Matemática 3

Recursos didácticos Matemáticas 3 Recursos didácticos Matemáticas 3 Mate 3 Ateneo cov docente.indd 1 3 Matemáticas Xóchitl Rosal Amador Eduardo Mancera Martínez Guadalupe Carrasco Licea Pilar Martínez Téllez 12/12/08 4:08:07 PM Matemáticas 3 Recursos didácticos Xóchitl Rosal Amador Eduardo Mancera Martínez Guadalupe Carrasco Licea y Pilar Martínez Téllez El libro Matemáticas 3. Recursos didácticos es una obra colectiva creada y diseñada en el Departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana, con la dirección de Antonio Moreno Paniagua G-Mte 3 Ateneo Conaliteg.indd I 12/12/08 12:53:56 PM El libro Matemáticas 3. Recursos didácticos fue elaborado en Editorial Santillana por el siguiente equipo: Edición: Guillermo Trujano Mendoza, José Luis Acosta y Pilar Vergara Ríos Lectura de pruebas: Patricia Tlapanco Colaboración: Claudia Navarro Castillo y Javier Esquivel Revisión técnica: Raúl Zamora, José Luis Córdova Frunz Coordinador Editorial: Armando Sánchez Martínez Corrección de estilo: José Luis Acosta y Alberto de la Fuente Diseño de portada: José Francisco Ibarra Meza Diseño de interiores: Ivonne Carreón Arredondo y José Luis Acosta Coordinación Diagramación: Alejo Nájera Hernández Coordinación de Iconografía: Germán Gómez López Ilustración: Héctor Ovando Jarquín, Sergio Bourguet, Eliud Monroy, Abelardo Culebro Bahena, Augusto Mora, Astrid Stoopen y Naandeyé García, Susana inés Morales Juárez Diagramación: Héctor Ovando Jarquín, Sergio Bourguet, Eliud Monroy, Cristóbal Henestrosa, Martha Covarrubias, Astrid Stoopen, Naandeyé García, Alicia Prado Juárez, Fausto Urbán Brizuela y Yair Canedo Camacho Digitalización de imágenes: María Eugenia Guevara Sánchez, Gerardo Hernández Ortiz y José Perales Neria Recursos didácticos 3 Matemáticas Eduardo Mancera Martínez Eduardo Mancera Martínez 6/23/08 4:35:07 PM PROHIBIDA SU VENTA La presentación y disposición en conjunto de cada página de Matemáticas 3. Recursos didácticos son propiedad del editor. Queda estrictamente prohibida la reproducción parcial o total de esta obra por cualquier sistema o método electrónico, incluso el fotocopiado, sin autorización escrita del editor. D. R. © 2008 por EDITORIAL SANTILLANA, S. A. DE C. V. Av. Universidad 767 03100, México, D. F. ISBN:978-607-01-0115-1 Primera edición: enero 2009 Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 802 Impreso en México G-Mte 3 Ateneo Conaliteg.indd II 12/12/08 12:53:57 PM Presentación ¿Para qué estudiar Matemáticas? Seguramente sus estudiantes se han hecho esta pregunta muchas veces. Este libro de recursos está pensado para apoyarlo en la relación con sus alumnos: para que usted pueda guiarlos a contestar las preguntas que se hacen, a animarlos a seguir cuestionándose, a buscar, explorar, entender y disfrutar el mundo de la matemática. Con base en las orientaciones que contiene este texto, usted podrá guiar a sus alumnos al descubrimiento de los conocimientos de esta materia, pero sobre todo, a darse cuenta de que la matemática es mucho más que aprender fórmulas y resolver operaciones, mucho más que números y signos. Matemáticas 3. Recursos didácticos es una herramienta que permite a los docentes de la asignatura acompañar el trabajo de los escolares. Este material brinda a los maestros y las maestras elementos para facilitar a los estudiantes el desarrollo de habilidades. Proporciona a los profesores herramientas para despertar la curiosidad y ayudar a los alumnos en el desarrollo de las habilidades como seres humanos, como entes pensantes, creadores y transformadores. En esta obra encontrará una dosificación en cinco bimestres de los temas del libro del alumno, prevista para 40 semanas de clases. En ésta se especifican los propósitos de cada bloque y las competencias, además de los conceptos, habilidades, actitudes y aprendizajes esperados de cada tema. Asimismo, con base en las actividades realizadas, el logro de los propósitos previstos, las observaciones de los docentes y la aplicación de exámenes, sugiere los momentos convenientes para evaluar el aprendizaje de las alumnas y los alumnos. Se incluyen, como una propuesta más para la evaluación de los estudiantes, dos modelos de exámenes por bimestre elaborados a partir de la dosificación de los contenidos del libro del alumno y, para facilitar el trabajo de calificación, se añaden las respuestas de los diez exámenes. Además, se adjunta una bibliografía para el docente. PROHIBIDA SU VENTA Este ejemplar también presenta la reproducción del libro del alumno, acompañado de orientaciones para conducir las clases de Matemáticas 3, adecuadas al programa de la asignatura. El propósito es facilitar a las profesoras y los profesores algunos elementos que, sumados a su experiencia y creatividad, les permitan organizar y dirigir el trabajo de los educandos. Deseamos que el libro Matemáticas 3. Recursos didácticos responda a las necesidades de los docentes que dedican su práctica profesional y su entusiasmo a la enseñanza de las matemáticas de los estudiantes de secundaria. Presentación G-Mte 3 Ateneo Conaliteg.indd III 12/12/08 12:54:01 PM Estructura del libro de recursos En las páginas preliminares encontrará: 1. La dosificación de los contenidos del programa oficial de Matemáticas 3 organizada en 40 semanas de clase y dividida en cinco bimestres. La dosificación contiene: • • • • • • • • • • • • Bimestre que se está trabajando. Número del bloque temático. Propósitos del bloque. Indicación de la semana de trabajo. Temas y subtemas que se están trabajando. Lección y páginas en las que aparecen los temas y subtemas en el libro del alumno. Evidencia de logros con el desarrollo de cada tema. Conceptos que los estudiantes manejarán y comprenderán. Habilidades para el tratamiento de la información. Actitudes que ayudarán a los estudiantes a adquirir conciencia de las cualidades de los seres humanos. Aprendizajes esperados que proporcionan información sobre lo que los alumnos deben lograr. Sugerencia del momento adecuado para aplicar la evaluación bimestral. Dosificación GI@D<I9@D<JKI< f( 9cfhl\k\d}k`Z ]`ZXZè[\ e^lcfj\ecXaljk` Xjhl\ Zfeîl\eZ`X[\ki`} ]\i\eZ`X%I\jfcm\i}egifYc\d e\j fjZi`k\i`fj[\ iZle j`Z`f }cZlcfj%8gc`ZXi}ec \eZfefZ\icXjgf Z\ekiXc\j[\leXZ` klXe[fZ \`dgc`hl jZi`kfjp Xcldefj1 j\hl`mXc\ek\j\]\Z gc`hl\ei\cXZ`feXi}e^lcfjè ek\%I\jfcm\i}egifYc\dXjhl kXj]l\ek\j% XjXcldeXjpcfj \`d `jkè c^\YiX`ZXj\efkiX <e\jk\Ycfhl\c Xd\ icXî}]`Z Yc\dXjhl \ek\[\[ \ogi\j`fe\jX I\jfcm\i}egif \ek\pi\gi\j\ekX X[\ZlX[Xè]fidXZègifm\e` KiXej]fidXi}e liXj^\fdki`ZXj% d}j \jXicXXc^\YiX`ZXd gifg`\[X[\j[\]`^èXileXiXqe[\ZXdY`f#\ogi epi\gi\j\ekXi}e[\cXdXe\iX `dgc`hl\e[\k\id kXjpZìZle]\i\eZ`Xj%Fi^Xe`qXi} fj i\cXk`mXj\eki\i\Z <m`[\eZ`X[\cfî K\dXpjlYk\dX J\dXeX ( e\j K\dX1 [\cXjfg\iXZ`f J`ê`]`ZX[fpljf `fe\jZfdYèX[Xj JlYk\dX1Fg\iXZ ) K\dX1 i`ZXj =fidXj^\fdk jgcXeXj JlYk\dX1=`^liX * K\dX1 cXi D\[`[X i#d\[ìpZXcZl JlYk\dX1<jk`dX - HJK:CI6 EGD=>7>96 C\ZZè+1 <eki\i\ZkXjp ZìZle]\i\eZ`Xj G}^èXj1 -'$-. K\dX1 i`ZXj =fidXj^\fdk p}e^lcfj JlYk\dX1I\ZkXj , PROHIBIDA ROHIBIDA SU VENTA ^lcfj\e C\ZZè*1Ki`}e ZlX[i`c}k\ifj G}^èXj1 +)$,0 K\dX1 i`ZXj =fidXj^\fdk p}e^lcfj JlYk\dX1I\ZkXj + e K\dX1 [\cXè]fidXZ` I\gi\j\ekXZè j JlYk\dX1>i}]`ZX . / X % ) X o"Y #o"X o kfjo"Y #o" \jXcfjgif[lZ o) X) % ) X[Xj\hl`mXc\ek Zp \j`fe\jj`dgc`]`Z) ")Xoo"X) #Xoo) "Yo#o "Yoo" i`fi\jXci\Xc`qXifg\iXZ`fe\j ;\k\idèX\ogi kfi`qXZ`fe\jXek\ `fe\j[\ck`gfo =XZkfi`qX\ogi\j iX\]`Z`\ek\cfjgif[lZkfjp]XZ dXe\ DXe\aX[\ j% \eki\gfcèfd`f j [\[lZì[\fkif il\eZ`X Zfe^ fhl\j\gl\[\e cfjZi`k\i`fj[\ \ecXj_`gk\j`j i`c}k\ifjljXe[f Z`X[fjYXjX[fj Zl\eZ`X[\\ele ijXjZXiXZk\ijk`ZXj[\cfjZlX[ Fi^Xe`qXleXj\ X[\dfjkiXi[`m\ \eleZ`X[fj#gXi kifjZfefZ`d`\ekfjgi\m`fj% [\ki`}e^lcfjpf \i\eZ`X% k\jXleXZìZle] \ZkXjkXe^\ek\j idX[fgfi[fji kXe^\ek\jpj\ZXe [Xjpi\ZkXjkXe^\ek\j% kfjp\c}e^lcf]f #Zl\i :fejkilp\i\ZkXj `kfjpj\d`èjZi` e\j\eki\iX[`fj jZ\ekiXc\j#èjZi @[\ek`]`ZXi\cXZ`f e\j\eki\}e^lcf @[\ek`]`ZXi\cXZ`f glekf% % \dXj iXi\jfcm\igifYc hl\gXjXegfile e\jXek\i`fi\jgX Lk`c`qXcXji\cXZ`f C\ZZè,1 ;\}e^lcfjp ZìZle]\i\eZ`Xj G}^èXj1 -/$. . 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La evaluación bimestral, en la que se proponen dos modelos de exámenes (A y B). Cada uno está compuesto por dos páginas que pueden ser fotocopiadas para que los estudiantes trabajen con ellas. Incluye espacios para que cada escolar anote sus datos personales, s, y el docente registre los aciertos y la calificación correspondiente. 5<M8 CL8: @äEG I@D< I9@D Nom bre: Fech a: <JKI Grup o: <8 1. Dem ues mism tra, usan Calif d o, en icació tonce o congruen n: s se tr cia d ata d e triá e un Núm paral ngulos, q ero de ue si elogra puntos en un mo. E totale cuad s por xplica cubrir: riláte claram 100 ro AB ente C D cada los la paso d o so de la demo puestos m straci iden B ón. (2 lo 0 pu ntos) A 2. ¿C uánto mide ¿Por el án qué? g I6 (20 pu ntos) C ulo A ? ¿Po r qué? ¿Cuán to mide el án gulo B? ¿P or qu é? D ¿Cuán to mide el án gulo G? =>7>9 6HJ K:C G A EGD B XVIII CL8: 5<M8re: I<9 D<JK <I9@ @D I rupo: @äEG n: icació Calif ero de Núm G b Nom a: Fech g el án mide ntos) uánto 1. ¿C qué? (20 pu ¿Por r qué? ? ¿Po ulo A to ¿Cuán mide el án g r qué? ? ¿Po ulo B to ¿Cuán puntos s por totale mide el án cubrir: gulo Guía 3 doce nte 100 G? A 120° Se indica el factor en que se dividirá la cantidad de aciertos de cada examen. G B Se muestra el valor en puntos de cada reactivo. x s, omio tos bin ndo es iplica ma Mult su r. o la e lo may ado d terior. ángu result lo an lo. el rect ser el n con tura d ctángu uál debe mpla y la al de ese re ¿c base que cu ayor, ea s la m o ár n er lo m nta gu te el prese os nú resen del rectán ina d que re a que rep área eterm mios ic gebra presenta el ucto ab? D . s bino re sión al ribe lo rod + 16 b) Esc otra expre 2 + 12x + 16 ado del p 2 + 12x io 2x result obtén omio 2x inom ser el r el tr el trin uál debe oriza c) Si a fact b? ¿C a+2 or par ri te lo an d) Usa 6 =>7>9 HJK :CI6 b EGD PROHIBIDA SU VENTA ) puntos 0 ide. (2 r. o e se p lo qu lo may y haz ctángu figura del re te ea n ár te el siguie n a la se re rman e rep que fo braica qu gulos ge rectán presión al 2x e los ex uno d obtén una a d de ca teriores, área be el eas an ri ár s sc o la 2. E mand a) Su XX Guía nte doce Estructura del libro de recursos G-Mte 3 Ateneo Conaliteg.indd V V 12/12/08 12:54:03 PM 3. Las respuestas de los exámenes modelo para facilitar al educador la tarea de calificar. 5I<J GL<J K8J EVA RESP UEST AS D E LA 1. LU EGD =>7>9 6HJ K:C I6 Se tr ACIÓ az N DE L PRIM CD y a la diag onal ER BI AC. Se triáng BC mide MEST lo ul RE (A tes. Po os ABC mismo qu sabe que ) y 3. de án r tanto, lo CDA. Po e DA. AC AB mide s ángu lo gulos r LLL es un altern los B lado co mismo qu lo s a) (x tr C os inte iá e A + rnos, y CAD so ngulos so mún de lo b) (4 7)(x – 6). n los la – dos B n iguales. congruen s c) (5 y)(4 + y). B CyA – 4z) 2 D son Por tratarse 4. . parale Se sa los. be B DOA que AO A L A L y BOC so = OC y qu lo n los án s triángu iguales e DO = O C por se A intern gulos A y los DOA r opue B. Además B y os, lo , s lado son igual BOC son stos por el los ángu lo es s AD C D y CB . Por tratar congruent vértice. Po s De m es son pa r se an ralelo de ángu . Por ello er trián a anál los al , s. gu A ternos D DBC los BCD oga, se tr aza la A D ternos y ADB so y DA B so diag n n O Com , los lados iguales. congruent onal BD. G D Por tr o A parale los lados B y CD atarse es. Por ello Por LLL B De m B so lo opue logram 2. an stos so n paralelo de ángulo , los ángu s o. congr era anál lo s alte s. n para oga, uentes rnos s C lelos, po ángu El án inel cu los al . Por ello r L A L lo gulo A adrilá te Com s el mis tero es o los rnos inte , los ángu triángulo mo ar mide 60° po rn lo parale la s 60° po un co qu rque logramdos opue os, los lado s G y D so AOB y C 5. stos so O n mide r ser opue e el ángu es un ángu o. lo n para s A B y CD iguales. D son 30 Po mo ar ° porque sto por el inscrito de lo central so lelos, a) Los qu co qu vé el cu n paralelo r ser 3. e el án es un ángu rt ice al 30°. El án e subtiend gentes ángulos adrilá O gulo tero es s. e lo insc ángulo P gulo so B n perp y BPQ tange cent ra a) x 2 A. El B mide rito qu un en nc − m di l ia án 11 B. 4. id e subt culare . b) El x + 18 iende gulo G s al ra en 90° po se , b) 4 gm rque dos ra el mis ento dio qu abb, c) a) (x OQ ti (6 – 4 e pasa las rect – 8)(x c) La dios. 5. ene lo x)(3 – as tan por el – 1), suma n 2x) = gi b) 4a pu que es tud 5, de lo nto de 8x 2 – (b + 2 s a) Po que es 24x + b +a 68° po la medida dos ángu r ), c) ( 18. la su los del r ser el tanto, tratarse de m + 1) ma de tercer ángulo ce semiinscri (m – los b) Los PB mide rectas ta to nt ángu 1), d) lo mis ngent lo inte ral. Por ta s BPC y P (y + 8) 2 el án ángulos es, A RESP m nt C ri o o B or qu A se P gu es UEST m del tr el án lo centra miinscri e A P, es de = PQ y AS D 1. iángu ide 180 – 112, tos PA E LA PQ = gu lA 112 = lo BP ci EVALU trián lo QPA PB. Po C A mid OQ, que Q y AQ r, 2 cm. . gulo. ACIÓ r P su m e 180 N DE Cantid – 74 ide 2 × 37 man tant L SEG ad de = 106° UND o libras = O BIM (x) por es 74°. Por como Cantid RESP ESTR ad de UEST tant tar en 0.5 kilogr E (A) 1. AS D el mis o, 1 amos E LA 1.5 ( m y ) E o b) Los VALU 0.225 A mid 2 ACIÓ pu 0.4 e 3 nt 5 pend N DE la circ 90° porq 0.675 x iente os son (1 L PRIM ue un 0.9 , es c) 0 0.45) ER BI porque ferencia es un án Los (0.9 1.35 MEST 0.45x pend puntos so – 0.45)/(2 y (2, 0.90 el án es un án en los ex gulo insc RE (B ). ie tr gu gu ri ) d) Sí nte es (1.3 n (1, 0.45 − 1) = 0.45 La razón ángu lo centra lo inscri emos de un to cuyos ) es de ca la lo to variab función 5 – 0.45)/(3 y (3, 1.35 . mbio Por ta central qul de 120°. que subt diámetro dos cortan le x ap linea − 1) = ). La ra o iende nto, G G subt .Bm e mid a 2. bi l, zón de oo arec pued 0.45 el id ie mide e cambi 120°. 360° − 12 nde el m mismo ar e 60° igual pendiente e con expo en dar va . co is oo A mar 0° = a 240°. mo arco qu que e) Sa 0.45, porq entre cual nente 1, rias razone il porque bi tángu lo: 2x 2; ve quier e el s: porq sobre endo que ue y es di rde: ax lo may pa la ue la reja razó b) Bas rect la rect es or: 2 2 x; azu a para lineal, só amente de puntos n de cam c) a + e: 2x + a, x + axx + l: 2bxx; mor prop lo graf ic es al 2 ado: arla: necesitan orcional siempre d) 2x 2 2b = 12, ab tura: x + bxx + ab a locali b; área b = 2x 2 + abb. a) Á rea b = 16 + 12x zar do x. de (a . : + 16 mos s punt = (2x Por tanto, (2x + a)(x + 2b)x + l recos + ab. a + 8)(x + 2). = 8, b = 2. b). XXXV III Guía doce nte x 0.90 0.45 6–x 1 2 3 Libra s r es, po s. rsonal 6 os pe tos valore 2 − 34 métod stin o por obando di ación x er m u = 28 r el nú ladora y pr de la ec ltado es x ra nt ón u 2. n encoo una calc r la soluci 0. El resu s de do ue las = a) P o, usand encontra x + 28) = 6 x2 + x )( 8) = 0, pl + 31, )(x − ejem én pueden 0, (x − 28 x + 1) = x − 12 Tambi x2 − 784 = 5(2 = 0, ( + 96 x2 + x zón 2 – 20 x = 750, 8. + 31, e: en ra s 1) x 8. n −2 , + x tá = = en x do ti o x 2 96 = 20 = 12 y x dos es ue sus la 5 (x + nde se ob + sus la + 1) = do son x b) x rque jado porq ones b) x(x 5 + 31, de de ul po an soluci o al y el az illo y anar 10x + – 36 = 0 0 entari án ancas: verde ar 2 – 9x 3. rtes bl suplem r el tercer los 3) = y −3. x lígono lígonos am + es 12 x po . )( l se las pa n gu a) E y los po a 1. 60° porquee 30° por dos trián ea de2 – 3x – 18 (x − 12luciones so en 2 s a el ár x /2 2 a 1, están DE mide EBD mid r tanto, lo tes. Las so le rest 18 – 3x, én se bi B lo – es: el tam ángulo ángu BDE. Po n semejan adrado36 – x2 /2 igual anel s cu 3. l e l lo lo E so de gu y í qu triángu mej b) x)/2, área uales de ah dos án l son se tre r a) A l 2 /2 − 6(6 − 120°, terior de teriores ig tienen , por tanto encia en nx 0.8, po D – in = in C nd s B D lo 36 triá 10 lo po y C gu ángu = 31°. B’C’ es 8/ A BC común B a la corres ecuada el + 24) tienen ad gulos 4. lo ct (125 A BC a A’ trián y el ángu más dire manera – 0 os . L a de de o a) = 18 4. 6.25 tes de flejar maner lo rect 5° y B mejanza 0.8 = s tudian ángu ra ver de onales, re A = 12 n de se = 4, y = 5/ an es estudiante ci zó . entr tes. Pa s propor La ra = 5 × 0.8 l D.F ntidad de rior rebasa do x los la pe illo: ca rato de tanto amar chille por eso la media su . lo ba gu que al rativas, educación ias del D.F edia 20 de 5. if ica m ar fede a) Sign tidades primero delas secund ucación en a ed s en sados de otras esaron re culado matri ero de eg , no ingr ndaria. ) án (B m el nú Michoac s de secu STRE do BIME b) En 0 egresa NDO 10 SEGU cada DEL E LA AS D UEST RESP 1. N ACIÓ EVALU nadas . s orde = 1.11 de la = 10/9 0.8. mbio absci(9 − 0) = 4/5 = zón de ca a las − 34)/ − 0) ecto la ra nstante. sp a) (4 4 − 34)/(15 re ue rq co po adas b) (46 es lineal isas no es las orden da recta. sc ca c) No to a las ab riación de os sobre nt respec er var la va par de pu d) Obs cualquier sas en = 5/25) = 15(1 que x por lo 15/25, za es La an ej o. m mañ y de se mo ta ivo” razón = 12. l mis n “posit que b) La 20(15/25) les de diga papeles n pape les que 9, y = 8 l al co r pe ne pe as pa s bols tener 3 pa a debe te trae un racaso” do 5. n ex “f . Se segund de quiere a un s debe Se re a de ella ativo”. La n negativo vo se anot carse otro si m = −1 y er r prim digan “neg 2 que diga sale negati vo, debe sa “fracaso” 4. Po decir, 7 que positivo y a bolsa. Si sale positi anota un 12, es = 1/2 n er Si se a 4 ga im ó. 2 3 2/ vo di )/ pr in ti 40 . r de m= de la ción term ce nega 80 − be se 16 cm azar di za de e 4 × 4 = n medir (1 iguales. xito”. mula a. Si XXIX n be mejan id y la si nda bols ota un “é de se grande m uales de riores so s X 2. an uesta la segu sitivo se s ig razón inte ás Resp po a) La el lado m dos ángulo s ángulos ce di s lo tanto, rque lo así todos po , y b) Sí da uno ca = 70 =>7>9 EGD K:C 6HJ I6 PROHIBIDA SU VENTA x VI Guía docente G-Mte 3 Ateneo Conaliteg.indd VI 12/12/08 12:54:04 PM Además, en la reproducción del libro del alumno encontrará: 1. Sugerencias didácticas en las columnas laterales con propuestas de trabajo y técnicas que reafirman el contenido. R. M. Po rq per ue co fu fras me n la m co q , ah ue an ism ora te a ca nti llen s lle a tr nab dad de au es. n BL OQ UE 2. Las respuestas de todas las actividades que se proponen en cada lección. 5 U dric na e lo o po mpre ven ru sa de U dió no De na e a $1 de fo perfu c la b idió mpre 350. rma mes c S d se ase d inicia sa de us g ónic ecid a a r e ju R. ven la la m M. go nan . El ió ca Fu dió ita venta s de cias de e mbia e lo a n dd a fr just la m op el á del ju utas umen vase r el fr orq itad cil as rea ta u g Pa ue el de p ra de o en saba ron índr co d seg e cu la b env em ráp ico Co un rec rio do io ida n lo su p pa as en . ¿E ase sos com tus vase del e “te ques men vend erfum s pru com tra co o co ía te d e n n p tien nv eb vas pak e for . ¿Po a $2 e qu a q añero e la in ”c ea m rq 45 e e ue mit o a o n s ad los terio n a a de p ué? 6 y e ra cil con con Es . lm im l có ínc s 3 r. tr o p en is rism nsu E l con uye nic co ortan n co mid jug ma a a re os te o u no trar n q se e in cien el vo ue se ore o en ltur ctan llen cono vers do lum a , p gu pu s e ? l el a ed am en la nu un y un en del ci del a evo ero c r. te. cilin lin co c o il dro no env n 1 dro ind , ro a se . Si d el e la vo 10 mis lum 29 2 EL ma 0m en EN AT 3 Ha ba de lla se R. un el v M ya 3 con Hay . olu ltu oe Ha ra me Triá vari as ll y s n a n gu solu 343 Alt el v de lo u 4 un o Vco ra: 3 : 40 ciones m 3 lu cm 4.0 Ha cilin no me , el lla = 1 4 cm , 40 posib nd de dro e 57 les. cm d . l eu l cil e la á ,4 20 cuy 2 cm .15 nc ind ba rea d o cm 5 o se. . ro rad e no El v la b de Tam io d Ha de ll olu ase la 3c e la rela bién mis isó a el v y me m ba sem ción convi sce ma o de n d la alt se en les lume rad el c ura los iesfer tre ene ex ba mid 6 lo cuy io d n se on de mism as, co s vo plora e2 Ha ya o e de un o p del c e la cad o lú n r ll cm ltu s4 erí a u s rad os y men la on con 15 a el á ba ios y la ra cilin es no 9 m o se c m3 rea o etr e y la de es: dro de Vcil alt y9 54 m d . A en e o e nge s m las tota s, co 7 ura 4.5 e Vco indro = n c ism bas sd l cu B = m 4 cm alt n es 5 Arq 19 as e 1 drad ura l del de 3 Vse no = 1 Pr 2h al la .6 altu 62 cm o 2 u /3P a tr m mie y .83 . 2 2c ím p ltu ras en alt sfe 6 c onc r 2h ra = cm 3 m. or la ra. ura los edes m od 2/3 Dad 8 re b d 4.8 es Pr 2 d ién cua e ra e co vo Vcil o qu Alt 2 cm h el tr luc les edujo ura e un dio no 3 Vco indro = h = ió : iple aa s 7.5 d de nd r ltu us ba una Vse no = 1 Pr 3 m de la b e rev eu ra h /3P ses rela l ra n tr En miesfe ase oluc r3 . c dio to ra tie ián , po ión r h Vco nce = 2/3 ne ión e s gu Pr 3 o ru n ra ntr 1/3 no + V lo re n p bten dio e un Vco Pr 3 + semie lan id ctá sfe a ry no o d o co ng + V 2/3P ra = tan sem u is rt r3 sem lo tan ie a =P to iesfe r3 te ndo el c sfera ra = Mu 5 a Vcil , on e u cm h indr o c un co Esta stra o de n con om q n l vé o fig rela ue: V oe oyu rtic de ura c o l cil n e. , en ión fu lum ind cilin r en e d rec ro ten ro ju ue tan in del c rdo drá nto ilin te d re de n ta s, su sante ro = h mV ide qu olum a. eA rqu en d e ím r ed la se es dis miesfe 390 pu so ra + gra V ba olum re n s en d u tu el c mb ono . ae sta La re cilin laci ó y al dro n en y tr co tura, el co e el m vo ta lum dic prob mb no d e ié h co as fo ar co n se la m en d el nte n re is rm pu nid as ed ma b e al cipie od ase lle n el otr nar tes d un o. o co e n el l va ía e de lor la a l- a stim l. ón nte linea ctr sta ión ele con a variac ja e ho Un . en nti a? ura a u en ma ener la alt dor ido. lum 3 n se g Vo 5 ula cm UE dro al se varía calc r obte .5 … 78 OQ n y a M. ilin BL n R. fijo un valo n c ncio cm 7.1 ació es 15 e u n fu io 5 o con on el im d io st d e 3) c ió E a m 5.6 rad bas ariac de r mano nes l 23 0(c 8 la e io v o Si de de indr ulo a mac 0 4.2 16 21 adio é tipo n cil cálc s esti l u el r 0 2.7 4 Si a, ¿qu era cer e ara tu 2 39 a id tur ons de h comp ulo 0 1.2 lc C tes 23 47 y 5P Cá =2 1 An ltado × 0 9.8 )2 40 P 54 e su 50 P(5 r = l e ×2 8.3 80 e ys P 25 EO EN ura Alt 1 25 P× 3= P× 25 CI 6 3 62 4 25 10 =1 7 15 0 74 P 75 1 7= P× 25 2.6 72 00 0P = ×6 68 0 64 P 25 P 3.3 0 56 0P 4 K: ,e ica P 75 4= 5 P× 25 2 var 8 0P 0 =2 na bra lge ic n ae tér min os de om sc ué e sp ob yd ca lar, ráfi la u g b P ta ea n 25 a la a de 8 Lin in me par form is. eal? a s olu v= lin de ell ura 1 com pero la lv el m 8.7 o e y s n n g o uejo la fi ra 2 valore co yv no eal q a figu n los a. 9.2 ura lin bos Us m l co alt la elo un ndo. en la M. Varía la mis es de d s s. mo haz bula nes s? R. fica es men he Si terale io un ca, ta grá ia olú on grafi áfica timac renc s li sv ác gr s es dife esa o lo der á la on ser de la de tu chas c ad o n esp u rafi s sg orr a cóm mació alore ay m 3. ? s ar de a C r a lo in ¿ al) n e ie ur m ¿H sti qu eterm espo sv ne ub fig es d rr Esti a tu e on lo rior. o li eal. te co que an si h n la o n Sí, lin rtan pued onal y ca eb la c ante o? po ae nci o no tas. e al im tes ráfi fic pru abu n la ca s Lo dian ón fu eal (lin ues T o la g grá ci ste c o a h e r ía estu rela elo lin s resp a . h r e d n d ? id qu e /3)P si la mo ten su ilin aria base de dic al e ría ten n (25 ab re qu el c ov a u men ion ,h ie u nc óm n la ejo nes requ ara v= arg sio ¿C dio e osqu ep n fu nfu o se cisos. qu el co er el ció ra nb itar prim s pre que s en ela a mo a z u delo a ev ue lore en o la fica la r H Par rar q s va la p mo grá rimer s ía s e r lo a lo la la rí d , n :p se ac ule vald orara nas pués po uál m tab uso, es o ti elab colu ) y d ¿C s Incl no .1 ism ) m e la alu en d n (Fig ig. 2 el m (F ord mació ales do ien esti res re es u valo ¿Sig P× 25 6H J 5 6 >7>9 =2 9.2 P 30 =2 c , es rib eu na re exp sió h l. HJ K: 6 CI EG D= 8.7 P× 25 7 .5P 17 P× 25 de es o fijo en d lúm nien ios vo te tre man ecesar derar n nsi n en ros res e co d ció rela cilin s valo mit s er La os o lo ar. lo p e , n ue co no d larlo as q analiz u u lc g ev al nu eden a ca par ones s pu ci te fun dian estu D EG =>7 >96 394 3. Al final del libro se encuentra un solucionario con las respuestas de algunas de las actividades. SOLUCIONARIO LECCIÓN 35 t CONOCIENDO MÁS DE LOS CONOS Y CILINDROS Las actividades propuestas pueden ser aprovechadas como evaluación parcial o de la lección, como temas de discusión en clase, como actividades para resolver en casa o como base para que los estudiantes planteen actividades similares. Demuestro lo que sé y hago 1 Elabora una gráfica y establece una expresión funcional para los volúmenes de cilindros en los que su radio es constante y mide 8 m y su altura siempre es mayor que 8 m. R. M. 1608.5 + 6 (h – 8) 3 Elabora una gráfica donde compares los volúmenes de un polígono de 8 lados y un cilindro de radio igual a la apotema, que será igual a 2 cm. Página 403 Ejercicio 3 Ejercicio 2 Tiempos de respuesta a la propaganda (minutos) 200 16 180 12 140 10 8 120 SOLUCIONARIO Volumen prisma octagonal 100 SOLUCIONARIO Volumen cilindro 4 0 2 60 r = apotema = 2 cm 6 4 80 h>8m 14 14 160 Vo = 6.63 h Vc = 4Ph r=8m Página 401 1 0 0 0.19 a 14.73 14.74 a 29.27 29.28 a 46.83 43.84 a 58.37 58.37 a 72.89 40 20 0 Ejercicio 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213 1415 2 Elabora una gráfica y encuentra una expresión funcional para los volúmenes de conos en los que su altura es 3 cm y el radio siempre es mayor que 5 cm. 4 Elabora una gráfica donde compares los volúmenes de pirámides de base poligonal con 30 lados y un cono de radio igual a la apotema, que será igual Vp = 9.46h a 3 cm. Ejercicio 4 Altura Vc = 3Ph V = 78.54 + P(r2 – 25) SOLUCIONARIO h = 3 cm r = apotema = 3 cm r > 5 cm http://www.euclides.org/menu/elements_esp/12/ proposicioneslibro12.htm#Proposición%2012 También te será de utilidad consultar el siguiente libro: Morris, Kline El pensamiento matemático desde la Antigüedad a nuestros días Alianza Editorial, Madrid, 1982. En Internet hay diversos sitios en los cuales es posible encontrar temas sobre relaciones entre varios cuerpos geométricos que se pueden expresar con el valor de sus áreas laterales o sus volúmenes. EGD=>7>96HJK:CI6 En la siguiente página puedes explorar los contenidos de los “Elementos” de Euclides referidos a conos y cilindros: u3 u3 9.46 9.42 2 18.92 18.85 3 28.38 28.27 4 37.84 37.70 5 47.30 47.12 6 56.76 56.55 7 66.22 65.97 75.68 9 Conéctate Volumen cono 1 8 EGD=>7>96HJK:CI6 PROHIBIDA SU VENTA SOLUCIONARIO Volumen pirámide (base de 30 lados) Moda Mediana Media Rango 100.5 98.85 98.995 5.2 Calificaciones obtenidas 103 102 102 101.2 101 100.5 100 98.9 98.8 99 98.3 98.2 98 97.8 97.5 97.2 97 96 95 94 1 2 3 5 96.8 6 100.9 100.5 99.1 97.9 Curso A 75.40 85.14 4 100.8 99.9 99 7 8 97.4 9 97.2 10 Curso B 84.82 10 94.60 94.25 11 104.06 103.67 12 113.52 113.10 13 122.98 122.52 14 132.44 131.95 15 141.90 141.37 Ejercicio 4 Moda Mediana 4.7 4.7 Media Rango 4.7 6.5 Cantidades de ozono (partes por millón) 50 20 45 18 40 16 19 14 35 12 30 10 25 8 20 6 15 4 10 2 7 14 3 3 5.36 a 6.98 6.99 a 8.6 0 5 2.1 a 3.73 3.74 a 5.35 0 1 401 2 Volumen pirámide (base de 30 lados) 3 4 5 Volumen cono 422 Estructura del libro de recursos G-Mte 3 Ateneo Conaliteg.indd VII VII 12/12/08 12:54:07 PM Dosificación PRIMER BIMESTRE Bloque temático 1 Propósitos: En este bloque las alumnas y los alumnos: • Transformarán expresiones algebraicas en otras equivalentes efectuando cálculos. Aplicarán los criterios de congruencia de triángulos en la justificación de propiedades de figuras geométricas. Resolverán problemas que impliquen relacionar ángulos inscritos y centrales de una circunferencia. Resolverán problemas que impliquen determinar una razón de cambio, expresarla algebraicamente y representarla gráficamente. Resolverán problemas que impliquen conocer las posiciones relativas entre rectas y circunferencias. Organizarán y representarán de la manera más adecuada información proveniente de distintas fuentes. Semana Tema y subtema Evidencia de logros Lección 1: Las letras se multiplican Páginas: 12 - 33 Lección 2: Rompecabezas algebráicos Páginas: 34 - 41 Determina expresiones simplificadas equivalentes a los productos (x + b)2, (x + a)(x + b), (x +a)(x − a) . Factoriza expresiones del tipo x2 + 2ax + a 2, a x2 + bx, x2 + bx + c y x2 − a 2. Maneja de manera eficiente los productos y factorizaciones anteriores al realizar operaciones entre polinomios. 3 Tema: Formas geométricas Subtema: Figuras planas Lección 3: Triángulos en cuadriláteros Páginas: 42 - 59 Organiza una secuencia de enunciados basados en las hipótesis o que se pueden deducir de otros enunciados, para demostrar diversas características de los cuadriláteros usando los criterios de congruencia de triángulos y otros conocimientos previos. 4 Tema: Formas geométricas Subtema: Rectas y ángulos Lección 4: Entre rectas y circunferencias Páginas: 60 - 67 Construye rectas tangentes y secantes a una circunferencia. Identifica relaciones entre radios, cuerdas y rectas tangentes. Identifica relaciones entre ángulos centrales, inscritos y semiinscritos y el ángulo formado por dos rectas tangentes que pasan por un punto. Utiliza las relaciones anteriores para resolver problemas. 5 Tema: Formas geométricas Subtema: Rectas y ángulos Lección 5: De ángulos y circunferencias Páginas: 68 - 77 Comprende y maneja correctamente la relación entre un ángulo inscrito y un ángulo central que abarquen el mismo arco. Identifica esta relación en distintos casos: ángulos inscritos determinados por un diámetro, ángulos inscritos por arriba del centro, por abajo del centro o que tienen un lado que pasa por el centro. 6 Tema: Medida Subtema: Estimar, medir y calcular Lección 6: Arcos y coronas, pero…no para una reina Páginas: 78 - 87 Descubre fórmulas para calcular la longitud de un arco circular, el área de un sector circular y el área de una corona. Utiliza las fórmulas anteriores en la resolución de problemas. 7 Tema: Representación de la información Subtema: Gráficas Lección 7: Las razones del cambio Páginas: 88 - 99 Analiza la razón de cambio de un proceso o fenómeno que se modela con una función lineal. Descubre que en el caso de las funciones lineales, la razón de cambio es constante en cualquier pareja de puntos. Relaciona la razón de cambio con la inclinación de la recta. 8 Tema: Representación de la información Subtema: Gráficas Lección 8: Exploraciones en la información Páginas: 100 - 107 Analiza información de distintas fuentes presentada en distintas formas (texto, tablas, gráficas). Responde preguntas que requieran comparaciones y operaciones de la información de dos o más gráficas y tablas. Diseña un estudio o experimento para obtener información. 1 Tema: Significado y uso de las operaciones Subtema: Operaciones combinadas 2 PROHIBIDA SU VENTA Lección y páginas PRIMERA EVALUACIÓN BIMESTRAL VIII Guía docente G-Mte 3 Ateneo Conaliteg.indd VIII 12/12/08 12:54:09 PM Conceptos Actitudes Aprendizajes esperados • Identificar el cálculo de áreas de diversos rectángulos y las comparaciones entre ellas, con el producto y factorización de expresiones algebraicas. • Deducir reglas que permitan determinar el resultado de productos del tipo (x + b)2, (x + a)(x + b), (x + a)(x − a). • Deducir reglas para factorizar expresiones algebraicas del tipo x2 + 2ax + a 2, ax2 + bx, x2 + bx + c y x2 − a 2. • Usar de manera eficiente las reglas anteriores al realizar operaciones entre expresiones algebraicas. • Trabajar en equipo y comunicar adecuadamente los resultados obtenidos. • Buscar regularidades en diversos casos para deducir reglas. • Emplear procedimientos abreviados. • Efectuar o simplificar cálculos con expresiones algebraicas tales como: (x + a)2; (x + a) (x + b); (x + a) (x – a). Factorizar expresiones algebraicas tales como: x2 + 2ax + a2; ax2 + bx; x2 + bx + c; x2 – a2. • Identificar y representar las hipótesis de un enunciado, así como la afirmación que se debe demostrar. • Pasar de intuiciones o conjeturas basadas en las representaciones gráficas a la demostración de un enunciado. • Desarrollar una argumentación para explicar un procedimiento. • Desarrollar una secuencia de enunciados reconocidos como verdaderos o que se pueden deducir de otros, para demostrar diversas características de los cuadriláteros. • Trabajar en equipo contrastando las ideas y argumentos propios con los de otros compañeros. • Investigar las razones que justifiquen una conjetura o un paso de una demostración. • Reconocer errores en una demostración y tener disposición para corregirlos. • Aplicar los criterios de congruencia de triángulos en la justificación de propiedades de los cuadriláteros. • Radio, diámetro y cuerda de una circunferencia. • Recta tangente, recta secante. • Ángulo central, inscrito y semiinscrito. • Cuadrilátero circular. • Realizar construcciones geométricas. • Fundamentar procedimientos que se conocen con anterioridad y comunicar al resto del grupo sus ideas o explicaciones. • Integrar los nuevos conceptos con conocimientos previos para demostrar o argumentar la validez de algunas proposiciones. • Aplicar las proposiciones anteriores en la resolución de problemas. • Trabajar en forma individual en construcciones geométricas. • Trabajar en equipo y comunicar adecuadamente los resultados obtenidos. • Interés por resolver problemas. • Determinar mediante construcciones las posiciones relativas entre rectas y una circunferencia y entre circunferencias. • Caracterizar la recta secante y la tangente a una circunferencia. • Ángulos rectos, ángulos suplementarios, ángulos interiores de un triángulo. • Circunferencia, diámetro, radio. • Ángulo inscrito de una circunferencia, ángulo central, arco subtendido. • Deducir una conjetura con base en el análisis de varios casos. • Demostrar las conjeturas desarrollando una secuencia de enunciados reconocidos como verdaderos o que se pueden deducir de otros. • Utilizar las proposiciones demostradas en la solución de problemas. • Trabajar en equipo y comunicar adecuadamente los resultados obtenidos. • Encontrar razones que justifiquen una conjetura. • Bucar soluciones de problemas diversos. • Determinar la relación entre un ángulo inscrito y un ángulo central de una circunferencia, si ambos abarcan el mismo arco. • Arco circular, sector circular corona. • Deducir reglas para determinar la longitud de un arco circular, el área de un sector circular y el área de una corona, con base en el análisis de diversos casos. • Identificar qué fórmulas utilizar en la solución de un problema. • Explicar los procedimientos utilizados en la solución de problemas. • Trabajar en equipo contrastando las ideas y argumentos propios con los de otros compañeros. • Buscar soluciones de problemas diversos. • Calcular la medida de ángulos inscritos y centrales, así como de arcos, el área de sectores circulares y de la corona. • Recta, pendiente, ordenada al origen. • Rapidez, distancia, tiempo transcurrido. • Razón de cambio entre dos variables. • Identificar la razón de cambio en una función lineal. • Identificar qué parte de la expresión algebraica de una función lineal corresponde a la razón de cambio de las ordenadas respecto a las abscisas. • Determinar si una función es lineal o no analizando razones de cambio. • Trabajar en equipo y comunicar adecuadamente las conclusiones a las que se lleguen. • Interpretar correctamente una razón de cambio en diversos contextos. • Analizar la razón de cambio de un proceso o fenómeno que se modela con una función lineal y relacionarla con la inclinación o pendiente de la recta que lo representa. • Gráficas de barras verticales y horizontales, gráficas circulares, gráficas de líneas. • Tablas de frecuencias. • Encuesta. • Interpretar y analizar información de distintas fuentes y presentada de distintas formas. • Comunicar los resultados de un análisis o interpretación de la información de manera verbal y escrita. • Elegir la forma de organización y representación más adecuada para un conjunto de datos. • Diseñar encuestas. • Trabajar en equipo contrastando las interpretaciones propias con los de otros compañeros. • Buscar información para entender y analizar algún fenómeno o tendencia. • Socializar para permitir la aplicación de encuestas. • Diseñar un estudio o experimento a partir de datos obtenidos de diversas fuentes y elegir la forma de organización y representación tabular o gráfica más adecuada para presentar la información. • Áreas de rectángulos. • Números con signo, suma y multiplicación. • Polinomios, binomios, trinomios. • Multiplicación de expresiones algebraicas. • Factorización de expresiones algebraicas. PROHIBIDA SU VENTA • Rectas paralelas y perpendiculares, ángulos entre dos rectas. • Figuras congruentes, criterios de congruencia de triángulos. • Cuadriláteros, cuadriláteros convexos, paralelogramos, lados, diagonales, ángulos interiores. Habilidades PRIMERA EVALUACIÓN BIMESTRAL Dosificación G-Mte 3 Ateneo Conaliteg.indd IX IX 12/12/08 12:54:10 PM SEGUNDO BIMESTRE Bloque temático 2 Propósitos: En este bloque las alumnas y los alumnos: • Solucionarán problemas que implican el uso de ecuaciones de segundo grado, asumiendo que éstas pueden resolverse mediante procedimientos personales o canónicos. Encontrarán la solución de problemas que implican utilizar las propiedades de la semejanza en triángulos y en general en cualquier figura. Interpretarán y utilizarán índices para explicar el comportamiento de variables en diversas situaciones. Resolverán problemas de probabilidad utilizando simulación. Semana Tema y subtema Evidencia de logros Tema: Significado y uso de las literales Subtema: Ecuaciones Lección 9: Cuadrados y cubos en las ecuaciones Páginas: 110 - 125 Lección 10: El mundo de las cuadráticas Páginas: 126 - 143 Distingue entre ecuaciones lineales y no lineales comparando las razones de cambio y observando los exponentes de las variables en la expresión algebraica correspondiente. Identifica la gráfica de ecuaciones cuadráticas. Identifica las soluciones de ecuaciones de la forma cx2 = mx + b como las abscisas de los puntos de intersección entre la parábola y = cx2 y la recta de ecuación y = mx + b. Resuelve ecuaciones de segundo grado factorizando. Resuelve problemas que se modelen por ecuaciones de segundo grado. Tema: Formas geométricas Subtema: Semejanza Lección 11: De triángulos chicos a grandes y de grandes a chicos Páginas: 144 - 153 Lección 12: Criterios de semejanza a partir de los lados Páginas: 154 - 165 Lección 13: Semejantes polígonos o polígonos semejantes Páginas: 166 - 173 Lección 14: Mediciones indirectas Páginas: 174 - 179 Identifica dos figuras semejantes porque los lados son proporcionales y los ángulos son iguales. Comprende que los criterios anteriores se reducen en el caso de los triángulos. Comprende los criterios de semejanza entre triángulos. Argumenta correctamente las razones por las que dos triángulos son semejantes en diversos problemas geométricos. Resuelve problemas que requieran determinar una o más cantidades sabiendo que dos triángulos son semejantes. 15 Tema: Análisis de la información Subtema: Porcentajes Lección 15: Lo que indican los índices Páginas: 180 - 187 Comprende la ventaja de usar porcentajes para establecer comparaciones entre dos poblaciones o conjuntos de datos. Entiende e interpreta índices en distintos contextos, y los usa para comparar los valores que toma una variable en dos poblaciones o en dos periodos de tiempo. Construye índices con base en información acerca de alguna variable en dos o más poblaciones o conjuntos de datos. Comprende la necesidad de fijar un periodo base e interpreta adecuadamente índices de precios y de valores. 