Limite y continuidad

Análisis Matemático I
Guía de Estudio y Práctica 2
Límite - Continuidad
Ciclo Lectivo 2018
Revisión de Conceptos
La idea instintiva de límite forma parte del saber popular. Tender a un límite significa
aproximarse a una meta, que no siempre se logra alcanzar. En el ámbito matemático, esta
idea se ha plasmado en una definición precisa que combina los conceptos de lo
infinitamente pequeño (infinitésimos) y lo infinitamente grande (el infinito).
Intuitivamente se dice que una función f(x) tiene límite L en el punto x = x0, si es posible
aproximar los valores de f(x) a L tanto como se quiera cuando x se acerca indefinidamente a
x0, siendo x distinto de x0. En términos matemáticos, se expresa como:
Lim f ( x)  L
x  x0
donde
(se lee: el límite de f(x) cuando x tiende a x0 es L)
De manera formal; se dice que la función f(x) tiene como límite el número L, cuando x tiende
a x0, si fijado un número real positivo ε, mayor que cero, existe un numero positivo δ
dependiente de ε, tal que, para todos los valores de x distintos de x0 que cumplen la
condición |x – x0| < δ, se cumple que |f(x) – L| < ε.
lim f ( x)  L     0   ( )  0 / 0  | x  x0 |    | f ( x)  L |  
x x0
f(x)
y
𝜀
L
𝜀
𝛿
𝛿
X0
x
También se puede definir el concepto de límite a través de entornos:
El número L es el límite de f(x) para x tendiendo a x 0 si y solo sí, para todo entorno de
L que se tome, existe un entorno reducido *de x0 de forma tal que, cada x
Límite – Continuidad - 1
perteneciente al entorno reducido de x0 y al dominio de la función f(x) tiene una
imagen dentro del entorno de L.
*
Entorno Reducido de a: (de la guía 1)
Un entorno reducido es un entorno del que se excluye el punto "a".
( )
* ⁄
|
|
+
Límites Laterales
El límite de una función f(x), cuando x tiende a x0 por la izquierda es L, si y solo sí, para todo
> 0 existe > 0 tal que si x  (x0 – ; x0), entonces |f(x) – L| <ε.
lim f ( x)  L     0   ( )  0 / x  ( x0   ; x0 )  | f ( x)  L |  
x( x0 ) 
El límite de una función f(x), cuando x tiende a x0 por la derecha es L, si y solo sí, para todo
> 0 existe > 0 tal que si x  (x0; x0 + ), entonces |f(x) – L| < ε.
lim f ( x)  L     0   ( )  0 / x  ( x0 ; x0   )  | f ( x)  L |  
x( x0 ) 
El límite de una función en un punto si existe, es único. Para que exista el límite de una
función en un punto, tienen que existir los límites laterales en ese punto y coincidir.
Lim f ( x)  L si y solo sí Lim f ( x)  Lim f ( x)  L
x( x0 ) 
x x0
x( x0 ) 
Leyes de Los Límites
Si c es una constante y existen los límites
Lim f ( x)  L1
x x0
Lim g ( x)  L2
x x0
Entonces se cumplen las siguientes propiedades:
Lim  f ( x)  g ( x)  Lim f ( x)  Lim g ( x)
x x0
x x0
x x0
Lim  f ( x)  g ( x)  Lim f ( x)  Lim g ( x)
x x0
x x0
x x0
Lim c f ( x)  c Lim f ( x)
x x0
x x0
Límite – Continuidad - 2
Lim  f ( x)  g ( x)  Lim f ( x)  Lim g ( x)
x x0
x x0
x x0
Lim f ( x)
 f ( x)  x x0
Lim 
  Lim g ( x)
x  x0  g ( x ) 
solo si Lim g ( x)  0
x  x0
x  x0


