = 2 + (1 – 2)
x=2+
y=1+
z = 2 + (-1 )
x 2 y 1 z 2
x 2 y 1 z 2
donde (1 , 1, -1) son
3 2 2 1 1 2
1
1
1
los números directores.
Ecuación simétrica:
Estamos trabajando en R3, pero fácilmente generalizamos para R n.
En Rn cada punto tiene n coordenadas
P
R = (r1 , r2 , ... , rn)
Datos:
S
S = (s1 , s2 , ... , sn)
P r / P = (p1 , p2 , … , pn) : RP RS con R
P R (S R )
P R SR
p1 r1 ( s1 r1 )
p r (s r )
2
2
2
2
Ecuaciones paramétricas p3 r3 ( s3 r3 )
pn rn ( sn rn )
Son n ecuaciones paramétricas, el número de ecuaciones paramétricas coincide con la
dimensión del espacio con el que se trabaja.
Las ecuaciones vectoriales son las mismas para cualquier dimensión.
Recta dada por la intersección de dos planos
Sean los planos 1 , 2 no paralelos 1 2 = r
Datos
π 1 A1x B1y C1z D1 0
n1 (A1, B1, C1 ) π 1
π 2 A 2 x B 2 y C2z D 2 0
n 2 (A 2 , B2 , C2 )π 2
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ son linealmente
independientes (no hay proporcionalidad entre
sus componentes)
n1 y n 2 determinan un tercer plano
r 1
2
los planos se cortan determinando “ r”
1
(n1 , n2 ) /
2
r 1
n1 n 2 r / r y como
esto nos dice que r tiene la dirección de la recta
r 2
buscada, es decir r es su vector director.
¿Cómo obtenemos un punto que pertenezca a la recta?
Damos un valor arbitrario y conveniente a una variable por ejemplo z 1 = 0 , hallamos los
correspondientes x1 e y1 resolviendo el sistema; tendremos así un punto y un vector
r
director, si queremos los cosenos directores ya sabemos cómo hallarlos r0
r
Ejemplo:
x 2 y 3z 2
Dada la recta r
2x 3y 5z 10 pasarla a la forma simétrica
i
j
n1 n 2 1 2
2 3
k
3
5
19 i j 7k vector director
1 2
x 2 y 2
para z = 0
2x 3y 10
2
3
2
10
1 2
2
0
6
7
r = (-19, 1, 7)
x 2 y 2
6
y
12
26
7
x 7 2 7
la ecuación simétrica es
x 26 / 7 y 6 / 7 z 0
19
1
7
Haz de planos
Hemos visto la recta determinada por dos planos no paralelos, pero hay infinitos planos
que la determinan.-
π
s r 1 r ( π1 λ π 2 0)
π 2
Donde 1 + 2 = 0 es la Ecuación del haz de planos
Desarrollamos la ecuación:
(A1 + A2 ) x + (B1 + B2 ) y + ( C1 + C2 ) z + (D1 + D2 ) = 0
De estos infinitos planos que contienen a
r, interesan los planos proyectantes de r,
es decir los planos que proyectan la recta
perpendicularmente
a
los
planos
coordenados.
Si queremos el plano y = ax + b, en la
ecuación del haz de planos, debemos
anular el coeficiente de “z” (obteniendo
así un plano perpendicular al “ xy “ )
C1 + C2 = 0 = -
C1
C2
obtenemos una ecuación del tipo:
A’x + B’y + D’ = 0
despejando y: y = ax + b I
Con razonamiento análogo obtenemos los otros dos planos proyectantes:
Anulando el coeficiente de y:
x = mz + p
II
Anulando el coeficiente de x :
y = nz + q
III
Dos cualesquiera de estas ecuaciones determinan la recta como intersección de planos
proyectantes.
Por ejemplo;
x mz p
r
y nz q
se despeja en ambas ecuaciones “z” y obtenemos
x p yq z0
que es la ecuación simétrica
m
n
1
Ejemplo:
Hallar las ecuaciones de los planos que proyectan ortogonalmente la recta r de ecuaciones:
x 3 y z 4
r
2 x 4 y z 6
sobre los planos coordenados.
