Estatica/estabilidad 1

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Ing. Jorge A. Papajorge
Estabilidad I – Segunda Parte
GRADOS DE LIBERTAD
Al tomar un punto cualquiera en un plano y al querer conocer su posición Referida a
dos ejes cartesianos ortogonales. Llamados Grados de libertad a la cantidad de coordenadas
libres que tiene ese punto.
x1
y1
Nuestro estudio se referirá a la cantidad de movimientos que
ese punto puede realizar en el plano.
x
Identificamos así el número de coordenadas fijas necesarias,
como para que dicho punto permanezca inmóvil.
P1(x1;y1)
La cantidad de coordenadas necesarias para conocer su
posición serán dos. También dos serán la cantidad de
y
movimientos.
Grados de libertad = Dos
x2
x1
El punto, sólo se podrá mover con respecto a “x” y con
respecto a “y”.
gl =2
P1
y1
P2
De igual forma, podemos afirmar que dos puntos y2
y
independientes tendrán 4 grados de libertad.
gl = 4
x2
x1
y1
y2
x
P1(x1;y1)
(y2-y1)
d1-2
P2(x2;y2)
x
Si vinculamos los puntos P1 y P2 mediante un elemento
rígido e indeformable, donde la distancia que los une es constante
e invariable. Esta distancia estará dada por
d 1 2 
 x 2  x12   y 2  y1 2
.
(x2-x1)
y
El conjunto así formado tendrá cuatro menos uno grados
de libertad (gl = 4 – 1 = 3). Porque debemos conocer tres coordenadas para identificar su
posición.
Si el conjunto ahora lo vinculamos a otro punto, también
con dos barras rígidas e indeformables.
Las distancias estarán identificadas por:
d1  2 
x 2  x1 2   y 2  y1 2
d 3 1 
x3  x1 2   y3  y1 2
d 3 2 
x2  x 3 2   y 3  y 2 2
x3 x2
x1
y1 P1(x1;y1)
y2
d1-2
d1-3
y3
y
P3(x3;y3)
x
P2(x2;y2)
d2-3
por lo tanto el conjunto tendrá seis menos tres grados de libertad (gl = 6 – 3 = 3). Con
lo que necesitamos conocer tres coordenadas para identificar la posición del conjunto.
Como sabemos, tres puntos determinan un plano, consecuentemente esos tres puntos
identifican a una chapa.
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Estabilidad I – Segunda Parte
Fijando la Posición de P1 (x 1; y1) hace que la chapa quede fija, donde lo único que
puede hacer la chapa es girar alrededor de P1.
Al definir x 2, estamos evitando que ese giro no ocurra.
x1
x2
Disponemos así de: (x1; y1; x2)
“y2” se define por la fórmula
y1 P1(x1;y1)
P2
P3
y
x
d1 2 
 x 2  x1 2   y 2  y1 2
quedando determinado así el punto P2.
¿Cómo determinamos P3?
De forma similar por las formulas de distancia
d 3 2 
x 2  x3 2   y 3  y 2 2 
d 31 
 x3  x1 2   y 3  y1 2


x3 e y3
Definimos así A :
coordenadas del punto P3
El conjunto de tres puntos vinculados con tres barras rígidas e indeformables, quedará
fijo, solamente conociendo tres coordenadas que evita que se desplace o gire.
Estamos en condiciones de decir que todo elemento que limita la probabilidad de
movimiento de una chapa rígida e indeformable, lo denominamos “Vínculo”.
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Estabilidad I – Segunda Parte
VÍNCULOS
Toda losa, viga, columna, etc. que forman parte de una estructura, debe cumplir:
1) Cada elemento, tiene que estar en equilibrio estático, para lo cual será necesario
vincularlo, es decir apoyarlos entre sí y/o con el suelo
2) Dicho equilibrio deberá ser estable, utilizando sólo vínculos eficientes y no
aparentes.
3) Cada elemento estructural no deberá sufrir tensiones que excedan los límites
admisibles de trabajo, evitando posibles deformaciones permanentes.
De acuerdo al concepto que tenemos ya sobre “vínculo”, podemos decir que
llamamos así a:
“Todo elemento físico de existencia real, que evita la aparición de magnitudes
elásticas en los puntos de una estructura en los cuales se haya aplicado”.
Existen dos tipos de magnitudes perfectamente diferenciadas:
Son magnitudes correspondientes:
Magnitudes
La Fuerza son un desplazamiento
Elásticas:
 Desplazamientos
Colineal al mismo.
 Rotación
Un par con una rotación con ejes colineales.
Estáticas:
 Fuerza
 Momento
Por lo tanto el vínculo es un elemento físico capaz de generar magnitudes estáticas
correspondientes con las magnitudes elásticas que impide.
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Grado de un vínculo:
Se llama así, a cada Magnitud elástica que el vínculo impide o a cada magnitud
estática que ese vínculo genera.
Por lo tanto existen vínculos de distintas especies o grados.
VÍNCULOS DE PRIMER GRADO:
a) A poyo simple
PERMITE
IMPIDE
GENERA
y
Fy
A
y
Desplazamiento en “x”
Desplazamiento en “y”
Una fuerza
Giro en A
Elimina una magnitud elástica, generando una magnitud estática (fuerza), de cualquier
magnitud pero de dirección conocida, perpendicular al punto tangente de la estructura.
Magnitud
elástica
y = 0
x  0
0
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


