Curso propedéutico de matemáticas Maestría en ciencias de la computación. Lenguaje lógico y Lenguaje matemático MC José Luis Ramírez Alcántara [email protected] Departamento de Ciencias de la Computación 2022. Habilidades para analizar los conceptos Formalizados en ciencias de la computación. LENGUAJE DE LA LÓGICA DE PREDICADOS FORMALIZACIÓN DE ENUNCIADOS. LENGUAJE DE LA LÓGICA DE PREDICADOS Símbolos de términos o individuos de un universo o dominio: • letras de variables ( x, y, z, t, w, etc.) para individuos genéricos o desconocidos; • letras de constantes (primeras letras del alfabeto, a, b, c, d, etc.) para individuos conocidos. Un conjunto numerable de ellas y además, ambas pueden tener subíndices. Símbolos de conectivos y paréntesis: ¬, , , , , (, ), [,],{,}. LENGUAJE DE LA LÓGICA DE PREDICADOS Símbolos de predicado: letras mayúsculas del alfabeto: P, Q, R, S, ..., o secuencias finitas de ellas OM, COM, PT, o secuencias indexadas Q1, Q2, Q3 ...(Un conjunto numerable de cada una de ellas). Cada predicado tiene asociada una aridad, es decir un cierto número de argumentos: Ri (x,y,z,…) LENGUAJE DE LA LÓGICA DE PREDICADOS Ejemplos de predicados: Predicado unario: “ser par”, simbolizado por P(x) y que se lee como: “x es un número par” o “x tiene la propiedad de ser par”. Predicado binario: “x debe dinero a y” que podemos simbolizar como D(x,y) y que se lee de la siguiente forma: x debe dinero a y. Predicado terniario: “estar entre” ETR(x,y,z): x está entre y y z. LENGUAJE DE LA LÓGICA DE PREDICADOS • Símbolos de función: las funciones se representa por las letras f, g, h, ... y cada función tiene una aridad (un cierto número de argumentos): f1(x), f2(x,y), f3(x,y,z), ... • Concepto matemático intuitivo: • A un elemto “x” de un cierto conjunto se le asocial un único elemento “y” de otro conjunto (o del mismo conjunto). Y se denota como: f(x) = y. (a “x” se le asocia “y” por medio de la función f) LENGUAJE DE LA LÓGICA DE PREDICADOS • Símbolos de función: las funciones se representa por las letras f, g, h, ... y cada función tiene una aridad (un cierto número de argumentos): f1(x), f2(x,y), f3(x,y,z), ... • Ejemplos: • a) la función “padre de” es una función unaria simbolizada por f, el símbolo f(x) se lee “el padre de x” y su valor es un término. • b) la función: “la edad de x” simbolizada por e(x). LENGUAJE DE LA LÓGICA DE PREDICADOS • Símbolos de cuantificación: Cuantificador universal Cuantificador existencial • Cuantificador universal: x P(x) significa que la propiedad (o característica) P se satisface Para todos los valores de x en el dominio (universo) asociado a esa variable. • Ejemplo:Todos los computadores tienen memoria RAM. C(x) x es un computador; M(x) x tienen memoria RAM. • x (C(x) M(x)) • ¿Cuál es el dominio o universo asociado a este enunciado? LENGUAJE DE LA LÓGICA DE PREDICADOS •Cuantificación existencial: • xP(x) significa que P se satisface para algún valor de la variable x en el dominio asociado a esa variable. •Ejemplo: Existen computadores con 32G de memoria RAM. •C(x) x es un computador; M(x) x Tiene 32G de memoria RAM • x (C(x) M(x)) •¿Cuál es el universo asociado a este enunciado? LENGUAJE DE LA LÓGICA DE PREDICADOS • FBF 1).- Una fórmula atómica (simple) es una FBF. Las siguientes expresiones son fórmulas atómicas (simples): P, Q(t), M(x,y), S(x,y,z), .... 2).- Si P es una fórmula bien formada, entonces ¬P es una FBF. LENGUAJE DE LA LÓGICA DE PREDICADOS 3).- Si P, Q son FBFs, entonces: P Q, P v Q, P Q, P Q, son FBFs. 4).