Universidad Central de Venezuela
Facultad de Ingeniería
Ciclo Básico
Departamento de Matemática Aplicada
CÁLCULO I
(0251)
GUIAS DE
PROBLEMAS
PARCIAL 1
Semestre
3-2010
José Luis Quintero
Octubre 2010
INECUACIONES Y
VALOR ABSOLUTO
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CÁLCULO I (0251) - TEMA 1
Números Reales y
Geometría Analítica
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1. Resuelva las siguientes ecuaciones:
a. 4 − 3x = 5
b.
x +1 x +2 = 3
c.
x + 1 x + 4 = 10
d.
x −1 + 2 = 4
e.
x+3 −2 = 4
f.
x2 − 1 = x
g.
x + 3 = 1 − x2
2. Encuentre el conjunto solución de cada una de las siguientes inecuaciones:
2 − 7x
a. −2 <
≤3
5 + 2x
b.
c.
2x2 − 3x + 1
>0
x2 − 2x + 1
6+x
2
−
<−
2x
x +5
3. Encuentre el conjunto solución de cada una de las siguientes inecuaciones:
a. x − 2 < 3
b.
x−2 > 3
c.
x2 − 1 ≤ 2
d.
x+2 < x+3
e.
x2 − 2x − 2 ≥ 1
f.
x2 + x − 5 ≤ x − 1
g.
1 − x < 2x
h.
1 − x2 > x − 1
i.
2x2 − 2 ≥
j.
7−x
<3
x +1
k.
2−x
≥0
x+8
l.
x2 − 2
≥ x−3
x
1
3
x −1
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m.
x − 3 + x2
≥x
1−x
n.
4x2 − 4x − 1
<1
6x − 5
o.
p.
q.
r.
x+3
x2
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>3
x3 − 1
20x2 − 5x + 1
≤0
2 < −x + 3 < 4
3
2
>
x −2
x
s.
(x + 2) x + 2 + 3x ≤ 0
t.
3x − 2 < x + 1
4. Encuentre el conjunto solución de cada una de las siguientes inecuaciones:
a.
x2 − 3x − 5 < x2 + 6
b.
x + 1 − x − 2 ≤ −2
c.
4 − x + 2x + 1 ≤ 4
d.
x + 1 > x − 2 + 2x − 9
e.
x2 − 1 ≤ x − x − 1
f.
(x − 2)(x − 6) + x − 4 ≤ 2
g.
2x
x +1 3
−
≤
x +1
2x
2
h.
(x + 2) x + 2 + 3x ≤ 0
i.
x + 1 > x − 2 + 2x − 9
j.
(x + 1)(x − 1)2 x − 3 ≤ 0
k.
(x + 2) x + 2 ≥ x − 4
l.
4−x
2x − 1
≥
x −3
1−x
m. x + 1 − x − 2 ≤ x − 1
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RESPUESTAS
1.a. –1/3, 3
b. (−3 + 13) / 2 , (−3 − 13) / 2
c. –6, 1
d. –1, 3
e. –9, 3
f. (−1 + 5) / 2 , (1 + 5) / 2
g. No tiene solución
2.a. [−1, 4)
b. (−∞, 0) ∪ (1, ∞)
c. (−∞, −5) ∪ (0, ∞)
3.a. (-1,5)
b. (-∝,-1]∪[5, ∝)
c. [- 3 , 3 ]
d. (-5/2, ∝)
e. (-∝,-1]∪[1- 2 ,1+ 2 ]∪[3, ∝)
f. [-1+ 7 , 2]
g. (1/3, ∝)
h. ℜ-{1}
i. ℜ
j. (-∝,-5) ∪(1, ∝)
k. ℜ-{-8}
l. ℜ-{0}
m. (-∝,1]∪[1, 3 / 2 ]∪[3/2, ∝)
n. (-3/2,1/2)∪(1,2)
o. ((1- 37 )/6,0)∪(0,(1+ 37 )/6)
p. (-∝,-1]
q. (-1,1)∪(5,7)
r. (-∝,-4)∪(4/5, ∝)
s. (-∝,(-7+ 35 )/2)
t. (1/4,3/2)
4.a. (-11/3,1/2)∪(1, ∝) b. (-∝,-1/2] c. ∅ d. (3,6)
e. [0, 2 ] f. [2,6] g. [-1/2,-1/5]∪[1/3, ∝) h. (-∝,(-7+ 33 )/2)
i. (3,6)
j. [1- 2 ,(6- 15 )/3]∪[1+ 2 ,3)∪(3,(6+ 15 )/3]
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1. Un cuadrado de lado igual a 2a, tiene su centro en el origen y sus lados son paralelos a
los ejes coordenados. Halle las coordenadas de sus cuatro vértices.