Solución: nos piden los planos proyectantes
( 1 + 2 )x + ( 3 + 4 ) y + ( 1 + )z – 4 – 6 = 0 (Ecuación del haz de planos)
anulamos el coeficiente de z
1+=0
= -1
reemplazamos en la ecuación del haz: - x – y + 2 = 0
y = –x + 2
I
anulamos el coeficiente de y 3 + 4 = 0
= 3
4
reemplazamos en la ecuación del haz:
1
1
1
x z 0
2
4
2
-2x + z + 2 = 0
anulamos el coeficiente de x
x
1+2=0
1
z 1
2
II
= 1
2
reemplazamos en la ecuación del haz
1
y z 1 0
2
2y + z – 2 = 0
1
y z 1
2
III
de II y III obtenemos la ecuación simétrica despejando “z”
x 1 y 1 z 0
( 1, 1, 0 ) r u
1
1
1
2
2
i j
r1 r2 1 3
Hallemos el vector director así:
2 4
12 , 12 , 1
vector director
k
1 (1,1,2) r
1
donde r 2u
Posiciones particulares de la recta en R3
Recta paralela a uno de los ejes
Consecuencia. Ecuaciones de los ejes
Ecuación del eje “z”
Ecuación del eje “y”
Ecuación del eje “x”
x 0
y 0
x 0
z 0
y 0
z 0
Recta paralela a uno de los planos coordenados
r // “xy”
r // “xz”
r // “yz”
z q
r
y ax b
y b
r
x mz p
x p
r
y nz q
Trazas
Se denominan trazas de una
recta a los puntos de intersección
de la recta con los planos
coordenados.
Sea r dada por la ecuación de
dos de sus planos proyectantes
y nz q
r
x mz p
Coordenadas de T1 :
z=0
x=p
T1 “x y”
y=q
T1 = (p, q, 0)
Coordenadas de T2: T2 “xz”
y=0
z
q
n
Coordenadas de T3: T3
x=0
z=-
p
m
q
x m p
n
q
mq
T2
p, 0,
n
n
“yz”
p
y = n q
m
np
p
T3 0, q,
m
m
Intersección de recta y plano
Ax + By + Cz + D = 0
Datos
x x1 u x
r y y1 u y
z z1 u z
n (A, B, C)
P1 = (x1 , y1 , z1 )
= ( ux , uy , uz) // r
Si no es perpendicular a , es decir si
r I
Determinaremos las coordenadas de I
.
0
Como
I r
reemplazamos las variables de en
I
y obtenemos
A (x1 + ux ) + B (y1 + uy ) + C (z1 + uz ) + D = 0
Debemos calcular para determinar las coordenadas de I.
Ax1 + By1 + Cz1 +D + (Aux + Buy + Cuz) = 0
=
Ax1 By1 Cz1 D
Aux Bu y Cu z
Ejemplo:
Luego reemplazamos en y obtenemos
coordenadas de I.
= 2x + 3y – 2z – 19 = 0 ;
x 3 1
r y 1 2
z 1 1
2 ( 3 + ) + 3 ( 1 + . 2 ) – 2 ( 1 + ) – 19 = 0
6 + 3 – 2 – 19 + ( 2 + 6 – 2 ) = 0
12
- 12 + . 6 = 0 =
2
6
x 3 2.1 5
Reemplazamos en las ecuaciones paramétricas de la recta y 1 2.2 5 I = ( 5, 5, 3)
z 1 2.1 3
Posiciones relativas entre rectas
Dadas las rectas r y r’ por sus ecuaciones simétricas:
r
x x1 y y1 z z1 P1 ( x1y1z1 ) r
ux
uy
u z u (u x , u y , u z ) vector director
' ' '
x x '1 y y1'
z z1'
P1 ( x1y1z1) r '
r'
u 'x
u 'y
u 'z u (u 'x , u 'y , u 'z ) vector director
Diremos que:
1) r es paralela a r’ si sus vectores directores
son linealmente dependientes
⃗⃗⃗ ntonces
⃗
ux uy uz
u 'x u 'y u 'z
las
2) r es secante con r’ si sus vectores
directores son l.i. y ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ es combinación
lineal de los mismos, es decir los vectores ⃗ ⃗⃗⃗
y ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ son coplanares su producto mixto
es cero u , u ' , P1 P1' = 0
3) r es perpendicular a r’ si y solo si se
r
r’
u'
intersecan y u . u ' 0
(u y u' ortogonale s)
r
u
4) r se cruza con r’ si sus vectores directores
son l.i. y ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ no es combinación lineal de
los mismos, es decir ⃗ ⃗⃗⃗ y ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ no son
coplanares ( ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
Las rectas se denominan “alabeadas”
Ángulo entre dos rectas
Sean las rectas:
r
x x1 y y1 z z1
; u (u x , u y , u z ) vector director
ux
uy
uz
r'
x x '1 y y1' z z1'
; u ' (u 'x , u 'y , u 'z ) vector director
u 'x
u 'y
u 'z
El ángulo formado por r y r’ es el ángulo
formado por sus vectores directores
u'
r
u
r’
cos =
cos cos =
Ángulo entre recta y plano
x x1 y y1 z z1
; u (u x , u y , u z ) vector director
r u
u
u
Datos
x
y
z
Ax By Cz D 0; n (A, B, C) / n
Queremos determinar
n.u
cos sen
n u
2
Aux Bu y Cu z
sen
A 2 B2 C2 u 2x u 2y y u 2z
Condición de paralelismo
Si r // u n
Aux + Buy +Cuz = 0
El paralelismo de recta y plano
implica perpendicularidad de
vectores.
