1. MEDICIONES Y CÁLCULO DE ERRORES

UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA
DEPARTAMENTO ACADEMICO DE FÍSICA
GUÍA DE LABORATORIO
CONCEPCIÓN FISICA DEL UNIVERSO
Mg. ANDRES CASTILLO SILVA
PIURA – PERÚ
2022
ASPECTOS PREVIOS: MEDICIONES Y CÁLCULO DE ERRORES
UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA
Mg. ANDRES CASTILLO SILVA
Como habrá observado en las mediciones realizadas, no siempre los valores obtenidos
son los mismos. Depende de cómo colocamos la regla para mirar las rayas indicativas, si
se observan los números con claridad, si la regla está en buenas condiciones, etc.
Para ello analizaremos en qué consiste medir y cuáles son sus condicionamientos. Que
el alumno sea capaz de usar los conceptos de órdenes, de magnitud y cifras significativas
en procesos que involucre:






Reconocer los mecanismos del proceso de medición de objetos.
Determinar numéricamente características de los instrumentos de medición tales
como alcance, sensibilidad y exactitud.
Reconocer fuentes de errores.
Valorar la importancia de la acotación de errores en los procesos de medición.
Determinar procedimientos de acotación de errores en mediciones indirectas.
Encontrar relaciones sencillas entre magnitudes medidas y expresadas
matemáticamente.
LA MEDICIÓN DEL ERROR
Cuando medimos, el objeto, se debe tener las bases teóricas que se necesitan para este
fin, como son: el objeto, el instrumento, el sistema de referencia o patrón y el operador.
El objeto a medir limita el número de cifras significativas que podemos recoger en la
medición. El instrumento determinará también, de acuerdo a sus características, el
número de cifras significativas.
El sistema de referencia, condiciona la exactitud por su propio proceso de medición y de
definición en la calibración del instrumento
El operario que interactúa con el instrumento y el objeto, también contribuye con las
incertezas del proceso de medición.
LAS CIFRAS SIGNIFICATIVAS
Son la cantidad de dígitos que realmente se están midiendo con algún instrumento.
Las cifras significativas de un valor medido, son todos los dígitos que pueden leerse
directamente en la escala del instrumento, mas un solo dígito dudoso o estimado.
Escribir las cifras adicionales de las cuales no tenemos seguridad, es una falsa exactitud
que carece de sentido:
a) Cuando se escribe 5,36 cm: estamos seguros de los dos primeros dígitos, el 5 y el 3
(pueden leerse directamente de la escala del instrumento), pero que tenemos duda
del último el 6, pues este podría ser 5 ó 7.
b) 0,984
54,87
0,0085
75,000
60,800
tiene 3 cifras significativas
tiene 4 cifras significativas
tiene 2 cifras significativas
tiene 5 cifras significativas (el número cero sólo es significativo si está
colocado a la derecha de una cifra significativa).
tiene 5 cifras significativas
c) Sea el producto (área): 16,7 cm y 4,3 cm
16,7 x 4,3 = 71,81 cm2, pero es notorio que ésta respuesta no es precisa hasta 0,01
cm2, toda vez que el resultado podría estar entre:
16,6 x 4,2 = 69,72 cm2
16,7 x 4,3 = 71,81 cm2
16,8 x 4,4 = 73,92 cm2
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A lo más podemos estimar que la respuesta es 72, lo que conduce a una
incertidumbre de aproximadamente 1 o 2 cm2. Los otros dos dígitos (del número
71,81 cm2) deben desecharse ya que no son significativos.
Regla General
“El resultado final de una multiplicación o división deberá tener sólo tantos
dígitos como el número con el menor número de cifras significativas empleado
en el cálculo”
En el ejemplo anterior 4,4 cm tiene el menor número de cifras significativas, o sea
dos, Así el 72,16 cm2 debe redondearse a 72 (o sea dos cifras significativas)
d) 46,800 = 4,68 x 104. No está claro si 46,800 tiene tres, cuatro o cinco cifras
significativas. Si el número se conoce con una precisión de tres cifras significativas
escribimos 4,68 x 104., pero si se conoce hasta cuatro escribimos 4,680 x 104.
REGLAS DE REDONDEO
Las reglas para redondear un número de “n“ dígitos decimales son las siguientes:
i)
ii)
iii)
iv)
Contar los dígitos de izquierda a derecha, a partir de la coma decimal hasta
completar n, suprimir todos los demás que quedaron a la derecha.
Sumar una unidad al dígito enésimo si el siguiente al enésimo es mayor que cinco
