Asignatura Física Ingeniería Industrial Unidad 4 Resistencia de Materiales Ing. Fabiola Yolanda Molina Beltrán Esfuerzo y deformación • El diseño de cualquier elemento o de un sistema estructural implica responder dos preguntas: 1 ¿El elemento es resistente a las cargas aplicadas? 2¿Tendra la superficie rigidez para que las deformaciones no sean excesivas? • La respuesta implica el análisis de la resistencia y rigidez de una estructura, aspectos que forman parte de sus requisitos. Estos análisis comienzan por la introducción de nuevos conceptos que son el esfuerzo y la deformación. Esfuerzo Ideas y necesidad del concepto de esfuerzos • Las fuerzas de un elemento se encuentran dentro de un material por lo que se distribuye en todas las áreas; Justamente se denomina esfuerzo a la fuerza por unidad de área. 𝑃 𝛿= 𝐴 • Donde: P= Fuerza axial A= Área de la sección transversal Deformación • Hay que controlar las deformaciones de una estructura para que cumplan el propositopor el cual fueron diseñadas. El análisis de las deformaciones se relacionan con los cambios en la forma de la estructura que genera la carga. • Para poder definir la deformación 𝜖 como el coeficiente entre el alargamiento (δ) y la longitud inicial (L) 𝛿 𝜖= 𝐿 Diagrama esfuerzo-deformacion • El diseño de los elementos estructurales implica determinar 1 La resistencia. 2 La rigidez del material estructural. Fractura Esfuerzo Región plástica Región elástica Deformacion • No se presenta ninguna deformación permanente en la probeta en estructura Esfuerzo Ø = P/A₀ si la carga se suprime en este punto. Entre P y E el diagrama no tiene la forma de una recta perfecta aunque el material sea elástico. Sᵤ Sᵳ Sᵧ A U F Y ℮ᵧ ℮ᵤ Deformación х ℮ᵳ σ E' D Esfuerzo ultimo Esfuerzo de fluencia Limite de proporcionalidad Fractura B E C A Region lineal Plasticidad Endurecimiento por deformación Estriccion Ƹ • Un aluminio de 40 pulgadas de longitud y de 4 pulgadas de sección transversal está unida a una barra de acero de 40 pulgadas de longitud y de 2 pulgadas de sección transversal. Determinar lo siguiente: A) El esfuerzo unitario en barra cada una de ellas. B) Deformación total debido a una fuerza axial de tensión 3600lb. 𝑃 𝐴 3600𝑙𝑏 = = 9000lb/pulg2 4𝑝𝑢𝑙𝑔 3600𝑙𝑏 = =18000 lb/pulg2 2𝑝𝑢𝑙𝑔2 𝑃𝐿 = 𝐴𝐸 3600𝑙𝑏 40𝑝𝑢𝑙𝑔 =0.036” 4𝑝𝑢𝑙𝑔 10∗10∧6𝑝𝑢𝑙𝑔 A)𝜎𝐴𝐿 = 𝜎𝐴𝐿 𝜎𝐴𝐿 B) 𝛿 𝛿= 𝛿= 3600 40 𝑝𝑢𝑙𝑔 2 𝑝𝑢𝑙𝑔 30∗10∧6 =0.24”acero aluminio Problemas • Una barra de acero de ¾ ” de Ø esta sujeta a una fuerza de tensión de 7000 lb el modulo de elasticiadad del acero es de 30𝑥10^6 Determinar A) Deformacion unitaria • Ð=E℮ P A Ð ℮= E • Ð= = 7000𝑙𝑏 0.422 15.837 = 15.837𝑙𝑏 𝑝𝑢𝑙𝑔2 • ℮ = 30𝑥106 = 0.000528 • Un bloque de aluminio de 12” de longitud y de 3x3” y esta sujeta a una fuerza de compresión de 135 e=10x10^6 lb/pulg² Determinar: a) Deformación unitaria en el bloque. b) Deformación total. 𝜎= 135000 = 9 15000 lb/pulg² …𝜎 = 𝑃 𝐴 𝑒= 15000 = 10∗106 0.0015……….…..