VECTORES

VECTORES
Univ. Cecilia Tola Pacheco
10 de mayo de 2022
1.
EJERCICIOS
VECTORES
Sean A = (1, −2), B = (−1, 3) y C = (0, 4); calcular:
1. A+B=(1,-2)+(-1,3)=(0,1)
2. A-B+C=(1,-2)-(-1,3)+(0,4)=(2,-1)
3. -3B=-3(-1,3)=(3,-9)
4. 4A-3B=4(1,-2)-3(-1,3)=(4,-8)-(-3,9)=(7,-17)
5. A+2B-3C=(1,-2)+2(-1,3)-3(0,4)=(1,-2)+(-2,6)-(0,12)=(-1,-8)
6. 4(A+B)-5C=4[(1,-2)+(-1,3)]-5(0,4)=4(0,1)-(0,20)=(0,4)-(0,20)=(0,-16)
7.
1
1
1
1
1
5
3
1
(A-B) + C = [(1, −2) − (−1, 3)] + (0, 4) = (0, −5) + (0, 4) = (0, − ) + (0, 1) = (0, − )
2
4
2
4
2
4
2
2
Sean A = (1, 4, −1), B = (2, 5, 4) y C = (0, 4, 0); calcular:
8. A+C=(1,4,-1)+(0,4,0)=(1,8,-1)
9. 2A-B+2C=2(1,4,-1)-(2,5,4)+2(0,4,0)=(2,8,-2)-(2,5,4)+(0,8,0)=(0,11,-6)
10. − 21 B + A − C = − 12 (2, 5, 4) + (1, 4, −1) − (0, 4, 0) = −(1, 25 , 2) + (1, 4, −1) − (0, 4, 0) = (0, − 52 , −3)
11. 3A-B=3(1,4,-1)-(2,5,4)=(5,12,-3)-(2,5,4)=(1,7,-7)
12.
1
1
3 9 3
1
2 (A + B) − B = 2 [(1, 4, −1) + (2, 5, 4)] − (2, 5, 4) = 2 (3, 9, 3) − (2, 5, 4) = ( 2 , 2 , 2 ) − (2, 5, 4) =
(− 12 , − 12 , − 25 )
13. Si A = (1, 2),
B = (−1, 3) realizar gráficamente las siguientes operaciones.
a) A + B
b)
A−B
c)
1
2A − 3B
d)
1
5
A− B
2
2
Cecilia Tola Pacheco
Calculo II
MAT 102
Solución:
a)
Y
(0,5)
Antes trazamos las flechas o radio vectores que
representan a los vectores.
Uniendo el origen en el vértices opuestos del
paralelogramo determinado por A y B, obtenemos el radio vector que representa A + B.
(-1,3)
A+B (1,2)
B
A
X
b)
Y
(-1,3)
(1,2)
B
A
A-B
X
La flecha -B se obtiene cambiando el sentido ala
flecha B. Calculamos gráficamente A + (−B) =
A−B
(2,1)
-B
c)
2
Cecilia Tola Pacheco
Calculo II
MAT 102
Y
(2,4)
(-1,3)
2A
Aplicamos el tamaño de A, 2A; triplicamos
el tamaño de B, 3B y luego le cambiamos el
sentido (-B).Luego calculamos gráficamente.
X
2A-3B
2A + (−3B) = 2A − 3B
(-5,5)
-3B
(3,-9)
d)
(-1,3)
(1,2)
B
1
2A
Tomando 5 veces el tamaño de B, 5B; luego
cambiamos el sentido (-5B). Calculamos gráficamente A − 5B.Luego tomamos la mitad de
A + (−5B), 12 A − 25 B el cual se busca.
5
1
2A − 2B
− 52 B
(2, − 13
2 )
( 52 , − 15
2 )
Dados los vectores A y B, en cada una de las ecuaciones determinar un vector X que la
satisfaga.
14).- A = (2, 3), B = (1, −4); 3X − 2A + B = 0
Solución:
3X − 2A + B = 0
3X = 2A − B
2
1
X = A− B
3
3
1
2
X = (2, 3) − (1, −4)
3
3
3
Cecilia Tola Pacheco
Calculo II
4
1 4
X = ( , 2) − ( , − )
3
3 3
10
X = (1, )
3
15).- A = (0, −1), B = (5, 2); 3(A − X) = 6(X − A + B) − 3X
Solución.3(A − X) = 6(X − A + B) − 3X
3A − 3X = 6X − 6A + 6B − 3X
6X = 9A − 6B
3
X = A−B
2
3
X = (0, −1) − (5, 2)
2
3
X = (0, − ) − (5, 2)
2
7
X = (−5, − )
2
16).- A = (1, 2, −1), B = (0, 3, 1);
Solución:
X − 3A − B = 2X
X − 3A − B = 2X
X = −3A − B
X = −3(1, 2, −1) − (0, 3, 1)
X = −(3, 6, −3) − (0, 3, 1)
X = (−3, −9, 2)
17).- A = (1, 3, 2),
Solución:
B = (−2, 1, −2);
2(A − X) = X − 2B − 2(X − A)
2(A − X) = X − 2B − 2(X − A)
2(A − X) = X − 2B − 2(X − A)
2A − 2X = X − 2B − 2X + 2A
X = 2B
X = 2(−2, 1, −2)
X = (−4, 2, −4)
18).- Si A = (3, 0, 4) y B = (2, −1, −3), calcular la longitud o modulo de:
4
MAT 102
Cecilia Tola Pacheco
Calculo II
MAT 102
a).- A = (3, 0, 4)
√
√
√
| A | = 32 + 02 + 42 = 9 + 16 = 25 = 5
b).- A + B = (3, 0, 4) + (2, −1, −3) = (5, −1, 1)
q
√
| A + B | = 52 + (−1)2 + 12 = 27
1
1
1 27
1
c).- 3A − B = 3(3, 0, 4) − (2, −1, −3) = (9, 0, 12) − (1, − ) = (8, , )
2 r
2
2 2
r
r2
1
27
493
1
1 729
| 3A − B | = 82 + ( )2 + ( )2 = 64 + +
=
2
2
2
4
4
