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Cálculo I Parcial 1 Guía 2 Profesor Juan Emilio Navarro G.
GUÍA Nº2
FUNCIÓN DE LA LINEAL RECTA (FUNCIÓN AFÍN)
Razón de cambio
Consideremos una función 𝑓: 𝐼𝑅 → 𝐼𝑅, definida en un cierto intervalo abierto
(𝑎, 𝑏) ⊆ 𝐼𝑅 y tal que, para cada 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏) los valores 𝑓(𝑥) ∈ 𝐼𝑅.
Sean 𝑥1 , 𝑥2 (𝑥1 ≠ 𝑥2 ) valores en (𝑎, 𝑏) y sean 𝑓(𝑥1 ) y 𝑓(𝑥2 ) los valores que toma
la función 𝑓 en 𝑥1 𝑦 𝑥2 respectivamente.
Por numerosas razones, en el estudio de las funciones reales, es importante comparar
los valores 𝑦1 = 𝑓(𝑥1 ), e 𝑦2 = 𝑓(𝑥2 ) del recorrido de la función con los valores 𝑥1
y 𝑥2 del dominio de la función.
En tal sentido, consideremos las diferencias en la pre imagen
𝑥2 − 𝑥1 (1)
Lo cual nos induce a observar la diferencia en la imagen en ese orden dado
𝑦2 − 𝑦1 = 𝑓(𝑥2 ) − 𝑓(𝑥1 ) (2)
Y vamos a estudiarlas y comparar sus signos.
Tanto (1) como (2) pueden ser positivas o
negativas, y además (2) puede ser nula. Tales
diferencias las denominamos incrementos o
variaciones y las denotamos usando la letra
delta Δ y escribimos
Δ𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1 (1)
Y
Δ𝑦 = 𝑦2 − 𝑦1 = Δ𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥2 ) − 𝑓(𝑥1 ) (2)
y2
𝑦2 − 𝑦1
y1
x2-x1
x1
x2
Notemos que en las expresiones Δ𝑥, Δ𝑓(𝑥), y Δ𝑦 no intervienen los subíndices 1 y 2
de los valores considerados sin embargo están en el mismo orden, decimos entonces
que Δ es el símbolo de ‘diferencia en’.
Decimos que:
a.
La función 𝑓 es creciente en (𝑎, 𝑏), si cualquiera que sean 𝑥1 , 𝑥2 ∈ (𝑎, 𝑏), tales
que 𝑥1 < 𝑥2 (Δ𝑥 > 0) entonces 𝑓(𝑥1 ) < 𝑓(𝑥2 ) (Δ𝑓(𝑥) > 0).
(Si aumenta el argumento de la función entonces aumenta el valor de la
función)
b.
La función 𝑓 es decreciente en (𝑎, 𝑏), si cualquiera que sean 𝑥1 , 𝑥2 ∈ (𝑎, 𝑏),
(Δ𝑥 > 0), entonces 𝑓(𝑥1 ) > 𝑓(𝑥2 ) (Δ𝑓(𝑥) < 0).
tales que 𝑥1 < 𝑥2
(Si aumenta el argumento de la función entonces disminuye el valor de la
función)
1
Cálculo I Parcial 1 Guía 2 Profesor Juan Emilio Navarro G.
c.
La función 𝑓 es constante en (𝑎, 𝑏), si cualquiera que sean 𝑥1 , 𝑥2 ∈ (𝑎, 𝑏),
tales que 𝑥1 < 𝑥2 (Δ𝑥 > 0), entonces 𝑓(𝑥1 ) = 𝑓(𝑥2 ) (Δ𝑓(𝑥) = 0).
(Si aumenta el argumento de la función entonces el valor de la función se
mantiene)
d.
La función 𝑓 es no decreciente en (𝑎, 𝑏), si cualquiera que sean 𝑥1 , 𝑥2 ∈ (𝑎, 𝑏),
(Δ𝑓(𝑥) ≥ 0).
tales que 𝑥1 < 𝑥2 (Δ𝑥 > 0), entonces 𝑓(𝑥1 ) ≤ 𝑓(𝑥2 )
(No decreciente implica creciente o constante)
e.
La función 𝑓 es no creciente en (𝑎, 𝑏), si cualquiera que sean 𝑥1 , 𝑥2 ∈ (𝑎, 𝑏),
tales que 𝑥1 < 𝑥2 (Δ𝑥 > 0), entonces 𝑓(𝑥1 ) ≥ 𝑓(𝑥2 ) (Δ𝑓(𝑥) ≤ 0).
(No creciente implica decreciente o constante)
Nota
Es conveniente observar que hemos expuesto los conceptos de funciones crecientes,
decrecientes y constantes, así como las nociones de funciones no decrecientes y no
crecientes. Observemos que mediante la comparación de los signos de las diferencias
de los valores de las variables y los de la función podemos determinar dichas
propiedades.
Entonces al cociente entre la variación de la función y la de su argumento
Δ𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥2 ) − 𝑓(𝑥1 )
𝑡=
=
Δx
𝑥2 − 𝑥1
lo denominaremos tasa media de variacion o razon de cambio o ritmo de cambio de
la funcion 𝑓 entre los valores 𝑥1 y 𝑥2 con 𝑥1 ≠ 𝑥2
Luego decimos que:
a.
La función 𝑓 es creciente en (𝑎, 𝑏),
tenemos que 𝑡 > 0.
si cualquiera que sean 𝑥1 , 𝑥2 ∈ (𝑎, 𝑏),
b.
La función 𝑓 es decreciente en (𝑎, 𝑏), si cualquiera que sean 𝑥1 , 𝑥2 ∈ (𝑎, 𝑏),
tenemos que 𝑡 < 0.
c.
La función 𝑓 es constante en (𝑎, 𝑏),
tenemos que 𝑡 = 0.
d.
La función 𝑓 es no decreciente en (𝑎, 𝑏),
(𝑎, 𝑏), tenemos que 𝑡 ≥ 0.
e.
La función 𝑓 es no creciente en (𝑎, 𝑏), si cualquiera que sean 𝑥1 , 𝑥2 ∈ (𝑎, 𝑏),
tenemos que 𝑡 ≤ 0.
si cualquiera que sean 𝑥1 , 𝑥2 ∈ (𝑎, 𝑏),
si cualquiera que sean 𝑥1 , 𝑥2 ∈
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Cálculo I Parcial 1 Guía 2 Profesor Juan Emilio Navarro G.
Ejemplo:
1. Dada la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 , pruebe que es creciente en los reales positivos.
Sean 𝑥1 ; 𝑥2 > 0 y 𝑥1 < 𝑥2
Observemos el ritmo de cambio
𝑡=
𝑓(𝑥2 ) − 𝑓(𝑥1 )
𝑥2 − 𝑥1
Como 𝑓(𝑥1 ) = (𝑥1 )2 = 𝑥12 y 𝑓(𝑥2 ) = (𝑥2 )2 = 𝑥22
Sustituyendo tenemos
𝑡=
𝑥22 − 𝑥12
𝑥2 − 𝑥1
Por suma por su diferencia en el numerador miramos
(𝑥2 + 𝑥1 )(𝑥2 − 𝑥1 )
𝑡=
𝑥2 − 𝑥1
Simplificando en la fracción por (𝑥2 − 𝑥1 ), obtenemos
𝑡 = (𝑥2 + 𝑥1 )
Y como 𝑥1 ; 𝑥2 > 0 concluimos que 𝑡 = (𝑥2 + 𝑥1 ) > 0
Es decir la función en ese intervalo es creciente.
2. Dada la función 𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 2, determine su monotonía.
Sean 𝑥1 ; 𝑥2 ∈ 𝐼𝑅 con 𝑥1 < 𝑥2
Observemos el ritmo de cambio
𝑓(𝑥2 ) − 𝑓(𝑥1 )
𝑥2 − 𝑥1
Como 𝑓(𝑥1 ) = −2𝑥1 + 2 y 𝑓(𝑥2 ) = −2𝑥2 + 2
𝑡=
Sustituyendo tenemos
𝑡=
(−2𝑥2 + 2) − (−2𝑥1 + 2)
𝑥2 − 𝑥1
Abriendo los paréntesis y agrupando términos semejantes obtenemos
(−2(𝑥2 − 𝑥1 ))
𝑡=
𝑥2 − 𝑥1
Simplificando en la fracción por (𝑥2 − 𝑥1 ), obtenemos
𝑡 = −2 para todo 𝑥 real.
Con lo que concluimos que nuestra función es monótona decreciente en los reales.
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Cálculo I Parcial 1 Guía 2 Profesor Juan Emilio Navarro G.
Línea recta.
Dados dos puntos 𝑃 y 𝑄 distinto en el plano de coordenadas 𝑃(𝑥1 , 𝑦1 ) y 𝑄(𝑥2 , 𝑦2 ),
sabemos que pasa una recta 𝐿.
Y
La recta tiene un ángulo de
inclinación 𝛼 que se mueve a partir
del eje de las abscisas en sentido anti
horario, el cual se mide a partir del
horizonte hasta antes de cerrar el
horizonte es decir 0° ≤ 𝛼 < 180° .
L
R
y
p
y1

