MATEMATICAS

CURSOS PROPEDÉUTICOS EXANI
GUIA DE MATEMATICAS
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“La educación es nuestro pasaporte para el futuro, porque el mañana pertenece a la
gente que se prepara para el hoy”
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ARITMÉTICA
7.- ¿Qué número es mayor que – 50?
a) - 60
b) – 80 c) – 70 d) – 40
1.1 Números Naturales
1.1.1 Suma, Resta, Multiplicación y
División
1.1.2 Relación de Orden
1.1.3 Mínimo Común múltiplo
EJERCICIOS:
1.- El mcm de 12, 16 y 24 es:
a) 28 b) 36 c) 40 d) 48
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e) 52
e) – 90
1
metros de tela para
2
3
hacer trapos de cocina; si cada trapo lleva de metro
4
de tela, ¿Cuántos trapos podrá hacer?
1
1
a) 5
b) 5
c) 6
d) 8
e) 18
4
3
8.- La señora García compró 4
2.- El mcd de 210, 300 y 160 es:
a) 10 b) 15 c) 35 d) 100 e) 210
9.- La operación 1 ÷ 1/5 da por resultado:
a) 0. 2
b) 1/5
c) 2.2
d) 11/5 e) 5
3.- ¿Cuál es el máximo común divisor de
72 y 90?
a) 6
b) 10 c) 14 d) 22 e) 18
1.4 Decimales
1.4.1 Suma, Resta, multiplicación y división
1.4.2 Relación de orden y equivalencia
1.4.3 Potencias de 10 y notación científica y/o
exponencial
1.2 Números Enteros
1.2.2 Suma, Resta, Multiplicación y
División
EJERCICIOS:
EJERCICIOS:
4.- El Resultado de {(48 + (9 – 3) + 5)(2 (2
– 5) + 3)} es:
a) 117 b) 36 c) - d) 144 e) 105
177
10.- El número 3 000 000 000 en notación científica
se escribe:
a) 10 x b) 3 x c)
d) 3x10- e)39 +
9
9
9
9
3
10
30x10
10
1.2.3 Relación de Orden
1.3. Fracciones.
1.3.1 Suma, Resta, multiplicación y
división
1.3.2 Relación de orden y equivalencia
11.- Si la distancia de la Tierra al Sol es de 150 000
000 km, ¿Cómo representamos esa distancia
científicamente?
a) 1.5x108 b) 157 c) 1.58 d) 1.5x810 e)
15x710
EJERCICIOS
5.- La fracción 3
a)
16
5
b)
15
5
1
equivale a:
5
14
17
c)
d)
5
5
e)
18
5
-2
3
12.- El resultado de (4 x10 )(8 x10 ) es:
2 x10 - 4
a) 16 x 10-4
b) 16 x 10 -2
6
10
d) 1.6 x 105 e) 1.6 x 104
13.- La simplificación de
6.- El inverso aditivo de -10 es
a) – b) 10 c)
c) – d) 0
1/10
1/10
10
8x 3 y
es:
16 xz
c) 1.6 x
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a) 2x2yz
b)
- x2 y
z
3
x y
e)
xz
c)
x2 y
z
d)
x2 y
2z
4a 2 b -3 c
es:
3a 3b -2 c 4
4
b) ab-1c3
3
14.- La simplificación de:
a) a5b-5c5
4 -1 -1 -3
a b c
3
e) 1.3 ab-1c3
c)
d)
a-1b-1c-3
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30.- Un banco ofrece una tasa del 22.05% de interés
mensual; si se depositan $7320.00, ¿Cuánto se
obtiene en total al final del primer mes?
a) $159421.50
b) $8856.75
c) $8830.15
d) $8824.21
e) 8930.15
31.- Si una hacienda de 320 hectáreas tiene cultivado
el 85% de su tierra, ¿Cuántas hectáreas tiene
cultivadas?
a) 37.6 b) 48
c) 235
d) 272
e) 282.4
32.- Si la población de una ciudad es de 2,000
personas y existen 160 niñas, ¿Qué porcentaje
representa esta cantidad?
a) 8%
b) 18% c) 14% d) 12% e) 20%
15.- ¿Cuál es la representación en notación
ÁLGEBRA
científica del siguiente enunciado?
La altura de un edificio es de 10 000 cm
a)103
b)1x10-3
c) 104 d)10-4
e)1x10-4 1.1. Leyes de los exponentes
PRIMERA LEY para multiplicar potencias de la
cm
cm
cm
cm
cm
misma base, se conserva la base y se suman los
exponentes. Expresado quedaría como sigue
0.675
16.=
𝑥 " 𝑥 # = 𝑥 "%#
0.001
Ejemplos: efectuar las siguientes operaciones:
a) 67 b) 6 c)
d)
e)
1. (x3 )(x2) = x5
500
750
67.5
675
6.75
1.5.2 Porcentaje
EJERCICIOS:
27.- El 5% de 720 es:
a)
b) 3.6 c) 36
0.36
28.- 39 es el 15% de:
a)
b) 2.6 c) 26
0.26
d) 360 e) 3
600
d) 260 e) 2
600
29.- Un televisor cuesta $2,325.00 y tiene
un descuento del 13.5%. ¿Cuánto se debe
pagar por él?
a)
b)
c)
d)
e)
$313. $8,13 $2,01 $2,63 $1950
85
7.50
1.12
8.87
.00
2.
3.
4.
5.
6.
(am )(ax) = am+x
(x2 )(xn) = xn+2
(2x2 y3 )(5x3 y4) = 10x5 y7
2x2 (3x3 - 2x4 y) = 6x5 - 4x6 y
(23 )(24) = 27
SEGUNDA LEY para elevar una potencia a otra
potencia se conserva la base y se multiplican los
exponentes. Expresado quedaría como sigue
(𝑦 ( )* = 𝑦 (()(*)
Ejemplos. Efectuar las siguientes operaciones:
1.
2.
3.
4.
5.
(m3 )2 = m6
(x2 )n = x2n
(an-1 )3 = a3n-3
(x-2 )-4 = x8
(x2 )3(x)2 = (x6 )(x2) = x8
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6. (23 )4 = 2 12
4
2. 8 9
/
TERCERA LEY la potencia n-ésima de
un producto es igual a la potencia n-ésima
de cada uno de sus factores. Expresado
quedaría como sigue (𝑎𝑏)" = 𝑎" 𝑏"
Ejemplos. Efectuar las siguientes
operaciones:
(a2 b)3 = a6 b3
(2x3 y2)2 = 4x6 y4
(x-2 y-3)-4 = x8 y12
(an bn-1 )2 = a2n b2n-2
(3a2 b4)2 (ab2)3 = (9a4 b8)
(a3 b6) = 9a7 b14
6. (-2m3 n)3 (m2 n4 x3 )2 = (-8m9
n3)(m4 n8 x6 )= -8m13 n11 x6
1.
2.
3.
4.
5.
3.
0
1. a = 1
2. (xy3)0 = 1
3. (5xy – 4x2)0 = 1
/
0 "
(0)3
quedaría como sigue /1 2 = (1)3
Ejemplos. Efectuar las siguientes
operaciones:
0 5
/ 42 =
1.
(0)6
(14 )6
=
1
06
17
8 7 96
(8 <4 )<?
2
<6
5
(:)6
=
= (9 <6)<? =
:
2 =
;
8@
9 A4
9@
C
SEXTA LEY para dividir potencias de la misma
base, se conserva la base y se restan los exponentes.
(La resta se efectúa de mayor a menor exponente).
0D
Expresado quedaría como sigue 03 = 𝑎#="
Ejemplo: efectuar las siguientes operaciones:
1.
2.
4.
5.
6.
8@
= 𝑥 ;=5= 𝑥 E
86
>8 6 9 F
:9 4
=
6
G8 ? 9
:>0F 16
/
:#6 "4
58
= −
=G06 1F
:
2 =
#"6
(=58 4 9)4
=
G8 6 9 F
>04
14
>#7 "?
#4 "7
C8 ? 9 4
G8 6 9 F
=
>#?
=
"4
58
:9 6
8 LMA 9
= 𝑥 (0%N)=N𝑦N=("%N)
89 3MA
0%N=N N="=N
0 =N
𝑥
QUINTA LEY la potencia n-ésima de un
cociente es igual a la potencia n-ésima de
cada uno de sus términos. Expresado
=>
8 <4
9
(8 4 9)6
2 =
B ?
4. 8 9
3.
CUARTA LEY toda expresión algebraica
elevada a la potencia cero es igual a la
unidad. Expresado quedaría como sigue
(𝑥 )- = 1
Ejemplos. Efectuar las siguientes
operaciones:
/
:
5
𝑦
=
= 𝑥 𝑦
SEPTIMA LEY toda expresión algebraica elevada
a una potencia negativa es igual a su reciproco con
exponente positivo. Expresado quedaría como sigue
N
𝑥 =" = 8 3
1. 𝑎=5 =
2.
5
8 <4
N
06
= 3𝑥 2
N
N
3. (2xy)-2 = (:89): =
4.
5.
6.
8 <6 9 ?
O <A
8 <4 9 <A O 4
#4
=5
=𝑚
#F
504 16
G0? 1Q
=
=
=
8 4 9?
>8 4 9 4
9
9F
86 O4 O
=
8O 6
N
#6
<4
0 1<?
:
=
N
:04 1?
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20.
Ejercicios.
Efectúa
las
:<? 5<4 E<4
:<4 5<A E<6
siguientes
expresiones, representa el resultado con
RADICACIÓN
exponentes positivos.
Radical o Raíz: La raíz de una expresión algebraica
es toda expresión algebraica que elevada a una
potencia reproduce la expresión dada. Es así que 2 y 2 son las raíces cuadradas de 4 ya que 2: = 4, así
como (−2): = 4.
El signo empleado para denotar la raíz es √ ,
llamado Signo Radical, debajo o dentro de este signo
se coloca la cantidad a la que se extrae la raíz, llamada
por eso Cantidad Subradical o simplemente
Subradical.
El símbolo √ lleve un número denominado índice,
el cual indica la potencia a la cual se tiene que elevar
la raíz para que se reproduzca la cantidad Subradical.
Todos los elementos así como la posición que ocupan
se muestran a continuación:
1. (𝑎
5 )( > )
𝑎
2. (𝑚E )(𝑚=E)
3. 25 2S
4. 𝑥 ; ÷ 𝑥 E
5. 𝑎=: ÷ 𝑎5
6. (3: 25 ): ÷ (3 ∙ 2: )5
7. (𝑎=:)5
8. (𝑎=5𝑏=:)>
9. 𝑥 N/:𝑥
10.
(𝑥 =:𝑦 5 )=N
÷
(𝑥 5 𝑦 =:):
11.
𝑥 :" 𝑥 ="
12.
/ 2
13.
/
14.
15.
16.
17.
5 5
E
506 14 X ?
G01X
SF
=S4
(=5)4
5
5- 𝑎:
8 <6 9 Q
8 <? 9 <A
El signo de una raíz de penderá del índice que esta
contenga, es así que para saber el signo que tendrá se
siguen las siguientes dos reglas:
1. Si el índice es una cantidad impar entonces
la raíz tendrá el mismosigno que la
cantidad subradical.
( =: ):( =5)=N
𝑎
18.
19.
>
2
Expresión radical o
Radical: Es toda raíz indicada de un número o de una
expresión algebraica. Cuando la raíz indicada es
exacta se dice que la expresión es Racional, en coso
de no ser exacta es llamada Irracional.
El grado de un radical está indicado por su índice, es
así que el ejemplo de arriba es un radical de grado 3
ya que su índice es precisamente ese número.
Signos de la raíces
#<4 "4
#? "<7
𝑏
𝑎𝑏
2. Si el índice es una cantidad par entonces:
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a. Si el subradical es
positivo, entonces la
raíz tendrá signo
doble±.
b. Si el subradical es
negativo, entonces la
raíz no existe o no
tiene
soluciones
reales.
Para obtener la raíz de una expresión
algebraica es necesario considerar las
siguientes reglas:
𝐧
𝐦
𝐧
𝐧
𝐧
1. √𝐚𝐦 = 𝐚
𝐧
𝐧
𝐧
𝐚
𝐧
𝐧
√𝐚
𝐧
√𝐛
𝟏
𝐧
𝐦
𝐦
4. c √𝐚d = /𝐚 2 =
𝐦
Ahora hallemos, siguiendo los pasos, la raíz del
6
coeficiente, es decir √−8 , que como podemos ver se
trata de el caso donde el índice es impar por lo que la
raíz mantendrá el signo negativo del −𝟖. Es así que
6
√−8 = −2 ya que (−2)5 = −8.
Ahora trabajamos con la parte literal, por lo que
procedemos a dividir cada uno de los exponentes que
posee cada letra entre el índice 3. De esta forma para
𝟑
𝒂𝟑 tendríamos como resultado 𝒂 ya que 𝟑 = 𝟏, para 𝒙𝟔
tendríamos 𝒙𝟐 ya que
𝟗
2. √𝐚𝐛𝐜 = √𝐚 √𝐛 √𝐜
3. b =
𝐛
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𝟑
= 𝟐 y por último para 𝒚𝟗
tendríamos 𝒚𝟑 ya que 𝟑 = 𝟑.
Es así que:
𝟑
g−𝟖𝒂𝟑 𝒙𝟔 𝒚𝟗 = −𝟖𝒂𝒙𝟐 𝒚𝟑
Suma y Resta de Radicales
Para sumar o restar radicales es necesario considerar
las reglas que empleamos para sumar o restar
polinomios, es decir, para sumar o restar radicales se
resume en reducir términos semejantes pero ahora con
radicales. Para lograr esto se siguen los siguientes
pasos:
𝐧
𝐚 𝐧 = √𝐚𝐦
𝐧
𝟔
𝐧
1. Simplificar todos los radicales que se
pretenden sumar o restar.
2. Identificar radicales semejantes, es decir,
radicales que tienen el índice y el
subradical iguales.
3. Sumar o restar los coeficientes de los
radicales semejantes, entendamos que
radicales semejantes son aquellos que
tienen el mismo índice y la misma parte
subradical.
𝐧
5. c √𝐚d = 𝐚𝐧 = 𝐚
Simplificar un Radical o Raíz de un
Monomio
Considerando las reglas antes mencionadas
se sigue que para obtener la raíz de un
monomio los pasos a seguir son los
siguientes:
1. Se extrae la raíz del coeficiente.
2. Se divide el exponente de cada
letra que conforman la parte
literal por el índice del radical.
Ejemplo:
Hallar la raíz cúbica de −8𝑎5 𝑥 G 𝑦 C .