Ax + By + Cz + D = 0
Condición de perpendicularidad
Si r
Ax + By + Cz + D = 0
u // n
A
B
C
ux uy uy
La perpendicularidad de recta y
plano implica paralelismo de
vectores.
Distancia de un punto a una recta
P0 x 0 , y0 , z 0
x x1 y y1 z z1
Datos
r u u u
x
y
z
P1 = ( x1 , y1 , z1 ) r
vector director (ux , uy , uz )
Graficamos el problema
Observamos que:
sen α d
P1 P0
d P1P0 sen α
relacionando con el módulo del producto
vectorial
u P1P0 u P1P0 .senα u . d
u P1P0
d
u
Ejemplo: Hallar la distancia del punto P0 a la recta r
x 2 y4 z3
r 2 2 1
P0 (3, 2, 5)
P1P0 (1,2,2)
i
j
u P1P0 2 2
1 2
P1 = ( 2, 4, 3 )
= ( 2, 2, 1)
k
1 6 i 3 j 6k
2
u P1P0 36 9 36 81 9
u 4 4 1 9 3
u P0 P1 9
d
u
3
d=3
Mínima distancia entre dos rectas alabeadas
Sean las rectas alabeadas ( rectas que se cruzan )
r
r'
x x1 y y1 z z1
P1 x1, y1, z1 r
ux
uy
uz
u u x , u y , u z / u // r
x x1' y y1' z z1'
P1' x1' , x '2 , x 3' r'
'
'
'
ux
uy
uz
u' u 'x , u 'y , u 'z / u' // r'
Dadas 2 rectas alabeadas siempre es posible
encontrar dos planos
1 y 2 / 1 // 2 y r 1 , r’ 2
La distancia buscada es la distancia entre
dichos planos.
Efectuamos el producto vectorial
n u'
n
dirección será n 0
n
Con n u y
n tiene la dirección de la distancia. Un versor con dicha
'
'
Finalmente: n 0 .P1 .P1 n 0 . P1 P1 cos = 1. proy P P'1 / n 0
Resumiendo: u u' n (vector con la dirección de d )
uu
n
n 0 (versor con la dirección de d )
u u' n
d = n 0 .P1 P1'
u u'
'
d .P1P1
u u'
Fórmula de la distancia
n 0 . P1 P1' d
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE
FACULTAD DE INGENIERÍA
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA
Notas de cátedra
Capítulo 13: Cónicas
Autoras: Prof. Noemí O. de Goicoechea y Prof.
María R. Gasparini.
Revisión y reedición 2020: Prof. Claudia Beneyto
Departamento de Matemática- Instituto de Matemática
1
CÓNICAS
En esta unidad estudiaremos curvas que fueron descubiertas por geómetras de la Antigua
Grecia llamadas secciones cónicas o simplemente cónicas. Se denominan así porque son
las secciones que se obtienen al cortar un cono circular recto de doble hoja con un plano
que no pase por el vértice del cono, como vemos en la figura.
Si el plano que corta a la
superficie cónica es
perpendicular al eje, la
sección
es
una
circunferencia
Si el plano es oblicuo al
eje y corta todas las
generatrices, la sección
es una elipse
Si el plano es oblicuo al
eje y paralelo a una
generatriz, tenemos una
parábola
Si el plano es paralelo a
dos
generatrices,
tenemos una curva con
dos
ramas
llamada
hipérbola
Además de como secciones de un cono, las cónicas pueden estudiarse como lugares
geométricos del plano y como casos particulares de la ecuación general de segundo grado
en dos variables
Ax2 + B x y + C y2 + Dx + Ey + F = 0
Esta ecuación general, según sean sus coeficientes representa a alguna cónica. Si B = 0
(término rectangular), significa que sus ejes son paralelos a los ejes coordenados (no hay
rotación de ejes).
Veremos en qué condiciones dicha ecuación representa una circunferencia, una
parábola, una elipse o una hipérbola.