A
x2 – x1
y– y1

y2 – y1
Q
y2
Dado un punto 𝑅 genérico de la recta
distinto del punto 𝑃 de coordenadas
𝑅(𝑥, 𝑦).
B

x1
x2
x
X
x – x1
Por semejanza de los triángulos
∆𝑃𝑄𝐴~∆𝑃𝑅𝐵 tenemos la siguiente
relación
𝛼
𝛼𝑐
𝑦 − 𝑦1 𝑥 − 𝑥1
𝑦2 − 𝑦1 𝑥2 − 𝑥1
Obteniéndose las siguiente proporción directa
𝑦 − 𝑦1
𝑥 − 𝑥1
=
=𝑡
𝑦2 − 𝑦1 𝑥2 − 𝑥1
Siendo 𝑡 un parámetro de proporcionalidad; o bien
𝑦2 − 𝑦1
𝑦 − 𝑦1
=
=𝑚
𝑥2 − 𝑥1 𝑥2 − 𝑥1
Siendo 𝑚, la razón de cambio o tasa de variación una constate de proporcionalidad.
Pendiente (𝒎) (tasa de variación)
La razón de cambio que es una constante de proporcionalidad geométricamente se
relaciona con el grado de inclinación que tiene la recta respecto del eje de las
abscisas (𝑒𝑗𝑒 𝑋), mediante la siguiente relación trigonométrica.
𝑚 = 𝑡𝑔(𝛼)
Fórmula de la pendiente:
𝑚=
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
Si 𝑚 > 0, el ángulo de inclinación es agudo
(𝟎𝟎 < 𝛼 < 𝟗𝟎𝟎 ) y la Recta es creciente.
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Si 𝑚 < 0, el ángulo de inclinación es obtuso
(𝟗𝟎𝟎 < 𝛼 < 𝟏𝟖𝟎𝟎 ) y la recta es decreciente.
Si 𝒎 = 𝟎, el ángulo de inclinación es nulo (𝜶 = 𝟎𝟎 )y
la recta es paralela al eje de las abscisas.
Si 𝒎 se indetermina, el ángulo de inclinación es recto(𝜶 = 𝟗𝟎𝟎 ) y la
recta es paralela al eje de las ordenadas.
Ecuación de la recta dado dos puntos
Dada una recta que pasa por 𝑃(𝑥1 , 𝑦1 ) y 𝑄(𝑥2 , 𝑦2 ), su ecuación se puede determinar
con la fórmula punto – punto:
𝑦2 − 𝑦1 𝑦 − 𝑦1
=
𝑥2 − 𝑥1 𝑥 − 𝑥1
O bien
𝑦2 − 𝑦1
(𝑥 − 𝑥1 )
𝑦 − 𝑦1 =
𝑥2 − 𝑥1
También se puede calcular primero la pendiente, usando la fórmula de la pendiente y
luego usar la fórmula punto pendiente con cualquiera de los dos puntos.
Ecuación de la recta dado un punto y la pendiente
Dada la recta que pasa por (𝑥1 , 𝑦1 )con pendiente 𝑚, su ecuación se puede determinar
con la fórmula punto-pendiente.
𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎(𝒙 − 𝒙𝟏 )
Ecuación de la recta dada la pendiente y el coeficiente de posición
o ecuación principal de la recta.
Dada la recta que corta el je de las ordenadas en el punto (0, 𝑛) con pendiente 𝑚, su
ecuación se puede determinar con la fórmula pendiente-coeficiente de posición.
𝒚 = 𝒎𝒙+𝒏
(𝒇(𝒙) = 𝒎 𝒙 + 𝒏 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏)
Coeficiente de posición
.
Si 𝑛 > 0 entonces corta el eje de las
ordenadas sobre el eje de las abscisas.
.
n
Si 𝑛 < 0 entonces corta el eje de las
ordenadas bajo el eje de las abscisas.
n
Si 𝑛 = 0 entonces corta el eje de las
ordenadas en el origen del sistema.
.
n
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Cálculo I Parcial 1 Guía 2 Profesor Juan Emilio Navarro G.
Ecuación de la recta dados los segmentos (ecuación normal de la recta)
Dada la recta que pasa por el punto (0, 𝑛) y el
punto (ñ, 0), su ecuación se puede determinar con
la fórmula:
𝑥 𝑦
+ =1
ñ 𝑛
Y
(ñ, 0)
X
(0, 𝑛)
Ecuación paramétrica de la recta
De la razón
Obtenemos
𝑥 − 𝑥1
𝑦 − 𝑦1
=
=𝑡.
𝑥2 − 𝑥1 𝑦2 − 𝑦1
{
𝑥 − 𝑥1 = 𝑡(𝑥2 − 𝑥1 )
𝑦 − 𝑦1 = 𝑡(𝑦2 − 𝑦1 )
Es decir para todo t número real tenemos
{
𝑥 = (𝑥2 − 𝑥1 )𝑡 + 𝑥1
𝑦 = (𝑦2 − 𝑦1 )𝑡 + 𝑦1
Ecuación general de la recta
La ecuación general de la recta esta dada por
𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄 = 𝟎
Con 𝒂, 𝒃, 𝒄 coeficientes reales, y (𝒂, 𝒃) ≠ (𝟎, 𝟎)
Puntos de intersección de una recta con los ejes coordenados
Y
Según la gráfica que se muestra a
continuación, los puntos donde la recta 𝑳 corta
al eje 𝒙 son de la forma (𝒙, 𝟎) y donde corta al
(0, y)
eje 𝒚, de la forma (𝟎, 𝒚).
L

(x,0)
X
Siendo:
𝒙 - cero de la función (punto en el cual la recta corta el eje da las abscisas).
6
Cálculo I Parcial 1 Guía 2 Profesor Juan Emilio Navarro G.
𝒚 - coeficiente de posición (punto donde la recta corta el eje de las ordenadas).
Ejemplo:
Hallar la intersección de la recta 𝟐𝒙 – 𝟑𝒚 = 𝟏𝟐 con los ejes coordenados:
Y
Intersección con el eje 𝒙: se hace 𝒚 = 𝟎
Resulta: 𝟐𝒙 = 𝟏𝟐 de donde: 𝒙 = 𝟔
La recta corta al eje 𝒙 en el punto (𝟔, 𝟎).
Intersección con el eje 𝒚: se hace 𝒙 = 𝟎
Resulta: −𝟑𝒚 = 𝟏𝟐 de donde: 𝒚 = −𝟒
La recta corta al eje 𝒚 en el punto (𝟎, −𝟒).
6
X
-4
Otra forma: Si la recta 𝟐𝒙 – 𝟑𝒚 = 𝟏𝟐 la escribimos en la forma principal, obtenemos:
𝒚 =
2
𝒙 − 𝟒
3
Viendo el coeficiente de posición, se determina que la recta corta al eje 𝒚 en el punto
(𝟎, −𝟒).
Relación entres la ecuación general y principal de la recta
Dada la ecuación general de la recta
𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄 = 𝟎
Nos interesa aislar la variable 𝑦, para esto procedemos restando 𝒂𝒙 + 𝒄 en la ecuación,
obteniendo
𝒃𝒚 = −𝒂𝒙 − 𝒄
Si el coeficiente 𝑏 ≠ 0, entonces dividimos por 𝑏 en la ecuación, teniendo
𝒂
𝒄
𝒚=− 𝒙−
𝒃
𝒃
Que es la ecuación principal de la recta o ecuación de la recta dada la pendiente y el
coeficiente de posición
𝒚 = 𝒎𝒙+𝒏
Con lo cual tenemos que la pendiente es
𝒂
𝒎=−
𝒃
Y el coeficiente de posición es
𝒄
𝒏=−
𝒃
Recordemos respecto de la pendiente:

Función constante: si 𝜶 = 𝟎𝟎 ⟺ 𝒎 = 𝟎
Lo que nos indica que desde la ecuación general de la recta es
equivalente a decir que el coeficiente 𝒂 = 𝟎 y el coeficiente 𝒃 ≠ 𝟎,
entonces:
7
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o La ecuación general es
+𝒃𝒚 + 𝒄 = 𝟎
o La ecuación principal es
𝒚=−

𝒄
𝒃
Función creciente : si 𝟎𝟎 < 𝜶 < 𝟗𝟎𝟎 ⟺ 𝒎 > 𝟎
Lo que nos indica que desde la ecuación general de la recta es
equivalente a decir que los coeficientes 𝒂 y 𝒃 tienen distinto signo,
entonces:
o La ecuación general es
−|𝒃|𝒚 + |𝒂|𝒙 + 𝒄 = 𝟎
O
+|𝒃|𝒚 − |𝒂|𝒙 + 𝒄 = 𝟎
o La ecuación principal es
O

