07ALGEBRA5S

Colegio Preuniversitario Adventista “ALBORADA”
ALGEBRA
FACTORIZACION
FACTORIZACION
Es el proceso de transformación sucesiva de
un polinomio en una multiplicación indicada
de polinomios primos, denominado factores
primos, dentro de un conjunto numérico.
 P = a.(a+3)
b) Factorizar:
E = (a-3)(a-2)(a-1) + (a-1)(a-2)-(a-1)
Resolución:
E = (a-1)(a-3)(a-2)+(a-2) - 1
E = (a-1)(a-3)(a-2) + (a-3)
Extraemos (a-3):
E = (a-1)(a-3)(a-2) + 1
E = (a-1)(a-3)(a-1)
Ejemplo: Sea el polinomio
F(x)x4 – 169

factorización en el conjunto Q
(racionales)
f(x) = (x2)2-(13)2 = (x2+13)(x2-13)
primos en Q
c) Factorizar
X6 + x4y2 + x2y4 + y6
Existen 2 factores primos en Q
Resolución:
X4(x2+y2) + y4(x2+y2)
Extraemos factor común:
(x2+y2) x4+y4
CONTEO DE FACTORES
En general se tiene:
Q
Q
Q
Q
P( x )  Kp 1 1 ( x ).p 2 2 ( x ).p 3 3 ( x )...p n n ( x )
donde K  R - 0
d) Factorizar
P(a-b)3+b3+c3-c3-3bc(b-c)-3ac(c-a)-c3
# factores primos mónicos: f.p.m = n
# factores algebraicos mónicos:
f.a.m. = (a1+1)(a2+2)…(an+1)-1
Resolución:
Agrupando:
P=(a-b)3+b3+c3-c3-3bc(b-c)+c3-a3-3ca(c-a)
Ejemplo:
Sean el polinomio factorizado
P(x) = 4(x+1)3(x2+x+1)2(x3-x+1)2
 # factores primos mónicos = 3
que son: (x+1); (x2+x+1); (x3-x+1)
 # factores algebraicos mónicos =
((3+1)(2+1)(2+1)-1  35
P=(a-b)3 +
(b-c)3
(c-a)3
Se sabe que es igual a:
P = 3(a-b)(b-c)(c-a)
2. CRITERIO DE LAS IDENTIDADES
CRITERIOS PARA FACTORIZAR
a2n - b2n = (an+bn)(an-bn)
a3n + b3n = (an+bn)(a2n-anbn+b2n)
a3n - b3n = (an-bn)(a2n+anbn+b2n)
a2n+2anbn+b2n = (an+bn)2
a2n-2anbn+b2n = (an-bn)2
1. FACTOR COMUN Y/O AGRUPACION
DE TERMINOS
Se extrae el factor común de cada una de
las expresiones pero elevados a su menor
exponente, tratando en lo posible que la
expresión se encuentre expresada en sus
factores primos.
a4n+a2nb2n+b4n=(a2n+anbn+b2n)(a2n-anbn+b2n)
La agrupación consiste en tomar términos
adecuadamente a fin de obtener factores
comunes.
Ejemplos:
a) Factorizar:
E = a2+b2+c2+a+2ab+b+2ac+c+2bc
Ejemplos:
Resolución:
Agrupando convenientemente:
E=(a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc)+(a+b+c)
E=(a+b+c)2 + (a+b+c)
E = (a+b+c)a+b+c+1
a) Factorizar:
P = a2 + 3a
Resolución:
125
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14a  11 
b) Factorizar:
P = b2+c2-a2-d2+2ad+2bc
a
Resolución:
P = (b2+c2+2bc)-(a2+d2-2ad)
P = (b+c)2 – (a-d)2
Por diferencia de cuadrados:
P = (b+c+a-d)(b+c-a+d)
1
 14a
3a
d) Factorizar:
8x2 – 22x + 15
4x  5  10x
 3  12x
22x
Los factores son:
(4x – 5)(2x – 3)
2x
e) Abx2 + (a2 + b2)x + ab
ax  b
Ejemplo:
a) Ax2n + Bxnym + Cy2m
a1 x n  c 1 y m
bx
 a
(ax + b)(bx + a)
a 2 x n  c 2 y m
4. ASPA DOBLE
Forma general del polinomio a factorizar:
P(x,y)=Ax2n+Bxnym+Cy2m+Dxn+Eym+F
t1
t2
t3
t4
t5
t6
En aspa debe cumplir:
a 2 x n .c 1 y m
a1 x n .c 2 y m 
Bx n y m
Procedimiento:
1. se aplica dos veces aspa simple con
los siguientes términos:
* t1 , t2 , t3
* t3 , t5 , t6
2. Finalmente solo para comprobar se
aplica otro aspa simple con:
* t1 , t4 , t6
m
n m
2m
n
P(x,y)=Ax2n +Bx y +Cy +Dx +Ey +F
Los factores son:
(a1xn+c1ym)(a2xn+c2ym)
x

