ejercicios de matemática

Algebra
5to
Expresiones Algebraicos
II. EXPRESIÓN ALGEBRAICA (E. A.)
Es un conjunto de términos algebraicos unidos por operaciones de
adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.
–13x7y5 + 8x3y – 14x5
Una expresión algebraica está formada por términos algebraicos.
I. TÉRMINO ALGEBRAICO
Hay 3 términos algebraicos:
●
●
●
Es la unidad mínima de una expresión algebraica; sus
elementos son:
–13x7 y5
8x3 y
–14x5
Sus coeficientes son: –13; 8; –14
Sus variables son: x, y
III.
CONSTRUCCIÓN DE UN TÉRMINO ALGEBRAICO
Debemos tener en cuenta el siguiente orden:
El coeficiente es un número que va delante de las variables. La parte
literal son las variables con sus respectivos exponentes.
Construyamos un término algebraico cuyo coeficiente sea 5, sus variables
«a» y «b» y sus exponentes 6 y 4 respectivamente.
Resolución:
Coeficiente 5
Variables a, b
Exponentes 6, 4
Al decir respectivamente: 6 es exponente de
«a» y 4 de «b».
Y Parte literal a6b4
6b4.
 Calcula la suma de coeficientes de la E. A.:
4a3b4 – a6b + 2a3b4 – 3
Ejercicios
 Dado el término algebraico: –9x7y3
Resolución :
Completa
:
Coeficiente :
Exponentes :
Variables
:
Parte literal :
Resolución
Completa
Coeficientes
Suma
Grupo
 Calcula la suma de exponentes de la E. A.:
2x3y4 – 5x6y5 + 9
 Construye el término algebraico cuyo coeficiente sea
12, sus variables x.z y sus exponentes sean 2 y 1
respectivamente.
 Completa según la E. A. 3x y – 7x y + 15x y
Coeficientes :
Exponentes :
Variables
:
Parte literal :
 Completa según la E. A.
12a3b4 – 5ab2 + 9a5b7 – 3
Coeficientes :
Exponentes
:
Variables
Parte literal
:
:
:
:
:
:
 Calcula la suma de coeficientes de la E. A.:
5a2b4 + ab – 14a6b7
 Dado el término algebraico: 33a4b
Completa:
Coeficiente :
Exponentes :
Variables
:
Parte literal :
3 4
:
2
8 7
Resolución
Coeficiente: 12
El término es:
Variables:
x; y2x 2z 1 es tácito
 
Exponentes: 2; 1
 12x2z
 Construye un término algebraico cuyo coeficiente sea –
25, sus variables p, q, n; sus exponentes 7; 3; 5
respectivamente.
 Construye un término algebraico cuyo coeficiente sea
(–3 + 10), sus variables x, y. El exponente de
«x» es 8 y el de «y», la mitad del exponente de «x»
AHORA HAZLO TÚ
1.
Monomio, tiene un sólo término algebraico.
•
Por ejemplo: 4x3y4
+2x2
x2y3z4
también: M(x) = +5x2
M(x;y) = +10x3y4
Identificar las variables de los siguientes monomios:
a.
A(x) = 5ax2
Variable(s): ____________
G.A. = ____________
B(x) = 3a2b3x4
Variable(s): ____________
G.A. = ____________
Grados de un monomio
Cuando el monomio presenta dos o más variables se considera dos grados:
a. Grado absoluto (G.A.)
Cuando se refiere a todas sus variables y está indicado por la suma
de los exponentes de las variables.
C(x) = a3b4c2x10
Variable(s): ____________
G.A. = ____________
D(x;y) = 2x2y3
b. Grado relativo (G.R.)
Cuando se refiere a una sola variable y está indicado por el exponente
de la variable en mención.
