RANGO DE UNA MATRIZ
El rango de una matriz 𝐴 ∈ 𝐾 𝑚𝑥𝑛 es el orden de la submatriz cuadrada mas grande contenida en
A, cuyo determinante es no nulo , se denota por r(A)
Nota:
1.- De la definicion se tiene :
Si 𝑚 < 𝑛 entonces 𝑟(𝐴) ≤ 𝑚
Si 𝑚 > 𝑛 entonces 𝑟(𝐴) ≤ 𝑛
Observacion:
1 1 1
𝐴 = (1 1 1
2 2 2
1
1) ,vemos que el rango de 𝐴 es 1
2
2.- Para calcular el rango de la matriz 𝐴 , bastara con encontrar una submatriz cuadrada mas
grande contenida en 𝐴 con determinante diferente de cero. Si este no fuera el caso continuamos
con las submatrices cuadradas de orden inferior.
Ejemplo
1 2
Calcule el rango de la matriz 𝐴 = (2 3
3 4
3 4
4 5)
5 6
Solucion:
Obtengamos las submatrices cuadradas mas grandes de 𝐴 (algunas)
1 2
(2 3
3 4
3
4)
5
1 2
, (2 3
3 4
4
2 3 4
5) , (3 4 5) si calculamos el determinante de cada uno de ellos
6
4 5 6
nos da cero.
Ubiquémonos con las submatrices cuadradas de orden 2.
1 2
(
) , vemos que su detrminante es diferente de cero ,por lo tanto el rango de 𝐴 es 2
2 3
Nota:
1.- Dada la matriz 𝐴 = 0 (matriz nula), el 𝑟(𝐴) = 0
2.- Toda matriz 𝐴 diferente de la matriz nula tiene 𝑟(𝐴) > 0
3.- Si 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) ∈ 𝐾 𝑚𝑥𝑛 ≠ 0 entonces : 0 < 𝑟(𝐴) ≤ 𝑚𝑖𝑛{𝑚, 𝑛}
4.- Si 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) ∈ 𝐾 𝑛 ≠ 0 , entonces : 0 < 𝑟(𝐴) ≤ 𝑛
5.- Sea 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) ∈ 𝐾 𝑛 ≠ 0 entonces se tiene:
∃ 𝐴−1 ↔ |𝐴| ≠ 0 , es equivqlente a decir “ 𝐴 es no singular ↔ 𝑟(𝐴) = 𝑛 “
6.- Sean 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )𝑚𝑥𝑛 𝑦 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗 )𝑛𝑥𝑝 , entonces : 𝑟(𝐴𝐵) ≤ {𝑟(𝐴), 𝑟(𝐵)}
Ejemplo:
Demostrar que :
Si
𝐴2 = 𝐼
→ 𝑟(𝐼 + 𝐴) + 𝑟(𝐼 − 𝐴) = 𝑛 , donde n es el orden de la matriz A
Sugerencia:
i)
𝑟(𝐴 + 𝐵) ≤ 𝑟(𝐴) + 𝑟(𝐵)
ii)
𝑟(𝐴𝐵) ≥ 𝑟(𝐴) + 𝑟(𝐵) − 𝑛 , donde A y B son matrices de orden n
Solucion:
(𝑰 + 𝑨)(𝑰 − 𝑨) = 𝑰 − 𝑨 + 𝑨 − 𝑨𝟐 = 𝑰 − 𝑨𝟐
Por lo tanto: 𝒓[(𝑰 + 𝑨)) + (𝑰 − 𝑨)] ≤ 𝒓(𝑰 + 𝑨) + 𝒓(𝑰 − 𝑨)
𝒓(𝑰 + 𝑨) + 𝒓(𝑰 − 𝑨) ≥ 𝒏 ….( i )
𝒓[(𝑰 + 𝑨)(𝑰 − 𝑨)] ≥ 𝒓(𝑰 + 𝑨) + 𝒓(𝑰 − 𝑨) − 𝒏
𝟎 ≥ 𝒓(𝑰 + 𝑨) + 𝒓(𝑰 − 𝑨) − 𝒏 → 𝒓(𝑰 + 𝑨) + 𝒓(𝑰 − 𝑨) ≤ 𝒏 ……(ii)
De ( i ) y ( ii ) se tiene: 𝑛 ≤ 𝑟(𝐼 + 𝐴) + 𝑟(𝐼 − 𝐴) ≤ 𝑛
𝑟(𝐼 + 𝐴) + 𝑟(𝐼 − 𝐴) = 𝑛
OPERACIONES ELEMENTALES
Se llaman operaciones elementales o transformaciones elementales por filas sobre una
matriz 𝐴 a las
siguientes operaciones:
1.- Al intercambio de 2 filas
Notacion.- La fila i (𝑓𝑖 ) lo intercambiamos por la fila j (𝑓𝑗 ) , se denota por
𝑓𝑖 𝑥𝑓𝑗
𝑜 𝑓𝑖𝑗
2.- A la multiplicacion de una fila por un escalar no nulo
