lOMoARcPSD|6288222 Convergencia puntual de Series de Fourier Análisis De Fourier Wavelets (Universidad Distrital Francisco José de Caldas) StuDocu no está patrocinado ni avalado por ningún colegio o universidad. Descargado por iveth mendoza ([email protected]) lOMoARcPSD|6288222 SERRANO [Título del documento] Convergencia de series de Fourier 1. La SF de 𝒇(𝒙) = 𝒙 − 𝒙𝟐 en el intervalo [−𝝅, 𝝅] es ∞ (−𝟏)𝒏+𝟏 𝝅𝟐 𝟒(−𝟏)𝒏+𝟏 − +∑ 𝒄𝒐𝒔(𝒏𝒙) + 𝒔𝒆𝒏(𝒏𝒙) 𝟐 𝟑 𝒏 𝒏 𝒏=𝟏 No sabemos hacia donde converge esta SF!! Necesitamos establecer una relación entre la función y su serie de Fourier. 2. Recordamos que 𝒇es continua a pedazos en un intervalo [𝒂, 𝒃] si : a) 𝒍𝒊𝒎+ 𝒇(𝒙) y 𝒍𝒊𝒎− 𝒇(𝒙) existen y son finitos 𝒙→𝒂 𝒙→𝒃 b) 𝒇 es continua en todos los puntos del intervalo [𝒂, 𝒃] excepto quizás en un número finito de ellos c) Si 𝒙𝟎 ∈ (𝒂, 𝒃) y 𝒇 es discontinua en 𝒙𝟎 , entonces la función tiene límites derecho e izquierdo finitos, es decir Descargado por iveth mendoza ([email protected]) lOMoARcPSD|6288222 SERRANO [Título del documento] 3. y 𝒍𝒊𝒎 𝒇(𝒙) 𝒙→𝒙𝟎 𝒙>𝒙𝟎 𝒚 𝒍𝒊𝒎 𝒇(𝒙) existen y son finitos 𝒙→𝒙𝟎 𝒙<𝒙𝟎 Limites izquierdo y derecho. Discontinuidades de salto Si 𝒂 < 𝒙𝟎 < 𝒃 entonces 𝒇(𝒙𝟎 +) = 𝐥𝐢𝐦+ 𝒇(𝒙 + 𝒉) 𝒉→𝟎 𝒇(𝒙𝟎 −) = 𝐥𝐢𝐦+ 𝒇(𝒙 − 𝒉) 𝒉→𝟎 siempre que estos límites existan y sean finitos . El primero de estos límites se denomina limite derecho de 𝒇 en el punto 𝒙𝟎 , y el segundo se denomina limite izquierdo de 𝒇 en 𝒙𝟎 . Estos dos limites existen en los puntos donde la función es continua . Si 𝒇 es continua en el punto𝒙𝟎 , se tiene que 𝒇(𝒙𝟎 +) = 𝒇(𝒙𝟎 −)= 𝒇(𝒙𝟎 ) Estamos particularmente interesados en las discontinuidades de salto Si 𝒙𝟎 es un punto de discontinuidad de salto. Entonces la cantidad Descargado por iveth mendoza ([email protected]) lOMoARcPSD|6288222 SERRANO [Título del documento] 𝜹 = 𝒇(𝒙𝟎 +) − 𝒇(𝒙𝟎 −) se denomina el salto de la función 𝒇 en 𝒙𝟎 . Ejemplo Sea 𝒇(𝒙) = { 𝒙 𝟏/𝒙 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒂 −𝟑 ≤ 𝒙 < 𝟐 𝟐≤𝒙≤𝟒 𝒇 es continua a pedazos en [−𝟑, 𝟒] y tiene una discontinuidad de salto en 𝒙 = 𝟐 En 𝒙 = 𝟐, los límites derecho e izquierdo son 𝒇(𝟐 +) = 𝟏/𝟐 y𝒇 (𝟐 −) = 𝟐 Por lo tanto, el salto de la función 𝒇 en 𝒙 = 𝟐 es 𝜹 = 𝒇(𝟐 +) − 𝒇(𝟐 −) = −𝟑/𝟐 Funciones suaves a pedazos 4. 