Fundamentos de hidrología aplicada

FUNDAMENTOS
DE
HIDROLOGÍA APLICADA
Ludwig Stowhas
UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA
DEPARTAMENTO DE OBRAS CIVILES
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FUNDAMENTOS
DE
HIDROLOGÍA APLICADA
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Ludwig Stowhas B.
Editado por:
Álvaro Ossandón Á.
Raúl Flores A.
Documento borrador preliminar, uso reservado alumnos Hidrologı́a CIV-243
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CONTENIDO
ÍNDICE DE FIGURAS
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XIII
ÍNDICE DE TABLAS
1. INTRODUCCIÓN
XVI
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1
1.2. Hidrologı́a e Ingenierı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3. Disponibilidad del Recurso Agua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.4. El Ciclo Hidrológico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.1. Definición y Alcance de la Hidrologı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5. Ecuación General de Balance Hidrológico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. ELEMENTOS DE CLIMATOLOGÍA Y METEOROLOGÍA
6
9
10
2.1.1. Leyes de Radiación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.1.2. Medición de la Radiación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.1.3. Radiación de Onda Corta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.1.4. Balance de Radiación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.2. Temperatura y Estratificación Térmica de la Atmósfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.2.1. Distribución de Temperaturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.2.2. Medición de Temperaturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.3. Humedad Atmosférica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.3.1. Leyes Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.3.2. Ley de Clausius - Clapeyron
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.3.3. Variables para Cuantificar la Humedad Atmosférica . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.3.4. Medición de la Humedad Atmosférica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.1. Radiación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
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2.4.1. Hidrostática de la Atmósfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
2.4.2. Atmósfera Isotérmica
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2.4.3. Atmósfera de Gradiente Térmico Constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2.4.4. Gradiente Adiabático Seco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2.4.5. Gradiente Adiabático Húmedo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.4.6. Estabilidad Atmosférica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
2.5. Altura de Agua Precipitable de la Atmósfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
2.6. Procesos de Intercambio de Energı́a y Masa en la Atmósfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
2.6.1. Procesos de Intercambio Turbulento de Calor y Masa . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
2.6.2. Transporte Latitudinal de Energı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
2.6.2.1. Vientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
2.6.3. Circulación General de la Atmósfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.6.4. El Fenómeno ENOS, El Niño - Oscilación del Sur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.6.3.1. Corrientes Marinas
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2.4. Elementos de Estática y Termodinámica Atmosférica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. EVAPORACIÓN Y EVAPOTRANSPIRACIÓN
55
56
3.2. Factores que Afectan la Evaporación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
3.2.1. Poder Evaporante de la Atmósfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
3.2.2. Caracterı́sticas de la Superficie Evaporante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3.2.3. Disponibilidad de Agua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3.3. Evaporación de Suelos y Transpiración Vegetal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
3.4. Medición de la Evaporación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
3.4.0.1. Evaporı́metros de Estanque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
3.4.1. Evaporı́metro de Papel Poroso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
3.4.2. Evaporı́metro de Porcelana Porosa o Atmómetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
3.5. Estimación de la Evaporación y Evapotranspiración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
3.5.1. Fórmula de Thornthwaite-Holzman o Método Aerodinámico . . . . . . . . . . . . . . .
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3.5.2. Método del Balance de Energı́a o Fórmula de Bowen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3.5.3.1. Fórmula de Mc Ilroy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
3.5.3.2. Formula de Penman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3.5.4. Fórmulas Basadas en la Ley de Dalton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
3.5.4.1. Fórmula del Lago Hefner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
3.5.4.2. Fórmula de los Servicios Hidrológicos de la ex URSS . . . . . . . . . . . . . .
69
3.5.4.3. Fórmula de Meyer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
3.5.5. Fórmulas Climatológicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3.5.5.1. Fórmula de Turc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
3.5.5.2. Método de Thornthwaite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
3.6. Evaporación desde Salares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3.7. Evaporación desde Superficies de Hielo o Nieve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3.8. Reducción de la Evaporación desde Superficies Lı́quidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4. PRECIPITACIÓN
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3.5.3. Fórmulas Combinadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.1.1. Precipitaciones Convectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.1.2. Precipitaciones Ciclónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.1.3. Precipitaciones Orográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
4.2. Mecanismos de Formación de Gotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.2.1. Coalescencia Directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.2.2. Núcleos de Condensación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.3. Formas de Precipitación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
4.4. Lluvias Artificiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
4.5. Medición de la Precipitación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.5.1. Pluviómetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.5.2. Pluviógrafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
4.5.2.1. Pluviógrafo de Báscula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.5.2.2. Pluviógrafo Gravimétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.5.2.3. Pluviógrafo de Sifón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.1. Mecanismos de Condensación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.5.4. Observaciones Satelitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.6. Procesamiento de Datos Pluviométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
4.6.1. Relleno de Estadı́sticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
4.6.2. Homogeneidad de Estadı́sticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
4.6.2.1. Ampliación de Estadı́sticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
4.7. Precipitación Media Real o en el Espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
4.7.1. Promedio Aritmético Simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
4.7.2. Polı́gonos de Thiessen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
4.7.3. Método de las Isoyetas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
4.8. Intensidades de Precipitación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
4.8.1. Curva Intensidad – Duración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
4.8.2. Precipitaciones Máximas en 24 Horas y Precipitaciones Máximas Diarias
. . . . . . .
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. . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.5.3. Medición de Precipitación Nival . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.8.3. Precipitaciones Máximas en 1, 2 y 3 Dı́as Consecutivos
5. ANÁLISIS DE FRECUENCIA EN HIDROLOGÍA
101
5.1. Tratamiento de Datos Hidrológicos para el Análisis de Frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . 102
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5.1.1. Selección de Datos Hidrológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.1.1.1. Serie de Duración Completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.1.1.2. Serie de Duración Parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.1.1.3. Serie de Valores Extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.1.2. Función de Densidad de Frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.1.3. Perı́odo de Retorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.2. Análisis de Frecuencia Analı́tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.2.1. Funciones de Densidad de Frecuencia Utilizadas Comúnmente en Hidrologı́a . . . . . . 111
5.2.1.1. Distribución Normal o Distribución de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.2.1.2. Distribución Logarı́tmico Normal o Log-normal . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.2.1.3. Distribuciones de Valores Extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.2.1.3.1. Distribución de Valores Extremos Tipo I o Distribución Gumbel . 116
5.2.1.3.2. Distribución de Valores Extremos Tipo III o Distribución Weibull . 120
5.2.1.4. Distribución Gamma de Dos Parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.2.1.5. Curvas de Pearson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.2.1.6. Distribución de Pearson Tipo III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.2.1.7. Distribución Log – Pearson Tipo III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
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5.2.1.8. Distribuciones de Frecuencia Generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.2.2. Uso de Intervalos de Confianza en Análisis de Frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.2.3. Selección de Modelos Probabilı́sticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
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5.2.3.1. Test o Prueba χ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.2.3.2. Test o Prueba de Kolmogorov – Smirnov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.3. Análisis de Frecuencia Directo o Gráfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.4. Coeficientes de Frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.5. Selección del Perı́odo de Retorno de Diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.5.1. Distribución Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
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5.5.2. Distribución de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
5.5.3. Estadı́sticas con Valores Nulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.6. Presentación Estadı́stica de Variables Hidrológicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
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5.6.1. Curvas Intensidad-Duración-Frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
5.6.2. Curvas de Variación Estacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.6.3. Curvas de Duración General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
6. PRECIPITACIÓN MÁXIMA
PROBABLE
157
6.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
6.2. Influencia del Tipo de Precipitación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
6.3. Factores Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
6.4. Método Hidrometeorológico de Estimación de la Precipitación Máxima Probable . . . . . . . 159
6.4.1. Maximización de la Humedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6.4.2. Maximización del Viento
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
6.4.3. Maximización de Tormentas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
6.4.4. Estimación de la PMP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.4.5. Curvas Precipitación-Duración-Área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.4.6. Precipitación Máxima Probable Vı́a Método Estadı́stico . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
7. ESCORRENTÍA
167
7.1. Fluviometrı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
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7.1.1. Técnicas de Medición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
7.1.1.1. Flotadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
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7.1.1.2. Trazadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
7.1.1.3. Molinetes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
7.1.2. Perı́odo de Validez de la Curva de Descarga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
7.1.3. Extensión de Curvas de Descarga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
7.1.4. Homogeneidad de Estadı́sticas Fluviométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
7.1.5. Presentación de Estadı́sticas Fluviométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
7.1.5.1. Curvas de Variación Estacional de Caudales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
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7.1.5.2. Curvas de Duración General de Caudales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
7.1.6. Caudales Mı́nimos, Sequı́as y Caudales Ecológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
8. ESTIMACIÓN
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DE LA ESCORRENTÍA
181
8.1. Transposición de Caudales Medios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
8.2. Transposición de Caudales de Crecida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
8.3. Uso de Correlaciones Estadı́sticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
8.3.1. Regresión Lineal Simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
8.3.2. Regresiones No Lineales o Múltiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
8.4. Pronósticos o Predicción de Caudales Estacionales Futuros
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
8.4.1. Pronóstico de Volúmenes Estacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
8.4.2. Distribución Estacional del Volumen de Deshielo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
8.5. Relleno y Extensión de Estadı́sticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
8.5.0.1. Extensión o Relleno de Datos Individuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
8.5.0.2. Extensión de Curvas de Duración General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
8.5.1. Relaciones Precipitación-Escorrentı́a Volumétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
8.5.1.1. Déficit de Escorrentı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
8.5.1.2. Fórmulas Empı́ricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
8.5.1.3. Método del Balance de Thornthwaite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
9. ESTUDIO Y ESTIMACIÓN DE CRECIDAS
199
ar
9.1. Estimación de la Infiltración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
9.1.1. Ecuación de Horton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
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in
9.1.2. Ecuación de Philip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
9.1.3. Ecuación de Green-Ampt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
9.1.4. Tiempo de Encharcamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
9.1.5. Índices de Infiltración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
9.1.6. Método de la Curva Número . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
9.1.7. Condiciones Antecedentes de Humedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
9.2. Estimación del Flujo Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
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9.3. Hidrogramas Unitarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
9.3.1. Obtención del Hidrograma Unitario a partir de Lluvias de Intensidad Constante . . . 213
9.3.2. Hidrogramas Unitarios para Otras Duraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
Bo
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do
9.3.3. Hidrograma en S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
9.3.4. Estimación de Hidrogramas Unitarios a partir de Tormentas de Intensidad Variable . 216
9.3.5. Hidrograma Unitario Instantáneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
9.3.6. Hidrograma Unitario de Nash . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
9.3.7. Hidrogramas Unitarios Sintéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
9.3.7.1. Hidrograma Unitario de Snyder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
9.3.7.2. Hidrogramas Unitarios Tipo Linsley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
9.3.8. Hidrogramas Unitarios sintéticos en Chile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
9.4. Fórmulas Empı́ricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
9.4.1. Fórmulas tipo Burkli-Ziegler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
9.4.2. Fórmula Racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
9.4.2.1. Estimación del Coeficiente de escorrentı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
9.4.2.2. Estimación del Tiempo de Concentración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
9.4.3. Fórmula de Verni-King
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
9.4.4. Fórmulas DGA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
9.4.5. Hidrogramas de Crecidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
9.4.5.1. Hidrograma de Santa Bárbara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
9.4.5.2. Hidrograma del SCS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
ar
9.4.5.3. Fórmula de Millán-Stowhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
9.4.6. Hietogramas de Tormentas de Diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
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9.4.6.1. Distribución de Tormentas de Endesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
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9.4.6.2. Método de los Bloques Alternantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
ar
ÍNDICE DE FIGURAS
5
1.2. Diagrama de flujo del Ciclo Hidrológico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.1. Espectros de emisión de un cuerpo negro. Fuente: Sellers (1965). . . . . . . . . . . . . . . . .
11
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1.1. El Ciclo Hidrológico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Distribución estacional de la radiación de onda corta incidente en función de la latitud. Fuente:
15
2.3. Balance anual promedio de radiación solar de onda corta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.4. Balance anual promedio de radiación terrestre de onda onda larga. . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.5. Estratificación térmica de la atmósfera.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.6. Diagrama presión de vapor - temperatura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
2.7. Diagrama termodinámico atmósfera absolutamente estable (γ > Γs ). . . . . . . . . . . . . . .
33
2.8. Diagrama termodinámico atmósfera estable seca o neutra saturada (γ = Γs ). . . . . . . . . .
33
2.9. Diagrama termodinámico atmósfera condicionalmente inestable (Γd < γ < Γs ). . . . . . . . .
34
2.10. Diagrama termodinámico atmósfera neutra seca o inestable saturada (γ = Γd ). . . . . . . . .
34
2.11. Diagrama termodinámico atmósfera absolutamente inestable (γ < Γd ). . . . . . . . . . . . . .
35
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Sellers (1965) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.12. Ajuste de curvas a perfiles de temperatura medidos durante dı́as de lloviznas, lluvias moderadas
y lluvias intensas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
2.13. Ajuste de curvas a perfiles de humedad relativa medidos durante dı́as de lloviznas, lluvias
moderadas y lluvias intensas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
2.14. Ajuste de curvas a perfiles de velocidad del viento medidos durante dı́as de lloviznas, lluvias
moderadas y lluvias intensas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
2.15. Circulación General de la Atmósfera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
4.1. El efecto del viento sobre la eficiencia del pluviómetro o nivómetro. . . . . . . . . . . . . . . .
81
4.2. El efecto del viento sobre la eficiencia del pluviómetro o nivómetro. . . . . . . . . . . . . . . .
82
4.3. Pluviograma de un pluviógrafo de sifón. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
xi
4.4. Curva doble acumulada con tramos de pendientes (α) distintas. . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
4.5. Curva doble acumulada con desplazamiento brusco debido a un error grosero de medición. . .
89
4.6. Polı́gonos de Thiessen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
4.7. Coeficientes de duración inferiores a 1 hora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
4.8. Coeficientes de duración para más de 1 hora para tormentas altiplánicas (Convectivas). . . .
96
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4.9. Coeficientes de duración para más de 1 hora para tormentas ciclónicas sin excesivo efecto
98
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orográfico (IV a X Regiones). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1. Serie de excedencias anuales y de valores extremos anuales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.2. Incertidumbre en el valor de D para muestras de tamaño finito. . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.3. Curva de frecuencia acumulada distribución normal centrada y reducida. . . . . . . . . . . . . 144
5.4. Papel normal de probabilidades.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.5. Papel Log-normal de probabilidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.6. Papel Gumbel-Powel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
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5.7. Análisis gráfico excel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.8. Curvas IDF para la serie de excedencias anuales de la estación USM, Valparaı́so. . . . . . . . 153
5.9. Curva de variación estacional de los caudales medios mensuales . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
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5.10. Curva de duración general de caudales del Rı́o Chopa en Puente Negro. . . . . . . . . . . . . 155
6.1. Diagrama pseudo adiabático para reducir temperaturas de punto de rocı́o . . . . . . . . . . . 162
7.1. Ciclo Escorrentı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
7.2. Curva de variación estacional de caudales Estación Aconcagua en Desembocadura. . . . . . . 176
7.3. Curva de duración general de caudales Estación Rı́o el Salto en Bocatoma (1978-2008).
. . . 178
8.1. Distribución caudal máximo de deshielo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
8.2. Distribución caudales de deshielo para el caso en que el caudal máximo ocurre en noviembre.
190
8.3. Curva duración serie mayor longitud (Q1 ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
8.4. Curva de duración serie menor longitud (Q2 ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
9.1. Variación de CN en función de la precipitación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
9.2. Frecuencias relativas promedio por cuenca de las CAH de las precipitaciones diarias, estación
inactiva (Mayo-Agosto). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
9.3. Frecuencias relativas promedio por cuenca de las CAH de las precipitaciones diarias, estación
crecimiento (Septiembre-Abril). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
9.4. Frecuencias relativas promedio por cuenca de las CAH de las precipitaciones máximas anuales
en 24 hrs., estación inactiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
9.5. Frecuencias relativas promedio por cuenca de las CAH de las precipitaciones máximas anuales
ar
en 24 hrs., estación crecimiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
9.6. Separación de hidrogramas de crecida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
9.7. Punto de separación de escorrentı́a directa y flujo base.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
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9.8. Fabricación de Hidrograma Unitario promedio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
9.9. Hidrograma en S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
9.10. Hietograma discretizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
9.11. Distribución de Endesa centrada para tormentas de duraciones 12 [hr] ≤ t ≤ 72 [hr]. . . . . . 240
Bo
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do
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9.12. Obtencion de hietograma de diseño mediante el método de los bloques alternantes. . . . . . . 241
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rP
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ÍNDICE DE TABLAS
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in
1.1. Disponibilidad de agua en la tierra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.1. Balance hı́drico medio anual. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.2. Gradiente pseudo adiabático húmedo [ºC/km]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
2.3. Altura de agua precipitable [mm] entre la superficie 1000 [Hpa] y un nivel de presión “p” en
una atmósfera saturada pseudo adiabática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
2.4. Altura de agua precipitable [mm] entre la superficie 1000 [Hpa] y un nivel z[m] sobre esa
43
2.5. Rugosidades superficiales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
2.6. Constantes para definir el perfil de viento correspondiente a diferentes tipos de dı́as. . . . . .
48
3.1. Coeficientes de embalse de Evaporı́metros de Bandeja Tipo A. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
3.2. Evaporación mensual de bandeja [mm].
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
(p = 1000 [Hpa]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
3.4. Coeficiente de horas de luz (d). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
3.5. Valores estimativos de sublimación de nieves Lat. 33º Cota 2600 [m.s.n.m.]. . . . . . . . . . .
72
4.1. Precipitaciones Medias Mensuales [mm]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
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superficie en una atmósfera saturada pseudo adiabática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Valores de la función
∆
∆+γ
4.2. Coeficientes de Duración (Cd ) para valores menores a una hora, en base a la precipitación en
60 minutos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
4.3. Coeficientes de Duración(Cd ) para valores menores a un dı́a, en base a la precipitación en 24
horas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
5.1. Equivalencia entre perı́odos de retorno y probabilidades de excedencia. . . . . . . . . . . . . . 109
5.2. Distribución normal centrada y reducida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.3. Rı́o Maule en Armerillo, caudales máximos instantáneos anuales. . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.4. Medias y desviaciones estándar de la variable reducida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
xv
5.5. Factores de frecuencia para distribuciones Pearson Tipo III con asimetrı́a positiva. . . . . . . 125
5.6. Factores de frecuencia para distribuciones Pearson Tipo III con asimetrı́a negativa. . . . . . . 129
5.7. Factores de corrección fc (α) para estimación de intervalos de confianza (β = 0.9). . . . . . . . 135
5.8. Resumen obtenidos en los ejemplos 5.2.1 a 5.2.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.9. Valores de χ2ν,(1−α) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
ar
5.10. Valores de Dν,α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
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5.11. valores de la constante b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
8.1. Parámetros Fórmula de Langbein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
8.2. Tabulación Ejemplo del Método del Balance de Thorntwaite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
9.1. Parámetros de la ecuación de Horton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
9.2. Curva Número equivalente en función de la precipitación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
9.3. Condiciones antecedentes de humedad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
9.4. Frecuencias relativas promedio por cuenca de las CAH de las precipitaciones diarias. . . . . . 207
rP
9.5. Frecuencias relativas promedio por cuenca de las CAH de las precipitaciones máximas anuales
en 24 hrs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
9.6. Hidrograma Adimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
Bo
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do
9.7. Coeficientes de Escorrentı́a en Cuencas Rurales Pequeñas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
9.8. Coeficientes de Escorrentı́a en función de tipo de área y tipo de calzada . . . . . . . . . . . . 228
9.9. Distribución de Endesa centrada para tormentas de duraciones 12 [hr] ≤ t ≤ 72 [hr]. . . . . . 240
9.10. Obtencion de hietograma de diseño mediante el método de los bloques alternantes. . . . . . . 241
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Capı́tulo 1
INTRODUCCIÓN
1.1.
Definición y Alcance de la Hidrologı́a
La Hidrologı́a puede definirse como la ciencia que tiene que ver con el origen, distribución, circulación y propiedades del agua en su estado natural y sus relaciones con el medio ambiente. Es considerada, en consecuencia,
rP
como una Ciencia de la Tierra y parte de la Geografı́a Fı́sica.
Sin embargo, considerando que de una u otra forma, el agua se presenta en manifestaciones múltiples en
distintas partes del planeta, su estudio no es exclusivo de la hidrologı́a, existiendo múltiples interrelaciones
entre ella y otras Ciencias de la Tierra que le son afines, tales como la Meteorologı́a, Geologı́a, Oceanografı́a,
Bo
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Limnologı́a y otras.
Por otra parte, si bien es cierto que la Hidrologı́a puede ser estudiada y considerada como una ciencia pura,
de carácter más bien descriptivo y cualitativo, no es menos cierto que existen importantes aplicaciones de ella
a otras disciplinas más cuantitativas, tales como la Agronomı́a, Ingenierı́a en general e Ingenierı́a Hidráulica
en particular, donde aparecen métodos y procedimientos aplicados especiales que configuran lo que algunos
autores han denominado Ingenierı́a Hidrológica.
En este contexto, aparecen una serie de herramientas matemáticas, métodos y procedimientos empleados en
Hidrologı́a, que provienen de otras disciplinas, marcando su dependencia, entre otras, respecto a la Mecánica
y Fı́sica de Suelos, Mecánica de Fluidos e Hidráulica, Estadı́stica Matemática, Análisis Matemático y Análisis
de Sistemas. Aún ası́, muchos de los métodos y procedimientos de la hidrologı́a le son en general propios y
sólo aplicables a sus fines y objetivos.
De lo anteriormente expuesto se deduce que existe una amplia gama de enfoques y aproximaciones al
estudio de la Hidrologı́a que van desde su visión como una disciplina eminentemente descriptiva hasta su
visión como una especialidad de la ingenierı́a.
El presente texto está orientado especialmente a las aplicaciones ingenieriles de la Hidrologı́a.
1
2
Introducción
1.2.
Hidrologı́a e Ingenierı́a
Definiendo al Ingeniero como al profesional encargado de concebir, planificar, diseñar, construir, operar y
mantener obras de infraestructura destinadas a aprovechar y a transformar los recursos naturales renovables o
no renovables en beneficio de la satisfacción eficiente, segura, justa, económica y sustentable de las necesidades
humanas, resulta claro que la necesidad e interés del Ingeniero por la Hidrologı́a se centra por una parte en
ar
la conservación y aprovechamiento óptimo del agua como recurso natural, y por otra parte en la protección y
conservación de las obras de infraestructura frente a la acción destructiva que los eventuales excesos de agua
provocan sobre ellas.
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Es ası́, por ejemplo, como los estudios y análisis hidrológicos en ingenierı́a tratan de la determinación de
la cantidad, calidad y distribución en el tiempo y en el espacio de los recursos hı́dricos de una cuenca o
región, de la magnitud y distribución de los caudales de un determinado curso de agua, de la evaluación
y aprovechamiento de recursos de agua subterránea, del establecimiento o determinación de los caudales
máximos o de diseño para el dimensionamiento de obras de protección, del establecimiento o determinación de
los caudales mı́nimos o ecológicos que deben preservarse en un determinado cauce, del pronóstico o previsión
de caudales a corto y mediano plazo, o de la determinación del impacto o efectos fı́sicos provocados sobre
el recurso por cambios climáticos o cambios en el uso de la tierra o del agua provocados por la intervención
humana (Urbanizaciones, construcción de grandes embalses, deforestación, etc.).
rP
Los resultados de estos estudios resultan fundamentales para planificar la toma de decisiones en torno al
óptimo aprovechamiento del recurso y le permiten al ingeniero abordar el diseño y dimensionamiento de las
obras civiles afectadas por el agua con la seguridad requerida, asegurando la preservación del ambiente y
Bo
rra
do
estableciendo las mejores condiciones de construcción, operación y explotación de las obras.
1.3.
Disponibilidad del Recurso Agua
El agua, siendo uno de los elementos naturales más abundantes de la Tierra, se encuentra principalmente
depositada en forma de agua salada en los océanos y en forma de hielo o nieve en los inhóspitos casquetes
polares.
Como se desprende de las cifras de la Tabla 1.1, de una disponibilidad total estimada cercana a los 1,386
millones de kilómetros cúbicos de agua en el planeta Tierra, menos de un 0.8 % de este volumen ocurre en
los continentes habitados por el hombre. De este porcentaje, gran parte se encuentra en forma subterránea
o glaciares continentales, resultando que sólo 122,000 Km3 o un 0.009 % del volumen total queda disponible
como aguas dulces superficiales de utilización relativamente inmediata.
Resulta innecesario, por otra parte, destacar cuán vital es el agua para la existencia de vida en la Tierra
y para el desarrollo social y económico de los pueblos. El vertiginoso incremento de la población y las
modalidades de la vida moderna han provocado una creciente demanda de recursos hidráulicos que han, no
sólo desencadenado una intensa competencia entre los diversos sectores de consumidores, sino que además
ha provocado serios y crecientes problemas de contaminación y calidad de las aguas, agravando aún más el
Introducción
3
problema de desabastecimiento.
Tabla 1.1: Disponibilidad de agua en la tierra.
Distribución del agua en la Tierra
Volumen en Km3
Agua salada
Agua dulce
Agua total
-
1,338,000,000
-
96.5
24,064,000
-
68.7
1.74
0.04
0.001
-
0.94
-
0.006
Océanos y mares
Casquetes y glaciares polares
Porcentaje
Agua dulce
12,900
-
Agua subterránea salada
-
12,870,000
Lagos de agua salada
-
85,400
Aguas Continentales
Agua subterránea dulce
Glaciares continentales y Permafrost
Lagos de agua dulce
Humedad del suelo
Embalses
Rı́os
Agua biológica
Total agua dulce
Total agua en la tierra
10,530,000
-
30.1
0.76
300,000
-
0.86
0.022
91,000
-
0.26
0.007
16,500
-
0.05
0.001
11,470
-
0.03
0.0008
2,120
-
0.006
0.0002
1,120
-
0.003
0.0001
10,952,210
31.27
0.79
35,029,110
100
2.53
-
100
rP
Total aguas continentales
re
lim
in
Atmósfera
ar
Situación del agua
1,386,000,000
Fuente: UNESCO (2003), World Water Balance and Water Resources of the Earth.
Bo
rra
do
Además, la distribución y ocurrencia natural de las aguas continentales es extraordinariamente variable
tanto en el tiempo como en el espacio. Esto origina la paradojal situación de la existencia de regiones donde
el principal factor limitante al desarrollo es la poca disponibilidad o déficit de agua, mientras en regiones no
muy lejanas y aún en las mismas regiones pero en distintas temporadas, el principal problema sea el control
o eliminación parcial o total de los efectos nocivos o catastróficos provocados por los excesos de agua.
Esta situación ha llevado a la necesidad de desarrollar programas y proyectos regionales para el control y
aprovechamiento integral de los recursos hı́dricos, como a mejorar la tecnologı́a y métodos necesarios para
la concepción, planificación, diseño y construcción de las obras o sistemas hidráulicos que dichos programas
requieren.
La hidrologı́a, como se ha mencionado anteriormente, proporciona elementos de decisión y diseño que
contribuyen en forma importante al buen comportamiento de los desarrollos abordados.
4
Introducción
1.4.
El Ciclo Hidrológico
El ciclo hidrológico es un concepto más bien académico que corresponde a un modelo o idealización del movimiento de circulación del agua dentro del planeta Tierra, e incluye por lo tanto el movimiento y distribución
del agua dentro de la litosfera (continentes), hidrosfera (océanos y mares) y atmósfera, al igual que los procesos de transferencia del agua entre estos elementos a través de los mecanismos de evaporación, precipitación
y escorrentı́a.
ar
Aún cuando el ciclo hidrológico es globalmente un proceso continuo, contiene variables de ocurrencia
aleatoria, que configuran elementos discretos al considerar extensiones, territorios o intervalos de tiempo de
re
lim
in
análisis a escalas reducidas. Por ejemplo, dentro de una cuenca hidrográfica especı́fica, la precipitación a
una escala diaria aparece como un elemento discreto de ocurrencia aleatoria, mientras la evaporación y la
escorrentı́a se presentan como procesos continuos, aún cuando variables e impermanentes en el tiempo. Es
decir, un fenómeno que constituye una función o proceso continuo desde un punto de vista global, aparece con
una distribución discreta desde el punto de vista local. Esta situación es un hecho importante y conveniente,
ya que facilita el análisis estadı́stico de los estudios hidrológicos de carácter local, en que las variables deben
ser necesariamente discretizadas.
En primer lugar, se hace referencia a la Figura 1.1 que describe en forma pictórica los diferentes elementos
que constituyen el ciclo hidrológico, distinguiéndose tanto elementos de almacenamiento como de transferencia
rP
o transporte de agua.
Ası́, se observa como el agua depositada en el principal elemento de almacenamiento, el cual son los océanos
y mares, es transferida mediante procesos de evaporación a la atmósfera donde se almacena en forma de vapor
de agua. Este vapor puede condensar e incorporarse a la superficie terrestre a través de procesos de precipitación pluvial o nival, cayendo sobre océanos, lagos, montañas y valles. Parte de la precipitación caı́da sobre
Bo
rra
do
la superficie terrestre puede escurrir sobre ella, incorporándose a redes de drenaje natural que la retornarán
nuevamente al mar. Otra parte puede quedar temporalmente almacenada en depresiones, lagos o en forma de
hielo o nieve, o puede infiltrarse quedando retenida en la zona de raı́ces de las plantas o percolar profundamente hasta alcanzar las napas subterráneas, o escurrir a través de grietas en los estratos profundos de roca.
El agua superficialmente almacenada o retenida en el suelo, retornará a la atmósfera a través de procesos
de evaporación, sublimación de hielo o transpiración de las plantas, o infiltrará y percolará profundamente,
escurriendo en forma subterránea hasta aflorar en rı́os o lagos, o descargará subterráneamente al mar.
Puede observarse a su vez, la interacción o traspaso de agua entre diferentes elementos superficiales y sub-
terráneos del ciclo, y la existencia de distintas alternativas de circulación o subciclos, como agua precipitada
directamente sobre los océanos o precipitación evaporada durante su caı́da, antes de alcanzar la superficie de
la Tierra.
La representación gráfica del ciclo hidrológico permite efectuar una especie de inventario de los fenómenos
que forman parte del ciclo, pero no permite establecer las relaciones funcionales entre los distintos elementos componentes que determinan la trayectoria del agua a través de los distintos subciclos o cortacircuitos
existentes en su camino de retorno a la atmósfera o al mar.
Finalmente la imagen de la Figura 1.1 no permite considerar la variable tiempo, que introduce algunas
5
re
lim
in
ar
Introducción
Figura 1.1: El Ciclo Hidrológico.
rP
complicaciones, como en el caso del agua temporalmente almacenada en forma de nieve o hielo, ni permite
considerar procesos más complejos como la existencia de perı́odos húmedos o de crecidas, o perı́odos secos o
sequı́as.
Para lograr parte de estos objetivos, levantando algunas de las limitaciones, se puede recurrir a otras formas
Bo
rra
do
de idealización del ciclo hidrológico, en las que se abandona la forma pictórica. Estas se basan en diagramas
de flujo del ciclo hidrológico en los que es posible distinguir claramente entre elementos de almacenamiento
y de traslación del agua, estableciendo relaciones conceptuales entre los diferentes componentes, permitiendo
resolver determinados problemas aplicando procedimientos apropiados de análisis.
La Figura 1.2 muestra uno de estos diagramas de flujo describiendo los diversos fenómenos que intervienen
en el ciclo hidrológico y las interconexiones entre los distintos procesos.
Mediante una lı́nea de trazos se ha delimitado en la Figura 1.2, los procesos correspondientes al ciclo de
escorrentı́a, materia de estudio de la Hidrologı́a.
La definición del ciclo de escorrentı́a determina como unidad fı́sica territorial fundamental en hidrologı́a, a
la cuenca u hoya hidrográfica, que queda definida al seleccionar un punto o sección de salida en el cauce de
un rı́o u otro curso de agua, por todo el territorio adyacente cuyas aguas fluyen o drenan hacia dicho punto.
La lı́nea perimetral que encierra y delimita la superficie de la cuenca, se denomina la lı́nea divisoria de
aguas.
Cabe agregar aquı́, la ventaja de utilizar la cuenca hidrográfica no sólo como unidad territorial hidrológica,
sino también como unidad polı́tica y administrativa, lo que elimina, o al menos disminuye, las disputas y
conflictos territoriales y de uso del agua, facilitando el manejo y administración racional del recurso.
6
Introducción
FIGURA Nº 1.2
EVAPOTRANSPIRACION
EVAPORACION
ATMOSFERA
EVAPORACION
PRECIPITACION
EVAPORACION
INTERCEPCION
PRECIPITACION
SOBRE EL OCEANO
ar
PRECIPITACION
SOBRE CAUCES
PRECIPITACION
SOBRE DEPRESIONES
SUPERFICIALES
TRANSPIRACION
VEGETACION
EVAPORACION
DEPRESIONES
SUPERFICIALES
INFILTRACION
AGUA ABSORBIDA
EVAPORACION DESDE SUELOS
re
lim
in
ESCORRENTIA
SUPERFICIAL
INFILTRACION
CURSOS
SUPERFICIALES
DE AGUA
OCEANOS
FLUJO
SUBTERRANEO
FLUJO SUBSUPERFICIAL
SUELOS
rP
PERCOLACION
AGUA
SUBTERRANEA
FLUJO SUBTERRANEO
FLUJO SUBTERRANEO
Bo
rra
do
CICLO DE ESCORRENTIA
Figura 1.2: Diagrama de flujo del Ciclo Hidrológico.
1.5.
Ecuación General de Balance Hidrológico
Asociado a la cuantificación de los conceptos de ciclo hidrológico y ciclo de escorrentı́a surge otro concepto
básico en hidrologı́a, cual es el concepto de conservación de la masa o su equivalente en mecánica de fluidos,
la ecuación de continuidad.
Expresada en su forma más básica y general, la ecuación de continuidad puede representarse por la relación,
I −Q=
∂V
∂t
(1.1)
donde I y Q son los flujos de entrada y salida a un determinado volumen de control y V es el almacenamiento
al interior de dicho volumen.
La ecuación (1.1) expresada en su forma integral y aplicada a una cuenca hidrográfica como “volumen de
control”, se conoce con el nombre de ecuación de balance de masas o ecuación general de balance hidrológico.
Introducción
7
Para un intervalo de tiempo ∂t comprendido entre dos instantes t1 y t2 , el balance de masas en una cuenca
se representa por la siguiente ecuación:
P + Qa − R − E − T − Qe = ∂Vsup + ∂Vsub + ∂Vh + ∂H
(1.2)
donde P es la precipitación total ocurrida en el perı́odo t2 − t1 sobre la cuenca, Qa es el volumen de agua
ar
afluente a la cuenca como caudales superficiales o subterráneos, R es la precipitación retenida por la vegetación, E es la evaporación desde superficies de suelo húmedo o desde espejos de agua, T es la transpiración
vegetal ocurrida en el perı́odo, Qe es la escorrentı́a total efluente en la sección de salida de la cuenca, y los
re
lim
in
valores ∂Vsup , ∂Vsub , ∂Vh y ∂H corresponden a la variación del volumen de agua almacenado en la cuenca
en depresiones superficiales, lagos y embalses, en forma de agua subterránea, en forma de hielos, glaciares o
nieve estacional, y en forma de humedad contenida en los suelos, respectivamente.
Salvo en cuencas intervenidas por el hombre, el término Qa es normalmente nulo o despreciable, aunque
se dan excepciones en lo que se refiere a caudales afluentes en forma subterránea ; la evaporación, retención
y transpiración vegetal pueden agruparse en un término global denominado “evapotranspiración”, ET , por
lo que la ecuación (1.2) puede reescribirse de la forma
rP
P − ET − Qe = ∂Vsup + ∂Vsub + ∂Vh + ∂H
(1.3)
Siendo conceptualmente exacta, para la aplicación práctica de la ecuación de balance hidrológico se requiere
que sólo uno de los términos del balance sea incógnita, debiendo disponerse de información respecto a todas
las demás variables involucradas. Considerando los errores que se cometen en la medición o estimación de
Bo
rra
do
cada uno de los términos de la ecuación, la sumatoria de ellos, que pasa a ser el valor estimado de la variable
incógnita, puede alcanzar magnitudes de error inadmisibles, dando resultados, en consecuencia, absurdos, a
menos que se elija adecuadamente el intervalo de tiempo para el cual se aplica la ecuación.
En efecto, utilizando como intervalo de tiempo t2 − t1 , un perı́odo que se denomina un año hidrológico, el
cual difiere del año calendario en el sentido de que comienza y termina al término del perı́odo de estiaje que
presentan las variables hidrológicas en su variación cı́clica anual, pueden lograrse resultados admisibles en la
aplicación directa de la ecuación de balance.
Si, por ejemplo, se inicia y termina el perı́odo de balance al final de la temporada seca de verano, en la zona
central de Chile, digamos desde el 1 de Abril al 31 de Marzo del año siguiente, los valores de nieve estacional
almacenada o humedad de los suelos serán nulos o se encontrarán en su valor mı́nimo, independientemente
de los valores que hayan alcanzado durante la época húmeda del invierno, por lo cual los términos ∂Vh y ∂H
de la ecuación serán nulos o al menos mı́nimos.
Análogo raciocinio puede efectuarse con los términos que representan la variación del almacenamiento de
aguas superficiales y subterráneas, por lo que también pueden despreciarse con un margen aceptable de error.
La situación más habitual, en consecuencia, es la de estimar la escorrentı́a media anual de la cuenca mediante
la ecuación simplificada expresada de la forma,
8
Introducción
(1.4)
Q ≈ P − ET
Esta ecuación permite una primera estimación aproximada de la escorrentı́a media anual de una cuenca,
conocidas la precipitación y la evapotraspiración, salvo en aquellos casos en que las variaciones de almacenamiento a escala anual no sean despreciables o existan aportes externos importantes.
ar
Mayor aproximación aún se logra con la ecuación anterior, si se aplica a la estimación de la escorrentı́a
media anual durante largos perı́odos de tiempo, del orden de décadas hidrológicas o más, dado que siendo los
términos de la izquierda de la ecuación (1.3), a diferencia de los de la derecha, acumulativos, estos pasan a
re
lim
in
ser de órdenes de magnitud superiores a los términos de la derecha, los que pasan a ser despreciables. Para un
largo perı́odo de tiempo, digamos del orden de 30 años, puede aseverarse sin mayor error, que en un sistema
estacionario en que no existen aportes externos significativos, se cumple en forma muy exacta, la relación,
Q = P − ET
(1.5)
En los capı́tulos siguientes se verá una descripción detallada de las variables que participan en la ecuación
de balance hidrológico y de los principales métodos utilizados en ingenierı́a hidrológica, precedidos por algunos conceptos fundamentales de Climatologı́a y Meteorologı́a, que resultan imprescindibles para lograr una
Bo
rra
do
rP
comprensión global del ciclo hidrológico.
re
lim
in
ar
Capı́tulo 2
ELEMENTOS DE CLIMATOLOGÍA Y
Introducción
rP
METEOROLOGÍA
La disponibilidad de recursos hı́dricos y las caracterı́sticas hidrológicas de una determinada cuenca o región
quedan determinadas principalmente por la estructura geológica y geomorfologı́a del área, y por una serie
Bo
rra
do
de factores climatológicos, como la radiación solar, vientos y circulación del aire, temperatura y humedad
ambiental, que condicionan y regulan la intensidad del ciclo hidrológico y la cantidad y distribución de las
precipitaciones.
Es fundamental, en consecuencia, para lograr una comprensión global del ciclo hidrológico, disponer de
algunos conocimientos básicos de climatologı́a y meteorologı́a, dada la fuerte dependencia que existe entre
estas ciencias y algunos campos de la hidrologı́a.
9
10
2.1.
2.1.1.
Elementos de Climatologı́a y Meteorologı́a
Radiación
Leyes de Radiación
El 99.97 % de la energı́a necesaria para la realización de los procesos fı́sicos que ocurren en la Tierra, proviene
originalmente de la radiación solar.
ar
De acuerdo a la ley de radiación de Planck, la intensidad de radiación en una determinada longitud de onda
emitida por un cuerpo negro, es decir, un cuerpo que absorbe toda la radiación incidente sobre su superficie,
re
lim
in
puede expresarse mediante la ecuación,
1
2h · c2
· hc
(2.1)
5
λ
e λkT − 1
donde Eλ se obtiene en [erg/(cm2 · seg · cm)], h corresponde a la constante de Planck (6.55 × 10−27 [erg · seg]),
Eλ =
c a la velocidad de la luz (3 × 101 0 [cm/seg]), k a la constante de Stefan-Boltzmann (1.37 × 10−16 [erg/◦ K])
y T a la temperatura absoluta del cuerpo en ◦ K.
Esta ley indica que un cuerpo negro emite distintas intensidades de radiación en diferentes longitudes de
onda y que estas intensidades varı́an en función de la temperatura del cuerpo.
Dos importantes leyes pueden deducirse fácilmente a partir de la ecuación (2.1).
rP
Derivando respecto a la longitud de onda e igualando a cero, se obtiene la ley de Wien, que determina
la longitud de onda en la cual se produce la máxima emisión de radiación. Este valor de λ es inversamente
Bo
rra
do
proporcional a la temperatura absoluta del cuerpo,
donde λmax se obtiene en [cm] y a =
h·c
5k
λmax =
a
T
(2.2)
= 0.288 [cm ·◦ K].
Por otra parte, integrando la ecuación (2.1) para todas las longitudes de onda, bajo la hipótesis de una
emisión isotrópica, se puede calcular el flujo total de radiación emitido por un cuerpo negro. Esta es la ley
de Stefan-Boltzmann, expresada por la ecuación
F = σT 4
(2.3)
donde F se obtiene en [cal/(cm2 · min)] y σ corresponde a la constante de Stefan-Boltzmann (8.14 ×
10−11 [cal/(cm2 · min ·◦ K 4 )]).
Como lo indican las ecuaciones (2.2) y (2.3), la radiación total emitida por un cuerpo negro aumenta con
la cuarta potencia de su temperatura absoluta, desplazándose además el espectro de emisión hacia longitudes
de onda más cortas a medida que la temperatura aumenta.
La Figura 2.1 muestra los espectros de emisión de un cuerpo negro para las temperaturas de 6000 y 293
ºK, que corresponden aproximadamente a las temperaturas del Sol y la Tierra respectivamente.
FIGURA Nº 2.1
2.1. Radiación
11 FIGURA Nº 2.2
0
70º
RADIACION SOLAR
EXTRATERRESTRE
50º
0
10
0
0
2
0
30
0
0
4
40º
50
60º
1.0
0.5
70
EMISION CUERPO NEGRO
A 300º K
LATITUD
20º
0.1
0
80
10º
90
EMISION INFRAROJO
AL ESPACIO
ABSORCION
GAS OZONO
0.01
0
CL
0
10º
0.02
0
ar
30º
re
lim
in
ENERGIA ( LY / MIN / )
RADIACION SOLAR EN
SUPERFICIE TERRESTRE
0.2
0.05
0
0
60
DE
2.0
1000
80º
EMISION CUERPO NEGRO
A 600º K
IN
700
0
50
0
30º
40
1000
3
60º
0
00
20
0
10
0
1100
0
80º
0.2
0.5
1.0
0.1
5.0
10
20
rP
0.001
0.1
SU
N
800
60
70º
OF
900
20º
50º
0.002
ON
AT I
40º
0.005
Summer Solstice
11
INFRAROJO
Equinox
VISIBLE
Vernal
ULTRAVIOLETA
00
90º
N
5.0
LONGITUD DE ONDA ( MICRONES )
50
100
90º
S
JAN
FEB
MAR
APR
Figura 2.1: Espectros de emisión de un cuerpo negro. Fuente: Sellers (1965).
Los cuerpos fı́sicos reales no se comportan como cuerpos negros teóricos y absorben y emiten una cantidad
Bo
rra
do
de radiación en general menor a la indicada por la ley de Stefan-Boltzmann. Si la cantidad de radiación
emitida es proporcionalmente igual en cualquier longitud de onda, estos cuerpos se denominan “cuerpos
grises”, siéndoles aplicables la ecuación (2.3), corregida en la forma
F = εσT 4
(2.4)
donde ε se denomina la emisividad del cuerpo y es tal que 0 < ε < 1.
Aunque los cuerpos reales tienen una emisividad variable con la longitud de onda, existiendo bandas
especı́ficas, caracterı́sticas de cada cuerpo, en las que se producen distintas cantidades de absorción y emisión,
el flujo total de radiación emitido por estos cuerpos se calcula en la práctica en base a la ecuación de StefanBoltzmann, adoptando una emisividad media del cuerpo, equivalente a la de un cuerpo gris. En la Figura 2.1
se incluyen los espectros reales estimados de radiación solar extraterrestre en el borde exterior de la atmósfera
y de la emisión real al espacio desde la Tierra.
Debido a la gran diferencia de temperaturas entre el Sol y la Tierra, puede apreciarse que sus espectros
electromagnéticos, en la práctica no se traslapan; la radiación solar ocurre en el rango de longitudes de onda
entre 0.15 y 4.0µ con un 45 % dentro del rango de la luz visible (0.4 a 0.74µ), mientras la radiación terrestre
ocurre a longitudes de onda más largas, en el rango infrarrojo entre 4 y 30µ aproximadamente. Por estas
MAY
JUN
JUL
Month
AUG
12
Elementos de Climatologı́a y Meteorologı́a
razones, la radiación solar es denominada normalmente “radiación de onda corta”, mientras la radiación
terrestre es denominada “radiación de onda larga”.
2.1.2.
Medición de la Radiación
Diversos instrumentos han sido desarrollados para medir los distintos componentes del balance radiativo.
ar
Entre ellos podemos distinguir los siguientes:
Piroheliómetro: Es el instrumento básico, diseñado para medir la intensidad de la radiación solar,
re
lim
in
es decir, la radiación directa desde el Sol sobre una superficie unitaria normal a la dirección del rayo.
El más común de ellos es el llamado piroheliómetro de Angstrom, que consiste en dos placas metálicas
gemelas aisladas. Una de ellas se expone, mediante un tubo colimador, a la radiación solar, siguiendo
durante el dı́a la trayectoria del Sol en el cielo, de manera que reciba permanentemente la radiación
directa desde el Sol. La otra placa, aislada a la radiación externa, se conecta a un circuito eléctrico y
se mide la cantidad de energı́a o calor necesario para calentar eléctricamente esta placa aislada, a la
misma temperatura que la placa calentada por el Sol. Como ambas placas son gemelas, la intensidad
solar, será igual a la potencia eléctrica disipada, es decir,
donde,
rP
Roc,dir = K · i2
(2.5)
Roc,dir : Radiación solar directa en [cal/(cm2 ·año)] u otra unidad equivalente.
i: Intensidad de la corriente en el circuito eléctrico.
Bo
rra
do
K: Constante de calibración del instrumento.
Piranómetro: Es un instrumento diseñado para medir la radiación solar total, tanto directa como
difusa, incidente sobre una superficie horizontal, radiación denominada comúnmente radiación global.
El más utilizado de estos instrumentos es el piranómetro Eppley, que consiste en dos anillos de plata
concéntricos, uno pintado de negro y el otro de blanco (óxido de magnesio), protegidos por una ampolleta
de cuarzo que filtra la radiación de onda larga. La mayor absorción de radiación por parte del anillo
negro, genera una diferencia de temperatura entre los dos anillos que es aproximadamente proporcional
a la intensidad de radiación global recibida.
Roc,dir + Roc,dif = K · (Tn − Tb )
donde,
Roc,dir : Radiación solar directa en [cal/(cm2 ·año)] u otra unidad equivalente.
Roc,dir : Radiación solar difusa en [cal/(cm2 ·año)] u otra unidad equivalente.
T n: temperatura de los anillos negro.
T b: temperatura de los anillos blanco.
K: Constante de calibración del instrumento.
(2.6)
2.1. Radiación
13
La diferencia de temperatura entre los anillos se mide en base a termocuplas o termojuntas en contacto
con los anillos, midiéndose la diferencia de voltaje generada.
Actinógrafo: Es un instrumento similar y que cumple la misma función que el piranómetro. La diferencia fundamental está en el mecanismo sensor de la diferencia de temperatura entre las placas blanca
y negra, que en este caso se mide en base a la dilatación de elementos bimetálicos. Es un instrumento
de uso más común que el piranómetro debido a su menor costo. Desgraciadamente tiene mayor retardo
ar
en su respuesta a los cambios de intensidad de radiación y una menor precisión que los piranómetros
eléctricos.
re
lim
in
Piroradiómetro: Es un instrumento diseñado para medir el total de radiación de onda corta y larga
(solar y terrestre o atmosférica) incidente sobre una superficie horizontal. Consiste en dos elementos
sensores, uno superior, expuesto a la intemperie y uno inferior protegido por una placa pulida de
aluminio que lo aı́sla radiativamente. La intensidad de radiación se mide en función de la temperatura
y la diferencia de temperatura entre los sensores.
Radiómetro neto: Instrumento que mide el balance neto de radiación sobre una superficie horizontal,
es decir, el total de la radiación incidente menos la radiación reflejada por la superficie y la emisión de
radiación de onda larga de la superficie. Se basa también en dos placas sensoras expuestas horizontalmente, una hacia arriba y otra hacia abajo, siendo el flujo neto de radiación proporcional a la diferencia
rP
de temperatura de las placas sensoras.
Si se define el albedo o reflectividad “a” de la superficie como el cuociente entre la radiación reflejada
Bo
rra
do
y la radiación incidente sobre ella, la radiación neta Rn resulta en definitiva
Rn = (Roc,dir + Roc,dif )(1 − a) + Rol,inc − Rol,emit = K(Tu − Td )
(2.7)
donde,
Rn : Radiación neta.
Roc,dir : Radiación solar directa.
Roc,dir : Radiación solar difusa.
a: Albedo de reflexión de la superficie.
Rol,inc : Radiación de onda larga incidente.
Rol,emit : Radiación de onda larga emitida.
Tu : Temperatura de la placa expuesta hacia arriba.
Td : Temperatura de la placa expuesta hacia la superficie del terreno.
K: Constante de calibración del instrumento.
En la página web de la Dirección Meteorológica de Chile1 pueden obtenerse más detalles y fotografı́as de
la mayorı́a de los instrumentos antes señalados.
1 http://www.meteochile.gob.cl/
14
2.1.3.
Elementos de Climatologı́a y Meteorologı́a
Radiación de Onda Corta
El Sol, con una temperatura cercana a los 6000 [K] y una emisividad próxima a la de un cuerpo negro, emite
aproximadamente 56 × 1026 calorı́as por minuto. En consecuencia, la Tierra, ubicada a una distancia media
de 1.5 × 1013 [cm] del Sol, recibe en el borde exterior de su atmósfera una radiación por unidad de superficie
S=
56 × 1026
4π(1.5 × 1013 )
2
≈ 2.0 [ly/min]
(2.8)
ar
de
La unidad de intensidad de radiación es el “langley” [ly], que equivale a 1 [cal/cm2 ].
re
lim
in
La intensidad de radiación en el borde exterior de la atmósfera, S, recibe el nombre de Constante Solar,
aún cuando su constancia es sólo estadı́stica, ya que la magnitud depende de las manchas y actividad solar.
Las mediciones más exactas logradas de la constante solar mediante el uso de satélites artificiales, arrojan
el valor,
S = 1.961 ± 0.005 [ly/min]
(2.9)
El total de energı́a interceptado por la Tierra es proporcional a su proyección plana πR2 , donde R es el radio
R̄oc =
rP
de la Tierra, por lo tanto, la energı́a media repartida a través de toda la superficie del globo es
πR2 S
S
= = 0.49 [ly/min] = 706 [ly/dı́a]= 258 [Kly/año]
4πR2
4
Obviamente la distribución no es uniforme sobre toda la superficie, pues depende del ángulo de incidencia,
Bo
rra
do
de la distancia Sol-Tierra y del tiempo de exposición, variando en consecuencia en función de la época del
año y la latitud del lugar. En promedio, la energı́a recibida en las regiones ecuatoriales es del orden de 2.4
veces la energı́a recibida cerca de los polos. La Figura 2.2 muestra la distribución estacional de la radiación
de onda corta incidente en función de la latitud.
La radiación que logra llegar a la superficie terrestre, es obviamente menor a la existente en el borde
exterior de la atmósfera, ya que la atmósfera absorbe parte de la radiación, de acuerdo a la ley de absorción
de radiación,
Ix = I0 e−kx
(2.10)
donde,
I0 : Radiación en el borde exterior de la atmósfera.
x: Distancia atravesada en el medio absorbente (atmósfera).
k: Masa óptica atmosférica, función de su composición y nubosidad.
Al respecto cabe señalar que la radiación ultravioleta, altamente dañina para la salud humana, prácticamente no alcanza a llegar a la superficie terrestre producto de su absorción en la alta atmósfera principalmente
por parte del gas ozono existente en ella, situación que se ha visto revertida (sobre todo en las regiones po-
FIGURA Nº 2.2
2.1. Radiación
00
90º
N
11
INFRAROJO
60
20º
10º
90
0
NA
T I ON
OF
SU
N
900
0
800
10º
700
20º
EMISION INFRAROJO
AL ESPACIO
I
CL
30º
60
0
50
0
40
1000
40º
50º
700
800
3
0
00
20
1
60º
900
1000
EMISION CUERPO NEGRO
A 300º K
00
Vernal
LATITUD
8
0
0
40
0
50
0
60
0
re
lim
in
70
0
DE
30º
Equinox
RADIACION SOLAR EN
SUPERFICIE TERRESTRE
0
0
30
0
00
80º
5.0
10
20
50
100
90º
S
DE ONDA ( MICRONES )
JAN
FEB
MAR
APR
MAY
JUN
JUL
Month
1100
1100
0
70º
rP
0.1
0
20
ar
50
10
Winter Solstice
40º
60º
0
Equinox
50º
0
10
0
20
0
30
0
0
4
1000
0
70º
Summer Solstice
80º
SION CUERPO NEGRO
0º K
DIACION SOLAR
TRATERRESTRE
15
Autumnal
IGURA Nº 2.1
AUG
SEP
OCT
NOV
DEC
Figura 2.2: Distribución estacional de la radiación de onda corta incidente en función de la latitud. Fuente:
Bo
rra
do
Sellers (1965)
lares) en los últimos años por efectos de la acción antropogénica de contaminación atmosférica, que tiende a
reducir el contenido de ozono en la alta atmósfera.
2.1.4.
Balance de Radiación
La temperatura de la Tierra permanece en promedio constante a lo largo del tiempo. Para que esto ocurra,
es necesario que esta emita al espacio, por reflexión o emisión en onda larga, una cantidad de energı́a igual
a la que es recibida por efecto de la radiación solar.
Diversos intentos por cuantificar este intercambio de radiación, pueden resumirse en forma aproximada en
el siguiente balance de la disposición de la radiación en el sistema terrestre para un año promedio:
16
Elementos de Climatologı́a y Meteorologı́a
Radiacion solar de onda corta:
Radiación total incidente sobre el planeta: 258 [Kly/año]
258
53
13
Radiación reflejada por la atmósfera
(nubes, vapor de agua, impurezas, etc.): 66
8
51
Radiación total incidente sobre la
superficie terrestre:
141 [Kly/año]
Radiación reflejada por la superficie
127
14
Radiación absorbida en la superficie
terrestre:
127 [Kly/año]
Absorción total del planeta (51+127):
Figura 2.3: Balance anual promedio de ra-
re
lim
in
terrestre (nieve, agua, suelos, etc.):
43
14
ar
(nubes, vapor de agua, ozono, etc.):
Vapor de agua,
impurezas, ozono,
etc.
Nubes
Radiación absorbida por la atmósfera
diación solar de onda corta.
156
178 [Kly/año]
22
272
Atmósfera
403
Radiacion terrestre de onda larga:
Emisión neta de la atmósfera al espacio
exterior:
131 [Kly/año]
Emisión total del planeta:
47
178 [Kly/año]
rP
Emisión neta de la superficie terrestre:
247
294
Tierra (15 ºC)
Figura 2.4: Balance anual promedio de radiación terrestre de onda onda larga.
Bo
rra
do
De las cifras anteriores se observa que la radiación solar total absorbida por el planeta se ve compensada
por la emisión de este en onda larga, resultando un equilibrio radiativo que mantiene en equilibrio el balance
de energı́a global, y por ende la temperatura del planeta.
Sin embargo, las mismas cifras nos indican que internamente no existe un equilibrio radiativo. En efecto, la
atmósfera emite 131 [Kly/año] y sólo absorbe 51 [Kly/año] de radiación solar, presentando un enfriamiento
radiativo de 80 [Kly/año]. Con la superficie terrestre pasa lo contrario, emite 47 [Kly/año] y absorbe 127
[Kly/año], resultando una tasa de calentamiento radiativo de 80 [Kly/año].
Para mantener entonces el balance energético interno total, se requiere un traspaso de energı́a no radiativa
desde la superficie terrestre a la atmósfera, a una tasa media de 80 [Kly/año]. Los mecanismos no radiativos
de traspaso de energı́a corresponden a la evaporación de agua en la superficie y su posterior condensación
en la atmósfera (calor latente) y a la conducción y difusión de calor sensible desde la superficie terrestre a la
atmósfera (calor de convección).
Se estima que del orden de 68 [Kly/año] año son transferidas de la tierra a la atmósfera vı́a calor latente,
mientras las 12 [Kly/año] restantes son transferidas vı́a calor sensible. Considerando por último, un calor
latente de vaporización del agua, del orden de 600 [cal/gr], resulta una evaporación media anual desde la
superficie terrestre (océanos y continentes) de 113 [gr/cm2 ] o 1130 [mm] anuales. Considerando, a su vez,
2.1. Radiación
17
que el volumen de agua que almacena la atmósfera en forma de humedad es relativamente pequeño, la cifra
anterior debe corresponder además a la precipitación media anual sobre el planeta. La Tabla 2.1 muestra
una estimación, basada en datos de la UNESCO (1995), de la distribución geográfica de evaporaciones y
precipitaciones en el planeta.
Tabla 2.1: Balance hı́drico medio anual.
Precipitación [mm]
Evaporación [mm]
Pacı́fico
178.7
1,460
1,510
Atlántico
91.7
1,010
1,360
Indico
76.2
Artico
Total océanos
14.7
361.3
Continentes
Europa
10.5
Asia
43.5
Africa
30.1
Oceanı́a
9
Norteamérica
24.2
Sudamérica
17.8
Total continentes
-350
1,420
-100
361
220
141
1,271
1,400
-129
790
507
283
740
416
324
740
587
153
791
511
280
756
418
338
1,600
910
690
14
165
0
165
149.1
798
483
315
510.4
1,133
1,133
0
Bo
rra
do
Total planeta
1,320
rP
Antártica
-50
re
lim
in
Océanos:
Escorrentı́a [mm]
ar
Área 106 km2
Región
El proceso continuo de evaporación de agua desde la superficie a la atmósfera, su arrastre por parte de los
vientos y circulación atmosférica y su posterior condensación y precipitación configuran el ciclo hidrológico.
Se observa de la Tabla 2.1, que el continente sudamericano, favorecido por su posición geográfica meridional,
por su exposición abierta al Océano Pacı́fico y por las caracterı́sticas de su relieve, es el continente donde el
ciclo hidrológico se presenta más intenso. Considerando que 1 [mm] de precipitación es equivalente a 1 litro
de agua por metro cuadrado de superficie, el caudal especı́fico promedio de los rı́os del planeta alcanza un
valor del orden de 10 [l/(s · km2 )], cifra que en el caso de Sudamérica se eleva a 21.9 [l/(s · km2 )].
A partir de las cifras de las Figuras 2.3, 2.4 y Tabla 2.1 puede estimarse en forma aproximada el tiempo
de residencia del agua en los océanos, continentes y atmósfera. Una gota de agua permanece en promedio
en los océanos un tiempo del orden de 2570 años; en los continentes y casquetes polares, del orden de 309
años, mientras que en la atmósfera el tiempo de residencia promedio serı́a del orden de tan sólo 8 dı́as. En
definitiva, una gota de agua promedio demora del orden de 2900 años en completar el ciclo hidrológico.
Al respecto de todo lo anterior, cabe agregar que existen estudios asociados al cambio climático que postulan
que el equilibrio energético del planeta y actual balance de evaporaciones y precipitaciones, ha sido alterado
por la acción antropogénica del hombre al alterar la composición de los gases constituyentes de la atmósfera.
Ası́ por ejemplo, se ha detectado una disminución del contenido de ozono o disminución de la capa de este
18
Elementos de Climatologı́a y Meteorologı́a
gas en la alta atmósfera, que tiene por consecuencia un aumento de la radiación ultravioleta que alcanza
la superficie del planeta, con nefastas consecuencias para la salud humana. Por otra parte, el aumento del
contenido de anhı́drido carbónico y otras impurezas de origen antropogénico, estarı́an generando un efecto
de invernadero que traerı́a como consecuencia un calentamiento global de la atmósfera, pronosticándose
un aumento de la temperatura media en un par de grados en las próximas décadas, proceso que ya ha
manifestando algunas consecuencias. Todos estos cambios, necesariamente deben influir en algún grado, en
Temperatura y Estratificación Térmica de la Atmósfera
2.2.1.
re
lim
in
2.2.
ar
el actual régimen de precipitaciones y evaporaciones.
Distribución de Temperaturas
La temperatura es una medida o un ı́ndice de la energı́a interna de un cuerpo; en consecuencia, la distribución
y variación de temperaturas en la tierra y en la atmósfera es el resultado del balance radiativo y energético
global.
En términos promedios y globales entonces, las temperaturas disminuyen con la latitud debido al déficit
radiativo de las zonas polares. Por la misma razón, las temperaturas en la atmósfera son menores que las
temperaturas en la superficie terrestre. Como se mencionó anteriormente, el déficit radiativo de la atmósfera
rP
se ve compensado por un traspaso de calor latente y calor de convección desde la superficie terrestre. Esto
significa que la atmósfera es calentada desde su borde inferior, lo que origina en general un aumento de
temperatura en las capas más bajas y un gradual descenso de la temperatura con la altura.
En regiones marı́timas y húmedas, el traspaso de calor ocurre preferentemente en forma de calor latente,
Bo
rra
do
fenómeno que origina una mayor uniformidad térmica en superficie y una atenuación de la oscilación térmica
diaria. En regiones continentales y áridas, prevalece el traspaso de calor como calor de convección, lo que
exige un mayor recalentamiento de la superficie durante el dı́a, originando una fuerte amplitud de la oscilación
térmica diaria.
Independientemente de la magnitud de la oscilación térmica diaria en superficie, la atmósfera disminuye
gradualmente su temperatura con la altura, situación que se verifica aproximadamente dentro de los primeros 10,000 a 18,000 metros desde la superficie, dependiendo de la latitud, y definiendo un primer estrato
atmosférico inferior, denominado tropósfera , en que la temperatura disminuye a una tasa cercana a 6 o 7
[°C/km].
En las inmediaciones de la superficie de la tierra, debido al efecto del ciclo diurno del balance radiativo antes
mencionado, o a veces debido a la presencia de campos de hielo o nieve, o de condiciones micrometeorológicas
particulares, puede ocurrir que esta situación se invierta, especialmente en horas de la noche, creando zonas
en que la temperatura del aire aumenta con la altura, situación que se denomina inversión térmica. Los
gradientes térmicos en la atmósfera, como se verá más adelante, condicionan la estabilidad atmosférica, que
influye en forma importante en el desarrollo del ciclo hidrológico.
Por encima de la tropósfera, y separada de ella por la tropopausa, definida como la cota a la cual la
2.2. Temperatura y Estratificación Térmica de la Atmósfera
19
temperatura atmosférica deja de decrecer, se extiende un segundo estrato atmosférico que abarca entre
aproximadamente los 10,000 y 55,000 metros de altura, que se denomina estratósfera. En la parte baja de
la estratósfera, hasta cerca de los 30,000 metros de altura, las temperaturas son sensiblemente constantes y
del orden de –55 °C. Por sobre esta cota, se encuentra la zona donde se produce la mayor concentración de
gas ozono. Este gas, que absorbe gran parte de la radiación ultravioleta incidente, provoca un calentamiento
radiativo de la alta atmósfera, con un incremento de la temperatura con la altura, hasta llegar a un máximo
ar
cercano a los 0°C en la estratopausa o lı́mite superior de la estratósfera. Por sobre la estratósfera, se extiende
la mesósfera, hasta unos 85,000 metros de altura, capa en la cual la temperatura nuevamente desciende hasta
llegar a un mı́nimo cercano a –80°C en la mesopausa.
re
lim
in
Finalmente, la capa exterior de la atmósfera se identificará como la ionósfera, aún cuando hay otras sub-
divisiones, entendida como la zona donde el aire está tan enrarecido que los gases componentes se ionizan,
interactuando con la radiación solar. Por este proceso, el aire absorbe radiación, lo que sumado a su extraordinaria baja densidad provoca aumentos de temperatura que alcanzan en las zonas altas, hasta los
1000°C.
La Figura 2.5 muestra un perfil aproximado de la estratificación y temperaturas de la atmósfera.
200
140
120
100
Bo
rra
do
Elevación [km.s.n.m.]
160
Temperatura
Tropopausa
Estratopausa
Mesopausa
rP
180
80
60
40
20
0
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
Temperatura [°C]
40
60
80
100
Figura 2.5: Estratificación térmica de la atmósfera.
Desde el punto de vista meteorológico e hidrológico, la única capa de interés es la tropósfera, zona donde
se concentra casi el 90 % de la masa atmosférica y prácticamente el 100 % de la humedad atmosférica. En
esta zona se producen además, todos los fenómenos hidrometeorológicos.
Si consideramos el espesor de la troposfera, del orden de 10 [km], comparado con el radio de la Tierra,
de 6,400 [km], resulta que proporcionalmente, la troposfera, vista a veces como un recurso de disponibilidad
inagotable de aire, es bastante más delgada que la cáscara de una manzana.
20
2.2.2.
Elementos de Climatologı́a y Meteorologı́a
Medición de Temperaturas
Si bien hoy en dı́a existen diversos procedimientos para la medición de temperatura, tales como sensores
infrarrojos y otros, crecientemente incorporados en estaciones meteorológicas compactas, en meteorologı́a el
instrumento básico para la medición de la temperatura del aire, salvo en regiones muy frı́as, sigue siendo el
termómetro de mercurio.
ar
La temperatura del aire en superficie se mide por convención, a una altura de 1.50 metros desde el suelo con
termómetros ubicados en una caseta meteorológica de madera provista de celosı́as con sus puertas orientadas
hacia el sur en el hemisferio sur, a fin de evitar el ingreso de radiación solar directa sobre los instrumentos.
re
lim
in
Las instalaciones básicas incluyen un termómetro de máxima, que es básicamente igual a un termómetro
clı́nico, provisto de un estrechamiento en el bulbo que provoca que la medición mantenga el valor máximo de
temperatura registrado. Además, incluyen un termómetro de mı́nima, provisto de un dispositivo que permite
registrar la temperatura mı́nima alcanzada. De esta manera, efectuando una sola medición diaria, se puede
establecer las temperaturas máximas y mı́nimas alcanzadas en las 24 horas anteriores.
Adicionalmente la estación puede incluir un termógrafo o instrumento inscriptor que registra mecánica o
digitalmente, la variación de la temperatura durante el dı́a, obteniéndose un termograma del cual es posible
determinar la temperatura media del dı́a, además de la hora a la cual ocurrieron las temperaturas máximas
y mı́nimas diarias. En general los termógrafos son de menor precisión que los termómetros de mercurio,
rP
por lo que en caso de discrepancia con estos últimos debe prevalecer el dato medido por los termómetros
de mercurio y debe corregirse los registros del termograma, por desplazamiento del origen, por un factor
de escala o ambos, de manera de hacer coincidir los valores máximos y mı́nimos del termograma, con los
registros de máxima y mı́nima de los termómetros de mercurio.
Bo
rra
do
En ausencia de un termógrafo, es posible lograr una aceptable estimación de la temperatura media diaria
mediante la expresión
T =
Tmáx + Tmı́n + T08 + T16
4
(2.11)
donde T08 y T16 son las temperaturas a las 8 de la mañana y 4 de la tarde respectivamente.
En ausencia de estos últimos datos, sólo cabe estimar la temperatura media como el promedio entre la
máxima y la mı́nima.
Para la medición de la temperatura del aire en altura se recurre normalmente a globosondas o radiosondas
que son lanzadas normalmente una o dos veces al dı́a, las cuales van registrando la temperatura ambiente a
medida que ascienden. La información registrada por las naves marı́timas y aéreas, también contribuye a la
medición de la temperatura del aire.
En los últimos años, con el creciente uso de satélites meteorológicos, es posible evaluar mediante radiotermómetros las temperaturas en altura, en particular, la de los estratos nubosos.
2.3. Humedad Atmosférica
2.3.
2.3.1.
21
Humedad Atmosférica
Leyes Básicas
La atmósfera está constituida por una mezcla de gases, fundamentalmente nitrógeno y oxı́geno, a los que se
agregan algunos componentes menores, entre los que destacan por su importancia, el anhı́drido carbónico y
ar
el vapor de agua, por lo que le es aplicable la ley de presiones parciales de gases o Ley de Dalton.
De acuerdo a esta ley, la presión total ejercida por una mezcla de gases es igual a la suma de las presiones
re
lim
in
parciales ejercidas por cada uno de sus componentes:
pt =
n
X
pi
(2.12)
1
donde,
pt : Presión total de la mezcla.
pi : Presión parcial del componente i.
n: Número de gases de la mezcla.
Desde el punto de vista hidrometeorológico, donde el componente de mayor interés es el vapor de agua,
la atmósfera es posible visualizarla como la mezcla de dos componentes, el vapor de agua y el aire seco que
Bo
rra
do
expresar de la forma,
rP
contiene al resto de todos los constituyentes de la mezcla. De acuerdo a esto, la ley de Dalton se puede
pt = pd + e
(2.13)
donde,
pd : Presión parcial del aire seco.
e: Presión de vapor de agua.
Para la mayorı́a de las aplicaciones prácticas, se puede aceptar que tanto el aire seco como el vapor de
agua se comportan como gases perfectos, por lo que les es aplicable la Ley de los Gases Perfectos.
De acuerdo a esta ley, en un volumen V ocupado por un gas ideal, se cumple que
p · V = n · R∗ · T
donde,
p: Presión ejercida por el gas.
n: Número de moles contenidos en el volumen.
T : Temperatura absoluta del gas.
R∗ : Constante universal de los gases= 8.3144 × 107 [erg/mol· K] =1.987 [cal/mol· K].
(2.14)
22
Elementos de Climatologı́a y Meteorologı́a
Dividiendo por la masa M de gas contenida en el volumen,
p·V
n · R∗ · T
=
M
M
(2.15)
El término V /M , volumen por unidad de masa, recı́proco de la densidad, es el volumen especı́fico α,
mientras la masa dividida por el número de moles, M/n es el peso molecular, m.
o
R∗ · T
m
(2.16)
re
lim
in
p·α=
ar
Ası́, La ecuación queda,
p·α=R·T
(2.17)
donde R = R∗ /m es la constante particular de cada gas.
2.3.2.
Ley de Clausius - Clapeyron
rP
La cantidad de agua que puede existir en estado gaseoso en un volumen dado, queda limitada por la presión
de vapor saturante, la cual es función única de la temperatura y se expresa mediante la relación teórica pero
es
es0
Bo
rra
do
aproximada,
ln
mv L
=
R∗
1
1
−
T0
T
(2.18)
donde,
es : Presión de vapor saturado, en [Hpa].
mv : Peso molecular del vapor de agua = 18 [gr/mol].
L: Calor latente de vaporización o sublimación, [cal/gr].
T : Temperatura absoluta, en [K].
Los valores es0 y T0 corresponden a algún punto conocido de la curva. Para el punto triple del agua, 0 [°C]
o 273 [K] se ha determinado experimentalmente que es0 = 6.11 [Hpa].
Luego, la ley de Clausius - Clapeyron se puede expresar como,
ln
e m L 1
1
s
v
=
−
6.11
R∗
273 T
Al respecto, cabe recordar que una atmósfera fı́sica vale
1 [atm] = 1.013 [bar] = 1.013 × 105 [pa] = 1.013 × 106 [dinas/cm2 ]
(2.19)
2.3. Humedad Atmosférica
23
luego,
1 [mb] = 100 [pa] = 1 [Hpa]
La unidad usual de presión en meteorologı́a es el hectopascal [Hpa] o milibar [mb].
En unidades técnicas, 1 [kg/cm2 ]=9.81 [N/cm2 ]=9.81 × 104 [pa], luego
⇓
re
lim
in
1 [Hpa] = 0.0102 [m.c.a.]
ar
1 [atm] = 1013 [Hpa] = 1.033 [kg/cm2 ] = 10.33 [m.c.a.]
Con respecto al calor latente de vaporización, o calor necesario para evaporar 1 gr de agua, este es ligeramente
dependiente de la temperatura y puede expresarse mediante la relación aproximada,
Lv = 597.25 − 0.566 · T
(2.20)
donde el calor latente de vaporización (Lv ) se expresa en [cal/gr] y la temperatura (T ) en [°C].
Si el cambio de estado es de sólido a gas, se debe agregar el calor de fusión del agua (Lf = 80 [cal/gr]),
rP
por lo que el calor latente de sublimación se puede expresar aproximadamente mediante la relación,
Ls = 677.04 − 0.062 · T
(2.21)
Bo
rra
do
Para muchos cálculos aproximados, basta suponer valores constantes de 600 y 680 [cal/gr], aproximadamente.
Una fórmula práctica de buen ajuste para el cálculo de la presión de vapor saturado, viene dada por la
expresión,
es = 6.11 · e T +239
17.4T
(2.22)
donde es está en [Hpa] y T en [°C].
2.3.3.
Variables para Cuantificar la Humedad Atmosférica
Diversas variables se utilizan en meteorologı́a para cuantificar el contenido de vapor de agua o humedad
atmosférica. Entre ellas podemos distinguir:
Humedad absoluta (ρv ): Se define como la masa de vapor contenida por unidad de volumen de aire por
lo que es equivalente a la densidad de vapor de agua.
ρv =
donde ρv se expresa en [gr/cm3 ].
Mv
V
(2.23)
24
Elementos de Climatologı́a y Meteorologı́a
Razón de mezcla (ω): Se define como la razón o cuociente entre la masa de vapor de agua y la masa de
aire seco contenido en un volumen dado.
ω=
Mv
ρv
=
Md
ρd
(2.24)
donde ω se expresa como [gr vapor/gr aire seco] y ρd es la densidad del aire seco en [gr/cm3 ].
y al aire seco independientemente, se obtiene,
re
lim
in
R∗
e
=
·T
ρv
mv
ar
La densidad es el recı́proco del volumen especı́fico, luego aplicando la ley de los gases al vapor de agua
R∗
pd
=
·T
ρd
md
(2.25)
(2.26)
Como la temperatura en la mezcla de ambos gases es la misma, dividiendo resulta,
ω=
ρv
mv e
=
·
ρd
md pd
(2.27)
El peso molecular del aire seco es variable, dependiendo de la composición del mismo, pero se acepta
rP
para un aire seco “normal” el valor md = 29 [gr/mol], por lo que puede definirse la razón,
ε=
mv
= 0.622
md
(2.28)
Bo
rra
do
Como la presión del aire seco es,
pd = pT − e
(2.29)
e
pT − e
(2.30)
Reemplazando, se obtiene finalmente,
ω=ε
Esta última expresión permite evaluar la razón de mezcla en función de la presión total y la presión de
vapor del aire. El factor ε = 0.622 es de frecuente ocurrencia en fórmulas meteorológicas.
Humedad especı́fica (q): Se define la humedad especı́fica q, como el cuociente entre la masa de vapor y
la masa total de aire contenidas en un volumen dado,
q=
Mv
Mv
ρv
=
=
MT
Mv + Md
ρv + ρd
(2.31)
donde q se expresa como [gr vapor/gr aire humedo]. Además, se tiene que,
1
ρd
1
=
+1= +1
q
ρv
ω
(2.32)
2.3. Humedad Atmosférica
25
de donde,
q=
ω
1+ω
(2.33)
Haciendo un desarrollo análogo al anterior, en función de la ley de los gases, se obtiene,
ε·e
0.622 · e
=
pT − (1 − ε)e
pT − 0.378 · e
(2.34)
ar
q=
Como la presión de vapor es generalmente mucho menor que la presión total del aire, los valores
re
lim
in
numéricos de la razón de mezcla y de la humedad especı́fica, siendo la razón de mezcla ligeramente
mayor, son muy parecidos, por lo que habitualmente ambas variables se confunden.
Humedad relativa (h): Se define la humedad relativa h, normalmente expresada como porcentaje, como
el cuociente entre la presión de vapor existente en el aire y la presión de vapor saturado correspondiente
a su temperatura,
h=
e
ω
q
· 100 ≈
· 100 ≈
· 100
es
ωs
qs
[ %]
(2.35)
rP
Siendo la humedad relativa una de las variables más frecuentemente utilizadas para expresar la humedad
del aire, de acuerdo a su definición, sólo tiene valor como variable cuantitativa de la humedad, si se
conoce además, el valor de la temperatura del aire
Bo
rra
do
Temperatura de punto de rocı́o o Punto de Rocı́o (TR ): Esta variable, con dimensiones de temperatura,
se define como la temperatura a la que habrı́a que enfriar el aire, manteniendo constante su presión de
vapor, hasta llegar a saturar el aire. De acuerdo a esta definición, un aire saturado tiene una temperatura
de rocı́o igual a su temperatura real. La diferencia entre la temperatura real y la temperatura de rocı́o
es una medida indirecta de la “sequedad” del aire. Mientras más seco el aire, más baja su temperatura
de rocı́o. En el diagrama presión - temperatura de la Figura 2.6, se visualizan los tres estados en los
que se puede encontrar el agua: Vapor, agua lı́quida y hielo, en función a su presión real relativa a la
presión de vapor saturado. Si una partı́cula de vapor con presión e < es y temperatura T , es enfriada
manteniendo e constante, la partı́cula se saturará en el punto en que se cumpla,
e = es (TR )
(2.36)
donde es (T R) es la presión de vapor saturado a la temperatura de rocı́o.
En la Figura 2.6 una parcela de aire con temperatura de 30[ºC] y presión de vapor de 11 [Hpa], tiene
una temperatura de punto de rocı́o de 8.36 [ºC].
Visto de otra manera entonces, la temperatura de rocı́o es la temperatura, cuya presión de vapor
saturado coincide con la presión de vapor real del aire.
Presión de vapor saturado
es(hielo)
es(agua)
TR
T
26
Elementos de Climatologı́a y Meteorologı́a
Presión de vapor saturado
es(hielo)
es(agua)
TR
T
1000
T; 8.36
T; 30
10
100
T; 8.36
1
ar
Presión de vapor (Hpa)
Presión de vapor (Hpa)
100
1000
T; 30
0.1
-40
-20
0
1
20
re
lim
in
10
40
60
80
100
Temperatura ºC
Figura 2.6: Diagrama presión de vapor - temperatura.
0.1
-40
-20
2.3.4.
0
20
40
60
80
100
Medición de la Humedad Atmosférica
Temperatura ºC
Los instrumentos normalmente utilizados para medir la humedad atmosférica son el psicrómetro, el higrógrafo
o higristores.
rP
y una serie de otros instrumentos de aplicación más bien industrial, que podrı́amos clasificar como higrómetros
a) Psicrómetro: El psicrómetro es un instrumento basado en el principio del balance calórico. Consiste
básicamente en dos termómetros de mercurio por los cuales se hace pasar una corriente del aire cuya
Bo
rra
do
humedad se desea determinar. Uno de los termómetros se deja con su bulbo seco, con lo cual mide la
temperatura real del aire que por él circula, denominada temperatura de bulbo seco. El otro termómetro
se envuelve en una gasa o muselina húmeda, razón por la cual alcanza una temperatura de equilibrio
menor que la de bulbo seco, producto del enfriamiento provocado por la evaporación del agua contenida
en la muselina húmeda. A la temperatura de equilibrio se le denomina temperatura de bulbo húmedo
(Tw ).
Si no hay aporte externo de calor, la masa de aire debe disminuir su energı́a interna en una magnitud
igual al calor latente entregado para la evaporación del agua de la muselina; luego, si el aire se aproxima
a la muselina con una temperatura de bulbo seco T y una razón de mezcla ω, y sale con una temperatura
Tw y razón de mezcla ω 0 , un balance calórico entrega la ecuación,
C · ∆T = Lv · ∆ρv
(2.37)
donde C es la capacidad calorı́fica del aire en [cal/gr] y Lv es el calor latente de vaporización.
La ecuación (2.37) expresada en función de los calores especı́ficos a presión constante de los componentes
de la masa de aire, resulta
2.3. Humedad Atmosférica
27
(ρd · cp + ρv · cpv ) · (T − Tw ) = Lv · (ρ0v − ρv )
(2.38)
dividiendo por la densidad del aire seco ρd , se obtiene
donde,
re
lim
in
cp : Calor especı́fico a presión constante del aire seco.
(2.39)
ar
(cp + ω · cpv ) · (T − Tw ) = Lv · (ω 0 − ω)
cpv : Calor especı́fico a presión constante del vapor de agua.
Para ω 0 se acepta que es la razón de mezcla saturada correspondiente a la temperatura de bulbo húmedo
Tw . En consecuencia, midiendo las temperaturas de bulbo seco T y de bulbo húmedo Tw , por ser el calor
especı́fico del aire seco, el calor especı́fico del vapor de agua y el calor latente de vaporización, constantes
conocidas, y la razón de mezcla saturada ω 0 una función conocida de la temperatura de bulbo húmedo y
de la presión barométrica del lugar, es posible calcular la razón de mezcla del aire ω. La ecuación (2.39)
es conocida como la ecuación psicrométrica.
Para fines prácticos de medición de la humedad atmosférica, existen tablas, llamadas tablas Psicrométri-
rP
cas, que permiten obtener directamente la humedad relativa, presión de vapor del aire u otra variable
relacionada, entrando a las tablas con la temperatura del aire T , la depresión de bulbo húmedo (T − Tw )
y la presión barométrica del lugar.
Bo
rra
do
La circulación del aire a través de la muselina se logra en los instrumentos más simples, haciendo girar
en el aire el instrumento, provisto de una cuerda o cadena; instrumentos más sofisticados, (Psicrómetro
Assman) vienen provistos de un ventilador que fuerza la circulación del aire a través de la muselina.
b) Higrógrafo de cabellos: Un instrumento de uso más sencillo aún cuando bastante menos preciso, es el
higrógrafo de cabellos, basado en la propiedad higroscópica observada de los cabellos (humanos), de variar
su longitud por efecto de los cambios de la humedad del aire. Estas variaciones de longitud, amplificadas
por un sistema de palancas conectadas a un puntero, se registran sobre una banda previamente calibrada
que se monta sobre un tambor que rota en el tiempo. Las bandas o papel de higrogramas vienen calibrados
en términos de la humedad relativa, lográndose la medición directa de esta variable, mientras se trabaje
dentro de un rango especificado por el fabricante. Para temperaturas extremas (muy frı́as) deben corregirse
los registros de acuerdo a las instrucciones del fabricante.
La forma rutinaria de medir la humedad atmosférica es el registro continuo en base a un higrógrafo de
cabellos, verificando periódicamente con mediciones puntuales mediante psicrómetro, que permita corregir
errores de desplazamiento de escala y de amplitud de las oscilaciones.
Es frecuente la existencia de un instrumento que mide simultáneamente en una misma banda, humedad
relativa y temperatura del aire. En este caso el instrumento pasa a llamarse termohigrógrafo o higrotermógrafo.
28
Elementos de Climatologı́a y Meteorologı́a
c) Higristores: Existen además una serie de instrumentos que se llaman genéricamente higrómetros o higristores, que permiten medir la humedad atmosférica, basados en una serie de materiales de caracterı́sticas
higroscópicas que varı́an sus propiedades fı́sicas o eléctricas, en función del grado de humedad. La ventaja
de estos instrumentos, es que facilitan el registro digital de la información, aún cuando su precisión es
baja.
Hoy en dı́a son cada vez más frecuentes, las estaciones meteorológicas compactas, que permiten medir no
ar
sólo la humedad relativa, sino muchas de las otras variables meteorológicas en forma digital, información
2.4.
re
lim
in
que se puede almacenar en un “datalogger” o teletransmitir en forma remota.
Elementos de Estática y Termodinámica Atmosférica
Para lograr la comprensión de los procesos de transferencia de masa y energı́a que ocurren entre la atmósfera,
la hidrósfera y la litósfera, es necesario tener algunos conceptos elementales de estática y termodinámica
atmosférica.
Aún cuando los ciclos termodinámicos y procesos de movimiento y circulación de la atmósfera son extraordinariamente complejos, en particular en la tropósfera, que es la capa de mayor interés para efectos
hidrometeorológicos, es posible abordar su estudio en base a una serie de simplificaciones que permiten
2.4.1.
rP
obtener resultados suficientemente precisos para los efectos de su aplicación práctica.
Hidrostática de la Atmósfera
Bo
rra
do
Si despreciamos los movimientos de la atmósfera, y la consideramos en reposo, debe cumplirse en ella la
ecuación de la ley hidrostática
z+
p
= Cte.
ρ·g
(2.40)
Para los efectos meteorológicos, conviene expresar esta ley en su forma diferencial, es decir:
dp = −ρ · g · dz
(2.41)
Como la densidad ρ de la atmósfera no es constante con la altura, la ecuación hidrostática sólo es integrable
con la ayuda de la ley de los gases perfectos y suponiendo ciertos modelos simplificados o situaciones especiales.
Recordando que la densidad es el recı́proco del volumen especı́fico y reemplazando la ecuación (2.17) en la
ecuación (2.41), se obtiene,
dp
g
=
dz
p
R·T
(2.42)
2.4. Elementos de Estática y Termodinámica Atmosférica
29
Esta ecuación es analı́ticamente integrable para ciertos modelos simplificados de estratificación térmica en la
atmósfera.
2.4.2.
Atmósfera Isotérmica
inmediata y resulta,
p = p0 · e− R·T (z−z0 )
re
lim
in
g
ar
Si la temperatura de la atmósfera se supone constante en la vertical, la integración de la ley hidrostática es
(2.43)
Esta situación corresponde aproximadamente a la atmósfera real en la zona de la estratósfera y ha sido
utilizada para definir la “estratósfera normal”, adoptando los valores p0 = 234.53 [Hpa], z0 = 10.769 [km] y
T = −55°C, hasta los 32,000 metros de altura.
2.4.3.
Atmósfera de Gradiente Térmico Constante
Si se supone que la temperatura de la atmósfera varı́a en forma lineal en la vertical de acuerdo a la expresión,
rP
T = T0 − γ · z
(2.44)
donde γ es un gradiente constante de temperatura, reemplazando la ecuación (2.44) en la ecuación (2.42), se
obtiene
Bo
rra
do
g
dz
dp
=
p
R (T0 − γ · z)
(2.45)
de cuya integración resulta,
p = po
T
T0
g/(Rγ)
(2.46)
Esta situación corresponde aproximadamente a la atmósfera real en la zona de la tropósfera y ha sido adoptada
para definir la “tropósfera normal”, entre 0 y 10,760 metros de altitud, adoptando los valores γ = 6.5 [°C/km]
y T0 = 15°C.
2.4.4.
Gradiente Adiabático Seco
En diversas aplicaciones prácticas, interesa conocer los gradientes térmicos que se producen en la atmósfera,
producto de procesos adiabáticos o sin incorporación de calor externo.
De acuerdo a la primera ley de la termodinámica, el calor incorporado a un sistema es igual a la variación
de su energı́a interna más el trabajo efectuado por el sistema. Expresada en forma diferencial y por unidad
de masa, se tiene:
30
Elementos de Climatologı́a y Meteorologı́a
dh = du + dw = du + p · dα
(2.47)
donde,
du: Variación de la energı́a interna por unidad de masa.
presión por la variación del volumen especı́fico.
Definiendo el calor especı́fico a volumen constante como
dh
dt
re
lim
in
cv =
resulta para un gas perfecto que
ar
dw: Trabajo por unidad de masa, que en el caso de la expansión de un gas corresponde al producto de la
(2.48)
α=cte
du = cv · dT
(2.49)
dh = cv · dT + p · dα
(2.50)
Diferenciando la ley de los gases perfectos, se obtiene
p · dα = R · dT + α · dp
(2.51)
rP
luego, remplazando la ecuación (2.51) en la ecuación (2.50), se obtiene
dh = (cv + R) · dT − α · dp
Bo
rra
do
dh = cp · dT − α · dp
(2.52)
donde cp = cv + R: calor especı́fico a presión constante, igual a 0,24 [cal/gr ·◦ K] para el aire seco.
Ahora, si un proceso es adiabático, dh = 0 y se cumple para un gas perfecto que
cp dT = αdp
(2.53)
Por otra parte, de la ley hidrostática sabemos que,
dp = −ρ · g · dz
de donde resulta finalmente que en un proceso adiabático,
α·ρ·g
g
dT
=−
= − = Cte.
dz
cp
cp
(2.54)
El gradiente de temperatura constante Γd , denominado gradiente adiabático seco, cuyo valor numérico vale
-9.76 [°C/km], rige aproximadamente el cambio de temperatura de una parcela de aire que se desplaza verticalmente en la atmósfera en forma adiabática, es decir, sin quitarle o agregarle calor. Como los movimientos
2.4. Elementos de Estática y Termodinámica Atmosférica
31
verticales del aire en la atmósfera son en general rápidos, el tiempo para intercambiar calor externamente es
pequeño, y el concepto es generalmente aplicable a situaciones reales.
Por último, reemplazando el valor del gradiente adiabático seco en la ecuación de la atmósfera de gradiente
de temperatura constante, ecuación (2.46), se obtiene la denominada Ley de Poisson, que rige aproximadamente los procesos adiabáticos en la atmósfera.
T
T0
cp /R
(2.55)
Gradiente Adiabático Húmedo
re
lim
in
2.4.5.
ar
p
=
p0
Las expresiones desarrolladas en el acápite anterior son válidas para un aire ideal y seco. Sin embargo,
considerando que el contenido de vapor de agua de un aire húmedo es siempre una fracción bastante pequeña
de la masa total de aire, su efecto sobre la tasa de enfriamiento es despreciable y es posible utilizar en
la práctica el gradiente adiabático determinado para el aire seco, para el aire real con algún contenido de
humedad. Sin embargo, cuando debido al enfriamiento, el aire alcanza la temperatura de punto de rocı́o y
llega al nivel de saturación, lo anterior deja de ser válido. En efecto, cualquier enfriamiento adicional del aire
bajo el punto de rocı́o, provocará la condensación del exceso de vapor de agua, el cual liberará su calor latente
de condensación que se transformará en calor sensible y que se traspasará a la masa de aire, produciendo una
rP
tasa de enfriamiento menor que en el caso de un aire seco o un aire húmedo no saturado.
El gradiente adiabático en condiciones de saturación se denomina gradiente adiabático húmedo, que deja
de ser constante, siendo función de la presión y la temperatura del aire.
Bo
rra
do
Puede demostrarse, con un desarrollo similar al anterior y haciendo uso de la definición de razón de mezcla
y la ley de Clausius - Clapeyron para cuantificar la cantidad de vapor de agua condensado, que el gradiente
adiabático húmedo queda expresado por la relación,


