256086694-Exponentes-y-Radicales

EXPONENTES Y RADICALES
LEYES DE LOS EXPONENTES.
Si a y b son números reales y m y n son enteros positivos, entonces:
Teorema 1
aman = am + n
Teorema 2
(am)n = amn
Teorema 3
(ab)n = anbn
Teorema 4
an
a
   n
b
b
Teorema 5

a m  n
m

a
 1
Si a ≠ 0, entonces
an  1

 a n  m
n
donde b ≠ 0
cuando m  n;
cuando m  n;
cuando m  n.
EXPONENTES FRACCIONARIOS POSITIVOS
Si a  R y m, n  N, se define
 
1
m n
a
 1
 
 an 
 
 
m
m
an
de la
 
n
1
n n
definición se tiene a
 an  a
1
n
La notación a representa un número cuya potencia n-ésima es a
1
(si a n  b entonces bn = a), con las condiciones siguientes:
1
1. Si n es par y a  0, a n > 0
16
1
4
2
1
1
2
Si n es par y a a  0, a n no es un número real  4 no es
 
real.
1
2. Si n es impar y a  0, a n > 0
27
1
3
3
1
1
5
n
Si n es impar y a a  0, a < 0  32
 2


es real.
1
n
3. Para a  R y m, n  N, siempre que a esté definido,
m
m
 1


definimos a n como a n






Nota:
Cuando a, b  R, a > 0, b > 0, y p, q, r, s, u, v  N, se tiene
u
pu ru
 p r v
 q 
qv
 a b s   a b sv




2
 1 1
 2 2
 x y   xy




2
1
1 1
 1
 2

2
2 2
 x  y   x  2x y  y , no (x + y)




EJEMPLOS:
1.- Las siguientes son aplicaciones directas de los teoremas.
1
1
5
(22 ) (22 ) = 22+2 = 22
1
3
2
(3 ) (32 )
=
1 3
32+2
2
2
5
5
= 32 = 9
(23 )3 = 2(3)(3) = 22 = 4
15
5
(𝑥 3 )9 = 𝑥 (3)(9) = 𝑥 9 = 𝑥 3
6
2 5
(𝑥 3 )
=𝑥
3
2 6
( )( )
3 5
3
12
4
= 𝑥 15 = 𝑥 5
3
12
(81)4 = (34 )4 = (3)(4)(4) = 3 4 = 33 = 27
3
(3𝑥)4
=
3 3
34 𝑥 4
2.- MULTIPLICACIÓN
1
Multiplicar 3𝑥 2 por 2𝑥 2 𝑦
1
1
1
5
(3𝑥 2 ) (2𝑥 2 𝑦) = (3)(2) (𝑥 2 𝑥 2 ) 𝑦 = 6𝑥 2+2 𝑦 = 6𝑥 2 𝑦
1
1
2
5
Multiplicar 2𝑥 3 𝑦 2 por 3𝑥 3 𝑦 2
1 1
2 5
1 2
1 5
1 2 1 5
3 6
(2𝑥 3 𝑦 2 ) (3𝑥 3 𝑦 2 ) = (2)(3) (𝑥 3 𝑥 3 ) (𝑦 2 𝑦 2 ) = 6𝑥 3+3 𝑦 2+2 = 6𝑥 3 𝑦 2 = 6𝑥𝑦 3
1
Evaluar (324)2
1
1
1
1
2
4
(324)2 = ((22 )(34 ))2 = (2(2)(2) ) (3(4)(2) ) = (22 ) (32 ) = (2)(32 ) = (2)(9) = 18
1
3 4
Simplificar (𝑥 4 𝑦 2 )
1
3 4
1
3
4
1
4 5
12
(𝑥 4 𝑦 2 ) = (𝑥 (4)(4) ) (𝑦 (2)(4) ) = 𝑥 4 𝑦 2 = 𝑥𝑦 6
1
Simplificar (𝑥 4 𝑦 5 )2
1
1
5
(𝑥 4 𝑦 5 )2 = 𝑥 (4)(2) 𝑦 (5)(2) = 𝑥 2 𝑦 2 = 𝑥 2 𝑦 2
7
6
8
5 7
8
4
3
1
4 2
7
Multiplicar (𝑥 𝑦 ) por (𝑥 𝑦 )
8
7 5 7
