4 CÁLCULO DE DERIVADAS DEFINICIÓN Y NOTACIONES TABLA DE DERIVADAS Sea f una función continua definida en el intervalo abierto I = a , b . Se llama función derivada a la definida por f ' x = lím Dk =0 n D x =n x x f x h − f x D e =e h D lnx= h 0 x ∈ I en el que existe ese límite. Si para el valor x = a existe la derivada, se dice entonces que la función es derivable para ese valor. Existen varias formas de designar a la derivada de una función. He aquí las más comunes: df dx x , D arctan x= D D D f g [ = f '⋅g − f ⋅g ' g2 ] D f g x = f ' g x ⋅g ' x ©José Álvarez Fajardo 1 2 1 x Tenemos que f no es derivable en x = a Caso 2: f es continua en x = a. Tenemos que f puede ser derivable en x = a. DERIVADAS Y OPERACIONES D f ±g = f ' ±g ' D k⋅ f = k⋅ f ' D f ⋅g = f '⋅g f ⋅g ' 1− x 2 2x x x D a =a lna 1 D loga x= x⋅lna D cos x=−sen x −1 D cot x= 2 sen x −1 D arccos x= 1−x 2 n 1 D x= n n−1 n x Para estudiar la derivabilidad de una función en un valor concreto x = a Primero estudiamos la continuidad en x = a. Nos podemos encontrar ahora tres casos: • Caso 1: f es discontinua en x = a • f f ' f ' ' f ' ' ' Aquí tenemos las reglas que relacionan operaciones elementales y las derivadas: 1 1 CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD A la derivada de una función también se la denomina derivada primera. Si volvemos a derivar la derivada primera de una función, obtenemos la llamada derivada segunda; la derivada de la derivada segunda se denomina derivada tercera; y así sucesivamente. Éstas son las llamadas derivadas sucesivas de una función: D D x= x D arcsen x= DERIVADAS SUCESIVAS D n−1 1 x D sen x=cos x 1 D tan x= 2 cos x para cada valor y ' , f ' x , Df x , Dx=1 Debemos ahora hallar las derivadas laterales: las f ' a += lim f ' x y f ' a ­= lim f ' x x a + x a­ Ahora hay dos posibilidades: – Caso 2a: Las derivadas laterales no coinciden. Resulta que f no es derivable en x = a Es lo que se llama un punto anguloso. – Caso 2b: Las derivadas laterales coinciden (L) Resulta que f es derivable en x = a Resulta así que f ' a = L 1
