Fisica 2 Principios con Aplicaciones Dou

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Constantes fundamentales
Cantidad
Símbolo
Valor aproximado
Mejor valor actual†
Rapidez de la luz en el vacío
Constante gravitacional
Número de Avogadro
Constante de gas
c
G
NA
R
2.99792458 * 108 ms
6.6742(10) * 10–11 Nm2kg 2
6.0221415(10) * 1023 mol–1
8.314472(15) JmolK
Constante de Boltzmann
Carga del electrón
Constante Stefan-Boltzmann
Permitividad del espacio libre
Permeabilidad del espacio libre
Constante de Planck
Masa en reposo del electrón
k
e
s
0 = A1c2m0 B
m0
h
me
Masa en reposo del protón
mp
Masa en reposo del neutrón
mn
3.00 * 108 ms
6.67 * 10–11 Nm2kg 2
6.02 * 1023 mol–1
8.314 JmolK = 1.99 calmolK
= 0.0821 L atmmol K
1.38 * 10–23 JK
1.60 * 10–19 C
5.67 * 10–8 Wm2 K4
8.85 * 10–12 C 2Nm2
4p * 10–7 T mA
6.63 * 10–34 Js
9.11 * 10–31 kg = 0.000549 u
= 0.511 MeVc2
1.6726 * 10–27 kg = 1.00728 u
= 938.3 MeVc2
1.6749 * 10–27 kg = 1.008665 u
= 939.6 MeVc2
1.6605 * 10–27 kg = 931.5 MeVc2
Unidad de masa atómica
1.3806505(24) * 10–23 JK
1.60217653(14) * 10–19 C
5.670400(40) * 10–8 Wm2 K4
8.854187817 p * 10–12 C 2N m2
1.2566370614 p * 10–6 T mA
6.6260693(11) * 10–34 Js
9.1093826(16) * 10–31 kg
= 5.4857990945(24) * 10–4 u
1.67262171(29) * 10–27 kg
= 1.00727646688(13) u
1.67492728(29) * 10–27 kg
= 1.00866491560(55) u
1.66053886(28) * 10–27 kg
= 931.494043(80) MeVc2
†
CODATA (1203), Peter J. Mohr y Barry N. Taylor, National Institute of Standards and Technology. Los números entre paréntesis indican incertidumbres
experimentales de una desviación estándar en los dígitos finales. Los valores sin paréntesis son exactos (es decir, son cantidades definidas).
Otros datos útiles
El alfabeto griego
Equivalente en joule (1 cal)
Cero absoluto (0 K)
Aceleración de la gravedad en
la superficie de la Tierra (prom.)
Rapidez del sonido en el aire
Densidad del aire (seco)
Tierra: Masa
Radio (medio)
Luna: Masa
Radio (medio)
Sol:
Masa
Radio (medio)
Distancia Tierra-Sol (media)
Distancia Tierra-Luna (media)
4.186 J
–273.15°C
9.80 ms2 (= g)
343 ms
1.29 kgm3
5.98 * 1024 kg
6.38 * 103 km
7.35 * 1022 kg
1.74 * 103 km
1.99 * 1030 kg
6.96 * 105 km
149.6 * 106 km
384 * 103 km
Alfa
Beta
Gamma
Delta
Epsilon
Zeta
Eta
Theta
Iota
Kappa
Lambda
Mu
¢
™
¶
a
b
g
d
e
z
h
u
i
k
l
m
Nu
Xi
Omicron
Pi
Rho
Sigma
Tau
Upsilon
Phi
Chi
Psi
Omega
ß
©
£
°
n
j
o
p
r
s
t
y
f, w
x
c
v
Valores de algunos números
p = 3.1415927
e = 2.7182818
12 = 1.4142136
13 = 1.7320508
ln 2 = 0.6931472
ln 10 = 2.3025851
Propiedades del agua
Signos y símbolos matemáticos
r
=
L
Z
7
W
6
V
es proporcional a
es igual a
es aproximadamente igual a
no es igual a
es mayor que
es mucho mayor que
es menor que
es mucho menor que
g
x
¢x
¢x S 0
n!
log10 e = 0.4342945
1 rad = 57.2957795°
es menor que o igual a
es mayor que o igual a
suma de
valor promedio de x
cambio en x
¢x tiende a cero
n(n - 1)(n - 2) p (1)
Densidad (4°C)
1.000 kgm3
Calor de fusión (0°C) 333 kJkg
(80 kcalkg)
Calor de vaporización 2260 kJkg
(100°C)
(539 kcalkg)
Calor específico (15°C) 4186 Jkg C°
(1.00 kcalkg C°)
Índice de refracción
1.33
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Fórmulas geométricas útiles. Áreas, volúmenes
Circunferencia de círculo C = pd = 2pr
Área de círculo
A = pr2 =
Área de rectángulo
A = lw
Exponentes [Véase apéndice A-2 para detalles]
d
r
pd2
4
Aan BAam B = an + m
Aan BAbn B = (ab)n
m
Aan B = anm
C
l
a –1 =
w
1
a
1
h
A = bh
b
Área de triángulo
A =
1
2
hb
h
h
b
Triángulo rectángulo
(Pitágoras)
A = 4pr2
V = 43 pr3
a
1
[Ej.: Aa5 BAa –2 B = a3]
a
= an - m
am
an
a n
n = a b
b
b
x =
h
V = lwh
–b P 3b2 - 4ac
.
2a
l
w
Logaritmos [apéndice A-8; tabla p. A-11]
A = 2prl + 2pr2
V = pr2l
Cono circular recto:
área superficial
volumen
A = pr2 + pr 3r2 + h2
V = 13 pr2h
l
Si y = 10x,
r
x
Si y = e ,
n(n - 1)
x2 +
21
si x V 1
entonces
entonces
x = log10 y = log y.
x = loge y = ln y.
log(ab) = log a + log b
a
log a b = log a - log b
b
log an = n log a
h
r
Expansión binomial [apéndice A-5]
L 1 + nx
n
La ecuación con incógnita x en la forma
ax2 + bx + c = 0,
tiene soluciones
r
Cilindro (recto):
área superficial
volumen
(1 + x)n = 1 + nx +
d
Fórmula cuadrática [apéndice A-4]
c
b
Sólido rectangular:
volumen
1
b
c 2 = a 2 + b2
Esfera: área superficial
volumen
4
Ejemplo: A a4 B = a
1
= n
a0 = 1
a
a4 = 21a
Aan BAa –m B =
h
c
a –n
a2 = 1a
Área de paralelogramo
[Ejemplo: Aa3 BAa2 B = a5]
[Ejemplo: Aa3 BAb3 B = (ab)3]
2
Ejemplo: Aa3 B = a6
Fracciones
n(n - 1)(n - 2)
321
x3 + p
c
a
=
es lo mismo que ad = bc
b
d
[para x2 6 1]
[Ejemplo: (1 + 0.01)3 L 1.03]
1
1
–1
[Ejemplo:
=
= (1 - 0.01) 2 L 1 - A – 12 B(0.01) L 1.005]
10.99
11 - 0.01
a
a b
b
ad
=
bc
c
a b
d
Fórmulas trigonométricas [apéndice A-7]
)
ot
p
hip
(hi
sen u =
sa
enu
op (opuesto)
cos u =
θ
ady (adyacente)
ady2 + op2 = hip2
tan u =
tan u =
op
hip
sen(180° - u) = sen u
sen(90° - u) = cos u
ady
cos(90° - u) = sen u
hip
sen 12 u = 3(1 - cos u)2
op
ady
(Teorema de Pitágoras)
sen u
cos u
sen2 u + cos2 u = 1
sen 2u = 2 sen u cos u
cos 2u = (cos2 u - sen2 u) = (1 - 2 sen2 u) = (2 cos2 u - 1)
cos(180° - u) = – cos u
f 0 6 u 6 90°
cos 12 u = 3(1 + cos u)2
[para pequeños u f 0.2 rad]
u2
[para pequeños u f 0.2 rad]
cos u L 1 2
sen(A P B) = sen A cos B P cos A sen B
cos(A P B) = cos A cos B7sen A sen B
sen u L u
Para cualquier triángulo:
c2 = a2 + b2 - 2ab cos g
sen b
sen g
sen a
=
=
a
b
c
(ley de cosenos)
(ley de senos)
c
α
β
b
a
γ
Conversiones de unidades (equivalentes)
Longitud
Tiempo
1 in = 2.54 cm
1 cm = 0.3937 in
1 ft = 30.48 cm
1 m = 39.37 in = 3.281 ft
1 mi = 5280 ft = 1.609 km
1 km = 0.6214 mi
1 milla náutica (EUA) = 1.151 mi = 6076 ft = 1.852 km
1 fermi = 1 femtómetro (fm) = 10–15 m
1 angstrom (Å) = 10–10 m = 0.1 nm
1 año luz (al) = 9.461 * 1015 m
1 parsec = 3.26 al = 3.09 * 1016 m
1 día = 8.64 * 104 s
Volumen
1 año = 3.156 * 107 s
Masa
1 unidad de masa atómica (u) = 1.6605 * 10–27 kg
1 kg = 0.0685 slug
[1 kg tiene un peso de 2.20 lb donde g = 9.80 ms2.]
Fuerza
1 lb = 4.45 N
1 N = 105 dina = 0.225 lb
Energía y trabajo
1 litro (L) = 1000 mL = 1000 cm3 = 1.0 * 10–3 m3 =
1.057 (qt EUA) 61.02 in3
1 galón (EUA) 4 qt (EUA) 231 in3 3.785 L
0.8327 galón (inglés)
1 cuarto (qt, EUA) 2 pintas (EUA) 946 mL
1 pinta (inglesa) 1.20 pintas (EUA) 568 mL
1 m3 = 35.31 ft3
1 J = 107 ergs = 0.738 ft lb
1 ft lb = 1.36 J = 1.29 * 10–3 Btu = 3.24 * 10–4 kcal
1 kcal = 4.186 * 103 J = 3.97 Btu
1 eV = 1.602 * 10–19 J
1 kWh = 3.60 * 106 J = 860 kcal
Potencia
Rapidez
1 W = 1 Js = 0.738 ft lbs = 3.42 Btuh
1 mih = 1.467 fts = 1.609 kmh = 0.447 ms
1 kmh = 0.278 ms = 0.621 mih
1 fts = 0.305 ms = 0.682 mih
1 ms = 3.281 fts = 3.600 kmh = 2.237 mih
1 nudo = 1.151 mih = 0.5144 ms
1 hp = 550 ftlbs = 746 W
Presión
1 atm = 1.013 bar = 1.013 * 105 Nm2
= 14.7 lbin2 = 760 torr
Ángulo
1 lbin2 = 6.90 * 103 Nm2
1 radián (rad) = 57.30° = 57°18¿
1 Pa = 1 Nm2 = 1.45 * 10–4 lbin2
1° = 0.01745 rad
1 revmin (rpm) = 0.1047 rads
Multiplicadores métricos (SI)
Unidades SI derivadas y sus abreviaturas
Cantidad
Fuerza
Energía y trabajo
Potencia
Presión
Frecuencia
Carga eléctrica
Potencial eléctrico
Resistencia eléctrica
Capacitancia
Campo magnético
Flujo magnético
Inductancia
Unidad
newton
joule
watt
pascal
hertz
coulomb
volt
ohm
farad
tesla
weber
henry
Abreviatura
N
J
W
Pa
Hz
C
V
F
T
Wb
H
En términos de
unidades base†
kg ms2
kg m2s2
kg m2s3
kgAm s2 B
s–1
A s
kg m2AA s3 B
kg m2AA2 s3 B
A2 s4Akg m2 B
kgAA s2 B
kg m2AA s2 B
kg m2As2 A2 B
kg kilogramo (masa), m metro (longitud), s segundo (tiempo), A ampere (corriente
eléctrica).
†
Prefijo
Abreviatura
Valor
yotta
zeta
exa
peta
tera
giga
mega
kilo
hecto
deka
deci
centi
mili
micro
nano
pico
femto
atto
zepto
yocto
Y
Z
E
P
T
G
M
k
h
da
d
c
m
m
n
p
f
a
z
y
1024
1021
1018
1015
1012
109
106
103
102
101
10–1
10–2
10–3
10–6
10–9
10–12
10–15
10–18
10–21
10 –24
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FÍSICA 2
PRINCIPIOS CON APLICACIONES
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FÍSICA 2
PRINCIPIOS CON APLICACIONES
SEXTA EDICIÓN
DOUGLAS C. GIANCOLI
TRADUCCIÓN:
Víctor Campos Olguín
Traductor profesional
REVISIÓN TÉCNICA:
Agustín Vázquez Sánchez
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores
de Monterrey
Campus Estado de México
Alberto Lima Sánchez
Profesor de Física
Preparatoria-Universidad La Salle
Tufik Zambrano
Profesor de Física
Gimnasio la Fontana
Bogotá, Colombia
José Vicente Contreras Julio
Profesor de Física y Matemáticas
Sección Bachillerato
Gimnasio Británico
Bogotá, Colombia
Sebastián Torres Gutiérrez
Profesor de Física
Colegio Jordán de Sajonia
Bogotá, Colombia
Hernando Julio Garrido Insignares
Profesor de Física
Instituto Técnico Central
Bogotá, Colombia
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Datos de catalogación bibliográfica
GIANCOLI, C. DOUGLAS
FÍSICA 2. Principios con aplicaciones. Sexta edición
PEARSON EDUCACIÓN, México, 2009
ISBN: 978-970-26-1578-1
Área: Universitarios
Formato: 21 × 27 cm
Páginas: 528
Authorized translation from the English language edition, entitled Physics: principles with applications 6th ed., by Douglas C. Giancoli, published
by Pearson Education, Inc., publishing as PRENTICE HALL, INC., Copyright © 2005. All rights reserved.
ISBN 0-13-060620-0
Traducción autorizada de la edición en idioma inglés, titulada Physics: principles with applications 6a. ed., de Douglas C. Giancoli, publicada
por Pearson Education, Inc., publicada como PRENTICE HALL, INC., Copyright © 2005. Todos los derechos reservados.
Esta edición en español es la única autorizada.
Edición en español
Editor: Enrique Quintanar Duarte
e-mail: [email protected]
Editor de desarrollo: Felipe Hernández Carrasco
Supervisor de producción: José D. Hernández Garduño
Editor-in-Chief, Science: John Challice
Senior Acquisitions Editor: Erik Fahlgren
Senior Development Editor: Karen Karlin
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Illustration: Artworks
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Director, Image Research Center: Melinda Reo
Photo Research: Mary Teresa Giancoli and Jerry Marshall
Manager, Rights and Permissions: Cynthia Vincenti
Copy Editor: Jocelyn Phillips
Indexer: Steele/Katigbak
Editorial Assistant: Andrew Sobel
Composition: Emilcomp srl / Prepare Inc.
SEXTA EDICIÓN, 2009
D.R. © 2009 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V.
Atlacomulco núm. 500 – 5° piso
Col. Industrial Atoto
53519, Naucalpan de Juárez, Edo. de México
Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 1031
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otro, sin permiso previo por escrito del editor.
El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes.
ISBN 10: 970-26-1578-X
ISBN 13: 978-970-26-1578-1
Impreso en México. Printed in Mexico.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 12 11 10 09
CONTENIDO
3
3-1
3-2
3-3
3-4
3-5
3-6
*3-7
*3-8
LISTA DE APLICACIONES
PREFACIO
COMPLEMENTOS Y MEDIOS AUDIOVISUALES
DISPONIBLES
xiii
xv
xxiii
NOTAS A LOS ESTUDIANTES (Y PROFESORES)
ACERCA DEL FORMATO
xxvii
VOLUMEN 1
1
1-1
1-2
1-3
1-4
1-5
1-6
1-7
*1-8
2
2-1
2-2
2-3
2-4
2-5
2-6
2-7
*2-8
INTRODUCCIÓN, MEDICIÓN,
ESTIMACIÓN
La naturaleza de la ciencia
La física y su relación con otros campos
Modelos, teorías y leyes
Medición e incertidumbre;
cifras significativas
Unidades, estándares y el sistema SI
Conversión de unidades
Orden de magnitud: estimación rápida
Dimensiones y análisis dimensional
RESUMEN
15
PREGUNTAS 16
PROBLEMAS
16
PROBLEMAS GENERALES 17
1
Marcos de referencia y desplazamiento
Velocidad promedio
Velocidad instantánea
Aceleración
Movimiento con aceleración constante
Resolución de problemas
Caída de objetos
Análisis gráfico del movimiento lineal
RESUMEN
38
PREGUNTAS 38
PROBLEMAS
39
PROBLEMAS GENERALES 42
4-1
4-2
4-3
4-4
4-5
4-6
1
3
4
4-7
5
8
10
12
14
4-9
DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO:
CINEMÁTICA EN UNA DIMENSIÓN
4
19
20
21
23
23
26
28
31
36
4-8
5
5-1
5-2
5-3
*5-4
*5-5
5-6
5-7
5-8
*5-9
5-10
CINEMÁTICA EN DOS
DIMENSIONES; VECTORES
45
Vectores y escalares
Suma de vectores: métodos gráficos
Resta de vectores y multiplicación
de un vector por un escalar
Suma de vectores por medio
de componentes
Movimiento de proyectiles
Resolución de problemas que implican
el movimiento de proyectiles
El movimiento de proyectiles es parabólico 62
Velocidad relativa
RESUMEN
64
PREGUNTAS 65
PROBLEMAS
65
PROBLEMAS GENERALES 69
45
46
48
49
54
56
62
DINÁMICA: LEYES
DEL MOVIMIENTO DE NEWTON
72
Fuerza
Primera ley del movimiento de Newton
Masa
Segunda ley del movimiento de Newton
Tercera ley del movimiento de Newton
Peso: la fuerza de gravedad
y la fuerza normal
Resolución de problemas con las leyes
de Newton: diagramas de cuerpo libre
Problemas que implican fricción
y planos inclinados
Resolución de problemas:
Un enfoque general
RESUMEN
96
PREGUNTAS 97
PROBLEMAS
98
PROBLEMAS GENERALES 103
72
73
75
75
77
80
84
90
96
MOVIMIENTO CIRCULAR Y
GRAVITACIÓN
106
Cinemática del movimiento circular uniforme 106
Dinámica del movimiento circular uniforme 109
Curvas en las autopistas, peraltadas
y sin peralte
Movimiento circular no uniforme
Centrifugación
Ley de la gravitación universal de Newton
Gravedad cerca de la superficie
de la Tierra; aplicaciones geofísicas
Los satélites y la “ingravidez”
Leyes de Kepler y síntesis de Newton
Tipos de fuerzas en la naturaleza
RESUMEN
128 PREGUNTAS 129
PROBLEMAS
130 PROBLEMAS GENERALES 133
112
115
116
117
121
122
125
128
vii
6
6-1
*6-2
6-3
6-4
6-5
6-6
6-7
6-8
6-9
6-10
7
7-1
7-2
7-3
7-4
7-5
7-6
*7-7
7-8
*7-9
*7-10
8
8-1
8-2
8-3
8-4
8-5
8-6
8-7
8-8
*8-9
viii
TRABAJO Y ENERGÍA
136
Trabajo realizado por una fuerza constante
137
Trabajo realizado por una fuerza variable
141
Energía cinética y el principio
trabajo-energía
141
Energía potencial
144
Fuerzas conservativas y no conservativas
148
Energía mecánica y su conservación
149
Resolución de problemas a partir de la
conservación de la energía mecánica
150
Otras formas de energía; transformaciones
de energía y la ley de conservación de
la energía
155
Conservación de energía con fuerzas
disipativas: Resolución de problemas
156
Potencia
158
RESUMEN
160 PREGUNTAS 160
PROBLEMAS
162 PROBLEMAS GENERALES 165
CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL 167
Cantidad de movimiento y su relación
con la fuerza
168
Conservación de la cantidad
de movimiento
170
Colisiones e impulso
173
Conservación de la energía y de
la cantidad de movimiento en colisiones
175
Colisiones elásticas en una dimensión
176
Colisiones inelásticas
178
Colisiones en dos o tres dimensiones
179
Centro de masa (CM)
182
CM del cuerpo humano
184
Centro de masa y movimiento
de traslación
185
RESUMEN
187 PREGUNTAS 187
PROBLEMAS
188 PROBLEMAS GENERALES 192
MOVIMIENTO DE ROTACIÓN
194
Cantidades angulares
195
Aceleración angular constante
201
Movimiento de rodamiento
(sin deslizamiento)
202
Torca
203
Dinámica de rotación; torca e inercia
de rotación
206
Resolución de problemas de dinámica
de rotación
208
Energía cinética de rotación
210
Cantidad de movimiento angular
y su conservación
213
Naturaleza vectorial de las cantidades
angulares
215
RESUMEN
217 PREGUNTAS 217
PROBLEMAS
219 PROBLEMAS GENERALES 223
CONTENIDO
9
9-1
9-2
*9-3
9-4
*9-5
*9-6
*9-7
10
10-1
10-2
10-3
10-4
10-5
10-6
10-7
10-8
10-9
10-10
*10-11
*10-12
*10-13
*10-14
EQUILIBRIO ESTÁTICO;
ELASTICIDAD Y FRACTURA
226
Condiciones para el equilibrio
227
Resolución de problemas estáticos
229
Aplicaciones a músculos y articulaciones
234
Estabilidad y balance
236
Elasticidad; tensión y deformación
237
Fractura
241
Cubrir un espacio: arcos y domos
243
RESUMEN
246 PREGUNTAS 246
PROBLEMAS
247 PROBLEMAS GENERALES 252
FLUIDOS
255
Fases de la materia
255
Densidad y gravedad específica
256
Presión en fluidos
257
Presión atmosférica y presión
manométrica
259
Principio de Pascal
260
Medición de presión; manómetros
y el barómetro
260
Flotabilidad y principio de Arquímedes
263
Fluidos en movimiento; tasa de flujo
y ecuación de continuidad
268
Ecuación de Bernoulli
270
Aplicaciones del principio de Bernoulli:
de Torricelli a los aviones,
las pelotas de béisbol y la isquemia
272
Viscosidad
274
Flujo en tubos: ecuación de Poiseuille,
flujo sanguíneo
275
Tensión superficial y capilaridad
276
Bombas y el corazón
278
RESUMEN
279 PREGUNTAS 280
PROBLEMAS
281 PROBLEMAS GENERALES 284
www.elsolucionario.org
11
11-1
11-2
11-3
11-4
11-5
11-6
11-7
11-8
11-9
*11-10
11-11
11-12
11-13
*11-14
*11-15
*11-16
VIBRACIONES Y ONDAS
286
Movimiento armónico simple
287
La energía en el oscilador armónico simple
289
El periodo y la naturaleza sinusoidal del MAS
292
El péndulo simple
296
Movimiento armónico amortiguado
298
Vibraciones forzadas; resonancia
299
Movimiento ondulatorio
300
Tipos de ondas: transversales
y longitudinales
303
Energía transportada por las ondas
305
Intensidad relacionada con la amplitud
y la frecuencia
306
Reflexión y transmisión de ondas
307
Interferencia; principio de superposición
308
Ondas estacionarias; resonancia
310
Refracción
312
Difracción
313
Representación matemática
de una onda viajera
314
RESUMEN
315 PREGUNTAS 316
PROBLEMAS
317 PROBLEMAS GENERALES 320
VOLUMEN 2
12
12-1
12-2
*12-3
12-4
*12-5
12-6
12-7
*12-8
*12-9
SONIDO
13
13-1
13-2
*13-3
13-4
*13-5
13-6
13-7
13-8
13-9
13-10
*13-11
*13-12
*13-13
*13-14
14
322
Características del sonido
322
Intensidad del sonido: decibeles
325
El oído y su respuesta; intensidad
328
Fuentes de sonido: cuerdas que vibran
y columnas de aire
329
Calidad del sonido y ruido; superposición
334
Interferencia de ondas sonoras; batimientos
335
Efecto Doppler
338
Ondas de choque y estampido supersónico
342
Aplicaciones: sonar, ultrasonido
y formación de imágenes en medicina
343
RESUMEN
345 PREGUNTAS 346
PROBLEMAS
347 PROBLEMAS GENERALES 349
14-1
14-2
14-3
14-4
14-5
14-6
14-7
14-8
15
TEMPERATURA Y TEORÍA
352
CINÉTICA
Teoría atómica de la materia
352
Temperatura y termómetros
354
El equilibrio térmico y la ley cero
de la termodinámica
357
Expansión térmica
357
Tensiones térmicas
361
Las leyes de los gases y la temperatura
absoluta
361
La ley del gas ideal
363
Resolución de problemas con la ley
del gas ideal
364
La ley del gas ideal en términos
de moléculas: número de Avogadro
366
La teoría cinética y la interpretación
molecular de la temperatura
367
Distribución de la rapidez molecular
371
Gases reales y cambios de fase
371
Presión de vapor y humedad
373
Difusión
376
RESUMEN
378 PREGUNTAS 379
PROBLEMAS
380 PROBLEMAS GENERALES 382
CALOR
384
El calor como transferencia de energía
385
Energía interna
386
Calor específico
387
Calorimetría. Resolución de problemas
388
Calor latente
391
Transferencia de calor: conducción
395
Transferencia de calor: convección
397
Transferencia de calor: radiación
399
RESUMEN
403 PREGUNTAS 403
PROBLEMAS
404 PROBLEMAS GENERALES 406
LAS LEYES
DE LA TERMODINÁMICA
408
15-1
15-2
La primera ley de la termodinámica
Procesos termodinámicos
y la primera ley
*15-3 Metabolismo humano y la primera ley
15-4 Segunda ley de la termodinámica.
Introducción
15-5 Máquinas térmicas
15-6 Refrigeradores, acondicionadores
de aire y bombas térmicas
15-7 Entropía y segunda ley
de la termodinámica
15-8 Del orden al desorden
15-9 Agotamiento de energía; muerte térmica
*15-10 Evolución y crecimiento;
“flecha del tiempo”
CONTENIDO
409
410
414
415
416
421
424
426
426
427
ix
17-8 Dieléctricos
482
17-9 Almacenamiento de energía eléctrica
484
*17-10 Tubo de rayos catódicos: monitores
de televisión, computadoras y osciloscopio
485
*17-11 El electrocardiograma (ECG)
487
RESUMEN
488 PREGUNTAS 488
PROBLEMAS
489 PROBLEMAS GENERALES 491
18
*15-11 Interpretación estadística de la entropía
y de la segunda ley
428
*15-12 Contaminación térmica y calentamiento
global
430
RESUMEN
432 PREGUNTAS 433
PROBLEMAS
433 PROBLEMAS GENERALES 436
16
CARGA ELÉCTRICA
Y CAMPO ELÉCTRICO
439
16-1
Electricidad estática; carga eléctrica
y su conservación
440
16-2 Carga eléctrica en el átomo
441
16-3 Aisladores y conductores
441
16-4 Carga inducida; el electroscopio
442
16-5 Ley de Coulomb
444
16-6 Resolución de problemas en los que
participan la ley de Coulomb y vectores
447
16-7 El campo eléctrico
450
16-8 Líneas de campo
454
16-9 Campos eléctricos y conductores
456
*16-10 Ley de Gauss
457
*16-11 Fuerzas eléctricas en biología molecular:
estructura y replicación del ADN
460
*16-12 Las máquinas de fotocopiado y las impresoras
de computadora usan electrostática
462
RESUMEN
463 PREGUNTAS 464
PROBLEMAS
465 PROBLEMAS GENERALES 468
17
17-1
17-2
17-3
17-4
17-5
*17-6
17-7
x
POTENCIAL ELÉCTRICO
Energía potencial eléctrica y diferencia
de potencial
Relación entre potencial eléctrico
y campo eléctrico
Líneas equipotenciales
El electronvolt, una unidad de energía
Potencial eléctrico debido a cargas
puntuales
Potencial debido a dipolo eléctrico;
momento de dipolo
Capacitancia
CONTENIDO
470
La batería eléctrica
494
Corriente eléctrica
496
Ley de Ohm: resistencia y resistores
498
Resistividad
500
Potencia eléctrica
502
Potencia en circuitos caseros
505
Corriente alterna
506
Visión microscópica de la corriente
eléctrica
509
*18-9 Superconductividad
510
*18-10 Conducción eléctrica en el sistema nervioso
humano
510
RESUMEN
514 PREGUNTAS 514
PROBLEMAS
515 PROBLEMAS GENERALES 518
19
19-1
19-2
19-3
*19-4
19-5
19-6
19-7
*19-8
20
20-1
20-2
20-3
20-4
20-5
476
479
480
493
18-1
18-2
18-3
18-4
18-5
18-6
18-7
*18-8
470
474
474
476
CORRIENTES ELÉCTRICAS
20-6
20-7
*20-8
CIRCUITOS CD
520
Fem y voltaje en terminales
520
Resistores en serie y en paralelo
522
Reglas de Kirchhoff
528
Fem en serie y en paralelo; cómo cargar
una batería
532
Circuitos que contienen capacitores
en serie y en paralelo
533
Circuitos RC. Resistor y capacitor en serie
535
Riesgos eléctricos
538
Amperímetros y voltímetros
541
RESUMEN
545 PREGUNTAS 545
PROBLEMAS
547 PROBLEMAS GENERALES 551
MAGNETISMO
Imanes y campos magnéticos
Las corrientes eléctricas producen
campos magnéticos
Fuerza sobre una corriente eléctrica
en un
B
campo magnético; definición de B
Fuerza sobre una carga eléctrica
que se mueve en un campo magnético
Campo magnético debido a un largo
alambre recto
Fuerza entre dos alambres paralelos
Solenoides y electroimanes
Ley de Ampère
554
554
557
558
560
563
565
567
568
*20-9
Torca sobre un lazo de corriente;
momento magnético
570
*20-10 Aplicaciones: galvanómetros, motores,
bocinas
571
*20-11 Espectrómetro de masas
572
20-12 Ferromagnetismo: dominios e histéresis
573
RESUMEN
575 PREGUNTAS 576
PROBLEMAS
577 PROBLEMAS GENERALES 581
21
21-1
21-2
21-3
21-4
21-5
*21-6
21-7
21-8
*21-9
*21-10
*21-11
*21-12
*21-13
*21-14
22
22-1
22-2
22-3
22-4
*22-5
*22-6
*22-7
23
23-1
23-2
INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
Y LEY DE FARADAY
584
Fem inducida
584
Ley de inducción de Faraday; ley de Lenz
586
Fem inducida en un conductor
en movimiento
590
El flujo magnético variable produce
un campo eléctrico
591
Generadores eléctricos
592
Fuerza contraelectromotriz y contra
torca; corrientes parásitas
593
Transformadores y transmisión de potencia
595
Aplicaciones de la inducción: sistemas
de sonido, memoria de computadora,
sismógrafo, GFCI
598
Inductancia
600
Energía almacenada en un campo magnético
602
Circuito LR
602
Circuitos CA y reactancia
603
Circuito CA LRC en serie
606
Resonancia en circuitos CA
608
RESUMEN
608 PREGUNTAS 609
PROBLEMAS
610 PROBLEMAS GENERALES 613
23-3
Formación de imágenes por medio
de espejos esféricos
635
23-4 Índice de refracción
642
23-5 Refracción: ley de Snell
642
23-6 Reflexión interna total; fibras ópticas
645
23-7 Lentes delgadas; trazado con rayos
647
23-8 Ecuación de lentes delgadas; amplificación
650
*23-9 Combinaciones de lentes
654
*23-10 La ecuación del fabricante de lentes
656
RESUMEN
656 PREGUNTAS 657
PROBLEMAS
658 PROBLEMAS GENERALES 662
24
LA NATURALEZA ONDULATORIA
664
DE LA LUZ
Los campos eléctricos variables
producen campos magnéticos;
ecuaciones de Maxwell
616
Producción de ondas electromagnéticas
617
La luz como una onda electromagnética
y el espectro electromagnético
619
Medición de la rapidez de la luz
622
Energía en ondas EM
623
Transferencia de cantidad de movimiento
y presión de radiación
625
Radio y televisión, comunicación
inalámbrica
626
RESUMEN
629 PREGUNTAS 629
PROBLEMAS
629 PROBLEMAS GENERALES 631
Ondas frente a partículas; el principio
de Huygens y la difracción
665
*24-2 El principio de Huygens y la ley
de refracción
666
24-3 Interferencia. Experimento de doble
rendija de Young
668
24-4 Espectro visible y dispersión
671
24-5 Difracción por medio de una sola
rendija o disco
673
24-6 Rejilla de difracción
676
*24-7 El espectrómetro y espectroscopia
678
24-8 Interferencia por medio de películas
delgadas
679
*24-9 Interferómetro Michelson
684
24-10 Polarización
684
*24-11 Pantallas de cristal líquido (LCD)
688
*24-12 Dispersión de luz por la atmósfera
690
RESUMEN
690 PREGUNTAS 691
PROBLEMAS
692 PROBLEMAS GENERALES 694
LUZ: ÓPTICA GEOMÉTRICA
25
INSTRUMENTOS ÓPTICOS
25-1
25-2
25-3
Cámaras, de película y digitales
El ojo humano; lentes correctivos
Lente de aumento
ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS
El modelo de rayos de la luz
Reflexión; formación de una imagen
por medio de un espejo plano
615
632
632
633
24-1
696
CONTENIDO
697
701
704
xi
www.elsolucionario.org
25-4
*25-5
*25-6
25-7
Telescopios
706
Microscopio compuesto
708
Aberraciones de lentes y espejos
710
Límites de resolución; aberturas
circulares
711
25-8 Resolución de telescopios y
microscopios; el límite l
714
25-9 Resolución del ojo humano y
amplificación útil
715
*25-10 Microscopios de especialidad y contraste 716
*25-11 Rayos X y difracción de rayos X
717
*25-12 Formación de imágenes con rayos X
y tomografía computarizada
(exploración CT)
718
RESUMEN
721 PREGUNTAS 722
PROBLEMAS
722 PROBLEMAS GENERALES 725
26
26-1
26-2
26-3
26-4
26-5
*26-6
26-7
xii
Relatividad galileana-newtoniana
Postulados de la teoría especial
de la relatividad
Simultaneidad
La dilatación del tiempo y la paradoja
de los gemelos
Contracción de la longitud
Espacio-tiempo cuatridimensional
Cantidad de movimiento y masa
relativistas
CONTENIDO
La rapidez última
743
E mc2; masa y energía
744
Suma relativista de velocidades
748
El impacto de la relatividad especial
748
RESUMEN
749 PREGUNTAS 750
PROBLEMAS
751 PROBLEMAS GENERALES 752
APÉNDICES
A
A-1
A-2
A-3
A-4
A-5
A-6
A-7
A-8
REPASO MATEMÁTICO
Relaciones, proporcionalidad y ecuaciones
Exponentes
Potencias de 10 o notación exponencial
Álgebra
La expansión binomial
Geometría plana
Funciones trigonométricas e identidades
Logaritmos
A-1
A-1
A-2
A-3
A-3
A-6
A-7
A-8
A-10
726
B
ISÓTOPOS SELECCIONADOS
A-12
727
C
MARCOS DE REFERENCIA EN ROTACIÓN;
FUERZAS INERCIALES; EFECTO CORIOLIS
A-16
LA TEORÍA ESPECIAL
DE LA RELATIVIDAD
26-8
26-9
26-10
26-11
730
731
734
740
742
742
D
E
CALORES ESPECÍFICOS MOLARES PARA GASES
Y LA EQUIPARTICIÓN DE LA ENERGÍA
A-20
TRANSFORMACIONES GALILEANAS
Y DE LORENTZ
A-23
RESPUESTAS A PROBLEMAS CON NÚMERO IMPAR
ÍNDICE
CRÉDITOS DE FOTOGRAFÍAS
A-27
A-40
A-51
APLICACIONES A LA BIOLOGÍA Y LA MEDICINA
Capítulo 1
Estimación del número de latidos
en una vida
13
Capítulo 4
Cómo caminamos
79
Capítulo 5
Centrifugado
116, 201
Capítulo 7
No se rompa una pierna
Centro de masa de partes
del cuerpo
Capítulo 8
Torca del bíceps
174
184
205, 221
Capítulo 9
Enderezamiento de dientes
Fuerzas en músculos
y articulaciones
Inserción de músculo y palanca
de brazo
Columna vertebral, dolor de espalda
Equilibrio del cuerpo
Capítulo 10
Suspensión del cuerpo en el agua
Circulación sanguínea
Falta de sangre en el cerebro:
isquemia
Flujo sanguíneo y enfermedad
cardiaca
Insecto sobre la superficie del agua
El corazón como bomba
Presión sanguínea
227
234
234
235
236
255
269
273
275
276
278
278
Capítulo 11
Telaraña
293
Ecolocalización en ballenas
y murciélagos
304
Capítulo 12
Amplio rango de la audición
humana
325, 329
El oído humano y su sensibilidad
328
Medición Doppler del flujo
sanguíneo y otros usos médicos 341
Formación de imágenes médicas
por medio de ultrasonido
344
Capítulo 13
La vida bajo el hielo
360
Moléculas en una respiración
367
La evaporación enfría
374, 395
Difusión en organismos vivos
378
Capítulo 14
Quema de calorías
386
Convección por medio de la sangre 399
Pérdida de calor radiado
de los humanos
400
Termografía médica
402
Capítulo 15
Energía en el cuerpo humano
414
Evolución biológica y desarrollo
427
Capítulo 16
Células: fuerzas eléctricas
más teoría cinética
460
Estructura y replicación del ADN
460
Capítulo 17
Dipolos en biología molecular
480
Quemadura o choque por capacitor 485
Defibrilador cardiaco
485
Electrocardiograma (ECG)
487
Capítulo 18
Conducción eléctrica en el sistema
nervioso humano
510
Capítulo 19
Marcapasos cardiaco
Choque eléctrico, conducción
a tierra y seguridad
Capítulo 21
Medición em del flujo sanguíneo
Interruptores de circuito para
falla a tierra
Marcapasos
538
539
590
599
599
Capítulo 22
Pinzas ópticas
626
Capítulo 23
Endoscopios médicos
(fibras ópticas)
646
Capítulo 25
Ojo humano
Lentes correctivos
Lentes de contacto
Cómo ver bajo el agua
Microscopios de luz
Resolución del ojo humano
Difracción de rayos X en biología
Imágenes de rayos X
Exploración TAC
701
702
703
704
708
713
718
718
719
APLICACIONES A OTROS CAMPOS Y A LA VIDA COTIDIANA
Capítulo 1
Los picos de 8000 m
Estimación del volumen de un lago
Estimación de la altura por medio
de triangulación
Capítulo 2
Diseño de pistas de aterrizaje
de aeropuertos
Seguridad automovilística: bolsas
de aire
Distancias de frenado
Tránsito rápido
10
12
13
27
29
30
42
Capítulo 3
Cómo patear un balón de fútbol 58, 61
Deportes de pelotas
66, 67, 70, 71
Capítulo 4
Aceleración de un cohete
78
¿Qué fuerza acelera a un automóvil? 79
Elevador y contrapeso
88
Ventaja mecánica de la polea
89
Ascensión de montañas
102, 105
Capítulo 5
Derrapar en una curva
Frenos antibloqueo
Curvas peraltadas
Aplicaciones geofísicas
113
113
114
122
Satélites terrestres artificiales
Satélites geosincrónicos
Ingravidez
122
123
124
Capítulo 6
Distancia de frenado
de un automóvil a v2
Montaña rusa
Salto con garrocha
Pistola de dardos
Potencia de automóvil
Palanca
144
151, 157
152
153
159
162
Capítulo 7
Servicio de tenis
Retroceso de un arma
Cohetes
Salto alto
169, 173
172
172, 186
185
Capítulo 8
Disco duro y rapidez de bit
Patinador, clavadista en rotación
Colapso de estrella de neutrones
200
214
215
Capítulo 9
Palanca
Puente levadizo
Concreto reforzado y pretensado
Colapso trágico
Arcos y domos
229
231
242
242
243
Capítulo 10
Frenos de automóvil, elevador
hidráulico
260
Hidrómetro
266
Alas de avión, sustentación
272
Navegación contra el viento
273
Una curva de béisbol
273
Tensión superficial, capilaridad
277
Jabones y detergentes
277
Bombas
278
Capítulo 11
Reloj de péndulo
297
Muelles, amortiguadores
de edificios
298
Colapso de puente resonante
299
Terremotos
304, 305, 306, 313
Capítulo 12
Distancia desde un relámpago
323
Cámara de autofoco
324
Instrumentos musicales, de cuerda
y de viento
329
Ruido del viento
334
Afinación con pulsos
337
Efecto Doppler, predicción del clima 341
Corrimiento al rojo en cosmología 342
Estampido supersónico
342
Sonar
343
APLICACIONES
xiii
Capítulo 13
Juntas de expansión
354
Apertura de una tapa apretada
359
Desbordamiento del tanque
de gasolina
359
Peralte de autopista
361
Masa (y peso) del aire
en una habitación
365
Presión en una llanta caliente
366
Reacciones químicas, dependencia
de la temperatura
371
Superfluidez
373
Humedad, clima
375, 376
Termostato
379
Capítulo 14
Pérdida de calor a través
de las ventanas
396
Ventanas térmicas
397
Valores R de aisladores térmicos
397
Cómo aísla la ropa
397, 399
Calentamiento convectivo
de una casa
398
Convección en una pendiente
398
Radiación del Sol
401, 402
Astronomía: tamaño de una estrella 402
Capítulo 15
Motor de vapor
416
Motor de combustión interna
417
Refrigerador
421
Acondicionador de aire
422
Bomba térmica
423
Clasificación SEER
423
Contaminación térmica,
calentamiento global
430
Recursos energéticos
430
Capítulo 16
Protección eléctrica, seguridad
457
Máquinas fotocopiadoras
462
Impresoras láser e impresoras
de inyección de tinta
463
Capítulo 17
Capacitores en flashes de las cámaras,
respaldos, protectores ante
excesos de carga, memoria,
teclados
480, 481, 482, 484
Súper alta capacitancia
482
TRC: monitores de televisión
y computadoras
486
Osciloscopio
486
Fotocelda
492
Capítulo 18
Alambres de bocinas
Termómetro de resistencia
Elemento de calentamiento,
filamento de bombilla eléctrica
Por qué las bombillas se queman
cuando se encienden
por primera vez
El relámpago
Circuitos domésticos
Fusibles y disyuntores
Cortos y seguridad
Extensiones
Secadores de cabello
Superconductores
501
502
503
503
504
505
505
506
506
508
510
Capítulo 19
Cómo cargar una batería de automóvil 532
Paso de corriente a un automóvil
532
Luces intermitentes, limpiaparabrisas 537
Riesgos eléctricos
538
Alambres de tierra y clavijas
540
Corriente de fuga
541
Líneas de energía eléctrica caídas 541
Medidores digitales y analógicos 541, 544
Conexión de medidores,
correcciones
543-544
Condensador de micrófono
546
Capítulo 20
Uso de brújula, declinación
magnética
556
Aurora boreal
563
Electroimanes y solenoides
567
Interrupción por medio de solenoides 567
Interruptores magnéticos de circuitos 567
Motores
571, 572
Altavoces
572
Espectrómetro de masas
572
Bombeo electromagnético
576
Relé
577
Capítulo 21
Estufa de inducción
Alternadores de automóvil
Corriente de encendido de motor
Sobrecarga de motor
Amortiguado de corrientes parásitas
Detector de metales de los
aeropuertos
Transformadores de radio
Transmisión de energía eléctrica
Micrófono magnético
588
592
593
594
594
595
596
597
598
Lectura/escritura en cinta y discos
Codificación digital
Lectora de tarjeta de crédito
Sismógrafo
GFCI (interruptor del circuito
para falla de conexión a tierra)
Capacitores como filtros
Resonancia eléctrica
Capítulo 22
Transmisión AM y FM
Sintonización de una estación
Antenas
Teléfonos celulares, control remoto,
televisión por cable y por satélite
598
598
599
599
599
605
608
627
627
628
628
Capítulo 23
Qué tamaño de espejo necesita
635
Dónde se puede ver usted mismo
en un espejo cóncavo
639
Usos de espejos curvos
635, 640, 641
Ilusiones ópticas
643
Profundidad aparente del agua
644
Fibras ópticas
en telecomunicaciones
646
Dónde se puede ver una imagen
formada por una lente
649
Capítulo 24
Espejismos en la carretera
667
Arcos iris y diamantes
672
Análisis espectroscópico
679
Pompas de jabón y películas de aceite 679
Recubrimiento de lentes
682
Polaroids
684
Cómo ver hacia el río
687
688
Pantallas de cristal líquido (LCD)
Por qué el cielo es azul, los atardeceres
rojos y las nubes blancas
690
Capítulo 25
Cámaras digitales, ccd, artefactos
Ajustes de cámara
Telescopios
Microscopios
Telescopio Espacial Hubble
Resolución de telescopio
Microscopios especiales
Usos de la difracción de rayos X
697
698
706
708
713
714
716
718
Capítulo 26
Sistema de posicionamiento
global (GPS)
739
RECUADROS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Capítulo 2
Resolución de problemas
28
Capítulo 3
Resolución de problemas: suma
de vectores
53
Resolución de problemas:
movimiento de proyectiles
56
Capítulo 4
Resolución de problemas: leyes de
Newton; diagramas de cuerpo libre 85
Resolución de problemas: en general 96
Capítulo 5
Resolución de problemas: movimiento
circular uniforme
112
Capítulo 6
Resolución de problemas: trabajo 139
Resolución de problemas:
conservación de la energía
157
xiv
APLICACIONES
Capítulo 7
Resolución de problemas:
conservación de la cantidad
de movimiento y colisiones
Capítulo 8
Resolución de problemas:
movimiento de rotación
Capítulo 9
Resolución de problemas: estática
Capítulo 14
Resolución de problemas: calorimetría
Capítulo 15
Resolución de problemas:
termodinámica
Capítulo 16
Resolución de problemas:
electrostática; fuerzas eléctricas
y campos eléctricos
181
209
230
394
432
454
Capítulo 19
Resolución de problemas: reglas
de Kirchhoff
Capítulo 20
Resolución de problemas: campos
magnéticos
Capítulo 21
Resolución de problemas: ley de Lenz
Capítulo 23
Resolución de problemas: espejos
esféricos
Resolución de problemas: lentes
delgadas
Capítulo 24
Resolución de problemas:
interferencia
530
562
588
641
651
683
www.elsolucionario.org
PREFACIO
Ver el mundo a través de ojos que saben física
▼
Este libro está escrito para los estudiantes. Pretende brindar a los estudiantes una comprensión profunda de los conceptos básicos de la física en todos sus aspectos, desde la
mecánica hasta la física moderna. Su meta es explicar la física de una forma sencilla e
interesante que sea accesible y clara, y enseñar a los estudiantes a anticipar sus necesidades y dificultades sin una simplificación excesiva. Un segundo objetivo es mostrar
a los estudiantes cuán útil es la física en sus propias vidas y en sus profesiones futuras
por medio de aplicaciones interesantes. Además, se ha puesto especial énfasis en explicar técnicas y enfoques para resolver problemas.
Este libro de texto está especialmente diseñado para que los estudiantes tomen un
curso de un año de introducción a la física, que se base en álgebra y trigonometría, pero no en cálculo. Muchos de estos estudiantes están especializándose en biología o están inscritos en un curso propedéutico para medicina, y otros tal vez estudien
arquitectura, tecnología, ciencias de la Tierra o ciencias ambientales. Muchas aplicaciones en esos campos tienen la intención de responder la pregunta común de los estudiantes: “¿Por qué debo estudiar física?” La respuesta es que la física resulta
fundamental para una comprensión plena de esas especialidades, y aquí ellos verán de
qué forma. La física lo es todo en el mundo cotidiano. La meta de este libro es ayudar
a los estudiantes “a ver el mundo a través de ojos que saben física”.
Algunas de las nuevas características en esta sexta edición incluyen: 1. Ejercicios
dentro del texto para que los estudiantes verifiquen su comprensión; 2. nuevos párrafos
para hacer el planteamiento de los ejemplos trabajados; 3. nuevos ejemplos que siguen
paso a paso cada uno de los Recuadros de Resolución de Problemas; y 4. nuevas aplicaciones como las detalladas descripciones basadas en la física de las pantallas de cristal líquido (LCD), las cámaras digitales (con CCD) y la extensa cobertura de los dispositivos
eléctricos y su manejo seguro. Éstos y otros nuevos aspectos se resaltan más adelante.
NUEVO
La física y cómo entenderla
He evitado el árido, dogmático y común enfoque de tratar primero los temas de manera formal y abstracta, y sólo después relacionar el material con la propia experiencia de los estudiantes. Mi enfoque parte del reconocimiento de que la física es una
descripción de la realidad, de modo que cada tema se inicia con observaciones y experiencias concretas con las que los estudiantes están familiarizados. Luego se procede
a hacer generalizaciones y a exponer el tema de manera más formal. Esto no sólo hace que el material sea más interesante y fácil de comprender, también está más cerca
de la forma en que en realidad se practica la física.
Se ha hecho un gran esfuerzo para no dirigir demasiado a los estudiantes a leer los
primeros capítulos. Primero se tiene que aprender lo básico; más adelante se explicarán muchos otros aspectos, cuando los estudiantes estén más preparados. Si no se abruma a los estudiantes con demasiados detalles, en especial al principio, es más probable
que consideren que la física es interesante, divertida y útil, y aquellos que tenían miedo de la materia olvidarán su temor.
Las grandes leyes de la física están enmarcadas en una pantalla y van acompañadas de una nota marginal en letras mayúsculas encerrada en un rectángulo. Todas las
ecuaciones importantes aparecen junto a un número para distinguirlas de las menos útiles. Para ayudar a dejar en claro cuáles ecuaciones son generales y cuáles no lo son, las
limitaciones de las ecuaciones importantes se presentan en corchetes junto a la ecuación, como en
x = x0 + v0 t +
1
2
at2.
[aceleración constante]
Las matemáticas en ocasiones constituyen un obstáculo para la comprensión del
estudiante. Por eso el libro describe todos los pasos que se siguen en la deducción de
xv
una fórmula. Las herramientas matemáticas importantes, como la suma de vectores y
la trigonometría, se incorporan en el texto donde se requieren por primera vez, así que
se presentan en un contexto particular y no en un aterrador capítulo de introducción.
Los apéndices contienen un repaso de álgebra y geometría (más unos cuantos temas
avanzados: marcos de referencia en rotación, fuerzas inerciales, efecto Coriolis; capacidades caloríficas de los gases y equipartición de energía; transformaciones de Lorentz). Las unidades del Sistema Internacional (SI) se emplean de principio a fin. Otras
unidades métricas y británicas se definen con propósitos informativos.
El capítulo 1 no es desechable. Es fundamental para la física darse cuenta que toda medición tiene un grado de incertidumbre, y que las cifras significativas lo reflejan.
Convertir unidades y ser capaz de hacer estimaciones rápidas también es básico. Los
aspectos culturales al comienzo del capítulo 1 amplían la comprensión del mundo de
una persona, mas no tienen que ser cubiertos en clase.
Las múltiples aplicaciones en ocasiones sólo sirven como ejemplos de principios
físicos. Otras se tratan en profundidad. Se han seleccionado cuidadosamente para integrarlas en el texto de modo que no interfieran con el desarrollo de la física, sino más
bien que la iluminen. Para facilitar la detección de las aplicaciones, aparece una nota
de Física Aplicada al margen.
Las fotografías que abren cada capítulo, algunas de las cuales tienen vectores sobrepuestos, se han elegido de modo que el texto que las acompaña sea una especie de
resumen del capítulo.
Algunos de los nuevos aspectos de física y pedagogía en esta sexta edición son:
NUEVO
▼
NUEVO
Notación vectorial, flechas: Los símbolos para cantidades vectoriales en el texto y las figuras ahora tienen una pequeña flecha sobre ellos, de modo que son similares a lo que el profesor escribe a mano durante su clase. Las letras todavía
B
B
son las tradicionales negritas; así por ejemplo, se utiliza v para velocidad y F para
fuerza.
▼
NUEVO
Ejercicios dentro del texto, para que los estudiantes comprueben su comprensión.
Las respuestas se proporcionan al final del capítulo.
▼
Mayor claridad: Ningún tema, ningún párrafo en este libro se ha pasado por alto en la búsqueda por mejorar la claridad de la presentación. Se han realizado
muchos cambios y aclaraciones, algunos de ellos pequeños y otros no tanto. Se eliminaron frases y oraciones que pudieran detener el argumento principal: se trata
de exponer lo esencial al principio y explicar los detalles después.
Ejemplos paso a paso, después de un Recuadro de Resolución de Problemas, como se explica en la página xvii.
Los ejemplos conceptuales no son una característica nueva, pero hay algunos ejemplos que sí lo son.
Ejemplos modificados: Más pasos matemáticos se explican detalladamente y se
agregan muchos ejemplos nuevos (véase la página xvii).
NUEVO
▼
Diseño de la página: Derivaciones completas. Se ha puesto mucha atención, incluso más que en la edición anterior, en cómo está formateada cada página. Se ha
realizado un gran esfuerzo para mantener las deducciones y argumentos importantes en páginas enfrentadas. Entonces los estudiantes no tendrán que voltear la
página hacia atrás o hacia delante.A lo largo del libro los lectores verán ante ellos,
en dos páginas enfrentadas, una importante rebanada de física.
Subtítulos: Muchas de las secciones dentro de un capítulo ahora están divididas
en apartados, lo que separa los temas en “trozos” más manejables. Ello permite hacer “pausas” para que los estudiantes descansen o recuperen el aliento.
Notas marginales: Precaución. Las notas marginales, en azul, puntualizan muchos temas y hacen las veces de subrayado ayudando a localizar los temas en re-
xvi
PREFACIO
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NUEVO
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NUEVO
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NUEVO
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NUEVO
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NUEVO
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NUEVO
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NUEVO
▼
visión. También puntualizan aplicaciones y sugerencias para resolver problemas.
Un nuevo título, el de PRECAUCIÓN, puntualiza posibles malas interpretaciones analizadas en el texto adyacente.
NUEVO
Eliminaciones. Para evitar que el libro sea demasiado largo, y también para reducir la carga sobre los estudiantes en temas más avanzados, muchos temas se recortaron o simplificaron, y unos cuantos se eliminaron.
Nuevos temas de física y principales revisiones
He aquí una lista de los principales cambios o adiciones, pero existen muchos otros:
Se usa más la simetría, incluso para resolver problemas
Análisis dimensional, opcional (cap. 1)
Más gráficas en cinemática (cap. 2)
Eficiencia de máquinas (cap. 6, 15)
Principio trabajo-energía y conservación de energía: nuevo apartado (cap. 6); con
enfoque hacia la termodinámica (cap. 15) y la electricidad (cap. 17)
Fuerza sobre una pelota de tenis por medio de una raqueta (cap. 7)
Alas de aviones, bolas curvas, navegación y otras aplicaciones del principio de
Bernoulli: mejorado y aclarado con material nuevo (cap. 10)
Distinción de interferencia de ondas en espacio y tiempo (pulsos) (cap. 11)
Corrimiento Doppler de la luz (ahora cap. 12)
Radio de estrella gigante (cap. 14)
Primera ley de la termodinámica reescrita y extendida, mejor relacionada con el
principio trabajo-energía y la conservación de la energía (cap. 15)
Agotamiento de recursos energéticos (cap. 15)
Clasificación SEER (cap. 15)
Separación de carga en no conductores (cap. 16)
Ley de Gauss, opcional (cap. 16)
Fotocopiadoras e impresoras de computadora (cap. 16)
Direcciones de fuerza y campos eléctricos más enfatizados (cap. 16, 17)
Potencial eléctrico mejor relacionado con el trabajo, más detalle (cap. 17)
Efecto dieléctrico sobre capacitor con y sin conexión a voltaje más otros detalles
(cap. 17)
Derivación del capacitor de placas paralelas, opcional (cap. 17)
Riesgos eléctricos, conexión a tierra, seguridad, interruptores de corriente: extendido con mucho material nuevo (cap. 17, 18, 19 especialmente, 20, 21)
Corriente eléctrica, malas interpretaciones discutidas en el capítulo 18
Superconductividad actualizada (cap. 18)
Voltaje terminal y fem reorganizados, con mayor detalle (cap. 19)
Materiales magnéticos recortados (cap. 20)
Reglas de la mano derecha resumidas en una tabla (cap. 20)
Leyes de Faraday y Lenz extendidas (cap. 21)
Circuitos CA acortados (cap. 21), desplazamiento de corriente minimizado (cap. 22)
Presión de radiación y cantidad de movimiento de ondas EM (cap. 22)
Dónde verse uno mismo en un espejo; dónde se ve en realidad una imagen formada por una lente (cap. 23)
Pantalla de cristal líquido (LCD) (cap. 24)
La física detrás de las cámaras digitales y los CCD (cap. 25)
Cómo ver bajo el agua (cap. 25)
Masa relativista reelaborada (cap. 26)
Calores específicos de gases, equipartición de energía (apéndices)
NUEVO
NUEVO
NUEVO
NUEVO
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NUEVO
PREFACIO
xvii
www.elsolucionario.org
Resolución de problemas, con enfoques
nuevos y mejorados
xviii
PREFACIO
NUEVO
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NUEVO
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NUEVO
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Ser capaz de resolver problemas es una técnica valiosa en general. Resolver problemas
también es una forma efectiva de comprender la física con mayor profundidad. He aquí algunas de las formas que usa este libro para ayudar a los estudiantes a resolver con éxito los
problemas.
Recuadros de resolución de problemas, en total unos 20, se encuentran a lo largo del
libro (hay un lista en la página xiii). Cada uno de ellos subraya una aproximación paso a paso para resolver problemas en general, o de manera específica para el material
que se está estudiando. Los mejores estudiantes encontrarán que estos “recuadros”
son innecesarios (pueden saltarlos), pero muchos estudiantes los encontrarán útiles
como recordatorios de la aproximación general y de los pasos que conviene seguir para resolver problemas. El Recuadro de Resolución de Problemas general de la sección
4-9 está colocado ahí, después de que los estudiantes han tenido cierta experiencia en
lidiar con los problemas, de modo que estarán motivados para leerlo con cuidadosa
atención. Si se desea, la sección 4-9 puede cubrirse con antelación. No se pretende que
los Recuadros de Resolución de Problemas sean una prescripción, sino más bien una
guía. Por eso, en ocasiones siguen a los ejemplos para servir como un resumen para uso
futuro.
Las secciones de resolución de problemas (como las secciones 2-6, 3-6, 4-7, 6-7, 8-6 y
13-8) intentan proporcionar entrenamiento adicional en áreas donde la resolución de
problemas es especialmente importante.
Ejemplos: Los ejemplos trabajados, cada uno con un título para fácil referencia, caen
en cuatro categorías:
1. La mayoría son ejemplos trabajados regulares que sirven como “problemas de
práctica”. Se agregaron algunos nuevos, unos cuantos de la edición anterior se eliminaron y muchos se trabajaron de nuevo para ofrecer mayor claridad, más pasos
matemáticos, más de “por qué se hace de esta forma”; con el nuevo párrafo de planteamiento hay más análisis del razonamiento y el enfoque. La meta es “pensar en
voz alta” con los estudiantes, y conducirlos a desarrollar perspicacia. El nivel de dificultad de los ejemplos trabajados para la mayoría de los temas aumenta gradualmente, de modo que los más complicados se presentan junto con los problemas más
difíciles al final de cada capítulo. Muchos ejemplos ofrecen relevantes aplicaciones
a diversos campos y a la vida diaria.
2. Ejemplos paso a paso: Después de muchos de los Recuadros de Resolución de
Problemas, el siguiente ejemplo está elaborado paso a paso siguiendo los pasos del
recuadro precedente, sólo para mostrar a los estudiantes cómo utilizarlo. Tales soluciones son largas y en ocasiones redundantes, así que sólo se incluye un ejemplo
trabajado de esta forma.
3. Los ejemplos de estimación, aproximadamente un 10% del total, pretenden desarrollar las habilidades para realizar estimaciones de orden de magnitud, aun cuando
los datos sean escasos e incluso cuando el estudiante jamás hubiera pensado que era
posible un resultado. Vea, por ejemplo, en la sección 1-7, los ejemplos del 1-6 al 1-9.
4. Ejemplos conceptuales: Cada uno es una breve pregunta socrática que tiene la
intención de estimular al estudiante a responder antes de leer la respuesta proporcionada.
Párrafo de PLANTEAMIENTO: Ahora todos los ejemplos numéricos trabajados tienen un breve párrafo de introducción antes de la solución, que da el enfoque e indica los
pasos que conviene seguir para resolver el problema.
NOTA: Ahora muchos ejemplos tienen una breve “nota” después de la solución, a veces par remarcar la solución misma, en ocasiones para mencionar una aplicación, otras
veces para proporcionar un enfoque alterno para resolver el problema. Estos nuevos
párrafos de Nota permiten que el estudiante sepa que la solución se completó, y que
ahora se menciona un tema (o temas) relacionado.
Ejemplos adicionales: Algunos temas de física requieren muchos diferentes ejemplos
trabajados para quedar claros. Pero tantos ejemplos en línea tal vez resulten abrumadores para algunos estudiantes. En esos lugares, un subtítulo “Ejemplo(s) Adicional(es)”
tiene la intención de sugerir a los estudiantes que podrían saltarse estos ejemplos en
una primera lectura. Cuando los estudiantes los incluyan durante una segunda lectura
del capítulo, seguramente les ayudarán a aumentar su habilidad para resolver un mayor
rango de problemas.
▼
Los ejercicios dentro del texto, después de un ejemplo o de la deducción de una fórmula, brindan a los estudiantes una oportunidad de ver si comprenden lo suficiente como
para responder una pregunta simple o realizar un cálculo sencillo. Las respuestas se proporcionan al final de la última página de cada capítulo.
Los problemas al final de cada capítulo aumentaron en calidad y cantidad. Algunos de
los problemas de la edición anterior se sustituyeron o se volvieron a escribir para hacerlos más claros, y/o se les cambiaron sus valores numéricos. Cada capítulo contiene un gran
grupo de problemas ordenados por sección y graduados de acuerdo con la dificultad
(aproximada): los problemas de nivel I son simples, diseñados para brindar confianza a
los estudiantes; los del nivel II son problemas “normales”, que implican mayor desafío
y con frecuencia la combinación de dos conceptos diferentes; los del nivel III son los
más complejos y se pretende que sean problemas de “créditos adicionales” que desafiarán incluso a los estudiantes más aventajados. El ordenamiento por número de sección
es para ayudar a los profesores a elegir qué material quieren enfatizar, y significa que esos
problemas dependen del material incluido hasta esa sección: en ocasiones, también se
considera material presentado con anterioridad.
Los problemas generales no están clasificados y se agrupan en conjunto al final de cada capítulo; representan tal vez el 30% de todos los problemas. Los problemas generales no necesariamente son más difíciles, pero tienen más probabilidad de hacer referencia
a material de capítulos anteriores. Son útiles para los profesores que quieren ofrecer a
los estudiantes unos cuantos problemas sin la pista de a qué sección deben remitirse o
sobre el grado de dificultad.
Las preguntas, también al final de cada capítulo, son de carácter conceptual. Ayudan a
los estudiantes a usar y aplicar los principios y conceptos y, por tanto, a profundizar en
su comprensión (o les permiten saber qué necesitan estudiar más).
NUEVO
Asignación de problemas
Sugiero que los profesores asignen un número significativo de problemas de los niveles I y
II, así como un pequeño número de problemas generales, y reservar los problemas del nivel III sólo como “créditos adicionales” para estimular a los mejores estudiantes. Aunque
la mayoría de los problemas del nivel I parecen sencillos, ayudarán a los alumnos a desarrollar confianza, una parte importante del aprendizaje, especialmente en física. Al final
del libro se proporcionan las respuestas a los problemas con número impar.
Organización
El perfil general de esta nueva edición conserva un orden tradicional de los temas: mecánica (capítulos del 1 al 9); fluidos, vibraciones, ondas y sonido (capítulos del 10 al 12); teoría cinética y termodinámica (capítulos del 13 al 15); electricidad y magnetismo (capítulos
del 16 al 22); luz (capítulos del 23 al 25) y física moderna (capítulo 26). Aquí están incluidos casi todos los temas que se incluyen en los cursos de introducción a la física.
La tradición de comenzar con mecánica es sensata porque, históricamente, se desarrolló primero y porque buena parte de la física depende de ella. Dentro de la mecánica existen muchas formas de ordenar los temas, y este libro permite considerable flexibilidad. En
particular, prefiero presentar estática después de dinámica, en parte porque muchos estudiantes tienen problemas con el concepto de fuerza sin movimiento. Más aún, la estática es
un caso especial de la dinámica: la estática se estudia para que uno pueda evitar que las estructuras se vuelvan dinámicas (es decir, se caigan). No obstante, la estática (capítulo 9) podría estudiarse antes, luego de una breve introducción a los vectores. Otra opción es la luz,
la cual aparece después de electricidad y magnetismo y de las ondas EM. Pero la luz podría
estudiarse inmediatamente después de la ondas (capítulo 11). La relatividad especial (capítulo 26), si se desea, podría estudiarse junto con la mecánica, por ejemplo, después del
capítulo 7.
No es necesario dar el mismo peso a todos los capítulos. Mientras que los capítulos
4 y 21 podrían requerir 112 o 2 semanas de cobertura, los capítulos 12 y 22 quizás necesiten
sólo 1 semana o incluso menos. Puesto que el capítulo 11 se ocupa de las ondas estacionarias, el 12 podría dejarse para lectura de los estudiantes si se tiene poco tiempo de clase
disponible.
El libro contiene más material del que es posible cubrir en la mayoría de los cursos de un
año. Aunque existe gran flexibilidad para elegir los temas. Las secciones marcadas con asterisco (*) se consideran opcionales. Contienen material de física ligeramente más avanzado
PREFACIO
xix
(material que rara vez se incluye en los cursos típicos) y/o aplicaciones interesantes. Esas
secciones no contienen material necesario para los capítulos ulteriores, si acaso para las
secciones opcionales posteriores. No todas las secciones sin estrella deben ser cubiertas; sigue existiendo considerable flexibilidad en la elección del material. Para un curso breve, podría eliminarse todo el material opcional, así como buena parte de los capítulos 10, 12, 19
y 22, y tal vez partes seleccionadas de los capítulos 7, 8, 9, 15, 21, 24 y 25. Los temas no cubiertos en clase podrían servir de aliciente para el posterior estudio de los alumnos.
Nuevas aplicaciones
TODAS
SON
NUEVAS
▼
Las aplicaciones relevantes de la física a diversos campos, como la biología, la medicina, la
arquitectura, y a la vida cotidiana son una fuerte característica de este libro. Las aplicaciones son interesantes por ellas mismas, además de que responden la pregunta de los estudiantes:“¿Por qué debo estudiar física?”. Se agregaron nuevas aplicaciones. He aquí unas algunas
de ellas (véase la lista después de la tabla de contenido, en las páginas xii y xiii).
Cámaras digitales, dispositivos de carga acoplada (CCD) (cap. 25)
Pantallas de cristal líquido (LCD) (cap. 24)
Seguridad en el manejo de la electricidad, riesgos y diversos tipos de interruptores de corriente y de circuito (cap. 17, 18, 19, 20, 21)
Máquinas fotocopiadoras (cap. 16)
Impresoras de inyección de tinta y láser (cap. 16)
Los picos más altos del mundo (conversión de unidades, cap. 1)
Detectores de metales en los aeropuertos (cap. 21)
Usos de los capacitores (cap. 17)
Visión bajo el agua (cap. 25)
Clasificación SEER (cap. 15)
Bola curva (cap. 10)
Paso de corriente a un automóvil (cap. 19)
Circuitos RC en marcapasos, señales de vuelta, limpiadores (cap. 19)
Voltímetros digitales (cap. 19)
Gracias
Más de 50 profesores de física aportaron información y retroalimentación directa en cada
aspecto del texto: organización, contenido, figuras y sugerencias para nuevos ejemplos y
problemas. A continuación se mencionan los revisores de esta sexta edición. Con cada uno
de ellos tengo una deuda de gratitud:
Zaven Altounian (McGill University)
David Amadio (Cypresss Falls Senior High School)
Andrew Bacher (Indiana University)
Rama Bansil (Boston University)
Mitchell C. Begelman (University of Colorado)
Cornelius Bennhold (George Washington University)
Mike Berger (Indiana University)
George W. Brandenburg (Harvard University)
Robert Coakley (University of Southern Maine)
Renee D. Diehl (Penn State University)
Kathryn Dimiduk (University of New Mexico)
Leroy W. Dubeck (Temple University)
Andrew Duffy (Boston University)
John J. Dykla (Loyola University Chicago)
John Essick (Reed College)
David Faust (Mt. Hood Community College)
Gerald Feldman (George Washington University)
Frank A. Ferrone (Drexel University)
Alex Filippenko (University of California, Berkeley)
Richard Firestone (Lawrence Berkeley Lab)
Theodore Gotis (Oakton Community College)
J. Erik Hendrickson (University of Wisconsin, Eau Claire)
Laurent Hodges (Iowa State University)
xx
PREFACIO
Brian Houser (Eastern Washington University)
Brad Johnson (Western Washington University)
Randall S. Jones (Loyola College of Maryland)
Joseph A. Keane (St. Thomas Aquinas College)
Arthur Kosowsky (Rutgers University)
Amitabh Lath (Rutgers University)
Paul L. Lee (California State University, Northridge)
Jerome R. Long (virginia Tech)
Mark Lucas (Ohio University)
Dan MacIsaac (Northern Arizona University)
William W. McNairy (Duke University)
Laszlo Mihaly (SUNY Stony Brook)
Peter J. Mohr (NIST)
Lisa K. Morris (Washington State University)
Paul Morris (Abilene Christian University)
Hon-Kie Ng (Florida State University)
Mark Oreglia (University of Chicago)
Lyman Page (Princeton University)
Bruce Partridge (Haverford College)
R. Daryl Pedigo (University of Washington)
Robert Pelcovits (Brown University)
Alan Pepper (Campbell School, Adelaide, Australia)
Kevin T. Pitts (University of Illinois)
www.elsolucionario.org
Steven Pollock (University of Colorado, Boulder)
W. Steve Quon (Ventura College)
Michele Rallis (Ohio State University)
James J. Rhyne (University of Missouri, Columbia)
Paul L. Richards (University of California, Berkeley)
Dennis Rioux (University of Wisconsin, Oshkosh)
Robert Ross (University of Detroit, Mercy)
Roy S. Rubins (University of Texas, Arlington)
Wolfgang Rueckner (Harvard University Extension)
Randall J. Scalise (Southern Methodist University)
Arthur G. Schmidt (Northwestern University)
Cindy Schwarz (Vassar College)
Bartlett M. Sheinberg (Houston Community College)
J. L. Shinpaugh (East Carolina University)
Ross L. Spencer (Brigham Young University)
Mark Sprague (East Carolina University)
Michael G. Strauss (University of Oklahoma)
Chun Fu Su (Mississippi State University)
Ronald G. Taback (Youngstown State University)
Leo H. Takahashi (Pennsylvania State University, Beaver)
Raymond C. Turner (Clemson University)
Robert C. Webb (Texas A&M University)
Arthur Wiggins (Oakland Community College)
Stanley Wojcicki (Stanford University)
Edward L. Wright (University of California, Los Angeles)
Andrzej Zieminski (Indiana University)
También estoy agradecido con aquellos otros físicos revisores de ediciones anteriores:
David A. Aaron (South Dakota State University)
Narahari Achar (Memphis State University)
William T. Achor (Western Maryland College)
Arthur Alt (College of Great Falls)
John Anderson (University of Pittsburgh)
Subhash Antani (Edgewood College)
Atam P. Arya (West Virginia University)
Sirus Aryainejad (Eastern Illinois University)
Charles R. Bacon (Ferris State University)
Arthur Ballato (Brookhaven National Laboratory)
David E. Bannon (Chemeketa Community Colllege)
Gene Barnes (California State University, Sacramento)
Isaac Bass
Jacob Becher (Old Dominion University)
Paul A. Bender (Washington State University)
Michael S. Berger (Indiana University)
Donald E. Bowen (Stephen F. Austin University)
Joseph Boyle (Miami-Dade Community College)
Peter Brancazio (Brooklyn College, CUNY)
Michael E. Browne (University of Idaho)
Michael Broyles (Collin County Community College)
Anthony Buffa (California Polytechnic State University)
David Bushnell (Northern Illinois University)
Neal M. Cason (University of Notre Dame)
H. R. Chandrasekhar (University of Missouri)
Ram D. Chaudhari (SUNY, Oswego)
K. Kelvin Cheng (Texas Tech University)
Lowell O. Christensen (American River College)
Mark W. Plano Clark (Doane College)
Irvine G. Clator (UNC, Wilmington)
Albert C. Claus (Loyola University of Chicago)
Scott Cohen (Portland State University)
Lawrence Coleman (University of California, Davis)
Lattie Collins (East Tennessee State University)
Sally Daniels (Oakland University)
Jack E. Denson (Mississippi State University)
Waren Deshotels (Marquette University)
Eric Dietz (California State University, Chico)
Frank Drake (University of California, Santa Cruz)
Paul Draper (University of Texas, Arlington)
Miles J. Dressser (Washington State University)
Ryan Droste (The College of Charleston)
F. Eugene Dunnam (University of Florida)
Len Feuerhelm (Okalhoma Christian University)
Donald Foster (Wichita State University)
Gregory E. Francis (Montana State University)
Philip Gash (California State University, Chico)
J. David Gavenda (University of Texas, Austin)
Simon George (California State University, Long Beach)
James Gerhart (University of Washington)
Bernard Gerstman (Florida International University)
Charles Glashausser (Rutgers University)
Grant W. Hart (Brigham Young University)
Hershel J. Hausman (Ohio State University)
Melissa Hill (Marquette University)
Mark Hillery (Hunter College)
Hans Hochheimer (Colorado State University)
Joseph M. Hoffman (Frostburg State University)
Peter Hoffman-Pinther (University of Houston, Downtown)
Alex Holloway (University of Nebraska, Omaha)
Fred W. Inman (Mankato State University)
M. Azad Islan (SUNY, Potsdam)
James P. Jacobs (University of Montana)
Larry D. Johnson (Northeast Louisiana University)
Gordon Jones (Mississippi State University)
Rex Joyner (Indiana Institute of Technology)
Sina David Kaviani (El Camino College)
Kirby W. Kemper (Florida State University)
Sanford Kern (Colorado State University)
James E. Kettler (Ohio University, Eastern Campus)
James R. Kirk (Edinboro University of Pennsylvania)
Alok Kuman (SUNY, Oswego)
Sung Kyu Kim (Macalester College)
Amer Lahamer (Berea College)
Clement Y. Lam (North Harris College)
David Lamp (Texas Tech University)
Peter Landry (McGill University)
Michael Lieber (University of Arkansas)
Bryan H. Long (Columbia State College)
Michael C. LoPresto (Henry Ford Community College)
James Madsen (University of Wisconsin, River Falls)
Ponn Mahes (Winthrop University)
Robert H. March (University of Wisconsin, Madison)
David Markowitz (University of Connecticut)
Daniel J. McLaughlin (University of Hartford)
E. R. Menzel (Texas Tech University)
Robert Messina
David Mills (College of the Redwoods)
George K. Miner (University of Dayton)
Victor Montemeyer (Middle Tennessee State University)
Marina Morrow (Lansing Community College)
Ed Nelson (University of Iowa)
Dennis Nemeschansky (USC)
Gregor Novak (Indiana University/Purdue University)
xxi
Roy J. Peterson (University of Colorado, Boulder)
Frederck M. Phelps (Central Michigan University)
Brian L. Pickering (Laney College)
T. A. K. Pillai (University of Wisconsin, La Crosse)
John Polo (Edinboro University of Pennsylvania)
Michael Ram (University of Buffalo)
John Reading (Texas A&M University)
David Reid (Eastern Michigan University)
Charles Richardson (University of Arkansas)
William Riley (Ohio State University)
Larry Rowan (University of North Carolina)
D. Lee Rutledge (Oklahoma State University)
Hajime Sakai (University of Massachusetts, Amberst)
Thoma Sayetta (East Carolina University)
Neil Schiller (Ocean County College)
Ann Schmiedekamp (Pennsylvania State University, Ogontz)
Juergen Schroeer (Illinois State University)
Mark Semon (Bates College)
James P. Sheerin (Eastern Michigan University)
Eric Sheldon (University of Massachusetts, Lowell)
K. Y. Shen (California State University, Long Beach)
Marc Sher (College of William and Mary)
Joseph Shinar (Iowa State University)
Thomas W. Sills (Wilbur Wright College)
Anthony A. Siluidi (Kent State University)
Michael A. Simon (Housatonic Community College)
Upindranath Singh (Embry-Riddle)
Michael I. Sobel (Brooklyn College)
Donald Sparks (Los Angeles Pierce College)
Thor F. Stromberg (New Mexico State University)
James F. Sullivan (University of Cincinnati)
Kenneth Swinney (Bevill State Community College)
Harold E. Taylor (Stockton State University)
John E. Teggins (Auburn University en Montgomery)
Colin Terry (Ventura College)
Michael Thoennessen (Michigan State University)
Kwok Yeung Tsang (Georgia Institute of Technology)
Jagdish K. Tuli (Brookhaven National Laboratory)
Paul Urone (CSU, Sacramento)
Linn D. Van Woerkom (Ohio State University)
S. L. Varghese (University of Southern Alabama)
Jearl Walker (Cleveland State University)
Robert A. Walking (University of Southern Maine)
Jai-Ching Wang (Alabama A&M University)
Thomas A. Weber (Iowa State University)
John C. Wells (Tennessee Technological)
Gareth Williams (San Jose State University)
Wendall S. Williams (Case Western Reserve University)
Jerry Wilson (Metropolitan State College at Denver)
Lowell Wood (University of Houston)
David Wright (Tidewater Community College)
Peter Zimmerman (Louisiana State University)
Debo un agradecimiento especial a los profesores Bob Davis y J. Erik Hendrickson por
mucha información valiosa, y en especial por trabajar todos los problemas y producir el
Manual de soluciones con todas las respuestas a los problemas y preguntas, así como por
proporcionar las respuestas a los problemas de número impar la final de este libro. Gracias
también al equipo que dirigen (profesores David Curott, Bryan Long y Richard Louie,
quienes también trabajaron todos los problemas y preguntas, y cada uno de ellos verificó a
los demás.
Estoy agradecido con los profesores Robert Coakley, Lisa Morris, Kathryn Dimiduk,
Robert Pelcovits, Raymond Turner, Cornelius Bennhold, Gerald Feldman, Alan Pepper,
Michael Strauss y Zaven Altounian, quienes inspiraron muchos de los ejemplos, preguntas,
problemas y aclaraciones significativas.
En especial quiero agradecer a los profesores Howard Shugart, Chris McKee y a muchos otros en el Departamento de Física de University of California, Berkeley, por las discusiones útiles y por su hospitalidad. Gracias también al profesor Tito Arecchi y a otros en
el Istituto Nazionale di Ottica, Florencia, Italia.
Finalmente, debo agradecer a toda la gente en Prentice Hall con quienes he trabajado
en este proyecto, especialmente a Paul Corey, Erik Fahlgren, Andrew Sobel, Chirag Thakkar, John Challice y sobre todo a las altamente profesionales y maravillosamente dedicadas Karen Karlin y Susan Fisher. La responsabilidad final de todos los errores recae sobre
mí. Doy la bienvenida a comentarios, correcciones y sugerencias+ tan pronto como sea posible para beneficiar a los estudiantes con la siguiente reimpresión.
D.C.G.
†
Favor de enviar a:
Correo electrónico:
o por correo postal:
xxii
PREFACIO
[email protected]
Physics Editor
Prentice Hall Inc.
One Lake Street
Upper Saddle River, NJ 07458
Complementos y medios audiovisuales disponibles
Complementos para el estudiante
Compañero de bolsillo del estudiante (0-13-035249-7)
de Biman Das (SUNY-Potsdam)
Este libro en presentación rústica de 5” 7” contiene un resumen de Física: Principios con aplicaciones, sexta edición, que incluye conceptos clave, ecuaciones, consejos y sugerencias.
Guía de estudio del estudiante con soluciones seleccionadas
(Volumen I: 0-13-035239-X, Volumen II: 0-13-146557-0)
de Joseph Boyle (Miami-Dade Community College)
Esta guía de estudio contiene explicaciones generales, ejercicios, frases y términos
clave, exámenes para estudio, preguntas para revisión y soluciones a problemas de fin
de capítulo seleccionados.
Matemáticas para Física Universitaria (0-13-141427-5)
de Biman Das (SUNY-Potsdam)
Este texto, para estudiantes que necesitan ayuda con las herramientas matemáticas
necesarias, muestra cómo las matemáticas se aplican directamente a la física, y explica cómo superar la ansiedad matemática.
Ejercicios de clasificación en física, edición del estudiante (0-13-144851-X)
de Thomas L. O’Kuma (Lee College), David P. Maloney (Indiana University-Purdue
University, Fort Wayne) y Curtis J. Hieggelke (Joliet Junior College)
Las actividades de clasificación son un innovador tipo de ejercicio conceptual que
pide a los estudiantes realizar juicios comparativos acerca de variaciones sobre una
situación física particular. Este complemento incluye aproximadamente 200 ejercicios
de clasificación que cubren toda la física clásica, excepto óptica.
PH GradeAssist: Guía de inicio rápido del estudiante (0-13-141926-9)
Esta guía de estudio (con código de acceso) contiene información acerca de cómo registrar y usar el PH GradeAssist.
Física interactiva: Libro de trabajo, segunda edición (0-13-067108-8)
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estudiantes a visualizar y trabajar con problemas físicos específicos por medio de simulaciones creadas a partir de archivos de Física Interactiva. Cuarenta problemas
de diversa dificultad requieren que los estudiantes efectúen predicciones, cambien variables, corran y visualicen movimiento en la pantalla de la computadora. El libro de
trabajo/guía de estudio que lo acompaña proporciona instrucciones, un repaso de física, sugerencias y preguntas. El CD-ROM contiene todo lo que los estudiantes necesitan para correr las simulaciones.
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Web ni conexión a Internet.
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de Joseph Boone (California Polytechnic State University-San Luis Obispo)
Esta guía de estudio MCAT incluye repaso a profundidad, problemas prácticos y preguntas de repaso.
MCAT
Complementos para el profesor
Test Item File (0-13-047311-1)
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de carácter conceptual. Todas las preguntas están clasificadas por nivel de dificultad y
referidas a la correspondiente sección de este libro. El Test Item File también está disponible en formato electrónico, en CD-ROM, en el Centro de Recursos del Instructor.
xxiii
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Manual de soluciones del instructor
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de Bob Davis (Taylor University) y J. Erik Hendrickson (University of Wisconsin-Eau
Claire)
El manual de soluciones contiene soluciones trabajadas y detalladas de todos los problemas de fin de capítulo en este libro, así como respuestas a las preguntas. Están
disponibles versiones electrónicas, en CD-ROM, en el Centro de Recursos del Instructor para profesores con Microsoft Word o software compatible con Word.
Manual de Recursos del Instructor (0-13-035251-9)
de Katherine Whatley (University of North Carolina-Asheville)
Este manual contiene esquemas de clases, notas, sugerencias de demostración, lecturas sugeridas y otros recursos de enseñanza.
Centro de Recursos del Instructor en CD-ROM (0-13-035246-2)
Este conjunto de dos CD contiene todas las ilustraciones y tablas del texto en formatos JPEG, Microsoft PowerPoint™ y Adobe PDF. Los profesores pueden tener vistas
previas y secuencias de imágenes, realizar búsquedas por palabra clave, agregar notas de clase e incorporar sus propios recursos digitales. También contiene un TestGenerator, un programa fácil de usar que se puede poner en red para crear pruebas que
van de los acertijos cortos a extensos exámenes. Los profesores pueden usar el Editor de Preguntas para modificar las preguntas o problemas existentes, que incluyen
versiones algorítmicas, o crear unos nuevos. Los CD también contienen clases adicionales en PowerPoint, más versiones electrónicas del Manual de Recursos del Instructor, del Manual de Soluciones del Instructor y preguntas y problemas de fin de
capítulo para este libro.
Paquete de transparencias (0-13-035245-4)
El paquete incluye aproximadamente 400 transparencias a todo color de imágenes y
tablas de este libro.
Video “Física que puedes ver” (0-205-12393-7)
Este video contiene once demostraciones físicas clásicas, cada una con duración de
2 a 5 minutos.
Sistemas de administración de curso
WebCT y Blackboard permiten a los profesores asignar y calificar tareas en línea, administrar su lista de alumnos y su libro de calificaciones, y colocar documentos relacionados con el curso.
Los cartuchos para WebCT y Blackboard son específicos de texto e incluyen:
Herramientas de enseñanza justo a tiempo: calentamientos, rompecabezas y aplicaciones, por Gregor Novak y Andrew Gavrin (Indiana University-Purdue University, Indianapolis)
Ejercicios de clasificación por Thomas L. O’Kuma (Lee College), David P. Maloney (Indiana University-Purdue University, Fort Wayne) y Curtis J. Hieggelke
(Joliet Junior College)
Physlet® Problems por Wolfgang Christian y Mario Belloni (Davidson College)
Problemas de práctica de algoritmos por Carl Adler (East Carolina University)
Guía de estudio MCAT con preguntas de “Kaplan Test Prep and Admissions”
Companion Website (http://physics.prenhall.com/giancolippa)
Este sitio contiene problemas prácticos, objetivos, preguntas prácticas, destinos (vínculos a sitios relacionados) y aplicaciones con vínculos a sitios relacionados. Los problemas y preguntas prácticos son calificados por computadora, y los resultados pueden
ser enviados automáticamente por correo electrónico al profesor.
Sistemas de tareas en línea
ph GradeAssist (www.prenhall.com/phga)
PH GradeAssist (PHGA) es el sistema de tareas en línea de Prentice Hall. Incluye contenido asociado con materiales de enseñanza justo a tiempo, Physlet Problems, preguntas conceptuales y cuantitativas, y cientos de problemas de fin de capítulo de este
libro. Muchos de los problemas de fin de capítulo tienen una variante generada de manera algorítmica. Permite a los profesores editar las preguntas, crear nuevas y contro-
xxiv
lar parámetros importantes, tales como cuánto vale una pregunta y cuándo un estudiante puede tomar una prueba.
PH GradeAssist: Guía de inicio rápido del instructor (0-13-141927-7)
Esta guía (con código de acceso) ayuda a los instructores a registrarse para usar el PH
GradeAssist.
WebAssign (www.webassign.net)
WebAssign es un sistema de en línea alojado nacionalmente que permite a los profesores crear, colocar, recopilar, calificar y registrar tareas a partir de una base de datos, lista para usar, de problemas y preguntas de este libro.
y LON-CAPA
Enfoque Personalizado Asistido por Computadora (CAPA, por sus siglas en inglés)
es un sistema en línea alojado localmente que permite a los profesores crear, colocar,
recopilar, calificar y registrar tareas a partir de una base de datos, lista para usar, de
problemas y preguntas de este libro. La Red de Aprendizaje en Línea con un Enfoque Personalizado Asistido por Computadora (LON-CAPA, por sus siglas en inglés) es
un sistema integrado para aprendizaje y asignación en línea. Consiste en un sistema
de administración del curso, un sistema individualizado de tareas y calificación automática, una colección de datos y un sistema de extracción de datos, así como un sistema de entrega de contenido que proporcionará vías de acceso hacia y desde la
National STEM Digital Library del NSF.
CAPA
xxv
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NOTAS A LOS ESTUDIANTES (Y PROFESORES)
ACERCA DEL FORMATO
1. Las secciones marcadas con asterisco (*) se consideran opcionales. Pueden omitirse sin interrumpir el flujo principal de los temas. Ningún material posterior
depende de ellas a excepción de algunas secciones posteriores también con asterisco. Será divertido leerlas.
2. Se usan las convenciones comunes: los símbolos para cantidades (como m para
masa) aparecen en itálicas, mientras que las unidades (como m para metro) aparecen en redondas. Los símbolos
para vectores se presentan en negritas con una
B
pequeña flecha encima: F.
3. Pocas ecuaciones son válidas en todas las situaciones. Cuando resulte práctico, las
limitaciones de las ecuaciones importantes se establecen en corchetes a continuación
de la ecuación. Las ecuaciones que representan las grandes leyes de la física se
presentan en una pantalla, al igual que algunas otras ecuaciones indispensables.
4. El número de cifras significativas (sección 1-4) no se debe suponer mayor o menor que lo indicado: si un número es establecido como 6, por ejemplo, con sus unidades, ello significa que es 6 y no 6.0 o 6.00.
5. Al final de cada capítulo se incluye un conjunto de preguntas que los estudiantes
deben tratar de responder (por ellos mismos, al menos). Después se incluyen problemas que están clasificados como de nivel I, II o III, de acuerdo con la dificultad estimada, siendo los problemas del nivel I los más sencillos. Los del nivel II son
problemas normales, y los de nivel III son para “créditos adicionales”. Estos problemas clasificados están ordenados por sección, pero los problemas para una sección dada también pueden depender de material estudiado con anterioridad. Sigue
un grupo de problemas generales que no están ordenados por sección ni clasificados por dificultad. Las preguntas y problemas que se relacionan con secciones opcionales tienen un asterisco (*). Al final del libro se ofrecen las respuestas a los
problemas con número non.
6. Ser capaz de resolver problemas es una parte esencial del aprendizaje de la física,
y representa un poderoso medio para entender los conceptos y principios. Este libro contiene muchos auxiliares para resolver problemas: a) Ejemplos trabajados y
sus soluciones en el texto (resaltados con una línea vertical en el margen) que hay
que estudiar como una parte integral del texto; b) algunos de los ejemplos trabajados son ejemplos de estimación, que muestran cómo se obtienen resultados aproximados, incluso cuando los datos proporcionados son escasos (véase la sección
1-7); c) “Recuadros de resolución de problemas” especiales colocados a lo largo
del texto para sugerir un enfoque paso a paso a la resolución de problemas para un
tema particular. Pero no hay que quedarse con la idea de que cada tema tiene sus
propias “técnicas”, porque las bases permanecen iguales; a algunos de estos recuadros les sigue un ejemplo que está resuelto mediante el seguimiento explícito de los
pasos sugeridos; d) secciones especiales de resolución de problemas; e) notas marginales de “Resolución de problemas” (véase el punto 9 más adelante) que se refieren a sugerencias para resolver problemas dentro del texto; f) ejercicios dentro
del texto que es conveniente trabajar inmediatamente y luego comparar la respuesta con la que se proporciona al final de la última página de ese capítulo; g) los
problemas mismos al final de cada capítulo (punto 5 anterior).
7. Los ejemplos conceptuales precisamente son más conceptuales que numéricos.
Cada uno plantea una o dos preguntas, que tienen la finalidad de hacer pensar al
estudiante para dar con una respuesta. Es recomendable darse un poco de tiempo para hallar la respuesta antes de leer la respuesta ofrecida.
8. Los subtítulos de “Ejemplos adicionales” contienen ejemplos que el estudiante
podría saltarse en una primera lectura, en caso de que se sienta abrumado. Pero
uno o dos días más tarde, al leer el capítulo una segunda vez, también hay que intentar trabajar estos ejemplos porque ayudarán a mejorar la habilidad para resolver un amplio rango de problemas.
9. Notas marginales: Las breves notas en el margen de casi cada página están impresas en azul y son de cinto tipos: a) notas ordinarias (la mayoría) que sirven como
una especie de subrayado del texto y ayudarán, más tarde, a localizar conceptos y
xxvii
ecuaciones importantes; b) notas que se refieren a las grandes leyes y principios
de la física, que están en letras mayúsculas y en un recuadro para resaltarlas; c) notas que se refieren a una sugerencia o técnica de resolución de problemas tratada
en el texto, que se identifican por el título “Resolución de problemas”; d) notas que
se refieren a una aplicación de la física en el texto o a un ejemplo, y que aparecen
bajo el título “Física aplicada”; e) notas de “Precaución” que puntualizan una posible mala interpretación, definida con claridad en el texto adyacente.
10. En los apéndices se encuentra un repaso matemático más algunos temas adicionales. En las cubiertas interiores se incluyen datos útiles, factores de conversión y
fórmulas matemáticas.
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xxviii
Agradecimientos
Agradecemos a todos los profesores que han sido leales usuarios y han impartido la materia de Física en los países de habla
hispana con el apoyo del reconocido libro de Giancoli. Sus valiosos comentarios han servido para enriquecer el desarrollo
de la actual edición. Esperamos que con el uso de este texto cumplan satisfactoriamente los objetivos del programa del curso y preparen a sus alumnos para enfrentar los retos actuales dentro del ámbito de las ciencias. En especial deseamos agradecer el apoyo y retroalimentación que nos han dado los siguientes profesores:
COLOMBIA
Abraham Lincoln
Clara Ortiz
Anglo Americano
Miguel Tolosa
Cardenal Paccelly
Jenny Correa
Emmanuel d’Alzon
Francisco Ruggiero
Gimnasio del Norte
Luis Eduardo Cano
Colegio Rossland
Víctor Manuel Jiménez Romero
Colegio Simón Bolivar
Alejandro Jiménez
Rubén Darío Díaz Rojas
Colegio Unión
Martha Patricia Elingher
Colegio Vermont
Pastor Martínez
Escuela Internacional S.C.
José Luis Juambelz
María Mazzarello
Diana Medina
Escuela Nacional Preparatoria Plantel 6
Luis Fernando Terán Mendieta
José Arturo Mompala
San Jorge de Inglaterra
Nelson Roby
I.E.S.CH. Samuel León Brindis
Manuel de Jesús Arreola Ruiz
MÉXICO
Instituto Mier y Pesado
Cayetano Andrade Zavala
Bachillerato Internacional
Víctor Gerardo Delgado
Instituto Simón Bolivar
Isaac Galindo
CIDEB
Margarita Nerio
ITESM campus Querétaro
Jaime Salvador Castellanos
Colego Arji
Nancy de Alba Bellizzia
Preparatoria Cumbres
Enrique Barreto Trujano
Colegio Columbio
Eliseo García Sosa
Preparatoria Motolinia
Gerardo Zavala Rodríguez
Colegio Franco Inglés
Fernando Macías Martínez
Universidad del Valle de México
Ivonne Ibarra Silva
Colegio Hebreo Tarbut
Esther Murrow
Universidad La Salle A.C.
Alberto Lima
Colegio México – Bachillerato
María del Socorro García
Manuel Carrillo Ricaldi
Universidad St John’s
Margarito Rodríguez
Colegio Montaignac
Juana Velázquez
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FÍSICA 2
PRINCIPIOS CON APLICACIONES
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Si la música es el alimento de la física, hay que interpretarla. [Shakespeare, La duodécima noche, línea 1.]
Una orquesta incluye instrumentos de cuerda, cuyo sonido depende
de ondas estacionarias transversales
sobre cuerdas, e instrumentos de viento, cuyo sonido se origina en las ondas estacionarias longitudinales de una
columna de aire. Los instrumentos
de percusión, por su parte, crean ondas estacionarias más complejas.
En este capítulo, además de examinar las fuentes del sonido, también
se estudiará la escala de decibeles
del nivel de sonido, la respuesta del
oído, la interferencia y los batimientos de las ondas sonoras, el efecto
Doppler, las ondas de choque y el
estampido supersónico, así como la
formación de imágenes mediante ultrasonido.
12
CAPÍTULO
Sonido
E
l sonido está asociado con el sentido del oído y, por tanto, con la fisiología de
los oídos y la psicología del cerebro, que interpreta las sensaciones que llegan a los oídos. El término sonido también se refiere a la sensación física
que estimula los oídos: las ondas longitudinales.
Es posible distinguir tres aspectos de cualquier sonido. Primero, debe existir
una fuente; como con cualquier onda, la fuente de una onda sonora es un objeto que
vibra. Segundo, la energía se transfiere desde la fuente en la forma de ondas sonoras longitudinales. Y tercero, el sonido es detectado por un oído o por un micrófono.
El capítulo comienza con la observación de algunos aspectos de las ondas sonoras
mismas.
12–1 Características del sonido
En el capítulo 11 (figura 11-25), se vio cómo un tambor que vibra produce una
onda sonora en el aire. De hecho, por lo general, se piensa que las ondas sonoras
viajan en el aire, pero normalmente son las vibraciones del aire las que fuerzan
a los tímpanos a vibrar. Las ondas sonoras también pueden viajar en otros materiales.
322
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Un nadador puede escuchar el sonido de dos piedras que se golpean bajo el agua,
porque ésta conduce las vibraciones hacia el oído. Cuando alguien coloca el oído
contra el suelo puede escuchar el sonido de un tren o de un camión que se aproxima. En este caso, el suelo en realidad no toca el tímpano, pero la onda longitudinal
transmitida por el suelo se llama onda sonora porque sus vibraciones provocan que el
oído externo y el aire dentro de él vibren. Es evidente que el sonido no puede viajar en ausencia de materia. Por ejemplo, no es posible escuchar una campana que
suena dentro de un recipiente al vacío, y el sonido no puede viajar a través de los
confines vacíos del espacio exterior.
La rapidez del sonido es diferente en distintos materiales. En el aire a 0°C y
1 atm, el sonido viaja con una rapidez de 331 ms. En la tabla 12-1 se indica la rapidez del sonido en varios materiales. Los valores dependen en cierta medida de la
temperatura, especialmente en el caso de los gases. Por ejemplo, cuando el aire está
cerca de la temperatura ambiente, la rapidez se incrementa aproximadamente 0.60 ms
por cada grado Celsius de aumento en la temperatura:
v L (331 + 0.60T) ms,
donde T es la temperatura en °C. A menos que se especifique otra cosa, en
este capítulo se supondrá que T = 20°C, así que v = C 331 + (0.60)(20) D ms 343 ms.
EJEMPLO CONCEPTUAL 12–1 Distancia desde un relámpago. Una regla
empírica que ayuda a saber a qué distancia se produjo un relámpago dice: “una milla por cada cinco segundos antes de que se escuche el trueno”. Justifique, notando
que la rapidez de la luz es tan alta (3 * 108 ms, casi un millón de veces más rápida que el sonido) que el tiempo para que la luz viaje es despreciable en comparación con el tiempo para el sonido.
RESPUESTA La rapidez del sonido en el aire es de aproximadamente 340 ms,
así que recorrer 1 km = 1000 m toma alrededor de 3 segundos. Una milla es más
o menos 1.6 kilómetros, de modo que el tiempo para que el trueno viaje una milla
es aproximadamente (1.6)(3) L 5 segundos.
TABLA 12–1 Rapidez del
sonido en varios materiales
(20°C y 1 atm)
Material
Aire
Aire (0°C)
Helio
Hidrógeno
Agua
Agua de mar
Hierro y acero
Vidrio
Aluminio
Madera dura
Concreto
Rapidez (ms)
343
331
1005
1300
1440
1560
L 5000
L 4500
L 5100
L 4000
L 3000
Rapidez del sonido en el aire
F Í S I C A
A P L I C A D A
¿A qué distancia se produjo
el relámpago?
EJERCICIO A ¿Cuál sería la regla empírica del ejemplo 12-1 en términos de kilómetros?
Existen dos aspectos de cualquier sonido que son inmediatamente evidentes
para un escucha humano: “intensidad” y “tono”. Cada uno se refiere a una sensación en la conciencia del escucha. Pero a cada una de esas sensaciones subjetivas corresponde una cantidad físicamente mensurable. La intensidad está relacionada con
la energía (energía por unidad de tiempo que cruza una área unitaria) en la onda
sonora, y se analizará en la siguiente sección.
El tono de un sonido se refiere a si es alto, como el sonido de un piccolo o de
un violín, o bajo, como el sonido de un tambor o de un bajo. La cantidad física que
determina el tono es la frecuencia, y fue Galileo el primero en notarlo. Cuanto más
baja sea la frecuencia, más bajo será el tono; cuanto más alta la frecuencia, mayor el
tono.† Los oídos humanos pueden responder a frecuencias desde aproximadamente
20 Hz hasta casi 20,000 Hz. (Cabe recordar que 1 Hz es 1 ciclo por segundo). Este rango de frecuencias se llama rango audible, aunque los límites varían un poco de un
individuo a otro. Una tendencia general es que, cuando las personas envejecen, son
menos capaces de escuchar frecuencias altas, de modo que el límite de frecuencia alta
puede ser de 10,000 Hz o incluso menos.
Las ondas sonoras cuyas frecuencias están fuera del rango audible pueden alcanzar el oído, pero por lo general uno no está consciente de ellas. Las frecuencias por
arriba de 20,000 Hz se denominan ultrasónicas (no hay que confundir con supersónico,
que se usa para referirse a un objeto que se mueve con una rapidez mayor que la del
sonido). Muchos animales pueden escuchar frecuencias ultrasónicas; los perros, por
ejemplo, son capaces de escuchar sonidos tan altos como 50,000 Hz, y los murciélagos
pueden detectar frecuencias tan altas como 100,000 Hz. Las ondas ultrasónicas tienen
varias aplicaciones en medicina y en algunos otros campos, que se examinarán más
adelante en este capítulo.
Intensidad
Tono
Rango de frecuencia audible
P R E C A U C I Ó N
No hay que confundir
ultrasónico (alta frecuencia)
con supersónico (alta rapidez)
†
Aunque el tono está determinado principalmente por la frecuencia, también depende en una ligera
medida de la intensidad. Por ejemplo, un sonido “muy sonoro” puede parecer con un tono ligeramente más bajo que un sonido suave de la misma frecuencia.
SECCIÓN 12–1
Características del sonido
323
FIGURA 12–1 Ejemplo 12-2. Las cámaras de autofoco emiten
un pulso ultrasónico. Las líneas sólidas representan el frente de
onda del pulso de onda de salida que se mueve hacia la derecha;
las líneas punteadas representan el frente de onda del pulso
reflejado en el rostro de la persona, que regresa a la cámara.
La información del tiempo permite que el mecanismo de la cámara
ajuste la lente para enfocar a la distancia apropiada.