2
A
B
d).+
|A| |B|
√
√
√
| A | = 32 + 02 + 42 = 9 + 16 = 25 = 5
q
√
√
| B | = 22 + (−1)2 + (−3)2 = 4 + 1 + 9 = 14
√
14(3, 0, 4) + 5(2, −1, −3)
B
1
1
A
+
= (3, 0, 4) + √ (2, −1, −3) =
√
|A| |B| 5
14
5 14
√
√
3 14 4 14
10
5
15
= ( √ , 0, √ ) + ( √ , − √ , − √ )
5 14 5 14
5 14 5 14 5 14
√
√
10
5 4 14
15
3 14
= ( √ + √ ,− √ , √ − √ )
5 14 5 14 5 14 5 14 5 14
√
√
3 14
10
1 4 14
15
= ( √ + √ ,−√ , √ − √ )
5 14 5 14
14 5 14 5 14
2
3
3
1 4
= ( + √ ,−√ , − √ )
5
14
14 5
14
Luego:
|
B
A
+
|=
|A| |B|
s
3
2
1
4
3
( + √ )2 + (− √ )2 + ( − √ )2
5
5
14
14
14
s
9
12
4
1 16
24
9
+ √ +
+
+
− √ +√
25 5 14 14 14 25 5 14
14
s
25 14
12
+
− √
25 14 5 14
s
12
1+1− √
5 14
s
12
2− √
5 14
=
=
=
=
5
Cecilia Tola Pacheco
Calculo II
MAT 102
19).- Calcular la distancia entre los siguientes pares de puntos:
a).- A = (1, 1),
B = (2, −2)
d =| B − A |=| (2, −2) − (1, 1) |=| (1, −3) |=
b).- A = (3, 8),
q
√
12 + (−3)2 = 10
B = (8, 3)
q
√
√
d =| B − A |=| (8, 3) − (3, 8) |=| (5, −5) |= 52 + (−5)2 = 50 = 5 2
c).- A = (1, −1, 8),
B = (1, 2, 3)
q
√
d =| B − A |=| (1, 2, 3) − (1, −1, 8) |=| (0, 3, −5) |= 02 + 32 + (−5)2 = 34
PARALELISMO
20).- Indicar cuales de los siguientes pares de vectores son paralelos y en tal caso, si tienen el
mismo sentido.
a).- A = (1, 1), B = (2, 2)
A = kB
1
2
1
1 = 2k ⇒ k =
2
Son paralelos A∥B
1 = 2k ⇒ k =
b).-
A = (2, 4),
B = (4, 2)
A = kB
2 = 4k ⇒ k = 2
1
4 = 2K ⇒ k =
2
No son paralelos
c).- A = (5, 7, 3),
B = (−15, −21, −9)
A = kB
1
3
1
7 = −21k ⇒ k = −
3
1
3 = −9k ⇒ k = −
3
A = kB
1
(5, 7, 3) = − (−15, −21, −9)
3
(5, 7, 3) = (5, 7, 3)
Son paralelos de sentido opuesto
5 = −15k ⇒ k = −
6
Cecilia Tola Pacheco
Calculo II
MAT 102
21).-Si A = (1, 2, 3) y B = (3, 1, 2), hallar un vector unitario C, paralelo al vector:
a).- A + B
b).- 2A − B
c).- −A + 3B
Solución:
a).-
b).-
c).-
A + B = (1, 2, 3) + (3, 1, 2)
= (4, 3, 5)
√
| A + B | = 42 + 32 + 52
√
= 50
A+B
1
= √ (4, 3, 5)
| A+B |
50
3
5
4
= (√ , √ , √ )
50 50 50
1
c = ± √ (4, 3, 5)
5 2
2A − B = 2(1, 2, 3) − (3, 1, 2)
= (2, 4, 6) − (3, 1, 2)
= (−1, 3, 4)
q
| 2A − B | = (−1)2 + 32 + 42
√
= 26
1
2A − B
= √ (−1, 3, 4)
| 2A − B |
26
1
3
4
= (− √ , √ , √ )
26 26 26
1
c = ± √ (−1, 3, 4)
26
− A + 3B = −(1, 2, 3) + 3(3, 1, 2)
= −(1, 2, 3) + (9, 3, 6)
= (8, 1, 3)
√
| −A + 3B | = 82 + 12 + 32
√
= 74
−A + 3B
1
= √ (8, 1, 3)
| −A + 3B |
74
8
1
3
= (√ , √ , √ )
74 74 74
1
c = ∓ √ (8, 2, 3)
74
7
Cecilia Tola Pacheco
Calculo II
PRODUCTO ESCALAR Y ORTOGONALIDAD
22).- Sean U = (3, 0, 5), V = (2, −1, −3), P0 = (1, −2, 1),
MAT 102
P1 = (2, 3, −1), calcular:
a).- U · V = (3, 0, 5) · (2, −1, −3) = 6 + 0 − 15 = −9
b).- U · (P1 − P0 )
(P1 − P0 ) = (2, 3, −1) − (1, −2, 1) = (1, 5, −2)
U · (P1 − P0 ) = (3, 0, 5) · (1, 5, −2) = 3 + 0 − 10 = −7
c).- V · V = (2, −1, −3) · (2, −1, −3) = 4 + 1 + 9 = 14
d).- (U + V ) · (P0 − P1 )
U + V = (3, 0, 5) + (2, −1, −3) = (5, −1, 2)
P0 − P1 = (1, −2, 1) − (2, 3, −1) = (−1, −5, 2)
(U + V ) · (P− 0 − P1 ) = (5, −1, 2) · (−1, −5, 2) = −5 + 5 + 4 = 4
e).- (U + V ) · (U − V )
U + V = (3, 0, 5) + (2, −1, −3) = (5, −1, 2)
U − V = (3, 0, 5) − (2, −1, −3) = (1, 1, 8)
(U + V ) · (U − V ) = (5, −1, 2) · (1, 1, 8) = 5 − 1 + 16 = 20
f).-
23).- Si A = (2, 4, −7),
| U − V |2
U − V = (3, 0, 5) − (2, −1, −3) = (1, 1, 8)
√
√
| U − V |= 12 + 12 + 82 = 66
√
| U − V |2 = ( 66)2 = 66
B = (2, 6, 3) y
C = (3, 4, −5); en cada una de las expresiones siguientes
se pueden obtener una expresión que tenga sentido.