Lim  f ( x)   Lim f ( x)
x  x0
 x x0

n
n
Lim a  a
x  x0
Lim x  x0
x x0
Límites Infinitos y Límites al Infinito
Existen varios casos de límites de funciones que involucran la noción de infinito. El símbolo
se lee infinito y es de carácter posicional, no representa ningún número real.
Si una variable independiente x crece indefinidamente a través de valores positivos, se
escribe x
; y si decrece a través de valores negativos se denota como x
.
Similarmente, cuando una función f(x) crece indefinidamente y toma valores positivos cada
vez mayores, se escribe f(x)
; y si decrece tomando valores negativos se escribe f(x)
.
Límites Infinitos
Una función f(x) tiende a
cuando x  x0, si para todo número real positivo k > 0 se
verifica que f(x) > k para todos los valores próximos a x 0.
lim f ( x)     k     (k )  0 / 0 | x  x0 |    f ( x)  k
x x0
Es decir que el valor de la función se puede hacer tan grande como se desee (mayor que
cualquier constante k positiva) con tal de tomar x suficientemente próxima al punto x0.
Por ejemplo:
lim
x 0
1

x2
Límite – Continuidad - 3
Una función f(x) tiende a
cuando x  x0, si fijado un número real negativo k < 0 se
verifica que f(x) < k para todos los valores próximos a x 0.
lim f ( x)      k     (k )  0 / 0  | x  x0 |    f ( x)  k
x x0
Por ejemplo:
lim 
x 0
1

x2
Límite – Continuidad - 4
Límites al Infinito
Una función f(x) tiene por límite L cuando x 
, si la diferencia en valor absoluto entre la
función y el límite se puede hacer tan chica como se desee con tal de tomar x
suficientemente grande. El mismo criterio se puede tomar para x 
.
lim f ( x)  L
x
f ( x)  L  
x  N
Por ejemplo:
lim
x 
1
0
x2
Indeterminaciones
En muchas ocasiones se presenta el cálculo de límites de cocientes, diferencias y productos
de funciones en los que al reemplazar la variable por el valor al cual tiende se generan
indeterminaciones del tipo ; ;
;
. Una indeterminación no significa que el
límite no exista o no se pueda determinar, sino que la aplicación de las
propiedades de los límites tal como las hemos enunciad o no son válidas. El
resultado de estos límites no puede anticiparse y el mismo puede ser cer o,
,
un número finito diferente de cero, o bien puede no existir. Para resolverlos se
realizan
procedimientos
algebraicos
adecuados
que
permitan
salvar
la
indeterminación.
En símbolos podemos resumir:
Si
lim f ( x)  0 y
x a
lim g ( x)    , entonces el
x a
indeterminado del tipo
lim  f ( x)  g ( x), es un límite
x a
.
Si lim f ( x)  0 y lim g ( x)  0 , entonces el lim  f ( x) / g ( x) es un límite indeterminado
x a
x a
x a
del tipo .
Si lim f ( x)    y lim g ( x)    , entonces el lim  f ( x) / g ( x) es un límite
x a
indeterminado del tipo
x a
x a
.
Límite – Continuidad - 5
Si lim f ( x)   y lim g ( x)   , entonces el lim  f ( x)  g ( x) es un límite indeterminado
x a
x a
del tipo
x a
, (con cualquier combinación de signos siempre que sea una diferencia).
También hay potencias indeterminadas, que surgen del límite:
lim  f ( x)
g ( x)
x a
-
Si lim f ( x)  0 y lim g ( x)  0 , es un límite indeterminado del tipo
-
Si lim f ( x)   y lim g ( x)  0 , es un límite indeterminado del tipo
-
Si lim f ( x)  1 y lim g ( x)    , es un límite indeterminado del tipo
x a
x a
x a
x a
x a
x a
.
.
.
Asíntotas
Asíntota es un término con origen en un vocablo griego que hace referencia a algo que no
tiene coincidencia. El concepto se utiliza en el ámbito de la geometría para nombrar a una
recta que, a medida que se prolonga de manera indefinida, tiende a acercarse a una cierta
curva o función. Esto quiere decir que, mientras la recta y la curva van extendiéndose, la
distancia entre ambas tenderá a cero. De acuerdo a sus características, las asíntotas pueden
clasificarse en horizontales (cuando la recta es perpendicular al eje que corresponde a las
ordenadas), verticales (la recta, en este caso, es perpendicular al eje correspondiente a las
abscisas) u oblicuas (no resultan perpendiculares ni paralelas a ningún eje).
Asíntota Vertical
Se dice que la recta x = a es una asíntota vertical de f(x) si se cumple por lo menos una de las
siguientes preposiciones:
lim f ( x)  
xa 
lim f ( x)  
xa 
lim f ( x)   
x a 
lim f ( x)   
x a 
Por ejemplo:
Dada ( )
lim
x 2
1