F Í S I C A
A P L I C A D A
Cámara de autofoco
EJEMPLO 12–2 Autofoco con ondas sonoras. Las cámaras de autofoco emiten un pulso sonoro de muy alta frecuencia (ultrasónico) que viaja hacia el objeto
a ser fotografiado, e incluyen un sensor que detecta el sonido reflejado que regresa,
como se muestra en la figura 12-1. Para tener una idea de la sensibilidad del tiempo
del detector, calcule el tiempo de recorrido del pulso para un objeto a) a 1.0 m de
distancia y b) a 20 m de distancia.
PLANTEAMIENTO Si se supone que la temperatura es de alrededor de 20°C, entonces la rapidez del sonido es 343 ms. Con este valor de rapidez v y la distancia
total d de ida y vuelta en cada caso, se puede obtener el tiempo (v = dt).
SOLUCIÓN a) El pulso recorre 1.0 m hacia el objeto y 1.0 m de regreso, para un
total de 2.0 m. Al resolver para t en v = dt:
2.0 m
d
=
= 0.0058 s = 5.8 ms.
v
343 ms
b) Ahora la distancia total es 2 * 20 m = 40 m, de modo que
40 m
t =
= 0.12 s = 120 ms.
343 ms
NOTA Estos tiempos son muy cortos, así que la espera para que la cámara enfoque es insignificante.
t =
Las ondas sonoras cuyas frecuencias están por debajo del rango audible (es decir, son menores de 20 Hz) se llaman infrasónicas. Las fuentes de ondas infrasónicas
incluyen terremotos, truenos, volcanes y ondas producidas por maquinaria pesada
que vibra. Esta última fuente a menudo resulta problemática para los trabajadores,
pues las ondas infrasónicas (aun cuando son inaudibles) pueden causar daño al
cuerpo humano. Estas ondas de baja frecuencia actúan de una forma resonante, lo
que provoca movimiento e irritación de los órganos del cuerpo.
Expansión
(presión más baja)
Compresión
(presión más alta)
Membrana
de tambor Movimiento de una molécula
+ 0.0005
0
− 0.0005
Presión (atm)
Desplazamiento (cm)
FIGURA 12–3 Representación
de una onda sonora en el espacio
en un instante dado en términos
de a) desplazamiento y b) presión.
FIGURA 12–2 La membrana de
un tambor, conforme vibra, comprime
alternativamente el aire y, cuando
retrocede (se mueve hacia la
izquierda), deja una rarefacción o
expansión de aire. Véase también
la figura 11-25.
x (cm)
a)
1.0002
1.0000
x (cm)
0.9998
b)
324
CAPÍTULO 12
Sonido
Con frecuencia una onda sonora se describe en términos de la vibración de las
moléculas del medio en el que viaja; es decir, en términos del movimiento o desplazamiento de las moléculas. Pero las ondas sonoras también se pueden analizar desde el punto de vista de la presión. De hecho, las ondas longitudinales a menudo
se denominan ondas de presión. En general, la variación de presión es más sencilla
de medir que el desplazamiento. Como muestra la figura 12-2, en la “compresión” de
una onda (donde las moléculas están más cercanas unas de otras), la presión es mayor que lo normal; mientras que en una expansión (o rarefacción), la presión es
menor que lo normal. La figura 12-3 es una representación gráfica de una onda sonora en el aire en términos de a) desplazamiento y b) presión. Cabe hacer notar que
la onda de desplazamiento está un cuarto de longitud de onda fuera de fase con respecto a la onda de presión: donde la presión es un máximo o mínimo, el desplazamiento desde el equilibrio es cero; y donde la variación de presión es cero, el
desplazamiento es un máximo o un mínimo.
12–2 Intensidad del sonido: decibeles
Como el tono, la intensidad es una sensación en la conciencia de un ser humano. También está relacionada con una cantidad físicamente mensurable: la intensidad de la onda. La intensidad se define como la energía transportada por una onda por unidad de
tiempo a través de una unidad de área perpendicular al flujo de energía. Como se vio
en el capítulo 11, la intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud de la onda.
La intensidad tiene unidades de potencia por unidad de área, o watts/metro2 (Wm2).
El oído humano puede detectar sonidos con una intensidad tan baja como
10–12 Wm2 y tan alta como 1 Wm2 (e incluso intensidades más altas, aunque esto resulta doloroso). Éste es un rango de intensidad increíblemente amplio, que abarca un
factor de 1012 desde el más bajo hasta el más alto. Se presume que, a causa de este amplio rango, lo que se percibe como volumen no es directamente proporcional a la intensidad. Para producir un sonido que suene aproximadamente el doble de fuerte se
requiere una onda sonora que tenga unas 10 veces la intensidad. Esto es aproximadamente válido en cualquier nivel sonoro para frecuencias cercanas a la mitad del rango
audible. Por ejemplo, una onda sonora de 10–2 Wm2 de intensidad suena, a los oídos
de un ser humano promedio, como si fuese el doble de sonora que una cuya intensidad es de 10–3 Wm2, y cuatro veces tan sonora como una de 10–4 Wm2.
Intensidad
F Í S I C A
A P L I C A D A
Amplio rango de la audición
humana
Nivel de sonido
En virtud de esta relación entre la sensación subjetiva y la cantidad físicamente
mensurable de “intensidad”, los niveles de intensidad del sonido generalmente se
especifican en escala logarítmica. La unidad en esta escala es un bel, en honor del
inventor Alexander Graham Bell, o, mucho más comúnmente, el decibel (dB), que
1
es 10
bel (10 dB = 1 bel). El nivel de sonido, , de cualquier sonido se define en
términos de su intensidad, I, como
I,
(12–1)
I0
donde I0 es la intensidad de un nivel de referencia elegido, y el logaritmo es a la
base 10. I0 se considera usualmente como la intensidad mínima audible para un buen
oído el “umbral de audición”, que es I0 = 1.0 * 10 –12 Wm 2. En consecuencia, por
ejemplo, el nivel sonoro de un sonido, cuya intensidad es I 1.0 10 –10 Wm 2
1.0 * 10–10 Wm2
b = 10 log a
b = 10 log 100 = 20 dB,
1.0 * 10–12 Wm2
será puesto que log 100 es igual a 2.0. Hay que advertir que el nivel del sonido en el
umbral de audición es 0 dB. Esto es, b = 10 log 10 –1210 –12 = 10 log 1 = 0 pues
log 1 = 0. También hay que notar que un incremento en intensidad por un factor
de 10 corresponde a un incremento en el nivel del sonido de 10 dB. Un aumento en
intensidad por un factor de 100 corresponde a un aumento en el nivel del sonido
de 20 dB. Por tanto, un sonido de 50 dB es 100 veces más intenso que un sonido de
30 dB, y así sucesivamente.
En la tabla 12-2 se mencionan intensidades y niveles del sonido para varios sonidos comunes.
b (in dB) = 10 log
EJEMPLO 12–3 Intensidad del sonido en la calle. En la esquina de una calle con tránsito intenso, el nivel del sonido es de 70 dB. ¿Cuál es la intensidad del
sonido en ese lugar?
PLANTEAMIENTO Hay que resolver la ecuación 12-1 para la intensidad I, recordando que I0 = 1.0 * 10 –12 Wm2.
SOLUCIÓN A partir de la ecuación 12-1
b
I
,
log
=
I0
10
de modo que
I
= 10b10.
I0
Con b = 70, entonces
I = I0 10b10 = A1.0 * 10–12 Wm2 B A107 B = 1.0 * 10–5 Wm2.
NOTA Cabe recordar (apéndice A) que x = log y es lo mismo que y = 10x.
SECCIÓN 12–2
La unidad dB
Nivel de sonido (decibeles)
P R E C A U C I Ó N
0 dB no significa intensidad cero
Cada 10 dB corresponden a un
cambio decuplicado en intensidad
TABLA 12–2 Intensidad de varios
sonidos
Fuente
del sonido
Nivel
sonoro Intensidad
(dB) (W m2)
Avión jet a 30 m
Umbral del dolor
Concierto intenso
de rock
Sirena a 30 m
Interior de automóvil,
a 90 kmh
Calle con tránsito
intenso
Plática, a 50 cm
Radio bajo
Murmullo
Crujido de hojas
Umbral de audición
140
120
100
1
120
100
1 * 10–2
1
75
3 * 10–5
70
65
40
20
10
0
1
3
1
1
1
1
*
*
*
*
*
*
10–5
10–6
10–8
10–10
10–11
10–12
Intensidad del sonido: decibeles
325
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F Í S I C A
A P L I C A D A
Respuesta de bocinas (; 3 dB)
EJEMPLO 12–4 Respuesta de bocinas. Según los anuncios publicitarios, una
bocina de alta calidad es capaz de reproducir, a todo volumen, frecuencias desde
30 hasta 18,000 Hz con un nivel sonoro uniforme de ; 3 dB. Es decir, en este rango de frecuencias, la salida del nivel de sonido no varía más allá de 3 dB para un
nivel de entrada determinado. ¿En qué factor cambia la intensidad para el máximo
cambio de 3 dB en la salida del nivel de sonido?
PLANTEAMIENTO Sea la intensidad promedio I1 y el nivel de sonido promedio
1. Entonces la intensidad máxima, I2, corresponde a un nivel b2 = b1 + 3 dB. Entonces se usa la relación entre intensidad y nivel de sonido (ecuación 12-1).
SOLUCIÓN La ecuación 12-1 da
b2 - b1 = 10 log
I2
I1
- 10 log
I0
I0
3 dB = 10 a log
= 10 log
I2
I1
- log b
I0
I0
I2
I1
pues (log a - log bB = log ab (véase apéndice A). Esta última ecuación da
log
I2
= 0.30,
I1
o
x
x = log y significa y = 10
I2
= 100.30 = 2.0.
I1
De modo que ; 3 dB corresponde a duplicar o partir a la mitad la intensidad.
EJERCICIO B Si un aumento de 3 dB significa “doble de intenso”, ¿qué significa un
aumento de 6 dB?
Vale la pena destacar que una diferencia de 3 dB en el nivel de sonido (que corresponde a una duplicación de la intensidad, como se acaba de ver) representa sólo un cambio muy pequeño en la sensación subjetiva de la intensidad aparente. De
hecho, el humano promedio puede distinguir una diferencia en el nivel de sonido
sólo de alrededor de 1 o 2 dB.
Normalmente, el volumen o intensidad de un sonido disminuye conforme uno
se aleja de la fuente del sonido. En habitaciones interiores este efecto se reduce a
causa de las reflexiones en las paredes. Sin embargo, si una fuente está en un espacio abierto, de modo que el sonido pueda difundirse libremente en todas direcciones, la intensidad disminuye como el cuadrado inverso de la distancia,
I r
1,
r2
como se vio en la sección 11-9. Cuando se trata de grandes distancias, la intensidad
disminuye más rápido que 1r2 porque parte de la energía se transfiere como el movimiento irregular de las moléculas del aire. Esta pérdida ocurre más para frecuencias altas, así que cualquier sonido de frecuencias mixtas será menos “brillante” a
la distancia.
F Í S I C A
A P L I C A D A
Ruido de un jet
EJEMPLO 12–5 Rugir de un aeroplano. El nivel de sonido medido a 30 m de
un jet es de 140 dB. ¿Cuál es el nivel de sonido a 300 m? (Ignore las reflexiones en
el suelo).
PLANTEAMIENTO Dado el nivel de sonido, es posible determinar la intensidad
a 30 m con la ecuación 12-1. Puesto que la intensidad disminuye como el cuadrado de la distancia, si se ignoran las reflexiones, se puede encontrar I a 300 m y de
nuevo aplicar la ecuación 12-1 para obtener el nivel de sonido.
326
CAPÍTULO 12
Sonido
SOLUCIÓN La intensidad I a 30 m es
140 dB = 10 log a
I
b.
10–12 Wm2
Al invertir la ecuación logarítmica para resolver I, se tiene
1014 =
I
,
10–12 Wm2
de modo que I = A1014 BA10 –12 Wm2 B = 102 Wm2. A 300 m, 10 veces más le1 2
B = 1100 o 1 Wm2. En consecuencia, el nivel de sojos, la intensidad será A 10
nido es
b = 10 log a
1 Wm2
b = 120 dB.
10 –12 Wm2
Incluso a 300 m, el sonido está en el umbral del dolor. Es por esto por lo que
los trabajadores en los aeropuertos usan orejeras para proteger sus oídos del daño
(figura 12-4).
NOTA He aquí un enfoque más simple que evita la ecuación 12-1: puesto que la
intensidad disminuye como el cuadrado de la distancia, a 10 veces la distancia la in1 2
1
B = 100
. Se puede usar el resultado de que 10 dB correstensidad disminuye por A 10
ponden a un cambio en la intensidad por un factor de 10 (véase justo antes del
ejemplo 12-3). Entonces un cambio en la intensidad por un factor de 100 corresponde a un cambio en el nivel de sonido de (2)(10 dB) = 20 dB. Esto confirma el
resultado anterior: 140 dB - 20 dB = 120 dB.
FIGURA 12–4 Ejemplo 12-5.
Un trabajador aeroportuario con
cubiertas en los oídos (u orejeras)
que ayudan a reducir la intensidad
del sonido.
EJERCICIO C Si se duplica la distancia desde una fuente de sonido que se difunde libremente en todas direcciones, ¿cómo cambia la intensidad que se escucha? ¿Por cuántos decibles cambia el nivel de sonido?
* Intensidad relacionada con la amplitud
La intensidad I de una onda es proporcional al cuadrado de la amplitud de la onda,
A, como se explicó en las secciones 11-9 y 11-10. Entonces es posible relacionar
cuantitativamente la amplitud con la intensidad I o el nivel , como muestra el
ejemplo siguiente.
EJEMPLO 12–6 Cuán pequeño es el desplazamiento. Calcule el desplazamiento de las moléculas del aire para un sonido que tiene una frecuencia de 1000 Hz
en el umbral de audición.
F Í S I C A
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Increíble sensibilidad del oído
PLANTEAMIENTO En la sección 11-10 se encontró una relación entre intensidad
I y amplitud del desplazamiento A de una onda (ecuación 11-18). Se quiere encontrar la amplitud de oscilación de las moléculas del aire, dada la intensidad.
SOLUCIÓN En el umbral de audición, I = 1 : 10-12 Wm2 (tabla 12-2). Se resuelve para la amplitud A en la ecuación 11-18:
A =
=
1
I
pf B 2rv
1.0 * 10–12 Wm2
1
(3.14)A1.0 * 103 s–1) B (2)A1.29 kgm3 B(343 ms)
= 1.1 * 10–11 m,
donde se tomó la intensidad del aire como 1.29 kgm3 y la rapidez del sonido en el
aire (que se supone a 20°C) como 343 ms.
NOTA Aquí se ve cuán increíblemente sensible es el oído humano: es capaz de
detectar el desplazamiento de moléculas de aire que en realidad son menores que
el diámetro de los átomos (alrededor de 10-10 m).
SECCIÓN 12–2
El oído detecta desplazamientos
más pequeños que el tamaño
de los átomos
Intensidad del sonido: decibeles
327
Cráneo
Estribo
Yunque
Martillo
Canales
semicirculares
Nervio auditivo
(hacia el cerebro)
Cóclea
Canal
auditivo
Trompa de Eustaquio
Tímpano
Ventana oval
Ventana redonda
FIGURA 12–5 Diagrama del
oído humano.
Oído externo
* 12–3 El oído y su respuesta; intensidad
F Í S I C A
A P L I C A D A
El oído humano
El oído humano es un extraordinario detector sensible del sonido. Los detectores de
sonido (micrófonos) apenas pueden igualar al oído en la detección de sonidos de baja
intensidad.
La función del oído es transformar la energía vibratoria de las ondas en señales
eléctricas que se transmiten al cerebro mediante los nervios. Un micrófono realiza
una tarea similar. Las ondas sonoras que golpean el diafragma de un micrófono lo
ponen a vibrar, y esas vibraciones se transforman en una señal eléctrica con las mismas frecuencias, que entonces se amplifican y se envían a una bocina o grabadora
de cinta. La operación de los micrófonos se explicará cuando se estudien los fenómenos de electricidad y magnetismo en capítulos posteriores. Aquí se analizarán la
estructura y la respuesta del oído.
La figura 12-5 es un diagrama del oído humano. El oído consta de tres partes principales: el oído exterior, el oído medio y el oído interno. En el oído exterior,
las ondas sonoras provenientes del exterior viajan por el canal auditivo hacia el tímpano, que vibra en respuesta a las ondas que lo golpean. El oído medio contiene tres
pequeños huesos conocidos como martillo, yunque y estribo, que transfieren las
vibraciones del tímpano al oído interno en la ventana oval. Este delicado sistema
de palancas, acoplado al área relativamente grande del tímpano en comparación
con el área de la ventana oval, genera la presión que se amplifica por un factor
cercano a 40. El oído interno consiste en los canales semicirculares, que son importantes para el control del equilibrio, y la cóclea llena de líquido donde la energía
vibratoria de las ondas sonoras se transforma en energía eléctrica y es enviada al
cerebro.
* La respuesta del oído
Sensibilidad del oído
Intensidad
(en “fonios”)
328
CAPÍTULO 12
Sonido
El oído no es igualmente sensible a todas las frecuencias. Para escuchar la misma intensidad para sonidos de diferentes frecuencias requiere distintas intensidades. Los
estudios promediados entre gran cantidad de personas ha producido las curvas que
se muestran en la figura 12-6. En esta gráfica, cada curva representa sonidos que parecían ser igualmente fuertes. El número que acompaña a cada curva representa el
nivel de intensidad (las unidades se llaman fonios), que es numéricamente igual al
nivel de sonido en dB a 1000 Hz. Por ejemplo, la curva con el número 40 representa
los sonidos que, según una persona promedio, tienen la misma intensidad que un
sonido de 1000 Hz con un nivel sonoro de 40 dB. A partir de esta curva de 40 fonios,
se ve que un tono de 100 Hz debe estar en un nivel cercano a 62 dB para ser percibido tan fuerte como un tono de 1000 Hz de sólo 40 dB.
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120 fonios
Nivel sonoro (dB)
100
80
60
40
Um
br
al
d
20
0
20
50 100
ea
ud
ic i ó
1
100
10−2
80
10−4
60
10−6
40
10−8
20
10 −10
0
10 −12
n
500 1000
Intensidad (W/m2)
U mbral del dolor
120
5000 10,000
Frecuencia (Hz)
FIGURA 12–6
Sensibilidad del oído humano como función de
la frecuencia (véase texto). Hay que hacer notar
que la escala de frecuencia es “logarítmica”
con la finalidad de abarcar un amplio rango
de frecuencias.
La curva más baja de la figura 12-6 (que aparece junto al 0) representa el nivel
de sonido, como función de la frecuencia, para el umbral de audición, es decir, el sonido más suave que apenas es audible para un oído muy bueno. El oído es más sensible a sonidos de frecuencia entre 2000 y 4000 Hz, que son comunes en el habla y
en la música. También cabe destacar que, mientras que un sonido de 1000 Hz es audible en un nivel de 0 dB, un sonido de 100 Hz debe estar cerca de los 40 dB para
ser escuchado. La curva superior de la figura 12-6, que representa 120 fonios, indica el umbral del dolor. De hecho, los sonidos sobre este nivel provocan dolor.
La figura 12-6 indica que, a niveles de baja intensidad, los oídos son menos
sensibles a las frecuencias altas y bajas en relación con las frecuencias medias. El
control de “volumen” en los sistemas de sonido tiene la intención de compensar
esta insensibilidad de volumen bajo. Cuando el volumen baja, el control de intensidad aumenta las frecuencias altas y bajas en relación con las frecuencias medias,
de modo que el sonido tendrá un balance de frecuencia de “sonido normal”. Sin embargo, muchos escuchas encuentran el sonido más placentero o natural sin el control
de intensidad.
12–4 Fuentes de sonido:
cuerdas que vibran y columnas de aire
La fuente de cualquier sonido es un objeto que vibra. Casi cualquier objeto puede
vibrar y, de este modo, se constituye como una fuente de sonido. Ahora se analizarán algunas fuentes simples de sonido, en particular los instrumentos musicales. En
éstos, hay que golpear la fuente, pulsarla, tocarla con un arco o soplar en ella para
ponerla en vibración. Entonces se producen ondas estacionarias y la fuente vibra
a sus frecuencias resonantes naturales. La fuente en vibración está en contacto con
el aire (u otro medio) y lo empuja para producir ondas sonoras que viajan hacia
fuera. Las frecuencias de las ondas son las mismas que las de la fuente, pero la rapidez y las longitudes de onda pueden ser diferentes. Un tambor tiene una membrana
estirada que vibra. Los xilófonos y las marimbas tienen barras de metal o de madera que se ponen en vibración. Las campanas, los timbales y los gongs también
tienen un metal que vibra. Los instrumentos más comunes utilizan cuerdas que vibran, como el violín, la guitarra y el piano, o usan columnas de aire que vibran,
como la flauta, la trompeta y el órgano de tubos. Ya se ha visto que el tono de un sonido puro está determinado por la frecuencia. En la tabla 12-3 se proporcionan
las frecuencias típicas para las notas musicales en la “escala cromática igualmente
temperada” para la octava que comienza con el do central. Una octava corresponde
a una duplicación de la frecuencia. Por ejemplo, el do central tiene una frecuencia
de 262 Hz, mientras que el do sostenido (do arriba del do central) tiene el doble de
dicha frecuencia, 524 Hz. [El do central es la nota do en el centro del teclado de un
piano.]
SECCIÓN 12–4
TABLA 12–3 Escala cromática
igualmente temperada†
Nota
Frecuencia
(Hz)
do central
do sostenido o re bemol
re
re sostenido o mi bemol
mi
fa
fa sostenido o sol bemol
sol
sol sostenido o la bemol
la
la sostenido o si bemol
si
do¿
†
262
277
294
311
330
349
370
392
415
440
466
494
524
Sólo se incluye una octava.
Fuentes de sonido: cuerdas que vibran y columnas de aire
329
L = 1 λ1
2
Fundamental o primer armónico, f1
FIGURA 12–7 Ondas estacionarias en
una cuerda. Sólo se muestran las tres
frecuencias más bajas.
L =λ2
Primer sobretono o segundo armónico, f2 = 2f1
L = 3λ3
2
Segundo sobretono o tercer armónico, f3 = 3f1
Instrumentos de cuerda
F Í S I C A
A P L I C A D A
Instrumentos de cuerda
En el capítulo 11 (figura 11-40), se vio cómo se generan las ondas estacionarias en
una cuerda, y aquí se mostrará de nuevo en la figura 12-7. Tales ondas estacionarias
son la base para todos los instrumentos de cuerda. El tono normalmente está determinado por la frecuencia resonante más baja, la fundamental, que corresponde a los
nodos que se forman en los extremos. La cuerda que vibra arriba y abajo como un
todo corresponde a media longitud de onda, como se aprecia en la parte superior de
la figura 12-7, así que la longitud de onda de la fundamental sobre la cuerda es igual
al doble de la longitud de la cuerda. Por tanto, la frecuencia fundamental es
f1 = vl = v2L, donde v es la velocidad de la onda sobre la cuerda. Las posibles
frecuencias para las ondas estacionarias en una cuerda estirada son múltiplos enteros de la frecuencia fundamental:
v ,
n = 1, 2, 3, p
2L
(tal como en la ecuación 11-19b), donde n = 1 se refiere a la fundamental y n = 2,
3, · · · son los sobretonos. Todas las ondas estacionarias, n = 1, 2, 3, · · · , se llaman
armónicos,† como se vio en la sección 11-13.
Cuando se coloca un dedo sobre la cuerda de una guitarra o de un violín, la longitud efectiva de la cuerda se acorta. Así que su frecuencia fundamental, y tono, es
mayor pues la longitud de onda de la fundamental es más corta (figura 12-8). Las
cuerdas de una guitarra o de un violín tienen todas la misma longitud. Suenan a tonos diferentes porque las cuerdas tienen diferente masa por unidad de longitud,
mL, lo que afecta la velocidad, como se ve en la ecuación 11-13,
fn = nf1 = n
FIGURA 12–8 La longitud de onda
de a) una cuerda no pulsada es más
larga que la de b) una cuerda pulsada.
Así que la frecuencia de la cuerda
pulsada es mayor. Sólo se muestra
una cuerda de esta guitarra, y sólo
se representa la onda estacionaria
más simple, la fundamental.
v = 2FT(mL) .
[cuerda estirada]
Por tanto, la velocidad en la cuerda más pesada es menor y la frecuencia será menor para la misma longitud de onda. La tensión FT también puede ser diferente.
Ajustar la tensión es la forma de afinar el tono de cada cuerda. Por otra parte, en los
pianos y arpas, las cuerdas son de diferentes longitudes. Para las notas más bajas,
las cuerdas no sólo son más largas, sino también más pesadas, y la razón se explica
en el ejemplo siguiente.
EJEMPLO 12–7 Cuerdas de piano. La tecla más alta en un piano corresponde a una frecuencia casi 150 veces la de la tecla más baja. Si la cuerda para la nota
más alta tiene 5.0 cm de largo, ¿de qué longitud tendría que ser la cuerda de la nota más baja si tuviese la misma masa por unidad de longitud y estuviese bajo la
misma tensión?
a)
PLANTEAMIENTO Dado que v = 2FT(mL) , la velocidad sería la misma en
cada cuerda. Así que la frecuencia es inversamente proporcional a la longitud L
de la cuerda (f = vl = v2L).
b)
†
Cuando las frecuencias resonantes sobre la fundamental (es decir, los sobretonos) son múltiplos
enteros de ésta, como aquí, se llaman armónicos. Pero si los sobretonos no son múltiplos enteros de
la fundamental, como es el caso para la membrana vibratoria de un tambor, no son armónicos.
330
CAPÍTULO 12
Sonido
SOLUCIÓN Para las frecuencias fundamentales de cada cuerda la razón se escribe
fH
LL
,
=
LH
fL
donde los subíndices B y A se refieren a las notas más baja y más alta, respectivamente. Por ende LB = LA AfAfA B = (5.0 cm)(150) = 750 cm, Esto sería una longitud ridícula (L 25 ft) para un piano.
NOTA Las cuerdas más largas de frecuencia más baja se hacen más pesadas, así
que incluso en los grandes pianos las cuerdas miden menos de 3 m de largo.
EJEMPLO 12–8 Frecuencias y longitudes de onda en un violín. Una cuerda
de violín de 0.32 m de largo está afinada para tocar el La ubicado después del Do
central a 440 Hz. a) ¿Cuál es la longitud de onda de la vibración fundamental de
la cuerda y b) cuáles son la frecuencia y la longitud de la onda sonora producida?
c) ¿Por qué existe diferencia?
PLANTEAMIENTO La longitud de onda de la vibración fundamental de la cuerda
es igual al doble de longitud de la cuerda (figura 12-7). Mientras la cuerda vibra empuja el aire, que entonces es forzado a oscilar a la misma frecuencia que la cuerda.
SOLUCIÓN a) A partir de la figura 12-7, la longitud de onda de la fundamental es
a)
l = 2L = 2(0.32 m) = 0.64 m = 64 cm.
Ésta es la longitud de la onda estacionaria sobre la cuerda.
b) La onda sonora que viaja hacia fuera en el aire (para alcanzar los oídos) tiene
la misma frecuencia, 440 Hz. Su longitud de onda es
343 ms
v
=
= 0.78 m = 78 cm,
f
440 Hz
donde v es la rapidez del sonido en el aire (que se supone a 20°C), como se vio en
la sección 12-1.
c) La longitud de la onda sonora es diferente de la de la onda estacionaria en la
cuerda porque la rapidez del sonido en el aire (343 ms a 20°C) es diferente de
la rapidez de la onda en la cuerda (= fl = 440 Hz * 0.64 m = 280 ms) que
depende de la tensión en esta última y de su masa por unidad de longitud.
l =
NOTA Las frecuencias en la cuerda y en el aire son una misma: la cuerda y el aire
están en contacto, y la cuerda “fuerza” al aire a vibrar a la misma frecuencia. Pero
las longitudes de onda son diferentes porque la rapidez de la onda en la cuerda es
diferente de la del aire.
Los instrumentos de cuerda no serían muy sonoros si se apoyaran en sus cuerdas
vibrantes para producir las ondas sonoras, pues las cuerdas son demasiado delgadas para comprimir y expandir mucho aire. En consecuencia, los instrumentos de cuerda utilizan una especie de amplificador mecánico, conocido como caja armónica (piano) o
caja de resonancia (guitarra, violín), que actúa para amplificar el sonido al poner una
mayor área superficial en contacto con el aire (figura 12-9). Cuando las cuerdas comienzan a vibrar, la caja armónica o de resonancia también se pone en vibración. De
esta forma, como un área mucho mayor está en contacto con el aire, es posible producir una onda sonora más intensa. En una guitarra eléctrica, la caja de resonancia no es
tan importante, pues las vibraciones de las cuerdas se amplifican electrónicamente.
b)
FIGURA 12–9 a) Piano que muestra
la caja armónica (también llamada caja
de resonancia) a la que están unidas las
cuerdas; b) guitarra eléctrica.
P R E C A U C I Ó N
Rapidez de la onda estacionaria
en la cuerda Z rapidez de la
onda sonora en el aire
FIGURA 12–10 La flauta es un
instrumento de viento.
Instrumentos de viento
Los instrumentos como los de madera y de viento, los metales y el órgano de tubos
producen sonido a partir de las vibraciones de ondas estacionarias en una columna
de aire dentro de un tubo (figura 12-10). Las ondas estacionarias pueden generarse
en el aire de cualquier cavidad, pero las frecuencias presentes resultan complicadas
para formas tan simples como el tubo estrecho y uniforme de una flauta o como un
órgano de tubos. En algunos instrumentos, una lengüeta vibrante o el labio en vibración del intérprete ayuda a generar vibraciones en la columna de aire. En otros, una
corriente de aire se dirige contra un extremo de la abertura o boquilla, lo que genera turbulencia que, a su vez, origina las vibraciones. A causa de la perturbación,
cualquiera que sea su fuente, el aire dentro del tubo vibra con una variedad de frecuencias, pero sólo persistirán aquellas que correspondan a ondas estacionarias.
SECCIÓN 12–4
Fuentes de sonido: cuerdas que vibran y columnas de aire
331
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a) Desplazamiento del aire
L
A
antinodo
nodo
TUBO ABIERTO EN AMBOS EXTREMOS
b) Variación de la presión en el aire
L
Primer armónico = fundamental
nodo
nodo
A
antinodo
L= 1λ
2
1
f1 = 2vL
B
B
[movimiento de las moléculas de aire]
Segundo armónico
L = λ2
A
A
f2 = vL = 2f1
B
B
Sobretonos
Tercer armónico
L = 32 λ 3
A
3v
f3 = 2L
= 3f1
B
FIGURA 12–11 Gráficas de los tres
modos más simples de vibración (ondas
estacionarias) para un tubo uniforme
abierto en ambos extremos (“tubo
abierto”). Estos modos más simples
de vibración se muestran en a), a la
izquierda, en términos del movimiento
del aire (desplazamiento) y en b), a la
derecha, en términos de la presión del
aire. Cada gráfica muestra el formato
de onda en dos momentos, A y B,
separados medio periodo. El movimiento real de las moléculas para un
caso, correspondiente a la fundamental,
se muestra justo debajo del tubo en
la esquina superior izquierda.
F Í S I C A
A P L I C A D A
Instrumentos de viento
Tubo abierto
Los tubos abiertos producen
todos los armónicos
332
CAPÍTULO 12
Sonido
A
B
Para una cuerda fija en ambos extremos (figura 12-7), las ondas estacionarias
tienen nodos (es decir, no hay movimiento) en los dos extremos, y uno o más antinodos (gran amplitud de vibración) en medio. Un nodo separa antinodos sucesivos.
La onda estacionaria de la frecuencia más baja, la fundamental, corresponde a un
solo antinodo. Las ondas estacionarias de frecuencias más altas se llaman sobretonos o armónicos, como se vio en la sección 11-13. Específicamente, el primer armónico es la fundamental, el segundo armónico (= primer sobretono) tiene el doble de
frecuencia que la fundamental, etcétera.
La situación es similar para una columna de aire en un tubo de diámetro uniforme, pero cabe recordar que ahora es el aire en sí el que vibra. Las ondas se pueden
describir ya sea en términos del flujo de aire (es decir, en términos del desplazamiento de aire) o en términos de la presión en el aire (figuras 12-2 y 12-3). En términos de desplazamiento, el aire en el extremo cerrado de un tubo es un nodo de
desplazamiento pues en ese lugar el aire no es libre de moverse, mientras que cerca
del extremo abierto de un tubo habrá un antinodo ya que el aire puede moverse libremente para entrar y salir. El aire dentro del tubo vibra en la forma de ondas estacionarias longitudinales. En la figura 12-11 se muestran gráficamente los posibles
modos de vibración para un tubo abierto en ambos extremos (llamado tubo abierto), y en la figura 12-12 para un tubo que está abierto en un extremo pero cerrado
en el otro (llamado tubo cerrado). [Un tubo cerrado en ambos extremos, sin conexión con el aire exterior, sería inútil como instrumento.] Las gráficas en el inciso a)
de cada figura (lado izquierdo) representan la amplitud de desplazamiento del aire
que vibra en el tubo. Hay que recalcar que se trata de gráficas, y que las moléculas
de aire oscilan horizontalmente, paralelas a la longitud del tubo, como se muestra
mediante las pequeñas flechas en el diagrama superior de la figura 12-11a (a la izquierda). La posición exacta del antinodo cerca del extremo abierto de un tubo depende del diámetro de éste, pero si el diámetro es pequeño en comparación con la
longitud, que es el caso más común, el antinodo se presenta muy cerca del extremo,
como se observa. A continuación se supone que éste es el caso. (La posición del antinodo también depende ligeramente de la longitud de onda y de otros factores).
Observe con detalle el tubo abierto de la figura 12-11a, que bien puede ser un
órgano de tubo o una flauta. Un tubo abierto tiene antinodos de desplazamiento en
ambos extremos, puesto que el aire es libre de moverse en los extremos abiertos.
Debe existir al menos un nodo dentro de un tubo abierto si se requiere que exista
una onda estacionaria. Un solo nodo corresponde a la frecuencia fundamental del
tubo. Como la distancia entre dos nodos sucesivos, o entre dos antinodos sucesivos,
es 12 l, existe media longitud de onda dentro de la longitud del tubo para el caso más
simple de la fundamental (diagrama superior de la figura 12-11a): L = 12 l, o l = 2L.
De modo que la frecuencia fundamental es f1 = vl = v2L, donde v es la velocidad del sonido en el aire (dentro del tubo). La onda estacionaria con dos nodos es
el primer sobretono o segundo armónico y tiene la mitad de la longitud de onda
(L = l) y el doble de la frecuencia de la fundamental. De hecho, en un tubo uniforme abierto en ambos extremos, la frecuencia de cada sobretono es un múltiplo entero de la frecuencia fundamental, como se podrá ver en la figura 12-11a. Esto es justo
lo que se encontró para una cuerda.
TUBO CERRADO EN UN EXTREMO
a) Desplazamiento de aire
L
b) Variación de presión en el aire
L
A
Primer armónico = fundamental
L = 14 λ 1
A
B
v
f1 = 4L
B
A
Tercer armónico
L = 34 λ 3
A
B
f3 = 34Lv = 3f1
B
Sobretonos
Quinto armónico
L = 54 λ 5
A
A
B
f5 = 54Lv = 5f1
B
Para el caso de un tubo cerrado (figura 12-12a), como podría ser un órgano de
tubo, siempre existe un nodo de desplazamiento en el extremo cerrado (pues el aire no
es libre de moverse) y un antinodo en el extremo abierto (donde el aire puede moverse libremente). Como la distancia entre un nodo y el antinodo más cercano es 14 l,
se sabe que la fundamental en un tubo cerrado corresponde sólo a un cuarto de longitud de onda dentro de la longitud del tubo: L = l4, y l = 4L. Por tanto,
la frecuencia fundamental es f1 = v4L, o la mitad de la fundamental para un tubo
abierto de la misma longitud. Existe otra diferencia, que se distingue en la figura 12-12a,
y es que sólo los armónicos nones están presentes en un tubo cerrado: los sobretonos tienen frecuencias iguales a 3, 5, 7, · · · veces la frecuencia fundamental. No hay
manera de que las ondas con 2, 4, 6, · · · veces la frecuencia fundamental tengan un
nodo en un extremo y un antinodo en el otro, y por tanto no pueden existir como
ondas estacionarias en un tubo cerrado.
Otra forma de analizar las vibraciones en un tubo uniforme es considerar una
descripción en términos de la presión en el aire, como se muestra en el inciso b) de
las figuras 12-11 y 12-12 (lado derecho). Donde se comprime el aire en una onda, la
presión es más alta, mientras que en una expansión (o rarefacción) de onda, la presión es menor que la normal. El extremo abierto de un tubo está abierto a la atmósfera. Así que la variación de presión en un extremo abierto debe ser un nodo: la
presión no alterna, sino que permanece a la presión atmosférica exterior. Si un tubo
tiene un extremo cerrado, la presión en este último puede alternar fácilmente para
estar por encima o por debajo de la presión atmosférica. En consecuencia, existe un
antinodo de presión en el extremo cerrado de un tubo. Puede haber nodos y antinodos de presión dentro del tubo. En la figura 12-11b se ilustran algunos de los posibles modos de vibración en términos de presión para un tubo abierto, y en la
figura 12-12b se muestran para un tubo cerrado.
FIGURA 12–12 Modos de vibración
(ondas estacionarias) para un
tubo cerrado en un extremo
(“tubo cerrado”). Véase el pie
de la figura 12-11.
Tubo cerrado
Los tubos cerrados sólo producen
armónicos nones
EJEMPLO 12–9 Órgano de tubos. ¿Cuál será la frecuencia fundamental y los
primeros tres sobretonos en un tubo de órgano de 26 cm de largo a 20°C si está
a) abierto y b) cerrado?
PLANTEAMIENTO Todos los cálculos pueden basarse en las figuras 12-11a y 12-12a.
SOLUCIÓN a) Para el tubo abierto (figura 12-11a), la frecuencia fundamental es
343 ms
v
=
= 660 Hz.
2L
2(0.26 m)
La rapidez v es la rapidez del sonido en el aire (el aire que vibra en el tubo).
Los sobretonos incluyen todos los armónicos: 1320 Hz, 1980 Hz, 2640 Hz, etcétera.
b) Para un tubo cerrado (figura 12-12a), la frecuencia fundamental es
343 ms
v
f1 =
=
= 330 Hz.
4L
4(0.26 m)
Sólo están presentes armónicos nones: los primeros tres sobretonos son 990 Hz,
1650 Hz y 2310 Hz.
NOTA El tubo cerrado toca a 330 Hz, que, a partir de la tabla 12-3, es el Mi después del Do central, mientras que el tubo abierto de la misma longitud toca a
660 Hz, una octava más alta.
f1 =
SECCIÓN 12–4
Fuentes de sonido: cuerdas que vibran y columnas de aire
333
Los órganos usan tubos tanto abiertos como cerrados, con longitudes que van
desde unos cuantos centímetros hasta 5 m o incluso más. Una flauta actúa como un
tubo abierto, pues está abierta no sólo por la boquilla, sino también en el extremo
opuesto. Las diferentes notas en una flauta se obtienen acortando la longitud de la
columna de aire en vibración, al descubrir los hoyos a lo largo del tubo (de modo
que en el hoyo se genere un antinodo de desplazamiento). Cuanto más corta sea la
longitud de la columna de aire en vibración, mayor será la frecuencia fundamental.
EJEMPLO 12–10 Flauta. Una flauta está diseñada para tocar un Do central
(262 Hz) como la frecuencia fundamental cuando todos los hoyos están cubiertos.
¿Aproximadamente cuál debería ser la distancia desde la boquilla hasta el extremo lejano de la flauta? (Esto sólo es aproximado pues el antinodo no ocurre precisamente en la boquilla). Se supone que la temperatura es de 20°C.
PLANTEAMIENTO Cuando todos los hoyos están cubiertos, la longitud de la columna de aire que vibra es la longitud total. La rapidez del sonido en el aire a 20°C
es de 343 ms. Como una flauta está abierta por ambos extremos, se usa la figura
12-11: la frecuencia fundamental f1 está relacionada con la longitud L de la columna de aire en vibración mediante f = v2L.
SOLUCIÓN Al resolver para L, es encuentra
L =
343 ms
v
=
= 0.655 m.
2f
2 A262 s–1 B
EJERCICIO D Para comprender por qué los ejecutantes de instrumentos de viento “calientan” sus instrumentos (de modo que estén afinados), determine la frecuencia fundamental de la flauta del ejemplo 12-10 cuando todos los hoyos están cubiertos y la
temperatura es de 10°C en lugar de 20°C.
1
λ
4
Antinodo
Nodo
FIGURA 12–13 Ejemplo 12-11.
FIGURA 12–14 Las amplitudes de
la fundamental y de los primeros dos
sobretonos se agregan en cada punto
para obtener la “suma” u ondulación
compuesta.
f1
f2
f3
Suma de las tres
334
CAPÍTULO 12
Sonido
EJEMPLO 12–11 ESTIMACIÓN Frecuencias del ruido del viento. El viento puede ser ruidoso: puede “aullar” en los árboles, o “ulular” en las chimeneas. ¿Qué
provoca el ruido y aproximadamente qué rango de frecuencias se esperaría escuchar?
PLANTEAMIENTO Las ráfagas de aire en el viento provocan vibraciones u oscilaciones en las ramas del árbol (o en la columna de aire en la chimenea), lo que produce
ondas sonoras de la misma frecuencia. El extremo de la rama de un árbol fija al tronco es un nodo, mientras que el otro extremo es libre de moverse y, en consecuencia,
es un antinodo; por tanto, la rama del árbol es aproximadamente 14 l (figura 12-13).
SOLUCIÓN Se estima v L 4000 ms para la rapidez del sonido en la madera (tabla
12-1). Se supone que la rama de un árbol tiene una longitud L L 2 m; entonces
l = 4L = 8 m y f = vl = (4000 ms)(8 m) L 500 Hz.
NOTA El viento puede excitar las oscilaciones de aire en una chimenea, de forma
muy similar a como lo hace en un órgano de tubo o en una flauta. Una chimenea es
un tubo bastante largo, tal vez de 3 m de longitud, que actúa como un tubo abierto
en cualquiera de sus extremos o incluso en ambos extremos. Si está abierto en ambos extremos ( = 2L), con v L 340 ms, se encuentra f1 L v2L L 56 Hz, que es una
nota bastante baja. ¡No es necesario preguntar por qué “ululan” las chimeneas!
* 12–5 Calidad del sonido y ruido; superposición
Siempre que se escucha un sonido, en particular un sonido musical, uno está consciente de su sonoridad, su tono y también de un tercer aspecto llamado “calidad” o
timbre. Por ejemplo, cuando un piano y luego una flauta tocan una nota de la misma
intensidad y tono (por ejemplo, un Do central), existe una clara diferencia en el sonido global. Nunca se confundiría un piano con una flauta. Esto es lo que significa la
calidad de un sonido. Para los instrumentos musicales, también se usan los términos
timbre y color de tono.
Así como la intensidad y el tono se pueden relacionar con cantidades físicamente mensurables, con la calidad sucede lo mismo. La calidad de un sonido
depende de la presencia de sobretonos, su número y sus amplitudes relativas. Por lo
general, cuando en un instrumento musical se toca una nota, la fundamental y los
sobretonos están presentes simultáneamente. La figura 12-14 ilustra cómo se aplica
el principio de superposición (sección 11-12) a tres formas de onda, en este caso la
fundamental y los primeros dos sobretonos (con amplitudes particulares): se suman
en cada punto para proporcionar una ondulación compuesta. Desde luego, general-
Clarinete
0.5
0
0
1000 2000 3000
Frecuencia (Hz)
1.0
Amplitud
relativa
1.0
Amplitud
relativa
Amplitud
relativa
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Piano
0.5
0
0
1.0
Violín
0.5
0
1000 2000 3000
Frecuencia (Hz)
0
1000 2000 3000
Frecuencia (Hz)
FIGURA 12–15 Espectros sonoros para diferentes instrumentos. Los espectros cambian
cuando los instrumentos tocan notas diferentes. El clarinete es un tanto complicado: actúa
como un tubo cerrado a frecuencias bajas y sólo con armónicos nones, pero a frecuencias
más altas todos los armónicos se producen como en un tubo abierto.
mente están presentes más de dos sobretonos. [Cualquier onda compleja se puede
analizar en una superposición de ondas sinusoidales de amplitudes, longitudes de
onda y frecuencias apropiadas. Tal análisis se llama análisis de Fourier.]
Las amplitudes relativas de los sobretonos para una nota dada son diferentes
para diferentes instrumentos musicales, que es lo que le brinda a cada instrumento
su calidad o timbre característico. Una gráfica de barras que muestra las amplitudes
relativas de los armónicos para una nota dada producida por un instrumento se conoce como espectro de sonido. En la figura 12-15 se muestran varios ejemplos típicos para diferentes instrumentos musicales. Por lo común, la fundamental tiene la
amplitud mayor, y su frecuencia es lo que se escucha como el tono.
La forma en la que un instrumento se toca influye enormemente en la calidad
del sonido. Por ejemplo, pulsar la cuerda de un violín produce un sonido muy diferente a pasar un arco sobre ella. El espectro de sonido al comienzo (o fin) mismo de
una nota (como cuando un martillo golpea una cuerda de piano) puede ser muy
diferente del subsiguiente tono sostenido. Esto también afecta la calidad subjetiva
del tono de un instrumento.
Un sonido ordinario, como el que se produce al golpear dos piedras una con
otra, es un ruido que tiene cierta calidad, pero no se aprecia un tono claro. Tal ruido
es una mezcla de muchas frecuencias que comparten poca relación una con otra. Un
espectro de sonido para tal ruido no mostraría líneas discretas como las de la figura
12-15. En vez de ello, sería un espectro de frecuencias continuo o casi continuo. Un
sonido así se llama “ruido” en comparación con los sonidos más armónicos que contienen frecuencias que son múltiplos simples de la fundamental.
FIGURA 12–16 Interferencia de
ondas sonoras provenientes de dos
bocinas.
12–6 Interferencia de ondas sonoras; batimientos
Interferencia en el espacio
En la sección 11-12 se vio que, cuando dos ondas pasan simultáneamente a través de
la misma región del espacio, se interfieren entre sí. La interferencia también ocurre
con las ondas sonoras.
Consideremos dos grandes bocinas, A y B, separadas una distancia d en el escenario de un auditorio, como se representa en la figura 12-16. Supongamos que
las dos bocinas emiten ondas sonoras de la misma frecuencia y que están en fase:
es decir, cuando una bocina forma una compresión, también lo hace la otra. (Se ignoran las reflexiones de las paredes, el piso, etcétera). Las líneas curvas en el
diagrama representan las crestas de las ondas sonoras provenientes de cada bocina en un instante determinado. Se debe recordar que, para una onda sonora, una
cresta es una compresión en el aire mientras que un valle (que cae entre dos crestas) es una rarefacción. Un detector o una persona ubicada en el punto C, que
está a la misma distancia de cada bocina, experimentará un sonido fuerte porque
la interferencia será constructiva: dos crestas se alcanzan en un momento, y dos
valles se alcanzan en un momento posterior. Por otra parte, poco o ningún sonido
se escuchará en un punto como D en el diagrama, porque ocurre interferencia
destructiva: las compresiones de una onda encuentran rarefacciones de la otra y viceversa (véase la figura 11-37 y la discusión relacionada acerca de las ondas acuáticas en la sección 11-12).
SECCIÓN 12–6
λ
D
A
d
C
B
λ
Interferencia de ondas sonoras; batimientos
335
A
d
C
B
a)
A
D
d
B
E
b)
FIGURA 12–17 Las ondas sonoras
de una sola frecuencia provenientes
de las bocinas A y B (véase la figura
12-16) interfieren constructivamente
en C y destructivamente en D.
[Aquí se muestran representaciones
gráficas, no las ondas sonoras
longitudinales verdaderas.]
Un análisis de esta situación resultará más claro si las ondulaciones se representan gráficamente como en la figura 12-17. En la figura 12-17a se observa que, en
el punto C, ocurre interferencia constructiva, pues ambas ondas tienen crestas
simultáneamente o tienen valles también de manera simultánea cuando llegan a C.
En la figura 12-17b se ve que, para alcanzar el punto D, la onda proveniente de la
bocina B debe recorrer una mayor distancia que la onda proveniente de A. Es así
como la onda proveniente de B se queda rezagada con respecto a la que proviene
de A. En este diagrama, el punto E se elige de modo que la distancia ED sea igual a
AD. En consecuencia, se ve que, si la distancia BE es igual a la mitad de la longitud
de onda del sonido, las dos ondas estarán exactamente fuera de fase cuando
alcancen D, y entonces ocurrirá interferencia destructiva. Éste es el criterio para
determinar en qué puntos ocurre la interferencia destructiva: la interferencia destructiva tiene lugar en cualquier punto cuya distancia desde una bocina sea más grande
que su distancia desde la otra bocina por media longitud de onda. Hay que hacer
notar que, si esta distancia adicional (BE en la figura 12-17b) es igual a una longitud
de onda completa (o 2, 3, · · · longitudes de onda), entonces las dos ondas estarán en
fase y ocurrirá interferencia constructiva. Si la distancia BE es igual a 12 , 1 12 , 2 12 , p
longitudes de onda, ocurrirá interferencia destructiva.
Es importante darse cuenta de que una persona ubicada en el punto D en la figura 12-16 o 12-17 no escuchará nada en absoluto (o casi nada), aunque el sonido
provenga de ambas bocinas. De hecho, si se apaga una de las bocinas, el sonido proveniente de la otra bocina se escuchará claramente.
Si una bocina emite un rango completo de frecuencias, sólo longitudes de onda
específicas interferirán destructivamente por completo en un punto dado.
EJEMPLO 12–12 Interferencia de bocinas. Dos bocinas están separadas 1.00
m. Una persona está de pie a 4.00 m de una bocina. ¿A qué distancia de la segunda bocina debe estar esta persona para detectar interferencia destructiva cuando
las bocinas emitan un sonido de 1150 Hz? La temperatura es de 20°C.
PLANTEAMIENTO Para experimentar interferencia destructiva, la persona debe
estar media longitud de onda más cerca o más lejos de una bocina que de la otra;
es decir, a una distancia = 4.00 m ; 2. Es factible determinar pues se conocen
f y v.
SOLUCIÓN La rapidez del sonido a 20°C es de 343 ms, de modo que la longitud
de onda de este sonido es (ecuación 11-12)
l =
343 ms
v
=
= 0.30 m.
f
1150 Hz
Para que ocurra interferencia destructiva, la persona debe estar media longitud de
onda más lejos de una bocina que de la otra, o 0.15 m. Por tanto, la persona debe
estar a 3.85 m o 4.15 m de la segunda bocina.
NOTA Si las bocinas están separadas entre sí a una distancia menor de 0.15 m, no
habrá ningún punto que esté 0.15 m más lejos de una bocina que de la otra, por lo
que no habrá ningún punto donde pudiera ocurrir interferencia destructiva.
Pulsos. Interferencia en el tiempo
Pulsos
336
CAPÍTULO 12
Sonido
Se ha analizado la interferencia de las ondas sonoras que tienen lugar en el espacio.
Un interesante e importante ejemplo de interferencia que ocurre en el tiempo es el
fenómeno conocido como pulsos: si dos fuentes de sonido (por ejemplo, dos diapasones) emiten frecuencias cercanas, sin que sean exactamente iguales, las ondas sonoras provenientes de las dos fuentes interferirán una con otra. El nivel de sonido
en una posición dada alternativamente se eleva y cae en el tiempo, pues las dos ondas a veces están en fase y a veces fuera de fase en virtud de sus diferentes longitudes de onda. Los cambios de intensidad espaciados regularmente se llaman pulsos.
La gráfica inferior en la figura 12-18 muestra la suma de las dos ondas como función del tiempo. En el tiempo t = 0, las dos ondas están en fase e interfieren constructivamente. Puesto que las dos ondas vibran a diferentes tasas, en el tiempo t =
0.05 s están completamente fuera de fase e interfieren destructivamente. En t = 0.10 s,
de nuevo están en fase y la amplitud resultante de nuevo es grande. Por tanto, la
fA = 50 Hz
fB = 60 Hz
t
t = 0.05 s
t=0
t = 0.15 s
t = 0.10 s
suma
t
periodo de batimiento (0.010 s)
FIGURA 12–18 Los pulsos ocurren como resultado de la superposición de dos ondas sonoras de frecuencias
ligeramente diferentes.
amplitud resultante es grande cada 0.10 s y cae drásticamente en medio. Esta elevación y caída de la intensidad es lo que se escucha como pulsos.† En este caso, los
pulsos están separados 0.10 s. Es decir, la frecuencia de pulsos es 10 por segundo, o
10 Hz. Este resultado, en el que la frecuencia de pulsos es igual a la diferencia de
frecuencia entre las dos ondas, es válido en general.
El fenómeno de los pulsos ocurre con cualquier tipo de onda y es un método
muy sensible para comparar frecuencias. Por ejemplo, para afinar un piano, un afinador escucha los pulsos producidos entre su diapasón estándar de afinación y el de
una cuerda particular del piano, y sabe que está afinada cuando los pulsos desaparecen. Los miembros de una orquesta afinan al escuchar los pulsos entre sus instrumentos y los de un tono estándar (por lo general el La después del Do central a 440
Hz) producido por un piano o por un oboe.
Frecuencia de los pulsos = diferencia
en las frecuencias de las dos ondas
F Í S I C A
A P L I C A D A
Afinación de un piano
EJEMPLO 12–13 Pulsos. Un diapasón de afinación produce un tono estable
de 440 Hz. Cuando este diapasón de afinación se golpea y sostiene cerca de una
cuerda de guitarra en vibración, se cuentan 20 pulsos en cinco segundos. ¿Cuáles
son las posibles frecuencias producidas por la cuerda de guitarra?
PLANTEAMIENTO Para que ocurran los pulsos, la cuerda debe vibrar a una
frecuencia diferente de 400 Hz para cualquiera que sea la frecuencia de los pulsos.
SOLUCIÓN La frecuencia de los pulsos es
fpulsos = 20 vibraciones5 s = 4 Hz.
Ésta es la diferencia de las frecuencias de dos ondas. Puesto que se sabe que una
onda es de 400 Hz, la otra debe ser de 404 o de 396 Hz.
EJERCICIO E ¿Cuál es la frecuencia de los pulsos para el diapasón de afinación y la
guitarra del ejemplo 12-13, cuando se escuchan juntos sonidos de 500 y 506 Hz?
†
Los pulsos se escucharán incluso si las amplitudes no son iguales, en tanto la diferencia de amplitud
no sea grande.
SECCIÓN 12–6
Interferencia de ondas sonoras; batimientos
337
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12–7 Efecto Doppler
Es posible que el lector haya notado que el tono de la sirena de un camión de bomberos que se aproxima, cae abruptamente conforme pasa junto. También es posible
que haya notado el cambio en el tono de una bocina estruendosa de un veloz automóvil conforme éste pasa cerca. El tono del ruidoso motor de un auto de carreras
cambia cuando el auto pasa junto a un observador. Cuando una fuente de sonido se
mueve hacia un observador, el tono que el observador escucha es más alto que
cuando la fuente está en reposo; y cuando la fuente se aleja del observador, el tono
es más bajo. Este fenómeno se conoce como efecto Doppler† y ocurre para todo tipo de ondas. Analicemos ahora por qué ocurre y calculemos la diferencia entre la
frecuencia percibida y la de la fuente cuando existe movimiento relativo entre la fuente y el observador.
a) En reposo
b) Camión de bomberos en movimiento
FIGURA 12–19 a) Ambos observadores en la acera escuchan la misma frecuencia
del camión de bomberos en reposo. b) Efecto Doppler: el observador hacia el que se
mueve el camión escucha un sonido con frecuencia más alta, y el observador detrás
del camión escucha un sonido con frecuencia más baja.
FIGURA 12–20 Determinación del
cambio de frecuencia en el efecto
Doppler (véase el texto). El punto
azul es la fuente.
d=λ
Fuente
a) Fuente fija
Cresta emitida
cuando la fuente
estaba en el punto 1.
Cresta emitida
cuando la fuente
estaba en el punto 2.
1
vBfuente
2
λ′
dfuente = vfuenteT
b) Fuente en movimiento
338
CAPÍTULO 12
Sonido
Considere la sirena de un camión de bomberos en reposo, que emite un sonido
de una frecuencia particular en todas direcciones, como se muestra en la figura 12-19a.
Las ondas sonoras se mueven a la rapidez del sonido en el aire, vsonido, que es independiente de la velocidad de la fuente o el observador. Si la fuente, el camión de
bomberos, se mueve, la sirena emite un sonido a la misma frecuencia que cuando está en reposo. Pero los frentes de onda sonoros que emite hacia delante, enfrente de
él, están más cerca de lo que estaban cuando el camión estaba en reposo, como se
muestra en la figura 12-19b. Esto se debe a que el camión, conforme se mueve, “persigue” los frentes de onda previamente emitidos, y emite cada cresta más cerca de la
anterior. Por tanto, un observador situado en la acera y enfrente del camión detectará que más crestas de onda pasan por segundo, de modo que la frecuencia que escuchará será más alta. Por otra parte, los frentes de onda emitidos detrás del camión
están más alejados que cuando el camión está en reposo porque el camión se aleja de
ellos. Por eso, para un observador que está detrás del camión en movimiento, pasan
menos crestas de onda por segundo (figura 12-19b) y el tono percibido es más bajo.
El corrimiento de frecuencia percibido se puede calcular a partir de la figura
12-20, suponiendo que el aire (u otro medio) está en reposo en el marco de referencia. (El observador estacionario está a la derecha). En la figura 12-20a, la fuente del
sonido se representa como un punto azul, y está en reposo. También se representan
dos crestas de onda sucesivas, la segunda de las cuales acaba de emitirse, de modo
que todavía está cerca de la fuente. La distancia entre esas crestas es , la longitud
de onda. Si la frecuencia de la fuente es f, entonces el tiempo entre emisiones de
crestas de onda es
1
l
.
=
vsonido
f
En la figura 12-20b, la fuente se mueve con velocidad vfuente hacia el observador.
T =
†
En honor de J. C. Doppler (1803-1853).
En un tiempo T (como se definió), la primera cresta de onda se ha movido una distancia d = vsonidoT = , donde vsonido es la velocidad de la onda sonora en el aire (que
es la misma ya sea que la fuente se mueva o no). En este mismo momento, la fuente se ha movido una distancia dfuente = vfuenteT. Entonces la distancia entre crestas de
onda sucesivas, que es la longitud de onda que percibirá el observador, es
Cambio de frecuencia, fuente en
movimiento, observador fijo
l¿ = d - d fuente
= l - v fuente T
= l - v fuente
= la1 -
l
v sonido
v fuente
b.
v sonido
Se sustrae de ambos lados de esta ecuación y se encuentra que el corrimiento en
longitud de onda, , es
¢l = l¿ - l = – l
v fuente .
v sonido
De modo que el corrimiento en longitud de onda es directamente proporcional a la
rapidez de la fuente vfuente. La frecuencia f que percibirá el observador estacionario
en el suelo está dada por (ecuación 11-12)
f¿ =
v sonido
l¿
=
v sonido
.
v fuente
la1 b
v sonido
Dado que vsonido = f, entonces
f¿ =
f
a1 -
v fuente
v sonido
b
c
.
fuente en movimiento hacia
d (12–2a)
el observador estacionario
Puesto que el denominador es menor que 1, la frecuencia percibida f es mayor que
la frecuencia de la fuente f. Esto es, f f. Por ejemplo, si una fuente emite un sonido de 400 Hz de frecuencia cuando está en reposo, entonces, cuando la fuente se
mueve hacia un observador fijo con una rapidez de 30 ms, el observador escucha
una frecuencia (a 20°C) de
f¿ =
400 Hz
= 438 Hz.
30 ms
1 343 ms
Considere ahora una fuente que se mueve alejándose del observador estacionario con una rapidez vfuente. Al usar los mismos argumentos anteriores, la longitud de
onda percibida por el observador tendrá el signo menos en dfuente (véase más arriba en esta página) cambiado por más:
l¿ = d + d fuente
= la1 +
v fuente .
b
v sonido
La diferencia entre la longitud de onda percibida y la emitida será = - =
+(vfuentevsonido); La frecuencia percibida de la onda, f = vsonido, será
f¿ =
f
a1 +
v fuente
v sonido
b
.
c
fuente en movimiento que se
d (12–2b)
aleja del observador estacionario
Si una fuente que emite a 400 Hz se aleja de un observador fijo a 30 ms, el observador escuchará una frecuencia f¿ = (400 Hz)C 1 + (30 ms)(343 ms)D = 368 Hz.
SECCIÓN 12–7
Efecto Doppler
339
FIGURA 12–21 Un observador
que se mueve con rapidez vobs hacia
una fuente estacionaria detecta
crestas de onda que pasan con
rapidez v = vsonido + vobs, donde vsonido
es la rapidez de las ondas sonoras
en el aire.
Cambio de frecuencia, fuente fija,
observador en movimiento
Observador
Fuente
λ
vfuente = 0
vBobs
vBsonido
El efecto Doppler también ocurre cuando la fuente está en reposo y el observador está en movimiento. Si el observador viaja hacia la fuente, el tono que escucha es
más alto que el de la frecuencia emitida por la fuente. Si el observador se aleja de la
fuente, el tono que escucha es más bajo. En términos cuantitativos, el cambio en la frecuencia es diferente que para el caso de una fuente en movimiento. Con una fuente
fija y un observador en movimiento, la distancia entre crestas de onda, la longitud de
onda , no cambia. Pero la velocidad de las crestas con respecto al observador sí
cambia. Si el observador se mueve hacia la fuente (figura 12-21), la rapidez v de las
ondas en relación con el observador es una simple suma de velocidades: v = vsonido +
vobs, donde vsonido es la velocidad del sonido en el aire (se supone que el aire está en
calma) y vobs es la velocidad del observador. Por tanto, la frecuencia escuchada es
v sonido + v obs .
v¿
=
f¿ =
l
l
Puesto que = vsonidof, entonces
( v sonido + v obs)f
,
f¿ =
v sonido
o
f¿ = a 1 +
v obs
b f.
v sonido
c
observador en movimiento
d (12–3a)
hacia una fuente estacionaria
Si el observador se mueve alejándose de la fuente, la velocidad relativa será v = vsonido
– vobs, de modo que
f¿ = a 1 -
v obs
b f.
v sonido
c
observador en movimiento que se
d (12–3b)
aleja de una fuente estacionaria
EJEMPLO 12–14 Una sirena en movimiento. La sirena de una patrulla de la
policía emite a una frecuencia predominante de 1600 Hz mientras está en reposo.
¿Qué frecuencia escuchará un observador que está en reposo mientras la patrulla
se mueve a 25.0 ms a) hacia él y b) alejándose de él?
PLANTEAMIENTO Si el observador está en un lugar fijo y la fuente se mueve, se
emplean las ecuaciones 12-2. La frecuencia que el observador escucha es la frecuencia emitida f dividida por el factor (1 ; vfuentevsonido) donde vfuente es la rapidez
de la patrulla. Se utilizará el signo menos cuando la patrulla se mueva hacia la persona (lo que proporciona una frecuencia más alta); se usará el signo más cuando la
patrulla se mueva alejándose de la persona (frecuencia más baja).
SOLUCIÓN a) La patrulla se mueve hacia la persona, de modo que (ecuación 12-2a)
f¿ =
a1 -
f
vfuente
vsonido
b
=
1600 Hz
= 1726 Hz.
25.0 ms
a1 b
343 ms
b) La patrulla se aleja de la persona, así que
f¿ =
a1 +
f
vfuente
vsonido
b
=
1600 Hz
= 1491 Hz.
25.0 ms
a1 +
b
343 ms
EJERCICIO F Suponga que la patrulla del ejemplo 12-14 está en reposo y que emite
una frecuencia de 1600 Hz. ¿Qué frecuencia escuchará una persona si ésta se mueve a
25.0 ms a) hacia la patrulla y b) alejándose de la patrulla?
340
CAPÍTULO 12
Sonido
www.elsolucionario.org
Cuando una onda sonora se refleja en un obstáculo en movimiento, la frecuencia de la onda reflejada, por el efecto Doppler, será diferente de la de la onda incidente. Esto se ilustra en el ejemplo siguiente.
EJEMPLO 12–15 Dos corrimientos Doppler. Una fuente estacionaria emite una
onda sonora de 5000 Hz. Esta onda sonora se refleja en un objeto que se mueve a
3.50 ms hacia la fuente (figura 12-22). ¿Cuál es la frecuencia de la onda reflejada por el objeto en movimiento, según un detector en reposo cerca de la fuente?
PLANTEAMIENTO En realidad, en esta situación existen dos corrimientos Doppler. Primero, el objeto en movimiento actúa como un observador que se mueve
hacia la fuente con rapidez vobs = 3.50 m/s (figura 12-22a) y así “detecta” una onda
sonora de frecuencia (ecuación 12-3a) f¿ = f [1 + A v obs v sonido B]. Segundo, la
reflexión de la onda del objeto en movimiento es equivalente a que el objeto vuelva
a emitir la onda, lo que actúa efectivamente como una fuente en movimiento con
rapidez vfuente = 3.50 ms (figura 12-22b). La frecuencia final detectada, f–, está
dada por f– = f¿ C1 - vfuente vsonido D, ecuación 12-2a.
Objeto
Fuente Velocidad
vBobs =
3.50 m/s
original de onda
a)
Objeto
Fuente
y
detector
Velocidad
vBfuente =
3.50 m/s
de onda
SOLUCIÓN La frecuencia f que “detecta” el objeto en movimiento es (ecuación
12-3a):
f¿ = a 1 +
b)
vobs
3.50 ms
bf = a1 +
b (5000 Hz) = 5051 Hz.
vsonido
343 ms
FIGURA 12–22 Ejemplo 12-15.
El objeto en movimiento ahora “emite” (refleja) un sonido de frecuencia (ecuación 12-2a)
f– =
f¿
v fuente
a1 b
v sonido
=
5051 Hz
= 5103 Hz.
3.50 ms
a1 b
343 ms
Por tanto, la frecuencia se corre por 103 Hz.
La onda incidente y la onda reflejada en el ejemplo 12-15, cuando se mezclan
(por ejemplo, electrónicamente), interfieren entre sí y producen pulsos. La frecuencia de los pulsos es igual a la diferencia en las dos frecuencias, 103 Hz. Esta técnica
Doppler se utiliza en varias aplicaciones médicas, generalmente con ondas ultrasónicas en el rango de frecuencia de los megahertz. Por ejemplo, las ondas ultrasónicas
reflejadas por los glóbulos rojos de la sangre permiten determinar la velocidad del
flujo sanguíneo. De igual manera, esta técnica se puede usar para detectar el movimiento del pecho de un feto y registrar su ritmo cardiaco.
Por conveniencia, las ecuaciones 12-2 y 12-3 se pueden escribir como una sola
ecuación que comprenda todos los casos de fuente y observador en movimiento:
f¿ = f a
v sonido 6 v obs
b.
v sonido 7 v fuente
(12–4)
Para obtener los signos correctos, es conveniente recordar a partir de la propia experiencia que la frecuencia es más alta cuando el observador y la fuente se aproximan entre sí, y más baja cuando se alejan. Por tanto, los signos superiores en el
numerador y denominador se aplican si la fuente y/o el observador se mueven uno
hacia el otro; los signos inferiores se aplican si se alejan.
F Í S I C A
A P L I C A D A
Medición Doppler del flujo
sanguíneo y otros usos médicos
Fuente y observador en movimiento
➥
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Obtención de los signos correctos
* Efecto Doppler para la luz
El efecto Doppler también ocurre con otros tipos de ondas. La luz y otras ondas
electromagnéticas (como las de radar) exhiben el efecto Doppler: aunque las fórmulas para el corrimiento de frecuencia no son idénticas a las ecuaciones 12-2 y 12-3, el
efecto es similar. Una importante aplicación es la predicción del clima con el uso de
radar. El lapso entre la emisión de pulsos de radar y su recepción después de reflejarse en las gotas de lluvia proporciona la posición de la precipitación. El hecho de
medir el corrimiento Doppler en frecuencia (como en el ejemplo 12-15) permite conocer la rapidez a la que se mueve la tormenta y en qué dirección.
F Í S I C A
A P L I C A D A
Efecto Doppler para ondas EM
y predicción del clima
SECCIÓN 12–7
Efecto Doppler
341
F Í S I C A
A P L I C A D A
Corrimiento hacia el rojo
en cosmología
Otra importante aplicación del corrimiento Doppler es en astronomía, a fin de
determinar las velocidades de las galaxias distantes. La luz de las galaxias distantes
se corre hacia frecuencias más bajas, lo que indica que las galaxias se mueven alejándose. A esto se le llama corrimiento hacia el rojo, pues el rojo tiene la frecuencia
más baja del espectro de la luz visible. Cuanto mayor sea la frecuencia de corrimiento, mayor será la velocidad de recesión. Se ha encontrado que, cuanto más lejos
están las galaxias, más rápido se mueven alejándose. Esta observación es el fundamento para la idea de que el universo se expande, y es una base para la idea de que
el universo comenzó como una gran explosión, a la que se le llama afectuosamente
“Big Bang”.
* 12–8 Ondas de choque y estampido supersónico
Se dice que un objeto, como un avión, que viaja más rápido que el sonido tiene una
rapidez supersónica. Con frecuencia, tal rapidez está dada como un número Mach,†
que se define como la razón entre la rapidez del objeto y la rapidez del sonido en el
medio circundante. Por ejemplo, un avión que viaja a 600 ms muy alto en la atmósfera, donde la rapidez del sonido sólo es de 300 ms, tiene una rapidez de Mach 2.
On
da
de
cho
qu
e
θ
e
qu
da
a) vobjeto = 0
b) vobjeto < v sonido
c) vobjeto = vsonido
On
ho
ec
d
d) vobjeto > vsonido
FIGURA 12–23 Ondas sonoras emitidas por un objeto a) en reposo o (b, c, y d) en movimiento. b) Si la
velocidad del objeto es menor que la velocidad del sonido, ocurre el efecto Doppler; d) si su velocidad es
mayor que la del sonido, se produce una onda de choque.
Onda de choque
FIGURA 12–24 Ondas de proa
producidas por un bote.
F Í S I C A
A P L I C A D A
Estampido sónico
Cuando una fuente de sonido se mueve a rapidez subsónica (menor que la rapidez del sonido), el tono del sonido se altera como se ha visto (el efecto Doppler);
véase también figura 12-23a y b. Pero si una fuente de sonido se mueve más rápido
que el sonido, ocurre un efecto más impactante conocido como onda de choque.
En este caso, la fuente de hecho está “rebasando” las ondas que produce. Como se
muestra en la figura 12-23c, cuando la fuente viaja con la rapidez del sonido, los
frentes de onda que emite hacia delante se “apilan” directamente enfrente de ella.
Cuando el objeto se mueve más rápido, con rapidez supersónica, los frentes de onda
se apilan uno sobre otro a lo largo de los lados, como se observa en la figura 12-23d.
Las diferentes crestas de onda se traslapan una sobre otra y forman una sola cresta
muy larga que es la onda de choque. Detrás de esta cresta muy larga, por lo general,
existe un valle muy largo. En esencia, una onda de choque es el resultado de la interferencia constructiva de un gran número de frentes de onda. Una onda de choque en el aire es análoga a la onda de proa de un bote que viaja más rápido que las
ondas acuáticas que produce (figura 12-24).
Cuando un avión viaja con rapidez supersónica, el ruido que produce y su perturbación del aire forman una onda de choque que contiene una tremenda cantidad
de energía sónica. Cuando la onda de choque pasa cerca de una persona, se escucha
como un fuerte estampido sónico. Un estampido sónico dura sólo una fracción de
segundo, pero la energía que contiene a menudo es suficiente para romper ventanas
y provocar otros daños. De hecho, un estampido sónico está constituido por dos o
más estampidos, ya que grandes ondas de choque se pueden formar en el frente y en
la parte trasera de la aeronave, así como en las alas y en otros lugares (figura 12-25).
Las ondas de proa de un bote también son múltiples, como se ve en la figura 12-24.
†
342
CAPÍTULO 12
Sonido
En honor del físico austriaco Ernst Mach (1838-1916).
que
da
On
l
nta
ola
c
de
o
e fr
qu
ho
ec
d
e
ad
cho
d
On
A
B
C
a)
b)
FIGURA 12–25 a) El (doble) estampido sónico ya fue escuchado por la persona A localizada a la izquierda. Está siendo
escuchado por la persona B en el centro. Y dentro de poco será escuchado por la persona C a la derecha. b) Fotografía especial
de una aeronave supersónica que muestra las ondas de choque producidas en el aire. (Las diferentes partes de la aeronave
producen varias ondas de choque espaciadas cercanamente).
Cuando una aeronave se aproxima a la rapidez del sonido, encuentra una barrera de ondas sonoras enfrente de ella (figura 12-23c). Para superar la rapidez del sonido, la aeronave necesita empuje adicional para traspasar esa “barrera de sonido”.
A esto se le llama “romper la barrera del sonido”. Una vez que se alcanza una rapidez supersónica, esta barrera ya no impide más el movimiento. A veces se cree erróneamente que un estampido sónico sólo se produce en el momento en que la
aeronave está rompiendo la barrera del sonido. En realidad, una onda de choque sigue al avión siempre que viaja a rapidez supersónica. Los observadores en el suelo
escucharán un fuerte “estampido” conforme pase la onda de choque (figura 12-25).
La onda de choque consiste en un cono cuyo ápice está en la aeronave. El ángulo de
este cono, u (figura 12-23d), está dado por
sen u =
v sonido ,
v objeto
(12–5)
donde vobjeto es la velocidad del objeto (la aeronave) y vsonido es la velocidad del sonido en el medio. (La prueba se deja como el problema 63).
* 12–9 Aplicaciones: sonar, ultrasonido y formación
de imágenes en medicina
* Sonar
La reflexión del sonido se usa en muchas aplicaciones para determinar distancias. El
sonar† o técnica de eco-pulso se utiliza para localizar objetos submarinos. Un transmisor envía un pulso sonoro a través del agua, y un detector recibe su reflexión, o
eco, poco tiempo después. Este intervalo de tiempo se mide cuidadosamente y, a partir de él, es posible determinar la distancia hacia el objeto reflejante, puesto que se
conoce la rapidez del sonido en el agua. La profundidad del mar y la ubicación de
arrecifes, barcos hundidos, submarinos o bancos de peces se determinan de esta manera. La estructura interior de nuestro planeta se estudia de una forma similar al detectar los reflejos de las ondas que viajan a través de la Tierra, cuya fuente fue una
explosión deliberada (llamada “sondeo”). Un análisis de las ondas reflejadas de varias estructuras y fronteras dentro de la Tierra revela patrones característicos que
también son útiles en la exploración de yacimientos de petróleo y de otros minerales.
Por lo general, el sonar utiliza frecuencias ultrasónicas: es decir, ondas cuyas frecuencias están por arriba de los 20 kHz, más allá del rango de detección humana.
Para el sonar, las frecuencias generalmente están en el rango de 20 kHz a 100 kHz.
Una razón para el uso de ondas ultrasónicas, aparte del hecho de que son inaudibles, es que, para longitudes de onda cortas, existe menos difracción (sección 11-15),
así que el haz se esparce menos, lo que permite detectar objetos más pequeños.
F Í S I C A
A P L I C A D A
Sonar: hallazgos en las
profundidades, sondeos
de la Tierra
†
Sonar es la abreviatura de “sound navigation ranging”, que significa “alcance de navegación por sonido”.
*SECCIÓN 12–9
Aplicaciones: sonar, ultrasonido y formación de imágenes en medicina
343
www.elsolucionario.org
Vértebra
Transductor
Pared
abdominal
a)
Ecos
Ecos
Intensidad del
pulso reflejado
FIGURA 12–26 a) El pulso de
ultrasonido pasa a través del abdomen
y en su trayectoria se refleja en las
superficies. b) Los pulsos reflejados
se grafican como función del tiempo
una vez que el transductor los recibe.
Las líneas punteadas verticales señalan
cuál pulso reflejado va con cuál
superficie. c) Despliegue de puntos
para los mismos ecos: la brillantez
de cada punto está relacionada con
la intensidad de la señal.
Pulso
b)
Tiempo
c)
* Formación de imágenes médicas con ultrasonido
F Í S I C A
A P L I C A D A
Formación de imágenes médicas
con ultrasonido
El uso del ultrasonido para el diagnóstico en medicina, en la forma de imágenes (a veces llamadas sonogramas) es una importante e interesante aplicación de los principios
físicos. Para ello, se emplea una técnica de eco-pulso, muy parecida al sonar, excepto que las frecuencias utilizadas están en el rango de 1 a 10 MHz (1 MHz = 106 Hz).
Un pulso sonoro de alta frecuencia se dirige al cuerpo, y entonces se detectan sus
reflejos en las fronteras o interfases entre los órganos y otras estructuras y lesiones
en el cuerpo. Esto permite distinguir tumores y otros crecimientos anormales, o bolsas de fluido; también se puede examinar la acción de las válvulas cardiacas y el desarrollo de un feto; y es posible obtener información acerca de varios órganos del
cuerpo, como el cerebro, el corazón, el hígado y los riñones. Aunque el ultrasonido
no sustituye a los rayos X, para ciertas clases de diagnóstico resulta muy útil. Algunas tipos de tejido o fluido no pueden detectarse en las radiografías, pero las ondas
ultrasónicas se reflejan en sus fronteras. Las imágenes de ultrasonido “en tiempo
real” son como una película de una sección del interior del cuerpo.
La técnica de ecopulso para formación de imágenes médicas funciona del modo
siguiente. Un transductor, que transforma un pulso eléctrico en un pulso de onda sonora, emite un breve pulso de ultrasonido. Parte del pulso se refleja como ecos en cada interfase en el cuerpo, y la mayor parte del pulso (por lo general) continúa hacia
delante, como se observa en la figura 12-26a. Entonces se puede desplegar, en la pantalla de una terminal de computadora o en un monitor, la detección que el mismo
transductor realiza de los pulsos reflejados. El tiempo transcurrido desde el instante
en que se emitió el pulso hasta el momento en que cada reflejo (eco) se recibe es
proporcional a la distancia hacia la superficie reflejante. Por ejemplo, si la distancia
desde el transductor hasta una vértebra es de 25 cm, el pulso realiza un viaje redondo cuya distancia es 2 * 25 cm = 0.50 m. La rapidez del sonido en el tejido humano
es de 1540 ms (cercana a la del agua marina), así que el tiempo que le lleva es
(0.50 m)
d
=
= 320 ms.
v
(1540 ms)
La intensidad de un pulso reflejado depende principalmente de la diferencia en
la densidad de los dos materiales sobre cualquier lado de la interfase y se puede
desplegar como pulso o como punto (figuras 12-26b y c). Cada punto de eco (figura
12-26c) se puede representar mediante un punto cuya posición está dada por el retraso de tiempo y cuya brillantez depende de la intensidad del eco. Entonces, con estos puntos obtenidos a partir de una serie de escaneos, se puede formar una imagen
bidimensional. El transductor se mueve, o se usa un arreglo de transductores, cada
t =
344
CAPÍTULO 12
Sonido
FIGURA 12–27 a) Mediante el uso de un
arreglo de transductores, o al mover el
transductor, se realizan 10 trazas a través del
abdomen. b) Los ecos son graficados como
puntos para producir la imagen. Las trazas
espaciadas más cercanamente proporcionarán
una imagen más detallada
a)
a)
b)
uno de los cuales envía un pulso a cada posición y recibe ecos como se muestra en
la figura 12-27. Cada traza se grafica, espaciada adecuadamente una bajo la otra,
para formar una imagen sobre una terminal, como se observa en la figura 12-27b.
En la figura 12-27 sólo se incluyen 10 líneas, así que la imagen no tiene mucha precisión. Más líneas proporcionan una imagen más precisa.† En la figura 12-28 se presentan fotografías de imágenes por ultrasonido.
†
El radar usado por la aeronaves se basa en una técnica de eco-pulso similar, excepto que emplea
ondas electromagnéticas (EM) que, al igual que la luz, viajan con una rapidez de 3 * 108 ms.
b)
FIGURA 12–28 a) Imagen de
ultrasonido de un feto humano
(con la cabeza hacia la izquierda)
en el útero. b) Imagen de ultrasonido
de alta resolución y falso color de un
feto. (Diferentes colores representan
diferentes intensidades de pulsos
reflejados).
Resumen
El sonido viaja como una onda longitudinal en el aire y otros materiales. En el aire, la rapidez del sonido aumenta con la temperatura: a 20°C, es de aproximadamente 343 ms.
El tono de un sonido está determinado por la frecuencia:
cuanto más alta la frecuencia, más alto el tono.
El rango audible de frecuencias para los humanos es aproximadamente de 20 a 20,000 Hz (1 Hz = 1 ciclo por segundo).
El volumen o intensidad de un sonido está relacionada con
la amplitud al cuadrado de la onda. Puesto que el oído humano
puede detectar intensidades sonoras desde 10-12 Wm2 hasta arriba de 1 Wm2, los niveles de sonido se especifican en una escala
logarítmica. El nivel de sonido , especificado en decibeles, se define en términos de la intensidad I como
b = 10 log a
I
b,
I0
(12–1)
donde la intensidad de referencia I0 generalmente se toma como
10-12 Wm2.
Los instrumentos musicales son fuentes simples de sonido en
los que se producen ondas estacionarias.
Las cuerdas de un instrumento pueden vibrar como un todo
con nodos solamente en los extremos; la frecuencia a la que ocurre esta onda estacionaria se llama fundamental. La frecuencia
fundamental corresponde a una longitud de onda igual al doble
de longitud de la cuerda, 1 = 2L. La cuerda también puede vibrar a frecuencias más altas, llamadas sobretonos o armónicos,
donde hay uno o más nodos adicionales. La frecuencia de cada
armónico es un múltiplo entero de la fundamental.
En los instrumentos de viento, las ondas estacionarias se generan en la columna de aire dentro del tubo.
El aire que vibra en un tubo abierto (en ambos extremos)
tiene antinodos de desplazamiento en los dos extremos. La frecuencia fundamental corresponde a una longitud de onda igual al
doble de la longitud del tubo: 1 = 2L. Los armónicos tienen frecuencias que son 1, 2, 3, 4, · · · veces la frecuencia fundamental, tal
como para las cuerdas.
Para un tubo cerrado (en un extremo), la fundamental corresponde a una longitud de onda cuatro veces la longitud del tubo: 1 = 4L. Sólo están presentes armónicos nones, igual a 1, 3,
5, 7, · · · veces la frecuencia fundamental.
Las ondas sonoras provenientes de fuentes diferentes pueden interferir unas con otras. Si los dos sonidos están a frecuencias
ligeramente distintas, se pueden escuchar pulsos a una frecuencia
igual a la diferencia de frecuencia entre las dos fuentes.
El efecto Doppler se refiere al cambio en el tono de un sonido provocado por el movimiento de la fuente o del escucha. Si la
fuente y el escucha se aproximan entre sí, el tono percibido es
más alto; si se alejan, el tono percibido es más bajo.
[*Las ondas de choque y el estampido supersónico ocurren
cuando un objeto se mueve a una rapidez supersónica, es decir,
más rápido que el sonido. Las ondas sonoras de frecuencia ultrasónica (superiora 20 kHz) se utilizan en muchas aplicaciones, que
incluyen el sonar y la formación de imágenes médicas].
Resumen
345
Preguntas
1. ¿Cuál es la evidencia de que el sonido viaja como una onda?
2. ¿Cuál es la evidencia de que el sonido es una forma de energía?
3. Los niños juegan a veces con un “teléfono” hecho en casa
atando una cuerda al fondo de dos vasos desechables. Cuando la cuerda se estira y un niño habla por el interior de uno
de los vasos, el sonido se escucha en el otro vaso (figura
12-29). Explique cómo es que viaja la onda sonora desde un
vaso al otro.
14. Considere las dos ondas que se muestran en la figura 12-31.
Cada onda se puede considerar como una superposición de
dos ondas sonoras con frecuencias ligeramente diferentes,
como en la figura 12-18. ¿En cuál de las ondas, a o b, están
más separadas las dos frecuencias componentes? Explique
su respuesta.
2
1
t (s)
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.15
0.2
1
FIGURA 12–29 Pregunta 3.
2
4. Cuando una onda sonora pasa del aire al agua, ¿se espera
que la frecuencia o longitud de onda cambien?
5. ¿Qué evidencia puede ofrecer de que la rapidez del sonido
en el aire no depende significativamente de la frecuencia?
6. La voz de una persona que ha inhalado helio suena con un
tono muy alto. ¿Por qué?
7. ¿Cómo afectará la temperatura de una habitación el tono de
los tubos de un órgano?
8. Explique cómo se puede usar un tubo como filtro para reducir la amplitud de los sonidos en varios rangos de frecuencia.
(Un ejemplo es el tubo de escape de un automóvil).
a)
2
1
t (s)
0
0.05
1
2
b)
9. ¿Por qué el espaciamiento de los trastes en una guitarra (figura
12-30) es menor conforme se está más cerca del puente?
Trastes
FIGURA 12–30
Pregunta 9.
10. Un camión ruidoso se aproxima desde detrás de un edificio.
Inicialmente se escucha, pero no puede verse. Cuando emerge
y se le ve, su sonido súbitamente es “más brillante”: se escucha más del ruido de alta frecuencia. Explique este fenómeno.
[Sugerencia: Véase sección 11-15 acerca de difracción].
11. Se puede decir que las ondas estacionarias se deben a la
“interferencia en el espacio”, mientras que los pulsos son
resultado de la “interferencia en el tiempo”. Explique estas
afirmaciones.
12. En la figura 12-16, si se disminuye la frecuencia de las bocinas, ¿los puntos D y C (donde ocurren las interferencias destructiva y constructiva) se alejarán o se acercarán?
13. Los métodos tradicionales para proteger los oídos de las personas que trabajan en áreas con niveles muy altos de ruido
pretenden bloquear o reducir estos niveles. Una tecnología
relativamente nueva consiste en usar audífonos que no bloquean el ruido del ambiente. En vez de ello, se utiliza un dispositivo que detecta el ruido, lo invierte electrónicamente y
luego lo alimenta a los audífonos junto con el ruido ambiental. ¿Cómo es posible que más ruido reduzca el nivel de sonido que llega a los oídos?
CAPÍTULO 12
Sonido
FIGURA 12–31 Pregunta 14.
15. ¿Existe un corrimiento Doppler si la fuente y el observador
se mueven en la misma dirección, con la misma velocidad?
Explique su respuesta.
Puente
346
0.1
16. Cuando el viento sopla, ¿esto alterará la frecuencia del sonido que escucha una persona en reposo con respecto a la
fuente? ¿Cambia la longitud de onda o la velocidad?
17. La figura 12-32 muestra varias posiciones de un niño en movimiento sobre un columpio. Una persona, en el suelo, toca
un silbato. ¿En qué posiciones, de la A a la E, el niño escuchará la frecuencia más alta para el sonido del silbato? Explique su razonamiento.
Silbato
Silbato
A
E
D
B
C
FIGURA 12–32 Pregunta 17.
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Problemas
[A menos que se indique otra cosa, se considera que T = 20°C
y vsonido = 343 ms en el aire].
12-1 Características del sonido
1. (I) Una excursionista determina la longitud de un lago al escuchar el eco de su grito reflejado en un risco en el extremo
lejano del lago. Escucha el eco 2.0 s después de gritar. Estime
la longitud del lago.
2. (I) Un marinero golpea uno de los lados de su nave justo debajo de la línea de flotación. Después de 2.5 s, escucha el eco
del sonido reflejado en el fondo marino directamente debajo.
¿Cuán profundo está el océano en este punto? La rapidez del
sonido en el agua de mar es de 1560 ms (tabla 12-1) y no varía significativamente con la profundidad.
3. (I) a) Calcule las longitudes de onda en el aire a 20°C para
sonidos en el rango máximo de escucha humana, de 20 a
20,000 Hz. b) ¿Cuál es la longitud de onda de una onda ultrasónica de 10 MHz?
4. (II) Un buque pesquero oceánico flota justo sobre un banco
de atún en un día nublado. Sin advertencia, ocurre una explosión en el motor de otro buque a 1.0 km de distancia (figura
12-33). ¿Cuánto tiempo transcurre antes de que la explosión
la escuchen a) los peces y b) los pescadores?
b)
1.0 km
a)
FIGURA 12–33 Problema 4.
5. (II) Se suelta una piedra desde lo alto de un risco. El chapoteo
que hace al golpear el agua se escucha 3.5 s más tarde. ¿Cuál
es la altura del risco?
6. (II) Una persona, con su oreja sobre el suelo, ve que una
gran piedra golpea la banqueta de concreto. Un momento
después, se escuchan dos sonidos generados por el impacto:
uno viaja por el aire y el otro en el concreto, y tienen una diferencia de 1.1 s. ¿A qué distancia ocurrió el impacto? Véase
la tabla 12-1.
7. (II) Calcule el error porcentual cometido en una milla de distancia por la “regla de los 5 segundos” para estimar la distancia a la que se genera un relámpago, si la temperatura es de
a) 30°C y b) 10°C.
12-2 Intensidad del sonido; decibeles
8. (I) ¿Cuál es la intensidad de un sonido en el nivel de dolor
de 120 dB? Compárela con la de un murmullo a 20 dB.
9. (I) ¿Cuál es el nivel de sonido de un sonido cuya intensidad
es de 2.0 * 10 –6 Wm2?
10. (II) Si dos petardos producen un nivel de sonido de 95 dB
cuando se disparan simultáneamente en cierto lugar, ¿cuál
será el nivel de sonido si sólo uno estalla? [Sugerencia: Sume
intensidades, no dB].
11. (II) Una persona, que está de pie a una cierta distancia de un
avión con cuatro motores a reacción igualmente ruidosos, experimenta un nivel de sonido que está en la frontera del dolor, esto es, a 120 dB. ¿Qué nivel de sonido experimentaría
esta persona si el capitán apaga todos los motores menos
uno? [Sugerencia: Sume intensidades, no dB].
12. (II) Se dice que una audiocasetera tiene una razón entre señal
y ruido de 58 dB, mientras que la razón para un reproductor
de CD es de 95 dB. ¿Cuál es la razón de intensidades de la señal y el ruido de fondo para cada uno de los aparatos?
13. (II) a) Estime la potencia de salida del sonido proveniente de
una persona que habla en una conversación normal. Utilice
la tabla 12-2. Suponga que el sonido se expande aproximadamente de manera uniforme sobre una esfera con centro en la
boca. b) ¿Cuántas personas lograrían producir una salida de
sonido total de 100 W de conversación ordinaria? [Sugerencia:
Sume intensidades, no dB].
14. (II) Una onda sonora de 50 dB golpea un tímpano cuya área
es de 5.0 * 10 –5 m2. a) ¿Cuánta energía por segundo absorbe el tímpano? b) A esta tasa, ¿cuánto le tomaría al tímpano
recibir una energía total de 1.0 J?
15. (II) El costoso amplificador A está clasificado en 250 W,
mientras que el más modesto amplificador B está clasificado
en 40 W. a) Estime el nivel de sonido, en decibeles, que se esperaría en un punto a 3.5 m de una bocina conectada a la
vez a cada amplificador. b) ¿El amplificador costoso sonaría
el doble de fuerte que el más barato?
16. (II) En un concierto de rock, un medidor de dB registró 130
dB cuando se colocó a 2.8 m enfrente de una bocina en el escenario. a) ¿Cuál fue la potencia de salida de la bocina, si se
supone una dispersión esférica uniforme del sonido y se desprecia la absorción en el aire? b) ¿A qué distancia el nivel de
sonido sería más razonable, por ejemplo, de unos 90 dB?
17. (II) En general, los seres humanos son capaces de detectar
una diferencia en el nivel de sonido de 2.0 dB. ¿Cuál es la razón de las amplitudes de dos sonidos cuyos niveles difieren
por esta cantidad? [Sugerencia: Véase la sección 11-9].
18. (II) Si la amplitud de una onda sonora se triplica, a) ¿en qué
factor aumenta la intensidad? b) ¿En cuántos decibles aumentará el nivel de sonido?
* 19. (II) Dos ondas sonoras tienen igual amplitud de desplazamiento, pero una tiene el doble de frecuencia que la otra.
¿Cuál es la razón de sus intensidades?
* 20. (II) ¿Cuál sería el nivel de sonido (en dB) de una onda sonora en el aire, que corresponda a una amplitud de desplazamiento de moléculas de aire vibrantes de 0.13 mm a 300 Hz?
* 12-3 Intensidad
* 21. (I) ¿Qué nivel de sonido debe tener un tono de 6000 Hz para parecer tan intenso como uno de 100 Hz que tiene un nivel de sonido de 50 dB? (Véase la figura 12-6).
* 22. (I) ¿Cuáles son las frecuencias más baja y más alta que puede
detectar el oído humano cuando el nivel de sonido es de 30 dB?
(Véase la figura 12-6).
* 23. (II) El sistema auditivo humano puede acomodar un amplio
rango de niveles de sonido. ¿Cuál es la razón entre la intensidad más alta y la más baja a a) 100 Hz, b) 5000 Hz? (Véase la
figura 12-6).
12-4 Fuentes del sonido: cuerdas y columnas de aire
24. (I) Una de las cuerdas de un violín tiene una frecuencia fundamental de 440 Hz. La longitud de la parte vibratoria es de
32 cm y su masa es de 0.35 g. ¿A qué tensión se debe colocar
la cuerda?
Problemas
347
25. (I) Un tubo de órgano mide 112 cm de largo. ¿Cuáles son la
fundamental y los tres primeros sobretonos audibles si el tubo
está a) cerrado en un extremo y b) cerrado en ambos extremos?
26. (I) a) ¿Qué frecuencia resonante se esperaría al soplar por la
parte superior de una botella vacía que tiene 18 cm de profundidad, si se supone que es un tubo cerrado? b) ¿Cómo cambiaría esto si la botella estuviese llena de líquido hasta un tercio?
27. (I) Si va a construir un órgano de tubos con tubos abiertos que
abarquen el rango de audición humana (de 20Hz a 20 kHz),
¿cuál sería el rango requerido de las longitudes de los tubos?
28. (II) Una apretada cuerda de guitarra tiene una frecuencia de
540 Hz como su tercer armónico. ¿Cuál será su frecuencia
fundamental si se pulsa a una longitud de sólo el 60% de su
longitud original?
29. (II) Una cuerda de guitarra sin pulsar mide 0.73 m de largo y
está afinada para tocar mi después del Do central (330 Hz).
a) ¿A qué distancia del extremo de esta cuerda se debe colocar un traste (y el dedo del ejecutante) para tocar la sobre el
Do central (440 Hz). b) ¿Cuál es la longitud de onda en la
cuerda de esta onda de 440 Hz? c) ¿Cuáles son la frecuencia
y la longitud de la onda sonora producida en el aire a 20°C
por esta cuerda pulsada?
30. (II) a) Determine la longitud de un tubo de órgano abierto que
emite el Do central (262 Hz) cuando la temperatura es de
21°C. b) ¿Cuáles son la longitud de onda y la frecuencia de la
onda estacionaria fundamental en el tubo? c) ¿Cuáles son l y
f en la onda sonora viajera que se produce en el aire exterior?
31. (II) Un órgano está afinado a 20°C. ¿En qué porcentaje estará
desplazada la frecuencia cuando la temperatura es de 5.0°C?
32. (II) ¿A qué distancia de la boquilla de la flauta, en el ejemplo 12-10, debe estar el hoyo que se descubra para tocar el Re
que sigue al Do central a 294 Hz?
33. (II) a) A T = 20°C, ¿cuánto debe medir un tubo abierto
de órgano para tener una frecuencia fundamental de 294 Hz?
b) Si este tubo está lleno de helio, ¿cuál es su frecuencia fundamental?
34. (II) Un tubo de órgano particular puede resonar a 264 Hz,
440 Hz y 616 Hz, pero no en otra frecuencia intermedia. a) Demuestre por qué este es un tubo abierto o cerrado. b) ¿Cuál
es la frecuencia fundamental de este tubo?
35. (II) Un tubo estrecho uniforme de 1.80 m de largo está abierto en ambos extremos. Resuena a dos armónicos sucesivos,
con frecuencias de 275 Hz y 330 Hz. ¿Cuál es a) la frecuencia
fundamental y b) la rapidez del sonido en el gas en el tubo?
36. (II) Un tubo en aire a 20°C se diseña para producir dos armónicos sucesivos a 240 Hz y 280 Hz. ¿Cuánto debe medir el
tubo? ¿Éste debe ser abierto o cerrado?
37. (II) ¿Cuántos sobretonos están presentes dentro del rango
audible para un tubo de órgano de 2.14 m de largo a 20°C
a) si es abierto y b) si es cerrado?
38. (III) El canal auditivo humano mide aproximadamente 2.5 cm
de longitud. Está abierto hacia el exterior y cerrado en el otro
extremo mediante el tímpano. Estime las frecuencias (en el
rango audible) de las ondas estacionarias en el canal auditivo.
¿Cuál es la relación entre su respuesta y la información en la
gráfica de la figura 12-6?
12-6 Interferencia; pulsos
39. (I) Un afinador de piano escucha un pulso cada 2.0 s cuando
intenta ajustar dos cuerdas, una de las cuales suena a 440 Hz.
¿Qué tan fuera de frecuencia está la otra cuerda?
40. (I) ¿Cuál es la frecuencia del pulso si el Do central (262 Hz)
y el Do sostenido (277 Hz) se tocan juntos? ¿Cuál si cada
uno se toca dos octavas más abajo (cada frecuencia se reduce
por un factor de 4)?
348
CAPÍTULO 12
Sonido
41. (I) Cierto silbato para perros produce un sonido de 23.5 kHz,
mientras que otro (marca X) emite una frecuencia desconocida. Ninguno de los dos silbatos puede ser escuchado por los
humanos cuando se tocan por separado, pero, cuando se tocan simultáneamente, se oye un agudo chirrido de 5000 Hz.
Estime la frecuencia de operación del silbato de la marca X.
42. (II) Una cuerda de guitarra produce 4 pulsoss cuando suena con un diapasón de 350 Hz, y 9 pulsoss cuando suena
con un diapasón de 355 Hz. ¿Cuál es la frecuencia vibratoria
de la cuerda? Explique su razonamiento.
43. (II) Dos cuerdas de violín se afinan a la misma frecuencia,
294 Hz. Entonces se disminuye en un 2% la tensión de una
cuerda. ¿Cuál será la frecuencia de los pulsos que se escuche
cuando las dos cuerdas se toquen al unísono? [Sugerencia:
Recuerde la ecuación 11-13].
44. (II) ¿Cuántos pulsos se escucharán si se intenta tocar un Do
central (262 Hz) con dos flautas idénticas, pero una está a
5.0°C y la otra a 25.0°C?
45. (II) Se tienen tres diapasones, A, B y C. El diapasón B tiene
una frecuencia de 441 Hz; cuando A y B suenan juntos, se escucha una frecuencia de los pulsos de 3 Hz. Cuando B y C
suenan juntos, la frecuencia de los pulsos es de 4 Hz. ¿Cuáles
son las posibles frecuencias de A y C? ¿Qué frecuencias de
los pulsos son posibles cuando A y C suenan juntos?
46. (II) Dos bocinas están separadas 1.80 m. Una persona está de
pie a 3.00 m de una bocina y a 3.50 de la otra. a) ¿Cuál es la
frecuencia más baja a la que ocurrirá interferencia destructiva en ese punto? b) Calcule otras dos frecuencias que también den como resultado interferencia destructiva en ese punto (indique las siguientes dos más altas). Sea T = 20°C.
47. (III) Se supone que dos cuerdas de piano vibran a 132 Hz,
pero un afinador de piano escucha tres pulsos cada 2.0 s
cuando se tocan juntas. a) Si una vibra a 132 Hz, ¿cuál debe
ser la frecuencia de la otra (sólo existe una respuesta)? b) En
qué porcentaje debe aumentar o disminuir la tensión para
que las cuerdas queden afinadas?
48. (III) Una fuente emite sonido con longitudes de onda de 2.64
m y 2.76 m en el aire. ¿Cuántos pulsos por segundo se escucharán? (Se supone que T = 20°C.)
12-7 Efecto Doppler
49. (I) La frecuencia predominante de la sirena de un carro de
bomberos es de 1550 Hz cuando está en reposo. ¿Qué frecuencia detecta una persona si se mueve con una rapidez de
30.0 ms a) hacia el carro de bomberos y b) alejándose de él?
50. (I) Una persona está de pie sin moverse. ¿Qué frecuencia detectará si un carro de bomberos, cuya sirena emite a 1550 Hz,
se mueve con una rapidez de 32 ms a) hacia la persona o
b) alejándose de ella?
51. (II) a) Compare el corrimiento de frecuencia si una fuente de
2000 Hz se mueve hacia un observador a 15 ms con el corrimiento que se produce si el observador se mueve hacia la
fuente a 15 ms. ¿Las dos frecuencias son exactamente iguales? ¿Están cerca? b) Repita el cálculo para 150 ms y luego
para c) 300 ms. ¿Qué se concluye acerca de la asimetría de
las fórmulas Doppler?
52. (II) Dos automóviles están equipados con la misma bocina
de una sola frecuencia. Cuando uno está en reposo y el otro
se mueve hacia el primero a 15 ms, el conductor en reposo
escucha una frecuencia de 5.5 Hz. ¿Cuál es la frecuencia que
emiten las bocinas? Considere que T = 20°C.
53. (II) Un murciélago en reposo envía ondas sonoras ultrasónicas a 50.0 kHz y las recibe de regreso a partir de un objeto
que se mueve alejándose directamente de él a 25.0 ms. ¿Cuál
es la frecuencia del sonido recibido?
54. (II) Un murciélago vuela hacia una pared con una rapidez de
5.0 ms. Mientras vuela, el murciélago emite una onda sonora ultrasónica con frecuencia de 30.0 kHz. ¿Qué frecuencia
escucha el murciélago en la onda reflejada?