L ω
dT
g  1 + Rd Ts 

=− 
2
dz
cp 1 + cεLR Tωs2
p
(2.56)
d
donde,
L: Calor latente de condensación.
Rd : Constante del aire seco.
ωs : Razón de mezcla de saturación correspondiente a la presión y temperatura del aire (mv /md = 0.622).
T : Temperatura absoluta del aire.
La expresión entre paréntesis de la ecuación (2.56) siempre es menor que la unidad.
El desarrollo para derivar la expresión anterior, desprecia el calor aportado por la fase lı́quida condensada, es
decir, supone que toda el agua lı́quida precipita, desapareciendo del sistema. En estricto rigor, en consecuencia,
el proceso no es exactamente adiabático y se denomina más apropiadamente a este gradiente como “gradiente
pseudo adiabático húmedo”. Numéricamente no es muy diferente al gradiente adiabático húmedo propiamente
32
Elementos de Climatologı́a y Meteorologı́a
tal, y considerando que la situación real de la atmósfera en la naturaleza será una situación intermedia entre
ambos extremos, se utiliza en la práctica el gradiente pseudo adiabático húmedo como el gradiente térmico
de la atmósfera en procesos adiabáticos bajo condiciones de saturación.
En la Tabla 2.2 se indican algunos valores del gradiente pseudo adiabático húmedo para distintas condiciones de temperatura y presión atmosférica. Se observa de la tabla, que a medida que el aire se enfrı́a
gradiente pseudo adiabático húmedo se aproxima al gradiente adiabático seco.
ar
o aumenta su presión barométrica, con la consiguiente disminución de la razón de mezcla de saturación, el
Tabla 2.2: Gradiente pseudo adiabático húmedo [ºC/km].
[°C]
-20
0
20
2.4.6.
Estabilidad Atmosférica
Presión [Hpa]
re
lim
in
Temperatura
1000
700
500
8.6
8.2
7.8
6.5
5.8
5.1
4.3
3.7
3.3
El método más simple para establecer las condiciones de estabilidad atmosférica es el llamado “método de
la parcela de aire”, que puede desarrollarse sin siquiera hacer uso formal de las matemáticas. El método, sin
exactamente en la práctica:
rP
embargo, no es rigurosamente exacto, ya que se basa en dos suposiciones simplificatorias que no se cumplen
i) Cuando una parcela de aire se mueve, no existe un movimiento compensatorio del ambiente para llenar
Bo
rra
do
el vacı́o dejado por la parcela.
ii) La parcela, al moverse, no se mezcla con el ambiente y por lo tanto, mantiene su identidad.
Si bien la primera simplificación introduce errores que en general son menores, la segunda simplificación
normalmente inhabilita el uso del método para la obtención de resultados cuantitativos, ya que las parcelas
al desplazarse sufren una difusión y mezcla de sus propiedades con el ambiente que las rodea.
Consideremos una atmósfera en equilibrio hidrostático con un cierto gradiente de temperatura −dT /dz =
Cte. Si una parcela de aire está inicialmente en equilibrio con su ambiente, es decir, a igual presión, densidad
y temperatura que el aire que la rodea, permanecerá “flotando” en él. Supongamos ahora que por efecto de
un impulso externo, la parcela es puesta en movimiento hacia arriba. Si este movimiento es lo suficientemente
rápido, como de hecho ocurre en la práctica, tal que el proceso sea adiabático, la parcela se irá enfriando a
medida que asciende, con un gradiente igual al gradiente adiabático seco, Γd , si no está saturada o con un
gradiente pseudo adiabático húmedo, Γs , en caso contrario. Considerando que el gradiente adiabático seco
es siempre mayor, en valores absolutos, que el gradiente adiabático húmedo, y como la presión de la parcela
tenderá a equilibrarse rápidamente con la del ambiente, existirán cinco situaciones posibles, dependiendo del
valor del gradiente de temperatura γ de la atmósfera:
2.4. Elementos de Estática y Termodinámica Atmosférica
33
I. Si γ > Γs, la parcela, al ascender, sea según el gradiente adiabático seco o húmedo, estará siempre a una
temperatura más baja que el ambiente que la rodea; en consecuencia, será más densa y adquirirá una
aceleración contraria al sentido del movimiento que tenderá a devolverla a su punto de origen. Igual
efecto se produce si el desplazamiento inicial hubiese sido hacia abajo. Esta condición representa lo que
se denomina una atmósfera absolutamente estable o de inversión térmica.
En la Figura 2.7 se presentan los ascensos posibles de la parcela de aire, dependiendo de la condición
re
lim
in
ar
inicial de equilibrio.
Saturación
Saturación
Parcela de
Parcela de
aire saturada
aire saturada
Parcela de
aire de aire
Parcela
no saturada
no saturada
(a) Parcela de aire inicialmente no saturada.
(b) Parcela de aire inicialmente saturada.
rP
Figura 2.7: Diagrama termodinámico atmósfera absolutamente estable (γ > Γs ).
II. Si γ = Γs, tenemos una condición lı́mite, la atmósfera será estable mientras no esté saturada inicialmente (Figura 2.8a). En caso contrario, (condiciones de saturación, Figura 2.8b), la parcela al ascender,
estará en todo momento a la misma temperatura que el ambiente, no experimentará efectos de flotación
Bo
rra
do
o boyancia en ningún sentido y tenderá a continuar su movimiento en forma uniforme e indefinida. Esta
condición se denomina atmósfera estable seca o neutra saturada.
Saturación
Saturación
Parcela de
aire de aire
Parcela
no saturada
no saturada
(a) Parcela de aire inicialmente no saturada.
Parcela de
Parcela de
aire saturada
aire saturada
(b) Parcela de aire inicialmente saturada.
Figura 2.8: Diagrama termodinámico atmósfera estable seca o neutra saturada (γ = Γs ).
III. Si Γd < γ < Γs, la parcela al ascender permanecerá más frı́a que el ambiente si no está saturada inicialmente, siendo en consecuencia, la atmósfera estable. Sin embargo, si el impulso inicial dado a la parcela
34
Elementos de Climatologı́a y Meteorologı́a
es suficientemente intenso, como para que pase más allá de su punto de saturación, continuará ascendiendo por el gradiente adiabático húmedo, pudiendo alcanzar y sobrepasar la temperatura del ambiente.
En este caso, la parcela será más liviana que el aire que la rodea y las fuerzas hidrostáticas tenderán
a acelerar indefinidamente su movimiento. Por ultimo, si la parcela de aire inicialmente se encuentra
saturada, debido al impulso inicial tenderá a acelerar indefinidamente su movimiento, ya que, como
ascenderá por el gradiente adiabático húmedo, estará en todo momento a una mayor temperatura que
ar
la del ambiente. Esta situación se denomina atmósfera condicionalmente inestable.
En la Figura 2.9 se presentan los ascensos posibles de la parcela de aire, dependiendo de la condición
re
lim
in
inicial de equilibrio.
Saturación
Saturación
Parcela de
aire de aire
Parcela
no saturada
no saturada
rP
(a) Parcela de aire inicialmente no saturada.
Parcela de
Parcela de
aire saturada
aire saturada
(b) Parcela de aire inicialmente saturada.
Figura 2.9: Diagrama termodinámico atmósfera condicionalmente inestable (Γd < γ < Γs ).
IV. Si γ = Γd, tenemos una nueva condición lı́mite; si la parcela no se encuentra inicialmente saturada, se
Bo
rra
do
mantendrá a la misma temperatura que el ambiente a medida que asciende y por lo tanto en equilibrio
indiferente, mientras no se sature. Una vez saturada, la atmósfera se hará inestable. Esta situación se
denomina atmósfera neutra seca o inestable saturada.
En la Figura 2.10 se presentan los ascensos posibles de la parcela de aire, dependiendo de la condición
inicial de equilibrio.
Saturación
Saturación
Parcela
de aire
Parcela
de aire
no saturada
no saturada
(a) Parcela de aire inicialmente no saturada.
Parcela
de de
Parcela
aireaire
saturada
saturada
(b) Parcela de aire inicialmente saturada.
Figura 2.10: Diagrama termodinámico atmósfera neutra seca o inestable saturada (γ = Γd ).
2.4. Elementos de Estática y Termodinámica Atmosférica
35
V. Finalmente, si γ < Γd , la parcela, al ascender, alcanzará en todo momento temperaturas más altas
que el ambiente, será más liviana y las fuerzas hidrostáticas tenderán a acelerar indefinidamente su
movimiento. Esta condición corresponde a lo que se denomina atmósfera absolutamente inestable.
En la Figura 2.11 se presentan los ascensos posibles de la parcela de aire, dependiendo de la condición
ar
inicial de equilibrio.
re
lim
in
Saturación
Saturación
Parcela
de de
Parcela
aireaire
saturada
saturada
Parcela
de aire
Parcela
de aire
no saturada
no saturada
(a) Parcela de aire inicialmente no saturada.
(b) Parcela de aire inicialmente saturada.
Figura 2.11: Diagrama termodinámico atmósfera absolutamente inestable (γ < Γd ).
En resumen, se tiene:
rP
En todas las desigualdades anteriores, los gradientes llevan implı́cito su signo, que es normalmente negativo.
Si
γ > Γs
: Atmósfera absolutamente estable.
Si
γ = Γs
: Atmósfera estable seca o neutra saturada.
Si
Γd < γ < Γs
Si
γ = Γd
: Atmósfera neutra seca o inestable saturada.
Si
γ < Γd
: Atmósfera absolutamente inestable.
Bo
rra
do
: Atmósfera condicionalmente inestable.
Considerando los gradientes térmicos de la atmósfera standard o normal, se tiene que la troposfera, con
un gradiente γ promedio de 6.5 [°C/km], presenta normalmente caracterı́sticas condicionalmente inestables;
la estratosfera, por otra parte, con un gradiente térmico nulo en su estrato inferior, presenta caracterı́sticas
absolutamente estables, lo que significa la ausencia de turbulencia y un movimiento del aire estratificado,
que le da el nombre al estrato, constituyendo además una barrera impenetrable para las inestabilidades que
suelen presentarse en la troposfera y limitando a ella todos los fenómenos de tipo hidrometeorológico.
En meteorologı́a, dependiendo de su objetivo, se utilizan diversos tipos de diagramas termodinámicos, en
que las cotas se reemplazan por alturas geopotenciales o niveles de presión atmosférica, utilizándose además,
escalas logarı́tmicas para linealizar algunas variables.
Abordando el problema con un enfoque fı́sico matemático, aún cuando con las mismas suposiciones simplificatorias que en el análisis anterior, de acuerdo a la primera ley de Newton,
X
Fi = m · a
(2.57)
36
Elementos de Climatologı́a y Meteorologı́a
Para una parcela de aire de volumen V que mantiene su identidad, en movimiento dentro de una atmósfera
en reposo, las fuerzas actuantes sobre ella serán su propio peso (P ), el empuje (E) y las fuerzas de roce (R),
fuerzas que se pueden representar por las ecuaciones,
(2.58)
E = ρa gV
(2.59)
R = ρa gcD A
ar
P = ρp gV
v|v|
2g
(2.60)
ρa g − ρp g −
re
lim
in
Suponiendo una parcela esférica y expresada por unidad de volumen, la ley de Newton queda:
3 cD
dv
dv dz
dv
ρa v|v| = ρp a = ρp
= ρp
= ρp v
4D
dt
dz dt
dz
(2.61)
Suponiendo equilibrio de presiones y substituyendo las densidades por temperaturas en base a la ley de los
gases perfectos se obtiene,
g
3 cD Tp
dv
Tp
−1 −
v|v| = v
Ta
4 D Ta
dz
(2.62)
rP
Si el proceso es adiabático, Tp = Tp0 − Γ · z y la ecuación queda,
g
Tp0 − Ta − Γ · z
Ta
−
3 cD Tp0 − Γ · z
dv
v|v| = v
4D
Ta
dz
(2.63)
La ecuación anterior podrı́a integrarse, al menos en forma numérica, si se conoce el perfil de temperaturas
Bo
rra
do
del aire en la vertical, Ta = f (z).
Despreciando el roce y suponiendo una atmósfera isotérmica, la integración es directa, resultando,
v=
Como v =
dv
dz ,
r
v02 + 2g
Tp0 − Ta
Γ
z − g z2
Ta
Ta
(2.64)
la ecuación anterior es a su vez integrable, resultando,
∆T
z=
+
Γ
s
Ta v02
+
gΓ
∆T
Γ
2
r