𝒇 se dice suave a pedazos en [𝒂, 𝒃] si 𝒇 es continua a pedazos y 𝒇′ existe y es continua excepto quizás en un número finito de puntos. Ejemplo 1 La función 𝒇(𝒙) = { 𝒙 𝟏/𝒙 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒂 −𝟑 ≤ 𝒙 < 𝟐 𝟐≤𝒙≤𝟒 es diferenciable en [−𝟑, 𝟒] excepto en 𝒙 = 𝟐. Descargado por iveth mendoza ([email protected]) lOMoARcPSD|6288222 SERRANO [Título del documento] 𝒇′(𝒙) = { 𝟏 −𝟏/𝒙𝟐 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒂 −𝟑 < 𝒙 < 𝟐 𝟐<𝒙<𝟒 La derivada es continua a pedazos , por lo tanto 𝒇 es suave en el intervalo [−𝟑, 𝟒] 5. Teorema de convergencia de Fourier Si 𝒇 es suave a pedazos en – 𝑳 ≤ 𝒙 ≤ 𝑳, Entonces para cada 𝒙 en (−𝑳, 𝑳), la serie de Fourier de 𝒇 en [−𝑳, 𝑳] , converge a 𝒇(𝒙) si 𝒇 es continua en 𝒙, y a 𝒇(𝒙 +) + 𝒇(𝒙−) 𝟐 si 𝒇 es discontinua en 𝒙. Se puede demostrar que en 𝒙 = ±𝑳 la serie de Fourier SF converge a Conclusión 𝒇(−𝑳 +) + 𝒇(𝑳−) 𝟐 ∞ 𝒇(𝒙 +) + 𝒇(𝒙−) 𝒂𝟎 𝒏𝝅𝒙 𝒏𝝅𝒙 = + ∑ [𝒂𝒏 𝒄𝒐𝒔( ) + 𝒃𝒏 𝒔𝒆𝒏( )] 𝟐 𝟐 𝑳 𝑳 𝒏=𝟏 , en cada 𝒙 en el intervalo – 𝑳 < 𝒙 < 𝑳. Descargado por iveth mendoza ([email protected]) lOMoARcPSD|6288222 SERRANO [Título del documento] Ejemplo 2 Sea 𝒇(𝒙) = { 𝟎 𝟏 𝒑𝒂𝒓𝒂 − 𝟐 ≤ 𝒙 < 𝟎 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟐 Encontrar la serie de Fourier SF de 𝒇 en el intervalo −𝟐 ≤ 𝒙 ≤ 𝟐. Solución: En este caso, 𝑳 = 𝟐. Por lo tanto, 𝟏 𝟎 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝒂𝟎 = ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = ∫ 𝟎𝒅𝒙 + ∫ 𝟏𝒅𝒙 = 𝟏 𝟐 −𝟐 𝟐 𝟎 𝟐 −𝟐 𝟏 𝟐 𝒏𝝅𝒙 𝟏 𝟐 𝒏𝝅𝒙 ) 𝒅𝒙 = ∫ 𝒄𝒐𝒔 ( ) 𝒅𝒙 𝒂𝒏 = ∫ 𝒇(𝒙)𝒄𝒐𝒔 ( 𝟐 −𝟐 𝟐 𝟐 𝟎 𝟐 = 𝟎, 𝒏 = 𝟏, 𝟐, … 𝒏𝝅𝒙 𝒏𝝅𝒙 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 ) 𝒅𝒙 = ∫ 𝒔𝒆𝒏 ( ) 𝒅𝒙 = 𝒃𝒏 = ∫ 𝒇(𝒙)𝒔𝒆𝒏 ( 𝟐 𝟐 𝟐 𝟎 𝟐 −𝟐 (𝟏 − (−𝟏)𝒏 ) 𝟏 (𝟏 − 𝐜𝐨𝐬(𝒏𝝅)) = , 𝒏 = 𝟏, 𝟐, … = 𝒏𝝅 𝒏𝝅 Nótese que 𝒃𝒏 = 𝟎 para 𝒏 par ( = 𝟐𝒌) y 𝒃𝒏 = 𝟐/𝒏𝝅 para 𝒏 impar (𝒏 = 𝟐𝒌 − 𝟏) . Por lo tanto la serie de Fourier SF de 𝒇 en el intervalo −𝟐 ≤ 𝒙 ≤ 𝟐 es 𝟏 𝟐𝒔𝒆𝒏(𝝅𝒙) 𝟐𝒔𝒆𝒏(𝟑𝝅𝒙) 𝟐𝒔𝒆𝒏(𝟓𝝅𝒙) + + + +⋯ 𝟐 𝝅 𝟑𝝅 𝟓𝝅 Descargado por iveth mendoza ([email protected]) lOMoARcPSD|6288222 SERRANO [Título del documento] ∞ 𝟏 𝟐 𝟏 + ∑ 𝒔𝒆𝒏((𝟐𝒌 − 𝟏)𝝅𝒙) (𝟐𝒌 − 𝟏) 𝟐 𝝅 𝒌=𝟏 Por el teorema de convergencia de Fourier , esta serie converge a 0 para −𝟐 < 𝒙 < 𝟎, a 1 si 𝟎 < 𝒙 < 𝟐. En 𝒙 = −𝟐 , 𝒙 = 𝟎 y 𝒙 = 𝟐 la serie converge a 1/2 En particular en el punto 𝒙 = 𝟏/𝟐 la serie de Fourier SF converge a 1, luego ∞ Es decir 𝝅 𝟏 𝟐 𝟏 ( ) 𝒔𝒆𝒏 [ 𝟐𝒌 − 𝟏 ] 𝟏= + ∑ 𝟐 𝝅 𝟐 (𝟐𝒌 − 𝟏) 𝒌=𝟏 ∞ (−𝟏)𝒌+𝟏 𝝅 =∑ 𝟒 (𝟐𝒌 − 𝟏) 𝒌=𝟏 ∞ (−𝟏)𝒌+𝟏 𝝅 = 𝟒∑ (𝟐𝒌 − 𝟏) 𝒌=𝟏 Se obtiene una expresión en serie para el número 𝝅 que se conoce como serie de Leibniz Ejemplo 3 Sea 𝒇(𝒙) = { 𝟏 𝒙 𝒑𝒂𝒓𝒂 − 𝟐 ≤ 𝒙 < 𝟎 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟐 Descargado por iveth mendoza ([email protected]) lOMoARcPSD|6288222 SERRANO [Título del documento] Encontrar la serie de Fourier SF de 𝒇 en el intervalo −𝟐 ≤ 𝒙 ≤ 𝟐. Solución: En este caso también 𝑳 = 𝟐. Por lo tanto, 𝟏 𝟐 𝟏 𝟎 𝟏 𝟐 𝒂𝟎 = ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = ∫ 𝟏𝒅𝒙 + ∫ 𝒙𝒅𝒙 = 𝟐 𝟐 −𝟐 𝟐 −𝟐 𝟐 𝟎 𝟏 𝟐 𝒏𝝅𝒙 ) 𝒅𝒙 = 𝒂𝒏 = ∫ 𝒇(𝒙)𝒄𝒐𝒔 ( 𝟐 −𝟐 𝟐 𝒏𝝅𝒙 𝟏 𝟐 𝒏𝝅𝒙 𝟏 𝟎 ) 𝒅𝒙 + ∫ 𝒙𝒄𝒐𝒔 ( ) 𝒅𝒙 = = ∫ 𝒄𝒐𝒔 ( 𝟐 𝟐 𝟎 𝟐 𝟐 −𝟐 𝟐 𝟐 𝒏 ( ( ) ) ( = 𝐜𝐨𝐬 𝒏𝝅 − 𝟏 = (−𝟏) − 𝟏) (𝒏𝝅)𝟐 (𝒏𝝅)𝟐 Nótese que 𝒂𝒏 = 𝟎 para 𝒏 par ( = 𝟐𝒌) y 𝒂𝒏 = −𝟒/(𝒏𝝅)𝟐 para 𝒏 impar(𝒏 = 𝟐𝒌 − 𝟏) 𝒏𝝅𝒙 𝟏 𝟐 ) 𝒅𝒙 𝒃𝒏 = ∫ 𝒇(𝒙)𝒔𝒆𝒏 ( 𝟐 𝟐 −𝟐 𝟏 𝟎 𝒏𝝅𝒙 𝟏 𝟐 𝒏𝝅𝒙 ) 𝒅𝒙 + ∫ 𝒙𝒔𝒆𝒏 ( ) 𝒅𝒙 = ∫ 𝒔𝒆𝒏 ( 𝟐 −𝟐 𝟐 𝟐 𝟎 𝟐 Descargado por iveth mendoza ([email protected]) lOMoARcPSD|6288222 SERRANO [Título del documento] 𝟏 𝟐 ( ( )) − 𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 𝒏𝝅 − 𝐜𝐨𝐬(𝒏𝝅) 𝒏𝝅 𝒏𝝅 𝟏 (𝟏 + (−𝟏)𝒏 ), 𝒏 = 𝟏, 𝟐, … =− 𝒏𝝅 Nótese que 𝒃𝒏 = 𝟎 para 𝒏 impar ( 𝒏 = 𝟐𝒌 − 𝟏) y 𝒃𝒏 = −𝟐/𝒏𝝅 para 𝒏 par ( 𝒏 = 𝟐𝒌). Por lo tanto, la serie de Fourier de 𝒇 en el intervalo −𝟐 ≤ 𝒙 ≤ 𝟐es: 𝝅𝒙 𝟐𝝅𝒙 𝟑𝝅𝒙 𝟒 𝟐 𝟒 )− ) 𝒔𝒆𝒏 ( 𝒄𝒐𝒔 ( 𝟏 − 𝟐 𝒄𝒐𝒔 ( ) − 𝟐 𝟐 𝟐 𝝅 𝟐𝝅 𝟗𝝅𝟐 𝟒𝝅𝒙 𝟐 )−⋯ − 𝒔𝒆𝒏 ( 𝟐 𝟒𝝅 ∞ ∞ 𝒌=𝟏 𝒌=𝟏 (𝟐𝒌 − 𝟏)𝝅𝒙 𝟏 𝟏 𝟏 𝟒 𝒄𝒐𝒔 [ 𝒔𝒆𝒏(𝒌𝒙) ] − ∑ 𝟏− 𝟐∑ (𝟐𝒌 − 𝟏)𝟐 𝟐 𝝅 𝒌 𝝅 En virtud del teorema de convergencia de Fourier, esta serie converge a 1 si −𝟐 < 𝒙 < 𝟎; converge a 𝒙, si 0< 𝒙 < 𝟐; converge a 𝟏/𝟐 si 𝒙 = 𝟎; y a 𝟑/𝟐 si 𝒙 = ±𝟐. En particular, en 𝒙 = 𝟎, la serie de Fourier es 𝟏 𝟏 𝟏 𝟒 𝟏 𝟏 − 𝟐[ 𝟐 + 𝟐 + 𝟐 + 𝟐 + ⋯] 𝟑 𝟓 𝟕 𝝅 𝟏 Como esta serie converge a 𝟏/𝟐 , se tiene que luego 𝟏 𝟒 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 = 𝟏− 𝟐[ 𝟐 + 𝟐 + 𝟐 + 𝟐 + ⋯] 𝟐 𝝅 𝟏 𝟑 𝟓 𝟕 Descargado por iveth mendoza ([email protected]) lOMoARcPSD|6288222 SERRANO [Título del documento] 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝝅𝟐 + + + +⋯= 𝟏 𝟐 𝟑𝟐 𝟓 𝟐 𝟕𝟐 𝟖 Ejemplo 5 Sea 𝒇(𝒙) = 𝒆𝒙 en el intervalo [−𝟏, 𝟏] Ejemplo 6 Sea 𝝅 𝟓𝒔𝒆𝒏(𝒙) 𝒑𝒂𝒓𝒂 −𝟐𝝅 ≤ 𝒙 < − 𝟐 𝝅 𝟒 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒙 = − 𝟐 𝒇(𝒙) = 𝝅 𝒙𝟐 𝒑𝒂𝒓𝒂 − < 𝒙 < 𝟐 𝟐 𝟖 𝐜𝐨𝐬(𝒙) 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝟐 ≤ 𝒙 < 𝝅 { 𝟒𝒙 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝝅 ≤ 𝒙 ≤ 𝟐𝝅 Unicidad de la serie de Fourier Sea 𝒇 una función continua a pedazos supongamos que 𝒇 puede expresada como una serie de senos y cosenos en el intervalo −𝑳 ≤ 𝒙 ≤ 𝑳. Entonces necesariamente ésta serie, es la serie de Fourier SF de 𝒇 Demostración Descargado por iveth mendoza ([email protected]) lOMoARcPSD|6288222 SERRANO [Título del documento] Se supone que 𝒇 es continua a pedazos en el intervalo – 𝑳 ≤ 𝒙 ≤ 𝑳 y que ∞ 𝒏𝝅𝒙 𝒏𝝅𝒙 ) + 𝜷𝒏 𝒔𝒆𝒏( )] (𝟒) 𝒇(𝒙) = 𝑨 + ∑ [𝜶𝒏 𝒄𝒐𝒔( 𝑳 𝑳 𝒏=𝟏 es válida en el intervalo −𝑳 ≤ 𝒙 ≤ 𝑳 excepto en un número finito de puntos . Integrando ambos miembros de (4) entre – 𝑳 y 𝑳, se obtiene 𝑳 𝑨𝑳 = ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 −𝑳 𝟏 𝑳 ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 𝑨= 𝟐𝑳 −𝑳 ya que 𝑳 𝑳 𝒏𝝅𝒙 𝒏𝝅𝒙 ) 𝒅𝒙 = ∫ 𝒔𝒆𝒏 ( ) 𝒅𝒙 = 𝟎, ∫ 𝒄𝒐𝒔 ( 𝑳 𝑳 −𝑳 −𝑳 𝒏 = 𝟏, 𝟐, . . Relaciones de Ortogonalidad