1. Funciones de varias variables-Lord Barrera
1.1
Introducción
Hasta ahora conocemos funciones de una variable, es decir, funciones cuyo dominio es
un conjunto de números reales y cuyo rango también es un conjunto de números reales.
Sin embargo, la descripción de muchos fenómenos exige considerar un mayor número de
variables de manera simultánea. Algunas situaciones se presentan en los siguientes casos:
1. La cantidad de agua en una represa puede depender de la cantidad de lluvia precipitada y de la cantidad de agua consumida por lo residentes locales.
2. La demanda de mantequilla puede depender del precio de esta y de la margarina.
3. La producción de una empresa de manufactura, puede depender de la cantidad de
capital invertido en la planta y el tamaño de la fuerza laboral.
4. La oferta y la demanda de un bien o producto depende no solo del precio, si no
también de los precios de los productos relacionados, del nivel de los ingresos, del
tiempo de atención y otros factores más.
5. Las utilidades dependerán no solo de la producción de un artículo sino también
de los niveles de producción de diversos bienes y de la combinación de diferentes
máximos.
6. La demanda de un bien depende del precio del bien, de los gustos del consumidor, de las rentas de los diferentes consumidores, y de los precios de los bienes
complementarios y sustitutos, etc.
Capítulo 1 Funciones de varias variables-Lord Barrera
10
1.2
Planos y superficies
Funciones con una variable independiente, tal como f (x) = cos x, o ecuaciones en dos
variables tales como x2 + y2 = 1, describen curvas en R2 . A continuación tomaremos una
tercera variable y consideraremos funciones de dos variables independientes (por ejemplo,
f (x, y) = x2 + xy) y ecuaciones de tres variables (por ejemplo, x2 + y2 − 2z2 = 1). En esta
sección estudiaremos ecuaciones que pueden ser descritas por superficies y las dibujaremos
en R3 ; un plano es el ejemplo más simple de este tipo de superficie.
1.2.1
Ecuaciones de planos
DEFINICIÓN
Ecuación del plano
Sea P ∈ R3 un punto fijo y u, v vectores no nulos y no paralelos en R3 . Definimos
la ecuación vectorial del plano Π como sigue
Π:
X = P + su + tv
s,t ∈ R
v
P
u
Los vectores u y v son llamados vectores de dirección del plano Π y se dice que
el plano Π es generado por los vectores u y v.
Ejemplo 1.1. Determinar la ecuación vectorial del plano que pasa por el punto (1, 1, 3)
y con vectores de dirección (1, −2, 5) y (3, 3, 4).
Solución. De acuerdo a la definición tenemos
Π:
s,t ∈ R
(x, y, z) = (1, 1, 3) + s(1, −2, 5) + t (3, 3, 4)
Observación 1.1. Haciendo en la definición anterior
X = (x, y, z),
p = (x0 , y0 , z0 ),
u = ( u1 , u2 , u3 )
y
v = (v1 , v2 , v3 )
obtenemos
Π:
x = x0 + su1 + tv1 ,
y = y0 + su2 + tv2 ,
z = z0 + su3 + tv3
Estas son llamadas ecuaciones paramétricas del plano Π.
s,t ∈ R
1.2 Planos y superficies
11
Observemos también lo siguiente: desde que u y v no son paralelos, el vector u × v
es un vector no nulo y perpendicular a los vectores u y v. O sea, u × v es un vector
perpendicular al plano generado por los vectores u y v. El vector n = u × v se llama
vector normal al plano Π. Este no es precisamente el único vector normal a Π, en
realidad cualquier vector normal a dicho plano tiene la forma a n con a ∈ R no nulo.
Sea P(x0 , y0 , z0 ) un punto fijo del plano Π, y sea n = (a, b, c) un vector normal a
dicho plano. Si X (x, y, z) es un punto general del plano, se tiene que
Π:
n · (X − P) = 0
y reemplazando coordenadas podemos escribir
Π:
(a, b, c) · (x − x0 , y − y0 , z − z0 ) = 0
o también
Π:
a(x − x0 ) + b(y − y0 ) + c(z − z0 ) = 0
(1.1)
que es llamada ecuación cartesiana del plano Π.
Si hacemos d = −(ax0 + by0 + cz0 ), la relación (1.1) se convierte en
Π:
ax + by + cz + d = 0
(1.2)
llamada ecuación general del plano Π.
Finalmente, tomando la ecuación general (1.2), es inmediato considerar un vector normal
a Π como el vector n = (a, b, c).
Ejemplo 1.2. Determine la ecuación del plano Π que contiene al punto (−3, 1, 3) y es
perpendicular al vector n = (2, 4, 8).
Solución.
Primera forma: por la fórmula (1.1) el plano Π consiste de los puntos (x, y, z) tal
que
2(x + 3) + 4(y − 1) + 8(z − 3) = 0
⇔
2x + 4y + 8z − 22 = 0
Segunda forma: desde que n = (2, 4, 8) es un vector normal al plano Π, su ecuación
es
2x + 4y + 8z + d = 0
y como (−3, 1, 3) ∈ Π, se consigue
2(−3) + 4(1) + 8(3) + d = 0
⇔
d = −22
luego el plano es
Π:
2x + 4y + 8z − 22 = 0
Capítulo 1 Funciones de varias variables-Lord Barrera
12
Ejercicios
Ejercicio 1.1. Si (1, 2, −1) pertenece al plano 2x − ay + z = −5, entonces el valor de
a resulta
(A) − 3
(B) 2
(C) − 2
(D) − 2
(E) 3
Ejercicio 1.2. El punto (−1, 2, 3) pertenece al plano
(A) x − y + 3z = 8 (B) 2x − y + z = −1
(C) 2x − 3y + z = 5
(D) − x + 2y + z = 4
(E) 3x − y + z = 7
Ejercicio 1.3. Determine un vector normal al plano −x + 3y + 2z = 6.
Ejercicio 1.4. Determine la ecuación del plano con vector normal (1, 1, 1) y que pasa
por el punto (0, 1, 0).
Ejercicio 1.5. En cada caso, determine la ecuación del plano que pasa por los puntos
dados
(a) (1, 0, 3), (0, 4, 2) y (1, 1, 1)
(b) (−1, 1, 1), (0, 0, 2) y (3, −1, −2)
(c) (2, −1, 4), (1, 1, −1) y (−4, 1, 1)
(d) (5, 3, 1), (1, 3, −5) y (−1, 3, 1)
Ejercicio 1.6. En cada caso, determine los puntos donde el plano interseca a los ejes de
coordenadas y las ecuaciones de las rectas que resultan de intersecar dicho plano con los
planos coordenados.
(a) 3x − 2y + z = 6
(b) −4x + 8z = 16
(c) x + 3y − 5z = 30
(d) 12x − 9y + 4z + 72 = 0
(e) −3x + 2y + z = 12
(f) 3x − y − 6z = 24
Ejercicio 1.7. En cada caso, grafique la ecuación dada
(a) 5x + 2y + z = 10
(b) 3x + 2z = 9
(c) −y − 3z + 6 = 0
(d) 3x + 4y − 2z = 12
(e) −x + 2y + z = 4
(f) 3x − y − 6 = 0
1.2 Planos y superficies
13
Ejercicio 1.8. (Modelando una data). La data de abajo muestra las ventas netas, x, (en
miles de millones de dólares), los activos totales, y, en (miles de millones de dólares), y
el patrimonio líquido de los accionistas, z, (en miles de millones de dólares), para APPLE
entre los años 2006 − 2011.
Año
2006
2007
2008
2009
2010
2011
x
19.3
24.6
37.5
42.9
65.2
108.2
y
17.2
24.9
36.2
47.5
75.2
116.4
z
10.0
14.5
22.3
31.6
47.8
76.6
Un modelo de ajuste para esta data es
z = f (x, y) = 0.035x + 0.640y − 1.77
(a) Utilice una calculadora para para aproximar z de acuerdo a los valores de x e y.
(b) ¿Cuál de las dos variables en este modelo tiene más influencia sobre el patrimonio
líquido de los accionistas?
(c) Grafique la ecuación del plano z = 0.035x + 0.640y − 1.77.
Capítulo 1 Funciones de varias variables-Lord Barrera
14
1.2.2
Superficies cuádricas
A continuación describiremos algunas superficies cuádricas, éstas se definen por
ecuaciones de la forma
Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0
para algunas constantes A, B, . . . , J (no todas nulas). Recordemos que la norma de un
vector v = (a, b, c) es
p
kvk = k(a, b, c)k = a2 + b2 + c2
y la distancia d (C, X ) entre los puntos C (a, b, c) y X (x, y, z) es
q
d = (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2
DEFINICIÓN
La esfera
La esfera S es el conjunto de puntos en el espacio los cuales distan una constante r
de un punto fijo C. Es decir
S = X ∈ R3 : kX −Ck = r
que equivale a lo siguiente
S:
(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = r 2
El punto fijo C se llama centro de la esfera y la constante r es el radio.
z
r
C
y
x
Ejemplo 1.3. Determine la ecuación de la esfera que pasa por el origen O(0, 0, 0) y cuyo
centro es C (1, 2, 3).
Solución. Es claro que el radio es
q
√
r = d(O,C ) = (1 − 0)2 + (2 − 0)2 + (3 − 0)2 = 14
Luego
S:
(x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 = 14
1.2 Planos y superficies
15
A continuación describiremos al cilindro circular recto. En esta parte nos concentraremos en los cilindros cuyos ejes son paralelos a los ejes de coordenadas.
DEFINICIÓN
El cilindro circular recto
El cilindro circular recto resulta de trasladar una recta L a lo largo de una circunferencia base C en R3 de tal manera que L es siempre perpendicular al plano que
contiene a C.
z
z
L
y
C
C
( a, b, 0 (
x
y
( a, b, 0 (
x
La ecuación del cilindro cuya base es la circunferencia (contenida en el plano xy), centrada
en (a, b, 0) y de radio r es
(x − a)2 + (y − b)2 = r 2
De manera similar, los otros cilindros son:
z
z
y
y
x
x
cuyas ecuaciones son, respectivamente,
(y − b)2 + (z − c)2 = r 2
y
(x − a)2 + (z − c)2 = r 2
Observación 1.2. El concepto de cilindro también puede ser extendido a curvas de base
C que no sean circunferencias. Por ejemplo, podemos mencionar cilindros cuya curva de
base es una parábola, o una elipse, etc.
Capítulo 1 Funciones de varias variables-Lord Barrera
16
Otra cuádrica importante es el elipsoide como se define a continuación:
DEFINICIÓN
El elipsoide
El elipsoide con centro C (x0 , y0 , z0 ) tiene ecuación
(x − x0 )2 (y − y0 )2 (z − z0 )2
+
+
=1
a2
b2
c2
La ecuación del elipsoide con centro en el origen de coordenadas es
z
x 2 y2 z2
+ + =1
a2 b2 c2
Debe saber que el valor |a| es el punto sobre
el semieje positivo x, el valor |b| es el punto
sobre el semieje positivo y, y el valor |c| es
el punto sobre el semieje positivo z.
0
y
x
En el caso r = a = b = c se tiene precisamente la esfera de radio r.
Ejemplo 1.4. Grafique el elipsoide cuya ecuación es
(x − 1)2 (y − 2)2 (z − 3)2
+
+
=1
25
4
9
Solución. De la ecuación notamos claramente
que el centro del elipsoide es C (1, 2, 3). El
semieje paralelo al eje x mide 5 unidades; el
semieje paralelo al eje y mide 2 unidades, y
el semieje paralelo al eje z mide 3 unidades.
z
3
C
5
2
0
x
y
Ejemplo 1.5. Si en el ejemplo anterior tomamos como centro el punto (0, 0, 0), la
ecuación resulta
x2 y2 z2
+ + =1
25
4
9
Ahora bien, la intersección de esta superficie con el plano xy es una curva que resulta de
tomar z = 0, es decir
x 2 y2
+ =1
25
4
que es una elipse en el plano xy.
1.2 Planos y superficies
DEFINICIÓN
17
El hiperboloide de una hoja
El hiperboloide de una hoja centrado en el origen de coordenadas y con eje paralelo
al eje z, es la superficie que tiene por ecuación
x2 + y2 − z2 = 1
z
y
x
Veamos a continuación la definición del hiperboloide de dos hojas.
DEFINICIÓN
El hiperboloide de dos hojas
El hiperboloide de dos hojas centrado en el origen y con eje paralelo al eje x, es la
superficie que tiene por ecuación
x 2 − y2 − z2 = 1
z
x
y
La definición de hiperboloide de una hoja y de dos hojas con ejes paralelos a los otros ejes
de coordenadas es completamente similar.
Capítulo 1 Funciones de varias variables-Lord Barrera
18
DEFINICIÓN
El paraboloide
El paraboloide con vértice en el origen de coordenadas y con eje paralelo al eje z, es
la superficie que tiene por ecuación
z = x 2 + y2
z
x
0
y
Veamos a continuación la definición de silla de montar.
DEFINICIÓN
La silla de montar
La silla de montar es la superficie que tiene por ecuación
z = y2 − x 2
z
y
x
La definición de paraboloide y silla de montar que se extienden a lo largo de los otros ejes
de coordenadas, es completamente similar.
1.2 Planos y superficies
DEFINICIÓN
19
El cono
El último tipo de superficie cuádrica que debemos considerar es el cono con vértice en
el origen de coordenadas y con eje paralelo al eje z. Esta es la superficie que tiene por
ecuación
x 2 + y2 = z2
z
y
x
La intersección de esta superficie con el plano z = k es una circunferencia, excepto cuando
k = 0 que resulta el punto (0, 0, 0). Similarmente, al intersecar esta superficie con un
plano paralelo al eje z, la curva de intersección que resulta es una hipérbola, excepto
cuando el plano contiene al eje z que resultan dos rectas cruzadas.
Ejemplo 1.6. Consideremos el cono con ecuación z2 = x2 + y2 . Al despejar z en función
de x e y, conseguimos
p
p
z = x2 + y2
o
z = − x 2 + y2
cuyas gráficas son, respectivamente, los conos de una hoja como se ven en la figura de
abajo:
z
z
0
y
0
y
x
x
Capítulo 1 Funciones de varias variables-Lord Barrera
20
Ejercicios
Ejercicio 1.1. ¿Cuál de las ecuaciones corresponde a un cilindro parabólico paralelo al
eje y?
(A) y = x2
(B) y = −z2
(C) 2y = z2
(D) 3z = x2
(E) y = z2 + 1
Ejercicio 1.2. La curva que resulta de intersecar la superficie y = x2 + z2 con el plano
z = 1 es una
(A) Parábola
(B) Circunferencia
(C) Elipse
(D) Recta
(E) Un punto
Ejercicio 1.3. Dibuje el cilindro x = z2 en R3 .
Ejercicio 1.4. En cada caso, ¿cuál es el nombre de la superficie definida por la ecuación?
x2 z2
(a) y = +
4
8
y2
2
(b) x + + 2z2 = 1
3
z2
2
(c) −y − + x1 = 1
2
Ejercicio 1.5. Mediante completamiento de cuadrados en x, y o z si fuera necesario,
identifique y dibuje cada superficie cuádrica.
(a) (x − 1)2 + (y + 1)2 = (z + 3)2
(b) z = 4x2 + (y + 2)2
(c) 4x2 + y2 + z2 + 8x = 0
(d) 4x2 + y2 − 4z2 + 8x − 4y + 4 = 0
Ejercicio 1.6. Bosqueje la región sólida E limitada por las superficies de ecuaciones
y = 1,
y = 3,
z = 4,
4z = x2 + y2
y el plano yz.
Ejercicio 1.7. Considere las superficies en el primer octante, con ecuaciones
S1 :
y2 + z2 = 4,
S2 :
2x + 3y = 6,
S3 :
x=0
(a) Grafique las superficies en un mismo sistema de coordenadas.
(b) Bosqueje la región sólida E limitada por dichas superficies.
(c) Dibuje la proyección de E sobre los planos coordenados.
Ejercicio 1.8. Sea E la región limitada por la parte del cilindro z = 1 − y2 , ubicada en
el primer octante y situada entre los planos verticales x + y = 1 y x + y = 3.
(a) Bosqueje la región sólida E limitada por dichas superficies.
(b) Dibuje la proyección de E sobre el plano xy.
1.2 Planos y superficies
21
Ejercicio 1.9. Sea E el sólido en el primer octante limitado por las superficies
x2 + z2 = 4,
x + y = 2,
z = 4,
y = 0,
x=0
(a) Grafique el sólido E.
(b) Dibuje la proyección de E sobre el plano yz.
Ejercicio 1.10. (Intersecando un plano y un elipsoide). Sea SE el elipsoide x2 /9 +
y2 /4 + z2 = 1; SP el plano z = Ax + By, y C la intersección de SE con SP .
(a) ¿Es C una elipse para todos los valores de A y B? Explique
(b) Dibuje e interprete la situación para el cual A = 0 y B 6= 0.
(c) Determine la ecuación de la proyección de C sobre el plano xy
Ejercicio 1.11. Grafique el elipsoide
x2 y2
+ + z2 = 1
4
9
¿Es posible encontrar una función f (x, y) de tal manera que el elipsoide pueda considerarse como la gráfica de z = f (x, y)? Explique.
Superficies cuádricas. En los siguientes ejercicios se dan ecuaciones de superficies
cuádricas.
(a) Encuentre los puntos de intersección con los ejes de coordenadas (caso existan).
(b) Determine las ecuaciones de las curvas que resultan de la intersección con los planos
coordenados.
(c) Haga una gráfica de la superficie.
Ejercicio 1.12. (Elipsoides).
y2 z2
(a) x2 + + = 1
4
9
z2
(b) 4x2 + y2 + = 1
2
Ejercicio 1.13. (Paraboloides elípticos).
(a) x = y2 + z2
x2 z2
(b) 2y − −
=0
8 18
Ejercicio 1.14. (Hiperboloides de una hoja).
x2 y2
(a)
+ − z2 = 1
25
9
y2 z2 x 2
(b)
+ −
=1
4
9 16
Ejercicio 1.15. (Conos elípticos).
(a) 4y2 + z2 = x2
y2
(b) x2 + = z2
4
22
Capítulo 1 Funciones de varias variables-Lord Barrera
Ejercicio 1.16. (La catedral de Brasilia). Ubicada en la capital de la Republica Federativa de Brasil fue diseñada por Niemeyer en la década de los 60. La superficie externa de
este edificio tiene la forma de un hiperboloide con las dimensiones que se muestran en la
figura adjunta. Determine la ecuación de este hiperboloide. Propuesto por Joaquín Pérez.
z
Diámetro de la base: 60 metros
27 metros
40 metros
y
x
27 m
60 m
20 m
Ejercicio 1.17. (Litotriptor). Un litotriptor es un equipo que localiza y visualiza cálculos
renales, sincronizando automáticamente ultraReflector
sonido y rayos X para pulverizar con ondas de elipsoidal
Zona
choque (sin cirugía) cálculos (piedras) en las
focal
Descarga
eléctrica
vías urinarias y permitir su eliminación con la
F1
F2
orina, el 90 % de las personas que presentan
cálculos renales pueden ser tratadas por este
procedimiento. Si la distancia entre los focos
es de 1.60 metros, la distancia del foco F2
al fondo del reflector es de 200 cm, el plato reflector tiene 80 cm de profundidad y 1.80
metros de ancho circular.
(a) Determine la ecuacion del elipsoide que modele el diseño del plato reflector.
(b) Si la onda de ultrasonido demora 0.001 segundo en recorrer 1 metro, ¿cuánto
demorara la onda en recorrer desde el foco F1 al foco F2 ? Propuesto por Joaquín
Pérez.
1.3 Dominio, rango y aplicaciones
1.3
23
Dominio, rango y aplicaciones
Muchos problemas de la vida cotidiana involucran en su solución dos o más variables.
Por ejemplo, si queremos calcular el volumen que ocupa un edificio, debemos considerar
no solo el ancho, largo y altura, sino también la función que describe la superficie del techo.
En esta sección resolveremos este tipo de problemas usando funciones de varias variables.
DEFINICIONES
Funciones de dos y tres variables
Una función real de dos variables x, y es una regla f que asigna a cada par
(x, y) de un conjunto X ⊆ R2 un único elemento f (x, y). El conjunto X es llamado
dominio de f y denotado por dom( f ). También definimos el rango de f como el
conjunto
rang( f ) = { f (x, y) ∈ R : (x, y) ∈ X}
De manera similar se define una función real de tres variables.
Una función de dos variables puede ser pensada como una máquina donde solo hay una
salida f (x, y) para cada entrada (x, y) como se muestra en la figura adjunta:
Entrada x Entrada y
Máquina f
Salida
f (x , y (
Ejemplo 1.7. La función f (x, y) = y − x2 asocia a cada punto (x, y) ∈ R2 el número
y − x2 ; así por ejemplo
f (1, 2) = 2 − 12 = 2 − 1 = 1
f (3, 3) = 3 − 32 = 3 − 9 = −6
El dominio de esta función es todo R2 ya que la expresión y − x2 existe para cualquier
par de números reales x e y.
p
Ejemplo 1.8. La
función
f
(
x,
y,
z
)
=
1 − x2 − y2 − z2 asocia a la terna (x, y, z) ∈ R3
p
el número real
1 − x2 − y2 − z2 . Por ejemplo
p
(1, 0, 0) 7→ f (1, 0, 0) = 1 − 12 − 02 − 02 = 0
dom( f ) = {(x, y, z) ∈ R3 : 1 − x2 − y2 − z2 ≥ 0}
= {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ 1}
Capítulo 1 Funciones de varias variables-Lord Barrera
24
Ejemplo 1.9. Durante un estudio de la demanda de leche realizado por R. Frish y T.
Haavelmo, encontraron la relación
C (A, p, r ) =
Ar2.08
p1.5
con
A>0
donde C es la cantidad consumida de leche, p es el precio relativo y r es el ingreso
mensual por familia. Evalúe C (3, 1.1, 9), C (3, 2.1, 8) y C (3, 3.1, 7).
Solución. Ejercicio para el estudiante.
DEFINICIÓN
Función de Cobb-Douglas
La función de producción de Cobb-Douglas es una función de la forma
Q(L, K ) = αLs K t
α >0
y
0 < s,t < 1
donde L es el tamaño de la fuerza laboral en horas - trabajador y K es el capital
invertido. Los números α, s y t se llaman parámetros tecnológicos.
Ejemplo 1.10. (Producción en una fábrica). Consideremos el caso de una fábrica donde
la salida es dada por la función de producción
de Cobb - Douglas definida por
Q(L, K ) = 60L2/3 K 1/3
unidades
siendo L el tamaño de la fuerza laboral medida
en horas - trabajador y K es la inversión del
capital medido en miles de soles.
(a) Calcule la producción si se emplean 1000 horas - trabajador y se invierte un capital
de 512 000 soles.
(b) Muestre que la producción en el ítem (a) se duplica si tanto la fuerza laboral como
el capital, ambos se duplican.
Solución. (a) Evaluando Q(L, K ) con L = 1000 y K = 512 conseguimos
Q(1000, 512) = 60(1000)2/3 (512)1/3 = 60(100)(8) = 48 000 unidades
(b) Evaluando Q(L, K ) con L = 2(1000) y K = 2(512) conseguimos
Q[2(1000), 2(512)] = 60[2(1000)]2/3 [2(512)]1/3
= 60(2)2/3 (1000)2/3 (2)1/3 (512)1/3
= 96 000 unidades
1.3 Dominio, rango y aplicaciones
25
Ejercicios
Ejercicio 1.1. ¿Cuál es el valor de la función f (x, y) = x2 + y2 en el punto (−2, 1)?
(A) − 3
(C) − 5
(B) 5
(D) 3
(E) 2
Ejercicio 1.2. Los dominios de las funciones
q
f (x, y) = ln(x2 + y2 − 16)
y
g(x, y) = ln(x2 + y2 − 16)
son, respectivamente
(A) {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≥ 17}
(B) {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 > 17}
(C) {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≥ 16}
(D) {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 > 17}
(E) {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≥ 17}
:
:
:
:
:
y
y
y
y
y
{(x, y) ∈ R2
{(x, y) ∈ R2
{(x, y) ∈ R2
{(x, y) ∈ R2
{(x, y) ∈ R2
x2 + y2 ≥ 16}
x2 + y2 > 16}
x2 + y2 > 17}
x2 + y2 ≥ 16}
x2 + y2 > 16}
Ejercicio 1.3. Evalúe
cada función en los puntos dados
p
2
(a) f (x, y) = x + y2 ;
(1, 2), (−2, 3), (−3, 4)
xy + x2
;
(3, 1), (3, 4), (5, 1)
(b) g(x, y) =
x−y
(c) h(x, y) = x cos
(0, π ), (1, π/2), (−2, π/4)
y;
x
(d) l (x, y) = ln
;
(3, 1), (−1, −2), (5, 1)
Z y
y
(2t − 1)dt ;
(e) m(x, y) =
(2, 4), (−1, 1), (1, 3)
x
Ejercicio 1.4. Determine el dominio de cada una de las funciones y haga un dibujo de
tales dominios.
(a) f (x, y) = ex+y
(b) f (x, y) = ln(x2 + y2 − 1)
√
(c) f (x, y) = x − y + 1
(d) f (x, y) = |x| + |y|
1
(e) f (x, y) = p
2
x + y2 − 25
Ejercicio 1.5. Sea f (x, y) = 2x2 + 3y2 . En cada caso evalúe los cocientes.
f (x + h, y) − f (x, y)
(a)
h
f (x, y + h) − f (x, y)
(b)
h
f (x + h, y) − f (x, y)
(c) lı́m
h→ 0
h
f (x, y + h) − f (x, y)
(d) lı́m
h→ 0
h
26
Capítulo 1 Funciones de varias variables-Lord Barrera
Ejercicio 1.6. El dominio de una función z = f (x, y) es
dom( f ) = {(x, y) ∈ R2 : x2 ≤ y, y2 < 2}
(a) Represente geométricamente en el plano xy el conjunto dom( f ).
(b) Modele o construya una posible función f que tenga el dominio indicado.
Ejercicio 1.7. Suponga que la temperatura en un punto (x, y, z) ∈ R3 es dada por la
función T (x, y, z) = 2x2 + y2 + z2 y que la posición de una partícula en el tiempo t se
describe por r(t ) = (t,t 2 , et ). ¿Cuál es la temperatura en el punto ocupado por la partícula
cuando t = 1?
Ejercicio 1.8. (Ciencias sociales). Exprese el costo C de tarrajear una pared rectangular
como función su ancho A y su altura H en metros, si el costo por metro cuadrado es
S/12.
Ejercicio 1.9. (Temperatura). Una placa delgada hecha de hierro se ubica en el plano xy.
La temperatura T en grados centígrados en un punto (x, y) es inversamente proporcional
al cuadrado de la distancia al origen. Exprese T como función de x e y.
Ejercicio 1.10. (Interés compuesto continuo). Si un capital de P dólares se deposita en
una cuenta que paga una tasa de interés anual de r %, compuesto continuamente, entonces
la cantidad acumulada luego de t años es dada por
A = f (P, r,t ) = Pert dólares
Determine la cantidad acumulada luego de 3 años si se depositaron 10 000 dólares en
una cuenta que paga una tasa del 10 % anual.
Ejercicio 1.11. (Economía agraria). Ciertos estudios de economía agraria emplean
funciones de producción de la forma V = Q(L, K, T ) donde V es el volumen de la
cosecha, L el trabajo, K el capital invertido y T la superficie de la explotación agrícola.
(a) Explique el significado de Q(L, K + 1, T ) − Q(L, K, T )
(b) Muchos estudios suponen que Q es de Cobb-Douglas. ¿Qué forma tiene Q?
(c) Si Q es de Cobb-Douglas, determine Q(tL,tK,tT ) expresándola en términos de
t y Q(L, K, T )
Ejercicio 1.12. (Área de la superficie corporal). El área de la superficie corporal de un
humano (en metros cuadrados) es aproximada por A = 0.024265h0.3964 m0.5378 , donde h
es la altura (en cm) y m es la masa (en kg). En cada caso, calcule el valor de A
(a) Altura, 178 cm; masa, 72 kg
(b) Altura, 140 cm; masa, 65 kg
(c) Altura, 160 cm; masa, 70 kg
(d) Usando su masa y altura, calcule usted el área de su superficie corporal.
1.3 Dominio, rango y aplicaciones
27
Ejercicio 1.13. (Ecología). Un método de muestreo ecológico para determinar las poblaciones de animales en una área dada, implica marcar primero todos los animales obtenidos
en una muestra de R animales del área y luego soltarlos de manera que puedan mezclarse
con animales no marcados. En feccha posterior se toma una segunda muestra de M animales y se anota el número de aquellos que ya están marcados, S. Con base en R, M y
S, una estimación de la población total N de animales en el área muestreada está dada
por
RM
N = f (R, M, S) ≈
S
Calcule f (400, 400, 80). Este método se llama procedimiento de marcaje y recaptura
Ejercicio 1.14. (Índice temperatura-humedad). En días húmedos y cálidos, mucha
gente tiende a sentirse incómoda. El grado de incomodidad está dado numéricamente por
el índice temperatura-humedad, ITH, que es una función de dos variables, td y tw :
ITH = f (td ,tw ) = 15 + 0.4(td + tw )
donde td es la temperatura de bulbo seco (en grados Fahrenheit) y tw la temperatura de
bulbo húmedo (en grados Fahrenheit) del aire. Evaluar el ITH cuando td = 90 y tw = 80.
Ejercicio 1.15. (Silvicultura). La regla de Doyle para el registro de la madera es uno
de los métodos usados para determinar el rendimiento de madera que resulta de un tronco
de árbol (en pies tablares) en términos de su diámetro d (en pulgadas) y su longitud L
(en pies). El número de pies tablares se calcula mediante
d −4 2
L
N (d, L) =
4
(a) Determine el número de pies tablares de madera de un tronco de 22 pulgadas de
diámetro y 12 pies de largo.
(b) Calcule N (30, 12).
Ejercicio 1.16. (El efecto doppler). Suponga que un sonido con frecuencia f es emitido
por un objeto moviéndose a lo largo de una línea recta, con velocidad u, y que un oyente
viaja a lo largo de la misma línea en la dirección opuesta con velocidad v. Entonces la
frecuencia F recepcionada por el oyente es dada por
c−v
F=
f
c+u
donde c es la velocidad del sonido con viento en calma (esto sucede alrededor de los
1100 pies/seg). Este fenómeno es llamado efecto dopler. Suponga que un tren viaja a
100 pies/seg (aprox. 68 mph) con viento calmado, y que la frecuencia de una nota emitida
por la bocina del tren es de 500 Hz. ¿Cuál es la frecuencia de la nota escuchada por un
pasajero sobre un tren que se mueve a razón de 50 pies/seg en la dirección opuesta de
dicho tren?
28
Capítulo 1 Funciones de varias variables-Lord Barrera
Ejercicio 1.17. (Biología marina). Un biólogo marino estima que el tiempo que demora
un buceador dentro del agua, usando su equipo de buceo, se modela de acuerdo a la
ecuación
33V
T (V , x) =
0.3048x + 33
donde T es el tiempo de buceo en minutos, V es el volumen del aire comprimido en el
tanque considerando la presión a nivel del mar, y x es la profundidad del buceo en metros.
Calcule T (70, 47) y T (60, 27)
Ejercicio 1.18. (Factor de enfriamiento). Durante su investigación del invierno de 1941
en el Antártico, el doctor Paul A. Siple ideó el siguiente modelo matemático para definir el
√
factor de enfriamiento del viento: H (v, T ) = (10 v − v + 10.5)(33 − T ) donde H se
mide en kcal/m2 h, v es la velocidad del viento en m/s y T es la temperatura en grados
Celsius. Un ejemplo de este índice es: 1000 = muy frío, 1200 = implacablemente frío
y 1400 = congelamiento de la carne expuesta. Determine el factor de enfriamiento en
−6.67◦ C (20◦ F) con una velocidad del viento de 20 m/s (45 mi/h).
Ejercicio 1.19. (Intolerancia a la contaminación). De acuerdo a las investigaciones
sobre lagos contaminados, el porcentaje de peces que no sobreviven a la contaminación en
la región de la selva, puede ser estimado por la función
P(W , R, A) = 48 − 2.43W − 1.81R − 1.22A
donde W es el porcentaje del lago contaminado, R es el porcentaje de espacio de
sobrevivencia y A es el porcentaje de marisma.
(a) Use esta función para estimar el porcentaje de peces que no sobreviven a la contaminación si el 5 % del lago está contaminado, el 15 % es zona habitable, y el 0 %
es marisma.
(b) ¿Cuál es el mayor porcentaje de peces que no sobreviven a la contaminación?
(c) Describa dos escenarios los cuales permitan que el porcentaje de peces que no
sobreviven a la contaminación sea cero.
(d) ¿Qué variable tiene mayor influencia en P?
Ejercicio 1.20. (Pérdida de calor). El calor perdido (en Joules) por las crías de las focas
en una playa, puede ser aproximado por
15.2m0.67 (T − A)
10.23 ln m − 10.74
donde m es la masa del cuerpo de la cría (en kg), T y A son la temperatura corporal y
la temperatura del agua, respectivamente (en ◦ C). Para cada caso, calcule la cantidad de
calor perdido.
(a) Masa corporal, 21 kg; temperatura corporal, 36◦ C; temperatura del agua, 4◦ C.
(b) Masa corporal, 29 kg; temperatura corporal, 38◦ C; temperatura del agua, 16◦ C.
H (m, T , A) =
1.3 Dominio, rango y aplicaciones
29
Ejercicio 1.21. (Fiebre debido al dengue). En regiones tropicales, la fiebre del dengue
es un significativo problema de salud que afecta aproximadamente a 100 millones de
personas. Mediante el uso de una data desde el 2002 sobre la epidemia del dengue en
Brasil, los investigadores estimaron que la incidencia I (cantidad de nuevos casos en un
año dado) de dengue puede ser pronosticada por la siguiente función
I ( p, a, m, n, e) = (25.54 + 0.04p − 7.92a + 2.62m + 4.46n + 0.15e)2
donde p es la precipitación debido a la lluvia (mm), a es la temperatura media (en ◦ C),
n es la temperatura mínima (en ◦ C), y e es la evaporación (mm).
(a) Estime la incidencia del brote del dengue para una región con 80 mm de lluvias,
temperatura media de 23 ◦ C, temperatura máxima de 34 ◦ C, temperatura mínima
de 16 ◦ C y evaporación de 50 mm.
(b) ¿Qué variable tiene influencia negativa en el brote del dengue? Describa esta influencia y lo que se deduce matemáticamente acerca de la biología de la fiebre?
Ejercicio 1.22. (Locomoción de los animales). Un artículo titulado “sobre el movimiento de los animales” explica que la locomoción de los diferentes tamaños de animales se
pueden comparar cuando ellos tienen el mismo número de Froude, definido mediante
F=
v2
gl
donde v es la velocidad, g es la aceleración de la gravedad (9.81 m/s2 ), y l es la
longitud de la pierna del animal (en metros).
(a) Un resultado que explica el artículo es que diferentes animales cambian de trote a
galope cuando tienen el mismo número de Froude, que es aproximadamente 2.56.
Calcule la velocidad para el cual este cambio ocurre con un hurón, cuya longitud de
su pierna es 0.09 m, y un rinoceronte cuya pierna mide 1.2 m.
(b) La antiguas huellas de un saurópodo (que fue un dinosaurio hervíboro) en Texas,
fueron aproximadamente de 1 m de diámetro, correspondiendo a una pierna con
una longitud aproximada de 4 m. Usted puede realizar la tarea de verificar el valor
que resulta de dividir el tamaño de la huella y la longitud de la pierna de diversos
animales de nuestra época; esto le puede ayudar a determinar el número de Froude
para estos tipos de dinosaurios que es aproximadamente 0.025. ¿Qué tan rápido se
desplazaban los saurópodos?
Ejercicio 1.23. (Ciencias sociales). Un sastre de Gamarra produce dos modelos de sacos:
el modelo clásico y el modelo blaizer. Producir cada modelo clásico le cuesta S/210, y
producir el modelo blaizer le cuesta S/300. El costo fijo por mes que asume el sastre
es de S/6000 y la función de costo mensual es dada por C (x, y) = 6000 + 210x + 300y
donde x e y son las cantidades producidas mensualmente de los modelos clásico y
blaizer, respectivamente. Calcule C (20, 50) y C (50, 8).
30
Capítulo 1 Funciones de varias variables-Lord Barrera
Ejercicio 1.24. (Porcicultura). Cuando las cerdas gestantes de un corral estan atadas, por
lo general tienden a mostrar un comportamiento repetitivo, tales como morder su cadena
o empujar la pared del corral, esto indica un estrés crónico. Algunos investigadores han
desarrollado una función que estima la relación que hay entre el tiempo que se ocupan
en morder su cadena, la cantidad de comida con que cuentan y el tiempo que las cerdas
permanecen empujando su corral, mediante
ln(T ) = 5.49 − 3.00 ln(F ) + 0.18 ln(C )
donde T es el porcentaje de tiempo que se ocupan mordiendo la cadena, F es la cantidad
de comida para las cerdas (en kilogramos por día), y C es el porcentaje de tiempo que las
cerdas permanecen empujando sus corral.
(a) Resuelva la expresión para T .
(b) Calcule e interprete T cuando F = 2 y C = 40.
Ejercicio 1.25. (Flujo de calor en un tubo
cilíndrico). Cuando una tubería circular está
expuesta a una fuente de calor impulsada por
un ventilador, la temperatura del aire que llega
a la tubería es mayor en el punto más cercano a
la fuente (consulte el diagrama). A medida que
se mueve alrededor de la circunferencia de la
tubería lejos de la fuente, la temperatura del aire
que llega a la tubería disminuye gradualmente.
Un posible modelo de este fenómeno está dado
Ventilador
Fuente de calor
y
x
x2 + y2 = r 2
por la fórmula
T (x, y) = (T0 − TR ) sen
y
!
p
x 2 + y2
donde T es la temperatura
p del aire en un punto (x, y) en la circunferencia de un tubo
con radio exterior r = x2 + y2 , T0 es la temperatura del aire en la fuente, y TR es la
temperatura ambiente circundante. Suponga que T0 = 220◦ F, TR = 72◦ y r = 5 cm.
(a) Calcule la temperatura del aire en los puntos (0, 5), (3, 4), (4, 3), (4.58, 2) y
(4.9, 1)
(b) ¿Por qué está disminuyendo la temperatura para esta secuencia de puntos?
(c) Simplifique la fórmula usando r = 5 y utilícela para encontrar dos puntos en la
circunferencia de la tubería donde la temperatura del aire es 113◦
1.3 Dominio, rango y aplicaciones
31
Proyectos
F LUJO DE AGUA : Cuando el agua fluye de un grifo, como se muestra en la figura
(1), se contrae a medida que se acelera hacia abajo. Eso ocurre debido a que la tasa de
flujo Q, la cual se define como la velocidad por el área de la sección transversal de la
columna de agua, debe ser constante en cada nivel. En este problema suponga que las
secciones transversales de la columna de fluido son circulares
(a) Considere la columna de agua que se muestra en la figura (2). Suponga que v es
la velocidad del agua en el nivel superior, V es la velocidad del agua en el nivel
inferior a una distancia h unidades por debajo del nivel superior, R es el radio de
la sección transversal en el nivel superior y r es el radio de la sección transversal
en el nivel inferior. Muestre que la tasa de flujo Q como una función de r y R es
√
πr2 R2 2gh
Q= √
R4 − r4
donde g es la aceleración de la gravedad. (Sugerencia: Empiece expresando el
tiempo t que tarda la sección transversal del agua en caer una distancia h en
términos de u y V . Por conveniencia considere la dirección positiva hacia abajo).
(b) Determine la tasa de flujo Q (en cm3 /s) si g = 980 cm/s2 , h = 10 cm, R = 1 cm
y R = 0.2 cm.
(1)
(2)
v R
h
r
V
Capítulo 1 Funciones de varias variables-Lord Barrera
32
1.4
Gráfica de una función y curvas de nivel
En esta sección estableceremos el concepto de gráfica de una función y curvas de nivel.
Veremos que ambos conceptos están íntimamente ligados.
1.4.1
Gráfica de una función y curvas de nivel
Sea z = f (x, y) una función de dos variables definida en un dominio X del plano xy.
Si f es una función “que se comporta bien”, su gráfica es una superficie lisa del espacio.
DEFINICIÓN
Gráfica de una función
Sea f una función definida en el subconjunto X de R2 . Se define la gráfica de f
mediante
graf( f ) = {(x, y, z) ∈ R3 : z = f (x, y) con (x, y) ∈ X}
z
(x, y, f (x, y((
graf ( f
(
y
X
x
(x, y, 0 (
Este conjunto de puntos forma una superficie en el espacio tridimensional.
Ejemplo 1.11. (El paraboloide). La función
f (x, y) = x2 + y2 es una función real que tiene
como gráfica
z
graf( f ) = (x, y, z) ∈ R3 : z = x2 + y2
Si hacemos z = f (x, y), entonces
z = x 2 + y2
Esta se genera mediante la rotación de la parábola z = x2 alrededor del eje z.
0
x
y
Ejemplo 1.12. Describa el conjunto que resulta como gráfica de la función f (x, y) =
1 − x − y. Haga un dibujo de él.
Solución. Ejercicio para el estudiante.
1.4 Gráfica de una función y curvas de nivel
33
Curvas de nivel
Una segunda manera de visualizar una función de dos variables es usando un campo
escalar de tal manera que z = f (x, y) corresponde al punto (x, y). Un campo escalar
puede ser caracterizado por curvas de nivel (o líneas de contorno) a lo largo del cual
el valor de f (x, y) es constante. Por ejemplo, el mapa meteorológico en la figura (a)
muestra curvas de nivel de igual presión llamadas isóbaras. En los mapas meteorológicos
para el cual las curvas de nivel representan puntos de igual temperatura, las curvas de nivel
son llamadas isotermas, como muestra la figura (b). Otro uso común de las curvas de
nivel es representado en campos potenciales eléctricos. En este tipo de mapa, las curvas de
nivel se llaman líneas equipotenciales.
(a)
(b)
Las curvas de nivel muestran las líneas de igual
presión (isóbaras) medidas en milibares
Las curvas de nivel muestran las líneas de igual temperatura (isotermas) medidas en grados Fahrenheit
Los mapas de contorno son comúnmente usados para mostrar regiones en la superficie
de la Tierra, donde las curvas de nivel representan la altura sobre el nivel del mar. Este
tipo de mapa es llamado mapa topográfico. Por ejemplo, la montaña en la figura (a) es
representado por el mapa topográfico en la figura (b).
(c (
( d(
Un mapa de contorno retrata la variación de z con respecto a x e y mediante el espacio
entre las curvas de nivel. Demasiado espacio entre las curvas de nivel indica que z cambia
lentalente, mientras que poco espacio significa que el cambio en z es rápido. Además
para producir una buena ilustración tridimensional e un mapa de contorno, es importante
elegir los valores de z que son uniformemente espaciados.
Capítulo 1 Funciones de varias variables-Lord Barrera
34
En la práctica, graficar una función de dos variables, resulta dificultosa en muchos
casos. Para hacerlo más fácil, introduciremos curvas de nivel como se ve a continuación:
DEFINICIÓN
Curvas de nivel
Sea f una función definida en X ⊆ R2 y sea k ∈ R. Se define la curva de nivel de
altura k mediante
f −1 (k) = {(x, y) ∈ X : f (x, y) = k}
La curva de nivel es la intersección de la superficie z = f (x, y) con el plano z = k.
z
y
Nivel z = k
-1
f (k(
y
x
x
Ejemplo 1.13. El rango de f (x, y) = x2 + y2 es rang( f ) = [0, +∞). Además
f −1 (0) = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 0}
f −1 (1) = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}
f −1 (4) = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 4}
f −1 (9) = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 9}
y
-1
f (0( :
-1
f (1( :
0
1
2
z
x2 + y2 = 0
x2 + y2 = 1
x
3
-1
f (4( :
-1
f (9( :
x2 + y2 = 4
x2 + y2 = 9
0
y
x
1.4 Gráfica de una función y curvas de nivel
35
Ejercicios
Ejercicio 1.1. Indique el punto que pertenece a la gráfica de f (x, y) = x2 + y2
(A) (1, 1, 1)
(B) (2, 3, 4)
(C) (1, 1, 2)
(D) (1, 2, 6)
p
Ejercicio 1.2. El rango de la función f (x, y) = 16 − 4x2 − y2 es
(A) [0, 4]
(B) [0, 16]
(C) [0, +∞)
(E) (1, 3, 9)
(D) [0, 2]
(E) [4, 8]
Ejercicio 1.3. La curva de nivel de altura k para la función f (x, y) = x2 − 3y2 es
(A) x2 − 3y2 = k
(B) 3x2 − y = k
(C) x2 + 3y2 = k
(D) x2 − 3y2 = −k
(E) 3x2 + y = k
Ejercicio 1.4. Si f (x, y) = x2 y/(x4 + y2 ), entonces f (x, mx) es igual a
(A)
mx
2
x + m2
(B)
mx2
x 2 + m2
(C)
mx
4
x + m2
(D)
mx
2
x + m3
(E)
m2 x 2
x 2 + m2
Ejercicio 1.5. La curva de nivel de f (x, y) = 12 − 2x − 3y de altura k = 4 tiene por
ecuación
(A) 2x + 3y = 8
(B) 2x + 3y = −8
(C) 2x + 3y = 12
(D) 2x + 3y = −12
(E) 2x + 3y = 6
Ejercicio 1.6. Sea la función f con regla de correspondencia f (x, y) = ln(x + y)2 . ¿Cuál
de las siguientes gráficas representa alguna curva de nivel de f ? Justifique su respuesta.
y
(a (
y
(b(
y = ex
y = -x
1
x
x
-1
y = e-x
y
(c (
y
(d(
1
-1
1
1
-1
x
-1
1
-1
x
36
Capítulo 1 Funciones de varias variables-Lord Barrera
Ejercicio 1.7. Determine el valor de verdad de la siguiente proposición: todas las rectas
de ecuación y = mx son curvas de nivel de la función
f (x, y) =
xy
x 2 + y2
,
x 6= 0
Justifique su respuesta.
Ejercicio 1.8. (Isóbaras). Curvas que representan una presión constante son llamadas
x2
isóbaras. La presión en un punto (x, y) de un plano es P(x, y) = 2
. Dibuje en el
x + y2
plano, las isóbaras para P = 1/10, 1/5, 1/2.
Ejercicio 1.9. (Isotermas). Curvas que representan una temperatura constante son llamadas isotermas. La temperatura en un punto (x, y) de un plano es t ◦ C, donde t = 4x − y2 .
Dibuje en el plano las isotermas para t = −4, 0, 8.
Ejercicio 1.10. (Curvas equipotenciales). Si V (x, y) =
4
(x − 2)2 + (y + 3)2
es el vol-
taje en un punto (x, y) del plano xy, y las curvas de nivel de V son conocidas como
curvas equipotenciales, dibuje las curvas equipotenciales para V = 1/2, 1/4, 1, 2, 4.
p
Ejercicio 1.11. Sea la función f (x, y) = |x| − |y|
(a) Grafique el mapa de contorno de la función f .
(b) Esboce la gráfica del dominio de la función f .
p
Ejercicio 1.12. Dada la función f (x, y) = 26 − x2 − 2x − y2 , elabore un mapa de contorno (curvas de nivel) de f .
Ejercicio 1.13. Sea
(
f (x, y) =
0
si x2 + y2 < 1
x2 + y2 − 1 si x2 + y2 ≥ 1
Describa las curvas de nivel de f para k = 0, 1/2, 1 y 3. A continuación esboce la
gráfica de f .
Ejercicio 1.14. ¿Pueden intersecarse dos curvas de nivel de una función z = f (x, y)?
Explique
Ejercicio 1.15. (Topografía). La superficie de una pequeña montaña puede aproximarse
por la ecuación
z(2x2 + y2 + 100) = 1500
donde las unidades son metros. Dibuje la superficie de la montaña y los contornos para
z = 3 m, z = 6 m, z = 9 m, z = 12 m y z = 15 m
1.4 Gráfica de una función y curvas de nivel
37
Ejercicio 1.16. (Ley de gases ideales). De acuerdo a la ley de gases ideales,
PV = kT
donde P es la presión, V el volumen, T la temperatura (en grados Kelvin), y k es una
constante de proporcionalidad. Un tanque contiene 2000 cm3 de nitrógeno a una presión
de 26 libras por centímetro cuadrado y a una temperatura de 300 K.
(a) Determine k
(b) Escriba a P como una función de V y T y describa las curvas de nivel.
Ejercicio 1.17. (Superficie termodinámica). La presión p (en kPa), volumen V (en
m3 ), y temperatura T (en K) para un determinado gas, se relacionan por la ecuación
p = T /2V . Dibuje la superficie p −V − T usando el eje z para p, el eje x para V ,
y el eje y para T . Use las unidades de 100 K para T y 10 m para V . Las secciones transversales deberán ser usadas para dibujar esta superficie, que es una superficie
termodinámica, debido a que ninguna de las variables es igual a cero.
Ejercicio 1.18. (Distribución de la temperatura). La temperatura T (en grados Celcius) en cualquier punto (x, y) de un plato circular de acero de 10 metros de radio
es
T = 600 − 0.75x2 − 0.75y2
donde x e y se mide en metros. Dibuje algunas de las curvas isotermales.
Ejercicio 1.19. Dos mapas de contornos se muestran en las figuras adjuntas. Uno es de
una función f cuya gráfica es un cono. El otro es de una función g cuya gráfica es un
paraboloide. ¿Cuál es cuál? ¿Por qué?
(a (
y
( b(
x
y
x
38
Capítulo 1 Funciones de varias variables-Lord Barrera
Ejercicio 1.20. (Curvas de nivel de un plan de ahorros). Suponga que usted hace
depósitos mensuales de P dólares en una cuenta de ahorros que paga una tasa mensual de
p %. El valor futuro en la cuenta luego de t años resulta
"
#
(1 + r )12t − 1
F (P, r,t ) = P
r
donde r = p/100 (por ejemplo, si la tasa de interés anual es 9 %, entonces p = 9/12 =
0.75 y r = 0.0075). Tome el tiempo de inversión t = 20 años.
(a) Con una cuenta de 20 000, determine el conjunto de todos los puntos (P, r ) que
satisfacen B = 20 000. Esta curva da todos los depósitos P y todas las tasas de
interés mensual r que producen un monto de 20 000 luego de 20 años.
(b) Repita la parte (a) con B = $ 5000, $ 10 000, $ 15 000 y $ 25 000 y dibuje las
curvas de nivel que resultan de la función valor futuro.
Ejercicio 1.21. (Atmósfera). El contorno del
mapa mostrado en la figura fue generado por
computadora usando una colección de datos
mediante instrumentación del satélite. El color
se usa para mostrar el agujero de ozono en la
atmósfera de la Tierra. Las áreas púrpura y azul
representan los más bajos niveles de ozono y
las áreas verdes representan los niveles más
altos
(a) ¿Corresponden las curvas de nivel a los
mismos niveles de ozono espaciados? Explique.
(b) Describa cómo obtener un contorno de mapa más detallado.
Ejercicio 1.22. (Meteorología). Los meteorólogos miden la presión atmosférica en milibares. A partir de estas observaciones, crean
mapas climáticos en los cuales son trazadas
curvas con la misma presión atmosférica (isobares) como se muestra en la figura adjunta. En
este mapa, cuanto más próximas son las curvas
isóbaricas, mayor es la velocidad del viento.
Relacione los puntos A, B y C con las
siguientes características (a) mayor presión, (b) menor presión y (c) mayor velocidad
del viento.
1.4 Gráfica de una función y curvas de nivel
39
Ejercicio 1.23. (Lluvia ácida). La acidez del
agua de lluvia se mide en unidades llamada
pH. Un pH de 7 es neutral, valores menores
corresponden a acidez creciente, y los valores
mayores a alcalinidad creciente. El mapa de
la figura adjunta muestra curvas de igual pH y
da evidencia de que en la dirección en la que
sopla el viento de áreas muy industrializadas la
acidez ha ido aumentando. Utilizar las curvas
de nivel en el mapa, para determinar la dirección de los vientos dominantes en el noreste del Perú.
Ejercicio 1.24. (Geología). El mapa de contorno de la figura representa amplitudes sísmicas en código de color de una falla horizontal
y un mapa de contorno proyectado que se usa
en los estudios de terremotos.
(a) Analice el uso de colores para representar las curvas de nivel.
(b) ¿Corresponden las curvas de nivel a
amplitudes uniformemente espaciadas?
Explique.
Ejercicio 1.25. (Electricidad). Se distribuye una carga eléctrica de tal manera que el
potencial eléctrico en todos los puntos de una superficie imaginaria es el mismo. Una
tal superficie es llamada superficie equipotencial. Haga una gráfica de la superficie
equipotencial con ecuación
2x2 + 2y2 + 3z2 = 6
Ejercicio 1.26. (Curvas de nivel de una cuenta de ahorros). Si usted deposita P dólares en una cuenta que le paga una tasa de p % anual, compuesto continuamente, entonces
el valor futuro luego de t años es B(P, r,t ) = Pert , donde r = p/100 (por ejemplo, si la
tasa de interés anual es 4 %, entonces r = 0.04). A continuación fije la tasa de r = 0.04.
(a) Determine todos los puntos (P,t ) que satisfacen B = 2000. Esta curva proporciona
todos los depósitos P y tiempos t que permite acumular 2000 dólares.
(b) Repita la parte (a) con $ 500, $ 1000, $ 1500 y $ 2500. A continuación dibuje
las curvas de nivel de la función valor futuro.
(c) En general, en una curva de nivel, si t se incrementa, ¿será que P aumenta o
disminuye?
Capítulo 1 Funciones de varias variables-Lord Barrera
40
1.5
Límites y derivadas parciales
A continuación nos acercaremos de manera informal al concepto de límite de una
función de dos variables: damos un punto (a, b) y una función f definida en todos los
puntos (x, y) próximos de (a, b) ( puede pasar que f no esté definida en (a, b) )
DEFINICIÓN
Límite
Sea un número real L. Decimos que el límite de f (x, y) cuando (x, y) tiende al
punto (a, b) es L y escribimos
lı́m
(x, y)→ (a, b)
f (x, y) = L
que significa: cuando (x, y) está bien próximo de (a, b), entonces f (x, y) está
bien próximo a L.
Ejemplo 1.14. Calcular el límite
lı́m
(x,y)→ (1,1)
(xy + 1)
significa preguntarnos ¿qué pasa con la función xy + 1 cuando x se aproxima a 1 e y se
aproxima a 1? En este caso xy + 1 se aproxima a (1)(1) + 1 = 2 y escribimos
lı́m
(x,y)→ (1,1)
(xy + 1) = 2
y por el mismo argumento también tenemos
lı́m
(x,y)→ (1,π )
[sen(xy) + x2 y] = sen[(1)(π )] + (1)2 π = sen π + π = π
En otras palabras, cuando la función es fácil de manipular como en el caso de las polinómicas o las trigonométricas, podemos calcular el límite simplemente por evaluar la función
en el punto.
Debemos tener en cuenta lo siguiente: así como para funciones de una variable, los
límites que resultan interesantes no se pueden calcular por el simple hecho de sustituir el
punto en las variables x e y. Por ejemplo, para
y
(x,y)→ (1,0) x + y − 1
lı́m
0
al sustituir x = 1 e y = 0 resulta la forma indeterminada
. Para evaluar este límite
0
requerimos investigar un poco más.