x2
lim
x 2
1

x2
 x = 2 es Asíntota Vertical de la función f(x).
Límite – Continuidad - 6
Asíntota Horizontal
La recta y = L se denomina asíntota horizontal de f(x) si se cumple por lo menos una de las
siguientes preposiciones:
lim f ( x)  L
ó
x
lim f ( x)  L
x  
Por ejemplo:
( )
lim e  x  0
2
x 
lim e  x  0
2
x  
 y = 0 es Asíntota Horizontal de la función f(x).
Límite – Continuidad - 7
Asíntota Oblicua
Se dice que una recta y = mx + b es una asíntota oblicua de la curva f(x) si la diferencia f(x) –
(mx + b) tiende a cero cuando
(o cuando
).
Para hallar el valor de m basta dividir la función f(x) por x y calcular el límite del cociente
para x  ∞ (o cuando
).
Resulta entonces que m = lim
f ( x)
. Calculado así el valor de m se calcula el valor de b de la
x
x 
relación b = lim  f ( x)  m  x.
x 
Por ejemplo:
( )
m  lim
x 
f ( x)
 lim
x 
x
2x 2
2x
2
( x  3)
 lim
 lim
2
x  x  3
x 
x
1 3
x
 2x 2

  6x 
b  lim  f ( x)  m  x  lim 
 2 x  lim 
 6
x 
x  x  3
x  x  3 




 y = 2x – 6 es Asíntota Oblicua de la función f(x).
y = 2x – 6
f(x)
Infinitésimos
Se dice que la función f(x) es un infinitésimo cuando x a, si se verifica que:
Límite – Continuidad - 8
lim f ( x)  0
x a
Es decir, un infinitésimo es una función cuyo límite es cero cuando la variable independiente
x se aproxima hacia el valor x = a, o dicho de otra forma, una función cuyos valores se
aproximan tanto más al cero cuanto más se aproxima x hacia el valor a.
Por tanto, en el concepto de infinitésimo hay que tener presente no sólo la función f, sino
también el punto a. La función f es infinitésimo, en las proximidades del punto a. Suele
decirse que es infinitésimo en x=a.
Por ejemplo, Sen x es infinitésimo en x = 0, x =  ; x =  2; x =  3; x =  4;…, la función
f(x) = x2 + 1 no es infinitésimo en ningún punto.
Propiedades de los infinitésimos
-
La suma finita de infinitésimos es un infinitésimo.
El producto de dos infinitésimos es un infinitésimo.
El producto de un infinitésimo por una función acotada es un infinitésimo.
El producto de una constante por un infinitésimo es un infinitésimo.
La división de un infinitésimo por un escalar no nulo es un infinitésimo.
Comparación de Infinitésimos
Dadas dos funciones f(x) y g(x), con infinitésimos en x = a; lim f ( x)  0 y lim g ( x)  0 . Se
x a
x a
puede determinar con qué rapidez cada una de ellas tiende a cero y realizar una
comparación. Entonces:
-
Si lim
x a
f ( x)
   ; entonces f(x) y g(x) son infinitésimos comparables en x = a;
g ( x)
y f(x) es un infinitésimo de orden inferior a g(x) en x = a.
-
Si lim
x a
f ( x)
 0 ; entonces f(x) y g(x) son infinitésimos comparables en x = a;
g ( x)
y f(x) es un infinitésimo de orden superior a g(x) en x = a.
-
Si lim
x a
f ( x)
 k ; con k
g ( x)
* + entonces f(x) y g(x) son infinitésimos del
mismo orden en x = a.
-
Si lim
x a
f ( x)
 1 ; entonces f(x) es un infinitésimo equivalente a g(x) en x = a.
g ( x)
Límite – Continuidad - 9
Si dos infinitésimos son equivalentes en x = a, entonces, en el entorno de a es f(x)
g(x).
Algunos infinitésimos equivalentes (para x  0) son:
f(x) = Sen x
y
g(x) = x

