CLASE 4

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
ANÁLISIS NUMÉRICO
Lic. Gladys G. Melgarejo Estremadoyro
METODOS
ABIERTOS
INTRODUCCIÓN
Veremos que los Métodos Abiertos se basan en fórmulas
que requieren un único valor de inicio ó un par de ellos,
pero no necesariamente encierran a la raíz; pues algunas
veces divergen ó se alejan de la verdadera raíz a medida
que aumenta el número de iteraciones.
Si los métodos
rápidamente.
abiertos
convergen
Entre ellos tenemos:
a) Método del punto fijo
b) Método de Newton Raphson
c) Método de la secante
estos
lo
hacen
MÉTODO DE PUNTO FIJO
O
MÉTODO DE APROXIMACIONES
SUCESIVAS
Sea 𝑓 𝑥 una función de la que deseamos hallar sus raíces
donde 𝑓 𝑥 se puede expresar de la forma:
𝑥 = 𝑔 𝑥 , para alguna función 𝑔 𝑥 por lo tanto debemos
hallar su solución.
Sí se desea hallar un cero (raíz) de 𝑓 𝑥 = 0 , se puede
expresar como un problema de punto fijo, haciendo:
𝑔 𝑥 =𝑥−𝑓 𝑥
(“La tarea es cuando una función tendrá un punto fijo y
cómo determinarlos”)
¿Las raíces ó ceros de 𝒇 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔
Raíces
𝝅𝒙
𝟐
𝑥 = 1 ⇒ 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠
𝜋
2
𝑥 = 3 ⇒ 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠
3𝜋
2
en un intervalo 𝟏 , 𝟑 ?
=0
=0
Entonces si resolvemos como un problema de punto fijo,
tenemos:
𝑔 𝑥 =𝑥−𝑓 𝑥
𝑔 𝑥 = 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠
⇒𝑔 1
⇒𝑔 3
= 1 − 𝑐𝑜𝑠
𝜋
2
= 3 − 𝑐𝑜𝑠
3𝜋
2
𝜋𝑥
2
,𝑥 ∈ 𝟏 ,𝟑
⇒𝑔 1 =1⇒𝑥 =1.
⇒𝑔 3 =3⇒𝑥=3 .
Es punto fijo.
Es punto fijo.
¿Las raíces ó ceros de 𝒇 𝒙 = 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙 en un intervalo
𝟎 ,𝟏 ?
Raíces
𝑥 = 0 ⇒ 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛0 = 0
𝑥 = 1 ⇒ 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛2𝜋 = 0
Entonces si resolvemos como un problema de punto fijo,
tenemos:
𝑔 𝑥 =𝑥−𝑓 𝑥
𝑔 𝑥 = 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 2𝜋 𝑥 , 𝑥 ∈ 0, 1
⇒𝑔 0
= 0 − 𝑠𝑒𝑛 0 ⇒ 𝑔 0 = 0 ⇒ 𝑥 = 0 .
⇒𝑔 1
= 1 − 𝑠𝑒𝑛 2𝜋 ⇒ 𝑔 1 = 1 ⇒ 𝑥 = 1 .
Es punto fijo.
Es punto fijo.
¿Las raíces ó ceros de 𝒇 𝒙 = 𝒔𝒆𝒏 𝒙 en un intervalo 𝟎 , 𝟏 ?
Raíces
𝑥 = 0 ⇒ 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛0 = 0
𝑥 = 1 ⇒ 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝜋 = 0
Si
𝟏

𝟏
𝒙 = ⇒ 𝒇 𝒙 = 𝒔𝒆𝒏 = 𝟏 ≠ 𝟎 ⇒ 𝒙 = , No es una raíz
𝟐
𝟐
𝟐
Entonces si resolvemos como un problema de punto fijo,
tenemos:
𝑔 𝑥 =𝑥−𝑓 𝑥
𝑔 𝑥 = 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝜋 𝑥 , 𝑥 ∈ 0, 1
⇒𝑔 0
= 0 − 𝑠𝑒𝑛 0 ⇒ 𝑔 0 = 0 ⇒ 𝑥 = 0 .
Es punto fijo.
⇒𝑔 1
= 1 − 𝑠𝑒𝑛 𝜋 ⇒ 𝑔 1 = 1 ⇒ 𝑥 = 1 .
Es punto fijo.
TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD DEL PUNTO FIJO
Supongamos que
i.
