6 Fourier intro

Análisis de Fourier
Objetivo
 Exponer las relaciones de la transformada de Fourier con
las señales y los sistemas que las generan.
 Interpretar el significado físico de la Transformada de
Fourier y sus propiedades.
 Representar las funciones racionales en el plano complejo
y sus implicaciones en el comportamiento de las señales.
 El alumno deberá entender las las diversas propiedades
de la transformada de Fourier con particular atención en
las interpretaciones físicas respectivas.
 Al finalizar esta unidad el alumno deberá ser capaz de
entender la importancia y utilidad las transformaciones
directa e inversa de Fourier.
2
Introducción
Composición de la Luz
Desde la antigüedad se cuestiona la naturaleza de la luz
y de sus fenómenos ópticos, en particular el significado del
arcoiris.
●
Los antiguos griegos asumían que la luz viajaba en línea
recta. Por su parte la corriente pitagórica sostenía que
cada objeto emitía un flujo ininterrumpido de partículas. A
su vez Aristóteles concluyó que la luz viajaba en ondas.
●
En 1637 Descartes publica una teoría sobre la refracción
la luz y su naturaleza ondulatoria en analogía a las
propiedades de propagación del sonido en distintos
medios y los cambios de velocidad al pasar por ellos.
●
Introducción
Composición de la Luz
En 1704 Newton publica en su obra «Opticks» su teorías
sobre la reflexión y refracción de la luz, donde consideraba
a esta última como un flujo de partículas y no como ondas.
●
Sin embargo sus experimentos con prismas permitieron
determinar que la luz está compuesta por componentes
fundamentales « eigenvectores » los cuales combinados
entre sí producen la luz blanca.
●
Introducción
Composición de señales
La noción general es que cualquier señal podría estar
compuesta por multitud de elementos individuales, e.g.
Instrumentos musicales:
●
Introducción
Propósito del análisis de Fourier
Ser capaz de expresar cualquier señal en términos
de sus componentes básicos para su análisis o
modificación.
●
Cabe recordar que las señales son básicamente la
descripción de un fenómeno físico.
●
Resulta ser que las señales sinusoidales son
justamente los componentes fundamentales de todas
las señales existentes.
●
Introducción
Oscilaciones
Existe una gran cantidad de sistemas dinámicos con
patrones de movimiento circular (oscilatorios).
●
http://www.animations.physics.unsw.edu.au/jw/phasor-addition.html
Introducción
Oscilaciones
Introducción
Oscilaciones
●
Periodo (ts)
Introducción
Oscilaciones
●
Periodo (ts)
●
Frecuencia (1/ts)
Introducción
Facetas del análisis de Fourier
●
●
Análisis :
●
Del dominio del Tiempo al de la Frecuencia
●
Determinar la contribución de distintas frecuencias
●
Descubrir propiedades ocultas en este dominio
Síntesis :
●
Del dominio de la Frecuencia al del Tiempo
Crear o ajustar señales a componentes específicos
de frecuencia
●
Un problema típico
• Dada una señal de entrada x(t), ¿Cual es la señal
de salida del sistema y(t) después de pasar por él?
X(t)
y(t) ?
Filtro
t
Recurrimos a las transformaciones para evitarnos
complicaciones
Un problema típico
• Si tenemos un filtro pasa bajos de primer orden
con un resistor R y un capacitor C:
• El sistema se describe mediante la ec. diferencial:
RCy' (t )+y(t )=x (t )
Recurrimos a las transformaciones para evitarnos la
integración de la respuesta del sistema
Convolución
• Operador matemático (*) que combina 2 funciones de
entrada, e.g.: x(t) y h(t) para producir una tercera:
y(t)
y (t )  x (t )  h (t )   x (t   )h ( )d
• La cual expresa la magnitud del traslape de la función
x(t) y la función h(t) a medida que una señal se recorre
sobre la otra.
Convolución
Suavizado
Convolución
• La convolución es muy utilizada en el
procesamiento de imágenes (e.g.: Difuminado
gaussiano 2D)
*
=
Delta de Dirac δ(t)
Convolución con la delta de Dirac δ(t)
• La convolución de una señal con la delta de Dirac
(t) produce simplemente la misma señal a la
salida
Convolución como operador de retardo
• La convolución con una delta recorrida (t-)
produce un corriemiento (retardo) de la señal
original (x(t-)).