Variable(s):
GR(x) = ____________
GR(y) = ____________
Ejemplo 1
Ejemplo 2
M(x;y) = 3x2y3
N(x;y;z) = 5x3y4z2
G.A. = 5 = 2 + 3
G.A. = 3 + 4 + 2 = 9
G.R.(x) = 2
G.R.(x) = 3; G.R.(y) = 4; G.R.(z) =
2
G.R.(y) = 3
GA = ____________
E (x;y) = 6abx2y7
Variable(s):
GR(x) = ____________
GR(y) = ____________
GA = ____________
F(x;y;z) = 4x3y4z9
6.
Variable(s): ____________
GR(x) = ____________
Si: N(x;y) = 30x2yb;
es de grado absoluto 9. Hallar el valor de "b".
Rpta.: ____________________
GR(y) = ____________
GA = ____________
7.
Sea: A(x;y) = axby5,
hallar el valor de "b", si el monomio es de grado
2.
Si: A(x) =
6x2,
entonces:
absoluto 12.
Rpta.: ____________________
GR(x) = ____________
GA = ____________
8.
Hallar el "GR(x)", si:
B(x;y) = xay4
3.
Si: B(x;y) = 6x4y5, entonces:
es de grado absoluto 7.
Rpta.: ____________________
GR(x) = ____________
GR(y) = ____________
9.
Sea "x" un monomio, entonces:
GA = ____________
GR(x) = ____________
4.
Si: C(x;y) = 7a2b3x6y3, entonces:
GR(x) = ____________
GA = ____________
10. Sea "xyz" un monomio, entonces:
GR(y) = ____________
GA = ____________
GR(x) = ____________
GR(y) = ____________
5.
Calcular el valor de "a", si:
M(x) = 5xa
es de grado absoluto 5.
GR(z) = ____________
GA = ____________
Polinomio:
Es una expresión algebraica racional entera (los exponentes de sus
variables son números enteros no negativos).
Para calcular el grado absoluto, se debe calcular:
- el grado absoluto del 1er término = 2 + 6 = 8
- el grado absoluto del 2do término = 4 + 5 = 9
- el grado absoluto del 3er término = 8 + 2 = 10
- y el mayor es: 10 = G.A.
Ejemplos:
a. 2x2 - 6x
x2 + 2x + 1
c. x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
P(x) = x2 - 2x + 4
e. P(x;y) = x2 - y2
Q(x) = 4x3 + 3x2 + x + 3
AHORA HAZLO TÚ
1.
Identificar cuántos términos tiene cada polinomio:
a.
Grados de un polinomio
Tenemos que distinguir:
a. Grado relativo, respecto a una de sus variables. Está dado por
el mayor exponente que dicha variable tiene en el polinomio.
Ejemplo: En: 5x2y4 + 3x3y3 + 2x4y + x5y2,
luego, GR(x) = 5; GR(y) = 4
b. Grado absoluto, respecto a todas sus variables. Está dado por
el mayor grado absoluto de los términos del polinomio.
Ejemplo:
Sea: P(x;y) = x2y6 + 3x4y5 - 2x8y2
luego: G.R.(x) = 8 G.R.(y) = 6
P(x) = x2 + 2x + 1
P(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1
Rpta.: _________________Rpta.: _________________
c.
P(x;y) = x2y2 + 3x + 3y3
x2 + y2 + 2xy
Rpta.: _________________Rpta.: _________________
e.
x3 + y3 + 2x2y2 + 2y3
Rpta.: _________________
6.
2.
Hallar el grado absoluto de los siguientes polinomios:
P(x) = x5 + 2x4 + 3x3 + 2x + 1 ___________________
P(y) = y6 + y5 + 4y4 + 3y2 + 5 ___________________
P(x) = 6x2 + 3x3 +7x + 8x4
Q(x;y) = x6 + y6 + 3x2y4 + 6x8y3 _________________________
R(x;y;z) = 3x3y4z8 + x8y2z + z4____________________________
Hallar el valor de "a", si el grado absoluto del polinomio:
P(x) = xa + 3x2; es 3.
Rpta.: _________________
4.