Circunferencia
Definición: una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya
distancia a un punto fijo (el centro) es siempre la misma (el radio).
Datos: Centro C=(h,k)
Radio r
P=(x, y) Circunferencia se verifica
⃗⃗⃗⃗⃗
(
)
|⃗⃗⃗⃗⃗ |
√(
(
)
(
)
)
(
)
Ecuación canónica
2
Desarrollando y ordenando se tiene:
x2 + y2 - 2hx - 2ky + h2 + k2 - r2 = 0
Según ,,
La ecuación de la circunferencia toma la forma:
x2 + y2 + D x + E y + F = 0
Ecuación General de la circunferencia
Dada su ecuación general se calcula centro y radio según 4, 5, 6; observe que los
coeficientes de los términos cuadráticos son iguales a uno, si no lo fueran (como son
iguales) se divide toda la ecuación por ese número.
Si comparamos la ecuación general de la circunferencia con la ecuación general de
segundo grado:
A x2 + Bx y + Cy2 + D x +E y + F = 0
B=0
Se tiene que si
A = C en signo y valor absoluto
dicha ecuación tiene por gráfica
una circunferencia.
Teorema ( no demostraremos)
La ecuación
con
es siempre la ecuación de
una circunferencia del plano.
Si
, la circunferencia tiene radio real.
Si
, la circunferencia tiene radio imaginario
Si
, la circunferencia se reduce a un punto.
Ejemplo 1:
Hallar la ecuación canónica de la circunferencia de centro C = (3, 2) y de radio 3, obtener la
ecuación general y verificar a partir de ella que el centro y radio son los dados.
3
A partir de la general hallamos las coordenadas del centro y el radio
D
6
h 2 2 3
Coordenadas del centro
C = (3,2)
k E 4 2
2
2
r h 2 k 2 F 32 22 4 3
r=3
(coincide con los datos)
(coincide con los datos)
Ejemplo 2:
Dadas las siguientes ecuaciones de segundo grado decir cuáles tienen por gráfica una
circunferencia y determinar en estos casos el centro y el radio.
a)
b)
c)
d)
3x2 + 2y2 - 5x + 4y + 3 = 0
x2 + y2 - 10x + 4y + 28 = 0
x2 + 2xy + y2 + 4x - 6y + 2 = 0
6x2 + 6y2 +12x + 12y + 6 = 0
Respuestas:
a) No es circunferencia A C es decir 3 2
10
5
2
b) Sí, es circunferencia
4
k
2
2
h
C= (5, 2) r 25 4 28 1 r 1
c) No es circunferencia: B = 2 0
d) Es circunferencia, la escribimos: x2 + y2 + 2x + 2y + 1 = 0
2
1
2
2
k 1
2
h
C = (-1, -1) ; r 12 12 1 1 r 1
4
Casos particulares
La ecuación canónica de la circunferencia es (x - h)2 + (y - k)2 = r2
Centro en el origen
h = k = 0 ; C(0, 0)
x2 + y2 = r2
x + y2 + F = 0
2
Centro sobre el eje x
k = 0 ; C(h, 0)
(x-h)2 + y2 = r2
x + y2 + Dx + F = 0
2
Centro sobre el eje y
h = 0 ; C(0, k)
x2+ (y-k)2 = r2
x + y2 + Ey + F = 0
2
Parábola
Definición: Parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que tienen igual
distancia a una recta fija (llamada directriz) y a un punto fijo (llamado foco).
P parábola, si PA es la distancia de P a la directriz se verifica
FP = AP
Construcción de la parábola por puntos
Dada una recta “d” (directriz de la parábola) y un punto F (foco de la parábola), se traza
por F la normal a "d"
5
Si N es el pie de dicha normal, el punto medio V de NF pertenece a la parábola pues
NV VF . Dicho punto es el vértice de la parábola.
Por los puntos M, M', M" se trazan rectas paralelas a "d". Se cortan estas rectas
respectivamente
con
circunferencias
C1 F, NM
; C2 F, NM ' ,
C3 F, NM "
respectivamente, obteniéndose los puntos P, P' , R , R' , S , S' que pertenecen a la parábola.
En efecto por ejemplo para el punto P se tiene:
PF NM PA NM PF PA
es decir P equidista de "d" y de "F"( o sea P satisface la definición)
Deducción de la ecuación
Tomamos como eje 0x a una perpendicular a la directriz d, bajada desde el foco F, y como
eje 0y a una paralela a la directriz situada a media distancia entre el foco y la directriz.
