Ejercicios-de-Productos-Notables-Para-Cuarto-Grado-de-Secundaria

EJERCICIOS DE PRODUCTOS NOTABLES
BINOMIO CUADRADO
A) Binomio suma al cuadrado
a+b
2
B) Binomio diferencia al cuadrado
( a − b )2 =a2 − 2ab + b2
=a 2 + 2ab + b2
Ejemplo:
Ejemplo:
2
 x + 1  =x 2 + 2 x  1  +  1 
( ) x   x 

x 

   
1
= x2 + 2 +
x2
2
IDENTIDADES DE LEGENDRE
( a + b )2 + ( a − b )2=
(
2 a 2 + b2
2
 x − 1  =x 2 − 2x. 1 +  1 

x 
x  x 

= x2 − 2 +
2
− a−b
2
)
( a + b )( a − b ) = a2 − b2
(
=
4ab
1
x2
DIFERENCIA DE CUADRADOS
Ejemplo:
a+b
2
7+ 2
)(
)
2
7− 2 = 7 − 2
2
=7–2 =5
BINOMIO AL CUBO
A) Binomio suma al cubo
(a + b)
Ejemplo:
3
B) Binomio diferencia al cubo
( a − b )3 = a3 − b3 − 3ab ( a − b )
= a 3 + b3 + 3ab ( a + b )
3
Ejemplo:
3
 x + 1  =x 3 +  1  + 3x. 1  x + 1 

x
x 
x 
x  
 
1
1
=x +
+ 3  x + 
3
x

x
3
3
 x − 1  = x 3 − 1 − 3x. 1  x − 1 

x 
x 
x 

x3
= x3 −
1
1
− 3  x − 
3
x

x
BINOMIO POR TRINOMIO
A) Suma de cubos
B) Diferencia de cubos
( a + b ) ( a2 − ab + b2 ) = a3 + b3
Ejemplo:
( x + 1) ( x 2 − x + 1) =
x 3 + 13 = x 3 + 1
( a − b ) ( a2 + ab + b2 ) = a 3 − b3
Ejemplo:
( x − 1) x2 + x + 1 = x3 − 13 = x3 –1
(
)
PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CON UN TÉRMINO COMÚN O IDENTIDAD DE STEVIN
( x + a )( x + b ) = x2 + ( a + b ) x + ab
Ejemplos:
( x − 2 )( x + 3 ) = x2 + x − 6
( x + 2 )( x + 3 ) = x2 + 5x + 6
TRINOMIO AL CUADRADO
( a + b + c )2 =
a 2 + b2 + c2 + 2 ( ab + bc + ac )
TRINOMIO AL CUBO
( a + b + c )3 =
a 3 + b3 + c3 + 3 ( a + b )( b + c )( a + c )
CONDICIONAL
a 3 + b3 + c 3 =
3abc
0
Si: a + b + c =
a 4 + b4 + c 4= 2 ( ab + bc + ac )
Se cumple:
a 2 + b2 + c 2 =
−2 ( ab + bc + ac )
2
a 5 + b5 + c 5 =
−5abc ( ab + bc + ac )
Trabajando en clase
Integral
2
2
1. Calcula: a + b
Si a + b = 5 ∧ ab = 3
2. Calcula “ab”
Si:
36 − 24 = ( a − b )
12
=
2
( a − b )2
±2 3 =
a − b; si a < b
a − b = 5 ∧ a 2 + b2 = 17
3. Calcula a – b
2
2
Si: a + b = 4 ∧ a + b = 9
a<b
PUCP
4. Calcula a – b
Si a + b = 6 ∧ ab = 6; a < b
Resolución:
⇒ Aplicamos legendre:
4ab
( a + b )2 − ( a − b )2 =
2
62 − ( a − b ) =
4.6
−2 3 =
a−b
5. Calcula a – b
Si a + b = 4 ∧ ab = 2
6. Simplifica:
( x + 1 + 2 x )( x + 1 − 2 x ) + ( x + 1)2
2 ( x + 1 + 2x )( x + 1 − 2x )
7. Dado
a b
+= 1 ( a; b ≠ 0 )
b a
4
4
Calcula: a + b
a 2 b2
UNI
UNMSM
12. Determina el valor de “x” que verifica:
8. Determina la expresión simplificada de:
(a
b
+ a −b
)( a
b
− a −b
)( a
4b
+ 1 + a −4b
)
3
Resolución:
a + a )( a − a )( a + 1 + a )
(

a − a )( a + 1 + a )
(


−b
b
2b
a
6b
−a
−2b
−b
b
Resolución:
−4b
4b
3
3
 3 14 + x + 3 14 − x  =

 ( 4)


−4b
4b
3
14 + x + 14 − x =
4
3
3
3
3
3 +
 3

x  +  14 − x  + 3 14 − x 14 − x ( 4 ) =
43
 14

 

−6b
2
3
14 + x + 14 – x + 3 142 − x .4 =
64
9. Reduce la siguiente expresión:
A=
( x + 1)( x − 1) ( x
2
)(
2
)
− x +1 x + x +1 − x
6
28 + 123 196 − x =
64
3
196 − x =
3
169 = x
10. Determina el valor de “abc”
Si:
1
1
a+ = 1 y b+= 1
b
c
sean b ≠ 0 y c ≠ 0
11. Si x − x −1 = 1 ( x ≠ 0 ) entonces los valores de
x 2 + x −2 y x 3 − x −3 son:
13. Determina el valor de "x" que verifica:
3+ x + 3− x =
2 2
14. Sean los números:
1 1
1 1
+
−
a=
;b =
2
2
2
2
1
1
Entonces a + + b + es igual a:
a
b