(t-)
Propiedades de la Convolución
• Debido a que la convolution es un operador lineal,
entonces posee las típicas propiedades lineales:
–
–
–
–
Conmutatividad
Asociatividad
Distributividad
Multiplicación escalar
Resolviendo usando la convolución
• El filtro pasa bajos de primer orden:
• El sistema se describe por su respuesta al impulso:
• Solución: Convolución con la respuesta al impulso x(t)
Resolviendo usando la convolución
• La Convolución es tardada y costosa para calcularse.
• Sugerencias de salidas y(t).
Interpretación Física
Jean-Baptiste Fourier en 1807:
Cualquier función
periódica puede ser reescrita como una suma
ponderada de senos y
cosenos de diferentes
frecuencias.
Conocidas como Series de
Fourier
Construcción: Pulsos cuadrados
Otros ejemplos
La T. de Fourier expande esta idea
• Cualquier señal (periódica y no-periódica) en el dominio
del tiempo puede descomponenrse en series de senos y
cosenos en el dominio de la frequencia.
T. de Fourier: Definición Formal
+∞
F(ω)=∫−∞ f (x)e
−j ω x
dx
1 +∞
j ωx
f (x)= ∫−∞ F(ω)e d ω
2π
• Convención: Con Mayúsculas se identifican las variables
transformadas al dominio de la frecuencia:
• Transformada directa: F{ x(t) } = X() or X(f)
• Transformada Inversa:
F-1{Y() or Y(f) }= y(t)
(=2f)
TF entrega números complejos
• Se produce una salida con números complejos
– Los coeficientes Coseno son reales
– Los coeficientes Seno son imaginaios
Planos Complejo
• Los números Complejos
pueden representarse:
1) Combinación de parte real +
parte imaginaria:
x +iy
2) Amplitud + Fase
A and 
Representación alternativa de TF
• Los números complejos pueden también ser
representados como: amplitud + fase.
Ejemplos de transformada de Fourier
Señales rápidas vs señales lentas
Ejemplos de transformada de Fourier
Dominio del tiempo t
Dominio en la Frecuencia 
Real
Real
Real
Ejemplos de transformada de Fourier
Dominio del tiempo t
Dominio en la Frecuencia 
Función Coseno
Ejemplos de transformada de Fourier
Dominio del tiempo t
Dominio en la Frecuencia 
Función Seno
Ejemplos de transformada de Fourier
Dominio del tiempo t
Dominio en la Frecuencia 
Real
Real
« DC component »
Propiedades de la T de Fourier
• Aditividad
F {a (t )  b(t )}  A( )  B ( )
• Multiplicación escalar
F {ka (t )}  kA( )
• Convolución en el tiempo t
F {x (t )  h (t )}  F {x (t )}F {h (t )}  X ( ) H ( )
• Convolución en la frecuencia 
F
−1
{ X ( ω)∗H ( ω) }=2πx( t )h (t )
FT : dualidad tiempofrecuencia
Dominio del Tiempo
Dominio en Frecuencia
“Angosto”
“Amplio”
“Amplio”
“Angosto”
Multiplicación
Convolución
Convolución
Multiplicación
Box
Sinc
Sinc
Box
Gauss
Gauss
Real + Par
Real+Par (sólo cosenos)
Real + Inpar
Im + Inpar (sólo senos)
Etc..
Etc..
Ejemplo : Transformada Fourier
¿ Que pasa cuando el ancho de banda |Y(f)| de una señal de
voz (limitada a 5 kHz) se multiplica por un coseno f = 15 kHz?
(i.e.: Modulación en Amplitud  radio AM )
Solución FT
Dominio del tiempo
Dominio de la
frecuencia
FT Gaussian Blur
Dominio del espacio 2D
Dominio de la frecuencia
Teorema de muestreo
• Con el fin de ser utilizado dentro de un sistema
digital, una señal continua debe ser convertida en
una secuencia de valores discretos.
• Esto se hace mediante el muestreo de la señal
continua en intervalos regulares de tiempo.
• Pero en qué intervalo?