Para obtener está raíz primero expresemos
el ejercicio en forma de radical, es decir:
6
g−8𝑎5 𝑥 G 𝑦 C
Ejemplo:
Resolver:
g25𝑎𝑥 : + √49𝑏 − g9𝑎𝑥 :
Para resolver primero simplificamos los radicales
siguiendo las reglas antes vistas:
g25𝑎𝑥 : = g5: 𝑎𝑥 : = 5𝑥√𝑎
√49𝑏 = g7: 𝑏 = 7√𝑏
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g9𝑎𝑥 : = g3: 𝑎𝑥 : = 3𝑥√𝑎
3.
Como podemos observar después de
simplificar los radicales tenemos dos que
tienen el mismo índice y el mismo
subradical √𝑎, por lo que para terminar de
simplificar simplemente sumamos los
coeficientes que posee cada uno, es decir,
5𝑥 − 3𝑥 = 2𝑥. Por otra parte los radicales
diferentes o que no tienen algún otro con las
mismas características simplemente se
vuelven a escribir. De esta forma al resolver
el ejercicio se obtiene el siguiente
resultado:
Ejemplo:
g25𝑎𝑥 : + √49𝑏 − g9𝑎𝑥 :
= 5𝑥√𝑎 + 7√𝑏 − 3𝑥√𝑎
= 2𝑥√𝑎 + 7√𝑏
Por último se procede a simplificar el nuevo
radical obtenido.
g24𝑥 : 𝑎𝑦 ∗ g2𝑎5 𝑥 :
Primero observemos que los radicales tienen el
mismo índice 4.
Ahora procedemos a multiplicar los subradicales
(24𝑥 : 𝑎𝑦)(2𝑎5 𝑥 : ) = 48𝑥 > 𝑎> 𝑦
De esta forma obtenemos el siguiente nuevo radical
?
g48𝑥 > 𝑎> 𝑦
Ahora procedemos a simplificar este radical:
?
?
g48𝑥 > 𝑎> 𝑦 = g2> ∗ 3 ∗ 𝑥 > ∗ 𝑎> ∗ 𝑦 = 2𝑥𝑎 ?g3𝑦
División de Radicales con el Mismo Índice
Para dividir radicales con el mismo índice nos
apoyamos nuevamente de una ley vista con
anterioridad:
Multiplicación de Radicales con el
Mismo índice
Para multiplicar radicales con el mismo
índice nos apoyamos de una de las leyes
que vimos anteriormente:
𝐧
𝐧
√𝐚𝐛𝐜 = 𝐧√𝐚 √𝐛 𝐧√𝐜
La cual vista de derecha a izquierda nos
dice que para multiplicar radicales con el
mismo índice simplemente se multiplican
los subradicales cuyo resultado pasará a
formar parte de un nuevo radical cuyo
índice será el que compartían los radicales
que se pretenden multiplican.
Para multiplicar radicales que tienen el
mismo índice se siguen los siguientes
pasos:
1. Identificar que efectivamente los
radicales que se pretenden multiplicar
tengan el mismo índice.
2. Una vez verificado lo anterior
procedemos a multiplicar las partes
subradicales empleando las reglas
para la multiplicación algebraica.
?
?
𝐚 𝐧√𝐚
b =𝐧
𝐛 √𝐛
𝐧
La cual vista de derecha a izquierda nos dice que para
dividir radicales con el mismo índice simplemente se
dividen los subradicales cuyo resultado pasará a
formar parte de un nuevo radical cuyo índice será el
que compartían los radicales que se pretenden dividir.
Para dividir radicales se siguen los siguientes pasos:
1. Identificar que los radicales tengan el mismo
índice.
2. Una vez verificado lo anterior procedemos a
dividir las partes subradicales empleando las
reglas para la división algebraica.
3. Por último se procede a simplificar el nuevo
radical obtenido.
Ejemplo:
?
g48𝑥 G 𝑦 :
?
g3𝑥𝑦
Primero observemos que ambos radicales tienen el
mismo índice 4.
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Ahora
procedemos
subradicales
>;8 79 4
a
dividir
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los
Multiplicar:
= 16𝑥 E 𝑦
589
6
1. √𝑥 × √2𝑥 :
De esta forma obtenemos el siguiente
radical ?g16𝑥 E 𝑦
Ahora procedemos a simplificar este
radical
?
g16𝑥 E 𝑦 = ?g2> ∗ 𝑥 > ∗ 𝑥 ∗ 𝑦 = 2𝑥 ?g𝑥𝑦
En resumen:
?
g48𝑥 G 𝑦 :
?
g3𝑥𝑦
?
2. 3√2𝑎𝑏 × 4 √8𝑎5
7
6
3. g9𝑥 : 𝑦 × √81𝑥 E
6
?
4. √𝑎: 𝑏: × 2 √3𝑎5 𝑏
7
?
5. g25𝑥 : 𝑦 5 × √125𝑥 :
?
=t
48𝑥 G 𝑦 : ?
= g16𝑥 E 𝑦
3𝑥𝑦
?
g2>
𝑥>
=
∗
?
= 2𝑥 g𝑥𝑦
∗𝑥∗𝑦
Dividir:
6
?
1. √8𝑎5 𝑏 ÷ √4𝑎:
2.
Ejercicios de radicales:
N
:
N7
√2𝑥 ÷ > √16𝑥 >
6
F
3. √5𝑚 : 𝑛 ÷ √4𝑚 5 𝑛:
Simplificar:
1.
:
5
N
6
6
√135 + b
:
6
20 b
N
5:
S
6
N
+ b −
>
>
:--
6
y
5. √3𝑚 > ÷ √27𝑚 :
Racionalizar el denominador:
6
6
2. 3 √−24 − 4 √−81 − √−375
6
6
3. 4 √−320 − 10 √−40 −
6
6
2 √−54 + 3 √1024
6
1.
2.
3.
:0
√:08
N
6
√C8
G
6
E √58
6
4. 3 √2𝑎5 − 𝑏 √128 + (4𝑏 −
6
3𝑎) √2
6
5. 𝑎 √250𝑏 − √3𝑎𝑏5 −
6
?
N
6
6
7
4. g18𝑥 5 𝑦 > 𝑧 E ÷ g3𝑥 : 𝑦 : 𝑧 5
6
5 √2𝑎5 𝑏 + 3𝑏 √3𝑎
4.
N
F
√;0?
E
√:
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2.1 Monomios y polinomios
2.1.1 Suma, Resta y Multiplicación
2.1.2 Cálculo del valor numérico de
polinomios con una variable
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40.- Si x = - 2, el valor de 2x – 3x + 1 es:
a) – 15 b) 3
c) – 3
d) – 1
e) 15
41.- Si x= - 3. Calcula el valor numérico del
polinomio 4x3 + 3x2 – 2x
a) - 141 b) – 75 c) 87
d) 141
e) 1815
EJERCICIOS:
33.- Si reducimos los términos semejantes
3a2b – 8a2b + 5a2b, el resultado es:
a) a2b b) 0
c)
- d)
e)
2
2
3a b
3a b
2a2b
34.- La suma 4a3 – 2b + 6a3 – 2a3 + a2 es:
a) -49a10 – 2b
b) – 49 a 3 – 2b
c) 13 a6 – 2b
d) 2 a3 + 7 a2 – 2b
3
e) 6 a + 7a – 2b
35.- Si a y b son números naturales, el
siguiente producto: a(b + 2) es igual a:
a) a + b)2a+ c)ab + d)
e)ab +
2b
2b
2
2ab
2a
42.- ¿Cuál es el valor de A en la expresión:
( B + b)h , si B = 13; b = 7; h = 8?
A=
a) 20
2
b) 80
c) 120
d) 248
e) 364
2.1.3 Productos Notables y Factorización
EJERCICIOS:
43.- El Resultado de (2x – 3y)2 es:
a) 4x2 + 9y2
b) 4x2 – 9y2
2
2
c) 4x – 12 xy + 9y d) 4x2 + 12xy – 9y2
e) -4x2 – 12xy – 9y2
44.- El resultado de (5t + 3r)2 es:
a) 10t2 + 6r2
b) 25t2 -9r2
36.- Efectúa la siguiente operación (8m +
c) 25t2 + 9r2
d) 25t2 + 30tr + 9r2
3m2 – 9) – (6m2 – 8 + 6m)
2
2
e) 25t - 30tr + 9r
a) 3m2 + b) 3m2 – c) 3m2 d) - e) -3m2 + 2m –
1
1
3m2
1
45.- El resultado de (5y + 2x)(5y – 3x) es:
a) 25y2 - 4x2
b) 25y2 + 4x2
2
2
c) 25y -100y.x--4x d) 25y2 +100yx+4x2:
37.- Efectúa la siguiente operación -3a (5a
e) 4x2 -25y2
– 4b)
a) 15 a2 + 12
b) 15 a + 12b
46.- El resultado de (5m +3n2)(-5m +3n2) es:
c) 15 a2
d) 12 ab
a) 25m2 -9n4
e) -15 a2 + 12 ab
b) 9n4 -25m2
c) 5m2 - 3n4
38.- El resultado de multiplicar (4x + 3)(2x
d) 3n4 - 5m2
– 1)
e) 9n4 + 25m2
a) 6x – 2
b) 8x2 – 3
c) 8x2 + 2x – 3
d) 8x2 + 10x – 3
47.- El producto de (x – 7)(x + 3) es:
2
e) 8x – 10x + 3
a) x2 - 4x- 21
b) - x2 - 4x + 21
2
c) x – 21
d) x2 + 4x + 21
39.- El resultado de (2x + 3y)(-3x + 2y) es:
e) x2 + 4x – 21
a) 6x2 – 5xy + 6y2
b) -6x2 + 5xy + 6y2
c) -6x2 – 5xy – 6y2 d) -6x2 – 5xy + 6y2
48. El producto de (2x2 + 3)( 2x2 – 5) es:
e) 6x2 + 5xy + 6y2
a) 4x2 - 4x – 15
b) 4x4 -4x2 - 15
c) 4x4 – 15
d) 4x2 - 8
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GUIA DE MATEMATICAS
e) 4x2 – 2
Factorización.
EJERCICIOS:
57. Los factores de la expresión 9a2 - 4b2 son:
a) (3a)(2b)
b) (3ab)( 2)
c) (3a2)( 2b2) . d) (3a + 2b)(3a - 2b)
c) (3a+2)(a – 3)
49. Desarrolla la siguiente expresión: (x2 6)2
a) x4 + 36
c) x4 - 6x2 -36
e) x4 + 12x2 +36
b) x4 - 36
d) x4 – 12x2 + 36
58. Los factores de x2 -5x + 4 son:
a) (x – 4)(x + l)
b) (x + 4)(x + l)
c) (x + 4)(x – l)
d) (x – 4)(x – 1)
e) (- x + 4)(- x + 1)
50. Desarrolla la siguiente expresión:
(6x2+2y4)(-6x2 +2y4).
a) 36x4 +y8
b) 4y8 - 36x4
8
4
c) -4y + 36x
d) -4y8 - 36x8
e) 4y8
59. Los factores de 4x4 - 8x3 es:
a) 4 x3 (x – 2)
b) x( 4x3 -8x2)
c) x3(4x – 8)
d) 2x2(2x2 - 4x)
3
2
e) 2x( 2x -4x )
51. (3m + 5n)(3m – 5n) =
a) 9m3 + 5n2
b) 9m2 – 20 n2
c) 15m2 – 30n2
d) 9m2 + 25n2
2
2
e) 9m – 25n
60. La factorización de x2 - 4x - 45 es:
a) (x - 5)2
b) (x – 5)(x + 3)
c) (x – 9)(x + 5)
d) (x + 9)(x – 5)
e) (x + 15)(x – 3)
52. (x + 2)(x – 2) =
a) x2 b) x2 c) x2 – d) x2 e) x2
+4
–4
16
+ 16
+2
61. La factorización de 9x2 - 42x + 49 es:
a) (3x – 7)2
b) (9x + 7)(9x – 7)
c) (9x – 7)2
d) (3x + 7)2
e) (3x – 7)(3x + 7)
53. (4a– 5b2)2 =
a) 16a2 + 40ab2 + 25b4
b) 16a2 + 40ab2 - 25b4
c) 16a2 - 40ab2 - 25b4
d) 16a2 - 40ab2 + 25b4
e) 16a2 - 20ab2 + 25b4
54. (A – B)2=
a) A2 - B2
c) A2 -2AB + B2
e) A2 + 2AB + B2
b) A2 + B2
d) A2+ 2AB + B3
2 X 1 öæ 2 X 1 ö
55. æç
- ֍
+ ÷=
2ø
è 3 2 øè 3
a)
b)
c)
4x2 2
6
4
4x2 1
9
4
56. 2x2 + 5x – 12=
a) (x – 3)(x + 4)
c) (x – 7)(x + 2)
e) (2x + 4)(x – 3)
62. La factorización de a2 + 8a + 15 es:
a) (a + 3 )(a + 5)
b) (a + 3)2
c) (a – 3)(a – 5)
d) (a + 3)(a – 5)
e) (a + 5)2
4x2 2
9
4
2.2 Ecuaciones.
2.2.1Solución de ecuaciones de primer grado con
una y dos incógnitas.
d)
4x2 1
6
4
b) (2 + x)(x – 6)
d) (2x + 3)(x – 9)
EJERCICIOS:
63. En la ecuación 3x + 12 = x. la incógnita tiene un
4x 1
- valor de:
6 4
a) 2
b) -2
c) 4
d) -6
e) 6
e)
64. En la ecuación (2x – 4) + 8 = 7 x – 2. El valor de
x es igual a:
a) 1
b) 6/5
c) -6/5
d) -6/9
e) -9/6
CURSOS PROPEDÉUTICOS EXANI
GUIA DE MATEMATICAS
a) x1=1, x2=6
c) x1 = - 1, x2 = -6
e) x1 = -2, x2 = 3
b) x1 = 2, x2 = 3/2
d) x1 = -2, x2 = 3/2
65. En la ecuación –3(2x+3) +4(-3x – 5)= 2(x – 1), el valor de x es igual a:
71. En la ecuación 4x2 - 24x + 36 = 0, las raíces son:
31
15
15
16
16
a)
b) - 2
c) - 1
d) - 1
e) 2 a) X = 3, X = -3
b) X1 = -3, X2 = 3
2
16
16
16
15
31 1
c) X1 = 3, X2 = 3
d) X1 = 6, X2 = -6
e)
X
1 = -6, X2'= 6
ì3 x - 2 y = 1
66 En el sistema í
, el valor de
î5 x + 3 y = 8
72. En la función f(x) = x2 + 2x + 1, f(-1) es igual a:
x y de y es respectivamente:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
a) -1, b) 0, 1 c) 1, - d) 1, 1 e) 1, 1
1
1
2.3 Plano cartesiano y funciones.
2.3.1 Regiones, semiplanos y franjas.
67. La solución del siguiente sistema de
2.3.2Gráfica de funciones: lineales y cuadráticas
ì2 x - 3 y = -7
ecuaciones í
es:
EJERCICIOS:
4
x
+
6
y
=
22
î
73. Las siguientes gráficas son de funciones de la
a) x = b) x=l c) x = d) x = e) x
forma y = Ax2 + Bx + C. ¿Cuál representa que la
- 4 y = , y=3
5, y = - 1, y =- 1,
ecuación Ax2 + Bx + C = 0 tiene dos soluciones?
