Apuntes Álgebra Lineal: Matrices y Sistemas de Ecuaciones

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:
,
#
sistema de ecuaciones lineales
"
,
a)
-
ir
sistema inconsistente
las
variables
b)
Para
ti =-3
%:
CI
HEIRII -3,01
Para
%}!
rans
si
soluciones
son
V.V
que
solución del sistema homogéneo Ax -0
sistema lineal Awb
del
,
entonces
,
u
-
V
-
es
Supongamos
PD :
Alu
-
AIU
•
v
-
AU :b
)
:O
v
)
Au
=
a)
Alu vl
:
sistema
solución del
Si
A
matriz
una
de orden
es
sistema
A
b) Sea
el
homogéneo
singular
es
A
matriz
una
por
lo
posee
al
A
que
IAI
además
tanto
decir
el
menos
" ""
orden
.
o
,
es
sea
AKO
X
que
singular
singular
no
una
Osxi
,
11
o
no
2
-
XIO
como
3) T
singular
es
una
?
al
solución
la
,
singular
es
=
ranglttlbl
no
,
trivial
lineales
Éi
.
X2
entonces
,
se
como
t
KX 3=1
trivial
no
es
,
la
singular
matriz
,
.
ampliada
la matriz
tiene
A
A
si
que
solución
y posee
ecuaciones
-1
una
pero
consistente
es
1k¥ :#
Demuestre
.
tiene
solución
,
nxn
Ax
rang
sistema
Considere el sistema de
parámetro
de
homogéneo
Supongamos
,
¿ A
-
trivial
es
Suponga
.
AX -0
homogéneo
.
sistema
IAIOI
3×3
homogéneo
invertible ,
es
del sistema
solución
es
-
A
Sea
Av
-
0
=
entonces
Av :b
y
b- b
=
4.
!# rangibi
sistema inconsistente
2. Demuestre
3.
::*:÷÷÷:
% ! :&:L
singular rangl A) Eh
es
,
infinitas soluciones
,
es
decir
,
,
.
en
las variables
Xs Xr
Xz,
y
,
que
depende del
a)
Determine
it
no
los valores de ti para los cuales el
:
tiene solución ;
iil tiene
un
número infinito de soluciones
iiil tiene solución
única
rl ! ! ! Ht
Si
sistema
l ! ! ilil
H :! !! !!
"
"
ktl
4. ±! !!! :L
% ! !.it:L
"
""
.
l ! ! :* .li:)
K
"""
si
k¥-2
y
.
-
l!
fstftsfa
-
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.
! !!
htt
III. iii.d :L
"
""" "
Iii % !
.
% : :p:*:p
¥
""
U
l
IAIBI
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3=3
3
=
'
llktzl
=
n
,
el
sistema tiene solución única
con
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Si k =L
Hi! !:&.tl ! ! !
ÜÍ iii.%.tl ! !
.
"
el
"
"
sistema
%! ¥
rans
"
tiene
.
infinitas
:* .no "
el sistema
es
soluciones
"
inconsistente
.
bl
Para los
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que
en
hay
%!%
Para
cada
sistema
¥
Xz
KERIE -2,11
,
la
,
determina
la
solución
¥:
41k -11 )
=
solución
única
del
es :
""
C) Para
solución única
los
Tt
ftz ¥
casos
hay
que
infinitas soluciones
,
conjunto
determine el
solución
.
Si k =L
1%! !! !) -1 ! ! !
XL
CJ
5.
XL =L
Xz -173=1
1-
:
{
IX. Xr
'
.
EIR /
LX
.
.
"
el
-
"
"
¥
sistema
.
infinitas
tiene
soluciones
.
X2 Xz
-
Ya Xsl
=
,
Considere el sistema de ecuaciones lineales
ll t
-
-
5
homogéneo
,
s.tl
con
cuya matriz
t
de
,
SEIRI
coeficientes
es
l ! ! :L
a)
Solución
única
infinitas soluciones dependiendo de
C) infinitas soluciones dependiendo de
b)
Nokia
l ! ! ¡ 1%
si
al
a-
parámetro
dos parámetros
un
bto
1k¥11
"
"
H ! !-4%
.
.
%EE.int :/
si
atbto
""
"
1% Él :L
a- bto
Si
además
atbtu
y
rangl
IAI
rang
A) en
3=3
1% :/ :D
"
=
ranglttlbl
entonces
,
3=3
,
la matriz tiene
solución única
-
)
( ja.bg/fsia-b=oya--b
↳
b- a
O
O
b
% : :/ :L
-
ato
con
,
l ! ! :L :L
"
rangltttranglttlbl
,
infinitas soluciones
ranglttkn
pero
si
a
-
b
-0
a
= >
_
b.
s-ia-bya-oyb-OH.
! ! %is ! :/ ;)
lo
por
,
l ! ! %:L
""
con
a
tanto
,
el
sistema tiene
FO
c)
:*
sistema tiene infinitas soluciones
si
6. ¿ Qué condición debe imponerse
con
incógnitas
×
,
y
,
z
tenga
X
"
"
a.
solución ?
µ
I !
a
El
ü:* :* :
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c
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y
b
=
O
el
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siguiente
"
-
2ft
72
=
C
k¥1
loi !
l ! ! ti! : )
""
l ! ! ti:*:L
"
sa
Si
-5A -12kt C. =D
el
,
sistema
posee
al
menos
una
solución
.
sistema
,
71 En cada caso suponga que la matriz A
filas para determinar su matriz inversa
es
,
al
(
*
"*
-1 : ili it
)
-421%0
3/2
%
'
O
/
0
,
A-
.
=
ti
por
1%4
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"
! ¡%)
'
'
L
-
lo tanto
por
operaciones
-
( j
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,
l ? I)
a-
" "ni
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IINIA Y
-
-
µ ¿%)
,
"
el ! ! ! )
Html ! ! ¡ / ! ! ! )
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""
"
""
"
i
l ! ! ¥1 !
y ¡ ¡ ¡ ji
2
entonces
:
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'
-
%
L
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-
L
"
l ! ! El ! ! %
Y
%)
-
l ! ! III. % :)
"
.
-
Hi " "
1
=/ } ? %)
1
8
.
Encuentre
la
KL K2 K 3 Kui
,
,
,
inversa
y
k
son
de cada
escolares
una
de
las
distintos de
siguientes
cero
matrices
,
donde
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O
O
ks
O
O
O
O
KY
YKIF ,
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:*.ir:*
"
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:( ojo ; !!
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"
"
"
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"
O
O
O
"
L
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→
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O
O
'
1
"
IKL
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O
""
"
entonces :B
*
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l! ! ! ! ! ! !
ti ! ! !.li: ! :p
"
"
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( ¡ ¡ ¡ j.it! ! ! ;)
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O
U
0
K
O
O
L
L
O
O
1
O
O
O
0
O
4k
O
0
4k ' -4k
I
O
O
1
O
O
/
O
O
O
O
O
IK
-4k '
'
O
O
1
O
O
k
foioof
O
4k
O
'
-4k
4k
'
4h
-4k
-4k
4k
'
O
O
O
L
O
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"
"
→
Es
}
O
O
4k
U
O
""
"
oo
O
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L
k
0
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O
O
O
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k
U
O
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O
L
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L
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O
O
O
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L
O
O
O
l
k
YK
-4k
O
4k
'
O
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4h
-4k
4k
O
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O
O
L
'
'
)
O
0
'
4k
O
'
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l ! ! ! ! !!!! !:* !:! !
:(!!! ¡¥ !: ! !
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"
-
9. Sean
al
Si
A. B As
,
YB
A
it
IABI "
IABIC
A
que
existe
,
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y
y
B
IABI
,
.
entonces
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son
"
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-
'
A
por
,
tanto
,
existen
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=
AINA
=
AA
=
'
-
A- y B
'
"
=D
"
,
"
"
asociativa de
prop
"
definición
de
producto
de
matrices
inversa
"
IB A- IIAB)
-
=
=
'
B-
'
'
IA AIB
-
asociativa
'
prop
def
'
B- INB
de
del
producto
de matrices
inversa
'
iyii
IAB )
In
=
Por
y
proposiciones
'
-
iil CIABI
.
.
IABIIB A- Y
=
=
,
.
invertibles
son
Supongamos
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Az
,
=
B- B
=
Ir
se
tiene
IABIIB
-
entonces : IB
-
'
A-
'
'
que
A -4=4--113
KIABI
-
"
'
A
-
YIAB)
EE
A
.
"
además C.
,
=
B-
'
A
"
)
)
b)
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,
.
.
.
.
An
,
Supongamos
"
DEIR
sea
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PD :
,
Paso
.
.
Suponemos
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.
. . .
An EIRM
,
'
,
.
.
.
,
Asi
.
.
'
""
son
.
.
.
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'
Ai
además
,
,
'
'
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. .
,
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'
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=
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'
ii) BALA , = AIIAÍAIAA
'
'
Ai In As
=
-
In
Por
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=
que
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,
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-
. . .
'
.
.
.
C.
.
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AK
-
invertibles
son
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'
'
=
'
Ati
=
'
'
.
.
.
'
AI Ai
'
'
AKAK-ulllttk.it/-'CJ--lAIAz...AkAhtI)/AktItAti? AÍAÍ )
. .
IAI As .DK/lAktillAktst'lAIi...Ai' Ai )
( At As
.
.
.
'
CIIAIAZ
.
.
.
AKAK
.
AKIIINIIAIÍ AÍAIY
.
.
propiedad
.
por
.
.it/=lAri-i 'Ati'. .Ai'AI'l AiAz.. AkAktil=lAHtttYlAti'. .Ai'AiYlA-
.AM/lAktIl--lAHtIt-tlInl Ak-Ht=lAktt -tlAktd=In
tttr
que
IAIAS
.
.
.
Ant
-
'
=
Ari
'
.
M
Calcule
"
'
M -2M
'
-12M
-
⇐
-
AÍAI
'
A
E
KIM ! !
ntii :X ! !
.
=/ ! ¡ { )
matriz
Considere la
.
. .
=p :p
L
L
O
%!!
Kidd : HH :
k¥1
inversa
de la identidad
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I
=
-
definición de matriz
.
lttittz .AM/Ak?..Ai' AÍ )
=
a)
concluye
AÍAI'
.
=
v.
=
además
y
'
concluye
'
. .
Anti Ati! AI Ai
=
-
un
.
.
se
117,1721
se
-
inducción
=
¡Vllltthttl
ilyiil
In
=
Ak Atril
.
Tomemos
'
-
=
que
.
.
AIAZAÍAI
que
suponemos
.
.
.hn/-t=An-t,....Ai' Ai
'
.
inducción
=
de
2
III y ( Alfa
Ant
D= Asi Ai
=
PD :
.
.
,
D= Ari
'
AIAIB
Paso
.
de
L
Tomo
il
174172 ,
" :
invertibles entonces IAI .AZ
son
b) Deduzco
que
matriz
la
invertible
Mei
'
M3
-
2M -121=213 (
'
MIM -2Mt 2ft
2
s
PM
el
or
'
literal
calcule
y
ai
-2M -12152M
su
inversa
)
"
421M -1Mt III M "
'
-
-
42M
⇐s
Encuentre
M
"
mediante
(
I
-
por
o
o
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Sea
-
M
I
-
""
Iii :/ : :p
L
O
-
I
I
O
U
I
IINNY
n
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tal que
-
'
=
It Ath
IITATAYII Al
Demuestre
.
que
ITA
+
A
'
'
I
=
-
=
¥
=
I
-
II AIIITA -1174=1+17-117
-
=
=
i
filas
por
7-A
de
II Al
I A
A
+
A
-174A
'
-
que
'
por
'
-
A
-
A
'
-
A
'
I
=
A
'
'
y ii
'
IITATA ) II Al
concluye
A-
-
-
-
se
-
( %! %! ¡ )
n.se
por
Iz
420
-42
l
lo tanto :
inversa
PD :
1-
l ! ! :/ ! ! ! )
0/42420 )
'
O
O
L
.
.
"
¡ ¡ :/ ! :X
"
M
operaciones
mail.ii.it ! ! ;)
ll
-
-
I! !:X .to?i:H::iH!ii! :L
"
C)
'
II A) IITATAY
-
II -117+1721=11 Al
-
"
-
I
hipótesis 173=0
es
la
matriz
{ § ¿ %)
b)
A-
Sea
que 173--0 y utilice el resultado del
de
inversa
D=
literal
a
( § ¡ })
kiwi ! :H ! ! :L
*
A
Verifique
.
determinar la
para
"
=
kiwi :* " : "
"
nilpotente
es
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B-
-
,
nzs
en
'
II. Al
=
'
-
IITATAY
=
.li?iHiiiH:iH=HE
*
121
Dadas
determinar
al
PA
-
P
(P
⇐s
A- =P
b)
PAD B
⇐
-
-
'
C)
ftp.tDB-B
por
lo
PIA =P
-
'
con
,
-
'
por
DP
P
D
y
matrices
hipótesis existe
prop
DP
def
-
'
-
A- =p IBD
-
tiene
no
P
de
"
producto
asociativa del
singulares
de matrices
inversa
=
⇐s
AP
⇐s
App
⇐3
A
A-
=
P
-
'
"
y D
existen
"
'
por
IIN DIB
=
-
B- DB
-
'
=
(In
IIN DIBP
-
-
DIBP
"
II D) BP
-
hipótesis
'
-
AP
por
A- =P BD"
que :
⇐>
tanto :
PÜDP )
=
PIAD =P-43
IAIDDY =p BD"
IP
⇐s
se
'
" "
,
DP
⇐'
entonces
-
YPAI
A. =P
⇐s
-
-
B Elk
,
para A
expresión
una
DP
entonces
P, D
matrices
las
"
"
hipótesis
P
-
l
,
D-
'
y
B-
'
existen
.
L
¥9427
⑤
gaby
Balcázar
A-
Sea
.
=
( Ai Az Az A-4)
de A
columnas
y
dettttt
det 13h
det (A)
-
4
_
4
matriz
una
detltti
=
donde AI As
,
,
As 174
,
son
las
Calcule:
.
