Álgebra Lineal & Métodos Numéricos
Dpto. Matemática Aplicada y Estadística
26/06/2015
Grado en Ingeniería en Sistemas de Telecomunicación
Grado en Ingeniería Telemática
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MUY IMPORTANTE: Escriba su nombre y apellidos en todas las páginas
Entregue por separado los problemas 1-5-9 (para David), 2-3-4-8 (para Juan) y 6-7-10
(para María). Incluya el enunciado en la parte de María
Todos los problemas valen 1 punto
La duración del examen es de 3 horas
PROBLEMAS COMUNES
1. Razone si las siguientes afirmaciones son ciertas o falsas.
a) Si A, B ∈ Mn son simétricas, entonces A + B y A · B también son simétricas.
b) Un sistema de ecuaciones lineales homogéneo que tiene el rango de la matriz de
coeficientes igual al número de incógnitas puede ser compatible indeterminado.
Nota: Si el apartado a) es cierto se debe demostrar, y si es falso se debe proporcionar
un contraejemplo. En cambio en el apartado b), al ser la pregunta si puede ser, si
la respuesta es afirmativa basta con encontrar un ejemplo, mientras que si es falsa
se debe demostrar matemáticamente
2. Calcule los números a, b ∈ R que hacen que el vector ~v = (a, b, −37, −6) ∈ R4
pertenezca al subespacio
S = span {(1, 2, −5, 3), (2, −1, 4, 7)}.
3. Calcule una base ortonormal del subespacio de R4
T = span {(1, −1, 1, 1), (2, 0, −1, 0), (1, 1, 0, 1)}
4. Calcule en función de m ∈ N la matriz
m
2 −1
−1 2
5. Resuelva mediante factorización LU el sistema
4x − 2y = 5
3x + 4y = 7
Nota: Cualquier otra forma de resolver el sistema no será puntuada.
6. Aplique la regla de los trapecios compuesta con N = 2 subintervalos para aproximar
Z 0.9
2
ex dx
0.5
7. Aplique 3 iteraciones del método de la bisección, partiendo de [a0 , b0 ] = [1, 2], para
aproximar una solución de
cos x = e−x
Nota: Es necesario reescribir la ecuación antes de aplicar el método de la bisección,
y se debe utilizar radianes.
PROBLEMAS OPTATIVOS
Los alumnos que hayan realizado la evaluación continua a lo largo del curso no
necesitan hacer estos ejercicios
8. Calcule una base del subespacio S ⊥ , siendo S el subespacio del problema 2
9. Aplique una iteración del método de Newton partiendo de (x0 , y0 ) = (0, 0) al sistema
de ecuaciones no lineales
x + y2 − 1 = 0
x2 − y + 2 = 0
10. Demuestre que existen y calcule mediante el procedimiento que quiera (gráfico,
algebraico o símplex) el máximo y el mínimo (y los puntos en los que se alcanzan)
de la aplicación lineal
f (x, y) = x + y
en el conjunto de restricciones
K = {(x, y) ∈ R2 ; 2x + 3y ≤ 12 , 2x − y ≤ 4 , x ≥ 0 , y ≥ 0}