Rta: (a,a); (-a,a);
(-a,-a); (a,-a)
2. Los vértices de un triángulo rectángulo son los puntos (1,-2), (4,-2), (4,2). Determine las
longitudes de los catetos y después calcule el área del triángulo y la longitud de la
hipotenusa. Rta: 6, 5
3. Halle la distancia del origen al punto (a,b).
Rta :
a2 + b2
4. Dos de los vértices de un triángulo equilátero son los puntos (-1,1) y (3,1). Halle las
coordenadas del tércer vértice. Rta : (1,1 + 2 3); (1,1 − 2 3)
5. Halle el perímetro del cuadrilátero cuyos vértices son (-3,-1), (0,3), (3,4), (4,-1).
Rta: 20.26
6. Demuestre que los puntos (-2,-1), (2,2), (5,-2), son los vértices de un triángulo isósceles.
7. Demuestre que los puntos (2,-2), (-8,4), (5,3) son los vértices de un triángulo rectángulo
y halle su área.
Rta: 34
8. Demuestre que los tres puntos (12,1), (-3,-2), (2,-1) son colineales, es decir, que están
sobre una misma línea recta.
9. Demuestre que los puntos (0,1), (3,5), (7,2), (4,-2) son los vértices de un cuadrado.
10. Uno de los extremos de un segmento de longitud 5 es el punto (3,-2). Si la abscisa del
otro extremo es 6, halle su ordenada. Rta: 2, -6
11. Uno de los puntos extremos de un segmento es el punto (7,8) y su punto medio es (4,3).
Halle el otro extremo.
Rta: (1,-2)
12. Una recta pasa por los dos puntos (-2,-3), (4,1). Si un punto de abscisa 10 pertenece a la
recta, ¿cuál es su ordenada? Rta: 5
13. Demuestre que los puntos (1,6), (9,-2), (-5,-4) son los vértices de un triángulo.
14. Demuestre que el punto (1,-2) es colineal con los puntos (-5,1) y (7,-5) y que equidista
de ellos.
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15. Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto A(1,5) y tiene de pendiente 2.
Rta:
2x-y+3=0
16. Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto A(-6,-3) y tiene un ángulo de
inclinación de 45o . Rta: x-y+3=0
17. Halle la ecuación de la recta cuya pendiente es –3 y cuya intersección con el eje Y es –2.
Rta: 3x+y+2=0
18. Los vértices de un cuadrilátero son A(0,0), B(2,4), C(6,7), D(8,0). Halle las ecuaciones de
sus lados. Rta: 2x-y=0, 3x-4y+10=0, 7x+2y-56=0, y=0
19. Una recta pasa por el punto A(7,8) y es paralela a la recta que pasa por C(-2,2) y
D(3,-4). Halle su ecuación. Rta: 6x+5y-82=0
20. Halle la ecuación de la recta cuya pendiente es –4 y que pasa por el punto de intersección
de las rectas 2x+y-8=0 y 3x-2y+9=0.
Rta: 4x+y-10=0
21. Dado el triángulo cuyos vértices son A(-2,1), B(4,7) y C(6,-3):
a. Halle las ecuaciones de sus lados. Rta: x-y+3=0, 5x+y-27=0, x+2y=0
b. Halle la ecuación de la recta que pasa por el vértice A y es paralela al lado
opuesto BC. Rta: 5x+y+9=0
22. Las coordenadas de un punto P son (2,6) y la ecuación de una recta l es 4x+3y=12. Halle
la distancia del punto P a la recta l.
Rta: 14/5
23. El punto P de ordenada 10 está sobre la recta cuya pendiente es 3 y que pasa por el
punto A(7,-2). Calcule la abscisa de P. Rta: 11
24. Determine el valor de los coeficientes A y B de la ecuación Ax-By+4=0 de una recta, si
debe pasar por los puntos C(-3,1) y D(1,6).
Rta: A=20/19, B=16/19
25. Halle la ecuación de la recta, que es perpendicular a la recta 3x-4y+11=0 y pasa por el
punto (-1,-3).
Rta: 4x+3y+13=0
26. Halle el valor de k para que la recta kx+(k-1)y-18=0 sea paralela a la recta 4x+3y+7=0.
Rta: 4
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27. En las ecuaciones ax+(2-b)y-23=0 y (a-1)x+by+15=0 halle los valores de a y b para que
representen rectas que pasan por el punto (2,-3).