16 Tema: Análisis de información Subtema: Noción de probabilidad Lección 16: Como que es, pero no es... Páginas: 188 - 195 Utiliza la definición frecuencial de probabilidad para corroborar o desechar conjeturas obtenidas con base en la intuición en problemas que involucren al azar. Diseña experimentos sencillos equivalentes a otros más complicados para obtener aproximaciones de probabilidades. Interpreta correctamente los resultados de una simulación. 9 10 11 12 13 14 PROHIBIDA SU VENTA Lección y páginas SEGUNDA EVALUACIÓN BIMESTRAL X Guía docente G-Mte 3 Ateneo Conaliteg.indd X 12/12/08 12:54:11 PM Conceptos Actitudes Aprendizajes esperados • Buscar soluciones de una ecuación cuadrática utilizando diversos procedimientos. • Trabajar en equipo y comunicar adecuadamente los resultados obtenidos. • Verificar si las soluciones de una ecuación cuadrática tienen sentido en el contexto del problema que se quiere resolver. • Utilizar ecuaciones no lineales para modelar situaciones y resolverlas utilizando procedimientos personales u operaciones inversas. • Utilizar ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorización. • Ángulos, rectas paralelas y perpendiculares. • Figuras semejantes. • Triángulos, ángulos interiores, lados y triángulos semejantes. • Proporcionalidad entre longitudes. • Identificar figuras semejantes. • Pasar de intuiciones o conjeturas basadas en las representaciones gráficas a la demostración de un enunciado sobre semejanza. • Desarrollar una argumentación para fundamentar la semejanza entre dos triángulos. • Desarrollar una secuencia ordenada de pasos para utilizar el concepto de semejanza entre triángulos en la resolución de problemas. • Comunicar adecuadamente conjeturas y conclusiones. • Trabajar en equipo contrastando las ideas y argumentos propios con los de otros compañeros. • Investigar las razones que justifiquen una conjetura acerca de una figura geométrica. • Buscar diversos caminos para utilizar los criterios de semejanza en la solución de problemas. • Construir figuras semejantes y comparar las medidas de los ángulos y de los lados. • Determinar los criterios de semejanza de triángulos. Aplicar los criterios de semejanza de triángulos en el análisis de diferentes propiedades de los polígonos. Aplicar la semejanza de triángulos en el cálculo de distancias o alturas inaccesibles. • Población, muestra, censo, encuesta. • Porcentaje, fracción por cada 1 000, fracción por cada 10 000, fracción por cada 100 000. • Índices. • Periodo base. • Interpretar correctamente información expresada en porcentajes o índices. • Calcular un índice con base en información dada. • Determinar información acerca de una población con base en índices conocidos. • Comparar el comportamiento de una variable en dos poblaciones o en dos periodos con base en índices. • Comunicar adecuadamente conjeturas y conclusiones. • Trabajar en equipo contrastando las ideas y argumentos propios con los de otros compañeros. • Analizar diversos aspectos que aparecen en una nota periodística o un texto relacionados con índices. • Interpretar y utilizar índices para explicar el comportamiento de diversas situaciones. • Eventos, eventos independientes. • Definición frecuencial de la probabilidad. • Experimentos equivalentes, simulación. • Identificar la información y lo que se quiere calcular en un problema de probabilidad. • Interpretar y usar correctamente la noción frecuencial de probabilidad. • Usar correctamente la información de un problema de probabilidad para construir un experimento equivalente a otro. • Comunicar adecuadamente conclusiones obtenidas de una simulación. • Trabajar en equipo en la repetición de un experimento aleatorio. • Utilizar formas eficientes para la recolección de información. • Discutir colectivamente el diseño de los experimentos y la interpretación de los resultados de una simulación. • Utilizar la simulación para resolver situaciones probabilísticas. • Grado de un monomio y de un polinomio. • Expresiones algebraicas lineales y cuadráticas. • Ecuaciones lineales y cuadráticas. • Solución de ecuaciones cuadráticas. PROHIBIDA SU VENTA Habilidades • Identificar funciones lineales y no lineales a través de su expresión algebraica, de la razón de cambio de las ordenadas respecto a las abscisas y de su gráfica. • Resolver ecuaciones de segundo grado utilizando procedimientos como la aproximación con base en una tabulación, la visualización geométrica de las intersecciones entre dos curvas o factorizando. • Modelar situaciones usando ecuaciones de segundo grado. SEGUNDA EVALUACIÓN BIMESTRAL Dosificación G-Mte 3 Ateneo Conaliteg.indd XI XI 12/12/08 12:54:11 PM TERCER BIMESTRE Bloque temático 3 Propósitos: En este bloque las alumnas y los alumnos: • Interpretarán y representarán, gráfica y algebraicamente, relaciones lineales y no lineales. Utilizarán adecuadamente la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado. Resolverán problemas geométricos que implican el uso del teorema de Tales. Conocerán las condiciones que generan dos o más figuras homotéticas, así como las propiedades que se conservan y las que cambian. Semana Tema y subtema Evidencia de logros 17 Tema: Significado y uso de las literales Subtema: Relación funcional Lección 17: Dependencia entre variables Páginas: 198 - 207 Construye la gráfica de un fenómeno a partir de la relación entre las variables. Obtiene la relación funcional entre variables a partir de un fenómeno dado. 18 Tema: Significado y uso de las literales Subtema: Ecuaciones Lección 18: Haciendo la vida de cuadráticas Páginas: 208 - 219 Plantea las ecuaciones cuadráticas y las resuelve usando la fórmula general. 19 Tema: Formas geométricas Subtema: Semejanza Lección 19: Tales proporciones Páginas: 220 - 231 Encuentra las razones entre segmentos y calcula datos desconocidos a partir de razones dadas. Tema: Transformaciones Subtema: Movimientos en el plano Lección 20: ¿Qué es la homotecia? Páginas: 232 - 239 Lección 21: Lo que no cambia… en las homotecias Páginas: 240 - 249 Construye una figura homotética a otra, dado el centro de homotecia y la razón de homotecia. Identifica cuándo un par de figuras son homotéticas, encuentra el punto de homotecia y la razón de homotecia. Tema: Representación de la información. Subtema: Gráficas Lección 22: Comportamientos rectos y no tan rectos Páginas: 250 - 259 Lección 23: Dime cómo es tu forma algebraica y te diré quién eres Páginas: 260 - 283 Tema: Manejo de la información Subtema: Gráficas Lección 24: Los mensajes ocultos en las gráficas Páginas: 284 - 291 20 21 22 PROHIBIDA SU VENTA Lección y páginas 23 24 Identifica el significado de los parámetros de la ecuación en la gráfica de ésta. Construye la gráfica de un fenómeno a partir de la relación entre las variables. Obtiene información de la relación entre las variables a partir de la gráfica. TERCERA EVALUACIÓN BIMESTRAL XII Guía docente G-Mte 3 Ateneo Conaliteg.indd XII 12/12/08 12:54:12 PM PROHIBIDA SU VENTA Conceptos Habilidades Actitudes Aprendizajes esperados • Relación funcional. • Funciones lineales. • Funciones no lineales (cuadráticas, cúbicas y exponenciales). • Identificar la relación de dependencia entre variables en distintos problemas. • Representar la regla de dependencia entre variables en un fenómeno. • Construir tablas para expresar la relación funcional entre variables, dada la expresión algebraica o la gráfica. • Trabajar en equipo y comunicar adecuadamente las conclusiones a las que se lleguen. • Buscar argumentos para validar resultados. • Reconocer en diferentes situaciones y fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, la presencia de cantidades que varían una en función de la otra y representar la regla que modela esta variación mediante una tabla o una expresión algebraica. • Ecuación cuadrática. • Fórmula general de la ecuación cuadrática. • Identificar fenómenos o situaciones que se modelan con ecuaciones cuadráticas. • Resolver ecuaciones cuadráticas mediante la fórmula general. • Trabajar en equipo contrastando las ideas y argumentos propios con los de otros compañeros. • Buscar de soluciones de problemas diversos. • Utilizar ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la fórmula general. • Razón entre magnitudes. • Razón en la que un punto divide a un segmento. • Identificar razones entre parejas de segmentos determinados por dos o más paralelas que cortan a dos rectas transversales. • Utilizar el teorema de Tales para encontrar magnitudes desconocidas. • Uso del razonamiento lógico. • Trabajar en equipo contrastando las ideas y argumentos propios con los de otros compañeros. • Determinar el teorema de Tales mediante construcciones con segmentos. Aplicar el teorema de Tales en diversos problemas geométricos. • Figuras homotéticas. • Centro de homotecia. • Razón de homotecia. • Seguir los pasos de una construcción geométrica. • Identificar cuándo un par de figuras son homotéticas. • Construir una figura homotética a otra, dados el centro de homotecia y la razón de homotecia. • Realizar una composición de homotecias. • Identificar las propiedades que se preservan al realizar homotecias. • Uso del razonamiento lógico. • Trabajar en equipo y comunicar adecuadamente las conclusiones a las que se lleguen. • Determinar los resultados de una homotecia cuando la razón es igual, menor o mayor que 1 o −1. Determinar las propiedades que permanecen invariantes al aplicar una homotecia a una figura. Comprobar que una composición de homotecias con el mismo centro es igual a una homotecia de razón igual al producto de las razones. • Ecuaciones no lineales. • Papel de los parámetros en las ecuaciones. • Gráficas de ecuaciones no lineales. • Graficar una ecuación cuadrática. • Comprender el papel de los parámetros en las ecuaciones no lineales. • Trabajar en equipo contrastando las ideas y argumentos propios con los de otros compañeros. • Búsqueda de soluciones de problemas diversos. • Gráficas de funciones no lineales. • Modelar fenómenos no lineales. • Construir gráficas que correspondan a fenómenos no lineales. • Interpretar gráficas no lineales. • Trabajar en equipo y comunicar adecuadamente los resultados obtenidos. • Creatividad para resolver problemas. • Interpretar, construir y utilizar gráficas de relaciones funcionales no lineales para modelar diversas situaciones o fenómenos. Establecer la relación que existe entre la forma y la posición de la curva de funciones no lineales y los valores de las literales de las expresiones algebraicas que definen a estas funciones. • Interpretar y elaborar gráficas formadas por secciones rectas y curvas que modelan situaciones de movimiento, llenado de recipientes, etcétera. TERCERA EVALUACIÓN BIMESTRAL Dosificación G-Mte 3 Ateneo Conaliteg.indd XIII XIII 12/12/08 12:54:12 PM CUARTO BIMESTRE Bloque temático 4 Propósitos: En este bloque las alumnas y los alumnos: • Representarán algebraicamente el término general, lineal o cuadrático, de una sucesión numérica o con figuras. Resolverán problemas que impliquen el uso del teorema de Pitágoras y razones trigonométricas. Resolverán problemas que implican el uso de procedimientos recursivos, tales como el crecimiento poblacional o el interés sobre saldos insolutos. Semana Tema y subtema Lección y páginas Evidencia de logros 25 Tema: Significado y uso de las literales Subtema: Patrones y fórmulas Lección 25: ¿Quién genera a los números? Páginas: 294 - 303 Encuentra las sucesiones de diferencias y de segundas diferencias en una sucesión dada. Identifica la relación entre las sucesiones de diferencias y el grado del polinomio que describe al término enésimo de una sucesión. Utiliza el método de las diferencias para determinar el polinomio cuadrático que define al término enésimo de una sucesión. Tema: Medida Subtema: Estimar, medir y calcular Lección 26: Teorema de Pitágoras Páginas: 304 - 313 Lección 27: Las razones de los triángulos rectángulos Páginas: 314 - 325 Calcula longitudes de catetos o hipotenusa en un triángulo rectángulo. Calcula la distancia entre dos puntos en el plano. Identifica triángulos rectángulos en diversos problemas y utilizar el teorema de Pitágoras para encontra la longitud de uno de los lados del triángulo. Tema: Medida Subtema: Estimar, medir y calcular Lección 28: Cálculo de lados mediante razones Páginas: 326 - 331 Lección 29: Encontrar medidas sin medir Páginas: 332 - 337 Comprende que las razones entre lados correspondientes de familias de triángulos semejantes son iguales. Reconoce las razones trigonométricas en triángulos rectángulos. Utiliza la calculadora científica o las tablas trigonométricas para encontrar las razones trigonométricas de distintos ángulos. Encuentra el valor de un ángulo conociendo el valor de alguna de sus razones trigonométricas. Tema: Representación de la información Subtema: Gráficas Lección 30: ¿Cómo se mide el crecimiento? Páginas: 338 - 347 Lección 31: Mismo fenómeno, distintos datos Páginas: 348 - 357 26 27 28 29 PROHIBIDA SU VENTA 30 31 32 Encuentra la fórmula que modela un fenómeno de crecimiento lineal a partir de la descripción del fenómeno. Construye la gráfica de un fenómeno de crecimiento aritmético o lineal y geométrico o exponencial a partir de la función que lo modela. Identifica las diferencias entre las gráficas de los fenómenos lineales y exponenciales. Infiere comportamientos esperados en un fenómeno a partir de su gráfica. CUARTA EVALUACIÓN BIMESTRAL XIV Guía docente G-Mte 3 Ateneo Conaliteg.indd XIV 12/12/08 12:54:13 PM Conceptos Actitudes Aprendizajes esperados • Sucesiones numéricas o de figuras. • Polinomios de segundo grado. • Ecuación cuadrática. • Identificar los casos en que el término general de una sucesión está dado por un polinomio cuadrático a partir del método de diferencias. • Buscar regularidades que permitan determinar el término general de una sucesión. • Trabajar en equipo contrastando las ideas propias con las de otros compañeros. • Determinar una expresión general cuadrática para definir el enésimo término en sucesiones numéricas y figurativas utilizando el método de diferencias. • Teorema de Pitágoras. • Utilizar con soltura el teorema de Pitágoras. • Identificar en distintos contextos la presencia de triángulos rectángulos para aplicar el teorema de Pitágoras. • Trabajar en equipo y comunicar adecuadamente los resultados obtenidos. • Identificar correctamente los distintos elementos de un triángulo rectángulo. • Usar razonamientos similares en problemas en distintos contextos. • Aplicar el teorema de Pitágoras en la resolución de problemas. • Buscar e identificar figuras semejantes. • Encontrar razones que justifiquen una conjetura. • Buscar soluciones en problemas diversos aplicando correctamente las razones trigonométricas. • Reconocer y determinar las razones trigonométricas en familias de triángulos rectángulos semejantes, como cocientes entre las medidas de los lados. Calcular medidas de lados y de ángulos de triángulos rectángulos a partir de los valores de razones trigonométricas. Resolver problemas sencillos, en diversos ámbitos, utilizando las razones trigonométricas. • Identificar y comparar situaciones en las que aparecen crecimientos lineales y exponenciales. • Trabajar en equipo y comunicar adecuadamente los resultados obtenidos. • Aplicar razonamientos similares en problemas en distintos contextos. • Interpretar y comparar las representaciones gráficas de crecimiento aritmético o lineal y geométrico o exponencial de diversas situaciones. • Analizar la relación entre gráficas de distinta naturaleza, pero referidas a un mismo fenómeno o estudio que se presenta en representaciones diferentes, para producir nueva información. • Razones trigonométricas. PROHIBIDA SU VENTA Habilidades • Crecimiento aritmético o lineal. • Crecimiento exponencial. • Identificar y utilizar con soltura las razones trigonométricas. • Utilizar la calculadora científica o las tablas trigonométricas para encontrar las razones trigonométricas de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo. • Utilizar la calculadora científica o las tablas trigonométricas para encontrar la medida de un ángulo a partir de los valores de sus razones trigonométricas. • Encontrar la gráfica de un fenómeno que se modela mediante una función lineal o exponencial. • Determinar, a partir de la gráfica, si el fenómeno que se modela es de tipo lineal o exponencial. • Utilizar información de la gráfica que modela un fenómeno para predecir comportamientos esperados. CUARTA EVALUACIÓN BIMESTRAL Dosificación G-Mte 3 Ateneo Conaliteg.indd XV XV 12/12/08 12:54:13 PM QUINTO BIMESTRE Bloque temático 5 Propósitos: En este bloque las alumnas y los alumnos: • Resolverán problemas que impliquen calcular el volumen de cilindros y conos o cualquier término de las fórmulas que se utilicen. Anticiparán cómo cambia el volumen al aumentar o disminuir alguna de las dimensiones. Construirán la gráfica de cajas con brazos correspondiente a un conjunto de datos e interpretarán y analizarán información en este tipo de gráficas. Semana Tema y subtema Lección y páginas Evidencia de logro 33 Lección 32: Sácale jugo a los problemas Páginas: 360 - 371 Traduce un problema al lenguaje algebraico. Plantea y resuelve ecuaciones lineales, cuadráticas o sistemas de ecuaciones. Reconoce cuáles soluciones tienen sentido en el contexto de un problema. Propone problemas que representen una ecuación o sistema de ecuaciones dados. Tema: Formas geométricas Subtema: Cuerpos geométricos Lección 33: La danza de las figuras Páginas: 372 - 385 Hace bosquejos de los sólidos que se obtienen al girar o trasladar figuras. Calcula las dimensiones de los rectángulos que forman parte del desarrollo plano de un cilindro con radio y altura dados. Calcula la longitud y el ángulo central de un sector circular que representa el desarrollo plano de un cono con radio y altura dados. Calcula los radios de los círculos que se obtienen al realizar cortes en esferas y conos. Tema: Medida Subtemas: Justificación de fórmulas Estimar, medir y calcular Lección 34: ¿Cómo calcularás volúmenes de conos y cilindros? Páginas: 386 - 391 Lección 35: Conociendo más de los conos y cilindros Páginas: 392 - 401 Encuentra la relación entre el volumen de un cono y un cilindro de la misma altura y el mismo radio. Estima y calcula el volumen de un cilindro. Estima y calcula el volumen de un cono. Encuentra el radio de un cilindro o cono, dado el volumen. Encuentra la altura de un cilindro o cono, dado el volumen. Lección 36: ¿Usar bigotes para analizar datos? Páginas: 402 - 411 Calcula la mediana y los cuartiles 1 y 3 de una colección de datos. Construye una gráfica de caja con brazos a partir de los valores anteriores. Interpreta una gráfica de caja con brazos y analiza la información que éste brinda acerca de la distribución de una colección de datos. Compara dos o más colecciones de datos a partir de las gráficas de caja con brazos. Tema: Significado y uso de las literales Subtema: Ecuaciones 34 35 36 37 PROHIBIDA SU VENTA 38 39 Tema: Representación de la información Subtema: Medidas de tendencia central y dispersión 40 QUINTA EVALUACIÓN BIMESTRAL XVI Guía docente G-Mte 3 Ateneo Conaliteg.indd XVI 12/12/08 12:54:13 PM Conceptos • Ecuaciones lineales. • Ecuaciones cuadráticas. • Sistemas de ecuaciones . Habilidades Actitudes • Plantear y resolver problemas mediante el uso de ecuaciones y sistemas de ecuaciones. • Usar procedimientos formales, numéricos y gráficos para resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones. • Traducir problemas verbales a expresiones algebraicas y viceversa. • Resolver problemas usando procedimientos expertos. • Identificar el tipo de ecuación o ecuaciones que se requiere plantear para resolver un problema (ecuación lineal, ecuación cuadrática o sistema de ecuaciones). • Formular la ecuación o ecuaciones correspondientes identificando el papel de cada uno de los datos que se brindan en el enunciado de un problema. Aprendizajes esperados • Dado un problema, determinar la ecuación lineal, cuadrática o sistema de ecuaciones con que se puede resolver, y viceversa, proponer una situación que se modele con una de esas representaciones. PROHIBIDA SU VENTA • Anticipar las características • Esfera, cono y cilindro. • Sólidos de revolución. • Cortes en la esfera, el cono y el cilindro. • Identificar qué objetos se generan al girar o trasladar figuras. • Elaborar desarrollos planos de conos y cilindros. • Identificar y reconocer las secciones que se obtienen al hacer cortes a un cilindro, una esfera o un cono. • Encontrar la relación entre los radios de los círculos que se obtienen al hacer cortes en una esfera o un cono. • Imaginar el desarrollo plano de un cuerpo geométrico. • Imaginar el cuerpo geométrico que corresponde a un desarrollo plano. • Imaginar el resultado de un movimiento de rotación o traslación de una figura geométrica plana. • Trabajar en equipo en la resolución de problemas y comunicar adecuadamente sus resultados. • Volumen de cilindros y conos. • Deducir las fórmulas para calcular el volumen de un cilindro y un cono. • Realizar estimaciones del volumen de un cono o un cilindro. • Encontrar el volumen de un cono o de un cilindro. • Calcular el radio o la altura de un cono o un cilindro, dado su volumen. • Usar conocimientos previos de geometría y álgebra en la resolución de problemas relacionados con el volumen de cuerpos geométricos. • Trabajar en equipo en la resolución de problemas y comunicar adecuadamente sus resultados. • Encontrar razones que justifiquen conclusiones. • Media, mediana y cuartiles de una colección de datos. • Esquema de caja con brazos . • Interpretar el significado de los valores de la mediana y los cuartiles 1 y 3 de un conjunto de datos. • Analizar la distribución de una colección de datos a partir de una gráfica de caja con brazos. • Interpretar la dispersión o concentración de una colección de datos a partir de una gráfica de caja con brazos. • Deducir conclusiones acerca de las semejanzas y diferencias de dos colecciones de datos a partir de las gráficas de caja con brazos • Trabajar en equipo en la construcción, interpretación y análisis de gráficas de cajas con brazos. • Explicar en qué se basan para deducir conclusiones acerca de una colección de datos representada en unaP gráfica de caja con brazos. • Usar tecnología para facilitar la obtención de los valores de la mediana y los cuartiles 1 y 3. de los cuerpos que se generan al girar o trasladar figuras. Construir desarrollos planos de conos y cilindros rectos. Anticipar y reconocer las secciones que se obtienen al realizar cortes a un cilindro o a un cono recto. Determinar la variación que se da en el radio de los diversos círculos que se obtienen al hacer cortes paralelos en una esfera o cono recto. • Construir las fórmulas para calcular el volumen de cilindros y conos. • Estimar y calcular el volumen de cilindros y conos. Calcular datos desconocidos dados otros relacionados con las fórmulas del cálculo de volumen. • Interpretar, elaborar y utilizar gráficas de caja-brazos de un conjunto de datos para analizar su distribución a partir de la mediana o de la media de dos o más poblaciones. QUINTA EVALUACIÓN BIMESTRAL Dosificación G-Mte 3 Ateneo Conaliteg.indd XVII XVII 12/12/08 12:44:51 PM EVALUACIÓN PRIMER BIMESTRE (A) Nombre: Fecha: Grupo: Calificación: Número de puntos totales por cubrir: 100 1. Demuestra, usando congruencia de triángulos, que si en un cuadrilátero ABCD los lados opuestos miden lo mismo, entonces se trata de un paralelogramo. Explica claramente cada paso de la demostración. (20 puntos) B C A D 2. ¿Cuánto mide el ángulo ␣? ¿Por qué? ¿Cuánto mide el ángulo ␤? ¿Por qué? ¿Cuánto mide el ángulo ␥? ¿Por qué? (20 puntos) ␥ ␣ PROHIBIDA SU VENTA ␤ 30° XVIII Guía docente G-Mte 3 Ateneo Conaliteg.indd XVIII 12/12/08 12:44:51 PM 3. Calcula lo que se pide. (20 puntos) a) Efectúa el producto (x ⫺ 9)(x ⫺ 2). b) Determina el resultado de (a + b)2 – (a – b)2. c) Escribe un producto de binomios que represente el área de la región sombreada y efectúa la multiplicación. x 3 2x 2x 6 4. Factoriza las siguientes expresiones algebraicas: (20 puntos) a) x2 ⫺ 9x + 8 b) 4ab + 4ab2 + 4a2 c) m2 – 1 d) y2 + 16y + 64 5. En la siguiente figura, las rectas rojas son tangentes a las dos circunferencias y la distancia de A a P es 2 cm. (20 puntos) a) ¿Cuánto mide la distancia de P a B? ¿Por qué? b) ¿Cuánto mide el ángulo APQ? ¿Por qué? 37° O PROHIBIDA SU VENTA Q B P A Evaluación primer bimestre A G-Mte 3 Ateneo Conaliteg.indd XIX XIX 12/12/08 12:44:52 PM EVALUACIÓN PRIMER BIMESTRE (B) Nombre: Fecha: Grupo: Calificación: Número de puntos totales por cubrir: 100 1. ¿Cuánto mide el ángulo ␣? ¿Por qué? ¿Cuánto mide el ángulo ␤? ¿Por qué? ¿Cuánto mide el ángulo ␥? ¿Por qué? (20 puntos) ␣ 120° ␥ ␤ 2. Escribe el área de cada uno de los rectángulos que forman la siguiente figura y haz lo que se pide. (20 puntos) a) Sumando las áreas anteriores, obtén una expresión algebraica que represente el área del rectángulo mayor. 2x a x PROHIBIDA SU VENTA b b) Escribe los binomios que representan la base y la altura del rectángulo mayor. Multiplicando estos binomios, obtén otra expresión algebraica que represente el área de ese rectángulo. c) Si el trinomio 2x2 + 12x + 16 representa el área del rectángulo mayor, ¿cuál debe ser el resultado de la suma a + 2b? ¿Cuál debe ser el resultado del producto ab? Determina dos números que cumplan con lo anterior. d) Usa lo anterior para factorizar el trinomio 2x2 + 12x + 16. XX Guía docente G-Mte 3 Ateneo Conaliteg.indd XX 12/12/08 12:44:52 PM 3. Factoriza las siguientes expresiones algebraicas: (20 puntos) a) x2 + x – 42 b) 16 – y2 c) 25 – 40z + 16z2 4. Demuestra, usando congruencia de triángulos, que si en un cuadrilátero ABCD las diagonales AC y BD se cortan en sus puntos medios, entonces se trata de un paralelogramo. (20 puntos) A B O D C 5. En la siguiente figura, las rectas rojas son tangentes a las circunferencias en los puntos A, P y C. La circunferencia más pequeña tiene radio 2 y la más grande tiene radio 3. Determina: (20 puntos) a) Cuánto miden los ángulos OPB y BPQ. b) Cuál es la longitud del segmento OQ. B c) Cuánto mide el ángulo a. C ␣ 3 112° A Q 2 P PROHIBIDA SU VENTA O Evaluación primer bimestre B G-Mte 3 Ateneo Conaliteg.indd XXI XXI 12/12/08 12:44:52 PM EVALUACIÓN SEGUNDO BIMESTRE (A) Nombre: Fecha: Grupo: Calificación: Número de puntos totales por cubrir: 100 1. El peso de una libra es de 0.45 kilogramos. (20 puntos) a) Completa la tabla: Cantidad de libras (x) 0.5 1 1.5 2 3 x Cantidad de kilogramos (y) b) ¿Cuál es la razón de cambio de las ordenadas respecto a las abscisas entre los puntos con x = 1 y x = 2? c) ¿Y entre los puntos con x = 1 y x = 3? d) ¿Es y una función lineal de x? ¿Por qué? e) Dibuja la gráfica en el siguiente plano cartesiano. Kilogamos 0.90 0.45 1 2 3 Libras 2. Escribe los enunciados en forma algebraica y haz lo que se pide. (20 puntos) a) El cuadrado de un número menos 34 es 750. Encuentra el número y explica cómo lo obtuviste. b) Si un número se eleva al cuadrado y al resultado se le suma 96, se obtiene 20 veces el número. Escribe una ecuación que represente lo anterior y resuélvela. PROHIBIDA SU VENTA 3. Contesta y argumenta. (20 puntos) a) ¿Cuáles de las siguientes figuras son semejantes? ¿Por qué? XXII Guía docente G-Mte 3 Ateneo Conaliteg.indd XXII 12/12/08 12:44:53 PM b) Argumenta por qué son semejantes los triángulos ABC y BDE de la siguiente figura: A D 120° 30° E B C 4. Se sabe que los siguientes triángulos son semejantes. Encuentra los ángulos ␣ y ␤ y los lados x, y. (20 puntos) A 8 x B 24° 5 ␣ C C’ 125° y 5 ␤ PROHIBIDA SU VENTA B’ A’ 10 5. De acuerdo con los indicadores educativos del país, el Distrido Federal tiene el mejor índice de absorción a la educación media superior, alcanzando en 2006 el 121.2%. En ese mismo año, este índice fue de 80% en Michoacán y 80.4% en Guanajuato. El índice de absorción a educación media es el porcentaje de egresados de secundaria de una entidad federativa que ingresan al primer año de bachillerato en el ciclo escolar siguiente. (20 puntos) a) Explica qué significado tiene que en el Distrito Federal este índice sea mayor a 100%. b) ¿Cuántos de cada 100 egresados de la secundaria no ingresaron a educación media superior en Michoacán? Evaluación segundo bimestre A G-Mte 3 Ateneo Conaliteg.indd XXIII XXIII 12/12/08 12:44:53 PM EVALUACIÓN SEGUNDO BIMESTRE (B) Nombre: Fecha: Grupo: Calificación: Número de puntos totales por cubrir: 100 1. En la siguiente tabla se incluye la información del perímetro del cráneo de un niño durante los primeros meses de vida. (20 puntos) Tiempo en meses (x) 0 3 9 15 21 27 Perímetro en centímetros (y) 34 40 44 46 47 48 PROHIBIDA SU VENTA a) ¿Cuál es la razón de cambio de las ordenadas respecto a las abscisas entre los puntos con x = 0 y x = 9? b) ¿Y entre los puntos con x = 0 y x = 15? c) ¿Es lineal? ¿Por qué? d) Determina la pendiente de las siguientes rectas y escríbela debajo de la gráfica correspondiente: m= m= 2. Se quiere ampliar una fotografía con dimensiones tres por cuatro centímetros de manera que el lado homólogo al más pequeño mida 12 cm. (20 puntos) a) ¿Cuánto mide el otro lado de la foto ampliada? b) Es verdad que todos los triángulos isósceles cuyo ángulo desigual es de 40° son semejantes? ¿Por qué? XXIV Guía docente G-Mte 3 Ateneo Conaliteg.indd XXIV 12/12/08 12:44:53 PM 3. Haz lo que se pide. (20 puntos) a) Escribe el área de la parte amarilla del siguiente cuadrado en términos de x. (Sugerencia: determina cuánto mide la longitud que falta en el dibujo.) b) El producto de un número natural por su sucesor es 31 unidades mayor que 5 veces la suma de ambos números. Plantea una ecuación que represente lo anterior y resuélvela. x x 6 6 4. Argumenta y calcula. (20 puntos) a) Fundamenta por qué son semejantes los triángulos ABC y BCD de la siguiente figura: B 15 20 y x C D A PROHIBIDA SU VENTA 25 b) Encuentra la longitud de los lados x, y. 5. En una prueba de laboratorio, la probabilidad de que se obtenga un “positivo” es 0.3 y la de que obtenga un “negativo” es 0.7. Si la prueba sale positiva se repite y se sabe que en este caso el 80% de las veces vuelve a salir “positivo”. Se quiere determinar la probabilidad de obtener un positivo-positivo. Diseña un experimento para simular el experimento anterior. Explica detalladamente cada paso de tu simulación. (20 puntos) Evaluación segundo bimestre B G-Mte 3 Ateneo Conaliteg.indd XXV XXV 12/12/08 12:44:54 PM EVALUACIÓN TERCER BIMESTRE (A) Nombre: Fecha: Grupo: Calificación: Número de puntos totales por cubrir: 100 1. En la siguiente figura, el segmento AB mide 8 unidades, el segmento BC mide 3 unidades y el segmento AC’ mide 17 unidades y las rectas BB’ y CC’ son paralelas. (20 puntos) a) ¿Cuánto mide el segmento B’C’? b) ¿Cómo obtuviste ese valor? C B B’ x C’ A 2. Analiza el siguiente par de triángulos. (20 puntos) ¿Son homotéticos? En caso de serlo, ¿cuál es el punto de homotecia? (usa tu compás) ¿Cuál es la razón de homotecia? Si no son homotéticos explica por qué no lo son A C’ B’ A’ PROHIBIDA SU VENTA B C 3. La siguiente gráfica representa el vaciado de un tinaco de 800 litros. El tinaco tiene dos llaves que se abren juntas o por separado a lo largo del día. Analiza la gráfica y responde: (20 puntos) a) ¿En qué momento se abrieron las dos llaves simultáneamente? b) ¿Cuál es la velocidad de vaciado de una sola llave? c) ¿Cuánto tiempo estuvieron cerradas las llaves? d) ¿Cuántos litros de agua quedaron en el tinaco al final del día? XXVI Guía docente G-Mte 3 Ateneo Conaliteg.indd XXVI 12/12/08 12:44:54 PM Litros 800 700 600 500 400 300 200 100 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 Horas 4. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones corresponde a la gráfica? (20 puntos) Explica tus argumentos a) y = 2 (x + 4)2 + 1 b) y = (x − 4)2 + 1 c) y = 2 (x − 4)2 + 1 (6, 9) (4, 1) 5. A un terreno cuadrado se le quitó una franja de 3 m de lado izquierdo y otra franja de 4 m en la parte superior. El terreno que quedó tiene la mitad de área que el terreno original. ¿Cuáles eran las dimensiones del terreno? (20 puntos) PROHIBIDA SU VENTA a) ¿Cuál es la ecuación que modela este problema? b) ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación? 4m c) ¿Cuál de las soluciones tiene sentido en el contexto del problema? 3m Evaluación tercer bimestre A G-Mte 3 Ateneo Conaliteg.indd XXVII XXVII 12/12/08 12:44:54 PM EVALUACIÓN TERCER BIMESTRE (B) Nombre: Fecha: Grupo: Calificación: Número de puntos totales por cubrir: 100 1. Construye el punto P que divide al segmento AB en razón 2 a 5. (20 puntos) B A 2. Analiza el siguiente par de cuadriláteros. (20 puntos) ¿Son homotéticos? En caso de serlo, ¿cuál es el punto de homotecia? (usa tu compás) ¿Cuál es la razón de homotecia? Si no son homotéticos explica por qué no lo son. A B’ C’ D D’ C B A’ 3. La siguiente gráfica representa el trayecto de un vehículo. Analiza la gráfica y responde: (20 puntos) a) ¿En qué momentos se detuvo el vehículo y por cuánto tiempo lo hizo? b) ¿Cuál era su velocidad en la primera parte del recorrido? ¿Y en la segunda? ¿Y en la tercera? c) ¿De cuántos kilómetros fue el recorrido? PROHIBIDA SU VENTA Kilómetros 800 700 600 500 400 300 200 100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Horas XXVIII Guía docente G-Mte 3 Ateneo Conaliteg.indd XXVIII 12/12/08 12:44:55 PM 4. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones corresponde a la gráfica de abajo? (20 puntos) Explica tus argumentos a) y = − (x − 4)2 − 2 b) y = − (x + 4)2 − 2 c) y = − (x + 4)2 + 2 (–4, –2) (–2, –6) 5. En el centro de un terreno cuadrado de 20 m de lado se construirá una casa cuadrada rodeada por un jardín y un patio, como en el siguiente esquema. Se quiere que el jardín ocupe una superficie de 224 m2. (20 puntos) ¿Cuál es la ecuación que representa esta situación? ¿Cuántas soluciones tiene esta ecuación? ¿Qué ancho debe tener el jardín? ¿De qué dimensiones será la casa? Comenta tu respuesta PROHIBIDA SU VENTA Patio Casa Jardín Evaluación tercer bimestre B G-Mte 3 Ateneo Conaliteg.indd XXIX XXIX 12/12/08 12:44:55 PM EVALUACIÓN CUARTO BIMESTRE (A) Nombre: Fecha: Grupo: Calificación: Número de puntos totales por cubrir: 100 1. El hexágono de abajo está inscrito en un círculo de 2 cm radio. (25 puntos) ¿Cuánto mide el ángulo central BOA? ¿Qué tipo de triángulo es ABO? ¿Cuánto miden los lados del triángulo ABO? ¿Cuánto mide el segmento AM? ¿Qué tipo de triángulo es AMO? ¿Cuánto mide la altura OM? ¿Por qué? ¿Cuánto mide el área del hexágono? E D O F C A M B 2. Una escalera de 6 m de longitud está recargada sobre una pared. El ángulo que forma la escalera con el piso es de 35°. Usa una calculadora científica o unas tablas para responder. (25 puntos) ¿A qué altura sobre la pared está recargada la escalera? ¿A qué distancia de la pared está la base de la escalera? Si se desea que la escalera se recargue sobre la pared a una altura de 5 metros, ¿qué ángulo formará la escalera PROHIBIDA SU VENTA con el piso? 6m 35° XXX Guía docente G-Mte 3 Ateneo Conaliteg.indd XXX 12/12/08 12:44:55 PM 3. Los primeros cinco términos de una sucesión son 5, 9, 15, 23 y 33. Llena la siguiente tabla: (25 puntos) Sucesión 1 5 2 9 3 15 4 23 5 33 Sucesión de diferencias Sucesión de diferencias de diferencias ¿De qué grado es el polinomio que define a los términos de la sucesión? Ahora llena la siguiente tabla: an 2 + bn + c Sucesión de diferencias Diferencias de diferencias 1 2 3 4 5 ¿Cuál es el valor de a para la primera sucesión? ¿Cuál es el valor de b para la primera sucesión? ¿Cuál es el valor de c para la primera sucesión? Escribe la expresión algebraica que define al término enésimo de la sucesión. 4. Un cohete que viaja a 60 km/min comienza a incrementar su velocidad con una tasa de 25% cada minuto. (25 puntos) ¿Cuál será su velocidad después de 1 minuto? ¿Y después de 3 minutos? En el siguiente plano cartesiano construye PROHIBIDA SU VENTA la gráfica tiempo velocidad del cohete. 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Evaluacion cuarto bimestre A G-Mte 3 Ateneo Conaliteg.indd XXXI XXXI 12/12/08 12:44:56 PM EVALUACIÓN CUARTO BIMESTRE (B) Nombre: Fecha: Grupo: Calificación: Número de puntos totales por cubrir: 100 1. El cuadrado ABCD está inscrito en un círculo. Si se sabe que el lado del cuadrado mide 4 cm, (25 puntos) ¿cuánto mide el radio del círculo? ¿Cómo obtuviste este resultado? ¿Cuál es la longitud del segmento AE? ¿Cómo obtuviste esta longitud? ¿Cuál es el perímetro del trapecio AEFD? A E D F O C B 2. Un poste de 5 m de altura se fija con un tirante de 7 m. (25 puntos) Usa una calculadora científica o unas tablas trigonométricas para encontrar el ángulo a que forman el poste y el tirante. ¿A qué distancia del poste queda la base del tirante? PROHIBIDA SU VENTA a 5m XXXII 7m Guía docente G-Mte 3 Ateneo Conaliteg.indd XXXII 12/12/08 12:44:56 PM 3. En la siguiente figura te mostramos los cuatro primeros términos de una sucesión. Llena los datos que faltan en la siguiente tabla: (25 puntos) Área del rectángulo 1 2 2 6 3 12 4 20 Sucesión de diferencias Sucesión de diferencias de diferencias 5 6 ¿Cuál es el área del término 100 de la sucesión? Encuentra una expresión algebraica para el área del enésimo término de la sucesión. ¿Hay alguna figura de la sucesión que tenga área igual a 2 070? ¿Cuál? Explica tu respuesta. 4. A continuación te damos los primeros cinco términos de dos sucesiones numéricas. Una de ellas crece de manera aritmética y otra de manera geométrica. (25 puntos) PROHIBIDA SU VENTA 11 13 7 27 47 a) - 4 , - 12 , 12 , 12 , 12 1 1 1 1 1 b) 2 , 6 , 18 , 54 , 162 ¿Cuál de ellas crece aritméticamente? ¿Por qué puedes asegurarlo? ¿Cuál es la razón de crecimiento de la que crece de manera geométrica? ¿Cómo obtuviste este resultado? Evaluación cuarto bimestre B G-Mte 3 Ateneo Conaliteg.indd XXXIII XXXIII 12/12/08 12:45:23 PM EVALUACIÓN QUINTO BIMESTRE (A) Nombre: Fecha: Grupo: Calificación: Número de puntos totales por cubrir: 100 1. La siguiente esfera de 7 cm de radio se corta con un plano a 2 cm de su centro. (20 puntos) ¿Cuál es el radio del círculo definido por el corte? ¿Cómo encontraste este valor? 7 cm 2 cm 2. Un cono y un cilindro con bases de 5 cm de radio tienen el mismo volumen. (20 puntos) Si la altura del cono es de 8 cm, ¿cuánto mide la altura del cilindro? PROHIBIDA SU VENTA ¿Cómo obtuviste este resultado? XXXIV Guía docente G-Mte 3 Ateneo Conaliteg.indd XXXIV 12/12/08 12:45:24 PM 3. Las calificaciones en matemáticas de un grupo de tercero de secundaria tienen las siguientes características: la menor es 4, la mitad de las calificaciones es menor o igual a 7.5. La cuarta parte mayor está entre 9 y 10 y la cuarta parte menor está entre 4 y 6. (20 puntos) a) Dibuja la gráfica de caja con brazos para esta colección de datos. 4 5 6 7 8 9 10 b) ¿En qué parte están más dispersos los datos? ¿En qué parte están más concentrados? c) ¿Cuál es el porcentaje de estudiantes aprobados? 4. Entre Óscar y Andrea tienen 40 discos. Si Óscar le diera a Andrea 4 de sus discos, ambos tendrían el mismo número de discos. ¿Cuál es el número de discos de cada uno? (20 puntos) ¿Cuántas variables necesitas para modelar el problema? ¿Cuál es la ecuación o ecuaciones que modelan el problema? ¿Cómo encontraste la solución al problema? 5. El área de un rectángulo mide 30 cm2 y su perímetro mide 22 cm. (20 puntos) ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo? PROHIBIDA SU VENTA ¿Cuál es la o las ecuaciones que modelan el problema? ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación o ecuaciones? Evaluación quinto bimestre A G-Mte 3 Ateneo Conaliteg.indd XXXV XXXV 12/12/08 12:45:25 PM EVALUACIÓN QUINTO BIMESTRE (B) Nombre: Fecha: Grupo: Calificación: Número de puntos totales por cubrir: 100 1. ¿A qué distancia del centro de una esfera de 5 cm de radio debe hacerse un corte con un plano, para que el círculo que resulte tenga 3 cm de radio? (20 puntos) ¿Cómo obtuviste este resultado? 3 cm ? 5 cm 2. ¿Qué altura debe tener un cono con 10 cm de radio para que su volumen mida 628.32 cm3? (20 puntos) ¿Cómo obtuviste el resultado? PROHIBIDA SU VENTA x 10 cm XXXVI Guía docente G-Mte 3 Ateneo Conaliteg.indd XXXVI 12/12/08 12:45:25 PM 3. Las siguientes gráficas corresponden a las calificaciones de dos grupos de tercero de secundaria que tienen el mismo número de alumnos. (20 puntos) 4 5 6 7 8 9 10 A B a) ¿En cuál de los grupos está más dispersa la mitad central de las calificaciones? ¿En qué basaste tu respuesta? b) ¿Entre qué valores está la cuarta parte de calificaciones más altas en el grupo A? ¿Y en el B? c) ¿Qué parte del grupo B está más concentrada? ¿Qué parte está más dispersa? 4. La mamá de Arturo cobró un cheque de $1 000; la cajera le entregó billetes de $20 y de $50. Si en total le dieron 29 billetes, ¿cuántos billetes de cada denominación le dieron? (20 puntos) ¿Cuántas incógnitas necesitas para resolver el problema? ¿Cuál es la ecuación o ecuaciones que modelan el problema? PROHIBIDA SU VENTA ¿Cuál es la solución al problema? 5. Las diagonales de un rectángulo miden 13 cm y uno de los lados mide 7 cm más que el otro. (20 puntos) ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo? ¿Cuántas incógnitas tiene el problema? ¿Qué relación hay entre estas incógnitas? ¿Cuál es la ecuación que modela el problema? ¿Las dos soluciones de esa ecuación tienen sentido en el contexto del problema? ¿Por qué? Evaluación quinto bimestre B G-Mte 3 Ateneo Conaliteg.indd XXXVII XXXVII 12/12/08 12:45:25 PM RESPUESTAS RESPUESTAS DE LA EVALUACIÓN DEL PRIMER BIMESTRE (A) 3. 1. Se traza la diagonal AC. Se sabe que AB mide lo mismo que CD y BC mide lo mismo que DA. AC es un lado común de los triángulos ABC y CDA. Por LLL los triángulos son congruentes. Por tanto, los ángulos BCA y CAD son iguales. Por tratarse de ángulos alternos internos, los lados BC y AD son paralelos. B a) (x + 7)(x – 6). b) (4 – y)(4 + y). c) (5 – 4z)2. 4. Se sabe que AO = OC y que DO = OB. Además, los ángulos DOA y BOC son iguales por ser opuestos por el vértice. Por LAL los triángulos DOA y BOC son congruentes. Por ello, los ángulos ␣ y ␤ son iguales. Por tratarse de ángulos alternos internos, los lados AD y CB son paralelos. A B C A ␣ C A D D ␦ B ␤ D De manera análoga, se traza la diagonal BD. Por LLL los triángulos BCD y DAB son congruentes. Por ello, los ángulos DBC y ADB son iguales. Por tratarse de ángulos alternos internos, los lados AB y CD son paralelos. Como los lados opuestos son paralelos, el cuadrilátero es un paralelogramo. ␥ O C De manera análoga, por LAL los triángulos AOB y COD son congruentes. Por ello, los ángulos ␥ y ␦ son iguales. Por ser ángulos alternos internos, los lados AB y CD son paralelos. Como los lados opuestos son paralelos, el cuadrilátero es un paralelogramo. 5. a) Los ángulos OPB y BPQ miden 90° porque las rectas tangentes son perpendiculares al radio que pasa por el punto de tangencia. b) El segmento OQ tiene longitud 5, que es la suma de los dos radios. c) La suma de los dos ángulos semiinscritos BPC y PCB es 112, que es la medida del ángulo central. Por tanto ␣ mide 180 – 112 = 68° por ser el tercer ángulo interior del triángulo BPC. 2. El ángulo ␣ mide 60° porque es un ángulo central que subtiende el mismo arco que el ángulo inscrito de 30°. El ángulo ␤ mide 60° por ser opuesto por el vértice al ángulo ␣. El ángulo ␥ mide 30° porque es un ángulo inscrito que subtiende el mismo arco que el ángulo central ␤. 3. a) x2 − 11x + 18, b) 4ab, c) (6 – 4x)(3 – 2x) = 8x2 – 24x + 18. 4. a) (x – 8)(x – 1), b) 4a(b + b2 + a), c) (m + 1)(m – 1), d) (y + 8)2 5. a) Por tratarse de rectas tangentes, AP = PQ y PQ = PB. Por tanto, PB mide lo mismo que AP, es decir, 2 cm. b) Los ángulos semiinscritos PAQ y AQP suman tanto como el ángulo central AOQ, que mide 2 × 37 = 74°. Por tanto, el ángulo QPA mide 180 – 74 = 106° por estar en el mismo triángulo. RESPUESTAS DE LA EVALUACIÓN DEL PRIMER BIMESTRE (B) PROHIBIDA SU VENTA 1. ␣ mide 90° porque es un ángulo inscrito cuyos lados cortan a la circunferencia en los extremos de un diámetro. ␤ mide 60° porque es un ángulo inscrito que subtiende el mismo arco que el ángulo central de 120°. ␥ subtiende el mismo arco que el ángulo central que mide 360° − 120° = 240°. Por tanto, ␥ mide 120°. RESPUESTAS DE LA EVALUACIÓN DEL SEGUNDO BIMESTRE (A) 1. Cantidad de libras (x) 0.5 1 1.5 2 3 x Cantidad de kilogramos (y) 0.225 0.45 0.675 0.90 1.35 0.45x b) Los puntos son (1, 0.45) y (2, 0.90). La razón de cambio o pendiente es (0.9 – 0.45)/(2 − 1) = 0.45. c) Los puntos son (1, 0.45) y (3, 1.35). La razón de cambio o pendiente es (1.35 – 0.45)/(3 − 1) = 0.45. d) Sí es función lineal, pueden dar varias razones: porque la variable x aparece con exponente 1, porque la razón de cambio o pendiente entre cualquier pareja de puntos es siempre igual a 0.45, porque y es directamente proporcional a x. e) Sabiendo que es lineal, sólo necesitan localizar dos puntos sobre la recta para graficarla: Kilogramos 2. Amarillo: 2x2; verde: ax; azul: 2bx; morado: ab. a) Área del rectángulo mayor: 2x2 + ax + 2bx + ab = 2x2 + (a + 2b)x + ab. b) Base: 2x + a, altura: x + b; área: (2x + a)(x + b). c) a + 2b = 12, ab = 16. Por tanto, a = 8, b = 2. d) 2x2 + 12x + 16 = (2x + 8)(x + 2). 0.90 0.45 1 XXXVIII 2 3 Libras Guía docente G-Mte 3 Ateneo Conaliteg.indd XXXVIII 12/12/08 12:45:26 PM 6–x 2. a) Pueden encontrar el número por métodos personales, por ejemplo, usando una calculadora y probando distintos valores. También pueden encontrar la solución de la ecuación x2 − 34 = 750, x2 − 784 = 0, (x − 28)(x + 28) = 0. El resultado es x = 28 o x = −28. b) x2 + 96 = 20x, x2 – 20x + 96 = 0, (x − 12)(x − 8) = 0, las dos soluciones son x = 12 y x = 8. x x 6 3. a) El polígono verde y el azul porque sus lados están en razón 2 a 1, y los polígonos amarillo y anaranjado porque sus lados también están en 2 a 1. b) El ángulo BDE mide 60° porque es suplementario al de 120°, de ahí que el ángulo EBD mide 30° por ser el tercer ángulo interior del triángulo BDE. Por tanto, los dos triángulos tienen ángulos interiores iguales y son semejantes. 6 b) x(x + 1) = 5 (x + x + 1) + 31, x2 + x = 5(2x + 1) + 31, x2 + x = 10x + 5 + 31, de donde se obtiene: x2 – 9x – 36 = 0 (x − 12)(x + 3) = 0 Las soluciones son 12 y −3. 4. ␣ = 125° y ␤ = 180 – (125 + 24) = 31°. La razón de semejanza de ABC a A’B’C’ es 8/10 = 0.8, por tanto x = 5 × 0.8 = 4, y = 5/0.8 = 6.25. 5. a) Significa que al bachillerato del D.F. entran estudiantes de otras entidades federativas, por eso la cantidad de estudiantes matriculados en primero de educación media superior rebasa el número de egresados de las secundarias del D.F. b) En Michoacán, no ingresaron a educación media 20 de cada 100 egresados de secundaria. 3. a) Al área del cuadrado se le resta el área de las partes blancas: 36 – x2/2 − 6(6 − x)/2, 36 – x2/2 – 18 – 3x, x2/2 – 3x – 18. 4. a) Los triángulos ABC y BCD tienen dos ángulos iguales: el ángulo recto y el ángulo común BCD, por tanto son semejantes. Para ver de manera más directa la correspondencia entre los lados proporcionales, reflejar de manera adecuada el triángulo amarillo: RESPUESTAS DE LA EVALUACIÓN DEL SEGUNDO BIMESTRE (B) 1. PROHIBIDA SU VENTA a) (44 − 34)/(9 − 0) = 10/9 = 1.11. b) (46 − 34)/(15 − 0) = 4/5 = 0.8. c) No es lineal porque la razón de cambio de las ordenadas respecto a las abscisas no es constante. d) Observar la variación de las ordenadas respecto a las abscisas en cualquier par de puntos sobre cada recta. m = 2/4 = 1/2 m = −1 2. a) La razón de semejanza debe ser de 3 a 12, es decir, 4. Por tanto, el lado más grande mide 4 × 4 = 16 cm. b) Sí, porque los dos ángulos iguales deben medir (180 − 40)/2 = 70 cada uno y así todos los ángulos interiores son iguales. b) La razón de semejanza es 15/25, por lo que x = 15(15/25) = 9, y = 20(15/25) = 12. 5. Se requieren dos bolsas con papeles del mismo tamaño. La primera de ellas debe tener 3 papeles que digan “positivo” y 7 que digan “negativo”. La segunda debe tener 8 papeles que digan positivo y 2 que digan negativo. Se extrae un papel al azar de la primera bolsa. Si sale negativo se anota un “fracaso” y la simulación terminó. Si sale positivo, debe sacarse otro de la segunda bolsa. Si dice negativo se anota un “fracaso” y si dice positivo se anota un “éxito”. Respuestas G-Mte 3 Ateneo Conaliteg.indd XXXIX XXXIX 12/12/08 12:45:26 PM RESPUESTAS DE LA EVALUACIÓN DEL TERCER BIMESTRE (A) 4. 1. La ecuación que corresponde a la gráfica es c) y = 2 (x − 4)2 + 1. El vértice de la parábola está trasladado 4 unidades a la derecha y una unidad hacia arriba. Adicionalmente, si sustituimos el punto de abscisa 6 en esa ecuación, obtenemos: y = 2 (6 − 4)2 + 1 = 2 (2)2 + 1 = 8 + 1 = 9 a) El segmento B’C’ mide 51/11. La razón es la siguiente: como las rectas BB’ y CC’ son paralelas cortadas por dos transversaBC B'C' les, el teorema de Tales afirma que AC = AC' . b) Como BC mide 3 unidades y AB mide 8, AC mide 11 unidades, entonces: BC 3 B'C' x AC = 11 y AC' = 17 de donde: x 3 17 = 11 y por tanto: x= 2. 17 # 3 11 Para saber si son o no homotéticos trazamos un segmento que una B con B’. Llamamos O al punto donde este segmento corta al lado AC del triángulo. Si las figuras son homotéticas este punto será el centro de homotecia. Con el compás medimos la distancia de B a O y la de B’ a O: A 5. a) Si llamamos x al lado del terreno cuadrado original, entonces el terreno reducido tiene lados de longitudes x − 3 y x − 4 y, por tanto, su área es (x − 3)(x − 4). Como el área de este nuevo C’ B’ O x2 A’ B C OB' 1 Como OB = 2 y B’ no está en el segmento OB, la posible 1 razón de homotecia es - 2 . A' O C'O 1 Para comprobarlo calculamos las razones AO y CO = - 2 . Por tanto los triángulos son homotéticos, con centro de homo1 3. tecia en O y razón de homotecia - 2 . a) Las dos llaves se abrieron simultáneamente a las 10 horas. b) La velocidad de vaciado de una llave es de 50 litros por hora. c) Las llaves estuvieron cerradas 16 horas. d) Al final del día quedaron 200 litros de agua en el tinaco: PROHIBIDA SU VENTA Litros x= 14 ! ]14 g2 - 4 ] 24 g 2]1g = 14 ! 196 - 96 2 = 14 ! 100 2 = 14 ! 10 2 x1 = 12, x2 = 2 c) La segunda solución no tiene sentido en el contexto del problema, pues si el lado del terreno original midiera 2 metros, no se le podrían quitar franjas de 3 y 4 metros. Por tanto, la única solución que tiene sentido en el contexto del problema es x = 12. Se puede comprobar que esta solución es correcta calculando el área del terreno reducido: (12 − 3)(12 − 4) = 9 × 8 = 72, que es la mitad de 122 = 144. 800 700 600 500 400 300 200 100 2 XL terreno es la mitad del original, entonces (x − 3)(x − 4) = 2 . Si reescribimos esta ecuación como 2(x − 3)(x − 4) = x2 y desarrollamos el producto de los binomios: 2(x2 −7x + 12) = x2, 2x2 −14x + 24 = x2, obtenemos la ecuación que modela la situación descrita: x2 −14x + 24 = 0 b) Como es una ecuación de segundo grado, tiene dos soluciones, que son: 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 Horas Guía docente G-Mte 3 Ateneo Conaliteg.indd XL 12/12/08 12:45:27 PM RESPUESTAS DE LA EVALUACIÓN DEL TERCER BIMESTRE (B) 4. 1. La ecuación que corresponde a la gráfica es b) y = − (x + 4)2 − 2, pues la parábola abre hacia abajo (lo cual se refleja en el signo menos del término cuadrático); está trasladada cuatro unidades a la izquierda, lo cual se refleja en el término cuadrático (x + 4)2 y está trasladada dos unidades hacia abajo. Podemos comprobarlo sustituyendo alguno de los puntos de la parábola en la ecuación: y = − (−2 + 4)2 − 2 = − 4 − 2 = − 6 Para dividir el segmento en 7 partes iguales, trazamos un segmento de recta que pase por A. Sobre ese segmento copiamos una unidad 7 veces (con ayuda del compás) y unimos el punto correspondiente a 7 unidades con el extremo B. Trazamos una paralela a este segmento (con ayuda de las escuadras) por el punto correspondiente a 2 unidades: 7 6 5 (–4, –2) 4 2 3 (–2, –6) B 1 P A 2. Para verificar si el par de cuadriláteros es homotético, unimos los puntos correspondientes con segmentos de recta. El punto donde se corten será el centro de homotecia O. Para encontrar AO BO CO la razón de homotecia calculamos las razones OA' , B'O , CC' DO AO BO CO DO , D'O . Como OA' = B'O = C'O = D'O = 1 y los puntos correspondientes A y A’ y B y B’, C y C ’, D y D ’ están en lados opuestos respecto al punto O, la razón de homotecia es −1. A B’ C’ D O D’ C B A’ 5. Llamemos x al ancho del jardín. Como el terreno tiene 20 metros de lado, el lado de la casa mide 20 − 2x. El jardín está formado por los rectángulos A, B y C de la figura. El área de los rectángulos A y B es x(20 − 2x) y la del rectángulo C es 20x. Por tanto, el área del jardín es: 2x(20 − 2x) + 20x = 40x − 4x2 + 20x = −4x2 + 60x Como se quiere que el jardín ocupe un área de 224 m2, entonces tenemos que resolver la ecuación: −4x2 + 60x = 224 o bien: −4x2 + 60x − 224 = 0 Usando la fórmula general tenemos que: x= - 60 ! 3600 - 4 ]- 4 g ]- 224 g 2 ]- 4 g = PROHIBIDA SU VENTA 3. a) La primera vez que se detuvo el vehículo fue cinco horas después de iniciado el recorrido y estuvo parado por una hora; la segunda vez fue a las 8 horas de iniciado el recorrido y estuvo detenido por media hora. b) Para calcular la velocidad durante la primera parte del trayecto observamos que recorrió 450 kilómetros en 5 horas, por lo que su velocidad era de 90 kilómetros por hora; en la segunda parte recorrió 200 kilómetros en 2 horas, por lo que su velocidad era de 100 kilómetros por hora y en la tercera parte del trayecto recorrió 100 kilómetros en 2 horas y media, por lo que su velocidad era de 40 kilómetros por hora. c) En total, el recorrido fue de 750 kilómetros. Kilómetros 800 - 60 ! 3600 - 3584 -8 = - 60 ! 16 -8 = - 60 ! 4 -8 - 56 - 64 x1 = - 8 = 7 , x2 = - 8 = 8 Se puede verificar que los dos valores de x son solución del problema. Si el ancho del jardín es de 7 metros, su área será de −4(7)2 + 60(7) = −4(49) + 420 = 420 − 196 = 224. Si el ancho del jardín es de 8 metros, su área será de −4(8)2 + 60(8) = −4(64) + 480 = 480 − 256 = 224. En el primer caso, el área de la casa será de (20 − 14)2 = 36 metros cuadrados; en el segundo caso, el área de la casa será de (20 − 16)2 = 16 metros cuadrados. 700 x 600 500 x 400 A 300 B 20 – 2x 200 100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C x Horas Respuestas G-Mte 3 Ateneo Conaliteg.indd XLI XLI 12/12/08 12:45:27 PM RESPUESTAS DE LA EVALUACIÓN DEL CUARTO BIMESTRE (A) Como 2a = 2, entonces a = 1. Igualando dos términos correspondientes de las sucesiones de diferencias tenemos: 3a + b = 3 + b = 4 de donde se concluye que b = 1. Igualando dos términos correspondientes de las sucesiones tenemos: a+b+c=1+1+c=5 de donde concluimos que c = 3. La expresión que define al término enésimo de la sucesión es n2 + n + 3. 1. El ángulo central BOA mide 360°/6 = 60° y los ángulos interiores del hexágono miden 120°. Como los triángulos BOA, COB, DOC, EOD, FOE y AOF son congruentes (LAL), los ángulos OAB, ABO, OBC, OCB,..., OFA y FAO son iguales y por tanto miden 120°/2 = 60°. Es decir, los triángulos son equiláteros y sus lados miden 2 cm. Como OM es altura del triángulo equilátero ABO, M es punto medio del lado AB y, por tanto, AM = MB = 1 cm. Como OM es altura, el ángulo AMO es recto y entonces AMO es un triángulo rectángulo. Para calcular OM usamos el teorema de Pitágoras; como AM 2 + OM 2 = AO 2, entonces 1 + OM 2 = 4 E Durante el primer minuto la velocidad se incrementa en 60 × 0.25 = 15 km/min, por lo que al término del primer minuto llevará una velocidad de 60 + 15 = 75 km/min. A los dos minutos el incremento será de 75 × 0.25 = 18.75 km/min, por lo que su velocidad será de 75 + 18.75 = 93.75 km/min. Al tercer minuto el incremento será de 93.75 × 0.25 ≈ 23.44, por lo que la velocidad aproximada a los tres minutos será de 93.75 + 23.44 ≈ 117.18 km/min. La gráfica es aproximadamente: D O F C M B A Velocidad de donde OM = 3 ≈ 1.73. Finalmente, el área del hexágono se obtiene multiplicando el perímetro por la apotema y dividiendo este número entre 2. Como el perímetro es 12 y la apotema 1.73 aproximadamente, el área del hexágono es de manera aproximada 6(1.73) = 10.38 cm2. 4. 2. Llamemos x a la altura a la que se recarga la escalera sobre la pared. Como sen 35° = cat op/hip = x/6 ≈ 0.57, entonces x ≈ 6(0.57) = 3.42 m. Llamemos y a la distancia de la base de la escalera a la pared. Como cos 35° = cat ady/hip = y/6 ≈ 0.82, entonces y ≈ 6(0.82) = 4.92 m. Si ahora queremos que la altura a la que se recargue la escalera sea de 5 m, entonces sen ␣ = 5/6 ≈ 0.83. Por tanto ␣ ≈ 56.44°. 3. Al llenar la primera tabla tenemos: Sucesión PROHIBIDA SU VENTA 1 2 3 4 5 5 9 15 23 33 Sucesión de diferencias 4 6 8 10 Sucesión de diferencias de diferencias 2 2 2 Como la sucesión de diferencias de diferencias es constante, el polinomio que define el término enésimo de la sucesión es de grado 2. Al llenar la segunda tabla tenemos: an2 + bn + c 1 2 3 4 5 XLII a+b+c 4a + 2b + c 9a + 3b + c 16a + 4b + c 25a + 5b + c Sucesión de diferencias 350 300 250 200 150 100 50 1 2 5 6 7 8 1. Si M es el punto medio de AB, entonces AM = MO = 2 cm. Como el triángulo AMO es rectángulo, por el teorema de Pitágoras se tiene que: AM 2 + MO 2 = AO 2, es decir, AO 2 = (2)2 + (2)2 = 8, de donde el radio del círculo mide 8 cm ≈ 2.83 cm. Para calcular la longitud del segmento AE hay que aplicar nuevamente el teorema de Pitágoras al triángulo AME. El cateto AM mide 2 cm, el cateto EM = EO − MO, por lo que mide 8 - 2 , entonces AE 2 = AM 2 + EM 2 = (2)2 + ( 8 - 2 )2 = 4 + 8 − 4 8 + 4 = 16 − 4 8 ≈ 16 − 11.31 ≈ 4.69 y, por tanto, AE mide aproximadamente 2.17 cm. Por último, como EF es diámetro del círculo y los segmentos AE y DF miden lo mismo, el perímetro del trapecio mide aproximadamente: 2 (2.83) + 2(2.17) + 4 = 5.66 + 4.34 + 4 = 14 cm. A Diferencias de diferencias 2a 2a 2a 4 Minutos RESPUESTAS DE LA EVALUACIÓN DEL CUARTO BIMESTRE (B) E 3a + b 5a + b 7a + b 9a + b 3 M B D F O C Guía docente G-Mte 3 Ateneo Conaliteg.indd XLII 12/12/08 12:45:28 PM 2. 4. Para determinar cuál es la que crece aritméticamente calculamos las diferencias entre los términos consecutivos. Para la sucesión a) se tiene que la diferencia entre los dos primeros términos es: Como cos ␣ = 5/7 ≈ 0.7142, entonces ␣ ≈ 44.41°. Sea x la distancia del poste a la base del tirante, usando el teorema de Pitágoras se tiene que x2 + 52 = 72, es decir, x2 = 49 − 25 = 24, de donde x = 24 ≈ 4.89 m. 13 11 13 11 - 13 + 33 - 12 - b- 4 l = - 12 + 4 = 12 20 5 12 = 3 ␣ La diferencia entre el tercero y el segundo es: 7 7 + 13 b 13 l 12 - - 12 = 12 20 5 = 12 = 3 7m 5m La diferencia entre el cuarto y el tercero: 27 7 20 5 12 - 12 = 12 = 3 Y la diferencia entre el quinto y el cuarto: 3. 47 27 20 5 12 - 12 = 12 = 3 Llenando la tabla se tiene que: Área del rectángulo Sucesión de diferencias Como en todos los casos la diferencia es la misma, podemos asegurar que la sucesión a) crece de manera aritmética. La sucesión b) no crece de manera aritmética pues la diferencia entre sus términos no es constante. Por ejemplo, la diferencia entre el segundo y el primer términos es: Sucesión de diferencias de diferencias 1 2 2 6 4 3 12 6 2 4 20 8 2 1 1 1 18 - 6 = - 9 5 30 10 2 Si analizamos el cociente entre términos consecutivos de la 6 42 12 2 sucesión b) tenemos que: 1 1 1 6 - 2 =- 3 mientras que la diferencia entre el tercero y el segundo es: 1 1 2 1 6'2=6=3 1 1 6 1 18 ' 6 = 18 = 3 1 1 18 1 54 ' 18 = 54 = 3 1 1 54 1 162 ' 54 = 162 = 3 Como la sucesión de segundas diferencias es constante, la expresión que define al término enésimo debe ser un polinomio cuadrático. En este caso es fácil ver que ese polinomio cuadrático es n(n + 1) = n2 + n. Para verificarlo sustituimos los primeros valores: si n = 1, n2 + n = 2; si n = 2, n2 + n = 6; si n = 3, n2 + n = 12, etcétera. Para saber si hay algún término de la sucesión cuya área sea igual a 2 070, resolvemos la ecuación n2 + n = 2 070 o bien n2 + n − 2 070 = 0. n= - 1 ! 1 2 - 4 ]- 2070 g 2 PROHIBIDA SU VENTA - 1 ! 1 + 8280 = 2 = - 1 ! 8281 2 = - 1 ! 91 2 Por tanto, las soluciones de esta ecuación son n1 = 45 y n2 = −46. Como en el contexto del problema sólo tiene sentido la solución positiva, tenemos que el término 45 de la sucesión tiene área igual a 2 070. Es fácil comprobarlo pues 45 × 46 = 2 070. Por lo que podemos asegurar que la sucesión crece de manera 1 geométrica y que la razón de crecimiento es 3 . RESPUESTAS DE LA EVALUACIÓN DEL QUINTO BIMESTRE (A) 1. Al unir el centro de la esfera con cualquier punto del círculo de corte, se forma un triángulo rectángulo con hipotenusa de 7 cm y un cateto de 2 cm. Aplicando el teorema de Pitágoras a este triángulo se tiene que: 22 + r2 = 72. De modo que r2 = 72 − 22 = 49 − 4 = 45. Por lo que r = 45 ≈ 6.7 cm. 7 cm 2 cm Respuestas G-Mte 3 Ateneo Conaliteg.indd XLIII XLIII 12/12/08 12:45:29 PM 2. 3 cm Sabemos que el volumen del cono se obtiene mediante la fórrr 2 h h 200r mula V = 3 , por tanto su volumen es V = 3 . Por otro lado, el volumen del cilindro se obtiene mediante la fórmula V = πr2h. Entonces el volumen del cilindro es 25πh. Como los volúmenes de ambos cuerpos son iguales, tenemos que: 200r 3 = 25rh 2. 200 3. a) 5 cm Por lo tanto, h = 75 ≈ 2.66 cm Sabemos que el volumen del cono es cono es de 10 cm, entonces: 4 5 6 7 8 9 rr 2 h 3 y que el radio del rr 2 h 100rh 3 = 3 = 628.32 10 Si usamos 3.1416 como una aproximación de π, tenemos: por lo que x = 6. 100 ]3.1416 g h = 628.32 3 3. a) En el grupo B porque la distancia intercuartil es 8.5 – 6 = 2.5, mientras que en el A esta diferencia es 7.5 – 6 = 1.5. La respuesta se basa en la distancia intercuartil que es la diferencia entre el tercer cuartil y el primero. b) En el grupo A está entre 7.5 y 10, en el B está entre 8.5 y 9.5 c) Más concentrado en la tercera parte, es decir, de la mediana al tercer cuartil. Más dispersos en la segunda parte, es decir, del primer cuartil a la mediana. b) Las calificaciones están más dispersas en la primera cuarta parte, es decir, de la mínima al primer cuartil y están más concentradas del tercer cuartil a la máxima. c) El porcentaje de estudiantes aprobados es 75%. 4. Llamemos x al número de discos que tiene Óscar y y al número de discos que tiene Andrea. Sabemos que x + y = 40. Si Óscar le diera 4 discos a Andrea, Óscar se quedaría con x − 4 discos y Andrea tendría y + 4 discos. Como estas dos cantidades son iguales, tenemos que x − 4 = y + 4. Por tanto hay que resolver el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: x + y = 40 x−4=y+4 O bien: x + y = 40 x−y=8 Las soluciones del sistema son x = 24 y y = 16. 5. Llamemos x y y a las dimensiones del rectángulo. Como su área es de 30 cm2, entonces xy = 30 y como su perímetro es de 22 cm, entonces 2x + 2y = 22. Despejando y de la primera ecuación y sustituyéndola en la segunda tenemos que: 30 PROHIBIDA SU VENTA 2x + 2( x ) = 22 Multiplicando por x ambos lados de la igualdad y simplificando tenemos la ecuación cuadrática: 2x2 − 22x + 60 = 0 cuyas soluciones son x = 6 y x = 5. Si x = 6, entonces y = 5. Si x = 5, entonces y = 6. Por tanto las dimensiones del rectángulo son 5 cm y 6 cm. RESPUESTAS DE LA EVALUACIÓN DEL QUINTO BIMESTRE (B) 1. Llamemos h a la distancia entre el centro de la esfera y el plano que la corta. Entonces se forma un triángulo rectángulo de hipotenusa 5 y un cateto de longitud 3. Aplicando el teorema de Pitágoras se tiene que h2 + 32 = 52, de donde h2 = 25 − 9 = 16. Es decir h = 4 cm. XLIV 4. Hay que determinar el número de billetes de 20 y de 50 que recibió, por lo tanto se necesitan dos variables para modelar el problema. Si llamamos x al número de billetes de 20 y y al número de billetes de 50, tenemos que x + y = 29. Como la suma de dinero es de 1000, tenemos también que 20x + 50y = 1 000. Por lo tanto el sistema de ecuaciones que modela el problema es: x + y = 29 20x + 50y = 1 000 Las soluciones de este sistema son x = 15, y = 14. 5. El problema tiene dos incógnitas, la base y y la altura x del rectángulo. Pero estas dos incógnitas están relacionadas mediante la ecuación y = x + 7, por lo que basta encontrar x para hallar y. Como la diagonal del rectángulo lo divide en dos triángulos rectángulos de catetos x y x + 7 e hipotenusa 13, se puede aplicar el teorema de Pitágoras para encontrar el valor de x. x2 + (x + 7)2 = 132 13 x x+7 Desarrollando el binomio al cuadrado y agrupando términos semejantes se obtiene la ecuación 2x2 + 14x − 120 = 0, cuyas soluciones son x = 5 y x = −12. La segunda solución no tiene sentido en el contexto del problema porque las longitudes son números positivos. Si x = 5, entonces y = 12. Guía docente G-Mte 3 Ateneo Conaliteg.indd XLIV 12/12/08 12:45:30 PM BIBLIOGRAFÍA PARA LOS DOCENTES 1. Alarcón B, Bonilla R, et al. Libro para el maestro. Educación Secundaria, SEP, México, 1994. 2. Borel, E. Las probatilidades y la vida. Oikos-tau, Barcelona, 1971. 3. Bunch Byan H. Matemática insólita, paradojas y paralogismos, Ed. Reverté, México, 1997. 4. García, J. y C. Bertrán. Geometría y experiencias, Alhambra Mexicana, México, 1997. 5. ICECI, Recopilación. Materiales para la enseñanza de la teoría de probabilidades, Cuadernos del ICECI, Ediciones UAM, 1999. 6. Kasner, E. y J. Newman. Matemáticas e imaginación, Salvat Editores, Barcelona, 1987. 7. Newman, James R. El mundo de las matemáticas, Grijalbo Editores. 8. Noger B. Nelsen. Demostraciones sin palabras, ejercicios de pensamiento visual. Proyecto Sur de Ediciones, España, 2001. 9. Paenza, Adrián. Matemática… ¿estás ahí? Siglo XXI Editores, 2007. 10. Rivaud, Juan José. Matemáticas para todos, compilación, Fomento Mexicano para la Educación y el Desarrollo, A.C., México, 2005. PROHIBIDA SU VENTA Bibliografía para el escolar 1. Aragón B. y Valiente B. En el amable mundo de la matemática, Ed. Patria, 1981. 2. Bolt, Brian. Matemáquinas, La matemática que hay en la tecnología, Editorial Labor, Barcelona, 1992. 3. Enzensberger. El diablo de los números, Siruela, México, 1998. 4. Gardner Martín. Los mágicos números del Doctor Matrix. Barcelona, 1986. 5. Hoghen, Lancelot. El maravilloso mundo de las matemáticas, Aguilar, Madrid, 1970. 6. Perelman Y. Álgebra recreativa. Ediciones Quinto Sol, México, 1983. 7. Perelman Y. Aritmética recreativa, Ediciones de Cultura Popular, México, 1975. 8. Tahan, Malba. El hombre que calculaba, Noriega Editores, Limusa, México, 1988. Páginas de Internet http://www.batiburrillo.net/matematicas/matemat.php curiosidades, juegos y amplia gama de problemas sobre las distintas áreas de las matemáticas. http://descartes.cnice.mecd.es/ Ir a “unidades didácticas” para encontrar una amplia gama de temas sobre las matemáticas en la educación secundaria, tratados de forma interactiva, explicaciones, problemas, ejercicios, sugerencias y referencias para el docente y para el escolar. http://interactiva.matem.unam.mx/index_flash.htm/ Ir a “secundaria” y se encontrarán actividades interactivas sobre geometría, álgebra y razonamiento lógico. http://recursos.pnte.cfnavarra.es/~msadaall/geogebra/movimientos.htm movimientos en el plano y simetrías. http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/mate.htm o http://roble.cnice.mecd.es/jarran2/ geometría interactiva con cabri. http://sepiensa.org.mx/librero/matematicas.html se abordan “lugares geométricos, lugares aritméticos y lugares algebraicos”, para los niveles de primaria a bachillerato. http://Thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0278-01/inicio/htm Problemas resueltos y no resueltos sobre estadística y probabilidad. http://www.fermatsi.org/lecciones.htm se abordan distintas áreas de las matemáticas, en particular números fraccionarios y decimales, su ubicación en la recta y operaciones. Bibliografía e Internet G-Mte 3 Ateneo Conaliteg.indd XLV XLV 12/12/08 12:45:30 PM Para profundizar en estrategias docentes Cázares, Y. Manejo efectivo de un grupo, Trillas, México, 1998. Chehaybar, E. Técnicas para el aprendizaje grupal, CISE, México, 1994. De la Torre, S. Estrategias didácticas innovadoras, Octaedro, Barcelona, 2000. Díaz Barriga, F y G. Hernández Rojas. Estrategias docentes para un aprendizaje significativo, McGraw Hill, México, 1998. García González, E y H. Rodríguez. El maestro y los métodos de enseñanza, Trillas, México, 1998. Gil, F. La enseñanza de los derechos humanos; 30 preguntas, 29 respuestas y 76 actividades, Paidós, Barcelona, 2001. González Ornelas, V. Estrategias de enseñanza y aprendizaje, Pax, México, 2001. Martín, J. Dinámica de grupos en el aula, Trillas, México, 2002. Monereo, C. (coord.). Estrategias de enseñanza y aprendizaje, Graó, Barcelona, 2000. Monereo, C y M. Castelló. Las estrategias de aprendizaje, Edebé, Barcelona, 1997. Sitios de Internet PROHIBIDA SU VENTA Dinámicas de grupo www.gerza.com Dinámicas de grupo http://members.fortunecity.com/dinamico/ Técnicas de animación grupal http://www.gestiopolis.com/recursos/documentos/fulldocs/rrhh/TecDinGrUCH.pdf XLVI Guía docente G-Mte 3 Ateneo Conaliteg.indd XLVI 12/12/08 12:45:30 PM Matemáticas 3 PROHIBIDA SU VENTA Eduardo Mancera Martínez El libro Matemáticas 3 es una obra colectiva, creada y diseñada en el Departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana, con la dirección de Clemente Merodio López. 1 00_Preliminares Matemáticas 3 ateneo.indd 1 12/12/08 12:57:33 PM PROHIBIDA SU VENTA 2 00_Preliminares Matemáticas 3 ateneo.indd 2 12/12/08 12:57:34 PM Presentación PROHIBIDA SU VENTA O riginalmente ateneo significaba institución literaria o científica. La palabra viene del griego Athenaion, que era el templo de Atenea en Atenas, donde los poetas, oradores y filósofos compartían sus obras. En la Roma antigua, el ateneo era el lugar destinado al estudio de las artes y las técnicas. Por extensión, en la actualidad ateneo significa institución donde se cultiva el conocimiento y el aprecio de las artes. Atenea era la diosa griega de la paz, la serenidad, la inteligencia y la sabiduría. Su imagen representaba, entre otras cosas, la prudencia. De ahí que la palabra ateneo hasta nuestros días se asocie con el progreso intelectual y espiritual del ser humano. Si entendemos la educación como arte moral, razonamiento científico y sabiduría práctica que extiende los límites de la libertad y permite a las personas enriquecerse y enriquecer a quienes las rodean, entonces, el objetivo de la serie Ateneo seguirá siendo transformar a las personas para que ellas transformen el mundo de manera favorable. Desde los primeros ateneos se sabía que el ser humano nunca está completamente hecho, sino en continua marcha, perfeccionándose de un modo inacabable. El sujeto de la educación es una construcción por hacer, para alcanzar más altos niveles de existencia y satisfacer todas las necesidades de su espíritu. Sin embargo, la persona se perfecciona en comunidad; se ve en sus semejantes y en ellos y con ellos descubre su destino. Al mismo tiempo, la comunidad social también se perfecciona en el respeto del individuo. La valoración de la persona es indispensable para equilibrar las partes con el todo. El presente libro de la serie Ateneo tiene como objetivo ofrecerte oportunidades para la construcción del conocimiento matemático, de acuerdo con los planes y programas de estudio vigentes. Se apoya el libro en secuencias didácticas obtenidas de diversas fuentes como la historia de la disciplina y algunos resultados de la investigación y desarrollo educativo, además de que se fomenta el trabajo colegiado con tus compañeros. Para tu maestro este libro ofrece una herramienta de trabajo flexible, con la información básica para cultivar el conocimiento matemático y el aprecio por esta asignatura. Por lo mismo, en el desarrollo de los contenidos se recuperan prácticas del Ateneo, consideradas también en los planes y programas de estudio de la asignatura de matemáticas para la educación secundaria, como son la reflexión, la formulación de argumentaciones y la exploración de diferentes vías para aproximarse al conocimiento y resolver problemas. El enfoque planteado recupera las experiencias en la resolución de problemas, el trabajo colegiado e induce la reflexión sobre temas nodales de la asignatura. También se adelanta a prever la generación de errores a partir de preguntas frecuentes y actividades formuladas para ese propósito. En la medida en que tú estudies y te prepares, serás más capaz de elegir quién quieres ser y de transformar favorablemente el mundo en que te tocó vivir. Por ello, en este texto de la serie para la educación secundaria, queremos revivir el espíritu del Ateneo y participar con estos materiales en una formación que te permita alcanzar las metas que te fijes como ser humano y como ciudadano de un país que necesita personas como tú, en un mundo cuya complejidad exigirá que siempre estés muy preparado y atento. La inauguración de una nueva escuela, como promueven las más recientes tendencias educativas, es una excelente oportunidad para avanzar en lo antes expuesto, así que, bienvenido al ateneo. Las ideas expuestas sobre el Ateneo conservan relación directa con el espíritu de la enseñanza vía competencias, en las cuales se integran diversos elementos preponderantes en la formación de los futuros ciudadanos. Algunas de las ideas básicas de las corrientes constructivistas tienen relación con el cambio constante y la renovación de significados, aspectos que se han incorporado en las lecciones que constituyen el presente texto. 3 00_Preliminares Matemáticas 3 ateneo.indd 3 12/12/08 12:57:34 PM Contenido Conviene recordar que la secundaria es el último paso del nivel de educación básica, en el cual es importante centrar la atención en la formación integral del individuo. En matemáticas, los estudiantes deben tener la oportunidad de reflexionar sobre lo que han aprendido y usar ese conocimiento para abordar nuevos contenidos. Por ello, la mayoría de los contenidos de los bloques 1 y 2 están vinculados con el estudio y la modelación de distintos fenómenos. Bloque 2 1 1 Las letras se multiplican • Símbolos o palabras • Letras y números que quieren multiplicarse 12 14 15 • Los rectángulos y las letras que se multiplican • Cambios de signo • Productos notables 2 3 4 Triángulos en cuadriláteros con lados congruentes • Propiedades de cuadriláteros 47 53 De ángulos y circunferencias • Nuevos nombres • Relación entre ángulos centrales e inscritos en una circunferencia • Triángulos inscritos 6 42 44 • De secantes a tangentes 5 36 • Triángulos congruentes • Curiosidades sobre triángulos Entre rectas y circunferencias Arcos y coronas, pero… no para una reina 60 8 cuadrado, ¿se puede obtener la longitud de su lado? • Para quedar de acuerdo en algunos términos • Ecuaciones con términos cuadráticos o cúbicos 113 114 115 118 120 10 El mundo de las cuadráticas 126 • De cuadráticas a productos de dos factores • Cuadrados y raíces iguales • Cuadrados incompletos • Aplicaciones de las ecuaciones de segundo grado 128 130 132 139 y de grandes a chicos • Ampliaciones y reducciones • Convenciones para establecer 144 la semejanza de triángulos 147 149 70 • Dibuja, mide y compara 70 74 78 146 12 Criterios de semejanza a partir de los lados • Criterio LLL • Criterio LAL 154 156 158 13 Semejantes polígonos o Las razones del cambio 88 • Una investigación de campo • ¿Calcular cubos con cuadrados? • Conocida el área de un 68 80 Exploraciones en la información 110 • Las ecuaciones según al-Jwarizmii 112 • Calcular un cuadrado es construir 11 De triángulos chicos a grandes circulares • Cambio en tiempo Cuadrados y cubos en las ecuaciones 62 • Coronas, sectores y segmentos 7 9 un cuadrado 23 27 28 Factorización de expresiones algebraicas 34 • Letras que se desmultiplican PROHIBIDA SU VENTA Bloque 90 polígonos semejantes • Más lados, ¿misma semejanza? 14 Mediciones indirectas 102 168 174 • Errores en las mediciones indirectas 100 166 15 Lo que indican los índices • Números que indican • Indicadores e índices 16 Simulación y probabilidad • Simular la probabilidad 176 180 182 182 188 190 4 00_Preliminares Matemáticas 3 ateneo.indd 4 12/12/08 12:57:34 PM En los bloques 3, 4 y 5 se abordan contenidos que preparan al estudiante para profundizar en algunos temas que ya conoce o para adquirir nuevas herramientas. Bloque Bloque 3 17 Dependencia entre variables • Los teoremas de Tales de Mileto • Funciones y fotocopias • Una función conocida 200 201 202 18 Haciendo la vida de cuadráticas • La fórmula general • Terrenos y cuadráticas • Autobuses y cuadráticas 19 Tales proporciones 226 232 234 21 Lo que no cambia… de los cambios • Va de nuez, homotecias repetidas 240 242 245 250 • Recipientes y modelos PROHIBIDA SU VENTA matemáticos • Modelos y sus curvas 252 255 23 Dime cómo es tu forma algebraica y te diré quién eres 260 • Cuatro funciones fundamentales 262 • Gráficas que se estrechan • • • • • • y alargan Que sube y que baja Para adelante y para atrás Las distintas caras de las parábolas ¿Qué dicen las canónicas? ¿Qué dicen las generalas? ¿Qué dicen las rectas de las parábolas? 304 306 309 27 Las razones de los triángulos rectángulos • Razones constantes • Las razones del seno, coseno y tangente 314 316 318 28 Cálculo de lados mediante razones • Empleo de las razones trigonométricas en el cálculo de los lados 326 328 29 Encontrar medidas sin medir 332 263 271 273 277 278 279 280 en mediciones 334 30 ¿Cómo se mide el crecimiento? • Crecimiento aritmético o lineal • Crecimiento geométrico o exponencial 5 32 Sácale jugo a los problemas • Arquitectura y geometría • Varios caminos conducen a Roma • En realidad… ¿cuántos problemas se resolvieron? • Variaciones sobre un tema conocido 360 33 La danza de las figuras • Giros y traslados • Si doblas, ¿qué ocurre? • Si cortas, ¿qué ocurre? • ¿Y las medidas de los cortes? 372 340 363 365 367 374 376 380 382 de conos y cilindros? 386 • Historia de pirámides y prismas 388 • Cilindros y conos parientes de prismas y pirámides 389 389 35 Conociendo más de los conos y cilindros • Si el radio es fijo… • Si la altura es fija… 392 394 396 36 ¿Usar bigotes para analizar datos? 338 362 34 ¿Cómo calcularás volúmenes • Historias reales • Aplicación de la trigonometría 22 Comportamientosrectos y no tan rectos 26 Teorema de Pitágoras un cuadrado • Recíproco del teorema de Pitágoras y el teorema de Tales en las homotecias • Cosas que no cambian a pesar 296 297 298 • De cómo dos cuadrados llenan 220 294 • Pitágoras, el fundador • Ecuaciones y sucesiones • Quien no se arriesga… 210 216 216 222 • Homotecias adelante y atrás a los números? 208 • Rectas y proporciones • Una aplicación conocida 20 ¿Qué es la homotecia? 4 25 ¿Quién genera 198 Bloque • Un intento sin bigotes • Ahora con mostacho • A mover el bigote 402 404 405 408 343 31 Mismo fenómeno, distintos datos Bibliografía general 412 348 • Representaciones diferentes, nueva información 350 El conocimiento de temas como el teorema de Pitágoras o las relaciones trigonométricas permitirá abordar contenidos de otras disciplinas de manera eficiente. En este grado, se puede intensificar en el hecho de que los estudiantes creen problemas y modifiquen lo que han trabajado a fin de profundizar las relaciones matemáticas analizadas. El impulsarlos a que planteen preguntas y a que busquen respuestas a ellas es algo que sin duda será relevante en su formación académica. 