Sea p la distancia del foco a la directriz, resulta:
p
F ,0
2
x p ecuación de la directriz
2
p
P = (x,y) parábola A= , y / FP AP
2
2
p
p
p
AP x ;0 AP x x
2
2
2
Donde
2
p
p
2
FP x 2 ; y FP x 2 y
2
2
2
→ x
FP AP
p
p
2
x y x
2
2
2
2
p
p
p
p
2 x y2 x 2 2 x
2
2
2
2
→
→
2
p
p
2
x y x →
2
2
y 2 px px → y 2 2px
Ecuación canónica de la parábola
Estudio de la curva
Intersecciones con los ejes
La curva pasa por el origen ya que (0,0) satisface la ecuación (única intersección con los
ejes).
6
Si x = 0 y2 = 0 es decir, la curva corta el eje “y” en dos puntos coincidentes, significa
que el eje “y” es tangente a la curva en el origen.
El punto (0,0) se llama vértice de la parábola.
Simetrías
La ecuación de la parábola es: y2 2 p x
Nada altera si cambiamos y por (-y)2 = 2 p x esto indica que es simétrica respecto al eje x,
pero no es simétrica respecto al eje “y” entonces no es simétrica respecto del origen.
Zonas de existencia:
y 2 2px y 2 px
x 0
Rayamos la zona en la que la curva no puede existir
Lado recto:
Es una cuerda que pasa por el foco y es perpendicular al eje “x”.
Atendiendo a la zona de existencia y a la simetría respecto al eje x, P1 = p , y y
2
P2 = p ,y pertenecientes a la parábola (dato útil para el trazado de la curva) tales que:
2
Lado recto: Lr
Lr = P2P1
=
y y
y y2
2
2y
2y2
teniendo en cuenta que la ecuación
y 2px donde x =
y
2p
p
2
p
p
2
Lr 2y 2p Lr 2p
7
Posiciones de la parábola
p
F ,0
2
directriz x =
p
F = 0,
2
p
2
directriz y =
y2 = - 2px
p
2
x2 = 2 py
p
F 0,
2
directriz y =
p
2
x2 = -2py
Ejemplos:
1)
y2 = 8x
p=4
2) y2 = -10 x
p=5
y2 = 2px
2p = 8
F (2,0)
p
2
2
x 2
y2 = - 2 px
2p = 10
F (2,5 ; 0)
p
2,5
2
x 2,5
8
3) x2 = 12 y
1 2
1
y
x , hacemos a
2p
2p
"a" disminuye.
4) Dada la parábola: x 2 = 2 p y podemos escribir: y
obtenemos: y = a x 2 .Es evidente que si "p" crece
Observemos el comportamiento de la curva para valores distintos del parámetro.
p = 1 x2 = 2 y y
1
1 2
x a
2
2
1
1
p = 3 x 2 = 6 y y x2 a
6
3
Si "p" crece
eje.
"a" disminuye las ramas de la parábola se alejan más rápidamente de su
Fórmulas de traslación
Estas fórmulas nos servirán para obtener las ecuaciones de la parábola y de las demás
cónicas cuando su vértice o su centro no coinciden con el origen de coordenadas. Dados
dos sistemas cartesianos con ejes paralelos x0y y X0Y
P = (x, y) en x0y
P = (X,Y) en X0Y
La relación entre las coordenadas de uno y otro
sistema es
X x h
Y y k
9
Si tenemos la parábola de ecuación
X2 = 2pY cambiando de sistema será
(x-h)2 = 2p (y-k) desarrollando tendremos
x2 - 2hx + h2 = 2py - 2 pk
x2 - 2hx - 2py + h2 + 2pk = 0
Ax2 + Dx + Ey + F = 0
Ecuación general de la parábola de eje paralelo al coordenado.
Comparando esta ecuación con la ecuación general de segundo grado vemos que en la de
la parábola sólo aparece una variable cuadrática.
Según la posición de la parábola las ecuaciones serán:
Ax 2 Dx Ey F 0
Cy 2 Dx Ey F 0
ó
Elipse
Definición:
La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de sus distancias
a dos puntos fijos llamados focos es constante.
Construcción mecánica de la elipse. (Método del jardinero)
Dados los focos F1 y F2 y la constante "2a", se toma
un hilo de longitud 2a fijándolo por sus extremos en
F1 y F2 , se "tensa" el hilo con la punta del lápiz y lo
movemos hasta dar una vuelta completa.
En este movimiento el lápiz ha dibujado una elipse ya
que para cualquier punto PF1 PF2 2a
10
Deducción de la ecuación:
Tomemos como eje 0x la recta que pasa por los puntos fijos y como 0y a su simetral o
mediatriz.
