SEMANA 2 ÁLGEBRA Tema: Polinomios CICLO ESCOLAR 3ERO Identificar un polinomio y sus elementos como variables, coeficientes y grado. Calcular el valor numérico y encontrar el cambio de variable en expresiones matemáticas. Aplicar la teoría de polinomios en la resolución de problemas. CICLO ESCOLAR 3ERO El origen de los polinomios se remonta a los babilonios y egipcios hace unos 4000 años en papiros egipcios que datan de 2000 años AC. Los polinomios son una parte importante del álgebra, están presentes en todos los contextos científicos y tecnológicos desde las computadoras, construcciones, medicina, hasta la carrera espacial. CICLO ESCOLAR 3ERO Es un símbolo que toma diferentes valores, mayormente representadas por las letras del alfabeto como: Es un símbolo que toma un valor fijo, como por ejemplo los números reales 𝟕, −𝟐 , 𝟎 , 𝒂, 𝒃, 𝒄, . . . , 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝟏 , 𝟑, . . . 𝟒 Dichas aplicaciones de las variables se pueden encontrar en: 𝒙∈ℤ 𝒂>𝟑 Es una combinación de letras y números enlazadas por diferentes operaciones matemáticas. Ejemplos 3𝑥 + 1 𝑏. ℎ 2 𝜋. 𝑟2 ¿ 𝐠 es variable o constante ? Podríamos decir que es variable por ser letra, sin embargo también podríamos decir que es constante, porque 𝐠 se usa para indicar la gravedad ósea 10. Para poder diferenciar constantes usaremos: variables de CICLO ESCOLAR 3ERO Es la representación simbólica de una expresión matemática, que nos permite diferenciar a las variables de las constantes. Ejemplos 𝑃 𝑥;𝑦 4 2 = 3𝑥 − 5𝑦 + 7 Variables: 𝑥, 𝑦 Constantes: 3, 4, −5, 2, 7 𝑄 𝑥,𝑦,𝑧 = 2𝑥 −1 3 6 + 8𝑦 𝑧 Variables: 𝑥, 𝑦, 𝑧 Constantes: 2, −1, 8, 3, 6 1 𝐹 𝑥+2 = 5𝑥 + 4 Variable: 𝑥 + 2 2 1 Constantes: 5, 2, 4 Es el resultado que se obtiene al reemplazar la o las variables de una expresión matemática. Ejemplos Sea la expresión 𝑃 𝑥 = 2𝑥 + 5 Si 𝑥 = 𝟑 → 𝑃 𝟑 = 2 𝟑 + 5 = 11 Si 𝑥 = 𝟔 → 𝑃 𝟔 = 2 𝟔 + 5 = 17 Si 𝑥 = −𝟒 → 𝑃 −𝟒 = 2 −𝟒 + 5 = −3 𝟕 𝟕 𝟕 =2 + 5 = 12 Si 𝑥 = → 𝑃 𝟐 𝟐 𝟐 Calcule 𝑃 𝑃(2) 𝑃 𝑃(2) = 𝑃 9 = 2 9 + 5 = 23 𝑃 2 =2 2 +5=9 CICLO ESCOLAR 3ERO Sea 𝑁 𝑥 = 𝑥 2 − 5𝑥 + 4 Si 𝑄 𝑥 + 2 = 5𝑥 + 6 Determine 𝑁(5) Calcule 𝑄 6 y 𝑄(−1) 𝑁 𝟓 = 𝟓𝟐 − 5. 𝟓 + 4 𝑁 𝟓 = 𝟐𝟓 − 𝟐𝟓 + 4 𝑁 𝟓 =4 2 Para calcular 𝑄 6 podríamos hallar el 𝑥 conveniente 𝑥+2 = 6 𝑥=4 En 𝑄 𝑥 + 2 = 5𝑥 + 6 𝑥=𝟒 En 𝑄 6 = 5. 𝟒 + 6 = 26 Si 𝐹 𝑥 = 𝑥 + 6𝑥 + 9 Halle 𝐹(97) 𝐹 𝑥 = 𝑥2 + 2. 