Sı́mbolos
El alfabeto griego
A
B
Γ
∆
E
Z
α
β
γ
δ
ε
ζ
alfa
beta
gamma
delta
épsilon
dseta
H
Θ
I
K
Λ
M
η
θ,ϑ
ι
κ
λ
µ
eta
theta
iota
kappa
lambda
mi
N
Ξ
O
Π
P
Σ
ν
ξ
o
π
ρ
σ
ni
xi
ómicron
pi
rho
sigma
T
Y
Φ
X
Ψ
Ω
Comparaciones
=
6
=
≈
∼
igual
desigual
más o menos igual
equivalente (o semejante)
<
>
≤
≥
Operaciones
+
−
·, ×, ∗
sumar
restar
multiplicar
÷, /
∧
√
Σ
sumar varios sumandos:
Π
multiplicar varios factores:
Conjuntos de números
N
Z
Q
R
C
los
los
los
los
los
números
números
números
números
números
menor que
mayor que
menor o igual que
mayor o igual que
τ
υ
ϕ
χ
ψ
ω
tau
ı́psilon
phi
chi
psi
omega
Formulario
matemático
Grupo 220-A
dividir
potenciar
radicar
Pn
i=1
ai = a1 + a2 + . . . + an
Qn
i=1
ai = a1 · a2 · . . . · an
naturales
enteros
racionales
reales
complejos
Lógica
⇒
⇔
∨
∧
eso implica
es equivalente a
o
y
Michael Barot
8
Algebra
Cónicas
Orden de evaluación
expresiones
potencias
−→
en parántesis
y raı́ces
−→
multiplicación
adición y
−→
y división
subtracción
Asociatividad. a + (b + c) = (a + b) + c, a · (b · c) = (a · b) · c
Conmutatividad. a + b = b + a, a · b = b · a
Distributividad. a · (b + c) = a · b + a · c
Binomios. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (primer binomio)
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2 (segundo binomio)
(a + b)(a − b) =a2− b2 (tercer
binomio)
n
n n−2 2
n
(a+ b)n = an +
an−1 b +
a
b + . . .+
abn−1 + bn
1
2
n−1
n
n!
coeficientes binomiales
= k!(n−k)!
k
donde n! = 1 · 2 · 3 · . . . · n (n factorial)
Ley de multiplicación de signos
Fracciones
a
+
b
a
−
b
c
ad + bc
=
d
bd
c
ad − bc
=
d
bd
+ · − = −,
− · + = −,
−a
a
a
=− =
b
b
−b
Ecuación lineal. ax + b = 0. Solución: x = − ab .
Ecuación cuadrática. ax2 + bx + c = 0. Discriminante D = b2 − ac
√
−b ± D
• Si D > 0 entonces hay dos soluciones: x =
2a
−b
• Si D = 0 hay una solución: x =
2a
• Si D < 0 no hay ninguna solución.
Transformaciones de equivalencia de ecuaciones y desigualdades
2
ecuación dada / desigualdad dada
Sumar cualquier expresión m
a·c= b·c
Multiplicar por cualquier
número c 6= 0
b
a
=
d
d
1
1
=
a
b
Dividir entre cualquier
número d 6= 0
b=a
Voltear
Invertir si a 6= 0, b 6= 0
p
Focos: F1 (−c, 0), F2 (c, 0)
Excentricidad: ε =
xxx(ε = 0
⇔
c
a
c F2
F1
x
a
satisface 0 ≤ ε < 1
elipse es cı́rculo)
Propiedad de distancia: |F1 P | + |F2 P | = 2a
Semilatus rectum p =
b2
a
y
Parábola.
Ecuación: y 2 = 2px
xxx(p el semilatus rectum)
Foco:
ℓ
p
F
F ( p2 , 0)
Directrix ℓ: x = − p2
x
P
L
Propiedad de distancia: |F P | = |LP |
y
Ecuación:
a+m=b+m
b
P
Hipérbola.