𝒂
𝒄
𝒚 = | |𝒙 +
|𝒃|
𝒃
𝒂
𝒄
𝒚 = | |𝒙 −
|𝒃|
𝒃
No hay función: si 𝜶 = 𝟗𝟎𝟎 ⟺ 𝒎 se indetermina.
Lo que nos indica que desde la ecuación general de la recta es
equivalente a decir que el coeficiente 𝒂 ≠ 𝟎 y el coeficiente 𝒃 = 𝟎,
entonces:
o La ecuación general es
+𝒂𝒙 + 𝒄 = 𝟎
o La ecuación principal no hay su equivalente es
𝒄
𝒙=−
𝒂

Función decreciente : si 𝟗𝟎𝟎 < 𝜶 < 𝟏𝟖𝟎𝟎 ⟺ 𝒎 < 𝟎
Lo que nos indica que desde la ecuación general de la recta es
equivalente a decir que los coeficientes 𝒂 y 𝒃 tienen igual signo,
entonces:
o La ecuación general es
+|𝒃|𝒚 + |𝒂|𝒙 + 𝒄 = 𝟎
O
−|𝒃|𝒚 − |𝒂|𝒙 + 𝒄 = 𝟎
o La ecuación principal es
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Cálculo I Parcial 1 Guía 2 Profesor Juan Emilio Navarro G.
𝒂
𝒄
𝒚 = −| |𝒙 −
|𝒃|
𝒃
O
𝒂
𝒄
𝒚 = −| |𝒙 +
|𝒃|
𝒃
Recordemos respecto del corte con los ejes:
 Corte con el eje de las ordenadas:
𝐸𝑗𝑒 𝑂𝑌: Coeficiente de posición:
𝑛=−
o Si 𝑏 ≠ 0:

𝑐
𝑏
Corta el eje de las ordenadas sobre el eje de las abscisas: si 𝑛 >
0.
Desde el punto de vista de la ecuación general tenemos que los
coeficientes 𝑐 y 𝑏 tienen distinto signo.

Corta el eje de las ordenadas en el origen del sistema:
si 𝑛 = 0.
Desde el punto de vista de la ecuación general tenemos que el
coeficiente 𝑐 = 0 y el coeficiente 𝑏 ≠ 0.

Corta el eje de las ordenadas bajo el eje de las abscisas:
si 𝑛 < 0.
Desde el punto de vista de la ecuación general tenemos que los
coeficientes 𝑐 y 𝑏 tienen igual signo.
o Si 𝑏 = 0:

El coeficiente de posición se indetermina.

Desde el punto de vista de la ecuación general tenemos
que si el coeficiente 𝑐 ∈ 𝐼𝑅 − {0} y el coeficiente 𝑏 = 0,
entonces no hay coeficiente de posición.


Desde el punto de vista de la ecuación general tenemos
que si el coeficiente 𝑐 = 0 y el coeficiente 𝑏 = 0,
entonces no hay función pero hay infinitos coeficientes
de posición.
Corte con el eje de la abscisas
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Cálculo I Parcial 1 Guía 2 Profesor Juan Emilio Navarro G.
𝐸𝑗𝑒 𝑂𝑋: Ceros de la función
ñ=−
o Si 𝑎 ≠ 0:

𝑐
𝑎
Corta el eje de las abscisas a la derecha del eje de las abscisas:
si ñ > 0.
Desde el punto de vista de la ecuación general tenemos que los
coeficientes 𝑐 y 𝑎 tienen distinto signo.

Corta el eje de las abscisas en el origen del sistema:
si ñ = 0.
Desde el punto de viste de la ecuación general tenemos que el
coeficiente 𝑐 = 0 y el coeficiente 𝑎 ≠ 0.

Corta el eje de las abscisas a la izquierda del eje de las abscisas:
si ñ < 0.
Desde el punto de vista de la ecuación general tenemos que los
coeficientes 𝑐 y 𝑎 tienen igual signo.
o Si 𝑎 = 0:
El cero de la función se indetermina

Desde el punto de vista de la ecuación general tenemos
que si el coeficiente 𝑐 ∈ 𝐼𝑅 − {0} y el coeficiente 𝑎 = 0,
entonces no hay ceros de la función.

Desde el punto de vista de la ecuación general tenemos
que si el coeficiente 𝑐 = 0 y el coeficiente 𝑎 = 0,
entonces hay infinitos ceros de la función.
Distancia entre dos puntos
Dados dos puntos 𝑃1 = (𝑥1 , 𝑦1 ) y
𝑃2 = (𝑥2 , 𝑦2 ), la distancia
̅̅̅̅̅̅
𝑑 = |𝑃
1 𝑃2 | entre ellos se calcula recurriendo
a Pitágoras de la siguiente forma
Y
P2
y2
y2 – y1