1.5 Límites y derivadas parciales
1.5.1
41
Derivadas parciales
Muchas veces, en física debemos tener cuidado cuando representamos una función
que depende de una variable física; por ejemplo la velocidad dependiendo del tiempo, o
también, la presión dependiendo del volumen. Considere por ejemplo un gas contenido
en un cilindro con un pistón en movimiento y
una válvula adicional a través del cual el gas
puede ingresar o salir. La ecuación que relaciona la presión P, el volumen V , la temperatura
T , y la cantidad de sustancia n, en moles es
P=
nRT
V
Supongamos que el sistema se encuentra en un
ambiente a temperatura constante. Para nuestro
experimento cerramos la válvula y fijamos a n (el sistema es ahora un sistema cerrado).
Ahora bien, si tomamos un cambio infinitesimal dV en el volumen del gas pero manteniendo n y T constantes, debemos conseguir una función P dependiendo únicamente
de la variable V . Así que la razón de cambio es similar como una función de una variable:
dP
dV
(n y T constantes)
dP =
dV
A continuación definiremos derivadas parciales: para una función de una variable no
hay ambiguedad cuando nos referimos a la derivada de f (x) con respecto a x. Sin
embargo, para una función de dos variables z = f (x, y) podemos utilizar las expresiones
derivada parcial con respecto a x o también derivada parcial con respecto a y.
En la siguiente definición damos una función de dos variables z = f (x, y) y exigimos
que los límites involucrados existan.
DEFINICIÓN
Derivadas parciales
La derivada parcial de f con respecto a x es
f (x + h, y) − f (x, y)
∂f
(x, y) = lı́m
h→ 0
h
∂x
Del mismo modo, la derivada parcial de f con respecto a y es
f (x, y + h) − f (x, y)
∂f
(x, y) = lı́m
h→ 0
h
∂y
Definiciones similares se tienen para funciones de más de dos variables.
42
Capítulo 1 Funciones de varias variables-Lord Barrera
z
Si fijamos el punto y = y0 , resulta que z =
f (x, y0 ) es una función de la variable x, su
gráfica es la curva C que resulta de intersecar
el plano y = y0 con la superficie z = f (x, y).
∂f
La derivada parcial
(x0 , y0 ) es entonces la
∂x
pendiente de la recta tangente a C en el punto
(x0 , y0 , f (x0 , y0 )).
Recta tangente
con pendiente
f ,
( x0 y0 (
x
C
d
d
y
y = y0
x
z
Si fijamos el punto x = x0 , resulta que z =
f (x0 , y) es una función de la variable y, su
gráfica es la curva C que resulta de intersecar
el plano x = x0 con la superficie z = f (x, y).
∂f
La derivada parcial
(x0 , y0 ) es entonces la
∂y
pendiente de la recta tangente a C en el punto
(x0 , y0 , f (x0 , y0 )).
Recta tangente
con pendiente
f ,
( x0 y0 (
y
d
d
C
y
x = x0
x
Algunas veces usaremos la notación fx (x, y) para indicar la derivada parcial respecto a x,
y también fy (x, y) para indicar que derivamos respecto a y.
Ejemplo 1.15. Sea f (x, y) = 3x2 − 5xy + 2y3 . Determine fx (x, y) y fy (x, y).
Solución. para conseguir fx (x, y) tomamos a y como una constante y a x como
una variable. La derivada del primer término, 3x2 , es 6x. En el segundo término, −5xy,
el coeficiente constante de x es −5y, así que la derivada es −5y. La derivada de 2y3
es cero, pues, tomamos a y como una constante. Por tanto,
fx (x, y) = 6x − 5y
Por otro lado, para determinar a fy (x, y) tomamos a y como variable y a x como una
constante. Desde que x es constante, la derivada de 3x2 es cero. En el segundo término,
el coeficiente de y es −5x y la derivada de −5xy es −5x. La derivada del tercer
término es 6y2 . Así que
fy (x, y) = −5x + 6y2
1.5 Límites y derivadas parciales
43
Ejemplo 1.16. Sea f (x, y) = 4 − 2x2 − y2 . Encuentre la pendiente de la recta tangente L
en el punto (1, 1, 1), a la curva C que resulta de intersecar la superficie z = f (x, y) con
(a) El plano y = 1 y (b) El plano x = 1.
Solución. (a) La pendiente de la recta tangente en
cualquier punto de la curva, intersección del plano
y = 1 con la superficie z = 4 − 2x2 − y2 , es dada
por
∂f
∂
= (4 − 2x2 − y2 ) = −4x
∂x
∂x
En particular, se tiene
z
4
L
C
y=1
∂f
(1, 1) = −4(1) = −4
∂x
(1,1,1)
2
2
y
x
(b) La pendiente de la recta tangente en cualquier
punto de la curva que resulta como intersección del
plano x = 1 con la superficie z = 4 − 2x2 − y2 , es
dada por
z
4
L
x=1
∂f
∂
= (4 − 2x2 − y2 ) = −2y
∂y
∂y
C
(1,1,1)
En particular, se tiene
∂f
(1, 1) = −2(1) = −2
∂y
2
2
x
y
Ejemplo 1.17. Sea f (x, y) = 2x2 + y2 + 8x − 6y + 20. Determine
(a) fx (−1, 2)
(b) fy (−4, −3)
Solución. (a) Primero encontremos fx (x, y) teniendo a y como constante.
fx (x, y) = 4x + 8
Ahora tomamos x = −1 e y = 2
fx (−1, 2) = 4(−1) + 8 = 4
(b) Desde que fy (x, y) = 2y − 6
fy (−4, −3) = 2(−3) − 6 = −12
Capítulo 1 Funciones de varias variables-Lord Barrera
44
1.5.2
Aplicaciones a la economía
E LASTICIDAD
La demanda Q de un producto particular depende de su precio P, el precio PA del
producto alternativo, y el ingreso I de los consumidores. Así que Q es función de las
variables P, PA y I.
La elasticidad de la demanda en el propio precio EP se mide por la razón entre la
variación porcentual de Q y la variación porcentual de P (con PA y I constantes). Así
tenemos
∆Q
P∆Q
Q × 100
(1)
=
∆P
Q∆P
×
100
P
Como ∆P se aproxima a 0, entonces
∆Q
∂Q
se aproxima a
y la razón (1) se
∆P
∂P
P ∂Q
∂Q
. En la práctica,
debe ser negativa (ya que la demanda decrece
Q ∂P
∂P
cuando el precio aumenta), por tanto, debemos tener un número positivo para la elasticidad
de la demanda en el propio precio. Definimos
aproxima a
EP = −
P ∂Q
Q ∂P
Esto se interpreta como sigue: la elasticidad EP es aproximadamente el cambio
porcentual en la demanda Q que resulta de una disminución del 1 % en P.
Similarmente definimos la elasticidad de la demanda con respecto al precio del
producto alternativo mediante
PA ∂ Q
EPA =
Q ∂ PA
Esto se interpreta como sigue: la elasticidad EPA es aproximadamente el cambio
porcentual en la demanda Q que resulta de un aumento del 1 % en PA .
Finalmente, la elasticidad del ingreso en la demanda EI se define mediante
EI =
I ∂Q
Q ∂I
Esto se interpreta como sigue: la elasticidad EI es aproximadamente el cambio
porcentual en la demanda Q que resulta de un aumento del 1 % en I.
1.5 Límites y derivadas parciales
45
Si Q se incrementa cuando PA se incrementa, entonces el producto es sustituible.
Equivalentemente
∂Q
>0
∂ PA
Si Q disminuye cuando PA se incrementa, entonces el producto es complementario.
Equivalentemente
∂Q
<0
∂ PA
I
Ejemplo 1.18. Dada la función de demanda Q = 220 − 4P + 2PA + , determine las
50
elasticidades con respecto al precio propio, con respecto al precio del producto alternativo,
y la elasticidad del ingreso en la demanda. Evalúe las elasticidades cuando P = 5, PA = 6,
I = 1900.
Solución. Las derivadas parciales de primer orden de Q son
∂Q
= −4
∂P
∂Q
=2
∂ PA
y
1
∂Q
=
50
∂I
y
EI =
Por tanto, las elasticidades de demanda son
EP =
4P
Q
EPA =
2PA
Q
I
50Q
Considere el caso P = 5, PA = 6, I = 1900. Entonces Q = 250 y EP = 0.08, entonces
EPA = 0.048 y EI = 0.152.
Ejemplo 1.19. Dada la función de demanda Q = 100 − 4P2 + 3PA + 0.04I 1/2 , determine
las elasticidades con respecto al precio propio, con respecto al precio del producto alternativo, y la elasticidad del ingreso en la demanda. Evalúe las elasticidades cuando P = 3,
PA = 1, I = 2500.
Solución. Las derivadas parciales de primer orden de Q son
∂Q
= −8P
∂P
∂Q
=3
∂ PA
∂Q
= 0.02I −1/2
∂I
y
Por tanto, las elasticidades de demanda son
EP =
8P2
Q
EPA =
3PA
Q
y
EI =
0.02I 1/2
Q
Considere el caso P = 3, PA = 1, I = 2500. Entonces Q = 69 y EP = 24/23, entonces
EPA = 1/23 y EI = 1/69.
Capítulo 1 Funciones de varias variables-Lord Barrera
46
Ejercicios
Ejercicio 1.1. La derivada parcial (con respecto a la primera coordenada) de una función
de dos variables nos permite
(A) Calcule la pendiente de la recta tangente en la dirección del vector (1, 0)
(B) Calcule la pendiente de la recta tangente en la dirección del vector (0, 1)
(C) Calcule la pendiente de la recta tangente en cualquier dirección.
(D) Calcule la pendiente de la recta tangente en la dirección de una recta diagonal.
(E) Ninguna de las opciones anteriores.
Ejercicio 1.2. Dada la función f (x, y) =
y2
, las derivadas parciales fx y fy
( 1 + x2 ) 2
resultan
4xy2
2y
y fy =
2
3
(1 + x )
( 1 + x2 ) 2
6xy
2y2
fx = −
y
f
=
−
y
( 1 + x2 ) 3
( 1 + x2 ) 2
2y
6xy2
y fy = −
fx =
2
3
(1 + x )
( 1 + x2 ) 2
2y
4xy2
y fy =
fx = −
( 1 + x2 ) 3
( 1 + x2 ) 2
2y
6x2 y
y
f
=
−
fx = −
y
( 1 + x2 ) 3
( 1 + x2 ) 2
(A) fx =
(B)
(C)
(D)
(E)
Ejercicio 1.3. En cada caso, determine fx y fy .
(a) f (x, y) = (3x2 − 2xy + 5y2 )6
x+y
(b) f (x, y) =
x−y
2
2
(c) f (x, y) = p
ex +xy
(d) f (x, y) = 3 x3 +p
y3
(e) f (x, y) = ln(x + x2 + y2 )
Ejercicio 1.4. En cada caso, determine fx , fy y fz .
(a) f (x, y, z) = xyzex+y+z
(b) f (x, y, z) = xy+z + yx+z + zx+y
Ejercicio 1.5. En cada caso, calcule el valor de fx y fy en el punto dado:
(a) f (x, y) = x3 y3 − 6xy, (1, 1)
(b) f (x, y) = 2 ln x + y, (−1, 1)
Ejercicio 1.6. Si z = ln(x2 + xy + y2 ), demuestre que
x
∂z
∂z
+y = 2
∂x
∂y
1.5 Límites y derivadas parciales
47
Ejercicio 1.7. Determine ∂ u/∂ r y ∂ u/∂ θ sabiendo que u = er cos θ cos(r sen θ ).
Ejercicio 1.8. Si u = (1 − 2xy + y2 )−1/2 , muestre que x
Ejercicio 1.9. Si z = eax+by f (ax − by), muestre que b
∂u
∂u
−y
= y2 u3 .
∂x
∂y
∂z
∂z
+ a = 2abz.
∂x
∂y
1
1
env (x, y) = (1, 2).
+
Ejercicio 1.10. si f (x, y) = x3 y − xy3 , determine
∂f
∂f
∂x
∂y
Rpta: −13/22
∂θ
1 ∂
2 /4t
2∂θ
n
−r
y se cumple 2
r
=
, calcule el valor de
Ejercicio 1.11. Si θ = t e
∂r
∂t
r ∂r
n.
Rpta: n = −3/2
Ejercicio 1.12. Si z = y f (x2 − y2 ), muestre que y
Ejercicio 1.13. Si ux + vy = 0 y
∂z
∂z
xz
+x = .
y
∂x
∂y
u v
∂ u ∂ v x2 + y2
−
= 2 2.
+ = 1, muestre que
x y
∂x ∂y
y −x
Ejercicio 1.14. Si u = ln(tan x + tan y), muestre que sen(2x)
∂u
∂u
+ sen(2y)
= 2.
∂x
∂y
Ejercicio 1.15. Si u = exyz f (xz/y), muestre que se cumplen (a) x
y (b) y
∂u
∂u
+y
= 2xyzu
∂x
∂y
∂u
∂u
+z
= 2xyzu .
∂y
∂z
y
∂u
x
∂u
, muestre que x + y
Ejercicio 1.16. Si u = arc sen
+ arctan
= 0.
y
x
∂x
∂y
Capítulo 1 Funciones de varias variables-Lord Barrera
48
Ejercicio 1.17. Si w = (x − y)(y − z)(z − x), demuestre que
∂w ∂w ∂w
+
+
=0
∂x
∂y
∂z
Ejercicio 1.18. Si z = xy + xey/x , demuestre que
∂z
∂z
+ y = xy + z
∂x
∂y
y
p
Ejercicio 1.19. Muestre que la función z = x2 + y2 arctan
satisface la ecuación
x
x
x
∂z
∂z
+y = z
∂x
∂y
Ejercicio 1.20. Encuentre una función tal que
∂f
∂f
= 2xy y
= x2 .
∂x
∂y
Ejercicio 1.21. En cada caso, determine la verdad o falsedad. Si es verdad explique por
qué. Si es falsa, de un contraejemplo para mostrar que es falsa.
(a) Si z = f (x, y) admite derivada parcial con respecto a x en el punto (a, b), entonces
f (x, b) − f (a, b)
∂f
(a, b) = lı́m
x→ a
∂x
∂x−a
(b) Si fy (a, b) = 0, entonces la recta tangente a la curva que resulta de intersecar el
plano x = a y la superficie z = f (x, y) en el punto (a, b, f (a, b)) es horizontal;
es decir, es paralelo al plano xy.
Ejercicio 1.22. (Psicología). A principios del siglo XX se desarrolló un test inteligente
llamado IQ Test (comúnmente conocida como el test de coeficiente intelectual). En este
test, la edad mental M de una persona es dividida por la edad cronológica C y luego
multiplicada por 100. El resultado es
IQ(M,C ) =
M
× 100
C
Determine la derivada parcial de IQ con respecto a M y con respecto a C. Evalúe las
derivadas parciales en el punto (10, 12) e interprete el resultado.
Ejercicio 1.23. (Costo de producción). Suponga que el costo de producir chips con
información tecnológica para una empresa de asistencia digital, es aproximado por
C (x, y) = 45x2 + 40y2 − 20xy + 50
donde x es el costo de los chips electrónicos e y es el costo de la mano de obra. Calcule
(a) Cy (4, 2)
(b) Cx (3, 6)
(c) Cx (2, 5)
(d) Cy (6, 7)
1.5 Límites y derivadas parciales
49
Ejercicio 1.24. (Economía). Un fabricante de Gamarra estima que el número de unidades
que vende cada año es una función de los gastos hechos en la publicidad por radio y
televisión. La función que especifica esta relación es
z = 50 000x + 40 000y − 10x2 − 20y2 − 10xy
donde z es el número de unidades vendidas al año, x denota la cantidad destinada a
la publicidad por televisión y la y indica la cantidad gastada en la publicidad por radio
(ambas en miles de soles). En la actualidad, el fabricante está destinando S/50 000 a la
publicidad por televisión y S/30 000 a la publicidad por radio
(a) ¿Cuáles se espera que sean las ventas anuales?
(b) Usando derivadas parciales, estime el efecto en las ventas anuales, si se asignan
S/1000 más a la publicidad por televisión.
(c) Empleando derivadas parciales, estime el efecto en las ventas anuales si se asignan
S/1000 más a la publicidad por radio.
(d) ¿En qué tipo de publicidad se obtienen mejores resultados con una inversión de
S/1000?
Ejercicio 1.25. (Venta de autos). Una concesionaria estima que la venta total semanal
de su último modelo de autos es función del precio de lista del auto, p, y la tasa de interés
en porcentaje, i, ofrecido por la tienda. La venta semanal es dada por
f ( p, i) = 99p − 0.5pi − 0.0025p2
(a) Calcule la venta semanal si el precio de lista es $ 19 400 y la tienda ofrece una tasa
de interés de 8 %.
(b) Determine e interprete f p ( p, i) y fi ( p, i).
(c) ¿Qué debería pasar con la venta semanal si el precio de lista es $ 19 400 y la tasa
de interés varía de 8 % a 9 %?
Ejercicio 1.26. (Producción marginal). Un empresario textil estima que la producción
(en cientos de unidades) es función de las cantidades x e y de labor y capital usados,
como sigue
1 −1/4 3 −1/4 −4
f (x, y) =
x
+ y
4
4
(a) Determine el número de unidades producidas cuando son usadas 16 unidades de
labor y 81 unidades de capital.
(b) Calcule e interprete fx (16, 81) y fy (16, 81).
(c) ¿Cómo debería variar la producción cuando se aumenta 1 unidad a la labor de 16
unidades, y 1 unidad al capital de 81 unidades?
50
Capítulo 1 Funciones de varias variables-Lord Barrera
Ejercicio 1.27. (Temperatura estable). Considere el semidisco
y
T =100
H = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1, y ≥ 0}
como se muestra en la figura. Si la temperatura
en los puntos del borde superior se mantiene
T = 50
-1
0
1
x
en 100◦ C, la temperatura en los puntos del borde inferior es de 50◦ C, y la temperatura
estable de cualquier punto interior del semidisco, es dada por
1 − x 2 − y2
100
T (x, y) = 100 −
arctan
π
2y
1 1
1 1
calcule Tx
,
y Ty
,
e interprete el resultado
2 2
2 2
Ejercicio 1.28. (Ley de gases ideales). La ley de gases ideales establece que PV = nRT ,
donde P es la presión, V es el volumen, n es el número de moles del gas, R es una
constante fija (constante del gas), y T es la temperatura absoluta. Muestre que
∂ T ∂ P ∂V
·
= −1
·
∂ P ∂V ∂ T
Ejercicio 1.29. (Absorción química). Sea D una región sólida cuya frontera es un
cilindro de radio r y altura h, tapada en cada extremo por una hemisferio. El volumen
V y el área de superficie S y D son dados por
2 3
4
2
2
V = πr h + 2
πr = πr h + r
3
3
S = 2πrh + 2(2πr2 ) = 2πr (h + 2r )
Si D representa una bacteria, entonces la razón R con la que una sustancia química
puede ser absorvida en D es dada por R = c(S/V ), donde c es una constante positiva.
Muestre que ∂ R/∂ r < 0 y ∂ R/∂ h < 0. (El resultado implica que un aumento en el
radio o la altura de la bacteria disminuye la tasa de absorción química.)
Ejercicio 1.30. (Pérdida de calor). El calor perdido (en Joules) por las crías de las focas
en una playa, puede ser aproximado por
H (m, T , A) =
15.2m0.67 (T − A)
10.23 ln m − 10.74
donde m es la masa del cuerpo de la cría (en kg), T y A son la temperatura corporal y
la temperatura del agua, respectivamente (en ◦ C). Determine el cambio aproximado en la
pérdida de calor bajo las siguientes condiciones:
1.5 Límites y derivadas parciales
51
(a) La temperatura corporal se incrementa de 37◦ C a 38◦ C, mientras la temperatura
del agua se mantiene a 8◦ C y su peso en 24 kg.
(b) La temperatura del agua se incrementa de 10◦ C a 11◦ C, mientras la temperatura
corporal se mantiene en 37◦ C y su peso en 26 kg.
Ejercicio 1.31. (Ingreso marginal). Una corporación farmacéutica tiene dos laboratorios
que producen los mismos medicamentos. Si x1 y x2 son las unidades producidas en los
laboratorios 1 y 2, respectivamente, entonces el ingreso total que resulta de la venta
de estas medicinas es calculado por I = 200x1 + 200x2 − 4x12 − 8x1 x2 − 4x22 . Tomando
x1 = 4 y x2 = 12
(a) Calcule el ingreso marginal ∂ I/∂ x1 que resultan de las medicinas producidas por
el laboratorio 1.
(b) Calcule el ingreso marginal ∂ I/∂ x2 que resultan de las medicinas producidas por
el laboratorio 2.
Ejercicio 1.32. (Velocidad). En 1931, Albert Eintein desarrolló la siguiente fórmula
para la suma de dos velocidades x e y:
w(x, y) =
x+y
xy
1+ 2
c
donde x e y están en millas por segundo y c representa la velocidad de la luz, que es
186 262 millas por segundo.
(a) Suponga que, con respecto a un observador estacionario, una nave espacial es capaz
de viajar a 50 000 millas por segundo y que, mientras viaja a esta velocidad, se
lanza un cohete que viaja a 150 000 millas por segundo. ¿Qué tan rápido viaja el
cohete con respecto al observador estacionario?
(b) ¿Cuál es la razón de cambio instantánea de w con respecto a la velocidad x de la
nave espacial cuando la nave espacial viaja a 50 000 millas por segundo y el cohete
viaja a 150 000 millas por segundo?
(c) Hipotéticamente, si una persona conduce a la velocidad de la luz c y enciende los
faros del auto, ¿cuál es la velocidad de la luz que salen de los faros con respecto al
observador estacionario?
Ejercicio 1.33. (Costo marginal). Una fábrica produce dos tipos de chimeneas, el modelo
A que funciona a gas, y el modelo B que utiliza leña. La función costo para producir x
chimeneas del modelo A e y chimeneas del modelo B es
√
C = 32 xy + 175x + 205y + 1050
(a) Calcule el costo marginal ∂C/∂ x y ∂C/∂ y cuando x = 80 e y = 20.
52
Capítulo 1 Funciones de varias variables-Lord Barrera
(b) ¿Qué producción adicional es requerida para que el costo de producción aumente a
un ritmo mayor? ¿Cómo podría determinar esto?
Ejercicio 1.34. (Inversión). El valor que se obtiene de una inversión de $ 1000 que
gana el 6 % compuesto anualmente es
1 + 0.06(1 − R)
V (I, R) = 1000
1+I
10
donde I es la tasa anual de inflación y R es la tasa de impuesto que debe pagar la persona
que realiza la inversión. Calcule VI (0.03, 0.28) y VR (0.03, 0.28). Determine ¿cuándo la
tasa de impuesto o la tasa de inflación es el mayor factor “negativo” en el crecimiento de la
inversión?
Ejercicio 1.35. ( Temperatura aparente). Una manera de determinar cómo se calienta el clima es tomando como dato lo que experimenta una persona promedio. Este es llamado índice de temperatura aparente. Un modelo para este índice es
A = 0.885t − 22.4h + 1.20th − 0.544
donde A es la temperatura en grados Celsius, t es la temperatura del aire, y h es la
humedad relativa (en forma decimal).
(a) Calcule ∂ A/∂t y ∂ A/∂ h cuando t = 30◦ C y h = 0.80.
(b) ¿Qué variable tiene mayor efecto en A, la temperatura del aire o la humedad ?.
Explique.
1.5 Límites y derivadas parciales
1.5.3
53
Derivadas de orden superior
Si f es una función de dos variables, las derivadas parciales
funciones de dos variables. Definimos
∂2 f
∂ ∂f
=
∂x ∂x
∂ x2
2
∂ f
∂ ∂f
=
∂ y∂ x
∂y ∂x
∂f
∂f
y
son también
∂x
∂y
∂2 f
∂ ∂f
=
∂ x∂ y ∂ x ∂ y
∂2 f
∂ ∂f
=
∂y ∂y
∂ y2
llamadas derivadas parciales de segundo orden. Otras notaciones son
fxx = ( fx )x = D11 f
fxy = ( fx )y = D12 f
fyx = ( fy )x = D21 f
fyy = ( fy )y = D22 f
Ejemplo 1.20. Sea f (x, y) = x2 ey . Entonces fx = 2xey y fy = x2 ey . Luego
fxx = 2ey
fxy = 2xey
fyy = x2 ey
fyx = 2xey
Teorema 1.5.1 (Clairaut). Sea f una función en las variables x e y tal que las
∂2 f
∂2 f
derivadas
e
existen y son continuas. Entonces
∂ x∂ y
∂ y∂ x
∂2 f
∂2 f
=
∂ x∂ y ∂ y∂ x
Ecuación de la onda de Laplace
Considere una cuerda de longitud L que está extendida en el eje x y atada en los
extremos x = 0 y x = L. Ahora bien, si usted jala la cuerda en el tiempo t = 0, esta
hace un movimiento vibratorio (ver la figura de abajo). El desplazamiento de un punto
en la cuerda depende de la coordenada x y el tiempo t, y podemos expresar como una
función de dos variables u(x,t ). Para un valor fijo de t, la función u(x,t ) depende solo
de x, y la gráfica de u versus x describe la forma de la cuerda, que podemos pensar
como una foto de la cuerda en el instante t. Concluimos que para un tiempo fijo t, la
derivada parcial ∂ u/∂ x representa la pendiente de la recta tangente a la cuerda en x, y
el signo de la segunda derivada parcial ∂ 2 u/∂ x2 nos dice si la cuerda es cóncava hacia
arriba o cóncava hacia abajo en el punto x.
Capítulo 1 Funciones de varias variables-Lord Barrera
54
u
u
L
0
x
u
d
d
Pendiente = u
x
L
0
du
dx < 0
2
2
x
Cóncava
hacia
abajo
L
0
x
Para un valor fijo de x, la función u(x,t ) depende solo de t, y la gráfica de u versus
t es la curva posición versus tiempo del punto de la cuerda con coordenada x; además
∂ 2 u/∂t 2 es la aceleración del punto. Se puede mostrar que bajo condiciones adecuadas,
la función u(x,t ) satisface una ecuación de la forma
2
∂ 2u
2∂ u
=
c
∂t 2
∂ x2
(1.3)
donde c es una constante que depende de la característica física de la cuerda. Esta ecuación
es llamada ecuación unidimensional de la onda.
DEFINICIÓN
Función armónica
Una función u(x, y) de las variables x e y es llamada función armónica si
∂ 2u ∂ 2u
+
=0
∂ x 2 ∂ y2
(1.4)
para todo (x, y) ∈ dom(u). La ecuación (1.4) es también escrita por ∇2 u = 0.
Ejemplo 1.21. Mostremos que la función u(x, y) = e−x cos y + e−y cos x es armónica para
todo (x, y) ∈ R2 .
Solución. Tenemos
∂u
= −e−x cos y − e−y sen x
∂x
∂ 2u
= e−x cos y − e−y cos x
∂ x2
∂u
= −e−x sen y − e−y cos x
∂y
∂ 2u
= −e−x cos y + e−y cos x
2
∂y
Así que
∂ 2u ∂ 2u
+ 2 = (e−x cos y − e−y cos x) + (−e−x cos y + e−y cos x) = 0
2
∂x
∂y
1.5 Límites y derivadas parciales
55
Ejercicios
Ejercicio 1.1. En cada caso, calcule la derivada indicada
√
(a) f (r, θ ) = r3 + θ 2 , frθ
∂ 2z
(b) z = cosh(x2 y3 ),
∂ y2
3
5
(c) F (s,t ) = s t , Fst
∂2 f
(d) f (x, y) = (2x + xy2 )2 ,
∂ x2
u v
(e) z(u, v) = + , zuu + zvv
v u
Ejercicio 1.2. Muestre que no existe una función f (x, y) tal que
∂f
∂f
= xy y
= x2 .
∂x
∂y
(Sugerencia: verifique que no cumple el teorema de Clairaut).
2t
Ejercicio 1.3. Muestre que u(x,t ) = sen(nx)e−n
cualquier constante n:
∂ u ∂ 2u
= 2
∂t
∂x
satisface la ecuación del calor para
Ejercicio 1.4. Sea la función no constante z = u(x, y)eax+by tal que satisface
∂ 2u
= 0.
∂ x∂ y
Determine los valores de las constantes a y b, tales que
∂ 2z
∂z ∂z
−
−
+z = 0
∂ x∂ y ∂ x ∂ y
Ejercicio 1.5. Si f y g son funciones de una variable dos veces derivables, verifique que
la función u(x, y) = x f (x + y) + yg(x + y) satisface la ecuación uxx − 2uxy + uyy = 0.
p
Ejercicio 1.6. Sea la función f (x, y) = x2 + y2 . Si se cumple la igualdad
f (x, y)
∂2 f
∂ x2
+
∂2 f
= axm + byn
∂ y2
Calcule los valores de m y n.
Ejercicio 1.7. Si u = ln(x3 + y3 + z3 − 3xyz), muestre que
∂
∂
∂
+
+
∂x ∂y ∂z
2
u=−
Ejercicio 1.8. Si u(x + y) = x2 + y2 , pruebe que
9
(x + y + z)2
∂u ∂u
−
∂x ∂y
2
∂u ∂u
= 4 1−
−
.
∂x ∂y
Capítulo 1 Funciones de varias variables-Lord Barrera
56
Ejercicio 1.9. Si u = f (ax2 + 2hxy + by2 ) y v = ϕ (ax2 + 2hxy + by2 ), muestre que
∂
∂v
∂
∂v
u
=
u
∂y
∂x
∂x
∂y
Ejercicio 1.10. La función de producción de Coob-Douglas z = f (x, y) se define
mediante z = Axα yβ , donde A, α y β son constantes. El valor de z recibe el nombre
de salida eficiente para las entradas x e y. Demuestre que
α (α − 1)z
x2
αβ z
fxy = fyx =
xy
βz
αz
,
fy =
,
x
y
β (β − 1)z
y
fyy =
y2
fx =
fxx =
Ejercicio 1.11. (Energía cinética). La energía cinética K de un cuerpo con masa m y
velocidad v es dada por K = 21 mv2 . Muestre que
∂ K ∂ 2K
=K
∂ m ∂ v2
Ejercicio 1.12. (Resistores). Cuando dos resistores que tienen resistencias R1 y R2
se conectan en paralelo, la resistencia combinada R es dada por R = R1 R2 /(R1 + R2 ).
Muestre que
∂ 2R ∂ 2R
4R2
=
( R1 + R2 ) 4
∂ R21 ∂ R22
Ejercicio 1.13. (Economía). Parece razonable que el aumento de los impuestos sobre un
producto disminuiría la producción de ese producto. El siguiente argumento apoya esta
afirmación. Suponga que todas las derivadas requeridas existen. Para cualquier x ≥ 0,
sea U0 (x) la utilidad antes de los impuestos sobre x unidades producidas. Sea U (x,t )
denotando la utilidad luego que se producen x unidades con una tasa t en cada unidad.
Suponga que cualquiera sea la tasa t la empresa maximizará sus utilidades produciendo
f (t ) unidades, o sea
∂U
( f (t ),t ) = 0
∂x
∂ 2U
( f (t ),t ) < 0
∂ x2
(1)
(2)
(a) Muestre que U (x,t ) = U0 (x) − tx
(b) Usando (a), muestre que
∂U
(x,t ) = U00 (x) − t
∂x
y
∂ 2U
(x,t ) = U000 (x)
∂ x2
1.5 Límites y derivadas parciales
57
(c) De (1) y (b) muestre que U00 ( f (t )) − t = 0
(d) Derivando en ambos lados de la ecuación en (c) y usando (b) y (2), muestre que
f 0 (t ) =
1
=
U000 ( f (t ))
1
∂ 2U
( f (t ),t )
∂ x2
<0
Por lo tanto, la producción tiende a disminuir a medida que la tasa de impuestos aumenta.
Capítulo 1 Funciones de varias variables-Lord Barrera
58
1.6
Diferencial total y linealización
Recordemos que para una función derivable y de una variable y = f (x), se define el
diferencial de y, como el número
dy = f 0 (x) dx
donde dx = ∆x
dy
es la pendiente de la recta tangente al gráfico de y = f (x) en el punto
dx
(x, f (x)). Fijando un punto x = a e incrementando ∆x, obtenemos el nuevo punto
x = a + ∆x como indica el gráfico de abajo. Desde que
Aquí, f 0 (x) =
f 0 (a) ≈
f (a + ∆x) − f (a)
∆y
=
∆x
∆x
⇒
dy = f 0 (a)∆x ≈ f (a + ∆x) − f (a) = ∆y
y
f (a + r x)
El número dy representa el cambio en la altura
de la recta tangente cuando x se incrementa
una cantidad ∆x, y el número ∆y representa
el cambio en la altura de la curva y = f (x)
cuando x se incrementa una cantidad ∆x.
ry
dy
f (a)
r x = dx
a
a +rx
x
A continuación vamos a trasladar estas ideas al caso de dos variables: dada una función
diferenciable z = f (x, y), y un punto (a, b) ∈ dom( f ), definimos
∆(x, y) = (∆x, ∆y)
entonces al incrementar el punto (a, b) una cantidad ∆(x, y) tenemos el nuevo punto
(x, y) = (a + ∆x, b + ∆y)
Sea ∆z = f (a + ∆x, b + ∆y) − f (a, b). Desde que z = f (x, y) es diferenciable, se tiene
∆z = f (a + ∆x, b + ∆y) − f (a, b) ≈
∂f
∂f
∆x +
∆y
∂x
∂y
Desde que dx = ∆x y dy = ∆y, entonces
∆z = f (a + ∆x, b + ∆y) − f (a, b) ≈
esto nos permite definir
∂f
∂f
dx +
dy
∂x
∂y
1.6 Diferencial total y linealización
1.6.1
59
Diferencial total
DEFINICIÓN
Diferencial total
Dada una función diferenciable z = f (x, y), definimos el diferencial dz o diferencial total como
∂f
∂f
dz =
dx +
dy
∂x
∂y
Si en la ecuación anterior hacemos dx = ∆x = x − a y dy = ∆y = y − b, entonces
dz = fx (a, b)(x − a) + fy (a, b)(y − b)
De manera similar al caso de una variable, dz representa el cambio en la altura
del plano tangente, mientras que ∆z representa el cambio en la altura de la superficie
z = f (x, y) cuando (x, y) cambia de (a, b) hasta (a + ∆x, b + ∆y). Entonces dz es la
aproximación lineal de la variación ∆z.
z
z = f (x ,y )
(a + r x , b + r y, f (a + r x , b + r y))
dz
rz
(a,b ,f (a,b))
f (a,b)
f (a,b)
x
x=
r
(a, b, 0)
dx
r y = dy
y
(a + r x , b + r y, 0)
Plano tangente
Ejemplo 1.22. El largo y el ancho de un rectángulo miden respectivamente 30 cm y
24 cm, con un error máximo en la medición de 0.1 cm en cada una de las dimensiones.
Use diferenciales para aproximar linealmente el máximo error en el área calculada del
rectángulo.
Solución. Sea A(x, y) = xy la función área. Tenemos
dA =
∂A
∂A
dx +
dy = ydx + xdy
∂x
∂y
y también |∆x| ≤ 0.1, |∆y| ≤ 0.1. Ahora usamos dx = 0.1, dy = 0.1 con x = 30,
y = 24. Entonces la aproximación lineal del máximo error en el área es
∆A ≈ dA = 24(0.1) + 30(0.1) = 5.4 cm2
Capítulo 1 Funciones de varias variables-Lord Barrera
60
Ejemplo 1.23. (Error en el cálculo del volumen de un depósito). Un depósito de combustible tiene la forma de un cilindro circular recto. Suponga que su radio mide 1.5 pies
y su altura mide 5 pies, con un posible error máximo de 0.05 pies y 0.1 pies en cada
magnitud, respectivamente. Aproxime linealmente el máximo error al calcular la capacidad
del depósito.
Solución. La capacidad (volumen) del depósito es V = πr2 h. El error aproximado
al calcular la capacidad del depósito es
∆V ≈ dV =
∂V
∂V
dr +
dh = (2πrh)dr + (πr2 )dh
∂r
∂h
Desde que los errores en las mediciones de r y h son como máximo 0.05 pies y 0.1 pies,
respectivamente, entonces dr = 0.05 y dh = 0.1. De aquí obtenemos
dV = (2πrh)dr + (πr2 )dh = 2π (1.5)(5)(0.05) + π (1.5)2 (0.1) = 0.975π
Así que, el máximo error lineal al calcular el volumen del depósito de combustible es
0.975π ≈ 3.1 pies cúbicos.
DEFINICIÓN
Diferencial total
Dada una función diferenciable w = f (x, y, z), definimos el diferencial dw o diferencial total como
∂f
∂f
∂f
dw =
dx +
dy +
dz
∂x
∂y
∂z
Si en la ecuación anterior hacemos dx = ∆x = x − a, dy = ∆y = y − b y dz = ∆z =
z − c, entonces
dw = fx (a, b, c)(x − a) + fy (a, b, c)(y − b) + fz (a, b, c)(z − c)
Ejemplo 1.24. Sea R la resistencia total de tres resistores R1 , R2 , R3 , conectados en
paralelo, tal que
1
1
1
1
=
+ +
R R1 R2 R3
Si la resistencia se mide en ohms, donde R1 = 25 Ω, R2 = 40 Ω y R3 = 50 Ω, con un
posible error de incremento del 0.5 % en cada caso, estime el máximo error posible en el
valor calculado de R.
∂R
Solución. Calculemos
tomando derivadas parciales en ambos lados
∂ R1
∂
1
∂
1
1
1
1
∂R
R2
−2 ∂ R
−R
=
=
+ +
=− 2 ⇒
= 2
∂ R1
∂ R1 R
∂ R1 R1 R2 R3
∂ R1
R1
R1
1.6 Diferencial total y linealización
61
y por simetría obtenemos
R2
∂R
= 2
∂ R2
R2
∂R
R2
= 2
∂ R3
R3
y
Cuando R1 = 25, R2 = 40 y R3 = 50
1
17
=
R 200
⇔
R=
200
ohms
17
Desde que el posible error para cada Ri es de 0.5 %Ri , el máximo error de R se consigue
haciendo dRi = 0.005Ri . Así que
∂R
∂R
∂R
dR1 +
dR2 +
dR3
∂ R1
∂ R2
∂ R3
1
1
1
2
= (0.005)R
+ +
R1 R2 R3
1
200
=
≈ 0.059 ohms
= (0.005)R = (0.005)
17
17
∆R ≈ dR =
Ejemplo 1.25. (Máximo error en el cálculo de la fuerza centrífuga). Un centrífugo es
una maquina diseñada con el propósito específico de sujetar materiales cuando se mantiene
una fuerza centrífuga. La magnitud de la fuerza centrífuga F en dinas está dada por
F = f (M, S, R) =
π 2 S2 MR
900
donde S está en revoluciones por minuto (rpm), M es la masa en gramos, y R es el
radio en centímetros. Si el máximo porcentaje de error en la medida de M, S y R son
0.1 %, 0.4 % y 0.2 %, respectivamente, use diferenciales para estimar el máximo error
porcentual en el cálculo de F.
Solución. El error en el cálculo de F es ∆F, y
∂F
∂F
∂F
dM +
dS +
dR
∂M
∂S
∂R
π 2 S2 R
2π 2 SMR
π 2 S2 M
=
dM +
dS +
dR
900
900
900
∆F ≈ dF =
Por tanto,
y
∆F
dF
dM
dS dR
≈
=
+2 +
F
F
M
S
R
∆F
dF
dM
dS
dR
≈
≤
+2
+
F
F
M
S
R
Capítulo 1 Funciones de varias variables-Lord Barrera
62
Desde que
dM
≤ 0.001
M
se tiene
dS
≤ 0.004
S
y
dR
≤ 0.002
R
dF
≤ 0.001 + 2(0.004) + 0.002 = 0.011
F
O sea, el máximo error porcentual al calcular la fuerza centrífuga es aproximadamente
1.1 %.
Ejemplo 1.26. La energía interna U de un sistema termodinámico es función de la
entropía S, volumen V , y el número de moles N. Estas variables son llamadas variables
naturales de U, y escribimos a esta función como U (S,V , N ). La temperatura T ,
presión P y potencial µ se definen como sigue:
T=
∂U
∂S
P=−
∂U
∂V
µ=
∂U
∂N
donde en cada definición anterior, las otras dos variables se mantienen constantes. Debemos
saber que la entropía es una cantidad difícil de calcular.
Solución.
Definimos la energía libre de Helmholtz F mediante
F = U − ST
Desde que
dU =
∂U
∂U
∂U
dS +
dV +
dN = T dS − PdV + µdN
∂S
∂V
∂N
se tiene
dF = dU − SdT − T dS = T dS − PdV + µdN −SdT − T dS
|
{z
}
dU
= −SdT − PdV + µdN
y por tanto
∂F
∂F
∂F
= −S
= −P
=µ
∂T
∂V
∂N
La energía libre de Helmholtz usa frecuentemente la función termodinámica porque todas
las variables naturales T , V y N son fácilmente calculables.
1.6 Diferencial total y linealización
63
Ejercicios
Ejercicio 1.1. En cada caso, determine el diferencial total
(a) z = 2x2 y3
(b) z = 2x4 y − 6x2 y3
1
(c) z = − 2
x + y2
(d) x cos y − y cos x
(e) ex sen y
x+y
(d) w =
z − 3y
Ejercicio 1.2. Para las siguientes funciones, halle la variación real y diferencial total
(variación aproximada), en los puntos dados:
(a) f (x, y) = x2 y en el punto (1, 2), ∆x = 0.1, ∆y = 0.2
(b) f (x, y) = x3 + y2 − 3xy en el punto (2, 1), ∆x = 0.01, ∆y = 0.02
x2 − y2
en el punto (2, 2), ∆x = 0.5, ∆y = 0.4
(c) f (x, y) = 2
x + y2
(d) f (x, y) = ln(x2 + y2 ) en el punto (0, 2), ∆x = 0.3, ∆y = 0.8
Ejercicio 1.3. Usando diferenciales, aproxime cada uno de los valores:
(a) (1.02)3 (0.97)2
p
(b)
(4.05)2 + (2.93)2
(c) (0.97)1.02
Ejercicio 1.4. Con x trabajadores calificados e y trabajadores no calificados, un fabricante puede producir Q(x, y) = 10x2 y unidades por día. En la actualidad hay en el trabajo
20 trabajadores calificados y 40 no calificados
(a) ¿Cuántas unidades se producen cada día?
(b) ¿En cuánto cambiará real y aproximadamente el nivel de producción diario si se
adiciona un trabajador calificado a la fuerza laboral actual?
() ¿En cuánto cambiará real y aproximadamente el nivel de producción diario si se
adiciona un trabajador no calificado a la fuerza laboral actual?
(d) ¿En cuánto cambiará real y aproximadamente el nivel diario de producción si se
adiciona un trabajador calificado y uno no calificado a la fuerza laboral actual?
Ejercicio 1.5. En cierta fábrica la producción es Q(K, L) = 120K 2/3 L1/3 , donde K es
la inversión de capital en unidades de $ 1000 y L es el tamaño de la fuerza laboral
medida en horas trabajador
(a) Calcule la producción si la inversión de capital es $ 125 000 y el tamaño de la
fuerza laboral es 1331 horas-trabajador.
(b) ¿En cuánto cambiará la producción si tanto el nivel de inversión de capital como el
tamaño de la fuerza laboral se reducen a la mitad?
Capítulo 1 Funciones de varias variables-Lord Barrera
64
Ejercicio 1.6. (Error calculado en la potencia de una batería). Suponga que la fuente
de corriente en un circuito eléctrico es una batería. Entonces la potencia de salida P
(en watts) obtenida cuando el circuito tiene una resistencia de R ohms es dada por P =
E 2R
, donde E es la fuerza electromotriz (FEM) en voltios y r es la resistencia
(R + r )2
interna de la batería. Estime el máximo porcentaje de error al calcular la potencia si la FEM
de 12 voltios se aplica en un circuito con una resistencia de 100 ohms, la resistencia
interna de la batería es de 50 ohms, y el máximo porcentaje de error en medir E, R y r
son de 2 %, 3 % y 1 %, respectivamente.
Ejercicio 1.7. (Flujo sanguíneo). El flujo sanguíneo que pasa por una arteria, medido en
cm3 /s, es dado por
F=
πPR4
8kL
donde L es la longitud de la arteria en centímetros, R es el radio en centímetros, P es la
diferencia de presiones entre los dos extremos
de la arteria en dinas-s/cm2 , y k es la viscosidad de la sangre en dinas-s/cm2 . Aproxime
linealmente el máximo porcentaje de error al
medir el flujo sanguíneo sabiendo que se consigue un máximo error de 1 % al medir la
longitud de la arteria y se consigue un máximo error de 2 % al medir su radio. Suponer
que P y k son constantes.
por T = f (A, a, h) =
A
a
2h
, donde g
g
Área de
la sección
transversal A( y (
En metros (m)
Ejercicio 1.8. (Tanque con agua). Un tanque
con agua teniendo una sección transversal de
A m2 es llenado con agua a una altura de h m.
Luego el agua sale a través de un orificio de sección transversal a cm2 , localizado en la base
del tanque. Se puede mostrar que el tiempo (en
segundos) que toma vaciar
s el tanque es dado
Cambio en el
volumen
A( y ( y
y
y
Área B
v (y (
y
es igual a
Volumen del agua
desalojada B v ( y ( t
es la constante de aceleración. Suponga que las magnitudes de A, a y h son 5 m2 ,
0.001 m2 y 16 m, con errores de 0.05 m2 , −0.0001 m2 y 0.2 m, respectivamente. Aproxime linealmente el error máximo en el cálculo de T (tomar g como 8 m/s2 ).
1.6 Diferencial total y linealización
65
Ejercicio 1.9. (Volumen que se conserva de un hueso). Una pieza de hueso cuya forma
es de un cilindro circular recto tiene 7 cm de largo y un radio de 1.4 cm. Esta pieza es
cubierta por un líquido denso que forma una capa de 0.09 cm. Estime el volumen de esta
capa formada.
Ejercicio 1.10. (Producción). La función de producción para una fábrica es z = x0.65 y0.35
donde se utilizan x unidades de fuerza laboral e y unidades de capital. En un inicio
se utilizan 50 unidades de fuerza laboral y 29 unidades de capital. Use diferenciales
para estimar el cambio en la producción si el número de unidades de fuerza laboral se
incrementa a 52 y el capital decrece a 27 unidades.
Ejercicio 1.11. (Hemodiálisis). Un modelo que estima la concentración de úrea que se
encuentra en el cuerpo de un paciente que realiza una sesión de hemodiálisis, es dado por
C (t, g) = 0.6(0.96)(210t/1500)−1 +
gt
[1 − (0.96)(210t/1500)−1 ]
126t − 900
donde t representa el número de minutos que dura la sesión de hemodiálisis y g representa la razón con la que el cuerpo del paciente produce úrea en mg/min.
(a) Calcule C (180, 8).
(b) Usando el diferencial total, estime la concentración de úrea si la sesión de hemodiálisis del paciente se corta 10 minutos antes y produce úrea a razón de 9 mg por
minuto. Compare esto con la concentración actual. (Sugerencia: primero reemplace
la variable g con el número 8, reduciendo la función a una variable. Entonces
use su computador para calcular la derivada parcial Ct (180, 8). Un procedimiento
similar puede hacerse para Cg (180, 8).)
Ejercicio 1.12. (Inductancia). La inductancia L (en microhenries) de un cable no
magnético en un ambiente libre es
2h
L = 0.00021 ln − 0.75
r
donde h es la longitud del cable en milímetros y r es el radio de la sección transversal
1
1
circular. Aproxime L cuando r = 2 ± 16
milímetros y h = 100 ± 100
milímetros.
Ejercicio 1.13. (Sensación térmica). La fórmula para la sensación térmica S (en grados
Celcius) es dada por
S = 13.112 + 0.6215T − 11.37v0.16 + 0.3965T v0.16
donde v es la velocidad del viento en kilómetros por hora y T es la temperatura del aire
en grados Celcius. La velocidad del viento es 32 ± 3 kilometros por hora y la temperatura
del aire es 8◦ ± 1◦ . Use dC para estimar el máximo error porcentual en la variación de
la sensación térmica.
Capítulo 1 Funciones de varias variables-Lord Barrera
66
1.6.2
Aproximaciones lineales y planos tangentes
A continuación estudiaremos aproximaciones lineales de manera similar a funciones
de una variable.
DEFINICIÓN
Linealización y aproximación lineal
Definimos la linealización L(x, y) de f en el punto (x0 , y0 ) mediante
L(x, y) = f (x0 , y0 ) +
∂f
∂f
(x0 , y0 )(x − x0 ) +
(x0 , y0 )(y − y0 )
∂x
∂y
que es una función lineal cuya gráfica es un plano en R3 que pasa por el punto
(x0 , y0 , f (x0 , y0 )). La función L(x, y) es llamada aproximación lineal de f en el
punto (x, y). En este caso escribimos f (x, y) ≈ L(x, y).
Ejemplo 1.27. Sea f (x, y) = xexy . Entonces
fx (x, y) = exy + xyexy
fy (x, y) = x2 exy
y
Aproximemos f (1.1, −0.1). En efecto, (1.1, −0.1) = (1, 0) + (0.1, −0.1), en este caso
(x0 , y0 ) = (1, 0) y tenemos
fx (1, 0) = e(1)(0) + (1)(0)e(1)(0) = 1
y
fy (1, 0) = (1)2 e(1)(0) = 1
Luego
L(x, y) = f (1, 0) + 1(x − 1) + 1(y − 0) = 1 + x − 1 + y = x + y
Por tanto, f (1.1, −0.1) ≈ L(1.1, −0,1) = 1.1 + (−0.1) = 1.
Ejemplo 1.28. Determine la aproximación lineal de f (x, y, z) =
y utilícela para aproximar el número
q
(3.02)2 + (1.97)2 + (5.99)2
Solución. Tenemos que
x
fx = p
x 2 + y2 + z2
y
fy = p
x2 + y2 + z2
p
x2 + y2 + z2 en (3, 2, 6)
z
fz = p
x2 + y2 + z2
Así que
3
2
fy (3, 2, 6) =
7
7
Luego la aproximación lineal de f en (3, 2, 6) es
fx (3, 2, 6) =
fz (3, 2, 6) =
6
7
3
2
6
3
2
6
L(x, y, z) = 7 + (x − 3) + (y − 2) + (z − 6) = x + y + z
7
7
7
7
7
7
1.6 Diferencial total y linealización
67
Por tanto,
q
(3.02)2 + (1.97)2 + (5.99)2 = f (3.02, 1.97, 5.99)
≈ L(3.02, 1.97, 5.99)
2
6
3
= (3.02) + (1.97) + (5.99)
7
7
7
= 6.9914
DEFINICIÓN
Plano tangente para z = f (x, y)
La ecuación del plano tangente a la gráfica de f en el punto (x0 , y0 , f (x0 , y0 )) se
define mediante
z = f (x0 , y0 ) +
∂f
∂f
(x0 , y0 )(x − x0 ) +
(x0 , y0 )(y − y0 )
∂x
∂y
Ejemplo 1.29. Consideremos la función f (x, y) = x2 + y2 y sea (1, 1, 2) un punto de él.
Tenemos fx = 2x y fy = 2y, de donde, fx (1, 1) = 2 y fy (1, 1) = 2. La ecuación del
plano tangente a la gráfica de z = f (x, y), en el punto (1, 1, 2), resulta
z = L(x, y)
= f (1, 1) + 2(x − 1) + 2(y − 1)
= 2 + 2x − 2 + 2y − 2
= 2x + 2y − 2
DEFINICIÓN
Vector gradiente
1. Dada la función z = f (x, y) definida en (a, b)
∇ f (a, b) =
∂f
∂f
(a, b)i +
(a, b)j
∂x
∂y
2. Dada la función w = f (x, y, z) definida en (a, b, c)
∇ f (a, b, c) =
∂f
∂f
∂f
(a, b, c)i +
(a, b, c)j +
(a, b, c)k
∂x
∂y
∂z
Ejemplo 1.30. Dada la función f (x, y) = x2 + y2 . Entonces
∂f
∂f
∇ f (1, 2) =
(1, 2), (1, 2) = (2, 4)
∂x
∂y
Capítulo 1 Funciones de varias variables-Lord Barrera
68
Ejemplo 1.31. Si f (x, y, z) = y ln(2x − 3z), en el punto (2, 3, 1) tenemos
i
∂f
2
∂ h
=y
=6
(2, 3, 1) =
y ln(2x − 3z)
2x
−
3z (2,3,1)
∂x
∂x
(2,3,1)
i
∂f
∂ h
(2, 3, 1) =
y ln(2x − 3z)
= ln(2x − 3z)
=0
∂y
∂y
(2,3,1)
(2,3,1)
i
∂f
−3
∂ h
=y
(2, 3, 1) =
y ln(2x − 3z)
= −9
2x − 3z (2,3,1)
∂z
∂z
(2,3,1)
De aquí, ∇ f (2, 3, 1) = (6, 0, −9).
DEFINICIÓN
Vector gradiente
Sea (a, b, c) un punto en la superficie S descrita por F (x, y, z) = 0, tal que se
cumple ∇F (a, b, c) 6= 0. Entonces el plano tangente a S en el punto (a, b, c) se
define mediante
∇F (a, b, c) · (x − a, y − b, z − c) = 0
que equivale a
Fx (a, b, c)(x − a) + Fy (a, b, c)(y − b) + Fz (a, b, c)(z − c) = 0
(1.5)
Ejemplo 1.32. Considere la superficie S con ecuación x3 y − yz2 + z5 = 9. Determine el
plano tangente a S en el punto (3, −1, 2).
Solución. Definimos F (x, y, z) = x3 y − yz2 + z5 − 9. Entonces
h
i
∇F (3, −1, 2) = 3x2 yi + (x3 − z2 )j + (5z4 − 2yz)k
= −27i − 23j + 84k
(3,−1,2)
es normal a S en (3, −1, 2). De acuerdo a la fórmula (1.5), la ecuación del plano
tangente tiene ecuación
−27(x − 3) − 23(y + 1) + 84(z − 2) = 0
⇔
−27x − 23y + 84z = 64
Ejemplo 1.33. Considere la superficie definida por z4 = x2 + y2 . Hacemos
F (x, y, z) = x2 + y2 − z4 = 0
El gradiente de F es
∇F (x, y, z) = 2xi + 2yj − 4z3 k
Note que el punto (0, 0, 0) está en la superficie. Sin embargo, ∇F (0, 0, 0) = 0, el cual
indica que el vector gradiente no es el apropiado para hallar la ecuación del plano tangente
a la superficie, es decir, no podemos aplicar la fórmula (1.5). Concluimos de este ejemplo
que la superficie no admite plano tangente en el origen de coordenadas (0, 0, 0).
1.6 Diferencial total y linealización
69
Ejercicios
Ejercicio 1.1. En cada caso, indique con (V) si la afirmación es verdadera y con (F) si
es falsa.
(a) Si ∇ f = (0, 0, 0), entonces f es constante.
(b) ∇z es perpendicular a la gráfica de z = f (x, y)
(c) ∇ f apunta en la dirección en la cual f aumenta con mayor rapidez.
Ejercicio 1.2. En cada caso, determine ∇ f y la aproximación lineal de la función en el
punto dado. A continuación estime el valor pedido.
(a) f (x, y) = xy + x − y, (2, 3), f (2.1, 2.99)
(b) f (x, y) = 12 − 4x2 − 8y2 , (−1, 4), f (−1.05, 3.95)
2
2
(c) f (x, y) = −x
p + 2y , (3, −1), f (3.1, −1.04)
(d) f (x, y) = x2 + y2 , (3, −4), f (3.06, −3.92)
(e) f (x, y) = ln(1 + x + y), (0, 0), f (0.1, −0.2)
(f) f (x, y) = (x + y)/(x − y), (3, 2), f (2.95, 2.05)
Ejercicio 1.3. En cada caso, determine la ecuación del plano tantente a la gráfica de la
función en el punto dado.