Ecuaciones
a=b
y2
x2
+ 2 = 1 (a ≥ b)
2
a
b
Excentricidad: ε = 1
−·− =+
ac
a c
· =
b d
bd
a
c
ad
÷ =
b
d
bc
Ecuación:
Distancia focal: f = 2c, c2 = a2 − b2
Leyes generales para números, variables y expresiones
+ · + = +,
y
Elipse.
a<b
(
a+m<b+m
a·c< b·c
si c > 0
a·c> b·c
si c < 0
(
b
a
si d > 0
d < d
b
a
si d < 0
d > d
1
a
>
1
b
b>a
x2
y2
−
= 1 (a ≥ b)
a2
b2
p
Distancia focal: f = 2c, c2 = a2 + b2
F1
Focos: F1 (−c, 0), F2 (c, 0)
Excentricidad: ε =
c
a
F2
satisface ε > 1
x
P
Propiedad de distancia: |F1 P | − |F2 P | = ±2a
Semilatus rectum p =
b2
a
c
Ası́ntotas: y = ± ab x
En coordenadas polares.
donde
r(α) =
p
1 + ε cos α
r(α): distancia desde el foco en dirección α
p: semilatus rectus
ε: excentricidad
|
b
a
{z
c
r(α)
F2
}
y
α
F p
x
7
C
Cálculo en el triángulo general.
a
b
c
=
=
sin α
sin β
sin γ
c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ
Potencias
γ
(Teorema del seno)
b
(Teorema del coseno)
α
am · an = am+n
am · bm = (a · b)m
Geometrı́a analı́tica
Distancia y pendiente.
La distancia entre dos puntos P1 (x1 , y1 ) y
P2 (x2 , y2 ) es
p
|P1 P2 | = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 .
P2
y2
ϕ
P1
Definición.
x1
x2
x
Leyes.
Dos rectas g y g ′ con pendientes m y m′ :
g ⊥ g ′ ⇔ mm′ = −1
Definición.
⇔
Ecuación simétrica (a y b son los valores donde se
intersectan los ejes):
x y
+ =1
a
b
ak = a1 + (k − 1)d (explı́cita)
~n
sn =
b
α
a
+ an )
x
Series especiales.
Sucesión geométrica.
ak = q · ak−1 , q 6= 0
ak = q · a1
sn = a1 ·
qn −1
q−1
(recursiva)
(explı́cita)
= a1 ·
1−qn
1−q
serie infinita (para |q| < 1):
1
s = lı́m sn = a1 ·
n→∞
1−q
n(n + 1)
2
n(n + 1)(2n + 1)
2
2
2
1 +2 +. . .+n =
6
n2 (n + 1)2
1 3 + 2 3 + . . . + n3 =
4
1 + 2 + ...+ n =
=0
Ecuación del cı́rculo.
con centro (a, b) y radio r:
(x − a)2 + (y − b)2 = r2
n
2 (a1
h
Forma normal de Hesse (m = tan ϕ es la pendiente,
h la distancia al origen):
x cos α + y sin α ± h = 0
Ax+By+C
√
A2 +B 2
loga (un ) = n loga u
1
loga
= − loga v
v
sucesión: a1 , a2 , . . . , ak ,
P
serie: s1 , s2 , . . . , sn , donde sn = a1 + . . . + an = ni=1 ai
ak = ak−1 + d (recursiva)
y
Ax + By + C = 0
6
an = b, ln = loge , log = log10
n
1
donde e = lı́m 1 +
= 2.71828 . . . (número de Euler)
n→∞
n
loga n = b
Sucesión aritmética.
es normal a la
recta):
H(x, y) =
√
n
a
Sucesiones y series
Ecuación estándar (m es la pendiente, b es el valor
donde la recta intersecta el eje y):
y = mx + b
A
B
1
an =
√
√ √
n
n
a·b= na· b
r
√
n
a
a
n
= √
n
b
b
q
√
√
n m
a = n·m a
√
m
√
m
n
a = a n = n am
loga (u · v) = loga u + loga v
u
loga
= loga u − loga v
v
logb u
loga u =
logb a
Ecuaciones de la recta.