2
=3
y=-3
1
3
68. ¿Cuál es el valor de n que hace cierta la
ecuación n + 5 = 1?
a) – 3 b) – 4 c) – 2 d) – 1 e) 0
69. x= 2 y y=3 es la solución del sistema de
ecuaciones simultáneas:
ìx + y = 5
ì2 x + y = 5
a) í
b) í
îx - y = 2
îx - y = 2
ì2 x + y = 7
c) í
îx - y = 3
ìx + y = 1
í
îx - y = 2
ìx + y = 5
e) í
î2 x - y = 1
d)
2.2.2Solución de ecuaciones de segundo
grado. .
EJERCICIO:
70. En la ecuación 2x2 -7 x + 6 = 0, las
raíces son:
7 4. ¿Cuáles son las soluciones de la ecuación x2–2x–
3=0? Observa la gráfica.
a) 1, 3
b) -1, - c) 3, - 1
3
d) 1, - 4
e) 1, - 1
CURSOS PROPEDÉUTICOS EXANI
GUIA DE MATEMATICAS
GEOMETRÍA
3.1 Ángulos entre paralelas y una secante.
EJERCICIOS:
75. En la siguiente figura, la medida del
ángulo b es:
a)180º
b)122º
c)158º
d)148º
e)142º
81. De acuerdo con la información de la figura ¿Cuál
es la medida del ángulo exterior M?
a) 32º
b) 62º c)
152º
d) 28º e) 17º
3.2 Triángulos
3.2.1 Clasificación.
3.2.2 Ángulo interior y exterior.
EJERCICOS:
76. Los ángulos complementarios suman:
a)45º b)60º c)90º d)180º e)360º
77. Los ángulos suplementarios suman:
a)45º b)60º c)90º d)180º e)360º
78. La suma de los ángulos interiores de un
triángulo es:
a)45º b)60º c)90º d)180º e)360º
79. ¿Cuáles son los valores de los ángulos
del siguiente triángulo?
a) A = 32.3º B = 87.9º C = 59.6º
b) A = 31.3º B = 88.9º C = 59.6º
c) A = 32.3º B = 88.9º C = 60.6º
d) A = 33.3º B = 86.9º C = 59.6º
e) A = 34.3º B = 86.9º C = 58.6º
80. Si las rectas L1 y L2, son paralelas,
entonces la medida del ángulo α es:
a)125º
b)55º
c)75º
d)85º
e)65º
3.2.3 Teorema de Pitágoras.
3.3 Semejanza.
3.3.1 Cálculo de distancias inaccesibles.
3.3.2 Transformación a escala sobre dimensiones
lineales, de área y volumen en una figura o cuerpo
geométrico.
EJERCICOS:
82. Las figuras que tienen exactamente la misma
forma y las mismas medidas se llaman:
a) semejantes
b) equidistantes
c) homotéticas
d) congruentes
e) ortogonales
83. Las figuras que tienen igual forma y sus lados
homólogos son proporcionales, se llaman:
a) semejantes
b) equidistantes
c) homotéticas
d) congruentes
e) ortogonales
CURSOS PROPEDÉUTICOS EXANI
GUIA DE MATEMATICAS
ÁREAS Y VOLÚMENES
TEOREMAS RELATIVOS A ÁREAS Y
VOLÚMENES
Teoremas sobre áreas
Teorema 7. Área de un triángulo equilátero
Si el triángulo MRS es equilátero y a es la longitud de cada lado,
entonces el área es igual a la cuarta parte del producto de la
longitud de su lado al cuadrado por la raíz cuadrada de tres:
A=
Teorema 1. Área de un rectángulo
El área de un rectángulo de longitud b y altura h es
igual al producto de la base por la altura:
Teorema 8. Área de un trapecio
El área de un trapecio es igual a la semisuma de sus bases
multiplicada por su altura:
A=bh
Teorema 2. Área de un paralelogramo
Dado un paralelogramo con lados a y b su área es
el producto de uno de sus lados por la altura
correspondiente a ese lado:
1 2
a 3
4
A=
( B + b) h
2
Teorema 9. Área de un polígono regular
El área de un polígono regular es igual al producto de su
perímetro por la apotema entre 2:
A=bh
Teorema 3. Área de un rombo
Si el cuadrilátero es un rombo, entonces su área es
igual a la mitad del producto de sus diagonales:
A=
( D)(d )
2
bh
2
a+b+c
= semiperímetro
2
Teorema 6. Área de un triángulo equilátero
Si el triángulo ABC es equilátero y h es su altura,
entonces el área es igual a un tercio del producto
de su altura al cuadrado por la raíz cuadrada de
tres:
A=
1 2
h 3
3
Teorema 10. Área de un círculo
El área de un círculo es igual al producto de su radio al cuadrado
por Π:
Teorema 11. Área de un sector circular
El área de un sector circular es igual al producto de Π por el
radio al cuadrado, multiplicado por el cociente del ángulo
central entre 360°:
æ n° ö
A = Pr 2 ç
÷
è 360° ø
Teorema 5. Fórmula de Herón
Si el triángulo ABC tiene lados de longitudes a, b y
c, entonces el área del triángulo es igual a la raíz
cuadrada del producto de la semisuma de sus lados
(P) (semiperímetro) por las diferencias de esta
semisuma y cada uno de los lados del triángulo:
A = P( P - a)(P - b)(P - c)endondeP =
Pa
2
A = Πr2
Teorema 4. Área de un triángulo
Si un triángulo tiene una base (b) y una altura (h)
correspondiente a la base, entonces su área es la
mitad del producto de la base por su altura:
A=
A=
Teorema 12. Teorema de Pitágoras
El cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo
rectángulo es equivalente a la suma de los cuadrados
construidos sobre los catetos.
CURSOS PROPEDÉUTICOS EXANI
GUIA DE MATEMATICAS
EJERCICIOS SOBRE ÁREA
Teorema 13. Recíproco del teorema de Pitágoras
Si un triángulo ABC tiene lados de longitudes a, b
y c, y cumple que c2 = a2 + b2, entonces el triángulo
ABC es un triángulo rectángulo.
Teoremas sobre volúmenes
Teorema 14. Volumen de un prisma recta
El volumen de un prisma recto es el producto del
área de la base (B) por la longitud de su altura (h):
V = Bh
Teorema 15. Volumen de una pirámide
Si una pirámide tiene una altura (h) y el área de la
base (B), entonces su volumen es un tercio del
producto del área de la base por la altura:
V=
1
Bh
3
Teorema 16.
Si dos pirámides tienen alturas iguales y las áreas
de las bases iguales, entonces las pirámides tienen
volúmenes iguales.
Teorema 17. Volumen de un cilindro
Si un cilindro tiene una base con área igual a B y
una altura h, entonces su volumen es el producto del
área de la base por su altura:
V = Bh
Teorema 18. Volumen de un cono.
Si un cono circular recto tiene una altura igual a h y
el área de su base es B, entonces el volumen del
cono es igual a un tercio del producto del área de la
base por su altura:
V=
Escribe en el renglón de la izquierda F si el enunciado es
falso o V si es verdadero.
a)______Si dos rectángulos tienen la misma área
necesariamente son congruentes.
b)______Si se duplican las longitudes de los lados de un
paralelogramo y su altura, entonces su área se duplica.
c)______Si el área de la base de un prisma se duplica y la
altura se reduce a la mitad, entonces el volumen permanece
igual.
d)______Si el área de la base de una pirámide se triplica y la
altura se reduce a un tercio de su valor, entonces el volumen
permanece igual.
e)______Si dos pirámides tienen
volúmenes iguales,
entonces sus alturas son necesariamente iguales.
f)______Una pirámide de base triangular y una pirámide de
base cuadrangular no pueden tener el mismo volumen.
g)_____Si dos pirámides tienen volúmenes iguales y alturas
iguales, entonces sus bases son necesariamente congruentes.
2. Encuentra el área de un rectángulo si:
a) Dos de sus lados miden 25 cm y 40 cm.
b) Si su perímetro es igual a 120 y sus lados están en
relación 2:3.
3.
Dado un rectángulo inscrito en una circunferencia,
calcula su área si:
a) El radio de la circunferencia es de 6.5 cm y la base del
rectángulo es de 11 cm.
b) El radio de la circunferencia es de 5 cm y la altura del
rectángulo es de 6 cm.
4.
Dado un rectángulo ABCD (ver figura) , encuentra su
base y/o su altura si:
a) Su área mide 54 cm2 y la base es el doble de la altura.
b) Su área mide 70 cm2, la base está representado por x +3
y la altura mide 4 cm.
1
Bh
3
Teorema 19. Volumen de una esfera
Si una esfera tiene un radio igual a r, entonces su
volumen será los cuatro tercios del producto de Π
por el cubo de su radio:
V =
1.
4 3
Pr
3
5.
6.
B
C
A
D
Calcula el área de un estanque de arena de superficie
cuadrangular cuyo perímetro es igual a 60 m.
En una sección de un parque se quiere construir un
tablero de ajedrez al aire libre.
a) ¿Cuántos metros cuadrados de pintura blanca se
necesitarán si el tablero tiene una diagonal de 10.182m?
para ellos necesitar saber de que polígono se forman un
tablero de ajedrez y sus casillas.
b) ¿Cuáles son las medidas de una casilla?
CURSOS PROPEDÉUTICOS EXANI
7.
Determina el área de una superficie cuadrada
inscrita en un círculo cuyo radio mide 3m.
8.
Calcula el área de un cuadrado inscrito en
una circunferencia cuyo diámetro es igual a
20m.
En un club social se quiere construir una
terraza de forma rectangular cuyas medidas
son 20m de ancho por 80m de largo.
¿Cuántas baldosas de mármol se necesitarán
si cada bolsa cuadrada mide 80cm de lado?.
9.
GUIA DE MATEMATICAS
17. Una señal de tránsito tiene forma de triángulo equilátero,
¿Cuánto medirán su base y su altura si su área mide
2121.7 cm2?
18. Un ángulo de un rombo mide 120°. Encuentra su área si:
a) Un lado tiene una longitud de 4 cm.
b) Su diagonal menor mide 7 cm.
19. El muro de contención de una presa en nuestro país tiene
forma de trapecio. ¿Cuántos metros cuadrados de
concreto se necesitarán si sus medidas son como se
muestra en la figura?
10. Un consultorio tiene una superficie cuadrada
con un área de 36m2. El doctor quiere saber
cuánto miden el lado del consultorio, su
diagonal y el perímetro.
11. El área de un cuadrado mide 18m2. Cuánto
mide el radio de la circunferencia si el
cuadrado está:
a) Inscrito
b) Circunscrito
12. Calcula el área de un jardín de una casa, cuya
forma es un paralelogramo, si su base y su
altura están representadas por (x +1) y (x –
1) respectivamente, y su área mide 2x2 – 6.
200 m
100m
400 m
20. Un terreno de forma de un trapecio mira a dos calles.
¿Cuál será la distancia menor entre ellas para cruzar el
terreno? El terreno tiene un área de 1 200 m2. las
longitudes del terreno que dan a las calles son 15m y 25
m.
15 m
13. Un abogado quiere saber el costo de
construcción del piso de una de sus oficinas
de forma rectangular si el área de la oficina
está representada por 2x2 – 34, la base por x
+ 3 y la altura por x – 3. El metro cuadrado
de construcción vale $150.00.
14. Determina el costo de un terreno si el m2 vale
$185.00. la superficie tiene forma de un
triángulo rectángulo isósceles, y sólo se
conoce la longitud de su hipotenusa que es
de 20 m. (ver figura).
20 m
15. Calcula la medida de la superficie triangular
cuyos lados miden 8cm, 7 cm y 10 cm.
16. Dos velas de un barco unidas al mástil
forman un triángulo equilátero, como
muestra en la figura. Si el área de este
triángulo mide 5.2m2, ¿Cuánto medirá el
mástil? La longitud del mástil entre la vela y
el barco mide 2.5 m.
Mástil
h
25 m
21. ¿Cuántos lados tiene un polígono regular si cada lado
mide 1 cm, la circunferencia inscrita tiene un diámetro
igual a 2cm y su área tiene 5cm2?
22.
a)
b)
c)
Encuentra el área de un círculo si:
Su diámetro mide 12 cm.
Está inscrito en un cuadrado cuyo lado mide 6 cm.
Está inscrito en un cuadrado que tiene 4.24 cm de lado.
CURSOS PROPEDÉUTICOS EXANI
23. Calcula el área de un sector circular si:
a) El diámetro mide 18cm y el ángulo central
es de 90°.
b) Es un sector de 120° y el área del círculo es
de 30 cm2.
24. Se compró un pastel de chocolate de forma
circular para festejar el día del empleado en
una oficina. Cada invitado pago $5.00 y le
toco una rebanada en forma de sector
circular de 62.83 cm2 y con un radio de 20
cm. Si se acabó el pastel, ¿Cuántos invitados
estaban en la fiesta y cuál fue el costo del
pastel?
25. Determina el área del segmento circular si:
a) Su ángulo central es un cuarto de
circunferencia y el diámetro del círculo es 8
cm.
b) El radio del círculo y la longitud de la cuerda
mide 10 cm.
GUIA DE MATEMATICAS
4.
Una compañía de perfumes desea lanzar al mercado
una nueva fragancia llamada “Egipto”, evocando la
belleza de Cleopatra. Para ello se pide al fabricante que
diseñe un envase con la forma de la pirámide Keops
(Egipto), cuya base cuadrada medirá 8 cm de lado, y
su altura será de 9 cm.
Si el costo de la fragancia es de $4 000.00 por litro, ¿Cuánto
pagarías por el perfume con las medidas que tiene el
envase? Determina el costo del perfume Egipto.
5.
6.
7.
Determina la altura de la pirámide Keops, cuya base
cuadrangular mide 200 m de lado y su volumen es de
933 333 m3.
Determina el volumen de una pirámide cuadrangular,
cuya base es un cuadrado con una diagonal igual a 4
cm y su altura es el doble del lado de la base.
¿Cuántas latas de forma cilíndrica serán necesarias
para llenar 3 769.92 cm3 de frijol? Las dimensiones de
una lata son: radio igual a 4 cm y altura igual a 15 cm.
EJERCICIOS SOBRE VOLÚMENES
1.
Determina el volumen del prisma
triangular de acuerdo con los datos de la
figura.
h = 15
4
8.
5m
9m
2.
9.
4m
Calcula la altura de un prisma rectangular
cuya base tiene de longitud 2cm, de ancho
4cm y su volumen es igual a 40cm3.
