Área Académica: Matemáticas
Tema: Factorizaciones
Profesor(a): Paz María de Lourdes Cornejo
Arteaga
Periodo: Julio-Diciembre 2015
Abstract
Factoring an algebraic expression is to find two or more factors whose
product is equal to the term proposal. Factoring can be considered the
inverse operation of multiplication factors for a given product are sought.
Keywords : factoring , algebraic expression product.
Resumen
Factorizar una expresión algebraica es hallar dos o más factores cuyo
producto es igual a la expresión propuesta. La factorización puede
considerarse como la operación inversa a la multiplicación, pues se
buscan los factores de un producto dado.
Palabras clave: factorizar, expresión algebraica, producto.
Objetivo de aprendizaje
Que los estudiantes desarrollen la capacidad de:
1.- Definir lo que es un factor y lo que es factorización además de conocer la
cantidad de factores primos que tiene un polinomio factorizado.
2.- Descomponer en factores, polinomios que tengan un factor común
monomio y polinomio.
3.- Factorizar polinomios con los que, al agrupar sus términos, se pueda
obtener factor común.
4.- Factorizar polinomios utilizando las identidades notables anteriormente
estudiadas.
5.- Descomponer, en factores utilizando el método de las aspas.
6.- Factorizar polinomios, empleando la división sintética.
Competencia genérica
Utilizar adecuadamente las expresiones algebraicas, sus propiedades
básicas y sus operaciones para resolver situaciones problema en
distintos contextos.
Competencia extendida
Resuelve problemas algebraicos utilizando las propiedades
operaciones algebraicas.
Factoriza expresiones con base a casos desarrollados.
y
• Cuando se habla de factorizar una expresión
algebraica, consiste en hallar dos o más
factores, cuyo producto sea igual a la
expresión propuesta. Por ejemplo:
• 15= (3)(5)
• 14ab= (2)(7)(a)(b)
• 5x + 5y= (5)(x + y)
(TIPOS DE
FACTORIZACIÓN)
• Al factor que aparece en todos los términos de una
expresión se le llama factor común.
• Si en una expresión todos sus términos tienen factor
común, este será uno de los factores de
factorización.
• Por lo cual lo primero que se tiene que hacer es
determinar en la expresión el factor común, y luego
dividir todo el binomio o polinomio dado entre dicho
factor, indicando la factorización como el producto
del factor común por el cociente obtenido.
• 4ab + 10ac=
• El factor común es a, por lo tanto la expresión
quedaría de la siguiente manera:
• a(4b + 10c) ó
• 2a(2b + 5c), ya que en la expresión anterior
todavía se puede seguir factorizando.
• Algunos polinomios no tienen un factor común
a todos los términos; pero puede ocurrir que
grupos de términos tengan cierto factor
común.
• Agrupándolos y factorizando cada grupo
puede resultar un factor común a todos los
grupos del polinomio.
• Estas factorizaciones se llaman por
agrupación de términos.
• Factoricemos ax + 2a + bx + 2b, notemos que el
polinomio no tiene un factor común a todos los
términos, pero se puede agrupar tomando en
cuenta los términos que tengan algún factor
común.
• (ax + bx) + (2a + 2b), donde los dos primeros
términos tienen a x como factor común, y los
dos últimos 2.
• Factorizando cada grupo quedaría: x(a + b) +
2(a + b).
• Resulta que (a + b) es un factor común de
todo el polinomio, por lo que factorizándolo se
tiene: x(a + b) +2(a + b)= (x + 2)(a + b)
• Así ax + 2a + bx + 2b= (x + 2) (a + b)
• La diferencia de cuadrados es igual al
producto de dos binomios conjugados
formados por las raíces cuadradas de los
términos de esta diferencia, teniendo en
cuenta que los términos simétricos de los
binomios conjugados deben corresponder a
la raíz cuadrada del sustraendo en la
diferencia de cuadrados.
• Factoricemos 9a2 – 16b2
• Obtengamos la raíz cuadrada de 9a2 es: 3a
• Determinamos la raíz cuadrada de 16b2 es: 4b
• Obtenemos los binomios conjugados
multiplicando la suma de estas raíces (3a +4b)
por su diferencia (3a – 4b) y tendremos:
• 9a2 – 16b2= (3a + 4b)(3a - 4b)
• Una cantidad es cuadrado perfecto cuando su
raíz cuadrada es racional.