(a) z = 4 − 2x2 − y2 , (
2, 2, −8) 2
y
1
(b) z = 2 + 2x2 + ,
− , 1, 3
2
2
(c) z = exy , (1, 0, 1)
(d) z = sen xy + 2, (1, 0, 2)
(e) z = x2 ex−y , (2, 2, 4)
(f) z = ln(1 + xy), (1, 2, ln 3)
1
2
2
(g) z = (x − y)/(x + y ),
1, 2, −
5
(h) z = cos(x − y) + 2, (π/6, −π/6, 3)
Ejercicio 1.4. En cada caso, determine la ecuación del plano tangente a la superficie en el
punto dado.
(a) x2 + y + z = 3, (1, 1, 1)
(b) x2 + y3 + z4 = 2, (1, 0, 1)
(c) xy + xz + yz − 12 = 0, (2, 2, 2)
(d) x2 + y2 − z2 = 0, (3, 4, 5)
(e) xy sen z = 1, (1, 2, π/6)
(f) yzexz − 8 = 0, (0, 2, 4)
√
(g) z2 − x2 /16 − y2 /9 = 1, (4, 3, − 3)
(h) 2x + y2 − z2 = 0, (0, 1, 1)
Capítulo 1 Funciones de varias variables-Lord Barrera
70
1.7
Regla de la cadena
En este apartado combinaremos las ideas de la regla de la cadena en el caso de una
variable con nuestro conocimiento acrca de las derivadas parciales y encontraremos nuevos
métodos para determinar la derivada de una función de varias variables.
1.7.1
Casos particulares
Ya conocemos la regla de la cadena para funciones de una variable la cual dice: si
y = f (x) es derivable en x con x = g(t ) siendo derivable en t, entonces y es una
función derivable en t y
dy dx
dy
=
dt
dx dt
Para funciones de dos o más variables, la regla de la cadena se presenta de varias formas:
Regla de la cadena: primer caso
Si z = f (x, y) donde x = x(t ) e y = y(t ) son ambas derivables en t, entonces z
es derivable en t y se cumple:
dz ∂ f dx ∂ f dy
=
+
dt
∂ x dt
∂ y dt
dz
dx
o también
x
dz
∂ z dx ∂ z dy
=
+
dt
∂ x dt ∂ y dt
dx
dt
z
t
dz
dy
y
dy
dt
Ejemplo 1.34. Usemos la regla de la cadena para hallar la derivada de la función z = xy2
con respecto a t, sabiendo que x = et e y = sent.
Solución.
dz
∂ z dx ∂ z dy
=
+
dt
∂ x dt ∂ y dt
∂ (xy2 ) d t
∂ (xy2 ) d
=
(e ) +
(sent )
dt
dt
∂x
∂y
= (y2 )(et ) + (2xy)(cost )
= (sent )2 (et ) + (2et sent )(cost )
= et sen2 t + 2et sent cost
1.7 Regla de la cadena
71
Ejemplo 1.35. La temperatura en un punto (x, y) es T (x, y), medida en grados centígrados. Un animalito se arrastra de tal manera que su posición después de t segundos
√
está definida por x = 1 + t, y = 2 + t/3, donde x e y se miden en centímetros. La
función temperatura cumple con Tx (2, 3) = 4 y Ty (2, 3) = 3. ¿Qué tan rápido se eleva
la temperatura en la trayectoria del animalito después de 3 segundos?
√
Solución. Después de 3 segundos tenemos x = 1 + 3 = 2 y y = 2 + 13 (3) = 3.
Además
dy
1
1
1
dx
=
= √
=
y
dt t =3 2 1 + t t =3 4
dt t =3 3
Ahora bien, por la regla de la cadena tenemos
dT
dt
dy
t =3
t =3
(2,3) dt t =3
1
1
1
1
= Tx (2, 3) + Ty (2, 3) = (4)
+ (3)
=2
4
3
4
3
=
∂T
∂x
dx
(2,3) dt
+
∂T
∂y
A continuación consideremos la situación cuando z = f (x, y) pero cada una de las
variables x e y es función de dos variables s y t, digamos: x = g(s,t ), y = h(s,t ).
Entonces z es indirectamente función de s y t; así que debemos hallar ∂ z/∂ s y
∂ z/∂t.
Veamos el siguiente caso
Regla de la cadena: segundo caso
Si z = f (x, y) donde x = g(s,t ) e y = h(s,t ), entonces se cumple:
∂z ∂x ∂z ∂y
∂z
=
+
∂s ∂x ∂s ∂y ∂s
dz
dx
∂z
∂z ∂x ∂z ∂y
=
+
∂t
∂ x ∂t ∂ y ∂t
y
dx
ds
x
z
dz
dy
s
y
dx
dt
dy
ds
dy
dt
t
s
t
Capítulo 1 Funciones de varias variables-Lord Barrera
72
Ejemplo 1.36. Si z = x2 y2 , donde x = s2 − t 2 e y = s2 + t 2 , calcule ∂ z/∂ s y ∂ z/∂t.
Solución.
∂z
∂z ∂x ∂z ∂y
=
+
∂s ∂x ∂s ∂y ∂s
= (2xy2 )(2s) + (2x2 y)(2s)
= 2(s2 − t 2 )(s2 + t 2 )2 (2s) + 2(s2 − t 2 )2 (s2 + t 2 )(2s)
= 8s3 (s2 − t 2 )(s2 + t 2 )
También
∂z ∂x ∂z ∂y
∂z
=
+
∂t
∂ x ∂t ∂ y ∂t
= (2xy2 )(−2t ) + (2x2 y)(2t )
= 2(s2 − t 2 )(s2 + t 2 )2 (−2t ) + 2(s2 − t 2 )2 (s2 + t 2 )(2t )
= −8t 3 (s2 − t 2 )(s2 + t 2 )
Ejemplo 1.37. Suponga que f es una función diferenciable de x e y, y sea
g(u, v) = f (eu + sen v, eu + cos v)
Use la tabla de valores para calcular gu (0, 0)
y gv (0, 0).
(0, 0)
(1, 2)
f
3
6
g
6
3
fx
4
2
fy
8
5
Solución. Hacemos g(u, v) = f (x(u, v), y(u, v)) donde x = eu + sen v e y = eu +
cos v. Entonces
∂y
∂y
∂x
∂x
= eu
= cos v
= eu
= − sen v
∂u
∂v
∂u
∂v
∂g ∂ f ∂x ∂ f ∂y
Por la regla de la cadena:
=
+
. Luego
∂u
∂x ∂u ∂y ∂u
gu (0, 0) = fx (x(0, 0), y(0, 0))xu (0, 0) + fy (x(0, 0), y(0, 0))yu (0, 0)
= fx (1, 2)(e0 ) + fy (1, 2)(e0 )
= (2)(1) + (5)(1) = 7
Similarmente
∂g ∂ f ∂x ∂ f ∂y
=
+
. Entonces
∂v
∂x ∂v ∂y ∂v
gv (0, 0) = fx (x(0, 0), y(0, 0))xv (0, 0) + fy (x(0, 0), y(0, 0))yv (0, 0)
= fx (1, 2)(cos 0) + fy (1, 2)(− sen 0)
= (2)(1) + (5)(0) = 2
1.7 Regla de la cadena
73
Ahora consideremos la situación general en la cual una variable dependiente u es
función de n variables intermedias x1 , x2 , . . . , xn , donde a su vez cada una de estas
es función de m variables independientes t1 ,t2 , . . . ,tm . Notemos que deben existir n
términos, uno para cada variable intermedia.
Regla de la cadena: tercer caso
Suponga que u es una función en las n variables x1 , x2 , . . . , xn y donde cada x j
es una función en las m variables t1 ,t2 , . . . ,tm . Entonces u es una función en las
variables t1 ,t2 , . . . ,tm y se tiene
∂u
∂ u ∂ x1
∂ u ∂ x2
∂ u ∂ xn
=
+
+ ... +
∂ti
∂ x1 ∂ti
∂ x2 ∂ti
∂ xn ∂ti
para cada i = 1, 2, . . . , m.
Ejemplo 1.38. Consideremos z = w arctan(uv), donde u = r + s, v = s + t y w = t + r.
∂z ∂z
∂z
Calcular
,
y
en el punto (r, s,t ) = (1, 0, 1).
∂r ∂s
∂t
Solución.
∂z ∂u ∂z ∂v ∂z ∂w
∂z
=
+
+
∂r
∂u ∂r ∂v ∂r ∂w ∂r
w
w
=
(v)(1) +
(u)(0) + arctan(uv)(1)
2
2
1+u v
1 + u2 v2
vw
=
+ arctan(uv)
1 + u2 v2
∂z
∂z ∂u ∂z ∂v ∂z ∂w
=
+
+
∂s ∂u ∂s ∂v ∂s ∂w ∂s
wu
wv
(
1
)
+
(1) + arctan(uv)(0)
=
1 + u2 v2
1 + u2 v2
w(v + u)
=
1 + u2 v2
∂z
∂z ∂u ∂z ∂v ∂z ∂w
=
+
+
∂t
∂ u ∂t ∂ v ∂t ∂ w ∂t
wv
wu
=
(0) +
(1) + arctan(uv)(1)
2
2
1+u v
1 + u2 v2
wu
=
+ arctan(uv)
1 + u2 v2
Cuando r = 1, s = 0 y t = 1, se tiene u = 1, v = 1 y w = 2. Por tanto
∂z
π
= 1+
4
∂r
∂z
=2
∂s
∂z
π
= 1+
4
∂t
Capítulo 1 Funciones de varias variables-Lord Barrera
74
Ejercicios
Ejercicio 1.1. En cada caso, determine dw/dt
(a) w = xy, x = et , y = e−2t
(b) w = cos(x − y), x = t 2 , y = 1
(c) w = x2 + y2 + z2 , x = cost, y = sent, z = et
(d) w = xy cos z, x = t, y = t 2 , z = arc cost
(e) w = xy + xz + yz, x = t − 1, y = t 2 − 1, z = t
(f) w = xy2 + x2 z + yz2 , x = t 2 , y = 2t, z = 2
Ejercicio 1.2. En cada caso, determine ∂ w/∂ s y ∂ w/∂t
(a) w = xyz, x = s + t, y = s − t, z = st 2
(b) w = x2 + y2 + z2 , x = t sen s, y = t cos s, z = st 2
(c) w = zexy , x = s − t, y = s + t, z = st
(d) w = x cos yz, x = s2 , y = t 2 , z = s − 2t
Ejercicio 1.3. Asumiendo que z es la variable dependiente, en cada caso determine
∂ z/∂ x y ∂ z/∂ y
(a) 3x3 + 5y2 + 4xz − 2xy + 20 = 0
(b) 2x2 − 3y3 + 5yz − 3x2 y = 80
(c) x3 y + xz2 + y2 z − z3 = 8
(d) x2 y2 + x2 z3 + yz2 + x2 + y = 0
(e) x3 + 2y3 + z3 − 3xyz − 2y + 3 = 0
x2 y2 z2
(f) 2 + 2 + 2 = 1
a
b
c
Ejercicio 1.4. Use la regla de la cadena para mostrar que
∂w ∂w
+
=0
∂u
∂v
para w = f (x, y), x = u − v, y = v − u.
Ejercicio 1.5. Dado el sistema
(
x = u2 + v2
y = u2 − v2
Determine ∂ u/∂ x, ∂ u/∂ y, ∂ v/∂ x y ∂ v/∂ y.
Ejercicio 1.6. Sea g(x, y) = xy f (u) una función diferenciable en (2, 1), donde u =
x+y
∂g
∂g
. Calcule f 0 (3/2) sabiendo que 4 (2, 1) +
(2, 1) = −20 y g(2, 1) = 8.
xy
∂x
∂y
x−y
Ejercicio 1.7. Sea f : R → R una función derivable y z = f
. Verifique que
y
∂z
∂z
x +y
= 0.
∂x
∂y
1.7 Regla de la cadena
75
Ejercicio 1.8. Sean f : R → R y g : R → R dos funciones derivables en todo R. Se
define la función
z(x, y) = x2 y f (u) + xy2 g(v)
y
x
con u = y v = .
y
x
∂z
∂z
y
(a) Determine las expresiones para
∂x
∂y
∂z ∂z
(b) Calcule el valor de
+
en el punto (−1, 1) si f 0 (−1) = g0 (−1) = 4 y
∂x ∂y
f (−1) = g(−1) = 0
Ejercicio 1.9. Considere una función f real de variable real y defina la función z =
∂z
∂z
y + f (x2 − y2 ). Si se cumple la igualdad y + x
= ax + b para cualquier valor de x
∂x
∂y
e y, determine el valor de a + b.
Ejercicio 1.10. Sea u = (x + y)4 + y2 (x + z)3 , donde x = rse−t , y = rs ln(1 + t 2 ) y
∂u
z = sr2 cost. Calcule
cuando r = 2, s = 1 y t = 0.
∂s
Ejercicio 1.11. Si z = f (x, y) donde x = r cos θ e y = r sen θ , muestre que
2 2 2
∂z
∂z
1 ∂z 2
∂z
+
=
+ 2
∂x
∂y
∂r
∂θ
r
Ejercicio 1.12. Si u = f (x, y) donde x = er cos θ e y = er sen θ , muestre que
" 2 #
2 2
2
∂u
∂
u
∂u
∂u
+
= e−2r
+
∂x
∂y
∂r
∂θ
Ejercicio 1.13. Si u = f (x, y) donde x = er cos θ e y = er sen θ , muestre que
2
∂ 2u ∂ 2u
∂ 2u
−2r ∂ u
+
=
e
+
∂ x 2 ∂ y2
∂ r2 ∂ θ 2
Ejercicio 1.14. Si z = f (x, y) donde x = u + v e y = u − v, muestre que
2 2
∂z
∂z
∂z ∂z
−
=
∂x
∂y
∂u ∂v
Ejercicio 1.15. (Ecuaciones de Cauchy-Riemann). Dada las funciones u(x, y) y v(x, y)
verifique las ecuaciones de Cauchy-Riemann:
∂u ∂v
=
∂x
∂y
y
∂u
∂v
=−
∂y
∂x
que se puede expresar en la forma polar mediante:
∂u 1 ∂v
= ·
r ∂θ
∂r
y
∂v
1 ∂u
=− ·
r ∂θ
∂r
Capítulo 1 Funciones de varias variables-Lord Barrera
76
Ejercicio 1.16. (Función homogénea). Muestre que si f (x, y) es una función homogénea de grado n, entonces
x fx (x, y) + y fy (x, y) = n f (x, y)
(Sugerencia: sea g(t ) = f (tx,ty) = t n f (x, y)). Encuentre g0 (t ) y tome t = 1.
Ejercicio 1.17. (a) Use diferenciación implícita para determinar d2 y/dx2 a partir de la
ecuación implícita f (x, y) = 0. (Asuma que f tiene segundas derivadas parciales
continuas).
(b) Use el resultado de la parte (a) para determinar d2 y/dx2 si x3 + y3 − 3xy = 0.
¿Cuál es su dominio?
Ejercicio 1.18. (a) Sea P(a, b) un punto de la curva definida por f (x, y) = 0. Muestre
que si la curva admite recta tangente en P(a, b), entonces la ecuación de la recta
tangente se puede escribir en la forma
fx (a, b)(x − a) + fy (a, b)(y − b) = 0
(b) Determine la ecuación de la recta tangente a la elipse
x 2 y2
+ =1
4
9
en el punto
√ !
3 3
1,
.
2
Ejercicio 1.19. (Variación del cilindro). El volumen de un cilindro circular recto con
radio r y altura h es V = πr2 h.
(a) Suponga que r y h son funciones de t. Determine V 0 (t ).
(b) Suponga que r = et y h = e−2t . Use la parte (a) para determinar V 0 (t )
(c) ¿Qué pasa con el volumen del cilindro cuando t se incrementa? ¿aumenta o disminuye?
Ejercicio 1.20. (Variación de la pirámide). El volumen de una pirámide con base cua1
drada de lado x y altura h es V = x2 h.
3
(a) Suponga que x y h son funciones de t. Determine V 0 (t ).
(b) Suponga que x = t/(t + 1) y h = 1/(t + 1) para t ≥ 0. Use la parte (a) para
determinar V 0 (t )
(c) ¿Qué pasa con el volumen de la pirámide cuando t se incrementa? ¿aumenta o
disminuye?
1.7 Regla de la cadena
77
Ejercicio 1.21. (Conservación de la energía). Un proyectil es lanzado al aire en una
trayectoria parabólica. Para t ≥ 0, las coordenadas horizontal y vertical son x(t ) = u0t e
y(t ) = −(1/2)gt 2 + v0t, respectivamente, donde u0 es la velocidad inicial horizontal,
v0 es la velocidad inicial vertical, y g es la aceleración debido a la gravedad. Recordando
que u(t ) = x0 (t ) y v(t ) = y0 (t ) son las componentes de la velocidad, la energía del
proyectil (cinética más potencial) es
1
E (t ) = m(u2 + v2 ) + mgy
2
Use la regla de la cadena para determinar E 0 (t ) y mostrar que E 0 (t ) = 0 para todo t ≥ 0.
Interprete el resultado.
Ejercicio 1.22. (Densidad variable). La densidad de un delgado plato circular de radio 2
es dada por ρ (x, y) = 4 + xy. El borde del plato tiene ecuaciones paramétricas x = 2 cost,
y = 2 sent para 0 ≤ t ≤ 2π.
(a) Halle la razón con que cambia la densidad con respecto a t en el borde del plato.
(b) ¿En qué puntos del borde del plato la densidad es máxima?
Ejercicio 1.23. (Espiral dentro de un dominio). Suponga que usted sigue un camino
de espiral C parametrizado por x = cost, y = sent, z = t para t ≥ 0, que atraviesa el
dominio de la función w = f (x, y, z) = (xyz)/(z2 + 1).
(a) Determine w0 (t ) a lo largo de C.
(b) Determine los puntos (x, y, z) en C donde w alcance su valor máximo.
Ejercicio 1.24. (Momento de inercia). Un
anillo cilíndrico tiene un radio interno r1 y un
radio externo r2 (ver figura adjunta). Su momento de inercia es I = 12 m(r12 + r22 ), donde
m es la masa. Los dos radios se incrementan a
razón de 2cm/seg. Determine la razón con la
que I cambia en el instante cuando los radios
son 6 cm y 8 cm (suponga que la masa es
constante).
r2
r1
Ejercicio 1.25. La temperatura en un punto (x, y) de una región del plano xy es T (x, y),
medida en grados Celcius. Una hormiga se desplaza de modo que su posición después
√
1
de t segundos está dada por x = 10 + 2t 3 , y = 2t + t 2 , donde x e y se miden en
3
centímetros. La función de temperatura satisface Tx (8, 9) = 10 y Ty (8, 9) = 7.
(a) Modele la expresión que describa la rapidez de cambio de la temperatura después de
3 segundos.
(b) Determine la rapidez con la que está subiendo la temperatura en la trayectoria de la
hormiga después de 3 segundos.
78
Capítulo 1 Funciones de varias variables-Lord Barrera
Ejercicio 1.26. Una ferretería vende dos marcas de pintura látex. Las cifras de ventas
indican que si la primera marca se vende a x dólares por galón y la segunda a y dólares
por galón, la demanda de la primera marca será Q(x, y) = 200 − 10x2 + 20y galones por
mes. Se calcula que dentro de t meses el precio de la primera marca será x = 5 + 0.02t
√
dólares por galón y el precio de la segunda marca será y = 6 + 0.4 t dólares por galón.
¿A qué razón cambiará la demanda de la primera marca de pintura con respecto al tiempo
dentro de 9 meses?
Ejercicio 1.27. Un distribuidor de bicicletas ha descubierto que si las bicicletas de 10
velocidades se venden a x dólares cada una y el precio de la gasolina es y centavos por
√
galón, cada mes de venderán aproximadamente f (x, y) = 200 − 24 t + 4(0.1y + 5)3/2
bicicletas. Se estima que dentro de t meses las bicicletas se venderán a x = 129 + 5t
√
dólares cada una y el precio de la gasolina será y = 80 + 10 3t centavos por galón. ¿A
qué razón cambiará aproximadamente la demanda mensual de bicicletas con respecto al
tiempo dentro de 3 meses?
Ejercicio 1.28. Un distribuidor de pinturas vende dos marcas de pintura. Se sabe que si la
primera marca se vende a x1 dólares por galón y la segunda a x2 dólares por galón la
demanda de la primera marca será q1 (x1 , x2 ) = 200 − 10x1 + 20x2 galones por mes y la
demanda de la segunda marca será q2 (x1 , x2 ) = 100 + 5x1 − 10x2 galones por mes
(i) Determine el ingreso total mensual del distribuidor debido a la venta de las dos
pinturas como una función de los precios x1 y x2 .
(ii) ¿Cuál será la variación real del ingreso cuando el precio de la primera pintura pase
de 5 a 5.20 dólares por galón y el de la segunda de 6 a 5.80 dólares por galón?
(iii) ¿Cuál será la variación aproximada con los datos expuestos en (ii)?
Ejercicio 1.29. (Ley de gases ideales). La ley de gases ideales es pV = mRT , donde
p es la presión, V es el volumen, m es la masa constante, R es una constante, T es
la temperatura, y tanto p como V dependen del tiempo. Determine dT /dt, que es la
razón con la cual la temperatura cambia con respecto al tiempo.
Ejercicio 1.30. (Ciencias sociales). El ingreso que le resulta a una agencia de turismo
por vender boletos de viaje depende de tres rutas: Lima-Arequipa, Lima-Pucallpa y LimaTrujillo, el cual se expresa por la fórmula
T2
2
donde A, P y T son los ingresos por vender boletos a Arequipa, Pucallpa y Trujillo,
respectivamente. Los ingresos por cada ruta a su vez dependen de la cantidad de boletos
vendidos según la aerolínea elegida (Lan l, Peruvian p, StarPerú s), como sigue:
I (A, P, T ) = 2A + P +
A = 200l + 180p + 150s,
P = 150l + 120p + 100s
Determine ∂ I/∂ l, ∂ I/∂ p y ∂ I/∂ s.
y
T = 250l + 200p + 180s
1.7 Regla de la cadena
1.7.2
79
Fórmula de Euler para funciones homogéneas
Teorema de Euler
Si f es una función homogénea de x e y, de orden n, entonces
x
∂f
∂f
+y
= nf
∂x
∂y
Ejemplo 1.39. Verifique el teorema de Euler para la función f (x, y) = ax2 + 2hxy + by2
Solución. Aquí, f (x, y) es homogénea de grado n = 2. Según el teorema de Euler:
x
Ahora bien
∂f
∂f
+y
= 2f
∂x
∂y
∂f
= 2ax + 2hy
∂x
y
∂f
= 2hx + 2by
∂y
Por tanto
x
∂f
∂f
+y
= 2ax2 + 2hxy + 2hxy + 2by2 = 2(ax2 + 2hxy + by2 ) = 2 f
∂x
∂y
x4 + y4
Ejemplo 1.40. Si u = ln
, muestre que
x+y
x
Solución. Desde que
4
x + y4
u = ln
x+y
∂u
∂u
+y
=3
∂x
∂y
entonces
eu =
x4 + y4
x+y
x4 + y4
. Aquí la función f es homogénea de grado 3. De acuerdo al
x+y
teorema de Euler
∂f
∂f
x
+y
= 3f
∂x
∂y
O sea
∂
∂
x (eu ) + y (eu ) = 3 f
∂x
∂y
∂u
∂u u
x +y
e = 3eu
∂x
∂y
∂u
∂u
x +y
= 3eu
∂x
∂y
Sea f = eu =
Capítulo 1 Funciones de varias variables-Lord Barrera
80
Ejemplo 1.41. Dada la función
f (x, y) =
ln x − ln y
1
1
+ + 2
2
xy
x
x + y2
muestre que
x
∂f
∂f
+y +2f = 0
∂x
∂y
Solución. f (x, y) es homogénea de grado −2, que por el teorema de Euler
x
o también
x
∂f
∂f
+y
= −2 f
∂x
∂y
∂f
∂f
+y +2f = 0
∂x
∂y
!
x+y
√
√ , muestre que
x+ y
Ejemplo 1.42. Si u = arc cos
x
∂u
∂u 1
+ y + cot u = 0
∂x
∂y 2
Solución. Si z = cos u, entonces arc cos z = u es homogénea de grado 1/2. Por el
teorema de Euler
∂z
1
∂z
= z
x +y
∂x
∂y 2
o también
∂z ∂u 1
∂z ∂u
+y
= z
2
∂u ∂x
∂u ∂y
∂u
1
∂u
x (− sen u) + y (− sen u) = cos u
2
∂x
∂y
∂u
1
∂u
x +y
= − cot u
2
∂x
∂y
x
Por lo tanto
x
∂u
∂u 1
+ y + cot u = 0
∂x
∂y 2
1.7 Regla de la cadena
81
Ejemplo 1.43. Si z es una función homogénea de grado n, muestre que
∂ 2z
∂ 2z
∂z
(a) x 2 + y
= (n − 1)
∂
x∂
y
∂
x
∂x
2
2
∂ z
∂ z
∂z
+ y 2 = (n − 1)
(b) x
∂ x∂ y
∂y
∂y
∂ 2z
∂ 2z
∂ 2z
(c) x2 2 + 2xy
+ y2 2 = n ( n − 1 ) z
∂ x∂ y
∂x
∂y
Solución. De acuerdo al teorema de Euler
x
∂z
∂z
+ y = nz
∂x
∂y
(a) Derivando con respecto a x:
∂ 2z
∂z
∂ 2z
∂z
+x 2 +y
=n
∂x
∂ x∂ y
∂x
∂x
que implica
x
∂ 2z
∂ 2z
∂z
+
y
= (n − 1)
2
∂ x∂ y
∂x
∂x
(b) Derivando con respecto a y:
x
∂z
∂ 2z
∂z
∂ 2z
+
+y 2 = n
∂ y∂ x ∂ y
∂y
∂y
x
∂z
∂ 2z
∂ 2z
+ y 2 = (n − 1)
∂ y∂ x
∂
y
∂y
que implica
(c) En (a) multiplicamos por x y tenemos
x2
∂ 2z
∂ 2z
∂z
+
xy
= (n − 1)x
2
∂
x∂
y
∂
x
∂x
En (b) multiplicamos por y y tenemos
xy
∂ 2z
∂ 2z
∂z
+ y2 2 = ( n − 1 ) y
∂ y∂ x
∂y
∂y
Si a partir de las dos últimas ecuaciones sumamos, conseguimos
2
2
∂ 2z
∂z
∂z
2∂ z
2∂ z
x
+ 2xy
+y
= (n − 1) x + y
= n(n − 1)z
∂ x∂ y
∂x
∂y
∂ x2
∂ y2
Capítulo 1 Funciones de varias variables-Lord Barrera
82
Ejercicios
Ejercicio 1.1. Encada
caso verifique el teorema de Euler
y
n
(a) f = x sen
x√
√ !
x
−
y
(b) f = sen−1 √
√
x+ y
1/3
1/3
x +y
(c) z =
x1/2 + y1/2
y
x
(d) u = arc sen
+ arctan
y
x
Ejercicio 1.2. Si v =
x3 y3
, muestre que
x 3 + y3
x
∂v
∂v
+ y = 3v
∂x
∂y
x2 + y2
Ejercicio 1.3. Si z = √
, muestre que
x+y
∂z
∂z
+y =
∂x
∂y
!
x + 2y + 3z
,
p
x 8 + y8 + z8
x
Ejercicio 1.4. Si u = arc sen
3
z
2
muestre que
∂u
∂u
∂u
+ y + z + 3 tan u = 0
∂x
∂y
∂z
y
x
Ejercicio 1.5. Si u = x arc sen
, calcule el valor de
+ y arc sen
y
x
x
x2
Ejercicio 1.6. Si u = arctan
2
∂ 2u
∂ 2u
2∂ u
+
2xy
+
y
∂ x∂ y
∂ x2
∂ y2
x 3 + y3
, muestre que
x−y
∂u
∂u
+y
= sen 2u
∂x
∂y
∂ 2u
∂ 2u
∂ 2u
(b) x2 2 + 2xy
+ y2 2 = 2 cos 3u sen u
∂ x∂ y
∂x
∂y
!
x+y
Ejercicio 1.7. Si u = arc sen √
√ , pruebe que
x+ y
(a) x
x2
2
∂ 2u
− sen u cos 2u
∂ 2u
2∂ u
+
2xy
=
+
y
2
2
∂ x∂ y
∂x
∂y
4 cos3 u
1.7 Regla de la cadena
1.7.3
83
Diferenciación implícita
Considere el caso especial cuando z = f (x, y) es una función de x e y, a su vez
y es una función derivable en x. Entonces por el primer caso de la regla de la cadena
obtenemos
∂ f dx ∂ f dy
∂ f ∂ f dy
dz
=
+
=
+
(1.6)
dx
∂ x dx ∂ y dx
∂ x ∂ y dx
Este resultado puede ser usado para hallar derivadas de funciones que son definidas
implícitamente. Por ejemplo, suponga que la ecuación
F (x, y) = 0
(1.7)
define a y implícitamente como una función de x, entonces nos interesaremos en hallar
dy/dx. Derivando en ambos lados de (1.7) y aplicando (1.6) conseguimos
∂ F ∂ F dy
+
=0
∂x
∂ y dx
Por tanto, si ∂ F/∂ y 6= 0, obtenemos
∂F
dy
Fx
= − ∂x = −
dx
Fy
∂F
∂y
En resumen, tenemos el siguiente resultado:
Teorema 1.7.1 (Diferenciación implícita de una variable independiente). Suponga que
la ecuación F (x, y) = 0, donde F define a y implícitamente como una función
derivable en x, entonces
Fx (x, y)
dy
=−
dx
Fy (x, y)
si Fy (x, y) 6= 0
(1.8)
dy
si x2 + xy2 + y3 = 5 .
dx
Solución. La ecuación puede escribirse como
Ejemplo 1.44. Determine
F (x, y) = x2 + xy2 + y3 − 5 = 0
Entonces por la relación (1.8) conseguimos
Fx (x, y)
dy
2x + y2
=−
=−
dx
2xy + 3y2
Fy (x, y)
Capítulo 1 Funciones de varias variables-Lord Barrera
84
Como una segunda aplicación de la regla de la cadena a la derivación implícita, suponga
que se tiene la ecuación F (x, y, z) = 0, donde F es una función en las variables x e y
vía la ecuación z = f (x, y). Derivando en la ecuación F (x, y, z) = 0 con respecto a x,
obtenemos
∂w ∂F ∂F ∂z
∂z
=
+
= Fx + Fz
=0
∂x
∂x
∂z ∂x
∂x
lo cual nos da
Fx
∂z
=−
siempre que Fz 6= 0
Fz
∂x
Similarmente, derivando en la ecuación F (x, y, z) = 0 con respecto a y, obtenemos
Fy
∂z
=−
Fz
∂y
siempre que Fz 6= 0
Teorema 1.7.2 (Diferenciación implícita de dos variables independientes). Suponga
que la ecuación F (x, y, z) = 0, donde F define a z implícitamente como una función
derivable en x e y, entonces
Fx (x, y, z)
∂z
=−
∂x
Fz (x, y, z)
y
Fy (x, y, z)
∂z
=−
∂y
Fz (x, y, z)
siempre que Fz (x, y, z) 6= 0
(1.9)
∂z
∂z
y
si 2x2 z − 3xy2 + yz − 8 = 0 .
∂x
∂y
Solución. Aquí tenemos
Ejemplo 1.45. Determine
F (x, y, z) = 2x2 z − 3xy2 + yz − 8 = 0
y de acuerdo a la ecuación (1.9) conseguimos
Fx (x, y, z)
4xz − 3y2
3y2 − 4xz
∂z
=−
=− 2
=
∂x
2x + y
2x2 + y
Fz (x, y, z)
y
Fy (x, y, z)
−6xy + z
6xy − z
∂z
=−
=− 2
= 2
∂y
2x + y
2x + y
Fz (x, y, z)
1.7 Regla de la cadena
1.7.4
85
Sistemas de ecuaciones
Si tenemos una ecuación simple F (x, y, z) = 0 y deseamos calcular ∂ z/∂ x, estamos
entendiendo que x es una función de las variables restantes y y z, por lo que no hay
posibilidad de equivocarse a la hora de decidir qué variable hay que mantener constante en
el cálculo de la derivada parcial. Sin embargo, supongamos que deseamos calcular ∂ z/∂ x
dado el sistema F (x, y, z, w) = 0 y G(x, y, z, w) = 0. Esto implica que x es una de las
variables dependientes, y que z es una de las variables independientes, pero no implica
cuál de las otras dos variables u y w es la variable dependiente y cuál la independiente.
En pocas palabras, ¿a cuál de las situaciones
(
(
x = x(z, w)
x = x(y, z)
y
y = y(z, w)
w = w(y, z)
nos estamos enfrentando? Tal como se plantea, la pregunta es ambigua. Para evitar esta
ambiguedad podemos especificar en la notación de la derivada parcial qué variable se
tomará como la otra variable independiente y, por tanto, permanecerá fija durante la
diferenciación. Así,
∂x
∂z
∂x
∂z
(
x = x(z, w)
y = y(z, w)
(
x = x(y, z)
w = w(y, z)
implica la interpretación
w
implica la interpretación
y
Ejemplo 1.46. Dadas las ecuaciones F (x, y, z, w) = 0 y G(x, y, z, w) = 0, determine
(∂ x/∂ z)w
Solución. Diferenciamos las dos ecuaciones con respecto a z, considerando a x e y
como funciones de z y w, y manteniendo fija a w
∂y
∂x
+ F2 + F3 = 0
∂z
∂z
∂y
∂x
G1 + G2 + G3 = 0
∂z
∂z
F1
Usando la regla de Cramer conseguimos
∂x
F3 G2 − F2 G3
=−
F1 G2 − F2 G1
∂z w
Capítulo 1 Funciones de varias variables-Lord Barrera
86
Ejemplo 1.47. Sean x, y, u y v variables relacionadas por las ecuaciones
(
u = x2 + xy − y2
v = 2xy + y2
(a) Calcule (∂ x/∂ u)v en el punto x = 2 e y = −1
(b) Calcule (∂ x/∂ u)y en el punto x = 2 e y = −1
Solución. (a) Para calcular (∂ x/∂ u)v consideraremos x e y como funciones de u
y v y diferenciaremos las ecuaciones dadas con respecto a u, manteniendo v constante
∂y
∂u
∂x
= (2x + y) + (x − 2y)
∂u
∂u
∂u
∂y
∂v
∂x
0=
= 2y + (2x + 2y)
∂u
∂u
∂u
1=
En x = 2, y = −1, tenemos que
∂y
∂x
+4
∂u
∂u
∂y
∂x
0 = −2 + 2
∂u
∂u
1=3
y eliminando ∂ y/∂ u se llega al resultado (∂ x/∂ u)v = 1/7.
(b) Para calcular (∂ x/∂ u)y consideraremos x y v como funciones de y y u y
diferenciaremos las ecuaciones dadas con respecto a u, manteniendo y constante
1=
∂x
∂u
= (2x + y) ,
∂u
∂u
∂v
∂x
= 2y
∂u
∂u
En x = 2, y = −1, la primera ecuación produce (∂ x/∂ u)y = 1/3.
DEFINICIÓN
El jacobiano
El jacobiano de las funciones x = x(u, v) e y = y(u, v) es
∂ (x, y)
=
∂ (u, v)
∂x
∂u
∂y
∂u
∂x
∂v
∂y
∂v
=
∂x ∂y ∂y ∂x
−
∂u ∂v ∂u ∂v
1.7 Regla de la cadena
87
De forma similar, el jacobiano de las funciones F (x, y, · · · ) y G(x, y, · · · ), con
respecto a las variables x e y es
∂F
∂x
∂G
∂x
∂ (F, G)
=
∂ (x, y)
∂F
∂y
∂G
∂y
=
∂F ∂G ∂G ∂F
−
∂x ∂y
∂x ∂y
Ejemplo 1.48. En términos de jacobianos, el valor (∂ x/∂ z)w obtenido a partir del
sistema de ecuaciones
F (x, y, z, w) = 0,
G(x, y, z, w) = 0
se puede expresar en la forma
∂x
∂z
=−
w
∂ (F,G)
∂ (z,y)
∂ (F,G)
∂ (x,y)
Obsérvese la pauta. El denominador es el jacobiano de F y G con respecto a las dos
variables dependientes, x e y. El numerador es el mismo jacobiano, salvo que la variable
dependiente x ha sido sustituida por la variable independiente z.
Consideremos un sistema de ecuaciones con n + m variables
F(1) (x1 , x2 , . . . , xm , y1 , y2 , . . . , yn ) = 0
F (x1 , x2 , . . . , xm , y1 , y2 , . . . , yn ) = 0
(2)
..
.
F (x , x , . . . , x , y , y , . . . , y ) = 0
(n)
1
2
m
1
2
n
y un punto P0 = (a1 , a2 , . . . , am , b1 , b2 , . . . , bn ) que satisface el sistema. Supongamos que
todas las funciones F(i) tienen derivadas parciales primeras continuas con respecto a todas
las variables x j y yk (i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m, k = 1, . . . , n) cerca de P0 . Finalmente
supongamos que
∂ (F(1) , F(2) , . . . , F(n) )
6= 0
∂ (y1 , y2 , . . . , yn )
P0
Entonces, se pueden despejar en el sistema las variables y1 , y2 , . . . , yn como funciones de
(x1 , x2 , . . . , xm ) cerca de P0 . Es decir, existen funciones
φ1 (x1 , x2 , . . . , xm ), . . . , φn (x1 , x2 , . . . , xm )
Capítulo 1 Funciones de varias variables-Lord Barrera
88
tales que
φ j (a1 , a2 , . . . , am ) = b j
( j = 1, . . . , n)
y tales que las ecuaciones
F(1) (x1 , x2 , . . . , xm , φ1 (x1 , x2 , . . . , xm ), . . . , φn (x1 , x2 , . . . , xm )) = 0
F(2) (x1 , x2 , . . . , xm , φ1 (x1 , x2 , . . . , xm ), . . . , φn (x1 , x2 , . . . , xm )) = 0
..
.
F(n) (x1 , x2 , . . . , xm , φ1 (x1 , x2 , . . . , xm ), . . . , φn (x1 , x2 , . . . , xm )) = 0
se cumplen para todo (x1 , x2 , . . . , xm ) lo suficientemente cerca de (a1 , a2 , . . . , am ). Además
∂ φi
=
∂xj
∂ yi
∂xj
=−
x1 ,...,x j−1 ,x j+1 ,...,xm
∂ (F(1) ,F(2) ,...,F(n) )
∂ (y1 ,...,x j ,...,yn )
∂ (F(1) ,F(2) ,...,F(n) )
∂ (y1 ,...,yi ,...,yn )
Ejemplo 1.49. Demuestre que el sistema
(
xy2 + xzu − yv2 = 3
x3 yz + 2xv − u2 v2 = 2
se puede resolver, obteniéndose (u, v) como una función (vectorial) de (x, y, z) cerca del
punto P0 tal que (x, y, z, u, v) = (1, 1, 1, 1, 1), y calcule el valor de ∂ v/∂ y de la solución
en (x, y, z) = (1, 1, 1).
(
F (x, y, z, u, v) = xy2 + xzu − yv2 − 3
Solución. Sea
Entonces
G(x, y, z, u, v) = x3 yz + 2xv − u2 v2 − 2
∂ (F, G)
∂ (u, v)
2yv
xz
=
P0
−2uv2 2x − 2u2 v
=
1
2
=4
−2 0
P0
Como este jacobiano no es cero, el Teorema de la Función Implícita nos asegura que las
ecuaciones dadas se pueden resolver, obteniéndose u y v como funciones de x, y y z,
es decir, como (u, v) = f (x, y, z). Dado que
∂ (F, G)
∂ (u, y)
2xy + v2
xz
=
−2uv2
P0
2x − x3 z
tenemos
∂v
∂y
=−
x,z
∂ (F,G)
∂ (u,y)
∂ (F,G)
∂ (u,v)
=
3
=7
−2 1
P0
=−
1
7
4
1.7 Regla de la cadena
89
Ejercicios
Ejercicio 1.1.
dy
(a)
si
dx
∂y
si
(b)
∂x
∂z
(c)
si
∂y
∂z
(d)
si
∂y
∂x
si
(e)
∂w
dy
(f)
si
dx
∂u
si
(g)
∂x ∂x
(h)
∂y z
En cada caso, use diferenciación implícita para determinar.
xy3 + x4 y = 2
xy3 = y − z
z2 + xy3 =
xz
y
eyz − x2 z ln y = π
x2 y2 + y2 z2 + z2t 2 + t 2 w2 − xw = 0
F (x, y, x2 − y2 ) = 0
G(x, y, z, u, v) = 0
si x2 + y2 + z2 + w2 = 1 y x + 2y + 3z + 4w = 2
Ejercicio 1.2. En cada caso, calcule la derivada parcial usando diferenciación implícita.
∂z
(a)
, x2 y + y2 z + xz2 = 10
∂x
∂w
, x2 w + y2 z + w3 + wz2 + 3yz = 0
(b)
∂z
∂z
(c)
, exy + sen(xz) + y = 0
∂y
∂t
∂r
y,
, r2 = tes/r
(d)
∂t
∂r
1
1
∂w
+ 2
= 1 en (x, y, w) = (1, 1, 1)
(e)
2
2
∂y w +x
w + y2
∂U
∂T
(f)
y
, (TU −V )2 ln(W −UV ) = 1 en (T ,U,V ,W ) = (1, 1, 2, 4)
∂T
∂U
Ejercicio 1.3. Suponga que la ecuación F (x, y, z) = 0 define implícitamente cada una de
las variables x, y y z como función de las otras dos: = f (x, y), y = g(x, y), x = h(y, z).
Si F es diferenciable y Fx , Fy y Fz son no nulos, muestre que
∂z ∂x ∂y
·
·
= −1
∂x ∂y ∂z
Ejercicio 1.4. Demuestre que las ecuaciones
(
xey + uz − cos v = 2
u cos y + x2 v − yz2 = 1
se pueden resolver, expresando u y v como funciones de x, y y z cerca del punto P0
tal que (x, y, z) = (2, 0, 1) y (u, v) = (1, 0), y calcule (∂ u/∂ z)xy en (x, y, z) = (2, 0, 1)
Capítulo 1 Funciones de varias variables-Lord Barrera
90
1.8
Extremos de funciones
En este apartado enfocaremos nuestra atención en determinar los extremos de una
función de dos variables. Como en el caso de una función de una variable, distinguiremos
entre extremos relativos y extremos absolutos de una función de dos variables.
1.8.1
Extremos relativos y absolutos
Iniciemos nuestro estudio con la siguiente definición:
DEFINICIÓN
Extremos relativos
Una función z = f (x, y) tiene un máximo relativo (mínimo relativo) en un punto
(a, b) si el valor de la función en este punto es mayor o igual (menor o igual) que su
valor en cualquier otro punto (x, y) de algún entorno de (a, b).
Un punto donde hay máximo relativo o mínimo relativo es llamado punto de extremo
relativo. El punto donde ocurre el mayor de los máximos relativos en el dominio de
la función se llama punto de máximo absoluto; similarmente, el punto donde ocurre
el menor de los mínimos relativos en el dominio de la función es un punto de mínimo
absoluto. Un punto donde existe máximo o mínimo absoluto es llamado punto de extremo
absoluto.
z
Máximo absoluto
y
Máximo relativo
Máximo
relativo
z = f (x, y(
Mínimo
Relativo
y
x
Teorema 1.8.1 (Condición necesaria para ser extremo local). Si (a, b) es un punto de
extremo local para f , entonces ∇ f (a, b) = (0, 0), es decir,
∂f
(a, b) = 0
∂x
y
∂f
(a, b) = 0
∂y
(1.10)
1.8 Extremos de funciones
DEFINICIÓN
91
Punto crítico
Sea f una función en las variables x e y, cuyo dominio contiene al punto (a, b).
Decimos que (a, b) es un punto crítico para f si ∇ f (a, b) = (0, 0) o ∇ f (a, b)
no existe. Los puntos críticos son candidatos para obtener extremos relativos.
Decir que (a, b) es un punto crítico, significa que se cumple solo uno de los casos:
1.
∂f
(a, b) = 0
∂x
y
∂f
(a, b) = 0
∂y
2.
@
∂f
(a, b)
∂x
o
∂f
(a, b)
∂y
@
Ejemplo 1.50. Dada la función f (x, y) = x2 + y2 − 2x − 4y + 10. Determine el punto
crítico para f y muestre que f tiene un mínimo relativo en dicho punto crítico.
Solución. Para encontrar el punto crítico de f , calculamos
fx (x, y) = 2x − 2 = 2(x − 1)
y
fy (x, y) = 2y − 4 = 2(y − 2)
y
fy (x, y) = 2(y − 2) = 0
Igualando a cero ambas derivadas parciales
fx (x, y) = 2(x − 1) = 0
conseguimos x = 1 y y = 2. Así que (1, 2) es el único punto crítico de f . A
continuación mostraremos que f tiene un mínimo relativo en este punto.
Para esto completamos cuadrados
2
z
z = f ( x, y(
2
f (x, y) = (x − 1) + (y − 2) + 5
Notemos que
(x − 1)2 ≥ 0
y
5
(y − 2)2 ≥ 0
4
(1, 2, 5 (
3
implica
2
2
2
f (x, y) = (x − 1) + (y − 2) + 5 ≥ 5
∀ (x, y) ∈ dom( f ). Por tanto f (1, 2) = 5 es
un valor mínimo relativo para f .
1
1
x
1
2
y
Capítulo 1 Funciones de varias variables-Lord Barrera
92
DEFINICIÓN
Punto de silla
Un punto crítico (a, b) de f que no es extremo relativo, es llamado punto de silla.
Esto significa que para todo entorno de (a, b), acontecen los siguientes casos:
1. Existen puntos (x, y) en dicho entorno para el cual f (x, y) > f (a, b)
2. Existen puntos (x, y) en dicho entorno para el cual f (x, y) < f (a, b)
Ejemplo 1.51. El punto (0, 0) es un punto de silla para la función f (x, y) = x2 − y2 .
También, el punto (0, 0) es un punto de silla para la función f (x, y) = xy.
DEFINICIÓN
Matriz hessiana y hessiano
Dada la función f (x, y), se define la matriz hessiana H f (x, y) mediante la matriz
2
∂ f
∂2 f
∂ x2
∂ y∂ x
H f (x, y) = 2
2
∂ f
∂ f
∂ x∂ y
∂ y2
El determinante D = |H f (x, y)| es llamado hessiano de f .
Ejemplo 1.52. La matriz hessiana de f (x, y) = x2 y + xy2 + x2 + y2 es
!
2y + 2 2x + 2y
H f (x, y) =
2x + 2y 2x + 2
y el hessiano resulta
D = (2y + 2)(2x + 2) − (2x + 2y)(2x + 2y) = 4 + 4x + 4y − 4xy − 4x2 − 4y2
Caracterización de extremos relativos
Sea z = f (x, y) una función que admite derivadas de segundo orden en el punto crítico
(a, b) de f . Se cumplen
∂2 f
1. Si D > 0 y
(a, b) > 0, entonces f tiene mínimo local en (a, b).
∂ x2
∂2 f
2. Si D > 0 y
(a, b) < 0, entonces f tiene máximo local en (a, b).
∂ x2
3. Si D < 0, entonces f tiene punto de silla en (a, b).
4. Si D = 0, no podemos afirmar nada acerca de (a, b).
1.8 Extremos de funciones
93
Ejemplo 1.53. Encuentre y clasifique todos los puntos críticos de
f (x, y) = x3 + y4 + 3x2 − 2y2
¿La función alcanza extremos absolutos en su dominio?
Solución. Entontrando las derivadas parciales
fx = 3x2 + 6x = 3x(x + 2) = 0
fy = 4y3 − 4y = 4y(y + 1)(y − 1) = 0
y
obtenemos los puntos críticos (0, 0), (0, −1), (0, 1), (−2, 0), (−2, −1), (−2, 1). Por
otro lado,
!
6x + 6
0
H f (x, y) =
0
12y2 − 4
!
6 0
y D = −24.
1. Verificando en el punto (0, 0) tenemos H f (0, 0) =
0 −4
Luego (0, 0) es un punto de silla.
!
6 0
2. En el punto (0, −1) tenemos H f (0, −1) =
y D = 48. De esta manera
0 8
(0, −1) es un mínimo local.
!
6 0
3. En el punto (0, 1) tenemos H f (0, 1) =
y D = 48, donde también resulta
0 8
que (0, 1) es un mínimo local.
!
−6 0
4. En el punto (−2, 0) se tiene H f (−2, 0) =
y D = 24. Se sigue que
0 −4
(−2, 0) es un máximo local.
!
−6 0
5. En el punto (−2, −1) se consigue H f (−2, −1) =
y D = −48, de
0 8
donde (−2, −1) es un punto de silla.
!
−6 0
6. En el punto (−2, 1) obtenemos H f (−2, 1) =
y D = −48, que ahora
0 8
resulta (−2, 1) un punto de silla.
Veamos que f no admite extremos absolutos en su dominio. Eligiendo
C:
x=t
y=0
t ∈R
hacemos
h(t ) = f (t, 0) = t 3 + 3t 2
Luego
lı́m h(t ) = lı́m t 3 + 3t 2 = +∞
t→ +∞
t→ +∞
Esto implica que f no es acotada.
y
lı́m h(t ) = lı́m t 3 + 3t 2 = −∞
t→ −∞
t→ −∞
Capítulo 1 Funciones de varias variables-Lord Barrera
94
Ejemplo 1.54. (Control de calidad). Después de un inventario en una planta industrial,
el porcentaje de productos fallados puede ser modelado por
P(x, y) = 0.3(x − 3)2 + 0.1(y − 6)2 + 0.03xy + 0.2
donde x es el número promedio de trabajadores asignados a un sector de la planta e y es el
número promedio de horas que cada trabajador
realiza, 1 ≤ x ≤ 5 y 1 ≤ y ≤ 11. La figura de
11
la derecha muestra la gráfica de la función.
5
y
x
0
(i) Encuentre las derivadas parciales de P.
(ii) ¿Cuál es el número de trabajadores y cuántas horas deberán trabajar para optimizar
la calidad cuando no hay restricción en el lugar?
(iii) ¿Qué porcentaje de productos están fallados cuando la calidad es optimizada?
Solución.
(i) Calculando las derivadas parciales de P(x, y) tenemos
Px (x, y) = 0.6(x − 3) + 0.03y
y
Py (x, y) = 0.2(y − 6) + 0.03x
(ii) Igualando a cero estas derivadas parciales obtenemos
0.6(x − 3) + 0.03y = 0
y
0.2(y − 6) + 0.03x = 0
cuya solución resulta (x, y) = (2.7, 5.6) y es el único punto crítico para P(x, y). Por otro
lado, la matriz hessiana para P(x, y) es
!
!
0.6 0.03
0.6 0.03
HP(x, y) =
y en particular HP(2.7, 5.6) =
0.03 0.2
0.03 0.2
Además,
|HP(2.7, 5.6)| = (0.6)(0.2) − (0.03)2 = 0.1191
y
Pxx = 0.6
Esto nos dice que en el punto (2.7, 5.6) hay un mínimo relativo, y para optimizar la
calidad deberán participar un promedio de 2.7 trabajadores, laborando cada uno un
promedio de 5.6 horas.
(iii) El porcentaje aproximado en este punto es P(2.7, 5.6) = 0.7. O sea que el
porcentaje mínimo de productos de mala calidad es aproximadamente 0.7 %, ocurriendo
cuando un promedio de 2.7 trabajadores se ocupan para trabajar en promedio 5.6 horas
cada uno.
1.8 Extremos de funciones
95
Ejercicios
Ejercicio 1.1. En cada caso, identifique el extremo de la función reconociendo la expresión
mediante completamieto de cuadrados.
(a) f (x, y) = (x − 1)2 + (y − 3)2
2
2
(b) f (x, y) = 5
p− (x − 3) − (y + 2)
(c) f (x, y) = x2 + y2 + 1
p
(d) f (x, y) = 25 − (x − 2)2 − y2
(e) f (x, y) = x2 + y2 + 2x − 6y + 6
(f) f (x, y) = −x2 − y2 + 10x + 12y + 4 + 64
Ejercicio 1.2. En cada caso, encuentre los extremos relativos y los puntos de silla.
(a) f (x, y) = 80x + 80y − x2 − y2
(b) f (x, y) = x2 − y2 − x − y
(c) f (x, y) = xy
(d) f (x, y) = x2 − 3xy − y2
(e) f (x, y) = −3x2 − 2y2 + 3x − 4y + 5
(f) f (x, y) = 2x2 + 2xy + y2 − 2x − 3
(g) f (x, y) = x2 + xy + 12 y2 − 2x + y
(h) f (x, y) = p
−5x2 + 4xy − y2 + 16x + 10
(i) f (x, y) = x2 + y2
(j) f (x, y) = (x2 + y2 )1/3 + 2
(k) f (x, y) = x2 − xy − y2 − 3x − y
Ejercicio 1.3. Con respecto a la función f (x, y) = 4x + 6y − 12 − x2 − y2
(a) Existe un único punto crítico. Encuentre este punto.
(b) Considere el incremento ∆ f y determine cuando este punto crítico es mínimo,
máximo o punto de silla.
(c) Ahora use el criterio del hessiano para determinar la naturaleza de este punto crítico.
Ejercicio 1.4. Con respecto a la función g(x, y) = x2 − 2y2 + 2x + 3
(a) Determine los puntos críticos de g.
(b) Use el incremento ∆g para determinar la naturaleza de los puntos críticos de g.
(c) Ahora use el criterio del hessiano para determinar la naturaleza de estos puntos
críticos.
Ejercicio 1.5. ¿Qué condiciones debe satisfacer la constante k para que la función
f (x, y) = kx2 − 2xy + ky2
admita mínimo relativo no degenerado en (0, 0)? ¿Qué información obtiene para que
exista máximo relativo?
96
Capítulo 1 Funciones de varias variables-Lord Barrera
Ejercicio 1.6. Considere la función f (x, y) = ax2 + by2 donde a y b son constantes
no nulas. Muestre que el origen es el único punto crítico de f , y determine la naturaleza
del punto crítico en términos de a y b.
Ejercicio 1.7. Sea la función f (x, y) = 3axy − x2 y − xy2 , donde a es una constante no
nula. Clasifique los puntos críticos de f según los valores de a.
Ejercicio 1.8. Dada la función f (x, y) = x2 + mxy + my2
(a) Determine todos los valores de m para los cuales f tiee un punto de silla en (0, 0).
(b) Halle todos los valores de m para los cuales f tiene un mínimo en (0, 0).
y2
x2
donde p y q son reales diferentes
+
2p 2q
de cero. Según los signos de las constantes p y q, analice los extremos relativos de la
función f .
Ejercicio 1.9. Sea la función f (x, y) =
Ejercicio 1.10. Sea la función f (x, y) = (y − x) sen x
(a) Determine los puntos críticos de f .
(b) Clasifique los puntos críticos encontrados en el ítem (a).
Ejercicio 1.11. (Economía). Suponga que usted produce dos tipos de televisores, los
modelos A y B. La función ingreso, en dólares, es modelada por
I (x, y) = 8x + 6y − x2 − 2y2 + 2xy
donde x denota la cantidad vendida del model A, e y denota la cantidad vendida del
modelo B, ambas en unidades de 100. Determine la cantidad de televisores de cada
modelo que se deberá vender con la finalidad de maximizar el ingreso.
