Aritmetica modular y aplicaciones

LA ARITMÉTICA MODULAR Y ALGUNAS DE SUS APLICACIONES Moreia Gómez Bello 14 de octubre de 2011 LA ARITMÉTICA MODULAR Y ALGUNAS DE SUS APLICACIONES Moreia Gómez Bello Trabajo de grado presentado a la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional de Colombia como requisito parcial para optar al tı́tulo de MAESTRIA EN ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES. Director Profesor Dr. Agustı́n Moreno Cañadas Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias Maestrı́a en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales Bogotá 2 LA ARITMÉTICA MODULAR Y ALGUNAS DE SUS APLICACIONES Moreia Gómez Bello Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias Maestrı́a en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales Bogotá 3 Índice general RESUMEN 6 INTRODUCCIÓN 9 1. Breve reseña histórica 11 2. Aritmética Modular 2.1. Relaciones de Equivalencia . . . . . . . . . . . 2.1.1. Representación gráfica de los conjuntos 2.1.2. Raı́z Digital de un número entero . . . 2.2. Estructura algebráica de los Zm . . . . . . . . 2.2.1. Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. La función ϕ de Euler . . . . . . . . . 2.2.3. Sistemas de congruencias lineales . . . 2.3. Residuos cuadráticos . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Los sı́mbolos de Jacobi y Legendre . . 2.4. Curvas elı́pticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 15 18 21 24 25 30 32 33 35 38 3. Algunas Aplicaciones de la Aritmética Modular 3.1. Chryzodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Algoritmo para construir un chryzode . . . . . . . . . 3.1.2. Chryzodes en filotaxia . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Calendarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Calendario Maya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2. Calendario Gregoriano . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Clasificación de números Naturales en primos y compuestos . 3.3.1. Test de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2. Test Solovay-Strassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 41 43 45 46 46 48 51 52 52 4 . . Zm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3. Test de Miller-Rabin . . . . . . . . . . 3.3.4. Test Ro de Pollard . . . . . . . . . . . 3.4. Criptografı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. Cifrado de César . . . . . . . . . . . . 3.4.2. El Criptosistema de Rabin . . . . . . . 3.4.3. El Criptosistema RSA . . . . . . . . . 3.4.4. El Criptosistema de Menezes-Vanstone 4. Aritmética Modular en la educación básica y 4.1. Pensamientos matemáticos . . . . . . . . . . . 4.2. Competencias y estándares . . . . . . . . . . . 4.3. TIC’S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 54 55 56 57 59 61 media 63 . . . . . . . . . 64 . . . . . . . . . 66 . . . . . . . . . 68 BIBLIOGRAFÍA 73 ANEXOS 74 Anexo A: Chryzodes Realizados en programas I. 74 Anexo B: Chryzodes Realizados en programas II. 77 Anexo C: Chryzodes en el colegio I. 83 Anexo D: Chryzodes en el colegio II. 87 Anexo E: Filotaxia 92 Anexo F: Kim Peek Savant 96 Anexo G: Programas fuente Wolfran CDF Player 98 Anexo 4.4. 4.5. 4.6. H: Manual del usuario del programa Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . Especificaciones del programa . . . . . . Funcionamiento del programa . . . . . . 5 Chryzodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 . 102 . 103 . 103 Resumen Palabras clave: Aritmética Modular, chryzodes, calendarios, criptografia. Abstract: The Modular Arithmetic was introduced by Gauss in ¨Disquisitiones Arithmeticae” in 1801, In Modular Arithmetic are structure sets of congruences provided with two operations, induced from the usual Arithmetic in the integers. Some of its applications: chryzodes, calendars, criptography and determination of prime numbers can be studied in the classroom as encouraging tools Resumen:En este trabajo se hace una revisión de los aspectos históricos, disciplinares, algunas aplicaciones y elementos pedagógicos de la Aritmética Modular. En el primer capı́tulo se hace una breve reseña histórica de la Aritmética Modular, introducida por Gauss en 1801; época en la que Gauss público Disquisitiones Arithmeticae; obra en la que define y formaliza la Aritmética Modular junto con otros conceptos de la teorı́a de números, no todos creaciones de Gauss sino que además en ella él recoge y formaliza los resultados existentes hasta la fecha relacionados con la teorı́a de números: Aportes realizados por matemáticos como Fermat, Legendre y Euler entre otros. Una parte de este capı́tulo se dedica a realizar una descripción de Disquisitiones Arithmeticae prestando atención especial a las Secciones I, II, III y IV que tienen gran relevancia en la realización de este trabajo. En el segundo capı́tulo se presenta la parte disciplinar del concepto, junto con los elementos de teorı́a de números y de teorı́a de grupos que se requieren para comprender algunos de los temas de la Aritmética Modular. Es ası́ como por ejemplo, antes de definir las relaciones de congruencia se da la definición de relaciones de equivalencia y para determinar las propiedades algebraicas de los enteros módulo n se introducen las definiciones de grupo, anillo y campo. Después de hacer esta descripción conceptual de la Aritmética Modular se presentan en el tercer capı́tulo aplicaciones de éstos elementos conceptuales en otras áreas, como en las artes con los chryzodes, en las tecnologı́as de la información que mantienen su seguridad en el hecho de que hasta ahora no 6 hay un método que permita la factorización de números grandes de manera eficiente, en el sentido computacional y se presenta también la aplicación de la Aritmética Modular con los calendarios. En el último capı́tulo se realiza un breve análisis de las exigencias que desde el Ministerio de Educación se están haciendo con respecto a los procesos de enseñanza-aprendizaje en la educación básica y media revisando los pensamientos, estándares y competencias de matemáticas definidos desde el Ministerio. Luego se presentan los estándares de cada uno de los grupos de grados que podrı́an ser desarrollados desde actividades relacionadas con la Aritmética Modular y después se revisa cómo la literatura escolar ha abordado uno de los temas de teorı́a de números relacionados en este trabajo como lo es la clasificación de números Naturales en primos y compuestos, evidenciando la falta de herramientas en la matemática escolar. Finalmente, se propone utilizar las aplicaciones expuestas en este trabajo para ser llevadas al aula junto con los programas Chryzodes y Criptografı́a diseñados por el profesor Agustı́n Moreno junto con un grupo de estudiantes de ingenierı́a de sı́stemas de la Universidad Nacional de Colombia. En los anexos A y B se presentan varios ejemplos de chryzodes realizados con software especializados y en los anexos C y D chryzodes producto de algunos talleres realizados con el objeto de motivar el aprendizaje por parte de los estudiantes de conceptos tales como las congruencias módulo un entero fijo y las operaciones entre clases de equivalencias. Estos talleres fueron realizados con diferentes materiales en primer lugar se crearón algunos chryzodes usando lápiz y papel y también se elaborarón chryzodes en puntigramas. En el anexo E se usa el programa Wolfram CDF Player para realizar simulaciones que permiten observar algunas conexiones entre la filotaxı́a y la Aritmética Módular. En el anexo F se realiza una pequeña reseña de Kim Peek quién fue uno de los más destacados savant, quién tenı́a además la habilidad de aplicar la fórmula que se presenta en el capı́tulo 3 para calcular calendarios sin ninguna herramienta de tipo computacional. Como herramientas pedagógicas se adjuntan a este trabajo los programas: Cryzodes y Criptografı́a para apoyar el desarrollo de estos temas en el aula 7 de clase. En el anexo H se presenta el manual del usuario del programa Chryzodes. 8 Introducción La Aritmética Modular ha tenido a través de la historia diferentes momentos de incidencia en las actividades humanas, entre otras en: Teorı́a de números, Álgebra Abstracta, Criptografı́a, y en artes visuales y musicales. Actualmente, en la era de la información, ha cobrado especial importancia debido, entre otros factores, a la necesidad de las grandes empresas de mantener mucha información de forma segura y de acceso fácil y rápido; siendo precisamente a través del uso de códigos, en los que se aplica la factorización de números grandes, que se cubre esta necesidad. En contraste con la importancia actual de la Teorı́a de Números y la Aritmética Modular, el trabajo que se realiza en el aula con los temas de la teorı́a de números es completamente esquemático centrado en definiciones sin significado, reglas para clasificar los números, algoritmos de descomposición, criterios para memorizar y usar sin justificación y desde luego sin referencia a aplicación alguna en otras áreas del conocimiento. [1] [11] Es por eso que uno de los objetivos principales de este trabajo es el de dar instrumentos adicionales que permitan el aprendizaje por parte de los estudiantes de la Aritmética Modular que además les permita visualizar su importancia en distintos aspectos de la vida cotidiana. Existen diversas actividades que pueden ser aprovechadas para trabajar en el aula la Aritmética Modular de manera interesante como por ejemplo los chryzodes, determinar el dı́a de la semana en que cae una fecha cualquiera, el uso de Criptografı́a que a su vez requiere algoritmos que permitan determinar si un número es primo o no. Justamente con este tipo de actividades se busca mostrar una forma de trabajo diferente que motive y haga participe el estudiante al momento de abordar estos temas en clase. El objetivo del capı́tulo I es revisar los aspectos históricos de la aritmética modular que nos permitirán apreciar la importancia de este tema a través del tiempo, aportándonos elementos que enriquecen nuestro trabajo desde la perspectiva pedagógica y pueden ser aprovechados como herramientas para ser llevadas al aula de clase. 9 El capı́tulo II tiene como objetivo estudiar los conceptos básicos de la aritmética modular: definición, operaciones, propiedades de las operaciones, entre ellas la existencia de opuestos y sus caracterı́sticas, existencia de inversos (multiplicativo) y condiciones sobre la existencia de inverso, residuos cuadráticos y del Teorema de Fermat. Elementos disciplinares necesarios e indispensables al momento de abordar esta temática y sus aplicaciones en el aula de clase. El capı́tulo III tiene como objetivo mostrar diversas aplicaciones de los conceptos trabajados en el capı́tulo II entre ellas: los calendarios, la Criptografı́a, la factorización de números grandes y otros. Todas estas, actividades que pueden ser utilizadas en la enseñanza de estos conceptos en la educación básica y media. En el capı́tulo IV se realiza un breve análisis pedagógico que pretende mostrar la pertinencia de incluir la Aritmetica Modular en los currı́culos escolares con el fin de mostrar la teorı́a de números como una rama de la matemática dinámica, activa con una gran variedad de aplicaciones. 10 Capı́tulo 1 Breve reseña histórica Uno de los aportes más significátivos de Gauss a la Teorı́a de Números, es la formalización de la Aritmética Modular en su famoso Disquisitiones Arithmeticae (Investigaciones sobre aritmética) de 1801 [8]. En esta obra, Gauss estudia de forma sistemática, la estructura de conjuntos de congruencias a los que se les dota de dos operaciones inducidas por la suma y la múltiplicación usuales de la Aritmética. En la Sección 1 de Disquisitiones Arithmeticae, Gauss afirma que si un número entero a divide la diferencia de los números enteros b y c entonces b y c son congruentes según el módulo a (a es considerado no negativo), el número a se llama módulo. En la Sección 1, se introduce también el sı́mbolo ≡, con el que se señala la congruencia de los números. Gauss explica que el sı́mbolo ≡ es adoptado, debido a su analogı́a con la igualdad y denomina incongruentes a los números que no son congruentes. Dos números congruentes son llamados uno residuo del otro. Si los números son incongruentes entonces se denominan no residuos. De acuerdo con Morris Kline, las Disquisitiones Arithmeticae fueron enviadas a la Academia Francesa en 1800 y el libro fue rechazado, por lo que Gauss decidió publicarlo él mismo. Sin embargo, aunque esta versión ha sido muy extendida, todo parece indicar que fue de otra manera; estudios muy serios en 1935 demuestran que las Disquisitiones Arithmeticae nunca fueron sometidas a la Academia Francesa de Ciencias y mucho menos rechazadas [8]. En los siglos XVII y XVIII existı́a una colección de resultados particulares y desconectados en Teorı́a de Números sin coherencia entre ellos. Esta situación es cambiada por Gauss quien a través de Disquisitiones Arithmeticae los convierte en una rama de la Matemática bien fundamentada, recopilando 11 además en su obra los trabajos de Euler, Fermat, Lagrange y Legendre en siete Secciones de la siguiente manera: En la primera Sección llamada La congruencia de los números en general, Gauss define la noción de congruencia entre dos enteros módulo m, describe propiedades de la relación de congruencia caracteriza el conjunto completo de residuos y presenta como algunas aplicaciones los criterios de divisibilidad por 9 y por 11. La segunda Sección denominada Sobre las congruencias de primer grado inicia con algunos teoremas sobre congruencias modulo un número primo y propiedades de los números primos, luego define el máximo común divisor y el mı́nimo común múltiplo. En el parágrafo 25 de la Sección define las congruencias lineales y a partir del parágrafo 26 comienza a presentar soluciones, algunas formas de solucionar congruencias lineales: mostrando un algoritmo para congruencias módulo un primo, método de Euler y Lagrange usando fracciones continuas, métodos para módulos compuestos y el Teorema Chino de los Residuos entre otros. Luego presenta los sistemas de congruencias lineales, la función de Euler y finaliza esta Sección con algunos comentarios sobre el último Teorema tratado en él; el cual establece que una congruencia de grado m tiene a lo sumo m raı́ces. La tercera Sección Sobre residuos de las potencias, trata precisamente todo lo que tiene que ver con potencias en Aritmética Modular y con raı́ces de los números, en ella se incluye el pequeño Teorema de Fermat, el Teorema de Wilson entre otros y termina con algunas consideraciones de Euler sobre estos temas. La cuarta Sección Sobre las congruencias de segundo grado tiene como tema central la ley de la reciprocidad cuadrática. Aunque ese teorema habı́a sido formulado por Euler y discutido también por Legendre, Gauss es quien realiza una prueba completa y correcta del resultado. La Sección V investiga la teorı́a de las formas binarias cuadráticas, el objetivo central de esta Sección consiste en estudiar este tipo de formas. Más precisamente, conocer la manera en que un número dado m puede ser representado por la forma binaria cuadrática, es decir del tipo f (x, y) = ax2 + 2bxy + cy 2 donde a, b y c son números enteros o por una forma ternaria del tipo, f (x, y, z) = ax2 + 2bxy + cy 2 + 2dxz + 2eyz + f z 2 . 