(𝑥 6 𝑦 8 )
1
4 4 2
(𝑥 3 𝑦 7 )
= (𝑥 (6)(7) 𝑦 (8)(7) ) (𝑥 (3)(2) 𝑦 (7)(2) ) = (𝑥 6 𝑦 7 ) (𝑥 3 𝑦 7 )
8
7 5 7
(𝑥 6 𝑦 8 )
1
4 4 2
(𝑥 3 𝑦 7 )
= 𝑥 3+3 𝑦 7+7 = 𝑥 3 𝑦 7 = 𝑥 2 𝑦
7 8
4 2 5 2
5 8
4 1
6 7
4 1
8 5
2 2
3
1
Multiplicar 𝑥 2 (2𝑥 2 − 3)
3
1
3
1
3
1
3
3 1
3
4
3
𝑥 2 (2𝑥 2 − 3) = (𝑥 2 ) (2𝑥 2 ) − (𝑥 2 ) (3) = 2𝑥 2+2 − 3𝑥 2 = 2𝑥 2 − 3𝑥 2
3
𝑥 2 (2𝑥 2 − 3) = 2𝑥 2 − 3𝑥 2
1
1
Multiplicar (3𝑥 2 − 2) (𝑥 2 + 3)
1
3𝑥 2 − 2
1
𝑥2 + 3
1
3𝑥 − 2𝑥 2
1
+ 9𝑥 2 − 6
1
3𝑥 + 7𝑥 2 − 6
1
1
𝟏
(3𝑥 2 − 2) (𝑥 2 + 3) = 𝟑𝒙 + 𝟕𝒙𝟐 − 𝟔
2
1
1
1
Multiplicar (𝑥 2 − 4) = (𝑥 2 − 4) (𝑥 2 − 4)
1
𝑥2 − 4
1
𝑥2 − 4
1
𝑥 − 4𝑥 2
1
− 4𝑥 2 + 16
1
𝑥 − 8𝑥 2 + 16
1
2
𝟏
(𝑥 2 − 4) = 𝒙 − 𝟖𝒙𝟐 + 𝟏𝟔
Simplificar las siguientes expresiones:
5 2
1. −
𝑥 3𝑦5
2
𝑥3𝑦
5 2
=
𝑥 3 −3
2
𝑦1−5
=
𝑥
3
𝑦5
2. − (
5 3
𝑎4 𝑏 8
4
5 3 3
(𝑎4 𝑏 8 )
4
3
3 3)
𝑎8 𝑏 2
=
3
4
3 3 3
(𝑎8 𝑏 2 )
5 4
=
3 4
𝑎(4)(3) 𝑏(8)(3)
3 4
3 4
𝑎(8)(3) 𝑏(2)(3)
20 12
=
𝑎12 𝑏24
12 12
𝑎24 𝑏 6
5 1
𝑎 3 −2
=
1
𝑏2−2
7
=
𝑎6
3
𝑏2
3
((2)4 )2
26
6−3
3. −
= 23 = 8
3 =
3 = 3 = 2
2
(32)5 ((2)5 )5
(16)2
4 7 3
(16𝑥 3 𝑦 6 )
4. −
3 5 4
(8𝑥 2 𝑦 8 )
4 7 3
(16𝑥 3 𝑦 6 )
=
5. −
2
(8𝑥 6 𝑦 9 𝑧12 )3
6
2 5 5
(𝑥 3 𝑦 12 )
6. −
4
3 1 3
(𝑥 4 𝑦 2 )
3 5 4
3
(2 𝑥 2 𝑦 8 )
3
(32 𝑥 2 𝑦 4 𝑧 6 )2
=
2
=
(23 𝑥 6 𝑦 9 𝑧12 )3
2 6
=
=
3 5 4
(8𝑥 2 𝑦 8 )
3
(9𝑥 2 𝑦 4 𝑧 6 )2
4 7 3
4 3 6
(2 𝑥 𝑦 )
5
6
𝑥 (3)(5) 𝑦 (12)(5)
3 4
1 4
𝑥 (4)(3) 𝑦 (2)(3)
=
5
212 𝑥 6 𝑦 2
7 5
𝑦 2 −2
𝑦
= 6−4 = 2
𝑥
𝑥
33 𝑥 3 𝑦 6 𝑧 9 27𝑦 6−6 𝑧 9−8 27𝑧
=
=
22 𝑥 4 𝑦 6 𝑧 8
4𝑥 4−3
4𝑥
4 1
=
7
212 𝑥 4 𝑦 2
𝑥5𝑦2
2
𝑥𝑦 3
=
1
4 2 1
𝑥 1−5 𝑦 3−2
=
1
1 1
𝑥 5𝑦6
EXPONENTE CERO Y EXPONENTES NEGATIVOS
1. Con el fin de que la primera y la segunda partes del Teorema 4 para que
exponentes sean congruentes, se debe tener, para n = m y a ≠ 0,
am – m = 1, o bien a0 = 1.
Por consiguiente, se define
si a ≠ 0, a0 = 1.
Cuando a = 0, se tiene 00, lo cual es indeterminado.
2. Con el fin de que la primera y la segunda partes del Teorema 4 para que
exponentes sean congruentes, se debe tener, para m = 0 y a ≠ 0,
a0 n 
1
an  0
, De tal manera que se define si a ≠ 0, a  n 
Nota:
1. 2a0 = 2(1) = 2
2. Si a ≠ – b , (a + b)0 = 1
1
an
3. a0 + b0 = 1 + 1 = 2
4.  a  n  
a
5.  
b
n
1
an
a n
b