Notacion.- A la fila i (𝑓𝑖 ) lo multiplicamos por el escalar 𝑘 , se denota por 𝑘𝑓𝑖
3.- A una fila le sumamos el multiplo de otra fila
Notacion.- A la fila i (𝑓𝑖 ) le sumamos 𝑘 veces la fila j (𝑓𝑗 ) , se denota por 𝑓𝑖 +
𝑘𝑓𝑗 𝑜 𝑘𝑓𝑗 + 𝑓𝑖
Ejemplo:
1 2 3 4
Dada la matriz 𝐴 = (2 3 4 5
3 4 5 6
1 2 3 4 5
(2 3 4 5 6) (−1)𝑓1 + 𝑓2
1 1 1 1 1
1 2
(1 1
1 1
5
6) (−1)𝑓2 + 𝑓3 =
7
3 4 5
1 1 1) = 𝐵
1 1 1
Vemos que la matriz 𝐵 se obtuvo a traves de la matriz 𝐴 por medio de dos operaciones
elementales
Cuando esto ocurre se dice que 𝐴 y 𝐵 son matrices equivalentes
MATRICES EQUIVALENTES
Se dice que dos matrices 𝐴 𝑦 𝐵 son equivalentes si una de ellas se obtiene a traves de la
otra por
medio de un numero finito de operaciones elementales.
Se denota por 𝐴 ~ 𝐵
Ejemplo:
1 1
Dada la matriz 𝐴 = (1 2
2 3
1
2) podemos decir que ¿ 𝐴 ~ 𝐼 ?
4
MATRIZ ESCALONADA
Definicion.Una matriz 𝐸 = (𝑒𝑖𝑗 )
𝑚𝑥𝑛
es escalonada si tienen la siguiente estructura:
1.- Las primeras k filas son no nulas y las restantes (m-k) filas so nulas
2.- El primer elemento no nulo de cada de las primeras k filas es la unidad
3.- En cada una de las k filas ,el numero de ceros anteriores a la unidad crece de fila a fila
Ejemplo:
a) (
0 1
0 0
2
) es escalonada
0
1 3
b) (0 0
0 0
2 3
1 3) es escalonada
0 0
1 0
c) (0 0
0 0
0 3 3
0 0 1) no es escalonada
1 1 6
2
0
d) (
0
1
1
1
0
0
0
1
) no es escalonada
0
1
Propiedad.- Cualquier matriz 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )
𝑚𝑥𝑛
puede ser reducida a una matriz
escalonada
𝐸 = (𝑒𝑖𝑗 )𝑚𝑥𝑛 mediante un numero finito de operaciones elementales por filas.
Ejemplo:
Reducir a su forma escalonada la siguiente matriz:
2
1
𝐴=(
0
1
4
0
2
2
8 10 12
4 0
6
)
4 5
0
4 0
0
4
0
2
2
8 10 12
1
1
4 0
6
1
) (2) 𝑓1 = (
4 5
0
0
4 0
0
1
Solucion:
2
1
𝐴=(
0
1
1 2 4
0 −2 0
(
0 2 4
1 2 4
5
−5
5
0
1 2 4
0 −2 0
(
0 0 4
0 0 0
1
5
6
1
0
−5 0
) (− 2) 𝑓2 =
0
0
0
−5 −6
(0
2
0
2
2
6
1
0 (−1)𝑓
0
)
1 + 𝑓4 = (
0
0
0
0
4
4
4
4
2
−2
2
0
2
1
0
0
4
0
4
0
5
0
5
0
6
6 (−1)𝑓
)
1 + 𝑓2
0
0
4 5
6
0 −5 0 (1)𝑓
)
2 + 𝑓3
4 5
0
0 −5 −6
5
6
1
0
2
(4) 𝑓3
0
0
−5 −6)
5
1
0
0
(0
2
1
0
0
4 5
5
0
2
1 0
0 −5
1
6
0
1
0
(− 5) 𝑓4 =
0
0
0
−6)
(
2
1
0
0
4
0
1
0
5 6
5
0
2
0 0
6
1
5)
DETERMINACION DEL RANGO DE UNA MATRIZ POR OPERACIONES ELEMENTALES
Propiedad.Dos matrices equivalentes tienen el mismo rango, es decir:
Si 𝐴 ~ 𝐵 → 𝑟(𝐴) = 𝑟(𝐵)
Nota.Para hallar el rango de una matriz es suficiente con llevarla a su forma escalonada, donde
el rango de la matriz estara dada por el numero de filas no nulas.
