EVALUACIÓN FINAL 2022-10
TIPO ( A’ )
ECUACIONES DIFERENCIALES
1. Resolver:
SOLUCION
(4 puntos)
ECUACIONES DIFERENCIALES
2. Encuentre la carga en el capacitor de un circuito RLC en serie cuando 𝐿 =
1
2
ℎ, 𝑅 = 10Ω , 𝐶 = 0.01𝐹, 𝐸 (𝑡 ) = 150𝑉, 𝑞(0) = 1𝐶 𝑒 𝑖(0) = 0𝐴.
¿Cuál es la carga en el capacitor después de un largo tiempo?
(4 puntos)
SOLUCION
EVALUACIÓN FINAL 2022 1
Página 2
ECUACIONES DIFERENCIALES
carga en el capacitor después de un largo tiempo: 𝑡 → ∞, entonces en:
𝑞 (𝑡 ) =
3 1 −10𝑡
1
− 𝑒
𝑐𝑜𝑠10𝑡 − 𝑒 −10𝑡 𝑠𝑒𝑛10𝑡
2 2
2
3
1
1
− lim 𝑒 −10𝑡 𝑐𝑜𝑠10𝑡 − lim 𝑒 −10𝑡 𝑠𝑒𝑛10𝑡
𝑡→∞ 2
𝑡→∞ 2
𝑡→∞ 2
lim 𝑞 (𝑡 ) = lim
𝑡→∞
⟹
lim 𝑞(𝑡 ) =
𝑡→∞
3 1
1
− 𝑐𝑜𝑠(∞) − 𝑠𝑒𝑛(∞)
2 ∞
∞
∄
∄
Por propiedad trigonométrica y de limites tenemos:
−1 ≤ 𝑐𝑜𝑠𝑥 ≤ 1
EVALUACIÓN FINAL 2022 1
Página 3
ECUACIONES DIFERENCIALES
−
1 𝑐𝑜𝑠𝑥 1
≤
≤
𝑥
𝑥
𝑥
1
𝑐𝑜𝑠𝑥
1
≤ lim
≤ lim
𝑥→∞ 𝑥
𝑥→∞ 𝑥
𝑥→∞ 𝑥
− lim
1
. 𝑐𝑜𝑠𝑥 ≤ 0
𝑥→∞ 𝑥
0 ≤ lim
Entonces:
1
. 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0
𝑥→∞ 𝑥
lim
Igualmente por por propiedad trigonometrica y de limites:
−1 ≤ 𝑠𝑒𝑛𝑥 ≤ 1
−
1 𝑠𝑒𝑛𝑥 1
≤
≤
𝑥
𝑥
𝑥
1
𝑠𝑒𝑛𝑥
1
≤ lim
≤ lim
𝑥→∞ 𝑥
𝑥→∞ 𝑥
𝑥→∞ 𝑥
− lim
1
. 𝑠𝑒𝑛𝑥 ≤ 0
𝑥→∞ 𝑥
0 ≤ lim
Entonces:
1
. 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 0
𝑥→∞ 𝑥
lim
Por lo tanto:
𝐥𝐢𝐦𝒒(𝒕) =
𝒕→∞
EVALUACIÓN FINAL 2022 1
𝟑
𝟐
Página 4
ECUACIONES DIFERENCIALES
3. Encuentre la solución de la siguiente ecuación diferencial:
Con las siguientes condiciones iniciales
SOLUCION
EVALUACIÓN FINAL 2022 1
Página 5
(4 puntos)
ECUACIONES DIFERENCIALES
4. Dos tanques A y B, cada uno de ellos conteniendo 50 litros de agua, se
encuentran interconectados. El líquido fluye del tanque A hacia el tanque
B a razón de 5 lt/min. Una solución de salmuera con una concentración de
3 kg/lt de sal fluye hacia el tanque A a razón de 5 lt/min, manteniéndose
bien agitado el líquido contenido en el interior de cada tanque. La solución
diluida fluye hacia el exterior del sistema, desde el tanque B a razón de 4
lt/min. Si inicialmente tanto el tanque A como el B contienen 50 kg de sal,
determina mediante la transformada de Laplace, el sistema de ecuaciones
que modeliza este problema.