Introducir dichos paréntesis y efectuar las operaciones.
(a) A − B · C
A−B·C = (A−B)·C = ((2, 4, −7)−(2, 6, 3))·(3, 4, −5) = (0, −2, −10)·(3, 4, −5) = 0−8+50 =
42
(b) A · B + C
A·B+C = A·(B+C) = (2, 4, −7)·((2, 6, 3)+(3, 4, −5)) = (2, 4, −7)·(5, 10, −2) = 10+40+14 =
64
(c)
A
B·C
(2, 4, −7)
A
A
2, 4, −7
1
=
=
=
=
(2, 4, −7)
B · C (B · C) (2, 6, 3)(3, 4, −5) 6 + 24 − 15 15
(d) A − C · C − B
A − C · C − B = (A − C) · (C − B) = ((2, 4, −7) − (3, 4, −5)) · ((3, 4, −5) − (2, 6, 3)) = (−1, 0, −2) ·
(1, −2, −8)
= −1 + 0 + 16 = 15
8
Cecilia Tola Pacheco
Calculo II
MAT 102
24).- Determinar todos los pares ortogonales entre los vectores.
A = (4, 1, −3), B = (1, 2, 2), C = (1, 2, −2), D = (2, 1, 2) y E = (2, −2, −1)
A · B = (4, 1, −3) · (1, 2, 2) = 4 + 2 − 6 = 0
Ortogonal
A · C = (4, 1, −3) · (1, 2, −2) = 4 + 2 + 6 = 12
No es ortogonal
A · D = (4, 1, −3) · (2, 1, 2) = 8 + 1 − 6 = 3
No es ortogonal
A · E = (4, 1, −3) · (2. − 2. − 1) = 8 − 2 + 3 = 9
No es ortogonal
B · C = (1, 2, 2) · (1, 2, −2) = 1 + 4 − 4 = 1
No es ortogonal
B · D = (1, 2, 2) · (2, 1, 2) = 2 + 2 + 4 = 8
No es ortogonal
B · E = (1, 2, 2) · (2, −2, −1) = 2 − 4 − 2 = −4
No es ortogonal
C · D = (1, 2, −2) · (2, 1, 2) = 2 + 2 − 4 = 0
Ortogonal
C · E = (1, 2, −2) · (2, −2, −1) = 2 − 4 + 2 = 0
Ortogonal
D · E = (2, 1, 2) · (2, −2, −1) = 4 − 2 − 2 = 0
Ortogonal
25).- Hallar todos los vectores de R2 de la misma longitud de A y que son ortogonales a A,
siendo:
(a) A = (1, 2)
Sea B = (a, b)ϵR2
Demostrar | B |=| A | y A · B = 0 o A ⊥ B?
√
√
√
| A |=| (1, 2) |= √ 12 + 22 = 1 + 4 = 5
| B |=| (a, b) |= a2 + b2
Como
|√B |=| A | √
2
2
√a + b = 5 √
( a2 + b2 )2 = ( 5)2
a2 + b2 = 5
(1)
Por otra parte
A·B = 0
(1, 2) · (a, b) = 0
a + 2b = 0
a = −2b
(2)
Reemplazando (2) y (1) , se tiene:
a2 + b2 = 5
(−2b)2 + b2 = 5
4b2 + b2 = 5
5b2 = 5
b2 = 1 √
√
b2 = ± 1
b = ±1
Luego Si b = 1 reemplazando en (2), se tiene:
9
Cecilia Tola Pacheco
Calculo II
a = −2b
a = −2(1)
a = −2
Entonces el vector B = (−2, 1)
Si b = −1 reemplazando en (2), se tiene:
a = −2b
a = −2(−1)
a=2
∴ B = (2, −1)
Por tanto los vectores pedidos son B = ±(2, −1)
(b) A = (2, 1)
Sea B = (a, b)ϵR2
Demostrar | B |=| A | y A · B = 0 o A ⊥ B?