Teorema de muestreo
• El muestreo puede
realizarse al
multiplicar la señal
mediante un tren de
pulsos  (impulsos):
Aliasing
• Si la frecuencia de muestreo es muy baja en comparación
de la frecuencia de la señal, ocurrirá el efecto aliasing:
Una señal diferente será representada (i.e.: un alias)
Análisis de Fourier del P. de Muestreo
• La transformada de Fourier de un tren de pulsos de
frecuencia fs es otro tren de pulsos con intervalo 1/fs ,
pero en el dominio del tiempo:
Dominio del
tiempo
Dominio de la
frecuencia
Análisis de Fourier del P. de Muestreo
Dominio del
tiempo
-fmax
fmax
• El Aliasing ocurre si fs <2 fmax
– Frecuencia de Nyquist = fs / 2
Dominio de la
frecuencia
Análisis de Fourier del P. de Muestreo
Dominio del
tiempo
-fmax
fmax
• El Aliasing ocurre si fs <2 fmax
– Frecuencia de Nyquist = fs / 2
Dominio de la
frecuencia
Análisis de Fourier del P. de Muestreo
Muestreo continuo : Nyquist & Shannon
●
El teorema de muestreo sirve de puente entre las señales
analógicas y las digitales, al relacionar ambos tipos de señales
bajo la siguiente fórmula:
sin (π(t−nT S )/T S )
x(t )= ∑ x [n]
π(t−nT S )/T S
n=-∞
∞
Transformada Discreta de Fourier
Facetas del análisis de Fourier
●
●
Análisis :
●
Del dominio del Tiempo al de la Frecuencia
●
Determinar la contribución de distintas frecuencias
●
Descubrir propiedades ocultas en este dominio
Síntesis :
●
Del dominio de la Frecuencia al del Tiempo
Crear o ajustar señales a componentes específicos
de frecuencia
●
Transformada Discreta de Fourier
Marco matemático
●
Aplicación en señales de longitud finita :
●
Vectores / arreglos en ℂN
El análisis de Fourier básicamente representa un
cambio de sistema coordenado
●
Dicho cambio permite observar el mismo fenómeno
desde una perspectiva completamente distinta.
●
Si el cambio de sistema coordenado es el adecuado,
podemos descubrir características antes ocultas para
el marco de referencia anterior.
●
Transformada Discreta de Fourier
Marco matemático
Transformada Discreta de Fourier
Marco matemático
Transformada Discreta de Fourier
Sistema coordenado para ℂN
Se propone un sistema de coordenadas con N
vectores
2π
●
w k [n]= e
j
N
nk
n ,k =0,1,. .. , N−1
Donde n representa el índice que apunta o recorre los
N-elementos en cada vector, mientras que k es el índice
que indica de cual vector del conjunto también N se
está tratando.
●
●
El sistema se propone como un sistema ortogonal
Transformada Discreta de Fourier
Sistema coordenado para ℂN
Se propone un sistema de coordenadas con N
vectores
2π
●
w k [n]= e
j
2π
nk
N
j
N
nk
n ,k =0,1,. .. , N−1