𝑒 = 𝜎 𝐸 𝛿 = 0.0015 12 = 0.018” 𝛿 𝑒 = 𝛿 = 𝑒𝐿 𝐿 • Una mesa de 3ft x 4ft soporta una carga uniforme distribuida sobre su superficie. Determinar la carga máxima que puede soportar la mesa en cada una de las cuatro patas de madera tiene una sección 2”x 2. El esfuerzo unitario a comprensión no debe exceder a 18.000 lb/plg² 𝑃 τ= 𝑃 = τ𝑋𝐴 𝑃 = 18000 16 = 288000𝑙𝑏 𝐴 288000𝑙𝑏 𝑤= 12𝑓𝑡 2 𝑊 = 24000𝑙𝑏\ft² Deformación total • Si un elemento se somete a una fuerza exterior axial P. el elemento se deforma. Se puede demostrar que la Delta es directamente proporcional a la carga (P) y delta es directamente proporcional a la transversal (A). Esto se expresa como: 𝑃𝐿 ʆ= 𝐴𝐸 • Donde: ʆ=Deformacion total en plg o mts P= Carga axial en lb o N L=Longitud original del elementoenplg o mts A=Area de la sección transversal E=Modulo de elasticidad • La barra de acero es de 2.5 m de longitud y tiene un área en su sección transversal de 3x10^-4 m², determinar la deformación total producida por Una fuerza de tensión de 80xn. El modulo de elasticidad es de 200Gpa. 𝑃𝐿 • 𝛿 = 𝐴𝐸= 80∗10⋀3𝑁 2.5𝑚 3∗10−4 𝑚2 • 𝛿 = 3.3𝑚𝑚 104 𝑁 200∗ 2 𝑚 =0.0033m • Una barra de aluminio de 1” de 𝜙 y de 8 pies de longitud esta sujeta a una carga axial de tensión. Determinar: la magnitud de esa fuerza que hará la deformación total sea 0.075 plg. • 𝛿= • 𝑃= 𝑃𝐿 𝑃 𝐴𝐸 = 𝛿𝐴𝐸 𝐿 0.075𝑝𝑙𝑔 0.7854 10∗106 96𝑝𝑢𝑙𝑔 • 𝑃 = 6135.92𝑙𝑏 • Determinar la carga máxima de tensión que puede soportar una barra de aluminio de 5 pies de longitud y ¼” x 1” de sección transversal al esfuerzo de tensión no debe exceder de 1500 lb/pulg² y la deformación debe ser menor de 0.10”. 𝑃 • 𝜎 = 𝐴𝑃 = 𝜎 ∗𝐴 𝑃𝐿 • 𝛿 = 𝐴𝐸 • 𝑃= 𝛿𝐴𝐸 𝐿 1 = 0.10 4)(10∗10 60 = 4166.66lb • 𝜎 = 15000 𝑙𝑏/pulg² • 𝛿 = 0.10 • 𝑃 = 15000 0.25 =3750 lb • 𝛿= 3750 60 0.25 10∗106 = 0.09 pulg. Vigas • Se le llama así a cada elemento estructural que soporta una carga determinada y que salva un claro determinado Una viga deberá estar apoyada, y los tipos de apoyo pueden ser Apoyo empotrado. Dos o mas apoyos libres. Apoyos articulados. • Una viga deberá estar apoyada y se les dice que es estáticamente determinada cuando cumple con las condiciones de equilibrio. ∑fx=0 Movimientos horizontales. ∑fy=0 Movimientos verticales. ∑Mof=0 Movimientos de rotación. Viga apoyada • Es una pieza de carga transversal con sus dos apoyos articulados siendo uno de ellos deslizable, asi se descarta la posibilidad de que existan reacciones horizontales y momentos en los apoyos, por lo que las reacciones solo serán verticales. • De haber una fuerza inclinada, habría una componente horizontal que tendrá que ser equilibrada en el apoyo no deslizable • Aplicando las condiciones de equilibrio Fa=RBL RB=Fa/L • Haciendo ∑M en Ro -F(a)+RiL=0 RA+RB=F RA=Fa/L Viga empotrada • Es una pieza cargada transversalmente con un extremo libre y el otro empotrado, en el que solo se impide los movimientos de rotación y vertical. Viga apoyada con un extremo en mensula • Pieza cargada transversalmente con un apoyo articulado y el otro deslizable, en este punto prolongada es voladizo. Estas condiciones destruyen la posibilidad de reacción horizontal. • Una fuerza concentrada o uniformemente repartida se representa por un vector. Una fuerza representa una acción y con ello aparecea una reacción que llamaremos equilibrante. Condiciones de apoyo • Apoyo deslizable: No hay resistencia al movimiento horizontal. Implica que en el no habrá reacción horizontal. • Apoyo articulado: No tiene resistencia al movimiento de rotación. Implica que no habrá momento. • Empotre: este apoyo existe solo cuando la viga esta en “ménsula” por que de haber un segundo apoyo se convierte en solución hiperestática. Grado de Hiperestaticidad (Gh) • Cuando el numero de fuerzas