Guía de métodos Runge - Kutta

Guía de métodos
Runge - Kutta
Aplicaciones y ejemplos en Excel
Luis Enrique Gutierrez Mamani
ℎ
𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + (𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4 )
6
Facultad de ciencias
Producido por:
Aplicaciones
APLICACIONES
1) Aplicación en el área médica.
En un pueblo pequeño de 200 personas se desea registrar durante proceso de
vacunación el alcance que tienen de aplicación de la vacuna, el cual esta asociado
por la siguiente ecuación:
𝑦 ′ = 8𝑥 − 𝑦 + 2
Se desea conocer el número aproximado de personas faltantes por aplicar la
vacuna al paso de un día y medio haciendo uso del método Runge Kutta de 4to
orden.
Solución:
𝑦 ′ = 8𝑥 − 𝑦 + 2
𝑦(0) = 200
𝑦(1.5)
ℎ = 0.1
Aplicación de EDO de primer orden:
𝑦′ =
𝑑𝑦
=𝑢
𝑑𝑥
𝑢 = 8𝑥 − 𝑦 + 2 → 𝑑𝑢 = 8𝑑𝑥 − 𝑑𝑦 →
𝑑𝑢 8𝑑𝑥 − 𝑑𝑦
𝑑𝑢
𝑑𝑦
=
→
=8−
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑢
𝑢−8
1
=8−𝑢 →
− 8 = −𝑢 → 𝑢 = 8 −
→
=−
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
∫ −𝑑𝑥 = ∫
𝑑𝑢
→ 𝑐 − 𝑥 = ln(𝑢 − 8) → 𝑐 − 𝑥 = ln(8𝑥 − 𝑦 + 2 − 8)
𝑢−8
𝑐 − 𝑥 = ln(8𝑥 − 𝑦 − 6) → −𝑦 = 𝑐𝑒 −𝑥 − 8𝑥 + 6
𝒚 = 𝟖𝒙 − 𝒄𝒆−𝒙 − 𝟔
Para x = 0; y = 200
200 = 8(0) − 𝑐𝑒 −0 − 6 → 𝑐 = −206
𝒚 = 𝟖𝒙 + 𝟐𝟎𝟔𝒆−𝒙 − 𝟔
Entonces: y = 51.964813  aproximadamente 52
Luis Enrique Gutierrez Mamani
2
Aplicaciones
Aplicación del método Runge Kutta de 4to orden en Excel:
Método de Runge - Kutta 4º orden
xi
yi
k1
k2
k3
k4
yi+1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
200
181.196525
164.258566
149.008595
135.28598
122.945372
111.855258
101.896637
92.9618337
84.9534182
77.7832335
71.3715116
65.6460751
60.5416155
55.999039
51.9648754
-198.0000
-178.3965
-160.6586
-144.6086
-130.0860
-116.9454
-105.0553
-94.2966
-84.5618
-75.7534
-67.7832
-60.5715
-54.0461
-48.1416
-42.7990
-37.9649
-187.7000
-169.0767
-152.2256
-136.9782
-123.1817
-110.6981
-99.4025
-89.1818
-79.9337
-71.5657
-63.9941
-57.1429
-50.9438
-45.3345
-40.2591
-35.6666
-188.2150
-169.5427
-152.6473
-137.3597
-123.5269
-111.0105
-99.6851
-89.4375
-80.1651
-71.7751
-64.1835
-57.3144
-51.0989
-45.4749
-40.3861
-35.7815
-178.3785
-160.642256
-144.593837
-130.072626
-116.93329
-105.044326
-94.2867451
-84.5528827
-75.745319
-67.7759051
-60.5648805
-54.0400751
-48.1361864
-42.7941266
-37.9604305
-33.5867211
181.196525
164.258566
149.008595
135.28598
122.945372
111.855258
101.896637
92.9618337
84.9534182
77.7832335
71.3715116
65.6460751
60.5416155
55.999039
51.9648754
48.390743
2) Aplicación en la Ingeniería.