El elemento e
representa una exponencial
compleja cuya frecuencia fundamental ω está definida
por:
2π
El índice k determina la frecuencia
ω=
k
N
fundamental del vector ortogonal
●
Transformada Discreta de Fourier
Sistema coordenado para ℂN
●
Usando la notación vectorial
k
{w } k=0,1,. .., N −1
con
w
(k )
n
=e
j
2π
nk
N
se define el sistema de vectores ortogonales
Transformada Discreta de Fourier
Sistema coordenado para ℂN
●
Usando la notación vectorial
k
{w } k=0,1,. .., N −1
con
w
(k )
n
=e
Im
2π
j
nk
N
w1 [3]
1
w1 [2]
w1 [1]
2π/N
-1
w1 [0]
-1
Re
1
k=1
Transformada Discreta de Fourier
Sistema coordenado para ℂN
●
Usando la notación vectorial
k
{w } k=0,1,. .., N −1
con
w
(k )
n
=e
2π
j
nk
N
Im
1
w2 [2]
w2 [1]
(2π/N)*2
Re
-1
w2 [0]
1
w1 [3]
-1
k=2
Transformada Discreta de Fourier
Sistema coordenado w(0) ∊ ℂN
Re
Im
N = 64
Transformada Discreta de Fourier
Sistema coordenado w(0) ∊ ℂN
Re
w
Im
(0)
n
=e
j
2π
n⋅0
N
=1
N = 64
Transformada Discreta de Fourier
Sistema coordenado w(1) ∊ ℂN
Re
Im
N = 64
Transformada Discreta de Fourier
Sistema coordenado w(1) ∊ ℂN
Re
Im
N = 64
2π
ω=
(1)
N
Transformada Discreta de Fourier
Sistema coordenado w(2) ∊ ℂN
Re
Im
N = 64
Transformada Discreta de Fourier
Sistema coordenado w(2) ∊ ℂN
Re
Im
N = 64
2π
ω=
(2)
N
Transformada Discreta de Fourier
Sistema coordenado w(3) ∊ ℂN
Re
Im
N = 64
Transformada Discreta de Fourier
Sistema coordenado w(3) ∊ ℂN
Re
Im
N = 64
2π
ω=
(3)
N
Transformada Discreta de Fourier
Sistema coordenado w(4) ∊ ℂN
Re
Im
N = 64
Transformada Discreta de Fourier
Sistema coordenado w(5) ∊ ℂN
Re
Im
N = 64
Transformada Discreta de Fourier
Sistema coordenado w(12) ∊ ℂN
Re
Im
N = 64
Transformada Discreta de Fourier
Sistema coordenado w(16) ∊ ℂN
Re
Im
N = 64
Transformada Discreta de Fourier
Sistema coordenado w(16) ∊ ℂN
Re
Im
N = 64
2π
ω=
(16) = π
64
2
Transformada Discreta de Fourier
Sistema coordenado w(17) ∊ ℂN
Re
Im
N = 64
Transformada Discreta de Fourier
Sistema coordenado w(23) ∊ ℂN
Re
Im
N = 64
Transformada Discreta de Fourier
Sistema coordenado w(30) ∊ ℂN
Re
Im
N = 64
Transformada Discreta de Fourier
Sistema coordenado w(31) ∊ ℂN
Re
Im
N = 64
Transformada Discreta de Fourier
Sistema coordenado w(32) ∊ ℂN
Re
Im
N = 64
Transformada Discreta de Fourier
Sistema coordenado w(32) ∊ ℂN
Re
Im
2π
ω = ⋅32 = π
64
N = 64
Transformada Discreta de Fourier
Sistema coordenado w(33) ∊ ℂN
Re
Im
N = 64
Transformada Discreta de Fourier
Sistema coordenado w(34) ∊ ℂN
Re
Im
N = 64
Transformada Discreta de Fourier
Sistema coordenado w(35) ∊ ℂN
Re
Im
N = 64
Transformada Discreta de Fourier
Sistema coordenado w(61) ∊ ℂN