 
n
n a
b
a
6. (a  b)  n 
1
ab 2
c  3 d4

1

an
ac 3
b 2 d4
n
a b
(a  b)n
7. a  n  b  n 
8.
bn
1
bn

bn  an
a nb n
; es decir, cuando se tiene un factor en el numerador de
una fracción y se escribe en el denominador, o viene un factor en el
denominador y se escribe en el numerador, se toma dicho factor con el
negativo de su exponente.
EJEMPLOS:
1.- Expresar xy – 2 con exponentes negativos.
1
𝑥
𝑥𝑦 −2 = (𝑥) ( 2 ) = 2
𝑦
𝑦
2.- Multiplicar 𝑥 −1 𝑦 −3
por 𝑥 2 𝑦 −2 y escribir la respuesta con exponentes
positivos.
(𝑥 −1 𝑦 −3 )(𝑥 2 𝑦 −2 ) = (𝑥 −1 𝑥 2 )(𝑦 −3 𝑦 −2 ) = 𝑥 −1+2 𝑦 −3−2 = 𝑥𝑦 −5 =
𝑥
𝑦5
3.- Simplificar (2𝑥 2 𝑦 −3 )−2 y escribir la respuesta con exponentes positivos.
(2𝑥 2 𝑦 −3 )−2 = 2−2 𝑥 −4 𝑦 6 = (
1
1
𝑦6
6
)
(
)
𝑦
=
22 𝑥 4
4𝑥 4
4.- Simplificar (𝑥𝑦 −1 𝑧 −2 )2 (2−1 𝑥 −2 𝑦𝑧 −3 )−3
y escribir la respuesta con
exponentes positivos.
(𝑥𝑦 −1 𝑧 −2 )2 (2−1 𝑥 −2 𝑦𝑧 −3 )−3 = (𝑥 2 𝑦 −2 𝑧 −4 )(23 𝑥 6 𝑦 −3 𝑧 9 )
(𝑥𝑦 −1 𝑧 −2 )2 (2−1 𝑥 −2 𝑦𝑧 −3 )−3 = 23 (𝑥 2 𝑥 6 )(𝑦 −2 𝑦 −3 )(𝑧 −4 𝑧 9 ) = 8𝑥 8 𝑦 −5 𝑧 5
(𝑥𝑦 −1 𝑧 −2 )2 (2−1 𝑥 −2 𝑦𝑧 −3 )−3 =
8𝑥 8 𝑧 5
𝑦5
5.- Simplificar y escribir la respuesta con exponentes positivos.
(𝑥 2 𝑦 −4 𝑧 3 )−2
𝑥 −4 𝑦 8 𝑧 −6
1
𝑥 2 𝑦 12
−4+6 )(𝑦 8+4 )
(𝑥
=
=
(
)
=
(𝑥 −3 𝑦 −2 𝑧 −1 )2 𝑥 −6 𝑦 −4 𝑧 −2
𝑧 −2+6
𝑧4
6.- Simplificar y escribir la respuesta con exponentes positivos.
−1
2𝑏 2 − 3𝑎
2 3
−
2 + 2𝑎
𝑎𝑏 2 (2𝑏 2 − 3𝑎) (2𝑏 2 − 3𝑎)
𝑎 𝑏2
𝑏
=
= 2
=
=
1 2
𝑏 + 2𝑎
(𝑏 2 + 2𝑎)
𝑎𝑏 2 (𝑏 2 + 2𝑎)
+
2
2
𝑎 𝑏
𝑎𝑏
−2
2𝑎 − 3𝑏
𝑎−1 + 2𝑏 −2
7.- Simplificar y escribir la respuesta con exponentes positivos.
3
2𝑎 + 3
2+𝑎
2 + 3𝑎−1
𝑎2 (2𝑎 + 3)
𝑎(2𝑎 + 3)
𝑎
𝑎
=
=
=
=
=
2
−2
2
9
4𝑎 − 9 𝑎(4𝑎 − 9) (2𝑎 + 3)(2𝑎 − 3) (2𝑎 − 3)
4 − 9𝑎
4− 2
𝑎
𝑎2
TAREA Nº 1:
I.- EFECTÚA LAS OPERACIONES INDICADAS Y SIMPLIFICA:
1
1
1. − (𝑥 2 ) (𝑥 3 )
1
3
1
2. − (𝑥 2 ) (𝑥 8 )
2 1
2
1
10. − (𝑥 3 − 1) (𝑥 3 + 𝑥 3 + 1)
2
1
11. − (2𝑥 3 + 1) (4𝑥 3 − 2𝑥 3 + 1)
1 5
3. − (𝑥 3 𝑦 2 ) (𝑥 6 𝑦 4 )
4. −
3
2 4 4
(16𝑥 3 𝑦 3 )
3
92
12. −
5
7
6. −
1 2 6
(𝑥 4 𝑦 9 )
7. −
4
5 3 3
(𝑥 4 𝑦 2 )
1
(4𝑥 5 𝑦 2 )2
5. − 128
2
5 15 5
(𝑥 3 𝑦 4 )
1
13. −
(𝑥 2 𝑦 18 )6
1
1
2
4 3
(𝑥 2 𝑦 9 )
8. − (2𝑥 2 + 1) (3𝑥 2 − 4)
1
2
9. − (𝑥 4 − 3)
II.- EFECTÚA LAS OPERACIONES INDICADAS
RESPUESTAS CON EXPONENTES POSITIVOS.
1
1
14. − (𝑥 −2 𝑦 −6 )2 (27𝑥 9 𝑦 −3 )−3
Y
𝑥 −6 𝑦 −4 𝑧 3
15. − −3 −8 −3
𝑥 𝑦 𝑧
ESCRIBE
LAS
16. −
2−3 𝑥 −7 𝑦 5
2−4 𝑥 −10 𝑦 −1
3𝑎−2 − 4𝑎−1 + 1
19. −
6𝑎−2 − 5𝑎−1 + 1
(2−1 𝑥 −2 𝑦)3
17. −
(2−2 𝑥𝑦 −1 )−2
2𝑎−2 − 3𝑏 −3
18. −
2𝑎 −2 + 𝑏 −3
20. −
𝑎−1 + 3𝑎−2
1 + 2𝑎−1 − 3𝑎−2
RADICALES
Definición
La raíz n-ésima de un número real a se denota por el símbolo n a , el cual se
llama radical. La raíz n-ésima de a es un número cuya potencia n-ésima es a;
 
n
esto es, n a  a , con las condiciones siguientes:
1. Cuando n es par y a > 0, n a > 0, llamada raíz principal.
Cuando n es par y a < 0, n a no es número real.
2. Cuando n es impar y a > 0, n a > 0.
Cuando n es impar y a < 0, n a < 0.
El número natural n representa en el radical √𝑎 se llama índice u orden del
𝑛
radical y a se denomina radicando. Cuando no se escribe ningún índice, como
en √𝑎, se sobreentiende que el índice es 2 y se lee “raíz cuadrada de a”. Si el
índice es 3, como en √𝑎, se lee “raíz cúbica de a”.
3
𝑛
𝑚
𝑛
𝑛
La expresión √𝑎𝑚 se define como ( √𝑎) , siempre que √𝑎 esté definida.
El índice de in radical siempre es un número mayor que uno.
De la definición de exponentes fraccionarios y de la de radicales, para aR, m,
1
𝑚
1
nN, tenemos: √𝑎 = 𝑎𝑛 𝑦 √𝑎𝑚 = 𝑎 𝑛 siempre que √𝑎 𝑦 𝑎𝑛 estén definidos.
𝑛
𝑛
𝑛
FORMA ESTÁNDAR DE RADICALES
Teorema 1 Si a, b  R, a > 0, b > 0 y n  N, entonces n ab  n a n b
Se dice que un radical está de forma estándar si se cumplen las siguientes
condiciones:
 El radicando es positivo
 El índice del radical es el menor posible
 El exponente de cada factor del radicando es un número natural
menor que el índice del radical
 No hay fracciones en el radicando
 No hay radicales en el denominador de ninguna fracción.
Simplificar un radical significa expresarlo en forma estándar. Cuando el
radicando es negativo, la definición da lugar a lo siguiente:
-
Si n es par y a > 0, n  a no es número real.
-
Si n es impar y a > 0, n  a  .n a
Nota
n anbn  ab

n
n
 (a  b )  a  b
n
 a n  b n  (a  b )