Ejercicio 1.12. (Economía). Una empresa produce dos modelos de zapatillas; Standard
y Deluxe. El costo de producir cada par del modelo standard es de S/40 el par, y el costo
de producir cada par del modelo deluxe es de S/60. El departamento de marketing de la
empresa estima que si el modelo standard se lanza con un precio de p1 soles y el modelo
deluxe se lanza con un precio de p2 soles, la empresa venderá 500( p2 − p1 ) unidades
del modelo standard y 45 000 + 500( p1 − 2p2 ) unidades del modelo deluxe, cada año.
Determine los precios de cada modelo para maximizar la utilidad.
Ejercicio 1.13. Encuentre el extremo absoluto de f (x, y) = x2 + xy + y2 − 6y en el
rectángulo {(x, y) ∈ R2 : −3 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 5}.
Ejercicio 1.14. Encuentre los valores máximo y mínimo absoluto de f (x, y) = sen x cos y
en el cuadrado {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 2π, 0 ≤ y ≤ 2π}.
Ejercicio 1.15. Encuentre los extremos absolutos de f (x, y) = 2 cos x + 3 sen y en el
rectángulo {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 3}.
1.8 Extremos de funciones
97
Ejercicio 1.16. Una lámina metálica tiene la forma de la región x2 + y2 ≤ 1. La lámina
es calentada de tal manera que la temperatura en cualquier punto (x, y) se determina
mediante
T (x, y) = 2x2 + y2 − y + 3
Encuentre los puntos más calientes y más fríos en la lámina y la temperatura en cada
uno de estos puntos. (Sugerencia: parametrice el borde de la lámina para determinar los
puntos críticos allí.)
Ejercicio 1.17. (Papas fritas). El proceso de freir las comidas cambian su calidad, textura
y color. De acuerdo a la universidad de Saskatchewan, el cambio total en el color E (el
cual se mide en forma de energía como kJ/mol) de las tiras de papas fritas se puede
modelar por la función
E (t, T ) = 436.16 − 10.57t − 5.46T − 0.02t 2 + 0.02T 2 + 0.08tT
donde T es la temperatura (en ◦ C) y t es el tiempo de fritura (en minutos)
(a) ¿Cuál es el valor de E antes de freirse? (Suponga que T = 0)
(b) Use esta función para estimar el cambio total en el color de una tira de papa que se
ha frito durante 10 minutos a 180 ◦ C
(c) Determine los puntos críticos de esta función y compruebe si hay máximo relativo,
mínimo relativo o punto de silla en ese punto. Describa lo que puede estar sucediendo
en este punto.
Ejercicio 1.18. (Economía). Una empresa produce dos bienes sustitutos, cuyas ecuaciones de demanda son dadas por
x = 500 − 2p1 + p2
e
y = 900 + p1 − 3p2
donde x e y son las cantidades producidas, p1 y p2 son sus precios unitarios, respectivamene. Si la función de costo para fabricar esos bienes es
C (x, y) = 10 000 + 200x + 100y
obtenga los valores de p1 y p2 que maximizan la utilidad, y calcule el valor de esa
utilidad.
Ejercicio 1.19. (Biología). Un lago debe ser abastecido pos peces de boca pequeña y
de boca grande. Asuma que x representa el número de peces de boca pequeña e y el
número de peces de boca grande en el lago. El peso de cada pez depende de la densidad de
la población. Después de un periodo de 6 meses, el peso de un único pez de boca pequeña
es dado por W1 = 3 − 0.002x − 0.001y y el peso de un único pez de boca grande es dado
por W2 = 4.5 − 0.004x − 0.005y. Suponiendo que ningún pez muere durante el periodo
de 6 meses, ¿cuántos peces de boca pequeña y de boca grande deben ser colocados en el
lago de modo que el peso total T de peces en el lago sea máximo?
Capítulo 1 Funciones de varias variables-Lord Barrera
98
Proyectos
P ROYECTO 1: Maximizando el beneficio en la producción de productos competitivos. Una empresa que fabrica computadoras planea presentar dos nuevos productos.
Ambas computadoras contienen el mismo microprocesador, pero un sistema está equipado
con un monitor de 27 pulgadas y el otro sistema con un monitos de 31 pulgadas. Además
de los $ 400 000 en los costos fijos, a la compañía le cuesta $ 1950 producir una computadora de 27 pulgadas y le cuesta $ 2250 producir una computadora de 31 pulgadas. El
precio de venta sugerido por el fabricante es de $ 3390 para el modelo de 27 pulgadas y
$ 3990 para el modelo de 31 pulgadas. En el mercado competitivo en el que se venderán
los sistemas, el personal de marketing estima que por cada modelo adicional vendido de un
tipo de computadora, el precio de venta caera en $ 0.10. Además, las ventas uno de los
modelos afectan las ventas del otro. Se estima que el precio de venta para el modelo de 27
pulgadas se reduce en $ 0.03 por cada computadora vendida de 31 pulgadas, y el precio
de venta de cada modelo de 31 pulgadas se reduce en $ 0.04 por cada computadora
vendida de 27 pulgadas. Suponiendo que puede vender todas las computadoras que se
fabrican, ¿cuántos modelos de cada tipo se debería fabricar la empresa para que la empresa
maximice sus ganancias?
P ROYECTO 2: Calentamiento global. La línea de regresión de mínimos cuadrados
para una data se determina fácilmente mediante un software matemático. La discusión de
los mínimos cuadrados que haremos aquí será manual y nos permitirá relacionarlo a la
ingeniería ambiental. En este estudio se utiliza la teoría de extremos de funciones de varias
variables para la construcción de la línea de regresión de mínimos cuadrados
El calentamiento global es una expresión usada para describir el fenómeno de los
últimos años relacionada a la temperatura en la atmósfera de la Tierra, la cual asegura que
está aumentando lentamente con el tiempo. La Administración de Océanos y la Atmósfera
(AOA) ha recopilado una gran cantidad de datos históricos de la temperatura global. Los
datos de los últimos años son compilados por satélite y por una variedad de métodos,
incluyendo el análisis de los fenómenos sensibles a la temperatura tales como la densidad
de anillos de árboles, que permite la estimación de la temperatura de los siglos pasados.
Los datos se presentan a menudo en términos de anomalías de la temperatura, es decir,
como desviaciones de alguna norma.
Por ejemplo, la AOA informa de las siguientes anomalías de la temperatura:
Año
Anomalía de la temperatura ◦C
Temperatura ◦C
1900
−0.15
8.35
1950
−0.34
8.16
2012
0.92
9.42
1.8 Extremos de funciones
99
Los puntos claramente no están en la misma
línea, pero pueden ser aproximadas por una
línea recta, como en la figura. El propósito del
método de mínimos cuadrados es encontrar el
mejor tal aproximación. La figura de la derecha
muestra la distancia vertical desde cada punto
de la línea de aproximación:
y
9.5
9.0
8.5
1890 1910 1930 1950 1970 1990 2010
x
Año
(b)
y
Temperatura (Celcius)
Temperatura (Celcius)
La temperatura de referencia con la que se deter- (a)
minaron las anomalías es la temperatura media
global por tierra desde los años 1880 a 2000,
calcula un promedio de 8.5◦C. La adición de
8.5 a cada anomalía da la temperatura real. La
figura adjunta muestra una gráfica de los datos
adjuntados de temperatura. Si los tres puntos se
encuentran en una línea recta, la velocidad a la
que está cambiando la temperatura puede ser determinada por la pendiente de la línea.
9.5
9.0
8.5
1890 1910 1930 1950 1970 1990 2010
x
Año
el método de los mínimos cuadrados, los valores de m y b son determinado por la suma
de los cuadrados de esa distancia es minimizada. Para los tres puntos (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) y
(x3 , y3 ), la siguiente función de dos variables debne ser minimizada:
f (m, b) = (y1 − mx1 − b)2 + (y2 − mx2 − b)2 + (y3 − mx3 − b)2
(1.11)
Usando los puntos: (1900, 8.35), (1950, 8.16), (2012, 9.42), vemos que la ecuación
1.11 se convierte en
f (m, b) = 3b2 − 11 460 644m2 + 11724bm − 51.86b − 101.460m + 225.045
Las derivadas parciales de f con respecto a m y b son
∂f
= 22 921 288m + 11 724b − 101 460
∂m
y
∂f
= 6b + 11 724m − 51.86
∂b
El punto crítico resultante es aproximadamente m = 0.01 y b = −10.85. La línea de
mejor ajuste para estos datos es y = 0.01x − 10.85 y se dibuja en la figura (a). De
Capítulo 1 Funciones de varias variables-Lord Barrera
100
acuerdo con estos datos, la temperatura global de la tierra está aumentando a un ritmo
de aproximadamente 0.01◦C por año. No es justo decir que este cálculo es la evidencia
del calentamiento global, ya que sólo se utilizaron tres piezas de datos. El conjunto de
datos se mantiene pequeño para ilustrar el método de mínimos cuadrados. Este método
se puede generalizar a utilizar cualquier cantidad de datos y para encajar funciones más
complicadas, incluyendo las funciones exponenciales.
Ejercicio 1.1. Verifique que el punto crítico (m, b) = (0.01, −10.85) corresponde a un
mínimo de la función f (m, b)
Ejercicio 1.2. Derivando parcialmente en la ecuación (1.11) con respecto a m y b
sin la sustitución de los valores en los puntos (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) y (x3 , y3 ), deduzca las
fórmulas
m=
3(x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 ) − (x1 + x2 + x3 )(y1 + y2 + y3 )
3(x12 + x22 + x32 ) − (x1 + x2 + x3 )2
y
y1 + y2 + y3
x1 + x2 + x3
−m
b=
3
3
Muestren que estas fórmulas dan los mismos valores de m y b en el ejercicio anterior.
Ejercicio 1.3. Las fórmulas en el ejercicio anterior se pueden generalizar a cualquier
número de puntos. Por ejemplo, para una data de cuatro puntos, las fórmulas para m y b,
son respectivamente
m=
4(x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 + x4 y4 ) − (x1 + x2 + x3 + x4 )(y1 + y2 + y3 + y4 )
4(x12 + x22 + x32 + x42 ) − (x1 + x2 + x3 + x4 )2
y
y1 + y2 + y3 + y4
x1 + x2 + x3 + x4
b=
−m
4
4
Añadir el punto de temperatura (2000, 9.13) a los tres anteriores y encontrar la recta
de mínimos cuadrados lineales mediante el uso de las fórmulas en este último ejercicio.
Representar gráficamente los puntos y discuta el valor de m.
1.8 Extremos de funciones
1.8.2
101
Multiplicadores de Lagrange
A continuación calcularemos los valores extremos de una función sujeta a restricciones.
Un método para calcular puntos críticos con restricción es como sigue: se usa la restricción
g(x, y) = 0 y se despeja una variable en función de las otras. Entonces se sustituye esta
variable en la expresión f (x, y), creando una nueva función con una variable menos. Esta
nueva función puede maximizarse o minimizarse usando las técnicas del apartado anterior.
En teoría este camino es apropiado para resolver tales problemas, pero en la práctica trae
sus dificultades. Por ejemplo, si usted quiere maximizar la función
f (x, y) = x2 + y2 + 3y2
sujeta a la restricción
g(x, y) = exy + cos(xy) = 5
no hay manera de despejar a x o y en función de la otra variable. Por tanto, es imposible
proceder como en el ejemplo anterior.
Criterio de Lagrange para determinar puntos críticos
Un punto crítico de f (x, y) sujeta a la restricción g(x, y) = k, es un punto que es
solución del sistema
fx (x, y) = λ gx (x, y)
fy (x, y) = λ gy (x, y)
g(x, y) = k
A continuación daremos un criterio para determinar extremos relativos de f (x, y)
sujeta a la restricción g(x, y) = k,
Criterio de Lagrange para determinar extremos relativos
Sea (a, b, λ ) una solución del sistema anterior tal que ∇g(a, b) 6= 0 y sea
L(x, y) = f (x, y) − λ g(x, y). Considere la matriz
Lxx (a, b) Lxy (a, b) −gx (a, b)
H (a, b) = Lyx (a, b) Lyy (a, b) −gy (a, b)
−gx (a, b) −gy (a, b)
0
1. Se tiene mínimo relativo en (a, b) si |H (a, b)| < 0.
2. Se tiene máximo relativo en (a, b) si |H (a, b)| > 0.
Capítulo 1 Funciones de varias variables-Lord Barrera
102
Ejemplo 1.55. Supongamos que tenemos un terreno de forma rectangular cuya suma de
sus lados es 20 metros. ¿Cuáles deben ser las
dimensiones del rectángulo para maximizar
el área?
Solución. Consideremos la función área
A(x, y) = xy cuyas variables x e y están
sujetas a la restricción g(x, y) = x + y = 20.
x
20 - x
Las gráficas de la función área y de la restricción se muestran en la siguiente figura:
z
Restricción
x + y = 20
Máximo en
la restricción
= 100
Superficie
A = xy
Camino de
restricción
y
x
La ecuación vectorial ∇A(x, y) = λ ∇g(x, y) junto con la restricción nos da el sistema
y=λ
(1)
x=λ
(2)
x + y = 20
(3)
De las ecuaciones (1) y (2) se sigue que x = y = λ . Si en la ecuación (3) sustituimos
x por y, conseguimos x = 10. Así que x = y = 10, y el punto crítico del sistema
anterior es (x, y) = (10, 10). Garanticemos que en este punto hay máximo. Se tiene
0 1 -1
H (10, 10) = 1 0 -1
-1 -1 0
De aquí, |H (10, 10)| = 2 > 0, de donde se deduce que en el punto (10, 10) hay máximo.
1.8 Extremos de funciones
103
Ejercicios
Ejercicio 1.1. En cada caso, use multiplicadores de Lagrange para identificar los puntos
críticos de f sujeta a la restricción dada.
(a) f (x, y) = y, 2x2 + y2 = 4
(b) f (x, y) = 5x + 2y, 5x2 + 2y2 = 14
(c) f (x, y) = xy, 2x − 3y = 36
(d) f (x, y, z) = xyz, 2x + 3y + z = 6
(e) f (x, y, z) = x2 + y2 + z2 , x + y − z = 1
(f) f (x, y, z) = 3 − x2 − 2y2 − z2 , 2x + y + z = 2
(g) f (x, y, z) = x6 + y6 + z6 , x2 + y2 + z2 = 6
(h) f (x, y, z) = 2x + y2 − z2 , x − 2y = 0, x + z = 0
(i) f (x, y, z) = 2x + y2 + 2z, x2 − y2 = 1, x + y + z = 2
(j) f (x, y, z) = xy + yz, x2 + y2 = 1, yz = 1
(k) f (x, y, z) = x + y + z, y2 − x2 = 1, x + 2z = 1
Ejercicio 1.2. Encuentre tres números positivos cuya suma es 18 y tal que el producto
sea el mayor posible.
Ejercicio 1.3. (Paquetes de envío). El correo
central de Lima aceptará paquetes para el envío
nacional solo si la suma de la longitud perimétrica del grosor de la caja con la longitud
del largo es exactamente 108 cm. ¿Qué dimensiones tendrá la caja y cuál será la máxima
capacidad?
Grosor = distancia de
contorno
y = largo
x = ancho
Cuadrado
Ejercicio 1.4. (Modelo económico de E. Heady y J.Pesek). De acuerdo al siguiente
modelo desarrollado por los economistas E. Heady y J.Pesek, si un fertilizante compuesto
de N kilos de nitrógeno y P kilos de fosfato es usado en una tierra de cultivo, entonces
la cosecha de maíz (en toneladas por hectárea) es
Y = 7.5 + 0.6N + 0.7P − 0.001N 2 − 0.002P2 + 0.001NP
Un agricultor intenta gastar 30 nuevos soles de fertilizante por hectárea. Si el nitrógeno
cuesta 25 céntimos (por kilo) y el fosfato 20 céntimos (por kilo), ¿qué combinación entre
N y P produce la mayor producción de maíz?
Ejercicio 1.5. La fórmula de Heron para el área de untriángulo cuyos lados tienen lonp
gitudes x, y y z es Área = s(s − x)(s − y)(s − z), donde s = (x + y + z)/2 (que
es el semi-perímetro del triángulo). Use la fórmula de Herón para mostrar que, para un
perímetro fijo P, el triángulo con la mayor área es equilátero.
104
Capítulo 1 Funciones de varias variables-Lord Barrera
Ejercicio 1.6. Encuentre la distancia más corta del origen de coordenadas a la recta de
intersección de los planos 2x + y + 3z = 9 y 3x + 2y + z = 6.
Ejercicio 1.7. Encuentre la distancia más corta del punto (2, 5, −1) a la recta de intersección de los planos x − 2y + 3z = 8 y 2z − y = 3.
Ejercicio 1.8. El plano x + y + z = 4 interseca al paraboloide z = x2 + y2 en una elipse.
Encuentre los puntos de la elipse más próximos y más lejos del origen.
Ejercicio 1.9. Encuentre los puntos más elevados y más bajos en la elipse que resulta
como intersección del paraboloide z = x2 + y2 con el plano x + y + 2z = 2.
Ejercicio 1.10. Encuentre la distancia mínima entre un punto de la elipse x2 + 2y2 = 1 y
un punto de la recta x + y = 4. (Sugerencia: considere un punto (x, y) en la elipse y un
punto (u, v) en la recta. Minimice el cuadrado de la distancia entre ellos como una función
de cuatro variables. Este problema es dificultoso para resolver en una computadora).
Ejercicio 1.11. (a) Use el método de multiplicadores de Lagrange para encontrar los
puntos críticos de la función f (x, y) = x + y sujeta a la restricción xy = 6.
(b) Explique geométricamente por qué la función f no tiene extremos absolutos en el
conjunto {(x, y) ∈ R2 : xy = 6}
Ejercicio 1.12. Sean α, β y γ denotando los ángulos interiores de un triángulo. Determine el máximo valor de sen α sen β sen γ.
Ejercicio 1.13. El cilindro x2 + y2 = 4 y el plano 2x + 2y + z = 2 se intersecan en una
elipse. Encuentre los puntos en la elipse que están más próximos y más alejados del origen.
Ejercicio 1.14. Encuentre los puntos de la elipse 3x2 − 4xy + 3y2 = 50 que están más
próximos y más alejados del origen.
√
√
Ejercicio 1.15. En este ejercicio usted determinará los extremos de f (x, y) = x + 8 y
sujeta a la restricción x2 + y2 = 17, donde x ≥ 0 y y ≥ 0.
(a) Explique por qué f debe alcanzar su máximo absoluto y mínimo absoluto sobre la
curva de restricción dada.
(b) Use multiplicadores de Lagrange para resolver el sistema de ecuaciones
(
∇ f (x, y) = λ ∇g(x, y)
g(x, y) = 0
donde g(x, y) = x2 + y2 . Usted debe identificar un solo punto crítico de f .
(c) Identifique el mínimo absoluto y máximo absoluto de f en la restricción.
1.8 Extremos de funciones
105
Ejercicio 1.16. Una compañía farmacéutica
debe diseñar cápsulas para contener un volur
h
men V de medicina. Un ejecutivo desea que
las cápsulas tengan la forma de un cilindro circular recto con longitud h y base r con un
hemisferio en cada extremo (ver figura adjunta).
Un segundo ejecutivo se opone al desperdicio
de materiales, y sostiene que el mismo volumen podría estar contenido en una cápsula
esférica. ¿Qué ejecutivo debería influir en la decisión para que se utilice a mínima cantidad
de materiar para cubrir la cápsula?
Ejercicio 1.17. Una empresa produce dos bienes A1 y A2 . La cantidad vendida de A1
se denota por q1 y su precio es p1 . Similarmente para A2 . Las funciones de producción
son
p1 = 20 − q1 + 2q2
y
p2 = 10 + q1 − q2
El costo total es dado por
C = 12q1 + q1 q2 + 6q2
La firma se limita a producir un total de 20 unidades. ¿Cuál es la máxima utilidad?
Capítulo 1 Funciones de varias variables-Lord Barrera
106
Proyectos
P ROYECTO 1: El proceso de Haber-Bosch. Fritz Haber (1868-1934) fue un químico alemán. Por el invento de este proceso, Haber obtuvo el premio Nobel de Química
en 1918. Carl Bosch, cuñado de Haber e ingeniero químico, fue quien hizo que este
proceso fuera práctico a gran escala. Bosch obtuvo el premio Nobel de Química en 1931.
Durante la Primera Guerra Mundial el gobierno alemán utilizó el proceso de Haber-Bosch
para producir grandes cantidades de fertilizantes y explosivos. Haber fue posteriormente
expulsado de Alemania por Adolfo Hitler y murió en el exilio.
El proceso de Haber-Bosch produce amoniaco mediante una unión directa de nitrógeno e hidrógeno bajo condiciones de presión P y temperatura constantes:
catalizador
N2 + 3H2
z}|{
2NH3
Las presiones parciales x, y y z del hidrógeno, nitrógeno y amoniaco satisfacen la
euación x + y + z = P y la ley de equilibrio z2 /xy3 = k, donde k es una constante. La
cantidad máxima de amoniaco ocurre cuando se obtiene la presión parcial máxima de este
mismo. Determine el valor máximo de z.
P ROYECTO 2: Si una especie de animales tiene n fuentes de alimento, el índice de
amplitud de su nicho ecológico se define como
1
x12 + · · · + xn2
donde xi , i = 1, . . . , n, es la fracción de la dieta de los animales que proviene de la
i-ésima fuente de alimentos. Por ejemplo, si la dieta de los pájaros consiste en 50 % de
insectos, 30 % de gusanos y 20 % de semillas, el índice de amplitus es
1
1
1
=
=
≈ 2.63
(0.50)2 + (0.30)2 + (0.20)2 0.25 + 0.09 + 0.04 0.38
Advierta que x1 + x2 + . . . + xn = 1 y 1 ≤ xi ≤ 1 para toda i.
(a) Para especies con tres fuentes alimenticias, demuestre que el índice de amplitud se
maximiza si x1 = x2 = x3 = 1/3.
(b) Demuestre que el índice de amplitud con n fuentes se maximiza cuando x1 = x2 =
· · · = xn = 1/n.
2. Integrales dobles y triples-Lord Barrera
El centro de presión en un velero es un punto en el cual se concentra la fuerza total
aerodinámica. Haciendo que el velero se represente por una región plana, ¿podemos usar
integrales dobles para hallar el centro de presión en el velero?
En este capítulo estudiaremos la integral de una función de dos variables. Entre las
principales aplicaciones calcularemos volúmenes de sólidos, centros de masa de objetos
planos y valores promedios. Algunos cálculos pueden resultar complicados y para ello
usaremos el teorema de cambio de variables visto en la sección 2.1.5.
Capítulo 2 Integrales dobles y triples-Lord Barrera
108
2.1
Integrales dobles
En este capítulo estudiaremos la integral de una función de dos variables. Las principales aplicaciones que desarrollaremos serán: cálculo del volumen de un sólido, dterminar el
centro de masa de objetos planos y el cálculo de valores promedios.
2.1.1
El teorema de Fubini
Sea f (x, y) una función continua, definida en el rectángulo R = [a, b] × [c, d ]. Si fijamos
x, entonces f (x, y) es una función de la variable y, donde c ≤ y ≤ d. En este caso
podemos calcular la integral
Z
d
f (x, y) dy
c
que ahora depende de la variable x ∈ [a, b]. En otras palabras, para cada número x ∈ [a, b]
se tiene una función
Z
d
A(x ) =
a≤x≤b
f (x, y) dy
c
z
que es el área de la región plana que se muestra
a la derecha. Si integramos A(x) con respecto
a la variable x, desde a hasta b, obtenemos
!
Z
Z
Z
b
b
a
a
d
A(x) dx =
f (x, y) dy dx
a
A(x(
x
c
d
y
b
x
Convenimos en escribir
Z bZ
d
Z
b
Z
f (x, y) dy dx
f (x, y) dydx =
a
a
c
!
d
(2.1)
c
Ejemplo 2.1. Calcule la siguiente integral
Z 1Z
3
(1 + 4xy) dy dx
0
1
Solución.
Z 1Z
3
Z
1
Z
(1 + 4xy) dy dx =
0
1
!
(1 + 4xy) dy dx =
0
=
3
1
Z 1h
Z 1
y + 2xy2
0
3
dx
1
i
3 + 2x(3)2 − 1 + 2x(1)2 dx
0
Z
=
0
1
1
(2 + 16x) dx = 2x + 8x2 = 10
0
2.1 Integrales dobles
109
Similarmente, si fijamos la variable y, el integrando es una función que depende de x,
donde a ≤ x ≤ b. De esta manera, obtenemos una función de y, con c ≤ y ≤ d.
Z
b
A(y) =
c≤y≤d
f (x, y) dx
a
z
que es el área de la región plana que se muestra
a la derecha. Si integramos A(y) con respecto
a la variable y, desde c hasta d, obtenemos
!
Z
Z
Z
d
d
a
b
A(y) dy =
A( y( y
f (x, y) dx dy
c
c
a
d
y
b
x
También convenimos en escribir
Z dZ
b
d
Z
Z
f (x, y) dxdy =
c
a
!
b
f (x, y) dx dy
c
(2.2)
a
Las integrales en (2.1) y (2.2) son llamadas integrales iteradas.
Ejemplo 2.2. Calcule la siguiente integral
Z 3Z
1
(1 + 4xy) dx dy
0
1
Solución.
Z 3Z
1
Z
3
Z
(1 + 4xy) dx dy =
1
0
(1 + 4xy) dx dy
0
1
=
!
1
Z 3
x + 2x2 y
1
Z
=
x=1
dy
x=0
3
3
(1 + 2y) dy = y + y2 = 10
1
1
Teorema 2.1.1 (Teorema de Fubini). Sea f (x, y) una función con valores reales, continua sobre el rectángulo R = [ a, b ] × [ c, d ]. Entonces
Z dZ
ZZ
f (x, y) dA =
R
b
Z bZ
f (x, y) dx dy =
c
a
d
f (x, y) dy dx
a
c
Capítulo 2 Integrales dobles y triples-Lord Barrera
110
Cuando f (x, y) ≥ 0 para todo (x, y) ∈ R, entonces la integral
ZZ
f (x, y) dA nos da el
R
volumen del sólido que es limitado superiormente por la gráfica de f e inferiormente por
el rectángulo R.
Ejemplo 2.3. Calcule el volumen del sólido E que se encuentra bajo el gráfico de la
función
x2 y2
f (x, y) = 1 − −
4
9
y encima del rectángulo R = [−1, 1] × [−2, 2].
Solución. Es fácil ver que f (x, y) ≥ 0 para todo (x, y) ∈ R, entonces
Z 1Z
ZZ
2
x2 y2
1− −
dy dx
4
9
R
−1 −2
Z 1
Z 1
2
x 2 y y3
92
2
=
y−
−
− x dx
dx =
4
27
−1
−1 27
−2
1
92
x3
166
=
x−
=
27
3 −1 27
V=
f (x, y) dA =
Integrando un producto de funciones independientes
Sea f (x, y) = φ (x)ψ (y) para todo (x, y) ∈ [a, b] × [c, d ], donde φ (x) es una función
continua en [a, b] y ψ (y) es una función continua en [c, d ]. Entonces f es continua
en [a, b] × [c, d ] y
! Z
!
ZZ
Z
b
f (x, y) dA =
d
φ (x) dx
ψ (y) dy
a
c
[a, b]×[c, d ]
Ejemplo 2.4. Evalúe la integral doble
ZZ
x3 y2 dA
[0,2]×[0,1]
Solución. De acuerdo a la proposición anterior
ZZ
3 2
Z
x y dA =
3
! Z
x dx
0
[0, 2]×[0, 1]
2
!
1
2
y dy
0
=
x4
4
2
0
y3
3
1
=
0
16
4
1
4
=
3
3
2.1 Integrales dobles
111
Ejercicios
Ejercicio 2.1. En cada caso, evalúe la integral parcial dada.
Z
(a)
Z
dy
(b)
Z
Z
(1 − 2y)dx
(d)
Z
Z
sec (3xy)dy
Z
(12y cos 4x − 3 sen y)dx
(h)
Z
Z
(2x + cos y)dx
(j)
1
dy
x (y + 1)
Z
y
(f) √
dx
2x + 3y
(c)
√
(6x2 y − 3x y)dy
(e)
2
(g)
Z
√
(6x y − 3x y)dx
2
(k)
(2x + 5y)6 dy
(i)
Z
3
cos x sen ydy
xy
(l)
x 2 + y2
dy
Ejercicio 2.2. En cada caso, evalúe la integral.
Z
Z 2Z
π/2 Z 1
x cos(xy) dydx
(a)
0
Z
0
ln 5 Z ln 3
(d)
1
Z πZ
0
(h)
2
π/2
x sen y dydx
Z
x y dxdy
1
√
uv dudv
(f)
1
2
4
0
1
Z 3Z
0
Z 3Z
cos(x + y) dxdy
(c)
(x + 2y) dydx
(e)
0
Z 4Z
√
y x dydx
1
2
0
0
π
(g)
0
(b)
Z 1Z
ex+y dxdy
4
0
π/4 Z 3
(i)
0
r sec θ drdθ
0
0
Ejercicio
ZZ 2.3. En cada caso, elija el orden conveniente para evaluar la integral.
(x + 2y) dA ; R = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 3, 1 ≤ y ≤ 4}
(a)
R r
ZZ
(b)
R
ZZ
(c)
R
ZZ
(d)
R
ZZ
(e)
R
ZZ
(f)
R
ZZ
(g)
R
x
dA ;
y
R = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ 4}
ex+2y dA ; R = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ ln 2, 1 ≤ y ≤ ln 3}
R = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ π/3, 0 ≤ y ≤ 1}
x sec2 (xy) dA ;
3
x5 ex y dA ;
R = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ ln 2, 0 ≤ y ≤ 1}
R = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ π/2}
y3 sen(xy2 ) dA ;
x
dA ;
(1 + xy)2
R = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 4, 1 ≤ y ≤ 2}
Ejercicio 2.4. (Simetría). Evalúe las siguientes integrales usando argumentos de simetría.
Sea R = {(x, y) : −a ≤ x ≤ a, −b ≤ x ≤ b}, donde a y b son números reales positivos
ZZ
(a)
−(x2 +y2 )
xye
ZZ
dA
(b)
sen(x − y)
dA
x 2 + y2 + 1
Capítulo 2 Integrales dobles y triples-Lord Barrera
112
2.1.2
Integración sobre regiones generales
Sea D un subconjunto acotado de R2 y f (x, y) una función real acotada, definida
en D. Consideremos el rectángulo R = [a, b] × [c, d ] tal que D ⊆ R (ver figura de abajo),
y sea la función f (x, y) definida sobre R mediante
(
f (x, y) si (x, y) ∈ D
f (x, y) =
0
si (x, y) ∈ R \ D
y
y
d
R
D
D
c
a
0
x
0
b x
Decimos que f es integrable sobre D si f es integrable sobre R. En este caso
definimos
ZZ
ZZ
f (x, y) dA =
f (x, y) dA
D
R
Propiedades algebraicas de la integral doble
Sean f y g funciones definidas en una región acotada D ⊆ R2 tales que
ZZ
y
ZZ
f (x, y) dA
D
g(x, y) dA existen, y sea c una constante. Entonces
DZZ
1.
ZZD
2.
[ f (x, y) ± g(x, y)] dA =
c f (x, y) dA = c
D
ZZ
ZZ
f (x, y) dA ±
D
ZZ
g(x, y) dA
D
f (x, y) dA
D
3. Si f (x, y) ≥ 0 en D, entonces
ZZ
D
4. Si f (x, y) ≥ g(x, y) en D, entonces
f (x, y) dA ≥ 0
ZZ
f (x, y) dA ≥
D
ZZ
g(x, y) dA
D
5. Si D = D1 ∪ D2 , donde D1 y D2 son dos subconjuntos de D que se intersecan en una curva o un conjunto finito de puntos (ver figura de abajo), entonces
ZZ
ZZ
f (x, y) dA =
D
ZZ
f (x, y) dA +
D1
f (x, y) dA
D2
2.1 Integrales dobles
2.1.3
113
Regiones x-simples y regiones y-simples
Cuando se integra sobre regiones no rectangulares, es conveniente parametrizarla
de manera conveniente para que la integral resulte fácil de calcular. A continuación
estudiaremos regiones x-simples y regiones y-simples.
Región x-simple
DEFINICIÓN
Región elemental x-simple
Una región plana es x-simple si x varía entre dos constantes pero, y, se encuentra
entre dos funciones que dependen de x, es decir,
D = (x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, g1 (x) ≤ y ≤ g2 (x)
donde g1 y g2 son funciones continuas en [a, b].
y
y
y = g2(x (
D
y = g2(x (
D
D
y = g1(x (
y = g1(x (
a
0
y
y = g2(x (
b x
0
y = g1(x (
a
b x
0
a
b x
Ejemplo 2.5. Exprese las regiones de las figuras de abajo como regiones x-simples.
(a) y
(b)
4
y
y = 5 - x2
5
y = x2
(c( y
4
D2
D1
0
D3
1
1
2
x
-2
0
2
x
0
1
5
x
Solución.
(a) En este caso, la curva que limita superiormente a la región D1 es la recta y = 2x,
mientras que la curva que limita inferiormente a la región, es la parábola y = x2 . De esta
manera se tiene
D1 : 0 ≤ x ≤ 2
y
x2 ≤ y ≤ 2x
(b) La región D2 se expresa mediante
D2 :
−2 ≤ x ≤ 2
y
1 ≤ y ≤ 5 − x2
Capítulo 2 Integrales dobles y triples-Lord Barrera
114
(c) Determinemos la ecuación de la recta que pasa por los puntos (1, 1) y (5, 4). La
3
pendiente de esta recta es m = 4−1
5−1 = 4 , o sea que la ecuación de dicha recta es
3
y = x+b
4
Desde que (1, 1) es un punto de la recta, tenemos
3
1 = (1) + b
4
b=
que implica
1
4
Por tanto, y = 43 x + 14 . Finalmente, la región D3 se expresa mediante
1≤x≤5
D3 :
1
3
1 ≤ y ≤ x+
4
4
y
Fórmula de Fubini para regiones x-simples
Si f es una función continua en una región D, la cual es x-simple y descrita por
D = {(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, g1 (x) ≤ y ≤ g2 (x)}
entonces
ZZ
b
Z
Z
f (x, y) dy dx
f (x, y) dA =
g1 ( x )
a
D
ZZ
Ejemplo 2.6. Evalúe la siguiente integral
por
0≤x≤1
0 ≤ y ≤ x.
y
!
g2 (x)
(x + 2y) dA, donde D es la región descrita
D
Solución. La región se ve en la figura de abajo y notamos claramente que D es
x-simple. Entonces
ZZ
Z 1Z
x
(x + 2y) dA =
(x + 2y) dy dx
D
0
0
Z 1
x
2
=
xy + y
dx
0
0
Z 1 nh
i h
io
=
(x)(x) + (x)2 − (x)(0) + (0)2 dx
0
Z 1
1
2
2x3
=
2x2 dx =
=
3
3
0
0
y
y=x
D
0
1
x
2.1 Integrales dobles
115
Región y-simple
DEFINICIÓN
Región elemental y-simple
Una región plana es y-simple si, y, varía entre dos constantes, pero x, se encuentra
entre dos funciones que dependen de y, es decir,
D = (x, y) ∈ R2 : h1 (y) ≤ x ≤ h2 (y), c ≤ y ≤ d
donde h1 y h2 son funciones continuas en [c, d ].
Algunos ejemplos de regiones y-simples se muestran ea continuación:
y
d
y x = h ( y(
1
d
y
d
x = h1( y(
D
c
x = h1( y(
D
c
x = h2( y(
0
D
x = h2( y(
x = h2( y(
0
x
x
0
x
c
Ejemplo 2.7. Exprese las regiones de las figuras de abajo como regiones y-simples.
(a) y
(b)
4
y
y = 5 - x2
5
y = x2
(c( y
4
D2
D1
0
D3
1
1
2
x
-2
0
2
x
0
1
5
x
Solución. (a) Tenemos 0 ≤ y ≤ 4. Ahora bien, despejando x como función de y
√
tenemos x = ± y, lo cual nos da
y
√
D1 : 0 ≤ y ≤ 4
y
≤x≤ y
2
(b) La región D2 se expresa mediante
p
p
D2 : 1 ≤ y ≤ 5
y
− 5−y ≤ x ≤ 5−y
1
3
(c) La ecuación de la recta que pasa por los puntos (1, 1) y (5, 4) es y = x + .
4
4
Por tanto, la región D3 se expresa mediante
4y − 1
D3 : 1 ≤ y ≤ 4
y
≤x≤5
3
Capítulo 2 Integrales dobles y triples-Lord Barrera
116
Fórmula de Fubini para regiones y-simples
Si f es una función continua en una región D, la cual es y-simple, tal que
D = {(x, y) ∈ R2 : h1 (y) ≤ x ≤ h2 (y), c ≤ y ≤ d}
entonces
ZZ
d
Z
Z
!
h2 (y)
f (x, y) dA =
f (x, y) dx dy
D
h1 (y)
c
Ejemplo 2.8. Evalúe la siguiente integral
ZZ
(x + 2y) dA
D
donde D es la región descrita por
0≤x≤1
y
0 ≤ y ≤ x.
Solución. La región se ve en la figura de abajo y notamos claramente que D es
y-simple. Entonces
Z 1Z
ZZ
(x + 2y) dA =
D
Z 1
=
x2
1
y
(x + 2y) dx dy
0
1
x =y
y
+ 2xy
dy
x=1
2
0
y
Z 1 2
y
1
2
dy
+ 2y −
+ 2y
=
2
2
0
1
y
y3 2y3
2
2
=
+y − −
=
2
6
3
3
D
0
1
x
0
Combinando regiones x-simples e y-simples
Algunas veces es factible resolver una integral como una región x-simple en lugar de
una y-simple y recíprocamente. Veamos esto a continuación:
Ejemplo 2.9. Evalúe la integral
ZZ
1
y4 + 1
dA
D
donde D es la región descrita por
0≤x≤8
y
√
3
x ≤ y ≤ 2.
2.1 Integrales dobles
117
Solución. La región D es x-simple. Su gráfica se muestra a la derecha. Esta integral no
puede ser evaluada directamente como una región de tipo x-simple ya que
!
ZZ
Z 8 Z 2
dy
1
dA =
dx
√
3 x y4 + 1
y4 + 1
0
y
2
D
y =3 x
0
8
x
D
por lo que vamos a cambiar el orden de integración en la integral doble. Veamos esto a
continuación:
D: 0≤y≤2
y
0 ≤ x ≤ y3
Luego
8
Z
0
Z
2
dy
√
4
3 xy +1
!
2
Z
y3
Z
dx
4
y +1
dx =
0
0
2
Z
=
0
!
2
Z
x
4
y +1
dy =
0
ln(y4 + 1)
y3
dy
=
4
y4 + 1
2
=
0
y3
!
dy
0
ln 17
4
Ejemplo 2.10. Calcule la siguiente integral
1
Z
Z
!
1
2 xy
x e dx dy
0
y
Solución. La región de integración es el conjunto
D:
0≤y≤1
y
y
1
x=y
y≤x≤1
D
como se ve en la figura de la derecha.
0
Cambiando el orden de integración se tiene:
!
Z
Z
Z Z
1
1
1
x
2 xy
x e dx dy =
0
=
x e dy dx =
0
y
2 xy
xexy
2
x2
0
xe − x dx =
0
Z 1
0
Z 1
1
x2
ex
−
2
2
x
x
dx
0
!
1
=
0
e−2
2
Capítulo 2 Integrales dobles y triples-Lord Barrera
118
Ejercicios
Ejercicio 2.1. En cada caso, describa la región como una x-simple o como una y-simple.
(a)
y
(b) y
1
1
y = x2
-1
1
0
(c( y
( 1, 1(
x = y3
x
x = 12 y 2 - 12 y 3
1
x = y2
y = -2 x4
0
0
-2
1
Ejercicio 2.2. Dibuje cada una de las regiones
en el plano xy y exprésela como una región
x-simple.
(a) El círculo unitario centrado en el origen.
(b) La región triangular con vértices (1, 1),
(3, 1) y (3, 5).
(c) La región limitada por las gráficas de
x = y2 y x = 3.
x = 2y
x
2
x
1
- 2y
y
R
x = y2
x
0
y = 4 - x2
(d) La región del primer cuadrante limitada por y = x2 y x = y2 .
(e) La región encerrada, R, como se muestra en la figura de arriba. Primero tiene que
hallar el punto de intersección.
y
Ejercicio 2.3. Dibuje cada una de las regiones
y = x2
en el plano xy y expresarla como una región
x = 4 _ y2
y-simple.
(a) El círculo unitario centrado en el origen.
(b) La región triangular con vértices (1, 1),
R
(1, 3) y (5, 3).
0
x
(c) La región limitada por las gráficas de
y = −x2 e y = −3.
(d) La región del primer cuadrante limitada por y = x2 y x = y2 .
(e) La región encerrada, R, como se muestra en la figura de arriba. Primero tiene que
hallar el punto de intersección.
Ejercicio 2.4. Calcule
ZZ
D
donde D :
0 ≤ x ≤ 1,
x2
≤ y ≤ x.
x y
e dA
y
2.1 Integrales dobles
119
Ejercicio 2.5. En cada caso, dibuje la región de integración D para la integral iterada que
se indica
2x+1
Z 2Z
f (x, y) dydx
(a)
0
(b)
1
f (x, y) dxdy
f (x, y) dydx
f (x, y) dydx
f (x, y) dydx
(g)
4
Z
f (x, y) dydx
(h)
0
0
3
f (x, y) dxdy
(f)
π/4 Z tg x
Z
ex
Z 9Z
−1 −x2
ln x
e
(c)
0
(e)
−1 0
1
Z 1Z
x2 + 1
Z 2Z
f (x, y) dxdy
(d)
√
− y
1
Z 3 Z √16−y2
Z eZ
√
y
Z 4Z
√
y
√
1Z 3 y
f (x, y) dxdy
(i)
0
y2
0
Ejercicio 2.6. En cada caso, dibuje la región de integración y evalúe la integral
x
Z πZ
(a)
x sen y dydx
0
(b)
0
y2
Z 1Z
dxdy
(d)
1
0
y
(c)
0
y2
1
Z 4Z
3y3 exy dxdy
(e)
ln 8 Z ln y
Z
y dydx
0
Z 2Z
sen x
Z πZ
0
√
x
(f)
1
0
0
ex+y dxdy
3 y/√x
e
dydx
2
Ejercicio 2.7. En cada caso, evalúe la integral invirtiendo el orden de integración
Z 2Z
(a)
e
0
y/x
x cos y dydx
Z 4Z
2
e−x dxdy
(d)
(e)
0
3y3 sen y3 dydx
π/4
sec2 x
(c)
x2
2
√
x
0
2y
0
2
(b)
0
y/2
2
Z 1Z
dxdy
Z 1Z
4
Z 2Z
1
Z 4Z
(f)
tg−1 y
2
√
y
0
p
1 + sec2 x dxdy
1
dxdy
√
3
x +1
Ejercicio 2.8. En cada caso, se tiene una función continua f (x, y) definida en R2 .
Representar gráficamente el dominio y cambiar el orden de integración en la integral doble.
Z 1Z
x
Z
f (x, y) dydx
(a)
0
0
Z 1Z
π/2 Z sen x
f (x, y) dydx
(b)
0
2−y
2
f (x, y) dydx
Z
1
0
1 Z π/4
f (x, y) dxdy (f)
(e)
y2
0
ln x
(c)
0
Z 4Z
f (x, y) dxdy
(d)
Z 2Z
0
f (x, y) dydx
0
y/2
arctan x
Ejercicio 2.9. En cada caso, represente gráficamente el dominio de integración y calcule
la integral doble.
Z 1Z π
Z 1Z 1
Z 1Z 1 √
y
sen x
−x2
(a)
dx dy
(b)
e dx dy
(c)
dy dx
2
2
0
πy x
0
y
0
x x +y
Z 1Z
(d)
1
y3
Z 3Z
e dy dx
√
0
x
Z 1 Z π/2
(f)
0
arc sen y
9
(e)
0
y2
p
1 + cos2 x cos x dx dy
y cos(x2 ) dx dy
Capítulo 2 Integrales dobles y triples-Lord Barrera
120
Ejercicio 2.10. Sea D ⊆ R2 la región limitada por las rectas y = 0, x = 1, y = 2x y
2
sea f (x, y) = ex para todo (x, y) ∈ D. Calcule la integral doble de f sobre D.
Ejercicio 2.11. Sea D ⊆ R2 la región triangular limitada por los segmentos de recta
que unen los puntos (0, 0), (0, 1) y (2, 2). Si f (x, y) = (x + y)2 para todo (x, y) ∈ D,
calcule la integral doble de f sobre D.
Ejercicio 2.12. Calcule
ZZ
ZZ
3
x cos(y2 ) + 3 sen y − π dA
(a)
| cos(x + y)|dA
(b)
|x|+|y|≤1
[0,π ]×[0,π ]
Ejercicio 2.13. Calcule
ZZ
(1 − x − y) dA
D
donde D es el triángulo con vértices (0, 0), (1, 0) y (0, 1).
Ejercicio 2.14. Dibuje las regiones de integración y escriba las siguientes integrales como
una sola integral iterada
Z 1Z
Z 0Z
e
e
f (x, y) dxdy +
0
f (x, y) dxdy
−1 e−y
ey
Ejercicio 2.15. En cada caso, invierta el orden de integración para evaluar la expresión
como unasola integral
√
Z e Z y/e
2
ex dx
Z e2
Z
2−ln y
2
dy +
ex dx dy
0
0
e
0
Z 4Z 2
Z 2Z x
πx
πx
dy dx +
dy dx
(b)
√ sen
√ sen
2y
2y
x
2
x
1
(a)
Ejercicio 2.16. En cada caso, evalúe la integral doble
ZZ
(a)
[0,1]×[0,1]
2
x sen |x − y| dA
ZZ
(b)
ZZ
| sen x − y| dA
[0,π ]×[0,1]
(c)
2
ye−α|x−y | dA
[0,1]×[0,1]
Ejercicio 2.17. Considere la región
D = {(x, y) : |x| + |y| ≤ 1}
(a) Use una integral doble para verificar que el área de D es 2.
(b) Calcule el volumen de la columna cuadrada cuya base es D y cuyo techo es
z = 12 − 3x − 4y
(c) Calcule el volumen del sólido con base D y debajo del cilindro x2 + z2 = 1
(d) Calcule el volumen de la pirámide cuya base es D y el vértice en el eje z es
(0, 0, 6)
2.1 Integrales dobles
121
Proyecto
P ROYECTO 1 (Volumen de un sólido). Calcule el volumen de una pieza sólida
como la que se muestra en la figura de abajo, donde la proyección D sobre el plano xy
también se indica a la derecha.
z
y
z = 2- x2
D
D5
D4
2
D3
y
1
D2
0
-1
x
D1
0
1
x
P ROYECTO 2 (Distribución exponencial). La probabilidad de que ocurran ciertos
eventos (tales como llamadas telefónicas o mensajes de e-mail) puede ser modelada usando
distribución exponencial. Si λ es la tasa de ocurrencia de un tal evento, donde se asume
constante en el tiempo, entonces el tiempo promedio entre ocurrencias es λ −1 (Por
ejemplo, si las llamadas telefónicas alcanzan una tasa de λ = 2/min, entonces el tiempo
promedio entre llamadas telefónicas es λ −1 = 12 min). La distribución exponencial es
dada por f (t ) = λ e−λt para 0 ≤ t < ∞.
(a) Suponga que usted trabaja en un Call Center donde recibe llamadas a una tasa
promedio de λ1 = 0.8/min (es decir, el tiempo promedio entre llamadas telefónicas
es 1/0.8 = 1.25 min). La probabilidad
de que una llamada telefónica ocurra durante
Z
T
λ1 e−λ1t dt. Calcule la probabilidad de que ocurra
el intervalo [0, T ] es p(T ) =
0
una llamada telefónica los primeros 45s (0.75 min) que se encuentra trabajando.
(b) Ahora suponga también que usted tiene clientes que llegan a su oficina a una tasa
promedio de λ2 = 0.1/min. La probabilidad de que una
llamada telefónica y un
Z Z
T
T
cliente lleguen a usted en el intervalo [0, T ] es p(T ) =
0
0
λ1 e−λ1t λ2 e−λ2 s dtds
Calcule la probabilidad de que una llamada telefónica y un cliente lleguen durante
los primeros 45s que usted se encuentra trabajando.
(c) Los mensajes de e-mail que usted recibe, le llegan a una tasa promedio de λ3 =
0.05/min. Entonces la probabilidad de que usted reciba una llamada telefónica, un
cliente y un mensaje de e-mail en el intervalo [0, T ] es
Z TZ TZ
p(T ) =
0
0
T
λ1 e−λ1t λ2 e−λ2 s λ3 e−λ3 u dtdsdu
0
Calcule la probabilidad de que usted reciba una llamada telefónica, un cliente y un
mensaje de e-mail durante los primeros 45s que usted se encuentra trabajando.
Capítulo 2 Integrales dobles y triples-Lord Barrera
122
2.1.4
Integración en coordenadas polares
Las coordenadas polares son
resolver ciertas integrales dobles. Por
ZZ muy útiles para
2
2
ejemplo, al evaluar la integral
x + y + 2 dA, donde D es el disco unitario centraD
do en el origen, tenemos
ZZ
(x2 + y2 + 2) dA =
D
√
1−x2
Z 1Z
x2 + y2 + 2 dy dx
√
−1 − 1−x2
√
1−x2
y3
2
=
x y + + 2y
dx
3
√
−1
− 1−x2
Z 2
p
1
2 3/2
2
2
dx
=2
(x + 2) 1 − x + (1 − x )
3
−2
Z
1
Una técnica simple de resolver este tipo de integrales es utilizando integración en coordenadas polares, como veremos a continuación
Teorema 2.1.2. Sea D la región plana descrita por a ≤ r ≤ b y α ≤ θ ≤ β , donde
0 ≤ β − α ≤ 2π, y sea f una función continua sobre D. Entonces
ZZ
b
Z βZ
f (x, y) dA =
D
f (r cos θ , r sen θ ) r dr dθ
a
α
ZZ
Ejemplo 2.11. Evaluemos la integral
x2 + y2 + 2 dA, donde D es el disco unitario
D
centrado en el origen.
y
Solución. El dibujo de la región D se ve en
la figura de la derecha. Esta región se expresa
mediante un rectángulo polar como sigue
0≤r≤1
D
0
0 ≤ θ ≤ 2π
y
1
x
Haciendo el cambio x = r cos θ e y = r sen θ llegamos a x2 + y2 + 2 = r2 + 2. Luego
ZZ
2
Z
2
2π Z 1
x + y + 2 dA =
0
"Z
D
0
2π
=
r2 + 2 r dr dθ
#"Z
1
= 2π
r (r + 2) dr
dθ
0
#
2
0
r4
+ r2
4
1
=
0
5π
2
2.1 Integrales dobles
123
Ejemplo 2.12. Calcule el valor de la integral
ZZ
p
a2 − x2 − y2 dA
y
D
donde
D
D = {(x, y) ∈ R2 : a2 /4 ≤ x2 + y2 ≤ a2 }
a
0
a
2
x
Ver figura adjunta.
Solución. Sean x = r cos θ e y = r sen θ , con a/2 ≤ r ≤ a y 0 ≤ θ ≤ 2π.
ZZ
Z
2π Z a
p
r a2 − r2 drdθ
0
a/2
"Z
# Z
2π
a p
2
2
=
dθ
r a − r dr
p
a2 − x2 − y2 dA =
D
0
a/2
1 2
2 3/2
= 2π − (a − r )
3
√
3πa3
=
4
a/2
a
Ejemplo 2.13. Calcule el valor de la integral
y
ZZ
xy dA
D
donde D es la región del primer cuadrante, limix2 y2
tada por la elipse 2 + 2 = 1
a
b
b D
0
a
x
Solución. Parametrizamos la región D por x = ar cos θ , y = br sen θ , donde
0 ≤ r ≤ 1 y 0 ≤ θ ≤ π/2. Luego
Z 1Z
ZZ
π/2
xy dA =
D
(ar cos θ )(br sen θ )(abr ) dθ dr
0
2 2
0
Z 1Z
π/2
r3 sen θ cos θ dθ dr
"0Z 0
#"Z
#
1
π/2
sen 2θ
2 2
3
=a b
r dr
dθ
2
0
0
π/2
4 1
cos 2θ
2 2 r
=a b
−
4 0
4
0 2 2
1 1
1
a b
= a2 b2
− −
=
4 4
4
8
=a b
Capítulo 2 Integrales dobles y triples-Lord Barrera
124
Ejercicios
Ejercicio 2.1. Dibuje cada uno de los siguientes rectángulos polares.
(a) R = {(r, θ ) : 0 ≤ r ≤ 5, 0 ≤ θ ≤ π/2}
(b) R = {(r, θ ) : 2 ≤ r ≤ 3, π/4 ≤ θ ≤ 5π/4}
(c) R = {(r, θ ) : 1 ≤ r ≤ 4, −π/4 ≤ θ ≤ 2π/3}
(d) R = {(r, θ ) : 4 ≤ r ≤ 5, −π/3 ≤ θ ≤ π/2}
ZZ
f (x, y)dA
Ejercicio 2.2. Para cada región mostrada en la figura, exprese la integral
R
en coordenadas polares
y
(a (
(b(
y
6
4
3
0
x
0
x
4
Ejercicio
En cada caso, se pide calcular la integral sobre la región dada.
ZZ 2.3.
p
(a)
a2 − x2 − y2 dA,
D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ a2 }.
ZZD
(b)
xy dA, donde D es la región del primer cuadrante, limitada por la elipse de
D
ecuación
ZZ
(c)
x2
a2
2
+ by2 = 1
cos (2x − y)2 + 2(x + y)2 dA, donde D es la región del primer cuadrante,
D
limitada por la elipse de ecuación 2x2 + y2 = 2
ZZ
x dx dy, donde D es la región (x + 1)2 + (y − 2)2 ≤ 3,
(d)
x ≥ −1,
D
ZZ
Ejercicio 2.4. Evalúe la integral
f (x, y) dA , siendo
D
q
f1 (x, y) = (x − 1)2 + (y − 1)2
si y ≤ 1
f (x, y) =
q
f (x, y) = 4 − 4(x − 1)2 − (y − 1)2 si y > 1
2
y D la región limitada por las curvas
p
C1 : y = 1 − 2x − x2
y
C2 :
p
y = 1 + 2 2x − x2
y≥2
2.1 Integrales dobles
125
z
z=x
Ejercicio 2.5. Calcule el volumen del sólido limitado lateralmente por el cilindro x2 + y2 = 4,
superiormente por el plano z = x e inferiormente por el plano z = 0.
y
x
y
Ejercicio 2.6. Evalúe
ZZ p
x2 + y2 dA
donde
D
D es la región de la figura adjunta. (Sugerencia:
determine la ecuación de la circunferencia interna
en coordenadas polares e integre sobre los discos
mayor y menor separadamente).
D
Ejercicio 2.7. Calcule la carga total en un plato
D que tiene la forma de una elipse con ecuación
polar
2
r =
1
1
sen2 θ + cos2 θ
6
9
−1
del que se ha removido el disco x2 + y2 ≤ 1 (ver
la figura adjunta). Asuma que la densidad de carga es ρ (r, θ ) = 3r−4 C/cm2 .
x
4
y
6
D
1
3
x
Capítulo 2 Integrales dobles y triples-Lord Barrera
126
Proyectos
P ROYECTO 1 Se argumenta que el costo, en términos de tiempo, dinero o esfuerzo,
de colectar o distribuir material a o desde una localidad es proporcional a la integral
ZZ
P=
r dA
D
donde D es la región que se cubre y r denota la distancia al sitio de colección/distribución.