Magnitud
estática
Fy  0
Fx = 0
M=0
Referencias
 = Desplazamiento
F = Fuerzas
 = Giro
M = Momento
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b) E mpotramiento Libre
PERMITE
IMPIDE
GENERA
M
Desplazamiento en “x” e “y”
Giro
Magnitud
elástica
y  0
x  0
=0
Un momento



Magnitud
estática
Fy = 0
Fx = 0
M0
VÍNCULOS DE SEGUNDA ESPECIE
Estos vínculos eliminan dos magnitudes elásticas.
a) A poyo Doble
PERMITE
IMPIDE
GENERA
Fx
Fy
A
Giro en A
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Desplazamiento en “x” e “y”
Dos fuerzas
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Impide Dirección horizontal y vertical, generando una fuerza de cualquier Dirección y
magnitud, permitiendo a la estructura girar alrededor del punto “A”.
Magnitud
elástica
y = 0
x = 0
0



Magnitud
estática
Fy  0
Fx  0
M=0
b)
PERMITE
IMPIDE
GENERA
M
Fy
Desplazamiento en “x”
Giro
Una fuerza
Desplazamiento en “y”
Un momento
Magnitud
elástica
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Magnitud
estática
y = 0

Fy  0
x  0

Fx = 0
=0

M0
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VÍNCULOS DE TERCERA ESPECIE
Empotramiento
PERMITE
IMPIDE
GENERA
Fx
A
M
Fy
Desplazamiento en “x” e “y”
Dos fuerzas
Giro en A
Un momento
Capaz de generar una fuerza de cualquier Dirección y magnitud ubicada en cualquir
lugar del plano.
Magnitud
elástica
Magnitud
estática
y = 0

Fy  0
x = 0

Fx  0
=0

M0
Existen otros tipo de vínculos, que a los efectos de nuestro estudio no analizaremos.
Como sabemos, una chapa tiene en el plano tres grados de libertad y para
determinar la cantidad de vínculos necesarios, se procede a quitarle a la chapa todo tipo de
movimientos. Esto significa anular todas las coordenadas libres, a los efectos que la chapa se
encuentre Isostáticamente sustentada o en equilibrio Isostático.
Los vínculos estudiados hasta el presente son vínculos externos o absolutos.
Una vez definidos los vínculos se los colocamos a las estructuras en cantidad mínima,
a los efectos de equilibrar cualquier estado de cargas. Vale decir que al Sistema Activo
generado por las cargas, se lo equilibrará con un Sistema Reactivo generado por las
Reacciones de Vínculos.
Toda estructura plana a la que le colocamos vínculos externos, puede estar formada
por una o más chapas. Estas chapas estarán unidas mediante Vínculos internos o Relativos
que analizaremos más adelante.
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Todas estas estructuras son isostáticas. Y son aquellas que podemos resolver mediante
las ecuaciones de la Estática.
x3
ch
x1
ch
Es decir, se puede hallar cualquier
magnitud estática mediante la aplicación de estas
ecuaciones.
Para verificar que las magnitudes elásticas
sean nulas debe cumplir que las magnitudes
estáticas correspondientes totales también sean
nulas.
x2
Resumiendo: una chapa tiene tres grados de libertad, para determinar la cantidad de
vínculos necesarios, se procede a quitarle todo tipo de movimiento, lo que significa anular
todas las coordenadas libres.
Ecuaciones de la es tática
  F A  FR  x  0
  F A  FR  y  0
 M  F A  FR  A  0
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Vínculos Aparentes
Para fijar una estructura, a veces no basta tener la cantidad de vínculos necesarios,
pues al estar colocados en determinadas forma, no adecuada, la estructura se desplazará.
Cuando esto ocurre, la vinculación será Aparente.
se desplaza
El eje del apoyo
simple no debe
pasar por la
articualación del
apoyo doble
Gira