Ejemplos:
1. − √32 = √25 = √24 ∗ 2 = √24 √2 = 22 √2 = 4√2
2. − √16𝑥 3 𝑦 = √24 𝑥 3 𝑦 = √24 𝑥 2 𝑥𝑦 = √24 𝑥 2 √𝑥𝑦 = 22 𝑥√𝑥𝑦 = 4𝑥√𝑥𝑦
3
3
3
3
3
3
3. − √27𝑥 2 𝑦 4 = √33 𝑥 2 𝑦 4 = √33 𝑥 2 𝑦 3 𝑦 = √33 𝑦 3 (√𝑥 2 𝑦) = 3𝑦 (√𝑥 2 𝑦)
3
3
La expresión 3𝑦( √𝑥 2 𝑦) se llama forma estándar de √27𝑥 2 𝑦 4 .
ESCRIBE EN FORMA ESTÁNDAR LAS SIGUIENTES EXPRESIONES.
1. − √23 𝑥 5 = √(22 ∗ 2)(𝑥 4 ∗ 𝑥) = √22 𝑥 4 √𝑥 = 2𝑥 2 √𝑥
2. − √8𝑥 3 𝑦 2 𝑧 5 = √23 𝑥 3 𝑦 2 𝑧 5 = √(22 ∗ 2)(𝑥 2 ∗ 𝑥)𝑦 2 (𝑧 4 ∗ 𝑧) = √22 𝑥 2 𝑦 2 𝑧 4 √2𝑥𝑧
√8𝑥 3 𝑦 2 𝑧 5 = 2𝑥𝑦𝑧 2 √2𝑥𝑧
3
3
3
3
3. − √24 𝑥 6 𝑦 5 𝑧10 = √(23 ∗ 2)𝑥 6 (𝑦 3 ∗ 𝑦 2 )(𝑧 9 ∗ 𝑧) = √23 𝑥 6 𝑦 3 𝑧 9 ( √2𝑦 2 𝑧)
3
3
√24 𝑥 6 𝑦 5 𝑧10 = 2𝑥 2 𝑦𝑧 3 ( √2𝑦 2 𝑧)
3
3
3
3
3
4. − √−2𝑥11 𝑦 4 = − √2(𝑥 9 ∗ 𝑥 2 )(𝑦 3 ∗ 𝑦) = − √𝑥 9 𝑦 3 (√2𝑥 2 𝑦) = −𝑥 3 𝑦 (√2𝑥 2 𝑦)
4
4
5. − √64𝑥 4 𝑦10 = √26 𝑥 4 𝑦 10 = √23 𝑥 2 𝑦 5 = √(22 ∗ 2)𝑥 2 (𝑦 4 ∗ 𝑦) = √22 𝑥 2 𝑦 4 (√2𝑦)
4
√64𝑥 4 𝑦 10 = 2𝑥𝑦 2 √2𝑦
TAREA Nº 2:
EXPRESA LOS SIGUIENTES RADICALES EN FORMA ESTÁNDAR.
1. − √8
2. −2√24
3. − √675
4. − √64 − 16
5. −√50𝑥 2 𝑦 5
6. − √20𝑥 3 𝑦𝑧 6
7. − √𝑥 4 𝑦 5 (𝑥 + 𝑦)2
3
8. − √−54
5
9. − √−64
3
10. − √16𝑥 6 𝑦 4
Combinación de radicales.
Se dice que dos o más radicales son semejantes si tienen el mismo índice y el mismo
radicando.
Ejemplos:
Simplificar y combinar radicales semejantes.
1. − √54 − √24 + √150 = √2 ∗ 33 − √23 ∗ 3 + √2 ∗ 3 ∗ 52
√54 − √24 + √150 = 3√6 − 2√6 + 5√6 = 𝟔√𝟔
2. − 𝑥√147𝑦 3 + 𝑦√75𝑥 2 𝑦 − √48𝑥 2 𝑦 3 = 𝑥√3 ∗ 72 𝑦 3 + 𝑦√3 ∗ 52 𝑥 2 𝑦 − √24 ∗ 3𝑥 2 𝑦 3
𝑥√147𝑦 3 + 𝑦√75𝑥 2 𝑦 − √48𝑥 2 𝑦 3 = 7𝑥𝑦√3𝑦 + 5𝑥𝑦√3𝑦 − 4𝑥𝑦√3𝑦
𝑥√147𝑦 3 + 𝑦√75𝑥 2 𝑦 − √48𝑥 2 𝑦 3 = 𝟖𝒙𝒚√𝟑𝒚
3
3
3
3
3. −3√8 − √81 − √128 + √375 = 3√23 − √34 − √27 + √3 ∗ 53
3
3
3
3
3
3
3√8 − √81 − √128 + √375 = 3 ∗ 2√2 − 3√3 − 23 √2 + 5√3
3
3
𝟑
3√8 − √81 − √128 + √375 = 6√2 − 3 √3 − 8√2 + 5 √3 = −𝟐√𝟐 + 𝟐 √𝟑
TAREA Nº 3:
Simplifica y combina los radicales semejantes.
3
3
1. −4√8 + √81 − √32
6. − √75 + √81 − √12 − √192
2. −2√24 + √54 − √36
7. − √128 + √18 − √98 − √16
3. − √294 − 2√216 − √150
8. − √24𝑥 2 + √24𝑥 4 − √54𝑥 2 + √81𝑥 4
4. − √81 − √32 − √50
9. − √16 − √−54 + √256
1
5. −6𝑥√𝑥 − 7√𝑥 3 + √𝑥 5
𝑥
10. − √125𝑎5 − 𝑎 √−27𝑎2 + √64𝑎10
3
3
3
3
3
3
3
6
3
6
Multiplicación de radicales
La multiplicación de radicales es posible aplicando la regla: n a n b  .n ab
 R, a > 0, b > 0
EJEMPLOS:
para
1. − √2√3 = √2 ∗ 3 = √𝟔
2. −√6√33 = √6 ∗ 33 = √2 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 11 = 𝟑√𝟐𝟐
3. −2√𝑥√𝑥𝑦 = 2√𝑥 2 𝑦 = 𝟐𝒙√𝒚
3
3
3
𝟑
4. −3√2 ∗ 2 √5 = (3 ∗ 2) √10 = 𝟔 √𝟏𝟎
3
3
3
3
3
𝟑
5. − √4 √6 = √24 = √3 ∗ 8 = √23 ∗ 3 = 𝟐 √𝟑
6. −𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 3√2(5√6 − 2√10) 𝑦 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎
3√2(5√6 − 2√10) = 15√12 − 6√20 = 15√3 ∗ 4 − 6√4 ∗ 5 = 2 ∗ 15√3 − 2 ∗ 6√5
3√2(5√6 − 2√10) = 𝟑𝟎√𝟑 − 𝟏𝟐√𝟓
7. −𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑎 2√3𝑥𝑦(4√𝑥 − 3√𝑦) 𝑦 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎
2√3𝑥𝑦(4√𝑥 − 3√𝑦) = 8√3𝑥 2 𝑦 − 6√3𝑥𝑦 2 = 𝟖𝒙√𝟑𝒚 − 𝟔𝒚√𝟑𝒙
8. −𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑎 (1 + √5)(3 − 2√5) 𝑦 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎
1 + √5
3 − 2√5
3 + 3√5
− 2√5 − 2√25
3 + √5 − 2(5)
(1 + √5)(3 − 2√5) = 3 + √5 − 2(5) = 3 + √5 − 10
(1 + √5)(3 − 2√5) = −𝟕 + √𝟓
