40
Parte dos
Análisis estático (o de equilibrio)
En el ejemplo 2 se rechaza la raíz posible 1 porque x = 1 no satisface la ecuación dada; es
decir, la sustitución de x = 1 en la ecuación no produce la identidad 0 = 0 como se requiere.
Ahora considere el caso donde x = 1 es una raíz de alguna ecuación polinomial. En ese caso,
puesto que x" = x n~ l = ■■■= x = 1, la ecuación polinomial se reduciría a la forma simple
a„ + an_ i + • • ■+ a\ + ao = 0. Este hecho proporciona el fundamento para el siguiente teo­
rema:
Teorema I I I
Dada la ecuación polinomial
anx n + a„_ ix ”-1 + ■• • + a \x + ao = 0
si la suma de los coeficientes a„, a„ - 1 , . . . , ao es cero, entonces x = 1 es una raíz de la ecua­
ción.
EJERCICIO 3.3
1. Determine en forma gráfico los ceros de las siguientes funciones:
(ú)
í(,\)
_ x’
8. V- 15
(b)
r/O) - 2a ''
4v
16
2. Resuelva e¡ p ro b lem a 1 m ed ian te la fórm ula cu ad rática .
3. (o) Encuentre una ecuación cúbica con raíces
(b)
6,
1 y 3.
Obtenga una ecuación cuártica con raíces 1 ,2 , 3 y 5.
4. Para cada una de las siguientes ecuaciones polinomiales, determ ine si x = 1 es una raíz.
(a) x 3 - 2x 2 + 3x — 2 = 0
(b) 2 x 3 — 5 X2 + x — 2 = 0
(c) 3x 4 — x 2 + 2x - 4 = 0
5. Halle las raíces racionales, si existen, de las siguientes ecuaciones.
(a) x 3 - 4 x 2 + x + 6 = 0
(£>) 8x 3 + 6 x 2 - 3x - 1 = 0
2 - |x — ¿ = 0
(d) x 4 - 6x 3 + 7 | x 2 - | x - 2 = 0
(c) x 3 + | x
6. O btenga la solución de equilibrio para cada uno de los siguientes modelos.
(a) Q.¡ -■ Q,
Q.: 3 - P 2
Q. — 6 P 4
7.
3.4
(b)
Q.i
Q,
-
Q,
—8
P’
Q: - P 2 - 2
La condición de equilibrio de mercado, Q., — Q „ suele expresarse en una forma alternati­
va equivalente, Q ,
Q. — 0, que tiene la interpretación económ ica "la dem anda exce­
dente es cero". ¿Representa la ecuación (3.7) esta ultima versión de la condición de
equilibrio? Si no, provea una interpretación económ ica apropiada para (3.7).
Equilibrio general de mercado_________________________________
Las dos últimas secciones tratan con modelos de un mercado aislado, en donde
y Qs son
funciones del precio de un producto solamente. Sin embargo, en realidad ningún producto go­
za (o experimenta) nunca de tan solitaria existencia; para cualquier producto, normalmente
existen muchos sustitutos y bienes complementarios. Así, una ilustración más real de la fun­
ción de demanda de un producto también debe tomar en cuenta el efecto, no sólo del precio
del producto, sino de los precios de productos relacionados. Lo mismo se cumple para la fun­
ción de oferta. Sin embargo, una vez que se consideran los precios de los otros artículos o pro­
ductos, la estructura del modelo en sí se debe ampliar para que pueda producir también los
Capítulo 3
Análisis de equilibrio en economía
41
valores de equilibrio de estos otros precios. Como resultado, las variables de precio y cantidad
de múltiples productos deben entrar juntos de forma endógena en el modelo.