Re
Im
N = 64
Transformada Discreta de Fourier
Sistema coordenado w(62) ∊ ℂN
Re
Im
N = 64
Transformada Discreta de Fourier
Sistema coordenado w(63) ∊ ℂN
Re
Im
N = 64
Transformada Discreta de Fourier
Sistema coordenado: Ortogonalidad
●
Prueba:
N−1
⟨w
(k )
,w
(h)
⟩=
∑ (e
n =0
* : conjugado
*
2π
j
nk
N
)e
j
2π
nh
N
Transformada Discreta de Fourier
Sistema coordenado: Ortogonalidad
●
Prueba:
∑ (e
*
2π
j
nk
N
N−1
2π
(h−k ) n
N
N −1
⟨w
(k )
,w
(h)
⟩=
)e
n =0
* : conjugado
⟨w
(k )
,w
(h)
⟩=
∑e
n =0
j
j
2π
nh
N
Transformada Discreta de Fourier
Sistema coordenado: Ortogonalidad
●
Prueba:
N−1
⟨w
(k )
,w
(h)
⟩=
∑e
n =0
I)
h=k → e
j
2π
(0)n
N
j
2π
(h−k ) n
N
Transformada Discreta de Fourier
Sistema coordenado: Ortogonalidad
●
Prueba:
N−1
⟨w
(k )
,w
(h)
⟩=
∑e
n =0
I)
h=k → e
j
2π
(0)n
N
= 1+i0
j
2π
(h−k ) n
N
Transformada Discreta de Fourier
Sistema coordenado: Ortogonalidad
●
Prueba:
N−1
⟨w
(k )
,w
(h)
⟩=
∑e
j
2π
(h−k ) n
N
n =0
I)
h=k → e
j
2π
(0)n
N
= 1+i0
N −1
∑
n=0
=N
Transformada Discreta de Fourier
Sistema coordenado: Ortogonalidad
●
Prueba:
N−1
⟨w
(k )
,w
(h)
⟩=
∑e
j
2π
(h−k ) n
N
n =0
N −1
II)
h≠k
usamos la propiedad :
∑
n= 0
N
1− a
a =
1
1−a
n
Transformada Discreta de Fourier
Sistema coordenado: Ortogonalidad
●
Prueba:
N−1
⟨w
(k )
,w
(h)
⟩=
∑e
j
2π
(h−k ) n
N
n =0
N −1
II)
h≠k
usamos la propiedad :
∑
n= 0
N −1
∑e
n=0
j
2π
n
N
=
1− e j 2π (h−k )
1−e
j
2π
(h−k )
N
N
1− a
a =
1
1−a
n
Transformada Discreta de Fourier
Sistema coordenado: Ortogonalidad
●
Prueba:
N−1
⟨w
(k )
,w
(h)
⟩=
∑e
j
2π
(h−k ) n
N
n =0
N −1
II)
h≠k
usamos la propiedad :
∑
n= 0
N −1
∑e
n=0
j
2π
n
N
=
1− e j 2π (h−k )
1−e
j
2π
(h−k )
N
N
1− a
a =
1
1−a
n
Transformada Discreta de Fourier
Sistema coordenado: Ortogonalidad
●
Prueba:
N−1
⟨w
(k )
,w
(h)
⟩=
∑e
j
2π
(h−k ) n
N
n =0
N −1
II)
h≠k
usamos la propiedad :
1
N −1
∑e
n=0
j
2π
n
N
=
1− e j 2π (h−k )
1−e
j
2π
(h−k )
N
∑
n= 0
N
1− a
a =
1
1−a
n
Transformada Discreta de Fourier
Sistema coordenado: Ortogonalidad
●
Prueba:
N−1
⟨w
(k )
,w
(h)
⟩=
∑e
j
2π
(h−k ) n
N
n =0
N −1
II)
h≠k
N −1
∑e
n=0
usamos la propiedad :
0
j
2π
n
N
=
1− e j 2π (h−k )
1−e
j
2π
(h−k )
N
∑
n= 0
N
1− a
a =
1
1−a
n
Transformada Discreta de Fourier
Sistema coordenado: Ortogonalidad
●
Prueba:
N−1
⟨w
(k )
,w
(h)
⟩=
∑e
j
2π
(h−k ) n
N
n =0
N
⟨w
(k )
,w
(h )
⟩=
para h=k
1−e j 2 π (h−k )
1− e
2π
j
(h−k )
N
=0
para h ≠k
Transformada Discreta de Fourier
Sistema coordenado: Ortogonalidad
La definición de N vectores ortogonales forman el
sistema coordenado para el espacio ℂN
●
El espacio aún no es ortonormal ya que los vectores
no están normalizados.