174 )
217+173
As
AYIT )
As Az
detl 13A Aa As ANTI 3ft
413k detf 13171172 2172 As ANTI
12
detl At Aa 2172+173 AYIYT )
4131
" ""
IK
de
detlltts As As AN )
4-
=
-
55
-
,
-
→
FI
2 Fztfz
+
→
Fz
=
12
2.
Calcular
el
=
det
13h
determinante
superior
|
l
-
-
I
I
I
I
1
1
L
L
-
-
L
L
de la
1) |
I
-
2)
I
O
O
-2
I
O
2
-2
-2
L
O
2
O
-2
I
I
t
=
-
en
t
I
I
-
matriz transformándola
siguiente
l! ! !
"
L
2172473 A- 4)
As
¡
1
=
-
-
-
{
O
1
=
-
µ
-
-
I
I
O
-
-
2
t
¡ -02
-2
-
2
)
Fitfz
Fttfs
-
Fz
→
-
Fit Fy
Fs
→
f- 4
Fresh
-
Fztfs
→
Fs
¡i.IT/- EaetEEI000-2detlAl EldettAl- -8
1
=
-2
-
/
! :{
O
02
O
.
-
-
I
I
I
-
Fztfy
→
FY
una
matriz
triangular
3
Sea
AEIB
a)
ATA
si
"
?
I
=
Demuestre
cada
entonces detl A)
,
=
-
de las
una
l
o
siguientes
proposiciones
:
detl A) =L
detlATAI-detlt tldet.LA/- detlAldetlAl- ldetlAl 2
por
hipótesis
de HATH
=
del III
-
transitividad
por
ldetlh.tl?--detlI )
=L
entonces :
b
.
Si PEIR
detl A)
" "
es
detlp
-
'
no
AP )
=L
singular
V
,
detlttt
-
.
t
D
detlP-IAPI-det.LA )
entonces
detlp Ydetltttdetlp )
-
=
=
jefe,
por
detttttdetlpl
hipótesis
:
de HPKIO
detltldetlpl
=
detlp)
=
detl.pl
El
4.
todos
Hallar
si
i.
esiai
los valores
del
d
escolar
para
los
que la matriz
II A
-
"
es
singular
!f ! I} % )
'
*
AHI !H÷ : AH!
1¥ # ÷:
"
(7-1111,1-13117+5)
-528
'
÷!
¥1
-16417+31-2817-111 -13817+5 )
( H 87-33/17-15) 5281-644192-287+308 -1387+190
µ 81,2-337-157' -404-165+7471-162
-
-
-
1,3-31,2+1-3=0
1741117-31=0
X
-
3=0
7=3
V
V
72
si
72+1=0
=
-
L
si
te IR
DEC
7=3
7- i
v
D= I
-
v
1=3
S
.
Utilice
sólo
/!
-
ti ! IHI
a
:
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F
=
Sea
,
AEIR Considere
.
"
producto
verificar
que
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btc
a
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.tk:1
ba
) / ! b)
a
c
b
b
a
b
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c
-
b
c
a
←
f-
Fs
q
←
Fs
O
la matriz
"
Use el
para
.li?:Hi ! :L
=
6.
del determinante
las propiedades
de matrices
l! ! !
para
obtener
el valor
ldettttll
de
=L ! ! ! ! )
""
Ei ! % ! t :
det IAATI
"
=
=
=
=
19431
de HAIDEHAT)
detttdet A
detl Al
'
entonces :
detl A)
=
÷ !!
"
.
las + 3)
2
:
7
Sean
a.
b. CEIRT
*
a) Aplique
Fz
+
*
Fi
→
i
FI
,
la
a
Fstf ,
matriz
-
→
siguientes
Fi
operaciones
I
y
filas
por
→
a
la matriz A
:
F,
Ltatbtc
resultante B
"
Iii
"
!
ftp.atbtc ¡¡jb ¡¡¡ )
Fi
"
Tai
b)
las
l ! ! !)
Fstfi
matriz
siguiente
l ! ! !)
consecutivamente ,
,
llame
considere la
,
l
Considere las
*
tc
E)
I
I
L
:
siguientes matrices
=/! ! ! )
Determine C- EIIa B
_
.
y
,
elementales
E.
Es
y Es
dadas por
:
=/ ! ¡ f)
detlc )
% ! :X ! :D -1 ! ! :L
""
*
t! ! % !
I. H ! ! ! )
detlc) =L
C) En base
al literal anterior , determine
dettct-dettEIEaldetlB1 -detltIEaldetlBIL-det.RS
de TLB )
'
e
-
d) En base al literal
al
determine la relación entre detl Al
,
calcularlos
dado
B
que
entonces :
obtiene
se
multiplicar
de
detl B) =
un
escalar
a
det IBI
y
una
,
sin
fila de A
EHAI
sitatbtc
C) En
base
a
literales anteriores
los
detlB)
determine
,
detl Al
-1 detl Al
=
Ltatbtc
ttatbtcdettB)
Itatbtc
8
=
detl Al
detl A)
=
Para la
matrices cuadradas dar
siguiente proposición
demostración
contraejemplo
relativa
poner
o
,
una
un
'
detl IATBI )
basta
Por
a
tomar
A
det 117413
=
)
'
( q j)
=
( { f)
B-
y
_
lado ;
un
mil ; % ;
%)
I
*
detllttt B) 4=196
Por
A
otro
lado :
:/ ? ? )
"
:
=/ } % )
" ""
;
=/ ? %)
det ( A ' -11321=303
entonces
det IIATBI " # del-1174134
9.
Considere la
El
siguiente
AEIRN
"
es
IPI : si AEIR"
siguiente proposición
razonamiento
antisimétrico
determinante de
erróneo
es
,
transpuesta entonces
detlttkdet IATI
detl Al
su
detl Al
Encuentre el
Si
A
=
error
es
intenta
entonces AI -17 ,
es
una
antisimétrico
la proposición IP )
probar
y
matriz
el determinante
como
entonces detl A) =D
Supongamos
:
de
,
una
matriz
que
es
,
=
de donde
e
"
-
de HAI
en
,
-
=
,
precedente justificando
el razonamiento
detlAI-detlh.tl
detlttt
lo cual de HAKO
con
antisimétrico
-
:
A-
,
=
-
AT
o
-
A
=
AT
,
su
respuesta
además
,
se
sabe
que
igual
al
il
det IATI
iil
detl A)
por
=
=
detl Al
-
dett AY
transitividad
de HAI = detl A)
-
=
Iii)
si
n
es
HMDEHAI
IV)
impar
si
n es
dettt )
par
detlAI-det.LA/detlAltdetlAl-detlttl
de TIAI
=
-
O
2del.LA/=0
detl A) =D
por
lo
igual
que
a
puede
o
no
ser
cero
D
1*4%0
L
Sean
a)
A,
A
Si
BEIR
B
y
""
singulares
son
Contraejemplo
conocemos
pero
pero
A-
que
B
y
=/
A-
det IAI
det IATBI
,
entonces
,
siguientes
los
ATB
singulares
son
det IATBI
tomar
efecto :
En
refute
o
enunciados :
singular
es
:
siempre
no
Basta
Demuestre
.
⑥
Keira
es
'
'
,
,
0
cero
)
tanto
lo
B-
y
_
detl B) =D
y
=/ !
por
,
entonces
,
detl A) =D
ATB
puede
ser
det IBKO
y
singular
o
no
( G ?)
,
¡/
5-4
=
=L 70
entonces
b)
Si
A
es
A
Si
ATB
no
es
singular
det 1AM
entonces
2. Dado
a
C-
IR
por
,
1174
si
,
A
es
no
-
'
lo
IAAI
=
'
A- A
=
IA -42
singular
-
1174
y
-
'
=
( A -42
,
valores
en
donde
dicha solución
-
A
'
es
no
singular
t
se
IBC )
Propiedad
cumple
A
que
'
es
no
-
I
C- IB
-
=
singular
l
LA )
'
y
"
LA )
"
=
'
sistema
=L
24
±:
,
obtener
singular
no
"
siguiente
taxi
Determine los
b) Para los casos
es
det IAIIO
tanto
=
considere el
33C
al
'
entonces
,
no
detlttldetl Al
70
,
A
o
DEHAAI
=
=
además
singular
ser
entonces
,
singular
no
además
puede
tal que el sistema posee solución única
existe solución única utilice la regla de Cranmer para
de
a
.
,
l ! ! :L :L
Yo :} %! )
%!
Ha
% : :L :L
"
"
.
-
( ¡ ¡ %ae.a.nl ! )
"
trama # → "
si
-
Isa
entonces
El
'
ba
-
-
3) to
rangl Al
sistema
a
#
3-z
rangl Alb) y rangltttn
=
solución
tiene
única
con
ae
3tj
a +
v
MI
{ 13 FMI 2. (3+117)/2 }
-
lo ! :/
3
*
.
O
detm-4.fi/-i2/a9l-iOldetlAl=3llt2k/-2a'=3t6a
'
-
detl Alto
como
x
=
=
se
puede utilizar la
⇐
Ésa)
L
O
O
O
a
Éi/
3
O
⇐
soul
-
2
1
l
O
-
-
de
Cramer
-
292
31-6
a -2A
-
6k
292
-
.
-
292
+
-
Él
?
6A
Éi iiiiii.ua
iii.
"
292
regla
llttsal-21-a.HU#-3-1 6k
3
sa
-3
Éa
e
2A
?
-
6-3
TI
-
ba
-
3
-
3
CEIR
a. b.
Sean
3
Considere el sistema
.
{
lineal
-12×2-31/3=9
XI
2×1+6×2
Xi
-
11×3=6
-
2×2+7×3 =L
a)
El
b)
El sistema tiene infinitas
c)
El sistema
sistema tiene solución única
En cada
caso
tiene solución
no
,
soluciones
determine el
conjunto
solución
l! !
a-
H !)
H ! :L :L
ti ! :& :L
! ! III: )
"
"
l! !
"
"
el
Por
de
Teorema
ranltttranlttlb)
si
-
si
a)
satsbtc
-
b)
=D
,
{
sistema
tenga
solución única
=
satsbtcto
entonces
sistema
tiene
-
el
que
rango
=
( Alb ) 2=273
infinitas soluciones
no
El sistema tiene
si
para
,
rangl A) n
entonces rangl A)
,
El
RF
y
sistema tiene
el
I !:*!
infitas
satsbtc =
ranglnttrangltttbl
213
,
entonces el sistema
O
O
} ¥2
-
soluciones
reemplazo
O
O
O
)¡ )
(b
inconsistente
solución única
×
"
es
a) 12
" t
y,
t
=
Xz
-
2×2-3×3
a
-2×2+3×3
42113
=
=
'
a
=
_
'
a
XI
III
)
¥ { 1/3
+
=
3A
121
en
ll )
(¥+5113)
-
b- 8×3
121
cs://%fe.rs/l!.)=fiIIaiIxim/f=ffiIihIin ) content
Xs
t
-
3×3
C)
si
-
tiene
ranglnttrangltttb)
213
,
entonces el sistema
solución
Estudie la
.
entonces
,
no
4
satsbtcto
del
solución
siguiente
sistema
con
un
parámetro
AEIR
¥ :* :
Hindi
III Iii :/
l ! ! !)
a-
a-
! !
si
1- a
""
'
#O
a
=3
'
#L
a
#
L
a 7-1
V
l ! ! !:p :*)
"
Ki! !:L :o)
'
"
"
¢
t!
!
att
/ ! ! ! ! .nl !:D
*
,
Caso
L
la -121 la -1170
si
Ut
ranglttl
-2
=
att
n
ranglttlbl
el sistema tiene
=3
solución
única
con
AEIRII -2,1 }
2
Caso
lat 2) la -11=0
si
a
+
2=0
rangl Al #
si
.
1- a
'
=
O
=
>
a
=
-
ranglttlbl
=3
92=1
2
,
entonces el sistema
a =L
V
es
9=-1
iii.% EH ! ! :L :D
inconsistente
si
a = -2
)
CASO
3
si
=L
a
( ¡ ¡ f) f)
,
c
ranglttltn
O
O
5. Dados a. b
ranglttkrangltzlbl
di da ds EIR determine
,
,
X
det IAI
si
la
determine
AOHAI
¡¡
-
-
AX b
=
Ía Í
'
a- b
donde
+
Il
-
C2
A-
'
L
)
=L
c
tal que el
9=1
sistema
posea
solución única
dz
=
única
c-
al
utilizando
,
la
matriz
adjunta
.
blttikcta sb
-
-
única
adjlat-at.INT
;
tiene solución única
como
.
y
el sistema tiene solución
detl Alto
a. b.
si
.
+
-
sobre
soluciones
:*
"
solución
=/ ! ¡ { /
infinitas
condiciones
,
,
fi
Además
tiene
el sistema
X
:( { ! } { b)
!
-
A- b
'
-
adjl Al
.
detl Al
X
=L
°
deth )
⇐
cta
-
2b
ADJIAI
Hoia
,
s.it
=
2/4
Sea V
variable
b
%:L
:*
!
!
!
.nu/cta-2bd
III !
×
6.
.
X
.
_
d
.it?!?Ii?*aaN
el
conjunto
Consideren
de
los polinomios
operaciones
⑦
:
VXV
→
V
de
y
grado
0
menor
:B XV
→
V
o
igual
definidas
a
2
por
en
la
lbotbssctbs.sc?--laotbo)-laitbalsc+x2y90pCx)--9l9otaixta2X2l--
plx)
⑦
qlxt-lao-a.sc tasx )
'
⑦
aaotaaix-aas.sc
cada
para
real ?
plxl
Conmutativa
Sean
de la
pcxl
Por hipótesis
plxl =/
qlxl
,
V
C-
cada
y
¿ Es
.
PD :
plxl @ qlx)
II
'
cumpla
se
(
( 9+8×-17 x ' ) ⑤ (
tt 2X -134
101-9 XTX
lo tanto
por
7-
Para IX. Xz
,
Xs)
,
2¥10 -1
, ,
X,
,
,
C-
IR?
