TAREA 2 DE CÁLCULO INTEGRAL
Fecha límite de entrega: POR DETERMINAR. Tarea INDIVIDUAL.
17. Un fabricante de cajas de hojalata abiertas desea emplear
piezas de hojalata con dimensiones de 8 pulg por 15 pulg,
cortando cuadrados iguales en las cuatro esquinas y doblando hacia arriba los lados. (a) Encuentre un modelo
matemático que exprese el volumen de la caja como una
función de la longitud del lado de los cuadrados que se
cortarán. (b) ¿Cuál es el dominio de la función del inciso
(a)? (e) Detennine en la graficadora, con aproximación de
décimos de pulgada, la longitud del lado de los cuadrados
que se cortarán de modo que la caja tenga el volumen más
grande posible. ¿Cuál es el volumen máximo aproximado a
pulgadas cúbicas?
18. Un fabricante de cajas de cartón hace cajas abiertas a partir
de piezas cuadradas de cartón de 12 cm de lado, cortando
cuadrados iguales en las cuatro esquinas y doblando los
lados hacia arriba. (a) Encuentre un modelo matemático
que exprese el volumen de la caja como una función de la
longitud del lado de los cuadrados que se cortarán. (b) ¿ Cuál
es el dominio de la función del inciso (a)? (e) Determine en
la graficadora, con aproximación de centímetros, la longitud del lado de los cuadrados que se cortarán de modo que
el volumen de la caja sea máximo. ¿Cuál es el volumen
máximo aproximado a centímetros cúbicos?
23. Una página impresa contiene una región de impresión de
24 pulg 2, un margen de 1.5 pulg en las partes superior e
inferior y un margen de l pulg en los lados. (a) Encuentre un
modelo matemático que exprese el área total de la página
como una función del ancho de la región de impresión. (b)
¿Cuál es el dominio de la función del inciso (a)? (e) Determine, en la graficadora, con aproximación. de centésimos
de pulgada, las dimensiones de la página más pequeña que
satisface estos requerimientos.
_..¡
¡._.1pulg
24. Un almacén que tiene un piso rectangular de 13 200 pie2,
se construye de modo que tenga pasillos de 22 pie de ancho
en el frente y en fondo del almacén, y pasillos de 15 pie de
ancho en los lados. (a) Encuentre un modelo matemático
que exprese el área total del terreno donde ·se construirá
el almacén y IQS pasillos como una función de la longitud
del frente y del fondo del almacén. (b) ¿Cuál es el dominio
de la función del inciso (a)? (e) Determine en la graficadora, con aproximación de cent.ésimos de pie, las dimensiones del terreno que tiene el área mínima en el cual este
almacén se construirá.
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siones del terreno que tiene el área mínima en el cual este
almacén se construirá.
(b) ¿Cuál es la tasa de crecimiento cuando están presentes
100 000 bacterias? (e) Determine en la graficadora. con
aproximación de miles, cuántas bacterias están presentes
cuando la tasa de crecimiento es un máximo.
27. Fort Bragg, en el norte de California, es una ciudad pequeña
con 5 000 habitantes. Suponga que la tasa de crecimiento de
25. Suponga que desea utilizar un servicio de correo particular
para enviar un paquete que tiene forma de caja rectangular con
una sección transversal cuadrada tal que la suma de su
longitud y el perímetro de la sección transversal es 100 pulg,
el máximo permitido por el servicio. (a) Encuentre un modelo matemático que exprese el volumen de la caja como una
función de su longitud. (b) ¿Cuál es el dominio de la función
del inciso (a)? (e) Determine en la graficadora. con aproximación de pulgadas, las dimensiones del paquete que tiene
el mayor volumen posible que pueda enviarse por este
servicio.
una epidemia (la tasa de variación del número de personas
infectadas) en Fort Bragg es conjuntamente proporcional al
número de personas infectadas y el número de personas no
infectadas. Cuando 100 personas están infectadas, la epidemia crece a una tasa de 9 personas por día. (a) Encuentre
un modelo matemático que exprese la tasa de crecimiento
de la epidemia como una función del número de personas
no infectadas. (b) ¿Qué tan rápido es el crecimiento de la
epidemia cuando 200 personas están infectadas? (e) En
la graficadora, determine cuántas personas están infectadas
cuando la tasa de crecimiento de la epidemia es un máximo.
28. Una tienda de campaña con forma de pirámide cuadrangular se construye a partir de una pieza cuadrada de material
de 5 m de lado. En la base de la pirámide, sea x metros la
distancia desde el centro a uno de sus lados. Refiérase a
la figura. (a) Encuentre un modelo matemático que
exprese el volumen de la casa de campaña como una función de x. Sugerencia: La fórmula para el volumen de una
pirámide es V = Bh, donde V, B y h son, respectivamente, las medidas del volumen, el área de la base y la
altura. (b) Determine el volumen de la pirámide cuando
x = 0.8. (e) Determine en la graficadora. con aproximación de centésimos de metro, el valor de x para el cual el
volumen de la pirámide .es un máximo.