desconocidas que pueden ser momentos o cortantes (reacciones), se obtienen con las ecuaciones de equilibrio. Se dice que la estructura es estáticamente determinada y su grado de hiperestaticidad es cero(Gh=0). • Si las ecuaciones de equilibrio no sirven se dice que la viga tiene un punto estáticamente indeterminado y su grado de hiperestaticidad es diferente de cero. Es muy importante tener presente que, en el plano son 3 ecuaciones de equilibrio pero no siempre se requieren todas No de incognitas (Ra, Rb)=2 (-) No de ecuaciones (ΣFᵪ = Σᴍ = 0) = 2 Gh=0 No de incognitas (Rax, Ray. Ma, Rb)=4 (-) No de ecuaciones (ΣFᵪ= ΣFᵧ = Σᴍ = 0)=3 Gh=1 Rb No de incognitas (Ra, Ma, Rb, Mb)=4 (-) No de ecuaciones (ΣFᵧ = Σᴍ = 0)=2 Gh=2 Ra Rb Grado de Libertad • Cuando el numero de deformaciones son las incógnitas, se dice que la indeterminación es cinemática y para ello es conveniente trazar la elástica. La indeterminación de las fronteras. No de incógnitas (φA, φB)=2 GL=2 No de incógnitas (φA, φB, φC)=3 GL=3 No de incógnitas (φA, x)=2 Gl=2 Compatibilidad y continuidad • Es una condición que debe cumplirse en los modos de toda estructura, osea, en los puntos de unión de dos o mas elementos y esa condición exige que las deformaciones (desplazamientos y giros) sean consistentes con las condiciones de apoyo, es decir, que haya continuidad en cada nudo. Principio de superposición (causa-efecto) • Cuando hay relaciones entre brazos y desplazamientos es posible que se cumpla el criterio ”no hay efecto sin causa a toda causa corresponde un efecto” Por lo que el principio establece que los efectos producidos por varias causas pueden obtenerse combinando los efectos debidos a cada causa. Ejemplos Gh=1 Causa total Causa parcial Efecto parcial Efecto parcial Causa parcial Análisis de estructuras isostáticas • Todas las estructuras cuya indeterminación estática (grado cero) es nula, se dice que son isostáticas (estáticamente determinada) y para analizarlas son suficientes las 3 ecuaciones de equilibrio. • Presentan n+1 discontinuidades, según las n cargas que soportan, y por lo tanto, se puede recurrir al uso de:las funciones de singularidad y de discontinuidad, para representar cargas o a las secciones , esto es, fraccionar a lo largo del elemento. Tipos de vigas Vigas isostáticas Viga isostática con articulación Articulación Vigas Hiperestaticas Tipos de carga Carga concentrada Carga distribuida triangularmente W2(kg/m) W1(kg/m) Carga distribuida uniformemente Carga distribuida variablemente Método de las secciones SECCION C-B CUERPO LIBRE SECCION A-C Análisis de columnas • Son elementos estructurales con eje longitudinal y en el cual puede estar contenida la carga o ser paralelo al plano de la misma. • La sección transversal de una columna varia según su necesidades estructural y arquitectónica, y por lo mismo puede ser circular, cuadrada, estrella etc. • También el material de construcción es muy variado en atención al proyecto y el complemento de la columna. Aun cuando el pandeo ocurre en diferentes elementos estructurales y es muy característico en las estructuras. • Se presenta cuando un elemento es demasiado largo o tiene una sección transversal demasiado esbelta y esta sujeto a una carga axial y una compresión. Flexión axial lateral • Para comprender que es el pandeo, considérese un