)
10-1
=
que
Sean
PD :
(X
, ,
( 70
Xz , Xz )
EM ) ( Vlxi
'
Supongamos
DIR ⑦ ( Xi
IOIK
,
,
,
,
Ostxr
ORIIL
Tomando
Drift ( Xi
,
,
Ilxtx
define la
se
?
de la
suma
siguiente
.
,
Xzt
,
(
=
,
L
,
no
es
un
espacio
vectorial
operación :
)
Ya ,
.
en
efecto
lo
es
ER
0*10402,03)
Xi
,
Xz
,
Xz
)
=
y
verifica
( XL
,
X2
,
X
que
3) ⑦ DM?
0,41
Xr Xs)
,
43)
V
entonces
,
0¥ )
(
Oii
(2)
xz.xzIEMHOpiotlxs.xs.is/=lxi.xz,XslOtOIR'=lXs.XqXs ) )
que existe
Xa , X 3)
'
111
:
Encuentre el elemento neutro de esta operación y demuestre que
'
( Yi Ya
y
'
?
.
,
X
19+8×+7×4
⑦ ( Yi Ya Y 3) = ( XIY ,
Xr Xz)
+
10+9×-1×2
=
IIXTX
.
LY Ya Y 3)
(
'
y
cumple la conmutatividad
se
no
,
?
cumple
se
-13421+019+8×-17 x ' )
tt 2X
=
verificar
debe
se
,
11+2×+3×4 EV
Basta tomar
=
bitas
=
siempre
no
x + ×
'
lbotlloltlbitazlxtx
'
igualdad
la
Clitbs
lo cual
X
laotboltlastbslx
lbotbixtbax ) @ ( aotaixtaax )
=
+
plx)
⑦
)
'
que
qlxl
=
( botdolt ( betas)
qlxt-lbotbixtb.es/plxlOtqlscl=laot.aixtasX4Otlbo-ibixtbax4=
para
espacio vectorial
un
laotboltlastbslx
:
aotaixtasx
qlxl @ plxl
V
suma
qcxlev
,
IR
de
2
0,4 )
=
(
se
verifica que :
Xi X2 Xs)
.
,
=
( Xi
,
X2
,
X
3) ⑦ OR
'
Á 7ft
⑦
L
.
¿ Es W subespacio
W :{ lx
I)
tiene
se
máx
PD :
a C-
,
-
10,01
IR
0,01
{
min
-
,
RI ? Siendo :
,
U :(X.
Mal
V
,
wto
=L] Ya) EW
,
OLUTVEW
EW
autv
MIX ; Xalt IYI -142)
=
,
taxi
=
PD
( MX , -141 )
:
,
Por
Axa # 2 )
,
loexzt Ya )
=
W
es
XL
=
Xz
la XITYI )
=
Ya
=
reflexivo
de la
igualdad
hipótesis
por
subespacio vectorial
un
Yi
r
axioma
la Xzt Ya)
=
tanto
-1141,42 )
hipótesis
↳ Xityil
lo
Xz)
la X , -141
=
por
.
.
cumple que
se
y
entonces
sean
y
t
.dz/eR2:mcixlXi.Xa/--minlxi,xr/ )
0h"
que
10,01
Sea
IIR ?
vectorial del espacio vectorial
gaenrizoveoázar
de IR ?
t
'
,
,
M)
µ
-
2
.
IR?
¿ Es W subespacio vectorial del espacio
W
il
tiene
Se
{ ( Xi
=
Xa Xs )
,
,
R
10 0,01
0ns
que
'
c-
,
:
.
,
,
B) ?
Siendo :
IXII -11×21=1×31 )
dado
EW
que
WFOI
entonces
t
101+101=101
0=0
0-10=0
n
il)
además
a
AER
para todo
,
y para
todo
v. VEW
debe cumplir
se
que
UTVEW
Suponemos
CLUTV
=
al Xi
IQX , -14,1
=
U
que
t
,
(Xi
Xa , Xs )
,
+
xa.kz/yV=lY.,Y2
,
43 )
IY Ya Ys )
.
,
,
IOCX , -1421=19×3+431
Contraejemplo
basta tomar
en
efecto
a
-
-
7
,
el 1,3
-
,
4)
v
=L
-
I
,
-4 ,
7)
17 t.lt/2I -4171-28-171
:
-
1611-117171-211
=3
entonces :
W
no
es
2372L
subespacio vectorial de
21×1
,
t
,
)
; M
II
3.
¿ Es
W
IIRIIXI
subespacio vectorial del espacio vectorial
W
=
lplxl EIRIIXI
:
pts1
-
2pts)
-
-
OI
t
,
,
;D) ?
Siendo
:
,
tiene
Se
pts1
y
W
il
-
2pts)
-
-
atsb
=
-2pts )
y
atsb -29-26=0--3
O
=
-
Hat b)
=
-
sa
-
sb
a :O
-0=0
/ a-ibxeR.in/a--Ot--lbxeRaixs/belR }
-
-
tiene
se
pts1
que
tanto
OIRIIXI =L
que
OTOX
)
,
demás
se
cumple
a :O
que
OEIR
y
,
por
lo
WFO
II) Para todo
EM y
Suponemos
PD :
que
para
todo pcxs
atbx
PCX )
y
,
qcxlew
debe
se
,
cumplir
Opcxltq CXIEW
que
QIXI Ctdx
apl XI -19 IXIEW
plxltqcxl
=
=
alatbxltlctdx )
laatfcttloebxtdxl
hipótesis
por
a
-
-
Oreo
labtdlx
=
entonces labtdlxew
por
tanto
lo
4. É Es W
W
IIRICX?
subespacio vectorial de
Si tomamos
OIRSNIXIEIW
,
-
,
;D )
-1
,
,
;D)?
Siendo :
lpcxleltlslx :( PUNTO }
0ns lxs
=
teorema
el
por
-
t
( Dalt )
subespacio vectorial del espacio vectorial
W
pero
un
es
entonces
,
IOTOXTOX ' )
de
W
tricotomía
es
no
lplol )
entonces
no
se
10-10.0+042--1012=0
'
=
puede cumplir
que 0>0 ,
subespacio vectorial de
un
lo
por
21×1
,
t
,
tanto
)
; M
II
5.
¿ Es
W
subespacio vectorial del espacio vectorial HR
ufff f)
il
iil
Dado que
además
OIR ' "
para
,
=
( G G)
todo MEIR
Íntimos
,
ER
OEIR
y
todo
para
,
"
'"
:
a.
t
,
;D) ?
b. eeh
entonces
UNEW
?
Siendo :
}
WFOI
debe
se
cumplir
que
:
""
el }
que
'
.
4¥ :) -1%
Dado
entonces
=L :* :*.tl?i.iiil=laxi-xaxr*axrtYaaxstyz)
"'
y
tía }:)
v. VER
,
entonces
las entradas
de
:
OLXLTY
Por
creer
que
"
,
,
9×21-42,9×343 EIR
lo tanto
,
W
es
un
subespacio vectorial
de
IR
"
,
-1
-
,
,
autv
pertenecen
a
IR
6.
IR
?
t
.
,
.IR )
,
V
sean
:( ¡ Oz )
ftp.vz-f.io/.vs--fII/i4--fj' f)
"
Determine
Vi
"
vectorial
En el espacio
,
escolares
los
V2 , V 3 , V 4
y
Sean
a.
V
a.
b.
dije
c,
que
v
:( II )
sus
es
los
combinación
vectores
.
lineal de los vectores
5
b
d
c.
,
tales que
ER
c
y
avitbvztcvztdvytc Vs
=
V
alioitibtilttiilttiiittiifto :/
⇐
⇐
tales
sean
y
KHANNA .HN/i:Hi:I
fajo atctdf.fi :)
Cte
equivalente
fa :L
:
|
la matriz ampliada asociada al sistema
÷
te
=
%::::
2
Eiil
-
(¡
F
O
¡
C
-
(S
=
-
C.
C =3
( 5- ( luto
-
I
-
at
=
-
c =3
d
e)
t
T
I
sistema tiene infintas
el
3
-
que
rang intransitables
soluciones
a
+
-120=-1
c
dado
BEIÍIÍ
tasas
b
1
-2
b- d =L
2ft
{ la
O
%!!!
"
§)
¡ ¡ ¡ ¡
O
a
"
=
.
Ltd
no
20
-120
=
(
Hd
stzttt
:
O
te
-
I
L
-
sd
d
ztsd )
T
I
sería
7. En
IR
el espacio
Calcular el
bl
¿
se
t
-
,
,
,
R)
al
considere
conjunto
T
dado por
:
tliitliil .li :L .li :D
"
al
'"
subespacio vectorial
EU ?
fj f)
tiene que
U
generado
por
T
senkksrant-ffqbfIliittaialtriiltiirtli
.MY/ab)=alI ltPf!Y)+r/j t4I ):B/--H:H"
e-
El :D
"
Kitten
"
-
ta
:÷k
saatp
-128
)}
matriz ampliada al sistema
la
equivalente
a.ir
-1pts
a
sería
:B i:L ! ! ! :&:L
ii. ÷:/ ! ! ! ! !!:) "" l ! ! ! ! !! :o)
1
1
0
-
: : :
F) + Fz
→
Fz
.
"
si
gentil
b)
=
-
a-
Él ! b)
en
0
=
{ ( q f)
spanltl
Se
btd
debe
efecto
,
EU
,
EIR
entonces el sistema
"
Y
-
a
-
btd
tiene
infinitas soluciones
:O)
?
cumplir que
-
a
-
-1-1+2=-2+2--0
btd
,
entonces la matriz
( ¿ f) EU
•
•
eo
00
L
.
size
Determine
siguientes funciones
las
si
d)
'
:D
l ;D
→
IX. y )
II Sea XEIR
X2 )
.
1)
y
'
=
'→
X
x
,
)
1. X2 )
=
XEIR
sea
*
se
lx
.
,
xa )
?
( XL
,
Xs ) )
,
=
EX , XS
.
1. X2 )
entonces
X
sean
×
Xty
=
5%2+2×120
X
-
-
Ori
-10,01
O
( XI
,
< × Xb
,
que
de
SXIXI -12×2×2
que
=
Dado
<
IR
PD :
tal que
n
tiene
< X. xD
III
interno :
ix. xszo
=
)
-
O
Xs ) )
,
se
,
-10,01
,
y ZEIR
SXIXI
-12×2×2=0
por hipótesis
=
cumple que
?
,
XL -0
y
PD :
sxty 23=4×123+4 y zs
-
Xz
,
,
donde :
,
2)
=
LIXLTYI
,
X2 -1421
IXLTYIIZI
5-
t
,
( 21,221 )
21×2+42) Zz
ÍSIXLZSTISZII -121×272+12721
=
=
SXLZ ,
SYLZI -12×2721-24272
+
SXIZI -12×272-1 SYIZI -124272
LX.zstly.HN/seaaeRyx,yeM
prop
distributiva
Prop
conmutativa
↳
de la
=
?
de donde
{
⑧
tanto
Por
I
producto
•
SXLY , -12×242
141,421
PD :
un
no
(VI. X2)
X
<
( Xi
X
con
son
Br
ax.gl
Éllaxs
=
[
,
axzl Hi
,
,
Ya) )
OLSXSYITOLX 242
Al 54411-2×2421
Al
×
,
Y
)
PD : lax.yt-acx.gs
suma
VI
Sean
x.
X,
y)
SXLYL
=
SYIXLT 242×2
ly
,
b)
si -7
que
es
,
;D :B
C
propiedad
"
n
X
_
(
XL
,
XEIR
sea
tal
que
.
.
.
del
producto
Xn )
de
IR
?
IJ
IR
→
mi
Y =L YI
y
producto interno
un
ÉXIEYI
ix. yl
con
conmutativa
)
x
concluir
puede
-124242
=
=
Se
PD : sx.ys-ty.is
tiene que
se
{
?
YEIR
,
.
.
¡ =L
Yn )
,
.
"
PD :
×
Orr
:
.vn/y4X,xs=0lx.xs--iIxiIxi=.!xil
*
lxs
,
.
.
'
O
=
Se
tiene que
Basta
<
un
ix. xd
-
pero
,
El -1,2
,
tomar
-
=D
hipótesis
por
Éixifxi -1
no
puede
se
-2,11 EIR
xil
"
garantizar
que
X
OIR "
tal que
'
2+1/2=101
=/
-
L -12
-
'
=D
Se
tiene
entonces
que
C ;-)
iv. VEO
no
es
un
pero
U
"
# OIR
"
producto interno de R
El
c)
t.si/:M2lt7xRzltz-sRlp.qli-sfo'plt lqt tldtSeanpHIeRslt7
y
Se
<
tiene
QHIEIRSITI
que
qq.SI/o'plHlqHIttldt
PD :
sp.qs-dq.pl
[ lqlttpttttplttldt =L qlttplttdttfíplttdt
'
=
=/
< 9.pl
Para
L
qlttlplttttldt
O
[ pltlqltltqtttdt
=
que 111 y 121
cual
siempre
no
¿ pltlqltldtfoqlttdt
=
iguales
sean
debe cumplir
se
,
cumple , entonces
se
RICH
de
41
L ;D
que
es
no
(2)
un
pltl qltl
=
producto
,
lo
interno
II
dl Dado
"
ER
,
:( URIRIXCURPN
( t.gl '
tlxol
el espacio de funciones continuas
c.
¡y
→
donde CUR
es
,
te CMM )
Sea
f-
PD]
XOEIR
=
glxol
,
de IR
en
IR
0£
que Lf f) =D
tal
{
sea
y
-
,
f f)
flxol f- LXOKO
=
,
-
Basta tomar
tlxl
=
xtt
f , f) = f- 151
<
lsttl
=
en
todo IR
f- 151
-
y
x = 10
,
tal
que :
lstt)
6-6
=
=
-
continua
es
que
,
0
entonces ,
4,750
f-
pero
CURIRI
=
OE
l
por lo que
;
;-)
no
es
un
producto interno
de
A
2
.
determine
a. ben ,
Sean
definida
producto
un
tal
X
y
,
interno
X. YETI
Sean
)
XLY ,
=
Xzyz
+
R2 donde
en
×=
,
-
( Xi ,
axsyz
b
Xz
) ER
?