Rta: a=4, b=7
41
28. Halle la distancia de la recta 4x-5y+10=0 al punto P(2,-3). Rta: 33
41
29. Halle la distancia comprendida entre las rectas paralelas 3x-4y+8=0 y 6x-8y+9=0.
7
Rta: 10
30. Halle la posición relativa de las rectas 72x-123y+235=0, 32y+54x-43=0.
Rta: secantes
31. Una recta pasa por los puntos M(x,3) y N(7,-1). Si su pendiente es –4/5, determine el
valor de “x”.
Rta: 2
32. Se tiene el triángulo formado por los puntos A(1,6), B(-5,-2) y C(8,1). Determine:
a. Su perímetro.
b. Su área.
Rta: 10 + 178 + 73
Rta: 43
33. Una recta tiene inclinación 2π
y pasa por el punto A(2,1). Otra recta tiene inclinación 6π y
3
pasa por el punto B(-2,-3). Determine el punto común a ambas.
34. Se dan los puntos A(2,1), B(-2,3) y C(-4,-1). Halle la ecuación de la recta que pasa por el
punto medio de AB y es perpendicular a la que pasa por B y C.
35. Dado el triángulo cuyos vértices son A(-2,1), B(4,7) y C(6,-3):
a. Halle las ecuaciones de sus lados. Rta: x-y+3=0, 5x+y-27=0, x+2y=0
b. Halle la ecuación de la recta que pasa por el vértice A y es paralela al lado opuesto
BC.
c.
Rta: 5x+y+9=0
Halle las ecuaciones de las medianas y las coordenadas de su punto de intersección.
Rta: (8/3,5/3)
d. Halle las ecuaciones de las mediatrices de los lados y las coordenadas de su punto de
intersección. Rta: (10/3,5/3)
e. Halle las ecuaciones de las alturas y su punto de intersección. Rta: (4/3,5/3)
36. Los vértices de un triángulo son (1,1), (4,7) y (6,3). Demuestre que el baricentro, el
circuncentro y el ortocentro son colineales.
37. Halle la ecuación de la bisectriz del ángulo agudo formado por las rectas de ecuaciones
dadas por x-2y-4=0 y 4x-y-4=0.
Rta: ( 17 + 4 5)x − (2 17 + 5)y − 4 17 − 4 5 = 0
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1. Los extremos de un diámetro de una circunferencia son los puntos A(2,3) y B(-4,5). Halle
la ecuación de la curva. Rta. (x + 1)2 + (y − 4)2 = 10
2. Halle la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C(7,-6) y que pasa por el
punto A(2,2).
Rta: (x − 7)2 + (y + 6)2 = 89
3. Halle la ecuación de la circunferencia de centro C(2,-4) y que es tangente al eje Y.
Rta.
(x − 2) + (y + 4) = 4
2
2
4. La ecuación de una circunferencia es (x − 3)2 + (y + 4)2 = 36 . Demuestre que el punto
A(2,-5) es interior a la circunferencia y que el punto B(-4,1) es exterior.
5. Halle la ecuación de la circunferencia de radio 5 y cuyo centro es el punto de intersección
de las rectas 3x-2y-24=0, 2x+7y+9=0. Rta. (x − 6)2 + (y + 3)2 = 25
6. La ecuación de una circunferencia es (x + 2)2 + (y − 3)2 = 5 . Halle la ecuación de la
tangente a la circunferencia que pasa por el punto (3,3). Rta. x+2y-9=0, x-2y+3=0.
7. Halle la longitud de la circunferencia cuya ecuación es 25x2 + 25y2 + 30x − 20y − 62 = 0 .
Rta. 2 3π
8. Demuestre que las circunferencias x + y + 4x + 6y − 23 = 0 y x + y − 8x − 10y + 25 = 0
2
2
2
2
son tangentes.
9. Una circunferencia de radio 5 pasa por los puntos (0,2) y (7,3). Halle su ecuación. Rta.
(x − 4)2 + (y + 1)2 = 25 , (x − 3)2 + (y − 6)2 = 25
10. Determine el valor de la constante k para que la recta 2x+3y+k=0 sea tangente a la
circunferencia x2 + y2 + 6x + 4y = 0 . Rta. k= -1, 25
11. Determine las ecuaciones de las rectas tangentes a x2 + y2 = 25 que pasan por el punto
(7,-1).
12. Halle la ecuación y la excentricidad de la elipse que tiene su centro en el origen, uno de
sus vértices en el punto (0,-7) y pasa por el punto ( 5, 14
).