𝑔∈𝐶 𝑎𝑏
Si la imagen de la aplicación
𝑦 ∈
𝑦= 𝑔 𝑥
𝑎 𝑏 para cada punto 𝑥 ∈ 𝑎 𝑏
verifica que ,
⇒ 𝑔 tiene al menos
un punto fijo en 𝑎 𝑏 .
ii. Supongamos además. que 𝑔′ 𝑥 está definida en
y que
𝑔′ 𝑥
<1
∀𝑥 ∈ 𝑎 𝑏
𝑎𝑏
⇒ 𝑔 tiene un único
punto 𝑝 fijo en 𝑎 𝑏 .
𝑔 ∈ 𝐶 𝑎 𝑏 : Al conjunto de todas las funciones continuas en el intervalo cerrado.
Sea 𝒇 𝒙 = 𝒔𝒆𝒏 𝒙 en 𝟎, 𝟏 . Probar si se tiene un único punto
fijo.
1) 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ∈ 𝐶 0,1
𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 es creciente en 0,1 por lo que su imagen 𝑓 0,1
𝑠𝑒𝑛 0 , 𝑠𝑒𝑛 1
𝑓 0,1
= 0, 0.841470985 ⊆ 0,1
Por lo que cumple con i) del teorema
2) Si 𝑥 ∈ 0, 1 ⇒ 𝑔′ 𝑥
= 𝑐𝑜𝑠 𝑥
=
𝑐𝑜𝑠 𝑥
, cuando 𝑥 = 1
≅ 0.540302306 < 1
Cumple con la condición ii) del teorema
Por lo tanto el punto fijo de f(x) en 0,1
=
es único
Sea 𝒈 𝒙 =
1)
𝟐𝒙𝟐 −𝟐
𝟖
en −𝟏, 𝟏 . Probar si se tiene un único punto fijo.
Existe 𝑔′ 𝑥 .
𝑔 𝑥 =
2𝑥 2 −2
8
⇒
𝑔′ 𝑥 =
4) Podemos determinar el punto fijo “𝑝 ” en el intervalo −1,1 .
𝑝=𝑔 𝑝
4𝑥 8
8 2
1𝑥
2
2)
Los máximos y mínimos absolutos, para
encontraremos los puntos críticos.
2𝑝2 − 2
𝑝=
8
8𝑝 = 2𝑝2 − 2
𝑔′ 𝑥 =
Si 𝑔′ 𝑥 = 0 ⇒
1𝑥
2
𝑔 0 =
𝑔 1 =
2 1 2 −2
8
𝑔 −1 =
⇒𝑔 0 =
0= 𝑝2 − 4𝑝 − 1
𝑝=
1
−
4
⇒ 𝑔 −1 = 0
− −4 ±
−4 −4 1 −1
2 1
=2± 5
Entonces:
Mínimo
𝑝 = 2 + 5 No es un punto fijo de 𝑔 𝑥 en −1,1
𝑝 = 2 − 5 Es un punto fijo de 𝑔 𝑥 en −1,1
⇒𝑔 1 = 0
2 −1 2 −2
8
0= 2𝑝2 − 8𝑝 − 2
=0 ⇒𝑥=0
Entonces:
2 0 2 −2
8
esto
Máximo
OBSERVACION
𝑝 = 2 − 5 = −0.236 ∈ −1,1
3) Se tiene que 𝑔 𝑥 es continua y
1
⃒𝑔′ 𝑥 ⃒ ≤ < 1, ∀∈ −1,1 , 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 = 1
2
∴ Tiene un único punto fijo en −1,1 .
𝑝 = 2 + 5 = 4.236 ∉ −1,1
Sea 𝒈 𝒙 = 𝝅 +
1)
𝟏
𝟐
𝒙
𝟐
𝒔𝒆𝒏 . Probar si se tiene un único punto fijo en 𝟎 ,𝟐𝝅 .
Existe 𝑔′ 𝑥 .
𝑔 𝑥 =𝜋+
1
2
𝑠𝑒𝑛
𝑥
2
1
4
𝑔′ 𝑥 = cos
⇒
𝑥
2
3) Se tiene que 𝑔 𝑥 es continua 0 ,2𝜋 y
⃒𝑔′ 𝑥 ⃒ ≤ 𝐾 < 1, ∀𝑥 ∈
2) Los máximos y mínimos absolutos, para
encontraremos los puntos críticos.