𝑥. 3 + 32 Para calcular 𝑄 −1 𝑥 + 2 = −1 𝑥 = −3 En 𝑄 𝑥 + 2 = 5𝑥 + 6 𝐹 𝑥 = (𝑥 + 3)2 𝐹 97 = (100)2 = 10000 𝑥 = −𝟑 En 𝑄 −1 = 5. (−𝟑) + 6 = −9 CICLO ESCOLAR 3ERO Es una expresión que enlaza variables y constantes, mediante una combinación finita de operaciones “ +, −, 𝘅 y ( )𝒏 ”, además que los exponentes de las variables son enteros positivos. Ejemplos Polinomios Variable (es) # Términos = 6𝑥 5 𝑦 4 𝑥, 𝑦 1 (Monomio) 𝑥 2 (Binomio) 𝑇 𝑥;𝑦 = 7𝑥 4 − 𝑥 3 + 8𝑦 𝑥; 𝑦 3 (Trinomio) 𝑀 𝑥 = 𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 + 1 𝑥 𝑃 𝑥;𝑦 𝐹 𝑥 = 2𝑥 2 + 5 4 (Polinomio de 4 términos) Polinomios = 6𝑥 4 + 3𝑥 5 − 7𝑥 + 1 Grado º[ ] 5 6, 3, −7, 1 3 1 𝑀 𝑥 = 𝑥 6 + 2𝑥 2 − 4 6 1, 2, −8 1 −4 𝐹 𝑥 = 7 − 4𝑥 + 9𝑥 3 + 6𝑥 2 3 7, −4, 9, 6 9 7 𝐺 𝑥 = 5𝑥 8 − 𝑥 2 + 2 + 𝑥 8 5, −1, 2, 1 5 2 𝑃 𝑥 Es aquel polinomio donde su coeficiente principal es igual a 1. Ejemplos 𝐹 𝑥; 𝑦 = 𝑥3 − 6𝑦 −1 + 5 𝑄 𝑥; 𝑦 = 𝑥 + 𝑦4 + 3 𝑦 𝑃 𝑥 = 1 + 𝑥 + 𝑥2 + 𝑥3 + . . . Coef. Término Coeficientes principal independiente 𝑃 𝑥 = 4 − 3𝑥 2 +1𝑥 4 − 8𝑥 3 − 2𝑥 𝑄 𝑥 = 3𝑥 5 + 7 − 𝑥 2 +1𝑥 6 CICLO ESCOLAR 3ERO Polinomios Forma general 𝑷 Lineal 𝑷 Cuadrático Cúbico 𝑷 𝒙 𝒙 𝒙 Ejemplos 𝑃 = 𝒂𝒙 + 𝒃 𝒂≠𝟎 = 2𝑥 + 5 𝐹𝑥 =𝑥−6 𝑃 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 𝒂≠𝟎 = 𝒂𝒙𝟑 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄𝒙 + 𝒅 𝒂≠𝟎 𝑥 𝑥 𝑁 𝑃 Observaciones Binomio Mónico = 3𝑥 2 + 8𝑥 + 4 8: coef. del término lineal = −2𝑥 2 + 9 Carece de término lineal 𝑥 𝑥 = 𝑥 3 + 5𝑥 2 + 9𝑥 + 8 𝑅 𝑥 = 7𝑥 3 + 5𝑥 2 − 1 Mónico 5: coef. del térm. cuadrático CICLO ESCOLAR 3ERO Sea el polinomio 𝑃. Sean 𝑃 Suma de coef. 𝑷 = 𝑷 𝟏 Ejemplos Sea el polinomio 𝑃 𝑥 𝐓. 𝐈. 𝑷 = 𝑷 𝟎 = 𝑥 + 2 4 + 4𝑥 − 2 Suma de coef. 𝑷 𝑃 1 = 3 4 + 4 − 2 = 83 𝐓. 𝐈. 𝑷 𝑃 0 = 2 4 − 0 − 2 = 14 Sea el polinomio 𝑁 𝑥−2 = 5𝑥 + 8 Suma de coef. 𝑵 𝑁1 𝑥=3 𝑥−2=1 𝑁 1 = 5(3) + 8 = 23 𝐓. 𝐈. 𝑵 𝑁0 𝑥−2=0 𝑥 𝑥=2 𝑁 0 = 5(2) + 8 = 18 y 𝑄 𝑥 donde ° 𝑃 = 𝑚 y ° 𝑄 = 𝑛 I. ° 𝑷. 𝑸 = 𝒎 + 𝒏 Ejemplos ⧆ Sea 𝑃(𝑥) = 𝑥 4 + 5𝑥 2 + 9 y 𝑄(𝑥) =2𝑥 5 − 6𝑥 3 − 𝑥 + 7 ° 𝑃. 𝑄 = 4 + 5 = 9 ⧆ Si 𝐹(𝑥) = (𝑥 7 + 2)(𝑥 3 − 4)(𝑥 + 3) ° 𝐹 = 7 + 3 + 1 = 11 II. ° 𝑷𝒌 = 𝒎𝒌 Ejemplos ⧆ Sea 𝑃(𝑥) = 𝑥 5 − 3𝑥 2 + 7 ° 𝑃 3 = 5. 𝟑 = 15 ⧆ Si 𝐹(𝑥) = (𝑥 6 + 2)4 ° 𝐹 = 6 . 𝟒 = 24 CICLO ESCOLAR 3ERO Ejemplos ⧆ 𝐒𝐞𝐚 𝑷 𝑃 𝑃 𝒙+𝟒 𝑃 𝟑𝒙 = 𝟓 𝒙 + 𝟐, 𝐜𝐚𝐥𝐜𝐮𝐥𝐞 𝒙 𝒚 = 5𝒚 + 2 = 5 𝒙 + 𝟒 + 2 = 5𝑥 + 22 = 5 𝟑𝒙 + 2 = 15𝑥 + 2 𝑃𝑷 = 5𝑷(𝒙) + 2 = 5 𝟓𝒙 + 𝟐 + 2 (𝒙) 𝑃 𝑷 = 25𝑥 + 12 (𝒙) ⧆ 𝐒𝐞𝐚 𝑴 𝒙+𝟑 = 𝟒𝒙 + 𝟏𝟕, 𝐜𝐚𝐥𝐜𝐮𝐥𝐞 𝑴(𝒙) 𝑥+3=𝑦 En 𝑀 𝑥+3 𝑥 =𝑦−3 = 4𝑥 + 17 𝑀 𝒚 = 4(𝒚 − 𝟑) + 17 𝑀 𝑦 = 4𝑦 + 5 Cambiamos la variable 𝒚 con 𝒙 𝑀 𝑥 = 4𝑥 + 5 w w w. academ iacesar val lej o.edu .pe
