Hidrodinámica Universidad de Piura Flujo de Fluido ▪ El trayecto de una partícula individual en un fluido en movimiento se llama línea de flujo. ▪ Un flujo es estable si su patrón global de líneas de flujo no cambia con el tiempo: cada partícula que pasa por un punto sigue la misma línea de flujo, pero su velocidad puede cambiar durante su movimiento. ▪ Una línea de corriente es una curva cuya tangente en cualquier punto tiene la dirección de la velocidad del fluido en ese punto. ▪ Las líneas de flujo que pasan por el borde de un elemento forman un tubo de flujo. Si el flujo es estable, el fluido no puede cruzar las paredes laterales de un tubo de flujo y los fluidos de diferentes tubos de flujo no pueden mezclarse. Universidad de Piura La Ecuación de Continuidad: Fluido Compresible ▪ La masa de un fluido en movimiento no cambia al fluir. ▪ Para una porción de un tubo de flujo entre dos secciones transversales, la masa que entra y sale de sus extremos es constante, pues el flujo es estable. 𝑚1 = 𝑚2 𝜌1 ⋅ 𝑉1 = 𝜌2 ⋅ 𝑉2 𝜌1 ⋅ 𝐴1 ⋅ 𝑣1 ⋅ 𝑑𝑡 = 𝜌2 ⋅ 𝐴2 ⋅ 𝑣2 ⋅ 𝑑𝑡 𝝆𝟏 ⋅ 𝑨𝟏 ⋅ 𝒗𝟏 = 𝝆𝟐 ⋅ 𝑨𝟐 ⋅ 𝒗𝟐 𝑣 = 𝑅𝑎𝑝𝑖𝑑𝑒𝑧 𝑑𝑒 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 𝐴 = Á𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 𝜌 = Densidad Universidad de Piura La Ecuación de Continuidad: Fluido Incompresible ) ▪ Para un fluido incompresible, la densidad es la misma en todos sus puntos: 𝑚1 = 𝑚2 𝜌 ⋅ 𝑉1 = 𝜌 ⋅ 𝑉2 𝑉1 = 𝑉2 𝐴1 ⋅ 𝑣1 ⋅ 𝑑𝑡 = 𝐴2 ⋅ 𝑣2 ⋅ 𝑑𝑡 𝑨𝟏 ⋅ 𝒗𝟏 = 𝑨𝟐 ⋅ 𝒗𝟐 𝑣 = 𝑅𝑎𝑝𝑖𝑑𝑒𝑧 𝑑𝑒 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 𝐴 = Á𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 Universidad de Piura La tasa de flujo de volumen • Es la rapidez con que el volumen cruza una sección del tubo La tasa de flujo de masa • Es el flujo de masa por unidad de tiempo a través de una sección transversal 𝑑𝑉 𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 → =𝐴⋅𝑣 𝑑𝑡 𝑑𝑚 𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑠𝑎 → =𝜌⋅𝐴⋅𝑣 𝑑𝑡 Universidad de Piura Ecuación de Bernoulli El trabajo efectuado sobre una unidad de volumen de fluido por el fluido circundante es igual a la suma de los cambios de las energías cinética y potencial por unidad de volumen durante el flujo. 