se desplaza
EJEMPLO
Para determinar el sistema reactivo de una estructura, debemos conocer, primero los
tipos de cargas a la que está sometida.
1- Cara concentrada y distribuida
2- Cargas Permanentes: que son las que existen siempre en las estructuras como: el
peso propio
3- Cargas accidentales: que actúan en forma temporaria como el viento, la nieve,
etc.
4- Cargas Fijas: actuando siempre en el mismo lugar.
5- Cargas Móviles: actuando en diferentes lugares de la estructura.
6- Cargas Vibratorias: que producen vibraciones en determinado punto de la
estructura.
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Por lo tanto Estado de Cargas, es un grupo de cargas de distinto origen que actúan a
la vez sobre una Estructura.
q=1t/m
B
x3
3m
M=2 tm
x2
3m
P= 3t
A
x1
1m
2m
2m
1) Verificamos si la isostaticidad es real y no aparente
2) Ponemos en evidencia las incógnitas colocando las magnitudes estáticas que los
vínculos generan.
3) Planteamos las ecuaciones generales de la estática
4) Tomamos como positivos los ejes y momentos siguientes
x
M
y
 F x   0  3t  x3 
x3  3t



Sentido Inverso al supuesto
t
 F y   0   x1  x 2  1 m 2m
t
 M B   0  5m x1  3t · 3m  2tm  1 m 2m 1m
x1 
9tm
 1,8t
5m
x 2   x1  2t  1,8t  2t
x 2  0,2t
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VÍNCULOS INTERNOS
Al hablar de Vínculos, dijimos que:
Llamamos vínculos a todo elemento físico, de existencia real que evita la aparición de
Magnitudes Elásticas en puntos de una estructura los cuales se haya aplicado.
Magnitudes elásticas:
Desplazamiento
–Rotación
Magnitudes estáticas:
Fuerza
–Momento
Por lo tanto vínculo: elemento físico capaz de generar magnitudes estáticas
correspondientes con las magnitudes elásticas que impide:
Vínculos Internos
Vimos que:
A una estructura solicitada a un estado de cargas
cualquiera le colocamos vínculos absolutos a los efectos que
permanezcan en equilibrio isostático generando magnitudes
estáticas correspondientes a las magnitudes elásticas que
impiden.
Vínculos
absolutos
Existen vínculos que actúan en la parte interna de una
estructura: vínculos internos o vínculos relativos, que unen entre sí, elementos de igual rigidez
de una misma estructura en equilibrio. Capaces de impedir magnitudes elásticas relativas,
generando magnitudes estáticas relativas.
Al hablar de estructuras, hablamos en el plano de chapa, como una estructura
infinitamente delgada.
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Sabemos que:
ch1
1 chapa
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desplaza
tiene 3 G.L.
gira
desplaza (x)
3 g.l.
desplaza (y)
(giro)
x3
ch1
x1
Habrá que identificar las
3 incógnitas para que se
mantenga en equilibrio
isostático.
x2
Qué pasa con 2 CHAPAS ?
SEPARADAS
UNIDAS O
VINCULADAS
EN A
CH2
CH1
CH1
tienen 3 g.l. cada
una, entonces las
dos: 6 g.l.
A
CH2
Pasamos a Analizar
Vínculo en A: ARTICULACIÓN
Representación
II
N
A
Q
N
I
R
 M AR izq o der
Q
0
PERMITE
IMPIDE (Magnitud elástica)
GENERA (Magnitud estática)
Giro relativo (I; II) R
Desplazamiento Horizontal (x)
Esfuerzo horizontal (N)
Desplazamiento Vertical (y)
Esfuerzo Vertical (Q)
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Magnitud
elástica
ry = 0
rx = 0
r  0
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Magnitud
estática
Q0
N0
M=0



