LÍMITES analisis

𝜋
𝜋
𝜋
4
4
4
1 Calcular lim𝜋 (𝑥 − ) [ctg 3 (𝑥 − ) − csc 3 (𝑥 − )]
𝑥→
4
Resolución:
𝜋
Al sustituir "𝑥 por
4
" , obtenemos:
𝜋 𝜋
𝜋 𝜋
𝜋 𝜋
( − ) [ctg 3 ( − ) − csc 3 ( − )] = (0)[∞] = indeterminado
4 4
4 4
4 4
𝜋
𝜋
Hagamos 𝑢 = 𝑥 − 4  𝑥 = 𝑢 + 4 . Si 𝑥 →
𝜋
4
 𝑢 → 0, luego:
𝜋
𝜋
𝜋
lim𝜋 (𝑥 − ) [ctg 3 (𝑥 − ) − csc 3 (𝑥 − )] = lim (𝑢)[𝐜𝐭𝐠 𝟑 (𝒖) − 𝐜𝐬𝐜 𝟑 (𝒖)]
𝑢→0
4
4
4
𝑥→
4
Por diferencia de cubos:
𝐜𝐭𝐠 𝟑 (𝒖) − 𝐜𝐬𝐜 𝟑 (𝒖) = (ctg 𝑢 − csc 𝑢)(ctg 2(𝑢) + ctg 𝑢 ∙ csc 𝑢 + csc 2 (𝑢))
cos 𝑢
1
cos 2 𝑢 cos 𝑢
1
=(
−
)( 2 +
+
)
sen 𝑢 sen 𝑢 sen 𝑢 sen2 𝑢 sen2 𝑢
= −(
𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 𝒖 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝒖 + 𝐜𝐨𝐬 𝒖 + 𝟏
)(
)
𝐬𝐞𝐧 𝒖
𝐬𝐞𝐧𝟐 𝒖
Entonces:
lim (𝑢)[ctg 3(𝑢)
𝑢→0
− csc
1 − cos 𝑢 cos 2 𝑢 + cos 𝑢 + 1
= lim (𝑢) [− (
)(
)]
𝑢→0
sen 𝑢
sen2 𝑢
3 (𝑢)]
𝑢
1−cos 𝑢
= − lim (sen 𝑢) [(
𝒖𝟐
𝑢→0
𝑢
= − lim (sen 𝑢) lim (
𝑢→0
𝑢→0
𝒖𝟐
) (sen2 𝑢) (cos 2 𝑢 + cos 𝑢 + 1)]
1−cos 𝑢
𝒖𝟐
𝒖𝟐
) lim (sen2 𝑢) lim (cos 2 𝑢 + cos 𝑢 + 1)
𝑢→0
𝑢→0
1
= −(1) (2) (1)(1 + 1 + 1)
𝜋
𝜋
𝜋
3
lim𝜋 (𝑥 − ) [ctg 3 (𝑥 − ) − csc 3 (𝑥 − )] = −
4
4
4
2
𝑥→
4
Notas:
lim
𝑥→0
sen 𝑥
𝑥
= 1 ; lim
𝑥→0
1−cos 𝑥
𝑥2
1
=2
2 Determinar los limites laterales de la función 𝑓(𝑥) = 1 +
punto 𝑥 = 1.
Resolución:
Tengamos en cuenta las siguientes propiedades:
𝑃1 :Si 𝐾 ≤ 𝑓(𝑥)  ⟦𝑓(𝑥)⟧ = 𝐾, siempre que 𝐾 ∈ ℤ.
𝑃2 :Si 𝑀 ≥ 𝑓(𝑥)  ⟦𝑓(𝑥)⟧ = 𝑀 − 1, siempre que 𝑀 ∈ ℤ.