P1
y1
x2 – x1
𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2
x1
x2
X
Nota
Y
y1
P2
P1
y2 – y1
y2
x2 – x1=0
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Cálculo I Parcial 1 Guía 2 Profesor Juan Emilio Navarro G.
Dados dos puntos paralelo al eje de las
ordenadas 𝑃1 = (𝑥1 , 𝑦1 ) y
𝑃2 = (𝑥2 , 𝑦2 ), con 𝑥1 = 𝑥2 la distancia
̅̅̅̅̅̅
𝑑 = |𝑃
1 𝑃2 | entre ellos se calcula recurriendo
al concepto de valor absolutos de la siguiente
forma
𝑑 = √(𝑦2 − 𝑦1 )2 + 0 = |𝑦1 − 𝑦2 |
y1= y2
P2
P1
x2 – x1
x1
x2
y2 – y1=0
Y
Dados dos puntos paralelo al eje de las abcisas
𝑃1 = (𝑥1 , 𝑦1 ) y 𝑃2 = (𝑥2 , 𝑦2 ), con 𝑦1 = 𝑦2 la
̅̅̅̅̅̅
distancia 𝑑 = |𝑃
1 𝑃2 | entre ellos se calcula
recurriendo al concepto de valor absolutos de la
siguiente forma
X
𝑑 = √0 + (𝑥2 − 𝑥1 )2 = |𝑥2 − 𝑥1 |
Ejemplo:
La distancia entre los puntos 𝑨(−𝟒, 𝟕) y 𝑩(𝟑, −𝟓) es:
̅̅̅̅| = √(𝟑 − (−𝟒))𝟐 + (−𝟓 − 𝟕)𝟐 = √𝟒𝟗 + 𝟏𝟒𝟒 = √𝟏𝟗𝟑
|𝑨𝑩
Punto medio entre dos puntos en la recta
Dados dos puntos sobre una recta de coordenadas 𝑃1 = (𝑥1 ) y 𝑃2 = (𝑥2 )
𝑥𝑚
𝑥1
d
𝑥2
d
El punto medio entre dos puntos en una recta es aquel punto que encuentra a igual
distancio de ambos puntos sobre la recta
Sea 𝑥𝑚 el punto medio, es decir existe la distancia 𝑑 > 0 de modo que
𝑥𝑚 = 𝑥1 + 𝑑
Y
𝑥𝑚 = 𝑥2 − 𝑑
Por lo anterior tenemos que
𝑥1 + 𝑑 = 𝑥2 + 𝑑
Aislando la distancia
2𝑑 = 𝑥2 − 𝑥1
Obtenemos que la distancia está dada por
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Cálculo I Parcial 1 Guía 2 Profesor Juan Emilio Navarro G.
𝑑=
𝑥2 − 𝑥1
2
Luego el punto medio nos queda
𝑥𝑚 = 𝑥1 +
𝑥2 − 𝑥1
2
Con lo cual obtenemos que el punto medio del segmento ̅̅̅̅̅̅
𝑃1 𝑃2 se calcula promediando
sus coordenadas, es decir:
𝑥1 + 𝑥2
𝑥𝑚 =
2
Punto medio entre dos puntos en el plano
Y
Dados dos puntos 𝑃1 = (𝑥1 , 𝑦1 ) y 𝑃2 =
(𝑥2 , 𝑦2 ), el punto medio del segmento
̅̅̅̅̅̅
𝑃1 𝑃2
se calcula promediando sus
coordenadas, es decir:
P2
y2
𝑑̌
𝒚𝒎
𝑑̌
𝑑̂
P1
y1
𝑥1 + 𝑥2 𝑦1 + 𝑦2
𝑀=(
,
)
2
2
𝑑̂
Pm
𝑑
𝑑
x1
𝒙𝒎
Relación entre rectas
x2
X
Dada la recta
𝐿1 : 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1 = 0
𝑎
𝑐
Donde la pendiente de 𝐿1 es 𝑚1 = − 𝑏1 y el coeficiente de posición es 𝑛1 = − 𝑏1
1
Y dada la recta
1
𝐿2 : 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐2 = 0
𝑎
𝑐
Donde la pendiente de 𝐿2 es 𝑚2 = − 𝑏2 y el coeficiente de posición es 𝑛2 = − 𝑏2
2
2
Luego tenemos un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables.
𝐿1 : 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1 = 0
𝐿2 : 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐2 = 0
Situaciones posibles:
Recta secantes:
𝐿2
Y
Si la intercepción nos da un punto es decir
𝐿1 ∩ 𝐿2 = {(𝑥0 , 𝑦𝑜 )}
El sistema tiene solución única.
(𝑥0 , 𝑦0 )
𝛼2
𝛼1
X
𝐿1
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Cálculo I Parcial 1 Guía 2 Profesor Juan Emilio Navarro G.
Criterio: Si solo si
𝑎1 𝑏1
≠
𝑎2 𝑏2
o
𝛼1 ≠ 𝛼2
o
𝑡𝑔(𝛼1 ) ≠ 𝑡𝑔(𝛼2 )
o
𝑚1 ≠ 𝑚2
Rectas paralelas:
Y
Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales.
Criterio: Si solo si
𝛼1
𝑎1 𝑏1
=
𝑎2 𝑏2
𝛼1
𝐿1
o bien
𝐿2
𝛼1 = 𝛼2
es decir
𝑚1 = 𝑚2 = 𝑡𝑔(𝛼)
Y
Rectas paralelas no coincidentes:
𝑛1
Dos rectas son paralelas no coincidentes si
son paralelas y además sus coeficientes de
posición son distintos.
𝑛2
𝛼
𝛼
𝐿1
Criterio: Si solo si
X
𝐿2
𝑎1 𝑏1 𝑐1
=
≠
𝑎2 𝑏2 𝑐2
o bien
𝑚1 = 𝑚2 = 𝑡𝑔(𝛼)
y
𝑛1 ≠ 𝑛2
Y
Rectas paralelas coincidentes:
𝑛1 = 𝑛2
Dos rectas son paralelas coincidentes si
son paralelas y además sus coeficientes de
posición son iguales.
𝛼1 = 𝛼2
𝐿
X
Criterio: Si solo si
13
X
Cálculo I Parcial 1 Guía 2 Profesor Juan Emilio Navarro G.
𝑎1 𝑏1 𝑐1
=
=
𝑎2 𝑏2 𝑐2
o bien
𝑚1 = 𝑚2 = 𝑡𝑔(𝛼)
y
𝑛1 = 𝑛2
Dados los puntos de coordenadas
𝑃(𝑥1 , 𝑦1 ) y 𝑄(𝑥2 , 𝑦2 ) sobre una recta.
Un vector en el plano esta dado por un
segmento de recta orientado ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑄
𝐿
Y
𝑄
y2
y2 – y1
Introducción a los vectores en 𝑰𝑹𝟐
𝑃
y1
x2 – x1
Determinado por las coordenadas
x1
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑄 = (𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 , 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 )
x2
X
Característica
 Todo vector tiene una dirección en el plano, que está dado por la recta por
la cual transita el vector o por una recta paralela.

Todo vector tiene uno de los dos sentidos del movimiento dado sobre la
recta por la cual transita el vector o por una recta paralela.

Todo vector tiene magnitud que está dada por la longitud del segmento.