55. (II) Uno de los experimentos Doppler originales consistió en
tocar una tuba con una frecuencia de 75 Hz en un vagón plano de ferrocarril en movimiento; una segunda tuba idéntica
tocó el mismo tono mientras estaba en reposo en la estación
de ferrocarril. ¿Qué frecuencia de pulso se escuchó si el carro
de ferrocarril se aproximó a la estación con una rapidez de
10.0 ms?
56. (II) Un medidor Doppler de flujo utiliza ondas ultrasónicas
para medir la rapidez del flujo sanguíneo. El dispositivo emite un sonido a 3.5 MHz y la rapidez del sonido en el tejido
humano es de 1540 ms. ¿Cuál es la frecuencia de pulso esperada si la sangre fluye en las grandes arterias de la pierna a
2.0 cm/s alejándose directamente de la fuente sonora?
57. (III) Para registrar el ritmo cardiaco de un feto se usó el efecto Doppler con ondas ultrasónicas de 2.25 * 106 Hz de frecuencia. Se observó una frecuencia de pulso (máxima) de 500
Hz. Si se supone que la rapidez del sonido en el tejido es de
1.54 * 103 ms, calcule la velocidad máxima de la superficie
del corazón que late.
58. (III) Un silbato de fábrica emite un sonido con 570 Hz de
frecuencia. Cuando la velocidad del viento que sopla desde el
norte es de 12.0 m/s, ¿qué frecuencia escucharán los observadores que estén ubicados, en reposo, a) hacia el norte, b) hacia el sur, c) hacia el este y d) hacia el oeste del silbato? ¿Qué
frecuencia escucha un ciclista que se dirige hacia el silbato
e) con rumbo al norte o f ) con rumbo al oeste, a 15.0 ms?
Considere que T = 20°C.
* 60. (II) Un avión viaja a Mach 2.3 donde la rapidez del sonido es
* 61.
* 62.
* 63.
* 64.
de 310 m/s. a) ¿Cuál es el ángulo que la onda de choque forma con la dirección del movimiento del avión? b) Si el avión
vuela a una altura de 7100 m, ¿cuánto tiempo después escuchará la onda de choque una persona que se encuentra directamente abajo sobre la Tierra?
(II) Una sonda espacial ingresa a la delgada atmósfera de un
planeta donde la rapidez del sonido sólo es de aproximadamente 35 ms. a) ¿Cuál es el número Mach de la sonda si su
rapidez inicial es de 15,000 kmh? b) ¿Cuál es el ángulo de la
onda de choque en relación con la dirección del movimiento?
(II) Un meteorito que viaja a 8500 ms golpea el océano. Determine el ángulo que produce la onda de choque a) en el
aire justo antes de entrar al océano y b) en el agua justo después de entrar en ella. Considere que T = 20°C.
(II) Demuestre que el ángulo u que un estampido sónico forma con la trayectoria de un objeto supersónico está dado por
la ecuación 12-5.
(II) Una persona mira directamente sobre su cabeza y ve un
avión a 1.5 km sobre el nivel del suelo que supera la rapidez
del sonido. Cuando la persona escucha el estampido sónico,
el avión ha recorrido una distancia horizontal de 2.0 km.
Observe la figura 12-34. Determine a) el ángulo del cono de
choque, u, y b) la rapidez del avión (el número Mach). Considere que la rapidez del sonido es de 330 ms.
θ
* 12-8 Ondas de choque; estampido sónico
* 59. (I) a) ¿A qué rapidez se mueve un objeto en Tierra si su
rapidez a 20°C es Mach 0.33? b) Un jet de gran altura que
cruza a 3000 kmh muestra un número Mach de 3.2 en una
pantalla. ¿Cuál es la rapidez del sonido a esa altitud?
FIGURA 12–34 Problema 64.
Problemas generales
65. Un buscador de peces utiliza un dispositivo de sonar que envía pulsos sonoros de 20,000 Hz hacia abajo desde el fondo
del bote y luego detecta los ecos. Si la profundidad máxima
para la que el sonar está diseñado es de 200 m, ¿cuál es el
tiempo mínimo entre pulsos (en agua fresca)?
66. ¿Aproximadamente cuántas octavas existen en el rango audible humano?
67. Un museo de ciencias tiene una exposición llamada sinfonía
de tubos sierra. Consiste en muchos tubos plásticos de varias
longitudes, abiertos en ambos extremos. a) Si los tubos tienen longitudes de 3.0 m, 2.5 m, 2.0 m, 1.5 m y 1.0 m, ¿qué
frecuencias escuchará un visitante colocado cerca de los extremos de los tubos? b) ¿Por qué esta exposición funciona
mejor en un día ruidoso que en un día silencioso?
68. Un mosquito a 5.0 m de una persona produce un sonido cercano al umbral de audición humana (0 dB). ¿Cuál será el nivel sonoro de 1000 mosquitos?
69. ¿Cuál es el nivel sonoro resultante cuando se escuchan simultáneamente un sonido de 82 dB y uno de 87 dB?
70. El nivel sonoro a 12.0 m de una bocina, colocada en un lugar
abierto, es de 105 dB. ¿Cuál es la potencia acústica de salida
(W) de la bocina, si se supone que radia igualmente en todas
direcciones?
71. Un amplificador estéreo está clasificado en 150 W de salida a
1000 Hz. La potencia de salida cae en 10 dB a 15 kHz. ¿Cuál
es la potencia de salida en watts a 15 kHz?
72. Los trabajadores alrededor de los aviones generalmente utilizan protectores para sus oídos. El nivel sonoro del motor de
un jet, a una distancia de 30 m, es de 140 dB, y el oído humano promedio tiene un radio efectivo de 2.0 cm. ¿Cuál sería la
potencia interceptada por un oído desprotegido a una distancia de 30 m del motor de un jet?
73. En los sistemas de audio y comunicaciones, la ganancia, , en
decibeles se define como
b = 10 log a
Psalida
b,
Pentrada
donde Pentrada es la potencia de entrada al sistema y Psalida
es la potencia de salida. Un amplificador estéreo particular
saca 100 W de potencia para una entrada de 1 mW. ¿Cuál es
su ganancia en dB?
Problemas generales
349
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74. Cada cuerda en un violín está afinada a una frecuencia 1 12
veces la de su vecina. Las cuatro cuerdas de igual longitud
se pondrán bajo la misma tensión. ¿Cuál debe ser la masa
por unidad de longitud de cada cuerda en relación con la de
la cuerda más baja?
75. La cuerda la de un violín mide 32 cm de largo entre puntos
fijos con una frecuencia fundamental de 440 Hz y una masa
por unidad de longitud de 6.1 * 10-4 kgm. a) ¿Cuál es la
rapidez de onda y cuál la tensión en la cuerda? b) ¿Cuál es
la longitud del tubo de un instrumento de viento simple (por
ejemplo, el tubo de un órgano), cerrado en un extremo, cuya
fundamental también es 440 Hz, si la rapidez del sonido es de
343 m/s en el aire? c) ¿Cuál es la frecuencia del primer sobretono de cada instrumento?
76. Un diapasón se pone a vibrar sobre un tubo abierto vertical
lleno con agua (figura 12-35). Se permite que el nivel del agua
caiga lentamente. Conforme lo hace, se escucha que el aire
en el tubo arriba del nivel del agua resuena con el diapasón
cuando la distancia desde la abertura del tubo al nivel del
agua es de 0.125 m y de nuevo a 0.395 m. ¿Cuál es la frecuencia del diapasón?
0.125 m
0.395 m
FIGURA 12–35
Problema 76.
77. Una cuerda de guitarra, de 75 cm de largo y 2.10 g de masa,
está cerca de un tubo abierto en un extremo y que también
mide 75 cm de largo. ¿Cuánta tensión debe haber en la cuerda si debe producir resonancia (en su modo fundamental)
con el tercer armónico en el tubo?
78. (II) Se observó que un tramo elevado de una autopista resonó como un lazo completo A 12 lB cuando un leve terremoto
agitó el suelo verticalmente a 4.0 Hz. El departamento de caminos colocó un soporte en el centro del tramo elevado, y lo
ancló al suelo como se indica en la figura 12-36. ¿Qué frecuencia resonante se esperaría ahora para el tramo elevado?
Los terremotos rara vez sacuden significativamente por arriba de 5 o 6 Hz. ¿Las modificaciones hicieron algún bien?
79. Una persona escucha un tono puro en el rango de 500-1000
Hz proveniente de dos fuentes. El sonido es más sonoro en
los puntos equidistantes de las dos fuentes. Para determinar
la frecuencia con exactitud, la persona se mueve alrededor y
encuentra que el nivel sonoro es mínimo en un punto que
está 0.34 m más lejos de una fuente que de la otra. ¿Cuál es
la frecuencia del sonido?
80. Dos trenes emiten silbidos de 424 Hz. Un tren está detenido y
su conductor escucha una frecuencia de pulso de 3.0 Hz cuando el otro tren se aproxima. ¿Cuál es la rapidez del tren en
movimiento?
81. La frecuencia del silbato de un tren de vapor es de 538 Hz
mientras se aproxima. Después de que pasa, su frecuencia se
mide en 486 Hz. ¿Cuál era la rapidez del tren (se supone que
la velocidad era constante)?
82. En una pista de carreras, es posible estimar la rapidez de los
carros sólo con escuchar la diferencia en el tono del ruido de
los motores entre los carros que se aproximan y los que se
alejan. El sonido de cierto carro cae por una octava completa
(la frecuencia se parte a la mitad) mientras pasa por una recta larga. ¿A qué rapidez va?
83. Dos tubos abiertos de órgano, que suenan juntos, producen
una frecuencia de pulso de 11 Hz. El tubo más corto mide
2.40 m de largo. ¿Cuánto mide el otro?
84. Dos bocinas están colocadas en extremos opuestos de un carro de ferrocarril que viaja a 10.0 ms y que pasa junto a un
observador estacionario, como se muestra en la figura 12-37.
Si las bocinas tienen frecuencias sonoras idénticas de 212 Hz,
¿cuál es la frecuencia de pulso que escucha el observador
cuando a) está en la posición A, enfrente del carro, b) está
entre las bocinas, en B, y c) está en C, un punto por el que
las bocinas ya pasaron?
v = 10.0 m/s
C
B
A
FIGURA 12–37 Problema 84.
85. Si la velocidad del flujo sanguíneo en la aorta normalmente
es cercana a 0.32 ms, ¿qué frecuencia de pulso se esperaría
si se dirigieran ondas de ultrasonido de 5.50 MHz a lo largo
del flujo y se reflejaran en los glóbulos rojos? Se supone que
las ondas viajan con una rapidez de 1.54 * 103 ms.
Antes de la modificación
Soporte añadido
Después de la modificación
FIGURA 12–36 Problema 78.
350
CAPÍTULO 12
Sonido
86. Un murciélago vuela hacia una polilla con una rapidez de 6.5
ms, mientras la polilla vuela hacia el murciélago con una rapidez de 5.0 m/s. El murciélago emite una onda sonora de 51.35
kHz. ¿Cuál es la frecuencia de la onda detectada por el murciélago después de que la onda se refleja en la polilla?
87. Un murciélago emite una serie de pulsos sonoros de alta frecuencia conforme se aproxima a una polilla. Los pulsos están
espaciados aproximadamente 70.0 ms, y cada uno dura aproximadamente 3.0 ms. ¿A qué distancia estará la polilla que
detecte el murciélago, de modo que el eco proveniente de un
chillido regrese antes de emitir el siguiente?
88. El “cuerno alpino” (figura 12-38) se utilizó alguna vez para
enviar señales de una villa alpina a otra. Como los sonidos de
frecuencia más baja son menos susceptibles a perder intensidad, se usaron cuernos largos para crear sonidos profundos.
Cuando se toca como instrumento musical, el cuerno alpino
se debe soplar de tal forma que sólo uno de los sobretonos
resuene. El cuerno alpino más conocido mide 3.4 m de largo,
y se llama cuerno de Fa sostenido (o Sol bemol). ¿Cuál es la
frecuencia fundamental de este cuerno, y cuál sobretono está
cerca de Fa sostenido? (Consulte la tabla 12-3). Utilice el modelo de un tubo abierto.
89. Las habitaciones acústicas para escuchar estéreo se ponen en
riesgo ante la presencia de ondas estacionarias, que pueden
provocar “puntos muertos” acústicos en las ubicaciones de
los nodos de presión. Considere una sala de 5.0 m de largo,
4.0 m de ancho y 2.8 m de alto. Calcule las frecuencias fundamentales para las ondas estacionarias en esta habitación.
90. Una demostración interesante, llamada “barras cantoras”,
consiste en sostener en la mano una larga y delgada barra de
aluminio cerca del punto medio de ésta. La barra se golpea
con la otra mano. Con un poco de práctica, es posible hacer
“cantar” a la barra, pues ésta puede emitir un claro y sonoro
sonido de tintineo. Para una barra de 90 cm de largo, a) ¿cuál
es la frecuencia fundamental del sonido? b) ¿Cuál es su longitud de onda en la barra y c) cuál es la longitud de onda que
viaja en el aire a 20°C?
* 91. La intensidad en el umbral de audición para el oído humano
a una frecuencia cercana a 1000 Hz es I0 = 1.0 * 10-12 Wm2,
para la que , el nivel de sonido, es de 0 dB. El umbral del
dolor a la misma frecuencia es aproximadamente de 120 dB,
o I = 1.0 Wm2, que corresponde a un aumento de intensidad
por un factor de 1012. ¿En qué factor varía la amplitud de
desplazamiento, A?
* 92. Un avión viaja a Mach 2.0. Un observador en el suelo escucha
el estampido sónico 1.5 min después de que el avión pasa directamente sobre su cabeza. ¿A qué altitud viaja el avión?
* 93. La estela de una lancha rápida es de 15° en un lago donde la
FIGURA 12–38 Problema 88.
rapidez de la onda acuática es de 2.2 kmh. ¿Cuál es la rapidez del bote?
Respuestas a los ejercicios
A: 1 km por cada 3 s antes de que se escuche el trueno.
B: 4 veces la intensidad.
C: Un cuarto de su valor original; 6 dB.
D: 257 Hz.
E: 6 Hz.
F: a) 1717 Hz, b) 1483 Hz.
Problemas generales
351
Al calentar el aire dentro de un globo aerostático se eleva la temperatura, lo que provoca que el aire se
expanda y se vea forzado a salir por
la abertura del fondo. La reducida
cantidad de aire en el interior significa que su densidad es más baja, de
modo que sobre el globo existe una
fuerza boyante neta hacia arriba. En
este capítulo se estudiarán la temperatura y sus efectos sobre la materia:
la expansión térmica y las leyes de
los gases. En este marco es de suma
importancia la ley del gas ideal y su
expresión en términos de moléculas.
CAPÍTULO
13
Temperatura y teoría cinética
E
ste capítulo es el primero de tres (capítulos 13, 14 y 15) que están dedicados
a los temas de temperatura, calor y termodinámica. Gran parte de este capítulo se dedicará a una investigación de la teoría de que la materia está integrada por átomos que están en continuo movimiento aleatorio. Esta teoría se llama
teoría cinética. (“Cinético”, como se recordará, es la palabra griega para “movimiento”).
También se analizará el concepto de temperatura y cómo se mide, así como las
propiedades de los gases medidas experimentalmente, que sirven como fundamento
para la teoría cinética.
13–1 Teoría atómica de la materia
Teoría atómica: la evidencia
La idea de que la materia está hecha de átomos se remonta a los antiguos griegos.
De acuerdo con el filósofo griego Demócrito, si una sustancia pura (por ejemplo,
una pieza de hierro) se cortara en pedazos cada vez más diminutos, eventualmente
se obtendría la pieza más pequeña de dicha sustancia, que ya no podría dividirse
más. Esta pieza más pequeña de todas se llamó átomo, que en griego significa “indivisible”.†
En la actualidad, la teoría atómica es generalmente aceptada. Sin embargo, la
evidencia experimental en su favor se configuró principalmente en los siglos XVIII,
XIX y XX, y gran parte de ella se obtuvo a partir del análisis de las reacciones químicas.
†
En la actualidad no se considera al átomo como indivisible, sino más bien como consistente en un
núcleo (que contiene protones y neutrones) y electrones.
352
www.elsolucionario.org
En el texto se hablará con frecuencia de las masas relativas de los átomos y de las
moléculas, a las que se llama masa atómica o masa molecular, respectivamente.† Esas
masas se basan en la asignación arbitraria del valor exacto de 12.000 unidades de masa
atómica unificadas (u) al abundante átomo de carbono, 12C. En términos de kilogramos,
1 u = 1.6605 * 10–27 kg.
Entonces la masa atómica del hidrógeno es de 1.0078 u, y los valores para otros átomos se citan en la tabla periódica en la cubierta interior de este libro, así como en el
apéndice B. La masa molecular de un compuesto es la suma de las masas atómicas
de los átomos que forman las moléculas de ese compuesto.‡
Una importante pieza de evidencia para la teoría atómica es el movimiento
browniano, llamado así en honor del biólogo Robert Brown, quien realizó este descubrimiento en 1827. Mientras observaba bajo el microscopio pequeños granos de
polen suspendidos en agua, Brown notó que los pequeños granos se movían en trayectorias tortuosas (figura 13-1), aun cuando el agua parecía estar perfectamente en
calma. La teoría atómica explica fácilmente el movimiento browniano si se realiza la
ulterior suposición de que los átomos de cualquier sustancia están en movimiento
continuo. Entonces los pequeños granos de polen, como los que Brown observó, son
empujados de un lado a otro por las vigorosas andanadas de las moléculas de agua
que se mueven rápidamente.
En 1905, Albert Einstein examinó el movimiento browniano desde un punto de
vista teórico y fue capaz de calcular, a partir de los datos experimentales, el tamaño
y la masa aproximados de los átomos y de las moléculas. Sus cálculos demostraron
que el diámetro de un átomo típico es de aproximadamente 1010 m.
Al principio del capítulo 10 se hizo la distinción entre los tres estados, o fases, comunes de la materia (sólido, líquido, gas) con base en propiedades macroscópicas, o
de “gran escala”. Ahora se verá cómo difieren estas tres fases de la materia, desde el
punto de vista atómico o microscópico. Es claro que los átomos y las moléculas deben
ejercer fuerzas atractivas unos sobre otros. Si no fuera así, ¿cómo podrían mantenerse
como una sola pieza un ladrillo o un trozo de aluminio? Las fuerzas atractivas entre
las moléculas son de naturaleza eléctrica (se hablará más de esto en capítulos posteriores). Cuando las moléculas llegan a estar muy juntas, la fuerza entre ellas debe
volverse repulsiva (repulsión eléctrica entre sus electrones exteriores), porque ¿de
qué otra forma la materia podría ocupar espacio? Las moléculas mantienen una distancia mínima entre sí. En un material sólido, las fuerzas atractivas son lo suficientemente fuertes como para que los átomos o las moléculas apenas se muevan (oscilen)
en torno a posiciones relativamente fijas, con frecuencia en un ordenamiento conocido como retícula cristalina, como la que se ilustra en la figura 13-2a. En un líquido,
los átomos o las moléculas se mueven con mayor rapidez, o las fuerzas entre ellos
son más débiles, de modo que son suficientemente libres de pasar unos sobre otros,
como en la figura 13-2b. En un gas, las fuerzas son tan débiles, o la rapidez tan alta,
que las moléculas ni siquiera permanecen juntas. Se mueven rápidamente en todas
direcciones (figura 13-2c), de modo que llenan cualquier contenedor y en ocasiones
Masas atómica y molecular
FIGURA 13–1 Trayectoria de una
pequeña partícula (por ejemplo, un
grano de polen) suspendida en agua.
Las líneas rectas conectan posiciones
observadas de la partícula en iguales
intervalos de tiempo.
Fases de la materia
Propiedades macroscópicas
frente a microscópicas
†
A veces se utilizan los términos peso atómico y peso molecular para estas cantidades, pero, propiamente hablando, se comparan las masas.
‡
Un elemento es una sustancia, como el oro, hierro o cobre, que no se puede romper en sustancias
más simples mediante procedimientos químicos. Los compuestos son sustancias constituidas por elementos y se pueden descomponer en ellos; algunos ejemplos son el dióxido de carbono y el agua. La
pieza más pequeña de un elemento es un átomo; la pieza más pequeña de un compuesto es una molécula. Las moléculas están constituidas por átomos; una molécula de agua, por ejemplo, está constituida por dos átomos de hidrógeno y uno de oxígeno; su fórmula química es H2O.
a)
b)
FIGURA 13–2 Ordenamientos
atómicos en a) un sólido cristalino,
b) un líquido y c) un gas.
c)
SECCIÓN 13–1
Teoría atómica de la materia
353
colisionan unas con otras. En promedio, en un gas, la rapidez es tan alta que, cuando
dos moléculas chocan, la fuerza de atracción no es lo suficientemente fuerte como
para mantenerlas juntas y se dirigen en todas direcciones.
EJEMPLO 13–1 ESTIMACIÓN Distancia entre átomos. La densidad del
cobre es 8.9 103 kgm3, y cada átomo de cobre tiene una masa de 63 u. Estime la
distancia promedio entre átomos de cobre vecinos.
PLANTEAMIENTO Se considera un cubo de cobre de 1 m de lado. A partir de la
densidad indicada se puede calcular la masa de un cubo de 1 m3. Se divide esto por
la masa de un átomo (63 u) para obtener el número de átomos en 1 m3. Sea N el
número de átomos en una longitud de 1 m; entonces, (N)(N)(N) = N 3 es igual
al número total de átomos en 1 m3.
SOLUCIÓN La masa de 1 átomo de cobre es 63 u = 63 * 1.66 * 10 –27 kg =
1.05 * 10–25 kg. Esto significa que, en un cubo de cobre de 1 m por lado (volumen
= 1 m3), existen
8.9 * 10 3 kgm 3
= 8.5 * 10 28 átomosm 3.
1.05 * 10 –25 kgátomo
El volumen de un cubo de lado l es
V l 3, de modo que, en un borde del cubo de
28 31
1 m de largo existen A8.5 * 10 B átomos = 4.4 * 10 9. Por tanto, la distancia entre átomos vecinos es
1m
= 2.3 * 10 –10 m.
4.4 * 10 9 átomos
NOTA Hay que tener cuidado con las unidades. Aun cuando los “átomos” no son
unidad, es útil incluirlos para asegurarse de que los cálculos son correctos.
13–2 Temperatura y termómetros
FIGURA 13–3 Juntas de expansión
en un puente.
En la vida cotidiana, la temperatura es una medida que indica qué tan caliente o
frío está algo. Se dice que un horno caliente tiene una temperatura alta, mientras
que el hielo de un lago helado tiene una temperatura baja.
Muchas propiedades de la materia cambian con la temperatura. Por ejemplo, la
mayoría de los materiales se expanden cuando se calientan.† Una viga de hierro es más
larga cuando está caliente que cuando está fría. Los caminos de concreto y las aceras se expanden y contraen ligeramente en función de la temperatura, por lo que, a
intervalos regulares, se colocan espaciadores compresibles o juntas de expansión (figura 13-3). La resistencia eléctrica de la materia cambia con la temperatura (véase
el capítulo 18). Lo mismo sucede con el color radiado por los objetos, al menos a
temperaturas altas: tal vez el lector haya notado que el elemento calefactor de una
estufa eléctrica brilla con un color rojo cuando está caliente. A temperaturas más altas, los sólidos como el hierro brillan con un color anaranjado o incluso blanco. La
luz blanca de una bombilla incandescente ordinaria proviene de un alambre de
tungsteno extremadamente caliente. Las temperaturas superficiales del Sol y otras
estrellas se puede medir mediante el color predominante (más bien, mediante las
longitudes de onda) de la luz que emiten.
Los instrumentos diseñados para medir la temperatura se llaman termómetros.
Existen muchos tipos de termómetros, pero su operación siempre depende de alguna
propiedad de la materia que cambie con la temperatura. La mayoría de los termómetros comunes se apoyan en la expansión de un material con un aumento en la
temperatura. La primera idea para un termómetro (figura 13-4a), atribuida a Galileo, se basó en la expansión de un gas. Los termómetros comunes de la actualidad
consisten en un tubo de vidrio hueco lleno con mercurio o alcohol coloreado con un
tinte rojo, como sucedió con los primeros termómetros utilizados (figura 13-4b). La
figura 13-4c muestra uno de los primeros termómetros clínicos de un tipo diferente,
que también se basaba en un cambio en la densidad con la temperatura.
†
La mayoría de los materiales se expanden cuando sus temperaturas se elevan, pero no todos. Por
ejemplo, el agua, en el rango de 0°C a 4°C, se contrae con un aumento en la temperatura (véase la
sección 13-4).
354
CAPÍTULO 13
Temperatura y teoría cinética
a)
b)
c)
FIGURA 13–4 a) Modelo de la idea original de Galileo para un termómetro. b) Termómetros originales
desarrollados por la Accademia del Cimento (1657-1667) en Florencia, que están entre los primeros
conocidos. Estos sensibles y exquisitos instrumentos contenían alcohol, a veces coloreado, como muchos
termómetros de la actualidad. c) Los termómetros clínicos con forma de rana, también desarrollados por la
Accademia del Cimento, se podían amarrar a la muñeca del paciente. Las pequeñas esferas suspendidas en el
líquido tenían una densidad ligeramente diferente. El número de esferas que se hundían era una medida de
la fiebre del paciente.
En el termómetro común de líquido en vidrio, el líquido se expande más que el
vidrio cuando la temperatura aumenta, así que el nivel del líquido aumenta en el tubo (figura 13-5a). Aunque los metales también se expanden con la temperatura, el
cambio en longitud de una barra de metal, por ejemplo, generalmente es demasiado
insignificante como para medirse con precisión y relacionarse con los cambios ordinarios en la temperatura. Sin embargo, es posible fabricar un termómetro útil poniendo juntos dos metales distintos cuyas tasas de expansión sean diferentes (figura
13-5b). Cuando la temperatura aumenta, las diferentes cantidades de expansión provocan que la tira bimetálica se doble. Con frecuencia, la tira bimetálica tiene la forma de una bobina, uno de cuyos extremos está fijo, mientras que el otro está unido
a un puntero (figura 13-6). Este tipo de termómetro se usa como termómetro ordinario de aire, termómetro de horno, en interruptores automáticos de cafeteras eléctricas y en termostatos de habitaciones para determinar cuándo se debe encender o
apagar un calefactor o acondicionador de aire. Los termómetros muy precisos se basan en propiedades eléctricas (capítulo 18), como los termómetros de resistencia, los
termopares y los termistores, que por lo general cuentan con lectores digitales.
Escalas de temperatura
Con la finalidad de medir cuantitativamente la temperatura, se debe definir cierta
especie de escala numérica. La escala actual más común es la escala Celsius, a veces
llamada escala centígrada. En Estados Unidos, también es común la escala Fahrenheit.
La escala más importante en el trabajo científico es la absoluta, o Kelvin, que se estudiará más adelante en este capítulo.
Una forma de definir una escala de temperatura es asignar valores arbitrarios a
dos temperaturas fácilmente reproducibles. Para las escalas Celsius y Fahrenheit, estos dos puntos fijos se eligen como el punto de congelación† y el punto de ebullición
del agua, ambos tomados a presión atmosférica. En la escala Celsius, el punto de
Tubo
Bulbo (actúa
como depósito)
a)
b)
FIGURA 13–5 a) Termómetro de
mercurio o alcohol en vidrio; b) tira
bimetálica.
FIGURA 13–6 Fotografía de un
termómetro que utiliza una tira
bimetálica enrollada.
†
El punto de congelación de una sustancia se define como aquella temperatura en la que las fases
sólida y líquida coexisten en equilibrio, es decir, sin ningún cambio neto de líquido a sólido o viceversa. De manera experimental, esto ocurre sólo a una temperatura definida, para una presión dada.
De forma similar, el punto de ebullición se define como aquella temperatura a la que el líquido y el
gas coexisten en equilibrio. Como tales puntos varían con la presión, se debe especificar la presión
(generalmente es de 1 atm).
SECCIÓN 13–2
Temperatura y termómetros
355
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100 C
212 F
200 F
150 F
50 C
100 F
50 F
32 F
0 C
Celsius
(centígrada)
0 F
Fahrenheit
FIGURA 13–7 Comparación
de las escalas Celsius y Fahrenheit.
P R E C A U C I Ó N
Para hacer la conversión de
temperaturas hay que recordar
que 0°C 32°F, y que un cambio
de 5C° 9F°
congelación del agua se elige en 0°C (“cero grados Celsius”) y el punto de ebullición en 100°C. En la escala Fahrenheit, el punto de congelación se define como 32°F
y el punto de ebullición como 212°F. Un termómetro práctico se calibra colocándolo en ambientes cuidadosamente preparados en cada una de las dos temperaturas y
marcando la posición del líquido o del puntero. Para una escala Celsius, la distancia
entre las dos marcas se divide en cien intervalos iguales, cada uno de los cuales representa un grado entre 0°C y 100°C (de ahí el nombre de “escala centígrada”, que
significa “cien escalones”). Para una escala Fahrenheit, los dos puntos se designan
como 32°F y 212°F, y la distancia entre ellos se divide en 180 intervalos iguales. Para
las temperaturas por debajo del punto de congelación del agua y por arriba del punto
de ebullición de ésta, las escalas se pueden extender usando los mismos intervalos
igualmente espaciados. Sin embargo, los termómetros sólo se pueden usar en un limitado rango de temperaturas, pues tienen ciertas limitaciones; por ejemplo, el mercurio líquido en un termómetro de vidrio, se solidifica en cierto punto, debajo del cual
el termómetro será inútil. También resultará inútil con temperaturas donde el fluido
se vaporiza. Para temperaturas muy bajas o muy altas se requieren termómetros especializados, algunos de los cuales se mencionarán más adelante.
Cada temperatura en la escala Celsius corresponde a una temperatura particular
en la escala Fahrenheit (figura 13-7). Es fácil convertir de una a la otra si se recuerda
que 0°C corresponde a 32°F y que un rango de 100° en la escala Celsius corresponde a un rango de 180° en la escala Fahrenheit. Por consiguiente, un grado Fahrenheit
(1 F°) corresponde a 100180 = 59 de un grado Celsius (1 C°). Esto es, 1 F° = 59 C°.
(Es conveniente hacer notar que, cuando se hace referencia a una temperatura específica, se escribe “°C”, como en 20°C; pero cuando se hace referencia a un cambio
en la temperatura o a un intervalo de temperatura, se escribe “C°”, como en “2 C°”).
La conversión entre las dos escalas de temperatura se realiza mediante la ecuación
T(°C) =
5
9
C T(°F) - 32 D
o
T(°F) =
9
5
T(°C) + 32.
En lugar de memorizar estas relaciones (sería fácil confundirlas), es más sencillo recordar simplemente que 0°C 32°F y que un cambio de 5 C° un cambio de 9 F°.
EJEMPLO 13–2 Toma de temperatura. La temperatura normal del cuerpo es
de 98.6°F. ¿A cuánto equivale esto en la escala Celsius?
PLANTEAMIENTO Se sabe que 0°C 32°F y 5 C° 9 F°.
SOLUCIÓN Primero se relaciona la temperatura dada con el punto de congelamiento del agua (0°C). Esto es, 98.6°F es 98.6 32.0 66.6 F° sobre el punto de congelación del agua. Como cada F° es igual a 59 C°, esto corresponde a 66.6 * 59 = 37.0
grados Celsius sobre el punto de congelación. El punto de congelación es 0°C, así
que la temperatura es 37.0°C.
EJERCICIO A Determine la temperatura en la que coinciden ambas escalas (TC TF).
FIGURA 13–8 Termómetro de gas
de volumen constante.
h
Gas
Bulbo
356
Marca de
referencia
Mercurio
Manguera
de conexión
CAPÍTULO 13
Diferentes materiales no se expanden de la misma forma dentro de un amplio
rango de temperatura. En consecuencia, si diferentes tipos de termómetros se calibran exactamente como se describió antes, es probable que no concuerden con precisión. Por la forma como se les calibró, concordarán en 0°C y en 100°C. Pero, por
las diferentes propiedades de expansión, tal vez no concuerden precisamente en
temperaturas intermedias (recuerde que la escala del termómetro se dividió arbitrariamente en 100 partes iguales entre 0°C y 100°C). Por tanto, un termómetro de
mercurio en vidrio calibrado con cuidado puede registrar 52.0°C, mientras que un
termómetro de otro tipo, también calibrado cuidadosamente, puede indicar 52.6°C.
En virtud de esta discrepancia, es necesario elegir algún tipo de termómetro estándar de modo que estas temperaturas intermedias se puedan definir con precisión. El estándar elegido para este propósito es el termómetro de gas a volumen
constante. Como se observa en el diagrama simplificado de la figura 13-8, este termómetro consiste en un bulbo lleno con un gas diluido conectado mediante un delgado tubo a un manómetro de mercurio. El volumen del gas se mantiene constante
al elevar o bajar el tubo del lado derecho del manómetro de modo que el mercurio
Temperatura y teoría cinética
en el tubo del lado izquierdo coincida con la marca de referencia. Un aumento en la
temperatura provoca un aumento proporcional de presión en el bulbo. Por eso, el
tubo se debe elevar más alto para mantener constante el volumen del gas. La altura
del mercurio en la columna del lado derecho es entonces una medida de la temperatura. Este termómetro proporciona los mismos resultados para todos los gases en
el límite en que la presión del gas en el bulbo se reduce hacia cero. La escala resultante sirve como base para la escala estándar de temperatura.
* 13–3 El equilibrio térmico y la ley cero
de la termodinámica
Para la mayoría de la gente es familiar el hecho de que, si dos objetos a diferentes
temperaturas se colocan en contacto térmico (lo que significa que la energía térmica se puede transferir de uno a otro), los dos objetos eventualmente alcanzarán la
misma temperatura. Se dice entonces que están en equilibrio térmico. Por ejemplo,
un termómetro común se deja en la boca hasta que llega al equilibrio térmico con
dicho ambiente, y luego se lee. Se sabe que dos objetos están en equilibrio térmico
si, cuando se colocan en contacto térmico, no fluye energía de uno a otro, y sus
temperaturas no cambian. Los experimentos indican que si dos sistemas están en
equilibrio térmico con un tercer sistema, entonces los dos primeros están en equilibrio térmico entre sí. Este postulado se llama ley cero de la termodinámica. Tiene
este nombre inusual porque no fue sino hasta después de que se trabajaron la primera y la segunda leyes de la termodinámica (capítulo 15) que los científicos se
dieron cuenta de que era necesario establecer primero este postulado aparentemente obvio.
La temperatura es una propiedad de un sistema que determina si este último
estará en equilibrio térmico con otros sistemas. Cuando dos sistemas están en equilibrio térmico sus temperaturas son, por definición, iguales, y ninguna energía térmica
neta se intercambiará entre ellos. Esto es consistente con la noción cotidiana de
temperatura, pues, cuando un objeto caliente y uno frío se ponen en contacto, eventualmente llegan a la misma temperatura. La importancia de la ley cero es que permite una definición útil de temperatura.
13–4 Expansión térmica
La mayoría de las sustancias se expanden cuando se calientan y se contraen cuando
se enfrían. Sin embargo, la cantidad de expansión o contracción varía, dependiendo
del material.
FIGURA 13–9 Una delgada barra de
longitud L0 a temperatura T0 se calienta
a una nueva temperatura uniforme T y
adquiere longitud L, donde L L0 + ¢L.
Expansión lineal
L0
Los experimentos indican que el cambio en longitud ¢L de casi todos los sólidos es,
hasta una buena aproximación, directamente proporcional al cambio en temperatura
¢T, en tanto ¢T no sea demasiado grande. Como se podría esperar, el cambio en la
longitud también es proporcional a la longitud original del objeto, L0 (figura 13-9).
Esto es, para el mismo cambio de temperatura, una barra de hierro de 4 m de largo
aumentará en longitud el doble que una barra de hierro de 2 m de largo. Esta proporcionalidad se puede escribir como ecuación:
¢L = aL0 ¢T,
(13–1a)
a T0
∆L
aT
L
Expansión lineal
donde a, la constante de proporcionalidad, se llama coeficiente de expansión lineal
para el material particular y tiene unidades de (C°)1. Al hacer L L0 + ¢L, esta
ecuación se vuelve a escribir como
L = L0(1 + a ¢T),
(13–1b)
donde L0 es la longitud inicial, a temperatura T0, y L es la longitud después de calentar o enfriar a una temperatura T. Si el cambio de temperatura ¢T T T0 es
negativo, entonces ¢L L L0 también es negativo; por tanto, la longitud se acorta
conforme la temperatura disminuye.
SECCIÓN 13–4
Expansión térmica
357
TABLA 13–1 Coeficientes de expansión, cerca de 20°C
Coeficiente de expansión
lineal, A (C°)1
Material
Sólidos
Aluminio
Latón
Cobre
Oro
Hierro o acero
Plomo
Vidrio (Pyrex®)
Vidrio (ordinario)
Cuarzo
Concreto y ladrillo
Mármol
Líquidos
Gasolina
Mercurio
Alcohol etílico
Glicerina
Agua
Gases
Aire (y la mayoría de otros
gases a presión atmosférica)
25
19
17
14
12
29
3
9
0.4
L 12
1.4 – 3.5
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
10–6
10–6
10–6
10–6
10–6
10–6
10–6
10–6
10–6
10–6
10–6
Coeficiente de expansión
volumétrica B (C°)1
75
56
50
42
35
87
9
27
1
L 36
4 –10
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
10–6
10–6
10–6
10–6
10–6
10 –6
10–6
10–6
10–6
10–6
10 –6
950
180
1100
500
210
*
*
*
*
*
10–6
10–6
10–6
10–6
10–6
3400 * 10–6
En la tabla 13-1 se mencionan los valores de a para varios materiales. En realidad, a varía ligeramente con la temperatura (por lo que los termómetros hechos de
diferentes materiales no concuerdan precisamente). Sin embargo, si el rango de temperatura no es demasiado grande, la variación, por lo general, se puede ignorar.
F Í S I C A
A P L I C A D A
Expansión en estructuras
EJEMPLO 13–3 Expansión de puentes. La cama de acero de un puente de
suspensión mide 200 m de largo a 20°C. Si los extremos de temperatura a los que
puede estar expuesto son de –30°C a +40°C, ¿cuánto se contraerá y expandirá?
PLANTEAMIENTO Se supone que la cama del puente se expandirá y contraerá linealmente con la temperatura, como indica la ecuación 13-1a.
SOLUCIÓN A partir de la tabla 13-1, se encuentra que a 12 106(C°)1 para
el acero. El aumento en longitud cuando esté a 40°C será
¢L = aL0 ¢T = A12 * 10–6C°B(200 m)(40°C - 20°C) = 4.8 * 10–2 m,
o 4.8 cm. Cuando la temperatura disminuya a 30°C, ¢T 50 C°. Entonces,
¢L = A12 * 10–6C°B(200 m)( –50 C°) = –12.0 * 10–2 m,
o una disminución en longitud de 12 cm. El rango total que deben acomodar las
juntas de expansión es 12 cm + 4.8 cm L 17 cm.
FIGURA 13–10 Ejemplo 13-4.
a)
358
CAPÍTULO 13
b)
EJEMPLO CONCEPTUAL 13–4 ¿Los hoyos se expanden o se contraen?
Si en el horno se calienta un delgado anillo circular (figura 13-10a), ¿el hoyo del
anillo se vuelve más grande o más pequeño?
RESPUESTA Se podría suponer que el metal se expande en el hoyo, lo que hace
que éste sea más pequeño. Pero no es así. Imagine que el anillo es sólido, como
una moneda (figura 13-10b). Con una pluma, dibuje un círculo sobre él, como se
muestra. Cuando el metal se expande, el material dentro del círculo se expandirá
junto con el resto del metal; de modo que el círculo se expande. Al cortar el metal
donde está el círculo queda claro que el hoyo aumenta de diámetro.
Temperatura y teoría cinética
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EJEMPLO 13–5 Anillo en una barra. Un anillo de hierro debe ajustar perfectamente en una barra cilíndrica de hierro. A 20°C, el diámetro de la barra es de
6.445 cm y el diámetro interior del anillo es de 6.420 cm. Para deslizarse sobre la
barra, el anillo debe ser ligeramente más grande que el diámetro de la barra por
0.008 cm. ¿Qué temperatura debe tener el anillo si su hoyo debe ser lo suficientemente grande como para deslizarse sobre la barra?
PLANTEAMIENTO El hoyo del anillo se debe aumentar desde un diámetro de
6.420 cm a 6.445 cm 0.008 cm 6.453 cm. El anillo se debe calentar pues el diámetro del hoyo aumentará linealmente con la temperatura (como en el ejemplo 13-4).
SOLUCIÓN Se resuelve para ¢T en la ecuación 13-1a y se encuentra
6.453 cm - 6.420 cm
¢L
=
= 430 C°.
aL0
A12 * 10–6C°B(6.420 cm)
Así que se debe elevar al menos a T = (20°C + 430 C°) = 450°C.
NOTA Al resolver problemas, no hay que olvidar el último paso: sumar la temperatura inicial (en este caso, 20°C).
¢T =
EJEMPLO CONCEPTUAL 13–6 Apertura de una apretada tapa de frasco.
Cuando la tapa de un frasco de vidrio está apretada, mantener la tapa bajo agua
caliente durante poco tiempo generalmente facilitará su apertura. ¿Por qué?
F Í S I C A
A P L I C A D A
Apertura de una tapa apretada
RESPUESTA El agua caliente golpea la tapa más directamente que al vidrio y por
tanto la primera se expande más rápido. Pero, incluso si no lo hace, los metales
generalmente se expanden más que el vidrio con el mismo cambio de temperatura
(a es más grande; véase tabla 13-1).
Expansión volumétrica
El cambio en volumen de un material que experimenta un cambio de temperatura
está dado por una relación similar a la ecuación 13-1a, a saber
¢V = bV0 ¢T,
(13–2)
donde ¢T es el cambio en temperatura, V0 es el volumen original, ¢V es el cambio en
volumen y b es el coeficiente de expansión volumétrica. Las unidades de b son (C°)1.
En la tabla 13-1 se proporcionan los valores de b para varios materiales. Hay
que hacer notar que, para sólidos, b normalmente es igual a aproximadamente 3a
(el problema 19 ayudará a saber por qué). Para sólidos que no son isotrópicos (es
decir, que no tienen las mismas propiedades en todas direcciones), la relación b L 3a
no es válida. (La expansión lineal no tiene significado para líquidos y gases ya que
éstos no tienen formas fijas).
EJEMPLO 13–7 Tanque de gasolina al sol. El tanque de gasolina de un automóvil, hecho de acero y con capacidad de 70 L, está lleno hasta el tope con gasolina
a 20°C. El automóvil se encuentra bajo los rayos del sol y el tanque alcanza una temperatura de 40°C (104°F). ¿Cuánta gasolina se espera que se desborde del tanque?
Expansión volumétrica
b L 3a
F Í S I C A
A P L I C A D A
Desbordamiento de un tanque
de gasolina
PLANTEAMIENTO Tanto la gasolina como el tanque se expanden conforme la
temperatura aumenta, y se supone que lo hacen linealmente, como describe la ecuación 13-2. El volumen de la gasolina desbordada es igual al aumento de volumen
de la gasolina menos el aumento en volumen del tanque.
SOLUCIÓN La gasolina se expande
¢V = bV0 ¢T = A950 * 10–6 C° - 1 B(70 L)(40°C - 20°C) = 1.3 L.
El tanque también se expande. Puede considerarse como un cascarón de acero que
experimenta expansión volumétrica Ab L 3a = 36 * 10 –6 C° - 1 B. Si el tanque fuese sólido, la capa superficial (el cascarón) se expandiría exactamente lo mismo. Así,
el tanque aumenta en volumen
¢V = A36 * 10–6 C° - 1 B(70 L)(40°C - 20°C) = 0.050 L,
de modo que la expansión del tanque tiene poco efecto. Más de un litro de gasolina se podría derramar.
NOTA ¿Quiere ahorrar algunas monedas? Llene el tanque de gasolina cuando esté frío y la gasolina sea más densa: más moléculas por el mismo precio. Pero no llene el tanque por completo.
SECCIÓN 13–4
Expansión térmica
359
Las ecuaciones 13-1 y 13-2 son precisas sólo si ¢L (o ¢V) es pequeño en comparación con L0 (o V0). Esto es de particular interés en el caso de los líquidos y todavía más en el de los gases, por los grandes valores de b. Más aún, b misma varía
sustancialmente con la temperatura para los gases. En consecuencia, se necesita una
mejor descripción de los cambios de volumen para los gases, como se analizará al
inicio de la sección 13-6.
Comportamiento anómalo del agua debajo de los 4°C
El agua tiene un comportamiento
insólito: se contrae cuando se calienta
de 0°C a 4°C.
F Í S I C A
A P L I C A D A
La vida bajo el hielo
La mayoría de las sustancias se expanden más o menos uniformemente con un aumento en temperatura, en tanto no ocurran cambios de fase. Sin embargo, el agua
no sigue el patrón habitual. Si se calienta el agua a 0°C, en realidad disminuye en volumen hasta que alcanza los 4°C. Arriba de los 4°C, el agua se comporta de manera
normal y expande su volumen conforme aumenta la temperatura (figura 13-11). Por
tanto, el agua tiene su más grande densidad a 4°C. Este comportamiento anómalo
del agua es de gran importancia para la supervivencia de las especies acuáticas durante los inviernos fríos. Cuando el agua en un lago o río está por arriba de 4°C y
comienza a enfriarse por contacto con el aire frío, el agua en la superficie se hunde
a causa de su mayor densidad. Ésta es remplazada por agua más caliente que viene
de abajo. Esta mezcla continúa hasta que la temperatura alcanza los 4°C. Cuando el
agua superficial se enfría todavía más, permanece en la superficie porque es menos
densa que el agua de 4°C abajo de ella. Entonces el agua se enfría primero en la superficie, y el hielo permanece en la superficie porque es menos denso que el agua
(gravedad específica 0.917). El agua en el fondo permanece en estado líquido a
menos que haga tanto frío que todo el cuerpo de agua se congele. Si el agua fuese
como la mayoría de las sustancias y se volviera más densa conforme se enfriara, el
agua en el fondo de un lago se enfriaría primero. Los lagos se congelarían más fácilmente pues la circulación llevaría el agua más caliente a la superficie para ser enfriada eficientemente. El congelamiento completo de un lago provocaría severos
daños a las plantas y a la vida animal en su interior. Por el comportamiento insólito
del agua debajo de los 4°C, es raro que algún gran cuerpo de agua se congele completamente, y a esto ayuda la capa de hielo en la superficie, que actúa como aislador
para reducir el flujo de calor desde el agua hacia el aire frío sobre ella. Sin esta peculiar pero maravillosa propiedad del agua, la vida en este planeta como se conoce
actualmente no sería posible.
No sólo el agua se expande cuando se enfría de 4°C a 0°C; se expande incluso
todavía más cuando se congela como hielo. Es por esto por lo que los cubos de hielo flotan en el agua y las tuberías se rompen cuando se congela el agua dentro de
ellas.
FIGURA 13–11 Comportamiento del agua como función de la temperatura cerca de 4°C.
a) Volumen de 1.00000 gramos de agua como función de la temperatura. b) Densidad contra
temperatura. [Note los rompimientos en cada eje.]
b)
a)
0°
5°
10°
0° 2° 4° 6°
100°
1.04343
1.04343
1.00013
1.00000
1.00013
1.00000
0°
360
CAPÍTULO 13
T(°C) 100°
1.00000
0.9999
0.9999
0.9998
0.9998
r (g/cm3)
Volumen (cm3)
de 1.00000 g de agua
1.0000
5°
10°
100°
Temperatura (°C)
Temperatura y teoría cinética
0.96
0.96
0° 2° 4° 6°
100°
Temperatura (°C)
* 13–5 Tensiones térmicas
En muchas situaciones, como en los edificios y caminos, los extremos de una viga o
losa de material están fijos rígidamente, lo que limita de forma considerable la expansión o contracción. Si la temperatura cambiara, ocurrirían grandes tensiones
compresivas y de tracción, llamadas tensiones térmicas. La magnitud de tales tensiones se calcula mediante el concepto de módulos elásticos desarrollado en el capítulo 9. Para calcular la tensión interna, se puede considerar que este proceso ocurre en
dos pasos. La viga intenta expandirse (o contraerse) una cantidad ¢L dada por la
ecuación 13-1; en segundo lugar, el sólido en contacto con la viga ejerce una fuerza
para comprimirla (o expandirla) y mantenerla en su longitud original. La fuerza F
que se requiere está dada por la ecuación 9-4:
1 F
L0 ,
EA
donde E es el módulo de Young para el material. Para calcular la tensión interna, FA,
¢L en la ecuación 13-1a se hace igual a ¢L en la ecuación anterior y se encuentra
1 F
aL0 ¢T =
L0 .
EA
Por tanto, la tensión
F
= aE ¢T.
A
¢L =
EJEMPLO 13–8 Tensión en el concreto en un día caliente. Se va a construir una autopista con bloques de concreto de 10 m de largo colocados extremo
con extremo sin espacio entre ellos que permita su expansión. Si los bloques se colocan a una temperatura de 10°C, ¿qué tensión compresiva ocurrirá cuando la temperatura alcance los 40°C? El área de contacto entre cada bloque es de 0.20 m2.
¿Habrá fractura?
F Í S I C A
A P L I C A D A
Pandeo de una autopista
PLANTEAMIENTO Se usa la expresión para la tensión FA que se acaba de deducir, y se encuentra el valor de E a partir de la tabla 9-1. Para ver si ocurre la fractura,
se compara esta tensión con la resistencia a la rotura del concreto en la tabla 9-2.
SOLUCIÓN
F
= a E ¢T = A12 * 10–6C°BA20 * 109 Nm2 B(30 C°) = 7.2 * 106 Nm2.
A
Esta tensión no está lejos de la resistencia a la rotura del concreto bajo compresión (tabla 9-2) y la supera para tracción y corte. Si el concreto no está perfectamente alineado, parte de la fuerza actuará en corte, y es probable la fractura. Es
por esto por lo que en las aceras, las autopistas y los puentes de concreto se usan
espaciadores suaves o juntas de expansión (figura 13-3).
13–6 Las leyes de los gases y la temperatura absoluta
La ecuación 13-2 no es muy útil para describir la expansión de un gas, en parte porque la expansión puede ser muy grande, y en parte porque los gases generalmente
se expanden para llenar cualquier contenedor en el que se encuentran. De hecho, la
ecuación 13-2 es significativa sólo si la presión se mantiene constante. El volumen de
un gas depende tanto de la presión como de la temperatura. Por eso, vale la pena
determinar una relación entre el volumen, la presión, la temperatura y la masa de
un gas. A tal relación se le llama ecuación de estado. (Por estado se entiende la condición física del sistema).
Si cambia el estado de un sistema, siempre se esperará hasta que la presión y la
temperatura hayan alcanzado los mismos valores en todo el sistema. Así que sólo se
consideran estados de equilibrio de un sistema: cuando las variables que lo describen (como temperatura y presión) son las mismas a través de todo el sistema y no
cambian con el tiempo. También se nota que los resultados de esta sección son precisos sólo para gases que no son demasiado densos (en los que la presión no es demasiado alta, del orden de una atmósfera aproximadamente) y que no están cerca
del punto de licuefacción (ebullición).
SECCIÓN 13–6
Las leyes de los gases y la temperatura absoluta
361
www.elsolucionario.org
Para una cantidad determinada de gas, se encuentra experimentalmente que, a
una buena aproximación, el volumen de un gas es inversamente proporcional a la
presión absoluta que se le aplica cuando la temperatura se mantiene constante. Esto es
V r
Ley de Boyle
P
1,
P
[T constante]
donde P es la presión absoluta (no “presión manométrica”; véase sección 10-4). Por
ejemplo, si la presión en un gas se duplica, el volumen se reduce a la mitad de su volumen original. Esta relación se conoce como ley de Boyle, en honor de Robert Boyle
(1627-1691), quien la estableció por primera vez sobre la base de sus propios experimentos. En la figura 13-12 se muestra una gráfica de P contra V para una temperatura fija. La ley de Boyle también se escribe
V
FIGURA 13–12 Presión contra
volumen de una cantidad fija de gas a
una temperatura constante, que
muestra la relación inversa como la
proporciona la ley de Boyle: conforme
la presión disminuye, el volumen
aumenta.
Cero absoluto
PV = constante.
[T constante]
Esto es, a temperatura constante, si se permite que la presión o el volumen del gas
varíe, la otra variable también cambia de modo que el producto PV permanece
constante.
La temperatura también afecta al volumen de un gas, pero una relación cuantitativa entre V y T se encontró después de un siglo del trabajo de Boyle. El francés
Jacques Charles (1746-1823) descubrió que, cuando la presión no es demasiado elevada y se mantiene constante, el volumen de un gas aumenta con la temperatura a
una tasa casi constante, como en la figura 13-13a. Sin embargo, todos los gases se licuan a bajas temperaturas (por ejemplo, el oxígeno se licua a 183°C), así que la
gráfica no se puede extender por abajo del punto de licuefacción. No obstante,
la gráfica es en esencia una línea recta y, si se le proyecta a bajas temperaturas como se hizo con la línea punteada, cruza el eje aproximadamente en 273°C.
Tal gráfica se puede dibujar para cualquier gas, y la línea recta siempre se proyecta de vuelta hacia 273°C a volumen cero. Esto parece implicar que, si un gas
pudiese enfriarse a 273°C, tendría volumen cero, y a temperaturas más bajas tendría volumen negativo, lo que no tiene sentido. Se podría argumentar que 273°C
es la temperatura más baja posible; de hecho, muchos otros experimentos recientes
indican que esto es así. A esta temperatura se le llama cero absoluto de temperatura. Se ha determinado que su valor es 273.15°C.
FIGURA 13–13 Volumen de una cantidad fija de gas como función de a) temperatura Celsius y
−273°C
0°C
100°C
a) Temperatura (°C)
Escala Kelvin
Conversión entre escalas Kelvin
(absoluta) y Celsius
362
CAPÍTULO 13
Volumen
Volumen
b) temperatura Kelvin, cuando la presión se mantiene constante.
200°C
0K
100 K
200 K
300 K
400 K
b) Temperatura (kelvins, o K)
500 K
El cero absoluto forma la base de una escala de temperatura conocida como escala absoluta o escala Kelvin y se utiliza extensamente en el trabajo científico. En
esta escala la temperatura se especifica como grados Kelvin o, de preferencia, simplemente como kelvins (K), sin el signo de grado. Los intervalos son los mismos que
para la escala Celsius, pero el cero en esta escala (0 K) se elige como el cero absoluto. De esta forma, el punto de congelación del agua (0°C) es 273.15 K, y su punto de
ebullición es 373.15 K. De esta forma, cualquier temperatura en la escala Celsius se
puede convertir a kelvins sumándole 273.15:
T(K) = T(°C) + 273.15.
Ahora observe la figura 13-13b, donde la gráfica del volumen de un gas frente a
temperatura absoluta es una línea recta que pasa por el origen. Por tanto, a una buena
Temperatura y teoría cinética
aproximación, el volumen de una cantidad dada de gas es directamente proporcional
a la temperatura absoluta cuando la presión se mantiene constante. A esto se le conoce como ley de Charles, y se escribe
V r T.
[P constante]
Ley de Charles
Una tercera ley de los gases, conocida como ley de Gay-Lussac, en honor de Joseph Gay-Lussac (1778-1850), afirma que a volumen constante, la presión absoluta
de un gas es directamente proporcional a la temperatura absoluta:
P r T.
[V constante]
Ley de Gay Lussac
Un ejemplo familiar es que un frasco cerrado o una lata de aerosol que se lanzan al
fuego explotarán a causa del aumento en la presión del gas interior, resultado del
aumento de temperatura.
Las leyes de Boyle, Charles y Gay-Lussac en realidad no son leyes en el sentido
en que se usa este término en la actualidad, es decir, en el sentido de precisión, profundidad y validez de amplio rango. En realidad se trata de aproximaciones que son
precisas sólo para gases reales en tanto la presión y la densidad del gas no sean demasiado altas y el gas no esté demasiado cerca de la licuefacción (condensación).
Sin embargo, el término ley que se aplica a estas tres relaciones se ha vuelto tradicional, así que el texto se apegará a dicho uso.
EJEMPLO CONCEPTUAL 13–9 Nunca hay que lanzar un frasco de vidrio
cerrado a una fogata. ¿Qué puede ocurrir si se lanza al fuego un frasco de vidrio vacío con la tapa apretada, y por qué?
RESPUESTA El interior del frasco no está vacío, sino lleno de aire. Conforme el
fuego calienta el aire interior, aumenta su temperatura. El volumen del frasco de vidrio cambia sólo ligeramente por el calentamiento. De acuerdo con la ley de GayLussac, la presión P del aire dentro del frasco puede aumentar drásticamente, lo
suficiente como para provocar que el frasco explote y lance pedazos de vidrio por
doquier.
13–7 La ley del gas ideal
Las leyes de los gases de Boyle, Charles y Gay-Lussac se obtuvieron mediante una
técnica que es muy útil en ciencia: a saber, mantener una o más variables constantes
para ver con claridad los efectos del cambio en una de ellas sobre la otra. Ahora se
pueden combinar estas leyes en una sola relación más general entre la presión absoluta, el volumen y la temperatura absoluta de una cantidad fija de gas:
PV r T.
Esta relación indica cómo variará cualquiera de las cantidades P, V o T cuando varíen las otras dos. Esta relación se reduce a la de Boyle, a la de Charles o a la de
Gay-Lussac cuando la temperatura, o la presión, o el volumen, respectivamente, se
mantiene constante.
Por último, se debe incorporar el efecto de la cantidad de gas presente. Quienquiera que haya inflado un globo sabe que cuanto más aire se introduzca en el globo,
más grande será su tamaño (figura 13-14). De hecho, experimentos cuidadosos demuestran que, a temperatura y presión constantes, el volumen V de un gas encerrado
aumenta en proporción directa con la masa m del gas presente. Por tanto, se escribe
PV r mT.
Esta proporción se puede convertir en una ecuación si se incluye una constante de
proporcionalidad. Los experimentos demuestran que esta constante tiene un valor
diferente para gases distintos. Sin embargo, la constante de proporcionalidad resulta
ser la misma para todos los gases si, en lugar de la masa m, se usa el número de moles.
FIGURA 13–14 Inflar un globo
significa introducir más aire (más
moléculas de aire) en el globo, con lo
que aumenta su volumen. La presión es
casi constante (atmosférica), excepto
por el pequeño efecto de la
elasticidad del globo.
SECCIÓN 13–7
La ley del gas ideal
363
Mol (unidad para cantidad
de sustancia)
Un mol se define como la cantidad de sustancia que contiene tantos átomos o
moléculas como hay precisamente en 12 gramos de carbono 12 (cuya masa atómica
es exactamente 12 u). Una definición más simple pero equivalente es: 1 mol es aquel
número de gramos de una sustancia numéricamente igual a la masa molecular (sección 13-1) de la sustancia. Por ejemplo, la masa molecular del gas hidrógeno (H2) es
2.0 u (pues cada molécula contiene dos átomos de hidrógeno y cada átomo tiene
una masa atómica de 1.0 u). De este modo, 1 mol de H2 tiene una masa de 2.0 g. De
manera similar, 1 mol de gas neón tiene una masa de 20 g, y 1 mol de CO2 tiene una
masa de C12 + (2 * 16)D = 44 g pues el oxígeno tiene masa atómica de 16 (consulte la tabla periódica en la cubierta posterior). El mol es la unidad oficial de cantidad de sustancia en el sistema SI. En general, el número de moles, n, en una
muestra dada de una sustancia pura es igual a la masa de la muestra en gramos dividida por la masa molecular especificada como gramos por mol:
n (mol) =
masa (gramos)
.
masa molecular (gmol)
Por ejemplo, el número de moles en 132 g de CO2 (masa molecular 44 u) es
n =
132 g
= 3.0 mol.
44 gmol
Ahora la proporción discutida anteriormente se puede escribir como una ecuación:
PV = nRT,
LEY DE GAS IDEAL
(13–3)
donde n representa el número de moles y R es la constante de proporcionalidad. R
se llama constante universal de los gases porque experimentalmente se encontró
que su valor es el mismo para todos los gases. El valor de R, en varios conjuntos de
unidades (sólo el primero es la adecuada unidad SI), es
R = 8.314 J(mol K)
= 0.0821 (Latm)(mol K)
= 1.99 calorías(mol K).†
Constante universal
de los gases
(en varias unidades)
P R E C A U C I Ó N
Siempre proporcione T en kelvins
y P como presión absoluta,
no manométrica.
[unidades SI]
La ecuación 13-3 se llama ley de gas ideal, o ecuación de estado para un gas ideal. El
término “ideal” se usa porque los gases reales no siguen precisamente la ecuación
13-3, en particular a alta presión (y densidad) o cuando están cerca del punto de licuefacción ( punto de ebullición). Sin embargo, a presiones menores que una atmósfera, y cuando T no está cerca del punto de licuefacción del gas, la ecuación 13-3
es bastante precisa y útil para gases reales.
Siempre que utilice la ley del gas ideal, recuerde que las temperaturas se deben
proporcionar en kelvins (K) y que la presión P siempre debe ser presión absoluta,
no presión manométrica (sección 10-4).
13–8 Resolución de problemas con la ley del gas ideal
La ley del gas ideal es una herramienta extraordinariamente útil, y a continuación se
considerarán algunos ejemplos. Con frecuencia se hará referencia a “condiciones estándar” o “presión y temperatura estándar” (PTE), lo que significa
PTE
T = 273 K (0°C) y P = 1.00 atm = 1.013 * 105 Nm2 = 101.3 kPa.
273 K, 1 atm
EJEMPLO 13–10 Volumen de un mol a PTE. Determine el volumen de 1.00
mol de cualquier gas, si se supone que se comporta como un gas ideal, a PTE.
PLANTEAMIENTO Se emplea la ley del gas ideal y se resuelve para V.
SOLUCIÓN Se resuelve para V en la ecuación 13-3:
V =
Como 1 litro es 1000 cm3 1 103 m3, 1 mol de cualquier gas tiene V 22.4 L
a PTE.
1 mol de gas a PTE tiene
V 22.4 L
†
364
CAPÍTULO 13
(1.00 mol)(8.314 Jmol K)(273 K)
nRT
= 22.4 * 10–3 m3.
=
P
A1.013 * 105 Nm2 B
Las calorías se definirán en la sección 14-1; a veces resulta útil emplear R en términos de calorías.
Temperatura y teoría cinética
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Vale la pena recordar el valor de 22.4 L para el volumen de 1 mol de un gas ideal a
PTE, porque en ocasiones hace más simples los cálculos.
EJERCICIO B ¿Cuál es el volumen de 1.00 mol de gas ideal a 20°C?
EJEMPLO 13–11 Globo de helio. Un globo de helio para fiesta, que se supone es una esfera perfecta, tiene una radio de 18.0 cm. A temperatura ambiente
(20°C), su presión interna es de 1.05 atm. Determine el número de moles de helio
en el globo y la masa de helio necesaria para inflar el globo a estos valores.
PLANTEAMIENTO Se puede usar la ley de gas ideal para encontrar n, pues se
proporcionan P y T, y V se puede obtener a partir del radio indicado.
SOLUCIÓN Se obtiene el volumen V a partir de la fórmula para una esfera:
V = 43 pr3
= 43 p (0.180 m)3 = 0.0244 m3.
La presión está dada como 1.05 atm = 1.064 * 105 Nm2. La temperatura se debe expresar en kelvins, así que se cambia 20°C a (20 + 273)K 293 K. Por último,
el valor de R se elige como R 8.314 J(mol¢K) pues se utilizan unidades SI. En
n =
A1.064 * 105 Nm2 BA0.0244 m3 B
PV
=
= 1.066 mol.
RT
(8.314 Jmol K)(293 K)
La masa del helio (masa atómica 4.00 gmol, como está dado en el apéndice B
o en la tabla periódica) se obtiene a partir de
masa n masa molecular (1.066 mol)(4.00 gmol) 4.26 g.
EJEMPLO 13–12 ESTIMACIÓN Masa de aire en una habitación. Estime
la masa del aire en una habitación cuyas dimensiones son 5 m 3 m 2.5 m de
alto, a PTE.
PLANTEAMIENTO Primero se determina el número de moles n con el volumen
dado. Luego se multiplica por la masa de una mol para obtener la masa total.
SOLUCIÓN El ejemplo 13-10 dice que 1 mol a 0°C tiene un volumen de 22.4 L. El
volumen de la habitación es 5 m 3 m 2.5 m, de modo que
n =
(5 m)(3 m)(2.5 m)
22.4 * 10–3 m3
F Í S I C A
A P L I C A D A
Masa (y peso) del
aire en una habitación
L 1700 mol.
El aire es una mezcla de aproximadamente 20% oxígeno (O2) y 80% nitrógeno
(N2). Las masas moleculares son 2 16 u 32 u y 2 14 u 28 u, respectivamente, para un promedio de 29 u. Por tanto, 1 mol de aire tiene una masa aproximada de 29 g 0.029 kg, de modo que la habitación tiene una masa de aire
m L (1700 mol)(0.029 kgmol) L 50 kg.
NOTA ¡Esto es aproximadamente 100 lbs de aire!
EJERCICIO C En una habitación a 20°C, ¿habrá más o menos masa de aire que a 0°C?
Con frecuencia, el volumen se especifica en litros y la presión en atmósferas. En
lugar de convertir estas a unidades SI, se puede usar el valor de R proporcionado en
la sección 13-7 como 0.0821 LatmmolK.
En muchas situaciones no es necesario usar el valor de R en absoluto. Por ejemplo, muchos problemas se relacionan con un cambio en la presión, la temperatura y
el volumen de una cantidad fija de gas. En este caso, PVT nR constante, dado
que n y R permanecen constantes. Si ahora P1, V1 y T1 representan las variables
SECCIÓN 13–8
Resolución de problemas con la ley del gas ideal
365
➥
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
La ley del gas ideal se emplea como
proporción
F Í S I C A
apropiadas inicialmente, y P2, V2 y T2 representan las variables después de que se
realiza un cambio, entonces es posible escribir
P1 V1
P2 V2
.
=
T1
T2
Si se conocen cualesquiera cinco de las cantidades en esta ecuación, se puede resolver para la sexta. O, si una de las tres variables es constante (V1 = V2 , o P1 = P2 ,
o T1 = T2) entonces se puede usar esta ecuación para resolver una incógnita cuando se proporcionan las otras tres cantidades.
EJEMPLO 13–13 Verificación de las llantas frías. Una llanta de automóvil
(figura 13-15) está llena a una presión manométrica de 200 kPa a 10°C. Después
de un recorrido de 100 km, la temperatura dentro de la llanta aumenta a 40°C.
¿Cuál es ahora la presión dentro de ella?
PLANTEAMIENTO No se conoce el número de moles de gas, o el volumen de la
llanta, pero se supone que son constantes. Se usa la forma de proporción de la ley
del gas ideal.
SOLUCIÓN Dado que V1 V2, entonces
A P L I C A D A
Presión en una llanta caliente
P2 .
P1
=
T1
T2
Esto es, incidentalmente, un enunciado de la ley de Gay-Lussac. Puesto que la presión dada es la presión manométrica (sección 10-4), se debe sumar la presión atmosférica ( 101 kPa) para obtener la presión absoluta P1 = (200 kPa + 101 kPa) =
301 kPa. Las temperaturas se convierten a kelvins sumando 273 y se resuelve para P2:
T2
313 K
P2 = P1 a b = A3.01 * 105 PaB a
b = 333 kPa.
T1
283 K
Al restar la presión atmosférica, se encuentra que la presión manométrica resultante es de 232 kPa, que representa un 16% de incremento. Este ejemplo demuestra por qué los manuales de los automóviles sugieren verificar la presión de las
llantas cuando éstas están frías.
NOTA Cuando se utilice la ley del gas ideal, las temperaturas se deben proporcionar en kelvins (K) y la presión P siempre debe ser presión absoluta, no presión
manométrica.
FIGURA 13–15 Ejemplo 13-13.
➥
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
No use presión manométrica o C°
en la ley del gas ideal.
13–9 La ley de gas ideal en términos de moléculas:
número de Avogadro
Número de Avogadro
El hecho de que la constante de gas, R, tenga el mismo valor para todos los gases es
un reflejo notable de la simplicidad en la naturaleza. Fue el científico italiano Amedeo Avogadro (1776-1856) quien reconoció esto por primera ocasión, aunque de
una forma ligeramente diferente. Avogadro afirmó que volúmenes iguales de gas a la
misma presión y temperatura contienen igual número de moléculas. A veces este
enunciado se denomina hipótesis de Avogadro. Esto es consistente con que R sea la
misma para todos los gases, lo que se puede ver del modo siguiente. Antes que todo,
a partir de la ecuación 13-3 se sabe que, para el mismo número de moles, n, y la misma presión y temperatura, el volumen será el mismo para todos los gases en tanto R
sea la misma. En segundo lugar, el número de moléculas en 1 mol es el mismo para
todos los gases.† Así, la hipótesis de Avogadro es equivalente a que R sea la misma
para todos los gases.
El número de moléculas en un mol de cualquier sustancia pura se conoce como
número de Avogadro, NA. Aunque Avogadro concibió la noción, en realidad no fue
capaz de determinar el valor de NA. De hecho, no se realizaron mediciones precisas
sino hasta el siglo XX.
†
Por ejemplo, la masa molecular del gas H2 es de 2.0 unidades de masa atómica (u), mientras que la
del gas O2 es de 32.0 u. Por tanto, 1 mol de H2 tiene una masa de 0.0020 kg y 1 mol de gas O2, 0.0320
kg. El número de moléculas en un mol es igual a la masa total M de un mol dividido por la masa m
de una molécula; en tanto que esta razón (Mm) es la misma para todos los gases, por definición de
mol, un mol de cualquier gas debe contener el mismo número de moléculas.
366
CAPÍTULO 13
Temperatura y teoría cinética
Para medir NA se han implementado varios métodos, y el valor aceptado en la
actualidad es
NA = 6.02 * 1023 .
[moléculasmol]]
Número de Avogadro
Puesto que el número total de moléculas, N, en un gas es igual al número por mol
multiplicado por el número de moles (N nNA), la ley del gas ideal (ecuación 13-3)
se puede escribir en términos del número de moles presentes:
PV = nRT =
N
RT,
NA
o
PV = NkT,
(13–4)
LEY DEL GAS IDEAL
(en términos de moléculas)
donde k RNA se llama constante de Boltzmann y tiene el valor
k =
8.314 JmolK
R
=
= 1.38 * 10–23 JK.
NA
6.02 * 1023mol
Constante de Boltzmann
EJEMPLO 13–14 Masa del átomo de hidrógeno. Utilice el número de Avogadro para determinar la masa de un átomo de hidrógeno.
PLANTEAMIENTO La masa de un átomo es igual a la masa de 1 mol dividida por
el número de átomos en 1 mol, NA.
SOLUCIÓN Un mol de átomos de hidrógeno (masa atómica 1.008 u, sección
13-1 o apéndice B) tiene una masa de 1.008 103 kg y contiene 6.02 1023 átomos. Así, un átomo tiene una masa
m =
1.008 * 10–3 kg
6.02 * 1023
= 1.67 * 10–27 kg.
NOTA Históricamente, el proceso inverso fue un método que se utilizó para obtener NA; es decir, se obtuvo un valor preciso de NA a partir de una medición precisa de la masa del átomo de hidrógeno.
EJEMPLO 13–15 ESTIMACIÓN ¿Cuántas moléculas hay en una inhalación? Estime cuántas moléculas se respiran cuando se inhala 1.0 L de aire.
F Í S I C A
A P L I C A D A
Moléculas en una inhalación
PLANTEAMIENTO Se determina qué fracción de una mol es 1.0 L, utilizando el
resultado del ejemplo 13-10 de que 1 mol tiene un volumen de 22.4 L a PTE, y luego se multiplica esto por NA para obtener el número de moléculas en este número
de moles.
SOLUCIÓN Un mol corresponde a 22.4 L a PTE, así que 1.0 L de aire es (1.0
L)(22.4 Lmol) 0.045 mol. Entonces 1.0 L de aire contiene
(0.045 mol)(6.02 1023 moléculasmol) L 3 1022 moléculas.
13–10 La teoría cinética y la interpretación molecular
de la temperatura
El análisis de la materia en términos de átomos en continuo movimiento aleatorio
se llama teoría cinética. Ahora se investigarán las propiedades de un gas desde el
punto de vista de la teoría cinética, que se basa en las leyes de la mecánica clásica.
Pero aplicar las leyes de Newton a cada una del gran número de moléculas en un
gas ( 1025m3 a PTE) está más allá de la capacidad de cualquier computadora actual. En lugar de ello se emplea un enfoque estadístico y se determinan los promedios de ciertas cantidades, y se considera que tales promedios corresponden a
variables macroscópicas. Desde luego, se demandará que la descripción microscópica
corresponda a las propiedades macroscópicas de los gases; de otro modo, la teoría
sería de poco valor. Y algo más importante todavía: se llegará a una importante relación entre la energía cinética promedio de las moléculas en un gas y la temperatura absoluta.
SECCIÓN 13–10
La teoría cinética y la interpretación molecular de la temperatura
367
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Se hacen las siguientes suposiciones en torno a las moléculas en un gas. Aunque
tales suposiciones reflejan una visión simple de un gas, los resultados que predicen
corresponden a las características esenciales de los gases reales que están a bajas
presiones y lejos del punto de licuefacción. En tales condiciones, los gases reales siguen la ley del gas ideal bastante cerca y, de hecho, el gas que a continuación se describe se considera como gas ideal. Las suposiciones, que representan los postulados
básicos de la teoría cinética, son:
Postulados de la
teoría cinética
1. Existe un gran número de moléculas, N, cada una con masa m, que se mueven
en direcciones aleatorias con diferente rapidez. Esta suposición está en concordancia con la observación de que un gas llena su contenedor y, en el caso del aire
en la Tierra, sólo la fuerza de gravedad evita que escape.
2. Las moléculas están, en promedio, bastante separadas unas de otras. Esto es, su
separación promedio es mucho mayor que el diámetro de cada molécula.
3. Se supone que las moléculas obedecen las leyes de la mecánica clásica y se supone que interactúan una con otra sólo cuando chocan. Aunque las moléculas
ejercen mutuamente fuerzas atractivas débiles entre colisiones, la energía potencial asociada con esas fuerzas es pequeña en comparación con la energía cinética, y por el momento se le ignora.
4. Las colisiones con otra molécula o la pared del contenedor se suponen perfectamente elásticas, como las colisiones de las bolas de billar perfectamente elásticas (capítulo 7). Se supone que las colisiones son de muy corta duración
comparadas con el tiempo entre colisiones. Entonces es posible ignorar la energía potencial asociada con las colisiones en comparación con la energía cinética
entre colisiones.
Explicación de la ley de Boyle
FIGURA 13–16 a) Moléculas de un
gas que se mueven en torno a un
contenedor rectangular. b) Las flechas
indican la cantidad de movimiento de
una molécula conforme rebota en la
pared.
y
l
A
x
z
a)
y
Inmediatamente se nota cómo esta visión cinética de un gas puede explicar la
ley de Boyle (sección 13-6). La presión ejercida sobre la pared de un contenedor de
gas se debe al bombardeo constante de las moléculas. Si el volumen se reduce, por
ejemplo, a la mitad, las moléculas estarán más cerca unas de otras y más del doble
golpeará una área dada de la pared por segundo. En consecuencia, se espera que la
presión sea el doble, en concordancia con la ley de Boyle.
Ahora se calculará cuantitativamente la presión que un gas ejerce sobre su contenedor con base en la teoría cinética. Imagine que las moléculas están dentro de un
contenedor rectangular (en reposo) cuyos lados tienen área A y cuya longitud es l,
como se muestra en la figura 13-16a. La presión ejercida por el gas sobre las paredes
de su contenedor, de acuerdo con el modelo, se debe a las colisiones de las moléculas
con las paredes. Ahora enfoque la atención en la pared, de área A, en el lado izquierdo del contenedor y examine lo que ocurre cuando una molécula golpea esta
pared, como se ilustra en la figura 13-16b. Esta molécula ejerce una fuerza sobre
la pared y, de acuerdo con la tercera ley de Newton, la pared ejerce una fuerza igual
y opuesta de vuelta sobre la molécula. La magnitud de esta fuerza sobre la molécula, de acuerdo con la segunda ley de Newton, es igual a la tasa de cambio de la cantidad de movimiento de la molécula, F = ¢(mv)¢ t (ecuación 7-2). Si se supone
que la colisión es inelástica, sólo cambia el componente x de la cantidad de movimiento de la molécula, y cambia de mvx (se mueve en la dirección x negativa) a
mvx. Por tanto, el cambio en la cantidad de movimiento de la molécula, ¢(mv),
que es la cantidad de movimiento final menos la cantidad de movimiento inicial, es
¢(mv) = mvx - A –mvx B = 2mvx
l
para una colisión. Esta molécula realizará muchas colisiones con la pared, cada una
separada por un tiempo ¢t, que es el tiempo que toma a la molécula viajar a través
del contenedor y regresar de nuevo, una distancia (componente x) igual a 2l. En
consecuencia, 2l = vx ¢ t, o
x
¢t =
z
368
b)
CAPÍTULO 13
2l .
vx
El tiempo ¢t entre colisiones es muy pequeño, de modo que el número de colisiones
por segundo es muy grande. De esta forma, la fuerza promedio (promediada sobre
Temperatura y teoría cinética
muchas colisiones) será igual al cambio de cantidad de movimiento durante una colisión dividida por el tiempo entre colisiones (segunda ley de Newton):
¢(mv)
F =
=
¢t
2mvx
mv2x
.
=
2lvx
l
[debida a una molécula]]
Durante este pasaje de ida y vuelta a través del contenedor, la molécula puede colisionar con las tapas y con los lados del contenedor, pero esto no altera su componente
x de cantidad de movimiento y, en consecuencia, no altera el resultado. También
puede chocar con otras moléculas, lo que puede cambiar su vx. Sin embargo, cualquier pérdida (o ganancia) de cantidad de movimiento se adquiere mediante otras
moléculas y, como eventualmente se sumará a todas las moléculas, este efecto será
incluido. De modo que el resultado anterior no se altera.
La fuerza actual debida a una molécula es intermitente, pero, puesto que un
gran número de moléculas golpean la pared por segundo, la fuerza es, en promedio,
casi constante. Para calcular la fuerza debida a todas las moléculas en el contenedor,
se tienen que sumar las aportaciones de cada una. En consecuencia, la fuerza neta
sobre la pared es
F =
m 2
Av + v2x2 + p + v2xN B,
l x1
donde vx1 significa vx para la molécula 1 (a cada molécula se le asigna arbitrariamente un número) y la suma se extiende sobre el número total de moléculas N en el
contenedor. El valor promedio del cuadrado del componente x de la velocidad es
Ox =
v2x1 + v2x2 + p + v2xN
.
N
(13–5)
Por tanto, la fuerza se puede escribir como
F =
m
NOx .
l
Se sabe que el cuadrado de cualquier vector es igual a la suma de los cuadrados de
sus componentes (teorema de Pitágoras). En consecuencia, v2 = v2x + v2y + v2z para
cualquier velocidad v. Al tomar los promedios se obtiene
O = Ox + Oy + Oz .
Como las velocidades de las moléculas en el gas se suponen aleatorias, no existe
preferencia por una dirección u otra. Por tanto
Ox = Oy = Oz .
Al combinar esta relación con la anterior, se obtiene
O = 3Ox .
Esto se sustituye en la ecuación para la fuerza neta F:
F =
m O.
N
l
3
La presión sobre la pared es, entonces,
P =
F
=
A
P =
1
3
1
3
NmO
Al
o
NmO ,
V
(13–6)
Presión en un gas
donde V lA es el volumen del contenedor. Éste es el resultado que se buscaba, la
presión ejercida por un gas sobre su contenedor expresada en términos de propiedades moleculares.
SECCIÓN 13–10
La teoría cinética y la interpretación molecular de la temperatura
369
La ecuación 13-6, P = 13 NmOV, se puede volver a escribir en una forma más
clara multiplicando ambos lados por V y reordenando el lado derecho:
PV = 23 N A 12 mOB.
(13–7)
La cantidad
es la energía cinética promedio AGB de las moléculas en el gas. Si
se compara la ecuación 13-7 con la 13-4, la ley del gas ideal PV NkT, se ve que las
dos concuerdan si
1
2 mO
TEMPERATURA RELACIONADA
CON LA ENERGÍA CINÉTICA
PROMEDIO DE LAS
MOLÉCULAS
o
2 1
3 A 2 mOB
= kT,
G = 12 mO = 32 kT.
[gas ideal] (13–8)
Esta ecuación dice que
la energía cinética de traslación promedio de las moléculas en movimiento aleatorio en un gas ideal es directamente proporcional a la temperatura absoluta del gas.
Cuanto más elevada sea la temperatura, de acuerdo con la teoría cinética, más rápido se mueven las moléculas en promedio. Esta relación es uno de los triunfos de la
teoría cinética.
EJEMPLO 13–16 Energía cinética molecular. ¿Cuál es la energía cinética de
traslación promedio de las moléculas en un gas ideal a 37°C?
PLANTEAMIENTO Se utiliza la temperatura absoluta en la ecuación 13-8.
SOLUCIÓN Se cambia 37°C a 310 K y se incorpora en la ecuación 13-8:
G = 32 kT =
3
2
A1.38 * 10–23 JKB(310 K) = 6.42 * 10–21 J.
NOTA Un mol de moléculas tendría una energía cinética de traslación igual a
A6.42 * 10–21 JB A6.02 * 1023 B = 3900 J, que es igual a la energía cinética de una
piedra de 1 kg que viaja más rápido que 85 ms.
Rapidez raíz cuadrática media (rms)
La ecuación 13-8 se cumple no sólo para los gases, sino que también se aplica
de forma razonablemente precisa a líquidos y sólidos. De esta forma, el resultado del
ejemplo 13-16 se aplicaría a moléculas dentro de células vivientes a temperatura
corporal (37°C).
La ecuación 13-8 sirve para calcular la rapidez promedio a la que se mueven las
moléculas. El promedio en las ecuaciones de la 13-5 a la 13-8 es sobre el cuadrado
de la rapidez. La raíz cuadrada de O se llama rapidez raíz cuadrática media, vrms
[rms, siglas en inglés de root-mean-square] (dado que se habla de la raíz cuadrada
del promedio del cuadrado de la rapidez):
vrms = 3 O =
Rapidez rms de moléculas
3kT .
B m
(13–9)
EJEMPLO 13–17 Rapidez de las moléculas del aire. ¿Cuál es la rapidez rms
de las moléculas del aire (O2 y N2) a temperatura ambiente (20°C)?
PLANTEAMIENTO Para obtener la vrms, se necesitan las masas de las moléculas
O2 y N2 y luego se aplica la ecuación 13-9 al oxígeno y al nitrógeno por separado,
puesto que tienen diferentes masas.
SOLUCIÓN Las masas de una molécula de O2 (masa molecular 32 u) y N2 (masa molecular 28 u) son (donde 1 u 1.66 1027 kg)
m(O2) = (32)A1.66 * 10–27 kgB = 5.3 * 10–26 kg,
m(N2) = (28)A1.66 * 10–27 kgB = 4.6 * 10–26 kg.
Así, para el oxígeno
(3)A1.38 * 10–23 JKB(293 K)
3kT
=
= 480 ms,
B m
A5.3 * 10–26 kgB
C
y para el nitrógeno el resultado es vrms 510 ms. Estos valores† son más que 1700
kmh o 1000 mih.
vrms =
†
La rapidez vrms sólo es una magnitud. La velocidad de las moléculas promedia cero: la velocidad
tiene dirección, y tantas moléculas se mueven hacia la derecha como hacia la izquierda.
370
CAPÍTULO 13
Temperatura y teoría cinética
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EJERCICIO D ¿Qué rapidez tendría un sujetador de papel si tuviese la misma
una molécula del ejemplo 13-17?
EC
que
La ecuación 13-8, G = 32 kT, implica que, conforme la temperatura se aproxima
al cero absoluto, la energía cinética de las moléculas tiende a cero. Sin embargo, la
teoría cuántica moderna dice que esto no es exactamente así. Más bien, conforme se
aproxima al cero absoluto, la energía cinética tiende a un valor mínimo (muy pequeño) distinto de cero. Aun cuando todos los gases reales se vuelvan líquidos o sólidos
cerca de 0 K, el movimiento molecular no cesa, incluso en cero absoluto.
* 13–11 Distribución de la rapidez molecular
0
Número relativo
de moléculas
Número relativo
de moléculas
Se supone que las moléculas en un gas están en movimiento aleatorio, lo que significa que muchas moléculas tienen una rapidez menor que la rapidez rms, mientras
que otras tienen una rapidez mayor. En 1859, James Clerk Maxwell (1831-1879) dedujo, sobre la base de la teoría cinética, que los valores de la rapidez de las moléculas en un gas están distribuidos de acuerdo con la gráfica que se presenta en la
figura 13-17. Ésta se conoce como la distribución de Maxwell de la rapidez.† Los valores de la rapidez varían desde cero hasta muchas veces la rapidez rms, pero, como
muestra la gráfica, la mayoría de las moléculas tienen rapidez que no está lejos del
promedio. Menos del 1% de las moléculas superan cuatro veces la vrms.
Los experimentos para determinar la distribución en los gases reales, a partir de
los 1920, confirmó con considerable precisión la distribución de Maxwell y la proporción directa entre la energía cinética promedio y la temperatura absoluta (ecuación 13-8).
La figura 13-8 muestra la distribución de Maxwell para dos diferentes temperaturas; así como la vrms aumenta con la temperatura, la curva completa de distribución
se corre hacia la derecha a temperaturas más altas. Esta figura ilustra cómo la teoría
cinética puede explicar por qué muchas reacciones químicas, incluso aquellas de las
células biológicas, tienen lugar más rápidamente conforme la temperatura aumenta.
Dos moléculas pueden reaccionar químicamente sólo si sus energías cinéticas están
por arriba de cierto valor mínimo (llamado energía de activación), EA, de modo que,
cuando chocan, penetran un poco unas en otras. La figura 13-18 indica que, a una
temperatura más alta, muchas más moléculas tienen una rapidez y energía cinética
EC por arriba del umbral necesario EA.
vP vrms
Rapidez, v
Distribución de Maxwell
de la rapidez de las
moléculas en un gas
F Í S I C A
A P L I C A D A
Cómo las reacciones químicas
dependen de la temperatura
T = 273 K (0°C)
T = 310 K (37°C)
Rapidez
v(EA)
FIGURA 13–17 Distribución de rapidez molecular en un gas
FIGURA 13–18 Distribución de rapidez
ideal. Note que vrms no está en el pico de la curva (la rapidez
denominada “rapidez más probable”, vP). Esto se debe a que la
curva está sesgada hacia la derecha: no es simétrica.
molecular para dos diferentes temperaturas.
* 13–12 Gases reales y cambios de fase
La ley del gas ideal es una descripción precisa del comportamiento de un gas real en
tanto la presión no sea demasiado elevada y en tanto la temperatura esté lejos del
punto de licuefacción. Pero, ¿qué ocurre cuando estos dos criterios no se satisfacen?
Primero se analizará el comportamiento de un gas real y luego se examinará cómo
la teoría cinética ayuda a comprender este comportamiento.
†
Matemáticamente, la distribución está dada por ¢N = Cv2 exp A – 12 mv2kTB ¢v, donde ¢N es el
número de moléculas con rapidez entre v y v + ¢v, C es una constante y exp significa que la expresión entre paréntesis es un exponente en el número natural e 2.718. . .
*SECCIÓN 13–12
Gases reales y cambios de fase
371
Diagrama PV
B′ A′
P
Gas
Líquido
c
Vapor
a
Región
líquidovapor
A
B
C
D
b
V
FIGURA 13–19 Diagrama PV para
una sustancia real. Las curvas A, B, C
y D representan al mismo gas a
diferentes temperaturas fijas
(TA 7 TB 7 TC 7 TD).
Punto crítico
Vapor versus gas
Diagrama de fase (PV)
Observe una gráfica de presión contra volumen para una cantidad determinada
de gas. En tal “diagrama PV” (figura 13-19), cada punto representa un estado de
equilibrio de la sustancia dada. Las diversas curvas (A, B, C y D) indican cómo varía la presión conforme cambia el volumen a temperatura constante para diferentes
valores de la temperatura. La curva punteada A’ representa el comportamiento de
un gas según predice la ley del gas ideal; es decir, PV constante. La curva sólida A
representa el comportamiento de un gas real a la misma temperatura. Hay que hacer
notar que, a presión alta, el volumen de un gas real es menor que el predicho por la
ley del gas ideal. Las curvas B y C en la figura 13-19 representan al gas en temperaturas sucesivamente más bajas, y se ve que el comportamiento se desvía incluso más
de las curvas predichas por la ley del gas ideal (por ejemplo, B’), y la desviación es
más grande cuanto más cerca de la licuefacción esté el gas.
Para explicar esto, hay que subrayar que se espera que las moléculas estén más
cerca unas de otras a temperaturas más altas. Y, particularmente a temperaturas
más bajas, la energía potencial asociada con las fuerzas atractivas entre las moléculas (que se ignoró antes) ya no es despreciable en comparación con la ahora reducida
energía cinética de las moléculas. Esas fuerzas atractivas tienden a jalar a las moléculas para que estén cerca, así que, a una presión dada, el volumen es menor que el
esperado por la ley del gas ideal. A temperaturas todavía más bajas, tales fuerzas
causan licuefacción, y las moléculas se acercan más.
La curva D representa la situación cuando ocurre la licuefacción. A presión baja en la curva D (a la derecha en la figura 13-19), la sustancia es un gas y ocupa un
gran volumen. Conforme aumenta la presión, el volumen disminuye hasta que se alcanza el punto b. Más allá de b, el volumen disminuye sin cambio en la presión; la
sustancia cambia gradualmente de la fase gaseosa a la fase líquida. En el punto a, toda la sustancia cambió a líquido. Mayor aumento en la presión reduce el volumen
sólo ligeramente (los líquidos son casi incompresibles), así que la curva es muy inclinada a la izquierda, como se observa. El área sombreada bajo la línea punteada representa la región donde las fases gas y líquido existen juntas en equilibrio.
La curva C de la figura 13-19 representa el comportamiento de la sustancia en
su temperatura crítica; el punto c (el único punto donde esta curva es horizontal) se
llama punto crítico. A temperaturas menores que la temperatura crítica (y ésta es la
definición del término), un gas cambiará a la fase líquida si se aplica suficiente presión. Arriba de la temperatura crítica, ninguna cantidad de presión provoca que un
gas cambie de fase y se convierta en líquido: no se forma líquido superficial. En la
tabla 13-2 se presentan las temperaturas críticas para varios gases. Los científicos intentaron durante muchos años licuar oxígeno, pero no obtuvieron éxito. Sólo después
del descubrimiento del punto crítico se dieron cuenta de que el oxígeno se licua sólo
si primero se enfría por debajo de su temperatura crítica de 118°C.
Con frecuencia se hace una distinción entre los términos “gas” y “vapor”: una
sustancia debajo de su temperatura crítica en el estado gaseoso se llama vapor; arriba de la temperatura crítica se llama gas.
El comportamiento de una sustancia se puede representar no sólo en un diagrama
PV, sino también en un diagrama PT, con frecuencia llamado diagrama de fase, que
es particularmente conveniente para comparar las diferentes fases de una sustancia.
La figura 13-20 es el diagrama de fase del agua. La curva l-v representa aquellos
puntos donde las fases de líquido y vapor están en equilibrio; es, por tanto, una gráTABLA 13–2 Temperaturas y presiones críticas
Temperatura crítica
Sustancia
Agua
CO2
Oxígeno
Nitrógeno
Hidrógeno
Helio
372
CAPÍTULO 13
Temperatura y teoría cinética
°C
374
31
–118
–147
–239.9
–267.9
K
Presión crítica
(atm)
647
304
155
126
33.3
5.3
218
72.8
50
33.5
12.8
2.3
Punto
crítico
218
s -l
P (atm)
Sólido
Líquido
1.0
0.006
Gas
l-v
Vapor
Punto
s-v
triple
0.00 0.01
100 374
T (°C)
FIGURA 13–20 Diagrama de fase
para el agua (las escalas no son
lineales).
Punto triple
FIGURA 13–21 Diagrama de fase
para el dióxido de carbono.
Punto
crítico
73
Sólido
P (atm)
fica del punto de ebullición contra la presión. La curva muestra correctamente que,
a una presión de 1 atm, el punto de ebullición es de 100°C, y que el punto de ebullición baja para una baja de presión. La curva s-l representa los puntos donde sólido
y líquido existen en equilibrio y, por tanto, es una gráfica del punto de congelación
contra presión. A 1 atm, el punto de congelación del agua es 0°C, como se indica.
Note también en la figura 13-20 que, a una presión de 1 atm, la sustancia está en la
fase líquida si la temperatura está entre 0°C y 100°C, pero está en la fase sólida o de
vapor si la temperatura está abajo de 0°C o arriba de 100°C. La curva s-v es la curva
del punto de sublimación contra presión. Sublimación se refiere al proceso mediante
el cual, a presiones bajas, un sólido cambia directamente a la fase de vapor sin pasar
por la fase líquida. Para el agua, la sublimación ocurre si la presión del vapor de
agua es menor que 0.0060 atm. El dióxido de carbono, que en la fase sólida se llama
hielo seco, se sublima incluso a presión atmosférica.
La intersección de las tres curvas (en la figura 13-20) es el punto triple. Para el
agua, esto ocurre a T 273.16 K y P 6.03 103 atm. Sólo en el punto triple pueden existir juntas las tres fases en equilibrio. Como el punto triple corresponde a un
valor único de temperatura y presión, es precisamente reproducible y con frecuencia
se usa como punto de referencia. Por ejemplo, el estándar de temperatura se especifica exactamente como 273.16 K en el punto triple del agua, y no como 273.15 K en
el punto de congelación del agua a 1 atm.
Note que la curva s-l para el agua tiene más pendiente hacia arriba a la izquierda. Esto sólo es cierto para las sustancias que se expanden al congelarse: a una presión más alta, se necesita una temperatura más baja para provocar que el líquido se
congele. Más comúnmente, las sustancias se contraen al congelarse y la curva s-l
se inclina hacia arriba a la derecha, como se muestra para el dióxido de carbono
(CO2) en la figura 13-21.
Las transiciones de fase que se han explicado son las más comunes. Sin embargo, algunas sustancias pueden existir en varias formas en la fase sólida. Una transición de una fase a otra ocurre a una temperatura y presión particulares, tal como los
cambios de fase ordinarios. Por ejemplo, se ha observado que el hielo tiene al menos
ocho formas a presión muy alta. El helio ordinario tiene dos fases líquidas distintas,
llamadas helio I y II. Sólo existen a temperaturas a unos cuantos grados del cero absoluto. El helio II exhibe propiedades muy inusuales a las que se engloba con el
nombre de superfluidez. En esencia, tiene viscosidad cero y muestra extrañas propiedades, como la de subir por los lados de un contenedor abierto.
Líquido
56
Punto
triple
5.11
Vapor
1
−56.6
T (°C)
20
31
Superfluidez
* 13–13 Presión de vapor y humedad
Evaporación
Si un vaso con agua se deja a la intemperie toda la noche, en la mañana el nivel del
agua habrá descendido. Se dice que el agua se evaporó, lo que significa que parte
del agua cambió a la fase de vapor o gas.
Este proceso de evaporación se explica sobre la base de la teoría cinética. Las
moléculas en un líquido se mueven y pasan una sobre otra con diferente rapidez, cuyos valores siguen, aproximadamente, la distribución de Maxwell. Existen intensas
fuerzas atractivas entre tales moléculas, que es lo que las mantiene cerca en la fase
líquida. Una molécula cerca de la superficie del líquido, a causa de su rapidez, puede dejar el líquido momentáneamente. Pero tal como una roca lanzada al aire regresa a la Tierra, del mismo modo las fuerzas atractivas de las otras moléculas jalan a la
molécula vagabunda de vuelta a la superficie del líquido; claro está, si su velocidad
no es demasiado alta. Sin embargo, una molécula con una rapidez suficientemente
alta escapará del líquido por completo (al igual que un cohete que escapa de la Tierra)
para convertirse en parte de la fase gaseosa. Sólo aquellas moléculas que tengan
energía cinética por arriba de un valor particular podrán escapar a la fase de gas. Ya
se ha visto que la teoría cinética predice que el número relativo de moléculas con
energía cinética por arriba de un valor particular (como EA en la figura 13-18) aumenta con la temperatura. Esto está en concordancia con la bien conocida observación de que la tasa de evaporación es mayor a temperaturas más elevadas.
*SECCIÓN 13–13
Evaporación
Presión de vapor y humedad
373
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F Í S I C A
A P L I C A D A
La evaporación enfría
Puesto que las moléculas más rápidas son las que escapan de la superficie, la rapidez promedio de las que permanecen es menor. Cuando la rapidez promedio es
menor, la temperatura absoluta es menor. Por eso, la teoría cinética predice que la
evaporación es un proceso de enfriamiento. No hay duda de que el lector habrá notado este efecto cuando sale de una ducha caliente y siente frío conforme el agua
del cuerpo comienza a evaporarse; o después de haberse ejercitado en un día caluroso, hasta una ligera brisa nos hace sentir frescos a través de la evaporación.
Presión de vapor
FIGURA 13–22 El vapor aparece
sobre un líquido en un contenedor
cerrado.
TABLA 13–3 Presión de vapor
saturado del agua
Temperatura
(°C)
– 50
– 10
0
5
10
15
20
25
30
40
50
60
70†
80
90
100‡
120
150
Presión de vapor
saturado
torr
( mm-Hg)
0.030
1.95
4.58
6.54
9.21
12.8
17.5
23.8
31.8
55.3
92.5
149
234
355
526
760
1489
3570
†
Pa
( N m2)
4.0
2.60
6.11
8.72
1.23
1.71
2.33
3.17
4.24
7.37
1.23
1.99
3.12
4.73
7.01
1.01
1.99
4.76
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
102
102
102
103
103
103
103
103
103
104
104
104
104
104
105
105
105
Punto de ebullición en la punta del monte
Everest.
‡
Punto de ebullición a nivel del mar.
374
CAPÍTULO 13
Normalmente el aire contiene vapor de agua (agua en la fase gaseosa) que proviene
sobre todo de la evaporación. Para observar este proceso con un poco más de detalle, consideremos un contenedor cerrado que está parcialmente lleno con agua (u
otro líquido) y del que se ha removido aire (figura 13-22). Las moléculas que se
mueven más rápido se evaporan rápidamente en el espacio vacío arriba de la superficie del líquido. Conforme se mueven alrededor, algunas de esas moléculas golpean
la superficie del líquido y de nuevo vuelven a ser parte de la fase líquida: a esto se
llama condensación. El número de moléculas en el vapor aumenta hasta que se alcanza un punto en el que el número de moléculas que regresan al líquido es igual al
número de las que lo dejan en el mismo intervalo de tiempo. Entonces existe equilibrio y se dice que el espacio sobre la superficie del líquido está saturado. La presión
del vapor cuando está saturado se llama presión de vapor saturado (o, en ocasiones,
simplemente presión de vapor).
La presión de vapor saturado no depende del volumen del contenedor. Si el volumen arriba del líquido se redujera de manera súbita, la densidad de las moléculas
en la fase vapor aumentaría temporalmente. Entonces más moléculas golpearían la
superficie del líquido por segundo. Habría un flujo neto de moléculas de vuelta a
la fase líquida hasta alcanzar de nuevo el equilibrio y esto ocurriría en el mismo valor de la presión de vapor saturado, en tanto la temperatura no cambie.
La presión de vapor saturado de cualquier sustancia depende de la temperatura. A temperaturas elevadas, más moléculas tienen suficiente energía cinética para
salir de la superficie del líquido hacia la fase vapor. Así, el equilibrio se alcanzará a
una presión más alta. En la tabla 13-3 se indica la presión de vapor saturado del
agua a varias temperaturas. Cabe hacer notar que incluso los sólidos (por ejemplo,
el hielo) tienen una presión de vapor saturado mensurable.
En situaciones cotidianas, la evaporación de un líquido tiene lugar en el aire
arriba de él y no en un vacío. Esto, en realidad, no altera la explicación anterior en
relación con la figura 13-22. El equilibrio todavía se alcanzará cuando existan suficientes moléculas en la fase gaseosa de modo que el número de las que reingresan
al líquido iguale al número de las que lo dejan. La concentración de moléculas particulares (como el agua) en la fase gaseosa no se afecta por la presencia del aire,
aunque las colisiones con las moléculas del aire pueden alargar el tiempo necesario
para alcanzar el equilibrio. En consecuencia, el equilibrio ocurre al mismo valor de
la presión de vapor saturado, como si el aire no estuviese ahí.
Si el contenedor es grande o no está cerrado, es posible que todo el líquido se
evapore antes de que se alcance la saturación. Y si el contenedor no está sellado
(como, por ejemplo, la habitación de una casa) no es probable que el aire se sature
con vapor de agua (a menos que afuera esté lloviendo).
Ebullición
La presión de vapor saturado de un líquido aumenta con la temperatura. Cuando la
temperatura se eleva al punto donde la presión de vapor saturado a tal temperatura
es igual a la presión externa, ocurre la ebullición (figura 13-23). Conforme se aproxima el punto de ebullición, en el líquido tienden a formarse pequeñas burbujas, lo
que indica un cambio de la fase líquida a la fase gaseosa. Sin embargo, si la presión
Temperatura y teoría cinética
de vapor saturado dentro de las burbujas es menor que la presión externa, las burbujas se romperán inmediatamente. Conforme aumenta la temperatura, la presión de
vapor saturado dentro de una burbuja eventualmente se vuelve igual a la presión
del aire exterior o la supera. Entonces la burbuja no colapsará, sino que se elevará
hacia la superficie. Entonces habrá comenzado la ebullición. Un líquido hierve cuando
su presión de vapor saturado es igual a la presión externa. Para el agua, esto sucede
a una presión de 1 atm (760 torr) a 100°C, como se ve en la tabla 13-3.