Si 𝑔′ 𝑥 = 0 ⇒
1
𝑥
1
cos
𝑥
4
2 cos 4
= 0 ⇒ cos
2
𝑥
2
=0
𝑥
⇒
= 90 ⇒ 𝑥 = 180 ⇒ 𝑥 = 𝜋
2
Entonces:
1
𝑔 0 = 𝜋 + 2 𝑠𝑒𝑛
0
2
1
𝑔 2𝜋 = 𝜋 + 2 𝑠𝑒𝑛
1
𝑔 𝜋 = 𝜋 + 2 𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
⇒ 𝒈 𝟐𝝅 = 𝛑
Luego:
⃒
1
𝑥
cos
4
2
⃒≤
1
4
< 1, ∀𝑥 ∈ 0 ,2𝜋 , cuando
𝑥=0
∴ Tiene un único punto fijo en 0 ,2𝜋
⇒ 𝒈 𝟎 = 𝝅=3.1416
2𝜋
2
esto
0, 2𝜋
Minimo
⇒ 𝒈 𝝅 = 3.6415 Máximo
Dada la ecuación polinomial 2𝑥 2 − 𝑥 − 5 = 0 , halle algunas
posibilidades de Funciones de Iteraciones de g(x).
a) 𝑥 = 2𝑥 2 − 5
b) 𝑥 =
𝑥+5
2
c) 𝑥 =
5
2𝑥−1
despejando el segundo termino.
despejando x del primer término.
factorizando x
y despejando
Cada una se denomina función de Iteración para encontrar
una raíz de la ecuación, al escoger alguna de ellas se
efectúa el algoritmo.
Dada la ecuación polinomial 𝑥 2 − 𝑥 − 2 = 0 , halle algunas
posibilidades de Funciones de
Iteraciones de g(x).
a) 𝑥 = 𝑥 2 − 2 ⟹ 𝑔 𝑥 = 𝑥 2 − 2
b) 𝑥 = 𝑥 + 2 ⟹ 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 2
2
2
2
c) 𝑥 = 𝑥 2 − 2 ⟹ 1 = 𝑥 − 𝑥 ⟹ 1 = 𝑥 − 𝑥 ⟹ 𝑔 𝑥 = 1 + 𝑥
Cada una se denomina función de Iteración para
encontrar una raíz de la ecuación, al escoger alguna de
ellas se efectúa el algoritmo.
¿La ecuación polinomial
raíz en 𝟏, 𝟐
𝒙𝟑 + 𝟒𝒙𝟐 − 𝟏𝟎 = 𝟎 , tiene una
Hay varias funciones de iteración de dicha ecuación
polinomial; es decir hay muchas maneras de convertirlas en
𝑥 = 𝑔 𝑥 , entre ellas tenemos:
1)
2)
3)
𝑥 = 𝑥 − 𝑥 3 − 4𝑥 2 + 10 ⟹ 𝑔1 𝑥 = 𝑥 − 𝑥 3 − 4𝑥 2 + 10
x=
𝑥=
1
3
10−x 2
2
10
4+𝑥
1
2
⟹ g2 x =
⟹ 𝑔3 𝑥 =
1
3
10−x 2
2
10
4+𝑥
1
2
Como 𝑥0 = 1.3 tenemos (Trabajar con 9 dígitos)
𝒙𝟏 = 𝟐. 𝟑𝟒𝟑𝟎
⇒ 𝟏 𝒕𝒆𝒏𝒆𝒎𝒐𝒔: 𝟐. 𝟑𝟒𝟑𝟎 − 𝟐. 𝟑𝟒𝟑𝟎 𝟑 − 𝟒 𝟐. 𝟑𝟒𝟑𝟎
= −𝟐𝟐. 𝟒𝟕𝟕𝟖𝟒𝟑𝟔𝟏𝟎
𝟐
+ 𝟏𝟎
1)
𝒊
3)
0
1.3
1
2.3430
1.373605639
2
-22.477843610
1.364165634
3
9323.51644
1.365365454
4
-8.10824573 x 1011
1.365212782
5
5.33065009 x 1035
1.365232206
6
1.3
1.365229734
Debemos señalar que 1) es divergente; pero tenemos UN
MEJOR RESULTADO en 3)
¿La ecuación polinomial
raíz en 𝟏, 𝟐
𝒙𝟑 + 𝟒𝒙𝟐 − 𝟏𝟎 = 𝟎 , tiene una
Hay varias funciones de iteración de dicha ecuación
polinomial; es decir hay muchas maneras de convertirlas
en 𝑥 = 𝑔 𝑥 , entre ellas tenemos:
1)
2)
𝑥 = 𝑥 − 𝑥 3 − 4𝑥 2 + 10 ⟹ 𝑔1 𝑥 = 𝑥 − 𝑥 3 − 4𝑥 2 + 10
x=
1
10−x3 2
2
3) 𝑔3 𝑥 = 𝑥 =
⟹ g2 x =
10
4+𝑥
1
2
1
10−x3 2
2
⟹ 𝑔3 𝑥 =
10
4+𝑥
1
2
Como 𝑥0 = 1.5 tenemos (Trabajar con 9 dígitos)
𝑥1 = −0.875
⇒ 1 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠: −0875 − −0.875
3
− 4 −0.875
2
+ 10 = 6.73 … .