Γ
∆T
/Γ

sin  g
· t − arcsin  q 2
Ta v0
Ta
∆T 2
+
gΓ
(2.65)
Γ
donde ∆T = Tp0 − Ta
En el caso particular en que la temperatura inicial de la parcela es la misma del aire, es decir ∆T = 0, se
obtiene,
v0
z=q
sin
g TΓa
Γ
·t
g
Ta
r
!
(2.66)
2.4. Elementos de Estática y Termodinámica Atmosférica
v = v0 cos
37
Γ
g
·t
Ta
r
!
(2.67)
Es decir, un movimiento armónico simple de amplitud A = Ta v02 /(gΓ) y perı́odo T = 2π
p
Ta /(gΓ).
Si bien el perı́odo puede que se cumpla aproximadamente en la práctica, la amplitud teórica no se alcan-
ar
zará nunca, pues se ha despreciado el roce y la dispersión o difusión.
Si la temperatura inicial de la parcela es distinta a la del aire, pero su velocidad inicial v0 = 0 , el resultado
re
lim
in
se reduce a
∆T
∆T
z=
+
sin
Γ
Γ
Γ
π
g
·t−
Ta
2
r
!
(2.68)
En los casos en que la atmósfera no es isotérmica, la integración de la ecuación 2.56 se complica, resultando
en general más conveniente su integración numérica. Aún ası́, para obtener resultados que representen en
forma más adecuada los procesos reales, deberán considerarse los procesos de difusión y mezcla, que deben
consultarse en un texto más especializado
Todos los análisis anteriores, tanto cualitativos como cuantitativos suponen además una atmósfera en
rP
reposo. En la práctica, el grado de estabilidad o inestabilidad de la atmósfera no depende sólo del gradiente
térmico, que define la magnitud de las fuerzas de boyancia o flotación, sino también de la magnitud relativa
de estas fuerzas respecto a las fuerzas de inercia asociadas a la velocidad del movimiento horizontal del viento.
Un parámetro adimensional que relaciona la magnitud relativa de ambas fuerzas, y que se utiliza, en
Bo
rra
do
consecuencia para cuantificar la estabilidad atmosférica, corresponde al Número de Richardson, definido por
la relación:
Ri =
g(dT /dz − Γ)
g∆T ∆z
=
2
T (du/dz)
∆u2
(2.69)
donde ∆T y ∆u son las diferencias de temperatura y de velocidad del viento entre dos niveles de medición
separados una distancia ∆z en la vertical.
De acuerdo a la definición anterior resulta:
Si
Ri < 0
: Atmósfera inestable.
Ri ≈ 0
: Atmósfera neutra.
Ri > 0
: Atmósfera estable.
El grado de estabilidad o inestabilidad se asocia a la magnitud absoluta del Número de Richardson.
Otro parámetro adimensional utilizado para caracterizar la estabilidad atmosférica es una función del
Número de Richardson, denominado parámetro de estabilidad de Monin - Obukhov z/L, donde z es la cota
del punto de medición respecto a la superficie del terreno y L es una variable con dimensiones de longitud,
equivalente a la longitud de mezcla de la teorı́a de la capa lı́mite, definida por la expresión:
38
Elementos de Climatologı́a y Meteorologı́a
u∗ · T · ∆u
k · g · ∆T
donde u∗ es la velocidad de fricción y k es la constante de Von Karman.
L=
(2.70)
Si se acepta la validez de la ley de Von Karman Prandtl para representar la variación del perfil de velocidades
1
u
= ln
∗
u
k
z
z0
ar
en la capa lı́mite atmosférica,
(2.71)
El Número de Richardson y el parámetro de Monin - Obukhov pueden relacionarse aproximadamente por la
re
lim
in
expresión,
z
= Ri · ln
L
donde z0 es la rugosidad de la superficie del terreno.
2.5.
z
z0
(2.72)
Altura de Agua Precipitable de la Atmósfera
La masa total de vapor de agua contenida en una columna vertical de la atmósfera se denomina “equivalente
rP
en agua del vapor” o “altura de agua precipitable” de la atmósfera. Expresada en unidades de altura de
columna de agua [cm], queda determinada por la integración en la columna de la humedad absoluta, dividida
Bo
rra
do
por la densidad del agua lı́quida,
W =
1
ρw
Z
z2
ρv dz
(2.73)
z1
donde W es la altura de agua precipitable entre los niveles z1 y z2 , ρw es la densidad del agua y ρv es la
densidad de vapor de agua o humedad absoluta.
Recordando la definición de humedad especı́fica, la ecuación queda,
W =
1
ρw
Z
z2
qρa dz
(2.74)
z1
donde q es la humedad especı́fica y ρa es la densidad del aire húmedo.
Reemplazando, por último, la ley hidrostática, la ecuación se puede expresar de la forma,
1
W =
gρw
Z
p1
qdp
(2.75)
p2
Cualquiera que sea la forma de la ecuación empleada para calcular el contenido de agua precipitable de la
atmósfera, siempre será necesario conocer el perfil de variación de la humedad en la altura. En la práctica,
pocas veces esta información está disponible, y cuando lo está, su integración numérica resulta poco precisa.
2.5. Altura de Agua Precipitable de la Atmósfera
39
En la práctica, sin embargo, muchas veces interesa conocer lo que se denomina la “máxima” altura de agua
precipitable de la atmósfera, que como su nombre lo indica es el máximo equivalente de agua lı́quida que la
atmósfera podrı́a contener bajo ciertas condiciones térmicas.
En este caso, afortunadamente, es posible hacer uso de dos factores que permiten estimar W , sólo con
información de la cota inferior o de superficie.
La primera condición o factor, es que evidentemente el contenido de humedad será máximo cuando la
ar
humedad atmosférica sea máxima y esta última está limitada por las condiciones de saturación del aire,
dependiente únicamente de la temperatura. Es decir, para estas condiciones bastarı́a con disponer de un
perfil de temperaturas de punto de rocı́o, que en el caso de una atmósfera saturada corresponde al perfil
re
lim
in
térmico real de la atmósfera, para conocer la máxima altura de agua precipitable.
La segunda condición, resulta al considerar que cálculos teóricos, experimentalmente comprobados, demuestran que durante las grandes tormentas, la velocidad de ascenso de las masas de aire es tan alta, que masas
de aire en la superficie llegan al punto más alto de la zona de tormenta en intervalos que varı́an entre unos
pocos minutos hasta no más de una hora. Para tiempos tan cortos, el intercambio de calor es despreciable,
por lo que puede postularse que el ascenso de las masas de aire se produce en forma adiabática seca hasta el
nivel de saturación y después, en forma pseudo adiabática húmeda. En el caso más extremo, en que el nivel de
saturación se encuentre en la superficie, el gradiente térmico durante las grandes tormentas corresponderá al
gradiente pseudoadiabático húmedo, partiendo desde la superficie. De esta manera, el máximo contenido de
superficie.
rP
agua precipitable de la atmósfera queda determinado conociendo solamente la temperatura de rocı́o en la
En las Tablas 2.3 y 2.4, se han tabulado las alturas de agua precipitable [mm] contenidas entre la superficie,
supuesta a un nivel 1000 [Hpa], hasta una altura o nivel de presión dado, en función de la temperatura de
Bo
rra
do
punto de rocı́o al nivel 1000 [Hpa], para una atmósfera saturada pseudo adiabática. Ası́, por ejemplo, la altura
de agua precipitable contenida en una columna de aire de 5000 [m] de altura por sobre el nivel 1000 [Hpa],
cuando la temperatura de punto de rocı́o en este nivel es de 23°C, es de 58 [mm], siempre que se trate de
una atmósfera saturada pseudo adiabática.
El concepto de máxima altura de agua precipitable se utiliza en meteorologı́a y en hidrologı́a para evaluar
los conceptos de “precipitación máxima probable” o “crecida máxima probable”, definidos como la máxima
cantidad de precipitación o máxima magnitud de crecida que es fı́sicamente posible de ocurrir, para una
condición térmica dada.
Nótese de las Tablas 2.3 y 2.4 que el máximo contenido de agua precipitable de la atmósfera es en general
inferior a la magnitud de las precipitaciones en las grandes tormentas. Lo anterior, debido a que no se ha
considerado el contenido de agua que puede contener la atmósfera en estado lı́quido o sólido, pero principalmente porque representa una condición estática, es decir, no considera la convergencia de aire húmedo que
va reemplazando a las masas de aire que ya han descargado su humedad.
En las Figuras 2.12 a 2.14 se presentan perfiles reales promedio de humedad relativa, temperatura del aire
y velocidad del viento en altura, medidos durante perı́odos de lloviznas, lluvias moderadas y lluvias intensas,
mediante globosonda en la ciudad de Quintero, latitud 33° Sur, (Soto, 2003). En general se observa que para
40
Elementos de Climatologı́a y Meteorologı́a
lluvias moderadas e intensas, la humedad relativa supera el 85 % sobre el nivel 760 [Hpa], es decir, valores
cercanos a la saturación, disminuyendo ligeramente a niveles más bajos. En cuanto a las temperaturas, el
ajuste de expresiones del tipo potencial, entrega las siguientes expresiones de mejor ajuste:
P ara lluvias moderadas
T = 288.45
p 1/5.90726
1007.4
T = 288.467
p 1/5.8663
1008.1
R2 = 0.99
(2.76)
ar
P ara lluvias intensas
R2 = 0.98
(2.77)
Esta información permitirı́a una estimación más acuciosa del contenido de agua precipitable en la atmósfera
re
lim
in
durante tormentas reales. Sin embargo, los perfiles térmicos difieren muy poco respecto a un perfil adiabático
húmedo, con una temperatura en superficie cercana a 13.5°C, lo que sumado a las altas humedades relativas
confirman que las hipótesis utilizadas para el cálculo del máximo contenido de agua precipitable parecen
adecuadas para la estimación del contenido de agua precipitable durante perı́odos con precipitaciones.
El contenido de agua lı́quida o sólida que pueda contener la atmósfera en forma de nubes, dependerá de la
Bo
rra
do
rP
densidad que alcance esta agua en las nubes, valor que puede oscilar entre 0.5 y 2 [gr/m3 ].
Figura 2.12: Ajuste de curvas a perfiles de temperatura medidos durante dı́as de lloviznas, lluvias moderadas
y lluvias intensas.
41
re
lim
in
ar
2.5. Altura de Agua Precipitable de la Atmósfera
Figura 2.13: Ajuste de curvas a perfiles de humedad relativa medidos durante dı́as de lloviznas, lluvias
Bo
rra
do
rP
moderadas y lluvias intensas.
Figura 2.14: Ajuste de curvas a perfiles de velocidad del viento medidos durante dı́as de lloviznas, lluvias
moderadas y lluvias intensas.
42
Elementos de Climatologı́a y Meteorologı́a
Tabla 2.3: Altura de agua precipitable [mm] entre la superficie 1000 [Hpa] y un nivel de presión “p” en una
atmósfera saturada pseudo adiabática, en función de la temperatura de rocı́o (Tr ) al nivel 1000 [Hpa].
P
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
T [°C]
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
3
980
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
4
4
4
5
5
5
5
970
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
4
4
4
4
5
5
5
5
6
6
7
7
7
8
960
1
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
4
4
4
4
5
5
5
6
6
6
7
7
8
8
9
9
10
11
950
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
4
4
4
4
5
5
6
6
6
7
7
8
8
9
9
10
10
11
12
12
13
940
2
2
2
3
3
3
3
3
4
4
4
5
5
5
6
6
7
7
7
8
9
9
10
10
11
12
12
13
14
15
16
930
2
3
3
3
3
3
4
4
4
5
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
10
11
11
12
13
14
14
15
16
17
18
920
3
3
3
3
4
4
4
5
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
10
10
11
12
13
14
14
15
16
17
19
20
21
910
3
3
3
4
4
4
5
5
5
6
6
7
7
8
8
9
10
10
11
12
13
13
14
15
16
17
18
20
21
22
23
900
3
4
4
4
4
5
5
6
6
6
7
7
8
8
9
10
11
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
22
23
24
24
890
4
4
4
5
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
10
11
12
12
13
14
15
16
17
18
20
21
22
24
25
27
28
880
4
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
10
11
12
12
13
14
15
16
17
19
20
21
23
24
26
27
29
31
870
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
10
860
4
5
5
6
6
6
7
7
8
9
9
10
11
850
5
5
5
6
6
7
7
8
9
9
10
11
11
840
5
5
6
6
7
7
8
8
9
10
10
11
12
830
5
5
6
6
7
7
8
9
9
10
11
12
13
820
5
6
6
7
7
8
8
9
10
11
11
12
13
810
5
6
6
7
8
8
9
10
10
11
12
13
14
800
6
6
7
7
8
8
9
10
11
12
12
13
15
790
6
6
7
7
8
9
9
10
11
12
13
14
15
780
6
7
7
8
8
9
10
11
11
12
13
14
16
770
6
7
7
8
9
9
10
11
12
13
14
15
16
760
6
7
7
8
9
10
10
11
12
13
14
15
17
750
6
7
8
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
740
7
7
8
9
9
10
11
12
13
14
15
16
18
730
7
7
8
9
9
10
11
12
13
14
15
17
720
7
7
8
9
10
11
11
12
13
15
16
710
7
8
8
9
10
11
12
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14
15
700
7
8
8
9
10
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12
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7
8
9
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10
11
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7
8
9
10
10
11
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7
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600
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8
560
ar
990
re
lim
in
[Hpa]
12
13
13
14
15
16
18
19
20
21
23
24
26
28
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33
12
13
14
15
16
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13
14
15
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16
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14
15
16
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31
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38
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43
14
15
17
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42
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19
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31
33
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17
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17
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35
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15
16
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15
17
18
20
21
23
25
27
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31
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55
59
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16
17
19
20
22
24
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32
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49
53
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61
65
69
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12
14
15
16
17
19
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26
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30
33
35
38
41
44
47
51
54
58
62
67
71
76
12
13
14
15
16
18
19
21
23
24
26
29
31
33
36
39
42
45
48
52
55
60
64
68
73
78
11
12
13
14
15
17
18
20
21
23
25
27
29
32
35
37
40
43
46
50
54
58
62
67
71
76
81
10
11
12
13
14
16
17
19
20
22
24
26
28
30
33
36
38
42
45
48
52
56
60
65
69
74
79
85
9
10
11
12
13
15
16
17
19
21
23
25
27
29
31
34
37
40
43
46
50
54
58
62
67
72
77
82
88
9
10
11
11
13
13
14
15
16
18
19
21
23
25
27
30
32
35
38
41
44
48
51
55
60
64
69
74
80
85
8
9
10
11
12
13
14
15
17
18
20
21
23
26
28
30
33
36
39
42
45
49
53
57
61
66
71
77
82
88
94
540
8
9
10
11
12
13
14
16
17
18
20
22
24
26
28
31
33
36
39
42
46
50
54
58
63
68
73
79
85
91
97
520
8
9
10
11
12
13
14
16
17
19
20
22
24
26
29
31
34
37
40
43
47
51
55
60
64
70
75
81
87
93
100
500
8
9
10
11
12
13
14
16
17
19
21
22
24
27
29
32
34
37
41
44
48
52
56
61
66
71
77
83
89
96
103
Bo
rra
do
rP
11
12
2.6. Procesos de Intercambio de Energı́a y Masa en la Atmósfera
43
Tabla 2.4: Altura de agua precipitable [mm] entre la superficie a 1000 [Hpa] y un nivel z[m] sobre esa
superficie en una atmósfera saturada pseudo adiabática,en función de la temperatura de rocı́o (Tr ) al nivel
1000 [Hpa].
z [m]
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Tr [°C]
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
5
5
5
6
6
400
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
4
4
4
4
5
5
5
5
6
6
6
7
7
8
8
9
9
10
10
11
12
600
3
3
3
3
3
4
4
4
5
5
5
6
6
6
7
7
7
8
8
9
10
10
11
11
12
13
14
15
15
16
17
800
3
3
4
4
4
5
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
10
10
11
12
13
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
1000
4
4
4
5
5
6
6
6
7
7
8
9
9
10
10
11
12
13
13
14
15
16
17
18
20
21
22
23
25
26
28
1200
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
10
11
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
23
24
26
27
29
31
32
1400
5
5
6
6
7
7
8
8
9
10
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
22
23
24
26
28
29
31
33
35
37
1600
5
6
6
7
7
8
9
9
10
11
11
12
13
14
15
16
17
19
20
21
23
24
25
27
29
31
33
35
37
39
41
1800
6
6
7
7
8
9
9
10
11
12
12
13
14
15
17
18
19
20
22
23
25
26
28
30
32
34
36
39
41
43
46
2000
6
7
7
8
9
9
10
11
11
12
13
14
16
17
18
19
21
22
24
25
27
29
31
33
35
37
39
42
44
47
50
2200
7
7
8
8
9
10
10
11
12
13
14
15
16
18
19
20
22
24
25
27
29
31
33
35
37
40
42
45
48
51
54
2400
7
8
8
9
9
10
11
12
13
14
15
16
17
19
20
22
23
25
27
29
31
33
35
37
40
42
45
48
51
54
57
2600
7
8
8
9
10
11
11
12
13
14
16
17
18
20
21
23
24
26
28
30
32
35
37
40
42
45
48
51
55
58
61
2800
7
8
9
9
10
11
12
13
14
15
16
18
19
21
22
24
26
27
30
32
34
36
39
42
45
48
51
54
58
61
65
3000
8
8
9
10
10
11
12
13
14
15
17
18
20
21
23
25
27
29
31
33
35
38
41
44
47
50
53
57
61
64
68
3200
8
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
19
20
22
24
26
28
30
32
34
37
40
42
45
49
52
56
59
63
67
71
3400
8
8
9
10
11
12
13
14
15
16
18
19
21
23
24
26
29
31
33
36
38
41
44
47
51
54
58
62
66
70
74
3600
8
9
9
10
11
12
13
14
15
17
18
20
22
23
25
29
29
32
34
37
39
42
45
49
52
56
60
64
68
73
77
3800
8
9
10
10
11
12
13
14
16
17
19
20
22
24
26
28
30
32
35
38
41
44
47
50
54
58
62
66
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75
80
4000
8
9
10
11
11
12
14
15
16
17
19
21
22
24
26
28
31
33
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39
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45
48
52
56
60
64
68
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4200
8
9
10
11
12
13
14
15
16
18
19
21
23
25
27
29
31
34
37
40
43
46
49
53
57
61
66
70
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4400
8
9
10
11
12
13
14
15
16
18
20
21
23
25
27
29
32
34
37
40
44
47
51
54
58
63
67
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77
82
87
4600
8
9
10
11
12
13
14
15
17
18
20
22
24
25
28
30
32
35
38
41
44
48
52
56
60
64
69
74
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84
90
4800
8
9
10
11
12
13
14
15
17
18
20
22
24
26
28
30
33
36
39
42
45
49
53
57
61
65
70
75
81
86
92
5000
8
9
10
11
12
13
14
16
17
19
20
22
24
26
28
31
33
36
39
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46
50
54
58
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88
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5200
8
9
10
11
12
13
14
16
17
19
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24
26
29
31
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37
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43
47
50
54
59
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8
9
10
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12
13
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16
17
19
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34
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64
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5600
8
9
10
11
12
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14
16
17
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21
22
24
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29
32
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38
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44
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52
56
60
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100
5800
8
9
10
11
12
13
14
16
17
19
21
22
25
27
29
32
35
38
41
45
48
52
57
61
66
71
77
82
88
95
101
6000
8
9
10
11
12
13
14
16
17
19
21
23
25
27
30
32
35
38
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45
49
53
57
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67
72
78
84
90
96
103
6200
8
9
10
11
12
13
15
16
17
19
21
23
25
27
30
32
35
38
42
45
49
54
58
63
68
73
79
85
91
98
104
6400
8
9
10
11
12
13
15
16
18
19
21
23
25
27
30
33
35
39
42
46
50
54
58
63
68
74
80
86
92
99
106
6600
8
9
10
11
12
13
15
16
18
19
21
23
25
27
30
33
36
39
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46
50
54
59
64
69
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80
86
93
100
107
6800
8
9
10
11
12
13
15
16
18
19
21
23
25
27
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33
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39
42
46
50
55
60
65
70
75
81
87
94
101
108
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8
9
10
11
12
14
15
16
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19
21
23
25
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30
33
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46
51
55
60
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70
76
82
88
95
102
110
7200
8
9
10
11
12
14
15
16
18
19
21
23
25
28
30
33
36
39
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47
51
55
60
65
71
76
82
89
96
103
111
7400
8
9
10
11
12
14
15
16
18
19
21
23
25
28
30
33
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39
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47
51
56
61
66
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97
104
112
7600
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9
10
11
12
14
15
16
18
19
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23
25
28
30
33
36
39
43
47
51
56
61
66
72
77
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90
98
105
113
7800
8
9
10
11
12
14
15
16
18
19
21
23
25
28
30
33
36
39
43
47
51
56
61
66
72
78
84
91
98
106
114
8000
8
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10
11
12
14
15
16
18
19
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23
25
28
30
33
36
40
43
47
52
56
61
67
72
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99
107
115
8200
8
9
10
11
12
14
15
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23
26
28
30
33
36
40
43
47
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57
62
67
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100
108
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8
9
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23
26
28
30
33
36
40
43
47
52
57
62
67
73
79
85
92
100
108
116
8600
8
9
10
11
12
14
15
16
18
19
21
23
26
28
30
33
36
40
43
47
52
57
62
68
73
79
86
93
101
109
117
8800
8
9
10
11
12
14
15
16
18
19
21
23
26
28
30
33
36
40
43
47
52
57
62
68
73
79
86
93
101
109
118
9000
8
9
10
11
12
14
15
16
18
19
21
23
26
28
30
33
36
40
43
47
52
57
62
68
74
80
86
94
102
110
118
9200
8
9
10
11
12
14
15
16
18
19
21
23
26
28
30
33
36
40
43
48
52
57
62
68
74
80
87
94
102
110
119
14
15
16
18
19
21
23
26
28
30
33
36
40
44
48
52
57
62
68
74
80
87
94
102
110
119
15
16
18
19
21
23
26
28
30
33
36
40
44
48
52
57
63
68
74
80
87
94
102
111
120
16
18
19
21
23
26
28
30
33
36
40
44
48
52
57
63
68
74
80
87
95
103
111
120
18
19
re
lim
in
rP
Bo
rra
do
9400
9600
9800
10000
11000
12000
13000
ar
200
21
23
26
28
30
33
36
40
44
48
52
57
63
68
74
80
87
95
103
112
121
21
23
26
28
30
33
36
40
44
48
52
57
63
68
74
81
88
96
104
113
122
33
36
40
44
48
52
57
63
68
74
81
88
96
105
114
122
52
57
63
68
74
81
88
97
105
114
123
57
63
68
74
81
88
97
105
115
124
15000
81
88
97
106
115
124
16000
81
88
97
106
115
124
89
97
106
115
124
14000
17000
44
2.6.
Elementos de Climatologı́a y Meteorologı́a
Procesos de Intercambio de Energı́a y Masa en la Atmósfera
Del análisis del balance radiativo terrestre, efectuado en acápites anteriores, se deduce la existencia de un
desequilibrio radiativo interno que requiere de procesos extra radiativos que transporten calor en forma
latitudinal desde las zonas ecuatoriales hacia los polos y en forma vertical, desde la superficie terrestre hacia
2.6.1.
Procesos de Intercambio Turbulento de Calor y Masa
ar
la atmósfera.
re
lim
in
El transporte vertical de energı́a entre la superficie terrestre y la atmósfera se produce fundamentalmente
a través de procesos de intercambio turbulento de calor sensible (calor de convección) y de calor latente de
evaporación.
En un fluido newtoniano en escurrimiento laminar, el traspaso de cantidades de movimiento por unidad
de área o esfuerzo tangencial, queda dado por la relación
τ =µ
du
dz
(2.78)
rP
donde µ es la viscosidad dinámica. Además, como µ = ρν
τ = ρν
du
dz
(2.79)
donde ν es la viscosidad cinemática y ρ es la densidad del fluido.
Bo
rra
do
Igualmente, el traspaso de calor sensible por procesos de conducción molecular viene dado por la ecuación
de conducción de calor
QH = λ
dT
dz
(2.80)
donde λ es la conductividad calórica del medio conductor.
Definiendo la difusividad calórica κt = λ/C , donde C, la capacidad calórica queda a su vez definida como
C = ρ · cp , donde ρ es la densidad y cp el calor especı́fico a presión constante, la ecuación (2.80) queda,
QH = ρ · cp · κt
dT
dz
(2.81)
Por último, si existe algún gradiente de concentración de algún constituyente del fluido, en este caso, vapor
de agua, existirá una difusión másica dada por la relación
E = ρk
dT
dz
donde q es la humedad especı́fica y k es la difusividad de vapor de agua.
(2.82)
2.6. Procesos de Intercambio de Energı́a y Masa en la Atmósfera
45
Para expresar la ecuación anterior en términos calóricos, debe multiplicarse ambos términos por el calor
latente de evaporación, de donde el flujo de calor latente resulta
QL = ρLk
dT
dz
(2.83)
Cuando el proceso se torna turbulento, el transporte de masa y energı́a se efectúa no sólo por interacción
ar
molecular, sino que son volúmenes finitos de fluidos que acarrean sus propiedades, en el proceso de mezcla,
a regiones vecinas, aumentándose la tasa de intercambio en varios órdenes de magnitud.
re
lim
in
En el caso de los esfuerzos tangenciales, la ley de Newton puede expresarse de la forma
τ = ρ (ν + ε)
du
dz
(2.84)
donde ε ν corresponde a una “viscosidad cinemática turbulenta” equivalente.
Por analogı́a con las ecuaciones de los procesos de transporte molecular, pueden plantearse, para el caso
de intercambio turbulento, las ecuaciones
du
dz
rP
τ = ρKM
Bo
rra
do
QH = −ρcp KH
QL = −ρLKW
(2.85)
dT
dz
(2.86)
dq
dz
(2.87)
Donde KM = (ν + ε) corresponde a una viscosidad turbulenta y KH y KW a difusividades turbulentas de
calor sensible y de vapor de agua.
KM , KH y KW , se conocen también bajo el nombre de coeficientes de intercambio turbulento de cantidad
de movimiento, de calor sensible y de calor latente, respectivamente.
Desgraciadamente, a diferencia de sus equivalentes moleculares, los coeficientes de intercambio turbulento
no son constantes y no existe aún un conocimiento teórico completo de sus leyes de variación, por lo que
deben ser determinados experimentalmente.
Se postula sı́, que la magnitud de estos coeficientes debe ser función del grado relativo de turbulencia
térmica y mecánica, es decir, de la estabilidad atmosférica. Además, la presencia de paredes o bordes sólidos
limita la existencia de turbulencia, generando capas limites, por lo que estos coeficientes varı́an también
dependiendo de la distancia a la pared o superficie de la tierra, en este caso.
En virtud de lo anterior, la gran mayorı́a de las determinaciones empı́ricas de los coeficientes de intercambio
turbulento los expresan como funciones del Número de Richardson o del parámetro de Monin Obukhov.
46
Elementos de Climatologı́a y Meteorologı́a
Por ultimo, las ecuaciones (2.86) y (2.87) han sido definidas con un signo negativo, para que arrojen valores
positivos cuando el flujo de calor sea desde la superficie terrestre hacia la atmósfera, ya que, es de esperar los
gradientes de humedad especı́fica y temperatura sean negativos, excepto en los casos de inversión térmica.
2.6.2.
Transporte Latitudinal de Energı́a
ar
El desequilibrio radiativo y energético que se produce entre las zonas ecuatoriales y polares exige a su
vez el traspaso de energı́a en dirección latitudinal. El medio de transporte de esta energı́a es a través del
desplazamiento de grandes masas de aire y de agua a través del globo terrestre, las que acarrean consigo
atmósfera, y las corrientes marinas.
2.6.2.1.
Vientos
re
lim
in
sus propiedades térmicas. Estos mecanismos son los vientos y el movimiento de circulación general de la
Entendemos por viento, simplemente a la velocidad con que se mueve una determinada masa de aire en algún
punto del espacio y del tiempo. Como en cualquier otro fluido, su movimiento se produce para compensar la
existencia de algún gradiente de presión, es decir, en general,
∂p
∂s
rP
vs ∝
(2.88)
Si v es la velocidad del viento en un determinado instante y lugar, esta se puede expresar como
(2.89)
Bo
rra
do
v(x, t) = v(x) + w(x, t)
donde v(x) es la velocidad media del viento en dicho lugar, una vez filtrados todos los componentes transientes,
locales y aleatorios w(x, t) que puedan existir en dicho lugar. La velocidad media del viento se entiende
como parte de la denominada circulación general de la atmósfera, definida como el movimiento de circulación
promedio, es decir la dirección y magnitud promedio de los vientos atmosféricos, una vez suavizados y filtrados
todos los movimientos o vientos transientes y locales w(x, t) causados por perturbaciones barométricas,
térmicas o de densidad, que pueden ser de carácter cı́clico, como las brisas marinas, o simplemente aleatorios.
El instrumento básico para la medición de la velocidad del viento es el anemómetro, compuesto de una hélice
o un sistema de copas, cuya velocidad angular resulta proporcional a la velocidad del viento reinante y de una
veleta o plancha metálica aerodinámica que se orienta indicando la dirección del viento reinante, normalmente
discretizado en 8 octantes, N (norte), NE, E(este), SE, S(sur), SW, W(oeste o “weste”) y NW, aunque los
hay de registro continuo que van indicando el azimut o ángulo respecto al norte en cada momento. En cuanto
a la magnitud del viento, también hay instrumentos de registro continuo y otros solamente totalizadores que
indican el recorrido acumulado en un perı́odo determinado de tiempo, normalmente millas marinas, millas
terrestres o kilómetros en un dı́a.
Por convención, la dirección del viento se identifica con el punto cardinal desde el cual el viento proviene,
ası́ el viento Norte es aquel que se desplaza desde el Norte hacia el Sur.
2.6. Procesos de Intercambio de Energı́a y Masa en la Atmósfera
47
En superficie, producto del roce con ella, se producen importantes gradientes verticales de la velocidad del
viento, por lo que las mediciones deben indicar la cota sobre la superficie a la que se efectúa la medición,
pudiendo existir torres anemométricas en que la velocidad se mide a diferentes alturas, 0.4 [m], 1.5 [m], 3
[m], 10 [m] u otra altura que resulte de interés en algún caso particular.
Dentro de la capa lı́mite atmosférica, las velocidades a distintas alturas pueden relacionarse adoptando una
v1
=
v2
z1
z2
ar
ley de variación potencial, del tipo,
p
(2.90)
re
lim
in
con p ≈ 1/7 a 1/3 dependiendo de la rugosidad de la superficie y de la estabilidad atmosférica.
También puede utilizarse, en estricto rigor para atmósferas neutras o cuasi neutras, la Ley de la Pared o
ley de Von Karman - Prandtl,
vz
1
= ln
∗
v
k
donde v ∗ es la velocidad de fricción v ∗ =
de la pared.
q
τ0
ρ ,
z
z0
(2.91)
k es la constante de von Karman k ≈ 0.4 y z0 es la rugosidad
rP
Valores tı́picos de rugosidad de distintas superficies se indican en la Tabla 2.5
Tabla 2.5: Rugosidades superficiales.
Rugosidad [cm]
Agua libre, pantanos
0.001 - 0.1
Nieve
0.01 - 0.1
Suelo despejado, arenales
≈ 0.03
Céspedes y pastizales
0.15 - 2.0
Plantaciones de trigo
≈ 20
Plantaciones de maı́z
70 - 120
Arbustos y matorrales
50 - 150
Bo
rra
do
Tipo de superficie
En presencia de macrorugosidades, como por ejemplo bosques o edificios en zonas urbanas, se suele intro-
ducir un desplazamiento de la cota de referencia, reemplazando la cota z sobre el suelo, por la cota corregida
z 0 = z−d, donde d es aproximadamente el espesor de la capa de aire que queda atrapada entre las rugosidades.
Cuando la atmósfera no es neutra, el perfil de velocidades se aleja del perfil teórico de Von Karman -
Prandtl. Para atmósferas estables, el perfil tiende a linealizarse como en un flujo laminar, mientras que
para atmósferas inestables las velocidades tienden a uniformarse en la vertical. Estas situaciones pueden
manejarse introduciendo modificaciones a la constante de Von Karman, normalmente en función del Número
de Richardson o del parámetro de Monin - Obukhov.
Para medir vientos en altura, la aplicación de estas fórmulas deja de ser válida, ya que la disminución
48
Elementos de Climatologı́a y Meteorologı́a
de la densidad del aire, tiende a provocar aumentos crecientes de la velocidad en la altura por lo que debe
recurrirse al empleo de globosondas.
En las Figuras 2.12 a 2.14 se mostraron perfiles promedios de distribución vertical de la componente oeste
de la velocidad del viento en altura durante perı́odos de lloviznas, lluvias moderadas y lluvias intensas,
obtenidos del análisis de información de radiosonda en la ciudad de Quintero, a los que puede ajustárseles
ar
expresiones del tipo:
donde v está en [m/s] y z en [km].
(2.92)
re
lim
in
v = a · zb + c
En la Tabla 2.6, se muestran los valores de las constantes correspondientes a la expresión precedente que
fue posible ajustar a los datos medidos, junto a sus correspondientes coeficientes de correlación.
Tabla 2.6: Constantes para definir el perfil de viento correspondiente a diferentes tipos de dı́as.
2.6.3.
a
b
c
R2
Intensa
2.88995
1.1625
0.753854
0.997
Moderada
1.55294
1.40117
0.251655
0.999
Llovizna
0.9825
1.55797
0.130278
0.998
rP
Tipo de Lluvia
Circulación General de la Atmósfera
Desde el punto de vista climatológico y del transporte latitudinal de energı́a, la componente más importante
Bo
rra
do
del viento es la circulación general de la atmósfera, para cuya explicación se han desarrollado diversas teorı́as
y modelos de simulación.
Todo modelo que pretenda simular en forma general la circulación atmosférica, debe necesariamente satis-
facer las siguientes condiciones:
Proporcionar un mecanismo para el transporte latitudinal de calor desde las zonas ecuatoriales a las
regiones polares.
Satisfacer la ecuación de continuidad de masas de agua, aire y de vapor de agua.
Satisfacer las leyes básicas de conservación de cantidad de movimiento y momento angular.
Respetar las leyes básicas de la termodinámica atmosférica y del movimiento de fluidos reales.
Ninguna teorı́a simple es capaz, en consecuencia, de explicar individualmente la circulación general de
la atmósfera y sólo es posible aproximarse a ella a través de modelos de alta complejidad, que a pesar
de los notorios progresos experimentados en las últimas décadas, no siempre dan resultados satisfactorios,
considerando además que la desigual distribución de mares, continentes, montañas y cordilleras, complican
aún más el problema.
2.6. Procesos de Intercambio de Energı́a y Masa en la Atmósfera
49
Es posible incluso que exista más de una solución al sistema general de ecuaciones del movimiento que
satisfagan las condiciones restrictivas anteriormente mencionadas, por lo que no es sorprendente que no exista
aun un conocimiento cabal y completo de la circulación atmosférica.
En todo caso, hoy en dı́a existen modelos numéricos, entre ellos los modelos MM52 (The PSU/NCAR
mesoscale model) y WRF3 (The Weather Research & Forecasting Model), que permiten simular el comportamiento de la atmósfera, utilizándose incluso para fines de pronóstico meteorológico, con relativo éxito.
ar
Sin necesidad de entrar en estos modelos matemáticos de alta complejidad que hoy en dı́a permiten el
análisis cuantitativo de la circulación general de la atmósfera, es posible el análisis simplificado y cualitativo
re
lim
in
del fenómeno, a partir de modelos básicos simples.
Si suponemos inicialmente una Tierra homogénea y en reposo, calentada en forma desuniforme por la
radiación solar, tendrı́amos un primer modelo de circulación termal. El aire, recalentado en las regiones
ecuatoriales, tenderı́a a ascender, produciendo un desplazamiento de las masas de aire desde las regiones
polares hacia el Ecuador. El ciclo se completarı́a con un descenso de aire frı́o en las regiones polares y una
circulación en altura desde el Ecuador hacia los polos, según se ilustra en la Figura 2.15a.
La Tierra, sin embargo, posee un movimiento de rotación con velocidad angular w, por lo que cada unidad
rP
de masa de aire posee un momento angular dado por la relación,
I = wR2 cos2 (φ)
(2.93)
Bo
rra
do
donde R es el radio de la tierra y φ es la latitud del lugar.
El momento angular debe permanecer constante, por lo tanto, al desplazarse latitudinalmente las masas
de aire, inicialmente en reposo relativo a la tierra, adquirirán componentes longitudinales de velocidad que
compensen la variación del radio de giro. En general, debido a la rotación de la Tierra, una aceleración
aparente, la aceleración de Coriolis, tenderá a derivar en el hemisferio Sur, en el sentido contrario a los
punteros del reloj, a toda partı́cula en movimiento. En consecuencia, la circulación hacia el Ecuador derivarı́a
hacia el oeste (vientos del este), mientas la circulación en altura derivarı́a hacia el este (vientos del Oeste),
según se ilustra en la Figura 2.15b. Las corrientes ascendentes en el Ecuador, producirı́an una zona de bajas
presiones y correspondientemente una zona de altas presiones en los polos.
Este simple esquema de circulación termal no se cumple en la práctica, a excepción de las zonas polares y
ecuatoriales, debido principalmente a que no se ha considerado el enfriamiento radiativo que sufren las masas
de aire en la atmósfera. Además, la desaceleración relativa de todos los vientos en superficie tenderı́a, por
fricción, a frenar la rotación terrestre.
2 http://www2.mmm.ucar.edu/mm5/
3 http://www.wrf-model.org/index.php
50
Elementos de Climatologı́a y Meteorologı́a
N
N
W
W
E
E
ar
SE
SE
NW
S
(a) Circulación termal en reposo
re
lim
in
S
(b) Circulación termal en rotación
N
N
W
E
rP
E SE
NW
SE
NW
SE
Bo
rra
do
S
SW
SE
NW
(c) Circulación más acorde con la realidad
Figura 2.15: Circulación General de la Atmósfera.
En la práctica ocurre que las masas de aire caliente que ascienden en el Ecuador, al desplazarse en altura
hacia los polos, sufren un enfriamiento radiativo tal que al alcanzar aproximadamente una latitud aproximada de 25 a 30° su aumento de densidad es suficiente para que desciendan a la superficie, (subsidencia),
calentándose adiabáticamente y divergiendo en dos subcorrientes superficiales, una hacia el ecuador y otra
hacia los polos, como se ilustra en la Figura 2.15c.
Esto define una celda cerrada en los trópicos (Celda de Hadley), con vientos del este hacia el ecuador,
(vientos alisios) y vientos del oeste en altura hacia los polos (vientos contraalisios).
La subcorriente que deriva hacia los polos, adquiere una componente oeste en el hemisferio Sur, que
equilibra las fuerzas de fricción, manteniendo la rotación terrestre. Esta rama de aire se enfrenta, al llegar a
una latitud de 55 a 60° con la corriente de aire frı́o y seco proveniente en superficie desde los polos, dando
2.6. Procesos de Intercambio de Energı́a y Masa en la Atmósfera
51
origen a la zona denominada “frente polar”. Se denomina “frente”, en general, a la zona en que se ponen en
contacto masas de aire de distinta calidad térmica.
La convergencia de masas de aire en superficie hacia el frente polar, tanto desde el Norte como del Sur,
exige, para mantener la circulación, el ascenso de estas masas de aire, dando origen a por lo menos dos nuevas
celdas, con corrientes de aire en altura hacia los polos en la celda polar y con movimiento del aire en altura
hacia el ecuador en la celda intermedia.
ar
Este nuevo modelo de circulación está en general, en mucho mejor acuerdo con lo observado y medido
en la naturaleza, excepto que los vientos en altura de la celda intermedia, debiendo tener, de acuerdo a
incluso el “chorro (jet) del oeste”.
re
lim
in
la aceleración de Coriolis, una componente Este, presentan una fuerte componente Oeste, denominándose
Una explicación a esta anomalı́a radica en los fuertes vientos en altura que se generan en los frentes.
En efecto, si la presión barométrica en superficie es aproximadamente la misma, por tener el aire caliente
un mayor volumen especifico, tiene mayor desarrollo vertical, lo que crea en altura un fuerte gradiente de
presiones entre el aire caliente y el frı́o. El aire caliente, proveniente del norte en el hemisferio Sur, es acelerado
por el gradiente de presiones y derivado hacia el este por la acción de la aceleración de Coriolis. En ausencia
de roce, el equilibrio se produce cuando el aire se mueve en forma uniforme, en dirección al este, paralelo a
las curvas isobaras, anulándose los vectores de aceleración de presión, en dirección al Sur con el vector de
aceleración de Coriolis, normal hacia la izquierda al vector velocidad y por lo tanto en dirección norte. A
rP
este viento que en altura tiende a correr con velocidad uniforme, paralelo a las curvas isobaras, producto del
equilibrio de fuerzas, se le denomina viento geostrófico. Cerca de la superficie, donde las fuerzas de roce, en
dirección opuesta al movimiento, comienzan a ser importantes, la dirección de equilibrio tiende a ser oblicua a
las curvas isobaras. Las turbulencias a macroescala que existen en estas áreas, denominadas ondas de Rossby,
Bo
rra
do
transmitirı́an la componente de velocidad oeste a toda la celda intermedia.
La circulación general de la atmósfera, si bien sigue en forma global el modelo descrito, en términos
estadı́sticos medios, se ve perturbada por la heterogeneidad de la distribución de océanos y continentes,
por vientos locales tales como brisas marinas de carácter periódico diurno nocturno y por la presencia de
sistemas migratorios de alta o baja presión generados por la turbulencia a meso o macroescala, denominados
anticiclones y ciclones respectivamente.
En todo caso, la circulación general de la atmósfera marca los rasgos climáticos principales de las distintas
latitudes. La subsidencia de aire en las latitudes 30° y en los polos, está asociada a calentamientos adiabáticos
y altas presiones, por lo que corresponde a zonas de clima seco. La ascensión del aire en los trópicos y
frentes polares se asocia a bajas presiones y enfriamientos adiabáticos, con la correspondiente condensación
y precipitación de la humedad atmosférica, lo que genera climas lluviosos.
El desplazamiento de la ubicación del ecuador térmico, producto de la inclinación del eje de rotación
terrestre y del movimiento de traslación de la tierra, genera el mismo desplazamiento cı́clico con perı́odo de
un año en los lı́mites entre zonas secas y lluviosas.
El clima de Chile es un buen exponente de esta situación; la zona norte está permanentemente bajo el efecto
de una zona de marcadas y permanentes altas presiones, denominada anticiclón del Pacifico que se centraliza
52
Elementos de Climatologı́a y Meteorologı́a
frente a la costa en la zona oceánica, dándole su predominante caracterı́stica desértica con precipitaciones
anuales de menos de 10 [mm] e incluso nula en algunos sectores; la zona sur queda permanentemente dominada
por la zona del frente polar, con su caracterı́stica pluviosidad durante todo el año, alcanzando pluviometrı́as
por sobre los 3000 [mm], mientras la zona central presenta una pluviometrı́a intermedia, del orden de centenas
de [mm], con caracterı́sticas húmedas en invierno y secas en verano, cuando el desplazamiento hacia el sur
2.6.3.1.
ar
del anticiclón del Pacı́fico bloquea los frentes de mal tiempo generados en el frente polar.
Corrientes Marinas
re
lim
in
Al igual que en la atmósfera, el calentamiento radiativo de los océanos tiene una fuerte desuniformidad en el
sentido latitudinal, por lo cual, en principio, las corrientes marinas son producidas por circulaciones de tipo
termal, enteramente análogas a las descritas para la atmósfera, estando de hecho profundamente influenciadas
por la circulación general de la atmósfera y vientos predominantes, cuyas trayectorias las corrientes marinas
intentan reproducir, generándose corrientes de masas de aguas frı́as, de origen polar que se desplazan hacia
el ecuador acarreando sus propiedades térmicas, generándose a su vez corrientes de aguas calientes que se
desplazan desde los trópicos hacia altas latitudes.
A diferencia de las circulaciones atmosféricas, la presencia de barreras continentales constituye un obstáculo insalvable para las corrientes marinas, por lo que resulta más difı́cil plantear un modelo de circulación
rP
general simple que resulte adecuadamente representativo. A esto contribuye la existencia de otro tipo de
corrientes entre las que pueden distinguirse las corrientes de densidad, generadas por gradientes de salinidad
y/o temperatura, corrientes de deriva, provocadas por arrastre del roce de los vientos, corrientes de pendiente,
provocadas por desniveles generados por apilamientos de agua por efecto del viento, y corrientes de marea,
Bo
rra
do
normalmente de carácter cı́clico, provocadas por las mismas fuerzas gravitacionales de generación de mareas.
En relación a su influencia sobre el clima de Chile, resulta de particular importancia la corriente de Hum-
boldt, corriente frı́a que se desplaza de Sur a Norte a lo largo de la costa, influyendo sobre el régimen de
temperaturas en el sentido de generar una gran uniformidad térmica latitudinal, provocando particularmente
en las zonas costeras central y norte temperaturas bastante más moderadas que las tı́picas correspondientes a su latitud. Este enfriamiento superficial contribuye a su vez a la generación de inversiones térmicas,
incrementando la estabilidad atmosférica.
2.6.4.
El Fenómeno ENOS, El Niño - Oscilación del Sur
Se entiende por el fenómeno ENOS, (El Niño - Oscilación del Sur), a una anomalı́a que en forma aperiódica
sufren tanto la circulación general de la atmósfera como las corrientes marinas en el sector del Pacı́fico Sur
ecuatorial. El fenómeno, cuyas causas aún se investigan, se presenta en forma aperiódica y con distintas
intensidades, en promedio cada tres a cuatro años, y se manifiesta por una parte como una perturbación barométrica, fenómeno denominado Oscilación del Sur en que se debilitan o invierten los gradientes barométricos
normales entre el Pacı́fico ecuatorial en la zona de Indonesia y las costas subtropicales sudamericanas. Este
fenómeno se asocia a su vez a un debilitamiento de los vientos alisios en el Océano Pacifico ecuatorial y a un
2.6. Procesos de Intercambio de Energı́a y Masa en la Atmósfera
53
cambio en el régimen térmico del océano, al cual se le atribuye la ocurrencia de ciertas anomalı́as climáticas,
entre ellas, perturbaciones térmicas y pluviométricas.
En efecto, en condiciones normales, los vientos alisios arrastran las aguas superficiales más calientes del
océano en las cercanı́as de las costas de Ecuador y Perú, provocando la surgencia de masas oceánicas más
profundas de menor temperatura. Al debilitarse esta circulación, se altera la estratificación térmica del océano,
observándose un recalentamiento de sus aguas superficiales, que se extiende hacia el Sur, generándose una
ar
corriente caliente que puede alcanzar hasta la costa norte y central de Chile, y que ha sido denominada
corriente de El Niño, término introducido por los pescadores peruanos, al observar que el fenómeno suele
iniciarse en el mes de diciembre, junto con la fecha de nacimiento del Niño Jesús. El fenómeno genera por
re
lim
in
una parte una alteración en la biótica acuática, ya que los peces se desplazan hacia el Sur, en busca de aguas
más frı́as, con un perjuicio económico para la pesquerı́a de esos paı́ses y por otra parte el fenómeno se asocia
a perturbaciones en el régimen pluviométrico de diversas regiones. En Chile, si bien la correspondencia y
correlación entre ambos fenómenos no es muy alta, estadı́sticamente se ha detectado una mayor probabilidad
de tener años más húmedos cuando prevalece el fenómeno de El Niño y una mayor probabilidad de tener
años más secos, cuando prevalece la situación inversa y las aguas oceánicas tienden a enfriarse, situación que
ha sido denominada “La Niña”. La relación se hace más clara durante el invierno entre las latitudes 30ºS
y 36ºS con predominio de años normales – lluviosos durante eventos El Niño y normales – secos durante
eventos La Niña. Más hacia el sur, entre los 36ºS y 41ºS, la presencia del fenómeno de El Niño se asociarı́a
Bo
rra
do
Bibliografı́a
rP
a la ocurrencia de veranos en el rango normal - seco. (Montecinos, 1998)
Bliss, R. (1961), Atmospheric Radiation Near the Surface of the Ground: A summary for engineers, Solar
Energy, 5, pp 103-120, doi:10.1016/0038-092X(61)90053-6.
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Physics Today.
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Soto, C. (2003), Caracterı́zación de condiciones meteorológicas durante eventos de precipitación a la latitud
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54
Elementos de Climatologı́a y Meteorologı́a
Bo
rra
do
rP
re
lim
in
ar
UNESCO (1995), World Water Balance and Water Resources of the Earth.
re
lim
in
ar
Capı́tulo 3
EVAPORACIÓN Y
Introducción
rP
EVAPOTRANSPIRACIÓN
La evaporación, proceso mediante el cual el agua pasa del estado lı́quido al estado de vapor, es un proceso
natural de enorme trascendencia, ya que como se analizara anteriormente, transforma en energı́a cinética
Bo
rra
do
su calor de vaporización (≈ 600 [cal/gr]), enfriando la superficie evaporante y traspasando esta energı́a a la
atmósfera. Este proceso evita los recalentamientos excesivos de la superficie terrestre y contribuye a compensar
el desequilibrio existente en el balance radiativo. Además, los procesos de evaporación inician la circulación
del agua en la Tierra, generando y manteniendo el ciclo hidrológico. La evaporación ocurre desde la superficie
de los mares, desde la superficie de las aguas dulces continentales, desde suelos u otras superficies húmedas
y a través de los procesos de transpiración de organismos vivos, fundamentalmente los vegetales.
Desde el punto de vista de los recursos hı́dricos, cuando el proceso de evaporación ocurre desde la superficie
de los mares, es tremendamente beneficioso, pues constituye la fuente primaria del recurso. Sin embargo,
cuando la evaporación ocurre desde las aguas dulces continentales, es decir, desde lagos, suelos húmedos,
transpiración vegetal y otros, el proceso constituye una pérdida del recurso que puede llegar a constituir una
gran parte y en ocasiones la casi totalidad del recurso agua disponible.
Es en consecuencia de fundamental importancia en ingenierı́a de recursos hidráulicos, poder medir o cuan-
tificar en forma adecuada las pérdidas por evaporación, si se desea evaluar las disponibilidades netas de agua
en una cuenca o región. Las pérdidas por evaporación son también factores importantes a considerar en la
planificación, diseño y operación de embalses destinados a la regulación de aguas. Por último, toda una rama
de la Ingenierı́a Hidráulica, como la Ingenierı́a de Riego o Hidráulica Agrı́cola, se origina en la necesidad de
reponer a los suelos la humedad perdida por procesos de evaporación y transpiración vegetal.
55
56
Evaporación y Evapotranspiración
3.1.
Definiciones
A continuación se presentación algunas definiciones importantes para facilitar la compresión de este capı́tulo:
Evaporación: Proceso por medio del cual el agua pasa del estado lı́quido al estado gaseoso, a temperaturas inferiores al punto de ebullición.
ar
Sublimación: Proceso por medio del cual el agua pasa directamente del estado sólido al estado gaseoso,
sin pasar por la fase lı́quida.
re
lim
in
Transpiración: Proceso de evaporación del agua absorbida por las plantas y vegetación natural
Evapotranspiración: Efecto conjunto de la evaporación del agua contenida en las plantas y la evaporación
desde la superficie del suelo adyacente.
Uso Consumo: Término utilizado en Agronomı́a, que corresponde a la evapotranspiración neta más la
cantidad de agua utilizada por las plantas en la construcción de su tejido vegetal. En términos prácticos
es cuantitativamente casi equivalente a la evapotranspiración.
Condensación: Proceso por medio del cual el agua pasa del estado gaseoso al estado lı́quido o eventualmente al estado sólido.
rP
Rocı́o: Condensación que ocurre al estado lı́quido, directamente sobre la superficie del terreno.
Bo
rra
do
Escarcha: Condensación que ocurre directamente al estado sólido, sobre la superficie del terreno.
3.2.
Factores que Afectan la Evaporación
La tasa o intensidad a la cual se produce el proceso de evaporación depende de una serie de factores condicionantes, que pueden clasificarse en tres grupos:
Poder evaporante de la atmósfera.
Caracterı́sticas de la superficie evaporante.
Disponibilidad de agua.
A continuación se describen cada uno de estos factores.
3.2.1.
Poder Evaporante de la Atmósfera
Se entiende por poder evaporante de la atmósfera al conjunto de factores de origen atmosférico que controlan
la tasas de evaporación, independientemente de la disponibilidad de agua para evaporar y de las caracterı́sticas
de la superficie evaporante.
3.2. Factores que Afectan la Evaporación
57
Los principales factores atmosféricos que constituyen y condicionan el poder evaporante de la atmósfera
son los siguientes:
Déficit Higrométrico
Se vio al establecer las ecuaciones de intercambio turbulento, que para que exista un flujo de vapor de
agua, es necesaria la existencia de un gradiente de humedad, o expresado de otra manera, un gradiente
ar
de presiones de vapor.
En la superficie de un espejo de agua u otra superficie que contenga agua libre, la presión de vapor
va a corresponder a la presión de vapor saturado, dependiente de la temperatura de la superficie
re
lim
in
evaporante, que como se mencionara anteriormente en el capı́tulo 2, puede cuantificarse utilizando la
ley de Clausius-Clapeyron, según la expresión:
e m L 1
1
v
s
=
−
ln
6.11
R∗
273 T
donde,
es : Presión de vapor saturado, en [Hpa].
mv : Peso molecular del vapor de agua = 18 [gr/mol].
L: Calor latente de vaporización o sublimación, [cal/gr].
T : Temperatura absoluta, en [K].
rP
o en forma más práctica, por la expresión aproximada,
es = 6.11 · e T +239
Bo
rra
do
17.4T
donde es está en [Hpa] y T en [°C].
Si el aire en contacto con la superficie del agua tiene una presión de vapor ea menor que la de saturación,
se producirá un gradiente de presiones de vapor, denominándose déficit higrométrico, a la diferencia
entre estas presiones de vapor, es decir,
ϑ = es − ea
(3.1)
donde ϑ es el déficit higrométrico.
Este déficit higrométrico se utiliza para cuantificar el gradiente de humedad entre la superficie del
agua y el aire, que originará un flujo o traspaso de humedad desde la superficie a la atmósfera, lo que
constituye el proceso de evaporación.
El primero en reconocer la importancia de este factor en el proceso de evaporación fue Dalton en 1802,
quién estableció una relación para evaluar la evaporación desde superficies de agua conocida como la
Ley de Dalton.
E = k (es − ea )
(3.2)
58
Evaporación y Evapotranspiración
El factor k depende de otros factores que intervienen en el poder evaporante de la atmósfera,
entre los que destacan la velocidad del viento, la estabilidad atmosférica y el suministro de energı́a o
radiación solar para proporcionar el calor que consume el proceso de cambio de estado del agua.
De hecho, aún hoy en dı́a, la mayorı́a de las fórmulas empı́ricas propuestas para cuantificar la evaporación se basan en la ley de Dalton, cuantificando con distintos criterios el factor k.
Suministro de Calor
ar
Dado que la evaporación consume calor latente de vaporización, si el proceso ocurre sin suministro
de calor externo, la superficie evaporante comenzará a enfriarse disminuyendo su presión de vapor
re
lim
in
saturado, hasta anular el déficit higrométrico. Para mantener el proceso evaporativo en el tiempo, en
consecuencia, es necesario un suministro externo de calor, que evite el enfriamiento del agua. La fuente
de calor es normal y principalmente la radiación solar, razón por la cual la evaporación natural ocurre
fundamentalmente durante las horas del dı́a, disminuyendo considerablemente, aún hasta anularse o
invertirse (condensación) durante las horas de la noche.
Vientos
Si la atmósfera está en reposo durante el proceso de evaporación, el aumento de vapor de agua se
concentrará en las capas bajas con muy poca difusión, incrementando la presión de vapor del aire,
tendiendo también a anular el déficit higrométrico. En el proceso evaporativo, en consecuencia, es
rP
importante la acción del viento en la remoción del aire húmedo y su reemplazo por masas de aire más
secas, que mantengan el déficit higrométrico. El grado de influencia del viento depende además del
tamaño de la superficie evaporante.
Estabilidad Atmosférica
Bo
rra
do
La estabilidad o inestabilidad atmosférica al frenar o aumentar la difusión vertical turbulenta de las
masas de aire influyen en forma similar a los vientos en la remoción del aire húmedo en superficie. Una
atmósfera inestable, en definitiva tenderá a provocar más evaporación que una atmósfera estable.
Presión Atmosférica
El aumento de la presión atmosférica implica un aumento de la densidad del aire por lo que habrá un
mayor número de moléculas de aire que interfieren y dificultan el flujo de las moléculas de vapor. En
general, entonces, la evaporación tenderá a disminuir con el aumento de la presión atmosférica.
3.2.2.
Caracterı́sticas de la Superficie Evaporante
Las caracterı́sticas de la superficie evaporante influyen también en el proceso de evaporación, en términos
de la cantidad de agua libre que esté disponible para la evaporación. Ası́, espejos de agua libre tienden a
evaporar más que superficies de suelos húmedos o saturados y que el follaje de la vegetación, donde actúan
fuerzas que tienden a atraer y fijar el agua.
Dentro de superficies de agua libre, el agua con movimiento u oleaje evapora del orden del 5 al 10 % más
que el agua en reposo.
3.3. Evaporación de Suelos y Transpiración Vegetal
59
Otro factor que influye es la salinidad del agua, ya que la presencia de sólidos solubles disminuye la presión
de vapor saturado de acuerdo a la Ley de Raoult,
ew − ews
m
=
=f
ew
m+M
(3.3)
donde,
ar
f : Fracción molar de la solución.
m: Número de moles de sal.
re
lim
in
M : Número de moles de agua.
ew : Presión de vapor saturado sobre agua pura.
ews : Presión de vapor saturado sobre agua salada.
En general, la tasa de evaporación disminuye del orden de un 1 % por cada 1 % de aumento de la salinidad.
Una última caracterı́stica de la superficie evaporante que influye en el proceso de evaporación, es el tamaño
de la superficie. En los bordes de la superficie la tasa de evaporación tiende a ser mayor por efectos de difusión
lateral, efecto conocido como “efecto oasis”. Por lo anterior, las superficies evaporantes más pequeñas tienden
a tener una tasa de evaporación por unidad de superficie mayor. A lo anterior se suma una mayor influencia
3.2.3.
rP
de los efectos del viento y del calor de advección sobre superficies más pequeñas.
Disponibilidad de Agua
Aunque parezca de Perogrullo, es necesario destacar que para que exista un proceso de evaporación, se
Bo
rra
do
necesita disponer de la cantidad de agua necesaria para satisfacer el poder evaporante de la atmósfera. Si
por alguna razón la disponibilidad de agua para evaporar es menor que el poder evaporante de la atmósfera,
ya sea porque la superficie comienza a secarse o por alguna otra razón, la tasa de evaporación comenzará a
disminuir quedando restringida a la disponibilidad de agua libre, llegando incluso a anularse.
Al respecto se definen los conceptos de evaporación y evapotranspiración potencial, como la máxima tasa de
evaporación o evapotranspiración que puede ocurrir para un determinado poder evaporante de la atmósfera,
siempre que en todo momento exista la disponibilidad de agua necesaria. En estos términos, la evaporación o
evapotranspiración potencial es el lı́mite máximo de evaporación o evapotranspiración posible. La evaporación
o evapotranspiración real podrá ser menor o a lo sumo igual a la potencial, dependiendo de la disponibilidad
de agua, llegando incluso a anularse si la disponibilidad de agua se agota.
3.3.
Evaporación de Suelos y Transpiración Vegetal
La evaporación no sólo ocurre desde superficies de agua libre; también ocurre desde cualquier superficie
húmeda, como pueden ser los suelos o el follaje de la vegetación.
La evaporación de suelos superficialmente saturados puede ser del orden del 80 % al 95 % del valor de
60
Evaporación y Evapotranspiración
un espejo de agua, pero se reduce rápidamente al secarse la capa superficial del suelo. Valores tı́picos de
evaporación desde superficie de suelos saturados respecto a la evaporación desde espejos de agua libre, son
los siguientes:
95 - 100 %
Limos:
85 - 95 %
Arcillas:
75 - 85 %
ar
Arenas:
La transpiración vegetal, en cambio, al extraer las plantas el agua a través de su sistema radicular que
penetra en profundidad el suelo, es mucho más permanente en el tiempo, siendo de hecho la principal fuente
re
lim
in
de evaporación en zonas continentales. El flujo de agua a través de troncos y tallos desde las raı́ces hasta
las hojas, donde fundamentalmente traspira, cumple además la función de lı́quido portador de los nutrientes
necesarios para la planta.
Al efecto conjunto de la transpiración vegetal y de la evaporación del suelo que la circunda, se le denomina
evapotranspiración, que si bien puede ser medida mediante instrumentos llamados lisı́metros, normalmente
se evalúa mediante la expresión,
ETp = cc · Ep
(3.4)
rP
Donde ETp es la evapotranspiración potencial y el coeficiente cc , llamado coeficiente de cultivo, depende del
tipo de vegetación y de la etapa de su desarrollo vegetativo.
El término evapotranspiración potencial surge del hecho de suponer que en todo momento existe la disponibilidad de agua necesaria para satisfacer las necesidades transpirativas de la planta. Si existen restricciones de
Bo
rra
do
suministro de agua y el suelo baja de cierto nivel mı́nimo de humedad, la evapotranspiración real será menor
que la potencial, hasta llegar a anularse si la planta se marchita.
En algunos textos de Agronomı́a suele definirse la evapotranspiración potencial como la tasa de evaporación
que ocurre desde una superficie de alfalfa verde con cobertura total sobre el terreno, siempre que exista en
todo momento la disponibilidad de agua para satisfacer el proceso, aún cuando originalmente dicha definición
correspondió al término evapotranspiración “referencial”. En estos términos esta definición concuerda más
con lo que en este texto ha sido definido como poder evaporante de la atmósfera o evaporación potencial,
bajo el supuesto de que la alfalfa tenga un coeficiente de cultivo cercano al valor 1.0
A la evapotranspiración potencial de otro tipo de cultivos, con coeficientes distintos del valor 1.0, se le
identifica en algunos textos de Agronomı́a como Evapotranspiración Actual, en una desafortunada traducción
del término inglés “Actual Evapotranspiration” que vendrı́a a corresponder a lo que aquı́ se ha denominado
evapotranspiración potencial, siempre mayor o a lo sumo igual a la evaporación real.
3.4.
Medición de la Evaporación
El instrumento básico para medir la evaporación es el evaporı́metro, del cual se distinguen tres tipos:
3.4. Medición de la Evaporación
61
Evaporı́metro de estanque o de bandeja
Evaporı́metro de papel poroso (tipo Piche)
Evaporı́metro de membrana porosa o atmómetro.
La medición que arroja un evaporı́metro es sólo un “ı́ndice” de la verdadera evaporación ocurrida sobre
una superficie de agua de mayor tamaño, debido principalmente a diferencias en el calor absorbido y distintos
ar
efectos del viento y del calor de advección. Por estos efectos, la evaporación medida debe multiplicarse por
un factor correctivo, denominado coeficiente de embalse del evaporı́metro, para hacerla más representativa
re
lim
in
de la evaporación real.
Se define entonces el coeficiente de embalse de un evaporı́metro por la relación,
C=
donde,
Er
Em
(3.5)
C: Coeficiente de embalse del evaporı́metro, dependiente de su tipo y de las condiciones de instalación.
Er : Evaporación real.
Em : Evaporación medida.
rP
En general en meteorologı́a o hidrologı́a el concepto de “ı́ndice hidrológico o meteorológico” se aplica a
todas aquellas variables medidas que no corresponden exactamente a la variable que se desea medir, pero que
corresponden a una variable asociada, altamente correlacionada con la variable original y de cuyo análisis
Bo
rra
do
puedan extraerse conclusiones válidas para la variable de interés.
3.4.0.1.
Evaporı́metros de Estanque
El evaporı́metro de estanque, como su nombre lo indica consiste en un estanque o bandeja de sección circular
o rectangular que se llena con agua y que puede instalarse sobre la superficie del terreno, semi-enterrado en
el terreno de manera que la superficie del agua coincida con la rasante del suelo, o flotando en un lago o
embalse.
El coeficiente de embalse del evaporı́metro dependerá de su diseño y condiciones de instalación, por lo que
es conveniente para propósitos comparativos que todos los instrumentos sean iguales. Existiendo diversos
modelos diseñados para medir la evaporación, el instrumento básico y más frecuente es el evaporı́metro de
bandeja o estanque tipo A del U.S.W.B., instrumento que consiste simplemente en un estanque de sección
circular construido en fierro galvanizado sin pintar, que se instala sobre una parrilla de manera que permite
la circulación del aire bajo él y cuyas dimensiones y condiciones de instalación están normalizadas.
Las principales dimensiones son las siguientes:
Diámetro: 4’ o 122 [cm]
Alto: 10” o 25.5 [cm]
62
Evaporación y Evapotranspiración
Alto de la parrilla sobre la que se instala el instrumento: 15 [cm]
Borde libre o revancha inicial de llenado: 2” o 5 [cm]
La unidad de medida es el milı́metro de altura de agua y la medición se efectúa llenando inicialmente el
estanque hasta el nivel inicial predeterminado y registrando la cantidad de agua necesaria para reponer el
nivel original en un intervalo de tiempo dado, normalmente un dı́a, lo que da origen a las estadı́sticas de
ar
evaporaciones diarias.
Las principales instituciones que recopilan información evaporı́metrica en Chile son la Dirección General
de Aguas del Ministerio de Obras Públicas (DGA), la Dirección Meteorológica de Chile, dependiente de la
re
lim
in
Dirección de Aeronáutica (DMC) y organismos dependientes del Ministerio de Agricultura.
El coeficiente de embalse del evaporı́metro de bandeja Tipo A, puede variar, según recomendaciones de la
FAO, entre 0.35 y 0.85 dependiendo del ambiente de su instalación, de la humedad del aire y de la velocidad
del viento, según se indica en la Tabla 3.1; en ausencia de mejor información se recomienda un valor del orden
de 0.7.
Tabla 3.1: Coeficientes de embalse de Evaporı́metros de Bandeja Tipo A.
Condición de instalación
Instrumento en terreno con cobertura vegetal verde
Instrumento en terreno seco sin cubierta vegetal (*)
Humedad relativa
Baja
Media
Alta
Baja
Media
Alta
media [ %]
(< 40)
(40 – 70)
(> 70)
(< 40)
(40 – 70)
(> 70)
0.85
Distancia del área verde
[km/dı́a]
viento arriba [m]
0.55
0.65
0.75
Distancia del área seca
Viento arriba [m]
0
0.7
0.8
Ligero
10
0.65
0.75
0.85
10
0.6
0.7
0.8
(<175)
100
0.7
0.8
0.85
100
0.55
0.65
0.75
1000
0.75
0.85
0.85
1000
0.5
0.6
0.7
0.8
Bo
rra
do
0
rP
Recorrido del viento
0
0.5
0.6
0.65
0
0.65
0.75
Moderado
10
0.6
0.7
0.75
10
0.55
0.65
0.7
(175 – 425)
100
0.65
0.75
0.8
100
0.5
0.6
0.65
1000
0.7
0.8
0.8
1000
0.45
0.55
0.6
0
0.45
0.5
0.6
0
0.6
0.65
0.7
10
0.55
0.6
0.65
10
0.5
0.55
0.65
100
0.6
0.65
0.7
100
0.45
0.5
0.6
1000
0.65
0.7
0.75
1000
0.4
0.45
0.55
Fuerte
(425 – 700)
0
0.4
0.45
0.5
0
0.5
0.6
0.65
Muy fuerte
10
0.45
0.55
0.6
10
0.45
0.5
0.55
(> 700)
100
0.5
0.6
0.65
100
0.4
0.45
0.5
1000
0.55
0.6
0.65
1000
0.35
0.4
0.45
(*): En el caso de vastas extensiones de suelos desnudos y en ausencia total de vegetación, reducir los valores del coeficiente de embalse
en un 20 % en condiciones calurosas y ventosas, y en un 5 a 10 % en condiciones moderadas de viento, temperatura y humedad.
Por último es necesario señalar que la medición de un evaporı́metro es de tipo puntual, es decir mide la
variable o “ı́ndice” en el punto especı́fico de su instalación. Para poder cuantificar la evaporación sobre una
cuenca o región, es necesario instalar una adecuada red de evaporı́metros. En la publicación “Balance Hı́drico
de Chile”, de la DGA (1987) se presentan curvas de isoevaporación para diversas regiones del paı́s.
Valores tı́picos de evaporación media mensual en distintas localidades de Chile, se presentan en la Tabla 3.2.
3.4. Medición de la Evaporación
63
Aún cuando las cifras no son estrictamente comparables pues corresponden a distintos perı́odos y longitudes
de medición, muestran claramente la dependencia de la evaporación con las caracterı́sticas térmicas y de
humedad ambiental de las distintas localidades, además de la eventual dependencia de las condiciones de
instalación del instrumento.
Tabla 3.2: Evaporación mensual de bandeja [mm].
Estación
ENE
FEB
MAR
ABR
MAY
JUN
JUL
AGO
SEP
OCT
NOV
DIC
ANUAL
251
285
2600
213
242
2069
429
444
4515
235
282
2194
221
240
1979
325
283
286
228
181
134
121
133
159
214
260
214
197
149
122
100
106
127
148
191
Calama
432
364
410
348
344
314
338
323
354
415
Copiapó
322
249
209
148
99
103
88
116
145
198
Vallenar
302
228
195
134
97
73
71
108
133
177
La Serena
159
134
115
81
65
51
48
53
75
92
113
148
1134
Vicuña
287
242
210
137
99
85
85
114
149
214
246
284
2152
San Felipe
268
219
176
104
64
47
36
62
105
144
203
245
1673
Santiago
224
174
138
71
39
24
27
45
69
115
160
214
1300
Rancagua
210
150
109
60
28
18
21
34
51
103
155
190
1129
Curicó
236
191
142
88
47
37
42
53
75
107
163
215
1396
Linares
244
204
153
73
33
19
16
30
58
106
130
218
1284
Chillán
245
189
144
85
32
16
21
40
73
113
170
203
1310
Ls. Angeles
225
183
135