Al desplazar en forma paralela un vector no cambia ya que mantiene la
dirección y el sentido de movimiento y su vez mantiene la longitud del
segmento.

Si lo centramos en el origen el vector
estaría dado por sus las coordenadas
⃗ = (𝒂, 𝒃)
𝒖
Y
𝑏
𝑢
⃗
𝑎
Propiedades
Y
o Suma de vectores
⃗ = (𝒂, 𝒃) y 𝒗
⃗ = (𝒄, 𝒅) vectores en 𝑰𝑹𝟐
Sean 𝒖
𝑣
⃗ +𝒗
⃗ = (𝒂, 𝒃) + (𝒄, 𝒅)
𝒖
⃗ +𝒗
⃗ = (𝒂 + 𝒄, 𝒃 + 𝒅)
𝒖
𝑢
⃗
𝒃
𝒂
𝑐
𝑢
⃗ +𝑣
𝑐
X
𝒅
𝑏
𝑏+𝑑
X
𝑎+𝑐
o Producto de un vector por un escalar
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Cálculo I Parcial 1 Guía 2 Profesor Juan Emilio Navarro G.
Sea 𝜶 ∈ 𝑰𝑹
⃗ = (𝒂, 𝒃) un vector en 𝑰𝑹𝟐
Sea 𝒖
⃗ = 𝜶 ∙ (𝒂, 𝒃)
𝜶∙𝒖
⃗ = (𝜶 ∙ 𝒂, 𝜶 ∙ 𝒃)
𝜶∙𝒖
Definición
Producto punto de vectores o producto escalar
⃗ = (𝒂, 𝒃) y 𝒗
⃗ = (𝒄, 𝒅) vectores en 𝑰𝑹𝟐
Sean 𝒖
⃗ ∙𝒗
⃗ = (𝒂, 𝒃) ∙ (𝒄, 𝒅)
𝒖
⃗ ∙𝒗
⃗ = 𝒂∙𝒄+𝒃∙𝒅
𝒖
o Vectores perpendiculares u ortogonales
⃗ = (𝒂, 𝒃) y 𝒗
⃗ = (𝒄, 𝒅) vectores en 𝑰𝑹𝟐
Sean 𝒖
⃗ ⊥𝒗
⃗ si y solo si 𝒖
⃗ ∙𝒗
⃗ =𝟎
𝒖
Ecuación paramétrica vectorial de la recta
Esta dada por
(𝑥, 𝑦) = (𝑥2 − 𝑥1 , 𝑦2 − 𝑦1 ) ∙ 𝑡 + (𝑥1 , 𝑦1 )
Vector normal
Un vector normal a la recta es el vector
perpendicular a dicha recta.
Y
𝑐
𝑐
(− , − )
𝑏 𝑎
Sean (𝑎, 𝑏) el vector normal de la recta, (𝑥0 , 𝑦0 )un
punto conocido de la recta, (𝑥, 𝑦) un punto
cualquiera de la recta y (𝑥 − 𝑥0 ; 𝑦 − 𝑦0 )un vector
sobre la recta
𝐿
X
Sabemos que dos vectores son perpendiculares si el producto escalar es nulo.
Entonces tenemos que
(𝑎, 𝑏) ∙ (𝑥 − 𝑥0 ; 𝑦 − 𝑦0 ) = 0
Por el producto escalar con 𝑎, 𝑏, 𝑐 ≠ 0 entre vectores tenemos que
𝑎(𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑏(𝑦 − 𝑦0 ) = 0
Luego abriendo los paréntesis y ordenando
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 − (𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 ) = 0
15
Cálculo I Parcial 1 Guía 2 Profesor Juan Emilio Navarro G.
Y como (𝑥0 , 𝑦0 ) pertenecen a la recta tenemos que
𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 = −𝑐
Obtenemos la ecuación general de la línea recta
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0
Rectas perpendiculares:
Dos rectas son perpendiculares, si el producto de sus pendientes es igual a – 𝟏.
Dadas las rectas
𝐿1 : 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1 = 0
𝐿2 : 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐2 = 0
̅̅̅̅
Con (𝑎𝑖 , 𝑏𝑖 ) ≠ (0,0) con 𝑖 = 1,2
̅̅̅̅
Y 𝑎𝑖 , 𝑏𝑖 , 𝑐𝑖 ∈ 𝐼𝑅 con 𝑖 = 1,2
Dado los vectores normales ⃗⃗⃗⃗
𝑛1 = (𝑎1 , 𝑏1 ) y ⃗⃗⃗⃗
𝑛2 = (𝑎2 , 𝑏2 ) de las rectas 𝐿1 y 𝐿2
respectivamente.
Tenemos que si 𝐿1 ⊥ 𝐿2 entonces los vectores normales son perpendiculares, es
decir ⃗⃗⃗⃗
𝑛1 ⊥ ⃗⃗⃗⃗
𝑛2 con lo cual tenemos
(𝑎1 , 𝑏1 ) ∙ (𝑎2 , 𝑏2 ) = 0
Luego tenemos por la definición del producto punto tenemos
𝑎1 ∙ 𝑎2 + 𝑏1 ∙ 𝑏2 = 0
Restando 𝑏1 ∙ 𝑏2 en la igualdad tenemos
𝑎1 ∙ 𝑎2 = −𝑏1 ∙ 𝑏2
Con 𝑏1 y 𝑏2 distintos de cero tenemos
𝑎1 𝑎2
∙
= −1
𝑏1 𝑏2
Es decir
𝑚1 ∙ 𝑚2 = −1
Dada la recta 𝐿 con pendiente 𝑚 ≠ 0 la pendiente de la recta perpendicular 𝐿⊥ es
−1
𝑚⊥ =
𝑚
Función de la línea recta (función afín).
16
Cálculo I Parcial 1 Guía 2 Profesor Juan Emilio Navarro G.
Definición
Y
tg(α) =
L

y2
y2 – y1
Llamamos función de la línea recta, aquella
función cuya tasa de variación es siempre
constante.
y2 − y1
= constante
x2 − x1

