Unidad 10 – Introducción al concepto de límite (I) 10.1. Límites para el estudio de una función f (x) : 1. a) Límite y continuidad de una función en un punto x0 : Se estudia en aquellos puntos “conflictivos”, que son aquellos en los que: - se hace cero un denominador (para A.Vs), - la función cambie de criterio (en una función a trozos). Se estudian 3 cosas: ∙ 𝑓(𝑥0) = × lim- f (x) = x®x0 × lim+ f (x) = x®x0 Y las conclusiones que se pueden sacar son: - Si lim- f (x) = ±¥ y/o lim+ f (x) = ±¥ x®x0 x®x0 - Si lim- f (x) = lim+ f (x) = k (nº real) x®x0 x®x0 f (x) tiene A.V. en ese punto x0 ( x = x0 ); f (x) tiene límite en ese punto x0 ; - Si lim- f (x) = f (x0 ) f (x) es contínua por la izquierda en ese punto x0 ; - Si lim+ f (x) = f (x0 ) f (x) es contínua por la derecha en ese punto x0 ; x®x0 x®x0 - Si lim- f (x) = lim+ f (x) = f (x0 ) x®x0 x®x0 f (x) es contínua en ese punto x0 . Indeterminación que puedes encontrar: - Indeterminación 0 , en función racional: 0 Si ocurre, significa que tanto numerador como denominador son divisibles entre (x - x0 ) . Se resuelve factorizando numerador y denominador, y simplificando la fracción. 1. b) Límite de una función en el infinito: Se estudia para hallar cómo se comporta la función cuando la x se hace muy grande (en valor absoluto), es decir: para hallar A.Hs y A.Os. Se estudian 2 cosas: × lim f (x) = x®-¥ × lim f (x) = x®+¥ Y las conclusiones que se pueden sacar son: - Si lim f (x) = k y/o lim f (x) = k x®-¥ x®+¥ - Si lim f (x) = ±¥ y/o lim f (x) = ±¥ x®-¥ x®+¥ f (x) tiene A.H. ( y = k ) f (x) no tiene A.H., pero podría haber A.O. (Habrá A.O. en una función racional si el numerador tiene un solo grado mayor que el denominador. La A.O es el cociente que resulta de hacer la división (por “cajita”)). Indeterminación que puedes encontrar: - ∞ Indeterminación ∞ : Se resuelve dividiendo numerador y denominador entre la x de mayor grado. ---------------------------------------------------------------------------------------- Ejercicios: Estudia las siguientes funciones, siguiendo este orden: a) b) c) d) e) f) g) Dominio; Cortes con los ejes; Signo; Simetría; Asíntotas verticales; Asíntotas horizontales u oblícuas; Representación gráfica; h) Recorrido; i) Continuidad; j) Crecimiento y decrecimiento; k) Máximos y mínimos; l) Acotación; m) Periodicidad. 𝑖. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 − 2 𝑥2 − 4 Dominio Cortes con los ejes Signo Simetría Asíntotas verticales Asíntotas horiz/oblic Recorrido Continuidad Crecimiento Máximos y mínimos Acotación Representación gráfica: Periodicidad (T) 𝑖𝑖. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 6 𝑥2 − 4 Dominio Cortes con los ejes Signo Simetría Asíntotas verticales Asíntotas horiz/oblic Recorrido Continuidad Crecimiento Máximos y mínimos Acotación Representación gráfica: Periodicidad (T) 𝑖𝑖𝑖. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4 𝑥 2 + 3𝑥 + 2 Dominio Cortes con los ejes Signo Simetría Asíntotas verticales Asíntotas horiz/oblic Recorrido Continuidad Crecimiento Máximos y mínimos Acotación Representación gráfica: Periodicidad (T) 2𝑥 2 − 8 𝑖𝑣. 𝑓(𝑥) = 𝑥 −1 Dominio Cortes con los ejes Signo Simetría Asíntotas verticales Asíntotas horiz/oblic Recorrido Continuidad Crecimiento Máximos y mínimos Acotación Representación gráfica: Periodicidad (T) 𝑣. 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 − 12 (𝑥 − 3) ∙ (𝑥 + 2) Dominio Cortes con los ejes Signo Simetría Asíntotas verticales Asíntotas horiz/oblic Recorrido Continuidad Crecimiento Máximos y mínimos Acotación Representación gráfica: Periodicidad (T) - Tablas de límites e indeterminaciones: + +∞ −∞ 0 𝑎>0 𝑏<0 ∙ +∞ −∞ 0 +∞ IND +∞ +∞ +∞ IND −∞ −∞ −∞ −∞ +∞ −∞ 0 𝑎 𝑏 +∞ −∞ 0 - 𝑎>0 𝑏<0 +∞ −∞ 𝑎 2𝑎 𝑎+𝑏 ↱ +∞ −∞ +∞ −∞ 𝑏 𝑎+𝑏 2𝑏 0 𝑎>0 𝑏<0 : 𝑎>0 𝑏<0 +∞ −∞ 0 IND −∞ −∞ −∞ −∞ +∞ IND +∞ +∞ +∞ +∞ −∞ 0 𝑎 𝑏 +∞ −∞ 0 +∞ −∞ IND IND IND IND 0 0 0 0 0 0 0 +∞ −∞ IND +∞ −∞ Denom 𝑎>0 𝑏<0 +∞ −∞ −𝑎 0 𝑏−𝑎 +∞ −∞ −𝑏 𝑎−𝑏 0 𝑎>0 𝑏<0 Num +∞ −∞ 0 𝑎>0 𝑏<0 +∞ −∞ IND +∞ −∞ −∞ +∞ IND −∞ +∞ IND IND 0 0 0 +∞ −∞ 0 𝑎2 𝑎∙𝑏 −∞ +∞ 0 𝑎∙𝑏 𝑏2 Potencias Exponente 𝑎>0 𝑏<0 +∞ −∞ 0 1 𝑏/𝑎 +∞ −∞ 0 1 𝑎>0 𝑏<0 +∞ 0 IND +∞ +∞ 0 IND −∞ +∞ (𝑎 𝑝𝑎𝑟) −∞ (𝑎 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟) 0 Base +∞ −∞ 0 0 +∞ IND 0 0 +∞ 1 IND IND 1 1 1 1 𝑐>1 +∞ 0 0 1 1 1 𝑐 𝑐𝑎 𝑐𝑏 𝑑 𝑑𝑎 𝑑𝑏 𝑞 𝑞𝑎 𝑞𝑏 𝑑<0 0<𝑞<1 0 +∞ −∞ +∞ 0 𝑎/𝑏 1