24 Los mensajes ocultos en las gráficas 284 • Gráficas con segmentos de rectas 286 Las lecciones se han diseñado con el fin de apoyar al maestro en su planeación de clase. El docente podrá identificar los contenidos que se pueden trabajar en cada sesión. 5 00_Preliminares Matemáticas 3 ateneo.indd 5 12/12/08 12:57:36 PM En este índice se puede constatar cómo se abarca todo el programa de estudios con diversas lecciones que atienden a la dificultad de los temas. Índice temático En este índice se muestra la correlación entre los temas del nuevo programa de estudios, organizados en tres ejes principales, y las lecciones donde se desarrollan dichos temas en la obra. Eje Sentido numérico y pensamiento algebraico T E MA Subtema Significado y uso de las operaciones Operaciones combinadas Lección Página 1 12 2 34 Lección Página 25 294 9 110 10 126 18 208 32 360 17 198 Lección Página 4 60 5 68 Cuerpos geométricos 33 372 Figuras planas 3 42 11 144 12 154 13 166 14 174 19 220 T E MA Subtema Significado y uso de las literales Patrones y fórmulas Ecuaciones Relación funcional Eje T E MA Forma, espacio y medida Subtema PROHIBIDA SU VENTA Formas geométricas Rectas y ángulos Semejanza 6 00_Preliminares Matemáticas 3 ateneo.indd 6 12/12/08 12:57:38 PM Con este índice se pueden generar varias ideas para la integración de contenidos, de tal modo que el maestro puede utilizar el texto con varias propuestas de reorganización, dado que existe flexibilidad en el manejo de los temas. T E MA Subtema Medida Más que una secuencia de contenidos, en el índice se muestra uno de los puntos importantes de los planes y programas, el que se refiere al avance espiral, en el cual, un aspecto de un contenido se trabaja desde el inicio y a medida que se avanza, se profundiza; se recomienda leer con detenimiento el enfoque descrito en planes y programas de estudio. Página 6 78 26 304 27 314 28 326 29 332 35 392 34 386 Lección Página 20 232 21 240 Lección Página Estimar, medir y calcular Justificación de fórmulas T E MA Lección Subtema Transformaciones Movimientos en el plano Eje T E MA Subtema Análisis de la información Noción de probabilidad 16 188 Porcentajes 15 180 Lección Página 7 88 8 100 22 250 23 260 24 284 30 338 31 348 36 402 T E MA PROHIBIDA SU VENTA Manejo de la información Subtema Representacìón de la información Al intentar realizar una evaluación global del curso, el índice ayudará para decidir los contenidos por considerar. Además, se encontrarán algunas ideas para construir ítems que reflejen las competencias mencionadas en los documentos oficiales al consultar las lecciones respectivas. Gráficas Medidas de tendencia central y de dispersión 7 00_Preliminares Matemáticas 3 ateneo.indd 7 12/12/08 12:57:38 PM Estructura de la obra Entrada de bloque Al inicio de cada bloque se incluye una frase célebre, en parte para recordar algunos personajes importantes que han contribuido en el progreso de la ciencia, o también para resaltar aspectos relacionados con el desarrollo del conocimiento matemático. La “Entrada de Bloque” permite al maestro relatar anécdotas o situaciones que conoce sobre el desarrollo de las matemáticas y la importancia de algunos temas; incluso, a partir de las secciones incluidas en dichas entradas, se puede recordar lo que deben conocer los estudiantes y hacer planes para superar deficiencias de manera conjunta, de acuerdo con las estrategias preferidas del maestro. Bloque 1 “La frase más excitante que se puede oír en ciencia, la que anuncia nuevos descubrimientos, no es ‘¡Eureka!’ (‘¡Lo encontré!’), sino ‘Es extraño…’ ” Isaac Asimov En este bloque: Efectuarás algunos cálculos que impliquen transformar expresiones algebraicas en otras equivalentes. Justificarás algunas propiedades de figuras geométricas aplicando los criterios de congruencia de triángulos. Encontrarás la solución de problemas que impliquen relacionar ángulos inscritos y centrales de una circunferencia. Resolverás problemas que implican determinar una razón de cambio, expresarla algebraicamente y representarla gráficamente. 10 11 En cada entrada de bloque se incluyen los propósitos señalados en los programas de estudio, resaltando la importancia de éstos para el estudiante. Después de la “Entrada de lección” siempre hay lo que podríamos denominar una “evaluación diagnóstica”, la cual juega varios papeles: conocer el manejo de algunos conceptos o procedimientos potencialmente necesarios para el estudio de la lección, plantear medidas preventivas para el buen desarrollo de la lección, plantear discusiones sobre contenidos que ya se abordaron y ayudar a los estudiantes que aún no han logrado tener el grado de avance promedio, entre otros. PROHIBIDA SU VENTA Las entradas de lección se componen de tres apartados: • Mis Retos informa al estudiante los conocimientos que se espera que adquiera o amplíe al terminar la lección. • ¿Qué sé?? recuerda al estudiante los contenidos trabajados en cursos anteriores que están relacionados con el desarrollo de la lección que inicia. • ¿Qué lograré aprender? plantea cuestiones específicas al estudiante que lo ayudarán a determinar su dominio de los contenidos al terminar la lección. Entrada de lección 12 “Algo de lo que me enseñaron” Criterios de semejanza a pa partir p t de los os lados ados ALGO GO D DE LO O QU Q ME ENSEÑARON QUE S O 1 Dados los siguientes triángulos semejantes estable una correspondencia entre sus vértices para determinar los ángulos congruentes de un triángulo con los del otro triángulo y la proporcionalidad entre los lados. Mis retos Abordarás otras maneras de asegurar la semejanza de dos triángulos a partir de la revisión de algunos elementos de dos triángulos, como algunos lados o ángulos. Determinarás las correspondencias que deben establecerse entre los vértices para identificar partes homólogas y poder establecer la semejanza de triángulos. (a) (b) B B E D A ¿Qué sé? Ya conoces cómo operan los criterios de congruencia de triángulos En la lección anterior revisaste el criterio de semejanza AAA, el cual puede denotarse como AA también. También conociste como reconocer las partes homologas para establecer la proporcionalidad de los lados y la igualdad de ángulos. ¿Qué lograré aprender? Determinarás otros criterios para establecer la semejanza de triángulos. Analizarás las relaciones que puedes establecer entre lados y ángulos de dos triángulos a fin de encontrar los elementos que son necesarios para asegurar la semejanza de dos triángulos. D C F A C E F 2 ¿Habrá algún tipo de triángulo para el cual cualquier correspondencia entre los vértices sería la adecuada para establecer la semejanza entre dos triángulos de ese tipo? 3 ¿Habrá algún tipo de triángulo para el cual a lo más dos correspondencias entre los vértices serían las adecuadas para establecer la semejanza entre dos triángulos de ese tipo? 4 Dados los datos considerados en los triángulos, encuentra los demás datos faltantes para tener todas las medidas de sus ángulos y la longitud de sus lados: 8.38 (a) .42 cm cm 11 35° 6.62 cm 35° 3.18 cm “Algo de lo que me enseñaron” propone actividades sobre contenidos que es conveniente tener claros antes de abordar los temas de la lección. También sirve como evaluación diagnóstica. (b) 2.19 cm 20.9° 5.74 cm 20.11 cm 154 155 8 00_Preliminares Matemáticas 3 ateneo.indd 8 12/12/08 12:57:39 PM Desde el inicio de cada lección el texto induce a utilizar la resolución de problemas para el tratamiento de contenidos. Por otra parte, el desarrollo de la lección atiende de manera preferencial al manejo de imágenes pues “una imagen dice más que cien palabras”. Apertura de lección Desarrollo de lección Al final de cada lección se incluyen las siguientes dos secciones: LECCIÓN 7 t LAS RAZONES DEL CAMBIO Las ecuaciones según al-Jwarizmi Para una mejor comprensión de las técnicas algebraicas que usamos en la actualidad conviene echar una mirada al pasado. Podemos preguntarnos, por ejemplo, ¿qué procedimientos conocían los antiguos para resolver ecuaciones, antes de que se inventaran las técnicas que ahora usamos, y antes del surgimiento de la notación moderna? Un trabajo precursor en este sentido fue el del matemático y astrónomo persa Mohammed ibn Musa al-Jwarizmi, quien alrededor del año 820 de nuestra era ideó un sistema que consistía en reducir cualquier ecuación de primer o segundo grado a una de seis formas básicas posibles, para las cuales estableció métodos específicos de resolución, siempre basados en el uso de construcciones geométricas. Así pues, vamos resolver la ecuación x 2 + x - 1 = 0 siguiendo los pasos de al-Jwarizmi. Comencemos por reducirla a una de las formas básicas, para evitar el uso de coeficientes negativos, de esta manera: x 2 + x = 1. A partir de aquí procedemos geométricamente para hallar la solución. La ecuación anterior podemos escribirla como x2 + 4 65 423 ¼·x ¼·x ¼ ¼·x x Distancia 65 350 (km) 65 250 x 1+4 1 2 4 = 1+4 1 1 65 150 15:00 5 16 = 1 + 4 = 4 = 1.25. t ¿Cuál es la razón de cambio en el intervalo de las 15:00 a las 16:00 horas? ¿En el de las 15:30 a las 16:45 horas? t ¿Cuántos kilómetros recorre el automóvil cada media hora? Si en un plano cartesiano trazas la recta que pasa por los puntos dados de la gráfica de la figura 1, ¿qué valor tendría su pendiente? ¡Encuentra la expresión algebraica correspondiente a la recta! y= x+ 91 112 Este apartado, específico de la primera lección de cada bloque, explora algunas situaciones didácticas indicadas en los planes y programas de estudio. Cada contenido planteado en el programa de estudios constituye un tema o subtema de la lección, los cuales se resaltan para su mejor identificación. Las secciones “Para curiosos” en realidad son los “proyectos” que se plantean a los estudiantes como oportunidades para profundizar en aspectos relevantes, escudriñar aspectos interesantes del conocimiento, además de mostrar algunas formas de plantearse preguntas cuando se aborda algún tema. Para curiosos EN “Para curiosos” es una sección que invita a los estudiantes a trabajar en equipo para buscar respuestas a preguntas frecuentes sobre el tema tratado, lo cual los involucra en situaciones que los ayudan a desarrollar su pensamiento crítico. EL ATEN EO PROHIBIDA SU VENTA Es una evaluación sumaria en la que se integran los diversos contenidos estudiados en la lección. El maestro encontrará aquí actividades con las cuales puede plantear tareas o construir exámenes de acuerdo con sus necesidades. “Conéctate” . Se están poniendo a prueba tres materiales como aislantes térmicos para ser utilizados en techos de construcciones. Se desea saber si alguno de ellos se calienta más conforme pasa el tiempo. x = 0.618. Secciones particulares Figura 1 Así pues, partiendo de dicha suposición, ¿cuál es la razón de cambio del movimiento del automóvil en el intervalo de tiempo que va de las 15:00 a las 17:00 horas? La obtendrás mediante el cociente de la distancia recorrida entre el tiempo empleado: Distancia (km) = = . Tiempo (horas) Habiendo transformado así nuestra ecuación original, aplicamos el procedimiento de reducción de al-Jwarizmi para obtener el valor de x: = 17:00 Tiempo (horas) Figura B ¿Qué longitud tendrá un lado de ese cuadrado?, esto es, ¿qué número multiplicado por sí mismo da 1.25? Para saberlo, extraemos su raíz cuadrada y obtenemos que es aproximadamente 1.118. Ahora bien, por la figura B también sabemos que la longitud de dicho lado puede expresarse como x + 0.25 + 0.25 = x + 0.5, con lo que se llega a la igualdad x + 0.5 = 1.118. ¼·x 65 243 65 200 ¼ ¼ El área del nuevo cuadrado será 1 ¼·x x2 ¼ 4 x = 1. x2 Movimiento del automóvil 65 450 65 400 ¼·x ¼·x ¼·x x Figura A “Demuestro lo que sé y hago” Si sabes que la velocidad de tu recorrido se mantuvo constante, lo podrías graficar como se muestra en la figura 1. El área de la figura asociada es igual a 1. Vamos a completar la figura para convertirla en un cuadrado, añadiendo 4 pequeños cuadrados en sus extremos, cada uno de ¼ de lado. ¼ ¼ En un viaje en automóvil observas que el marcador de kilometraje indica 65 243 cuando el reloj marca las 15:00 hr y posteriormente, a las 17:00 hr, el kilometraje es de 65 423. “En el ateneo” es un espacio dedicado al planteamiento de actividades que se recomienda que el alumno realice en grupo para posteriormente redactar en su cuaderno las respuestas y los procedimientos para llegar a ellas. Aquí también se invita a la reflexión y se hace hincapié en las partes operativas cuando se considera necesario. En esta sección hay algo más que solamente “ejercicios”. Esta sección presenta opciones de consulta en Internet o en libros que permiten profundizar en algunos contenidos. Considerando que los contenidos de Internet cambian o desaparecen sin previo aviso, las direcciones que se ofrecen sólo son un ejemplo de lo que se puede encontrar en este medio de información. Se recomienda utilizar un “motor de búsqueda” para hallar otras páginas sobre el tema de interés. Por otra parte, aun cuando algunas referencias bibliográficas que se sugieren son publicadas por editoriales extranjeras, son parte de las fuentes que se pueden obtener en idioma español y se han detectado en bibliotecas de varias instituciones o en librerías. Se pueden obtener artículos sobre la enseñanza y el aprendizaje de la matemática en revistas especializadas, como las incluidas en el índice de revistas de excelencia sobre investigación del CO N A C Y T . También se cuenta con revistas digitalizadas de distribución gratuita, como la revista Uno, y otras publicaciones periódicas en hemerotecas de servicio gratuito en línea, como Redalyc. La sección “Conéctate” abre las puertas para el autoaprendizaje, para utilizar los medios como fuente de información o ideas que complementan los temas vistos o para resolver posibles dudas. 9 00_Preliminares Matemáticas 3 ateneo.indd 9 12/12/08 12:57:41 PM Bloque 1 “La frase más excitante que se puede oír en ciencia, la que anuncia nuevos descubrimientos, no es ‘¡Eureka!’ (‘¡Lo encontré!’), sino ‘Es extraño…’ ” Isaac Asimov La cita de Isaac Asimov tiene un sentido especial; llama la atención en que a veces es menos relevante encontrar un resultado y que es más importante descubrir nuevas relaciones latentes en los esfuerzos realizados para determinar la solución de algún problema. Este aspecto se incluye en el enfoque de la asignatura. PROHIBIDA SU VENTA El maestro puede aprovechar esta cita para plantear a los alumnos algunas actividades sobre los avances que se produjeron en la ciencia a partir de encontrar soluciones a ciertos problemas. También puede aprovecharla para conversar con los estudiantes sobre la forma casual en la que se lograron varios descubrimientos importantes. 10 01 L1-BL1 Las letras se multiplican.indd 10 12/12/08 1:00:36 PM Los aprendizajes esperados se enlistan en este apartado. Es bueno tenerlos a la mano para ubicar el avance que debe lograrse con el estudio de este bloque. En este bloque: Efectuarás algunos cálculos que impliquen transformar expresiones algebraicas en otras equivalentes. Justificarás algunas propiedades de figuras geométricas aplicando los criterios de congruencia de triángulos. PROHIBIDA SU VENTA Encontrarás la solución de problemas que impliquen relacionar ángulos inscritos y centrales de una circunferencia. Resolverás problemas que implican determinar una razón de cambio, expresarla algebraicamente y representarla gráficamente. El maestro puede revisar el programa de estudios y compararlo con los propósitos de este inicio y podrá observar que en algunos se ha modificado un poco la redacción, pues se considera que además de lograr lo que se pide en planes y programas de estudio, pueden lograrse otros conocimientos o competencias adicionales. Una actividad que puede ser interesante es compartir con los estudiantes los propósitos y pedirles que al final del bloque se recapitule sobre lo que se alcanzó y lo que requiere un esfuerzo adicional. 11 01 L1-BL1 Las letras se multiplican.indd 11 12/12/08 1:00:39 PM 1 Las as letras et as se multiplican u t p ca Se presenta de manera genérica lo que se espera que los estudiantes aprendan en esta lección. Mis retos En esta lección vas a deducir y utilizar un conjunto de fórmulas que te permitirán obtener con soltura productos de multiplicaciones (algebraicas y numéricas) que se presentan con suma frecuencia. Para ello utilizarás representaciones geométricas asociadas al producto de números. ¿Qué sé? Aquí se establecen los contenidos ya aprendidos en grados anteriores y que se utilizarán en la presente lección; los alumnos y el maestro pueden recordar algunos de ellos. En el curso anterior aprendiste a sumar y restar algunas expresiones algebraicas de la forma ax + b. Para ello, utilizaste algunas representaciones geométricas que te ayudaron a determinar los procedimientos para llevar a cabo operaciones con este tipo de expresiones. En algunas ocasiones las literales denotaron números supuestamente conocidos, mientras que en otras (ecuaciones de primer grado) denotaron números desconocidos que se deseaba determinar. De esta manera ampliaste tus conocimientos sobre el Los retos establecidos al inicio se pueden desglosar en manejo de las literales. preguntas o en indicaciones sobre lo que se debe lograr de PROHIBIDA SU VENTA ¿Qué lograré aprender? manera más específica, lo cual será un punto de referencia para los alumnos, pues al final tendrán la capacidad de responder estos cuestionamientos. Interpretarás las literales en las expresiones algebraicas como números cuyo valor no se especifica, y realizarás operaciones con dichas expresiones. Explorarás algunos procedimientos para realizar multiplicaciones de expresiones algebraicas como ((x + a)2, ((x + a)(x ( + b) o ((x + a)(x ( - a), y simplificarás los resultados. 12 01 L1-BL1 Las letras se multiplican.indd 12 12/12/08 1:00:40 PM Las actividades de esta sección pueden considerarse una prueba escrita o utilizarse como tarea al inicio de una lección, la cual puede ser resuelta individual o colectivamente; también pueden usarse como temas de discusión en clase para resolver dudas y asegurar cierto nivel del manejo de conceptos o procedimientos necesarios para abordar los temas. La manera en que se empleen tiene como único fin homogeneizar los conocimientos básicos del grupo. No debe usarse esta parte como una evaluación con fines de acreditación. ALGO DE LO QUE Q ME ENSEÑARON 1 Encuentra los términos o factores que faltan en las siguientes expresiones. • 3¥ 4 • 5+ 12 • 2.6 ¥ = - 12 • 5¥ = -7 • 4 + 7x – 4 = -7x 3.2x • -5x + (2 ¥ • 0.7x ¥ = -8.32x 1 3 x ) = -7x • = -15x 0.43 = -0.3x 2 3 x +29/35x= - x 5 7 1 ¥ 12 = -4 3 1 1 • - + 3/10 = 2 5 3 5 • ¥ 5/6x = - x 4 8 1 4 • - x + 1/18x = - x 2 9 • Es importante que los estudiantes no solamente razonen por reglas algebraicas, sino que resuelvan situaciones a partir de las propiedades de las operaciones. 2 Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba tus resultados. 2 1 • 5x - 3 = -7 x 4/5 • x - 3 = - x + 5 • 2.3x + 4.2 = -3.2 + 5.1x x 2.65 3 x 120/13 5 2 4 2 1 3 1 3 1 • - x = - x 17/5 • - 0.4w = -3 x 8 • u - = - u + x 1/3 5 7 7 5 4 4 2 2 3 Proporciona ecuaciones de primer grado cuyas soluciones sean las que se Respuestas modelo. indican. 2x 6 0 10r 22 0 3y 2 0 m40 2 • x = -3 • r = 2.2 • y= • m=4 3 4 Dadas las siguientes expresiones algebraicas, encuentra una expresión que satisfaga la igualdad. x2 5x 2 u2 u 7 = x2 + 3 • -u2 - 3u - 4 + = -4u + 3 2 ½ y2 3/4y 2/3 11p 10p 2 1 1 1 • -5p2 - 7p - 3 + = 6p2 + 3p - 5 • y 2 + y + + = y2 + y - 1 2 4 3 2 2.9w 6w 3.7 • 2.3w2 - 4.3w + 1.7 + = 5.2w 2 + 1.7w - 2 PROHIBIDA SU VENTA • 2x 2 - 5x + 1 + 5 Con las piezas que se muestran forma un rectángulo y encuentra su área multiplicando la longitud de sus lados y sumando las áreas de las partes. Los estudiantes deben percatarse que la solución de una ecuación no siempre está asociada a una sola ecuación; además, siguiendo uno de los lineamientos programáticos, los estudiantes deben conocer situaciones que tengan varias soluciones. El maestro puede pedir que los coeficientes sean enteros, fracciones o decimales. SOLUCIONARIO 1 cm En este apartado se utilizará la relación entre el producto de cantidades y expresiones algebraicas; por ello es conveniente que los estudiantes recuerden cómo hacer cálculos de áreas a partir de la suma de las áreas de sus partes y de las dimensiones de la figura. 4 cm 1 cm 1 cm 4 cm 4 cm 13 01 L1-BL1 Las letras se multiplican.indd 13 12/12/08 1:00:41 PM BLOQUE 1 Ya sabes que las letras no solamente sirven para construir palabras, también se han usado para representar números. Pero eso no sucedió de un momento a otro, fue el resultado de un largo proceso. En la Grecia antigua, Diofanto de Alejandría fue uno de los primeros matemáticos en hacer uso de una notación especial para las expresiones matemáticas. Por ejemplo, en su tratado Aritmética introdujo el uso de determinadas letras griegas para representar la incógnita de una ecuación y sus potencias. En la siguiente tabla puedes observar una relación comparativa entre dicha notación de Diofanto y la que emplearon para el mismo propósito matemáticos de épocas posteriores. Símbolos o palabras El maestro puede aprovechar el inicio del tema para relatar cómo a lo largo del tiempo se fueron utilizando diversos símbolos para expresar incógnitas, así como las denominaciones empleadas para ellos. Si los alumnos conocen algunos matemáticos de la antigüedad cuyos esfuerzos se orientaron para resolver problemas que ahora se presentan como sencillos, podrán valorar el conocimiento como un legado de muchas culturas. También es preciso reconocer que la historia proporciona al maestro una gran cantidad de situaciones que pueden trabajarse en clase. Distintas representaciones de la incógnita de una ecuación Notación actual Diofanto Leonardo Pisano Pacioli Bombelli x V ya cosa (o chosa) co 1 x2 DU va censo ce o Z 2 x3 KU gha chubo cu o C 3 x4 DU D vava censo di censo ce ce 4 x5 DU K ghagha chubo di censi pº rº 5 Organízate con tus compañeros para responder las siguientes preguntas: PROHIBIDA SU VENTA Brahmagupta Pueden esperarse respuestas como las siguientes: Fueron grandes matemáticos de la antigüedad. D Diofanto vivió en la Grecia antigua. U Una de sus principales aportaciones fue el uso de letras para re representar incógnitas y potencias en las ecuaciones. • ¿Quiénes fueron Diofanto, Brahmagupta, Leo onardo Pisano, Pacioli y Bombelli? • ¿En qué época vivieron? • ¿Cuáles fueron sus principales contribuciones matemáticas? Es decir E decir, desarrolla la solución a manera de textex to: no puedes referirte a “x”, ” tienes que darle un nombre como “la cosa”, y no puedes usar términos como “más” o “menos” sino “añadir” o “quitar”; tampoco puedes usar la palabra “igualdad”, en vez de ella te debes referir a “el resultado es”. También elabora un texto para indicar cómo resolver la ecuación -3x + 7 = 2. ¿Qué puedes concluir del experimento anterior? Discútelo con tus compañeros. ¡Disfruta unos minutos en la antigüedad! pero ¡no te quedes ahí! En la tabla anterior también podrás notar que las incógnitas no siempre se expresaron mediante símbolos, sino también con palabras, de tal modo que en estos casos los procedimientos algebraicos cobraban prácticamente la apariencia de textos. Intenta con tus compañeros un experimento. Resta 2x - 3 de 5x + 4, como lo haría un calculista antiguo. 14 01 L1-BL1 Las letras se multiplican.indd 14 12/12/08 1:00:41 PM LECCIÓN 1 • LAS L E T R A S S E M U LT I P L I C A N Letras y números que quieren multiplicarse En el curso anterior se realizaron algunas operaciones de multiplicación de expresiones algebraicas. Es posible relacionar operaciones de multiplicación de expresiones algebraicas con algunos arreglos de figuras geométricas sencillas. Para ello, utilizaremos la serie de piezas que se muestran en la figura 1, y que puedes elaborar con diferentes materiales. Recorta varias piezas de cada elemento mostrado utilizando las medidas que se indican. 1 cm El sistema numérico se aprende con el conteo de objetos, de manera similar, se puede aprender álgebra manipulando algunos objetos y contando. 1 cm 3.3 cm 1 cm 1 cm 1 cm 3.3 cm Figura 1 1 cm A cada tipo de pieza asociaremos una expresión, como se muestra en la figura 2. Las piezas de color azul tendrán asignado un valor positivo y las de color amarillo un valor negativo. Las reglas de asignaciones de valores a las “fichas” se trabajó en cursos anteriores con el enfoque planteado en esta lección. Sin embargo, es oportuno hacer un repaso de ello. Figura 2 x 1 -x -1 PROHIBIDA SU VENTA Bajo estas convenciones, al juntar tres rectángulos azules y dos cuadrados azules, tendrías un arreglo como el de la figura 3, al cual es posible asociar una expresión algebraica. Escríbela completando los espacios en el texto bajo la figura. 3 x+ 2 . Figura 3 Cuando se utilizan piezas que representan valores negativos la expresión algebraica puede derivarse de varias maneras. Por ejemplo, a la configuración de la figura 4 se le pueden asociar dos expresiones equivalentes. Anótalas. 3 x+( 2 ), o bien 3 x- 2 . Los estudiantes inician su contacto con expresiones algebraicas a partir del reconocimiento del papel que juega cada ficha, contando y acomodando las fichas de varias formas. Figura 4 15 01 L1-BL1 Las letras se multiplican.indd 15 12/12/08 1:00:43 PM BLOQUE 1 Lo anterior conduce a la siguiente igualdad algebraica: 3 Los estudiantes pueden constatar la equivalencia de algunas expresiones algebraicas sencillas sin recurrir a reglas abstractas; pueden hacerlo a partir del conteo y el ordenamiento de piezas como las que se propone trabajar. x+ ( )= 2 x- 3 2 . Modifiquemos los colores de la configuración anterior, usando esta vez tres rectángulos amarillos y dos cuadrados azules (figura 5). Completa bajo la figura las expresiones simbólicas correspondientes. ( Figura 5 3 x) + 2 , o bien - x+ 3 . 2 Así pues, se puede afirmar que ( 3 x) + 2 = - 3 x + 2 . Otro arreglo posible es el de tres rectángulos amarillos y dos cuadrados amarillos, como se ve en la figura 6. Figura 6 Con las piezas se puede dar sentido al duplicar, triplicar o multiplicar un número por una expresión algebraica, simplemente se requiere reproducir la misma cantidad de fichas que se tiene tantas veces como sea necesario; después se cuentan y esto ayuda a inferir las operaciones con los símbolos que se deben realizar. ( 3 x) + ( x- 3 2 . Escribe sus posibles representaciones algebraicas, así como la igualdad correspondiente: ( 3 x) + ( 2 ) = - 3 x - 2 . Trabajemos ahora con las piezas para analizar la multiplicación de expresiones algebraicas. Observa el arreglo de la figura 7 y escribe su representación algebraica. x+ Figura 7 PROHIBIDA SU VENTA ), o bien - 2 1 . Si se añaden tantas piezas como las que se tenían (figura 8), ¿cuál sería la expresión algebraica correspondiente al nuevo arreglo de cuatro piezas? Figura 8 Como se hizo con los números naturales cuando se trabajó la multiplicación, esta operación se relacionó con el área de un rectángulo, en el cual cada factor era un lado de dicho rectángulo; también en el producto de expresiones algebraicas se puede aprovechar Figura 9 esta interpretación para hacer posible las reglas de operaciones algebraicas. 2 x+ 2 . Observa que también puedes acomodar esas mismas cuatro piezas formando un rectángulo como el de la figura 9, cuyas dimensiones (base y altura) aparecen ahí indicadas. 2 x+1 16 01 L1-BL1 Las letras se multiplican.indd 16 12/12/08 1:00:44 PM LECCIÓN 1 • LAS L E T R A S S E M U LT I P L I C A N Entonces el área de dicho rectángulo se puede expresar con números y literales de la siguiente manera: (x + 2 ). 1 Así, tenemos dos expresiones algebraicas asociadas a la misma configuración de piezas, con lo que podemos establecer la siguiente igualdad: 2 x+ 2 = (x + 2 ), 1 Las reglas de operaciones algebraicas se constatan con el manejo de las fichas y se puede resaltar la necesidad del uso de paréntesis para expresar productos con expresiones algebraicas. que también se puede escribir así: 2 (x + 1 )= x+ 2 2 . Esto se ilustra en la figura 10. La interpretación de las expresiones algebraicas con las fichas se puede realizar de piezas sueltas a integradas en un rectángulo, y de un rectángulo a fichas sueltas. La reversibilidad de los procesos es importante en el desarrollo de los estudiantes. es lo mismo que es lo mismo que Figura 10 En este proyecto se pueden plantear preguntas con el uso de expresiones algebraicas, pero las respuestas estarán apoyadas en el manejo de las fichas o de las reglas aprendidas. Para curiosos Discute con tus compañeros lo siguiente. ¿Se puede afirmar que 6(x + 1) = 6x + 6 ó que 6(x + 1) = 6x + 1? ¿Las dos expresiones expresión correcta es 6 (x 1) 6x 6. Es la correcta porque el primer término representa un arreglo de 6 grupos son correctas? ¿Por qué? La de 1 rectángulo azul con 1 cuadrado amarillo que, en total, dan 6 rectángulos azules y 6 cuadrados amarillos. PROHIBIDA SU VENTA ¿Cuál es la expresión correcta: 4(x ( + 5) = 4x 4 + 20 ó 4(x ( + 5) = 4x 4 + 5? ¿Por qué? ¿Cuál de las tres expresiones es correcta y por qué? La expresión correcta es 4(x 5) 4 4x 20. Es la correcta porque el primer término representa un arreglo de 4 grupos de 1 rectángulo azul con 5 cuadrados amarillos que, en total, dan 4 rectángulos azules y 20 cuadrados amarillos. • -5(x ( + 7) = -5x - 35 • -5(x ( + 7) = -5x + 7 • -5(x ( + 7) = -5x - 7 La expresión correcta es 5 (x 7) 5x 35. Es la correcta porque 5 multiplica tanto a x como 7. Si se utilizan fracciones o decimales u otras letras, ¿cómo se procede? Escribe una expresión equivalente a cada una de las siguientes: • 2 (2t - 1) 3 4/3 t 2/3 • -0.33 (0.45z + 0.5) 0.149z 0.165 冊 1 • -0.75 冉 r + 4冊 5 • - 冉 3 1 4 - u+ 4 5 5 3/20u 3/5 0.15r 3 17 01 L1-BL1 Las letras se multiplican.indd 17 12/12/08 1:00:45 PM BLOQUE 1 ¿Cuáles serían las expresiones algebraicas asociadas a los arreglos de las figuras 11 a 14? ¿Qué igualdades se pueden establecer con ellas? Figura 11 A = 2x 3 2 4 x+ 6 = ( 2 x+ 2 3 ), o también: 2 ( 2 x+ )= 3 x+ 4 6 . El maestro debe resaltar la relación entre las operaciones algebraicas y el manejo que se hace de las fichas, a fin de que los alumnos intenten establecer reglas para las operaciones con cierto tipo de expresiones algebraicas. Figura 12 B = 5x 7 2 10 x+ 14 = ( 2 x+ 5 7 ), o también: 2 ( 5 x+ 7 )= x+ 10 14 . Los estudiantes pueden intentar distintas configuraciones con diferentes combinaciones de fichas, tanto en número como en color, pero conviene recordar que un “equilibrio”, es decir, un número de fichas de un color con el mismo número de fichas de otro color, representa un cero. Figura 13 C = 2x 2 2 2 x+ 2 = ( 2 1 x+ 1 ), o también: 2 ( x+ 1 )= 2 x+ 2 Figura 14 D PROHIBIDA SU VENTA . = 2x 3 4 8 x+( 12 )= 4 [ 2 x+( 3 )], o también: 4 [ 2 x+( 3 )] = 8 x+( 12 ). Es necesario que el maestro dedique algún tiempo a que los estudiantes se planteen varias situaciones con las fichas, para descubrir relaciones algebraicas y equivalencias entre éstas. Se puede representar la multiplicación por un número negativo mediante un cambio de color de las piezas empleadas. Con ayuda de tus compañeros realiza las siguientes operaciones con y sin signo negativo en el primer factor. Apóyate en las correspondientes representaciones con piezas de las figuras 15 a 17. 18 01 L1-BL1 Las letras se multiplican.indd 18 12/12/08 1:00:45 PM LECCIÓN 1 • LAS L E T R A S S E M U LT I P L I C A N Figura 15 2(-x + 1) = -2(-x + 1) = 2x 1 3[-2x + (-3)] = 3(-2x - 3) = 2x 2 -3[-2x + (-3)] = -3(-2x - 3) = 6x 9 6x 9 Se pueden ilustrar los pasos para realizar la multiplicación de un entero por una expresión algebraica sencilla, pero debe quedar claro el tipo de agrupamientos que se realiza para obtener el resultado. 4[5x + (-7)] = 4(5x - 7) = -4[5x + (-7)] = -4(5x - 7) = 20x 28 20x 28 Figura 17 PROHIBIDA SU VENTA Para curiosos Plantea con tus compañeros otros ejemplos parecidos a los anteriores y escribe cómo realizarías una operación como las que se han visto hasta ahora, pero sin usar las pieR. M. Multiplica el número que está fuera del paréntesis por el término en zas, solamente con símbolos. x, y escribe el resultado. Después, multiplica ese número por el término Es conveniente incrementar el valor absoluto de los números empleados para que en cada ocasión se requieran más fichas; esto ayudará a que los estudiantes prefieran no utilizar las fichas y hacer las operaciones de manera simbólica. constante y súmalo al resultado anterior. Ten cuidado con los signos. Por ejemplo, en los siguientes casos, ¿qué instrucciones escritas le darías a un compañero para que realice la operación indicada? • 2(3x + 5) 6x 10 • 3(x ( - 7) 3x 21 • -5(2x + 4) • -(x + 9) 10x 20 x 9 Discute con tus compañeros lo que sucedería si hubiera cantidades decimales implicadas. ¿Cómo se resolverían las siguientes multiplicaciones? • 4(3.12x + 1) 12.48x 4 • -2(12.3x - 2.7) 24.6x 5.2 冉 3 2 • 6 - x+ 5 7 Conviene emplear distintos tipos de números después de haber aclarado la forma de operar las expresiones anteriores. Por esta razón este proyecto se dedica a este aspecto. 冊 18/5x 12/7 Las instrucciones que redactaste en la primera pregunta, ¿sirven para resolver las operaciones anteriores? Si no es así, ¿cómo las modificarías? R. M. Las instrucciones serían las mismas que en el caso anterior. 19 01 L1-BL1 Las letras se multiplican.indd 19 12/12/08 1:00:46 PM BLOQUE 1 El procedimiento que hemos venido analizando podemos expresarlo de manera general como “la multiplicación de un número cualquiera por la suma de dos números cualesquiera”, el cual representamos simbólicamente con: Después de haber trabajado en casos particulares la operación de un entero por una expresión algebraica sencilla, se puede generalizar el procedimiento y establecer una regla para proceder en casos necesarios. a ¥ (x + b), en donde a, x y b representan números cualesquiera. Con esta notación podemos ver que las igualdades que hemos construido, con el apoyo visual de las piezas, son el desarrollo de dicha multiplicación, la cual podemos expresar como a (x + b) = a ¥ x + a ¥ b. Cuando no haya confusión pueden omitirse los signos de multiplicación, por lo que la expresión puede escribirse como Lo anterior puede utilizarse en algunas situaciones de cálculo numérico o para hacer estimaciones. Por ejemplo, el maestro puede sacar provecho de la regla establecida para explicar algunos métodos a fin de realizar operaciones aritméticas sin lápiz ni papel o simplemente analizar magnitudes razonables del resultado. a (x + b) = ax + ab. La expresión a(x + b) = ax + ab puede ser útil para realizar cálculos numéricos también. Por ejemplo, calcula mentalmente la operación 4 ¥ 67, anota los resultados y compáralos con los de tus compañeros. ¿Recurrieron todos al mismo procedimiento?: 67 ¥ 4 268 PROHIBIDA SU VENTA En este caso es más fácil multiplicar mentalmente 4 ¥ 60 = 240 y 4 ¥ 7 = 28 y sumar los resultados: 240 + 28 = 268. Discute con tus compañeros cómo se aplica en este último procedimiento la expresión a(x + b) = ax + ab. A partir de estas ideas, el maestro puede iniciar pequeños concursos para encontrar quiénes de los estudiantes son capaces de realizar las operaciones aritméticas rápidamente. Para curiosos Intenta calcular mentalmente 7 ¥ 53 y 8 ¥ 107. 371 856 Si un mago te dice que pienses un número del 1 al 9, pero que no se lo digas, y te pide el resultado de multiplicarlo por 55, para que inmediatamente te diga el número que pensaste, ¿cómo le hizo? ¿Aplicó también a(x ( + b) = ax + ab? Sí, porque los productos de los números del 1 al 9 por 55, pueden escribirse: Para 1: 55 50 5 5(10 x) con x 1 Para 2: 110 100 10 5(20 x) con x 2 Para 3: 165 150 155 (30 x) con x 3 Para 4: 220 200 20 5(40 x) con x 4 y así sucesivamente. 20 01 L1-BL1 Las letras se multiplican.indd 20 12/12/08 1:00:49 PM 1 EL ATEN EO EN LECCIÓN 1 • LAS L E T R A S S E M U LT I P L I C A N Escribe la identidad algebraica que se obtiene al construir con las siguientes piezas un rectángulo. 6(5x 7) o bien 30x 42 Los estudiantes tendrán la oportunidad de volver a utilizar las fichas, pero no importa si realizan la actividad sin ellas, pues sería una evidencia de que han logrado reconocer la operación algebraica correspondiente y la pueden llevar a cabo sin los materiales. 2 Realiza las siguientes multiplicaciones. • 4 (x + 7) 4x 28 • -8 (2x - 5) • - 16x 40 冉 3 2 1 x+ 4 5 7 冊 • 3 (x - 9) 3x 27 • -7 (5x + 3) 35x 21 • -5 (-x - - 7) 5x 35 • PROHIBIDA SU VENTA 冊 1/9x 4/3 • -0.35 (2.34x - 1.2) 0.82x 0.42 3/10x 3/28 冉冊 2 • -1.7 (-3.5x - 4.3) 5.95x 7.31 • -0.35 - x + 5 7 3 冉 2 1 x+2 3 6 Se puede intentar generalizar el procedimiento que se estableció para números enteros usando otro tipo de números. Algunas de estas operaciones no se pueden relacionar fácilmente con la manipulación de materiales, por tanto, los alumnos deben mostrar que pueden realizar la operación de manera simbólica. 0.1x 1.75 Encuentra números que hagan las siguientes igualdades ciertas. Comprueba tus resultados realizando el producto. x + 11) = 10.5x + • 15 ( 0.7 • (0.5x + 0.4 4 • 5 冉 1/3 冉 14 冊冉 ) = 0.2x + 0.36 冊 3 4 x+ = x+ 4 15 • -9 (5x • - 0.9 2 )= 2/7 x - 165 45 3/4 La actividad puede hacerse a partir de varias estrategias y los estudiantes pueden utilizar la que crean conveniente. El maestro puede dar espacio para discutir algunas de ellas. 3/5 x + 18 冊 = 141 x + 163 21 01 L1-BL1 Las letras se multiplican.indd 21 12/12/08 1:00:49 PM 8 Exploraciones p o ac o es en e laa información o ac ó Mis retos Aplicarás los conocimientos adquiridos en grados anteriores relacionados con la organización de la información. Elaborarás gráficas y tablas numéricas para representar el comportamiento de algunos fenómenos a partir de conjuntos de datos. Analizarás alguna problemática de tu entorno usando información gráfica y numérica. ¿Qué sé? En los grados anteriores conociste la forma de elaborar algunas tablas de frecuencias en las que se establecieron relaciones entre los datos. También construiste gráficas para presentar datos de manera sintética. Conociste diversas representaciones gráficas como los histogramas, los pictogramas y las gráficas circulares, entre otras. ¿Qué lograré aprender? PROHIBIDA SU VENTA Podrás dar respuesta a varias preguntas sobre el comportamiento de algunas problemáticas con base en información gráfica y numérica elaborada por ti o contenida en diversos medios de información. 100 08 BL1-L8 - Exploraciones en la informacion.indd 100 12/12/08 1:07:47 PM ALGO DE LO QUE Q ME ENSEÑARON 1 Se realizó una encuesta en un barrio de la ciudad sobre la calidad del servicio de recolección de basura, se pidió a varios vecinos que calificaran el servicio en una escala del 0 al 10. Se obtuvieron los siguientes datos: 7 4 2 5 4 5 7 5 8 5 8 2 6 5 • • • • • 6 4 5 5 4 5 5 8 3 6 3 6 5 1 6 4 5 6 4 5 5 5 3 4 5 4 4 8 9 5 3 1 4 3 5 6 6 7 6 6 9 10 8 4 5 3 5 5 5 6 5 5 4 8 7 0 5 6 9 2 5 3 4 7 5 4 4 7 2 8 5 8 3 1 6 4 9 5 5 5 3 5 4 5 4 4 6 6 6 7 6 5 7 7 3 5 4 5 8 4 6 1 7 2 7 5 3 6 2 5 1 5 4 5 7 4 6 8 6 2 3 7 4 4 2 4 6 4 5 6 5 7 5 6 9 2 2 4 4 4 4 4 5 4 1 5 1 6 2 6 7 6 5 6 Se presentan actividades en las cuales los estudiantes deben concentrarse en la organización de la información que les permita responder las preguntas planteadas. ¿Cuántas personas fueron encuestadas? 168 ¿Cuántas personas dieron una calificación entre 0 y 5? 109 ¿Cuántas personas dieron una calificación entre 6 y 10? 59 ¿Cuál es la frecuencia absoluta y la relativa de cada una de las puntuaciones? A partir de los datos elabora una gráfica de barras, una gráfica circular y un histograma de 3 clases. SOLUCIONARIO 2 Se ha entrevistado a varios estudiantes sobre el tiempo que dedican a ver televisión en sus horas libres. Los datos recabados se muestran en la tabla: Horas Alumnos 15 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 23 45 28 12 34 42 12 56 8 PROHIBIDA SU VENTA • ¿Cuántos alumnos fueron entrevistados? • Elabora una gráfica a partir de la información que se presenta en la tabla. • Elabora una gráfica sobre la cantidad de alumnos que ven televisión en horas completas; es decir, 1, 2, 3, 4 y 5 horas. SOLUCIONARIO • ¿Cuántos ven menos de 3 horas? 