9. −𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 (2√3 − 4√2)(3√3 + √2) 𝑦 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎
2√3 − 4√2
3√3 + √2
6√9 − 12√6
+ 2√6 − 4√4
6√9 − 10√6 − 4√4
(2√3 − 4√2)(3√3 + √2) = 6√9 − 10√6 − 4√4 = 6(3) − 10√6 − 4(2)
(2√3 − 4√2)(3√3 + √2) = 18 − 10√6 − 8 = 𝟏𝟎 − 𝟏𝟎√𝟔
a, b
10. −𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 (√3𝑥 − √2𝑦)(5√3𝑥 + 2√2𝑦) 𝑦 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎
√3𝑥 − √2𝑦
5√3𝑥 + 2√2𝑦
5√9𝑥 2 − 5√6𝑥𝑦
+ 2√6𝑥𝑦 − 2√4𝑦 2
5√9𝑥 2 − 3√6𝑥𝑦 − 2√4𝑦 2
(√3𝑥 − √2𝑦)(5√3𝑥 + 2√2𝑦) = 5√9𝑥 2 − 3√6𝑥𝑦 − 2√4𝑦 2
(√3𝑥 − √2𝑦)(5√3𝑥 + 2√2𝑦) = 5(3𝑥) − 3√6𝑥𝑦 − 2(2𝑦) = 15𝑥 − 3√6𝑥𝑦 − 4𝑦
(√3𝑥 − √2𝑦)(5√3𝑥 + 2√2𝑦) = 𝟏𝟓𝒙 − 𝟒𝒚 − 𝟑√𝟔𝒙𝒚
2
11. −𝐷𝑒𝑠𝑎𝑟𝑟𝑜𝑙𝑙𝑎 (√𝑥 + 3 + √𝑥 − 2) 𝑦 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎
√𝑥 + 3 + √𝑥 − 2
√𝑥 + 3 + √𝑥 − 2
√(𝑥 + 3)2 + √(𝑥 + 3)(𝑥 − 2)
+√(𝑥 + 3)(𝑥 − 2) + √(𝑥 − 2)2
√(𝑥 + 3)2 + 2√(𝑥 + 3)(𝑥 − 2) + √(𝑥 − 2)2
2
(√𝑥 + 3 + √𝑥 − 2) = √(𝑥 + 3)2 + 2√(𝑥 + 3)(𝑥 − 2) + √(𝑥 − 2)2
2
(√𝑥 + 3 + √𝑥 − 2) = 𝑥 + 3 + 2√𝑥 2 + 3𝑥 − 2𝑥 − 6 + 𝑥 − 2
2
(√𝑥 + 3 + √𝑥 − 2) = 𝟐𝒙 + 𝟏 + 𝟐√𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟔
TAREA Nº 4:
EFECTÚA LAS OPERACIONES INDICADAS Y SIMPLIFICA.
3
3
1. −√14√21
6. − √−14 √−49
2. −7√3𝑥√2𝑥
7. − √10𝑎4 √16𝑎3
3. −5√2𝑥(6√𝑥)
8. − √5𝑥(√10𝑥𝑦 − √15𝑥)
4. − √𝑥 + 3√𝑥 + 3
9. − (√2𝑥 + √3𝑦)(√2𝑥 − √3𝑦 )
5. − √𝑥 − 2√𝑥 − 8
10. − (√2𝑥 + 1 − 3√𝑥 − 2)
5
5
2
DIVISIÓN DE RADICALES
Teorema
Si a, b  R, a > 0, b > 0, y n  N, entonces
na
nb
 .n
a
b
Nota:
1. El denominar es la raíz perfecta si el exponente de cada uno de los factores es
un múltiplo entero del índice del radical.
Ejemplos:
3
3∗2
6
√6 𝟏
1. − √ = √
=√ 2=
= √𝟔
2
2∗2
2
2
𝟐
𝑎
𝑎∗𝑏
𝑎 ∗ 𝑏 √𝒂𝒃
2. − √ = √
=√ 2 =
𝑏
𝑏∗𝑏
𝑏
𝒃
𝟑
3 2 ∗ 32
3 2
√𝟏𝟖
3. − √ = √
=
3
2 ∗ 32
𝟑
4. −
5. −
2
√3
=(
4
√50
=
2
𝟐√𝟑
√3
)( ) =
𝟑
√3 √3
4
=(
4
4√2
𝟒√𝟐
√2
)( ) =
=
(5)(2)
𝟏𝟎
5√2 √2
√(2)(25)
𝑎
𝑎
𝒂
6. −
=
=
√9𝑎3 √32 𝑎 ∗ 𝑎2 𝟑√𝒂
El
factor
racionalizador
3
de
3a
 3 b , no
es
3a
 3 b,
3
(3 a  3 b )(3 a  3 b )  a2  b2 , lo cual no es un número irracional.
7.- Dividir √15 entre √21 y expresa el resultado en forma estándar.
(3)(5)
(5)(7) 𝟏
15
5
=√ =√
=√ =√
= √𝟑𝟓
(3)(7)
(7)(7) 𝟕
21
7
√21
√15
8.- Dividir √3𝑥𝑦 entre √4𝑎3 𝑏 y expresa el resultado en forma estándar.
(3𝑥𝑦)(𝑎𝑏)
3𝑥𝑦
𝟑𝒂𝒃𝒙𝒚
𝟏
√
=√ 3 =√
=
=
√𝟑𝒂𝒃𝒙𝒚
(4𝑎3 𝑏)(𝑎𝑏)
4𝑎 𝑏
𝟐𝟐 𝒂𝟒 𝒃𝟐 𝟐𝒂𝟐 𝒃
√4𝑎3 𝑏
√3𝑥𝑦
ya
que
9.- Expresar en forma estándar:
(3𝑎2 𝑏3 )(5𝑥𝑦)
3𝑎2 𝑏 3
15𝑎2 𝑏 3 𝑥𝑦
𝑎𝑏
√
√
√
=
=
=
√15𝑏𝑥𝑦
(4)(5)(𝑥𝑦 5 )(5𝑥𝑦)
(22 )(52 )𝑥 2 𝑦 6 (2)(5)𝑥𝑦 3
20𝑥𝑦 5
3𝑎2 𝑏 3
𝒂𝒃
√
=
√𝟏𝟓𝒃𝒙𝒚
20𝑥𝑦 5 𝟏𝟎𝒙𝒚𝟑
3
3
10.- Dividir √3 entre √20 y expresa el resultado en forma estándar.
3
3 3 ∗ 2 ∗ 52
3
3
(2)(25 )
3
3
1 3
𝟏 𝟑
√
√(
√150
√𝟏𝟓𝟎
√
=
=
)
(
)
=
=
=
3
(4)(5)
(22 )(5) (2)(25 )
23 ∗ 53
2∗5
𝟏𝟎
√20
√3
11.- Expresar en forma estándar:
3 (34 𝑥 6 𝑦 7 )
81𝑥 6 𝑦 7 3 34 𝑥 6 𝑦 7
𝑎𝑏 2 3 (3 ∗ 33 )𝑥 6 (𝑦 ∗ 𝑦 6 )𝑎𝑏 2 𝟑𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝟑
√
√
√
√𝟑𝒂𝒃𝟐 𝒚
=
=
∗
=√
=
8𝑎8 𝑏10
23 𝑎8 𝑏10
23 𝑎8 𝑏10 𝑎𝑏 2
23 𝑎9 𝑏12
𝟐𝒂𝟑 𝒃𝟒
3
12.- Divide y simplifica
3√6 − 6√10
3√2
=
3√6
3√2
−
6√10
3√2
=
√6
√2
−
2√10
6 2
10
= √ − (√ ) = √𝟑 − 𝟐√𝟓
2 1
2
√2
13.- Divide y simplifica
√7𝑥 − √2𝑦
√14𝑥𝑦
√7𝑥 − √2𝑦
√14𝑥𝑦
=
√7𝑥
√14𝑥𝑦
−
√2𝑦
√14𝑥𝑦
=√
7𝑥
2𝑦
7𝑥
2𝑦
1
1
−√
=√
−√
=√ −√
14𝑥𝑦
14𝑥𝑦
2(7)𝑥𝑦
2(7)𝑥𝑦
2𝑦
7𝑥
1 2𝑦
1 7𝑥
2𝑦
7𝑥
𝟏
𝟏
=√ ∗
−√ ∗
=√ 2 2−√ 2 2 =
√𝟕𝒙
√𝟐𝒚 −
2𝑦 2𝑦
7𝑥 7𝑥
2 𝑦
7 𝑥
𝟐𝒚