lim
Sen x
1
x
f(x) = Tg x
y
g(x) = x

lim
Tg x
1
x
f(x) = ex – 1
y
g(x) = x

lim
ex  1
1
x
y

lim
Ln ( x  1)
1
x
f(x) = Ln (x + 1)
g(x) = x
x 0
x 0
x 0
x 0
Orden de Infinitésimos
De inmediato surge el problema de determinar el orden del infinitésimo.
Para ello se usa un infinitésimo de comparación o infinitésimo patrón, adoptando para el
mismo la expresión (x) = (x – a)n y se calcula:
f ( x)
x a ( x  a ) n
lim
para distintos valores de n = 1, 2, 3, 4, … hasta que el límite sea una constante distinta de
cero. Cuando ello ocurre para n = n0, se dice que f(x) es infinitésimo de orden n0 .
Continuidad
Una idea intuitiva de función continua se tiene al considerar que su gráfica es continua, en el
sentido que se puede dibujar sin levantar el lápiz de la hoja de papel.
Límite – Continuidad - 10
Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y solo si se cumplen las
siguientes condiciones siguientes:
1°- Que la función esté definida en el punto x = a.
 f(a)  a pertenece al dominio de la función.
2°- Que exista el límite de la función en el punto x = a.
 lim f ( x) 
xa
lim f ( x)  lim f ( x)
xa 
xa
3°- Que el valor de la función f(a) coincida con el límite de la función en el punto.
lim f ( x)  f (a)
xa
Por ejemplo; se estudiará la continuidad de la función f(x) en x = 2; siendo:
( )
{
1°- La función tiene imagen en x = 2; f(2) = 4.
2°- La función tiene límite en x = 2 porque coinciden los límites laterales.
lim f ( x)  lim x 2  4
x2
x2
lim f ( x)  lim 4  4
x2 
x2
 lim f ( x)  4
x 2
3°- El valor de la función en el punto coincide con el valor del límite en dicho punto.
Límite – Continuidad - 11
lim f ( x)  f (2)  4
x2
f(x)
De manera resumida, se puede decir que una función es continua en x = a si
lim f ( x )  f (a )
xa
Se dice que:

y = f(x) es continua en el intervalo (a ; b) si es continua en cada uno de los puntos
del intervalo abierto (a ; b).

y = f(x) es continua por la derecha en x = a si lim f ( x )  f (a ) .

y = f(x) es continua por la izquierda en x = a si lim f ( x )  f (a ) .

