INGENIERIA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES
QUINTO SEMESTRE
MATEMÁTICAS V (ACM-0407)
Subtema 5.4
CONVERGENCIA DE UNA SERIE DE FOURIER
5.4 Convergencia de una serie de Fourier.
CONVERGENCIA DE LA SERIE DE FOURIER
Al igual que la serie de Taylor, la serie de Fourier depende de ciertos valores de la
variable independiente x, para que converja o no. En esta sección, veremos condiciones
sobre
para saber a qué converge su serie de Fourier.
Definición. (Función continua por partes)
Decimos que una función
es contínua por partes en el intervalo
si:
i)
está definida y es contínua en
, excepto quizás en un número finito de puntos.
ii)
y
exiten y son finites.
iii)
En cada punto
iv)
v)
donde
no es continua,
vi)
y
vii)
existen y son finitos.
Graficamente, una función
es contínua por partes si tiene solamente un número finito de
discontinuidades y además, estas discontinuidades no son infinitas.
Así, una gráfica típica de una función contínua por partes se ve como sigue:
Puesto que vamos a usar mucho los límites laterales, es conveniente introducir una
noación especial:
Ejemplo 5.
La función definida como:
es continua por partes, como puede verificarse fácilmente con la gráfica.
Definición. (Función suave por partes)
Una función
es suave por partes en el intervalo
si
y
partes en
son funciones continuas por
.
Ejemplo 6.
La función del ejemplo 5, es suave por partes en
ya que de hecho
es:
Claramente esta última es contínua por partes en
.
Con estas dos definiciones, estamos en condiciones para dar nuestro primer teorema de
convergencia para series de Fourier, el cual enunciamos sin demostración ya que ésta
se sale de los objetivos del curso.
Primer Teorema de Convergencia
Sea
una función suave por partes en
. Entonces la serie de Fourier de
cada punto
converge en
al valor:
Es decir, la serie de Fourier converge al promedio de los límites laterales.
Observaciones:
1.
Si
es continua en
entonces la serie de Fourier converge a
. De hecho
este es el valor al cual esperábamos que converja la serie (recuérdese el
problema planteado al inicio de esta unidad), pero vemos que solamente se
logra en los puntos donde la función es continua.
2.
Si
es discontinua en
entonces la serie de Fourier no converge a
punto medio entre los límites laterales.
3.
, pero si al
El Primer Teorema de Convergencia no nos da información sobre los puntos
extremos del intervalo. El siguiente criterio de convergencia, mejora este
“defecto”, aunque cambian las hipótesis.
Ejemplo 7.
Sea
la misma función del ejemplo 1. Claramente
es suave por partes, y de hecho,
es continua en
todo el intervalo
. Por lo tanto, aplicando el
primer teorema de covergencia, podemos concluir que la serie de Fourier converge a
,
.
Esto significa que, la función es igual a su serie de Fourier en el intervalo abierto:
,
Ejemplo 8.
Sea
la misma función del ejemplo 2. Claramente
es suave por partes en el intervalo
y
continua en el intervalo
. Por lo tanto, aplicando el
primer teorema de covergencia, podemos concluir que la serie de Fourier converge a
,
.
Esto significa que, la función es igual a su serie de Fourier en el intervalo abierto:
,
Ejemplo 9.
Consideremos la función definida en el ejemplo 5. Ya vimos que esta función es suave
por partes. Aquí,
no es continua en el intervalo abierto
. De hecho, vemos que las discontinuidades de
son:
Los extremos
no los tomamos en
cuenta, ya que el Primer Teorema de Convergencia no nos da información sobre ellos.
Analicemos entonces los valores restantes. En
,
Por lo tanto, en
la serie de Fourier de
converge a:
En
se tiene que:
Por lo tanto, en
la serie de Fourier de
converge a:
En los demás valores del intervalo
, la serie de Fourier converge a
continuidad.
Por lo tanto, sin calcular la serie de Fourier de
decir que converge a:
, por la
, podemos
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+Fourier&hl=es&ct=clnk&cd=1&gl=mx
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