65
33
25
28
39
65
102
144
196
1240
Victoria
190
152
121
67
37
34
37
40
78
84
124
162
1126
Temuco
137
117
101
55
28
22
32
41
68
86
94
135
916
Osorno
133
127
110
81
46
36
68
51
47
69
91
133
992
Pto. Montt
161
119
89
66
43
37
43
50
73
109
130
154
1074
Pta. Arenas
118
98
56
36
13
0
0
0
30
65
114
127
657
re
lim
in
Evaporı́metro de Papel Poroso
Bo
rra
do
3.4.1.
rP
Fuente: CNR-CIREN (1997).
ar
Arica
Antofagasta
El evaporı́metro de papel poroso o evaporı́metro Piche, de uso frecuente en Europa, es poco utilizado en Chile,
consistiendo en un tubo de vidrio con forma de un pequeño bastón invertido, de 14 [mm] de diámetro y 22.5
[cm] de largo, que se llena con agua. En el extremo inferior, lleva una tapa de material poroso, exactamente
de papel filtro en forma de “hostia” de 32 [mm] de diámetro, que permite la evaporación del agua, cuya
magnitud se mide mediante una escala en el tubo de vidrio. Presenta el problema de que por su pequeño
tamaño, es muy sensible a las variaciones de radiación y viento, con un coeficiente de embalse promedio del
orden de C=0.5, con fuertes variaciones estacionales.
3.4.2.
Evaporı́metro de Porcelana Porosa o Atmómetro
Consisten en esferas, placas o cilindros de porcelana porosa, conectados a una fuente de agua para mantenerlos
permanentemente saturados, que se utilizan principalmente en Agronomı́a para estimar la evapotranspiración
potencial. Tienen poco uso en Meteorologı́a.
64
3.5.
Evaporación y Evapotranspiración
Estimación de la Evaporación y Evapotranspiración
Considerando que la evaporación potencial o poder evaporante de la atmósfera depende fundamentalmente
de las caracterı́sticas climatológicas y meteorológicas, se han propuesto diversos métodos basados en consideraciones teóricas aerodinámicas, en balances de energı́a, ası́ como fórmulas empı́ricas, semi empı́ricas y
combinadas, para lograr estimaciones de la evaporación y evapotranspiración potencial. Dentro de un gran
Fórmula de Thornthwaite-Holzman o Método Aerodinámico
re
lim
in
3.5.1.
ar
número de fórmulas o métodos que se han propuesto en la literatura, pueden destacarse los siguientes métodos.
Este método es tal vez el de mayor base teórica, basado en los conceptos de intercambio turbulento de masa
y energı́a.
Dividiendo las ecuaciones (2.85) y (2.83) de intercambio turbulento de calor latente y cantidad de movimiento, se obtiene:
QL = −τ · L ·
KW dq/dz
KM du/dz
(3.6)
los niveles 1 y 2, se obtiene,
rP
Utilizando a su vez la ecuación (2.89) de Von Karman-Prandtl para estimar los esfuerzos tangenciales τ entre
τ = ρa k 2
(u2 − u1 )2
(3.7)
(ln(z2 /z1 ))
2
Bo
rra
do
donde ρa es la densidad del aire.
Reemplazando en la ecuación anterior y expresando las derivadas como diferencias finitas entre los niveles 1
y 2, resulta,
QL = ρa · L · k 2
KW (q1 − q2 ) · (u2 − u1 )
2
KM
(ln(z2 /z1 ))
(3.8)
Postulando que los coeficientes de intercambio turbulento de calor latente y cantidad de movimiento fuesen
parecidos, (KW ≈ KM ), Thornthwaite y Holzman plantean su ecuación para estimar la tasa másica de
evaporación por unidad de superficie mediante la relación simplificada,
ṁa = ρa · k 2
(q1 − q2 ) · (u2 − u1 )
(ln(z2 /z1 ))
2
(3.9)
La ecuación anterior, conocida como fórmula aerodinámica o fórmula de Thornthwaite-Holzman, debe ser
aplicada con precaución, ya que sólo es válida cuando las condiciones atmosféricas son neutras o cuasi neutras,
, debido por una parte a la hipótesis de igualdad entre los coeficientes de intercambio turbulento que es sólo
admisible bajo esas condiciones, y por otra parte porque cuando la atmósfera no es neutra, los perfiles de
velocidad pueden apartarse considerablemente de la ley de Von Karman-Prandtl.
3.5. Estimación de la Evaporación y Evapotranspiración
65
Diversos autores han propuesto factores correctivos a la fórmula de Thornthwaite-Holzman, para condiciones no neutras, principalmente en función del Número de Richardson o del parámetro de Monin-Obukhov,
que deben consultarse en bibliografı́a especializada.
3.5.2.
Método del Balance de Energı́a o Fórmula de Bowen
ar
Los flujos de intercambio de energı́a entre la tierra y la atmósfera corresponden a flujos radiativos, de calor
latente y calor sensible. Por lo tanto, planteando una ecuación de balance energético sobre una superficie
re
lim
in
unitaria de agua o suelo, resulta:
RN − QL − QH = Qs
donde,
RN : Flujo de radiación neto.
QL : Flujo de calor latente.
QH : Flujo de calor sensible
(3.10)
Qs : Flujo de calor que se incorpora a la superficie.
rP
En la expresión anterior la radiación se considera positiva si incide sobre la superficie, los flujos de calor
latente y sensible se consideran positivos cuando los emite la superficie y el flujo de calor incorporado será nulo
si el sistema está en equilibrio, positivo si se está calentando y negativo si se está enfriando. La ecuación
anterior supone también que todo el intercambio energético ocurre en la vertical. En la práctica puede ocurrir
Bo
rra
do
que existan aportes de calor laterales como por ejemplo viento o aportes de agua con temperaturas distintas
a la del sistema, calor que se denomina genéricamente calor de advección, por lo que la ecuación de balance,
en su forma más general queda,
RN − QL − QH + QA = Qs
(3.11)
donde,
QA : calor de advección.
Reordenando la ecuación anterior, se obtiene,
QH
QL 1 +
= RN + QA − Qs
QL
(3.12)
Al cuociente entre el flujo de calor sensible y calor latente se le conoce con el nombre de cuociente o razón
de Bowen, β, de donde,
QL =
RN + QA − Qs
1+β
(3.13)
66
Evaporación y Evapotranspiración
Para evaluar la razón de Bowen se puede recurrir a las ecuaciones de intercambio turbulento de calor sensible
y latente, de donde,
β=
QH
cp KH dT
=
QL
L KW dq
(3.14)
calor latente se expresa finalmente mediante la relación,
RN + QA − Qs
c KH dT
1 + Lp K
W dq
(3.15)
re
lim
in
QL =
ar
Suponiendo nuevamente la igualdad entre los coeficientes de intercambio turbulento (KH = KW ), el flujo de
La ecuación anterior se conoce como ecuación o fórmula de Bowen, que ha demostrado ser aplicable
para condiciones atmosféricas no neutras, ya que la hipótesis de igualdad de los coeficientes de intercambio
turbulento ha resultado más válida que en el caso de la fórmula aerodinámica. Sin embargo la fórmula pierde
precisión, tendiendo a indefinirse, para condiciones atmosféricas muy particulares en que el coeficiente o razón
de Bowen tiende al valor β = −1.
3.5.3.
Fórmulas Combinadas
rP
Los métodos anteriores permiten estimar las tasas de evaporación, estrictamente en forma instantánea, o a lo
más, a escala horaria, requiriendo de mediciones meteorológicas de buena calidad, lo que es difı́cil de lograr
en la práctica. En consecuencia, son poco apropiadas para estimaciones rutinarias en que basten valores promedios a escala diaria o mensual. Debido a lo anterior, se han propuesto diversas fórmulas semiempı́ricas que
Bo
rra
do
tratan de adaptar la teorı́a a la realidad, mediante la introducción de coeficientes o funciones experimentales.
Estas fórmulas se pueden clasificar en dos grupos: las fórmulas combinadas y las fórmulas basadas en la Ley
de Dalton.
Las fórmulas combinadas son las que tienen una mayor base teórica y se basan en una combinación de las
ecuaciones de intercambio turbulento y de balance de energı́a, con el objeto de eliminar algunas variables
desconocidas y expresar las ecuaciones en función de variables comúnmente disponibles. Contienen además,
alguna función de tipo empı́rico, que normalmente representa una estimación de los coeficientes de intercambio
turbulento. Entre diversas fórmulas de este tipo, pueden destacarse las fórmulas de Penman y de Mc Ilroy.
3.5.3.1.
Fórmula de Mc Ilroy
Combinando las ecuaciones de intercambio turbulento y la ecuación de balance de energı́a, y reemplazando
además algunas variables en base a la ecuación psicrométrica, Mc Ilroy propuso la siguiente expresión para
la estimación del flujo de calor latente:
QL =
∆
(RN + QA − Qs ) + h · (D − D0 )
∆+γ
(3.16)
3.5. Estimación de la Evaporación y Evapotranspiración
67
donde,
∆=
des
dT :
Derivada o pendiente de la curva de presión de vapor saturado vs. temperatura, evaluada con la
temperatura de bulbo húmedo (Tw ).
γ=
cp p
εL :
Constante psicrométrica.
D = (T − Tw ): Depresión de bulbo húmedo a una cota z.
D0 : Depresión de bulbo húmedo en superficie.
ρa cp KH
:
z
Función a determinar empı́ricamente.
ar
h=
La ecuación permitirı́a estimar tanto evaporación como evapotranspiración a partir de información de ra-
diación neta, temperatura de bulbo seco y temperatura de bulbo húmedo, estas últimas medidas en superficie
re
lim
in
y a una cota z. En el caso de evaporación de superficies de agua lı́quida puede aceptarse que D0 tiene un
valor nulo.
En cuanto a la función empı́rica “h”, experiencias efectuadas en California, con un clima muy parecido al
de Chile Central, proponen estimar esta función mediante la expresión,
h = 0.036 · (1 + u1 )
(3.17)
donde u1 es la velocidad del viento en [m/seg] medida a una cota z = 1 [m] y aplicable cuando el flujo de
calor latente se expresa en unidades de [cal/cm2 · min].
∆
∆+γ
en función de la temperatura de bulbo húmedo
rP
En la Tabla 3.3 se presentan valores de la función
(Tw ), para una presión barométrica de 1000 [Hpa].
Por otro lado, La derivada de la presión de vapor saturado respecto a la temperatura puede ser determinada
a partir de la ley de Clausius-Clapeyron. Ası́, considerando la ecuación (2.22) se obtiene:
des
4158.6
( T17.4T
+239 )
=
2 · 6.11 · e
dT
(T + 239)
Bo
rra
do
∆=
(3.18)
donde T está en [°C].
Como el valor de γ se puede obtener fácilmente, la ecuación (3.18) permite determinar el valor de la función
∆
∆+γ
para cualquier valor de Tw .
Tabla 3.3: Valores de la función
∆
∆+γ
(p = 1000 [Hpa]).
Tw [°C]
∆
∆+γ
Tw [°C]
∆
∆+γ
0
0.4
18
0.651
2
0.431
20
0.675
4
0.461
22
0.699
6
0.49
24
0.722
8
0.519
26
0.744
10
0.547
28
0.765
12
0.575
30
0.785
14
0.601
32
0.805
16
0.626
34
0.824
68
Evaporación y Evapotranspiración
3.5.3.2.
Formula de Penman
En base a un desarrollo muy similar al anterior, Penman propuso la expresión
∆
γ
· (RN + QA − Qs ) +
· L · Ea
∆+γ
∆+γ
(3.19)
ar
QL =
re
lim
in
donde Ea es una medida del poder evaporante de la atmósfera, para lo cual propone la expresión,
ε
Ea = ρa (a + b · u)(es − e)
p
donde,
ρa : Densidad del aire.
p: Presión atmosférica.
u: Velocidad del viento.
(3.20)
a: Constante con dimensión de velocidad a determinar empı́ricamente.
b: Constante adimensional, a determinar empı́ricamente.
rP
es : Presión de vapor saturado a una temperatura T .
e: Presión de vapor a una temperatura T .
Bo
rra
do
Para condiciones normales de densidad y presión atmosférica, se ha propuesto la relación,
Ea = 0.0265(1 + 0.0062 · u2 )(es − e)
(3.21)
donde Ea se expresa en [gr/cm2 · dı́a], la presión de vapor en [Hpa] y u2 es la velocidad del viento a 2 metros
de altura expresado en [km/dı́a].
Reemplazando lo anterior en la ecuación (3.19) y expresando en términos volumétricos, la ecuación de
Penman queda finalmente,
E=
QL
∆
γ
= 0.0167
· (RN + QA − Qs ) + 0.265
(1 + 0.0062 · u2 )(es (T ) − e(T ))
ρw · L
∆+γ
∆+γ
(3.22)
donde Ea se obtiene en [mmdı́a], el término RN se expresa en [gr/cm2 · dı́a] y los términos QA y Qs , suelen
despreciarse.
Nótese que el término
γ
∆+γ
equivale al valor 1 −
la Tabla 3.3, o bien a partir de la ecuación (3.18).
∆
∆+γ
, por lo que su valor numérico puede obtenerse de
3.5. Estimación de la Evaporación y Evapotranspiración
3.5.4.
69
Fórmulas Basadas en la Ley de Dalton
Un gran número de fórmulas empı́ricas han sido propuestas en la literatura especializada para estimar tasas
de evaporación a distintas escalas de tiempo, las cuales se basan en la ecuación (3.2) o Ley de Dalton,
3.5.4.1.
Fórmula del Lago Hefner
ar
proponiendo distintas expresiones para evaluar el coeficiente de proporcionalidad k.
Esta fórmula, deducida originalmente en 1954, en base a datos de evaporación del Lago Hefner, ha sido
re
lim
in
extendida para su aplicación universal mediante la expresión,
E = 0.291 · A−0.05 u2 (es − e)
donde,
E: Evaporación en [mm/dı́a].
(3.23)
A: Área del lago o superficie evaporante en [m2 ]
u2 : Velocidad media diaria del viento a 2 [m] de altura, en [m/s].
es − e: Déficit higrométrico en [mb] o [Hpa].
Fórmula de los Servicios Hidrológicos de la ex URSS
rP
3.5.4.2.
Bo
rra
do
E = 0.15(1 + 0.72 · u2 )(es − e)
(3.24)
donde,
E: Evaporación en [mm/dı́a].
u2 : Velocidad media diaria del viento a 2 [m] de altura, en [m/s].
es − e: Déficit higrométrico en [mb] o [Hpa].
3.5.4.3.
Fórmula de Meyer
Esta fórmula ha dado resultados relativamente buenos en Chile,
E = c(1 + 0.22 · u10 )(es − e)
(3.25)
donde,
E: Evaporación en [mm/mes].
u10 : Velocidad media diaria del viento a 10 [m] de altura, en [m/s].
es − e: Déficit higrométrico en [mb] o [Hpa].
c: Factor que depende de la profundidad y tamaño de la superficie evaporante. sus valores oscilan entre 8 y
11.
70
3.5.5.
Evaporación y Evapotranspiración
Fórmulas Climatológicas
Desde un punto de vista climatológico, se han propuesto también una serie de métodos o fórmulas para
estimar la evaporación o evapotranspiración natural a nivel de cuencas u hoyas hidrográficas. Entre ellas es
posible destacar:
Fórmula de Turc
Fórmula de origen climatológico para estimar evapotranspiración potencial:
T
65 − h
· (R + 50) · 1 +
T + 15
120
donde,
ETp : Evapotranspiración potencial [mm/dı́a].
T : Temperatura media diaria [°C].
R: Radiación global [cal/cm2 dı́a].
h: Humedad relativa media diaria [ %].
re
lim
in
ETp = 0.013 ·
ar
3.5.5.1.
(3.26)
3.5.5.2.
rP
En esta fórmula el último factor toma un valor 1 para humedades mayores a 65 %.
Método de Thornthwaite
De acuerdo a este autor, la evapotranspiración potencial en cuencas naturales se puede estimar por la expre-
Bo
rra
do
sión,
T
ETp = 16 · d · 10 ·
Ic
a
(3.27)
donde,
ETp : Evapotranspiración potencial [mm/mes].
T : Temperatura media mensual [°C].
d: Coeficiente de horas de luz.
Ic : Indice de calor anual.
El coeficiente de horas de luz (d) corresponde al cuociente entre la duración media de las horas de luz del
mes respecto al valor promedio 12 horas. Es un valor calculable astronómicamente, dependiendo de la latitud
del lugar y la época del año. En la Tabla 3.4 se presentan valores del coeficiente mensual de horas de luz en
función de la latitud u época del año.
Por otro lado, el indice de calor anual está definido por la relación,
IC =
12
X
i=1
ic
(3.28)
3.6. Evaporación desde Salares
71
donde a su vez, el ı́ndice de calor mensual ic se estima por la relación,
1.51
T
ic =
5
(3.29)
Por último, El exponente a se calcula por la expresión,
a = 6.75 × 10−7 Ic3 − 7.71 × 10−5 Ic2 + 1.79 × 10−2 Ic + 0.492
ar
(3.30)
Tabla 3.4: Coeficiente de horas de luz (d).
E
F
M
A
M
J
J
A
S
O
N
D
10
1.08
0.98
1.05
0.99
1.01
0.96
1
1
1
1.06
1.05
1.1
20
1.14
1.01
1.05
0.97
0.96
0.91
0.95
0.99
1
1.09
1.09
1.15
30
1.2
1.04
1.06
0.95
0.92
0.85
0.9
0.95
1
1.12
1.14
1.21
35
1.23
1.06
1.06
0.94
0.89
0.82
0.87
0.93
1
1.13
1.17
1.25
40
1.27
1.08
1.07
0.93
0.86
0.78
0.84
0.91
1
1.15
1.2
1.29
45
1.31
1.1
1.07
0.91
0.82
0.73
0.8
0.89
0.99
1.17
1.24
1.33
50
1.37
1.14
1.1
0.89
0.79
0.68
0.74
0.86
0.99
1.19
1.29
1.41
re
lim
in
Latitud Sur [°]
Para ambas fórmulas recién presentadas, se debe considerar que para su aplicación a alguna cobertura
rP
vegetal especı́fica, deben multiplicarse por su respectivo coeficiente de cultivo.
Existen además numerosas otras fórmulas empı́ricas que se utilizan principalmente en Agricultura, para la estimación de la evapotranspiración potencial de cultivos comerciales. En la publicación “Calculo y
Bo
rra
do
Cartografı́a de la Evapotranspiración Potencial en Chile”, de CNR-CIREN (1997) se proponen valores de
evapotranspiración potencial para distintas localidades del paı́s, estimados con diversas metodologı́as.
3.6.
Evaporación desde Salares
En la zona Norte del paı́s existen numerosas cuencas endorreicas que no tienen descarga al mar, por lo que
las aguas se concentran en el punto más bajo de ellas, conformando lagos o lagunas cerradas que al evaporar
potencialmente más que la alimentación que reciben, se transforman en salares, de los cuales se evaporan
todos o gran parte de los recursos hı́dricos de la cuenca.
Cuando los salares mantienen lagunas o espejos de agua libre, o cuando su costra se mantiene permanen-
temente saturada, la evaporación debe ser cercana a la evaporación potencial de agua o suelos saturados,
corregidos por un factor que considere la salinidad del agua.
Si la superficie del salar se seca, y el nivel de las aguas subterráneas del salar comienza a bajar, las tasas
de evaporación deben reducirse considerablemente, en forma análoga a lo que sucede en los suelos.
A pesar de la enorme trascendencia que tiene el recurso agua en zonas desérticas, existe muy poca información que permita estimar las tasas de evaporación desde salares.
72
Evaporación y Evapotranspiración
Algunos estudios realizados, proponen leyes de decaimiento exponencial de la tasa de evaporación, a medida
que la profundidad del nivel freático aumenta, expresadas mediante la relación,
E = Ea e−k·z
(3.31)
donde,
ar
E: Evaporación desde el salar o laguna [mm/dı́a].
Ea : Evaporación desde superficie de agua [mm/dı́a].
z: Profundidad de la napa [m].
re
lim
in
k: Constante de decaimiento
Para la constante k se han propuesto los valores k = 3.25 para el Salar de Atacama (Mardones, 1986)
y k = 0.92 para el Salar de Bellavista (Grilli et al., 1987). Sin embargo, estos valores se estiman aún muy
aproximados y de carácter sólo referencial.
3.7.
Evaporación desde Superficies de Hielo o Nieve
Muy poca información se dispone respecto a las tasas de evaporación desde superficies de hielo o nieve. En
general se estima que la sublimación directa es bastante reducida, produciéndose principalmente la evapora-
rP
ción cuando el hielo o nieve comienzan a tener algún contenido de agua lı́quida. Se han informado valores
del orden de 20 a 40 [mm/año] en regiones frı́as septentrionales, del orden de 10 a 20 [mm/mes] en latitudes
medias y valores de 2 a 4 [mm/dı́a] en zonas montañosas subtropicales como los Montes Atlas en Marruecos
o la Cordillera de Los Andes en el Norte de Chile.
Bo
rra
do
Algunos valores medidos en la localidad de La Parva, en la precordillera de Santiago, arrojaron los valores
estimativos que se presentan en la Tabla 3.5.
Tabla 3.5: Valores estimativos de sublimación de nieves Lat. 33º Cota 2600 [m.s.n.m.].
Mes
E
F
M
A
M
J
J
A
S
O
N
D
E [mm/mes]
52.7*
43.9*
41.8*
26.4*
17.5
12.5
12.5
11.5
20.7*
29.3*
40.5*
45.0*
Los valores marcados con asterisco (*) no corresponden a valores medidos, sino que estimados en base a
correlación con evaporación de agua libre. Todos estos valores son de carácter sólo referencial y serı́an sólo
aplicables a la cota y latitud indicada, variando en función de estas variables en forma similar a la variación
de la evaporación desde agua, es decir dependientes principalmente de la humedad, velocidad del viento y
temperatura atmosféricos.
Maluk (2009) modelando el balance energético en un manto de nieve obtuvo valores estacionales de evaporación de nieve en la zona central de Chile, que oscilan entre un 10 % de la precipitación invernal para cotas
bajas en años húmedos hasta un 45 % de esta en zonas altas en años secos. Las mayores tasas de evaporación
ocurrirı́an en cotas bajas a fines de invierno y en primavera en cotas medias y altas, coincidiendo con el
perı́odo en que la nieve alcanza su máxima madurez, es decir, temperaturas cercanas al punto de fusión y
3.8. Reducción de la Evaporación desde Superficies Lı́quidas
73
con contenido de agua lı́quida. Los parámetros meteorológicos de mayor incidencia serı́an la sequedad del
aire y principalmente la velocidad del viento. En ausencia de mejor información, Maluk (2009) propone las
siguientes relaciones para estimar la evaposublimación mensual de nieves en la zona central de Chile.
Perı́odo Abril - Septiembre
0.951
1.112
h
Es = λ (85.32 + 7.972 · ln(z)) u · 1 −
100
Perı́odo Octubre - Marzo
donde,
z: Cota sobre el nivel del mar en [m].
re
lim
in
h
Es = λ (8.348 + 1.058 · ln(z)) u · 1 −
100
(3.32)
ar
(3.33)
u: Velocidad media del viento a 1.5 [m] de altura, en [m/s].
h: Humedad relativa [ %].
λ: Fracción espacio-temporal de cobertura de nieve.
Reducción de la Evaporación desde Superficies Lı́quidas
rP
3.8.
Bajo ciertas condiciones climáticas o de exposición, la pérdida de agua por efecto de la evaporación puede
llegar a ser considerable, al punto que justifique tomar algunas medidas para intentar reducir las tasas de
Bo
rra
do
evaporación. Algunas medidas que pueden tomarse son las siguientes:
Reducción de la superficie evaporante: En el caso de estanques o embalses, aumentar la profundidad de la cuba, de manera de reducir la relación superficie del espejo de agua/volumen almacenado.
Esto desgraciadamente implica un aumento de la altura de muros con el correspondiente aumento de
costos.
Cubiertas artificiales: En estanques o embalses pequeños pueden utilizarse cubiertas artificiales o
balsas de troncos flotantes que protegen de la radiación disminuyendo la evaporación.
Capas superficiales monomoleculares: Es ampliamente conocido que la aplicación de substancias
aceitosas sobre la superficie del agua reduce la evaporación. Sin embargo, el procedimiento es costoso,
difı́cil de aplicar e interfiere sobre la oxigenación, sobre el intercambio de gases con la atmósfera y
sobre la flora y la fauna. Existen sin embargo, algunos tipos de hidrocarburos de cadenas largas, tales
como el hexadecanol (C16 OH) o el octadecanol (C18 OH) que son repelentes al agua y se esparcen
espontáneamente sobre la superficie formando capas o pelı́culas de sólo una molécula de espesor. Esto
tiene la ventaja de no interferir a los procesos de aireación, no son tóxicos a la flora y la fauna,
permitiendo reducciones de la evaporación de hasta un 50 %. Es, sin embargo, costoso y requiere de
permanente mantención, ya que el viento arrastra la capa hacia las orillas, perdiéndose eficiencia.
74
Evaporación y Evapotranspiración
Barreras cortavientos: Cualquier acción que tienda disminuir el poder evaporante de la atmósfera
reducirá la evaporación. Un procedimiento simple y expedito es la plantación de alamedas o barreras
de árboles que al disminuir o deflectar la velocidad del viento disminuyen la evaporación. La mayor
eficiencia se logra con barreras perpendiculares a la dirección predominante de los vientos, sin aberturas
o interrupciones, que pueden ser contraproducentes, y no demasiado densas, ya que si forman una
barrera impenetrable se generan turbulencias a sotavento, sobre el espejo de agua, que incrementan la
ar
evaporación.
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lim
in
Bibliografı́a
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re
lim
in
ar
Capı́tulo 4
PRECIPITACIÓN
Introducción
rP
En hidrologı́a se entiende por precipitación a toda agua de origen meteórico que cae o se deposita sobre la
superficie terrestre. Comprende en consecuencia, la lluvia, el granizo, la nieve, el rocı́o y la escarcha.
El mayor elemento de almacenamiento de agua del planeta es obviamente la hidrósfera (mares y océanos),
desde donde el agua se evapora, consumiendo la energı́a recibida principalmente desde el sol, para almacenarse
Bo
rra
do
en forma de vapor en la atmósfera. El vapor que se incorpora, ejerce una presión, al igual que cualquier otro
gas, la cual va aumentando a medida que se incorpora más vapor, hasta alcanzar un valor máximo o condición
de saturación que aumenta, de acuerdo a la ley de presión de vapor saturado, en forma exponencial con la
temperatura. Al ser sobrepasado el lı́mite de saturación, se provoca la condensación del sobrecontenido de
vapor, el que pasa al estado lı́quido o sólido, constituyendo las nubes, formadas por microscópicas gotas de
agua o cristales de hielo, del orden de micrones o milésimas de milı́metros de diámetro, en una concentración
variable pero del orden de 400 [gotas/cm3 ], que se mantienen en el aire en suspensión. Para que estas gotas
o cristales precipiten, es necesario un proceso de crecimiento de su tamaño del orden de un millón de veces,
hasta que alcancen el peso necesario para precipitar.
75
76
Precipitación
4.1.
Mecanismos de Condensación
El mecanismo más frecuente utilizado por la naturaleza para condensar el vapor de agua, formar nubes y
precipitar, consiste en provocar el ascenso adiabático de masas de aire húmedo. El aire al ascender, se enfrı́a;
con ello su presión de vapor saturado disminuye, logrando la saturación y condensación.
Es posible clasificar las precipitaciones dependiendo del mecanismo natural que provoque el ascenso de las
ar
masas de aire, en distintos tipos:
Precipitaciones ciclónicas
Precipitaciones ciclónico-frontales
Precipitaciones orográficas.
4.1.1.
Precipitaciones Convectivas
re
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in
Precipitaciones convectivas.
Debido al recalentamiento de masas de aire húmedo próximas a la superficie terrestre, la atmósfera se hace
inestable provocando el ascenso casi vertical de este aire, que al enfriarse adiabáticamente, alcanza la tempe-
rP
ratura de rocı́o y la condensación. Las nubes ası́ formadas, de tipo cúmulus, tienen un gran desarrollo vertical,
alcanzando hasta la tropopausa y dando origen a precipitaciones localizadas y de gran intensidad. Sin embargo, al no haber realimentación externa de aire húmedo, dado el escaso contenido de agua precipitable de
la atmósfera, estas lluvias son en general de corta duración.
Bo
rra
do
El mecanismo generador del ascenso del aire es en este caso de origen térmico, siendo las precipitaciones
convectivas tı́picas de zonas tropicales o de perı́odos calurosos en zonas templadas.
4.1.2.
Precipitaciones Ciclónicas
La presencia de un ciclón, o zona de baja presión atmosférica, provoca la convergencia del aire hacia ese
punto, en un movimiento en espiral por la acción de la aceleración de Coriolis, debiendo el aire necesariamente
ascender en el centro u ojo del ciclón, con su correspondiente enfriamiento y condensación. Las precipitaciones
ası́ generadas se denominan precipitaciones ciclónicas.
En presencia de un frente o zona donde se ponen en contacto masas de aire de distinta calidad térmica,
siendo de particular importancia el frente polar que se genera aproximadamente a la latitud de 60°, donde
se ponen en contacto masa de aire caliente y húmedo de origen subtropical con masas de aire frı́o y seco
provenientes de las regiones polares, si se produce, por motivos de inestabilidad de la circulación atmosférica,
un centro de baja presión o ciclón, las masas de aire circundantes, frı́as y calientes se ponen en movimiento,
producto del gradiente de presión, hacia el centro de baja. El movimiento en espiral en torno al centro de
baja presión, provoca el choque de masas de aire de distinta calidad térmica. Esto provoca dos fenómenos
distintos: En algunos sectores, especı́ficamente al oriente del centro de baja en el hemisferio sur, las masas
4.1. Mecanismos de Condensación
77
de aire caliente irrumpen sobre las masas de aire frı́o y al ser más livianas las primeras, estas se ven forzadas
a ascender por encima del aire frı́o, con lo que se enfrı́an y condensan. Esto es lo que se denomina un frente
caliente. En otros sectores, es el aire frı́o el que irrumpe sobre el aire caliente y al ser más denso, penetra como
una cuña por debajo del aire caliente, provocando en definitiva el mismo efecto, las masas de aire caliente
y húmedo, se ven forzadas a ascender, se enfrı́an y condensan. Esto es lo que se denomina un frente frı́o.
Las precipitaciones ası́ generadas, se denominan precipitaciones ciclónico - frontales, las cuales pueden ser
ar
de magnitud muy variable, dependiendo de la energı́a del frente, son de duración prolongada, alcanzando
desde horas a dı́as de duración y cubren una gran extensión de territorio, de cientos o más kilómetros con
4.1.3.
Precipitaciones Orográficas
re
lim
in
una distribución espacial bastante uniforme.
Cuando la circulación de masas de aire húmedo se ve obstaculizada por la presencia de barreras orográficas o cadenas montañosas dispuestas perpendicularmente a la dirección del viento, el aire se ve obligado a
ascender por la presencia de esta barrera fı́sica, produciéndose su enfriamiento con la consiguiente condensación y precipitación. Por estos motivos, en las vertientes a barlovento de las montañas la precipitación es
bastante mayor que a sotavento, donde el descenso posterior del aire, provoca su calentamiento y disipación
de las nubes, generando regiones secas y de temperaturas más altas que en la vertiente opuesta, ya que el
rP
calentamiento del aire se aproxima más a un proceso adiabático seco.
Las precipitaciones orográficas puras, sin embargo, suelen generar sólo lloviznas, manifestándose su efecto
principalmente en combinación con algún otro mecanismo, ya que las precipitaciones reales suelen ser mezclas
de los distintos tipos.
Bo
rra
do
En Chile, salvo las precipitaciones altiplánicas del Norte Grande (Invierno Boliviano) y algunas precipita-
ciones principalmente de verano en la cordillera, que son de tipo convectivo, las principales precipitaciones
son de origen ciclónico frontal.
Los frentes, que se generan normalmente sobre el Océano Pacı́fico, son desplazados por los vientos que en
esas regiones predominan en dirección oeste – este, hacia la costa y territorio de Chile, provocando la gran
mayorı́a de las precipitaciones desde la III Región hacia el sur. El desplazamiento sucesivo de un frente caliente
seguido de uno frı́o en un lapso de uno a dos dı́as, debiera en principio generar dos perı́odos de mal tiempo,
separados por algunas horas de tiempo inestable, aún cuando en la práctica, los frentes calientes suelen pasar
desapercibidos. Al alcanzar los frentes la zona continental, se hace presente el efecto orográfico debido a la
presencia de la Cordillera de la Costa y la Cordillera de Los Andes, que obligan a las masas de aire a ascender
aún más, provocando un aumento de las precipitaciones a barlovento de las montañas, y su disminución a
sotavento, generando en definitiva, una distribución bastante más irregular de las precipitaciones que la que
corresponderı́a a un fenómeno ciclónico - frontal puro.
El desplazamiento anual en sentido norte - sur del ecuador térmico, provocado por la inclinación del eje terrestre, provoca a su vez el desplazamiento latitudinal estacional de los frentes de mal tiempo, generándose el
clima caracterı́stico de Chile, donde la zona norte es de carácter desértico, por encontrarse permanentemente
bajo predominio de condiciones anticiclonales, la zona central presenta una clara distribución de precipita-
78
Precipitación
ciones que se concentran en los meses de invierno, mientras la zona sur se mantiene permanentemente bajo
la influencia del frente polar, con precipitaciones bastante más parejas entre invierno y verano.
4.2.
Mecanismos de Formación de Gotas
ar
La presencia de nubes no necesariamente significa que habrá precipitaciones. Las microgotas o microcristales
de hielo producidos por la condensación, se mantienen en suspensión en la atmósfera, requiriéndose de un
proceso adicional de incremento de su tamaño, para que logren precipitar.
re
lim
in
Los procesos de crecimiento de tamaño de las gotas, hasta alcanzar el peso suficiente para su precipitación,
ocurren fundamentalmente por dos mecanismos distintos: Coalescencia directa y Núcleos de Condensación.
4.2.1.
Coalescencia Directa
Se entiende por coalescencia directa a una serie de procesos que contribuyen al aumento de tamaño de las
gotas, entre los cuales pueden mencionarse las atracciones electrostáticas, colisiones mecánicas y el arrastre
4.2.2.
rP
de partı́culas de agua que caen incorporando a otras en su paso.
Núcleos de Condensación
La presión de vapor saturado, de acuerdo a la ley de Clausius - Clapeyron, función única de la temperatura,
es válida sobre superficies planas. Sobre superficies curvas, en particular sobre gotas de agua, por efecto de
Bo
rra
do
la tensión superficial, la presión de vapor saturado depende del radio de curvatura de acuerdo a la ecuación
de Kelvin:
ln
er
e∞
=
2σmv
ρv T R ∗ r
(4.1)
donde,
er : Presión de vapor sobre superficie de radio r.
e∞ : Presión sobre superficie plana.
mv : Peso molecular del vapor de agua.
R∗ : Constante universal de los gases.
σ: Tensión superficial.
ρv : Densidad del vapor de agua.
T : Temperatura absoluta.
De acuerdo a esta relación, a una temperatura dada, la presión de vapor saturado aumenta al disminuir el
radio, efecto que se hace particularmente importante para diámetros menores a un micrón. De esta manera,
las gotas de muy pequeño diámetro tienden a evaporarse y a condensar sobre gotas de mayor diámetro.
4.4. Lluvias Artificiales
79
Esta relación, sin embargo, se ve alterada cuando existen impurezas en el agua. La presencia de núcleos de
condensación, entendiéndose por ello a pequeñas partı́culas de sal arrastradas en los procesos de evaporación
desde el mar o simple y más frecuentemente, por impurezas o partı́culas de polvo elevadas por el viento, al
ser generalmente higroscópicas, atraen la humedad, generando superficies con presión de vapor saturante más
baja que la de las gotas de agua pura. Esto provoca, en consecuencia, la evaporación de las gotas de agua pura
y su condensación sobre estos núcleos, los que van incrementando progresivamente su tamaño hasta alcanzar
vivos como integrantes de los núcleos de condensación.
ar
el peso suficiente para precipitar. Algunas investigaciones recientes sugieren la presencia de microorganismos
De acuerdo a la teorı́a del meteorólogo Thor Bergeron, cuando en una nube coexisten gotas de agua con
re
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in
cristales de hielo, por ser la presión de vapor sobre el hielo más baja que sobre el agua, los cristales actúan
como núcleos de condensación, atrayendo a las gotas de agua, que evaporan para condensar sobre ellos. Este
serı́a el principal mecanismo de incremento del tamaño de los cristales y de generación de precipitación en
climas templados y frı́os donde la precipitación se genera inicialmente en forma de nieve en zonas altas,
derritiéndose eventualmente durante su caı́da al ir aumentando la temperatura, para alcanzar la superficie
en forma de lluvia.
Formas de Precipitación
rP
4.3.
Dependiendo de la temperatura del aire, la condensación del vapor de agua se traduce en su cambio al estado
lı́quido o al estado sólido, generando en definitiva precipitación en formas de lluvia o en forma de nieve. Ya
que la precipitación, al caer, tenderá a la temperatura de bulbo húmedo del aire que atraviesa, la precipitación
Bo
rra
do
serı́a lı́quida o sólida dependiendo de si la temperatura de bulbo húmedo en superficie es superior o inferior
a 0°C. Un buen ı́ndice para discriminar entre la forma de lluvia y nieve, es una temperatura superficial del
aire cercana a –0.9°C, recomendándose como valor diario el ı́ndice,
Ti =
1
(Tmax + 6Tmin )
7
(4.2)
donde,
Tmax : Temperatura máxima diaria.
Tmin : Temperatura mı́nima diaria.
Para valores del ı́ndice Ti mayores a -0.9°C, la precipitación diaria serı́a predominantemente lı́quida.
Si la condensación se produce directamente sobre la superficie terrestre, tendremos los fenómenos de rocı́o
y escarcha respectivamente, dependiendo de si la temperatura de la superficie supera o no los 0°C. El granizo
corresponde a precipitación originalmente en forma lı́quida que por problemas de inestabilidad atmosférica,
se recongela antes de alcanzar la superficie. Es frecuente también que precipitación originalmente en forma de
nieve, tenga tiempo de derretirse antes de alcanzar la superficie, cayendo como agua-nieve o lluvia propiamente
tal.
80
4.4.
Precipitación
Lluvias Artificiales
De acuerdo a lo anteriormente expuesto, los mecanismos de condensación y formación de nubes no bastan
para que se produzca precipitación; se requiere de un mecanismo adicional que provoque el aumento del
tamaño de las gotas de agua o cristales de hielo para que logren precipitar.
Los métodos de generación de lluvias artificiales consisten precisamente en la incorporación de núcleos de
ar
condensación de baja presión de vapor saturante, normalmente mediante el bombardeo de nubes con cristales
de yoduro de plata, con lo cual se favorece el incremento del tamaño de las gotas y su posterior precipitación.
La efectividad de estos métodos es aún materia de controversia, pues se argumenta que sólo aceleran un
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in
proceso que se producirı́a de todas maneras en forma natural o que provocan precipitación sobre ciertas áreas
en perjuicio de otras donde habrı́a precipitado naturalmente.
4.5.
Medición de la Precipitación
Existe una gran variedad de instrumentos para medir la precipitación, tanto a nivel de valores diarios como
4.5.1.
Pluviómetro
rP
a nivel horario. A continuación, se presentan algunos de estos.
El instrumento básico para la medición de la precipitación lı́quida es el pluviómetro, que consiste simplemente en un embudo colector, normalmente de 20 [cm] de diámetro, que descarga a un recipiente de sección
Bo
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do
circular, cuyas dimensiones y condiciones de instalación están normalizadas.
La unidad de medida es el milı́metro de altura de agua, equivalente a un volumen de 1 litro por metro
cuadrado de superficie. La medición se efectúa registrando la altura de agua acumulada en un intervalo de
tiempo dado, normalmente un dı́a, lo que da origen a las estadı́sticas de precipitaciones diarias. Las mediciones
se efectúan rutinariamente entre las 08:00 de la mañana de un dı́a y las 08:00 de la mañana del dı́a siguiente,
debiendo consignarse por convención, la precipitación medida, al dı́a en que se efectúa la lectura final. En
algunas ocasiones, las mediciones se efectúan cada 8 horas, a las 08:00, a las 16:00 y a las 24:00 horas.
Normalmente, la boca del colector descarga en un tubo graduado de sección circular 10 veces menor, con
lo que se logra una precisión 10 veces mayor en la simple lectura ocular del instrumento.
Se recomienda que el pluviómetro debe instalarse en un lugar abierto pero relativamente protegido del
viento, la boca de captación debe ubicarse a una altura de 1.5 metros sobre la superficie del terreno, debiendo
existir un cono de pendiente 1V:4H libre de cualquier obstáculo tales como árboles o construcciones.
Cuando la precipitación ocurre en forma de nieve, el sistema de embudo resulta inadecuado y se usa
generalmente un colector de sección troncocónica, para evitar la acumulación de nieve en la boca del colector.
En este caso, el instrumento pasa a llamarse nivómetro, recomendándose el uso de anticongelantes (cloruro
de calcio, CaCl2 ), previamente incorporado al receptáculo, para facilitar la medición del equivalente en agua
4.5. Medición de la Precipitación
81
lı́quida de la nieve y para disminuir la posibilidad de que la nieve sea arrastrada por el viento.
Como se verá más adelante, la medición de precipitación nival mediante nivómetros, es altamente incierta,
por lo que a menudo se opta por tapar la boca de los pluviómetros durante perı́odos de precipitación en
forma de nieve, midiendo simplemente la altura de nieve acumulada en el suelo adyacente.
Es importante señalar que la medición de la precipitación está sujeta a una serie de errores aleatorios y
sistemáticos, que la eficiencia de captación es variable, principalmente en función de la velocidad del viento,
ar
por lo que en definitiva la medición obtenida debe considerarse sólo como un “ı́ndice” de la precipitación
real y no como la verdadera magnitud de la precipitación caı́da.
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El viento es normalmente la principal fuente de error en la medición de la precipitación, debido a los torbe-
llinos y perturbaciones aerodinámicas que la presencia del pluviómetro origina, efecto que es particularmente
importante en el caso de la precipitación nival.
Se denomina eficiencia de un pluviómetro, al cociente entre la precipitación realmente captada y la precipitación real. El efecto del viento sobre la eficiencia del pluviómetro o nivómetro se presenta en la Figura
4.1.
2
3
9
20
2
7
9
10
2
6
3
3
40
lluvia predominante
Nieve predominante
rP
1
1
Bo
rra
do
Eficiencia del pluviómetro o nivómetro [%]
0
3
7
8
7
10
5
2
60
7
3
2
3
4
5
2
80
100
0
10
20
40
30
Velocidad del viento [millas/hr]
50
60
Figura 4.1: El efecto del viento sobre la eficiencia del pluviómetro o nivómetro.
Para mejorar la eficiencia de captación, en el caso de los nivómetros, estos suelen equiparse con pantallas
corta viento, de las cuales la más común es la denominada pantalla Alter, que se muestra en la Figura 4.2.
Precipitación
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ar
82
Figura 4.2: El efecto del viento sobre la eficiencia del pluviómetro o nivómetro.
Por último es necesario señalar que la medición de un pluviómetro es de tipo puntual, es decir mide la
variable o “ı́ndice” en el punto especı́fico de su instalación. Para poder cuantificar la precipitación sobre un
área más extensa, cuenca o región, es necesario instalar una red de pluviómetros adecuadamente distribuidos
a lo largo y ancho de la zona a estudiar. La densidad de la red necesaria dependerá de la uniformidad espacial
de las precipitaciones en la región. En zonas planas con precipitación ciclónica frontal, de distribución muy
rP
uniforme, podrá bastar un instrumento cada cientos de kilómetros cuadrados o más. En zonas con acentuado
efecto orográfico, la densidad ideal serı́a considerablemente mayor.
Pluviógrafos
Bo
rra
do
4.5.2.
Si se desea disponer de información de precipitación en intervalos menores a la escala diaria o aún en forma
continua, es necesario recurrir a instrumentos inscriptores llamados pluviógrafos, que registran en forma
continua la precipitación acumulada en función del tiempo.
Se utilizan principalmente tres tipos de pluviógrafos:
Pluviógrafos de báscula
Pluviógrafos de sifón
Pluviógrafos gravimétricos o de balanza.
4.5.2.1.
Pluviógrafo de Báscula
En el pluviógrafo de báscula, el embudo de la boca del colector descarga sobre una báscula o balanza compuesta de dos compartimentos que oscilan en torno a un pivote de eje horizontal. Al acumularse una cierta
cantidad de agua predeterminada sobre uno de los compartimentos, la báscula se desequilibra, inclinándose
4.5. Medición de la Precipitación
83
hacia el otro lado, descargando el agua acumulada y comenzando a llenar el otro compartimiento. Cada oscilación de la báscula acciona unos engranajes que van inscribiendo la precipitación acumulada en un tambor
giratorio. El gráfico resultante, llamado pluviograma, queda constituido, en consecuencia por lı́neas discontinuas en forma de escalera, donde cada trazo vertical indica, por ejemplo, 1 mm de precipitación acumulada.
Este tipo de instrumento, pierde precisión para intensidades de precipitación muy extremas, altas o bajas,
no habiendo sido muy usado históricamente en Chile. En los últimos años, sin embargo, con la aparición de
ar
instrumentos digitales, que reemplazan la inscripción gráfica por el envı́o de señales remotas a una central
computacional de procesamiento, estos instrumentos se han hecho más habituales, ya que parecen ser los más
4.5.2.2.
Pluviógrafo Gravimétrico
re
lim
in
adaptables al registro digital de la información.
En este caso el colector descarga sobre un balde montado sobre una pesa o romana de alta precisión, registrándose el aumento de peso o precipitación acumulada en un tambor giratorio. El pluviograma resultante, en este caso, es una lı́nea continua, cuya tangente representa la intensidad de la precipitación, medida
habitualmente en unidades de milı́metros por hora.
dP
dt
rP
i=
(4.3)
Este tipo de pluviógrafo es el más adecuado para medir precipitación nival, eliminando el embudo del
Bo
rra
do
colector y cargando inicialmente el balde con una carga de anticongelante (CaCl2 ) y una ligera capa de
aceite liviano, para reducir la evaporación. En este caso el instrumento pasa a llamarse nivógrafo, normalmente
provisto de una pantalla Alter, para disminuir el efecto del viento en su eficiencia. Aún ası́, la medición con
nivógrafo mantiene las dificultades señaladas en el caso de los nivómetros.
4.5.2.3.
Pluviógrafo de Sifón
En el pluviógrafo de sifón, el embudo del colector descarga sobre una probeta provista de un flotador conectado
mediante poleas y engranajes a una aguja inscriptora que va inscribiendo la precipitación acumulada en un
tambor. La probeta está conectada a un sifón, que se ceba al alcanzarse una cierta precipitación acumulada
(10 mm), vaciando el agua contenida en la probeta hasta que el sifón se desceba, acumulándose el agua
descargada en un recipiente conectado a la descarga del sifón, lo que permite el registro manual del total de
precipitación acumulada.
El mecanismo de inscripción genera un tipo de pluviograma particular, tal como el que se presenta en
la Figura 4.3, donde se observa la descarga brusca de la probeta, cada vez que se acumulan 10 [mm] de
precipitación.
Precipitación
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ar
84
Figura 4.3: Pluviograma de un pluviógrafo de sifón.
Este es el tipo de pluviógrafo históricamente más utilizado en Chile, al menos en las versiones convencionales
o mecánicas.
Medición de Precipitación Nival
rP
4.5.3.
Como se mencionara anteriormente, la eficiencia y confiabilidad de las mediciones de nivómetros y nivógrafos
es bastante baja. Debido a esto y gracias a que la precipitación nival queda acumulada sobre el terreno, a
Bo
rra
do
menudo se recurre a la técnica de tubos muestreadores para medir la precipitación nival.
El tubo muestreador más utilizado corresponde al que se denomina tubo “Monte Rosa”, que consiste en un
tubo de aluminio que se hinca en la nieve con el objeto de obtener una muestra cilı́ndrica del perfil de nieve
acumulada sobre el terreno. El tubo, conocido su peso inicial vacı́o, se pesa con su contenido de nieve en una
balanza portátil especialmente calibrada, que por diferencia de peso, entrega directamente el peso de la nieve
contenida en la muestra, expresado en términos de su equivalente en agua, definido como la altura de agua
lı́quida que resultarı́a de la fusión total de la nieve. El tubo mismo trae exteriormente una escala graduada
que permite, al hincarlo en la nieve, determinar directamente el espesor H del estrato de nieve muestreado.
Con la información de altura y equivalente en agua de la nieve se puede conocer además, su densidad
aparente,
donde,
ρn : Densidad aparente de la nieve, en [gr/cm3 ].
E.A.: Equivalente en agua en [cm] o [gr/cm2 ].
H: Altura del manto en [cm].
ρn =
E.A.
H
(4.4)
4.5. Medición de la Precipitación
85
Cuando sólo se hacen mediciones de la altura del espesor del manto con alguna regla graduada, para
conocer el equivalente en agua de la nieve, se suele suponer una densidad de nieve recién caı́da, de ρn = 0.1
[gr/cm3 ].
Uno de los problemas del uso de tubos muestreadores es su representatividad, ya que miden la cantidad
de nieve que queda depositada en un punto especı́fico del terreno, magnitud que no tiene por qué coincidir
depositándola en lugares protegidos contra el viento.
ar
con la nieve precipitada, ya que las ventiscas o “viento blanco” suelen arrastrar la nieve de lugares expuestos,
Para salvar parcialmente esta limitación, deben hacerse varias mediciones simultáneas del equivalente en
agua de la nieve a lo largo de un perfil longitudinal del terreno que sea representativo de las variaciones
re
lim
in
topográficas del lugar y de las distintas condiciones de acumulación de la nieve. Un promedio de todas las
mediciones efectuadas, se considera más representativo del equivalente en agua promedio del manto.
Las mediciones sucesivas, deben efectuarse siempre en el mismo lugar, a fin de que sus datos sean comparables, por lo que el trazado del perfil se señala con balizas o jalones a lo largo de la zona de medición. Estas
instalaciones se conocen con el nombre de “rutas de nieve”.
Aparte del uso de tubos muestreadores y rutas de nieve, existen procedimientos más sofisticados para medir
el equivalente en agua de la nieve, entre los que destacan métodos basados en la atenuación de la radiación
emitida por alguna fuente radioactiva instalada en el terreno, ya que la absorción de la radiación dependerá de
la masa de nieve atravesada por la radiación, e instrumentos conocidos como “colchones de nieve”, que
rP
consisten en estanques sellados, con forma de “almohada” o colchones que se depositan inicialmente en el
terreno, llenos de algún lı́quido que no se congele. Al irse acumulando nieve sobre el colchón, el peso de esta
se traduce en un aumento de la presión interior del lı́quido, cuya magnitud será proporcional al equivalente
en agua de la nieve acumulada sobre él. Los registros de variación de presión del lı́quido, pueden trasmitirse
Bo
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do
en forma remota a alguna estación de control.
Todos estos métodos más sofisticados, tampoco están exentos de incertidumbres y errores, manteniéndose
la precipitación nival como una de las variables hidrológicas más difı́ciles de medir en forma confiable.
4.5.4.
Observaciones Satelitales
Con el espectacular desarrollo tecnológico de los últimos años, hoy en dı́a se dispone de estaciones automatizadas de medición con teletrasmisión de la información, ası́ como de satélites meteorológicos que permiten
conocer en tiempo real el estado del tiempo a escala mundial. Mediante dichas estaciones y a través de
fotografı́as satelitales en bandas de luz visible y diversas bandas infrarrojas, es posible identificar las áreas
cubiertas por nubes, las áreas cubiertas de nieve, las áreas donde está precipitando, además de varias otras
variables meteorológicas tales como temperatura, radiación, humedad y vientos. A dicha información y fotografı́as, ası́ como a su interpretación y pronósticos en base a ellas, se puede acceder a través de Internet o
instituciones como la Dirección Meteorológica de Chile y la Dirección General de Aguas.
86
4.6.
Precipitación
Procesamiento de Datos Pluviométricos
Como resultado de la medición continua o diaria de información sobre precipitación es posible generar estadı́sticas de precipitación a escala diaria, mensual o anual que permiten caracterizar el régimen de precipitaciones en una determinada estación de medición.
Ası́ es como producto de la acumulación en un mes de mediciones pluviométricas diarias, es posible de-
ar
terminar la precipitación mensual de un año determinado; de la suma de estas, se obtiene la precipitación
total anual, y del promedio de estas últimas, para un perı́odo en lo posible de 30 años, se obtiene el módulo
pluviométrico o precipitación media anual de un determinado lugar. Esta información estadı́stica es reco-
re
lim
in
pilada por los organismos encargados de su medición, particularmente el Banco Nacional de Aguas de la
DGA y la Dirección Meteorológica de Chile, aún cuando existen diversos otros organismos fiscales, privados
o particulares, que colaboran en esta función.
En la Tabla 4.1 se presentan estadı́sticas de precipitaciones medias mensuales en diversas localidades del
paı́s, donde se observan las variaciones latitudinales del clima y el efecto de la orografı́a sobre los montos de
precipitación en cada lugar.
Tabla 4.1: Precipitaciones Medias Mensuales [mm].
Estación
FEB
MAR
ABR
MAY
JUN
JUL
AGO
SEP
OCT
NOV
DIC
ANUAL
0.3
0
0
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0
0
0
1.3
Antofagasta
0
0
0
0.2
0.1
1
1.5
0.8
0.7
0.5
0.3
0.1
5.2
Copiapó
0
0
0.1
0.7
3.9
7.5
6.2
4.3
0.3
1
0.1
0
24.5
Vallenar
0
0
0
1.8
7.4
10.1
8.4
11.4
3.3
1.85
0.3
0
45.5
0.1
0.6
0.8
2.3
21.2
38.9
33.8
22.1
6.2
3.4
0.7
0.4
125.8
1.3
3.6
23.3
36
29.8
25.6
7.2
4.2
0.9
0.3
137.5
6.6
16.7
82.7
124.3
97.2
67.7
25.9
11.7
5.6
3
449.1
La Serena
0
0.8
Valparaı́so
1.4
1.2
San Felipe
1.4
2.1
1.6
9.2
42.8
62.1
48
45.9
17.9
8.4
3.9
2
245.8
Santiago
1.4
2.3
4.3
14.6
59.3
81.3
73.3
56.8
28.7
13.9
6.2
4.2
346
Rancagua
Bo
rra
do
Vicuña
rP
Arica
ENE
2.8
2.2
7.3
21.9
74.7
103
77.9
65.6
31.4
17.2
9.9
4.4
420.2
Curicó
6
4
12.2
41.2
142
172
144
105
56.6
31
15.7
12
722.6
Linares
14.7
10.4
21.1
67.4
170
203
184
134
82.6
43.6
34.7
17.1
986.5
Chillán
19.8
15.4
27.4
62.2
167.1
201.8
175
145
88.7
47.1
31.8
29
1033
Los Angeles
24.8
26
46.1
85.3
210.8
250.9
218
185
106
60.9
51.5
35.8
1301
Victoria
43.5
40.5
66.4
115
250
292
265
225
138
90.7
75
59.2
1654
Temuco
34.2
39.7
66.6
110
218
207
194
158
98.5
69.4
72.6
58.1
1332
Osorno
47.6
46.9
62.5
110
195
227
187
164
109
70.6
59.3
57.6
1331
Pto. Montt
106
99
149
176
252
251
250
223
163
128
130
126
2060
Pta. Arenas
33.9
28.2
42.3
44.6
46.8
37.2
36.2
37
30.5
24.8
30.4
33.3
425.3
Para llegar a esta representación estadı́stica de la caracterı́sticas pluviométricas de un determinado lugar,
la información recopilada debe previamente revisarse, analizarse y procesarse a fin de detectar errores u
omisiones en su medición, ası́ como debe verificarse la homogeneidad de la información recopilada, que
dé validez estadı́stica a los análisis a que dicha información sea sometida.
La utilización de esta información requiere, por lo tanto, de una serie de tratamientos de verificación,
relleno, corrección y ampliación de ella.
4.6. Procesamiento de Datos Pluviométricos
87
En primer lugar la estadı́stica debe revisarse y compararse con la de estaciones vecinas, a fin de verificar
su consistencia y detectar errores groseros que pueda contener producto de omisiones de medición o errores
de trascripción.
Es ası́ como la omisión o error en un dı́a de medición en un año completo, invalida el dato de la precipitación
del correspondiente mes y en definitiva del año completo, por lo que resulta altamente conveniente, para
dato faltante o erróneo.
ar
aprovechar el resto de la información medida, rellenar o estimar mediante algún procedimiento confiable el
Otras veces ocurre que la longitud del perı́odo de medición de una determinada estación es demasiado
corto, invalidando cualquier análisis estadı́stico, por lo que puede resultar necesario extender la longitud de
re
lim
in
dicho perı́odo aprovechando otra información cercana disponible.
Por último puede ocurrir que producto de variaciones de las condiciones de medición, recordando que el
dato medido es sólo un ı́ndice, distintas mediciones en un mismo lugar no sean estrictamente comparables
entre sı́, lo que requiere de tratamientos de homogeneización de dicha información.
Los procedimientos y métodos utilizados para este tipo de correcciones se indican en los acápites siguientes.
4.6.1.
Relleno de Estadı́sticas
rP
Es frecuente que en una estadı́stica pluviométrica falten datos sobre la precipitación caı́da en algunos dı́as,
meses o años completos, por lo que es conveniente disponer de métodos que permitan rellenar estadı́sticas en
estas condiciones. Para el relleno de valores faltantes aislados se recomienda utilizar los valores simultáneos
disponibles en al menos las tres estaciones más cercanas.
Bo
rra
do
Si el módulo pluviométrico de las estaciones difiere en menos de un 10 %, basta estimar la información
faltante como el promedio simple de las estaciones vecinas
Px =
Pa + Pb + Pc
3
(4.5)
Si los módulos difieren en más de un 10 %, es preferible un promedio ponderado según los módulos de cada
estación
Px =
Pa /Ma + Pb /Mb + Pc /Mc
3
(4.6)
donde,
Px : Precipitación o dato faltante.
Pi : Precipitación en estación vecina i.
Mi : Módulo pluviométrico de la respectiva estación i.
Para estos propósitos pueden utilizarse también correlaciones estadı́sticas entre las estaciones o aún métodos
geoestadı́sticos, aunque normalmente no se justifica.
88
4.6.2.
Precipitación
Homogeneidad de Estadı́sticas
Una vez que se dispone de la estadı́stica completa, es necesario verificar la homogeneidad de la misma.
Como se mencionara anteriormente, el dato pluviométrico es sólo un ı́ndice; luego, producto de modificaciones ambientales, cambio de ubicación del instrumento, cambios del instrumento mismo o aún cambios del
sin que ello signifique un cambio de la precipitación verdadera o real.
ar
operador del instrumento, puede producirse un cambio, disminución o aumento de la precipitación medida,
Para detectar la presencia de heterogeneidades en la estadı́stica, se utiliza normalmente el método de las
curvas doble acumuladas, que consiste en graficar la precipitación anual acumulada de la estación en análisis,
re
lim
in
versus el valor acumulado de una precipitación patron, constituida por un promedio de las estaciones vecinas.
El método se basa en la hipótesis de que si la zona es pluviométricamente homogénea, la precipitación
anual en un lugar dado, debe ser estadı́sticamente proporcional a la precipitación del patron. Es decir,
Px = αPp + ε
(4.7)
donde ε es algún resto aleatorio, error o simple dispersión.
rP
Acumulando en el tiempo,
X
Px =
αPp +
X
X
X
ε≈0 =
αPp
(4.8)
Bo
rra
do
ya que la suma o promedio de los errores o dispersiones debiera ser despreciable, si no nula.
Luego, si la estadı́stica es homogénea, la curva será una recta de pendiente α que pasa por el origen. Si se
observa una discontinuidad, o dos o más tramos de pendientes distintas α1 y αi , significa que en esos perı́odos
hubo cambios en las condiciones de medición. Para homogeneizar la información, deben llevarse todos los
datos a una recta de pendiente única, corrigiendo los valores medidos, previa investigación de la causa que
pudo haber producido el cambio, por la relación
Pc = Pm
α1
αi
(4.9)
donde,
Pc Precipitación corregida.
Pm Precipitación medida.
αi : Pendiente del perı́odo a corregir.
α1 : Perı́odo de homogeneización, por convención, normalmente el perı́odo más reciente.
Este procedimiento de corrección debe efectuarse en forma cautelosa, no recomendándose corregir cambios
de pendiente no muy notorios o que perduren por menos de cinco años. Además, el procedimiento debe ser
iterativo, partiendo inicialmente con un patron que contenga todas las estaciones disponibles y eliminando
sucesivamente de él aquellas estaciones que no resulten homogéneas.
4.6. Procesamiento de Datos Pluviométricos
89
En algunas ocasiones se observa un desplazamiento brusco de la curva acumulada, manteniendo su misma pendiente. Esta discontinuidad revela casi siempre la existencia de un error grosero en el dato de la
precipitación anual de la estación en análisis, en el año en que se produce el desplazamiento.
Las Figuras 4.4 y 4.5, muestran curvas doble acumuladas tı́picas donde es posible apreciar los efectos de
ar
cambios en las condiciones de medición o errores groseros en la estadı́stica.
8000
7000
re
lim
in
Estación [mm]
6000
5000
4000
3000
2000
1000
0
0
10000
20000
30000
40000
50000
60000
Patron [mm]
rP
Figura 4.4: Curva doble acumulada con tramos de pendientes (α) distintas.
10000
9000
Estación [mm]
Bo
rra
do
8000
7000
6000
5000
4000
3000
2000
1000
0
0
10000
20000
30000
40000
50000
60000
Patron [mm]
Figura 4.5: Curva doble acumulada con desplazamiento brusco debido a un error grosero de medición.
4.6.2.1.
Ampliación de Estadı́sticas
Es frecuente que existan estaciones pluviométricas cuya longitud es demasiado corta para los efectos de
análisis estadı́sticos, por lo que puede resultar conveniente intentar ampliar la longitud de la serie de datos.
Aunque la información que no se midió, será imposible conocerla en exactitud, esta es posible estimarla en
90
Precipitación
base a información de estaciones vecinas. Los procedimientos utilizados pueden ser en base a las curvas doble
acumuladas o a correlaciones estadı́sticas.
Para precipitaciones anuales, la extensión de la serie faltante puede efectuarse en base a la pendiente de la
curva doble acumulada,
(4.10)
ar
Px = αPp
Esta estimación, sin embargo, genera estadı́sticas con una desviación estándar parecida a la del patron,
que por ser un valor promedio, es inferior a la de las estaciones individuales.
re
lim
in
Por lo anterior, para precipitaciones anuales, como para escalas de tiempo más cortas, precipitaciones
estacionales, mensuales o aún perı́odos menores, puede recurrirse a correlaciones estadı́sticas, intentando
regresiones lineales, simples o múltiples con estaciones vecinas del tipo:
Px = αPp
(4.11)
La gran disponibilidad actual de software estadı́stico o planillas electrónicas, facilita enormemente hoy en
dı́a este tipo de cálculos. Deben intentarse a criterio diversas regresiones posibles y elegir aquella que muestre
la mejor correlación, a juzgar por el coeficiente de correlación obtenido. Un coeficiente igual a 1 significa
rP
una correlación perfecta, un coeficiente nulo significa que no hay ninguna correlación. En general, se estima
aceptables o admisibles, coeficientes de correlación superiores a R = 0.7, sujetos a tests estadı́sticos que
aseguren su representatividad.
Precipitación Media Real o en el Espacio
Bo
rra
do
4.7.
Conocida la precipitación en una serie de estaciones de una red pluviométrica, normalmente resulta necesario
establecer la magnitud media de la precipitación en una determinada zona, cuenca o región. Para ello se
utilizan normalmente tres procedimientos alternativos de precisión creciente:
Promedio aritmético simple.
Método de los Polı́gonos de Thiessen.
Método de las Isoyetas.
4.7.1.
Promedio Aritmético Simple
El promedio aritmético de todas las estaciones existentes dentro de la cuenca o área en estudio, es la estimación
más fácil y simple de la precipitación promedio sobre el área.
P̄ =
PN
i=1
N
Pi
(4.12)
4.7. Precipitación Media Real o en el Espacio
91
donde Pi es la precipitación individual de cada estación.
Desgraciadamente, debido a que la red de estaciones pluviométricas es normalmente desuniforme, concentrándose las estaciones en los lugares poblados o más accesibles, normalmente en zonas bajas donde la
precipitación es menor, el promedio aritmético es normalmente la estimación menos precisa del promedio de
precipitación sobre una cuenca.
Polı́gonos de Thiessen
ar
4.7.2.
El método de los polı́gonos de Thiessen es un promedio ponderado de las precipitaciones en las diferentes
re
lim
in
estaciones de la cuenca o áreas vecinas, usando como factor de ponderación la magnitud relativa de las
superficies o áreas que resultan las más cercanas a una estación dada. Las áreas de influencia de cada estación
se obtienen al determinar los polı́gonos que resultan de la intercepción de las simetrales trazadas a una red
Bo
rra
do
rP
de triángulos que unen a todas las estaciones, según se ilustra en la Figura 4.6.
Figura 4.6: Polı́gonos de Thiessen.
En este caso, la precipitación media espacial viene dada por la relación,
P̄ =
donde,
PN
i=1
Pi Ai
AT
(4.13)
Pi : Precipitación individual de cada estación.
Ai : Área de cada polı́gono de influencia, en el caso de polı́gonos internos, o área encerrada por las aristas del
polı́gono y la lı́nea divisoria de agua, en el caso de los polı́gonos exteriores abiertos.
AT : Área total de la cuenca.
Nótese que en este caso pueden y deben incluirse estaciones que se ubiquen fuera de los lı́mites de la cuenca,
siempre que su área de influencia abarque algún sector de la cuenca en estudio.
92
Precipitación
Este procedimiento da normalmente una mejor estimación de la precipitación media espacial, que el simple
promedio aritmético.
4.7.3.
Método de las Isoyetas
Las lı́neas isoyetas, definidas como las lı́neas de igual precipitación, se trazan a partir de los puntos indivi-
ar
duales con información medida, en forma análoga a las curvas de nivel topográfico, obteniéndose un promedio
ponderado, según la ecuación (4.13), utilizando como factor de ponderación, el área o superficie comprendida
isoyetas que definen dichas áreas.
re
lim
in
entre dos curvas isoyetas sucesivas y como precipitación representativa, el promedio de los valores de las
Al igual que en el caso de los polı́gonos de Thiessen, debe considerarse la información que entregan estaciones
ubicadas fuera, pero cercanas a la cuenca en estudio.
El problema de las curvas isoyetas es que estas son dinámicas. A diferencia de los polı́gonos que se trazan
una sola vez, ya que sólo dependen de la ubicación fı́sica de cada estación, las curvas isoyetas resultarán
distintas para diferentes conjuntos de datos de precipitación.
Otra caracterı́stica de las curvas isoyetas, es que tienen una componente subjetiva, dependiendo de la
persona que efectúe su trazado. Si bien es cierto que hoy en dı́a, existen programas computacionales que
rP
permiten su trazado objetivo, adoptando algún criterio matemático predeterminado de interpolación, es
conveniente modificar su trazado, incorporando el conocimiento adicional que se tenga de las caracterı́sticas
pluviométricas de la región, como ser el efecto de la orografı́a sobre la distribución de las precipitaciones.
El trazado de isoyetas efectuado por una persona experta y conocedora de las caracterı́sticas pluviométricas
Bo
rra
do
del área en estudio, se postula que es la mejor estimación de la precipitación media sobre una cuenca.
Parte de la subjetividad puede eliminarse, utilizando técnicas geoestadı́sticas más sofisticadas, como es el
método de interpolación en base a “kriging”, donde se puede incorporar como elemento de interpolación, la
cota o altitud de cada estación (Jacquin, 2001).
En la publicación “Balance Hı́drico de Chile”, de la DGA (1987), se han trazado las curvas isoyetas medias
anuales de diversas regiones de Chile.
4.8.
Intensidades de Precipitación
En muchas aplicaciones, especialmente de ingenierı́a, resulta de mayor interés que la precipitación diaria
total, establecer la tasa o intensidad a la cual ocurre la precipitación, para perı́odos más cortos de tiempo,
expresada normalmente en la unidad [mm/hr].
Aún cuando se han propuesto instrumentos para medir directamente esta información, normalmente se
recurre a registros de pluviógrafos, que proporcionan un “pluviograma”, o curva que muestra la variación en
el tiempo de la precipitación acumulada.
4.8. Intensidades de Precipitación
93
Derivando estas curvas, lo que se efectúa en la práctica en forma discreta, estableciendo para intervalos de
tiempo pequeños dt, la intensidad media en el intervalo, dada por la expresión,
īdt =
dP
dt
(4.14)
Es posible establecer el hietograma de la tormenta, o curva que representa la variación de la intensidad
ar
de la precipitación en el tiempo. Mediante instrumentos con registro digital es posible hoy en dı́a medir
precipitaciones caı́das en cortos intervalos de tiempo, del orden de 10 o menos minutos, de los cuales se puede
4.8.1.
Curva Intensidad – Duración
re
lim
in
derivar en forma directa el hietograma correspondiente.
Para establecer las caracterı́sticas de la variabilidad de las intensidades de precipitación en el tiempo, se recurre
a la curva intensidad-duración, o curva que representa la intensidad media máxima de precipitación ocurrida
durante la tormenta para intervalos continuos de tiempo de distintas duraciones. Para ello se rastrea a lo largo
del hietograma, los promedios móviles ocurridos para distintas intervalos de duración n∆t, n = 1, 2, · · · , N ,
siendo N el valor
T
∆t
rP
N=
(4.15)
donde T es la duración total de la tormenta.
La forma tı́pica de una curva de intensidad- duración es la de una exponencial decreciente, con las mayores
Bo
rra
do
intensidades para los intervalos más cortos y las menores para intervalos mayores. Para cada tormenta ocurrida, es posible entonces, si se dispone de registro pluviográfico, determinar su curva intensidad - duración,
que indica la máxima intensidad media que ocurrió para dicha tormenta, para distintos intervalos continuos
de duración.
Desgraciadamente la disponibilidad de registros pluviográficos es escasa, y si sólo se dispone de estadı́sticas
pluviométricas diarias, sólo se dispondrá de un punto de la curva, correspondiendo a la intensidad media
diaria o en 24 hrs, dada por la expresión
i24 =
P24
24
(4.16)
donde,
i24 : Intensidad media en 24 hrs, en [mm/hr].
P24 : Precipitación caı́da en 24 hrs, en [mm].
Sin embargo, estadı́sticamente se ha establecido, en diversas partes del mundo que la forma de las curvas
intensidad - duración es muy poco variable para tormentas de un mismo tipo, por lo que es posible estimar
intensidades en distintas duraciones de las tormentas a partir de un punto conocido de ellas, normalmente la
intensidad media diaria i24 .
94
Precipitación
Es ası́, que para caracterizar estadı́sticamente la distribución temporal de las precipitaciones, se ha propuesto el uso de coeficientes de duración, definidos por la relación,
P (t)
P0
Cd (t) =
(4.17)
P (t): Máxima precipitación caı́da en un intervalo de duración t.
ar
donde,
P0 : Máxima precipitación caı́da en un intervalo de referencia conocido, normalmente 1 hora o 24 horas.
Los coeficientes de duración se postulan estadı́sticamente constantes para una estación dada, e incluso
diferentes lugares del mundo.
re
lim
in
para una cuenca o región con un mismo tipo de régimen de precipitaciones, habiendo sido determinados en
Postulando, como se verá más adelante, su independencia respecto a la probabilidad o frecuencia de la
lluvia, pueden deducirse coeficientes de duración promedios para distintas ciudades chilenas, a partir de
estudios realizados por distintos autores, según se indica en las Tablas 4.2 y 4.3.
En relación a los valores de la Tabla 4.2, para intervalos de duración menores a una hora, los valores propuestos por Broekman y Quintana, muy coincidentes entre si, corresponden al análisis de un grupo reducido
de tormentas en la ciudad de Santiago de la primera mitad del siglo XX. Los valores propuestos por Schroeder