10.
11.
V = 40 cm3
12.
h
4 cm
3.
2 cm
Determina el volumen
de un lingote de oro
en forma de prisma, cuyas bases son
trapecios con las medidas que se muestran
en la figura.
2
3
6
10
13.
Determina el radio de un depósito de una fábrica de
galletas cuyo volumen es de 9 047.8 m3 y su altura es
de 20m.
Se requiere encontrar el volumen de agua que contiene
un vaso de papel de forma cónica si sus medidas son:
5 cm de radio de la base y 12 cm de altura.
Calcula el diámetro de la base de un montículo de tierra
en forma de cono circular recto, si su volumen es de
18.85 m3 y su altura es de 2m.
Si una esfera tiene un radio igual a r, entonces su
volumen será los cuatro tercios del producto de Π por
el cubo de su radio.
Encuentra el volumen de una esfera navideña cuyo
radio es de 9 cm.
Encuentra el radio de una esfera si su volumen es igual
a 36Π cm3.
CURSOS PROPEDÉUTICOS EXANI
GUIA DE MATEMATICAS
EJERCICIOS
Calcula el área sombreada de las siguientes figuras.
Puedes dejar la respuesta en términos de Π
18
2
A
15
(f)
B
( g)
4
3
2
3
(i)
4
(h)
C
2
D
(a)
1
4
(k)
5
(j)
2
4
2
( c)
2
(l)
4
3
(m)
4
6
1.7
(d)
2
60°
3
4
(n )
3
3
6
(e)
3
CURSOS PROPEDÉUTICOS EXANI
GUIA DE MATEMATICAS
Calcula el volumen sombreado de los siguientes cuerpos.
Puedes dejar la respuesta en función de Π
4
1
30
20 cm
40 cm
1
10 cm
50 cm
2
10 cm
a)
1
(o)
2
2
b)
100
240
120°
100
1
3
3
20
40
3
c)
(p)
d)
3
4
40
40
100
2
e)
4
3
2
100
f)
3
40
(q)
240
20
10
200
50
g)
h)
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3.4 Polígonos.
3.4.1 Clasificación.
3.4.2 Perímetros y áreas.
EJERCICIOS:
84. En un terreno rectangular de 16 m de largo por 20 de ancho, se quiere construir una alberca de 8 m de radio.
Si se construye en el centro, ¿qué área del terreno quedará libre?
a) 97.12 m2
b) 119.04 m2
2
c) 269.76 m
d) 294.88 m2
e) 345.12 m2
85. ¿Cuánto mide la base de un triángulo si su área es de 45 m2 y la altura es el doble de la base?
a) 3.35 b)
c) 6.70 d) 9.48 e) 13.46
m
4.74m
m
m
m
86. Una sala tiene 74 m de perímetro; si de ancho tiene 7 m menos que de largo, ¿cuánto mide de ancho y
cuánto de largo?
a) largo 22 y ancho 15.
b) largo 20 y ancho 13.
c) largo 24 y ancho 18.
d) largo 23 y ancho 16.
e) largo 21 y ancho 14. .
87. ¿Cuál es la diferencia entre las áreas de dos rectángulos cuyas medidas son 6 x 8 Y 12x 4?
a)0
b)4
c)3
d)12
e)10
88. Si la apotema de un hexágono regular mide 3.64 m y uno de sus lados es de 2.9 m, ¿cuál será su área?
a) 30.6 b) 31.6 c)63.33m2 d)30.66m2 e) 33 m2
m2
m2
89. ¿Cuál es el área de un pentágono regular de 10 cm de lado, cuyo apotema mide 6.88 cm?
a)180cm2 b)172
c)190cm2 d)175cm2 e)157
2
m
m2
90. Para calcular el área del cuadrilátero es suficiente conocer la longitud de los segmentos:
a) PQ, QR, RT, PT
c) PQ, QR, TR, PR
e) PT, MT, PM, QN
b) PR, TM, QN
d) QR, QN, NR
19
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91. La siguiente figura corresponde a un polígono:
a) regular y cóncavo
c) regular y convexo
e) irregular y cóncavo
b) cerrado y convexo
d) irregular y convexo
92. Si en un rectángulo el lado mas largo mide el doble del ancho y el perímetro es igual a 48 unidades, entonces
el ancho y el largo miden ___________, respectivamente:
a) 16 y 32 unidades
b) 14 y 28 unidades
c) 12 y 14 unidades
d) 10 y 20 unidades
e) 8 y 16 unidades
3.5 Sólidos.
3.5.1 Características de los poliedros.
EJERCICIOS:
93. El icosaedro es un polígono regular que tiene:
a)
4 b)
6 c)
8 d)12caras e)20caras
caras
caras
caras
94. ¿Cuántas aristas tiene un prisma octagonal?
a)8
b)16
c)10
d)24
e)20
EJERCICOS:
95. El volumen de la siguiente figura es:
a)849.44m3 b)456.21m3 c)245.7m3 d)224.1m3 e)122.85m3
96. Un granero de forma cónica tiene una altura de 24.55 m y el radio de su base es de 5.6. Calcula su volumen.
a)805.8
b)808.5
c)705.5
d)800.0 e)826.6
3
3
3
m
m
m
m3
m3
97. Se hace un hoyo cilíndrico con radio de 3 cm en un cubo sólido cuyos lados tienen 8 cm de largo. ¿Cuál es
el volumen de este sólido después de quitar el cilindro? (Considera π = 3.14)
a) 285.92 cm3
b) 361.28 cm3
c) 436.64 cm3
d) 483.74 cm3
3
e) 512 cm
20
Elaboro JHTC
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98. Encuentra la altura de un prisma con volumen de 125 cm3 y área de la base de 5 cm2.
a) 5 cm b) 25 c)
15 d) 12 e) 12.5
cm
cm
cm
cm
3.6 Círculos.
EJERCICIOS:
99. ¿Cuál es el valor del ángulo ABC si el ángulo ADC = 85°?
a) 32.5º
b) 42.5º
c) 55.5º
d) 60º
e) 70º
CÀLCULO DIFERENCIAL
FUNCIONES
En cálculo es sumamente importante el concepto de
función pues de el se desprenden muchos de los conceptos
importantes. Empecemos definiendo una función:
FUNCIÓN: Una función "f" de un conjunto "x" a un conjunto "y"
es una regla de correspondencia que asigna a cada elemento de "x"
Un único elemento de "y". Al elemento del conjunto "y" se le llama
"Imagen", al conjunto "x" se le llama Dominio de la función.
Una relación será considerada función cuando a cada
elemento del dominio le corresponda uno, y solo un, elemento del
contradominio, o imagen. Aunque pudiera ocurrir que a cada
elemento del contradominio le corresponda más de uno en el
dominio.
PARTES DE UNA FUNCIÓN
Variable.- Cantidad a la que se le puede asignar, durante un
análisis, un número ilimitado de valores, generalmente se
representa con una letra.
Constante.- Cantidad que durante un análisis se mantiene con un
valor fijo.
Cuando dos o más variables están relacionadas de forma que a una
de ellas se le asigna un valor para obtener uno correspondiente a la
segunda variable, se dice que la primera es la variable
independiente y la segunda la variable dependiente.
Dominio.- Conjunto de datos que pueden ser substituidos en la
variable independiente, de tal forma que la función existe.
Contradominio, Imagen, Rango.- Conjunto de datos que toma la
variable dependiente cuando se sustituye algún punto de la variable
independiente en la función.
CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES
Función Constante.- Se trata de una función cuyo contradominio es
un solo número real, su gráfica es una línea horizontal con distancia
al origen igual a la constante del contradominio.
Función Lineal.- Se define como f(x) = mx + b donde m y b son
constantes y m no es igual a cero. El dominio y el contradominio de
las funciones lineales, en general, es (-¥ ,¥)
Función Identidad o Idéntica.- Se trata de un función lineal de la
forma f(x)=x, donde cada valor de la variable independiente arroja
un valor idéntico para la variable dependiente. Por tratarse de una
función lineal, su dominio y contradominio es (-¥ ,¥)
Función Raíz Cuadrada.- Está definida por f(x)= x . El dominio,
en general, de éstas funciones es [0, ¥), ahora bien, en caso de que
la función varié el dominio estará dado por los valores que hagan
mayor o igual a cero el contenido de la raíz.
Función Polinomial.- Cualquier función que sea un polinomio de
cualquier grado puede ser considerada de éste tipo. El dominio de
éste tipo de funciones son todos los reales. A las funciones
polinomiales de grado 2 se les llama cuadráticas y a las de grado 3,
cúbicas.
Función Valor Absoluto.- La función definida como f(x)=|´| se le
llama valor absoluto y tiene la característica de expresar su
contradominio siempre con valores positivos. Para simplificar la
expresión se utiliza la siguiente separación: f ( x ) = ì x, si x ³ 0 .
í
î- x si x < 0
El contradominio de la función es [0, ¥).
Función Racional.- Es toda función que puede ser expresada como
el cociente de dos funciones polinomiales. El dominio de éstas
funciones son todos los números reales menos los que vuelven cero
el denominador.
Función Algebraica.- Es toda aquella función que está formada por
un número finito de operaciones con expresiones algebraicas.
21
Elaboro JHTC
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Pueden estar unidas por medio de las operaciones aritméticas:
suma, resta, producto, cociente, potenciación o radicación.
Función Trascendente o Trascendental.- Se llama de ésta forma a
todas aquellas funciones especiales, en especial: las
trigonométricas, las logarítmicas y las exponenciales.
= 16 - (0)2
= 16
=4
Para x ³ 4 al llegar la variable independiente al valor x = 6 toma el
valor cero y después desciende a números negativos.
Después de éste análisis podemos decir que en la función el máximo
valor que adquiere la función es 4
Por ello el contradominio será: Rf = (-¥, 4].
A continuación analizaremos el cálculo del dominio y
contradominio de una función, para hallar el primero se emplea el
despeje de la variable independiente y para el cálculo del
contradominio el de la variable dependiente.
Analicemos algunos ejemplos del cálculo de ambos
componentes.
*) H(x) = x + 5x - 6x - 30
3
2
x+5
Se trata de una función racional, así que su dominio estará
restringido en los valores en los cuales el denominador es cero, a
saber:
x+5=0
x=-5
El Dominio será: Df = Â - { 5 }
Para hallar el contradominio simplifiquemos hasta su mínima
expresión la función, para ello vamos a factorizarla:
x 2 (x + 5) - 6(x + 5)
H(x) =
x+5
(x 2 - 6)(x + 5)
H(x) =
x+5
H(x) = x2 – 6
Una vez simplificada la función podemos calcular el
contradominio.
Como el término que aparece de la variable independiente esta al
cuadrado, nunca nos dará un resultado negativo, por ello el mínimo
valor que puede tomar la función es 0 (cero).
De ésta forma el Contradominio será: Rf = [0, ¥).
Calcular el dominio y contradominio de las siguientes funciones:
*) f(x) = 3x – 1
Como se trata de una función lineal el dominio y contradomino son
iguales a Â, es decir (- ¥, ¥)
*) f(x)= 3x - 6
Por tratarse de una función raíz cuadrada el dominio está dado por
la solución a la igualdad:
3x – 6 ³ 0
3x ³ 6
x³2
Así pues el dominio será Df = [2, ¥)
Sabemos que una raíz cuadrada nunca va a proporcionar valor
negativos, por ello el contradominio de la función, sería: Rf=[0, ¥)
2
*) f(x) = 4x - 1
2x + 1
Se trata de una función algebraica racional, simplificaremos la
expresión hasta dejarla en su mínima expresión:
4x 2 - 1
2x + 1
( 2x + 1)(2x - 1)
f(x) =
2x + 1
f(x) = 2x – 1
Ahora bien esta es una función lineal, para calcular el dominio no
olvides que existía una restricción en la función original, ésta era
que el numerador no podía ser igual a cero, por tanto el valor que
hace cero al denominado debe de ser excluido del dominio:
2x + 1 = 0
2x = -1
x=-½
El valor que hace cero el denominador es – ½, por ello el Dominio
de la función será: Df = Â - {- ½ }. El contradominio por su parte,
al simplificarse en una función lineal será: (-¥, ¥), o bien, Â.
OPERACIONES CON FUNCIONES
f(x) =
Muchas de las funciones a estudiar en cálculo se
encuentran definidas en términos de las sumas, diferencias,
productos o cocientes de otras más sencillas.
Suma
La suma de dos funciones se encuentra de manera general, dada
por: (f + g)(x) = f(x) + g(x), no se debe de considerar como la suma
de dos números reales, sino más bien como la intersección del
dominio de las dos funciones.
Sustracción o Diferencia
La diferencia de dos funciones está dada por (f – g)(x) = f(x) – g(x)
Producto o Multiplicación
El producto de dos funciones está dado por (f · g)(x) = f(x) · g(x)
Cociente o División
El cociente de dos funciones está dado por: æç f ö÷( x ) = f ( x ) al
çg÷
g( x )
è ø
calcular el dominio recuerda que g(x) no debe ser igual a cero.
ì x + 6 si x £ -4
ï
f(x) = í 16 - x 2 si - 4 < x < 4
ï6 - x si x ³ 4
î
Como la función está definida para todos los números reales
podemos decir que Df = Â. Ahora bien su contradominio lo
hallaremos analizando cada una de las partes de la función.
Para x £ -4 el valor máximo que puede tener es:
(-4) + 6 =
-4 + 6
=2
Ahora para -4 < x < 4 el máximo valor es cuando x = 0:
*)
Veamos un ejemplo:
Para f(x) = x + 1 ; g(x) = 1 ; Calcular (f + g)(x); (f – g)(x);
x-1
x
(f · g)(x); (f/g)(x), así como sus respectivos dominios
22
CURSOS PROPEDÉUTICOS EXANI
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debe de ser mayor a dicho valor, por ello el dominio quedaría como
Dg/f = (-2, ¥)
x+1 1
+
x-1 x
x( x + 1) + ( x - 1)
(f + g )(x) =
x( x - 1)
(f + g )(x) =
(f + g )(x) =
FUNCIÓN COMPUESTA
Dadas dos funciones f y g, la función compuesta,
representada por fog está definida por (fog)(x) = f[g(x)], y el
dominio de fog es el conjunto de todos los números que pertenecen
al dominio de g(x), tales que también se encuentran en el dominio
de f(x).