del seno y el coseno 𝑳 ∫ 𝒄𝒐𝒔 ( −𝑳 𝑳 𝒏𝝅𝒙 𝒎𝝅𝒙 𝟎, 𝒎 ≠ 𝒏 ) 𝒄𝒐𝒔 ( ) 𝒅𝒙 = { 𝑳, 𝒎 = 𝒏 𝑳 𝑳 𝒏𝝅𝒙 𝒎𝝅𝒙 ∫ 𝒄𝒐𝒔 ( ) 𝒔𝒆𝒏 ( ) 𝒅𝒙 = 𝟎 𝑳 𝑳 −𝑳 Descargado por iveth mendoza ([email protected]) lOMoARcPSD|6288222 SERRANO [Título del documento] 𝑳 ∫ 𝒔𝒆𝒏 ( −𝑳 𝒏𝝅𝒙 𝒎𝝅𝒙 𝟎, 𝒎 ≠ 𝒏 ) 𝒔𝒆𝒏 ( ) 𝒅𝒙 = { 𝑳, 𝒎 = 𝒏 𝑳 𝑳 Para encontrar 𝜶𝒎 multiplicamos por 𝒄𝒐𝒔(𝒎𝝅𝒙/𝑳) ambos lados de (5) y a continuación integramos entre – 𝑳 y 𝑳, se obtiene: 𝑳 𝜶𝒎 𝑳 = ∫ 𝒇(𝒙)𝒄𝒐𝒔(𝒎𝝅𝒙/𝑳)𝒅𝒙 −𝑳 De modo similar, para encontrar 𝜷𝒎 multiplicamos por 𝒔𝒆𝒏(𝒎𝝅𝒙/𝑳) ambos lados de (5) e integrando entre – 𝑳 y 𝑳, se obtiene: 𝑳 𝜷𝒎 𝑳 = ∫ 𝒇(𝒙)𝒔𝒆𝒏(𝒎𝝅𝒙/𝑳)𝒅𝒙 −𝑳 Cambiando la variable 𝒎 por 𝒏 , se obtiene: 𝟏 𝑳 𝒏𝝅𝒙 ) 𝒅𝒙 , 𝒏 = 𝟏, 𝟐 … 𝜶𝒏 = ∫ 𝒇(𝒙)𝒄𝒐𝒔 ( 𝑳 −𝑳 𝑳 𝟏 𝑳 𝒏𝝅𝒙 ) 𝒅𝒙 , 𝒏 = 𝟏, 𝟐 … 𝜷𝒏 = ∫ 𝒇(𝒙)𝒔𝒆𝒏 ( 𝑳 −𝑳 𝑳 Tomando 𝒏 = 𝟎 , en la expresión para 𝜶𝒏 se obtiene: Ejemplo 6 𝜶𝟎 𝟏 𝑳 ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 𝑨= = 𝟐 𝟐𝑳 −𝑳 Descargado por iveth mendoza ([email protected]) lOMoARcPSD|6288222 SERRANO [Título del documento] Hallar la serie de Fourier SF de la función 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙 en el intervalo −𝛑/𝟐 ≤ 𝒙 ≤ 𝝅/𝟐. Solución La función 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙 tiene una representación única en serie de Fourier ∞ 𝒂𝟎 𝒏𝝅𝒙 𝒏𝝅𝒙 + ∑ [𝒂𝒏 𝒄𝒐𝒔( ) + 𝒃𝒏 𝒔𝒆𝒏( )] = 𝟐 𝑳 𝑳 𝒏=𝟏 ∞ 𝒂𝟎 + ∑ [𝒂𝒏 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒏𝒙) + 𝒃𝒏 𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒏𝒙)] 𝟐 𝒏=𝟏 en el intervalo −𝛑/𝟐 ≤ 𝒙 ≤ 𝝅/𝟐. De la identidad trigonométrica, se sabe que 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒙 = − 𝟐 𝟐 𝟐 Luego la serie de Fourier SF de 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙 en el intervalo −𝛑/𝟐 ≤ 𝒙 ≤ 𝝅/𝟐 , debe ser necesariamente Ejemplo 7 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 − 𝟐 𝟐 Halle la serie de Fourier SF de la función 𝒇(𝒙) = 𝒄𝒐𝒔𝟓 𝒙 en el intervalo −𝛑 ≤ 𝒙 ≤ 𝝅. Solución Descargado por iveth mendoza ([email protected]) lOMoARcPSD|6288222 SERRANO [Título del documento] La función 𝒇(𝒙) = 𝒄𝒐𝒔𝟓 𝒙 tiene una representación única en serie de Fourier de la forma ∞ 𝒏𝝅𝒙 𝒏𝝅𝒙 𝒂𝟎 + ∑ [𝒂𝒏 𝒄𝒐𝒔( ) + 𝒃𝒏 𝒔𝒆𝒏( )] = 𝑳 𝑳 𝟐 𝒏=𝟏 ∞ 𝒂𝟎 + ∑ [𝒂𝒏 𝒄𝒐𝒔(𝒏𝒙) + 𝒃𝒏 𝒔𝒆𝒏(𝒏𝒙)] 𝟐 𝒏=𝟏 en el intervalo −𝛑 ≤ 𝒙 ≤ 𝝅. 