Suponga, por ejemplo, que un quitanieves se envía a limpiar un área de estacionamiento
circular de diámetro d. Muestre que quitar la nieve y acumularla en el perímetro es aproximadamente 70 % más costoso que acumular toda la nieve en el centro del estacionamiento.
(Sugerencia: Establezca por separado la integral para cada caso, empleando una ecuación
de coordenadas polares para el círculo con el sitio de colección en el origen.)
P ROYECTO 2 La aproximación de Fraunhofer
es válida para distancias focales bastante largas.
La intensidad de onda difractada desde una abertura circular plana D de diámetro d, hasta el
punto (x, y) del plano imagen es dada por
Ψ(x, y) =
ZZ
2iπ
eλf
(xs+yt )
f
Fuente de onda
esférica
s
Haz
óptico
Onda
plana
ds dt
D
f
Lente
Fuente de onda
plana
Abertura
Plano
imagen
donde λ es la longitud de la onda y f esp
la distancia focal. Muestre que el valor de la
integral doble depende solo del radio R = x2 + y2 y que
Ψ (R) =
Z
0
d/2 Z 2π
0
2πrR
r cos
sen θ dθ dr
λf
P ROYECTO 3 (Campo gravitacional debido a una cáscara esférica). Una masa
puntual m está a una distancia d del centro de una cáscara esférica muy delgada de masa
M y radio R. La magnitud de la fuerza gravitacional sobre la masa puntual es dada por
GMm
F (d ) =
4π
Z
0
2π Z π
0
(d − R cos ϕ ) sen ϕ
dϕdθ ,
(R2 + d 2 − 2Rd cos ϕ )3/2
G=
constante
gravitacional
a) Use el cambio de variable x = cos ϕ para evaluar la integral y muestre que si d > R,
GMm
entonces F (d ) =
, lo cual significa que la fuerza es la misma que si la masa
d2
de la cáscara estuviera concentrada en su centro.
b) Muestre que si d < R (la masa puntual está dentro de la cáscara), entonces F = 0.
2.1 Integrales dobles
127
P ROYECTO 4 De acuerdo a la ley de Coulomb,
la fuerza de atracción entre dos cargas eléctricas
de magnitudes q1 y q2 separados por una distancia r es kq1 q2 /r2 (k es constante). Sea F
la fuerza neta en una partícula cargada P de carga Q coulombs localizada a d cm del centro (y
fuera) de un disco circular de radio R, con una
distribución de carga uniforme de densidad ρ
P
d
Plato cargado
R
r
coulombs por metro cuadrado (ver figura). Por simetría, F actúa en la dirección vertical.
(a) Sea D un pequeño rectángulo polar de área ∆r × ∆θ localizado a una distancia r.
Muestre que D ejerce una fuerza en P cuya componente vertical es
kρQd
r∆r∆θ
(r2 + d 2 )3/2
(b) Explique por qué F es igual a la integral doble, y evalúe
Z
2π Z R
F = kρQd
0
0
rdrdθ
(r2 + d 2 )3/2
P ROYECTO 5 En algunos estudios de la diseminación de enfermedades de plantas, el
número de infecciones por área unitaria como una función de la distancia desde la planta
fuente infectada se describe por medio de una fórmula del tipo
I (r ) = a(r + c)−b
donde I (r ) es el número de infecciones por unidad de área a una distancia radial r de
la planta fuente infectada, y a, b y c son parámetros (positivos) que dependen de la
enfermedad.
a) Deduzca una fórmula para el número total de infecciones dentro
de un disco de radio
ZZ
I (r ) dA, donde D es
R centrado en la planta fuente infectada; esto es, evalúe
D
un disco de radio R centrado en el origen. Suponga que el parámetro b no es 1 o
2.
b) Muestre que si b > 2, entonces el resultado en el ítem a) tiende a un límite finito
cuando R → +∞.
c) Para la roya común del maíz, el número de infecciones por metro cuadrado se modela
mediante
I (r ) = 68.585(r + 0.248)−2.351
donde r se mide en metros. Encuentre el número total de infecciones.
128
Capítulo 2 Integrales dobles y triples-Lord Barrera
P ROYECTO 6 Las densidades de población urbana decaen exponencialmente con la
distancia desde el distrito comercial central (DCC); esto es,
ρ (r ) = ρ0 e−r/d
donde ρ (r ) es la densidad de la población a una distancia radial r desde el DCC, ρ0 es
la densidad en el centro y d es unZZparámetro.
a) Utilizando la fórmula; P =
ρ (r ) dA, encuentre una expresión para la población
D
total que vive dentro de una región circular D de radio R del DCC.
b) Empleando
ZZ
rρ (r ) dA
D
ZZ
ρ (r ) dA
D
determine una expresión para los viajes promedio (distancia recorrida) al DCC de la
gente que vive dentro de la región D.
c) Utilizando los resultados de los ítems a) y b), determine la población total y los
viajes promedio cuando R → +∞
2.1 Integrales dobles
2.1.5
129
Teorema del cambio de variables para integrales dobles
En este apartado vamos a generalizar el teorema 2.1.2. Para esto nos hacemos las
siguientes preguntas: ZZ
f (x, y) dA no puede ser calculada fácilmente cuando integramos
1. Si una integral
D
con respecto a x e y, ¿podemos hallar una sustitución de la forma x = x(u, v) e
y = y(u, v) que transforma esta integral en una que involucra las variables u y v
que ahora es más fácil evaluar?
2. ¿Qué forma tiene la nueva integral?
Antes de dar con el teorema del cambio de variables para integrales dobles, transformaremos regiones planas en otras regiones planas. Esta técnica nos permitirá resolver de
una manera más simple algunas integrales que mediante el uso de coordenadas cartesianas
podría resultar más complicada.
Transformando regiones
Muchas regiones que se expresan en las coordenadas (x, y) se “pueden expresar” en
otros sistemas de coordenadas como se verá en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2.14. Considere la región de la figura adjunta. Se trata de un rombo cuyos lados
opuestos son rectas paralelas. Hagamos
u = y−x
y
y
v = y+x
1
y - x = -1
Al resolver este sistema de ecuaciones tenemos
x=
v−u
2
y
y=
v+u
2
que nos da la transformación
D
0
-1
y-x =1
-1
(u, v) 7→ (x(u, v), y(u, v))
Desde que
−1 ≤ y − x ≤ 1
x
y +x =1
y + x = -1
v
y
1
−1 ≤ y+x ≤ 1
R
entonces
−1 ≤ u ≤ 1
1
y
−1 ≤ v ≤ 1
y obtenemos un rectángulo en el plano R2uv ,
cuya gráfica se muestra en la figura adjunta.
-1
0
1
u
-1
Capítulo 2 Integrales dobles y triples-Lord Barrera
130
Ejemplo 2.15. Determinemos el jacobiano de la transformación
x(u, v) =
v−u
2
y(u, v) =
y
Solución.
∂ (x, y)
=
∂ (u, v)
−
1
2
1
2
1
2
1
2
=−
v+u
2
1
2
Teorema del cambio de variables
Veamos a continuación nuestro principal resultado:
Teorema 2.1.3. Sea (u, v) 7→ (x(u, v), y(u, v)) la transformación que hace corresponder
a la región R del plano uv, la región D del plano xy. Entonces
ZZ
ZZ
f (x, y) dA =
f (x(u, v), y(u, v))
D
R
∂ (x, y)
du dv
∂ (u, v)
Ejemplo 2.16. Evaluemos la integral
y
ZZ
(x + y + 1) dA
y - x =1
D
Solución. Tomemos las sustituciones que siguen
u = y − x y v = y + x. Entonces
x(u, v) =
v−u
2
y(u, v) =
e
y - x = -1
1
donde D es la región de la figura.
D
-1
v+u
2
0
-1
x
1
y + x =1
con −1 ≤ u ≤ 1 y −1 ≤ v ≤ 1.
y + x = -1
v+u
Tenemos así la transformación (u, v) 7→ v−u
2 , 2 , donde −1 ≤ u ≤ 1 y −1 ≤ v ≤ 1.
Luego
ZZ
ZZ
(x + y + 1) dA =
f (x(u, v), y(u, v))
D
∂ (x, y)
du dv
∂ (u, v)
[−1, 1]×[−1, 1]
Z 1Z
1
=
−1 −1
v−u v+u
+
+1
2
2
−1/2 1/2
du dv
1/2 1/2
2.1 Integrales dobles
131
Z 1Z
1
1
(v + 1) du dv
2
−1 −1
"Z
#"Z
#
1
1
1
=
du
(v + 1) dv
2 −1
−1
1
1 2
1 v
= u
=2
+v
2
−1
−1 2
=
En algunos cálculos vamos a requerir el siguiente resultado:
∂ (x, y) ∂ (u, v)
·
=1
∂ (u, v) ∂ (x, y)
Ejemplo 2.17. Calcule
ZZ
x2 y2 dA
y
D
donde D es la región limitada por las curvas en
la figura adjunta.
y
Solución. Hagamos u = xy y v = , donde
x
1 ≤ u ≤ 2 y 1/2 ≤ v ≤ 3. Luego
y
y
− 2
x
∂ (u, v)
=
∂ (x, y)
De aquí resulta
∂ (x,y)
∂ (u,v)
ZZ
x
1
x
y
= 2 = 2v
x
y = 3x
xy = 2
x
y =2
0
xy =1
x
= 1/2v. Por tanto,
2 2
ZZ
x y dA =
f (x(u, v), y(u, v))
D
∂ (x, y)
du dv
∂ (u, v)
[1, 2]×[1/2, 3]
Z 2 2 3
1
u
du
=
u · dv du =
ln v
2v
1
1/2
1 2
1/2
Z 2 2
3 2
u
u
7
=
ln 6 du = (ln 6)
= ln 6
6 1 6
1 2
Z 2Z
3
2
Capítulo 2 Integrales dobles y triples-Lord Barrera
132
Ejercicios
Ejercicio 2.1. En cada caso, encuentre la imagen del conjunto D bajo la transformación
dada:
(a) D: 0 ≤ u ≤ 2, 0 ≤ v ≤ u; x = 2u + v, y = u − 3v
(b) D: −1 ≤ u ≤ 4, 1 ≤ v ≤ 5; u = x − y, v = x + 2y
(c) D: 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 2; x = u2 − v2 , y = uv
(d) D: 1 ≤ u ≤ 2, 1 ≤ v ≤ 2; x = uv, y = v2
Ejercicio 2.2. En cada caso, determine ∂ (x, y)/∂ (u, v) y ∂ (u, v)/∂ (x, y)
(a) x = 2u + v, y = u2 − v
(b) x = u2 − v2 , y = 2uv
(c) x = eu cos 2v, y = eu sen 2v
(d) x = u ln v, y = v ln u
Ejercicio
ZZ 2.3. En cada caso, se pide calcular la integral sobre la región dada.
y
(a)
dA,
D = (x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, y ≥ 0 y 1 ≤ 2(x + y) ≤ 2 .
x+y
D
ZZ
(b)
cos yy−x
+x dA, donde D es la región trapezoidal con vértices (1, 0), (2, 0),
D
(0, 2) y (0, 1)
Ejercicio 2.4. Un problema en termodinámica y
consiste en determinar el trabajo realizado por
una máquina de Carnot. Este trabajo se define
como el área de la región R en el primer cuadrante acotado por las isotermas xy = a, xy = b,
0 < a < b y las adiabáticas
xy1.4 = c, xy1.4 = d,
ZZ
0 < c < d. Emplee
xy = a
xy = b
D
dA y una sustitución
D
xy1.4 = d
xy1.4 = c
x
apropiada para calcular el área que se muestra en la figura adjunta.
Ejercicio 2.5. Dibuje la región D limitada por las curvas y = 2/x, y = 1/(2x), y = 2x,
y = x/2 en el primer cuadrante. Sea F la transformación u = xy, v = y/x del plano
xy al plano uv.
(a) Determine la imagen de D mediante F.
1
(b) Sea G = F −1 . Muestre que |Jac(G)| =
.
2|v|
(c) Aplique la fórmula del cambio de variables para deducir la fórmula
ZZ Z
y
3 2 f (v)dv
f
dx dy =
x
4 1/2 v
D
yey/x
dx dy.
D x
ZZ
(d) Aplique (c) para evaluar
2.1 Integrales dobles
2.1.6
133
Aplicaciones de integrales dobles
Masa y centro de masa
A continuación determinaremos la masa y el centro de masa para una región plana. Comenzamos Centro de masa
con una función integrable ρ (x, y), llamada función densidad, definida sobre una región acotada
D. La unidad de la densidad por unidad de área
es, por ejemplo, kg/m2 . Para una lámina, el
centro de masa es un punto de la lámina tal que
al ser colocada sobre un lápiz, la lámina queda en
equilibrio. Si la densidad es constante, la ubicación del centro de masa depende solo de la forma
de la lámina, y en este caso el centro de masa es
llamado centroide.
DEFINICIÓN
Lámina
Centro de masa
Para una lámina D en el plano xy, con densidad continua por unidad de área ρ (x, y),
el centro de masa es el par (x, y), donde
ZZ
x=
momento total con respecto al eje y
= ZZD
masa total
xρ (x, y) dA
ρ (x, y) dA
D
ZZ
y=
momento total con respecto al eje x
= ZZD
masa total
(2.3)
yρ (x, y) dA
ρ (x, y) dA
D
Ejemplo 2.18. Determine el centro de masa de la región limitada por
y = x2
e
y=x
y
si la función de densidad es
y=x
y = x2
ρ (x, y) = x + y
Solución.
0
x
Capítulo 2 Integrales dobles y triples-Lord Barrera
134
Utilizaremos las fórmulas (2.3). El denominador es
Z 1Z x
Z 1
x
y2
(x + y) dydx =
xy +
dx
2
0
x2
0
2
x
Z 1
=
0
x4
3x2
− x3 −
2
2
dx =
x3 x4 x5
− −
2
4 10
1
=
0
18
120
El numerador de x es
Z 1Z
Z 1Z
x
2
x(x + y) dydx =
xy2
x y+
2
(x + xy) dydx =
x2
0
Z 1
x
x2
0
Z 1
=
0
0
3x3
x5
− x4 −
2
2
dx =
2
x
dx
x2
3x4 x5 x6
− −
8
5 12
1
=
0
11
120
El numerador de y es
Z 1Z
Z 1Z
x
2
(xy + y ) dydx =
y(x + y) dydx =
x2
0
Z 1
x
x2
0
Z 1
=
0
0
6
5x3 x5 x
− −
6
2
3
dx =
xy2 y3
+
2
3
x
dx
x2
5x4 x6 x7
− −
24 12 21
1
=
0
13
168
Por lo tanto x = 11/18 y y = 65/126.
Ejemplo 2.19. Un plato de oro esculpido es descrito por 0 ≤ x ≤ 2π y 0 ≤ y ≤ π
(centímetros) y tiene densidad de masa ρ (x, y) = y2 sen2 4x + 2 (gramos por centímetro
cuadrado). ¿Cuál es la densidad promedio de la masa en gramos por centímetro cuadrado?
Solución. La masa del plato es
ZZ
Z
2π Z π
ρ (x, y) dA =
Z
0
2π =
sen2 t
Z
0
2π
=
0
π3
3
0
π3
3
Z
2
(y sen 4x + 2) dy dx =
0
D
Recordando que
2
3
2
π
sen 4x + 2y
dx
0
sen2 4x + 2π dx
1−cos 2t
,
2
el último término se convierte en
1 − cos 8x
dx + 2π
2
El área del plato es 2π × π =
2π 3
y
2π 2 .
Z
0
2π
π3
dx =
3
x sen 8x
−
2
16
2π
+4π 2
0
Así que la densidad promedio de la masa es
masa 12 + π 2
=
área
6
2.1 Integrales dobles
135
Área de superficies
Fórmula para determinar el área de una superficie z = f (x, y): Sea f definida
en una región D del plano xy. El área A de la superficie z = f (x, y) es
A=
ZZ q
fx2 + fy2 + 1 dA
D
Ejemplo 2.20. Calcule el área de la parte de la superficie con ecuación z = 2x + y2 que
está sobre la región triangular D en el plano xy con vértices (0, 0), (1, 1) y (0, 1).
y
Solución. La región D se muestra en la figura
adjunta, cuya parametrización es
0 ≤ x ≤ y,
(1, 1(
1
0≤y≤1
D
y =x
De acuerdo a la definición con f (x, y)
el área requerida es
= 2x + y2 ,
0
A=
ZZ q
Z
fx2 + fy2 + 1 dA
D
1Z yp
=
=
0
0
Z
=
0
1
ZZ q
22 + (2y)2 + 1 dA
Z
4y2 + 5 dx dy
x
1
=
D
1h
x
p
4y2 + 5
i
0
y
dy
0
1
p
√
1
1
2
3/2
y 4y2 + 5 dy =
(4y + 5)
= (27 − 5 5)
12
12
0
Ejemplo 2.21. Calcule el área de la superficie de la parte del paraboloide z = 9 − x2 − y2
que está encima del plano z = 5.
Solución. La parte del paraboloide y su proyección se muestra en la figura adjunta:
z
y
z = 9 - x2 - y2
2
z =5
D
-2
32
x
2
3
x2 + y2 = 4
2
y
-2
x
Capítulo 2 Integrales dobles y triples-Lord Barrera
136
El paraboloide interseca al plano z = 5 a lo largo de la circunferencia x2 + y2 = 4, por
tanto nuestra superficie de interés tiene de proyección el disco representado por x2 + y2 ≤ 4.
Ahora bien, el área requerida se calcula mediante:
ZZ q
(−2x)2 + (−2y)2 + 1 dA
ZZ
Z 2π Z 2 p
p
=
4x2 + 4y2 + 1 dA =
r 4r2 + 1 dr dθ
D
0
0
Z 2π Z 2π 2
√
1
π
12 2
3/2
3/2
(4r + 1)
dθ =
(17 − 1) dθ = (17 17 − 1)
=
83
12
6
0
0
0
A=
fx2 + fy2 + 1 dA =
ZZ q
D
D
Fórmulas para el área de superficies en la forma y = g(x, z) y x = h(y, z):
Sea g definida en una región D del plano xz. El área A de la superficie
y = g(x, z) es
ZZ q
A=
g2x + g2z + 1 dA
D
Sea h definida en una región D del plano yz. El área A de la superficie x = h(y, z)
es
ZZ q
A=
h2y + h2z + 1 dA
D
Ejercicios
Ejercicio 2.1. Determine el centro de masa de la lámina que ocupa la región D y tiene la
densidad de masa dada:
(a) D es la región rectangular con vértices (0, 0), (3, 0), (3, 2) y (0, 2); ρ (x, y) = y.
√
(b) D es la región limitada por las gráficas de las ecuaciones y = x, y = 0 y x = 4;
ρ (x, y) = xy.
(c) D es la región limitada por la parábola y = 4 − x2 y el eje x; ρ (x, y) = y.
(d) D es la región del primer cuadrante limitada por la circunferencia x2 + y2 = 1;
ρ (x, y) = x + y.
Ejercicio 2.2. En cada caso, calcule el área de la superficie S
(a) S es la parte del plano 2x + 3y + z = 12 que se encuentra encima del rectángulo
R = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1}.
(b) S es la parte del plano 3x + 2y + z = 6 que se encuentra encima de la región
triangular con vértices (0, 0), (1, 3) y (0, 3).
(c) S es la parte del paraboloide z = 9 − x2 − y2 que está encima del plano xy.
(d) S es la parte de la esfera x2 + y2 + z2 = 9 que está encima del plano z = 2.
2.2 Integrales triples
2.2
137
Integrales triples
Como en el caso de integrales dobles, una integral triple también puede ser evaluada
mediante el cálculo de una integral iterada apropiada.
2.2.1
El teorema de Fubini
Teorema 2.2.1 (Fubini). Sea f (x, y, z) una función con valores reales y continua sobre
el cubo B = [ a, b ] × [ c, d ] × [ p, q ]. Entonces
Z qZ d Z
ZZZ
b
f (x, y, z) dV =
B
f (x, y, z) dx dy dz
p
ZZZ
c
(2.4)
a
xyz2 dV , donde B es el cubo 0 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 2,
Ejemplo 2.22. Calcule
B
0 ≤ z ≤ 3.
Solución.
ZZZ
2
Z 3Z 2 Z
xyz dV =
1
Z 3Z
2
2
2
xyz dx dy dz =
yz
−1 0
0
B
0
Z 3 2
y
yz2
z2
dy dz =
=
4
0
−1 2
0
Z 3 2
3
3z
3 z3
27
=
dz =
=
4 3 0 4
0 4
Z 3Z
2
−1
2
x2
2
1
dy dz
0
Z 3
z2
z −
dz
4
dz =
0
−1
2
La integral triple de la ecuación (2.4) también puede ser expresada como cualquiera de las
otras cinco integrales iteradas, cada una con diferente orden de integración. Por ejemplo,
Z bZ qZ
ZZZ
d
f (x, y, z) dV =
B
f (x, y, z) dy dz dx
a
p
(2.5)
c
Ejemplo 2.23. Evaluemos la integral del ejemplo anterior mediante la fórmula (2.5).
Solución.
ZZZ
B
xyz2 dV =
Z 1Z 3Z
0
xyz2 dy dz dx =
Z 1Z
−1
0
Z 1Z
2
3
3xz2
=
dz dx =
2
0
0
1
27 x2
27
=
=
2 2 0 4
0
Z
0
1
3x
2
3
xz2
0
z3
3
y2
2
3
dz dx
−1
Z
dx =
0
2
0
1
27x
dx
2
Capítulo 2 Integrales dobles y triples-Lord Barrera
138
Integrando un producto de funciones independientes
Si f (x, y, z) = φ (x)ψ (y)δ (z), para todo (x, y, z) ∈ [a, b] × [c, d ] × [ p, q], entonces
! Z
! Z
!
ZZZ
Z
b
f (x, y, z) dV =
d
φ (x) dx
q
ψ (y) dy
a
δ (z) dz
c
p
[a,b]×[c,d ]×[ p,q]
Ejemplo 2.24. Evalúe la integral del ejemplo anterior.
ZZZ
Z 3Z 2 Z
2
1
xyz2 dx dy dz
xyz dV =
−1 0
0
B
Solución.
ZZZ
Z 3Z 2 Z
2
xyz dV =
−1
1
0
B
Z
=
1
xyz2 dx dy dz
0
! Z
! Z
2
x dx
=
x2
2
1
0
1
=
−0
2
27
=
4
z2 dz
y dy
−1
0
0
3
−1
1
2 − (9 − 0)
2
0
y2
2
2
!
3
z3
3
Propiedades algebraicas
1. f + g es integrable y
ZZZ
ZZZ
( f + g) dV =
E
ZZZ
2. a f es integrable y
f dV +
ZZZ
E
(a f ) dV = a
ZZZ
f dV
E
E
3. f g es integrable.
4. Si f ≤ g en E, entonces
ZZZ
f dV ≤
E
5. La función | f | es integrable y
ZZZ
g dV
E
ZZZ
E
f dV ≤
g dV
E
ZZZ
E
| f | dV
2.2 Integrales triples
139
Ejercicios
Z 1Z 4Z 7
Ejercicio 2.1. ¿Cuál de las opciones no es igual a
0
Z 7Z 1Z 4
Z6 4 Z0 1 Z3 7
f (x, y, z) dz dx dy
(b)
Z3 1 Z0 4 Z5 7
f (x, y, z) dx dz dy
(c)
3
f (x, y, z) dz dy dx?
6
f (x, y, z) dy dx dz
(a)
0
3
6
ZZZ
Ejercicio 2.2. En cada caso, evalúe
f (x, y, z) dV para la función dada f y la caja
B
B
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
f (x, y, z) = z4 , 2 ≤ x ≤ 8, 0 ≤ y ≤ 5, 0 ≤ z ≤ 1
f (x, y, z) = xz2 , [−2, 3] × [1, 3] × [1, 4]
f (x, y, z) = xey−2z , 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1
x
, [0, 2] × [2, 4] × [−1, 1]
f (x, y, z) =
(y + z)2
f (x, y, z) = (x − y)(y − z), [0, 1] × [0, 3] × [0, 3]
z
f (x, y, z) = , 1 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 4
x
f (x, y, z) = (x − z)3 , [0, a] × [0, b] × [0, c]
f (x, y, z) = (x + y − z)3 , [0, a] × [0, b] × [0, c]
Ejercicio 2.3. En cada caso, evalúe la integral dibujando la región de integración de
manera apropiada.
Z 2 Z 6Z 2
(a)
dx dy dz
3 0
Z−2
1 Z 2Z 1
(b)
6xyz dy dx dz
1 0
Z−2
2 Z 2Z e
xy2
dz dx dy
1 1 z
Z−2
Z
Z
ln 4 ln 3 ln 2
(d)
e−x+y+z dx dy dz
(c)
Z0 π/2 Z0 1 Z 0π/2
(e)
sen πx cos y sen 2z dy dx dz
Z0 2 Z 2 Z0 1 0
yzex dx dz dy
(f)
Z0
1
Z1
1
Z0
1
(g)
−1 −1
Z−1
3Z 2Z 1
x2 y2 z2 dx dy dz
(x + y + z) dx dz dy
(h)
0
0
0
Capítulo 2 Integrales dobles y triples-Lord Barrera
140
2.2.2
Proyección sobre los planos coordenados
Un sólido E se puede proyectar sobre los planos coordenados xy, xz e yz. En cada
caso podemos plantar nuestra correspondiente fórmula para la integral triple.
Proyección sobre el plano xy
Un sólido E que se proyecta sobre el plano xy,
puede parametrizarse en muchos casos mediante
E:
(x, y) ∈ D,
z
z = u2( x, y(
u1 (x, y) ≤ z ≤ u2 (x, y)
La figura adjuntra ilustra el comportamiento geométrico de esta parametrización. Ahora bien, la
región plana D puede parametrizarse en la forma x-simple o y-simple. Si la región D se expresa en la forma x-simple, digamos a ≤ x ≤ b
e ϕ1 (x) ≤ y ≤ ϕ2 (x), entonces
x
y
D
f (x, y, z) dz dy dx
f (x, y, z) dV =
a
E
z = u1( x, y(
ϕ2 (x) Z u2 (x,y)
Z bZ
ZZZ
E
ϕ1 ( x )
u1 (x,y)
Ejemplo 2.25. Calcule el volumen del sólido E que está limitado por la superficie y = x2
y por los planos y + z = 4 y z = 0.
Solución. El sólido se ilustra en la figura (a), mientras que su proyección D se
ilustra en la figura (b).
(a) z
4
E
y = x2
0
2
(b) y
y+z = 4
y = x2
D
y
-2
x
0
x
2
Notemos que el sólido se extiende verticalmente desde z = 0 hasta z = 4 − y. Por tanto,
Z 2 Z 4Z
V=
4−y
Z 2Z
4
dz dy dx =
−2 x2
Z
2
0
−2 x2
Z
2
1 2
(4 − y) dy dx =
4y − y
2
−2
1 4
4 3
1 5
2
=
8 − 4x + x dx = 8x − x + x
2
3
10
−2
4
dx
x2
2
=
−2
256
15
2.2 Integrales triples
141
Proyección sobre el plano yz
Un sólido E que se proyecta sobre el plano yz,
puede parametrizarse en muchos casos mediante
E:
(y, z) ∈ D,
z
D
u1 (y, z) ≤ x ≤ u2 (y, z)
0
La figura adjunta ilustra el comportamiento geométrico de esta parametrización. Ahora bien, la
región plana D puede parametrizarse en la for- x
ma x-simple o en la forma y-simple. Si la región
D se expresa en la forma x-simple, digamos
c ≤ y ≤ d e ϕ1 (y) ≤ z ≤ ϕ2 (y), entonces
x = u2( y, z (
f (x, y, z) dx dz dy
f (x, y, z) dV =
u1 (y,z)
ϕ1 ( y )
c
E
x = u1 ( y, z (
E
ϕ2 (y) Z u2 (y,z)
Z dZ
ZZZ
y
Ejemplo 2.26. Calcule el volumen del prisma E cuya base es el triángulo en el plano xy
z
limitada por el eje x y las rectas y = x y x = 1,
2
y cuyo techo está limitado por el plano z = 2 − y.
z = 2- y
Solución. La parametrización del sólido E resulta
0≤y≤1
0 ≤ z ≤ 2−y
y≤x≤1
y
1
y calculando el volumen tenemos
x
Z 1Z
y =x
2−y Z 1
Vol(E ) =
dx dz dy
0
0
Z 1Z
y
2−y
(1 − y) dz dy
=
0
0
2−y
1
Z
(1 − y)z
=
0
dy
0
1
Z
(1 − y)(2 − y) dy
=
0
1
Z
(y2 − 3y + 2) dy
=
0
=
1
y3 3y2
5
=
−
+ 2y
3
2
6
0
Capítulo 2 Integrales dobles y triples-Lord Barrera
142
Ejercicios
Ejercicio 2.1. Considere el cilindro cuadrado en
el primer octante, limitado por las superficies
x = 0, x = 1, y = 0 e y = 1, cortado por el
plano x + y + z = 6. Determine su volumen de
dos maneras
(a) De la manera difícil: mediante una integración dx dz dy.
(b) De la manera fácil: mediante una integración dz dy dx.
z
x + y+z= 6
y=1
x=1
y
x
Ejercicio 2.2. En cada caso, integre la función dada sobre el sólido E.
(a) f (x, y, z) = 2x − y + z , donde E es el sólido limitado por z = y2 , el plano xy, y
los planos x = 0, x = 1, y = −2, e y = 2.
(b) f (x, y, z) = y , donde E es el sólido limitado por el plano x + y + z = 2, el cilindro
x2 + z2 = 1 y el plano y = 0.
(c) f (x, y, z) = 8xyz , donde E es el sólido limitado por el cilindro y = x2 , el plano
y + z = 9, y el plano xy.
(d) f (x, y, z) = 1 −z2 , donde E es el tetraedro con vértices (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 2, 0)
y (0, 0, 3).
(e) f (x, y, z) = x + y , donde E es el sólido limitado por x2 + 3z2 = 9, el plano y = 0,
y el plano x + y = 3.
(f) f (x, y, z) = 4x + y , donde E es el sólido limitado por x = y2 , y = z, x = y y
z = 0.
Ejercicio 2.3. En cada caso, dibuje la región de integración y reescribir la integral en sus
otras cinco
presentaciones
iteradas.
√
√
Z
(a)
2
2
Z 1−y2 Z
0
Z 1Z
(b)
(c)
0
f (x, y, z) dz dx dy
y
0
1 Z 1−x
y2 0
Z−1
2Z xZ y
0
1−x2 −y2
f (x, y, z) dz dx dy
f (x, y, z) dz dy dx
0
Ejercicio 2.4. Calcule el volumen del sólido limitado por x2 + y2 + z2 ≤ 1 y por z2 ≥
x 2 + y2 .
Ejercicio 2.5. Calcule el volumen del sólido limitado por x2 + y2 + z2 ≤ 2 y por y ≤
x 2 + z2
2.2 Integrales triples
143
Z 2 Z √36−9x2 /2 Z 36−4x2 −4y2
Ejercicio 2.6. Considere la integral
0
2 dz dy dx.
5x2
0
(a) Esta integral es igual a la integral triple sobre una región sólida E en R3 . Describir
E.
(b) Escribir la integral dada como una integral iterada equivalente, integrando primero
con respecto a z, luego con respecto a x, y luego con respecto a y. No evaluar su
respuesta.
(c) Escribir la integral dada como una integral iterada equivalente, integrando primero
con respecto a y, luego con respecto a z, y luego con respecto a x. No evaluar su
respuesta.
(d) Ahora considere la integración primero con respecto a y, luego con respecto a x,
y luego con respecto a z. A continuación exprese como una suma de integrales
iteradas. No evaluar su respuesta.
(d) Repetir el ítem (iv) integrando primero con respecto a x, luego con respecto a z,
y luego con respecto a y.
Ejercicio 2.7. Integrar f (x, y, z) = z sobre la
región E que se encuentra debajo del hemisferio
superior de la esfera x2 + y2 + z2 = 9 y que se
encuentra sobre el cuadrado 1 ≤ x, y ≤ 1.
Ejercicio 2.8. Integrar f (x, y, z) = z sobre la
región E que se encuentra debajo del hemisferio
superior de la esfera x2 + y2 + z2 = 9 y que
se encuentra sobre el triángulo limitado por las
rectas x = 1, y = 0 y x = y.
z
3
y
1
1
3
z
Ejercicio 2.9. Calcule el volumen del sólido limitado por el cilindro parabólico z = x2 + 1, y
los planos z = y + 1 e y = 1.
x2 + y 2 + z 2 = 9
E
x
z = y +1
z = x2 + 1
y
x
Capítulo 2 Integrales dobles y triples-Lord Barrera
144
Ejercicio 2.10. En cada caso, calcule el volumen del sólido.
(a)
(b)
z
( c(
z
- 2x - y + z = 8
z
z = 4-x+ 1 y
2
6
4-
z = 6-y
- 4x - 4y + z = 0
2
y
1
4
4
3
y = 2-x
1
3
y
y
x
x
x
z
(d)
4-
(e)
z = 4 - x2 - y2
(f)
z
z
z = 4 - x2
4-
y+ z = 2
y=4
x = 4 - y2
2
1
4
y
x
x
x + 2y = 2
2
x
(g)
y
y
(h)
z
1
z
(i) z
z = ey
z = seny
z = 1-y
1
0
x
1
x
y= x
y
y= x
y
ln 2
y
1
x
2.2 Integrales triples
145
z = 1- x + y
z
z
z=4
4
2 z - 3x = 2
z = x2 + y2
1
1
y = 1 - x2
x
y
1
z
x
z = 1 - y2
2
y
2
z
y
x
x
y = x2
z
z = x2 + y2
8
z = 8 - x2 - y2
y
x
y
Capítulo 2 Integrales dobles y triples-Lord Barrera
146
Proyecto
(Energía térmica en un bloque de metal). Suponga que tiene un bloque de metal E en forma
E
de un tetraedro, donde tres caras son perpendic
culares dos a dos, y tres de sus aristas tienen
longitudes a, b y c, respectivamente (ver figub
ra de la derecha). Este bloque consiste de un
a
material con densidad constante ρ, capacidad
de calor específico c p y tiene una temperatura T = T (x, y, z) que varía con z mediante
T = Tmin + z. Un volumen elemental dV del material, tiene masa ρdV . Si la masa
elemental está a una temperatura uniforme T , entonces la energía térmica acumulada en
la masa del bloque está dada por c p ρT dV . Calcular la energía térmica acumulada en la
región tetraedral E.
2.2 Integrales triples
2.2.3
147
Integración en coordenadas cilíndricas
z
A continuación se da una técnica para calcular integrales triples, usando coordenadas cilíndricas.
z = z 2 ( r, (
Sea E un sólido que se proyecta sobre el plano
rθ , cuya parametrización es
E:
(r, θ ) ∈ D,
E
z = z 1 ( r, (
z1 (r, θ ) ≤ z ≤ z2 (r, θ )
0
Ver figura adjunta. Si D se parametriza mediante
θ1 ≤ θ ≤ θ2 ,
x r = r1( (
r1 (θ ) ≤ r ≤ r2 (θ )
D
= 2
= 1
y
r = r2( (
entonces la integral triple se calcula mediante
ZZZ
Z
θ2 Z r =r2 (θ )
Z
f (r cos θ , r sen θ , z) dz r dr dθ
f (x, y, z) dV =
E
!
z2 (r,θ )
θ1
r =r1 (θ )
z1 (r,θ )
p
Ejemplo 2.27. Sea E el sólido definido por
x2 + y2 ≤ z ≤ 6 − x2 − y2 . Calcule el
volumen de E.
Solución. Para determinar el nivel en que se
z
cortan las superficies debemos resolver las ecuaciones
z = 6 - x2 - y 2
p
2
2
2
2
z = 6−x −y
y
z = x +y
E
Resolviendo tenemos
Nivel
z = 6 − (x2 + y2 ) = 6 − z2
z=2
z = x2 + y 2
o también
0
(z − 2)(z + 3) = 0 de donde z = 2
y
x
La proyección del sólido E sobre el plano xy es el disco D (centrado en el origen) de
radio 2, es decir, x2 + y2 ≤ 4, cuya parametrización es
x = r cos θ
y = r sen θ
0≤r≤2
0 ≤ θ ≤ 2π
p
Además, como
x2 + y2 ≤ z ≤ 6 − x2 − y2 , entonces r ≤ z ≤ 6 − r2 . Por tanto,
2π Z 2 Z 6−r2
Z
V=
Z
2π Z 2
r dz dr dθ =
0
Z
=
0
2π
r
!
Z
dθ
0
0
0
2
(6r − r3 − r2 ) dr
r (6 − r2 − r ) dr dθ
0
!
=
32π
3
Capítulo 2 Integrales dobles y triples-Lord Barrera
148
Ejemplo 2.28. Calcule el volumen de la región sólida E limitada por las superficies
y2 + z2 = 1, x = 5 − y2 − z2 , x = 0.
Solución. El sólido E y su proyección sobre el plano yz se muestran en las figuras
x
z
x = 5 - y2 - z 2
E
D
z
0
y
1
y2 + z 2 = 1
0
y
que parametrizado en coordenadas cilíndricas nos da y = r cos θ , z = r sen θ , x = x,
donde 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ z ≤ 5 − r2 . Luego
Z 1Z
2π Z 5−r2
Vol(E ) =
Z 1Z
r dz dθ dr =
0
0
0
Z
0
!
1
2
r (5 − r ) dr
= 2π
0
2π
r (5 − r2 ) dθ dr
0
"
(5 − r 2 )2
= 2π −
4
#
1
=
0
9π
2
Ejemplo 2.29. Calcule el volumen del sólido E (ver figura adjunta) limitado lateralmente
por el cilindro x2 + y2 = 4, superiormente por el
z
plano z = x e inferiormente por el plano z = 0.
z=x
Solución. La proyección del sólido sobre el
plano xy tiene como parametrización
0 ≤ r ≤ 2,
−
π
π
≤θ ≤
2
2
Desde que 0 ≤ z ≤ r cos θ , entonces el volumen
del sólido resulta
Z
y
x
π/2 Z 2 Z r cos θ
Vol(E ) =
Z
π/2 Z 2
r dz dr dθ =
−π/2 0
Z
r2 cos θ dr dθ
−π/2 0
0
! Z
!
2
π/2
r3
=
·
cos θ dθ
r dr = (sen θ )
−π/2
0
−π/2 3
h π π i 8
16
= sen
− sen −
−0 =
2
2
3
3
π/2
2
2
0
2.2 Integrales triples
149
Ejercicios
Ejercicio 2.1. En cada caso, dibuje el sólido cuyo volumen es dado por la integral, y
evalúe la integral
Z π/4 Z 2 Z r2
(a)
r dz dr dθ
0
Z0 2π Z 20Z 1−r
(b)
r dz dr dθ
0
1
0
2 Z r2
Z π/2 Z
(c)
r dz dr dθ
−π/2 0
0
Ejercicio 2.2. En cada caso, use coordenadas cilíndricas para evaluar la integral en la
regiónZZZ
dada.
p
(a)
x2 + y2 dV , donde E es el sólido limitado por el cilindro x2 + y2 = 4 y
E
los
ZZZplanos z = 2 y z = 4.
ex
(b)
2 + y2
dV , donde E es el sólido limitado por el cilindro x2 + y2 = 1 y los
E
planos
z = 0 y z = 2.
ZZZ
(c)
x dV , donde E es la parte del sólido en el primer octante limitado por paraboE
2
2
loide
ZZZ z = 4 − x − y .
(d)
y dV , donde E es la parte del sólido en el primer octante limitado por paraboE
2
2
loide
ZZZ z = x + y y el plano z = 4.
(e)
(x2 + y2 ) dV , donde E es el sólido limitado por el cono z = 4 −
E
el plano xy.
p
x 2 + y2 y
Ejercicio 2.3.
En cada
caso, evalúe la integral usando coordenadas cilíndricas
Z Z √
Z √
1
1−x2
4−x2 −y2
(a)
z dz dy dx
−1 0
0
Z 1 Z √1−x2 Z 2−x2 −y2
(b)
√
−1 − 1−x2
√
Z 1 Z √1−y2 Z x
(c)
−1 0
x 2 + y2
(x2 + y2 )3/2 dz dy dx
(x2 + y2 ) dz dx dy
0
Ejercicio 2.4. Sea E la región limitada inferiormente por el plano z = 0, superiormente
por la esfera x2 + y2 + z2 = 4 y lateralmente por el cilindro x2 + y2 = 1. Mediante el
uso de una integral triple en coordenadas cilíndricas, calcule el volumen del sólido E para
el orden de integración etablecido: (a) dz dr dθ , (b) dr dz dθ , (c) dθ dz dr
p
Ejercicio 2.5. Sea E la región limitada inferiormente por el cono z = x2 + y2 y
superiormente por el paraboloide z = 2 − x2 − y2 . Mediante el uso de una integral triple
en coordenadas cilíndricas, calcule el volumen del sólido E para el orden de integración
etablecido: (a) dz dr dθ , (b) dr dz dθ , (c) dθ dz dr
150
Capítulo 2 Integrales dobles y triples-Lord Barrera
Ejercicio 2.6. (Distribución de la densidad). Un cilindro circular recto con una altura
de 8 cm y un radio de 2 cm es llenado con agua. Al calentar un filamento a lo largo
2 g
de su eje produce una densidad variable en el agua dada por ρ (r ) = 1 − 0.05e−0.01r cm3 .
(Aquí, ρ representa la densidad y no la coordenada esférica del radio). Encuentre la masa
del agua en el cilindro. Desprecie el volumen del filamento.
Ejercicio 2.7. (Tanque de gasolina). Antes de
que se detenga un auto, la gasolina del tanque debe drenarse hasta vaciar el tanque. Suponga que
el depósito tiene la forma de un cilindro circular
recto con una longitud de 80 cm y un radio de
20 cm. Si la gasolina está a 10 cm por encima
de la parte inferior del tanque, determine la cantidad de gasolina que debe ser drenado en el tanque.
20 cm
10 cm
80 cm
Ejercicio 2.10. Sea E la región sólida que se
encuentra encima de la esfera x2 + y2 + z2 = 9
y debajo del paraboloide z = 7 − x2 − y2 .
a) Muestre que la proyección de E sobre
el plano xy es el disco x2 + y2 ≤ 5 (ver
figura adjunta).
b) Calcule el volumen de E usando coordenadas polares.
5.15 m
19.3 m
Ejercicio 2.9. El tanque de hidrógeno líquido en
el transbordador espacial tiene la forma de un cilindro circular recto con una tapa semielipsoidal
en cada extremo. El radio de la parte cilíndrica
del tanque es 4.2 m. Determine el volumen del
tanque que se muestra en la figura adjunta.
5.15 m
Ejercicio 2.8. Calcule la población total en una ciudad que tiene una zona territorial
en la forma de un disco con un radio de 4 km (el centro puede localizar en el origen
de coordenadas). Asuma que la densidad poblacional es ρ (x, y) = 2000(x2 + y2 )−0.2
personas por kilómetro cuadrado.
z
7
z = 7 - x2 - y 2
E
2
x2 + y 2 + z 2 = 9
5
3
y
x
Ejercicio 2.11. Encuentre el centro de masa de la lámina que corresponde a la región
acotada por la curva llamada pétalo de rosa r = 2 sen 2θ en el primer cuadrante si la
densidad en el punto P en la lámina es directamente proporcional a la distancia desde el
origen polar.
2.2 Integrales triples
151
Proyectos
P ROYECTO 1: (Formación de montañas). Cuando se estudia la formación de montañas, los geólogos estiman la cantidad de trabajo necesaria para levantar una montaña a
partir del nivel del mar. Considere una montaña que tenga la forma de un cono circular recto. Suponga que la densidad del material en el entorno de un punto (x, y, z) sea ρ (x, y, z)
y la altura sea h(x, y, z).
(a) Exprese la integral definida que representa el trabajo total ejercido para formar la
montaña de radio R y altura H.
(b) Calcule la integral definida del inciso (a).
(c) Suponga que la montaña Fuji de Japón tenga la forma de un cono circular recto con
un radio de 19 000 m, una altura de 3800 m y densidad constante de 3200 kg/m3 .
¿Cuánto trabajo fue realizado para formar la montaña Fuji de Japón si la tierra estaba
inicialmente al nivel del mar?
Capítulo 2 Integrales dobles y triples-Lord Barrera
152
2.2.4
Integración en coordenadas esféricas
z
A continuación se da una técnica para calcular
integrales triples, usando coordenadas esféricas.
1( , (
2( , (
Recordemos que en la fórmula del cambio de
variables en coordenadas cilíndricas, usamos la
ecuación dV = r dz dr dθ . De la misma manera,
en coordenadas esféricas necesitamos la fórmula
y
1
Eijk
2
dV = ρ 2 sen φ dρ dθ dφ
(2.6) 0
2
Sabemos que
x = ρ sen φ cos θ ,
y = ρ sen φ sen θ ,
1
z = ρ cos φ
x
entonces la integral triple se calcula mediante
ZZZ
Z φ2Z θ2Z
f (x, y, z) dV =
E
φ1
θ1
ρ2 (θ ,φ )
f (ρ cos θ sen φ , ρ sen θ sen φ , ρ cos φ )ρ 2 sen φ dρ dθ dφ
ρ1 (θ ,φ )
Ejemplo 2.30. Calcule el volumen del sólido E definido por
p
z ≥ − x 2 + y2
x 2 + y2 + z2 ≤ 9
Solución. Parametrizando E en coordenadas esféricas tenemos
0≤ρ ≤3
0 ≤ θ ≤ 2π
0≤φ ≤
3π
4
Luego
Z 3Z
2π Z 3π/4
ρ 2 sen φ dφ dθ dρ
0
! Z
! Z
Vol(E ) =
0
Z
=
0
3
2π
2
ρ dρ
0
dθ
0
= (9)(2π ) − cos φ
!
3π/4
sen φ dφ
0
3π/4
0
√
= 9π ( 2 + 2)
2.2 Integrales triples
153
Ejercicios
Ejercicio 2.1. En cada caso, dibuje el sólido cuyo volumen es dado por la integral, y
evalúe la integral
Z 2π Z π/2 Z 2
(a)
ρ 2 sen φ dρ dφ dθ
Z0 2π Z0 π/4 Z0 2 sec φ
(b)
0
0
ρ 2 sen φ dρ dφ dθ
0
Ejercicio 2.2. En cada caso, use coordenadas esféricas para evaluar la integral en la región
dada. ZZZ p
(a)
x2 + y2 + z2 dV , donde E es la esferra sólido x2 + y2 + z2 ≤ 1.
ZZZE
(b)
e(x
2 +y2 +z2 )3/2
dV , donde E es la parte de la esfera unitaria x2 + y2 + z2 ≤ 1
E
que
ZZZ se encuentra en el primer octante.
(c)
xz dV , donde E es sólido limitado superiormente por la esfera x2 + y2 + z2 =
p
1ZZZ
e inferiormente por el cono z = x2 + y2 .
E
(x2 + y2 + z2 )2 dV , donde E es la esfera sólida x2 + y2 + z2 ≤ 25.
p
(e)
y dV , donde E es el sólido limitado por el hemisferio z = 1 − x2 − y2 y el
E
plano xy.
(d)
ZZZE
Ejercicio 2.3. Sea E la región limitada inferiormente por el plano z = 0, superiormente
por la esfera x2 + y2 + z2 = 4 y lateralmente por el cilindro x2 + y2 = 1. Mediante el
uso de una integral triple en coordenadas esféricas, calcule el volumen del sólido E para
el orden de integración establecido: (a) dρ dφ dθ , (b) dφ dρ dθ
Ejercicio 2.4. Sea
p E la región limitada inferiormente por el plano z = 0, superiormente
por el cono z = x2 + y2 y superiormente por el plano z = 1. Mediante el uso de una
integral triple en coordenadas esféricas, calcule el volumen del sólido E para el orden de
integración establecido: (a) dρ dφ dθ , (b) dφ dρ dθ
Ejercicio 2.5. (Distribución de la carga). Una nube esférica con carga eléctrica tiene
una densidad de carga conocida Q(ρ ), donde ρ es la coordenada esférica. Encuentre la
carga total en el interior de la nube en los siguientes casos:
2 × 10−4
(a) Q(ρ ) =
, 1≤ρ <∞
ρ4
3
(b) Q(ρ ) = (2 × 10−4 )e−0.01ρ , 0 ≤ ρ < ∞
Ejercicio 2.6. El plano (x/a) + (y/b) + (z/c) = 1 (siendo a > 0, b > 0 y c > 0)
divide al elipsoide sólido
x2 y2 z2
+ + ≤1
a2 b2 c2
en dos partes desiguales. Calcule el volumen de la menor.
Capítulo 2 Integrales dobles y triples-Lord Barrera
154
Ejercicio 2.7. Suponga que la densidad de la atmósfera como función de la altura, h
(en kilómetros) por encima del nivel del mar es dada por ρ (h) = ae−bh kg/km3 , donde
a = 1.225 × 109 y b = 0.13.
p Calcule la masa total de la atmósfera contenida en la región
sólida en forma de cono
x2 + y2 ≤ h ≤ 3.
Ejercicio 2.8. Un planeta esférico de radio R tiene una atmósfera cuya densidad es
µ = µ0 e−ch , donde h es la altura sobre la superficie del planeta, µ0 es la densidad a
nivel del mar, y c es una constante positiva. Calcule la masa de la atmósfera del planeta.
Proyectos
P ROYECTO 1: (Determinando un electrón). La función de onda para el electrón
en el átomo de hidrógeno es
1
ψ (ρ ) = q
e−ρ/a0
3
πa0
donde a0 es el radio de Bohr. La probabilidad de encontrar el electrón en una región E
de R3 es igual a
ZZZ
p(x, y, z)dV
E
donde, en coordenadas esféricas
p(ρ ) = |ψ (ρ )|2
Use integración en coordenadas esféricas para mostrar que la probabilidad de encontrar el
electrón a una distancia mayor que el radio de Bohr es igual a 5/e2 ≈ 0.677. (El radio de
Bohr es a0 = 5.3 × 10−11 m, pero este valor no es necesario.)
3. Introducción a las ecuaciones diferenciales-Lord Ba
Las ecuaciones diferenciales son importantes en matemática, física y economía. Muchos problemas se pueden modelar mediante ecuaciones diferenciales y saberlas resolver
nos permitirá responder cuestiones relacionadas con el mundo real; así como también nos
proporcionará importantes resultados en tópicos específicos de la física matemática. En
este capítulo, revisaremos ecuaciones diferenciales de primer orden y de segundo orden
con motivaciones elementales relacionadas a los negocios, la economía y las ciencias
físicas.
156
3.1
3.1.1
Capítulo 3 Introducción a las ecuaciones diferenciales-Lord Barrera
Ecuaciones de primer orden
Motivación y definiciones preliminares
La rapidez de crecimiento de una población es proporcional al tamaño de la población
y se escribe
dP
= kP
(3.1)
dt
Esta es una ecuación diferencial porque contiene una función P y su derivada dP/dt.
DEFINICIÓN
Una ecuación diferencial de primer orden es una ecuación de la forma
dy
= f (x, y)
dx
(3.2)
Una solución de la ecuación (3.2) es una función y = y(x) que la satisface, es decir
d
[y(x)] = f (x, y(x))
dx
Ejemplo 3.1. La función y = Ce−2x + ex es solución de la ecuación y0 + 2y = 3ex .
Solución. Tenemos
y0 =
d
(Ce−2x + ex ) = −2Ce−2x + ex
dx
(3.3)
Por otro lado,
2y = 2Ce−2x + 2ex
(3.4)
Ahora bien, de (3.3) y (3.4) obtenemos y0 + 2y = 3ex . Luego y = Ce−2x + ex es una
solución de la ecuación diferencial.
En general, una ecuación diferencial de primer orden admite una solución involucrando una constante arbitraria. Tal solución es llamada solución
general de la ecuación. Por ejemplo, la solución
y = Ce−2x + ex es llamada solución general de la
ecuación y0 + 2y = 3ex . Al graficar la solución
general de la ecuación y0 + 2y = 3ex , obtenemos
una familia de curvas, llamadas curvas integrales de la ecuación diferencial. La figura derecha
muestra cinco curvas integrales de esta ecuación.
y
C= 2
C= 1
C= 0
3
2
1
-3
-2
-1
C = -1
-1
1
2
-2
-3
C = -2
3
x
3.1 Ecuaciones de primer orden
157
Podemos obtener una solución particular de una ecuación diferencial eligiendo un valor particular de una constante arbitraria. Usualmente requerimos que nuestra ecuación
diferencial satisfaga una condición inicial y(x0 ) = y0 . Geométricamente, la solución del
problema de valor inicial
dy
= f (x, y)
dx
y ( x0 ) = y0
es la curva solución de la ecuación diferencial que pasa por el punto (x0 , y0 ).
Ejemplo 3.2. Resolver el problema con valor inicial
(
y0 + 2y = 3ex
y(0) = 1
Solución. En el ejemplo 3.1 vimos que y = Ce−2x + ex es una solución (a un
parámetro) de la ecuación diferencial y0 + 2y = 3ex . Para hallar el valor de C usaremos
la condición inicial y(0) = 1, o sea, y = 1 cuando x = 0.
Así obtenemos
y
0
1 = Ce + e
0
y
y = ex
C=0
3
ex .
Luego, la solución requerida es y =
La gráfica de esta función es tal como se muestra en la
figura de la derecha, que es la curva de la exponencial que pasa por el punto (0, 1).
2
1
-3
-2
-1
-1
1
2
3
x
Aplicación a las finanzas
Suponga que usted deposita en el banco C0 soles a una tasa de interés anual r,
(expresada en su forma decimal), compuesto continuamente, entonces el capital acumulado
C (t ) en el tiempo t resulta de resolver el modelo
dC
= rC
dt
C (0) = C0
Es fácil ver que la solución para este modelo es
C (t ) = C0 ert
(3.5)
158
Capítulo 3 Introducción a las ecuaciones diferenciales-Lord Barrera
Ejemplo 3.3. Si usted hace un depósito 1000 soles en su cuenta y gana una tasa de
interés anual del 8 %, compuesto continuamente. ¿Cuál es su capital luego de 5 años?
Solución. C0 = 1000, r = 0.08 y t = 5. El capital cuando han pasado t años es
C (t ) = 1000e0.08t
Por tanto, para t = 5, se tiene C (5) = 1000e0.08(5) ≈ 1491.82 soles.
Aplicación a biología
Suponga que P0 es la población inicial en una colonia de bacterias que tiene una tasa
porcentual decrecimiento k, (expresada en su forma decimal), entonces el tamaño de la
población P(t ) en el tiempo t resulta de resolver el modelo
dP = kP
dt
(3.6)
P(0) = P0
Es fácil ver que la solución para este modelo es
P(t ) = P0 ekt
Ejemplo 3.4. En el comienzo de un experimento biológico, 1800 bacterias están presentes
en una colonia. Dos horas después, el tamaño de la población es 2240. Suponga que el
tamaño de la población crece exponencialmente. Determine la razón de crecimiento k y
la ley de crecimiento para esta población.