Es evidente que el punto de ebullición de un líquido depende de la presión externa. A grandes altitudes, el punto de ebullición del agua es un poco menor que a
nivel del mar, pues en esos lugares la presión del aire es menor. Por ejemplo, en la
punta del monte Everest (8850 m), la presión del aire es aproximadamente de un
tercio de lo que es al nivel del mar; de acuerdo con la tabla 13-3, se sabe que el agua
hervirá ahí alrededor de los 70°C. Cocinar mediante ebullición lleva más tiempo a
grandes altitudes, pues la temperatura es menor. Sin embargo, las ollas de presión
reducen el tiempo de cocción porque acumulan una presión tan elevada como 2 atm,
lo que permite obtener temperaturas de ebullición más altas.
En la ebullición, la presión de vapor
saturado es igual a la presión externa.
Presión parcial y humedad
Cuando se dice que el clima es seco o húmedo, se hace referencia al vapor de agua
contenido en el aire. En un gas como el aire, que es una mezcla de varios tipos de
gases, la presión total es la suma de las presiones parciales de cada gas presente.† Por
presión parcial se entiende la presión que cada gas ejercería si sólo él estuviese presente. La presión parcial del agua en el aire puede ser tan baja como cero y puede
variar hasta un máximo igual a la presión de vapor saturado del agua a la temperatura dada. Por lo mismo, a 20°C, la presión parcial del agua no puede superar los
17.5 torr (tabla 13-3). La humedad relativa se define como la razón entre la presión
parcial del vapor de agua y la presión de vapor saturado a una temperatura dada.
Generalmente se expresa como porcentaje:
Humedad relativa =
presión parcial de H 2O
presión de vapor saturado de H 2O
* 100%.
FIGURA 13–23 Ebullición: las
burbujas de vapor de agua flotan
hacia arriba desde el fondo (donde la
temperatura es más elevada).
Humedad relativa
En consecuencia, cuando la humedad es cercana al 100%, el aire retiene casi todo el
vapor de agua que puede.
EJEMPLO 13–18 Humedad relativa. En un particular día caluroso, la temperatura es de 30°C y la presión parcial del vapor de agua en el aire es de 21.0 torr.
¿Cuál es la humedad relativa?
PLANTEAMIENTO En la tabla 13-3 se ve que la presión de vapor saturado del
agua a 30°C es 31.8 torr.
SOLUCIÓN Por tanto, la humedad relativa es
21.0 torr
* 100% = 66%.
31.8 torr
Los humanos son sensibles a la humedad. Por lo general, una humedad relativa
del 40-50% es óptima tanto para la salud como para la comodidad. La humedad alta, particularmente en un día caluroso, reduce la evaporación de la humedad de la
piel, que es uno de los mecanismos vitales del cuerpo para regular la temperatura
corporal. Por otra parte, la humedad muy baja reseca la piel y las membranas mucosas.
F Í S I C A
A P L I C A D A
Humedad y comodidad
†
Por ejemplo, el 78% (por volumen) de las moléculas del aire son de nitrógeno y el 21% de oxígeno, con cantidades mucho menores de vapor de agua, argón y otros gases. A una presión de aire de
1 atm, el oxígeno ejerce una presión parcial de 0.21 atm y el nitrógeno de 0.78 atm.
*SECCIÓN 13–13
Presión de vapor y humedad
375
F Í S I C A
A P L I C A D A
Clima
FIGURA 13–24 Niebla o bruma
en una villa baja donde la
temperatura cayó por debajo del
punto de rocío.
El aire está saturado con vapor de agua cuando la presión parcial del agua en el
aire es igual a la presión de vapor saturado a esa temperatura. Si la presión parcial
del agua supera la presión de vapor saturado, se dice que el aire está supersaturado.
Esta situación ocurre cuando se registra un descenso en la temperatura. Por ejemplo, supongamos que la temperatura es de 30°C y que la presión parcial del agua es
de 21 torr, lo que representa una humedad del 66%, como se vio en el ejemplo 13-18.
Ahora supongamos que la temperatura desciende a 20°C, lo que puede ocurrir al
caer la noche. En la tabla 13-3 se ve que la presión de vapor saturado para el agua a
20°C es de 17.5 torr. Por tanto, la humedad relativa sería mayor del 100% y el aire
supersaturado no puede retener toda esta agua. El agua excedente se puede condensar y aparecer como rocío, o como niebla o lluvia (figura 13-24).
Cuando se enfría el aire que contiene una cantidad determinada de agua, se alcanza una temperatura en la que la presión parcial del agua es igual a la presión de
vapor saturado. A esto se le llama punto de rocío. La medición del punto de rocío es
el medio más preciso para determinar la humedad relativa. Un método utiliza una
superficie encerada de un metal que está en contacto con el aire, que se enfría gradualmente. La temperatura a la que comienza a aparecer el rocío en la superficie es
el punto de rocío, y entonces es posible obtener la presión parcial del agua a partir
de tablas de presión de vapor saturado. Si, por ejemplo, en un día determinado la
temperatura es de 20°C y el punto de rocío es 5°C, entonces la presión parcial del
agua (tabla 13-3) en el aire de 20°C fue de 6.54 torr, mientras que su presión de vapor saturado fue de 17.5 torr; por tanto, la humedad relativa fue 6.5417.5 37%.
* 13–14 Difusión
La difusión ocurre de alta
a baja concentración.
Si se coloca con cuidado unas cuantas gotas de colorante para alimentos en un contenedor de agua, como en la figura 13-25, el color se expandirá a través de toda el
agua. El proceso podría tardar varias horas (si no agita el vaso), pero eventualmente
el color se volverá uniforme. Esta mezcla, conocida como difusión, es una evidencia
del movimiento aleatorio de las moléculas. La difusión también ocurre en los gases.
Los ejemplos comunes incluyen el perfume o el humo de cigarrillo que se difunden
en el aire, o incluso el olor de la comida que se cocina, aunque la convección (movimiento de corrientes de aire) con frecuencia juega un papel más determinante en la
dispersión de los olores que la difusión. La difusión depende de la concentración,
con lo que se entiende el número de moléculas o moles por unidad de volumen. En
general, la sustancia que se difunde se mueve desde una región donde su concentración es alta hacia una donde su concentración es baja.
La difusión se puede comprender fácilmente sobre la base de la teoría cinética
y el movimiento aleatorio de las moléculas. Considere un tubo de área transversal A
que contiene moléculas en una concentración más alta a la izquierda que en la derecha (figura 13-26). Se supone que las moléculas están en movimiento aleatorio. Por
FIGURA 13–25 Unas cuantas gotas de colorante para alimentos se dispersan
lentamente a través de toda el agua hasta que ésta toma un color uniforme.
a)
376
CAPÍTULO 13
Temperatura y teoría cinética
b)
c)
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lo mismo, habrá un flujo neto de moléculas hacia la derecha. Para ver por qué esto
es cierto, considere la pequeña sección de tubo de longitud ¢x que se ilustra. Las
moléculas provenientes de las regiones 1 y 2 atraviesan hacia esta sección central
como resultado de su movimiento aleatorio. Cuantas más moléculas haya en una región, más golpearán una área determinada o atravesarán una frontera. Como en la
región 1 existe una mayor concentración de moléculas que en la región 2, más moléculas atraviesan hacia la sección central desde la región 1 que desde la región 2.
Entonces, existe un flujo neto de moléculas de izquierda a derecha, de concentración alta a concentración baja. El flujo neto se vuelve cero solamente cuando las
concentraciones se vuelven iguales.
Se podría esperar que, cuanto mayor sea la diferencia en la concentración, mayor será la tasa de flujo. De hecho, la tasa de difusión, J (número de moléculas o
moles o kg por segundo), es directamente proporcional al cambio en la concentración por unidad de distancia, (C1 C2)¢x (que se llama gradiente de concentración), y al área transversal A (figura 13-26):
J = DA
C1 - C2 .
¢x
(13–10)
A
Región 1;
concentración
= C1
Región 2;
concentración
= C2
∆x
FIGURA 13–26 La difusión ocurre
de una región de alta concentración a
una de concentración más baja. (Sólo
se muestra un tipo de molécula.)
Ecuación de difusión
D es una constante de proporcionalidad llamada constante de difusión. La ecuación
13-10 se conoce como ecuación de difusión o ley de Fick. Si las concentraciones están dadas en molm3, entonces J es el número de moles que pasan por un punto dado
por segundo. Si las concentraciones están dadas en kgm3, entonces J es el movimiento de masa por segundo (kgs). La longitud ¢x está dada en metros. En la tabla
13-4 se proporcionan los valores de D para varias sustancias.
EJEMPLO 13–19 ESTIMACIÓN Difusión de amoniaco en el aire. Para tener una idea del tiempo que se requiere para la difusión, estime cuánto tardaría
detectar amoniaco (NH3) a 10 cm de una botella luego de que se abre, si se supone que sólo ocurre difusión.
PLANTEAMIENTO Esto será un cálculo de orden de magnitud. La tasa de difusión J se hace igual al número de moléculas N que se difunden a través de una
área A en un tiempo t: J = Nt. Entonces el tiempo t = NJ, donde J está dada
por la ecuación 13-10. Se tendrán que realizar algunas suposiciones y aproximaciones simples acerca de las concentraciones para usar la ecuación 13-10.
SOLUCIÓN A partir de la ecuación 13-19 se obtiene
N
N ¢x .
=
J
DA ¢C
La concentración promedio (a la mitad entre la botella y la nariz) se aproxima mediante K L NV, donde V es el volumen sobre el que se mueven las moléculas y
es aproximadamente del orden de V L A ¢x, donde ¢x es 10 cm 0.10 m. Al sustituir N = KV = KA ¢x en la ecuación anterior:
t =
t L
(KA ¢x)¢x
DA ¢C
=
F Í S I C A
A P L I C A D A
Tiempo de difusión
TABLA 13–4 Constantes
de difusión, D (20°C, 1 atm)
Moléculas que
se difunden
Medio
H2
O2
O2
Aire
Aire
Agua
6.3 * 10–5
1.8 * 10–5
100 * 10–11
Sangre,
hemoglobina
Agua
6.9 * 10–11
Glicina (un
aminoácido)
Agua
95 * 10–11
DNA (masa
6 * 106 u)
Agua
0.13 * 10–11
D (m2 s)
K (¢x)2 .
¢C D
La concentración de amoniaco es alta cerca de la botella y baja cerca de la nariz
detectora, de modo que K L ¢C2, o (K¢C) L 12 . Puesto que las moléculas de
NH3 tienen un tamaño entre H2 y O2, a partir de la tabla 13-4 se estima D L 4 105 m2s. Entonces
t L
1
2
(0.10 m)2
A4 * 10–5 m2sB
L 100 s,
o alrededor de un minuto o dos.
NOTA Este resultado parece más bien largo a partir de la experiencia, lo que sugiere que las corrientes de aire (convección) son más importantes que la difusión
para transmitir olores.
*SECCIÓN 13–14
Difusión
377
F Í S I C A
A P L I C A D A
Difusión en
organismos vivos
La difusión es extremadamente importante para los organismos vivos. Por
ejemplo, las moléculas producidas en ciertas reacciones químicas dentro de las células se difunden hacia otras áreas donde toman parte en otras reacciones.
La difusión de gas también es importante. Las plantas requieren dióxido de carbono para la fotosíntesis. El CO2 se difunde en las hojas desde el aire exterior a través de pequeñas aberturas (estomas). Conforme el CO2 se utiliza en las células, su
concentración cae por abajo del que hay en el aire exterior y más se difunde hacia dentro. El vapor de agua y el oxígeno producidos por las células se difunde hacia fuera
en el aire.
Los animales también intercambian oxígeno y CO2 con el ambiente. El oxígeno
es necesario para las reacciones que producen energía, de modo que se difunde en
las células. El CO2 es un producto final de muchas reacciones metabólicas y se difunde hacia fuera de las células. Pero la difusión es lenta a través de largas distancias, así que sólo los organismos más pequeños en el mundo animal podrían
sobrevivir sin haber desarrollado sistemas respiratorios y circulatorios complejos.
En los humanos, el oxígeno se lleva a los pulmones, donde se difunde en cortas distancias a través del tejido pulmonar y hacia la sangre. Entonces la sangre lo hace circular hacia las células por todo el cuerpo. La sangre también transporta el CO2
producido por las células de regreso a los pulmones, donde se difunde hacia fuera.
Resumen
La teoría atómica de la materia postula que toda la materia está
constituida por pequeñas entidades llamadas átomos, que generalmente tienen 1010 m de diámetro.
Las masas atómica y molecular se especifican en una escala
donde al carbono ordinario (12C) arbitrariamente se le ha dado el
valor de 12.000 u (unidades de masa atómica).
La distinción entre sólidos, líquidos y gases se atribuye a la
intensidad de las fuerzas atractivas entre los átomos o moléculas
y a su rapidez promedio.
La temperatura es una medida de cuán caliente o frío está
algo. Los termómetros se utilizan para medir la temperatura en
las escalas Celsius (°C), Fahrenheit (°F) y Kelvin (K). Dos puntos
estándar en cada escala son el punto de congelación del agua
(0°C, 32°F, 273.15 K) y el punto de ebullición del agua (100°C,
212°F, 373.15 K). Un cambio en la temperatura de un kelvin es
igual a un cambio de un grado Celsius o 95 grados Fahrenheit. Los
kelvins están relacionados con los °C mediante
T(K) = T(°C) + 273.15.
El cambio en la longitud, ¢L, de un sólido cuando su temperatura cambia por una cantidad ¢T, es directamente proporcional
al cambio de temperatura y a su longitud original L0. Es decir,
¢L = aL0 ¢T,
(13–1a)
donde a es el coeficiente de expansión lineal.
El cambio en el volumen de la mayoría de los sólidos, líquidos y gases es proporcional al cambio de temperatura y al volumen original V0:
¢V = bV0 ¢T.
(13–2)
El coeficiente de expansión volumétrica, b, es aproximadamente
igual a 3a para sólidos uniformes.
El agua tiene un comportamiento insólito porque, a diferencia de la mayoría de los materiales cuyo volumen aumenta con la
temperatura, su volumen en realidad disminuye cuando la temperatura aumenta en el rango de 0°C a 4°C.
La ley del gas ideal, o ecuación de estado para un gas ideal,
relaciona la presión P, el volumen V y la temperatura T (en kelvins) de n moles de gas mediante
PV = nRT,
378
CAPÍTULO 13
(13–3)
Temperatura y teoría cinética
donde R 8.314 JmolK para todos los gases. Los gases reales
obedecen la ley del gas ideal con bastante precisión si no están a
una presión muy alta o cerca de su punto de licuefacción.
Un mol de sustancia se define como el número de gramos
que es numéricamente igual a la masa atómica o molecular.
El número de Avogadro, NA 6.02 1023, es el número de
átomos o moléculas en 1 mol de cualquier sustancia pura.
La ley del gas ideal se puede escribir en términos del número de moléculas N en el gas como
PV = NkT,
(13–4)
donde k = RNA = 1.38 * 10 –23 JK es la constante de Boltzmann.
De acuerdo con la teoría cinética de los gases, que se basa en
la idea de que un gas está constituido por moléculas que se mueven de manera rápida y aleatoria, la energía cinética promedio de
las moléculas es proporcional a la temperatura Kelvin T:
G = 12 mO = 32 kT,
(13–8)
donde k es la constante de Boltzmann. En cualquier momento existe una amplia distribución de la rapidez molecular dentro de un gas.
[*El comportamiento de los gases reales a alta presión, yo
cerca de su punto de licuefacción, se desvía de la ley del gas ideal,
a causa del tamaño molecular y de las fuerzas atractivas entre las
moléculas. Debajo de la temperatura crítica, un gas puede cambiar a líquido si se aplica suficiente presión; pero si la temperatura es más alta que la temperatura crítica, ninguna cantidad de
presión provocará que se forme una superficie líquida. El punto
triple de una sustancia se refiere a la temperatura y presión únicas en las que pueden coexistir en equilibrio las tres fases: sólido,
líquido y gas].
[*La evaporación de un líquido es el resultado del escape de
la superficie de las moléculas que se mueven más rápido. La presión de vapor saturado se refiere a la presión del vapor sobre un
líquido cuando las dos fases están en equilibrio. La presión de vapor de una sustancia en su punto de ebullición es igual a la presión atmosférica. La humedad relativa del aire en un lugar dado
es la razón entre la presión parcial del vapor de agua en el aire y
la presión de vapor saturado a esa temperatura; por lo general se
expresa como porcentaje].
[*La difusión es el proceso mediante el cual las moléculas de
una sustancia se mueven (en promedio) desde una área hacia
otra como resultado de una diferencia en la concentración de dicha sustancia].
Preguntas
1. ¿Cuál tiene más átomos: 1 kg de hierro o 1 kg de aluminio?
Consulte la tabla periódica o el apéndice B.
2. Mencione varias propiedades de los materiales que se pueden explotar para elaborar un termómetro.
3. ¿Cuál es mayor, 1 C° o 1 F°?
* 4. Si el sistema A está en equilibrio térmico con el sistema B,
pero B no está en equilibrio térmico con el sistema C, ¿qué
puede decirse acerca de las temperaturas de A, B y C?
5. Una tira bimetálica plana consiste en un trozo de aluminio
remachado a una tira de hierro. Cuando se calienta, la tira se
dobla. ¿Cuál metal estará en el exterior de la curva? [Sugerencia: Consulte la tabla 13-1]. ¿Por qué?
6. En la relación ¢L = aL0 ¢T, ¿L0 será la longitud inicial, la
longitud final o no importa cuál? Explique su respuesta.
7. Las unidades para el coeficiente de expansión lineal a son
(C°)1 y no hay mención de una unidad de longitud como
metros. ¿El coeficiente de expansión cambiaría si se utilizaran pies o milímetros en lugar de metros? Explique su respuesta.
8. La figura 13-27 muestra un diagrama de un termostato simple
utilizado para controlar una caldera (u otro sistema de calentamiento o enfriamiento). La tira bimetálica consta de dos tiras unidas de diferentes metales. El interruptor eléctrico es
un recipiente de vidrio que contiene mercurio líquido que
conduce electricidad cuando fluye hasta tocar ambos alambres
de contacto. Explique cómo este dispositivo controla la caldera y cómo se puede establecer a diferentes temperaturas.
Palanca de
establecimiento
de temperatura
17. La fuerza de flotación sobre una esfera de aluminio sumergida en agua, ¿aumenta o disminuye si la temperatura se eleva
de 20°C a 40°C? Explique su respuesta.
18. Explique cómo la ley de Charles se deduce de la teoría cinética y de la relación entre energía cinética promedio y temperatura absoluta.
19. Explique cómo la ley de Gay-Lussac se deduce de la teoría
cinética.
20. Conforme se sube más en la atmósfera de la Tierra, la razón de
las moléculas de N2 a las moléculas de O2 aumenta. ¿Por qué?
* 21. La velocidad de escape de la Tierra se refiere a la rapidez mínima que un objeto debe tener para abandonar la Tierra y
nunca regresar. La velocidad de escape para la Luna es aproximadamente un quinto de la que hay en la Tierra, como consecuencia de la masa más pequeña de la Luna. Explique por
qué la Luna prácticamente no tiene atmósfera.
* 22. El alcohol se evapora más rápidamente que el agua a temperatura ambiente. ¿Qué puede inferirse acerca de las propiedades moleculares de uno en relación con la otra?
comodidad que un día caluroso seco a la misma temperatura.
* 24. ¿Es posible hervir agua a temperatura ambiente (20°C) sin
calentarla? Explique su respuesta.
Interruptor de
mercurio líquido
Mercurio líquido
16. Cuando un gas se comprime rápidamente (por ejemplo, al
empujarlo con un pistón), su temperatura aumenta. Cuando
un gas se expande contra un pistón, se enfría. Explique estos
cambios en la temperatura mediante la teoría cinética, y en
particular indique lo que ocurre a la cantidad de movimiento
de las moléculas cuando golpean al pistón que se mueve.
* 23. Explique por qué un día caluroso húmedo provoca mayor in-
Tira bimetálica
Alambres hacia
el calentador
15. Congelar una lata de bebida refrescante provocará que su
fondo y parte superior se doblen tanto que la lata no podrá
estar en pie. ¿Qué ocurrió?
* 25. Considere dos días cuando la temperatura del aire es la misFIGURA 13–27
Un termostato
(pregunta 8).
9. Las largas tuberías de vapor que están fijas en los extremos
con frecuencia tienen una sección con forma de U. ¿Por qué?
ma pero la humedad es diferente. ¿Cuál es más denso, el aire
seco o el aire húmedo a la misma T? Explique su respuesta.
* 26. Explique por qué es peligroso abrir la tapa del radiador del
motor sobrecalentado de un automóvil.
* 27. ¿Por qué el aire exhalado aparece como una pequeña nube
blanca en el invierno (figura 13-28)?
10. Un cilindro uniforme plano de plomo flota en mercurio a
0°C. ¿El plomo flotará más alto o más bajo cuando la temperatura se eleve? Explique su respuesta.
11. Cuando un termómetro de mercurio frío se coloca en una tina con agua caliente, el mercurio inicialmente desciende un
poco y luego se eleva. Explique por qué.
12. Un contenedor de vidrio se puede romper si una parte de él
se calienta o se enfría más rápidamente que las partes adyacentes. Explique por qué.
13. La principal virtud del vidrio Pyrex es que su coeficiente de
expansión lineal es mucho menor que el del vidrio ordinario
(tabla 13-1). Explique por qué esto da lugar a la gran resistencia al calor del Pyrex.
14. ¿Un reloj de caja alta, preciso a 20°C, corre rápido o lento en
un día caluroso (30°C)? Explique su respuesta. El reloj usa un
péndulo sostenido por una larga y delgada barra de latón.
FIGURA 13–28 Pregunta 27.
Preguntas
379
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Problemas
13–1 Teoría atómica
1. (I) ¿Cuántos átomos hay en una moneda de cobre de 3.4 gramos?
2. (I) ¿Cómo se compara el número de átomos en un anillo de oro
de 26.5 gramos con el número de átomos en uno de plata de
la misma masa?
13–2 Temperatura y termómetros
3. (I) a) La “temperatura ambiente” generalmente se registra
como 68°F. ¿A cuánto equivale esto en la escala Celsius? b) La
temperatura del filamento en una bombilla es aproximadamente de 1800°C. ¿A cuánto equivale esto en la escala Fahrenheit?
4. (I) Entre las temperaturas más alta y más baja registradas están 136°F en el desierto de Libia y 129°F en la Antártica.
¿A cuánto equivalen estas temperaturas en la escala Celsius?
5. (I) a) ¿Qué temperatura Fahrenheit es 15° bajo cero en la escala Celsius? b) ¿Qué temperatura Celsius es 15° bajo cero
en la escala Fahrenheit?
6. (II) En un termómetro de alcohol, la columna de alcohol tiene
una longitud de 11.82 cm a 0.0°C y una longitud de 22.85 cm
a 100.0°C. ¿Cuál es la temperatura si la columna tiene longitud a) de 16.70 cm y b) de 20.50 cm?
13–4 Expansión térmica
7. (I) Una autopista de concreto se construye con losas de 12 m
de largo (20°C). ¿Qué tan anchas deben ser las hendiduras
de expansión entre las losas (a 20°C) para evitar que se pandeen, si el rango de temperaturas es de 30°C a 50°C?
8. (I) El Super InvarTM, una aleación de hierro y níquel, es un
fuerte material con un coeficiente de expansión lineal muy
bajo [0.2 106 (C°)1]. Una mesa de 2.0 m de largo hecha
de esta aleación se usa para mediciones láser sensibles donde
se requieren tolerancias extremadamente altas. ¿Cuánto se
expandirá esta mesa en su longitud si la temperatura aumenta 5.0 C°? Compare con mesas hechas de acero.
9. (I) La torre Eiffel (figura 13-29)
está hecha de hierro forjado y mide aproximadamente 300 m de alto. Estime cuánto cambia su altura
entre julio (temperatura promedio
de 25°C) y enero (temperatura
promedio de 2°C). Ignore los ángulos de las vigas de hierro y considere la torre como una viga vertical.
FIGURA 13–29
Problema 9. La torre Eiffel
en París.
10. (II) Para realizar un ajuste seguro, con frecuencia se usan remaches que son más grandes que el hoyo del remache y que
se enfrían (generalmente en hielo seco) antes de colocarlos
en el hoyo. Un remache de acero de 1.871 cm de diámetro se
va a colocar en un hoyo de 1.869 cm de diámetro a 20°C. ¿A
qué temperatura se debe enfriar el remache si debe ajustar
en el hoyo?
11. (II) La densidad del agua a 4°C es de 1.00 103 kgm3.
¿Cuál es la densidad del agua a 94°C?
12. (II) Una esfera de cuarzo mide 8.75 cm de diámetro. ¿Cuál
será su cambio en volumen si se calienta de 30°C a 200°C?
380
CAPÍTULO 13
Temperatura y teoría cinética
13. (II) Un vaso ordinario se llena hasta el borde con 350.0 mL
de agua a 100.0°C. Si la temperatura disminuye a 20.0°C,
¿cuánta agua se podría agregar al vaso?
14. (II) Se observa que 55.50 mL de agua a 20°C llenan completamente un contenedor hasta el borde. Cuando el contenedor
y el agua se calientan a 60°C, se pierden 0.35 g de agua. a)
¿Cuál es el coeficiente de expansión volumétrica del contenedor? b) ¿Cuál es el material más probable del contenedor?
La densidad del agua a 60°C es 0.98324 gmL.
15. (II) a) A un anillo de hiero se le pondrá un tapón de latón. A
20°C, el diámetro del tapón es de 8.753 cm y el del interior
del anillo es de 8.743 cm. ¿A qué temperatura común se deben
llevar ambos con la finalidad de ajustar? b) ¿Y si el tapón
fuese de hierro y el anillo de latón?
16. (II) Si un fluido está contenido en un largo y estrecho recipiente de modo que sólo se puede expandir en una dirección,
demuestre que le coeficiente efectivo de expansión lineal a
es aproximadamente igual al coeficiente de expansión volumétrica b.
17. (II) a) Demuestre que el cambio en la densidad r de una sustancia, cuando la temperatura cambia por ¢T, está dada por
¢r = –br ¢T. b) ¿Cuál es el cambio fraccional en densidad de una esfera de plomo cuya temperatura disminuye de
25°C a 40°C?
18. (II) Una placa rectangular uniforme de longitud l y ancho w
tiene coeficiente de expansión lineal a. Demuestre que, si se
ignoran cantidades muy pequeñas, el cambio en el área de la
placa que se debe a un cambio de temperatura ¢T es
¢A = 2alw ¢T. Véase la figura 13-30.
l
w
∆l
FIGURA 13–30
Problema 18.
Calentamiento de
una placa
rectangular.
∆w
19. (II) Demuestre que, para un sólido isotrópico, b 3a, si la
cantidad de expansión es pequeña. b y a son los coeficientes
de expansión volumétrica y lineal, respectivamente. [Sugerencia: Considere un sólido cúbico y desprecie cantidades muy
pequeñas. Vea también el problema 18 y la figura 13-30].
20. (III) El péndulo de un reloj de caja alta está hecho de latón e
indica la hora exacta a 17°C. ¿Cuánto tiempo se gana o se
pierde en un año si el reloj se mantiene a 25°C? (Suponga
que se aplica la dependencia de la frecuencia a la longitud
para un péndulo simple).
21. (III) a) El tubo de un termómetro de mercurio tiene un diámetro interior de 0.140 mm. El bulbo tiene un volumen de
0.255 cm3. ¿Cuánto se moverá la hilera de mercurio cuando
la temperatura cambie de 11.5°C a 33.0°C? Tome en cuenta la
expansión del vidrio Pyrex. b) Determine una fórmula para
el cambio en la longitud de la columna de mercurio en términos de variables relevantes. Ignore el volumen del tubo comparado con el volumen del bulbo.
22. (III) Una rueda cilíndrica de aluminio sólido de 23.4 kg y
0.41 m de radio gira en torno a su eje sobre cojinetes sin fricción, con velocidad angular v 32.8 rads. Si ahora su temperatura se eleva de 20.0°C a 75.0°C, ¿cuál es el cambio
fraccional en v?
* 13–5 Tensiones térmicas
* 23. (II) Una barra de aluminio tiene la longitud deseada cuando
está a 15°C. ¿Cuánta tensión se requiere para mantenerla
a esta longitud si la temperatura aumenta a 35°C?
* 24. (II) a) Una viga I horizontal de acero, con 0.041 m2 de área
transversal, está rígidamente conectada a dos vigas maestras
verticales. Si la viga I se instaló cuando la temperatura era de
30°C, ¿qué tensión se desarrollará en la viga cuando la temperatura descienda a 30°C? b) ¿Se supera la resistencia a la
rotura? c) ¿Qué tensión se desarrollará si la viga es de concreto y tiene una área transversal de 0.13 m2? ¿Se fracturará?
* 25. (III) Un barril de 134.122 cm de diámetro a 20°C se cerrará
con una banda de hierro. La banda circular tiene un diámetro
interior de 134.110 cm a 20°C. Mide 7.4 cm de ancho y 0.65 cm
de grueso. a) ¿A qué temperatura se debe calentar la banda de
modo que encaje en el barril? b) ¿Cuál será la tensión en la
banda cuando se enfríe a 20°C?
13–6 Leyes de los gases; temperatura absoluta
26. (I) ¿Cuáles son las siguientes temperaturas en la escala Kelvin: a) 86°C, b) 78°F, c) 100°C, d) 5500°C, e) 459°F?
27. (I) ¿Qué temperatura es el cero absoluto en la escala Fahrenheit?
28. (II) Las temperaturas típicas en el interior de la Tierra y el
Sol son aproximadamente 4000°C y 15 106 °C, respectivamente. a) ¿A cuánto equivalen estas temperaturas en kelvins? b) ¿Qué error porcentual se comente en cada caso, si
una persona olvida cambiar °C a K?
13–7 y 13–8 Ley del gas ideal
29. (I) Si 3.00 m3 de un gas, inicialmente a PTE, se coloca bajo
una presión de 3.20 atm, la temperatura del gas se eleva a
38.0°C. ¿Cuál es el volumen?
30. (I) En un motor de combustión interna, el aire a presión atmosférica y una temperatura cercana a 20°C se comprime en
el cilindro mediante un pistón a 19 de su volumen original (tasa de compresión 9.0). Estime la temperatura del aire comprimido, si se supone que la presión alcanza 40 atm.
31. (II) Con la ley del gas ideal, calcule la densidad del oxígeno a PTE.
32. (II) Un tanque de almacenamiento contiene 21.6 kg de nitrógeno (N2) a una presión absoluta de 3.65 atm. ¿Cuál será la
presión si el nitrógeno se sustituye por una masa igual de
CO2?
33. (II) Un tanque de almacenamiento a PTE contiene 18.5 kg de
nitrógeno (N2). a) ¿Cuál es el volumen del tanque? b) ¿Cuál
es la presión si se añaden 15.0 kg más de nitrógeno sin modificar la temperatura?
34. (II) Si 18.75 moles de gas helio están a 10.0°C y una presión
manométrica de 0.350 atm, a) calcule el volumen del gas helio en esas condiciones. b) Calcule la temperatura si el gas se
comprime precisamente a la mitad del volumen a una presión manométrica de 1.00 atm.
35. (II) ¿Cuál es la presión dentro de un contenedor de 35.0 L en
cuyo interior hay 105.0 kg de gas argón a 385 K?
36. (II) Un tanque contiene 26.0 kg de gas O2 a una presión manométrica de 8.70 atm. Si el oxígeno se sustituye por helio,
¿cuántos kilogramos de este último se necesitarán para producir una presión manométrica de 7.00 atm?
37. (II) Un globo de aire caliente alcanza su sustentación de flotación al calentar el aire en su interior, lo que lo hace menos
denso que el aire exterior. Suponga que el volumen de un
globo es de 1800 m3 y que la sustentación requerida es de
2700 N (estimación aproximada del peso del equipo y el pasajero). Calcule la temperatura del aire dentro del globo que
producirá la sustentación requerida. Suponga que la temperatura del aire exterior es de 0°C y que el aire es un gas ideal
en tales condiciones. ¿Qué factores limitan la altitud máxima
alcanzable por este método para una carga dada? (Ignore las
variables como el viento).
38. (II) Una llanta está llena con aire a 15°C a una presión manométrica de 220 kPa. Si la llanta alcanza una temperatura
de 38°C, ¿qué fracción del aire original se debe remover si se
mantiene la presión original de 220 kPa?
39. (II) Si 61.5 L de oxígeno a 18.0°C y una presión absoluta de
2.45 atm se comprimen a 48.8 L y al mismo tiempo la temperatura se eleva a 50.0°C, ¿cuál será la nueva presión?
40. (III) Un globo lleno de helio escapa de la mano de un niño a
nivel del mar y 20.0°C. Cuando alcanza una altitud de 3000 m,
donde la temperatura es de 5.0°C y la presión sólo es de 0.70
atm, ¿cómo se comparará su volumen con el que tiene al nivel del mar?
13–9 Ley del gas ideal en términos de moléculas;
número de Avogadro
41. (I) Calcule el número de moléculasm3 en un gas ideal a PTE.
42. (I) ¿Cuántos moles de agua hay en 1.000 L? ¿Cuántas moléculas?
43. (II) Estime el número de a) moles y b) moléculas de agua en
todos los océanos de la Tierra. Suponga que el agua cubre el
75% de la Tierra a una profundidad promedio de 3 km.
44. (II) Una caja cúbica, de 5.1 102 m3 de volumen, está llena
con aire a presión atmosférica y 20°C. La caja está cerrada y
se calienta a 180°C. ¿Cuál es la fuerza neta sobre cada lado
de la caja?
45. (III) Estime cuántas moléculas de aire hay en cada inhalación de 2.0 L que realiza una persona, y que también estuvieron en el último aliento de Galileo. [Sugerencia: Suponga que
la atmósfera tiene aproximadamente 10 km de alto y densidad constante].
13–10 Interpretación molecular de la temperatura
46. (I) a) ¿Cuál es la energía cinética de traslación promedio de
una molécula de oxígeno a PTE? b) ¿Cuál es la energía cinética de traslación total de 2.0 moles de moléculas de O2 a
20°C?
47. (I) Calcule la rapidez rms de los átomos de helio cercanos a la
superficie del Sol, a una temperatura de más o menos 6000 K.
48. (I) ¿En qué factor aumentará la rapidez rms de las moléculas
de gas si la temperatura se aumenta de 0°C a 100°C?
49. (I) Un gas está a 20°C. ¿A qué temperatura se debe elevar
para duplicar la rapidez rms de sus moléculas?
50. (I) Doce moléculas tienen los siguientes valores de rapidez,
en unidades de kms: 6, 2, 4, 6, 0, 4, 1, 8, 5, 3, 7 y 8. Calcule la
rapidez rms.
51. (II) La rapidez rms de las moléculas en un gas a 20.0°C aumentará en 1.0%. ¿A qué temperatura se debe elevar?
52. (II) Si la presión de un gas se duplica mientras su volumen se
mantiene constante, ¿en qué factor cambia la vrms?
Problemas
381
53. (II) Demuestre que la rapidez rms de las moléculas en un gas
está dada por vrms = 23Pr , donde P es la presión en el
gas y r es la densidad del gas.
* 13–13 Presión de vapor; humedad
54. (II) Demuestre que, para una mezcla de dos gases a la misma
temperatura, la razón de sus rapideces rms es igual a la razón
inversa de las raíces cuadradas de sus masas moleculares.
* 64. (I) ¿Cuál es la presión del aire en un lugar donde el agua
55. (II) ¿Cuál es la rapidez rms de las moléculas de nitrógeno
contenidas en un volumen de 8.5 m3 a 2.1 atm, si la cantidad
total de nitrógeno es de 1300 moles?
* 66. (I) ¿Cuál es la temperatura en un día en el que la presión
* 63. (I) ¿Cuál es el punto de rocío (aproximadamente) si la humedad es de 50% en un día en el que la temperatura es de 25°C?
hierve a 90°C?
* 65. (I) Si la presión del aire en un lugar particular en las montañas
es de 0.72 atm, estime la temperatura a la que hierve el agua.
56. (II) Calcule a) la rapidez rms de una molécula de oxígeno a
0°C y b) determine cuántas veces por segundo se movería en
promedio de ida y vuelta a través de una habitación de 7.0 m
de largo, si se supone que realiza muy pocas colisiones con
otras moléculas.
57. (II) ¿Cuál es la distancia promedio entre las moléculas de nitrógeno a PTE?
58. (II) a) Estime la rapidez rms de un aminoácido cuya masa
molecular es de 89 u en una célula viva a 37°C. b) ¿Cuál sería
la rapidez rms de una proteína de masa molecular 50,000 u a
37°C?
59. (II) Demuestre que la presión P de un gas se puede escribir
P = 13 rv2, donde r es la densidad del gas y v es la rapidez
rms de las moléculas.
235
238
60. (III) Los dos isótopos del uranio, U y U (los supraíndices se refieren a sus masas atómicas), se pueden separar mediante un proceso de difusión de gas al combinarlos con
fluorina para hacer el compuesto gaseoso UF6. Calcule la razón de las rapideces rms de dichas moléculas para los dos
isótopos, a T constante.
* 13–12 Gases reales; cambios de fase
* 61. (I) a) A presión atmosférica, ¿en qué fases puede existir el
CO2? b) ¿Para qué rango de presiones y temperaturas el CO2
puede ser líquido? Conviene remitirse a la figura 13-21.
* 62. (I) ¿En qué fase está el agua cuando la presión es de 0.01
atm y la temperatura es a) 90°C y b) 20°C?
parcial del agua es 530 Pa y la humedad relativa es del 40%?
* 67. (I) ¿Cuál es la presión parcial del agua en un día en el que la
temperatura es de 25°C y la humedad relativa es del 35%?
* 68. (I) ¿Cuál es la presión aproximada dentro de una olla de presión si el agua hierve a una temperatura de 120°C? Suponga
que no escapa aire durante el proceso de calentamiento, que
comenzó a 20°C.
* 69. (II) Si la humedad en una habitación de 680 m3 de volumen a
25°C es del 80%, ¿qué masa de agua todavía se puede evaporar de una cacerola abierta?
* 70. (III) Aire que está en su punto de rocío de 5°C se lleva a un
edificio donde se calienta a 25°C. ¿Cuál será la humedad relativa a esta temperatura? Suponga presión constante de 1.0
atm. Tome en cuenta la expansión del aire.
* 13–14 Difusión
* 71. (II) Estime el tiempo necesario para que una molécula de
glicina (véase la tabla 13-4) se difunda una distancia de 15 mm
en agua a 20°C si su concentración varía sobre dicha distancia
desde 1.00 molm3 hasta 0.40 molm3. Compare esta “rapidez” con su rapidez (térmica) rms. La masa molecular de la
glicina es de aproximadamente 75 u.
* 72. (II) El oxígeno se difunde desde la superficie de los insectos
hacia el interior a través de pequeños tubos llamados tráqueas. Una tráquea promedio mide aproximadamente 2 mm
de largo y tiene un área transversal de 2 109 m2. Si se supone que la concentración del oxígeno en el interior es la mitad
de la que está en el exterior en la atmósfera, a) demuestre
que la concentración de oxígeno en el aire (se supone que el
21% es oxígeno) a 20°C es cercana a 8.7 molm3, entonces b)
calcule la tasa de difusión J y c) estime el tiempo promedio
para que una molécula se difunda. Considere que la constante de difusión es 1 105 m2s.
Problemas generales
73. Un preciso flexómetro de acero se ha calibrado a 20°C. A
34°C, a) ¿arrojará una lectura hacia arriba o hacia abajo y b)
cuál será el error porcentual?
74. Una tasa medidora de Pyrex se calibró a temperatura ambiente normal. ¿Cuánto error se cometerá en una receta
que pide 300 mL de agua fría, si tanto el agua como la tasa
están calientes, a 80°C, y no a 20°C? Desprecie la expansión
del vidrio.
75. La presión manométrica en un cilindro de gas helio inicialmente es de 28 atm. Después de haber inflado muchos globos,
la presión manométrica disminuyó a 5 atm. ¿Qué fracción del
gas original permanece en el cilindro?
76. Estime el número de moléculas de aire en una habitación de
6.5 m de longitud, 3.1 m de ancho y 2.5 m de alto. La temperatura es de 22°C. ¿A cuántas moles corresponde eso?
77. En el espacio exterior, la densidad de la materia es de aproximadamente un átomo por cm3, principalmente átomos de hidrógeno, y la temperatura es de 2.7 K. Calcule la rapidez rms
de esos átomos de hidrógeno, y la presión (en atmósferas).
382
CAPÍTULO 13
Temperatura y teoría cinética
78. La presión más baja que se obtiene con el uso de las mejores
técnicas de vacío disponibles es de aproximadamente 1012
Nm2. A tal presión, ¿cuántas moléculas existen por cm3 a 0°C?
79. Si un buzo llena sus pulmones a toda su capacidad de 5.5 L
cuando está a 10 m por debajo de la superficie, ¿a qué volumen se expandirían sus pulmones si subiese rápidamente a la
superficie? ¿Es esto aconsejable?
80. Un vehículo espacial que regresa de la Luna ingresa a la atmósfera terrestre con una rapidez cercana a 40,000 kmh.
¿A qué temperatura corresponden las moléculas (de nitrógeno) que golpean la nariz del vehículo con esta rapidez? (A
causa de esta alta temperatura, la nariz de un vehículo espacial debe fabricarse con materiales especiales; de hecho, parte
de ella se vaporiza, y esto se ve como un brillante resplandor
en el reingreso).
81. La temperatura de un gas ideal aumenta desde 110°C hasta
360°C mientras el volumen y el número de moles permanecen constantes. ¿En qué factor cambia la presión? ¿En qué
factor cambia vrms?
www.elsolucionario.org
82. Una casa tiene un volumen de 770 m3. a) ¿Cuál es la masa total del aire adentro de la casa a 20°C? b) Si la temperatura
desciende a 10°C, ¿qué masa de aire entra o sale de la casa?
83. A partir del valor conocido de presión atmosférica en la superficie de la Tierra, estime el número total de moléculas de
aire en la atmósfera terrestre.
84. ¿Cuál es la rapidez rms de las moléculas de nitrógeno contenidas en un volumen de 7.6 m3 a 4.2 atm, si la cantidad total
de nitrógeno es de 1800 moles?
85. Un cilindro estándar de oxígeno usado en un hospital tiene
presión manométrica 2000 psi (13,800 kPa) y volumen 16 L (0.016 m3) a T 295 K. ¿Cuánto durará el cilindro si la
tasa de flujo, medida a presión atmosférica, es constante a 2.4
Lmin?
86. Un cubo de hierro flota en un tazón de mercurio líquido a
0°C. a) Si la temperatura se eleva a 25°C, ¿el cubo flotará
más alto o más bajo en el mercurio? b) ¿En qué porcentaje
cambiará la fracción de volumen sumergido?
87. La densidad de la gasolina a 0°C es 0.68 103 kgm3. ¿Cuál
es la densidad en un día caluroso, cuando la temperatura es
de 38°C? ¿Cuál es el cambio porcentual?
88. Si se ajustara una banda de acero alrededor del ecuador terrestre a 25°C, pero entonces se le calentara a 45°C, ¿a qué
altura sobre la Tierra estaría la banda (si se supone igual en
todas partes)?
89. Una tapa de latón se aprieta fuertemente en un frasco de vidrio a 20°C. Para ayudar a abrir el frasco, se puede colocar en
un baño de agua caliente. Después de este tratamiento, la
temperatura tanto de la tapa como del frasco es de 60°C. El
diámetro interior de la tapa es de 8.0 cm a 20°C. Encuentre
el tamaño de la brecha (diferencia en los radios) que se desarrolla mediante este procedimiento.
90. La primera longitud estándar, adoptada en el siglo XVIII, fue
una barra de platino con dos marcas muy finas separadas una
distancia que se definió exactamente como 1 m. Si esta barra
estándar fuese precisa en un rango de ± 1.0 mm, ¿cuán cuidadosamente tendrían que controlar la temperatura los encargados? El coeficiente de expansión lineal para el platino es 9
106 C°1.
91. Un tanque de buceo, cuando está completamente cargado,
tiene una presión de 195 atm a 20°C. El volumen del tanque
es de 11.3 L. a) ¿Cuál sería el volumen del aire a 1.00 atm y a
la misma temperatura? b) Antes de entrar al agua, una persona consume 2.0 L de aire en cada respiración, y respira 12
veces por minuto. A esta tasa, ¿cuánto duraría el tanque? c)
A una profundidad de 20.0 m de agua de mar y temperatura
de 10°C, ¿cuánto tiempo duraría el mismo tanque si se supone que la tasa de respiración no cambia?
92. La rapidez de escape de la Tierra es de 1.12 104 ms, de
modo que una molécula de gas que viaje alejándose de la
Tierra cerca de la frontera exterior de la atmósfera terrestre,
a esta rapidez, sería capaz de escapar del campo gravitacional de la Tierra. ¿A qué temperatura la rapidez promedio
de a) las moléculas de oxígeno y de b) los átomos de helio
es igual a 1.12 104 ms? c) ¿Se comprende ahora por qué
la atmósfera terrestre contiene oxígeno, y no helio?
93. La tapa de 1.0 kg de un bote de basura está suspendida contra la gravedad mediante pelotas de tenis lanzadas verticalmente hacia arriba contra ella. ¿Cuántas pelotas de tenis
por segundo deben rebotar elásticamente en la tapa, si se
supone que tienen una masa de 0.060 kg y que se lanzan a
12 ms?
94. Un buzo libera una burbuja (esférica) de aire de 3.00 cm de
diámetro desde una profundidad de 14.0 m en un lago. Suponga que la temperatura es constante a 298 K y que el aire
se comporta como un gas perfecto. ¿Qué tan grande es la
burbuja cuando alcanza la superficie?
* 95. Calcule la presión de vapor de agua total en el aire durante
los siguientes dos días: a) un caluroso día de verano, con la
temperatura en 30°C y la humedad relativa en un 40%; b)
un frío día de invierno, con la temperatura en 5°C y la humedad relativa en un 80%.
* 96. Un sauna tiene 7.0 m3 de volumen de aire, y la temperatura
es de 90°C. El aire está perfectamente seco. ¿Cuánta agua
(en kg) se debe evaporar si se quiere aumentar la humedad
relativa de 0% al 10%? (Consulte la tabla 13-3).
* 97. Estime la diferencia porcentual en la densidad del hierro a
y cuando es un sólido en la profundidad de la Tierra
donde la temperatura es de 2000°C y está bajo 5000 atm de
presión. El módulo volumétrico (90 109 Nm2) y el coeficiente de expansión volumétrica no varían con la temperatura y son los mismos que a PTE.
PTE
* 98. a) Utilice la ley del gas ideal para demostrar que, para un
gas ideal a presión constante, el coeficiente de expansión de
volumen es igual a b 1T, donde T es la temperatura en
kelvins. Compare con la tabla 13-1 para gases a T 293 K.
b) Demuestre que el módulo volumétrico (sección 9-5) para
un gas ideal que se mantiene a temperatura constante es B
P, donde P es la presión.
* 99. En los climas húmedos, las personas constantemente deshumidifican sus sótanos para evitar podredumbre y moho. Si
el sótano en una casa (mantenida a 20°C) tiene 95 m2 de superficie de suelo y una altura de 2.8 m, ¿cuál es la masa de
agua que se debe remover de él para que la humedad descienda del 95% a un más razonable 30%?
Respuestas a los ejercicios
A: – 40°C = – 40°F.
B: 24.0 L.
C: Menos.
D: 3.5 * 10 –9 ms.
Problemas generales
383
Cuando hace frío, la ropa abrigadora
actúa como aislante para reducir la
pérdida de calor del cuerpo hacia
el exterior mediante conducción y
convección. La radiación del calor
proveniente de una fogata calienta
tanto al cuerpo como a la ropa. El
fuego también transfiere energía directamente mediante conducción de
calor hacia los alimentos que se cocinan. El calor, al igual que el trabajo, representa una transferencia
de energía. Por eso se define como
una transferencia de energía causada
por una diferencia de temperatura.
Otro concepto útil es el de energía
interna U, que es la suma de todas
las energías de las moléculas de un
sistema.
14
CAPÍTULO
Calor
C
uando una tetera con agua fría se coloca sobre el quemador caliente de una
estufa, la temperatura del agua aumenta. Se dice que el calor “fluye” del
quemador caliente hacia el agua fría. Cuando dos objetos a diferentes temperaturas se ponen en contacto, el calor fluye espontáneamente del más caliente al
más frío. El flujo espontáneo de calor es en la dirección que tiende a igualar la temperatura. Si los dos objetos se mantienen en contacto el tiempo suficiente para que
sus temperaturas se igualen, se dice que los objetos están en equilibrio térmico y a
partir de entonces ya no existirá más flujo de calor entre ellos. Por ejemplo, cuando
se coloca por primera vez un termómetro en la boca de una persona, el calor fluye
de la boca hacia el termómetro. Cuando este último alcanza la misma temperatura
que el interior de la boca, entonces el termómetro y la boca están en equilibrio, y ya
no fluye más calor.
Con frecuencia, calor y temperatura se confunden. Son conceptos muy diferentes, y en este capítulo se hará una clara distinción entre ellos. Se comenzará por definir y usar el concepto de calor. También se explicará cómo se usa el calor en
calorimetría y cómo participa en los cambios de estado de la materia y los procesos
de transferencia de calor: conducción, convección y radiación.
384
14–1 El calor como transferencia de energía
El término “calor” se usa en la vida cotidiana como si se supiese de qué se está hablando. Pero, con frecuencia, el término se utiliza de manera inconsistente, por lo
que es importante definir con precisión qué se entiende por calor y clarificar los fenómenos y conceptos relacionados con él.
Comúnmente se habla del flujo de calor: el calor fluye del quemador de una estufa hacia una olla de sopa, del Sol a la Tierra, o de la boca de una persona hacia un
termómetro. El calor fluye espontáneamente de un objeto a temperatura más alta
hacia otro con temperatura más baja. De hecho, un modelo del calor propuesto en
el siglo XVIII concebía el flujo del calor como el movimiento de una sustancia fluida
llamada calórico. Sin embargo, el fluido calórico nunca fue detectado. En el siglo
XIX, se encontró que los diversos fenómenos asociados con el calor se podrían describir de manera consistente mediante un nuevo modelo que concebía al calor como
algo parecido al trabajo, como se explicará en un momento. Primero hay que hacer
notar que una unidad común para el calor, todavía en uso en la actualidad, se nombró en honor al calórico. Se denomina caloría (cal) y se define como la cantidad de
calor necesaria para elevar la temperatura de 1 gramo de agua en 1 grado Celsius.
[Para ser precisos, se especifica el rango particular de temperatura que va de 14.5°C
a 15.5°C, pues el calor que se requiere es ligeramente diferente a distintas temperaturas. La diferencia es menor del 1% en el rango de 0 a 100°C, y se ignorará para la
mayoría de los propósitos]. Con más frecuencia que la caloría se usa la kilocaloría
(kcal), que equivale a 1000 calorías. Así que 1 kcal es el calor necesario para elevar
1 kg de agua en 1 C°. Por lo general, a una kilocaloría se le llama Caloría (con C mayúscula), y es con esta unidad con la que se especifica el valor energético de los alimentos. En el sistema inglés de unidades, el calor se mide en unidades térmicas
británicas (Btu, por sus siglas en inglés). Un Btu se define como el calor necesario
para elevar la temperatura de 1 lb de agua en 1 F°. Es posible demostrar (problema
4) que 1 Btu = 0.252 kcal = 1055 J.
Varios científicos del siglo XIX aceptaron la idea de que el calor estaba relacionado con la energía; entre ellos, destaca particularmente un cervecero inglés, James
Prescott Joule (1818-1889). Joule y otros investigadores realizaron varios experimentos que fueron cruciales para la aceptación de la visión actual de que el calor, al igual
que el trabajo, representa una transferencia de energía. Uno de los experimentos de
Joule se muestra (simplificado) en la figura 14-1. El peso que cae provoca que una
rueda de paletas gire. La fricción entre el agua y la rueda de paletas provoca que la
temperatura del agua aumente ligeramente (de hecho, apenas mensurable para Joule). El mismo aumento de temperatura también se podría obtener al calentar el agua
en una estufa. A partir de éste y muchos otros experimentos (algunos de los cuales
implicaban energía eléctrica), Joule determinó que una cantidad dada de trabajo realizado siempre era equivalente a una cantidad particular de entrada de calor. En términos cuantitativos, se encontró que 4.186 joules (J) de trabajo eran equivalentes a 1
caloría (cal) de calor. Esto se conoce como el equivalente mecánico del calor:
4.186 J = 1 cal;
4.186 kJ = 1 kcal.
P R E C A U C I Ó N
El calor no es un fluido
La caloría (unidad)
Kilocaloría (= caloría alimenticia)
BTU
Peso
FIGURA 14–1 Experimento de
Joule sobre el equivalente mecánico
del calor.
Equivalente mecánico
del calor
Como resultado de éstos y otros experimentos, los científicos, lejos de interpretar el calor como una sustancia o como una forma de energía, determinaron que éste, más bien, se refiere a una transferencia de energía: cuando el calor fluye de un
objeto caliente a uno más frío, es energía la que se transfiere del objeto caliente al objeto frío. Así, el calor es energía transferida de un objeto a otro que obedece a una diferencia en temperatura. En unidades SI, la unidad para el calor, como para cualquier
forma de energía, es el joule. No obstante, a veces todavía se usan las calorías y kcal.
En la actualidad, la caloría se define en términos del joule (a través del equivalente
mecánico del calor que se acaba de precisar), más que en términos de las propiedades del agua, como se mencionó anteriormente. Pero esto último es fácil de recordar:
1 cal eleva 1 g de agua en 1 C°, o 1 kcal eleva 1 kg de agua en 1 C°.
Siempre que se use la palabra “calor”, se da a entender una transferencia de
energía de un lugar u objeto a otro que se encuentra a una temperatura más baja.
SECCIÓN 14–1
Definición de calor: energía
transferida debida a ¢T
P R E C A U C I Ó N
Calor se refiere a una
transferencia de energía,
no a la energía en sí.
El calor como transferencia de energía
385
www.elsolucionario.org
El resultado de Joule fue crucial porque extendió el principio trabajo-energía
para incluir procesos que implican calor. Sus estudios también condujeron al establecimiento de la ley de la conservación de energía, que se estudiará con detalle en
el siguiente capítulo.
F Í S I C A
A P L I C A D A
Quema de calorías
EJEMPLO 14–1 ESTIMACIÓN Quema de calorías adicionales. Una persona come demasiado helado y pastel en el orden de 500 Calorías. Para contrarrestar
este exceso, quiere hacer una cantidad equivalente de ejercicio subiendo escaleras
o una montaña. ¿Qué altura debe escalar? Para este cálculo, considere que la masa
de la persona es de 60 kg.
PLANTEAMIENTO El trabajo W que se necesita hacer para subir escaleras es
igual al cambio en energía potencial gravitacional: W = ¢PE = mgh, donde h
es la altura vertical escalada.
SOLUCIÓN 500 Calorías es igual a 500 kcal, lo que en joules equivale a
(500 kcal)A4.186 * 103 JkcalB = 2.1 * 106 J.
El trabajo realizado al escalar una altura vertical h es W = mgh. Se resuelve para h:
h =
2.1 * 106 J
W
=
= 3600 m.
mg
(60 kg)A9.80 ms2 B
Éste es un gran cambio en altura (arriba de 11,000 ft).
NOTA El cuerpo humano no transforma energía con el 100% de eficiencia; más
bien, lo hace con un 20% de eficiencia. Como se explicará en el capítulo 15, alguna energía siempre se “desperdicia”, así que en realidad, la persona en cuestión
tendría que ascender sólo aproximadamente (0.2)(3600 m) L 700 m, que todavía es
mucho (alrededor de 2300 ft de ganancia de altura).
14–2 Energía interna
Energía interna
La suma de la energía de todas las moléculas de un objeto constituye su energía interna. (En ocasiones se usa el término energía térmica para significar lo mismo).
Ahora se introduce el concepto de energía interna, puesto que ayudará a clarificar
varias ideas en torno al calor.
Distinción entre temperatura, calor y energía interna
P R E C A U C I Ó N
Distinción entre calor,
energía interna y temperatura
P R E C A U C I Ó N
La dirección del flujo de calor
depende de la temperatura (no de
la cantidad de energía interna)
La teoría cinética permite hacer una clara distinción entre temperatura, calor y
energía interna. La temperatura (en kelvins) es una medida de la energía cinética
promedio de moléculas individuales. La energía interna se refiere a la energía total
de todas las moléculas en el objeto. (En consecuencia, dos lingotes de hierro de
igual masa pueden tener la misma temperatura, pero dos de ellos tienen el doble
de energía térmica de la que tiene uno solo). El calor, finalmente, se refiere a una
transferencia de energía de un objeto a otro como resultado de una diferencia en
temperatura.
La dirección del flujo de calor entre dos objetos depende de sus temperaturas,
no de cuánta energía interna tenga cada uno. De este modo, si 50 g de agua a 30°C
se ponen en contacto (o se mezclan) con 200 g de agua a 25°C, el calor fluye desde el agua a 30°C hacia el agua a 25°C, aun cuando la energía interna del agua de
25°C sea mucho mayor puesto que hay mayor cantidad de ella.
Energía interna de un gas ideal
Ahora se calculará la energía interna de n moles de un gas monoatómico (un átomo
por molécula) ideal. La energía interna, U, es la suma de las energías cinéticas de
traslación de todos los átomos. Esta suma es justo igual a la energía cinética prome-
386
CAPÍTULO 14
Calor
dio por molécula por el número total de moléculas, N:
U = N A 12 mOB.
Usando la ecuación 13-8, G =
U = 32 NkT
o (recuerde la sección 13-9)
U =
3
2
1
2
mO =
nRT,
3
2
kT, se puede escribir como
[gas monoatómico ideal] (14–1)
donde n es el número de moles. Por tanto, la energía interna de un gas ideal sólo depende de la temperatura y del número de moles de gas.
Si las moléculas del gas contienen más de un átomo, entonces también deben
considerarse las energías de rotación y vibratoria de las moléculas (figura 14-2). La
energía interna será más grande a una temperatura dada que para un gas monoatómico, pero todavía será sólo una función de la temperatura para un gas ideal.
La energía interna de los gases reales también depende principalmente de
la temperatura, pero cuando los gases reales se desvían del comportamiento de gas
ideal, su energía interna depende también un poco de la presión y del volumen (en
virtud de la energía potencial atómica).
La energía interna de los líquidos y sólidos es bastante complicada, pues incluye energía potencial eléctrica asociada con las fuerzas (o enlaces “químicos”) entre
los átomos y moléculas.
Energía interna de gas monoatómico
ideal
a)
b)
14–3 Calor específico
Si el calor fluye a un objeto, la temperatura de éste aumenta (si se supone que no
hay cambio de fase). Pero, ¿cómo sube la temperatura? Eso depende de varios factores. Ya desde el siglo XVIII, los experimentadores habían reconocido que la cantidad de calor Q requerida para cambiar la temperatura de un material dado es
proporcional a la masa m del material presente y al cambio de temperatura T. Esta notable simplicidad en la naturaleza se expresa en la ecuación
Q = mc ¢T,
(14–2)
donde c es una cantidad característica del material llamada calor específico. Puesto
que c = Qm T, el calor específico está indicado en unidades de JkgC° (la unidad
SI adecuada) o kcalkgC°. Para el agua a 15°C y una presión constante de 1 atm,
c = 4.19 * 103 JkgC° o 1.00 kcalkgC°, pues, por la definición de caloría y de joule,
toma 1 kcal de calor elevar la temperatura de 1 kg de agua en 1 C°. La tabla 14-1
proporciona los valores de calor específico para otras sustancias a 20°C. Los valores
de c dependen en cierta medida de la temperatura (así como ligeramente de la presión), pero, para cambios de temperatura que no son demasiado grandes, c generalmente se puede considerar constante.
EJEMPLO 14–2 Cómo el calor transferido depende del calor específico.
a) ¿Cuánta entrada de calor se necesita para elevar la temperatura de una barrica
vacía de 20 kg, hecha de hierro, desde 10°C hasta 90°C? b) ¿Y cuánta si la barrica está llena con 20 kg de agua?
PLANTEAMIENTO Se aplica la ecuación 14-2 a los diferentes materiales que participan en este caso.
SOLUCIÓN a) El sistema es la barrica de hierro sola. A partir de la tabla 14-1,
se sabe que el calor específico del hierro es 450 JkgC°. El cambio en la temperatura es (90°C - 10°C) = 80°C. Por tanto,
Q = mc ¢T = (20 kg)(450 Jkg C°)(80 C°) = 7.2 * 105 J = 720 kJ.
b) El sistema es la barrica más el agua. El agua sola requeriría
Q = mc ¢T = (20 kg)(4186 Jkg C°)(80 C°) = 6.7 * 106 J = 6700 kJ,
o casi 10 veces lo que requiere una masa igual de hierro. El total, para la barrica
más el agua, es 720 kJ + 6700 kJ = 7400 kJ.
NOTA En b), la barrica de hierro y el agua experimentan el mismo cambio de
temperatura, T = 80 C°, pero sus calores específicos son diferentes.
FIGURA 14–2 Además de energía
cinética de traslación, las moléculas
pueden tener a) energía cinética
de rotación y b) energía vibratoria
(tanto cinética como potencial).
Relación entre transferencia de calor
y cambio de temperatura
Calor específico
TABLA 14–1 Calores específicos
(a 1 atm de presión constante y 20°C, a
menos que se indique de otra manera)
Calor específico, c
Sustancia
kcal kg C°
( cal g C°) J kg C°
Aluminio
Alcohol
(etílico)
Cobre
Vidrio
Hierro o acero
Plomo
Mármol
Mercurio
Plata
Madera
Agua
Hielo (–5°C)
Líquido (15°C)
Vapor (110°C)
Cuerpo humano
(promedio)
Proteína
SECCIÓN 14–3
0.22
900
0.58
0.093
0.20
0.11
0.031
0.21
0.033
0.056
0.4
2400
390
840
450
130
860
140
230
1700
0.50
1.00
0.48
2100
4186
2010
0.83
0.4
3470
1700
Calor específico
387
Efectos prácticos del alto calor
específico del agua
Si la barrica de hierro en el inciso a) del ejemplo 14-2 se hubiese enfriado de 90°C a
10°C, 720 kJ de calor habrían fluido hacia fuera del hierro. En otras palabras, la
ecuación 14-2 es válida para el flujo de calor, ya sea de entrada o salida, con un correspondiente aumento o disminución de temperatura. En el inciso b) se vio que el
agua requiere casi 10 veces tanto calor como una masa igual de hierro para efectuar
el mismo cambio de temperatura. El agua tiene uno de los calores específicos más
altos de todas las sustancias, lo que la hace una sustancia ideal para sistemas de calentamiento de espacios y para otros usos que requieren una mínima caída en temperatura para una cantidad dada de transferencia de calor. Por eso también es el
contenido de agua el que hace que sea la pulpa y no la cubierta de una tarta de
manzana la que queme la lengua de una persona a través de transferencia de calor.
EJEMPLO CONCEPTUAL 14–3 Una sartén muy caliente. Por accidente, una
persona deja que una sartén de hierro vacía se caliente demasiado sobre la estufa
(200°C o incluso más). ¿Qué ocurre cuando se vierten unas cuantas pulgadas de
agua fría en el fondo de la sartén? ¿La temperatura final estará a la mitad entre las
temperaturas iniciales del agua y la sartén? ¿El agua comenzará a hervir? Se supone que la masa del agua es aproximadamente la misma que la masa de la sartén.
RESPUESTA La experiencia indica que el agua se calienta, quizá tanto como 10 o
20 grados. El agua no llega cerca de la ebullición. El aumento de temperatura del
agua es mucho menor que la disminución de temperatura de la sartén. ¿Por qué?
Porque la masa del agua es aproximadamente igual a la de la sartén, y el hierro tiene un calor específico casi 10 veces menor que el del agua (tabla 14-1). Conforme
el calor deja la sartén para entrar en el agua, el cambio en la temperatura de la sartén de hierro será casi 10 veces mayor que el del agua. Si, en vez de ello, se deja
que unas cuantas gotas de agua caigan en la sartén caliente, esta muy pequeña masa de agua chisporroteará y hervirá (la masa de la sartén puede ser cientos de veces mayor que la del agua).
* Calores específicos para gases
TABLA 14–2
Calores específicos de gases
(kcal kg C°)
cp
cv
(presión (volumen
constante) constante)
Gas
Vapor (100°C)
Oxígeno
Helio
Dióxido de
carbono
Nitrógeno
0.482
0.218
1.15
0.350
0.155
0.75
0.199
0.248
0.153
0.177
Los calores específicos para gases son más complicados que para los sólidos y líquidos, que modifican su volumen sólo ligeramente con un cambio de temperatura (sección 13-4). Los gases cambian enormemente su volumen con un cambio en la
temperatura a presión constante, como se vio en el capítulo 13 cuando se estudiaron
las leyes de los gases; o, si el volumen se mantiene constante, la presión en un gas
cambia enormemente con la temperatura. El calor específico de un gas depende mucho de cómo se lleve a cabo el proceso de cambiar su temperatura. Más comúnmente, se trata con los calores específicos de los gases al mantener a) la presión constante
(cP) o b) el volumen constante (cV). En la tabla 14-2 se proporcionan algunos valores,
donde se ve que cP siempre es mayor que cV. Para los líquidos y sólidos, esta distinción, por lo general, es despreciable. En el apéndice D se ofrecen más detalles acerca
de los calores específicos moleculares y de la equipartición de la energía.
14–4 Calorimetría. Resolución de problemas
Sistemas
388
CAPÍTULO 14
Calor
Al analizar el calor y la termodinámica, con frecuencia se debe hacer referencia a sistemas particulares. Como ya se mencionó en capítulos anteriores, un sistema es cualquier objeto o conjunto de objetos que se desea considerar. Todo lo demás en el
universo constituirá su “ambiente” o los “alrededores”. Existen varias categorías de
sistemas. Un sistema cerrado es aquel en el que ninguna masa entra o sale (aunque
puede intercambiar energía con el ambiente). En un sistema abierto, la masa puede
entrar o salir (al igual que la energía). Muchos sistemas (idealizados) que se estudian
en física son sistemas cerrados. Pero muchos sistemas, incluso plantas y animales, son
sistemas abiertos pues intercambian materiales (alimento, oxígeno, productos de desecho) con el ambiente. Se dice que un sistema cerrado está aislado si ninguna forma
de energía pasa a través de sus fronteras; de otro modo, no está aislado.
Cuando diferentes partes de un sistema aislado están a distintas temperaturas,
el calor fluirá (se transferirá energía) de la parte que tiene mayor temperatura hacia
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la parte a menor temperatura; esto es, dentro del sistema. Si el sistema está completamente aislado, ninguna energía se transferirá hacia él o desde él. Así que la conservación de la energía juega de nuevo un importante papel: la pérdida de calor por
una parte del sistema es igual al calor ganado por la otra parte:
pérdidad de calor = ganancia de calor
Conservación de energía
o
energía que sale de una parte = energía que entra a otra parte.
Estas simples relaciones son muy útiles. Observemos un ejemplo.
EJEMPLO 14–4 La taza enfría al té. Si 200 cm3 de té a 95°C se vierten en una
taza de vidrio de 150 g inicialmente a 25°C (figura 14-3), ¿cuál será la temperatura
común final T del té y la taza cuando se alcance el equilibrio, si se supone que no
fluye calor hacia los alrededores?
PLANTEAMIENTO Se aplica la conservación de la energía al sistema del té más
la taza, que se supone aislado: todo el calor que sale del té fluye hacia la taza. Se
usa la ecuación de calor específico (ecuación 14-2), para determinar cómo el flujo
de calor está relacionado con los cambios de temperatura.
SOLUCIÓN Como el té es principalmente agua, su calor específico es 4186 JkgC°
(tabla 14-1) y su masa m es su densidad por su volumen (V = 200 cm3 = 200 * 10-6m3):
m = V = (1.0 * 103 kgm3)(200 * 10-6m3) = 0.20 kg. Se usa la ecuación 14-2, se
aplica la conservación de la energía y se considera que T es la aún desconocida
temperatura final:
95°C
25°C
a)
T =?
b)
FIGURA 14–3 Ejemplo 14-4.
pérdida de calor por el té = ganancia de calor por la taza
m te cte(95°C - T) = m taza ctaza(T - 25°C).
Al ponerle números y usar la tabla 14-1 (ctaza = 840 JkgC° para el vidrio), se resuelve para T y se encuentra
(0.20 kg)(4186 Jkg C°)(95°C - T) = (0.15 kg)(840 Jkg C°)(T - 25°C)
79,500 J - (837 JC°)T = (126 JC°)T - 3150 J
T = 86°C.
El té desciende su temperatura 9 C° al llegar al equilibrio con la taza.
NOTA El aumento de temperatura de la taza es 86°C - 25°C = 61 C°. Este gran
cambio de temperatura (en comparación con el del agua del té) se debe a que tiene calor específico mucho menor en comparación con el del agua.
NOTA En este cálculo, el T (de la ecuación 14-2, Q = mc T) es una cantidad
positiva en ambos lados de la ecuación de conservación de energía. A la izquierda
está “pérdida de calor” y T es la temperatura inicial menos la final (95°C - T),
mientras que en el lado derecho está “ganancia de calor” y T es la temperatura
final menos la inicial. Pero considere el siguiente planteamiento alternativo.
Solución alternativa Es posible trabajar este ejemplo (y otros) mediante un
planteamiento alternativo. Se puede escribir que el calor total transferido hacia o
desde el sistema aislado es cero:
P R E C A U C I Ó N
Cuando se utilice pérdida
de calor = ganancia de calor,
T es positivo en ambos lados.
➥
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Planteamiento alternativo: ©Q = 0
©Q = 0.
Entonces cada término se escribe como Q = mc ATf - Ti B, y ¢T = Tf - Ti
siempre es la temperatura final menos la inicial, y cada T puede ser positivo o negativo. En este ejemplo:
©Q = m taza ctaza(T - 25°C) + m té cté(T - 95°C) = 0.
El segundo término es negativo porque T será menor que 95°C. Al resolver algebraicamente se obtiene el mismo resultado.
El intercambio de energía, como el que se ilustra en el ejemplo 14-4, es la base
para una técnica conocida como calorimetría, que es la medición cuantitativa de inSECCIÓN 14–4
Calorimetría. Resolución de problemas
389
Termómetro
Agitador
Tira aisladora
Agua
Aire (aislador)
Cubierta
Vaso
aisladora
calorimétrico
FIGURA 14–4 Calorímetro simple
de agua.
tercambio de calor. Para realizar tales mediciones, se usa un calorímetro; en la figura 14-4 se representa un simple calorímetro de agua. Es muy importante que el calorímetro esté bien aislado de modo que casi no se intercambie calor con los
alrededores. Una aplicación importante del calorímetro es la de determinar los calores específicos de las sustancias. En la técnica conocida como “método de mezclas”,
se calienta una muestra de la sustancia a una temperatura alta, que se mide con precisión, y luego rápidamente se le coloca en el agua fría del calorímetro. La pérdida
de calor por la muestra será ganada por el agua y el vaso calorimétrico. Al medir la
temperatura final de la mezcla, se puede calcular el calor específico, como se ilustra
en el ejemplo siguiente.
EJEMPLO 14–5 Calor específico desconocido determinado mediante calorimetría. Un ingeniero quiere determinar el calor específico de una nueva aleación
metálica. Una muestra de 0.150 kg de la aleación se calienta a 540°C. Entonces se
coloca rápidamente en 400 g de agua a 10.0°C, que está contenida en un vaso calorimétrico de aluminio de 200 g. (No se necesita conocer la masa de la cubierta aisladora pues se supone que el espacio de aire entre ella y el vaso lo aísla bien, de
modo que su temperatura no cambia significativamente). La temperatura final del
sistema es de 30.5°C. Calcule el calor específico de la aleación.
PLANTEAMIENTO Se aplica la conservación de la energía al sistema, que se
considera integrado por la muestra de aleación, el agua y el vaso calorimétrico.
Se supone que este sistema está aislado, de modo que la pérdida de energía por
la aleación caliente es igual a la ganancia de energía por el agua y el vaso calorimétrico.
SOLUCIÓN La pérdida de calor es igual a la ganancia de calor:
a
pérdida de calor
ganancia de calor
ganancia de calor
b = a
b + a
b
de la aleación
del agua
del vaso calorimétrico
ma ca ¢Ta = mw cw ¢Tw + mcal ccal ¢Tcal
donde los subíndices a, w y cal se refieren a la aleación, al agua y al calorímetro,
respectivamente, y cada T 0. Cuando se incluyen los valores y se usa la tabla
14-1, esta ecuación se convierte en
(0.150 kg)Aca B(540°C - 30.5°C) = (0.40 kg)(4186 Jkg C°)(30.5°C - 10.0°C)
± (0.20 kg)(900 Jkg C°)(30.5°C - 10.0°C)
76.4 ca = (34,300 + 3700) Jkg C°
ca = 500 Jkg C°.
Al realizar este cálculo se ignoró cualquier calor transferido al termómetro y al
agitador (lo que permite agilizar el proceso de transferencia de calor, y por tanto,
reducir la pérdida de calor hacia el exterior). Se puede tomar en cuenta colocando
términos adicionales al lado derecho de la ecuación anterior, lo que dará como resultado una ligera corrección del valor de ca (véase el problema 14).
➥
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Asegúrese de considerar
todas las posibles fuentes
de transferencia de energía
F Í S I C A
A P L I C A D A
Medición del contenido calórico
390
CAPÍTULO 14
Calor
En todos los ejemplos y problemas de esta especie, asegúrese de incluir todos
los objetos que ganen o pierdan calor (dentro de lo razonable). Aquí, en el lado de
“pérdida de calor”, sólo está la aleación metálica caliente. En el lado de “ganancia
de calor”, están tanto el agua como el vaso calorimétrico de aluminio. Por simplicidad, se ignoraron las masas muy pequeñas, como la del termómetro y el agitador,
que sólo afectarán muy ligeramente el equilibrio de energía.
Una bomba calorimétrica se usa para medir la energía térmica liberada cuando
se quema una sustancia. Las aplicaciones importantes son el quemado de alimentos
para determinar su contenido calórico y el quemado de semillas y otras sustancias para determinar su “contenido energético” o calor de combustión. En un contenedor
sellado (la “bomba”) se coloca una muestra cuidadosamente pesada de la sustancia,
junto con una cantidad adicional de oxígeno a alta presión. La bomba se coloca en
el agua del calorímetro y entonces se calienta durante un breve lapso un fino alambre que pasa a la bomba, lo que provoca que la mezcla se encienda. El agua y la
bomba ganan la energía liberada en el proceso de quemado.
EJEMPLO 14–6 Medición del contenido energético de una galleta. Determine el contenido energético de una galleta de chocolate Fahlgren’s de 100 g a
partir de las siguientes mediciones. A una muestra de 10 g de galleta se le permite
secarse antes de colocarla en una bomba calorimétrica. La bomba de aluminio tiene una masa de 0.615 kg y se coloca en 2.00 kg de agua contenida en un vaso calorimétrico de aluminio de 0.524 kg de masa. La temperatura inicial del sistema es
de 15.0° y su temperatura después de la ignición es de 36.0°C.
PLANTEAMIENTO Se aplica la conservación de la energía al sistema, que se supone aislado y que consiste en la muestra de galleta, la bomba, el vaso calorimétrico y el agua.
SOLUCIÓN En este caso, el calor Q liberado en el quemado de la galleta es absorbido por el sistema de bomba, calorímetro y agua:
Q = Amw cw + mcal ccal + mbomba cbomba B ¢T
= C(2.00 kg)(1.0 kcalkg C°) + (0.524 kg)(0.22 kcalkg C°)
± (0.615 kg)(0.22 kcalkg C°) D [36.0°C - 15.0°C] = 47 kcal.
En joules, Q = (47 kcal)(4186 Jkcal) = 197 kJ. Como se liberan 47 kcal en el
quemado de 10 g de galleta, una porción de 100 g contendría 470 Calorías alimenticias, o 1970 kJ.
14–5 Calor latente
Cuando un material cambia de fase, de sólido a líquido, o de líquido a gas (véase
también la sección 13-12), cierta cantidad de energía participa en este cambio de
fase. Por ejemplo, a continuación se describe lo que ocurre cuando un bloque de
hielo de 1.0 kg a -40°C se calienta a una tasa estable lenta hasta que todo el hielo
cambia a agua, y luego el agua (líquida) se calienta a 100°C y cambia a vapor sobre
los 100°C, todo ello a una presión de 1 atm. Como se observa en la gráfica de la
figura 14-5, conforme el hielo se calienta, su temperatura se eleva a una tasa cercana a 2 C°kcal de calor añadido (dado que, para el hielo, c L 0.50 kcalkgC°).
Sin embargo, cuando se alcanzan 0°C, la temperatura deja de aumentar aun cuando
todavía se esté añadiendo calor. El hielo cambia gradualmente a agua en el estado
líquido, sin cambio en temperatura. Después de que se han añadido más o menos
40 kcal a 0°C, la mitad del hielo permanece y la mitad se convierte en agua. Luego
de que se han agregado aproximadamente 80 kcal, o 330 kJ, todo el hielo se convirtió en agua, todavía a 0°C. Al continuar la adición de calor se provoca que la temperatura del agua aumente de nuevo, ahora a una tasa de 1 C°kcal. Cuando se
alcanzan 100°C, la temperatura de nuevo permanece constante conforme el calor
añadido cambia el agua líquida a vapor. Se requieren aproximadamente 540 kcal
(2260 kJ) para convertir el 1.0 kg de agua completamente en vapor, después de lo
cual la gráfica se eleva de nuevo, lo que indica que la temperatura del vapor se
eleva conforme se agrega calor.
FIGURA 14–5 Temperatura como función del calor agregado para llevar
1.0 kg de hielo a -40°C a vapor sobre 100°C.
120
Vapor de agua
80
60
40
Agua y vapor
20
0
−20
− 40
Hielo
Temperatura (°C)
100
0 20
Agua
y
hielo
Agua
(toda líquida)
100
200
300
400
500
600
700
740
Calor agregado (kcal)
SECCIÓN 14–5
Calor latente
391
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FIGURA 14–5 (repetida) Temperatura como función del calor agregado
para llevar 1.0 kg de hielo a -40°C a vapor sobre 100°C.
120
Vapor de agua
80
60
40
Agua y vapor
20
0
Hielo
Temperatura (°C)
100
−20
− 40
Agua
y
hielo
0 20
Agua
(toda líquida)
100
200
300
400
500
600
700
740
Calor agregado (kcal)
Calor de fusión
Calor de vaporización
Calor latente
El calor que se requiere para cambiar 1.0 kg de una sustancia del estado sólido
al líquido se llama calor de fusión; se le denota mediante LF. El calor de fusión del
agua es 79.7 kcalkg o, en unidades SI adecuadas, 333 kJkg (= 3.33 * 105 Jkg).
El calor que se requiere para cambiar una sustancia de la fase líquida a la de vapor
se llama calor de vaporización, LV. Para el agua es de 539 kcalkg o 2260 kJkg.
Otras sustancias siguen gráficas similares a la de la figura 14-5, aunque las temperaturas de los puntos de fusión y de ebullición son diferentes, tal como los calores
específicos y los calores de fusión y vaporización. En la tabla 14-3 se proporcionan
los valores para los calores de fusión y vaporización, que también se llaman calores
latentes, para varias sustancias.
Los calores de vaporización y fusión también se refieren a la cantidad de calor
liberado por una sustancia cuando cambia de gas a líquido, o de líquido a sólido.
Por tanto, el vapor libera 2260 kJkg cuando se convierte en agua, y el agua libera
333 kJkg cuando se vuelve hielo.
El calor que participa en un cambio de fase depende no sólo del calor latente
sino también de la masa total de la sustancia. Esto es,
Q = mL,
Cambio de fase
(14–3)
donde L es el calor latente del proceso y sustancia particulares, m es la masa de
la sustancia y Q es el calor agregado o liberado durante el cambio de fase. Por
ejemplo, cuando 5.00 kg de agua se congelan a 0°C, se liberan (5.00 kg)(3.33 *
105 Jkg) = 1.67 * 106 J de energía.
TABLA 14–3 Calores latentes (a 1 atm)
Sustancia
Punto de fusión
(°C)
Oxígeno
Nitrógeno
Alcohol etílico
Amoniaco
Agua
Plomo
Plata
Hierro
Tungsteno
†
392
CAPÍTULO 14
– 218.8
– 210.0
– 114
– 77.8
0
327
961
1808
3410
Calor de fusión
kcal kg
†
kJ kg
3.3
6.1
25
8.0
79.7
5.9
21
69.1
44
Los valores numéricos en kcalkg son los mismos en calg.
Calor
14
26
104
33
333
25
88
289
184
Punto de ebullición Calor de vaporización
(°C)
– 183
– 195.8
78
– 33.4
100
1750
2193
3023
5900
kcal kg†
kJ kg
51
48
204
33
539
208
558
1520
1150
210
200
850
137
2260
870
2300
6340
4800
En ocasiones, la calorimetría implica un cambio de estado, como muestra el
ejemplo siguiente. De hecho, los calores latentes con frecuencia se miden con el uso
de calorimetría.
EJEMPLO 14–7 Fabricación de hielo. ¿Cuánta energía tiene que remover un
congelador para convertir 1.5 kg de agua a 20°C en hielo a -12°C?
PLANTEAMIENTO Se necesita calcular la energía total removida al añadir el
flujo de salida de calor para (1) reducir el agua de 20°C a 0°C, (2) convertirla en
hielo a 0°C y (3) bajar el hielo de 0°C a -12°C.
SOLUCIÓN El calor Q que se necesita remover de 1.5 kg de agua es
Q = mcagua(20°C - 0°C) + mLF + mchielo C 0° - (–12°C)D
= (1.5 kg)(4186 Jkg C°)(20 C°) + (1.5 kg)A3.33 * 105 JkgB
± (1.5 kg)(2100 Jkg C°)(12 C°)
= 6.6 * 105 J = 660 kJ.
EJEMPLO 14–8 ESTIMACIÓN ¿Se derretirá todo el hielo? En una recepción, un trozo de hielo de 0.50 kg a -10°C se coloca en 3.0 kg de té “helado” a
20°C. ¿A qué temperatura y en qué fase estará la mezcla final? Se puede considerar al té como agua. Ignore cualquier flujo de calor hacia los alrededores, incluso
hacia el contenedor.
PLANTEAMIENTO Antes de escribir una ecuación que aplique la conservación
de la energía, primero debe verificarse si el estado final será todo hielo, una mezcla de hielo y agua a 0°C, o toda el agua. Para llevar los 3.0 kg de agua a 20°C hacia 0°C se requiere una liberación de energía de
➥
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Primero determine (o estime)
el estado final
magua cagua(20°C - 0°C) = (3.0 kg)(4186 Jkg C°)(20 C°) = 250 kJ.
Por otra parte, para elevar al hielo de -10°C a 0°C se requieren
mhielo chielo C0°C - (–10°C) D = (0.50 kg)(2100 Jkg C°)(10 C°) = 10.5 kJ,
y cambiar el hielo a agua a 0°C requiere
mhielo LF = (0.50 kg)(333 kJkg) = 167 kJ,
para un total de 10.5 kJ + 167 kJ = 177 kJ. Ésta no es suficiente energía para llevar los 3.0 kg de agua de 20°C hacia 0°C, por lo que se sabe que toda la mezcla
deberá terminar como agua, en algún punto entre 0°C y 20°C.
SOLUCIÓN Para determinar la temperatura final T se aplica la conservación de
la energía y se escribe
Luego determine la
temperatura final
ganancia de calor = pérdida de calor
§
calor para elevar
calor para
calor para elevar
calor perdido
0.50 kg de hielo
cambiar 0.50 kg
0.50 kg de agua
por 3.0 kg de
¥ + §
¥ + §
¥ = §
¥.
de – 10°C
de hielo
de 0°C
agua al enfriarla
a 0°C
a agua
aT
de 20°C a T
Al usar algunos de los resultados anteriores se obtiene
10.5 kJ + 167 kJ + (0.50 kg)(4186 Jkg C°)(T - 0°C)
= (3.0 kg)(4186 Jkg C°)(20°C - T).
Al resolver para T se obtiene
T = 5.0°C.
EJERCICIO A ¿Cuánto más hielo a -10°C se necesitaría en el ejemplo 14-8 para llevar
el té a 0°C, justo cuando se derrita todo el hielo?
SECCIÓN 14–5
Calor latente
393
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Calorimetría
1. Asegúrese de tener suficiente información para aplicar la conservación de la energía. Pregunte: ¿el sistema está aislado (o muy cerca de serlo, lo suficiente
para obtener una buena estimación)? ¿Se conocen o
se pueden calcular todas las fuentes significativas de
transferencia de energía?
2. Aplique la conservación de la energía:
ganancia de calor = pérdida de calor.
Para cada sustancia en el sistema aparecerá un término de calor (energía) ya sea en el lado izquierdo o en
el derecho de esta ecuación. [De manera alternativa,
utilice ©Q = 0].
3. Si no ocurren cambios de fase, cada término en la
ecuación de conservación de energía (anterior) tendrá
la forma
Q(ganancia) = mc AT f - T i B
o
Q(pérdida) = mc AT i - T f B
sustancia, y m y c son su masa y calor específico, respectivamente.
4. Si ocurren o pueden ocurrir cambios de fase, podría
haber términos en la ecuación de conservación de
energía de la forma Q = mL, donde L es el calor
latente. Pero antes de aplicar la conservación de la
energía, determine (o estime) en qué fase estará el
estado final, como se hizo en el ejemplo 14-8 calculando los diferentes valores de aportación para el
calor Q.
5. Asegúrese de que cada término aparezca en el lado
correcto de la ecuación de energía (calor ganado o
calor perdido) y que cada ¢T sea positivo.
6. Note que, cuando el sistema alcanza equilibrio térmico, la temperatura final de cada sustancia tendrá el
mismo valor. Sólo hay una Tf .
7. Resuelva la ecuación de energía para la incógnita.
donde Ti y Tf son las temperaturas inicial y final de la
EJEMPLO 14–9 Determinación de un calor latente. El calor específico del
mercurio líquido es de 140 JkgC°. Cuando 1.0 kg de mercurio sólido en su punto
de fusión de -39°C se coloca en un calorímetro de aluminio de 0.50 kg lleno con
1.2 kg de agua a 20.0°C, la temperatura final de la combinación es de 16.5°C. ¿Cuál
es el calor de fusión del mercurio en Jkg?
PLANTEAMIENTO Se sigue explícitamente el recuadro de resolución de problemas.
SOLUCIÓN
1. ¿El sistema está aislado? El mercurio se coloca en el calorímetro, el cual, por
definición, está bien aislado. El sistema aislado es el calorímetro, el agua y el
mercurio.
2. Conservación de energía. El calor ganado por el mercurio = el calor perdido
por el agua y el calorímetro.
3 y 4. Cambios de fase. Existe un cambio de fase, y además se usan ecuaciones específicas de calor. El calor ganado por el mercurio (Hg) incluye un término que
representa la fusión del Hg:
Q(fusión de Hg sólido) = m Hg L Hg ,
más un término que representa el calentamiento del Hg líquido de -39°C a
+16.5°C:
Q(calentamiento Hg líquido) = m Hg cHg C 16.5°C - ( – 39°C) D
= (1.0 kg)(140 Jkg C°)(55.5 C°) = 7770 J.
Todo este calor ganado por el mercurio se obtiene a partir del agua y del calorímetro, que se enfrían:
Qcal + QH2O = mcal ccal(20.0°C - 16.5°C) + mH2O cH2O(20.0°C - 16.5°C)
= (0.50 kg)(900 Jkg C°)(3.5 C°) + (1.2 kg)(4186 Jkg C°)(3.5 C°)
= 19,200 J.
5. Ecuación de energía. La conservación de energía dice que el calor perdido por
el agua y el vaso calorimétrico debe ser igual al calor ganado por el mercurio:
Q cal + Q H2O = Q(fusión de Hg sólido) + Q(calentamiento de Hg líquido)
o
19,200 J = m Hg L Hg + 7770 J.
6. Temperatura de equilibrio. Está dada como 16.5°C y ya se utilizó.
394
CAPÍTULO 14
Calor
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7. Resolver. La única incógnita en la ecuación de energía (punto 5) es LHg, el calor
latente de fusión del mercurio. Se resuelve para ella, colocando mHg = 1.0 kg:
19,200 J - 7770 J
= 11,400 Jkg L 11 kJkg,
1.0 kg
donde se redondeó a 2 cifras significativas.
LHg =
Evaporación
El calor latente para convertir un líquido en gas no sólo se necesita en el punto de
ebullición. El agua puede cambiar de fase líquida a gas incluso a temperatura ambiente. Este proceso se llama evaporación (véase también la sección 13-13). El valor del
calor de vaporización del agua aumenta ligeramente con una disminución en la temperatura: a 20°C, por ejemplo, es de 2450 kJkg (585 kcalkg), en comparación con los
2260 kJkg (= 539 kcalkg) a 100°C. Cuando el agua se evapora, el líquido restante se
enfría, pues la energía requerida (el calor latente de vaporización) proviene del agua
misma; así que su energía interna y, por tanto, su temperatura deben descender.†
La evaporación del agua de la piel es uno de los métodos más importantes que
el cuerpo usa para controlar su temperatura. Cuando la temperatura de la sangre se
eleva ligeramente sobre la normal, el hipotálamo del cerebro detecta este aumento
de temperatura y envía una señal a las glándulas sudoríparas para aumentar su producción. La energía (calor latente) que se requiere para vaporizar esta agua proviene del cuerpo, y así el cuerpo se enfría.
F Í S I C A
A P L I C A D A
Temperatura corporal
Teoría cinética de los calores latentes
Se puede usar la teoría cinética para ver por qué se necesita energía para derretir o
vaporizar una sustancia. En el punto de fusión, el calor latente de fusión no actúa
para aumentar la energía cinética promedio (y la temperatura) de las moléculas en
el sólido, sino, en vez de ello, se usa para vencer la energía potencial asociada con las
fuerzas entre las moléculas. Esto es, se debe realizar trabajo contra dichas fuerzas
atractivas para liberar las moléculas de sus posiciones relativamente fijas en el sólido, de modo que puedan moverse libremente sobre otras en la fase líquida. De manera similar, se requiere energía para que las moléculas juntas en la fase líquida
escapen en la fase gaseosa. Este proceso es una reorganización más violenta de las
moléculas que la fusión (la distancia promedio entre las moléculas es enormemente
aumentada) y por tanto, el calor de vaporización es generalmente mucho mayor que
el calor de fusión para una sustancia determinada.
14–6 Transferencia de calor: conducción
La transferencia de calor de un lugar u objeto a otro ocurre de tres formas diferentes: mediante conducción, convección y radiación. Ahora se explicarán por separado; pero, en situaciones prácticas, dos de ellas o las tres pueden operar al mismo
tiempo. Esta sección se ocupa de la conducción.
Cuando un atizador metálico se pone a fuego vivo, o una cuchara de plata se
pone en un tazón de sopa caliente, el extremo que una persona sostiene pronto se pone caliente también, aun cuando no esté en contacto directo con la fuente de calor.
Se dice que el calor se ha conducido del extremo caliente al extremo frío.
La conducción de calor en muchos materiales se realiza a través de colisiones
moleculares. Conforme se calienta el extremo de un objeto, las moléculas en ese lugar se mueven cada vez más rápido. Conforme chocan con sus vecinas que se mueven más lentamente, transfieren parte de su energía cinética a esas moléculas, cuya
rapidez, por tanto, aumenta. Éstas a su vez transfieren parte de su energía mediante
colisiones con moléculas todavía más alejadas a lo largo del objeto. De esta forma, la
energía cinética del movimiento térmico se transfiere mediante colisiones moleculares
a lo largo del objeto. En los metales, de acuerdo con la teoría moderna, son las colisiones de los electrones libres dentro del metal las que se visualizan como las principales responsables de la conducción.
Tres métodos de transferencia
de calor
†
De acuerdo con la teoría cinética, la evaporación es un proceso de enfriamiento porque son las
moléculas que se mueven más rápido las que escapan de la superficie (sección 13-13). En consecuencia, la rapidez promedio de las moléculas restantes es menor, así que, por la ecuación 13-8,
la temperatura es menor.
SECCIÓN 14–6
Transferencia de calor: conducción
395
Más caliente
FIGURA 14–6 Conducción de calor entre áreas a
temperaturas T1 y T2. Si T1 es mayor que T2, el calor
fluye hacia la derecha; la tasa está dada por la
ecuación 14-4.
Más frío
A
Flujo de calor
T1
T2
l
La conducción del calor de un punto a otro tiene lugar sólo si existe una diferencia de temperatura entre los dos puntos. De hecho, los experimentos demuestran
que la tasa de flujo de calor a través de una sustancia es proporcional a la diferencia
TABLA 14–4
de temperatura entre sus extremos. La tasa de flujo de calor también depende del
Conductividades térmicas
tamaño y la forma del objeto. Para investigar esto cuantitativamente, considere
Conductividad térmica, k el flujo de calor a través de un cilindro uniforme, como se ilustra en la figura 14-6.
Experimentalmente se encuentra que el flujo de calor Q durante un intervalo de
kcal
J
tiempo t está dado por la relación
Sustancia
Tasa de flujo de calor por conducción
(s m C°) (s m C°)
10
Plata
9.2
Cobre
5.0
Aluminio
1.1
Acero
5
Hielo
2.0
Vidrio
2.0
Ladrillo
2.0
Concreto
1.4
Agua
0.5
Tejido humano
0.3
Madera
Fibra de vidrio 0.12
0.1
Corcho
0.1
Lana
Pluma de ganso 0.06
0.06
Poliuretano
0.055
Aire
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
10–2
10–2
10–2
10–2
10–4
10–4
10–4
10–4
10–4
10–4
10–4
10–4
10–4
10–4
10–4
10–4
10–4
420
380
200
40
2
0.84
0.84
0.84
0.56
0.2
0.1
0.048
0.042
0.040
0.025
0.024
0.023
¿Por qué las alfombras se sienten
más calientes que las baldosas?
F Í S I C A
T1 - T2
Q
= kA
(14–4)
t
l
donde A es el área transversal del objeto, l es la distancia entre los dos extremos,
que están a temperaturas T1 y T2, y k es una constante de proporcionalidad llamada conductividad térmica, que es característica del material. A partir de la ecuación
14-4 se ve que la tasa de flujo de calor (unidades de Js) es directamente proporcional al área transversal y al gradiente† de temperatura (T1 - T2)l.
En la tabla 14-4 se presentan las conductividades térmicas, k, para varias sustancias. Las sustancias para las que k es grande conducen el calor rápidamente, por lo
que se dice que son buenos conductores. La mayoría de los metales entran en esta
categoría, aunque existe un amplio rango incluso entre ellos, como podrá constatarse al sostener los extremos de una cuchara de plata y una cuchara de acero inoxidable sumergidos en el mismo plato con sopa caliente. Las sustancias para las que k es
pequeña, como la lana, la fibra de vidrio, el poliuretano y la pluma de ganso, son pobres conductores del calor, y por tanto, son buenos aisladores. Las magnitudes relativas de k permiten explicar fenómenos simples como por qué un piso de baldosas se
siente mucho más frío al pisar sobre él que un piso cubierto con alfombra a la misma temperatura. La baldosa es un mejor conductor del calor que la alfombra; el calor que fluye de los pies hacia la alfombra no se conduce rápidamente, de modo que
la superficie de la alfombra pronto se calienta hasta alcanzar la temperatura de los
pies y se siente bien. Pero la baldosa conduce el calor rápidamente, por lo que de
inmediato toma más calor de los pies de una persona que camina sobre ella, de modo que la temperatura superficial de los pies desciende.
EJEMPLO 14–10 Pérdida de calor a través de las ventanas. Una gran
fuente de pérdida de calor en una casa son las ventanas. Calcule la tasa de flujo
de calor a través de una ventana de vidrio de 2.0 m * 1.5 m de área y 3.2 mm de
grosor, si las temperaturas en las superficies interior y exterior son 15.0°C y
14.0°C, respectivamente (figura 14-7).
A P L I C A D A
Pérdida de calor a través de las
ventanas
PLANTEAMIENTO El calor fluye por conducción a través de los 3.2 mm de grosor del vidrio desde la temperatura interior más alta hacia la temperatura exterior
más baja. Se emplea la ecuación de conducción de calor (ecuación 14-4).
SOLUCIÓN Aquí, A = (2.0 m)(1.5 m) = 3.0 m2 y l = 3.2 * 10 –3 m. Al usar
la tabla 14-4 para obtener k, se tiene
FIGURA 14–7 Ejemplo 14-10.
(0.84 Jsm C°)A3.0 m2 B(15.0°C - 14.0°C)
T1 - T2
Q
= kA
=
t
l
A3.2 * 10–3 mB
= 790 Js.
NOTA Esta tasa de flujo de calor es equivalente a (790 Js)A4.19 * 103 JkcalB
= 0.19 kcals, o (0.19 kcals) * (3600 sh) = 680 kcalh.
A=
3.0 m2
14.0°C
15.0°C
†
l = 3.2 × 10−3 m
396
CAPÍTULO 14
Calor
La ecuación 14-4 es bastante similar a las relaciones que describen la difusión (sección 13-14) y el
flujo de fluidos a través de una tubería (sección 10-12). En esos casos, se encontró que el flujo de
materia es proporcional al gradiente de concentración AC1 - C2 Bl, o al gradiente de presión
AP1 - P2 Bl. Esta cercana similitud es una razón por la que se habla de “flujo” de calor. Aunque se
debe tener en mente que ninguna sustancia fluye en este caso: es energía la que se transfiere.
Tal vez el lector haya notado en el ejemplo 14-10 que 15°C no es una temperatura muy cálida para la sala de una casa. De hecho, la habitación en sí puede ser mucho
más cálida, y el exterior más frío que 14°C. Pero las temperaturas de 15°C y 14°C
fueron especificadas como las de las superficies de la ventana, y generalmente existe
una considerable caída en la temperatura del aire en la vecindad de la ventana, tanto
en el interior como en el exterior. Esto es, la capa de aire en cualquier lado de la ventana actúa como aislador, y normalmente la gran parte de la caída de temperatura
entre el interior y el exterior de la casa tiene lugar a través de la capa de aire. Si existe un viento fuerte, el aire exterior a una ventana constantemente será sustituido con
aire frío; el gradiente de temperatura a través del vidrio será mayor y habrá una tasa
mucho más grande de pérdida de calor. Al aumentar el ancho de la capa de aire, como cuando se utilizan dos paneles de vidrio separados por aire, se reducirá la pérdida de calor más que cuando simplemente se aumenta el grosor del vidrio, puesto que
la conductividad térmica del aire es mucho menor que la del vidrio.
Las propiedades aislantes de la ropa provienen de las propiedades aislantes del
aire. Sin ropa, el cuerpo calentaría el aire en contacto con la piel y pronto se sentiría
razonablemente confortable porque el aire es muy buen aislador. Pero, como el aire
se mueve (existen brisas y corrientes, y la gente se mueve) el aire caliente sería sustituido por aire frío, y en consecuencia aumentaría la diferencia de temperatura y la
pérdida de calor del cuerpo. La ropa nos mantiene calientes al atrapar aire de modo
que no pueda moverse con facilidad. No es la ropa la que aísla, sino el aire que la
ropa atrapa. Las plumas de ganso son un excelente aislador porque incluso una pequeña cantidad de ellas se esponja y atrapa una gran cantidad de aire.
El viento puede provocar pérdidas
de calor mucho más grandes
F Í S I C A
A P L I C A D A
Ventanas térmicas
F Í S I C A
A P L I C A D A
La ropa aísla al atrapar
una capa de aire
EJERCICIO B Explique por qué las cortinas colocadas frente a una ventana reducen la
pérdida de calor de una casa.
Valores R para materiales de construcción
Para fines prácticos, las propiedades térmicas de los materiales de construcción, en
particular cuando se consideran como aislamiento, se especifican mediante valores
R (o de “resistencia térmica”), definidos para un grosor dado l de material como:
l.
k
El valor R de una pieza dada de material combina el grosor l y la conductividad térmica k en un número. En Estados Unidos, los valores R están dados en unidades inglesas como pies2 hF°Btu (por ejemplo, R-19 significa R = 19 pies2 h F°Btu).
La tabla 14-5 proporciona los valores R de algunos materiales de construcción
comunes: note que los valores R aumentan directamente con el grosor del material.
Por ejemplo, 2 pulgadas de fibra de vidrio es R-6, la mitad que para 4 pulgadas (= R-12;
véase la tabla 14-5).
R =
F Í S I C A
A P L I C A D A
Valores R de aislamiento térmico
TABLA 14–5 Valores R
Valor R
Material
Grosor
(pies2 h F°Btu)
1
Vidrio
8 pulgada
Ladrillo
3 12 pulgadas
1
Madera
2 pulgada
contrachapada
Aislamiento
de fibra de
vidrio
1
0.6–1
0.6
4 pulgadas
12
14–7 Transferencia de calor: convección
Aunque los líquidos y gases por lo general no son muy buenos conductores de calor, pueden transferir calor bastante rápidamente mediante convección. La convección es el proceso mediante el cual el calor fluye por el movimiento en masa de las moléculas desde un
lugar hasta otro. Mientras que en la conducción participan moléculas (yo electrones)
que se mueven sólo a lo largo de pequeñas distancias y chocan, la convección implica el
movimiento de grandes cantidades de moléculas a través de grandes distancias.