(1971), Estellé et al. (2003) y Espinoza (2005), para las estaciones Santiago - Quinta Normal y Valparaı́so -
rP
Universidad Santa Marı́a, respectivamente, también muy coincidentes entre sı́, han sido deducidos de análisis
probabilı́sticos de tormentas, y corresponden, en consecuencia, a valores promedios de grandes tormentas de
lluvias que ocurren con intervalos de recurrencia entre 2 y 100 años.
Los valores propuestos por Espı́ldora (1971), corresponden a valores promedios, obtenidos del análisis de
Bo
rra
do
datos propuestos por distintos autores, para diversas ciudades del paı́s.
En la literatura se han propuesto además diversas fórmulas que pretenden tener validez universal, entre
las que destaca, por su frecuente aplicación en Chile, la denominada fórmula de Grunsky, según la cual,
i(t) = i24
r
24
t
(4.18)
donde,
i(t): Intensidad en una duración cualquiera t, en [mm/hr].
i24 : Intensidad media en 24 horas, en [mm/hr].
t: Duración en horas.
Del uso recursivo de esta fórmula, para una duración cualquiera y una duración de una hora, se obtiene
una expresión para el coeficiente de duración en base a la lluvia en una hora, dada por la relación,
Cd (t) =
donde t es la duración del intervalo, en minutos.
r
t
60
(4.19)
4.8. Intensidades de Precipitación
95
Para duraciones menores de una hora, ha sido propuesta por Bell, una relación que también pretende ser
universal, la que puede expresarse por la expresión,
Cd (t) = 0.54 · t0.25 − 0.50
(4.20)
Este coeficiente es respecto a una lluvia de una hora, Cd = Pd /P60 , y el tiempo se expresa en minutos.
ar
Los valores resultantes de estas expresiones se han incorporado en la Tabla 4.2 y en la Figura 4.7. donde
se observa la buena correspondencia entre los coeficientes resultantes de los análisis de Schroeder (1971),
Estellé et al. (2003) y Espinoza (2005), que respaldan los coeficientes generalizados propuestos por Espı́ldora
re
lim
in
(1971) y validan la aplicación en Chile, con un ligero error por exceso, de la fórmula de Grunsky, para
duraciones menores de una hora. La expresión propuesta por Bell tenderı́a a sobreestimar la intensidad de
lluvias de corta duración en Chile.
Tabla 4.2: Coeficientes de Duración (Cd ) para valores menores a una hora, en base a la precipitación en 60
minutos.
Autor
Ciudad
Broekman
Duración en minutos
15
20
30
40
50
Santiago
0.286
0.39
0.48
0.628
0.755
0.877
Quintana
Santiago
0.294
-
0.473
0.622
0.756
-
Schroeder
Santiago
0.358
0.465
0.54
0.677
0.783
0.876
Santiago
0.339
-
0.534
0.654
0.774
0.893
Espinoza
Valparaı́so
0.354
-
0.545
0.686
0.813
0.916
Estellé
Cca. Maipo
0.394
-
0.526
0.652
0.773
0.887
Espı́ldora
Generalizado
0.4
0.53
0.6
0.7
0.82
0.91
Grunsky
Generalizado
0.408
0.5
0.577
0.707
0.816
0.912
Bell
Generalizado
0.46
0.563
0.642
0.764
0.858
0.936
Bo
rra
do
Estellé
rP
10
Para duraciones mayores a una hora, los coeficientes de duración suelen expresarse en términos de la
precipitación en 24 horas. Valores propuestos para diferentes ciudades de Chile por distintos autores, se
presentan en la Tabla 4.3.
En relación a los coeficientes de duración entre 1 y 24 horas, puede distinguirse claramente en la Tabla 4.3
la diferencia entre las precipitaciones de tipo convectivo de la zona Norte, respecto a las precipitaciones de
origen ciclónico del resto del paı́s.
La Figura 4.8 muestra los coeficientes de duración promedio para lluvias convectivas, que pueden repre-
sentarse razonablemente bien mediante la expresión,
Cd (t) =
(24 + 1.73) · t
1.072 · t
=
24 · (t + 1.73)
(t + 1.73)
(4.21)
En las zonas con precipitación primordialmente ciclónica, se observa cierta dispersión entre las distintas
estaciones, que en parte parece deberse al método de muestreo y de cálculo. Por ejemplo, para duraciones de
96
Precipitación
1
0.9
0.8
0.6
ar
Cd
0.7
0.4
0.3
Broekman
0.2
0.1
Quintana
Schroeder
Estellé Santiago
Espinoza
Estellé Cca. Maipo
Espíldora
Grunsky
Bell
0
0
10
re
lim
in
0.5
20
30
Duración [min]
40
50
60
rP
Figura 4.7: Coeficientes de duración inferiores a 1 hora.
1
0.9
Bo
rra
do
0.8
0.7
Cd
0.6
0.5
Ajuste
0.4
Putre
0.3
Lequena
0.2
Toconce
0.1
Promedio
0
0
5
10
15
Duración [hrs]
20
25
30
Figura 4.8: Coeficientes de duración para más de 1 hora para tormentas altiplánicas (Convectivas).
una hora, en la zona central aparecen con los mayores valores las estaciones de Santiago (Estellé et al., 2003)
y Valparaı́so (Espinoza, 2005; Nicoud, 2004), cifras que provienen de un análisis casi exhaustivo de las series
completas de datos, a diferencia de otros estudios que trabajan con series de máximos anuales.
4.8. Intensidades de Precipitación
97
Tabla 4.3: Coeficientes de Duración (Cd ) para valores menores a un dı́a, en base a la precipitación en 24
horas.
Localidad
Duración en horas
1
2
4
6
12
18
24
Putre (1)
0.468
0.645
0.746
0.788
0.826
0.88
1
Lequena (1)
0.325
0.499
0.735
0.857
0.95
-
1
Toconce (1)
0.382
0.561
0.79
0.908
0.949
0.969
1
Promedio
0.392
0.568
0.757
0.851
0.908
0.925
1
Precipitaciones ciclonicas
0.116
0.2
0.341
0.47
0.74
0.867
1
Paloma (2)
0.156
0.266
0.441
0.597
0.823
0.919
1
Illapel (1)
0.137
0.241
0.401
0.532
0.779
0.914
1
Valparaı́so(3)
0.222
0.298
0.452
0.533
0.752
0.896
1
Valparaı́so(7)
0.213
0.294
0.447
0.553
0.755
0.885
1
Santiago (4)
0.128
0.208
0.339
0.45
0.711
0.89
1
0.576
0.763
0.909
1
0.490
0.728
0.881
1
0.465
0.709
0.907
1
0.428
0.659
0.83
1
0.497
0.717
-
1
0.557
0.738
-
1
0.349
0.608
0.807
1
0.407
0.68
0.806
1
-
1
re
lim
in
Rivadavia(2)
ar
Zona altiplanica (precipitaciones convectivas)
0.165
0.2697
0.439
0.183
0.254
0.381
Rapel (2)
0.147
0.233
0.337
San Fdo. (2)
0.127
0.213
0.346
Pencahue(6)
0.194
0.267
0.407
Talca (6)
0.164
0.286
0.464
Armerillo (2)
0.08
0.141
0.25
Colbún (2)
0.123
0.194
0.294
Bullileo (6)
0.123
0.184
0.306
0.414
0.652
0.248
0.381
0.467
0.743
-
1
0.245
0.365
0.443
0.677
0.891
1
0.307
0.385
0.479
0.708
0.891
1
0.264
0.39
0.472
0.67
0.877
1
rP
Santiago (5)
Santiago* (8)
0.171
0.174
Concepción 2
0.197
Quilaco (2)
0.164
Polcura (2)
0.123
0.193
0.325
0.433
0.683
0.869
1
Temuco (2)
0.193
0.317
0.477
0.583
0.792
0.917
1
Pullinque (2)
0.125
0.205
0.33
0.427
0.655
0.832
1
Valdivia (1)
0.128
0.169
0.29
0.41
0.657
0.885
1
Ensenada (2)
0.166
0.233
0.349
0.468
0.676
0.861
1
Pto. Montt (1)
0.16
0.262
0.343
0.449
0.683
0.875
1
Chaitén (1)
0.184
0.298
0.418
0.503
0.746
0.902
1
Pto Aysen (1)
0.141
0.221
0.377
0.499
0.8
0.988
1
Pta. Arenas 1
0.207
0.329
0.485
0.61
0.865
0.98
1
Promedio
0.157
0.245
0.378
0.486
0.722
0.891
1
Grunsky
0.204
0.289
0.408
0.5
0.707
0.866
1
Bo
rra
do
Parral (6)
Chillán (2)
(1) MOP (2001), (2) Varas y Sánchez (1988), (3) Espinoza (2005), (4) Quintana,(5) Schroeder (1971)
(6) Pizarro et al. (2001),(7) Nicoud (2004), (8) Estellé et al. (2003) * Promedio varias estaciones
Santiago Urbano.
Por otra parte, la Estación Armerillo, ubicada en zona precordillerana, muestra un comportamiento anómalo, situación que se repite para las estaciones de la zona austral, que muestran también un comportamiento
algo diferente.
Excluyendo estas estaciones, es decir, en las zonas no cordilleranas o sin un importante componente orográfi-
98
Precipitación
co, comprendidas entre la IV y X Regiones, la relación de Grunsky, (Ecuación (4.18)) representa razonablemente bien las caracterı́sticas de intensidad - duración, de las tormentas ciclónicas, como se observa en la
re
lim
in
ar
Figura 4.9.
Temuco
Rivadavia
Pencahue
Paloma
Talca
Pullinque
Illapel
Colbun
Valdivia
Valparaíso
Bullileo
Ensenada
Santiago (Q)
Parral
Pto. Montt
Santiago (Sch)
Chillan
Chaitén
Concepción
Promedio
Rapel
Quilaco
Grunsky
San Fdo.
Polcura
rP
Santiago (E)
Duración [hrs]
Figura 4.9: Coeficientes de duración para más de 1 hora para tormentas ciclónicas sin excesivo efecto
Bo
rra
do
orográfico (IV a X Regiones).
Finalmente cabe agregar, que la hipótesis de independencia de los coeficientes de duración respecto a la
probabilidad o frecuencia de las tormentas, no es estrictamente válida, ya que se observa en general una
ligera disminución de los coeficientes en función de la magnitud de las tormentas, aunque se dan casos que
presentan la tendencia contraria.
En virtud de lo anterior, siempre será preferible utilizar relaciones intensidad - duración determinadas
especı́ficamente para cada localidad, donde dicha información exista. En las publicaciones “Manual de Carreteras” del Ministerio de Obras Públicas (MOP, 2001), “Técnicas Alternativas para Soluciones de Aguas
Lluvias en Sectores Urbanos”, del Ministerio de Vivienda y Urbanismo (MINVU, 1996) se presentan valores
“oficiales” de curvas intensidad - duración entre 1 y 24 horas, recomendados para diferentes ciudades de Chile.
4.8.2.
Precipitaciones Máximas en 24 Horas y Precipitaciones Máximas Diarias
Los coeficientes de duración determinados en los acápites anteriores, son en principio válidos para establecer
la relación entre la máxima precipitación en un intervalo continuo cualquiera y la máxima precipitación en
un intervalo continuo de 24 horas.
Cuando se trabaja con información sobre precipitaciones máximas diarias provenientes de registros plu-
4.8. Intensidades de Precipitación
99
viométricos, que como se señalara anteriormente se miden normalmente entre las 08:00 horas de un dı́a y las
08:00 horas del dı́a siguiente, el registro de precipitación diaria no tiene por qué coincidir con el valor máximo
en 24 horas continuas, a menos que la tormenta se centre cronológicamente precisamente en el perı́odo de
medición entre 08:00 hrs y 08:00 hrs. Debido a lo anterior, el dato de precipitación diaria puede fı́sicamente
corresponder a un valor entre un 50 y 100 % de la precipitación en 24 horas dependiendo de su distribución
temporal. En rigor, sólo es posible establecer que la precipitación máxima en 24 horas corresponde a un
ar
valor comprendido entre el valor de la máxima precipitación en un dı́a y la máxima precipitación en dos dı́as
seguidos.
Si se postula la ocurrencia de tormentas centradas con intensidades horarias que satisfagan la ley o fórmula
re
lim
in
de Grunsky, se obtiene que la precipitación medida en un dı́a corresponde a un valor entre el 78 y 100 % de la
precipitación máxima en 24 horas, con un valor esperado de 94 %. Debido a lo anterior, se recomienda ampli-
ficar las estadı́sticas de precipitaciones máximas diarias por un factor F=1.06, para hacerlas estadı́sticamente
representativas de las magnitudes de las precipitaciones máximas en 24 horas.
4.8.3.
Precipitaciones Máximas en 1, 2 y 3 Dı́as Consecutivos
Como se verá más adelante, para el análisis de cuencas de dimensiones mayores, puede resultar de interés
establecer la magnitud de la precipitación de tormentas que duren más de un dı́a. En estos casos, dicha
rP
información podrá obtenerse a partir de los registros de precipitaciones diarias, considerando la suma móvil
en 2, 3 o más dı́as consecutivos, o recurrirse a coeficientes de duración extendidos a dichas duraciones.
En la publicación de la Dirección General de Aguas del Ministerio de Obras Públicas, DGA (1989), hay una
amplia recopilación y análisis de precipitaciones máximas en dichas duraciones, para las diferentes regiones
Bo
rra
do
del paı́s.
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100
Precipitación
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rra
do
Chile
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drenaje vial, Chile.
re
lim
in
ar
Capı́tulo 5
ANÁLISIS DE FRECUENCIA EN
Introducción
rP
HIDROLOGÍA
La medición o registro de todas las variables hidrológicas, sea evaporación, precipitación, escorrentı́a, ası́ como
muchas otras series de tiempo, pasa a constituir una “estadı́stica” de estas variables, las cuales pueden
Bo
rra
do
considerarse como variables aleatorias, en el sentido de que no se tiene un conocimiento determinı́stico para
establecer la magnitud que ellas van a alcanzar en un determinado instante o perı́odo de tiempo.
En el diseño y estudio de obras hidráulicas se requiere interpretar estas estadı́sticas o registros hidrológicos
históricos, en términos de su futura probabilidad de ocurrencia. Esta necesidad se manifiesta, por ejemplo, en
el diseño del vertedero de un embalse o de una obra de defensa fluvial en que se requiere dimensionar la obra,
de manera de asegurar su adecuado funcionamiento ante la ocurrencia de un evento de magnitud extrema,
sin provocar su falla o colapso.
Considerando los costos asociados a la construcción de estas obras hidráulicas, no siempre será conveniente
asegurar su funcionamiento ante un acontecimiento de caracterı́sticas catastróficas, debiendo aceptarse un
riesgo de que esta falle, con una probabilidad de ocurrencia, que dependerá de la importancia, magnitud y
consecuencias asociadas a la falla de la obra.
Ası́ por ejemplo, una alcantarilla en un camino provisorio que se requiera temporalmente para el acceso al
frente de trabajo de una obra, se diseñará con un riesgo de falla mucho más alto que una obra definitiva tal
como una presa o embalse, cuya falla puede tener caracterı́sticas catastróficas.
En el caso de estudios destinados a establecer la disponibilidad de recursos hı́dricos, también se presentan
situaciones parecidas. La evaluación de la disponibilidad de agua para satisfacer determinadas demandas
101
102
Análisis de Frecuencia en Hidrologı́a
de agua potable, por ejemplo, requerirá normalmente establecer niveles de seguridad de abastecimiento más
rigurosos que aquellos para satisfacer necesidades de regadı́o, tomando en consideración la trascendencia de
un eventual desabastecimiento.
Para la adecuada determinación de las magnitudes de diseño a adoptar para las distintas variables hidrológicas ante los distintos escenarios posibles, la Hidrologı́a recurre a una herramienta de la ciencia Estadı́stica
o de la teorı́a de probabilidades, cual es la técnica del análisis de frecuencia, que puede definirse en forma
ar
general, como el procedimiento que permite expresar los datos hidrológicos históricos en términos estadı́sti-
cos y aplicar a ellos ciertos modelos probabilı́sticos que permiten establecer la probabilidad de ocurrencia o
repetición de dichos eventos hidrológicos en el futuro.
re
lim
in
Los resultados que se obtienen con estos procedimientos, llevan siempre asociada una incertidumbre, pro-
veniente no sólo del método estadı́stico mismo, sino además, de la posible falta de representatividad de los
datos o estadı́stica disponible, respecto a la población total de la cual provienen. Por esto, si bien los resultados del análisis de frecuencia serán siempre fundamentales para establecer la seguridad y eficiencia de una
obra hidráulica, estos deberán complementarse con análisis de tipo económico y con el sentido práctico y
experiencia del proyectista, en función de la envergadura y trascendencia de la falla de la obra.
Ası́, para el diseño del sistema de drenaje de una carretera, cuya falla sólo origine la paralización temporal
del tránsito en ella mientras dure una tormenta, se elegirá una magnitud de lluvia moderada, que ocurra por
ejemplo, una vez cada 5 años, por establecer un criterio, o se diseñará para un valor que minimice el costo
rP
conjunto de la construcción del sistema de drenaje, más los costos asociados a la paralización de la carretera.
Por otra parte, el vertedero de un gran embalse, construido aguas arriba de sectores poblados, cuya falla
originarı́a una catástrofe de proporciones mayores, deberá ser diseñado para ser capaz de evacuar una crecida
lo suficientemente grande como para tener una bajı́sima probabilidad de ocurrencia dentro de la vida útil del
Bo
rra
do
embalse, o bien para una crecida que se estime como la máxima fı́sicamente posible.
5.1.
Tratamiento de Datos Hidrológicos para el Análisis de Frecuencia
Si tenemos una serie de datos de una variable aleatoria, hidrológica o no, de ocurrencia secuencial en el tiempo,
hablamos de una serie de tiempo. Esta serie de datos, al ser finita en el tiempo, podemos interpretarla como
una muestra estadı́stica finita proveniente de un universo infinito asociado a la variable en cuestión, la cual
para poder ser tratada estadı́stica y probabilı́sticamente, deberá ser una muestra aleatoria representativa de
la población de la cual proviene, y sus valores deberán ser homogéneos e independientes.
La muestra será más representativa del universo a medida que aumente el número de datos disponibles,
estimándose en general, que una estadı́stica de al menos 30 años de longitud, es requerida para lograr una
adecuada representatividad. A ello se debe la conveniencia de extender estadı́sticas demasiado cortas, antes
de realizar un análisis de frecuencia. Considerando que los datos estimados tienen una mayor incertidumbre
que los directamente medidos, se requiere en general, de una extensión de al menos un 25 % de su longitud,
para lograr mejorar la representatividad de la muestra.
5.1. Tratamiento de Datos Hidrológicos para el Análisis de Frecuencia
103
Por otra parte, muestras de más de 50 años de longitud van aportando cada vez menor información
adicional, por lo que sumados los efectos de la manipulación de un excesivo número de datos y la posible
falta de estacionareidad de los información, no hacen aconsejable trabajar con muestras de mayor longitud a
la indicada.
Una muestra es homogénea si todos los datos disponibles provienen realmente de la misma población, razón
por la cual, considerando que normalmente nuestras variables son sólo ı́ndices hidrológicos, será necesario
ar
aplicar procedimientos como el método de las curvas doble acumuladas, para verificar la consistencia y
homogeneidad de la información.
El principal problema al analizar probabilı́sticamente datos hidrológicos, es su eventual falta de indepen-
re
lim
in
dencia, ya que puede existir entre ellos, tanto dependencia espacial como temporal.
Existe dependencia en el espacio, por ejemplo, cuando dos pluviómetros están ubicados muy cercanos
uno del otro, registrando datos similares que posean algún grado de correlación. Para estos propósitos, ellos
deberı́an ser considerados como un solo dato.
La dependencia en el tiempo es sin embargo, la causa de error más común en el análisis de frecuencia de
datos hidrológicos. Por ejemplo, los gastos máximos de dos crecidas que suceden una a continuación de la
otra, dentro de un intervalo corto de tiempo, pueden no ser independientes entre sı́, ya que pueden deberse al
mismo fenómeno meteorológico, o bien, de ser distintos fenómenos, la magnitud de la segunda crecida puede
quedar influenciada por las condiciones provocadas por la primera crecida. En un caso ası́, sólo uno de los
rP
valores debe ser considerado para el análisis de frecuencia.
Por último, como ya se adelantara, otra condición que debe cumplir una serie de tiempo para someterla
a un análisis de frecuencia, es que esta sea estacionaria, en particular autoestacionaria. Un proceso es auto-
Bo
rra
do
estacionario cuando sus caracterı́sticas o propiedades no cambian al realizar un desplazamiento en el origen
del tiempo. Es decir, las caracterı́sticas de una serie de tiempo de m observaciones, (z1 , z2 , z3 , · · · , zm ) son
las mismas que la de una serie (z1+k , z2+k , z3+k , .....zm+k ), para cualquier valor del desplazamiento k.
Pueden definirse no estacionariedades de distinto orden, dependiendo del orden del momento de la distri-
bución al cual afectan. Los procesos no estacionarios más comunes que afectan al promedio de la serie, son
los de tendencia, periodicidad y persistencia.
Existe tendencia en una serie, cuando el promedio móvil de las caracterı́sticas o parámetros de ella, muestran
una variación sostenida, ya sea creciente o decreciente en el tiempo. La periodicidad es una caracterı́stica
intrı́nseca de muchas variables hidrológicas, ya que quedan sujetas a los ciclos climatológicos diurnos y
anuales, habiendo sido sugeridas además, la existencia de otros ciclos de perı́odo mayor. La persistencia es
la tendencia de algunas variables aleatorias a mantenerse sostenidamente en valores similares a los que la
han precedido. Existen variados procedimientos y tests estadı́sticos que permiten detectar la presencia de
procesos no estacionarios, que en caso de detectarse, deben ser eliminados de la serie, antes de someterla a
análisis de frecuencia.
104
5.1.1.
Análisis de Frecuencia en Hidrologı́a
Selección de Datos Hidrológicos
Los datos hidrológicos pueden presentarse en forma continua o discreta, pero para su análisis estadı́stico deben
ser discretizados. Las temperaturas del aire o los caudales de un rı́o, por ejemplo, son variables esencialmente
continuas, por lo que pueden ser discretizadas tomando valores promedios en un determinado intervalo de
tiempo; temperaturas o caudales medios diarios, temperaturas o caudales medios mensuales o valores proo mı́nimos de una variable continua dentro de ciertos intervalos de tiempo.
Serie de Duración Completa
re
lim
in
5.1.1.1.
ar
medios anuales. También resulta una serie discreta si se consideran sólo los valores extremos, sean máximos
La serie cronológica de datos que incluye toda la información disponible respecto a una variable hidrológica se
denomina serie de duración completa. Este tipo de series, que tienen importantes usos en algunas aplicaciones
ingenieriles que se verán más adelante, no resultan apropiadas para someterlas a análisis de frecuencia,
principalmente por la fuerte dependencia temporal que puede existir entre sus valores y porque al contener
toda la información disponible incluyen mucha información irrelevante, especialmente en estudios en que sólo
interesan los valores crı́ticos o extremos que toma la variable, valores máximos o mı́nimos.
Es por estas razones que normalmente, para el desarrollo de análisis de frecuencia, se seleccionan subconextremos.
5.1.1.2.
rP
juntos de las series de duración completa, cuales son las series de duración parcial y las series de valores
Serie de Duración Parcial
Bo
rra
do
Una serie de duración parcial es un subconjunto de la serie de duración completa constituido por todos los
valores de la variable que exceden, o complementariamente, que no logran exceder, la magnitud de un cierto
valor umbral base, arbitrariamente seleccionado.
De las distintas series de duración parcial que pueden definirse, cambiando la magnitud del valor umbral,
resulta de especial interés el caso particular en que la magnitud del valor umbral se elige de manera tal, que
permanezcan en la serie sólo un número de valores igual al número de años de estadı́stica de que se disponga.
Esta serie particular pasa a denominarse serie de excedencias anuales y corresponderá al subconjunto de la
serie de duración completa que contiene los “N” mayores (o menores) valores medidos de la variable, donde
“N” es el número de años de estadı́stica disponible.
Si bien esta serie elimina toda la información irrelevante, al retener sólo los N valores extremos de la serie,
presenta el inconveniente de que no asegura su total independencia, ya que puede contener dos o más valores
extremos ocurridos en un mismo año, cortamente distanciados en el tiempo, los que pueden tener dependencia
temporal.
5.1. Tratamiento de Datos Hidrológicos para el Análisis de Frecuencia
5.1.1.3.
105
Serie de Valores Extremos
Una serie de valores extremos es un subconjunto de la serie de duración completa constituido sólo por los
valores máximos o mı́nimos que toma la variable dentro de un intervalo o perı́odo de tiempo previamente
establecido. Si para evitar problemas de dependencia temporal, se elige como intervalo de tiempo el perı́odo
de un año hidrológico, la serie resultante pasa a ser la serie de valores extremos anuales, que contendrá tantos
ar
valores como años de estadı́stica haya disponible, es decir, contendrá el mayor (o menor) valor de cada año.
Si bien la serie de valores extremos anuales contiene el mismo número de datos que la serie de excedencias
anuales, los valores incluidos no son necesariamente los mismos, ya que incluye sólo un valor por año, a
re
lim
in
diferencia de la serie de excedencias anuales que puede contener más de un valor en algún año, en perjuicio
de años que quedan sin representación.
La serie de valores extremos anuales elimina también toda la información irrelevante, y asegura su total
independencia temporal, pero presenta el inconveniente de eliminar importantes eventos históricos por el
simple motivo de no ser los extremos de un año, aún cuando estos eventos hayan sido independientes. Es
decir, pueden llegar a omitir información que sı́ es relevante.
En la Figura 5.1 se muestra, a manera de ejemplo una serie de 42 eventos ocurridos durante un perı́odo
de 10 años. Con trapecios rojos se ha identificado el mayor valor ocurrido en cada año, constituyéndose este
subconjunto en la serie de valores extremos anuales de la variable en análisis. Por otra parte, con cı́rculos
rP
grises se han identificado los 10 mayores valores de la serie, constituyéndose este subconjunto en la serie de
excedencias anuales. Se observa que en este caso 8 de los 10 valores son coincidentes, quedando los años 6 y
7 sin representación en la serie de excedencias anuales, en beneficio de los años 8 y 9 que quedan con doble
Bo
rra
do
representación.
120
SEA
SVEA
100
80
60
40
20
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Años
Figura 5.1: Serie de excedencias anuales y de valores extremos anuales.
10
106
5.1.2.
Análisis de Frecuencia en Hidrologı́a
Función de Densidad de Frecuencia
Si el número de datos disponibles de una variable aleatoria x es N , decimos que tenemos una muestra de
tamaño N de nuestra variable aleatoria, la cual será más representativa del universo o población de la cual
proviene, mientras mayor sea el valor de N .
Si nos damos un intervalo de clase dx, podemos construir un histograma de nuestra muestra, contabili-
ar
zando el número de eventos ocurridos por unidad de intervalo de clase, o frecuencia absoluta de ocurrencia.
Ası́, el histograma será un diagrama de barras que nos representa la variable frecuencia absoluta (f /dx), en
función de la magnitud de la variable x.
re
lim
in
Si la frecuencia absoluta se divide por el número total de datos N , se obtiene lo que se denomina histo-
grama relativo, diagrama que presenta la particularidad de que el área total encerrada bajo él, es unitaria:
X fi
X fi
1 X
dx =
=
fi = 1
dxN
N
N
(5.1)
ya que la sumatoria del número de valores en cada clase, f es igual al número total de datos N .
Si se comienza a reducir el intervalo de clase, en el lı́mite cuando dx tiende a cero, el histograma relativo
rP
se transforma en una curva continua que corresponde a la curva denominada curva o función de densidad
de frecuencia de los datos, f (x).
Bo
rra
do
f (x) = lı́m
dx→0
fi
dxN
(5.2)
El área bajo la curva continuará siendo unitaria, por lo que se cumplirá que,
Z
∞
f (x)dx = 1
(5.3)
−∞
Ahora, la teorı́a de probabilidades nos dice que la probabilidad de que la variable x tome valores menores o
iguales a x, queda dada por el área bajo la curva a la izquierda del valor x.
P (x ≤ χ) =
Z
χ
f (x)dx = F (χ)
(5.4)
−∞
donde F (χ) es la curva o función de frecuencia acumulada de la variable.
Esta probabilidad se identifica con el nombre de probabilidad de no excedencia o con el nombre, estrictamente mal utilizado pero de uso común, de probabilidad de ocurrencia de un evento de magnitud x.
Complementariamente, la probabilidad de que la variable x exceda el valor χ, o probabilidad de excedencia,
queda dada por la expresión,
5.1. Tratamiento de Datos Hidrológicos para el Análisis de Frecuencia
107
P (x > χ) = 1 − F (χ)
(5.5)
Lo anterior significa que si la función de densidad de frecuencia o su integral, la función de frecuencia
acumulada de una serie de datos, fuese conocida, la probabilidad de ocurrencia o de excedencia de una
magnitud dada de un evento hidrológico, quedarı́a automáticamente determinada.
ar
El problema práctico es que esta función no es normalmente conocida a priori, debiéndose inferir, a partir
de los datos de la muestra que se dispone, cuál es la función de densidad de frecuencia de la población desde
la cual fue extraı́da. El procedimiento en general consiste en suponer un cierto modelo probabilı́stico que nos
re
lim
in
proporciona la teorı́a de probabilidades, es decir, atribuirle una cierta función de densidad de frecuencia a la
población y verificar el comportamiento de ese modelo, comparando el ajuste de esa distribución teórica con
las observaciones de la realidad, proporcionadas por la serie de datos disponibles.
Debido al carácter probabilı́stico mismo del proceso y por ser la serie de datos sólo una muestra de la
población, resulta poco probable una correspondencia exacta entre el modelo teórico y la muestra real, aún en
el caso en que la distribución teórica escogida corresponda exactamente a la función de densidad de frecuencia
de la población. Más aún, si se considera otra muestra distinta proveniente de la misma población, el ensayo
dará probablemente un resultado algo diferente. Es necesario, en consecuencia, efectuar algún ensayo o test
estadı́stico que permita definir alguna magnitud de discrepancia aceptable, sin que sea necesario rechazar la
rP
función de densidad de frecuencia supuesta.
Por otra parte, hay que hacer notar que un buen ajuste de los datos reales con el modelo teórico, no es
suficiente garantı́a de que la función de densidad de frecuencia adoptada corresponda exactamente a la de la
población.
Bo
rra
do
Existen procedimientos tanto analı́ticos como gráficos para efectuar el ajuste de las funciones de frecuencia,
en particular, las curvas de frecuencia acumulada.
5.1.3.
Perı́odo de Retorno
Las variables hidrológicas en análisis son series de tiempo, es decir, constituyen sucesiones cronológicas, por
lo que la probabilidad de excedencia va asociada a una excedencia en el tiempo. Por ello, el objetivo principal
del análisis de frecuencia de series hidrológicas es determinar lo que se denomina el intervalo de recurrencia
o perı́odo de retorno asociado a una magnitud dada x de una variable hidrológica.
Se define el perı́odo de retorno T de una magnitud de una serie de tiempo, como el intervalo promedio de
tiempo dentro del cual se espera que la magnitud x de un evento hidrológico se iguale o exceda solamente una
vez. Ası́, por ejemplo, si tenemos una estadı́stica de precipitaciones diarias, y seleccionamos sólo la máxima
precipitación diaria de cada año, formando la serie llamada serie de precipitaciones máximas diarias anuales,
aquella magnitud de precipitación Po , asociada a una probabilidad de excedencia Pex = 0.01, se dice que
corresponde a la precipitación máxima diaria con perı́odo de retorno 100 años.
Definido en esos términos, el perı́odo de retorno asociado a una cierta magnitud x de una variable hi-
108
Análisis de Frecuencia en Hidrologı́a
drológica, corresponde al valor recı́proco de su respectiva probabilidad de excedencia,
Pex = P (x > χ) =
1
T
(5.6)
El concepto de perı́odo de retorno no debe asociarse a alguna recurrencia cı́clica de la variable. Si una lluvia
o caudal de perı́odo de retorno T = 100 años, ocurre en un instante cualquiera, no significa que tengan que
ar
transcurrir 100 años para que ese evento vuelva a ocurrir. Esta lluvia o caudal puede volver a ocurrir al año
siguiente o aún dentro del mismo año; el perı́odo de retorno sólo nos dice que la probabilidad de que el evento
re
lim
in
se exceda en un año cualquiera es Pex = 1/T , en nuestro ejemplo, Pex = 0.01.
En el muy largo plazo, sı́ Po tendrá una frecuencia promedio de ocurrencia de una vez cada 100 años.
La correcta dimensión de la variable T dependerá de la frecuencia con la cual se haya medido la variable
en análisis. Sólo si se selecciona la muestra, tomando un solo valor por año, sea el máximo o el mı́nimo, de
manera que N , el tamaño de la muestra corresponda al número de años de estadı́stica, el perı́odo de retorno
pasa a tomar la dimensión “año”. En estricto rigor, la definición de perı́odo de retorno antes dada corresponde
al recı́proco de la probabilidad de excedencia de una serie de excedencias anuales. Si se considera una serie
de valores extremos anuales, el recı́proco de la probabilidad de excedencia indicará el número promedio de
años en que la magnitud será igualada o excedida, sin negar la posibilidad de que en un año el evento ocurra
rP
más de una vez.
Si se postula que los eventos hidrológicos ocurren en el tiempo de acuerdo a un proceso del tipo Poisson, la
relación entre las probabilidades de excedencia obtenidas de series de excedencias anuales y series de valores
Bo
rra
do
extremos anuales, viene dada por la expresión propuesta por Langbein,
Pex,V E = 1 − ePex,EA
(5.7)
o en términos del perı́odo de retorno como,
TV E =
1
1 − e−1/TEA
(5.8)
donde,
Pex,V E : Probabilidad de excedencia resultante de una serie de valores extremos anuales.
Pex,EA : Probabilidad de excedencia resultante de una serie de excedencias anuales.
TV E : Perı́odo de retorno resultante de una serie de valores extremos anuales.
TEA : Perı́odo de retorno resultante de una serie de excedencias anuales.
Las relaciones inversas resultan:
Pex,EA = ln
1
1 − Pex,V E
(5.9)
5.1. Tratamiento de Datos Hidrológicos para el Análisis de Frecuencia
TEA =
109
1
ln
TV E
TV E −1
(5.10)
La Tabla 5.1 muestra la comparación entre los resultados obtenidos entre ambos tipos de series, en términos
de su probabilidad de excedencia y del perı́odo de retorno resultante.
ar
Tabla 5.1: Equivalencia entre perı́odos de retorno y probabilidades de excedencia.
Serie de excedencias anuales
pxe (VE)
T(VE) años
pex(EA)
T(EA) años
0.632
1.58
1
1
0.5
2
0.693
1.44
0.405
2.47
0.223
4.48
0.105
9.49
0.051
19.5
0.02
49.5
0.01
99.5
0.333
3
0.2
5
0.1
10
0.05
20
0.02
50
0.01
100
re
lim
in
Serie de valores extremos
rP
Se observa de los resultados de la Tabla 5.1, que para perı́odos de retorno mayores de 10 años, las diferencias
en los resultados son prácticamente despreciables, por lo que habitualmente se trabaja con series de valores
extremos anuales, dada la mucho mayor disponibilidad de información respecto a este tipo de series. Para
perı́odos de retorno menores, acercándose al valor 2 años, valor utilizado para el diseño de algunas obras
Bo
rra
do
menores, el uso de series de valores extremos anuales generarı́a una sobrestimación del perı́odo de retorno,
que se puede traducir en un subdimensionamiento de las obras.
Sin embargo, el análisis de datos reales medidos en Valparaı́so, (Espinoza et al., 2005) sugiere que, al menos
en ese caso, el criterio propuesto por Langbein sobreestima la corrección necesaria a los perı́odos de retorno
estimados, proponiéndose las siguientes fórmulas modificadas, que permite un mejor ajuste a la corrección
necesaria a los perı́odos de retorno estimados mediante la serie de valores extremos anuales, aplicables a
perı́odos de retorno inferiores a 5 años.
TV E =
1
1 − e−1/(TEA +0.22)
(5.11)
o bien,
TEA =
1
ln
TV E +0.22
TV E −0.78
(5.12)
Si se utiliza alguna otra serie de duración parcial, el perı́odo de retorno, expresado en “años”, se relaciona
con la probabilidad de excedencia mediante la relación,
110
Análisis de Frecuencia en Hidrologı́a
Pex = P (x > χ) =
1
n·T
(5.13)
donde n es el número promedio de observaciones disponibles por año de estadı́stica.
Análisis de Frecuencia Analı́tico
ar
5.2.
Para materializar el análisis de frecuencia de una serie de datos, puede recurrirse a procedimientos directos o
re
lim
in
gráficos, donde las probabilidades o perı́odos de retorno se determinan directamente a partir de la información
que proporciona la muestra disponible, o puede recurrirse a la teorı́a de probabilidades que proporciona
modelos analı́ticos teóricos de la función de densidad de frecuencia f (x), de cuya integración puede obtenerse
la probabilidad o perı́odo de retorno asociado a la magnitud de la variable en análisis.
Existe un gran número de funciones matemáticas f (x) que cumplen con las condiciones de servir como
funciones de densidad de frecuencia, en particular, en términos de establecer una relación biunı́voca entre la
magnitud de la variable y su probabilidad y de respetar que la integral de la función en todo el dominio de
validez de la variable, sea unitaria. Estas funciones se establecen en términos de un conjunto de parámetros o
estadı́grafos que caracterizan al universo o población del cual la muestra disponible proviene, que se deducen
muestra.
rP
a partir de los momentos de la distribución y que pueden inferirse a partir de la información contenida en la
Si el número de datos disponibles de una variable x es N , decimos que tenemos una muestra de tamaño
N de nuestra variable aleatoria, a partir de la cual es posible estimar los estadı́grafos del universo del cual
Bo
rra
do
proviene. En particular, resultan de interés los cuatro primeros momentos de la distribución, asociados a los
conceptos de promedio, varianza, asimetrı́a y kurtosis, cuyos estimadores son:
1° Momento o Promedio aritmético
x̄ =
PN
xi
(5.14)
(xi − x̄)2
N −1
(5.15)
i=1
N
2° Momento o Varianza
s2x =
PN
i=1
3° Momento o Asimetrı́a
PN
N i=1 (xi − x̄)3
Ax =
(N − 1)(N − 2)
4º Momento o Kurtosis
(5.16)
5.2. Análisis de Frecuencia Analı́tico
111
"N
#2
N
X
X
(N 2 − 2N + 3)
3(2N − 3)
4
2
Kx =
(x − x̄) −
(x − x̄)
(N − 1)(N − 2)(N − 3) i=1
N (N − 1)(N − 2)(N − 3) i=1
(5.17)
En términos prácticos los momentos segundo, tercero y cuarto, suelen reemplazarse por la desviación
standard, coeficiente de asimetrı́a y coeficiente de kurtosis , respectivamente, según las relaciones, Desviación
(5.18)
p
s2x
re
lim
in
sx =
ar
Estándar:
Coeficiente de Asimetrı́a:
Cs,x =
Coeficiente de Kurtosis:
κx =
Ax
s3x
Kx
s4x
(5.19)
(5.20)
Existen procedimientos matemáticos más poderosos para estimar los estadı́grafos de una distribución, como
rP
los métodos de máxima verosimilitud, que pueden consultarse en un buen texto de estadı́stica, pero que para
muestras de pequeño tamaño, como es el caso habitual en hidrologı́a, no presentan una ventaja sustantiva.
Funciones de Densidad de Frecuencia Utilizadas Comúnmente en Hidrologı́a
Bo
rra
do
5.2.1.
Dentro de las numerosas funciones de densidad de frecuencia que proporciona la teorı́a de probabilidades,
existen algunas que por la facilidad de uso o por haber demostrado su buen ajuste con datos hidrológicos, se
utilizan comúnmente en hidrologı́a. Dentro de ellas, es posible destacar las siguientes.
5.2.1.1.
Distribución Normal o Distribución de Gauss
Se dice que una variable aleatoria es normalmente distribuida, si su función de densidad de frecuencia viene
expresada por la relación,
1 x−µ 2
1
f (x) = √
e− 2 ( σ x )
2πσx
−∞<x<∞
(5.21)
donde µ y σx son los parámetros de esta distribución, los que resultan ser el promedio y la desviación estándar,
respectivamente. Por ser los parámetros poblacionales, normalmente desconocidos, estos se estiman en base
a los parámetros muestrales: µ ≈ x̄; σx ≈ sx .
La función de frecuencia acumulada de una magnitud “b” de la variable, está dada por:
112
Análisis de Frecuencia en Hidrologı́a
F (b) = P (x ≤ b) =
Z
b
√
−∞
1 x−µ 2
1
e− 2 ( σx ) dx
2πσx
(5.22)
y consecuentemente,
(5.23)
ar
P (x > b) = 1 − F (b)
La función de frecuencia acumulada no es analı́ticamente integrable y se encuentra normalmente tabulada
o disponible en medios electrónicos, sólo para el caso particular donde µ ≈ 0; σx ≈ 1, que corresponde a la
re
lim
in
denominada distribución normal centrada y reducida.
En consecuencia, si se define la variable centrada y reducida z como,
z=
se puede escribir,
x − x̄
sx
x = x̄ + z · sx
(5.24)
(5.25)
donde z, el valor de la variable reducida o factor de frecuencia se obtiene de tablas o medios electrónicos
rP
dependiendo de la probabilidad de ocurrencia asociada al valor x y de la forma de función de densidad de
frecuencia f (x), en este caso la distribución normal.
En la Tabla 5.2 se incluyen valores de la función de frecuencia acumulada para la distribución normal
Bo
rra
do
centrada y reducida. En dicha Tabla se dan los valores del área bajo la curva de distribución normal para
valores de la variable estandarizada “z” entre los valores 0 y 3.29. Por ser la distribución normal simétrica, la
probabilidad de tener un valor menor o igual que un cierto valor positivo dado de la variable estandarizada,
se obtiene sumando al valor dado por la tabla la cantidad 0.5 que corresponde al área total bajo la curva de
densidad en el rango de los valores negativos de z.
Como ejemplo, si queremos encontrar la probabilidad de obtener un valor de la variable centrada y reducida
menor que 1.67, se entra a la Tabla 5.2:
Para z = 1.67 se obtiene A = 0.4525
⇓
P (z ≤ 1.67) = 0.5 + A = 0.9525
P (z > 1.67) = 1 − 0.9525 = 0.0475
Complementariamente, para obtener la probabilidad asociada a un valor negativo de la variable reducida,
debemos restar a la cantidad 0.5 el valor de la Tabla 5.2 correspondiente al módulo o valor positivo de la
variable z.
5.2. Análisis de Frecuencia Analı́tico
113
Para z = −1.67 se obtiene A = 0.4525
⇓
P (z ≤ −1.67) = A − 0.5 = 0.0475
P (z > −1.67) = 1 − 0.0475 = 0.9525
ar
Muchas calculadoras cientı́ficas y programas en la actualidad permiten obtener en forma directa las áreas
bajo la distribución normal, por ejemplo, la función Distr.norm.estand de Microsoft Excel.
re
lim
in
Tabla 5.2: Distribución normal centrada y reducida.
z
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.0
0.0000
0.004
0.008
0.012
0.016
0.0199
0.0239
0.0279
0.0319
0.0359
0.1
0.0308
0.0438
0.0478
0.0517
0.0557
0.0596
0.0636
0.0675
0.0714
0.0753
0.2
0.0793
0.0832
0.0871
0.091
0.0948
0.0987
0.1026
0.1064
0.1103
0.1141
0.3
0.1179
0.1217
0.1255
0.1293
0.1331
0.1368
0.1406
0.1443
0.148
0.1517
0.4
0.1554
0.1591
0.1628
0.1664
0.17
0.1736
0.1772
0.1808
0.1844
0.1879
0.5
0.1915
0.195
0.1985
0.2019
0.2054
0.2088
0.2123
0.2157
0.219
0.2214
0.6
0.2257
0.2291
0.2324
0.2357
0.2389
0.2422
0.2454
0.2486
0.2517
0.2549
0.7
0.258
0.2611
0.2642
0.2673
0.2704
0.2734
0.2764
0.2794
0.2823
0.2852
0.8
0.2881
0.291
0.2939
0.2967
0.2995
0.3023
0.3051
0.3078
0.3106
0.3133
0.9
0.3159
0.3186
0.3212
0.3238
0.3264
0.3289
0.3315
0.334
0.3365
0.3389
0.3621
0.3413
0.3438
0.3461
0.3485
0.3508
0.3531
0.3554
0.3577
0.3599
0.3643
0.3665
0.3686
0.3708
0.372
0.3749
0.377
0.379
0.381
0.383
1.2
0.3849
0.3869
0.3888
0.3907
0.3925
0.3944
0.3962
0.398
0.3997
0.4015
1.3
0.4032
0.4049
0.4066
0.4082
0.409
0.4115
0.4131
0.4147
0.4162
0.4177
1.4
0.4192
0.4207
0.4222
0.4326
0.4351
0.4265
0.4279
0.4292
0.4306
0.4319
1.5
0.4332
0.4345
0.4357
0.437
0.4382
0.4394
0.4406
0.4418
0.4429
0.4441
1.6
0.4452
0.4463
0.4474
0.4484
0.4495
0.4505
0.4515
0.4525
0.4535
0.4545
1.7
0.1554
0.4564
0.4573
0.4582
0.4591
0.4599
0.4608
0.4616
0.4625
0.4633
1.8
0.4641
0.4649
0.4656
0.4664
0.4671
0.4678
0.4686
0.4693
0.4699
0.4706
1.9
0.4713
0.4719
0.4726
0.4732
0.4738
0.4744
0.475
0.4756
0.4761
0.4767
Bo
rra
do
rP
1
1.1
2
0.4772
0.4778
0.4783
0.4788
0.4793
0.4798
0.4803
0.4808
0.4812
0.4817
2.1
0.4821
0.4826
0.483
0.4834
0.4838
0.4842
0.4846
0.485
0.4854
0.4857
2.2
0.4861
0.4864
0.4868
0.4871
0.4875
0.4878
0.4881
0.4884
0.4887
0.489
2.3
0.4893
0.4896
0.4898
0.4901
0.4904
0.4906
0.49
0.4911
0.4913
0.4916
2.4
0.4918
0.492
0.4922
0.4925
0.4927
0.4929
0.4931
0.4932
0.4934
0.4936
2.5
0.4938
0.494
0.4941
0.4943
0.4945
0.4946
0.4948
0.4949
0.4951
0.4952
2.6
0.4953
0.4955
0.4956
0.4957
0.4959
0.496
0.4961
0.4962
0.4963
0.4964
2.7
0.4965
0.4966
0.4967
0.4968
0.4969
0.497
0.4971
0.4972
0.4973
0.4974
2.8
0.4974
0.4975
0.4976
0.4977
0.4977
0.4978
0.4979
0.4979
0.498
0.4981
2.9
0.4981
0.4982
0.4982
0.4983
0.4984
0.4984
0.4985
0.4985
0.4986
0.4986
3
0.4987
0.4987
0.4987
0.4988
0.4988
0.4989
0.4989
0.4989
0.499
0.499
3.1
0.499
0.4991
0.4991
0.4991
0.4992
0.4992
0.4992
0.4993
0.4993
0.4993
3.2
0.4993
0.4993
0.4994
0.4994
0.4994
0.4994
0.4994
0.4995
0.4995
0.4995
114
Análisis de Frecuencia en Hidrologı́a
Ejemplo 5.2.1:
Se tiene una estadı́stica de 30 años de longitud de los caudales máximos anuales en el rı́o Maule en la
Estación Armerillo y se desea saber cuál es la probabilidad de que ocurra en dicho lugar un caudal mayor
que 3100 [m3 /s].
Se supondrá para el análisis que los datos siguen una distribución normal.
Q [m3 /s]
Año
Q [m3 /s]
Año
Q [m3 /s]
Año
Q [m3 /s]
1
2650
7
3000
13
950
19
1950
2
750
8
1750
14
610
20
2100
3
2400
9
1300
15
850
21
4
1700
10
1100
16
1500
22
5
1650
11
850
17
1250
6
1600
12
1500
18
1300
De la muestra (N = 30) se obtiene:
i=1
N
s
xi
= 1500 [m3 /s];
sx =
PN
Q [m3 /s]
25
1400
26
1750
800
27
700
1250
28
3200
23
850
29
390
24
1100
30
2800
(xi − x̄)2
= 732.1 [m3 /s]
N −1
i=1
rP
x̄ =
PN
Año
re
lim
in
Año
ar
Tabla 5.3: Rı́o Maule en Armerillo, caudales máximos instantáneos anuales.
Considerando b = 3100 [m3 /s], se tiene que
Bo
rra
do
z=
b − x̄
= 2.185
sx
Ası́, ingresando en la Tabla 5.2, se obtiene:
P (x ≤ 3100) = 0.9856
P (x > 3100) = 1 − 0.9856 = 0.0144
T =
5.2.1.2.
1
1
=
≈ 69.4 años
P (x > 3100
0.0144
Distribución Logarı́tmico Normal o Log-normal
La distribución normal antes vista, siendo la distribución estadı́stica más utilizada en muchas disciplinas,
está definida en el dominio de los números reales, es decir, acepta la existencia de valores negativos. En este
sentido, su aplicabilidad a datos hidrológicos se ve bastante reducida, ya que muchas de las variables involucradas tales como precipitaciones, caudales, humedades, etc. sólo tienen sentido con números positivos o
5.2. Análisis de Frecuencia Analı́tico
115
cuando menos nulos, por lo que suelen presentar funciones de densidad de frecuencia asimétricas que teóricamente no pueden ser representadas por una distribución normal. Aún cuando podrı́an utilizarse distribuciones
normales truncadas, que no acepten valores negativos, en hidrologı́a ha resultado conveniente el empleo de
transformaciones de la variable original que cumplan el objetivo de eliminar valores negativos. Entre ellas, la
más utilizada corresponde a la denominada distribución logarı́tmico normal.
Si x es una variable aleatorio e y = ln(x) es una transformación logarı́tmica de ella, se dice que x es
ar
distribuida en forma logarı́tmico normal, si la función de densidad de frecuencia de la variable transformada
y viene expresada por la relación,
1
−1
e 2
2πσy
y−µ
σy
2
re
lim
in
f (y) = √
−∞<y <∞
(5.26)
donde µ y σy son los parámetros de esta distribución, los que resultan ser el promedio y la desviación estándar
de los logaritmos de la variable original x, respectivamente.
Por ser los parámetros poblacionales, normalmente desconocidos, estos se estiman en base a los parámetros
muestrales: µ ≈ ȳ; σy ≈ sy , donde,
ln(yi )
= ln(x)
N
i=1
rP
ȳ =
PN
PN i=1
s2y =
ln(yi ) − ln(x)
(5.27)
2
(5.28)
N −1
Bo
rra
do
La función de densidad de frecuencia de x se obtiene haciendo la transformación:
f (x)dx = f (y)dy
f (x) = f (y)
x = ey
dx = ey dy
dy
1
−1
=√
e 2
y
dx
2πσy e
y−µ
σy
2
(5.29)
La utilización de esta distribución, exige la misma estandarización que la distribución normal.
Ejemplo 5.2.2:
Se utilizarán los mismos datos del ejemplo 5.2.1, excepto que se supondrá para el análisis que los datos
siguen una distribución logarı́tmico normal.
A partir de los datos de la muestra entregados en la Tabla 5.3 (N = 30) se obtiene:
ȳ =
i=1 ln(yi )
= 7.196;
N
PN
PN s2y =
i=1
2
ln(yi ) − ln(x)
N −1
= 0.505;
116
Análisis de Frecuencia en Hidrologı́a
Considerando ln(b) = ln(3100) = 8.039, se tiene que
z=
ln(b) − ȳ
= 1.670
sy
P (x ≤ 3100) = 0.9525
T =
5.2.1.3.
re
lim
in
P (x > 3100) = 1 − 0.9525 = 0.0475
ar
Ası́, ingresando en la Tabla 5.2, se obtiene:
1
1
=
≈ 21.1 años
P (x > 3100
0.0475
Distribuciones de Valores Extremos
Las series de datos utilizadas para el análisis de frecuencia en hidrologı́a, corresponden como se mencionó anteriormente, no a series de duración completa sino a series de valores extremos o de excedencias anuales, es
rP
decir, cada dato en sı́ corresponde a un valor extremo, normalmente máximo, dentro de un conjunto de datos
mayor. En estos términos, es conceptualmente lı́cito aplicar a las series hidrológicas, teorı́as provenientes
de la rama de la estadı́stica correspondiente a la teorı́a de valores extremos, que proporciona distribuciones
de frecuencia lı́mites aplicables a este tipo de variables, entre las que se destacan la Distribución de valo-
Bo
rra
do
res Extremos Tipo I o Distribución Gumbel y la Distribución de Valores Extremos Tipo III o Distribución
Weibull.
5.2.1.3.1. Distribución de Valores Extremos Tipo I o Distribución Gumbel
La teorı́a de valores extremos establece que si se tienen M muestras de N valores cada una correspondientes
a una variable aleatoria x cuya función de densidad de frecuencia es ilimitada hacia los valores altos, o sea, de
tipo exponencial abierta hacia la derecha, entonces cuando el número de muestras M aumenta y el número
de valores N de cada muestra aumenta, tendiendo ambos a infinito, la función de densidad de frecuencia de la
serie conformada por los valores máximos de cada una de las series tiende, cuando M y N tienden a infinito,
a la distribución de Valores Extremos Tipo I o Distribución de Gumbel.
La curva de frecuencia acumulada F (x) de esta distribución queda representada por la ecuación:
F (x) = e−e
−y
(5.30)
donde y se denomina la variable reducida y viene dada por
y = a(x − xf )
(5.31)
5.2. Análisis de Frecuencia Analı́tico
117
donde a su vez, “a” es un parámetro de dispersión definido por:
π 1
1.28255
a= √
≈
sx
6 σx
(5.32)
y xf es la moda de la distribución
γ
a
(5.33)
ar
xf = µ −
γ=
Z
0
∞
1
x
re
lim
in
donde γ es el número de Euler dado por
1
−x
−e
dx = 0.57721
1+x
(5.34)
Reemplazando en función de los parámetros muestrales, resulta
x = x̄ + 0.450sx
(5.35)
En consecuencia, la probabilidad de que la variable x exceda un valor dado b, viene dada en forma directa
rP
por
P (x > b) = 1 − F (b) = 1 − e−e
donde yb = a(b − xf ).
−yb
(5.36)
Bo
rra
do
La distribución de valores extremos Tipo I, depende de sólo dos parámetros, por lo que su coeficiente de
asimetrı́a debe ser constante. Se puede demostrar que en este caso el coeficiente de asimetrı́a vale,
Cs = 1.139 = Cte.
En la práctica se trabaja con un número finito de muestras que contienen a su vez un número finito de
valores, por lo cual esta función lı́mite no es estrictamente aplicable. Sin embargo, al trabajar con series
de valores extremos anuales se puede interpretar que cada año es una muestra del cual el valor disponible
es el valor máximo de un gran número N de eventos que pudieron haber ocurrido ese año, aceptándose en
consecuencia que el tamaño de la muestra es suficientemente grande, estadı́sticamente cercano a infinito.
No ocurre lo mismo con el número de muestras M que corresponderı́a en este caso al número de años de
estadı́stica disponible, el cual puede ser una cifra bastante reducida, no asimilable al valor infinito.
Al respecto Gumbel realizó un estudio de esta distribución y determinó que cuando se trabaja con un
√
número M finito de muestras, las constantes lı́mites γ y π/ 6 deben reemplazarse por ȳm y σm ,la media y
la desviación estándar de la variable reducida, respectivamente.
En términos prácticos, para una muestra de tamaño M , se le puede asignar a cada valor su probabilidad
muestral, dada por la expresión
118
Análisis de Frecuencia en Hidrologı́a
P =
m
M +1
(5.37)
donde m es el número de orden de la variable ordenada de menor a mayor. Para cada valor de probabilidad
se obtiene el correspondiente valor de la variable reducida “y” mediante la curva de frecuencia acumulada de
la distribución, valores a los cuales se les determina su promedio y desviación estándar.
ar
En Tabla 5.4 se presentan valores de las medias y desviaciones estándar de la variable reducida para
diferentes números de muestra o años de estadı́stica disponibles M .
ȳm
σm
M
ȳm
σm
M
ȳm
σm
10
0.49521
0.94963
50
0.54854
1.16066
150
0.56462
1.22534
15
0.51284
20
0.52355
1.02057
55
0.55044
1.16817
200
0.56715
1.23598
1.06282
60
0.55208
1.17467
250
0.56878
1.24292
25
0.53086
1.09145
70
0.55477
1.18535
300
0.56993
1.24787
30
0.53622
1.11237
80
0.55689
1.19382
400
0.57144
1.2545
35
0.54034
1.12847
90
0.5586
1.20073
500
0.5724
1.2588
40
0.54362
1.14131
100
0.56002
1.20649
1000
0.5749
1.2691
45
0.5463
1.15184
120
0.56225
1.21558
∞
0.57721
1.28255
rP
M
re
lim
in
Tabla 5.4: Medias y desviaciones estándar de la variable reducida.
Bo
rra
do
De la definición de la variable reducida (ecuación (5.31)), se puede despejar xf ,
xf = x −
y
a
(5.38)
xf = µ −
γ
a
(5.39)
pero por definición de xf ,
Igualando ambas expresiones y reemplazando las constantes por las propuestas por Gumbel, se obtiene una
expresión para el factor de frecuencia a través de la igualdad,
k=
x − x̄
y − ȳm
=
sx
σm
(5.40)
Esta expresión, llamada Ley de Gumbel, nos da una relación directa entre la magnitud de la variable x y la
variable reducida “y” en función única de parámetros dependientes sólo del tamaño de la muestra.
Una vez determinada la variable reducida “y” se puede obtener la probabilidad directamente de la función
de frecuencia acumulada.
El perı́odo de retorno T , definido por la ecuación 5.6, se puede reemplazar en este caso como
5.2. Análisis de Frecuencia Analı́tico
119
−y
1
= 1 − e−e
T (b)
(5.41)
de donde se obtiene otra relación directa, ahora entre la variable reducida y el perı́odo de retorno
T
y = − ln ln
T −1
re
lim
in
y = ln(T )
ar
expresión que para T > 50 años se puede aproximar por la relación,
(5.42)
Ejemplo 5.2.3:
(5.43)
Se continuará con el mismo problema de los ejemplos anteriores, suponiendo ahora que los datos siguen
una distribución de valores extremos Tipo I, Gumbel.
A partir de los datos de la muestra entregados en la Tabla 5.3 (N = 30) se obtiene:
i=1 xi
= 1500 [m3 /s];
N
De la Tabla 5.4, para M = 30,
sx =
PN
(xi − x̄)2
= 732.1 [m3 /s]
N −1
i=1
rP
x̄ =
s
PN
ȳm = 0.53622;
σm = 1.11237;
Bo
rra
do
Luego, considerando b = 3100 [m3 /s], se tiene,
b − x̄
y − ȳm
=
sx
σm
2.185 =
=⇒
y − 0.53622
1.11237
y = 2.9667
En consecuencia,
P (x > 3100) = 1 − F (b) = 1 − e−e
−y
= 1 − 0.9498 = 0.0502
y por lo tanto,
T =
1
1
=
= 19.9 años
P (x > 3100)
0.0502
120
Análisis de Frecuencia en Hidrologı́a
5.2.1.3.2. Distribución de Valores Extremos Tipo III o Distribución Weibull
La distribución de valores extremos tipo III resulta de la teorı́a de valores extremos si se postula que la
variable en análisis está acotada superiormente a un valor lı́mite. Su curva de frecuencia acumulada queda
representada por la expresión,
F (x) = e−( γ−θ )
k
(5.44)
ar
γ−x
para −∞ < x < γ y θ < γ.
re
lim
in
Esta distribución tiene tres parámetros: γ, el limite superior y los parámetros de forma θ y k.
Para la estimación de estos parámetros puede recurrirse al siguiente cambio de variable:
y = −k [ln(γ − x) − ln(γ − θ)]
luego,
y = − ln
γ−x
γ−θ
k
o e
−y
=
γ−x
γ−θ
k
rP
de donde su curva de frecuencia acumulada se reduce a
F (x) = e−e
−y
(5.45)
Bo
rra
do
Esta ecuación que corresponde a la estructura de la distribución de valores extremos Tipo I. Esto nos dice
que la distribución de Valores Extremos Tipo III es una transformación logarı́tmica de la distribución de
valores extremos Tipo I.
Recordando que
y = a(x − xf ) = k [− ln(γ − x) + ln(γ − θ)]
(5.46)
resulta que la variable
z = − ln(γ − x)
tiene una distribución de valores extremos Tipo I o Gumbel, con parámetros,
a=
xf =
σm
=k
sz
(5.47)
(5.48)
sz
z̄ − ym
σm
= − ln(γ − θ)
5.2. Análisis de Frecuencia Analı́tico
121
donde,
z̄ = −
N
1 X
ln(γ − xi )
N i=1
y con coeficiente de asimetrı́a Cs,z = 1.139 = Cte.
(− ln(γ − xi ) − z̄)
(N − 1)(N − 2)s3z
PN
3
i=1
re
lim
in
Cs,z =
N
ar
En consecuencia, el valor de debe satisfacer la ecuación,
la cual deberá resolverse por tanteo o mediante procedimientos analı́tico-gráficos descritos por Yevyevich.
Resuelto γ, la constante θ se obtiene de la ecuación (5.48).
Ahora, si X tiene una distribución de valores extremos Tipo III, acotada superiormente por el parámetro γ,
entonces, la variable –X es una variable con distribución de valores extremos tipo III, acotada inferiormente
a un valor lı́mite −γ, denominada distribución Weibull, la cual suele aplicarse a series de valores extremos
mı́nimos.
rP
Su curva de frecuencia acumulada queda representada por la expresión,
F (x) = e−( θ−γ )
x−γ
para γ < x < ∞ y θ > γ.
k
(5.49)
Bo
rra
do
En forma análoga, resulta ahora que la variable
z = − ln(x − γ)
tiene una distribución de valores extremos Tipo I o Gumbel, cuyos parámetros se evalúan en igual forma que
el caso anterior.
Ejemplo 5.2.4:
Se continuará con el mismo problema, suponiendo ahora inicialmente que los datos siguen una distribución
de valores extremos Tipo III, acotada superiormente.
Ası́, evaluando z = − ln(γ − x) para los datos de la muestra entregados en la Tabla 5.3 e iterando el valor de
γ hasta que satisfaga un coeficiente de asimetrı́a Cs,z = 1.139, se obtiene
γ = 6079.25
z̄ =
1 X
zi = −8.4154;
N
⇓
rP
(zi − z̄)2
sz =
= 0.175;
N −1
b = − ln(6079.25 − 3100) = −7.999
122
Análisis de Frecuencia en Hidrologı́a
De la Tabla 5.4, para M = 30,
ȳm = 0.53622;
σm = 1.11237;
Luego,
ar
b − z̄
y − ȳm
=
sz
σm
y − 0.53622
1.11237
re
lim
in
2.3775 =
=⇒
En consecuencia,
y = 3.181
P (x > 3100) = 1 − F (b) = 1 − e−e
−y
rP
y por lo tanto,
= 1 − 0.9593 = 0.041
T =
1
1
=
= 24.4 años
P (x > 3100)
0.041
Bo
rra
do
De acuerdo a este modelo, los caudales estarı́an limitados a un valor máximo superior de 6079.25 [m3 /s].
Ahora, si se supone que los datos siguen una distribución de valores extremos Tipo III, acotada inferiormente
o distribución de Weibull, evaluando z = − ln(x − γ) para los datos de la muestra entregados en la Tabla 5.3
e iterando el valor de γ hasta que satisfaga un coeficiente de asimetrı́a Cs,z = 1.139, se obtiene
z̄ =
1 X
zi = −6.8616;
N
sz =
rP
γ = 308.58
⇓
(zi − z̄)2
= 0.7555;
N −1
b = − ln(3100 − 308.58) = −7.9343
De la Tabla 5.4, para M = 30,
ȳm = 0.53622;
σm = 1.11237;
Luego,
b − z̄
y − ȳm
=
sz
σm
5.2. Análisis de Frecuencia Analı́tico
123
−1.4197 =
=⇒
y − 0.53622
1.11237
y = −1.043
ar
En consecuencia,
−y
P (x > 3100) = 1 − F (b) = 1 − 1 − e−e
= 0.05854
T =
re
lim
in
y por lo tanto,
1
1
=
= 17.1 años
P (x > 3100)
0.05854
De acuerdo a este modelo, los caudales estarı́an limitados a un valor mı́nimo inferior de 308.58 [m3 /s].
5.2.1.4.
Distribución Gamma de Dos Parámetros
de densidad de frecuencia es
rP
Una variable aleatoria “x” tiene una distribución Gamma de dos parámetros o Gamma 2, cuando su función
F (x) =
1
xα−1 e−x/β
β α Γ(α)
x>0
(5.50)
Bo
rra
do
donde α y β son los dos parámetros de la distribución y Γ(α) es la función Gamma completa definida por la
integral,
Γ(α) =
Z
∞
y α−1 e−y dy
(5.51)
0
Integrando la función Gamma por partes, puede demostrarse que
Γ(α) = (α − 1)Γ(α − 1)
(5.52)
de donde resulta que si es un número entero positivo
Γ(α) = (α − 1)!
(5.53)
Para valores no enteros de α, la función Γ(α) no es analı́ticamente integrable y se haya tabulada en tablas
matemáticas y estadı́sticas o puede obtenerse mediante aproximaciones analı́ticas polinomiales.
La función de frecuencia acumulada está dada por
124
Análisis de Frecuencia en Hidrologı́a
F (b) = P (x ≤ b) =
1
b
Z
0
β α Γ(α)
(5.54)
xα−1 e−x/β dx
Haciendo el cambio de variable y = x/β se tiene,
F (b) = P (x ≤ b) =
Z
b/β
re
lim
in
0
1
β α−1 y α−1 e−y βdy
β α Γ(α)
ar
dx = βdy
F (b) = P (x ≤ b) =
1
Γ(α)
Z
b/β
y α−1 e−y dy
(5.55)
0
La integral resultante tiene la estructura de la función Gamma, pero integrada sólo hasta el valor finito b/β,
por lo que se le denomina función Gamma incompleta, en este caso de dos parámetros Γ (b/β, α). Esta función
también se haya tabulada.
En definitiva,
Γ (b/β, α)
Γ(α)
rP
F (b) = P (x ≤ b) =
(5.56)
Los parámetros α y β satisfacen las siguientes relaciones:
Bo
rra
do
x̄ = αβ;
s2x = β 2 α;
(5.57)
de donde
β=
s2x
;
x̄
α=
x̄
sx
2
=
1
;
c2v
(5.58)
donde cv = sx /x̄ es el coeficiente de variación.
Siendo la distribución Gamma 2 dependiente de sólo dos parámetros, su coeficiente de asimetrı́a no es
independiente, quedando definido por la relación
2
Cs = √ = 2cv
α
(5.59)
Para fines prácticos, se adjunta la Tabla 5.5 simplificada, que permite relacionar la variable centrada y
reducida o factor de frecuencia con su probabilidad de excedencia en función del coeficiente de asimetrı́a, que
en este caso siempre es positivo, ya que el dominio de la variable es sólo para valores positivos con lı́mite
inferior nulo.
5.2. Análisis de Frecuencia Analı́tico
125
Tabla 5.5: Factores de frecuencia para distribuciones Pearson Tipo III con asimetrı́a positiva.
Perı́odo de retorno [años]
Cs
1.01
1.053
1.25
2
5
10
25
50
100
200
500
1000
2000
10000
Probabilidad de excedencia
0.99
0.95
0.8
0.5
0.2
0.1
0.04
0.02
0.01
0.005
0.002
0.001
0.0005
0.0001
-2.326
-1.645
-0.842
0.000
0.842
1.282
1.751
2.054
2.326
2.576
2.878
3.090
3.291
3.719
-2.253
-1.616
-0.846
-0.017
0.836
1.292
1.785
2.107
2.400
2.670
3.000
3.233
3.455
3.935
0.2
-2.178
-1.586
-0.850
-0.033
0.830
1.301
1.818
2.159
2.472
2.763
3.122
3.377
3.621
4.153
0.3
-2.104
-1.555
-0.853
-0.050
0.824
1.309
1.849
2.211
2.544
2.856
3.244
3.521
3.788
4.374
0.4
-2.029
-1.524
-0.855
-0.067
0.816
1.317
1.880
2.261
2.615
2.949
3.366
3.666
3.956
4.597
0.5
-1.955
-1.491
-0.857
-0.083
0.808
1.323
1.910
2.311
2.686
3.041
3.487
3.811
4.124
4.821
0.6
-1.880
-1.458
-0.857
-0.099
0.800
1.329
1.939
2.359
2.755
3.132
3.609
3.956
4.293
5.047
0.7
-1.806
-1.423
-0.857
-0.116
0.790
1.333
1.967
2.407
2.824
3.223
3.730
4.100
4.462
5.274
0.8
-1.733
-1.389
-0.856
-0.132
0.780
1.336
1.993
2.453
2.891
3.312
3.850
4.244
4.631
5.501
0.9
-1.660
-1.353
-0.854
-0.148
0.769
1.339
2.018
2.498
2.957
3.401
3.969
4.388
4.799
5.729
1
-1.588
-1.317
-0.852
-0.164
0.758
1.340
2.043
2.542
3.023
3.489
4.088
4.531
4.967
5.957
1.1
-1.518
-1.280
-0.848
-0.180
0.745
1.341
2.066
2.585
3.087
3.575
4.206
4.673
5.134
6.185
1.2
-1.449
-1.243
-0.844
-0.195
0.733
1.340
2.088
2.626
3.149
3.661
4.323
4.815
5.301
6.412
1.3
-1.383
-1.206
-0.838
-0.210
0.719
1.339
2.108
2.667
3.211
3.745
4.438
4.955
5.467
6.640
1.4
-1.318
-1.168
-0.832
-0.225
0.705
1.337
2.128
2.706
3.271
3.828
4.553
5.095
5.633
6.867
1.5
-1.256
-1.131
-0.825
-0.240
0.691
1.333
2.146
2.743
3.330
3.910
4.667
5.234
5.797
7.093
1.6
-1.197
-1.094
-0.817
-0.254
0.675
1.329
2.163
2.780
3.388
3.990
4.779
5.371
5.960
7.318
1.7
-1.140
-1.056
-0.808
-0.268
0.660
1.324
2.179
2.815
3.444
4.069
4.890
5.507
6.122
7.543
1.8
-1.087
-1.020
-0.799
-0.282
0.643
1.318
2.193
2.848
3.499
4.147
4.999
5.642
6.283
7.766
1.9
-1.037
-0.984
-0.788
-0.294
0.627
1.311
2.207
2.881
3.553
4.223
5.108
5.775
6.443
7.989
2
-0.990
-0.949
-0.777
-0.307
0.609
1.303
2.219
2.912
3.605
4.298
5.215
5.908
6.601
8.210
2.1
-0.946
-0.915
-0.765
-0.319
0.592
1.294
2.230
2.942
3.656
4.372
5.320
6.039
6.758
8.431
2.2
-0.905
-0.882
-0.752
-0.330
0.574
1.284
2.240
2.970
3.705
4.444
5.424
6.168
6.914
8.650
2.3
-0.867
-0.850
-0.739
-0.341
0.555
1.274
2.248
2.997
3.753
4.515
5.527
6.296
7.068
8.868
Bo
rra
do
rP
re
lim
in
ar
0
0.1
2.4
-0.832
-0.819
-0.725
-0.351
0.537
1.262
2.256
3.023
3.800
4.584
5.628
6.423
7.221
9.084
2.5
-0.799
-0.790
-0.711
-0.360
0.518
1.250
2.262
3.048
3.845
4.652
5.728
6.548
7.373
9.299
2.6
-0.769
-0.762
-0.696
-0.369
0.499
1.238
2.267
3.071
3.889
4.718
5.826
6.672
7.523
9.513
2.7
-0.740
-0.736
-0.681
-0.376
0.479
1.224
2.272
3.093
3.932
4.783
5.923
6.794
7.671
9.725
2.8
-0.714
-0.711
-0.666
-0.384
0.460
1.210
2.275
3.114
3.973
4.847
6.019
6.915
7.818
9.936
2.9
-0.690
-0.688
-0.651
-0.390
0.440
1.195
2.277
3.134
4.013
4.909
6.113
7.034
7.964
10.146
3
-0.667
-0.665
-0.636
-0.396
0.420
1.180
2.278
3.152
4.051
4.966
6.205
7.152
8.108
10.354
3.2
-0.625
-0.624
-0.606
-0.405
0.381
1.148
2.277
3.185
4.125
5.087
6.386
7.384
8.392
10.766
3.4
-0.588
-0.588
-0.577
-0.411
0.341
1.113
2.273
3.214
4.193
5.199
6.561
7.606
8.671
11.172
3.6
-0.556
-0.555
-0.549
-0.414
0.302
1.077
2.264
3.238
4.256
5.306
6.730
7.830
8.943
11.573
3.8
-0.529
-0.526
-0.522
-0.414
0.264
1.040
2.253
3.258
4.314
5.407
6.894
8.044
9.210
11.968
4
-0.500
-0.4.9999
-0.498
-0.413
0.226
1.001
2.238
3.274
4.368
5.504
7.053
8.253
9.472
12.357
4.5
-0.444
-0.444
-0.444
-0.400
0.137
0.900
2.189
3.298
4.483
5.724
7.427
8.752
10.101
13.305
5
-0.400
-0.400
-0.400
-0.379
0.058
0.795
2.124
3.300
4.573
5.916
7.771
9.220
10.698
14.220
Ejemplo 5.2.5:
Continuando con el mismo problema de los ejemplos anteriores, se supone ahora que los datos siguen una
distribución Gamma de 2 parámetros.
126
Análisis de Frecuencia en Hidrologı́a
A partir de los datos de la muestra entregados en la Tabla 5.3 (N = 30) se obtiene:
x̄ =
s
PN
i=1 xi
= 1500 [m3 /s];
N
sx =
PN
(xi − x̄)2
= 732.1 [m3 /s];
N −1
i=1
cv =
sx
= 0.488;
x̄
s2
β = x = 357.3;
x̄
α=
x̄
sx
2
=
1
= 4.198;
c2v
re
lim
in
Considerando que b = 3100 [m3 /s] y entrando en la Tabla 5.5 con
ar
De esta forma, a partir de los parámetros estadı́sticos se calculan los parámetros de la distribución gamma
2
Cs = √ = 2cv = 0.9761
α
interpolando se obtiene
y k=
b − x̄
= 2.185
sx
P (x > b) = 0.0334
⇓
5.2.1.5.
1
1
=
= 30.3 años
P (x > b)
0.0334
rP
T =
Curvas de Pearson
Karl Pearson encontró una ecuación diferencial que cumple la propiedad de ajustarse a las distribuciones más
Bo
rra
do
importantes de la estadı́stica.
Esta ecuación diferencial es
ln
d−x
1 d (f (x))
=
f (x) dx
a + bx + cx2
(5.60)
d (f (x))
d−x
=
dx
f (x)
a + bx + cx2
(5.61)
f (x)
f (x0 )
(5.62)
=
Z
x
x−0
d−x
dx
a + bx + cx2
Por lo tanto, la llamada función de densidad de la curva de Pearson es
f (x) = f (x0 )e
Rx
d−x
x−0 a+bx+cx2
dx
(5.63)
A partir de esta distribución general se puede llegar a diversas distribuciones conocidas, dependiendo del
valor que se le dé a los parámetros a, b, c y d.
5.2. Análisis de Frecuencia Analı́tico
127
La constante f (x0 ) se obtiene al imponer la condición de que el área bajo la curva dentro de todo el rango
de variación de x sea unitaria,
Z
x2
f (x)dx ≡ 1
(5.64)
x1 ≤ x ≤ x2
x1
Los parámetros a, b, c y d pueden calcularse a partir de los cuatro primeros momentos de la distribución,
Distribución de Pearson Tipo III
re
lim
in
5.2.1.6.
ar
es decir, en función del promedio, desviación estándar, coeficiente de asimetrı́a y coeficiente de kurtosis.
Para aplicaciones en hidrologı́a, la curva de Pearson de mayor interés corresponde a la llamada Distribución
de Pearson Tipo III, que cumple con la condición de que el parámetro c = 0.
Puede demostrarse por integración directa, que en este caso la función de densidad de frecuencia se reduce
a:
f (x) =
x−x0
1
(x − x0 )α−1 e− b
bα Γ(α)
(5.65)
Esta función se conoce también como distribución Gamma de 3 parámetros, ya que es una generalización de
rP
la distribución Gamma de 2 parámetros, en que el lı́mite inferior no es nulo, sino:
x0 =
−a
b
Bo
rra
do
Las condiciones que deben cumplir las constantes de Pearson en este caso son,
c=0
b>0
c=0
a = −bx0
d = x0 − b
En el caso particular x0 = 0, se cumple a = c = 0, b > 0, d > −b, con lo que la distribución queda en función
de 2 parámetros,
f (x) =
1
xα−1 e−x/b
bα Γ(α)
(5.66)
expresión que corresponde a la distribución Gamma de 2 parámetros, anteriormente vista.
Se cumple entonces que si la variable x > x0 tiene distribución Pearson Tipo III, entonces la variable
y = x–x0 > 0 tiene distribución Gamma de 2 parámetros, cumpliéndose las relaciones,
128
Análisis de Frecuencia en Hidrologı́a
(5.67)
s2y = s2x = b2 α
(5.68)
re
lim
in
2
Cs,x = Cs,y = √
α
ar
ȳ = x̄ − x0
(5.69)
de donde los parámetros de la Distribución Pearson Tipo III se pueden estimar mediante las relaciones,
4
2
Cs,x
(5.70)
sx |Cs,x |
2
(5.71)
α=
sx
|Cs,x |
rP
b=
x0 = x̄ − 2
(5.72)
En el caso en que Cs,x sea nulo, la distribución es simétrica y tiende a la distribución normal.
Bo
rra
do
Para el cálculo de la distribución Pearson Tipo III, hay que recurrir también a Tablas o integraciones
aproximadas. Como la distribución en este caso tiene 3 parámetros, el coeficiente de asimetrı́a debe ser
estimado en forma independiente a partir de los datos muestrales, con los estimadores del segundo (ec.
(5.15)) y tercer momento (ec. (5.16)) de la distribución,
Cs,x =
Ax
s3x
(5.73)
La misma Tabla 5.5 aplicable a la Distribución Gamma 2, sumada a la Tabla 5.6, que incluye los valores
de la variable reducida para coeficientes de asimetrı́a negativos, son aplicables a la Distribución Gamma 3,
las cuales permiten estimar la probabilidad de excedencia de la variable reducida o factor de frecuencia
k=
en función del coeficiente de asimetrı́a.
x − x̄
sx
5.2. Análisis de Frecuencia Analı́tico
129
Tabla 5.6: Factores de frecuencia para distribuciones Pearson Tipo III con asimetrı́a negativa.
Perı́odo de retorno (años)
Cs
1.01
1.053
1.25
2
5
10
25
50
100
200
500
1000
2000
10000
Probabilidad de excedencia
0.99
0.95
0.8
0.5
0.2
0.1
0.04
0.02
0.01
0.005
0.002
0.001
0.0005
0.0001
-2.326
-1.645
-0.842
0.000
0.842
1.282
1.751
2.054
2.326
2.576
2.878
3.090
3.291
3.719
-2.400
-1.673
-0.836
0.017
0.846
1.270
1.716
2.000
2.253
2.482
2.757
2.948
3.128
3.507
-0.2
-2.472
-1.700
-0.830
0.033
0.850
1.258
1.680
1.945
2.178
2.388
2.637
2.808
2.967
3.299
-0.3
-2.544
-1.726
-0.824
0.050
0.853
1.245
1.643
1.890
2.104
2.294
2.517
2.669
2.809
3.096
-0.4
-2.615
-1.750
-0.816
0.067
0.855
1.231
1.606
1.834
2.029
2.201
2.399
2.533
2.654
2.899
-0.5
-2.686
-1.774
-0.808
0.083
0.857
1.216
1.567
1.777
1.955
2.108
2.283
2.399
2.503
2.708
-0.6
-2.755
-1.797
-0.800
0.099
0.857
1.200
1.528
1.720
1.880
2.016
2.169
2.268
2.355
2.525
-0.7
-2.824
-1.819
-0.790
0.116
0.857
1.184
1.489
1.663
1.806
1.926
2.057
2.141
2.213
2.350
-0.8
-2.891
-1.839
-0.780
0.132
0.856
1.166
1.448
1.606
1.733
1.837
1.948
2.017
2.077
2.184
-0.9
-2.957
-1.859
-0.769
0.148
0.854
1.147
1.407
1.549
1.660
1.749
1.842
1.899
1.946
2.029
re
lim
in
ar
0
-0.1
-3.023
-1.877
-0.758
0.164
0.852
1.128
1.366
1.492
1.588
1.664
1.741
1.786
1.822
1.884
-3.087
-1.894
-0.745
0.180
0.848
1.107
1.324
1.444
1.518
1.581
1.643
1.678
1.706
1.751
-1.2
-3.149
-1.910
-0.733
0.195
0.844
1.086
1.282
1.379
1.449
1.501
1.550
1.577
1.597
1.628
-1.3