- Si P es una FBF y x una variable, entonces "(x)P(x), $(x)P(x) son FBFs. 5).- Sólo las fórmulas que se obtienen, en un número finito de pasos, usando las reglas 1) a 4) son FBFs. LENGUAJE DE LA LÓGICA DE PREDICADOS • Las fórmulas de predicados incluyen: • • • • • Letras de individuos o términos De predicados De funciones Conectivas y Cuantificadores "(x) [N(x) → (P(x) ¬M(x))] FORMALIZAR: “María es sabia si y sólo si estudia y no mira la televisión” Puede formalizarse de dos formas no equivalentes: ¿Cuáles son los predicados? FORMALIZAR: “María es sabia si y sólo si estudia y no mira la televisión” Predicados: S(x): x es sabio(a) E(x): x estudia VT(x): x ve televisión m = María S(m) ↔ (E(m) UNIVERSO ??? ¬VT(m)) ? [S(m) ↔ E(m)] ¬VT(m) Formalizar: “Cada elemento ei de la lista desde e1 hasta e21 es distinto de 9.” • Dominio: • Predicados: Formalizar: “Cada elemento ei de la lista desde e1 hasta e21 es distinto de 9.” • Dominio: elementos de la lista y el 9. • Predicados: • EL(x)= x es elemento de la lista; • I(x,9) = x es igual a 9; • ET(y,x,z) = x esta entre “y” y z • x[(EL(x) ET(e1,x,e21)) ¬I(x,9))] ¿? FORMALIZAR “Cada elemento ei de la lista desde e1 hasta e21 es distinto de 9.” • Dominio: elementos de la lista y el 9. • Predicados: EL(x)= x es elemento de la lista; • I(x,u) = x es igual a u; • • • ET(y,x,z) = x esta entre “y” y z; Términos: u = 9. x[(EL(x) ET(e1,x,e21)) I(x,9))] I(e1,9) I(e21,9) FORMALIZAR “Cada elemento ei de la lista desde e1 hasta e21 es distinto de 9.” • Dominio: elementos de la lista desde e1 hasta e21 • Predicados: I(x,9) = x es igual a 9 UNIVERSO ??? • x¬I(x,9) FORMALIZAR “A Martha le gustan todos aquellos jóvenes a los que no les gusta Margarita” • Universo: • Predicados: • Términos: FORMALIZAR “A Martha le gustan todos aquellos jóvenes a los que no les gusta Margarita” • Universo: Jóvenes de un Grupo. • Predicados: G(x,y)= a x le gusta y • Términos: • mgt:= Margarita. • mrt:= Martha • x(G(mrt,x) G(x,mgt)) LOS PROBLEMAS EN LA FORMALIZACIÓN: LN LLPO Identificación de predicados. Identificación de número de argumentos. Determinación del alcance de los cuantificadores. Interpretación de la cuantificación múltiple. La negación de enunciados cuantificados. FORMALIZAR EL SIGUIENTE ENUNCIADO: “A marta le gustan todos aquellos jóvenes a los que no les Gusta margarita” E1: X: Martha; Y: joven; Z: Margarita; G: gustar E2: Sea P(x): x es un joven que le gusta a Martha; Q(x): x es un joven que le gusta a Margarita E9: J(x) = “es joven”; P(x) = “le gusta Margarita”; Q(y) = “le gusta x” $(x) "(x)(G(y) ¬G(z)) "(x)(Q(x) ¬P(x)) $(y) "(x)((J(x) ¬ P(x)) Q(y)) NEGACIÓN DE ENUNCIADOS CUANTIFICADOS. • ¿Cuál será la negación del enunciado: • “ Todas las ventanas están abiertas todos los días”? Negación de enunciados cuantificados. ¬[∀𝒙𝑷 𝒙 ] = ∃𝒙¬𝑷(𝒙) ¬[∃𝒙𝑷 𝒙 ] = ∀𝒙¬𝑷(𝒙) ¬ ∀𝒙∃𝒚𝑷 𝒙, 𝒚 = ∃𝒙¬ ∃𝒚𝑷 𝒙, 𝒚 = ∃𝒙∀𝒚¬𝑷(𝒙, 𝒚) ¬ ∃𝒙∀𝒚𝑷 𝒙, 𝒚 = ∀𝒙¬ ∀𝒚𝑷 𝒙, 𝒚 = ∀𝒙∃𝒚¬𝑷(𝒙, 𝒚) ¿Cómo traducir o formalizar: • Un enunciado del lenguaje natural al lenguaje de la lógica de predicados? ¿Existirá un procedimiento mecánico: • Para formalizar un enunciado del lenguaje natural al lenguaje de la lógica de predicados? HABILIDADES PARA ANALIZAR LOS CONCEPTOS FORMALIZADOS EN CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN. Curso propedéutico de matemáticas Maestría en ciencias de la computación. Lenguaje lógico y Lenguaje matemático MC José Luis Ramírez Alcántara [email protected] Departamento de Ciencias de la Computación 2022.