11a
Los factores son:
(14ª + 11)(a – 1)
3. CRITERIO DEL ASPA SIMPLE
Se emplea para factorizar polinomios que
adoptan la forma: ax2n+bxnyn+cy2n
consiste en descomponer los términos
extremos, de tal manera que al
multiplicar en aspa y sumar los
resultados, nos reproduzca el termino
central, siendo los factores las sumas
horizontales.
b) Factorizar:
3x2+20xy+12y2
3x  2y 
ALGEBRA
2xy
 6y  18xy
20xy
Los factores son:
(3x + 2y)8x + 6y)
a 1 xn
c1 y
m
f1
a 2 xn
c2 y
m
f2
luego:
P(x,y)=(a1xn+c1ym++f1)(a2xn+c2ym+f2)
c) Factorizar:
14a2 - 3a - 11
Ejemplo:
Factorizar:
P(x,y) = x2 + 2xy + y2 - 3x - 3y – 4
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Sea: P(x)=2x3+5x2-4x-3
 Divisores de 3 
PRR   

 Divisores de 2 
Resolución:
2
P(x,y)=x 2 +2xy +y - 3x - 3y -4
x
y
-4
x
y
+1
ALGEBRA
2
1;3 
 1
      1; ;3; 
 2 3
1;2 
1
3
PRR  1; ;3;
2
2
Luego el polinomio P(x) posiblemente se
anule para algunos de estos valores.
P(x,y) = (x + y - 4)(x + y + 1)
5. ASPA DOBLE ESPECIAL
Forma general del polinomio a factorizar:
P(x)=Ax4n + Bx3n + Cx2n + Dxn + E
TEOREMA DEL FACTOR
Sea P(x) un polinomio tal que:
ºP(x)1
P(a)=0  (x–a) es un factor de P(x)
Procedimiento:
Se descompone los extremos tratando de
buscan un aproximado al termino central.
Ejemplo:
Sea P(x)=x3 + 2x2 - 4x – 8
Si: x=2  P(2)=0(x-2) es un factor de
P(x)
Luego: P(x)(x-2).Q(x)
Balance:
Tenemos  (a1e2+a2e1)x2n
Falta
 (C-a1e2-a2e1)x2n=Fx2n
P(x)=(a1x2n+f1xn+e1)(a2x2n+f2xn+e2)
Procedimiento:
Sea P(x) el polinomio a factorizar,
primero buscamos una raíz racional (sea “a”
dicha raíz). Luego P(a)=0 y por e teorema
del factor (x-a) es un factor de P(x),
entonces el polinomio se puede expresar de
la forma:
P(x)  (x-a)Q(x)
Donde Q(x) es el cociente de la siguiente
división:
P(x)
En donde para hallarla aplicamos la
x a
regla de RUFFINI.
Ejemplo:
Factorizar:
P(x)= x4 + 4x3 + 8x2 + 9x + 6
Resolución:
6. DIVISORES BINOMICOS
Se aplica para factorizar polinomios que
admiten por lo menos un factor lineal.
Raíz de un polinomio
Sea P(x) un polinomio tal que:
ºP(x) 1
“a” es raíz de P(x)P(a)=0
es decir, raíz es el valor que anula al
polinomio.
Ejemplos:
Factorizar: P(x)= x3-5x+2
Ejemplo:
Sea: P(x)=x3+7x-8
Si: x = 1  P(1) = 0
Luego “1” es raíz de P(x)
Resolución:
 Divisores de 2 
1,2 
      1,2
Divisores
de
1
 1 