-3.211
-1.925
-0.719
0.210
0.838
1.064
1.240
1.324
1.383
1.424
1.462
1.482
1.497
1.518
-1.4
-3.271
-1.938
-0.705
0.225
0.832
1.041
1.198
1.270
1.318
1.351
1.380
1.394
1.404
1.418
-1.5
-3.330
-1.951
-0.691
0.240
0.825
1.018
1.157
1.217
1.256
1.282
1.303
1.313
1.319
1.328
-1.6
-3.388
-1.962
-0.675
0.254
0.817
0.994
1.116
1.166
1.197
1.216
1.231
1.238
1.242
1.247
-1.7
-3.444
-1.972
-0.660
0.268
0.808
0.970
1.075
1.116
1.140
1.155
1.165
1.170
1.172
1.175
-1.8
-3.499
-1.981
-0.643
0.282
0.799
0.945
1.035
1.069
1.087
1.097
1.105
1.107
1.109
1.111
-1.9
-3.553
-1.989
-0.627
0.294
0.788
0.920
0.997
1.023
1.037
1.044
1.049
1.051
1.052
1.052
rP
-1
-1.1
-3.605
-1.996
-0.609
0.307
0.777
0.895
0.959
0.980
0.990
0.995
0.998
0.999
1.000
1.000
-3.656
-2.001
-0.592
0.319
0.765
0.869
0.923
0.939
0.946
0.949
0.951
0.952
0.952
0.952
-2.2
-3.705
-2.006
-0.574
0.330
0.752
0.844
0.888
0.900
0.905
0.907
0.909
0.909
0.909
0.909
-2.3
-3.753
-2.009
-0.555
0.341
0.739
0.819
0.855
0.864
0.867
0.869
0.669
0.869
0.870
0.870
-2.4
-3.800
-2.011
-0.537
0.351
0.725
0.795
0.823
0.830
0.832
0.833
0.833
0.833
0.833
0.833
-2.5
-3.845
-2.012
-0.518
0.360
0.711
0.771
0.793
0.798
0.799
0.800
0.800
0.800
0.800
0.800
-2.6
-3.889
-2.013
-0.499
0.369
0.696
0.747
0.765
0.768
0.769
0.769
0.769
0.769
0.769
0.769
-2.7
-3.932
-2.012
-0.479
0.376
0.681
0.724
0.738
0.740
0.740
0.741
0.741
0.741
0.741
0.741
-2.8
-3.973
-2.010
-0.460
0.384
0.666
0.702
0.712
0.714
0.714
0.714
0.714
0.714
0.714
0.714
-2.9
-4.013
-2.007
-0.440
0.390
0.651
0.681
0.688
0.689
0.690
0.690
0.690
0.690
0.690
0.690
Bo
rra
do
-2
-2.1
-3
-4.051
-2.003
-0.420
0.396
0.636
0.660
0.666
0.666
0.667
0.667
0.667
0.667
0.667
0.667
-3.2
-4.125
-1.993
-0.381
0.405
0.606
0.622
0.625
0.625
0.625
0.625
0.625
0.625
0.625
0.625
-3.4
-4.193
-1.980
-0.341
0.410
0.577
0.587
0.588
0.588
0.588
0.588
0.588
0.588
0.588
0.588
-3.6
-4.256
-1.963
-0.302
0.414
0.549
0.555
0.556
0.556
0.556
0.556
0.556
0.556
0.556
0.556
-3.8
-4.314
-1.943
-0.264
0.414
0.522
0.526
0.526
0.526
0.526
0.526
0.526
0.526
0.526
0.526
-4
-4.368
-1.920
-0.226
0.413
0.498
0.500
0.500
0.500
0.500
0.500
0.500
0.500
0.500
0.500
-4.5
-4.483
-1.853
-0.137
0.400
0.444
0.444
0.444
0.444
0.444
0.444
0.444
0.444
0.444
0.444
130
Análisis de Frecuencia en Hidrologı́a
Ejemplo 5.2.6:
Continuando con el mismo problema de los ejemplos anteriores, pero ahora se supone que los datos siguen
una distribución Gamma de 3 parámetros.
A partir de los datos de la muestra entregados en la Tabla 5.3 (N = 30) se obtiene:
ar
re
lim
in
x̄ =
s
PN
2
x
i
3
i=1
i=1 (xi − x̄)
= 1500 [m /s]; sx =
= 732.1 [m3 /s];
N
N −1
PN
N i=1 (xi − x̄)3
Ax =
= 316612684.7;
(N − 1)(N − 2)
PN
Calculando el coeficiente de asimetrı́a se obtiene
Cs,x =
Ax
= 0.8068
s3x
Considerando que b = 3100 [m3 /s] y entrando en la Tabla 5.5 con
interpolando se obtiene
y k=
b − x̄
= 2.185
sx
rP
Cs,x = 0.8068
Bo
rra
do
P (x > b) = 0.03096
T =
5.2.1.7.
⇓
1
1
=
= 32.3 años
P (x > b)
0.03096
Distribución Log – Pearson Tipo III
La distribución Log – Pearson Tipo III resulta de reemplazar la variable hidrológica original por sus logaritmos, en forma análoga a la relación entre las distribuciones normal y log-normal.
Su función de densidad de frecuencia, en consecuencia es,
f (y) =
y−y0
1
(y − y0 )α−1 e− b
bα Γ(α)
(5.74)
donde y = ln(x).
En consecuencia, los parámetros estadı́sticos son
ȳ =
PN
ln(xi )
N
i=1
(5.75)
5.2. Análisis de Frecuencia Analı́tico
131
s2y
Cs,y
=
PN
i=1
(ln(xi ) − ȳ)
N −1
2
(5.76)
PN
3
N i=1 (ln(xi ) − ȳ)
=
(N − 1)(N − 2)s3y
(5.77)
4
2
Cs,y
(5.78)
re
lim
in
α=
ar
y los parámetros de la distribución resultan
sy |Cs,y |
2
sy
y0 = ȳ − 2
|Cs,y |
b=
(5.79)
(5.80)
Esta distribución ha sido recomendada por el Water Resources Council de los Estados Unidos, como la
distribución más adecuada para la determinación de crecidas de diseño en los EE.UU., razón por la cual ha
ganado gran popularidad en los últimos años.
Ejemplo 5.2.7:
Continuando con el mismo problema de los ejemplos anteriores, pero ahora se supone que los datos siguen
rP
una distribución Log – Pearson Tipo III.
se aplica la transformación logarı́tmica y = ln(x) a los datos de la muestra entregados en la Tabla 5.3 (N = 30)
Bo
rra
do
y se obtiene:
ȳ =
PN
ln(yi )
= 7.196;
N
i=1
Cs,y
sy =
v
uP
u N ln(y ) − ln(x) 2
t i=1
i
N −1
= 0.505;
PN
3
N i=1 (ln(xi ) − ȳ)
=
= −0.2578;
(N − 1)(N − 2)s3y
Considerando que b = 3100 [m3 /s] y que ln(b) = 8.039, y luego entrando en la Tabla 5.6 con
Cs,y = −0.2578
y k=
ln(b) − ȳ
= 1.670
sy
interpolando se obtiene
P (x > 3000) = 0.0391
⇓
T =
1
1
=
= 25.6 años
P (x > 3000)
0.0391
132
Análisis de Frecuencia en Hidrologı́a
5.2.1.8.
Distribuciones de Frecuencia Generalizadas
Como se ha analizado, cuando el tamaño de las muestras es pequeño, la estimación de los parámetros,
en particular el coeficiente de asimetrı́a, adquiere gran incertidumbre, caracterı́stica que se traslada a la
estimación de las variables asociadas a algún perı́odo de retorno. Como una manera de aminorar este problema
se han propuesto una serie de técnicas que tratan de reducir la incertidumbre, incorporando información
regional adicional disponible. Por ejemplo, se ha propuesto corregir los valores muestrales del coeficiente de
ar
asimetrı́a ponderando su valor con estimaciones regionales de este parámetro, correspondiente a promedios
de valores de estaciones vecinas.
re
lim
in
También se ha propuesto trabajar con variables adimensionalizadas, dividiendo los valores por su valor
promedio e incorporando como una sola muestra, valores obtenidos de distintas estaciones vecinas, con lo
que se ampliarı́a el tamaño de la muestra y se reducirı́a la incertidumbre. Varas y Lara (1997) proponen un
modelo regional en función de parámetros fisiográficos y meteorológicos que permitirı́a incluso la estimación
probabilı́stica de variables en lugares no controlados.
5.2.2.
Uso de Intervalos de Confianza en Análisis de Frecuencia
rP
En estricto rigor, la magnitud de un evento xT de perı́odo de retorno T , viene dada por la expresión
xT = µ + k T σx
(5.81)
donde µ y σx son el promedio y desviación estándar de la población y kT es el factor de frecuencia , función
de la distribución de frecuencia de la población y del perı́odo de retorno o probabilidad de excedencia del
Bo
rra
do
evento.
En la práctica, como desconocemos los valores exactos de los parámetros de la distribución, los estimamos
con los parámetros muestrales, por lo que el valor estimado del evento xT , resulta
xT = x̄ + kT sx
(5.82)
donde x̄ y sx son los estimadores del promedio y desviación estándar en base a la información que proporciona
la muestra finita de tamaño N . En consecuencia, estos estimadores son a su vez variables aleatorias que
dependen de la distribución de frecuencia de la población y del tamaño de la muestra de la cual provienen. Es
posible entonces establecer un rango o intervalo de confianza, dentro del cual se espera en forma razonable,
que quede comprendido el valor correcto de la estimación. El tamaño del intervalo de confianza depende del
nivel β de confianza que se escoja.
A cada nivel de confianza le corresponde a su vez un nivel de significancia α, que viene dado por las
expresiones
α=
1−β
2
o α=1−β
(5.83)
5.2. Análisis de Frecuencia Analı́tico
133
dependiendo si la distribución de origen es abierta en sus dos extremos o sólo en uno, respectivamente.
Ası́ entonces, en el caso del promedio, se puede plantear la expresión
=
x = x ±kx,α σx
(5.84)
donde los parámetros son el promedio y desviación estándar del estimador del promedio y kx,α es el coeficiente
ar
de frecuencia asociado al nivel de significancia.
Expresiones análogas pueden plantearse para cualquier estimador estadı́stico, en este caso, la desviación
re
lim
in
estándar de la muestra.
En el caso de la distribución normal, la teorı́a estadı́stica nos dice que la variable
t=
x̄ − µ
√
sx / N
(5.85)
tiene una distribución “t” de Student, con ν = N − 1 grados de libertad.
Análogamente, en el caso de la distribución normal, la variable
(N − 1)s2x
σx2
(5.86)
rP
χ2 =
tiene una distribución χ2 con ν = N − 1 grados de libertad.
La distribución χ2 es un caso particular de la distribución Gamma de 2 parámetros, con los valores α = ν/2
Bo
rra
do
y β = 2.
Despejando de estas expresiones los parámetros de la población y remplazando en la ecuación (5.82),
finalmente queda.
tα
xT = x̄ ± √ sx + kT
N
s
(N − 1)
sx
χ2α
(5.87)
Normalmente se trabaja con un nivel de confianza del 90 % (β = 0.9) por lo que la expresión anterior nos
da el lı́mite superior utilizando el signo positivo y un nivel de significancia de α = 0.05 o α = 0.1 , y el lı́mite
inferior del intervalo de confianza utilizando el signo negativo y el nivel de significancia complementario.
Tanto la distribución t de Student como la χ2 se hayan tabuladas para distintos niveles de significancia y
grados de libertad.
La distribución normal, sin embargo, generalmente no es apropiada para el análisis de frecuencia de datos
hidrológicos, sin embargo, trabajando con los logaritmos de los datos, el procedimiento descrito es aplicable
a la distribución log-normal.
Desgraciadamente, para distribuciones que presenten asimetrı́as distintas de cero (Cs 6= 0), el establecimiento de niveles de confianza se torna muy complejo o simplemente imposible; sin embargo, se acepta utilizar
134
Análisis de Frecuencia en Hidrologı́a
en forma aproximada los lı́mites de la distribución normal para otras distribuciones.
En la Tabla 5.7 se entregan factores de corrección fc ,propuestos por el U.S. Water Resources Council, que
permiten una estimación aproximada de los lı́mites de confianza superior e inferior, utilizando las expresiones,
xT = x̄ + fc (α)kT sx
(5.88)
ar
y
(5.89)
re
lim
in
xT = x̄ + fc (1 − α)kT sx
donde kT es el factor de frecuencia asociado a la distribución y al perı́odo de retorno asociado. El procedimiento es preciso para valores del coeficiente de asimetrı́a en el rango |Cs | < 0.5. Para asimetrı́as mayores,
se pierde precisión
Ejemplo 5.2.8:
Se considera el ejemplo 5.2.7 del ajuste de la distribución log-Pearson, donde al caudal de Q = 3.100
[m3 /s] se le asignaba un perı́odo de retorno de T = 25.6 años. El problema de determinación de intervalos de
confianza se puede abordar en la determinación del intervalo de confianza del perı́odo de retorno estimado
para el caudal Q = 3.100 [m3 /s], o en términos de plantear el problema inverso de establecer el intervalo de
rP
confianza de los caudales para el perı́odo de retorno estimado de T = 25.6 años.
El segundo caso es de solución directa.
Bo
rra
do
De los datos y solución del problema 5.2.7, se tiene:
T = 25.6 años;
ȳ = 7.196;
sy = 0.505;
1
= 0.0391; N = 30;
T
Cs,y = −0.2578; z = kT = 1.670;
Pex =
por lo que la estimación es precisa Para un nivel de confianza de β = 0.9, para una distribución abierta se
tiene,
αs =
1−β
= 0.05;
2
αI = 0.95;
Interpolando en la Tabla 5.7, para N = 30 entre las probabilidades 0.02 y 0.05, se obtiene,
fc (αs ) = 1.343;
fc (αI ) = 0.767;
Reemplazando en las ecuaciones (5.88) y (5.89), resulta
ys = ln(Qs ) = 7.196 + 1.343 · 1.670 · 0.505 = 8.329
⇒
Qs = 4141 [m3 /s]
yI = ln(QI ) = 7.196 + 0.767 · 1.670 · 0.505 = 7.843
⇒
QI = 2.547 [m3 /s]
5.2. Análisis de Frecuencia Analı́tico
135
Tabla 5.7: Factores de corrección fc (α) para estimación de intervalos de confianza (β = 0.9).
Perı́odo de retorno [años]
2.5
5
10
20
50
100
200
1000
Nivel
Tamaño
Significancia
Muestra
α
N
0.4
0.2
0.1
0.05
0.02
0.01
0.005
0.001
10
3.55
2.02
1.84
1.77
1.73
1.71
1.7
1.68
15
2.96
1.76
1.61
1.56
1.53
1.51
1.5
1.49
20
2.65
1.63
1.5
1.46
1.43
1.42
1.41
1.4
30
2.31
1.49
1.39
1.35
1.33
1.32
1.31
1.3
40
2.12
1.41
1.32
1.29
1.27
1.26
1.26
1.25
50
1.99
1.36
1.28
1.26
1.24
1.23
1.23
1.22
70
1.84
1.3
1.23
1.21
1.2
1.18
1.18
1.18
100
1.69
1.25
1.19
1.17
1.16
1.15
1.15
1.15
2.48
20
2.26
30
2
40
1.86
50
1.76
0.95
ar
1.75
1.61
1.56
1.53
1.52
1.51
1.5
1.57
1.46
1.42
1.39
1.38
1.37
1.36
1.47
1.38
1.34
1.32
1.31
1.31
1.3
1.37
1.29
1.26
1.25
1.24
1.23
1.23
1.31
1.25
1.22
1.21
1.2
1.2
1.19
1.28
1.22
1.19
1.18
1.18
1.17
1.17
1.23
1.18
1.16
1.15
1.14
1.14
1.14
1.19
1.15
1.13
1.12
1.12
1.12
1.11
70
1.65
100
1.54
10
-0.64
0.51
0.65
0.7
0.72
0.74
0.75
0.76
15
-0.26
0.62
0.72
0.76
0.78
0.79
0.79
0.8
20
-0.14
0.64
0.74
0.77
0.79
0.8
0.81
0.82
30
0.07
0.7
0.78
0.81
0.83
0.83
0.84
0.85
40
0.2
0.74
0.81
0.83
0.85
0.85
0.86
0.86
50
0.28
0.76
0.83
0.85
0.86
0.87
0.87
0.88
Bo
rra
do
0.9
2.9
15
re
lim
in
0.1
10
rP
0.05
Probabilidad de excedencia
70
0.4
0.8
0.85
0.87
0.88
0.89
0.89
0.89
100
0.5
0.83
0.87
0.89
0.9
0.9
0.91
0.91
10
-1.14
0.38
0.56
0.62
0.66
0.67
0.68
0.7
15
-0.71
0.48
0.63
0.68
0.71
0.72
0.73
0.74
20
-0.47
0.55
0.67
0.71
0.74
0.75
0.76
0.77
30
-0.19
0.62
0.72
0.76
0.78
0.79
0.8
0.81
40
-0.03
0.67
0.76
0.79
0.81
0.81
0.82
0.83
50
0.07
0.7
0.78
0.81
0.82
0.83
0.84
0.84
70
0.22
0.75
0.81
0.84
0.85
0.86
0.86
0.86
100
0.35
0.79
0.84
0.86
0.87
0.88
0.88
0.89
En definitiva, para un perı́odo de retorno de T = 25.6 años, el caudal esperado es de Q = 3100 [m3 /s],
pudiendo establecerse con un nivel de confianza del 90 %, que el verdadero valor estará comprendido aproximadamente entre los lı́mites 2547 y 4141 [m3 /s].
La solución al problema inverso, de establecer los lı́mites de confianza de los perı́odos de retorno correspondientes al caudal Q = 3100 [m3 /s], resultan de establecer por tanteo, con la ayuda de las Tablas 5.6 y
136
Análisis de Frecuencia en Hidrologı́a
5.7, para qué perı́odos de retorno se cumple en este ejemplo, la relación
y − ȳ
fc (α, T ) · kT =
= z = 1.670
sy
Para el coeficiente de asimetrı́a Cs,y = −0.2578 y los valores de alfa 0.05 y 0.95.
Selección de Modelos Probabilı́sticos
ar
5.2.3.
Los procedimientos descritos en los acápites anteriores permiten determinar el perı́odo de retorno de una
cierta magnitud de un evento hidrológico o, inversamente, calcular la magnitud del evento asociado a un
re
lim
in
perı́odo de retorno determinado, siempre y cuando se sepa o se suponga a priori, cuál es la función de
densidad de frecuencia que posee la población de la cual fue extraı́da la muestra.
Como se vio en los ejemplos desarrollados, el resultado de un análisis de frecuencia efectuado a una
misma serie de datos será distinto dependiendo de la función de densidad de frecuencia que se adopte como
distribución más apropiada para los datos.
De hecho, para los ejemplos del Rı́o Maule en Armerillo, el caudal estimado de Q = 3100 [m3 /s], resultó con
los siguientes perı́odos de retorno según la distribución elegida
Tabla 5.8: Resumen obtenidos en los ejemplos 5.2.1 a 5.2.7.
rP
DISTRIBUCION
T [años]
69.4
Logarı́tmico normal
21.1
Valores extremos Tipo I, Gumbel
19.9
Valores Extremos Tipo III, acotada superiormente
24.4
Valores extremos Tipo III Weibull
17.1
Gamma de 2 parámetros
30.3
Gamma de 3 parámetros o Pearson
32.3
Log-Pearson
25.6
Bo
rra
do
Normal
En este caso, salvo la distribución normal, que no puede adaptarse a una serie de datos con asimetrı́a, el
resto de las distribuciones nos dice que el perı́odo de retorno del caudal señalado, osciları́a entre los 20 a 30
años aproximadamente. Este rango de variación, de ya importante, se acentúa enormemente al evaluar eventos
más extremos, de alto perı́odo de retorno, lo que obliga a adoptar algún criterio objetivo para establecer cuál
de los resultados obtenidos es el más adecuado, lo que implica establecer cuál de las distribuciones teóricas
es la que mejor se ajusta a la distribución empı́rica de los datos. En otras palabras, habrá que inferir a
partir de la información proporcionada por la muestra, cuál es la distribución que mejor se ajusta a los datos
disponibles, es decir, se deberá escoger aquella función de densidad de frecuencia que mejor coincida con la
forma del histograma normalizado de la muestra.
La teorı́a estadı́stica nos proporciona tests que permiten establecer, con un determinado nivel de confianza,
cuál distribución o distribuciones es posible aceptar como representativa de los datos disponibles. Los tests
más comúnmente utilizado corresponden al Test χ2 y al Test Kolmogorov- Smirnov.
5.2. Análisis de Frecuencia Analı́tico
5.2.3.1.
137
Test o Prueba χ2
Si se dispone de una muestra de datos de tamaño N, es posible dividir el rango de variación de la variable
en K intervalos de clase y determinar para cada uno de ellos la frecuencia absoluta o número de datos de
la muestra que caen dentro de cada intervalo, confeccionando ası́ el histograma absoluto de la muestra y la
respectiva frecuencia absoluta (fi ) para cada uno de los intervalos.
ar
El número de intervalos de clases que reproduce en forma adecuada la forma de la distribución de origen,
puede estimarse mediante la relación aproximada,
(5.90)
re
lim
in
K = 1 + 1.45 ln(N )
recomendándose además que el valor de K sea igual o superior a K = 5 y que a su vez, la frecuencia absoluta
observada de cada intervalo sea igual o superior a fi = 5.
El Test se basa en adoptar la hipótesis nula respecto a que los datos provienen de un universo con una
cierta función de frecuencia dada f (x), conocida.
Si la hipótesis es válida, entonces si se designa con Ci el lı́mite superior de un intervalo de clase cualquiera,
la probabilidad de la variable aleatoria de caer dentro de ese intervalo queda dada por la integral,
rP
P (Ci−1 < x < Ci ) = Pi =
Z
Ci
f (x)dx
(5.91)
Ci−1
de donde el valor teórico esperado de la frecuencia absoluta de ese intervalo de clase queda dado por la
expresión
Bo
rra
do
ti = N · Pi
(5.92)
Manteniendo la validez de la hipótesis, la diferencia entre el valor teórico y el observado
ε = (fi − ti )
(5.93)
sólo puede provenir de un error de muestreo, teniendo según la teorı́a de errores una distribución normal.
Se demuestra en ese caso que la variable,
χ2m =
K
X
(fi − ti )2
i=1
ti
(5.94)
se aproxima a una distribución χ2 con ν = K − s − 1 grados de libertad, donde s es el número de parámetros
de la función de densidad de frecuencia en análisis. Se recuerda que la distribución χ2 es un caso particular de
la distribución gamma de 2 parámetros y se encuentra tabulada para distintas probabilidades de excedencia
y distintos grados de libertad.
Escogiendo un nivel de significancia α, se cumple con un nivel de confianza (1 − α) que la variable χ2m
debiera tomar valores menores que el valor χ2ν,(1−α) correspondiente al valor de la variable χ2 que tiene una
probabilidad de excedencia α.
138
Análisis de Frecuencia en Hidrologı́a
En consecuencia la prueba es la siguiente: Se compara el valor obtenido de la muestra χ2m con el valor de
la variable χ2ν,(1−α) , tabulado para un cierto nivel de confianza elegido,
Si χ2m < χ2ν,(1−α) : No hay argumentos para rechazar la hipótesis nula de que los datos provienen de
la distribución f (x) elegida.
Si χ2m ≥ χ2ν,(1−α) : Se rechaza la hipótesis nula, ya que es muy poco probable, con el nivel de con-
ar
fianza elegido, que la variable alcance un valor tan grande, si realmente los datos correspondieran a la
distribución en análisis.
re
lim
in
Es importante hacer notar que si bien este test permite rechazar una distribución por no ser adecuada, en
ningún caso permite probar que una distribución aceptada sea realmente la correcta.
Si al probar distintas distribuciones resulta que dos o más de ellas pueden ser aceptadas, normalmente se
elige como más probable a aquella distribución que arroje el menor valor de la variable χ2m .
Con el propósito de minimizar los errores de Tipo I, normalmente se acostumbra trabajar con un nivel de
confianza del 95 % o α = 0.05. En la Tabla 5.9 se incluyen los valores de la distribución para distintos grados
de libertad y niveles de significancia.
Tabla 5.9: Valores de χ2ν,(1−α) .
rP
Nivel de significancia (α)
ν
0.2
1
1.64
2
3.22
3
4.64
4
5.99
5
7.29
9.24
11.07
13.39
15.09
16.75
18.91
20.52
6
8.56
10.64
12.59
15.03
16.81
18.55
20.79
22.46
7
9.80
12.02
14.07
16.62
18.48
20.28
22.60
24.32
8
11.03
13.36
15.51
18.17
20.09
21.95
24.35
26.12
9
12.24
14.68
16.92
19.68
21.67
23.59
26.06
27.88
10
13.44
15.99
18.31
21.16
23.21
25.19
27.72
29.59
11
14.63
17.28
19.68
22.62
24.72
26.76
29.35
31.26
12
15.81
18.55
21.03
24.05
26.22
28.30
30.96
32.91
13
16.98
19.81
22.36
25.47
27.69
29.82
32.54
34.53
14
18.15
21.06
23.68
26.87
29.14
31.32
34.09
36.12
15
19.31
22.31
25.00
28.26
30.58
32.80
35.63
37.70
16
20.47
23.54
26.30
29.63
32.00
34.27
37.15
39.25
17
21.61
24.77
27.59
31.00
33.41
35.72
38.65
40.79
18
22.76
25.99
28.87
32.35
34.81
37.16
40.14
42.31
19
23.90
27.20
30.14
33.69
36.19
38.58
41.61
43.82
20
25.04
28.41
31.41
35.02
37.57
40.00
43.07
45.31
0.05
0.02
0.01
0.005
0.002
0.001
2.71
3.84
5.41
6.63
7.88
9.55
10.83
4.61
5.99
7.82
9.21
10.60
12.43
13.82
6.25
7.81
9.84
11.34
12.84
14.80
16.27
7.78
9.49
11.67
13.28
14.86
16.92
18.47
Bo
rra
do
0.1
5.2. Análisis de Frecuencia Analı́tico
5.2.3.2.
139
Test o Prueba de Kolmogorov – Smirnov
Un procedimiento alternativo a la Prueba χ2 para evaluar la bondad de ajuste de la distribución de una
determinada muestra respecto de alguna distribución teórica, corresponde al Test de Kolmogorov-Smirnov,
que presenta para muestras pequeñas la caracterı́stica de ser más potente.
A diferencia del Test χ2 , que compara las diferencias entre el histograma de la muestra y la función
ar
de densidad de frecuencia, este test compara la función de frecuencia acumulada de la distribución teórica
ensayada F (x) con la curva de frecuencia acumulada empı́rica que se obtiene de los datos.
re
lim
in
Si la función teórica de frecuencia acumulada es
F (x0 ) = P (x ≤ x0 )
entonces la función empı́rica vale,
Fe (x0 ) = P (x ≤ x0 ) ∼
=
N0
N
(5.95)
(5.96)
Donde N0 es el número de valores de la muestra de magnitud menor o igual a x0 y N es el tamaño total de
la muestra.
rP
En teorı́a si el tamaño de la muestra tiende a infinito y la hipótesis nula respecto a que la función de
frecuencia acumulada ensayada es la correcta, los valores de F (x) y Fe (x) debieran coincidir. Para muestras
finitas, manteniendo la validez de la hipótesis nula, las diferencias entre F (x) y Fe (x) corresponde a errores
de muestreo y análogamente a la prueba anterior, se demuestra que si la hipótesis nula adoptada es válida,
Bo
rra
do
entonces la variable D definida por el valor absoluto de la mayor diferencia entre F (x) y Fe (x),
D = max|Fe (xi ) − F (xi )|
i = 1, · · · , N
(5.97)
Tiene una distribución de Kolmogorov Dν,α de ν = N − s − 1 grados de libertad, que está tabulada para
distintos niveles de significancia α.
En definitiva, comparando el valor muestral D con la variable de referencia Dν,α , se tiene
Si D < Dν,α : No hay argumentos para rechazar la hipótesis nula de que los datos provienen de la
distribución F (x) elegida.
Si D ≥ Dν,α : Se rechaza la hipótesis nula, ya que es muy poco probable, con el nivel de confianza elegi-
do, que la variable alcance un valor tan grande, si realmente los datos correspondieran a la distribución
en análisis.
En general, se dispone de muestras de tamaño finito, lo que provoca una incertidumbre en el valor de D.
Esto se aprecia en la Figura 5.2.
Análisis de Frecuencia en Hidrologı́a
re
lim
in
ar
140
Figura 5.2: Incertidumbre en el valor de D para muestras de tamaño finito.
En este caso, para el calculo de D deben obtenerse las siguientes expresiones
rP
D+ = max|Fe (xi ) − F (xi )|
D− = max|Fe (xi−1 ) − F (xi )|
Bo
rra
do
y a partir de estos valores:
D = max D+ , D−
i = 1, · · · , N
i = 1, · · · , N
(5.98)
(5.99)
(5.100)
La Tabla 5.10 entrega valores de la distribución de Kolmogorov para distintos grados de libertad y un nivel
de confianza del 95 %.
5.3. Análisis de Frecuencia Directo o Gráfico
141
Tabla 5.10: Valores de Dν,α
N
Nivel de significanción α
0.1
0.05
0.02
0.01
0.005
0.002
0.001
1
0.9000
0.9500
0.9750
0.9900
0.9950
0.9975
0.9990
0.9995
2
0.6834
0.7764
0.8419
0.9000
0.9293
0.9500
0.9684
0.9776
3
0.5648
0.6360
0.7076
0.7846
0.8290
0.8643
0.9000
0.9207
4
0.4927
0.5652
0.6239
0.6889
0.7342
0.7764
0.8222
0.8505
5
0.4470
0.5095
0.5633
0.6272
0.6685
0.7054
0.7500
0.7814
6
0.4104
0.4680
0.5193
0.5774
0.6166
0.6529
0.6957
7
0.3815
0.4361
0.4834
0.5384
0.5758
0.6098
0.6507
8
0.3583
0.4096
0.4543
0.5065
0.5418
0.5743
0.6137
9
0.3391
0.3875
0.4300
0.4796
0.5133
0.5444
0.5821
0.6085
10
0.3226
0.3687
0.4093
0.4556
0.4889
0.5187
0.5550
0.5804
11
0.3083
0.3524
0.3912
0.4367
0.4677
0.4954
0.5314
0.5559
12
0.2958
0.3382
0.3754
0.4192
0.4491
0.4767
0.5105
0.5342
13
0.2847
0.3255
0.3614
0.4036
0.4325
0.4592
0.4919
0.5149
14
0.2748
0.3142
0.3489
0.3897
0.4176
0.4435
0.4752
0.4975
15
0.2659
0.3040
0.3375
0.3771
0.4042
0.4293
0.4561
0.4818
16
0.2578
0.2947
0.3273
0.3657
0.3920
0.4164
0.4464
0.4675
17
0.2504
0.2863
0.3180
0.3553
0.3809
0.4046
0.4338
0.4554
18
0.2436
0.2785
0.3094
0.3457
0.3706
0.3938
0.4222
0.4423
19
0.2374
0.2714
0.3014
0.3369
0.3612
0.3838
0.4116
0.4312
20
0.2316
0.2647
0.2941
0.3287
0.3524
0.3745
0.4017
0.4209
21
0.2252
0.2586
0.2872
0.3210
0.3443
0.3659
0.3924
0.4112
22
0.221I5
23
0.2165
24
25
ar
0.2
0.7248
0.6793
rP
re
lim
in
0.6410
0.2809
0.3139
0.3367
0.3578
0.3838
0.4022
0.2749
0.3073
0.3295
0.3503
0.3758
0.3938
0.2121
0.2424
0.2693
0.3010
0.3229
0.3432
0.3679
0.3859
0.2079
0.2377
0.2640
0.2952
0.3166
0.3365
0.3610
0.3774
26
0.2040
0.2332
0.2591
0.2896
0.3096
0.3302
0.3543
0.3714
27
0.2003
0.2290
0.2544
0.2844
0.3050
0.3243
0.3479
0.3647
28
0.1968
0.2250
0.2499
0.2794
0.2997
0.3186
0.3419
0.3584
29
0.1935
0.2212
0.2457
0.2747
0.2947
0.3133
0.3362
0.3524
30
0.1903
0.2176
0.2417
0.2702
0.2899
0.3082
0.3307
0.3467
32
0.1845
0.2109
0.2342
0.2619
0.2809
0.2987
0.3206
0.3361
34
0.1791
0.2147
0.2274
0.2543
0.2727
0.2901
0.3113
0.3264
36
0.1742
0.1991
0.2212
0.2473
0.2653
0.2821
0.3028
0.3175
38
0.1697
0.1939
0.2154
0.2409
0.2584
0.2748
0.2950
0.3093
40
0.1655
0.1891
0.2101
0.2349
0.2521
0.2680
0.2877
0.3017
42
0.1616
0.1847
0.2052
0.2294
0.2461
0.2617
0.2810
0.2947
44
0.1580
0.1805
0.2006
0.2243
0.2406
0.2559
0.2747
0.2881
46
0.1546
0.1767
0.1963
0.2194
0.2354
0.2504
0.2688
0.2819
48
0.1514
0.1730
0.1922
0.2149
0.2306
0.2452
0.2633
0.2761
50
0.1484
0.1696
0.1884
0.2107
0.2260
0.2404
0.2581
0.2707
Bo
rra
do
0.2528
0.2475
142
5.3.
Análisis de Frecuencia en Hidrologı́a
Análisis de Frecuencia Directo o Gráfico
Como alternativa al análisis de frecuencia puramente analı́tico de los datos hidrológicos, existe la posibilidad
de realizar un análisis de frecuencia directo o gráfico, que tiene la ventaja de permitir una mejor visualización
del comportamiento de las variables en análisis y la intervención del criterio y experiencia del analista. Los
resultados incorporan algo de subjetividad, pero el método puede llegar a ser tanto o más potente que el
ar
método analı́tico puro. Incluso, aún cuando el análisis se haga con los procedimientos analı́ticos antes descritos,
para la presentación y visualización de los resultados, suelen utilizarse las técnicas del análisis gráfico.
El método gráfico de análisis de frecuencia consiste simplemente en construir una curva de frecuencia
re
lim
in
acumulada de la variable en forma empı́rica, a partir de la información disponible, sin recurrir en principio a
ningún modelo o distribución teórico.
Esto implica atribuir una cierta probabilidad o perı́odo de retorno a los valores de la muestra disponible
y con ello construir una curva empı́rica de probabilidad de excedencia en función de la magnitud de cada
evento. La probabilidad de excedencia que se le asigne a cada valor observado de la serie de datos se conoce
con el nombre de posición de trazado o posición de ploteo.
Si ordenamos la serie de datos disponible de mayor a menor, y le asignamos un número de orden m a cada
dato, tal que al mayor le corresponde el valor m = 1, y al menor, el valor m = N , la probabilidad empı́rica
rP
de excedencia de cada valor de la muestra valdrá
Pex =
m
N
(5.101)
Esta expresión se conoce como la probabilidad empı́rica o posición de ploteo de California, que serı́a
Bo
rra
do
la probabilidad exacta si estuviésemos trabajando con el universo completo. Al trabajar con una muestra
finita de tamaño N, esta expresión presenta el inconveniente de que al menor valor medido le asigna una
probabilidad de excedencia Pex = 1, es decir, niega la posibilidad de que pueda existir un evento de magnitud
menor al menor evento medido.
Para subsanar este inconveniente, se han propuesto una serie de fórmulas que pretenden disminuir el sesgo
de la estimación adoptando una estructura del tipo
Pex =
m−b
N + 1 − 2b
0 ≤ b ≤ 0.5
En la Tabla 5.11 se presentan los valores de la constante “b” propuestos por distintos autores.
Tabla 5.11: valores de la constante b.
Autor
Año
b
A. Hazen
1930
0.5
Weibull
1939
0
Chegodayev
1955
0.3
Gringorten
1963
0.44
(5.102)
5.3. Análisis de Frecuencia Directo o Gráfico
143
Se ha sugerido que el valor más apropiado de la constante b depende de la distribución teórica a la cual
pertenezcan los datos, pero lo más habitual es utilizar la posición de ploteo propuesta por Weibull, utilizando
el valor b = 0, con lo que la expresión queda,
Pex =
m
N +1
(5.103)
ar
Disponiendo de los pares (x, Pex ), es posible graficarlos, obteniéndose una representación empı́rica de la
función de frecuencia acumulada de los datos. Para fines prácticos, salvo para los eventos más extremos, las
diferencias entre las distintas fórmulas de ploteo no son significativas, luego al ajustar la curva debe dársele
re
lim
in
menos ponderación a los valores extremos, que presentan mayor incertidumbre.
Disponiendo de la curva de frecuencia acumulada empı́rica, esta puede utilizarse sin mayor error para
interpolar valores dentro del rango de valores medidos. Cuando se trata de extrapolar valores a perı́odos de
retorno más extremos, el procedimiento se torna muy incierto, ya que el error de extrapolación de curvas
puede ser de magnitud considerable,
El procedimiento en estos casos consiste en comparar gráficamente la curva de frecuencia acumulada
empı́ricamente determinada, con curvas de frecuencia acumulada de distribuciones de frecuencia teóricas y
ver cual de ellas se ajusta mejor. Para facilitar esta comparación, y especialmente para dar mayor seguridad a
la extrapolación de datos, se recurre a un tipo de gráfico especial, llamado gráfico o papel de probabilidades,
rP
en el cual se distorsiona la escala de probabilidades de tal manera que la curva de frecuencia acumulada de
la distribución teórica se transforma en una recta. Deberá existir, por lo tanto, un papel de probabilidades
para cada distribución de frecuencia.
El procedimiento para la confección de un gráfico o papel de probabilidades se ilustra en la Figura 5.3, para
Bo
rra
do
el caso de la distribución normal centrada y reducida. A escala natural, la curva de frecuencia acumulada,
que corresponde a la integración de la campana de Gauss, es una curva conocida (curva cian), asintótica a
más y menos infinito para el rango de probabilidades entre 0 y 1. Simplemente imponiendo una recta (lı́nea
roja) como curva de frecuencia acumulada, es posible determinar para cada valor de la variable z, a través
de la recta, el valor correspondiente a su probabilidad, en la escala de probabilidades.
Al valor z = −1, le corresponde según la curva cian una probabilidad de P = 0.159, valor que se impone en
la escala de probabilidades para el mismo valor z = −1 de la recta roja. Análogamente, para z = 0, P = 0.5,
para z = 1, P = 0.841, para z = 2, P = 0.977 y ası́ sucesivamente. La curva resultante es para la variable
centrada y reducida, pero puede generalizarse desplazando el origen y utilizando la desviación estándar como
factor de escala.
El gráfico resultante, intercambiando los ejes de coordenadas, denominado papel de probabilidades se
muestra en la Figura 5.4. Una serie de datos que estén normalmente distribuidos, se alinearán en ese gráfico
formando una recta, de fácil extrapolación. Si la escala natural de las ordenadas se transforma a escala
logarı́tmica, se tiene el papel logarı́tmico-probabilidades, que sirve para la distribución logarı́tmico normal.
Análisis de Frecuencia en Hidrologı́a
0.977
0.841
re
lim
in
0.159
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
ar
144
Figura 5.3: Curva de frecuencia acumulada distribución normal centrada y reducida.
Para la distribución de valores extremos Tipo I, existe el llamado papel de probabilidades Gumbel-Powel,
que es simplemente un gráfico o papel en escala natural llevando como variables, la variable hidrológica “x” y
la variable reducida “y”, ya que de acuerdo a la ecuación (5.31), la relación entre dichas variables corresponde
a una recta. La probabilidad de excedencia se lleva en una escala auxiliar, paralela a la escala de la variable
rP
reducida “y”, la cual se determina a partir de la ecuación
Pex = 1 − e−e
−y
(5.104)
Las Figuras 5.5 y 5.6 muestran los papeles Log-normal y Gumbel-Powel.
Bo
rra
do
Para distribuciones de forma variable como la Gamma o Pearson III, habrı́a que construir un gráfico con
escalas ad hoc, para cada combinación de parámetros, por lo que el método gráfico se hace impracticable, y
sólo se acostumbra graficar dichas distribuciones, en forma de curvas no lineales, en alguno de los papeles antes
descritos. La selección de la distribución de mejor ajuste, puede hacerse a criterio, en forma de inspección
visual, seleccionando la distribución cuya curva coincida mejor con la curva de frecuencia acumulada empı́rica,
recordando darle menor importancia a los puntos extremos, ya que para ellos la probabilidad calculada con
las fórmulas de ploteo es cada vez menos confiable.
La Figura 5.7, muestra, aprovechando la potencialidad de una planilla Excell, el ajuste gráfico de diversas
curvas teóricas de frecuencia a los datos de la estación Maule en Armerillo, ploteados con la fórmula de
Weibull en un papel logarı́tmico-probabilidades.
0.01
99.99
0.05
0.1
99.95 99.9
Figura 5.4: Papel normal de probabilidades..
0.5
99.5
1
99
2
98
5
95
10
90
20
80
70
60
50
30
40
50
40
30
20
10
5
60
70
80
90
95
re
lim
in
rP
Bo
rra
do
98
99
1
0.5
99.5
ar
2
0.05
99.9 99.95
0.1
99.99
0.01
5.3. Análisis de Frecuencia Directo o Gráfico
145
Análisis de Frecuencia en Hidrologı́a
Bo
rra
do
rP
re
lim
in
ar
146
Fuente: Manual de Carreteras, MOP (2014).
Figura 5.5: Papel Log-normal de probabilidades.
147
Bo
rra
do
rP
re
lim
in
ar
5.3. Análisis de Frecuencia Directo o Gráfico
Fuente: Manual de Carreteras, MOP (2014).
Figura 5.6: Papel Gumbel-Powel.
Prec [mm]
Figura 5.7: Análisis gráfico excel.
0.01
1
10
100
1000
0.1
0.5
1
5
WEIBULL EMPÍRICA
2
40
50 60 70
PEARSON
GUMBEL
Probabilidad [%]
10 20 30
LOG-NORMAL
80
90
99
ar
98
LOG-PEARSON
95
re
lim
in
rP
Bo
rra
do
99.9
99.99
1
10
100
1000
148
Análisis de Frecuencia en Hidrologı́a
5.5. Selección del Perı́odo de Retorno de Diseño
5.4.
149
Coeficientes de Frecuencia
Una alternativa para establecer la magnitud asociada a un cierto perı́odo de retorno, es recurrir al concepto
de coeficiente de frecuencia CT , definido por la relación,
xT
x10
(5.105)
ar
CT =
donde xT es la magnitud de la variable asociada a un perı́odo de retorno de T años, y x10 es la magnitud,
re
lim
in
supuestamente conocida, asociada a un perı́odo de retorno de 10 años.
En la publicación de la DGA (1989), “Investigación de Eventos Meteorológicos Extremos, Precipitaciones
Máximas en 24, 48 y 72 horas”, se presenta un exhaustivo análisis de las precipitaciones máximas con perı́odo
de retorno de 10 años, y de los respectivos coeficientes de frecuencia para otros perı́odos de retorno.
5.5.
Selección del Perı́odo de Retorno de Diseño
El perı́odo de retorno o probabilidad de excedencia que se obtiene mediante el análisis de frecuencia corresponde al intervalo promedio de tiempo en que una magnitud dada de un evento hidrológico se excede una
rP
vez, pero no nos proporciona ninguna información referente a la probabilidad de que dicho evento ocurra
dentro de la vida útil de una determinada obra.
La pregunta que se plantea entonces es la siguiente: Si proyectamos, por ejemplo, la altura y longitud de
un puente de manera que permita el paso de una crecida con un perı́odo de retorno de, digamos, 500 años,
Bo
rra
do
qué seguridad tenemos de que esa crecida no vaya a ocurrir dentro de los próximos 50 años, que es la vida útil
que estimamos para dicha obra? Inversamente, nos podemos preguntar, ¿con qué perı́odo de retorno debemos
diseñar una determinada obra hidráulica para tener una cierta seguridad de que no vaya a fallar dentro de
la vida útil de la misma?
Las respuestas se pueden encontrar mediante la aplicación de una de las distribuciones discretas más
importantes de la estadı́stica, la cual es la distribución binomial.
5.5.1.
Distribución Binomial
Esta distribución, basada en los conceptos de “éxito” o “fracaso”, nos da la probabilidad de tener x éxitos al
efectuar N ensayos independientes de un experimento cuya probabilidad de éxito es P .
Si la probabilidad de excedencia de un evento hidrológico es “P ”, y a esto lo llamamos “éxito”, entonces
la probabilidad de no excedencia o “fracaso” será (1 − P ) y la probabilidad de tener x éxitos en N ensayos
será P x (1−P )N −x para un determinado orden de ocurrencia de los sucesos. Como el número de combinaciones
en que x éxitos pueden ocurrir en N ensayos es N
x , entonces la probabilidad de tener x éxitos en N ensayos
cuando la probabilidad de éxito es P , será
150
Análisis de Frecuencia en Hidrologı́a
P (x, N, P ) =
N
P x (1 − P )N −x
x
(5.106)
Si la probabilidad de excedencia del evento hidrológico proviene del análisis de una serie de excedencias
anuales, entonces N el número de ensayos, pasa a ser un número de años y P es el recı́proco del perı́odo de
retorno.
exceda en N años y por lo tanto la obra no falle, será
re
lim
in
P (0, N, P ) = (1 − P )N
ar
De lo anterior resulta que la probabilidad de tener 0 “éxitos” en N años, es decir, que la magnitud no se
(5.107)
y la probabilidad o riesgo J de que la obra falle en un perı́odo de N años, será el complemento,
J = 1 − P (0, N, P ) = 1 − (1 − P )N
N
1
J =1− 1−
T
(5.108)
(5.109)
Por ejemplo, si aceptamos un riesgo de falla J del 5 % de que la obra falle dentro de un perı́odo de previsión
rP
N de 10 años, el perı́odo de retornos de diseño será,
1
J =1− 1−
T
10
1
0.05 = 1 − 1 −
⇒
T
N
T = 195 años
Bo
rra
do
5.5.2.
Distribución de Poisson
En forma alternativa al procedimiento anterior y tal vez con mayor propiedad, pues asocia el fenómeno con
la variable tiempo, puede utilizarse la distribución de Poisson. Esta es una distribución continua que resulta
como distribución lı́mite de la distribución binomial, cuando la probabilidad del evento tiende a 0 y el número
de ensayos tiende a infinito, tendiendo el producto p · N a un valor constante λ, que pasa a ser la tasa media
de ocurrencia del evento, es decir, en este caso, el recı́proco del perı́odo de retorno T .
La distribución de Poisson da la probabilidad de que ocurran x eventos en un intervalo de tiempo, cuando
la tasa media de ocurrencia de este en dicho intervalo es λ.
P (x, λ) =
λx e−λ
x!
(5.110)
Luego la probabilidad de que no falle en un año cualquiera (x = 0) resulta
P (0, λ) = e−λ
(5.111)
5.5. Selección del Perı́odo de Retorno de Diseño
151
Como la suma de distribuciones Poisson de parámetros λi , es otra distribución Poisson de parámetro λT =
P
λi , la probabilidad de que no falle en N años de vida útil es
P = e−N λ = e−N/T
(5.112)
J = 1 − P = 1 − e−N/T
0.05 = 1 − e−10/T
que es el mismo resultado anteriormente.
5.5.3.
(5.113)
re
lim
in
Volviendo al ejemplo anterior, si J = 0.05 y N = 10
ar
y el riesgo hidrológico de falla será el complemento
⇒
T = 195 años
Estadı́sticas con Valores Nulos
En zonas áridas o semiáridas como es el caso de la zona norte de Chile, puede ocurrir que las series sean de
precipitación o caudales máximos anuales, contengan valores nulos. Esta situación distorsiona la verdadera
rP
distribución de la variable y de hecho inhabilita el uso de distribuciones logarı́tmicas.
Una manera de salvar esta situación es diferenciar previamente los años con precipitación de aquellos sin
precipitación, trabajando con el subconjunto de años con valores no nulos. Los resultados que se obtengan
serán probabilidades condicionadas a que haya llovido, valores que deberán multiplicarse por la probabilidad
Bo
rra
do
de que exista lluvia para convertirlos a probabilidades absolutas.
Ejemplo: Tenemos una serie de valores máximos anuales para un perı́odo total de 56 años, dentro de los
cuales se han registrado 7 años con valores nulos. Entonces empı́ricamente la probabilidad de años con eventos
nulos es
P (0) =
7
= 0.125
56
Por lo tanto, la probabilidad de un año con lluvia será el complemento,
P (LL) = 1 − 0.125 = 0.875
Luego se calculan los estadı́grafos y se procede al análisis de frecuencia con el subconjunto de 49 años con
valores no nulos. Suponiendo que se llega a un resultado que nos dice que la probabilidad de excedencia de
una lluvia de 75 [mm] es de
P (x > 75|LL) = 0.012
es decir, un perı́odo de retorno condicional de T = 1/0.012 = 83.33 años.
152
Análisis de Frecuencia en Hidrologı́a
Ası́, la probabilidad de excedencia corregida será
P (x > 75) = P (x > 75|LL) · P (LL) = 0.012 · 0.875 = 0.0105
5.6.
Presentación Estadı́stica de Variables Hidrológicas
ar
y el verdadero perı́odo de retorno será T = 1/0.0105 = 95.24 años.
re
lim
in
Todas las variables hidrológicas, y a diferentes escalas de tiempo, pueden ser consideradas como variables
aleatorias y en consecuencia ser sometidas a análisis de frecuencia asociando sus magnitudes a respectivas
probabilidades de excedencia o perı́odos de retorno. Para facilitar la interpretación de los resultados que se
obtienen, estos suelen representarse en forma gráfica, destacando por su importancia práctica las curvas de
Intensidad-duración-frecuencia de precipitaciones, las curvas de variación estacional y las curvas de duración
general.
5.6.1.
Curvas Intensidad-Duración-Frecuencia
rP
Volviendo al problema de la estimación de intensidades de precipitación, se definió la curva IntensidadDuración como la representación gráfica de la intensidad media máxima de precipitación en función del
intervalo de duración de la misma, existiendo para cada tormenta su respectiva curva. Ahora, si se dispone
de un número suficientemente grande de tormentas a las que se le ha confeccionado su curva de intensidadduración, es posible someter a un análisis de frecuencia a las series formadas por las intensidades medias
Bo
rra
do
máximas de cada tormenta correspondientes a una misma duración, obteniéndose como resultado la probabilidad de excedencia o perı́odo de retorno asociado a cada magnitud de intensidad de precipitación, para
cada uno de los intervalos de duración considerados. Los resultados obtenidos pueden representarse mediante
las curvas intensidad-duración-frecuencia, curvas IDF que corresponden a una familia de curvas intensidadduración, que llevan como parámetro, el perı́odo de retorno o probabilidad de excedencia, asociado a cada
magnitud.
La Figura 5.8 muestra las curvas IDF propuestas por Espinoza et al. (2005) para la ciudad de Valparaı́so
(Estación USM), a partir de series de excedencias anuales de datos. Curvas similares han sido propuestas
para otras ciudades del paı́s.
La disponibilidad de estas curvas IDF es indispensable para abordar el diseño de muchas obras hidráulicas.
Desgraciadamente, en muchas localidades no se dispone de información pluviográfica suficiente para su determinación directa, por lo que a menudo resulta necesario sintetizarlas en base a los conceptos de coeficientes
de duración y coeficientes de frecuencia antes definidos.
En forma análoga a la definición de coeficiente de duración de precipitaciones, que expresaba el cuociente
entre la precipitación en un tiempo cualquiera respecto a una duración base, es posible definir los coeficientes
de frecuencia de precipitaciones por la relación,
5.6. Presentación Estadı́stica de Variables Hidrológicas
153
Curvas IDF Valparaíso (UTFSM)
Serie de Excedencias Anuales
Log-Pearson
60
T = 100
Pearson
T = 50
T = 20
50
T = 10
T =2
Log-Pearson
ar
Intensidad [mm]
T =5
40
30
10
0
0
200
400
re
lim
in
20
600
800
Duracion [m in]
1000
1200
1400
Figura 5.8: Curvas IDF para la serie de excedencias anuales de la estación USM, Valparaı́so.
donde,
P (T )
P0
rP
CF (T ) =
(5.114)
Bo
rra
do
P (T ): Máxima precipitación caı́da para un perı́odo de retorno T .
P0 : Máxima precipitación caı́da para un perı́odo de retorno base o de referencia conocido, normalmente 10
años
De esta manera, combinando las ecuaciones (4.17) y (5.113), la precipitación para una duración y perı́odo
de retorno cualquiera, puede expresarse mediante la expresión
P (T, t) = CF (T ) · Cd (t) · P (T0 , t0 )
(5.115)
donde,
P (T, t): Máxima precipitación caı́da para un perı́odo de retorno T y una duración t.
P (T0 , t0 ): Máxima precipitación caı́da para un perı́odo de retorno y una duración base conocidos, normalmente
T0 = 10 años y t0 = 1 hora o 24 horas.
Los coeficientes de frecuencia se postulan estadı́sticamente constantes para una estación dada, e independientes de los coeficientes de duración, habiendo sido determinados en diferentes lugares del paı́s. (Espı́ldora,
1971; DGA, 1991).
154
5.6.2.
Análisis de Frecuencia en Hidrologı́a
Curvas de Variación Estacional
Prácticamente todas las variables hidrológicas poseen la periodicidad que impone el ciclo hidrológico anual,
por lo cual en principio no es lı́cito utilizar valores de las variables obtenidos en distintos perı́odos del año para
efectuar análisis de frecuencia, ya que la serie no resultarı́a homogénea. En muchos casos este inconveniente
puede obviarse subdividiendo el año en subperı́odos, normalmente meses, dentro de los cuales se postula que
la variable es estacionaria, efectuándose los análisis de frecuencia para cada una de las 12 subseries mensuales
ar
resultantes. De estos análisis resultan las curvas de variación estacional, normalmente asociadas a caudales
medios mensuales, pero aplicables a muchas otras variables hidrológicas, en las cuales se representa para cada
re
lim
in
uno de los meses del año, las magnitudes de las variables asociadas a diferentes porcentajes de excedencia.
La Figura 5.9 muestra a manera de ejemplo, la curva de variación estacional de los caudales medios
mensuales del Rı́o Chopa en Puente Negro, para distintos niveles de “sequedad” o “humedad”. Se habla
normalmente de un valor o año, por ejemplo, 80 % seco (o 20 % húmedo) a aquellos valores que en cada uno
de los meses del año tienen un 80 % de excedencia.
160
140
100
80
rP
Caudal [m3/s]
120
60
40
Bo
rra
do
20
0
5%
20%
50%
80%
ABR
17.9
5.7
1.7
0.5
MAY
13.2
7.8
3.9
1.6
JUN
31.7
14.9
6.8
3.1
JUL
40.0
19.2
8.9
4.1
AGO
36.9
17.1
7.9
3.7
SEP
35.6
19.0
8.1
2.5
OCT
44.0
24.7
11.4
4.2
NOV
74.0
41.6
19.4
7.1
DIC
135.9
36.1
9.0
2.2
ENE
56.4
12.4
2.8
0.7
FEB
21.4
6.0
1.7
0.5
MAR
16.3
4.7
1.3
0.4
Figura 5.9: Curva de variación estacional de los caudales medios mensuales del Rı́o Chopa en Puente Negro.
Debe tomarse conciencia de que el promedio o suma de los doce valores mensuales de una misma proba-
bilidad de excedencia no necesariamente coincide con el valor medio anual de la variable para esa misma
probabilidad.
5.6.3.
Curvas de Duración General
Las curvas de duración general tienen importantes aplicaciones en ingenierı́a y representan simplemente la
probabilidad media, en estricto rigor, el porcentaje del tiempo en que una cierta magnitud de una variable
hidrológica es excedida. Son en definitiva análogas o equivalentes a la curvas de frecuencia acumulada, pero
considerando en estos casos la serie de duración completa de la variable en análisis. Aún cuando se trate
de una variable continua, como las temperaturas o los caudales de un rı́o, para el análisis la serie debe ser
5.6. Presentación Estadı́stica de Variables Hidrológicas
155
discretizada, trabajando con valores medios horarios, medios diarios o medios mensuales, dependiendo de la
precisión que se desee obtener. Los datos se ordenan de mayor a menor y su porcentaje de excedencia en el
tiempo se calcula simplemente con la fórmula de California,
Pex =
m
N
(5.116)
ar
donde m es el número de orden a cada dato y N es el número total de datos disponibles. Como los valores
diarios son el promedio de los horarios y los mensuales los promedios de los diarios, a medida que se aumenta la
escala de tiempo de discretización, las curvas de duración general van resultando cada vez más amortiguadas
re
lim
in
y menos representativas.
La Figura 5.10 muestra la curva de duración general de caudales del Rı́o Chopa en Puente Negro, considerando las series de caudales medios diarios y caudales medios mensuales.
180
160
140
rP
120
100
80
60
40
Bo
rra
do
Caudal Medio Mensual [m3/s]
200
20
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Probabilidad de Excedencia [%]
Figura 5.10: Curva de duración general de caudales del Rı́o Chopa en Puente Negro.
Bibliografı́a
DGA (1989),Investigación de eventos hidrometeorológicos extremos: precipitaciones máximas en 24, 48 y 72
horas, Ministerio de Obras Públicas, Dirección General de Aguas, Departamento de Hidrologı́a, bf Ingenieros
Civiles.
DGA (1991),Precipitaciones máximas en 1, 2 y 3 dı́as, Ministerio de Obras Públicas, Dirección General de
Aguas, Departamento de Hidrologı́a.
Espı́ldora, B. (1971), Estimación de curvas intensidad-duración-frecuencia mediante coeficientes generalizados, Memorias I Coloquio Nacional Sociedad Chilena de Ingenierı́a Hidráulica, Santiago, Chile.
156
Análisis de Frecuencia en Hidrologı́a
Espinoza, A., J. Nicoud y L. Stowhas (2005), Curvas IDF para Valparaı́so, XVII Congreso Chileno de Hidraulica, SOCHID,Valparaı́so.
Bo
rra
do
rP
re
lim
in
ar
MOP (2014), Manual de Carreteras, Vol. 3, Dirección de Vialidad, Ministerio de Obras Publicas.
re
lim
in
ar
Capı́tulo 6
PRECIPITACIÓN MÁXIMA
Introducción
rP
PROBABLE
Como se ha analizado en capı́tulos anteriores, la precipitación es la variable primaria, normalmente origen de
toda la disponibilidad de agua en la litósfera, por lo que su conocimiento y análisis es vital para la mayorı́a
Bo
rra
do
de los propósitos de la ingenierı́a hidrológica. Su ocurrencia se produce por la acción de diversos procesos
hidrometeorológicos, presentándose en forma discreta y con magnitudes e intensidades variables en el tiempo
y en el espacio. Desconociéndose en detalle los mecanismos que la generan o al menos la oportunidad en
que se presentarán dichos mecanismos generadores, sólo cabe analizar la variabilidad de las precipitaciones
tratándola como una variable aleatoria, aplicando las técnicas provenientes de la teorı́a de probabilidades
a través de métodos de análisis de frecuencia de variables aleatorias, vistos en el capı́tulo anterior, lo que
permite asociar las magnitudes de las precipitaciones con la probabilidad de que ellas ocurran o se excedan. Sin
embargo, estos procedimientos llevan implı́citos diversos niveles de incertidumbre que hacen extremadamente
incierta la estimación de las máximas magnitudes que la precipitación pueda alcanzar.
Sin perjuicio de lo anterior, e incluso intuitivamente, es posible señalar que debe existir un nivel o lı́mite
fı́sico máximo que la magnitud de las precipitaciones no debieran poder sobrepasar en un determinado tiempo
y lugar. Conceptualmente, la magnitud de la precipitación dependerá de la magnitud del contenido de agua
precipitable de la atmósfera y de la velocidad con que este contenido de agua sea capaz de renovarse en
la atmósfera cuando se produce la precipitación. La magnitud de la precipitación alcanzará su lı́mite fı́sico
máximo cuando el contenido de agua precipitable y su velocidad de renovación alcancen sus valores fı́sicos
lı́mites máximos. Basado en estos raciocinios, se han propuesto procedimientos para tratar de cuantificar el
máximo valor que la magnitud de una precipitación pueda fı́sicamente alcanzar.
157
158
Precipitación Máxima Probable
6.1.
Definición
Precipitación máxima probable (P M P ), es la mayor cantidad teórica de precipitación de una duración dada
que es fı́sicamente posible sobre una cuenca en particular, para una época especifica del año, suponiendo
condiciones climáticas estacionarias.
El término “precipitación máxima probable” es preferible al término “precipitación máxima posible”, con
6.2.
re
lim
in
cualquier estimación de precipitaciones máximas.
ar
que a menudo se refiere al mismo concepto, ya que destaca en forma explicita la incertidumbre asociada a
Influencia del Tipo de Precipitación
Debido a las diferentes caracterı́sticas que adquieren las tormentas, según sea el mecanismo que provoca
la condensación, para una duración dada de ellas será generalmente el mismo tipo de precipitación el que
origina las tormentas crı́ticas que tienden a producir la precipitación máxima probable en el lugar. Ası́, para
duraciones cortas, serán las precipitaciones de tipo convectivo, intensas, cortas y locales, las que produzcan
las condiciones más desfavorables. Por el contrario, para duraciones largas, serán las precipitaciones de tipo
ciclónico, de larga duración y abarcando zonas extensas, las más desfavorables.
rP
Lo anterior, es sin considerar la importancia fundamental que tiene la presencia de barreras orográficas en
los procesos de elevación, enfriamiento, condensación y posterior precipitación de la humedad atmosférica.
Los efectos orográficos se superponen y a menudo sobrepasan a las caracterı́sticas ciclónicas o convectivas,
creando precipitaciones de tipo orográfico de propiedades distintas dependiendo principalmente de la orografı́a
Bo
rra
do
del lugar.
Por estos motivos, es conveniente analizar primero, en forma general, los casos de precipitación no orográfica
y abordar posteriormente en forma separada la precipitación máxima probable en zonas orográficas.
6.3.
Factores Determinantes
En general, la magnitud de una tormenta quedará determinada principalmente por tres condiciones meteorológicas:
i)
Contenido de humedad de la atmósfera: Mientras mayor sea el contenido de agua que sea capaz
de almacenar la atmósfera, mayor será la cantidad de agua que podrá precipitar.
ii)
Velocidad de condensación: La intensidad con que al agua atmosférica pueda precipitar, queda determinada por la intensidad de condensación o paso del agua del estado gaseoso al estado liquido. Este
proceso depende principalmente de la velocidad de los movimientos verticales o ascensos de la masa de
aire húmedo.
6.4. Método Hidrometeorológico de Estimación de la Precipitación Máxima Probable
iii)
159
Convergencia de humedad: Como se analizó anteriormente el contenido de agua precipitable o cantidad de agua que puede contener la atmósfera rara vez excede de un par de centı́metros de altura de
agua. En consecuencia, para que una precipitación de cierta intensidad pueda mantenerse en el tiempo,
es necesaria una reposición continua de aire húmedo proveniente del mar u otra fuente de humedad. Es
por esto, que la magnitud de una tormenta queda condicionada a la velocidad de convergencia de aire
ar
húmedo hacia la zona de la tormenta.
La precipitación máxima probable resultará de la maximización de todos estos factores determinantes,
junto a la distribución en el espacio y ordenación secuencial en el tiempo de las tormentas máximas, que
re
lim
in
produzca la combinación hidrológicamente más desfavorable.
Las relaciones teóricas entre máximo contenido de humedad, presión y temperatura de una masa de aire,
ası́ como las relaciones entre condensación y ascenso vertical son conocidas a través de las leyes de los gases
y de la termodinámica.
De esta forma, el contenido, de humedad de una masa de aire, puede ser maximizado en forma aceptable
a partir de una apropiada interpretación de la información climatológica. Por otra parte, aún cuando los
procesos de convergencia y movimiento vertical del aire son dependientes uno del otro a través de la ecuación de continuidad, no existe aún una base teórica satisfactoria que permita maximizar los fenómenos de
convergencia y ascenso vertical. Para obviar esta dificultad, a menudo se supone que las máximas tormentas
rP
históricas observadas son ı́ndices de las máximas tasas de convergencia y movimiento vertical de la atmósfera, lo que permite entonces estimar o maximizar estas últimas en forma indirecta a través de un análisis de
las máximas precipitaciones observadas. Este procedimiento se conoce como Método Hidrometeorológico de
Bo
rra
do
Estimación de la Precipitación Máxima Probable.
6.4.
6.4.1.
Método Hidrometeorológico de Estimación de la Precipitación Máxima Probable
Maximización de la Humedad
Como se analizó anteriormente, el máximo contenido de agua precipitable de la atmósfera durante una
tormenta es posible estimarlo, suponiendo una atmósfera totalmente saturada con una distribución vertical
de temperatura de acuerdo a un gradiente pseudoadiabático húmedo, conociendo solamente la temperatura
de rocı́o del aire en la superficie, según los valores que se entregaron en las Tablas 2.3 y 2.4.
Por este motivo, es la temperatura de punto de rocı́o en superficie la variable que se usa normalmente
como ı́ndice de humedad, postulando, que maximizar la altura de agua precipitable de la atmósfera equivale
a maximizar las temperaturas de rocı́o.
Más claramente, la máxima altura de agua precipitable en una región será el valor correspondiente al
máximo punto de rocı́o de esa misma región.
El criterio a emplear depende del tipo de información disponible, pero debido a que observaciones puntuales
de punto de rocı́o, pueden indicar situaciones transientes de poca significación, aparte de estar sujetas a errores
160
Precipitación Máxima Probable
importantes de medición, se recomienda usar como Índice de humedad el “Máximo punto de rocı́o persistente
por 12 horas”, que se define como el máximo valor de punto de rocı́o igualado o excedido durante un intervalo
continuo de 12 horas.
De esta manera, el máximo valor observado de punto de rocı́o persistente por 12 horas, o si se prefiere, un
análisis estadı́stico de esta variable que permita definir una magnitud correspondiente a una probabilidad de
muy baja excedencia, se considera representativo de las condiciones de saturación más cálidas probables.
ar
Una limitación de este ı́ndice es que normalmente presenta una variación estacional, observándose los
máximos valores frecuentemente en verano.
re
lim
in
Serı́a un error, en consecuencia, maximizar una tormenta en regiones donde las máximas precipitaciones
ocurren en invierno mediante un ı́ndice máximo obtenido para los meses de verano. Lo que corresponde hacer
es establecer valores de máximo punto de rocı́o persistente para distintas épocas del año, en lo posible para
intervalos de tiempo de no más de 15 dı́as y maximizar cada tormenta usando el Índice correspondiente a la
fecha en que ella ocurrió.
6.4.2.
Maximización del Viento
En forma análoga a la maximización de la humedad, puede analizarse la información sobre velocidad del
viento y determinar para cada época del año, digamos para intervalos de cada 15 dı́as, las velocidades
rP
máximas observadas. Alternativamente, mediante un análisis estadı́stico, podemos determinar las más altas
magnitudes correspondientes a un perı́odo determinado. Sólo debe considerarse en el análisis, la información
de velocidad del viento cuya dirección corresponda a la dirección de entrada de las masas de aire húmedo
que aportan la humedad local. Si existen dos o más fuentes de humedad, el análisis debe hacerse en forma
Bo
rra
do
separada para cada dirección del viento.
Una complicación de la maximización del viento frente a la maximización del punto de rocı́o es que si bien
el valor máximo de punto de rocı́o persistente durante 12 horas es un ı́ndice suficiente para cualquier duración
de tormenta, en el caso del viento el análisis debe hacerse para cada duración en forma separada hasta llegar
a una duración máxima de 24 horas que se estima suficientemente representativa de tormentas de duración
igual o mayor a 24 horas. Esto significa que deben construirse curvas de velocidad media máxima-duración
del viento similares a las curvas de intensidad-duración usadas al analizar datos de precipitación.
El producto de la máxima altura de agua precipitable multiplicada por la máxima velocidad media del
viento para una duración dada, se conoce como “Índice de aporte máximo de humedad”.
La información experimental analizada en diversas regiones indica, sin embargo, que la velocidad del
viento no es un muy buen Índice de la convergencia de humedad y que en ciertas ocasiones las máximas
precipitaciones no coinciden con las máximas velocidades del viento. Debido a esto, frecuentemente, se supone
que las grandes tormentas ocurren siempre con una máxima eficiencia dinámica, omitiéndose la maximización
por concepto de velocidad del viento.
E1 efecto de la velocidad del viento sı́ es de gran importancia en regiones orográficas y en estos casos
procede su maximización, tal como se ha indicado.
6.4. Método Hidrometeorológico de Estimación de la Precipitación Máxima Probable
6.4.3.
161
Maximización de Tormentas
La maximización de tormentas consiste en estimar en base al ı́ndice de aporte máximo de humedad, la magnitud que las tormentas históricas hubiesen tenido si hubieran ocurrido bajo las condiciones más desfavorables
de humedad y eventualmente, de velocidad del viento.
Para este objeto, se seleccionan las más grandes tormentas históricas ocurridas en una determinada cuenca
ar
o región en estudio y se determina para cada una de ellas, el máximo punto de rocı́o persistente por 12 horas
y la velocidad media del viento para la correspondiente duración. El producto de la velocidad del viento
por la altura de agua precipitable, correspondiente al punto de rocı́o de la tormenta es el “Índice de aporte
re
lim
in
de humedad de la tormenta”. Finalmente, las tormentas históricas se maximizan multiplicando la cantidad
de agua o precipitación caı́da por el cuociente entre el Índice de aporte máximo de humedad y el Índice de
aporte de humedad de cada tormenta en particular.
Pmax = Pi
donde,
Pmax : Precipitación maximizada.
Pi : Precipitación medida.
Wmax · Vmax
Wi · Vi
(6.1)
rP
Wmax : Máxima altura de agua precipitable del lugar.
Vmax : Índice de velocidad máxima del viento.
Wi : Altura de agua precipitable.
Vi : Velocidad media del viento de la tormenta medida.
Bo
rra
do
Para estimar los valores de Wmax y Wi pueden usarse las integraciones numéricas de la altura de agua
precipitable para una atmósfera saturada pseudo adiabática tabuladas en las Tablas 2.3 y 2.4. Sin embargo,
como se mencionó anteriormente, estas tablas corresponden a la altura de agua precipitable hasta un nivel
dado, por sobre el nivel del mar (1000 [mb]) en función de la temperatura de rocı́o al nivel 1000 [mb]. En
consecuencia, el uso de las tablas, requiere previamente, reducir el valor de máximo punto de rocı́o persistente
por 12 horas al valor correspondiente al nivel 1000 [mb], cuando este haya sido determinado para una altura
distinta y requiere además, definir los niveles lı́mites de integración.
La reducción de los valores de punto de rocı́o al nivel 1000 mb, puede efectuarse en forma analı́tica, pero
resulta mucho más práctico recurrir a un diagrama termodinámico tal como se indica en la Figura 6.1.
Por ejemplo, si el punto de rocı́o Índice es de 10ºC y ha sido determinado en una estación ubicada a 1000
[m] sobre el nivel del mar, entrando con estos dos valores al diagrama y desplazándose por la lı́nea adiabática
correspondiente, se llega al valor 15ºC para el nivel del mar, supuesto a 1000 [mb]. Con este último valor debe
entrarse a las Tablas 2.3 y 2.4. Con respecto a los 1ı́mites o niveles de integración, el inferior es generalmente
la cota media sobre el nivel del mar del lugar en estudio; sin embargo, si existe entre la zona en estudio y
la fuente de humedad (el mar), una barrera orográfica o cadena montañosa que interfiere significativamente
el paso de las masas de aire húmedo, resulta más adecuado usar como nivel inferior de integración la altura
media de la barrera montañosa. Como nivel o lı́mite superior de integración se usa generalmente, el nivel de
162
Precipitación Máxima Probable
la tropopausa o limite entre la tropósfera y estratósfera que corresponde a la cota máxima de las masas de
aire inestable en las cuales ocurren las tormentas. Este nivel corresponde más o menos a 10,000 metros sobre
el nivel del mar o 250 [Hpa].
4.0
3.5
ar
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0
0
2
4
6
8
10
re
lim
in
Altura [km]
3.0
12 14 16 18 20
Temperatura [°C]
22
24 26
28 30
rP
Figura 6.1: Diagrama pseudo adiabático para reducir temperaturas de punto de rocı́o al nivel 1000 [Hpa].
Sin embargo, debido a la poquı́sima cantidad de agua que es capaz de contener la atmósfera a estas alturas,
cualquier nivel por sobre los 400 [Hpa] que se adopte como lı́mite superior, no afecta mayormente el resultado.
Ejemplo: Supongamos que en el lugar hipotético mencionado anteriormente a una cota de 1000 [m] sobre
Bo
rra
do
el nivel del mar y cuyo máximo punto de rocı́o persistente era de Trmax = 10 °C, queremos maximizar una
tormenta en la cual precipitaron Pi = 100 [mm], con un punto de rocı́o persistente de Tri = 6 °C.
Mediante la Figura 6.1, reducimos los valores de punto de rocı́o al nivel 1000 [mb]. Resulta:
Trmax = 15 °C;
Ti = 11.5 °C;
Mediante las Tablas 2.3 y 2.4, calculamos las alturas de agua precipitable correspondientes entre la cota del
lugar (1000 [m]) y el nivel 250 [mb].
W1000[m] = W1000[mb] − W1000[mb]
250[mb]
250[mb]
1000[m]
De esta forma, se tiene:
Wmax = 33 − 11 = 22 [mm]
Wi = 24 − 9 = 15 [mm]
6.4. Método Hidrometeorológico de Estimación de la Precipitación Máxima Probable
163
En consecuencia, la precipitación maximizada por humedad atmosférica resulta:
Pmax = Pi
Wmax
22
= 100
= 147 [mm]
Wi
15
El valor P = 147 [mm] obtenido corresponde a la magnitud de precipitación que esa tormenta histórica
hubiese tenido, si hubiere ocurrido bajo condiciones de máxima humedad.
ar
Faltarı́a solamente maximizar por velocidad del viento. Esta última corrección, como se indicó, normalmente
se omite a menos que queramos diseñar con máxima seguridad, aparte de la dudosa eficacia del viento como,
6.4.4.
Estimación de la PMP
re
lim
in
Índice de convergencia de humedad.
El procedimiento de maximización de tormentas recién descrito, solamente implica una estimación de la
magnitud que una tormenta histórica pudo haber tenido si hubiera ocurrido en las condiciones más desfavorables. En ningún momento nos asegura que la tormenta analizada haya sido extrema y que su maximización
implique una estimación de la Precipitación Máxima Probable. Aún más, nada hemos visto con respecto a
la distribución en el tiempo de la intensidad de la precipitación. En consecuencia, es muy probable que aún
cuando una tormenta maximizada alcance el valor de la PMP para un intervalo de tiempo o duración dada,
rP
esté bastante por debajo de la PMP para otras duraciones.
Por esta razón, el análisis de una o un par de tormentas históricas, independientemente de cuan sofisticado
haya sido el método de maximización, no da ninguna seguridad de que la magnitud de la PMP haya sido
alcanzada. Parece lógico, sin embargo, esperar que una curva envolvente superior que iguale o exceda las
Bo
rra
do
magnitudes maximizadas de una serie de tormentas para distintas duraciones, tienda a representar la PMP.
Este es el procedimiento usualmente seguido para determinar la magnitud de la PMP.
Se calculan inicialmente para cada tormenta las curvas precipitación duración área; o intensidad duración
área; se maximizan estas curvas por concepto de humedad del aire y velocidad del viento y finalmente se
construye un juego de curvas precipitación duración área envolventes a las curvas históricas que se consideran
representativas de la PMP.
6.4.5.
Curvas Precipitación-Duración-Área
Las curvas Precipitación-Duración Área o Intensidad-Duración-Área, se emplean para analizar la distribución
espacial y temporal de la precipitación caı́da durante una tormenta. Son una extensión de las curvas de
intensidad – duración o precipitación – duración vistas anteriormente, en términos de que el análisis se
efectúa no sólo para los registros de una estación individual sino que también para las precipitaciones medias
espaciales ocurridas sobre distintas magnitudes de superficie de una cuenca, lo que genera familias de curvas
intensidad media máxima – duración, llevando como parámetro el tamaño de la superficie considerada o
alternativamente, familias de curvas precipitación media máxima – área, llevando como parámetro el intervalo
164
Precipitación Máxima Probable
de tiempo o duración de la lluvia.
6.4.6.
Precipitación Máxima Probable Vı́a Método Estadı́stico
El cálculo de la Precipitación Máxima Probable por la vı́a de maximización hidrometeorológica de tormentas históricas, según los procedimientos indicados en los acápites anteriores resulta altamente engorroso y
ar
requiere disponer de completa información hidrometeorológica, razón por la cual no siempre se justifica y
frecuentemente no es posible llevarlo a cabo por falta de la información mı́nima indispensable.
En estos casos es posible efectuar estimaciones de la PMP siguiendo un procedimiento estadı́stico simplifi-
re
lim
in
cado, propuesto inicialmente por Herschfield (1965). Basado en el análisis de un gran número de estadı́sticas
de precipitaciones máximas diarias, Herschfield (1965) propone estimar la precipitación máxima probable
mediante la expresión,
P M P = P̄c + KM · σc
donde,
(6.2)
P̄c : Precipitación máxima anual media corregida.
σc : Desviación estándar corregida de las precipitaciones máximas anuales.
rP
KM : Coeficiente de frecuencia máximo para una lluvia de 24 horas de duración, que se puede aproximar con
suficiente aproximación mediante las expresiones,
Bo
rra
do
KM =