Límite por la derecha: lim+𝑓(𝑥)
𝑥→1
Si 𝑥 → 1  𝑥 > 1
+
 ⟦𝑥⟧ = 1 (Por 𝑃1 )
Luego:
1 12
−
𝑥 𝑥2
1 1
 𝑓(𝑥) = 1 + − 2
𝑥 𝑥
1 1
 lim+𝑓(𝑥) = lim+ (1 + − 2 ) = 1
𝑥→1
𝑥→1
𝑥 𝑥
𝑓(𝑥) = 1 +
Límite por la izquierda: lim− 𝑓(𝑥)
𝑥→1
Si 𝑥 → 1  𝑥 < 1
−
 ⟦𝑥⟧ = 1 − 1 = 0 (Por 𝑃2 )
Luego:
0 02
𝑓(𝑥) = 1 + − 2
𝑥 𝑥
 𝑓(𝑥) = 1
 lim−𝑓(𝑥) = lim−(1) = 1
𝑥→1
𝑥→1
Como lim+𝑓(𝑥) = 1 = 1 lim−𝑓(𝑥) ⇒ lim 𝑓(𝑥) = 1
𝑥→1
𝑥→1
𝑥→1
⟦𝑥⟧
𝑥
−
⟦𝑥⟧2
𝑥2
en el
0, si 𝑥 ∈ 𝕀
1, si 𝑥 = 0
y 𝑔(𝑥) = {
, demuestre
𝑥, si 𝑥 ∈ ℚ
0, si 𝑥 ≠ 0
lim 𝑓(𝑥) = 0, lim 𝑔(𝑥) = 0 y que sin embargo no existe lim 𝑔(𝑓(𝑥)).
4 Sean
𝑓(𝑥) = {
𝑥→0
𝑥→0
𝑥→0
Resolución:
Para la función 𝑔(𝑥) = {
1,
0,
si 𝑥 = 0
:
si 𝑥 ≠ 0
lim 𝑔(𝑥) = lim+ (0) = 0
𝑥→0+
𝑥→0
lim− 𝑔(𝑥) = lim− (0) = 0
𝑥→0
}  lim 𝑔(𝑥) = 0
𝑥→0
𝑥→0
Para la función 𝑓(𝑥) = {
0,
𝑥,
si 𝑥 ∈ 𝕀
si 𝑥 ∈ ℚ
Si 𝑥 ∈ 𝕀, entonces 𝑓(𝑥) = 0; luego lim 𝑓(𝑥) = lim(0) = 0.
𝑥→0
𝑥→0
Si 𝑥 ∈ ℚ, entonces 𝑓(𝑥) = 𝑥; luego lim 𝑓(𝑥) = lim(𝑥) = 0
𝑥→0
𝑥→0
lim 𝑓(𝑥) = 0 = lim 𝑔(𝑥)
𝑥→0
𝑥→0
Calculemos lim 𝑔(𝑓(𝑥)):
𝑥→0
Si 𝑥 ∈ 𝕀, entonces 𝑓(𝑥) = 0; luego:
lim 𝑔(𝑓(𝑥)) = lim 𝑔(0) = 1
𝑥→0
𝑥→0
Si 𝑥 ∈ ℚ, entonces 𝑓(𝑥) = 𝑥; luego:
lim 𝑔(𝑓(𝑥)) = lim 𝑔(𝑥) = 0
𝑥→0
𝑥→0
 lim 𝑔(𝑓(𝑥)) no existe
𝑥→0
que
3𝑥 + 5,
𝑥 < −1
2
5 Sea 𝑓(𝑥) = {𝑚𝑥 + 𝑛, −1 < 𝑥 < 2, determine el valor de la constante 𝑚, 𝑛
𝑥
6− 2,
𝑥>2
para que lim 𝑓(𝑥) y lim 𝑓(𝑥) existan.