:
que
tiene
que
{ X. 4)
llxi , Xal ( Yi Ya ) )
=
,
para que
además
,
,
XLYL -1×242
=
=
XIY ,
+
X2 Yz
=
YLXI
1-
YZX
LX
,
4) = ty
,
XS
,
AXLYZ
-
BXZYL
-
2-
b Y,
se
X2
debe
-
b X2') ,
-
-
91142
GYZXI
cumplir
que
-
para
BXZY
'
X-txyxzlyy-lyi.bz)
se
y
a
que
por
{
sea
sobre
las condiciones
a
b
y y
,
-141,421 EIR
?
la función
VER
Sea
Mi
X
'
tal que
X2)
,
tiene que :
( ( XI 421 ( Xi
{ X X)
se
=
,
,
,
.
X2 ) )
XLXI -142112-9×1×2
=
=
=
=
CX XSZO
,
que
para
-
debe
se
,
q
a
3.
:b
y
×,
+
Xs
b XIXZ
-
2a XIX
-
=
Xí
=
Hitomi
=
lxitaxs)
-
?
-
'
'
-10121
a. xitx ?
2a x. Xatlaxa)
cumplir
Xa XI
Xsxzlatb )
-
'
Xa
a XIX,
-
'
b
'
X
t
'
Xsítátl )
t
que
2cL
-
Icacl
as
v
-
I
C
que
para
;D
producto interno
sea
de R2
D
espacio vectorial real con producto interno 4 ; S Sean a. PER
U , v. WEV
Aplicando las propiedades de la definición desarrolle :
Sea V
sean
.
autpv
I)
)
,
)
sautpv oeutpv
y
,
tw , autpvl
lautpv w )
Lau wltlpv
=
,
=
,
al v. wlt
=
lautpv
ocutpv ) = (
,
Vi , Va
.
.
.
.
.vn ,
Sea
✓=
gen
({
tlvstlzvst
se
tiene
.
u
vi. Va
.
.
.
.
.
=
=
.vn } )
sean
y
ldsvitlzvzt
.
.
.
ortogonal
,
U
,
.
.
.
pertenece
.tn EM
ortogonal
a
gen
tales que :
,
es
t
a
.
.
.
.
.
.
tlntv .vn )
todo vi.
ttnlU.vn)
ortogonal
a
V
,
con
con
=
i
C-
{ 1. 2,3
,
.
.
.
.nl
O
VE
genl {VI.Va
,
.
.
.
a
( { vi. Va
LU , linvn)
.
11 LU , VL ) -17240 , Vzbt
que
diez
que
ves
tlnvn) )
-
es
vector
que si
tlnvn ;
DIEU , Vsbtlzlv V2 )
lo
todo
a
LU , 7N , .tt LU , tsvzlt
hipótes U
entonces ,
por
.
-1134kV )
IR? Demuestre
ortogonal
es
2apcu.rs
,
,
,
1-
en
que
< U , V ) =L U
,
por
,
a CU , Ud
,
entonces
VE
,
vectores
Vn
.
autpvltlpv autpvl
,
'
=
.
au
aóclv
=
.
,
lau.aui-tpv.aul-saqpvs-lpv.ph
Ultpñtv Ustccp tu vstpptv vs
=
0 , Va Va .
,
W)
la Utpyaultlautpv, pvs
=
Sean
,
ptv wl
alw.ustplw.rs
=
II
y
-
un
.
< w
,
4.
Xít
'
Xa
+
-
?
941
,
'
1- 9220
a2 -1170
=) Lsq
entonces
×,
'
.vn) )
D
,
.
.
.
,
Un
})
S
.
vectorial
En el espacio
M
{ A- laijl EH? "
el espacio vectorial de las matrices
A :(
aijl B- lbijl EM se define
asi =D
;
=
=
triangulares
}
,
de orden
superiores
2×2
,
para
-
,
( A.B)
anbntaizbizt 922522
=
a) Sea AEM Demuestre que CA Al
,
.
PD
AEM
sea
tal que
4A , AKO
{ A A) =
011911
,
Al 2912
t
que
entonces
911=0
debe
se
912=0
,
cumplir
922=0
,
A
:
Ori"
hipótesis
por
LA A) =D
,
,
17=0
si
922922
t
O
=
Para
y solo
si
O
además
,
ALIAII
que
se
0
,
912912=0
921=0
que
conoce
,
.
92222=0
por
lo
que
A- = OIRZXZ
⇐
tal
se
{
PD 1A Al :O
AEM
sea
que A
,
" 2
=
tiene
17,173--911911-191292+022922
=
=
0-10-10
O
hipótesis
por
q.q.cl
1.
•
b) Asumiendo
define
C ;-)
que
producto
un
lo :L
ortogonales
son
tales que
l A. B)
,
determine
si
las
Iii )
"
si
lj ;)
a-
sean
entre
M
interno sobre
"
y
III )
QLLBII -191242 -1922bar
=
11211-1-11121-12101
=
2-2-10--0
=
Dado que
6. Sea V
<
A.B)
un
=D
IIXH
producto interno
los
siguientes
uno
si
Suponemos
11×11=11411
de
y solo
si
lxty
,
X
11×11=11411
-
yb
-
-
?
lx.xt-ty.tl
cx
,
Sean
x. y EV
O
PD :
11×112=11411
.
enunciados
que
donde
D
entre sí
ortogonales
real con
-11yd
de
son
espacio vectorial
Demuestre cada
al
Ay B
.
-44,41=0
{
Xty
X
,
-
g) =D
.
matrices
además :
<
Xty
X-yt-SX.X-yt-ly.nl
,
( X. xd
=
LX
x)
-
y)
CX , yltly
-
)
x
,
44,47=0
=
⇐
suponemos
<
XTY
,
-
4. YS
-
hipótesis
por
PD
que
X
;
-
y
xiy
x
,
-
HXHIIIYH
=D
)
tal que
<
:
IX. x )
y
<
x. XD
sx
-
<
-
ylt 4. xD
,
y , ys
LY y )
-
,
=D
cx.xt-cy.gs
di =k
entonces
11×11=11411
b) Hxtyll
'
D
-111×-4112=211×11-12114112
llxtylítllx
-
yll
'
lxty.xtys-lx-y.x.gl
=
t.ly/xstly.yI-lX,x3-lX/ys-cy./xstly,yl--lX,xltlx,xdtly,yltly,ys--2CX,Xlt2ly,Y
CX
=
te
,
)
211×112+2114112
=
1.
qq.cl
y
7)
"
Se define la distancia entre dos vectores deI
"
d:
xd"
( x. g)
Dados
al
x.
"
EIR
2
y,
demuestre
,
que
→
→
por
medio de la
IR
HX
-
yll
:
dlx.gl?0SeanX=lXi,Xz.. ,XnlEIRnyy--lyyYa,. .,YnlER
"
tales
función :
PD :
DCXYIZO
que
dlx.yt-IIX-ylkdlxi-Yils-lxz-Ysllt.a.la/Xn-Y
LXL -4,14112 -42Mt
cumple
se
lo
por
b) d IX. y )
sean
tales
-
-
tanto
dlx.gl?0
O
y solo
si
11=1×44
que
de donde
dlx.gl
.
.
.tk/n-Ynl2?O
si x
XNIEIR
,
.
D
"
.
.
y
:O
4=14442
"
,
.
.
.
,
YNIEIR
dtx.yl-IIX-YH-dlxi-Yilstlxz-Ysllt.a.la/Xn-Yn/2--0
hipótesis
;
Para
que
por
dcx.ly/--0
( X , -4,12+1×2
-
Ya)
,
'
debe
se
-1
cumplir
que :
tlnn Ynl 2=0 es decir
-
.
.
.
,
IXL -4,12=0 rlxz -4212=0 RIXN Yn 12=0
-
,
PD :
#
y
XL 41=0
XL = YL
X2
n
-
X
1
42=0
-
2=42
equivalentemente
⇐
sean
x.
de donde
IXL
tal
,
Xr ,
=
=3
O
.
.
.
*
que
Yn
-
Xn Yn
a
a
YETM
Xn
r
.tn/=lY4Ys,...,Yn/=sX--Y.l.q.q.d
PD :
y
dlxiyl
11×-411
dlkyt-dgkw-yjw-xyr.li/z-xd'-...tHn-Xr
hipótesis
=
por
=D 02-10
IÑ
_
'
t
O
-1
.
.
.
'
=
0
=
dlx y 1=0
entonces
dcx.gl
el
"
D
,
dly
=
""
,
"" "
x
)
÷¥i¥
Yi
-
Ya
XI
=
II y
=
dly.xll.q.q.cl
-
'
-
.tl Yn Xnl
?
-
.
.
XII
D
dlx.yltdcx.21-dl2.gl
dl
d.
IX. y 1=11×-411
desigualdad triangular
EHX -2111-14-211
E-
11×-2111-112-411
dlx.2ltdk.yll.q.q.cl
E-
8.
Xi ) -1
Dado
la
EM Sea IV. t
a
.
NI
,
D
espacio vectorial
un
con
función
< ;
.la Vxv
:
→
.
Si
a
a=
-
l
,
demuestre que 440A
este resultado
Sea
{ U , Uta
=
-
l
IU ; OUIA
-
OCU, Ula
=
no
,
=
=
-
si
a- O
;
1-1 titula
t.IO/l4Ula
tiene
se
=
011110 , Uta
=
OCU , Usa
O
CU , Ula
LU
O
< U , Ula = Lau la -111ha
,
=
-
O
=
LOU Lula
,
l ;-)
.
Se
define
UEV
.
.
¿ Qué
PD
la titula =/
KU
,
para todo
L
(
=
=
si
a
y
de donde
,
a :O ?
si
UEV
O
interno
A
Iu, vlrslau latttv )
a)
producto
se
:
puede decir respecto
44ha =D
b) Determine
todos los valores
Para que
< u
,
l ; ta
usa EO
de donde
oelatlllu , UH
O
44070
que
conoce
DIO
tales que
,
por
se
si
,
Ya
sea
un
producto interno
debe cumplir
lo tanto
ME -1
V
ER
Q
VER
Considerando
a
ZO
se
a
producto interno
un
la U , la titula
la -11120
a
c)
sea
-
de
obtenidos
asociados
el
en
l
a
'
producto
el
con
literal anterior
interno
con
la
usual
II. lla
norma
ida calcule Hulla y da IUNI
,
,
ti
donde
.
.
)
y
,
la
distancia dal ;
0=11,401 y FLO 1,11
dio
Hulla
< 14h01 141,0ha
'
=
,
t.at
=
=D
=
la -11111440,1440"
a
trato
dalhvt-HU-vlla-kalu-vl.la/lu-Vlb
=
Hala -1111
U V, U
-
-
VI
=DalatdllhQ-t),ll,
-
=D sala -111
9.
Demuestre
Sean
se
U
,
desigualdad triangular
la
VEV
,
donde V
un
es
subespacio
en un
espacio vectorial real
vectorial real
tiene
que
'
CUTV UTVY
HUTVII
=
,
LU Ud
=
,
tlu.vltlv.US tlv V )
HUIÍT
=
,
24 , vlt HVII
'
EHUYI -12kV VHTHVII
Por
'
,
desigualdad
la
de
KU , VHEIIUHINH
Cauchy
-
Schwartz
de donde
110112-12110 VIHIIVII ? 110114211 UHINHHIVH
HUH -12kV.rs/tHVII'EllIUIItlNlD2
'
,
?
Por transitividad
IIUTVIIÍIIIUIIHIVIII
dado
se
que
tiene
IIVTVIÍZO
que
HUTVIIEHUIHIIVH
'
y
IIIUIIHNIII
'
?
O
l.q.q.cl
o
de
para los valores
,
.
)
10
.
vectorial 1PM
En el espacio
cuál de los
t.s.IR)
,
siguientes conjuntos
{ ll
al
<
2
,
( L,
2
11,2
<
<
(O
-
,
t.tl
-
,
-
,
L
,
l
-
.
,
L,
{ 11,0
,
11,0
,
al
a. b
sean
<
,
A
es
,
l
l l
1)
l,
-
el
L L
,
,
10,1
,
,
:( ¥
conjunto
<
w
,
U
0,
,
_
xs
conjunto ortogonal
"
2-
=
2-
=
Para que
"'
=
a
=
q
x
y
,
0
,
-121
"'
'
=
,
x
2-
=
1/2
=
L
IT
=
X
}
,
_
Mara qué valores
.
-
,
b)
b
0
,
,
atb
-121
-
"
a
"
4,112T
,
=
0
,
-
b
-121
-
"
Y
'
42
t
=L
"'
q
+
2-
42
-
bl la Isi" b) l
-
,
,
'
t
,
b
tq
,
'
'
2921-42
un
'
=
±
44
42
conjunto
ortogonales
u
9=5
2012=1/2
=L
sea
a -5=0
;
4 , la lzi" '
t 2-
'
a
,
"
son
.
S
,
q 2-1
a
{W
a
interno usual
1-4
a.
la Isi
) =L
=
que
'
=
=
Para
-
1112T
=
202+42
producto
qué valores de
( ¥ b)
=
"
=
11Wh
CX
-
ortogonales
sean
HWIIICW .ws
HXII
-
el
la + b)
además
entonces
¿ Para
.
ortogonales
a + O + 2-
"a
LW , xd
2)
,
con
ortonormal ?
1112T
=
vectorial 1M? t.i.IR )
L
-
É)
es
,
-10-1+2=-21-2--0
l
-
0+0-10-1=-1
=
sean
v
{ W XI
=
la ,
=
=D
-
,
la, -1,21 )
,
y
-
0+0+01-0=0
10,40 ll )
,
un
V
y
L, -21
determine
1-10-10 -1=0
el espacio
,
,
t.lt
-
ER considere
,
w
0,
es
0=11,1 -21
,
A
=
-
=
-1,2 ) )
,
no
)
usual
conjunto ortogonal
un
-
,
interno
01-21-11+1 Ill 21+0=-2+2--0
=
1) =
I
-
,
I. II. l 1,1 -1,21
UNKCIL
Sean
0
,
))
I
-
,
L)
-
.