Sean F1 = (c, 0) y F2 = (-c,0) los puntos fijos llamados focos y 2a la constante.
P = (x,y) elipse se verifica
2
F1 P 12 ( x c) 2 y 2
por
Pitágoras
2
F2 P 22 ( x c) 2 y 2
Además F2 F1
c c2
2c2
2c
F1P F2 P = 1 2 2a
Como en todo triángulo cada lado es menor que la suma de los otros dos, entonces en
el triángulo F2 P F1 de lados 1 , 2 y 2c con 1 2 2a se tiene: 2 a 2c
ac
1 2a 2
Elevando al cuadrado
12 2a 2 2 4a 2 4a 2 22
Reemplazando 12 y 22 según
(x - c)2 + y2 = 4a2 - 4a 2 +(x + c)2 + y2
x2 -2cx + c2 = 4a2 - 4a 2 + x2 + 2cx + c2
Pasando al primer miembro -4a 2 y dividiendo por 4 y elevando al cuadrado
4a 2 = 4a2 + 4cx a2 22 = (a2 + cx)2
Reemplazando 22 según
a2 [(x + c)2 + y2 ] = a4 + 2a2 cx + c2 x2
a2 x2 + 2a2 cx + a2 c2 + a2 y 2 = a4 + 2a2 cx + c2 x2
Pasando las variables al primer miembro y factorizando
x2 (a2 - c2) + a2 y2 = a2 (a2 - c2) dividiendo por a2 (a2 - c2)
x2
y2
2 2 1 como a c b/b2 = a2 - c2 nos indica que entre a, b y c
2
a
a c
hay una relación pitagórica, donde a por ser el lado más largo es la hipotenusa del
triángulo.
x2 y 2
1 Ecuación canónica de la elipse.
a2 b2
11
Intersecciones con los ejes (vértices)
x2
y2
Dada la ecuación de la elipse 2 2 1
a
b
∩ con
y=0
A1 = (a, 0)
A2 = (-a, 0)
x2 = a 2 x = a
y2
∩ con 0 y x = 0 2 1 y2 = a2 y = b
b
B1 = (0, b)
B2 = (0, -b)
Teniendo en cuenta la relación pitagórica
a 2 = b2 + c 2
a
c2 = a2 - b2 c =
a 2 b2
Se obtienen las coordenadas de los focos: F1 = (c, 0) y F2 = (-c, 0)
Longitud eje mayor: A1A 2 2a
Longitud eje menor: B1B2 2b
Distancia focal: F1F2 = 2c
Simetría:
2
2
La ecuación de la elipse es: x 2 y 2 1
a
b
Nada altera cambiando x por (-x) e y por (-y)
( x ) 2 ( y) 2
1
a2
b2
Esto nos dice que la curva es simétrica respecto de ambos ejes y con respecto al origen.
Excentricidad e:
Se define como el cociente entre c y a e =
c
con c a e 1
a
Zonas de existencia:
y2
x2
Dada la ecuación de la elipse 2 2 1 si despejamos y
a
b
2
2
2
2
2
y
x
a x
b
2
1
y
(a 2 x 2 )
2
2
2
2
b
a
a
a
12
y=
b2 2
b 2
(a x 2 ) y
a x2
2
a
a
Ecuación explícita
y R a – x2 0 x a -a x a
En forma análoga despejamos x:
a
b2 y2
b
x R b2 - y2 0 y b -b y b
x
Rayamos la zona donde la curva no debe existir.
Lado recto
Es una cuerda que pasa por el foco perpendicular al eje focal.