𝑥→2
𝑥→−1
Resolución:
Usamos límites laterales:
𝑥
lim+ 𝑓(𝑥) = lim+ (6 − ) = 5
𝑥→2
𝑥→2
2
lim 𝑓(𝑥) = lim−(𝑚𝑥 2 + 𝑛) = 4𝑚 + 𝑛
𝑥→2−
𝑥→2
lim 𝑓(𝑥) existe si y solo si:
𝑥→2
4𝑚 + 𝑛 = 5 … (1)
lim 𝑓(𝑥) = lim+(𝑚𝑥 2 + 𝑛) = 𝑚 + 𝑛
𝑥→−1+
𝑥→−1
lim 𝑓(𝑥) = lim −(3𝑥 + 5) = 2
𝑥→−1−
𝑥→−1
lim 𝑓(𝑥) existe si y solo si:
𝑥→−1
𝑚 + 𝑛 = 2 … (2)
Resolviendo (1) y (2), tenemos:
𝑚=1 𝑦 𝑛=1
6 Calcular lim
tg3 𝑥 csc 𝑥
𝑥2
𝑥→0
Resolución:
sen3 𝑥
1
∙ sen 𝑥
tg 𝑥 csc 𝑥
3
sen2 𝑥
cos 𝑥
lim
=
lim
=
lim
𝑥→0
𝑥→0
𝑥→0 cos 3 𝑥 𝑥 2
𝑥2
𝑥2
3
0
Al sustituir "𝑥 por 0" , obtenemos 0 (indeterminación). Luego:
lim
tg3 𝑥 csc 𝑥
𝑥→0
𝑥2
= lim
𝑥→0
sen3 𝑥 1
∙
cos3 𝑥 sen 𝑥
2
𝑥
sen2 𝑥
= lim cos3 𝑥𝑥 2 = lim [
𝑥→0
sen2 𝑥
𝑥→0
𝑥2
1
∙ cos3 𝑥]
2
sen 𝑥
lim
=1
𝑥→0 𝑥
sen 𝑥
1
= lim [ 2 ] ∙ lim [ 3 ]
𝑥→0
𝑥→0 cos 𝑥
𝑥
sen 𝑥 2
1
] ∙ lim [ 3 ]
𝑥→0
𝑥→0 cos 𝑥
𝑥
2
sen 𝑥
1
= [lim
] ∙ lim [ 3 ]
𝑥→0 𝑥
𝑥→0 cos 𝑥
1
= [1]2 ∙ [ 3 ]
cos (0)
= lim [
1
= [1]2 ∙ [ ]
1
3
tg 𝑥 csc 𝑥
 lim
=1
𝑥→0
𝑥2
1
1
10 Analizar los límites de la función 𝑓(𝑥) = ⟦𝑥⟧ en los puntos 𝑥 = −1,1, 𝑛 , 𝑛 ≠ 0
y trazar su gráfica.
Resolución:
Tengamos en cuenta las siguientes propiedades:
𝑃1 :Si 𝐾 ≤ 𝑓(𝑥)  ⟦𝑓(𝑥)⟧ = 𝐾, siempre que 𝐾 ∈ ℤ.
𝑃2 :Si 𝑀 ≥ 𝑓(𝑥)  ⟦𝑓(𝑥)⟧ = 𝑀 − 1, siempre que 𝑀 ∈ ℤ.
1
Calcular lim 𝑓(𝑥) = lim ⟦𝑥⟧ implica hallar:
𝑥→−1
𝑥→−1
1
1
a) lim+ ⟦𝑥⟧
b) lim− ⟦𝑥⟧
𝑥→−1
𝑥<−1
𝑥→−1
𝑥>−1
𝒙 > −𝟏 
𝟏
< −𝟏
𝒙
1
 ⟦ ⟧ = −1 − 1 = −2 (Por 𝑃2 )
𝑥
 lim +𝑓(𝑥) = −2
𝑥→−1
𝒙 < −𝟏 
𝟏
> −𝟏
𝒙
1
 ⟦ ⟧ = −1 (Por 𝑃1 )
𝑥
 lim−𝑓(𝑥) = −1
𝑥→−1
Como lim+𝑓(𝑥) ≠ lim −𝑓(𝑥) ⇒ ∄ lim 𝑓(𝑥)
𝑥→−1
𝑥→−1
𝑥→−1
1
Calcular lim 𝑓(𝑥) = lim ⟦𝑥⟧ implica hallar:
𝑥→1
𝑥→1
1
1
a) lim+ ⟦𝑥⟧
b) lim− ⟦𝑥⟧
𝑥→1
𝑥<1
𝑥→1
𝑥>1
𝒙>𝟏 
𝟏
<𝟏
𝒙
𝒙<𝟏 
𝟏
>𝟏
𝒙
1
 ⟦ ⟧ = 1 (Por 𝑃1 )