¿Qué es una Ar ticulación?
Es un vínculo Interno (V.I.) o un Vínculo relativo de segunda especie
¿Por qué de 2da especie?
Porque restringe (2 g.l.) dos grados de libertad
¿Cómo los restringe?
Impidiendo el desplazamiento relativo en x e y.
ch2
ch1
A
C/chapa
 3 g.l.
Separadas
 6 G.L.
Unidas (Vinculadas)  6 G.L. –2 V.I. = 4 G.L.
para fijarlas a tierra, necesitamos 4 V.E. cuatro vínculos externos
¿Es tos 4 V .E. se colocarán de cualquier manera?
La colocación de los 4 V.E. “No es arbitraria”.
Puede Ocurrir
ch2
ch1
A
 Ch1 fija (hemos colocado 4 V.E.)
 “A” fijo y pertenece a la ch1
 ch2 Rota en torno a “A”
“Como nuestra necesidad es de 4 V.E.” ¿Qué hacemos para que ch2 “NO ROTE”?
Necesidad de fijar ch2 a tierra. Le sacamos un vínculo a ch1 y se lo agregamos a ch2.
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ch2
ch1
A
Vemos que:
 ch1 y ch2 están articuladas en “A”
 para que sean isostáticas necesitamos 4 V.E. (6 G.L. – 2 G.L.)
Por lo tanto el sistema constituido por dos chapas articuladas se denomina “Cadena
cinemática abierta” de dos chapas.
Vimos que la ubicación de los V . E. “No es arbitraria”
¿Qué puede oc urrir?
ch2
ch1
A
Si los 4 V.E. los colocamos en ch1
 ch2 gira.
Si colocamos 1 vínculo () en ch2
 no gira “pero” tenemos 5 V.E.
 Hiperestático de 1º grado
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Las reacciones de vínculo deberán estar distribuidas de tal manera que: No
existe más de 3 V.E. por chapa
Existen 2 posibilidades
3 V.E. en ch1
Caso de un tri-articulado
ch2
ch1
ch2
ch1
A
A
 Vimos


A
ch2
ch1
A
ch2
ch1
ch2
ch1
A
¿Qué pasa con la vinculación aparente?
“OJO”
A
A
ch2
ch2
ch1
ch1
Si las normales concurren a un mismo punto “Problemas indeterminado”.
¿Cómo se resuelve?
=
A
ch1
ch2
4
G.L.
3 G.L.  " Ecuaciones generales de la estática"

 1G.L. " A partir de un giro
 r
0M 0




3Vínculos Absolutos
1 Vínculo Relativo
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 F x   0

 F y   0

 M  B   0

R
 M A izq. o der.  0
¿Qué pasa cuando le agregamos al sistema más chapas?
Forma una cadena cinemática abierta de 3 chapas
B
A
ch1
ch2
ch3
ch1  3 gl 

ch2  3 gl  separadas  9 gl
ch3  3 gl 
VI  4 gl  9  4  gl  5 gl
RECORDAR QUE :
 5 Vinc. Externos

 No más de 3 V.E. por chapa
 Vinculació n Real y no aparente


 F x   0


 3 ecuaciones generales de la estática  F y   0



 M c   0
RESOLUCIÓN : 5 ecuaciones

 M RA izq o der  0



 2 ecuaciones relativas
R
 M B izq o der  0

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Estabilidad I – Segunda Parte
¿Qué pasa cuando convergen varias chapas a un mismo
nudo?
Fija
A
Gira y “NO se desplaza ni en “x” ni en “y”
O viceversa
Ahora:

N-
1
Siendo
 Cantifad de Vínculos Internos
N  Nº de chapas
2  cantidad de G.L. que restringe cada V.I.
2 N - 1  los G.L. que restringen todos los V.I.
Cuando convergen dos chapas solamente en el nudo A:
Se restringen: VR
= 2 (N – 1)
= 2 ( 2 – 1)
= 2 G.L.
Ahora:
fija
A
II
Cuando convergen 3 chapas al
nudo A.
I
III
I " Fija" Respecto de II  Desplazamientos nulos :

I " Fija" Respecto de III Verticales y Horizontales
 Restringe
Por la fórmula: VR = 2 ( N – 1)
4 G.L.
Se cumple
= 4 G.L.
Por lo tanto ese vínculo interno restringe 4 G.L.
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¿Cuántos vínculos externos necesitamos?
3 ch x 3 G.L. c u
 9 G.L.


Vinc. int . que restringe  4 G.L.
 RESOLUCIÓN
Vinc. Ext. Necesarios
 5 G.L.
"Siempre
una fija"
  F X   0 
 