12 La Sección VI es un apéndice de la Sección anterior; lo que hace Gauss aquı́ es presentar una colección de aplicaciones de los conceptos que desarrolla en la Sección anterior. Uno de los temas centrales de la Sección VII es la teorı́a de la división del cı́rculo, referida a la ecuación xp − 1 = 0 con p un número impar. En esta parte se integra una problemática que involucra Geometrı́a, Aritmética y Álgebra de una manera especial. [8] Como se afirmó al principio de esta Sección, Gauss fue el primero en hacer un estudio sistemático de la Aritmética Modular. De hecho algunos de los resultados estudiados en Disquisitiones Arithmeticae, ya habı́an sido propuestos por los chinos, en particular, en el siglo I D.C. Sun-Tsu en su trabajo Suan-ching (aritmética) dio en verso, una regla nombrada t’ai-yen (gran generalización) para hallar un número cuyos residuos sean los números 2, 3, 2 cuando se divida por 3, 5 y 7, respectivamente respectivamente. Sun-Tsu encontró los valores auxiliares 70, 21 y 35 múltiplos de 5 × 7, 3 × 7 y 3 × 5, respectivamente y con residuo 1 al dividirlos por 3, 5 y 7 respectivamente. La suma 2 × 70 + 3 × 21 + 2 × 15 = 233 es una solución. Si se tienen en cuenta los múltiplos de 3 × 5 × 7 entonces podemos inferir que 23 es el mı́nimo número que satisface la condición. Observese que si usamos la notación introducida por Gauss en Disquisitiones Arithmeticae el problema propuesto consiste en encontrar la solución al sistema de congruencias lineales: x≡2 x≡3 x≡2 mód 3 mód 5 mód 7 La solución dada por Sun-Tsu se dio a conocer en Europa a través del artı́culo, Apuntes sobre la ciencia de la aritmética china, de Alexander Wylie. Una parte del artı́culo fue traducida al alemán por K. L. Biernatzki y una interpretación equivocada en este último causó que M. Cantor criticara la validez de la regla t’ai-yen que fue defendida por L. Matthiessen, quien usó el siguiente argumento de Gauss. Si m = m1 , m2 , m3 , . . . , donde m1 , m2 , m3 , . . . son primos relativos dos a dos y si αi ≡ 0 mód m , mi αi ≡ 1 mód mi (i = 1, 2, 3, . . . ), 13 entonces x = α1 r1 + α2 r2 + . . . es una solución del sistema de congruencias: x ≡ r1 mód m1 , x ≡ r2 mód m2 , . . . Este método es muy conveniente cuando uno tiene que tratar varios problemas con m1 , m2 , . . . fijos, pero variando r1 , r2 , . . . . De aquı́ en adelante fueron propuestos y solucionados varios problemas en el mismo sentido y es Ch’in Chiu-shao quien propone un método general aplicable al problema de encontrar un número x que tenga como residuos r1 , r2 , . . . , rn cuando se divide por m1 , m2 , . . . , mn , los cuales son primos relativos dos a dos.[3] 14 Capı́tulo 2 Aritmética Modular En este capı́tulo presentamos algunos de las definiciones y hechos de la Aritmética Modular. Cabe anotar que tales hechos han sido dispuestos de forma tal, que su estudio permite en la medida de lo posible una mayor comprensión de los mismos, que fueron consignados por Gauss en las secciones 1 al 4 de Disquisitiones Arithmeticae. 2.1. Relaciones de Equivalencia En esta Sección describimos los conjuntos de números congruentes módulo un entero m como clases de una relación de equivalencia. Tal descripción, permite generalizar los metódos de la Aritmética Modular a otras áreas de las Matemáticas, como por ejemplo la Teorı́a de Grupos. De hecho Gauss no consideró en Disquisitiones Arithmeticae el concepto de grupo, por lo que las técnicas de la Aritmética Modular solo pudieron ser aplicadas en esta teorı́a hasta que Galois, Cauchy y otros introdujeran el concepto de grupo. En particular Galois encontró esta definición al estudiar ciertas permutaciones de las raı́ces de los polinomios. Una relación R definida en un conjunto A 6= ∅ es de equivalencia, si satisface las siguientes propiedades: 1. Para todo a en A se cumple que (a, a) ∈ R, en cuyo caso se dice que R es Refléxiva 2. Para todo a, b ∈ A si (a, b) ∈ R, entonces (b, a) ∈ R, en este caso se dice que R es Simétrica 15 3. Para todo a, b, c ∈ A si (a, b) ∈ R y (b, c) ∈ R, entonces (a, c) ∈ R, en cuyo caso se dice que R es Transitiva. Una relación de equivalencia R definida en un conjunto no vacı́o A induce sobre A una partición. Esto es, una colección =, de subconjuntos de A tales que: 1. B= 6= ∅ para todo B= ∈ = S 2. B∈= B = A 3. Si B= y C= son dos subconjuntos de A distintos en = entonces B= ∅ T C= = Los elementos B= de la colección = frecuentemente se llaman las clases del conjunto A según R y se nota A/R = =. Notese que por definición, si denotamos xR la clase de equivalencia de un elemento x ∈ A y a, b ∈ A son elementos de A con (a, b) ∈ R, entonces aR = bR . Observe que los conjuntos de números congruentes módulo un entero fijo m nos proveen de un ejemplo de partición para el conjunto de los números enteros Z. De hecho, el siguiente resultado establece que la relación ≡ de congruencia definida en Z es en efecto una relación de equivalencia lo cual nos permite corroborar la analogı́a que Gauss observó entre esta relación y la igualdad. Proposición 2.1. La congruencia módulo m, con m un entero positivo fijo, es una relación de equivalencia. Demostración. Verifiquemos que la relación de congruencia es en efecto; reflexiva, simétrica y transitiva. 1. Puesto que para todo a ∈ Z, se cumple a − a = 0 se puede concluir que a ≡ a mód m con lo que la relación de congruencia es reflexiva. 2. Si a ≡ b mód m entonces a − b = tm para algún t ∈ Z luego b − a = (−t)m como (−t) ∈ Z se tiene que b ≡ a mód m y ≡ es simétrica. 3. Si a ≡ b mód m y b ≡ c mód m entonces a − b = tm y b − c = t0 m para t y t0 números enteros. Luego (a − b) + (b − c) = tm + t0 m, de donde a − c = (t + t0 )m y como t + t0 ∈ Z concluimos que a ≡ c mód m por lo tanto ≡ es transitiva. 16 Ejemplos 1. Si n es un número impar entonces n es congruente con 1 módulo 2 y si m es un número par entonces m es congruente con 0 módulo 2. 2. Los números de la forma 3x + 1, x ∈ N son congruentes con 1 módulo 3. Esto es, 3x + 1 ≡ 1 mód 3 para todo x ∈ N. Nota 2.2. Para m ≥ 0 fijo el conjunto Z/≡ frecuentemente se nota Zm y si no hay lugar a confusión la clase de un entero a módulo m se nota [a]. Nota 2.3. Observe que si a, b y m son positivos y a > m, entonces existe q entero positivo tal que a = mq + r con 0 ≤ r ≤ m − 1 de donde se puede deducir que el cardinal del conjunto formado por las clases módulo m es m. Esto es |Zm | = m y Zm = {[0], [1], [2], . . . , [m − 1]} (ver Corolario 2.5). A este conjunto suele llamarsele conjunto completo de residuos. Por ejemplo Z8 consta de las siguientes clases de equivalencia: [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] = = = = = = = = {x ∈ Z, x = 8t, t ∈ Z} {x ∈ Z, x = 8t + 1, t ∈ Z} {x ∈ Z, x = 8t + 1, t ∈ Z} {x ∈ Z, x = 8t + 1, t ∈ Z} {x ∈ Z, x = 8t + 1, t ∈ Z} {x ∈ Z, x = 8t + 1, t ∈ Z} {x ∈ Z, x = 8t + 1, t ∈ Z} {x ∈ Z, x = 8t + 1, t ∈ Z} El siguiente resultado nos permite generalizar la observación a ≡ 0 mód m si y solo si m divide a a (en adelante, denotaremos m | a si m divide a a). Teorema 2.4. Para un entero positivo fijo, m se cumplen los siguientes hechos: (a) Si a = qm + r entonces a ≡ r mód m. (b) Si 0 ≤ r0 < r < m entonces r 6≡ r0 mód m. (c) a ≡ b mód m si y solo si m es el residuo que resulta de dividir a a y b por m. 17 Demostración. (a) La ecuación a − r = qm demuestra que m | a − r. (b) Si r ≡ r0 mód m entonces m | r − r0 , por lo que m ≤ r − r0 como r − r0 ≤ r < m, obtenemos una contradicción. (c) Si a = qm + r y b = q 0 m + r0 con 0 ≤ r < m, 0 ≤ r0 < m, por lo que a − b = (q − q 0 )m + (r − r0 ) ≡ r − r0 mód m. Si a ≡ b mód m entonces r ≡ r0 mód m, luego r = r0 . De forma recı́proca si r = r0 entonces a ≡ b mód m. El siguiente resultado da un poco más de precisión a la Nota 2.3 descrito como el Teorema 2 en Disquisitiones Arithmeticae. Corolario 2.5. Si m ≥ 2 entonces todo entero a es congruente mód m a exactamente uno de los elementos en el conjunto {0, 1, . . . , m − 1}. Demostración. a ≡ r mód m con 0 ≤ r < m. Esto es, r ∈ {0, 1, . . . , m − 1}. Si a es congruente a dos enteros de este conjunto, por ejemplo r y r0 entonces r ≡ r0 mód m, contradiciendo la parte (b) del Teorema 2.4. 2.1.1. Representación gráfica de los conjuntos Zm Para representar gráficamente los números enteros en la recta numérica se selecciona el punto de referencia, cero, luego se ubica a la derecha, con el orden usual, los números positivos 1, 2, . . . y a la izquierda del cero, también en orden, los números negativos −1, −2, . . . teniendo en cuenta que los puntos deben ser equidistantes. En el caso de los enteros módulo m se puede usar una circunferencia dividida en m arcos de la misma medida y a cada uno de los extremos de los arcos se hace corresponder una de las clases de equivalencia. En la figura 2.1 mostramos la representación de los enteros en una recta y de los enteros módulo 8 en una circunferencia. La suma y la multiplicación de los números enteros inducen sobre cada conjunto Zm dos operaciones que notaremos de la misma manera que sus correspondientes en Z. En este caso la suma + se define de forma tal que a cada pareja de elementos [a], [b] ∈ Zm le asignamos la clase de la suma a + b. Esto es [a] + [b] = [a + b], de la misma forma [a][b] = [ab]. 18 Figura 2.1: representación gráfica de Z8 A continuación se presentan algunas propiedades de las congruencias, que en particular, muestran que la suma y la multiplicación en Zm estan bien definidas (ver ı́ncisos (1) y (3)). Estos resultados corresponden a los Parágrafos 5-8 de la Sección 1 de Disquisitiones Arithmeticae. Teorema 2.6. Si se tiene que a ≡ e mód m y b ≡ f mód m entonces: 1. a + b ≡ e + f mód m 2. a − b ≡ e − f mód m 3. ab ≡ ef mód m 4. ka ≡ ke mód m donde k es cualquier número entero 5. Si a ≡ b mód m entonces an ≡ bn mód m Demostración. Como a ≡ e mód m y b ≡ f mód m se tiene que a − e y b − f son divisibles por m luego existen p y q tal que a − e = pm y b − f = qm por lo tanto. 1. (a + b) − (e + f ) = (a − e) + (b − f ) = pm + qm = (p + q)m De donde a + b ≡ e + f mód m. 19 2. (a − b) − (e − f ) = (a − e) − (b − f ) = pm − qm = (p − q)m De donde a − b ≡ e − f mód m. 3. Como a − e = pm y b − f = qm se tiene que a = pm + e y b = qm + f de donde ab = (pm + e)(qm + f ) = (pm)(qm) + (pm)f + (qm)e + ef = m(pmq + pf + qe) + ef Esto es ab − ef = m(pmq + pf + qe) por lo tanto ab ≡ ef mód m. 4. a − e = pm luego ka − ke = k(pm) = (kp)m de donde ka ≡ ke mód m. 5. Como a ≡ b mód m se tiene que a − b = km para algún k, por otra parte an − bn = (a − b)t para algún t, por lo tanto an − bn = kmt luego an ≡ bn mód m. La propiedad cuatro nos muestra cómo en una congruencia al multiplicar por un número entero los dos números que hacen parte de la congruencia continuan siendo congruentes de acuerdo con el módulo inicial. Sin embargo el recı́proco de esta propiedad no es necesariamente cierto. Es decir si ka ≡ ke mód m entonces a ≡ e mód m. Veamos un ejemplo que muestra que esta implicación no siempre es cierta: 36 ≡ 12 mód 8 Esto es 9 · 4 ≡ 3 · 4 mód 8. Sin embargo 9 6≡ 3 mód 8. Aunque hay una condición bajo la cual se tiene que ka ≡ ke mód m si y solo si a ≡ e mód m. Esta condición es que k y m sean primos relativos. Veamos que si ka ≡ ke mód m entonces a ≡ e mód m. Como ka ≡ ke mód m se tiene que ka − ke es divisible por m luego k(a − e) es divisible por m y como k y m son primos relativos se tiene que a − e es divisible por m por lo tanto a ≡ e mód m. El siguiente Teorema describe la potencia de una suma de elementos módulo un número primo p. Teorema 2.7. Si p es un número primo entonces (a + b)p ≡ ap + bp mód p. p−1 P p r p−r Demostración. (a + b)p = ap + bp + a b , por el teorema del binomio. r r=1 Ahora recordamos que pr ≡ 0 mód p con 0 < r < p y por lo tanto (a+b)p ≡ ap + bp mód p. 20 A continuación enunciamos el Teorema de Fermat estudiado por Gauss en la Sección 3, parágrafo 50 (Anotamos que la primera demostración de este Teorema es atribuida a Euler). El Teorema de Fermat, es una de las herramientas fundamentales para resolver congruencias lineales y clasificar los números enteros como primos o compuestos. Este es uno de los hechos, que nos permite dejar en claro, la importancia del estudio de la Aritmética Modular en la educación básica primaria y secundaria. Sin embargo debemos anotar que la intención de Gauss al formalizar la Aritmética Modular no tenı́a nada que ver con la enseñanza de las Matemáticas. De hecho, Gauss no estuvo en general, interesado en este aspecto de la vida académica. Teorema 2.8. (a) Si p es un primo entonces ap ≡ a mód p, para todo a ∈ Z. i (b) ap ≡ a mód p para todo i ≥ 1. Demostración. 