√
√
√
| A |=| (2, 1) |= √ 22 + 12 = 4 + 1 = 5
| B |=| (a, b) |= a2 + b2
Como
|√B |=| A | √
2
2
√a + b = 5 √
2
( a + b2 )2 = ( 5)2
a2 + b2 = 5
(1)
Por otra parte
A·B = 0
(2, −1) · (a, b) = 0
2a − b = 0
b = 2a
(2)
Reemplazando (2) y (1) , se tiene:
a2 + b2 = 5
a2 + (2a)2 = 5
a2 + 4a2 = 5
5a2 = 5
a√2 = 1 √
a2 = ± 1
a = ±1
Luego Si a = 1 reemplazando en (2), se tiene:
10
MAT 102
Cecilia Tola Pacheco
Calculo II
b = 2a
b = 2(1)
b=2
Entonces el vector B = (1, 2)
Si a = −1 reemplazando en (2), se tiene:
b = 2a
b = 2(−1)
a = −2
∴ B = (−1, −2)
Por tanto los vectores pedidos son B = ±(1, 2)
(c) A = (−2, 8)
Sea B = (a, b)ϵR2
Demostrar | B |=| A | y A · B = 0 o A ⊥ B?
p
√
√
2 + 82 = 4 + 64 = 68
(−2)
| A |=| (−2, 8) |=
√
| B |=| (a, b) |= a2 + b2
Como
|√B |=| A | √
2
2
√a + b = 68√
2
( a + b2 )2 = ( 68)2
a2 + b2 = 68
(1)
Por otra parte
A·B = 0
(−2, 8) · (a, b) = 0
−2a + 8b = 0
2a = 8b
a = 4b
(2)
Reemplazando (2) y (1) , se tiene:
a2 + b2 = 68
(4b)2 + b2 = 68
16b2 + b2 = 68
17b2 = 68
68
b2 =
17√
√
b2 = 4 b2 = ± 4
b = ±2
Luego Si b = 2 reemplazando en (2), se tiene:
11
MAT 102
Cecilia Tola Pacheco
Calculo II
a = 4b
a = (2)
a=8
Entonces el vector B = (8, 2)
Si b = −2 reemplazando en (2), se tiene:
a = 4b
a = 4(−2)
a = −8
∴ B = (−8, −2)
Por tanto los vectores pedidos son B = ±(8, 2)
(d) A = (3, 5)
Sea B = (a, b)ϵR2
Demostrar | B |=| A | y A · B = 0 o A ⊥ B?
√
√
√
| A |=| (3, 5) |= √ 32 + 52 = 9 + 25 = 34
| B |=| (a, b) |= a2 + b2
Como
|√B |=| A | √
a2 + b2 = 34
√
√
2
( a2 + b2 = ( 34)2 )
a2 + b2 = 34
(1)
Por otra parte
A·B = 0
(3, 5) · (a, b) = 0
3a + 5b = 0
3a = −5b
5
a=− b
(2)
3
Reemplazando (2) y (1) , se tiene:
a2 + b2 = 34
5
(− b)2 + b2 = 34
3
25 2
b + b2 = 34
9
25b2 + 9b2
= 34
9
34 2
b = 34
9
12
MAT 102
Cecilia Tola Pacheco
Calculo II
MAT 102
34b2 = 34 ∗ 9
b√2 = 9 √
b2 = ± 9
b = ±3
Luego Si b = 3 reemplazando en (2), se tiene:
5
a=− b
3
5
a = − (3)
3
a = −5
Entonces el vector B = (−5, 3)
Si b = −3 reemplazando en (2), se tiene:
5
a=− b
3
5
a = − (−3)
3
a=5
∴ B = (5, −3)
Por tanto los vectores pedidos son B = ±(5, −3)
26).- Encontrar los vectores X, distinto de cero, que sea ortogonal a (1, 5, −1). Es X único?
Solución.A = (1, 5, −1)
Sea B = (a, b, c) donde B = X , 0
Entonces A · X = 0
(1, 5, −1) · (a, b, c) = 0
a + 5b − c = 0
c = a + 5b
(1)
Si
a = 7,
b = 9 reemplazando en (1) se tiene:
c = a + 5b
c = 7 + 5(9)
c = 52
∴ X = (7, 9, 52)
Luego:
A·X = 0
(1, 5, −1) · (7, 9, 52) = 0
7 + 45 − 52 = 0
Por tanto A ⊥ X
∴ X es infinito
13
Cecilia Tola Pacheco
Calculo II
MAT 102
Si aplicamos en una sola ecuación de tres incógnitas. Por tanto (1) tiene infinitas
soluciones.
27).- Calcular la componente de A en la dirección de B, siendo :
(a) A = (3, 8), B = (2, 0)
B
Vector unitario
|√B |
√
2
2
| B |= 2 + 0 = 4 = 2
1
B
= (2, 0)
|B| 2
Por tanto
CompBA = A ·
(b) A = (5, −8),
B
1
= (3, 8) · (2, 0) = (3, 8) · (1, 0) = 3 + 0 = 3
|B|
2
B = (1, 1)
B
Vector unitario
|√B |
√
√
2
2
| B |= 1 + 1 = 1 + 1 = 2
B
1
= √ (1, 1)
|B|
2
Por tanto
CompBA = A·
(c) A = (1, 2, −3),
1
B
1 1
5
8
3
= (5, −8)· √ (1, 1) = (5, −8)·( √ , √ ) = √ − √ = − √
|B|
2
2 2
2
2
2
B = (1, 0, 1)
B
Vector unitario
|B| √
√
√
2
2
| B |= 1 + 0 + 12 = 1 + 0 + 1 = 2
B
1
= √ (1, 0, 1)
|B|
2
Por tanto
√
B
1
1
1
1
3
CompBA = A ·
= (1, 2, −3) · √ (1, 0, 1) = (1, 2, −3) · ( √ , 0, √ ) = √ + 0 − √ = − 2
|B|
2
2
2
2
2
(d) A = (1, 1, 1),
B = (1, 2, −3)
B
Vector unitario
|B|
p
√
√
| B |= 12 + 22 + (−3)2 = 1 + 4 + 9 = 14
1
B
= √ (1, 2 − 3)
|B|
14
Por tanto
14
Cecilia Tola Pacheco
Calculo II
MAT 102
B
1
1
2
3
= (1, 1, 1) · √ (1, 2, −3) = (1, 1, 1) · ( √ , √ , − √ )
|B|
14
14 14
14
1
2
3
= √ +√ −√ =0
14
14
14
CompBA = A ·
28).- Encontrar el vector proyección de A sobre B, siendo:
(a) A = (3, 8), B = (2, 0)
1
B
= (3, 8) · (2, 0) = (3, 8) · (1, 0) = 3 + 0 = 3
CompBA = A ·
|B|
2
B
B
B
P royBA = (CompBA ) ·
= (A ·
)·
|B|
|B| |B|
(3, 8) · (2, 0)
3
6
A·B
·B = √
(2, 0) = (2, 0) = (2, 0) = (3, 0)
2
4
2
|B|
22 + 02
(b) A = (5, −8),
B = (1, 1)
B
3
CompBA = A ·
= −√
|B|
2
B
B
B
= (A ·
)·
P royBA = (CompBA ) ·
|B|
|B| |B|
(5, −8) · (1, 1)
A·B
3 3
3
·B = √
(1, 1) = − (1, 1) = (− , − )
2
2
2 2
|B|
12 + 12
(c) A = (1, 2, −3),
B = (1, 0, 1)
√
B
CompBA = A ·
=− 2
|B|
B
B
B
P royBA = (CompBA ) ·
= (A ·
)·
|B|
|B| |B|
(1, 2, −3) · (1, 0, 1)
A·B
2
(1, 0, 1) = − (1, 0, 1) = (−1, 0, −1)
·B = √
2
2
|B|
12 + 02 + 12
(d) A = (1, 1, 1),
B = (1, 2, −3)
B
CompBA = A ·
=0
|B|
B
B
B
P royBA = (CompBA ) ·
= (A ·
)·
|B|
|B| |B|
(1, 1, 1) · (1, 2, −3)
A·B
(1, 2, −3) = (0, 0, 0) · (1, 2, −3) = 0
·B = p
| B |2
12 + 22 + (−3)2
29).- Mostrar que si A , 0, entonces la suma de los cuadrados de sus cosenos directores es igual
a 1, es decir:
cos2 a + cos2 b + cos2 c = 1
Demostración:
Sea A = (a, b, c) , 0
Los cosenos que forman con los vectores unitarios son:
AB
tomando en cuenta cosθ =
| A || B |
15
Cecilia Tola Pacheco
Calculo II
MAT 102
Se tiene
(a, b, c)(a, 0, 0)
cosθ =
| (a, b, c) || (a, 0, 0) |
a
a2
=√
= √
a a2 + b2 + c2
a2 + b2 + c2
(a, b, c)(0, b, 0)
cosφ =
| (a, b, c) || (0, b, 0) |
b
b2
=√
= √
b a2 + b2 + c2
a2 + b2 + c2
(a, b, c)(0, 0, c)
cosϕ =
| (a, b, c) || (0, 0, c) |
c2
c
= √
=√
c a2 + b2 + c2
a2 + b2 + c2
Luego
b2
c2
a2
+
+
a2 + b2 + c2 a2 + b2 + c2 a2 + b2 + c2
a2 + b2 + c2
= 2
a + b2 + c2
=1
cos2 θ + cos2 φ + cos2 ϕ =
30).- Mostrar que el angulo que forman A = (1, 2, 1), B = (2, 1, −1) es el doble del que forman
C = (1, 4, 1), y D = (2, 5, 5)
cosθ =
AB
| A || B |
√
√
√
| A | =| (1, 2, 1) |= 12 + 22 + 12 = 1 + 4 + 1 = 6
q
√
√
| B | =| (2, 1, −1) |= 22 + 12 + (−1)2 = 4 + 1 + 1 = 6
A · B = (1, 2, 1) · (2, 1, −1) = 2 + 2 − 1 = 3
3
3 1
AB
cosθ =
=√ √ = =
| A || B |
6 6 6 2
1
cosθ =
2
1
θ = arc cos( )
2
◦
θ = 60
√
√
√
√
| C | =| (1, 4, 1) |= 12 + 42 + 12 = 1 + 16 + 1 = 18 = 3 2
√
√
√
√
| B | =| (2, 5, 5) |= 22 + 52 + 52 = 4 + 25 + 25 = 54 = 3 6
C · D = (1, 4, 1) · (2, 5, 5) = 2 + 20 + 5 = 27
√
CD
27
27
3
cosϕ =
= √
√ = √ =
| C || D | 3 2 · 3 6 9 12
2
16
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Calculo II
MAT 102
√
cosθ =
3
2
√
3
θ = arc cos( )
2
θ = 30◦
∴ θ = 2α
Por tanto el angulo que forman A y B es el doble que forman C y D.
31. Determinar los cosenos de los ángulos del triangulo cuyos vértices son los puntos
(2, −1, 1), (1, −3, −5), (3, −4, −4)
Solución:
A = A − C = (2, −1, 1) − (3, −4, −4) = (−1, 3, 5)
B = B − C = (1, −3, −5) − (3, −4, −4) = (−2, 1, −1)
C = A − B = (2, −1, 1) − (1, −3, −5) = (1, 2, 6)
(−1, 3, 5)(−2, 1, −1)
AB
0
2+3−5
= √ √ =0
=
=p
p
| A || B | | (−1, 3, 5) || (−2, 1, −1) |
35 6
(−1)2 + 32 + 52 (−2)2 + 12 + (−1)2
cosα = 0
cosα =
(−(−2, 1, −1))(1, 2, 6)
(2, −1, 1)(1, 2, 6)
(−B)C
(2 − 2 + 6)
=
=p
=√
√
√
2 + 12 + (−1)2 12 + 22 + 62
| −B || C | | (−(−2, 1, −1)) || (1, 2, 6) |
4 + 1 + 1 1 + 4 + 36
2
√
√
√
6
6
6 6
6 6
=√ √ = √
= √ =√
√
2
6 41
41
r ( 6) ( 41) 6 41
6
cosβ =
41
cosβ =
(−A)(−C)
(−(−1, 3, 5))(−(1, 2, 6))
(1, −3, −5)(−1, −2, −6)
=
=
| −A || −C | | (−(−1, 3, 5)) || (−(1, 2, 6)) | | (1, −3, −5) || (−1, −2, −6)
−1 + 6 + 30
35
35
=p
=√ √
√
p
√
2
2
2
2
1 + 9 + 25 1 + 4 + 36
35 41
12 + (−3)2 + (−5)
r (−1) + (−2) + (−6)
√
35 35
35
= √
=
√
2 ( 41)
41
( 35)r
35
cosθ =
41
cosθ =
32. Hallar dos vectores no paralelos, ortogonales a (1, 2, −1)
Solución:
Sea
A = (a1 , a2 , a3 )
B = (b1 , b2 , b3 )
El producto escalar A · B = (a1 , a2 , a3 )(b1 , b2 , b3 ) = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3
Si A = (1, 2, −1), buscamos un vector B, que sea ortogonal.