* PRR   
P(1)0; P(2)=0
P(-1) 0; P(-2) 0
* Como P(2)=0(x-2) es un factor de P(x)
P(x)=(x-2).q(x)….(1)
* Hallando q(x); por Ruffini
Posibles raíces racionales (PRR)
Sea P(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an

 Divisores de a n 

PRR   


 Divisores de a 0 

Ejemplo:
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P(x) = (2x+5)(x-1)(2x-5)(x+1)
1 0 5 2
2  2 4 2
1 2 1 0
PROBLEMAS PROPUESTOS
q(x)=x2+2x-1
En (1): P(x)=(x-a).(x2+2x-1)
1. Factorizar:
a2 + ab +ac + a3 + a2b + a2c
Factorizar: P(x)=x3-6x2+11x-6
2. Factorizar:
x2 + (1 + x2)(1 + x)2
Resolución:
 Divisores de  2 
1,2,3,6 
  

 1 
 Divisores de 1 
* PRR   
3. Factorizar:
a12 – a8b4 – a4b8 + b12
* PRR=1, 2, 3, 6  raíces: 2 y 3
1
2 
6
11
2 8
1 4
3
4. Factorizar:
E = (x3 + 1)2 – x2(x2 + 4)
6
6
0
5. Factorizar:
P(x)=(x+1)(2x+1)(3x+1)+(x+1)2+x+x2
3 3
3
1
0
1
q(x)=x-1
P(x)=(x-2)(x-3)(x-1)
6. Factorizar:
X3+y3+z3+x2y+x2z+y2z+y2z+z2x+z2y
7. ARTIFICIOS DIVERSOS
Dependen de la habilidad y grado de
práctica del que se posea. Los principales
artificios que se emplean son: sumas y
restas (quita y pon); cambio de variable;
etc.
7. Factorizar:
P(x)=2(x+21)2+(x+20)2-(x+19)2-1
8. Factorizar:
a(b-c)x2 + b(c-a)x + c(a-b)
9. Factorizar:
x12 – 6x8 + 5x4 + 2x6 – 6x2 + 1
Ejemplos:
Factorizar:
P(x) = x4 + 4a4
10. Factorizar:
13(x+1)3.(x-1)-4x2-(x-1)3.(x+1)+4
Resolución:
P(x)= (x2)2+(2a2)2+2(x2)(2a2)-2(x2)(2a2)
P(x)=
(x2+2a2)2
11. Factorizar:
6x2-20y2-14z2+7xy+38yz-17xy
12. Factorizar:
6x2+12xy+6y2+xy+29y+26x+28
- (2ax)2
P(x)= (x2+2a2+2ax)(x2+2a2-2ax)
Factorizar:
P(x) = 4x4 – 20x2 +


 2(2x2)(5)
ALGEBRA
13. Factorizar:
P(x)= (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1
25 – 9x2



14. Factorizar:
P(x)= x5 + 4x4 – 10x2 – x + 6
15. Factorizar:
P(x)= x5 + 5x4 + 7x3 – x2 – 8x - 4
P(x) = (2x2 – 5)2 – (3x)2
P(x) = (2x2 + 3x – 5)(2x2 – 3x – 5)
2x
 +5 2x  -5
x