Hallar el valor de "b", si se sabe que el grado relativo de "x" es 6 en
el siguiente polinomio:
P(x;y) = 5x2y3 + 3xby4
Rpta.: _________________
5.
P(x;y) = 6x2 + 3y5 + x4y3 + 7
GR(x) =
GR(y) =
G.A. =
7.Indica verdadero (V) si la proposición es verdadera y falso (F) si es falsa.
____________________________
P(x;y) = 5x2y3 + 3x4y5 + 8x _______________________
3.
Hallar: GR(x) ; GR(y) y GA en:
Hallar: GR(x) y GR(y), si:
P(x;y) = 3x2y3 + x4y + y4
GR(x) = GR(y) =
•El grado absoluto de un polinomio es igual al grado absoluto del término
de mayor grado.(
)
•En un polinomio el grado relativo respecto a una de sus variables
viene dado por el mayor exponente que tiene dicha variable en el
polinomio.(
)
•Los términos algebraicos en un polinomio están separados por
los signos ( + ) y ( - ). (
)
•En: P(x;y) = 3ax2y3 las variables son "a", "x"
)
e
•Si: P(x;y;z) = 5x2 + 3x4y3z + 3a sus variables son: "x" e "y".
"y".
(
Algebra
5to
SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS
Sumar: a + b ; 2a + 3b + 5c y 4a - 2b + c
3.
Sumar: 3x2 + 8x + 1 ; 2x2 - 3x + 7 ; -x2 - 2x ; 4x2 - 3
(3x2 + 8x + 1) + (2x2 - 3x + 7) + (-x2 - 2x) + (4x2 - 3)
3x2 + 8x + 1 + 2x2 - 3x + 7 - x2 - 2x + 4x2 - 3
2
8x + 3x + 5
3x2 + 8x + 1
ó
2x2 - 3x + 7
-x2 - 2x
4x2
- 3
8x2 + 3x + 5
4. Sumar: 7x4 + 2x - 1 ; 3x4 + 6x + 4 y -10x4 - 8x
+2
2. Sumar: 2x3 + 5x ; 6x3 - 2x y x3 - x
hallar: A + B + 2C
Considerando los siguientes polinomios:
A(x) = 3x2 - 5x + 2
4.
3a + 5b + c ; 4a + 2b - c
B(x) = 4x3 + 3x2 + 2x – 5
C(x) = -4x + x3 + 3
D(x) = 2x4 + 5x2 - 7
5.
2.
B(x) + C(x)
b.
A(x) + D(x)
c.
B(x) + D(x)
d.
A(x) + C(x)
e.
A(x) + B(x) + C(x)
f.
B(x) + 2C(x)
g.
D(x) + 3C(x)
h.
2D(x) + C(x)
i.
2A(x) + 5B(x)
j.
2C(x) + D(x) + A(x)
Si: A = 4a + 3b - 2c + 6d
B = 5a - 2b + c - 4d
hallar: 2A + 3B
Sumar:
p + q + r ; -2p - 6q + 3r ; p + 5q - 8r
Calcular:
a.
Sumar:
6.
Resolver las siguientes adiciones de polinomios:
a. El resultado de sumar: 3x2 - 8x + 1 con el doble de:
x2 + 4x + 2 es:
b. ¿Cuál será el resultado de sumar el triple de: a2 4ab - b2 con el doble de: a2 + 3ab + b2
7.Si:
P(x) = x3 + 3x2 + 2x + 3
Q(x) = -2x3 - 4x2 - 4x + 2
determinar el valor de:
A = 2P(x) + Q(x)
8.
Si: P(x) = 5 - 9x + 8x2 - 7x3 + 6x4
Q(x) = - 5x4 + 8x3 - 7x2 + 3x - 4
calcular: P(x) + Q(x)
Rpta.: _______
3.
Dados los polinomios:
A = x2 + x + 1
B=
x2
-x+1
C = -x2 + 1
Rpta.: _______
Para restar polinomios, se escribe el polinomio minuendo con sus
respectivos signos y a continuación el polinomio sustraendo, cambiando el
signo de cada uno de sus términos; si hay términos semejantes se
reducen. Ejemplo:
a.