Solución. Desde que la población inicial es 1800, la ecuación P(t ) = P0 ekt se
convierte en
P(t ) = 1800ekt
Por otro lado, sabemos que luego de 2 horas de haber comenzado el experimento, el
tamaño de la población es 2240. Usando esta información llegamos a
2240 = P(2) = 1800ek(2) = 1800e2k
de donde
e2k =
Tomando logaritmo llegamos a
56
2k = ln
45
⇔
2240 56
=
1800 45
k=
ln(56/45)
≈ 0.11
2
Por tanto, la ley de crecimiento para la población es
P(t ) = 1800e0.11t
3.1 Ecuaciones de primer orden
159
Ejercicios
Ejercicio 3.1. ¿Cuál de las ecuaciones no es de primer orden?
(A) y0 = y2x
(B) y0 =
1
x
(C)
dy
1
=
dx
y
(D) y0 = ln y
(E) xy0 + y = 0
Ejercicio 3.2. Una solución de la ecuación diferencial dy/dx = 2xy con y(0) = 1, es
x2 y2
+1
2
Ejercicio 3.3. (Desintegración radiactiva). Suponga que 10 gramos del isótopo 239 PU
se liberaron en el accidente nuclear de Chernobyl. ¿Cuánto tiempo llevará a los 10 gramos
disminuir a 1 gramo?
(A) y2x
(B) ex
2
(C) 1 − x2 y
(D) x2 y + 1
(E)
Ejercicio 3.4. (Desintegración radiactiva). El radio radiactivo tiene una semivida o vida
media de aproximadamente 1599 años. ¿Qué porcentaje de una cantidad dada permanece
después de 100 años?
Ejercicio 3.5. (La prueba del carbono 14. La prueba del carbono 14 supone que el
contenido de dióxido de carbono sobre la Tierra hoy tiene el mismo contenido radiactivo
que el de hace siglos. Si esto es cierto, la cantidad de 14 C absorbido por un árbol que
creció hace varios siglos debe tener la misma cantidad de 14 C absorbida por un árbol que
crece hoy. Una pieza de carbón viejo contiene sólo 15 % de la cantidad de carbono de una
pieza de carbón actual. ¿Hace cuánto tiempo fue quemado el árbol para formar la pieza
antigua de l año? (La vida media del 14 C es 5715 años.
Ejercicio 3.6. (Crecimiento poblacional). Suponga que una población experimental de
moscas se incrementa conforme a la ley de crecimiento exponencial. Había 100 moscas
antes del segundo día del experimento y 300 moscas después del cuarto día. ¿Cuántas
moscas, aproximadamente, había en la población original?
Ejercicio 3.7. (Crecimiento de bacterias). Crecimiento de bacterias El número de bacterias en un cultivo se incrementó de acuerdo con la ley de crecimiento exponencial. Después
de 2 horas se tienen 125 bacterias en el cultivo y 350 bacterias después de 4 horas.
(a) Encontrar la población inicial.
(b) Escribir un modelo de crecimiento exponencial de la población bacteriana. Sea t el
tiempo en horas.
(c) Usar el modelo para determinar el número de bacterias después de 8 horas.
(d) ¿Después de cuántas horas la cantidad de bacterias será de 25 000?
Ejercicio 3.8. (Ventas decrecientes). Cuatro meses después de que se detuviera la publicidad, una compañía fabricante notifica que sus ventas han caído de 100 000 unidades
por mes a 80 000. Si las ventas siguen un patrón de decrecimiento exponencial, ¿qué
unidades habrá después de los siguientes dos meses?
160
3.1.2
Capítulo 3 Introducción a las ecuaciones diferenciales-Lord Barrera
Ecuaciones separables
Ahora que sabemos verificar cuándo una función es solución de una ecuación diferencial, nos preguntamos: ¿cómo hallar una solución para dicha ecuación? Desafortunadamente son pocos los casos en los que podemos hallar soluciones explícitas de una ecuación
diferencial, sin embargo, estudiaremos a continuación una técnica para resolver cierto tipo
de ecuaciones diferenciales.
DEFINICIÓN
Una ecuación diferencial de primer orden que se puede expresar en la forma
g(x) dx + h(y) dy = 0
se llama ecuación separable. Su solución es
Z
Z
g(x) dx +
h(y) dy = C
Ejemplo 3.5. La ecuación diferencial de primer orden
xy0 + y = y2
es separable desde que puede ser escrita en la forma
y2 − y
dy
=
dx
x
dy
dx
=
x
y(y − 1)
⇔
con y(y − 1) 6= 0 y x 6= 0. Las funciones constantes y = 0 e y = 1 son claramente
soluciones de la ecuación xy0 + y = y2 . Las otras soluciones resultan de integrar
Z
dy
=
y(y − 1)
Z
dx
x
Esto nos da
ln |y − 1| − ln |y| = ln |x| + C1
De donde se consigue
y−1
= eC1
xy
o bien
y−1
=C
xy
(|C| = eC1 )
despejando y obtenemos
y=
1
1 −Cx
3.1 Ecuaciones de primer orden
161
Ejemplo 3.6. Resolver el problema de valor inicial
dy = xy
dx
y(0) = 2
Solución. Separando variables
dy
= x dx
y
Z
⇔
⇔
⇔
Z
dy
= x dx
y
1
ln |y| = x2 + C1
2
1 2
1 2
2
x +C1
2
|y| = e
= e 2 x eC1 = Cex /2
(C = eC1 )
Esta es la solución general. Para satisfacer la condición inicial y(0) = 2, lo que hacemos
es sustituir y = 2 y x = 0 para hallar C.
2 = Ce0
⇔
C=2
Sustituyendo C = 2 en la solución general obtenemos la solución particular
y = 2ex
2 /2
Ejemplo 3.7. Resuelva la ecuación ex tan y dx + (1 − ex ) sec2 y dy = 0
Solución. reescrimimos en la forma
sec2 y
ex
dx
+
dy = 0
1 − ex
tan y
Integrando
Z
Z
sec2 y
ex
dx
+
dy = C
1 − ex
tan y
− ln(ex − 1) + ln(tan y) = C
es decir,
tan y = C (ex − 1)
Ejemplo 3.8. Resuelva la ecuación
dy
= 1 + x2 + y2 + x2 y2
dx
Solución. La ecuación puede reescribirse como sigue
dy
= (1 + x2 )(1 + y2 )
dx
dy
= (1 + x2 )dx
1 + y2
x3
arctan y = x + + C
3
162
Capítulo 3 Introducción a las ecuaciones diferenciales-Lord Barrera
Ejemplo 3.9. Resuelva la ecuación
dy
= (4x + y + 1)2
dx
Solución. Hacemos 4x + y + 1 = t. Entonces
4+
dy
dy
dt
=
=
dx
dx
dx
Es decir
dt
dx
dt
4 + t2
1
t
arctan
2
2
4x + y + 1
arctan
2
= 4 + t2
= dx
= x +C
= 2(x + C )
Ejemplo 3.10. Resuelva la ecuación
x4
dy
+ x3 y = − sec(xy)
dx
Solución. Escribimos la ecuación en la forma
dy
x3 x + y = − sec(xy)
dx
Poniendo
v = xy
se tiene
dy
dv
= x +y
dx
dx
Entonces
dv
= − sec v
dx
dv
dx
=− 3
Z sec v
Zx
dx
cos v dv = −
x3
1
sen v = 2 + C
2x
1
sen(xy) = 2 + C
2x
x3
3.1 Ecuaciones de primer orden
163
Ejercicios
Ejercicio 3.1. Si dy/dx = 2xy e y(0) = 1, entonces y = . . .
(A) y2x
(B) ex
2
(C) 1 − x2 y
(D) x2 y + 1
(E)
x2 y2
+1
2
Ejercicio 3.2. Responda a las siguientes cuestiones:
(a) ¿Qué es una ecuación diferencial de primer orden separable?
t +4
(b) La ecuación t 2 y0 (t ) = 2 ¿es separable?
y
(c) La ecuación y0 (t ) = 2y − t ¿es separable?
(d) Explique cómo resolver una ecuación diferencial separable de la forma g(y)y0 (t ) =
h(t )
Ejercicio 3.3. En cada caso, resuelva la ecuación en variables separables
dy
xy
dy
dy
(a)
=
(b)
= ex−y
(c)
= 1 + x + y + xy
dx
x+1
dx
dx
p
x(2 ln x + 1)
dy
dy
2xy
0
(f)
y
=
2x
y−1
(d)
=
(e)
= 2
dx
sen y + y cos y
dx
(x − 2)(y2 + 3)
2
2
2
2
dy
sen x + e2y sen x
(g) (x2 + 1)y0 tg y = x
(h)
= y
(i) x3 e2x +3y dx = y3 e−x −2y dy
y
dx
3e + e cos 2x
y+1
dy
xy − 3y + x − 3
dy
=√ √
(k)
=
(l) cos(x + y)dy = dx
(j)
dx
dx
xy + 2y − x − 2
x + xy
2
dy
dy
(m) 2yy0 = ex−y
(p)
= ex−y + x2 e−y
(n) (x + y)2 = a2
dx
dx
dy
(q) 2x2 + 3y2 − 7 x dx − 3x2 + 2y2 − 8 y dy = 0
(r)
= 1 + tan(y − x)
dx
Ejercicio 3.4. En cada caso, resuelva el problema con valor inicial
(a) ex ydy − (e−y + e2x−y )dx = 0, x(0) = 1
(b) 2tx2 + 2t + (t 4 + 1)x0 = 0, x(0) = 1
2r − 1
r − 2r2
(c)
dr + 2
dt = 0, r (2) = 4
t
t −1
dT
= k(T − T1 ), T (0) = T0 , donde K, T0 , T1 constantes.
(d)
dt
dy
πy
1
(e)
= e−x/8 sen , y(0) = 2
dx
2
4 dy
dy
2
(f) y − x = a y +
, y(0) = 1
dx
dx
(g) (1 + x)y dx + (1 − y)x dy = 0, y(0) = 1
(h) (x2 + 1)(y2 − 1) dx + xy dy = 0, y(1) = 2
(i) ln(yx )y0 = 3x2 y, y(2) = e3
(x − 1)2
(j) y0 = y
, y(3) = −1
y+3
164
Capítulo 3 Introducción a las ecuaciones diferenciales-Lord Barrera
Ecuaciones homogéneas
La ecuación diferencial de la forma
f (x, y)
dy
=
dx
g(x, y)
donde f y g son funciones homogéneas de grado n, es llamada ecuación diferencial
homogénea. Tal ecuación diferencial se puede escribir en la forma
y
nψ y
ψ
x
dy
(3.7)
=
yx = yx dx
xn φ
φ
x
x
Haciendo y = vx, se consigue
v+x
ψ (v)
dv
=
dx
φ (v)
dy
dv
= v + x , y la ecuación (3.7) se convierte en
dx
dx
que equivale a
φ (v)dv
dx
=0
+
x
vφ (v) − ψ (v)
la cual es una ecuación homogénea cuya solución ya se conoce.
Ejemplo 3.11. Resuelva la ecuación
(x2 + y2 )
Solución. Podemos escribir
dy
= xy
dx
dy
xy
= 2
, y hacemos y = vx. Luego
dx
x + y2
dv
xvx
= 2
dx
x + v2 x2
dv
v
v+x =
dx
1 + v2
dv
v
−v3
x =
−
v
=
dx
1 + v2
1 + v2
dx 1 + v2
+ 3 dv = 0
v
Z
Z x
Z
dx
1
1
+
dv +
dv = C
3
x
v
v
v−2
ln x +
+ ln v = C
−2
(y/x)−2
ln x +
+ ln(y/x) = C
−2
v+x
3.1 Ecuaciones de primer orden
165
Ejemplo 3.12. Resuelva la ecuación
h
y i
y
x + y sen
dx = x sen
dy
x
x
Solución. La ecuación puede escribirse en la forma
x + y sen xy
dy
=
dx
x sen xy
Luego
dv
x + vx sen v
=
dx
x sen v
dv
1 + v sen v
v+x =
dx
sen v
dx
sen v dv =
Z
Zx
dx
sen v dv =
x
v+x
− cos v = ln x + C
y
− cos
= ln x + C
x
Ejemplo 3.13. Resuelva la ecuación
x dy − y dx =
p
x2 + y2 dx
Solución. Haciendo y = vx, se consigue:
p
x dy − y dx = x2 + y2 dx
p
dy
x − y = x2 + y2
dx
p
dv
x v+x
− vx = x2 + v2 x2
dx
dv p
x = 1 + v2
dx
dv
dx
=
√
x
1 + v2
p
ln v + 1 + v2 = ln x + lnC1
p
v + 1 + v2 = Cx
p
1
y + x2 + y2 = Cx
x
166
Capítulo 3 Introducción a las ecuaciones diferenciales-Lord Barrera
Ejercicios
Ejercicio 3.1. Resuelva las siguientes ecuaciones homogéneasa
dy
y2
(a)
=
, Rpta: y = Cey/x
dx
xy − x2
(b) (x2 + y2 )dx = (x2 + xy)dy, Rpta: − xy + 2 ln xy − 1 = ln |x| + C
dy
(c) 2xy + (y2 − x2 ) = 0, Rpta: x2 + y2 = Cy
dx
y
(d) (x + y)2 dx = p
2x2 dy, Rpta: ln x = 2 arctan
+C
x
p
2
2
2
2
(e) x dy −y dx
= x + y dx, Rpta:
y + x + y =Cx2
y
y
y
(f) x sen
dy = y sen
− x dx, Rpta: cos
= lnCx
x
x
x x
dy = 0, Rpta: x + yex/y = ye−y + Cy
(g) 1 + ex/y dx + ex/y 1 −
y
dy
(h) x = y(ln y − ln x + 1), Rpta: y = xeCx
y i
y
y
h dx y − y cos
dx + x cos
dy = 0, Rpta: cos
= Cx
(i) x sen
x x
x
x 2 2
y
y2
y2
y
dx + 2xy cos 2 dy = 0, Rpta: x sen 2 =
(j) x2 sen 2 − 2y2 cos 2
x
x
x
x
C
2
2
(k) x2 e−y /x − y2 dx + xy dy = 0
(l) xyy0 − y2 = (x + y)2 e−y/x
y2 − x2
(m) xy0 − y = 2
2
ax + 2bxy + cy
x
x2
x x2
3
x
ln
(n) xy ln dx + y2 − x2 ln
dy, y(1) = 0, Rpta:
− 2 + ln y = 1 − 2
2
y
y
y
2y
4y
4e
h
y
y
y i h
y
y i dy
(p) x cos
+ y sen
y− y sen
− x cos
x = 0, Rpta: xy cos
=
x
x
x
x
dx
x
C y
y
y
dy = y sen − x dx, Rpta: cos
= ln x + C
(q) x sen
x
x
x
3.1 Ecuaciones de primer orden
Aplicaciones de ecuaciones separables
Crecimiento logístico
La figura de la derecha muestra el desarrollo de
un pez en un experimento controlado. Como vemos, al principio el pez tiene un crecimiento exponencial, pero luego de un determinado momento, la concavidad en la curva de crecimiento va
cambiando y no puede ser modelada por una función exponencial. Para obtener un modelo más
preciso, los científicos establecieron las siguientes hipótesis:
Longitud (cm)
3.1.3
167
50
40
30
20
10
4
8
12
16
(a) La longitud límite del pez es P∞ . En modelos poblacionales, la constante P∞ es
llamada tamaño de soporte.
(b) P0 → 0 cuando PP∞ → 1. En otras palabras, cuando la función P se aproxima a la
capacidad de soporte P∞ , la razón de crecimiento tiende a cero.
Una manera de expresar estás hipótesis en un modelo de crecimiento es suponiendo que
la razón con la que se incrementa la población es proporcional al tamaño de la población y
a P∞ − P. La razón de cambio conseguida
dP
P
= kP 1 −
,
P(0) = P0
(3.8)
dt
P∞
es llamada ecuación de crecimiento logístico. En esta ecuación, k, P0 y P∞ son constantes positivas.
Como la ecuación es separable, hacemos
dP
= kdt
P
P 1−
P∞
desde que P 6= 0
y P 6= P∞
Integrando cada lado de esta ecuación obtenemos
Z
dP
Z
=
P
P 1−
P∞
Z
k dt
o
P∞
dP = k
P(P∞ − P)
Z
dt
Esto nos da
Z ln |P| − ln |P∞ − P| =
o también
ln
Z
1
1
+
dP = k dt = kt + C2
P P∞ − P
P∞ − P
= ln |P∞ − P| − ln |P| = −kt −C2
P
(3.9)
Capítulo 3 Introducción a las ecuaciones diferenciales-Lord Barrera
168
y tomando exponencial
P∞ − P
= e−kt−C2 = e−kt e−C2 = C1 e−kt
P
(C1 = e−C2 )
Esto implica que
P∞ − P
= Ce−kt
P
donde |C| = C1 . Despejando P de la ecuación (3.10) conseguimos
(3.10)
P∞
1 + Ce−kt
P=
Para calcular C, usamos P(0) = P0 , de donde C = (P∞ − P0 )/P0 . Así que la solución
al problema con valor inicial es
P(t ) =
P∞
(3.11)
P∞
1+
− 1 e−kt
P0
Note que
lı́m P(t ) = lı́m
t→ +∞
t→ +∞
P∞
= P∞
P∞
−kt
1+
−1 e
P0
(3.12)
como esperabamos. La gráfica de P(t ) es llamada curva logística.
Ejemplo 3.14. Los biólogos colocaron 400 peces en un lago y estimaron una capacidad
de soporte de 10 000 peces. El número se triplicó el primer año
(a) Sabiendo que la población de peces satisface la ecuación logística, halle una expresión para el tamaño de la población después de t años.
(b) ¿Cuánto tiempo pasará para que la población aumente a 5000?
Solución. (a) Tenemos que P(0) = 400 y L = 10 000. Usando la solución (3.11)
de la ecuación logística conseguimos
P(t ) =
10 000
10 000
=
10 000
1 + 24e−kt
1+
− 1 e−kt
400
Además
P(1) = 1200
⇔
10 000
= 1200
1 + 24e−k
⇔
1 + 24e−k =
100
12
⇔
k ≈ 1.1856
Luego
10 000
1 + 24e−1.1856t
(b) Para que la población aumente a 5000 hacemos
P(t ) =
5000 =
10 000
1 + 24e−1.1856t
⇔
1 + 24e−1.1856t = 2
⇔
t ≈ 2.68 años
3.1 Ecuaciones de primer orden
169
Ejemplo 3.15. El cardumen de atún del pacífico fue modelado por la ecuación diferencial
P
dP
= kP 1 −
dt
P∞
donde P(t ) es la biomasa (masa total de los miembros de la población) en kilogramos en
el instante t (medido en años), la capacidad de soporte es estimada como P∞ = 8 × 107 kg
y k = 0.71 por año.
(a) Si P0 = 2 × 107 kg, calcule la biomasa un año después.
(b) ¿Cuánto tiempo llevará para que la biomasa alcance los 4 × 107 kg?
Solución. La solución al modelo es
P(t ) =
P∞
P∞
1+
− 1 e−kt
P0
(a) Al reemplazar los datos tenemos
8 × 107
P(t ) =
8 × 107
1+
− 1 e−0.71t
2 × 107
8 × 107
=
1 + 3e−0.71t
y la biomasa un año después será
P(1) =
8 × 107
1 + 3e−0.71(1)
≈ 3.23 × 107 kg
(b) Debemos tener
4 × 107 =
8 × 107
1 + 3e−0.71t
que implica
1 + 3e
−0.71t
Es decir, t ≈ 1.55 años.
=2
⇔
−0.71t
−0.71t = ln e
1
= ln
3
170
Capítulo 3 Introducción a las ecuaciones diferenciales-Lord Barrera
Ejercicios
Ejercicio 3.1. Supongamos que una población satisface a un modelo logístico con P∞ =
500, que la población inicial es 100 y que a los 10 años llegó a 200. Determine la
razón de crecimiento intrínseco k.
Ejercicio 3.2. Compruebe que, para una población que satisface almodelo logístico,
lamáxima razón de crecimiento de la población es kP∞ /4, y se alcanza cuando el tamaño
de la población es P∞ /2.
Ejercicio 3.3. (Especies en peligro). Una organización de conservación libera 25 panteras de Florida en una zona de refugio. Después de 2 años, hay 39 panteras en la zona.
El refugio tiene una capacidad límite o de soporte de 200 panteras
(a) Escriba una ecuación logística que modele la población de las panteras en el refugio.
(b) Calcule la población después de 5 años.
(c) ¿Cuándo la población será de 100 panteras?
(d) Escribir una ecuación diferencial logística que modele la tasa de crecimiento de la
población de las panteras. Entonces repetir el apartado (b) mediante el método
de Euler con un tamaño de paso de h = 1. Comparar la aproximación con las
respuestas exactas.
(e) ¿En qué tiempo la población de las panteras crecerá más rápidamente? Explique.
Ejercicio 3.4. Las reservas pesqueras del halibut (especie de gran tamaño, parecida al
lenguado) en el Pacífico se modelan con la ED logística con capacidad sustentable de
80.5 × 106 , medida en kg (biomasa), y razón de crecimiento de 0.71 por año. Si la
biomasa inicial es la cuarta parte de la capacidad sustentable, calcule la biomasa después
de un año y el tiempo que debe pasar para que la biomasa inicial se duplique, es decir, que
llegue a la mitad de la capacidad sustentable.
Ejercicio 3.5. La población mundial en 1939 era aproximadamente 2.3 × 109 habitantes
y, en 2009, se estimó en 6.7 × 109 habitantes. Algunos especialistas consideran que la
capacidad sustentable del planeta es de 11 × 109 habitantes, en condiciones de bienestar
(es decir, sin desnutrición ni padecimientos por falta de recursos). Considere t = 0 en
1939, P(0) = 2.3 × 109 y una capacidad sustentable de 11 × 109 .
Suponiendo un crecimiento logístico de la población, encuentre una fórmula para
P(t ) con t ≥ 0, determine P en el año 2020 y el tiempo t1 en el que habrá 10 × 109
habitantes.
Ejercicio 3.6. Un estudiante portador de un virus de gripe regresa a un campus universitario
aislado que tiene 1000 estudiantes. Al cabo de 4 días hay 50 estudiantes contagiados.
Si se supone que la rapidez con la que el virus se propaga es proporcional al número de
estudiantes contagiados y al número de alumnos no contagiados, determinemos el número
de estudiantes contagiados que habrá después de 6 días.
3.1 Ecuaciones de primer orden
171
Ley de enfriamiento y de calentamiento de Newton
La ley de enfriamiento y de calentamiento de Newton dice que la razón con que varía
la temperatura T (t ) de un cuerpo que se enfría, es proporcional a la diferencia entre la
temperatura actual T (t ) del cuerpo y la temperatura constante Ta del medio ambiente; o
sea, la temperatura del cuerpo T (t ) es la solución del problema con valor inicial
dT = k(T − T )
a
dt
T (0) = T0
donde k < 0 es la constante de transferencia de calor y T0 es la temperatura inicial.
Resolviendo la ecuación:
dT
= kdt
T − Ta
Z
Z
dT
= k dt
T − Ta
ln |T − Ta | = kt + C2
|T − Ta | = C1 ekt
T − Ta = Cekt
Desde que T (0) = T0 ,
T0 − Ta = C
Por tanto, la solución resulta
T (t ) = Ta + (T0 − Ta )ekt
Ejemplo 3.16. Una persona se sirve una taza de té que está a 85 ◦ C, y un minuto después
pasa a 80 ◦ C en una cocina cuya temperatura ambiente es de 25 ◦ C. Determine la
temperatura del té en función del tiempo y el tiempo que llevará para que el té alcance los
60 ◦ C
Solución. Usando la fórmula se tiene:
T (t ) = 25 + (85 − 25)ekt = 25 + 60ekt
Por otra parte,
80 = T (1) = 25 + 60ek(1)
que implica
k = −0.087
O sea, T (t ) = 25 + 60e−0.087t . Finalmente, para calcular el tiempo cuando el té alcanza
los 60 ◦ C debemos resolver
60 = 25 + 60e−0.087t
lo que resulta t ≈ 6.2
Capítulo 3 Introducción a las ecuaciones diferenciales-Lord Barrera
172
Ejemplo 3.17. Un objeto que tiene una temperatura de 20 ◦ C se coloca a las 10 : 00
horas en un horno que se mantiene a 200 ◦ C. A las 11 : 15 horas su temperatura era
80 ◦ C. ¿A qué hora estará el objeto a 120 ◦ C?
Solución. Usando la fórmula
T (t ) = Ta + (T0 − Ta )ekt
se tiene
T (t ) = 200 + (20 − 200)ekt = 200 − 180ekt
Luego de 75 minutos se tiene
80 = 200 − 180ek(75)
180ek(75) = 120
⇔
⇔
k ≈ −0.0054
y el modelo resulta
T (t ) = 200 − 180e−0.0054t
Para calcular el tiempo cuando el objeto alcance los 120 ◦ C, debemos resolver
120 = 200 − 180e−0.0054t
lo que implica
t ≈ 150.172
Es decir, deben pasar aproximadamente 150 minutos.
Ejemplo 3.18. Un termómetro que está en el interior de una habitación se lleva al exterior
donde la temperatura es 18 ◦ C. Después de 1 min. el termómetro marca 26 ◦ C y después
de 5 min. marca 21 ◦ C. ¿Cuál era la temperatura del termómetro en la habitación?
Solución. Debemos determinar T0 . Se tiene
26 = T (1) = 18 + (T0 − 18)ek(1)
y
21 = T (5) = 18 + (T0 − 18)ek(5)
De estas dos últimas ecuaciones resulta que
e4k =
3
8
lo que implica
k ≈ −0.24
y el valor de T0 resulta de una de las ecuaciones anteriores, digamos
26 = 18 + (T0 − 18)e−0.24
y conseguimos T0 ≈ 28.17 ◦ C.
3.1 Ecuaciones de primer orden
173
Ejercicios
Ejercicio 3.1. (Ley de enfriamiento de Newton). Sea y la temperatura (en ◦ F) de un
objeto en una habitación cuya temperatura se conserva constante a 60◦ . Si la temperatura
del objeto baja de 100◦ a 90◦ en 10 minutos, ¿cuánto tiempo se requerirá para bajar la
temperatura a 80◦ ?
Ejercicio 3.2. Un termómetro se cambia de una habitación donde la temperatura es de
34◦ C al exterior, donde la temperatura del aire es de 16◦ C. Después de medio minuto
el termómetro indica 28◦ C. ¿Cuál es la lectura del termómetro en t = 1 min? ¿Cuánto
tiempo le tomará al termómetro alcanzar los 21◦ C?
Ejercicio 3.3. (Ley de enfriamiento de Newton). Un cadáver se encontró dentro de
un cuarto cerrado en una casa donde la temperatura era constante a 70◦ F. Al tiempo
del descubrimiento la temperatura del corazón del cadáver se determinó de 85◦ F. Una
hora después una segunda medición mostró que la temperatura del corazón era de 80◦ F.
Suponga que el tiempo de la muerte corresponde a t = 0 y que la temperatura del corazón
en ese momento era de 98.6◦ F. Determine ¿cuántas horas pasaron antes de que se
encontrara el cadáver? [Sugerencia: Sea que t1 > 0 denote el tiempo en que se encontró
el cadáver.]
Ejercicio 3.4. Un material cerámico se saca en cierto momento de un horno cuya temperatura es de 750 ◦ C, para llevarlo a una segunda etapa de un proceso que requiere que
el material se encuentre a una temperatura de cuando mucho 200 ◦ C. Suponga que la
temperatura de una sala de enfriamiento donde se colocará este cerámico es de 5 ◦ C y
que, después de 15 min, la temperatura del material es de 600 ◦ C. ¿En cuánto tiempo el
material cerámico estará listo para entrar a la segunda etapa de su proceso?
Ejercicio 3.5. Un ganadero salió una tarde a cazar un lobo solitario que estaba diezmando
su rebaño. El cuerpo del ganadero fue encontrado sin vida por un campesino, en un cerro
cerca del rancho junto al animal cazado, a las 6:00 h del día siguiente. Un médico forense
llegó a las 7:00 y tomó la temperatura del cadáver, a esa hora anotó 23 ◦ C; una hora más
tarde, al darse cuenta de que en la noche, y aún a esas horas, la temperatura ambiente era
aproximadamente de 5 ◦ C , el médico volvió a medir la temperatura corporal del cadáver
y observó que era de 18.5 ◦ C. ¿A qué hora murió el ganadero aproximadamente?
Ejercicio 3.6. Dos grandes tanquese A y B del mismo tamaño se llenan con fluidos
diferentes. Los fluidos en los tanques A y B se mantienen a 0◦ C y a 100◦ C, respectivamente. Una pequeña barra de metal, cuya temperatura inicial es 100◦ C, se sumerge
dentro del tanque A. Después de 1 minuto la temperatura de la barra es de 90◦ C.
Después de 2 minutos se saca la barra e inmediatamente se transfiere al otro tanque.
Después de 1 minuto en el tanque B la temperatura se eleva 10◦ C. ¿Cuánto tiempo,
medido desde el comienzo de todo el proceso, le tomará a la barra alcanzar los 99.9◦ C?
Capítulo 3 Introducción a las ecuaciones diferenciales-Lord Barrera
174
3.1.4
Aplicaciones a la termodinámica
Expansión isotérmica de un gas ideal
Considere un gas ideal a temperatura constante, siguiendo la ley de Mariotte
pv = K
donde p es la presión y v el volúmen.
Si un pistón de área S se desplaza en un cilindro, el trabajo realizado por el gas en un
desplazamiento ∆x es
∆W = F∆x = pS∆x = p∆v
es decir
dW = pdv
Como dp/p + dv/v = 0, vemos que
dW = −vdp = −K
dp
p
El trabajo realizado en la expansión desde la presión p1 hasta la presión p2 es
Z p2
dp
p2
p1
W = −K
= −K ln
= K ln
p1
p2
p1 p
Ejemplo 3.19. Un reservorio con una capacidad de 0.2 m3 contiene aire a una presión
de 107 pascales. Este aire se expande a remperatura constante, hasta la presión de 105
pascales, en una máquina de fricción. Calcule el trabajo realizado en esta expansión, y la
duración del mismo sabiendo que él sirve de alimentador a un motor que consume 1500
wats.
Solución. Sabemos que p1 /p2 = 100. Como
K = p1 v1 = 107 × 0.2 = 2 × 106
se sigue que
W = 2 × 106 ln 100 = 2 × 106 × 2 × 2.3 = 9.2 × 106 J
Desde que el motor consume 1500 wats, o sea 1500 J/s, la expansión precedente
alimentará durante
9.2 × 106
≈ 6130 s
1500
O sea cerca de 1 hora con 42 minutos.
3.1 Ecuaciones de primer orden
175
Ecuaciones de las curvas adiabáticas de un gas perfecto.
Se dice que una transformación termodinámica es adiabática cuando no hay intercambio de calor con otros sistemas, es decir, una transformación cuando dQ = 0.
Consideremos un mol de gas perfecto, siguiendo la ley de Mariotte-Gay-Lussac
pv = RT
(3.13)
donde p es la presión, v el volumen, T la temperatura absoluta y R una constante. Lo
dejamos en un recipiente perfectamente aislado. A continuación realizamos una variación
∆v del volumen a presión constante. Si ∆T1 es la variación de la temperatura correspondiente y C el calor específico a presión constante, el gas libera una cantidad de calor (una
masa igual a una unidad)
∆Q1 = C∆T1
A continuación efectuamos una variación ∆p de presión a volumen constante y sea ∆T2
la variación correspondiente de temperatura. Llammando c al calor específico a volumen
constante, la cantidad de calor es claramente
∆Q2 = c∆T2
de donde
dQ = dQ1 + dQ2 = CdT1 + cdT2 = 0
De acuerdo a la relación 3.13 mediante derivación resulta
pdv = RdT1
que implica
vdp = RdT2
Por lo tanto,
dQ = C
pdv
vdp
1
+c
= (Cpdv + cvdp) = 0
R
R
R
Dividiendo por cpv/R:
C dv dp
+
=0
c v
p
Supongamos que la razón γ = C/c sea independiente de la temperatura y separamos las
variables:
dp
dv
= −γ
p
v
de donde
K
p= γ
v
o escrito en su forma clasica:
pvγ = K
(3.14)
que es la ecuación de las curvas adiabáticas.
176
Capítulo 3 Introducción a las ecuaciones diferenciales-Lord Barrera
Ejemplo 3.20. Sean p1 y v1 los valores correspondientes a una temperaturav T1 . Entonces
γ
pvγ = p1 v1
Por otra parte
pv
RT
T
=
=
p1 v1
RT1
T1
de donde se deduce
v γ−1
T
1
=
=
T1
v
Por tanto
1−γ ≈ −
2
5
p
p1
o
1−1/γ
1−
1 2
=
γ
7
Considere un gas más ligero que un gas comprimido bruscamente, por ejemplo a
0◦ C, y supongamos que el gas se reduce a 1/10 de su volumen mediante compresión
adiabática. Desde que T1 = 273◦ K,
v 2/5
T
1
=
= 100.4
273
v
Así que
T = 273 × 100.4
Calculando T mediante el logaritmo en la base 10:
log10 T = log10 273 + 0.4 = 2.83616
es decir
T ≈ 686◦ K
que corresponde a 413◦ C, que es la temperatura suficiente para inflamar un pedazo de
yesca que envuelve un pistón.
A continuación calculemos el enfriamiento producido por la expansión adiabática. Sea
una masa de aire a 0◦ C, bajo una presión p1 y mantenemos la presión hasta 1/100 de
este valor, o sea p = p1 /100. Entonces
2/7 p
1 2/7
T
=
=
273
p1
100
o también
2
4
log10 T = log10 273 + log10 0.01 = 2.43616 − = 1.86473
7
7
Finalmente
T ≈ 736◦ K
que es −200◦ C. De esta manera vemos porque se puede producir hielo seco que se reposa
en el dióxido de carbono altamente comprimido. (Los valores precedentes son aproximados
ya que las dos transformaciones anteriores no son estrictamente adiabáticas.)
3.1 Ecuaciones de primer orden
177
Ejemplo 3.21. (Trabajo en una expansión adiabática). Tomando diferencial en la
fórmula
dp
dv
+γ = 0
p
v
El diferencial dW = pdv se expresa en función de p mediante la relación
dp
1
1
dW = − vdp = − K 1/γ
γ
γ
p1/γ
De donde
Z
p2
W=
p1
dp
1
K 1/γ 1−1/γ
1−1/γ
− K 1/γ
=
p1
− p2
γ
γ −1
p1/γ
que implica
W=
p1 v1 − p2 v2
γ −1
Variación de la presión atmosférica con la altitud.
Sea p la presión del aire a una altura h (medida por encima del nivel del mar). La
ecuación fundamental de la hidrostática permite escribir
dp + pgdh = 0
(ρ es la densidad del aire a la presión p y a la temperatura absoluta T , y g es
la aceleración de la gravedad, supuesta constante). Consideremos el aire como un gas
perfecto. Entonces
pv = nRT
(3.15)
(donde n es el número de moles del aire ocupando el volumen v, y R una constante).
De donde
m Mp
ρ= =
v
RT
donde M es la masa molar del aire.
C ASO 1: Suponga que la temperatura sea constante. Entonces podemos escribir
dp
M pg
=−
= −kp
dh
RT
Separando variables
dp
= −kdh
p
Integrando:
ln p
= −kh
C
La constante de integración C se interpreta evidentemente como la presión p0 a nivel
del mar. Por tanto
p = p0 e−kh
178
Capítulo 3 Introducción a las ecuaciones diferenciales-Lord Barrera
C ASO 2: Suponga que el aire sigue la ley pvγ = K (ecuación de las curvas adiabáticas). La temperatura ua no es constante. De la relación (3.15)
RT =
pv
n
y usando la ecuación de curvas adiabáticas, se tiene
p
RT =
n
1/γ
K
p
que implica
pg
dp
=−
= k0 p1/γ
dh
RT
Separando variables:
p−1/γ dp = k0 dh
Integrando:
−1/γ +1
p−1/γ +1 − p0
−1/γ + 1
= −k0 h
donde p0 es la presión a nivel del mar.
Todavía podemos expresar h en función de la razón p/p0 :
"
1−1/γ #
γ 1−1/γ
γ
p
1−1/γ
0
1−1/γ
p
−p
p
kh=
=
1−
γ −1 0
γ −1 0
p0
Por tanto, obtenemos una expresión más simple en función de las temperaturas:
pv
T
=
=
T0
p0 v0
Entonces
k0 h =
p
p0
1−1/γ
γ
T
1−1/γ
p0
1−
γ −1
T0
3.1 Ecuaciones de primer orden
3.1.5
179
Ecuaciones lineales de primer orden
Las ecuaciones lineales de primer orden aparecen en muchas aplicaciones de ingeniería
y se definen como sigue:
DEFINICIÓN
Una ecuación diferencial lineal de primer orden es aquella que se expresa en la
forma
dy
+ P(x )y = Q(x )
(3.16)
dx
Ejemplo 3.22. Las siguientes ecuaciones lineales de primer orden
(a) y0 − x2 y = x3
(b) xy0 − y = 1
(c) y0 + xy = cos x
1
(d) y0 + y = x3
x
Criterios para resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden
1. Reescribir la ecuación en la forma estándar
y0 + P ( x ) y = Q ( x ) .
R
2. Hallar el factor de integración µ (x) = e P(x) dx .
3. Multiplicar ambos lados de la ecuación y0 + P(x)y = Q(x) por µ (x). La
ecuación obtenida (que es fácil de resolver) se escribe en la forma
d
µ (x )y = µ (x )Q(x )
dx
Ejemplo 3.23. Resuelva la ecuación
dy 2
+ y = x,
dx x
x>0
Solución. El factor de integración es
R 2
x dx
µ (x ) = e
2
= e2 ln x = eln x = x2
Esto nos permite plantear la ecuación
d 2
( x y ) = x2 x = x3
dx
que equivale a
d(x2 y) = x3 dx
e integrando conseguimos
2
x y=
Z
2
d(x y) =
Z
x3 dx =
x4
+C
4
180
Capítulo 3 Introducción a las ecuaciones diferenciales-Lord Barrera
Ejercicios
Ejercicio 3.1. Diga usted, ¿cuáles de las siguientes ecuaciones es lineal?
dy
+ xy2 = cos x
(a)
dx
(b) x2 y0 + ex y = 4
1 dy
(c) y cos y +
− ln x = 0
x dx
dy
(d) y2 + 3x = tg y
dx
Ejercicio 3.2. En cada caso, resuelva la ecuación
dy
+ 2y = e2x
(a)
dx
dy 2y
(b)
−
= x2 cos 3x
dx
x
dy
(c) x + 3y = 2
dx
(d) y sen x + y0 cos x = 1
dy
(e)
+ yctg x = cos x
dx
(f) (cos y − xey )dy = ey dx (sug: considere x = f (y))
dy
1
= y
(g)
dx
e −x
(h) ydx − (ey + 2xy − 2x)dy = 0
dy
1
(i)
=
, cos y 6= 0
dx
x cos y + sen 2y
dy
y
(j) (x + 1) − y = ex (x + 1)2 , Rpta:
= ex + C
dx
x+1
dy
y
(k) (x3 − x) − (3x2 − 1)y = x5 − 2x3 + x, Rpta: 3
= ln x + C
dx
x −x
dy
(l) sen x + 2y = tan3 (x/2), Rpta: y tan2 (x/2) = (1/5) tan5 (x/2) + C
dx
(m) (1 + y2 )dx = (arctan y − x)dy, Rpta: x = − arctan y − 1 + Cearctan y
dy
π
1
(n) cot 3x − 3y = cos 3x + sen 3x, 0 < x < , Rpta: y cos 3x = (6x − sen 6x −
dx
2
12
cos 6x)
dy
(o) tan y + tan x = cos y cos2 x
Rpta. sec y = (sen x + C ) cos x
dx
(ln y)2
+C
(p) y ln y dx + (x − ln y)dy = 0,
Rpta. x ln y =
2
2
1 dy
1
(q)
+ 2x arctan y = x3 ,
Rpta. arctan y = (x2 − 1) + Ce−x
2
2
1 + y dx
(r) (1 + y2 )dx = (arctan y − x)dy,
Rpta. x = (arctan y − 1) + Ce− arctan y
(s) e−y sec2 y dy = dx + x dy,
Rpta. xey = tan y + C
dy tan y
sen y
(t)
−
= (1 + x)ex sec y
Rpta.
= ex + C
dx 1 + x
1+x
dy
(u) x + y ln y = xyex
Rpta. x ln y = xex − ex + C
dx
3.1 Ecuaciones de primer orden
Ejercicio 3.3. En cada caso, resuelva el problema con valor inicial
(a) y0 + 3y = e2x , y(0) = −1
(b) xy0 + y = ex , y(1) = 3
1
(c) y0 +
y = x−2 , y(1) = 2
x+1
(d) y0 + y = sen x, y(0) = 1
(e) (sen x)y0 = (cos x)y + 1, y(π/4) = 0
(f) y0 + (sect )y = sect, y(π/4) = 1
1
x
y=
(g) y0 +
, y(1) = 0
2
1+x
(1 + x2 )3/2
181
182
3.1.6
Capítulo 3 Introducción a las ecuaciones diferenciales-Lord Barrera
Ecuaciones de Bernoulli
Las ecuaciones de Bernoulli son ecuaciones que generalizan las ecuaciones lineales de
primer orden. Veamos a continuación la técnica para resolver este tipo de ecuaciones.
DEFINICIÓN
Una ecuación de Bernoulli tiene la forma
dy
+ P(x)y = Q(x)ya
dx
(3.17)
donde a es cualquier número real.
Para a = 0 o a = 1 esta ecuación es lineal. Para a 6= 0 y a 6= 1 hacemos el cambio
de variables v = y1−a . Multiplicando la ecuación (3.17) por y−a obtenemos
y−a
dy
+ P(x)y1−a = Q(x)
dx
Derivando v = y1−a con respecto a x, obtenemos por la regla de la cadena
dy
dv
= (1 − a)y−a
dx
dx
que implica
y−a
dy
1 dv
=
dx
1 − a dx
y sustituyendo en (3.18) llegamos a
1 dv
+ P(x )v = Q(x )
1 − a dx
que es una ecuación lineal de primer orden que ya sabemos resolver.
1
Ejemplo 3.24. Resuelva la ecuación y0 + y = xy2
x
Solución. Haciendo el cambio de variables v = y−1 se sigue que
dy
dv
= −y−2
dx
dx
y multiplicando la ecuación inicial por y−2 obtenemos
y−2
dy 1 −1
+ y =x
dx x
(3.18)
3.1 Ecuaciones de primer orden
que implica −
183
dv 1
+ v = x . Multiplicando esta ecuación por −1 resulta
dx x
dv 1
− v = −x
dx x
que es una ecuación lineal de primer orden y tiene solución v = −x2 + Cx. Así, la solución
de la ecuación dada es
1
y=
2
−x + Cx
Ejemplo 3.25. Resuelva la ecuación 2xyy0 = y2 − 2x3 , x > 0 e y(1) = 2.
Solución. La ecuación puede escribirse en la forma
y0 −
1
x2
y=−
2x
y
y multiplicando en ambos lados de la igualdad por y, obtenemos
1 2
y = −x2
(3.19)
2x
dy
dv
Haciendo v = y2 se sigue que
= 2y , y la ecuación (3.19) se convierte en
dx
dx
1 dv 1
dv 1
− v = −x2
que implica
− v = −2x2
2 dx 2x
dx x
y la ecuación inicial resulta lineal de primer orden, al expresarse en la forma
yy0 −
dv
+ P(x )v = Q(x )
dx
donde
P(x ) = −
1
x
y Q(x) = −2x2
R 1
R
1
El factor de integración es e P(x) dx = e − x dx = e− ln |x| = . Este factor nos permite
x
plantear la ecuación
d 1
1
1
2
v = (−2x ) = −2x que equivale a d
v = −2x dx
dx x
x
x
Al integrar conseguimos
1
v = −x2 + C
x
Desde que v = y2 , se tiene
1 2
y = −x2 + C
que equivale a
x
Ahora bien, de acuerdo a la hipótesis se tiene
y2 = −x3 + Cx
4 = 22 = y(1)2 = −(1)3 + (C )(1) = −1 + C
entonces C = 5 y la solución particular resulta y2 = x(5 − x2 ).
184
Capítulo 3 Introducción a las ecuaciones diferenciales-Lord Barrera
Ejemplo 3.26. Suponga que una empresa tiene 100 trabajadores. Sea P(t ) la fracción
de trabajadores en la empresa que tienen gripe, en el tiempo t (medido en días). A
las 9 : 00 a.m. del día lunes (t = 0) solo 1 trabajador estaba con gripe; también a
las 9 : 00 a.m. del día martes (t = 1) habían 3 trabajadores con gripe (incluyendo
el trabajador del día lunes). Suponga que la razón de cambio de P es directamente
proporcional a P (pues P representa la fracción de la población capaz de contagiar
la gripe) y 1 − P (pues 1 − P representa la fracción de la población que aún no está
infectada). ¿Después de cuanto tiempo la mitad de los trabajadores en la empresa se
contagió con la gripe?
Solución. Debido a que la razón de cambio de P es proporcional a P y 1 − P,
tenemos
dP
= kP(1 − P)
dt
para alguna constante de proporcionalidad k. Desde que solo 1 trabajador de los 100
estaba infectado en el tiempo t = 0, entonces P(0) = 1/100. Así que la ecuación
logística se expresa mediante
dP
− kP = −kP2
dt
P(0) =
y
1
100
(3.20)
Multiplicando en ambos lados por P−2 obtenemos:
P−2
dP
− kP−1 = −k
dt
(3.21)
Hacemos v = P−1 . Luego
dv
dP
= −P−2
dt
dt
P−2
⇔
dP
dv
=−
dt
dt
que al reemplazar en la ecuación (3.21) resulta
−
dv
− kv = −k
dt
dv
+ kv = k
dt
⇔
El factor de integración es
µ =e
R
kdt
= ekt
y la solución resulta de
d ekt v = ekt kdx
Z
que implica
Z
kt
d e v = ekt kdt
O sea, ekt v = ekt + C que implica P−1 = 1 + Ce−kt . Por tanto
P(t ) =
1
1 + Ce−kt
3.1 Ecuaciones de primer orden
185
Desde que P(0) = 1/100 = 1/(1 + C ), se tiene C = 99. Luego
P(t ) =
1
1 + 99e−kt
También, de P(1) = 3/100 = 1/(1 + 99e−k ), se tiene k = 1.119. Luego
P(t ) =
1
1 + 99e−1.119t
lo que nos da t ≈ 4.1. Esto significa que tuvieron que pasar aproximadamente 4.1 días,
o sea, aproximadamente a las 11: 00 a. m. del día viernes la mitad de los trabajadores se
contagió con gripe.
186
Capítulo 3 Introducción a las ecuaciones diferenciales-Lord Barrera
Ejercicios
Ejercicio 3.1. En cada caso, resuelva la ecuación de Bernoulli
(a) y(6x2 y2 − x + 1) + 2xy0 = 0
√
(d) x3 y0 = 2y( 3 y + 3x2 )
(b) y0 = y + e−3x y4
4x
(e) y0 = 5y −
y
(g) x2 y0 + 2xy − y3 = 0
(h) y0 = y − y2
(c) 2x3 y0 = y(y2 + 3x2 )
(f) y0 = y − y3
(i) y0 − 2xy = xy2
Ejercicio 3.2. En cada caso, resuelva la ecuación de Bernoulli
1
3
C
(a) 3xy0 − 3xy4 ln x − y = 0
Rpta.
= − x(2 ln x − 1) + , y = 0
3
4
x
y
4x3 y2
dy
1
= 4
Rpta. x4 = − + Cy, y = 0
(b)
dx
y
x y+2
1
1
2
(c) y(6y − x − 1)dx + 2xdy = 0
Rpta.
= (6 + Ce−x ), y = 0
2
x
y
1
1
x2
0
2
(d) (1 + x)(y + y ) − y = 0
Rpta.
=
+ x +C , y = 0
y
1+x 2
(e) xyy0 + y2 − sen x = 0
Rpta. x2 y2 = −2x cos x + 2 sen x + C
(f) (2x3 − y4 )dx + xy3 dy = 0
Rpta. y4 = 8x3 + Cx4
1
(g) y0 − y tg x + y2 cos x = 0
Rpta.
= (x + C ) cos x, y = 0
y
(h) 6y2 dx − x(2x3 + y)dy = 0
Rpta. (y − 2x3 )2 = Cyx6 , y = 0
dr
1
(i) r sen θ −
cos θ = r2 ,
Rpta. r =
dθ
sen θ + C cos θ
dy
1 2
tan3 x
= 2y tan x + y2 tan2 x,
y(0) = 1,
Rpta.
sec x = −
+1
(j)
dx
y
3
y
dy y
1
1
+ ln y = 2 (ln y)2 ,
= 2 +C
(k)
Rpta.
dx x
x ln y 2x
x
dy
y3
(l)
= 2x
,
Rpta. e−2x y2 + 2 ln y + C = 0
dx
e + y2
3.1 Ecuaciones de primer orden
3.1.7
187
Aplicaciones de ecuaciones lineales de primer orden
Matemática en las finanzas
Supongamos que usted deposita k soles por año y le pagan una tasa de interés anual r,
compuesto continuamente. Sea C (t ) el valor del capital en el tiempo t, donde t se mide
en años. Si C0 es el valor del capital en t = 0, entonces el modelo (3.6) se conviete en
dC = rC + k
dt
C (0) = C0
donde la constante k es positiva para depósitos y negativa para saques. Su solución es
k
C (t ) = C0 ert + (ert − 1)
r
Si asumimos que el capital inicial es S0 = 0, la solución se reduce a
C (t ) =
k rt
(e − 1)
r
Ejemplo 3.27. Suponga que S0 = 0 y que r = 7.5 % = 0.075. ¿Qué cantidad se debe
invertir cada año durante 40 años para que el valor de la inversión sea 1 000 000?
Solución. Se debe resolver la ecuación
k 0.075(40)
e
− 1 = 1 000 000
C (40) =
r
Despejando k se tiene:
k = 1 000 000
0.075
e0.075(40) − 1
≈ 1 000 000
Mezclas
Un producto químico se vierte en un recipiente
que contiene una solución líquida con una determinada cantidad de ese producto químico disuelto. La mezcla se mantiene homogénea por
agitación y, a su vez, sale del recipiente a una
velocidad conocida. En este proceso es importante conocer la cantidad de producto químico que
contiene el recipiente en un momento dado.
0.075
≈ 3.93
19.0855
188
Capítulo 3 Introducción a las ecuaciones diferenciales-Lord Barrera
La rapidez con que cambia la cantidad de producto es la diferencia entre la rapidez a la que llega el producto y la rapidez a la que sale. Denotemos por y(t ) la
cantidad de producto químico que contiene el recipiente en el instante t. Entonces
y0 (t ) = (rapidez de llegada) − (rapidez de salida)
Si V (t ) es el volumen total de líquido del recipiente en el instante t, entonces la rapidez
de salida del producto químico, en el instante t, es el producto de la concentración, en el
instante t, por la rapidez con que sale la mezcla, es decir,
(rapidez de salida) = (concentración)(rapidez con que sale la mezcla)
y(t )
=
(rapidez con que sale la mezcla)
V (t )
Igualmente, la rapidez con que llega el producto químico, en el instante t, es el producto
de la concentración, en el instante t, por la rapidez de llegada de la mezcla ingresada, es
decir,
(rapidez de llegada) = (concentración)(rapidez de llegada de la mezcla ingresada)
y(t )
=
(rapidez de llegada de la mezcla ingresada)
V (t )
De acuerdo a lo anterior,
y0 (t ) = (rapidez de llegada) −
y(t )
(rapidez con que sale la mezcla)
V (t )
Si medimos y(t ) en kilogramos, V (t ) en litros, y t en minutos, las unidades en la
ecuación anterior son
kilogramos
kilogramos
kilogramos
litros
litros
=
−
minuto
litros
minuto
litros
minuto
Ejemplo 3.28. En una refinería de petróleo, un tanque de almacenamiento contiene 10 000
litros de gasolina que contiene 100 kilogramos de aditivo disuelto en ella. En preparación
para el invierno, se bombea al tanque gasolina que contiene 0.05 kilogramos de aditivo
por litro a una velocidad de 40 litros por minuto. La solución bien mezclada se bombea a
una velocidad de 45 litros por minuto. ¿Qué cantidad de aditivo habrá en el tanque si han
transcurrido 20 minutos desde que ha comenzado el proceso de bombeo?
Solución. Sabemos que el volumen en litros (de gasolina y aditivo) del tanque, en
cualquier instante t, es
V (t ) = 10 000 + (40t − 45t ) = 10 000 − 5t
3.1 Ecuaciones de primer orden
189
Entonces
(velocidad de salida) =
y(t )
y(t )
9y(t )
(tasa de salida) =
(45) =
10 000 − 5t
2000 − t
V (t )
Por otra parte,
(velocidad de llegada) = (concentración)(tasa de llegada) = (0.05)(40) = 2
La ecuación diferencial que modela el proceso de mezcla es
y0 (t ) = 2 −
9y(t )
2000 − t
Por otra parte, observemos que y(0) = 100. Por tanto, nuestro problema con valor inicial
es
dy
9
+
y = 2,
y(0) = 100
dt
2000 − t
El factor de integración es
µ (t ) = e
R
9dt
2000−t
=
1
(2000 − t )9
y la ecuación a resolver será
y
2dt
=
d
9
(2000 − t )
(2000 − t )9
que al integrar resulta
y
=
(2000 − t )9
Z
Z
y
2dt
1
d
=
=
+C
9
9
(2000 − t )
(2000 − t )
4(2000 − t )8
Por lo tanto,
2000 − t
+ C (2000 − t )9
4
Desde que y = 100 cuando t = 0, se tiene:
y(t ) =
100 =
2000 − 0
+ C (2000 − 0)9
4
Despejando C:
C=−
1
27 × 1025
De donde resulta
2000 − t (2000 − t )9
− 7
4
2 × 1025
Finalmente, cuando t = 20, se tiene
y(t ) =
y(20) =
(2000 − 20) (2000 − 20)9
−
≈ 129.59
4
27 × 1025
190
Capítulo 3 Introducción a las ecuaciones diferenciales-Lord Barrera
Ejemplo 3.29. Un depósito cuyo volumen es de 10 000 galones contiene agua con cloro
al 0.01 %. A partir del instante t = 0, se bombea agua del servicio público con cloro al
0.001 % hacia el depósito, a razón de 5 galones/ minuto. El agua sale del depósito con la
misma razón. ¿Cuál es el porcentaje de cloro en el depósito después de 1 hora? ¿En qué
momento el agua de la alberca tendrá 0.02 % de cloro?
Solución. Sea y(t ) denotando el volumen del cloro en el depósito en el tiempo t.
Entonces
gal
0.001 %
(velocidad de llegada) =
5
= 5 × 10−5 (gal/min)
100 %
min
Por otra parte
(velocidad de salida) =
y(t )
10 000
5
gal
min
= 5 × 10−4 y(t )(gal/min)
y la ecuación para y(t ) se convierte en
dy
+ 5 × 10−4 y = 5 × 10−5
dt
Esta es una ecuación lineal que al resolver conseguimos
−4 t
y(t ) = 0.1 + Ce5×10
= 0.1 + Ce−0.0005t
Usando la condición inicial
y(0) = 10 000(gal) ×
0.01 %
= 1(gal)
100 %
encontramos el valor de C:
1 = 0.1 + Ce−0.0005t
⇔
C = 0.9
Por tanto, y(t ) = 0.1 + 0.9e−0.0005t y la concentración de cloro, digamos c(t ), en el
depósito en el tiempo t es
c(t ) =
y(t )
y(t )
× 100 % =
% = 0.001 + 0.009e−0.0005t %
10 000
100
Después de 1 hora (es decir, t = 60 min),
c(60) = 0.001 + 0.009e−0.0005×60 = 0.001 + 0.009e−0.03 ≈ 0.0097 %
Para resolver el segundo pedido, resolvemos la ecuación
c(t ) = 0.001 + 0.009e−0.0005t = 0.002
⇔
t=
ln(1/9)
≈ 4394.45 min ≈ 73.24 h −0.0005
3.1 Ecuaciones de primer orden
191
Ejemplo 3.30. Desde el instante t = 0 se bombea agua fresca a razón de 3 galones/minuto
en un tanque de 60 galones lleno con una solución salina. La mezcla resultante se desborda con la misma razón en un segundo tanque de 60 galones que inicialmente contenía
sólo agua pura, y de ahí se derrama al piso. Suponiendo una mezcla perfecta en ambos
tanques, ¿en qué momento será más salada el agua del segundo tanque? ¿Y qué tan salada
estará, comparada con la solución original?