Un horno de aire forzado, en el que el aire se calienta y luego se sopla con un
ventilador hacia una habitación, es un ejemplo de convección forzada. También ocurre la convección natural, y un ejemplo familiar de ello es que el aire caliente sube.
Por ejemplo, el aire sobre un radiador (u otro tipo de calentador) se expande conforme se calienta (capítulo 13) y, por consiguiente, su densidad disminuye. Como su
densidad es menor que la del aire más frío de los alrededores, sube, tal como un
tronco sumergido en agua flota hacia arriba porque su densidad es menor que la del
agua. Las corrientes oceánicas calientes o frías, como la suave Corriente del Golfo,
representan convección natural a escala mundial. El viento es otro ejemplo de convección, y el clima en general es resultado de corrientes de aire convectivas.
SECCIÓN 14–7
F Í S I C A
A P L I C A D A
Corrientes oceánicas y viento
Transferencia de calor: convección
397
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Agua más
fría
Radiador
Agua
Caldera caliente
Agua más
caliente
FIGURA 14–8 Corrientes de
convección en una olla con agua que se
calienta sobre una estufa.
F Í S I C A
A P L I C A D A
Calentamiento de una casa
mediante convección
F Í S I C A
A P L I C A D A
Convección en los senderos de
excursionismo inclinados
FIGURA 14–10 Convección en un
sendero de excursionismo: a)
movimiento ascendente del aire en la
mañana como resultado de que éste se
calienta; b) movimiento descendente en
la tarde porque el aire se enfría.
Hay tanto orden en la naturaleza que el sol comenzará a calentar el suelo más rápidamente que al aire. Y así, resulta que toda pendiente o ladera que toma el sol por la mañana pronto se convierte en una fuente de calor. Poco a poco calienta el aire sobre ella y
éste, al volverse más ligero, comienza a elevarse. Pero no verticalmente hacia arriba, porque arriba todavía hay aire frío presionando hacia abajo. Asciende por la pendiente cálida, como muestran las flechas del diagrama adjunto [figura 14-10a]. Los visitantes al valle
sólo recordarán haber escalado con gran dificultad algunos senderos interminables en
forma de zigzag en un día cálido hasta quedarse sin aliento, con el sol a sus espaldas y el
polvo flotando hacia arriba con ellos en una exasperante y molesta nube. Tal vez simplemente piensen que tuvieron la mala suerte de que el polvo subiera en ese día particular.
Siempre lo hace en una pendiente calentada por el sol.
Pero quizá también surjan recuerdos de otra ocasión cuando, al bajar cierto sendero,
el polvo descendió con los viajantes, avanzando con ellos en zigzag como si tuviese un placer malicioso. Esto, sin embargo, ocurrió en el lado sombreado del valle. Porque ahí las
condiciones son exactamente inversas. Cuando los rayos del sol pierden contacto con una
pendiente, ésta comienza al mismo tiempo a perder su calor por radiación, y pronto estará más fría que el aire. Entonces la capa pegada al suelo gradualmente se enfría por contacto y, al volverse más pesada conforme se condensa, comienza a deslizarse hacia abajo
por la pendiente [figura 14-10b]. Esto se debe a que normalmente existe una corriente as-
Sendero
b)
Sendero
†
CAPÍTULO 14
Calor
FIGURA 14–9 La convección juega un
papel en el calentamiento de una casa. Las
flechas circulares muestran las corrientes de
aire convectivas en las habitaciones.
Cuando una olla de agua se calienta (figura 14-8), se establecen corrientes de
convección conforme el agua caliente en el fondo de la olla se eleva a causa de su
densidad reducida. Esa agua caliente es sustituida por el agua más fría de arriba. Este principio se usa en muchos sistemas de calentamiento, como el sistema de radiador de agua caliente que se ilustra en la figura 14-9. El agua se calienta en la caldera
y, conforme su temperatura aumenta, se expande y se eleva como se muestra. Esto
provoca que el agua circule en el sistema de calefacción. Entonces el agua caliente
entra a los radiadores, se transfiere calor por conducción hacia el aire y el agua fría
regresa a la caldera. Así, el agua circula gracias a la convección; a veces se emplean
bombas para mejorar la circulación. El aire a través de toda la habitación también
se calienta como resultado de la convección. El aire calentado por los radiadores se
eleva y es sustituido por aire más frío, lo que da como resultado corrientes de aire
convectivas, como se indica con las flechas azules en la figura 14-9.
Otros tipos de calderas también dependen de la convección. Las calderas de aire caliente con registros (aberturas) cerca del suelo con frecuencia carecen de ventiladores, pero dependen de la convección natural, que puede ser apreciable. En otros
sistemas, se usa un ventilador. En cualquier caso, es importante que el aire frío pueda regresar a la caldera para que las corrientes convectivas circulen a través de toda
la habitación si se desea que ésta se caliente de manera uniforme.
El siguiente extracto de “Los vientos del valle Yosemite”,† del pionero ambientalista François Matthes describe otro ejemplo de convección y sus efectos:
a)
398
Frío
Reimpreso del Sierra Club Bulletin, junio de 1911, pp. 91-92.
cendente cálida en una pendiente iluminada por el sol y una corriente descendente fría en
una pendiente sombreada; ésta es una regla en la que uno puede confiar casi cualquier día
en una región sin vientos como el Yosemite. De hecho, uno puede sacar ventaja de ello y
planear sus excursiones de modo que se encuentre con un camino libre de polvo.
El cuerpo humano produce una gran cantidad de energía térmica. De la energía
de los alimentos transformada dentro del cuerpo, cuando mucho el 20% se utiliza
para realizar trabajo, así que más del 80% se manifiesta como energía térmica. Durante la actividad ligera, por ejemplo, si esta energía térmica no se disipara, la temperatura corporal se elevaría alrededor de 3 C° por hora. Es evidente que el calor
generado por el cuerpo debe transferirse hacia el exterior. ¿El calor se transfiere
por conducción? La temperatura de la piel en un ambiente confortable es de 33 a
35°C, mientras que el interior del cuerpo está a 37°C. Un simple cálculo (problema
55) muestra que, a causa de esta pequeña diferencia de temperatura, más la baja
conductividad térmica del tejido, la conducción directa es responsable de muy poco
del calor que se debe disipar. Más bien, el calor se transporta a la superficie por la
sangre. Además de realizar otras funciones importantes, la sangre actúa como un
fluido convectivo para transferir el calor justo debajo de la superficie de la piel. Entonces se conduce (a través de una muy corta distancia) hacia la superficie. Una vez
ahí, el calor se transfiere hacia el entorno por convección, evaporación y radiación
(véase la sección 14-8).
F Í S I C A
A P L I C A D A
Calor corporal:
convección por la sangre
14–8 Transferencia de calor: radiación
La convección y la conducción requieren la presencia de materia como medio para
llevar el calor desde la región más caliente hacia la más fría. Pero existe un tercer tipo de transferencia de calor que ocurre sin medio alguno. Toda la vida en la Tierra
depende de la transferencia de energía desde el Sol, y esta energía se transfiere hacia la Tierra a través del espacio vacío (o casi vacío). Esta forma de transferencia de
energía es calor —dado que la temperatura de la superficie del Sol es mucho mayor
(6000 K) que la de la Tierra— y se le conoce como radiación (figura 14-11). El calor
que se recibe de una fogata es principalmente energía radiante. (La mayor parte
del aire calentado por el fuego en un hogar se eleva por convección hacia la chimenea y no llega a las personas que se encuentran cerca).
Como se verá en capítulos posteriores, la radiación consiste esencialmente en
ondas electromagnéticas. Por ahora, baste decir que la radiación del Sol consiste
en luz visible más muchas otras longitudes de onda a las que el ojo no es sensible,
como la radiación infrarroja (IR), que es la principal responsable del calentamiento
de la Tierra.
Se ha encontrado que la tasa a la que un objeto radia energía es proporcional
a la cuarta potencia de la temperatura Kelvin, T. Es decir, un cuerpo a 2000 K, en
comparación con uno a 1000 K, radia energía a una tasa de 24 = 16 veces más. La
tasa de radiación también es proporcional al área A del objeto emisor, de modo que
la tasa a la que la energía deja el objeto, Qt, es
¢Q
= esAT4.
(14–5)
¢t
Ésta es la ecuación de Stefan-Boltzmann, y es una constante universal llamada
constante Stefan-Boltzmann, que tiene el valor
s = 5.67 * 10–8 Wm2 K4.
FIGURA 14–11 La superficie del
Sol radia a 6000 K, mucho más
que la superficie de la Tierra.
Radiación r T4
Constante Stefan-Boltzmann
El factor e, llamado emisividad, es un número entre 0 y 1 que es característico de la
superficie del material que radia. Las superficies muy negras, como el carbón, tienen
emisividad cercana a 1, mientras que las superficies metálicas brillantes tienen e cerca de cero, y por tanto, emiten menos radiación. El valor de e depende en cierto grado de la temperatura del cuerpo.
No sólo las superficies brillantes emiten menos radiación, sino que absorben
poca de la radiación que cae sobre ellas (la mayor parte se refleja). Por otra parte,
los objetos negros y muy oscuros absorben casi toda la radiación que cae sobre
ellos, por lo que es preferible vestir con colores claros y no con oscuros en un día caluroso. Así que un buen absorbedor también es un buen emisor.
SECCIÓN 14–8
Emisividad
F Í S I C A
A P L I C A D A
Ropa oscura y clara
Un buen absorbedor
es un buen emisor
Transferencia de calor: radiación
399
Cualquier objeto no sólo emite energía por radiación, sino también absorbe
energía radiada por otros cuerpos. Si un objeto de emisividad e y área A está a una
temperatura T1 , radia energía a una tasa esAT41. Si el objeto está rodeado por un
ambiente a temperatura T2 , la tasa a la que los alrededores radian energía es proporcional a T42, y la tasa a la que el objeto absorbe la energía es proporcional a T42.
La tasa neta de flujo de calor radiante del objeto está dada por la ecuación
Tasa de flujo neto de
radiación de calor
¢Q
= esA AT41 - T42 B,
¢t
(14–6)
donde A es el área superficial del objeto, T1 es su temperatura y e su emisividad (a
temperatura T1), y T2 es la temperatura de los alrededores. En esta ecuación la tasa
de absorción de calor por un objeto se tomó como esAT42; esto es, la constante de
proporcionalidad es la misma tanto para la emisión como para la absorción. Esto
debe ser cierto para corresponder con el hecho experimental de que el equilibrio
entre el objeto y sus alrededores se alcanza cuando llegan a la misma temperatura.
Esto es, ¢Q¢ t debe ser igual a cero cuando T1 = T2 , de modo que los coeficientes de los términos de emisión y absorción sean los mismos. Esto confirma la idea de
que un buen emisor es un buen absorbedor.
Puesto que tanto el objeto como sus alrededores radian energía, existe una transferencia neta de energía de uno a otro a menos que todo esté a la misma temperatura. A partir de la ecuación 14-6 es claro que, si T1 T2, el flujo neto de calor es
del objeto hacia los alrededores, así que el objeto se enfría. Pero si T1 T2, el flujo
neto de calor es de los alrededores hacia el objeto, y su temperatura se eleva. Si
diferentes partes de los alrededores están a distintas temperaturas, la ecuación 14-6
se vuelve más compleja.
F Í S I C A
A P L I C A D A
Pérdida de calor radiado del
cuerpo
EJEMPLO 14–11 ESTIMACIÓN Enfriamiento por radiación. Un atleta está sentado sin ropa en un vestidor cuyas paredes oscuras están a una temperatura
de 15°C. Estime la tasa de pérdida de calor por radiación, si se supone una temperatura de la piel de 34°C y e = 0.70. Considere que el área superficial del cuerpo
que no está en contacto con la silla es de 1.5 m2.
PLANTEAMIENTO Se puede hacer una estimación aproximada mediante las
suposiciones dadas y la ecuación 14-6, para la que se deben usar temperaturas
Kelvin.
SOLUCIÓN Se tiene
➥
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Debe utilizarse la temperatura Kelvin
F Í S I C A
A P L I C A D A
Confort ambiental
La temperatura de la paredes
y los alrededores, no sólo
del aire, afectan el confort
400
CAPÍTULO 14
Calor
¢Q
= esA AT41 - T42 B
¢t
= (0.70)A5.67 * 10–8 Wm2 K4 BA1.5 m2 B C (307 K)4 - (288 K)4 D
= 120 W.
NOTA La “salida” de esta persona en reposo es un poco más de lo que usa una
bombilla de 100 W.
Una persona en reposo naturalmente produce calor interno a una tasa aproximada de 100 W (capítulo 15), una cifra menor que la pérdida de calor por radiación
calculada en este ejemplo. De esta forma, la temperatura de la persona descendería,
lo que provocaría incomodidad. El cuerpo responde a la pérdida excesiva de calor
mediante el incremento de su tasa metabólica (sección 15-3) y tiritar es un método mediante el cual el cuerpo aumenta su metabolismo. Naturalmente, la ropa ayuda mucho.
El ejemplo 14-11 ilustra que una persona puede sentirse incómoda incluso en una
habitación bastante cálida en la que la temperatura del aire sea de unos 25°C. Si las
paredes o el piso están fríos, la radiación hacia ellos ocurre sin importar cuán caliente esté el aire. De hecho, se estima que la radiación explica aproximadamente el
50% de la pérdida de calor de una persona sedentaria en una habitación normal.
Las habitaciones son más confortables cuando las paredes y el piso son cálidos,
mientras que el aire no lo es tanto. Los pisos y las paredes se pueden calentar mediante conductos de agua caliente o elementos calefactores eléctricos. Tales sistemas
calefactores de primera clase son muy comunes en la actualidad, pero es interesante
señalar que hace 2000 años los romanos ya usaban conductos de agua caliente y
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vapor en el piso para calentar sus casas, incluso en aquellas ubicadas en la remota
provincia de Gran Bretaña.
EJEMPLO 14–12 ESTIMACIÓN Dos teteras. Una tetera de cerámica (e = 0.70)
y una brillante (e = 0.10) contienen cada una 0.75 L de té a 95°C. a) Estime la tasa
de pérdida de calor de cada una y b) estime el descenso de temperatura para cada
una luego de 30 min. Considere sólo la radiación y suponga que los alrededores
están a 20°C.
PLANTEAMIENTO Se proporciona toda la información necesaria para calcular
la pérdida de calor debida a radiación, excepto el área. Las teteras contienen
0.75 L y se pueden considerar como un cubo de 10 cm por lado (volumen = 1.0 L),
con cinco lados expuestos. Para estimar la caída de temperatura en b), se utiliza
el concepto de calor específico y se ignora la aportación de las teteras en comparación con la del agua.
SOLUCIÓN a) La tetera, considerada como un cubo de 10 cm de lado, con cinco
lados expuestos, tiene un área superficial aproximada de 5 * (0.1 m)2 = 5 * 10-2 m2.
La tasa de pérdida de calor será de
¢Q
= esA AT41 - T42 B
¢t
= e A5.67 * 10–8 Wm2 K4 B A5 * 10–2 m2 B C (368 K)4 - (293 K)4 D
L e(30) W,
o aproximadamente 20 W para la tetera de cerámica (e = 0.70) y de 3 W para la
tetera brillante (e = 0.10).
b) Para estimar la caída de temperatura, se utiliza el calor específico del agua y se
ignora la aportación de las teteras. La masa de 0.75 L de agua es de 0.75 kg. (Recuerde que 1.0 L = 1000 cm3 = 1 * 10 –3 m3 y r = 1000 kgm3). Al usar la ecuación 14-2 y la tabla 14-1 se obtiene
¢Q
¢T .
= mc
¢t
¢t
Entonces
e(30) Js
¢Q¢ t
¢T
L
=
= e(0.01) C°s.
mc
¢t
(0.75 kg)A4.186 * 103 JkgC°B
Después de 30 min (1800 s), T = e(0.01 C°s)t = e(0.01 C°s)(1800 s) = 18e C°,
o alrededor de 12 C° para la tetera de cerámica e = 0.70 y aproximadamente 2 C°
para la tetera brillante (e = 0.10). Es evidente que esta última tiene una ventaja,
al menos en lo que concierne a la radiación.
NOTA La convección y la conducción podrían jugar un papel más importante que
la radiación.
El calentamiento de un objeto mediante la radiación proveniente del Sol no
se puede calcular mediante la ecuación 14-6 pues ésta supone una temperatura uniforme, T2, del ambiente que rodea al objeto, mientras que el Sol es esencialmente
una fuente puntual. Por esta razón, el Sol se debe considerar como una fuente de
energía por separado. El calentamiento por el Sol se calcula considerando el hecho
de que casi 1350 J de energía proveniente de él llegan a la atmósfera de la Tierra
por segundo por metro cuadrado de área en ángulos rectos a los rayos solares. Este
número, 1350 Wm2, se llama constante solar. La atmósfera puede absorber tanto
como un 70% de esta energía antes de que alcance el suelo, dependiendo de la cubierta de nubes. En un día despejado, aproximadamente 1000 Wm2 alcanzan la
superficie de la Tierra. Un objeto de emisividad e con área A que enfrenta al Sol
absorbe energía proveniente del Sol a una tasa, en watts, de
¢Q
= A1000 Wm2 BeA cos u,
¢t
F Í S I C A
Constante solar
FIGURA 14–12 Energía radiante
que hace contacto con un cuerpo
a un ángulo u.
Ac
(14–7)
donde u es el ángulo entre los rayos del Sol y una línea perpendicular al área A
(figura 14-12). Esto es, A cos es el área “efectiva”, en ángulos rectos a los rayos
del Sol.
SECCIÓN 14–8
A P L I C A D A
Radiación del Sol
os
A
θ
θ
Transferencia de calor: radiación
θ
401
Eje
Ecuador
Tierra
(junio)
Sol
Tierra
(diciembre)
a)
Junio
EJEMPLO 14–13 ESTIMACIÓN Cómo broncearse; absorción de energía.
¿Cuál es la tasa de absorción de energía proveniente del Sol para una persona que
se encuentra tendida sobre la playa en un día despejado, si el Sol forma un ángulo
de 30° con la vertical? Suponga que e = 0.70 y que 1000 Wm2 alcanzan la superficie de la Tierra.
Eje
Ecu
ado
r
(A) θ ≈ 0°
(Verano)
La explicación de las estaciones y las capas de hielo polar (figura 14-13) depende de este factor cos u en la ecuación 14-7. Las estaciones no son resultado de la cercanía de la Tierra con respecto al Sol; de hecho, en el hemisferio norte, el verano tiene lugar cuando la Tierra está más lejos del Sol. Es el ángulo (es decir, cos )
lo que en realidad importa. Más aún, la razón por la que el Sol calienta la Tierra más
al mediodía que durante el amanecer o el anochecer, también está relacionada con
este factor cos .
Rayos
del Sol
(junio)
PLANTEAMIENTO Se emplea la ecuación 14-7 y se estima que un humano
mide aproximadamente 2 m de altura y 0.4 m de ancho, de modo que A L (2 m)
(0.4 m) = 0.8 m2.
SOLUCIÓN Como cos 30° = 0.866, se tiene
23°
¢Q
= A1000 Wm2 BeA cos u
¢t
(C) θ ≈ 90° (B) θ ≈ 50°
(Frío)
(Invierno)
b)
FIGURA 14–13 a) Las estaciones del
año surgen a partir del ángulo de 23 12°
que el eje de la Tierra forma con su
órbita alrededor del Sol. b) La luz
solar de junio forma un ángulo de
aproximadamente 23° con el ecuador.
Por tanto, u en el sur de Estados Unidos
(A) es cercano a 0° (luz solar directa en
verano), mientras que en el hemisferio
sur (B), es de 50° o 60°, y se puede
absorber menos calor; por tanto, es
invierno. Cerca de los polos (C) nunca
existe intensa luz solar directa; cos varía de más o menos 12 en verano a 0
en invierno, así que, con poco
calentamiento, se puede formar hielo.
= A1000 Wm2 B(0.70)A0.8 m2 B(0.866) = 500 W.
NOTA Si una persona viste ropa de colores claros, e es una cantidad más pequeña,
de modo que la energía absorbida es menor.
Una interesante aplicación de la radiación térmica al diagnóstico médico es la
termografía. Un instrumento especial, el termógrafo, escanea el cuerpo, mide la intensidad de radiación de muchos puntos y forma un cuadro que recuerda una radiografía (figura 14-14). Con frecuencia, en un termograma se pueden detectar las
áreas donde la actividad metabólica es alta, como en los tumores, como resultado de
sus temperaturas más altas y el consecuente aumento de radiación.
FIGURA 14–14 Termogramas de brazos y manos de
una persona saludable a) antes y b) después de fumar un
cigarrillo, que muestran una disminución de temperatura
debida a una circulación sanguínea deteriorada asociada
con fumar. A los termogramas se les ha asignado un
código de color de acuerdo con la temperatura; la escala
a la derecha va desde azul (frío) hasta blanco calor).
F Í S I C A
A P L I C A D A
Astronomía:
tamaño de una estrella
a)
b)
EJEMPLO 14–14 ESTIMACIÓN Radio de una estrella. La estrella gigante
Betelgeuse emite energía radiante a una tasa 104 veces mayor que el Sol, mientras
que su temperatura superficial sólo es la mitad (2900 K) de la del Sol. Estime el
radio de Betelgeuse, si se supone e = 1. El radio del Sol es rS = 7 * 108 m.
PLANTEAMIENTO Se supone que tanto Betelgeuse como el Sol son esféricos,
con un área superficial de 4pr 2.
SOLUCIÓN Se resuelve la ecuación 14-5 para A:
4pr2 = A =
Entonces
(¢Q¢ t)
esT4
.
(¢Q¢ t)B T4S
r2B
=
= A104 BA2 4 B = 16 * 104.
(¢Q¢ t)S T4B
r2S
Por tanto, rB = 316 * 104 rS = (400)A7 * 108 mB L 3 * 1011 m. Si Betelgeuse
fuese el Sol, envolvería a la Tierra (la Tierra está a 1.5 * 1011 m del Sol).
402
CAPÍTULO 14
Calor
Resumen
La energía interna, U, se refiere a la energía de todas las moléculas de un objeto. Para un gas monoatómico ideal,
U = 32 NkT = 32 nRT
(14–1)
donde N es el número de moléculas o n es el número de moles.
El calor se refiere a la transferencia de energía de un objeto
a otro como resultado de una diferencia de temperatura. Por eso,
el calor se mide en unidades de energía, como joules.
El calor y la energía interna a veces también se especifican
en calorías o kilocalorías (kcal), donde
1 kcal = 4.186 kJ
es la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 1
kg de agua en 1 C°.
El calor específico, c, de una sustancia se define como la
energía (o calor) que se requiere para cambiar la temperatura de
masa unitaria de sustancia por 1 grado; como ecuación,
Q = mc ¢T,
(14–2)
donde Q es el calor absorbido o entregado, ¢T es el aumento o
disminución de temperatura y m es la masa de la sustancia.
Cuando el calor fluye entre las partes de un sistema aislado,
la conservación de la energía indica que el calor ganado por una
parte del sistema es igual al calor perdido por otra. Ésta es la base de la calorimetría, que es la medición cuantitativa del intercambio de calor.
El intercambio de energía ocurre, sin cambio en la temperatura, siempre que una sustancia cambia de fase. El calor de fusión
es el calor requerido para fundir 1 kg de un sólido en la fase líquida; también es igual al calor entregado cuando la sustancia cambia de líquido a sólido. El calor de vaporización es la energía
requerida para cambiar 1 kg de una sustancia de la fase líquida a
vapor; también es la energía entregada cuando la sustancia cambia de vapor a líquido.
El calor se transfiere de un lugar (u objeto) a otro en tres diferentes formas: conducción, convección y radiación.
En la conducción, la energía se transfiere de las moléculas o
electrones con mayor energía cinética a los vecinos con EC más
baja cuando chocan.
La convección es la transferencia de energía mediante el
movimiento en masa de las moléculas a través de distancias considerables.
La radiación, que no requiere la presencia de materia, es
transferencia de energía mediante ondas electromagnéticas, como
las provenientes del Sol. Todos los objetos radian energía en una
cantidad que es proporcional a la cuarta potencia de su temperatura Kelvin AT4 B y a su área superficial. La energía radiada (o absorbida) también depende de la naturaleza de la superficie (las
superficies oscuras absorben y radian más que las brillantes), lo
que se caracteriza con la emisividad, e.
La radiación proveniente del Sol llega a la superficie de la Tierra, en un día claro, a una tasa de aproximadamente 1000 Wm2.
Preguntas
1. ¿Qué ocurre al trabajo realizado cuando un frasco de jugo de
naranja se agita vigorosamente?
2. Cuando un objeto caliente calienta un objeto más frío, ¿fluye
temperatura entre ellos? ¿Los cambios de temperatura de los
dos objetos son iguales?
3. a) Si dos objetos de diferentes temperaturas se ponen en contacto, ¿el calor fluirá naturalmente del objeto con mayor
energía interna hacia el objeto con menor energía interna?
b) ¿Es posible que el calor fluya incluso si las energías internas de los dos objetos son iguales? Explique su respuesta.
4. En regiones cálidas, donde las plantas tropicales crecen pero
la temperatura puede descender por debajo de la congelación unas cuantas veces en el invierno, la destrucción de las
plantas sensibles al congelamiento se puede reducir si se riegan por la tarde. Explique por qué.
5. El calor específico del agua es bastante elevado. Explique
por qué este hecho hace al agua particularmente buena para
sistemas de calefacción (como radiadores de agua caliente).
6. ¿Por qué el agua en una cantimplora metálica permanece
más fría si la cubierta que rodea a la cantimplora se mantiene húmeda?
7. Explique por qué las quemaduras de la piel por vapor en
ocasiones son más severas que las quemaduras provocadas
por agua a 100°C.
8. Con los conceptos de calor latente y energía interna, explique por qué el agua se enfría (su temperatura desciende)
cuando se evapora.
9. ¿Las papas se cocinarán más rápido si el agua hierve más rápido?
10. ¿Un ventilador eléctrico ordinario enfría el aire? ¿Por qué sí
o por qué no? Si no, ¿por qué se le usa?
11. Muy alto en la atmósfera de la Tierra, la temperatura puede
alcanzar los 700°C. Pero un animal que estuviera ahí moriría
congelado y no quemado. Explique por qué.
12. Los exploradores de las fracasadas expediciones árticas han sobrevivido cubriéndose con nieve. ¿Cuál es la razón para hacer eso?
13. ¿Por qué la arena húmeda en la playa es más fresca para caminar sobre ella que la arena seca?
14. Si se dice que un objeto tiene “alto contenido de calor”, ¿eso
significa que su temperatura es alta? Explique su respuesta.
15. Cuando las calderas de aire caliente se usan para calentar
una casa, ¿por qué es importante que exista un respirador
para que el aire regrese a la caldera? ¿Qué ocurre si este respirador está bloqueado por un librero?
16. Los ventiladores de techo a veces son reversibles, de modo
que pueden dirigir el aire hacia abajo en una estación y jalarlo hacia arriba en otra estación. ¿En qué dirección es conveniente poner el ventilador en verano? ¿Y en invierno?
17. Las bolsas de dormir y parkas generalmente están especificadas
en tantas pulgadas o centímetros de alto, que se refieren al grosor
real de la prenda cuando está esponjada. Explique este hecho.
18. Los chips de microprocesadores tienen un “disipador de calor” pegado en su parte superior que parece una serie de aletas. ¿Por qué se le da esa forma?
19. Las brisas marinas con frecuencia se encuentran en los días
soleados en la orilla de un gran cuerpo de agua. Explique esto a la luz del hecho de que la temperatura de la Tierra se
eleva más rápidamente que la del agua cercana.
20. El piso de una casa sobre un cimiento bajo el que el aire puede fluir, por lo general es más frío que el piso que descansa
directamente sobre el suelo (como un cimiento de losa de concreto). Explique por qué.
21. Un día a 22°C es caluroso, mientras que una alberca a 22°C
se siente fría. ¿Por qué?
22. Explique por qué las lecturas de la temperatura del aire
siempre se toman con el termómetro en la sombra.
23. Un bebé prematuro se puede enfriar peligrosamente dentro
de una incubadora aun cuando la temperatura del aire en la
incubadora sea cálida. Explique por qué.
Preguntas
403
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24. ¿Por qué es plateado el revestimiento de la botella de un
termo (figura 14-15),
Tapa
y por qué tiene un
vacío entre sus dos
Cubierta externa
paredes?
Aire
Revestimiento
Líquido,
caliente o frío
Vacío
FIGURA 14–15
Pregunta 24.
Soporte de goma
25. Imagine que una pared está muy bien aislada: tiene una resistencia térmica, R1 muy alta. Ahora se coloca en ella una ventana con un valor R relativamente bajo, R2 . ¿Qué ocurre con el
valor R global de la pared más la ventana, comparado con R1
y R2 ? [Sugerencia: Considere que la diferencia de temperatura
a través de la pared todavía es la misma en todas partes].
26. La pérdida de calor ocurre a través de las ventanas mediante
los siguientes procesos: 1. ventilación alrededor de los bordes;
2. a través del marco, particularmente si es de metal; 3. a través
de los paneles de vidrio; y 4. radiación. a) Para los primeros
tres, ¿cuál es el mecanismo o los mecanismos implicados: conducción, convección o radiación? b) ¿Las cortinas pesadas reducen alguna de estas pérdidas de calor? Explique en detalle.
27. Una pieza de madera que yace bajo los rayos del sol absorbe
más calor que una pieza de metal brillante, pero la madera
se siente menos caliente que el metal cuando se le levanta.
Explique por qué.
28. La Tierra se enfría en la noche mucho más rápidamente
cuando el cielo está despejado que cuando está nublado.
¿Por qué?
29. Una “cobija de emergencia” es una delgada hoja plástica brillante (recubierta de metal). Explique cómo es que esta cobija puede ayudar a que una persona inmóvil se mantenga
caliente.
30. Explique por qué las ciudades situadas cerca del océano tienden a tener menos temperaturas extremas que las ciudades
tierra adentro en la misma latitud.
Problemas
14-1 Calor como transferencia de energía
1. (I) ¿Cuánto calor (en joules) se requiere para elevar la temperatura de 30.0 kg de agua, de 15°C a 95°C?
2. (I) ¿A qué temperatura 7700 J de calor elevarán 3.0 kg de
agua que inicialmente está a 10.0°C?
3. (II) Una persona activa promedio consume aproximadamente 2500 Cal al día. a) ¿A cuánto equivale esto en joules? b) ¿A
cuánto equivale en kilowatt-hora? c) Una compañía de suministro eléctrico carga aproximadamente 10 centavos de dólar
por kilowatt-hora. ¿Cuánto costaría la energía por día si se le
pudiera comprar en la central eléctrica? ¿Una persona se podría alimentar con esta cantidad de dinero por día?
4. (II) Una unidad térmica británica (Btu) es una unidad de calor en el sistema inglés de unidades. Un Btu se define como
el calor necesario para elevar 1 lb de agua por 1 F°. Demuestre que
11. (II) Un termómetro de vidrio de 35 g registra 21.6°C antes de
colocarse en 135 mL de agua. Cuando el agua y el termómetro llegan al equilibrio, el termómetro indica 39.2°C. ¿Cuál
fue la temperatura original del agua?
12. (II) ¿Cuál será la temperatura de equilibrio cuando un bloque
de cobre de 245 g a 285°C se coloque en un vaso calorimétrico de aluminio de 145 g que contiene 825 g de agua a 12.0°C?
13. (II) Una herradura de hierro caliente (masa = 0.40 kg), apenas forjada (figura 14-16), se suelta en 1.35 L de agua en un
cazo de hierro de 0.30 kg inicialmente a 20°C. Si la temperatura final de equilibrio es de 25.0°C, estime la temperatura
inicial de la herradura caliente.
1 Btu = 0.252 kcal = 1055 J.
5. (II) Un calentador de agua puede generar 32,000 kJh.
¿Cuánta agua puede calentar de 15°C a 50°C por hora?
6. (II) Un pequeño calentador de inmersión está clasificado en
350 W. Estime cuánto tardará en calentar una taza de sopa (suponiendo que se trata de 250 mL de agua) de 20°C a 60°C.
7. (II) ¿Cuántas kilocalorías se generan cuando se usan los frenos para llevar a un automóvil de 1200 kg al reposo desde
una rapidez de 95 kmh?
14-3 y 14-4 Calor específico; calorimetría
8. (I) El sistema de enfriamiento de un automóvil contiene 16 L
de agua. ¿Cuánto calor absorbe si su temperatura se eleva de
20 a 90°C?
9. (I) ¿Cuál es el calor específico de una sustancia metálica si se
necesitan 135 kJ de calor para elevar 5.1 kg del metal de 18.0
a 31.5°C?
10. (II) Muestras de cobre, aluminio y agua experimentan el mismo aumento de temperatura cuando absorben la misma cantidad de calor. ¿Cuál es la razón de sus masas? [Sugerencia:
Consulte la tabla 14-1].
404
CAPÍTULO 14
Calor
FIGURA 14–16
Problema 13.
14. (II) Una muestra de 215 g de una sustancia se calienta a
330°C y luego se sumerge en un vaso calorimétrico de aluminio de 105 g que contiene 165 g de agua y un termómetro de
vidrio de 17 g a 12.5°C. La temperatura final es de 35.0°C.
¿Cuál es el calor específico de la sustancia? (Suponga que el
agua no hierve).
15. (II) ¿Cuánto le toma a una cafetera de 750 W llevar a la ebullición a 0.75 L de agua inicialmente a 8.0°C? Suponga que la
parte de la cafetera que se calienta con el agua está hecha de
360 g de aluminio y que el agua no hierve.
16. (II) Estime el contenido calórico de 75 g de dulce proveniente
de las siguientes mediciones. Una muestra de 15 g del dulce se
seca antes de colocarse en una bomba calorimétrica. La bomba de aluminio tiene una masa de 0.725 kg y se coloca en 2.00
kg de agua contenida en un vaso calorimétrico de aluminio de
0.624 kg de masa. La temperatura inicial de la mezcla es
de 15.0°C y su temperatura después de la ignición es de 53.5°C.
17. (II) Cuando una pieza de hierro de 290 g a 180°C se coloca
en un vaso calorimétrico de aluminio de 95 g que contiene
250 g de glicerina a 10°C, la temperatura final es de 38°C. Estime el calor específico de la glicerina.
18. (II) La cabeza de 1.20 kg de un martillo tiene una rapidez de
6.5 ms justo antes de golpear un clavo (figura 14-17) y llega
al reposo. Estime la elevación de temperatura de un clavo de
hierro de 14 g generada por
10 de tales martillazos realizados en rápida sucesión.
Se supone que el clavo
absorbe toda la energía.
FIGURA 14–17
Problema 18.
19. (II) Una esfera de aluminio de 0.095 kg se suelta desde el techo de un edificio de 45 m de alto. Si el 65% de la energía
térmica producida cuando golpea el suelo la absorbe la esfera, ¿cuál es el aumento de su temperatura?
20. (II) La capacidad calórica, C, de un objeto se define como la
cantidad de calor necesaria para elevar su temperatura en
1 C°. En consecuencia, para elevar la temperatura en ¢T
se requiere calor Q dado por
Q = C ¢T.
a) Escriba la capacidad calórica C en términos del calor específico, c, del material. b) ¿Cuál es la capacidad calórica de
1.0 kg de agua? c) ¿De 25 kg de agua?
14-5 Calor latente
21. (I) ¿Cuánto calor se necesita para fundir 16.50 kg de plata
que inicialmente están a 20°C?
22. (I) Durante el ejercicio, una persona puede entregar 180 kcal
de calor en 30 min por evaporación de agua de la piel.
¿Cuánta agua se ha perdido?
23. (I) Si se suministran 2.80 * 105 J de energía a un matraz de oxígeno líquido a – 183°C, ¿cuánto oxígeno se puede evaporar?
24. (II) Un cubo de hielo de 30 g en su punto de fusión se suelta
en un contenedor aislado de nitrógeno líquido. ¿Cuánto nitrógeno se evapora si éste está en su punto de ebullición de
77 K y tiene un calor latente de vaporización de 200 kJkg?
Por simplicidad, se supone que el calor específico del hielo
es una constante y que es igual a su valor cerca de su punto
de fusión.
25. (II) Un cubo de hielo se toma del congelador cuando está a
–8.5°C y se coloca en un calorímetro de aluminio de 95 g lleno con 310 g de agua a temperatura ambiente de 20.0°C. Se
observa que la situación final es sólo agua a 17.0°C. ¿Cuál
fue la masa del cubo de hielo?
26. (II) Un quemador de hierro de 230 kg de masa contiene 830
kg de agua a 18°C. Un calentador suministra energía a una
tasa de 52,000 kJh. ¿Cuánto le toma al agua a) alcanzar el
punto de ebullición y b) convertirse por completo en vapor?
27. (II) En una carrera en un día caluroso, un ciclista consume
8.0 L de agua durante el trayecto de cuatro horas. Si se considera que toda la energía del ciclista se pierde en evaporar esta agua como sudor, ¿cuánta energía en kcal usó el ciclista
durante el recorrido? (Como la eficiencia del ciclista sólo es
cercana al 20%, la mayor parte de la energía consumida se
convierte en calor, así que la aproximación no es tan descabellada).
28. (II) ¿Qué masa de vapor a 100°C se debe agregar a 1.00 kg
de hielo a 0°C para producir agua líquida a 20°C?
29. (II) El calor específico del mercurio es 138 Jkg C°. Determine el calor latente de fusión del mercurio con el uso de los
siguientes datos calorimétricos: 1.00 kg de Hg sólido en su
punto de fusión de –39.0°C se coloca en un calorímetro de
aluminio de 0.620 kg con 0.400 kg de agua a 12.80°C; la temperatura de equilibrio resultante es 5.06°C.
30. (II) Una bala de 70 g que viaja a 250 ms penetra un bloque de hielo a 0°C y llega al reposo dentro del hielo. Si se
supone que la temperatura de la bala no cambia de manera
apreciable, ¿cuánto hielo se derrite como resultado de la
colisión?
31. (II) Un patinador de 54.0 kg que se mueve a 6.4 ms se desliza hasta detenerse. Si se supone que el hielo está a 0°C y
que el 50% del calor generado por la fricción lo absorbe el
hielo, ¿cuánto hielo se derrite?
32. (II) En la escena de un crimen, el investigador forense nota
que la bala de plomo de 8.2 g, que fue detenida por el marco
de la puerta, aparentemente se derritió por completo con el
impacto. Si se supone que la bala se disparó a temperatura
ambiente (20°C), ¿cuánto calcula el investigador como la velocidad mínima de salida de la boca del arma?
14-6 a 14-8 Conducción, convección, radiación
33. (I) Un extremo de una barra de aluminio de 33 cm de largo,
con un diámetro de 2.0 cm, se mantiene a 460°C, y el otro se
sumerge en agua a 22°C. Calcule la tasa de conducción de calor a lo largo de la barra.
34. (I) Calcule la tasa de flujo de calor mediante conducción en
el ejemplo 14-10, suponiendo que existen fuertes vientos borrascosos y que la temperatura externa es de –5°C.
35. (I) a) ¿Cuánta potencia radia una esfera de tungsteno (emisividad e = 0.35) de 22 cm de radio a una temperatura de
25°C? b) Si la esfera se encierra en una habitación cuyas paredes se mantienen a –5°C, ¿cuál es la tasa de flujo neta de
energía que sale de la esfera?
36. (II) Conducción de calor a la piel. Suponga que 200 W de calor fluyen por conducción desde los capilares sanguíneos debajo de la piel hacia una región de la superficie del cuerpo
de 1.5 m2. Si la diferencia de temperatura es 0.50 C°, estime
la distancia promedio de los capilares debajo de la superficie de la piel.
37. (II) Dos habitaciones, cada una un cubo de 4.0 m por lado,
comparten una pared de ladrillo de 12 cm de grosor. A causa
de cierta cantidad de bombillas de 100 W en una habitación,
el aire está a 30°C, mientras que en la otra habitación está a
10°C. ¿Cuántas bombillas de 100 W se necesitan para mantener la diferencia de temperatura a través de la pared?
38. (II) ¿Cuánto le tomará al Sol derretir un bloque de hielo a
0°C con una área horizontal plana de 1.0 m2 y un grosor de
1.0 cm? Suponga que los rayos de Sol forman un ángulo
de 30° con la vertical y que la emisividad del hielo es 0.050.
39. (II) Una barra de cobre y una barra de aluminio de la misma
longitud y área transversal se unen extremo con extremo (figura 14-18). El extremo de cobre se coloca en una caldera
que se mantiene a una temperatura constante de 250°C. El
extremo de aluminio se coloca en un baño de hielo que se
mantiene a temperatura constante de 0.0°C. Calcule la temperatura en el punto donde se unen las dos barras.
Cu
250°C
Al
T=?
0.0°C
FIGURA 14–18 Problema 39.
Problemas
405
40. (II) a) Utilice la constante solar y estime la tasa a la que toda
la Tierra recibe energía del Sol. b) Suponga que la Tierra radia una cantidad igual de vuelta al espacio (es decir, la Tierra
está en equilibrio). Entonces, si se supone que la Tierra es un
emisor perfecto (e = 1.0), estime su temperatura superficial
promedio.
41. (II) Una bombilla de 100 W genera 95 W de calor, que se disipa a través de un bulbo de vidrio que tiene un radio de 3.0
cm y un grosor de 1.0 mm. ¿Cuál es la diferencia de temperatura entre las superficies interior y exterior del vidrio?
42. (III) Las cualidades aisladoras de la pared de una casa provienen principalmente de
Ladrillo Aislamiento
una capa de ladrillo de 4.0
(R1)
(R2)
pulgadas y una capa de
aislamiento R-19, como se
muestra en la figura 14-19.
¿Cuál es la tasa total de
T1
T2
pérdida de calor a través
de tal pared, si su área total
Flujo
es de 240 ft2 y la diferencia
de
de temperatura a través de
calor
ella es de 12 F°?
FIGURA 14–19 Dos
capas que aíslan una
pared. Problema 42.
43. (III) Una ventana de doble vidrio tiene dos paneles de vidrio
separados por un espacio de aire (figura 14-20). a) Demuestre que la tasa de flujo de calor por conducción a través de
esa ventana está dada por
Q
t
=
A AT2 - T1 B
l1k1 + l2k2 + l3k3
Vidrio
,
donde k1, k2 y k3 son las conductividades térmicas para el vidrio, el aire
y el vidrio, respectivamente. b) Generalice esta expresión para cualquier número de materiales colocados
uno junto a otro.
FIGURA 14–20
Problema 43.
T1
Aire
l1
l2
T2
l3
44. (III) ¿Aproximadamente cuánto le tomaría derretirse a 11.0
kg de hielo a 0°C cuando se coloca cuidadosamente en una
hielera de espuma de estireno sellada con dimensiones 25 cm
* 35 cm * 55 cm, cuyas paredes tienen 1.5 cm de grosor? Suponga que la conductividad de la espuma de estireno es el
doble de la del aire y que la temperatura exterior es de 32°C.
Problemas generales
45. Una lata de bebida refrescante contiene aproximadamente
0.20 kg de líquido a 5°C. Beber este líquido en realidad puede
consumir parte de la grasa del cuerpo, a causa de la energía
que se necesita para calentar el agua a temperatura corporal
(37°C). ¿Cuántas Calorías alimenticias debe tener la bebida para que esté en perfecto equilibrio con el calor necesario
para calentar el líquido?
46. Si el carbón entrega 30 MJkg cuando se quema, ¿cuánto
carbón se necesitaría para calentar una casa que requiere
2.0 * 105 MJ para todo el invierno? Suponga que el 30%
del calor se pierde en la chimenea.
47. Para tener una idea de cuánta energía térmica contienen los
océanos del mundo, estime el calor liberado cuando un cubo
de agua de océano, de 1 km de lado, se enfría en 1 K. (Considere al agua de océano como agua pura para esta estimación).
48. Una bala de plomo de 15 g se prueba al dispararla contra un
bloque de madera fijo con una masa de 1.05 kg. El bloque y
la bala incrustada absorben juntos todo el calor generado.
Después de que se alcanza el equilibrio térmico, el sistema
tiene una elevación de temperatura medida en 0.020 C°. Estime la rapidez de entrada de la bala.
49. a) Encuentre la potencia total radiada al espacio por el Sol, si
se supone que es un emisor perfecto a T = 5500 K. El radio del Sol es de 7.0 * 108 m. b) A partir de esto, determine
la potencia por unidad de área que llega a la Tierra, a
1.5 * 1011 m de distancia (figura 14-21).
r = 1.5 × 1011 m
Sol
Tierra
FIGURA 14–21 Problema 49.
406
CAPÍTULO 14
Calor
50. Durante la realización de una actividad ligera, una persona
de 70 kg puede generar 200 kcalh. Si se supone que el 20% de
esto se va en trabajo útil y el otro 80% se convierte en calor,
calcule el aumento de temperatura del cuerpo después de
1.00 h si nada de este calor se transfiere al ambiente.
51. Una gran roca redonda de mármol de 340 kg rueda desde lo
alto de un risco y cae por una altura vertical de 140 m antes
de golpear el suelo. Estime el aumento de temperatura de la
roca si el 50% del calor generado permanece en ella.
52. Una bola de plomo de 2.3 kg se suelta en una cubeta aislada
de agua de 2.5 L inicialmente a 20.0°C. Si la temperatura final de la combinación agua-plomo es de 28.0°C, ¿cuál fue la
temperatura inicial de la bola de plomo?
53. Un escalador de montañas viste una chamarra de pluma de
ganso de 3.5 cm de grosor con área superficial total de 1.2 m2.
La temperatura en la superficie de la ropa es de –20°C y en la
piel es de 34°C. Determine la tasa de flujo de calor por conducción a través de la chamarra a) si se supone que está seca
y la conductividad térmica k es la de la pluma, y b) si se supone que la chamarra está húmeda, de modo que k es la del
agua y la chamarra se ha apelotonado a 0.50 cm de grosor.
54. Un corredor de maratón tiene una tasa metabólica promedio
de aproximadamente 950 kcalh durante una carrera. Si el
corredor tiene una masa de 55 kg, estime cuánta agua perdería por evaporación de la piel en una carrera que dura 2.5 h.
55. Estime la tasa a la que el calor se puede conducir desde el interior del cuerpo hacia la superficie. Suponga que el grosor
del tejido es de 4.0 cm, que la piel está a 34°C y el interior a
37°C, y que el área superficial es de 1.5 m2. Compare esto
con el valor medido de aproximadamente 230 W que debe
disipar una persona que trabaja ligeramente. Esto demuestra con claridad la necesidad del enfriamiento convectivo de
la sangre.
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56. Una casa tiene paredes bien aisladas de 17.5 cm de grosor
(suponga conductividad del aire) y 410 m2 de área, un techo
de madera de 6.5 cm de grosor y 280 m2 de área, y ventanas
descubiertas de 0.65 cm de grosor y 33 m2 de área total. a) Si
se supone que el calor se pierde solamente mediante conducción, calcule la tasa a la que se debe suministrar calor a esta
casa para mantener su temperatura interior en 23°C si la
temperatura exterior es de –10°C. b) Si la casa inicialmente
está a 10°C, estime cuánto calor se debe suministrar para elevar la temperatura a 23°C en 30 min. Suponga que sólo necesita calentarse el aire y que su volumen es de 750 m3. c) Si el
gas natural cuesta $0.080 por kilogramo y su calor de combustión es de 5.4 * 107 Jkg, ¿cuál es el costo mensual para
mantener la casa como en el inciso a) durante las 24 h del
día, si se supone que el 90% del calor producido se utiliza para calentar la casa? Considere el calor específico del aire como 0.24 kcalkg C°.
57. Una bala de plomo de 15 g, que viaja a 220 ms, pasa a través
de una pared delgada y emerge con una rapidez de 160 ms.
Si la bala absorbe el 50% del calor generado, a) ¿cuál será el
aumento de temperatura de la bala? b) Si la temperatura inicial de la bala fue de 20°C, ¿parte de la bala se derretirá y,
si es así, cuánto?
58. Una hoja de 40 cm2 de área y 4.5 * 10 –4 kg de masa enfrenta directamente al Sol en un día claro. La hoja tiene una emisividad de 0.85 y un calor específico de 7.0 * 108 m. a) Estime
la tasa de aumento de la temperatura de la hoja. b) Calcule la
temperatura que alcanzaría la hoja si pierde todo su calor
mediante radiación hacia los alrededores a 20°C. c) ¿De qué
otras formas puede disipar calor la hoja?
59. Utilice el resultado del inciso a) del problema 58, y tome en
cuenta la radiación de la hoja para calcular cuánta agua debe
transpirar (evaporar) por hora la hoja para mantener una
temperatura de 35°C.
60. Un meteorito de hierro se funde cuando entra a la atmósfera
de la Tierra. Si su temperatura inicial era de –125°C fuera de
la atmósfera terrestre, calcule la velocidad mínima que el meteorito tenía antes de entrar a la atmósfera de la Tierra.
61. La temperatura dentro de la corteza terrestre aumenta alrededor de 1.0 C° por cada 30 m de profundidad. La conductividad térmica de la corteza es de 0.80 WC° m. a) Determine
el calor transferido del interior a la superficie para toda la
Tierra en 1 día. b) Compare este calor con la cantidad de
energía incidente a la Tierra en 1 día a partir de la radiación
del Sol.
62. En un juego típico de squash (figura 14-22), dos personas
golpean una bola de hule suave contra una pared hasta que
están a punto de caer por la deshidratación y el cansancio.
Suponga que la bola golpea la pared a una velocidad de 22
ms, que rebota con una velocidad de 12 ms, y que la pérdida de energía cinética en el proceso calienta la bola. ¿Cuál
será el aumento de temperatura de la bola después de un
rebote? (El calor específico del hule es aproximadamente
1200 Jkg C°).
FIGURA 14–22 Problema 62.
63. ¿Cuál será el resultado final cuando se mezclen masas iguales
de hielo a 0°C y vapor a 100°C?
64. En un ambiente frío, una persona puede perder calor por conducción y por radiación a una tasa aproximada de 200 W. Estime cuánto tardaría que la temperatura corporal disminuyera
de 36.6°C a 35.6°C, si el metabolismo casi se detuviese. Suponga una masa de 70 kg. (Consulte la tabla 14-1).
65. Después de un regaderazo caliente y de lavar los platos, “no
hay agua caliente” en el calentador de agua de 50 galones
(185 L). Esto sugiere que el tanque se vació y rellenó con
agua a aproximadamente 10°C. a) ¿Cuánta energía toma recalentar el agua a 50°C? b) ¿Cuánto tardaría si la salida
del calentador fuera de 9500 W?
66. La temperatura de la superficie de vidrio de una bombilla de
60 W es de 65°C cuando la temperatura ambiente es de 18°C.
Estime la temperatura de una bombilla de 150 W con un bulbo de vidrio del mismo tamaño. Considere sólo radiación y
suponga que el 90% de la energía se emite como calor.
Respuestas a los ejercicios
A: 0.21 kg.
B: Las cortinas atrapan una capa de aire entre la pared exterior
y la habitación, que actúa como un excelente aislador.
Problemas generales
407
La termodinámica es el estudio del calor y el trabajo. El calor es una transferencia de
energía causada por una diferencia de temperatura; el trabajo es una transferencia
de energía provocada por medios mecánicos, no por una diferencia de temperatura.
La primera ley de la termodinámica es un enunciado general de la conservación de la
energía: el calor Q que se agrega a un sistema menos el trabajo neto W realizado por
el sistema es igual al cambio en la
energía interna U del sistema: U =
Q - W. Las fotografías muestran dos
usos de una máquina térmica: una
moderna central eléctrica que quema
carbón y una antigua locomotora de
vapor. Ambas producen vapor que realiza trabajo: en las turbinas para generar electricidad y en un pistón que
mueve las conexiones para echar a andar las ruedas de la locomotora. La
eficiencia de cualquier máquina está
limitada por la naturaleza de acuerdo
con la segunda ley de la termodinámica. Esta gran ley se establece mejor
en términos de una cantidad llamada
entropía, que no se conserva sino que,
en vez de ello, siempre tiende a aumentar en cualquier proceso real. La
entropía es una medida del desorden.
La segunda ley de la termodinámica
dice que, conforme el tiempo transcurre,
el desorden en el universo aumenta.
15
CAPÍTULO
Las leyes de la termodinámica
T
Distinción entre calor y trabajo
408
ermodinámica es el nombre que se le da al estudio de los procesos en los
que la energía se transfiere como calor y trabajo.
En el capítulo 6 se vio que se realiza trabajo cuando la energía se transfiere de
un objeto a otro por medios mecánicos. En el capítulo 14 se explicó que el calor es una
transferencia de energía de un objeto a otro que se encuentra a una temperatura
más baja. De este modo, el calor es muy parecido al trabajo. Para distinguirlos, el calor se define como una transferencia de energía provocada por una diferencia de
temperatura, mientras que el trabajo es una transferencia de energía que no se debe
a una diferencia de temperatura.
Al estudiar la termodinámica, con frecuencia se hace referencia a sistemas particulares. Un sistema es cualquier objeto o conjunto de objetos que se desea considerar (sección 14-4). El resto del universo se considera como el “ambiente” o los
“alrededores”.
En este capítulo se examinarán las dos grandes leyes de la termodinámica. La
primera de ellas relaciona el trabajo y la transferencia de calor con el intercambio
de energía interna de un sistema, y es un enunciado general de la conservación de la
energía. La segunda ley de la termodinámica expresa límites en la capacidad para
realizar trabajo útil, y con frecuencia se establece en términos de entropía, que es
una medida del desorden. Además de estas dos grandes leyes, también se analizarán
algunos importantes dispositivos prácticos relacionados: máquinas térmicas, refrigeradores, bombas térmicas y acondicionadores de aire.
15–1 La primera ley de la termodinámica
En la sección 14-2 se definió la energía interna de un sistema como la suma de todas
las energías de las moléculas contenidas en él. Uno espera que la energía interna de
un sistema aumente si se realiza trabajo sobre él, o si se le agrega calor. De manera
similar, la energía interna disminuirá si el calor fluye hacia fuera del sistema o si el
sistema realiza trabajo sobre los alrededores.
A partir de esto, es razonable extender el principio trabajo-energía y proponer
una ley importante: el cambio en la energía interna de un sistema cerrado, U, será
igual a la energía agregada al sistema mediante calentamiento, menos el trabajo
efectuado por el sistema sobre los alrededores. En forma de ecuación se escribe:
¢U = Q - W
(15–1)
donde Q es el calor neto agregado al sistema y W es el trabajo neto realizado por el
sistema. Hay que tener cuidado y ser consistentes en seguir las convenciones de signos para Q y W. Como W en la ecuación 15-1 es el trabajo realizado por el sistema,
entonces, si se realiza trabajo sobre el sistema, W será negativo y U aumentará. De
igual modo, Q es positivo para el calor agregado al sistema, de modo que si el calor
sale del sistema, Q es negativo.
La ecuación 15-1 se conoce como la primera ley de la termodinámica. Es una de
las grandes leyes de la física, y su validez se apoya en los experimentos (como el
de Joule) para los que no se han encontrado excepciones. Dado que Q y W representan la energía transferida hacia el sistema o desde él, la energía interna cambia
en concordancia. De esta forma, la primera ley de la termodinámica es un gran y
amplio enunciado de la ley de conservación de la energía.
Vale la pena hacer notar que la ley de conservación de la energía no se formuló sino hasta el siglo XIX, por su dependencia de la interpretación del calor como
transferencia de energía.
Un sistema dado, en cualquier momento, se encuentra en un estado particular y
se puede decir que tiene cierta cantidad de energía interna, U. Pero un sistema no
“tiene” una cierta cantidad de calor o trabajo. Más bien, cuando se realiza trabajo
sobre un sistema (como al comprimir un gas), o cuando se añade o remueve calor
del sistema, su estado cambia. En consecuencia, trabajo y calor participan en los
procesos termodinámicos que pueden cambiar el sistema de un estado a otro; no son
característica del estado mismo. Las cantidades que describen el estado de un sistema, como la energía interna U, la presión P, el volumen V, la temperatura T y la masa m o el número de moles n, se llaman variables de estado. En cambio, Q y W no
son variables de estado.
PRIMERA LEY DE LA
TERMODINÁMICA
El calor agregado es +
El calor perdido es El trabajo sobre el sistema es El trabajo realizado
por el sistema es +
La primera ley de la termodinámica
se refiere a la conservación de la
energía
La energía interna es una propiedad
del sistema; el trabajo y el calor
no lo son
EJEMPLO 15–1 Uso de la primera ley. A un sistema se agregan 2500 J de
calor y 1800 J de trabajo que se realiza sobre el sistema. ¿Cuál es el cambio en la
energía interna del sistema?
PLANTEAMIENTO Al sistema se aplica la primera ley de la termodinámica
(ecuación 15-1).
SOLUCIÓN El calor agregado al sistema es Q = 2500 J. El trabajo W realizado
por el sistema es -1800 J. ¿Por qué el signo menos? Porque 1800 J realizados sobre
el sistema (como se indica) es igual a -1800 J realizados por el sistema, y es esto
último lo que se necesita poner en la ecuación 15-1 de acuerdo con las convenciones anteriores de signos. Por tanto
¢U = 2500 J - (–1800 J) = 2500 J + 1800 J = 4300 J.
Tal vez se piense intuitivamente que los 2500 J y los 1800 J deberían sumarse juntos, puesto que ambos se refieren a la energía añadida al sistema. Y así es.
NOTA Este cálculo se hizo en detalle para enfatizar la importancia de realizar un
seguimiento cuidadoso de los signos.
EJERCICIO A ¿Cuál sería el cambio en la energía interna en el ejemplo 15-1 si al sistema se agregaran 2500 J de calor y el sistema realizara 1800 J de trabajo (es decir, como
salida)?
SECCIÓN 15–1
La primera ley de la termodinámica
409
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* La primera ley de la termodinámica extendida
Para reafirmar la comprensión de la primera ley, considere un sistema que se mueve,
de modo que tiene energía cinética EC, y suponga que también existe energía potencial EP. Entonces, la primera ley de la termodinámica tendría que incluir esos términos
y se escribiría como
(15–2)
¢ec + ¢ep + ¢U = Q - W.
EJEMPLO 15–2 Energía cinética transformada en energía térmica. Una bala
de 3.0 g que viaja con una rapidez de 400 ms entra a un árbol y sale por el otro
lado con una rapidez de 200 ms. ¿A dónde va la EC perdida por la bala y cuál
fue la energía transferida?
PLANTEAMIENTO La bala y el árbol constituyen el sistema. No hay energía potencial implicada. Ninguna fuerza externa realiza trabajo sobre el sistema (ni el sistema realiza trabajo); tampoco se agrega calor pues no se transfiere energía hacia
el sistema o desde él como resultado de una diferencia de temperatura. Así que la
energía cinética se transforma en la energía interna de la bala y el árbol.
SOLUCIÓN A partir de la primera ley de la termodinámica proporcionada por la
ecuación 15-2, se tiene Q = W = EP = 0, con lo que se obtiene
¢ec + ¢U = 0
o
Pistón
móvil
¢U = – ¢ec = – Aecf - eci B = 12 m Av2i - v2f B
= 12 A3.0 * 10–3 kgB C (400 ms)2 - (200 ms)2 D = 180 J.
NOTA Las energías internas de la bala y el árbol aumentan, y ambos experimentan un aumento de temperatura. Si se hubiera elegido sólo a la bala como el sistema,
se hubiese realizado trabajo sobre ella y entonces habría ocurrido transferencia de
calor.
15–2 Procesos termodinámicos y la primera ley
Gas ideal
A continuación se analizarán algunos procesos termodinámicos a la luz de la primera ley de la termodinámica. Para comenzar, elegiremos un sistema muy simple: una
masa fija de un gas ideal encerrado en un contenedor cubierto con un pistón móvil,
que se ilustra en la figura 15-1.
Primero se considera un proceso idealizado que se lleva a cabo a temperatura
FIGURA 15–1 Un gas ideal en un
constante. Tal proceso se llama proceso isotérmico, término que proviene del griego
cilindro tapado con un pistón móvil.
y que significa “misma temperatura”. Si sobre el gas idealizado se lleva a cabo un
proceso isotérmico, entonces PV = nRT (ecuación 13-3) se convierte en PV = constante. Entonces, el proceso sigue una curva como AB en el diagrama PV de la figura
Proceso isotérmico (T = 0) 15-2, que es una curva para PV = constante (como en la figura 13-12). Cada punto
en la curva, como el punto A, representa un estado del sistema, es decir, su presión
P y volumen V en un momento dado. A una temperatura más baja, otro proceso
isotérmico se representaría mediante una curva como AB en la figura 15-2 (el producto PV = nRT = constante es menor cuando T es menor). Las curvas que se muestran en la figura 15-2 se denominan isotermas.
Depósito de calor
Se supone que el gas está en contacto con un depósito de calor (un cuerpo cuya
masa
es tan grande que, idealmente, su temperatura no cambia de manera significaFIGURA 15–2 Diagrama PV para
tiva cuando se intercambia calor con el sistema). También se supone que el proceso
un gas ideal que experimenta procesos
isotérmicos a dos temperaturas diferentes. de compresión (disminución de volumen) o expansión (aumento de volumen) se
realiza muy lentamente de acuerdo con el principio de que todo el gas permanece
en equilibrio a temperatura constante. Si el gas inicialmente está en un estado repreA
sentado por el punto A en la figura 15-2, y se agrega una cantidad Q de calor al sisA′
tema, la presión y el volumen cambiarán y el estado del sistema estará representado
P
por otro punto, B, en el diagrama. Si la temperatura ha de permanecer constante, el
B
Más alta T
gas debe expandirse y realizar una cantidad de trabajo W sobre el ambiente (ejerce
una fuerza sobre el pistón en la figura 15-1 y lo mueve una cierta distancia). La temT
Más
baja
B′
peratura se mantiene constante, así que, de acuerdo con la ecuación 14-1, la energía
0
V
interna no cambia: ¢U = 32 nR ¢T = 0. De esta forma, por la primera ley de la terProceso isotérmico (gas ideal): modinámica (ecuación 15-1), ¢U = Q - W = 0, de modo que W = Q: el trabajo
T = constante, U = 0, Q = W
realizado por el gas en un proceso isotérmico es igual al calor agregado al gas.
410
CAPÍTULO 15
Las leyes de la termodinámica
Un proceso adiabático es aquel en el que no se permite el flujo de calor hacia el
sistema o desde él: Q = 0. Esta situación se puede presentar cuando el sistema está
extremadamente bien aislado, o cuando el proceso ocurre tan rápido que el calor
(que fluye con lentitud) no tiene tiempo de fluir hacia dentro o hacia fuera. La rápida expansión de los gases en un motor de combustión interna es ejemplo de un proceso que está muy cerca de ser adiabático. Una expansión adiabática lenta de un gas
ideal sigue una curva como la AC en la figura 15-3. Como Q = 0, a partir de la ecuación 15-1, se tiene que U = -W. Es decir, la energía interna disminuye si el gas se
expande; por tanto, la temperatura también disminuye (puesto que ¢U = 32 nR ¢T).
Esto es evidente en la figura 15-3, donde el producto PV (= nRT) es menor en el
punto C que en el punto B (la curva AB es para un proceso isotérmico, para el que
U = 0 y T = 0). En la operación inversa, una compresión adiabática (que va de C
a A, por ejemplo), se realiza trabajo sobre el gas, y por tanto la energía interna aumenta y la temperatura se eleva. En un motor diesel, la mezcla de combustible y aire
se comprime adiabáticamente muy rápido por un factor de 15 o más; la elevación de
la temperatura es tan grande que la mezcla se enciende de manera espontánea.
Los procesos isotérmico y adiabático son sólo dos posibles procesos que pueden
ocurrir. Otros dos simples procesos termodinámicos se ilustran en los diagramas PV
de la figura 15-4: a) un proceso isobárico es aquel en el que la presión se mantiene
constante, de modo que el proceso está representado mediante una línea recta horizontal en el diagrama PV (figura 15-4a); b) un proceso isovolumétrico o isocórico es
aquel en el que el volumen no cambia (figura 15-4b). En éstos, y en todos los otros
procesos, se sostiene la primera ley de la termodinámica.
FIGURA 15–4 a) Proceso isobárico (“misma presión”).
b) Proceso isovolumétrico (“mismo volumen”).
A
A
P
Isotérmico
B
Adiabático
0
V
FIGURA 15–3 Diagrama PV para
procesos adiabático (AC) e isotérmico
(AB) sobre un gas ideal.
Proceso isobárico:
P = constante, W = P V
Proceso isovolumétrico:
V = constante, W = 0
FIGURA 15–5 Trabajo realizado sobre
el pistón cuando el gas se expande, lo que
mueve el pistón una distancia d.
P
B
0
C
A
B
P
Proceso adiabático (Q = 0)
V
Isobárico
a)
0
área A
V
d
Isovolumétrico
b)
P
Con frecuencia es valioso calcular el trabajo realizado en un proceso. Si la presión se mantiene constante durante un proceso (isobárico), el trabajo realizado se
calcula con facilidad. Por ejemplo, si el gas en la figura 15-5 se expande lentamente
contra el pistón, el trabajo efectuado por el gas para elevar el pistón es la fuerza F
por la distancia d. Pero la fuerza es justo la presión P del gas por el área A del pistón, F = PA. En consecuencia,
W = Fd = PAd.
Puesto que Ad = V, entonces, el cambio en el volumen del gas,
W = P ¢V.
[presión constante] (15–3)
Trabajo realizado en cambios
de volumen
La ecuación 15-3 también se sostiene si el gas se comprime a presión constante, en
cuyo caso V es negativo (pues V disminuye); entonces W es negativo, lo que indica
que se realiza trabajo sobre el gas. La ecuación 15-3 también es válida para líquidos y sólidos, en tanto la presión sea constante durante el proceso.
En un proceso isovolumétrico (figura 15-4b) el volumen no cambia, así que no
se realiza trabajo: W = 0.
SECCIÓN 15–2
Procesos termodinámicos y la primera ley
411
P
A
PA
Isotérmico
Isovolumétrico
PB
0
B
D Isobárico
VA
VB
V
FIGURA 15–6 Diagrama PV para
diferentes procesos (véase el texto),
donde el sistema cambia de A a B.
Trabajo = área bajo la curva PV
FIGURA 15–7 El trabajo realizado
por un gas es igual al área bajo la
curva PV.
P
D
B
VA
VB
PB
0
V
a)
P
A
EJEMPLO CONCEPTUAL 15–3 Trabajo en procesos isotérmicos y adiabáticos. En la figura 15-3 se vio el diagrama PV para un gas que se expande en dos
formas, isotérmica y adiabáticamente. El volumen inicial VA fue el mismo en cada
caso, y los volúmenes finales fueron los mismos (VB = VC). ¿En cuál proceso el gas
realizó más trabajo?
RESPUESTA El sistema es el gas. Este último realizó más trabajo en el proceso
isotérmico, que se puede ver en dos formas simples en la figura 15-3. Primero, la presión “promedio” fue mayor durante el proceso isotérmico AB, así que
W = Pprom V fue más grande (V es la misma para ambos procesos). Segundo,
se puede observar el área bajo cada curva: el área bajo la curva AB, que representa el trabajo realizado, fue mayor (pues la curva AB es más alta) que la que está
bajo AC.
EJERCICIO B El trabajo efectuado por el gas en el proceso ADB de la figura 15-6, ¿es
mayor que, menor que o igual al trabajo realizado en el proceso isotérmico AB?
B
0
La figura 15-6 muestra la isoterma AB vista en la figura 15-2, así como otros posibles procesos representados mediante la trayectoria ADB. Al ir de A a D, el gas no
realiza trabajo pues el volumen no cambia. Pero al ir de D a B, el gas realiza trabajo igual a PB(VB - VA), y éste es el trabajo total realizado en el proceso ADB.
Si la presión varía durante un proceso, tal como para el proceso isotérmico AB
de la figura 15-2, la ecuación 15-3 no se puede usar directamente para determinar el
trabajo. Sin embargo, se puede obtener una estimación aproximada al usar un valor
“promedio” para P en la ecuación 15-3. De manera más precisa, el trabajo realizado
es igual al área bajo la curva PV. Esto es obvio cuando la presión es constante: como muestra la figura 15-7a, el área sombreada es justo PB(VB - VA), y éste es el trabajo efectuado. De manera similar, el trabajo realizado durante un proceso
isotérmico es igual al área sombreada en la figura 15-7b. El trabajo realizado en este caso se puede determinar con la ayuda del cálculo o estimando el área en papel
gráfico.
VA
VB
b)
V
EJEMPLO CONCEPTUAL 15–4 Proceso adiabático simple. He aquí un ejemplo de un proceso adiabático que se puede efectuar sólo con una liga de hule. Sostenga una delgada liga de hule cómodamente con las dos manos y calibre su
temperatura con los labios. Estire la liga súbitamente y de nuevo tóquela apenas
con los labios. Debe notarse un aumento en la temperatura. Explique con claridad por qué aumenta la temperatura.
RESPUESTA Al estirar la liga súbitamente se realiza el proceso adiabático pues
no hay tiempo para que el calor ingrese o salga del sistema (la liga), de modo que
Q = 0. Se efectúa trabajo sobre el sistema, que representa una entrada de energía, de modo que W es negativo en la ecuación 15-1 (U = Q - W). En consecuencia, U debe ser positivo. Un aumento en la energía interna corresponde a un
aumento en la temperatura (para un gas ideal esto se determina mediante la ecuación 14-1).
La tabla 15-1 proporciona un breve resumen de los procesos que se han analizado.
TABLA 15–1 Procesos termodinámicos simples y la primera ley
412
CAPÍTULO 15
Proceso
Qué es constante:
Isotérmico
Isobárico
Isovolumétrico
Adiabático
T
P
V
Q
Las leyes de la termodinámica
=
=
=
=
constante
constante
constante
0
La primera ley predice:
¢T = 0 hace ¢U = 0, por tanto Q = W
Q = ¢U + W = ¢U + P ¢V
¢V = 0 hace W = 0, por tanto Q = ¢U
¢U = –W
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PLANTEAMIENTO a) Sólo se realiza trabajo en el proceso de compresión BD.
En el proceso DA, el volumen es constante de modo que V = 0 y no se realiza
trabajo (ecuación 15-3). b) Se utiliza la primera ley de la termodinámica (ecuación
15-1).
SOLUCIÓN a) Durante la compresión BD, la presión es 2.0 atm = 2(1.01 * 105
N/m2) y el cambio en volumen es
P
PA
A
Isovolumétrico
EJEMPLO 15–5 Primera ley en procesos isobáricos e isovolumétricos. Un
gas ideal se comprime lentamente a una presión constante de 2.0 atm, desde 10.0 L
hasta 2.0 L. Este proceso se representa en la figura 15-8 como la trayectoria de B a
D. (En este proceso, parte del calor fluye hacia fuera del gas y la temperatura desciende.) Entonces se agrega calor al gas, con lo que el volumen se mantiene constante, y se permite que la presión y la temperatura se eleven (línea DA) hasta que
la temperatura alcance su valor original (TA = TB). Calcule a) el trabajo total realizado por el gas en el proceso BDA y b) el flujo de calor total en el gas.
PB
D
0
2
Isotérmico
B
Isobárico
4
6
8
10 V (L)
FIGURA 15–8 Ejemplo 15-5.
¢V = A2.0 * 10–3 m3 B - A10.0 * 10–3 m3 B = –8.0 * 10–3 m3.
Entonces el trabajo realizado es
W = P ¢V = A2.02 * 105 Nm2 BA –8.0 * 10–3 m3 B = –1.6 * 103 J.
El trabajo total realizado por el gas es -1.6 * 103 J, donde el signo menos significa
que sobre el gas se realizan +1.6 * 103 J de trabajo.
b) Puesto que la temperatura al principio y al final del proceso BDA es la misma,
no existe cambio en la energía interna: U = 0. A partir de la primera ley de la
termodinámica se tiene
0 = ¢U = Q - W,
de modo que
Q = W = – 1.6 * 103 J.
Puesto que Q es negativo, 1600 J de calor fluyen hacia fuera del gas durante todo
el proceso, BDA.
EJERCICIO C En el ejemplo 15-5, si la pérdida de calor del gas en el proceso BD es
8.4 * 103 J, ¿cuál es el cambio en la energía interna del gas durante el proceso BD?
Ejemplos adicionales
EJEMPLO 15–6 Trabajo realizado en un motor. En un motor, 0.25 moles de
un gas monoatómico ideal en el cilindro se expanden rápida y adiabáticamente
contra el pistón. En el proceso, la temperatura del gas desciende de 1150 a 400 K.
¿Cuánto trabajo realiza el gas?
PLANTEAMIENTO Se considera al gas como el sistema (el pistón es parte de los
alrededores). La presión no es constante, así que no se puede usar la ecuación
15-3. En lugar de ello, se emplea la primera ley de la termodinámica, pues es posible determinar U dado Q = 0 (el proceso es adiabático).
SOLUCIÓN Se determina U a partir de la ecuación 14-1 para la energía interna
de un gas monoatómico ideal:
¢U = Uf - Ui = 32 nR ATf - Ti B
= 32 (0.25 mol)(8.314 Jmol K)(400 K - 1150 K)
= –2300 J.
Entonces, a partir de la primera ley de la termodinámica (ecuación 15-1),
W = Q - ¢U = 0 - (–2300 J) = 2300 J.
SECCIÓN 15–2
Procesos termodinámicos y la primera ley
413
EJEMPLO 15–7 U para agua que hierve a vapor. Determine el cambio en
la energía interna de 1.00 litro de agua (1.00 kg de masa) a 100°C cuando hierve
completamente de líquido a gas, lo que da como resultado 1671 litros de vapor a
100°C. Suponga que el proceso se realiza a presión atmosférica.
PLANTEAMIENTO El sistema es el agua. El calor que se requiere aquí no da como resultado un cambio de temperatura; más bien, ocurre un cambio de fase. Se
puede determinar el calor Q requerido utilizando el calor latente del agua, como
en la sección 14-5. También se realizará trabajo: W = P V. Entonces la primera
ley de la termodinámica proporcionará U.
SOLUCIÓN El calor latente de vaporización del agua (tabla 14-3) es LV = 22.6 *
105 Jkg. De modo que la entrada de calor requerida para este proceso es
Q = mL = (1.00 kg)A22.6 * 105 JkgB
= 22.6 * 105 J.
El trabajo realizado por el agua es (ecuación 15-3)
W = P ¢V = A1.01 * 105 Nm2 B C A1671 * 10–3 m3 B - A1 * 10–3 m3 B D
= 1.69 * 105 J,
donde se usó 1 atm = 1.01 * 105 Nm2 y 1 L = 103 cm3 = 10 –3 m3. Entonces,
¢U = Q - W = A22.6 * 105 JB - A1.7 * 105 JB
= 20.9 * 105 J.
NOTA La mayor parte del calor agregado va a aumentar la energía interna del
agua (aumento de energía molecular para superar la atracción que mantiene juntas a las moléculas en el estado líquido). Sólo una pequeña parte ( 10%) se destina a la realización de trabajo.
EJERCICIO D La ecuación 14-1, U = 32 nRT, dice que ¢U = 0 en el ejemplo 15-7 porque ¢T = 0. Aunque se determinó que ¢U = 21 * 105 J. ¿Qué está equivocado?
* 15–3 Metabolismo humano y la primera ley
F Í S I C A
A P L I C A D A
Energía en el cuerpo humano
FIGURA 15–9 Una ciclista que
obtiene una entrada de energía.
Los seres humanos y los animales realizan trabajo. Cuando una persona camina o
corre, o levanta un objeto pesado, realiza trabajo. El trabajo requiere energía. La
energía también se necesita para crecer y para formar nuevas células que sustituyan
a aquellas que han muerto. Dentro de un organismo tienen lugar una gran cantidad
de procesos que transforman energía a los que se conoce como metabolismo.
Se puede aplicar la primera ley de la termodinámica,
¢U = Q - W,
a un organismo como el cuerpo humano. El cuerpo realiza trabajo W en sus diversas
actividades; si éstas no deben dar como resultado una disminución de la energía interna (y de la temperatura) del cuerpo, de algún modo hay que agregar energía para compensar. Sin embargo, la energía interna del cuerpo no se mantiene por un
flujo de calor Q en el cuerpo. Normalmente, el cuerpo está a una temperatura más
alta que su ambiente, así que el calor generalmente fluye hacia fuera del cuerpo. Incluso en un día muy caluroso, cuando se absorbe calor, el cuerpo no tiene forma de
utilizar este calor para efectuar sus procesos vitales. ¿Entonces cuál es la fuente de
energía que permite realizar trabajo? Es la energía interna (energía potencial química) almacenada en los alimentos (figura 15-9). En un sistema cerrado, la energía
interna cambia sólo como resultado del flujo de calor o del trabajo realizado. En un
sistema abierto, como un cuerpo humano, la energía interna misma puede fluir hacia
el sistema o desde él. Cuando una persona come, está llevando directamente energía
interna al cuerpo y, en consecuencia, aumenta su energía interna total U. Con el
tiempo, esta energía se destina al trabajo y fluye como calor desde el cuerpo, de
acuerdo con la primera ley.
414
CAPÍTULO 15
Las leyes de la termodinámica
La tasa metabólica es la tasa a la que la energía interna se transforma dentro
del cuerpo. Por lo general se especifica en kcalh o en watts. En la tabla 15-2 se presentan tasas metabólicas típicas para varias actividades humanas, para un adulto
“promedio” de 65 kg.
EJEMPLO 15–8 Transformación de energía en el cuerpo. ¿Cuánta energía
transforma en 24 h una persona de 65 kg que pasa 8.0 h dormida, 1.0 h en labor
física moderada, 4.0 h en actividad ligera y 11.0 h trabajando frente a un escritorio
o en relajamiento?
PLANTEAMIENTO La energía transformada durante cada actividad es igual a la
tasa metabólica (tabla 15-2) multiplicada por el tiempo.
SOLUCIÓN La tabla 15-2 proporciona la tasa metabólica en watts (Js). Puesto
que existen 3600 s en una hora, la energía total transformada es
(8.0 h)(70 Js) + (1.0 h)(460 Js)
c
d (3600 sh) = 1.15 * 107 J.
+ (4.0 h)(230 Js) + (11.0 h)(115 Js)
3
NOTA Dado que 4.186 * 10 J = 1 kcal, esto es equivalente a 2800 kcal; una ingesta alimenticia de 2800 Cal compensaría esta salida de energía. Una persona
de 65 kg que quisiera perder peso tendría que comer menos de 2800 Cal al día,
o aumentar su nivel de actividad.
TABLA 15–2
Tasas metabólicas (humano de 65 kg)
Tasa metabólica
(aproximada)
kcal h
watts
60
100
200
70
115
230
400
Trabajo moderado
(jugar tenis, caminar)
Correr (15 kmh)
1000
Ciclismo (carrera)
1100
460
Actividad
Dormir
Sentarse erguido
Actividad ligera
(comer, vestirse, quehaceres domésticos)
1150
1270
15–4 Segunda ley de la termodinámica.
Introducción
La primera ley de la termodinámica establece que la energía se conserva. Sin embargo, uno podría imaginar muchos procesos que conservan energía pero que no
ocurren en la naturaleza. Por ejemplo, cuando un objeto caliente se pone en contacto con un objeto frío, el calor fluye del más caliente al más frío, pero nunca espontáneamente a la inversa. Si el calor fuese a dejar el objeto más frío para pasar al más
caliente, la energía todavía se podría conservar. Aunque esto no ocurre de forma espontánea.† Como segundo ejemplo, considere lo que ocurre cuando se suelta una
piedra y ésta golpea el suelo. La energía potencial inicial de la roca cambia a energía cinética conforme cae. Cuando la roca golpea el suelo, esta energía a su vez se
transforma en energía interna de la roca y el suelo en la vecindad del impacto; las
moléculas se mueven más rápidamente y la temperatura apenas si se eleva. Pero,
¿alguna vez ha visto que ocurra lo contrario: que una roca en reposo en el suelo súbitamente se eleve en el aire porque la energía térmica de las moléculas se transforme en energía cinética de la roca como un todo? La energía se podría conservar en
ese proceso, aunque nunca se ha visto que esto ocurra.
Existen muchos otros ejemplos de procesos que tienen lugar en la naturaleza
pero cuyo inverso no ocurre. He aquí dos más. 1. Si se pone una capa de sal dentro
de un frasco y encima se coloca una capa de granos de pimienta de igual tamaño,
cuando se agita el frasco se obtiene una mezcla pareja. Pero si se sigue agitando, la
mezcla no se separará en dos capas de nuevo. 2. Las tazas de café y los vasos se rompen espontáneamente si se dejan caer. Pero los trozos no vuelven a unirse de forma
espontánea (figura 15-10).
La primera ley de la termodinámica (conservación de energía) no se violaría si
alguno de esto procesos ocurriese a la inversa. Para explicar esta falta de reversibilidad, los científicos en la última mitad del siglo XIX formularon un nuevo principio
conocido como segunda ley de la termodinámica.
†
Por espontáneamente se entiende por sí mismo, sin entrada de trabajo de algún tipo. (Un refrigerador mueve calor de un ambiente frío a uno más caliente, pero sólo al realizar trabajo.)
?
a) Estado inicial.
FIGURA 15–10 ¿Alguna vez ha
observado este proceso: una taza
rota que espontáneamente se
vuelva a ensamblar y regrese a una
mesa?
?
b) Más tarde: la taza se vuelve
a ensamblar y se eleva.
c) Todavía más tarde: la taza
regresa a la mesa.
SECCIÓN 15–4
Segunda ley de la termodinámica. Introducción
415
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SEGUNDA LEY DE LA TERMODINÁMICA
(enunciado de Clausius)
Máquina térmica
Temperatura
alta, TH
La segunda ley de la termodinámica es un enunciado acerca de cuáles procesos
ocurren en la naturaleza y cuáles no. Se puede establecer de varias formas, todas
ellas equivalentes. Un enunciado, debido a R. J. E. Clausius (1822-1888), es que
el calor fluye espontáneamente de un objeto caliente a un objeto frío; el calor
no fluirá espontáneamente de un objeto frío a uno caliente.
Como este enunciado se aplica a un proceso particular, no es obvio cómo se aplica a
otros procesos. Se necesita un enunciado más general que incluya otros procesos
posibles de una forma más obvia.
El desarrollo de un enunciado general de la segunda ley de la termodinámica se
basó, en buen parte, en el estudio de las máquinas térmicas. Una máquina térmica
es cualquier dispositivo que convierte energía térmica en trabajo mecánico, como
las máquinas de vapor y los motores de los automóviles. Ahora se examinarán las
máquinas térmicas desde el punto de vista práctico y se mostrará su importancia en
el desarrollo de la segunda ley de la termodinámica.
QH
15–5 Máquinas térmicas
Máquina
W
QL
Temperatura
baja, TL
FIGURA 15–11 Diagrama de
transferencia de energía para una
máquina térmica.
P R E C A U C I Ó N
Nueva convención de signos:
QH 7 0, QL 7 0, W 7 0
Es fácil generar energía térmica mediante la realización de trabajo; por ejemplo, con
el solo hecho de frotar las manos vigorosamente, o mediante cualquier proceso de
fricción. Pero obtener trabajo a partir de la energía térmica es más difícil. No fue sino alrededor de 1700 cuando se inventó un dispositivo práctico que permitiera esto;
se trata de la máquina de vapor.
La idea básica detrás de cualquier máquina térmica es que la energía mecánica
se puede obtener a partir de la energía térmica sólo cuando se permite que el calor
fluya de una temperatura alta a una más baja. En el proceso, parte del calor se puede transformar en trabajo mecánico, como se observa en la figura 15-11. Aquí sólo
se hablará de las máquinas que corren en ciclos repetitivos (es decir, aquellas en las
que el sistema regresa de manera repetida a su punto de partida) y, por tanto, pueden correr de modo continuo. En cada ciclo, el cambio en la energía interna del sistema es U = 0 porque regresa al estado de partida. De esta forma, una entrada de
calor QH* a una temperatura alta TH se transforma parcialmente en trabajo W y
parcialmente se expulsa como calor QL a una temperatura más baja TL (figura 15-11).
Por conservación de energía, QH = W + QL. Las temperaturas alta y baja, TH y TL,
se llaman temperaturas operativas de la máquina. Hay que advertir que ahora se
emplea una nueva convención de signos: QH, QL y W se toman siempre como positivos. La dirección de cada transferencia de energía se encuentra a partir del diagrama aplicable, como la figura 15-11.
Motor de vapor y motor de combustión interna
F Í S I C A
A P L I C A D A
Motores
En la figura 15-12 se ilustra la operación de un motor de vapor. Los motores de vapor son de dos tipos principales, y cada uno utiliza el vapor calentado por combusTemperatura alta
Vapor a alta presión
de la caldera
Vapor
Agua
Válvula de admisión
(abierta durante
la expansión)
Caldera
FIGURA 15–12 Motores de vapor.
Válvula de escape
(cerrada durante
la expansión)
Pistón
Bomba
Agua
Condenser
Temperatura baja
a) Tipo reciprocante
416
CAPÍTULO 15
Las leyes de la termodinámica
Condensador
Vapor a baja presión
expulsado hacia el
condensador
b) Turbina (la caldera y el
condensador no se muestran)
tión de carbón, petróleo, gas o energía nuclear. En el tipo llamado reciprocante (figura 15-12a), el vapor caliente pasa a través de la válvula de admisión y se expande
contra un pistón, forzándolo a moverse. Conforme el pistón regresa a su posición
original, fuerza a los gases a salir por la válvula de escape. En una turbina de vapor
(figura 15-12b), todo es en esencia lo mismo, excepto que el pistón reciprocante se
sustituye mediante una turbina rotatoria que recuerda una rueda de paletas con muchos juegos de aspas. La mayor parte de la electricidad generada en la actualidad se
basa en turbinas de vapor.† El material que se calienta y se enfría, vapor en este caso, se llama sustancia de trabajo. En un motor de vapor, la temperatura alta se obtiene quemando carbón, petróleo u otro combustible para calentar el vapor.
En un motor de combustión interna (como el que se utiliza en la mayoría de los
automóviles), la temperatura alta se logra quemando la mezcla de gasolina y aire en
el cilindro mismo (encendido por la bujía), como se describe en la figura 15-13.
Válvula
de admisión
(abierta)
Válvula
de escape
(cerrada)
Mezcla de
gas y aire
proveniente
del carburador
Ambas válvulas
cerradas
Ambas válvulas
cerradas
Ambas válvulas
cerradas
Chispa
de la
bujía
(se dispara)
Cilindro
Pistón
Válvula
de escape
(abierta)
Hacia
tubería
de escape
Anillos
Barra de
conexión
Cigüeñal
a) Admisión
b) Compresión
c) Ignición
d) Expansión
(carrera de potencia)
e) Escape
FIGURA 15–13 Motor de combustión interna de cuatro tiempos: a) la mezcla de gasolina y
aire fluye hacia el cilindro mientras el pistón se mueve hacia abajo; b) el pistón se mueve hacia
arriba y comprime el gas; c) el breve instante cuando se dispara la chispa de la bujía enciende
la mezcla de gasolina y aire enormemente comprimida, lo que la eleva a una temperatura alta;
d) los gases, ahora a alta temperatura y presión, se expanden contra el pistón en una carrera de
potencia; e) los gases quemados se empujan fuera hacia la tubería de escape; cuando el pistón
alcanza la parte superior, la válvula de escape se cierra y la válvula de admisión se abre,
y todo el ciclo se repite. a), b), d) y e) son los cuatro tiempos del ciclo.
Por qué se necesita una T para conducir una máquina térmica
Para ver por qué se requiere una diferencia de temperatura para poner a andar un
motor, examinemos el motor de vapor. Por ejemplo, suponga que en el motor reciprocante no hubiera condensador ni bomba (figura 15-12a) y que el vapor estuviera
a la misma temperatura a todo lo largo del sistema. Esto significaría que la presión
del gas que se expulsa es la misma que la de admisión. Así, aunque el gas realice trabajo sobre el pistón cuando se expande, se tendría que realizar una cantidad igual
de trabajo por el pistón para forzar al vapor a salir por el escape; de esta forma, no
se realizaría ningún trabajo neto. En un motor real, el gas expulsado se enfría a una
temperatura más baja y se condensa de modo que la presión de escape sea menor
que la presión de admisión. Así, aunque el pistón debe realizar trabajo sobre el gas
para expulsarlo en la carrera de escape, es menor que el trabajo realizado por el
gas sobre el pistón durante la admisión. De esta forma se obtiene una cantidad neta
de trabajo, pero sólo si existe una diferencia de temperatura. De manera similar, en
la turbina de gas si éste no se enfría, la presión en cada lado de las aspas sería la
misma. Al enfriar el gas en el lado del escape, la presión en el lado trasero del aspa
será menor y entonces la turbina girará.
†
Incluso las plantas eléctricas nucleares utilizan turbinas de vapor; el combustible nuclear (uranio)
simplemente sirve como combustible para calentar el vapor.
SECCIÓN 15–5
Máquinas térmicas
417
Eficiencia
La eficiencia, e, de cualquier máquina térmica se define como la razón entre el trabajo que efectúa, W, y la entrada de calor a la temperatura alta, QH (figura 15-11):
e =
W.
QH
Ésta es una definición sensible dado que W es la salida (lo que se obtiene del motor), mientras que QH es lo que se coloca y por lo que se paga en el combustible
quemado. Como la energía se conserva, la entrada de calor QH debe ser igual al trabajo realizado más el calor que fluye de salida a la temperatura baja (QL):
QH = W + QL .
Por tanto W = QH - QL , y la eficiencia de un motor es
e =
Eficiencia de cualquier
máquina térmica
=
W
QH
(15–4a)
QH - QL
QL
.
= 1 QH
QH
(15–4b)
Para obtener la eficiencia como porcentaje, la ecuación 15-4 se multiplica por 100.
Advierta que e podría ser 1.0 (o 100%) sólo si QL fuera cero; esto es, sólo si no se
expulsara calor al ambiente.
EJEMPLO 15–9 Eficiencia de un automóvil. El motor de un automóvil tiene
una eficiencia del 20% y produce un promedio de 23,000 J de trabajo mecánico
por segundo durante su operación. a) ¿Cuánta entrada de calor se requiere y b)
cuánto calor se descarga como desperdicio de calor de este motor, por segundo?
PLANTEAMIENTO Se quiere encontrar la entrada de calor QH así como la salida
de calor QL, dados W = 23,000 J cada segundo y una eficiencia e = 0.20. Se puede
usar la definición de eficiencia (ecuación 15-4), en sus diversas formas, para encontrar primero QH y luego QL.
SOLUCIÓN a) De la ecuación 15-4, e = WQH, se resuelve para QH:
QH =
23,000 J
W
=
e
0.20
= 1.15 * 105 J = 115 kJ.
El motor requiere 115 kJs = 115 kW de entrada de calor.
b) Ahora se emplea la última parte de la ecuación 15-4 (e = 1 - QLQH) para
resolver para QL:
QL
= 1 - e
QH
de modo que
QL = (1 - e)QH = (0.80)115 kJ
= 92 kJ.
El motor descarga calor al ambiente a una tasa de 92 kJs = 92 kW.
NOTA De los 115 kJ que entran al motor por segundo, sólo 23 kJ realizan trabajo
útil, mientras que 92 kJ se desechan como salida de calor.
NOTA El problema se estableció en términos de energía por unidad de tiempo.
También se pudo haber establecido en términos de potencia, dado que 1 Js = 1 W.
418
CAPÍTULO 15
Las leyes de la termodinámica
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Máquina de Carnot
Para ver cómo aumentar la eficiencia, el científico francés Sadi Carnot (1796-1832)
examinó las características de una máquina ideal (ahora llamada máquina de Carnot). En realidad, no existe ninguna máquina de Carnot, pero como planteamiento
teórico juega un papel importante en el desarrollo de la termodinámica.
La máquina idealizada de Carnot consta de cuatro procesos realizados en un ciclo, dos de los cuales son adiabáticos (Q = 0) y los otros dos son isotérmicos (T =
0). Este ciclo idealizado se ilustra en la figura 15-14. Se consideró que cada uno de
los procesos se realizaba de manera reversible. Es decir, cada uno de los procesos
(por ejemplo, durante la expansión de los gases contra un pistón) se hizo tan lentamente que el proceso podría considerarse una serie de estados de equilibrio, y todo
el proceso se podría realizar a la inversa sin cambio en la magnitud del trabajo efectuado o del calor intercambiado. Por otra parte, un proceso real ocurriría más rápidamente; habría turbulencia en el gas, la fricción estaría presente, etcétera. Por todos
estos factores, no es posible efectuar un proceso real exactamente a la inversa: la
turbulencia sería diferente y la pérdida de calor por fricción no se invertiría por sí
misma. Por ende, los procesos reales son irreversibles.
Máquina de Carnot
(ideal)
FIGURA 15–14 El ciclo de Carnot. Las máquinas térmicas funcionan en un ciclo,
y el ciclo para la máquina de Carnot comienza en el punto a de este diagrama PV.
(1) Primero se expande el gas isotérmicamente, con la adición de calor QH, a lo largo de
la trayectoria ab a temperatura TH. 2. A continuación, el gas se expande adiabáticamente
de b a c; no se intercambia calor, pero la temperatura desciende a TL. 3. Entonces el gas
se comprime a temperatura constante TL, en la trayectoria cd, y el calor QL fluye hacia
fuera. 4. Finalmente, el gas se comprime adiabáticamente, en la trayectoria da, de vuelta
a su estado original.
1)
P
a
b
Expansión
isotérmica
TL TH
QH
a
4)
2)
d
a
Compresión
adiabática
b
c
Expansión
adiabática
QH
b
d
Q=0
QL
c
0
TH
TL
Q=0
V
3)
c
d
Compresión
isotérmica
QL
SECCIÓN 15–5
Máquinas térmicas
419
Carnot demostró que, para una máquina ideal reversible, los calores QH y QL
son proporcionales a las temperaturas operativas TH y TL (en kelvins), así que la
eficiencia se puede escribir como
eideal =
Eficiencia (ideal) de Carnot
TH - TL
TL .
= 1 TH
TH
c
Eficiencia (ideal)
d (15–5)
de Carnot
La ecuación 15-5 expresa el límite superior fundamental a la eficiencia. Las máquinas reales siempre tienen una eficiencia más baja que esto en virtud de las pérdidas
por fricción y otros factores similares. Las máquinas reales que están bien diseñadas alcanzan del 60 al 80% de la eficiencia de Carnot.
EJEMPLO 15–10 Eficiencia de motor de vapor. Un motor de vapor opera
entre 500 y 270°C. ¿Cuál es la eficiencia máxima posible de este motor?
PLANTEAMIENTO La eficiencia máxima posible es la eficiencia idealizada de
Carnot (ecuación 15-5). Se debe usar temperaturas kelvin.
SOLUCIÓN Primero se cambia la temperatura a grados kelvin agregando 273 a
las temperaturas Celsius dadas: TH = 773 K y TL = 543 K. Entonces
eideal = 1 -
543
= 0.30.
773
Para obtener la eficiencia en porcentaje, se multiplica por 100. De este modo, se
sabe que la eficiencia máxima (o de Carnot) es del 30%. De manera realista, un
motor puede lograr 0.70 de este valor, o sea el 21%.
NOTA En este ejemplo, la temperatura de escape más bien es alta, 270°C. Los motores de vapor, por lo general, están ordenados en series, de modo que el escape de
un motor se usa como entrada para un segundo o un tercero.
EJEMPLO 15–11 ¿Una afirmación engañosa? Un fabricante de motores
hace la siguiente afirmación: La entrada de calor por segundo de un motor es de
9.0 kJ a 435 K. La salida de calor por segundo es de 4.0 kJ a 285 K. ¿Son creíbles
estas afirmaciones?
PLANTEAMIENTO La eficiencia del motor se puede calcular a partir de la definición (ecuación 15-4). Debe ser menor que el máximo posible (ecuación 15-5).
SOLUCIÓN La eficiencia que se afirma del motor es
e =
QH - QL
9.0 kJ - 4.0 kJ
=
= 0.56.
QH
9.0 kJ
Sin embargo, la eficiencia máxima posible está dada por la eficiencia de Carnot
(ecuación 15-5):
eideal =
TH - TL
435 K - 285 K
=
= 0.34.
TH
435 K
La afirmación del fabricante viola la segunda ley de la termodinámica y no es
creíble.
Es bastante claro, a partir de la ecuación 15-5, que, a temperaturas normales,
no es posible un motor 100% eficiente. Sólo si la temperatura de escape, TL, fuese el
cero absoluto se podría obtener el 100% de eficiencia. Pero alcanzar el cero absoluto es una imposibilidad práctica (y también teórica).†
†
La experimentación cuidadosa sugiere que el cero absoluto es insostenible. Este resultado se conoce como tercera ley de la termodinámica.
420
CAPÍTULO 15
Las leyes de la termodinámica
Puesto que ningún motor es 100% eficiente, se puede decir que
Esto se conoce como el enunciado de Kelvin-Planck de la segunda ley de la termodinámica. La figura 15-15 bosqueja la máquina térmica ideal perfecta, que no existe.
Si la segunda ley no fuese cierta, de modo que se pudiese construir una máquina
perfecta, podrían ocurrir cosas extraordinarias. Por ejemplo, si el motor de un barco no
necesitara un depósito de baja temperatura para expulsar en él el calor, la nave podría navegar a través del océano con el uso de amplios recursos de la energía interna
del agua del océano. De hecho, ¡no habría problemas de combustible en absoluto!
SEGUNDA LEY DE LA TERMODINÁMICA
(enunciado de Kelvin-Planck)
Temperatura
alta
Calor
PO N O
SI E S
BL
E
no es posible que exista un dispositivo cuyo único efecto sea transformar por
completo una cantidad dada de calor en trabajo.
Trabajo
Máquina
15–6 Refrigeradores, acondicionadores de aire
y bombas térmicas
El principio operativo de los refrigeradores, los acondicionadores de aire y las bombas térmicas es justo el contrario de una máquina térmica. Cada uno opera para
transferir calor desde fuera de un ambiente frío hacia un ambiente caliente. Como
se diagrama en la figura 15-16, al realizar trabajo W, el calor se toma de una región
de temperatura baja, TL (como el interior de un refrigerador) y se expulsa una mayor cantidad de calor a una temperatura alta, TH (la habitación). Con frecuencia
puede sentirse este calor soplando por la parte trasera de un refrigerador. Por lo
general, el trabajo W se efectúa mediante un motor compresor eléctrico que comprime un fluido, como se ilustra en la figura 15-17.
FIGURA 15–15 Diagrama de una
máquina térmica perfecta imposible
en la que toda la entrada de calor se
utiliza para realizar trabajo.
FIGURA 15–16 Diagrama de
transferencias de energía para
un refrigerador o acondicionador
de aire.
TH
QH
Presión baja
W
Presión alta
Válvula de
Serpentines expansión
de enfriamiento
(interior del Sensor
refrigerador)
QL
(desde el
interior del
refrigerador
hacia los
serpentines) Vapor
a presión
baja
a)
Serpentines
del condensador (exterior
del refrigerador)
QH
(hacia el
exterior)
Vapor a presión
W alta
Motor
compresor
Refrigerador o
acondicionador
de aire
QL
QH
QL
TL
W
b)
Enchufe
Motor
Enchufe
FIGURA 15–17 a) Sistema de un refrigerador típico. El motor compresor eléctrico fuerza
a un gas a alta presión a través de un intercambiador de calor (condensador) en la pared
exterior trasera del refrigerador, donde se entrega QH, y el gas se enfría para volverse
líquido. El líquido pasa de una región de presión alta, mediante una válvula, hacia tubos de
presión baja en las paredes interiores del refrigerador; el líquido se evapora a esta presión
baja y, por tanto, absorbe calor (QL) del interior del refrigerador. El fluido regresa al
compresor, donde el ciclo comienza de nuevo. b) Diagrama como el de la figura 15-16.
SECCIÓN 15–6
Refrigeradores, acondicionadores de aire y bombas térmicas
421
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F Í S I C A
A P L I C A D A
Refrigerador
SEGUNDA LEY DE LA TERMODINÁMICA
(enunciado de Clausius)
No es posible un refrigerador perfecto, es decir, uno en el que no se requiera
trabajo para llevar calor de la región de temperatura baja a la de temperatura alta.
Éste es el enunciado de Clausius de la segunda ley de la termodinámica, ya mencionado en la sección 15-4; se puede establecer formalmente como
no es posible que exista un dispositivo cuyo único efecto sea transferir calor de
un sistema a una temperatura TL a un segundo sistema a una temperatura más
alta TH.
Para hacer que el calor fluya de un objeto (o sistema) de temperatura baja a otro a
una temperatura más alta, es necesario realizar trabajo. Por tanto, no puede haber
refrigerador perfecto.
El coeficiente de operación (COP, por sus siglas en inglés) de un refrigerador se
define como el calor QL removido del área de temperatura baja (dentro de un refrigerador) dividida por el trabajo W realizado para remover el calor (figura 15-16):
TH
QH
QL
refrigerador y
.
c
d (15–6a)
acondicionador de aire
W
Esto tiene sentido ya que cuanto más calor, QL, se pueda remover del interior del
refrigerador para una cantidad dada de trabajo, mejor será el refrigerador (más
eficiente). La energía se conserva, así que, a partir de la primera ley de la termodinámica, se escribe QL + W = QH , o W = QH - QL (véase la figura 15-16). Entonces la ecuación 15-6a se convierte en
COP =
W
Refrigerador o
acondicionador
de aire
QL
TL
QL
QL
refrigerador y
.
=
c
d (15–6b)
acondicionador de aire
W
QH - QL
Para un refrigerador ideal (no uno perfecto, que es imposible), lo mejor que uno
podría tener sería
TL ,
refrigerador y
COPideal =
c
d (15–6c)
acondicionador de aire
TH - TL
COP =
FIGURA 15–16 (Repetida)
Diagrama de transferencias de energía
para un refrigerador o acondicionador
de aire.