Como la curva es simétrica respecto al eje "x", atendiendo a lo estudiado P1 = (c, y)
P2 = (c, -y) pertenecientes a la elipse (dato útil para el trazado de la curva) tales que el lado
̅̅̅̅̅̅
recto
P2 P1
y y2 y y2 2y2
Lr P1P2 2 y
teniendo en cuenta la ecuación explícita:
y
b
a 2 x 2 para x = c
a
y=
Lr 2 y 2
b 2
b
b2
a c2 . b2
a
a
a
b2
a
Si los focos de la elipse están sobre el eje y, su ecuación es:
x2
y2
1
b2 a 2
es decir el eje focal es el eje "y"
13
Ejemplos:
2)
x2 y 2
1
9 25
a2 = 25 a 5 A1 = (0,5) ; A2 = (0,-5)
b2 = 9 b = 3 B1 = (3,0) ; B2 = (-3,0)
c2 = 25 - 9 = 16 c = 4
F1 = (0,4) , F2 = (0,-4)
Para ambas elipses:
Long. eje mayor: A1A 2 10
2 . b 2 2 . 9 18
a
5
5
c 4
Excentricidad e = 1
a 5
Lado recto Lr =
Long. eje menor: B1B2 6
Distancia focal: F1 F2 8
Elipse con ejes paralelos a los coordenados
Teniendo en cuenta las fórmulas de traslación de
pag. 9, y dada la ecuación de la elipse
X2 Y2
1
a 2 b2
x h 2
a2
y k 2
b2
1
b 2 (x h) 2 a 2 ( y k) 2 a 2 b 2
14
2
2
2
2 2
2 2
b2 x 2 a2 y 2
h x
k y b2 h
a
ka
b 0
2b
2a
A
C
D
E
F
2
2
Ax Cy Dx Ey F 0 con Sg A = Sg C
Ecuación general de la elipse de ejes paralelos a los ejes coordenados.
Hipérbola
Definición:
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que el valor absoluto de
la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.
Construcción de la hipérbola por puntos
Dados los focos F1 = ( c , 0) ; F2 = (-c , 0) y la constante "2a"
Si 0 es el punto medio de F1F2 , se determinan 0A1 = a
pertenecen a la hipérbola.
y
0A 2 = a
A1 y A2
En efecto para A1: A1F1 A1F2 c a c a 2a 2a
para A2 : A2F1 A2F2
a c c a
2a 2a
1 A1R
Se toma un punto R de la recta F1 F2 exterior al segmento F1F2 llamamos
2 A2 R
centro
radio
Se trazan las circunferencias C1 (F1 , 1) ; C2 (F2 , 1) y se cortan con las circunferencias
C3 (F1 , 2) C4 (F2 , 2).
15
Se obtienen los puntos P , P' , P" , P"' que pertenecen a la hipérbola, en efecto por
ejemplo para el punto P se tiene:
1 2 A1R A2R A1A2 2a
Haciendo variar R se pueden obtener todos los puntos que se desean y uniéndolos se
obtiene la hipérbola.
Deducción de la ecuación:
Tomemos como eje 0x la recta que pasa por los puntos fijos y como 0y a su simetral.
Sean F1 = (c , 0) y F2 = ( - c, 0) los puntos fijos llamados focos y 2a la constante.
P = (x,y) hipérbola se verifica
F1P 12 x c y 2
2
2
Por Teorema de
Pitágoras
2
F2 P 22 x c y 2
Además F2F1
2
c c2
(2c)2 2c
F1P F2P 1 2 2a
Como en todo triángulo cada lado es mayor que la diferencia de los otros dos,
Entonces en el triángulo F2 P F1 de lados 1, 2 y 2c con ρ1 ρ2 2a se tiene: 2 c 2a
ca
Elevamos al cuadrado
1 = 2 a +2 12 = ( 2 a + 2)2 = 4 a2 4 a 2 + 22
Reemplazamos 12 , 22 según
( x – c )2 + y2 = 4 a2 4 a 2 + (x + c)2 + y2
x2 – 2cx + c2 + y2 = 4 a 2 4 a 2 + x2 + 2cx + c2 + y2
Pasando al primer miembro 4 a 2 , dividiendo por 4 y elevando al cuadrado
4 a 2 = 4 a2 + 4 cx ( a 2)2 = (a2 + cx)2
Reemplazando 22 según
a2 22 = (a2 + cx)2 a2 [(x – c)2 + y2] = (a2 + cx)2
a 2 x 2 2a 2cx a 2c 2 a 2 y 2 a 4 2a 2cx c 2 x 2
16
Agrupando las variables en el segundo miembro:
a2 (c2 - a2) = x2 (c2 -a2 )-a2 y2 (dividiendo por a2 (c2 - a2))
1
y2
x2
a 2 c2 a 2
Como c a b / b2 = c2 - a2 nos indica que entre a, b, c hay una relación pitagórica,
donde c por ser el lado más largo es la hipotenusa.
x2 y2
1
a2 b2
Ecuación canónica de la hipérbola
Intersecciones con los ejes: (vértices)
Dada la ecuación de una hipérbola
∩ con ox y = 0
x2
a2
y2
b2
=1
x2
1 x2 = a2 x = a
a2
∩ con oy x = 0 y2 = -b2 y =
A1 = (a,0)
A2 = (-a,0)
b 2 = bi
esto nos indica que la curva
no intercepta al eje y.