Para desarrollar una función compuesta debes de
sustituir la segunda función en lugar de la variable independiente
de la primera, por ejemplo si te pidieran calcular (gof)(x) tendrías
que sustituir el valor de f(x) en cada una de las "x" de g(x). Para
observar el comportamiento de la función compuesta, así como
para dejarla más clara, resolvamos algunos ejemplos:
*) Sean f(x)= x – 2 y g(x)= x +7; Calcular(fog)(x); (gof)(x), así como
sus respectivos dominios
a) Para hallar (fog)(x) sustituiremos la función g en cada uno de las
literales de la función f:
(fog)(x)= (x + 7) – 2
(fog)(x) = x + 7 – 2
(fog)(x) = x + 5
Esa es la función que buscamos y por tratarse de una función lineal,
su dominio son todos los reales, es decir, Dfog = Â
b) Seguiremos el mismo procedimiento para (gof)(x), solo que
ahora sustituiremos f(x) en la variable de g(x):
(gof)(x) = (x – 2) + 7
(gof)(x) = x – 2 + 7
(gof)(x) = x +5
El dominio de la función compuesta, será: Dgof = Â
x 2 + 2x - 1
x( x - 1)
El dominio lo calcularemos eliminando los valores que hacen cero
el denominador, es decir, x = 0 y x = 1. Así el dominio de la función,
será Df+g = Â - {0, 1}
x+1 1
x-1 x
b)
x( x + 1) - ( x - 1)
(f - g )(x ) =
x( x - 1)
(f - g )(x ) =
(f - g )(x ) =
x2 + 1
x( x - 1)
Al igual que en la suma eliminaremos, del dominio los valores que
vuelvan cero al denominador, a saber, x = 0 y x = 1, por lo que
tenemos que: Df-g = Â - {0, 1}
x+1 1
×
x-1 x
c)
x+1
(f × g )(x) =
x( x - 1)
(f × g )(x) =
El dominio de la función nuevamente será: Df-g = Â - {0, 1}
x+1
æf ö
x-1
d) çç g ÷÷( x ) = 1
è ø
x
æf ö
x( x + 1)
çç ÷÷( x) =
x-1
ègø
Al calcular el dominio recuerda que como ambas
funciones son racionales, su dominio no está definido cuando el
denominador vale cero, por ello, los primeros valores que
excluiremos del dominio serán los valores que hacen cero los
denominadores de las funciones:
x = o y x = 1; además excluimos el valor que hace cero el
denominador de la función cociente, a saber x = 1. Ahora bien el
dominio será: Df/g = Â - {0, 1}
Otro ejemplo:
Para f(x) = x + 2 ; g(x) = x 2 + 4 Calcular (f + g)(x) y (g / f)(x); así
como sus respectivos dominios
Antes de empezar, calculemos el dominio de cada función:
Df = x + 2 ³ 0
Dg = (-¥ , ¥)
Df = x ³ - 2
Por tratarse de un polinomio
Df = [-2 , ¥)
Ahora bien, desarrollemos las operaciones con funciones pedidas:
*) Para f(x) = x + 2 ; g(x) = x 2 + 4 ; Calcular (gof)(x);
(fof)(x); (gog)(x); y sus respectivos dominios.
Empecemos por calcular el dominio de las funciones propuestas,
para g(x) por se polinomial, Dg = Â; para f(x) por ser una función
raíz cuadrada, será el conjunto solución de:
x+2³0
x ³ -2
El Dominio de f(x) será: Df = [-2, ¥)
a) (gof)(x) =
(gof)(x) = ( x + 2 ) 2 + 4
(gof)(x) = (x + 2) + 4
(gof)(x) = x + 6
Aunque la función es polinomial, debes de recordar que el dominio
de f(x) se encuentra restringido, por ello el dominio de la función
compuesta será: Dgof = [-2, ¥)
b) (fof)(x) =
(fof)(x) =
x+2 +2
Dado que no se puede simplificar más la expresión esa será la
función. El dominio será Dfof = [-2, ¥) pues se trata de dos funciones
raíz cuadrada.
c) (gog)(x) =
(gog)(x) = (x2 + 4)2 + 4
(gog)(x) = x4 + 8x2 + 16 + 4
(gog)(x) = x4 + 8x2 + 20
Como se trata de una función polinomial y para la función original
no existe ninguna restricción, el dominio será: Dgog = Â.
(f + g)(x) = x 2 + 4 + x + 2
Esta sería la función suma, su dominio será la intersección de los
dominios de ambas funciones:
Df+g = [-2 , ¥)
Calculemos ahora (g/f)(x)
x2 + 4
ægö
ç ÷( x) =
x+2
èf ø
El dominio de ésta función, por ser racional su denominador debe
de ser diferente de cero, pero al ser una raíz cuadrada, también
23
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EJERCICIO: Calcula el dominio y contradominio de las siguientes
funciones:
*) g(x) = 9 - x 2 Resp.- Dg= [-3, 3] Rg = [0, 3]
3
2
( f + g )( x ) Resp. x + 1 Df+g = (0, ¥)
x
x 2 - 4x + 3 Resp. Dh = Â - {1} Rh = Â
x-1
ì6x + 7 si x < -2
*)
Resp. Dl= (-¥ ,¥) Cl = (-¥, 6)
ï
l(x) = í 3
si x = - 2
ï 4 - x si x > - 2
î
*)
( f × g )( x )
h(x) =
æ
çç
è
æ
çç
è
*) f(x) = x 2 - 3x - 4 Resp. Df = (-¥ , -1]U[4, ¥) Rf =[0, ¥)
*) h( x ) = 2 - x Resp. Dh = [0, ¥) Rh = (-¥ , 2]
fö
÷( x ) Resp. x 2 Df·g = (0, ¥)
g ÷ø
5
gö
1
÷( x ) Resp. 5 Df·g = (0, ¥)
f ÷ø
x2
EJERCICIO.- Dados los siguientes pares de funciones, hallar las
funciones compuestas pedidas y sus respectivos dominios.
*) f(x) = x2 – 4; g(x)= 4x – 3
(fog)(x) Resp. 16x2 – 24x + 5 Dfog = Â
(gof)(x) Resp. 4x2 – 19 Dfog = Â
(fof)(x) Resp. x4 – 16x2 +12 Dfog = Â
(gog)(x) Resp. 16x – 15 Dfog = Â
EJERCICIO.- Dadas los siguientes pares de funciones, calcular las
operaciones indicadas, así como sus respectivos dominios.
*) f ( x ) = x ; g(x) = x2 + 1
(f + g)(x) Resp. x + x 2 + 1; D f + g = [0, ¥ )
(
3
Resp. x 2 Df·g = (0, ¥)
)
(f × g)(x) Resp. x x 2 + 1 ; D f + g = [0, ¥ )
f
x
)(x) Resp. 2
; D f + g = [0, ¥ )
g
x +1
g
x2 + 1
( )(x) Resp.
; D f + g = (0, ¥ )
f
x
*) f(x) = 1 ; g(x) = x
x+1
x-2
2
x + 2 x - 2 Df+g = Â - {-1, 2}
( f + g )( x ) Resp. 2
x - x-2
- ( x 2 + 2 ) Df-g = Â - {-1, 2}
( f - g )( x ) Resp. 2
x - x-2
f
x - 2 Df/g= Â - {-1, 0, 2}
( )( x ) Resp. 2
g
x +x
*) f ( x ) = x 2 + 4 ; g(x) = 7x2 + 1
(fog)(x) Resp. 49 x 4 + 12 x 2 + 5 Dfog = Â
(gog)(x) Resp.343x4 + 98x2 + 8 Dgog = Â
g
x 2 + x Dg/f= Â - {-1, 2}
)( x ) Resp.
f
x-2
*) f ( x ) = x 2 g(x) = 1
x
*) f ( x ) = 3 x 2 + 1 ;g(x)= x3 + 1
(fog)(x). Resp. 3 x 6 + 2 x 3 + 2 Dfog =Â
(gof)(x). Resp. x2 + 2 Dgof= Â
(
1 ; g(x) = x + 1
x+1
(fog)(x). Resp. 1 Dfog = Â - {-2}
x+2
x
+ 2 Dgof = Â - {-1}
(gof)(x) Resp.
x+1
x
+ 1 Dfof = Â - {-2}
(fof)(x) Resp.
x+2
*) f ( x ) =
(
(fof)(x). Resp.
3
2
( x 2 + 1 ) 3 Dfof = Â
LÍMITES
4) Lim [ f ( x ) • g ( x )] =
En ésta sección veremos la forma de calcular los
diferentes tipos de límites que existen, además de algunas formas
para lograr eliminar las indeterminaciones de algunos tipos de
límites.
Posteriormente veremos los límites al infinito e infinitos, así como
los límites laterales.
Empecemos por dar algunos teoremas sobre los cuales se basa el
cálculo de los límites:
1 ) Lim [ f ( x ) + g( x )] = Lim [ f ( x )] + Lim [g( x )]
x ®a
2 ) Lim [ f ( x ) - g( x )] =
x ®a
x ®a
x ®a
é f ( x )ù
5 ) Lim ê
ú=
x ®a ë g( x ) û
x ®a
Lim [g( x )]
x ®a
solo si g(x) ¹ 0
x ®a
n
x ®a
x ®a
8 ) Lim x = a
x ®a
x ®a
3 ) Lim [cf ( x )] = c Lim [ f ( x )], para c = cte.
x ®a
x ®a
Lim [ f ( x )]
é
ù
n
6) Lim [ f ( x )] = ê Lim f ( x )ú si n es entero positivo
x ®a
ë x ®a
û
7) Lim c = c
Lim [ f ( x )] - Lim [g( x )]
x ®a
Lim [ f ( x )] • Lim [g( x )]
x ®a
24
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GUIA DE MATEMATICAS
LÍMITES APARENTEMENTE INDETERMINADOS
9 ) Lim x n = a n
x ®a
Los límites aparentemente indeterminados, son aquellos
que no se pueden resolver empleando las propiedades de los límites,
antes dadas, solamente; es necesario emplear alguna técnica
algebraica para lograr resolverlos.
Examinaremos dos técnicas diferentes para resolver un límite:
- Factorizando
- Racionalizando
10 ) Lim n x = n a
x ®a
11 ) Lim n f ( x ) =
Lim f ( x )
n
x ®a
x ®a
En general, podemos decir que:
[f (x)] = f (a) si la función es racional
Lim
x ®a
Límites que se resuelven factorizando
Una técnica empleada para resolver un límite
aparentemente indeterminado es factorizar el numerador.
Ésta técnica es recomendable cuando al sustituir el límite en el
denominador el valor que resulta es cero.
Examinemos algunos ejemplos:
s 3 - 1; si aplicamos solamente las propiedades de los límites, el
Analicemos algunos ejemplos donde aplicamos éstos teoremas:
*)
Lim [2x
2
- 3x + 4
x ®5
]
Lim 2x - Lim 3x + Lim 4
2
x ®5
x ®5
x ®5
2 Lim x 2 - 3 Lim x + Lim 4
x ®5
x ®5
x ®5
= 2(5)2 – 3(5) + 4
= 2(25) – 15 + 4
= 50 – 15 + 4
= 39
*)
Lim
3
x®4
=3
Lim s - 1
x ®1
resultado sería 0 , pero la división entre cero no está definida, así
0
que recurriremos a la factorización del numerador para eliminar
la indeterminación:
x
- 7x + 1
s3 - 1
Lim s - 1
x
x ®1
Lim - 7 x + 1
= Lim
x ®4
=3
Lim x
Lim - 7x + Lim1
=
3
x ®1
= Lim s 2 + Lim s - Lim1
x ®4
Lim x
=
- 7 Lim x + Lim1
x ®4
x ®4
s -1
= Lim s 2 + s - 1
x ®4
x ®4
(s - 1)(s 2 + s - 1)
x ®1
x ®1
3
x ®1
= (1)2 + (1) – 1
=1+1–1
=1
4
- 7( 4 ) + 1
x ®1
x ®4
3
4
4
4
=
=3
=- 28 + 1
- 27
3
4
Lim (5x + 7 )
3
*)
´® -2
[
]
é
ù
= êLim (5x + 7 )ú
ë ´® -2
û
Resolvamos otro ejemplo
4
é
ù
= êLim 5x + Lim 7 ú
´® -2
ë ´® -2
û
x 2 - 49
x-7
(x - 7 )(x + 7 )
= Lim
x-7
x ®7
= Lim x + 7
Lim
x ®7
4
é
ù
= ê5 Lim x + Lim 7 ú
´® -2
ë ´® -2
û
4
x ®7
= Lim x + Lim 7
= [5(-2) + 7]4
= [-10 + 7]4
= [-3]4
= 81
*)
x ®7
Lim [x (2x + 1)]
= Lim x • Lim (2 x + 1)
Límites que se resuelven racionalizando.
Está técnica es utilizada cuando en el denominador, o
numerador, contiene radicales, por ello para eliminar la
indeterminación se racionaliza la expresión.
Por ejemplo:
x - 1 Para resolver este límite vamos a racionalizar el
x®4
x ®4
x ®7
=7+7
= 49
x ®4
é
ù
= Lim x • êLim 2 x + Lim1ú
x ®4
x ®4
ë x ®4
û
= (4)[2(4)+1]
= 4 [8 +1]
= (4)(9)
= 36
Lim
x ®1
x -1
numerador para lograr eliminar la indeterminación:
A continuación veremos cierto tipo de límites que no se resuelven
sustituyendo el valor proporcionado.
25
CURSOS PROPEDÉUTICOS EXANI
GUIA DE MATEMATICAS
= 2(1) + 3
=2+3
=5
Para
x -1 x +1
×
x -1
x +1
= Lim
x ®1
( x - 1 )( x + 1 )
( x - 1 )( x + 1 )
x -1
= Lim
x ®1 ( x - 1 )( x + 1 )
1
= Lim
x ®1 ( x + 1 )
= Lim
Lim f ( x )
x ®1
=
2
+2
x ®1+
= Lim x 2 + Lim 2
x ®1+
x ®1
= (1)2 + 2
=1+2
=3
Ahora bien como
x ®1
x ®1
1
1 +1
=
=
Lim x
Lim1
Lim x + Lim1
x ®1
usaremos:
x ®1+
y
Lim f ( x ) Lim f ( x )
x®1
Siendo
Así, el límite es ½.
Otro ejemplo:
Lim
h ®0
Lim f ( x )
h-2 - 2
h
x®1
Lim
h+2- 2 h+2+ 2
( h +2 ) -( 2 )
×
= Lim
h
h+2+ 2
h( h - 2 + 2 )
h ®0
= Lim
h+2-2
h
= Lim
h( h + 2 + 2 )
2)
h ®0 h ( h + 2 +
h ®0
h ®0
= Lim
h ®0
1
=
h+2+ 2
con los valores de x que cumplan x < 1
2
Lim 4 - x
x ®1-
= Lim 4 - Lim x 2
2
= 4 – (1)2
=4–1
=3
Ahora
Lim 2 + x
h ®0
Lim h + Lim 2 + Lim 2
h ®0
2
x ®1+
Lim f ( x )
x ®1-
Lim f ( x )
=3
Lim f ( x )
x ®1+
y
son iguales
x®1
LÍMITES INFINITOS
En algunos casos aun después de intentar eliminar la
indeterminación, por cualquiera de los métodos vistos, el límite
sigue resultado indeterminado; entonces se dice que el límite es
infinito.