Entonces:
17
Cecilia Tola Pacheco
Calculo II
MAT 102
A · B = (1, 2, −1) · (b1 , b2 , b3 ) = b1 + 2b2 − b3 = 0
b1 + b2 − b3 = 0
b3 = b1 + 2b2 ...(I)
Ası́ que en esta ecuación existen infinitas soluciones:
Luego:
Si b1 = 2 y b2 = −1 reemplazando en I se tiene:
b3 = b1 + 2b2
b3 = 2 + 2(−1)
b3 = 2 − 2
b3 = 0
A · B = (1, 2, −1) · (2, −1, 0) = 2 − 2 + 0 = 0
El vector B1 = (2, −1, 0), es ortogonal y no es paralelo al vector A = (1, 2, −1)
Si b1 = 0 y b2 = 1 reemplazando en I se tiene:
b3 = b1 + 2b2
b3 = 0 + 2(1)
b−3 = 0+2
b3 = 2
A · B2 = (1, 2, −1) · (0, 1, 2) = 0 + 2 − 2 = 0
El vector B2 = (0, 1, 2), es ortogonal y no es paralelo al vector A = (1, 2, −1)
Los vectores son B1 = (2, −1, 0) y B2 = (0, 1, 2)
B1 · B2 = (2, −1, 0) · (0, 1, 2) = 0 − 1 + 0 = −1 , 0
33. Hallar dos vectores perpendiculares entre si y perpendiculares, cada uno, al vector (2, 1, −1).
Solución:
Sea
A = (a1 , a2 , a3 )
B = (b1 , b2 , b3 )
Dos vectores A y B son perpendiculares si y solo si A · B = 0
Sea A = (2, 1, −1)
A·B = 0
(2,1. − 1) · (b1 , b2 , b3 ) = 0
2b1 + b2 − b3 = 0
b3 = 2b1 + b2 ...(I)
Luego:
Si b1 = 0 y b2 = 1, reemplazando en I, se tiene:
b3 = 2b1 + b2
b3 = 2(0) + 1
b3 = 0 + 1
b3 = 1
18
Cecilia Tola Pacheco
Calculo II
El vector B1 = (0, 1, 1)
Si b1 = 1 y b2 = −1, reemplazando en I, se tiene:
b3 = 2b1 + b2
b3 = 2(1) + (−1)
b3 = 2 − 1
b3 = 1
El vector B2 = (1, −1, 1)
Por tanto los vectores perpendiculares al vector A = (2, 1, −1) son:
B1 = (0, 1, 1) y B2 = (1, −1, 1)
PRODUCTO VECTORIAL
34. Sean A = (1, 2, −3), B = (1, −1, 0) y C = (−1, −2, 1); calcular:
a)A × B
b)B × A
e)A × (A × B)
c)A × A
f)(A + B) × (A − B)
d)A × (B × C)
g)(A − 2C) × 2B
Solución:a)
i
A×B = 1
1
j
2
-1
k
-3 = (0 − 3)i − (0 + 3)j + (−1 − 2)k = −3i − 3j − 3k = (−3, −3, −3)
0
Solución: b)
i j
k
B × A = 1 −1 0 = (3 − 0)i − (−3 − 0)j + (2 + 1)k = 3i + 3j + 3k = (3, 3, 3)
1 2 −3
Solución: c)
i j k
A × A = 1 2 −3 = (−6 + 6)i − (−3 + 3)j + (2 − 2)k = 0i + 0j + 0k = (0, 0, 0)
1 2 −3
Solución: d)
i
j k
B × C = 1 −1 0 = (−1 + 0)i − (1 + 0)j + (−2 − 1)k = −i − j − 3k = (−1, −1, −3)
−1 −2 1
i
j
k
A × (B × C) = 1 2 −3 = (−6 − 3)i − (−3 − 3)j + (−1 + 2)k = −9i + 6j + k = (−9, 6, 1)
−1 −1 −3
Solución: e)
i
A×B = 1
1
j
2
-1
k
-3 = (0 − 3)i − (0 + 3)j + (−1 − 2)k = −3i − 3j − 3k = (−3, −3, −3)
0
19
MAT 102
Cecilia Tola Pacheco
Calculo II
MAT 102
i
j
k
A × (A × B) = 1 2 −3 = (−6 − 9)i − (−3 − 9)j + (−3 + 6)k = −15i + 12j + 3k = (−15, 12, 3)
−3 −3 −3
Solución: f)
A + B = (1, 2, −3) + (1, −1, 0) = (2, 1, −3)
A − B = (1, 2, −3) − (1, −1, 0) = (0, 3, −3)
i j k
(A + B) × (A − B) = 2 1 −3 = (−3 + 9)i − (−6 + 0)j + (6 − 0)k = 6i + 6j + 6k = (6, 6, 6)
0 3 −3
Solución: g)
A − 2C = (1, 2, −3) − 2(−1, −2, 1) = (1, 2, −3) − (−2, −4, 2) = (3, 6, −5)
2B = 2(1, −1, 0) = (2, −2, 0)
i j
k
(A − 2C) × 2B = 3 6 −5 = (0 − 10)i − (0 + 10)j + (−6 − 12)k = −10i − 10j − 18k = (−10, −10, −18)