𝑥
 lim−𝑓(𝑥) = 1
1
 ⟦ ⟧ = 1 − 1 = 0 (Por 𝑃2 )
𝑥
 lim+𝑓(𝑥) = 0
𝑥→1
𝑥→1
Como lim+𝑓(𝑥) ≠ lim−𝑓(𝑥) ⇒ ∄ lim 𝑓(𝑥)
𝑥→1
𝑥→1
𝑥→1
1
Calcular lim1 𝑓(𝑥) = lim1 ⟦𝑥⟧ implica hallar:
𝑥→
𝑥→
𝑛
𝑛
1
1
a) lim+ ⟦𝑥⟧
b) lim
⟦ ⟧
1− 𝑥
1
𝑥→
𝑛
1
𝑥>
𝑛
𝑥→
𝑛
1
𝑛
𝑥<
𝑥>
1
𝟏
 <𝒏
𝑛
𝒙
𝑥<
1
𝟏
 >𝒏
𝑛
𝒙
1
 ⟦ ⟧ = 𝑛 (Por 𝑃1 )
𝑥
 lim− 𝑓(𝑥) = 𝑛
1
 ⟦ ⟧ = 𝑛 − 1 (Por 𝑃2 )
𝑥
 lim+ 𝑓(𝑥) = 𝑛 − 1
1
𝑥→
𝑛
1
𝑥→
𝑛
Como lim+ 𝑓(𝑥) ≠ lim
𝑓(𝑥) ⇒ ∄ lim1 𝑓(𝑥)
1−
1
𝑛
𝑥→
𝑥→
𝑛
1
El gráfico de la función 𝑓(𝑥) = ⟦𝑥⟧ es:
𝑥→
𝑛
19 El cargo mensual en dólares por 𝑥 kilowatt / hora (Kwh) de electricidad
usada por un consumidor residencial, de noviembre a junio, se obtiene por
medio de la función
10 + 0,094𝑥
𝑓(𝑥) = {19,40 + 0,075(𝑥 − 100)
49,40 + 0,05(𝑥 − 500)
; 0 ≤ 𝑥 ≤ 100
; 100 < 𝑥 ≤ 500
; 𝑥 > 500
a) ¿Cuál es el cargo mensual si se consumen 1100KWh de electricidad en un
mes?
b) Encuentre lim 𝑓(𝑥) y lim 𝑓(𝑥), si existen.
𝑥→100
𝑥→100
Resolución:
a) Para 𝑥 = 1100, tenemos:
𝑓(1100) = 49,40 + 0,05(1100 − 500)
= 49,40 + 0,05(600)
= 49,40 + 30
𝑓(1100) = 79.40
Por lo tanto, el cargo mensual para 1100KWh de electricidad en un mes
es de $79.40.
b) Para calcular los límites solicitados, usamos límites laterales:
lim 𝑓(𝑥) = lim − (10 + 0,094𝑥) = 10 + 0,094(100) = 19.40
𝑥→100−
𝑥→100
lim 𝑓(𝑥) = lim +(19,40 + 0,075(𝑥 − 100)) = 19,40 + 0,075(100 − 100) = 19.40
𝑥→100+
𝑥→100
Por lo tanto, lim 𝑓(𝑥) existe y lim 𝑓(𝑥) = 19.40
𝑥→100
𝑥→100
lim 𝑓(𝑥) = lim −(19,40 + 0,075(𝑥 − 100)) = 19,40 + 0,075(500 − 100) = 49.40
𝑥→500−
𝑥→500
lim 𝑓(𝑥) = lim +(49,40 + 0,05(𝑥 − 500)) = 49,40 + 0,05(500 − 500) = 49.40
𝑥→500+
𝑥→500
Por lo tanto, lim 𝑓(𝑥) existe y lim 𝑓(𝑥) = 49.40
𝑥→500
𝑥→500