3 Al terminar un curso sobre sexualidad se realizó una evaluación para conocer el número de preguntas acertadas a ciertas preguntas importantes; la siguiente tabla muestra las respuestas obtenidas: Respuestas acertadas Alumnos 0-10 11-15 16-20 21-23 24-25 26-30 31-40 19 27 66 108 74 33 19 Conviene revisar lo que se entenderá por diagramas de barras e histogramas. • ¿Cuántos alumnos fueron evaluados? 346 alumnos. • Si se considera que el alumno sabe la información básica si responde correctamente la mitad de las preguntas, ¿cuántos alumnos están en esta categoría? 108 • ¿Cuál es la mayor frecuencia del número de respuestas acertadas? 108 101 08 BL1-L8 - Exploraciones en la informacion.indd 101 12/12/08 1:07:48 PM BLOQUE 1 Una investigación de campo Con tus compañeros realiza una encuesta sobre los siguientes temas: En este apartado se delinea una actividad que el maestro puede modificar de acuerdo con sus intereses o los de los alumnos. Solamente es un esquema que se puede modificar. 1) Tipo de actividad f ísica que se realiza fuera de la escuela. 2) Conocimientos generales sobre el cuidado de la salud. 3) Conocimiento de los problemas de salud causados por el consumo de sustancias prohibidas. 4) Valores que más se conocen y fomentan. 5) Conocimiento sobre los derechos y obligaciones de los adolescentes. 6) Inclinaciones hacia el desarrollo profesional. 7) Preferencias deportivas. 8) Problemáticas familiares. 9) Opinión sobre la seguridad en la comunidad donde viven. 10) Opinión sobre el servicio de transporte público. 11) Horas dedicas al estudio. 12) Uso del tiempo libre. El trabajo colectivo en esta actividad es muy importante, no sólo por lo que implica, sino por la necesidad de obtener conclusiones sobre la información que se maneja. Primero formarás un equipo con tus compañeros. Pueden llevar a cabo su investigación de la siguiente manera: a) El equipo elaborará un cuestionario con preguntas relacionadas con los temas anteriores. Pueden añadir otros temas de su interés. b) Cada compañero del equipo encuestará a por lo menos 5 estudiantes de primer o segundo grado de la escuela. c) Se reunirán para juntar los datos. PROHIBIDA SU VENTA d) Con los datos elaborarán tablas de frecuencias absolutas y relativas. Conviene aquí una discusión sobre los procesos de “medición” implicados y que generan diversos tipos de variables. e) También elaborarán las gráficas de barras e histogramas que consideren pertinentes. f) Posteriormente construirán gráficas circulares y pictogramas. Con tus compañeros analiza las siguientes preguntas. R. M. • ¿Siempre es posible elaborar una tabla de frecuencias, independientemente de la forma en que se planteen las preguntas a los encuestados? No, es necesario que las preguntas tengan opciones de respuesta acotadas. • ¿Los datos siempre se pueden representar indistintamente con gráficas de barras e histogramas, independientemente de la manera en que se elaboren las preguntas? No, las gráficas de barras permiten comparar cantidades aisladas y los histogramas comparan datos contínuos, separados en rangos. • Si la forma de plantear determinadas preguntas produjo datos que sólo se pudieron representar mediante gráficas de barras, ¿sería posible reformularlas para que los datos resultantes permitan elaborar histogramas? Si se puede establecer un rango que después se separe en clases, sí. 102 08 BL1-L8 - Exploraciones en la informacion.indd 102 12/12/08 1:07:49 PM LECCIÓN 8 • EXPLORACIONES EN LA INFORMACIÓN Para curiosos Con este proyecto los estudiantes deberán tener en cuenta si la información recolectada les permite crear otra percepción de los hechos; para asegurar que esto se logre es importante que el maestro les pida que escriban los resultados que piensan que van a obtener, antes de recopilar los datos. Discute con tus compañeros si las conclusiones alcanzadas coinciden con lo que ellos piensan sobre las problemáticas que se abordaron. ¿Obtuvieron información que cambio su percepción de algunos hechos? ¿Se plantearon dudas o inquietudes para profundizar en el estudio de alguna problemática? ¿Los datos recopilados fueron suficientes para obtener una idea aproximada de la problemática? ¿Qué tipo de propuestas pueden hacerse, a la luz de las conclusiones, para mejorar la situación que se detectó? Para curiosos Sobre los mismos temas planteados en esta lección, y otros de tu interés, con tu equipo de trabajo recopila datos de peródicos y revistas recientes (del último mes) y compáralos con los que obtuviste. En los medios de comunicación impresos, ¿qué temas suelen ilustrarse mediante gráficas como las que elaboraste en tu investigación? PROHIBIDA SU VENTA 1 ¿Qué utilidad tiene la información que puedes recabar sobre una problemática? EL ATEN EO EN • ¿Emplean los mismos tipos de gráficas que ustedes? • ¿Dan a conocer todos los datos o utilizan cantidades representativas del conjunto de datos? • ¿Abordan los temas que investigó tu equipo? • ¿Qué concordancias hay entre los datos que recabaron en el equipo y los que se presentan en periódicos y revistas recientes? • En periódicos y revistas menos recientes (de más de un año), ¿se presenta información similar a la que obtuvo el equipo o ésta ha variado en diversas épocas? En las siguientes gráficas, ¿cuál es la variable bajo estudio?, ¿entre qué valores se encuentran los datos? a Variación del tipo de cambio en algún país. Valor frente al dólar (2000-2005) 3 200 3 000 Uno de los asuntos más importantes para sacar provecho de la información que se presenta, independientemente de la forma en que se obtenga, es la identificación de las variables con las que se está trabajando. 2 800 2 600 Tipo de cambio 2 400 2 200 2 000 1 800 Mar. 2000 Dic 1999 Sept. 2000 Jun. 2000 Variable de estudio: tipo de cambio 1 800 – 3 000 Dic. 2000 Mar. 2001 Sept. 2001 Jun. 2001 Dic 2001 Mar. 2002 Sept. 2002 Jun. 2002 Mar. 2003 Dic. 2002 Mes Sept. 2003 Jun. 2003 Dic. 2003 Mar. 2004 Sept. 2004 Jun. 2004 Dic. 2004 Mar. 2005 Jun. 2005 Sept. 2005 Dic. 2005 Se pueden incluir actividades con los estudiantes para interpretar gráficas de periódicos o revistas especializadas correspondientes a varios campos de las ciencias. 103 08 BL1-L8 - Exploraciones en la informacion.indd 103 12/12/08 1:07:49 PM BLOQUE 1 b Calentamiento global. El gráfico muestra la concentración de bióxido de carbono en la atmósfera terrestre (línea azul) y la temperatura media global (línea roja) en los últimos 1 000 años. La comparación del comportamiento de gráficas es algo que frecuentemente se realizará tanto en la vida académica como en la cotidiana, por ello se debe prestar atención a este aspecto, pero utilizando las fuentes de información que frecuentemente se consultan. Variable de estudio: concentración de CO2 y temperatura media 280 ppm/V a 385 ppm/V 13.6°C a 14.4° Calentamiento global 390 14.4 380 14.3 370 360 14.2 350 14.1 340 Temperatura 330 CO2 media 14 320 (ppm/v) (°C) 13.9 310 300 13.8 290 13.7 280 270 13.6 260 F UENTE : Wikipedia. 250 13.5 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000 Año c Problemas de salud pública. El caso del dengue. Variable de estudio: número de casos de dengue – clásico: 0 a 8 000 – hemorrágico: 0 a 78 000 Casos de dengue en Colombia (1998 a 2002) 90 000 80 000 70 000 60 000 Número de casos 50 000 40 000 30 000 20 000 10 000 0 Las gráficas ayudan a establecer algunas “tendencias” en el comportamiento de las variables dependientes, de tal modo que este punto también debe ser considerado en las discusiones o problemas que plantee el profesor. Dengue clásico Dengue hemorrágico F UENTE : Gobierno de Colombia, Ministerio de Salud. Boletines epidemiológicos SIVIGILA (1998-2002) y Programa ETV . 1998 1999 2000 2001 2002 Año PROHIBIDA SU VENTA d Crecimiento poblacional en México. Variable de estudio: población total en México 12.6 a 103.3 millones de habitantes Población total, 1895 a 2005 110 En la actualidad hay muchas publicaciones que contienen gráficas relacionadas con problemáticas importantes y que pueden ser trabajadas por los estudiantes para conocer más aspectos de diferentes fenómenos. 103.3 97.5 100 91.2 90 81.2 80 70 66.8 Millones 60 de habitantes 48.2 50 40 34.9 30 20 10 25.8 19.7 15.2 14.3 16.6 12.6 13.6 F UENTE : INEGI , Censos de Población y Vivienda, 1895 a 2000. INEGI , Conteos de Población y Vivienda, 1995, 2005. 0 1895 1910 1930 1950 1970 1990 2000 1900 1921 1940 1960 1980 1995 2005 Año 104 08 BL1-L8 - Exploraciones en la informacion.indd 104 12/12/08 1:07:50 PM LECCIÓN 8 • EXPLORACIONES EN LA INFORMACIÓN 2 Con los datos de las tablas que se presentan a continuación elabora una gráfica de barras o un histograma según corresponda. En cada caso aclara si con los datos se puede elaborar indistintamente una gráfica de barras o un histograma. El maestro puede plantear actividades que impliquen el reconocimiento de representaciones gráficas y los tipos de variables para los cuales pueden construirse. • Se informa de las calificaciones obtenidas en la materia de inglés en un grupo de tercer grado de una escuela: 45 40 Calificación 5 6 7 8 9 10 40 35 34 Número de alumnos 12 34 19 40 22 Calificación 30 11 25 20 22 19 15 Gráfica de barras o histograma (agrupando las calificaciones en clases) 10 12 11 5 • Se proporcionan datos sobre las preferencias deportivas en una comunidad: 0 5 6 7 8 9 10 Número de alumnos Deporte Fútbol Voleibol Béisbol Baloncesto 40 35 36 21 15 25 Número de aficionados Número de aficionados Gráfica de barras 36 30 25 25 20 21 15 15 10 5 0 Futbol Voleibol Béisbol Baloncesto Deportes preferidos Demuestro lo que sé y hago 1 Dada la siguiente gráfica, responde las preguntas que se plantean. R. M. • ¿En qué país se observa que las cifras económicas distan más entre sí; es decir, son valores más dispersos? Venezuela • ¿En qué país se tienen cifras más cercanas entre sí? Bolivia • ¿A partir de la gráfica puede deducirse que la inflación aumenta a medida que lo hacen los salarios? No, porque no sucedió en todos los casos. • Cuando el aumento del salario fue pequeño, ¿la inflación también lo fue? La referencia a gráficas es importante, no sólo por las referencias del programa de estudio, sino porque es una forma frecuente de presentar la información que se muestra en varios medios de comunicación. PROHIBIDA SU VENTA No siempre. Variables económicas 20% 18.9 18% 16% 14.4 14% 12% Porcentaje 10% 11 12.3 13 12 10 9.9 6% 4.5 4.9 4.8 4% 6.6 6.1 5 4.8 5 3.7 4.9 4.5 2% 4.3 4.2 Argentina Bolivia Brasil 4 2.7 1.5 0 0% Inflación 2005 Inflación 2006 8% 6.8 Incremento salarial 2006 Chile Colombia Ecuador 2.3 Perú Uruguay Venezuela Países 105 08 BL1-L8 - Exploraciones en la informacion.indd 105 12/12/08 1:07:50 PM BLOQUE 1 2 Dadas las siguientes tablas completa los datos faltantes o completa la representación gráfica adjunta. • En una empresa se ha compilado un registro del sueldo actual y el sueldo inicial, en pesos, de 10 empleados. Empleado 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Sexo H H M M H H H M M M Sueldo actual ($) 57 000 40 200 21 450 21 900 30 295 32 100 36 000 21 900 27 900 24 000 312 745 27 000 18 750 12 000 13 200 21 000 13 500 18 750 9 750 12 750 13500 160 200 Sueldo inicial ($) Total La actividad que se presenta requiere analizar las secuencias numéricas y encontrar la regla de asignación de valores que está implícita en la tabla; la ayuda de calculadoras es posible en esta situación, pues se pueden conjeturar varios valores para llenar los espacios faltantes y ello requerirá de varios cálculos que pueden distraer la atención de las relaciones numéricas. • Se encuestó a varias personas sobre el problema más importante que tuvieron en los últimos 12 meses. Los datos recabados se presentan en la tabla. Completa la gráfica de barras. Problemas más importantes en los últimos 12 meses Salud Financieros Pérdida de servicios básicos Frecuencia 34 62 3 21 18 Porcentaje 21.25 38.75 1.875 13.125 11.25 Familia Personal Legal Otros Total 1 21 160 0.625 13.125 100 70 70 60 60 50 PROHIBIDA SU VENTA 50 Frecuencia 40 40 30 30 20 20 10 10 00 Salud Salud Financieros Servicios Servicios Familia Familia Personal Personal Legal Legal OtrosOtros Financieros básicos básicos Tipo de problema Se pueden plantear otras actividades de encuestas que pueden realizar los estudiantes, para aprovechar las ideas trabajadas y conocer un poco más la comunidad o las problemáticas que enfrenta. 106 08 BL1-L8 - Exploraciones en la informacion.indd 106 12/12/08 1:07:51 PM LECCIÓN 8 • EXPLORACIONES EN LA INFORMACIÓN 3 Encuentra los errores cometidos en las siguientes representaciones numéricas o gráficas. • Durante una semana se le preguntó a los clientes de un centro comercial la cantidad de dinero gastado ese día en el establecimiento. Los datos se muestran en la siguiente tabla: Intervalo (Miles de pesos) 0-5 5-10 10-20 20-50 50-100 Frecuencia 1 000 1 100 1 600 1 000 300 Frecuencia relativa 0.2000 0.2156 0.3200 0.2000 0.6000 0.22 5 000 0.06 • En un lote de autos hay varios modelos de años diferentes, cuya distribución de frecuencias se muestra en la tabla y la gráfica siguientes: Modelo 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 Total Frecuencia 34 29 28 40 27 30 34 28 36 29 29 30 31 405 Porcentaje 8.4 7.1 6.9 10.1 6.7 7.4 8.4 6.9 8.9 7.1 7.1 7.4 8.6 100 7.2 7.2 7.2 9.9 7.6 40 40 X 30 X 30 En Internet hay muchos sitios en los que se trabajan los contenidos de esta lección; también los periódicos y revistas especializadas pueden ser de mucha utilidad para plantear situaciones similares. Frecuencia 20 20 PROHIBIDA SU VENTA 10 10 00 1980 1982 1978 1970 1976 1970 1971 1972 1972 19731974 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1981 1979 1977 1971 1973 1975 Modelo Conéctate También se puede recurrir al siguiente libro: las siguientes páginas de internet: • José María Chamoso y otros Organizando la estadística Colección Diálogos de Matemáticas Nivola, Madrid, 2007. • http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/01/ texto3.html • http://www.inegi.gob.mx/inegi/default.aspx 107 08 BL1-L8 - Exploraciones en la informacion.indd 107 12/12/08 1:07:52 PM BLOQUE 1 4 Calcula el área de los siguientes rectángulos. (a ) Como la relación entre el área de un rectángulo y los desarrollos algebraicos o las factorizaciones se van a utilizar en otras lecciones, es importante insistir en este aspecto. ( c) (b ) 3 7 2x + 5 12 6x 15 0.9x + 2 3 (d) 4 9 6.3x 14/3 1 x - 0.5 2 -3x + 7 3x 84 5 2/9x 2/9 Encuentra las dimensiones de los siguientes rectángulos cuya área está representada por las expresiones algebraicas escritas en su interior. ¿La respuesta es única en todos los casos? No, existen varias soluciones posibles. ( a) Aquí se presta atención a los procesos inversos relacionados con el desarrollo de un producto, la factorización. Dado el resultado de un producto, se encuentran los factores. (b ) 6x + 8 - 3x 4 5x 18 ( c) (d ) 3 1 x4 2 1/2 x 3/2 6 PROHIBIDA SU VENTA • - Un aspecto que se menciona en los planteamientos programáticos es la modelación, por ello, se requiere que los estudiantes dediquen tiempo a encontrar una ecuación que represente una relación entre las cantidades involucradas en algunos problemas. 2 0.28x + 0.63 0.01 28x 63 Escribe las siguientes sumas como producto de un número por la suma de otros dos números. • 49x + 28 = 7 -10x + 36 2 ( 7 2 1 x+ = 48 4 1/4 7 x+ 4 ( 1/6 x + ) 1 • 253x + 385 = 11 ( 23 x+ 35 ) ) Plantea una expresión algebraica que represente las siguientes situaciones. • T es la edad de Pedro. Juan tiene la misma edad de Pedro más tres años. • R es el área de un terreno; otro terreno tiene el doble de área que él menos 100 m2. • Juan tiene una cantidad de dinero F y pierde esa misma cantidad más $234. 8 Edad de Juan: T 3 Área del segundo terreno: 2R 100 Cantidad que tiene Juan 234 Resuelve las siguientes operaciones haciendo uso de la igualdad a (x + b) = ax + ab. • 2 ¥ 37 = 2 ( 30 + 7 )= 74 • 5 ¥ 49 = 5 ( 40 + 9 )= 245 • 9 ¥ 18 = 9 ( 10 + 8 )= 162 • 11 ¥ 23 = 11 ( 20 + 3 )= 253 22 01 L1-BL1 Las letras se multiplican.indd 22 12/12/08 1:01:11 PM LECCIÓN 1 • LAS L E T R A S S E M U LT I P L I C A N Los rectángulos y las letras que se multiplican Si tienes un terreno rectangular de 14 m ¥ 19 m (figura 18), ¿cómo calculas su área?; ¿cuál es su valor? (Puedes omitir las unidades). A 266 Los estudiantes deben desarrollar algunas habilidades que impliquen la modificación de una situación dada, a fin de presentarla en términos que sean convenientes para resaltar algunas relaciones importantes. 14 m Figura 18 19 m Si las dimensiones se expresan como 10 + 4 y 10 + 9, ¿cambia el área del terreno? Esto induce a pensar que el terreno puede ser subdividido en partes que tienen un área fácil de calcular, como se observa en la figura 19. El área no cambia. 4 10 + 4 10 10 9 Figura 19 10 + 9 PROHIBIDA SU VENTA Es posible utilizar diversas medidas para el rectángulo, de tal manera que además de resaltar la relación numérica que permite un cálculo rápido del producto, se enfatice la relación entre todas las piezas que se obtienen al realizar los trazos. Discute con tus compañeros una forma de calcular el área del terreno sin multiplicar 14 ¥ 19. Podemos ampliar la situación anterior al caso en que las medidas del terreno sean representadas con literales. Considera por ejemplo que las dimensiones del terreno son x + 4 y x + 9, es decir un lado mide x m más 4 m y el otro los mismos x m más 9 m. Si no se fijan las dimensiones de los lados del rectángulo, se puede generalizar la relación para calcular el área y de esta manera introducir el producto de expresiones algebraicas lineales. x+4 x+9 Área del terreno: ( x ( 9)()() x 4 ) Área del terreno: Figura 20 23 01 L1-BL1 Las letras se multiplican.indd 23 12/12/08 1:01:12 PM BLOQUE 1 En esta parte se establece un nexo importante entre el cálculo de áreas de figuras sencillas, la descomposición en figuras simples de una figura dada y el producto de expresiones algebraicas. En este caso el área no sería un número específico, sin embargo se puede representar por una expresión algebraica. ¿Cuál sería? Escríbela en el espacio correspondiente de la figura 20. Ahora bien, considerando la forma en que están expresadas las dimensiones del terreno, podemos subdividirlo como se muestra en la figura 21. Así, el área del terreno puede escribirse también como la suma de varias partes. ¿Cuál sería la expresión algebraica de dicha área? Complétala en los espacios indicados en la figura 21. x 9 4 4x 36 4 x xx22 9x x x 9 4 x+4 x Los pasos necesarios para realizar un producto de expresiones algebraicas quedan claros cuando se divide el rectángulo de manera conveniente. x 9 x+9 Figura 21 Área del terreno: + x 2 +( )(13x Área del terreno: ) 36 De este modo, hemos expresado el área del terreno de dimensiones x + 4 y x + 9 de dos maneras (figuras 20 y 21). Esto nos conduce a una igualdad; escríbela a continuación: ( x + 4 ) ( x + 9 ) = x 2 + 13x + 36 . Se usan fichas de color azul para representar elementos positivos y fichas de color amarillo para representar elementos negativos. A dichas fichas se aplican las convenciones establecidas para los signos. Los ejemplos anteriores serán de utilidad para representar la multiplicación de expresiones algebraicas sencillas. Para esto vamos a emplear las piezas que se muestran en la figura 22. PROHIBIDA SU VENTA 1 cm 3.3 cm 1 cm 1 cm 1 cm 3.3 cm 3.3 cm Figura 22 1 cm 1 cm 3.3 cm 3.3 cm 3.3 cm 24 01 L1-BL1 Las letras se multiplican.indd 24 12/12/08 1:01:13 PM LECCIÓN 1 • LAS L E T R A S S E M U LT I P L I C A N Algunas de ellas ya las tienes pues se usaron en la sección anterior, solamente te faltan los cuadrados grandes. Bastará con que recortes 10 cuadrados grandes de cada color. Nuevamente, cada tipo de pieza tendrá asignada una expresión, como se indica en la figura 23. También en este caso las piezas azules se consideran “positivas” y las amarillas “negativas”. Por su amplio uso, los materiales que se utilizarán se les denomina de manera genérica manipulativos (dicho término es la traducción literal del término en inglés manipulatives). x 1 -x -1 Los estudiantes pueden construir los manipulativos y el maestro puede utilizar diversos materiales para construir los propios (láminas flexibles imantadas, velcro, etcétera). Lo importante es que se deben usar a las escalas adecuadas para su manejo en las mesas de trabajo de los estudiantes o para que se muestren en el área del pizarrón. x2 Figura 23 -x 2 Ahora, discute con tus compañeros la forma de representar algebraicamente cada una de las áreas de los arreglos rectangulares que se presentan en las figuras 24 a 27. (Cabe mencionar que hay dos maneras de hacerlo: una es expresando el área del rectángulo como el producto de la base por la altura y la otra es mediante la suma de las partes.) Área: ( x + 3 )( x + 1 )= x 2 + 4x + Área: ( 3 3x + 1 )( x 1 )= 3 x 2 + 4x + 1 3 x 2 + 11x + 10 Figura 25 PROHIBIDA SU VENTA Figura 24 + El uso de estos manipulativos se basa en dos características: una, considerando lo que se conforma con ellas, en conjunto, no como piezas separadas, como serían las dimensiones del rectángulo; y la otra, considerando las piezas aisladas o agrupando las que son semejantes. Área: ( 3x + 1 )( x + 4 )= 3 x 2 + 13x + Área: ( 4 Figura 26 3x + 5 )( x + 2 )= Figura 27 25 01 L1-BL1 Las letras se multiplican.indd 25 12/12/08 1:01:16 PM BLOQUE 1 Después de haber realizado lo anterior, analiza con tus compañeros los siguientes procedimientos (figuras 28 a 30). Es importante insistir en que se pueden explicar los pasos implicados en el desarrollo del producto de expresiones algebraicas sencillas separando partes del rectángulo de manera conveniente. • (x + 4)(x + 3) = x (x + 3) + 4 (x + 3) = x2 + 3x + 4 4x + 12 = x2 + 7x + 12. Figura 28 Los productos de números con signo o de literales con signo se consideran al trabajar estos materiales; en particular, al tomar en cuenta los signos asociados a los colores, se determina el color de los cuadrados pequeños. 4x - 12 = x2 - x - 12. • (x - 4)(x + 3) = x (x + 3) - 4 (x + 3) = x2 + 3x - 4 PROHIBIDA SU VENTA Figura 29 Siempre se deben tener presentes los equilibrios que se encuentran al manipular las piezas, lo cual ayuda a reducir a su mínima expresión las relaciones algebraicas. Para llegar al resultado en este caso se eliminaron algunas piezas. Recuerda que un número de piezas de un color se “equilibran” o cancelan con el mismo número de piezas de otro color, siempre y cuando sean del mismo tipo. Observa también, en las figuras 29 y 30, que el color de los cuadrados pequeños es amarillo porque indican el producto de un negativo por un positivo. 4x - 12 = x2 + x - 12. • (x + 4)(x - 3) = x (x - 3) + 4 (x - 3) = x2 - 3x + 4 Figura 30 26 01 L1-BL1 Las letras se multiplican.indd 26 12/12/08 1:01:17 PM LECCIÓN 1 • LAS L E T R A S S E M U LT I P L I C A N • (x - 4)(x - 3) = x (x - 3) - 4 (x - 3) = x2 - 3x - 4 4x + 12 = x2 - 7x + 12. Siempre está en juego interpretar la composición con fichas y la descomposición al separarlas. Figura 31 Observa que el color de los cuadrados pequeños es azul porque indican el producto de un negativo por otro negativo. Cambios de signo Un cambio de color en las piezas implica un cambio de signo en la expresión algebraica asociada. Considera los siguientes ejemplos. Es frecuente interpretar la multiplicación por (−1) como un cambio de color, lo cual puede mostrarse inicialmente con la multiplicación de números enteros utilizando sólo los cuadritos pequeños. • Al aplicar un signo menos a la expresión x + 2 tenemos que - (x + 2) = -x - 2 , lo cual se representa cambiando el color a las piezas correspondientes (figura 32). x+2 -(x ( + 2) = -x - -2 Figura 32 • Si aplicamos un signo menos a la expresión x - 2 obtenemos: - (x - 2) = -x + 2 , PROHIBIDA SU VENTA como se ilustra en la figura 33. x-2 -(x ( - 2) = -x - +2 Para curiosos Discute con tus compañeros cómo obtener el resultado de las siguientes expresiones algebraicas. • -(37x + 53) 37x 53 • -4 (0.7x + 0.3) 2.8x 1.2 • -(49x - 97) 49x 97 冉 1 1 • -8 x 2 4 4x 2 • -(-59x + 79) 冊 59x 79 • -(-81x - 9) Figura 33 Conviene incorporar todo tipo de números en las expresiones que se han manejado para saber si los estudiantes han podido generalizar los procesos para operar expresiones algebraicas lineales, sin recurrir a los manipulativos. 81x 9 • -0.9(-4x 4 + 1.4) 3.6x 1.26 4 • - (-0.2x - 0.9) 5 0.16x 0.72 27 01 L1-BL1 Las letras se multiplican.indd 27 12/12/08 1:01:17 PM BLOQUE 1 Discute con tus compañeros la relación que existe entre las siguientes expresiones algebraicas: (-x - 2) (x + 3) = -x2 - 5x - 6 • -(x + 2)(x + 3) = El manejo de expresiones algebraicas con números negativos es el mayor problema que enfrentan los estudiantes. Por ello, conviene que los escolares asignen valores a la literal implicada para comprobar los resultados obtenidos al desarrollar o factorizar expresiones algebraicas. (x + 2) (-x - 3) = -x2 - 5x - 6 (x + 2) (x + 3) = x2 + 5x + 6 -[(-x - 2) (x + 3)] = (-x -2)(-x - 3) = x2 + 5x + 6 • -[-(x + 2)(x + 3)] = (-x -2)(-x - 3) = x2 + 5x + 6 -[(x + 2) (-x - 3)] = (x + 2) (x + 3) = x2 + 5x + 6 Productos notables Para descubrir relaciones entre expresiones algebraicas es importante aguzar los sentidos y ser muy observadores. Por ejemplo, hay una regla que salta a la vista al multiplicar expresiones algebraicas del tipo (x + a)(x + b). Observa los siguientes desarrollos y junto con tus compañeros obtén conclusiones. PROHIBIDA SU VENTA El descubrimiento de reglas para operar expresiones algebraicas puede lograrse también con apoyo de las fichas que se han estado utilizando; el maestro decidirá cuándo es necesario emplearlas. (x + 4)(x + 3) = x2 + 7x + 12 (x - 4)(x + 3) = x2 - x - 12 (x + 4)(x - 3) = x2 + x - 12 (x - 4)(x - 3) = x2 - 7x + 12 28 01 L1-BL1 Las letras se multiplican.indd 28 12/12/08 1:01:18 PM LECCIÓN 1 • LAS L E T R A S S E M U LT I P L I C A N Observa las regularidades que se presentan en las cuatro multiplicaciones anteriores: • • • • ¿Cuántos términos tiene siempre el resultado? 3 ¿Siempre habrá un término con x 2 (término cuadrático)? Sí. El coeficiente de x (término lineal), ¿cómo se calcula en términos de a y b? Es la suma de a y b (a + b). El término restante (la constante), ¿cómo se calcula en términos de a y b? Es el producto de a y b (ab). Observa las siguientes secuencias para encontrar una forma de hacer las multipliSi se plantean varias preguntas a los estudiantes antes de iniciar un proceso y se les da tiempo para caciones del tipo (x + a)(x + b). responderlas discutiendo entre ellos y utilizando las fichas, será posible que ellos mismos conjeturen sobre diversas maneras de llevar a cabo procedimientos que deben aprender. 1 Figura 34 (x + 1)(x + 2): (x + 1)(x + 2) x (x + 2) + 1(x + 2) x2 + 3x + 2 Ya se ha considerado la división del rectángulo para conocer los pasos requeridos para desarrollar el producto a partir del manejo exclusivo de los símbolos algebraicos, sin embargo, el orden en el que se realice la separación de las piezas es muy importante. Esto es: (x + 1)(x + 2) = x (x + 2) + 1 (x + 2) = (x2 + 2x) + (x + 2) = x2 + 3x + 2. PROHIBIDA SU VENTA 2 (x + 3)(x - 4): (x + 3)(x - 4) Figura 35 (x2 - 4x) + (3x - 12) x (x - 4) + 3(x - 4) x2 - x - 12 Es decir: (x + 3)(x - 4) = x (x - 4) + 3 (x - 4) = (x2 - 4x 4 ) + (3x - 12) = x2 - x - 12. Conviene que los estudiantes ensayen con varios casos en los que se realice un producto y analicen distintas formas de lograrlo a partir de las relaciones que se pueden obtener con las particiones del rectángulo. 29 01 L1-BL1 Las letras se multiplican.indd 29 12/12/08 1:01:18 PM BLOQUE 1 Es importante que los estudiantes abandonen el trabajo con las fichas y realicen los productos de manera simbólica, lo cual se puede hacer incrementando el valor absoluto de los números empleados. Para curiosos Discute con tus compañeros la forma de proceder si solamente se usan literales en el tipo de multiplicación que estamos revisando. Esto es, si a, b, c y x son números positivos, ¿cuál es el resultado de las siguientes multiplicaciones? • (a + b)(a + c). También se pueden utilizar números de distintos tipos para corroborar que los estudiantes han comprendido el procedimiento, además de cambiar las literales empleadas. • ((x + a)(x - b). • ((x - a)(x - b). c ac bc a ax ab a ax ab a a2 ab x x2 bx x x2 bx a b x b x b a2 (b c)a bc x2 (a b)x ab x2 (a b)x ab Consideremos ahora un conjunto de productos de particular importancia, a los cuales se les denomina productos notables debido a que se presentan con mucha frecuencia en manipulaciones algebraicas de toda índole. Conocerlos te permitirá abreviar procedimientos. Apoyándote en construcciones con piezas resuelve los tres productos notables que se ilustran en las figuras 36 a 38. Considera que las literales representan números positivos. PROHIBIDA SU VENTA Varios resultados importantes también se pueden trabajar y hacer factibles con arreglos geométricos, en particular los famosos productos notables. b b b a a a a (a + b)2 = a b (a - b)2 = a2 2ab b2 Figura 36 b a2 2ab b2 Figura 37 a (a + b)(a - b) = b a2 b2 Figura 38 Así pues, es posible afirmar de manera general que • (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 • (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 • (a + b)(a - b) = a2 - b2 • (a + b)(a + c) = a2 + (b + c) a + bc 30 01 L1-BL1 Las letras se multiplican.indd 30 12/12/08 1:01:19 PM LECCIÓN 1 • LAS L E T R A S S E M U LT I P L I C A N Discute con tus compañeros cómo utilizar estos productos para realizar mentalmente las siguientes operaciones: 12 15 (10 2)(10 5) 102 10 (5 2) 5 2 100 70 10 180 24 24 (20 4)2 202 2 (20 4) 42 400 160 16 576 • 12 ¥ 15. • 19 ¥ 19. • 24 ¥ 24. • 22 ¥ 18. Una manera de saber si los estudiantes pueden aplicar los tipos de productos que se han trabajado es la discusión de estrategias de cálculo mental, todas ellas basadas en la descomposición de los números. 19 19 (10 9)2 102 2 (10 9) 81 100 180 81 361 22 18 (20 2)(10 8) 200 160 20 16 396 Para curiosos Imagina que tienes una calculadora con la tecla del 5 dañada. Discute con tus compañeros cómo realizarías las siguientes operaciones con dicha calculadora. • 32 ¥ 5 • 25 ¥ 17 • 25 ¥ 35 (22 3) 17 425 1 (x 5)(x 7) x2 12x 35 • (3x + 2)(4x 4 - 1) 6x2 29x 35 PROHIBIDA SU VENTA EL ATEN Encuentra el resultado de la multiplicación (x ( - 5)(x ( - 7) haciendo uso del arreglo de piezas que se muestra. • (2x - 5)(3x - 7) 2 (22 3)(32 3) 875 EO EN 32 (2 3) 160 12x2 5x 2 6x2 7x 2 Las operaciones entre expresiones algebraicas pueden ser comprendidas, como sucedió históricamente, con ayuda de relaciones geométricas, lo cual consta en obras como Los elementos de Euclides en el apartado conocido como “álgebra geométrica”. Realiza las siguientes multiplicaciones. • ((x + 3)(x ( + 9) x2 + 12x + 27 • (-2x + 1)(3x - 2) • ((x + 5)(x ( - 12) x2 7x 60 • (-2x + 1)(4x 4 - 3) 8x2 10x 3 • (2x + 3)(4x 4 + 9) 8x2 30x 27 • ((x - 4)(x ( - 6) x2 10x 24 Los estudiantes deben reconocer que a partir de las relaciones entre áreas se establecen las reglas necesarias para operar literales. Al inicio esto se realiza solamente con números naturales, pero se puede resaltar que la “forma de operar” puede realizarse con cualquier tipo de número. 3 Generaliza el procedimiento anterior y efectúa las siguientes multiplicaciones. 1/8x2 11/60x 1/15 冉 1 1 • - x2 3 冊冉冉 1 1 - x+ 4 5 冊 • (-2.3x + 3.7)(-5.2x - 3.2) 11.96x2 11.88x 11.84 1/5x2 x 1/56 • 冉 25 x - 17 冊冉冉- 12 x + 18 冊 • (-0.7x + 3)(3x - 0.5) 2.1x2 9.35x 1.5 31 01 L1-BL1 Las letras se multiplican.indd 31 12/12/08 1:01:20 PM BLOQUE 1 4 Con esta actividad se pueden explicar asuntos que tienen que ver con el papel que juegan las literales empleadas en la aplicación de reglas establecidas con anterioridad para la operatividad algebraica. Encuentra números tales que hagan ciertas las siguientes igualdades. • ((x + 3 )(x ( + 3 • (s + 5 )(s + [5] • (p + 9 )(p - • (r + 2.3)(r + • (w - 1/4 ) = s2 - 10s + 25 ) = p2 - 81 ) = r 2 + 4.6r + 冉 14 冊 = w - ) w- • (x + 7)(x ( 5 2.3 9 ) = x2 + 6x + 9 7 2 )= x2 1/2 5.29 w+ 1 16 - 49 Resuelve los siguientes productos notables. Llega al resultado en un paso y verifícalo desarrollando el producto. • (2x + 5)2 4x2 20x 25 • (t - 12)2 t2 24t 144 • (r + 11)(r - 11) r2 121 6 El manejo de las literales debe hacerse con mucho cuidado. Discute con tus compañeros lo siguiente y responde considerando todas las posibilidades. • R es un número que sumado con cualquier número P da el mismo número P (esto es: P + R = P). ¿Qué puedes decir del valor de R? R O • Si te dicen que un número Z sumado con otro número T da cero (Z + T = 0), ¿qué puedes decir del valor de T? T Z • Si te dicen que al multiplicar un número H por otro número D el resultado es 0 (H ¥ D = 0), ¿qué puedes decir del valor de H? H O El tipo de relaciones que se incluyen en esta actividad se presentan frecuentemente en el desarrollo algebraico. El tratamiento de propiedades de los números a partir de expresiones algebraicas se utiliza en bloques posteriores. • Si te dicen que un número E dividido entre el número S, el cual no es cero, da 1 (es E decir = 1), ¿qué puedes decir del valor de S?? ¿Es necesario pedir que S π 0? S PROHIBIDA SU VENTA S E; Sí 7 Es importante que los estudiantes reconozcan contenidos que se trabajen con expresiones algebraicas, ya sea en el grado que cursan o en los siguientes niveles educativos; esto puede ser útil para despertar su curiosidad e invitarlos a la reflexión sobre la importancia de lo que están abordando. 01 L1-BL1 Las letras se multiplican.indd 32 Resuelve las siguientes operaciones, sin aplicar inicialmente el algoritmo de la multiplicación. • 103 ¥ 97 (100 3)(90 7) 9 991 • 31 ¥ 32 (30 1)(30 2) 992 • 8 152 ¥ 15 (10 5)2(10 5) 3 375 En tus libros de física y química identifica los temas donde se utilizan expresiones algebraicas similares a las que estudiaste en esta lección y haz un listado de ellos. R. L. 12/12/08 1:01:20 PM LECCIÓN 1 • LAS L E T R A S S E M U LT I P L I C A N Demuestro lo que sé y hago 1 Realiza las siguientes operaciones. • - 冉 4 1 1 x+ 9 5 3 冊 4 4 x 27 45 • - (-x + 4.7)(x - 7.3) x2 12x 34.31 4 Plantea una expresión algebraica que represente las siguientes situaciones. • -3.7 (-2.4x - 5.7)8.88x 21.09 冉 1 1 • - x5 7 • (-4x + 5.6)(-3.2x - 7.3) 冊冉 1 1 - x+ 7 5 • El equipaje de Pedro pesa W kilos y el de Juan Peso del pesa lo mismo menos 3 kilos. ¿Cuál es la expre- equipaje de sión que representa el peso del equipaje de Juan? Juan w 3 • Armando obtuvo la misma calificación que Roberto más 17 puntos. ¿Cuál es la calificación de Roberto si la de Armando es x? Calificación de Roberto x 17 • Un terreno cuadrado de G metros de lado se extenderá 12 metros de un lado y 7 metros del otro. ¿Cuál es la expresión algebraica del área del terreno con los lados extendidos? ¿Hay otra forma de expresarla? (G 12)(G 7) o bien G2 19G 84 冊 1 2 24 1 x x 35 1 225 35 12.8x2 11.28x 40.88 2 Encuentra números que hagan las siguientes igualdades ciertas. Comprueba tus resultados efectuando la multiplicación. • 1.5 ( x + 11) = 8.85x + 16.5 5.9 冉 27 冊( • - x- 4/6 16/3 • (x + 2 )(x + 22 • (s - 7 )(s - 7 • (p - 16 )( p + 16 )=- 4 32 x+ 21 21 5 Resuelve las siguientes operaciones sin recurrir inicialmente al algoritmo de la multiplicación. ) = x 2 + 24x + 44 ) = s2 - 14s + 49 ) = p 2 - 256 3 Resuelve los siguientes productos notables. • 冉 35 x + 118 冊 2 • (5p 5 - 13)2 9 2 48 64 x x 25 55 121 25p2 130x 169 5(90 4) 450 20 470 • 12 ¥ 16 (10 2)(10 6) 102 10 8 12 192 • 105 ¥ 95 (5 100)(5 90) 52 5 190 9 000 9 975 • 41 ¥ 43 (40 1)(40 3) 402 40 4 3 1 763 • 23 ¥ 23 (20 3)(20 3) 202 20 6 9 529 Es importante asegurarse que los estudiantes avanzan en la operatividad algebraica y en el planteamiento de ecuaciones referidas a distintos problemas. • (r + 1.4)(r - 1.4) r2 1.96 PROHIBIDA SU VENTA • 5 ¥ 94 Conéctate También puedes apoyarte en el sigiuente texto: tes sitios: • Ricardo Moreno Castillo y José Manuel Vegas • http://www.insa-col.org/sites/url/melissa/ • http://html.rincondelvago.com/origen-del-algebra.html Una historia de las matemáticas para jóvenes. Desde la Antigüedad hasta el Renacimiento Nivola, Madrid, 2006. Para revisar conceptos y procedimientos básicos del álgebra: Es importante que los estudiantes conozcan algo de historia de las matemáticas, pues a partir de ella se pueden comprender más las relaciones que se conocen en su forma generalizada, además de reconocer contextos en los cuales se presentó la necesidad de ampliar el conocimiento matemático. • http://student_star.galeon.com/conten.htm En Internet hay diversos sitios en los cuales se trabajan temas sobre procedimientos algebraicos conocidos y algunas explicaciones de ellos usando la geometría. 33 01 L1-BL1 Las letras se multiplican.indd 33 12/12/08 1:01:21 PM 2 Factorización de expresiones ag algebraicas geb a cas Mis retos Ahora conocerás el procedimiento de la factorización, mediante el cual las sumas y restas de expresiones algebraicas se pueden escribir como productos. Este procedimiento suele ser muy útil en la resolución de ecuaciones. Utilizarás modelos geométricos para representar factorizaciones. ¿Qué sé? Ya trabajaste con productos del tipo x (ax + b), (x + a)2 y (x + a)(x - a), los cuales conducen a expresiones de las formas ax 2 + bx, x 2 + 2ax + a2 y x 2 - a2, respectivamente. ¿Qué lograré aprender? PROHIBIDA SU VENTA En la lección anterior estudiaste la multiplicación de expresiones algebraicas. Ahora vas a realizar el procedimiento inverso; es decir, conociendo el resultado de la multiplicación (el producto), podrás encontrar las expresiones algebraicas que al multiplicarse conducen al resultado dado. Para llevar a cabo la factorización establecerás relaciones entre los coeficientes de los productos y los factores en que éstos se descomponen. 34 02 L2-BL1 Factorizacion de expresiones.indd 34 12/12/08 1:01:58 PM ALGO DE LO QUE Q ME ENSEÑARON 1 Encuentra números que hacen válidas las siguientes igualdades. • 8 • ( (7 - 3) = -32 • (8 + 22 )( 8 - 9) = -30 - 4)2 = 25 9 2 Para cada una de las siguientes expresiones determina los números con los que se satisface la igualdad. • 6 (2x - 3) = -12x + • 3 (5x + [7] 18 ) = -15x + 21 • ( 2 x + 3)(5x - • ( 2 x - 9)2 = 4x 2 - ) = 10x 2 + x - 21 7 36 x+ Conviene revisar si los alumnos manejan los contenidos que previamente se trabajaron, pues se aplicarán en lo que sigue, en particular lo que se refiere a la operatividad algebraica. 91 3 Efectúa las siguientes multiplicaciones. 