Luis Enrique Gutierrez Mamani
3
Aplicaciones
Luis Enrique Gutierrez Mamani
4
Aplicaciones
Utilizando Excel:
𝑺′𝒕 = 𝟔 −
𝑺𝒕
𝟐𝟓
𝑺(𝟎) = 𝟕𝟓𝒈𝒓
𝑺(𝟔𝟎)
𝒉 = 𝟓𝒎𝒊𝒏
Método de Runge - Kutta 4º orden
xi
yi
k1
k2
k3
k4
yi+1
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
75
88.595
99.7256797
108.838738
116.299903
122.408607
127.410007
131.50482
134.857379
137.602232
139.849534
141.689475
143.195896
3
2.4562
2.0110
1.6465
1.3480
1.1037
0.9036
0.7398
0.6057
0.4959
0.4060
0.3324
0.2722
2.7000
2.2106
1.8099
1.4818
1.2132
0.9933
0.8132
0.6658
0.5451
0.4463
0.3654
0.2992
0.2449
2.7300
2.2351
1.8300
1.4983
1.2267
1.0043
0.8223
0.6732
0.5512
0.4513
0.3695
0.3025
0.2477
2.454
2.0091716
1.64497576
1.34679649
1.10266718
0.90279037
0.73914457
0.6051623
0.49546655
0.40565498
0.33212325
0.27192038
0.22263028
88.595
99.7256797
108.838738
116.299903
122.408607
127.410007
131.50482
134.857379
137.602232
139.849534
141.689475
143.195896
144.429253
3) Aplicación en Ingeniería ambiental.
Se determinó la densidad estomática (número de estomas por mm) en hojas de
Eryngium horridum malme, (“caraguatá”) en función de su variabilidad a lo largo
del eje longitudinal de la hoja y entre hojas en distintos estadios de desarrollo.
Determinar el número de estomas presentes cuando la hoja tiene 51.25cm de
longitud.
𝑦 ′ = −0.2212𝑥 + 14.709
Longitud de la hoja (cm)
Número de estomas/mm2
5
10
16
32
45
51
62
157
238
270
453
505
544
553
Luis Enrique Gutierrez Mamani
5
Aplicaciones
Método de Runge - Kutta 4º orden
xi
yi
k1
k2
k3
k4
yi+1
51
51.05
51.1
51.15
51.2
51.25
544
561.11135
578.1674
595.16815
612.1136
629.00375
3.4278
3.4167
3.4057
3.3946
3.3836
3.3725
3.4223
3.4112
3.4002
3.3891
3.3780
3.3670
3.4223
3.4112
3.4002
3.3891
3.3780
3.3670
3.41674
3.40568
3.39462
3.38356
3.3725
3.36144
561.11135
578.1674
595.16815
612.1136
629.00375
645.8386
EJERCICIOS EN EXCEL
4) Use el método de Runge Kutta con h=0.01 para obtener una aproximación de
y (0.1) para la solución de
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −20y + 7𝑒 −0.5𝑥 , y (0) =5
Método de Runge - Kutta 4º orden
xi
yi
k1
k2
k3
k4
yi+1
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
5
4.15694636
3.46639464
2.90070289
2.43723972
2.05747608
1.74624156
1.49111567
1.28192932
1.11035672
0.96958129
-93
-76.1738399
-62.3975439
-51.1182741
-41.8834038
-34.3223521
-28.1317124
-23.0630755
-18.9130603
-15.5151521
-12.7330198
-83.7174781
-68.5738468
-56.1750937
-46.0236646
-37.7121955
-30.9071635
-25.3355028
-20.7736449
-17.0385471
-13.980346
-11.4763436
-84.6457303
-69.3338461
-56.7973387
-46.5331256
-38.1293163
-31.2486824
-25.6151238
-21.002588
-17.2259984
-14.1338266
-11.6020112
-76.1057666
-62.3418092
-51.0726414
-41.8460419
-34.2917619
-28.1066663
-23.0425685
-18.8962697
-15.5014043
-12.7217632
-10.4458275
4.15694636
3.46639464
2.90070289
2.43723972
2.05747608
1.74624156
1.49111567
1.28192932
1.11035672
0.96958129
0.85402203
5) Use el método de Runge Kutta con h=0.1 para obtener una aproximación de
y (1.5) para la solución de
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2xy, 𝑦(1) = 1
Luis Enrique Gutierrez Mamani
6
Aplicaciones
Método de Runge - Kutta 4º orden
xi
yi
k1
k2
k3
k4
yi+1
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1
1.23367435
1.5526954
1.99368677
2.61163323
3.49021064
2
2.71408357
3.72646896
5.1835856
7.31257305
10.4706319
2.31
3.14957062
4.34754711
6.08273833
8.63405947
12.4426009
2.34255
3.19965163
4.42518188
6.20412395
8.825675
12.7482561
2.715361
3.72873483
5.18755532
7.31947766
10.4826022
15.248116
1.23367435
1.5526954
1.99368677
2.61163323
3.49021064
4.75855167
Luis Enrique Gutierrez Mamani
7