3
Rta.
x2
9
+
y2
49
= 1,
e=
2 10
7
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13. Halle la ecuación de la elipse cuyos vértices son los puntos (4,0),(-4,0) y cuyos focos son
los puntos (3,0), (-3,0).
x2
16
Rta.
+
y2
7
=1
14. Los vértices de una elipse son los puntos (1,1) y (7,1) y su excentricidad es 1/3. Halle la
ecuación de la elipse, las coordenadas de sus focos y las longitudes de sus ejes mayor y
(x − 4)2
9
menor y de cada lado recto. Rta.
+
(y −1)2
8
= 1 ; focos (5,1) , (3,1); 6, 4 2 , 16/3.
15. El centro de una elipse es el punto (-2,-1) y uno de sus vértices es el punto (3,-1). Si la
longitud de cada lado recto es 4, halle la ecuación de la elipse, su excentricidad y las
coordenadas de sus focos.
Rta.
16. Halle
las
(x + 2)2
25
+
(y +1)2
10
= 1,
ecuaciones
2x + 3y + x − y − 5 = 0 .
2
2
de
e=
15
5
, fo cos (−2 + 15, −1),(−2 − 15, −1)
las
tangentes
trazadas
del
punto
(3,-1)
a
la
elipse
Rta. x + y − 2 = 0, 9x − 191y − 218 = 0
17. Determine la ecuación de la elipse que tiene centro en (4,-1), uno de los focos está en
(1,-1) y pasa por (8,0). Rta.
(x − 4)2
18
+
(y +1)2
9
=1
18. La ecuación de una familia de elipses es 4x2 + 9y2 + ax + by − 11 = 0. Halle la ecuación del
elemento de la familia que pasa por los puntos (2,3) y (5,1).
Rta. 4x2 + 9y2 − 16x − 18y − 11 = 0 .
19. La ecuación de una familia de elipses es kx2 + 4y2 + 6x − 8y − 5 = 0. Halle las ecuaciones
de aquellos elementos de la familia que tienen una excentricidad igual a 21 .
Rta. 3x2 + 4y2 + 6x − 8y − 5 = 0;
16x2 + 12y2 + 18x − 24y − 15 = 0
20. Los vértices de una hipérbola son (0,4) y (0,-4) y su excentricidad es igual a 3/2. Halle la
ecuación de la hipérbola y las coordenadas de sus focos. Rta.
y2
16
−
x2
20
=1
focos (0,6),
(0,-6)
21. Si k es un número cualquiera diferente de cero, demuestre que la ecuación 3x2 − 3y2 = k
representa una familia de hipérbolas de excentricidad igual a
2.
22. Halle y trace las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola 4x2 − 5y2 = 7 .
Rta. 2x − 5y = 0 ,
2x + 5y = 0 .
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23. Halle los puntos de intersección de la recta 2x − 9y + 12 = 0 con las asíntotas de la
hipérbola 4x2 − 9y2 = 11. Rta. (3,2)
(− 32 ,1)
24. Halle las coordenadas de los vértices y focos, y la excentricidad de la hipérbola que es
conjugada a la que tiene por ecuación 9x2 − 4y2 = 36 .
Rta. Vértices (0,3), (0,-3); focos (0, 13 ), (0, − 13 ), e = 13 3
25. El centro de una hipérbola es el punto (4,5) y uno de sus focos es (8,5). Si la
excentricidad de la hipérbola es 2, halle su ecuación.
26. Demuestre que la elipse x2 + 3y2 = 6 y la hipérbola x2 − 3y2 = 3 tienen los mismos focos.
27. Determine todos los elementos de las siguientes hipérbolas y construya su gráfica:
a.
4x2 − 9y2 + 32x + 36y + 64 = 0
b.
x2 − 4y2 − 2x + 1 = 0
c.
9x2 − 4y2 + 54x + 16y + 29 = 0
d.
3x2 − y2 + 30x + 78 = 0
28. Halle la ecuación de la parábola de vértice en el origen y directriz la recta y − 5 = 0 . Rta.
x2 = −20y
29. Halle la ecuación de la parábola cuyos vértices y focos son los puntos (−4, 3) y (−1,3) ,
respectivamente y la ecuación de su directriz.
Rta. (y − 3)2 = 12(x + 4) ;
x = −7
30. Determine todos los elementos de las siguientes parábolas y construya su gráfica:
a. 4y2 − 48x − 20y − 71 = 0
b. 9x2 + 24x + 72y + 16 = 0
4x2 + 48y + 12x − 159 = 0
c.