  F y   0 3 Ecuaciones generales de la estática 


  M  B   0 


5 ECUACIONES  
R

  M A arriba  izq ó der  0

R
  M A abajo izq ó der  0

  2 ecuaciones de equilibrio relativo que 

  asegure que el giro en A  sea nulo


III
II
Fija: I
IV
Móviles: II – III – IV – V – VI – VII – VIII
A
I (fija)
V
VR = 2 (N – 1)
VIII
VI
VII
= (8 – 1)
= 14 gl. Que restringe el vínculo
8 ch x 3 gl
= 24 gl
por vinculación interna
= 14 gl
necesidad de vinc. externa
= 10 gl. ¿Resolución?
3 generales de la estática
Con 10 Ecuaciones 
7 de equilibrio relativo que aseguren que no gire A
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Estabilidad I – Segunda Parte
¿Existen otros Vínculos Internos? ... SI
DISTINTOS TIPO DE VÍNCULOS INTERNOS
Separamos en 2 chapas
P1
P2
Parte I
ch1
i
I
Parte II
ch2
i
P3
II
¿Qué pasa en la sección i – i?
Aparecen 3 magnitudes elásticas
Desplazamiento en x
Desplazamiento en Y
Magnitudes elásticas 
Aparecen
giro

Magnitudes estáticas 
Establecen el equilibrio
Las Colocamos
Magnitudes estáticas
N
M Q
M
N
Fuerzas horizontales
N
Fuerzas Verticales
Q
Momentos
M
La vinculación que existe en la sección i-i será
relativa y de 3º especie ó grado.
Q
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Magnitudes
vinculación
es táticas
que
Vinculación de 3º especie
Permite
(Nada)
Genera
aparecen
de
quitar
la
Magnitudes
Elásticas
Estática
xr = 0
N0
Giro: r
yr = 0
Q0
Esfuerzo horizontal: N
r = 0
M0
Despl.: (x)
Impide
Estabilidad I – Segunda Parte
Despl.: (y)
Esfuerzo vertical: Q
Momento: M
Vínculos Internos o relativos
 DE 2º ESPECIE
N
M
M
N
Permite
Impide
Genera
Desplazamiento Horizontal en X Esfuerzo horizontal N
Desplazamiento vertical en Y
Momento M
Y Giro  r
Magnitud
Magnitud
elástica
estática
r
x = 0

N0
Q=0
yr  0

r = 0

M0
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Estabilidad I – Segunda Parte
QQ
M
M
 FH der. ó izq.  0
Permite
Impide
Desplazamiento vertical en Y
Desplazamiento en Horizontal X
Y Giro  r
Magnitud
Magnitud
elástica
estática
N=0
xr  0

r
y = 0

Q0
r = 0

M0
Genera
Esfuerzo Vertical Q
Momento M
 DE 1º ESPECIE
Q
Q
r
Permite
Impide
Genera
Desplazamiento Horizontal en X Desplazamiento Vertical en Y
Esfuerzo Vertical Q
Y Giro r
Magnitud
Magnitud
elástica
estática
r
N=0
x  0

r
y = 0

Q0
M=0
r  0

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Estabilidad I – Segunda Parte
 DE 1º ESPECIE
N
N
Permite
Impide
Genera
Desplazamiento Vertical en Y Desplazamiento Horizontal en X
Esfuerzo Horizontal N
Y Giro r
Magnitud
Magnitud
elástica
estática
xr = 0

N0
r
Q=0
y  0

M=0
r  0

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Estabilidad I – Segunda Parte
 DE 1º ESPECIE
Q
Q
Permite
Impide
Genera
Desplazamiento Vertical en Y
Momento M
Giro  r
Desplazamiento Horizontal en X
Magnitud
Magnitud
elástica
estática
r
N=0
x  0