En un modelo de mercado aislado, la condición de equilibrio consiste sólo en una ecuación,
Q d = Q s , o bien, E = Qd — Qs — 0, donde E representa la demanda excedente. Cuando se
consideran al mismo tiempo varios artículos interdependientes, el equilibrio requeriría la au­
sencia de demanda excedente para cada artículo incluido en el modelo porque, si por lo m e­
nos un artículo se enfrenta a un exceso de demanda, el ajuste de precio de ese artículo afectará
necesariamente las cantidades demandadas y ofrecidas de los artículos relacionados, lo que
causaría cambios en general. En consecuencia, la condición de equilibrio de un modelo de
mercado de n artículos requerirá n ecuaciones, una para cada artículo, en la forma
E¡ =
Qdi -
=0
Qsi
(i =
(3.11)
l,2 ,...,n )
Si existe una solución, habrá un conjunto de precios P * y cantidades correspondientes Q* de
modo que las n ecuaciones en la condición de equilibrio se satisfagan simultáneamente.
Modelo de mercado de dos artículos
Para ilustrar el problema, procedamos a analizar un modelo simple en el que sólo dos artícu­
los se relacionan entre sí. Para simplificar, se supone que las funciones de la oferta y la deman­
da de ambos artículos son lineales. En términos paramétricos, este modelo se puede escribir
como
Qd\
Qdl
—Q s\ = 0
= O.Q + Ü \ P \ +
Qsi =
bo
+
b\P \
+
CI2 P 2
b 2P2
fo to s
<3' 12)
e * 2 - e .2 = o
Qd2 -
«o +
0í\P\ + a 2p 2
Qs2 = A) + f}\P\ + P2 P 2
donde los coeficientes a y b pertenecen a las funciones de la oferta y la demanda del primer
artículo, y los coeficientes a y P a los del segundo. Se ha dejado de lado la especificación de
los signos de los coeficientes, pero, en el curso del análisis, ciertas restricciones surgirán co­
mo un prerrequisito para obtener resultados económicamente razonables. Asimismo, en un
ejemplo numérico posterior se harán algunos comentarios acerca de los signos específicos que
se darán a los coeficientes.
Como un primer paso hacia la solución de este modelo, se puede recurrir de nuevo a la eli­
minación de variables. Al sustituir las ecuaciones segunda y tercera en la primera (para el pri­
m er artículo) y la quinta y sexta ecuaciones en la cuarta (para el segundo artículo), el modelo
se reduce a dos ecuaciones con dos variables:
(«o -
(«o -
b 0)
Po)
+
(ai
-
+ (ai -
bi)P x
P \)P \
+
(a2
-
+ (o¡2 -
b 2) P 2
= 0
P 2) P 2 =
(3 1 3
)
0
Éstas representan la versión de dos artículos de (3.11), después que las funciones de la oferta
y la demanda se sustituyen en las dos condiciones de equilibrio.
Aunque éste es un sistema simple de sólo dos ecuaciones, se requieren 12 parámetros y las
manipulaciones algebraicas resultarán difíciles de manejar a menos que se introduzca algún ti­
po de abreviatura. Así, se definen los símbolos abreviados:
42
Parte dos
Análisis estático (o de equilibrio)
Ci = üí — bi
Yi = a ¡ -
a = o,i,2)
Entonces, después de pasar los términos cq y yo al lado derecho, se obtiene
c\P \ + C2 P 2 = —Cn
(3.13')
Y\P\ + Y2 P 2 - ~Yo
que se puede resolver m ediante eliminación de variables. De la prim era ecuación, se en­
cuentra que P 2 = —(co + c \P \) /c 2 - Al sustituir esto en la segunda ecuación y resolver, se
obtiene
P* = - 2Vo ~ CoY2
CiK2 - C2 Y 1
(3 .1 4 )
Note que P* se expresa por completo — como debe ser un valor solución— en términos de los
datos (parámetros) del modelo. Mediante un proceso similar, se encuentra que el precio de
equilibrio del segundo artículo es
P2* = C— ■~ ClX0
c i / 2 - c2yi
(3 .1 5 )
Sin embargo, para que estos dos valores tengan sentido es necesario imponer ciertas restric­
ciones al modelo. Primero, puesto que la división entre cero no está definida, se requiere que
el denominador común de (3.14) y (3.15) sea distinto de cero, es decir, ciy2 ^ c2y i. Segundo,
para asegurar que la solución sea positiva, el numerador debe tener el mismo signo que el de­
nominador.
