E.N.E.T. Nº 1 Prof Vicente García Aguilera ANALISIS MATEMATICO Autor- Editor: VERA, SANDRA 2DO. 3RA DE CONSTRUCCION Docente a Cargo: Vera, Sandra UNIDAD Nº 4: DERIVADA DE UNA FUNCIÓN Idea Intuitiva. Interpretación geométrica de la derivada. El cociente incremental. Técnicas de derivación. Derivada de funciones elementales. Idea Intuitiva: Dada una curva 𝑓(𝑥) ∧ 𝑥1 = 𝑀 un punto del eje X. Si se toma un punto 𝑥1 + ∆𝑥 = 𝑁 = 𝑥2 muy próximo a 𝑥1 (∆𝑥 es un número infinitamente pequeño), a medida que se hace tender ∆𝑥 a cero, la recta secante que une los puntos (𝑥1 , 𝑓(𝑥1 )) y (𝑥2 , 𝑓(𝑥2 )), tiende a convertirse en la recta tangente a la curva en el punto (𝑥1 , 𝑓(𝑥1 )). ✓ Interpretación Gráfica Si 𝛼ℎ es el ángulo que forma la recta Secante Con el eje de abscisas positivo, y 𝛼 es el ángulo que determina la recta Tangente con ese mismo eje, en el triángulo rectángulo de vértices (𝑥1 , 𝑓(𝑥1 )) ; (𝑥2 , 𝑓(𝑥2 )) y (𝑥2 , 𝑓(𝑥1 )), se verifica: Recordar que 𝑥1 = 𝑀, ; 𝑥2 = 𝑁 tan 𝛼ℎ (𝑡𝑎𝑛𝑔 𝑎𝑛𝑔 𝑖𝑛𝑐𝑙𝑖𝑛𝑎𝑐 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒) = 𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 ∆𝒚 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦. ∆𝒙 Al hacer tender ∆𝒙 a cero, y puesto que la secante tiende a confundirse con un segmento de la tangente, es decir que: tan 𝛼ℎ tiende a tan 𝛼, entonces se obtiene matemáticamente incorporando la noción de límite de una función : ∆𝒚 lim tan 𝛼ℎ = lim = tan 𝛼 = 𝑚 ∆𝒙→0 ∆𝒙→0 ∆𝒙 E.N.E.T. Nº 1 Prof Vicente García Aguilera ANALISIS MATEMATICO Autor- Editor: VERA, SANDRA 2DO. 3RA DE CONSTRUCCION Docente a Cargo: Vera, Sandra ✓ Derivada de una función en un punto Dada una función 𝑦 = 𝑓(𝑥), se llama derivada de la función 𝑓 en un punto 𝑥1 al ∆𝒚 límite, si existe y es finito (un número); lim ∆𝒙 y se simboliza por: 𝑓 ʹ (𝑥1 )(efe ∆𝒙→0 prima de equis sub-cero), donde : ∆𝒚 = 𝑓 ʹ (𝑥1 ) ∆𝒙→0 ∆𝒙 lim Cuando este límite existe (y es finito) se dice que la función 𝑓(𝑥) es derivable en el punto x1. ✓ Significado de la derivada Puesto que: tan(𝛼) = 𝐥𝐢𝐦 ∆𝒚 ∆𝒙→𝟎 ∆𝒙 = 𝒇ʹ (𝒙𝟏 ) = 𝒎 es la derivada de la función en un punto 𝑥1 y no es otra cosa que la pendiente de la recta tangente a la curva (gráfica de la función) en el punto de coordenadas (𝑥1 , 𝑓(𝑥1 ). ✓ Ejemplos: a) Calcular la derivada de la función f(x) = 3x + 5 en el punto de abscisa x = 1. Resolución: Se pide el valor de f '(1) (en este caso, x0 = 1). Por tanto, f '(1) = 3. b) Calcular la derivada de la función f(x) = en el punto 2. Resolución: (conjugado del numerador) ✓ Recordando que suma por diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados: E.N.E.T. Nº 1 Prof Vicente García Aguilera ANALISIS MATEMATICO Autor- Editor: VERA, SANDRA 2DO. 3RA DE CONSTRUCCION Docente a Cargo: Vera, Sandra ✓ Cálculo de la ecuación de la tangente a una función en un punto c) Calcular la ecuación de la tangente a la curva f(x) = x 2 en el punto de abscisa 2. Resolución: La tangente pasa por el punto (2, f(2)) = (2,4). La pendiente (m) de la tangente a la curva en el punto de abscisa 2 es, por definición, f '(2), luego la ecuación de la recta es de la forma y y0 = m (x x0) y - 4 = f '(2) (x - 2). La ecuación y y - 4 = 4x - 8 4x - y - 4 = 0. de 4 la = tangente 4(x es - entonces 2) ✓ INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DERIVADA El procedimiento usado para definir la derivada de una función y que muestra la rapidez media de cambio, se puede observar mediante una interpretación geométrica que conduce de manera simple a la idea de tangente a una curva. En un sistema de ejes coordenados cartesianos ortogonales, se representa, en el primer cuadrante, un tramo del recorrido de la función 𝑓(𝑥). Por los puntos de la curva𝑃(𝑥, 𝑦) ∧ 𝑅(𝑥 +△ 𝑥, 𝑦 +△ 𝑦), se trazan perpendiculares a los ejes determinando el punto 𝑀(𝑥 +△ 𝑥, 𝑦). Luego se une los puntos 𝑃 ∧ 𝑅 mediante una recta secante, que tiene un ángulo∝, como inclinación. Tal construcción ha conformado un triangulo rectángulo 𝑃𝑀𝑅. En los distintos puntos del arco 𝑃𝑅 la rapidez de crecimiento de la función 𝑓(𝑥) varia, por lo que se tendrá una idea tanto más precisa de la rapidez de crecimiento (o decrecimiento) de la curva en el punto 𝑃, cuando menor sea el arco de la curva observado. Si se mueve en el punto 𝑅 sobre la curva, aproximándose indefinidamente a 𝑃 , la recta secante girara alrededor de 𝑃, el incremento de la variable independiente tendera a hacerse cada vez más pequeño y la posición límite de la secante será la recta tangente a la curva en el punto 𝑃, cuyo ángulo de inclinación se indica con β. E.N.E.T. Nº 1 Prof Vicente García Aguilera ANALISIS MATEMATICO Autor- Editor: VERA, SANDRA 2DO. 3RA DE CONSTRUCCION Docente a Cargo: Vera, Sandra Para analizar claramente esa situación se trabajara con el triangulo 𝑃𝑀𝑅, rectángulo en 𝑀. Se observa que el cateto 𝑅𝑀 =△ 𝑦, el cateto 𝑃𝑀 =△ 𝑥 y el ̂ tiene el mismo valor de ∝, por ser ángulos correspondientes entre ángulo 𝑅𝑃𝑀 paralelas cortadas por una transversal. La tangente trigonométrica del ángulo (ángulo agudo del triángulo 𝑴𝑹 rectángulo 𝑃𝑀𝑅) se puede escribir como: 𝐭𝐚𝐧 ∝= 𝑷𝑴 , esta expresión representa la pendiente de la recta secante 𝑃𝑅. Si en ella se reemplazan los △𝒚 catetos según las igualdades dadas, el cociente queda: 𝐭𝐚𝐧 ∝= △𝒙 E.N.E.T. Nº 1 Prof Vicente García Aguilera ANALISIS MATEMATICO Docente a Cargo: Vera, Sandra Autor- Editor: VERA, SANDRA 2DO. 3RA DE CONSTRUCCION