(4 puntos)
SOLUCION
Planteando el sistema de ecuaciones diferenciales:
Tanque A:
𝑥 ′ = (3
𝑘𝑔
𝑙𝑡
𝑙𝑡
𝑥(𝑡) 𝑘𝑔
) (15
) − (5
)(
)
𝑙𝑡
𝑚𝑖𝑛
𝑚𝑖𝑛
50 𝑙𝑡
𝑥 ′ = 15 −
5𝑥
50
Tanque B:
𝑦 ′ = (5
𝑙𝑡
𝑥(𝑡) 𝑘𝑔
𝑙𝑡
𝑦(𝑡)
𝑘𝑔
)(
) − (4
)(
)
𝑚𝑖𝑛
50 𝑙𝑡
𝑚𝑖𝑛 50 + (5 − 4)𝑡 𝑙𝑡
𝑦′ =
5𝑥
4𝑦
−
50 50 + 𝑡
EVALUACIÓN FINAL 2022 1
Página 6
ECUACIONES DIFERENCIALES
Entonces el sistema de ecuaciones diferenciales para la mezcla es:
𝑥′ = 15 −
𝑦′ =
{
5𝑥
50
5𝑥
4𝑦
−
50 50 + 𝑡
Con las condiciones iniciales: 𝑥 (0) = 50
𝑦(0) = 50
,
Aplicamos transformada de Laplace para la modleizaciòn del sistema de
ecuaciones:
En la primera ecuación:
ℒ [𝑥 ′ ] = 15ℒ [1] −
𝑠. 𝑋 (𝑠) − 𝑥 (0) =
𝑠. 𝑋(𝑠) − 50 =
𝑠. 𝑋(𝑠) +
(𝑠 +
5
ℒ [𝑥 ]
50
15 5
−
𝑋(𝑠)
𝑠
50
15 5
−
𝑋(𝑠)
𝑠
50
5
15
𝑋(𝑠) =
+ 50
50
𝑠
5
15
) 𝑋 (𝑠 ) =
+ 50
50
𝑠
(𝟑)
En la segunda ecuación:
ℒ [𝑦 ′ ] =
5
𝑦
]
ℒ [𝑥] − 4ℒ [
50
50 + 𝑡
𝑠. 𝑌(𝑠) − 𝑦(0) =
5
1
) ]
𝑋(𝑠) − 4ℒ [𝑦 ∗ (
50
50 + 𝑡
EVALUACIÓN FINAL 2022 1
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ECUACIONES DIFERENCIALES
𝑠. 𝑌(𝑠) − 50 =
𝑠. 𝑌(𝑠) − 50 =
−
5
1
]
𝑋(𝑠) − 4ℒ [ 𝑦 ]ℒ [
50
50 + 𝑡
5
𝑋(𝑠) − 4𝑌(𝑠)(𝑒 50𝑠 . 𝐸𝑖(50𝑠))
50
5
𝑋 (𝑠) + (𝑠 + 4𝑒 50𝑠 . 𝐸𝑖(50𝑠)𝑌(𝑠) = 50
50
(𝟒)
Luego mediante la transformada de Laplace, modelizamos el sistema de
ecuaciones de este problema:
(𝑠 +
5
15
+ 50
) 𝑋(𝑠) =
𝑠
50
5
−
−
𝑋(𝑠) + (𝑠 + 4𝑒50𝑠 . 𝐸𝑖(50𝑠)𝑌(𝑠) = 50
{
50
EVALUACIÓN FINAL 2022 1
Página 8
ECUACIONES DIFERENCIALES
5. Un peso de 4 lb estira un resorte 2 pies. El peso se libera a partir del reposo
18 pulgadas arriba de la posición de equilibrio y el movimiento resultante
tiene lugar en un medio que ofrece una fuerza de amortiguamiento
numéricamente igual a
7
8
veces la velocidad instantánea. Use la
transformada de Laplace para encontrar la ecuación de movimiento 𝑥(𝑡)
y que sucedería si 𝑡 → ∞
SOLUCION
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Página 9
ECUACIONES DIFERENCIALES
a) Siendo la ecuación de movimiento
EVALUACIÓN FINAL 2022 1
Página 10
ECUACIONES DIFERENCIALES
b) Que sucedería cuando: 𝒕 → ∞
3 7
7√15 −7𝑡
√15
√15
lim 𝑥 (𝑡 ) = lim − 𝑒 −2𝑡 𝑐𝑜𝑠
𝑡 − lim
𝑒 2 𝑠𝑒𝑛
𝑡
𝑡→∞
𝑡→∞
𝑡→∞ 10
2
2
2
3 1
7√15 1
lim 𝑥 (𝑡 ) = − . cos(∞) −
. 𝑠𝑒𝑛(∞)
𝑡→∞
2 ∞
10 ∞
∄
∄
Por propiedad trigonométrica y de limites tenemos:
−1 ≤ 𝑐𝑜𝑠𝑥 ≤ 1
−
1 𝑐𝑜𝑠𝑥 1
≤
≤
𝑥
𝑥
𝑥
1
𝑐𝑜𝑠𝑥
1
≤ lim
≤ lim
𝑥→∞ 𝑥
𝑥→∞ 𝑥
𝑥→∞ 𝑥
− lim
1
. 𝑐𝑜𝑠𝑥 ≤ 0
𝑥→∞ 𝑥
0 ≤ lim
Entonces:
1
. 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0
𝑥→∞ 𝑥
lim
Igualmente por por propiedad trigonometrica y de limites:
−1 ≤ 𝑠𝑒𝑛𝑥 ≤ 1
−
1 𝑠𝑒𝑛𝑥 1
≤
≤
𝑥
𝑥
𝑥
1
𝑠𝑒𝑛𝑥
1
≤ lim
≤ lim
𝑥→∞ 𝑥
𝑥→∞ 𝑥
𝑥→∞ 𝑥
− lim
1
. 𝑠𝑒𝑛𝑥 ≤ 0
𝑥→∞ 𝑥
0 ≤ lim
EVALUACIÓN FINAL 2022 1
Página 11
ECUACIONES DIFERENCIALES
Entonces:
1
. 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 0
𝑥→∞ 𝑥
lim
Por lo tanto:
𝐥𝐢𝐦𝒙(𝒕) = 𝟎
𝒕→∞
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