Un breve resumen de las reglas formales del cálculo de predicados

Cálculo formal de predicados (C.F.P.)
El alfabeto de C.F.P:
Variables: x1 , x2 , . . .
Constantes individuales: a1 , a2 , a3 , . . .
Letras para predicados: A1 , A2 , A3 , . . .
Letras para funciones: f1 , f2 , . . .
Sı́mbolos de puntuación: ( , )
Conectores: ¬ (negador), → (implicador)
El cuantificador universal ∀.
El resto de conectores: ∨ (conjuntor), ∧ (disyunctor), ↔ (coimplicador) se consideran abreviaciones y se definen a través de los conectores ¬ y →. El cuantificador existencial ∃ se define de la
sigiente manera:
def
(∃xi )A = ¬(∀xi ¬(A)).
Se especifican reglas sintácticas para producir términos y fórmulas bien formadas.
Los términos se forman al aplicar un número finito de veces las dos siguintes reglas.
Una constante o una variable es un término;
Una expresión fj (t1 , . . . , tn ) es un término, si t1 , . . . , tn son términos.
Por ejemplo, f1 (x1 , f2 (a1 , x2 )) es un término, y f1 x1 a1 ∀∀ no lo es.
En este breve resumen, omitimos las reglas para producir fórmulas bien formadas, pero daremos
algunos ejemplos.
Ejemplos de fórmulas bien formadas:
1) ∀x1 A1 (x1 )
2) ¬∀x1 ¬(∀x2 A1 (f1 (x1 , x2 )))
3) ¬(A1 (x1 , a1 ) → A2 (x2 , a2 )).
Ejemplos de fórmulas mal formadas:
1) ∀∀A1 (∀x1 (
2) x1 ∀∀
3) x1 x2 .
Se introducen los siguientes axiomas y reglas de inferencia.
Axiomas de C.F.P. (esquemas de axiomas)
Sean A, B, C fórmulas bien formadas cualesquiera.
1) A → (B → A)
2) (A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C))
3) (¬A → ¬B) → (B → A)
4) ((∀xi )A → A), si todas las ocurrencias de xi en la fórmula A son ligadas.
5) ((∀xi )A(xi ) → A(t)), si A(xi ) es una fórmula bien formada del lenguaje, t es un término y xi
no aparece libre en el radio de acción de cualquier cuantificador (∀xj ), para toda variable xj
que entra en el término t.
6) (∀xi )(A → B) → (A → (∀xi )B), si A no contiene ocurrencias libres de la variable xi .
Nótese que cada uno de estos esquemas de axiomas da lugar a un número infinito de axiomas.
Explicación de la terminologı́a utilizada:
El radio de acción de un cuantificador en una fórmula abarca al término inmediatamente siguiente, haciéndose imprescindible el uso de paréntesis para aumentar su radio de acción.
Ejemplo:
∀x(A1 (x) → A2 (z)). El cuantificador abarca a A1 (x) y A2 (z).
Una ocurrencia de una variable xi es ligada en una fórmula si y sólo si se da una de las siguientes
condiciones:
La variable xi está inmediatamente después del sı́mbolo ∀.
La variable xi está en el radio de acción del cuantificador ∀xi .
Una variable xi es libre en una fórmula si no tiene ninguna ocurrencia ligada en la misma. En el
siguiente ejemplo, la variable x2 es libre, puesto que no tiene ninguna ocurrencia ligada. Sin embargo,
la x1 presenta una ocurrencia ligada, ya que A2 (x1 ) cae dentro del radio de acción del cuantificador
∀x1 .
(∀x1 (A1 (x2 ) → A2 (x1 )) → A2 (f1 (x3 )).
Reglas de inferencia.
(R1) La llamada regla “Modus ponens´´: De A y A → B deducimos B, donde A y B son dos
fórmulas bien formadas cualesquiera de nuestro lenguaje.
(R2) Generalización: De A deducimos ((∀xi )A), donde A es una fórmula bien formada cualquiera
y xi cualquier variable.