F Í S I C A
A P L I C A D A
Acondicionador de aire
análogo a una máquina ideal (de Carnot) (ecuación 15-5).
Un acondicionador de aire funciona de manera muy similar a un refrigerador,
aunque los detalles de construcción real son diferentes: un acondicionador de aire
toma calor QL del interior de una habitación o construcción a una temperatura baja, y deposita calor QH fuera en el ambiente a una temperatura más alta. Las ecuaciones 15-6 también describen el coeficiente de operación para un acondicionador
de aire.
EJEMPLO 15–12 Fabricación de hielo. Un congelador tiene un COP de 3.8
y utiliza 200 W de potencia. ¿Cuánto le tomará congelar una charola de cubos de
hielo que contiene 600 g de agua a 0°C?
PLANTEAMIENTO En la ecuación 15-6b, QL es el calor que se debe transferir
fuera del agua de modo que se convierta en hielo. Para determinar QL se usa el
calor latente de fusión del agua y la ecuación 14-3, Q = mL.
SOLUCIÓN A partir de la tabla 14-3, L = 333 kJkg. Por tanto Q = mL =
(0.600 kg)A3.33 * 105 JkgB = 2.0 * 105 J es la energía total que se necesita
remover del agua. El congelador funciona a la tasa de 200 W = 200 Js = Wt, que
es el trabajo W que puede realizar en t segundos. Se resuelve para t: t = W(200
Js). Para W, se emplea la ecuación 15-6b: W = QLCOP. Por tanto
t =
QLCOP
2.0 * 105 J
W
=
=
= 260 s,
200 Js
200 Js
(3.8)(200 Js)
o aproximadamente 4 12 min.
El calor fluye naturalmente de la temperatura alta a la temperatura baja. Los
refrigeradores y acondicionadores de aire realizan trabajo para lograr lo opuesto:
hacer que el calor fluya de una región fría a una caliente. Se puede decir que
“bombean” calor de las áreas frías hacia las áreas más calientes, contra la tendencia
natural de que el calor fluye de lo caliente a lo frío, de la misma forma como el agua
se puede bombear colina arriba, contra la tendencia natural de fluir colina abajo. El
422
CAPÍTULO 15
Las leyes de la termodinámica
término bomba térmica generalmente se reserva para un dispositivo que puede calentar una casa en invierno mediante el uso de un motor eléctrico que realiza trabajo
W para llevar calor QL del exterior a temperatura baja y entregar calor QH al interior
más caliente de la casa; observe la figura 15-18. Como en el refrigerador, existe un
intercambiador de calor interior y uno exterior (serpentines del refrigerador) y
un motor compresor eléctrico. El principio operativo es como el de un refrigerador o
acondicionador de aire; pero el objetivo de una bomba térmica es calentar (entregar
QH) en lugar de enfriar (remover QL). Por eso, el coeficiente de operación de una
bomba térmica se define de manera diferente al de un acondicionador de aire, pues
ahora lo que importa es el calor QH entregado al interior de la casa:
F Í S I C A
A P L I C A D A
Bomba térmica
Interior de la
casa caliente
Exterior frío
QL
Bomba
térmica
QH .
[Bomba térmica] (15–7)
W
El COP necesariamente es mayor que 1. La mayoría de las bombas térmicas se pueden “revertir” y utilizarse como acondicionadores de aire en el verano.
QH
COP =
EJEMPLO 15–13 Bomba térmica. Una bomba térmica tiene un coeficiente
de operación de 3.0 y está clasificada para trabajar a 1500 W. a) ¿Cuánto calor se
puede agregar a una habitación por segundo? b) Si la bomba térmica se revirtiera
para actuar como acondicionador de aire en el verano, ¿cuál sería su coeficiente de
operación, si se supone que todo lo demás permanece igual?
PLANTEAMIENTO Se usan las definiciones de coeficiente de operación, que son
diferentes para los dos dispositivos en a) y b).
SOLUCIÓN a) Se utiliza la ecuación 15-7 para la bomba térmica y, dado que el
dispositivo realiza 1500 J de trabajo por segundo, puede verter calor en la habitación a una tasa de
W
FIGURA 15–18 Una bomba térmica
usa un motor eléctrico para
“bombear” calor del exterior frío al
interior caliente de una casa.
QH = COP * W = 3.0 * 1500 J = 4500 J
por segundo, o a una tasa de 4500 W.
b) Si el dispositivo se revierte en el verano, puede llevar calor QL del interior de la
casa, efectuando 1500 J de trabajo por segundo para luego arrojar QH = 4500 J por
segundo al exterior caliente. La energía se conserva, de modo que QL + W = QH
(véase la figura 15-18, pero invierta el interior y el exterior de la casa). Entonces
QL = QH - W = 4500 J - 1500 J = 3000 J.
Por tanto, el coeficiente de operación como acondicionador de aire sería (ecuación
15-6a)
QL
3000 J
=
= 2.0.
W
1500 J
NOTA Los coeficientes de operación se definen de modo diferente para las bombas térmicas y los acondicionadores de aire.
COP =
P R E C A U C I Ó N
Las bombas térmicas y los
acondicionadores de aire tienen
diferentes definiciones de COP.
En ocasiones, una buena bomba térmica puede ahorrar dinero y energía, dependiendo del costo de la unidad, de la instalación, y de algunos otros factores. Compare, por ejemplo, la bomba térmica del ejemplo 15-13 con un calentador eléctrico de
1500 W. Cuando este último se enchufa al tomacorriente de la pared, extrae 1500 W
de electricidad y entrega 1500 W de calor a la habitación. Cuando la bomba térmica
se enchufa al tomacorriente, también extrae 1500 W de electricidad (que es por lo
que se paga), ¡pero entrega 4500 W de calor!
* Clasificación SEER
Los dispositivos de enfriamiento, como los refrigeradores y acondicionadores de
aire, con frecuencia reciben una clasificación conocida como SEER (siglas en inglés
de Seasonal Energy Efficiency Ratio, que significa eficiencia energética estacional)
y que se define como
(calor removido en Btu)
,
SEER =
(entrada eléctrica en watt-horas)
F Í S I C A
A P L I C A D A
Clasificación SEER
medida al promediar sobre condiciones variables (estacionales). La definición de la
SEER es básicamente la misma que la del COP, excepto por la (desafortunada)
mezcla de unidades. Dado que 1 Btu = 1055 J (véase sección 14-1 y problema 4 en
el capítulo 14), entonces una SEER = 1 es un COP igual a (1 Btu1 W·h) = (1055 J)
(1 Js * 3600 s) = 0.29. Un COP = 1 es una SEER = 10.29 = 3.4.
SECCIÓN 15–6
Refrigeradores, acondicionadores de aire y bombas térmicas
423
15–7 Entropía y segunda ley
de la termodinámica
Entropía
Cambio de entropía
Se han estudiado varios aspectos de la segunda ley de la termodinámica, y se puede
demostrar que sus diferentes enunciados analizados son completamente equivalentes. Pero lo que en realidad se necesita es un enunciado general de la segunda ley de
la termodinámica. No fue sino hasta la segunda mitad del siglo XIX que la segunda ley
de la termodinámica se estableció finalmente de una forma general, en términos de
una cantidad llamada entropía, introducida por Clausius en la década de 1860. La entropía, al igual que el calor, es una función del estado de un sistema. Es decir, un sistema en un estado específico tiene una temperatura, un volumen y una presión, pero
también tiene un valor particular de entropía. En la siguiente sección se verá que la
entropía se puede interpretar como una medida del orden o desorden de un sistema.
Cuando se trata con la entropía (al igual que con la energía potencial) lo importante es el cambio en la entropía durante un proceso, no la cantidad absoluta. De acuerdo
con Clausius, el cambio en entropía S de un sistema, cuando se le agrega una cantidad
de calor Q mediante un proceso reversible† a temperatura constante, está dado por
Q,
T
donde T es la temperatura Kelvin.
¢S =
(15–8)
EJEMPLO 15–14 Cambio de entropía en la fusión. Un cubo de hielo de 56 g
de masa se toma de un lugar de almacenamiento a 0°C y se coloca en un cono de
papel. Después de unos cuantos minutos, se ha derretido exactamente la mitad
de la masa del cubo de hielo, que se convirtió en agua a 0°C. Encuentre el cambio
en la entropía del hieloagua.
PLANTEAMIENTO Se considera que el sistema está constituido por los 56 g de
agua, inicialmente en la forma de hielo. Para determinar el cambio en la entropía,
primero se debe encontrar el calor necesario para derretir el hielo, lo que se hace
utilizando el calor latente de fusión del agua, L = 333 kJkg (sección 14-5).
SOLUCIÓN El calor requerido para derretir 28 g de hielo (la mitad del cubo de
hielo de 56 g) es
Q = mL = (0.028 kg)(333 kJkg) = 9.3 kJ.
La temperatura permanece constante en el proceso, así que el cambio en la entropía se encuentra a partir de la ecuación 15-8:
Q
9.3 kJ
=
= 34 JK.
T
273 K
NOTA No se calculó el cambio en la entropía de los alrededores (cono de papel y aire).
¢S =
La temperatura en el ejemplo 15-14 fue constante, así que el cálculo fue sencillo. Si la temperatura varía durante un proceso, se puede determinar, mediante el
cálculo o una computadora, la suma del flujo de calor sobre la temperatura variable.
Sin embargo, si el cambio de temperatura no es muy grande, se puede realizar una
aproximación razonable utilizando el valor promedio de la temperatura, como en el
ejemplo siguiente.
EJEMPLO 15–15 ESTIMACIÓN Cambio en la entropía cuando se mezcla
agua. Una muestra de 50.0 kg de agua a 20.00°C se mezcla con 50.0 kg de agua
a 24.00°C. Estime el cambio en la entropía.
PLANTEAMIENTO La temperatura final de la mezcla será de 22.0°C, dado que
se comenzó con iguales cantidades de agua. Se utiliza el calor específico del agua y
los métodos de calorimetría (secciones 14-3 y 14-4) para determinar el calor transferido. Luego se usa la temperatura promedio de cada muestra de agua para estimar el cambio en la entropía (QT).
†
Los procesos reales son irreversibles. Como la entropía es una estado variable, el cambio en entropía S para un proceso irreversible se puede determinar calculando S para un proceso reversible
entre los mismos dos estados.
424
CAPÍTULO 15
Las leyes de la termodinámica
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SOLUCIÓN Una cantidad de calor,
Q = mc ¢T = (50.0 kg)(4186 Jkg C°)(2.00 C°) = 4.186 * 105 J,
fluye fuera del agua caliente mientras se enfría de 24 a 22°C, y este calor fluye dentro del agua fría mientras se calienta de 20 a 22°C. El cambio total en la entropía,
S, será la suma de los cambios en la entropía del agua caliente, SC, y del agua
fría, SF:
¢S = ¢SC + ¢SF .
Los cambios en la entropía se estiman al escribir S = QTprom, donde Tprom es una
temperatura “promedio” para cada proceso, que debe proporcionar una estimación razonable toda vez que el cambio en temperatura es pequeño. Para el agua
caliente se usa una temperatura promedio de 23°C (296 K), y para el agua fría una
temperatura promedio de 21°C (294 K). Por tanto
¢SC L –
4.186 * 105 J
= –1414 JK
296 K
que es negativo porque este calor fluye hacia fuera, mientras que el calor se agrega al agua fría:
¢SF L
4.186 * 105 J
= 1424 JK.
294 K
Hay que hacer notar que la entropía del agua caliente (SC) disminuye pues el calor fluye fuera del agua caliente. Pero la entropía del agua fría (SF) aumenta por
una cantidad mayor. El cambio total en la entropía es
¢S = ¢SC + ¢SF L –1414 JK + 1424 JK L 10 JK.
En el ejemplo 15-15 se vio que, aunque la entropía de una parte del sistema disminuyó, la entropía de la otra parte aumentó por una cantidad mayor; el cambio neto en la entropía de todo el sistema fue positivo. Este resultado, que se calculó para
un caso específico en el ejemplo 15-15, se sostiene en todos los otros casos puestos
a prueba. Es decir, la entropía total de un sistema aislado aumenta en todos los
procesos naturales. La segunda ley de la termodinámica se puede establecer en
términos de entropía del modo siguiente: La entropía de un sistema aislado nunca
disminuye. Sólo puede permanecer igual o aumentar. La entropía puede permanecer
igual sólo para un proceso idealizado (reversible). Para cualquier proceso real, el
cambio en la entropía S es mayor que cero:
¢S 7 0.
La entropía de un sistema aislado
nunca disminuye
(15–9)
Si el sistema no está aislado, entonces el cambio en la entropía del sistema, SS, más
el cambio en la entropía del ambiente, Samb, debe ser mayor que o igual a cero:
¢S = ¢Ss + ¢Samb 0.
(15–10)
Sólo los procesos idealizados tienen S = 0. Los procesos reales tienen S 0. Entonces, éste es el enunciado general de la segunda ley de la termodinámica:
la entropía total de cualquier sistema más la de sus alrededores aumenta como
resultado de cualquier proceso natural.
SEGUNDA LEY DE LA
TERMODINÁMICA
(enunciado general)
Aunque la entropía de una parte del universo puede disminuir en cualquier proceso (véase el ejemplo 15-15), la entropía de alguna otra parte del universo siempre
aumenta por una cantidad mayor, de modo que la entropía total siempre aumenta.
Ahora que finalmente se tiene un enunciado general cuantitativo de la segunda
ley de la termodinámica, se podrá ver que se trata de una ley inusual. Difiere considerablemente de otras leyes de la física, que son igualdades (como F = ma) o leyes
de conservación (como para la energía y la cantidad de movimiento). La segunda
ley de la termodinámica introduce una nueva cantidad, la entropía S, pero no dice
que se conserva. Muy por el contrario. La entropía no se conserva en los procesos
naturales; siempre aumenta con el paso del tiempo.
SECCIÓN 15–7
Entropía y segunda ley de la termodinámica
425
15–8 Del orden al desorden
El concepto de entropía, como se ha examinado hasta ahora, más bien podría parecer abstracto. Para tener una idea del concepto de entropía, es conveniente relacionarlo con los más ordinarios conceptos de orden y desorden. De hecho, la entropía
de un sistema se considera una medida del desorden del sistema. Entonces, la segunda ley de la termodinámica se puede enunciar simplemente como:
SEGUNDA LEY DE LA
TERMODINÁMICA (enunciado
general)
Los procesos naturales tienden a moverse hacia un estado de mayor desorden.
Exactamente qué significa desorden es algo que no siempre resulta claro, así que
ahora se considerarán algunos ejemplos. Algunos de ellos mostrarán cómo este
enunciado general de la segunda ley se aplica más allá de lo que generalmente se
considera como termodinámica.
Observe los procesos simples mencionados en la sección 15-4. Primero, un frasco que contiene capas separadas de sal y pimienta está más ordenado que un frasco
en el que la sal y la pimienta están mezclados. Agitar un frasco que contiene capas
separadas da como resultado una mezcla, y ninguna cantidad de agitación restaura
las capas ordenadas. El proceso natural es de un estado de relativo orden (capas) a
uno de relativo desorden (una mezcla), no al contrario. Es decir, el desorden aumenta. Segundo, una sólida taza de café es un objeto más “ordenado” y útil que los pedazos de una taza rota. Las tazas se rompen cuando caen, pero no se reparan a sí
mismas espontáneamente (como se simuló en la figura 15-10). De nuevo, el curso
normal de los eventos es un aumento del desorden.
Cuando un objeto caliente se pone en contacto con uno frío, el calor fluye de la
temperatura alta a la baja hasta que los dos objetos alcanzan la misma temperatura
intermedia. Al principio del proceso se pueden distinguir dos clases de moléculas:
aquellas que tienen una energía cinética promedio alta (el objeto caliente) y las que
tienen energía cinética promedio baja (el objeto más frío). Después del proceso en
el que fluye calor, todas las moléculas están en una clase con la misma energía cinética promedio; ya no se tiene el arreglo más ordenado de moléculas en dos clases. El
orden ha cedido el paso al desorden. Más aún, los objetos separados caliente y frío
podrían servir como las regiones de temperatura caliente y fría de una máquina térmica, por lo que podrían usarse para obtener trabajo útil. Pero, una vez que los dos
objetos se ponen en contacto y alcanzan la misma temperatura, no se puede obtener
ningún trabajo. El desorden aumentó, pues un sistema que tiene la capacidad de
realizar trabajo seguramente debe considerarse como poseedor de un mayor orden
que un sistema que ya no es capaz de efectuar trabajo.
Cuando una piedra cae al suelo, su energía cinética se transforma en energía
térmica. (Anteriormente se hizo notar que lo contrario nunca ocurre: una piedra
nunca absorbe energía térmica ni se levanta en el aire de manera espontánea.) Éste
es otro ejemplo de orden que cambia a desorden. La energía térmica está asociada
con el movimiento desordenadamente aleatorio de las moléculas, pero las moléculas
en la piedra que cae tienen todas la misma velocidad descendente además de sus
propias velocidades aleatorias. De esta forma, la energía cinética más ordenada de
la piedra cambia a energía térmica desordenada cuando la piedra golpea el suelo. El
desorden aumenta en este proceso, como sucede en todos los procesos que tienen
lugar en la naturaleza.
15–9 Agotamiento de energía; muerte térmica
En el proceso de conducción de calor de un objeto caliente a uno frío, se vio que
la entropía aumenta y que el orden cambia a desorden. Los objetos separados caliente y frío servirían como las regiones de temperatura alta y baja para una máquina térmica y, por ende, podrían usarse para obtener trabajo útil. Pero, después
de que los dos objetos se ponen en contacto uno con otro y alcanzan la misma
temperatura uniforme, no se puede obtener ningún trabajo a partir de ellos. En
relación con la capacidad de efectuar trabajo útil, el orden ha cambiado a desorden en este proceso.
426
CAPÍTULO 15
Las leyes de la termodinámica
Lo mismo se puede decir acerca de una roca que cae y llega al reposo al golpear el suelo. Antes de golpear el suelo, toda la energía cinética de la roca podría
haber servido para realizar trabajo. Pero una vez que la energía cinética mecánica
de la roca se convierte en energía térmica, ya no es posible la realización de trabajo
útil.
Ambos ejemplos ilustran otro aspecto importante de la segunda ley de la termodinámica:
en cualquier proceso natural, parte de la energía deja de estar disponible para
realizar trabajo útil.
En cualquier proceso, ninguna energía se pierde (siempre se conserva). En lugar de
ello, la energía se vuelve menos útil: puede realizar menos trabajo útil. Conforme
pasa el tiempo, la energía se degrada, en un sentido; con el tiempo, pasa de formas
más ordenadas (como la mecánica) a la forma menos ordenada, energía interna o
térmica. La entropía es un factor aquí porque la cantidad de energía que deja de estar disponible para realizar trabajo es proporcional al cambio en la entropía durante cualquier proceso.
Un resultado natural de esta degradación de energía es la predicción de que,
conforme pase el tiempo, el universo se aproximará a un estado de máximo desorden. La materia se volverá una mezcla uniforme y el calor habrá fluido de regiones de alta temperatura a regiones de baja temperatura hasta que todo el universo
esté a una misma temperatura. Entonces no se podrá realizar trabajo. Toda la
energía del universo se habrá degradado a energía térmica. Todo cambio cesará.
Los filósofos han discutido ampliamente esta predicción, llamada la muerte térmica del universo. La tendencia hacia este estado final parecería una consecuencia
inevitable de la segunda ley de la termodinámica, aunque estaría muy lejos en el
futuro.
Degradación de la energía
“Muerte térmica”
* 15–10 Evolución y crecimiento; “flecha del tiempo”
Un ejemplo interesante del aumento en la entropía se relaciona con la evolución
biológica y el crecimiento de los organismos. Resulta evidente que un ser humano
es un organismo altamente ordenado. La teoría de la evolución describe el proceso de orden creciente que se inicia con la formación de las macromoléculas tempranas y las formas simples de vida hasta llegar al Homo sapiens. Asimismo, el
desarrollo de un individuo a partir de una sola célula hasta que se convierte en
una persona adulta es un proceso de orden creciente. ¿Estos procesos violan la segunda ley de la termodinámica? No, de ninguna manera. En los procesos de evolución y crecimiento, e incluso durante la madurez de un individuo, los productos
de desecho se eliminan. Estas pequeñas moléculas que son el resultado del metabolismo son moléculas simples sin mucho orden. Por tanto, representan entropía o
desorden relativamente más alto. De hecho, la entropía total de las moléculas
apartadas por los organismos durante los procesos de evolución y crecimiento es
más grande que la disminución en la entropía asociada con el orden del individuo
en crecimiento o las especies en evolución.
Otro aspecto importante de la segunda ley de la termodinámica es que indica
en qué dirección van los procesos. Si viéramos una película que corre hacia atrás,
sin duda seríamos capaces de decir que corría hacia atrás. Veríamos ocurrencias
extrañas, como una taza de café rota que se eleva del suelo y se vuelve a ensamblar hasta llegar a una mesa, o un globo desinflado que súbitamente está lleno
de aire otra vez. Uno sabe que estas cosas no ocurren en la vida real; son procesos
en los que el orden aumenta, o la entropía disminuye. Violan la segunda ley de la
termodinámica. Cuando se observa una película (o se imagina que el tiempo pudiera transcurrir en reversa), es posible detectar una inversión del tiempo preguntándose si la entropía (y el desorden) aumenta o disminuye. Por eso, la entropía
se conoce como la flecha del tiempo, porque puede decir en qué dirección marcha éste.
*SECCIÓN 15–10
F Í S I C A
A P L I C A D A
Evolución biológica
Evolución y crecimiento; “flecha del tiempo”
427
www.elsolucionario.org
* 15–11 Interpretación estadística de la entropía
y de la segunda ley
Las ideas de entropía y desorden quedan más claras con el uso de un análisis estadístico o probabilístico del estado molecular de un sistema. Este enfoque estadístico,
que Ludwig Boltzmann (1844-1906) aplicó por primera ocasión hacia el finales del
siglo XIX, hace una clara distinción entre el “macroestado” y el “microestado” de un
sistema. El microestado de un sistema estaría especificado al proporcionar la posición y velocidad de cada partícula (o molécula). El macroestado de un sistema está
especificado mediante las propiedades macroscópicas del sistema: temperatura, presión, número de moles, etcétera. En realidad, sólo se puede conocer el macroestado
de un sistema. En general existen demasiadas moléculas en un sistema como para
tener la capacidad de conocer la velocidad y la posición de cada una en un momento dado. No obstante, es importante reconocer que al mismo macroestado pueden
corresponder muchísimos microestados diferentes.
Tomemos un ejemplo muy simple. Supongamos que una persona agita repetidamente en la mano cuatro monedas y las suelta sobre una mesa. El macroestado
del sistema se define especificando el número de caras y cruces que aparecen en
un lanzamiento dado, y el microestado se define especificando cada moneda como
cara o cruz. En la tabla siguiente se ve cuántos microestados corresponden a cada
macroestado:
Macroestado
4 caras
3 caras, 1 cruz
2 caras, 2 cruces
1 cara, 3 cruces
4 cruces
Probabilidades
Microestados posibles
(H caras, T cruces)
Número de
Microestados
HHHH
H H H T, H H T H, H T H H, T H H H
H H T T, H T H T, T H H T, H T T H, T H T H, T T H H
T T T H, T T H T, T H T T, H T T T
TTTT
1
4
6
4
1
Una suposición básica detrás del enfoque estadístico es que cada microestado es
igualmente probable. Por tanto, el número de microestados que proporcionan el mismo
macroestado corresponde a la probabilidad relativa de que ocurra ese macroestado. El
macroestado de dos caras y dos cruces es el más probable en el caso presente de lanzar cuatro monedas; del total de 16 posibles microestados, seis corresponden a dos
caras y dos cruces, de modo que la probabilidad de lanzar dos caras y dos cruces es 6
de 16, o el 38%. La probabilidad de lanzar una cara y tres cruces es 4 de 16, o el 25%.
La probabilidad de cuatro caras sólo es 1 en 16, o el 6%. Si las monedas se lanzan 16
veces, es posible que se descubra que dos caras y dos cruces no aparecen exactamente 6 veces, o que cuatro cruces no aparecen exactamente una vez. Éstas sólo son probabilidades o promedios. Pero si se realizan 1600 lanzamientos, muy cerca del 38%
de ellos serán dos caras y dos cruces. Cuanto mayor sea el número de intentos, los
porcentajes estarán más cerca de las probabilidades calculadas..
Si se lanzan más monedas (por ejemplo, 100, todas al mismo tiempo) la probabilidad relativa de que todas sean caras (o todas cruces) se reduce enormemente. Sólo
existe un microestado que corresponde a que todas sean caras. Para 99 caras y 1 cruz,
existen 100 microestados, dado que cada una de las monedas podría ser la única cruz.
Las probabilidades relativas para otros macroestados se proporcionan en la tabla 15-3.
Aproximadamente son posibles 1030 microestados.† Por tanto, la probabilidad relativa de que todas sean caras es 1 en 1030, ¡un evento increíblemente improbable! La
probabilidad de obtener 50 caras y 50 cruces (tabla 15-3) es (1.0 * 1029)1030 = 0.10, o
10%. La probabilidad de obtener un resultado entre 45 y 55 caras es del 90%.
Por tanto, se ve que, conforme aumenta el número de monedas, la probabilidad
de obtener el arreglo más ordenado (todas caras o todas cruces) se vuelve extremadamente improbable. El arreglo menos ordenado (mitad caras, mitad cruces) es el
más probable, y la probabilidad de estar dentro de, por ejemplo, el 5% del arreglo
†
Cada moneda tiene dos posibilidades: cara o cruz. Entonces el posible número de microestados es
2 * 2 * 2 * p = 2 100 = 1.27 * 1030 (con el uso de una calculadora o de logaritmos).
428
CAPÍTULO 15
Las leyes de la termodinámica
TABLA 15–3
Probabilidades de varios macroestados para 100 monedas
lanzadas
Macroestados
caras
cruces
100
99
90
80
60
55
50
45
40
20
10
1
0
0
1
10
20
40
45
50
55
60
80
90
99
100
Números de
microestados
1
1.0
1.7
5.4
1.4
6.1
1.0
6.1
1.4
5.4
1.7
1.0
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
2
10
1013
1020
1028
1028
1029
1028
1028
1020
1013
102
1
Probabilidad
8.0
8.0
1.0
4.0
*
*
*
*
10–31
10–29
10–17
10–10
*
*
*
*
10–10
10–17
10–29
10–31
0.01
0.05
0.08
0.05
0.01
4.0
1.0
8.0
8.0
Fracción de moléculas
Fracción de moléculas
más probable aumenta enormemente conforme aumenta el número de monedas.
Estas mismas ideas se pueden aplicar a las moléculas de un sistema. Por ejemplo, el
estado más probable de un gas (como el aire en una habitación) es aquel en el que
las moléculas ocupan todo el espacio y se mueven aleatoriamente; esto corresponde
a la distribución de Maxwell, que se ilustra en la figura 15-19a (véase el capítulo 13).
Por otra parte, el mismo arreglo ordenado de todas las moléculas ubicadas en una
esquina de la habitación y de que todas se muevan con la misma velocidad (figura
15-19b) es extremadamente improbable.
A partir de estos ejemplos es claro que la probabilidad está directamente relacionada con el desorden y, por ende, con la entropía. Es decir, el estado más probable es aquel con la mayor entropía, o mayor desorden y aleatoriedad.
En términos de probabilidad, la segunda ley de la termodinámica (que dice que
la entropía aumenta en cualquier proceso) se reduce al enunciado de que tales procesos ocurren porque son los más probables. Así, la segunda ley se convierte en un
enunciado trivial. Sin embargo, ahora existe un elemento adicional. La segunda ley en
términos de probabilidad no prohíbe una disminución en la entropía. Más bien, dice
que la probabilidad es extremadamente baja. No es imposible que la sal y la pimienta se separen espontáneamente en capas, o que una taza rota se repare a sí misma.
Incluso es posible que un lago se congele en un día caluroso de verano (esto es, que
el calor fluya del lago frío hacia los alrededores más calientes). Pero la probabilidad
de que tales eventos ocurran es mínima. En los ejemplos de las monedas se vio que,
al aumentar el número de monedas de 4 a 100, se reducía drásticamente la probabilidad de grandes desviaciones del arreglo promedio, o más probable. En los sistemas
ordinarios se trata no con 100 moléculas, sino con números de moléculas increíblemente grandes: en 1 solo mol existen 6 * 1023 moléculas. De modo que la probabilidad de desviación lejos del promedio es increíblemente pequeña. Por ejemplo, se ha
calculado que la probabilidad de que una piedra en reposo en el suelo pueda transformar 1 cal de energía térmica en energía mecánica y elevarse en el aire es mucho
menor que la probabilidad de que un grupo de monos escribiendo al azar por casualidad produzcan las obras completas de Shakespeare.
0
Rapidez,
a)
0
Entropía en términos de
probabilidad
FIGURA 15–19 a) Distribución más probable de
rapideces moleculares en un gas (maxwelliana o aleatoria);
b) distribución ordenada (pero enormemente improbable)
de rapideces en la que todas las moléculas tengan casi
la misma rapidez.
Rapidez,
b)
*SECCIÓN 15–11
Interpretación estadística de la entropía y de la segunda ley
429
a)
b)
c)
FIGURA 15–20 a) Un arreglo de espejos que enfocan la luz solar sobre una caldera para producir vapor
en una instalación de energía solar. b) Planta de vapor de combustible fósil. c) Grandes torres de enfriamiento
en una planta generadora de electricidad
FIGURA 15–21 La energía
mecánica o térmica se transforma
en energía eléctrica con una turbina
y un generador.
y calentamiento global
Fuente de energía:
agua,
vapor
o viento
Generador
eléctrico
Turbina
Energía
eléctrica
F Í S I C A
A P L I C A D A
Máquinas térmicas y
contaminación térmica
430
CAPÍTULO 15
15–12 Contaminación térmica
Mucha de la energía que se utiliza en la vida cotidiana (que incluye desde los vehículos de motor hasta la mayor parte de la electricidad producida por las plantas
eléctricas) utiliza una máquina térmica. La electricidad producida por el agua que
cae en las presas, por los molinos de viento o por las celdas solares (figura 15-20a)
no implica una máquina térmica. Pero casi el 90% de la energía eléctrica producida
en Estados Unidos se genera en las plantas de vapor de combustible fósil (carbón,
petróleo o gas; figura 15-20b) y a partir de una máquina térmica (en esencia, motores de vapor). En las centrales eléctricas, el vapor activa las turbinas y generadores
(figura 15-21), cuya salida es energía eléctrica. En la tabla 15-4 se describen brevemente los diversos medios de activar la turbina, junto con algunas de las ventajas y
desventajas de cada uno. Incluso las plantas nucleares usan combustible nuclear para poner en funcionamiento un motor de vapor.
A la salida de calor QL de cada máquina térmica, desde las centrales eléctricas
hasta los automóviles, se le conoce como contaminación térmica, pues el ambiente
(como el agua de los ríos o lagos, o el aire que usan las grandes torres de enfriamiento) debe absorber este calor (QL) (figura 15-20c). Este calor eleva la temperatura del agua que se enfría, lo que altera la ecología natural de la vida acuática
(principalmente porque el agua más caliente contiene menos oxígeno). En el caso
del aire de las torres de enfriamiento, la salida de calor QL eleva la temperatura de
la atmósfera, lo que afecta al clima.
La contaminación del aire (que incluye los químicos liberados en la quema de
los combustibles fósiles en los automóviles, centrales eléctricas y hornos industriales) da lugar al aumento del smog y otros problemas. Un gran problema es la acumulación de CO2 en la atmósfera de la Tierra provocada por la quema de
combustibles fósiles. Este CO2 absorbe parte de la radiación infrarroja que emite
naturalmente la Tierra (sección 14-8), lo que provoca el calentamiento global, un serio problema que se puede evitar limitando la quema de combustibles fósiles.
Sin embargo, la contaminación térmica es inevitable. Los ingenieros pueden intentar diseñar y construir motores que sean más eficientes, pero no pueden rebasar
la eficiencia de Carnot y deben aceptar la idea de que TL es la mejor temperatura
ambiente del agua o aire. La segunda ley de la termodinámica señala el límite impuesto por la naturaleza. Lo que no es posible hacer, a la luz de la segunda ley de la
termodinámica, es usar menos energía y conservar las fuentes de combustibles.
Las leyes de la termodinámica
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TABLA 15–4 Fuentes de energía eléctrica
Forma de producción
de energía eléctrica
% de producción (aprox.)
EUA
Mundo
Ventajas
Desventajas
87
86
Se sabe cómo construirlas; por ahora es
relativamente poco costosa.
Contaminación del aire; contaminación
térmica; eficiencia limitada; devastación
de la tierra por la extracción de materias
primas (minería); calentamiento global;
accidentes como derrames de petróleo
en el mar; limitado suministro de
combustible (las reservas se estiman
en un rango de un par de décadas a
unas cuantas centurias).
8
6
Normalmente casi
no contamina el
aire; menos
contribución al
calentamiento
global;
relativamente barata.
Contaminación térmica; los accidentes
pueden liberar radiactividad dañina;
difícil disposición de subproductos
radiactivos; posible desviación de
material nuclear por terroristas;
limitado suministro de combustible.
0
0
Relativamente “limpia”; vasto
suministro de combustible (hidrógeno
en las moléculas de agua en los
océanos); menor contribución al
calentamiento global.
Todavía no es operativa.
4
7
No se necesita máquina térmica; no hay
contaminación del aire, del agua o
térmica; relativamente barata; gran
eficiencia; las presas pueden controlar
inundaciones.
Los depósitos detrás de las presas
inundan tierras panorámicas o cañones;
las presas bloquean las corrientes
migratorias para reproducción del
salmón y otros peces; pocas ubicaciones
para nuevas presas; sequías.
Geotérmica: Aprovecha el vapor natural del
interior de la Tierra que llega a la superficie
(fuentes termales, géiseres, respiraderos de
vapor); o el agua fría que pasa y entra en
contacto con roca seca y caliente para
convertirse en vapor.
1
1
No se necesita máquina térmica;
poca contaminación del aire;
buena eficiencia; relativamente barata
y “limpia”.
Pocos sitios apropiados; producción
reducida; el contenido mineral del agua
caliente empleada puede contaminar.
Potencia eólica:
Molinos de viento (con
aspas de hasta 50 m de
ancho) de 3 kW a 5 MW
activan un generador.
1
1
No requiere máquina térmica; no hay
contaminación del aire, del agua o
térmica; relativamente barata.
Los grandes molinos afectan el clima y
resultan antiestéticos; riesgo para las
aves migratorias; los vientos no siempre
son fuertes.
0.1
1
No se necesita
máquina térmica;
no hay
contaminación del
aire o térmica;
suministro
ilimitado de combustible.
Limitaciones de espacio; puede
requerir respaldo; relativamente
costosa; menos efectivo cuando está
nublado.
No se requiere máquina térmica; no hay
contaminación del aire o térmica;
relativamente barata.
Casi
ninguna,
pero
también
se
necesitan
otros
métodos.
Plantas de vapor de combustible fósil:
Quema de carbón, petróleo o gas natural
para calentar agua y producir vapor de alta
presión que active la turbina de un
generador (figuras 15-12b, 15-21); utiliza
máquina térmica.
Energía nuclear:
Fisión: Separación (“fisión”) de núcleos
de átomos de uranio o plutonio con
liberación de energía que calienta vapor;
utiliza máquina térmica.
Fusión: Energía liberada cuando
isótopos de hidrógeno (u otros núcleos
pequeños) se combinan o “funden”.
Hidroeléctrica:
El agua que cae
activa las turbinas
en la base de una
presa.
Energía solar:
Calentamiento solar activo: Paneles solares
en los techos absorben los rayos solares, que
calientan agua destinada al suministro
doméstico y a calentar espacios.
Calentamiento solar pasivo: Dispositivos
arquitectónicos: ventanas alineadas a la
exposición del sur, sombrillas sobre las
ventanas para mantener fuera los rayos
solares en verano.
Celdas solares (celdas fotovoltaicas):
Convierten la luz solar directamente en
electricidad sin usar máquina térmica.
No se requiere máquina térmica; muy
baja contaminación térmica, del aire
y agua; buena eficiencia ( 30% y
en mejoría)
*SECCIÓN 15–12
Escudo
protector
de verano
Ventana
Sol de
verano
Sol de
invierno
El suelo absorbe energía
Costosa; contaminación química en su
fabricación; se necesitan grandes
extensiones de tierra cuando la energía
del Sol no es concentrada.
Contaminación térmica y calentamiento global
431
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Termodinámica
1. Defina el sistema con el que se trata; distinga el sistema bajo estudio de sus alrededores.
2. Cuando se aplica la primera ley de la termodinámica,
hay que tener cuidado con los signos asociados con
trabajo y calor. En la primera ley, el trabajo realizado
por el sistema es positivo; el trabajo realizado sobre el
sistema es negativo. El calor agregado al sistema es
positivo; el calor removido del sistema es negativo.
Con las máquinas térmicas, generalmente se considera
la admisión de calor, el calor expulsado y el trabajo
realizado como positivos.
3. Observe las unidades usadas para trabajo y calor; muy
a menudo el trabajo se expresa en joules, y el calor
puede estar en calorías, kilocalorías o joules. Sea consistente: elija sólo una unidad para un problema dado.
4. Las temperaturas generalmente se deben expresar en
kelvins; las diferencias de temperatura se pueden expresar en C° o K.
5. La eficiencia (o coeficiente de operación) es una razón de dos transferencias de energía: la salida útil dividida por la entrada requerida. La eficiencia (pero
no el coeficiente de operación) siempre tiene un valor
menor que 1 y por eso, con frecuencia, se expresa
como porcentaje.
6. La entropía de un sistema aumenta cuando se agrega
calor al sistema y disminuye cuando se remueve calor.
Si el calor se transfiere del sistema A al B,
el cambio en la entropía de A es negativo y el cambio
en la entropía de B es positivo.
Resumen
La primera ley de la termodinámica establece que el cambio en
energía interna U de un sistema es igual al calor agregado al sistema, Q, menos el trabajo realizado por el sistema, W:
¢U = Q - W.
(15–1)
Éste es un enunciado de la conservación de la energía y se sostiene para todos los tipos de procesos.
Un proceso isotérmico es un proceso que se lleva a cabo a
temperatura constante.
En un proceso adiabático no se intercambia calor (Q = 0).
El trabajo W realizado por un gas a presión constante P está
dado por
W = P ¢V,
(15–3)
donde V es el cambio en el volumen del gas.
Una máquina térmica es un dispositivo para convertir la
energía térmica, mediante el flujo de calor entre dos temperaturas, en trabajo útil.
La eficiencia e de una máquina térmica se define como la
razón entre el trabajo W efectuado por la máquina y la entrada
de calor QH. En virtud de la conservación de energía, la salida de
trabajo es igual a QH – QL, donde QL es el calor expulsado a baja
temperatura hacia el ambiente; por tanto
e =
QL
W
.
= 1 QH
QH
(15–4)
El límite superior en la eficiencia (la eficiencia de Carnot) se
puede escribir en términos de las temperaturas operativas más alta y más baja (en kelvins) de la máquina, TH y TL, como
eideal
TL
.
= 1 TH
QL
,
W
c
(15–5)
refrigerador o
d (15–6a)
acondicionador de aire
donde W es el trabajo necesario para remover calor QL del área
con la temperatura baja.
432
CAPÍTULO 15
COP =
Las leyes de la termodinámica
QH
.
W
[bomba térmica] (15–7)
La segunda ley de la termodinámica se puede establecer en
varias formas equivalentes:
a) El calor fluye espontáneamente de un objeto caliente a
uno frío, pero no al contrario;
b) No existe una máquina térmica 100% eficiente, es decir,
una que pueda convertir por completo una cantidad dada de calor en trabajo;
c) Los procesos naturales tienden a moverse hacia un estado de mayor desorden o mayor entropía.
El inciso c) es el enunciado más general de la segunda ley de la
termodinámica, y se puede expresar como: la entropía total, S, de
cualquier sistema más la de su ambiente aumenta como resultado
de cualquier proceso natural:
¢S 7 0.
(15–9)
El cambio en la entropía en un proceso que transfiere calor
Q a una temperatura constante T es
¢S =
La operación de refrigeradores y acondicionadores de aire
es el inverso de una máquina térmica: se realiza trabajo para extraer calor de una región fría y expulsarlo hacia una región con
temperatura más alta. El coeficiente de operación (COP, por sus
siglas en inglés) para cualquiera de los dos es
COP =
Una bomba térmica realiza trabajo W para llevar calor QL
del exterior frío y entregar calor QH para calentar el interior. El
coeficiente de operación de una bomba térmica es
Q
.
T
(15–8)
La entropía es una medida cuantitativa del desorden de un
sistema.
Conforme pasa el tiempo, la energía se degrada a formas
menos útiles; es decir, está menos disponible para realizar trabajo
útil.
[*La segunda ley de la termodinámica dice en qué dirección
tienden a ir los procesos, así que la entropía se llama “flecha del
tiempo”.]
[*Todas las máquinas térmicas dan lugar a contaminación
térmica porque expulsan calor al ambiente.]
Preguntas
1. ¿Qué ocurre a la energía interna del vapor de agua en el
aire que se condensa en el exterior de un vaso de agua frío?
¿Se realiza trabajo o se intercambia calor? Explique su
respuesta.
2. Utilice la conservación de la energía para explicar por qué la
temperatura de un gas aumenta cuando se comprime rápidamente, mientras que la temperatura disminuye cuando el gas
se expande.
3. En un proceso isotérmico, un gas ideal realiza 3700 J de trabajo. ¿Esto es suficiente información para saber cuánto calor
se ha agregado al sistema? Si es así, ¿cuánto?
4. ¿Es posible que la temperatura de un sistema permanezca
constante aun cuando el calor fluya hacia dentro o hacia fuera
de él? Si es así, proporcione uno o dos ejemplos.
5. Explique por qué la temperatura de un gas aumenta cuando
se comprime adiabáticamente.
6. ¿La energía mecánica alguna vez se puede transformar por
completo en calor o energía interna? ¿Puede ocurrir lo contrario? En cada caso, si su respuesta es no, explique por qué;
si es sí, proporcione uno o dos ejemplos.
7. ¿Es posible calentar una cocina en invierno dejando abierta
la puerta del horno? ¿Puede enfriarse la cocina en verano
dejando abierta la puerta del refrigerador? Explique sus
respuestas.
8. ¿Sería útil una definición de eficiencia de máquina térmica
como e = WQL? Explique su respuesta.
9. ¿Cuáles son las áreas de temperatura alta y de temperatura
baja en a) un motor de combustión interna y b) un motor de
vapor?
10. ¿Qué representaría la mayor mejoría en la eficiencia de una
máquina de Carnot: un aumento de 10 C° en el depósito de
temperatura alta, o una disminución de 10 C° en el depósito
de temperatura baja? Explique su respuesta.
11. Los océanos contienen una enorme cantidad de energía térmica (interna). ¿Por qué, en general, no es posible convertir
esta energía en trabajo útil?
12. A un gas se le permite expandirse a) adiabáticamente y b) isotérmicamente. En cada proceso, ¿la entropía aumenta, disminuye o permanece igual? Explique sus respuestas.
13. Un gas se puede expandir al doble de su volumen original,
ya sea adiabática o isotérmicamente. ¿Qué proceso daría
como resultado un mayor cambio en la entropía? Explique
su respuesta.
14. Proporcione tres ejemplos, distintos a los mencionados en
este capítulo, de procesos que ocurran naturalmente en los
que el orden ceda el paso al desorden. Discuta la naturaleza
observable del proceso inverso.
15. ¿Qué tiene la mayor entropía: 1 kg de hierro sólido o 1 kg de
hierro líquido? ¿Por qué?
16. a) ¿Qué ocurre si se remueve la tapa de una botella que contiene gas cloro? b) ¿El proceso inverso puede ocurrir? ¿Por
qué sí o por qué no? c) ¿Puede pensar en otros dos ejemplos de irreversibilidad?
17. Se pretende poner a prueba una máquina a la que el inventor
llama un “acondicionador de aire al interior de la habitación”
y que consiste en una gran caja, instalada en medio de un
cuarto, con un cable que se enchufa en un tomacorriente.
Cuando la máquina se enciende, se siente una corriente de
aire frío que sale de ella. ¿Cómo se sabe que esta máquina
no puede enfriar la habitación?
18. Piense en varios procesos (distintos a los ya mencionados)
que obedecerían la primera ley de la termodinámica pero
que, si en realidad ocurriesen, violarían la segunda ley.
19. Suponga que un montón de papeles están regados por el
piso; luego se les apila cuidadosamente. ¿Esto viola la segunda ley de la termodinámica? Explique su respuesta.
20. La primera ley de la termodinámica a veces se enuncia curiosamente como “es imposible obtener algo a cambio de nada” y
la segunda ley como “no se puede salir sin ganar ni perder”.
Explique cómo estos enunciados podrían ser equivalentes a
los enunciados formales.
* 21. Con frecuencia, a la entropía se le llama “flecha del tiempo”
porque indica en qué dirección ocurren los procesos naturales. Si una película se corriese hacia atrás, mencione algunos
procesos que podrían indicar que el tiempo está “transcurriendo al revés”.
* 22. Los organismos vivientes, mientras crecen, convierten moléculas de alimento relativamente simples en estructuras complejas.
¿Esto es una violación de la segunda ley de la termodinámica?
Problemas
15-1 y 15-2 Primera ley de la termodinámica
1. (I) Un gas ideal se expande isotérmicamente, y en el proceso realiza 3.40 * 103 J de trabajo. Calcule a) el cambio en
energía interna del gas y b) el calor absorbido durante esta
expansión.
2. (I) Un gas, encerrado en un cilindro tapado con un ligero
pistón sin fricción, se mantiene a presión atmosférica. Cuando se agregan 1400 kcal de calor al gas, su volumen aumenta
lentamente desde 12.0 m3 a 18.2 m3. Calcule a) el trabajo
realizado por el gas y b) el cambio en la energía interna del
gas.
3. (I) Un litro de aire se enfría a presión constante hasta que su
volumen queda a la mitad y luego se le permite expandirse
isotérmicamente de vuelta a su volumen original. Dibuje el
proceso en un diagrama PV.
4. (I) Bosqueje un diagrama PV del proceso siguiente: 2.0 L de
gas ideal a presión atmosférica se enfrían a presión constante
a un volumen de 1.0 L y luego se expanden isotérmicamente
de vuelta a 2.0 L, después de lo cual la presión aumenta a volumen constante hasta que se alcanza la presión original.
5. (II) Se permite que un volumen de 1.0 L de aire inicialmente
a 4.5 atm de presión (absoluta) se expanda isotérmicamente
hasta que la presión sea de 1.0 atm. Entonces se comprime a
presión constante a su volumen inicial y finalmente se lleva
de vuelta a su presión original al calentarlo a volumen constante. Dibuje el proceso en un diagrama PV, incluya los números y ponga nombre a los ejes.
6. (II) La presión en un gas ideal se reduce lentamente a la mitad, mientras que se mantiene en un contenedor con paredes
rígidas. En el proceso, 265 kJ de calor dejan el gas. a) ¿Cuánto trabajo se realizó durante este proceso? b) ¿Cuál fue el
cambio en la energía interna del gas durante este proceso?
Problemas
433
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7. (II) En un motor, un gas casi ideal se comprime adiabáticamente hasta la mitad de su volumen. Al hacerlo, se realizan
sobre el gas 1850 J de trabajo. a) ¿Cuánto calor fluye hacia el
gas o desde él? b) ¿Cuál es el cambio en la energía interna
del gas? c) ¿Su temperatura se eleva o disminuye?
8. (II) Un gas ideal se expande a una presión total constante de
3.0 atm de 400 a 600 mL. Entonces el calor fluye fuera del
gas a volumen constante, y se permite que la presión y la
temperatura desciendan hasta que la temperatura alcance su
valor original. Calcule a) el trabajo total realizado por el gas
en el proceso y b) el flujo de calor total hacia el gas.
12. (II) Cuando un gas se lleva de a a c a lo largo de la trayectoria curva de la figura 15-24, el trabajo realizado por el gas es
W = -35 J y el calor agregado al gas es Q = -63 J. A lo largo
de la trayectoria abc, el trabajo efectuado es W = -48 J.
a) ¿Cuál es Q para la trayectoria abc? b) Si Pc = 12 Pb , ¿cuál
es W para la trayectoria cda? c) ¿Cuál es Q para la trayectoria cda? d) ¿Cuál es Ua - Uc? e) Si Ud - Uc = 5 J, ¿cuál es Q
para la trayectoria da?
P
9. (II) Un mol y medio de un gas monoatómico ideal se expanden adiabáticamente y en el proceso realizan 7500 J de trabajo. ¿Cuál es el cambio en la temperatura del gas durante esta
expansión?
10. (II) Considere el siguiente proceso en dos pasos. Al calor se
le permite fluir fuera de un gas ideal a volumen constante de
modo que su presión desciende de 2.2 a 1.4 atm. Luego el gas
se expande a presión constante, de un volumen de 6.8 L a 9.3
L, donde la temperatura alcanza su valor original. Observe la
figura 15-22. Calcule a) el trabajo total realizado por el gas
en el proceso, b) el cambio en la energía interna del gas en el
proceso y c) el flujo de calor total hacia el gas o desde él.
P
a
2.2 atm
b
a
c
d
0
V
FIGURA 15–24
Problemas 12 y 13.
13. (III) En el proceso de llevar un gas del estado a al estado c
a lo largo de la trayectoria curva mostrada en la figura 15-24,
80 J de calor dejan el sistema y 55 J de trabajo se realizan sobre el sistema. a) Determine el cambio en la energía interna,
Ua - Uc. b) Cuando el gas se lleva a lo largo de la trayectoria
cda, el trabajo realizado por el gas es W = 38 J. ¿Cuánto calor
Q se agrega al gas en el proceso cda? c) Si Pa = 2.5Pd, ¿cuánto trabajo efectúa el gas en el proceso abc? d) ¿Cuál es Q para
la trayectoria abc? e) Si Ua - Ub = 10 J, ¿cuál es Q para el
proceso bc? He aquí un resumen de los datos:
Qa S c = –80 J
b
1.4 atm
Wa S c = –55 J
c
Wcda = 38 J
6.8 L
9.3 L
V
FIGURA 15–22 Problema 10.
11. (II) El diagrama PV en la figura 15-23 muestra dos posibles
estados de un sistema que contiene 1.35 moles de un gas monoatómico ideal. AP1 = P2 = 455 Nm2, V1 = 2.00 m3, V2 =
8.00 m3.B a) Dibuje el proceso que muestra una expansión
isobárica del estado 1 al estado 2 y designe este proceso como A. b) Determine el trabajo efectuado por el gas y el cambio en la energía interna del gas en el proceso A. c) Dibuje el
proceso de dos pasos que muestra una expansión isotérmica
del estado 1 al volumen V2, seguido por un aumento isovolumétrico en temperatura al estado 2, y designe este proceso
como B. d) Determine el cambio en la energía interna del gas
para el proceso B de dos pasos.
P
(N/m2)
500
1
400
300
200
100
0
2
CAPÍTULO 15
Pa = 2.5Pd .
* 15-3 Metabolismo humano
* 14. (I) ¿Cuánta energía transformaría la persona del ejemplo 158 si, en lugar de trabajar 11.0 h, toma un receso por la tarde y
corre durante 1.0 h?
* 15. (I) Calcule la tasa metabólica promedio de una persona que
duerme 8.0 h, se sienta frente a un escritorio 8.0 h, realiza
una actividad ligera durante 4.0 h, mira televisión 2.0 h, juega
tenis 1.5 h y corre 0.5 h diariamente.
* 16. (II) Una persona decide perder peso durmiendo una hora
menos por día y dedicando ese tiempo a realizar una actividad ligera. ¿Cuánto peso (o masa) espera perder esta persona en 1 año, si no modifica su ingesta de alimentos? Suponga
que 1 kg de grasa almacena 40,000 kJ de energía.
15-5 Máquinas térmicas
2
4
6
8
17. (I) Una máquina térmica expulsa 8200 J de calor mientras
realiza 3200 J de trabajo útil. ¿Cuál es la eficiencia de esta
máquina?
10 V (m3)
FIGURA 15–23 Problema 11.
434
Ua - Ub = 10 J
Las leyes de la termodinámica
18. (I) Una máquina térmica realiza 9200 J de trabajo por ciclo
mientras absorbe 22.0 kcal de calor de un depósito de temperatura alta. ¿Cuál es la eficiencia de esta máquina?
19. (I) ¿Cuál es la eficiencia máxima de una máquina térmica cuyas temperaturas operativas son 580 y 380°C?
20. (I) La temperatura de escape de una máquina térmica es
230°C. ¿Cuál debe ser la temperatura alta si la eficiencia de
Carnot es del 28%?
21. (II) Una planta nuclear opera al 75% de su eficiencia teórica
máxima (Carnot) entre temperaturas de 625 y 350°C. Si la
planta produce energía eléctrica a una tasa de 1.3 GW,
¿cuánto calor de escape se descarga por hora?
22. (II) No es necesario que el ambiente caliente de una máquina térmica sea más caliente que la temperatura ambiente. El
nitrógeno líquido (77 K) es casi tan barato como el agua embotellada. ¿Cuál sería la eficiencia de un motor que utiliza el
calor transferido del aire a temperatura ambiente (293 K) al
“combustible” de nitrógeno líquido (figura 15-25)?
15-6 Refrigeradores, acondicionadores de aire,
bombas térmicas
29. (I) La temperatura baja del serpentín de un congelador es
-15°C, y la temperatura de descarga es 30°C. ¿Cuál es el coeficiente de operación teórico máximo?
30. (II) Un refrigerador-congelador ideal opera con un COP =
7.0 en una habitación de 24°C. ¿Cuál es la temperatura en el
interior del congelador?
31. (II) El refrigerador de un restaurante tiene un coeficiente de
operación de 5.0. Si la temperatura en la cocina donde está el
refrigerador es de 29°C, ¿cuál es la temperatura más baja que
se podría obtener adentro del refrigerador si fuese ideal?
32. (II) Una bomba térmica se usa para mantener una casa caliente a 22°C. ¿Cuánto trabajo se requiere de la bomba para
entregar 2800 J de calor en la casa, si la temperatura exterior
es de a) 0°C, b) -15°C? Suponga un comportamiento ideal
(Carnot).
33. (II) ¿Qué volumen de agua a 0°C puede convertir en cubos
de hielo un congelador en una hora, si el coeficiente de operación de la unidad congeladora es 7.0 y la entrada de potencia es 1.0 kilowatt?
34. (II) Una máquina ideal (Carnot) tiene una eficiencia del
35%. Si fuese posible hacerlo operar “en reversa” como una
bomba térmica, ¿cuál sería su coeficiente de operación?
15-7 Entropía
35. (I) ¿Cuál es el cambio en la entropía de 250 g de vapor a
100°C cuando se condensa en agua a 100°C?
36. (I) Un kilogramo de agua se calienta de 0°C a 100°C. Estime
el cambio en la entropía del agua.
37. (I) ¿Cuál es el cambio en la entropía de 1.00 m3 de agua a
0°C cuando se congela en hielo a 0°C?
FIGURA 15–25 Problema 22.
23. (II) Una máquina de Carnot efectúa trabajo a la tasa de 440
kW mientras usa 680 kcal de calor por segundo. Si la temperatura de la fuente de calor es de 570°C, ¿a qué temperatura
se expulsa el calor de desecho?
24. (II) Las temperaturas operativas de una máquina de Carnot
son 210 y 45°C. La salida de potencia de la máquina es de
950 W. Calcule la tasa de salida de calor.
38. (II) Si 1.00 m3 de agua a 0°C se congela y enfría a -10°C por
estar en contacto con una gran cantidad de hielo a -10°C,
¿cuál sería el cambio total en la entropía del proceso?
39. (II) Una caja de 10.0 kg que tiene una rapidez inicial de 3.0
ms se desliza a lo largo de una tabla rugosa y llega al reposo.
Estime el cambio total en la entropía del universo. Suponga
que todos los objetos están a temperatura ambiente (293 K).
40. (II) Una roca que cae tiene energía cinética EC justo antes de
golpear el suelo y llegar al reposo. ¿Cuál es el cambio total
en la entropía de la roca más los alrededores como resultado
de esta colisión?
25. (II) Cierta central eléctrica produce 550 MW de potencia
eléctrica. Estime el calor descargado por segundo, si se supone que la planta tiene una eficiencia del 38%.
41. (II) Una barra de aluminio conduce 7.50 cals de una fuente
caliente que se mantiene a 240°C hacia un gran cuerpo de
agua a 27°C. Calcule la tasa a la que crece la entropía por
unidad de tiempo en este proceso.
26. (II) Una máquina térmica utiliza una fuente de calor a 550°C
y tiene una eficiencia ideal (Carnot) del 28%. Para aumentar
la eficiencia ideal al 35%, ¿cuál debe ser la temperatura de la
fuente de calor?
42. (II) 1.0 kg de agua a 30°C se mezclan con 1.0 kg de agua a
60°C en un contenedor bien aislado. Estime el cambio neto
en la entropía del sistema.
27. (II) Una máquina térmica expulsa su calor a 350°C y tiene
una eficiencia de Carnot del 39%. ¿Qué temperatura de expulsión permitiría lograr una eficiencia de Carnot del 49%?
43. (II) Una pieza de aluminio de 3.8 kg a 30°C se coloca en
1.0 kg de agua en un contenedor de espuma de estireno a
temperatura ambiente (20°C). Calcule el cambio neto aproximado en la entropía del sistema.
28. (III) En una central eléctrica de vapor, los motores de vapor
trabajan en pares, y la salida de calor de uno es la entrada de
calor aproximada del segundo. Las temperaturas operativas
del primero son 670 y 440°C, y del segundo 430 y 290°C. Si el
calor de combustión de carbón es 2.8 * 107 Jkg, ¿a qué tasa
se debe quemar el carbón si la planta va a producir 1100 MW
de potencia? Suponga que la eficiencia de los motores es el
60% de la eficiencia ideal (Carnot).
44. (III) Una máquina térmica real que trabaja entre depósitos
de calor a 970 K y 650 K produce 550 J de trabajo por ciclo
para una entrada de calor de 2200 J. a) Compare la eficiencia
de esta máquina real con la de una máquina ideal (Carnot).
b) Calcule el cambio total en la entropía del universo, por ciclo, de la máquina real. c) Calcule el cambio total en la entropía del universo, por ciclo, de una máquina de Carnot que
opera entre las mismas dos temperaturas.
Problemas
435
* 15-11 Interpretación estadística
* 45. (II) Calcule las probabilidades, cuando se lanzan dos dados,
de obtener a) un 5 y b) un 11.
* 46. (II) Clasifique las siguientes manos de cinco cartas en orden
creciente de probabilidad: a) cuatro ases y un rey; b) seis de
corazones, ocho de diamantes, reina de bastos, tres de corazones, jack de espadas; c) dos jacks, dos reinas y un as; y d) cualquier mano que no tenga dos caras de igual valor. Discuta su
clasificación en términos de microestados y macroestados.
* 47. (II) Suponga que se agitan repetidamente seis monedas en
la mano para luego soltarlas sobre el suelo. Elabore una tabla que muestre el número de microestados que correspondan a cada macroestado. ¿Cuál es la probabilidad de obtener
a) tres caras y tres cruces y b) seis caras?
* 49. (II) La energía se puede almacenar para su uso durante la
demanda pico bombeando agua hacia un depósito elevado
cuando la demanda es baja y luego liberándola para activar
turbinas cuando se necesita. Suponga que el agua se bombea
a un lago a 135 m sobre las turbinas, a una tasa de 1.00 * 105
kgs durante 10.0 h por la noche. a) ¿Cuánta energía (kWh)
se necesita para realizar esto cada noche? b) Si toda esta
energía se libera durante 14 h al día, al 75% de eficiencia,
¿cuál es la salida promedio de potencia?
* 50. (II) El agua se almacena en un lago artificial creado por
una presa (figura 15-27). La profundidad del agua es de
45 m en la presa y se mantiene una tasa de flujo estable de 35 m3s
por medio de turbinas hidroeléctricas instaladas cerca de la
base de la presa. ¿Cuánta potencia eléctrica se puede producir?
* 15-12 Recursos energéticos
* 48. (I) Las celdas solares (figura 15-26) pueden producir aproximadamente 40 W de electricidad por metro cuadrado de superficie si encuentran directamente bajo los rayos del Sol.
¿Cuál debe ser el área de estas celdas para satisfacer las
necesidades de una casa que requiere 22 kWhdía? ¿Esto cabría en el techo de una casa promedio? (Suponga que el
Sol brilla aproximadamente 9 hdía).
FIGURA 15–27 Problema 50.
FIGURA 15–26 Problema 48.
Problemas generales
51. Un inventor afirma haber diseñado y construido una máquina que produce 1.50 MW de trabajo útil mientras toma 3.00
MW de energía térmica a 425 K y rechaza 1.50 MW de energía térmica a 215 K. ¿Hay algo sospechoso en esta afirmación? Explique su respuesta.
436
CAPÍTULO 15
Las leyes de la termodinámica
52. Cuando 5.30 * 105 J de calor se agregan a un gas encerrado
en un cilindro ajustado con un pistón ligero sin fricción que
se mantiene a presión atmosférica, el volumen aumenta de
1.9 a 4.1 m3. Calcule a) el trabajo realizado por el gas y b) el
cambio en la energía interna del gas. c) Grafique este proceso en un diagrama PV.
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53. Un motor de gasolina de 4 cilindros tiene una eficiencia de
0.25 y entrega 220 J de trabajo por ciclo por cilindro. Cuando el mo-tor trabaja a 45 ciclos por segundo, a) ¿cuál es el
trabajo realizado por segundo? b) ¿Cuál es la entrada de calor total por segundo desde el combustible? c) Si el contenido de energía de la gasolina es de 35 MJ por litro, ¿cuánto
dura un litro?
54. Un refrigerador “Carnot” (lo inverso de una máquina de
Carnot) absorbe calor del compartimiento de congelador a una
temperatura de -17°C y lo expulsa en la habitación a 25°C.
a) ¿Cuánto trabajo debe realizar el refrigerador para cambiar 0.50 kg de agua a 25°C en hielo a -17°C? b) Si la salida
del compresor es de 210 W, ¿qué tiempo mínimo se necesita
para lograr esto?
55. Se ha sugerido que se podría desarrollar una máquina térmica que utilice la diferencia de temperatura entre el agua en la
superficie del océano y la que se encuentra a varios cientos
de metros de profundidad. En los trópicos, las temperaturas
suelen ser de 27 y 4°C, respectivamente. a) ¿Cuál es la eficiencia máxima que podría tener tal máquina? b) ¿Por qué
puede ser factible tal máquina a pesar de la baja eficiencia?
c) ¿Cuáles serían algunos efectos ambientales adversos que
esto podría traer?
56. Dos automóviles de 1100 kg viajan a 95 kmh en direcciones
opuestas cuando chocan y llegan al reposo. Estime el cambio
en la entropía del universo como resultado de esta colisión.
Considere que T = 20°C.
57. Una taza de aluminio aislada de 120 g a 15°C está llena con
140 g de agua a 50°C. Después de unos minutos, se alcanza
el equilibrio. a) Determine la temperatura final y b) estime el
cambio total en la entropía.
* 58. a) ¿Cuál es el coeficiente de operación de una bomba térmica ideal que extrae calor del aire exterior a 6°C y deposita
calor dentro de una casa a 24°C? b) Si esta bomba térmica
opera a 1200 W de potencia eléctrica, ¿cuál es el calor máximo que puede entregar a la casa cada hora?
59. La quema de gasolina en un automóvil libera aproximadamente 3.0 * 104 kcalgal. Si un automóvil promedia 41 km/gal
cuando se conduce a 90 km/h, lo que requiere 25 hp, ¿cuál es
le eficiencia del motor en tales condiciones?
60. Una máquina de Carnot tiene una temperatura operativa
más baja TL = 20°C y una eficiencia del 30%. ¿En cuántos
kelvins se debe aumentar la temperatura operativa alta TH
para lograr una eficiencia del 40%?
61. Calcule el trabajo efectuado por un gas ideal al ir del estado
A al estado C en la figura 15-28 para cada uno de los siguientes procesos: a) ADC, b) ABC y c) AC directamente.
P
B
PC
PA
A
0
VA
C
D
VC
V
FIGURA 15–28 Problema 61.
62. Una central eléctrica eficiente al 33% saca 850 MW de potencia eléctrica. Se usan torres de enfriamiento para llevarse
el calor de escape. a) Si se permite una elevación de la temperatura del aire de 7.0 C°, estime qué volumen de aire (km3)
se calientan por día. ¿El clima local se calentará significativamente? b) Si el aire caliente formara una capa de 200 m de
grosor, estime cuán grande sería un área cubierta durante 24 h
de operación. Suponga que el aire tiene una densidad de
1.2 kgm3 y que su calor específico es aproximadamente
1.0 kJ/kgC° a presión constante.
63. Una central eléctrica entrega energía a 980 MW con el uso
de turbinas de vapor. El vapor pasa a turbinas supercalentadas a 625 K y deposita su calor no utilizado en agua de río a
285 K. Suponga que la turbina opera como una máquina
ideal de Carnot. a) Si la tasa de flujo del río es de 37 m3s, estime el aumento de temperatura promedio del agua del río
inmediatamente corriente abajo de la central. b) ¿Cuál es el
aumento en la entropía por kilogramo de la corriente del río
en Jkg·K?
64. Un motor de automóvil de 100 hp opera aproximadamente al
15% de eficiencia. Suponga que la temperatura del agua del
motor de 85°C es su depósito de temperatura fría (escape) y
que 495°C es su temperatura de “admisión” térmica (la temperatura de la mezcla gas y aire que explota). a) ¿Cuál es la
razón entre su eficiencia relativa y su máxima eficiencia posible (Carnot)? b) Estime cuánta potencia (en watts) se ocupa
en mover el automóvil, y cuánto calor, en joules y en kcal, se
expulsan al aire en 1.0 h.
65. Un gas ideal se coloca en un frasco cilíndrico alto de 0.080 m2
de área transversal. Un pistón móvil sin fricción de 0.10 kg
se coloca verticalmente en el frasco de modo que el peso del
pistón está sostenido por la presión del gas en el frasco.
Cuando el gas se calienta (a presión constante) de 25 a 55°C,
el pistón se eleva 1.0 cm. ¿Cuánto calor se requiere para este
proceso? Considere la presión atmosférica exterior.
Problemas generales
437
66. Metabolizar 1.0 kg de grasa da como resultado aproximadamente 3.7 * 107 J de energía interna en el cuerpo. a) En un día,
¿cuánta grasa quema el cuerpo para mantener la temperatura
de una persona que está en la cama y que realiza su metabolismo a una tasa promedio de 95 W? b) ¿Cuánto tomaría quemar 1.0 kg de grasa de esta forma, si se supone que no hay
ingesta de alimentos?
67. Un acondicionador de aire ideal mantiene la temperatura interior de una habitación en 21°C cuando la temperatura exterior es de 32°C. Si 5.3 kW de potencia entran a la habitación
a través de las ventanas en forma de radiación directa proveniente del Sol, ¿cuánta potencia eléctrica se ahorraría si las
ventanas estuvieran sombreadas de modo que la cantidad de
radiación se redujera a 500 W?
68. Un deshumidificador es en esencia un “refrigerador con la
puerta abierta”. Un ventilador jala el aire húmedo y lo guía a
un serpentín frío, donde la temperatura es menor que el punto de rocío, y parte del agua del aire se condensa. Luego se
extrae esta agua, el aire se calienta de nuevo a su temperatura original y se envía a la habitación. En un deshumidificador
bien diseñado, el calor se intercambia entre el aire de entrada
y el de salida. De esta forma, el calor que se remueve mediante el serpentín refrigerador proviene principalmente de
la condensación del vapor de agua a líquido. Estime cuánta
agua se remueve en 1.0 h mediante un deshumidificador
ideal, si la temperatura de la habitación es de 25°C, el agua se
condensa a 8°C y el deshumidificador realiza trabajo a una
tasa de 600 W de potencia eléctrica.
Respuestas a los ejercicios
D: La ecuación 14-1 se aplica sólo a un gas monoatómico ideal,
no al agua líquida.
A: 700 J.
B: Menor.
C: – 6.8 * 103 J.
438
CAPÍTULO 15
Las leyes de la termodinámica
Este peine adquirió carga estática al
deslizarlo sobre el cabello o al frotarlo con un trozo de tela o una toalla de papel. La carga eléctrica en el
peine induce una polarización (separación de carga) en las tiritas de papel
y por eso las atrae.
Este capítulo es una introducción
a la electricidad y en él se estudiarán
los conductores y aisladores, así como la ley de Coulomb, que relaciona
la fuerza entre dos cargas puntuales
como función de su distancia de separación. También se introduce el
importante concepto de campo eléctrico.
CAPÍTULO
16
Carga eléctrica y campo eléctrico
L
a palabra “electricidad” puede evocar una imagen de moderna tecnología
compleja: luces, motores, aparatos electrónicos y computadoras. Pero la fuerza eléctrica juega un papel importante incluso en los aspectos más profundos de la vida humana. De acuerdo con la teoría atómica, son las fuerzas eléctricas
entre átomos y moléculas las que los mantienen unidos para formar líquidos y sólidos; las fuerzas eléctricas también participan en los procesos metabólicos que ocurren dentro del cuerpo humano. Muchas de las fuerzas que se han estudiado hasta el
momento, como las fuerzas elásticas, la fuerza normal y la fricción, y otras fuerzas de
contacto (empujones y jalones), ahora se consideran resultado de fuerzas eléctricas
que actúan en el nivel atómico. La gravedad, en cambio, es una fuerza aparte.†
Los primeros estudios acerca de la electricidad datan de la antigüedad, pero no
fue sino hasta los dos últimos siglos que la electricidad se estudió en detalle. En los
siguientes siete capítulos se analizará el desarrollo de las ideas en torno a la electricidad y el funcionamiento de diversos dispositivos prácticos, así como la relación entre
la electricidad y el magnetismo.
†
Como se explicó en la sección 5-10, la física en el siglo XX reconoció cuatro fuerzas fundamentales
en la naturaleza: 1. la fuerza gravitacional, 2. la fuerza electromagnética (más tarde se verá que las
fuerzas eléctrica y magnética están íntimamente relacionadas), 3. la fuerza nuclear fuerte y 4. la
fuerza nuclear débil. Las últimas dos fuerzas operan a nivel del núcleo de un átomo. La teoría reciente ha combinado las fuerzas electromagnética y débil, de modo que ahora se considera que ambas tienen un origen común conocido como fuerza electrodébil.
439
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FIGURA 16–1 a) Frote una regla
de plástico y b) acérquela a algunos
trozos de papel.
a)
b)
16–1 Electricidad estática; carga eléctrica
y su conservación
FIGURA 16–2 Cargas iguales se
repelen; cargas opuestas se atraen.
ⴚ
ⴚ
ⴚⴚ
ⴚⴚ
ⴚⴚ
ⴚⴚ
ⴚⴚ
a) Dos reglas de plástico cargadas
se repelen
ⴙ
ⴙ
ⴙⴙ
ⴙⴙ ⴙⴙ
ⴙⴙ
ⴙⴙ
b) Dos barras de vidrio cargadas
se repelen
ⴚ
ⴚ
ⴚⴚ
ⴚⴚ
ⴙⴙ
ⴙⴙ
ⴙⴙ
c) La barra de vidrio cargada atrae
la regla de plástico cargada
Cargas iguales se repelen; cargas
distintas se atraen.
440
CAPÍTULO 16
La palabra electricidad proviene de la palabra griega elektron, que significa “ámbar”. El ámbar es resina de árbol petrificada, y los antiguos sabían que si se frota
una pieza de ámbar con una tela, el ámbar atrae pequeños pedazos de hojas o polvo. Un pedazo de hule duro, una barra de vidrio o una regla de plástico que se frotan con un trozo de tela también mostrarán este “efecto ámbar”, o electricidad
estática, como se le conoce en la actualidad. Es posible levantar fácilmente pedazos
de papel con un peine o una regla de plástico que se haya frotado vigorosamente
con una toalla de papel. Observe la fotografía en la página anterior y la figura 16-1.
Probablemente el lector ha experimentado la electricidad estática al peinarse el cabello o al sacar una blusa o playera sintética de una secadora de ropa. Y tal vez haya
sentido una descarga al tocar la manija metálica de una puerta después de deslizarse
del asiento de un automóvil o luego de caminar sobre una alfombra de nylon. En
cada caso, un objeto se “carga” como resultado del frotamiento, y se dice que posee
una carga eléctrica neta.
¿Toda carga eléctrica es la misma o existe más de un tipo? De hecho, existen
dos tipos de carga eléctrica, como demuestran los experimentos simples que se describen a continuación. Una regla de plástico suspendida mediante un hilo se frota
vigorosamente con un trozo de tela para cargarla. Cuando una segunda regla de
plástico, también cargada de la misma forma, se acerca a la primera, se ve que una
regla repele a la otra. Esto se ilustra en la figura 16-2a. De igual modo, si una barra
de vidrio frotada se acerca a una segunda barra de vidrio cargada, de nuevo se ve
que actúa una fuerza repulsiva (figura 16-2b). Sin embargo, si la barra de vidrio cargada se acerca a la regla de plástico cargada, se ve que se atraen mutuamente (figura 16-2c). Así que la carga en el vidrio debe ser diferente de la del plástico. De
hecho, experimentalmente se encuentra que todos los objetos cargados caen en una
de las dos categorías. O son atraídos por el plástico y repelen el vidrio; o repelen el
plástico y atraen el vidrio. Por tanto, parece haber dos, y sólo dos, tipos de carga
eléctrica. Cada tipo de carga repele a las del mismo tipo pero atrae a las del tipo
opuesto. Es decir, cargas distintas se atraen; cargas iguales se repelen.
Fue el estadista, filósofo y científico estadounidense Benjamin Franklin (17061790) quien nombró los dos tipos de carga eléctrica como positiva y negativa. La
elección de cuál nombre iba con cuál tipo de carga fue arbitraria. La elección de
Franklin estableció que la carga en la barra de vidrio frotado era la carga positiva,
así que la carga en la regla de plástico frotado (o ámbar) se llamó carga negativa. En
la actualidad todavía se sigue esta convención.
Franklin argumentó que siempre que cierta cantidad de carga se produce en un
objeto, una cantidad igual del tipo opuesto de carga se produce en otro objeto. Positivo y negativo deben ser tratados algebraicamente, así que, durante cualquier proceso, el cambio neto en la cantidad de carga producida es cero. Por ejemplo, cuando
una regla de plástico se frota con una toalla de papel, el plástico adquiere una carga
negativa y la toalla adquiere una cantidad igual de carga positiva. Las cargas están
separadas, pero la suma de las dos es cero.
Carga eléctrica y campo eléctrico
Éste es un ejemplo de una ley que ahora está bien establecida: la ley de conservación de la carga eléctrica, que establece que
la cantidad neta de carga eléctrica producida en cualquier proceso es cero,
o, dicho de otro modo,
ninguna carga eléctrica neta se puede crear o destruir.
Si un objeto (o región del espacio) adquiere una carga positiva, entonces una cantidad igual de carga negativa se encontrará en las áreas u objetos vecinos. Nunca se
han encontrado violaciones, y esta ley de conservación está tan firmemente establecida como las de energía y la cantidad de movimiento.
LEY DE CONSERVACIÓN
DE LA CARGA ELÉCTRICA
16–2 Carga eléctrica en el átomo
No fue sino hasta el siglo pasado cuando se comprendió que la electricidad se origina dentro del átomo mismo. Así que estudiar brevemente la estructura atómica ayudará a entender la electricidad.
Un modelo simplificado describe al átomo como un pequeño pero pesado núcleo
cargado positivamente rodeado por uno o más electrones cargados negativamente
(figura 16-3). El núcleo contiene protones, que tienen carga positiva, y neutrones,
que no tienen carga eléctrica neta. Todos los protones y todos los electrones tienen
exactamente la misma magnitud de carga eléctrica, pero sus signos son opuestos. En
consecuencia, los átomos neutros, que no poseen carga neta, contienen igual número
de protones y electrones. A veces, un átomo puede perder uno o más de sus electrones, o puede ganar electrones adicionales, en cuyo caso tendrá una carga neta positiva o negativa, y se le llama ion.
En los materiales sólidos, los núcleos tienden a permanecer cerca de posiciones
fijas, mientras que algunos de los electrones pueden moverse con bastante libertad.
Cuando un objeto es neutro, contiene igual cantidad de carga positiva y negativa. El
hecho de cargar un objeto sólido mediante frotamiento se puede explicar por la
transferencia de electrones de un objeto a otro. Cuando una regla de plástico se carga negativamente por frotamiento con una toalla de papel, la transferencia de electrones de la toalla al plástico deja la toalla con una carga positiva igual en magnitud
a la carga negativa adquirida por el plástico. En los líquidos y gases, los núcleos o iones
se pueden mover al igual que los electrones.
Normalmente, cuando los objetos se cargan mediante frotamiento, conservan su
carga sólo durante un tiempo limitado, al cabo del cual regresan al estado neutro. ¿A
dónde va esta carga? Por lo general, la carga “se transfiere” a las moléculas de agua en
el aire. Esto se debe a que las moléculas del agua son polares; es decir, aun cuando sean
neutras, su carga no está distribuida de manera uniforme (figura 16-4). De este modo,
los electrones adicionales en una regla de plástico cargada, por ejemplo, se pueden
“transferir” en el aire porque son atraídos al extremo positivo de las moléculas de agua.
Por otra parte, un objeto con carga positiva se puede neutralizar mediante la transferencia de los electrones que se sostienen libremente en las moléculas de agua en el aire. En
los días secos, la electricidad estática es mucho más apreciable pues el aire contiene pocas moléculas de agua para permitir el drenaje. En los días húmedos o lluviosos, es difícil hacer que cualquier objeto sostenga una carga neta durante mucho tiempo.
Suponga que se tienen dos esferas metálicas, una altamente cargada y la otra eléctricamente neutra (figura 16-5a). Si ahora se coloca un objeto metálico, como un clavo,
de modo que toque a ambas esferas (figura 16-5b), la esfera que no estaba cargada se
carga con rapidez. Si, en vez de ello, se conectan las dos esferas mediante una barra
de madera o una pieza de hule (figura 16-5c), la esfera no cargada no se cargará
apreciablemente. Se dice que los materiales como el clavo de hierro son conductores
de electricidad, mientras que la madera y el hule son no conductores o aisladores.
+++
+++
Metal
+
+ +
a)
+
+ +
b)
Ion
2
Madera
+++
+++
c)
2
11
1
2
FIGURA 16–3 Modelo simple del
átomo.
Molécula polar
FIGURA 16–4 Diagrama de una
molécula de agua. Puesto que tiene
cargas opuestas en diferentes
extremos, se le llama molécula “polar”.
2 2
O
1
16–3 Aisladores y conductores
Carga neutra
Electrones, protones, neutrones
H
H
1
Conductores y aisladores
FIGURA 16–5 a) Una esfera metálica cargada y una
esfera metálica neutra. b) Las dos esferas conectadas
mediante un conductor (clavo de hierro) que conduce la
carga de una esfera a la otra. c) Las dos esferas conectadas
por un aislador (madera); casi no se conduce carga.
SECCIÓN 16–3
Aisladores y conductores
441
Los metales son
buenos conductores.
Los metales generalmente son buenos conductores, mientras que la mayoría de
los otros materiales son aisladores (aunque incluso los aisladores conducen la electricidad muy ligeramente). Casi todos los materiales naturales caen en una u otra de
estas dos categorías, que son bastante distintas entre sí. Sin embargo, unos cuantos
materiales (como el silicio y el germanio) caen en una categoría intermedia conocida como semiconductores.
Desde el punto de vista atómico, los electrones en un material aislador están
apretadamente ligados al núcleo. Por otra parte, en un buen conductor, algunos de
los electrones están ligados muy débilmente y se pueden mover con libertad dentro
del material (aunque no pueden abandonar fácilmente al objeto) y con frecuencia
se les conoce como electrones libres o electrones de conducción. Cuando un objeto
cargado positivamente se acerca a un conductor o es tocado por él, los electrones libres en el conductor son atraídos por este objeto cargado positivamente y se mueven
con rapidez hacia él. Por otro lado, los electrones libres se alejan rápidamente de un
objeto con carga negativa que se les acerca. En un semiconductor, existen unos
cuantos electrones libres, y en un aislador casi ninguno.
16–4 Carga inducida; el electroscopio
Supongamos que un objeto metálico con carga positiva se acerca a un objeto metáa) Barra metálica neutra lico no cargado. Si los dos se tocan, los electrones libres en el objeto neutro son
+
+ ++ + +
+
paso de e
Objeto
++
metálico cargado + +
b) La barra metálica adquiere
carga por contacto
FIGURA 16–6 Una barra metálica
neutra en a) adquirirá una carga
positiva si se le pone en contacto
b) con un objeto metálico cargado
positivamente. (Los electrones se
mueven como se muestra mediante la
flecha). Esto se llama carga por
conducción.
atraídos hacia el objeto con carga positiva y algunos pasarán a él (figura 16-6). Como el segundo objeto, originalmente neutro, ahora pierde algunos de sus electrones
negativos, tendrá una carga positiva neta. Este proceso se llama “carga por conducción” o “por contacto”, y los dos objetos terminan con el mismo signo de carga.
Ahora supongamos que un objeto cargado positivamente se acerca a una barra
metálica neutra, pero no la toca. Aunque los electrones libres de la barra metálica
no dejan la barra, todavía se mueven dentro del metal hacia la carga positiva externa, y dejan una carga positiva en el extremo opuesto de la barra (figura 16-7). Se
dice que se ha inducido una carga en los dos extremos de la barra metálica. En la
barra no se creó carga neta: simplemente se han separado las cargas. La carga neta
en la barra metálica todavía es cero. Sin embargo, si el metal se rompe en dos piezas,
se podrían tener dos objetos cargados: uno positivamente y el otro negativamente.
a)
Barra metálica neutra
FIGURA 16–7 Carga por
inducción.
++++
––
–
++
+
b) Barra metálica todavía neutra,
pero con una separación de carga
FIGURA 16–8 Inducción de una
carga en un objeto conectado a tierra.
22
22
2
a)
1 2
111
b)
11 11
c)
442
CAPÍTULO 16
Otra forma de inducir una carga neta en un objeto metálico es conectarlo primero con un alambre conductor a tierra (o a una tubería conductora que se dirige
a tierra) como se muestra en la figura 16-8a (el símbolo
significa conectado a
“tierra”). Se dice entonces que el objeto está “aterrizado”. Como la Tierra es tan
grande y puede conducir, acepta o entrega electrones con facilidad; por eso actúa
como un depósito de carga. Si un objeto cargado (negativo esta vez) se acerca al
objeto metálico, los electrones libres en el metal son repelidos y muchos de ellos se
mueven por el alambre hacia Tierra (figura 16-8b). Esto deja al metal cargado positivamente. Si ahora se corta el alambre, el objeto metálico tendrá sobre él una
carga positiva inducida (figura 16-8c). Si el alambre se cortara después de alejar al
objeto negativo, los electrones se moverían de regreso al objeto metálico y éste sería neutro.
Carga eléctrica y campo eléctrico
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La separación de carga también se puede realizar en los no conductores. Si un
objeto con carga positiva se acerca a un no conductor neutro, como se muestra en la
figura 16-9, casi ningún electrón se puede mover libremente dentro del no conductor. Pero los electrones se pueden mover ligeramente dentro de sus propios átomos
y moléculas. Cada óvalo en la figura 16-9 representa una molécula (no a escala); los
electrones cargados negativamente, atraídos hacia la carga positiva externa, tienden
a moverse en su dirección dentro de sus moléculas. Puesto que las cargas negativas
en el no conductor están más cerca de la carga positiva externa, el no conductor como un todo es atraído a la carga positiva externa (véase la fotografía de apertura de
este capítulo).
Aislador
Metal
+++++
+
–+
–+
–+
–+
–+
Hojas
de oro
No conductor
FIGURA 16–9 Un objeto cargado
que se acerca a un aislador provoca
una separación de carga dentro de
las moléculas del aislador.
Vidrio
FIGURA 16–10 Electroscopio.
Un electroscopio es un dispositivo que sirve para detectar cargas. Como se
muestra en la figura 16-10, en el interior de una caja se encuentran dos hojas metálicas móviles, con frecuencia hechas de oro. (A veces sólo una hoja es móvil). Las
hojas están conectadas mediante un conductor hacia una perilla metálica en el exterior de la caja, pero están aisladas de la caja misma. Si un objeto con carga positiva
se acerca a la perilla, se induce una separación de carga; los electrones son atraídos
hacia la perilla y dejan a las hojas cargadas positivamente (figura 16-11a). Las dos
hojas se repelen como se indica, pues ambas tienen carga positiva. Si, en vez de ello,
la perilla se carga mediante conducción, todo el aparato adquiere una carga neta como se muestra en la figura 16-11b. En cualquier caso, cuanto más grande sea la cantidad de carga, mayor será la separación de las hojas.
Hay que hacer notar que no se puede precisar el signo de la carga de esta forma, dado que la carga negativa provocará que las hojas se separen justo tanto como
una cantidad igual de carga positiva; en cualquier caso, las dos hojas se repelen. Sin
embargo, se puede usar un electroscopio para determinar el signo de la carga si primero se carga mediante conducción, por ejemplo, negativamente, como en la figura
16-12a. Ahora, si se acerca un objeto, como en la figura 16-12b, se inducen más electrones a moverse hacia las hojas y se separan todavía más. Si en lugar de eso se acerca una carga positiva, se induce a los electrones a fluir hacia arriba dejando las hojas
menos negativas y su separación se reduce (figura 16-12c).
El electroscopio se usó mucho en los primeros estudios de la electricidad. El
mismo principio, apoyado en la electrónica, se utiliza en los electrómetros modernos, que son mucho más sensibles.
2
2
22
222
22
222
222
2
2
2
a)
2
2
22
22
22
22
22
2
2
222222
b)
111
222222
22
2
2 2
11111
11
222
111
1
1
1 1
1
1 1
a)
b)
FIGURA 16–11 Electroscopio
cargado a) por inducción, b) por
conducción.
Electrómetro
FIGURA 16–12 Se puede usar un
electroscopio previamente cargado para
determinar el signo de un objeto cargado.
c)
SECCIÓN 16–4
Carga inducida; el electroscopio
443
Fibra
16–5 Ley de Coulomb
ⴙ
ⴙ
Varilla
FIGURA 16–13 Aparato del
principio de Coulomb. Es similar al de
Cavendish, que se usó para la fuerza
gravitacional. Cuando una esfera
cargada externa se acerca a la cargada
en la barra suspendida, la barra gira
ligeramente. La fibra de suspensión
resiste el movimiento de giro y el
ángulo de giro es proporcional a la
fuerza aplicada. Con este aparato,
Coulomb investigó cómo varía la
fuerza eléctrica como función de la
magnitud de las cargas y de la
distancia entre ellas.
Se ha visto que una carga eléctrica ejerce una fuerza de atracción o repulsión sobre
otras cargas eléctricas. ¿Qué factores afectan la magnitud de esta fuerza? Para encontrar una respuesta, el físico francés Charles Coulomb (1736-1806) investigó las
fuerzas eléctricas en la década de 1780 con el uso de una balanza de torsión (figura
16-13) muy parecida a la que utilizó Cavendish para sus estudios de la fuerza gravitacional (capítulo 5).
En la época de Coulomb no se disponía de instrumentos precisos para medir la
carga eléctrica. No obstante, Coulomb fue capaz de preparar pequeñas esferas con
diferentes magnitudes de carga en las que se conocía la razón de las cargas.† Aunque
tuvo algunas dificultades con las cargas inducidas, Coulomb fue capaz de argumentar que la fuerza que un pequeño objeto cargado ejercía sobre un segundo pequeño
objeto cargado es directamente proporcional a la carga sobre cada uno de ellos. Esto es, si la carga sobre cualquiera de los objetos se duplicaba, la fuerza aumentaba a
cuatro veces el valor original. Éste fue el caso cuando la distancia entre las dos cargas permaneció constante. Coulomb encontró que, si la distancia entre ellas aumentaba, la fuerza disminuía con el cuadrado de la distancia entre ellas. Esto es, si la
distancia se duplicaba, la fuerza descendía a un cuarto de su valor original. De esta
forma, Coulomb concluyó que la fuerza que un pequeño objeto cargado ejercía
sobre un segundo era proporcional al producto de la magnitud de la carga en uno,
Q1, por la magnitud de la carga sobre el otro, Q2, e inversamente proporcional al
cuadrado de la distancia r entre ellos (figura 16-14). Como ecuación, la ley de Coulomb se escribe
F = k
LEY DE COULOMB
Dirección de la fuerza
FIGURA 16–14 La ley de Coulomb
(ecuación 16-1) proporciona la fuerza
entre dos cargas puntuales, Q1 y Q2,
separadas una distancia r.
Q1
r
Q1 Q2 ,
r2
[magnitudes] (16–1)
donde k es una constante de proporcionalidad.‡
La ley de Coulomb (ecuación 16-1) proporciona la magnitud de la fuerza eléctrica que cualquier objeto ejerce sobre otro. La dirección de la fuerza eléctrica siempre es a lo largo de la línea que une los dos objetos. Si las dos cargas tienen el mismo
signo, la fuerza sobre cualquier objeto está dirigida alejándose del otro (es decir, se
repelen). Si las dos cargas tienen signos opuestos, la fuerza sobre uno está dirigida
hacia el otro (se atraen). Observe la figura 16-15. Note que la fuerza que una carga
ejerce sobre la segunda es igual pero opuesta a la ejercida por la segunda sobre la
primera, en concordancia con la tercera ley de Newton.
Q2
†
Coulomb razonó que si una esfera conductora cargada se coloca en contacto con una esfera idéntica no cargada, la carga sobre la primera sería compartida igualmente por las dos a causa de la simetría. Por tanto, tuvo una forma de producir cargas iguales a 12 , 14 , etcétera, de la carga original.
‡
La validez actual de la ley de Coulomb descansa sobre mediciones precisas que son mucho más
elaboradas que el experimento original de Coulomb. El exponente, 2, en la ley de Coulomb ha demostrado ser preciso a 1 parte en 1016 [esto es, 2 ± (1 1016)].
FIGURA 16–15 La dirección de la fuerza depende de si
las cargas tienen el mismo signo, como en a) y b), o signos
opuestos, como en c).
F12 = fuerza sobre 1
debida a 2
B
ⴙ
F12
1
a)
B
F12
ⴚ
1
ⴚ
2
B
ⴙ
1
444
CAPÍTULO 16
Carga eléctrica y campo eléctrico
F21 = fuerza sobre 2
debida a 1
B
F21
ⴙ
2
b)
B
F 21
F12
c)
ⴚ
2
B
F21
La unidad SI de carga es el coulomb (C).† En la actualidad, la definición precisa
del coulomb es en términos de corriente eléctrica y campo magnético, y se explicará
más adelante (sección 20-6). En unidades SI, k tiene el valor
k = 8.988 * 109 Nm2C 2
o, cuando sólo se necesitan dos cifras significativas,
k L 9.0 * 109 Nm2C 2.
Por tanto, 1 C es aquella cantidad de carga que, si se coloca en cualquiera de dos objetos puntuales que están separados 1.0 m, provocará que cada objeto ejerza una
fuerza de A9.0 * 109 Nm2C 2 B(1.0 C)(1.0 C)(1.0 m)2 = 9.0 * 109 N sobre el
otro. Esto sería una fuerza enorme, igual al peso de casi un millón de toneladas.
Normalmente no se encuentran cargas tan grandes como un coulomb.
Por lo general, las cargas producidas al frotar objetos ordinarios (como un peine
o una regla de plástico) están alrededor de un microcoulomb (1 mC 106 C) o menos.
Los objetos que portan una carga positiva tienen un déficit de electrones, mientras
que los objetos con carga negativa tienen un exceso de electrones. Se ha determinado que la carga en un electrón tiene una magnitud aproximada de 1.602 1019 C,
y es negativa. Ésta es la carga más pequeña encontrada en la naturaleza‡ y, puesto
que es fundamental, se le ha asignado el símbolo e y con frecuencia se denomina
carga elemental:
e = 1.602 * 10–19 C.
Note que e se define como un número positivo, de modo que la carga sobre el electrón es e. (Por otra parte, la carga sobre un protón es e). Como un objeto no
puede ganar o perder una fracción de un electrón, la carga neta sobre cualquier objeto debe ser un múltiplo entero de esta carga. Por eso se dice que la carga eléctrica
está cuantizada, pues sólo existe en cantidades discretas: 1e, 2e, 3e, etcétera. Sin embargo, como e es tan pequeña, normalmente no se nota esta falta de sucesión en las
cargas macroscópicas (1 mC requiere aproximadamente 1013 electrones), que entonces
parece continua.
La ley de Coulomb se parece mucho a la ley de la gravitación universal,
F = G m1 m2r2, que expresa la fuerza gravitacional que una masa m1 ejerce sobre
una masa m2 (ecuación 5-4). Ambas son leyes de cuadrado inverso (F r 1r2). Ambas tienen también una proporcionalidad con una propiedad de cada objeto: masa
para la gravedad, carga eléctrica para la electricidad. Y ambas actúan a distancia
(esto es, no hay necesidad de contacto). Una gran diferencia entre las dos leyes es
que la gravedad siempre es una fuerza atractiva, mientras que la fuerza eléctrica
puede ser atractiva o repulsiva. La carga eléctrica viene en dos tipos, positiva y negativa; la masa gravitacional sólo es positiva.
La constante k en la ecuación 16-1 con frecuencia se escribe en términos de
otra constante, 0, llamada la permisividad del espacio libre. Está relacionada con k
mediante k = 14p0 . Entonces, la ley de Coulomb se puede escribir
1 Q1 Q2 ,
F =
(16–2)
4p0 r2
donde
1
0 =
= 8.85 * 10–12 C 2N m2.
4pk
La ecuación 16-2 parece más complicada que la 16-1, pero otras ecuaciones fundamentales que aún no se han estudiado son más simples en términos de 0 que en términos de k. No importa cuál forma se use, pues las ecuaciones 16-1 y 16-2 son
equivalentes. (Los más recientes valores precisos de e y 0 se proporcionan en la cubierta frontal).
[La convención para las unidades, como C2Nm2 para 0, significa que m2 está
en el denominador. Es decir, C2Nm2 no significa C2m2N].
Unidad para carga: el coulomb
Carga en el electrón
(la carga elemental)
La carga eléctrica está cuantizada.
Ley de Coulomb y
ley de la gravitación universal
LEY DE COULOMB
(en términos de 0)
Escritura de unidades
†
En el sistema de unidades cgs (que alguna vez fue común), k se hace igual a 1, y la unidad de carga eléctrica se llama unidad electrostática (esu) o el statcoulomb. Un esu se define como aquella carga,
en cada uno de dos objetos puntuales a 1 cm de distancia, que da lugar a una fuerza de 1 dina.
‡
De acuerdo con el modelo estándar de la física de partículas elementales, partículas subnucleares llamadas quarks tienen una carga más pequeña que la del electrón, igual a 13 e o 23 e. Los quarks no se han detectado directamente como objetos aislados, y la teoría indica que los quarks libres no son detectables.
SECCIÓN 16–5
Ley de Coulomb
445
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Carga puntual
➥
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Uso de magnitudes en la ley de
Coulomb; la dirección de la fuerza se
determina a partir de los signos de las
cargas.
Las ecuaciones 16-1 y 16-2 se aplican a objetos cuyo tamaño es mucho menor
que la distancia entre ellos. De manera ideal, es preciso para cargas puntuales (tamaño espacial despreciable comparado con otras distancias). Para objetos de tamaño finito, no siempre resulta claro qué valor usar para r, en particular porque es
posible que la carga no esté distribuida de manera uniforme sobre los objetos. Si los
dos objetos son esferas y se sabe que la carga está distribuida de manera uniforme
en cada uno, entonces r es la distancia entre sus centros.
La ley de Coulomb describe la fuerza entre dos cargas cuando están en reposo.
Cuando las cargas están en movimiento, entran en juego fuerzas adicionales, y esto
se analizará en capítulos posteriores. En este capítulo se estudiarán sólo cargas en
reposo, cuyo estudio se llama electrostática.
Cuando se hacen cálculos con la ley de Coulomb, por lo general se ignoran los
signos de las cargas y se determina la dirección de una fuerza por separado, con base en si la fuerza es atractiva o repulsiva.
EJEMPLO 16–1 Fuerza eléctrica sobre un electrón por un protón. Determine la magnitud y dirección de la fuerza eléctrica sobre el electrón de un átomo
de hidrógeno ejercida por el único protón (Q2 e) que constituye el núcleo del
átomo. Suponga que la distancia promedio entre el electrón que gira y el protón es
r 0.53 1010 m (figura 16-16).
PLANTEAMIENTO Para encontrar la magnitud de la fuerza se usa la ley de Coulomb, F = k Q1 Q2r 2 (ecuación 16-1), con r 0.53 1010 m. El electrón y el protón tienen la misma magnitud de carga, e, de modo que Q1 = Q2 = 1.6 * 10 –19 C.
Protón
ⴙ
B
F
Electrón
ⴚ
r
Q2
Q1
SOLUCIÓN La magnitud de la fuerza es
F = k
A9.0 * 109 N m2C 2 B A1.6 * 10–19 CBA1.6 * 10–19 CB
Q1 Q2
=
r2
A0.53 * 10–10 mB 2
= 8.2 * 10–8 N.
La dirección de la fuerza sobre el electrón es hacia el protón, porque las cargas tienen signos opuestos y la fuerza es atractiva.
FIGURA 16–16 Ejemplo 16-1.
FIGURA 16–17 Ejemplo 16-2.
Q1 = 50 mC
l
Q2 = 1 mC
EJEMPLO CONCEPTUAL 16–2 ¿Qué carga ejerce la fuerza más grande?
Dos cargas puntuales positivas, Q1 50 mC y Q2 1 mC, están separadas una distancia l (figura 16-17). ¿Cuál es más grande en magnitud: la fuerza que Q1 ejerce
sobre Q2, o la fuerza que Q2 ejerce sobre Q1?
RESPUESTA A partir de la ley de Coulomb, la fuerza sobre Q1 ejercida por Q2 es
F12 = k
Q1 Q2 .
l2
La fuerza sobre Q2 ejercida por Q1 es
F21 = k
Q2 Q1
l2
que es la misma magnitud. La ecuación es simétrica con respecto a las dos cargas,
de modo que F21 F12. La tercera ley de Newton también dice que estas dos fuerzas deben tener igual magnitud.
EJERCICIO A En el ejemplo 16-2, ¿cómo es la dirección de F12 en relación con la dirección de F21?
EJERCICIO B ¿Cuál es la magnitud de F12 (y F21) en el ejemplo 16-2, si l 30 cm?
446
CAPÍTULO 16
Carga eléctrica y campo eléctrico
Es muy importante tener en mente que la ley de Coulomb (ecuación 16-1 o
16-2) proporciona la fuerza sobre una carga debida sólo a otra carga única. Si varias
(o muchas) cargas están presentes, la fuerza neta sobre cualquiera de ellas será la suma vectorial de las fuerzas sobre dicha carga debida a cada una de las otras. Este
principio de superposición se basa en la experimentación, y dice que los vectores de
fuerza eléctrica se suman como cualquier otro vector. Por ejemplo, si se tiene un sistema de cuatro cargas, la fuerza neta sobre la carga 1 es la suma de las fuerzas ejercidas sobre ella por las cargas 2, 3 y 4. Las magnitudes de estas tres fuerzas se
determinan a partir de la ley de Coulomb, y luego se suman vectorialmente.
Principio de superposición: las
fuerzas eléctricas se suman como
vectores.
16–6 Resolución de problemas en los que participan
la ley de Coulomb y vectores
La fuerza eléctrica entre partículas cargadas en reposo (que en ocasiones se denomina fuerza electrostática o fuerza de Coulomb) es, como todas las fuerzas, un vector: tiene tanto magnitud Bcomo
dirección. Cuando variasBfuerzas actúan sobre un
B
objeto (designadas como F1 , F2 , etcétera), la fuerza neta Fneta sobre el objeto es la
suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre él:
B
B
FIGURA 16–18 Repaso de la suma
vectorial.
B
F1
B
Fneta = F1 + F2 + p .
Como se acaba de ver, éste es el principio de superposición para fuerzas. En el capítulo 3 se estudió cómo sumar vectores; luego, en el capítulo 4, se usaron las reglas
para sumar vectores y obtener la fuerza neta sobre un objeto mediante la suma de
diferentes vectores fuerza que actúan sobre él. Sería una buena idea revisar ahora
las secciones 3-2, 3-3 y 3-4, así como la sección 4-9 acerca de las técnicas generales
de resolución de problemas. He aquí un breve repaso de vectores.
B
F2
a) Dos fuerzas que actúan sobre
un objeto.
B
F1
Repaso de la suma de vectores
B
B
F2
B
Supongamos que dos vectores fuerza, F1 y F2 , actúan sobre un objeto (figura 16-18a).
Se pueden sumar utilizando el método punta y origen (figura 16-18b) o mediante el
método del paralelogramo (figura 16-18c), como se explicó en la sección 3-2. Estos
métodos son útiles para comprender un problema dado (para tener una imagen en
la mente de qué es lo que pasa), pero para calcular la dirección y magnitud de la
suma resultante, es más preciso usar el método de
suma
de componentes. La figura
B
B
16-18d muestra los componentes de las fuerzas F1 y F2 , a lo largo de los ejes x y y
elegidos (para más detalles, véase la sección 3-4). A partir de las definiciones de las
funciones trigonométricas (figuras 3-11 y 3-12), se tiene
F1x = F1 cos u1
F2x = F2 cos u2
F1y = F1 sen u1
F2y = –F2 sen u2 .