Dejar el dígito enésimo inalterado si el siguiente al enésimo es menor que cinco.
Si el siguiente al enésimo es justamente cinco, dejar el enésimo inalterado si es par
y sumarle una unidad si es impar.
Ejemplos:
 45,458
45,4577
 5,310
5,3101
 28,0246
28,02465
 0,054
0,0535
CLASES DE ERRORES
De lo dicho anteriormente, los valores obtenidos cuando medimos magnitudes físicas, no
tenemos cómo asegurar que corresponden al valor verdadero. Por ello, necesitamos
determinar cual es el grado de incertidumbre o error de la cantidad obtenida.
Error es la diferencia entre el valor que se obtiene en una medición y el valor verdadero
de la magnitud que se mide. Debe entenderse por valor verdadero como aquel valor
obtenido utilizando técnicas e instrumentos perfectos aunque este valor no puede ser
conocido en la práctica, podemos llegar muy cerca de él por lo que admitiremos su
existencia. Entendemos también por error a la indeterminación o incerteza propia del
proceso de medición y no lo tomamos como si fuera una equivocación por el operador.
Matemáticamente expresaremos el resultado de la medición como:
X  X  x
(1)
donde x es la incertidumbre, incerteza o error absoluto cometido en el proceso de
medición. Esta expresión nos está indicando que el valor de la magnitud medida se
encuentra comprendida en el intervalo de números reales comprendido entre X   x y
X  x
A los fines de sistematizar el tratamiento de los errores cometidos comenzaremos por
clasificarlos en función de sus posibles causas en:
Al analizar las cifras significativas, mencionamos que el objeto, el instrumento, el
operario, ofrecen limitaciones en el número de cifras que podemos medir. Es decir, cada
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uno de los sistemas que intervienen en el proceso de medición, introduce una incerteza o
error en el valor medido. Ellos son:
ERRORES SISTEMÁTICOS
Son aquellos que ocurren siempre en una misma dirección. Que se repiten
constantemente en el transcurso del experimento o bien durante una particular serie de
medidas, afectando así los resultados finales en un mismo sentido (siempre por exceso o
bien, siempre por defecto).
Concluimos entonces que un error sistemático no es fácilmente detectable, porque se
producen siempre en una misma dirección, lo podemos identificar cuando usamos otros
aparatos u otros métodos de medición. Así podemos cometer errores sistemáticos de
medición cuando:
 El instrumento está mal calibrado (error de entrada)
 Fallas en el aparato de medición (balanza mal construida, milímetros más grandes o
chicos)
 Operador con poca o nada de experiencia en las mediciones (mala ubicación del ojo
para mirar es decir error de paralaje)
 Influencia del ambiente (aumento de la temperatura)
Una vez conocidos es posible eliminarlos
ERRORES CASUALES O ALEATORIOS
Son los originados por factores accidentales o aleatorios entre ellos se encuentran las
imprecisiones de manipulación del operador que hace la medición, de los tres tipos de
errores, es el único que se puede reducir a niveles despreciables aplicando criterios
estadísticos, después de repetir la medición un número suficiente de veces, dentro de
ellos tenemos:
 Errores de apreciación
 Condiciones de trabajo
 Falta de definición.
ERRORES ILEGÍTIMOS O PERSONALES
Son debido a factores personales (distracción, cansancio, etc), dentro de ellos
tenemos:
 Errores de cálculo
 Errores caóticos.
PRECISIÓN
Se dice que una cantidad es tanto más precisa cuando más pequeños son los errores
casuales o aleatorios. O también se refiere al grado de dispersión de las mediciones, es
decir la precisión es la medida de la dispersión del error de los resultados de una serie de
mediciones hechas intentando determinar el valor real verdadero.
 El ancho de una mesa puede escribirse como ( 25,3  0,1) cm. El  0,1 cm
representa la incertidumbre estimada (o el grado de dispersión) de la medición, de
modo que el ancho real se encuentra más bien entre 25,4 y 25,2 cm.
 Un estudiante hace varias medidas para encontrar la distancia de la tierra al sol, de
modo que sus valores obtenidos lo conducen al rango de:
El promedio de estos valores:
V min  1,49  10 11 m a V max  1,53  10 11 m
El promedio de estos valores será:
Vp 
V min  V max
2