1)
2)
0
1.5
1.5
1
-0.875
1.286953
2
6.73242185
1.402541
3
-469.71958
1.3454581
𝑖
4
1.375170
5
1.360094
6
1.367847
Debemos señalar que 1) es divergente; pero tenemos UN
MEJOR RESULTADO en 2)
10 −
𝑔2 𝑥 =
2
1
3
𝑥 2
𝑥0 = 𝑔 𝑥0 = 1.5
𝑥1 = 𝑔 𝑥0 = 𝑔 1.5 =
10
1
− 1.53 2
2
= 1.286953
1
3 2
𝑥2 = 𝑔 𝑥1 = 𝑔 1.286953
10 − 1.286953
=
2
= 1.402541
1
3 2
𝑥3 = 𝑔 𝑥2 = 𝑔 1.402541
𝑥4 =….
10 − 1.402541
=
2
= 1.3454581
COROLARIO
Sea 𝒈 ∈ 𝑪 𝒂 𝒃 , 𝐠 𝒙 ∈ 𝒂 𝒃 , ∀ 𝐱 ∈ 𝒂 𝒃 , ∃ , 𝒈′ 𝒙 ∀ 𝐱 ∈ 𝒂 𝒃
; ⃒𝒈′ 𝒙 ⃒ ≤ 𝒌 < 𝟏, ∀𝒙 ∈ 𝒂 𝒃
𝒌𝒏
⇒ ⃒𝑷𝒏 − 𝒙𝟎 ⃒ ≤
⃒𝒙𝟏 − 𝒙𝟎 ⃒, ∀ 𝒏 ≥ 𝟏
𝟏−𝒌
OBSERVACION
1) Si K es muy cercano a cero ⇒ La sucesión
Converge rápidamente.
2) 2) Si K es muy cercano a uno
Converge muy lentamente.
𝑃𝑛
𝑛≥1
⇒ La sucesión 𝑃𝑛
𝑛≥1
3) 3) La rapidez de la convergencia dependerá del factor
𝑘𝑛
:
1−𝑘
ALGORITMO DEL PUNTO FIJO
ENTRADA:
𝒙𝟎 = Valor inicial
𝑬 = Error
𝑵 = Numero máximo de iteraciones
1) 𝒊 = 𝟏
2) Mientras 𝒊 ≤ 𝑵, hacer los pasos 3,4,5
3) 𝒙𝒊 = 𝒈 𝒙𝒊−𝟏
4) Sí
⃒𝒙 − 𝒙𝟎 ⃒ < 𝑬
Entonces
Imprimir 𝒙
Terminar
5) De lo contrario
Hacer 𝒊 = 𝒊 + 𝟏
6) Actualizar 𝒙𝟎
7) Imprimir “Mensaje” El Método no converge a una raíz y
terminar.
EJEMPLO
En un laboratorio de Análisis Mineral Cuantitativo se desea
saber la cantidad de reactivo para un experimento ,
empleando
la función
consideró la iteración
𝑓 𝑥 = 0.5 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 1 , para ello se
𝑥 = 0.5 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 1 , con un valor inicial
cero.
Iterar hasta que el error aproximado porcentual sea menor
a 0.001%. (8 dígitos)
Tenemos : 𝑔 𝑥 = 0.5 𝑠e𝑛 𝑥 + 1
𝑥0 = 𝑔 𝑥0 = 0
𝑥1 = 𝑔 𝑥0 = 𝑔 0 = 0.5 𝑠e𝑛 0 + 1 = 1
𝑥2 = 𝑔 𝑥1 = 𝑔 1 = 0.5 sen 1 + 1 = 1.420735492
𝑥3 = 𝑔 𝑥2 = 𝑔 1.420735492 = 0.5 𝑠e𝑛 1.420735492 + 1
= 1.494380993
𝑥4 = ⋯
𝑥5 = ⋯
1.420735492 − 1
𝑬𝒂𝒑𝒓𝒐𝒙 % =
𝒙 𝟏𝟎𝟎%
1.420735492
⟹ 𝑬𝒂𝒑𝒓𝒐𝒙 % = 29.61392141
1.494380993 − 1.420735492
𝑬𝒂𝒑𝒓𝒐𝒙 % =
𝒙 𝟏𝟎𝟎%
1.494380993
⟹ 𝑬𝒂𝒑𝒓𝒐𝒙 % = 4.928160981
𝒊
𝒙𝒊
𝑬𝒂𝒑𝒓𝒐𝒙 %
0
0
0
1
1
100%
2
1.420735492
29.61392141%
3
1.494380993
4.928160981%
4
1.498540884
0.277596097%
5
1.498695356
0.010307098%
6
1.498700925
0.000371617% ≤ 𝟎. 𝟎𝟎𝟏%
EJEMPLO:
Utilice el método de Punto Fijo para localizar la raíz de
𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝑥
con un valor inicial es 0.5 e iterar
hasta que el error aproximado porcentual sea menor o
igual a 0.01%.