−0.00212P̄c


 18.2 · e


 20 · e−0.00279P̄c
P̄c > 140 [mm]
(6.3)
P̄c ≤ 140 [mm]
Los valores del promedio y de la desviación estándar deben corregirse según Herschfield, por los efectos de
la longitud de estadı́stica y por la presencia de eventos extremos que distorsionan estos estadı́grafos, según
factores que se obtienen de ábacos o gráficos, pero que se pueden aproximar con un error similar o menor al
resultado de la lectura gráfica, mediante las expresiones:
(6.4)
σN −1
0.699
σc = σN 0.993 + 0.307 · e−0.258·(N −10)
1.09 + 0.223 · e−0.07·N
+ 0.008
σN
(6.5)
P̄c = P̄N 1 + 0.143 · e−0.105·N
(1.05 − 0.0008 · N )
P̄N −1
2
+ 3.9 × 10−5 (N − 37) + 0.002
P̄N
No obstante lo anterior, en un estudio efectuado en Chile, (Stowhas, 1983) analizando 190 estaciones
pluviométricas con un total de 6504 años de registro, se concluye que los valores del coeficiente de frecuencia
propuestos por Herschfield tienden a sobreestimar las precipitaciones máximas probables en Chile, donde
predominan lluvias de gran variabilidad, con altos coeficientes de variación, sugiriéndose utilizar un coeficiente
de frecuencia máximo constante, KM = 11, es decir,
6.4. Método Hidrometeorológico de Estimación de la Precipitación Máxima Probable
P M P1 = P̄c + 11 · σc
165
(6.6)
Alternativamente, en base a un trazado de envolventes superiores que respeta no sólo los máximos eventos
a nivel nacional, sino a eventos mundiales a los que se tuvo acceso, se propone estimar la PMP con las
1.141
P M P2 = P̄c 4 + 3.8e−0.0069·P̄c
o
re
lim
in
1.102
P M P3 = P̄c 3.5 + 3.65e−0.0076·P̄c
ar
expresiones:
(6.7)
(6.8)
donde P M P2 de la ecuación (6.7) serı́a aplicable a estaciones pluviométricas cordilleranas y P M P3 de la
ecuación (6.8) serı́a aplicable a estaciones pluviométricas no cordilleranas.
En definitiva, ante la imposibilidad de aplicar el método hidrometeorológico, se recomienda estimar la PMP
con el método estadı́stico, utilizando el valor más conservador que resulte entre las ecuaciones (6.6) y la que
corresponda entre (6.7) o (6.8).
Debe recordarse que todo lo anterior es válido para precipitaciones máximas diarias, recomendándose un
Bibliografı́a
rP
factor de amplificación 1.06 para evaluar precipitaciones máximas en 24 horas.
Bo
rra
do
Herschfield, D. M. (1961), Estimating the probable maximum precipitation, J. Hyd.Div, ASCE, Vol 87.
Herschfield, D. M. (1965), Method for estimating probable maximum precipitation, J. American Waterworks
Assoc., Vol 57.
Stowhas (1973), Métodos Hidrometeorológicos en el Estudio de Crecidas, Universidad de Chile.
Stowhas, L. (1983), Precipitaciones Máximas Diarias en Chile, VI Congreso Nacional de Hidráulica, SOCHID.
WMO (1973), Manual on Estimation of Probable Maximum Precipitation (PMP), World Meteorological
Organization, Op. Hydr. Report N° 1, WMO-332.
re
lim
in
rP
Bo
rra
do
ar
re
lim
in
ar
Capı́tulo 7
ESCORRENTÍA
Introducción
rP
El ciclo de escorrentı́a es la fase del ciclo hidrológico que ocurre sobre la litósfera, y es en definitiva el más
importante en términos de la evaluación de los recursos hidráulicos disponibles en una determinada cuenca.
La forma como el agua se desplaza a través de la litósfera puede esquematizarse a través del diagrama de flujo
que se presenta en la Figura 7.1. La primera precipitación caı́da, es interceptada por la capa de vegetación
Bo
rra
do
que cubre el suelo, la que normalmente es devuelta a la atmósfera como evaporación. El agua lluvia que
sobrepasa la retención vegetal, llega a la superficie del suelo donde es detenida en zonas depresionarias y/o
es infiltrada al interior del suelo, inicialmente seco.
A medida que la precipitación continúa, la capacidad de retención se colmata, la infiltración, al hume-
decerse el suelo, disminuye, hasta que se produce una precipitación en exceso que genera escorrentı́a
superficial, que comienza a escurrir inicialmente en la forma de una lámina superficial, para posteriormente
irse concentrando a través de la red de drenaje natural de la cuenca.
El agua que infiltra en el suelo, puede seguir dos caminos. Uno, encontrarse con capas de suelo permeable
que le permitan percolar profundo hasta alcanzar los acuı́feros o napas subterráneas, donde escurrirá como
flujo subterráneo, volviendo posteriormente a la superficie en forma de vertientes o afloramientos en los
cauces de los rı́os, o eventualmente descargando en forma subterránea hasta alcanzar un lago o el mar.
El otro camino es encontrarse con estratos impermeables que le impidan la percolación profunda, por lo
que el agua infiltrada se desplaza en forma subsuperficial, ya sea en forma de flujo intermedio rápido o
flujo intermedio lento, dependiendo del tiempo que se demore en retornar a la superficie para agregarse a
la escorrentı́a superficial.
La suma de la escorrentı́a superficial más el flujo intermedio rápido, definido como aquel que aflora a la
167
168
Escorrentı́a
superficie dentro de la escala de tiempo de la tormenta que lo produjo, constituyen la denominada escorrentı́a
directa. A su vez, la precipitación en exceso sumada a aquella parte del agua infiltrada que se manifiesta
como escorrentı́a directa y que se indican con lı́neas de trazos en la Figura 7.1, constituyen lo que se denomina
precipitación efectiva.
El flujo intermedio lento sumado a la escorrentı́a subterránea, que retornan a la superficie en un tiempo
posterior a la ocurrencia de la tormenta que los generó, constituyen lo que se denomina el flujo base.
ar
La escorrentı́a total o el caudal presente en el cauce de un rı́o en un determinado instante, tiene entonces
dos componentes: El flujo base o caudal semi permanente en el cauce, originado por infiltración y recuperación
de precipitaciones ocurridas en perı́odos anteriores, y la escorrentı́a directa, producto de las precipitaciones
re
lim
in
que están ocurriendo en ese instante o en instantes inmediatamente anteriores.
PRECIPITACIÓN TOTAL
PRECIPITACIÓN
EN EXCESO
INTERCEPCIÓN Y
EVAPOTRANSPIRACIÓN
INFILTRACIÓN
ESCORRENTÍA
SUPERFICIAL
PRECOLACIÓN
PROFUNDA
PRECIPITACIÓN
FLUJO
INTERMEDIO
RÁPIDO
Bo
rra
do
EFECTIVA
rP
ESCORRENTÍA
SUBSUPERFICIAL
ESCORRENTÍA
DIRECTA
FLUJO
INTERMEDIO
LENTO
ESCORRENTÍA
SUBTERRÁNEA
FLUJO
BASE
ESCORRENTÍA
TOTAL
Figura 7.1: Esquema del Ciclo de Escorrentı́a
7.1.
Fluviometrı́a
A diferencia de las variables meteorológicas antes analizadas, cuya medición es responsabilidad de la meteorologı́a, la medición de la escorrentı́a es responsabilidad de la ingenierı́a hidráulica o de la hidrologı́a. Se
denomina fluviometrı́a a una rama de la hidrologı́a dedicada a la acción de medir los caudales que escurren
por un determinado cauce en una sección especı́fica de él denominada sección de aforo. A diferencia de las
variables meteorológicas donde las mediciones instrumentales constituı́an sólo un ı́ndice de la variable en
interés, en el caso de los caudales, que se van concentrando hasta llegar a la sección de aforo, la medición co-
7.1. Fluviometrı́a
169
rresponde a la variable misma y en este sentido la escorrentı́a es normalmente la única variable constituyente
del ciclo hidrológico que se puede medir directamente y no a través de un ı́ndice. Sin embargo, la medición
directa del caudal, lo que se denomina “aforo”, es bastante tediosa y complicada, por lo que la medición
rutinaria de los caudales de un rı́o se hace normalmente en forma indirecta, midiendo la altura o niveles del
agua, traduciendo posteriormente esta información a caudales, a través de la denominada curva de descarga,
o función que relaciona los niveles del agua con el caudal.
ar
Las secciones de aforo se pueden clasificar en:
Artificiales
re
lim
in
Naturales
Naturales modificadas
Una sección de aforo es artificial, cuando existe en ella alguna estructura hidráulica, tales como venturı́metros, canaletas Parshall o generalmente un vertedero, que permite establecer una relación analı́tica teórica o
semiempı́rica entre el nivel de agua y el caudal. En el caso de vertederos esta relación es del tipo
donde,
Q: Caudal.
Ω: Sección transversal.
g: Aceleración de gravedad.
p
2gH
(7.1)
rP
Q=m·Ω·
Bo
rra
do
H: Carga o altura de agua sobre el vertedero.
m: Coeficiente de gasto teórico o empı́rico particular para cada tipo de estructura.
La instalación de secciones artificiales sólo se justifica para caudales relativamente pequeños. Para caudales
mayores suele aprovecharse la existencia de dichas estructuras con otros propósitos, tales como barreras de
bocatomas, vertederos de embalses u otras, pero lo usual es que la sección de aforo sea simplemente una
sección adecuada del propio cauce, o sección de aforo natural.
En el caso de secciones naturales, no existe a priori una curva de descarga conocida por lo que esta debe
determinarse experimentalmente mediante mediciones sucesivas, simultáneas e independientes del nivel de
agua y del caudal. Una sección de aforo natural modificada es una sección natural en la que se introducen
algunas modificaciones, por ejemplo, muros laterales de confinamiento, que permiten una mejor definición de
la geometrı́a de la sección.
Los niveles de agua pueden medirse con limnı́metros, reglas limnimétricas muy similares a las miras topográficas, técnicas basadas en reflexión de ondas o en base a presostatos que miden la presión ejercida por el
agua sobre el fondo del cauce. Las mediciones pueden ser puntuales, normalmente se miden uno o dos valores
diarios, o pueden registrarse en forma continua, con instrumentos inscriptores denominados limnı́grafos, que
pueden ser mecánicos o electrónicos, hoy en dı́a incluso conteletransmisión de los registros. Los limnı́grafos,
170
Escorrentı́a
para evitar que sean dañados o arrastrados por las aguas durante las crecidas, normalmente se instalan en un
pozo ubicado fuera del cauce, pero conectado hidráulicamente con él, aprovechando el principio de los vasos
comunicantes.
Las técnicas de medición directa de caudales o aforos son diversas, yendo desde el simple uso de flotadores,
dinamómetros, uso de trazadores puntuales o continuos, tanto quı́micos como radioactivos, diversos tipos
de caudalı́metros mecánicos o electrónicos, pero el método habitual de medición se basa en el instrumento
ar
denominado molinete, los cuales pueden ser electrónicos, que estiman la velocidad del agua por efecto Doppler,
o mecánicos, de los cuales existen dos tipos genéricos, de eje vertical o de copas, análogo a un anemómetro
7.1.1.
7.1.1.1.
Técnicas de Medición
Flotadores
re
lim
in
y de eje horizontal o hélice, análogo a un molino de viento.
El uso de flotadores se restringe a mediciones improvisadas en terreno o determinaciones muy preliminares
del caudal y consiste simplemente en medir el tiempo “t” que demora un flotador en recorrer, en lo posible
por el centro del cauce, una determinada distancia “s”. Con ello se determina la velocidad del flotador, según
s
t
rP
vf =
(7.2)
Si el flotador es superficial, su velocidad será normalmente mayor que la velocidad media del escurrimiento,
Bo
rra
do
la cual puede estimarse en una primera aproximación como
v ≈ 0.8vf
(7.3)
Estimando en forma independiente la sección mojada del escurrimiento Ω, se obtiene una primera aproximación al valor del caudal como
Q ≈ 0.8 · Ω · vf
(7.4)
Si se logra, mediante la introducción de algún lastre, que el flotador escurra semi-sumergido, ocupando
toda la vertical del escurrimiento, suele suponerse que su velocidad corresponde a la velocidad media del
flujo. La estimación de caudales mediante flotadores debe repetirse al menos dos o tres veces, para evitar
errores groseros.
7.1.1.2.
Trazadores
El uso de trazadores quı́micos o radioactivos, por su costo y carácter contaminante, se limita a condiciones
muy particulares, donde se necesite buena precisión y donde el uso de otras técnicas no resulte factible.
Básicamente consiste en efectuar un balance másico de algún trazador incorporado a la corriente. En el
7.1. Fluviometrı́a
171
caso del aforo continuo, esto consiste en inyectar a la corriente un caudal “q” de algún trazador en una
concentración o radioactividad C0 , y medir aguas abajo, después de que se haya logrado una mezcla perfecta,
la concentración o radioactividad final Cf .
Si el caudal del rı́o es “Q”, entonces de un balance másico del trazador se obtiene
Normalmente Q >> q, por lo que
C0
·q
Cf
(7.6)
re
lim
in
Q+q =
(7.5)
ar
q · C0 = (Q + q) · Cf
C0
·q
Cf
Q=
(7.7)
La concentración final de los trazadores quı́micos, los que no deberán reaccionar con ningún componente del
agua o el lecho, se determina tomando muestras que se analizan en laboratorio.
La concentración de trazadores radioactivos, para lo cual se usa frecuentemente
131
I, puede determinarse
rP
in situ mediante el uso de contadores Geiger o preferentemente contadores de centelleo.
Los aforos puntuales consisten en inyectar de una sola vez, una “bomba” con una concentración conocida
C0 e integrar aguas abajo, una vez que se ha producido la mezcla, la variación de la concentración en el
tiempo y espacio. La deducción del caudal en estos casos se hace más compleja y debe consultarse en algún
Bo
rra
do
texto más especializado.
7.1.1.3.
Molinetes
El molinete, mide en estricto rigor la velocidad del agua en un punto especı́fico del escurrimiento, por lo que
el caudal se determina a través de la relación
Q=
Z
v · dΩ
(7.8)
Ω
En términos prácticos la integral se resuelve efectuando diversas mediciones de velocidad en distintas verticales
de la sección de escurrimiento, e integrando numéricamente,
Q=
N
X
vi · dΩi
(7.9)
i=1
donde vi es la velocidad puntual del agua, la cual se determina en el caso de instrumentos electrónicos por
efecto Doppler y en el caso de molinetes mecánicos a través de una curva de calibración del instrumento,
midiendo la velocidad angular de las copas o hélice del instrumento.
172
Escorrentı́a
Otra alternativa es trazar, en base a las diversas mediciones, las curvas isotáquicas o curvas de igual
velocidad en la sección de aforo, e integrar posteriormente en función del área asociada a cada curva.
En teorı́a, la medición será mas exacta mientras más valores de velocidad se midan, sin embargo, la medición
se hace cada vez más lenta y si el caudal del rı́o es variable en el tiempo, aparte del trabajo consumido, se
comienza a perder precisión.
En la práctica, una vez calibrada la medición, se recomienda subdividir la sección en una serie de subsecla velocidad media en cada sección mediante
re
lim
in
Vx =
donde,
V x : Velocidad media en la sección x.
V0.8 + V0.2
2
ar
ciones verticales de ancho ∆x, tal que ninguna de ellas sea mayor que el 20 % de la sección total, estimando
(7.10)
V0.8 : Velocidad a un 80 % de la profundidad total en la sección (Hx ).
V0.2 : Velocidad a un 20 % de la profundidad total en la sección (Hx )
El caudal en este caso resultará según la expresión,
Nx
X
V x · Hx · ∆x
rP
Q=
(7.11)
i=1
donde Nx corresponde al número de subsecciones en que se dividió la sección. La medición de la velocidad
en las distintas verticales, puede lograrse bajando el instrumento en cada vertical, mediante una barra o un
cable graduados, desde una embarcación que logre mantenerse estacionaria, desde algún puente cuyas cepas
Bo
rra
do
no interfieran el escurrimiento o lo que es más habitual mediante un cable-carro, consistente en un pequeño
carro que se desplaza accionado manualmente, a lo largo de un cable que se tensa entre las dos riberas del
rı́o.
Una vez que se dispone de sucesivas mediciones simultaneas de altura limnimétrica y caudal, se dispondrá de
pares de puntos (H, Q) que permitirán la definición empı́rica de la curva de descarga. Finalmente, una vez
establecida la curva, se continúa la medición rutinaria de las alturas limnimétricas o limnigráficas, y a través
de la curva de descarga se determina el caudal. Si la instalación es limnimétrica, se recomienda la lectura
mı́nima de dos valores diarios, a partir de los cuales se estima el caudal medio diario. Si la instalación es
limnigráfica, se dispondrá de una curva continua de niveles en función del tiempo, denominada limnigrama,
de cuya traducción se puede obtener una curva continua de caudales en función del tiempo, o hidrograma.
El promedio mensual de los caudales diarios dará origen al caudal medio mensual, y el promedio de estos
últimos dará origen al caudal medio anual. También se acostumbra mantener registros especiales de los
caudales extremos, caudales máximos y mı́nimos diarios en el caso de estaciones limnimétricas, y de caudales
extremos instantáneos en el caso de estaciones limnigráficas.
La institución encargada en Chile de registrar, procesar y almacenar esta información es oficialmente la
Dirección General de Aguas del M.O.P. (DGA), aunque también existen estadı́sticas controladas por parti-
7.1. Fluviometrı́a
173
culares, para sus propios intereses, especialmente las empresas hidroeléctricas. A través del Banco Nacional
de Aguas de la DGA, esta información se hace accesible a los distintos usuarios.
7.1.2.
Perı́odo de Validez de la Curva de Descarga
Desgraciadamente, en la mayorı́a de los casos no basta con establecer sólo en forma inicial la curva de descarga,
ar
pues esta puede ser variable en el tiempo. Luego, es necesario efectuar aforos esporádicos, normalmente una
vez al mes, que permitan verificar la invariancia de la curva o detectar cuándo esta ha sufrido algún cambio.
En efecto, si utilizamos algún modelo hidráulico para representar la relación entre la altura de agua y el
re
lim
in
caudal, como por ejemplo, la conocida fórmula de Manning, tendremos la relación,
Q=
donde,
J: Pendiente del eje hidráulico.
Ω: Sección transversal.
Rh : Radio hidráulico.
(7.12)
rP
n: Coeficiente de rugosidad de Manning.
√
J
2/3
· Ω · Rh
n
Del análisis de esta ecuación tenemos que funcionalmente, el caudal Q depende de
Bo
rra
do
Q = f (H, J, n, geometrı́a)
Luego, la curva de descarga sólo será invariante, si permanecen constantes en el tiempo, la pendiente del
eje hidráulico (o del fondo del lecho), la rugosidad del lecho y la forma geométrica de la sección. En secciones
naturales, por efecto de socavaciones de fondo y laterales, por embancamientos, por crecimiento de vegetación
acuática o ribereña o por perturbaciones del rı́o en otros puntos del cauce, todas estas variables pueden sufrir
cambios en el tiempo.
Si alguno o alguna combinación de estos parámetros sufre algún cambio, brusco o paulatino, la curva de
descarga variará, siendo necesario comenzar nuevamente la recopilación en terreno de pares de valores (Q, H)
con el propósito de establecer la nueva curva de descarga. El perı́odo de tiempo para el cual una determinada
curva de descarga es válida, es lo que se denomina su perı́odo de validez. Algunas secciones resultan muy
estables y mantienen de forma permanente su curva de descarga, o al menos esta se mantiene durante perı́odos
muy largos. Otras, sin embargo, resultan tan cambiantes que resulta imposible establecer adecuadamente su
curva de descarga y deben ser abandonadas como secciones de aforo.
Una manera de lograr secciones estables es elegir secciones del rı́o en que este escurra en lecho rocoso, ya que
será difı́cil de socavar y en consecuencia su sección y geometrı́a será constante. También es posible intentar
independizarse de las variaciones de pendiente del fondo y rugosidad, si se escoge una sección, normalmente a
corta distancia aguas arriba de un rápido, donde el escurrimiento tiende a ser en régimen crı́tico o de energı́a
174
Escorrentı́a
mı́nima. Bajo estas condiciones, la teorı́a hidráulica nos dice que la relación entre altura y caudal pasa a ser
función única de la geometrı́a del cauce.
En definitiva, una sección en roca, alguna corta distancia aguas arriba de un rápido, parece ser el lugar
ideal escogido por la naturaleza para instalar una sección de aforo estable.
Como se mencionó anteriormente, si en alguna sección se efectúan algunas modificaciones, como construir
muros guı́as laterales a fin de confinar el escurrimiento y estabilizar su sección, se habla de secciones de aforo
Extensión de Curvas de Descarga
re
lim
in
7.1.3.
ar
naturales modificadas.
Para la traducción de estadı́sticas fluviométricas, faena que hoy en dı́a se efectúa normalmente en forma
computacional, es necesario ajustar expresiones analı́ticas a las curvas de descarga a fin de facilitar el trabajo.
Cuando se trata de interpolar datos dentro del rango de valores aforados que definen la curva, podrá ajustarse,
utilizando los numerosos software que existen para ello, la expresión analı́tica que logre el mejor ajuste. Un
problema especial lo constituye la extrapolación de las curvas, situación que se presenta cuando se mide un
valor de altura extremo, normalmente muy alto, que cae fuera del rango de los aforos efectuados. En estos
casos la extrapolación debe ser muy cuidadosa, a fin de no cometer errores de extrapolación severos. Para
estos propósitos se recomienda el uso de expresiones analı́ticas relativamente simples o con alguna estructura
rP
que tenga algún sentido fı́sico. Para ello pueden utilizarse polinomios algebraicos de no muy alto grado o
preferiblemente expresiones potenciales del tipo,
Bo
rra
do
Q = a · (H − b)c
(7.13)
La constante b es normalmente necesaria porque el origen o valor 0 de la escala del limnı́metro, no tiene
porqué coincidir con el fondo exacto del cauce, o condición Q = 0.
Una técnica de extrapolación que suele dar buenos resultados, es apoyarse en alguna fórmula hidráulica
como la de Manning. A partir de la información que se obtiene de los aforos, es posible expresar la altura
limnimétrica en función de los factores hidráulico y geométrico de la fórmula, es decir, se pueden establecer
las relaciones,
H = f (Ω · Rh )
2/3
(7.14)
√
H = f ( J/n)
(7.15)
La primera función, es solamente geométrica y puede extrapolarse en base a un levantamiento topográfico
de la sección del cauce. La segunda función, para caudales altos, en que el escurrimiento se acerca al crı́tico,
suele hacerse constante o muy poco variable, con lo que resulta menos azarosa su extrapolación. Luego, la
extrapolación se efectúa, para un valor de H más alto que el rango aforado, evaluando en forma independiente
los factores geométricos e hidráulicos, resultando de su producto, el caudal asociado a dicha altura.
7.1. Fluviometrı́a
175
Un problema frecuente en las mediciones fluviométricas es el embanque, mal funcionamiento del limnı́grafo
o destrucción de la regla limnimétrica durante las grandes crecidas del rı́o, precisamente en los perı́odos en
que las mediciones resultan de mayor interés. Por eso es conveniente instalar medidores de niveles máximos
que consisten simplemente en un tubo vertical ranurado que por efecto de vasos comunicantes mantiene su
nivel de aguas al mismo nivel del rı́o. En el interior del tubo se incorpora algún material granular flotante,
por ejemplo, pellets de plumavit, algunos de los cuales se quedan adheridos a la pared interior del tubo,
Homogeneidad de Estadı́sticas Fluviométricas
re
lim
in
7.1.4.
ar
permitiendo detectar el más alto nivel alcanzado por las aguas.
Con motivo de cambios no detectados de la curva de descarga o mal ajuste de estas, u otras veces, por intervenciones hechas aguas arriba que cambian el régimen natural del escurrimiento, las estadı́sticas fluviométricas
pueden contener errores sistemáticos o representar regı́menes de escurrimiento diferentes en distintos perı́odos
de tiempo, por lo que en definitiva, para los propósitos de análisis estadı́sticos, se constituyen en series no
homogéneas.
Con el propósito de detectar y corregir estas heterogeneidades, puede utilizarse en principio el método de
las curvas doble acumuladas descrito para la homogeneización de las estadı́sticas pluviométricas. Sin embargo,
el método en este caso tiene algunas limitaciones. A diferencia de las precipitaciones, las cuales dentro de
rP
una zona homogénea tienen un mismo orden de magnitud, la magnitud de los caudales de los distintos rı́os
involucrados en el análisis puede ser bastante diferente, dependiendo de los tamaños de las respectivas cuencas
aportantes. Por ello resulta conveniente no trabajar con los caudales mismos sino con los caudales especı́ficos,
definidos como el caudal por unidad de área aportante, expresados por ejemplo en [m3 /s/km2 ].
Bo
rra
do
Una segunda limitación proviene de que la hipótesis de que la relación entre las variables corresponde a
una relación lineal que pasa por el origen, no necesariamente se cumple en el caso de caudales, lo que puede
generar una curva acumulada serpenteante, dependiendo del rango de magnitud de los mismos. Esta situación
puede resolverse efectuando una regresión lineal o no lineal entre los valores no acumulados de la variable
en análisis y el patrón, construyendo posteriormente las curvas doble acumuladas entre los valores medidos
versus los estimados por la ecuación de regresión. La corrección de los datos, en caso de detectarse algún
quiebre, se recomienda en estos casos verificando el trazado y perı́odo de validez de las curvas de descarga,
o corrigiendo los datos medidos para llevarlos al régimen natural, en caso que este sea la causa del quiebre.
7.1.5.
Presentación de Estadı́sticas Fluviométricas
De toda la información que se recopila en una estación fluviométrica, suelen rescatarse los caudales medios
diarios y extremos diarios, mientras que en las estaciones fluviográficas se rescatan los caudales medios diarios
y los caudales máximos o mı́nimos instantáneos. A partir de ellos pueden construirse las series de caudales
medios y extremos mensuales y las series de caudales medios y extremos anuales, series a las que se les
dará distinto uso dependiendo de los propósitos del estudio. Para el estudio de crecidas, por ejemplo, se
considerarán las series de caudales máximos diarios o instantáneos anuales, las que se someterán a análisis
176
Escorrentı́a
de frecuencia con los procedimientos antes vistos, los que permitirán asociar la magnitud de estos caudales
de crecida con su respectivo perı́odo de retorno.
Para la evaluación de recursos hı́dricos, se trabajará normalmente con las series de caudales medios diarios,
mensuales o anuales, dependiendo del detalle o precisión requeridos.
Existen diferentes métodos o procedimientos para presentar los resultados de los análisis estadı́sticos efectuados a las estadı́sticas fluviométricas a fin de lograr su mejor visualización e interpretación, entre los que
Curvas de Variación Estacional de Caudales
re
lim
in
7.1.5.1.
ar
destacan las curvas de variación estacional y las curvas de duración general, descritas anteriormente.
Corresponden a curvas asociadas normalmente a caudales medios mensuales, que muestran, para cada mes del
año, la magnitud de la variable asociada a una determinada probabilidad de ocurrencia. Permiten establecer,
por ejemplo, qué caudal medio mensual habrá en un cauce dado, en un cierto mes del año con una cierta
probabilidad de ocurrencia o “ % de sequedad”. Como se mencionó en el capı́tulo 5, resultan de someter a
un análisis de frecuencia a las 12 series de caudales medios mensuales. La Figura 7.2 muestra la curva de
variación estacional en una sección del Rı́o Aconcagua.
rP
150
140
130
120
110
100
90
80
70
Bo
rra
do
Caudal [m3/s]
160
60
50
40
30
20
10
0
ABR
MAY
JUN
JUL
AGO
SEP
OCT
NOV
DIC
ENE
FEB
MAR
39.88
5%
42.77
68.43 132.96 156.92 141.12 113.94 105.05 123.82 156.23 103.79 49.67
85%
6.12
18.81
20.62
24.52
Qmedio
18.03
36.05
57.39
67.88
24.14
62.77
15.79
47.59
8.46
37.99
12.38
51.32
3.76
0.00
0.00
3.60
59.56
37.70
18.46
16.34
Figura 7.2: Curva de variación estacional de caudales Estación Aconcagua en Desembocadura.
La simple inspección ocular de una curva de variación estacional permite determinar el régimen de un
rı́o. Ası́, si las curvas presentan un solo máximo que coincide con la época lluviosa del año (invierno en
Chile central), entonces el régimen será pluvial, es decir, las precipitaciones caen en forma lı́quida sobre la
cuenca. Si los máximos ocurren en el perı́odo seco estival, entonces el régimen será nival, las precipitaciones
7.1. Fluviometrı́a
177
caen en forma de nieve en el invierno, la cual se derrite e incrementa los caudales en la época calurosa del
verano. Si las curvas presentan dos máximos, en el caso de Chile central, el régimen es mixto pluvio-nival, las
precipitaciones ocurren en forma lı́quida en la parte baja de la cuenca y en forma sólida en las partes altas.
Debe tenerse en consideración que la suma o promedio de todos los caudales medios mensuales con una
misma probabilidad normalmente no coincide con la magnitud del caudal medio anual correspondiente a la
misma probabilidad. Para estimar la variación estacional de un año tipo, es preferible efectuar el análisis de
ar
frecuencia a los caudales medios anuales y adoptar la distribución mensual histórica media de aquellos años
históricos que más se acerquen a la probabilidad anual de excedencia que se desea establecer, verificando
7.1.5.2.
re
lim
in
obviamente que el promedio de todos los meses coincida con el caudal medio anual.
Curvas de Duración General de Caudales
Son curvas normalmente asociadas a caudales medios diarios o mensuales, que permiten determinar en
qué porcentaje del tiempo total existirá en el cauce un caudal mayor (o menor) a un cierto valor especificado. Resultan de ordenar de mayor a menor la serie de caudales medios diarios o mensuales de todo el
perı́odo de estadı́sticas y asociar la probabilidad empı́rica de California con el porcentaje del tiempo de excedencia (ver sección 5.6.3). Este es uno de los casos en que se trabaja con la serie de duración completa,
y en estricto rigor debiera trabajarse con la variable continua. A medida que se incrementa el intervalo de
medición, promedio horario, promedio diario o promedio mensual la curva va perdiendo precisión. Ası́ la
rP
curva de duración general efectuada con la serie de caudales medios mensuales resulta más plana que la
curva construida con los valores diarios, subestimando la magnitud de los valores altos y sobreestimando la
magnitud de los valores bajos, ya que obviamente dentro de un mes habrá caudales diarios que exceden y
otros que no exceden el valor promedio. En el caso de rı́os de régimen nival, en que las ondas de crecida son
Bo
rra
do
paulatinas y estacionales, el uso de serie de caudales medios mensuales no introduce en general mayor error
respecto a las series diarias (Castillo, 2004). No ocurre lo mismo en las cuencas de régimen pluvial, donde
los caudales altos se concentran en unos pocos dı́as del mes en que ocurren las precipitaciones. Hormaechea
(1999) presenta un procedimiento para corregir la cantidad de agua que es posible de extraer de un rı́o de
régimen pluvial, cuando la estimación se efectúa a partir de la serie de caudales medios mensuales. La Figura
7.3 muestra la curva de duración general de caudales para el perı́odo 1978-2008 en la estación Rı́o El Salto
en Bocatoma.
178
Escorrentı́a
70
60
50
40
ar
30
20
10
0
0
10
20
30
re
lim
in
Caudal Medio Mensual [m3/s]
80
40
50
60
70
80
90
100
Probabilidad de Excedencia [%]
Figura 7.3: Curva de duración general de caudales Estación Rı́o el Salto en Bocatoma (1978-2008).
7.1.6.
Caudales Mı́nimos, Sequı́as y Caudales Ecológicos
Para el análisis de caudales mı́nimos puede en principio utilizarse las mismas técnicas de análisis de frecuencia
rP
que permitirán asociar la magnitud de dichos caudales con su probabilidad de ocurrencia o perı́odo de retorno.
Sin embargo, el análisis de sequı́as es un problema más complejo, pues los perjuicios que provoca una sequı́a
no dependen sólo de la magnitud de las precipitaciones o de los caudales mı́nimos, sino además del tiempo
en que se prolonguen dichos valores mı́nimos pues a diferencia de los eventos máximos que normalmente son
Bo
rra
do
eventos aislados e independientes, los perı́odos secos y los caudales mı́nimos son mucho más persistentes. A
su vez, debe distinguirse entre sequı́as meteorológicas o déficit de precipitaciones y sequı́as hidrológicas o
déficit de caudales. La ocurrencia, por ejemplo, de una serie de caudales bajos no muy extremos puede ser,
y de hecho, normalmente lo es, más perjudicial que un evento mı́nimo más extremo que ocurra en forma
aislada. En definitiva, las sequı́as dependen tanto de la magnitud como de la duración del evento, por lo
que su análisis se debe abordar con metodologı́as ad hoc para distintos casos particulares. Fernández (1991)
presenta un completo análisis de las sequı́as en la zona central de Chile.
Los caudales ecológicos corresponden a un concepto distinto que se refiere a los caudales mı́nimos que deben
mantenerse en el cauce de un curso natural de agua, para preservar los ecosistemas que de él dependen, cuando
los caudales son disminuidos por la acción humana de extracción de dichos recursos. Si bien la definición del
concepto de caudal ecológico es bastante clara, cuando llega el momento de cuantificar sus magnitudes, el
problema se complica pues aparecen distintos criterios que van desde lo puramente estadı́stico, hidrológico,
hidráulico, biológico y ecológico, hasta posiciones puramente conservacionistas.
La Dirección General de Aguas, DGA, institución encargada de velar por los recursos hı́dricos del paı́s ha
definido a lo largo del tiempo distintos criterios para cuantificar los caudales ecológicos o caudales mı́nimos
que deben respetarse al extraer los caudales de un rı́o. En general, el caudal ecológico ha sido establecido
en términos probabilı́sticos tales como el 10 % del caudal medio anual o el 50 % del caudal medio mensual
7.1. Fluviometrı́a
179
mı́nimo de un año 95 % seco. Hoy en dı́a, este último criterio se ha extendido a la escala mensual, permitiendo
tener una variación estacional, con una serie de restricciones que se pueden consultar en el Manual de Normas
y Procedimientos de la DGA.
Estos criterios, de alguna manera algo arbitrarios, podrı́an continuar cambiando en el transcurso del tiempo,
ar
por lo que siempre será necesario consultar a futuro cuáles son las últimas determinaciones vigentes al respecto.
Bibliografı́a
S.A. Santafé de Bogota, Colombia.
re
lim
in
Chow, V. T., D. R. Maidment, and L. W. Mays (1994), Hidrologı́a Aplicada, Mc Graw Hill Interamericana,
Maidment, D. R. (1993), Handbook of Hydrology, Mc Graw Hill.
Hendriks, M. R. (2010), Indroduction to Physical Hydrology, Oxford University Press.
Hormaechea, J. (1999), Estimación del caudal útil de extracción de bocatomas en cauces de régimen pluvial,
XIV Congreso Chileno de Hidraulica.
Castillo, J. (2004), Estimación de extracciones mensuales de bocatomas en rı́os de régimen nival, Universidad
T. F. Santa Marı́a, Depto. de Obras Civiles.
rP
Fernández, B. (1991), Sequı́as en la Zona Central de Chile, Informe final de proyecto, 94 pp., Pontificia
Bo
rra
do
Universidad Católica de Chile, Santiago, Chile.
re
lim
in
rP
Bo
rra
do
ar
re
lim
in
ar
Capı́tulo 8
ESTIMACIÓN
Introducción
rP
DE LA ESCORRENTÍA
Uno de los problemas más frecuentes a que se ve abocado un hidrólogo o ingeniero hidráulico, es a la
estimación de los caudales en alguna sección especı́fica de un rı́o. Esto se debe a que es difı́cil, en caso de
Bo
rra
do
que exista información fluviométrica medida en dicho cauce, que esta información coincida exactamente con
el lugar en que se necesita conocer dichos caudales, o lo que es más frecuente, debido a que simplemente
no existe información fluviométrica en la zona. Los métodos a utilizar en estos casos corresponderán a
relaciones estadı́sticas, correlaciones entre distintas variables o a modelos conceptuales que permitan evaluar
la escorrentı́a a partir de información primaria respecto a precipitaciones, simulando el ciclo de escorrentı́a
subsiguiente.
El método especı́fico a utilizar en cada caso, dependerá por una parte de los objetivos y fines de la estimación
requerida, y por otra parte, del tipo y cantidad de información disponible y de la escala de tiempo requerida
para caracterizar adecuadamente el problema en análisis.
Por ejemplo, las metodologı́as a utilizar serán bastante distintas si lo que se pretende es evaluar recursos
hı́dricos en términos de caudales medios o volúmenes de agua en perı́odos largos de tiempo o si se pretende
estimar caudales máximos o mı́nimos en un instante histórico dado, o en términos probabilı́sticos.
Las situaciones más frecuentes, para las cuales se necesita estimar escorrentı́a, son entre otras, las siguientes:
(i) Interpolar o rellenar estadı́sticas incompletas.
Muchas veces estadı́sticas disponibles resultan inútiles por la falta de algún dato individual o la pérdida
181
182
Estimación de la Escorrentı́a
de algún perı́odo de medición. La interpolación o relleno de la información faltante, permite la utilización
del resto de la información medida.
(ii) Extender estadı́sticas de duración demasiado corta.
La representatividad estadı́stica de los parámetros de una muestra depende fundamentalmente del
tamaño de la muestra. Para el análisis de series hidrológicas se recomienda utilizar series del orden
de 30 años. Si las estadı́sticas disponibles son demasiado cortas, estas podrán extenderse mediante
ar
distintos procedimientos a fin de aumentar el tamaño de la muestra. Sin embargo, como los datos
estimados tendrán mayor incertidumbre que los datos medidos, para una mayor representatividad de
longitud de la estadı́stica original.
re
lim
in
los parámetros de la estadı́stica extendida, se recomienda que la extensión sea al menos del 25 % de la
(iii) Trasladar o trasponer información fluviométrica desde un punto conocido a otro de mayor interés.
(iv) Sintetizar información fluviométrica, donde ella simplemente no existe.
(v) Predecir o pronosticar caudales o escorrentı́a futura.
(vi) Análisis de gastos mı́nimos o sequı́as.
(vii) Análisis de gastos máximos o estudios de crecidas.
rP
Para cada una de las situaciones anteriores, a su vez, podrá requerirse información a distinta escala de
tiempo, ya sea caudales instantáneos, medios diarios, medios mensuales o simplemente volúmenes anuales de
escorrentı́a.
Bo
rra
do
En cuanto a la información disponible, podrán presentarse las siguientes situaciones:
(i) Existencia de información fluviométrica en el lugar, pero en cantidad insuficiente.
(ii) Existencia de información fluviométrica, pero en un lugar distinto, en la misma cuenca o cuencas
vecinas.
(iii) Existencia sólo de información meteorológica, en particular, pluviométrica.
De lo anterior se deduce que los métodos tenderán en general a buscar relaciones estadı́sticas entre distintas
series de caudales o relaciones entre lluvias y caudales, conocidas como relaciones precipitación-escorrentı́a.
Al respecto, es de especial importancia en la selección de la metodologı́a a utilizar, establecer la escala de
tiempo requerida para la información a estimar. Los procedimientos serán distintos si sólo se requiere conocer
el caudal medio anual del rı́o, si se requiere sintetizar estadı́sticas a nivel de caudales anuales, incluso de
caudales medios mensuales, respecto a si se requiere estimar caudales extremos, caudales máximos diarios o
instantáneos. Para valores promedios en perı́odos de tiempo largo, las relaciones tendrán en general menos
dispersión, pudiendo intentarse relaciones caudal-caudal o precipitación-escorrentı́a entre caudales totales y
precipitaciones totales. Para intervalos de tiempo cortos o estudios de crecidas, estas relaciones serán en
general de baja calidad, debiendo intentarse relaciones entre escorrentı́a directa y precipitación efectiva.
8.2. Transposición de caudales de crecida
183
Como práctica de sana ingenierı́a es conveniente intentar inicialmente el uso de métodos o procedimientos
más simples, derivando hacia procedimientos más complejos o sofisticados, en función de la calidad de los
resultados obtenidos.
8.1.
Transposición de Caudales Medios
ar
Algunos de los procedimientos o métodos más utilizados se describen en los acápites siguientes.
Si se dispone de información fluviométrica en otras secciones de la misma cuenca o en cuencas vecinas, pueden
re
lim
in
estimarse caudales postulando igualdad de gastos especı́ficos:
Qx
Qy
=
Ay
Ax
(8.1)
Donde Ay y Ax son las respectivas áreas de las cuencas aportantes a cada sección. Esta relación, en
definitiva una regla de tres simple, supone la semejanza total entre las dos cuencas, excepto por su tamaño,
por lo que debe ser utilizada sólo para secciones dentro de una misma cuenca o cuencas vecinas, y sólo para
la estimación de caudales promedio, cuando mucho a escala mensual.
Si además se conoce la pluviometrı́a sobre las respectivas cuencas, la transposición anterior puede mejorarse
rP
imponiendo una condición de igualdad de rendimientos:
Qy
Qx
=
P y · Ay
P x · Ax
(8.2)
Bo
rra
do
donde P y y P x son las precipitaciones medias sobre las respectivas áreas aportantes.
La relación anterior, nuevamente es recomendable sólo para escalas de tiempo grandes, caudales medios
anuales y tal vez caudales medios mensuales, siempre que no haya una componente nival. En general, la
transposición en base a igualdad de rendimientos resulta más precisa que la transposición en base a gastos
especı́ficos para el caso de caudales medios anuales; no sucede lo mismo si se intentan transposiciones a escala
mensual, donde la transposición en base a rendimientos tiende a resultar mejor sólo en el perı́odo lluvioso en
que la magnitud de las precipitaciones es grande, mientras que en los perı́odos de estiaje, debido a la inercia
de la variable caudal, su relación con la precipitación, que incluso puede ser nula, pierde validez.
Ambas relaciones anteriores son adimensionales. El uso del análisis dimensional ha sido intentado por
diversos autores para intentar mejorar la calidad de las transposiciones, incorporando otros factores de tipo
geomorfológico o climatológico, lo que ha dado origen a diversas fórmulas de transposición (André, 2009,
Miranda, 2011).
8.2.
Transposición de Caudales de Crecida
Una fórmula propuesta por Creager para la estimación de caudales máximos, tiene la estructura
184
Estimación de la Escorrentı́a
Q = 1.302 · C · (0.386 · A)
0.9358A−0.048
(8.3)
m3 /s
donde A es la superficie de la cuenca en km2 y C es una constante a determinar localmente. Puede intentarse
para la transposición de caudales de crecida, la relación
(8.4)
ar
0.9358A−0.048
y
Qy
(0.386Ay )
=
0.9358A−0.048
x
Qx
(0.386Ax )
Diversos procedimientos similares a este, basados en fórmulas empı́ricas pueden encontrarse en la literatura.
re
lim
in
Estas fórmulas, incluida la de Creager, deben utilizarse con precaución, a menos que hayan sido validadas de
alguna manera en la zona de análisis.
8.3.
Uso de Correlaciones Estadı́sticas
Las correlaciones estadı́sticas son una herramienta matemática poderosa que puede utilizarse pragmáticamente para relacionar cualquier conjunto de variables, sujeto a que se obtengan niveles de correlación admisibles.
Su única restricción es que exige la disponibilidad de datos simultáneos de las variables en análisis durante
algún perı́odo mı́nimo de tiempo.
rP
Ası́, en caso de disponerse de algún nivel de información fluviométrica en la sección de interés, como es
el caso de relleno o ampliación de estadı́sticas y pronósticos, puede intentarse el uso de estas correlaciones
estadı́sticas con alguna o más variables explicativas, tales como caudales en secciones vecinas, precipitaciones
u otras variables.
Bo
rra
do
Estas correlaciones podrán ser lineales, no lineales, simples o múltiples, escogiendo aquella que resulte más
significativa de acuerdo a los coeficientes de correlación obtenidos.
8.3.1.
Regresión Lineal Simple
El caso más elemental corresponde a la regresión lineal simple entre dos variables, que obedece a la ecuación,
ŷ = a · x + b
(8.5)
donde ŷ es el valor estimado de la variable dependiente, x es la variable independiente y los coeficientes a y b
se obtienen de una minimización de los errores de estimación mediante el método de los mı́nimos cuadrados,
con las expresiones
a=
P
(xi − x) (yi − y)
P
2
(xi − x)
b=y−a·x
(8.6)
(8.7)
8.3. Uso de Correlaciones Estadı́sticas
185
El coeficiente de correlación R, cuyo valor absoluto varı́a entre 1 y 0, para una correlación perfecta y una
correlación nula respectivamente, puede estimarse, entre otras fórmulas, como
s
R=
P
1− P
(yi − ŷ)
2
(yi − y)
2
(8.8)
a > 0). El signo negativo se utiliza para correlaciones negativas.
ar
Por convención se utiliza el signo positivo para R cuando la correlación es positiva (coeficiente de regresión
El cuadrado del coeficiente de correlación, el coeficiente de determinación R2 , es un ı́ndice del porcentaje
re
lim
in
o fracción de las variaciones de la variable dependiente que son explicadas por las variaciones de la variable
independiente. Es costumbre en hidrologı́a aceptar el valor R2 > 0.5 o |R| ≥ 0.7, como grado de correlación
aceptable.
Como todo estimador estadı́stico, el coeficiente de correlación R es un estimador del coeficiente de correlación de la población ρ, y su significancia depende del tamaño N de la muestra, siendo más significativo
mientras mayor sea el tamaño de la misma. Luego, para muestras muy pequeñas suelen obtenerse coeficientes
distintos de cero sólo por efecto del muestreo, aún cuando no exista correlación.
Un test estadı́stico, que es estrictamente válido sólo para poblaciones de distribución binormales, pero de
utilización generalizada, es el siguiente:
rP
Si se plantea la hipótesis nula que la correlación poblacional es nula, ρ = 0, y se extrae de ella una muestra
de tamaño N , entonces la variable
Bo
rra
do
t= q
R
(8.9)
1−R2
N −2
tiene una distribución de t-Student con N − 2 grados de libertad. Luego, comparando el valor de t muestral
con el valor teórico tα , generalmente con un nivel de confianza del 90 % (α = 0.05), se acepta la hipótesis
nula ρ = 0, si tα > t. En caso contrario, la hipótesis se rechaza, aceptándose por consiguiente la existencia
de correlación (ρ 6= 0).
El hecho de establecer la existencia de una correlación no nula, no significa que el valor muestral de R
coincida con ρ. Para determinar el intervalo de confianza del valor muestral R, puede utilizarse el siguiente
test:
Si R constituye una representación muestral del coeficiente de correlación ρ 6= 0, entonces la variable
1
1+R
z = ln
2
1−R
(8.10)
1
1+ρ
µz = ln
2
1−ρ
(8.11)
tiene una distribución gaussiana con media
186
Estimación de la Escorrentı́a
y desviación estándar
σz =
r
1
N −3
(8.12)
zr =
z − µz
=
σz
ln
h
i
− ln
q
4
N −3
1+R
1−R
h
1+ρ
1−ρ
i
ar
Luego, la variable
(8.13)
re
lim
in
tiene una distribución normal centrada y reducida cuyo valor |zr | deberá ser menor a la cantidad |zα | para un
nivel de confianza determinado, lo que permite conocer el intervalo de confianza del coeficiente de correlación
ρ.
Ejemplo:
De una regresión lineal simple de una muestra de N = 52 pares de datos, se obtuvo un coeficiente de
correlación R = 0.53. De esta forma,
1+R
= 1.18
1−R
rP
2z = ln
2σz =
r
4
= 0.286
N −3
Ahora, para un intervalo de confianza del 95 % (α = 0.05), de las tablas de la distribución normal se obtiene
Bo
rra
do
|zα | ≤ 1.96. Luego:
1+ρ
2z − 2µz
≤ 0.286|zα | = 0.56
≤ |zα | ⇒ 1.18 − ln
2σz
1−ρ
1+ρ
ln
= 1.18 ± 0.56
1−ρ
1+ρ
< 1.74
0.62 < ln
1−ρ
0.3 < ρ < 0.70
Es decir, con un 95 % de confianza, el verdadero valor de ρ está comprendido entre los valores 0.3 y 0.7
8.3.2.
Regresiones No Lineales o Múltiples
Algunas relaciones no lineales pueden linearizarse utilizando logaritmos y resolverse con el mismo procedimiento anterior. En el caso de las relaciones lineales múltiples o relaciones polinomiales, aunque conceptualmente el procedimiento es el mismo, la determinación de los coeficientes de regresión implica la solución de
8.4. Pronósticos o predicción de caudales estacionales futuros
187
sistemas de ecuaciones que puede tornarse bastante laboriosa. Afortunadamente existen numerosos programas computacionales (SPSS u otros), incluyendo las planillas electrónicas de cálculo, que permiten establecer
regresiones de diferentes tipos, incluyendo sus coeficientes de regresión y correlación.
Las correlaciones estadı́sticas pueden utilizarse para el relleno y extensión de estadı́sticas demasiado cortas,
pudiendo las variables independientes ser datos de caudales en estaciones vecinas, datos de precipitación u
Pronósticos o Predicción de Caudales Estacionales Futuros
re
lim
in
8.4.
ar
otras variables hidrológicas o meteorológicas que resulten pertinentes.
Un caso tı́pico del uso de regresiones y correlaciones se presenta en el caso de predicciones o pronósticos
de escorrentı́a estacional. En muchas regiones del mundo, particularmente en Chile Central, se presenta el
fenómeno de que la temporada lluviosa ocurre durante el perı́odo de invierno siendo la temporada de verano
bastante seca en términos pluviométricos. Sin embargo, en los principales rı́os de la zona la precipitación
ocurre en forma sólida y se mantiene acumulada en forma de nieve estacional, produciéndose la escorrentı́a
durante la temporada pluviométricamente seca de la primavera y el verano, época en que se produce el
derretimiento de la nieve acumulada. Es decir, al comienzo de la temporada de crecidas o de deshielos,
digamos al 1º de Septiembre, en Chile Central, ya ha ocurrido y se conoce gran parte de la precipitación que
ha ocurrido en el invierno inmediatamente anterior, que será la fuente de la escorrentı́a de deshielos.
rP
Ante esta caracterı́stica climática, que corresponde como se ha dicho a las cuencas de mayor importancia
en Chile, resulta de gran beneficio económico poder pronosticar o determinar a priori, los caudales que
habrá disponibles durante el verano, a fin de poder planificar en forma óptima los programas de utilización
Bo
rra
do
de aguas de regadı́o, de operación de centrales hidroeléctricas y el uso del agua en general.
8.4.1.
Pronóstico de Volúmenes Estacionales
El método más utilizado para efectuar estos pronósticos se basa en correlacionar el volumen de agua escurrido
durante la temporada de deshielo con la precipitación total caı́da en el invierno inmediatamente anterior.
Por ejemplo, si se acepta que la temporada lluviosa se concentra entre los meses de Mayo y Agosto, en Chile
Central, será posible estimar el volumen de agua a escurrir entre Septiembre y Abril teniendo medida la
precipitación caı́da en el perı́odo inmediatamente anterior. Se intenta, en general, correlaciones del tipo,
VSA = a · I + b
o
VSA = m · I n
(8.14)
donde VSA es el volumen de escorrentı́a entre Septiembre y Abril o el perı́odo que se estime más adecuado
en algún caso particular, e I es un ı́ndice general de precipitación entre Mayo y Agosto, o el perı́odo que
corresponda, que puede elaborarse con las estadı́sticas disponibles que permitan la mejor correlación posible.
Este ı́ndice I puede incorporar, según la información que se disponga, datos de precipitación lı́quida (datos
de pluviómetros), precipitación sólida (datos de rutas de nieve) e incluso otras variables meteorológicas e
hidrológicas que puedan mejorar la correlación. Si existe, por ejemplo, “n” registros de valores acumulados
188
Estimación de la Escorrentı́a
de precipitaciones o rutas de nieve en la región, el ı́ndice I se puede asimilar a un ı́ndice de precipitación
caracterı́stico de la cuenca denominado Índice de Precipitación Media Estacional Ponderada, P , definido por
I=P =
n
X
(8.15)
ai Pi
i=1
donde Pi es la precipitación o valor de ruta de nieve acumulado en cada una de las n estaciones de la cuenca
ar
en el perı́odo Mayo-Agosto.
re
lim
in
Los coeficientes de ponderación αi pueden obtenerse mediante una correlación múltiple del tipo
VSA = b1 P1 + b2 P2 + ... + bn Pn + b0
(8.16)
de la cual se eliminan las estaciones que den coeficientes de regresión negativos o cercanos a 0, pues significa
que no influyen significativamente en la correlación. Los coeficientes de ponderación resultan entonces
n
X
bi
ai = 1
ai = P con
bi
i=1
(8.17)
En ocasiones no todos los meses del perı́odo de invierno tienen la misma importancia en el establecimiento
rP
de la correlación, pues las precipitaciones de los primeros meses pueden verse afectas a las condiciones iniciales
del suelo que generan deshielos prematuros o quedar más afectas a otras condiciones climáticas imperantes.
Luego, si el ı́ndice P no logra resultados satisfactorios, este puede ampliarse a un ı́ndice de precipitación
Bo
rra
do
mensual ponderada,
I=Z=
n
X
(8.18)
Zi
i=1
donde Zi a su vez corresponde a un promedio ponderado temporal de las precipitaciones de cada estación,
del tipo
Zi = ai αM PiM + αJN PiJN + αJL PiJL + αA PiA
(8.19)
Donde los αK representan a su vez la importancia relativa de la precipitación de cada mes en cada estación,
los cuales se obtienen en forma similar al caso anterior mediante regresiones múltiples extendidas. Debe tenerse
en cuenta que al ir incorporando un mayor número de variables explicativas se le van quitando grados de
libertad al sistema con lo que el poder predictivo de la relación disminuye, por lo que conviene no abusar de
este procedimiento.
Hay incluso casos, particularmente en cuencas altas, donde la nieve acumulada puede perdurar de un año
para otro con una regulación interanual. En estos casos, puede resultar necesario recurrir a un Índice de
Precipitación Anterior, definido como
8.4. Pronósticos o predicción de caudales estacionales futuros
189
IAt = β1 It + β2 It−1
(8.20)
donde β1 + β2 = 1 y el subı́ndice “t” se refiere al año para el cual se establece la correlación.
Cualquiera que sea la ecuación de regresión que se obtenga, recomendándose la más simple que arroje
una correlación admisible, conociendo al 1º de septiembre de un año cualquiera, las precipitaciones ocurridas
Distribución Estacional del Volumen de Deshielo
re
lim
in
8.4.2.
ar
entre Mayo y Agosto, puede pronosticarse el volumen de escorrentı́a a ocurrir entre Septiembre y Abril.
De tanto interés como conocer el volumen total a escurrir, es saber como se van a distribuir los caudales en
los distintos meses de la temporada. Para pronosticar la magnitud del escurrimiento y ubicar cuál será el mes
de máximo caudal, suele dar buenos resultados buscar una correlación entre el volumen total estacional entre
Septiembre y Abril, con el volumen del mes de máximo caudal, tal como se indica en la Figura 8.1, donde
aparte de la correlación obtenida se indica con distinta nomenclatura, cuál fue el mes en que dicho máximo
escurrió. Como se observa en la figura, dentro de un cierto rango de volúmenes totales, el máximo caudal
ocurre sistemáticamente el mismo mes. Luego, si la relación obtenida es aceptable, conocido o pronosticado
el volumen total a escurrir, esta relación nos permite establecer cuánto será el volumen a escurrir durante el
Bo
rra
do
rP
mes de máximo caudal y cuál será ese mes.
Figura 8.1: Distribución caudal máximo de deshielo.
Finalmente, para evaluar la distribución de los caudales durante el resto de los meses, suele postularse que
su distribución será similar al promedio históricamente ocurrido. Para ello se determina para todos los años
históricos en que el máximo ocurrió en un mismo mes, cuál fue la fracción escurrida, respecto a ese máximo,
del resto de los meses de la temporada. La Figura 8.2 muestra un ejemplo de estas relaciones, para el caso
190
Estimación de la Escorrentı́a
de los años en que el máximo ocurrió en noviembre en un cierto rı́o.
Debe considerarse que como la distribución de los volúmenes de cada mes se evalúa independientemente de
la determinación del volumen total, para propósitos de consistencia debe verificarse que se cumpla la ecuación
de balance másico
Vmes,i = VSA
(8.21)
ar
A
X
S
Si la diferencia entre ambos valores es pequeña, digamos menor al 10 %, suele multiplicarse la magnitud de
re
lim
in
cada uno de los caudales mensuales, para lograr la igualdad. Si la diferencia es mayor, el mejor procedimiento
max
es el siguiente: Con la diferencia entre los volúmenes totales, se determina de la Figura 8.1 un δmes
con el
cual se corrige la estimación del mes de máximo y a través de la Figura 8.2, los valores del resto de los meses.
El procedimiento se repite hasta que las sumas cuadren.
1.2
0.8
rP
Vmes/Vmes máximo
1.0
0.6
0.4
Bo
rra
do
0.2
0
oct
nov
dic
ene
feb
mar
abr
mes
Figura 8.2: Distribución caudales de deshielo para el caso en que el caudal máximo ocurre en noviembre.
El procedimiento indicado, al considerar que el comportamiento de los caudales corresponderá a una
situación promedio del comportamiento histórico del rı́o en el perı́odo de deshielo, puede dar pronósticos
errados si las condiciones pluviométricas de un año en particular resultan distintas a la situación promedio.
Por ello resulta conveniente ir actualizando el pronóstico a medida que se conoce la nueva información. En el
caso anterior, al 1 de Octubre, cuando ya se conocen las precipitaciones del mes de septiembre, puede repetirse
todo el proceso, pero considerando ahora un ı́ndice de precipitación que cubra el perı́odo Mayo-Septiembre,
para obtener un pronóstico actualizado del perı́odo Octubre-Abril.
Como se verá más adelante, existen otras alternativas para efectuar estos pronósticos, que se basan en
técnicas de simulación, y potencialmente, métodos matemáticos más avanzados como redes neuronales u
otros.
8.5. Relleno y Extensión de Estadı́sticas
8.5.
191
Relleno y Extensión de Estadı́sticas
8.5.0.1.
Extensión o Relleno de Datos Individuales
Para el relleno de estadı́sticas aisladas y eventualmente extensión de registros a escala mensual o anual,
cuando los objetivos son meramente estadı́sticos, pueden utilizarse los mismos procedimientos descritos para
el relleno o extensión de precipitaciones en la sección 4.6.1, respecto a relleno con promedios de estaciones
ar
vecinas, curvas doble acumuladas o correlaciones, con la salvedad de la conveniencia de trabajar con caudales
8.5.0.2.
re
lim
in
especı́ficos.
Extensión de Curvas de Duración General
En el caso en que el objetivo de extender estadı́sticas, sea el de generar curvas de duración general más
confiables, y las correlaciones obtenidas para su estimación con una estación vecina, no sean muy buenas,
puede extenderse la curva de duración de la estación de menor longitud, mediante el siguiente procedimiento.
Se construyen las curvas de duración general de las dos estaciones considerando solamente el perı́odo común.
Luego se construye la curva de duración con la información completa de la estación más larga, determinando
para cada magnitud de caudal la nueva probabilidad de excedencia que resulta, para finalmente construir la
curva de duración extendida de la estación más corta, imponiéndole a cada caudal, la misma modificación de
rP
su probabilidad de excedencia que resultó para la estación más larga.
En las Figuras 8.3 y 8.4 se ilustra el procedimiento. Sean Q1 los caudales correspondientes a la estación
de mayor longitud, y Q2 los caudales de la estación que se desea extender. Se procede a confeccionar las
curvas de duración de la estación de mayor duración para el perı́odo de tiempo total (sean 280 datos) y para
Bo
rra
do
el perı́odo en que existe información común (sean 210 datos), Figura 8.3. Para un caudal dado, sean 3020
[m3 /seg], la serie completa indica una probabilidad de excedencia de 0.25 mientras que en la serie truncada
la probabilidad de excedencia se reduce a 0.13, es decir, si la serie más larga hubiese tenido la misma longitud
y perı́odo que la serie más corta, se le hubiese asignado una probabilidad de excedencia de 0.13 en vez del
valor más representativo de 0.25. En la Figura 8.4 se confecciona la curva de duración general de la serie
más corta, según la cual a la probabilidad de excedencia de 0.13 le corresponde un caudal de Q2 = 1260
[m3 /s]. Aplicando el raciocinio inverso al anterior, se postula que si la serie corta hubiese tenido la extensión
de la serie mayor, al caudal Q2 = 1260 [m3 /s] se le hubiese asignado una probabilidad de 0.25. Repitiendo el
procedimiento para distintos valores de las probabilidades y caudales de la serie corta, se va construyendo la
curva de duración general extendida a un perı́odo de 280 datos, indicada en rojo, de la serie Q2 .
192
Estimación de la Escorrentı́a
Serie Q1 completa, 280 valores
Serie Q1 truncada, 210 valores
0
0.1
0.2
re
lim
in
ar
Caudal [m3/s]
Distintas probabilidades asignadas a un mismo caudal
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Probabilidad de excedencia
Figura 8.3: Curva duración serie mayor longitud (Q1 ).
Serie Q2 original, 210 valores
Bo
rra
do
Caudal [m3/s]
rP
Serie Q2 extendida
0
0.1
0.2
0.3
Distintas probabilidades asignadas
a un mismo caudal
0.4
0.5
0.6
0.7
Probabilidad de excedencia
0.8
0.9
1
Figura 8.4: Curva de duración serie menor longitud (Q2 ).
8.5.1.
8.5.1.1.
Relaciones Precipitación-Escorrentı́a Volumétricas
Déficit de Escorrentı́a
La forma más simplificada para representar la ecuación de balance hidrológico es de la forma,
P − ET = Q + δV
(8.22)
8.5. Relaciones Precipitación-Escorrentı́a Volumétricas
193
donde δV a escala anual (o mayor) tiende a cero.
Diversos autores han propuesto métodos para estimar lo que se ha denominado el déficit de escorrentı́a,
definido como,
D =P −Q
(8.23)
Fórmula de Turc
re
lim
in
Turc propuso para estimar el déficit de escorrentı́a, la relación,
P
D= p
ar
Disponiendo de alguna expresión para estimar D, conocida la precipitación P , se podrá estimar Q.
0.9 + (P/L)2
[mm/año]
(8.24)
donde P es la precipitación anual en [mm] y L es un ı́ndice de calor definido por la relación,
L = 300 + 25T + 0.05T 3
(8.25)
rP
donde T es la temperatura media anual en ºC.
Fórmula de Coutagne-Wundt
Bo
rra
do
Coutagne propone la relación,
D = P − λ · P 2 [mm/año]
(8.26)
λ = (0.8 + 0.14T )−1
(8.27)
donde
Esta fórmula serı́a válida para valores de P que cumplan la relación,
1
1
<P <
8λ
2λ
Para precipitaciones menores, la escorrentı́a serı́a nula y para valores mayores, D se independiza de P ,
tomando el valor
Dmax = 0.2 + 0.035T
Wundt, propone la misma fórmula, pero limitando el máximo valor de D por la relación,
(8.28)
194
Estimación de la Escorrentı́a
1
4λ
Dmax =
(8.29)
que resulta de reemplazar en la ecuación (8.28) el valor de T dado por la ecuación (8.27).
ar
De la estructura de la fórmula anterior, se deduce que la evaluación directa de Q darı́a la expresión,
(8.30)
re
lim
in
Q = λP 2
Esta expresión, válida para P < 1 m, ha sido frecuentemente utilizada en Chile, bajo los nombres de Fórmula
de Grunsky (λ = 0.4) o Fórmula de Quintana o Peñuelas (λ = 0.5).
8.5.1.2.
Fórmulas Empı́ricas
Se ha propuesto en la literatura un sinnúmero de fórmulas empı́ricas para relacionar la escorrentı́a anual con
rP
la precipitación anual. La mayorı́a de ellas tiene la estructura
Q = aP b
mm/año
o
Q = a (P − P0 )
b
[mm/año]
(8.31)
Bo
rra
do
Las fórmulas de Grunsky o Peñuelas, antes vistas corresponderı́an al primer tipo. Entre la fórmulas propuestas
con la estructura del segundo tipo, es posible rescatar la fórmula de Langbein,
Q = a (P − P0 )
2
mm/año
si P < Pc
(8.32)
donde los parámetros a, b y P0 dependen según este autor de una temperatura media anual ponderada por
la magnitud de las precipitaciones, según la expresión,
Tp =
12
X
Ti Pi
i=1
12
X
(8.33)
Pi
i=1
donde Pi y Ti son las precipitaciones mensuales y temperaturas medias mensuales en ºC, respectivamente.
Los valores de los parámetros serı́an los siguientes:
8.5. Relaciones Precipitación-Escorrentı́a Volumétricas
195
a
P0 (m)
Pc (m)
0
0.90
0.00
0.55
5
0.60
0.08
0.90
10
0.50
0.15
1.15
15
0.47
0.27
1.32
20
0.41
0.38
1.58
25
0.34
0.49
1.91
re
lim
in
Tp °C
ar
Tabla 8.1: Parámetros Fórmula de Langbein
Cualquier precipitación en exceso a Pc , escurrirı́a totalmente.
8.5.1.3.
Método del Balance de Thornthwaite
En la sección 3.5.1 se vio la fórmula de Thornthwaite, para estimar la evapotranspiración potencial. Para
estimar la evaporación real, el déficit de escorrentı́a y por ende la escorrentı́a mensual, Thornthwaite propuso
desarrollar un balance hı́drico sobre la capa superficial del suelo, que contribuye a la evapotranspiración. El
método supone que la evaporación real será igual a la potencial si la disponibilidad de agua, es decir, la suma
de la precipitación del mes más la humedad inicial contenida en el suelo son suficientes; en caso contrario, la
rP
evaporación real queda limitada a la disponibilidad de agua.
Si la precipitación excede a la evaporación potencial, el exceso de agua aumenta la humedad del suelo hasta
completar su capacidad máxima de almacenamiento o capacidad de campo, supuesta del orden de 100 mm.
Todo exceso de agua por sobre este valor umbral, constituye la escorrentı́a de la cuenca. A fin de considerar
Bo
rra
do
los efectos de retardo de la cuenca sobre la escorrentı́a, Thornthwaite propone que sólo el 50 % del exceso de
agua de un mes dado, se manifiesta como escorrentı́a durante ese mismo mes, sumando el otro 50 % al exceso
de agua del mes siguiente, y ası́ sucesivamente.
Para la aplicación el método de balance, no necesariamente deben utilizarse las estimaciones de evapotrans-
piración potencial propuestas por el propio Thorntwaite, pudiendo recurrirse a otras fuentes de información
al respecto. Utilizando los datos de precipitación y evaporación de bandeja de la ciudad de Rancagua y
postulando que la evapotranspiración potencial sea un 70 % de la evaporación de bandeja, en la Tabla 8.2 se
incluye una tabulación ejemplo del método del balance de Thornthwaite.
Al respecto, como en todo balance en el tiempo, deben postularse ciertas condiciones iniciales, en este
caso la humedad del suelo y escorrentı́a iniciales. Iniciando el balance al comienzo del año hidrológico, puede
postularse una humedad inicial nula, verificando su validez comparándola con la humedad final del último
mes, la que también debiera resultar nula. Si esto no ocurre, debiera iterararse este valor, hasta verificar que
ambas humedades resulten iguales.
Algo similar debe hacerse con la escorrentı́a inicial, suponiendo un año cı́clico, es decir, el retardo del último
mes debe sumarse al excedente del primer mes, iterando hasta que la solución converja. Ambos aspectos se
destacan con color cian en la Tabla 8.2.
196
Estimación de la Escorrentı́a
Tabla 8.2: Tabulación Ejemplo del Método del Balance de Thorntwaite
MES
M
J
J
A
S
O
N
D
E
F
M
TOT
21.9
74.7
103
77.9
65.6
31.4
17.2
9.9
4.4
2.8
2.2
7.3
418.3
Ev. de bandeja
60
28
18
21
34
51
103
155
190
210
150
109
1129
ET Potencial [mm]
42
19.6
12.6
14.7
23.8
35.7
72.1
109
133
147
105
76.3
790.3
Humedad Inicial
0
0
55.1
100
100
100
95.7
40.8
0
0
0
0
21.9
19.6
12.6
14.7
23.8
35.7
72.1
50.7
4.4
2.8
2.2
7.3
Evapotranspiración real
0
55.1
145.5
163
142
95.7
40.8
0
0
20.1
0
0
0
0
0
0
57.8
129
Humedad final
0
55.1
100
100
100
95.7
40.8
0
0
Excedente
0
0
45.5
63.2
41.8
0
0
0
0
0.17
0.083
22.79
43
42.4
21.2
10.6
5.3
2.6
Déficit
Escorrentı́a [mm]
0
0
0
144
103
69
0
0
0
0
0
0
150.5
1.32
0.66
0.33
150.5
re
lim
in
Humedad intermedia
267.8
ar
Precipitación [mm]
A
522.5
Los valores del balance resultan en [mm/mes], por lo que deberán multiplicarse por la superficie de la cuenca aportante para transformarlos en unidades de caudal. Aparte de la estimación de los caudales mensuales,
alguna otra información puede obtenerse de este balance; por ejemplo, nos indica cuánto es la evapotranspiración real, y el déficit de Thornthwaite nos indica la cantidad de agua que habrı́a que aplicar para mantener
cultivos permanentes durante todo el año, en el ejemplo, 522.5 [mm], y en que meses debiera aplicarse, en el
ejemplo, entre Noviembre y Abril.
Hoy en dı́a, sin embargo, el principal interés del método de Thornthwaite es que puede considerarse un
rP
precursor de los modelos de simulación hidrológica. Efectivamente, los valores de humedad máxima de 100
[mm] y un retardo de la escorrentı́a del 50 % son cifras bastante arbitrarias y no tienen por qué ser válidas
para diferentes configuraciones geomorfológicas de las cuencas. En consecuencia, parece razonable adoptar
para distintas cuencas valores distintos de estos dos “parámetros”, de manera que reproduzcan de la mejor
Bo
rra
do
forma posible los volúmenes de escorrentı́a y la variación estacional de una cuenca en particular.
Con el advenimiento de los computadores en las últimas décadas, esto no sólo es fácilmente realizable
utilizando algún método de optimización, sino que idealizaciones conceptuales del ciclo de escorrentı́a tan
simples como la planteada por Thornthwaite, han podido ser ampliadas incorporando conceptos y relaciones
cada vez más complejas, con la posibilidad de calibrar los parámetros de los modelos, permitiendo una
respuesta de las simulaciones, cada vez más próximas a las respuestas reales de los sistemas fı́sicos que se
pretende modelar. A partir del primer modelo de este tipo, el Stanford Watershed Model, propuesto en la
década de los sesentas del siglo 20 por Crawford y Linsley (1966), se han desarrollado en diversas partes
del mundo, modelos de simulación hidrológica de este tipo, tanto a escala mensual, diaria o aún horaria. En
Chile, uno de los primeros y más utilizados, corresponde al desarrollado por Brown, Ferrer y Ayala (1973),
que trabaja a escala mensual. Posteriormente se han propuesto en Chile, modelos a escala diaria, como el
modelo SIMED de la DGA o el modelo QMD propuesto por Kuhlmann y modificado por Y. Morales. A
nivel internacional, existe hoy en dı́a una gran cantidad de modelos de este tipo, algunos comerciales y otros
de libre disposición en Internet, entre los que se puede mencionar el modelo Sacramento del U.S. Corps of
Engineers.
1
8.5. Relaciones Precipitación-Escorrentı́a Volumétricas
197
Bibliografı́a
Brown, E., P. Ferrer, & L. Ayala (1973), Simulación de gastos medios mensuales en una cuenca pluvial, II
Coloquio Nacional de Ingenierı́a Hidráulica, Universidad Católica, Santiago, Chile.
Chow, V. T., D. R. Maidment, and L. W. Mays (1994), Hidrologı́a Aplicada, Mc Graw Hill Interamericana,
S.A. Santafé de Bogota, Colombia.
ar
Crawford, N. H., & R. K. Linsley, (1966), Digital Simulation in Hydrology: Stanford Watershed Model IV,
Technical Report No. 39, Department of Civil Engineering, Stanford University, p. 210.
Bo
rra
do
rP
re
lim
in
Maidment, D. R. (1993), Handbook of Hydrology, Mc Graw Hill.
re
lim
in
rP
Bo
rra
do
ar
re
lim
in
ar
Capı́tulo 9
ESTUDIO Y ESTIMACIÓN DE
Introducción
rP
CRECIDAS
Cuando se pretende analizar o reproducir crecidas, o caudales a escala horaria y aún instantánea, las relaciones
entre precipitación total y escorrentı́a total suelen no dar buenos resultados, debiendo intentarse relaciones
Bo
rra
do
entre la precipitación efectiva y la escorrentı́a directa. Para ello, por una parte debe descontarse o restarse a
la escorrentı́a total, aquella fracción más o menos constante, que constituye el flujo base o caudal existente
en el rı́o antes del comienzo de una determinada tormenta, mientras por otra, debe restarse al hietograma de
precipitación total, aquella fracción de la lluvia que es retenida, detenida o infiltrada, dejando sólo aquella
parte que contribuye a la escorrentı́a directa, anteriormente definida como precipitación efectiva.
9.1.
Estimación de la Infiltración
La fracción de la lluvia que se pierde para efectos de la escorrentı́a directa por concepto de infiltración,
puede evaluarse por medición directa, con instrumentos llamados infiltrómetros, puede estimarse con distintas
fórmulas o modelos analı́ticos tales como los propuestos por Horton, Phillip, Green-Amt, o Morel-Seytouk o
pueden utilizarse “indices de infiltración” constantes, que consisten en restar al hietrograma de precipitación
total una tasa constante de infiltración, tal que resulte un volumen de precipitación efectiva igual, por
definición, al volumen de escorrentı́a directa.
199
200
9.1.1.
Estudio y Estimación de Crecidas
Ecuación de Horton
Horton (1939) propuso una ecuación para estimar la variación de la tasa de infiltración en el tiempo que
obedece a la siguiente estructura de decaimiento exponencial,
(9.1)
ar
f (t) = fc + (f0 − fc ) e−k·t
donde f0 es la tasa de infiltración inicial, dependiente de la humedad inicial del suelo, y fc es la tasa constante
de infiltración a la que tenderı́a el suelo a medida que el proceso de infiltración continúa. Para la mayorı́a de
re
lim
in
los suelos esta tasa constante se alcanza antes de un par de horas, por lo que el parámetro fundamental de
la ecuación es fc y para el cual se ha propuesto el siguiente rango de valores:
Tabla 9.1: Parámetros de la ecuación de Horton
fc [mm/hr]
Arcillas
0.5 a 4
Limos
4a8
Arenas
8 a 12
Ecuación de Philip
rP
9.1.2.
Tipo de suelo
Philip (1957), con un desarrollo de base teórica, según una tasa de decaimiento de tipo potencial, propone
Bo
rra
do
una fórmula con la siguiente estructura,
f (t) =
1
S · t−1/2 + K
2
(9.2)
donde,
S: denominada “adsorción”, depende de la humedad del suelo.
K: es equivalente a fc de Horton, debiendo aproximarse ambos valores a lo que se denomina como conducti-
vidad hidráulica del suelo, cuando el flujo de infiltración es vertical.
9.1.3.
Ecuación de Green-Ampt
Si la tasa de infiltración en función del tiempo es f (t), entonces la variable
F (t) =
Z
t
f dt
(9.3)
0
corresponde al volumen total por unidad de superficie incorporado al suelo, o infiltración acumulada hasta
el instante t.
9.1. Estimación de la Infiltración
201
Green-Ampt (1911), postulando que el frente de infiltración progresa en la forma de una lámina horizontal
que va saturando progresivamente al suelo a medida que avanza en profundidad, y resolviendo la ecuación
de continuidad correspondiente, llegan a la expresión,
F (t) = K · t + (p − θ)(h0 + ϕ) ln 1 +
F (t)
(p − θ)(h0 + ϕ)
(9.4)
Ampt son los siguientes:
p = porosidad del suelo o cuociente entre el volumen de vacı́o y volumen total.
ar
ecuación implı́cita que puede resolverse por el método de Newton. Los parámetros de la ecuación de Green-
re
lim
in
θ = humedad inicial del suelo o cuociente entre el volumen de agua y el volumen total. Nótese que el valor
máximo posible de humedad, cuando el suelo está saturado, alcanza el valor θs = p.
K = conductividad hidráulica o coeficiente de permeabilidad del suelo saturado, parámetro altamente dependiente de la granulometrı́a del suelo ([L/T ]).
h0 = carga o lámina de agua sobre la superficie del suelo, [L], valor que normalmente se supone despreciable.
ϕ = carga de succión del suelo, [L], en rigor, energı́a por unidad de peso, valor asociado a la cantidad de
agua que el suelo es capaz de retener contra la acción de la gravedad por efecto de tensión superficial, valor
altamente dependiente de la humedad del suelo.
Los valores numéricos de los parámetros involucrados en la ecuación de Green-Ampt deben buscarse en
rP
textos más especializados de aguas subterráneas o de mecánica de suelos. En cualquier caso, conocidos o
estimados los parámetros involucrados, la infiltración acumulada F (t) puede determinarse resolviendo por
tanteo o mediante el método de Newton. Por último, una vez conocida la infiltración acumulada F (t) al
Bo
rra
do
tiempo t, la tasa de infiltración f (t), se obtiene derivando la ecuación anterior, obteniéndose,
(h0 + ϕ)(p − θ)
f (t) = K 1 +
F (t)
9.1.4.
(9.5)
Tiempo de Encharcamiento
Todas las expresiones anteriores para estimar la infiltración, suponen que en todo momento existe la cantidad de agua necesaria para infiltrar, es decir, la intensidad de la precipitación i(t) es mayor que la tasa
de infiltración f (t). En estos términos, las fórmulas corresponden a un concepto de infiltración potencial.
Evidentemente si la intensidad de precipitación es inferior a la capacidad potencial de infiltración del suelo,
la tasa real de infiltración quedará limitada a la tasa de precipitación.
Se define el concepto de “tiempo de encharcamiento” como el tiempo requerido para lograr la formación de
una capa libre de agua sobre el suelo o punto de encharcamiento, tiempo a partir del cual la tasa de infiltración
potencial se hace inferior a la tasa de precipitación, produciéndose precipitación en exceso e infiltración a tasa
potencial gobernada por las caracterı́sticas del suelo. Antes de este tiempo, se infiltrará sólo la intensidad de
la lluvia i(t) que será menor que f (t).
En estricto rigor, el tiempo de encharcamiento se debiera producir cuando la tasa de infiltración se haga
202
Estudio y Estimación de Crecidas
igual a la intensidad de la lluvia, supuesta constante, y cuando el total infiltrado real sea igual al potencial.
En general, ambas condiciones resultan imposibles de conciliar, por lo que hay que optar por satisfacer una
u otra condición, normalmente f (t) = i.
En el caso de la fórmula de Green-Ampt (1911), en que existe una relación entre f (t) y F (t), imponiendo
en la ecuación las condiciones
(9.6)
ar
f (te ) = i
se obtiene
te =
re
lim
in
F (te ) = i · te
K(h0 + ϕ)(p − θ)
i(i − K)
(9.7)
(9.8)
donde te es el tiempo de encharcamiento e inicio de la escorrentı́a superficial.
Índices de Infiltración
rP
9.1.5.
Todas las fórmulas anteriores incluyen una serie de parámetros, en general difı́ciles de cuantificar, suponiendo
además suelos espacialmente homogéneos, lo que dificulta su aplicación práctica. Por estos motivos, se han
propuesto una serie de métodos simplificados de mayor aplicación práctica, denominados Indices de Infiltra-
Bo
rra
do
ción, entre los que destaca por su simplicidad, el denominado Índice φ, el cual supone una tasa de abstracción
o infiltración constante en el tiempo de magnitud φ [mm/hr] tal que satisfaga la condición de que el volumen
de precipitación efectiva iguale al volumen de escorrentı́a directa. Si la intensidad de la precipitación satisface
en todo momento la relación i ≥ φ, su estimación se reduce a la ecuación
φ=
PT otal − QED
tLi
(9.9)
donde PT otal es la precipitación total, QED es el volumen de escorrentı́a directa por unidad de superficie y
tLi es la duración de la tormenta.
En los últimos años, sin embargo, ha ganado popularidad, un método también simple, propuesto por el
Soil Coservation Service de EE. UU. (1972), conocido como Método de la Curva Número.
9.1.6.
Método de la Curva Número
Definiendo como I0 la abstracción inicial hasta antes del punto de encharcamiento y como F la abstracción
o infiltración ocurrida a continuación del punto de encharcamiento, el método, desarrollado por el U.S. Soil
9.1. Estimación de la Infiltración
203
Conservation Service (SCS), postula la igualdad entre el cuociente entre la infiltración F y el potencial
máximo de infiltración S del suelo, respecto al cuociente entre la precipitación efectiva o escorrentı́a directa
expresada como lámina de agua Pef y la precipitación efectiva máxima posible (P − I0 ), es decir
F
Pef
=
S
P − I0
(9.10)
ar
Por continuidad se cumple que
(9.11)
re
lim
in
P = Pef + F + I0
y eliminando F entre las dos relaciones anteriores, resulta
Pef =
(P − I0 )2
[mm]
(P + S − I0 )
(9.12)
donde P es la precipitación total de la tormenta y S, el déficit potencial máximo de escorrentı́a, es evaluado
a su vez mediante la relación,
S = 25.4 ·
1000
− 10
CN
[mm]
(9.13)
rP
donde CN es un ı́ndice de las caracterı́sticas geológicas, morfológicas y de uso de los suelos de la cuenca,
además de sus condiciones iniciales de humedad, llamado “Curva Número”, que varı́a entre los lı́mites CN = 0
para una cuenca donde todo lo que llueve se infiltra, hasta CN = 100 para una cuenca absolutamente
impermeable, donde todo lo que llueve escurre. Valores tı́picos de CN para cuencas naturales, oscilan entre
Bo
rra
do
40 y 80 y se hayan tabulados para distintos tipos de suelo, o pueden ser estimados a partir de las caracterı́sticas
geológicas y de uso de los suelos, ası́ como de su contenido de agua inicial.
A partir de datos experimentales, el SCS propone la relación
I0 ≈ 0.2 · S
(9.14)
de donde la fórmula queda en definitiva
Pef