J
26. En un ambiente limitado donde A es el número óptimo de
bacterias soportado por el ambiente, la tasa del crecimiento bacteriano es conjuntamente proporcional al número
presente de bacterias y la diferencia entre A y el número presente. Suponga que el número óptimo soportable por
un ambiente particular es 1 millón de bacterias, y que la
tasa de crecimiento es de 60 bacterias por minuto cuando
se tienen 1 000 bacterias presentes. (a) Encuentre un
modelo matemático que exprese la tasa de crecimiento bacteriano como función del número de bacterias presentes.
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5m
J
son buenos ejercicios de aplicación del método de inducción. Algunos de estos ejercicios
10 los
5 alumnos
1
5 10 entre
pueden servir de base de discusión 1y estudio
y el profesor.
1 6 15 20 15 6 1
Coeficiente factorial
factorial y binomial.
binomial.
El símbolo
símbolo n! (que
(que se lee
lee n factorial)
factorial) se puede
puede definir
definir
Coeficiente
por
inducción como
como
sigue:
O!varios
= la
1, n
n!
1)!
si n ¿::
¿ del
1.de binomio:
O!
! = (n -de1)
l.
por
inducción
Ejercicios
referentes
método
inducción
55
4. Demuéstrese
por sigue:
inducción
fórmula
la!alnpotencia
Obsérvese que
que n!
n! = 1 ·. 2 ·. 3 •...• • n.
n.
Obsérvese
O <
~ k ~
.s n el coeficiente
coeficiente binomial
binomial
Si O
define por
por
(G)
f) se define
2
((n)n)
n!
3
1
y utilícese el teorema para deducir1 las3 fórmulas:
k1 =
.
=k!(n-k)!'
4 k! (n
6 - 4k)! 1
1 5 10 10 5 1
y 6 15 20 15 6 1
si n > O.
Nota:
Algunas veces
veces se 1escribe
escribe
nCk en vez
vez de (:)
G) .. Estos
Estos números
números aparecen
aparecen como
como
Nota: Algunas
nCk
coeficientes en la fórmula
fórmula de la potencia
potencia del
del binomio.
binomio. (Véase
(Véase el Ejercicio
Ejercicio 4 siguiente.)
siguiente.)
coeficientes
al> a
Demuéstrese
por inducción
inducción
fórmula
potencia
binomio:
por
la fórmula
de la potencia
binomio:
4. Demuéstrese
Símbolo producto.
El producto
de n números
reales del
2, ; •• , an se indica por
el
1. Calcúlense los valores de los siguientes coeficientes binomiales:
símbolo
ak' que se puede definir por inducción. El símbolo a1a2' .. an es otra
forma de escribir este producto. Obsérvese que:
(a) (i),
(b) (n,
(e) (D,
(d) (D,
(f) (g).
(e) (m,
TI~~1
2. (a) Demostrar que:
G) = (n~ k)'
y utilícese
utilícese el teorema
teorema para
para deducir
deducir las fórmulas:
fórmulas:
Y
<;)
(b) Sabiendo que
( {¡¡) =
calcular n.
5. Dar una definición por inducción
del producto
y
eD
TI;=1 a
k•
si
> O.
O.
n>
calcular k.
Sabiendo que
= (k~4)
Demostrar por inducción las siguientes propiedades de los productos:
al> ª2,
a2, ;; ••• • ,, an
an se indica
indica por
por .el
el
Símbolo
producto.
producto
Símbolo
producto.
producto de n números
números reales
reales Di,
(d) ¿Existe
un k talElque
= (/~3)?
símbolo ª1ª2
a1a2' · ·.. · Dn
an es otra
otra
símbolo
ak' que
que se puede
puede definir
definir por
por inducción.
inducción. El símbolo
símbolo
ak,
)
6.
(ak
b
k)
=
a
)
b
(propiedad
multiplicativa).
forma
de escribir
escribir
producto.
Obsérvese
que: Esta propiedad se denomina fórmula adiforma
deproducto.
Obsérves~
3. Demostrar
queestek(nj;l)
=k (k~l)
+ G).que:
tiva de los coeficientes combinatorios o ley del triángulo de Pascal y proporciona un
método rápido para calcular sucesivamente nlos coeficientes binomiales. A continuación se
Un
importante
es la relación:
(cak) = en
ak'
da caso
el triángulo
de Pascal
para n ~ n!
6.
k.
(e)
n
TI~~1
TT;=l
(n
(TI
e:)
TI:=1
= TT
TIk=1
k=l
TI;=1
cada ak
ak;.f
(propiedad telescópica).
telescópica).
7.
si cada
~ O (propiedad
5. Dar una definición por inducción del producto
ak•
Demostrar por inducción las siguientes propiedades de los productos:
n
_J2.t-1
1 - x2n
---(l +~ ) =
--x
- ..
8. Si xx ~
;;é 1, demostrar
demostrar que:
que:
1 -x
1
k=l
6.
n
(akbk)
=
(TI
ak)
(n
TT
bk)
(propiedad
¿Cuál
el valor
valor del producto
producto cuando
cuando x
x
¿
Cuál es e,l
Un caso importante
7.
es la relación:
si cada
ak;.f
multiplicativa).
= 1?
=
TI:=1 (cak)
O (propiedad
= en
TIk=1ak'
telescópica).
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8. Si x
;;é
1, demostrar
que:
---1 -x
.