r
Q=0
y  0

r = 0

M0
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Estabilidad I – Segunda Parte
CADENA DE CHAPAS CERRADAS ISOSTÁTICAS
Sustentación –Vinculación correcta y aparente
CÁLCULO DE REACCIONES
En una cadena cinemática de N chapas, donde cada una de ellas tienen si fueran
independientes 3 grados de libertad, vale decir que todo el conjunto no vinculado tendrá 3N
grados de libertad. Luego al estar
vinculadas y debido que cada vinculación
ch3
relativa entre dos chapas restringe 2
ch2
grados de libertad (2 G.L.) y como dicho
conjunto tendrá (N-1) vínculos internos,
ch1
todos los vínculos internos restringirán
por lo tanto 2 (N-1) grados de libertad.
Por lo tanto, la estructura de
cadena cinemática abierta contará con: (N+2) grados de libertad.
Grados de libertad de la
estructura vinculada
3N  2 N  1 g.l.  N  2g.l.
Grados de libertad que restringen los vínculos internos
Grados de libertad de las chapas desvinculadas
Si ahora tratamos una cadena cinemática cerrada, veremos que ésta tendrá una
articulación intermedia más, lo que dicho vínculo
agregado restringe dos grados de libertad (2 gl)
adicional quedando: [(N + 2) – 2] gl = N gl
Que operando serán N los grados de libertad
que tendrá una cadena cinemática cerrada.
Por lo tanto podemos afirmar que el número de
grados de libertad de una cadena cinemática cerrada,
será igual al número de chapas (N) que la integra gl =
N
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Cadena cinemática cerrada
Entendemos por cadenas cinemática cerrada, aquella en que sus resultado así que la
totalidad de las chapas que integran la cadena, se encuentran articuladas con dos chapas
vecinas y consecuentemente, para fijarla a la tierra, será necesario imponerle N condiciones
de vínculos, que estarán distribuidos de forma tal que ninguna chapa resulte vinculada a tierra
por más de tres de ellos.
La cadena cinemática cerrada más simple, será la constituida por sólo tres chapas que
poseerá tres grados de libertad (3 gl). Es decir el mismo número que una chapa aislada en el
plano.
1
De lo expuesto se puede afirmar que una cadena cinemática cerrada de tres chapas, se
comporta cinemáticamente como una chapa rígida. Para fijarla a tierra, será necesario
imponerle tres condiciones de vínculo , los que de
acuerdo con la forma en que se encuentren
distribuidas, conducen a las siguientes variantes, en
ch
2
ch
cuanto a su sustentación.
ch3
ch2
1
ch
ch3
La determinación de sus reacciones de vínculos
solicitada por un sistema de fuerzas exteriores. No
ofrece mayores dificultades si se lo encuadra por
procedimientos gráficos o analíticos.
Siendo tres el número de incógnitas a
determinar, analíticamente se resuelve e inmediatamente el planteo de las ecuaciones
generales de equilibrio.
F x   0

F y   0

M  P   0
Gráficamente, será el correspondiente a una chapa simple sustentada mediante tres
condiciones de vínculos.
Al analizar una cadena cinemática cerrada de cuatro chapas y siendo el número de
chapas N = 4, tendrá como hemos visto cuatro grados de libertad (4 gl), con lo que será
necesario imponerle entonces cuatro condiciones de vínculo para sustentarla isostáticamente.
Claro está que cumple un factor muy importante la distribución correcta de esos vínculos y
tratando de colocar no más de tres vínculos por chapa.
Pudiendo resultar los siguientes casos:
a) 3 vínculos con 1 chapa y 1 en chapa adyacente.
b) 3 vínculos con 1 chapa y 1 en chapa no adyacente.
c) 2 vínculos con 1 chapa y 2 en chapa adyacente.
d) 2 vínculos con 1 chapa y 2 en chapa no adyacente.
e) 2 vínculos con 1 chapa y 1 en chapa adyacente y 1 en no adyacente
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f) 2 vínculos con 1 chapa y 1 en chapa adyacente y otra adyacente
g) 1 vínculo en cada chapa.
¿Cómo encaramos el estudio?
Una cadena cinemática cerrada de N chapas, o comúnmente denominada Marco
cerrado, estará compuesto por un conjunto de barras, que como hemos dicho anteriormente,
se cierran en algún punto de dicha estructura, que a su vez estará vinculada isostáticamente a
tierra.
Ello implica que a través de sus vinculaciones, se podrán obtener, un sistema reactivo
que será capaz de equilibrar al sistema activo de cargas actuantes ó estado de cargas, mediante
el estudio analítico, con la aplicación de las 3 ecuaciones generales de la estática.
Ahora bien, cuando pretendemos hallar para cada punto de la estructura, el valor y
ubicación de la resultante izquierda ó derecha a través de los esfuerzos característicos M, N, y
Q, que definirán a dicha resultante, se puede comprobar que
dentro del marco cerrado NO será posible definir la parte
izquierda o parte derecha de la estructura y consecuentemente
tampoco podremos definir la resultante izquierda o derecha.
Esto se puede verificar recorriendo la estructura a partir de un
punto cualquiera donde nos interesa determinar los valores de
las solicitaciones características, ya que en un punto cualquiera
será imposible determinarlas, llegando nuevamente al mismo
punto de partida involucrando en su recorrido todas las fuerzas o Estado de cargas que actúan
en dicha estructura.
Esta determinación originada en el ,marco cerrado, se podrá evitar, tentando resolver
la estructura, mediante la eliminación de vínculos internos (V.I.).
Como mencionamos en capítulos anteriores cuando analizamos vínculos internos,
hemos dicho que cada punto de la estructura, actúa de vínculo interno de ella misma,
poniendo en evidencia las magnitudes estáticas en correspondencia de las magnitudes
elásticas que ese punto está impidiendo.
Es decir que cortando el marco cerrado, en un punto cualquiera, ponemos en evidencia
la totalidad de las magnitudes estáticas correspondientes con las magnitudes geométricas
relativas que impiden la vinculación.
M
N
Q
M
Q
N
Si bien hemos eliminado la
indeterminación antes descripta, vemos que
nos aparecerán tres incógnitas internas x1; x2;
x3 que no son otra cosa que los esfuerzos
característicos (M, N y Q) en dicho punto.
Por lo tanto, aparecerán en la
estructura tres nuevas incógnitas, quedando
así convertida en una estructura estática
abierta, para la cual la estática nos brinda solamente las tres ecuaciones generales de
equilibrio. Con lo que tendremos:
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Sólo 3 ecuaciones
Y 6 incógnitas = 3 por vínculos internos y 3 por vínculos externos.
Por lo tanto será un hiperestático de 3º grado.
Si bien en cada sección está definida la parte izquierda y derecha, no podremos
calcular M, N y Q, ya que no tenemos forma de conocer los valores de todas las incógnitas.
En estas condiciones se trata de una estructura externamente isostática pero
hiperestática debido a su vinculación interna.
¿Cuál es nuestro objetivo?
Nuestro objetivo es llegar a concluir
cuando una estructura de marco cerrado es
isostática.
X6
X5
X4
E
X2
X1
X3
Tomamos la estructura anterior y le
eliminamos un vínculo interno en un punto
(E) del marco cerrado, ello implica colocarle a
la estructura un vínculo interno de 2º especie,
que será una articulación.
Dispondremos entonces de: 4 ecuaciones y 6 incógnitas
F x   0

