GRUPO interno de trabajo #8 LABORATORIO #2 FECHA ENTREGA: 25/10/2021 1 TEOREMA DE FOURIER Integrantes del grupo = Oscar Daniel Toro Huertas Nombre Institución: Escuela Colombiana de Ingeniería Julio Garavito Resumen— En el presente trabajo se busca identificar, analizar y contrastar los conceptos vistos en clases aplicando conceptos básicos y operaciones relacionadas con la transformada de fourier. Las operaciones que realizan están acompañadas de un compendio de simulaciones que corroboran las operaciones matemáticas en el informe. problemas que implican funciones periódicas. Puesto que muchos problemas prácticos no involucran funciones periódicas, es deseable desarrollar un método de análisis de Fourier que incluya funciones no periódicas. En este capítulo se estudiará la representación frecuencial de funciones no periódicas por medio de las series de Fourier. A. De la Serie de Fourier a la Transformada de Fourier Definamos a x(t) como una función no periódica de duración infinita, tal que: Palabras clave-. Fourier, transformada. IA. INTRODUCCIÓN Y OBJETIVOS ESPECÍFICOS LA representación de señales como una superposición de senoides complejas ofrece una expresión alternativa para el comportamiento entrada-salida de un sistema LTI. Esto no solo conduce a una expresión ´útil para la salida del sistema, sino que también brinde una caracterización muy profunda de señales y sistemas. El estudio de señales y sistemas empleando representaciones senoidales se denomina análisis de Fourier, en honor a Joseph Fourier (1768-1830) por sus contribuciones a la teoría de representación de funciones como superposición ponderadas de senoides. Los métodos de Fourier tiene una aplicación muy amplia más allá de las señales y los sistemas; se usan en todas las ramas de la ingeniería y la ciencia. En este tema se estudia una forma diferente de especificar una señal, la llamada descripción en el dominio de la frecuencia. Cuando una señal se describe como una función del tiempo, tal como cos(wt + Ø), esta es una descripción en el dominio del tiempo de esa señal. Como veremos, cualquier señal se puede expresar como una suma de senoides de diferentes frecuencias. Por lo tanto, cada una de estas señales tiene un espectro de frecuencia representado por amplitudes y fases de varias. El propósito de esta práctica es entender y aprender como mediante la superposición de ondas elementales armónicas de diferentes frecuencias y pesos es posible construir una onda periódica de cualquier perfil. II MARCO TEÓRICO Se ha visto ya que las series de Fourier constituyen un poderoso instrumento en el tratamiento de diversos Llamemos a xT0 (t) una señal periódica formada por repeticiones de x(t), con periodo fundamental T0. Si T0 tiende a infinito, se tiene que: De esta forma, luego de realizar operaciones matemáticas correspondientes al cálculo integral diferencial se obtiene que: Esta última relación, presentada en la ecuación es conocida como Identidad de Fourier o también llamada Transformada inversa de Fourier. III MONTAJE EXPERIMENTAL (SIMULADOR) Y DIAGRAMA DE FLUJO A. Montaje experimental (simulador) Para resolver esta práctica se usó el siguiente simulador GRUPO interno de trabajo #8 LABORATORIO #2 FECHA ENTREGA: 25/10/2021 2 IV DATOS (RESULTADOS) OBTENIDOS Resultados experimento 1 1I. B. Diagrama de flujo (Resumen del procedimiento utilizado para el registro de datos) Experimento 1 II. Tubo abierto -cerrado 1-Se introducen los primeros 3 términos y se grafican en el simulador, por último, se responde a la pregunta del punto. 2- En este caso se repite el procedimiento anterior, pero se introducen los 10 primeros términos de la serie en vez de solo 3 términos, de nuevo se responde a la pregunta planteada. 3- Se resuelve una pregunta que tiene como idea principal la solucion de los casos 1 y 2. ¿La forma de la gráfica mostrada en la figura 42.4 se parece a la mostrada en la figura 42.2? 4- Se cambia un dato de la ecuación y se da solución a la pregunta planteada, la cual se comprueba con el simulador RTA: No, esto es debido a la poca cantidad de términos insertada en el simulador. 5- Se cambia un dato de la ecuación y se da solución a la pregunta planteada, la cual se comprueba con el simulador. 6- Se demuestra a detalle cómo se llega a una expresión. 7-Nos dan una serie de ondas las cuales tendremos que graficar, decir su forma y hacia qué dirección y con qué velocidad se propaga. III. 2- Gráfica con 10 términos GRUPO interno de trabajo #8 LABORATORIO #2 FECHA ENTREGA: 25/10/2021 3 ¿La forma de la gráfica mostrada en la figura con 10 términos se parece a la mostrada en la figura 42.2? RTA: A diferencia del primer punto si, dado a que esta gráfica tiene muchos más términos, por lo que se acerca más a la función periódica. 3¿Qué puede predecir acerca de la forma de la onda cuando se consideran más y más términos de la expresión? RTA: Que conforme más términos de la serie se agregen y se grafiquen, más similitud tendrá para con la función periódica. 4¿Qué sucede si en la expresión 42.5 reemplazamos en cada uno de los términos (x – vt) por (x + 2t)? ¡Verifique su respuesta con el simulador! En este caso, dado a que estamos ampliando t (que se mueve en el eje y) entonces la gráfica tiende a estirarse en ese eje. Conclusiones: Al igual que cualquier gráfica en 2 dimensiones y dependiende de 2 parámetros, el modificar uno u otro repercute en todo el trayecto de la gráfica. 6Demuestre en detalle los pasos que conducen a la expression RTA: IV. RTA: 7- RTA: Lastimosamente por alguna extraña razón en el simulador no se logra apreciar un cambio. 5¿Qué sucede si la velocidad de propagación dada por el quinto término en la expresión (42.5): − 8/3π cos 3π/2 (x − t) se reemplaza por v = 1,5 cm/s? RTA: Lastimosamente en el simulador no se ve ningún cambio, por lo que usé geogebra para hacer una similitude de lo que pasaría La onda se desplaza hacia la derecha (sentido positivo) y la velocidad es igual a 1unidad/Segundo, dado a que no hay ningún número acompañando a t. GRUPO interno de trabajo #8 LABORATORIO #2 FECHA ENTREGA: 25/10/2021 La onda se desplaza hacia la derecha (sentido positivo) y la velocidad es igual a 1unidad/Segundo, dado a que no hay ningún número acompañando a t. VI CONCLUSIONES Se pudo ver que, efectivamente, la variación de una parte minima de una función puede cambiar drásticamente la gráfica de la msima. En una onda estacionaria el patrón de la onda no se mueve, pero si lo hacen los elementos de la cuerda. Si las frecuencias asociadas son muy altas las velocidades también lo serán. REFERENCIAS [1] http://lcr.uns.edu.ar/fvc/NotasDeAplicacion/FVCEstebanPlaza.pdf [2] https://www.academia.edu/4976118/Laboratorio_N_ o_3_Transformada_de_Fourier_y_sus_aplicaciones_ en_filtrado 4