Si: P(x) = 4x3 + 3x2 - 2x - 1 ; Q(x) = -5x2 + 3x + 2
determinar el valor de: P(x) - Q(x).
d.
Si: P(x) = x2 + 3x + 2 ; Q(x) = x2 + x - 1
determinar el valor de: P(x) - 3Q(x).
De: 4x - 2y + 5z restar: 3x + 4y + z
4x - 2y + 5z - (3x + 4y + z)
4x - 2y + 5z - 3x - 4y - z
x - 6y + 4z
b.
c.
4x - 2y + 5z
ó
-3x - 4y - z
x - 6y + 4z
Restar: 4a3 + 6b2 + a - 5 de: 8a3 + 10b2 + 6a
4.Resuelve las siguientes sustracciones de polinomios:
AHORA HAZLO TU
1.
a. Restar el polinomio: 2x4 + 3x3 + 2x2 + 3x + 2 del polinomio:
Considerando los siguientes polinomios:
3x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 3
A(x) = 3x2 + 4x - 6
B(x) = x2 - 2x + 3
b. Indicar el resultado de restar la suma de x3 + 3x2 + x + 2 con: x2 - 3x2
C(x) = 2x2 + x + 2
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
+ x - 2; de la suma de 2x3 + x2 + x + 1 con: x3 + x2 + 2x - 6
calcular:
A(x) - B(x)
C(x) - B(x)
A(x) - C(x)
A(x) - B(x) - C(x)
3C(x) - 2B(x)
2A(x) - 3C(x)
A(x) - 3B(x)
A(x) - 4C(x)
2A(x) - 4B(x) - C(x)
A(x) - [B(x) - C(x)]
5.
Si: A = x2 + 6x + 1 ; B = 3x2 - 5x + 2 ; C = 4x2 - 6x - 1
calcular: C - A - B.
6.
Si: P(x) = 5x4 + 2x3 - 3x2 + x + 5 ; R(x) = -5x3 + 2x2 - 6x - 6
calcular: B = P(x) - R(x).
7.
Si: P(x) = 4x2 - 5x2 + x ; R(x) = 6x2 - 3x - (y2 - x)
calcular: P(x) - R(x).
8.
Si: M(x) = 2x2 - 5x + 4; N(x) = 3x2 - 7x + 6
calcular: 3M(x) - 2N(x).
9.
3.
Efectuar las siguientes restas de polinomios:
a. De
5m3
b. De
-a5b
-
9n3
+
+
6m2n
6a3b3
-
-
8mn2
18ab5
restar
+ 42 restar
14mn2
-8a6
-
+
21m2n
9b6
-
+
5m3
11ab5
-
Si: P = 5x - 7t + 30
Q = -10t + x - 4t + 20
- 18
11a5b
R = x - t + x - 11 + 12t
calcular: P - Q - R.
10. Si: M(x) = 2x2 - 5x + 4 ;
N(x) = 3x2 - 7x + 6 ;
P(x) = 5x2 - 2x + 1
Para poder reducir o simplificar expresiones de la forma:
calcular: 5M(x) - N(x) - P(x).
a . (b + c)
Se hace uso de la Propiedad Distributiva:
11. Dados los polinomios:
a(b + c) = ab + ac
P(x) = x4 + 6x - 1
Q(x) = x4 - 2x3 - x2 + 6
además de considerar:
R(x) = -4x3 + x2 + 6x + 11
calcular: P(x) - Q(x) - R(x).
12. Dados los polinomios:
P(x) = x4 - (2x3 - x + 1)
Q(x) = x3 + 5x2 - (6x - 3)
calcular: P(x) - Q(x).
Ley de Signos:
(+) . (+) = +
(+) . (-) = (-) . (-) = +
(-) . (+) = Conclusión:
* Si se multiplica dos expresiones del mismo
signo se obtiene siempre "+".