Ecuación punto-pendiente (P (x1 , y1 ) es un punto de
la recta, m es la pendiente:
y − y1 = m(x − x1 )
Ecuación normal (el vector ~n=
1
an ,
Logaritmos
y1
y2 − y1
= tan ϕ
x2 − x1
am
= am−n
an
am a m
=
bm
b
m n
(a ) = am·n
y
La pendiente es
m=
0
−n
an = a
| · a ·{z. . . · a}, a = 1, a =
n factores
Leyes.
β
B
c
A
Definiciones.
a
r
(a, b)
3
Geometrı́a
Trigonometrı́a
Medida de ángulos.
Triángulo rectángulo.
Pitágoras: c2 = a2 + b2
Euclides: a2 = c · p, b2 = c · q
Altura: h2 = p · q
b
ángulo
grados
radianes
a
h
p
q
Teorema del ángulo inscrito.
ε = 2α
recto
90◦
π
2
llano
180◦
π
completo
360◦
2π
Definición de las funciones trigonométricas.
En el triángulo rectángulo (para 0◦ ≤ α ≤ 90◦ ):
c
Teorema de Tales.
La hipotenusa de un triángulo rectángulo es el
diámetro de la circunferencia circunscrita.
Si uno de los lados de un triángulo es el diámetro de la circunferencia circunscrita entonces el
ángulo opuesto al diámetro es recto.
cero
0◦
0
cateto opuesto
sin α =
hipotenusa
cateto adyacente
cos α =
hipotenusa
cateto opuesto
tan α =
cateto adyacente
α
a
us
ten
o
hip
α
cateto adyacente
y
donde:
c : cuerda
α : ángulo inscrito
ε : ángulo central
ε
P (x, y)
Para cualquier ángulo α:
c
sin α =
y
,
r
cos α =
x
,
r
tan α =
y
x
r
α
Teoremas de cuerdas, secantes y tangentes.
B
B′
|P A| · |P A′ | = |P B| · |P B ′ |
A
= |P T |2
A
Gráficas.
A′
P
y
y
y = sin α
1
1
′
0◦
A
P
x
′
T
B
90◦
180◦ 270◦ 360◦
α
−1
0◦
y
y = cos α
90◦
−1
y = tan α
1
180◦ 270◦ 360◦
α
0◦
90◦
180◦ 270◦ 360◦
α
−1
B
T
Semejanza
Simetrı́as.
′
′
′
Dos triángulos ∆ABC y ∆A B C son semejantes si la proporción de lados correspondientes es
la misma para los tres lados:
|BC|
|CA|
|AB|
= ′ ′ = ′ ′
|A′ B ′ |
|B C |
|C A |
Teorema de Tales.
Si AB es paralelo a A′ B ′ y S es el punto de
intersección de AA′ con BB ′ entonces:
|SA|
|SB|
=
,
|AA′ |
|BB ′ |
4
cateto opuesto
Geometrı́a sintética
|SA|
|SB|
=
|SA′ |
|SB ′ |
B′
C′
B
C
A′
A
A
S
(A)
B
sin(90◦ ± α) = cos α
sin(180◦ ± α) = ∓ sin α
sin(360 ± α) = ± sin α
B′
cos(90◦ ± α) = ∓ sin α
cos(180◦ ±α) = − cos α
cos(360 ± α) = cos α
Identidades trigonométricas.
sin2 α + cos2 α = 1
sin α
tan α =
cos α
α+β
sin α + sin β = 21 sin α+β
2 cos 2
A′
(B)
sin(−α) = − sin α
cos(−α) = cos α
tan(−α) = − tan(α)
cos α + cos β =
1
2
α+β
cos α+β
2 cos 2
sin(α±β) = sin α cos β±cos α sin α
cos(α±β) = cos α cos β∓sin α sin α
tan α ± tan β
tan(α ± β) =
1 ∓ tan α tan β
5