●
●
El factor de normalización deberá ser : 1 / √N
⟨w
(k)
,w
(k)
⟩=N
Transformada Discreta de Fourier
Sistema coordenado
●
Notación de la señal :
w k [ n ]= e
●
2π
j
nk
N
n , k=0,1,. .. , N −1
Notación vectorial :
{w
(k)
} k=0,1,. .. , N−1
(k)
n
con w = e
j
2π
nk
N
Transformada Discreta de Fourier
Expansión del Sistema
●
Análisis :
X k = ⟨w
●
(k)
, x⟩
Síntesis :
1
x=
N
N −1
∑ Xk w
k=0
(k)
Transformada Discreta de Fourier
Expansión del Sistema
●
Análisis :
X k = ⟨w
●
(k)
, x⟩
Síntesis :
1
x=
N
N −1
∑ Xk w
(k)
k=0
Ya que el sistema NO está normalizado, se incluye 1/N en la fórmula de Síntesis
Transformada Discreta de Fourier
Expansión del Sistema
●
Señal en notación vectorial :
̄x =
∑ xk e
−(k)
Transformada Discreta de Fourier
Expansión del Sistema
●
Señal en notación vectorial :
̄x =
∑ xk e
−(k)
δ [n−k ]
Transformada Discreta de Fourier
Expansión del Sistema
●
Señal en notación vectorial :
̄x =
∑ xk e
−(k)
Transformada Discreta de Fourier
Expansión del Sistema
●
Señal en notación vectorial :
̄x =
∑ xk e
−(k)
Síntesis
1
̄x =
N
N −1
∑ Xk
k=0
w
(k)
Transformada Discreta de Fourier
Expansión del Sistema
●
Señal en notación vectorial :
̄x =
∑ xk e
−(k)
Síntesis
1
̄x =
N
N −1
∑ Xk
k=0
w
(k)
Transformada Discreta de Fourier
Expansión del Sistema
●
Señal en notación vectorial :
̄x =
∑ xk e
−(k)
Componentes
sinusoidales
Síntesis
1
̄x =
N
N −1
∑ Xk
k=0
w
(k)
Transformada Discreta de Fourier
Expansión del Sistema
●
Señal en notación vectorial :
̄x =
∑ xk e
−(k)
Componentes
sinusoidales
Síntesis
1
̄x =
N
N −1
∑ Xk
w
k=0
X k = coeficientesobtenidos durante el análisis
(k)
Transformada Discreta de Fourier
Expansión del Sistema: Forma matricial
●
Análisis :
X =W x
●
Síntesis :
1
H
x= W X
N
Transformada Discreta de Fourier
Expansión del Sistema: Forma matricial
●
●
−j
WN = e
Si se define :
2π
N
Se puede definir la matriz W, con W [k,n] =
[
1
1
W= 1
1
1
W1
W2
W
N −1
W
1
W2
W4
…
1
W3
W6
2 ( N −1 )
3( N −1)
W
W
…
1
… W ( N −1 )
… W 2 ( N −1 )
…
W
( N −1 )2
]
kn
N
Conjugado
de cada
vector en
cada
renglón
Transformada Discreta de Fourier
Expansión del Sistema: Forma matricial
X =W x
Transformada Discreta de Fourier
Expansión del Sistema: Forma matricial
X =W x
0 → DC
-1/8 → 1/8 fc
-2/8 → 1/4 fc
-3/8 → 3/8 fc
+f
-4/8 → 1/2 fc
-5/8 → 5/8 fc
-6/8 → 3/4 fc
-7/8 → 7/8 fc
-f
Transformada Discreta de Fourier
Expansión del Sistema: Forma matricial
●
Análisis :
X =W x
●
Síntesis :
1
H
x= W X
N
Transformada Discreta de Fourier
Expansión del Sistema: Forma matricial
●
Análisis :
X =W x
X Nx1 ← W NxN x Nx1
●
Síntesis :
1
H
x= W X
N
x Nx1 ← W
H
NxN
X Nx1
Transformada Discreta de Fourier
Expansión del Sistema: Viendo la señal
●
Análisis :
X[k]=
N −1
∑ x [ n]e
−j
2π
nk
N
,
k =0,1,2,. .. , N−1
n=0
Señal de N puntos en el dominio de la frecuencia
●
Síntesis :
1
x [ n] =
N
N−1
∑
X [k ] e
j
2π
nk
N
,
n=0,1,2,. .. , N −1
k =0
Señal de N puntos en el dominio del tiempo
Transformada Discreta de Fourier
DFT de x[n] = δ[n],
N −1
X[k]=
x[n] ∈ ℂN
−j
∑ δ [n] e
n= 0
2π
nk
N
N=16
Transformada Discreta de Fourier
DFT de x[n] = 1,
x[n] ∈ ℂN
N −1
X[k]=
−j
∑e
n=0
2π
nk
N
= N δ[ k ]
N=16
Transformada Discreta de Fourier