Se debe de determinar si el límite tiende a menos infinito
o a más infinito utilizando las siguientes propiedades:
*)
1
Lim x
´® 0 +
r
= +¥
ì- ¥ si r es impar
=í
´®0
î+ ¥ si r es par
Para resolver éste tipo de límites primero debes de
intentar eliminar la indeterminación del límite y después analizar
el límite con las propiedades antes dadas.
Por ejemplo:
x + 3 Al intentar resolver el límite, éste queda como
indeterminado. Como no es posible ni factorizarlo
´®4 x - 4 ni racionalizarlo lo vamos a examinar por límites
laterales:
*)
1
Lim x
-
x®1
usaremos los valores para los cuales x<1,
x ®1
Lim
x ®1-
= Lim 2x + Lim 3
x ®1-
x ®1+
= 2 + (1)2
=2+1
=3
Ahora bien como
entonces
-
es decir:
Lim 2x + 3
Lim f ( x )
x ®1
Lim f ( x )
x ®1-
= Lim 2 + Lim x 2
h ®0
LÍMITES LATERALES
Hemos visto como calcular el valor del límite de una
función cuando la variable se aproxima a cierto valor mayores o
menores a él. Pero ¿Qué pasaría si la variable no puede tomar dicho
valor? Entonces se calculan los límites laterales que no son otra cosa
mas que analizar la función con valores mas pequeños que la
variable o mas grandes pero no con una diferencia grande, sino
mínima.
Cuando se consideran valores más pequeños se le llama límites por
la izquierda y si se consideran valores más grandes, límites por la
derecha.
Para simbolizar un límite lateral se coloca un subíndice sobre el
valor a evaluar, un signo negativo si es por la izquierda (-) y un
signo positivo (+) si es por la derecha.
Examinemos algunos ejemplos de cómo aplicar estos límites:
ì2x + 3 si x < 1
Sea la función:
Calcular:
,
ï
f( x )
Lim
f(x) = í4
si x = 1
x ®1
ï x 2 + 2 si x > 1
î
y
Lim f ( x ) Lim f ( x )
x ®1+
x ®1-
x ®1+
1
1
=
2+ 2 2 2
Para Calcular
y
x ®1+
x ®1-
x ®1-
Lim1
h ®0
,
Lim f ( x ) Lim f ( x )
Lim f ( x )
Calculemos
2
calcular
ì4 - x 2 si x £ 1
h(x) = í
2
î2 + x si 1 > x
Como al sustituir h = 0 el límite se vuelve indeterminado,
racionalizaremos el numerador:
=
x ®1
x ®1
no existe.
Lim f ( x )
1
2
no son iguales entonces
+
-
x ®1-
26
r
CURSOS PROPEDÉUTICOS EXANI
GUIA DE MATEMATICAS
Lim x - 4
De ahí podemos concluir que la función tiende a -¥ por la derecha
mientras que por la izquierda no existe.
Para examinar el límite evaluemos en un punto cercano al cuatro
pero menor que el, por ejemplo el 3.99 para saber si el límite tiendo
a +¥ o a -¥
LÍMITES AL INFINITO
x +3
´®4-
3.99 + 3
=
3.99 - 4
6.99
=
- .01
= -699
De aquí podemos decir que:
En el tipo anterior de ejercicios la función no tenía límite
pues crecía a valores muy grandes (positivos o negativos). Ahora
examinemos las funciones cuando se analizan los valores muy
grandes, es decir, cuando tienden al infinito.
A continuación veremos la técnica más común, y sencilla,
para resolver éstos límites; pero trae consigo una restricción y es
que sólo es válida cuando el límite es un cociente. En caso de que no
sea un cociente puedes multiplicar y dividir la expresión por su
expresión conjugada.
Una vez aclarada la restricción, la técnica consiste en
dividir todos los elementos de la función entre el valor con el
exponente mayor de x, así mismo, se considera que:
x +3
Lim x - 4 = -¥
´®4
-
Ahora evaluemos:
x + 3 tomemos un valor cercano al cuatro pero mayor, por
Lim
+
x
-4
´®4
ejemplo el 4.01
1
Lim x
4.01 + 3
4.01 - 4
7.01
=
.01
= 701
´® ¥
=
Lim
( x - 2 )( x + 2 )
-(x -2)
x ®2
( x - 2 )( x + 2 )
- ( x - 2 )( x - 2 )
= Lim x ®2
x+2
x-2
Después de llegar a éste paso nos damos cuenta que el
límite será infinito pues ha sido imposible eliminar la
indeterminación.
Sin embargo al evaluar el límite notarás que solo se puede
hacer por la derecha, pues si se tomará un número menor a 2 el
denominador resultaría la raíz cuadrada de un número negativo,
lo cual no existe.
Así pues:
x + 2 Consideremos un valor mayor a 2, por ejemplo 2.01
Lim
x-2
x ®2
Al evaluarlo en la función, tenemos:
n
=0
Así pues cuando el valor de "x", en la función, crece sin
medida el contradominio, o imagen, de la función tiende a 3/5. si se
repite el procedimiento para -¥, se obtendrá el mismo resultado.
Veamos otro ejemplo:
Lim
´® ¥
Esta función no es un cociente por lo tanto
x 2 + 1 - x no podemos aplicar directamente las
propiedades de los límites, pero multiplicaremos y
dividiremos la expresión para convertirlo en un cociente. El valor
será su conjugado.
+
=-
´®-¥
3x 2 - x - 2
2
= Lim 2 x
´ ® ¥ 5x + 4 x + 1
x2
2
3x
x
2
- 2- 2
2
x
= Lim x 2 x
4x 1
´ ® ¥ 5x
+ 2 + 2
x2
x
x
1 2
3- - 2
x x
= Lim
4 1
´®¥
5+ + 2
x x
3-0-0
=
5+0+0
3
=
5
Veamos otro ejemplo:
Al evaluar el límite ha quedado aparentemente
x 2 - 4 indeterminado, por ello vamos a intentar
eliminar la indeterminación separando el
2-x
´® 2
radical del numerador y factorizando un signo en el numerador.
= Lim
1
Lim x
Lim
x +3
= +¥
Lim
+
x
-4
´®4
Como los límites no existen y no coinciden entonces la función no
tiene límite.
x ®2
=0 y
Veamos algunos ejemplos para examinar la técnica:
más grande con el que aparece
3x 2 - x - 2 El exponente
x, es x2; así que será entre este valor se
2
´®¥ 5x + 4x + 1 dividirá toda la expresión
Así que
Lim
n
2.01 + 2
2.01 - 2
4.01
0.01
2.0024
=0.1
= -20.024
=-
27
CURSOS PROPEDÉUTICOS EXANI
= Lim x 2 + 1 - x ×
´®¥
GUIA DE MATEMATICAS
x2 +1 + x
x2 +1 + x
2
´®¥
= Lim
´®¥
= Lim
2
Lim
x2 +1 + x
1
Lim
´® 1
x +1 + x
2
x 2 , por ello dividamos toda la
= Lim
´®¥
x2
x +1 + x
+
2
x2
1
´® 2 +
1
ì x2 - 9
ïï
f ( x ) = í 9 - x2
ï 2
ïî x - 9
x2
x2
= Lim
2
´®¥
´®¥
x +1
x
x
1
x
+
+ 2 +
2
2
2
x
x
x2
x
x
1
0
0
x2
= Lim
=
= =0
1
1
1+ 0 + 0 1
´®¥
1+ 2 +
x
x
Así pues cuando la función crece sin límite tiende a cero.
= Lim
2
2
2
´® 4
x2 + 5
=0
Lim
x3
´® +¥
3x4 -7 x2 + 2 3
=
Lim
2
2x4 + 1
´® +¥
x-2
1
=
Lim
3
x - 8 12
´® 2
x - 16
=8
Lim
x -4
´® 16
x3 + 8
3
=Lim
4
8
´® -2 x - 16
1
( x+
) = 64
Lim
x
´® 1
´®7
=-
hallar
Lim f ( x ) = 0 Lim f ( x ) = 0
´ ® -3 +
si x > 3
3 + x2
= +¥
x
´® 0
x 3 + 9 x 2 + 20 x
= -¥
Lim
x 2 + x - 12
´® 3 2x +7
2
=Lim
5
´® -¥ 4 - 5 x
´® 2
3
si - 3 £ x £ 3
Lim
´ ® -2
3 - 5t
si x < -3
´® 3 +
3
5
´® 2 -
1
1
1
= Lim
= -¥ ; Lim
=¥
Lim
x-5
x-5
x-5
´® 5
´® 5 ´® 5 +
x+2
= +¥
Lim
(
x
- 1 )2
´®1
Lim( 3 x - 2 x + 7 ) = -13
Lim ( x + 3 )( x - 4 ) = 5 2 - 20
Lim x - 5 x - 4 = -2
Lim ( t - 5 )
-
´ ® -3 -
Lim f ( x ) = 0 Lim f ( x ) = 0
EJERCICIO
Calcula el valor de los siguientes límites
3
x -1 1
=
x-1 4
x+2 - 2
1
2
=
ó
x
2 2 4
ì x 2 - 4 si x < 2
ï
f ( x ) = í4
si x = 2 hallar Lim f ( x ) = 0 Lim f ( x ) = 0
´® 2 +
´® 2 ï
2
î4 - x si x > 2
si x < -2
ì2
ï
2
f(x)= í 4 - x
si - 2 £ x £ 2 hallar Lim f ( x ) = 0 Lim f ( x ) = -2
´ ® -2
´ ® -2
ï-2
si x > 2
î
Lim f ( x ) = -2 Lim f ( x ) = 0
1
1
3
´® 0
grande con el que aparece x es
expresión:
´®¥
5 + 2x
1
=5- x
2
´® -3
Ahora ya hemos convertido la función en un cociente; el valor más
= Lim
Lim
x2 +1 + x
x2 +1- x2
x2 +1 + x
´®¥
2
´® -1
( x + 1) - ( x )
= Lim
2
2x + 1
1
=8
- 3x + 4
Lim x
Lim
´® -¥
Lim
´® ¥
1
4
28
x4 + 1 1
=
2x4 - 3 2
x+4 - x =0
´® 3 -
CURSOS PROPEDÉUTICOS EXANI
GUIA DE MATEMATICAS
DERIVADA
En cálculo muchos problemas se basan en el estudio del comportamiento geométrico, o gráfico, de la función; con ese fin se
determina el valor de la recta tangente.
Recordarás que una recta tangente es aquella que toca a la circunferencia en un solo punto, sin embargo, cuando se trata de una
función, en general, la definición se modifica como la recta que toca en un solo punto la gráfica de toda una función. Esta modificación se
hace pues puede suceder que una recta sea tangente a la curva en un punto pero secante en otro intervalo de la misma.
Así pues a la pendiente de la recta tangente a una función en un punto cualquiera se le conoce como "Derivada"
El estudio del cálculo se basa en pequeños intervalos muy cercanos a cero, por ello la derivada de una función se puede calcular,
resolviendo el siguiente límite:
f' (x) = Lim
h ®0
f(x + h) - f(x)
h
donde h es un valor muy pequeño y cercano a cero, por ello ese límite es aparentemente indeterminado y debe de eliminarse la
indeterminación con cualquiera de las técnicas antes descritas.
El límite antes dado es la definición formal de la derivada, aunque posteriormente veremos las diferentes técnicas de derivación.
Calcular la derivada de f(x)=x3 – x.
f' (x) =
Lim
h® 0
=
Lim
(x + h)3 - (x + h) - x 3 + x
h
Lim
x 3 + 3x 2 h + 3xh2 + h3 - x - h - x 3 + x
h
Lim
3x 2 h + 3xh2 + h3
h
Lim
h(3x 2 + 3xh + h2 - 1 )
h
h® 0
=
h® 0
=
h® 0
=
f(x + h) - f(x)
h
h® 0
= Lim 3x 2 + 3xh + h2 - 1
h®0
= 3x2 – 3x(0) + (0)2 -1
= 3x2-1
Así pues la derivada de la función será 3x2 – 1
Resolvamos otro ejemplo:
Racionalizando
para eliminar la
indeterminación
L(x) =
x
L' (x) =
Lim
x+h- x
h
Lim
x+h- x
x+h+ x
×
h
x+h+ x
h®0
L' (x) =
h®0
( )
2
L' (x) =
( x + h )2 - x
Lim
h( x + h + x )
h®0
L' (x) =
Lim h(
x + h- x
x+h+ x)
Lim h(
h
x+h+ x)
h® 0
L' (x) =
h® 0
L' (x) =
Lim
h® 0
1
x+h+ x
1
x+0 +
1
L' (x) =
2 x
L' (x) =
x
TEOREMAS SOBRE DERIVADAS
Con el fin de hacer mas eficiente, y expedito, el cálculo de la derivada se han desarrollado ciertos teoremas, o propiedades, de las
derivadas, examinaremos algunas de éstas, con sus respectivos ejemplos.
29
CURSOS PROPEDÉUTICOS EXANI
GUIA DE MATEMATICAS
Derivadas Algebraicas
1) Si f(x) = k (k = cte) f’(x) = 0
2)
( f ± g)’(x) = f’(x) ± g’(x)
3)
(f × g)’(x) = f(x) g’(x) + g(x) f’(x)
'
æfö
g ( x) f ' ( x) - f ( x) g ' ( x)
çç ÷÷ ( x) =
[g ( x)]2
ègø
4)
5)
Dx(xn) = nxn-1
6)
Dx[f(x)]n = n f(x)n-1 dx (Regla de la Cadena)
7)
f(x) = x ® f’(x) = 1
Vamos a aplicar las formulas anteriores para resolver los siguientes ejemplos:
*) g(x)= x7 – 2x5 + 5x3 – 7x
Aplicando los teoremas 5) y 2) podemos resolver como
g'(x)= 7x7-1 – 2(5)x5-1 + 5(3)x3-1 – 7(1)x 1-1
g'(x)= 7x6 – 10x4 + 15x2 – 7
*) f(x)= 1 x3 –x + 2
3
Utilizando los teoremas 1), 2) y 5):
f'(x)= 1 (3)x3-1 – 1(1)x1-1 + 2(0)
3
f'(x)= x2 – 1
*) s(x)= (2x4 -1)(5x3 + 6x)
Para derivar esta función usaremos el teorema 3) para ello llamemos f(x)= 2x4 -1 y g(x)= 5x3 + 6x; sus respectivas derivadas, usando los
teoremas 2) y 5) serían f'(x) = 8x3 y g'(x)= 15x2 + 6; por ello la derivada sería:
s'(x)= (2x4 -1)(15x2 + 6) + (5x3 + 6x)(8x3)
s'(x)= 30x6 + 12x4 -15x2 -6 +40x6 + 48x4
s'(x)= 70x6 + 60x4 – 15x2 – 6
*) h(x)=
x
x-1
Usemos el teorema 4) para hallar la derivada. Por ello llamemos f(x)=x con f'(x)=1 y g(x)= x – 1 con g'(x)= 1
Así pues:
( x - 1 )( 1 ) - ( x )( 1 )
h' ( x ) =
( x - 1 )2
x -1- x
h' ( x ) =
( x - 1 )2
-1
h' ( x ) =
( x - 1 )2
g(x)= 6 x + 5
Podemos escribir la función como:
g(x)= (6x + 5)1/2
así que podemos aplicar el teorema 6) para calcular su derivada
g'(x)= ½(6x + 5) ½- 1 (6)
g'(x)= ½ (6x+5) -1/2(6)
g' ( x ) =
g' ( x ) =
6
2( 6 x + 5 )1 / 2
3
6x + 5
30
CURSOS PROPEDÉUTICOS EXANI
GUIA DE MATEMATICAS
Derivadas de funciones Trigonométricas.