Tenemos como función de iteración: 𝑔 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 .
Tenemos que:
𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝑥 ⟹ 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ⟹ 𝑔 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥
Tenemos 𝑔 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 :
𝑥0 = 𝑔 𝑥0 = 0.5
𝑥1 = 𝑔 𝑥0 = 𝑔 0.5 = 𝑠𝑒𝑛 0.5 = 0.649636939
𝑥2 = 𝑔 𝑥1 = 𝑔 0.649636939 = 𝑠𝑒𝑛 0.649636939 = 0.721523797
𝑥3 = 𝑔 𝑥2 = 𝑔 0.721523797 = 𝑠𝑒𝑛 0.721523797 = 0.750901166
𝑥4 = 𝑔 𝑥3 = 𝑔 0.750901166 = 𝑠𝑒𝑛 0.750901166 = 0.762096851
0.649636939 − 0.5
𝐸𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥 % =
𝑥 100% ⟹ 𝐸𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥 % = 23.03393330
0.649636939
0.721523797 − 0.649636939
𝐸𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥 % =
𝑥 100% ⟹ 𝐸𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥 % = 9.963199869
0.721523797
𝒊
𝒙𝒊
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0.5
0.649636939
0.721523797
0.750901166
0.762096851
0.766248143
0.767771654
0.768328660
0.768532022
0.768606231
10
0.768633063
𝑬𝒂𝒑𝒓𝒐𝒙 %
23.03393327
9.963199869
3.912281713
1.469063281
0.541768621
0.198432827
0.072495669
0.026461097
0.009655139 ≤ 0.01%
EJEMPLO:
Aplique el método de iteración de punto fijo
para
determinar una solución con una exactitud estimada de
10−2 ,
intervalo
de
la
función
𝑓 𝑥 = 𝑥 4 − 3𝑥 2 − 3
1, 2 .
Sea 𝑔 𝑥 = 𝑥 −
𝑥 4 −3𝑥 2 −3
4𝑥 3 −6𝑥
y considere
𝑥0 = 1
en
un
𝑓 𝑥) = 𝑥4 − 3𝑥2 − 3
f(x)
Función iteración = g(x)
𝑥 4 − 3𝑥 2 − 3
𝑔 𝑥) = 𝑥 −
4𝑥 3 − 6𝑥
1
Error Estimado=
0.01
𝒊
𝒙𝒊
𝝃𝒔
0
1
2
3
4
5
6
1.00000000
-1.50000000
-2.54166667
-2.15790111
-1.98489478
-1.94862107
-1.94712544
2.50000000
1.04166667
0.38376556
0.17300633
0.03627371
0.00149562
f(x)
Función iteración = g(x)
Xo
Error Estimado=ξ_s
1
0.01
𝒊
𝒙𝒊
0
1.00000000
1
1.56508458
0.56508458
2
1.79357288
0.22848830
3
1.88594374
0.09237086
4
1.92284784
0.03690410
5
1.93750754
0.01465970
6
1.94331693
0.00580939
𝝃𝒔
EJEMPLO:
Utilice el método de Punto Fijo para localizar la raíz de
𝒇 𝒙 = 𝒙 − 𝒔𝒆𝒄 𝒙 /𝟐 con un valor inicial es 0.5 e iterar hasta
que el error aproximado porcentual sea menor o igual a
0.1%.
Tenemos que:
𝑓 𝑥 = 𝑥 − 𝑠𝑒𝑐 𝑥/2 ⟹ 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐𝑥/2 ⟹ 𝑔 𝑥 = sec 𝑥/2
Tenemos 𝒈 𝒙 = 𝒔𝒆𝒄 𝒙/𝟐
𝒊
𝒙𝒊
0
0.5
1
0.523598776
4.50703414
2
0.509863372
2.69393812
3
0.517885183
1.5489556
4
0.5132097
0.91102791
5
0.515937969
0.52879797
6
0.51434704
0.30931045
7
0.515275124
0.18011422
8
0.514733843
0.1051574
𝑬𝒂𝒑𝒓𝒐𝒙 %