Ejemplo:
𝑥
𝑥2
2𝑥
3𝑥 2
𝑥2
𝑥
3𝑥 2
2𝑥
𝑥3
1 ), para que valor o valores de x el r(A) es
4𝑥 3
1
1
3
Primero calculemos |𝐴| = | 𝑥
1
4𝑥 3
𝑥
𝑥2
2𝑥
3𝑥 2
𝑥2
𝑥
3𝑥 2
2𝑥
1
3
𝑥
Sea la matriz 𝐴 = (
1
4𝑥 3
4,3,2
Solucion:
𝑥3
1 | = 𝑥 2 (𝑥 2 − 1)4
4𝑥 3
1
El r(A) = 4 si: |𝐴| ≠ 0 ↔ 𝑥 ≠ 0 , 1, −1
Analicemos para los valores de x = 0, 1 , -1
Si x = 0 ,reemplazando en la matriz A :
1
0
𝐴=(
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1 (−1)𝑓
0
)
1 + 𝑓3 = (
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1 (−1)𝑓
0
)
2 + 𝑓4 = (
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
)
0
0
Tenemos que el r(A)=2
OBTENCION DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ MEDIANTE OPERACIONES ELEMENTALES
Para determinar la inversa de una matriz haremos uso del metodo de GAUSS-JORDAN.
Sea
𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )𝑛
el metodo consiste en:
(𝐴 ⋮ 𝐼) numero finito de O.E. (𝐼 ⋮ 𝐵)
Donde
𝐵 = 𝐴−1
𝐼 : matriz identidad
NOTA:
No hay necesidad de conocer si la matriz 𝐴 es no singular
Ejemplo:
1 −1
Determine la inversa de la matriz 𝐴 = (−1
1
−1 −1
−1
−1)
1
Solucion:
Aplicando el metiodo de Gauss Jordan
1 −1
(𝐴 ⋮ 𝐼) = (−1 1
−1 −1
1 −1 −1
(0
0 −2
−1 −1 1
1 −1 −1 ⋮
(0 0 −2 ⋮
0 −2 0 ⋮
−1 ⋮ 1 0
−1 ⋮ 0 1
1 ⋮ 0 0
0
0) (1)𝑓1 + 𝑓2
1
⋮ 1 0 0
⋮ 1 1 0) (1)𝑓1 + 𝑓3 =
⋮ 0 0 1
1 0 0
1 1 0) 𝑓2 𝑥𝑓3
1 0 1
1 −1 −1 ⋮ 1 0 0
1
(0 −2 0 ⋮ 1 0 1) (− 2) 𝑓2 =
0 0 −2 ⋮ 1 1 0
1 −1 −1 ⋮ 1 0 0
1
1
1
0 ⋮ −
0 − ) (− )𝑓3
(0 1
2
2
2
0 0 −2 ⋮ 1 1 0
1 −1 −1
0
(0 1
0
1
0
0
(
0
1
0 −1 ⋮
1
0
0
⋮ 1
1
⋮ −
0
0
⋮ −
−
2
1
2
1
⋮ −
1
2
1
2
1
⋮ −
2
1
2
0
−
0
−
−
1 0 0 ⋮
1
0
0
𝐵=
−
1
2
1
0 0 1 ⋮ −
−
1
2
0
1
−
−
2
( 2
−
−
1
2
1
2
0
2
(1)𝑓3 + 𝑓1 0 1 0 ⋮ −
(
0
1
− ) (1)𝑓 + 𝑓 =
2
2
1
0
1
2
1
2
)
−
1
2
0
−
1
2
−
−
1
2
1
se obtiene que :
2
0
)
1
2
1
2
0
)
Ejercicio:
−1 1
1
1
1
1 −1 1
1
1
Determine La inversa de la matriz 𝐴 = 1
1 −1 1
1
1
1
1 −1 1
1
1
1 −1)
(1
MATRICES ELEMENTALES
Una matriz elemental de orden n es una matriz que se obtiene al aplicar una sola operación
elemental a la matriz identidad 𝐼 de orden n.
Notacion.Vamos a emplear la siguiente notacion para identificar las tres clases de matrices
elementales.
1.- 𝑭𝒔𝒕 denotara la matriz elemental obtenida al aplicar la operación elemental 𝑓𝑠 𝑥𝑓𝑡 a
la matriz
Identidad.