,
11 0,0 ,
,
es
11,0 O ,
,
-
para que
b)
2,01
-
.
10 , L -2,0 ) )
,
entonces B
Lll Dados
-1
-2,01 11,0
{ ( 1,0 , L
<
1
}
entonces
b)
10 ,
.
producto
ortogonal
el
con
ortonormal
a
-
b
y
a-
42
va -42
de
a
yb
y
v
?
Llegare
t
al
.
semana II
"
t.i.IR )
En el espacio vectorial
1M
siguientes conjuntos
ortogonal
{ 142
-
,
t.lt
Vs = ll , 2
,
10 -1
,
,
-1,11
cardl A) =3
#
-2,01 140,0 -11 }
,
.
C}
/
ll 0,0 -1 )
,
Vs =
,
A
,
(g) =3
=
0+0+0-10=0
=
ortogonal
A es
abto
2. Sean a. BEIR tales
que
vectorial
W
,
=
{
IX. y , 2. WIEIRY :
{
=
=L
lx y
,
,
-
,
Xll 0,0
,
span
=
-
,
-
a)
-
,
tylo
a)
10,1
,
,
,
10,40
,
11,0, 1,11 1-1
-11,
,
t)
-
,
( U2
,
Uz )
:B
no
=
-
,
y
,
02--11,0 1,11
({
=3
,
ax
:
-
1,0 b) -1210,0
,
0,
,
,
b) 10,0
,
,
determine
"
;
,
B
7472,73 EIR
-
,
a) t 7210,1
1,2 )
0,0 , ahi)
17L Ja 73
,
,
PD :
,
0
,
b)
+7310,4421
-110,740 bla) -110,0
,
,
-
,
atitbtz -1273)
=
t.az#rtIs
AL
42
=
=
, =
by -22 euro }
l
,
,
2) /
x.
y
,
ZEIR }
))
a =p
10,0
=
,
=
8=8--0
0,0 )
tz 2731=10,0 , 0,01
,
10,0 0,01
,
72=73--0
O
O
*
03=1-1,1
ortonormal
equivalentemente
↳
=D
,
-1,2 )
,
base
una
1. i
es
,
-1,21 )
R ) dado el subespacio
10,011,2 ) }
10 , 1,0 , b) ,
,
ortogonal
es
ER}
2
L
L -10-1-12=0
"
vectorial (R ,
usual
wl EIR "
×
,
÷:
,
-
cuál de los
=/ ? )
carol B) =3
interno
2
,
determine
,
axtbytzz }
,
-
,
,
usual
span W
7,140,0
Mi
w=
lx y
{ 140,0 a)
=
Verificamos que
Sean
{
axtby -12211
( { 140,0
Tomando B
W
2
=
bl { 10,40
UL =
En el espacio
.
producto
utilizando el
W
W
=
÷
{ V2 V 3)
,
-
-2,01
L,
combinaciones
%:
"
-
,
producto interno
el
con
.
,
,
VELO
,
es
,
-
Iii III. % Yanina
,
,
Us
U2
UL
""
,
siendo
Usando
Vs
Vs
=
=
el
Us
de Gran
teorema
( 0,0
=
_
U2
=
dQhQbtlQQl
-
< VI. VL )
10,40 bl
=
,
10,0 245
-
,
U VL
-
Use
favs
en
un
conjunto ortogonal
10,40 b)
,
=
-
,
,
451=10,1
Uz
=
_
,
sbls
b) 5)
,
¥-10,0
-945mV
-
1h40
_
,
-110,0
al
2215,42/54/0
,
,
( Valla >
5
=
1,2 )
a
(140,9-410,011,2)-4
-
,
,
sqfzjjqbbjs.iq? )
=p :* .is#.akITl
"
.
B*
Siendo
una
Vs
( Va Val
,
jabbzva
-
"
,
tus Vz
_
< VI. Vs )
=
B
40,0 1,21 10,0 1,2lb
,
✓ 3=03
transformará
se
:
1,2 )
,
U VI
Va
Schmidt
-
base
=
{ Vi
Vas }
ve
,
ortogonal
,
{ 140,421,10
=
'
,
¥0 ¥ )
,
,
,
/ ¥ ¥ %¥) }
'
,
,
.
.
de W
HVSH
f9ajjb.iis.%a2-iaabtb4-iwb-itst-fflo.at
HVIIKII
11h11
;
"
es
3.
KEIR
Sea
En el
.
,
W
de
espacio
vectorial IR
( ; .la
:
Obtenga
interno
I)
en
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se
que
tiene que
{ X. Xb
=
se
define
M
→
Xa ) IY , , Ya ) )
mo
a
,
valores de
tales
a
función
la
XIY ,
l ; ta
-
que
-
sea
?
LXI X2 )
X
,
CIXI Xzl LXI , Xrl )
,
XLXL
=
,
X,
=
=
=
=
a.
XL
-
?
-
?
-
Xz XL
-
XLX 2
+ X2
X2
Xsxatxá
2×1×2+422
× , Xz
1×1-1×212
( X , -14212
11-
-
'
AXL
XL
'
(
_
×,
a
-
2
1)
IO
de
se
donde
sabe
Xa ) ,
R2
XEIR
sea
los
todos
,
'
'
MIR
( ( XI
a)
=
infesta " ibli .ua?bEToar..aii#oisl'II-rIEIIll
ortonormal
base
una
=/
( Xstlsl
que
'
Xíso
to
n
Xs
'
entonces
la LIIO
-
a -120
,
de
donde
-
un
Xiyzt
Xz Ya
producto
II
XEIR
Sea
tal
PD
CIXI Xzl LXI , Xrl )
=
X,
=
de donde
x
,
'
-1×212=0
-
XLX 2+42×2
-
Xsxatxá
2×1×2+422
× , Xz
1-
( X , -14212
-
?
OCXL
Xs
-
'
(
-11=0
1-
Xica -11=0
es
decir
,
y ZEIR
-
?
r
0
X2
XI
Xa XL
-
?
1×1-1×212
=
entonces ( XI
XL
a
=
Sean
OR
=
XLXL
=
,
,
=
TI
×
44×3=0
que
{ X. Xb
?
Xviii
;
Xd
y
'
a
OCZL
'
PD :
,
lxty.23-lx.zi-ty.ES
tales que
{ Xty 2dg
MIX , -14112 ,
,
( CLXLZI
per
px
,
XZZI
-
-
-
LXSZZTY , -21+(4272+4272)
Xizztlzzzltloeyíla
YRZ
-
,
1-
Xzzz -14272
-4172+8272 )
lx.zsatCY.z.ba
=
<
( XL -141122-1 ( Xz -142/22
-4221-4122-4,22
9×121+94,21-11221
=
sea
-
OCLXLZL -14121) -1×2211-42211
=
El
(X2 -142121
-
y
x. y
sean
'
.CM
PD :
tpx
,
y-tplx.gl
ysa-tlpxs.ph/zl,lYi.Ya)a
POCXLYI
=
PX 241
-
-
PXIYZTPX242
XLYzt-XzYrl-plx.tk
=p ( QXLY , Xzyi
-
V)
( × 4)
XIY ,
=
,
YIXI
=
Xzll ,
-
-
4241
-
-
-
XIYZTX 242
YIXZ
Ya Xz
+
LY Xd
=
,
entonces
si
Utilizando
b)
,
da
por
,
10,1lb
lo
interno
producto
el
=
0
=
O
tanto
Obtenga
una
titila
-
O
B
base
-
-
si
con
13={1411,10/11}
al HIOI
=
interno
producto
un
es
Demuestre que
< 11,11
C)
-
es
a ? I
los valores
base
una
de
oe
obtenidos :
ortogonal
.
1101-111111-11111
t.tl
es
una
ortogonal
base
ortonormal
partir
a
la base
de
B
.
2
HVIH
lllil 11,111
.
AHI
?
-
(1) ( I ) -111111
'
+
L
a -1
=
y
-
11411=1 a- I
siendo
B*
=
/
HVIH
40,410,111
,
10,1 )
)
base
L
=
11h11
11,11
02-1101-101111-112
=
.
-
-
1/1
ortonormal
obtenida
a
partir
de B
4. En el espacio
"
vectorial IR
{
considere
.
.
.
:B " xD "
)
( XL Xs Xz Xa)
X=
y
y
,
,
,
W
{
W=
(
{
=
Xi
X2
,
XIIL
spanllll
0,
,
de donde
XI
,
0
,
sean
( Xi ,
-1112,4411
Xi
,
"
EIR
Xs , Xs Xa )
,
:
X
base
una
, +
Va
=
43
ortogonal del
}
EIR }
Xa Xy
,
,
i. 01,10 , 1. 1,01
{ 11,0
D=
a,
{
=
encuentre
,
1,0 ) -111210,1 1,0/+44/0 , 0,0 .tl/X4Xr.X4EIR }
,
B
que
para
l y , ya , Ys , Yul ;
=
subespacio vectorial
XD , -1242421-311343+4×444
I
,
donde
M
→
( × y)
interno :
producto
el
p, r
0,111 )
,
1,01 10,1 1,01 10,0 0,11 }
,
,
,
base
sea
10,0
,
W
de
,
,
debe
B
,
EIR
,
l i
ser
PD :
-
a
=p
-
-
✓
al 1,0 1,01-1 PIO 1,401+810,0 0,11=10,0 , 0,01
la 0,4011-10 p 13,01+10,0, 0,81=10,0 0,01
,
,
,
,
,
,
,
la p atp 81=10,0 0,01
,
,
,
equivalentemente
{
{
a
=
o
=
O
=
o
p
atp
1-
,
VL
✓
2
a
tiene
se
a
que
=p 8=0
entonces B
base
es
de W
8=0
Usando
U
,
el
=
de
proceso
( 0,0 , 0,1 )
=
U2
Gram
l
=
L
-
Schmidt
-
0,01
L,
,
03=11,0
,
UL
=
U2
( U2 V ' ) VI
,
-
U2
-
§
-
-
.
,
1,0 )
O
< vi. vil
✓ 2=02
✓ 3=03
=
( -1,1 0,01
,
tus V
_
,
U Va
_
( Vr Vas
< Vi , Vs )
=
03
Vs l
la Base
5-
En el
en
-1
-
42,42
ortogonal
espacio
simétricas
°
,
,
¡
W
vectorial
(R
se
-
L
L
,
,
0,0 )
(L
=
,
0
,
1,0 )
+
/ -0,5 0,5
,
,
0,0 )
1,01
de
donde
l
BEE 10,0 0,111-440,0111/2,42 1,0 ) }
es
'"
define
{ ;-)
-1
a
:
.
.
,
,
,
la
.IR )
sea
Saxz
,
función
52×2×52×2
117,131
-
→
IR
TRIAB )
el
subespacio vectorial
de
matrices
Demostrar
al
I
AEIR
sea
CAA '
'
producto
un
interno
'"
TRIAH
=
((
Tr
I)
define
; )
PD
Saxe
en
CA , ASZO
:
tiene
Se
=
L
que
asi
'
así
+
anaatairarr
91192 , + arrolle
sea AEIR
( ( % 1) ( %! %:))
TRIAIKTR
=
'"
tal
94
?
-19222
))
;
dado
aiitaiitaritaaa?
=
"
10
PD :
que
D= "
que
A
Opí
-
.
"
< A ASEO
,
tiene
se
{
A A)
,
que
TRIAAI
=
=
'
TRIA )
9112+9122+92,2+92 ,
=
0
=
LA , AKO
que
entonces : A = OIRZ"
Dado
ITI
A. B CEIR
Sean
de
sea
AEM
de
donde :
=
.
tiene
entonces
dar
-
O
,
CB
+
Tr la AB )
"
a
=
'
PD : la A. B)
TRLAB)
?"
=
=
al A.B)
ACA B)
,
PD : LA .BE CB A)
,
que
=
TRIAB )
=
TRIBAL
=
LB, A)
se
puede
concluir
C ;D
que
U2
define
un
producto
interno
Szxz
en
D
Uss
flight : :/ .li :D
a-
'
determinar
si
ortogonal
B
T
es
a
ortogonal
partir
< vi. Urttrluiual
< vi. v.
,
ABEIR
sean
U,
base
A
-0
PD : LA -113,0=117 c) tlB.cl
CA , c)
ABEIR
< A. B)
sea
Ari
A
TRACTTRBC
y
( att B)
↳
O
TRIACTBC )
=
se
Air
Trll ATBICI
=
=
sean
'"
n
donde :
=
VI
911=0
que
,
CATB , C)
IV )
cumple
se
,
"
de B
_
usando
,
tal
Trffj
el
que
producto interno
genlb)
gentil
anterior
.
Si
no
lo
=
f) t.GG/f-Tr/oojf--
t.Trlui.us/--Trjfjg).f-j0//-.Tr/-j f)
L
°
-2
=
es
,
construir
una
B
el
Usando
✓L
↳
ortogonal
es
no
-
Smidt
UL
=
v'
"
=
Gram
de
proceso
✓ 3=03
tv3)
-
<
VI
_
Va
=
U Va
↳
=
V1
2
+
D- Va
-
( Va , Vs )
vi. Vs )
U 3-2 VL
=
( Va Vr )
,
.ir/iil--li4
=L :o)
L
L
llloihl : :L .li :B
"
de
Vi
=
-
genltl
donde
6. Sea V
espacio vectorial
un
a) Demuestre
IICUII
PD
-
dccu.cn
=
def
-
=
d
'
c
,
¡
de
:
HCUH
# ¡§
UEV
=
CEIK
cualquier
y
ICIIIUII
norma
Propiedad del
LUNS
.
cualquier
para
UEV
sea
y
interno
producto
con
IICUII = lcl.HU/l
que
CEIK
Sea
gen IB )
=
producto
interno
lcl.HU/ll.q.q.d
O
b)
{
Sea
44W }
HUTVTWIIÍ
lutvtw,
(
=
=
ortonormal
conjunto
un
Vtv ,
Utvtwltlw
Utvtw
,
,
TU , Utvltlv, WJTCV Utvdtlv
,
,
=L
=
U , UITLUNJTCU,
CU
,
.
llutvtwll
Calcule
'
)
( U , Utvtwttlv Utvtwbtlw Ud -14W
=
V
Utvtw )
,
=
de
w
,
Vtw
)
) -14W, Ud -14W Vltlw, WJ
,
wt-CV.US/-Cv,VI-tv,wltlw,Ul-tw.Vltlw,w )
USTLVN ) -11W
,
W
hipótes
por
conjunto
)
es
el
ortogonal
It It l
=3
7
En
cada
una
base
ai
espacio vectorial V utilice
ortogonal
otra
y
ortonormal
UI
"
"
el
proceso
del
de Gram Schmidt
subespacio
con
a-
11 ? j ;)
generado
=
" ""
=
Iii
A
Us
s
:p ; ;)
-
=
Vs
por
-
,
Va
encontrar
para
U2
.li?IItseann---Hj:lsB--li.o
;)
enen
-
_
tu
{ vi. Vil
V
,
( { {)
TRIAAT 1=10
%
' ""
1 ; ; :)
=L : : II.