Solución. Sea x(t ) denotando la cantidad de la sal en el primer tanque en el tiempo
t y que la masa inicial es x(0) = x0 . La concentración de la sal en el primer tanque es
x(t ) kg
60 gal
Note que el volumen de la salmuera en este tanque permanece constante debido a que la
velocidad de ingreso es igual a la velocidad de salida. Entonces
x(t ) kg
x(t ) kg
gal
(velocidad de salida) =
3
= 5 × 10−4 x(t )(gal/min) =
60 gal
min
20 min
Desde que el líquido que ingresa es agua pura, concluimos que
(velocidad de ingreso) = 0
Por tanto, x(t ) satisface el problema de valor inicial
dx
x
= (velocidad de ingreso) − (velocidad de salida) = − ,
dt
20
x(0) = x0
Esta ecuación es lineal y separable. Resolviendo y usando la condición inicial conseguimos
x(t ) = x0 e−t/20
Sea ahora y(t ) la cantidad de sal en el segundo tanque en el tiempo t. Desde que
inicialmente este tanque contiene solo agua pura, se tiene y(0) = 0. La función y(t ) se
describe mediante
(velocidad de ingreso) = (velocidad de salida) =
x(t )
kg
x0
= e−t/20
20
20
min
Además, desde que el volumen del segundo tanque permanece constante, tenemos
y(t ) kg
y(t ) kg
gal
(velocidad de salida) =
3
=
60 gal
min
20 min
Por tanto, y(t ) satisface el problema de valor inicial
y(t )
dy
x0
= (velocidad de ingreso) − (velocidad de salida) = e−t/20 −
,
dt
20
20
y(0) = 0
192
Capítulo 3 Introducción a las ecuaciones diferenciales-Lord Barrera
o también
dy y(t )
x0
+
= e−t/20 ,
y(0) = 0
dt
20
20
Esta es una ecuación lineal en su forma estandar cuya solución resulta
y(t ) =
x0 −t/20
te
+ Ce−t/20
20
La constante C puede determinarse de la condición inicial
0 = y(0) =
x0
(0)e−(0)/20 + Ce−(0)/20
20
⇔
C=0
Por tanto, y(t ) = (x0 /20)te−t/20 . Para investigar el máximo valor de y(t ), hacemos
y(t )
dy
t x0
x0
= e−t/20 −
= e−t/20 1 −
dt
20
20
20
20
Así que
dy
t
=0
⇔
1−
=0
⇔
t = 20
dt
20
que es el punto de máximo (note que dy/dt > 0 para t < 20 y dy/dt < 0 para t > 20).
En otras palabras, en este momento el agua en el segundo tanque tendrá un sabor más
salado, y comparando concentraciones:
y(20)/60 y(20)
1
=
× 20 × e−20/20 = e−1
=
x0
20
x0 /60
veces tan salada como la salmuera original.
3.1 Ecuaciones de primer orden
193
Ejercicios
Ejercicio 3.1. En un tanque que contiene 1200 litros de agua, inicialmente se disuelven
5 kg de sal. Luego se bombea salmuera al tanque a razón de 20 l/min y la solución
uniformemente mezclada se bombea hacia afuera del tanque a la misma razón. Considrando
que la concentración de la solución que entra es de 0.02 kg/l, determine
(a) La cantidad de sal que hay en el tanque en cualquier instante t ≥ 0.
(b) La cantidad de sal en el tanque después de 30 min.
(c) La cantidad de sal en el tanque después de mucho tiempo.
(d) El tiempo que debe transcurrir para que haya 8 kg de sal en el tanque.
Ejercicio 3.2. Un tanque que tiene capacidad para 2500 litros, contiene inicialmente
1000 litros de agua con 8 kg de sal disuelta. Se bombea salmuera al tanque a razón
de 20 l/min y la solución uniformemente mezclada se bombea hacia afuera a razón de
15 l/min. Considerando que la concentración de la solución que entra es de 0.02 kg/l,
determine
(a) La cantidad de sal que hay en el tanque después de t minutos.
(b) La cantidad de sal que hay en el tanque después de 1 h.
(c) La concentración de sal en el tanque cuando éste se llena.
Ejercicio 3.3. En un tanque que contiene 800 gal de agua, inicialmente se disuelven
10 libras de sal. Luego se bombea salmuera al tanque a razón de 5 gal/min y la solución uniformemente mezclada se bombea hacia afuera el tanque a razón de 6 gal/min.
Considerando que la solución que entra tiene sal con una concentración de 0.1 lib/gal,
determine
(a) La cantidad de sal que hay en el tanque después de t minutos.
(b) La cantidad de sal en el tanque después de media hora.
(c) La concentración de sal en el tanque cuando quedan 100 gal de solución.
Ejercicio 3.4. Un estanque contiene 1000 m3 de agua contaminada. Con el propósito de
descontaminarlo se introduce agua limpia a razón de 2 m3 /min y el agua contaminada
(uniformemente mezclada) se deja salir del estanque a la misma razón.
(a) ¿Qué porcentaje de contaminantes se habrá eliminado después de 1 h?
(b) ¿Qué tiempo debe transcurrir para que los contaminantes disminuyan en un 90 %?
Ejercicio 3.5. Se bombea cerveza con un contenido de 8 % de alcohol por galón a un
tanque que inicialmente contiene 500 gal de cerveza con 6 % de alcohol. La cerveza se
bombea hacia el interior a razón de 5 gal/min en tanto que el líquido mezclado se extrae
del tanque a razón de 6 gal/min
(a) ¿Qué cantidad de alcohol hay en el tanque después de t min?
(b) ¿Cuál es el porcentaje de alcohol en el tanque después de 1 h?
194
Capítulo 3 Introducción a las ecuaciones diferenciales-Lord Barrera
Ejercicio 3.6. Un tanque con 100 gal de agua tiene inicialmente 40 % de una solución
colorante. El colorante al 20 % fluye hacia el tanque a una tasa de 5 gal/min. Simultáneamente, la mezcla sale del tanque a la misma tasa y pasa a otro tanque de 100 gal que se
había llenado inicialmente con agua pura. La mezcla resultante sale del segundo tanque a
una tasa de 5 gal/min. Obtenga una expresión para la cantidad de colorante en el segundo
tanque. ¿Cuál es la concentración de colorante en el segundo tanque después de 30 min?
Ejercicio 3.7. Una salmuera que contiene inicialmente 2 kg de sal por litro, fluye hacia
el interior de un tanque inicialmente lleno con 500 litros de agua que contienen 50 kg
de sal. La salmuera entra en el tanque a una velocidad de 6 l/min. La mezcla, que se
mantiene uniforme por medio de agitación, está saliendo del tanque a razón de 5 l/min
(a) Calcula la concentraciíon de sal en el tanque al cabo de 10 minutos.
(b) Transcurridos 10 minutos, se presenta una fuga en el tanque que ocasiona que salga
de él un litro adicional por minuto. ¿Cuál será la concentración de sal contenida en
el tanque al cabo de 20 minutos?
Ejercicio 3.8. El aire de una habitación de 6 por 4 por 3 metros tiene 3 % de monóxido de carbono. A partir de t = 0, se introduce aire fresco sin monóxido de carbono en la
habitación, a razón de 12 metros cúbicos por minuto. Si el aire de la habitación sale por
una ventila con la misma razón, ¿en qué momento tendrá el aire de la habitación 0.01 %
de monóxido de carbono?
Ejercicio 3.9. Una habitación que contiene 24 m3 de aire se encuentra inicialmente libre
de monóxido de carbono. En el instante t = 0 entra en la habitación humo de cigarrillos
con un contenido del 0.4 % al ritmo de 0.024 m3 /min. La mezcla homogeneizada sale
del local al mismo ritmo. Calcula el tiempo que se tarda en obtener una concentración del
0.012 % de monóxido de carbono en el local. (Rpta: 35.6675 min).
Ejercicio 3.10. Suponga que una sala contenga 1200 litros de aire que inicialmente está
libre de monóxido de carbono. A partir del instante t = 0, el humo de cigarro conteniendo
4 % de monóxido de carbono es introducido en la sala con una rapidez de 0.1 l/min y la
mezcla gaseosa homogénea sale de la sala con la misma rapidez.
(a) Determine la cantidad y para la concentración de monóxido en la sala para t > 0.
(b) La exposición prolongada a concentraciones de monóxido de carbono mayores que
0.012 % es perjudicial para la salud. Determine el intervalo de tiempo después del
cual se alcanza esta concentración.
Ejercicio 3.11. La sangre conduce un medicamento a un órgano a razón de 3 cm3 /seg y
sale con la misma razón. El órgano tiene un volumen líquido de 125 cm3 . Si la concentración del medicamento en la sangre que entra al órgano es de 0.2 g/cm3 , ¿cuál es la
concentración del medicamento en el órgano en el instante t, si inicialmente no había rastros de dicho medicamento? ¿En qué momento llegará la concentración del medicamento
en el órgano a 0.1 g/cm3 ?
3.1 Ecuaciones de primer orden
3.1.8
195
Método de Euler
Ahora pasemos de los métodos analizados en la sección precedente a un método
numérico. Al usar la ecuación diferencial es posible construir un procedimiento simple
para obtener aproximaciones a los valores numéricos de las coordenadas y de puntos sobre
una curva solución.
Método de Euler
Una de las técnicas más simples para aproximar una solución de un problema con valor
inicial de primer orden
y0 = F (x, y),
y ( x0 ) = y0
se denomina método de Euler, o método de las rectas tangentes, en honor al matemático suizo Leonard Euler (1707-1783). En esta técnica usamos el hecho de que la derivada
de una función y(x) en un número x0 determina una linealización de y(x) en x = x0
L(x) = y0 + y0 (x0 )(x − x0 )
Recuerde que la linealización de y(x) en x0
es simplemente una ecuación de la recta tangente a la gráfica de y = y(x) en el punto (x0 , y0 ).
Ahora dejamos que h represente un incremento positivo sobre el eje x, como se muestra
en la figura adjunta. Luego, para x1 = x0 + h
tenemos
L(x1 ) = y0 + y0 (x0 + h−x0 )(x−x0 ) = y0 + hy00
y
Curva
solución
(x1 , y(x1((
Error
(x0 , y0(
(x1 , y1(
Pendiente
= F(x0 , y0(
L(x(
donde y00 = y0 (x0 ) = F (x0 , y0 ).
x1 = x0 + h
x0
x
h
Al hacer y1 = L(x1 ) obtenemos
y1 = y0 + hF (x0 , y0 )
El punto (x1 , y1 ), que se muestra en la figura adjunta como un punto sobre la recta
tangente, es una aproximación al punto (x1 , y(x1 )) sobre la verdadera curva solución; es
decir, L(x1 ) ≈ y(x1 ) o y1 ≈ y(x1 ) es una aproximación de y(x) en x1 . Por supuesto,
la precisión de la aproximación depende bastante del tamaño del incremento h. Por lo
general, este tamaño de paso debe escogerse razonablemente pequeño. Si repetimos el
proceso, usando (x1 , y1 ) y la nueva pendiente F (x1 , y1 ) como el nuevo punto inicial,
entonces obtenemos la aproximación
y(x2 ) = y(x0 + 2h) = y(x1 + h) ≈ y2 = y1 + hF (x0 , y0 )
196
Capítulo 3 Introducción a las ecuaciones diferenciales-Lord Barrera
En general, se concluye que
yn+1 = yn + hF (xn , yn )
(3.22)
donde xn = x0 + nh.
En el siguiente ejemplo se aplica el método de Euler (3.22) a una ecuación diferencial
para la que se conoce una solución explícita; de esta forma es posible comparar los valores
estimados yn con los valores verdaderos y(xn ).
Ejemplo 3.31. Considere el problema con valor inicial y0 = 0.2xy, y(1) = 1. Use el
método de Euler para aproximar y(1.5) usando primero h = 0.1 y luego h = 0.05.
Solución. Si hacemos F (x, y) = 0.2xy, entonces (3.22) se conviete en
yn+1 = yn + h(0.2xn yn )
Luego, para x0 = 1, y0 = 1 y h = 0.1 encontramos
y1 = y0 + (0.1)(0.2x0 y0 ) = 1 + (0.1)[0.2(1)(1)] = 1.02
que se aproxima a y(1.1). Sin embargo, al usar h = 0.05, se requieren dos pasos para
llegar a x = 1.1. A partir de
y1 = 1 + (0.05)[0.2(1)(1)] = 1.01
y2 = 1.01 + (0.05)[0.2(1.05)(1.01)] = 1.020605
tenemos
y1 ≈ y(1.05)
y2 ≈ y(1.1)
e
El resto de los cálculos se llevo a cabo usando software de computadora. Los resultados se
resumen en las tablas de abajo
valor
Error
Error porcentual
xn
yn
verdadero
absoluto
relativo
1.00
1.0000
1.0000
0.0000
0.00
1.10
1.0200
1.0212
0.0012
0.12
1.20
1.0424
1.0450
0.0025
0.24
1.30
1.0675
1.0714
0.0040
0.37
1.40
1.0952
1.1008
0.0055
0.50
1.50
1.1259
1.1331
0.0073
0.64
3.1 Ecuaciones de primer orden
197
valor
Error
Error porcentual
xn
yn
verdadero
absoluto
relativo
1.00
1.0000
1.0000
0.0000
0.00
1.05
1.0100
1.0103
0.0003
0.03
1.10
1.0206
1.0212
0.0006
0.06
1.15
1.0318
1.0328
0.0009
0.09
1.20
1.0437
1.0450
0.0013
0.12
1.25
1.0562
1.0579
0.0016
0.16
1.30
1.0694
1.0714
0.0020
0.19
1.35
1.0833
1.0857
0.0024
0.22
1.40
1.0980
1.1008
0.0028
0.25
1.45
1.1133
1.1166
0.0032
0.29
1.50
1.1295
1.1331
0.0037
0.32
En el ejemplo 3.31, los valores verdaderos en las tablas se calcularon a partir de la
2
solución conocida y = e0.1(x −1) . También el error absoluto se define como
|valor verdadero| − |aproximación|
El error relativo y el error porcentual son, a su vez
error absoluto
|valor verdadero|
y
error absoluto
× 100
|valor verdadero|
Ejemplo 3.32. Use el método de Euler para aproximar y(1.5) para la solución del
problema con valor inicial y0 = 2xy, y(1) = 1.
Solución. Al proceder como en el ejemplo 3.31, obtenemos las tablas que se muestran
en las tablas de abajo:
valor
Error
Error porcentual
xn
yn
verdadero
absoluto
relativo
1.00
1.0000
1.0000
0.0000
0.00
1.10
1.2000
1.2337
0.0337
2.73
1.20
1.4640
1.5527
0.0877
5.71
1.30
1.8154
1.9937
0.1784
8.95
1.40
2.2874
2.6117
0.3244
12.42
1.50
2.9278
3.4904
0.5625
16.12
198
Capítulo 3 Introducción a las ecuaciones diferenciales-Lord Barrera
valor
Error
Error porcentual
xn
yn
verdadero
absoluto
relativo
1.00
1.0000
1.0000
0.0000
0.00
1.05
1.1000
1.1079
0.0079
0.72
1.10
1.2155
1.2337
0.0182
1.47
1.15
1.3492
1.3806
0.0314
2.27
1.20
1.5044
1.5527
0.0483
3.11
1.25
1.6849
1.7551
0.0702
4.00
1.30
1.8955
1.9937
0.0982
4.93
1.35
2.1419
2.2762
0.1343
5.90
1.40
2.4311
2.6117
0.1806
6.92
1.45
2.7714
3.0117
0.2403
7.98
1.50
3.1733
3.4904
0.3171
9.08
3.1 Ecuaciones de primer orden
199
Ejercicios
Ejercicio 3.1. En cada caso, use el método de Euler para obtener una aproximación
de cuatro cifras decimales al valor indicado. Haga manualmente la recursión de (3.22),
usando primero h = 0.1 y luego h = 0.05.
dy
(a)
= 2x − 3y + 1; y(1) = 5; y(1.2)
dx
dy
= x + y2 ; y(0) = 0; y(0.2)
(b)
dx
Ejercicio 3.2. En cada caso, use el método de Euler para obtener una aproximación
de cuatro cifras decimales al valor indicado. Use primero h = 0.1 y luego h = 0.05.
Encuentre una solución explícita para cada problema con valor inicial y luego elabore las
tablas similares a las del ejemplo 3.31.
(a) y0 = y; y(0) = 1; y(1.0)
(b) y0 = 4x − 2y; y(0) = 2; y(0.5)
Ejercicio 3.3. En cada caso, use el método de Euler para obtener una aproximación de
cuatro cifras decimales al valor indicado. Use primero h = 0.1 y luego h = 0.05.
(a) y0 = e−y ; y(0) = 0; y(0.5)
(b) y0 = x2 + y2 ; y(0) = 1; y(0.5)
√
(c) y0 = xy + y; y(0) = 1; y(0.5)
y
(d) y0 = xy2 − ; y(1) = 1; y(1.5)
x
(e) y0 = y − y2 ; y(0) = 0.5; y(0.5)
Ejercicio 3.4. En cada caso, use el método de Euler para hacer una tabla de valores para
la solución aproximada de la ecuación diferencial con un valor inicial específico. Usar n
pasos de tamaño h
(a) y0 = x + y, y(0) = 2, n = 10, h = 0.1
(b) y0 = x + y, y(0) = 2, n = 20, h = 0.05
(c) y0 = 3x − 2y, y(0) = 3, n = 10, h = 0.05
(d) y0 = 0.5x(3 − y), y(0) = 1, n = 5, h = 0.4
(e) y0 = exy , y(0) = 1, n = 10, h = 0.1
(f) y0 = cos x + sen y, y(0) = 5, n = 10, h = 0.1
200
3.1.9
Capítulo 3 Introducción a las ecuaciones diferenciales-Lord Barrera
Ecuaciones exactas
La teoría de ecuaciones diferenciales exactas es importante porque nos permite resolver
ecuaciones diferenciales lineales de una forma más elegante.
En esta sección escribiremos la ecuación diferencial de primer orden
M (x, y)
dy
=−
dx
N (x, y)
en su forma equivalente
M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0
DEFINICIÓN
(3.23)
Ecuación exacta
La ecuación diferencial (3.23) se llama exacta si existe una función escalar f (x, y),
de modo que
∂f
(x, y) = M (x, y)
∂x
∂f
(x, y) = N (x, y)
∂y
y
Si este es el caso, la ecuación f (x, y) = C nos proporciona la solución general de la
ecuación (3.23).
Ejemplo 3.33. La ecuación
2xy dx + (x2 + 1) dy = 0
(3.24)
es exacta, pues si hacemos f (x, y) = (x2 + 1)y entonces
∂f
(x, y) = 2xy
∂x
y
∂f
(x, y) = x2 + 1
∂y
Luego, la solución general de la ecuación (3.24) es
( x2 + 1 ) y = C
Teorema 3.1.1. Sean M (x, y) y N (x, y) definidas en R2 . Entonces
M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0
es exacta si y solo si
∂M
∂N
(x, y) =
(x, y), para todo (x, y) ∈ R2 .
∂y
∂x
3.1 Ecuaciones de primer orden
201
Ejemplo 3.34. Resuelva la ecuación diferencial
(6xy2 + 4x3 y) dx + (6x2 y + x4 + ey ) dy = 0
Solución. Hacemos M (x, y) = 6xy2 + 4x3 y y N (x, y) = 6x2 y + x4 + ey . Ahora
bien,
∂M
∂N
= 12xy + 4x3 =
∂y
∂x
y la ecuación diferencial resulta exacta. Por definición, existe una función f (x, y) tal que
∂f
= 6xy2 + 4x3 y
∂x
y
∂f
= 6x2 y + x4 + ey
∂y
(3.25)
Para hallar f (x, y) integramos la primera ecuación en (3.25) con respecto a x, es decir,
Z
f (x, y) =
(6xy2 + 4x3 y) dx = 3x2 y2 + x4 y + h(y)
(3.26)
y derivando respecto a y tenemos
∂f
= 6x2 y + x4 + h0 (y) = 6x2 y + x4 + ey
∂y
(3.27)
o sea que h0 (y) = ey que implica h(y) = ey . Finalmente, reemplazando este valor en
(3.26) obtenemos f (x, y) = 3x2 y2 + x4 y + ey . Por tanto, la solución general es
3x2 y2 + x4 y + ey = C
202
Capítulo 3 Introducción a las ecuaciones diferenciales-Lord Barrera
Ejercicios
Ejercicio 3.1. Resuelva las siguientes ecuaciones
(a) (ey + 1) cos x dx + ey sen x dy = 0,
Rpta: (ey + 1) sen x = C
(b) (y cos x + sen y + y) dx + (sen x + x cos y + x) dy = 0, Rpta: y sen x + (sen y + y)x =
C
(c) (x2 − ay) dx = (ax − y2 )dy,
Rpta: x3 + y3 − 3axy = C
by2
ax2
Rpta:
(d) (ax + hy + g) dx + (hx + by + f ) dy = 0,
+ (hy + g)x +
+ fy =
2
2
C
(e) (x2 + y2 −a2 )x dx + (x2 −y2 −b2 )y dy = 0, Rpta: x4 + 2x2 y2 −2a2 x2 −y4 −2b2 y2 =
4C
(f) (3x2 + 2xy2 −2x) dx + (3y2 + 2x2 y−2y) dy = 0, Rpta: x3 + x2 y2 −x2 −y2 + y3 = C
(g) (2xy + e2y ) dx + (x2 + 2xe2y − y) dy = 0, Rpta:
(h) y sen x + sen y + 1x dx + x cos y − cos x + 1y dy = 0, Rpta: −y cos x + x sen y +
ln x + ln y = C
(i) (y sec2 x + sec x tan x) dx + (tan x + 2y) dy = 0, Rpta: y tan x + sec x + y2 = C
(j) (ax + hy + g) dx + (hx + by + f ) dy = 0, Rpta: ax2 + 2hxy + by2 + 2gx + 2 f y + C =
0
(k) (x4 − 2xy2 + y4 ) dx − (2x2 y − 4xy3 + sen y) dy = 0, Rpta: x5 /5 − x2 y2 + xy4 +
cos
h y = C
(l) y 1 + 1x + cosy y ] dx + (x + ln x − x sen y) dy = 0, Rpta: y(x + ln x) + x cos y = C
(x3 − 3xy2 ) dx + (y3 − 3x2 y) dy = 0, y(0) = 1, Rpta: x4 − 6x2 y2 + y4 = 1
(1 + 3ex/y ) dx + 3ex/y (1 − x/y) dy = 0, Rpta: x + 3yex/y = C
[1 + ln(xy)] dx + (1 + x/y) dy = 0, Rpta: x ln(xy) + y = C
(2xy cos x2 −2xy + 1) dx + (sen x2 −x2 + 3) dy = 0, Rpta: y sen x2 −yx2 + x + 3y =
C
(r) (yexy ) dx + (xexy + sen y) dy = 0, y(0) = π, Rpta: exy − cos y − 2 = 0
(m)
(n)
(p)
(q)
Ejercicio 3.2. Determine los valores de las constantes A y B que hacen exacta a la
ecuación diferencial
(y3 − y2 sen x − 2x) dx + (Axy2 + By cos x − 3y2 ) dy = 0
Ejercicio 3.3. Obtenga una función M (x, y) de modo tal que sea exacta la ecuación
diferencial
M (x, y) dx + (ex cos y + 2 cos y) dy = 0
Ejercicio 3.4. Obtenga una función N (x, y) de modo tal que sea exacta la ecuación
diferencial
2
x − y2
N (x, y) dy +
−
2x
dx = 0
x2 y
3.1 Ecuaciones de primer orden
Ejercicio 3.5. Resuelva las siguientes PVI
(a) (y2 cos x − 3x2 y − 2x) dx + (2y sen x − x3 + ln y) dy = 0,
y(0) = e
x
y
(b) (y + xe + 2) dx + (x + e ) dy = 0,
y(1) = 0
y
y
2
(c) (e sin x +
y(0) = 0
tan y) dx − (e cos x − x sec y) dy = 0,
x+y
(d)
dx + (y + arctan x) dy = 0,
y(0) = 1
1 + x2
203
204
Capítulo 3 Introducción a las ecuaciones diferenciales-Lord Barrera
Factores de integración
Ejemplo 3.35. Consideremos la ecuación diferencial
y(2x − y + 2) dx + 2(x − y) dy = 0
Observemos que las funciones M (x, y) = y(2x − y + 2) y N (x, y) = 2(x − y) satisfacen
i
∂M
∂ h
=
y(2x − y + 2) = 2x − 2y + 2
∂y
∂y
y
i
∂N
∂ h
=
2(x − y) = 2
∂x
∂x
de modo que
∂M
∂N
(x, y) 6=
(x, y)
∂y
∂x
por lo que la ecuación no es exacta.
Algunas ecuaciones diferenciales no exactas (como se vio en el ejemlo anterior) se
pueden convertir en exactas multiplicándolas por un factor adecuado. En general, para la
ecuación
M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0
(3.28)
se dice que la función no nula µ (x, y) es un factor de integración si la ecuación
µ (x, y)M (x, y) dx + µ (x, y)N (x, y) dy = 0
es exacta.
Veamos a continuación alguno criterios para convertir en exacta algunas ecuaciones:
Criterio 1:
Si (My − Nx )/N es una función solo de x, o constante, entonces un factor de
integración para la ecuación (3.28) es
R My −Nx
µ (x ) = e
N
dx
Ejemplo 3.36. Retomemos la ecuación del ejemplo 3.35
y(2x − y + 2) dx + 2(x − y) dy = 0
y hagamos M = y(2x − y + 2) y N = 2(x − y) . Se tiene
∂M
(x, y) = 2x − 2y + 2
∂y
y
∂N
(x, y) = 2
∂x
3.1 Ecuaciones de primer orden
205
de donde
∂M
∂N
(x, y) −
(x, y)
(2x − 2y + 2) − 2
∂y
∂x
=
=1
N (x, y)
2(x − y)
Así que la ecuación posee un factor de integración que depende solamente de x, el cual es
µ (x ) = e
R
dx
= ex
Note que al multiplicar toda la ecuación por ex , esta se convierte en
(2xy ex − y2 ex + 2y ex ) dx + (2x ex − 2y ex ) dy = 0
donde ahora
∂
∂
(2xy ex − y2 ex + 2y ex ) = 2xex − 2yex + 2ex = (2x ex − 2y ex )
∂y
∂x
y la ecuación resulta exacta. Entonces existe f (x, y) tal que
∂f
= 2xy ex − y2 ex + 2y ex
∂x
∂f
= 2x ex − 2y ex
∂y
y
(3.29)
De la primera de estas expresiones obtenemos que
Z
f (x, y) =
(2xy ex − y2 ex + 2y ex ) dx = 2xyex − y2 ex + h(y)
Derivando respecto de y y usando la segunda igualdad en (3.29) obtenemos
2x ex − 2y ex =
∂f
= 2x ex − 2y ex + h0 (y)
∂y
de donde h0 (y) = 0. Por tanto, la solución general de la ecuación es
2xyex − y2 ex = C
Criterio 2:
Si (Nx − My )/M es una función solo de y, o constante, entonces un factor de
integración para la ecuación (3.28) es
R Nx −My
µ (x ) = e
M
dy
206
Capítulo 3 Introducción a las ecuaciones diferenciales-Lord Barrera
Ejemplo 3.37. Consideremos la ecuación
y(x + y + 1) dx + x(x + 3y + 2) dy = 0
Las funciones M (x, y) = y(x + y + 1) y N (x, y) = x(x + 3y + 2) satisfacen
∂M
(x, y) = x + 2y + 1
∂y
y
∂N
(x, y) = 2x + 3y + 2
∂x
por lo que la ecuación no es exacta. Por otra parte, se tiene
∂N
∂M
(x, y) −
(x, y)
(2x + 3y + 2) − (x + 2y + 1) 1
∂x
∂y
=
=
y
M (x, y)
y(x + y + 1)
y la ecuación poseeR un factor de integración que depende solo de la variable y. Este
1
factor es µ (y) = e y dy = eln |y| = y. Ahora, multiplicamos toda la ecuación inicial por
este factor para obtener
y2 (x + y + 1) dx + xy(x + 3y + 2) dy = 0
Hacemos M (x, y) = y2 (x + y + 1) y N (x, y) = xy(x + 3y + 2), lo que implica
∂M
∂N
(x, y) = 2xy + 3y2 + 2y =
(x, y)
∂y
∂x
y ahora la ecuación es exacta. Entonces, existe f (x, y) tal que
∂f
(x, y) = y2 (x + y + 1)
∂x
y
∂f
(x, y) = xy(x + 3y + 2)
∂y
Integrando la primera de estas expresiones se obtiene
Z
f (x, y) =
y2 (x + y + 1) dx =
x 2 y2
+ y3 x + y2 x + h(y)
2
y derivando respecto a y se sigue que
x2 y + 3xy2 + 2xy =
∂f
(x, y) = x2 y + 3xy2 + 2xy + h0 (y)
∂y
de donde h(y) es constante, y así la solución general de la ecuación es
x 2 y2
+ y3 x + y2 x = C
2
3.1 Ecuaciones de primer orden
207
Criterio 3:
Si la ecuación M dx + N dy = 0 es de la forma
y f1 (xy) dx + x f2 (xy) dy = 0
entonces un factor de integración para la ecuación (3.28) es
µ=
1
Mx − Ny
Ejemplo 3.38. Resuelva y(xy + 2x2 y2 ) dx + x(xy − x2 y2 ) dy = 0
Solución. Dividiendo por xy se tiene
y(1 + 2xy) dx + x(1 − xy) dy = 0
(3.30)
Haciendo f1 (t ) = 1 + 2t y f2 (t ) = 1 −t, se tiene M = y f1 (xy) y N = x f2 (xy). Luego
µ=
1
1
1
=
= 2 2
Mx − Ny xy(1 + 2xy) − xy(1 − xy)
3x y
Al multiplicar en (3.30) por 1/3x2 y2 obtenemos la ecuación diferencial exacta
2
1
1
1
+
−
dx
+
dy = 0
3x2 y 3x
3xy2 3y
Luego
−
1
2
1
+ ln x − ln y = C
3xy 3
3
Criterio 4:
Si la ecuación es de la forma
xa yb (my dx + nx dy) + xr ys ( py dx + qx dy) = 0
(3.31)
donde a, b, r, s, m, n, p, q son constantes. Entonces el factor de integración es
µ = xh yk , siendo h y k constantes tal que la ecuación (3.31) se convierte en exacta
luego de multiplicar por µ
Ejemplo 3.39. Resuelva xy3 (y dx + 2x dy) + (3y dx + 5x dy) = 0
Solución. Reescribimos la ecuación como sigue:
(xy4 + 3y) dx + (2x2 y3 + 5x) dy = 0
208
Capítulo 3 Introducción a las ecuaciones diferenciales-Lord Barrera
y multiplicando en la ecuación anterior por µ = xh yk , obtenemos
(xh+1 y4+k + 3xh yk+1 ) dx + (2x2+h y3+k + 5xh+1 yk ) dy
(3.32)
Ahora bien, esta ecuación es exacta si
(4 + k)xh+1 yk+3 + 3xh (k + 1)yk = My = Nx = 2(h + 2)xh+1 yk+3 + 5(h + 1)xh yh
que se reduce a
(4 + k)xy3 + 3(k + 1) = 2(h + 2)xy3 + 5(h + 1)
Comparando coeficientes en ambos lados
2h − k = 0
y
5h − 3k = −2
que implica h = 2 y k = 4. Reemplazando estos valores en la ecuación (3.32), obtenemos la ecuación exacta
(x3 y8 + 3x2 y5 ) dx + (2x4 y7 + 5x3 y4 ) dy
cuya solución es
x4 y8 + 4y5 x3 = C
Criterio 5:
Si la ecuación M dx + N dy = 0 es homogénea, el factor de integración es
µ=
1
Mx + Ny
Ejemplo 3.40. Resuelva
dy
x3 + y3
=
dx
xy2
Solución. Escribimos
(x3 + y3 )dx − (xy2 )dy = 0
De aquí, M =
x3 + y3
y N=
µ=
−xy2 .
(3.33)
Luego
1
1
1
=
=
Mx + Ny x(x3 + y3 ) − (xy2 )y x4
Multiplicando la ecuación (3.33) por 1/x4 , se obtiene:
y2
1 y3
+ 4 dx − 3 dy = 0
x x
x
cuya solución es
ln x −
2y3
=C
3x3
3.1 Ecuaciones de primer orden
209
Ejercicios
Ejercicio 3.1. Resuelva las siguientes ecuaciones
x2 e3x 2x 3x 2 e3x
e3x
(a) (x + y3 + 1) dx + y2 dy = 0,
Rpta:
− e +
+ ( y3 + 1 )
=C
3
9
9 3
3
(b) (x2 + y2 + 2x) dx + 2y dy = 0, Rpta: (x2 + y2 )ex = C
(c) 2xy
(x2 +y2 + 1)dx = 0,
Rpta: y2 − x2 + 1 = Cx
dy −
3
2
y
x
1
Rpta: 3x4 y + x4 y3 + x6 = C
(d) y + +
dx + (x + xy2 ) dy = 0,
3
2
4
x2
x3
(e) (xy2 − x2 ) dx + (3x2 y2 + x2 y − 2x3 ) dy = 0, Rpta: y2 e6y − e6y = C
2
3
yx4 y3 x4 x6
1 3 1 2
1
2
+
+
=C
(f) y + y + x dx + (1 + y )x dy = 0, Rpta:
3
2
4
4
12
12
1
(g) (x sec2 y − x2 cos y) dy = (tan y − 3x4 ) dx, Rpta: − tan y − x3 + sen y = C
x
Ejercicio 3.2. Resuelva las siguientes ecuaciones
(a) (3x2 y4 + 2xy) dx + (2x3 y3 − x2 ) dy = 0, Rpta: x3 y2 + x2 /y = C
y6
x 2 y4
(b) (xy3 + y) dx + (2x3 y3 − x2 ) dy = 0, Rpta:
+ xy2 + = C
2
6
x3 ex
2
x
x
+ =C
(c) y(x y + e ) dx − e dy = 0, Rpta:
3
y
x2
x
(d) (2x4 y4 ey + 2xy3 + y) dx + (x2 y4 ey − x2 y2 − 3x) dy = 0, Rpta: x2 ey + + 3 = C
y y
(e) (y ln y) dx + (x − ln y) dy = 0, Rpta: 2x ln y = C + (ln y)2
Ejercicio 3.3. Resuelva las siguientes ecuaciones
(a) (y − xy2 ) dx − (x + x2 y) dy = 0, Rpta: ln(x/y) − xy = C
(b) y(1 + xy) dx + x(1 − xy) dy = 0, Rpta: xy ln(y/x) = Cxy − 1
1
1
(c) y(1 + xy) dx + x(1 + xy + x2 y2 ) dy = 0, Rpta:
+ − ln y = C
2
2
xy
2x y
(d) (xy sen xy + cos xy)y dx + (xy sen xy − cos xy)x dy = 0, Rpta: y cos xy = Cx
Ejercicio 3.4. Resuelva las siguientes ecuaciones
(a) (2y dx + 3x dy) + 2xy(3y dx + 4x dy) = 0, Rpta: x2 y3 (1 + 2xy) = C
(b) (y2 + 2yx2 ) dx + (2x3 − xy) dy = 0, Rpta: 4(xy)1/2 − (2/3)(y/x)3/2 = C
(c) (3x + 2y2 )y dx + 2x(2x + 3y2 ) dy = 0, Rpta: x2 y4 (x + y2 ) = C
7
7
(d) (2x2 y2 + y) dx − (x3 y − 3x) dy = 0, Rpta: x10/7 y−5/7 − x−4/7 y−12/7 = C
5
4
Ejercicio 3.5. Resuelva las siguientes ecuaciones
x3
(a) x2 y dx − (x3 + y3 ) dy = 0, Rpta: − 3 + ln y = C
3y
(b) (y3 − 3xy2 ) dx + (2x2 y − xy2 ) dy = 0, Rpta: y/x + 3 ln x − 2 ln y = C
(c) (x2 y − 2xy2 ) dx − (x3 − 3x2 y) dy = 0, Rpta: x/y − 2 ln x + 3 ln y = C
(d) (y3 − 2yx2 ) dx + (2xy2 − x3 ) dy = 0, Rpta: x2 y4 − x4 y2 = C
210
3.1.10
Capítulo 3 Introducción a las ecuaciones diferenciales-Lord Barrera
Proyectos
P ROYECTO 1: (Aplicación a la economía). Designemos por X = X (t ) al producto
nacional, por K = K (t ) al stock del capital, y por L = L(t ) al número de obreros de un
país en el instante t. Supongamos que, para t ≥ 0,
X = AK 1−α Lα
(a)
K̇ = sX
(b)
L = L0 e
λt
(c)
donde A, α, s, L0 y λ son constantes positivas con 0 < α < 1.
(a) Deduzca de esas ecuaciones una única ecuación diferencial que determine K = K (t ).
Respuesta: K̇ = sAL0α eαλt K 1−α .
(b) Encuentre la solución de la ecuación (en el inciso anterior) cuando K (0) = K0 > 0.
1/α
K = K0α + (s/λ )AL0α eαλt − 1
(c) Muestre que K/L tiende a (sA/λ )1/α cuando t → ∞. Calcule el límite de X /L
cuando t → ∞.
(d) Sustituya (c) por (c)0 L = b(t + a) p , donde a, b y p son constantes positivas.
De (a), (b) y (c)0 , deduza una ecuación diferencial para K = K (t ). Resuelva con
K (0) = K0 y estudie el comportamiento de K/L cuando t → ∞.
(En (a) se tiene una función de producción de Cobb-Douglas, (b) dice que la inversión
agregada es proporcional a la producción y (c) implica que el incremento laboral es
exponencial).
P ROYEXTO 2: (Curva de persecución). En
un ejercicio naval, un barco S1 es perseguido
por un submarino S2 (ver figura adjunta). El
barco S1 parte del punto (0, 0) en t = 0 y
se mueve a lo largo de un curso en línea recta
(el eje y) a una rapidez constante v1 . El submarino S2 mantiene al barco S1 en contacto
visual, indicado por la línea punteada L en la
figura mientras que viaja con una rapidez constante v2 a lo largo de la curva C. Suponga que
el barco S2 comienza en el punto (a, 0), a > 0,
en t = 0 y que L es tangente a C.
y
C
S1
L
S2
x
(a) Determine un modelo matemático que describe la curva C. Respuesta: xy0 − y =
−v1t.
(b) Encuentre una solución explícita de la ecuación diferencial. Por conveniencia defina
3.1 Ecuaciones de primer orden
211
r = v1 /v2 .
a
1 x 1+r
1 x 1−r
ar
Respuesta: y =
−
+
2 1+r a
1−r a
1 − r2
(c) Determine si las trayectorias de S1 y S2 alguna vez se interceptarían al considerar
dt
dt ds
los casos r >, r < 1 y r = 1. (Sugerencia:
=
) donde s es la longitud
dx
ds dx
de arco medida a lo largo de C. Respuesta: S2 nunca alcanza a S1 .
P ROYEXTO 3: (Tsunami).
(a) Un modelo simple para la forma de un tsunami o maremoto, está dado por
√
dW
= W 4 − 2W
dx
donde W (x) > 0 es la altura de la ola expresada como una función de su posición respecto a un punto en altamar. Examinando, encuentre totas las soluciones
constantes de la ecuación diferencial. Respuesta: W = 0 y W = 2.
(b) Resuelva la ecuación diferencial del inciso (a). Un SAC puede ser útil para la
integración. Respuesta: W (x) = 2sech2 (x + c).
(c) Use un programa de graficación para obtener las gráficas de las soluciones que
satisfacen la condición inicial W (0) = 2.
P ROYEXTO 4: (Acuacultura). La acuacultura es el arte de cultivar plantas y animales originarios del agua. En el ejemplo aquí considerado, se cultiva un lote de bagres en un
estanque. Nos interesa determinar el mejor momento para recolectar los peces de modo
que el costo (por libra) por el cultivo de los peces se minimice.
Una ecuación diferencial que describa el crecimiento de los peces puede ser
dW
= KW α
(1)
(3.34)
dt
donde W (t ) es el peso de los peces en el instante t, y K y α son constantes de
crecimiento determinadas en forma empirica. La forma funcional de esta relacion es
similar a la de los modelos de crecimiento para otras especies. La modelacion de la tasa de
crecimiento o la tasa de metabolismo mediante un termino W α es una hipótesis comun.
Con frecuencia, los biólogos se refieren a la ecuación 3.34 como la ecuación alométrica
y puede ser apoyada por argumentos plausibles como que la tasa de crecimiento depende
del área de la superficie de las entrañas (que varían como W 2/3 ) o depende del volumen
del animal (que varía como W ).
(a) Resuelva la ecuación (1) cuando α 6= 1.
(b) La solución obtenida en la parte (a) crece sin límite, pero en la práctica hay un peso
máximo límite Wmax para el pez. Este peso límite se puede incluir en la ecuación
diferencial que describe el crecimiento insertando una variable adimensional S
212
Capítulo 3 Introducción a las ecuaciones diferenciales-Lord Barrera
que puede variar entre 0 y 1 e implica un parámetro µ determinado en forma
empírica. A saber, ahora suponemos que
dW
= KW α
(2)
(3.35)
dt
donde S = 1 − (W /Wmax )µ . Cuando µ = 1 − α, la ecuación (2) tiene una
solución con forma cerrada. Resuelva la ecuación cuando K = 10, α = 3/4,
µ = 1/4, Wmax = 81 (onzas) y W (0) = 1 (onza). Las constantes dadas para t se
miden en meses.
(c) La ecuación diferencial que describe el costo total C (t ) en dólares por criar un pez
durante t meses tiene un término constante K1 que especifica el costo mensual
(debido a costos tales como los intereses, la depreciación y la mano de obra) y
una segunda constante K2 que multiplica la tasa de crecimiento (debido a que la
cantidad de alimento consumida por el pez es aproximadamente proporcional a la
tasa de crecimiento). Es decir,
dC
dW
= K1 + K2
(3)
(3.36)
dt
dt
Resuelva la ecuación (3) cuando K1 = 0.4, K2 = 0.1, C (0) = 1.1 (dólares) y
W (t ) queda determinada según la parte (b).
(d) Bosqueje la curva obtenida en la parte (b) que represente el peso del pez en
función del tiempo. A continuación, bosqueje la curva obtenida en la parte (c) que
represente el costo total de criar al pez en función del tiempo.
(e) Para determinar el tiempo óptimo para recolectar el pez, bosqueje el cociente
C (t )/W (t ). Este cociente representa el costo total por onza en función del tiempo.
Cuando este cociente alcanza su mínimo (es decir, cuando el costo total por onza
es mínimo), es el instante óptimo para recolectar los peces. Determine este instante
óptimo redondeado a meses.
P ROYEXTO 5: (Contaminación debido a la radiación). La transferencia de calor
de un cuerpo para un ambiente que es envuelto por radiación, según la ley de StefanBoltzmann, es descrita por la ecuación diferencial
du
= −α (u4 − T 4 )
dt
(a)
donde u(t ) es la temperatura absoluta del cuerpo en el instante t, T es la temperatura
absoluta del ambiente y α es una constante que depende de los parámetros físicos del
cuerpo. Sin embargo, si u fuera mucho mayor que T , entonces las soluciones de la
ecuación (a) pueden ser aproximadas por las soluciones de la ecuación más simple
du
= −αu4
dt
(b)
3.1 Ecuaciones de primer orden
213
Suponga que un cuerpo con temperatura inicial de 2000 ◦ K está inmerso en un ambiente
con una temperatura de 300 ◦ K y que α = 2 × 10−12 ◦ K−3 /s
(a) Determine u(t ) resolviendo la ecuación (b).
(b) Haga una gráfica de u en función de t.
(c) Determine el instante τ para el cual u(τ ) = 600, es decir, el doble de la temperatura ambiente. Hasta ese instante, el error en la utilización de la ecuación (b) para
aproximar las soluciones de la ecuación (a) no es mayos al 1 %.
P ROYECTO 6: (Un modelo logístico para el crecimiento del girasol). Este problema implica un plantío de semillas de girasol y el dibujo de la altura en función del tiempo.
Podría llevar de 3 a 4 meses obtener los datos, por lo que ¡comencemos ya! Si puede
cámbiela por una planta diferente, pero puede tener que ajustar la escala de tiempo y la
escala de altura adecuada.
(a) Usted va a crear una gráfica de la altura del girasol (en cm) contra el tiempo (en
días). Antes de iniciar intuya cómo será esta curva y dibuje la gráfica en la malla.
400
300
altura
200
100
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
días
(b) Ahora plante su girasol. Tome la medida de la altura el primer día que su flor brote y
llámelo el día 0. Después tome una medida al menos una vez a la semana; éste es
el momento para empezar a escribir sus dato
(c) ¿Sus datos de puntos más cercanos parecen crecimiento exponencial o crecimiento
logístico? ¿Por qué?
(d) Si sus datos más cercanos son del crecimiento exponencial, la ecuación para la
altura en términos del tiempo será dH/dt = kH. Si sus datos más cercanos son del
crecimiento logístico, la ecuación de la altura en función del tiempo es dH/dt =
kH (C − H ). ¿Cuál es el significado físico de C? Utilice sus datos para calcular C.
(e) Ahora experimentalmente determine k. Para cada uno de sus valores de t, estime dH/dt usando diferencias de cocientes. Después use el hecho de que k =
dH/dt
para obtener la mejor estimación de k.
H (C − H )
(f) Resuelva su ecuación diferencial. Ahora trace la gráfica de su solución junto con los
datos de los puntos. ¿Llegó a un buen modelo? ¿Cree que k cambiará si planta un
girasol diferente el año que entra?
214
Capítulo 3 Introducción a las ecuaciones diferenciales-Lord Barrera
P ROYEXTO 7: (Diseñando un panel solar).
Usted como ingeniero quiere diseñar un panel
solar que debe concentrar los rayos solares para
dirigirlos a un punto específico. Por simetría, esta
superficie debe tener la forma de una superficie
de revolución obtenida por rotación de una curva
alrededor de un eje. Sin pérdida de generalidad,
suponga que este eje es el eje x y los rayos paralelos a este eje son dirigidos hacia el origen
(ver figura adjunta). Para conseguir esta ecuación
proceda como sigue:
y
curva no conocida
( x , y(
recta
tangente
rayos
del sol
0
x
(a) La ley de reflexión dice que los ángulos γ y δ son iguales. Use este resultado de
la geometría para mostrar que β = 2α.
(b) Como usted sabe derivar, recuerde que dy/dx = tg α. Use esto, junto con el hecho
que y/x = tg β y además la fórmula del ángulo doble, para mostrar que
y
2dy/dx
=
x
1 − (dy/dx)2
(c) Ahora muestre que la curva satisface la ecuación diferencial
p
−x + x2 + y2
dy
=
dx
y
(d) Resuelva la ecuación del inciso anterior
(e) Describa las soluciones e identifique el tipo de panel solar obtenido.
P ROYEXTO 8: (Pesca sustentable). Para un nivel dado de esfuerzo, es razonable
suponer que la razón según el cual se realiza la pesca, depende de la población y; cuanto
más peces existan, más fácil será la pesca. Supongamos entonces que la razón con que
se realiza la pesca es dada por Ey, donde E es una constante positiva, en unidades de
1/tiempo, que mide el esfuerzo total para explorar la especie de peces en consideración.
Para incluir este efecto, la ecuación logística es sustituida por
dy
y
= r 1−
y − Ey
dt
K
(a)
Esta ecuación es conocida por modelo de Schaefer, en honra al biólogo M. B. Schaefer,
que lo aplico a las poblaciones de peces.
(a) Muestre que, si E < r, entonces existen dos puntos de equilibrio, y1 = 0 y y2 =
K (1 − E/r ) > 0.
(b) Muestre que y = y1 es asintóticamente inestable, y que y = y2 es estable.
3.1 Ecuaciones de primer orden
215
(c) Una producción sustentable Y de peces es una razón según el cual se puede pescar
indefinidamente. Esa producción es el producto del esfuerzo E de la población
asintóticamente estable y2 . Encuentre Y en función del esfuerzo E; la gráfica de
esta función es conocida como curva de producción-esfuerzo.
(d) Determine E de modo que se maximice Y y encuentre de esta manera la producción máxima sustentable Ym
P ROYEXTO 9: (Modelo de cosecha constante). Un modelo que describe la población de una pesca en la que se cosecha con una razón constante, está dada por
dP
= kP − h
dt
donde k y h son constantes positivas.
(a) Resuelva la ecuación sujeta a P(0) = P0 .
(b) Describa el comportamiento de la población P(t ) conforme pasa el tiempo en los
tres casos: P0 > h/k, P0 = h/k y 0 < P0 < h/k.
(c) Utilice los resultados del inciso (b) para determinar si la población de peces
desaparecerá en un tiempo finito, es decir, si existe un tiempo T > 0 tal que P(T ) =
0. Si la población desaparecerá, entonces determine en qué tiempo T .
P ROYECTO 10: F ECHAMIENTO CON POTASIO / ARGÓN : El mineral potasio, cuyo
símbolo químico es K, es el octavo elemento más abundante en la corteza terrestre,
constituye alrededor de 2 % del peso de ésta, y uno de sus isótopos naturales, el K − 40
es radiactivo. El decaimiento radiactivo del K − 40 es más complicado que el del carbono
14 porque cada uno de sus átomos decae a través de una o dos reacciones de decaimiento
en una de dos sustancias: el mineral calcio 40 (Ca − 40) o el gas argón 40 (Ar − 40). Se
han desarrollado métodos de fechamiento con estos dos productos de decaimiento. En cada
caso, la edad de una muestra se calcula usando la razón entre dos números: la cantidad del
isótopo padre K − 40 en la muestra y la cantidad del isótopo hijo (Ca − 40 o Ar − 40)
en la muestra que es radiogénico, en otras palabras, la sustancia que se origina a partir del
decaimiento del isótopo padre después de la formación de la roca.
La cantidad de K − 40 en la muestra es fácil de calcular. El K − 40 incluye 1.17 %
de potasio natural existente, y este pequeño porcentaje está distribuido de manera bastante
uniforme, de modo que la masa de K − 40 en la muestra es justo 1.17 % de la masa total
de potasio en la muestra, que puede medirse. Pero por varias razones resulta complicado, y
algunas veces problemático, determinar cuánto de Ca − 40 en una muestra es radiogénico.
En contraste, cuando una roca ígnea se forma debido a actividad volcánica, todo el gas argón
(y otros gases) previamente atrapado en la roca es dispersado por el calor intenso. Cuando
la roca se enfría y solidifica, el gas atrapado dentro de la roca tiene la misma composición
que la atmósfera. Hay tres isótopos estables del argón, y en la atmósfera aparecen en las
abundancias relativas siguientes: 0.063 % Ar −38, 0.337 % Ar −36 y 99.60 % Ar −40.
216
Capítulo 3 Introducción a las ecuaciones diferenciales-Lord Barrera
De éstos, justo uno, el Ar − 36, no es creado radiogénicamente por el decaimiento
de cualquier elemento, de modo que cualquier Ar − 40 que exceda 99.60/(0.337) =
295.5 veces la cantidad de Ar − 36 debe ser radiogénico. Así, la cantidad de Ar − 40
radiogénico en la muestra puede determinarse a partir de las cantidades de Ar − 38
y Ar − 36 en la muestra, que es posible medir. En el supuesto de que tenemos una
muestra de roca para la cual se han determinado la cantidad de K − 40 y la cantidad de
Ar − 40 radiogénico, ¿cómo puede calcularse la edad de la roca? Sean P(t ) la cantidad
de K − 40, A(t ) la cantidad de Ar − 40 radiogénico y C (t ) la cantidad de Ca − 40
radiogénico en la muestra como funciones del tiempo t en años desde la formación de
la roca. Entonces un modelo matemático para el decaimiento de K − 40 es el sistema de
ecuaciones diferenciales lineales de primer orden
dA
dA
dP
= kA P,
= kC P,
= −(kA + kC )P
dt
dt
dt
donde kA = 0.581 × 10−10 y kC = 4.962 × 10−10
(a) Encuentre una fórmula para P(t ). ¿Cuál es la vida media del K − 40?
kA
(b) Demuestre que A(t ) =
P(t )(e(kA +kC )t − 1)
kA + kC
(c) Cuando t → ∞, ¿qué porcentaje del K − 40 originalmente presente en la muestra
decae en Ar − 40? ¿Qué porcentaje decae en Ca − 40?
(d) Demuestre que la edad t de la roca como una función de las cantidades presentes
P(t ) de K − 40 y A(t ) de Ar − 40 radiogénico en la muestra es
A(t ) kA + kC
1
t=
ln
+1
kA + kC
kA
P(t )
(e) Suponga que se descubre que cada gramo de una muestra de roca contiene 8.6 ×
10−7 gramos de Ar − 40 radiogénico y 5.3 × 10−6 gramos de K − 40. ¿Cuál es
la edad de la roca?
P ROYECTO 11: (Contaminación de un lago). Um pequeño lago conteniendo
1 000 000 de galones (cerca de 4 550 000 litros) de agua, inicialmente está libre de
algún producto químico indeseable. Una tubería que conecta con el lago desecha (al lago)
agua conteniendo 0.01 g/galón a razón de 300 galones/hora y el agua también sale del
lago con la misma razón. Suponga que el producto químico esté distribuido uniformemente
en el lago.
(a) Sea Q(t ) la cantidad de produto químico en el lago en el instante t. Escriba un
problema de valor inicial para Q(t ).
(b) Resuelva el problema del inciso (a) para Q(t ). ¿Cuánto producto químico tendrá
el lago al final de 1 año?
(c) Al final de un año, la fuente de producto químico desechada en el lago es retirada; a
partir de ahí, el lago recibe agua pura y la mezcla sale con la misma razón de antes.
Escriba el problema con valor inicial que describe esta nueva situación.
3.1 Ecuaciones de primer orden
217
(d) Resuelva el problema con valor inicial del ítem (c). ¿Qué cantidad de producto
químico todavía permanece en el lago después de 1 año más? (dos años después
del inicio del problema).
(e) ¿Cuánto tiempo llevará para que Q(t ) = 10 g?
(f) Haga una gráfica de Q(t ) en función de t para t hasta 3 años.
P ROYECTO 12: (G OTAS DE LLUVIA CAYENDO ). Suponga que en algún tiempo,
que se puede denotar por t = 0, las gotas de lluvia de radio r0 caen desde el reposo de
una nube y se comienzan a evaporar.
(a) Si se supone que una gota se evapora de tal manera que su forma permanece esférica,
entonces también tiene sentido suponer que la razón a la cual se evapora la gota
de lluvia, esto es, la razón con la cual ésta pierde masa, es proporcional a su área
superficial. Muestre que esta última suposición implica que la razón con la que el
radio r de la gota de lluvia disminuye es una constante. Encuentre r (t ).