1. Basta hacer la prueba para a ≥ 0, procediendo por inducción sobre a. El paso a = 0 es evidente y si suponemos que la hipótesis es cierta para todo número menor o igual que a entonces (a + 1)p ≡ ap + 1 mód p, por el Teorema 2.7. La conclusión se obtiene ya que por hipótesis de inducción se cumple ap + 1 ≡ a + 1 mód p. 2. En este caso repetimos el procedimiento anterior, haciendo inducción sobre i. 2.1.2. Raı́z Digital de un número entero En esta Sección, discutimos algunas aplicaciones de la Arimética Modular, discutidas por Gauss en la Sección 1 de Diquisitiones Arithmeticae. De hecho en este trabajo el uso de los conceptos estudiados para dar una condición necesaria para que un número sea perfecto. Si n es un entero positivo, entonces la raı́z digital de n, que notamos Rad(n) es el menor entero no negativo congruente con la suma de los dı́gitos de n módulo 9. En otras palabras, Rad(n) es el residuo que resulta de dividir la suma de los dı́gitos de n por 9. En adelante, denotaremos con S(n) la suma de los dı́gitos de un número entero no negativo n. Las siguientes propiedades de las raı́ces digitales son una consecuencia de la definición de suma y producto de clases de congruencia módulo 9. 21 Teorema 2.9. Dados n, m números naturales se cumple que: 1. Rad(Rad(n) + Rad(m)) = Rad(n + m). 2. Rad((Rad(n))(Rad(m))) = Rad(nm). El siguiente resultado se describe en el Parágrafo 9 de la Sección 1 de Disquisitiones Arithmeticae. Teorema 2.10. Para todo entero no negativo n, se cumple Rad(n) ≡ n mód 9. Demostración. Si escribı́mos a n en base decimal entonces n puede verse en la forma n = ak 10k + ak−1 10k−1 + ... + a0 en donde para todo 1 ≤ i ≤ k, ai es undı́gito de n. Luego n − (ak + ak−1 + ... + a0 ) = (ak 10k + ak−1 10k−1 ... + a0 ) − (ak + ak−1 ... + a0 ) = ak (10k − 1) + ak−1 (10k−1 − 1) + ... + 9a1 = 9t, para algún entero t ∈ Z. Por lo tanto Rad(n) ≡ n mód 9. Teorema 2.11. Un número n es divisible por tres si y solo si Rad(n) es divisible por 3. Demostración. Si n es un entero que escrito en forma decimal tiene la forma n = ak 10k + ak−1 10k−1 + ... + a0 es divisible por tres entonces existe un entero t para el que n = ak 10k + ak−1 10k−1 + ... + a0 = 3t, a0 = 3t − (ak 10k + ak−1 10k−1 + ... + a1 10). Luego a0 = 3t − (ak 10k + ak−1 10k−1 + ... + a1 10), de donde ak + ak−1 + ... + a0 = ak + ak−1 + ... + a1 10 + 3t − (ak 10k + ak−1 10k−1 + ... + a1 10 = ak (−10k + 1) + ak−1 (−10k−1 + 1) + ... − 9a1 + 3t = 3z, ak +ak−1 +...+a0 = ak +ak−1 +...+a1 10+3t−(ak 10k +ak−1 10k−1 +...+a1 10 = ak (−10k + 1) + ak−1 (−10k−1 + 1) + ... − 9a1 + 3t = 3z, para algún z ∈ Z. Ası́ Rad(n) es divisible por tres. Por otro lado si Rad(n) es divisible por tres entonces, para algún entero t se cumple que S(n) = ak + ak−1 + · · · + a1 + a0 = 3t, entonces n = ak 10k + ak−1 10k−1 + ...a1 10 + a0 = ak 10k + ak−1 10k−1 + ... + a1 10 − (ak + ak−1 + ... + a1 ) + 3t = 3α. Para algún entero α, de donde se concluye que n es divisible por tres. Si σ(n) denota la suma de los divisores positivos de un entero positivo n entonces n es un número perfecto si σ(n) = 2n. En otras palabras, la suma 22 de los divisores positivos (sin contarse el mismo) de un número perfecto n coincide con n. Por ejemplo los números 6, 28, 496 y 8128 son perfectos. La investigación de los números perfectos es de larga data, por ejemplo Euclides y Euler establecieron que un número natural p es un perfecto par si y solo si p = 2n−1 (2n − 1) en donde 2n − 1 es primo [2]. Recordemos que es un problema abierto demostrar que hay infinitos números perfectos. También es un problema abierto determinar la existencia de números perfectos impares. Actuamente sabemos por ejemplo que si existe un número perfecto impar entonces debe tener al menos 75 factores primos uno de ellos mayor que 1020 . De acuerdo a GIMPS (Grupo de Intenet para la Busqueda de Primos de Mersenne), el número 243112608 (243112609 −1) con 25956377 dı́gitos descubierto en el 2008 es el número perfecto más grande conocido. En este trabajo no mencionaremos más información distinta al Teorema 2.12, ya que su estudio va más allá de nuestros objetivos. El siguiente Teorema nos proporciona una condición necesaria para identificar números perfectos pares. Teorema 2.12. Si p es un número perfecto par distinto de 6 entonces Rad(p) = 1. Demostración. En primer lugar notese que Rad(20 ) = 1, Rad(21 ) = 2, Rad(22 ) = 4, Rad(23 ) = 8, Rad(24 ) = 7, Rad(25 ) = 5, Rad(26 ) = 1. Con lo que deducimos que si a ≡ b mód 6 entonces Rad(2a ) = Rad(2b ). En este caso si n = 3 entonces p = 28 y Rad(28) = 1. Por otro lado si n ≡ 7 mód 6, y sabiendo que todo número perfecto p par se puede expresar de la forma p = 2n−1 (2n − 1) donde 2n − 1 es primo, podemos inferir que Rad(p) = Rad(2n−1 (2n − 1)) = Rad((20 (21 − 1))) = 1. Si n ≡ 5 mód 6 entonces Rad(p) = Rad(2n−1 (2n −1)) = Rad((24 (25 −1))) = Rad((16 × 31)) = Rad((7 × 4)) = 1. Puesto que los casos considerados son los únicos que contemplan expresiones de la forma 2n−1 (2n − 1) con 2n − 1 primo, ya hemos finalizado. 23 2.2. Estructura algebráica de los Zm En esta Sección, estudiamos algunos aspectos de la Aritmética Modular desde el punto de vista de la Teorı́a de Grupos. Recordamos que Gauss no consideró este punto de vista en Disquisitiones Arithmeticae. Sin embargo desde su inclusión, la Teorı́a de Grupos ha demostrado ser una herramienta fundamental para el estudio de la Aritmética Modular. Las generalizaciones de la fórmula cuadrática para encontrar raı́ces de polinomios de grado tres y cuatro fueron descubiertas a principios del siglo XVI, por Cardano y Tartaglia. En los siguientes trescientos años muchos intentaron encontrar fórmulas análogas para polinomios de orden superior y en 1824 Abel probó que tal fórmula no existe para polinomios de grado 5. De hecho P. Ruffini ya habı́a probado este resultado en 1799 pero su prueba tenı́a algunos errores y era difı́cil de leer, por lo que no fue aceptada por sus contemporaneos. En 1831, E. Galois estableció todos los polinomios f (x) para los que una fórmula como la buscada existe. Para ello, Galois examinó ciertas permutaciones de las raı́ces de f (x) y observó que ellas obedecı́an a un sistema algebráico que denominó Grupo. Luego observó que existe una fórmula para las raı́ces de f (x) si y solo si este grupo satisface una condición especial. En este trabajo nos limitaremos a observar las propiedades de los grupos Zm , dotados con la suma y el producto definidos en la Sección anterior. Recordamos que para m ≥ 0 fijo, la suma en Zm se define como una ley de composición interna tal que a cada par de clases [a], [b] ∈ Zm le asigna la clase [a + b] ∈ Zm . Esto es: + : Zm × Zm → 7 Zm ([a], [b]) → 7 [a + b] Por ejemplo módulo 6, tenemos que [3] + [5] = [8] = [2]. La multiplicación en Zm es una ley de composición interna tal que: × : Zm × Zm → 7 Zm ([a], [b]) → 7 [ab] En las tablas se representan la suma y la multiplicación en Z4 24 + 0 1 2 3 2.2.1. 0 0 1 2 3 1 1 2 3 0 2 2 3 0 1 × 0 1 2 3 3 3 0 1 2 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 2 0 2 0 2 3 0 3 2 1 Grupos En esta sección observaremos que los Zm dotados con la suma y el producto definidos anteriormente constituyen un grupo. Además determinaremos los valores de m para los que la estructura (Zm , +, ×) constituye un anillo o un campo finito. Un grupo es un conjunto G en el que se ha definido una operación ∗ y un elemento e, llamado la identidad de G, tal que la operación ∗ cumple [7]: 1. asociativa: Para todo x, y, z ∈ G , se tiene que (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z). 2. e ∗ x = x = x ∗ e. para todox ∈ G 3. Para todo x ∈ G, existe x0 ∈ G tal que x ∗ x0 = e = x0 ∗ x. Una operación ∗ definida sobre un conjunto G se dice que es conmutativa si para todo x, y en G se cumple que x ∗ y = y ∗ x. Un grupo (G, ∗) donde ∗ es conmutativa se llama grupo abeliano o conmutativo. En adelante, denotaremos |G| al orden del grupo G. Si |G| < ∞ entonces diremos que el grupo G es finito, de otra forma el grupo es infinito. El propósito de esta Sección consiste en estudiar las propiedades de los Zm considerados como grupos finitos. De hecho, los Zm con la suma son un ejemplo de grupo finito conmutativo, tal como se muestra en la siguiente proposición. Proposición 2.13. Para un entero positivo fijo m, se tiene que (Zm , +) es un grupo abeliano. Demostración. La operación + definida en Zm hereda de forma natural las propiedades de la suma en Z. En particular + es una operación de composición interna en Zm , asociativa y conmutativa. El elemento identidad es la clase del cero y en cuanto a la existencia del opuesto aditivo es de notar que el opuesto aditivo de [a] esta dado por −[a] = [m − a] ya que [a] + (−[a]) = [a + m − a] = [m] = [0]. 25 Si H es un subconjunto de un grupo (G, ·) entonces H es un subgrupo de G si (H, ·) es también un grupo. En particular si G es finito entonces H es un subgrupo de G si y solo si para todo a, b ∈ H se cumple ab ∈ H. En un grupo (G, ·) se cumplen las siguientes leyes de los exponentes (en adelante denotaremos con a−1 al inverso de a según ·): Teorema 2.14. Si G es un grupo a, b ∈ G y r, s ∈ Z entonces se cumplen las siguientes leyes de los exponentes: 1. (ab)−1 = b−1 a−1 . 2. Si a y b conmutan entonces (ab)r = ar br . 3. (a−1 )r = (ar )−1 . 4. (ar )s = ars . 5. ar as = ar+s . Otro resultado de la Teorı́a de Grupos que es esencial en el estudio de la Aritmética Modular es el Teorema de Lagrange que enunciamos a continuación: Teorema 2.15. Si G es un grupo finito y H es un subgrupo de G entonces |H| | |G| (el orden de H divide al orden de G). Si G es un grupo y a ∈ G entonces hai = {an | n ∈ Z} es el subgrupo de G generado por a, en tal caso el orden del elemento a ∈ G es el mı́nimo entero positivo n0 para el que an0 = e (e es el neutro de G). En particular, si G es un grupo para el que existe un elemento a tal que hai = G entonces G es un grupo cı́clico. Por definición si un elemento a de un grupo G tiene orden n0 entonces el orden de hai es n0 y si un entero positivo n es tal que an = e entonces n ≡ 0 mód n0 . Nota 2.16. Notese que gracias al Teorema 2.14 se puede concluir que todo grupo cı́clico es conmutativo. Por lo que para m fijo (Zm , +) es un grupo cı́clico. Esto es, Zm = h[a]i, para algún a tal que (a, m) = 1. 26 El siguiente resultado es una consecuencia del Teorema de Lagrange: Teorema 2.17. Si el orden de un grupo finito G es primo entonces G es cı́clico. Un anillo A es un conjunto dotado de dos operaciones denominadas suma y multiplicación, tales que: 1. A es un grupo abeliano con la suma. 2. a × (b × c) = (a × b) × c para todo a, b, c ∈ A 3. Existe un elemento 1 ∈ A con 1 6= 0 y con 1a = a para todo a ∈ A 4. a × (b + c) = a × b + a × c para todo a, b, c ∈ A Dado un anillo (A, +, ×) si la multiplicación en A es conmutativa, el anillo es conmutativo. Ahora veamos que Zm con la suma y la multiplicación es un anillo. Proposición 2.18. Para m fijo, (Zm , +, ×) es un anillo conmutativo. Demostración. En primer lugar hay que comprobar que (Zm , +, ×) es un anillo, para ello observamos lo siguiente: 1. En la proposición 2.13 se probó que (Zm , +, ×) es un grupo conmutativo. 2. La asociatı́vidad y la conmutatı́vidad del producto en Zm es una consecuencia del hecho que este producto es inducido por el producto de los enteros. 3. Como para todo a ∈ Z se cumple a.1 = a entonces [a][1] = [a] y por lo tanto [1] es el elemento neutro para la múltiplicación en Zm . 4. [a]([b] + [c]) = [a]([b + c]) = [a(b + c)] = [ab + ac] = [ab] + [ac] = [a][b] + [a][c]. 27 Un elemento x distinto al neutro para la suma (que en este caso denotamos 0) en un anillo conmutativo A es llamado una unidad si x no es el elemento neutro y existe y ∈ A con xy = 1; el elemento y es llamado el inverso de x, y y es usualmente denotado x−1 . Un cuerpo K es un anillo conmutativo en el cual todo elemento de K diferente de cero es una unidad. Por definición, un elemento x de un anillo A tiene inverso o es una unidad en A si existe x∗ en A tal que xx∗ = 1. En el caso de (Zm , ×) dado un elemento [a] ∈ Zm , diremos que [a] es invertible si existe [a]−1 ∈ Zm tal que aa−1 ) ≡ 1 mód m. En adelante denotaremos con Z∗n al grupo de unidades de Zn . Por ejemplo Z∗9 = {[1], [2], [4], [5], [7], [8]} = {[a] ∈ Zm | (a, 9) = 1}. La siguiente proposición muestra la condición bajo la cual se puede asegurar la existencia de elementos inversos en Zm . Proposición 2.19. Sea [a] ∈ Zm , a es invertible en Zm si a y m son primos relativos. Demostración. Como a y m son primos relativos existen x y y enteros tales que ax + my = 1, luego ax = −my + 1 por lo tanto ax ≡ 1 mód m de donde [x] = [a]−1 . Las unidades de un Zm , pueden obtenerse eficientemente. Esto es, en tiempo polinomial usando el siguiente algoritmo conocido como el algoritmo extendido de Euclides, en el que la notación u ← v significa que la variable u toma el valor v y bvc es el mayor entero menor o igual a v: ENTRADA: Dos enteros no-negativos a y b con a ≥ b. SALIDA: d = (a, b) y enteros x, y tales que ax + by = d. 1. Si b = 0 entonces haga las sustituciones d ← a, x ← 1, y ← 0 e imprima (d, x, y). 