DFT de x[n] = 3cos(2πn/16), x[n] ∈ ℂ64
2π
x [ n] = 3cos
n
16
( )
2π
x [ n] = 3cos (
4n )
64
[
3
x [ n] =
e
2
j
2π
4n
64
−j
+e
N=64
ω=2π/64
jω
−j ω
e +e
cos ω =
2
2π
4n
64
] = 32 [ e
3
x [ n] = ( w 4 [ n]+ w 60 [n] )
2
j
2π
4n
64
+e
j
2π
60n
64
]
Transformada Discreta de Fourier
DFT de x[n] = 3cos(2πn/16), x[n] ∈ ℂ64
X [ k ] = ⟨w k [n] , x [n]⟩
⟨
⟨
3
= w k [n] ,
w 4 [ n]+ w60 [n] )
(
2
⟩ ⟨
3
= w k [n] ,
w 4 [n] +
2
X[k]=
96
0
para k = 4 ,60
para los demás
⟩
3
w k [n] ,
w 60 [ n]
2
⟩
Transformada Discreta de Fourier
DFT de x[n] = 3cos(2πn/16), x[n] ∈ ℂ64
Re
Im
Transformada Discreta de Fourier
DFT de x[n]=3cos(2πn/16 + π/3), x[n] ∈ ℂ64
2π
x [ n] = 3cos
n+ π
16
3
(
)
2π
x [ n] = 3cos (
4n + π )
64
3
[
3
x [ n] =
e
2
j
2π
4n
64
[
e
3
x [ n] =
e
2
jπ
3
jπ
3
−j
+e
2π
4n
64
N=64
ω=2π/64
−j π
3
e
w 4 [ n]+ e
−j π
3
]
w 60 [n ]
]
Transformada Discreta de Fourier
DFT de x[n]=3cos(2πn/16 + π/3), x[n] ∈ ℂ64
X [ k ] = ⟨w k [n] , x [n]⟩
X[k]=
⟨
⟩ ⟨
π
3 j3
wk [ n],
e w 4[ n ] +
2
j π /3
X[k]=
96 e
− jπ/3
96 e
0
π
3 −j 3
w k [ n] , e
w 60 [ n]
2
para k = 4
para k = 60
para los demás
⟩
Transformada Discreta de Fourier
DFT de x[n]=3cos(2πn/16 + π/3), x[n] ∈ ℂ64
Re
Im
Transformada Discreta de Fourier
DFT de x[n]=3cos(2πn/16 + π/3), x[n] ∈ ℂ64
|x[k]|
∠x[k]
Transformada Discreta de Fourier
DFT de x[n] = 3cos(2πn/10), x[n] ∈ ℂ64
2π
2π 2π
6<
<
7
64
10
64
Debido a que no coincide
con los componentes
primarios del espacio, se
necesita hacer la
transformación numérica
N=64
ω=2π/64
Matlab / Octave
N=64;
n=[0:N-1];
x=3*cos((2*pi*n)/10);
res=fft(x);
Transformada Discreta de Fourier
DFT de x[n] = 3cos(2πn/10), x[n] ∈ ℂ64
Re
6y7
Im
58 y 59
Transformada Discreta de Fourier
DFT de x[n] = 3cos(2πn/10), x[n] ∈ ℂ64
|x[k]|
6y7
∠x[k]
58 y 59
Transformada Discreta de Fourier
DFT de Escalón de longitud-M ∈ ℂ64
N=64
M −1
X[k]=
∑
h =0
δ [ n−h] ,
n=0,1,. .. N −1
M=4
Transformada Discreta de Fourier
DFT de Escalón de longitud-M ∈ ℂ64
M −1
X[k]=
∑
δ [ n−h] ,
n=0,1,. .. N−1
h =0
Aplicando la transformada:
●
N −1
X[k]=
∑ x [ n]e
−j
n=0
X[k]=
1−e
−j
1−e
2π
kM
N
2π
−j
k
N
2π
nk
N
M−1
=
∑
e
−j
2π
nk
N
n=0
M −1
∑
n=0
M
1−a
a =
1− a
n
Transformada Discreta de Fourier
DFT de Escalón de longitud-M ∈ ℂ64
1−e
X[k]=
−j
1−e
2π
kM
N
−j
− j π kM
N
X[k]=
e
e
Real
2π
k
N
−j α
2
e
j π kM
N
[e
[e
−j π k
N
sin π Mk
N
X[k]=
sin π k
N
(
(
1−e
)
−jα
jπ k
N
)e
−e
−j π kM
N
−j π k
N
−e
]
− j π ( M− 1) k
N
(e
jα
2
−e
]
2j sin α
2
Imaginaria
−j α
2
)
Transformada Discreta de Fourier
DFT de Escalón de longitud-M ∈ ℂ64
sin π Mk
N
X[k]=
sin π k
N
(
(
)
)e
− j π ( M− 1) k
N
∣ ∙ ∣= 1
X [ 0] = M, a partir de la definición de la sumatoria
X [ k ] = 0 si el factor Mk / N es entero (0≤k < N )
∠ X [k ] es linear para todo k (excepto en los cambios
de signo en la parte real)
Transformada Discreta de Fourier
DFT de Escalón de longitud-4 ∈ ℂ64
Re
Im
16
32
N
= 16
M
48
Transformada Discreta de Fourier
DFT de Escalón de longitud-4 ∈ ℂ64
|x[k]|
∠x[k]
16
32
N
= 16
M
48
Transformada Discreta de Fourier
DFT de Escalón de longitud-4 ∈ ℂ64
∠x[k]
La fase en realidad no se limita a un intervalo de 2π
sino que progresa junto con la magnitud de la señal.