冉 4 5 • -x 7 9 冊 4 x 7 • (3x - 1)(3x + 1) 9x2 冉冊 20 • x - 5 63 8 x2 1.17 0.23 2 x2 5 25 x 4 64 • (3x + 2.7)2 1 冉冊 1 • - x + 0.46 (2x - 0.5) 2 • -2.34(7.05x - 4.76) 9x2 16.2x 7.29 16.497x 11.1384 PROHIBIDA SU VENTA 4 Una forma de comprobar si un desarrollo algebraico es correcto consiste en asignar valores numéricos a las literales y verificar si la igualdad resultante es verdadera. Basta con que en un caso no se cumpla la igualdad numérica para saber que la igualdad algebraica originalmente planteada no es válida, aun cuando existan algunos casos en que sí se cumpla la igualdad. Ejemplo: Verificar si la igualdad (x ( - 3)2 = x 2 + 9 es verdadera. • Al tomar x = 0: el primer miembro resulta (0 - 3)2 = 9; y el segundo, 02 + 9 = 9. Por tanto, con x = 0 la igualdad se cumple. Los estudiantes deben detectar posibles errores y corregirlos. Sin embargo: • Al tomar x = 1: el primer miembro es (1 - 3)2 = 4, pero el segundo miembro es 12 + 9 = 10. De ahí se concluye que la igualdad ((x - 3)2 = x 2 + 9 no es verdadera. Utilizando este procedimiento determina cuáles de las siguientes igualdades algebraicas son válidas. • -7(-x - - 4) = -7x - 28 冉 34 冊 = x - 34 x - 169 • x- 2 2 No • - 1 3 3 6x = - 3x 2 4 8 冉冊 Sí No • (2x - 7)(2x + 7) = 44x 2 - 49 Sí 35 02 L2-BL1 Factorizacion de expresiones.indd 35 12/12/08 1:01:59 PM BLOQUE 1 Letras que se desmultiplican Discute con tus compañeros cómo escribir los siguientes números como productos de dos números: R. M. Aunque ya se trabajó el desarrollo de un producto de expresiones algebraicas sencillas y se abordó brevemente el tema de factorización, en esta lección se pondrá especial énfasis en este tema (la factorización), pues en la lección anterior se centró la atención en el desarrollo del producto (en general, cuando es posible, los procedimientos inversos conviene tratarlos conjuntamente y no de manera aislada, pues de esa manera, uno de ellos da sentido al otro). • 45 = 9 ¥ 5 • 36 = 9 ¥ 4 • 43 = 43 ¥ 1 • 55 = 11 ¥ 5 • 152 = 38 ¥ 4 • 276 = 92 ¥ 3 Algo similar se puede hacer con las expresiones algebraicas: En la lección anterior se estudiaron multiplicaciones como producto 2(3x + 1) = 6x + 2. factores Si invertimos los miembros de la igualdad anterior obtenemos que producto 6x + 2 = 2(3x + 1) . factores Esto nos lleva a preguntarnos cómo es que, dado un producto, pueden obtenerse sus factores, lo que equivale a realizar el procedimiento opuesto a la multiplicación. Con tus compañeros analiza los siguientes casos: PROHIBIDA SU VENTA La factorización ilustrada con ayuda del área de un rectángulo, permite utilizar las ideas que se han introducido en la enseñanza básica desde sus inicios, pues el área de un rectángulo es el producto de dos números; esto, aplicado al caso de los números enteros, ayuda a “representar” una forma de obtener los factores que producen determinado resultado. Figura 1 • x 2 + 2x = x(x + 2) . = x x+2 x 2 + 2x x (x ( + 2) • x 2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2) . La actividad se concentra en armar un rectángulo con varias piezas, lo cual para los estudiantes es más sencillo de interpretar. x+1 = x+2 Figura 2 x 2 + 3x + 2 ( + 1)(x (x ( + 2) 36 02 L2-BL1 Factorizacion de expresiones.indd 36 12/12/08 1:02:00 PM LECCIÓN 2 • FAC TORIZACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS • x 2 + 4x + 4 = (x + 2)2 . = No basta que los estudiantes observen las figuras, es muy importante que manipulen las piezas; deben interactuar con el material para que tenga efecto el uso de las configuraciones geométricas. x+2 x+2 x 2 + 4x 4 +4 ( + 2)2 (x Figura 3 • x 2 - 4 = (x + 2)(x - 2) . = x+2 x-2 x2 - 4 ( + 2)(x (x ( - 2) Figura 4 Con base en las conclusiones que obtuviste con tus compañeros, discute con ellos alguna forma de encontrar los factores que se piden en cada uno de los siguientes casos. Algunos estudiantes pueden lograr imaginarse los procedimientos ya sea de • Caso 1: 8x - 2 = ( PROHIBIDA SU VENTA • Caso 2: x2 + 5x = ( )( 2 manera simbólica o construyendo mentalmente el rectángulo; habrá que aprovechar su habilidad para reforzar el trabajo de otros alumnos que realizan las actividades de manera más lenta. ). 4x 1 )( x5 ). • Caso 3: x 2 + 7x + 12 = ( x3 )( x4 ). • Caso 4: x 2 - 3x - 10 = ( x2 )( x5 ). x • Caso 5: x2 - 6x + 9 = ( • Caso 6: x2 - 9 = ( x3 x3 )( x3 )( x3 ). ). Es importante que los estudiantes conjeturen sobre los procedimientos matemáticos y los pongan a prueba para saber si resultan correctos, pues ello implica que elaboran estructuras mentales que serán relevantes para abordar otros contenidos. Si a los estudiantes se les proporciona la regla para proceder, casi no se esforzarán y dejarán todo a la memoria. Seguramente te habrás dado cuenta de que para identificar los factores de un producto puede ayudar construir un rectángulo con las piezas que representan dicho producto. En cada caso las dimensiones del rectángulo serán los factores buscados. Junto con tus compañeros redacta algunas instrucciones que se deban seguir para encontrar los factores en cada uno de los casos modelo que se presentarán a continuación. Elabora las instrucciones de tal manera que solamente hagan referencia a la 37 02 L2-BL1 Factorizacion de expresiones.indd 37 12/12/08 1:02:00 PM BLOQUE 1 Se requiere que los estudiantes analicen varios casos utilizando los tres tipos de fichas; para ello no necesariamente se deberán concentrar en las actividades incluidas en el texto, también conviene explorar diversas situaciones, algunas de las cuales puede proponer el maestro. manipulación de los coeficientes y no al uso de las piezas. Después aplica tu procedimiento para hallar los factores de los casos similares al modelo. (Si bien cada caso modelo se ilustra mediante construcciones con piezas, éstas no te servirán en los casos similares, debido a las cantidades empleadas en ellos; de ahí la necesidad de que tus instrucciones no estén planteadas en función de piezas.) Caso 1 Caso 2 x2 + 8x = x(x + 8) . 6x - 4 = (2 ¥ 3)x - (2 ¥ 2) = 2(3x - 2) . (2 ¥ 3)) x (2 2 2¥2 x2 x 8x 3x - 2 x+8 Casos similares: • 66x - 506 = Casos similares: 11(6x 46) 3 7 • x- = 4 4 1 3x 7 4 • 10.8x - 6 = • x 2 - 7x = x(x 7) • 4x2 + 8x = 4x(x 2) 3(3.6x 2) • 4 2 2 x + x= 9 3 1 4 x2 冸 3 冹 3 Caso 3 Caso 4 x2 + 6x + 5 = x 2 + (5 + 1)x + (5 ¥ 1) x2 - 5x - 14 = x 2 + (-7 + 2)x + (-7 ¥ 2) PROHIBIDA SU VENTA = (x + 1)(x + 5) . = (x + 2)(x - 7) . x¥1 5¥1 x2 5x x+1 Los casos similares tienden a ayudar y a generalizar los procedimientos es importante aprovechar este tipo de situaciones para que los alumnos comprendan que el procedimiento no depende ni de las fichas ni de los números que se emplean. 2x -7 7¥2 x2 -7 7x x+2 x+5 x-7 Casos similares: • x 2 + 22x + 120 = Casos similares: (x 12)(x 10) • x 2 + 5x - 14 = • x2 + 20x + 99 = • x2 5 1 + x+ = 6 6 (x 7)(x 2) (x 11)(x 9) • x2 - 3x - 180 = 冸 x 1 2 冹冸 x 1 3 冹 • x2 - (x 12)(x 15) 2 1 x=冸 x 15 15 1 5 冹冸x 1 3 冹 Los casos se pueden ampliar y hacer más complejos pero siempre se debe tener presente que los estudiantes deben generalizar el procedimiento, por lo que las discusiones deben centrarse en este punto. 38 02 L2-BL1 Factorizacion de expresiones.indd 38 12/12/08 1:02:01 PM LECCIÓN 2 • FAC TORIZACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Caso 5 Caso 6 x2 - 8x + 16 = (x - 4)2 . x2 - 4 = (x + 2)(x - 2). 4 4x 2x 4¥4 -2 2¥2 x+2 x-4 x2 x2 x2 -2 2x -4 4x x-2 x-4 Casos similares: • x 2 - 24x 4 + 144 = (x 12)2 • x2 + 46x + 529 = (x 23)2 • x2 + 4 4 x+ = 3 9 冸x 2 3 冹 Casos similares: Con las fichas los estudiantes podrán comprender que “completar un cuadrado perfecto” es exactamente eso, colocar las fichas que hacen falta para formar un cuadrado. 2 Para lograr conformar el rectángulo, en algunas ocasiones habrá que añadir fichas que no se tenían al inicio; lo importante es que se recuerde que en realidad se está agregando un cero. • x 2 - 121 = (x 11)(x 11) • x2 - 529 = (x 23) (x 23) • x2 - 4 = 冸x 49 2 7 冹冸x 2 7 冹 Este procedimiento de descomponer en factores la expresión algebraica de un producto se denomina factorizar. Para curiosos Si en la expresión del producto se utiliza otra letra en lugar de x, ¿los números en la factorización resultante cambian? No cambian. EN 1 EL ATEN EO PROHIBIDA SU VENTA Por ejemplo, si tenemos que -4x + 8 = -4(x - 2), ¿cuál será el resultado de factorizar -4w + 8? 4(w 2) Conviene promover que los estudiantes utilicen varias literales para los desarrollos algebraicos a fin de insistir que los procedimientos no dependen del uso de grafías especiales. Encuentra números con los cuales las siguientes igualdades sean ciertas. Comprueba tus resultados realizando la multiplicación. • x2 + • x2 + 15 x + 54 = (x + 6)(x + 26 x + 169 = (x + • x 2 - 289 = (x + 17 )(x - 13 17 9 )2 ) • x2 + • 8 x - 273 = (x + x 2 - 30x + 225 = (x - 21 15 )(x - 13) )2 ) 39 02 L2-BL1 Factorizacion de expresiones.indd 39 12/12/08 1:02:02 PM BLOQUE 1 Los estudiantes deben comprender que el desarrollo de un producto y la factorización son procesos inversos. Al inicio lo constatan con las fichas pero después deben hacerlo solamente con expresiones algebraicas. 2 Intenta construir rectángulos con los siguientes conjuntos de piezas. En los casos en que sea posible esa construcción, anota los factores resultantes. a) (a) (b) (c) x1 x4 c) x 2 + 5x + 4 3 x2 x5 El maestro puede generar una discusión a partir de la siguiente pregunta, ¿la factorización es única? Si se presenta una cierta cantidad de fichas que se asocia a un polinomio y se encuentra la factorización de éste, la pregunta por atender es ¿se puede formar otro rectángulo con las mismas fichas, pero que el rectángulo tenga dimensiones diferentes al que ya se encontró? x 2 + 6x + 4 x 2 + 7x + 10 (x 5.23)(x 0.76) No es posible formar un rectángulo. (x 4)(x 1) (x 5)(x 2) Comprueba las siguientes factorizaciones realizando la multiplicación. • x 2 - 7x + 10 = (x - 2)(x - 5) Correcta • x 2 - 3x - 10 = (x + 2)(x - 5) Correcta Sí, es posible. 4 Una vez que encuentras unos factores (en otras palabras, que logras armar un rectángulo), ¿puedes construir otro rectángulo diferente, es decir, usando diferentes dimensiones, con las mismas piezas? ¿Siempre será posible construir un rectángulo independientemente de la cantidad de piezas consideradas? No, como en el caso (b) del ejercicio 2 de esta página. 5 Seguramente ya te habrás dado cuenta que para factorizar se requiere, en algunos casos, encontrar dos números cuya suma sea el coeficiente de x y cuyo producto sea la constante. Observa los siguientes ejemplos: • x 2 + 7x + 12 = (x + 4)(x + 3) • x 2 - x - 12 = x 2 + (-1)x - 12 = (x - 4)(x ( + 3) 3+4=7 3 ¥ 4 = 12 -4 + 3 = -1 -4 ¥ 3 = -12 Con base en este procedimiento factoriza las siguientes expresiones. PROHIBIDA SU VENTA • x 2 + x - 12 • 6 Después de que los estudiantes pongan en práctica sus propios métodos, se pueden abordar las reglas o procedimientos algorítmicos; no se debe partir de estos últimos, los alumnos deben tener la oportunidad de dar sentido a los contenidos que estudian, antes de que se les presenten “recetas”. (x 4)(x 3) x 2 - 7x + 12 (x 4)(x 3) También hay casos de factorización cuya forma corresponde con el desarrollo de determinados productos notables. Por ejemplo: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 - b2 = (a + b) (a - b) • x 2 + 6x + 9 = x 2 + 2(3)x + (3)2 = (x + 3)2 . • x 2 - 9 = x 2 - (3)2 = (x + 3)(x - 3) . Factoriza las siguientes expresiones e identifica el producto notable del que provienen. • x 2 - 6x + 9 (x (a b)2 3)2 • x 2 + 6x + 9 • x 2 - 64 (x (a b)2 (x 8)(x 8) a2 b2 3)2 • x2 - 25 49 (x 5/7)(x 5/7) a2 b2 40 02 L2-BL1 Factorizacion de expresiones.indd 40 12/12/08 1:02:03 PM LECCIÓN 2 • FAC TORIZACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Demuestro lo que sé y hago 1 Se va a construir un mueble con base en el diseño que se muestra en la figura. Las secciones cuadradas pequeñas medirán 7 cm de lado y la secciones cuadradas grandes pueden hacerse de cualquier magnitud. 2 Factoriza las siguientes expresiones algebraicas; comprueba tus resultados realizando la multiplicación. • x 2 + 5x - 24 (x 5/3)2 • x 2 - 16x + 64 • 9x 2 + 30x + 25 (x 8)(x 3) (x 8)2 49 2 • 315x - 630x • 13x 2 + 39 • x2 81 315x(x 2) 315(x2 3) (x 7/9) (x 7/9) 3 En otras asignaturas encontrarás expresiones algebraicas como las que has estudiado hasta el momento. Las siguientes ecuaciones son conocidas en la f ísica; investiga para qué se usan y qué representa cada uno de sus términos. 1 1 • d = vi t + at 2 • ec = mv 2 2 2 Distancia recorrida con una aceleración a y velocidad inicial vi en un tiempo t. Energía cinética en función de la masa m y la velocidad v. • Si se van a producir tres modelos del mueble, cada uno de distinto tamaño, calcula el área frontal que cada modelo habrá de cubrir si el lado de los cuadrados grandes tiene las siguientes magnitudes: a) 25 cm b) 40 cm c) 90 cm 2 048 cm2 4 418 cm2 18 818 cm2 • Deduce una fórmula para calcular el área frontal que abarcaría el mueble para diferentes magnitudes del lado del cuadrado grande. PROHIBIDA SU VENTA x lado A 2x2 28x 98 Conéctate Unos textos para apoyar la enseñanza y aprendizaje del estos temas son páginas como • Grupo Azarquiel • http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/algebra.htm • http://www.galeon.com/student_star/factor01.html Ideas y actividades para enseñar álgebra Colección Cultura y Aprendizaje También hay textos sobre Síntesis, Madrid, 1993. la temática de la enseñanza del álgebra, • Arnulfo Andrade aspecto que es frecuente Antecedentes de álgebra elemental en el interés de los Trillas, México, 1995. investigadores en En Internet hay diversos sitios en los cuales se pueden explorar los contenidos de la lección con otros métodos como el de las fichas. educación matemática. 41 02 L2-BL1 Factorizacion de expresiones.indd 41 12/12/08 1:02:05 PM 3 Triángulos á g gu os en e cuadriláteros cuad áte os Mis retos Descubrirás propiedades de objetos geométricos a partir de propiedades de los triángulos. Aplicarás los criterios de congruencia de triángulos en la justificación de propiedades de los cuadriláteros. ¿Qué sé? Conoces varios tipos de triángulos, así como algunas de sus propiedades. Has estudiado los criterios de congruencia de triángulos. También conoces las relaciones de congruencia entre los ángulos que se forman al intersecarse dos rectas o al cortar una recta a dos paralelas. ¿Qué lograré aprender? PROHIBIDA SU VENTA Profundizarás en el conocimiento de algunas propiedades de los cuadriláteros. Identificarás la congruencia de lados y ángulos de algunas figuras a partir de las propiedades de congruencia de triángulos, que se pueden identificar o trazar en ellas. 42 03 L3-BL1 - Triángulos en cuadriláteros.indd 42 12/12/08 1:02:43 PM ALGO DE LO QUE Q ME ENSEÑARON 1 ¿Cuándo se dice que dos triángulos son congruentes? R. M. Cuando sus tres lados tienen igual longitud. 2 Si 䉭 ABC @ 䉭 QPR, escribe las partes correspondientes que son congruentes. R. M. Cuando sus tres lados tienen igual longitud. Q C P B R A Trabajar la congruencia de triángulos a partir de la superposición de figuras puede ser adecuado, pero poco útil para el trabajo matemático en el cual se desea incorporar a los estudiantes. Puede haber situaciones en las cuales no sea posible superponer dos figuras. Es por ello que se requiere abordar el tema desde una perspectiva más formal. R. M. • AB @ PQ • ü ABC @ ü • QPR CB • ü @ PR BCA • AC @ @ ü PRQ QR • ü BAC @ ü B E PQR 3 Si dos triángulos son congruentes, ¿las alturas correspondientes a lados Sí congruentes también lo son? Dibuja ejemplos para explicar las conclusiones. lo son. A D Dado que las medidas y los ángulos son iguales, las alturas también lo son. 4 ¿Serán congruentes dos triángulos en los cuales un par de lados de uno son congruentes con un par de lados del otro? Dibuja ejemplos para explicar las conclusiones. R. M. No necesariamente porque no se indica cómo son los angulos: PROHIBIDA SU VENTA 5 Dados los siguientes triángulos, traza tres triángulos congruentes con cada uno ellos, en posiciones diferentes. R. L. Dada la importancia de los criterios de congruencia de triángulos, se requiere la identificación de ángulos congruentes en distintas figuras o configuraciones geométricas. 6 ¿En qué consisten los criterios de congruencia de triángulos LLL, LAL y ALA? R. M. 7 En la siguiente figura indica todos los ángulos que se forman y la medida de cada uno de ellos. 51∞ 51° 129° 129° 51° 51° 129° 129° 51° LLL: si dos triángulos tienen sus tres lados respectivamente congruentes, entonces son triángulos congruentes. LAL: si dos triángulos tienen dos lados congruentes y el ángulo comprendido entre ellos también es congruente, entonces son triángulos congruentes. 43 ALA: si dos triángulos tienen un lado congruente y los ángulos adyacentes a él también son congruentes, entonces son triángulos congruentes. 03 L3-BL1 - Triángulos en cuadriláteros.indd 43 12/12/08 1:02:44 PM BLOQUE 1 Triángulos congruentes Hay estrategias en matemáticas que por su sencillez son muy populares y por ello a veces se utilizan en situaciones donde no tienen utilidad, como es el caso de trazar una diagonal en un cuadrilátero. Por ello, conviene que en casos como éste los estudiantes reflexionen sobre dicha estrategia. Con tus compañeros, trabajando en equipo, traza en un papel un cuadrado, un rectángulo, un rombo, un paralelogramo, tres trapecios (uno de ellos isósceles y los otros de distintas formas) y un cuadrilátero irregular (figura 1). Figura 1 PROHIBIDA SU VENTA Ya que la superposición de figuras para corroborar la congruencia de triángulos es útil en algunos casos, no hay que desecharla, pero sí es importante promover otras formas que son más generales y se pueden utilizar en muchas situaciones matemáticas. Figura 2 Para preparar el camino a la simbolización, al momento de establecer la congruencia de triángulos hay que hacer énfasis en los ángulos y lados congruentes relacionados con la denominación de los vértices. Recorta cada figura y dóblala por alguna de sus diagonales; con ello se puede saber si es posible hacer coincidir las partes. Si no hay tal coincidencia recorta el cuadrilátero por la diagonal e intenta hacer coincidir las dos partes resultantes. Este procedimiento se ilustra en la figura 2. Con lo anterior estarás verificando si los triángulos que se obtienen al recortar los cuadriláteros por las diagonales son o no congruentes. ¿Con qué cuadriláteros es posible formar triángulos congruentes al trazar una diagonal? Rombo, cuadrado, rectángulo. Recuerda que hay una simbología para indicar que dos triángulos son congruentes (como sabemos, esto quiere decir que se pueden hacer coincidir todos sus lados y ángulos). Así, se puede expresar con símbolos la congruencia de dos triángulos estableciendo una correspondencia entre los vértices, a partir de lo cual se indican los lados y ángulos congruentes. Observa la figura 3. 44 03 L3-BL1 - Triángulos en cuadriláteros.indd 44 12/12/08 1:02:45 PM LECCIÓN 3 • TRIÁNGULOS EN CUADRILÁTEROS Correspondencia entre vértices Lados correspondientes Ángulos correspondientes congruentes A´D AB @ DE ÐÐÐü ABC @ ü DEF BÉ BC @ EF ÐÐÐü BCA @ ü EFA C´F CA @ FD ÐÐÐü CAB @ ü FDE D C E A B Cuando se utiliza la notación de congruencia a partir de las denominaciones de los vértices, es conveniente tener precauciones sobre el orden en que se escriben; a partir de esto es muy sencillo detectar las partes congruentes de los triángulos implicados. Los criterios de congruencia de triángulos ya se han tratado en el grado escolar anterior, solamente se hace una revisión para compenetrarse con la notación matemática correspondiente. F Figura 3 ¿El orden en que se escriben las letras para simbolizar la congruencia de lados o ángulos es importante? ¿Por qué? R. M. Porque si se mezclan, las medidas de los ángulos no van a corresponder. Esto significa que para corroborar que dos triángulos son congruentes se debe asegurar la congruencia de todos los lados de uno con todos los lados correspondientes del otro y la congruencia de todos los ángulos de uno con todos los ángulos correspondientes del otro. Cuando hay partes congruentes en distintas figuras, se señalan con pequeñas marcas. Éstas facilitan el análisis de las figuras, pues al ver las mismas marcas en figuras diferentes se sobreentiende que son congruentes. A continuación exponemos tres criterios para determinar la congruencia de triángulos. PROHIBIDA SU VENTA • Criterio de congruencia LLL: F A C AB @ DE AC @ DF BC @ EF D B F A C B El manejo de la notación que se promueve en la lección facilitará mucho el desarrollo de demostraciones o razonamientos deductivos, los cuales implican detección de figuras congruentes colocadas en posiciones diversas, pues a simple vista puede dificultar la detección de las partes congruentes. E ü BAC @ ü FDE ü CBA @ ü DEF ü ACB @ ü EFD D 䉭 ABC @ 䉭 DEF E Figura 4 Basta con que tres lados de un triángulo sean congruentes con los tres lados correspondientes de otro para que, automáticamente, se pueda afirmar que los ángulos de 45 03 L3-BL1 - Triángulos en cuadriláteros.indd 45 12/12/08 1:02:45 PM BLOQUE 1 uno son congruentes con los del otro y, por lo tanto, que los triángulos son congruentes (figura 4). ¡Esto reduce el trabajo de comprobar la congruencia de dos triángulos! • Criterio de congruencia LAL: Una actividad interesante es intentar expresar la congruencia de las partes dadas de los triángulos y la forma de establecer la necesaria congruencia de las otras partes. Esto puede ayudar a valorar positivamente la notación empleada. F A C D B F A C Figura 5 Otra posibilidad es el uso de letras griegas para los ángulos y un par de letras o una sola letra para los lados, pero esto no ayuda a establecer criterios generales para dos triángulos cualesquiera; la notación utilizada incluso puede prescindir de las figuras, pues al ver la correspondencia entre vértices se sabrá cuáles son los ángulos y lados congruentes. AB @ DE AC @ DF ü BAC @ ü EDF BC @ EF ü CBA @ ü FED ü ACB @ ü DFE D 䉭 ABC @ 䉭 DEF B E E Es suficiente con que dos lados de un triángulo y el ángulo entre ellos sean congruentes con los correspondientes lados y ángulo en otro triángulo para que, automáticamente, el lado y ángulos restantes correspondientes en ambos triángulos también sean congruentes, de todo lo cual se deduce que los triángulos son congruentes (figura 5). R. M. Es suficiente que ambos triángulos tengan un lado congruente y que los ángulos adyacentes también sean congruentes para que ambos triángulos sean congruentes. • Criterio de congruencia ALA: F A C AC @ DF ü BAC @ ü EDF ü ACB @ ü DFE D B F A C PROHIBIDA SU VENTA Figura 6 En este proyecto se intenta que los estudiantes analicen casos particulares para que puedan constatar que algunos otros posibles criterios de congruencia son válidos para triángulos específicos. R. M. El criterio AAA marcaría que ambos triángulos tengan los tres ángulos congruentes pero no garantizaría que los lados sean congruentes. Sólo se podría concluir que son proporcionales. Si se añade que además tengan en lado congruente, entonces sí se podría emplear. No podrían ser tan sencillos, pues habría que añadir criterios para los cuatro lados. 䉭 ABC @ 䉭 DEF B E AB @ DE BC @ EF ü CBA @ ü FED D E Con base en la figura 6 escribe un texto en el que se explique este criterio, haciendo referencia a la manera en que ayuda a simplificar el trabajo de comprobación de la congruencia de dos triángulos. Para curiosos Discute con tus compañeros si hay más posibles criterios de congruencia de triángulos. Por analogía con los tres anteriores, podrían ser AAL, LLA o AAA. ¿Serán válidos para cualquier tipo de triángulos dichos criterios?; ¿algunos serán válidos para algún tipo de triángulos solamente? ¿Pueden establecerse criterios de congruencia para cuadriláteros, análogos a los establecidos para determinar la congruencia de triángulos? ¿Por qué? 46 03 L3-BL1 - Triángulos en cuadriláteros.indd 46 12/12/08 1:02:46 PM 1 2 EL ATEN EO EN LECCIÓN 3 • TRIÁNGULOS EN CUADRILÁTEROS En las siguientes figuras marca los triángulos que son congruentes e identifica sus elementos congruentes; indica los criterios de congruencia que puedes utilizar para identificar dichos triángulos. Traza otra diagonal en las figuras anteriores e identifica triángulos congruente; indica el criterio de congruencia que puedes aplicar en cada caso. R. M. Se pueden emplear los criterios LLL, LAL y ALA para verificar que los lados y los ángulos de ambos triángulos miden lo mismo. En esta actividad se puede comprobar la utilidad de la notación empleada para establecer la congruencia de triángulos, pues no se requerirá recortar las figuras; si los estudiantes desean utilizar transportador o regla para efectuar mediciones puede ser importante que lo hagan, después se darán cuenta que no era necesario. Es valioso que los estudiantes reconozcan el criterio que se utiliza, para ello será importante que identifiquen ángulos que se forman en lados paralelos con alguna transversal que los cruce. C PROHIBIDA SU VENTA Curiosidades sobre triángulos con lados congruentes En matemáticas y en otras ciencias se busca asegurar, por medio del razonamiento, que ciertas propiedades de los objetos de la teoría sean válidas en general, no solamente constatando que sucede lo que se plantea en casos particulares. Por ejemplo, considera la propiedad que afirma que en todo triángulo isósceles los ángulos opuestos a los lados congruentes también son congruentes. Observa la figura 7. Es posible verificar que un triángulo isósceles cumple con esta propiedad, doblando una figura que se puede dibujar en papel. Pero ¿será válida para otros triángulos isósceles?: se tendrían que dibujar muchos de estos triángulos en varias posiciones y de distintos tamaños de los lados y ángulos, doblarlos y corroborar si se cumple o no la propiedad enunciada. ¿Cuándo terminaríamos? Cada vez que se realiza el doblado de un triángulo y se constata la propiedad de los ángulos opuestos a los lados congruentes que se enunció, se tiene más confianza en que se cumple, pero faltarían aún muchos casos por analizar. Por ello se recurre al razonamiento deductivo, en el que iniciamos enunciando dos cosas: de dónde se parte (hipótesis) y a dónde se desea llegar (tesis). Por medio de un proceso secuencial de argumentos, partiendo de la hipótesis se logra establecer que la tesis debe cumplirse. A este proceso se le denomina demostración. A B AC @ BC ü CAB @ ü ABC Figura 7 ü CAB es el ángulo opuesto al C es el ángulo lado BC; ü ABC opuesto al lado A C Es importante que antes que los alumnos realicen una demostración se dé sentido a las implicaciones que tiene este procedimiento, a fin de inferir propiedades de figuras geométricas a partir de otras propiedades que se aceptan como válidas. 47 03 L3-BL1 - Triángulos en cuadriláteros.indd 47 12/12/08 1:02:46 PM BLOQUE 1 Uno de los asuntos más difíciles de tratar en el tercer grado de secundaria es la demostración, lo cual fue un obstáculo que tuvo que remontar la humanidad durante cientos de años. Retomemos la propiedad de triángulos isósceles antes mencionada: “En todo triángulo isósceles, los ángulos opuestos a los lados congruentes también son congruentes”. ¿Cuál es la hipótesis?, ¿de dónde debemos partir?; ¿y cuál la tesis?, ¿a dónde debemos llegar? Seguramente te habrás dado cuenta de que para empezar solamente tenemos un triángulo isósceles, es decir, un triángulo con dos lados congruentes, y debemos concluir que los ángulos opuestos a dichos lados congruentes son también congruentes (figura 8). fi Lados congruentes Figura 8 En la enseñanza media muchas de las proposiciones que se demuestran no se escriben en forma de condicional, sino como afirmación (por ejemplo: los ángulos opuestos a los lados congruentes de un triángulo isósceles son congruentes), lo cual dificulta el trabajo de los estudiantes; por ello, desde el inicio hay que intentar que reconozcan la forma condicional (si un triángulo es isósceles, entonces los ángulos opuestos a los lados congruentes son congruentes). La demostración puede redactarse de la siguiente manera: Figura Hipótesis Tesis C • 䉭 ABC C es isósceles • AC @ BC A • ü CAR @ ü CBR B R Pasos PROHIBIDA SU VENTA Ángulos congruentes Argumentos Para efectuar las demostraciones, se adoptó el formato de dos columnas, en una se escriben simbólicamente los pasos de la demostración y en la otra se explica cada uno de ellos. Se determina R como el punto medio de AB Todo segmento tiene un punto medio Se traza la mediana CR Se une R con C; por definición es la mediana respecto al lado AB Es importante que se centre la atención en los argumentos y no en los pasos establecidos que se requiere realizar siempre en un orden fijo. AC @ BC Por ser los lados congruentes del triángulo isósceles AR @ BR Por ser R el punto medio del segmento AB RC @ RC RC C es un lado común a los dos triángulos que se forman al trazar la mediana 䉭 ARC C y 䉭 BRC 䉭 ARC @ 䉭 BRC C Por el criterio de congruencia de triángulos LLL ü ACR @ ü BCR ü CRA @ ü CRB ü CAR @ ü CBR Los ángulos correspondientes de los triángulos 䉭 ARC C y 䉭 BRC C son también congruentes ü CAR @ ü CBR ¡Que es justamente lo que queríamos obtener! 48 03 L3-BL1 - Triángulos en cuadriláteros.indd 48 12/12/08 1:02:47 PM LECCIÓN 3 • TRIÁNGULOS EN CUADRILÁTEROS En efecto, se ha deducido que los ángulos opuestos a los lados congruentes de un triángulo isósceles también son congruentes: ü CAR @ ü CBR. ¿Es necesario mencionar las otras congruencias de ángulos obtenidas: ü ACR @ ü BCR y ü CRA @ ü CRB?? ¿Afecta en algo el razonamiento si no se mencionan? R. M. No, porque no forman parte de la conclusión: se emplearon durante la demostración. Para curiosos Discute con tus compañeros si las relaciones de congruencia entre ángulos que se obtuvieron adicionalmente: ü ACR @ ü BCR y ü CRA @ ü CRB indican algunas propiedades de bisectrices, alturas, medianas o mediatrices del triángulo isósceles. Siempre que sea posible hay que recordar lo que se ha realizado, pues en las demostraciones se llevan a cabo muchos pasos, se escriben simbólicamente y se argumentan; todo esto hace que algunos estudiantes olviden el propósito. Concluir una demostración es la meta inmediata, pero es importante reflexionar si hay algo más que se puede lograr con el mismo procedimiento o con pequeñas variaciones de él. Es decir, ¿qué se obtiene de la congruencia de los ángulos ü ACR @ ü BCR? Dado que ACR ≅ BCR, la mediana RC es también una bisectriz. Dado que CRA ≅ CRB, la mediana es también una altura y una mediatriz. Concluye la siguiente línea de razonamiento llenando los espacios vacíos: R. M. Figura Hipótesis Tesis C • 䉭 ABC C es isósceles • ü ACR @ ü BCR • AC @ BC A B R PROHIBIDA SU VENTA Pasos Argumentos Se determina R como el punto medio de AB Todo segmento tiene un punto medio. Se traza la mediana CR Se une R con C; por definición es la mediana respecto al lado AB. AC @ BC Por ser los lados congruentes del triángulo isósceles. AR @ BR Por ser R el punto medio de AB. RC @ RC RC es un lado común a los dos triángulos que se forman al trazar la mediana ARC y BRC 䉭 ARC @ 䉭 BRC C Por el criterio de congruencia LLL ü ACR @ ü BCR Por el criterio de congruencia LAL, dado que AC ≅ BC y RC ≅ RC, entonces ACR ≅ BCR, lo que queríamos demostrar. Es importante que todas las conjeturas que se establezcan se procesen por un esquema como el de la demostración, mediante dos columnas, sin importar si la conjetura es falsa, así los estudiantes podrán detectar la importancia de argumentar cada paso. ¿Qué se obtiene de la congruencia de los ángulos ü CRA @ ü CRB? Además de ser una mediana, RC es una altura y una mediatriz. 49 03 L3-BL1 - Triángulos en cuadriláteros.indd 49 12/12/08 1:02:47 PM En las siguientes actividades hay varios aspectos que se integran y que el estudiante debe tener en cuenta, una figura de apoyo, la hipótesis, la tesis y los pasos por realizar hasta lograr el resultado deseado. 1 Trabajando en conjunto con tus compañeros, redacta una demostración de cada una de las siguientes afirmaciones sobre triángulos isósceles. a La mediana del lado desigual (es decir, el lado que no es ninguno de los lados congruentes) y la altura de ese mismo lado coinciden. Figura R. M. PROHIBIDA SU VENTA Hacer una figura que represente lo que se plantea en la proposición por demostrar (se pueden usar colores, uno para distinguir los elementos contenidos en la hipótesis y otro para señalar lo que se debe obtener como conclusión) es importante, pero también lo es resaltar que la argumentación es general y no depende de la figura utilizada. Se continúa redactando los pasos considerados para realizar la demostración (no importa si se deja para después el llenado de la columna argumentos), pues eso permitirá revisar la secuencia de pasos de la demostración. Aunque se concluya una demostración, conviene preguntarse si hay caminos más cortos para efectuarla o simplemente si hay otras formas de hacerla. Hipótesis Tesis C A Hay que identificar siempre de dónde se parte y a dónde se desea llegar. Es decir, tener en cuenta la forma condicional de la proposición por demostrar, reconocer la hipótesis y la tesis (las premisas y la conclusión). EL ATEN EO EN BLOQUE 1 ABC isósceles CR mediana respecto a AB ARC ≅ BRC B R Pasos CR es la altura respecto al lado AB Argumentos ARC ≅ BRC Los ángulos correspondientes de los triángulos ARC y BRC también son congruentes ARC + BRC = 180˚ ARC + BRC son ángulos adyacentes ARC = BRC = 90˚ porque ARC ≅ BRC CR es la altura con respecto a AB CR es perpendicular a AB y pasa por el vértice del ángulo ACB b La mediana y la mediatriz del lado desigual coinciden. Figura R. M. Hipótesis Tesis C A R R es el punto medio de AB ARC = BRC = 90˚ B Pasos CR es la mediatriz del lado AB Argumentos CR pasa por el punto medio de AB R es el punto medio de AB CR es perpendicular a AB ARC = BRC = 90˚ CR es la mediatriz del lado AB CR es la perpendicular a AB que pasa por su punto medio 50 03 L3-BL1 - Triángulos en cuadriláteros.indd 50 12/12/08 1:02:48 PM LECCIÓN 3 • TRIÁNGULOS EN CUADRILÁTEROS c La mediana del lado desigual y la bisectriz del ángulo opuesto a dicho lado coinciden. Figura Hipótesis Tesis Obsérvese que se hacen diversas variaciones sobre una sola figura para aprovechar muchas relaciones sencillas que se pueden demostrar. De igual manera el maestro puede intentar hacer lo mismo con otras proposiciones. R. M. C A R CR es la bisectriz de ACB y también es la mediana ACR = BCR CR es la mediana del lado AB B PROHIBIDA SU VENTA Pasos 2 Argumentos CR es la bisectriz del ángulo ARC Porque sabemos que ACR = BCR CR es a la vez la mediana del lado AB la bisectriz del ángulo ACB l.q.q.d. Si 䉭 ABC C es un triángulo equilátero: AB @ BC @ CA y ü ABC @ ü BCA @ ü CAB. Traza sus medianas, mediatrices y alturas. ¿Cuál es el mínimo número de segmentos que debes trazar? 3 segmentos. C Esta actividad tiene relación con las demostraciones anteriores, pues el triángulo equilátero se puede considerar también un triángulo isósceles, a menos que en la definición de este último se haya establecido que solamente tiene dos lados congruentes. Un elemento importante para reflexionar es verificar si las propiedades de los triángulos isósceles o equiláteros también las tienen otros tipos de triángulos. Esto se aprovecha para resaltar otras propiedades de los triángulos. B A 51 03 L3-BL1 - Triángulos en cuadriláteros.indd 51 12/12/08 1:02:48 PM BLOQUE 1 3 El esquema utilizado de las dos columnas permite reiterar las veces que sea necesario la importancia de la estructura ordenada de la demostración y la necesidad de iniciar con la identificación de la hipótesis y la tesis de la proposición por demostrar. Redacta una demostración de las siguientes afirmaciones sobre triángulos equiláteros. a La altura con respecto a cualquier lado coincide con la mediatriz del mismo lado. Figura R. M. Hipótesis C S T A AB ≅ BC ≅ AC ACB = CBA = BAC B R Pasos Lo primero que se pide es elaborar una figura, una representación, pues ésta puede ayudar a visualizar lo que se quiere obtener y de dónde se tiene que partir. Es decir, es un apoyo para identificar las premisas y la conclusión. A continuación se deben escribir, simbólicamente, los pasos considerados para realizar la demostración. PROHIBIDA SU VENTA Argumentos Todo segmento tiene un punto medio ARC ≅ BRC Por ser R el punto medio ARC ≅ BRC Por criterio de congruencia LLL ARC + BRC = 180˚ Los ángulos correspondientes de los triángulos también son congruentes RC = BRC = 90˚ Son ángulos adyacentes CR es la altura con respecto a AB y también es la mediatriz Porque ARC ≅ BRC Se sigue el razonamiento para los demás lados. CR es perpendicular a AB y pasa por el vértice del ángulo ACB y por el punto medio del segmento AB b La altura con respecto a cualquier lado coincide con la mediana del mismo lado. Figura Hipótesis Tesis C S T A R CR , AS y BT son las alturas correspondientes a cada lado B Pasos CR , AS y BT son alturas y medianas respecto a los lados opuestos a cada vértice Argumentos CR es la mediana respecto a AB Por último, se revisa si se partió de lo que se dijo al inicio y si se llegó a la conclusión deseada. CR , AS y BT son mediatrices y alturas respecto a los lados opuestos a cada vértice R es el punto medio de AB AR ≅ BR R. M. Para concluir y revisar la demostración se escriben los argumentos que respaldan los pasos, aunque esto se puede hacer simultáneamente al escribir cada uno; sin embargo, es mejor dejar esta redacción al último. Tesis Porque une el punto medio de AB y el vértice correspondiente CR es al mismo tiempo, la altura y la mediana respecto a AB Se sigue el mismo razonamiento para los demás lados. 52 03 L3-BL1 - Triángulos en cuadriláteros.indd 52 12/12/08 1:02:48 PM LECCIÓN 3 • TRIÁNGULOS EN CUADRILÁTEROS c La altura con respecto a cualquier lado coincide con la bisectriz del ángulo opuesto a dicho lado. Figura R. M. Hipótesis C S T A R B ACB = CBR = BAC = CR , AS y BT son las alturas correspondientes a cada lado Pasos Tesis CR , AS y BT son alturas y también son bisectrices de los ángulos opuestos a cada lado En resumen, éstos son los procedimientos para realizar la demostración: 1. Elaborar una figura. 2. Detectar la hipótesis y la tesis. 3. Redactar los pasos y los argumentos para realizarlos. 4. Aclarar de dónde se partió y lo que se obtuvo como conclusión. En cada caso conviene analizar si los pasos que se elaboraron corresponden a una secuencia fija o se pueden modificar. Argumentos AR ≅ BR Porque R es el punto medio de AB ARC ≅ BRC Por el criterio de congruencia LLL ACR = BCR Por el criterio de congruencia LAL CR es una bisectriz del ángulo ACR Porque ACR = BCR CR es al mismo tiempo la bisectriz de ACR y la altura respecto a AB l.q.q.d. PROHIBIDA SU VENTA Se sigue el mismo razonamiento para los demás lados. 4 ¿Hay otro tipo de triángulos, que no sean isósceles o equiláteros, en los que coincidan elementos como las medianas con las mediatrices, alturas o bisectrices? R. M. En un triángulo rectángulo, los lados que forman el ángulo recto son también alturas y mediatrices. Propiedades de cuadriláteros Considera un cuadrado cualquiera ABCD en el cual se hubieran trazado las diagonales AC y BD. ¿Se puede afirmar que las diagonales son congruentes? Sí Identifica la hipótesis y la tesis correspondientes; también completa la siguiente demostración. Es importante llevar a cabo este tipo de actividades, pues se adelanta a posibles errores en las argumentaciones de los estudiantes que no tienen la oportunidad de reflexionar sobre lo que se ha realizado. Se inicia el proceso de hacer un poco más complejas las proposiciones por trabajar, ampliando lo que se hizo para los triángulos pero ahora para los cuadriláteros. 