1,49 1,53
 10 11 m  1,51  10 11 m
2
Mediciones y Calculo de Errores
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El resultado o valor medido Vmedido el estudiante nos indica que la distancia de la tierra
al sol es:
Vmedido  ( 1,51  0,02 )  10 11 m
11
Por lo tanto la precisión de su medida es V  0,02  10 m
EXACTITUD
Una cantidad física es tanto más exacta cuando más pequeños son los errores
sistemáticos. O también la exactitud se refiere al grado de aproximación al valor real o
verdadero
SENSIBILIDAD
Es una definición asociada al aparato de medición (cintas métricas, dinamómetros,
balanzas, voltímetros, etc.) y define como la habilidad de un instrumento para detectar
variaciones pequeñas de la magnitud a medir. La sensibilidad de un instrumento de
medida sería la mínima escala que registra el instrumento o la primera línea después del
cero. Ejemplo la sensibilidad de una cinta milimetrada será S   1 mm. ; un amperímetro
clase 0,2, es decir, que a plena escala se comete un error de apreciación de 0,2 para 100
divisiones)
A. CÁLCULO DE ERRORES EN MEDICIONES DIRECTAS
1. TRATAMIENTO ESTADÍSTICO:
Para obtener la medición de una magnitud física “X” hagamos las siguientes
consideraciones:
 Se ha tratado de minimizar los errores sistemáticos, así como los aleatorios
 Las mediciones se repiten n  10 veces obteniéndose las siguientes medidas:
X 1 , X 2 , X 3 , ........, X n
El valor más probable de X es la media aritmética de tales medidas, esto es:
X 

X 1  X 2  X 3  ..........  X n
n

 Xi
n
(2)
La desviación de una medida, es la diferencia entre Xi y el valor promedio de las
medidas:
di  Xi  X
(3)
 El error cuadrático medio de una serie de medidas de la magnitud X está dada
por:
e 
 (X i  X )2

 di
2
n 1
n 1
(4)
Si luego de calculado “e”, se tiene que alguna de las mediciones, está fuera de
intervalo:
X  3 e  Xi 
X  3e }
esta medida no es confiable y debe ser eliminada

El error estándar o error medio del promedio o error cuadrático medio del
resultado en una serie de medidas, está dado por:
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e
n
 

Mg. ANDRES CASTILLO SILVA
 (X i  X )2
n ( n 1 )
(5)
El error estándar calculado por la ecuación (5) indica que si las medidas
corresponden a una distribución gaussiana entonces en el intervalo:
X  3   Xi 
X  3
se encuentra con casi absoluta certeza el valor verdadero de la magnitud X.
La magnitud física deber ser escrita finalmente en la siguiente forma:
X  X  3
(6)
Del resultado (6) podemos determinar que la cantidad 3  constituye el ERROR
ABSOLUTO por lo tanto el ERROR RELATIVO lo calculamos así:
ERROR RELATIVO 
ERROR ABSOLUTO
X

3
X
(7)
El ERROR RELATIVO PORCENTUAL será:
ERROR RELATIVO % 
3
X
 100 %
(8)
Ejemplo: En un trabajo de laboratorio de realizaron 10 medidas de la longitud de
una barra metálica, obteniéndose los siguientes resultados en milímetros: 12,45;
12,38; 12,40; 12,37; 12,42; 12,44; 12,39; 12,44; 12,41 y 12,43. Hallar la longitud
de la barra con su respectivo error absoluto y relativo.
Solución:
El número de mediciones directas son n = 10 veces, por lo tanto el tratamiento del
cálculo de errores será estadístico.
N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

l 
li
(mm)
12,45
12,38
12,40
12,37
12,42
12,44
12,39
12,44
12,41
12,43
124.13
d i  li  l ( m m )
d i2 ( m m ) 2
+ 0,037
- 0,033
- 0,013
- 0,043
+ 0,007
+ 0,027
- 0,023
+ 0,027
- 0,003
+ 0,017
0,001
0,001
0,000
0,002
0,000
0,001
0,001
0,001
0,000
0,000
0,007
 li
124.13