-1 x  1
16. Factorizar:
P(x)= x5 + x + 1
128
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17. Factorizar:
P(x)=6x4 - 35x3 + 62x2 - 35x + 6
32. Indicar el numero de factores primos de
la expresión:
(x2+1)(x2-2)-x(1-x2)+6
18. Hallar “n” si es un trinomio cuadrado
perfecto.
nx 4  3 3n  16x 2 y  9y 2
33. Factorizar sobre Q:
P(x;y)= x3 + 28y3 + 3xy(x+y)
34. Factorice sobre Q:
P(x)=(x2+x+1)(x2-x+1)+7x2-385
19. Factorizar:
E = x4 + x2y2 + y4
35. Factorizar:
E = x6 – x4 + 2x3 – 4x2 + 1
20. Factorizar:
(a+b)2 – 11(a2 – b2) – 26(a – b)2
36. Factorizar:
(x+2)2(x+1)(x+3)-5x(x+4)-27
21. Factorizar:
8x2n – 22xny2n – 21y4n
37. Factorizar:
X5 + x + 1
22. Factorizar:
P(x;y)=x7+x6y+x5y2+x4y3+x3y4+x2y5+xy6+y7
Nota:
ALGEBRA
38. Factorizar:
x5+3x4-17x3-27x2+52x+60
Observe que: P(x;y)=(x+y)(x +y )(x +y )
El polinomio tiene:
* 3 factores primos: (x+y);(x2+y2);(x4+y4)
* 1 factor lineal: x + y
* 1 factor cuadrático primo: x2 + y2
2
2
4
4
39. Factorizar:
15x4n+9x3n-14x2n-xn+1
40. Factorizar:
6x4-5x2y-25x2-23x2z-5yz+20z2
23. Factorizar:
ax (ax-2) – (x2 – 1) + a(2x – a)
41. Factorizar:
a6 + 4a4 + 3a2 - 2a-1
24. Factorizar:
15x2+151xy+10y2+45x + 301y+30
42. Factorizar:
x2 + (1+x2)(1+x)2
25. Factorizar:
21xy – 39x2 + 32 -92y + 56x
26. Factorizar:
X3 – x - 6
27. Factorizar:
x3 – 11x2 + 31x - 21
43. Si: nx 4  3 3n  16x 2 y  9y 2
es un trinomio cuadratico perfecto. Hallar
“n”
44. Factorizar:
(x3+1)2 – x2(x2+4)
28. Factorizar:
x5 + 5x4 + 7x3 – x2 – 8x - 4
45. Factorizar:
a(b-c)x2 + b(c-a)x + c(a-b)
29. Factorizar:
2x3 + 3x2 + 3x + 1
46. Factorizar:
x4 + 4x5 – (x6-1)2
30. Factorizar:
12x3 + 8x2 – 3x - 2
Nota:
31. Factorizar:
P(x)= (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1
47. Factorizar:
(2a+3b+2c)(4ª+6b+5c+d)+c(d-c)
(a3+1)2 – (a3-1)2 = 4a3
129
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48. Factorizar:
x12 – 6x8 + 5x4 +2x6 – 6x2 +1
ALGEBRA
(x2-1)(x2-4)(x2-9)+35(x2+1)2
52. Factorizar:
(x2+y+1)2-(x2+1)(x2-3y+1)2
49. Factorizar:
13(a+1)3(a-1)-(a-1)3(a+1)-4a2+4
53. Factorizar:
P(x)=x5 + 2x3 + x-1
50. Factorizar:
4x6 – 29x4 + 31x2 - 1
FRACCION ALGEBRAICA
51. Factorizar:
FRACCION ALGEBRAICA
Es el cociente indicado de dos expresiones
algebraicas racionales, donde el denominador debe
tener al menos una letra.
Ejemplos:
a 3  b 3 7 x 8x  9 2x  y  z 2
;
;
;
ab
y x3 1 z  y  x
5. Fracciones irreductibles. Cuando el
numerador y denominador son primos
entre sí.
x  1 x 2  y x 2  y 2  z2
;
;
x  7 x  y x 3  y 3  z3
Notas:
a
a.n
* b 
m b.m
n
CLASIFICACION:
1. Fracciones propias. Cuando el numerador es de
menor grado que el denominador.
x 2  2x  3
;
2x  1
;
2x
2. Fracciones impropias. Cuando el grado del
numerador es mayor o igual que el grado del
denominador.
*
A
A

B
B
*
x 6  2 x  1 3x 2  3x 2 x 6  4 x 2  3
;
;
x 1
x 3  7x  1
2x 4  4 x  1
3. Fracciones homogéneas. Cuando las fracciones
tienen iguales denominadores.
2
7x
;
;
x2 1 x2 1 x2 1
4. Fracciones equivalentes. Son aquellas que
admiten el mismo valor numérico para
cualquier sistema de valores atribuido a sus
variables, a excepción de aquellos que hagan
cero su denominador.
9
9
 2
; x  3;2
(x  3(x  2)
x  5x  6
Se observa que “x” no puede tomar los valores
de 3 y 2 porque harían cero a los
denominadores.
130
A A.n