(b) Si r0 = 3.48 mm y r = 2.1336 mm, 10 segundos después que la gota cae desde
una nube, determine el tiempo en el que la gota de lluvia se ha evaporado por
completo.
(c) Si la dirección positiva es hacia abajo, construya un modelo matemático para la
velocidad v de la gota de lluvia que cae al tiempo t. Desprecie la resistencia del
aire. (Sugerencia: Cuando la masa m de un cuerpo está cambiando con el tiempo,
d
la segunda ley de Newton es F = (mv), donde F es la fuerza neta que actúa
dt
sobre el cuerpo y mv es su cantidad de movimiento).
(d) Determine v(t ) (del inciso (b)) si la gota de lluvia cae a partir del reposo.
P ROYECTO 13: (P RECIO , OFERTA Y DEMANDA ). Es claro que la demanda de
cualquier artículo (petróleo, ropa o automóviles) depende de su precio (entre otras cosas).
Los artículos con mayor precio son por lo general menos atractivos, a menos que el precio
esté aumentando y los consumidores quieran adquirirlo a un precio bajo por introducción.
Así, para modelar matemáticamente la demanda D(t ) de un producto en el instante t,
una estimación cruda que ignora todos los factores excepto el precio tomaría la forma
D(t ) = d0 − d1 p(t ) + d2 p0 (t )
donde p(t ) es el precio unitario y las constantes di son positivas. Quienes ofrecen el
artículo tratarían naturalmente de capitalizarse con base en artículos con valor creciente,
de modo que un modelo crudo de función de oferta tomaría la forma
S(t ) = s0 + s1 p(t ) + s2 p0 (t )
donde s2
es positiva
Si la demanda excede a la oferta, una estrategia para obtener ganancias indicaría que el
precio debe aumentar; si la oferta excede a la demanda, no habrá más alternativa que reducir
los precios. Se llegará a un equilibrio económico si el precio fuese tal que la oferta equilibre
218
Capítulo 3 Introducción a las ecuaciones diferenciales-Lord Barrera
−s0
exactamente a la demanda: D(t ) = S(t ), p0 (t ) = 0 y p(t ) = peq = dd10 +
s1 . Veamos una
cuestión más interesante: ¿Cómo evoluciona un precio (que no es de equilibrio) p(t )
durante un periodo en que la oferta sigue a la demanda, S(t ) = D(t )?
(a) Iguale D(t ) y S(t ) y resuelva la ecuación diferencial resultante suponiendo que
s2 6= d2 ) para p(t ) en términos de su valor inicial p0 = p(0).
−s1
(b) (Estabilidad de precios). Muestre que si dd21 +
s2 < 0, entonces p(t ) tiende al precio de equilibrio cuando t → ∞. ¿Que condiciones sobre las constantes garantizan
que el precio de equilibrio sea positivo (y por tanto realista)?
−s1
(c) (Inestabilidad de precios). Muestre que si dd21 +
s2 > 0 y p0 > peq , entonces p(t )
crece sin límite cuando t → ∞.
(d) Si el precio unitario de un artículo p(t ) es 5 dólares en t = 0 (meses) y la oferta
y la demanda por miles de unidades se modelan como
S(t ) = 20 + p(t ) + 6p0 (t )
D(t ) = 30 − 2p(t ) + 4p0 (t )
¿cuál será el precio unitario después de 10 meses? ¿Hay estabilidad o inestabilidad
de los precios al aumentar t?
P ROYECTO 14: (Entropía de un gas ideal). Sea un gas ideal monoatómico cuya
3
energía interna está dada por: U (T ) = nRT , donde n es el número de moles, T es la
2
temperatura y R es la constante de los gases. Si una cierta cantidad de calor dQ fuera
proporcionada al gas, su energía interna sufriría una alteración dU y el gas realizaría
un trabajo dW . De acuerdo con la primera ley de termodinámica (conservación de
energía): dQ = dU + dW . Recordando que la ecuación de estado de gas ideal se escribe
P(V , T ) = nRT /V y que dW = pdV , donde V es el volumen del gas, entonces
3
nRT
dQ = nR dT +
dV
2
V
(3.37)
¿Será dQ una diferencial exacta?
P ROYECTO 15: (Contaminación en el subsuelo). Cuando un solvente clorado tal
como el tricloroetileno se derrama sobre la tierra, se va introduciendo en el subsuelo que
progresivamente la contamina. Este solvente es más denso que el agua pero ligeramente
soluble, este permanece mas o menos estable en el agua subterránea que fluye, formando
una fuente tóxica. A medida que el agua subterránea fluye a través de la región contaminada
va recogiendo partículas tóxicas y las traslada en su recorrido. El diagrama en la figura de
abajo proporciona una representación visual de este evento de contaminación. Asumiremos
que la región contaminada es un cubo con sección transversal de área A, y la velocidad
del agua en el subsuelo es V (llamada la velocidad de Darcy); M (t ) es la masa de la
región contaminada y C (t ) es la concentración (masa por volumen) del contaminante
3.1 Ecuaciones de primer orden
219
contenido en la región. La razón de cambio de la masa M es dada por
dM
= −AVC
dt
La concentración C claramente depende de M. Una relación constitutiva es determinada
experimentalmente, y una suposición común es
C
=
c0
M
M0
β
,
β >0
donde m0 es la masa inicial del contaminante en la fuente y c0 es la concentración inicial
en la región. En resumen, obtenemos una ecuación que modela la disolución de la masa en
la región, causada por el agua que fluye en el subsuelo.
dM
= −αM β
dt
Finalmente, la degradación debida a procesos bióticos y abióticos causan decaimiento para
tener
dM
= −αM β − rM
(3.38)
dt
β
(a) Muestre que α = VAc0 /m0 .
(b) Resuelva la ecuación (3.38) con M0 = m0 para los casos (i) β = 1, (ii) β 6= 1.
(c) Sea 0 < β < 1. ¿La fuente de contaminación tiene una vida útil limitada? (Considere
ambos casos, r = 0 y r > 0)
(d) Tome m0 = 1620 kg, c0 = 1000 mg/L, A = 30 m2 , V = 20 m/año, y r = 0.
Haga una gráfica de M (t ) en los casos β = 2 y β = 0.5 para 0 ≤ t ≤ 100 años.
220
Capítulo 3 Introducción a las ecuaciones diferenciales-Lord Barrera
P ROYECTO 15: (Contaminación de los grandes lagos). Durante los años 60, la
contaminación de los Grandes Lagos se convirtió en la principal preocupación, debido a su
importancia para el abastecimiento del agua potable y la pesca. Incluso si la contaminación
que ingresaba a los lagos se reducía drásticamente, aún tomaba tiempo para que los
contaminantes existentes fluyeran fuera de los lagos. La gran pregunta, entonces, es
¿cuánto tiempo les tomaba a los lagos limpiarse por este proceso natural? Intentaremos
responder a esta pregunta utilizando un modelo matemático
Comenzaremos con las siguientes suposiciones:
(a) La precipitación y la evaporación son iguales, así que para que la cantidad de agua
en cada lago se mantenga constante, el flujo hacia el lago es igual al flujo de salida.
(b) La velocidad con la que el agua entra y sale de cada lago se mantiene constante a lo
largo del tiempo.
(c) La contaminación no se elimina del lago, excepto al fluir.
(d) La contaminación que ingresa al lago se dispersa de manera uniforme en todo el
lago para que, de esta manera, la concentración de la contaminación en el lago se
mantenga constante.
(e) Los contaminantes fluyen libremente fuera del lago.
Algunas de estas suposiciones son cuestionables y las simplificaciones excesivas. Por
ejemplo, los contaminantes pueden estar más concentrados en algunas partes del lago que
otros, violando la suposición (d). El DDT y el mercurio tienden a retenerse en el lago,
violando la suposición (e). Sin embargo, estas suposiciones nos permiten construir un
modelo simple con al menos algo de validez. Se necesitan modelos más sofisticados para
capturar todas las complicaciones de la vida real.
Usaremos las siguientes variables en el modelo:
V = volumen del lago
PL (t ) = concentración de la contaminación en el lago en el tiempo t
PE (t ) = concentración de la contaminación en el flujo de entrada al lago en el tiempo t
r = razón del flujo
r = tiempo en años
De acuerdo a las hipótesis anteriores, el cambio en la contaminación sobre un corto
intervalo de tiempo ∆t es aproximadamente
V · ∆PL = [PE (t ) − PL (t )](r · ∆t )
donde ∆PL es la variación en la concentración de la contaminación. Dividiendo esta
ecuación por ∆t y por V tomando el límite cuando ∆t → 0, conseguimos la ecuación
diferencial
[PE (t ) − PL (t )]r
dPL
=
dt
V
3.1 Ecuaciones de primer orden
221
Desde que V y r son constantes, sustituimos r/V con k, por tanto la ecuación puede
expresarse como una ecuación lineal de primer orden.
dPL
+ kPL (t ) = kPE (t )
dt
Resolviendo esta ecuación obtenemos
Z t
−kt
kx
PL (t ) = e
PL (0) + k PE (x)e dx
(1)
0
La figura adjunta muestra los valores de 1/k
para cada lago (excepto Hurón) medido en años.
Los números en la figura pueden ser usados en
la ecuación (1) para determinar el efecto de
diversos escenarios. El lago de Ontario no se
incluye en este análisis debido a que la mayor
parte delflujo que ingresa proviene del lago Erie,
asi que cualquier proyecto individual para limpiar
el lago Ontario no tendría éxito.
No es sorprendente que un alto inmediato a toda la contaminación que ingresa a un
lago limpiará el lago más rápido. Haciendo PE (t ) = 0 para todo t ≥ 0, la ecuación (1)
se reduce a
PL (t ) = e−kt PL (0)
y despejando t de esta última ecuación resulta
PL (0)
1
t = ln
k
PL (t )
(2)
Podemos usar la ecuación (2) para calcular el tiempo necesario para reducir la contaminación un determinado porcentaje de su nivel actual. Por ejemplo, de la figura, 1/k = 189
para el lago superior. Así que, al reducir la contaminación al 50 % de su valor actual,
obtenemos
PL (0)
PL (t )
= 0.5
o
=2
PL (0)
PL (t )
de donde
t = 189 ln 2 ≈ 131
Los valores en la siguiente tabla se determinan de esta manera. Observe el largo tiempo
requerido para limpiar el Lago Superior; debido a estos valores grandes de V y valores pequeños de r, resultan valores grandes de 1/k. Afortunadamente, está menos
contaminado en la actualidad que algunos de los otros lagos.
A ÑOS DE REDUCCIÓN DE LA CONTAMINACIÓN AL PORCENTAJE DADO
222
Capítulo 3 Introducción a las ecuaciones diferenciales-Lord Barrera
Lago
50 %
20 %
10 %
5%
Erie
2
4
6
8
Michigan
21
50
71
92
Superior
131
304
435
566
Como mencionamos anteriormente, algunas de las suposiciones en este modelo son
cuestionables. Para los contaminantes como el DDT que se retienen en el lago, el tiempo
de limpieza real puede ser mucho más prolongado. Es de esperar que partes del lago donde
entra la contaminación estén más contaminadas que las áreas alejadas de la fuente de
contaminación. Sin embargo, este modelo proporciona una primera estimación del tiempo
necesario para limpiar los lagos
Ejercicio 1. Calcule el número de años para reducir la contaminación en el lago Erie
en cada nivel.
Ejercicio 2. Repetir el ejercicio 1 para el lago Michigan.
Ejercicio 3. Repetir el ejercicio 1 para el lago Superior.
Ejercicio 4. En este ejercicio afirmamos que la ecuación (1) es solución de la
ecuación diferencial
dPL
+ kPL (t ) = kPE (t )
dt
donde t mide el tiempo a partir del presente. La constante k = r/V mide qué tan rápido
se reemplaza el agua en el lago a través de la entrada y salida correspondiente. La constante
PL (0) es el nivel de contaminación actual.
(a) Muestre que la ecuación (1) define una solución de la ecuación diferencial, multiplicando ambos lados de la ecuación (1) por ekt y luego derivando en ambos lados
con respecto a t. Recuerde del teorema fundamental del cálculo que
d
dt
Z
t
f (x) dx = f (t )
a
(b) Cuando usted sustituye t = 0 en el lado derecho de la ecuación (1) conseguirá
PL (0). ¿Qué le pasó a la integral? ¿qué sucedió con el factor e−kt ?
(c) En el mapa se indica un valor de 30.8 para el lago Michigan. ¿A qué valor de k
corresponde esto? ¿Qué porcentaje del agua en el Lago Michigan se reemplaza cada
año? ¿Qué lago tiene la mayor renovación anual de agua? por entrada?
Ejercicio 5. Supongamos que en lugar de asumir que toda la entrada de contaminación
cesa de inmediato, modelamos PE (t ) por un decaimiento exponencial de la forma a · e−pt
donde p es una constante que nos dice qué tan rápido se está limpiando la entrada de
contaminación. Para simplificar las cosas, también asumiremos que inicialmente el flujo
de entrada y el lago tienen misma concentración de contaminación, así que a = PL (0). A
3.1 Ecuaciones de primer orden
223
continuación sustituimos PL (0)e−px en lugar de PE (x) en la ecuación (1), y evaluamos
la integral como una función de t.
Ejercicio 6. Cuando usted simplifique el lado derecho de la ecuación (1) usando su
nueva expresión para la integral, y luego que factorice y divida por PL (0), obtendrá la
siguiente expresión
PL (t )
1 −kp
=
ke
− pe−kt
k− p
PL (0)
(a) Suponga que para el lago Michigan la constante p es igual a 0.02. Realice una
gráfica de PL (t )/PL (0) para estimar cuánto tiempo llevará reducir la contaminación
al 50 % de su valor actual. ¿Cómo se compara esto con el tiempo, suponiendo un
flujo de entrada libre de contaminación?
(b) Si la constante p tiene el valor 0 para el lago Michigan, ¿Qué te dice eso sobre el
nivel de contaminación en la entrada? En este caso, ¿qué sucede con la expresión
PL (t )/PL (0) con respecto al tiempo?
Ejercicio 7. En el sitio web Wolframalpha.com usted puede digitar y0 (t ) = ( f (t ) −
y) ∗ k, y(0) = a para resolver el problema con valor inicial en esta aplicación extendida,
donde se usa a y(t ) para representar a PL (t ), f (t ) representa a PE (t ), y a representa
a PL (0). Verifique esto y compruebe que la solución sea equivalente a la ecuación (1).
Ejercicio 8. Repita el ejercicio 7, pero en lugar de f (t ) coloque a ∗ e ∧ (−p ∗ t ),
que es la forma de PL (t ) usada en los ejercicios 5 y 6. Verifique que la solución es
equivalente a la solución dada en el ejercicio 6.
Ejercicio 9. Repita el ejercicio 8 probando otras funciones de t en lugar de f (t ),
tal como t 3 . Determine las funciones que dan una respuesta reconocible, y verifique esa
respuesta usando la ecuación (1).
224
3.2
Capítulo 3 Introducción a las ecuaciones diferenciales-Lord Barrera
Ecuaciones de segundo orden
En esta sección ampliaremos nuestro estudio a las ecuaciones diferenciales de segundo
orden. Las ecuaciones diferenciales de segundo orden se presentan en muchas aplicaciones
de las ciencias y la ingeniería. Por ejemplo, se aplican en el estudio de resortes y circuitos eléctricos. El estudiante aprenderá en este capítulo cómo resolver estas ecuaciones
utilizando varios métodos.
DEFINICIÓN
Ecuación de segundo orden
Una ecuación diferencial lineal de segundo orden es de la forma
P(x )
d2 y
dy
+ Q(x ) + R(x )y = G(x )
2
dx
dx
(3.39)
donde P, Q, R y G son funciones continuas. Si G(x) = 0, la ecuación diferencial (3.39) es llamada homogénea; de otro modo, diremos que la ecuación es
no-homogénea. Si P, Q y R son constantes, diremos que la ecuación tiene coeficientes constantes.
Ejemplo 3.41. Las siguientes ecuaciones son de segundo orden
(a) y00 − y0 + 5y = x2
(b)
d2 y
dy
− 3x + y = ex
2
dx
dx
(c)
d2 y
+ y = cos x
dx2
En toda esta sección estudiaremos ecuaciones de segundo orden con coeficientes
constantes.
3.2.1
Ecuaciones homogéneas de segundo orden
A continuación estudiaremos la ecuación (3.39) para el caso G(x) = 0. Así que una
ecuación lineal homogénea tiene la forma
a
d2 y
dy
+ b + cy = 0
dx
dx2
donde
a 6= 0
(3.40)
Ejemplo 3.42. Las siguientes ecuaciones son homogéneas
(a) y00 − 3y0 + 5y = 0
(b)
d2 y
dy
−3 +y = 0
2
dx
dx
(c)
d2 y
+y = 0
dx2
3.2 Ecuaciones de segundo orden
225
¿Cómo resolver una ecuación homogénea?
Consideremos la ecuación lineal homogénea de segundo orden
ay00 + by0 + cy = 0
a 6= 0
(3.41)
Para resolver esta ecuación debemos considerar
ar2 + br + c = 0
que es llamada ecuación característica de (3.41). Note que esta es una ecuación algebraica cuyas raíces pueden ser halladas, algunas veces, mediante factorización o usando la
fórmula cuadrática
p
p
−b + b2 − 4ac
−b − b2 − 4ac
r1 =
y
r2 =
2a
2a
A continuación distinguiremos tres casos de acuerdo a los signos del discriminante
∆ = b2 − 4ac
Primer caso: b2 − 4ac > 0.
En este caso, las raíces r1 y r2 de la ecuación característica son reales y distintas; así
la solución general de (3.41) resulta
y(x) = c1 er1 x + c2 er2 x
Ejemplo 3.43. Resuelva la ecuación diferencial
y00 − 5y0 − 14y = 0
Solución. La ecuación característica es
(r − 7)(r + 2) = r2 − 5r − 14 = 0
de donde r = 7 y r = −2. Por tanto, y(x) = c1 e−2x + c2 e7x .
Ejemplo 3.44. Resuelva la ecuación diferencial para y, donde y satisface las condiciones
y00 − 2y0 − 15y = 0
y(0) = 1
y0 (0) = −1
Solución. La ecuación característica es
(r − 5)(r + 3) = r2 − 2r − 15 = 0
226
Capítulo 3 Introducción a las ecuaciones diferenciales-Lord Barrera
de donde r = 5 o r = −3. Luego, la solución general es
y(x) = c1 e−3x + c2 e5x
Utilicemos ahora las condiciones y(0) = 1 e y0 (0) = −1
y = c1 e−3x + c2 e5x
y0 = −3c1 e−3x + 5c2 e5x
y ( 0 ) = c1 + c2 = 1
y0 (0) = −3c1 + 5c2 = −1
Resolviendo las dos ecuaciones resulta
c1 =
3
4
y
c2 =
1
4
Entonces, la solución particular es
y(x ) =
3 −3x 1 5x
e + e
4
4
Segundo caso: b2 − 4ac = 0.
En este caso, r1 = r2 , es decir, las raíces de la ecuación característica son reales e
iguales. Sea r = r1 = r2 , entonces la solución general de (3.41) resulta
y(x) = c1 erx + c2 xerx
Ejemplo 3.45. Resuelva la ecuación diferencial
y00 − 6y0 + 9y = 0
Solución. La ecuación característica es
(r − 3)2 = r2 − 6r + 9 = 0
de donde r = 3. Por tanto, y(x) = c1 e3x + c2 xe3x .
Tercer caso: b2 − 4ac < 0.
En este caso, las raíces
p son complejas, digamos r1 = p − iq y r2 = p + iq, donde
p = −b/2a y q = 4ac − b2 /2a. Por tanto, la solución general tiene la forma
y(x) = e px (c1 cos qx + c2 sen qx)
3.2 Ecuaciones de segundo orden
227
Ejemplo 3.46. Resuelva la ecuación
y00 − 4y0 + 5y = 0
Solución. La ecuación característica es
¯
r2 − 4r + 5 = 0
Resolviendo obtenemos
−(−4) ±
r=
q
(−4)2 − 4(1)(5)
2(1)
√
4 ± −4
=
2
y las raíces resultan r = 2 + i y r = 2 − i. Por tanto, p = 2 y q = 1, luego, la solución
general es
y(x) = e2x (c1 cos x + c2 sen x)
Ejemplo 3.47. Sabiendo que el problema de valor inicial que describe un sistema masaresorte está dado por
y00 + 2y = 0
y0 (0) = 1
y(0) = 0
Encuentre la solución general de la ecuación diferencial y resuelva el problema de valor
inicial.
√
Solución. La ecuación característica es r2 + 2 = 0, y tiene como raíces r = ± 2 i.
Luego, la solución de la ecuación diferencial es
√
√
y(t ) = c1 cos( 2t ) + c2 sen( 2t )
Para resolver el problema de valor inicial precisamos calcular la derivada de la solución
general
√
√
√
√
y0 (t ) = −c1 2 sen( 2t ) + c2 2 cos( 2t )
y reemplazando y(0) = 0 e y0 (0) = 1 obtenemos
c1 = 0
La solución resulta
y
√
2
c2 =
2
√
√
2
y(t ) =
sen( 2t )
2
228
Capítulo 3 Introducción a las ecuaciones diferenciales-Lord Barrera
Ejercicios
Ejercicio 3.1. En cada caso, determine la solución general de la ecuación diferencial dada:
(a) 3y00 − y0 = 0
(b) 2y00 + 5y0 = 0
(c)
y00 − 16y = 0
(d) y00 − 8y = 0
(e) y00 + 9y = 0
(f) 4y00 + y = 0
(g) y00 − 3y0 + 2y = 0
(h) y00 − y0 − 6y = 0
(i) y00 + 3y0 − 5y = 0
(j) y00 − 4y0 + 5y = 0
(k) 8y00 + 2y0 − y = 0
(l) y00 − 4y0 + 5y = 0
Ejercicio 3.2. En cada caso, resuelva el problema de valores iniciales
(a) y00 + 16y = 0, y(0) = 2, y0 (0) = −2
(b) y00 − y = 0, y(0) = y0 (0) = 1
(c) y00 + 6y0 + 5y = 0, y(0) = 0, y0 (0) = 3
(d) y00 − 8y0 + 17y = 0, y(0) = 4, y0 (0) = −1
(e) 2y00 − 2y0 + y = 0, y(0) = −1, y0 (0) = 0
Proyectos
Ejercicio 3.1. (Pozo a través de la Tierra). Suponga que se perfora un pozo a través de la Tierra
de manera que éste pasa por el centro de la misma.
Se deja caer un cuerpo con masa m dentro del
pozo. Considere que la distancia desde el centro
de la Tierra a la masa en el tiempo t se denota
por medio de r. (Vea la figura adjunta).
superficie
(a) Deje que M denote la masa de la Tierra y Mr la masa de la porción de la Tierra dentro de una esfera de radio r. La fuerza gravitacional sobre m es F = −kMr m/r2 ,
donde el signo menos indica que la fuerza es de atracción. Use este hecho para
mostrar que
mM
F = −k 3 r
R
(Sugerencia: Suponga que la Tierra es homogénea, esto es, que tiene una densidad
4
constante ρ. Ahora bien, M = ρ πR3 , así que M/Mr = R3 /r3 y Mr = r3 M/R3 .
3
Ahora sustituya en F = −kMr m/r2 ).
(b) Utilice la segunda ley de Newton F = ma y el resultado del inciso (a) para deducir
la ecuación diferencial
d2 r
F = 2 + ω 2r = 0
dt
2
3
donde ω = kM/R = g/R
(c) Resuelva la ecuación diferencial del inciso (b) si la masa m se suelta desde el
reposo en la superficie de la Tierra. Interprete su respuesta utilizando R = 3959 km.
3.2 Ecuaciones de segundo orden
229
Ejercicio 3.2. La figura muestra un péndulo de
longitud L y ángulo θ a partir de la vertical del
péndulo. Se puede mostrar que θ , como función
del tiempo, satisface la ecuación diferencial no
lineal
d2 θ g
+ sen θ = 0
L
dt 2
donde g es la aceleración de la gravedad. Para
valores pequeños de θ , podemos usar la aproximación lineal sen θ ≈ θ , y entonces la ecuación
diferencial se convierte en lineal.
L
(a) Determine la ecuación del movimiento de un péndulo con longitud 1 m si inicialmente θ = 0.2 rad y la velocidad angular es dθ /dt = 1 rad/s. Respuesta:
√
√
√
θ (t ) = 0.2 cos( 9.8t ) + (1/ 9.8) sen( 9.8t ).
(b) ¿Cuál es el ángulo máximo a partir de la vertical? Respuesta: aproximadamente
0.377 radianes.
(c) ¿Cuál es el periodo del péndulo? (esto es, el tiempo necesario para una oscilación
completa) Respuesta: aproximadamente 2.007 segundos.
(d) ¿Cuándo el péndulo estará por primera vez en la vertical? Respuesta: aproximadamente 0.825 segundos.
(e) ¿Cuál es la velocidad angular del péndulo cuando ella está en la vertical? Respuesta:
θ 0 (0.825) ≈ −1.180 rad/s.
Ejercicio 3.3. (Ingeniería de sistemas). Considere el problema con valores iniciales
d2 θ
+ sen θ = 0,
dt 2
θ (0) =
π
,
12
θ 0 (0) = −
O
1
3
mg cos
l
para un péndulo no lineal. Puesto que no se puede
mg sen
resolver la ecuación diferencial, no es posible
encontrar una solución explícita de este problema.
P
Pero suponga que se desea determinar la primer
W= mg
t1 > 0 para la cual el péndulo de la figura adjunta,
comenzando desde su posición inicial a la derecha, alcanza la posición OP, es decir, la
primera raíz positiva de θ (t ) = 0. En este problema y el siguiente, se examinan varias
formas de cómo proceder
(a) Aproxime t1 resolviendo el problema lineal
d2 θ
+ θ = 0,
dt 2
θ (0) =
π
,
12
θ 0 (0) = −
1
3
230
Capítulo 3 Introducción a las ecuaciones diferenciales-Lord Barrera
(b) Use series de Taylor para encontrar los primeros cuatro términos no nulos de una
solución en serie de Taylor θ (t ) centrada en 0 para el problema con valores
iniciales no lineal. Dé los valores exactos de los coeficientes.
(c) Use los dos primeros términos de la serie de Taylor del inciso (b) para aproximar
t1 .
(d) Emplee los tres primeros términos de la serie de Taylor del inciso (b) para aproximar
t1 .
(e) Utilice una aplicación de un SAC (o una calculadora gráfica) para encontrar raíces y
los primeros cuatro términos de la serie de Taylor del inciso (b) para aproximar t1 .
(f) En esta parte del problema se proporcionan las instrucciones de Mathematica que
permiten aproximar la raíz t1 . El procedimiento se modifica con facilidad por lo
que se puede aproximar cualquier raíz de θ (t ) = 0. (Si no tiene Mathematica,
adapte el procedimiento mediante la sintaxis correspondiente para el SAC que tiene.)
Reproduzca con precisión y luego, a su vez, ejecute cada línea de la secuencia dada
de instrucciones.
sol = NDSolve[y”[t]=0+Sin y[t]==0,
y(0)==Pi/12,
y’(0)==-1/3,
y’,t,0,5]//Flaten
= Solución=y[t]/. sol
= Clear[y]
= y[t]:=Evaluate[Solución]
= y[t]
= gr1=Plot[y[t],t,0,5]
= root=FindRoot[y(t)==0,t,1]
(g) Modifique de manera apropiada la sintaxis del inciso (f) y determine las siguientes
dos raíces positivas de θ (t ) = 0.
3.2 Ecuaciones de segundo orden
3.2.2
231
Ecuaciones no homogéneas de segundo orden
En esta oportunidad aprenderemos a resolver ecuaciones diferenciales de la forma
a
d2 y
dy
+ b + cy = G(x)
2
dx
dx
(3.42)
Es decir, ecuaciones de segundo orden no homogéneas y con coeficientes constantes.
La ecuación homogénea
d2 y
dy
a 2 + b + cy = 0
(3.43)
dx
dx
se llama ecuación complementaria y juega un papel importante en la solución de la
ecuación (3.42)
La solución general de la ecuación no homogénea (3.42) se puede escribir como
y ( x ) = y p ( x ) + yc ( x )
donde y p es una solución particular de la ecuación (3.42) e yc es la solución
complementaria de (3.43).
Ya sabemos resolver la ecuación complementaria, ahora nos ocuparemos de hallar la
solución particular y p . Existen dos métodos para hallar una solución particular: el método
de los coeficientes indeterminados y el método de variación de parámetros.
Método de los coeficientes indeterminados
Con este método se resuelve la ecuación (3.42)
a
d2 y
dy
+ b + cy = G(x)
2
dx
dx
según sea la forma de G(x).
Primer caso. G(x) = a0 + a1 x + . . . + an xn
En este caso, la solución particular tiene la forma
y p (x) = xs (A0 + A1 x + . . . + An xn )
donde r = 0 es raíz de la ecuación característica, de multiplicidad s.
232
Capítulo 3 Introducción a las ecuaciones diferenciales-Lord Barrera
Ejemplo 3.48. Resuelva la ecuación
y00 + y0 − 2y = x2
Solución. La ecuación característica de la parte homogénea es
r2 + r − 2 = (r − 1)(r + 2) = 0
y las raíces son r = 1 y r = −2. De este modo, la solución general de la ecuación
complementaria es
yc (x) = c1 ex + c2 e−2x
Puesto que G(x) = x2 es un polinomio de grado 2, y r = 0 no es raíz de la ecuación
característica, debemos hallar una solución particular de la forma
y p (x) = A0 + A1 x + A2 x2
Por lo tanto,
y0p (x) = A1 + 2A2 x
y
y00p (x) = 2A2
Así que al sustituir en la ecuación diferencial, se obtiene
2A2 + (2A2 x + A1 ) − 2(A0 + A1 x + A2 x2 ) = x2
o bien
−2A2 x2 + (2A2 − 2A1 )x + (2A2 + A1 − 2A0 ) = x2
Los polinomios son iguales cuando sus coeficientes lo son; así
−2A2 = 1
2A2 − 2A1 = 0
2A2 + A1 − 2A0 = 0
La solución de este sistema de ecuaciones es
A2 = −
1
2
A1 = −
1
2
A0 = −
3
4
Por tanto, la solución particular es
1
1
3
y p ( x ) = − x2 − x −
2
2
4
y la solución general de la ecuación no homogénea es
y ( x ) = yc ( x ) + y p ( x )
1
1
3
= c1 ex + c2 e−2x − x2 − x −
2
2
4
3.2 Ecuaciones de segundo orden
233
Ejemplo 3.49. Resuelva la ecuación
y00 + y0 = 2 + x2
Solución. La ecuación característica de la parte homogénea es
r2 + r = 0
y sus raíces son r1 = 0 y r2 = −1. De esta manera, la solución de la ecuación complementaria es
yc (x) = c1 + c2 e−x
Puesto que G(x) = 2 + x2 es un polinomio de grado 2 y r = 0 es raíz de la ecuación
característica, de multiplicidad 1, la solución particular tiene la forma
y p (x) = x(A0 + A1 x + A2 x2 ) = A0 x + A1 x2 + A2 x3
Ahora bien,
y0p (x) = A0 + 2A1 x + 3A2 x2
y
y00p (x) = 2A1 + 6A2 x
Sustituyendo y0p e y00p en la ecuación y00 + y0 = 2 + x2 llegamos a
(2A1 + 6A2 x) + (A0 + 2A1 x + 3A2 x2 ) = (A0 + 2A1 ) + (2A1 + 6A2 )x + 3A2 x2
= 2 + x2
De donde se obtiene A0 = 4, A1 = −1 y A2 = 1/3. Por tanto, una solución particular
de la ecuación no homogénea es
1
y p (x) = 4x − x2 + x3
3
y la solución general de la ecuación no homogénea es
1
y(x) = c1 + c2 e−x + 4x − x2 + x3
3
Segundo caso. G(x) = (a0 + a1 x + . . . + an xn )ekx
En este caso elegimos
y p (x) = xs (A0 + A1 x + . . . + An xn )ekx
donde r = k es raíz de la ecuación característica, de multiplicidad s.
234
Capítulo 3 Introducción a las ecuaciones diferenciales-Lord Barrera
Ejemplo 3.50. Determine la solución general de y00 + 4y = e3x
Solución. La ecuación característica es r2 + 4 = 0 y tiene raíces r = ±2i. Así que
la solución complementaria es
yc = c1 cos 2x + c2 sen 2x
Ahora bien, la solución particular, en principio, tiene la forma y p = Ke3x . De donde
y0p = 3Ke3x
y00p = 9Ke3x
y
que al sustituir en la ecuación inicial obtenemos
9Ke3x + 4(Ke3x ) = e3x
Por tanto, K = 1/13. Así, la solución particular es y p =
la ecuación no homogénea resulta
1 3x
13 e ,
y(x) = yc (x) + y p (x) = c1 cos 2x + c2 sen 2x +
y la solución general de
1 3x
e
13
Tercer caso. G(x) = eαx (A cos β x + B sen β x)
En este caso elegimos
y p (x) = xs eαx (A cos β x + B sen β x)
donde α ± β i es el par conjugado de la ecuación característica, de multiplicidad s.
Ejemplo 3.51. Resuelva la ecuación y00 + y0 − 2y = sen x.
Solución. La solución particular tiene la forma y p (x) = A cos x + B sen x. Derivando
se obtiene
y0p (x) = −A sen x + B cos x
y
y00p (x) = −A cos x − B sen x
Al sustituir en la ecuación inicial llegamos a
(−3A + B) cos x + (−A − 3B) sen x = sen x
3
1
y B = − 10
. o sea que la solución particular es
y resolviendo conseguimos A = − 10
y p (x ) = −
1
3
cos x − sen x
10
10
Finalmente, la solución general de la ecuación no homogénea es
y(x) = c1 ex + c2 e−2x −
1
3
cos x − sen x
10
10
3.2 Ecuaciones de segundo orden
235
Método de variación de parámetros
Supongamos ahora que ya tenemos resuelta la ecuación diferencial homogénea
ay00 + by0 + cy = 0
cuya solución es
y ( x ) = c1 y1 ( x ) + c2 y2 ( x )
(3.44)
donde y1 (x) e y2 (x) son soluciones linealmente independientes. A continuación, reemplazamos las constantes (o parámetros) c1 y c2 en la ecuación (3.44) por funciones
arbitrarias u1 (x) y u2 (x). Una solución particular para la ecuación no homogénea
ay00 + by0 + cy = G(x)
tiene la forma
y p (x) = u1 (x)y1 (x) + u2 (x)y2 (x)
(3.45)
Este método es llamado variación de parámetros porque variamos los parámetros c1 y
c2 como funciones. Las soluciones de u1 y u2 resultan de resolver
u01 y1 + u02 y2 = 0
a(u01 y01 + u02 y02 ) = G
Ejemplo 3.52. Determine la solución general de y00 − 3y0 + 2y = 4x
Solución. Resolvemos primero la ecuación homogénea y00 − 3y0 + 2y = 0, cuya
ecuación auxiliar es r2 − 3r + 2 = 0, con raíces r = 1 y r = 2. Por tanto, y1 = ex
e y2 = e2x son dos soluciones independientes de la ecuación homogénea, y la función
complementaria es
yc = C1 ex + C2 e2x
Se puede encontrar una solución particular y p (x) de la ecuación no homogénea de la
forma y p = u1 ex + u2 e2x , donde u1 y u2 cumplen
u01 ex + u02 e2x = 0
u01 ex + 2u02 e2x = 4x
Resolvemos estas ecuaciones lineales obteniendo u01 y u02 y después integramos, con lo
que resulta
u01 = −4xe−x u02 = −4xe−2x
u1 = 4(x + 1)e−x u02 = −(2x + 1)e−2x
Entonces y p = 4x + 4 − (2x + 1) = 2x + 3 es una solución particular de la ecuación no
homogénea, y la solución general es
y = 2x + 3 + C1 ex + C2 e2x
236
Capítulo 3 Introducción a las ecuaciones diferenciales-Lord Barrera
El caso cuando G(x) = G1 (x) + G2 (x)
Suponga que G(x) = G1 (x) + G2 (x), hacemos lo siguiente:
Si y p1 e y p2 fueran las soluciones particulares de
ay00 + by0 + cy = G1 (x)
ay00 + by0 + cy = G2 (x)
respectivamente, entonces y p1 + y p2 es una solución particular de
ay00 + by0 + cy = G1 (x) + G2 (x)
Ejemplo 3.53. Resuelva y00 + y = 4x + 10 sen x
Solución. La solución de la ecuación homogénea es
yc = C1 cos x + C2 sen x
Debido a que G(x) = G1 (x) + G2 (x), donde G1 (x) = 4x y G2 (x) = 10 sen x, las
correspondientes soluciones particulares son de la forma
y p1 = Ax + B
y p2 = C cos x + D sen x
pero r = ±i tiene multiplicidad 1; por tanto, la solución particular y p2 tiene la forma
y p2 = Cx cos x + Dx sen x Luego
y p = Ax + B + Cx cos x + Dx sen x
Derivando este resultado y sustituyendo los resultados en la ecuación diferencial, se obtiene
y00p + y p = Ax + B − 2C sen x + 2D cos x = 4x + 10 sen x
y por tanto, A = 4, B = 0, C = −5 y D = 0 y la solución particular resulta
y p = C1 cos x + C2 sen x + 4x − 5x cos x
3.2 Ecuaciones de segundo orden
237
Ejercicios
Ejercicio 3.1. En cada caso, resuelva la ecuación diferencial por coeficientes indeterminados
(a) y00 + 4y0 + 4y = 2x + 6
(b) y00 − 9y = 54
(c) 2y00 − 7y0 + 5y = −29
(d) y00 − 2y0 + y = x3 + 4x
(e) y00 − 4y = 7e4x
(f) y00 + 25y = 6 sen x
(g) y00 − 2y0 − 3y = 4e2x + 2x3
(h) y00 + y0 + y = x2 ex + 3
(i) y00 − 8y0 + 25y = e3x
Ejercicio 3.2. En cada caso, resuelva la ecuación diferencial por coeficientes indeterminados sujeta a las condiciones iniciales.
(a) y00 − 64y = 16, y(0) = 1, y0 (0) = 0
(b) y00 + 5y0 − 6y = 10e2x , y(0) = 1, y0 (0) = 0
Ejercicio 3.3. En cada caso, resuelva la ecuación diferencial por variación de parámetros
(a) 4y00 + y = cos x
(b) y00 − 2y0 − 3y = x + 2
(c) y00 − 2y0 + y = e2x
(d) y00 − y0 = ex
(e) y00 + y = sec2 x
(f) y00 + y = sec3 x
(h) y00 + 3y0 + 2y = sen(ex )
(i) y00 − 2y0 + y =
(g) y00 − 3y0 + 2y =
1
1 + e−x
ex
1 + x2
Ejercicio 3.4. (Diabetes). Bajo ciertas circunstancias, la ecuación
y00 + 2ay0 + by = 0
donde y(t ) = Y (t ) − Y0 es la diferencia entre la concentración de glucosa Y (t ) en el
flujo sanguíneo de un paciente, luego de t horas que se inyectó la glucosa, e Y0 es
la concentración ideal de la glucosa en el flujo sanguíneo; puede a ayudar a determinar
√
cuándo una persona tiene diabetes o no. Mediante un estudio se dedujo que: si 2π/ b < 4,
√
entonces es imposible que el paciente tenga diabetes; mientras que si 2π/ b > 4, el
paciente tiene diabete. Asuma que y(0) = 12 e y0 (0) = 0. Resuelva esta ecuación si para
un paciente se determina que b = 4 y luego resuelva esta ecuación si para un paciente se
determina que b = 1. Haga una gráfica de la solución en cada caso. ¿Es problable que el
paciente tenga diabetes? Explique.
238
Capítulo 3 Introducción a las ecuaciones diferenciales-Lord Barrera
Proyectos
Ejercicio 3.1. (Conservación de la flora marina). Puesto que el fosfato es a menudo un
nutriente limitante para el crecimiento de algas en lagos, en el manejo de la calidad del
agua es importante ser capaces de predecir la entrada de fosfato en lagos. Una fuente es el
sedimento en el lecho del lago. Un modelo matemático que describe la concentración del
fosfato en el sedimento del lecho de un lago es la ecuación diferencial
F=
d2C C (x) −C (∞)
=
dx2
λ2
donde C (x) es la concentración de fosfato a una profundidad x desde la superficie
del sedimento, C (∞) es la concentración de equilibrio a profundidad “infinita”, esto es,
C (∞) = lı́m C (x), y λ > 0 es un parámetro de “norma de espesor” de la porosidad del
x→∞
sedimento, el coeficiente de difusión del ion fosfato y una tasa de absorción constante.
Resuelva esta ecuación diferencial sujeta a la condición inicial C (0) = 0. Respuesta:
C (x) = C (∞)(1 − e−x/λ ).
3.3 Transformada de Laplace
3.3
239
Transformada de Laplace
La transformada de Laplace proporciona un método algebraico para obtener una
solución particular de una ecuación diferencial con condiciones iniciales dadas.
3.3.1
Propiedades elementales
DEFINICIÓN
Transformada de Laplace
La transformada de Laplace de una función de una función f (t ) se define mediante
F (s) = L ( f ) =
+∞
Z
e−st f (t ) dt
0
Notemos que esta integral es impropia cuyo valor se resuelve mediante
+∞
Z
e
−st
Z
c
e−st f (t ) dt
f (t ) dt = lı́m
c→+∞ 0
0
Ejemplo 3.54. Determine la transformada de Laplace de la función f (t ) = t, t > 0.
Solución. De acuerdo a la definiión de transformada de Laplace
L ( f ) = L (t ) =
+∞
Z
e−st t dt
0
que al usar integración por partes resulta
L (t ) =
Z
+∞
−st
e
Z
t dt = lı́m
c→+∞ 0
0
= lı́m
c→+∞
c
−st
e
e−st (−st − 1)
t dt = lı́m
c→+∞
s2
c
0
e−sc (−sc − 1)
1
1
+ 2= 2
s2
s
s
Ejemplo 3.55. Determine la transformada de Laplace de la función f (t ) = cos at.
Solución. Por definición
L ( f ) = L (cos at ) =
Z
+∞
e−st cos at dt
0
que al usar integración por partes resulta
c
e−st (−s cos at + a sen at )
L (cos at ) = lı́m
e cos at dt = lı́m
c→+∞ 0
c→+∞
s2 + a2
0
−sc
e (−s cos ac + a sen ac)
s
s
= lı́m
−
−
=
c→+∞
s2 + a2
s2 + a2
s2 + a2
Z
c
−st
Capítulo 3 Introducción a las ecuaciones diferenciales-Lord Barrera
240
A continuación presentamos una breve tabla de transformada de Laplace. Ellas son
suficientes para los cálculos que realizaremos
f (t ) = L −1 (F )
L ( f ) = F (s)
f (t ) = L −1 (F )
L ( f ) = F (s)
1.
1
1
s
11.
te−at
1
(s + a)2
2.
t n−1
(n − 1) !
1
sn
12.
t n−1 e−at
(n − 1) !
(s + a)n
3.
e−at
1
s+a
13.
e−at (1 − at )
s
(s + a)2
4.
1 − e−at
a
s(s + a)
14.
[(b − a)t + 1]e−at
s+b
(s + a)2
5.
cos at
s
2
s + a2
15.
sen at − at cos at
2a3
(s2 + a2 )2
6.
sen at
16.
t sen at
7.
1 − cos at
a2
s(s2 + a2 )
17.
sen at + at cos at
2as2
(s2 + a2 )2
8.
at − sen at
a3
s2 ( s2 + a2 )
18.
t cos at
s2 − a2
(s2 + a2 )2
9.
e−at − e−bt
b−a
(s + a)(s + b)
19.
e−at sen bt
b
( s + a ) 2 + b2
10.
ae−at − be−bt
s(a − b)
(s + a)(s + b)
20.
e−at cos bt
s+a
( s + a ) 2 + b2
a
s2 + a2
Propiedades de linealidad
(a) L ( f + g) = L ( f ) + L (g)
(b) L (a f ) = aL ( f )
Transformada de f 0 y f 00
(c) L ( f 0 ) = sL ( f ) − f (0)
(d) L ( f 00 ) = s2 L ( f ) − s f (0) − f 0 (0)
2as
(s2 + a2 )2
3.3 Transformada de Laplace
241
Ejemplo 3.56. Sabiendo que se cumple f (0) = 0 y f 0 (0) = 1, exprese la transformada
de f 00 (t ) − 2 f 0 (t ) en términos de s y la transformada de f (t ).
Solución. Usando la propiedad de linealidad y las transformadas de las derivadas,
tenemos
L [ f 00 (t ) − 2 f 0 (t )] = L ( f 00 ) − 2L ( f 0 )
= [s2 L ( f ) − s f (0) − f 0 (0)] − 2[sL ( f ) − f (0)]
= [s2 L ( f ) − s(0) − 1] − 2[sL ( f ) − 0]
= (s2 − 2s)L ( f ) − 1
3.3.2
Transformada inversa de Laplace
Si la transformada de Laplace de una función es conocida, entonces es posible determinar la función encontrando la transformada inversa.
L −1 (F ) = f (t )
donde L −1 denota la transformada inversa.
s
, de la transformada (5) de la tabla vemos que
Ejemplo 3.57. Si F (s) = 2
s + a2
s
−1
−1
L (F ) = L
= cos at
s2 + a2
f (t ) = cos at
Ejemplo 3.58. Si (s2 − 2s)L ( f ) − 1 = 0, entonces
L(f) =
1
s2 − 2s
o
F (s) =
1
s(s − 2)
Por tanto tenemos
f (t ) = L
−1
(F ) = L
−1
1 −1
−2
1
1
=− L
= − 1 − e2t
2
2
s(s − 2)
s(s − 2)
Propiedades de linealidad
(a) L −1 (F + G) = L −1 (F ) + L −1 (G)
(b) L −1 (aF ) = aL −1 (F )
242
Capítulo 3 Introducción a las ecuaciones diferenciales-Lord Barrera
Ejemplo 3.59. Si F (s) =
s+5
, entonces
s2 + 6s + 10
s+5
−1
−1
L (F ) = L
s2 + 6s + 10
Desde que
s2 + 6s + 10 = (s2 + 6s + 9) + 1 = (s + 3)2 + 1
Podemos escribir
F (s) =
(s + 3) + 2
s+3
2
=
+
2
2
(s + 3) + 1 (s + 3) + 1 (s + 3)2 + 1
Encontrando la inversa de cada término tenemos
s+3
2
−1
−1
−1
L (F ) = L
+L
(s + 3)2 + 1
(s + 3)2 + 1
f (t ) = e−3t cost + 2e−3t sent
f (t ) = e−3t (cost + 2 sent )
Ejemplo 3.60. Si F (s) =
Hacemos
5s2 − 17s + 32
, entonces
s3 − 8s2 + 16s
2
−1
−1 5s − 17s + 32
L (F ) = L
s3 − 8s2 + 16s
5s2 − 17s + 32 5s2 − 17s + 32 A
B
C
=
= +
+
3
2
2
s s − 4 (s − 4)2
s − 8s + 16s
s(s − 4)
Ahora bien
5s2 − 17s + 32 = A(s − 4)2 + Bs(s − 4) + Cs
s=0:
s=4:
2
coeficientes de s :
32 = 16A,
A=2
2
5(4 ) − 17(4) + 32 = 4C,
5 = A + B,
5 = 2 + B,
C = 11
B=3
Encontrando la inversa de cada término tenemos
3
11
−1
−1 2
L (F ) = L
+
+
s s − 4 (s − 4)2
L −1 (F ) = f (t ) = 2 + 3e4t + 11te4t
3.3 Transformada de Laplace
243
Ejercicios
Ejercicio 3.1. Use la definición de la transformada de Laplace para dederminar L ( f ).
(a) f (t ) = 1
(b) f (t ) = sen at
Ejercicio 3.2. En cada caso, use la tabla para determinar la transformada de la función
dada.
(a) e3t
−3t
(e) 8e
sen 4t
(b) 2t sen 3t + e−3t cost
(c) 5t 3 e−2t t
(d) 3 + 2t cos 3t
(f) cos 2t − sen 2t
(g) 1 − cos 2tt
(h) t 3 − 3te−t
Ejercicio 3.3. En cada caso, exprese la transformada de la expresión dada en términos de
s y L ( f ).
(a) y00 + y0 , y(0) = 0, y0 (0) = 1
(b) y00 − 3y0 , y(0) = 2, y0 (0) = −1
(c) 2y00 − y0 + y, y(0) = 1, y0 (0) = 0
(d) y00 − 3y0 + 2y, y(0) = −1, y0 (0) = 2
Ejercicio 3.4. En cada caso, determine la transformada inversa de la función F (s) dada.
(a)
2
s3
(b)
(e)
6
s2 + 4
(f)
1
s3 + 3s2 + 3s + 1
s2 − 1
s4 + 2s2 + 1
15
2s + 6
s+2
(g) 2
(s + 9)2
(c)
(d)
(h)
3
s4 + 4s2
s+3
s2 + 4s + 13
244
3.3.3
Capítulo 3 Introducción a las ecuaciones diferenciales-Lord Barrera
Resolviedo ecuaciones diferenciales
A continuación mostraremos como las ecuaciones diferenciales pueden ser resueltas
usando tyransformadas de Laplace.
Ejemplo 3.61. Usando transformadas de Laplace, resuelva la ecuación 2y0 − y = 0, si
y(0) = 1
Solución. Tomando transformada en cada término de la ecuación tenemos
L (2y0 ) − L (y) = L (0)
2L (y0 ) − L (y) = 0
Recuerde que L (0) = 0
Por otra parte, desde que L (y0 ) = sL (y) − y(0), obtenemos
2[sL (y) − 1] − L (y) = 0
Resolviendo L (y), conseguimos
2sL (y) − L (y) = 2
que implica
L (y) =
2
1
=
2s − 1 s − 1
2
y al determinar la transformada inversa conseguimos
y = et/2
Ejemplo 3.62. Resuelva la ecuación y00 + 2y0 + 2y = 0, si y(0) = 0, y0 (0) = 1.
Solución. Usando los mismos pasos que en el ejemplo anterior:
L (y00 ) + 2L (y0 ) + 2L (y) = 0
[s2 L (y) − sy(0) − y0 (0)] + 2[sL (y) − y(0)] + 2L (y) = 0
[s2 L (y) − s(0) − 1] + 2[sL (y) − 0] + 2L (y) = 0
s2 L (y) − 1 + 2sL (y) + 2L (y) = 0
(s2 + 2s + 2)L (y) = 1
L (y) =
1
s2 + 2s + 2
y = e−t sent
=
1
(s + 1)2 + 1
3.3 Transformada de Laplace
245
Ejemplo 3.63. Resuelva la ecuación y00 + y = cost, si y(0) = 1, y0 (0) = 2.
Solución. Usando los mismos pasos que en el ejemplo anterior:
L (y00 ) + L (y) = L (cost )
s
[ s2 L ( y ) − s ( 1 ) − 2 ] + L ( y ) = 2
s +1
s
2
(s + 1)L (y) = 2
+s+2
s +1
s
s
2
L (y) = 2
+ 2
+ 2
2
s +1 s +1
(s + 1)
t
y = sent + cost + 2 sent
2
Ejemplo 3.64. Un resorte es estirado 1 pie por un peso de 16 libras. La resistencia
media al movimiento es con una fuerza de 4v, donde v es la velocidad del movimiento.
la ecuación diferencial que describe el desplazamiento y de este peso es
dy
1 d2 y
+ 4 + 16y = 0
2 dt 2
dt
Determine y como función de t, si y(0) = 1 y dy/dt = 0 para t = 0.
y00 + 8y0 + 32y = 0
L (y00 ) + 8L (y0 ) + 32L (y) = 0
[s2 L (y) − s(1) − 0] + 8[sL (y) − 1] + 32L (y) = 0
(s2 + 8s + 32)L (y) = s + 8
Por tanto,
L (y) =
s+4
4
s+8
=
+
2
2
2
2
(s + 4) + 4
(s + 4) + 4
(s + 4)2 + 42
que implica
y = e−4t cos 4t + e−4t sen 4t = e−4t (cos 4t + sen 4t )
246
Capítulo 3 Introducción a las ecuaciones diferenciales-Lord Barrera
Ejercicios
Ejercicio 3.1. Utilice transformada de Laplace para resolver las siguientes ecuaciones:
(a) y0 + y = 0, y(0) = 1
(b) 2y0 − 3y = 0, y(0) = −1
(c) y0 + 3y = e−3t , y(0) = 1
(d) y00 + 4y = 0, y(0) = 0, y0 (0) = 1
(e) 9y00 − 4y = 0, y(0) = 1, y0 (0) = 0
(f) 4y00 + 4y0 + 5y = 0, y(0) = 1„ y0 (0) = −1/2
(g) y00 + 2y0 + y = 0, y(0) = 0, y0 (0) = −2
(h) y00 − 4y0 + 5y = 0, y(0) = 0, y0 (0) = 2
(i) y00 + 2y0 + y = 3te−t , y(0) = 0, y0 (0) = 2
(j) 2y00 + y0 − y = sen 3t, y(0) = 0, y0 (0) = 0
Bibliografía
Libros
[Ad] Adams R. - Bivens I. - Davis S. Calculus, Early Transcendentals. Pearson, 2010.
[Ba] Barrera L. Cálculo de varias variables, con aplicaciones. Editorial San Marcos,
2014.
[Lar] Larson R. and Falvo D. Precalculus with Limits. Brooks/Cole, 2011.
[Li] Lial and Raimond Calculus with applications. Pearson, 2017.
[Ma] Marsden J.E. and Tromba A.J Vector Calculus. Freeman and Company, 2003.
[Ro] Rogawski J. Calculus early transcendentals. Freeman and Company, 2008.
[St] Stewart J. Calculus, Early Transcendentals. Thomson Learning, 2008.
[Tan] Tan S.T. Calculus, Early Transcendentals. Brooks/Cole, 2011.
Artículos
[Ba] Barrera L. O teorema do H-cobordismo e conjectura generalizada de Poincare. Departamento de Ciencias-UFPE, 2003.
Índice alfabético
Aproximación lineal, 57
Aproximaciones lineales y planos tangentes, 57
Centro de una circunferencia, 13
Cilindro circular recto, 14
Cono elíptico, 18
Curva de nivel, 31
Curvas de nivel, 10
Extremo relativo, 82
Función armónica, 47
Función de dos variables, 21
Gráfica de una función, 29
Gráfica de una función de dos variables, 29
Hiperboloide de dos hojas, 16
Hiperboloide de una hoja, 16
Derivada parcial, 36
Derivadas de orden superior, 46
Diferencial total, 50, 51
Dominio, 21
Integrales dobles, 98
Integrales iteradas, 99
Integrales triples, 125
Introducción, 9
Ecuación vectorial del plano, 10
Ecuaciones exactas, 188, 208
Ecuaciones paramétricas del plano, 10
El elipsoide, 15
El paraboloide, 29
Espacios vectoriales, 74
Extremo absoluto, 82
Límite de una función, 35
La esfera, 13
Máximo absoluto, 82
Mínimo absoluto, 82
Marco teórico, 10, 21
Multiplicador de Lagrange, 92
250
Multiplicadores de Lagrange, 92
Paraboloide elíptico, 17
Paraboloide hiperbólico, 17
Plano generado, 10
Punto crítico, 83
Punto de silla, 84
Radio de una circunferencia, 13
Rango, 21
Regla de la cadena, 61
Superficies cuádricas, 13
Vector normal a un plano, 11
Vectores de dirección, 10
ÍNDICE ALFABÉTICO