𝒄𝒐𝒔𝟓 𝒙 = (𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙)𝟐 𝒄𝒐𝒔𝒙 = 𝒄𝒐𝒔𝟓 𝒙 = 𝟏 (𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙)𝟐 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝟒 𝟏 (𝟏 + 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝟐𝒙)𝒄𝒐𝒔𝒙 𝟒 𝟏 𝟏 𝟏 [𝟏 + 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 + + 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙] 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝟒 𝟐 𝟐 𝟏 𝟑 𝟏 = [ + 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙] 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝟒 𝟐 𝟐 𝟏 𝟏 𝟑 = 𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙. 𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙. 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝟐 𝟖 𝟖 Utilizando las identidades producto-suma, se obtiene: = 𝟑 𝟏 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝒙 + [𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝒙] + [𝒄𝒐𝒔𝟓𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙] 𝟖 𝟒 𝟏𝟔 Luego la serie de Fourier de 𝒄𝒐𝒔𝟓 𝒙 en el intervalo −𝛑 ≤ 𝒙 ≤ 𝝅 , debe ser necesariamente Descargado por iveth mendoza ([email protected]) lOMoARcPSD|6288222 SERRANO [Título del documento] 𝟓 𝟓 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝟓𝒙 𝟖 𝟏𝟔 𝟏𝟔 𝟓 Utilizando la fórmula de Euler Es posible obtener la serie de Fourier SF de 𝒄𝒐𝒔𝟓 𝒙 con ayuda de la fórmula de Euler, 𝒆𝒋𝜽 = 𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒋𝒔𝒆𝒏𝜽 de aquí se deduce que 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝟏 𝒋𝜽 (𝒆 + 𝒆−𝒋𝜽 ) 𝒚 𝟐 𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝟏 𝒋𝜽 (𝒆 − 𝒆−𝒋𝜽 ) 𝟐𝒋 𝟏 𝒊𝒙 𝟓 (𝒆 + 𝒆−𝒊𝒙 ) 𝒄𝒐𝒔 𝒙 = 𝟑𝟐 𝟓 𝟏 𝟓 = 𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝟓𝒙 𝟖 𝟏𝟔 𝟏𝟔 𝟓 Ejemplo 7 Desarrolle serie 𝒇(𝒕) = 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒕 𝒄𝒐𝒔𝟑 𝒕 en serie de Fourier RTA 𝟏 Ejemplo 8 𝟏𝟔 (𝟐𝒄𝒐𝒔𝒕 − 𝟑𝒄𝒐𝒔𝟑𝒕 − 𝟓𝒄𝒐𝒔𝟓𝒕) Desarrolle Descargado por iveth mendoza ([email protected]) lOMoARcPSD|6288222 SERRANO [Título del documento] 𝒇(𝒕) = 𝒆𝒓𝒄𝒐𝒔𝒕 𝐜𝐨𝐬(𝒓𝒔𝒆𝒏𝒕) En serie de Fourier Sugerencia: (Use la serie de potencias para 𝒆𝒛 cuando 𝒛 = 𝒓𝒆𝒋𝒕 ) Solución Sea 𝒛 = 𝒓𝒆𝒋𝜽 se tiene que , 𝒇(𝒕) = 𝑹𝒆(𝒆𝒛 ) Como que la serie de Taylor de 𝒆𝒛 es ∞ 𝒏 𝒛 𝒆𝒛 = ∑ 𝒏! 𝒋𝒕 𝒆𝒛 = 𝒆𝒓𝒆 = 𝒆𝒓(𝒄𝒐𝒔𝒕+𝒋𝒓𝒔𝒆𝒏𝒕) 𝒆𝒓𝒄𝒐𝒔𝒕 𝒆𝒋𝒓𝒔𝒆𝒏𝒕 ∞ 𝒏=𝟎 ∞ 𝒏 ∞ (𝒓𝒆𝒋𝒕 ) 𝒓𝒏 𝒆𝒋𝒏𝒕 =∑ =∑ 𝒏! 𝒏! 𝒏=𝟎 𝒏=𝟎 𝒓𝒏 (𝒄𝒐𝒔𝒏𝒕 + 𝒋𝒔𝒆𝒏𝒏𝒕) =∑ 𝒏! 𝒏=𝟎 𝒆𝒓𝒄𝒐𝒔𝒕 [𝒄𝒐𝒔(𝒓𝒔𝒆𝒏𝒕) + 𝒋𝒔𝒆𝒏(𝒓𝒔𝒆𝒏𝒕)] ∞ ∞ 𝒏=𝟎 𝒏=𝟎 𝒓𝒏 𝒄𝒐𝒔𝒏𝒕) 𝒓𝒏 𝒔𝒆𝒏𝒏𝒕) =∑ +𝒋∑ 𝒏! 𝒏! Descargado por iveth mendoza ([email protected]) lOMoARcPSD|6288222 SERRANO [Título del documento] ∞ 𝒏 𝒓 𝒄𝒐𝒔𝒏𝒕) 𝒇(𝒕) = 𝑹𝒆(𝒆𝒛 ) = 𝒆𝒓𝒄𝒐𝒔𝒕 𝐜𝐨𝐬(𝒓𝒔𝒆𝒏𝒕) = ∑ 𝒏! 𝒏=𝟎 Ejemplo 8 Usar la serie de Fourier SF de la función definida por 𝐜𝐨𝐬(𝜶𝒙), en el intervalo −𝝅 ≤ 𝒙 ≤ 𝝅, donde 𝜶 ≠ 𝟎, para demostrar que cuando 𝜶 no es un entero se tiene que ∞ Solución 𝟏 𝟏 𝟐𝜶 ( ) ] 𝒄𝒐𝒕 𝜶𝝅 = [ − ∑ 𝟐 𝝅 𝜶 𝒏 − 𝜶𝟐 𝒏=𝟏 Como 𝐜𝐨𝐬(𝜶𝒙) es una función par. Entonces 𝒃𝒏 = 𝟎, 𝒏 = 𝟏, 𝟐, … 𝝅 𝟐 𝝅 𝟐 𝒔𝒆𝒏(𝜶𝒙) ( ) ] 𝒂𝟎 = ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝜶𝒙 𝒅𝒙 = [ 𝝅 𝟎 𝝅 𝜶 𝟎 𝟐𝒔𝒆𝒏(𝜶𝝅) = 𝜶𝝅 𝟐 𝝅 𝒂𝒏 = ∫ 𝐜𝐨𝐬(𝜶𝒙) 𝐜𝐨𝐬(𝒏𝒙)𝒅𝒙 𝝅 𝟎 𝟐 𝝅𝟏 = ∫ (𝐜𝐨𝐬(𝜶𝒙 + 𝒏𝒙) + 𝐜𝐨𝐬(𝜶𝒙 − 𝒏𝒙))𝒅𝒙 𝝅 𝟎 𝟐 𝟏 𝝅 𝟏 𝝅 𝒂𝒏 = ∫ 𝐜𝐨𝐬[(𝜶 + 𝒏)𝒙]𝒅𝒙 + ∫ 𝐜𝐨𝐬[(𝜶 − 𝒏)𝒙]𝒅𝒙 𝝅 𝟎 𝝅 𝟎 Descargado por iveth mendoza ([email protected]) lOMoARcPSD|6288222 SERRANO [Título del documento] 𝝅 𝟏 𝒔𝒆𝒏[(𝜶 + 𝒏)𝒙] 𝒔𝒆𝒏[(𝜶 − 𝒏)𝒙] ] 𝒂𝒏 = [ + 𝝅 𝜶+𝒏 𝜶−𝒏 𝟎 𝒂𝒏 = 𝟏 𝒔𝒆𝒏[(𝜶 + 𝒏)𝝅] 𝒔𝒆𝒏[(𝜶 − 𝒏)𝝅] [ ] + 𝜶−𝒏 𝜶+𝒏 𝝅 𝟏 𝒔𝒆𝒏(𝜶𝝅) 𝐜𝐨𝐬(𝒏𝝅) + 𝒔𝒆𝒏(𝒏𝝅) 𝐜𝐨𝐬(𝜶𝝅) 𝒂𝒏 = [ 𝝅 𝜶+𝒏 𝒔𝒆𝒏(𝜶𝝅) 𝐜𝐨𝐬(𝒏𝝅) − 𝒔𝒆𝒏(𝒏𝝅) 𝐜𝐨𝐬(𝜶𝝅) ] + 𝜶−𝒏 𝟏 𝒔𝒆𝒏(𝜶𝝅) 𝐜𝐨𝐬(𝒏𝝅) 𝒔𝒆𝒏(𝜶𝝅) 𝐜𝐨𝐬(𝒏𝝅) ] + 𝒂𝒏 = [ 𝜶+𝒏 𝜶−𝒏 𝝅 𝟏 𝒔𝒆𝒏(𝜶𝝅)(−𝟏)𝒏 𝒔𝒆𝒏(𝜶𝝅)(−𝟏)𝒏 ] 𝒂𝒏 = [ + 𝝅 𝜶+𝒏 𝜶−𝒏 𝟏 𝒔𝒆𝒏(𝜶𝝅)(−𝟏)𝒏 𝟏 ( ) 𝒂𝒏 = + 𝝅 𝜶+𝒏 𝜶−𝒏 𝟐𝜶 [𝒔𝒆𝒏(𝜶𝝅)(−𝟏)𝒏 ] 𝟐 𝟐 (𝜶 − 𝒏 )𝝅 𝟐𝜶 𝒔𝒆𝒏(𝜶𝝅) (−𝟏)𝒏 ) 