-
=L
B1
'
°
O
-
t.it?;f%ff4s-
-
1
3
1141EUR
De
b)
V
En
=
¥ ¡¡ ) )
,
s
Hall
{¥ (
=
-45
-
{ µ ¡ Oz )
=
con
s
;
=
El
-
zt 3Mt ?
,
Vi
¥11
de
Vas
2
ztl
{ 13+41-4=2
+
donde
Ps
✓
-
l
=
t
U,
=
Va
=
-
=
_
2T
l
ttzt '
2-
B,
=
t
-
2-
test
zt
+
del
s.eu
generado
=
2
s
por
'
;
ortonormal del
base
s.eu
generado
}
'
combinación
lineal
de
Vi
y
Ur
3-141-23
,
-2T
tu
VI
=
Va
¥ ¿
+
El -2T
.
1-
+4T
_
7g
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'
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=
-
t
¿ ¿
+
Bs
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ortogonal
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por
s
2,1147/5
II
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Vi
'
HVIIF
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es
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"=
y
ortogonal
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¥7
'
,
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715
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-
18817
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%
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+
¿
1-
+
"
t
'
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ser
generado
por
s
por
s
FÉEE
L
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W
Sea
{
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a-
.
=
0
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W
W
W
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b. c) ER
a- btc -0
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,
{
la b. c) ER
{
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=
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'
'
b
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c
c
,
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-
a
atc :O
=
}
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Wt
Wt
2
EIRY
( x. y 2)
,
llx y 21
,
,
=/ lx.y.21.CN/
Sabemos
X
-
2=0
9"
g. ¡ y
,
11,0
-
,
Para
al
=
O
O
}
B. =/ 1,0
-
,
alt ,
0
' no
ll
PD :
,
a- o
-11=10,0 01
-
.
,
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donde
lo
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subespacio vectorial de ti
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sea
de
un
a- O
tanto B es base de
W
}
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producto interno
un
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}
a
-
,
Eike
a
en
p.gl
→
'→
M
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RNETJ
n°2
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W
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{ 1- 1)
subespacio Wt
el
c) Verificar que Malta
( i)
t
:
=
W ⑦ Wt calculando la
,
Rett)
slt )
→
suma
directa
IR
2
(
p.gl
'→
€
.
Sean
<
al
p,
W
W
W
W
b)
W
W
=
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+
art
,
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g) =p 1019101 tpl Yslqlttzltplllqlll
{ xeyttztsettislts
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{ xtyt IZHEIR zlt)
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{
qltkbotbittbat
'
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x
It + It EHHH :
'
+
fxtyttzt
'
c-
Raitt :
:
:
lxtyt.tt?ts-- O }
:
1×-14.0+2.01101 -11×+42-1%11421 -11×+4+21111=0}
¥ f- f+
+
+
Izxtqy f2
+
x
.
HYE
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0
-9%04-1
:{ -9%04-+4 t.im/y,reR }
)
-
_
O
}
.
Determinar
el
sranff q.t /,fj+tYf =spanll -stIst .l-s-I8t41lWt=latbt+ct2cReal
latbttct ?
latbttct
'
,
-
=
{
Wt
c)
-3+81-4=-39
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=
{
+
(
a
'
,
-3+81-4=0 }
+
by § )
1- 1)
+
+
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,
_
=
-
sa
-
a-
¥ ¡
-
esa
+
sbesc
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30-1
:
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'
#b-ifc-0.at ¡ bt ¥40
30-1
:
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/
¡{ ¡
wt
latbttct
;
stlztt.la/l-5l+¥b+¥C=0
fa+q+qfll +la-b+CllH=-5a+ai-7a+bz-i7b+q+7C--3a+
Wt
latbttct ? -5+121-1=0
:
CER
#b-ifc-0.at ¡ bt #
}
c- O
_
}
}
spanf fq-ft-it.pl/=spanl s-7t ot4ldilWtWt- spanl -5tI2t .l-3
-1874,13-71-+61-41 )
B- H 5+121-1,1-3 -1874,13-71-+61-41
-
-
a. p
sean
-
su -112
-
,
REM
PD:
a :p
8=0
at -3ps -18pts -138-781--1472=0,1241
59 -3ps
?
-138 -1112A -7Mt -118ps -1681T
Otottot
'
equivalentemente
¥? :*: att : :*
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Ii)
B.
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3=2-11
es
li
3.
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?"
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O
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ily
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"
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=
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con
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el
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interno
de
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las matrices
=
Tr
.
.
Encuentre
el
W
Sea
el
subespacio
de
las
matrices
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"=
1
diagonaes
de
R
'"
fallo
http:/ aber/sranl1li lili lH
"
Elliot :( II ) }
de donde
siendo B
W
base de
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cd
cd
cd
w://abteRYTrffaoff-a.ir/fooff--of
d
c
001
00
{ ( b) "Y a-o.to/--//qo//bieR }
w
en
a
cd
4
.
Sean
V
Demuestre
al
VI.
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un
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-
#2
,
,
Vtsu
además
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{
=
sea
ortogonal
,
de donde
OVEV ,
2=0
D.
Ov }
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×
Ov
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donde
lx ,
con
complemento
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de
subespacios
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y
que
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entonces
x
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cx ,
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O
g) =D ;
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XEW
Ov
X
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-
_
5
y
,
si suponemos
y
vectorial
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sea
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,
,
Sea
y
{0 }
{ X 2) =D
si
producto interno
con
que :
V subespacio
Sea
vectorial
( Or }
Ly
"
En R
,
sea
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Encuentre WEW tal
que la
norma
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-
,
II. 41,211 )
II. 2. 3,4111
sea
la
más pequeña posible
de
V
.
13=1/1,1
Sea
B genera
Sean
PD :
al 1,1, 0,01 tpll
,
,
,
p, 2ps )
a -1ps
A =p
1,21=10 0,0 01
l,
,
,
,
W
a
PETR
a.
la -1ps
0,01 11,442) }
,
10,0 0,0 )
=
.
equivalentemente
⇐÷: % ! !
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ranl A)
O
=D
rangltttb)
=
entonces B
Usando el
entonces
,
,
=
11,1
-
É11,1
-
ll
-
L
,
,
,
{ vi. Ur}
=
1,2lb
,
=
1,2 )
O
base
una
es
0,0)
,
1440,0 ) )
,
0,01=10,0
,
entonces BI
=
2)
L,
,
( ll 40,0 ) 10,0
,
Ui, Us ) =
V
tiene solución única
de Gram Schmidt
proceso
11,1 1,21
=
Us
si
el sistema
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ortogonal
11,2 3,4 )
,
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tus
=
silla
+
{ 1440,01
=
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,
( UL Us )
,
+
¥10,0
.pt/o.o.EEt-lIEiFiEtw-(
2¥
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,
es
,
,
el vector
el
con
cual HW VH
-
En el espacio vectorial V dado el subespacio W
,
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,
1,2)
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6)
a
V
a
W
VEITP ,
Sean
W
como
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'
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,
:
' :
,
,
,
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EW
-
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,
es
Uz
/
-
-
UL,
=
Span
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,
,
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,
B
es
a
sean
,
l i
-
-1
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base
W
a
de W
PD :
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,
es
B
BEIR
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,
B
,
;
,
=
140,0)
,
0)
a
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O
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,
=
la
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,
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Us =3 Uat Us } =/ IUI
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W
W
si
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".
li
es
( II. 40,01
(
% :* ¿ %:L
"
1440,01
UE
Va
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"
10,0 01
,
y
O}
norma
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Vrewt
y
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.
pequeña
posible
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,
.
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|
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¿
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O
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de
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li
es
de
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B de
es
W
Gram Schmidt
para
-
hacer
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_
41,0
( Ui Usd = 0
,
la
y
a =p :O
B
a
ortogonal
se
tiene:
( 1. 0,3)
Us =
Us
el
donde
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=
,
,
B. *
,
3)
=
f- yo
,
I
,
¥)
III. 0,31 l -3110 1,410) }
=
,
,
sobre W
cada VEV
para
follo
_
31,140,3 ) )
obtiene :
se
4,140,311-11,0 3) +441-710,441011-1-3110,1
,
,
410 )
ll-4011,4101 1-311011,410) )
< 140,3) II. 0,3 )
,
,
1. 0,31+104,1-3110,4410) ) t 3/10 , 1,410)
-
=
11
10
Para
obtener
F- ll , 1,1 )
V = VHVR
como
con
proywlll.l.lt/=l.03Dll.0,3l+Alll,I.ll
,
VIEW
y
Vsewt
1-3110,4410111-3110,4410)
A
¥140,31 -1¥ ¥ f-
fo.to/- tzost *E sl- lE - r.V- l ,hl V- proywlVlt
=
.
proywtlv)
vs
-
-
v
entonces
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-
vii.
INN
_
va
v.
-
-
-
lhhll
_
V
(¥ ¥
,
_
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,
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.
'
-
"
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" ""
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-
-
'
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'
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,
uff ; f)
"
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:
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:
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-
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HE :/ .li t.IM/Iiisgeneraaw
Mi
"
si B
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l i. B
.
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W
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|
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|
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de
proceso
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base
es
-
para
hacer
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ortogonal
B
III
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"
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es
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:
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B
u
=
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.
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"
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-
.
-
↳
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.
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41%11
""
Trlvuíl
+
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V
l
-
+
como
V
-
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y
( Y %)
VSEW
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-
l
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"
"
"
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iii.
¡ f) { Trtvrvílj { a) {
2
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TRIZUTI
Hit
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3
HI
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iii.
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iii.÷:?
"
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Iluminara Trlvavit
.
-
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"
"
"
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'
*
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*
*
*
13
'
*
*
L
.
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Sean
,
X
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'
↳
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,
,
y
=
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,
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T
es
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,
,
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'
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13h -13×2+6×3) )
(
→
=
,
lineal
"
'
Pi
Halitosis
)
¥, )
4=141,42) ER
,
'
TIXITYI Xztls)
,
(
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PEIK
Tlpxl
" ""
"
"" "
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F- lxi ,
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,
.
"
"
.
"
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÷ )
"
Tlxlt TIYI
=
sea
Xs )
aplicación
una
X = Xi Xz
=
ÜI
,
Xi -142+2×3,3×1 -13×21-6×3 )
T :B
Tlxtyl
( Y , -142+243,3411-342+643)
TIX)
=
b)
t
,
( al Xstls -121131
=
i)
3111+3×21-6113 )
,
( Alita X2 -129113
=
Sean
-1/41-1421-243) , (31/1+342+6113) -11341+342+643 )
(Xhxs
y X
TIAXL alla
s)
Sean oeelk
y ÜI
31×11-41) -131×2+42) -161×3-143)
,
TIXITTIY )
=
il
?
EIR
XL -144×2+42,113+43 )
( Xi -1112-12113
=
por
,
(XI -142-12×3)
=
Ii) Tlax)
:( Ys 42,431
( XI -1411+1×2 -142/-121×3+43)
=
aplicaciones lineales
lxty -122,3×-1341-62 )
Xa , Xs)
T(
=
son
M2
→
2)
siguientes funciones
las
si
mirar
se
no
determine
T:
al
A
o
A
↳
'
Xd ER
.
(
=
( PHH
=
»
O
rl
=
¡{Ylp )
BXIT 2PM
Mal
P 2k
BIXI pxs,
BO
-
)
¥ :)
"
=p Tlxl
ÜI
it y
por
T
'
M
T:
c)
aplicación lineal
una
es
Matt)
→
( a. b. el
'→
la b) 1-
a +
?
ct
+
-
.az/,b=lbs.bs.bs)ElR3I/Tlatbl=Tlaitbi,astbz.az-b3
9=19,92
Sean
)
astbs-laitbi.az balttlaztbztt
aitbit
=
aula , azlttast
sea
bzt
'
bitlbi bslttbzt
'
las aslttlbi balt
=
'
+
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+
-
-
_
'
+
-
Tlalttlbl
=
Ü)
'
-
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TI pa)
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a-
,
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,
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,
paz Bast
,
'
lpa paatttpazt
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'
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-
'
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=p Tla)
-
ÜI
it y
por
d)
T: R
(x
=
'
-
y
,
X
-
y
-
2)
,
TCXLTYI
=
,
( XI X2, Xs ) Y = IYI Ya Y 3)
X=
TIXTY )
R2
→
→
aplicación lineal
una
es
'
( x. 4,21
Sean
T
( X , + Y ,)
XI
=
'
-
X,
=
'
-
,
Xa
'
-
2X , Y ,
Xs
-
,
,
EIR
?
-142,1131-431
Xs Yz
XITYI Xs
-
-14,2
-
-
,
Xs Yz
-
2×141-141
?
-
Ye
,
,
-
Ya -1/3-43
XI -141
XI
-
-
Xs
Xz 42
-
-
Xs
-
43
Xzt YI -42-43
-
TIXITTLYI
T
no
2. En cada
a) T
:
caso
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kertt
I)
una
es
M
=
,
'
aplicación lineal
determine el núcleo y la imagen
dada por TIXI
{
.