𝒗𝟐 𝒑+𝝆⋅ + 𝝆 ⋅ 𝒈 ⋅ 𝒉 = 𝒄𝒕𝒆 𝟐 La ecuación de Bernoulli relaciona la presión, la rapidez de flujo y la altura para un flujo estable de un fluido ideal incompresible sin viscosidad. Universidad de Piura Demostración de la Ecuación de Bernoulli ▪ El fluido es incompresible, entonces el volumen de fluido que pasa por cualquier sección transversal es el mismo. 𝑊 = 𝐹1 ⋅ 𝑑𝑠1 − 𝐹2 ⋅ 𝑑𝑠2 𝑊 = 𝑝1 ⋅ 𝐴1 ⋅ 𝑑𝑠1 − 𝑝2 ⋅ 𝐴2 ⋅ 𝑑𝑠2 ▪ El trabajo efectuado sobre una parte de fluido se debe a las presiones en los extremos. El segundo término tiene signo negativo porque la fuerza se opone al desplazamiento del fluido. 𝑑𝑉 = 𝐴1 ⋅ 𝑑𝑠1 = 𝐴2 ⋅ 𝑑𝑠2 𝑾 = 𝒑𝟏 − 𝒑𝟐 ⋅ 𝒅𝑽 𝑧2 𝑧1 Universidad de Piura Demostración de la Ecuación de Bernoulli ▪ La energía mecánica para el fluido entre las secciones b y c no cambia. ▪ El cambio neto de energía mecánica se aprecia en sus extremos: 𝑧2 𝑧1 𝑑𝑚 ⋅ 𝑣2 2 𝑑𝑚 ⋅ 𝑣1 2 ∆𝐸𝑐 = − 2 2 𝒅𝒎 ∆𝑬𝒄 = ⋅ 𝒗𝟐 𝟐 − 𝒗𝟏 𝟐 𝟐 ∆𝐸𝑃𝐺 = 𝑑𝑚 ⋅ 𝑔 ⋅ 𝑧2 − 𝑑𝑚 ⋅ 𝑔 ⋅ 𝑧1 ∆𝑬𝑷𝑮 = 𝒅𝒎 ⋅ 𝒈 ⋅ 𝒛𝟐 − 𝒛𝟏 Universidad de Piura Demostración de la Ecuación de Bernoulli 𝑾 = ∆𝑬𝑴 = ∆𝑬𝒄 + ∆𝑬𝑷𝑮 𝑑𝑚 ⋅ 𝑣2 2 − 𝑣1 2 + 𝑑𝑚 ⋅ 𝑔 ⋅ 𝑧2 − 𝑧1 2 𝑣2 2 − 𝑣1 2 ⋅ 𝑑𝑉 = 𝜌 ⋅ 𝑑𝑉 ⋅ + 𝜌 ⋅ 𝑑𝑉 ⋅ 𝑔 ⋅ 𝑧2 − 𝑧1 2 𝑣2 2 − 𝑣1 2 𝑝1 − 𝑝2 = 𝜌 ⋅ + 𝜌 ⋅ 𝑔 ⋅ 𝑧2 − 𝑧1 2 𝑝1 − 𝑝2 ⋅ 𝑑𝑉 = 𝑝1 − 𝑝2 𝒑𝟏 + 𝝆 ⋅ 𝒗𝟏 𝟐 𝒗𝟐 𝟐 + 𝝆 ⋅ 𝒈 ⋅ 𝒛𝟏 = 𝒑𝟐 + 𝝆 ⋅ + 𝝆 ⋅ 𝒈 ⋅ 𝒛𝟐 𝟐 𝟐 𝒗𝟐 𝒑+𝝆⋅ + 𝝆 ⋅ 𝒈 ⋅ 𝒛 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝟐 𝒑 𝒗𝟐 +𝒛+ = 𝒄𝒕𝒆 𝝆𝒈 𝟐𝒈 Universidad de Piura Ecuación de Bernoulli para el fluido ideal Energías específicas: • Energía potencial o geodésica 𝑒𝑧 = 𝑔𝑧 𝑝 • Energía de presión 𝑒𝑝 = 𝜌 • Energía cinética 𝑒𝑐 = 𝑣2 2 Muchas veces, la ecuación se expresa en alturas: 𝑒 • Altura geodésica ℎ𝑧 = 𝑧 = 𝑧 𝑝 𝑔 𝜌𝑔 𝑒𝑐 𝑣2 ℎ𝑐 = = 𝑔 2𝑔 • Altura de presión ℎ𝑝 = • Altura de velocidad 𝑔 𝑒𝑝 = Universidad de Piura Ecuación de Bernoulli para el fluido ideal en un hilo de corriente En un fluido ideal e incompresible, tenemos los 3 tipos de energías vistos y su suma debe permanecer constante a lo largo del hilo de corriente. Tomando las energías específicas: 𝑝1 𝑣1 2 𝑝2 𝑣2 2 + 𝑧1 𝑔 + = + 𝑧2 𝑔 + 𝜌 2 𝜌 2 Las velocidades son puntuales. Universidad de Piura Ecuación de Bernoulli para el fluido ideal en un tubo de corriente Para que se cumpla entre dos puntos situados en diferentes hilos de corriente de un fluido, éste debe ser irrotacional (las partículas se trasladan sin realizar giro alguno en torno a su C.G.) 