𝟕𝒙
14.- Racionalizar el denominador de
√2
2 − √3
=
√2(2 + √3)
(2 − √3)(2 + √3)
=
2√2 + √6
= 𝟐√𝟐 + √𝟔
4−3
15.- Racionalizar el denominador de
√2 + √3
2√2 + √3
√2 + √3
2√2 + √3
=
(√2 + √3)(2√2 − √3)
(2√2 + √3)(2√2 − √3)
==
=
2√4 − √6 + 2√6 − √9
4√4 − √9
=
2(2) + √6 − 3
4(2) − 5
4 + √6 − 3 𝟏 + √𝟔
=
8−3
𝟓
TAREA Nº 5
Dividir y simplificar las siguientes expresiones de radicales.
1. −
2. −
√18
√6
4
9. −
√2𝑎4 𝑏
4
√32𝑥 3 𝑦 5
7
√21
10. −
3. −
4. −
8
√32
11. −
3√2
√15
12. −
√32 − √18
√2
3√5 − 2√6
√30
√14
√7 − √2
3
5. −
√14
3
√28
13. −
√3
2√2 + 3√3
3
6. −
7. −
8. −
√15
3
√45
14. −
√5
√10𝑥
√5𝑥
√8𝑥 2 𝑦 3
15. −
2√3 + 3√2
4√3 + √2
√3𝑥 + √6𝑦
2√6𝑥 − √3𝑦
FACTORES
Se llama factores o divisores de una expresión algebraica a las expresiones algebraicas que multiplicadas
entre sí dan como producto la primera expresión.
DESCOMPONER EN FACTORES O FACTORAR
Descomponer en factores o factorar una expresión algebraica es convertirla en el producto indicado de sus
factores.
FACTORAR UN MONOMIO
Los factores de un monomio se pueden hallar por simple inspección.
CASO I
Cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común.
a) Factor común monomio
- Descomponer en factores a2 + 2a = a (a + 2)
- Descomponer 10a2 – 5a + 15a3 = 5a(2a – 1 + 3a2 )
- Factorar 6xy3 – 9nx2y3 + 12nx3y3 – 3n2x4y3 = 3xy3(2 – 3nx + 4nx2 – n2x3)
b)
-
Factor común polinomio
Descomponer x(a + b) + m(a + b) = (a + b) (x + m)
Descomponer 2x(a – 1) – y(a – 1) = (a – 1) (2x – y)
Factorar 2x(x + y + z) – x – y – z = 2x(x + y + z) – (x + y +z) =(x + y + z) (2x – 1)
Factorar (x – a) (y + 2) + b(y + 2)=
(𝑥 − 𝑎)(𝑦 + 2) 𝑏(𝑦 + 2)
(𝑥 − 𝑎)(𝑦 + 2) + 𝑏(𝑦 + 2) =
+
𝑦+2
𝑦+2
(𝑥 − 𝑎)(𝑦 + 2) + 𝑏(𝑦 + 2) = (𝑦 + 2)(𝑥 − 𝑎 + 𝑏)
-
Descomponer (x + 2)(x – 1) – (x – 1)(x – 3)
(𝑥 + 2)(𝑥 − 1) (𝑥 − 1)(𝑥 − 3)
(𝑥 + 2)(𝑥 − 1) − (𝑥 − 1)(𝑥 − 3) =
−
(𝑥 − 1)
(𝑥 − 1)
(𝑥 + 2)(𝑥 − 1) − (𝑥 − 1)(𝑥 − 3) = (𝑥 − 1)[(𝑥 + 2) − (𝑥 − 3)]
(𝑥 + 2)(𝑥 − 1) − (𝑥 − 1)(𝑥 − 3) = (𝑥 − 1)[𝑥 + 2 − 𝑥 + 3)] = 5(𝑥 − 1)
CASO II
Factor común por agrupación de términos
1) Descomponer 2x2 – 3xy – 4x + 6y
2x2 – 3xy – 4x + 6y = (2x2 – 3xy) – (4x + 6y) = x(2x – 3y) – 2(2x – 3y)
2x2 – 3xy – 3x + 6y = (2x – 3y)(x – 2)
2) Descomponer x + z2 – 2ax – 2az2
𝑥 + 𝑧 2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑎𝑧 2 = (𝑥 − 2𝑎𝑥) + (𝑧 2 − 2𝑎𝑧 2 ) = 𝑥(1 − 2𝑎) + 𝑧 2 (1 − 2𝑎)
𝑥 + 𝑧 2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑎𝑧 2 = (1 − 2𝑎)(𝑥 + 𝑧 2 )
3) Descomponer a2x – ax2 – 2a2y + 2axy + x3 – 2x2y
𝑎2 𝑥 − 𝑎𝑥 2 − 2𝑎2 𝑦 + 2𝑎𝑥𝑦 + 𝑥 3 − 2𝑥 2 𝑦
= (𝑎2 𝑥 − 2𝑎2 𝑦) − (𝑎𝑥 2 − 2𝑎𝑥𝑦) + (𝑥 3 − 2𝑥 2 𝑦)
2
2
𝑎 𝑥 − 𝑎𝑥 − 2𝑎2 𝑦 + 2𝑎𝑥𝑦 + 𝑥 3 − 2𝑥 2 𝑦 = 𝑎2 (𝑥 − 2𝑦) − 𝑎𝑥(𝑥 − 2𝑦) + 𝑥 2 (𝑥 − 2𝑦)
𝑎2 𝑥 − 𝑎𝑥 2 − 2𝑎2 𝑦 + 2𝑎𝑥𝑦 + 𝑥 3 − 2𝑥 2 𝑦 = (𝑥 − 2𝑦)(𝑎2 − 𝑎𝑥 + 𝑥 2 )
CASO III
Trinomio cuadrado perfecto
Regla para factorizar un trinomio cuadrado perfecto.
Se extrae la raíz cuadrada al primero y tercer términos del trinomio y se separan estas raíces por el signo
del segundo término. El binomio así formado, que es la raíz cuadrada del trinomio, se multiplica por si
mismo o se eleva al cuadrado.
Ejemplos:
1) Descomponer 4x2 + 25y2 – 20xy
Ordenando el trinomio, se tiene: 4x2 – 20xy + 25y2
Se extra la √4𝑥 2 = 2𝑥 y la de √25𝑦 2 =5y
4x2 – 20xy + 25y2 =(2x – 5y)(2x – 5y) = (2x – 5y)2
2) Factorar 1 – 16ax2 + 64a2x4