2.- 𝑭𝒔 (𝒌) , 𝑘 ≠ 0 denota la matriz elemental obtenida al aplicar la operación elemental
𝑘𝑓𝑠 a la
Matriz identidad.
3.- 𝑭𝒔𝒕 (𝒌) denota la matriz elemental obtenida al aplicar la operación elemental 𝑘𝑓𝑠 +
𝑓𝑡 a la matriz
Identidad.
Ejemplo:
1 0
𝐼 = (0 1
0 0
0
0 1 0
0) 𝑓1 𝑥𝑓2 = (1 0 0) = 𝐹12
1
0 0 1
1 0
𝐼 = (0 1
0 0
0
1
0) (𝑘)𝑓1 + 𝑓3 = (0
1
𝑘
0 0
1 0) = 𝐹13 (𝑘)
0 1
Teorema.Sea 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )
𝑚𝑥𝑛
una matriz . El efecto de aplicar en 𝐴 las operaciones elementales
𝑓𝑠 𝑥𝑓𝑡 , 𝑘𝑓𝑠 , 𝑘 ≠ 0 , 𝑘𝑓𝑠 + 𝑓𝑡 , se obtiene al multiplicar 𝐴 por su izquierda por
𝐹𝑠𝑡 , 𝐹𝑠 (𝑘) , 𝑦 𝐹𝑠𝑡 (𝑘)
Nota.Las matrices elementales son cuadradas y ademas son matrices equivalentes a la matriz
edentidad dando lugar a que son matrices no singulares.
Teorema:−1
1.- 𝐹𝑠𝑡
= 𝐹𝑠𝑡
1
2.- (𝐹𝑠 (𝑘))−1 = 𝐹𝑠 ( ) , 𝑘 ≠ 0
𝑘
3.- (𝐹𝑠𝑡 (𝑘))−1 = 𝐹𝑠𝑡 (−𝑘)
Teorema.Si 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )𝑚𝑥𝑛 ,entonces existen matrices elementales 𝐹1 . 𝐹2 , 𝐹3 , … . , 𝐹𝑞 tales que
(𝐹𝑞 𝐹𝑞−1 … 𝐹2 𝐹1 )𝐴 = 𝐸 , donde 𝐸 es la matriz escalonada.
Teorema.Sea 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) una matriz. Las siguientes propiedades son equivalentes:
𝑛
1.- 𝐴 es no singular
2.- Existen matrices elementales 𝐹1 , 𝐹2 , ⋯ , 𝐹𝑘 , de orden n tales que
(𝐹𝑘 𝐹𝑘−1 ⋯ 𝐹2 𝐹1 )𝐴 = 𝐼
3.- 𝐴 es equivalente a la matriz identidad 𝐼𝑛
4.- 𝐴 es un producto de matrices elementales.
Ejemplo:
2 0
Dada la matriz 𝐴 = (4 3
6 2
0
0)
1
Exprese 𝐴 como un producto de matrices elementales.
Solucion:
2 0
𝐴 = (4 3
6 2
𝑓3
1 0
(0 3
0 2
0
1 0
1
0) (2) 𝑓1 = (4 3
1
6 2
0
1 0 0
0) (−4)𝑓1 + 𝑓2 = (0 3 0) (−6)𝑓1 +
1
6 2 1
0
1 0 0
1 0
1
0) (3) 𝑓2 = (0 1 0) (−2)𝑓2 + 𝑓3 = (0 1
1
0 2 1
0 0
1
1
1
1
0
0)
1
𝐹23 (−2)𝐹2 ( ) 𝐹13 (−6)𝐹12 (−4)𝐹1 ( ) 𝐴 = 𝐼
3
2
𝐹23 (−2)𝐹2 ( ) 𝐹13 (−6)𝐹12 (−4)𝐹1 ( ) = 𝐴−1
3
2
𝐴 = 𝐹1 (2)𝐹12 (4)𝐹13 (6)𝐹2 (3)𝐹23 (2)
Ejemplo:
1
Dadas las matrices 𝐴−1 = 𝐹2 ( )𝐹12 (−2)𝐹31 (−3)𝐹12 (−∝)𝐹21 (∝) , donde |𝐴| = 1
∝
,y
2𝑏 + 3 −𝑏 + 1 −𝑏 − 1
𝐵 = (3𝑏 − 3
−2𝑏
−3𝑏 − 2)
𝑏+2
−1
−2𝑏 − 1
¿ para que valor o valores de b , la matriz 𝐴 + 𝐵 tiene rango 3,2,1 ?