𝑝1 𝑣1 2 𝑝2 𝑣2 2 + 𝑧1 𝑔 + = + 𝑧2 𝑔 + 𝜌 2 𝜌 2 velocidades puntuales O usar el método unidimensional, aplicando la ecuación entre dos secciones y con sus velocidades medias. Universidad de Piura Ecuación de Bernoulli para el flujo ideal 𝑝1 𝑣1 2 𝑝2 𝑣2 2 + 𝑧1 𝑔 + = + 𝑧2 𝑔 + = cte 𝜌 2 𝜌 2 𝑝1 𝑣1 2 𝑝2 𝑣2 2 + 𝑧1 + = + 𝑧2 + = cte 𝜌𝑔 2𝑔 𝜌𝑔 2𝑔 𝒑 𝒗𝟐 +𝒛+ = 𝒄𝒕𝒆 𝝆𝒈 𝟐𝒈 ¿Podemos comparar la ecuación de Bernoulli con la ecuación fundamental de la hidrostática? Universidad de Piura Energías específicas y la Ecuación de Bernoulli Expresado como Presión Energía total, E 𝑚 𝐸𝑝 = 𝑝 𝜌 Energía específica, e Altura equivalente, H Geodésica o Potencial Gravitatoria 𝑝 𝜌 𝑝 ℎ𝑝 = 𝜌𝑔 𝑒𝑝 = 𝐸𝑧 = 𝑚𝑔𝑧 𝑒𝑧 = 𝑔𝑧 ℎ𝑧 = 𝑧 Cinética 𝐸𝑐 = 𝑚 𝑒𝑣 = 𝑣2 2 𝑣2 2 ℎ𝑣 = 𝑣2 2𝑔 En cualquiera de sus tres expresiones, la suma debe ser constante. De preferencia se usa más la expresión de alturas: Altura total H: 𝒑 𝝆𝒈 𝒗𝟐 𝟐𝒈 𝒑 +𝒛 𝝆𝒈 +𝒛+ Altura piezométrica: 𝒉 = Universidad de Piura Teorema de Torricelli La velocidad del flujo de salida de un tanque abierto por arriba y lleno de un fluido a través de un orificio a cierta profundidad es la misma que la velocidad que un cuerpo adquiriría al caer libremente a esa altura. 𝒗= 𝟐𝒈𝒉 Universidad de Piura Medidor de Venturi El efecto Venturi es la reducción en la presión del fluido que resulta cuando fluye a través de una sección angosta de una tubería, así como una mayor velocidad en esta sección. La diferencia de alturas del líquido en tubos verticales en las secciones ancha y estrecha del tubo Venturi permite medir la presión en ambos puntos y consecuentemente la velocidad. Universidad de Piura Bibliografía ▪ Sears F.W, Zemansky M. W. “Física Universitaria”. 12va Ed.(Primera y Segunda edición) ▪ PAUL A. TIPLER y GENE MOSCA. Física para la Ciencia y la Tecnología. 6 Ed. Barcelona: Reverte, 2010 ▪ Streeter, Victor. (2000) "Mecánica de fluidos ". México : Editorial Mc Grawn Hill Universidad de Piura Física General II Presentación de la Asignatura Semestre 2022 II Prof. Mgtr. Ing. Roxana Fernández Curay de Palacios Prof. Dr. Ing. Raúl La Madrid Ingeniería