B
F(= F1
B
B
+ F2)
b) La
fuerza
total, o neta, es
B
B
B
F = F1 + F2 por el método
punta y origen de suma de
vectores.
B
F1
B
F (= F1
B
Se suman los componentes
x y y por separado para obtener los componentes de
B
la fuerza resultante F, que son
Fx = F1x + F2x = F1 cos u1 + F2 cos u2 ,
B
+ F2)
B
F2
B
B
B
c) F = F1 + F2 por el método
del paralelogramo.
+y
Fy = F1y + F2y = F1 sen u1 - F2 sen u2 .
B
B
La magnitud de la fuerza F, resultante (o neta) es
F1y
F = 3F 2x + F 2y .
B
−x
B
La dirección de F, se especifica mediante el ángulo u que F forma con el eje x, que
está dado por
tan u =
Fy
Fx
SECCIÓN 16–6
.
F1
B
B
F2y
B
θ1
F1x
θ2
F2 x
B
+x
B
F2
−y
B
B
d) F1 y F2 descompuestas en
sus componentes x y y.
Resolución de problemas en los que participan la ley de Coulomb y vectores
447
Suma de fuerzas eléctricas; principio de superposición
Cuando se trata con varias cargas, es útil usar dobles subíndices en cada una de las
fuerzas que participan. El primer subíndice se refiere a la partícula sobre la que actúa
la fuerza; el segundo
se refiere a la partícula que ejerce la fuerza. Por ejemplo, si se tieB
nen tres cargas, F31 significa la fuerza ejercida sobre la partícula 3 por la partícula 1.
Como en toda resolución de problemas, es muy importante dibujar un diagrama, en particular uno de cuerpo libre (capítulo 4) para cada objeto, que muestre
todas las fuerzas que actúan sobre ese objeto. Al aplicar la ley de Coulomb, se puede
tratar sólo con magnitudes de carga (se dejan fuera los signos menos) para obtener
la magnitud de cada fuerza. Luego se determina por separado la dirección de la
fuerza físicamente (a lo largo de la línea que une las dos partículas: cargas iguales se
repelen, cargas distintas se atraen) y se muestra la fuerza sobre el diagrama. Por último, se suman como vectores todas las fuerzas sobre un objeto para obtener la
fuerza neta sobre ese objeto.
0.30 m
ⴚ
0.20 m
ⴙ
Q1 =
−8.0 m C
ⴚ
x
Q2 =
Q3 =
+3.0 m C −4.0 m C
a)
y
B
B
x
F32
ⴚ
F31
Q3
EJEMPLO 16–3 Tres cargas en línea. Tres partículas cargadas están ordenadas en una línea, como se ilustra en la figura 16-19a. Calcule la fuerza electrostática
neta sobre la partícula 3 (la de 4.0 mC a la derecha) debida a las otras dos cargas.
PLANTEAMIENTO La fuerza neta sobre la partícula 3 es la suma vectorial de la
B
B
fuerza F31 ejercida sobre 3 por la partícula 1 y la fuerza F32 ejercida sobre 3 por
B
B
B
la partícula 2: F = F31 + F32 .
SOLUCIÓN Las magnitudes de estas dos fuerzas se obtienen mediante la ley de
Coulomb (ecuación 16-1):
b)
FIGURA 16–19 Ejemplo 16-3.
F31 = k
A9.0 * 109 N m2C 2 BA4.0 * 10–6 CB A8.0 * 10–6 CB
Q3 Q1
=
= 1.2 N,
r231
(0.50 m)2
donde r31 0.50 m es la distancia desde Q3 hasta Q1. De manera similar,
F32 = k
P R E C A U C I Ó N
Cada carga ejerce su propia
fuerza. Ninguna fuerza bloquea
el efecto de las otras.
A9.0 * 109 N m2C 2 BA4.0 * 10–6 CBA3.0 * 10–6 CB
Q3 Q2
=
= 2.7 N.
r232
(0.20 m)2
Puesto que se calculan las magnitudes de las fuerzas, se omitieron los signos de las
cargas. Pero se debe tener cuidado con ellos para conocer la dirección de cada
fuerza. Sea la línea que une las partículas
el eje x que se Bconsidera como positivo
B
hacia la derecha. Entonces, puesto que F31 es repulsiva y F32 es atractiva, las direcciones de las fuerzas son como se muestra en la figura 16-19b: F31 apunta en la dirección x positiva y F32 apunta en la dirección x negativa. Entonces, la fuerza neta
sobre la partícula 3 es
F = –F32 + F31 = – 2.7 N + 1.2 N = –1.5 N.
La magnitud de la fuerza neta es 1.5 N y apunta hacia la izquierda.
NOTA La carga Q1 actúa sobre la carga Q3 tal como si Q2 no estuviese ahí (éste es
el principio de superposición). Es decir, la carga en el medio, Q2, de ninguna forma
bloquea el efecto de la carga Q1 que actúa sobre Q3. Naturalmente, Q2 ejerce su
propia fuerza sobre Q3.
EJERCICIO C Determine la fuerza neta sobre Q1 en la figura 16-19a.
EJEMPLO 16–4 Fuerza eléctrica con el uso de componentes vectoriales.
Calcule la fuerza electrostática neta sobre la carga Q3 que se muestra en la figura
16-20a debida a las cargas Q1 y Q2.
PLANTEAMIENTO Se utiliza la ley de Coulomb para encontrar las magnitudes
de las fuerzas individuales. La dirección deB cadaBfuerza será a lo largo de la línea
que conecta Q3 a Q1 o Q2. Las fuerzas F31 y F32 tienen las direcciones que se
indican en la figura 16-20a, dado que Q1 ejerce una fuerza atractiva sobre Q3, y Q2
B
B
ejerce una fuerza repulsiva. Las fuerzas F31 y F32 no están a lo largo de la misma
B
línea,
así que, para encontrar la fuerza resultante sobre Q3 se descomponen F31 y
B
F32 en componentes x y y y se efectúa la suma vectorial.
448
CAPÍTULO 16
Carga eléctrica y campo eléctrico
www.elsolucionario.org
y
B
F 32
FIGURA 16–20 Determinación de las
Q3 = +65 mC
F31x
30°
B
F 32
B
F 31
60
30 cm
F31y
y
cm
90°
30°
Q2 = +50 mC
B
F
52 cm
x
Q1 = −86 mC
a)
Q3
u
x
fuerzas para el ejemplo 16-4. a) Las
direcciones de las fuerzas individuales
son
B
las que se muestran dado que F32 es
repulsiva (la fuerza sobre Q3 está en la
dirección que se aleja de Q2 porque tanto
Q3 como Q2 son positivas) mientras que
B
F31 es atractiva (Q3 y Q1 tienen signos
B
opuestos), de modo que F31 apunta hacia
B
B
Q1. b) Suma de F32 y F31 para obtener la
B
fuerza neta F.
B
F 31
b)
B
B
SOLUCIÓN Las magnitudes de F31 y F32 son (se ignoran los signos de las cargas
dado que se conocen las direcciones)
F31 = k
F32 = k
B
A9.0 * 109 Nm2C 2 B A6.5 * 10–5 CB A8.6 * 10–5 CB
Q3 Q1
=
= 140 N,
2
r31
(0.60 m)2
A9.0 * 109 Nm2C 2 B A6.5 * 10–5 CB A5.0 * 10–5 CB
Q3 Q2
=
= 330 N.
r232
(0.30 m)2
F31 se resuelve en sus componentes a lo largo de los ejes x y y, como se observa en
la figura 16-20a:
F31x = F31 cos 30° = (140 N) cos 30° = 120 N,
F31y = –F31 sen 30° = –(140 N) sen 30° = –70 N.
B
B
La fuerza F32 sólo tiene componente y. De modo que la fuerza neta F sobre Q3 tiene componentes
Fx = F31x = 120 N,
Fy = F32 + F31y = 330 N - 70 N = 260 N.
La magnitud de la fuerza neta es
F = 3F 2x + F 2y = 3(120 N)2 + (260 N)2 = 290 N;
y actúa en un ángulo u (ver figura 16-20b) dado por
Fy
260 N
tan u =
=
= 2.2,
Fx
120 N
de modo que u = tan–1(2.2) = 65°.
B
B
B
NOTA Dado que F31 y F32 no están a lo largo de la misma línea, la magnitud de F3
no es igual a la suma (o diferencia, como en el ejemplo 16-3) de las magnitudes separadas. Esto es, F3 no es igual a F31 F32; no es igual a F32 F31. En vez de ello,
se tiene que realizar una suma vectorial.
FIGURA 16–21 Ejemplo 16-5 yB
ejercicio D: Q4 ejerce una fuerza AF34 B
que hace que la fuerza neta sobre Q3
sea cero.
y
EJEMPLO CONCEPTUAL 16–5 Hacer cero la fuerza sobre Q3. En la figura
16-20, ¿dónde debería colocarse una cuarta carga, Q4 50 mC, de modo que la
fuerza neta sobre Q3 sea cero?
B
EJERCICIO D En el ejemplo 16-5, ¿a qué distancia r debe estar Q4 de Q3?
EJERCICIO E a) Considere dos cargas puntuales de la misma magnitud pero de signo
opuesto (Q y Q), que están fijas a una distancia d de separación. Determine una ubicación donde se pueda colocar una tercera carga positiva Q de modo que la fuerza eléctrica
neta sobre esta tercera carga sea cero. b) ¿Y si las primeras dos cargas fuesen ambas Q?
SECCIÓN 16–6
B
B
F = F31 + F32
RESPUESTA Por el principio de superposición,
se necesita una fuerza exactamenB
te en la dirección opuesta a la resultante F debida a Q2 y Q1, que se calculó en el
ejemplo 16-4 (figura 16-20b). La fuerza debe tener 290 N de magnitud y apuntar
abajo y a la izquierda de Q3 en la figura 16-20b. Así que Q4 debe estar a lo largo
de esta línea. Véase la figura 16-21.
u = 65°
Q3
x
115°
r?
B
F 34
Q4
Resolución de problemas en los que participan la ley de Coulomb y vectores
449
16–7 El campo eléctrico
P
Q
Campo
FIGURA 16–22 Un campo
eléctrico rodea a toda carga.
P es un punto arbitrario.
Carga de prueba
FIGURA 16–23 Fuerza ejercida por
la carga Q sobre una pequeña carga
de prueba, q, colocada en los puntos
a, b y c.
B
Fa
a
+Q
b
c
B
Fc
B
Fb
A muchas fuerzas comunes, como las manos que empujan o jalan un carrito, o una
raqueta de tenis que golpea una pelota, se les conoce como “fuerzas de contacto”.
En contraste, tanto la fuerza gravitacional como la fuerza eléctrica actúan a distancia: existe una fuerza entre dos objetos incluso cuando éstos no están en contacto.
La idea de una fuerza que actúa a distancia fue difícil para los antiguos pensadores.
Newton mismo se sintió incómodo con esta idea cuando publicó su ley de gravitación
universal. Una forma útil de mirar la situación se basa en la idea del campo, desarrollada por el científico británico Michael Faraday (1791-1867). En el caso de la
electricidad, de acuerdo con Faraday, un campo eléctrico se extiende hacia fuera desde
toda carga e impregna todo el espacio (figura 16-22). Si una segunda carga (llámese
Q2) se coloca cerca de la primera, siente una fuerza ejercida por el campo eléctrico
que está ahí (por ejemplo, en el punto P de la figura 16-22). El campo eléctrico en el
punto P se considera que interactúa directamente con la carga Q2 para producir la
fuerza sobre Q2.
En principio es posible investigar el campo eléctrico que rodea una carga o grupo de cargas midiendo la fuerza sobre una pequeña carga de prueba positiva. Por
carga de prueba se entiende una carga tan pequeña que la fuerza que ella ejerce no
altera de manera significativa la distribución de aquellas otras cargas que crean el
campo. Si una pequeña carga de prueba positiva q se coloca en varias posiciones en
la vecindad de una sola carga positiva Q como se indica en la figura 16-23 (puntos a,
b, c), la fuerza ejercida sobre q es como se muestra. La fuerza en b es menor que en
a porque la distancia de b desde Q es mayor (ley de Coulomb); y la fuerza en c es
más pequeña todavía. En cada caso, la fuerza sobre q está dirigida radialmente alejándose de Q. El campo eléctrico se define en términos
de la fuerza sobre tal carga
B
de prueba positiva. En particular, el campo eléctrico, E, en cualquier punto en el esB
pacio se define como la fuerza F ejercida sobre una pequeña carga de prueba positiva colocada en dicho punto, dividida por la magnitud de la carga de prueba q:
B
Definición de
campo eléctrico
B
E es un vector.
F
E = .
(16–3)
q
B
B
De manera más precisa, E se define como el límite de Fq conforme q se vuelve cada vez más pequeña, tendiendo a cero. Es decir, q es tan pequeña que en esencia no
ejerce fuerza sobre las otras cargas que crean el campo. A partir de esta definición
(ecuación 16-3), se ve que el campo eléctrico en cualquier punto en el espacio es un
vector cuya dirección es la de la fuerza sobre una pequeña carga de prueba positiva
B
en tal punto, y cuya magnitud es la fuerza por unidad de carga. En consecuencia, E
tiene unidades SI de newtons por coulomb (NC).
B
B
B
La razón para definir E como Fq (con q S 0) es que así E no depende de la
B
magnitud de la carga de prueba q. Esto significa que E sólo describe el efecto de las
cargas que crean el campo eléctrico en ese punto.
Se puede medir el campo eléctrico en cualquier punto en el espacio, con base
en la definición, ecuación 16-3. ParaB situaciones simples que implican una o varias
cargas puntuales, se puede calcular E. Por ejemplo, el campo eléctrico a un distancia
r de una sola carga puntual Q tendría magnitud
B
E =
Campo eléctrico
debido a
una carga
puntual
kqQr 2
F
=
q
q
E = k
Q
;
r2
[carga puntual única] (16–4a)
o, en términos de 0 como en la ecuación 16-2 (k = 14p0):
E =
1 Q.
4p0 r2
[carga puntual única] (16–4b)
Note que E es independiente de la carga de prueba q; esto es, E sólo depende de la
carga Q que produce el campo, y no del valor de la carga de prueba q. Las ecuaciones 16-4 se conocen como la forma de campo eléctrico de la ley de Coulomb.
450
CAPÍTULO 16
Carga eléctrica y campo eléctrico
B
E
B
Si se proporciona el campoBeléctrico E en un punto dado en el espacio, entonces se puede calcular la fuerza F sobre cualquier carga q colocada en ese punto escribiendo (véase la ecuación 16-3):
B
B
F = qE.
a)
B
(16–5)
E
Esto es válido incluso
si q no es pequeña
en tanto q no provoque que se muevan las
B
B
B
cargas que crean E. Si q es positiva, F y E apuntan en la misma dirección. Si q es neB
B
gativa, F y E apuntan en direcciones opuestas. Véase la figura 16-24.
F
EJEMPLO 16–6 Máquina fotocopiadora. Una máquina fotocopiadora funciona
mediante el ordenamiento de cargas positivas (en el patrón que se copiará) sobre
la superficie de un tambor; luego se salpican generosamente sobre el tambor partículas de tóner (tinta) seco con carga negativa. Las partículas de tóner se pegan
temporalmente al patrón sobre el tambor (figura 16-25) y posteriormente se transfieren al papel y se “funden” para producir la copia. Suponga que cada partícula de
tóner tiene una masa de 9.0 1016 kg y lleva un promedio de 20 electrones adicionales para proporcionar una carga eléctrica. Si se supone que la fuerza eléctrica
sobre una partícula de tóner debe superar el doble de su peso con la finalidad de
garantizar suficiente atracción, calcule la intensidad del campo eléctrico requerido
cerca de la superficie del tambor.
PLANTEAMIENTO La fuerza eléctrica sobre una partícula de tóner de carga q 20e es F qE, donde E es el campo eléctrico necesario. Esta fuerza necesita ser al
menos tan grande como el doble de peso (mg) de la partícula.
SOLUCIÓN El valor mínimo del campo eléctrico satisface la relación
B
b)
+q
B
E
–q
c)
B
F
FIGURA 16–24 a) Campo eléctrico
en un punto dado en el espacio. b)
Fuerza sobre una carga positiva en
ese punto. c) Fuerza sobre una carga
negativa en ese punto.
F Í S I C A
A P L I C A D A
Fotocopiadora
qE = 2mg
donde q 20e. Por tanto
E =
2 A9.0 * 10–16 kgBA9.8 ms2 B
2mg
=
= 5.5 * 103 NC.
q
20 A1.6 * 10–19 CB
Superficie del
tambor
EJEMPLO 16–7 Campo eléctrico en una carga puntual única. Determine la
magnitud y dirección del campo eléctrico en un punto P, localizado a 30 cm a la derecha de una carga puntual Q 3.0 106 C.
PLANTEAMIENTO La magnitud del campo eléctrico debido a una carga puntual
única está dada por la ecuación 16-4. La dirección se determina utilizando el signo
de la carga Q.
SOLUCIÓN La magnitud del campo eléctrico es:
Q
=
= 3.0 * 105 NC.
r2
(0.30 m)2
La dirección del campo eléctrico es hacia la carga Q, hacia la izquierda como se indica en la figura 16-26a, pues se definió la dirección como la de la fuerza sobre una
carga de prueba positiva que aquí sería atractiva. Si Q hubiese sido positiva, el
campo eléctrico habría apuntado alejándose, como en la figura 16-26b.
NOTA No hay carga eléctrica en el punto P. Pero ahí existe un campo eléctrico. La
carga real única es Q.
E = k
B
A9.0 * 109 Nm2C 2 BA3.0 * 10–6 CB
B
Este ejemplo ilustra un resultado general: el campo eléctrico
E debido a una carga
B
positiva apunta alejándose de la carga, mientras que E debido a una carga negativa
apunta hacia dicha carga.
E
Partículas de tóner que se
mantienen en la superficie
del tambor mediante
el
B
campo eléctrico E
FIGURA 16–25 Ejemplo 16-6.
FIGURA 16–26 Ejemplo 16-7.
Campo eléctrico en el punto P
a) debido a una carga negativa Q y
b) debido a una carga positiva Q, cada
una a 30 cm de P.
30 cm
P
EJERCICIO F ¿Cuál es la magnitud y la dirección del campo eléctrico debido a una Q = −3.0 × 10–6 C E = 3.0 × 105 N/C
carga de 2.5mC en un punto situado 50 cm por debajo de ella?
a)
Si el campo eléctrico en un punto dado en el espacio se debe a más de una carB
B
–6
ga, los campos individuales (designados como E 1 , E 2 , etcétera) debidos a cada una Q = +3.0 × 10 C
b)
de las cargas se suman vectorialmente para obtener el campo total en ese punto:
B
B
B
E = E1 + E2 + p .
La validez de este principio de superposición para campos eléctricos está completamente confirmado por los experimentos.
P
E = 3.0 × 105 N/C
Principio de superposición
para campos eléctricos
SECCIÓN 16–7
El campo eléctrico
451
www.elsolucionario.org
Q1 = –25 m C
FIGURA 16–27 Ejemplo 16-8. EnB b), no
se
B
conocen las longitudes relativas de E 1 y E 2
hasta que se realizan los cálculos.
Q2 = +50 m C
P
r1 = 2.0 cm
a)
r2 = 8.0 cm
B
Q1
E1
B
E2
Q2
b)
EJEMPLO 16–8 E en un punto entre dos cargas. Dos cargas puntuales están
separadas una distancia de 10.0 cm. Una tiene una carga de 25 mC y la otra de
50mC. a) Determine la dirección y magnitud del campo eléctrico en un punto P
entre las dos cargas que está a 2.0 cm de la carga negativa (figura 16-27a). b) Si un
electrón (masa 9.11 1031 kg) se coloca en reposo en P y luego se libera, ¿cuál
será su aceleración inicial (dirección y magnitud)?
PLANTEAMIENTO El campo eléctrico en P será la suma vectorial de los campos
creados separadamente por Q1 y Q2. El campo debido a la carga negativa Q1
apunta hacia Q1, y el campo debido a la carga positiva Q2 apunta alejándose de
Q2. De esta forma, ambos campos apuntan hacia la izquierda, como se muestra en
la figura 16-27b, y se pueden sumar algebraicamente las magnitudes de los dos
campos ignorando los signos de las cargas. En b) se utiliza la segunda ley de Newton
(F ma) para determinar la aceleración, donde F qE (ecuación 16-5).
SOLUCIÓN a) Cada campo se debe a una carga puntual, como se da por la ecuación 16-4, E kQr 2. El campo total es
Q1
Q2
Q1
Q2
+ k 2 = ka 2 + 2 b
2
r1
r2
r1
r2
50 * 10–6 C
25 * 10–6 C
= A9.0 * 109 N m2C 2 B ¢
+
≤
–2
2
A2.0 * 10 mB
A8.0 * 10–2 mB 2
= 6.3 * 108 NC.
b) El campo eléctrico apunta hacia la izquierda, de modo que el electrón sentirá
una fuerza hacia la derecha pues está cargado negativamente. Por tanto, la aceleración a Fm (segunda ley de Newton) será hacia la derecha. La fuerza sobre una
carga q en un campo eléctrico E es F qE (ecuación 16-5). En consecuencia, la
magnitud de la aceleración es
E = k
a =
A1.60 * 10–19 CB A6.3 * 108 NCB
qE
F
=
=
= 1.1 * 1020 ms2.
m
m
9.11 * 10–31 kg
B
B
NOTA Al considerar cuidadosamente las direcciones de cada campo (E 1 y E 2) antes de hacer los cálculos, uno se asegura de que los cálculos se pueden realizar de
forma simple y correcta.
EJERCICIO G Dadas las mismas dos cargas Q1 y Q2 de la figura 16-27, determine la diB
B
rección de cada uno de los campos eléctricos componentes E 1 y E2 , así como del campo eléctrico total para dos posiciones: a) un punto apenas ligeramente hacia la
izquierda de Q1, y b) un punto ligeramente hacia la derecha de Q2. (Sugerencia: Recuerde el factor 1r 2).
EJEMPLO 16–9 E sobre dos cargas puntuales. Calcule el campo eléctrico
total a) en el punto A y b) en el punto B de la figura 16-28 debido a ambas cargas,
Q1 y Q2.
PLANTEAMIENTO El cálculo es muy parecido al del ejemplo 16-4, excepto que
ahora se trata con campos eléctricos en lugar
de fuerza. El campo
eléctrico en el
B
B
punto A es la suma vectorial de los campos E A1 debido a Q1 y E A2 debido a Q2. Se
encuentra la magnitud del campo producido por cada carga puntual, luego se suman sus componentes para hallar el campo total en el punto A. Se procede de
igual manera para el punto B.
452
CAPÍTULO 16
Carga eléctrica y campo eléctrico
B
EA2
B
EA
B
y
f
A
B
EA1
B
30°
60
EB2
B
u
EB
B
FIGURA 16–28 Cálculo del campo
EB1
cm
eléctrico en los puntos A y B para el
ejemplo 16-9.
40
30 cm
cm
26 cm
26 cm
u
x
Q1 = −50 mC
Q2 = +50 mC
SOLUCIÓN a) La magnitud del campo eléctrico producido en el punto A por cada una de las cargas Q1 y Q2 está dada por E = kQr 2, de modo que
EA1 =
EA2 =
A9.0 * 109 Nm2C 2 BA50 * 10–6 CB
(0.60 m)2
A9.0 * 109 Nm2C 2 BA50 * 10–6 CB
(0.30 m)2
= 1.25 * 106 NC,
= 5.0 * 106 NC.
➥
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Ignore los signos de las cargas,
determine la dirección físicamente
y muestre las direcciones en un
diagrama.
La dirección de EA1 apunta desde A hacia Q1 (carga negativa), mientras que EA2
apuntaBdesde A alejándose de Q2, como se aprecia; así que el campo eléctrico total
en A, E A , tiene componentes
EAx = EA1 cos 30° = 1.1 * 106 NC,
EAy = EA2 - EA1 sen 30° = 4.4 * 106 NC.
B
Por ende, la magnitud de E A es
EA = 3(1.1)2 + (4.4)2 * 106 NC = 4.5 * 106 NC,
y su dirección es f y está dada por tan f = EAyEAx = 4.41.1 = 4.0, de modo
que f = 76°.
b) Puesto que B es equidistante (40 cm por el teorema de Pitágoras) de las dos
cargas iguales, las magnitudes de EB1 y EB2 son iguales; esto es,
EB1 = EB2 =
A9.0 * 109 N m2C 2 B A50 * 10–6 CB
kQ
=
r2
(0.40 m)2
➥
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Siempre que sea posible, utilice
la simetría para ahorrar trabajo.
= 2.8 * 106 NC.
Además, a causa de la simetría, los componentes y son iguales y opuestos, y por
tanto se cancelan. En consecuencia, el campo total EB es horizontal e igual a
EB1 cos u + EB2 cos u = 2EB1 cos u. A partir del diagrama, cos u 26 cm40 cm
0.65. Entonces
EB = 2EB1 cos u = 2 A2.8 * 106 NCB(0.65)
= 3.6 * 106 NC,
B
y la dirección de E B es a lo largo de la dirección x.
NOTA El inciso b) se pudo haber resuelto de la misma forma que el inciso a), pero la simetría permitió resolver el problema con menos esfuerzo.
SECCIÓN 16–7
El campo eléctrico
453
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Electrostática: fuerzas eléctricas y campos eléctricos
se de una carga y hacia una carga . Muestre y designe cada fuerza o campo vectorial en el diagrama.
2. Aplique la ley de Coulomb para calcular la magnitud
de la fuerza que cada carga ejerce sobre un objeto cargado, o la magnitud del campo eléctrico en un punto.
Trabaje sólo con las magnitudes de las cargas (deje a
un lado los signos menos) y obtenga la magnitud de
cada fuerza o campo eléctrico.
3. Sume vectorialmente todas las fuerzas en un objeto, o
los campos contribuyentes en un punto, para obtener
el resultante. Utilice la simetría (es decir, en la geometría) siempre que sea posible.
La resolución de problemas de electrostática sigue, en
una gran medida, el procedimiento general de resolución
de problemas descrito en la sección 4-9. Ya sea que se utilice un campo eléctrico o fuerzas electrostáticas, el procedimiento es similar:
1. Dibuje un diagrama con cuidado: un diagrama de cuerpo libre para cada objeto, que muestre todas las fuerzas
que actúan sobre tal objeto o que muestre el campo
eléctrico en un punto debido a todas las cargas significativas presentes. Determine físicamente la dirección de
cada fuerza o campo eléctrico: cargas iguales se repelen,
cargas distintas se atraen; los campos apuntan alejándo-
Ahora se verá cómo aplicar el recuadro de resolución de problemas al ejemplo
16-9, inciso b).
B
EA2
EJEMPLO 16–9 Repetido. Calcule el campo eléctrico total en el punto B de la
figura 16-28 debida a ambas cargas, Q1 y Q2.
B
EA
B
y EB2
f
30°
A
B
EA1
B
60
PLANTEAMIENTO y SOLUCIÓN
B
B
EB
u
B
EB1
cm
40
cm
30 cm
u
x
Q1 = -50 mC
26 cm
EB1
1. SeBdibuja un diagrama con cuidado.
Las direcciones de los campos eléctricos
B
B
y E B2 , así como el campo neto E B B, se muestra en la figura 16-28. E B2 apunta
alejándose de la carga positiva Q2 ; E B1 apunta hacia la carga negativa Q1.
2. Se aplica la ley de Coulomb para encontrar las magnitudes de los campos eléctricos contribuyentes. Puesto que B es equidistante (40 cm por el teorema de Pitágoras) de las dos cargas iguales, las magnitudes de EB1 y EB2 son iguales; es decir,
26 cm
Q2 = +50 mC
EB1 = EB2 =
= 2.8 * 106 NC.
FIGURA 16–28 (Repetida)
Cálculo del campo eléctrico en los
puntos A y B para el ejemplo 16-9.
A9.0 * 109 N m2C 2 BA50 * 10–6 CB
kQ
=
r2
(0.40 m)2
3. Se suma vectorialmente
y se usa la simetría siempre que sea posible. Los comB
B
ponentes y de E B1 y E B2 son iguales y opuestos. En virtud de esta simetría, el
campo total EB es horizontal e igual a EB1 cos u + EB2 cos u = 2 EB1 cos u. A
partir de la figura 16-28, cos u = 26 cm40 cm = 0.65. Entonces
EB = 2EB1 cos u = 2 A2.8 * 106 NCB(0.65)
= 3.6 * 106 NC,
B
y la dirección de E B es a lo largo de la dirección x.
NOTA El inciso a) del ejemplo 16-9 no muestra simetría útil.
FIGURA 16–29 Vector de campo
eléctrico, mostrado en tres puntos,
debido a una sola carga puntual Q.
(Compare con la figura 16-23).
B
Ea
a
+Q
b
B
Eb
454
CAPÍTULO 16
c
B
Ec
16–8 Líneas de campo
Como el campo eléctrico es un vector, a veces se hace referencia a él como campo
vectorial. El campo eléctrico se podría indicar con flechas en varios puntos
en una
B
B
B
situación dada, como en a, b y c de la figura 16-29. Las direcciones de E a , E b y E c
son las mismas que para las fuerzas que se mostraron anteriormente en la figura 16-23,
pero las longitudes (magnitudes) son diferentes dado
que se
divide F por q para obB
B
B
tener E. Sin embargo, las longitudes relativas de E a , E b y E c son las mismas que para las fuerzas puesto que se divide por la misma q cada vez. Sin embargo, indicar el
campo eléctrico de tal forma en muchos puntos, daría como resultado muchas flechas, lo que pronto se volvería confuso. Para evitar esto, se emplea otra técnica, la
de las líneas de campo.
Carga eléctrica y campo eléctrico
www.elsolucionario.org
–
ⴚ
ⴙ
+
FIGURA 16–30 Líneas de campo eléctrico
a)
b)
a) cerca de una sola carga puntual positiva,
b) cerca de una sola carga puntual negativa.
Para visualizar el campo eléctrico, se dibuja una serie de líneas para indicar la
dirección del campo eléctrico en varios puntos en el espacio. Estas líneas de campo
eléctrico (a veces llamadas líneas de fuerza) se dibujan de modo que indiquen la dirección de la fuerza debida al campo dado sobre una carga de prueba positiva. En la
figura 16-30a se observan las líneas de fuerza debidas a una sola carga positiva aislada, y las de una sola carga negativa aislada se muestran en la figura 16-30b. En el
inciso a) las líneas apuntan radialmente hacia fuera desde la carga, y en el inciso b)
apuntan radialmente hacia dentro, hacia la carga, porque ésta es la dirección que
tendría la fuerza sobre una carga de prueba positiva en cada caso (como en la figura 16-26). Sólo se incluyen unas cuantas líneas representativas. También se podía haber dibujado sólo líneas entre aquellas que se muestran puesto que ahí también
existe campo eléctrico. Las líneas se pueden dibujar de modo que el número de líneas que parten de una carga positiva, o terminan en una carga negativa, sea proporcional a la magnitud de la carga. Note que, más cerca de la carga, donde el campo
eléctrico es mayor (F r 1r 2), las líneas están más juntas. Ésta es una propiedad general de las líneas de campo eléctrico: cuanto más juntas estén las líneas, más intenso
es el campo en dicha región. De hecho, las líneas de campo se pueden dibujar deB modo que el número de líneas que cruzan una unidad de área perpendicular a E sea
proporcional a la magnitud del campo eléctrico.
La figura 16-31a muestra las líneas de campo eléctrico para dos cargas iguales
de signo opuesto, una combinación conocida como dipolo eléctrico. Las líneas de
campo eléctrico se curvan en este caso y están dirigidas desde la carga positiva hacia la negativa. La dirección del campo eléctrico en cualquier punto es tangente
a la
B
línea de campo en ese punto, como se indica mediante la flecha vectorial E en el
punto P. Para asegurarse de que éste es el patrón correcto para las líneas de campo
eléctrico, es conveniente hacer algunos cálculos como los realizados en el ejemplo
16-9 sólo para este caso (véase la figura 16-28). La figura 16-31b muestra las líneas
de campo para dos cargas iguales positivas, y la figura 16-31c para cargas distintas,
2Q y Q. Cabe resaltar que de 2Q salen el doble de líneas que las que entran a
Q (el número de líneas es proporcional a la magnitud de Q). Finalmente, en la figura 16-31d, se observa el campo entre dos placas paralelas que portan iguales cargas pero opuestas. Advierta que las líneas de campo eléctrico entre las dos placas
comienzan perpendiculares a la superficie de las placas metálicas (en la siguiente
sección se verá por qué esto es cierto) y van directamente de una placa a la otra, como se espera porque una carga de prueba positiva colocada entre las placas sentiría
una intensa repulsión hacia la placa positiva y una intensa atracción hacia la negativa. Las líneas de campo entre dos placas cerradas son paralelas y están igualmente
espaciadas en la región central, pero se doblan hacia fuera cerca de los bordes. Por
ende, en la región central, el campo eléctrico tiene la misma magnitud en todo punto, y se puede escribir
E = constante.
c
Líneas de campo eléctrico
FIGURA 16–31 Líneas de campo
eléctrico para cuatro ordenamientos
de cargas.
B
E
P
ⴙ
ⴚ
a)
ⴙ
ⴙ
b)
ⴙⴙ +2Q
ⴚ –Q
entre dos placas paralelas cargadas de manera
d (16–6)
opuesta y cercanamente espaciadas
El plegamiento del campo cerca de los bordes con frecuencia se puede ignorar, en
particular si la separación de las placas es pequeña en comparación con su tamaño.†
†
La magnitud del campo eléctrico constante entre dos placas paralelas está dada por E = Q0 A,
donde Q es la magnitud de la carga en cada placa y A es el área de una placa. Esto se muestra en la
sección opcional 16-10, acerca de la ley de Gauss.
SECCIÓN 16–8
c)
+Q
-Q
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
d)
Líneas de campo
455
Las propiedades de las líneas de campo se resumen del modo siguiente:
1. Las líneas de campo eléctrico indican la dirección del campo eléctrico; el campo
apunta en la dirección tangente a la línea de campo en cualquier punto.
2. Las líneas se dibujan de modo que la magnitud del campo eléctrico, E, sea proporcional al número de líneas que cruzan una unidad de área perpendicular a
ellas. Cuanto más juntas estén las líneas, más intenso será el campo.
3. Las líneas de campo eléctrico parten en las cargas positivas y terminan en las
negativas; y el número de las que empiezan o terminan es proporcional a la
magnitud de la carga.
También hay que hacer notar que las líneas de campo nunca se cruzan. ¿Por qué
no? Porque no tendría sentido que el campo eléctrico tuviese dos direcciones en el
mismo punto.
Campo gravitacional
FIGURA 16–32 El campo
gravitacional de la Tierra, que en
cualquier punto está dirigido hacia el
centro (la fuerza sobre cualquier masa
apunta hacia el centro de la Tierra).
16–9 Campos eléctricos y conductores
+
−
+−
Conductor
−+
ⴙ
+
−
−
+
FIGURA 16–33 Una carga dentro
de un cascarón metálico esférico
neutro induce carga sobre sus
superficies. El campo eléctrico existe
incluso más allá del cascarón, pero no
dentro del conductor mismo.
FIGURA B16–34 Si el campo
eléctrico E en la superficie de un
conductor tuviera un componente
B
paralelo a la superficie, E ∑∑ , éste
aceleraría a los electrones en
B
movimiento. En el caso estático, E ∑∑
debe ser cero y el campo eléctrico debe
ser perpendicular
a la superficie del
B
B
conductor: E = E ⊥ .
B
B
E
E
B
E
Buen conductor
456
El concepto de campo también se puede aplicar a la fuerza gravitacional. Así, se
puede decir que, para todo objeto que tenga masa, existe un campo gravitacional.
Un objeto atrae a otro mediante el campo gravitacional. La Tierra, por ejemplo, posee un campo gravitacional (figura 16-32) que es responsable de la fuerza gravitacional sobre los objetos. El campo gravitacional se define como la fuerza por unidad
de masa. La magnitud del campo gravitacional de la Tierra en cualquier punto sobre
la superficie terrestre es, por tanto, (GMTr 2), donde MT es la masa de la Tierra, r es la
distancia del punto desde el centro de la Tierra y G es la constante gravitacional (capítulo 5). En la superficie de la Tierra, r es el radio de la Tierra y el campo gravitacional
es igual a g, la aceleración de la gravedad. Más allá de la Tierra, el campo gravitacional se puede calcular en cualquier punto como una suma de términos en relación
con la Tierra, el Sol, la Luna y otros cuerpos que contribuyen significativamente.
CAPÍTULO 16
Ahora se analizarán algunas propiedades de los conductores. Primero, el campo eléctrico dentro de un conductor es cero en la situación estática; es decir, cuando las cargas
están en reposo. Si hubiese un campo eléctrico dentro de un conductor, habría una
fuerza sobre los electrones libres. Los electrones se moverían hasta alcanzar posiciones donde el campo eléctrico y, por ende, la fuerza eléctrica sobre ellos sea cero.
Este razonamiento tiene algunas consecuencias interesantes. Por ejemplo, cualquier carga neta sobre un conductor se distribuye ella misma sobre la superficie. Para
un conductor cargado negativamente, puede imaginarse que las cargas negativas se
repelen y se dirigen a la superficie para estar tan lejos como sea posible unas de
otras. Otra consecuencia es la siguiente. Supongamos que una carga positiva Q está
rodeada por un conductor metálico no cargado aislado cuya forma es un cascarón
esférico (figura 16-33). Puesto que no puede haber campo dentro del metal, las líneas
que dejan la carga positiva central deben terminar en cargas negativas en la superficie
interior del metal. Por ende, se induce una cantidad igual de carga negativa, Q, sobre
la superficie interior del cascarón esférico. Entonces, como el cascarón es neutro, en la
superficie exterior de éste debe existir una carga positiva de la misma magnitud, Q.
En consecuencia, aunque no existe campo en el metal mismo, fuera de él existe un
campo eléctrico (figura 16-33), como si el metal incluso no estuviese ahí.
Una propiedad relacionada de los campos eléctricos estáticos y los conductores
es que el campo eléctrico siempre es perpendicular a la superficie exterior de un conB
ductor. Si hubiera un componente de E paralelo a la superficie (figura 16-34), éste
ejercería una fuerza sobre los electrones libres en la superficie, lo que provocaría
que los electrones se movieran a lo largo de la superficie hasta alcanzar posiciones
donde sobre ellos no se ejerciera fuerza neta paralela a la superficie; esto es, hasta
que el campo eléctrico fuera perpendicular a la superficie.
Estas propiedades sólo se aplican a los conductores. En el interior de un no
conductor, que no tiene electrones libres, puede existir un campo eléctrico estático,
como se verá en el capítulo 17. Además, el campo eléctrico en el exterior de un no
conductor no necesariamente forma un ángulo de 90° con la superficie.
Carga eléctrica y campo eléctrico
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
a)
-
FIGURA 16–35
b)
Ejemplo 16-10.
EJEMPLO CONCEPTUAL 16–10 Protección y seguridad en una tormenta.
Entre dos placas paralelas cargadas se coloca una caja metálica hueca neutra, como se ilustra en la figura 16-35a. ¿Cuál es el campo dentro de la caja?
RESPUESTA Si la caja metálica hubiese sido sólida, y no hueca, los electrones libres en ella se habrían redistribuido ellos mismos a lo largo de la superficie hasta
que todos sus campos individuales se hubiesen cancelado uno al otro en el interior
de la caja. El campo neto en el interior de la caja habría sido cero. Para una caja
hueca, el campo externo no cambia, ya que los electrones en el metal se pueden
mover tan libremente como antes en la superficie. Así, el campo en el interior de la
caja metálica hueca también es cero, y las líneas de campo son parecidas a las de la figura 16-35b. Una caja conductora usada de esta forma es un dispositivo adecuado
para proteger instrumentos delicados y circuitos electrónicos de los campos eléctricos externos indeseados. También se puede ver que un lugar relativamente seguro
para estar durante una tormenta eléctrica es en el interior de un automóvil, por estar rodeado de metal. Observe también la figura 16-36, donde una persona en el
interior de una “caja” con aberturas está protegida de una intensa descarga eléctrica.
* 16–10 Ley de Gauss
Una relación importante en electricidad es la ley de Gauss, desarrollada por el gran
matemático Karl Friedrich Gauss (1777-1855). En ella se relacionan la carga y el
campo eléctricos, y es una versión más general y elegante de la ley de Coulomb.
La ley de Gauss incluye el concepto de flujo eléctrico, que se refiere al campo
B
eléctrico que pasa a través de un área dada. Para un campo eléctrico uniforme E
que pasa a través de un área A, como se indica en la figura 16-37a, el flujo eléctrico
£ E se define como
FIGURA 16–36 En la vecindad de
esta “caja de Faraday” existe un
intenso campo eléctrico, tan intenso
que los electrones que rondan en la
atmósfera son acelerados a la EC
necesaria para sacar electrones de los
átomos de aire, lo que provoca una
avalancha de carga que fluye hacia
(o desde) la caja metálica. Aunque la
persona en el interior de este
dispositivo no resulta afectada.
F Í S I C A
A P L I C A D A
Protección eléctrica
FIGURA 16–37 a) Un campo
B
eléctrico uniforme E que pasa a través
de una área plana A. B
b) E⊥ = E cos u
es el componente de E
perpendicular al plano de área A.
c) A ⊥ = A cos u es la proyección
(punteada)B del área A perpendicular
al campo E.
Área A
rea
al á
lar
dicu
en
Perp
θ
B
E
B
E
£ E = EA cos u,
donde u es el ángulo entre la dirección del campo eléctrico y una línea dibujada perpendicular al área. El flujo se puede escribir de manera equivalente como
£ E = E⊥ A = EA ⊥ ,
a)
(16–7)
E⊥
B
donde E⊥ = E cos u es el componente de E perpendicular al área (figura 16-37b)
y, de manera similar, A ⊥ = A cos u es la proyección del área A perpendicular al
B
campo E (figura 16-37c).
El flujo eléctrico tiene una simple interpretación intuitiva en términos de líneas
de campo. En la sección 16-8 se mencionó que las líneas de campo siempre se pueden
dibujar de modo que el número (N) que pasa a través de una unidad de área perpendicular al campo (A⊥) sea proporcional a la magnitud del campo (E): esto es,
E r NA ⊥ . Por tanto,
N r EA ⊥ = £ E ,
θ
B
E
b)
θ
B
(16–8)
E
de modo que el flujo a través de una área es proporcional al número de líneas que
pasan a través de esa área.
c)
A⊥
*SECCIÓN 16–10
Área A
Ley de Gauss
457
www.elsolucionario.org
θ1
∆ A1
∆ A2
B
E1
θ2
B
E2
B
E
B
E
La ley de Gauss implica el flujo total a través de una superficie cerrada: una
superficie de cualquier forma que encierra un volumen de espacio. Para cualquiera
de tales superficies, como la que se ilustra en la figura 16-38, la superficie se divide
en muchas pequeñas áreas, ¢A 1 , ¢A 2 , ¢A 3 , p , etcétera. La división se realiza
de modo que cada ¢A sea lo suficientemente pequeña como para considerarse
plana y de modo que el campo eléctrico se pueda considerar constante dentro de
cada ¢A. Entonces, el flujo total a través de toda la superficie es la suma sobre todos
los flujos individuales a través de cada una de las pequeñas áreas:
£ E = E1 ¢A 1 cos u1 + E2 ¢A 2 cos u2 + p
Superficie
cerrada
= a E ¢A cos u = a E⊥ ¢A,
FIGURA 16–38 Líneas de campo
eléctrico que pasan a través de una
superficie cerrada. La superficie se
divide en muchas pequeñas áreas,
¢A 1 , ¢A 2 , p , etcétera, de las que
sólo se muestran dos
donde el símbolo © significa “suma de”. En la sección 16-8 se vio que el número de
líneas de campo que parten de una carga positiva o terminan en una carga negativa
es proporcional a la magnitud de la carga. Por tanto, el número neto de líneas N que
apuntan hacia fuera de cualquier superficie cerrada (número de líneas que apuntan
afuera menos el número de las que apuntan adentro) debe ser proporcional a la carga neta encerrada por la superficie, Qenc. Pero, a partir de la ecuación 16-8, se tiene
que el número neto de líneas N es proporcional al flujo total £E. En consecuencia,
£E =
a E⊥ ¢A r Qenc .
superficie
cerrada
La constante de proporcionalidad es 10 , consistente con la ley de Coulomb, así
que se tiene
LEY DE GAUSS
a E⊥ ¢A =
superficie
cerrada
Qenc
,
0
(16–9)
donde la suma (©) es sobre toda la superficie cerrada y Qenc es la carga neta encerrada dentro de tal superficie. Ésta es la ley de Gauss.
La ley de Coulomb y la ley de Gauss se pueden usar para determinar el campo
eléctrico debido a una distribución de carga dada (estática). La ley de Gauss es útil
cuando la distribución de carga es simple y simétrica. Sin embargo, se debe elegir
con mucho
cuidado la superficie “gaussiana” cerrada, de modo que se pueda deterB
minar E. Normalmente se elige una superficie que tiene justo la simetría necesaria
de modo que E sea constante sobre toda su superficie o sobre partes de ella.
FIGURA 16–39 Dibujo transversal
de un delgado cascarón esférico de
radio r0, que porta una carga neta Q
distribuida de manera uniforme. A1 y A2
representan dos superficies gaussianas
B
que se usan para determinar E.
Ejemplo 16-11.
+
+
+
+
B
E
A1
+
+
+
+
+
r0
A2
+
+
r
r
+
+
A1
+
+
+
A2
+
+
458
+
+
+
+
+
CAPÍTULO 16
+
EJEMPLO 16–11 Cascarón esférico cargado. Un delgado cascarón esférico
de radio r0 posee una carga neta total Q que está distribuida de manera uniforme
sobre él (figura 16-39). Determine el campo eléctrico en puntos a) fuera del cascarón y b) dentro del cascarón.
PLANTEAMIENTO Como la carga está distribuida simétricamente, el campo eléctrico debe ser simétrico. Por tanto, el campo fuera del cascarón debe estar dirigido
radialmente hacia fuera (hacia dentro si Q 0) y sólo debe depender de r.
SOLUCIÓN a) El campo eléctrico tendrá la misma magnitud en todos los puntos
sobre una superficie gaussiana imaginaria, si se elige como una esfera de radio r
(r r0) concéntrica conBel cascarón, y que en la figura 16-39 aparece como el círculo punteado A1. Como E es perpendicular a esta superficie, la ley de Gauss produce
(con Qenc Q en la ecuación 16-9)
Q,
2
a E⊥ ¢A = E a ¢A = E A4pr B = 0
donde 4pr2 es el área superficial de la esfera (superficie gaussiana) de radio r. Por
tanto
E =
1 Q.
4p0 r2
C r 7 r0 D
En consecuencia, el campo fuera de un cascarón esférico cargado de manera uniforme es el mismo como si toda la carga estuviese aglutinada en el centro como
una carga puntual.
Carga eléctrica y campo eléctrico
b) En el interior del cascarón, el campo también debe ser simétrico. De modo que
E de nuevo debe tener el mismo valor en todos los puntos sobre una superficie
gaussiana esférica (A2 en la figura 16-39) concéntrica con el cascarón. Por ende, E
se puede factorizar fuera de la suma y, con Qenc 0 dado que la carga adentro de
la superficie es cero, se tiene
2
a E⊥ ¢A = E a ¢A = E A4pr B =
Por lo mismo
E = 0
dentro de un cascarón esférico uniforme de carga.
Qencl
= 0.
0
C r 6 r0 D
B
Los útiles resultados del ejemplo 16-11 también se aplican a un conductor esférico
sólido uniforme que está cargado, puesto que toda la carga estaría en una delgada
capa en la superficie (sección 16-9).
E
r
r
+ + + + + + + + + + + + + + + +
EJERCICIO H Un alambre recto y muy largo posee una carga uniforme por unidad de
longitud, QL. Demuestre que el campo eléctrico en puntos cerca (pero fuera) del
alambre, lejos de los extremos, está dado por
1 Q
E =
2p0 r L
utilizando la superficie gaussiana cilíndrica que se muestra (punteada) en la figura 16-40.
[Sugerencia: Tome en cuenta que no hay flujo eléctrico a través de los extremos planos
del cilindro].
EJEMPLO 16–12 E en la superficie de un conductor. Demuestre que el
campo eléctrico justo afuera de la superficie de cualquier buen conductor de forma arbitraria está dado por
E =
s,
0
l
B
FIGURA 16–40 Cálculo de E
debido a una línea de carga muy larga,
ejercicio H, donde el cilindro que se
representa (punteado) es la superficie
gaussiana.
FIGURA 16–41 Campo eléctrico
cerca de la superficie de un conductor.
Dos pequeñas cajas cilíndricas se
indican punteadas. Cualquiera puede
servir como la superficie gaussiana.
Ejemplo 16-12.
donde s es la densidad de carga superficial (QA) en el conductor en ese punto.
PLANTEAMIENTO La superficie gaussiana se elige como una pequeña caja cilíndrica, muy pequeña en altura de modo que uno de sus extremos circulares esté justo arriba del conductor (figura 16-41). El otro extremo está justo debajo de la
superficie del conductor, y los lados son perpendiculares a ella.
SOLUCIÓN El campo eléctrico es cero dentro de un conductor y es perpendicular
a la superficie justo afuera de ella (sección 16-9), de modo que el flujo eléctrico sólo
pasa a través del extremo exterior de la caja cilíndrica; no pasa flujo a través de los
lados cortos o del extremo interior. Se elige el área A (del extremo plano del cilindro sobre la superficie conductora) suficientemente pequeña como para que E sea
en esencia uniforme sobre ella. Entonces, la ley de Gauss da
ⴙ ⴙ
ⴙ
B
ⴙ
E
ⴙ
ⴙ
ⴙ
ⴙ
B
ⴙ
E
ⴙ
Qenc
sA ,
a E⊥ ¢A = EA = = 0
0
de modo que
s.
[en la superficie del conductor]
0
Este útil resultado se aplica para conductores de cualquier forma, incluyendo una
gran hoja plana cargada de manera uniforme: el campo eléctrico será constante e
igual a s0 .
E =
Este último ejemplo también proporciona el campo entre las dos placas paralelas consideradas en la figura 16-31d. Si las placas son largas en comparación con su
separación, entonces las líneas de campo son perpendiculares a las placas y, excepto
cerca de los bordes, son paralelas entre sí. En consecuencia, el campo eléctrico (véase
la figura 16-42, que muestra la misma superficie gaussiana que la 16-41) también es
E =
QA ,
s
=
0
0
c
entre dos placas paralelas cargadas de manera
d (16–10)
opuesta y cercanamente espaciadas
donde Q sA es la carga en una de las placas.
Campo eléctrico
en la superficie de
conductor cargado
+Q
-Q
+
-
+
-
+
-
+
-
+
+
Placas paralelas con
cargas opuestas
ⴙ
+
B
E
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
FIGURA 16–42 El campo eléctrico
entre dos placas paralelas es uniforme
e igual a E = s0 .
*SECCIÓN 16–10
Ley de Gauss
459
* 16–11 Fuerzas eléctricas en biología molecular:
estructura y replicación de ADN
F Í S I C A
A P L I C A D A
Dentro de una célula: teoría cinética
más fuerza electrostática
FIGURA 16–43 Replicación de ADN
en una célula cancerosa HeLa humana.
Ésta es una imagen de falso color
realizada mediante un microscopio de
transmisión de electrones (MET o, por
sus siglas en inglés, TEM).
F Í S I C A
A P L I C A D A
Estructura del ADN
El estudio de la estructura y funcionamiento de una célula viviente en el nivel molecular se conoce como biología molecular. Es una importante área de aplicación de la
física. Como el interior de una célula está constituido sobre todo por agua, puede
imaginarse como un vasto mar de moléculas en movimiento continuo (como en la
teoría cinética, capítulo 13), que colisionan unas con otras con diversas cantidades de
energía cinética. Estas moléculas interactúan unas con otras en varias formas: reacciones químicas (formación y rompimiento de enlaces entre átomos) e interacciones
o uniones más breves que ocurren por la atracción electrostática entre las moléculas.
Los muchos procesos que ocurren dentro de la célula ahora se consideran el resultado de movimiento molecular aleatorio (“térmico”) más el efecto ordenador de la
fuerza electrostática. Ahora se emplearán estas ideas para analizar algunos procesos
celulares básicos en los que participan macromoléculas (esto es, moléculas grandes).
La imagen que se presenta aquí no se ha visto “en acción”. Más bien, es un modelo
de lo que se cree que ocurre con base en las teorías físicas actualmente aceptadas y
los resultados experimentales.
La información genética que se transmite de generación en generación en todas
las células vivientes está contenida en los cromosomas, que están constituidos por
genes. Cada gen contiene la información necesaria para producir un tipo particular
de molécula proteica. La información genética contenida en un gen se construye en
la molécula principal de un cromosoma, el ADN o ácido desoxirribonucleico (figura
16-43). Las moléculas de ADN están constituidas por muchas pequeñas moléculas conocidas como bases nucleótidas. En el ADN existen cuatro tipos de bases nucleótidas: adenina (A), citosina (C), guanina (G) y timina (T).
Por lo general, el ADN de un cromosoma consta de dos largas cadenas de ADN
enrolladas una alrededor de la otra en forma de una “doble hélice”. La información
genética está contenida en el orden específico de las cuatro bases (A, C, G, T) a lo
largo de la cadena. Como se ilustra en la figura 16-44, las dos cadenas son atraídas
mediante fuerzas electrostáticas; es decir, mediante la atracción de cargas positivas
hacia cargas negativas. En la figura 16-44a se ve que una A (adenina) en una cadena
siempre es opuesta a T en la otra cadena; de manera similar, una G siempre es opuesta
a)
C
A
ca
la
la
na
T
de
ca
A
A
ia
C
G
T
T
A
0.280 n
m H Adenina (A)
H
Timina (T)
+
N
C C
N
+ –
H
C
H C
0.300 n
C
C
m
N H
N
C N
N C –
+
–
C N
O
H
1.11 nm
50°
51°
O
–
cia
C
A
H H
C
c
Ha
T
C
G
T
G
C
H
de
na
T
G
Ha
A
C
G
T
A
G
b)
H
0.290 nm
Guanina (G)
H
O
+
C C
– +
N
H
C
0.300 nm
C C
C
N
H N
–
C N
N C
+ –
+
0.290 nm
C N
O
H N
–
+ –
H
1.08 nm
54°
H
Citosina (C)
na
ad
e
la
c
cia
Ha
na
de
ca
Carga eléctrica y campo eléctrico
la
CAPÍTULO 16
52°
ia
460
H
c
Ha
FIGURA 16–44 a) Sección de una doble hélice de ADN.
b) Vista de “acercamiento” de la hélice, que muestra cómo
A y T se atraen entre sí, al igual que G y C, mediante
fuerzas electrostáticas. Los signos y que se indican
sobre ciertos átomos representan cargas netas,
generalmente una fracción de e, debido a que comparten
de manera desigual los electrones. Los puntos azules
indican la atracción electrostática (llamada con frecuencia
“enlace débil” o “enlace de hidrógeno”). Advierta que
existen dos enlaces débiles entre A y T, y tres entre C y G.
N
–
www.elsolucionario.org
a C. Este importante efecto de ordenamiento ocurre porque las formas de A, T, C y
G son tales que una T encaja adecuadamente sólo en una A, y una G en una C; y sólo en el caso de esta proximidad cercana de las porciones cargadas la fuerza electrostática es lo suficientemente grande como para mantenerlas juntas durante un
corto tiempo (figura 16-44b), con lo que forman lo que se conoce como “enlaces débiles”. La fuerza electrostática entre A y T, y entre C y G, existe porque tales moléculas tienen partes cargadas. Estas cargas se deben a algunos electrones en cada una
de dichas moléculas que pasan más tiempo en órbita alrededor de un átomo que de
otro. Por ejemplo, normalmente el electrón del átomo H de adenina (parte superior
de la figura 16-44b) pasa parte de su tiempo en órbita alrededor del átomo adyacente N, de modo que N tiene una carga negativa y H una carga positiva. Entonces, este
átomo H de adenina† es atraído hacia el átomo O- de la timina. Por lo general, estas cargas netas y tienen magnitudes de una fracción de e (carga en el electrón)
como 0.2e o 0.4e.
¿Cómo se llega a dar el ordenamiento que se ilustra en la figura 16-44? Ocurre
cuando el ADN se replica (duplica) a sí mismo justo antes de la división celular. De
hecho, el ordenamiento de A opuesta a T y G opuesta a C es crucial para garantizar
que la información genética pase con precisión a la siguiente generación. El proceso
de replicación se muestra en forma simplificada en la figura 16-45. Las dos cadenas de
ADN se separan (con la ayuda de enzimas, que también operan a través de la fuerza
electrostática), y dejan expuestas las partes cargadas de las bases. Una vez que comienza la replicación, se observa cómo ocurre el orden correcto de las bases enfocando la atención sobre la molécula G señalada mediante la flecha en la cadena
inferior de la figura 16-45. Existen muchas bases nucleótidas sin ligar de los cuatro
tipos que deambulan por ahí en el fluido celular. La única de las cuatro bases que
experimentarán atracción hacia G, si deambula cerca de ella, será una C. Las cargas
en las otras tres bases están ordenadas de modo que puedan llegar cerca de las de G
y, por tanto, no habrá fuerza atractiva significativa ejercida sobre ellas; recuerde que
la fuerza disminuye rápidamente con la distancia (m 1r 2). Puesto que G no atrae
apreciablemente a A, T o G, éstas serán alejadas mediante colisiones con otras moléculas antes de que las enzimas las puedan atraer hacia la cadena creciente (número 3). Pero la fuerza electrostática con frecuencia mantendrá una C opuesta a G el
tiempo suficiente como para que una enzima pueda ligar la C al extremo creciente
de la nueva cadena.
Por tanto, se ve que las fuerzas electrostáticas son responsables de la selección
de las bases en el orden apropiado durante la replicación, de modo que la información genética pasa con precisión a la siguiente generación. Note en la figura 16-45
que la nueva cadena número 4 tiene el mismo orden de bases que la antigua cadena
número 1; y que la nueva cadena número 3 es la misma que la antigua número 2. De
modo que las dos nuevas dobles hélices, 1-3 y 2-4, son idénticas a la hélice original 1-2.
F Í S I C A
A P L I C A D A
Replicación de ADN
†
Cuando está implicado H, el enlace débil que puede formar con una carga negativa cercana, como
O, es relativamente fuerte entre los enlaces débiles (en parte porque H es muy pequeño) y se le
conoce como “enlace de hidrógeno”.
Antigua
T A
T
A
A
T
T
1
T
A
G
G
C
C
G
C C
C
G
T
A
A
C
G
G
T
Antigua
Nueva
T
C
G
G
G
A
A
Antigua
C
A
G G
C T
C
*SECCIÓN 16–11
Nueva
4
A T C
T
3
G A
T T
A
A
T
2
T
A A
T
ADN.
2
T
T
A
G
A
C
A
FIGURA 16–45 Replicación del
Antigua
A
Antigua
C
A
T
T
Nueva
T T G A A
G
A
T
Nueva
Antigua
1
Fuerzas eléctricas en biología molecular: estructura y replicación de
ADN
461
En ocasiones, este proceso de replicación del ADN se presenta como si ocurriera
de manera mecánica, como si cada molécula supiera su papel y fuese a su lugar asignado, como abejas en un panal. Pero éste no es el caso. Las fuerzas de atracción entre
las cargas eléctricas de las moléculas son más bien débiles y se vuelven significativas
sólo cuando las moléculas se pueden acercar y formar varios “enlaces débiles”. De
hecho, si las formas no son las correctas, casi no habrá atracción electrostática, que es
por lo que existen pocos errores. En consecuencia, fuera del movimiento aleatorio
de las moléculas, la fuerza electrostática actúa para traer orden en medio del caos.
* 16–12 Las máquinas de fotocopiado y las impresoras
de computadora usan electrostática
F Í S I C A
A P L I C A D A
Máquinas de fotocopiado
Las máquinas fotocopiadoras y las impresoras láser utilizan atracción electrostática
para imprimir una imagen del original. Cada una de ellas utiliza una técnica diferente para proyectar la imagen en un tambor cilíndrico especial. En una fotocopiadora,
las lentes y espejos enfocan una imagen de la hoja de papel original en el tambor, de
manera muy similar a como los lentes† de una cámara enfocan una imagen en la película. El tambor generalmente está hecho de aluminio, un buen conductor, y su superficie está recubierta con una delgada capa de selenio. El selenio es un material
que tiene la interesante propiedad (llamada “fotoconductividad”) de ser un no conductor eléctrico en la oscuridad, pero que se vuelve conductor cuando se expone a
la luz.
El paso 1 en el fotocopiado es la colocación de una carga positiva uniforme en
la capa de selenio del tambor mediante una barra o rodillo cargado. Esto se hace
en la oscuridad. En el paso 2, la imagen a copiar o imprimir se proyecta en el tambor. Por simplicidad, supongamos que la imagen es una letra A oscura en un fondo
blanco (como en la página de un libro), como se ilustra en la figura 16-46. La letra A
en el tambor es oscura, pero todo el rededor es claro. En todos estos lugares de luz,
el selenio se vuelve conductor y los electrones fluyen hacia él desde del aluminio
que hay abajo, con lo que se neutralizan dichas áreas positivas. En las áreas oscuras
de la letra A, el selenio es no conductor y por lo mismo retiene una carga positiva
(figura 16-46).
En el paso 3, se da carga negativa a un fino polvo oscuro conocido como tóner,
que se impregna en el tambor conforme éste gira. Las partículas de tóner cargadas
negativamente son atraídas hacia las áreas positivas del tambor (la A en este caso) y
se pegan sólo ahí. En el paso 4, mientras el tambor continúa girando, ejerce presión
contra una hoja de papel a la que se ha dado una carga positiva más intensa que el
selenio, de modo que las partículas de tóner se transfieren hacia el papel, con lo que
forman la imagen final. Por último, en el paso 5, el papel se calienta para fijar firmemente sobre él las partículas de tóner.
En una fotocopiadora (o impresora) a color, este proceso se repite para cada
color: negro, cian (azul), magenta (rojo) y amarillo. La combinación de estos cuatro
colores en diferentes proporciones produce cualquier color deseado.
†
Las cámaras se analizan en la sección 25-1, y las imágenes formadas a partir de lentes y espejos en
el capítulo 23.
FIGURA 16–46 Interior de una
fotocopiadora: 1. al tambor de selenio se le
da una carga ; 2. los lentes enfocan la
imagen sobre el tambor: sólo los puntos
oscuros permanecen cargados; 3. las
partículas de tóner (cargadas
negativamente) son atraídas hacia las
áreas positivas del tambor; 4. la imagen se
transfiere al papel; 5. el calor fija la
imagen al papel.
(2) Lente que enfoca la imagen
del original
(3) Tolva de tóner
(4) Papel
Barra de carga
462
CAPÍTULO 16
Carga eléctrica y campo eléctrico
(1) Barra o rodillo de carga
(5) Rodillos de calentamiento
Escaneo del rayo láser
Láser
Tolva de tóner
Espejo
móvil
Papel
Rodillos de calentamiento
FIGURA 16–47 Interior de una impresora láser: un espejo móvil barre el
rayo láser en líneas horizontales a través del tambor.
Por otra parte, una impresora láser no usa un original físico sino que, en lugar
de ello, acepta la salida de una computadora que programa la intensidad de un rayo
láser. El proceso es muy parecido al de una fotocopiadora, que requiere de un tambor recubierto de selenio y polvo tóner, pero la formación de la imagen en el tambor
es diferente. El delgado haz de luz proveniente de un láser se enfoca mediante lentes en un punto fino. Mediante un espejo móvil, el rayo láser escanea de lado a lado
a través del tambor en una serie de líneas horizontales, cada una justo debajo de la
línea anterior. Conforme el rayo barre a través del tambor, la intensidad del rayo
varía (por la salida de la computadora), y es intenso para un punto que representa
un blanco o brillante, y débil o cero para puntos que representan una salida oscura.
Después de una barrida, el tambor gira muy ligeramente, y se realiza otro barrido
horizontal, y luego otro y otro (figura 16-47). Conforme el tambor da vueltas, sobre
él se forma una imagen completa. Las partes claras del selenio se vuelven conductoras y pierden su carga eléctrica, y el tóner se pega sólo a las áreas oscuras cargadas
eléctricamente. Entonces el tambor transfiere la imagen al papel, como en una fotocopiadora.
Una impresora de inyección de tinta no requiere de tambor. En vez de ello,
unas boquillas rocían pequeñas gotas de tinta directamente en el papel. Las boquillas barren el papel, y cada barrido está justo arriba del anterior conforme el papel
se mueve hacia abajo. En cada barrida, la tinta forma puntos sobre el papel, excepto
por aquellos lugares donde no se desea tinta, según vaya indicando la computadora.
La imagen consta de un gran número de puntos muy pequeños. La calidad o resolución de una impresora por lo general se especifica en puntos por pulgada (dpi) en
cada dirección lineal.
F Í S I C A
A P L I C A D A
Impresora láser
F Í S I C A
A P L I C A D A
Impresora de inyección de tinta
Resumen
Existen dos tipos de carga eléctrica, positiva y negativa. Estas designaciones se deben tomar algebraicamente; esto es, cualquier
carga es más o menos tantos coulombs (C), en unidades SI.
La carga eléctrica se conserva: si cierta cantidad de un tipo
de carga se produce en un proceso, también se produce una cantidad igual del tipo opuesto; por tanto, la carga neta producida es
cero.
De acuerdo con la teoría atómica, la electricidad se origina
en el átomo, que consta de un núcleo cargado positivamente rodeado por electrones con carga negativa. Cada electrón tiene una
carga –e = – 1.6 * 10 –19 C.
Los conductores eléctricos son aquellos materiales en los
que muchos electrones son relativamente libres para moverse,
mientras que los aisladores eléctricos son aquellos en los que muy
pocos electrones tienen libertad de movimiento.
Un objeto está negativamente cargado cuando tiene un exceso de electrones, y positivamente cargado cuando tiene menos
que su número equilibrado de electrones. La carga neta de cualquier
objeto es cero o un número entero de veces e o e. Esto es, la
carga está cuantizada.
Un objeto puede llegar a cargarse mediante frotamiento (en
cuyo caso se transfieren electrones de un material al otro), mediante conducción (que es la transferencia de carga de un objeto
cargado a otro mediante contacto) o mediante inducción (la separación de la carga dentro de un objeto debida al acercamiento de
otro objeto cargado pero sin contacto).
Resumen
463
www.elsolucionario.org
Las cargas eléctricas ejercen una fuerza una sobre otra. Si
dos cargas son de tipos opuestos, una positiva y una negativa,
ejercen una fuerza atractiva mutua. Si las dos cargas son del mismo tipo, se repelen entre sí.
La magnitud de la fuerza que una carga puntual ejerce sobre
otra es proporcional al producto de sus cargas e inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas:
F = k
Q1 Q2
r2
;
(16–1)
Ésta es la ley de Coulomb. En unidades SI, con frecuencia k se escribe como 14p0 .
Se considera que un campo eléctrico existe en el espacio alrededor de cualquier carga o grupo de cargas. Entonces se dice
que la fuerza sobre otro objeto cargado se debe al campo eléctrico presente en su ubicación.
B
El campo eléctrico, E, en cualquier punto en el espacio debido
a una o más cargas, se define como la fuerza por unidad de carga
que actuaría sobre una carga de prueba positiva q colocada en
ese punto:
B
F
E = .
q
B
(16–3)
La magnitud del campo eléctrico a una distancia r de una carga
puntual Q es
E = k
Q
r2
.
(16–4a)
El campo eléctrico total en un punto en el espacio es igual a
la suma vectorial de los campos individuales debida a cada una
de las cargas contribuyentes (principio de superposición).
Los campos eléctricos están representados mediante líneas
de campo eléctrico que parten de cargas positivas y terminan en
cargas negativas. Sus direcciones indican la dirección en la que estaría la fuerza sobre una pequeña carga de prueba positiva colocada en ese punto. Las líneas se pueden dibujar de modo que el
número por unidad de área sea proporcional a la magnitud de E.
El campo eléctrico estático en el interior de un buen conductor es cero, y las líneas de campo eléctrico justo afuera de un
conductor cargado son perpendiculares a su superficie.
[*El flujo eléctrico que pasa a Btravés de una pequeña área A
para un campo eléctrico uniforme E es
£ E = E⊥ A,
(16–7)
B
donde E⊥ es el componente de E perpendicular a la superficie. El
flujo a través de una superficie es proporcional al número de líneas de campo que pasan a través de él].
[*La ley de Gauss establece que el flujo total sumado sobre
cualquier superficie cerrada (que se considera conformada por
muchas pequeñas áreas ¢A) es igual la carga neta Qenc encerrada
por la superficie, dividida por 0 :
a E⊥ ¢A =
superficie
cerrada
Qenc
.
0
(16–9)
La ley de Gauss sirve para determinar el campo eléctrico debido
a distribuciones de carga dadas, pero su utilidad está limitada
principalmente a casos donde la distribución de carga exhibe mucha simetría. La importancia real de la ley de Gauss es que es un
enunciado general y elegante de la relación entre carga y campo
eléctricos].
[*En la replicación del ADN, la fuerza electrostática juega un
papel crucial en la selección de las moléculas apropiadas de modo
que la información genética se transmita con precisión de generación en generación].
Preguntas
1. Si se carga un peine de bolsillo mediante frotamiento con
una bufanda de seda, ¿cómo puede determinarse si el peine
está cargado positiva o negativamente?
2. ¿Por qué una camisa o una blusa que se sacan de la secadora
de ropa a veces se adhieren al cuerpo?
3. Explique por qué las gotas de niebla o de lluvia tienden a
formarse alrededor de iones o electrones en el aire.
4. Una barra cargada positivamente se acerca a un pedazo neutro
de papel, al que atrae. Dibuje un diagrama que muestre la separación de carga y explique por qué ocurre la atracción.
5. ¿Por qué una regla de plástico que se ha frotado con un trozo de tela puede levantar pequeños pedazos de papel? ¿Por
qué es difícil hacer esto en un día húmedo?
6. Contraste la carga neta en un conductor con las “cargas libres” en el conductor.
7. Las figuras 16-7 y 16-8 muestran cómo una barra cargada que
se coloca cerca de un objeto metálico sin carga puede atraer
(o repeler) electrones. Existe una gran cantidad de electrones
en el metal, aunque sólo algunos de ellos se mueven como se
indica. ¿Por qué no todos ellos?
8. Cuando un electroscopio está cargado, sus dos hojas se repelen entre sí y permanecen en un ángulo. ¿Qué equilibra la
fuerza eléctrica de repulsión de modo que las hojas no se separen más?
464
CAPÍTULO 16
Carga eléctrica y campo eléctrico
9. La forma de la ley de Coulomb es muy similar a la de la ley
de gravitación universal de Newton. ¿Cuáles son las diferencias entre estas dos leyes? Compare también la masa gravitacional y la carga eléctrica.
10. Por lo general uno no está consciente de la fuerza gravitacional o eléctrica entre dos objetos ordinarios. ¿Cuál es la razón
en cada caso? Proporcione un ejemplo donde uno esté consciente de cada una de ellas y por qué.
11. ¿La fuerza eléctrica es una fuerza conservativa? ¿Por qué sí o
por qué no? (Véase el capítulo 6).
12. Cuando una regla cargada atrae pequeños pedazos de papel,
en ocasiones uno de ellos salta rápidamente y se aleja después de hacer contacto con la regla. Explique este fenómeno.
13. Explique por qué las cargas de prueba que se usan para medir campos eléctricos deben ser pequeñas.
14. Cuando se determina un campo eléctrico, ¿uno debe usar
una carga de prueba positiva o una carga negativa también
estaría bien? Explique su respuesta.
15. Dibuje las líneas de campo eléctrico que rodean dos cargas
eléctricas negativas separadas una distancia l.
16. Suponga que las dos cargas opuestas en la figura 16-31a están
separadas 12.0 cm. Considere la magnitud del campo eléctrico a 2.5 cm de la carga positiva. ¿En cuál lado de esta carga
—arriba, abajo, izquierda o derecha— el campo eléctrico es
más intenso? ¿Y más débil? Explique sus respuestas.
17. Considere el campo eléctrico en los puntos A, B y C en la figura 16-48. Primero dibuje una flecha en cada punto que indique la dirección de la fuerza neta que una carga de prueba
positiva experimentaría si se coloca en dicho punto, luego
mencione los puntos en orden de intensidad de campo decreciente (el más intenso primero).
B
A
ⴙ
C
20. Dadas dos cargas puntuales Q y 2Q, separadas una distancia
l, ¿existe un punto a lo largo de la línea recta que pasa a través de ellas donde E 0 cuando sus signos sean a) opuestos
y b) iguales? Si es así, establezca aproximadamente dónde estará este punto.
21. Considere una pequeña carga de prueba positiva ubicada sobre una línea de campo eléctrico en algún punto, tal como el
punto P en la figura 16-31a. ¿La dirección de la velocidad yo
la aceleración de esta carga puntual está a lo largo de esta línea? Discuta este asunto.
22. Bosqueje las líneas de campo eléctrico para una línea uniforme de carga que sea infinitamente larga. (Sugerencia: Utilice
la simetría). ¿El campo eléctrico es uniforme en intensidad?
ⴙ
FIGURA 16–48
Pregunta 17.
18. ¿Por qué nunca se pueden cruzar las líneas de campo eléctrico?
19. Demuestre, con el uso de las tres reglas para líneas de campo
de la sección 16-8, que las líneas de campo eléctrico que parten o terminan en una sola carga puntual deben estar simétricamente espaciadas alrededor de la carga.
* 23. Si el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada es cero,
¿el campo eléctrico necesariamente es cero en todos los puntos sobre la superficie? ExpliqueB su respuesta. ¿Qué hay
acerca de la situación inversa: Si E = 0 en todos los puntos
sobre la superficie, el flujo a través de la superficie es cero?
* 24. Una carga puntual está rodeada por una superficie gaussiana
esférica de radio r. Si la esfera se sustituye con un cubo de lado r, ¿£E será mayor, menor o igual? Explique su respuesta.
Problemas
C
0.35 m
85
0.35 m
C
FIGURA 16–49
Problema 12.
13. (II) Tres partículas positivas de igual carga, 11.0 mC, están
ubicadas en las esquinas de un triángulo equilátero de 15.0 cm
de lado (figura 16-50). Calcule la magnitud y dirección de la
fuerza neta sobre cada partícula.
cm
11.0 mC
cm
10. (II) Compare la fuerza eléctrica que mantiene al electrón en
órbita (r 0.53 1010 m) alrededor del protón del núcleo del
átomo de hidrógeno, con la fuerza gravitacional entre los mismos electrón y protón. ¿Cuál es la razón de estas dos fuerzas?
11. (II) Dos cargas puntuales positivas están separadas una distancia fija. La suma de sus cargas es QT. ¿Qué carga debe tener cada una con la finalidad de a) maximizar la fuerza
eléctrica entre ellas y b) minimizarla?
48
C
.0
9. (II) ¿Cuál es la carga total de todos los electrones en 1.0 kg
de H20?
75
15
1. (I) Calcule la magnitud de la fuerza entre dos cargas puntuales de 3.60 mC separadas 9.3 cm.
2. (I) ¿Cuántos electrones conforman una carga de 30.0 mC?
3. (I) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza eléctrica de atracción
entre un núcleo de hierro (q 26e) y su electrón más interno, si la distancia entre ellos es de 1.5 1012 m?
4. (I) ¿Cuál es la fuerza eléctrica repulsiva entre dos protones
separados 5.0 1015 m en un núcleo atómico?
5. (I) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza que una carga de 25
mC ejerce sobre una carga de 3.0 mC a 35 cm de distancia?
6. (II) Dos partículas de polvo cargadas ejercen una fuerza de
3.2 102 N una sobre otra. ¿Cuál será la fuerza si se mueven
de modo que ahora sólo estén separadas un octavo de la distancia original?
7. (II) Dos esferas cargadas están separadas 8.45 cm. Se mueven y la fuerza en cada una se ha triplicado. ¿A qué distancia
están separadas ahora?
8. (II) Una persona que arrastra los pies sobre una alfombra de
lana en un día seco acumula una carga neta de 42 mC.
¿Cuánto exceso de electrones obtiene, y por cuánto aumenta
su masa?
12. (II) Partículas de carga 75, 48 y 85 mC se colocan en
una línea (figura 16-49). La central está a 0.35 m de cada una
de las otras. Calcule la fuerza neta sobre cada carga debida a
las otras dos.
.0
[1 mC = 10 –3 C, 1 mC = 10 –6 C, 1 nC = 10 –9 C.]
15
16–5 y 16–6 Ley de Coulomb
FIGURA 16–50
11.0 mC
15.0 cm 11.0 mC
Problema 13.
14. (II) Una carga de 6.00 mC se coloca en cada esquina de un
cuadrado de 0.100 m de lado. Determine la magnitud y dirección de la fuerza sobre cada carga.
15. (II) Repita el problema 14 para el caso en el que dos de las
cargas positivas, en esquinas opuestas, se sustituyen con cargas negativas de la misma magnitud (figura 16-51).
-6.00 mC 0.100 m 6.00 mC
0.100 m
0.100 m
FIGURA 16–51
6.00 mC 0.100 m -6.00 mC
Problema 15.
Problemas
465
16. (II) En cada esquina de un cuadrado de lado l hay cargas
puntuales de magnitudes Q, 2Q, 3Q y 4Q (figura 16-52). Determine la fuerza sobre a) la carga 2Q y b) la carga 3Q, debida a las otras tres cargas.
Q
2Q
l
l
l
FIGURA 16–52
4Q
l
Problema 16.
3Q
17. (II) Tres partículas cargadas se colocan en las esquinas de un
triángulo equilátero de 1.20 m de lado (figura 16-53). Las cargas son 4.0, 8.0 y 6.0 mC. Calcule la magnitud y dirección de la fuerza neta sobre cada una debida a las otras dos.
1.2
0m
1.2
0m
Q1 = +4.0 mC
Q2 = -8.0 mC
1.20 m
Q3 = -6.0 mC
FIGURA 16–53
Problema 17.
18. (III) Dos cargas puntuales tienen una carga total de 560 mC.
Cuando se colocan separadas 1.10 m, la fuerza que cada una
ejerce sobre la otra es de 22.8 N y es repulsiva. ¿Cuál es la
carga sobre cada una?
19. (III) Dos cargas, Q0 y 3Q0, están separadas una distancia
l. Estas dos cargas tienen libertad de moverse pero no lo hacen porque existe una tercer carga que está cercana. ¿Cuál
debe ser la carga y ubicación de la tercer carga para que las
dos primeras estén en equilibrio?
20. (III) Una carga de 4.75 mC y una de 3.55 mC están colocadas con 18.5 cm de separación. ¿Dónde se puede colocar
una tercera carga de modo que no experimente fuerza neta?
21. (III) Dos pequeñas esferas no conductoras tienen una carga
total de 90.0 mC. a) Cuando se colocan con una separación de
1.06 m, la fuerza que cada una ejerce sobre la otra es de 12.0 N
y es repulsiva. ¿Cuál es la carga en cada una? b) ¿Cuál sería
si la fuerza fuese atractiva?
22. (III) Una carga Q se transfiere de una bola de plástico inicialmente sin carga a una bola idéntica colocada a 12 cm de
distancia. Entonces, la fuerza de atracción es de 17 mN.
¿Cuántos electrones se transfirieron de una bola a la otra?
16–7 y 16–8 Campo eléctrico, líneas de campo
23. (I) ¿Cuáles son la magnitud y dirección de la fuerza eléctrica
sobre un electrón en un campo eléctrico uniforme de 2360 NC
de intensidad que apunta hacia el este?
24. (I) Un protón es liberado en un campo eléctrico uniforme y
experimenta una fuerza eléctrica de 3.75 1014 N hacia el
sur. ¿Cuáles son la magnitud y dirección del campo eléctrico?
25. (I) Una fuerza descendente de 8.4 N se ejerce sobre una carga
de 8.8 mC. ¿Cuáles son la magnitud y dirección del campo
eléctrico en este punto?
26. (I) ¿Cuáles son la magnitud y dirección del campo eléctrico
20.0 cm arriba de una carga aislada de 33.0 106 C?
466
CAPÍTULO 16
Carga eléctrica y campo eléctrico
27. (II) ¿Cuál es la magnitud de la aceleración que experimenta
un electrón en un campo eléctrico de 750 NC? ¿Cómo es
que la dirección de la aceleración depende de la dirección del
campo en ese punto?
28. (II) ¿Cuáles son la magnitud y dirección del campo eléctrico
en un punto a la mitad entre una carga de 8.0 mC y una de
7.0 mC separadas 8.0 cm? Se supone que no hay otras cargas cercanas.
29. (II) Dibuje aproximadamente las líneas de campo eléctrico
en torno a dos cargas puntuales, Q y 3Q, que están separadas una distancia l.
30. (II) ¿Cuál es la intensidad del campo eléctrico en un punto
en el espacio donde un protón (m 1.67 1027 kg) experimenta una aceleración de un millón de g?
31. (II) Un electrón es liberado desde el reposo en un campo
eléctrico uniforme y acelera hacia el norte a un tasa de 115 ms2.
¿Cuáles son la magnitud y dirección del campo eléctrico?
32. (II) El campo eléctrico a la mitad entre dos cargas puntuales
iguales pero opuestas es de 745 NC, y la distancia entre las
cargas es de 16.0 cm. ¿Cuál es la magnitud de la carga en cada una?
33. (II) Calcule el campo eléctrico en el centro de un cuadrado
de 52.5 cm de lado si una esquina está ocupada por una carga de 45.0 mC y las otras tres están ocupadas por cargas de
27.0 mC.
34. (II) Calcule el campo eléctrico en una esquina de un cuadrado de 1.00 m de lado si las otras tres esquinas están ocupadas
por cargas de 2.25 106 C.
35. (II) Determine la dirección y magnitud del campo eléctrico
en el punto P de la figura 16-54. Las cargas están separadas
una distancia 2a y el punto P está a una distancia x del punto
medio entre las dos cargas. Exprese su respuesta en términos
de Q, x, a y k.
a Q
Q a
P
x
FIGURA 16–54 Problema 35.
36. (II) Dos cargas puntuales, Q1 25 mC y Q2 50 mC, están separadas una distancia de 12 cm. El campo eléctrico en el
punto P (figura 16-55) es cero. ¿A qué distancia de Q1 está P?
Q1
x
25 mC
P
Q2
12 cm
50 mC
FIGURA 16–55 Problema 36.
B
37. (II) a) Determine el campo eléctrico E en el origen 0 de la figura 16-56 debido a las dos cargas en A y B. b) Repita la operación, pero haciendo que la carga en B invierta su signo.
y
A
Q
l
Q
B
l
l
0
FIGURA 16–56
x
Problema 37.
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38. (II) Utilice la ley de Coulomb para determinar la magnitud y
dirección del campo eléctrico en los puntos A y B en la figura 16-57 debido a las dos cargas positivas (Q 7.0 mC) que
se muestran. ¿Los resultados son consistentes con la figura
16-31b?
B
A
5.0 cm
+Q
+Q
* 16–10 Ley de Gauss
* 43. (I) El flujo eléctrico total de una caja cúbica de 28.0 cm de
lado es de 1.45 103 Nm2C. ¿Qué carga encierra la caja?
* 44. (II) Un círculo plano de 18 cm de radio se coloca en un campo eléctrico uniforme de 5.8 102 NC de magnitud. ¿Cuál
es el flujo eléctrico a través del círculo cuando su cara está
a) perpendicular a las líneas de campo, b) a 45° con respecto
a las líneas del campo y c) paralela a las líneas de campo?
* 45. (II) En la figura 16-61, dos objetos, O1 y O2, tienen cargas
5.0 cm 5.0 cm
10.0 cm
FIGURA 16–57 Problema 38.
39. (II) (II) Se tienen dos cargas puntuales desconocidas, Q1 y
Q2. En un punto en la línea que las une, a un tercio del camino
desde Q1 hacia Q2, el campo eléctrico es cero (figura 16-58).
¿Cuál es la razón Q1Q2?
l
E=0
Q1 3
Q2
O2 -2.0 mC
FIGURA 16–58 Problema 39.
P
x
O3
A2
FIGURA 16–61 Problema 45.
40. (III) Determine la dirección y magnitud del campo eléctrico
en el punto P que se muestra en la figura 16-59. Las dos cargas están separadas una distancia de 2a. El punto P está en el
bisector perpendicular de la línea que une las cargas, a una
distancia x del punto medio entre ellas. Exprese sus respuestas en términos de Q, x, a y k.
a
a
A1
O1 +1.0 mC
l
+Q
1.0 mC y 2.0 mC, respectivamente, y un tercer objeto, O3,
es eléctricamente neutro. a) ¿Cuál es el flujo eléctrico a través
de la superficie A1 que encierra a los tres objetos? b) ¿Cuál
es el flujo eléctrico a través de la superficie A2 que encierra
sólo al tercer objeto?
* 46. (II) Un cubo de lado l se coloca en un campo uniforme E 6.50 103 NC con bordes paralelos a las líneas de campo.
a) ¿Cuál es el flujo neto a través del cubo? b) ¿Cuál es el flujo a través de cada una de sus seis caras?
* 47. (II) El campo eléctrico entre dos placas metálicas cuadradas
es de 130 NC. Las placas tienen 1.0 m de lado y están separadas 3.0 cm. ¿Cuál es la carga sobre cada placa (que se suponen iguales y opuestas)? Ignore los efectos de borde.
* 48. (II) El campo justo afuera de una bola metálica de 3.50 cm
–Q
de radio es de 2.75 102 NC y apunta hacia la bola. ¿Qué
carga reside en la bola?
FIGURA 16–59 Problema 40.
* 49. (II) Una esfera metálica sólida de 3.00 m de radio porta una
31
41. (III) Un electrón (masa
m 9.11 10 kg) es acelerado en
B
el campo uniforme E (E 1.45 104 NC) entre dos placas
paralelas cargadas. La separación
+
B
de las placas es de 1.10 cm. El
E +
electrón es acelerado desde el re+
poso cerca de la placa negativa y
+
+
pasa a través de un pequeño hoyo
+
en la placa opuesta (figura 16-60).
+
a) ¿Con qué rapidez deja el hoyo?
vB
b) Demuestre que se puede ignoe
+
rar la fuerza gravitacional.
FIGURA 16–60
Problema 41.
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
42. (III) Un electrón que se mueve hacia la derecha al 1.0% de
la rapidez de la luz entra a un campo eléctrico uniforme paralelo a su dirección de movimiento. Si el electrón será llevado al reposo en el espacio de 4.0 cm, a) ¿qué dirección se
requiere para el campo eléctrico y b) cuál es la intensidad del
campo?
carga total de 3.50 mC. ¿Cuál es la magnitud del campo
eléctrico a una distancia desde el centro de la esfera de a) 0.15 m,
b) 2.90 m, c) 3.10 m y d) 6.00 m? e) ¿Cómo diferirán las respuestas si la esfera fuese un cascarón delgado?
* 50. (III) Una carga puntual Q descansa en el centro de un delgado
cascarón esférico conductor sin carga. (Véase la figura 16-33).
¿Cuál es el campo eléctrico E como función de r, a) para r
menor que el radio interior del cascarón, b) adentro del cascarón y c) más allá del cascarón? d) ¿El cascarón afecta el
campo debido a Q sola? ¿La carga Q afecta al cascarón?
* 16–11 ADN
* 51. (III) Las dos cadenas de la molécula de
ADN con forma de
hélice se mantienen juntas por medio de fuerzas electrostáticas, como se ilustra en la figura 16-44. Suponga que la carga
promedio neta (resultado de compartir electrones) indicada
en átomos de H y N es 0.2e y en los átomos indicados C y O
es 0.4e. Suponga también que los átomos en cada molécula
están separados por 1.0 1010 m. Estime la fuerza neta entre a) una timina y una adenina; y b) una citosina y una guanina. Para cada enlace (puntos azules) considere sólo los tres
átomos en una línea (dos átomos en una molécula, un átomo
en el otro). c) Estime la fuerza total para una molécula de
5
ADN que contiene 10 pares de tales moléculas.
Problemas
467
Problemas generales
52. ¿A qué distancia están dos electrones si la fuerza eléctrica
entre ellos es igual al peso de cualquiera de ellos en la superficie de la Tierra?
53. Una moneda de cobre de 3.0 g tiene una carga positiva de
38 mC. ¿Qué fracción de sus electrones ha perdido?
54. Un protón (m 1.67 1027 kg)B está suspendido en reposo
en un campo eléctrico uniforme E. Tome en consideración
la
B
gravedad en la superficie de la Tierra y determine E.
55. Las mediciones indican que existe un campo eléctrico alrededor de la Tierra. Su magnitud es aproximadamente de 150 NC
en la superficie terrestre y apunta hacia dentro, es decir, hacia el centro de la Tierra. ¿Cuál es la magnitud de la carga
eléctrica sobre la Tierra? ¿Es positiva o negativa? [Sugerencia: El campo eléctrico afuera de una esfera cargada de manera uniforme es la misma que si toda la carga estuviese
aglutinada en su centro].
56. a) Dado el campo eléctrico local de 150 NC, ¿cuál es la aceleración que experimenta un electrón cerca de la superficie
de la Tierra? b) ¿Y un protón? c) Calcule la razón entre cada
aceleración y g 9.8 ms2.
57. Una gota de agua de 0.018 mm de radio permanece estacionaria en el aire. Si el campo eléctrico de la Tierra dirigido hacia abajo es de 150 NC, ¿cuánto exceso de cargas de
electrón debe tener la gota de agua?
58. Estime la fuerza neta entre el grupo CO y el grupo HN que
se muestran en la figura 16-62. C y O tienen cargas ±0.40e, y
H y N tienen cargas ±0.20e, donde e 1.6 1019 C. [Sugerencia: No incluya las fuerzas “internas” entre C y O, ni entre
H y N].
C
+
-
O
H
+
N
-
63. Una pequeña esfera de plomo está encerrada en plástico aislador y suspendida verticalmente de un resorte ideal (k 126 Nm) sobre una mesa de laboratorio (figura 16-63). La
masa total de la esfera recubierta es de 0.800 kg y su centro
se encuentra a 15.0 cm sobre la mesa cuando está en equilibrio. La esfera se jala hacia abajo 5.00 cm por debajo del
equilibrio; sobre ella se deposita una carga eléctrica Q 3.00 106 C y luego se le libera. Con el uso de lo que sabe acerca de la oscilación armónica, escriba una expresión
para la intensidad del campo eléctrico como función del
tiempo que se mediría en el punto sobre la mesa (P) directamente por debajo de la esfera.
10.0 cm
15.0 cm
P
FIGURA 16–63
Problema 63.
64. Un gran electroscopio está hecho con “hojas” que son alambres de 78 cm de largo con pequeñas esferas de 24 g en los
extremos. Cuando se carga, casi toda la carga reside en las esferas. Si los alambres forman cada uno un ángulo de 30° con
respecto a la vertical (figura 16-64), ¿qué carga total Q se
aplicó al electroscopio? Ignore la masa de los alambres.
0.10 nm
0.12 nm
0.28 nm
FIGURA 16–62 Problema 58.
59. En un modelo simple del átomo de hidrógeno, el electrón gira en una órbita circular alrededor del protón, con una rapidez de 1.1 106 ms. Determine el radio de la órbita del
electrón. [Sugerencia: Consulte el capítulo 5 acerca de movimiento circular].
60. Suponga que la atracción eléctrica, en lugar de la gravedad,
fuese la responsable de mantener a la Luna en órbita alrededor de la Tierra. Si se colocaran cargas iguales y opuestas Q
en la Tierra y la Luna, ¿cuál sería el valor de Q para mantener la órbita actual? Utilice los siguientes datos: masa de la
Tierra 5.98 1024 kg, masa de la Luna 7.35 1022 kg,
radio de la órbita 3.84 108 m. Trate a la Tierra y a la Luna como partículas puntuales.
61. Un electrón con rapidez v0 21.5 106 ms viaja paralelo
a un campo eléctrico de magnitud E 11.4 10 3 NC.
a) ¿Qué distancia recorrerá el electrón antes de detenerse?
b) ¿Cuánto tiempo tardará antes de que regrese a su punto
de partida?
62. Una carga puntual positiva Q1 2.5 105 C está fija en el
origen de las coordenadas, y una carga negativa Q2 5.0 106 C está fija en el eje x en x 2.0 m. Determine la ubicación del lugar (o lugares) a lo largo del eje x donde el campo eléctrico debido a estas dos cargas es cero.
468
CAPÍTULO 16
Carga eléctrica y campo eléctrico
30 30
78 cm
Q
2
78 cm
Q
2
FIGURA 16–64
Problema 64.
65. El aire seco se romperá y generará una chispa si el campo
eléctrico supera la cifra de 3 106 NC. ¿Cuánta carga se podría empacar en un chícharo (0.75 cm de diámetro) antes de
que éste se descargue espontáneamente? [Sugerencia: Las
ecuaciones 16-4 funcionan afuera de una esfera si r se mide
desde su centro].
66. Dos cargas puntuales, Q1 6.7 mC y Q2 1.8 mC, están
ubicadas entre dos placas paralelas con cargas opuestas, como se indica en la figura 16-65. Las dos cargas están separadas por una distancia de x 0.34 m.
+
Suponga que el campo eléctrico produci+
do por las placas cargadas es uniforme e
+ Q
Q
1
2
igual a E 73,000 NC. Calcule la fuerza
+
electrostática neta sobre Q1 y determine
+
+
su dirección.
FIGURA 16–65
Problema 66.
-
+
x
67. Una carga puntual (m 1.0 g) en el extremo de una cuerda
aisladora de 55 cm de largo está en equilibrio en un campo
eléctrico horizontal uniforme de 12,000 NC, cuando la posición del péndulo es como se muestra en la figura 16-66, con
la carga a 12 cm sobre la posición (vertical) más baja. Si el
campo apunta hacia la derecha en la figura 16-66, determine
la magnitud y signo de la carga puntual.
L = 55 cm
u
B
E
Q
m
12 cm
FIGURA 16–66
69. ¿Cuál es la carga total de todos los electrones en una barra
de aluminio de 15 kg? ¿Cuál es la carga neta de la barra? (El
aluminio tiene 13 electrones por átomo y una masa atómica
de 27 u).
70. Dos pequeñas esferas conductoras idénticas A y B están separadas una distancia R; cada una porta la misma carga Q. a) ¿Cuál
es la fuerza que la esfera B ejerce sobre la A? b) Un esfera
idéntica con carga cero, la esfera C, hace contacto con la esfera B y entonces se mueve muy lejos. ¿Cuál es ahora la fuerza
neta que actúa sobre la esfera A? c) A continuación la esfera
C hace contacto con la esfera A y entonces se mueve muy lejos. ¿Cuál es la fuerza sobre la esfera A en este tercer caso?
71. Dadas las dos cargas que se muestran en la figura 16-68, ¿en
qué posición (o posiciones) x el campo eléctrico es cero? ¿El
campo es cero en otros puntos cualesquiera, no en el eje x?
Problema 67.
68. Una carga puntual de 0.210 kg de masa y carga neta de
0.340 mC, cuelga en reposo al final de una cuerda aisladora
sobre una larga hoja de carga. La hoja horizontal de carga
uniforme crea un campo eléctrico vertical uniforme en la vecindad de la carga puntual. La tensión en la cuerda es de 5.67 N.
Calcule la magnitud y dirección del campo eléctrico debido a
la hoja de carga (figura 16-67).
gB
Q = 0.340 µC
m = 0.210 kg
Hoja uniforme de carga
FIGURA 16–67 Problema 68.
+Q
-Q/2
d
P
x
FIGURA 16–68 Problema 71.
72. Dos cargas puntuales, Q y –Q, de masa m, se colocan en los
extremos de una barra (cuya masa se considera despreciable)
de longitud L, que está fija a una mesa mediante un perno a
través de su centro. Si entonces el aparato se sujeta a un campo eléctrico uniforme E paralelo a la mesa y perpendicular a
la barra, determine la torca neta sobre el sistema constituido
por la barra más cargas.
73. Cuatro cargas puntuales positivas iguales, cada una con 8.0 mC
de carga, están en las esquinas de un cuadrado de 9.2 cm de
lado. ¿Qué carga se debe colocar en el centro del cuadrado
de modo que todas las cargas estén en equilibrio? ¿Éste es
un equilibrio estable o inestable (sección 9-4) en el plano?
Respuestas a los ejercicios
A: Opuesta.
B: 5 N.
C: 1.2 N, hacia la derecha.
D: 0.32 m.
E: a) No; b) sí, a la mitad entre ellas.
F: 9.0 * 104 NC, verticalmente hacia abajo.
B
B
B
G: a) E 1 derecha; E 2 izquierda; E derecha;
B
B
B
b) E 1 izquierda; E 2 derecha; E.
H: a E⊥ ¢A = E a ¢A = E(2prL) =
de modo que E =
Qenc
,
0
1 Q.
2p0 r L
Problemas generales
469
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En las nubes se puede almacenar una gran cantidad de energía potencial eléctrica. En los relámpagos, el voltaje ( diferencia de potencial ¢EP por carga) entre las nubes y la Tierra puede ser tan
alto que los electrones que deambulan por ahí se aceleran
a una EC lo suficientemente grande como para
desprender electrones de los átomos del aire.
Este último se vuelve un conductor conforme
los átomos ionizados y los electrones liberados fluyen rápidamente y chocan
con más átomos, lo que provoca
más ionización. El flujo masivo de
carga reduce la diferencia de potencial y la “descarga” cesa rápidamente. La energía liberada cuando
los iones y los electrones se recombinan para formar átomos se manifiesta como luz.
CAPÍTULO
17
Potencial eléctrico
E
n el capítulo 6 se vio que el concepto de energía era extremadamente valioso
para abordar el tema de la mecánica. La energía es una cantidad que se
conserva y constituye una importante herramienta para comprender la naturaleza. Más aún, se vio que muchos problemas se resuelven con la ayuda del concepto de energía aun cuando no fuera posible un conocimiento detallado de las
fuerzas que intervienen, o cuando un cálculo a partir de las leyes de Newton fuera
demasiado difícil.
El punto de vista de la energía resulta especialmente útil en electricidad. No sólo extiende la ley de conservación de la energía, sino que también proporciona otra
forma de ver los fenómenos eléctricos. En muchos casos, la energía también es una
herramienta más adecuada en la resolución de problemas que el uso de las fuerzas y
los campos eléctricos.
17–1 Energía potencial eléctrica
y diferencia de potencial
Energía potencial eléctrica
Para aplicar la conservación de la energía, es necesario definir la energía potencial
eléctrica como otro tipo de energía potencial. Como se vio en el capítulo 6, la energía
potencial se puede definir sólo para una fuerza conservativa. El trabajo realizado por
una fuerza conservativa al mover un objeto entre dos posiciones cualesquiera es independiente de la trayectoria seguida. La fuerza electrostática entre dos cargas cualesquiera (ecuación 16-1, F = kQ1 Q2r 2) es conservativa pues la dependencia es
con la posición, tal como la fuerza gravitacional, que es conservativa. A partir de ahí,
es posible definir la energía potencial EP para la fuerza electrostática.
470
En el capítulo 6 se vio que el cambio en la energía potencial entre dos puntos a
y b es igual al negativo del trabajo realizado por la fuerza conservativa para mover
un objeto de a a b: ¢EP W.
De esta forma, el cambio en la energía potencial eléctrica, EPb EPa, cuando una
carga puntual q se mueve desde algún punto a hacia otro punto b, se define como el
negativo del trabajo realizado por la fuerza eléctrica para mover la carga desde a
hasta b. Por ejemplo, considere el campo eléctrico entre dos placas paralelas con la
misma carga pero con signo opuesto; se supone que su separación es pequeña en
B
comparación con el ancho y alto, de modo que el campo E será uniforme sobre la
mayor parte de la región (figura 17-1). Considere ahora una pequeña carga puntual
positiva q colocada en un punto muy cercano a la placa positiva, como se ilustra. Esta
B
carga q es tan pequeña que no afecta a E . Si esta carga q en el punto a se libera, la
fuerza eléctrica hará trabajo sobre la carga y la acelerará hacia la placa negativa. El
trabajo W realizado por el campo eléctrico E para mover la carga un distancia d es
W = Fd = qEd
donde se usó la ecuación 16-5, F qE. El cambio en la energía potencial eléctrica
es igual al negativo del trabajo realizado por la fuerza eléctrica:
B
[uniforme E] (17–1)
epb - epa = –qEd
B
para este caso de campo eléctrico uniforme E . En el caso ilustrado, la energía potencial disminuye (¢EP es negativo); y, conforme la partícula cargada acelera desde el
punto a hasta el punto b en la figura 17-1, la energía cinética de la partícula EC aumenta por una cantidad igual. En concordancia con la conservación de la energía, la
energía potencial eléctrica se transforma en energía cinética, y la energía total se
conserva. Hay que hacer notar que la carga positiva q tiene su mayor energía potencial en el punto a, cerca de la placa positiva.† Lo contrario es cierto para una carga
negativa: su energía potencial es mayor cerca de la placa negativa.
+
−
+
−
+
−
+
EP
alta
Potencial
alto
−
B
E
+
−
+
−
+
−
+
−
+
+
a
b
−
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
EP
baja
Potencial
bajo
−
+
d
FIGURA 17–1 Al mover la carga
positiva de la posición a a la posición
b, el campo eléctrico realiza trabajo.
Potencial eléctrico y diferencia de potencial
En el capítulo 16 se encontró que es útil definir el campo eléctrico como la fuerza
por unidad de carga. De manera similar, es útil definir el potencial eléctrico (o simplemente el potencial cuando “eléctrico” se sobreentiende) como la energía potencial
eléctrica por unidad de carga. El potencial eléctrico está dado por el símbolo V. Si
una carga de prueba positiva q tiene energía potencial eléctrica EPa en algún punto
a (en relación con alguna energía potencial cero), el potencial eléctrico Va en este
punto es
epa
.