31. La ecuación de una familia de parábolas es y = ax2 + bx . Halle la ecuación del elemento
de la familia que pasa por los dos puntos (2, 8) y (−1,5) . Rta. y = 3x2 − 2x
32. Halle
la
distancia
entre
el
25x + 9y − 150x + 54y + 81 = 0
2
2
centro
y
el
3x + 3y + 12x + 4 3y + 12 = 0 . Rta. 5.32
2
2
de
centro
la
elipse
de
la
que
tiene
circunferencia
por
ecuación
de
ecuación
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33. Diga si x2 − y2 = 4 y x2 + 9y2 = 9 son cónicas homofocales (tienen focos iguales). Rta. Si
34. Encuentre la ecuación de la hipérbola cuyos focos están en los vértices de la elipse
7x2 + 11y2 = 77 y cuyos vértices son los focos de dicha elipse. Rta. 7x2 − 4y2 = 28
35. Dibuje la región limitada por las curvas indicadas:
35.1.
y = x2 − 4 , y = x + 2.
35.2.
x = y2 , x = −2y2 + 3.
35.3.
y = x + 1 , y = −x + 1 , y = 2x − 4.
35.4.
y = −2x2 + 8x − 7 , y = x − 4.
35.5.
y = 4 − x2 , y = −x + 2 , x = −2 , x = 3.
35.6.
x = 16 − y2 , x2 = 6 y .
35.7.
x = (y + 1)2 − 1 , x = 1 − y + 1 .
35.8.
x2 16 + y2 9 = 1 , x2 + y2 = 1.
35.9.
y = x − 1 + 3 , y = 4(x − 1)2.
35.10. y = x2 , y = 8 − x2 , 4x − y + 12 = 0.
35.11. 2y2 = x + 4 , x = y2.
35.12. y − x = 6 , y = x3 , 2y + x = 0.
35.13. y =
(x − 2)2
2
2
−1 ; y = x +
; x=4
9
5
5
35.14. y =
x2
x
− 2x + 1 ; y = + 1 ; y = −x + 5
2
3
35.15. y = 2(x − 2)2 , y = 2x
35.16. 4x = y2 , 4(8 − x) = y2
35.17. y = x + 5 + 3 , y = 0 , x = −8 , x = −3
35.18. y ≤ 1 + x
;
x+y ≥1
;
(x − 1)2 + (y − 1)2 ≤ 1
35.19. y − x = 6 ; y = x3 ; 2y + x = 0
35.20. Primer cuadrante ; x2 + y2 ≤ 3 ; x2 ≤ 2y ; y2 ≤ 2x
35.21. x = −1 − y ; x =
35.22. x =
−y
;
x = 1+
1 − (y − 1)2
1 − y2
; y=
;
x
+2 ; y = 0
2
y=x
U.C.V.
F.I.U.C.V.
SECCIONES CÓNICAS
Números Reales y
Geometría Analítica
Pág.: 5 de 5
CÁLCULO I (0251) - TEMA 1
Prof.
José Luis Quintero
36. Dibuje las siguientes curvas:
(x − 2)2 + (y − 1)2 = 4 1 ≤ y ≤ 3
y = 12 (x + 2)
0 ≤ y ≤1
36.1.
x2
+ y2 = 1
−1 ≤ y ≤ 0
4
y = 12 (x − 2)
0≤ y ≤1
36.2.
36.3.
36.4.
36.5.
a.
2
2
2≤x≤4
x −y = 4
−2 ≤ x ≤ 4
y −2 3 = 0
y2
−2 3 ≤ y ≤ 2 3
x = −2 + 4 −
3
x2 + y2 = 16y − 60
8 ≤ y ≤ 10
2x
=
y
−
4
0≤y≤8
y + 4 = x2
−4 ≤ y ≤ 0
2
2
16(x + 2) + (y − 4) = 16 −2 ≤ x ≤ −1
2
2
2≤x≤4
x −y = 4
−2 ≤ x ≤ 4
y −2 3 = 0
y2
−2 3 ≤ y ≤ 2 3
x = −2 + 4 −
3
x + y =1
36.6.
y = 1 − x2
0≤ x ≤1
x=0
−1 ≤ y ≤ 1
y − x + 1 = 0 0 < x ≤ 1
36.7.
y = x2
0≤x≤3
2
2
(y − 2)
(x − 3)
+
= 1 0 ≤ x ≤ 3, y ≥ 2
9
49
x2 + (y − 1)2 = 1
−1 ≤ x ≤ 0
