Problemas de derivación numérica Capı́tulo 1 1.1. Ejercicios del Capı́tulo 2 2. Utiliza las fórmulas de diferencias progresivas y regresivas de dos puntos para determinar las entradas que faltan en las siguientes tablas: f (x) f 0 (x) x 0.5 0.4794 0.6 0.5646 0.7 0.6442 x f (x) f 0 (x) 0.0 0.00 0.2 0.7414 0.4 1.3718 3. Sea f (x) = log(x) y x0 = 1.8. Calcula el error cometido al aproximar f 0 (1.8) utilizando la fórmula progresiva de dos puntos. Compara los resultados obtenidos para h = 0.1 h = 0.01 y h = 0.001. Calcula el valor de h para que el error cometido sea menor que 10−2 . 4. Utiliza la fórmula de tres puntos más precisa para determinar las entradas que faltan f (x) f 0 (x) x 1.1 9.025013 1.2 11.02318 1.3 13.46374 1.4 16.44465 5. Dados los siguientes valores de f (x) = log x, xi f (xi ) 2 0.69315 2.2 0.78846 2.4 0.875469 a) Halla el valor de f 0 (2.0) usando una interpolación lineal y una cuadrática. Calcula una cota del error cometido y el error absoluto. 1 2 CAPÍTULO 1. b) Calcular también una aproximación del valor de f 00 (2.2). Obtén una cota superior del error y calcula el error absoluto cometido, suponiendo que f 00 (2.2) = 0.6931. 6. Dados los siguientes valores para la función f (x) = x4 , xi 0.4 f (xi ) 0.0256 0.6 0.1296 0.8 0.4096 calcula f 0 (0.6) y f 00 (0.6). Compara los valores obtenidos con la solución exacta; obtener una cota de los errores de truncamiento. 7. Utiliza las fórmulas de 3 puntos más precisas para calcular las entradas vacı́as de la siguiente tabla: x f (x) f 0 (x) 1.1 9.025013 1.2 11.02318 1.3 13.46374 1.4 16.444465 8. Utiliza las fórmulas de 3 puntos más precisas para calcular las entradas vacı́as de la siguiente tabla: x 8.1 8.3 8.5 8.7 f (x) f 0 (x) 16.94410 17.56492 18.19056 18.82091 9. Sea f (x) = xex . Utilizando la tabla de valores siguiente, calcula una aproximación de f 0 (2) utilizando las fórmulas de tres y cinco puntos. Calcula los errores absolutos cometidos en cada cálculo. x 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 f (x) 10.8894 12.7032 14.7781 17.149 19.855 10. Utiliza los siguientes datos sabiendo que las cinco primeras derivadas de f están acotadas en el intervalo [1, 5] por 2,3,6,12 y 23 respectivamente, para aproximar f 0 (3) tan precisamente como sea posible. Encontrar una cota del error. 1.1. EJERCICIOS DEL CAPÍTULO 2 3 1 2 3 4 5 x f (x) 2.4142 2.6734 2.8974 3.0976 3.2804 11. En un circuito con un voltaje impreso g(t) y una inductancia L, la primera ley de Kirchoff nos da la siguiente relación di + Ri dt donde R es la resistencia del circuito e i es la corriente. Supongamos que medimos la corriente para distintos valores de t y obtenemos los datos g(t) = L t 1.00 1.01 1.02 1.03 1.04 i 3.10 3.12 3.14 3.18 3.24 donde t está medido en segundos, i en amperios, la inductancia L es una constante de 0.98 henries y la resistencia es 0.142 ohms. Aproxima el voltaje g(t) cuando t toma todos los valores de la tabla anterior. 12. Sea f (x) = ex/8 . a) Calcula, tomando h = 0.1, una aproximación de f 00 (0.3) y una cota del error cometido. b) Calcula el valor de h para que al aproximar f 0 (0.3) mediante una fórmula de derivación numérica de tres puntos, una cota del error cometido sea menor que 10−3 . Con los resultados obtenidos, calcula una aproximación de f 0 (0.3). 