Solucion:
1
𝐴−1 = 𝐹2 ( )𝐹12 (−2)𝐹31 (−3)𝐹12 (−∝)𝐹21 (∝)
∝
𝐴 = 𝐹21 (−∝)𝐹12 (∝)𝐹31 (3)𝐹12 (2)𝐹2 (∝) , aplicando estas matrices elementales a
la matriz
Identidad.
1 0
𝐼 = (0 1
0 0
0
1 0 0
1
0) (∝)𝑓2 = (0 ∝ 0) (2)𝑓1 + 𝑓2 = (2
1
0 0 1
0
0 0
∝ 0) (3)𝑓3 + 𝑓1
0 1
1 0 3
1
0
3
(2 ∝ 0) (∝)𝑓1 + 𝑓2 = (2+∝ ∝ 3 ∝) (−∝)𝑓2 + 𝑓1 =
0 0 1
0
0
1
1 − 2 ∝ −∝2
(
2+∝
0
−∝2
∝
0
1 − 2 ∝ −∝2
|𝐴| = |
2+∝
0
2
= |1 − 2 ∝ −∝
2+∝
3 − 3 ∝2
3∝ )=𝐴
1
−∝2
∝
0
3 − 3𝛼 2
3 ∝ | = (1)𝐴33 = (−1)3+3 |𝑀33 |
1
0
−∝2 | = | 1
| = 1 → 𝛼 = 1 ,reemplazando en 𝐴
2+∝ ∝
∝
−2 −1 0
−2 −1 0
𝐴=( 3
1 3) → 𝐴 + 𝐵 = ( 3
1 3) +
0
0 1
0
0 1
2𝑏 + 3 −𝑏 + 1 −𝑏 − 1
(3𝑏 − 3
−2𝑏
−3𝑏 − 2)
𝑏+2
−1
−2𝑏 − 1
2𝑏 + 1
−𝑏
−𝑏 − 1
A + B = ( 3𝑏
−2𝑏 + 1 −3𝑏 + 1)
𝑏+2
−1
−2𝑏
Hallando el determinante de la matriz 𝐴 + 𝐵
2𝑏 + 1
|𝐴 + 𝐵| = | 3𝑏
𝑏+2
−𝑏
−𝑏 − 1
𝑏+1
−𝑏
−𝑏 − 1
−2𝑏 + 1 −3𝑏 + 1| = |𝑏 + 1 −2𝑏 + 1 −3𝑏 + 1|
−1
−2𝑏
𝑏+1
−1
−2𝑏
1
1
−𝑏
−𝑏 − 1
(𝑏 + 1) |1 −2𝑏 + 1 −3𝑏 + 1| = (𝑏 + 1) |0
0
1
−1
−2𝑏
−𝑏
−𝑏 − 1
−𝑏 + 1 −2𝑏 + 2|
𝑏−1
−𝑏 + 1
−𝑏 + 1 −2𝑏 + 2
−𝑏 + 1 −2𝑏 + 2
= (𝑏 + 1) |
| = (𝑏 + 1) |
|
𝑏−1
−𝑏 + 1
0
−3𝑏 + 3
|𝐴 + 𝐵| = (𝑏 + 1)(−𝑏 + 1)(−3𝑏 + 3) = 3(𝑏 + 1)(𝑏 − 1)2
|𝐴 + 𝐵| ≠ 0 ↔ 𝑏 ≠ −1 ∨ 𝑏 ≠ 1 , entonces el r( A + B ) = 3
Si: |𝐴 + 𝐵| = 0 ↔ 𝑏 = −1 ∨ 𝑏 = 1 , entonces:
2𝑏 + 1
3𝑏
𝑏+2
Si b=1 en la matriz A + B = (
−𝑏
−𝑏 − 1
−2𝑏 + 1 −3𝑏 + 1)
−1
−2𝑏
3 −1 −2
3 −1
A + B = (3 −1 −2) (−1)𝑓1 + 𝑓2 = (0 0
3 −1 −2
3 −1
1
−2
0 ) (−1)𝑓1 + 𝑓3
−2
2
3 −1 −2
1 −
−
3
3
1
(0 0
0 ) (3) 𝑓1 = (0 0
0)
0 0
0
0 0
0
el
r( A+B ) = 1
Ejercicio:
1
1
Dada la matriz 𝐴 = 1
1
(1
matriz A
Tiene rango 5 4,3
𝑥
2𝑥
4𝑥
𝑦
2𝑦
𝑥2
3𝑥 2
9𝑥 2
𝑦2
3𝑦 2
𝑥3
4𝑥 3
16𝑥 3
𝑦3
4𝑦 3
𝑥4
5𝑥 4
25𝑥 4 , para que valor o valores de x , y la
𝑦4
5𝑦 4 )