Las raíces del primero y tercer términos son: √1= 1 y la √64𝑎2 𝑥 4 = 8ax2
1 – 16ax2 + 64a2x4 = (1 – 8ax2) (1 – 8ax2) = (1 – 8ax2)2
3) Factorar
𝑏2
4
Las raíces cuadradas son:
𝑥 2 + 𝑏𝑥 +
√𝑥 2 = 𝑥
𝑏2 𝑏
√ =
4
2
𝑏2
𝑏
𝑏
𝑏 2
𝑥 + 𝑏𝑥 +
= (𝑥 + ) (𝑥 + ) = (𝑥 + )
4
2
2
2
2
4)
Factorizar
1 𝑏 𝑏2
− +
4 3 9
Se obtienen las raíces:
1 1
√ =
4 2
𝑏2 𝑏
√ =
9
3
1 𝑏 𝑏2
1 𝑏 1 𝑏
1 𝑏 2
− +
= ( − )( − ) = ( − )
4 3 9
2 3 2 3
2 3
CASO ESPECIAL:
5) Descomponer a2 + 2a(a – b) + ( a – b)2
√(𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎 − 𝑏
Las raíces son= √𝑎2 = 𝑎
2
2
a + 2a(a – b) + ( a – b) = [a +(a – b)]2 = (a + a – b)2 = (2a – b)2
6) Factorizar (x + y)2 – 2a(x + y)(a + x) + (a + x)
√(𝑎 + 𝑥)2 = 𝑎 + 𝑥
Las raíces son= √(𝑥 + 𝑦)2 = 𝑥 + 𝑦
(x + y)2 – 2a(x + y)(a + x) + (a + x)=[(x + y) – (a + x)]2 = (x + y – a – x)2 = (y – a)2
CASO IV
Diferencia de cuadrados perfectos
Regla para factorar una diferencia de cuadrados.
Se extrae la raíz al minuendo y al sustraendo y se multiplica la suma de estas raíces cuadradas por la
diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo.
Ejemplos:
1) Factorar 1 – a2
La raíz cuadrada: √1 = 1
1 – a2 = (1 + a)(1 – a)
√𝑎2 = 𝑎
2) Descomponer 16x2 – 25y4
La raíz cuadrada: √16𝑥 2 = 4𝑥
16x2 – 25y4 =(4x + 5y2)(4x – 5y2)
√25𝑦 4 = 5𝑦 2
3) Factorar 49x2y6z10 – a12
La raíz cuadrada de cada término: √49𝑥 2 𝑦 6 𝑧10 = 7𝑥𝑦 3 𝑧 5
49x2y6z10 – a12 = (7xy3z5 + a6)( 7xy3z5 – a6)
4) Descomponer
𝑎2
4
−
𝑏4
9
La raíz cuadrada de cada término:
2
4
√𝑎12 = 𝑎6
2
√
𝑎2
4
=
𝑎
2
√
𝑏4
9
=
𝑏2
3
2
𝑎
𝑏
𝑎 𝑏
𝑎 𝑏
−
= ( + )( − )
4
9
2 3
2 3
CASO ESPECIAL
5) Factorar (a +b)2 – c2
La raíz cuadrada de cada término: √(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎 + 𝑏
(a +b)2 – c2 = [(a + b) + c][(a +b ) – c]=(a + b + c)(a + b – c)
√𝑐 2 = 𝑐
6) Descomponer 4x2 – (x + y)2
La raíz cuadrada de cada término: √4𝑥 2 = 2𝑥
√(𝑥 + 𝑦)2 = 𝑥 + 𝑦
4x2 – (x + y)2 =[2x + (x+y)][2x – (x + y)]= (2x + x + y)(2x – x – y)=(3x + y)(x – y)
7) Factorar (a + x)2 – (x +2)2
La raíz cuadrada de cada término: √(𝑎 + 𝑥)2 = 𝑎 + 𝑥
√(𝑥 + 2)2 = 𝑥 + 2
(a + x)2 – (x + 2)2 =[(a + x) + (x+2)][(a + x) – (x + 2)]= (a + x + x + 2)(a + x – x – 2)=(a + 2x + 2)(a –
2)
CASO V
Trinomio de la forma x2 +bx + c
Condiciones.
1. El coeficiente del primer término es 1.
2. El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado.
3. El segundo término tiene la misma letra que el primero con exponente 1 y su coeficiente es una es
una cantidad cualquiera, positiva o negativa.
4. El tercer término es independiente de la letra que aparece en el 1º y 2º términos y es una cantidad
cualquiera, positiva o negativa.
Regla práctica para factorar un trinomio de la forma x2 + bx + c
1) El trinomio se descompone en dos factores binomios cuyo primer término es x, o sea la raíz
cuadrada del primer término del trinomio.
2) En el primer factor, después de x se escribe el signo del segundo término del trinomio, y en el
segundo factor, después de x se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del 2º término
del trinomio por el signo del tercer término del trinomio.
3) Si los dos factores binomios tienen en medio signos iguales se buscan dos números cuya suma
sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del