2. Asigne los siguientes valores a las variables x1 , x2 , y1 , y2 ; x2 ← 1, x1 ← 0, y2 ← 0, y1 ← 1. 28 3. Mientras que b > 0 realice los siguientes pasos: 4. q ← ba/bc, r ← a − qb, x ← x2 − qx1 , y ← y2 − qy1 . 5. a ← b, b ← r, x2 ← x1 , x1 ← x, y2 ← y1 , and y1 ← y. 6. Set d ← a, x ← x2 , y ← y2 , e imprima (d, x, y). En el siguiente ejemplo, usamos el algoritmo extendido de Euclides para encontrar el máximo común divisor de los números 4864 y 3458 o d = (3458, 4864) y números enteros para los que 3458x + 4864y = d. q r x y a b x2 x1 y2 y1 − − − − 4864 3458 1 0 0 1 1 1406 1 −1 3458 1406 0 1 1 −1 2 646 −2 3 1406 646 1 −2 −1 3 2 114 5 −7 646 114 −2 5 3 −7 5 76 −27 38 114 76 5 −27 −7 38 1 38 32 −45 76 38 −27 32 38 −45 2 0 −91 128 38 0 32 −91 −45 128 Con lo que concluimos (3458, 4864) = 38 = 32(4864) − 45(3458). La Proposición 2.19 nos permite determinar, aquellos anillos del tipo (Zm , +, ×) que son un campo finito. Proposición 2.20. Si p es primo, entonces (Zp , +, ×) es un campo. Demostración. Como (Zp , +, ×) es un anillo conmutativo solamente falta ver que todo elemento de Zp diferente de cero es una unidad. Como para todo a ∈ Z con a < p se cumple (a, p) = 1 entonces por la proposición 2.19 existe el inverso de [a], luego para todo [a] ∈ Zm se tiene que [a] es una unidad y Zp es un campo. 29 2.2.2. La función ϕ de Euler Con la ayuda de la función de Euler y algunos de los resultados sobre Teorı́a de Grupos, ya expuestos, podemos observar la potencia de esta teorı́a para resolver problemas de la Aritmética Modular, en particular, demostraremos el Teorema de Fermat 2.8 y el Teorema de Wilson, estudiados en la Sección 3 de Disquisitiones Arithmeticae (ver parágrafo,78). Si un número natural n tiene una descomposición en factores primos de la forma n = pα1 pα2 2 . . . pαk k entonces la función de Euler, ϕ, le asigna a n el k k Q Q producto n (1 − p1i ) = (pαi i − pαi i −1 ). i=1 i=1 Por definición la función ϕ de Euler le asigna a cada número natural n un número natural s que corresponde a la cantidad de números menores o iguales a n que son primos relativos con n. Por ejemplo ϕ(10) = 10(1 − 12 )(1 − 15 ) = 4. Observe que los primos relativos a 10 menores que él son, 1, 3, 7 y 9. Entre las propiedades de la función ϕ de Euler se encuentran: Proposición 2.21. Si p es un número primo, entonces ϕ(p) = p − 1. Demostración. p − 1 = p(1 − p1 ) = ϕ(p). Proposición 2.22. Si p es primo y a un número natural, entonces ϕ(pa ) = pa − pa−1 = pa−1 (p − 1). Demostración. ϕ(pa ) = pa (1 − p1 ) = pa − pa−1 . P Proposición 2.23. Si p es primo entonces, ai=0 ϕ(pi ) = pa . Pa Pa Pa i 0 i i Demostración. Como i=0 ϕ(p ) = p + i=1 ϕ(p ) = 1 + i=1 ϕ(p ) de acuerdo con la proposición 2.22 se tiene que esta suma es igual a: P P a −1 ϕ(pi ) = 1 + ai=0 (p − 1)(pi−1 ) = 1 + (p − 1) ai=0 (pi−1 ) = 1 + (p − 1) pp−1 P de donde ai=0 ϕ(pi ) = pa Pa i=0 Proposición 2.24. La función de Euler es multiplicativa. Es decir, para a y b primos relativos ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b). 30 βm , la descomposición Demostración. Sean a = pα1 pα2 2 . . . pαk k y b = q1β q2β2 . . . qm en factores primos de a y b respectivamente. Por lo tanto, para cada 1 ≤ i ≤ k, se cumple que pi 6= qj , para todo 1 ≤ j ≤ m, ya que a y b son primos relativos, k m k m Q Q Q Q luego ϕ(ab) = a (1 − p1i )b (1 − q1i ) = ab (1 − p1i ) (1 − q1i ) = ϕ(a)ϕ(b). i=1 j=1 i=1 j=1 Ahora con la ayuda de los conceptos definidos, podemos usar la Teorı́a de Grupos para demostrar, desde este punto de vista el Teorema de Fermat. Para ello, debemos tener en cuenta el siguiente Corolario del Teorema 2.15. Corolario 2.25. Si b ∈ Zm es una unidad entonces bϕ(n) ≡ 1 mód n. Demostración. El conjunto de las unidades de Zm es un grupo multiplicativo de orden ϕ(n). El Corolario 2.25 nos permite dar la versión en Teorı́a de Grupos del Teorema de Fermat. Teorema 2.26. Si p es primo y b ∈ Zp entonces bp ≡ b mód p. Demostración. Si p es primo entonces ϕ(p) = p − 1 por la Proposición 2.21, de manera que si b 6≡ 0 mód p, el resultado se obtiene por el Corolario 2.25. Si b ≡ 0 mód p se cumple 0p ≡ 0 mód p. El siguiente resultado se conoce como el Teorema de Wilson. Teorema 2.27. Si p es primo entonces (p − 1)! ≡ −1 mód p. Demostración. Si a1 , a2 , . . . an es la lista completa de los elementos de un grupo abeliano finito G entonces el producto a1 a2 . . . an coincide con el producto de todos los elementos de orden 2, ya que todo elemento en el producto, se cancela con su inverso. Como Z∗p tiene a −1 como el único elemento de orden 2. Concluimos que el producto de todos los elementos en Z∗p . Esto es, [(p − 1)!] = [−1]. Luego (p − 1)! ≡ mód p. 31 2.2.3. Sistemas de congruencias lineales En esta Sección damos solución a diferentes tipos de congruencias lineales estudiadas por Gauss en el Parágrafo 24 de la Sección 2 de Disquisitiones Arithmeticae. Teorema 2.28. Si (a, m) = 1 entonces la congruencia ax ≡ b mód m tiene solución para x y dos de tales soluciones son congruentes módulo m. Demostración. Como (a, m) = 1 entonces existen enteros s, t, tales que as + mt = 1, luego asb + mtb = b, con lo que concluimos m | asb − b y de esto asb ≡ b mód m, por lo que x = sb es la solución buscada. Si y es otra solución entonces ax ≡ ay mód m y por lo tanto m | a(x − y) y como (a, m) = 1 entonces m | x − y y por lo tanto x ≡ y mód m. Corolario 2.29. Si a no es divisible por un primo dado p entonces la congruencia ax ≡ b mód p siempre tiene solución. Demostración. Como p es primo y p - a entonces (a, p) = 1. En el capı́tulo I de este trabajo mencionamos el Teorema Chino de los Residuos, los siguientes resultados describen la forma como se obtienen las soluciones de un sistema de congruencias. Teorema 2.30. Si (m, m0 ) = 1 entonces las congruencias: x ≡ b mód m, x ≡ b0 mód m tienen una solución común y cualquier par de soluciones para ellas son congruentes mód mm0 . Demostración. Toda solución de la primera congruencia tiene la forma x = b+km para algún entero k, por lo tanto debemos encontrar k tal que b+km ≡ b0 mód m0 . Esto es, km ≡ b0 −b mód m0 y puesto que (m, m0 ) = 1 el teorema 2.28 nos permite inferir que tal k existe. Si y es otra solución común entonces m y m0 dividen a x−y, luego mm0 | x−y y por lo tanto x ≡ y mód mm0 . 32 El Teorema Chino de los Residuos Generalizado se enuncia de la siguiente forma: Si los enteros n1 , n2 , . . . , nk son primos relativos dos a dos entonces el sistema de congruencias: x ≡a1 mod n1 x ≡a2 mod n2 .. . x ≡ak mod nk (2.2.1) tieneP una única solución módulo n = n1 n2 . . . nk . x = ki=1 ai Ni Mi mod n es la solución propuesta por Gauss en Disquisitiones Arithmeticae. En este caso para cada i, Ni = n/ni y Mi = Ni−1 mod ni Por ejemplo, resolvamos el siguiente sistema de congruencias lineales x ≡ 4 mód 6 x ≡ 3 mód 5 x ≡ 4 mód 7 Como 6, 5 y 7 son primos relativos, se puede aplicar el teorema chino de los residuos, donde M = 5 × 6 × 7 = 210 i ai mi Mi yi 1 4 6 35 5 2 3 5 42 3 3 4 7 30 4 Luego x = (4 × 35 × 5) + (3 × 42 × 3) + (4 × 30 × 4) mód 210 ası́ x = (700 + 378 + 480) mód 210, esto es x ≡ 88 mód 210. 2.3. Residuos cuadráticos A continuación se presenta la definición y algunas propiedades de los residuos cuadráticos, estudiados por Gauss en la Sección 4 de Disquisitiones Arithmeticae. Suponga que p es un número primo impar y que a es un entero. Entonces a es un residuo cuadrático módulo p si a 6≡ 0 mód p y la congruencia y 2 ≡ mód p tiene una solución y ∈ Zp . 33 a es un no residuo cuadrático si a 6≡ 0 mód p y a no es residuo cuadrático módulo p. A continuación listamos los residuos cuadráticos de Z11 : 12 = 1, 22 = 4, 32 = 9, 42 = 5, 52 = 3, 62 = 3, 72 = 5, 82 = 9, 92 = 4, 102 = 1. El siguiente Teorema es el criterio de Euler para identificar residuos cuadráticos. Teorema 2.31. Sea p un número primo impar, entonces a es un residuo p−1 cuadrático módulo p si y solo si a 2 ≡ 1 mód p. Demostración. Supongamos que x ≡ y 2 mód p. Luego xp−1 ≡ 1 mód p por el Teorema 2.25, para todo x 6≡ 0 mód p, por lo tanto x(p−1)/2 ≡ (y 2 )(p−1)/2 mód p ≡ y p−1 mód p ≡ 1 mód p. Recı́procamente, si x(p−1)/2 ≡ 1 mód p y b es un generador de grupo módulo p, entonces x ≡ bi mód p, para algún i. Entonces x(p−1)/2 ≡ (bi )(p−1)/2 mód p ≡ bi(p−1)/2 mód p. Como b tiene orden p − 1 entonces p − 1 divide i(p − 1)/2, por lo que i es par y las raı́ces cuadradas de x son ±bi/2 . Los siguientes algoritmos calculan raı́ces cuadradas módulo p, para distintos valores de p: ENTRADA: Un primo impar p y un cuadrado a ∈ Qp (conjunto de residuos cuadráticos módulo p), SALIDA: Las dos raı́ces cuadradas de a módulo p, 1. Elija b ∈ Zp hasta que b2 − 4a sea un no residuo cuadrático módulo p, 2 esto es, ( b −4a ) = −1, p 2. Sea f el polinomio x2 − bx + a ∈ Zp [x], 3. Calcule r = x(p+1)/2 mód f , 4. Responda((r, −r)). 34 ENTRADA: Un primo impar p, p ≡ 3 mód 4 y un cuadrado a ∈ Qp , SALIDA: Las dos raı́ces cuadradas de a módulo p, 1. Calcule r = a(p+1)/4 mód p, 2. Responda(−r, r). ENTRADA: Un primo impar p, p ≡ 5 mód 8 y un cuadrado a ∈ Qp , SALIDA: Las dos raı́ces cuadradas de a módulo p, 1. Calcule d = a(p−1)/4 mód p, 2. Si d = 1 entonces calcule r = a(p+3)/8 mód p, 3. Si d = p − 1 entonces calcule r = 2a(4a)(p−5)/8 mód p, 4. Responda(−r, r). 2.3.1. Los sı́mbolos de Jacobi y Legendre Los sı́mbolos de Legendre y Jacobi, no solo permiten identificar residuos cuadráticos módulo un primo p sino que también con su ayuda podemos definir algoritmos que identifican números primos. Sea p un número primo impar, entonces para todo entero a se define el sı́mbolo de Legendre ( ap ), de forma tal que:   si a ≡ 0 mód p, 0, a ( ) = 1, si a es residuo cuadrático mód p  p  −1, si a es un no-residuo cuadrático mód p. El siguiente Teorema describe la relación que hay entre residuos cuadráticos módulo p sı́mbolos de Legendre. Teorema 2.32. Sea p un número primo impar entonces; ( ap ) ≡ a(p−1)/2 . 35 Sea n un entero impar con descomposición en factores primos de la forma; n= k Q pαi i i=1 Sea a un entero, entonces el sı́mbolo de Jacobi ( na ) se define de forma tal que: ( na ) = k Q i=1 ( pai )αi . ). Calculamos la descomposición en Para obtener el sı́mbolo de Jacobi ( 6278 9975 2 factores primos de 9975 = 3 × 5 × 7 × 19, por lo tanto: ) = ( 6278 )( 6278 )2 ( 6278 )( 6278 )= ( 6278 9975 3 5 7 19 8 ( 32 )( 53 )2 ( 67 )( 19 ) = (−1)(−1)2 (−1)(−1). El procedimiento anterior, tiene el inconveniente de que para poder calcular el sı́mbolo de Jacobi debe ser resuelto el problema más difı́cil de factorizar un número dado. Por lo que es necesario determinar algunas propiedades del sı́mbolo de Jacobi en las que intervengan lo menos posible la factorización de números grandes. A continuación se describen algunas propiedades del sı́mbolo de Jacobi: Teorema 2.33. 1. Si n es un entero positivo impar y m1 ≡ m2 mód n m1 entonces ( n ) = ( mn2 ), 2. Si n es un entero positivo impar entonces 2 ( )= n ( 1, si n ≡ ±1 −1, si n ≡ ±3 mód 8 mód 8. 3. Si n es un entero impar entonces ( m1nm2 ) = ( mn1 )( mn2 ), 4. Si m, n son enteros positivos impares entonces m ( )= n ( n ), si m ≡ n ≡ 3 mód 4 −( m n ( m ), de otro modo. 36 Nota 2.34. Note que la propiedad 4 del Teorema 2.33 es la ley de reciprocidad cuadrática, para la que Gauss dio 8 pruebas. 7411 ) = −( 9283 ), Por ejemplo, si queremos calcular el sı́mbolo de Jacobi ( 9283 7411 7411 9283 observamos que ( 9283 ) = −( 7411 ), por la propiedad 4, = ( 1872 ), por la propiedad 1, 7411 117 2 )4 ( 7411 ), por la propiedad 3, = −( 7411 117 ), por la propiedad 2, = −( 7411 = −( 7411 ), por la propiedad 4, 117 40 = −( 117 ), por la propiedad 1, 2 3 5 = −( 117 ) ( 117 ), por la propiedad 3, 5 ), por la propiedad 4, = ( 117 = ( 117 ), por la propiedad 4, 5 = ( 52 ), por la propiedad 1, = −1, por la propiedad 2. Ahora definimos el algoritmo SIJ((a, n)), que calcula el sı́mbolo de Jacobi ( na ) eficientemente. ENTRADA: Un entero n ≥ 3 y un entero a, 0 ≤ a ≤ n SALIDA: El sı́mbolo de Jacobi ( na ) 1. Si a = 0 entonces responda (0), 2. Si a = 1 entonces responda (1), 3. Exprese a en la forma a = 2α a1 , en donde a1 es un número impar, 4. Si α es par entonces realice la asignación s ← 1, de otro modo, s ← 1 si n ≡ 1 o 7 mód 8 o s ← −1 si n ≡ 3 o 5 mód 8, 5. Si n ≡ 3 mód 4 y a1 ≡ 3 mód 4 entonces s ← −s, 6. Haga la asignación n1 ← n mód a1 , 7. Responda(s · SIJ(n1 , a1 )). 