A los puntos B1 = (0,b) B2 = (0,-b) útiles en el trazado de la curva se los suele llamar
vértices imaginarios.
Teniendo en cuenta la relación pitagórica y que la hipotenusa es c.
c
c2 = a 2 + b2 c =
F1= (c,0)
a 2 b2
se obtienen las coordenadas de los focos
F2 = (-c,0)
La recta que pasa por los focos se llama
eje real su simetral eje imaginario ( o
conjugado)
long.eje real:
long.eje imaginario:
distancia focal:
Simetría:
La ecuación de la hipérbola es:
x 2 y2
1
a 2 b2
Nada altera cambiando x por (-x) e y por (-y)
x 2 y2
a2
b2
1
17
Esto nos dice que la curva es simétrica respecto de ambos ejes y respecto al origen.
Excentricidad e:
Se define como el cociente entre c y a
e
c
con c a e 1
a
Zonas de existencia:
x 2 y2
1 despejamos y
a 2 b2
y2 x 2
x2 a2
b2
2 1
y 2 2 x 2 a 2
2
2
b
a
a
a
Ecuación de la hipérbola
y
b2 2
x a 2 y b
a2
a
Ecuación explícita
yR
x2 - a2 0
Despejamos x:
y2 b2 y2
x2
a
1
x
b2 y2
2
2
2
b
a
b
b
xR:
y R
x2 a2
x a x a x a
- y
Rayamos la zona en la que la curva no puede
existir.
Lr 2
Lado recto: ídem elipse
b2
a
Asíntotas:
Consideramos la ordenada de la recta yr =
b
x
a
y la ordenada de la curva
b
yc
x 2 a 2 yr >yc
a
yr - yc =
d=
b
x x 2 a 2 con
a
xa
si x crece x x 2 a 2 disminuye
18
es decir: Si x crece d : disminuye
La curva está por debajo de la recta, se dice que esta recta es “tangente a la curva en el
infinito.” Por ello la recta es la asíntota de la curva.
Por simetría completamos el gráfico:
b
Las rectas y x son las asíntotas de la hipérbola.
a
Las asíntotas son útiles para realizar un trazado aproximado de la curva.
Si los focos de la hipérbola están sobre el eje y
x 2 y2
1 ó
b2 a 2
y2 x 2
1
a 2 b2
Ejemplos:
2
2
1) x y 1
9
16
a =9 a=3
A1 = (3,0)
2
A2 = (-3,0)
b = 16 b = 4
B1 = (0,4)
2
B2 = (0,-4)
c2 = 25 c = 5
F1 = (5,0)
F2 = (-5,0)
19
Asíntotas:
2)
y
b
4
xy x
a
3
y2 x 2
1
16
9
A1 = (0,4)
a2 = 16 a = 4
A2 = (0,-4)
B1 = (3,0)
b2 = 9 b = 3
B2 = (-3,0)
F1 = (0,5)
c2 = 25 c = 5
F2 = (0,-5)
Asíntotas:
a
4
y xy x
b
3
Hipérbola con ejes paralelos a los coordenados
Dada
X2 Y2
2 1
a2
b
x h 2
a2
y k 2
b2
1
b2 (x-h)2 - a2 (y - k)2 = a2 b2
2
2
2
2
2
2
2 2
2 2
2 2
b
h x
k yb
a
k
a
b 0
x a y
2b
2a
h
A
C
D
E
F
Ax 2 Cy 2 Dx Ey F 0 con Sg A Sg C
Ecuación general de la hipérbola de ejes paralelos a los ejes coordenados
Hipérbola equilátera:
20
Hipérbola equilátera referida a sus asíntotas
Fórmulas de rotación
Sistema x0y : P = (x, y)
Sistema X0Y: P = (X, Y)
OP = 1 ;
X = OR = cos
Y = PR = sen
x = OQ = cos (+) = cos cos - sen sen
x = X cos - Y sen
y : Fórmulas de Rotación
y = PQ = sen (+) = sen cos + cos sen
y = X sen + Y cos
Hipérbola equilátera : x2 - y2 = a2
Queremos referirla a sus asíntotas:
2
1
sen 2 (45º )
sen (45º )
2
2
45º
cos(45º ) 2 cos 2 (45º ) 1
2
2
x2 - y2 = (X cos - Y sen )2 - (X sen + Y cos )2 =
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(X + Y) -
(Y - X) =
X
X
Y
Y
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
X Y Y X a X + 2XY + Y - Y + 2XY - X = a
2
a2
4XY = 2a2 XY =
hipérbola equilátera referida a sus asíntotas
2
2
21