y = f(x) es continua en el [a ; b] si:
x a
x a
1°
y = f(x) es continua en el intervalo abierto (a ; b).
2°
y = f(x) es continua por la derecha en x = a.
3°
y = f(x) es continua por la izquierda en x = b.
Teorema de Bolzano
Si y = f(x) es continua en un intervalo cerrado [a ; b], y resultan f(a) y f(b) de signo opuesto,
entonces hay un valor c; donde c  (a ; b), en el cual se anula la función, f(c) = .
Este teorema constituye el fundamento teórico de los métodos de resolución aproximada
de ecuaciones.
Límite – Continuidad - 12
Teorema de Weierstrass
Toda función continua en un intervalo cerrado [a ; b] toma un valor menor que todos los
otros (mínimo) y uno mayor que todos los otros (máximo).
Operaciones con funciones continuas.
Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas en x = a, se tiene que:
1°. f(x) + g(x) es continua en x = a.
2°. f(x) g(x) es continua en x = a.
3°. f(x) / g(x) es continua en x = a si g(a)  0
4°. f(x)g(x) es continua en x = a suponiendo que f(a) >
(para que tenga sentido la
potencia).
Discontinuidades
Se dice que una función y = f(x) es discontinua en x = a si no es continua en dicho valor de x,
es decir, no cumple alguna de las tres condiciones de continuidad.
Tipos de Discontinuidades
1°-
Evitable: Cuando existe el lim f ( x) pero no coincide con el valor de f(a) por una de
xa
estas dos razones: son distintos los valores o no existe f(a).
y
𝑓 (𝑥)
4
2
𝑥
𝑥
x
Límite – Continuidad - 13
2°-
De salto: Cuando existe el límite por la derecha y por la izquierda y siendo ambos
finitos no coinciden.
y
𝑓 (𝑥)
1
𝑆𝑔 (𝑥)
𝑠𝑖 𝑥
𝑠𝑖 𝑥
𝑠𝑖 𝑥 >
x
–1
3°-
Asintótica: Cuando alguno de los límites laterales (o ambos) no es finito. Puede ser
asintótica por la derecha, por la izquierda o por ambos lados.
𝑓 (𝑥)
4°-
𝑥
Esencial: Cuando no existe alguno de los límites laterales (o ambos). Puede serlo por
la derecha, por la izquierda o por ambos lados.
Límite – Continuidad - 14
𝑓(𝑥)
𝑆𝑒𝑛
𝑥
Si y = f(x) tiene una discontinuidad evitable en x = a, se llama verdadero valor de la función en
x=a al lim f ( x) . Dicho valor es el que convierte a la función en continua.
xa
Si y = f(x) tiene una discontinuidad de salto en x=a, se llama salto de la función en x=a al valor
L1 – L2.
Límite – Continuidad - 15
Ejercicios
01
Calcular los siguientes límites:
lim
c.
x2 1
lim 3
x 1 x  x 2  4 x  4
e.
x4  a4
lim 2
x a x  a 2
g.
lim
i.
02
x3  x 2  6x
x 2 3 x 2  4 x  4
a.
x  2  3x  2
x2
x 2
lim
x 0
3x  1  1  x
2x  3  3  4x
b.
d.
x 0
x2  9  3
x2
2 x 3  17 x 2  20 x  75
lim
3x 3  3x 2  85 x  125
x  5
f.
a4  x4
lim
x  a a 3  x 3
h.
lim
j.
x2  5  3
lim
x 2
x 2  2x
x a
x a
xa
Calcular los siguientes límites indeterminados de la forma 0/0.
x3 1
a. lim
x1 x 3
x0
d. lim
x3  x 2  x  1
2 x  2 x
f. lim
x2  x
x0
x2
x2 2
x 2
x 3  4 x 2  5x  2
x1
x6  x2
g. lim
x2  2
x1
x2  x4
e. lim
x 2  3x  1
b. lim
 2 x 2  3x
x2 1
c. lim
x1 x  1
h. lim
x 1
3 5 x
x 4 2  8  x
i. lim
03
lim
x 1
x2 1
x 1 1
x2 2
j. lim
x 2
Calcular los siguientes límites indeterminados de la forma /
a.
5 x 4  3x 2  1
lim
x  2 x  3 x 3  1
c.
x  93x  8
lim
4 x  93  2 x
2
x 
b.
5x 2  8x  x 7
lim 2
x  3 x  2 x  x 3
d.
3x  1 2 x
lim
x  8 16 x
2
5
2
3
x 
2
2
2
4

 81
3
Límite – Continuidad - 16
Generalizar para el cálculo de lim
x 
04
Hallar P(x) tal que:
lim
x 
05
06
07
Pn ( x)
según el grado de los polinomios P y Q.
Qm ( x )
P( x)
7
2x  4x  8
3
¿Es único P(x)? Justificar.
Calcular los siguientes límites indeterminados.

a.
lim 3x 2  x
c.
lim
x 0

3x 2  2 x  1
5x 4  x 3
8x 2  x  1 8  5x 2
x 
1 x
x2  2


x2
x6  1
b.
lim x 2  1
d.
lim Sec x  Cos (3x) 
x 1
x
3

2
Calcular los siguientes límites indeterminados de la forma  - 
a.
 x 1
x2 1
lim 


x 1  x  12
x 4  1 

c.
lim
x  
 4x
2
1  x2 1


xa  x2
b.
lim
d.
1 
 2
lim  2


x 1 x  1
x 1

x 

Calcular los siguientes límites teniendo en cuenta conceptos sobre infinitésimos e
infinitésimos equivalentes.
sen(ax)
x0
bx
a. lim
c. lim
x0
x 2 sen(3x)
tg 3 (2 x)
d. lim
tg 3 (4 x)
xsen 2 (6 x)
Ln(1  x )
1  ex
f. lim
tg (ax)
tg (bx)
e. Lim
x 0
sen(8 x)
x0 tg ( 4 x)
b. lim
sen( x  a)
x  a x 3  a 3
g. lim
x0
x0
h. limx   Cotg(2 x)  Cosec(3x)
x 