37 2.4. Curvas elı́pticas En esta Sección desarrollamos las mismas técnicas utilizadas para hacer de los (Zm , +) un grupo, para definir una nueva clase de grupos cuya estructura depende de la naturaleza de los residuos cuadráticos módulo un primo p. Sea p > 3 un número primo. Una curva elı́ptica y 2 = x3 + ax + b sobre Zp es el conjunto de soluciones (x, y) ∈ Zp × Zp a la congruencia y 2 ≡ x3 + ax + b mód p En donde a, b ∈ Zp son constantes, tales que 4a3 + 27b2 6= 0 mód p, con un punto O denominado, punto al infinito. En la tabla de abajo se describen los puntos de la curva elı́ptica y 2 = x3 + 2x + 1 definida en Z7 x x3 + 2x + 1 y 0 1 1, 6 1 4 2, 5 2 6 − 3 6 − 4 3 − 5 3 − 6 5 − Luego los elementos de E son E = {(0, 1), (0, 6), (1, 2), (1, 5), O}. A una curva elı́ptica E se le puede dar estructura de grupo abeliano, definiendo la operación suma en E como una ley de composición interna + : E × E → E que actúa de la siguiente forma, para cada par de elementos P = (x1 , y1 ), Q = (x2 , y2 ) en E: ( O si x1 = x2 y y1 = −y2 (P + Q) = (x3 , y3 ) ∈ E de otro modo donde x3 = λ2 − x1 − x2 y3 = λ(x1 − x3 ) − y1 38 para λ definida como: ( λ= y2 −y1 x2 −x1 3x21 +a 2y1 si P 6= Q si P = Q En la tabla se representa la suma de los elementos de la curva elı́ptica generada por y 2 = x3 + 2x + 1 en Z7 + (0, 1) (0, 6) (1, 2) (1, 5) O (0, 1) (1, 5) O (0, 6) (1, 2) (0, 1) (0, 6) O (1, 2) (1, 5) (0, 1) (0, 6) (1, 2) (0, 6) (1, 5) (0, 1) O (1, 2) (1, 5) (1, 2) (0, 1) O (0, 6) (1, 5) O (0, 1) (0, 6) (1, 2) (1, 5) O Consideremos ahora, la curva elı́ptica E 0 generada por y 2 = x3 + x + 6 sobre Z11 . Los puntos de E 0 se pueden obtener, de nuevo, reemplazando los valores de x y determinando cuales de los valores obtenidos son residuos cuadráticos módulo 11. Esto es, valores del tipo ±z 3 mód 11. Por lo que E 0 tiene 13 puntos, como lo tabulamos a continuación: x x3 + x + 6 mód 11 residuo cuadrático mód 11? y 0 6 no 1 8 no 2 5 si 4, 7 3 3 si 5, 6 4 8 no 5 4 si 2, 9 6 8 no 7 4 si 2, 9 8 9 si 3, 8 9 7 no 10 4 si 2, 9 Observe que debido a que el grupo E 0 tiene 13 elementos entonces podemos deducir que E 0 es un grupo cı́clico y cualquier elemento α ∈ E 0 distinto de O lo genera, por ejemplo si consideramos α = (2, 7) entonces para calcular, 39 α2 = α + α, tenemos en cuenta que en este caso λ = (3 × 22 + 1)(2 × 7)−1 mód 11 = 2 × 4 mód 11 = 8, luego: x3 = 82 − 2 − 2 mód 11 = 5, 2α = (5, 2), y3 = 8(2 − 5) − 7 mód 11 = 2, por lo que 3α = 2α + α = (5, 2) + (2, 7), en este caso λ = (7 − 2)(2 − 5)−1 mód 11 = 5 × 8−1 mód 11 = 2, x3 = 22 − 5 − 2 mód 11, y3 = 2(5 − 8) − 2 mód 11 = 3, luego 3α = (8, 3), continuando de esta forma, obtenemos: α = (2, 7) 2α = (5, 2) 3α = (8, 3) 4α = (10, 2) 5α = (3, 6) 6α = (7, 9) 7α = (7, 2) 8α = (3, 5) 9α = (10, 9) 10α = (8, 8) 11α = (5, 9) 12α = (2, 4) 40 Capı́tulo 3 Algunas Aplicaciones de la Aritmética Modular Existen diversas actividades que pueden ser aprovechadas para trabajar en el aula la aritmética modular de manera interesante, como por ejemplo: los chryzodes, determinar el dı́a de la semana en que cae una fecha cualquiera, el uso de criptografı́a. Justamente con este tipo de actividades se busca mostrar una forma de trabajo diferente que motive y haga participe el estudiante al momento de abordarla. Cada uno de estos temas surge como una aplicación de un tema especı́fico de la Aritmética Modular, lo cual ilustraremos en este Capı́tulo. 3.1. Chryzodes La palabra chryzode es creada a partir de los vocablos griegos chryzos y zoide y significa escritura de oro en un cı́rculo y es la representacion gráfica y geométrica de los números y las operaciones en arı́tmetica modular por medio de un cı́rculo. Tal representación pemite dar una visión alterna (de hecho artı́stica) a las clases de congruencias y a las operaciones entre ellas. Concretamente los Chryzodes son modelos gráficos de fenómenos conectados a las congruencias aritméticas. Solo tenemos que usar un cı́rculo o anillo graduado como un reloj, en el cual la serie de números obtenida por multiplicaciones, divisiones o potencias son representadas por lı́neas y sus puntos de intersección. 41 Figura 3.1: una representación de los números naturales en un cı́rculo. Por ejemplo, para representar la multiplicación por 3, conectamos con lı́neas cada número a su triple en un cı́rculo con n puntos. De esta forma, debemos conectar el punto marcado con 1 con el punto marcado con el número 3 en el cı́rculo, el punto marcado con el número 2 debe conectarse con el punto marcado con 6 y ası́ sucesivamente, teniendo en cuenta que en este caso la multiplicación se hace módulo n (ver Figura 3.1). Si se quiere representar un número basta elegir tantos puntos equidistantes en el cı́rculo, como el número indique y luego se procede a conectar todos estos puntos. Los Chryzodes tienen múltiples aplicaciones entre ellas en el arte y la arquitectura y en tiempos recientes, han sido usados para modelar la difracción de la luz en un cristal. En la figura 3.1 se muestra una circunferencia con un punto que representa el número 1, luego otra circunferencia con dos puntos equidistantes y el segmento que los une, luego tres puntos equidistantes y asi sucesivamente hasta el número 7 y en el cı́rculo de abajo aparecen estos mismos números sobre puestos en una sola circunferencia y con un punto en común. 42 Figura 3.2: Chryzodes representando las multiplicaciones por 5 mód 500 y por 8 mód 1000. 3.1.1. Algoritmo para construir un chryzode A continuación describimos en forma de algoritmo, la construcción de un chryzode que represente una operación en Zn de la forma a ∗ b con b ∈ Zn fijo [6]: 1. Se ubica en una circunferencia n puntos equidistantes. 2. A cada a ∈ Zn se hace corresponder uno de los puntos de la circenferencia, numerando los puntos de 0 a n − 1. 3. Para cada a ∈ Zn se realiza a ∗ b = c con c ∈ Zn y se traza ac. (puede ser segmentos o rectas). 43 Figura 3.3: Chryzode representando la multiplicación por tres módulo 847 En la figura 3.4 se presenta gráficamente un ejemplo de los pasos para elaborar el chryzode correspondiente a multiplicación por 3 mód 201. Es importante notar que en la medida en que n tome un valor mayor, la circunferencia estará dividida en un mayor número de partes y mejor definición tendrá la gráfica. Nota 3.1. En adelante para indicar las caracteristicas de un chryzode que resulta de multiplicar por a en Zn se escribirá a mód n Los chryzodes son accesibles y estan disponibles para su uso desde la escuela primaria usando para su elaboración lapiz, regla, compás y un transportador hasta para niveles superiores usando ordenadores como herramientas tecnológicas para la realización de chryzodes por medio de programas de computación. Entre estos programas están entre otros chryzodus y chryzodes2. Ver Anexo A. Además en el Anexo B se presentan algunos chryzodes encontrados en internet, junto con algunas direcciones electrónicas para ver videos de chryzodes animados. Se presentan también, en el Anexo C, chryzodes realizados con papel y lápiz por estudiantes y en el Anexo D chryzodes realizados sobre puntigramas tambien por estudiantes de un colegio. 44 Figura 3.4: 3.1.2. Chryzodes en filotaxia La filotaxia es una rama de la botánica que se encarga de estudiar la disposición de las hojas en el tallo de una planta, Esta disposición de las ramas permite captar de manera uniforme la luz y el aire. Observar el nacimiento de cada rama permite determinar que cada hoja nace a una distancia angular constante según las caracterı́sticas de cada planta. El programa Wolfram CDF Player presenta por medio de un simulador, la forma como se produce el nacimiento de las ramas sobre el tallo, de acuerdo al ángulo, número de hojas y tamaño. La figura 3.5 es un ejemplo en el que se puede observar como las hojas se distribuyen formando las clases de congruencia módulo 8. Para cada ángulo diferente cambia el valor del módulo pero continuan distribuyéndose las ramas de acuerdo con algún conjunto de congruencias Zm . En el anexo E se presentan otras figuras creadas con el simulador en las que se muestra su relación con la Aritmética Modular. 45 Figura 3.5: 70 hojas, con un ángulo de 45◦ . 3.2. Calendarios Las congruencias se presentan siempre que haya comportamientos cı́clicos, los calendarios son formas de contar el tiempo de manera cı́clica. Uno de los tres calendarios M Maya desarrollado hace 2500 años fue el calendario Tzolkin y su estudio es una aplicación del Teorema Chino de los Residuos. 3.2.1. Calendario Maya El calendario Tzolkin es un calendario religioso compuesto de 20 meses cada uno de 13 dı́as, esto es, el año Tzolkin tiene 260 dı́as. Los 20 meses en este calendario se presentan en la figura 3.6. Para explicar la forma de contar los dı́as en él, usaremos la figura 3.7. En la rueda de mayor tamaño aparecen los 20 meses que corresponden al calendario Tzolkin y en la rueda pequeña que esta en el interior aparecen los números del uno al trece (escritura maya) en la figura aparece el primer dı́a del calendario correspondiente al primero de Imix, para el segundo dı́a las dos ruedas giran en el mismo sentido, En el sentido de las manecillas del reloj, ası́ el segundo dı́a es el dos de Ik. Esto es, para cada dı́a que sigue cambia el dı́a y el mes. Un problema que se plantea en el calendario Tzolkin es ¿Cuántos dı́as han transcurrido desde el 7 Manik hasta el dı́a 5 Cimi?. De forma más general, se debe encontrar el número de dı́as x han transcurrido desde Tzolkin (m, d), donde 1 ≤ m ≤ 20 46 Figura 3.6: meses del calendario Tzolkin Figura 3.7: 47 y 1 ≤ d ≤ 13 hasta Tzolkin (m0 , d0 ), donde 1 ≤ m0 ≤ 20 y 1 ≤ d0 ≤ 13. Por el comportamiento cı́clico de los dı́as el problema se puede plantear como una congruencia del tipo x ≡ (d0 − d) mód 13 y por el comportamiento cı́clico de los meses se puede plantear la congruencia x ≡ (m0 − m) mód 20 Para responder la pregunta que nos ocupa tenemos en cuenta que el dı́a 7 Manik es la pareja (7, 7) y el dı́a 5 Cimi se representa con la pareja (6, 5). por lo que tenemos las congruencias simultáneas x ≡ −2 mód 13 x ≡ −1 mód 20 Como (13, 20) = 1 la congruencia se puede resolver usando el Teorema Chino de los Residuos, En este caso M = 13 × 20 = 260 y i ai mi Mi yi 1 −2 13 20 2 2 −1 20 13 17 Luego x ≡ (−2 × 20 × 2) + (−1 × 13 × 17) mód 260, esto es x ≡ (−80 − 221) mód 260 de donde x ≡ 219 mód 260. Es decir que entre el 7 Manik y el 5 Kimi han transcurrido 219 dı́as. El calendario Gregoriano actual también es un calendario cı́clico del que nos ocuparemos en adelante. 3.2.2. Calendario Gregoriano El calendario Gregoriano se originó en Europa y actualmente es utilizado de manera oficial en casi todo el mundo. Se denomina ası́ porque su promotor fue el Papa Gregorio XIII, surgió en 1582 para reemplazar el calendario Juliano, utilizado desde el año 46 A.C. cuando fue instaurado por Julio César. En esta Sección describimos una fórmula para determinar qué dı́a de la semana cae una fecha especı́fica del calendario Gregoriano, por ejemplo cual 48 dı́a de la semana sucedió la batalla de Boyacá del 7 de agosto de 1819, o el dı́a en que nació una persona dada una fecha de referencia en el calendario Gregoriano. Para ello seleccionamos el año 0000, como el año de referencia y asignamos un número a cada dı́a de la semana, ası́: domingo lunes martes miércoles jueves viernes sábado 0 1 2 3 4 5 6 En particular al primero de marzo del año 0000 le asignamos el valor a con 0 ≤ a ≤ 6. por lo que al primero de marzo del año siguiente 0001 le corresponde el valor a+1 ya que el año tiene 365 dı́as y como 365 = 52×7+1 se tiene que 365 ≡≡ 1 mód 7. De la misma manera se tiene para primero de marzo de 0002 el valor a + 2 para el primero de marzo de 0003 a + 3, como el año que siguie 0004 es bisiesto en este caso para el primero de marzo se tiene el valor a + 5. por lo tanto se puede observar que por cada año que pasa se aumenta en 1 el valor de a y si el año es biciesto el valor de a aumenta en 2. Por lo tanto si el primero de marzo de 0000 le corresponde el valor a se tiene que al primero de marzo del año y le corresponde el valor a0 dado por la expresión: a0 ≡ (a + y + L) mód 7 y y c + b 400 c es el número de años bisiestos desde el año donde L = b y4 c − b 100 0000 hasta el año y y bnc es el mayor entero menor o igual a n. Luego y y a0 ≡ (a + y + b y4 c − b 100 c + b 400 c) mód 7 Para hallar el valor de a podemos observar un calendario y como el primero de marzo de 2011 cayó un martes, para este caso a0 = 2, ası́ c − b 2011 c + b 2011 c) mód 7 2 ≡ (a + 2011 + b 2011 4 100 400 Luego 2 ≡ (a + 2011 + 502 − 20 + 5) mód 7, esto es 2 ≡ a + 2498 mód 7 de donde 2 − 2498 ≡ a mód 7, ası́ a ≡ −2496 mód 7 es decir a ≡ −4 mód 7 por lo tanto a ≡ 3 mód 7. De donde se puede afirmar que el primero de marzo del año 0000 fue un miércoles. De hecho se puede determinar qué dı́a de la semana a0 cae el primero de marzo de cualquier año y > 0 con la expresión 49 y y c + b 400 c) mód 7 a0 ≡ (3 + y + b y4 c − b 100 A continuación enunciamos el Teorema que nos permite determinar el dı́a de la semana en que cae una fecha dada. Teorema 3.2. La fecha con mes m dı́a d y año y le corresponde el valor a a ≡ d + j(m) + g(y) mód 7 y y donde g(y) = y + b y4 c − b 100 c + b 400 c y los valores de j(m) estan dados por: mar abr may jun jul ago sep oct nov dic ene feb j(1) j(2) j(3) j(4) j(5) j(6) j(7) j(8) j(9) j(10) j(11) j(12) 2 5 0 3 5 1 4 6 2 4 0 3 Es importante notar que los meses de enero y febrero deben ser considerados del año anterior. Por ejemplo queremos saber ¿Qué dı́a de la semana fue la batalla de Boyacá del 7 de agosto de 1819?. Aplicando el Teorema anterior se tiene que m = 6, d = 7 y y = 1819, por lo tanto para agosto j(6) = 1 y g(1819) = c − b 1819 c + b 1819 c = 1819 + 454 − 18 + 4 = 2259. Luego 1819 + b 1819 4 100 400 a ≡ 7 + 1 + 2259 mód 7 ≡ 2267 mód 7 ≡ 6 mód 7. De donde se puede concluir que la batalla de Boyacá fue un sábado. El Corolario que se enuncia a continuación facilita los cálculos planteados en el Teorema 3.2. Corolario 3.3. La fecha con mes m, dı́a d año y = 100C + N , donde 0 ≤ N ≤ 99 tiene asignado el número a a ≡ d + j(m) + N + b N4 c + b C4 c − 2C mód 7. Considerando los meses de Enero y Febrero, como antes, en el año anterior. Para el ejemplo del 7 de agosto se tiene a ≡ 7 + 1 + 19 + 4 + 4 − 36 mód 7 ≡ −1 mód 7 ≡ 6 mód 7 Es decir que el 7 de agosto de 1819 fue un sábado. 