Una vez obtenidos los precios de equilibrio, las cantidades de equilibrio Q* y Q \ se calcu­
lan fácilmente al sustituir (3.14) y (3.15) en la segunda (o tercera) ecuación y la quinta (o sex­
ta) ecuación de (3.12). Estos valores de solución también son expresados de forma natural en
términos de los parámetros. (Su cálculo se deja como ejercicio.)
Ejemplo numérico
Supóngase que las funciones de la oferta y la demanda son numéricamente como sigue:
Qdi = 10 — 2P\ +
Qs \
P2
— —2 + 3 P\
Q d i= 1 5 + P\
Q s2 ~~
1
(3.16)
P2
+2
J
P2
¿Cuál es la solución de equilibrio?
Antes de contestar la pregunta, se consideran los coeficientes numéricos. Para cada artícu­
lo, se ve que Qs¡ depende solamente de P,, pero
se muestra como una función de ambos
precios. Nótese que mientras P¡ tiene un coeficiente negativo en Q¿\, como se esperaría, el
coeficiente de P2 es positivo. El hecho de que un aumento en P2 tienda a aumentar a Q¿\ ha­
ce pensar que los dos artículos son sustitutos entre sí. El papel de P\ en la función Q¿2 tiene
una interpretación similar.
Con estos coeficientes, los símbolos abreviados c¡ y y¿ tomarán los siguientes valores:
c0 = 10 - ( - 2 ) = 12
ci = —2 — 3 = —5
yo = 1 5 - ( - 1 ) = 16
y! =
1-0=1
c2 = 1 - 0 = 1
y2 = —1 —2 = —3
Capítulo 3 Análisis de equilibrio en economía
43
Por sustitución directa de éstos en (3.14) y (3.15), se obtiene
P * — 12
r l - 14
_
- J7
n* _ 92 _ /r4
2
14
7
y
Y la sustitución subsecuente de P* y P2* en (3.16) produce
= f = 9?
o*2 = ¥ = 12l
y
Así, los valores de equilibrio resultan positivos, como se requiere. A fin de conservar los valo­
res exactos de P* y ,P2* en el siguiente cálculo de Q \ y Q \, se recomienda expresarlos como
fracciones en vez de decimales.
¿Podemos obtener la gráfica del precio de equilibrio? Sí, de (3.13), es claro que un modelo de
dos artículos se puede resumir mediante dos ecuaciones con dos variables P\ y Pi. Ambas ecua­
ciones se pueden graficar en el plano coordenado P\ P2, si se conocen los coeficientes numéri­
cos y, entonces, la intersección de las dos curvas se puede ubicar con precisión en P * y P £ .
Caso de n artículos
El análisis anterior del mercado de múltiples artículos ha sido limitado al caso de dos artícu­
los, pero debe ser evidente que se avanza del análisis de equilibrio parcial en la dirección del
análisis de equilibrio general. A medida que entran más artículos al modelo, habrá más varia­
bles y más ecuaciones, y las ecuaciones se volverán más grandes y complicadas. Si todos los
artículos de una economía se incluyen en un modelo de mercado integral, el resultado será un
modelo de equilibrio general de tipo walrasiano, en el cual el exceso de demanda para cada ar­
tículo se considera una función de los precios de todos los artículos en la economía.
Por supuesto, algunos de los precios pueden llevar coeficientes cero cuando no tienen que
ver en la determinación del exceso de demanda de un determinado artículo; por ejemplo, en
la función de exceso de demanda de pianos, el precio de las palomitas de maíz podría tener
un coeficiente cero. Sin embargo, en general, con n artículos en total, se pueden expresar las
funciones de la oferta y la demanda como sigue (con Q¿t y Qsi como símbolos de función,
en lugar d e / y g):
Q d i — Q d i i . P l ? P 2 > • ■ ■>P n )
..
. .
.