Las funciones trascendentales más empleadas en el cálculo son las trigonométricas, por ello dedicamos este apartado para
ejemplificar el cálculo de la derivada de éstas funciones.
Las fórmulas de derivación para las funciones trigonométricas son:
8) Dx(sen u) = cos u du
9)
Dx (cos x) = - sen u du
10) Dx (cot u) = - csc2 u du
11) Dx (tan u)= sec 2 u du
12) Dx (sec u) = sec u tan u du
13) Dx (csc u) = - csc u cot u du
En caso de existir una suma, diferencia, producto o cociente trigonométrico se emplearán los teoremas antes vistos
Veamos algunos ejemplos:
*) H(x)= 4sec x – 2csc x
H'(x)= 4(secx tan x) – 2(- csc x cot x)
H'(x)= 4sec x tan x + 2 csc x cot x
*) f(x) = 3 Sec x tan x
Como se trata de un producto de dos funciones trigonométricas, derivaremos utilizando el teorema 3):
f'(x)= 3[sec x(sec2 x) + tan x(sec x tan x)]
f'(x)= 3 [sec3 x + tan2 x sec x]
f'(x) = 3sec3 x + 3tan2 x sec x
f'(x)= 3sec x( sec2 x + tan2 x)
*) g(x)=
1 + senx
1 - senx
Como se trata de un cociente usemos el teorema 4)
( 1 + senx ) cos x - ( 1 + senx )( - cos x )
g' ( x ) =
(1 - senx)2
cos x + senx cos x + cos x - senx cos x
g' ( x ) =
(1 - senx)2
2 cos x
g' ( x ) =
(1 - senx)2
Derivadas de Funciones trigonométricas inversas
Otro tipo de funciones importantes en el cálculo son las trigonométricas inversas, sus fórmulas de derivación son:
1
14) Dx (arc sen u ) =
1- u
du
2
1
15) Dx (arc cos u) = -
du
1- u2
1 du
1+ u2
16) Dx (arc tan u) =
17) Dx(arc cot u) = 18) Dx(arc sec u)=
1 du
1+ u2
du
1
u u2 -1
19) Dx(arc csc u) =
-
1
du
u u -1
2
31
CURSOS PROPEDÉUTICOS EXANI
GUIA DE MATEMATICAS
En todas los teoremas anteriores la letra "u" representa la variable de la función, por ejemplo en sen -1 3x; 3x es u
Veamos algunos ejemplos:
H(x)= sen -1
1 - x2
En este caso
1 - x 2 es "u" y du, sería
H'(x)=
1
H'(x)=
1 - ( 1 - x2 )
-x
.
2
-x
; al derivar la función inversa, tenemos:
1 - x2
-x
1 - x2
( 1 - 1 + x 2 )( 1 - x 2 )
-x
H'(x)=
2
( x )( 1 - x 2 )
-x
H'(x)=
( x )( 1 - x 2 )
-1
H'(x)=
1 - x2
*) f(x) = cos -1 (sen x)
Esta función inversa es de una función trigonométrica, como podrás ver los diferentes tipos de funciones se pueden mezclar.
En la función dada u = sen x; du = - cos x
Derivemos:
f'(x)= f'(x)= -
1
1 - ( senx )2
1
1 - sen 2 x
.cos x
. cos x
Recuerda la relación trigonométrica que decía: sen2 x + cos2 x = 1; la sustituiremos en el denominador de la función
f'(x)= -
cos x
cos 2 x
f'(x)= - cos x
cos x
f'(x)= -1
Combinemos las funciones para derivar:
L(x)= x2 cos -1 x
Por tratarse de un producto lo derivaremos como tal y como u = x; du = 1. Así la derivada será:
æ
ö
1
÷ + cos -1 x( 2 x )
x 2 ·ç 2 ÷
ç
1
(
x
)
è
ø
2
L'(x)= 2 x cos -1 x - x
1 - x2
L'(x)=
Derivadas de funciones logarítmicas y exponenciales
Las últimas funciones trascendentales que veremos para derivar son las logarítmicas y exponenciales, cuyas fórmulas para
derivar son:
20) Dx ( au)= au ln a du
21) Dx (eu) = eu du
22) Dx (ln u) =
1
du
u
23) Dx ( loga u ) = 1 loga e du
u
32
CURSOS PROPEDÉUTICOS EXANI
GUIA DE MATEMATICAS
Resolvamos un ejemplo con cada una de las fórmulas
*) f(x)= 4 sen 2x
= f'(x)= 4 sen 2x(Ln 4)(cos 2x)(2)
= f'(x)= 2(Ln 4) cos 2x 4 sen 2x
*) y = e 2sen 3x
y' = e 2sen 3x (2 cos 3x (3))
y' = 6 cos 3x e 2sen 3x
*) C(x)= Ln (3x + 1)2
En está función
u = (3x + 1)2 y
du = 2(3x +1) (3)
= 6(3x + 1)
La derivada será:
1
.6 ( 3 x + 1 )
( 3 x + 1 )2
6
C' ( x ) =
( 3 x + 1 )2
C' ( x ) =
*) y = Log
10
x
x+1
Apliquemos las propiedades de los logaritmos para poder obtener:
y = Log10 x – Log10 (x + 1)
y' = 1 Log e( 1 ) 10
1
Log10 e( 1 )
x
x+1
y' = 1 Log e - 1 Log e
10
10
x
x+1
y' = Log eæ 1 - 1 ö
÷
10 ç
è x x + 1ø
y' = Log eæç x + 1 - x ö÷
10 ç
÷
è x( x + 1 ) ø
ö
1
y' = Log eæç
÷÷
10 ç
è x( x + 1 ) ø
y' = Log 10 e
x( x + 1 )
33
CURSOS PROPEDÉUTICOS EXANI
GUIA DE MATEMATICAS
CÀLCULO INTEGRAL
INTRODUCCIÓN
La descripción de la noción intuitiva del área de una
región con fronteras curvas, está dada por el proceso de
integración; el concepto de área, así como otros conceptos
geométricos y físicos que se encuentran estrechamente
relacionados con la integración.
El Cálculo elemental se puede dividir en dos
grandes ramas: El Cálculo Diferencial y el Cálculo Integral.
El primero trata del concepto de derivada, y el segundo,
trata de otro concepto básico que es el de la Integral.
ANTIDERIVADAS
10)ò sec2 x dx = tan x + c
En Matemáticas es común escuchar de
operaciones inversas, por ejemplo, que la sustracción es la
operación inversa a la adición y el cociente al producto. El
cálculo no es la excepción pues la antiderivada es la
operación inversa a la derivada.
Calcular la antiderivada de un función consiste en,
dada una función f(x), encontrar otra función F(x), tal que
F'(x) = f(x). A este proceso también se le llama Integración.
Por ejemplo si F(x) = 3x2 + 4x - 5; F'(x) = 6x + 4. Esta
será la antiderivada de F, pero nótese que lo será igual de
G(x) = 3x2 + 4x + 8, y así sucesivamente de todas aquellas
funciones donde solamente varíe el término independiente.
Por ello a la antiderivada de una función se le
representa como F(x) + C para denotar que puede ser para
cualquier constante C, arbitraria.
El símbolo usado para representar el proceso de
antiderivación es ò que representa una "s" alargada y fue
empleada por primera vez por Leibniz para denotar una
sumatoria.
Una Integral indefinida es aquella que da como
resultado una función, es decir no se evalúa para ningún
valor, solo nos proporciona la información referida a la
función que se ha derivado.
Si bien es cierto que existen numerosos casos de
integración de funciones, también se ha provisto de una
tabla de integrales que nos serán útiles conocer, las
primeras son:
1) òdx= x+c
11)ò csc2 x dx = - cot x + c
12)ò sec x tan x dx = sec x + c
13) òcsc x cot x dx = -csc x + c
14) òtan x dx = ln |sec x| + c
15) òcot x dx = ln |sen x| + c
16) òsec x dx = ln |sec x + tan x | + c
17) òcsc x dx = ln |csc x – cot x| + c
dx =
+ a2
1
arc tan x + c
a
a
dx =
- a2
1
ln
2a
x - a +c
x+a
20)
dx =
ò a2 - x2
1
ln
2a
a+x +c
a-x
21)
ò
18)
19)
22)
2) òkf(x) dx= kòf(x) k= cte.
3)
x m+1
x
dx
=
ò
m +1
4)
ò ( f ( x) ± g( x))dx =
a
x
x
+c
5)
ò a dx = ln a + c
6)
ò e dx =e
7)
8)
x
x
ò
ò
dx = ln |x| + c
x
ò
sen x dx= - cos x + c
34
òx
2
òx
= arc sen x +c
a
a -x
dx
2
2
dx
x -a
2
=
2
dx
1 arc sec x + c
a
a
= ln |x +
x2 + a2 | + c
= ln |x +
x2 - a2 | + c
x +a
ò
x -a
25)
ò
x
a 2 - x 2 dx = 1 x a 2 - x 2 + 1 a 2arc sen + c
a
2
2
26)
ò
x 2 + a 2 dx=
27)
ò
1
1
2
2
x 2 - a 2 dx = x x 2 - a 2 + a 2 ln |x+ x - a | + c
2
2
24)
9) ò cos x dx= sen x + c
2
ò
23)
m
f ( x)dx ± ò g ( x)dx
òx
2
2
dx
2
2
1
1
2
2
x x 2 + a 2 + a 2ln |x+ x + a | + c
2
2
CURSOS PROPEDÉUTICOS EXANI
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Si aplicamos dichas fórmulas, podemos resolver
los siguientes ejemplos:
= 5 é 3 ù t 5/3 + 7 é 3 ùt -1/3 + C
ê- 1 ú
ë û
ê5 ú
ë û
5/3
= 3 t – 21 t
+C
= 3 t5/3 – 21 + C
ò(4x3 – 3x2 + 2x – 2) dx
= ò4x3 dx - ò3x2dx + ò2x dx - ò2dx (Aplicando la fórmula 4)
= 4òx3 dx - 3òx2 dx + 2òx dx - 2òdx (Aplicando la fórmula 2)
=4
t1/ 3
ò
é x 3 +1 ù é x 2 +1 ù é x 1 +1 ù
ê 3 + 1 ú - 3 ê 2 + 1 ú + 2 ê1 + 1 ú - 2x + C
ë
û ë
û ë
û
4
3
2
= 4 x – 3 x + 2 x – 2x + C (Simplificando)
3
2
= x4 – x3 + x2 – 2x + C (Simplificando)
EJERCICIO.- Resuelve las siguientes integrales indefinidas:
a) ò5u3/2 du
b) òy3(2y2 – 3) dy
c) ò(8x4 + 4x3 – 6x2 – 4x + 5) dx
d) ò( x (x + 1) dx
e) ò(3 sen t – 2 cos t) dt
f) ò(4csc x cotx + 2sec2 x) dx
g) ò(2cot2 x – 3tan2 x) dx
RESPUESTAS
a) 2u5/2 + C
b) 1 y6 - 3 y4 + C
3
4
c) 8 x5 + x4 – 2x3 – 2x2 + 5x + C
5
d) 2 x5/2 + 2 x3/2 + C
5
3
e) – 3cos t – 2 sen t + C
f) -4 csc x + 2 tan x + C
g) -2 cot x – 3tan x + x + C
sen x
dx
2
x
ò cos
Usando las identidades trigonométricas tenemos que:
1
sen x
ò cos x × cos x dx
= sec x × tan xdx
ò
= sec x + C (Usando la fórmula 12)
5t 2 + 7
ò t 4/3 d
Aplicando las propiedades de los cocientes y exponentes:
2
7
= 5t
òt
4/3
+
t 4/3
dt
= ò5t dt + ò7t-4/3 dt
= 5 òt2/3 dt + 7òt-4/3 dt (Fórmula 2)
= 5 é t 2 / 3 + 1 ù +7 é t -4 / 3 + 1 ù + C
2/3
3
dx
x
Si aplicamos las leyes de los exponentes, tenemos:
ò3x-1/2 dx
= 3òx-1/2 dx
= 3x1/2 + C ó 3 x + C
(Aplicando las fórmulas 2 y 3)
4
–1/3
ê
ú
ê
ú
ë 2 / 3 + 1û
ë - 4 / 3 + 1û
5/3
1
/
3
= 5 é t ù +7 é t
ù+C
ê
ú
ê
ú
1
/
3
ë5 / 3û
ë
û
FUNCIONES LOGARÍTMICAS, EXPONENCIALES, TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS.
Empleemos las fórmulas 18) a 27) para aplicarlas a ciertas integrales donde aparecen las funciones exponenciales
y trigonométricas inversas.
Integración de Fracciones Impropias
En caso de encontrarnos con la integral de una fracción impropia, debemos de realizar la división de fracciones
para poder simplificar la integral.
Por ejemplo:
ò
x2 + 2x
dx
x +1
Como es una fracción impropia, la división es:
x -1
x +1 x2 + 2
- x3 - x
0 - x+2
x +1
3
Podemos escribir el resultado como: x -1 +
Por tanto nuestra integral, será:
3
x +1
35
CURSOS PROPEDÉUTICOS EXANI
ò
=
x2 + 2x =
dx
x +1
æ
3
GUIA DE MATEMATICAS
ö
ò çè x - 1 + x + 1 ÷ødx
dx
ò xdx - ò dx + 3 ò x + 1
= 1 x 2 - x + 3 ln x + 1 + C
2
Integrales Exponenciales
La función exponencial es particular pues su derivada e integral es igual a ella misma.
Al resolver una integral exponencial, debemos de tener cuidado con las propiedades de las funciones exponenciales.
Por ejemplo:
ò
x
e
x
dx
Para resolverla hagamos u =
ò
x
e
x
x
y du =
1
2 x
dx, así:
dx = 2 ò e u du
= 2eu + C
x
= 2e
+C
Integrales que producen funciones trigonométricas inversas.