50 3.3. Clasificación de números Naturales en primos y compuestos En esta Sección se aborda la aplicación de la Aritmética Modular en la clasificación de números Naturales en primos y compuestos. El rápido avance tecnológico ha permitido en esta época la realización de cálculos de teorı́a de números que antes eran imposibles o demasiado difı́ciles de obtener hoy pueden realizarse de manera rutinaria en equipos sencillos. Además gracias a la tecnologı́a que hoy en dı́a existe, es posible encontrar números primos con un número enorme de cifras. La importancia de encontrar números primos de gran tamaño no es solamente por el placer personal de encontrar un número primo de estas magnitudes o por las ganancias económicas que genera, también en la seguridad al guardar información confidencial que cada dı́a esta en aumento, ya que al descubrir más números primos de una gran cantidad de cifras los sistemas criptográficos que los usan se hacen menos vulnerables. Es tal la importancia de los números primos, incluso al interior de la matemática misma, que Gauss escribió “El problema de distinguir números primos de números compuestos, y de hallar los factores primos de este último es tan conocido que es uno de los más importantes y útiles en aritmética” [2]. Un método para hallar los números primos menores o iguales a n ∈ N es La criba de Eratóstenes que consiste en hacer una lista de los números naturales desde 2 hasta n. Como el número 2 es primo y todos los demás múltiplos de 2 no lo son, entonces se encierra en un cı́rculo el número 2 y se tachan todos los demás números pares de la lista. Luego como el número 3 es primo se encierra y se tachan todos los demás múltiplos de 3, como 5 es primo se encierra y se tachan todos los demás mı́ltiplos de 5 de la lista y ası́ sucesivamente hasta encerrar todos los primos menores o iguales a la raı́z cuadrada de n. En teorı́a este procedimiento puede ser desarrollado para cualquier n número Natural. La implementación en la práctica de un algoritmo como la criba de Eratóstenes para factorizar números grandes puede no resultar eficiente en términos del número de operaciones que se requieren hasta llegar a una respuesta satisfactoria. Por esta razón se han implementado distintos tipos de algoritmos 51 denominados probabilı́sticos y que tienen como propiedad responder sı́ o no a la pregunta de si un número es compuesto. A este tipo de algoritmos pertencen los algoritmos de Solovay-Strassen, Ro de Pollard, la criba cuadrática de Pomerance y el algoritmo de Miller-Rabin, entre otros. A continuación se hace una descripción de algunos de estos algoritmos. 3.3.1. Test de Fermat Este test se basa en el pequeño teorema de Fermat 2.26. Consiste en calcular el valor de r tal que: r ≡ an−1 mód n para varios valores de a, donde a es un número aleatorio tal que 2 ≤ a ≤ n − 2. Si el valor de r es diferente de 1 para algún a entonces la salida del algoritmo es compuesto de otro modo, el algoritmo responde primo. Ası́, por ejemplo se puede mostrar que 10 no es primo observando que, 39 ≡ 34 × 34 × 3 mód 10 ≡ 81 × 81 × 3 mód 10 ≡ 3 mód 10 Este método tiene como ventaja, que con un número pequeño de repeticiones, la probabilidad de que un número compuesto pase por primo es baja. Sin embargo, se producen dificultades al examinar con este algoritmo, números de Carmichael que son justamente los números que sin ser primos cumplen con el Teorema de Fermat. 3.3.2. Test Solovay-Strassen Este test se basa en el criterio de Euler para identificar residuos cuadráticos y en el sı́mbolo de Jacobi. Para verificar si un número Natural n es primo, se dice que los valores de a que hacen verdadero el criterio de Euler son verificadores de Euler para la primalidad de n y los valores de a que no lo cumplen son los falsificadores de Euler para la primalidad de n. Veamos el algoritmo de Solovay-Strassen ENTRADA: Un número natural n ≥ 3 y un número t ≥ 1 que es el número de veces que se ejecuta el test y determina la fiabilidad del mismo. SALIDA: Una respuesta del tipo compuesto o primo a la pregunta ¿es n primo? 52 1. Para i desde 1 hasta t, realizar lo siguiente a) elija un número aleatorio a, 2 ≤ a ≤ n − 2 b) Calcule r = a n−1 2 mód n c) si r 6= 1 y r 6= n − 1 responde compuesto d ) calcule el sı́mbolo de Jacobi s = ( na ) e) si r 6≡ s mód n responda compuesto 2. Responda primo El algoritmo de Solovay-Strassen tiene una probabilidad de error, = 12 . Lo que significa que la entrada sea un número compuesto habiendo sido declarado primo es menor que 12 . 3.3.3. Test de Miller-Rabin El algoritmo de Miller-Rabin se basa en el hecho que si p es un número primo y p − 1 = 2s r donde r es impar, se tiene que, para todo a ∈ N tal que (a, p) = 1 entonces se cumple que ar ≡ 1 mód p o existe i ∈ [0, s − 1] tal que j a2 r ≡ −1 mód p. Mostramos ahora el test de Miller-Rabin. ENTRADA: Un número natural n ≥ 3 y un número t ≥ 1 que es el número de veces que se ejecuta el test y determina la fiabilidad del mismo. SALIDA: Una respuesta del tipo compuesto o primo a la pregunta ¿es n primo? 1. defina r y s tal que r es impar y (n − 1) = r × 2s 2. para i desde 1 hasta t realizar lo siguiente a) elija un número aleatorio a, 2 ≤ a ≤ n − 2 b) calcule y = ar mód n c) Si y 6= 1 y y 6= n − 1 entonces 1) i = 1 2) mientras i ≤ s − 1 y y 6= n − 1 realice 53 a 0 haga y = y 2 mód n b 0 Si y = 1 responde compuesto c0 i = i + 1 3) si y 6= n − 1 responde compuesto 3. Responda primo. En este caso la probabilidad de error es de 41 y por utilizar exponenciación binaria las operaciones se realizan con mayor rapidez que en el caso de Solovay-Strassen. 3.3.4. Test Ro de Pollard E algoritmo Ro de Pollard, también es un algoritmo probabilı́stico y tiene la siguiente presentación: ENTRADA: Un número entero n compuesto que no es la potencia de un número primo. SALIDA: Un factor no trivial d de n. 1. Sean a = 2, b = 2, d = 1 2. mientras d = 1 realizar lo siguiente: a) calcule a = a2 + 1 mód n y b = a2 + 1 mód n b) calcule d = (a − b, n) c) si 1 < d < n entonces retornar d y termine con Éxito 4 Si d = n entonces termine el algoritmo con fallo. Por ejemplo supongamos que queremos encontrar un factor no trivial de n = 455459, la siguiente tabla muestra los valores de a, b y d en cada iteración: 54 a 5 26 677 2871 44380 179685 121634 155260 44567 b d 26 1 2871 1 179685 1 155260 1 416250 1 43670 1 164403 1 247944 1 68343 743 Por lo tanto 743 y 455459/743 = 613 son factores no triviales de 455459. 3.4. Criptografı́a Una de las aplicaciones actuales más interesantes de la Aritmética Módular ocurre en la Criptografı́a, en la que se utilizan las distintas operaciones, con el objeto de cifrar información. La definición de los distintos sistemas de ciframiento, como se verá en esta sección, es suficientemente simple para ser abordados por cualquier persona con unos conocimientos básicos de la Aritmética Módular. En esta sección describiremos cómo se pueden usar algunos conceptos básicos de Aritmética Modular en el ciframiento de datos, para ello presentamos a continuación la definición de un sistema criptográfico o Criptosistema [5, 9]. Un sistema criptográfico o Criptosistema S es una sextupla (A, P, C, K, E, D) donde A es el alfabeto de definición P Es un conjunto finito de textos en claro, el cual consta de listas finitas de elementos del alfabeto. C es un conjunto finito de textos cifrados (consta de listas finitas de un alfabeto no necesariamente A). K es el conjunto o espacio finito de claves o llaves. 55 Para K ∈ K, existe una regla de ciframiento eK : P → C ∈ E y una correspondiente regla de desciframiento dK : C → P ∈ D tales que dK (eK (x)) = x, para todo texto en claro x. Algunos ejemplos de Criptosistemas son el Cifrado Cesar, que no es más que una aplicación de la adición módulo 3, el Criptosistema RSA que para su implementación requiere los Teorema de Euler y Fermat, el Criptosistema de Rabin que requiere para su implementación del Teorema Chino de los Residuos y de la teorı́a de los residuos cuadráticos módulo un primo p y el Criptosistema El Gamal que requiere generalmente de curvas elı́pticas para su implementación. El cifrado César es un Criptosistema clásico, que no requiere el uso de un computador para ser implementado, mientras que los otros sistemas son Criptosistemas de clave pública que solo pueden ser implementados con el uso del computador. Tal tipo de sistemas se usan actualmente para firmar mensajes de teléfonos celulares y otros disposı́tivos móviles. A continuación definimos estos sistemas: 3.4.1. Cifrado de César El cifrado de César recibe este nombre debido a que Julio César usaba esta técnica para comunicarse con sus generales, es una forma de cifrado sencilla y muy utilizada, pero también es fácil de encontrar el desciframiento. Veamos una generalización del cifrado de César, en este caso [5, 9]: P=C=K=Zn , n fijo Para K ∈ Zn se tiene que eK (x) = x + K mód n, dK (x) = x − K mód n. Por ejemplo si K = 15 y n = 27, y teniendo en cuenta que: a b c d e f 0 1 2 3 4 5 o p q r 15 16 17 18 g h i j k l 6 7 8 9 10 11 s t u v w 19 20 21 22 23 m n ñ 12 13 14 x y z 24 25 26 El texto “nosvemosamedianoche” Se cifra convirtiendo el texto en una sucesión de enteros. 56 13 15 19 22 4 12 15 19 1 12 4 3 8 0 13 15 2 7 4. Luego adicionamos 15 a cada valor para obtener: 1 3 7 10 19 0 3 7 16 0 19 18 23 15 1 3 17 22 19. y retornando los valores al alfabeto se tiene el texto cifrado BDHKSADHPASRWOBDQVS. Si se envı́a el mensaje cifrado QJÑTWRTXAJQTXFPFQFRJHJW para hallar el mensaje oculto basta hacer una búsqueda exhaustiva de la clave de la siguiente manera: pinsvqswzipsweoepeqigiv ohmruprvyhorvdñdodphfhu ñglqtoquxgñqucncñcogegt nfkpsñptwfnptbmbnbñfdfs mejornosvemosalamanecer. En este caso K = 5. 3.4.2. El Criptosistema de Rabin El Criptosistema de Rabin es una aplicación de la teorı́a de residuos cuadráticos y el Teorema Chino de los Residuos en la Criptografı́a [5, 9]. En el sistema criptográfico de Rabin se cumplen las siguientes condiciones: Sea n = pq, en donde p, q son primos y p, q ≡ 3 mód 4 entonces P = C = Z∗n , K = {n, p, q}, Para K = (n, p, q), eK (x) = x2 mód n, √ dK (y) = y mód n. (3.4.1) n es la parte pública de la clave y la parte secreta la constituyen los primos p, q. Por ejemplo, supongamos que n = 77 = 7 × 11, luego: eK (x) = x2 mód 77, √ dy K = y mód 77. 57 (3.4.2) Son las funciones de cifrado y descifrado respectivamente. Supongamos que Bob quiere descifrar y = 23, entonces √ √ √ dK (23) = 23 mód 77, por lo que debemos calcular 23 mód 7 y 23 mód 11, Como 7 y 11 son ambos ≡ 3 mód 4, aplicamos el algoritmo que calcula raı́ces cuadradas en el caso p ≡ 3 mód 4. Luego: √ 23 mód 7 = ±23(7+1)/4 mód 7 = ±22 mód 7, √ 23 mód 11 = ±23(11+1)/4 mód 7 = ±13 mód 11, Ahora se debe usar el Teorema Chino de los Residuos para obtener las soluciones de los cuatro sistemas de congruencia planteados: x≡4 x≡1 mód 7 mód 11. (3.4.3) x ≡ 4 mód 7 x ≡ −1 mód 11. (3.4.4) x ≡ −4 mód 7 x ≡ 1 mód 11. (3.4.5) x ≡ −4 x ≡ −1 mód 7 mód 11. Para la ecuación (3) se tiene a1 = 4, m1 = 7 M1 = 77/7 = 11, y1 = 11−1 mód 7 = 2, luego a1 M1 y1 = 88 mód 77 = 11, a2 = 1, m2 = 11, 58 (3.4.6) M2 = 77/11 = 7, y2 = 7−1 mód 11 = 8, luego a2 M2 y2 = 1 × 7 × 8 = 56 La solución en este caso está dada por, x = 11 + 56 mód 77 = 67 mód 77. Para la ecuación (4) se tiene a1 = 4, m1 = 7 M1 = 77/7 = 11, y1 = 11−1 mód 7 = 2, luego a1 M1 y1 = 88 mód 77 = 11, a2 = −1, m2 = 11, M2 = 77/11 = 7, y2 = 7−1 mód 11 = 8, luego a2 M2 y2 = 1 × 7 × 8 = −56 La solución en este caso está dada por x = 11 − 56 mód 77 = 32 mód 77. Las cuatro soluciones son por tanto: ±10, ±32 mód 77. Luego los posibles textos claros son x = 10, 32, 45 y 67. Todos válidos ya que cada uno elevado al cuadrado produce 23 mód 77. 3.4.3. El Criptosistema RSA El sistema criptográfico RSA fue descubierto por Rivest, Shamir y Adleman en 1977 y constituye el primer Criptosistema de clave generado [5, 9]. Este Criptosistema es una aplicación de los Teoremas de Euler y Fermat 2.25, 2.26. En RSA se cumple que para n = pq (en realidad n debe tener al menos 340 dı́gitos) con p y q primos se tiene que : P = C = Zn , K = {(n, p, q, a, b) | n = pq, ab ≡ 1 mód ϕ(n)}, 59 Para K ∈ K, dada eK (x) =xb dK (y) =y a mód n, mód n. Para cada x ∈ P y y ∈ C. En este caso (n, b) constituyen la clave pública del sistema y (p, q, a) constituyen la parte secreta de la clave. Observe que el teorema de Euler es usado en el ciframiento RSA, cuando queremos realizar la operación dK (eK (x)), Note que dK (eK (x)) = dK (xb mód n) = xab mod n, Pero ab ≡ 1 mód ϕ(n). Luego dK (eK (x)) = x1+tϕ(n) mód n = xxtϕ(n) mód n = x mód n. Por ejemplo, si n = 15 = 3 × 5, entonces ϕ(15) = 2 × 4 = 8, (hay 8 primos relativos menores que 15), Podemos ahora considerar a = 7, que es primo relativo con 8, luego b = 7, ya que 7 × 7 = 49 ≡ 1 mód 8 Si queremos cifrar x = 3, entonces procedemos de la siguiente forma : eK (3) = 37 mód 15 = 32 × 32 × 33 mód 15 = −3 = 12 , dK (−3) = 3, ya que a = b = 7. Lo cual nos permite concluir que la escogencia de a y b no puede ser aleatoria, puesto que de otra forma podrı́amos dar información de la clave secreta en la clave pública. Supongamos ahora que Bob escoge p = 101, q = 113, entonces n = 11413 y ϕ(11413) = 100 × 112 = 11200, como 11200 = 26 52 7 y un entero b puede ser usado en el ciframiento si b no es divisible por 2, 5 ni 7, elegimos b = 3533, tal que (3533, 11200) = 1, luego 60 b−1 mód 11200 = 6597, por lo tanto la parte secreta de la clave de Bob es (101, 113, 6597). Si ahora queremos cifrar x = 9726 entonces realizamos los siguientes pasos : eK (9726) = 97263533 mód 11413 = 5761, dK (5761) = 57616597 mód 11413 = 9726. 