2 −2 0
35. Sean A = (1, 0, −1), B = (2, −1, 1) y C = (1, 2, 1), calcular.
a) A · B × C
b)C · A × B
c)A · A × C
d)C · A × C
Solución a)
1
A·B×C = 2
1
0
-1
2
-1
1 = −1 − 4 − 1 − 2 = −8
1
2
0
-1
1
-1 = 0 − 4 − 1 − 0 − 1 − 2 = −8
1
0
0
2
-1
-1 = 0 − 0 − 2 − 0 + 2 − 0 = 0
1
2
0
2
1
-1 = 0 − 2 + 2 − 0 + 2 − 2 = 0
1
Solución b)
1
C ·A×B = 1
2
Solución c)
1
A·A×C = 1
1
Solución d)
1
C ·A×C = 1
1
36. Tres vértices de un paralelogramo son los puntos A = (1, 0, 1), B = (−1, 1, 1) y C = (2, −1, 2);
20
Cecilia Tola Pacheco
Calculo II
hallar todos los puntos que pueden ser el cuarto vértice del paralelogramo.
Solución:
T = P − B = (X, Y , Z) − (−1, 1, 1)
U = C − A = (2, −1, 2) − (1, 0, 1) = (1, −1, 1)
Igualando,se tiene:
T =U
P −B = C −A
P = B+C −A
P = (−1, 1, 1) + (2, −1, 2) − (1, 0, 1)
P = (−1, 1, 1) + (1, −1, 1)
P = (0, 0, 2)
Sea
R = Q−B
S = A−C
Igualando,se tiene:
R=S
Q−B = A−C
Q = B+A−C
Q = (−1, 1, 1) + (1, 0, 1) − (2, −1, 2)
Q = (−1, 1, 1) + (−1, 1, −1)
Q = (−2, 2, 0)
Sea
V = −O + C = C − O
W = B−A
Igualando,se tiene:
V =W
C −O = B−A
O = C −B+A
O = A−B+C
O = (1, 0, 1) − (−1, 1, 1) + (2, −1, 2)
O = (2, −1, 0) + (2, −1, 2)
O = (4, −2, 2)
21
MAT 102
Cecilia Tola Pacheco
Calculo II
MAT 102
37. Calcular el área del paralelogramo de lados:
a) (5, 3) y (3, 7)
b) (1, −1) y (2, 4)
c) (1, 3, 0) y (−2, −4, 3)
d) (−3, 2, −4) y (1, 1, 1)
e) (a, 0, 0) y (0, b, c)
Solución:a)
Los vectores están en el plano, pero podemos considerar como vectores en el espacio, escribiendo
(5, 3) = (5, 3, 0), (3, 7) = (3, 7, 0)
i j k
5
3 0 = 0i − 0j + (35 − 9)k = 0i − 0j + 26k = (0, 0, 26)
A×B =
3 7 0
| A × B |= 26
Solución:b)
i j
A × B = 1 -1
2 4
| A × B |= 6
k
0 = 0i − 0j + (4 + 2)k = 0i − 0j + 6k = (0, 0, 6)
0
Solución:c)
i
j k
A × B = 1 3 0 = (9 − 0)i − (3 − 0)j + (−4 + 6)k = 9i − 3j + 2k = (9, −3, 2)
-2 -4 3
p
√
√
| A × B |= 92 + (−3)2 + 22 = 81 + 9 + 4 = 94
Solución:d)
i j k
A × B = -3 2 -4 = (2 + 4)i − (−3 + 4)j + (−3 − 2)k = 6i − j − 5k = (6, −1, −5)
1 1 1
p
√
√
| A × B |=| (6, −1, −5) |= 62 + (−1)2 + 52 = 36 + 1 + 25 = 62
Solución:e)
i j k
A × B = a 0 0 = 0 i − ac j + ab k = (0, −ac, ab)
0 b c
√
√
p
p
| A × B |=| (0, −ac, ab) |= a2 + (−ac)2 + (ab)2 = 0 + a2 c2 + a2 b2 = a(c2 + b2 ) = a c2 + b2
38. Calcular el área del triangulo de vértices:
a) (0, 0), (1, 0) y (3, 8)
b) (5, 0), (8, 4) y
c) (−2, 1, 3), (3, 0, 6) y (4, 5, −1)
d) (a, 0, 0),
Solución a)
22
(1, −1)
(0, b, 0)
y
(0, 0, c)
Cecilia Tola Pacheco
Calculo II
MAT 102
A = (0, 0) = (0, 0, 0)
B = (1, 0) = (1, 0, 0)
C = (3, 8) = (3, 8, 0)
Como
B − A = (1, 0, 0) − (0, 0, 0) = (1, 0, 0)
C − A = (3, 8, 0) − (0, 0, 0) = (3, 8, 0)
i j k
(B − A) × (C − A) = 1 0 0 = 0i − 0j + 8k = (0, 0, 8)
3 8 0
Entonces:
1
1√
1
1
64 = · 8 = 4
Área del triangulo = | (B − A) × (C − A) |= | (0, 0, 8) |=
2
2
2
2
Solución b)
A = (5, 0, 0) = (5, 0, 0)
B = (8, 4) = (8, 4, 0)
C = (1, −1) = (1, −1, 0)
Como
B − A = (8, 4, 0) − (5, 0, 0) = (3, 4, 0)
C − A = (1, −1, 0) − (5, 0, 0) = (−4, −1, 0)
i
(B − A) × (C − A) = 3
-4
Entonces:
1
Área del triangulo =
2
j
4
-1
k
0 = 0i − 0j + (−3 + 16)k = (0, 0, 13)
0
| (B − A) × (C − A) |=
1
1√
1
13
| (0, 0, 13) |=