elemento vertical simplemente apoyado en su base, con un resorte elástico de soporte en la parte superior sometido a una carga axial 1. Si la fuerza P es muy pequeña el elemento tendrá un equilibrio estable 2. Si la fuerza P es muy grande el elemento continuara girando. b h L1 Mr (momento de volteo =Pδ=PLθ. Puede suceder que: Si Mv<Mr PLθ<βθL² equilibrio estable Si Mv>Mr PLθ>βθL² equilibrio inestable Si Mv>Mr PLθ>βθL² equilibrio indiferente P=βL carga critica (Pcr) Pcr = βL Conclusión. Dentro del rango elástico el comportamiento idealizado, de una columna, es parecido al del conjunto barra resorte. Carga Critica • El comportamiento idealizado de una columna, comprimida y acortada por una carga axial P puede resumirse de la siguiente manera: si P<Pcr la columna esta en equilibrio estable, Si P>Pcr la columna esta en equilibrio inestable, si P=Pcr la columna esta en equilibrio indiferente. • Para una sección en x y alrededor del eje z: M2=PY; sustituyendo este valor en la ecuación • 𝑑2 y 𝑑𝑥 2 = 1 𝐸1 Considerando 𝐾 2 𝑃𝑦 𝑃 𝐸1 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥 2 𝑃 + 𝑦 𝐸1 = 0 𝑦" + 𝑃/𝐸1𝑦 = 0 = entonces se tiene 𝑦" + 𝐾 2 𝑦 = 0 la cual es una ecuación diferencial lineal ordinaria homogénea de segundo grado, con coeficientes constantes. Modo de pandeo • Esta asociado a los valores de la solución de la curva elástica: y= Aθnx si n=1 L x = y se L y y llama modo fundamental de pandeo o primer modo. Longitud libre de pandeo • Es la distancia entre puntos de inflexión, de las curvas elásticas y se expresa por kL, donde k, es el factor de longitud efectiva, en función de las condiciones de apoyo. • Carga critica con diferentes condiciones de apoyo de las columnas • Columna empotrada y volada 𝑃𝑐𝑟 = 𝑥 2 𝐸𝐼 4𝐿2 • Columna empotrada y apoyada 𝑃𝑐𝑟 = 2.05𝑥 2 𝐸𝐼 𝐿2 • Columna doblemente empotrada 𝑃𝑐𝑟 = 4𝑥 2 𝐸𝐼 𝐿2 Ejemplo • Una columna de madera con sección transversal de 4”x 6”, tiene un modulo de elasticidad de 2x10^6 lb/pulg si se considera el elemento esta doblemente apoyado ¿Cuál es la carga axial máxima que puede soportar en una longitud libre de 15 pies? • 𝑃𝑐𝑟 = 𝜋𝐸𝐼 3.1416 2000000 6 43 = 𝐿2 12 1802 • ʄ𝑎𝑑𝑚 = • ʄ𝑐𝑟 = 𝑃𝑚𝑎𝑥 𝐴 𝜋2 E ʎ2 • 𝑟𝑚𝑖𝑛 = 𝑃𝑚𝑎𝑥 = ʄ𝑎𝑑𝑚𝐴 = 5000 4 6 𝑃𝑚𝑎𝑥 = 120000𝑙𝑏𝑠 𝑟𝑚𝑖𝑛 = 32 24 Pminima= 19496lbs 𝐼𝑚𝑖𝑛 𝐴 𝐼𝑚𝑖𝑛 = 1.16𝑝𝑢𝑙𝑔 = 𝐿 𝑟 𝑏ℎ3 12 ƛ= = = 15 12 𝐿16 6 43 12 = 32𝑝𝑢𝑙𝑔 = 155ƒ𝑐𝑟 = 𝑥2E ƛ2 • Determinar la carga critica para la sección tubular mostrada para las siguientes longitudes: a)40 pies b)30 pies c)20 pies. Usar la ecuación de Euler con 𝑙𝑏 6 E=29𝑥10 y esfuerzo máximo permisible de 𝑝𝑢𝑙𝑔 33000 lb/pulg. • 𝐴 = 0.785 14.47 𝑝𝑢𝑙𝑔 • 𝐼𝑋 = 𝐼𝑌 0.0491 322 42 2 − 272 42 = 0.785 32 4 27 4 = − 4 4 1048576 531441 − 256 256 1024 16 − 729 16 = = 99.18pulg^4 = Si 𝐿1 = 20 𝑝𝑖𝑒𝑠 𝑃𝑐𝑟 = 3.14162 29 10 20 12 6 2 99.18 = 28387230000 = 492833𝑙𝑏𝑠 57600 Si 𝐿2 = 30 𝑝𝑖𝑒𝑠 𝑃𝑐𝑟 = 28387230000 = 219037𝑙𝑏𝑠 129600 Si 𝐿3 = 40 𝑝𝑖𝑒𝑠 28387230000 = 123208𝑙𝑏𝑠 230400 492833 𝑙𝑏 123208 𝑙𝑏 33000 < = 34058 ; 33000 > = 8514 14.47 𝑝𝑢𝑙𝑔2 14.47 𝑝𝑢𝑙𝑔2 219037 33000 > = 15137 𝑙𝑏/𝑝𝑢𝑙𝑔2 14.47 𝑃𝑐𝑟 = Columnas Flexión desviada Flexión y tracción combinadas Flexión y compresión combinadas Tipos de secciones Columna de acero columna Bloque Pandeo de columna Ensanchamiento del bloque • UNA COLUMNA al comprimirse se acorta y se flexiona (pandeo) P P Equilibrio inestable Equilibrio indiferente Equilibrio estable