i. lim   x 3tg (2 x)  5 Cotg(4 x)
 4
x 

4
k. lim
x0
1  x 1
x
j. lim 2 x  1 Sec (x)
x
l. lim
x0
1
2
sen(ax)
tg (bx)
Límite – Continuidad - 17
m. lim
x0
n. lim
x 2 (1  cos x)
(1  Cos x) 3 ln(1  x)
x 0
3( Sen 6 x)tg x
Sen xTan x
1  Cosx
ñ. Lim
x 0
p. lim
e x 1
x0 sen( 2 x)
2 sen 2 x
x0
o. lim
sen 2 x  x 3
1  cos x
q. lim
(1  cos x) 3
tg 3 x
x0
ln 2 x
x1 x  1
7 (e 3 x  1)
x 0 3 ln(1  x )
s. lim
r. lim
08
Hallar él o los valores de “a” si es que existe, tal que Lím
09
Dados los polinomios ( )
x 2
son los valores reales de
10
; ( )
( )
tal que
( )
; ¿Cuál o cuáles
?
Representar en forma aproximada las siguientes funciones racionales fraccionarias.
Analizar y representar por separado. Hallar las asíntotas.
a. y 
11.
ax 2  x  9 8

 x3  3x  2 9
2
3x  17 x  10
b. y 
2
c.
d.
e.
f.
g. y 
x 1
x2 1
h. y 
i. y 
5x 4  1
4x3  2
j. y 
x 1
x x2
2
(
)
3x
x2
x3  1
x2  4
Determinar los valores de las constantes a y b para los cuales la función dada resulta
continua en todo el eje real. Justificar.
a)
12
 x3 , x  2
,
f x    2
a x , x  2
b)
x  1
 2,
a x  b ,  1  x  3
f x   
 2,
x3
Estudiar la continuidad de las siguientes funciones y, en caso de ser discontinuas
clasificar el tipo de discontinuidad. Justificar.
a.
y x
Valor absoluto de x, a = 0 y en a = 2
Límite – Continuidad - 18
13.
y
c.
 x2  4
, x  2

y   x2
0,
x2

d.
y
e.
 
y  Sen   en x = 0 y en x = 1
x
f.
 
y  x Sen   en x = 0
x
Sen x
en x = 0
x
Hallar los valores de y para que la función ( ) sea continua en .
( )
14.
101 / x  10 1 / x
en x = a = 0
101 / x  10 1 / x
b.
{
|
|
Hallar las constantes a y b para que la función dada sea continua para todo x.
Justificar.
( )
15.
>
¿Cuántas asíntotas verticales tiene f ( x) 
7 x2  6 x 1
? Confirme su resultado
( x  1)( x  1)
resolviendo el límite.
16.
Encontrar, si es posible, los puntos de discontinuidad de la función f(x) = x2
+ 1+ |2x − 1|.
17.
Estudiar la continuidad de ( )
18.
Dada la función:
|
|
en todo su dominio.
 x 2  25

si x  5
f ( x)   x  5
 0
si x  5
a) Demostrar que f(x) no es continua en x = 5.
b) ¿Existe una función continua que coincida con f(x) para todos los valores x? En
caso afirmativo dar su expresión.
19.
Determinar si las siguientes funciones son continuas en el intervalo  3 ; 3 :
Límite – Continuidad - 19
c. y 
20.
1
x2
b. y 
y  x2  1
a.
 2 x  4,  3  x  0
d. y  
0 x 3
 x  1,
x2  4
x2
Representar una función que cumpla las siguientes condiciones e indicar los
intervalos de crecimiento de la función representada:
a)
Tiene una asíntota vertical en x = 2 y una asíntota horizontal en y = –3.
b)
f(2) = – 1 y Lim f ( x)  3 .
c)
Tiene un mínimo en el punto (– 2 ; – 5) y su único máximo está ubicado en el
x 1
punto (0 ; 1).
21.
¿Cuántas asíntotas verticales puede tener una función? ¿Y horizontales?
22.
Si y = h es asíntota horizontal de f(x), ¿En cuántos puntos pueden intersectarse la
gráfica de una función con una de sus asíntotas horizontales? Dar un ejemplo.
23.
Sea ( )
y ( )
{
a) Determinar el conjunto de los valores de
b) Utilizando el valor o valores de
( )
.
para que ( ) sea continua en
.
hallados en el punto anterior, determinar en qué
caso ( ) es una función par.
24.
Hacia un tanque que contiene agua pura, fluye agua salada de modo que la
concentración de sal en un tiempo t está dada por la función
c(t ) 
t
10t  100
(t > 0)
Dibujar el gráfico de c(t) y discutir el comportamiento de la función cuando
t .
Límite – Continuidad - 20