A continuación veremos integrales que pueden ser expresadas de forma que queden para realizarse mediante las
fórmulas 18), 21) y 22)
Por ejemplo:
( 2 x + 7 )dx
2
+ 2x + 5
òx
La derivada x2 + 2x + 7 = 2x + 2, por tanto podríamos separar el numerador en 2x + 2 + 5, así la integral será:
( 2 x + 2 )dx
5 dx
+ò 2
2
+ 2x + 5
x + 2x + 5
òx
La primera integral la podemos resolver fácilmente y en la segunda podemos completar el trinomio cuadrado perfecto, para
que resulte:
( 2 x + 2 )dx
5 dx
+ò 2
2
+ 2x + 5
x + 2x +1 + 4
( 2 x + 2 )dx
5 dx
ò x 2 + 2 x + 5 + ò ( x + 1 )2 + 4
òx
=
Resolvamos por separado las integrales:
( 2 x + 2 )dx
=
2
+ 2x + 5
òx
Hagamos u = x2 + 2x + 5; así du = (2x + 2)dx
( 2 x + 2 )dx = ln |u| = ln | x2 + 2x + 5|
2
+ 2x + 5
òx
Resolvamos
5 dx
ò ( x + 1)
2
+4
=
5ò
dx
( x + 1 )2 + 4
si hacemos
u = x + 1; du = dx, así
5ò
du
u + 22
2
Aplicando la fórmula 18)
36
CURSOS PROPEDÉUTICOS EXANI
=
=
GUIA DE MATEMATICAS
5
u
arctan + C
2
2
5
( x + 1)
arctan
+C
2
2
Así el resultado será:
( 2 x + 7 )dx
5
( x + 1)
= ln |x2 + 2x + 5| +
arctan
+C
2
+ 2x + 5
2
2
òx
ò (2 - x )
6dx
x2 - 4x + 3
Factorizando el signo del denominador y completando el trinomio cuadrado perfecto de la raíz, tenemos:
6ò - 6ò
dx
( x - 2 ) ( x - 4x + 4 ) -1
dx
2
( x - 2 ) ( x - 2 )2 - 1
Hagamos u = x – 2; dx = du, por tanto la integral, será:
- 6ò
du
u u2 - 1
Aplicando la fórmula 22:, tendremos:
ò (2 - x )
6dx
= - 6 arc sec (x – 2) + C
x2 - 4x + 3
EJERCICIOS.- Resuelve las siguientes integrales indefinidas
dx
a)
ò 3 - 2x
b)
ò y ln y dy
1
c) ò(cot 5q + csc 5q)dq
2x3
ò x 2 - 4 dx
e) tan(ln x ) dx
ò x
2x
f) 1 + e dx
ò ex
e2 x
g)
ò e x + 3 dx
dx
h)
ò 9 x 2 + 16
d)
i)
ò
r
16 - 9 r 4
dr
dx
j)
ò (1 + x )
k)
òx
2
x
dx
- x +2
37
CURSOS PROPEDÉUTICOS EXANI
GUIA DE MATEMATICAS
EJERCICIOS
b
ò f ( x)dx identifica la integral:
1.
El símbolo
2.
a) Algebraica
b) Indefinida
c) definida
d) Por partes
f
Si la velocidad instantánea en el momento t de un punto con movimiento rectilíneo en el eje os es v = 9t2 m/s, y el punto
ocupo la posición s = o en el momento t = o, su posición s = s(t) en el momento t es:
a) s = 3t3 m
b) s = 4t3 – 1m
c) s = 3t3 + 5m
d) s = 18t m
3.
En la expresión
a
a)
4.
ò f ( x)dx = F ( x) + c, a C, se le conoce como:
Variable
b) Integrando
c) Integral indefinida
b)ln (x + 3)2
c)
La derivada de y = ln2 (x + 3) es:
a)
ln 2 x + 3 / (x + 3)
2
5.
Al derivar y = x2 sen x se obtiene:
a) x2 cos x – 2x sen x
b)2x sen x
6.
Al transformar la integral
a)
7.
d) Constante de integración
2 ln (u2 + 4) + c
òe
dx
+1
2 ln x + 3
x+3
d)
(x + 3)/ ln x + 3
c) x2 cos x + 2x sen x
d) x2 cos x
x
b)–2 ln (u2 + 1) + c
Al graficar la ecuación y = 2x + 2 se obtiene una
a) Elipse
b) Parábola
c)–ln |1 + u| + c
c) Recta
d) ln |1 + u| + c
d) Circunferencia
8.
Si en la ecuación y = 4x3 + 7 se toma el límite cuando x = 0 el valor de y es:
a) 7
b)11
c)9
d)6
9.
El valor de la tercera derivada de la función y = 10x4 + 2x + 3 es:
a) 120x2
b)240x2 + 2
c)240 x
d)0
10. Si “F (x)” disminuye cuando “X” aumenta, entonces es una función:
a) Exponencial
b) Creciente
c) Decreciente
d) Cuadrática
11. La pendiente de la recta tangente a la curva x3 – 3xy + y3 = 1 en el punto (2,1) es:
a) 3/5
b)5/3
c)–3/5
d)–5/3
12. Se le conoce como anti derivada al proceso de:
a) Definición
b) Integración
c) Sustitución
c
13. Según las propiedades de la integral
ò f ( x)dx, donde a < b < c, equivale a:
a
38
d) Derivación
CURSOS PROPEDÉUTICOS EXANI
b
a ) ò f ( x ) dx +
a
c
b) ò f ( x ) dx +
14.
a
b
GUIA DE MATEMATICAS
c
ò f ( x)dx
b
a
ò f ( x)dx
c
b
c ) ò f ( x ) dx +
ò f ( x)dx
a
c
c
d ) ò f ( x ) dx +
a
15. Al resolver la integral
c
ò f ( x)dx
b
ò x(2x + 1) dx se obtiene
2
2
1
3
- 3 + 2 +c
4
x
4x
x
3
2
4x
x
b)
+
+c
3
2
respuesta C
4 x3 x 2
4
c) x +
+
+c
3
2
1
3
2
d) 4 + 3 + 2 + c
x
4x
x
a)
16. Los máximos y mínimos de la función f(x) = (2 – x)3 son:
a)
f(x) Máximo = 6, en x = 2
b)f(x) Mínimo = 6, en x = 2
c) f(x) Máximo = 0, en x = 2
d)f(x) no tiene máximo ni mínimo
2.
Si f es una función cuyo dominio es el conjunto de los números reales y con regla de correspondencia f(x) = 3x2 –
2x + 5, el valor de f(2) es:
a. 5
b)12
c)13
d)–13
3.
Si en la ecuación y = 4x3 + 7 se toma el límite cuando x = 0 el valor de y es:
a. 9
b)6
c)11
d)7
4.
La integral
a.
b.
ò
x +2
dx es:
x +1
x2/2 – x – 3 ln|x + 1| + c
x2 – x + 3 ln| x + 1| + c
b)x2/2 + x – 3ln|x + 1| + c
C)x2/2 – x + 3ln|x + 1| + c
5
5.
El valor de la integral
a.
6.
–10
ò (4 x + 1)dx es:
-2
b)49
c)25
La función cuyo rango consta de un solo número se llama:
a. Monomio
b)Racional
39
d)30
c)Polinomial
d)Constante
CURSOS PROPEDÉUTICOS EXANI
7.
ò
Al realizar
GUIA DE MATEMATICAS
x + 5dx se obtiene
(2/3) (2x + 5)3/2 + c
(2x + 5)3/2 + c
a.
b.
b)(1/3) (2x + 5)3/2 + c
c)(3/2) (2x + 5) 3/2 + c
La familia de primitivas de f(x) = 2x3 – 2x2 + 4x – 1 es:
a. F(x) = (6/4) x5 + (4/3) x3 – (2/4) x3 + k
b)F(x) = 6x4 + 4x3 + 4x2 – x + k
4
c) F(x) = x - 2 x3 + 2 x 2 - x + k
d)F(x) = (1/4) x4 – (2/3) x3 + x + k
2 3
8.
9.
c)
La función f(x) = x4 – 2x3 tiene los puntos críticos en x1 = 0 y x2 = 3/2. decida si x1 y x2 corresponden ya sea a un
punto de inflexión, a un máximo o aun mínimo
a. x1, un máximo; x2, un punto de inflexión
b)x1, un punto de inflexión; x2, un mínimo
x1, un mínimo; x2, un máximo
d)x1. un máximo, x2, un mínimo
d) Un ejemplo de una función exponencial es:
f(x) = x2 – 3x + 1
a.
e)
x4 + 1
b)f(x) = cos (x2 – 3x + 1) c)f(x) =
d)f(x) = ex
La ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos P(1, - 2), Q(5, 4) y R(10, 5) es:
a. (x – 5)2 + (y – 9)2 = 65
b)(x + 9)2 + (y –3)2 = 65
2
2
c) (x – 3) + (y + 9) = 65
d)(x – 9)2 + (y + 3)2 = 65
10. Al interpretar analíticamente el concepto del área bajo la curva, estamos adquiriendo la definición de:
a. Integral definida
b. Integrado
c. Integral indefinida
d. Integral
11. Una función primitiva de 5x4 es:
a. 5x5
b. x5/5
1.
La integral
a)
ò dx / e
x
c. –x5
d. x5
es:
21 nx + c
c)(1/2 ) 1n2 x + c
b)– 21 nx + c
d)1nx/a + c
e)1 /e –x +c
n
2.
La expresión que representa la integral indefinida
ò x dx es:
5
s
a)
3.
La integral
a)
4.
6x6 + c
b)(1/6)x6 + c
d)5x4 + c
e)2x6 + c
ò x dx tiene como resultado:
6
(x7)/7 + c
b)6x5 + c
c)x6 + c
La fórmula de la integración por partes es:
dv
b)
ò v = !nv + c
ò udv = uv - ò udu
d) (du + dv - dw) = du + dv - dw
ò
ò ò ò
a)
5.
c)x6 + c
Al resolver la integral
ò udv = uv - ò vdu
e) vdu = uv - udv
ò
ò
c)
ò x(2x + 1) dx se obtiene:
2
40
d)x7 + c
e)(x5)/5 + c
CURSOS PROPEDÉUTICOS EXANI
x 2 (2 x + 1)3
+c
6
2
1
3
d)
- 3 + 2 +c
4
x
4x
x
a)
6.
La integral
2
2 xdx es:
-
b)– cos 2x + c
Al realizar
ò
1
d)
x2
(x
x ®2
òx
b)(1/3) (2x + 5) 3/2 + c
c)(-1/2) (x + 5)-1/2 + c
d)(2/3) (2x + 5) 3/2 + c
B)8
C)–2
d)0
e)–4
c)3 sen x – cos x
d)cos x + 3 cos x
x 2 + 4dx es igual a:
x2 + 4 + c
2
d)Integrando
x + 5dxse obtiene:
–16
10. La integral
(1/ 2)
d)– cos 2x sen2 2x + c
c)Constante de integración
La derivada de y = sen x + 3 cos es:
a) cos x – 3 cos x
b)cos x – 3 sen x
e)sen x + 3 sen x
a)
cos3 2 x
+c
6
lim(x 3 -8)es
El valor del
a)
9.
c)
La función por integrar recibe el nombre de:
a) Integral definida
b)Variable
a) (3/2) (2x + 5) 3/2 + c
e(2x + 5) 3/2 + c
8.
1
3
2
+ 3 + 2 +c
4
x
4x
x
c)
sen3 x
+c
2
e)
1.
ò sen2x cos
4 x3 x 2
+ +c
3
2
3
4x
x2
e)
+ +c
3
2
x4 +
senz x cos x + c
a)
7.
b)b)
GUIA DE MATEMATICAS
)
3
+4 +c
b)
(1 / 2)
(x
2
)
3
+4 +c
c)
(1 / 3)
(x
2
)
3
+4 +c
e) (x3 + 4) 3/2 + c
11. La función f(x) = cos x es:
a) Logarítmica
b)Polinomial
c)Exponencial
d)Algebraica
e)Trigonométrica
12. Si f es una función cuyo dominio es el conjunto de los números reales y con regla de correspondencia f(x) = 3x2 – 2x + 5,
el valor de f(2) es:
a) 12
b)13
c)5
d)–13
e)21
13. Todos los números mayores que 5 en notación de intervalo son:
a) (5, ý)
b)(-ý, 5)
c)(5, 10)
d)(-5, ý)
14. El valor de la tercera derivada de la función y = 10x4 + 2x + 3 es:
a) 240 x
b)120 x2
c)240
d)0
1
15. Al realizar
x + 5dxse obtiene:
ò
a) ( 1 /3) (2x + 5) 3/2 + c
d)(2x + 5)3/2 + c
b)(3/2) (2x + 5) 3/2 + c
41
e)(-5, 5)
e)240 x2 + 2
c)(-1/2) (x + 5) –1/2 + c
d)(2/3) (2x + 5) 3/2 + c
CURSOS PROPEDÉUTICOS EXANI
16. Al realizar
GUIA DE MATEMATICAS
2 xdx
ò x 2 + 5 se obtiene:
log (x2 + 5) + c
b)ln (x2 + 5) + c
c)2x (x2 + 5) + c
e)(x2 + 5) / 2x + c
17. La derivada de la función definida por la ecuación:Y = 2x3 – 3x + 9
a)
a) dy/dx = 6x2 – 3
d)dy/dx = 6x – 3
b)dy/dx = 6x2 – 3x
e) dy/dx = 6x2 + 3
d)2x / (x2 + 5) + c
c)dy/dx = - 6x2 .- 3
d
3x 2 - 2 es:
dx
b)6x/ (x2 – 2)
6 x / 3x 2 - 2
18. El resultado de
a)
c) 6 x(
x 2 - 2)
d) 3x
( 3x - 2)
2
3x 2 - 2
e) 3 x /
19. La substitución que permite obtener mediatamente la fórmula
(ax + b )
ò (ax + b ) dx =
n +1
n
+ c, es:
a (n + 1)
a) x = u/a – b
e)x = (u – b) / a
20. El límite lím
b)x = u/a – b
c)x = (u + b) 2 a
d)x = au – b/a
x2 - 2x + 4
x+2
x®1
a)
4/3
b)1
c)–1
d)2
e)5
c
21. Según las propiedades de la integral
ò f ( x)dx donde a < b < c, equivale a:
a
c
ò
a)
a
d)
c
f ( x)dx + ò f ( x)dx
c
b)
b
c
b
a
c
ò f ( x)dx + ò f ( x)dx
a
ò ( fx)d + ò f ( x)dx
a
e)
c
b
c
a
b
ò f ( x)dx + ò f ( x)dx
42
b
c)
ò
a
b
f ( x)dx + ò f ( x)dx
c