y1
x2 – x1

x1
x2
X
Función de la linea recta (afín)
Forma general:
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0
Forma principal:
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛
Función lineal:
𝑦 = 𝑚𝑥
Función constante
𝑦=𝑛
Gráficamente se representa mediante una línea recta no paralela al eje de las ordenadas.
𝑚 se denomina pendiente.
𝑛 se denomina coeficiente de posición.
17
Cálculo I Parcial 1 Guía 2 Profesor Juan Emilio Navarro G.
Modelo Lineal
Un modelo es un reflejo de la realidad, y por lo tanto no es perfecto, si es perfectible.
Dada dos variables, si tenemos una proporción directa entre sus variaciones, entonces
nos encontramos ante un modelo lineal.
Variable independiente
𝑋
𝑥0
𝑥1
𝑥
Variable dependiente
𝑌
𝑦0
𝑦1
𝑦
Variación de las variables
Proporción directa
𝑥2 − 𝑥1
𝑥 − 𝑥1
Es decir
𝑦2 − 𝑦1
𝑦 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1 𝑦2 − 𝑦1
=
𝑥 − 𝑥1
𝑦 − 𝑦1
O bien
𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑛.
Donde:
𝑛 costo fijo,
𝑚 es la razón de cambio.
Ejemplo
En 1950 la expectativa de vida es de 71 años. En 1970, era de 75 años. Si
𝐸 representa a la expectativa de vida y 𝑡 al número de años transcurridos desde
1950.
a)
b)
Exprese 𝐸 como una función lineal de 𝑡.
Utilice la ecuación obtenida en (a) para predecir la expectativa de vida de las
mujeres en 1980?
Respuesta
De 1950 a 1950 han transcurrido 0 años
De 1950 a 1970 han transcurrido 20 años
18
Cálculo I Parcial 1 Guía 2 Profesor Juan Emilio Navarro G.
DE 1950 a 1980 han transcurrido 30 años
Luego
Variable independiente
Tiempo
0
20
𝑡
Variable dependiente
Expectativa
71
75
𝐸
Variación de las variables
20 − 0
75 − 71
𝑡−0
𝐸 − 71
Proporción directa
20
4
= 𝐸−71
𝑡
Es decir la función lineal es:
4
𝐸 = 20 𝑡 + 71
La expectativa de vida de las mujeres en 1980 es de 𝐸(30) = 77.
19
Cálculo I Parcial 1 Guía 2 Profesor Juan Emilio Navarro G.
EJERCICIOS
1. Determinar los intervalos de monotonía de las siguientes funciones.
a)
b)
c)
d)
𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1
𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 + 2𝑥 − 1
𝑓(𝑥) = 𝑥 3
𝑓(𝑥) = √𝑥
2. Hallar la pendiente (si es que existe) de la recta que determina el par de puntos
dados. Hallar también la pendiente de la recta perpendicular.
a) 𝐴 = (−1, 2); 𝐵 = (−2, −1)
b) 𝐴 = (−2, 1); 𝐵 = (2, −2)
c) 𝐴 = (−2,0); 𝐵 = (−2, −2)
3. Encontrar la ecuación de la recta que cumple la característica dada:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
Pasa por (−1, 1) con pendiente −1.
Pasa por (2, −3) con pendiente 1/2.
Pasa por (3, 4) y (−2, 5).
Pasa por (−8, 0) y (−1, 3).
Tiene pendiente −5/4 y corta el eje 𝑥 en 𝑥 = 6.
Tiene pendiente 1/2 y corta el eje 𝑥 en 𝑥 = −3.
Pasa por (−12, −9) y es paralela al eje 𝑥.
Pasa por (1/3, 4) y es paralela al eje 𝑦.
Corta el eje 𝑥 en 𝑥 = 4 y el eje 𝑦 en 𝑦 = −1.
Pasa por (5, −1) y es paralela a la recta 2𝑥 + 5𝑦 – 15 = 0.
Pasa por (4, 10) y es perpendicular a la recta 6𝑥 – 3𝑦 – 5 = 0.
4. Dados los puntos 𝐴(3,2) y 𝐵(5,6) escriba:
a)
b)
c)
d)
e)
La ecuación de la recta dados dos puntos.
La ecuación de la recta dada la pendiente y un punto.
La ecuación de la recta dada la pendiente y el coeficiente de posición.
La ecuación general de la recta.
La ecuación paramétrica de la recta.
5. La relación entre los grados Celsius (º 𝐶) y los Fahrenheit (º 𝐹) para medir la
temperatura es lineal.
a) Encuentre una ecuación que relacione º 𝐶 y º 𝐹.
Si 0º 𝐶 corresponde a 32º 𝐹 y 100º 𝐶 corresponden a 212º 𝐹.
b) Utilice la ecuación para hallar la medida Celsius de 70º 𝐹.
20
Cálculo I Parcial 1 Guía 2 Profesor Juan Emilio Navarro G.
6. La escala Kelvin (𝐾) para medición de temperatura se obtiene sumando 273 a la
temperatura Celsius.
a) Escriba una ecuación que relacione 𝐾 y º 𝐶.
b) Escriba una ecuación que relacione 𝐾 y º 𝐹 (véase el ejercicio anterior).
7. Cada domingo un kiosco vende 𝑥 copias de cierto periódico a 500 pesos cada una.
El costo del vendedor es de 50 pesos por periódico y se paga un costo fijo de
almacenaje, envío, etc. de 1.000 pesos cada domingo.