tercer término del trinomio. Estos números son los segundos términos de los binomios.
4) Si los dos factores binomios tienen en medio signos distintos se buscan dos números cuya
diferencia sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor
absoluto del tercer término del trinomio. El mayor de estos números es el segundo término del
primer binomio, y el menor, el segundo término del segundo binomio.
Ejemplos:
I.
Factorar x2 + 5x + 6
x2 + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2)
IV.
Factorar x2 – 5x – 14
x2 – 5x – 14 = (x – 7)(x + 2)
II.
Factorar x2 – 7x + 12
x2 – 7x + 12 = (x – 3)(x – 4)
V.
Factorar x2 + 6x – 216
x2 + 6x – 216 = (x + 18)(x – 12)
III.
Factorar x2 + 2x – 15
x2 + 2x – 15 = (x + 5)(x – 3)
VI.
Factorar a2 – 66a + 1080
a2 – 66a + 1080 = (a – 36) (a – 30)
VII.
VIII.
IX.
CASOS ESPECIALES
Factorar x4 – 5x2 – 50
x4 – 5x2 – 50 = ( x2 – 10)(x2 + 5)
Factorar x6 + 7x3 – 44
x6 + 7x3 – 44 = (x3 – 4) (x3 + 11)
Factorar (a + b)2 – 12(a + b) + 20
(a + b)2 – 12(a + b) + 20 = [(a + b) – 10][(a + b) – 2]= (a + b – 10)(a + b – 2)
CASO VI
Trinomio de la forma ax2 +bx + c
1) Factorar 6x2 – 7x – 3
En este caso se multiplica el trinomio por el coeficiente de x2 que es 6 y se deja indicado el
producto de 6 por 7x, se tiene:
36x2 – 6(7x) – 18
Pero 36x2 = (6x)2 y 6(7x) = 7(6x), posteriormente se escribe como (6x)2 – 7(6x) – 18
Se descompone el trinomio siguiendo el proceso del caso anterior
El primer término de cada factor será la raíz cuadrada de (6x)2.
Dos números cuya suma sea 7 y cuyo producto sea 18, es decir, 9 y 2. Se tiene entonces que:
36x2 – 6(7x) – 18 = (6x – 9)(6x + 2)
Pero como se multiplico toda la expresión por 6, se tiene que dividir por 6, para que no se altere el
trinomio, se tiene
(6𝑥 − 9)(6𝑥 + 2)
6
Pero como ninguno de los binomios es divisible por 6 se descompone este en 2 X 3 y se divide
cada uno de los factores por el número que sea divisible, obteniéndose:
(6𝑥 − 9)(6𝑥 + 2) (6𝑥 − 9)(6𝑥 + 2)
=
= (2𝑥 − 3)(3𝑥 + 1)
6
3𝑋2
𝟔𝒙𝟐 − 𝟕𝒙 − 𝟑 = (𝟐𝒙 − 𝟑)(𝟑𝒙 + 𝟏)
2) Factorar 20x2 + 7x – 6
Multiplicando por 20: (20x)2 + 7(20x) – 120 = (20x + 15)(20x – 8)
Pero como 5 X 4 = 20, tenemos:
(20𝑥 + 15)(20𝑥 − 8) (20𝑥 + 15)(20𝑥 − 8)
=
= (4𝑥 + 3)(5𝑥 − 2)
20
5𝑋4
𝟐𝟎𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 − 𝟔 = (𝟒𝒙 + 𝟑)(𝟓𝒙 − 𝟐)
CASOS ESPECIALES
3) Factorar 15x4 – 11x2 – 12
Multiplicando por 15: (15x2)2 – 11(15x2) – 180
Descomponiendo el trinomio, el primer término de cada factor será la raíz cuadrada (15x2)2, es
decir:
(15x2 – 20)(15x2 + 9)
Dividiendo por 15, o sea, 5 X 3, se tiene:
(15𝑥 2 − 20)(15𝑥 2 + 9) (15𝑥 2 − 20)(15𝑥 2 + 9)
=
= (3𝑥 2 − 4)(5𝑥 2 + 3)
5𝑋3
5𝑋3
15𝑥 4 − 11𝑥 − 12 = (3𝑥 2 − 4)(5𝑥 2 + 3)
4) Factorar 12x2y2 + xy – 20
Multiplicando por 12: (12xy)2 +1(12xy) – 240
Factorizando el trinomio: (12xy)2 +1(12xy) – 240 = (12xy + 16)(12xy – 15)
Pero como 4 X 3 = 20, tenemos:
(12𝑥𝑦 + 16)(12𝑥𝑦 − 15) (12𝑥𝑦 + 16)(12𝑥𝑦 − 15)
=
= (3𝑥𝑦 + 4)(4𝑥𝑦 − 5)
12
4𝑋3
𝟏𝟐𝒙𝟐 𝒚𝟐 + 𝒙𝒚 − 𝟐𝟎 = (𝟑𝒙𝒚 + 𝟒)(𝟒𝒙𝒚 − 𝟓)
5) Factorar 6x2 – 11ax – 10a2
Multiplicando por 6: (6x)2 – 11(6ax) – 60a2
Factorizando el trinomio: (6x)2 – 11(6ax) – 60a2 = (6x – 15a)(6x + 4a)
Pero como 3 X 2 = 6, tenemos:
(6𝑥 − 15𝑎)(6𝑥 + 4𝑎) (6𝑥 − 15𝑎)(6𝑥 + 4𝑎)
=
= (2𝑥 − 3𝑎)(3𝑥 + 2)
6
3𝑋2
𝟔𝒙𝟐 − 𝟏𝟏𝒂𝒙 − 𝟏𝟎𝒂𝟐 = (𝟐𝒙 − 𝟑𝒂)(𝟑𝒙 + 𝟐)