53 03 L3-BL1 - Triángulos en cuadriláteros.indd 53 12/12/08 1:02:48 PM BLOQUE 1 Figura El maestro puede aprovechar esta actividad para cambiar las literales empleadas o la posición de las figuras utilizadas. Esto es importante para resaltar algunos aspectos que no son relevantes en la argumentación fundamental. Hipótesis D C R. M. ABCD es un cuadrado AD ≅ DC ≅ CB ≅ AB A En la demostración de la derecha, ¿podrían utilizarse los criterios de congruencia de triángulos ALA y LLL? ¿En qué otros cuadriláteros se cumple que sus diagonales son congruentes? Criterio LAL AD ≅ DC ≅ CB ≅ AB, por tratarse de un cuadrado ADC es isósceles DAC = DCA DAB es isósceles ADB = DBA ADC ≅ BAD por el criterio LAL BD ≅ AC Pasos Argumentos Se trazan las diagonales AC C y BD Un cuadrado tiene dos diagonales AD @ DA AD es un lado común de los triángulos DAB y BAD ü ADC @ ü BAD Porque en un cuadrado sus ángulos internos son iguales AB @ DC Porque en un cuadrado los lados son iguales 䉭 ADC @ 䉭 BAD Por el criterio de congruencia LAL BD @ AC Porque BD y AC son lados de triángulos congruentes l.q.q.d. Ahora considera un paralelogramo cualquiera LMNO. ¿Se puede afirmar que sus lados opuestos son congruentes? Discute con tus compañeros la siguiente demostración. Figura Hipótesis M N L O PROHIBIDA SU VENTA Pasos También el maestro puede solicitar a los estudiantes que planteen otras proposiciones que se desprenden de las figuras y realicen la demostración correspondiente. Es útil aprovechar los pasos de una demostración o las ideas básicas de ésta para demostrar nuevas proposiciones que corresponden a otras figuras geométricas. BD ≅ AC B Para curiosos Discute con tus compañeros lo siguiente. Tesis LMNO es un paralelogramo MN // LO ML // NO Tesis LO ≅ MN y LM ≅ ON Argumentos En el paralelogramo LMNO se traza la diagonal MO Dados dos puntos siempre se puede trazar el segmento de recta que los une. ü MOL @ ü OMN Siendo MN N paralelo a LO los ángulos ü MOL y ü OMN son alternos internos y por lo tanto son congruentes. ü LMO @ ü NOM Siendo LM paralelo a ON N los ángulos ü LMO y ü NOM son alternos internos y por lo tanto son congruentes. MO @ OM Es la diagonal y es un lado común de los triángulos 䉭 LMO y 䉭 NOM. 䉭 LOM @ 䉭 NMO Son congruentes por el criterio de congruencia de triángulos ALA. LO @ MN N y LM @ ON N Son los lados opuestos congruentes, y por tanto se ha demostrado lo que se quería. 54 03 L3-BL1 - Triángulos en cuadriláteros.indd 54 12/12/08 1:02:49 PM LECCIÓN 3 • TRIÁNGULOS EN CUADRILÁTEROS Para curiosos Discute con tus compañeros qué hubiera sucedido si en vez de utilizar la diagonal MO se hubiera trabajado con la diagonal LN. ¿Cómo se tendría que modificar la demostración? R. M. Se hubieran trabajado los ángulos alternos internos MLN y ONL y a partir de ahí se Siempre es importante discutir posibles variantes de lo que se ha realizado, para encontrar los aspectos fundamentales de las argumentaciones. 1 EL ATEN EO EN hacían los ajustes necesarios. Demuestra que las diagonales de un rectángulo son congruentes. Figura Hipótesis M Tesis N R. M. LMNO es un rectángulo MN ≅ LO ML ≅ NO R L LN ≅ MO O Pasos Argumentos Se trazan las diagonales MO y LN Un rectángulo tiene 2 diagonales En un rectángulo, los ángulos internos son congruentes LMN ≅ MLO En un rectángulo, los lados opuestos son iguales LO ≅ MN Por el criterio de congruencia LAL LMN ≅ MLO Porque son lados de triángulos congruentes Es importante continuar con la secuencia: 1. Elaborar una figura, pero analizar si las variaciones de ésta afectarán otros pasos. 2. Detectar la hipótesis y la tesis y establecerlas como punto de inicio y final. 3. Redactar los pasos y los argumentos, primero simbólicamente y después por escrito. 4. Aclarar si se demostró lo que se deseaba, es decir, si de donde se partió se pudo deducir lo que se quería obtener. PROHIBIDA SU VENTA LN ≅ MO 2 ¿Hay cuadriláteros cuyas diagonales no sean congruentes? Si los hay, da tres ejemplos. Trapezoide, romboide, cuadrilátero cóncavo 55 03 L3-BL1 - Triángulos en cuadriláteros.indd 55 12/12/08 1:02:49 PM BLOQUE 1 Es importante ensayar con varias figuras sencillas para establecer proposiciones y demostrarlas, para dejar claro el papel que juega la demostración en la validación matemática. 3 Demuestra que las diagonales de un rombo son perpendiculares. Figura Hipótesis Tesis M L R LMNO es un rombo LM ≅ MN ≅ NO ≅ LO N MO LN O También se pueden utilizar algunas proposiciones en las que se intercambien los papeles de la hipótesis y la tesis, para establecer proposiciones recíprocas y en su caso demostrarlas. Pasos Argumentos R. M. Se trazan las diagonales MO y LN Un rombo tiene dos diagonales LMN es isósceles Los lados son iguales Sea R el punto medio de NL MR es una altura del triángulo LMN En un triángulo isósceles la mediana también es una altura MR LN La altura es perpendicular al lado que le corresponde MO LN Pues M, R y O están alineados l.q.q.d. PROHIBIDA SU VENTA La construcción de contraejemplos es importante para aclarar ideas. 4 ¿Hay cuadriláteros cuyas diagonales no sean perpendiculares? Si los hay, da tres ejemplos. Trapecios, rectángulos, trapezoide 56 03 L3-BL1 - Triángulos en cuadriláteros.indd 56 12/12/08 1:02:50 PM LECCIÓN 3 • TRIÁNGULOS EN CUADRILÁTEROS Demuestro lo que sé y hago 1 Demuestra que si dos segmentos no congruentes se cortan en sus puntos medios y son perpendiculares, el cuadrilátero que se forma uniendo los extremos de los segmentos es un rombo. Figura Hipótesis Tesis R. M. B R A C BD AC R el punto medio de AC y BD BD y AC no son congruentes ABCD es un rombo El maestro puede solicitar que se determinen varias formas de realizar una demostración a fin de concentrarse en los aspectos que son fundamentales. D PROHIBIDA SU VENTA Pasos Argumentos ABCD es un cuadrilátero Se forma una figura de cuatro lados AC y BD son las diagonales de ese cuadrilátero Unen vértices opuestos BRA ≅ CRB BD AR ≅ RC R es el punto medio de AC BR ≅ RB Es un lado común de los triángulos ABR CBR ABR ≅ CBR Por criterio de congruencia LAL AB ≅ BC Son lados de triángulos congruentes BR ≅ RD R es el punto medio de BD BRC ≅ ARD Son ángulos opuestos por el vértice R BRC ≅ DRA Por criterio de congruencia LAL AD ≅ BC Por ser lados de triángulos congruentes AR ≅ RC R es el punto medio de AC ARD ≅ CRD BD ARD ≅ CRD Por criterio de congruencia LAL AD ≅ BC Por ser lados de triángulos congruentes ABCD es un rombo Es un cuadrilátero con 4 lados iguales cuyas diagonales se cortan perpendicularmente en su punto medio. l.q.q.d. AC y se forman ángulos complementarios No importa si los estudiantes se equivocan al establecer los elementos mencionados con anterioridad: 1. Elaborar otra figura. 2. Detectar la hipótesis y la tesis. 3. Redactar los pasos y los argumentos para realizarlos. 4. Aclarar de dónde se partió y lo que se obtuvo como conclusión. Es más importante que los propios estudiantes detecten sus errores. AC 57 03 L3-BL1 - Triángulos en cuadriláteros.indd 57 12/12/08 1:02:50 PM BLOQUE 1 2 Demuestra que si dos segmentos congruentes, sean perpendiculares o no, se cortan en sus puntos medios, el cuadrilátero que se forma uniendo los extremos de los segmentos es un paralelogramo. El maestro puede variar los formatos para redactar las demostraciones, aunque es importante que los estudiantes continúen con el esquema utilizado con anterioridad: 1. Elaborar otra figura. 2. Detectar la hipótesis y la tesis. 3. Redactar los pasos y los argumentos para realizarlos. 4. Aclarar de dónde se partió y lo que se obtuvo como conclusión. Es conveniente que los estudiantes conozcan cómo se pueden hacer pequeñas variaciones en las demostraciones. Figura Hipótesis Tesis R. M. C B BD ≅ AC R es punto medio de BD y de AC R A ABCD es un paralelogramo D Pasos Argumentos ABCD es un cuadrilátero Tiene cuatro lados AC y BD son sus diagonales Unen vértices opuestos AR ≅ RC y BR ≅ RD R es el punto medio de BD y de AC AR ≅ BR y DR ≅ RC Pues BD ≅ AC y R es el punto medio BRA ≅ CRD Son ángulos opuestos por el vértice R BA ≅ CD Por criterio de congruencia LAL BRC ≅ ARD Son ángulos opuestos por el vértice R BC ≅ AD Por criterio de congruencia LAL ABCD es un paralelogramo Sus lados opuestos son congruentes Sus ángulos opuestos son congruentes Sus diagonales son congruentes 3 Demuestra que las diagonales de un cuadrado son perpendiculares. En este tipo de actividades el maestro tiene la oportunidad de solicitar a los alumnos que analicen si la propiedad que se demostró es válida en otras figuras geométricas. Figura B C ABCD es un cuadrado AB ≅ BC ≅ CD ≅ DA BD ≅ AC R BD AC D Pasos Hacer una demostración no es algo sencillo, por lo que los estudiantes deben tomarse su tiempo para comprenderlo. Tesis R. M. A PROHIBIDA SU VENTA Hipótesis Argumentos ABC es un triángulo isoscéles AB ≅ BC BR es una mediana de ABC respecto a AC R es el punto medio pues las diagonales de un cuadrado se cortan en un punto medio BR AC En un triángulo isósceles la mediana también es una altura BD AC Porque A, R y D están alineados l.q.q.d. 58 03 L3-BL1 - Triángulos en cuadriláteros.indd 58 12/12/08 1:02:50 PM LECCIÓN 3 • TRIÁNGULOS EN CUADRILÁTEROS 4 Demuestra que si dos segmentos congruentes se cortan en sus puntos medios y son perpendiculares, el cuadrilátero que se forma uniendo los extremos de los segmentos es un cuadrado. Además del formato: 1. Elaborar otra figura. 2. Detectar la hipótesis y la tesis. 3. Redactar los pasos y los argumentos para realizarlos. 4. Aclarar de dónde se partió y lo que se obtuvo como conclusión. PROHIBIDA SU VENTA Se pueden ensayar otras formas de presentación de demostraciones, para compararlas y emplear la que mejor convenga. Pero será necesario que se haga hincapié en la validez de los pasos realizados en cada versión de las demostraciones. Figura Hipótesis Tesis R. M. B C R A AC ≅ BD BD AC R es el punto medio de AC ≅ BD ABCD es un cuadrado D Pasos Argumentos ABCD es un rombo Se demostró en la actividad 1 ABCD es un cuadrado Un rombo cuyas diagonales son iguales, es un cuadrado l.q.q.d. Conéctate geométricas se recomienda: También será de utilidad consultar partes de los siguientes libros. • http://www.comenius.usach.cl/ • José María Chamoso y William Rawson Contando la geometría Colección Diálogos de matemáticas Nivola, Madrid, 2004. • Ana Millán Gasca Euclides. La fuerza del razonamiento matemático Colección La matemática y sus personajes Hay varios textos en los que se Nivola, Madrid, 2004. • http://www.geometriadinamica.cl/ default.asp?dir=guias&sub= En Internet y otras fuentes documentales, se pueden consultar diversas redacciones de las demostraciones trabajadas y de otras que se pueden considerar en esta parte del curso. 59 03 L3-BL1 - Triángulos en cuadriláteros.indd 59 encontrará apoyo para ampliar los conocimientos de los estudiantes sobre la importancia de la demostración. 12/12/08 1:02:51 PM 4 Entre t e rectas ectas y circunferencias c cu e e c as Mis retos Utilizarás construcciones geométricas para conocer algunas propiedades de la circunferencia. ¿Qué sé? En grados anteriores has estudiado los elementos de una circunferencia, como son cuerda, diámetro y radio. También conoces las relaciones de paralelismo y perpendicularidad entre rectas. Puedes trazar circunferencias conociendo el centro y el radio, o bien conociendo tres puntos por donde pasa. También sabes que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180∞. ¿Qué lograré aprender? PROHIBIDA SU VENTA Analizarás propiedades de rectas relacionadas con una circunferencia. Caracterizarás rectas, como las secantes y las tangentes, que desempeñan un papel importante en el estudio de la circunferencia. 60 04 L4-BL1 - Entre rectas y circunferencias.indd 60 12/12/08 1:05:34 PM ALGO DE LO QUE Q ME ENSEÑARON 1 Encuentra la medida de los ángulos que se indican en las siguientes figuras. (b) (a) La suma de los ángulos interiores de un triángulo es muy importante en el tratamiento de algunas propiedades de la circunferencia o el círculo. ? A ? 8.67 cm B 24.9° 8.67 cm 35.3° C Q R 66.9° m (ü CAB) = 119.8˚ m (ü RPQ) = m (ü PQR) = ? P (c) 66.9˚ ; 46.2˚ A ? 35.1° 132.5° ? C B m (ü ACB) = m (ü CAB) = 47.5˚ ; 97.4˚ 2 Realiza las siguientes construcciones con regla y compás. • Dado un punto fuera de una recta, traza una paralela a dicha recta que pase por el punto dado. • Dada una recta y un punto en ella, traza una perpendicular a la recta que pase por el punto dado. PROHIBIDA SU VENTA • Dada una recta y un punto fuera de ella, traza una perpendicular a la recta que pase por el punto dado. • Dado un segmento de recta, traza una perpendicular a dicho segmento que pase por uno de los extremos del segmento. • Dado un punto como centro y un segmento que mida lo mismo que el diámetro, traza la circunferencia con ese centro y ese diámetro. • Traza una circunferencia que pase por tress puntos dados. • Dado el radio y dos puntos, traza una circunferencia c que pase por los dos puntos. • Traza una circunferencia que ue corresponda n al siguiente gu arco de circunferencia. Hay construcciones que conviene “tener presentes” para abordar ciertas propiedades de la circunferencia o círculo. 61 04 L4-BL1 - Entre rectas y circunferencias.indd 61 12/12/08 1:05:35 PM BLOQUE 1 De secantes a tangentes Es importante dar a conocer la nomenclatura que utilizaremos, la cual tal vez conozcas. Hay una creencia de que todo lo relacionado con matemáticas puede obtenerse de la experiencia o de trabajar con problemas, pero las denominaciones de ciertos objetos matemáticos son simplemente convenciones. Considera dos puntos en una circunferencia; si trazas el segmento de recta que los une obtendrás lo que se denomina cuerda. Figura 1 Si trazas la recta que contiene a una cuerda, tendrás lo que se denomina recta secante. PROHIBIDA SU VENTA A pesar de que regularmente los estudiantes parecen comprenderla y dado que no es una noción sencilla, es conveniente que el maestro revise las ideas que tienen los estudiantes sobre la recta tangente. Algunos de los errores frecuentes en este contexto se presentan al intentar trazar tangentes o establecer que los trazos realizados corresponden realmente a una tangente. Figura 2 Si trazas una recta que toque a la circunferencia en un solo punto, obtendrás lo que se denomina recta tangente, y el punto en el que toca a la circunferencia se llama punto de tangencia. Los estudiantes deben analizar algunas relaciones entre las secantes y las tangentes. Deben reconocer que el diámetro de una circunferencia también es una secante con la propiedad de tener la mayor longitud de todas. Figura 3 Con tus compañeros analiza la siguiente situación. Dada una circunferencia, traza varias cuerdas paralelas, como en la figura 4. 62 04 L4-BL1 - Entre rectas y circunferencias.indd 62 12/12/08 1:05:36 PM LECCIÓN 4 • ENTRE REC TAS Y CIRCUNFERENCIAS Algunas propiedades de la circunferencia pueden resaltarse con las construcciones geométricas o el uso de software, pero un asunto que a veces complica la claridad de las exploraciones es el relacionado con la exactitud de los trazos. Figura 4 Traza la mediatriz de una de las cuerdas; luego traza la mediatriz de otra de las cuerdas. R. M. • ¿Qué observas? Pasan por el centro de la circunferencia. • ¿Qué sucedería si trazaras la mediatriz de todas las cuerdas? Todos coincidirían. • ¿Los puntos medios de todas las cuerdas tienen alguna posición “especial”? ¿Todos pertenecen a una misma línea? ¿Cuál? El diámetro. PROHIBIDA SU VENTA Vamos a aprovechar lo anterior para obtener un resultado importante. Reflexiona sobre la situación que se ilustra en la figura 5. Si se traza un diámetro en una circunferencia y luego se trazan varias cuerdas paralelas a él, indicando en ellas el punto medio, constatarás una vez más que los puntos medios pertenecen a una misma línea recta, que es la mediatriz de cualquiera de las cuerdas paralelas. Mediatriz Es oportuno que se analicen las posibilidades de trazar cuerdas congruentes, rectas paralelas, perpendiculares y que posean características como formar con ellas triángulos y cuadriláteros de distintos tipos. Conviene revisar cómo varía la longitud de la secante a medida que sus extremos se acercan entre sí. Figura 5 R. M. • ¿Las longitudes de cada cuerda son iguales? No. • Si no es así, describe en qué condiciones aumenta o disminuye la longitud de la cuerda. Su longitud aumenta conforme se acercan al centro hasta alcanzar el máximo diámetro. • ¿La longitud de la cuerda puede ser cero? De ser así, ¿en qué caso ocurriría? ¿Los extremos de la cuerda pueden ser puntos diferentes? La longitud de la cuerda es cero cuando sólo pasa por un punto de la circunferencia. Ahora consideremos a las rectas secantes que contienen a cada una de las cuerdas paralelas (observa la figura 6). A medida que las secantes se alejan del diámetro, los puntos de intersección con la circunferencia se van “acercando” entre sí hasta que coinciden. La recta que pasa por este punto es tangente a la circunferencia. 63 04 L4-BL1 - Entre rectas y circunferencias.indd 63 12/12/08 1:05:36 PM BLOQUE 1 La disminución de las longitudes de las secantes a medida que sus extremos se juntan entre sí, permite reconocer a la tangente como la recta que toca a la circunferencia en un solo punto. Si se considera la mediatriz de cualquiera de las secantes, ésta contiene a los puntos medios de las cuerdas paralelas. Figura 6 R. M. Se puede observar que esta mediatriz debe ser perpendicular a la tangente. ¿Por qué? Porque la tangente es paralela a las demás secantes mostradas. ¿Qué posición tendría entonces, respecto a la tangente, el radio que tiene como extremo el punto de tangencia? Sería perpendicular. La demostración de la perpendicularidad del radio y la tangente, en el punto de tangencia, es complicada para los estudiantes de secundaria, quienes están poco relacionados con este tipo de demostraciones; por ello se recurre a construcciones geométricas. Radio Tangente Tangente Mediatriz Figura 7 PROHIBIDA SU VENTA El resultado anterior puede expresarse de la siguiente manera: Este resultado es fundamental en varios temas de geometría, por ello debe dedicársele el tiempo necesario y hacer notar que esto no se cumple necesariamente en secantes, a menos que se considere el punto medio de éstas. Dada una circunferencia y una tangente a ella, el radio que tiene como extremo el punto de tangencia es perpendicular a la tangente. Como la distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento perpendicularr que se traza del punto a la recta, entonces la distancia del centro de una circunferencia al punto de tangencia es igual a la longitud del radio. Con tus compañeros redacta instrucciones para trazar una tangente a una circunferencia que pase por un punto dado de la circunferencia. R. M. Traza el radio; traza una perpendicular al radio en el punto en el que dicho radio corta la circunferencia. 64 04 L4-BL1 - Entre rectas y circunferencias.indd 64 12/12/08 1:05:36 PM LECCIÓN 4 • ENTRE REC TAS Y CIRCUNFERENCIAS Para curiosos Discute con tus compañeros lo siguiente. R. M. Si trazas dos tangentes a una circunferencia por dos puntos dados de la circunferencia, ¿siempre se intersecarán? ¿Por qué? No, si los puntos forman un diámetro, las tangentes serán paralelas. ¿Es posible que en una construcción como la siguiente, donde se trazaron dos rectas tangentes a una circunferencia, el cuadrilátero ABCD sea un rombo? ¿Por qué? Sí En este proyecto se trata de que los estudiantes reflexionen sobre las propiedades de las tangentes y las circunferencias, así como el tipo de figuras que se forman con ciertas tangentes. Tal vez los alumnos tengan que recurrir a la medición de algunas partes de las figuras y a explorar haciendo algunos trazos con regla y compás. A B D C Se dice que dos circunferencias son tangentes si se cortan en un solo punto. R. M. • Traza una recta que sea tangente a las dos circunferencias tangentes que se muestran a continuación. ¿El punto de tangencia está alineado con los centros de las Sí, porque el punto de tangencia de dos circunferencias? ¿Por qué? 1 EL ATEN EO EN circunferencias siempre se encuentra en el segmento que une los centros. Al realizar algunas de estas actividades, los estudiantes podrán tener necesidad de contar con alguna herramienta precisa para poder decidir varias propiedades de la circunferencia, como es el caso del proceso deductivo. Si trazas dos cuerdas paralelas no congruentes, al unir sus extremos como se muestra en la figura se forma un cuadrilátero inscrito. PROHIBIDA SU VENTA Con las siguientes actividades, los estudiantes podrán constatar la utilidad de las circunferencias para analizar propiedades de otras figuras geométricas. • ¿Qué tipo de cuadrilátero es? Es un trapecio. • ¿La figura podría ser un rectángulo, un cuadrado o un rombo? No. • Si no es así, ¿cómo deberían ser las cuerdas para que el cuadrilátero sea un rectángulo, un cuadrado o un rombo? Paralelos y congruentes. Sus medidas definirán el tipo de figura. 2 Dada una circunferencia y un punto exterior a ella, ¿cuántas circunferencias tangentes a la circunferencia dada que pasen por el punto señalado se podrán trazar? Una sola. 65 04 L4-BL1 - Entre rectas y circunferencias.indd 65 12/12/08 1:05:36 PM BLOQUE 1 3 Los estudiantes analizarán con estas actividades algunos casos “atípicos”, de esta manera se intenta prever el desarrollo de una perspectiva geométrica limitada. Dada la recta AB traza dos circunferencias del mismo radio o MN N qu que u sean tangentes a ue la recta en los puntos C y D. R. M. A M Longitud del radio N C D B 4 Dada una circunferencia y una recta ta secante sse a ella, e construye cuatro circunferencias tangentes a la circunferencia dada dee tall modo que los puntos extremos de la cuerda sean los puntos de tangencia. SOLUCIONARIO 5 En cada uno de los siguientes casos explica cómo se trazó la circunferencia marcada en rojo, que es tangente a las otras dos circunferencias. R. M. Encontrar el punto medio entre los puntos de tangencia deseados. Ajustar el compás a la medida de la mitad del segmento formado por esos puntos y trazar la circunferencia con centro en el punto medio. Por la poca precisión en los trazos, las figuras pueden ser engañosas, por ello se puede revisar la tangencia de una recta a una circunferencia por medios analíticos, como se muestra en estas actividades. (a) 6 (b) En las siguientes figuras indica si la recta es tangente a la circunferencia. No, porque el radio no es perpendicular a la recta. Sí, el radio es perpendicular a la recta. 57.7° PROHIBIDA SU VENTA r 26.5° (a) 7 Conviene que los estudiantes analicen situaciones como el uso de la rueda y el empleo de engranes, entre otras aplicaciones, a fin de que reconozcan la utilidad de algunas propiedades de la circunferencia. r 62.4° 27.6° (b) En la siguiente figura se muestra una circunferencia y una recta tangente a ella. Calcula la medida del ángulo ABO. O 73° ? A B AOB 17° 66 04 L4-BL1 - Entre rectas y circunferencias.indd 66 12/12/08 1:05:37 PM LECCIÓN 4 • ENTRE REC TAS Y CIRCUNFERENCIAS Demuestro lo que sé y hago 1 Dada la recta MN N traza circunferencias de radios AB, CD y EF F que sean tangentes a la recta dada en los puntos P, Q y R respectivamente. A B D C E R Q F 4 La recta RSS es tangente a la circunferencia. S N ? O P M 39.6° ? 2 Explica cómo se trazó la circunferencia tangente a las otras dos circunferencias en cada uno de los siEn ambos casos se encontró el punto medio entre los puntos de tangencia. guientes casos. Se ajustó el compás a la medida de la mitad del segmento formado por N (a) M R esos puntos y se trazó la circunferencia con centro en el punto medio. • Calcula la medida de los ángulos MNO y OMN. OMN = 90° MNO = 50.4° O ? 3 ¿Cuánto debe medir el ángulo OQP P para que la recta AB sea tangente a la circunferencia? 28.5° R B ? O C 17.9° Q D 61.5° (b) P S • Calcula la medida de los ángulos COD y OCD. OCD = 90° COD = 72.1° A PROHIBIDA SU VENTA ? Conéctate Se recomienda consultar libros como: ferencias consulta: • José María Chamoso y William Rawson Se recomienda que se consulte Contando la geometría alguna bibliografía en la cual se Colección Diálogos de matemáticas trabajen de manera más detallada Nivola, Madrid, 2004. algunas propiedades interesantes de la circunferencia y el círculo. • Ana Millán Gasca Euclides. La fuerza del razonamiento matemático Colección La matemática y sus personajes Nivola, Madrid, 2004. • Secretaría de Educación Pública “Tangentes”, en Geometría Dinámica (emat) sep, México, 2000, páginas 136 y 137. • http://www.matematicas.net/paraiso/cabri. php?id=tangencia4 En Internet hay diversos sitios en los cuales se tratan temas sobre las propiedades de las secantes y tangentes para hacer diseños o explorar propiedades de las circunferencias o círculos. 67 04 L4-BL1 - Entre rectas y circunferencias.indd 67 12/12/08 1:05:37 PM 5 Dee ángulos á g gu os y circunferencias c cu e e c as Mis retos Establecerás una relación entre las magnitudes de ángulos con vértice en una circunferencia (inscritos) y ángulos con vértice en el centro de una circunferencia (centrales). Conocerás procedimientos para calcular la medida de algunos ángulos relacionados con la circunferencia. ¿Qué sé? Conoces resultados referentes a ángulos, como las relaciones entre los ángulos que se forman al cortarse dos rectas o los correspondientes a dos rectas paralelas cortadas por una transversal. Sabes la relación que existe entre los ángulos interiores de un triángulo y conoces procedimientos para determinar la suma de los ángulos interiores de un polígono. Has estudiado varias propiedades de los triángulos isósceles y las demostraciones de algunas de ellas. PROHIBIDA SU VENTA ¿Qué lograré aprender? Utilizarás las relaciones entre ángulos inscritos y centrales para conocer más acerca de esa fascinante figura geométrica: la circunferencia. Conocerás procedimientos para construir ángulos rectos sin recurrir al trazo de perpendiculares. Conocerás también otros procedimientos para trazar tangentes a una o varias circunferencias, lo cual se utiliza en el diseño de máquinas, el arte y otras actividades. 68 05 (BL1) De ángulos y circunferencias.indd 68 12/12/08 1:06:10 PM ALGO DE LO QUE Q ME ENSEÑARON 1 Sabes que una manera de denotar un ángulo es mediante tres letras • ¿Qué representa la letra que se escribe en medio? El vértice. • Denota de tres formas distintas el ángulo que se muestra a continuación: Hay que insistir en que el ángulo es una figura geométrica y habrá que distinguirlo de su medida. Es un error frecuente considerar que el ángulo y su medida son lo mismo. R. M. PQR AQT A TQP P T R Q 2 ¿Qué se representa mediante la notación m(üAQR )? Medida del ángulo AQR. 3 Has aprendido que en matemáticas suele haber más de una forma de nombrar o denotar a los objetos matemáticos. A veces, en geometría, se hace referencia a un ángulo simplemente con una letra griega, por ejemplo, a (alfa). • En este caso, ¿qué representa a? ¿El ángulo? ¿La medida del ángulo? El ángulo. • ¿Qué ventajas encuentras en esta notación? Es fácil de escribir. • ¿Qué errores puede provocar el mal uso de esta notación? Se pueden confundir los valores. 4 Encuentra la medida de los ángulos que se representan con letras griegas. En cada caso, ¿hay solamente una solución? 161.6° s PROHIBIDA SU VENTA 33.2° γ β 146.8° Una sola solución. p 161.6° β 18.4° Una sola solución. j 33.2° a l b r g e d (a) Si las rectas son paralelas: Una sola solución λ ϕ 32.2° ε δ 146.8° b (b) Si no son paralelos: muchas soluciones λ ϕ 30° ε δ 150° b g a b 12° a 72° (d) ∝ 72° β 36° Una sola solución (c) ∝ 168° Varias soluciones: β 110° r 58° Algunas letras griegas se utilizan frecuentemente para denotar ángulos. Por ejemplo: alfa (), beta (), delta (), ro (), lambda (), gama (), fi (), sigma ( ), etcétera. 69 05 (BL1) De ángulos y circunferencias.indd 69 12/12/08 1:06:11 PM BLOQUE 1 Nuevos nombres Analiza con tus compañeros las siguientes definiciones El ángulo que tiene vértice en el centro de una circunferencia se denomina ángulo central. circunferencia y sus lados son cuerdas se denomina ángulo inscrito. A A C B O O B Figura 1 Es importante que los estudiantes revisen la posición de varios ángulos inscritos que substienden el mismo arco, puesto que deben acostumbrarse a considerar ángulos congruentes en diferentes posiciones. Figura 2 En la circunferencia de la figura 3 identifica los ángulos centrales y los ángulos inscritos. Centrales: Inscritos: AOD, GOA, AHB, AOE, AOC AGB, GOB, A DFE H B C O G D PROHIBIDA SU VENTA Figura 3 Conviene que los estudiantes revisen el trazo de bisectrices para corroborar algunas propiedades entre ángulos centrales e inscritos, puesto que la relación entre dichos ángulos la pueden establecer vía este tipo de construcciones. F E Relación entre ángulos centrales e inscritos en una circunferencia Observa la construcción de la figura 4 en la cual se ha trazado la bisectriz å del ángulo AOB. Describe cada paso de dicha construcción mediante regla y compás. Trazar un arco con centro en O que corte las rectas en A y B. Trazar un arco con centro en A, al interior del ángulo. Trazar un arco con centro en B, al interior del ángulo. Ambos arcos se cortan en dos puntos. A Trazar la bisectriz uniendo el vértice con estos dos puntos. O Figura 4 B 70 05 (BL1) De ángulos y circunferencias.indd 70 12/12/08 1:06:11 PM LECCIÓN 5 • DE ÁNGULOS Y CIRCUNFERENCIAS Utiliza la construcción anterior para realizar la siguiente actividad. En la figura 5 hay tres circunferencias: en cada una de ellas construye la bisectriz del ángulo central üPOQ ; después traza un ángulo inscrito que tenga la misma medida de los que resultaron de bisecar üPOQ. Ubica el vértice del ángulo inscrito en el punto R de la circunferencia y traza los lados de manera que uno pase por Q y el otro quede por encima de la cuerda RQ . ¿Por qué punto de cada circunferencia pasó el otro lado del ángulo? P Antes de intentar demostraciones sobre la relación entre ángulos centrales e inscritos, es necesario trabajar algunos casos con construcciones geométricas, ya sea con regla y compás o con la ayuda de software. Esto permite obtener algunos resultados importantes. P R R O O Q Q Circunferencia 1 RQ pasa por el centro O y coincide con el diámetro Circunferencia 2 RQ queda por debajo del centro O Es importante que los alumnos analicen diferentes ángulos centrales e inscritos que correspondan a la misma cuerda. R P O PROHIBIDA SU VENTA Q Figura 5 Circunferencia 3 RQ queda por encima del centro O Puede usarse un geoplano circular para resaltar la relación entre ángulos centrales e inscritos en distintas circunferencias. Las construcciones anteriores sugieren un resultado importante: En cualquier circunferencia, dada una cuerda, la medida del ángulo central que pasa por los extremos de la cuerda es el doble de la medida del ángulo inscrito que pasa por los extremos de la cuerda. 71 05 (BL1) De ángulos y circunferencias.indd 71 12/12/08 1:06:12 PM BLOQUE 1 Con ayuda del transportador se puede hacer el intento de determinar la relación entre las medidas del ángulo central y del ángulo inscrito. Para comprobar esta afirmación en algunos casos, traza varias circunferencias y mide con un transportador los ángulos centrales e inscritos correspondientes a la misma cuerda, como en los ejemplos de la figura 6. R 24° O P R P 24° 48° 48° O Q Q P P R 24° O 48° O 48° Q Q 24° R Figura 6 Es posible demostrar que esta relación entre la magnitud de un ángulo central y uno inscrito que pasan por los extremos de una misma cuerda siempre se cumple. Dividamos la demostración en tres casos. Complétala escribiendo los argumentos para cada paso. R. M. Primer caso: El centro está en uno de los lados del ángulo Figura Hipótesis • Sea la circunferencia que pasa por los puntos S, T y A. T A P Tesis • üTPS es un ángulo central. S • m (üTPS) = 2 ¥ m (üPAT ) PROHIBIDA SU VENTA • üTAS es un ángulo inscrito. Pasos Como las demostraciones requieren cierta destreza en el manejo de argumentaciones, generalmente se pide a los estudiantes que se convenzan de que el proceso fue correcto; sin embargo, pueden intentar otros caminos y el maestro puede motivarlos para ello. Argumentos TAP es isósceles AP y TP son radios de la circunferencia. m (üTPS ) + m (üTPA) = 180∞ Son ángulos complementarios. m (üPAT ) + m (üATP) + m (üTPA) = 180∞ La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180°. m (üTPS ) = m (üATP ) + m (üPAT ) Sustituyendo. m (üTPS ) = 2 ¥ m (üPAT ) m ( ATP) = m ( PAT) porque son los ángulos de la base de un triángulo isoscéles. l.q.q.d. 72 05 (BL1) De ángulos y circunferencias.indd 72 12/12/08 1:06:13 PM LECCIÓN 5 • DE ÁNGULOS Y CIRCUNFERENCIAS R. M. Segundo caso: El centro está en el interior del ángulo Figura Hipótesis T Z P A S Se traza el diámetro auxiliar AZ Tesis • Sea la circunferencia que pasa por los puntos S, T y A. • üTPS es un ángulo central. • m (üTPS) = 2 ¥ m (üTAS) Los estudiantes pueden reescribir a su modo, con sus propios recursos, las demostraciones y es necesario que lo intenten, pues de esa manera, poco a poco, incrementarán su formación para hacer demostraciones. • üTAS es un ángulo inscrito. Pasos Argumentos m (üTPZ ) = 2 ¥ m (üTAZ ) Fue una condición para construcción. m (üZPS) = 2 ¥ m (üZAS ) Fue una condición para construcción. m (üTPS) = m (üTPZ ) + m (üZPS) AZ es una bisectriz de TPS. m (üTAS) = m (üTAZ ) + m (üZAS) AZ es una bisectriz de TAS. m (üTPS) = 2 ¥ m (üTAS) Sustituyendo. l.q.q.d Los maestros pueden presentar otras demostraciones y es importante que los estudiantes las conozcan, pues eso les mostrará que no es necesario aprendérselas de memoria y que pueden hacerlas a partir de diversas ideas. R. M. Tercer caso: El centro es exterior al ángulo Figura Hipótesis A T Tesis • Sea la circunferencia que pasa por los puntos S, T y A. P S • üTPS es un ángulo central. • m (üTPS) = 2 ¥ m (üTAS) Z PROHIBIDA SU VENTA • üTAS es un ángulo inscrito. Se traza el diámetro auxiliar AZ Pasos Argumentos m (üTPZ ) = 2 ¥ m (üTAP) Fue una condición para la construcción. m (üZPS ) = 2 ¥ m (üZAS) Fue una condición para la construcción. m (üTPS ) = m (üTPZ ) - m (üZPS ) El ángulo TPZ está formado por TPS y ZPS. m (üTAS) = m (üTAZ ) - m (üZAS) El ángulo TAZ está formado por TAS y ZAS. m (üTPS) = 2 ¥ m (üTAS) Sustituyendo. l.q.q.d 73 05 (BL1) De ángulos y circunferencias.indd 73 12/12/08 1:06:13 PM BLOQUE 1 Para curiosos Discute con tus compañeros la demostración anterior y redacta otra demostración de cada uno de los tres casos anteriores utilizando letras griegas para denotar los ángulos. SOLUCIONARIO • ¿Será necesario nombrar algunos puntos a pesar de usar solamente una letra para identificar a los ángulos? Sí, para definir la circunferencia. • ¿Las demostraciones se pueden escribir en distinto orden o de distinta manera? Los pasos previos a la sustitución pueden utilizarse en otro orden. • ¿Es necesario seguir los mismos pasos siempre? Se requieren todos los pasos. En la siguiente circunferencia el ángulo central obviamente no mide el doble del ángulo inscrito, ¿por qué? Porque el ángulo inscrito no abarca el mismo arco que el ángulo central. A B O C Triángulo inscritos De la relación entre el ángulo central y el inscrito en una circunferencia se deduce un resultado importante. Considera la circunferencia de la figura 7. PROHIBIDA SU VENTA C A Es importante que los alumnos realicen varias construcciones y analicen diferentes casos para constatar esta importante propiedad. O B Figura 7 El maestro puede incrementar las actividades trabajando construcciones de perpendiculares a partir de la circunferencia y las relaciones entre ángulos centrales e inscritos. Discute con tus compañeros: ¿cuánto miden el ángulo central AOB y el ángulo inscrito ACB ? 180° ¿De qué tipo es el triángulo ACB que se forma en la circunferencia de la figura 7? Rectángulo. En las circunferencias de la figura 8, ¿la medida de los ángulos inscritos üBCA, üPQR y üXYZ Z es diferente? No, es la misma: 90°. 74 05 (BL1) De ángulos y circunferencias.indd 74 12/12/08 1:06:14 PM LECCIÓN 5 • DE ÁNGULOS Y CIRCUNFERENCIAS Q Y C A R O B Z O P O X ¿De que tipo son los triángulos inscritos BCA, PQR y XYZ Z en la figura 8? Vamos a expresar lo que hemos venido observando en las figuras anteriores de la siguiente manera: Triángulos rectángulos. Figura 8 En estas situaciones el uso de software de geometría es muy importante para generar ideas en los estudiantes. En caso de contar con esa posibilidad se pueden dedicar espacios en clase o como tarea para hacer las construcciones necesarias. Todo triángulo inscrito en una semicircunferencia es un triángulo rectángulo. Podemos usar este resultado para trazar una tangente a una circunferencia que pase por un punto fuera de ella. Analiza con tus compañeros la construcción de la figura 9 y explica cómo se usó el resultado anterior. El triángulo Δ OBA, está inscrito en la circunferencia cuyo centro es el punto medio de OA, por lo que es un triángulo rectángulo. Por lo tanto AB es una tangente a la circunferencia dada, en B. B Tangente r A O Punto fuera de la circunferencia dada Figura 9 EN 1 En Internet hay software gratuito como “Geogebra” que pueden utilizar los estudiantes en la escuela o en su casa para explorar propiedades de figuras geométricas. EL ATEN EO PROHIBIDA SU VENTA Circunferencia dada ¿Cuánto miden los siguientes ángulos que se piden en los triángulos inscritos? C 67.65° ? C C O 54.8° O 65.8° 93.1° 44.9° 52.6° 22.45° ? 26.3° ? ? A 67.55° ? B 90° A ? B A ? O 135.3° 46.55° ? B 98.9° 05 (BL1) De ángulos y circunferencias.indd 75 12/12/08 1:06:14 PM Con la relación entre el ángulo central y el inscrito se pueden explorar varias características de los polígonos regulares. Se pueden analizar algunas propiedades de ángulos centrales e inscritos para revisar la forma de funcionamiento de algunas máquinas. BLOQUE 1 A 30 2 Plantea varios casos en los cuales, con dos datos, se pueda calcular la medida de un ángulo interno faltante de un triángulo inscrito en una circunferencia. Uno de los datos sería la medida de un ángulo central y el otro podría ser la medida de un ángulo central o inscrito. ∝ 2 30 60° O β 3 1 90 2 45° Traza varios polígonos regulares y encuentra las medidas de sus ángulos centrales y las de los ángulos inscritos que se forman al trazar todas sus diagonales. 90 O 51.4 102.9 B 216 72 O O 36 O 144 77.2 72 25.7 108 154.3 O B A 51.4 4 Traza una perpendicular al extremo de un segmento utilizando el hecho de que el ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto Δ AOB es rectángulo, OB OA 5 En un hexágono regular traza un triángulo rectángulo inscrito y un triángulo equilátero inscrito. Δ LMN es un triángulo rectángulo 6 Δ COD es un triángulo equilátero Con tus compañeros indaga sobre la construcción de algunos motores y máquinas con poleas y engranes. Haz una lista de las situaciones en las cuales hay que trabajar con secantes y tangentes de circunferencias. M L D C O PROHIBIDA SU VENTA Demuestro lo que sé y hago N 1 Calcula la medida de los siguientes ángulos. ? ? ? 30.8° 30° 30° 76.3° 60° 61.5° ? ? ? 152.6° 120° 76 05 (BL1) De ángulos y circunferencias.indd 76 12/12/08 1:06:15 PM LECCIÓN 5 • DE ÁNGULOS Y CIRCUNFERENCIAS 2 Traza un rectángulo y un cuadrado inscritos en la siguiente semicircunferencia R. M. M N B En estas actividades se intenta que los estudiantes utilicen sus conocimientos de geometría para resolver problemás más generales que en otros cursos trabajarán. A C L O ABCD es un cuadrado. LMNO es un rectángulo. D 3 De cada centro de las circunferencias traza una tangente a la otra circunferencia. PROHIBIDA SU VENTA • ¿Cuántas tangentes a cada circunferencia puedes trazar desde el centro de la otra? 2 Conéctate Para investigar más sobre las relaciones entre ángulo central e inscrito puedes visitar el siguiente sitio: Algunos libros que pueden ser útiles para complementar la información son: • http://html.rincondelvago.com/geometria_7.html • Claudi Alsina, Carme Burgués, y Josep María Fortuny Materiales para construir la geometría Síntesis, Madrid, 1988. • Claudi Alsina, Carme Burgués, y Josep María Fortuny Invitación a la didáctica de la geometría Síntesis, Madrid, 1988. También puedes consultar con tus compañeros: • “Ángulos inscritos en una circunferencia”, en Geometría dinámica (emat) sep, México, 2000, páginas 138 y 139. En Internet hay diversos sitios en los cuales se pueden consultar casos interesantes sobre la relación entre el ángulo inscrito y el central. 