169 = · 13 =
2
2
2
2
Solución c)
B − A = (3, 0, 6) − (−2, 1, 3) = (5, −1, 3)
C − A = (4, 5, −1) − (−2, 1, 3) = (6, 4, −4)
i j k
(B − A) × (C − A) = 5 -1 3 = (4 − 12)i − (−20 − 18)j + (20 + 6)k = −8i + 38j + 26k = (−8, 38, 26)
6 4 -4
Entonces:
√
1
1√
1√
1 √
Área del triangulo = | (B − A) × (C − A) |=
64 + 1444 + 676 =
2184 = · 2 546 = 546
2
2
2
2
23
Cecilia Tola Pacheco
Calculo II
MAT 102
Solución d)
B − A = (0, b, 0) − (a, 0, 0) = (−a, b, 0)
C − A = (0, 0, c) − (a, 0, 0) = (−a, 0, c)
i
(B − A) × (C − A) = -a
-a
Entonces:
1
Área del triangulo =
2
j
b
0
k
0 = bc i + ac j + ab k = (bc, ac, ab)
c
| (B − A) × (C − A) |=
1√ 2 2 2 2 2 2
b c +a c +a b
2
39. Determinar el volumen del paralelepı́pedo determinado por:
a)
(2, 2, 4),
(1, 5, 2)
y
(1, 0, 1)
b) (2, 1, 3),
(−3, 0, 6)
y
(4, 5, −1)
Solución a)
El volumen del paralelepı́pedo V =| A · B × C |
2 2 4
A · B × C = 1 5 2 = 10 + 4 − 20 − 2 = −8
1 0 1
Por tanto el V =| A · B × C |= 8
Solución b)
2
A · B × C = -3
4
1
0
5
3
6 = 24 − 45 − 60 − 3 = −84
-1
Por tanto el volumen del paralelepı́pedo V =| A · B × C |= 84
40. Determinar el volumen del tetraedro de aristas:
a) (5, 0, 16), (1, −1, 1) y (8, 2, 3)
b) (a, b, 0),
(0, b, c)
y
(a, 0, c)
Solución a)
5
A·B×C = 1
8
0
-1
2
16
1 = −15 + 32 + 128 − 10 = 135
3
1
45
1
Por tanto el volumen del tetraedro es V = | A · B × C |= · 135 =
6
6
2
Solución b)
a
A·B×C = 0
a
b
b
0
0
c = abc + abc = 2abc
c
1
1
1
| A · B × C |= · 2abc = abc
6
6
3
41. Si las diagonales de un paralelogramo son los vórtices (−1, 1) y (5, 1), hallar los lados del
paralelogramo.
Solución:
Por tanto el volumen del tetraedro es V =
24
Cecilia Tola Pacheco
Calculo II
MAT 102
Q
R
B/2
O
B
C=?
A/2
P
A
S
D
Sean
A = (−1, 1)
B = (5, 1)
P Q = P O + OQ
A B 1
1
1
C = + = (A + B) = ((−1, 1) + (5, 1)) = (4, 2) = (2, 1)
2 2 2
2
2
∴ C = (2, 1)
PQ+PS = PR
C +D = A
D = A − C = (−1, 1) − (2, 1) = (−3, 0)
∴ D = (−3, 0)
Por tanto los lados del paralelogramo son: C = (2, 1) y D = (−3, 0)
42. Si las diagonales de un paralelogramo son los vértices A y B, expresar los lados del paralelogramo en términos de A y B.
Solución:
Q
R
B/2
O
B
C=?
A/2
P
A
S
D
Sean
A = (−1, 1)
B = (5, 1)
25
Cecilia Tola Pacheco
Calculo II
P Q = P O + OQ
A B 1
C = + = (A + B)
2 2 2
1
∴ C = (A + B)
2
PQ+PS = PR
C +D = A
1
1
1
1
1
D = A − C = A − (A + B) = A − A − B = A − B
2
2
2
2
2
1
∴ D = (A − B)
2
1
1
Por tanto los lados del paralelogramo son: C = (A + B) y D = (A − B)
2
2
44. Encontrar el angulo que forman las diagonales de un cubo.
Solución:
Sea el cubo de lado ¨a¨
A = (a, 0, 0) + (0, a, 0) = (a, a, 0)
B = (a, 0, 0) + (0, 0, a) = (a, 0, a)
C = (a, a, 0) − (0, 0, a) = (a, a, −a)
D = (0, a, 0) − (a, 0, a) = (−a, a, −a)
cosθ =
D1 · D2
| D1 || D2 |
q
√
√
| D1 | =| (a, a, −a) |= a2 + a2 + (−a)2 = 3a2 = a 3
q
√
√
| D2 | =| (−a, a, −a) |= (−a)2 + a2 + (−a)2 = 3a2 = a 3
D1 · D2 = (a, a, −a) · (−a, a, −a) = −a2 + a2 + a2 = a2
Luego:
D1 · D2
a2
a2
1
= √ √ = 2
=
| D1 || D2 | a 3a 3 a ∗ 3 3
1
cosθ =
3
1
θ = cos−1 ( )
3
θ = 70◦ 31′ 44′′
cosθ =
26
MAT 102
Cecilia Tola Pacheco
Calculo II
MAT 102
Z
(0,0,a)
D1
B(a,0,a)
D2
(0,a,0)
(a,0,0)
A(a,a,0)
X
27
Y