13. Sea f (x) = ex/3 y sea h = 0.001. Utilizando las fórmulas vistas en clase, calcula la aproximación más precisa de f 0 (2). Calcula una cota del error cometido. 14. Determina el término de error para la fórmula f 0 (x0 ) ≈ 1 (f (x0 + 3h) − f (x0 − h)) 4h 15. Utilizando la serie de Taylor, calcula el término de error para la fórmula f 0 (x0 ) ≈ 1 (f (2h) − f (0)) 2h y demuestra que dicho término es de la forma 13 h2 f 000 (ξ). 16. ¿Podrı́as encontrar una fórmula de aproximación de f 0 (x0 ) cuyo término de error sea de la forma O(h3 ) y que contenga solamente dos evaluaciones de la función f ? Demuestra si se puede o da un contraejemplo. 4 CAPÍTULO 1. (x0 ) y la fórmula regresiva 17. Promediando la fórmula progresiva f 0 (x0 ) ≈ f (x0 +h)−f h f (x0 )−f (x0 −h) 0 f (x0 ) ≈ , cada una de ellas con un error O(h) se obtiene la fórmula cenh f (x0 +h)−f (x0 −h) 0 trada f (x0 ) ≈ con un error O(h2 ). Demuestra por qué. (Indicación: 2h determina al menos el primer término del error (en la serie) de cada fórmula. 18. ¿Cuál es el fallo en el siguiente análisis?: Mediante la fórmula de Taylor, se tiene: h2 00 f (x + h) − f (x) = hf (x) + f (x) + 2 2 h f (x − h) − f (x) = −hf 0 (x) + f 00 (x) − 2 00 sumando, se obtiene la expresión exacta para f (x): 0 h3 000 f (ξ) 6 h3 000 f (ξ) 6 f (x + h) + f (x − h) − 2f (x) = h2 f 00 (x) 19. 20. ¿Cuál es el fallo en el siguiente análisis?: Mediante la fórmula de Taylor, se tiene: h2 00 f (x) + 2 h2 00 0 f (x − h) − f (x) = −hf (x) + f (x) − 2 f (x + h) − f (x) = hf 0 (x) + h3 000 f (ξ1 ) 6 h3 000 f (ξ2 ) 6 por tanto: 1 h 000 00 000 f (x + h) − 2f (x) + f (x − h) = f (x) + f (ξ ) − f (ξ ) 1 2 h2 6 Y, por tanto, el error en la fórmula de aproximación para f 00 es O(h). 21. Deriva las fórmulas a) f 0 (x) ≈ b) f 00 (x) 1 (f (x + 2h) − f (x − 2h)). 4h ≈ 4h1 2 (f (x + 2h) − 2f (x) + f (x − 2h)). y establece las fórmulas de error de las mismas. 22. Obtén las siguientes fórmulas de aproximación: a) f 000 (x) ≈ b) f (4 (x) ≈ 1 (f (x + 2h) − 2f (x + h) + f (x − h)). 2h3 1 (f (x + 2h) − 4f (x + h) + 6f (x) − 4f (x h4 − h) + f (x − 2h)). 1.1. EJERCICIOS DEL CAPÍTULO 2 5 y establece las fórmulas de error de las mismas. ¿Cuál es más precisa? (Indicación: considera la serie de Taylor para D(h) ≡ f (x + h) − f (x − h) y S(h) ≡ f (x + h) + f (x − h)). 23. Deduce la fórmula f (x2 ) 2 f (x0 ) f (x1 ) − + f (x) ≈ 2 h 1+α α α(α + 1) 00 de las dos maneras siguientes: utilizando los puntos no equiespaciados x0 < x1 < x2 , donde x1 − x0 = h y x2 − x1 = αh: a) Aproximando f (x) mediante el polinomio de interpolación de Newton de grado 2. b) Calculando los coeficientes indeterminados A, B y C en la expresión f 00 (x) ≈ Af (x0 ) + Bf (x1 ) + Cf (x2 ), haciéndola exacta para los polinomios 1, x − x1 y (x − x1 )2 , y ası́ es exacta para los polinomios de grado ≤ 2. 24. En el problema anterior, utilizando el desarrollo de Taylor, prueba que f 0 (x1 ) = h f (x2 ) − f (x0 ) + (α − 1) f 00 (x1 ) + O(h2 ) x2 − x 0 2 Comprueba que el error para aproximar f 0 (x1 ) por [f (x2 )−f (x0 )]/(x2 −x0 ) es O(h2 ) cuando x1 es el punto medio entre x0 y x2 y O(h) en otro caso. 25. Un cierto cálculo requiere una forma de aproximación para f 0 (x)+f 00 (x). ¿Cómo de buena es la expresión siguiente?: 2 2−h 2+h f (x + h) − f (x) + f (x − h) 2h2 h2 2h2 Deduce esta expresión y su término de error.