a) Escriba una ecuación que relacione la ganancia con el número de copias
vendidas.
b) Haga la gráfica de dicha ecuación.
c) ¿Cuál es la ganancia para el kiosco si se venden 1000 diarios?
d) Si el vendedor pretende ganar $19.700 cada domingo, ¿cuántos periódicos
debe vender?
8. Un empresario adquiere una máquina por 36500 dólares. La máquina gasta en
promedio 9.25 dólares por hora en mantenimiento y gasolina. El operario que la
maneja cobra 13.50 dólares por hora y a los clientes se les cobra 30 dólares por
hora.
a) Escribir una ecuación para el costo (𝐶) de funcionamiento de la máquina
durante 𝑡 horas.
b) Ídem para los ingresos (𝐼), derivados de t horas de uso.
c) Hallar el punto de equilibrio de esa máquina, calculando en qué tiempo 𝑡
ocurre 𝐼 = 𝐶.
9. Una empresa construye un almacén por 825.000 dólares. Tendrá una vida útil
estimada en 25 años, después de los cuáles se espera que su valor sea de 75.000
dólares.
a) Escribir una ecuación para el valor del almacén durante esos 25 años.
b) Después de 10 años, el empresario desea vender el almacén. ¿Qué precio
debería cobrar para no perder dinero?
10. Una agencia inmobiliaria dispone de un edificio con 50 apartamentos. Cuando el
alquiler es de 380 mil pesos mensuales, los 50 están ocupados, pero con un alquiler
de 425 mil pesos mensuales, la media de ocupación baja a 47. Supongamos que la
relación entre el precio 𝑝 del alquiler y el número de apartamentos ocupados 𝑥 es
lineal.
a) Escribir una ecuación que describa 𝑥 en términos de 𝑝.
b) Usar esa ecuación para predecir el número de apartamentos que estarán
ocupados si se establece un alquiler de 455 mil pesos mensuales.
c) Predecir el precio del arriendo en miles de pesos y tenemos 49
departamentos ocupados.
21
Cálculo I Parcial 1 Guía 2 Profesor Juan Emilio Navarro G.
11. En invierno Chilectra suministra electricidad a residencias con un cargo mensual de
9.06 pesos más 10.819 centavos de peso por 𝐾𝑊ℎ en los primeros 400 𝐾𝑤ℎ.
consumidos el mes; y cobra 7.093 centavos de peso por cada 𝐾𝑤ℎ. extra.
a)
b)
c)
d)
¿Cuál es el cargo por el consumo de 300 𝐾𝑤ℎ. en un mes?.
¿Cuál es el cargo por el consumo de 700 𝐾𝑤ℎ. en un mes?.
Si 𝐶 es el cargo mensual por 𝑥 𝐾𝑤ℎ. , exprese 𝐶 como función de 𝑥.
Grafique dicha función.
12. En el mes de noviembre de 1991 existieron las siguientes tarifas para el consumo de
gas natural en residencias unifamiliares.
Cargo por servicio mensual…………………………..$7.00.
Cargo de distribución de los primeros 90 litros………$0.21054/litro.
Por arriba de los 90 litros……………………………..$0.2634/litro.
a)
b)
c)
d)
¿Cuál es el cargo por consumir 50 litros en un mes?
¿Cuál es el cargo por 500 litros en un mes?
Construye una función que relacione el cargo mensual 𝐶 para 𝑥 litros de gas.
Grafique esta función.
13. Un auto arrendado cuesta 95 mil pesos la semana y cada día adicional cuesta 24 mil
pesos. Sólo se cobran días adicionales si estos no sobrepasan los 95 mil pesos. En
caso contrario se cobra la semana completa.
a) Determine el costo de arrendar un auto, según el número x de días utilizados,
donde 7 ≤ 𝑥 ≤ 14.
b) Grafique esta función (toda fracción de un día cuenta como un día
completo).
14. La capacidad del cuerpo humano para ciertas tareas disminuye con la edad. El libro
Sex and the Origins of Death, de William Clark, presenta estadísticas de ese tipo.
Por ejemplo, la fertilidad femenina cae, como promedio, de un 100% a los 30 años
hasta un 0% a los 50 años.
a) Hallar una función lineal que modele el problema.
b) ¿A qué edad se alcanza el 50% de fertilidad?
22
Cálculo I Parcial 1 Guía 2 Profesor Juan Emilio Navarro G.
SOLUCIONES
1.
a) Creciente en ]−∞, +∞[
1
b) Decreciente en ]−∞, − 3[
c) Creciente en ]−∞, +∞[
d) Creciente en ]0, +∞[
1
y creciente en ]− 3 , +∞[
2.
m3
a)
m 
1
3
3
4
b)
4
m 
3
m
3.
a)
y  x
b)
2y  x  8  0
c)
d)
y4
y
1
 x  3
5
e) y 
f)
y
c)
 m
m  0
5
x  6
4
h) x 
1
x  3
2
i)
x y
 1
4 1
j)
2x  5 y  5  0
g) y  9
3
 x  8
7
1
3
k) 2 y  x  24  0
4.
a) y  2 
62
 x  3
53
c) y  2 x  4
d) 2 x  y  4  0
 x  2t  3
 y  4t  2
e) 
b) y  2  2  x  3
5.
a)
F  32 C  0