77 05 (BL1) De ángulos y circunferencias.indd 77 12/12/08 1:06:16 PM 6 Arcos y coronas, p o… noo para pe pero… p a una pa u a reina e a Mis retos Ahora abordaremos el problema de medir partes de una circunferencia o de un círculo. Utilizarás los conocimientos adquiridos hasta ahora para calcular áreas o perímetros de figuras cuyos bordes no son todos segmentos rectilíneos. ¿Qué sé? Ya conoces la relación entre ángulos inscritos y centrales en una circunferencia. Sabes calcular áreas de círculos y perímetros de circunferencias. ¿Qué lograré aprender? PROHIBIDA SU VENTA En disciplinas como el diseño gráfico o la arquitectura se presenta la necesidad de calcular longitudes de arcos o de áreas parciales de círculos. En la antigüedad, los ciclos de las estrellas se determinaron usando, entre otros métodos, aproximaciones obtenidas con arcos de circunferencias o con sectores circulares. Los temas que abordarás en esta lección te permitirán conocer algunos de estos importantes métodos. 78 06 L6-BL1 - Arcos y coronas.indd 78 12/12/08 1:06:44 PM ALGO DE LO QUE Q ME ENSEÑARON 1 Calcula el área y el perímetro de las siguientes figuras. 12.20 cm cm 4.16 A 116.90 cm2 P 38.33 cm A 54.37 cm2 P 26.14 cm 2 Calcula las medidas de los ángulos marcados con un signo de interrogación en las figuras. (Recuerda cuál es la suma de los ángulos internos de un triángulo.) (a) (c) (b) ? ? ? 16.3° ? ? O2 ? O1 Como los sectores de círculo tienen relación con ángulos centrales, áreas y perímetros, conviene revisar lo que deben tener presente los estudiantes (no importa que dichos temas se hayan tratado en la lección anterior). 21.8° ? ? ? ? PROHIBIDA SU VENTA 3 Se elaboran discos de plástico de 17 cm de radio. • ¿Cuál es el área de esos discos? A 907.92 cm2 • Si se desea elaborar discos del doble de radio, ¿tendrán el doble de área? No. • ¿Qué radio deben tener los discos para que su área sea el triple del área de los discos de 17 cm de radio? R 29.44 cm Conviene revisar algunas situaciones que involucren las áreas de diversos círculos, pues en esta sección se trabajarán áreas de sectores. 4 Si en un pastel circular se cortan rebanadas, tratando de que cada una forme un ángulo central de 60∞, ¿cuántas rebanadas se obtendrán? Si en otro pastel 6 rebanadas. más grande también se cortan rebanadas que formen el mismo ángulo, ¿cuántas rebanadas se obtendrán? 6 rebanadas. • Si se necesitaran 12 rebanadas de ambos pasteles, ¿cuánto debería medir el ángulo central? 30° • ¿Cuánto debe medir el ángulo central si se requieren 10 rebanadas del mismo tamaño? 36° 79 06 L6-BL1 - Arcos y coronas.indd 79 12/12/08 1:06:45 PM BLOQUE 1 Coronas, sectores y segmentos circulares R. M. Es interesante que en varios tipos de artesanía o de arreglos relacionados con las tradiciones, se utilicen sectores circulares que no son de fácil trazo; el maestro encontrará muchos ejemplos de diseños interesantes que puede compartir con los alumnos en clase. Imagina que tú o alguno de tus compañeros va a participar en un bailable con un penacho como el que usan los voladores de Papantla y se te asigna a ti la tarea de confeccionarlo con las características y dimensiones que se muestran en la figura 1. Área de bordado Tira de tela Figura 1 Desarrollar un modelo para armar el penacho a partir de una figura plana requiere de muchas destrezas en construcciones geométricas, pero en particular se requiere el manejo de cálculos adecuados para encontrar las medidas pertinentes para el diseño del penacho. Para preparar un presupuesto de materiales se requiere hacer varios cálculos, entre ellos, el del área que debe cubrir el bordado de la parte frontal de la figura y la longitud de la tira de color blanco que se coserá en el borde exterior. Comencemos por trazar un diagrama del penacho y asignar medidas (figura 2). Figura 2 PROHIBIDA SU VENTA Área por medir Es importante iniciar con un caso sencillo en el cual se ven involucradas dos circunferencias concéntricas. 5 cm Longitud por medir 25 cm 60° R= 1.8 cm R. M. r = 1 cm Figura 3 En principio parece que debe calcularse un área entre dos círculos con el mismo centro (concéntricos) y diferentes radios. ¿Cómo la calcularías? Calculo el área de ambos círculos y las resto. Considera un caso similar, pero más sencillo: ¿cómo calculas el área entre los dos círculos concéntricos de la figura 3? R2 r2 (R2 r2) 7.04 cm2 Dicha figura se denomina corona circular, y se la define como la porción del plano comprendida entre dos círculos concéntricos. 80 06 L6-BL1 - Arcos y coronas.indd 80 12/12/08 1:06:45 PM LECCIÓN 6 • ARCOS Y CORONAS Denotemos con C el área de la corona circular, con K el área del círculo con mayor radio y con Q el área del círculo con radio menor. Escribe una fórmula para calcular C: C= KQ . Para curiosos Discute con tus compañeros lo siguiente: Algunos cálculos se reducen a aplicar ciertas fórmulas y hacer operaciones sencillas como una resta; sin embargo, la discusión sobre igualdad de áreas entre figuras puede ser un tema interesante en la clase. El área de la corona circular es diferente del área comprendida entre dos círculos que, aunque tengan los mismos radios que los de la corona circular, no son concéntricos, o cuando uno de los círculos, el de menor radio, es tangente al otro círculo, el de mayor radio. Traten de verificarlo. 1.8 cm Cuando se trabaja el área de sectores se hace con elementos de proporcionalidad y puede ser necesario vincular los dos temas planteando gráficas y tablas con los valores de ángulos y áreas de los sectores correspondientes. 1.8 cm 1 cm 1 cm ¿Cuál es el perímetro de la corona circular de la figura 3? 11.31 cm Si una corona circular tiene un área de 90 cm2, ¿cuánto medirá el radio de los círculos R. M. que la componen? ¿Es única la solución? ¿Cuántas soluciones hay? No, son soluciones todos los radios que cumplan 90 R mayor2 R menor2 28.65 Por ejemplo, 8 cm y 5.95 cm. Ahora analiza con tus compañeros cómo obtener el área de una parte del círculo. Responde lo que se pide para cada una de las siguientes figuras. PROHIBIDA SU VENTA r = 6.6 cm r= 120° 4.5 3c 180° m Figura 4 Figura 5 • Área del círculo = 136.85 cm2 • Fracción del área del círculo que es la sección 1/2 sombreada = 68.42 cm2 • Cálculo del área sombreada = • Longitud de la porción de circunferencia 20.73 cm considerada = 64.47 cm2 • Área del círculo = • Fracción del área del círculo que es la sección 1/3 sombreada = 21.49 cm2 • Cálculo del área sombreada = • Longitud de la porción de circunferencia 9.49 cm considerada = Conviene ampliar ejemplos de diseños en artesanía donde se aplican las áreas de sectores. 81 06 L6-BL1 - Arcos y coronas.indd 81 12/12/08 1:06:46 PM Aquí se tienen otros casos en los cuales se pueden reforzar algunas ideas sobre proporcionalidad. ¿Qué parte de una vuelta completa o de media vuelta es cierto ángulo? ¿Qué parte del área le corresponde? Dos sectores definidos por el mismo ángulo central pero en círculos con diferentes radios, ¿corresponderán a BLOQUE 1 diferentes partes (fracción) del área en cada uno de los círculos correspondientes? r= 4.8 90° 7c r = 6.32 cm m 60° Figura 6 Figura 7 74.50 cm2 • Área del círculo = • Fracción del área del círculo que es la sección 1/4 sombreada = 18.63 cm2 • Cálculo del área sombreada = • Longitud de la porción de circunferencia 7.65 cm considerada = • Área del círculo = 125.48 cm2 • Fracción del área del círculo que es la sección 1/6 sombreada = 20.91 cm2 • Cálculo del área sombreada = • Longitud de la porción de circunferencia 6.62 cm considerada = 30° 45° r = 4.6 cm r = 4.55 cm Figura 8 Figura 9 65.04 cm2 • Área del círculo = • Fracción del área del círculo que es la sección sombreada = 1/8 8.13 cm2 • Cálculo del área sombreada = • Longitud de la porción de circunferencia 3.57 cm considerada = 66.48 cm2 • Área del círculo = • Fracción del área del círculo que es la sección sombreada = 1/12 5.54 cm2 • Cálculo del área sombreada = • Longitud de la porción de circunferencia 2.41 cm considerada = 20° PROHIBIDA SU VENTA El cálculo de este tipo de áreas es un tema difícil para los estudiantes, por ello hay que dedicar el tiempo necesario para que comprendan las relaciones implicadas en los cálculos. 10° r = 5.76 cm r = 5 cm Figura 10 Figura 11 • Área del círculo = 104.23 cm2 • Fracción del área del círculo que es la sección 1/18 sombreada = 5.79 cm2 • Cálculo del área sombreada = • Longitud de la porción de circunferencia 2.01 cm considerada = 78.54 cm2 • Área del círculo = • Fraccións del área del círculo que es la sec1/36 ción sombreada = 2.18 cm2 • Cálculo del área sombreada = • Longitud de la porción de circunferencia 0.87 cm considerada = Se pueden considerar distintos ángulos y radios de circunferencias para determinar la relación entre las áreas variando estos dos elementos. 06 L6-BL1 - Arcos y coronas.indd 82 82 12/12/08 1:06:47 PM LECCIÓN 6 • ARCOS Y CORONAS Conozcamos las denominaciones de las partes de la circunferencia y del círculo que hemos estudiado (figura 12). La porción continua de circunferencia que abarca los extremos de los radios considerados se denomina arco de circunferencia. La parte del círculo comprendida entre dos radios y un arco se llama sector circular. Existen fórmulas para calcular las áreas que hemos venido analizando. Completa la siguiente tabla. Discute con tus compañeros lo que representa cada una de las literales y a qué tipo de área corresponde cada fórmula. Arc o Secto rc ular irc Círculo Fórmula A = pR 2 - pr 2 A = pr 2 A = p(R2 - r 2 ) A = a pr 2 360 Interpretación de las literales A: Área comprendida entre dos círculos p: Pi R: Radio del círculo mayor r: Radio del círculo menor A: Área de un círculo p: Pi r: Radio A: Área de la corona circular p: Pi R: Radio del círculo mayor r: Radio del círculo menor A: Área del sector circular de ángulo μ p: Pi r: Radio del círculo a: Ángulo central PROHIBIDA SU VENTA 360 se incluye porque Tipo de área Figura 12 Área de una corona Es más importante hacer los cálculos de sectores sin seguir fórmulas, pues éstas se olvidan con el tiempo. Área de un círculo Área de una corona Área de un sector circular se necesita para calcular qué parte del círculo representa el sector en cuestión Se puede ensayar con diversas composiciones geométricas ornamentales para aplicar en otros contextos el cálculo de áreas de sectores. En realidad, si comprendes lo que sucede, no requieres memorizar las fórmulas, ya que podrías deducirlas. Incluso puedes construir algunas propias. Discute con tus compañeros sobre los elementos que deben aparecer en una fórmula para calcular la longitud del arco que corresponde a un sector circular dado: escríbela en tu cuaderno y compárala con la de tus compañeros. También realiza cálculos de longitudes de algunos arcos con tu fórmula, a fin de ver si funciona. Para curiosos Discute con tus compañeros sobre la forma de calcular el área sombreada en los círculos. En este proyecto los estudiantes tienen la oportunidad de discutir y reconocer que es más importante saber cómo realizar un cálculo que contar con un formulario. 83 06 L6-BL1 - Arcos y coronas.indd 83 12/12/08 1:06:48 PM BLOQUE 1 Con la información hasta ahora obtenida podemos resolver nuestro problema inicial sobre la confección del penacho. Las actividades planteadas 1 Encuentra las áreas de los sectores circulares sombreados y las longitudes de los arcos correspondientes. (a) (b) r = 12.7 cm A 94.02 cm2 L 7.4 cm PROHIBIDA SU VENTA (d) 155.5° 309.8° r = 22 cm r = 32.5 cm A 1 117.16 cm2 L 68.75 cm A 656.79 cm2 L 59.77 cm r = 15 cm A 608.30 cm2 L 81.10 cm Calcula el área sombreada en las siguientes figuras. Hay muchos diseños que se pueden modelar con sectores circulares, algunos de ellos aparecen en juguetes o en vestimenta. Los estudiantes pueden realizar los suyos y calcular lo que se aprovecha de un material y lo que se pierde al realizar el modelo. 3 (c) 121.2° 66.8° 2 EL ATEN EO EN • ¿Cuál es el área que debe cubrirse con el bordado? • ¿Qué longitud tiene la tira que se coserá al borde exterior? hasta el momento permiten realizar los cálculos necesarios para resolver el problema inicial (el del diseño del penacho). 240˚ 4.1 6 180˚ cm 6.1 2c m Un perro está atado con una cuerda de 2 metros de longitud a un poste en una de las esquinas exteriores del jardín de una casa, el cual tiene forma cuadrada y mide 4 metros de lado. 4m 2m 2m 4m 84 06 L6-BL1 - Arcos y coronas.indd 84 12/12/08 1:06:48 PM Cambiar los datos o contextos originales para aumentar el nivel de dificultad, permite valorar la importancia de la herramienta que se está trabajando y produce mejores resultados que hacer varios ejercicios del mismo tipo. LECCIÓN 6 • ARCOS Y CORONAS R. M. • ¿Qué parte del jardín puede maltratar el perro? • Si la cuerda tuviera 3 m de largo, ¿cuál sería la parte de jardín que se maltrataría? • ¿Qué longitud debería tener la cuerda para que el perro solamente maltrate la cuarta parte del jardín? • Si el jardín tuviera la forma de un cuarto de circunferencia de 4 m de radio, ¿qué parte del jardín maltrataría el perro con una cuerda de 2 m? Un cuarto de círculo de 2 m de radio y centro en la esquina (3.14 m2, un quinto del área del jardín). Un cuarto de círculo de 3 m de radio y centro en la esquina (7.07 m2, poco menos de la mitad). 4m 2m La cuarta parte del área del jardín es 4 m2, para formar un cuarto de círculo con esa área, el radio (es decir, la cuerda) debe ser de 1.13 m. Seguiría maltratando un cuarto de círculo de 2 m de radio con centro en la esquina (3.14 m2) que representaría una cuarta parte del jardín. Calcula el área de las partes sombreadas en cada círculo. Si necesitas un dato adicional realiza las mediciones correspondientes. (a) (b) 72° 160 160° 4.57 cm r == 4 6.6 m cm 3.74 cm r = 4.07 cm PROHIBIDA SU VENTA Los estudiantes pueden practicar el cálculo de áreas de sectores con varios polígonos regulares e irregulares. 9.13 cm 4 10.38 cm 98.24 cm2 10.41 cm2 (c) (d) Si el maestro lo considera pertinente, se puede analizar cómo se cubre el área de un círculo a partir de polígonos y en su caso aproximar el área correspondiente. r 16 cm a l2 2 cm 320.25 cm2 l=8 = 14 rr = = 15 15 cm cm cm 34.86 cm2 85 06 L6-BL1 - Arcos y coronas.indd 85 12/12/08 1:06:50 PM BLOQUE 1 5 En una discusión sobre futbol, una persona afirmaba que el ángulo de tiro era siempre mayor cuanto más cerca se encontrara el jugador de la portería. Otra persona sostenía que era imprecisa la afirmación y dibujó el diagrama que se muestra en la figura. ¿Se puede usar este diagrama para refutar la afirmación inicial? R. M. Estas situaciones permiten conocer cómo las matemáticas ayudan a entender algunas estrategias en los deportes y reconocer distintos grados de dificultad; por ejemplo: ¿En el futbol, es mejor estar más cerca de la portería o lejos de ella, si nos referimos al ángulo de tiro y la posibilidad de contar con cierto espacio para anotar un gol, sin preocuparnos por el portero y otros jugadores? Sí, porque todos los ángulos inscritos que aparecen en él son iguales, dado que abarcan el mismo ancho. Demuestro lo que sé y hago 6c m 1 Calcula el área de los sectores circulares que aparecen sombreados en los círculos; además, calcula la longitud de los arcos correspondientes a dichos sectores. 2.6 78.1° 5.80 cm m 4.41 c A 92.66 cm2 L 23.75 cm A 13.25 cm2 L 6.01 cm A 63.66 cm2 L 17.66 cm 125.4° 125.4° 4.85 cm 31.35 5 cm PROHIBIDA SU VENTA 125.4° m 5.62 c 3.12 cm 72.1° m 3c 5. A 11.29 cm2 L 12.77 cm A 33.36 cm2 L 13.75 cm También se pueden plantear áreas que combinen polígonos regulares o irregulares y sectores circulares, a fin de prestar mayor atención a la forma de calcular que a las fórmulas. 86 06 L6-BL1 - Arcos y coronas.indd 86 12/12/08 1:06:52 PM LECCIÓN 6 • ARCOS Y CORONAS Es importante insistir en trabajar la misma situación cambiando las condiciones originales a fin de aumentar el nivel de dificultad. • ¿En qué área podrá alimentarse la cabra si el corral tiene la forma de un hexágono regular con las dimensiones que se muestran en la figura? 2 En una de las esquinas de un corral en forma de paralelogramo, cuyas dimensiones se muestran en la figura, se ató una cabra con una cuerda de 2.58 m. Si se distribuye uniformemente pastura en el corral, ¿qué área tendrá la cabra para comer la pastura? (Si es necesario que hagas mediciones adicionales para tus cálculos, usa las figuras y convierte la escala ) escala.) 55 A 6.97 m2 3.11 m 2.55 m A 3.19 m2 2.58 m 4.19 m 3 Para trazar un diseño en un muro se comenzó por dibujar una circunferencia y se trazó un arco de un punto P dado a otro punto Q de la circunferencia de tal modo que el ángulo central fuera de 100∞, pero se olvidó marcar el centro y no se sabe cómo localizar el punto Q sin el centro de la circunferencia.1)¿Cómo en2) contrarías el punto Q localizando el centro? ¿Cómo encontrarías el punto Q sin localizar el centro? • Si el corral tuviera forma rectangular, ¿en qué área podrá comer pastura la cabra? A 5.23 m2 2.58 m • Si la circunferencia tiene un radio de 1.25 m y se quieren trazar dos sectores circulares con ángulos centrales de 20∞,3)¿cómo trazarías los arcos usando P y Q con el centro de la circunferencia localiza4) do? ¿Cómo trazarías los arcos usando P y Q, sin localizar el centro de la circunferencia? 4.19 m PROHIBIDA SU VENTA SOLUCIONARIO Conéctate En las páginas de Internet siguientes encontrarás ideas adicionales sobre arcos de circunferencia y sectores circulares. También puedes consultar las siguientes obras: • R. Torija Herrera Arquímedes: Alrededor del círculo Colección La Matemática en sus Personajes Nivola, Madrid, 2003. • Carlos Dorce Ptolomeo: El astrónomo de los círculos Colección La Matemática en sus Personajes Nivola, Madrid, 2006. Hay muchos aspectos relacionados con • http://w3.cnice.mec.es/recursos/secundaria/ matematicas/secmat.htm • http://www.vitutor.com/geo/eso/ac_1.html • http://www.vitutor.com/geo/eso/ac_2.html El maestro y los estudiantes pueden consultar en varios sitios de Internet interesantes situaciones de diseño, en las cuales sea necesario el cálculo de sectores circulares o de secciones de perímetro de una circunferencia. 87 06 L6-BL1 - Arcos y coronas.indd 87 el área de sectores circulares que han sido importantes en la historia y que se pueden encontrar en algunos libros relacionados con el tema. 12/12/08 1:06:52 PM 7 Las as razones a o es del de cambio ca b o Mis retos Aprenderás a utilizar la noción de razón para abordar problemas relacionados con fenómenos de cambio. Conocerás la utilidad de la pendiente de una recta al estudiar la razón de cambio de un proceso o al analizar un modelo que utiliza una función lineal. ¿Qué sé? Sabes que al graficar una expresión algebraica de la forma y = mx + b se obtiene una recta. Conoces la interpretación del coeficiente m como un cuantificador de la inclinación de la recta respecto al eje X. También sabes que la constante b representa el número donde la recta corta al eje Y. Pudiste asociar varios fenómenos vinculados a proporcionalidad directa con expresiones del tipo y = mx, las cuales se representan gráficamente por rectas que pasan por el origen de coordenadas. ¿Qué lograré aprender? PROHIBIDA SU VENTA En este grado se avanzará en el estudio de las funciones lineales relacionándolas con la noción de razón de cambio. El concepto de razón de cambio es utilizado para modelar fenómenos en campos como la economía, la física y la biología, entre otros. 88 07 BL1-L7 - Las razones del cambio.indd 88 12/12/08 1:07:19 PM ALGO DE LO QUE Q ME ENSEÑARON Considerando y mx K Entre 0˚ y 45˚ 0m1 d Entre 46˚ y 90˚ m>1 a, b, g, h Entre 91˚ y 180˚ m>0 c, e, f 1 Dadas las siguientes ecuaciones de rectas determina, sin graficar, si su inclinación respecto al eje X (eje de las abscisas) corresponde a un ángulo entre 0∞ y 45∞, 45∞ y 90∞, o 90∞ y 180∞. Explica tu respuesta. 2 5 a • y = 5x - 3 b • y = 2.3x + 8 c • y = -5.34x + 8 d • y = x + 9 4 5 e • y = -7x + 3 f • y = -2x - 9 g• y= x-4 h • y = 4x - 4.7 3 2 Escribe el valor del término faltante para que la recta tenga la propiedad que se indica. • La recta y = 4.7x - pasa por el punto (0, -3) 2 • La recta y = 2/3 x - 7 es paralela a y = x + 1 y pasa por el punto (0, -7) 3 12 13 • La recta y = 12/37x - 13/23 es simétrica de la recta y = xcon 37 23 respecto al eje Y. Y 3 El trabajo con la ecuación de la recta debe ser considerado con el uso de números diversos dado que en muchas situaciones los números utilizados no son enteros. 3 Encuentra la ecuación de las rectas que corresponden a las siguientes gráficas. (a) y 3x 2 (b) Y y 1 x3 2 5 4 -4 -3 -2 -1 Y 3 5 2 4 1 3 0 1 2 3 4 5 X 2 -1 1 PROHIBIDA SU VENTA -2 -4 -3 -2 -1 0 -3 -1 -4 -2 1 2 3 4 5 6 X 4 Determina cuáles de las siguientes funciones son relaciones de proporcionalidad directa y en su caso determina la constante de proporcionalidad. • y = 7x - 3 c 7 • y = 3.3x + 8 c 3.3 • y = -2x • y = 2x 2 c2 Los temas de esta lección tienen relación con las funciones lineales y sus gráficas, por ello debe dedicarse un poco de tiempo a “refrescar el tema” para centrar la atención en las razones de cambio. • y = 3.54x c 3.54 5 • y = x c 53 3 5 Resuelve los siguientes problemas. • Si un automóvil recorre 120 kilómetros en 2 horas con velocidad constante, ¿cuántos kilómetros recorrió en una hora? ¿Cuántos en 15 minutos? 60 km; 15 km • La moneda de un país perdió en un año 13 unidades respecto al dólar. ¿Cuántas unidades perdió en un mes si la depreciación fue constante a lo largo del año? ¿Cuántas en medio año? 1.1 unidades; 6.5 unidades 89 07 BL1-L7 - Las razones del cambio.indd 89 12/12/08 1:07:20 PM BLOQUE 1 Cambio en tiempo Con tus compañeros analiza las siguientes situaciones. En un laboratorio se desea registrar la distancia con respecto al tiempo que recorre un deportista en una caminadora a paso veloz y constante. La siguiente tabla muestra algunos valores tomados en momentos específicos de la prueba. Completa los datos faltantes y responde las preguntas que a continuación se plantean. Las razones de cambio tienen fuerte relación con datos que se trabajan en distintas situaciones; algunos de ellos se refieren a funciones lineales, otros no; por ello habrá de hacerse énfasis en la variación. Distancia (metros) 50 75 100 120 140 160 170 200 214 Tiempo (minutos) 1 1.5 2 2.4 2.8 3.2 3.4 4 4.28 230 4.6 255 270 300 5.1 5.4 6 • De los 100 a los 214 metros, ¿qué distancia se recorrió?, ¿en cuánto tiempo? 114 m; 3.28 min • De los 75 a los 255 metros, ¿qué distancia se recorrió?, ¿en cuánto tiempo? 180 m; 4.1 min Denominaremos razón de cambio del movimiento al cociente El maestro puede apoyarse en lo que se ha trabajado en otros cursos y que tenga relación con las razones de cambio. Distancia recorrida . Tiempo empleado • ¿Cuál es la razón de cambio que se puede encontrar con los datos en la tabla? 50 • ¿Puedes calcular más de una razón de cambio con los datos de la tabla? No. Para curiosos Con tus compañeros discute la siguiente situación: En general, cuando uno camina, varía el ritmo y la zancada, incluso el tiempo en el que se da cada paso. PROHIBIDA SU VENTA Considera el siguiente registro de distancia contra tiempo al caminar Distancia (metros) 50 75 100 120 140 150 170 200 214 Tiempo (minutos) 1 2 3.5 4 6 6.5 8 10 12 R. M. • De los 100 a los 214 metros, ¿cuál es la razón de cambio? Es variable. • De los 75 a los 200 metros, ¿cuál es la razón de cambio? Es variable. • ¿Difiere valor de cada una de las nueve razones de cambio que se pueden calcular con los datos de la tabla? ¿Por qué? Sí. porque no caminó al mismo ritmo. • Identifica los intervalos de tiempo donde se caminó con mayor lentitud y con mayor rapidez. Mayor longitud: entre 200 y 214 m. Mayor rapidez: entre 50 y 75 m. 90 07 BL1-L7 - Las razones del cambio.indd 90 12/12/08 1:07:21 PM LECCIÓN 7 • LAS RAZONES DEL CAMBIO En un viaje en automóvil observas que el marcador de kilometraje indica 65 243 cuando el reloj marca las 15:00 hr y posteriormente, a las 17:00 hr, el kilometraje es de 65 423. Es importante revisar varios supuestos subyacentes en las situaciones como las de movimiento, pues en la realidad no se comportan los fenómenos como se acostumbra analizarlos. Si sabes que la velocidad de tu recorrido se mantuvo constante, lo podrías graficar como se muestra en la figura 1. Movimiento del automóvil 65 450 65 423 65 400 Distancia 65 350 (km) 65 250 65 243 65 200 Un conjunto de datos y la gráfica que los representa pueden ser fundamentales para entender la variación de las cantidades involucradas, pero en ocasiones no se conoce toda la información requerida. En ese sentido, la razón de cambio permite estudiar de manera aproximada las variaciones que se presentan en dichas situaciones. 65 150 15:00 17:00 PROHIBIDA SU VENTA Tiempo (horas) Figura 1 Así pues, partiendo de dicha suposición, ¿cuál es la razón de cambio del movimiento del automóvil en el intervalo de tiempo que va de las 15:00 a las 17:00 horas? La obtendrás mediante el cociente de la distancia recorrida entre el tiempo empleado: 180 Distancia (km) = = 90 . Tiempo (horas) 2 El maestro puede ofrecer algunos elementos para apoyar la idea de usar la razón de cambio como un elemento importante para identificar la relación entre dos variables. • ¿Cuál es la razón de cambio en el intervalo de las 15:00 a las 16:00 horas? ¿En el de las 15:30 a las 16:45 horas? 90; 90 • ¿Cuántos kilómetros recorre el automóvil cada media hora? 45 km Si en un plano cartesiano trazas la recta que pasa por los puntos dados de la gráfica de la figura 1, ¿qué valor tendría su pendiente? ¡Encuentra la expresión algebraicaa correspondiente a la recta! y= 90 x+ 65 243 . Se están poniendo a prueba tres materiales como aislantes térmicos para ser utilizados en techos de construcciones. Se desea saber si alguno de ellos se calienta máss conforme pasa el tiempo. 91 07 BL1-L7 - Las razones del cambio.indd 91 12/12/08 1:07:22 PM BLOQUE 1 Para hacer la prueba, se aplica a los materiales una temperatura constante de 35 ∞C y se inicia la medición de los cambios de temperatura que sufre cada material por minuto. La gráfica de la figura 2 muestra dicho comportamiento. Los estudiantes deben representar e interpretar información en gráficas para poder tomar decisiones. 7° 6° Material B Temperatura 5° del material 4° (grados Celsius) Material A 3° Material C 2° 1° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Tiempo (minutos) Figura 2 Utiliza una regla para hacer las mediciones necesarias en la gráfica y completa la tabla que a continuación se presenta. R. L. PROHIBIDA SU VENTA Cambio de temperatura (grados Celsius) Es importante utilizar las gráficas para estimar los valores de las variables involucradas; esto tal vez implique utilizar ciertas escalas y mediciones directas. Tiempo (minutos) Material A Material B Material C 1 0.33 0.5 0.16 2 0.66 1 0.5 3 1 3 0.66 4 1.33 2 1 5 1.66 2.5 1.16 6 2 3 1.5 7 2.33 3.5 1.66 8 2.83 4 2 9 3.16 4.66 2.33 10 3.5 5.16 2.5 11 3.83 5.66 2.83 12 4.16 6.16 3.16 Calcula la razón de cambio de las temperaturas de cada material respecto a los intervalos de tiempo indicados en la siguiente tabla. 92 07 BL1-L7 - Las razones del cambio.indd 92 12/12/08 1:07:23 PM LECCIÓN 7 • LAS RAZONES DEL CAMBIO Razones de cambio por cada material Intervalo Material A Material B Material C 2 a 5 minutos 0.3 0.5 0.25 6 a 12 minutos 0.3 0.5 0.25 Discute con tus compañeros cuál material se calienta más rápido y cuál se calienta menos rápido. El que se calienta más rápido es el material B. Obtén las ecuaciones de las rectas de cada material y discute con tus compañeros la relación de las pendientes de cada recta con las razones de cambio calculadas. Material A Ecuación y= 0.3 Pendiente de la recta m= 0.3 Razón de cambio x+ Material B 0 y= 0.5 m= 0.5 0.3 x+ Para que a partir de la gráfica se reconozca la razón de cambio, debe quedar clara la relación entre la razón de cambio y la pendiente de la recta que pasa por los puntos considerados en el estudio de algún fenómeno. Material C 0 0.5 y= 0.25 m= 0.25 x+ 0 0.25 Las razones de cambio se asocian con frecuencia a las variaciones de posición, temperatura, longitud y otras variables con respecto al tiempo. Si en el tiempo t una variable que depende del tiempo tiene un valor v y posteriormente, en el tiempo T, la variable tiene un valor V, la razón de cambio de la variable respecto al tiempo se puede calcular por la fórmula V-v . T-t PROHIBIDA SU VENTA Para curiosos Discute con tus compañeros si la razón de cambio también se puede calcular por alguna de las siguientes expresiones (utiliza algunos ejemplos): v-V , t-T Sí V-v , t-T No v-V , T-t No t-T , v-V T-t . V-v No También es necesario que se utilice diversas literales para establecer las relaciones consideradas entre variables. vV tT Sólo esta expresión nos daría la misma razón de cambio No Para ilustrar el concepto de razón de cambio hemos recurrido a ejemplos en los que ese cambio se da en función de la variable tiempo. Sin embargo, en términos generales las razones de cambio sirven para comparar la variación de una variable respecto a otra, sea del tipo que sea. Esto significa que es posible aplicarlas también en el estudio de fenómenos en los que el cambio no está referido al tiempo. Considera la siguiente situación, en la que se establece una tarifa por viaje en autobús en función de la distancia recorrida, como se muestra en la tabla. 93 07 BL1-L7 - Las razones del cambio.indd 93 12/12/08 1:07:24 PM BLOQUE 1 Los estudiantes y el maestro pueden considerar algunos datos de situaciones cotidianas y discutir si tienen sentido en el contexto que se manejan. Tarifa Distancia $75 50 $135 95 90 Con los datos anteriores calcula la razón de cambio correspondiente: 2 Razón = . 3 1 EL ATEN EO EN • ¿Cuánto costará el pasaje para un recorrido de 70 km? Para 70 km costará $ 46.67. • ¿Cuántos kilómetros se recorrerán si se paga una tarifa de $100? Con $ 100 recorrerá 150 km. Una persona viajó de la ciudad de México a Xalapa en 4 horas y 30 minutos. Si entre las dos ciudades hay una distancia aproximada, por carretera, de 320 km: • ¿Cuál es la razón de cambio de ese recorrido? 71.11 • ¿Cuál es la velocidad promedio que el vehículo desarrolló? (Recuerda que velocidad es distancia entre tiempo). 71.11 km/h • De acuerdo con lo anterior: tras dos horas de iniciado el recorrido, ¿a qué distancia de la ciudad de México se encontraba el viajante? 142.22 km • Si a las tres horas de viaje el vehículo se encontraba a 200 km de la ciudad de México, y a las tres horas y media se encontraba a 275 km, ¿cuál es la razón de cambio? 150 ¿Tu resultado es consistente con el de las respuestas anteriores? Es muy importante que los estudiantes interpreten adecuadamente las razones de cambio en cuanto al signo o el valor absoluto, pues esto indica el tipo de variación. No, significa que cambió de velocidad. PROHIBIDA SU VENTA 2 Como se mencionó en el desarrollo de la lección, cuando dos variables están vinculadas mediante una relación funcional, es posible analizar el cambio relativo de una de las variables con respecto a la otra. Algunas de las razones asociadas a dichos cambios de los valores de las variables se han denominado de manera especial. Calcula las siguientes cinco de ellas, ilustradas mediante ejemplos. a Tasa de crecimiento: la razón de cambio de la estatura de una persona con respecto al tiempo. Estatura Tiempo 2 cm 2 meses 4 cm 8.5 meses Razón = 2 . 6.5 94 07 BL1-L7 - Las razones del cambio.indd 94 12/12/08 1:07:24 PM LECCIÓN 7 • LAS RAZONES DEL CAMBIO b Velocidad de enfriamiento: la razón de cambio de la temperatura de un líquido respecto al tiempo. Temperatura Tiempo 12 ∞C 12 minutos 7 ∞C 39 minutos Razón = 5 Hay muchos contextos en los cuales las razones de cambio están presentes, ejemplificar algunos y pedir a los alumnos que investiguen otros. . 27 c Velocidad de calentamiento: la razón de cambio de la temperatura de un líquido en función del tiempo se llama velocidad de calentamiento. Temperatura Tiempo 15 ∞C 23 minutos 37 ∞C 135 minutos Razón = 22 . 112 11 56 PROHIBIDA SU VENTA d Velocidad: la razón de cambio de la distancia con relación al tiempo. Distancia Tiempo 43 km 45 minutos 129 km 139 minutos Razón = 86 . 94 En cada situación, el maestro puede variar los datos y hablar de lo que indican las diferentes razones de cambio. Incluso puede dar ejemplos de razones de cambio y pedir que los estudiantes interpreten lo que sucede con las variables consideradas en una situación. 43 47 e Aceleración: la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo. Velocidad Tiempo 75 km/s 37 minutos 110 km/s 72 minutos Razón = 35 . Conviene que los estudiantes analicen la variación de diferentes fenómenos y la relación con la razón de cambio de la velocidad. 1 35 95 07 BL1-L7 - Las razones del cambio.indd 95 12/12/08 1:07:24 PM BLOQUE 1 3 La siguiente gráfica muestra el costo de un servicio de mensajería de acuerdo con la distancia recorrida y el tipo de transporte empleado. 450 Nuevamente se busca interpretar en una gráfica algunas razones de cambio, y utilizarlas para comparar procesos similares. El caso es muy sencillo pero necesario para abordar situaciones más complejas. Transporte B Transporte A 400 350 300 250 Costo ($) 200 150 100 50 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Distancia (km) 40 • ¿Cuál es el costo por kilómetro en cada transporte? Para ambos es 3 . • ¿Son distintos los incrementos en el costo de mensajería por kilómetro recorrido en cada transporte? Sí • Encuentra la ecuación de la recta y la razón de cambio para cada uno de los transportes. La construcción de tablas a partir de las gráficas y los modelos algebraicos es una actividad que se debe enfatizar, así como establecer si valores dados de las variables implicadas son aceptables en diversas situaciones. Transporte Ecuación y B PROHIBIDA SU VENTA 4 40 x 3 40 3 4 x 200 3 40 3 y A Razón de cambio La siguiente gráfica muestra el costo por servicio de mensajería que se cobra en dos compañías en función de la distancia recorrida para las entregas. 450 400 Compañía A 350 Menos evidente que el caso anterior es la situación que ahora se presenta, en la cual al observar las gráficas se pueden obtener varias conclusiones (aparte de las que se refieren a la razón de cambio), como las referidas al punto de intersección o el hecho de que las gráficas se crucen. 300 Costo ($) 250 200 Compañía B 150 100 50 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Distancia (km) 96 07 BL1-L7 - Las razones del cambio.indd 96 12/12/08 1:07:25 PM LECCIÓN 7 • LAS RAZONES DEL CAMBIO • ¿Son distintos los incrementos en el costo de mensajería de una a otra compañía? Sí. • ¿Hay alguna distancia para la cual el costo de mensajería en las dos compañías sea el mismo? Para 22.5 km. • ¿Cuál es el incremento en el costo de 10 a 40 km en la compañía A? ¿Y en la B? • ¿Cuál es el incremento por cada kilómetro en cada compañía? $ 33 $ 117 • En la compañía A, ¿el incremento en el costo de 15 a 30 kilómetros es el mismo que de 25 a 45 kilómetros? Compañía Ecuación Razón de cambio A Para o x 15, y 0 Para x , 15, y 10x 150 10 y B 10 x 3 El uso de razones de cambio para establecer comparaciones puede ser un punto importante, pues a partir de ello se pueden tomar decisiones de diversos tipos sobre compras o inversiones, entre otras. Pb de escala para encontrar la intercección. 10 3 Demuestro lo que sé y hago 1 En una caminata un competidor avanza con velocidad constante, sin variación en la extensión de sus pasos ni en el tiempo empleado en dar cada paso. PROHIBIDA SU VENTA • El registro del número de pasos por unidad de tiempo está incompleto. Calcula los valores que faltan en la siguiente tabla. Pasos Minutos 35 1 70 2 110 3.14 120 3.43 150 4.29 El maestro o los estudiantes pueden ampliar la tabla, y analizar qué valores tienen sentido para las variables involucradas. • Calcula la razón de cambio en función del tiempo. 35 • Encuentra la ecuación de la recta que represente el desempeño del competidor. y 35 x 97 07 BL1-L7 - Las razones del cambio.indd 97 12/12/08 1:07:25 PM BLOQUE 1 2 En un laboratorio se somete a prueba la resistencia de tres distintos materiales. Los resultados se representan en la gráfica. 400 El paso de gráficas a tablas de valores y expresiones algebraicas debe trabajarse continuamente. 350 Material A 300 Material B 250 Índice de resistencia 200 Material C 150 100 50 0 5 10 15 20 30 25 35 40 45 50 Peso aplicado (kg) • Completa la siguiente tabla (de ser necesario haz mediciones en la gráfica). PROHIBIDA SU VENTA Se involucra a los estudiantes en una situación donde deben localizar la información pertinente y emplearla para encontrar modelos de diversas situaciones. Material A Ecuación Pendiente de la recta Razón de cambio y= 20/3 x+ m= 20/3 Material B y= 0 5 m= 20 3 x+ Material C 0 y= 5 5 10/3 x+ m= 10/3 0 10 3 • ¿Cuál es el material más resistente? ¿Cuál es el menos resistente? El más resistente es el C y el menos resistente es el A. También en esta situación los estudiantes deben obtener información para resolver el problema, lo cual es un aspecto que se menciona en los planes y programas de estudio. 3 Una persona viajará por una línea de autobús a varias ciudades y solamente conoce la tarifa por viajes a destinos a 120 km, que es de $350. Si suponemos que no varía el precio por kilómetro en esa línea de autobuses, calcula el costo del itinerario que se propone recorrer la persona, quien debe ir de la ciudad de México hacia Querétaro, a Pachuca, posteriormente a Veracruz y finalmente a Tampico. SOLUCIONARIO • Investiga las distancias por carretera entre dichas ciudades y calcula el costo de cada traslado con los datos que recabes. • Haz una gráfica del costo del pasaje en relación con la distancia y encuentra la ecuación de la recta correspondiente. • ¿Cuál es el valor de la razón de cambio que relaciona el costo del pasaje con la distancia? 98 07 BL1-L7 - Las razones del cambio.indd 98 12/12/08 1:07:25 PM LECCIÓN 7 • LAS RAZONES DEL CAMBIO 4 La siguiente gráfica muestra la variación, respecto al tiempo, del costo por litro de tres tipos de combustible. 10 Combustibles: 9 A C B 8 7 6 Precio 5 ($) Se presenta una situación en la cual la información contenida en la gráfica es relevante para la toma de decisiones. 4 3 2 1 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 Tiempo (meses) • ¿Son distintos los incrementos en el costo de cada combustible? Sí. • ¿Hay algún momento en el que coincida el costo de algunos de los combustibles? Los costos de los combustibles A y B coinciden para 18 meses; los de A y C coinciden para 26 meses. • Estima los valores en la gráfica y completa la tabla. Combustible Razón de cambio A y 1 x5 9 1 9 B y 1 x6 18 1 18 C PROHIBIDA SU VENTA Ecuación y 0.035 x 7 0.035 Conéctate Para conocer algo más sobre el manejo de datos y la utilidad del concepto de razón de cambio puedes consultar: También pueden consultarse la siguiente página en Internet: • http://www.fceia.unr.edu.ar/fceia1/publicaciones/nu- mero8/articulo3/pendiente.htm • José María Chamoso, y otros Organizando la Estadística Colección Diálogos de Matemáticas Nivola, Madrid, 2007. En Internet hay diversos sitios en los cuales se pueden detectar varios temas donde se trata la razón de cambio y ello podría ser útil para contar con más casos para analizar en clase. 07 BL1-L7 - Las razones del cambio.indd 99 Los diarios pueden ser un material importante para conseguir algunos ejemplos donde se presente la razón de cambio y que el maestro puede adaptar a su clase. 99 12/12/08 1:07:26 PM Recursos didácticos Matemáticas 3 Recursos didácticos Matemáticas 3 Mate 3 Ateneo cov docente.indd 1 3 Matemáticas Xóchitl Rosal Amador Eduardo Mancera Martínez Guadalupe Carrasco Licea Pilar Martínez Téllez 12/12/08 4:08:07 PM

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