12,413 m m redondeando  l  12,41 m m
10
10
;
Mediciones y Calculo de Errores
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e 
 d i2

n  1
el error cuadrático medio será:
el error estándar del resultado de 10 mediciones será:
 
e
n
l  l  3

l2

n ( n 1 )
0,007
9
0,007
9
  0,028 m m
  0,009 m m
 ( 12,41  0,03 ) m m }
donde 3 es el error absoluto =  0,03 m m
E. R. % 
E. R. % 
3
0,03
 100 % 
 100 %   0,24 %
12,41
l
 0,24 % es el error relativo porcentual.
2. TRATAMIENTO NO ESTADÍSTICO:
Se considera un proceso no estadístico cuando el número de mediciones “n” es
menor de 10 mediciones ( n  10 ) . El cual puede ser de dos tipos:
a) Supongamos que se desea medir una magnitud X, el valor verdadero ( X v ) se
obtiene de una serie de mediciones
( n  10 veces ) . Si X M es la medida mayor y
X m es la medida menor, el valor más probable de la magnitud X será el valor
medio ó media aritmética:
 Xi
n
X M X m
X 
2
X 
El error absoluto será:
(9)
Esto nos permite asegurar que el valor de X estará dentro del intervalo
X  X  X
(10)
b. Si sólo se ha efectuado una medida ( n = 1), el error X 0 ; se estima como la
sensibilidad del instrumento, esto es :
X  X  X 0
(11)
Llamamos Error Absoluto a las cantidades 3  , X y X 0 de las ecuaciones (6),
(10) y (11).
Ejemplo: Se obtuvieron las siguientes mediciones del peso (P) de un cuerpo, en
Newtons: 8,615; 8,622; 8,624; 8,618; 8,620; 8,633; 8,628; 8,624, 8,613. Determinar el
peso del cuerpo con su respectivo error absoluto y porcentual
Solución:
El número de mediciones directas son 9, entonces cuando el número de mediciones
es n < 10, el tratamiento del cálculo de errores será no estadístico para una serie de
mediciones directas.
N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
P (N) 8,615 8,622 8,624
8,618
8,620
8,633
8,628
8,624
8,613
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 Pi

n
P 
Mg. ANDRES CASTILLO SILVA
50,597
 8,622 N
9
Valor mayor del peso = PM = 8,633 N
Valor menor del peso = Pm = 8,613 N
P 
P M  Pm
E. R. % 
2

8,633  8,613
2
P
 100 % 
P
  0,010 N
es el error absoluto y
0,010
 100 %   0,178 %
8,622
E. R. %   0,178 % es el error relativo porcentual.
B. CÁLCULO DE ERRORES EN MEDICIONES INDIRECTAS
Propagación de errores:
Si R es una magnitud física que depende de varias magnitudes (x, y, z, . . . ) o sea:
R.  f ( x, y , z )
(12)
al medir experimentalmente las magnitudes x, y, < se considera R como resultado de
una magnitud indirecta.
Para determinar la magnitud R con su respectivo error, hay que distinguir las
siguientes situaciones:
 Todas las magnitudes x, y, z, ......... son estadísticas
 Todas las magnitudes x, y, z, ......... no son estadísticas
 Algunas de las magnitudes x, y, z, ........ son estadísticas y las restantes no lo son.
1. TRATAMIENTO ESTADÍSTICO.
Para la medida de la magnitud física R consideremos lo siguiente:
 Se ha tratado de minimizar al máximo los errores sistemáticos, así como los
aleatorios.
 Las mediciones se repiten n > 10 veces, obteniéndose las siguientes mediciones.
X 1 , X 2 , X 3 , ........, X n ;
Y1 , Y2 , Y3 , ........, Yn
Z1 , Z 2 , Z 3 , ........, Z n
y
Siendo los valores promedios de cada una de las magnitudes
X 
 Xi
n ,
Y 
 Yi
n ,
Z 
 Zi
n
Por lo tanto, el valor de la magnitud física R, está dado por
R  f ( x, y, z )
De este caso ocurrirá con frecuencia que los errores que las distintas magnitudes
se neutralizan mutuamente, en parte.
Vemos la diferencia total de una función de muchas variables la cual se define de
la siguiente manera:
Mediciones y Calculo de Errores
8
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dR 
Mg. ANDRES CASTILLO SILVA
df
df
df
dx 
dy 
dz
dx
dy
dz
Sustituyendo diferentes ( d x , d y , d z ) por los errores cuadráticos medio de
cada medida directamente ( e x ,
eR 
d f
dx
d f
dy