3.4.4. El Criptosistema de Menezes-Vanstone El sistema Menezes-Vanstone es una forma de las formas que puede adoptar el Criptosistema EL Gamal, se basa en el hecho de que el problema del logaritmo discreto es dı́ficil de calcular en una curva elı́ptica de tamaño conveniente y se define de la siguiente forma: Sea E una curva elı́ptica sobre Zp con p > 3, la cual contiene un subgrupo H en el que el problema del logaritmo discreto es no tratable. P = Z∗p × Z∗p , C = E × Z∗p × Z∗p y definimos: K = {(E, α, a, β) : β = aα}, α ∈ E, los valores α, β son públicos y a es secreto: Para K = (E, α, a, β) y un número aleatorio (secreto) k ∈ Z|H| y para × (x1 , x2 ) ∈ Z× p × Zp , definimos: eK (x, k) = (y0 , y1 , y2 ) y0 = kα (c1 , c2 ) = kβ y1 = c1 x1 mód p y2 = c2 x2 mód p dK (y) = (y1 c−1 mód p, y2 c−1 2 1 ay0 = (c1 , c2 ). (3.4.7) mód p) Supongamos por ejemplo que el exponente secreto de Bob es a = 7, ası́ que: 61 β = 7α = (7, 2), Para obtener un cifrado, calculamos: eK (x, k) = (k(2, 7), x + k(7, 2)), x ∈ E, 0 ≤ k ≤ 12. El descifrado se obtiene al calcular: dK (y1 , y2 ) = y2 − 7y1 , Si elegimos k = 3, obtenemos: y1 = 3(2, 7) = (8, 3), y2 = (10, 9) + 3(7, 2) = (10, 9) + (3, 5) = (10, 2), y = ((8, 3), (10, 2)). Si Bob recibe y entonces descifra el mensaje al calcular: x = (10, 2) − 7(8, 3) = (10, 2) − (3, 5) = (10, 2) + (3, 6) = (10, 9). 62 Capı́tulo 4 Aritmética Modular en la educación básica y media En nuestro paı́s, desde El Ministerio de Educación Nacional se han trazado algunas directrices encaminadas a guiar los procesos de enseñanza-aprendizaje en las diferentes áreas del conocimiento, brindando herramientas que permitan crear currı́culos que respondan a las exigencias actuales en educación. Es ası́, como los lineamientos curriculares son creados con el fin de aportar elementos necesarios e indispensables en la realización de los currı́culos de cada institución educativa de enseñanza básica y media. En el caso especı́fico de matemáticas se plantea tener en cuenta tres aspectos fundamentales en la creación de un currı́culo armonioso. 1. Procesos generales. En él se describe la necesidad de desarrollar habilidades especı́ficas como: Razonamiento, planteamiento y resolución de problemas, comunicación, modelación y elaboración, comparación y ejercitación de procedimientos. 2. Conocimientos básicos. Aspectos conceptuales propios de las matemáticas organizados en cinco pensamientos: pensamiento numérico, pensamiento espacial, pensamiento métrico, pensamiento aleatorio y pensamiento variacional. Aclarando que estos cinco pensamientos están relacionados entre si. 63 Figura 4.1: Elementos en la realización de un currı́culo 3. Contexto. Ambientes que rodean al estudiante y que dan sentido a la matemática que aprende. Este punto incluye situaciones de la vida diaria del estudiante, de las matemáticas mismas y de otras áreas del conocimiento. En la figura 4.1 Se representa los tres aspectos mencionados. 4.1. Pensamientos matemáticos Ahora bien, los temas de la aritmética modular presentados en este trabajo están principalmente relacionados con el pensamiento numérico, aunque cuando se revisa la parte de las aplicaciones, incluye aspectos del pensamiento geométrico y del pensamiento métrico. Por estas razones se hace a continuación una breve descripción de estos tres pensamientos definidos en los Lineamientos Curriculares de Matemáticas. 64 Pensamiento numérico En la mayor parte de las actividades de la vida diaria de una persona y en la mayorı́a de profesiones, se exige el uso de la aritmética. Sin embargo, el énfasis que se hace en el estudio de los números cambia de acuerdo con la propuesta curricular. El énfasis que se hace desde los Lineamientos en el estudio de los sistemas numéricos es el del desarrollo del pensamiento numérico, valga la redundancia. En esta propuesta se habla del pensamiento numérico como un concepto más general que sentido numérico, el cual incluye no sólo éste, sino el sentido operacional, las habilidades y destrezas numéricas, las comparaciones, las estimaciones, los órdenes de magnitud, etcétera. El contexto mediante el cual se acercan los estudiantes a las matemáticas es un aspecto determinante para el desarrollo del pensamiento, por tanto para la adquisición del sentido numérico es necesario proporcionar situaciones ricas y significativas para los alumnos. Claramente, el pensamiento numérico es a veces determinado por el contexto en el cual las matemáticas evolucionan, por ejemplo, mientras un estudiante en la escuela no se incomoda porque 514 sea la suma de 26 + 38, el mismo estudiante en una tienda puede exigir que se le revise la cuenta si tiene que pagar $5140 por dos artı́culos cuyos precios son $260 y $380. Pensamiento geométrico En los sistemas geométricos se hace énfasis en el desarrollo del pensamiento espacial, el cual es considerado como el conjunto de los procesos cognitivos mediante los cuales se construyen y se manipulan las representaciones mentales de los objetos del espacio, las relaciones entre ellos, sus transformaciones, y sus diversas traducciones a representaciones materiales. Para lograr este dominio del espacio se sugiere el enfoque de geometrı́a activa que parte de la actividad del alumno y su confrontación con el mundo. Se da prioridad a la actividad sobre la contemplación pasiva de figuras y sı́mbolos, a las operaciones sobre las relaciones y elementos de los sistemas y a la importancia de las transformaciones en la comprensión aún de aquellos conceptos que a primera vista parecen estáticos. Se trata pues de ’hacer 65 cosas’, de moverse, dibujar, construir, producir y tomar de estos esquemas operatorios el material para la conceptualización o representación interna. Pensamiento métrico La interacción dinámica que genera el proceso de medir entre el entorno y los estudiantes, hace que éstos encuentren situaciones de utilidad y aplicaciones prácticas donde una vez más cobran sentido las matemáticas. Actividades de la vida diaria relacionadas con las compras en el supermercado, con la cocina, con los deportes, con la lectura de mapas, con la construcción, etc., aproximan a los estudiantes a la medición y les permiten desarrollar muchos conceptos y destrezas matemáticas. 4.2. Competencias y estándares Una vez delineados los pensamientos matemáticos que se abordarán en el texto, entremos a relacionarnos con las competencias. El desarrollo de competencias es fundamental en las nuevas exigencias en educación propuestas por el Ministerio de Educación Nacional, de acuerdo con los Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas, documento publicado por esta entidad gubernamental, se definen las competencias “...como conjunto de conocimientos, habilidades, actitudes, comprensiones y disposiciones cognitivas, socioafectivas y psicomotoras apropiadamente relacionadas entre sı́ para facilitar el desempeño flexible, eficaz y con sentido de una actividad en contextos relativamente nuevos y retadores. Esta noción supera la más usual y restringida que describe la competencia como saber hacer en contexto en tareas y situaciones distintas de aquellas a las cuales se aprendió a responder en el aula de clase.” Pero especı́ficamente en matemáticas se dice que un estudiante es matemáticamente competente si esta en capacidad de: Formular, plantear, transformar y resolver problemas a partir de situaciones de la vida cotidiana, de las otras ciencias y de las matemáticas mismas. (formulación, tratamiento y resolución de problemas). Utilizar diferentes registros de representación o sistemas de notación simbólica. (modelación). Expresar y representar ideas matemáticas. (comunicación). 66 Usar la argumentación, la prueba y la refutación, el ejemplo y el contraejemplo, como medios de validar y rechazar conjeturas, y avanzar en el camino hacia la demostración. (razonamiento). Dominar procedimientos y algoritmos matemáticos y conocer cómo, cuándo y por qué usarlos de manera flexible y eficaz. Ası́ se vincula la habilidad procedimental con la comprensión conceptual que fundamenta esos procedimientos. (formulación, comparación y ejercitación de procedimientos). [1] Estas competencias planteadas en los Estándares están directamente relacionadas con el desarrollo de los procesos mencionados en los lineamientos curriculares, en el documento de estándares aparece la siguiente reflexión “En la enumeración anterior se pueden ver con claridad -aunque en distinto orden- los cinco procesos generales que se contemplaron en los Lineamientos Curriculares de Matemáticas: formular y resolver problemas; modelar procesos y fenómenos de la realidad; comunicar; razonar, y formular comparar y ejercitar procedimientos y algoritmos.” Es importante tener en claro que las competencias matemáticas no se alcanzan por generación espontánea, sino que requieren de ambientes de aprendizaje enriquecidos por situaciones problema significativas y comprensivas, que posibiliten avanzar a niveles de competencia más y más complejos. Ahora bien, los Estándares Básicos de competencias en matemáticas se presentan de acuerdo con los cinco tipos de pensamiento matemático, con un nivel de avance en las competencias y a los sistemas conceptuales y simbólicos asociados a cada una de las clases de pensamiento. Cada estándar de cada pensamiento pone el énfasis en uno de los cinco procesos generales de la actividad matemática que cruzan dichos tipos de pensamientos. Los estándares están distribuidos en cinco conjuntos de grados (primero a tercero, cuarto a quinto, sexto a séptimo, octavo a noveno y décimo a undécimo) para dar mayor flexibilidad a la distribución de las actividades dentro del tiempo escolar y para apoyar al docente en la organización de ambientes y situaciones de aprendizaje significativo y comprensivo que estimulen a los estudiantes a superar a lo largo de dichos grados los niveles de competencia respectivos y, ojalá, a ir mucho más allá de lo especificado en los estándares de ese conjunto de grados. 67 En la tabla de la figura 4.2 se presenta una lista de los estándares que consideramos podrı́an ser desarrollados a partir de la Aritmética Modular tanto en su parte disciplinar como desde las aplicaciones presentadas en este trabajo. En la lista se especifica el grupo de grados y el tipo de pensamiento al que corresponde cada estándar seleccionado. Sin embargo, y a pesar del potencial que tiene la Aritmética Modular como una herramienta pedagógica, con una gran variedad de aplicaciones contextualizadas y aplicables en el ámbito escolar, y después de revisar algunos textos diseñados para la educación básica y media, se puede ver cómo la aritmética modular no es abordada en estas instancias y la mayor aproximación que se presenta es cuando en los primeros cursos de la básica primaria se enseña a hacer mediciones de tiempo (fenómeno cı́clico y por tanto asociado a la aritmética modular). Pero lastimosamente se aborda es desde el pensamiento métrico para introducir las unidades de medida del tiempo. [10] La teorı́a de números se sigue viendo como una rama de la matemática esquemática centrada en definiciones sin significado, reglas para clasificar los números, algoritmos de descomposición, criterios para memorizar y usar sin justificación y desde luego sin referencia a aplicación alguna a otras áreas del conocimiento. En la tabla de la figura 4.3 Se referencia cómo, por ejemplo, los números primos siendo en la actualidad uno de los mayores retos para la sociedad, pues es basados en el problema, sin resolver, de factorizar números grandes, que los sistemas de cifrado de información hacen sus algoritmos y confı́an la seguridad de estos datos confidenciales al hecho de que personas ajenas no puedan encontrar los números que factorizan su clave secreta. Sin embargo, en el colegio siguen siendo enseñados de manera esquemática sin relación alguna con el contexto social del estudiante y el único algoritmo para identificar si un número es primo o no es la Criba de Eratóstenes llegando máximo a descubrir cuales son los números primos menores de mil. 4.3. TIC’S Por otra parte y como herramientas pedagógicas, es necesario mencionar la importancia del uso de las tecnologı́as de la información y la comunicación en los ambientes escolares. 68 Figura 4.2: Es de notar que en los estándares de octavo y noveno se da prioridad al pensamiento variacional razón por la cual no aparecen estándares relacionados con teorı́a de números 69 Figura 4.3: tabla comparativa del manejo de los números primos en los textos escolares 70 En los procesos de enseñanza aprendizaje es importante tener en cuenta que el modelo curricular propuesto permita establecer relaciones entre el sistema didáctico y los diferentes contextos. Más aún en un paı́s como el nuestro que esta en vı́a de desarrollo y requiere formar ciudadanos competitivos y capacitados para enfrentar la constante evolución en materia de investigación y tecnologı́a que se esta dando a nivel mundial. La matemática es la ciencia determinante en el desarrollo de nuevas tecnologı́as y sin lugar a dudas juega un papel importante en la actividad cognitiva de los seres humanos. Es por esto que se hace necesario incluir el uso de las TICs (Tecnologı́as de la información y la comunicación) como una herramienta en los procesos de enseñanza aprendizaje de esta área del conocimiento. Entre las ventajas del uso de las TICs en el aula esta el hecho de que la tecnologı́a permite nuevas formas de representación y éstas a su vez contribuyen en la adquisición de aprendizajes significativos, pues recordemos que a mayor número de representaciones de un concepto matemático mejor será comprendido éste en toda su dimensión. Además, con el propósito de abordar con los estudiantes de educación media el trabajo matemático que permita desarrollar los planteamientos de los estándares del pensamiento numérico correspondientes a los grados decimo y once que se mencionaron en la tabla de la figura [4.2] 1. Comparo y contrasto las propiedades de los números (naturales, enteros, racionales y reales) y las de sus relaciones y operaciones para construir, manejar y utilizar apropiadamente los distintos sistemas numéricos. item Utilizo argumentos de la teorı́a de números para justificar relaciones que involucran números naturales. Se propone abordar la teorı́a de números y el trabajo de propiedades aritméticas de los números enteros y sus operaciones desde la aritmética modular y las aplicaciones planteadas en este trabajo junto con sus implicaciones actuales en el uso de las tecnologı́as y la información desde una perspectiva que involucre situaciones contextualizadas y permita ver la teorı́a de números como una rama de la matemática en constante cambio a la cual es posible acceder de una manera lúdica y motivante que lleve al estudiante al desarrollo de competencias. Por último, se anexan los programas chryzodes y Encripción creado por el profesor Agustı́n Moreno y sus estudiantes de ingenierı́a de sistemas junto con 71 el manual del usuario, [Anexo H], para el programa Chryzodes que pueden ser utilizados como herramientas tecnológicas y didácticas, . 