𝒂𝒏 = ( 𝟐 𝟐 𝜶 −𝒏 𝝅 𝒂𝒏 = La serie de Fourier de 𝐜𝐨𝐬(𝜶𝒙), en el intervalo −𝝅 ≤ 𝒙 ≤ 𝝅 es Descargado por iveth mendoza ([email protected]) lOMoARcPSD|6288222 SERRANO [Título del documento] ∞ 𝒔𝒆𝒏(𝜶𝝅) 𝒔𝒆𝒏(𝜶𝝅) 𝟐𝜶 ) + ∑ [( 𝟐 𝐜𝐨𝐬(𝒏𝒙) (−𝟏)𝒏 ] 𝟐 𝜶𝝅 𝜶 −𝒏 𝝅 𝒏=𝟏 Por el teorema de convergencia de Fourier se tiene que para [−𝝅, 𝝅] ∞ 𝒔𝒆𝒏(𝜶𝝅) 𝟐𝜶𝒔𝒆𝒏(𝜶𝝅) 𝒏 ( ) ( ) 𝐜𝐨𝐬(𝜶𝒙) = +∑ 𝐜𝐨𝐬 𝒏𝒙 −𝟏 𝜶𝝅 𝝅(𝜶𝟐 − 𝒏𝟐 ) Si 𝒙 = 𝝅 𝒏=𝟏 ∞ 𝒔𝒆𝒏(𝜶𝝅) 𝟐𝜶 𝒔𝒆𝒏(𝜶𝝅) ) 𝒄𝒐𝒔(𝜶𝝅) = + ∑ [( 𝟐 𝒄𝒐𝒔(𝒏𝝅) (−𝟏)𝒏 ] 𝟐 𝝅 𝜶 −𝒏 𝜶𝝅 𝒏=𝟏 ∞ 𝒔𝒆𝒏(𝜶𝝅) 𝟐𝜶 𝒔𝒆𝒏(𝜶𝝅) (−𝟏)𝒏 (−𝟏)𝒏 ] ( ) 𝒄𝒐𝒔 𝜶𝝅 = + ∑ [( 𝟐 ) 𝟐 𝜶𝝅 𝜶 −𝒏 𝝅 𝒏=𝟏 ∞ 𝒔𝒆𝒏(𝜶𝝅) 𝒔𝒆𝒏(𝜶𝝅) 𝟐𝜶 ( 𝟐 )] 𝐜𝐨𝐬(𝜶𝝅) = +∑[ 𝜶𝝅 𝝅 𝜶 − 𝒏𝟐 𝒏=𝟏 ∞ 𝟐𝜶 𝒔𝒆𝒏(𝜶𝝅) 𝟏 ] [ +∑ 𝟐 𝐜𝐨𝐬(𝜶𝝅) = 𝜶 − 𝒏𝟐 𝝅 𝜶 𝐜𝐨𝐬(𝜶𝝅) = 𝒏=𝟏 ∞ 𝒔𝒆𝒏(𝜶𝝅) 𝟏 𝟐𝜶 ] [ −∑ 𝟐 𝝅 𝒏 − 𝜶𝟐 𝜶 ∞ 𝒏=𝟏 𝐜𝐨𝐬(𝜶𝝅) 𝟏 𝟏 𝟐𝜶 ] = [ −∑ 𝟐 𝒔𝒆𝒏(𝜶𝝅) 𝝅 𝜶 𝒏 − 𝜶𝟐 𝐜𝐨𝐭(𝜶𝝅) = 𝒏=𝟏 ∞ 𝟏 𝟏 𝟐𝜶 [ −∑ 𝟐 ] 𝝅 𝜶 𝒏 − 𝜶𝟐 𝒏=𝟏 Descargado por iveth mendoza ([email protected]) lOMoARcPSD|6288222 SERRANO [Título del documento] Ejercicio Use el resultado anterior para obtener la suma de la serie 𝟏 𝟏 𝟏 + + +⋯ 𝟏𝟐 − 𝜶𝟐 𝟐𝟐 − 𝜶𝟐 𝟑𝟐 − 𝜶𝟐 Ejercicio Halle la SF de 𝒇 en el intervalo dado y decir hacia donde converge dicha serie 1) 𝟎 𝒇(𝒙) = { 𝟐 𝒙 −𝝅 ≤ 𝒙 < 𝟎 𝟎≤𝒙≤𝝅 2) Utilice el resultado del ejercicio anterior para probar que y 𝝅𝟐 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 = 𝟐+ 𝟐 + 𝟐 + 𝟐⋯ 𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟔 𝝅𝟐 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 = 𝟐− 𝟐+ 𝟐− 𝟐⋯ 𝟏𝟐 𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 3) Utilice el resultado del ejercicio anterior para calcular la serie que produce el valor numérico 𝝅𝟐 /𝟖 Descargado por iveth mendoza ([email protected]) lOMoARcPSD|6288222 SERRANO [Título del documento] 4) Halle la SF de 𝒇(𝒙) = 𝒙 + 𝝅, para −𝝅 ≤ 𝒙 ≤ 𝝅, y diga hacia dónde converge dicha serie 5) Utilice el resultado del ejercicio anterior para demostrar que 𝝅 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 =𝟏− + − + −⋯ 𝟒 𝟑 𝟓 𝟕 𝟗 Descargado por iveth mendoza ([email protected])