ex
ey ,
ez )

ey
d f
dz
ez
Usando la Ley de propagación del error de Gauss determinamos el error
cuadrático medio de la magnitud física R.
2
eR 
2
2
 df

 df

 df

ex   
ey   
ez 

 dx

 dy

 dz

El error estándar estará dado por:

R

 d f


 dx
2
x

 d f

 

 dy
2



y
 d f
 

 dz
z



2
Por lo tanto, la magnitud física R finalmente debe ser escrita de la siguiente
manera:
R  R  3R
siendo 3  R el error absoluto, por lo tanto el error relativo será:
3
R
E.absoluto
 100 % 
R
E. Re lativo % 
R
 100 %
2. TRATAMIENTO NO ESTADÍSTICO.
Sea R.  f ( x, y , z )
en la que se presenta diferentes situaciones:
(a) Todas las magnitudes físicas x, y, z, ... se miden n < 10 veces, el error de la
magnitud física R se determina por la ecuación:
R 
R
x
ex
R
y

ey
R
z

 ....
ez
(b) Todas las magnitudes físicas x, y, z, ….. se miden una sola vez ( n = 1), entonces
el error de R esta dado por:
R 
R
x
x0

R
y
y0

R
z
z 0  ....
(c) Un grupo de cantidades se mide n = 1 vez, otro grupo n < 10 veces y otros
n  10 veces, entonces el error de R se determina por:
R 
R
x
Mediciones y Calculo de Errores
x0

R
y
ey

R
z

z
 ....
9
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PRÁCTICA DE LABORATORIO Nº 1: MEDICIONES Y CÁLCULO DE ERRORES
Integrantes del Grupo:
1. ………………………………………………………
2. ………………………………………………………
3. ………………………………………………………
4. ………………………………………………………
5. ………………………………………………………
Semana: ............................
FECHA : .........................
NOTA:
I.
OBJETIVOS:
 Efectuar mediciones directas.
 Aprender a utilizar instrumentos de medición, como: vernier, micrómetro, wincha
y regla graduada.
 Aplicar la teoría de errores a las mediciones de magnitudes realizadas en el
laboratorio.
II.
FUNDAMENTO TEÓRICO:
La teoría de errores aparece en la guía de laboratorio.
III.
MATERIALES Y EQUIPO:
MATERIALES
EQUIPO
Vernier o pie de Rey
Micrómetro
Wincha
Cinta métrica
Mesa
Puerta
IV.
SENSIBILIDAD
±
±
±
±
PROCEDIMIENTO:
(a)
Determinar el ancho de una mesa: (use la Wincha o cinta métrica)
El tipo de medición a realizar es directa, y la debe realizar solo una vez. (n = 1)
L  L 0   L 0 , entonces:
L 0  ....................
 L 0  ..................
y
La medida del ancho de la mesa será: …………………………
(b)
Determinación la longitud de una mesa con su respectivo error:
Se trata de determinar directamente la longitud de la mesa: realizaremos un
tratamiento no estadístico ya que el número de mediciones es ocho (n = 8).
Para esta medición podemos usar, cinta métrica de lona y wincha metálica.
TABLA Nº 1
N Mediciones
1
2
3
4
5
6
7
8
L
L (cm)
L 
Calcular: El error absoluto,
LM  Lm