2
 (P − 0.2 · S) mm
=
P + 0.8 · S

0
si P ≥ 0.2 · S
si P < 0.2 · S
(9.15)
lo que permite estimar la precipitación efectiva o escorrentı́a directa sólo en función de la precipitación total
de la tormenta y del Número de curva de la cuenca.
El método es válido nuevamente sólo para cuencas homogéneas, en que el valor de S es único.
En la realidad, difı́cilmente existirán cuencas que sean totalmente homogéneas y más aún en el caso de
cuencas semi urbanizadas, existiendo en consecuencia diferentes sectores con distinto valor de Curva Número.
204
Estudio y Estimación de Crecidas
En dichos casos se ha propuesto el uso de una Curva Número promedio evaluada como el promedio ponderado
de los distintos valores sectoriales de la Curva Número, es decir,
P
CN =
Ai · CNi
AT
(9.16)
donde Ai y CNi son el tamaño de cada subsector y su correspondiente Curva Número, y AT es el área total
ar
de la cuenca.
El inconveniente de dicho criterio es que la fórmula generará escorrentı́a nula mientras la magnitud de
la precipitación no supere el valor de I0 = 0.2 · S correspondiente al valor promedio de la curva número,
re
lim
in
mientras que en la realidad, supuesta la validez del método, los subsectores con curva número mayor al
promedio si estarán generando escorrentı́a. Lo anterior le resta aplicabilidad al método en zonas áridas o
cuando se evalúen crecidas de bajo perı́odo de retorno.
Por definición de promedio, la precipitación efectiva promedio se estima por la expresión,
P ef =
1
AT
Z
QdA
(9.17)
AT
y reemplazando las ecuaciones (9.13) y (9.15) en (9.17), resulta
Z
P − 5.08 ·
P + 20.32 ·
2
1000
CN − 10 dA
1000
CN − 10
rP
1
=
AT
P ef
AT
(9.18)
Esta última expresión serı́a integrable, si se conociera la función de distribución de CN dentro de la cuenca.
Bo
rra
do
Difı́cilmente en la realidad esta distribución será conocida y lo más probable es que sólo se puedan identi-
ficar sectores de la cuenca con distintos valores de su Curva Número. En estos casos, la determinación de la
Curva Número equivalente deberı́a efectuarse, no ponderando las distintas curvas para obtener su promedio,
sino estableciendo la Curva Número equivalente a la precipitación efectiva promedio, mediante una integración numérica, como se explica en el siguiente ejemplo.
Estimación de la Curva Número Equivalente
Como ejemplo se considera una cuenca hipotética, con un 2 % de superficie impermeable, sea una CN = 98,
de acuerdo a las recomendaciones del Manual de Carreteras; un 10 % de suelos montañosos con rocas sin
vegetación, sea CN = 90; un 5 % de conos de deyección con escasa vegetación, sea CN = 72; un 35 % de
suelos limo arcillosos cubiertos de bosques, sea CN = 76; y un 48 % de praderas en suelos limosos, sea
CN = 60; resultando una Curva Número promedio CN = 69.96. En la Tabla 9.2 se incluye en la primera
columna el porcentaje de área correspondiente a cada suelo con su respectiva CN que se indica en la segunda
columna. En las dos columnas siguientes, los valores de S e I0 que se obtienen con las ecuaciones 9.13 y
9.14. En las columnas siguientes, para distintos valores de la precipitación total se indica la precipitación
efectiva que resulta para cada tipo de suelo, ası́ como su valor promedio ponderado por cada porcentaje de
9.1. Estimación de la Infiltración
205
área. Las dos últimas lı́neas muestran la infiltración inicial equivalente I0 y la Curva Número equivalente a
dicha infiltración inicial. La Figura 9.1 muestra la variabilidad de la Curva Número equivalente en función
de la magnitud de la precipitación. Para precipitaciones muy bajas la Curva Número equivalente, tiende
a ser la máxima, CN = 98, el valor de la Curva Número promedio se alcanza en este ejemplo, para una
precipitación del orden de 225 [mm] y para precipitaciones mayores la curva número equivalente tiende a un
valor ligeramente menor al promedio.
ar
Este comportamiento parece estar en mucha mejor concordancia con el comportamiento real de cuencas
heterogéneas, en que el uso de la curva promedio parece adecuado sólo para precipitaciones de gran magnitud,
subestimándose la magnitud de las crecidas, al utilizarse para precipitaciones bajas.
re
lim
in
Es importante señalar por último, que el procedimiento antes descrito supone que cada una de los sectores de
la cuenca se comporta en forma independiente o en paralelo, situación no necesariamente válida en cuencas
reales, donde escorrentı́a proveniente de zonas más impermeables puede infiltrarse en zonas más bajas de
mayor permeabilidad. Esta consideración implica que la variabilidad real de la Curva Número equivalente
de una cuenca especı́fica en función de la precipitación, sólo podrá determinarse empı́ricamente para cada
cuenca en particular.
Tabla 9.2: Curva Número equivalente en función de la precipitación
Precipitación [mm]
1.04
10
25
50
75
100
125
150
200
250
300
CN
S [mm]
I0 [mm]
Pef [mm]
48
60
169.33
33.87
0
0
0
1.4
18.6
31.89
47.25
82.27
121.2
162.7
35
76
80.21
16.04
0
0
0.9
10.1
25
42.9
62.76
83.79
128.1
174.2
221.4
5
72
98.78
19.76
0
0
0.26
7.09
19.8
36
54.29
74.07
116.4
161.1
207.2
10
90
28.22
5.64
0
0.58
7.87
27.1
49.3
72.6
96.53
120.8
169.7
219.1
268.6
2
98
5.18
100
69.96
8.04
1.04
0
5.68
19.7
44.3
69.1
94
119
144
193.9
243.9
293.9
P̄ef [mm]
0
0.17
1.51
8.16
19.9
34.9
52.02
70.66
111
154
198.7
I0,eq [mm]
1.04
7.39
14
18.3
19.7
20.4
20.87
21.2
21.65
21.94
22.15
CNeq
98
87.3
78.5
73.5
72.1
71.4
70.88
70.56
70.12
69.84
69.64
Bo
rra
do
rP
% Área
100
95
Curva Número
90
85
80
75
70
65
60
0
50
100
150
200
250
300
350
Precipitación [mm]
Figura 9.1: Variación de CN en función de la precipitación.
206
Estudio y Estimación de Crecidas
A partir del análisis del comportamiento real de cuencas chilenas, Saavedra (2003) estima la variación de
la Curva Número en función de la precipitación y como alternativa propone utilizar el método de la Curva
Número en cuencas reales, manteniendo constante el valor de la Curva, pero incorporando su variabilidad
producto de su heterogeneidad a través del valor de la Infiltración inicial I0 .
Para precipitaciones mayores a un monto cercano a los 100 mm, la cuenca se comporta como cuenca
I0 = 0.23 · S
si P > 100 [mm]
ar
homogénea con un valor de I0 constante dado por la relación,
(9.19)
re
lim
in
Para precipitaciones menores, I0 serı́a aproximadamente linealmente variable con P , a través de la relación
I0 = 2.3 · 10−3 · P · S
si P < 100 [mm]
(9.20)
La relación propuesta serı́a aplicable al norte de la cuenca del rı́o Maule.
9.1.7.
Condiciones Antecedentes de Humedad
Como se mencionó anteriormente, el valor de la Curva Número puede estimarse en función de tablas elabo-
rP
radas para diversos tipos de complejos Suelo-Vegetación (tipos de suelo y usos de estos). Estas tablas, sin
embargo, están definidas para condiciones antecedentes de humedad calificadas por el SCS como “normales“
o condición II. Para otras condiciones de humedad antecedente, el número de la curva debe modificarse, a
Bo
rra
do
partir de sus condiciones normales, en base a tablas o a las siguientes relaciones: (Ven Te Chow, 1994)
CN (I) =
4.2 · CN (II)
10 − 0.058 · CN (II)
(9.21)
Para condiciones antecedentes de humedad secas (I), y
CN (III) =
23 · CN (II)
10 + 0.13 · CN (II)
(9.22)
Para condiciones antecedentes húmedas (III).
Las condiciones antecedentes de humedad, se clasifican en tres grupos en base a la lluvia antecedente total
de 5 dı́as:
Tabla 9.3: Condiciones antecedentes de humedad.
Lluvia antecedente total en 5 dı́as (mm)
Grupo
Tipo
Estación inactiva
Estación de Crecimiento
I
Seca
Menor a 12.7
Menor a 35.6
II
Normal
12.7 a 28
35.6 a 53.5
III
Húmeda
Sobre 28
Sobre 53.5
9.1. Estimación de la Infiltración
207
Barrientos (2001) analizó estadı́sticamente las condiciones antecedentes de humedad en tormentas chilenas,
considerando 63 estaciones pluviométricas entre las latitudes 30 y 42º S tanto para la estación inactiva (mayoagosto) como para la estación de crecimiento (septiembre-abril). El análisis se efectuó tanto para el total de
las lluvias diarias como para las precipitaciones máximas anuales en 24, 48 y 72 horas. Parte de los resultados
se presentan en las siguientes Tablas 9.4 a 9.5 y las Figuras 9.2 a 9.5.
ar
FRECUENCIAS
RELATIVAS
PROMEDIO
PORde
CUENCA
Tabla 9.4: Frecuencias relativas
promedio
por cuenca
de las CAH
las precipitaciones diarias.
Pdiarias-serie completa
N° CUENCA
REGION
ESTACION CRECIMIENTO
ESTACION INACTIVA
REGIMEN
SEPTIEMBRE-ABRIL
M AYO-AGOSTO
I (<12.7mm)
II (12.7-28)
D.E.
1
ELQUI
IV
P-N
73.3%
-
2
LIMARI
IV
P-N
66.6%
5.1%
3
CHOAPA
IV
P-N
63.3%
2.6%
4
QUILIMARI
IV
P
58.2%
2.8%
5
PETORCA
V
P
68.3%
2.8%
6
ACONCAGUA
V
N-P
56.3%
3.9%
7
MAIPO
RM
N-P
40.7%
4.1%
II (35.6-53.5)
III (>53.5)
PROM.
D.E.
PROM.
D.E.
PROM.
D.E.
PROM.
D.E.
PROM.
11.1%
-
15.6%
-
98.4%
-
0.0%
-
1.6%
D.E.
-
12.8%
1.1%
20.6%
5.2%
97.1%
0.9%
0.9%
1.1%
2.0%
1.2%
14.3%
2.0%
22.4%
3.8%
96.8%
2.1%
1.9%
1.5%
1.2%
1.2%
14.7%
1.2%
27.1%
2.6%
94.3%
3.0%
3.9%
2.8%
1.8%
1.7%
re
lim
in
PROM.
I (<35.6mm)
III (>28)
16.9%
2.9%
14.8%
0.1%
97.8%
0.6%
2.0%
0.3%
0.3%
0.4%
16.4%
2.6%
27.2%
5.8%
96.3%
1.5%
1.8%
0.6%
1.9%
0.9%
15.1%
0.8%
44.3%
3.2%
82.6%
4.6%
5.5%
2.2%
12.0%
2.3%
14.1%
2.2%
45.4%
5.0%
86.5%
5.9%
6.1%
0.5%
7.4%
5.4%
13.4%
3.2%
49.4%
8.0%
79.6%
8.9%
6.8%
0.5%
13.5%
9.1%
12.5%
3.0%
54.8%
8.2%
78.4%
7.5%
7.9%
1.7%
13.6%
6.8%
10.7%
-
67.0%
-
71.0%
-
10.3%
-
18.7%
-
23.3%
0.9%
48.7%
1.3%
87.3%
2.2%
7.7%
1.7%
5.0%
0.4%
RAPEL
VI
P-N
40.5%
2.9%
MATAQUITO
VII
P-N
37.2%
4.9%
10 MAULE
VII
P-N
32.7%
5.8%
11 ITATA
VIII
P-N
22.3%
-
12 IMPERIAL
IX
P-N
28.0%
2.1%
13 TOLTEN
IX
P-N
15.5%
-
14.5%
-
70.0%
-
70.4%
-
12.4%
-
17.2%
-
14 PUERTO MONTT
X
P
17.4%
-
21.6%
-
61.0%
-
73.5%
-
14.8%
-
11.7%
-
rP
8
9
D.E.: Desviación estándar de la muestra.
Bo
rra
do
C A H PR O M E D IO P O R C U E N C A
E S T A C IO N IN A C T IV A (M A Y O -A G O S T O )
P diarias
10 0 %
90%
I (< 1 2.7m m )
II (12 .7 -2 8)
III (> 2 8 )
F R E C U E N C IA R E L A T IV A
80%
70%
60%
50%
40%
30%
20%
10%
N
E
M
O
LT
R
TO
TO
R
E
TT
N
L
IA
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P
IT
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M
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C U E N C AS
P
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C
H
IL
O
M
A
A
P
R
A
I
R
I
U
LI
LQ
E
I
0%
Figura 9.2: Frecuencias relativas promedio por cuenca de las CAH de las precipitaciones diarias, estación
inactiva (Mayo-Agosto).
208
Estudio y Estimación de Crecidas
C A H P R O M E D IO P O R C U E N C A
E ST A C IO N C R E C IM IE N TO (S E P TIE M BR E -A BR IL)
P diarias
100%
I (< 35.6m m )
II (35.6-53.5)
III (> 53.5)
90%
70%
60%
ar
50%
40%
30%
TT
M
O
LT
TO
IM
R
A
N
EN
L
IA
R
A
PE
M
IT
U
A
U
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IP
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M
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P
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C
H
IL
I
O
M
A
A
P
R
A
I
R
I
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LI
LQ
E
I
0%
TA
10%
re
lim
in
20%
TO
FR E C U E N C IA R E LA T IV A
80%
P
CUENCAS
Figura 9.3: Frecuencias relativas promedio por cuenca de las CAH de las precipitaciones diarias, estación
rP
crecimiento (Septiembre-Abril).
Tabla 9.5: Frecuencias relativas promedio por cuenca de las CAH de las precipitaciones máximas anuales
en 24 hrs.
FRECUENCIAS RELATIVAS PROMEDIO POR CUENCA
Bo
rra
do
PMAX ANUAL 24 hrs
N° CUENCA
REGION
ESTACION INACTIVA
REGIMEN
ESTACION CRECIMIENTO
M AYO-AGOSTO
I (<12.7mm)
II (12.7-28)
SEPTIEMBRE-ABRIL
III (>28)
I (<35.6mm)
II (35.6-53.5)
III (>53.5)
PROM.
D.E.
PROM.
D.E.
PROM.
D.E.
PROM.
D.E.
PROM.
D.E.
PROM.
D.E.
1
ELQUI
IV
P-N
66.7%
-
18.2%
-
15.2%
-
100.0%
-
0.0%
-
0.0%
-
2
LIMARI
IV
P-N
72.1%
11.6%
14.2%
5.6%
13.7%
10.2%
99.4%
1.4%
0.0%
0.0%
0.6%
1.4%
3
CHOAPA
IV
P-N
65.7%
10.3%
14.6%
8.0%
19.7%
11.9%
98.4%
2.4%
1.3%
1.9%
0.3%
1.0%
4
QUILIMARI
IV
P
64.4%
11.1%
3.4%
4.3%
32.2%
11.0%
99.3%
1.9%
0.7%
1.9%
0.0%
0.0%
5
PETORCA
V
P
65.6%
3.9%
20.5%
0.7%
13.8%
4.7%
98.4%
2.2%
1.6%
2.2%
0.0%
0.0%
6
ACONCAGUA
V
N-P
41.9%
5.5%
18.1%
5.3%
40.0%
10.8%
97.8%
3.8%
0.0%
0.0%
2.2%
3.8%
7
MAIPO
RM
N-P
13.9%
2.0%
10.1%
3.4%
76.0%
1.4%
92.3%
10.9%
0.0%
0.0%
7.7%
10.9%
8
RAPEL
VI
P-N
19.1%
2.9%
9.1%
5.2%
71.8%
7.0%
88.2%
2.2%
8.6%
3.4%
3.2%
5.5%
9
MATAQUITO
VII
P-N
30.5%
11.6%
23.4%
15.6%
46.0%
19.7%
88.2%
14.4%
4.9%
5.7%
6.9%
9.7%
10 MAULE
VII
P-N
27.2%
9.2%
9.8%
9.1%
63.1%
16.9%
76.7%
13.9%
6.1%
2.6%
17.2%
12.4%
11 ITATA
VIII
P-N
16.7%
-
0.0%
-
83.3%
-
63.3%
-
13.3%
-
23.3%
-
12 IMPERIAL
IX
P-N
26.7%
13.7%
25.8%
9.3%
47.4%
20.7%
91.4%
2.9%
5.7%
1.4%
2.9%
2.6%
13 TOLTEN
IX
P-N
14.7%
-
11.8%
-
73.5%
-
55.9%
-
17.6%
-
26.5%
-
14 PUERTO MONTT
X
P
9.5%
-
14.3%
-
76.2%
-
81.0%
-
9.5%
-
9.5%
-
D.E.: Desviación estándar de la muestra.
9.1. Estimación de la Infiltración
209
CA H PRO MED IO POR CUEN CA
ESTA CION INA CTIV A (M A YO -A GO STO )
Pmax 24 hrs.
100%
I (<12.7mm)
II (12.7-28)
III (>28)
90%
70%
60%
ar
50%
40%
30%
TT
O
R
TO
TO
P
U
E
M
A
N
E
LT
R
PE
IT
IM
M
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O
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M
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IL
U
C
H
LI
O
M
A
A
AR
PA
I
R
I
U
LQ
E
I
0%
R
10%
re
lim
in
20%
M
FRECUENCIA RELAT IVA
80%
CUENCAS
Figura 9.4: Frecuencias relativas promedio por cuenca de las CAH de las precipitaciones máximas anuales
en 24 hrs., estación inactiva.
rP
C A H P R O M E D IO P O R C U E N C A
E S T A C IO N C R E C IM IE N T O (S E P T IE M B R E -A B R IL)
P m a x 2 4 hrs.
100%
80%
70%
60%
Bo
rra
do
F R E C U E N C IA R E L A T IV A
90%
I (< 3 5 .6 m m )
II (35 .6 -5 3 .5 )
III (> 5 3 .5 )
50%
40%
30%
20%
10%
TT
N
L
R
TO
TO
M
O
LT
N
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IA
R
E
P
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A
A
IM
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M
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C
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IL
O
H
C
R
A
P
A
A
M
LI
R
A
I
R
I
U
LQ
E
I
0%
CUENCAS
Figura 9.5: Frecuencias relativas promedio por cuenca de las CAH de las precipitaciones máximas anuales
en 24 hrs., estación crecimiento.
Es interesante destacar de los resultados que indican las tablas y gráficos, que la condición calificada como
normal por el método (Condición II) es lejos la menos frecuente prácticamente en toda la región analizada.
En el caso de las precipitaciones diarias (Figuras 9.2, 9.3 y Tabla 9.4), incluso en invierno, desde la cuenca
de Aconcagua al norte predominan claramente las condiciones antecedentes secas. Entre Maipo y Mataquito
210
Estudio y Estimación de Crecidas
hay un equilibrio predominante entre condiciones secas y húmedas, manteniéndose en forma minoritaria la
condición “normal”. De Maule al sur, la condición antecedente predominante, es condición húmeda.
En la estación de crecimiento, perı́odo Septiembre-Abril, la condición predominante en toda la región,
desde Elqui hasta Puerto Montt, es la condición seca.
El problema del análisis de lluvias diarias es la falta de independencia entre los eventos, ya que dos o más
ar
dı́as pueden corresponder a una misma tormenta.
En el caso de las precipitaciones máximas diarias anuales (Figuras 9.4, 9.5 y Tabla 9.5), la condición
predominante en invierno, es la condición antecedente seca desde la cuenca de Petorca al norte. En la cuenca
re
lim
in
de Aconcagua hay un equilibrio predominante entre condiciones secas y húmedas, manteniéndose en forma
minoritaria la condición “normal”, presentándose como condición antecedente predominante, la condición
húmeda desde Rapel al sur.
En la estación de crecimiento, perı́odo Septiembre-Abril, se mantiene como condición predominante en
toda la región, desde Elqui hasta Puerto Montt, la condición seca.
La alternancia entre condiciones secas y húmedas introduce una complicación a la estimación probabilı́stica
de crecidas mediante relaciones precipitación-escorrentı́a, ya que la magnitud de la crecida pasa a ser una
función bivariada entre la magnitud de la precipitación y las condiciones antecedentes de humedad. Este
problema ha sido tratado por Barrientos (2001).
rP
El análisis de lluvias diarias no resuelve totalmente el problema de falta de independencia, puesto que esta
no representa necesariamente la precipitación máxima en 24 horas, ya que la tormenta puede distribuirse
cronológicamente entre dos dı́as calendario, estimándose que estadı́sticamente la lluvia máxima en 24 horas
Bo
rra
do
es estadı́sticamente del orden de un 6 % mayor que la lluvia máxima diaria.
9.2.
Estimación del Flujo Base
Como se mencionó en acápites anteriores, cuando se pretende analizar o reproducir crecidas, o caudales
a escala horaria o instantánea, deben intentarse relaciones entre la precipitación efectiva y la escorrentı́a
directa. Para evaluar la escorrentı́a directa debe descontarse o restarse a la escorrentı́a total, aquella fracción
más o menos constante, que constituye el flujo base o caudal existente en el rı́o antes del comienzo de una
determinada tormenta.
Diversos procedimientos simplificados se han propuesto para la separación de hidrogramas de crecida o
determinación del flujo base. Un criterio consiste en extrapolar el hidrograma existente antes de la tormenta
como si esta no hubiese ocurrido, hasta llegar al tiempo en que se produce el caudal máximo de la crecida,
punto a partir del cual se empalma la curva de flujo base mediante una recta que alcanza a la curva de
recesión del hidrograma de crecida N dı́as después del instante del caudal máximo. Para el valor de N se ha
propuesto la expresión
N = 0.83 · A0.2
[dı́as]
(9.23)
9.2. Estimación del Flujo Base
211
donde A es el área de la cuenca en [km2 ].
El procedimiento se ilustra en la Figura 9.6
3500
N
3000
ar
2000
1500
1000
500
0
0
20
re
lim
in
Caudal
2500
40
60
80
Tiempo
Figura 9.6: Separación de hidrogramas de crecida
Otra alternativa es postular que la curva de recesión de la crecida obedece a un decaimiento exponencial del
rP
tipo
Q(t) = Qmax · e−k·t
(9.24)
Bo
rra
do
donde k es la constante de decaimiento. Graficando a escala semilogarı́tmica la expresión anterior, resulta
ln (Q(t)) = ln (Qmax ) − k · t
(9.25)
Es decir, la ecuación de una recta con constante de regresión “−k”. Si al graficar la curva se observa un
quiebre, o en otras palabras, un cambio en la magnitud de la constante inicial k1 , como se ilustra en el instante
t = 19 de la Figura 9.7, se interpreta el instante del quiebre como el punto donde cesa la escorrentı́a directa y
continúa sólo la recesión del flujo base. Si se observan dos quiebres en vez de uno, el tramo intermedio suele
asociarse al aporte del flujo intermedio rápido.
En estos casos, a partir de la constante k2 correspondiente al flujo base, se extrapola hacia atrás este flujo,
hasta llegar al punto de inflexión de la crecida total, que da inicio a la curva de recesión. Desde este punto
se una mediante una recta o curva suave, hasta empalmar con el inicio de la crecida.
Por último, cualquier trazado a criterio que empalme el inicio de la crecida con la curva de recesión
separando el hidrograma total en escorrentı́a directa y flujo base es igualmente admisible, ya que en las
grandes crecidas, la componente escorrentı́a directa es mucho mayor que la componente flujo base, por lo
que los errores que se cometan en su separación son poco significativos respecto a la componente escorrentı́a
directa.
212
Estudio y Estimación de Crecidas
8.2
8.1
8.0
7.9
7.8
7.7
ar
7.6
7.5
7.3
7.2
7.1
re
lim
in
7.4
Figura 9.7: Punto de separación de escorrentı́a directa y flujo base.
Es importante recordar que el volumen de escorrentı́a directa debe ser igual al volumen de precipitación
efectiva, es decir, debe cumplirse la relación
Qed dt = Pef · A
rP
Z
(9.26)
t
donde Pe f es la magnitud de la precipitación efectiva y A es el área de la cuenca. La importancia de
Bo
rra
do
respetar la ecuación anterior, es que representa la ecuación de continuidad.
9.3.
Hidrogramas Unitarios
Conocido el hietograma de precipitación efectiva de una tormenta, para su transformación a escorrentı́a
directa o hidrograma de escorrentı́a directa, el procedimiento más utilizado consiste en recurrir al concepto
de función de transferencia del análisis de sistemas lineales, que en su aplicación a la hidrologı́a toma el
nombre de Método del Hidrograma Unitario.
Se define el hidrograma unitario de una cuenca como el hidrograma de escorrentı́a directa provocado por
una lluvia de duración efectiva T , y de intensidad efectiva constante ief = 1/T , tal que la precipitación
efectiva total Pef = ief · T sea unitaria, digamos 1 mm.
Si este hidrograma unitario HU (T, t) fuese conocido, de acuerdo a las leyes de los sistemas lineales, la
magnitud de la crecida provocada por una tormenta cualquiera de magnitud efectiva Pef , será,
Q(t) = Pef · HU (T, t)
(9.27)
es decir, se amplifican las ordenadas del hidrograma unitario, por la magnitud P de la tormenta efectiva.
9.3. Hidrogramas Unitarios
213
La estimación del hidrograma unitario de una cuenca puede realizarse en base a tormentas históricas
registradas, o puede recurrirse al concepto de “hidrograma unitario sintético”, que permite estimarlo a
partir de información morfológica de la cuenca, disponiendo sólo de un plano topográfico de ella.
9.3.1.
Obtención del Hidrograma Unitario a partir de Lluvias de Intensidad Constante
ar
Si se dispone de información concurrente de hidrogramas de crecidas y de hietogramas de las tormentas que
los produjeron, es posible proceder de la siguiente manera:
re
lim
in
(i) Se seleccionan tormentas históricas que cumplan con la hipótesis del método, es decir, que tengan una
intensidad constante en un tiempo de duración T . Para ello resultan adecuadas tormentas de corta
duración y gran intensidad.
(ii) A partir del hidrograma total, se le resta el flujo base según alguno de los criterios antes vistos, obteniéndose el hidrograma de escorrentı́a directa Q(t).
(iii) En base a la ecuación 9.26, evaluando el volumen de escorrentı́a directa y conocida el área de la cuenca
se obtiene la magnitud de la precipitación efectiva Pef y su intensidad efectiva.
Pef
T
rP
ief =
(9.28)
(iv) Por último, de la definición de Hidrograma Unitario, ecuación 9.27, se obtienen las ordenadas de este
dividiendo las ordenadas del hidrograma de escorrentı́a directa por la magnitud de la precipitación
Bo
rra
do
efectiva
HU (T, t) =
Q(t)
Pef
(9.29)
Por las hipótesis del método, se postula que el sistema es invariante en el tiempo, es decir, dos tormentas idénticas producirán dos crecidas idénticas; además, el tiempo base o tiempo de duración de la
escorrentı́a directa debiera ser el mismo para dos tormentas de la misma duración efectiva T .
Estas idealizaciones no tienen por qué cumplirse con exactitud en cuencas reales, por lo que es conveniente estimar el hidrograma unitario en base a dos o más tormentas de aproximadamente la misma
duración efectiva T , y adoptar un hidrograma representativo promedio entre los distintos resultados
obtenidos.
Al respecto, no es conveniente estimar el hidrograma promedio por la vı́a de promediar las ordenadas
de los distintos resultados, ya que esto distorsiona la forma resultante del hidrograma.
En relación a la Figura 9.8, el procedimiento recomendado para el cálculo del hidrograma promedio es
el siguiente:
En una cuenca de 52 [km2 ] se obtuvieron tres estimaciones del HU correspondiente a tormentas de 4
horas de duración. En base a los distintos resultados, se calculan los promedios del tiempo de duración
214
Estudio y Estimación de Crecidas
3.0
2.0
ar
1.5
1.0
re
lim
in
Caudal [m3/s mm]
2.5
0.5
0
0
10
20
30
40
50
60
Tiempo [hr]
Figura 9.8: Fabricación de Hidrograma Unitario promedio
de la escorrentı́a directa o tiempos base tB ; análogamente se calculan los promedios de los tiempos
rP
hasta alcanzar el máximo, o tiempo al pico tp , y la magnitud del caudal máximo promedio Qp .
Se imponen estos valores promedios como válidos para el hidrograma unitario promedio representativo,
(indicados en la Figura 9.8), y las ordenadas correspondientes a otros instantes de tiempo se obtienen a
criterio, tratando de reproducir en la mejor forma posible la distribución temporal de los hidrogramas
individuales, recordando en todo momento que el área bajo la curva del hidrograma o volumen de
Bo
rra
do
escorrentı́a directa debe ser unitario. Expresados los caudales como gastos especı́ficos, es decir, como
caudales por unidad de área de la cuenca, el volumen bajo la curva del hidrograma representativo
deberá valer
V =
Z
0
tB
HU (T, t)
dt = 1
A
[mm]
(9.30)
Se incluye en la Figura 9.8 el HU que hubiese resultado en base al promedio aritmético de las ordenadas
de los tres resultados, observándose que resulta un caudal máximo menor que cada uno de los tres HU
individuales, subestimando el caudal máximo, lo que ilustra la inconveniencia de ese criterio.
9.3.2.
Hidrogramas Unitarios para Otras Duraciones
En el caso anterior, el análisis debe hacerse para tormentas de aproximadamente la misma duración T
y el Hidrograma Unitario que se obtiene, HU (T, t), es válido sólo para tormentas de dicha duración. En
estricto rigor, si se desease calcular el HU para otras duraciones, debiera repetirse el procedimiento utilizando
tormentas de la duración deseada.
9.3. Hidrogramas Unitarios
215
Sin embargo, considerando que el método postula que la cuenca se comporta como un sistema lineal, es
posible aprovechar el principio de superposición de soluciones de los sistemas lineales.
En efecto, si se dispone del HU para una duración T correspondiente a una lluvia de dicha duración, si
ocurre una lluvia de duración 2T , esta puede interpretarse como la sucesión inmediata de dos tormentas
idénticas de duración T , cada una de las cuales producirá la misma crecida, sólo que desfasadas en el tiempo
en la magnitud T . Luego, las ordenadas de la crecida generada por la tormenta total corresponderá a la suma
ar
de las ordenas del H.U. de cada una de las tormentas, desfasadas en T unidades de tiempo. Como cada una
de las tormentas era unitaria, la magnitud de la tormenta total será de P = 2 [mm], por lo que para llevarla
a una magnitud unitaria, las ordenadas de la crecida total resultante deberán dividirse por dos.
re
lim
in
Con esto, el H.U (2T, t), correspondiente a una lluvia de duración 2T , quedará dado por la relación
HU (2T, t) =
HU (T, t) + HU (T, t − T )
2
(9.31)
Es fácil visualizar que el raciocinio anterior puede generalizarse para tormentas de duración n · T , donde n
es un múltiplo entero de la duración base:
HU (n · T, t) =
HU (T, t) + HU (T, t − T ) + ... + HU (T, t − (n − 1) · T )
n
(9.32)
rP
La ecuación anterior permite, en consecuencia, estimar los HU de cualquier tormenta cuya duración sea
un múltiplo entero de la duración de la tormenta base.
Hidrograma en S
Bo
rra
do
9.3.3.
Si se desea evaluar el HU de una duración cualquiera, conocido el HU de una duración base, puede recurrirse
al concepto de Hidrograma en S.
Se define el Hidrograma en S, como el hidrograma de escorrentı́a directa generado por una lluvia de
intensidad efectiva constante unitaria (ief = 1 [mm/hr]) y de duración indefinida. Luego, si sumamos un
número indefinido de HU de duración T , el resultado será el hidrograma de crecida correspondiente a una
lluvia indefinida de intensidad ief = 1/T , y el Hidrograma en S, que corresponde a una lluvia indefinida de
intensidad ief = 1 [mm/hr], corresponderá al hidrograma anterior amplificado por T . Luego,
S(t) = T [HU (T, t) + HU (T, t − T ) + ... + HU (T, t − k · T ) + ...]
(9.33)
En la práctica, cuando la cuenca tienda a alcanzar una situación de equilibrio, el Hidrograma en S tenderá a
un valor de equilibrio constante, como se indica en la Figura 9.9, tomando la forma que da origen a su nombre.
Luego, bastará sumar sólo “k“ hidrogramas, donde
216
Estudio y Estimación de Crecidas
k=
tB
T
(9.34)
re
lim
in
Caudal acumulado
ar
siendo tB el tiempo base del HU original.
Tiempo [hr]
rP
Figura 9.9: Hidrograma en S
Suele ocurrir que el hidrograma en S no se estabilice, sino que presente ondulaciones finales en forma
indefinida. Esto se debe al no cumplimiento en la realidad, de las hipótesis del método; si las ondulaciones
Bo
rra
do
son menores, pueden ignorarse tomando un valor promedio final constante. Si las oscilaciones resultan de
importancia, normalmente revela la existencia de un error en la estimación de la duración T de la tormenta
original.
Conocido en definitiva el Hidrograma en S, el HU de una tormenta de duración cualquiera τ , podrá esti-
marse restando al Hidrograma S(t) el mismo hidrograma desfasado en la magnitud τ .
La tormenta restante, dado que la intensidad de la lluvia que genera el Hidrograma es S es unitaria, será de
magnitud Pef = τ , por lo que el H.U. de cualquier duración τ , vendrá dado por la relación
HU (τ, t) =
9.3.4.
S(t) − S(t − τ )
τ
(9.35)
Estimación de Hidrogramas Unitarios a partir de Tormentas de Intensidad Va-
riable
Si sólo se dispone de registros de tormentas cuya intensidad efectiva es sensiblemente variable, siempre
será posible representar su hietograma en forma discreta adoptando para distintos intervalos ∆t, la intensidad
efectiva media ocurrida en cada intervalo, como se indica en la Figura 9.10
9.3. Hidrogramas Unitarios
217
10
8
ar
6
4
2
0
0
0
1
1
2
re
lim
in
Intensidad efectiva media [mm/hr]
12
1
3
3
4
4
5
5
6
6
7
Intervalo Dt
Figura 9.10: Hietograma discretizado
Cada intervalo j tendrá su intensidad efectiva media ief,j y duración ∆t, por lo que la precipitación efectiva
en el intervalo será Pef,j = ief,j ∆t.
por la expresión
rP
Cada intervalo de lluvia j provocará un hidrograma de escorrentı́a directa cuyas ordenadas quedan dadas
Bo
rra
do
Qk = Pef,j · uk
(9.36)
donde se ha adoptado la notación simplificada para el HU de duración ∆t,
uk = HU (∆t, k · ∆t)
(9.37)
Aplicando el principio de superposición de soluciones, el hidrograma de escorrentı́a directa de la tormenta
total resultará de la suma de los hidrogramas parciales de cada intervalo de precipitación, sumados con el
desfase correspondiente.
Ası́, se tendrá, si la lluvia tiene una duración T = m · ∆t y el HU tiene un tiempo base tB = n · ∆t, donde
normalmente n > m,
218
Estudio y Estimación de Crecidas
Q(0) = 0
Q(1) = Pef,1 · u1
Q(2) = Pef,2 · u1 + Pef,1 · u2
Q(3) = Pef,3 · u1 + Pef,2 · u2 + Pef,1 · u3
Q(k) = Pef,k · u1 + Pef,k−1 · u2 + ... + Pef,1 · uk
..
.
ar
..
.
re
lim
in
Q(m) = Pef,m · u1 + Pef,m−1 · u2 + ... + Pef,2 · um−1 + Pef,1 · um
(9.38)
Q(m + 1) = 0 + Pef,m · u2 + ... + ... + ... + ... + Pef,2 · um + Pef,1 · um+1
..
.
Q(n) = 0 + 0 + 0 + ... + Pef,m · un−m+1 + Pef,m−1 · un−m+2 + ... + Pef,1 · un
Q(n + 1) = 0 + 0 + 0 + 0 + ... + Pef,m+1 · un−m+1 + ... + ... + ... + Pef,2 · un
..
.
Q(n + m + 1) = 0 + 0 + 0 + ... + 0 + 0 + ... + 0 + 0 + 0 + ... + 0 + Pef,m · un
rP
En general, el caudal de crecida en un instante k, viene dado por
Qk =
k
X
Pef,k−i+1 · ui
(9.39)
Bo
rra
do
i=1
El sistema de ecuaciones anterior se puede expresar matricialmente como
[Q] = [Pef ] · [u]
(9.40)
donde [Q] es el vector de dimensión (m + n + 1) correspondiente a las ordenadas de la crecida real, en
este caso conocida, [u] es el vector de dimensión n correspondiente a las ordenadas del HU (∆T, t), en este
caso la incógnita, y [Pef ] es la matriz de precipitaciones de dimensión (m + n + 1) · n correspondiente a las
precipitaciones con la estructura bandeada
9.3. Hidrogramas Unitarios
···
···
0
···
···
0
···
···
0

Pef,1
0
···
···
0
···
0
···
···
0
Pef,2
Pef,1
0
···
···
0
···
0
···
0
Pef,3
..
.
Pef,2
..
.
Pef,1
..
.
0
..
.
···
..
.
0
..
.
···
..
.
0
..
.
···
..
.
0
..
.
Pef,m
Pef,m−1
Pef,m−2
...
...
P1
0
...
...
0
0
..
.
Pef,m
..
.
Pef,m−1
..
.
Pef,m−2
..
.
...
..
.
...
..
.
P1
..
.
0
..
.
0
···
···
0
···
0
···
0
···
···
0
···
0






















···
ar
Pef











=










0
...
..
.
0
..
.
···
Pef,m
Pef,m−1
···
0
Pef,m
re
lim
in

219
Como [Pef ] no es una matriz cuadrada, para la solución del sistema debe premultiplicarse por la traspuesta
de [Pef ], que equivale a minimizar errores por el método de mı́nimos cuadrados, quedando
[Pef ]T [Q] = [Pef ]T [Pef ][u]
(9.41)
lo que permite determinar [u] premultiplicando por la inversa de [Pef ]T [Pef ], de forma que
9.3.5.
rP
−1
[u] = [Pef ]T [Pef ]
[Pef ]T [Q]
(9.42)
Hidrograma Unitario Instantáneo
Bo
rra
do
Se vio en el acápite anterior, que el caudal de crecida en un instante k, donde k corresponde en el tiempo al
instante t = k · ∆t, siendo ∆t el intervalo en que se ha discretizado el hietograma de la tormenta, viene dado
por la ecuación
Qk =
k
X
uj · Pef,k−j+1
j=1
Volviendo a la notación original, esta ecuación se transforma en
Q(k∆t) =
k
X
HU (∆t, j∆t) · Pef ((k − j + 1)∆t)
(9.43)
j=1
o de forma equivalente
Q(t) =
k
X
HU (∆t, τ ) · Pef (t − τ + ∆t)
j=1
donde τ = j · ∆t. Recordando que Pef = i · ∆t
(9.44)
220
Estudio y Estimación de Crecidas
Q(t) =
k
X
HU (∆t, τ ) · i(t − τ + ∆t)∆t
(9.45)
j=1
Si el intervalo de discretización se hace disminuir, en el lı́mite cundo ∆t → 0, la ecuación anterior se transforma
en
t
Z
HU I(τ ) · i(t − τ )dτ
0
(9.46)
ar
Q(t) =
donde HUI es el hidrograma Unitario Instantáneo de la cuenca, es decir, el hidrograma de escorrentı́a directa
re
lim
in
producido por un pulso unitario de precipitación de duración infinitesimal y magnitud P = 1 mm. En la
ecuación, τ es una variable muda de integración.
La ecuación anterior, en términos matemáticos corresponde a la integral de Duhamel o integral de convolución, para la cual se cumple, cambiando variables, la relación
Q(t) =
Z
0
t
Z
HU I(τ ) · i(t − τ )dτ =
t
HU I(t − τ ) · i(τ )dτ
(9.47)
0
El concepto de hidrograma unitario instantáneo amplı́a la aplicabilidad de métodos matemáticos y el
9.3.6.
rP
desarrollo de modelos conceptuales para la definición del hidrograma unitario de una cuenca.
Hidrograma Unitario de Nash
Entre los desarrollos conceptuales de hidrogramas unitarios destaca el HUI propuesto por Nash.
Bo
rra
do
De acuerdo a la ecuación de balance hidrológico, debe cumplirse la ecuación de continuidad
I −Q=
dV
dt
(9.48)
Si se acepta que una cuenca se comporta como un embalse lineal, es decir, el caudal de salida Q es
proporcional al volumen embalsado V , de acuerdo a la relación
V =k·Q
(9.49)
donde k es la constante de tiempo del embalse, la ecuación de continuidad queda
I −Q=k
dQ
dt
(9.50)
Ahora, si el caudal de entrada I es un impulso unitario, I = 0 para todo tiempo t > 0. Luego,
−Q = k
dQ
dt
t>0
(9.51)
9.3. Hidrogramas Unitarios
221
Integrando entre 0 y t se llega a
Q(t) = Q0 · e−t/k
(9.52)
Por otra parte, siendo I un impuso unitario, el volumen total de la crecida deberá ser igual a V = A · 1,
∞
Z
Q0
e−t/k dt = Q0 k = A
re
lim
in
0
ar
donde A es el área de la cuenca aportante. Integrando,
→ Q0 =
A
k
(9.53)
De lo anterior, resulta que el caudal especı́fico q = Q/A resulta
q(t) =
Q(t)
1
= e−t/k
A
k
(9.54)
Lo anterior nos dice que el HUI de una cuenca que se comporta como un embalse lineal, tiene la forma de
una distribución exponencial.
rP
Nash propuso que una cuenca real se comporta como una sucesión de n embalses lineales o n embalses
lineales en cascada, donde la entrada de cada uno corresponde a la salida del anterior.
La salida del primer embalse corresponde a su HUI, luego, la ecuación de continuidad para el segundo
Bo
rra
do
embalse queda representada por
1 −t/k
dq2
e
− q2 (t) = k
k
dt
(9.55)
cuya solución es
q2 (t) =
1 −t/k
te
k2
(9.56)
Generalizando a n embalses se llega a
qn (t) =
1
tn−1 e−t/k
− 1)!
k n (n
(9.57)
Es decir, el HUI de una cuenca real corresponderı́a a una distribución Gamma 2, con parámetros β = k y
α = n.
La crecida generada por un chubasco intenso de corta duración de magnitud efectiva P quedarı́a dada por
Q(t) =
P ·A
tn−1 e−t/k
k n (n − 1)!
(9.58)
222
Estudio y Estimación de Crecidas
Luego, de la función
q(t) =
Q(t)
A
(9.59)
que corresponde a una distribución Gamma 2, a partir de su promedio en el tiempo y su desviación
9.3.7.
ar
standard, podrı́an estimarse los parámetros k y n de la cuenca.
Hidrogramas Unitarios Sintéticos
re
lim
in
Los procedimientos de determinación del Hidrograma Unitario de una cuenca, antes descritos, son bastante
laboriosos y muchas veces imposible de practicar por no existir registros simultáneos de información pluviográfica e hidrográfica.
Por el motivo anterior, se han desarrollado muchas investigaciones tratando de obtener H.U. en forma
sintética, es decir, relacionando las principales variables del hidrograma con parámetros geomorfológicos de
la cuenca.
Para caracterizar adecuadamente un hidrograma unitario es necesario conocer las siguientes variables:
rP
Tiempo base o tiempo total desde el inicio hasta el término de la escorrentı́a directa.
Tiempo al máximo o instante en que se produce el caudal máximo instantáneo.
Magnitud del caudal máximo.
Bo
rra
do
Duración de la lluvia efectiva que lo genera.
A lo anterior se agrega la condición de que su volumen total debe ser unitario y que su forma debe mostrar
alguna semejanza con una distribución gamma 2.
9.3.7.1.
Hidrograma Unitario de Snyder
Snyder (1938) fue el primero en proponer expresiones analı́ticas para la generación de H.U. sintéticos, proponiendo relaciones del tipo:
Tiempo al máximo:
tp = CD (LL)0.3
Caudal máximo :
qp =
Cp A
tp
[horas]
(9.60)
[m3 /s·mm]
(9.61)
+3
(9.62)
Tiempo base :
tB = 3
tp
24
[dı́as]
9.3. Hidrogramas Unitarios
223
donde L es el largo total del cauce principal [km], L es la distancia desde el centro de masa de la cuenca
hasta la sección de salida [km] y A es el área de la cuenca en [km2 ]. Para las constantes CD y Cp propuso los
rangos:
1.35 < CD < 1.65
obtenidos del análisis de crecidas en las montañas Rocallosas de los EE. UU.
ar
0.15 < Cp < 0.19
Snyder desarrolló sus fórmulas utilizando tormentas cuya duración efectiva cumplı́a la relación
tp
5.5
re
lim
in
tLL =
(9.63)
Para tormentas de otras duraciones, dentro de un rango de variación moderado, Snyder propuso corregir el
valor de tp mediante la relación,
tp = tp +
tR − tLL
4
(9.64)
donde tR es la duración real de la tormenta considerada.
rP
Para estimar crecidas provocadas por tormentas de duraciones muy distintas a la que resulta de la aplicación de la fórmula anterior, debe aprovecharse la propiedad de los sistemas lineales, en cuanto a la validez
del método de superposición de soluciones.
Bo
rra
do
Si bien conceptualmente el aporte de Snyder resultó importantı́simo, su método presenta la desventaja y
limitación de que al intentar utilizarlo en regiones distintas a la que originó las fórmulas, se obtienen valores
de los coeficientes CD y Cp que escapan bastante al rango de variación sugerido por el autor, dependiendo
de las caracterı́sticas de cada cuenca en particular.
9.3.7.2.
Hidrogramas Unitarios Tipo Linsley
Linsley señala que las limitaciones de las fórmulas de Snyder provienen de no haber considerado explı́citamente
la pendiente de las cuencas en la determinación del tiempo al máximo, proponiendo una relación con la
estructura
tp = CD
L·L
√
S
n
(9.65)
donde S es la pendiente media de la cuenca evaluada mediante la fórmula de Mocciornita.
S=
h
L0
2
+
Pn−1
i=1
A
Li +
Ln
2
(9.66)
224
Estudio y Estimación de Crecidas
donde,
h: Diferencia de alturas entre curvas de nivel.
L0 : Longitud de la curva de nivel de menor cota en [m].
Li : Longitud de la curva de nivel intermedia i en [m].
Ln : Longitud de la curva de nivel de mayor cota en [m].
9.3.8.
Hidrogramas Unitarios sintéticos en Chile
ar
A: Superficie de la cuenca en [m2 ].
Para la región Maipo Maule:
tp =
qp =
tB =
0.386
0.397
[hrs]
L·L
√
S
355 · t−1.22
p
2.7 · t1.1
p
[lts/s· km2 ]
[hrs]
Para la región Itata-Valdivia:
qp =
0.241
L·L
1.315 √
S
171.3 · t−0.829
p
tB =
5.45 · t0.714
p
[hrs]
rP
tp =
re
lim
in
Benitez y Arteaga (1986) estudiaron la determinación de HU en Chile, proponiendo las siguientes expresiones:
[lts/s· km2 ]
[hrs]
Bo
rra
do
La DGA (1995) actualizó los estudios de Benitez y Arteaga, incluyendo más información, proponiendo las
siguientes expresiones:
IIIª a VIª Regiones
tp =
qp =
tB =
0.422
L·L
√
S
144.141 · t−0.796
p
5.377 · t0.805
p
0.323
[hrs]
[lts/s· km2 ]
[hrs]
VIIª Región
qp =
0.327
L·L
0.584 √
S
522.514 · t−1.511
p
tB =
1.822 · t1.412
p
tp =
[hrs]
[lts/s· km2 ]
[hrs]
9.4. Fórmulas Empı́ricas
225
VIIIª a Xª Región
qp =
0.237
L·L
√
S
172.775 · t−0.835
p
tB =
5.428 · t0.717
p
tp =
1.315
[hrs]
[lts/s· km2 ]
[hrs]
cuanto a la duración de la lluvia que genera el hidrograma.
ar
En todos los casos anteriores se mantiene, en forma más o menos arbitraria, las relaciones de Snyder en
re
lim
in
Para el perfilamiento del hidrograma se propone el siguiente hidrograma adimensional
Tabla 9.6: Hidrograma Adimensional
t/tp
q/qp
0
0.2
0.5
0.4
0.6
0.6
0.75
0.8
1
1
1.3
0.8
1.5
0.6
1.8
0.4
2.3
0.2
2.7
0.1
Bo
rra
do
rP
0
0.3
El hidrograma adimensional anterior debe considerarse sólo como referencial, ya que de mucho mayor
importancia resulta satisfacer la condición de volumen unitario.
9.4.
Fórmulas Empı́ricas
Para la estimación en forma rápida del caudal máximo de una crecida se han propuesto en diversas partes
del mundo fórmulas empı́ricas, la mayorı́a de las cuales tiene una estructura del tipo.
Qp = b · An
(9.67)
donde el exponente n varı́a según distintos autores entre 0.5 < n < 0.9, mostrando el coeficiente b un fuerte
rango de variación. Este tipo de fórmulas debe utilizarse con mucha precaución, a menos que el coeficiente b
no se suponga constante, sino que incorpore al menos la intensidad de la lluvia que provoca la crecida.
226
9.4.1.
Estudio y Estimación de Crecidas
Fórmulas tipo Burkli-Ziegler
Burkli y Ziegler proponen una fórmula con una estructura del tipo
Qp = k
r
S
iA
A
(9.68)
que al menos incorpora la pendiente de la cuenca S, la intensidad de la tormenta que provoca la crecida i,
Fórmula Racional
re
lim
in
9.4.2.
ar
siendo k un coeficiente dependiente de las condiciones de infiltración de la cuenca.
Dentro del grupo anterior puede encontrarse la fórmula denominada Fórmula Racional, tal vez la fórmula
más utilizada a nivel mundial para la estimación rápida de caudales máximos de crecida en cuencas pequeñas.
Diagrama Tiempo-Área
Dada una cuenca especı́fica, es conceptualmente posible establecer la ubicación de las lı́neas isócronas o lı́neas
de igual tiempo de viaje de una partı́cula de agua desde su punto de precipitación hasta la sección de salida
de la misma. Calculando el área de la cuenca ubicada aguas abajo de cada lı́nea isócrona y graficando esta
en función del tiempo de viaje, se obtiene el denominado diagrama tiempo-área, que representa la variación
rP
del área aportante de la cuenca en función del tiempo, hasta alcanzar el área total de la misma para el
denominado “tiempo de concentración de la cuenca”, tc .
Si sobre la cuenca se produce una tormenta con intensidad efectiva ief constante en el tiempo y en el
Bo
rra
do
espacio, el caudal en la sección de salida de la cuenca se puede expresar por la relación,
Q(t) = ief · A(t)
t < tc
(9.69)
donde el área aportante hasta dicho instante A(t) podrı́a obtenerse del diagrama tiempo-area.
Si la duración de la lluvia supera el tiempo de concentración de la cuenca, el sistema entra en régimen y
el caudal alcanzarı́a un valor máximo constante
Qmax = ief · AT = cte
t > tc
(9.70)
En la práctica, la intensidad de la lluvia será variable en el tiempo, y si no se conoce dicha variación, el
caudal máximo podrá estimarse utilizando el máximo valor promedio de la intensidad de la lluvia para una
duración correspondiente al tiempo de concentración de la cuenca tc , luego
Qmax = ief (tc ) · AT
t > tc
(9.71)
Finalmente, la intensidad efectiva puede estimarse en función de la intensidad total, introduciendo un
factor de corrección denominado coeficiente de escorrentı́a C, con lo que la ecuación queda finalmente
9.4. Fórmulas Empı́ricas
227
Qmax = Cief (tc ) · AT
(9.72)
t > tc
donde C depende de las condiciones de intercepción, retención e infiltración de la cuenca, quedando limitado
al rango 0 < C < 1.
ar
Lo anterior supone que la lluvia efectiva dura más que el tiempo de concentración de la cuenca. De ahı́ que la
fórmula sea aplicada normalmente para cuencas de pequeño tamaño. La fórmula racional es dimensionalmente
correcta; si se utilizan las dimensiones habituales de [mm/hr] para la intensidad de la lluvia y [km2 ] para el
Q=
re
lim
in
tamaño de la cuenca la fórmula queda dada por la expresión,
C · ief (tc ) · A
3.6
m3 /seg
(9.73)
donde C es el coeficiente de escorrentı́a (0 < C < 1), i(tc ) es la intensidad media máxima de la precipitación,
correspondiente a una duración igual al tiempo de concentración de la cuenca tc .
La confiabilidad en el uso de esta fórmula depende de una adecuada evaluación del coeficiente de escorrentı́a
rP
C y del tiempo de concentración de la cuenca.
Si la duración de la lluvia efectiva te resulta menor que el tiempo de concentración de la cuenca, lo que
puede ocurrir en cuencas grandes, se demuestra (Stowhas, 2003) que el caudal máximo de crecida para una
Bo
rra
do
lluvia de intensidad efectiva constante queda dado por la expresión
Qmax = ie (te ) · Amax (te )
te < tc
(9.74)
Esta condición introduce la incertidumbre de determinar la duración de la lluvia efectiva y el tamaño del
área aportante hasta dicho instante, ambas variables difı́ciles de determinar. En la práctica, el uso de la
fórmula racional, válida para cuencas pequeñas (ecuación 9.73), ha sido generalizada para su uso en cuencas
mayores, traspasando la incertidumbre al coeficiente de escorrentı́a C.
9.4.2.1.
Estimación del Coeficiente de escorrentı́a
De la gran experiencia que se dispone respecto a la utilización de la fórmula racional, diversos autores
han propuesto valores representativos del coeficiente de escorrentı́a para diferentes condiciones de aplicación.
Chow (1994) recomienda para zonas rurales los siguientes valores:
Para zonas urbanas, el Manual Nº 37 de la ASCE (1969) propone los siguientes valores en función del uso
del área y del tipo de superficies:
228
Estudio y Estimación de Crecidas
Tabla 9.7: Coeficientes de Escorrentı́a en Cuencas Rurales Pequeñas
Coeficiente de Escorrentı́a (C)
Tipo de suelo
Terrenos Cultivados
Praderas
Terrenos Boscosos
0.2
0.15
0.10
0.4
0.35
0.30
0.5
0.45
Arenoso con alta tasa de
Francos con tasa media de
infiltración
Arcillosos o suelos poco
profundos sobre roca con
0.40
re
lim
in
bajas tasas de infiltración
ar
infiltración
Tabla 9.8: Coeficientes de Escorrentı́a en función de tipo de área y tipo de calzada
Tipo de área
C
Tipo de calzada
C
0.7 - 0.95
Asfaltos
0.7 - 0.95
Comercial suburbana
0.5 - 0.7
Concretos
0.8 - 0.95
Edificios de Departamentos
0.5 - 0.7
Ladrillo o tierra endurecida
0.7 - 0.85
Residencial unifamiliar
0.3 - 0.5
Aceras y pasajes
0.75 - 0.85
Unidades múltiples pareadas
0.6 - 0.75
Techos
0.75 - 0.95
rP
Comercial Céntrica
Unidades múltiples separadas
0.4 - 0.6
Prados arenosos de 2 a 7 %
0.05 - 0.2
de pendiente
Residencial suburbana
0.25 - 0.4
Prados arcillosos de 2 a 7 %
0.13 - 0.35
de pendiente
0.6 - 0.9
Parques y cementerios
0.1 - 0.25
Industrial Baja Densidad
0.5 - 0.8
Patios de ferrocarriles
0.2 - 0.4
Bo
rra
do
Industrial Alta Densidad
Cabe destacar que estos coeficientes no consideran la intensidad de la lluvia o perı́odo de retorno del evento,
por lo que en su selección debe primar la experiencia y criterio del proyectista.
En la publicación de la DGA (1995), se proponen coeficientes de escorrentı́a para cuencas grandes en
función del perı́odo de retorno en diferentes regiones de Chile.
Si se considera una tormenta de intensidad variable, centrada, simétrica y monomodal, respetando para
todas las duraciones la fórmula de Grunsky, se demuestra que el coeficiente de escorrentı́a se puede estimar
en forma más objetiva mediante las relaciones,
C=




1
2
1
2
· t∗ · cf


 1−
si t∗ < 1
si t∗ = 1
1
2t∗
si t > 1
∗
(9.75)
9.4. Fórmulas Empı́ricas
229
donde cf es un coeficiente de forma que en primera aproximación puede estimarse mediante la relación
si
t∗
√
6
< 0.089
si 0.089 ≤
si
∗
t
√
6
t∗
√
6
> 0.408
y su vez, t∗ es una variable adimensional definida por la ecuación
r
6 i24
tc f
(9.77)
re
lim
in
t∗ =
(9.76)
≤ 0.408
ar

2.7



∗ −0.65

t
cf =
0.56 √

6



1
donde tc es el tiempo de concentración de la cuenca en horas, i24 es la intensidad media diaria en [mm/hr] y
f es la tasa media de infiltración o abstracción durante el perı́odo de encharcamiento, en [mm/hr].
Las expresiones anteriores se basan en una tasa media de infiltración constante, es decir, aplican sobre un
intervalo de tormenta que ocurre una vez llegado al tiempo de encharcamiento de una cuenca homogénea.
Si la precipitación ocurre sobre un suelo relativamente seco, los coeficientes de escorrentı́a serı́an menores a
los indicados por las fórmulas propuestas. Esto exige estimar la tasa media de infiltración adecuada a cada
situación. En este sentido, resulta conveniente expresar la tasa media de infiltración a partir del método de
la Curva Número, que permite considerar por una parte las condiciones antecedentes de humedad y por otra,
rP
incorporar la eventual heterogeneidad de la cuenca a través de la Curva Número Equivalente en función de
la magnitud de la precipitación.
En este caso, la infiltración media durante el intervalo en que la precipitación supera a la infiltración puede
Bo
rra
do
estimarse mediante la relación
f =6
(i24 )2
Pef
(9.78)
Ejemplo
Se considera una cuenca pequeña de 8 [km2 ], cuyo tiempo de concentración se estima en 1 hora, con una
CNeq igual a 65 sobre la que cae una precipitación total en 24 horas de 100 [mm] con una intensidad media
i24 = 100/24 = 4.17 [mm/hr].
De la Curva Número se obtiene
S = 25.4
1000
− 10 = 136.8 [mm]
CN
Adoptando I = 0.23S = 31.5 [mm], la precipitación efectiva resulta
Pef =
(P − I)2
= 22.9 [mm]
(P + S − I)
Luego,
f =6
(i24 )2
= 4.56 [mm/hr]
Pef
230
Estudio y Estimación de Crecidas
t∗
√ =
6
r
1 i24
→ t∗ = 2.24
tc f
Además,
Por Grunsky,
i(tc ) = i24
r
24
= 20.43 [mm/hr]
tc
ar
cf = 1.0 → C = 0.777
Finalmente Q = 0.777 · 20.43 · 8/3.6 = 35.3 [m3 /s], con un gasto especı́fico de q = Q/A = 4.41 [m3 /s· km2 ].
re
lim
in
Si la misma tormenta ocurre sobre una cuenca de las mismas caracterı́sticas pero de tamaño mayor de 800
[km2 ] con un tiempo de concentración de 12 hrs, se obtiene
t∗
√ =
6
Luego,
r
1 i24
→ t∗ = 0.647
tc f
cf = 1.33 → C = 0.431
r
24
= 5.90 [mm/hr]
tc
rP
Por Grunsky,
i(tc ) = i24
Donde finalmente Q = 0.431 · 5.9 · 800/3.6 = 565 [m3 /s], con un gasto especı́fico de q = Q/A = 0.71 [m3 /s·
Bo
rra
do
km2 ].
9.4.2.2.
Estimación del Tiempo de Concentración
El tiempo de concentración de la cuenca se define como el tiempo que demora en llegar a la sección de salida
de la cuenca, la partı́cula de lluvia que cae en el punto más alejado de ella, es decir, es el tiempo a partir del
cual toda la superficie de la cuenca está aportando agua a la sección de salida.
Para estimar a su vez el tiempo de concentración pueden utilizarse diversos procedimientos. Por ejemplo:
tc =
L
v
(9.79)
donde L es la longitud del cauce principal y v es la velocidad media del escurrimiento.
A continuación se presentan algunas ecuaciones utilizadas para el cálculo del tiempo de concentración:
Fórmula de Kirpich
tc = k
L3
∆h
0.385
[hrs]
(9.80)
9.4. Fórmulas Empı́ricas
231
Con L longitud del cauce principal [km], ∆h es el desnivel máximo de la cuenca [m] y 0.5 < k < 1.5
dependiendo del grado de definición de la red de drenaje (Normal en cuencas naturales, k ≈ 1).
Fórmula de Hathaway
tc =
2.19·L·n
√
S
0.47
(9.81)
[hrs]
ar
donde L es la longitud del cauce principal [m], n es el coeficiente de rugosidad de Manning y S es la
Fórmula de Giandotti
re
lim
in
pendiente media de la cuenca.
√
4 A + 1.5 · L
√
tc =
0.8 H
[hrs]
(9.82)
donde A es la superficie de la cuenca en [km2 ], L es la longitud del cauce principal en [km] y H
es la altitud media de la cuenca en [m]. La fórmula es aplicable en cuencas con A < 200 Há y si
L/5.4 < tc < L/3.6.
7 · L0.6 n0.6
i0.4 S 0.3
rP
Fórmula de Linsley-Morgali
tc =
[hrs]
(9.83)
donde L es la longitud de cauce principal en [km], n es el coeficiente de rugosidad de Manning, i es la
intensidad de la lluvia en [mm/hr] y S es la pendiente media de la cuenca. Esta fórmula es iterativa
Bo
rra
do
debido a que tanto i como tc son desconocidos.
Fórmula Manual de Carreteras de España
tc = 0.3 ·
L0.76
S 0.19
[hrs]
(9.84)
donde L es la longitud de cauce principal en [km] y S es la pendiente media de la cuenca.
Leignier (2006) obtuvo buenos resultados al aplicar esta fórmula en cuencas grandes de Chile.
Para la aplicación de la fórmula racional, la magnitud de la intensidad media máxima de la tormenta para
el tiempo de concentración respectivo (independiente la fórmula que se utilice), debe obtenerse de la curva
intensidad-duración de la tormenta.
9.4.3.
Fórmula de Verni-King
Esta fórmula ha tenido gran aplicación en el paı́s dada su simplicidad y debido a que fue deducida a partir
del análisis de crecidas registradas en Chile.
232
Estudio y Estimación de Crecidas
Sus autores, a partir de un análisis dimensional, proponen que el caudal máximo provocado por una
tormenta de precipitación total diaria P [mm] que ocurre sobre una cuenca de tamaño A [km2 ], viene dado
por la expresión,
Q = 0.00618 · P 1.24 · A0.88
(9.85)
[m3 /s]
ar
La fórmula es generalmente aplicable para tormentas de alto perı́odo de retorno en cuencas de tamaño
medio o mayor. La DGA (2005b) propone minoraciones al coeficiente de la fórmula para utilizarla para
tormentas de perı́odo de retorno menores a 100 años.
re
lim
in
Aplicada al segundo ejemplo anterior se obtiene
Q = 0.00618 · 1001.24 · 8000.88 = 669 [m3 /s]
Es decir, un 18 % mayor al resultado del ejemplo anterior.
9.4.4.
Fórmulas DGA
La Dirección General de Aguas, DGA (2005b), propone un método que se conoce como Método DGA-AC,
rP
en el cual se estima el caudal máximo medio diario para un perı́odo de retorno de 10 años, para distintas
regiones del paı́s, en base a las siguientes ecuaciones:
Bo
rra
do
Regiones III y IV:
10
· P24
Q10 = 1.94 × 10−7 · A0.776
p
3.108
[m3 /s]
(9.86)
10
Q10 = 5.42 × 10−8 · A0.915
· P24
p
3.432
[m3 /s]
(9.87)
Regiones V, RM y VI:
Regiones VII y IX:
10
Q10 = 2 × 10−3 · A0.973
· P24
p
1.124
[m3 /s]
(9.88)
10
es la precipitación en 24 horas con 10 años de perı́odo
donde Ap es el área pluvial de la cuenca en [km2 ] y P24
de retorno.
A partir del caudal máximo medio diario con perı́odo de retorno de 10 años, se estiman los caudales medios
diarios para otros perı́odos de retorno, utilizando coeficientes de frecuencia determinados para 23 distintas
zonas homogéneas del paı́s. Finalmente, el método propone factores para pasar del caudal máximo medio
diario al caudal máximo instantáneo.
9.4. Fórmulas Empı́ricas
233
A manera de ejemplo, en la cuenca de 800 [km2 ] utilizada en los ejemplos anteriores, supuestamente ubicada
en la cuenca del Aconcagua (V región), con una precipitación en 24 horas con perı́odo de retorno de 10 años
de 80 [mm], el caudal Q10 resulta:
Q10 = 5.42 × 10−8 · 8000.915 · 803.432 = 84.2 [m3 /s]
Factor de frecuencia
5
0.74
10
1.00
20
25
50
75
100
re
lim
in
Perı́odo de Retorno [años]
ar
Para la zona de Aconcagua, zona Pp del Manual de la DGA, se obtiene la Tabla
1.29
1.39
1.72
1.94
2.10
Luego, si la precipitación de 80 [mm], tiene un perı́odo de retorno de 50 años, el caudal máximo medio
diario para dicho perı́odo de retorno resulta,
rP
Q50 = 1.72 · 84.2 = 144.8 [m3 /s]
Finalmente, para pasar a valores máximos instantáneos, el Manual propone para dicha zona el valor α =
Bo
rra
do
1.43 de donde
Q50,max = 1.43 · 144.8 = 207.1 [m3 /s]
Este resultado es del orden de un 25 % inferior al de los métodos anteriores. Las diferencias, aunque son
habituales en fórmulas hidrológicas, pueden deberse en este caso, a que se consideró una cuenca hipotética,
adoptando valores estimativos, pero arbitrarios, para el tiempo de concentración y el perı́odo de retorno de
las lluvias.
9.4.5.
Hidrogramas de Crecidas
Las fórmulas empı́ricas permiten estimar en forma rápida el caudal máximo de una crecida pero no dan información sobre la forma del hidrograma correspondiente. Si dicha información resulta necesaria, en principio
debiera recurrirse al uso de Hidrogramas Unitarios, efectuando la convolución en función de un determinado
hietograma de la tormenta resultando crecidas cuyo caudal máximo y forma dependerán bastante de la forma
del hietograma o distribución temporal de la tormenta.
Sin embargo, se han propuesto algunos procedimientos más o menos simplificados que permiten generar en
forma directa el hidrograma de crecida sin pasar a través del concepto de hidrograma unitario. Estos métodos
234
Estudio y Estimación de Crecidas
resultan adecuados para su incorporación en modelos computacionales que modelan el comportamiento de
redes hidrográficas o sistemas artificiales de drenaje de aguas lluvias.
9.4.5.1.
Hidrograma de Santa Bárbara
El hidrograma de Santa Bárbara es un procedimiento simple y conceptualmente interesante desarrollado para
ar
calcular crecidas de diseño en sistemas de aguas lluvias.
El modelo supone una cuenca (urbana) con una fracción “p” de suelos impermeables y una fracción “(1−p)”
de suelos con una tasa de infiltración constante “f ”.
re
lim
in
En consecuencia, si sobre la cuenca cae una lluvia que un instante tiene una intensidad “i”, el flujo o caudal
superficial efectivo que ingresa a la cuenca será,
I = A · (p · i + (1 − p) · (i − f ))
i>f
(9.89)
Si el caudal en la sección de salida es Q, la ecuación de continuidad nos dice que
I −Q=
dV
dt
(9.90)
rP
El modelo postula un comportamiento lineal, en que el almacenamiento en la cuenca es
V = Q · tc = k · Q · tc
(9.91)
Bo
rra
do
donde Q es el caudal medio que circula por la cuenca, tc es el tiempo de concentración de la cuenca, y
k < 1 es un factor que relaciona el caudal medio con el caudal de salida Q. Luego,
I − Q = k · tc
dQ
dt
(9.92)
Intergrando en forma numérica la ecuación de continuidad para un intervalo ∆t
I −Q=
Vf − Vi
∆t
Ii + If
Qi + Qf
k · tc
−
=
(Qf − Qi )
2
2
∆t
Donde los subı́ndices indican los valores al inicio y término del intervalo. Reordenando, se obtiene
Qf = Qi +
∆t
∆t + 2ktc
(Ii + If − 2Qi )
(9.93)
Aplicada en forma recursiva, esta ecuación permite sintetizar el hidrograma de salida Q(t) en función del
hietograma de la tormenta i(t) y de las caracterı́sticas de la cuenca (A, p, f ).
9.4. Fórmulas Empı́ricas
235
Si no se dispone de información pluviográfica se puede considerar una intensidad efectiva media constante,
en cuyo caso
I = ief · A
(9.94)
ief A − Q = ktc dQ
dt
ar
De donde la ecuación de continuidad queda
re
lim
in
t < Tef
−Q = ktc dQ
dt
t > Tef
Donde Tef es la duración de la lluvia efectiva. La integración directa de las ecuaciones anteriores lleva a
Q(t) = ief A 1 − e−t/(ktc )
t < Tef
t−Tef
Q(t) = ief A 1 − e−Tef /(ktc ) e− ktc
t > Tef
(9.95)
(9.96)
rP
Se observa de la ecuación 9.96 que de acuerdo a este modelo, si la lluvia se prolonga en forma indefinida el
caudal es siempre creciente tendiendo asintóticamente al caudal en régimen. De lo anterior se desprende que
el máximo caudal ocuurrirı́a en el instante t = Tef con una magnitud
Bo
rra
do
Tef
Qmax = ief A 1 − e− ktc
(9.97)
Por otra parte la intensidad efectiva media será a su vez función de la duración de la tormenta. Si se acepta
nuevamente una tormenta centrada, simétrica, monomodal que satisfaga en todo momento la ley de Grunsky,
con una tasa de infiltración constante “f ”, se demuestra que
P
q24
(9.98)
T
P24
− ktefc
p
=
A 1−e
24 Tef /6
(9.99)
ief =
24
Tef
6
De donde
Qmax
Derivando el caudal máximo respecto a la duración de la lluvia e igualando a cero, se llega a la expresión
Tef
e ktc + 2
Tef − Tktef
e c =0
ktc
(9.100)
236
Estudio y Estimación de Crecidas
Ecuación que se satisface para
Tef
ktc
≈ 1.2565.
De lo anterior, la duración de lluvia más desfavorable de la cuenca serı́a
Tef = 1.2565k · tc
(9.101)
Qmax =
P
p 24
A 1 − e−1.2565
24 1.2565ktc /6
ar
Con un caudal máximo dado por la expresión
(9.102)
re
lim
in
Si la precipitación se expresa en mm, el tiempo de concentración en horas y el área de la cuenca en km2 ,
se llega a la fórmula
Qmax =
0.018
√
P A
ktc 24
m3 /s
(9.103)
El hidrograma original de Santa Bárbara supone un coeficiente k = 1, lo que implica aceptar que en toda
la cuenca el caudal es el mismo que en la sección de salida. Esta hipótesis parece exagerada, ya que en la
cabecera de la cuenca el caudal será nulo, pareciendo más razonable utilizar un valor menor, cercano a k = 0.5
Aplicado al primer caso del ejemplo anterior, y utilizando k = 0.5, se tiene
En el segundo caso,
rP
0.018
Qmax = √ 100 · 8 = 20.4 [m3 /s]
0.5
Bo
rra
do
0.018
Qmax = √ 100 · 800 = 588 [m3 /s]
0.6
9.4.5.2.
Hidrograma del SCS
El Soil Conservation Service (SCS) de los EE. UU. propone el uso de una hidrograma de crecida simplificado
de forma triangular. La precipitación efectiva o volumen de escorrentı́a directa se calcula mediante el método
de la Curva Número.
Para el tiempo al máximo proponen la relación
tp =
Tef
+ 0.6tc
2
(9.104)
Mientras que para el tiempo base proponen
tB = 2.67 · tp
Como el hidrograma es triangular, el volumen de escorrentı́a directa valdrá
(9.105)
9.4. Fórmulas Empı́ricas
237
Ved = Pef A =
1
tB qp
2
(9.106)
de donde
2Pef A
2.67
Tef
2
+ 0.6tc
(9.107)
ar
Qp =
Expresando la precipitación en [mm], el área en [km2 ] y los tiempos en horas resulta finalmente
[m3 /s]
re
lim
in
ef
Qp = 0.416 Tef +1.2t
c
P
A
(9.108)
Con el mismo modelo de tormenta de los casos anteriores, se demuestra que
Tef = 6
Volviendo a los ejemplos anteriores, se tiene
Donde en el primer caso
4.167
4.56
i24
f
2
2
(9.109)
= 5.01 [hr]
rP
Tef = 6
22.9 · 8
= 12.3 [m3 /s]
5.01 + 1.2
Bo
rra
do
Qp = 0.416
y en el segundo
Qp = 0.416
9.4.5.3.
22.9 · 800
= 393 [m3 /s]
5.01 + 1.2 · 12
Fórmula de Millán-Stowhas
Este método permite una metodologı́a generalizada simplificada que entrega valores directos de los principales
factores que intervienen en el hidrograma de una crecida; caudal máximo instantáneo, tiempo al máximo y
forma de la onda de crecida, sin necesidad de pasar a través del método del hidrograma unitario.
Utilizando el método del Hidrograma Unitario Sintético propuesto por Arteaga y Benı́tez (1986) para la
zona central-norte de Chile, se generó un gran número de hidrogramas de crecida para distintas combinaciones
de las variables que intervienen en el fenómeno, tales como magnitud y duración de la tormenta, potencial de
infiltración y caracterı́sticas geomorfológicas de la cuenca, ajustando relaciones generalizadas para representar
la magnitud y forma de la onda de crecida en función de las variables hidrometeorológicas y geomorfológicas
que la originan, aún cuando los hidrogramas generados corresponden tormentas centralmente distribuidas
según la Distribución Centrada de Endesa (Benitez, 1985).
238
Estudio y Estimación de Crecidas
Para evaluar la infiltración y la precipitación efectiva se utiliza el Método de la Curva Número para cuencas
con Curva Número entre 60 y 80.
El método permite evaluar las siguientes variables:
Tiempo en el cual ocurre el máximo caudal (TM), en horas.
ar
Caudal máximo por unidad de área del hidrograma de crecida generado (qm ), en [m3 /s · km2 ].
Instante en el cual comienza a generarse la escorrentı́a directa (TI), en horas.
re
lim
in
Forma del hidrograma de crecida, según la función Gamma propuesta por McEnroe (1992), la cual
obedece a la siguiente expresión:
Q(t) = Qp ·
donde:
t
Tp
p
p·
·e
t
Tp
−1
(9.110)
Q(t) : Caudal del hidrograma en función del tiempo.
Qp : Caudal máximo de la crecida (Qp = qm · A).
Tp : Tiempo en que ocurre el máximo caudal, medido con respecto al inicio del hidrograma (Tp =
(TI).
rP
T M − T I), ya que el origen de esta función se fijó en el instante en que comienza la escorrentı́a directa
p : Factor de forma adimensional.
Bo
rra
do
Para el factor de forma p se propone, en forma referencial, la expresión,
p=
2.38 · qm · (T M − T I)
+ 0.113
Pef
2.041
(9.111)
donde el producto qm ·(T M −T I)/Pef debe ser adimensional (factor de corrección 3.6 si se usa [m3 /s·km2 ],
horas y [mm]).
Sin embargo, para cada aplicación particular, el factor p debe ajustarse de manera que el volumen de
escorrentı́a sea igual al volumen precipitación efectiva, es decir, igual al producto de la precipitación efectiva
(Pef ) por el área de la cuenca (A).
Para el caudal máximo se propone la relación
qm = 0.383 TPD −
S(P −0.16S)
3.3T D(P +0.8S)
P
− 61.971 TGM
D 3.322 N C 1.135
0.854
0.759
m3 /s/km2
(9.112)
donde S se obtiene del método de la Curva Número, N C es la Curva Número, P es la lluvia de diseño
[mm], T D es la duración de la lluvia de diseño [hrs] y GM es el parámetro geomorfológico de Linsley,
GM =
L·L
√
S
[km2 ]
9.4. Fórmulas Empı́ricas
239
Para el tiempo al máximo se propone la relación
TM =
+ 0.565GM 0.348
TD
2
(9.113)
[hrs]
0
21.01T D
 1.288
P
(N C/100)4.536
donde T I esta en horas y Plim = 78.15
9.4.6.
si P ≥ Plim
si P < Plim
re
lim
in
TI =


ar
Por último, para el tiempo de inicio de la escorrentı́a directa se proponen las relaciones
1000
CN
(9.114)
− 10 en [mm].
Hietogramas de Tormentas de Diseño
Cuando se pretende sintetizar el hidrograma de una crecida mediante un método precipitación-escorrentı́a, tal
rP
como los hidrogramas unitarios u otros de los procedimientos antes vistos, es necesario establecer previamente
el hietograma de la tormenta de diseño, es decir, hay que establecer la sucesión u orden cronológico en que
se presentan los distintos intervalos de intensidad de precipitación.
Diversos estudios se han realizado en Chile y en el mundo intentando establecer alguna forma o hietograma
Bo
rra
do
tı́pico de las tormentas, pero los resultados no son concluyentes. La intensidad de las precipitaciones puede
distribuirse de cualquier forma, existiendo a lo más, algunas formas o distribuciones que se presentan con
mayor frecuencia que otras. Dependerá en consecuencia del criterio y experiencia del proyectista la distribución
a seleccionar en función del objetivo de la estimación, ya que tormentas de igual magnitud, pero de distinta
distribución temporal generarán caudales máximos de crecida distintos, perdiéndose la asociación entre el
perı́odo de retorno de la tormenta y el perı́odo de retorno del caudal máximo de crecida resultante.
No obstante lo anterior, diversos criterios se han propuesto para la distribución de tormentas en el tiempo.
9.4.6.1.
Distribución de Tormentas de Endesa
Benitez y Verni (1985) estudiaron la distribución temporal de tormentas chilenas con duraciones entre 12
y 72 horas, proponiendo tres distribuciones distintas, una con valores máximos al comienzo, otra centrada
y otra con valores máximos al final de la tormenta. Por efectos de infiltración y forma de los hidrogramas
unitarios, los caudales máximos se incrementarán cuando las máximas intensidades se concentren al final
de la tormenta. De ellas, la más utilizada, por generar valores de crecida intermedios, es la denominada
Distribución Centrada de Endesa. En la Tabla 9.9 y la Figura 9.11.
240
Estudio y Estimación de Crecidas
% Tiempo
% Ptotal
% Tiempo
% Ptotal
0-10
6.9
50-60
14.2
10-20
8.3
60-70
11.6
20-30
10.4
70-80
9.5
30-40
12.6
80-90
7.5
40-50
13.7
90-100
5.3
re
lim
in
16
14
% Ptotal
12
10
8
6
4
rP
2
0
ar
Tabla 9.9: Distribución de Endesa centrada para tormentas de duraciones 12 [hr] ≤ t ≤ 72 [hr].
% Tiempo
Bo
rra
do
Figura 9.11: Distribución de Endesa centrada para tormentas de duraciones 12 [hr] ≤ t ≤ 72 [hr].
9.4.6.2.
Método de los Bloques Alternantes
Un procedimiento alternativo, aún cuando más conservador, es distribuir cronológicamente la precipitación
mediante el denominado método de los bloques alternantes. Este consiste en postular valores de precipitación
para un cierto intervalo de tiempo, digamos 1 hora, de manera que su suma coincida con la precipitación
total de la tormenta. Los bloques (horarios) de precipitación se distribuyen ubicando el intervalo u hora de
mayor precipitación en forma central, agregando en forma alternante los bloques de precipitación siguientes
ordenados de mayor a menor, sucesivamente antes y después del bloque central.
Con el propósito de que la distribución de la tormenta resulte crı́tica para todos los tiempos de concen-
tración, conviene asignarle a cada bloque de precipitación la magnitud que le corresponda de acuerdo a los
coeficientes de duración de precipitaciones.
Ejemplo: Distribución cronológica o hietograma de diseño de una tormenta de diseño de 120 [mm] en 24
horas.
Utilizando la fórmula de Gunsky, Pt = P24 ·
q
t
24 ,
se indica en la columna 2 de la Tabla 9.10, para cada
9.4. Fórmulas Empı́ricas
241
duración, la precipitación máxima acumulada correspondiente a ella y por diferencia con el valor anterior,
se obtiene en la columna 3, la magnitud de precipitación individual de cada bloque u hora. Finalmente, el
hietograma de diseño que se muestra en la columna 4 de la Tabla 9.10 y Figura 9.12, se construye ubicando
en este caso la mayor precipitación horaria en el bloque u hora 13, la segunda mayor precipitación horaria
en el bloque u hora 12, la tercera magnitud, alternadamente en el bloque u hora 14 y ası́ sucesivamente.
Duración
Precipitación
Hietograma
Duración
ar
Tabla 9.10: Obtencion de hietograma de diseño mediante el método de los bloques alternantes.
Precipitación
Horaria
Diseño
Acumulada
[hr]
[mm]
[mm/hr]
[mm/hr]
[hr]
[mm]
1
24.5
24.5
2.5
13
2
34.6
10.1
2.6
3
42.4
7.8
4
49
5
Hietograma
Horaria
Diseño
[mm/hr]
[mm/hr]
88.3
3.5
24.5
14
91.7
3.3
7.8
2.8
15
94.9
3.2
5.8
6.6
2.9
16
98
3.1
4.8
54.8
5.8
3.1
17
101
3
4.2
6
60
5.2
3.3
18
103.9
2.9
3.8
7
64.8
4.8
3.6
19
106.8
2.8
3.5
8
69.3
4.5
4
20
109.5
2.8
3.2
9
73.5
4.2
4.5
21
112.2
2.7
3
10
77.5
4
5.2
22
114.9
2.6
2.8
11
81.2
3.8
6.6
23
117.5
2.6
2.7
12
84.9
3.6
10.1
24
120
2.5
2.6
Bo
rra
do
rP
re
lim
in
Acumulada
25
Intensidad [mm/hr]
20
15
10
5
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Tiempo [hr]
Figura 9.12: Obtencion de hietograma de diseño mediante el método de los bloques alternantes.
242
Estudio y Estimación de Crecidas
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rra
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