B B.n
*
*
a
a.B

A
A
B
A
A
* B 
a
a.B
A
A
A
 
*
B
B B
x 3  7 x  1 x 4 y  7 x 4  3x 2  2 x  1
7
*
a
a

A B B  A
ab ba

xy yx
Nota:
Si la fracción:
ax m  by n  c
dx m  ey n  f
Adopta siempre un valor constante, o
es independiente de sus variables se
cumple que:
a b c
   k (cte.)
d e f
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ALGEBRA
Reglas de operatividad:
a m
a.n  b.m


b n
b.n
a m
a.m
. 
2.
b n
b.n
a m
a.n


3.
b n
b.m
m
nm
4. 1  
n
n 1
1. Efectuar:
1
B 1  1  2a
5.

A
A
B
1.
2  2a
1  2a
2  2a
d)
1a
a)
2. Efectuar: 2 
a
a)
a 1
a 1
d)
a 1
b)
1  2a
2  2a
PROBLEMAS PROPUESTOS
F
d)
2a
1  2a
a)a+b+c
b)a-b+c
c)a-b-c
d)abc
e)N.A.
8. Simplificar:
(x 2  x) 2  18(x 2  x)  72
M
x2  9
1
1  a 1
1
1a
a)(x-4)(x+4) b)(x+4)(x-2) c)(x+4)
d)2(x+4)
e)N.A.
a 1
c)
a
9. Simplificar:
(a 2  b 2  c 2 )  ( a 2  b 2  c 2
S
4ab 2  4abc
e)N.A.
3. Simplificar:
a 2  5a  6 a 2  a  2
E
aa  3
a2
a)(a-1)
d)(2a-1)
b)(3a+1)
e)N.A.
bc
b
c(b  a)
d)
b
a)
c)(2a+1)
b)(3a+1)
e)N.A.
b)
a(b  c)
b
c)
a(b  c)
b
e)N.A.
10. Reducir:
ab(x 2  y 2 )  xy(a 2  b 2 )
N
ab(x 2  y 2 )  xy(a 2  b 2 )
4. Hallar A y B si:
5x  11
a
B
2
2x  x  6 x  2 2x  3
a)(a-1)
d)(2a-1)
x3 1
7. Reducir:
5(a  b) 2  8c(a  b)  3c 2
A
5a  5b  3c
e) N.A.
a
b)
a 1
x4  x2 1
ax  by
ax  by
ax  by
d)
ax  by
c)(2a+1)
a)
5. Simplificar:
(a  b) 2  (c  d) 2
M
(a  c) 2 )b  d) 2
b)
ax  by
ax  by
c)
ax  by
ax  by
e)N.A.
11. Simplificar:
(a  b) 4  (a  b) 4
A
8a 3 b  8ab 3
6. Reducir:
a)1
131
b)2
c)3
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d)4
e)N.A.
a)3/x-1
d)x-1/3
12. Simplificar:




1

  2(1  a)  2a(2a) 
P

2 
(1  a 2 ) 2
2
a




1  
 


1  a  
a)
d)
ALGEBRA
2
1a
2
b)
2
1a
c)
a)x+2
d)x2n-2
1
1  a2
b)x2+2
e)N.A.
a 2  2ax  x 2
2
2
2(a  x )

ax
ax
ax
d)
ax
a)
.
(a  b) 2  c 2
2
ab  b  bc
Si:
(a  b)
2

n
(a  c )
a
Ademas: cA 
(b  c)

p
(a  c ) 2
2

(a  b)
2
M
A
(b  c) 2
14. Efectuar:
x 2  x  2 x 2  5 x  4  x 2  3x  2 x  3 
.
 2
. 2 
x 2  x  20
x2  x
 x  2x  15 x 
b)2
e)N.A.
A
x 2  24 x  128
a)1/x
d)1/8x
.
x 2  12x  64
x 3  64
b)1/x+8
e)N.A.
c)
ax
ax
e)N.A.
x2y2
b2c 2