●
Muchos paquetes (e.g. Matlab/Octave) la representan
sin embargo alrededor del intervalo [ -π, π ]
●
●
La fase pude extenderse adicionando múltiplos de 2π
Transformada Discreta de Fourier
Interpretación de la Transformada
|x[k]|
0
N/2
frecuencias < π (ccw)
N-1
Transformada Discreta de Fourier
Interpretación de la Transformada
|x[k]|
0
N/2
N-1
frecuencias > π (cw)
Transformada Discreta de Fourier
Interpretación de la Transformada
|x[k]|
0
bajas frecuencias
N/2
Altas frecuencias
N-1
bajas frecuencias
Transformada Discreta de Fourier
Interpretación de la Transformada
DFT de x[n] = 1 (mínima vel.),
x[n] ∈ ℂ64
|x[k]|
0
bajas frecuencias
N/2
Altas frecuencias
N-1
bajas frecuencias
Transformada Discreta de Fourier
Interpretación de la Transformada
DFT de x[n] = cos(πn)
|x[k]|
DFT de x[n] =(-1)n
0
bajas frecuencias
(máx. vel.),
N/2
Altas frecuencias
x[n] ∈ ℂ64
N-1
bajas frecuencias
Transformada Discreta de Fourier
Distribución de Energía
●
Teorema de Parseval:
N −1
2
∥x∥ =
1
∣x [n ]∣ =
∑
N
n=0
2
2
∑∣α k∣
N −1
∑ ∣X [ k ]∣
2
k=0
La magnitud cuadrática del k-ésimo coeficiente de la
DFT es proporcional a la energía de la señal contenida
en la frecuencia ω = (2π / N) k
Transformada Discreta de Fourier
Distribución de Energía
|x[k]|
4
DFT de x[n] = 3cos(2πn/16),
60
x[n] ∈ ℂ64
La energía está concentrada en los 2 componentes de
la DFT (4:CCW y 60:CW) que corresponden a la única
frecuencia de la señal.
Transformada Discreta de Fourier
Distribución de Energía
|x[k]|
DFT de x[n] = escalón M=4,
x[n] ∈ ℂ64
La energía está distribuida principalmente en las bajas
frecuencias aunque se aprecia que casi TODOS los
componentes de la DFT participan en la señal.
Transformada Discreta de Fourier
Simetría de los Coeficientes
0 1 2 3 4 5
N=6, Longitud par
0 1 2 3 4
N=5, Longitud impar
∣X [ k ]∣ =∣X [ N−k ]∣ para k =1,2,. .. ,[ N /2]
Correspondencia de los coeficientes
Transformada Discreta de Fourier
Simetría de los Coeficientes
Para determinar representar la magnitud en realidad
sólo es necesario emplear [N/2]+1 coeficientes
0 1 2 3 4 5
N=6, Longitud par
0 1 2 3 4
N=5, Longitud impar
FT Gaussian Blur
Dominio del espacio 2D
*
=
Dominio de la frecuencia
Which Transform to Use?
Continuous
Domain
Discrete
Domain
Signal
Processing
Fourier T.
Discrete F.T.
(DFT/FFT)
Control Theory
Laplace T.
z-Transform
Application