=
lxs
-
Xs
( a. b. c) EITRITI a. b. c)
=
,
2×2
+
de la
)
Xs
,
para
aplicación
lineal definida :
todo ETP
10,01 }
kerltl =/ la .be/EITP/la-C,2btcl-- 10,011
equivalentemente
{
a
"
2b -10=0
matriz ampliada :
""
:
( jiji )
el
lio
,
sistema tiene infinitas soluciones
i)
a"
C
=
-
2b
[ 5=11 x. g. DEMY
=
span
x2
y = xk
-
,
}
1112 -1,211
,
kerlttspanlslz -1,213
,
imgl-t-llx.ylc.IR?llxiyl=Tla.b.cl
para
algún
lado c) ER
?
,
}
=/ lx.ylc.MY/a-q2bt-Cl=lxiy ) }
equivalentemente
ampliada asociada
matriz
:
lamí
4 : IIII
-
""
el sistema tiene
al sistema :
Iii
infinitas
%)
soluciones
sin
restricción
imgl-11=1132
:
dimlkerlttl =L
-
dimlimgl -111=2
'
dimlkerttltdimlimgl.tl/=3=dimR3.dim1R5dimR2
'
entonces T no es inyectiva
dimltlldimltlz entonces T es sobreyectiva
2
-
b)
T:
Rsc»
Sea
pcxl
Tlpcxl )
¡/
→
R dada
Tlplxl )
por
aotaittaztstast
=
PIOITPYOI
=
,
para
todo
'
aotal
=
kcrltt-tplxt-aotaixtaaktazPEM.CM/Tlplxll=0 }
{ pcxt-aotaixtarktasxt.RU
{ plxk
/
ao
=
-
ai
}
aitaixtasi-asklqar.asc.IR/spanl -Itx,x?x3/)kerlTt=spanl -I=
-
'
'
x. x
imgl -11=1
Ü)
,
x
BEIRI b- TIPCXN
-
=L BEIRI
b- aotai
-
equivalentemente :
{
ao
+
))
ai-b.tl
el
,
para
algún
PCXIEIR 347 }
}
1lb )
sistema tiene
infinitas
soluciones
imgltt =p
-
'
dimlkerlttl =3
dimlimglttl
=L
dimlkerttltdi
mRJIXJ.d.im inyectiva
11731×3mlimglTH-4-di
entonces
'
'
ddimltl
T
dimtlldimhsl.is
entonces T
no
es
es
sobreyectiua
plxlettslx]
3.
En cada
T
al
de los
uno
V
:
→
"
Se tiene
literales
presente
,
de
explícita
manera
una
aplicación lineal
W
W =P
VER?
siguientes
TIL
con
,
1,01=10,0
,
13=111,401
que
,
1,1)
Tll , 0,11=1-2,3 0,0 )
}
II. 0,11 11,41 )
,
y TII 1,11=10,0 -1,1 )
,
,
,
es una
,
,
base de V
IX. 4,21=9141,01 tpll.0.ltrll.L.lt
IX. y 2) = la -1pts , atr
,
Atr )
,
equivalentemente
µ tptr
{
a-
×
a- x -2
x-p y
-
tr-yp-z-r-s.rs
a
p -18=7
x.
8=4
-
-
-
X
-
y
X -12
tanto
por
(
=
4,21
(X
=
-
21141,011-1×-4/11,0 1) tfxty -121141,11
,
además
TIX
,
y , 21=1×-217141,01+1×-417140,11
IX-2110,0 ,
=
=
=
b)
4=11721×1
xtyttzt
?
'
,
?
que
=
=
D=
{
,
-
,
,
X -2 , X
con
-
-
-
2) ti -2×+24,3×-34,0
(-2×+24,3×-3)
y W =p
Se tiene
xtyttzt
( 0,0
tl XTYTZITII 1,1 )
1. lltlx yll -2,3 0,01 ttxtistzll 0,0 t.lt
y)
2X y -22
,
-
,
TU -1×1=11,411
-
,
0)
-110,0
X y -2 ,
-
,
xty -12
-
.
TIL xl -1-1,401 y TII -1×4=10,2
es
una
base
de V
alltxltplt xltrlltx )
'
-
crtptrt la
plx
-
# rx
'
equivalentemente
f
a
ax
:
:
2
f- x
-
z
-
y p
-
13=4-4-2112
por
tanto
xtyttts-fxffflltxl-x-f-zll-xl-r.li
-
il
además
TIxt t t4-fxtg-lt xl-X-f-ITI -xl.ir/lItx4- X-gf- l ,l. l+X-fjIl
-1,401+210,2 Il
-
.
=/
=/
"
-
Xtz
,
,
XII )
)
-
-
,
lltxl ll xl lltx' ) }
,
,
t
ir
,
EE
-
Y
.
I)
.
4)
Sea E
un
espacio vectorial de dimensión
TELIEEI
una
aplicación lineal de E
sí misma
en
kerltl
a) Demuestre que
Se
conoce
Sean x. y
que
TIOEI
Ekerltt
=
Si
i)
es
imagen ITI
Se
conoce
OE ,
un
se
Sea
se
dimlimgltl ) =D
dimlker.IT/tdinlimglTll=sdimE--dimkerlT )
{
VEE :
TLVKOE }
es
,
,
decir
para todo
,
UEE
,
TCUKOE
UEKCRTTI
F-
,
demuestre
her IT)
que
de donde
,
kerltl Ekerlsotl
TLVI
=
OE
tiene
ISOTI
=
=
=
de
D
que
LLEEI
ve
axtytkerltl
OE
,
entonces
KERITI
OETOE
101 determine kerltl
=
=
=
=
subespacio vectorial
hipótesis imgltl { OH
por
C) Sea
PD :
ATIXITTLYI
=
y dime
iil además , her IT) =
=
de E
OEEKERLTI
entonces
aelk
sea
y
de donde Tlaxtyl
entonces kerltt
subespacio vectorial
es un
OE }
kerltl =/ VEEITIVI
bl
NEIH y
donde
SLTLVI )
SLOE)
OE
ve
por
por
kerlsotl
,
hipótesis
teorema
entonces
her LTIE leer LSOT)
D
1.
transformación
Dada la
'
→
IX. y)
S
y
S
'
1133
↳
las bases canónicas
T
=
IX -24,2
)
Xty Xty
,
R?
de R '
y
respectivamente
y
,
,
.
bases de IR
a) Determine
b) Determine
c)
M3,
y
Verifique
Además,
sean
,
-1,111
respectivamente
(f) ti
1ft
cumple que
Ali d) T Al
se
que
:
III. 21/5
,
5=1110110,113
a)
.
{ ( I -11 10,113
TI { II. 1,01 10,411,11
?
Gaby
Balcázar
lineal
f: M
Sean
If
f)Clennam
DQIDCIIT
.
F- { II. 0.01.10 1,01 10.01 ) }
;
.
,
(f) { =/ lfll .at lflo.INT )
por
definición
de donde
f- 11,01=11,2 1)
=
,
III. 0,01+210,401-11100,11
f- 10,11 =L -2,1 1) -211,001+110,101+110,0 .it
=
,
por
b)
lo tanto
LAI
-
:
lflt.IT
lflo.it}
=/ } )
=/ } )
( ¡ {)
fqjq
lltll Htt lflo.lt/-il
-
,
de donde
f- ll -11=13
,
¥1
71
,
1,0)
f- 10,11 =/ -2,1 1)
=
=
,
al I. I. Oltplo
×
,
I. Iltvll
(41,01+410,411+214-1,1)
equivalentemente
ii.÷
,
-1,1)
.
Ei :÷÷
lfll.dk
""
5/3
-43
la matriz ampliada
seria
% ! !!
"
Hit
% !
""
l! ! .it?H-l:i.ti:H
"
-
43 Fz sfz
2
1
-
3
1
-2
3
-2
-
2/3
liiiliíitt
2 Fztfznsfz
L
O
73
O
-
4/3
-43
tan"
*
mil:* )
7/3 -413
c)
f- 11,21=1-3,4 3)
II. 1,01 -11310
a
=
,
,
µ ! ! !!
tanto
% :L :*
-1¥! ) =/ !} )
"
s
"
Sean D=
lvs Val
y
,
B
'
WL
Sea
I:
R
Por
[ III.
'
-
IR
?
-43
O
O
,
Hliluiilsi
.
l ! ! :L ! )
"
""
""
por
,
it ! !
/! !
www.t!!
trll -1,11
111,2115=1 })
11,21=911 -11+1310,11
2
I. 1)
,
la
_
=
13
lwi.ws/
-
V
2
y
bases
aplicación identidad
W2
.
=
de R
Vstvs
'
tales que
IIIBÍ
Encuentre
definición
=
=
ll IIIB
/ LWLIB
=L ; )
'
1-
( T.lws.lk )
( Wal B)
ws
=
-
va
Wz = UL
+
=
Oh Ni
Va =
-
Lllsttvs
3.
Dado
C.
=
( } })
considere
,
f
2×2
:
→
transformación lineal
la
jp
2×2
A- Al
-
CA
sean
ftp.liil.liil.li :D
a-
"
bases
"
D=
'"
Determine
b) HII
Htt
a)
Sea
R
para
lliililiitliililiill
( q bd )
ER
' "
por
4:41:11 :*
"
tanto
: :*
Hill : Ht :* :*:L
f
2×2
:
1132×2
→
KIKE:c :*
Por definición
LHÍ
se
tiene
ftp.ilhflooi/hl4i HHiilH4iiH:H--Hoitsl:it i Hli l""
Mi :D
.
-1%4%1=1
-14%11=1 } )
4%1=4.1--41 tiititiittiikleliilt
-
.
:*
ittiittiitisliil
.
tliittoiotsioitsliittiittiil -14%11.1%1
msn.FI?i:l
Por definición
'"
lt )
tiene
se
Hi://.lt/iNsl4i H4iiH: l=tiitsli ttiit-tiiHHiHi- %
fleto
ittiittiittiitltliillil !
4%1%1=4
.
YIIH:* tiittiittiittiitltliilli
-
oliittiittiitoliitltliillil ! )
=/ :} } } ! )
4h41 :*
Htt
4. Sean Bs
Bs
y
sea
T:
bases
RITT
de M
Encuentre
una
LVIB ,
?
IR
respectivamente
y
aplicación lineal tal que
ir
a)
'
:-/ ! !! )
si
ITIVIIB
.
=
ÍÍIIILVIBI
{ ¡%)
iii. t.li?.lii=l :*
t.io?iH:
de
donde :
[ Vila
÷
.
=/? )
b)
Encuentre la
Dado
rango
dimllpik
inyectiva
dado que
d)
¿
,
Sea
'
S:B
2)
R'
→
dimlimgttt-2ydimlke.IT/l=o
Por lo tanto
,
Tsobreyectiva ? Justifique
es
dimlkerttl
diml 3) sdim
pero
kerltl
2+0=2
?
c) ¿ Es T
de
imgltl y
ILT ) }:) -1
que el
que
ya
de
dimensión
-0
-
,
entonces
entonces T
Tei
inyectiva
respuesta
.
,
sobre yectiva
es
no
su
aplicación lineal tal que
una
lski-lii.tl
ltost } :
Calcule
[ To
Bs
¥:
ITIB [ SI }:
=
,
% Koi .info?..il
9.
sea
T.IR
"'
" "
→
R
una
lineal
aplicación
definida
*
a)
Compruebe
que
T
invertible
es
EN
kerkk
HH
"
"
"
" '
AU
donde
su
respuesta
.
.IT/!/=/f//
"
=
=
l ! ! :/
Justifique
.
por Tlvl
l ! ! :X !
f- ¥4111
b
de donde kerltl
•
"'
0M
)
,
por
lo
tanto
T
.
es
dimlkerttltdimlimglt))
dimlimg.IT/--.3--dimR3xt--sTessobreyectiua
Se tiene que
entonces
T
dim
es
"
Y
inyectiva
=
biyectiva
,
por
lo
tanto
es
invertible
3=0
+
dimlimgltl)
LT YE
b) Calcule
-
,
donde
C
la base
es
canónica
"'
de R
1%1%1%1111=1%11%1
1%1%41%11=1%1%1
1%1%1%111=11%11
por tanto
se
q -1k
IITIET
sabe que
( ITIEIISI
=/ ! ! } )
'
=
"
ttslllttcl )
sea
D=
( TIE
"
Ii :
Iii # ii.
=
,
IIICCTI : III ?
Hit ! ! !)
:
liiitiiiio
¡ ¡/
=
{ (% / !) / !) }
.
"
liiili
1¥
ITYE
de donde
c)
-
"
-
Eiil : : "
"
( T YE
"
.
una
base
entonces
:L ! ! ;)
de Rs
"
.
calcule
ITY ?
mil ! ! %! ! ! l l ! ! %
¥ii
.
ll TRI I I T I I
-
-
( I TIE l Isl
tI N TI ? I Y
-
n
s
!l ! %: : El ¥
.
l ! ! ! l ! !!
l! ! %! ! !l
"
-
%! %!%
"
"
l ! ! ¡ µ % !!
ti iii.i ti
a- *
"
l ! ! I fi iii.Ii
Hotelero femenino
t En el espacio
vectorial
.
Bs
bases
Ell
,
sean
-11,1-2,111,132=11421,14111
y
ordenadas
Hallar
al
=
IR ?
.
-0
,
:
1) III ?
'
III.
21
Por definición
111,0 0,11 }
C-
(I
:
a
=
( ( III. OMB
,
IIIQLMB )
.
EIII-tttw.de/Itvdd=llIth-MctIt-2MlzIlo%Ef%fE-tlh2lt2ll
.
"
III. 2) III. Ll
-
Ill -11=4
,
-
,
D=
111,01-110,11
LIIÉA
III. IKI -211=-211,01-1110,11
IIII
III:
3)
=
HIEI
µ ;)
IIIESIIIIIIIBI
4) III 's:
Hoia IIIOÁH
-
-
Hi )
ti
kilt ! HI
-
"
IHII
lo
zar
=/ ?
