INGENIERIA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES QUINTO SEMESTRE MATEMÁTICAS V (ACM-0407) Subtema 5.4 CONVERGENCIA DE UNA SERIE DE FOURIER 5.4 Convergencia de una serie de Fourier. CONVERGENCIA DE LA SERIE DE FOURIER Al igual que la serie de Taylor, la serie de Fourier depende de ciertos valores de la variable independiente x, para que converja o no. En esta sección, veremos condiciones sobre para saber a qué converge su serie de Fourier. Definición. (Función continua por partes) Decimos que una función es contínua por partes en el intervalo si: i) está definida y es contínua en , excepto quizás en un número finito de puntos. ii) y exiten y son finites. iii) En cada punto iv) v) donde no es continua, vi) y vii) existen y son finitos. Graficamente, una función es contínua por partes si tiene solamente un número finito de discontinuidades y además, estas discontinuidades no son infinitas. Así, una gráfica típica de una función contínua por partes se ve como sigue: Puesto que vamos a usar mucho los límites laterales, es conveniente introducir una noación especial: Ejemplo 5. La función definida como: es continua por partes, como puede verificarse fácilmente con la gráfica. Definición. (Función suave por partes) Una función es suave por partes en el intervalo si y partes en son funciones continuas por . Ejemplo 6. La función del ejemplo 5, es suave por partes en ya que de hecho es: Claramente esta última es contínua por partes en . Con estas dos definiciones, estamos en condiciones para dar nuestro primer teorema de convergencia para series de Fourier, el cual enunciamos sin demostración ya que ésta se sale de los objetivos del curso. Primer Teorema de Convergencia Sea una función suave por partes en . Entonces la serie de Fourier de cada punto converge en al valor: Es decir, la serie de Fourier converge al promedio de los límites laterales. Observaciones: 1. Si es continua en entonces la serie de Fourier converge a . De hecho este es el valor al cual esperábamos que converja la serie (recuérdese el problema planteado al inicio de esta unidad), pero vemos que solamente se logra en los puntos donde la función es continua. 2. Si es discontinua en entonces la serie de Fourier no converge a punto medio entre los límites laterales. 3. , pero si al El Primer Teorema de Convergencia no nos da información sobre los puntos extremos del intervalo. El siguiente criterio de convergencia, mejora este “defecto”, aunque cambian las hipótesis. Ejemplo 7. Sea la misma función del ejemplo 1. Claramente es suave por partes, y de hecho, es continua en todo el intervalo . Por lo tanto, aplicando el primer teorema de covergencia, podemos concluir que la serie de Fourier converge a , . Esto significa que, la función es igual a su serie de Fourier en el intervalo abierto: , Ejemplo 8. Sea la misma función del ejemplo 2. Claramente es suave por partes en el intervalo y continua en el intervalo . Por lo tanto, aplicando el primer teorema de covergencia, podemos concluir que la serie de Fourier converge a , . Esto significa que, la función es igual a su serie de Fourier en el intervalo abierto: , Ejemplo 9. Consideremos la función definida en el ejemplo 5. Ya vimos que esta función es suave por partes. Aquí, no es continua en el intervalo abierto . De hecho, vemos que las discontinuidades de son: Los extremos no los tomamos en cuenta, ya que el Primer Teorema de Convergencia no nos da información sobre ellos. Analicemos entonces los valores restantes. En , Por lo tanto, en la serie de Fourier de converge a: En se tiene que: Por lo tanto, en la serie de Fourier de converge a: En los demás valores del intervalo , la serie de Fourier converge a continuidad. Por lo tanto, sin calcular la serie de Fourier de decir que converge a: , por la , podemos http://72.14.253.104/search?q=cache:kBm1gjrop0wJ:docentes.uacj.mx/gtapia/MateAva nz/Contenido/Unidad%2520I/CONVERGENCIA.htm+Convergencia+de+una+serie+de +Fourier&hl=es&ct=clnk&cd=1&gl=mx