72 Bibliografı́a [1] M. Acevedo, S. Bonilla, and B. Espinosa, Estandares básicos de competencias en matemáticas, MEN, Ministerio de Educacion Nacional-Colombia. [2] H. Davenport, The Higher Arithmetic, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2008. [3] L. Dickson, History of the Theory of Numbers, Vol. 2, Prentice Hall, 2005. [4] C.F. Gauss; A. Clarke (translator into English), Disquisitiones Arithmeticae, 2nd ed., Vol. 2, Springer, New York, 1986. [5] A. Menezes, P.C. van Oorschot, and S.A. Vanstone, Handbook of Applied Cryptography, CRC Press, New York, 996. [6] Miller, Heeren, and Hornsby, Matemática: Razonamiento y Aplicaciones, 10th ed., Pearson Addison Wesley, 2006. [7] J. Rotman, A First Course in Abstract Algebra, Prentice Hall, New Jersey, 1986. [8] A. Ruiz Zuñiga, A Spanish Edition of Disquisitiones Arithmeticae, Académia Colombiana de Ciencias Exactas, Fı́sicas y Naturales, 1995. [9] D.R. Stinson, Cryptography Theory and Practice, Chapman and Hall, London, 2006. [10] J. Torres, L. garzón, and C. Salazar, Pirámide 2, Norma, 2000. [11] Ministerio de Educación Nacional, Lineamientos currı́culares de Matemáticas (junio. 1998). [12] C. Arcas, Kim Peek y el Sı́ndrome del Savant, NLQB.NET Esto no es lo que buscabas (junio. 2009). http://www.nlqb.net/2009/06/kim-peek-y-el-sindrome-delsavant.html. [13] construction du chryzode en lignes — multiplication par 3 dans un cercle partagé en 61 points. http://www.youtube.com/watch?v=Bpv4Nw5O990. [14] fun chryzodes. http://www.youtube.com/watch?v=benZypzY008. 73 ANEXOS Anexo A: Chryzodes Realizados en programas I. Los chryzodes de las figuras 4.4, 4.5 y 4.6 fueron realizados en el programa Chryzodes creado por el profesor Agustı́n Moreno junto con sus estudiantes de ingenierı́a de sistemas de la Universidad Nacional de Colombia. Figura 4.4: multiplicación por 111 módulo 867 74 Figura 4.5: Multiplicación por 503 módulo 867 75 Figura 4.6: multiplicación por 3 módulo 867 76 Anexo B: Chryzodes Realizados en programas II. A continuación, en las figuras 4.7, 4.9, 4.10 y 4.12, se presentan otros ejemplos de chryzodes realizados con programas computarizados. Figura 4.7: Multiplicación por 3 módulo 1849 En la bibliografı́a se agragan dos direcciones para encontrar videos de chryzodes animados. [13], [14] 77 Figura 4.8: Multiplicación por 2342 módulo 2345 78 Figura 4.9: Triángulo de Pascal módulo 256 79 Figura 4.10: Multiplicación por 5 módulo 3307 80 Figura 4.11: Multiplicación por 7 módulo 3327 81 Figura 4.12: Multiplicación por 3 en cı́rculos con módulo de la forma 7k 82 Anexo C: Chryzodes en el colegio I. Las figuras 4.13, 4.14, 4.15, 4.16 son cryzodes de multiplicaciones por 2, 3 y 4, realizados por estudiantes de grado once del colegio Delia Zapata Olivella usando como herramientas: lápiz, papel, compás y trasportador. Figura 4.13: Tabla del tres 83 Figura 4.14: Tabla del dos 84 Figura 4.15: Tabla del tres 85 Figura 4.16: Tabla del cuatro 86 Anexo D: Chryzodes en el colegio II. En las figuras 4.17, 4.18, 4.19, 4.20 y 4.21 se muestran chryzodes realizados en puntigramas, por estudiantes de grado séptimo con el profesor Germán Vélez en la Institución Educativa General Roberto Leyva de Tolima (Colombia). Figura 4.17: 87 Figura 4.18: multiplicación por 11 módulo 867 88 Figura 4.19: multiplicación por 503 módulo 867 89 Figura 4.20: multiplicación por 3 módulo 867 90 Figura 4.21: 91 Anexo E: Filotaxia Se presentan ahora las figuras 4.22, 4.23, 4.24 y 4.25 en las que se puede observar la simulación de cómo se distribuyen las hojas sobre el tallo de una planta enumerando las hojas de acuerdo a un ángulo d e divergencia y a un sistema de congruencias especı́fico, según el simulador de Wolfram CDF Player en la que se varia el ángulo de divergencia y se deja fijo el número de hojas y el tamaño de las mismas. Figura 4.22: valor del ángulo de divergencia: 0,625. Módulo: 8 92 Figura 4.23: valor del ángulo de divergencia: 0,91. Módulo: 11 93 Figura 4.24: valor del ángulo de divergencia: 0,357. Módulo: 14 94 Figura 4.25: valor del ángulo de divergencia: 0,76. Módulo 4 95 Anexo F: Kim Peek Determinar el dı́a de la semana en que cae una fecha dada requiere hacer algunos cálculos matemáticos, usando aritmética modular. Sin embargo Kim Peek tenı́a un calendario exacto de 10.000 años en su cabeza por lo que le era fácil decirle a cualquier persona tras oı́r una fecha que dı́a de la semana habı́a caı́do o caerı́a dicha fecha, despertando la admiración de quienes le escuchaban. Figura 4.26: Foto de Kim Peet Savant, famoso por su capacidad de memoria, podı́a determinar el dı́a de la semana en que caı́a una fecha especı́fica inmediatamente la oı́a. Kim Peek y el Sı́ndrome del Savant Los “Sabios Idiotas” es como se conoce a las personas que sufren del Sı́ndrome del Savant. Éstos sujetos disponen de unas capacidades sobrehumanas en diversos campos del conocimiento y la memoria, aunque generalmente estas capacidades vienen acompañadas de autismo o discapacidades motoras y mentales. Kim Peek fue uno de estos casos, él nacio en Salt Lake City, Estados Unidos, el 11 de noviembre de 1951 y murió el 19 de diciembre de 2009. Kim tenı́a una extraña capacidad para memorizar libros con solo echarles un vistazo rápido, conocer todas las fechas en un calendario de 10000 años, saber datos históricos y artı́sticos de todo tipo y poder recitarlos en cuanto se le preguntaban. Por ası́ decirlo, era una enciclopedia humana. Capaz de 96 leer dos páginas de un libro cada 18 segundos, dado que utilizaba los dos ojos a la vez para memorizar cada una de las páginas. Su desventaja: un profundo autismo que le impidió poder relacionarse con otros seres humanos hasta casi llegado a los 40 años de vida. Kim era incapaz de vestirse por su cuenta y prepararse la comida, por lo que su padre, desde la muerte de su esposa, se encargo de él, incondicionalmente, acompañándole siempre a donde iba. Kim Peek fue la inspiración del personaje que interpretó Dustin Hoffman en la pelı́cula Rain Man, quien se lo dedicó al conseguir el Oscar por dicha pelı́cula. Se le conoce como “el verdadero Rain Man”. Su cerebro ha sido estudiado y puesto a prueba por muchas personas, y él se convirtió en una celebridad. Consiguió superar su incapacidad para relacionarse con la gente y acudió como orador a conferencias y no tuvo problema en mostrar sus extrañas habilidades, además, disfrutando de ello. Ası́ se demuestra lo extraño que puede resultar el cerebro humano, el cual no ha podido ser estudiado en profundidad hasta ahora y sigue sin poder ser descubierto en su totalidad. [12] 97 Anexo G: Programas fuente Wolfran CDF Player A continuación se muestra el programas fuente de las simulaciones realizadas en Wolfram CDF Player Filotaxia Manipulate [ Semillas = Graphics[{EdgeForm[{Thick, RGBColor[.25, .43, .82]}], FaceForm[RGBColor[.6, .73, .36]], Table[{Disk[r {Cos[ r k 2 [Pi] ], Sin[ r k 2 [Pi] ]}, s]}, {r,n}]}]]; If[spi, Show[If[n < 101, PolarPlot[1/2/k/P i[Θ], {[Θ], 0, 2nkP i}, Axes −→ False, ColorFunction −→ Function[{x, y, [Θ]}, Hue[k [Θ]]]], Graphics[{Lighter[Blue, .5], Table[Circle[{0, 0}, i], {i, 1, n, n/100}]}] , semillas, If[n < 301, Graphics[ Table[Text[Style[r, Bold, 12], r { Cos[ r k 2 Π ], Sin[ r k 2 Π ]}], {r, n}]], {}], ImageSize −→ {350, 350}], Show[florets, ImageSize −→ {350, 350}]], Style[“optical illusion”, Bold], {{n, 100, “number of florets”}, 1, 1000, 10, 98 Appearance −→ “Labeled”, ImageSize −→ Tiny}, {{s, 5, “floret size”}, 1, 50, 1, Appearance −→ “Labeled”, ImageSize −→ Tiny}, {{spi, False, “growth spiral”}, {True, False}}, {{k, .618, “angle of divergence”}, 0.001, 1, 0.001, Appearance −→ “Labeled”, ImageSize −→ Tiny}, TrackedSymbols −→ True, ControlPlacement −→ Left] 99 Anexo H: MANUAL DEL USUARIO DEL PROGRAMA CHRYZODES Moreia Gómez Bello Manual del usuario para el uso del programa chryzodes creado por el profesor Agustin Moreno y un grupo de estudiantes de ingenierı́a de sistemas de la Universidad Nacional de Colombia Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias Bogotá 100 MANUAL DEL USUARIO DEL PROGRAMA CHRYZODES Moreia Gómez Bello Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias Bogotá 101 Figura 4.27: Chryzode de multiplicación por tres 4.4. Introducción El programa genera chryzodes de acuerdo con las operaciones de suma y resta, chryzodes sobrepuestos y chryzodes con números de la forma 2n − 1 en algunas circunstancias especiales que se especifican en la ventana de funciones del programa, ver la figura 4.37 de la sección 4.6. El programa presenta una forma fácil, entretenida y rápida de generar chryzodes, sin embargo es importante anotar que no todos los chryzodes obtenidos pueden parecernos bellos o presentar alguna regularidad particular que pueda parecernos interesate, por eso una actividad puede ser descubrir para cuales valores se puede obtener chryzodes que llenen estas espectativas. Este manual pretende mostrar cómo el programa chryzodes es de fácil acceso y manejo, que para ser utilizado no requere de conocimientos avanzados en informática y por el contrario, debido a la facilidad en el acceso permite al usuario aprovechar su tiempo en el descubrimiento de chryzodes de su interés. Después de obtener el chryzode se puede usar un programa como fotoshop para agregar color, textura u otros elementos que hagan aún mas llamativo el chryzode realizado, dependiendo también de la creatividad y los gustos del usuario. Recordemos que los chryzodes son modelos gráficos de fenómenos conectados a las congruencias aritméticas. Para realizarlo se usa un cı́rculo o anillo 102 Figura 4.28: Propiedades generales del programa Chryzodes graduado como un reloj, en el cual la serie de números obtenida por multiplicaciones, divisiones o potencias son representadas por lı́neas y sus puntos de intersección. 4.5. Especificaciones del programa El programa no tiene requerimientos especiales para ser instalado en un computador y en la figura 4.28 se muestran sus propiedades generales . 4.6. Funcionamiento del programa A continuación se presentan los pasos que se siguen para realizar chryzodes con el programa Chryzodes. 103 Figura 4.29: Abrir el programa Chryzode pulsando sobre el ı́cono con el nombre del programa Figura 4.30: Se despliega una ventana en blanco con dos pestañas en la parte superior: archivo y ventana. Ahora pulsar sobre la palabra archivo 104 Figura 4.31: Se despliega una ventana pequeña con las palabras nuevo, abrir y salir, seleccionamos nuevo Figura 4.32: Se despliega otra ventana pequeña con las palabras bitmap y texto, seleccionamos bitmap 105 Figura 4.33: Se despliega una ventana en la que el usuario debe decidir el tamaño del tablero en que va a realizar el chryzode, la opción que aparece inicialmente es de 300pt × 300pt Figura 4.34: Ya está lista la pantalla para comenzar a realizar el chryzode, es necesario maximizar el espacio de la pantalla que ocupa. 106 Figura 4.35: Aparece ahora en la parte inferior un número que varı́a según la posición del cursor, de la izquierda en la pantalla, que se desplaza verticalmente (arriba, abajo). Figura 4.36: observe la parte superior de la pantalla y seleccione la pestaña funciones 107 Figura 4.37: La ventana que se despliega muestra las opciones que brinda el programa para hacer chryzodes, veamos qué sucede en cada opción. Figura 4.38: Si el usuario selecciona chryzodes, se despliega a la derecha una ventana en la que pregunta desde qué número hasta qué número desea el usuario que se creen unos sobre otros los chryzodes. 108 Figura 4.39: Después de seleccionar los números y aceptar, aparece una ventana de colores para que el usuario seleccione el color que prefiere para el chryzode. Figura 4.40: Después de seleccionar el color y aceptar aparece la figura correspondiente. 109 Figura 4.41: Si en lugar de escoger la opción de chryzodes selecciona alguna de las otras, se tiene Figura 4.42: la ventana de la derecha requiere en Nro de caras el número de puntos sobre la circunferencia y en Vlr max de n el número máximo (n) de operaciones a realizar 110 Figura 4.43: Es necesario seleccionar el color Figura 4.44: En el caso de las funciones de la forma 2n −1 se tiene el chryzode correspondiente 111 Figura 4.45: En el caso de las funciones de suma y resta aparece también la ventana que requiere el número de puntos y el máximo valor de n y después se selecciona el color. Figura 4.46: Se despliega ahora una ventana en la que aparee el valor fijo N por el que se suma o multiplica. Este número esta dado por la posición del cursor de la parte izquierda de la pantalla y cuya posición se muestra en la parte inferior. 112 Figura 4.47: Finalmente se obtiene el chryzode con las condiciones dadas. 113

Aritmetica modular y aplicaciones

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