(i = 1 , 2 , . . . ,n )
(3.17)
Qsi = Q Si ( P l , P 2 , . - . , P n )
En vista de los subíndices, estas dos ecuaciones representan la totalidad de las 2n funciones
que contiene el modelo. (Estas funciones no necesariamente son lineales.) Además, la condi­
ción de equilibrio está compuesta de un conjunto de n ecuaciones,
Qd¡ ~
Qs¡ =
0
(¿ = 1, 2, . . . , n)
(3.18)
Cuando se agrega la ecuación (3.18) a (3.17), se completa el modelo. Así, se debe contar un
total de 3n ecuaciones.
Al sustituir (3.17) en (3.18), el modelo se puede reducir a un solo conjunto de n ecuaciones
simultáneas:
Q d i i P l , P 2 , ■ ■ ■, P n ) -
Q s i ( P \ , P 2, . . . , P „ ) =
0
(i
=
1, 2, . . . , n)
Además, dado que E¡ = Q¡j¡ — Qs¡, donde E¡ es necesariamente también una función de los
n precios, el último conjunto de ecuaciones de puede escribir como
E i( P u P 2 , - . - , P » ) =
0
(i = 1 , 2 , . . . , n )
44
Parte dos
Análisis estático (o de equilibrio)
Si en realidad existe una solución, al resolver de forma simultánea estas n ecuaciones se de­
terminan los n precios de equilibrio P*. Luego, Q* se puede deducir de las funciones de la
oferta y la demanda.
Solución de un sistema general de ecuaciones
Si un modelo está provisto de coeficientes numéricos, como en (3.16), los valores de equili­
brio de las variables serán también en términos numéricos. En un nivel más general, si un mo­
delo se expresa en términos de constantes paramétricas, como en (3.12), los valores de
equilibrio también tendrán qüe ver con parámetros y, por lo tanto, aparecerán como “fórmu­
las”, como se ejemplifica en (3.14) y (3.15). Sin embargo, si incluso las formas de función se
dejan sin especificar en un modelo para generalizar, como en (3.17), la manera de expresar los
valores solución será también por necesidad sumamente general.
Con base en la experiencia adquirida en modelos paramétricos, se sabe que un valor solu­
ción siempre es una expresión en términos de los parámetros. Para un modelo de función ge­
neral que contiene, por ejemplo, un total de m parámetros { a i,a 2, . . . , a m), donde m no
necesariamente es igual a n, se puede esperar que los n precios de equilibrio tomen la forma
analítica general de
P* = P*{ax, a2, . . . , am)
(i = 1 , 2 , . . . , n)
(3.19)
Ésta es una expresión simbólica para que el valor solución de cada variable (en este caso el pre­
cio) sea una función del conjunto de todos los parámetros de modelo. Como ésta es una expre­
sión m uy general, en realidad no da mucha información detallada acerca de la solución. Pero,
como se verá en el capítulo 8, en el tratamiento analítico general de algunos tipos de problemas,
incluso esta forma en apariencia poco informativa de expresar una solución, probará ser útil.
Escribir tal solución es una tarea fácil. Pero existe un problema importante: la expresión en
(3.19) se puede justificar si y sólo si en realidad existe una solución única, porque entonces, y
sólo entonces, se puede asignar la /«-tupia ordenada (ay, a2, . . . , am) a un valor determinado
para cada precio P*. Sin embargo, una desventaja es que no hay una razón a priori para pre­
sumir que todo modelo producirá de forma automática una solución única. En este sentido, es
necesario remarcar que el proceso de “contar ecuaciones e incógnitas” no es suficiente como
argumento. Algunos ejemplos muy simples deben servir para tener la certeza de que un núme­
ro igual de ecuaciones e incógnitas (variables endógenas) no garantiza necesariamente la exis­
tencia de una solución única.
Considere los tres sistemas de ecuaciones simultáneas
x + y = 8
x+
y —9
2x +
y = 12
4x + 2y = 24
(3.20)
(3.21)
2x + 3 y = 58
y = 18
(3.22)
x + y = 20
En (3.20), a pesar de que dos incógnitas están relacionadas por exactamente dos ecuaciones,
no hay solución. Sucede que estas dos ecuaciones son inconsistentes, porque si la suma de x y
y es 8, no puede ser al mismo tiempo 9. En (3.21), otro caso de dos ecuaciones con dos varia-