• Al elevar un binomio al cuadrado se obtiene
un trinomio, este se denomina trinomio
cuadrado perfecto, ya que se obtiene al
elevar al cuadrado el binomio a + b, es decir:
• (a + b)2= a2 + 2ab +b2
•
•
•
•
X2 + 14x + 49
La raíz cuadrada del primer término x2 es: x
La raíz cuadrada del tercer término 49 es: 7
Por lo tanto, x2 y 49 son cuadrados
perfectos y ambos términos tienen signos
positivos.
• El doble del producto de las raíces es
(2)(7)(x)= 14x, el segundo término
• Así x2 + 14x + 49 es cuadrado perfecto
• A el resultado del producto de dos binomios
con un término común se le conoce como:
trinomio de la forma x2 + bx +c, cuyo primer
término es cuadrado perfecto, el segundo
término tiene un factor igual a la raíz
cuadrada positiva del primero y el tercer
término es independiente de la letra del
primer término.
• x2 + 5x + 6
• Se debe obtener dos binomios cuyo primer
término sea x, osea la raíz cuadrada del primer
término del trinomio (x )(x ).
• Ahora se debe encontrarlos segundos términos,
que deben ser 2 números cuyo producto debe
ser igual a 6 (el término independiente), y cuya
suma sea 5 (el coeficiente de x)
• El producto (+6) es positivo, lo que indica que
ambos términos deben ser positivos o
negativos, además la suma también es
positiva (+5), por lo que ambos deben ser
positivos.
• Los números buscados son 2 y 3, ya que el
producto de estos da 6, y la suma de los
mismos da 5.
• Por lo cual x2 + 5x + 6= (x +2)(x + 3)
• Trinomios de este tipo provienen de
multiplicar dos binomios, donde los términos
de un binomio son semejantes a los términos
del otro binomio.
• Factoricemos 5x2 + 16 x +3
• Una forma de resolverlo es la siguiente:
podemos convertir este trinomio en otro
que tenga la forma x2 + bx + c, esto es
posible multiplicándolo por el coeficiente del
primer término así:
• 5(5x2) +5(16x) +5(3)
• Escribiéndolo de otro modo (5x)2 + 5(16x) +
5(3)
• Los factores deben ser dos binomios cuyo primer
término sea 5x y los segundos términos deben ser dos
números cuyo producto sea 15 y cuya suma sea 16:
• (5x)2 +16(5x) +15= (5x + 15)(5x + 1)
• Factorizando:
= 5(x + 3)(5x + 1)
• Debido a que al trinomio original lo multiplicamos por
5, la expresión anterior la dividiremos entre 5 para
tener la factorización del trinomio original:
• 5x2 +16x + 3= (x + 3)(5x + 1)
• Se tiene una suma o diferencia de cubos
cuando en un binomio ambos términos
tienen raíz cúbica racional.
• La suma de los cubos de 2 términos se
factoriza como el producto de dos factores,
uno de los cuales es la suma de las raíces
cúbicas de esos términos, y el otro es la
suma de los cuadrados de las mismas
raíces, disminuida en su producto.
• La diferencia de los cubos de dos términos se
factoriza como el producto de dos factores,
uno de los cuales es la diferencia de las
raíces cúbicas de esos términos, y el otro es
la suma de los cuadrados de las mismas
raíces, incrementada en su producto.
• Factoricemos x3 + 27
• La Raíz cúbica de x3 + 27 es: (x + 3)
• El binomio anterior (x + 3) se eleva al
cuadrado
• (x + 3)[(x)2 -3(x) + 32)=
• (x + 3)(x2 - 3x + 9)
Estrategia general para
factorizar
• Cuando se te presente un expresión para
factorizar, después de observarla debes
analizar si tiene un factor común, en caso de
que lo tenga lo factorizas.
• Si no tiene factor común pasa a contar el
número de términos que tiene.
• Si es un binomio, analiza si es una
diferencia de cuadrados, diferencia de
cubos o suma de cubos y lo factorizas
según el caso.
• Si la expresión no es binomio puede ser un
trinomio, en caso de serlo analiza si es
trinomio cuadrado perfecto, trinomio de la
forma x2 + bx +c, o trinomio de la forma ax2
+ bx + c, y lo factorizas según el caso.
• Si la expresión no es binomio ni trinomio, puede
ser un polinomio de más de 3 términos y en ese
caso debes analizar si se puede factorizar por
agrupación; en caso contrario ya habrás
terminado la secuencia.
• Después de factorizar de alguna de las formas
mencionadas debes analizar cada uno de los
factores obtenidos, realizando nuevamente la
secuencia, ya que es posible que alguno de los
factores se pueda factorizar.
BIBLIOGRAFIA
• Eduardo Basurto Hidalgo, Ed. Pearson
• Abelardo Guzmán, Ed. Publicaciones Culturales
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