2
E. R. % 
El error relativo porcentual: E.R. %:
Mediciones y Calculo de Errores
L
L
 100 % 
10
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Entonces la longitud de la mesa será:
(c)
L  L  L
=
Determinación la altura de una puerta con su respectivo error:
Se trata de determinar directamente la altura de una puerta: realizaremos un
tratamiento estadístico ya que el número de mediciones es doce (n = 12). Para
esta medición podemos usar, cinta métrica de lona y wincha metálica.
Tabla N°2: Altura
n
h
hprom
d
d2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Entonces la altura de la puerta será:
Altura Promedio
h
h  h  3 
=
hi
n
Error cuadrático medio
di2


n(n  1)
Error Absoluto:
EA  3 
El resultado es:
h  h  3 
Medición con Vernier:
Mediciones y Calculo de Errores
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En el siguiente enlace del Curso Interactivo de Física en Internet (de Ángel Franco
García) realizaremos la actividad virtual propuesta:
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica3/unidades/longitud/longitud
Figura 1 : Pantalla del programa medida de la longitud.
Simulación del calibre
• El programa interactivo nos muestra una parte de la regla en color amarillo y el
nonius en color azul claro
• Al pulsar el botón Nuevo, se genera una medida. Se introduce la medida en el control
titulado Medida y se pulsa el botón Mide. Un mensaje nos indica si se ha
introducido la medida correcta, si faltan decimales, etc.
• Si no se acierta, se pulsa el botón titulado Ayuda, una flecha roja en la regla marca la
parte entera y otra flecha en el nonius marca la parte decimal de la medida.
• Se introducirá como separador entre la parte entera y la parte decimal el punto (.).
Los integrantes de cada grupo deberán realizar 5 mediciones (válidas) y registrarlas en la
siguiente tabla (adjuntar foto en su informe).
Tabla 3: Valores de medida de longitud obtenidos
GRUPO N°
Mediciones y Calculo de Errores
12
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Código alumno
V.
VI.
Código alumno
Mg. ANDRES CASTILLO SILVA
Código alumno
Código alumno
Código alumno
CONCLUSIONES: En lo que respecta a los resultados obtenidos, tenemos:
1.
El ancho de la mesa es:
………………………………….
2.
La longitud de la mesa es: ………………………………….
3.
La altura de la puerta es: …………………………………
CUESTIONARIO:
1.
¿Luego de leer la guía, donde aparecen las clases de errores, qué errores
crees que realizas al usar: Wincha, cinta métrica, regla graduada y vernier?
2.
¿Cuál de los instrumentos usados tiene mayor confiabilidad y porqué?
3.
¿Qué diferencia hay entre precisión y exactitud?
4.
Diga ¿por qué son diferentes 8,50 m y 8,500 m?
5.
Conociendo el resultado de la medición y el procedimiento seguido por un
experimentador, ¿puede Ud. saber cuál es la menor división de la escala del
instrumento usado?
6.
¿Cómo comprueba que el vernier está bien calibrado?.
Mediciones y Calculo de Errores
13
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VII.
Mg. ANDRES CASTILLO SILVA
BIBLIOGRAFÍA
Teoría
1. FREDERICK BEUCHE (1990). Fundamentos de Física. Editorial Xalco, México.
2. FISHBANE, Paul M(1993). Física para Ciencias e Ingeniería Vol. 2. Prentice
Hall, México. Pág. 8 – 12
Laboratorio
1. Alvarenga Alvares, Beatriz. Física Experimental con Experimentos Sencillos.
Editorial Harla S. A., México, 1985. Código Biblioteca UCV: 530/A45.
2. FÍSICA CON ORDENADOR: www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/ , Curso de Física
interactivo, contiene simulaciones mediante applets.
3. APUNTES DE FÍSICA. http://nti.educa.rcanaria.es/fisica/. Conceptos de Física
General.
4.
EDUCAPLUS.http://www.educaplus.org/modules/wfsection/viewarticles.php?cat
egory=1. Conceptos de Física I con animaciones.
Mediciones y Calculo de Errores
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