F y   0
4 Ecuaciones 
M  P   0

r
r
M Ei
 0 ó M Ed
0
x 1  x 2  x3 Externas
6 Incógnitas 
 x 4  x5  x6 Internas
Ahora la estructura se ha transformado en un hiperestático de 2º grado.
Ahora bien, si colocamos en el marco cerrado otra articulación vemos que se
transforma en un hiperestático de 4º grado: 5 ecuaciones con 6 incógnitas comprobamos
entonces que para que una estructura de marco cerrado sea isostática (debido a su vinculación
interna), deberá tener como mínimo 3 vínculos relativos de 2º especie por marco cerrado.
Para resolverlo, debemos lograr como mínimo, un corte por macro, logrando de esta
manera definir la izquierda y la derecha de la estructura en todos los puntos.
EJEMPLO:
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Estamos en presencia de una
estructura cinemática de chapas cerradas
isostáticas porque:
II
a) El marco cerrado tiene 3 vínculos
relativos de 2º especie.
E
I
b) Está formada por 3 chapas, las
cuales de estar libres tendrán 3N
grados de libertad cada una. Por lo
tanto las 3 chapas desvinculadas tendrán 9 grados de libertad.
III
Los que necesitaremos impedirlos:
Por vínculos internos se restringen = 6 grados de libertad
Por vínculos externos se restringen = 3 grados de libertad.
D
De esta forma estamos restringiendo
los 9 grados de libertad por medio de la
vinculación externa e interna.
X6
i
X5
X4
jE
A
X2
X1
B
C
X3
Si resolvemos la estructura cortando
en un punto cualquiera del marco cerrado,
veremos que el número de ecuaciones es
igual al número de incógnitas.
Dispondremos de 6 ecuaciones con 6
incógnitas:
Ecuaciones :

F x   0


 Ecuaciones generales de la estática F y   0


M  P   0


r
r
M E izq.  0 ó M E der.  0

r
r
M D izq.  0 ó M D der.  0
 r
r
FV izq.  0 ó FV der.  0
Incógnitas :
 Externas  x 1  x 2  x3

 Internas  x 4  x 5  x6
Si cortamos la estructura en el punto i, se ponen en evidencia 3 incógnitas (M, N y Q);
pero si cortamos la estructura en el punto j, sólo aparecerán 2 incógnitas (N y Q); pues en ese
punto el vínculo existente es una articulación donde sabemos que el momento vale cero (M =
0).
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La eliminación de vínculos internos pueden realizarse simultáneamente en uno o
más puntos.
Al eliminar vínculos en los puntos i, j, hemos transformado a nuestra estructura en dos
sub—estructuras independientes entre sí, relacionadas únicamente por las tres magnitudes que
aparecen en i (M, N, Q) y por las dos magnitudes que aparecen en j (N, Q). Las que serán en
ambas caras de cada corte ó lo que es lo
mismo en cada sub—estructura, iguales y de
II
i
sentido contrario.
Así por ejemplo, el momento en el
punto i (Mi) lo suponemos positivo (+) en la
cara derecha ó sea en la sub—estructura II y
será negativa (-) y de igual valor en la cara
izquierda ó sea en la sub—estructura I. –y
así sucesivamente.
j
I
x6
x5
Ahora bien, las cinco incógnitas que
aparecerán al cortar la estructura en los puntos i,
j, la resolveremos por medio de las Ecuaciones
generales de la estática, las ecuaciones de
equilibrio relativo.
x4
x8
x7
x2
x3
x1
F x   0