(y 2  b 2 )(z 2  b 2 )
b 2 (b 2  c 2 )

(y 2  c 2 )(z 2  c 2 )
c 2 (c 2  b 2 )
RPTA: a+b+c
19. Efectuar:
c)x
Q
15. Simplificar:
x 2  64
2(x  a) 2
En que se convierte la fracción:
a2 x  b 2 y  c 2 z
F
?
ax  by  cz
cuando:
a 2  bc
b 2  ac
c 2  ab
x
;y 
;z 
a
b
c
RPTA: cn
a)1
d)1/x
ax
ax
(a  x)(a  x)
RPTA: 1
m
Calcular: E  ap  bm
Q
b)

Simplificar:
p
b

(a  x)(a  x)
2
Resuelva:
n
2
2ax(a  x)
c)2/b
Resuelva:
m
c)x2n+2
18. Simplificar:
E
13. Simplificar:
(a  b) 2  c 2
a
E 2
.
a  ab  ac (a  c) 2  b 2
a)b
b)1/b
d)1/a
e)N.A.
c)x-1
17. Simplificar:
x 3n
x 2n
1
1
M n
 n
 n
 n
x 1 x 1 x 1 x 1
e)N.A.
1  a2
b)1/x-1
e)N.A.
3x
6 x 2  19x  10
a)2/(x+3)
d)3/(x-2)
 x 2  16 x  64 
 2

 x  4 x  16 

2x  5
6  7 x  3x 2
b)(x+3)/2
e)N.A.

3x  2
2x 2  x  1
c)2/(x-3)
20. Simplificar:
c)1/x-8
E
16. Simplificar:
2x  4
1
x2
P 2
 2
 2
x  2x  3 x  4 x  3 x  1
x
2
x  5x  6
a)1/(x+2)
d)1/(x-2)
132

15
2
x  9x  14
b)2/(x+1)
e)N.A.

12
2
x  10 x  21
c)2/(x-1)
Colegio Preuniversitario Adventista “ALBORADA”
ALGEBRA
21. Simplificar:
a)1
d)x
1
E
1
1
1
a)0
d)3
26. Si: x 
1
1x
b)1
e)N.A.
b)2
e)N.A.
1  3a
a 1
Hallar: M 
c)2
5a  1
1a
a 1
d)
a 1
a)
22. Efectuar:
x 2   2x
x 3



M
 x  2x 
 x

x 1  x 1
 x 1


a)x
d)2x
b)x+2
e)N.A.
23. Reducir:
a)a
d)2a
b)ab
e)N.A.
d)
2x
x2 1
4x
x2 1
b)
4x
M
c)2ab
x2 1
c)
1a
5a  1
c)
a 1
1a
e)N.A.
b)
e)N.A.
c)
(12x  4)(12x  1)(12x  3)(12  2)  120


6 (12x) 2  5(12x)  96
a)
d)
b)
e)N.A.
c)
29. Simplificar:
 x 2  x  2  x 2  5x  14   x 2  3x  2  x  3 

  

N   2

  x 2  2x  15  x 2 
x2  x
 x  x  20 
 


a)x
d)x/1
4x
x 1
e)N.A.
b)2x
e)N.A.
c)1/x
30. Si: x + y + z = 4ª
Calcular:
x  y 2
y  z 2
( x  y 2  z 2 )  
( y  z 2  x 2 )
E  
xy
yz




x  z 2
2
2

( x  z  y )
 xz 
25. Simplificar:
1  x 
1

1  x 
b)
a)
d)
28. Simplificar:




24. Simplificar:
3(x 2  x  2) 3(x 2  x  2)
8x
M

 2
2
2
x x 2
x  x 2
x 4
a)
1  3x
x 1
27. Reducir:
(x  1)(x 2  9)(x  5)  27
M
( x  2)(x 2  16)(x  6)  48
c)x-2
 1
x 
1
2
x2
1 1
E  
 2 2
(a   x)   2  2 
ab a b
b
 a b ab 
a
c)3
2




2
x


M
.
2
 1  x   x  1 
1

x
1  x  
a)6a
d)a
133
b)8a
e)N.A.
c)1/8a