9
5
b) t 
190
C
9
6.
a) k   273  C
k   273 F   32

100
180 
b)
23
Cálculo I Parcial 1 Guía 2 Profesor Juan Emilio Navarro G.
7.
a) G  450x  1.000
c) G  449.000
G
20
9
b)
P
d) P  46
-1000
8.
a)
b)
C = 22.75 t + 36500
I = 30.00 t
c)
t es aproximadamente a 5034.48
9.
a) V = -30.000 (T-25) + 75000
10.
a)
11.
x
b) V = 525.000
b) x  45
1
P  380  50
15
c)
P  395
b) c  30.44719
a) c  9.16819
9.16819
0  x  400

c) C  
x  400
9.16819  0.07093  x  400 
d)
9.16
819
400
24
Cálculo I Parcial 1 Guía 2 Profesor Juan Emilio Navarro G.
12.
a) C = 7.21054
b) C = 115.20454
7.21054
x  90

c) C = 
7.21054  0.2634( x  90) x  90
d)
7.21054
90
13.
95  24  x  7  7  x  10
con x 
190
x  10

a) C = 
b)
190
167
143
119
95
1
14.
2
a) E  20F  50
b) E  40 años
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0  F 1
Literatura complementaria
- Calculo; Larson; volumen 1, sexta edición, pagina 14 a la 24.
25