,
III. IIIBI
=
b)
f
Sea
una
E
LIIR?
ti
-3
=/
-
S
-
3
-
-2
3)
-2
( ll .LI/Bs--lIl?3zllL.LMBs
t.is?llil--l:l--ti:llIt-lil
2) considerando BL
como
,
base para el espacio de
bases
llegada
,
suponga
que la
base
de salida y Ba como
matriz de representación de f respecto a estas
una
para
el espacio
canónicas
de salida
es
MIA ! :)
L
.
Hallar la matriz
Y
[ 11,111132
LITTLE II. NBA
" "" *
l!
iifsy
.
A-
( CLIMB
"
1%1
2
5)
LIMA )
Hilio )
-
-
=D
IBII . )
1¥:*:
"*
=/ } { )
asociada
a
f
en
las
bases
y
llegada
II
HII
( III. HIII
IIIIILHÍIEII :
=
.sk/IkiIt--fj ;)
[ III. lf III. olla TIIOIIIIB )
III. 01--11,01=-111
IIO 1)
=
,
-
-
10,11=-211 LI
)
Il 2,1
-
-
-
k-H://is.lt?.H:ilH:il--lIoI:l
Halle fca.rs )
2)
1) Il 2,1 )
-
,
.
"
=/ ? :?)
.
=
todo
para
la
.
b) EIR
?
definición
Por
Ía lla BMBI
Ifla b) IBA =/
,
.
( a. b)
xll
=
-
.
I)
l 2,1 )
y
-
Hilal
→
-
:( ¡ g) f-
a-
-
f- la b)
,
l
l
l
=
-
=
=
3
.
¿f
es
un
kerlfl
=
=
3A -4
-
za
-
-7A
-
b) (
uib
-
"
Voila:)
( j il Y
"
-
[ Hablaba
la:)
lo
"
-
.
Iob
1. 2)
Ga
-
,
-
a-
a-
a-b
2b
b
) =/
-
za
-4A
-
-
b)
"
Gb
tl-4a-6blll.tl
sebltl
Ioa -14
-
ya
Gb
-
-4A
,
-
Gb )
b)
isomorfismo ?
lla b)
,
'
ER
flaibl 10,011
:
.
El a.b) EIR ll
'
-
7- a- tob
-
.
Ioa
-146=10,013
equivalentemente
t.ioa.ua
-
matriz asociada
Ho II)
7- a -105=0
.
/ Al =
-71-41-100=-100-128
=
-
a
-
A
dado que el det IAHO
leer
{ Oral f- es
=
el
,
sistema tiene
solución única
y
es
la trivial ,
inyectiva
dimlR4-dimlher.lt/tdimlimglftldimlimglftl--2f
es
se
tiene que f
es
sobreyectiua
biyectiva
y
tanto
por lo
es
un
isomorfismo
entonces
BEIR considere la
2. Dados
a.
matriz
,
(f)
el vector
es
A- =
(q {)
vector propio de
un
.
los valores de
Determine
A asociado
al valor
propio
tales
aydeb
que
3
live.sk/H:::Hi:l
equivalentemente
⇐÷ : :
donde
de
Los
3.
a- 2
i:
b -1
y
"
simétrico
propios de una matriz AEITR
T
T
11,1 1) y 10,1 d) asociados a los valores propios
valores
propios
matriz
.
-
,
.
A
vector
y el
'"
Sea DEIR
entonces
A
propio
bd {
:({
e
f
¡ i://I.H.it.fi:7
f
-2
,
-2
y
3
Con
vectores
respectivamente
.
Hallar
a
la
3
7=-2
Si
c
y
,
)
7=1
Si
L
L
donde
de
:
al valor
asociado
propio
son
Cte
-
1%1%1%1 :*:L
.
f
f
e
exf
equivalentemente
| ÷:
¡
[ te
_
f
=
-
/ :c :
ni
eef
I
matriz
=
-
2
ampliada
¡ iiii.fi/n/::i:iiff-/::i:iiff
/ .it/Y::::i.iff
1
1
-
O
t
-1
O
/
-2
I
O
0
O
L
O
1
O
O
O
1
1
O
O
O
1
1
O
O
1
-
Fy
→
Fy
-
O
l
-
Fztfu ski
-
-2
L
-
I
O
0
O
t
O
L
O
1
-1
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/
O
O
O
L
L
O
-2
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O
O
O
1
1
1
-1
O
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1
-1
O
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-2
-
Fy + Es sfs
-
I
L
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-
Fztfy
-
Fi
-2
l
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1
-1
O
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O
O
O
O
L
L
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O
O
O
1
1
-
: : : : :
O
O
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L
L
O
O
O
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O
1
1
-2
-2
-2
I
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0
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L
O
1
-1
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1
1
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O
1
1
O
-
-2
-
Fstf
→
L
L
O
L
¡
FG
-
O
O
O
donde
O
0
O
1
-1
.it/::::::I:ii::
iiii
O
de
I
-
O
O
L
O
O
0
O
t
atb
O
1
btd
L
-2
O
O
-
-
c- O
-
-
e
s
-4C
-
:
÷: : :L
1=3
Si
detlA-zt -%Ee-I.e /=f8-4cl/ste)2-e4-l3tze/l3t2cl-s-e)-cl3tze
-
8
-4C
-3 -2L
3 -12C
)) -1/-3
2elllztzcll-13-sclls.cl/--t-8-4ell2stI0c)-l3t2cll-1s-I0c)-l-3-2cl/-ts
-
-10C)
-200
=
=
-
-200
=
-
110
80C -100C -40C
-
180C -40C
-
60C
'
-12/45 -160C -120C )
'
-190 -1120C +40C
'
)
donde
de
101-11-621=0
-110-602=0
a-
'
e
=
-
11/6
E! :* :*
si
7=3
Eliot:* :* :*:
iii. ÷:
% !!
( f- (
4. Sea
t
x.
( x. y .dk/sz
una
,
-2,217=212 -1.11T }
aplicación lineal hallar
,
1ft :
con
sus
'
:
( x. yl
trabajará
=
,
f
Se
÷:*
las base
→
#
{ oelz
x »
-
.
s.LI/aeR}
valores y vectores
R
'
( Xty 2×-34 )
,
canónica
llftiiollttloilld
=/ ; f) =D
propios
,
donde :
=/ } f)
f- II.01=11
710,11=1 ,
de
}
'
21-5
t
,
v
-
-
CS
valor
Si
tifo )
,
(
=
IX.
-
M
-
I
R
÷ .in/iliEit:riiMil
-
lar
"
fj trompo )
x-ii-fi.to
T
ylt-ls-R.s.ly/yeMl;span=llls+rR.2ll/
T
12 -156,21T
propio :
D=
1. =
t
II. HAHA
f
)
l -711-3-71-2=-5-7+37+72
7=-1 DJ
D= IT
,
pltl-detlA-IIN-detfl-j.j.rs)
:
Igualando pttto
si
.
111,01-310,11
=
,
donde
[
" " Otelo
=
,
-
L
1¥ .ir/HHiktFi..kliE4i.FYil
ftp.zlrjslls/0)-trtrlFitFz-sFr/flRjrllr/G)=sx=-lro-rlIay
""
El x.ylt-tritz.dz/yeRlspan=lll-Ri- 2,214 )
(S
vector propio :
S
.
2,21T
l Rt
-
Encuentre los
valores y vectores propios de la
*
plata detln
.
-
Its )
l! !
=
-7111-7114-71+4) 1414-71-4 )
-21-4+71=11
El -41+74+47-112
ll
-
-
detf
|
siguiente matriz
%)
-471+8-27
7)
-73-4,1/-4+2,1
asesino
=/ -47+72+4+47
=
-
'
,
igualando
pliko
Í SI -167 =D
-
117 3) 17-21=0
-
Si
1=0
7/72-57+61=0
1=0
v
7=3
v
7=2
:
a-
¥,
% ! :L "
iii. i . KIWI ! !
/! !
"
( f- {
( x.
"
Y! ! !
y .AT =L
-2,322Mt
=
tal
íiiiiiiiii
"
IIAEIRI
✓
Si
7=2
Iii : EHHH! : iüti : :D ir:* :* :L
/ ! ! ! ;)
""
"
( t-llx.y.2IT-lo.sz.IT/--EalI2I/aeR }
VP
Si 7=3
Iii : EHHH : :
F2 tfz
→
Fs
-
1% !
l! ! !
"
-1
% : :L :L
Iii !
"
X
=
-2
ir .
(f- llx.is?lT--l-r,0,2lTt--lal-L.0,ll1aeRt
6. Encuentre
siguiente
los valores propios
los
y
correspondientes
espacios
matriz
a
detl
A- III
=
=p A)
( ¡ ¿ })
1-7111
=
=
t
A- AIS
¡ Y
'
-
I)
-
l
-
7- AHI -171
-1,3+7 -17+1+1+7
=
-73+37+2
-7
igualando pl.lt
se
si
tiene
7=2
.
O
1,3-37-2=0
7=2
V
7=-1
propios
asociados
a
la
iii.NEHA .fi ! !
.li?sil:j
iii.±:
"
O
xty
-22=0
Vector
"
O
3
( SI
{
l! !
( x. g. 21T
Eiil :L
"
"
:
142,21T }
{
=
l! ! %
211,1 1) TIZEIR }
,
2
y
propio
-
2
×
y -2=0
Si
3
"
"
:
l 1.
L
,
1)
T
7=-1
IIIIKIH :L .sk : " "
=)
Xty
;
X
=
-
Y -2
{ 4. y.zlt-l-y-2.y.AT/=lyl -1,401+21-1,0 .tl/y..rElR }
T
T
CS
vectores
8.)
-12=0
f. %
propios :
sea
*
l
-
I.
1,01T l
,
f. ¡ ÷ %)
-
1,0
,
LIT
Hallar
,
al
el
racterístico
polinomio
:
pltl-detlAI.IS/lU-tlltt-7ll-4-H-4lt8l-8l-4-Htoo/t4lI6-4l-t-Dl--llt-tllsl
-11,2/+8132+87+8
A-t.gg/----tt6Hti3stt4-
-14/16+4+471=55,1+61,2
-1,3+8140+8,1
)
,
-14120+471=554+61,2-13
)
-13201-647-1801-161
b) los valores propios de
Igualando
plato
,
se
A
tiene :
}
1+672+1357+400=0
d -61,2--135,1-400=0
-
'
11+514,1-161=0
de
donde
Ht 5) 2=0
v
d -16=0
7-15=-0
v
1=16
7=-5
v
7=16
C) Una base
D=
Si
Mí conformada
para
vectores
por
propios
ortogonales
de
A
;
S
-
I : imita:*
4a
[ f- { la b. c)
T
la b
=
,
,
=
{
{ ll
span (
,
atzblt
=
alto -4Mt blqs 21T}
,
de E-s
.
11,0
-
,
4)
→
¥
( 0,1 2)
,
ortogonal =L 10,421?
(
=
ls
L
8
,
8/5
,
-
,
-
"
O
-
[ 5- l l
ls )
-4M
.
ll ! H :L f. ÷:}
5
20
4a
a. b,
=
Span -1114
.
-
2.
14C
-
.
2C
,
,
.
c) T
=
el 4
-
.
2.
sí
-
}
,
,
14
-
.
2. LIT
}
es
una
base
AP
sea
?
de IR
base
ortogonal
Normal izamos
20C
IÍI )
Bto =/ 10,1 21T 15,8 -41T
Una
"
7=16
si
d)
.
10 I. 2)
=
Base
1:
,
,
Va =
S
-4
10,4211)
0 -41 ,
140 -41,10 1,21 } Base
Us
-
,
,
P
los
tal que T
i
'
de
la base
we
4
vectores
wn.to#I:wr--
-
ortogonal
diagonal
Hi: ÷: ÷!:L .int: .EE?:s:II:osl
"
⇐
"
=L :*: .EE?ios:EF:osll::!H:::::?* .io?.:l
ti: .IE#.:?is:lhI::iII: ÷!:L
"
"*
i : : :L
7.
sea
Hana ? II )
A-
-
a) Calcule
base de cada espacio propio de A
una
obtiene
Se
p
171
plata de HA Itzl
-
det
=
A IIIIII
( ftp.?y
)
t.it II ) elitista N
1-7111+2,1 ) -1217+4+2+217 ttl -12
=L
=
=
-
NINH
'
-
-
-
-
-
-
-
tit
-1,3 -21,2+4,1+4-14=-5-27447+8
Igualando
pts-0 7-127-47-8=(7-2)
=
( It 2)
'
7=2
7=-2
v
7=2
si
NEHA ÷ ?
H:
ti
?
-12
O
""
%)
-42ft
-2
-2
l! ! ¡
( f- tlx y .NET
'
"
Hi
"
ir
"
""
i
f.
"
"
-
2
-
2
1%
"
"
iii
}
{ a HI
t.lt/aEM1Ez--spanll -ti.-t.Itl B-ll-tI
,
,
-
dir
-1,111
.
-2,21T
es
li
.
:B
es
-
,
base de Ea
Si 1=-2
I.÷
Htt :*:
H ¡Y ;)
0
"
"
"
"
Iii: ?
"
"
"Heinz
( f- El x. 4,21T
-
%
"
t.IT/ry-iiIIzz,y.zlTt
±
"
"
"
O
"
til
O
i-spanllt.dz/2.I.0l.NI s.0.Iltl.:B=tl-tI 2.l.0l.lI ls.0,l l
E.
es
b)
Calcule
B#
=
El -1Pts 1,01 VIII. 0,11
.
B.
*
es
de IR?
ortonormal
base
una
base de E.a
,
l R
-
,
-
.
formada
por
vectores propios
t.tl/
de
base
ortogonalización
UL
-
-
bi
.
Va
-
ba
-
4¥ VI
< vi. Vs )
Base
ortogonal
:
f-
=
=/ tq
-
El III 2. 1,01
-
,
,
1,0
IIIIB
)
,
;
V
3=43
43,11 HII -1,11 }
,
,
Normalización
11h11
11h11
ITF
=
21A
HV 311=2
a-
C
1¥ .fi/.tEEEtfE-IHt
es
base ortonormal de IR?
f-% ¡ If )
"
⇐
" "
lio ! :/
;
PTAP »
:
diagonal
de A