* Si se multiplica dos expresiones de signos
contrarios, se obtiene siempre "-"
-3x4(2x - 5x5 + 1) = -3x4(2x - 5x5 + 1)
=-
x +
x -
I.
Efectúa cada uno de los casos en tu cuaderno, si es posible simplifica
cada expresión:














x
Ahora con tu ayuda:
x4y2z3(xyz2 - 2x4y4z) = x4y2z3(x y z2 - 2x4y2z )
= x y z
-
x y z
4(5x + 3)
4xy3(x7 + 2x4 - 3x7 + x4)
-3(5xy - 2)
-x4y(x4 - 5x3 + y3 + 2x4)
7x(x2 - yx2)
3x2y3(x3 - z4 + x3)
-3x2y3(x3 - y2)
2x2y2(x2 + x2 + y2)
4x2(x3 - x7 + 2x4)
-5xy(xy - 3xy + 5x2y)
-3xy2(x - y + 2xy)
2x2y3(3x3y - 2x4y3)
5(x + 2y - 3z)
-5x4(2x2 - 3x3 + 5x3)
II. Reduce en cada caso en el cuaderno:
1.
2x4(x5 - 3x2 - 2) = 2x4(
=
x
x5 - 3x2 - 2)
-
x
-
2.
G(x) = 3x2(x - 1) + 3x2
3.
F(x) = -5x(2 - 3x) + x(10 - 6x)
4.
x4
P(x) = 2x(x2 + 1) - 2x3
5.
E(x) = 7x3(x2 - x4) + x4(7x3 + x)
M(x) = 3x4 - 5x(x2 + x3) + (3 + 2x4)
I.
Para dividir un polinomio entre un monomio, se divide cada término del
polinomio entre el monomio. Además, se debe considerar:
Ley de Signos:
(+) 
(+) 
(-) 
(-) 
(+)
(-)
(-)
(+)
=
=
=
=
Conclusión:
* Si se dividen dos expresiones
del
mismo
signo,
el
resultado siempre es "+"
+
+
-
*
Si se dividen dos expresiones
de signos contrarios, el resultado
siempre es "-"
AHORA HAZLO TU
Reduce cada uno de los siguientes casos en tu cuaderno, si es posible
simplifica cada expresión.
15 x 9 y 3
 3x 6 y 2
(16x6y6 - 36x9y5)  (4x5y5)
12 x13 y10  3x14 y 9  9x10 y 8
3x10 y 8
5.
x
1.
x4
8x 4 y 5
 4x 4 y6
Ejemplos
Efectuar cada caso:
8
16 x 7 y 8
12 x 6 y 7  32 x 5 y 8
xn
 x 8 4  x 4
Recuerda que:
xm
200 x 8 y 9z10  300 x 6 y10 z9  300 x5 y 8z10
 x n m
 100 x5 y 8z9
6.
8 9
24 x y
3 6
4x y

8
24 x 6 y 9
9
24 x y
. 3 . 6  6x5 y 3
4 x y
(Se trabaja con los que tienen la misma variable)
5 3
7.
12 x y

32 x 6 y14
8x 5 y 8
8. (16x4y9 - 32x6y9)  (4x3y8)
x 2  z2
HABILIDAD OPERATIVA
y2
î
Rpta.: _______________
g.
xy yz

10
6
î
Rpta.: _______________
h.
2x + 5y - 3xy
î
Rpta.: _______________
i.
z2  y 2 2 x

13
5
î
Rpta.: _______________
f.
Reemplaza para cada caso: x = 5; y = 2; z = 3 y obtén el valor
mentalmente:
a.
xyz
2
î
Rpta.: _______________
b.
2x - 3y - z
î
Rpta.: _______________
c.
x 2 - y4
î
Rpta.: _______________
î
Rpta.: _______________
î
Rpta.: _______________
4
d.
e.
y  2z
x2 + y2 + z2