F y   0

M  P   0
F x   0 de la sub - estructura I ó II

F y   0 de la sub - estructura I ó II

M  P   0 de la sub - estructura I ó II
De las ecuaciones de equilibrio relativo respecto de un punto, se toma la ecuación
izquierdo ó derecha de ese punto.
Importante: NO se podrá tomar en una ecuación, por ejemplo F(x) = 0 en la sub—
estructura I y II simultáneamente, pues ya hemos utilizado para calcular los vínculos externos
las ecuaciones generales de la estática y de hacerlo en ambas sub—estructuras I y II.
Estamos detectando F(x) = 0 como ecuación general y no como ecuación de equilibrio
relativo en uno u otro lado.
Tenemos que tener en cuenta que si tomamos:
F(x) = 0
En I; al tomar la segunda
F(x) = 0
En II; esta última no es independiente ya que aparecerá como
F x   0
combinación lineal de las dos anteriores. Es decir de: 
F x   0 En I 
Por lo tanto, no tendrá valor para el proceso resolución de las ecuaciones.
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A medida que cortamos a la estructura en mayor cantidad de lugares, impondremos
más incógnitas y ecuaciones. El proceso será más fatigoso, pero luego se hará más simple a
los efectos de obtener los esfuerzos característicos M; N; Q de toda la estructura.
Una vez elegido el sistema de incógnitas debemos plantear todas las ecuaciones
linealmente independientes posibles, esta cantidad y calidad nos reflejará la naturaleza de la
estructura, pudiendo ocurrir que:
a) El número de ecuaciones es mayor que el número de incógnitas. Por lo tanto
estamos en presencia de una estructura Hipostático.
Nº Ecuaciones  Nº de incógnitas  Est. Hipostática.
Ejemplo:
B
B
A
A
x2
x1
x3
Ecuaciones: Cantidad cuatro (4)
F x   0 


F y   0 Las tres ecuaciones generales de la estática


M  P   0

Una Ecuación de equilibrio relativo

r
r

M

0
ó

M

0
B
izq
.
B
der
.

izquierda ó derecha pero siempre una


Incógnitas: cantidad tres (3)
{x1; x2; x3
Este caso a) no tiene solución, solo lo tendrá para un sistema de fuerzas que pasen por
A y B.
b) El número de ecuaciones es menor al número de incógnitas donde la estructura
será Hiperestática.
Nº de Ecuaciones  Nº de incógnitas  HIPERESTÁTICA
De solución indeterminada por los métodos de la estática.
El número de ecuaciones faltantes, para la resolución de este problema, serán provistas
por la teoría de la elasticidad. Pudiendo ser una solución por Deformaciones.
c) El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas puede tener dos
posibilidades
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 Solución
c    0
Nº de Ecuaciones = Nº de Incógnitas   1
c 2    0   Soluciones
c1) Si el determinante de la matriz de los coeficientes del sistema de ecuaciones es 
0, la estructura será isostática y tendrá solución para cualquier sistema de cargas.
c2) Si el determinante de la matriz de los coeficientes de sistema de ecuaciones  = 0
(nulo). El sistema tendrá infinitas soluciones.
a ) indeterminado
 No será isostática
b) incompatible 
Vinculación aparente
1) Cuando alguna condición de vínculo de una o varias chapas es aparente, por lo
tanto permitirá un desplazamiento infinitésimo.
2) Cuando algunas de las chapas correspondan más de tres condiciones de vínculo,
por lo tanto podrá desplazarse las restantes. Donde una chapa será hiperestática y
otra hipostática (visto anteriormente en cadena cinemática)
En todos los casos en que alguna de las chapas no resulte con reacciones estáticamente
determinables, a pesar que el conjunto de la cadena tenga N condiciones de vínculo y que
como hemos visto parte de la misma resulta con desplazamientos visibles. No puede haber
equilibrio bajo la acción de una fuerza cualquiera, cuando ello sucede, quiere decir que el
sistema de N ecuaciones, no tiene solución posible o determinadas   = 0
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