(17–2a)
q
Como se explicó en el capítulo 6, sólo las diferencias en energía potencial son físicamente significativas. De esta forma, sólo la diferencia en potencial, o la diferencia de
potencial, entre dos puntos a y b (como entre a y b en la figura 17-1) es mensurable.
Cuando la fuerza eléctrica realiza trabajo positivo sobre una carga, la energía cinética
aumenta y la energía potencial disminuye. La diferencia en energía potencial, EPb EPa, es igual al negativo del trabajo, Wba, realizado por el campo eléctrico para mover la carga de a a EP; de modo que la diferencia de potencial Vba es
Va =
Vba = Vb - Va =
Wba
epb - epa
.
= –
q
q
El potencial es la energía potencial
por unidad de carga.
Diferencia de potencial
(17–2b)
Cabe destacar que el potencial eléctrico, como el campo eléctrico, no depende de la
carga de prueba q. V depende de las otras cargas que crean el campo, no de q; q adquiere energía potencial al estar en el potencial V debido a las otras cargas.
A partir de la definición se puede ver que la placa positiva en la figura 17-1 está a un potencial más alto que la placa negativa. Por ende, un objeto cargado positivamente se mueve de manera natural desde un potencial alto hacia un potencial
bajo. Una carga negativa hace lo contrario.
†
En este punto, la carga tiene su mayor capacidad para realizar trabajo (sobre algún otro objeto o
sistema).
SECCIÓN 17–1
Energía potencial eléctrica y diferencia de potencial
471
Unidad de diferencia de potencial:
el volt (1 V 1 JC)
Voltaje diferencia de potencial
V 0 se elige de manera arbitraria
+
Potencial
alto
Va
−
B
E
−
+
+
+a
−
b−
−
+
Potencial
bajo
Vb
EP alta para
carga
negativa aquí
FIGURA 17–2 Parte central de la
figura 17-1, que muestra una carga
puntual negativa cerca de la placa
negativa. Ejemplo conceptual 17-1.
P R E C A U C I Ó N
Una carga negativa tiene EP
alta cuando el potencial V
es bajo.
La unidad de potencial eléctrico, y de diferencia de potencial, es joules/coulomb
y recibe un nombre especial: el volt, en honor de Alessandro Volta (1745-1827),
quien es mejor conocido por haber inventado la pila eléctrica. El volt se abrevia V,
de modo que 1 V 1 J/C. Como la diferencia de potencial se mide en volts, con frecuencia se denomina voltaje.
Si se desea hablar del potencial Va en algún punto a, hay que estar conscientes
de que Va depende de dónde se elige el potencial como cero. El cero para el potencial
eléctrico en una situación dada se puede elegir de manera arbitraria, tal como se hace para la energía potencial, pues sólo es posible medir las diferencias en la energía
potencial. Con frecuencia, la tierra, o un conductor conectado directamente a tierra
(la Tierra), se toma como potencial cero, y otros potenciales se proporcionan con
respecto a ella. (Por tanto, un punto donde el voltaje sea de 50 V es aquel donde la
diferencia de potencial entre él y tierra es de 50 V). En otros casos, como se verá, se
puede elegir que el potencial sea cero a una distancia infinita (r q).
EJEMPLO CONCEPTUAL 17–1 Una carga negativa. Suponga que una carga
negativa, como un electrón, se coloca cerca de la placa negativa en la figura 17-1,
en el punto b, que aquí se muestra en la figura 17-2. Si el electrón tiene libertad
para moverse, ¿su energía potencial eléctrica aumenta o disminuye? ¿Cómo cambia el potencial eléctrico?
RESPUESTA Un electrón liberado en el punto b se moverá hacia la placa positiva. Conforme el electrón se mueve hacia la placa positiva, su energía potencial disminuye mientras que su energía cinética se incrementa. Sin embargo, note que el
electrón se mueve del punto b con potencial bajo al punto a con potencial más alto: ¢V = Va - Vb 7 0. (Los potenciales Va y Vb se deben a las cargas sobre las
placas, no al electrón).
NOTA Una carga positiva colocada cerca de la placa negativa en b no se aceleraría. Una carga positiva tiende a moverse desde el potencial alto hacia el bajo.
Puesto que la diferencia de potencial eléctrico se define como la diferencia de
energía potencial por unidad de carga, el cambio en la energía potencial de una carga q cuando se mueve entre dos puntos a y b es
Potencial eléctrico y
energía potencial
Potencial vinculado
con la altura de un risco
472
CAPÍTULO 17
epb - epa = q AVb - Va B = qVba .
(17–3)
Esto es, si un objeto con carga q se mueve a través de una diferencia de potencial
Vba, su energía potencial cambia por una cantidad qVba. Por ejemplo, si la diferencia
de potencial entre las dos placas de la figura 17-1 es de 6 V, entonces una carga de
1 C que se mueve (mediante una fuerza externa) de b a a ganará (1 C)(6 V) 6 J
de energía potencial eléctrica. (Y perderá 6 J de energía potencial eléctrica si se
mueve de a a b). De manera similar, una carga de 2 C ganará 12 J, y así sucesivamente. Así que la diferencia de potencial eléctrico es una medida de cuánta energía puede
adquirir una carga eléctrica en una situación dada. Y, como la energía es la capacidad
de realizar trabajo, la diferencia de potencial eléctrico también es una medida de cuánto trabajo puede realizar una carga determinada. La cantidad exacta depende tanto
de la diferencia de potencial como de la carga.
Para comprender mejor el potencial eléctrico, hagamos una comparación con el
caso gravitacional cuando una roca se deja caer desde lo alto de un risco. Cuanto
mayor sea la altura, h, del risco, más energía potencial ( mgh) tendrá la roca en lo
alto del risco, en relación con el fondo, y más energía cinética tendrá cuando alcance el fondo. La cantidad real de energía cinética que adquirirá y la cantidad de trabajo que puede realizar dependen tanto de la altura del risco como de la masa m de
la roca. Una gran roca y una roca pequeña pueden estar a la misma altura h (figura
17-3a) y por tanto tener el mismo “potencial gravitacional”, pero la roca más grande
tiene mayor energía potencial (puesto que tiene más masa). El caso eléctrico es similar (figura 17-3b): el cambio en la energía potencial, o el trabajo que se puede
realizar, depende tanto de la diferencia de potencial (que corresponde a la altura
del risco) como de la carga (que corresponde a la masa), ecuación 17-3. Sin embargo, hay que advertir una diferencia significativa: la carga eléctrica viene en dos tipos,
y , mientras que la masa gravitacional siempre es .
Potencial eléctrico
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+
Vba
Vb
+
+
a)
b)
Va
-
+
h
-
Q
2Q
-
-
FIGURA 17–3 a) Dos rocas están a la misma
altura. La roca más grande tiene más energía
potencial. b) Dos cargas tienen el mismo potencial
eléctrico. La carga 2Q tiene más energía
potencial.
-
+
Las fuentes prácticas de energía eléctrica, como las baterías y los generadores
eléctricos, tienen la finalidad de mantener una diferencia de potencial. La cantidad
real de energía transformada por tales dispositivos depende de cuánta carga fluya,
así como de la diferencia de potencial (ecuación 17-3). Por ejemplo, considere los faros de un automóvil conectados a una batería de 12.0 V. La cantidad de energía
transformada (en luz y energía térmica) es proporcional a cuánta carga fluye, lo que
a su vez depende de cuánto dura encendida la luz. Si durante un periodo de tiempo
dado fluyen 5.0 C de carga, la energía total transformada es (5.0 C)(12.0 V) 60 J.
Si el faro se deja encendido el doble de tiempo, fluirán 10.0 C de carga y la energía
transformada será (10.0 C)(12.0 V) 120 J.
En la tabla 17-1 se presentan algunos voltajes comunes.
EJEMPLO 17–2 Electrón en un cinescopio de TV. Suponga que un electrón
en el cinescopio de una televisión se acelera desde el reposo a través de una diferencia de potencial Vb - Va Vba = ±5000 V (figura 17-4). a) ¿Cuál es el cambio en la energía potencial eléctrica del electrón? b) ¿Cuál es la rapidez del
electrón (m 9.1 1031 kg) como resultado de esta aceleración?
PLANTEAMIENTO El electrón, acelerado hacia la placa positiva, disminuirá en
energía potencial por una cantidad ¢EP qVba (ecuación 17-3). La pérdida en energía potencial igualará su ganancia en energía cinética (conservación de energía).
SOLUCIÓN a) La carga en un electrón es q = –e = –1.6 * 10 –19 C. Por tanto,
su cambio en energía potencial es
¢ep = qVba = A –1.6 * 10
–19
CB(±5000 V) = –8.0 * 10
–16
J.
El signo menos indica que la energía potencial disminuye. La diferencia de potencial, Vba, tiene un signo positivo pues el potencial final Vb es mayor que el potencial
inicial Va; los electrones negativos son atraídos hacia un electrodo positivo y repelidos de un electrodo negativo.
b) La pérdida de energía potencial por el electrón se vuelve energía cinética EC. A
partir de la conservación de energía (ecuación 6-11a), ¢EC ¢EP 0, de modo que
¢ec = – ¢ep
1
2
2 mv
- 0 = –q AVb - Va B = –qVba ,
TABLA 17–1 Algunas diferencias
de potencial (voltajes) comunes
Voltaje
(aprox.)
Fuente
Nube de tormenta a tierra 108 V
Línea de transmisión
105 – 106 V
de alto voltaje
Suministro de potencia
para cinescopio de TV
Arranque de automóvil
Tomacorriente casero
Batería de automóvil
Batería de lámpara
de mano
104 V
104 V
102 V
12 V
1.5 V
Potencial de reposo a través
10–1 V
de membrana nerviosa
Cambios de potencial
en la piel (ECG y EEG)
−
−
−
−
Vba =
5000 V
−
−
− e−
10 –4 V
+
+
++
++
++
−
a
b
Alto
voltaje
FIGURA 17–4 Electrón acelerado
en el cinescopio de una TV.
Ejemplo 17-2.
donde la energía cinética inicial es cero pues se dice que el electrón parte del reposo. Al resolver para v:
v =
B
–
2 A –1.6 * 10–19 CB(5000 V)
2qVba
=
–
= 4.2 * 107 ms.
m
9.1 * 10–31 kg
C
NOTA La energía potencial no depende de la masa, sólo de la carga y el voltaje.
La rapidez sí depende de m.
EJERCICIO A En lugar del electrón en el ejemplo 17-2, suponga que un protón (m
1.67 1027 kg) se acelera desde el reposo por medio de una diferencia de potencial Vba 5000 V. ¿Cuál sería a) el cambio en EP y b) la rapidez final del protón?
SECCIÓN 17–1
Energía potencial eléctrica y diferencia de potencial
473
17–2 Relación entre potencial
eléctrico y campo eléctrico
Los efectos de cualquier distribución de carga se pueden describir ya sea en términos de campo eléctrico o en términos de potencial eléctrico. Con frecuencia, el potencial eléctrico es más fácil de usar pues es un escalar, mientras que el campo
eléctrico es un vector. Entre el potencial y el campo existe una íntima conexión.
Considere el caso de un campo eléctrico uniforme, como el que existe entre las placas
paralelas de la figura 17-1, cuya diferencia de potencial es Vba. El trabajo realizado
por el campo eléctrico para mover una carga positiva q de a a b es igual al negativo
del cambio en la energía potencial (ecuación 17-2b), de modo que
V relacionado con E uniforme
Unidades para E:
1 N/C 1 V/m
Vba
+
50 V
-
+
-
+
-
+
-
+
+
E =?
PLANTEAMIENTO Se aplica la ecuación 17-4b para obtener la magnitud de E,
que se supone uniforme.
SOLUCIÓN La magnitud del campo eléctrico es
-
+
-
+
-
+
EJEMPLO 17–3 Campo eléctrico obtenido a partir del voltaje. Dos placas
paralelas son cargadas para producir una diferencia de potencial de 50 V. Si la separación entre las placas es de 0.050 m, calcule la magnitud del campo eléctrico en
el espacio entre las placas (figura 17-5).
-
+
W = –q AVb - Va B = –qVba .
El trabajo realizado también se expresa como fuerza por distancia, donde la fuerza
sobre q es F qE, así que
W = Fd = qEd,
donde d es la distancia (paralela a las líneas de campo) entre los puntos a y b. Ahora se hacen iguales estas dos expresiones para W y se encuentra qVba = –qEd, o
Vba = – Ed.
[E uniforme] (17–4a)
Si se resuelve para E se encuentra
Vba
.
E = –
[E uniforme] (17–4b)
d
A partir de la ecuación 17-4b se ve que las unidades para el campo eléctrico se pueden escribir como volts por metro (V/m), así como newtons por coulomb (N/C). En
general, éstos son equivalentes, dado que 1 NC = 1 N mC m 1 JC m B
1 Vm. El signo menos en la ecuación 17-4b indica que E apunta en la dirección de
potencial V decreciente.
E = Vbad = (50 V0.050 m) = 1000 Vm.
NOTA Las ecuaciones 17-4 sólo se aplican para un campo eléctrico uniforme. La
B
relación general entre E y V es más complicada.
-
d=
B
* Relación general entre E
yV
5.0 cm
B
B
En una región donde E no es uniforme, la conexión entre E y V toma una forma diferente a la de las ecuaciones 17-4. En general, es posible demostrar que el campo
eléctrico en una dirección dada en cualquier punto en el espacio es igual a la tasa a
la que disminuye el potencial eléctrico sobre la distancia en esa dirección. Por ejemplo, el componente x del campo eléctrico está dado por Ex = – ¢V¢x, donde ¢V
es el cambio en potencial sobre la muy corta distancia ¢x.
FIGURA 17–5 Ejemplo 17-3.
17–3 Líneas equipotenciales
B
Equipotenciales ⊥ E
474
CAPÍTULO 17
El potencial eléctrico se puede representar en un diagrama dibujando las líneas
equipotenciales o, en tres dimensiones, las superficies equipotenciales. Una superficie equipotencial es aquella en la que todos los puntos están en el mismo potencial.
Es decir, la diferencia de potencial entre dos puntos cualesquiera en la superficie es
cero, y no se requiere trabajo para mover una carga de un punto a otro sobre una
superficie equipotencial. Una superficie equipotencial debe ser perpendicular al campo eléctrico
en cualquier punto. Si esto no fuera así (es decir, si existiera un compoB
nente de E paralelo a la superficie) se requeriríaB trabajo para mover la carga a lo
largo de la superficie contra este componente de E; y esto contradiría la idea de que
es una superficie equipotencial.
B
E
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
–
+
0V
20 V
15 V
5V
10 V
FIGURA 17–6 Las líneas equipotenciales (líneas punteadas
azules) entre dos placas paralelas cargadas siempre son
perpendiculares al campo eléctrico (líneas continuas).
FIGURA 17–7 Las líneas equipotenciales (punteadas azules)
siempre son perpendiculares a las líneas de campo eléctrico
(continuas), mostradas aquí para dos partículas igualmente
cargadas pero con signo opuesto (un “dipolo eléctrico”).
El hecho de que las líneas de campo eléctrico y las superficies equipotenciales
sean perpendiculares entre sí ayuda a ubicar las equipotenciales cuando se conocen
las líneas de campo eléctrico. En un dibujo bidimensional normal, se muestran las líneas equipotenciales, que son las intersecciones de las superficies equipotenciales con
el plano del dibujo. En la figura 17-6 están dibujadas unas cuantas líneas equipotenciales (líneas punteadas azules) para el campo eléctrico (líneas continuas) entre dos
placas paralelas a una diferencia de potencial de 20 V. La placa negativa se elige arbitrariamente como
la de cero volts y se indica el potencial de cada línea equipotenB
cial. Note que E apunta hacia valores más bajos de V. Las líneas equipotenciales para
el caso de dos partículas igualmente cargadas pero opuestas se muestran en la figura
17-7 como líneas punteadas azules. (Esta combinación de cargas iguales y se llama “dipolo eléctrico”, como se vio en la sección 16-8; véase la figura 16-31a).
A diferencia de las líneas de campo eléctrico, que comienzan y terminan en cargas eléctricas, las líneas y superficies equipotenciales siempre son continuas y nunca
terminan, y por tanto continúan más allá de las fronteras de las figuras 17-6 y 17-7.
Una analogía útil es la de un mapa topográfico: en esencia, las líneas de contorno
son líneas equipotenciales gravitacionales (figura 17-8).
En la sección 16-9 se vio que, en el caso estático, no puede haber campo eléctrico dentro de un conductor; de otro modo, los electrones libres sentirían una fuerza
y se moverían. De hecho, un conductor debe estar completamente al mismo potencial
en el caso estático, y, entonces, la superficie de un conductor es una superficie equipotencial. (Si no fuese así, los electrones libres en la superficie se moverían, puesto
que siempre que existe una diferencia de potencial entre dos puntos, se puede realizar trabajo sobre las partículas cargadas para moverlas). Esto es consistente por
completo con el resultado, analizado antes, de que el campo eléctrico en la superficie de un conductor debe ser perpendicular a la superficie.
Los conductores son superficies
equipotenciales.
FIGURA 17–8 Un mapa topográfico (aquí, una
porción de la Sierra Nevada en California) muestra
líneas de contorno continuas, cada una de las cuales está
a una altura fija sobre el nivel del mar. Aquí hay
intervalos de 80 ft (25 m). Si alguien camina a lo largo de
una línea de contorno, no asciende ni desciende. Si la
persona cruza líneas, y en especial si asciende de forma
perpendicular a las líneas, cambiará su potencial
gravitacional (rápidamente, si las líneas están más juntas).
SECCIÓN 17–3
Líneas equipotenciales
475
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17–4 El electronvolt, una unidad de energía
El joule es una unidad muy grande para estudiar las energías de electrones, átomos
o moléculas. Para este propósito se usa la unidad electronvolt (eV). Un electronvolt
se define como la energía que adquiere una partícula al portar una carga cuya magnitud es igual a la del electrón (q e) como resultado de moverse a través de una
diferencia de potencial de 1 V. Como la carga en un electrón tiene una magnitud de
1.6 1019 C, y puesto que el cambio en la energía potencial es igual a qV, 1 eV es
igual a A1.6 * 10 –19 CB(1.0 V) 1.6 * 10 –19 J:
1 eV = 1.6 * 10–19 J.
Electronvolt (unidad)
Un electrón que acelera a través de una diferencia de potencial de 1000 V perderá
1000 eV de energía potencial y por tanto ganará 1000 eV, o 1 keV (kiloelectronvolt)
de energía cinética. Por otra parte, si una partícula con una carga igual al doble de la
magnitud de la carga en el electrón ( 2e 3.2 1019 C) se mueve a través de una
diferencia de potencial de 1000 V, su energía cambiará por 2000 eV.
Aunque el electronvolt es una unidad adecuada para establecer las energías de
moléculas y partículas elementales, no es propiamente una unidad SI. Para cálculos,
el electronvolt se debe convertir a joules, mediante el factor de conversión apenas
proporcionado. En el ejemplo 17-2, por ejemplo, el electrón adquiere una energía cinética de 8.0 1016 J. Normalmente, esta energía se indicaría como 5000 eV ( 8.0
10 –16 J1.6 * 10 –19 JeVB. Pero cuando se determina la rapidez de una partícula
en unidades SI, se debe usar la EC en joules (J).
17–5 Potencial eléctrico debido a cargas puntuales
El potencial eléctrico a una distancia r de una sola carga puntual Q se puede deducir de la expresión para su campo eléctrico (ecuación 16-4) utilizando el cálculo. En
este caso, el potencial generalmente se toma como cero en el infinito (q); también
aquí el campo eléctrico (E kQ/r2) es cero. El resultado es
Q
r
1 Q,
=
4p 0 r
V = k
Potencial eléctrico
de una carga puntual
(V o en r q)
P R E C A U C I Ó N
1
1
,E r 2
r
r
para una carga puntual
V r
[carga puntual única] (17–5)
donde k = 8.99 * 109 N m2C 2. Aquí se puede considerar que V representa el potencial absoluto a una distancia r de la carga Q, donde V 0 en r q, o se puede
considerar a V como la diferencia de potencial entre r e infinito. Note que el potencial V disminuye con la primera potencia de la distancia, mientras que el campo
eléctrico (ecuación 16-4) disminuye como el cuadrado de la distancia. El potencial
cerca de una carga positiva es grande y positivo, y disminuye hacia cero a distancias
muy largas. El potencial cerca de una carga negativa es negativo y aumenta hacia
cero a grandes distancias (figura 17-9).
V
Q
V = k r cuando Q > 0
r
0
FIGURA 17–9 Potencial V como función de la
distancia r desde una sola carga puntual Q cuando
la carga es a) positiva, b) negativa.
a)
V
r
0
Q
V = k r cuando Q < 0
b)
476
CAPÍTULO 17
Potencial eléctrico
EJEMPLO 17–4 Potencial debido a una carga positiva o negativa. Determine el potencial en un punto a 0.50 m a) de una carga puntual de 20 mC, b) de
una carga puntual de 20 mC.
PLANTEAMIENTO El potencial debido a una carga puntual está dado por la
ecuación 17-5, V kQ/r.
SOLUCIÓN a) A una distancia de 0.50 m de una carga positiva de 20 mC, el potencial es
V = k
Q
r
= A9.0 * 109 Nm2C 2 B ¢
20 * 10–6 C
≤ = 3.6 * 105 V.
0.50 m
b) Para la carga negativa,
V = A9.0 * 109 Nm2C 2 B ¢
–20 * 10–6 C
≤ = –3.6 * 105 V.
0.50 m
NOTA El potencial puede ser positivo o negativo. Cuando se determina el potencial
eléctrico es importante incluir un signo de carga, en contraste con los cálculos de
magnitudes de campo eléctrico, para los que generalmente se ignora el signo de las
cargas.
➥
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Para el potencial eléctrico, hay que
seguir el rastro de los signos de
carga.
EJEMPLO 17–5 Trabajo realizado para acercar dos cargas positivas. Qué
trabajo mínimo debe realizar una fuerza externa para acercar una carga q 3.00 mC
desde una gran distancia (sea r q) hacia un punto a 0.500 m de una carga Q 20.0 mC?
PLANTEAMIENTO Para calcular el trabajo no basta simplemente con multiplicar
la fuerza por la distancia porque la fuerza no es constante. En vez de ello, el cambio en la energía potencial se puede hacer igual al (positivo del) trabajo requerido
de una fuerza externa (capítulo 6), y la ecuación 17-3: W = ¢ep q AVb - Va B.
Los potenciales Vb y Va se obtienen mediante la ecuación 17-5.
P R E C A U C I Ó N
No se puede usar W Fd
si F no es constante.
SOLUCIÓN El trabajo que se requiere es igual al cambio en la energía potencial:
W = q AVb - Va B = q ¢
kQ
kQ
≤,
rb
ra
donde rb 0.500 m y ra q. El término en el extremo derecho dentro de los paréntesis es cero (1/q 0), de modo que
W = A3.00 * 10–6 CB
A8.99 * 109 N m2C 2 BA2.00 * 10–5 CB
(0.500 m)
= 1.08 J.
NOTA Aquí no se podrían emplear las ecuaciones 17-4 porque éstas se aplican solamente a campos uniformes. Pero sí se usó la ecuación 17-3 porque siempre es válida.
EJERCICIO B ¿Qué trabajo se requiere para acercar una carga q 3.00 mC originalmente a una distancia de 1.50 m de una carga Q 20.0 mC, hasta que esté a 0.50 m de
distancia?
Para determinar el campo eléctrico en puntos cercanos a una colección de dos o
más cargas puntuales, se requiere sumar los campos eléctricos debidos a cada una de
las cargas. Como el campo eléctrico es un vector, esto tal vez consuma mucho tiempo o resulte complicado. Determinar el potencial eléctrico en un punto debido a una
colección de cargas puntuales es mucho más sencillo, pues el potencial eléctrico es
un escalar y, por tanto, sólo habrá que sumar números sin preocuparse por la dirección. Ésta es una gran ventaja en el uso del potencial eléctrico para resolver problemas. Sin embargo, sí se tienen que incluir los signos de las cargas.
SECCIÓN 17–5
Los potenciales se suman como
escalares (los campos se suman
como vectores).
Potencial eléctrico debido a cargas puntuales
477
y
A
B
60
cm
40
30 cm
cm
26 cm
26 cm
FIGURA 17–10 Ejemplo 17-6.
Q2 = +50 mC
(Véase también el ejemplo 16-9 y la
figura 16-28).
x
Q1 = -50 mC
EJEMPLO 17–6 Potencial sobre dos cargas. Calcule el potencial eléctrico a) en
el punto A de la figura 17-10 debido a las dos cargas que se muestran, y b) en el
punto B. [Ésta es la misma situación que el ejemplo 16-9, figura 16-28, donde se
calculó el campo eléctrico en dichos puntos].
P R E C A U C I Ó N
El potencial es un escalar
y no tiene componentes.
PLANTEAMIENTO El potencial total en el punto A (o en el punto B) es la suma
de los potenciales en ese punto debido a cada una de las cargas Q1 y Q2. El potencial debido a cada carga sola está dado por la ecuación 17-5. Uno no tiene que
preocuparse por las direcciones, pues el potencial eléctrico es una cantidad escalar.
Pero sí hay que seguir el rastro de los signos de las cargas.
SOLUCIÓN a) Se suman los potenciales en el punto A debido a cada carga Q1 y
Q2, y se utiliza la ecuación 17-5 para cada una:
VA = VA2 + VA1
Q1
Q2
+ k
= k
r2A
r1A
donde r1A 60 cm y r2A 30 cm. Entonces
VA =
A9.0 * 109 N m2C 2 BA5.0 * 10–5 CB
0.30 m
A9.0 * 10 N m2C 2 B A –5.0 * 10–5 CB
9
±
0.60 m
= 1.50 * 10 V - 0.75 * 106 V
= 7.5 * 105 V.
6
b) En el punto B, r1B = r2B = 0.40 m, de modo que
VB = VB2 + VB1
=
A9.0 * 109 N m2C 2 BA5.0 * 10–5 CB
±
0.40 m
A9.0 * 109 N m2C 2 B A –5.0 * 10–5 CB
0.40 m
= 0 V.
NOTA Los dos términos en la suma en b) se cancelan para cualquier punto equidistante de Q1 y Q2 (r1B r2B). En consecuencia, el potencial será cero en todas
partes en el plano equidistante entre las dos cargas. Este plano es una superficie
equipotencial con V 0.
Simples sumas como éstas se pueden realizar fácilmente para cualquier número
de cargas puntuales.
478
CAPÍTULO 17
Potencial eléctrico
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EJEMPLO CONCEPTUAL 17–7 Energías potenciales. Considere los tres
pares de cargas, Q1 y Q2, en la figura 17-11. a) ¿Cuál conjunto tiene una energía potencial positiva? b) ¿Cuál conjunto tiene la energía potencial más negativa? c) ¿Cuál
conjunto requiere más trabajo para separar las cargas hasta el infinito? Suponga
que todas las cargas tienen la misma magnitud.
RESPUESTA La energía potencial es igual al trabajo requerido para acercar las
dos cargas una a la otra partiendo de una gran distancia (q). Suponga que la carga izquierda () ya está ahí. Para acercar la segunda carga hasta la primera desde
una gran distancia (q) se requiere trabajo
Q1 Q2
W = Q2Vba = k
r
donde r es la distancia final entre ellas. Por tanto, la energía potencial de las dos
cargas es
Q1 Q2 .
ep = k
r
–
+
i)
–
+
ii)
+
+
iii)
FIGURA 17–11 Ejemplo 17-7.
a) El conjunto iii) tiene una energía potencial positiva porque las cargas tienen el
mismo signo. b) El conjunto i) tiene la energía potencial más negativa porque las
cargas son de signo opuesto y su separación es menor que la del conjunto ii). Esto
es, r es menor para i). c) El conjunto i) requerirá más trabajo para separarlo al infinito. Cuanto más negativa sea la energía potencial, más trabajo se requiere para
separar las cargas y llevar la EP a cero (r q).
P
17–6 Potencial debido a un dipolo eléctrico;
*
momento de dipolo
FIGURA 17–12
Dos cargas puntuales iguales Q, de signo opuesto, separadas por una distancia l, se
llaman dipolo eléctrico. En la figura 17-7 se muestran las líneas de campo eléctrico
y las superficies equipotenciales para un dipolo. Puesto que los dipolos eléctricos
ocurren con frecuencia en la física, al igual que en otros campos como la biología
molecular, es útil examinarlos con detenimiento.
El potencial eléctrico en un punto arbitrario P debido a un dipolo (figura 17-12)
es la suma de los potenciales debidos a cada una de las dos cargas:
V =
k(–Q)
kQ
1
1
¢r
,
+
= kQ a b = kQ
r
r
r + ¢r
r + ¢r
r(r + ¢r)
donde r es la distancia desde P hasta la carga positiva y r ¢r es la distancia hasta
la carga negativa. Esta ecuación se simplifica si se consideran puntos P cuya distancia
desde el dipolo es mucho mayor que la separación de las dos cargas; es decir, para
r W l. A partir del diagrama se ve que ¢r L l cos u; dado que r W ¢r = l cos u, se
puede ignorar ¢r en el denominador en comparación con r. Entonces se obtiene
V L
kQl cos u .
r2
[dipolo; r W l]
(17–6a)
Se ve que el potencial disminuye como el cuadrado de la distancia desde el dipolo,
mientras que, para una sola carga puntual, el potencial disminuye con la primera potencia de la distancia (ecuación 17-5). No es sorprendente que el potencial se reduzca
más rápido para un dipolo, porque, cuando uno se aleja del dipolo, las dos cargas
iguales pero opuestas aparecen tan juntas que tienden a neutralizarse una a la otra.
El producto Ql en la ecuación 17-6a se conoce como momento de dipolo, p, del
dipolo. La ecuación 17-6a, en términos del momento de dipolo, es
V L
Dipolo eléctrico.
Cálculo de potencial V
en el punto P.
kp cos u
r2
.
[dipolo; r W l]
r
∆r
-Q
u
r
+Q
l
Potencial lejos de un dipolo
Momento de dipolo p QL
(17–6b)
Un momento de dipolo tiene unidades de coulomb-metros (Cm), aunque, para las
moléculas, a veces se usa una unidad más pequeña llamada debye: 1 debye 3.33 1030 Cm.
*SECCIÓN 17–6
Potencial debido a un dipolo eléctrico; momento de dipolo
479
F Í S I C A
A P L I C A D A
Dipolos en biología molecular
TABLA 17–2 Momentos
de dipolo de moléculas
seleccionadas
Molécula
Momento de
dipolo (C m)
H 2(±)O(–)
H (±)Cl(–)
N (–)H 3(±)
»N (–) ¬ H (±)
»C (±) “ O(–)
6.1
3.4
5.0
L 3.0
L 8.0
*
*
*
*
*
10–30
10–30
10–30
10–30 ‡
10–30 ‡
‡
Estos últimos dos grupos aparecen con
frecuencia en moléculas grandes; así que
el valor para el momento de dipolo
variará un poco, dependiendo del resto
de la molécula.
F Í S I C A
A P L I C A D A
Usos de los capacitores
En muchas moléculas, aun cuando sean eléctricamente neutras, los electrones
pasan más tiempo en la vecindad de un átomo que en otro, lo cual da como resultado
una separación de carga. Tales moléculas tienen un momento de dipolo y se llaman
moléculas polares. Ya se vio que el agua (figura 16-4) es una molécula polar, y se
han encontrado otras en la exposición referente a la biología molecular (sección 16-11).
La tabla 17-2 proporciona los momentos de dipolo para varias moléculas. Los signos
y indican en qué átomos se encuentran estas cargas. Las últimas dos entradas
son parte de muchas moléculas orgánicas y juegan un importante papel en la biología molecular.
17–7 Capacitancia
Un capacitor es un dispositivo capaz de almacenar carga eléctrica, y consiste en dos
objetos conductores (generalmente placas u hojas) colocados uno cerca de otro, pero sin que estén en contacto. Los capacitores se usan ampliamente en los circuitos
electrónicos. Almacenan carga que posteriormente se puede liberar, como en los
flashes de las cámaras, y como respaldo de energía en las computadoras para cuando
falla la potencia. Los capacitores bloquean los excesos de carga y energía para proteger los circuitos. Capacitores muy pequeños sirven como memoria para los “unos”
y “ceros” del código binario en la memoria de acceso aleatorio (RAM) de las computadoras. Los capacitores también tienen muchas otras aplicaciones, algunas de las
cuales se analizarán a continuación.
Aislador
FIGURA 17–13 Diagramas
de capacitores a) de placa
paralela, b) cilíndricos (de
placa paralela enrollada).
c) Fotografía de algunos
capacitores reales.
A
a)
d
b)
c)
Un capacitor simple consiste en un par de placas paralelas de área A separados
por una pequeña distancia d (figura 17-13a). Con frecuencia, las dos placas están enrolladas en la forma de un cilindro con papel u otro aislador para separar las placas
(figura 17-13b); la figura 17-13c es una fotografía de algunos capacitores reales utiliFIGURA 17–14 a) Capacitor de placas zados para varias aplicaciones. En un diagrama, el símbolo
paralelas conectado a una batería.
b) Mismo circuito mostrado con símbolos.
representa un capacitor. Otro símbolo para capacitor que se utiliza a menudo es
Una batería, que es una fuente de voltaje, está indicada mediante el símbolo.
Q Q
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
[símbolo de capacitor]
C
12 V
a)
b)
V
CAPÍTULO 17
[símbolo de batería]
con brazos desiguales.
Si a través de un capacitor se aplica un voltaje conectando el capacitor a una
batería con alambres conductores, como en la figura 17-14, las dos placas rápidamente quedan cargadas: una placa adquiere carga negativa, la otra una cantidad igual de
carga positiva. Cada terminal de batería y la placa del capacitor conectado a ella están
al mismo potencial; en consecuencia, todo el voltaje de la batería aparece a través
del capacitor. Para un capacitor dado, la cantidad de carga Q que adquiere cada placa es proporcional a la magnitud de la diferencia de potencial V entre ellas:
Capacitancia
480
.
Potencial eléctrico
Q = CV.
(17–7)
La constante de proporcionalidad, C, en la ecuación 17-7 se llama capacitancia del
capacitor. La unidad de capacitancia es coulomb por volt, y a esta unidad se le llama
farad (F). Los capacitores comunes tienen capacitancia en el rango de 1 pF (picofarad 1012 F) a 103 mF (microfarad 106 F). Fue Volta quien sugirió por primera
vez la relación expresada en la ecuación 17-7.
A partir de ahora, se usará simplemente V (en itálica) para representar una diferencia de potencial, como el producido por una batería, en lugar de Vba o Vb Va que
se utilizó antes. (Asegúrese de no confundir las V y C itálicas, que representan voltaje
y capacitancia, con las V y C no itálicas, que representan las unidades volt y coulomb).
La capacitancia C en general no depende de Q ni de V. Su valor depende sólo
del tamaño, forma y posición relativa de los dos conductores, y también del material
que los separa. Para un capacitor de placas paralelas, cuyas placas tienen área A y
están separadas una distancia d de aire (figura 17-13a), la capacitancia está dada por
Unidad de capacitancia:
farad (1 F 1 C/V)
P R E C A U C I Ó N
V diferencia de potencial de aquí
en adelante
La capacitancia sólo depende
de características físicas del
capacitor, no de Q o V.
A.
[capacitor de placas paralelas] (17–8)
d
Se ve que C sólo depende de factores geométricos, A y D, y no de Q o V. Esta útil
relación se deducirá en la sección opcional de la página siguiente. La constante 0 es
la permitividad del espacio libre, que, como se vio en el capítulo 16, tiene el valor
8.85 * 10 –12 C 2N m 2.
C = 0
EJEMPLO 17–8 Cálculos de capacitor. a) Calcule la capacitancia de un capacitor de placas paralelas cuyas placas miden 20 cm 3.0 cm y están separadas por
un brecha de aire de 1.0 mm. b) ¿Cuál es la carga en cada placa si a través de las
dos placas se conecta una batería de 12 V? c) ¿Cuál es el campo eléctrico entre
las placas? d) Estime el área de las placas que se necesita para lograr una capacitancia de 1 F, dada la misma brecha de aire d.
PLANTEAMIENTO La capacitancia se encuentra mediante la ecuación 17-8, C 0 A/d. La carga en cada placa se obtiene a partir de la definición de capacitancia,
es decir, Q CV (ecuación 17-7). El campo eléctrico es uniforme, así que se puede
usar la ecuación 17-4b para la magnitud E V/d. En d) se usa de nuevo la ecuación 17-8.
SOLUCIÓN (a) El área A = A20 * 10 –2 mB A3.0 * 10 –2 mB 6.0 * 10 –3 m2
Entonces, la capacitancia C es
A
6.0 * 10–3 m2
= A8.85 * 10–12 C 2N m2 B
= 53 pF.
d
1.0 * 10–3 m
b) La carga en cada placa es
C = 0
Q = CV = A53 * 10–12 FB(12 V) = 6.4 * 10–10 C.
c) A partir de la ecuación 17-4b para un campo eléctrico uniforme, la magnitud de
E es
12 V
V
=
= 1.2 * 104 Vm.
d
1.0 * 10–3 m
d) En la ecuación 17-8 se resuelve para A y se sustituye C 1.0 F y d 1.0 mm
para encontrar que se necesitan placas con una área
E =
A =
(1 F)A1.0 * 10–3 mB
Cd
L
L 108 m2.
0
A9 * 10–12 C 2N m2 B
NOTA Ésta es el área de un cuadrado de 104 m o 10 km por lado. ¡Éste es el tamaño de una ciudad como San Francisco o Boston! Los capacitores con gran capacitancia no serán simples placas paralelas.
No hace mucho tiempo, una capacitancia mayor que 1 mF era inusual. En la actualidad, hay capacitores disponibles en 1 o 2 F, aunque sólo tienen unos cuantos cm
de lado. Tales capacitores se usan como respaldos de potencia, por ejemplo, en memorias de computadoras y otros aparatos electrónicos, donde el tiempo y la fecha se
pueden conservar a través de pequeños flujos de carga. Tales capacitores de alta ca-
F Í S I C A
A P L I C A D A
El capacitor como respaldo de
potencia
SECCIÓN 17–7
Capacitancia
481
www.elsolucionario.org
Capacitancia muy alta
F Í S I C A
A P L I C A D A
Teclas de computadora
Tecla
Placa
móvil
Aislador
(flexible)
Capacitor
pacitancia se fabrican con carbón “activado” que tiene muy alta porosidad, de modo
que el área superficie es muy grande; un décimo de un gramo de carbón activado puede tener una área superficial de 100 m2. Más aún, las cargas iguales y opuestas pueden
existir en una “doble capa” eléctrica de sólo 109 m de grosor.
Un tipo de teclado de computadora opera mediante capacitancia. Como se
muestra en la figura 17-15, cada tecla está conectada a la placa superior de un capacitor. La placa superior baja cuando se oprime la tecla, lo que reduce el espacio entre
las placas del capacitor y aumenta la capacitancia (ecuación 17-8: d más pequeña, C
más grande). El cambio en la capacitancia se convierte en señal eléctrica que detecta un circuito electrónico.
EJERCICIO C Dos placas circulares de 5.0 cm de radio están separadas por una brecha
de aire de 0.10 mm. ¿Cuál es la magnitud de la carga en cada placa cuando se conecta
a una batería de 12 V?
* Determinación de la capacitancia para un capacitor de placas paralelas
Placa
fija
FIGURA 17–15 Tecla de una
computadora. Al oprimir la tecla se
reduce el espacio del capacitor y por
tanto aumenta la capacitancia, que se
puede detectar electrónicamente.
La ecuación 17-8 se deduce de manera directa con el resultado de la sección 16-10
acerca de la ley de Gauss, que indica que el campo eléctrico entre dos placas paralelas está dado por la ecuación 16-10:
E =
QA .
0
Al combinar esto con las magnitudes de la ecuación 17-4a, V Ed, se obtiene
V = ¢
Q
≤ d.
A 0
Entonces, a partir de la ecuación 17-7, la definición de capacitancia,
C =
Q
Q
A
=
= 0
V
d
AQA 0 Bd
que es la ecuación 17-8.
17–8 Dieléctricos
Constante dieléctrica
En la mayoría de los capacitores existe una hoja de material aislador, como papel o
plástico, llamado dieléctrico entre las placas. Esto sirve a varios propósitos. Primero,
los dieléctricos no se rompen tan fácilmente (permitiendo el flujo de carga eléctrica)
como el aire, así que se pueden aplicar voltajes más altos sin que pase carga a través
de la brecha. Más aún, un dieléctrico permite que las placas se coloquen más juntas
sin tocarse, lo que permite una capacitancia aumentada dado que d es menor en la
ecuación 17-8. En tercer lugar, experimentalmente se encuentra que, si el dieléctrico
llena el espacio entre los dos conductores, aumenta la capacitancia por un factor K,
conocido como la constante dieléctrica. En consecuencia, para un capacitor de placas paralelas,
C = K 0
Capacitor de placas paralelas
con dieléctrico
A.
d
(17–9)
Esto se puede escribir como
C = donde
A,
d
= K 0
se llama la permitividad del material.
En la tabla 17-3 se proporcionan los valores de la constante dieléctrica de varios materiales. También en la tabla 17-3 se indica la rigidez dieléctrica, el máximo
campo eléctrico antes de que ocurra el rompimiento (flujo de carga).
482
CAPÍTULO 17
Potencial eléctrico
EJEMPLO CONCEPTUAL 17–9 Inserción de un dieléctrico a V constante.
Un capacitor lleno con aire que consta de dos placas paralelas separadas una distancia d se conecta a una batería de voltaje V y adquiere una carga Q. Mientras
todavía está conectado a la batería, entre las placas del capacitor se inserta una
lámina de material dieléctrico con K 3. ¿Q aumentará, disminuirá o permanecerá constante?
TABLA 17–3 Constantes
dieléctricas (a 20°C)
RESPUESTA Como el capacitor permanece conectado a la batería, el voltaje permanece constante e igual al voltaje V de la batería. La capacitancia C aumenta
cuando el material dieléctrico se inserta, pues K en la ecuación 17-9 ha aumentado.
A partir de la relación Q CV, si V permanece constante, pero C aumenta, Q debe
aumentar también. Conforme se inserta el dieléctrico, más carga se jala de la batería y se deposita en las placas del capacitor conforme su capacitancia aumenta.
3
10
24
50
15
8
12
14
EJERCICIO D Si el dieléctrico en el ejemplo 17-9 llena el espacio entre las placas,
¿en qué factor a) cambia la capacitancia, b) cambia la carga en cada placa?
EJEMPLO CONCEPTUAL 17–10 Inserción de un dieléctrico en un capacitor aislado. Suponga que el capacitor lleno con aire del ejemplo 17-9 se carga (a
Q) y luego se desconecta de la batería. A continuación se inserta un dieléctrico entre las placas. ¿Cambiará Q, C o V?
RESPUESTA La carga Q permanece igual: el capacitor está aislado, de modo que
no hay ningún lugar adonde vaya la carga. La capacitancia aumenta como resultado de insertar el dieléctrico (ecuación 17-9). El voltaje a través del capacitor también cambia: disminuye pues, por la ecuación 17-7, Q CV, de modo que V Q/C; si Q permanece constante y C aumenta (está en el denominador), entonces
V disminuye.
* Descripción molecular de los dieléctricos
A continuación se examinará, desde el punto de vista molecular, por qué la capacitancia de un capacitor debe ser mayor cuando un dieléctrico está entre las placas.
Un capacitor cuyas placas están separadas por una brecha de aire tiene una carga
Q en una placa y Q en la otra (figura 17-16a). Supongamos que está aislado (no
conectado a una batería), así que no puede fluir carga hacia o desde las placas. La
diferencia de potencial entre las placas, V0, está dada por la ecuación 17-7:
Q = C0 V0 ,
donde los subíndices se refieren al aire entre las placas. Ahora se inserta un dieléctrico entre las placas (figura 17-16b). En virtud del campo eléctrico entre las placas
del capacitor, las moléculas dieléctricas tenderán a orientarse como se muestra en la
figura 17-16b. Si las moléculas dieléctricas son polares, el extremo positivo será
atraído hacia la placa negativa y viceversa. Incluso si las moléculas dieléctricas no
son polares, los electrones dentro de ellas tenderán a moverse ligeramente hacia la
placa positiva del capacitor, de modo que el efecto será el mismo. El efecto neto de
los dipolos alineados es una carga negativa neta en el borde exterior del dieléctrico
que da frente a la placa positiva, y una carga positiva neta en el lado opuesto, como
se representa en la figura 17-16c.
Entonces, algunas de las líneas de campo eléctrico no pasan a través del dieléctrico sino, en vez de ello, terminan en cargas inducidas en la superficie del dieléctrico, como se ilustra en la figura 17-16c. En consecuencia, el campo eléctrico dentro
del dieléctrico es menor que en el aire. Esto es, el campo eléctrico entre las placas del
capacitor, que se supone lleno por el dieléctrico, se ha reducido por algún factor K.
El voltaje a través del capacitor se reduce por el mismo factor K porque V Ed
(ecuación 17-4) y, en consecuencia, por la ecuación 17-7, Q CV, la capacitancia C
debe aumentar por ese mismo factor K para mantener constante Q.
Constante Rigidez
dieléctrica dieléctrica
K
(V m)
Material
Vacío
Aire (1 atm)
Parafina
Poliestireno
1.0000
1.0006
2.2
2.6
Vinil (plástico)
Papel
Cuarzo
Petróleo
Vidrio, Pyrex
2–4
3.7
4.3
4
5
Hule,
neopreno
Porcelana
Mica
6.7
6–8
7
*
*
*
*
*
*
*
*
106
106
106
106
106
106
106
106
12 * 106
5 * 106
150 * 106
Agua (líquida) 80
Titanato de
estroncio
8 * 106
300
FIGURA 17–16 Vista molecular de
los efectos de un dieléctrico.
Q
Q
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
a)
+
- + - + - +
-
+
- + - + - +
-
+
- + - + - +
-
+
- + - + - +
-
+
- + - + - +
-
+
- + - + - +
-
+
- + - + - +
-
b)
+
+
-
+
-
+
+
+
-
+
+
-
-
+
-
+
-
E0
E0
c)
SECCIÓN 17–8
Dieléctricos
483
17–9 Almacenamiento de energía eléctrica
Un capacitor cargado almacena energía eléctrica al separar las cargas y . La
energía almacenada en un capacitor será igual al trabajo realizado para cargarlo. El
efecto neto de cargar un capacitor es remover carga de una placa y sumarla a la otra
placa. Esto es lo que hace una batería cuando se conecta a un capacitor. Inicialmente, cuando el capacitor no está cargado, no se requiere trabajo para mover el primer
fragmento de carga por él. Conforme se transfiere más carga, se necesita trabajo para mover carga contra el voltaje creciente V. El trabajo necesario para sumar una
pequeña cantidad de carga ¢q, cuando a través de las placas hay una diferencia de
potencial V, es ¢W = V ¢q. El trabajo neto necesario para mover la carga total Q
es equivalente a mover toda la carga Q a través de un voltaje igual al voltaje promedio
durante el proceso. (Esto es igual que calcular el trabajo realizado para comprimir
un resorte, sección 6-4, página 147). El voltaje promedio es AVf - 0B2 = Vf2, donde Vf es el voltaje final; así que el trabajo para mover la carga total Q de una placa
a la otra es
W = Q
Vf
.
2
En consecuencia, se puede decir que la energía potencial eléctrica, EP, almacenada
en un capacitor es
ep = energía = 12 QV,
donde V es la diferencia de potencial entre las placas (se eliminaron los subíndices)
y Q es la carga en cada placa. Como Q CV, también se puede escribir
ep = 12 QV = 12 CV 2 =
Energía almacenada en un capacitor
F Í S I C A
A P L I C A D A
Flash de cámara
1
2
Q2 .
C
(17–10)
EJEMPLO 17–11 Energía almacenada en un capacitor. Una unidad de flash
de cámara (figura 17-17) almacena energía en un capacitor de 150 mF a 200 V.
¿Cuánta energía eléctrica puede almacenar?
PLANTEAMIENTO Se emplea la ecuación 17-10 en la forma ep = 12 CV 2 puesto
que se proporcionan C y V.
SOLUCIÓN La energía almacenada es
ep = 12 CV 2 = 12 A150 * 10–6 FB(200 V)2 = 3.0 J.
NOTA Si esta energía se pudiera liberar en
potencia sería equivalente a 3000 W.
1
1000
de segundo (103 s), la salida de
FIGURA 17–17 Unidad de flash de
cámara.
EJERCICIO E Un capacitor almacena 0.50 J de energía a 9.0 V. ¿Cuál es su capacitancia?
EJEMPLO CONCEPTUAL 17–12 Aumento en la separación de las placas
de un capacitor. Un capacitor de placas paralelas porta carga Q y entonces se
desconecta de una batería. Las dos placas inicialmente están separadas una distancia d. Suponga que las placas se separan hasta la distancia 2d. ¿Cómo cambia la
energía almacenada en este capacitor?
RESPUESTA Si se aumenta la separación de placa d, la capacitancia disminuye de
acuerdo con la ecuación 17-8, C = 0 Ad, por un factor de 2. La carga Q no cambia. Así que la C reducida significa que la EP almacenada aumenta por un factor de
2, de acuerdo con la ecuación 17-10, donde se elige la forma ep = 12 Q 2C pues se
sabe que Q es la misma y C se ha reducido a la mitad.
NOTA Desde un punto de vista físico se puede ver por qué la energía almacenada aumenta: las dos placas tienen cargas iguales pero con signo opuesto, así que se
atraen. Si se les separa, se realiza trabajo, por lo que su energía potencial se eleva.
484
CAPÍTULO 17
Potencial eléctrico
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Resulta útil pensar en la energía almacenada en un capacitor como si estuviese
almacenada en el campo eléctrico entre las placas. A modo de ejemplo, calculemos
la energía almacenada en un capacitor de placas paralelas en términos del campo
eléctrico.
B
Se ha visto que el campo eléctrico E entre dos placas paralelas cerradas es casi
uniforme y su magnitud está relacionada con la diferencia de potencial mediante V
Ed (ecuación 17-4), donde d es la separación. Además, la ecuación 17-8 dice que
C = 0 Ad para un capacitor de placas paralelas. Por tanto
1 0 A
1
≤ AE 2d2 B
ep = 2 CV 2 = ¢
2 d
= 12 0 E 2Ad.
La cantidad Ad es el volumen entre las placas en las que existe el campo eléctrico
E. Si ambos lados de esta ecuación se dividen por el volumen, se obtiene una expresión para la energía por unidad de volumen o densidad de energía:
ep
= 12 0 E 2.
densidad de energía =
(17–11)
volumen
La energía eléctrica almacenada por unidad de volumen en cualquier región del espacio es proporcional al cuadrado del campo eléctrico en esa región. La ecuación 17-11
se dedujo para el caso especial de un capacitor de placas paralelas. Pero se puede
demostrar que es cierta para cualquier región del espacio donde exista un campo
eléctrico. De hecho, este resultado se usará cuando se analice la radiación electromagnética (capítulo 22).
Energía almacenada por unidad
de volumen en un campo eléctrico
F Í S I C A
Efectos en la salud
La energía almacenada en una gran capacitancia puede provocar daños, al producir
quemaduras o un choque eléctrico. Una razón por la que se advierte que no hay que
tocar un circuito, o el interior de un dispositivo electrónico, es porque los capacitores todavía pueden portar carga incluso si la potencia externa está desconectada.
Por otra parte, la base de un defibrilador cardiaco es un capacitor cargado a un
alto voltaje. Un ataque cardiaco puede estar caracterizado por rápidos latidos irregulares del corazón, conocidos como fibrilación ventricular (o cardiaca). Entonces el
corazón no bombea adecuadamente sangre al resto del cuerpo, y si esto se prolonga
por mucho tiempo, puede provocar la muerte. Una breve sacudida súbita de carga al
corazón, proveniente de un defibrilador, es capaz de provocar una completa detención cardiaca, en ocasiones seguida por una recuperación del latido normal. Por lo
general, el capacitor defibrilador está cargado a un voltaje de unos cuantos miles de
volts, y se le permite descargarse muy rápidamente a través el corazón mediante un
par de contactos anchos, conocidos como “almohadillas”, que dispersan la corriente
por el pecho (figura 17-18).
* 17–10 Tubo de rayos catódicos: monitores
de televisión, computadoras y osciloscopio
Un importante dispositivo que utiliza el voltaje, y que permite “visualizar” cómo
cambia éste en el tiempo, es el tubo de rayos catódicos (TRC, o CRT, por sus siglas en
inglés). Un TRC usado de esta forma es un osciloscopio. El TRC también se ha utilizado durante muchos años como el cinescopio de los aparatos de televisión y los
monitores de computadora, aunque las pantallas de cristal líquido (LCD) y algunas
otras están proliferando en la actualidad.
La operación de un TRC depende del fenómeno de la emisión termoiónica, descubierta por Thomas Edison (1847-1931). Considere dos pequeñas placas (electrodos) dentro de un “bulbo” o “tubo” al vacío, como el que se aprecia en la figura
17-19, al cual se aplica una diferencia de potencial. El electrodo negativo se llama
cátodo, y el positivo ánodo. Si se calienta el cátodo negativo (generalmente mediante una corriente eléctrica, como en la bombilla eléctrica) de modo que, además de
calentarse, brille, la carga negativa dejará el cátodo y fluirá hacia el ánodo positivo.
Tales cargas negativas ahora se llaman electrones, pero originalmente se llamaron
rayos catódicos pues parecían provenir del cátodo.
*SECCIÓN 17–10
A P L I C A D A
Hay que evitar un choque eléctrico o una quemadura.
Defibrilador cardiaco
FIGURA 17–18 Defibrilador cardiaco.
FIGURA 17–19 Si el cátodo dentro
del tubo de vidrio al vacío se calienta
hasta brillar (mediante una corriente
eléctrica, que no se muestra), los “rayos
catódicos” (electrones) cargados
negativamente “hierven” y fluyen hacia
el ánodo (), hacia el que son atraídos.
Cátodo
Ánodo
––
––
+
+
+
+
– +
Batería
Tubo de rayos catódicos: monitores de televisión, computadoras y osciloscopio
485
Cátodo
Tubo de rayos
catódicos. Con frecuencia se usan
Corriente
bobinas de desviación magnética en
calefactora
lugar de las placas de desviación
eléctricas que se muestran aquí. Se
han exagerado las posiciones relativas
Rejilla
de los elementos para brindar mayor
claridad.
FIGURA 17–20
Ánodo
Pantalla
fluorescente
Placas de
desviación
vertical
F Í S I C A
A P L I C A D A
TRC
FIGURA 17–21 Haz de electrones
que barre una pantalla de televisión
en una sucesión de líneas horizontales.
Cada barrido horizontal se realiza al
variar el voltaje en las placas de
desviación horizontales. Entonces el
haz de electrones se mueve hacia
abajo una corta distancia por medio
de un cambio en el voltaje sobre las
placas de desviación verticales, y el
proceso se repite.
F Í S I C A
A P L I C A D A
Monitores de TV y de computadoras
F Í S I C A
A P L I C A D A
Osciloscopio
CAPÍTULO 17
Trayectoria
de los electrones
El tubo de rayos catódicos (TRC) deriva su nombre del hecho de que, en el interior de un tubo de vidrio al vacío, un haz de rayos catódicos (electrones) se dirige
hacia varias partes de una pantalla para producir una “imagen”. La figura 17-20 es un
diagrama de un TRC simple. Los electrones emitidos por el cátodo calentado se aceleran mediante un alto voltaje (5000-50,000 V) aplicado entre el ánodo y el cátodo.
Los electrones salen de este “cañón de electrones” a través de un pequeño agujero
en el ánodo. El interior de la cara del tubo está recubierto con un material fluorescente que brilla cuando es golpeado por los electrones. Entonces es visible un pequeño punto brillante donde el haz de electrones golpea la pantalla. Dos placas
horizontales y dos verticales pueden desviar el haz de electrones cuando se les aplica un voltaje. Los electrones se desvían hacia cualquier placa que sea positiva. Al
variar el voltaje en las placas de desviación, el punto brillante se puede colocar en
cualquier lugar de la pantalla. Muchos TRC utilizan bobinas magnéticas de desviación (capítulo 20) en lugar de placas eléctricas.
En el cinescopio de un televisor o en el monitor de una computadora, se hace
que el haz de electrones barra la pantalla en la forma que se indica en la figura 17-21,
cambiando los voltajes que se aplican a las placas de desviación. Para la televisión
1
s, soestándar en Estados Unidos, 525 líneas constituyen un barrido completo en 30
bre toda la pantalla. La televisión de alta definición proporciona más del doble de
este número de líneas, lo que brinda mayor claridad de imagen. Una imagen se ve
porque se retiene en la pantalla fluorescente y en los ojos durante aproximadamen1
s. La imagen que uno ve consiste en puntos de brillantez variada sobre la pantalla,
te 20
controlados por la rejilla (un electrodo “poroso”, como una rejilla de alambre, que
permite el paso de los electrones). La rejilla limita el flujo de electrones mediante el
voltaje (la “señal de video”) que se le aplica: cuanto más negativo sea este voltaje,
más electrones se repelen y menos pasan a través de la rejilla. Esta señal de video
enviada por la estación de televisión, y recibida por el aparato doméstico, está
acompañada con señales que sincronizan el voltaje de la rejilla para los barridos horizontales y verticales.
Un osciloscopio es un dispositivo para amplificar, medir y visualizar una señal
eléctrica (una “señal” generalmente es un voltaje variable en el tiempo) en la pantalla de un TRC. El haz de electrones se barre horizontalmente a una tasa uniforme en
el tiempo mediante las placas de desviación horizontales. La señal que se mostrará
se aplica (después de su amplificación) a las placas de desviación verticales. La “traza” visible en la pantalla, que podría ser un electrocardiograma (figura 17-22) o una
señal de un experimento acerca de la conducción nerviosa, es una gráfica de la señal
de voltaje (vertical) frente al tiempo (horizontal).
FIGURA 17–22 Traza de
electrocardiograma (ECG) mostrado
en un TRC.
486
Punto brillante
sobre la pantalla,
donde golpean
los electrones
Placas de desviación
horizontal
Potencial eléctrico
* 17–11 El electrocardiograma (ECG)
Cada vez que el corazón late, sobre su superficie ocurren cambios en el potencial
eléctrico susceptibles de detectarse con el uso de contactos metálicos, llamados
“electrodos”, unidos a la piel. Los cambios en el potencial son pequeños, del orden
de milivolts (mV), por lo que hay que amplificarlos. Se registran en una gráfica que
se imprime en papel, o que se despliega en un monitor (TRC), como en la figura 17-22.
Un electrocardiograma (ECG) es el registro de los cambios de potencial para el corazón
de una persona. En la figura 17-23 se presenta un ejemplo. El instrumento mismo se
llama electrocardiógrafo. Por el momento no nos interesa la electrónica, sino la
fuente de estos cambios de potencial y su relación con la actividad cardiaca.
Voltaje
Q
A P L I C A D A
FIGURA 17–23 ECG típico.
Se registran dos latidos cardiacos.
R
P
F Í S I C A
Electrocardiograma
T
Tiempo
S
Tanto las células del músculo como las nerviosas tienen una capa de dipolo a FIGURA 17–24 Célula de músculo
través de la pared celular. Es decir, en la situación normal, existe una carga positiva cardiaco que muestra a) la capa de
neta en la superficie exterior y una carga negativa neta en la superficie interior, co- dipolo de carga en estado de reposo;
b) depolarización de una célula que
mo se observa en la figura 17-24a. La cantidad de carga depende del tamaño de la
progresa conforme el músculo comienza
3
2
célula, pero es aproximadamente de 10 C/m de superficie. Para una célula cuya a contraerse; y c) potencial V en los
5
2
8
área superficial es de 10 m , la carga total en cualquier superficie es L 10 C. Jus- puntos P y P¿ como función del tiempo.
to antes de la contracción de los músculos cardiacos ocurren cambios en la pared
+ +– –+ +
celular, de modo que los iones positivos en el exterior de la célula son capaces de
– +
+– –
–
pasar a través de la pared y neutralizar a los que están en el interior, o incluso hacen
+–
–+
la superficie interior ligeramente positiva en comparación con el exterior, como se
–+
+ –
P
P'
muestra en la figura 17-24b. Esta “depolarización” comienza en un extremo de la cé–
–
+
+
–
–
lula y progresa hacia el extremo opuesto, como se indica mediante la flecha, hasta
+ +– –+ +
a)
que todo el músculo es depolarizado; entonces el músculo se repolariza a su estado
original (figura 17-24a), todo en menos de un segundo. La figura 17-24c muestra
gráficas del potencial V como función del tiempo en los dos puntos P y P’ (en cual– +– –+ +
– +
quier lado de esta célula) conforme la depolarización se realiza a través de la célula.
– +
–
+
La trayectoria de depolarización dentro del corazón como un todo es más complica– +
–+
da y produce la compleja diferencia de potencial como función del tiempo de la fi- P
–+
– +
P'
–+
gura 17-23.
–+ +
–
– +– –+ +
b)
Dividir un electrocardiograma típico en regiones que corresponden a las diversas
desviaciones (u “ondas”) es un procedimiento habitual, como se muestra en la figura 17-23. Cada una de las desviaciones corresponde a la actividad de una parte específica del latido cardiaco (figura 10-42). La onda P corresponde a la contracción de V En el punto
V
las aurículas. El grupo QRS corresponde a la contracción de los ventrículos conforP
t
t
me la depolarización sigue una ruta muy complicada. La onda T corresponde a la
En el punto
recuperación (repolarización) del corazón en preparación para el ciclo siguiente.
P'
Los electrocardiogramas utilizan tres electrodos básicos, uno colocado a cada c)
lado del corazón y otro en el pie izquierdo. A veces se colocan seis electrodos adicionales en otras ubicaciones. La medición de tantas diferencias de potencial proporciona información adicional (alguna redundante), ya que el corazón es un órgano
tridimensional y la deporalización tiene lugar en las tres dimensiones. Un electrocardiograma completo puede incluir hasta 12 gráficos.
El ECG es una poderosa herramienta en la identificación de anomalías cardiacas. Por ejemplo, el lado derecho del corazón se agranda si el ventrículo derecho debe
empujar contra una carga anormalmente grande (como cuando los vasos sanguíneos
se endurecen u obstruyen). Este problema se observa fácilmente en un ECG, pues las
ondas S se vuelven muy largas (negativamente). Los infartos, que son regiones muertas del músculo del corazón como resultado de ataques cardiacos, también se detectan
en un ECG pues reflejan la onda de depolarización.
*SECCIÓN 17–11
El electrocardiograma (ECG)
487
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Resumen
El potencial eléctrico V en cualquier punto en el espacio se define como la energía potencial eléctrica por unidad de carga:
epa
.
q
Va =
(17–2a)
La diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos cualesquiera se define como el trabajo realizado para mover una carga
eléctrica de 1 C entre los dos puntos. La diferencia de potencial
se mide en volts (1 V 1 J/C) y se denomina voltaje.
El cambio en la energía potencial cuando una carga q se
mueve a través de una diferencia de potencial Vba es
¢ep = qVba .
(17–3)
La diferencia de potencial Vba entre dos puntos a y b donde
existe un campo eléctrico uniforme E está dada por
Vba = –Ed,
(17–4a)
donde d es la distancia ente los dos puntos.
Una línea o superficie equipotencial está toda al mismo potencial y es perpendicular al campo eléctrico en todos los puntos.
El potencial eléctrico en una posición P debida a una sola
carga puntual Q, relativa al potencial cero en el infinito, está dada
por
V =
kQ
,
r
(17–5)
donde r es la distancia desde Q hasta la posición P.
[*El potencial debido a un dipolo eléctrico disminuye como
1/r 2. El momento de dipolo es p Ql, donde l es la distancia entre las dos cargas iguales y opuestas de magnitud Q.]
Un capacitor es un dispositivo que se utiliza para almacenar
carga (y energía eléctrica) y consiste en dos conductores que no
se tocan. Los dos conductores pueden soportar cargas iguales y
opuestas de magnitud Q; la razón entre esta carga y la diferencia
de potencial V entre los conductores se llama capacitancia, C:
C =
Q
, o Q = CV.
V
(17–7)
La capacitancia de un capacitor de placas paralelas es proporcional al área de cada placa e inversamente proporcional a su
separación:
C = 0
A.
d
(17–8)
El espacio entre los dos conductores de un capacitor contiene un material no conductor como el aire, papel o plástico; a tales
materiales se les conoce como dieléctricos. La capacitancia es proporcional a una propiedad de los dieléctricos llamada constante
dieléctrica, K (casi igual a 1 para el aire).
Un capacitor cargado almacena una cantidad de energía
eléctrica dada por
ep =
1
2
QV =
1
2
CV 2 =
1
2
Q2
.
C
(17–10)
Esta energía se puede considerar como almacenada en el campo
eléctrico entre las placas.
La energía almacenada en cualquier campo eléctrico E tiene
una densidad (energía por unidad de volumen) de
ep
=
volumen
1
2
0 E 2.
(17–11)
[*Los monitores televisión de computadora tradicionalmente usan un tubo de rayos catódicos (TRC, o CRT por sus siglas en
inglés) que acelera los electrones por medio de un alto voltaje y
los barre a través de la pantalla en una forma regular mediante
placas de desviación].
[*Un electrocardiograma (ECG) registra los cambios de potencial en milivolts de cada latido cardiaco conforme las células
se depolarizan y repolarizan, y muestra dichos cambios en la pantalla de un monitor o imprime la gráfica de los registros].
Preguntas
1. Si dos puntos están al mismo potencial, ¿esto significa que no
se realiza trabajo al mover una carga de prueba de un punto
a otro? ¿Esto implica que no se necesita ejercer fuerza? Explique su respuesta.
2. Si una carga negativa inicialmente está en reposo en un campo eléctrico, ¿se moverá hacia una región de mayor potencial
o de menor potencial? ¿Y una carga positiva? ¿Cómo cambia
la energía potencial de la carga en cada caso?
3. Establezca con claridad la diferencia a) entre potencial eléctrico y campo eléctrico, b) entre potencial eléctrico y energía
potencial eléctrica.
4. Con una diferencia de potencial de 0.10 V, se acelera un electrón. ¿Cuál será su rapidez final si se le acelera con cuatro
veces dicho voltaje? Explique su respuesta.
5. ¿Existe un punto a lo largo de la línea de unión de dos cargas
positivas iguales donde el campo eléctrico sea cero? ¿Y donde el potencial eléctrico sea cero? Explique sus respuestas.
6. ¿Es posible que una partícula se mueva de una región de bajo potencial eléctrico a una de alto potencial y aún así disminuya su energía potencial eléctrica? Explique su respuesta.
7. Compare la energía cinética ganada por un protón (q +e)
con la energía ganada por una partícula alfa (q +2e) acelerados por el mismo voltaje V.
488
CAPÍTULO 17
Potencial eléctrico
B
8. Si V 0 en un punto en el espacio, ¿ahí debe ser E = 0? Si
B
E = 0 en algún punto, ¿en dicho punto debe ser V 0? Explique sus respuestas. Proporcione ejemplos para cada uno.
9. ¿Dos líneas equipotenciales se pueden cruzar? Explique por
qué sí o por qué no.
10. Dibuje unas cuantas líneas equipotenciales en la figura 16-31b.
* 11. ¿Qué puede decir acerca del campo eléctrico en una región
del espacio que tiene el mismo potencial en toda ella?
12. Un satélite orbita la Tierra a lo largo de una línea equipotencial gravitacional. ¿De qué forma debe ser la órbita?
13. Cuando se trata con dispositivos prácticos, con frecuencia se
toma la tierra (la Tierra) como 0 V. Si, en vez de ello, se dice
que la tierra es de 10 V, ¿cómo afectaría esto a) al potencial
V y b) al campo eléctrico E en otros puntos?
14. Cuando una batería se conecta a un capacitor, ¿por qué las dos
placas adquieren cargas de la misma magnitud? ¿Esto será cierto si los dos conductores tienen diferentes tamaños o formas?
15. Se ha visto que la capacitancia C depende del tamaño, forma
y posición de los dos conductores, así como de la constante
dieléctrica K. Entonces, ¿qué se quiere dar a entender cuando
se dice que C es una constante en la ecuación 17-7?
Problemas
De la 17-1 a la 17-4 Potencial eléctrico
1. (I) ¿Cuánto trabajo realiza el campo eléctrico al mover una
carga de 7.7 mC desde tierra a un punto cuyo potencial es
55 V mayor?
2. (I) ¿Cuánto trabajo realiza el campo eléctrico al mover un
protón desde un punto con un potencial de 125 V hasta
un punto donde es de 55 V? Exprese su respuesta tanto en
joules como en electronvolts.
3. (I) ¿Cuánta energía cinética ganará un electrón (en joules y
eV) si se acelera a través de una diferencia de potencial de
23,000 V en el cinescopio de un televisor?
18. (II) a) ¿Cuál es el potencial eléctrico a una distancia de 2.5
1015 m de un protón? b) ¿Cuál es la energía potencial
eléctrica de un sistema que consiste en dos protones separados 2.5 1015 m, como puede ocurrir dentro de un núcleo
típico?
19. (II) Tres cargas puntuales están ordenadas en las esquinas de
un cuadrado de lado L, como se muestra en la figura 17-25.
¿Cuál es el potencial en la cuarta esquina (punto A), si se toma V 0 a una gran distancia?
5. (I) ¿Cuál es la intensidad del campo eléctrico entre dos placas paralelas separadas 5.8 mm, si la diferencia de potencial
entre ellas es de 220 V?
6. (I) Se desea un campo eléctrico de 640 V/m entre dos placas
paralelas separadas 11.0 mm. ¿Qué voltaje debe aplicarse?
7. (I) El campo eléctrico entre dos placas paralelas conectadas
a una batería de 45 V es de 1500 V/m. ¿Cuál es la distancia de
separación entre las placas?
8. (I) ¿Qué diferencia de potencial se necesita para brindar al
núcleo de helio (Q 2e) 65.0 keV de energía cinética?
L
+Q
4. (I) Un electrón adquiere 7.45 1016 J de energía cinética
cuando un campo eléctrico lo acelera desde la placa A hacia
la placa B. ¿Cuál es la diferencia de potencial entre las placas,
y cuál placa tiene el potencial más alto?
-2Q
L
L
+3Q
FIGURA 17–25
A
L
Problema 19.
20. (II) Un electrón parte del reposo a 32.5 cm de una carga
puntual fija con Q 0.125 mC. ¿A qué rapidez se moverá
el electrón cuando esté muy lejos?
21. (II) Dos cargas puntuales idénticas de 9.5 mC inicialmente
están separadas 3.5 cm. Si se liberan en el mismo instante
desde el reposo, ¿a qué rapidez se moverá cada una de ellas
cuando están muy lejos una de otra? Considere que tienen
masas idénticas de 1.0 mg.
9. (II) Dos placas paralelas, conectadas a un suministro de potencia de 200 V, están separadas por una brecha de aire.
¿Qué tan pequeña puede ser la brecha si el aire no se debe
volver conductor al superar su valor de rompimiento de E 3 106 V/m?
22. (II) Dos cargas puntuales, de 3.0 mC y 2.0 mC, se colocan
separadas 5.0 cm sobre el eje x. ¿En qué puntos a lo largo del
eje x a) el campo eléctrico es cero y b) el potencial es cero?
Sea V 0 en r q.
10. (II) El trabajo realizado por una fuerza externa para mover
una carga de 8.50 mC desde el punto a hasta el punto b es
de 15.0 104 J. Si la carga partiese del reposo y tuviese
4.82 104 J de energía cinética cuando alcance el punto b,
¿cuál debe ser la diferencia de potencial entre a y b?
23. (II) ¿Cuánto trabajo se debe realizar para acercar tres electrones desde una gran distancia de separación hasta 1.0 1010 m uno de otro (en las esquinas de un triángulo equilátero)?
11. (II) ¿Cuál es la rapidez de un electrón con una energía cinética de a) 750 eV y b) 3.2 keV?
12. (II) ¿Cuál es la rapidez de un protón cuya energía cinética es
de 3.2 keV?
13. (II) En un decaimiento radiactivo se emite una partícula alfa
(que es un núcleo de helio, Q 2e, m 6.64 1027 kg)
con EC 5.53 MeV. ¿Cuál es su rapidez?
24. (II) Considere el punto a localizado a 72 cm al norte de una
carga puntual de 3.8 mC, y el punto b que está 88 cm al oeste
de
la carga
(figura 17-26). Determine a) Vba Vb Va y b)
B
B
Eb - Ea (magnitud y dirección).
a
72 cm
b
FIGURA 17–26
Q = –3.8 mC
88 cm
Problema 24.
17–5 Potencial debido a cargas puntuales
14. (I) ¿Cuál es el potencial eléctrico a 15.0 cm de una carga
puntual de 4.00 mC?
15. (I) Una carga puntual Q crea un potencial eléctrico de 125
V a una distancia de 15 cm. ¿Cuál es Q?
16. (II) Una carga puntual de 35 mC se coloca a 32 cm de una
carga idéntica de 35 mC. ¿Cuánto trabajo se requeriría para
mover una carga de prueba de 0.50 mC desde un punto a la
mitad entre ellas, a un punto 12 cm más cerca de cualquiera
de las cargas?
17. (II) Dibuje un conductor en la forma de balón de fútbol
americano. Este conductor porta una carga negativa neta
Q. Dibuje una docena de líneas de campo eléctrico y dos líneas equipotenciales.
25. (III) ¿Cuánto voltaje se debe usar para acelerar un protón
(1.2 1015 m de radio) de modo que tenga suficiente energía para apenas penetrar un núcleo de silicio? Un núcleo de
silicio tiene una carga de 14e y su radio es de 3.6 1015 m.
Suponga que el potencial es el de cargas puntuales.
26. (III) Dos cargas iguales y opuestas están separadas una distancia d, como se ilustra en la figura 17-27. Determine una
fórmula para VBA VB VA para los puntos B y A en la línea entre las cargas.
d
+q
b
A
B
b
-q
FIGURA 17–27
Problema 26.
Problemas
489
27. (III) En el modelo de Bohr del átomo de hidrógeno, un
electrón gira en torno a un protón (el núcleo) en una órbita
circular de 0.53 1010 m de radio. a) ¿Cuál es el potencial
eléctrico en la órbita del electrón debida al protón? b) ¿Cuál
es la energía cinética del electrón? c) ¿Cuál es la energía total del electrón en su órbita? d) ¿Cuál es la energía de ionización; es decir, la energía que se requiere para remover al
electrón del átomo y llevarlo a r q, al reposo? Exprese los
resultados de los incisos b, c y d en joules y eV.
* 17–6 Dipolos eléctricos
* 28. (I) Un electrón y un protón están separados 0.53 1010 m.
¿Cuál es su momento de dipolo si están en reposo?
* 29. (II) Calcule el potencial eléctrico debido a un dipolo cuyo
momento de dipolo es de 4.8 1030 Cm en un punto a
1.1 109 m de distancia si este punto está a) a lo largo del
eje del dipolo más cerca de la carga positiva; b) a 45° sobre
el eje pero más cerca de la carga positiva; c) a 45° sobre el eje
pero más cerca de la carga negativa.
* 30. (III) El momento de dipolo, considerado como vector, apunta desde la carga negativa hacia la positiva. La molécula
de
B
agua (figura 17-28) tiene un momento de dipolo p, que se
puede considerar
como
la suma vectorial de los dos momenB
B
tos de dipolo, p1 y p2 , como se muestra. La distancia entre
cada H y O es aproximadamente 0.96 1010 m. Las líneas
que unen el centro del átomo O con cada átomo H forman
un ángulo de 104°, como se ilustra, y el momento de dipolo neto mide p 6.1 1030 Cm.
Determine la carga q en cada
B
p
átomo H.
1
O
H B
p
104∞
H FIGURA 17–28
Problema 30.
B
p
2
39. (II) ¿Qué tan intenso es el campo eléctrico entre las placas
de un capacitor de 0.80 mF con brecha de aire si están separadas 2.0 mm y cada una tiene una carga de 72 mC?
40. (III) Un capacitor de 7.7 mF es cargado por una batería de
125 V (figura 17-29a) y luego se desconecta de ella. Cuando
este capacitor (C1) se conecta (figura 17-29b) a un segundo capacitor, C2, inicialmente no cargado, el voltaje final en
cada capacitor es de 15 V. ¿Cuál es el valor de C2? [Sugerencia: La carga se conserva].
C1
C1
V
C2
FIGURA 17–29
a)
b)
Problemas 40 y 52.
41. (III) Un capacitor de 2.50 mF se carga a 857 V y un capacitor de 6.80 mF se carga a 652 V. Entonces estos capacitores se
desconectan de sus baterías. A continuación las placas positivas se conectan una a otra y las placas negativas se conectan
entre sí. ¿Cuál será la diferencia de potencial a través de cada una y la carga en cada una? [Sugerencia: La carga se conserva].
17–8 Dieléctricos
42. (I) ¿Cuál es la capacitancia de dos placas paralelas cuadradas
con 5.5 cm de lado, que están separadas por 1.8 mm de parafina?
43. (I) ¿Cuál es la capacitancia de un par de placas circulares con
5.0 cm de radio, separadas por 3.2 mm de mica?
44. (II) Un capacitor de 3500 pF con un espacio de aire está conectado a una batería de 22 V. Si se coloca un pedazo de mica entre las placas, ¿cuánta carga fluirá de la batería?
* 45. (II) El campo eléctrico entre las placas de un capacitor separado con papel (K 3.75) es de 8.24 104 V/m. Las placas
están separadas 1.95 mm y la carga en cada placa es de 0.775
mC. Determine la capacitancia de este capacitor y el área de
cada placa.
17–7 Capacitancia
31. (I) Las dos placas de un capacitor soportan 2500 mC y
2500 mC de carga, respectivamente, cuando la diferencia de
potencial es de 850 V. ¿Cuál es la capacitancia?
32. (I) Un capacitor de 9500 pF contiene cargas más y menos de
16.5 108 C. ¿Cuál es el voltaje a través del capacitor?
33. (I) La diferencia de potencial entre dos secciones cortas de
alambre paralelo en el aire es de 120 V. Ellas portan cargas
iguales pero de signo opuesto de 95 pC de magnitud. ¿Cuál
es la capacitancia de los dos alambres?
34. (I) ¿Cuánta carga fluye de cada terminal de una batería de
12.0 V cuando está conectada a un capacitor de 7.00 mF?
35. (I) Se desea un capacitor de 0.20 F. ¿Qué área deben tener
las placas si deben estar separadas por una brecha de aire de
2.2 mm?
36. (II) La carga en un capacitor aumenta por 18 mC cuando el
voltaje a través de él aumenta de 97 a 121 V. ¿Cuál es la capacitancia del capacitor?
37. (II) Se desea un campo eléctrico de 8.50 105 V/m entre dos
placas paralelas, cada una con 35.0 cm2 de área y separadas
por 2.45 mm de aire. ¿Qué carga debe haber en cada placa?
38. (II) Si un capacitor tiene cargas opuestas de 5.2 mC en las
placas, y entre ellas se desea un campo eléctrico de 2.0
kV/mm, ¿cuál debe ser el área de cada placa?
490
CAPÍTULO 17
Potencial eléctrico
17–9 Almacenamiento de energía eléctrica
46. (I) A un capacitor de 2200 pF se aplican 650 V. ¿Cuánta energía se almacena?
47. (I) Se usa un defibrilador cardiaco para sacudir un corazón
que late erráticamente. En este dispositivo, un capacitor está
cargado a 5.0 kV y almacena 1200 J de energía. ¿Cuál es su
capacitancia?
48. (II) ¿Cuánta energía almacena el campo eléctrico entre dos
placas cuadradas de 8.0 cm de lado, separadas por 1.5 mm de
aire? Las cargas en las placas son iguales pero con signo
opuesto y de 420 mC de magnitud.
49. (II) Un capacitor hecho en casa se ensambla colocando dos
moldes de tarta de 9 pulgadas separados 5 cm y conectados a
las terminales opuestas de una batería de 9.0 V. Estime a) la
capacitancia, b) la carga en cada placa, c) el campo eléctrico
a la mitad entre las placas y d) el trabajo realizado por la batería para cargar las placas. e) ¿Cuál de los valores anteriores
cambia si se inserta un dieléctrico?
50. (II) Un capacitor de placas paralelas tiene cargas fijas Q y
Q. Entonces se duplica la separación de las placas. a) ¿En
qué factor cambia la energía almacenada en el campo eléctrico? b) ¿Cuánto trabajo se debe realizar al duplicar la separación de las placas de d a 2d? El área de cada placa es A.
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51. (II) ¿Cómo cambia la energía almacenada si a) la diferencia de potencial se duplica y b) la carga en cada placa se
duplica, mientras el capacitor permanece conectado a una
batería?
52. (III) Un capacitor de 2.70 mF se carga mediante una batería
de 12.0 V. Se desconecta de la batería y luego se conecta a un
capacitor no cargado de 4.00 mF (figura 17-29). Determine la
energía total almacenada a) antes de que se conecten los dos
capacitores y b) después de que se conectan. c) ¿Cuál es el
cambio en la energía?
* 17–10 Tubo de rayos catódicos
* 53. (III) En un
TRC dado, los electrones se aceleran horizontalmente mediante 7.0 kV. Entonces pasan a través de un campo
eléctrico uniforme E por una distancia de 2.8 cm, que los desvía hacia arriba de modo que alcanzan la parte superior de la
pantalla, que está a 22 cm de distancia, a 11 cm sobre el centro. Estime el valor de E.
* 54. (III) En un TRC se aceleran electrones mediante 6.0 kV. La
pantalla mide 30 cm de ancho y está a 34 cm de las placas de
desviación de 2.6 cm de largo. ¿Sobre qué rango debe variar
el campo eléctrico de desviación horizontal para barrer el
haz completamente a través de la pantalla?
Problemas generales
55. Un electrón que parte del reposo adquiere 6.3 keV de EC al
moverse del punto A al punto B. a) ¿Cuánta EC adquiriría un
protón, si parte del reposo en B y se mueve al punto A? b)
Determine la razón de sus rapideces al final de sus respectivas trayectorias.
56. Un relámpago transfiere 4.0 C de carga y 4.2 MJ de energía a
la Tierra. a) ¿A través de qué diferencia de potencial viajó?
b) ¿Cuánta agua podría hervir y vaporizar esto, a partir de la
temperatura ambiente?
57. Cerca de la superficie de la Tierra hay un campo eléctrico cuya magnitud es de aproximadamente 150 V/m. ¿Cuánta energía está almacenada, por metro cúbico, en este campo?
58. En el cinescopio de un televisor, los electrones se aceleran
mediante miles de volts a través del vacío. Si un aparato de
televisión se colocara en el suelo sobre su parte trasera, ¿los
electrones serían capaces de moverse hacia arriba contra la
fuerza de gravedad? ¿Qué diferencia de potencial, que actúe
sobre una distancia de 3.0 cm, se necesitaría para equilibrar
la fuerza descendente de la gravedad de modo que un electrón
permaneciera estacionario? Considere que el campo eléctrico es uniforme.
59. Un gran capacitor de 4.0 F tiene suficiente energía almacenada como para calentar 2.5 kg de agua de 21 a 95°C. ¿Cuál es
la diferencia de potencial a través de las placas?
60. Un capacitor no cargado se conecta a una batería de 24.0 V
hasta que está completamente cargado y luego se desconecta.
Entonces se inserta una lámina de parafina entre las placas.
¿Cuál será ahora el voltaje entre las placas?
61. El aire seco se romperá si el campo eléctrico supera 3.0 106
V/m. ¿Qué cantidad de carga se puede colocar en un capacitor de placas paralelas si el área de cada placa es de 56 cm2?
62. Tres cargas están en las esquinas de un triángulo equilátero
(lado L) como se ilustra en la figura 17-30. Determine el potencial en el punto medio de cada uno de los lados.
y
–Q
L
L
+Q
L
x
–3Q
FIGURA 17–30 Problema 62.
63. Un carga de 3.4 mC y otra de 2.6 mC se colocan separadas
1.6 cm. ¿En qué puntos a lo largo de la línea que los une a) el
campo eléctrico es cero y b) el potencial eléctrico es cero?
64. Un capacitor con brecha de aire y 2600 pF se conecta a una
batería de 9.0 V. Si entre las placas se coloca una pieza de vidrio Pyrex, ¿cuánta carga fluirá entonces desde la batería?
65. Un electrón es acelerado horizontalmente desde el reposo en
el cinescopio de un televisor por una diferencia de potencial
de 5500 V. Luego pasa entre dos placas horizontales de 6.5 cm
de largo y 1.3 cm de separación que tienen una diferencia de
potencial de 250 V (figura 17-31). ¿En qué ángulo u viajará el
electrón luego de pasar entre las placas?
+ + + + + + + +
q
vB
- - - - - - - -
FIGURA 17–31 Problema 65.
66. Un capacitor de capacitancia C1 porta una carga Q0. Luego
se le conecta directamente a un segundo capacitor, no cargado, de capacitancia C2, como se indica en la figura 17-32.
¿Qué carga portará ahora cada uno? ¿Cuál será la diferencia
de potencial a través de cada uno?
C1 C2
FIGURA 17–32
Problema 66.
67. Para tener una idea de cuán grande es un farad, suponga que
se quiere hacer un capacitor de 1 F de placas paralelas lleno
con aire para un circuito que se está construyendo. Para hacerlo de un tamaño razonable, suponga que se limita el área
de la placa a 1.0 cm2. ¿Cuál tendría que ser la brecha entre
las placas? ¿Esto es factible en la práctica?
68. Cerca de la superficie de la Tierra existe un campo eléctrico
de aproximadamente 150 V/m que apunta hacia abajo. Dos
bolas idénticas, de masa m 0.540 kg, se sueltan desde una
altura de 2.00 m, pero una de las bolas está cargada positivamente con q1 650 mC y la segunda está cargada negativamente con q2 650 mC. Utilice la conservación de la
energía para determinar la diferencia en la rapidez de las dos
bolas cuando golpean el suelo. (Desprecie la resistencia del
aire).
Problemas generales
491
69. El suministro de potencia para un láser pulsado de nitrógeno
tiene un capacitor de 0.050 mF con una clasificación de voltaje máximo de 30 kV. a) Estime cuánta energía se podría almacenar en este capacitor. b) Si el 12% de esta energía
eléctrica almacenada se convierte en energía luminosa en un
pulso que dura 8.0 microsegundos, ¿cuál es la potencia del pulso láser?
70. En las tormentas eléctricas, la diferencia de potencial entre la
Tierra y la parte inferior de las nubes de tormentas puede ser
tan alta como 35,000,000 V. La parte inferior de las nubes de
tormenta generalmente está a 1500 m sobre la Tierra y puede tener una área de 110 km2. Modele el sistema Tierra-nube
como un gran capacitor y calcule a) la capacitancia del sistema Tierra-nube, b) la carga almacenada en el “capacitor” y
c) la energía almacenada en el “capacitor”.
71. En una fotocelda, la luz ultravioleta (UV) proporciona suficiente energía a algunos electrones en el bario metálico como
para expulsarlos de una superficie con gran rapidez. Observe
la figura 17-33. Para medir la energía máxima de los electrones,
otra placa sobre la superficie de bario se mantiene a un potencial suficientemente negativo de modo que los electrones emitidos se frenen, se detengan y regresen a la superficie de bario.
Si el voltaje de la placa es de 3.02 V (comparado con el
bario) cuando los electrones más rápidos son detenidos, ¿cuál
fue la rapidez de dichos electrones cuando fueron emitidos?
luz –
UV
+
V = −3.02 V
–
V=0
Bario
FIGURA 17–33
Problema 71.
72. Una carga puntual de 33 mC se coloca a 36 cm de una carga idéntica de 33 mC. Una carga de 1.5 mC se mueve desde el punto a hasta el punto b en la figura 17-34. ¿Cuál es el
cambio en la energía potencial?
A
q2
14 cm
12 cm
q1
0.10 m
b
33 mC
73. Un capacitor se fabrica con dos monedas de 1.1 cm de diámetro, separadas por una pieza de papel (K 3.7) de 0.15
mm de grosor. Una batería de 12 V está conectada al capacitor. ¿Cuánta carga hay en cada moneda?
74. Una carga de 4.5 mC está a 23 cm a la derecha de una carga de 8.2 mC. En el punto medio entre las dos cargas, ¿cuáles son a) el potencial y b) el campo eléctrico?
75. Un capacitor de placas paralelas, con área de placa de 2.0 cm2
y separación de brecha de aire de 0.50 mm, está conectado
a una batería de 12 V y completamente cargado. Entonces
se desconecta la batería. a) ¿Cuál es la carga en el capacitor?
b) Ahora las placas se separan a una distancia de 0.75 mm.
¿Cuál es ahora la carga en el capacitor? c) ¿Cuál es ahora
la diferencia de potencial a través de las placas? d) ¿Cuánto trabajo se requirió para jalar las placas a su nueva separación?
76. Un capacitor de 2.5 mF es completamente cargado por una
batería de 6.0 V. Entonces se desconecta la batería. El capacitor no es ideal y la carga se drena lentamente de las placas.
Al día siguiente, el capacitor ha perdido la mitad de su energía almacenada. Calcule la cantidad de carga perdida.
77. Dos cargas puntuales están fijas a 4.0 cm una de otra. Sus
cargas son Q1 Q2 5.0 mC y sus masas son m1 1.5 mg y
m2 2.5 mg. a) Si Q1 se libera desde el reposo, ¿cuál será su
rapidez después de un tiempo muy prolongado? b) Si ambas
cargas son liberadas desde el reposo al mismo tiempo, ¿cuál
será la rapidez de Q1 después de un tiempo muy largo?
78. Dos cargas se colocan como se ilustra en la figura 17-35, con
q1 1.5 mC y q2 3.3 mC. Determine la diferencia de potencial entre los puntos A y B.
B
0.10 m
24 cm
a
FIGURA 17–35
Problema 78.
33 mC
FIGURA 17–34 Problema 72.
Respuestas a los ejercicios
A: (a) – 8.0 * 10 –16 J; (b) 9.8 * 10 5 ms.
B: 0.72 J.
C: 8.3 * 10 –9 C.
492
CAPÍTULO 17
Potencial eléctrico
D: a) 3 veces mayor; b) 3 veces mayor.
E: 12 mF.
La corriente eléctrica que pasa a través de
una bombilla provoca el brillo de su delgado filamento de alambre. La energía eléctrica se transforma en energía térmica
(mediante colisiones entre los electrones
que se mueven y los átomos del alambre),
lo que provoca que la temperatura del
alambre aumente tanto que éste brille. La
corriente y la potencia en los circuitos eléctricos son de importancia básica en la vida
cotidiana. En este capítulo se examinan
tanto la corriente directa (cd) como la corriente alterna (ca) y se incluye un análisis
microscópico de la corriente eléctrica.
CAPÍTULO
18
Corrientes eléctricas
E
n los dos capítulos anteriores se estudió la electricidad estática, esto es, las cargas eléctricas en reposo. En este capítulo se comienza el estudio de las cargas
en movimiento; a un flujo de carga se le conoce como corriente eléctrica.
En la vida cotidiana uno está familiarizado con las corrientes eléctricas en los
alambres y otros conductores. De hecho, la mayoría de los dispositivos eléctricos
prácticos dependen de la corriente eléctrica: la corriente a través de una bombilla, la
corriente en el elemento calefactor de una estufa o un calentador eléctrico, y, desde
luego, las corrientes en los dispositivos electrónicos. Las corrientes eléctricas pueden existir en conductores tales como alambres, y también en otros dispositivos como
los TRC de un televisor o de un monitor de computadora, cuyos electrones cargados
fluyen a través del espacio (sección 17-10).
En la sección 16-9 se vio que, en situaciones electrostáticas, el campo eléctrico
debe ser cero en el interior de un conductor (si no lo fuese, las cargas se moverían).
Pero cuando las cargas se mueven en un conductor, por lo general existe un campo
eléctrico en el conductor. De hecho, se necesita un campo eléctrico para poner a las
cargas en movimiento, y para mantenerlas en movimiento en cualquier conductor
normal. Es posible controlar el flujo de carga utilizando los campos eléctricos y el
potencial eléctrico (voltaje), conceptos que ya se estudiaron. Para que haya corriente
en un alambre, se requiere una diferencia de potencial, lo que se logra con una batería.
493
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Primero se analizará la corriente eléctrica desde un punto de vista macroscópico: es decir, la corriente como se mide en un laboratorio. Más adelante en el capítulo, se analizarán las corrientes desde un punto de vista microscópico (teórico) como
flujo de electrones en un alambre.
Hasta el año 1800, el desarrollo técnico de la electricidad consistía principalmente en producir una carga estática mediante fricción. Pero todo cambió en 1800,
cuando Alessandro Volta (1745-1827; figura 18-1) inventó la batería eléctrica, y con
ella produjo el primer flujo estable de carga eléctrica, es decir, una corriente eléctrica estable.
18–1 La batería eléctrica
FIGURA 18-1 Alessandro Volta. En
esta pintura, Volta presenta su batería
a Napoleón en 1801.
FIGURA 18-2 Una batería voltaica,
de la publicación original de Volta.
Los eventos que condujeron al descubrimiento de la batería son interesantes. Pero
esto no sólo se trató de un importante descubrimiento, sino que también dio origen
a un notable debate científico.
En la década de 1780, Luigi Galvani (1737-1798), profesor de la Universidad de
Boloña, realizó una serie de experimentos acerca de la contracción del músculo de la
pierna de una rana a través de electricidad estática. Galvani encontró que el músculo también se contraía cuando distintos metales se insertaban en la rana. El científico creyó que la fuente de la carga eléctrica estaba en el músculo de la rana o en el
nervio en sí, y que el metal simplemente transmitía la carga hacia los puntos adecuados. Cuando publicó su trabajo en 1791, denominó a esta carga “electricidad animal”. Muchos, incluido Galvani mismo, se preguntaron si se había descubierto la tan
buscada “fuerza vital”.
Volta, en la Universidad de Pavia, a 200 km de distancia, se mostraba escéptico
acerca de los resultados de Galvani, y llegó a creer que la fuente de la electricidad
no estaba en el animal mismo, sino más bien en el contacto entre los distintos metales. Volta se dio cuenta de que, para que un circuito resultara efectivo, necesitaba un
conductor húmedo, como el músculo de la rana o la humedad en el punto de contacto de dos metales distintos. También se dio cuenta de que el músculo contraído de la
rana era un instrumento sensible para detectar “tensión” eléctrica o “fuerza electromotriz” (sus palabras para lo que ahora se denomina potencial), de hecho más sensible que el mejor de los electroscopios disponibles que él y otros habían desarrollado.†
La investigación de Volta encontró que ciertas combinaciones de metales producían un mayor efecto que otras y, a partir de sus mediciones, las listó en orden de
efectividad. (Los químicos de hoy todavía utilizan esta “serie electroquímica”). También se percató de que se podía usar carbono en lugar de uno de los metales.
Entonces Volta concibió su mayor aportación a la ciencia. Entre un disco de
zinc y uno de plata, colocó una pieza de tela o papel mojados en una solución salina
o en ácido diluido y apiló una “batería” de tales acoplamientos, uno encima del otro,
como se observa en la figura 18-2. Esta “pila” o “batería” producía una diferencia de
potencial muy aumentada. De hecho, cuando las tiras de metal conectadas a los dos
extremos de la pila se acercaban, se producía una chispa. Volta había diseñado y
construido la primera batería eléctrica; publicó su descubrimiento en 1800.
Pilas eléctricas y baterías
Electrodos
Una batería produce electricidad al transformar la energía química en energía eléctrica. En la actualidad está disponible una gran variedad de pilas eléctricas y baterías,
desde las baterías de las lámparas de mano hasta las baterías de almacenamiento de
un automóvil. Las baterías más simples contienen dos placas o barras hechas de metales distintos (una puede ser carbono) llamados electrodos. Los electrodos están
sumergidos en una solución, como ácido diluido, llamado electrolito. Tal dispositivo
se llama adecuadamente pila eléctrica, y varias pilas conectadas en conjunto forman
una batería, aunque en la actualidad incluso una sola pila se reconoce como batería.
†
El electroscopio más sensible de Volta (véase la sección 16-4 y la figura 16-10) medía aproximadamente 40 V por grado (ángulo de separación de hoja). No obstante, era capaz de estimar las diferencias de potencial producidas por metales distintos en contacto: para un contacto plata-zinc obtuvo
aproximadamente 0.7 V, cifra muy cercana al valor actual de 0.78 V.
494
CAPÍTULO 18
Corrientes eléctricas
Las reacciones químicas que tienen lugar en la mayoría de las pilas eléctricas son
bastante complicadas. A continuación se describe cómo funciona una pila muy simple, poniendo énfasis en los aspectos físicos.
La pila que se representa en la figura 18-3 usa como electrolito ácido sulfúrico
diluido. Uno de los electrodos está hecho de carbono y el otro de zinc. La parte de
cada electrodo que está fuera de la solución se llama terminal, y es aquí donde se
hacen las conexiones a los alambres y circuitos. El ácido tiende a disolver el electrodo de zinc. Cada átomo de zinc deja dos electrones detrás en el electrodo y entra a
la solución como un ion positivo. De esta forma, el electrodo de zinc adquiere una
carga negativa. Conforme el electrolito se carga positivamente, los electrones son jalados del electrodo de carbono. En consecuencia, el electrodo de carbono se carga
positivamente. Como existe una carga opuesta en los dos electrodos, existe una diferencia de potencial entre las dos terminales.
En una pila cuyas terminales no están conectadas, sólo se disuelve una pequeña
cantidad del zinc; en cuanto el electrodo de zinc se vuelve cada vez más negativo, los
nuevos iones positivos de zinc producidos son atraídos de vuelta al electrodo. De esta forma se mantiene una cierta diferencia de potencial (o voltaje) entre las dos terminales. Si se permite que la carga fluya entre las terminales, por ejemplo, a través
de un alambre (o una bombilla), entonces se puede disolver más zinc. Después de
un tiempo, uno u otro electrodo se agota y la pila se “muere”.
El voltaje que existe entre las terminales de una batería depende de qué estén
hechos los electrodos y de su habilidad relativa para disolver o entregar electrones.
Cuando dos o más pilas se unen de modo que la terminal positiva de una se conecta a la terminal negativa de la siguiente, se dice que están conectadas en serie y
su voltaje se suma. Por ende, el voltaje entre los extremos de dos baterías de linternas de 1.5 V conectadas en serie es de 3.0 V, mientras que seis pilas de 2 V de una
batería de almacenamiento de automóvil dan 12 V. La figura 18-4a muestra un diagrama de una “pila seca” común o “batería de linterna” usada en radios portátiles,
reproductores de discos compactos, linternas, etcétera; la figura 18-4b muestra dos
más pequeñas en serie, conectadas a una bombilla de linterna. Una bombilla consta
de un delgado alambre enrollado (filamento) en el interior de un bulbo de vidrio al
vacío, como se ilustra en la figura 18-5 y en la gran fotografía de apertura de este capítulo. El filamento se calienta y brilla cuando la carga pasa a través de él.
FIGURA 18-4 a) Diagrama de una pila seca ordinaria (como
una pila D o AA). La envoltura cilíndrica de zinc está cubierta a los
lados; su fondo plano es la terminal negativa. b) Dos pilas secas
(tipo AA) conectadas en serie. Aquí se observa cómo la terminal
positiva de una pila presiona contra la terminal negativa de la otra.
Aislador
Terminal +
(parte superior del
electrodo de carbono)
+
–
Terminal Terminal
Electrodo
de carbono +
(+)
Ácido sulfúrico
FIGURA 18-3
simple.
Pila eléctrica
Las baterías producen una diferencia
de potencial (voltaje).
FIGURA 18-5 Una bombilla: el alambre fino del
filamento se pone tan caliente que brilla. Este tipo
de bombilla se llama bombilla incandescente
(en comparación con una bombilla fluorescente).
Filamento
Alambres
conectores
Pasta de
electrolito
Electrodo
– de zinc
(–)
Aislador
Conexiones
externas
a)
Terminal −
Electrodo negativo
(envoltura de zinc)
b)
SECCIÓN 18–1
La batería eléctrica
495
FIGURA 18-6 a) Circuito eléctrico
simple. b) Esquema del mismo circuito, que consiste en una batería, alambres conectores (líneas gruesas) y una
bombilla u otro dispositivo.
Corriente
Dispositivo
(bombila)
a)
b) A
+
–
B
18–2 Corriente eléctrica
Circuito eléctrico
El propósito de una batería es producir una diferencia de potencial, que entonces
permitirá mover cargas. Cuando una trayectoria conductora continua está conectada
entre las terminales de una batería, se tiene un circuito eléctrico (figura 18-6a). En
cualquier diagrama de un circuito, como en la figura 18-6b, se usa el símbolo
12
Símbolo de la batería
[símbolo de batería]
para representar una batería. El dispositivo conectado a la batería podría ser una
bombilla, un calentador, un radio, o cualquier otro. Cuando tal circuito se forma, la
carga fluye a través de los alambres del circuito, de una terminal de la batería a
la otra, en tanto la trayectoria conductora sea continua. Cualquier flujo de carga como ésta se llama corriente eléctrica.
De manera más precisa, la corriente eléctrica en un alambre se define como la
cantidad neta de carga que pasa a través de toda la sección transversal del alambre
en cualquier punto por unidad de tiempo. Así entonces, la corriente I se define como
Corriente eléctrica
Unidad de corriente eléctrica:
ampere (1 A 1 Cs)
Circuitos: completo o abierto
P R E C A U C I Ó N
Una batería no crea carga;
una bombilla no destruye carga.
¢Q ,
(18-1)
¢t
donde ¢Q es la cantidad de carga que pasa a través del conductor en cualquier ubicación durante el intervalo de tiempo ¢ t.
La corriente eléctrica se mide en coulombs por segundo. A esta unidad se le da
el nombre de ampere (abreviado amp o A), en honor del físico francés André Ampère (1775-1836). Por tanto, 1 A = 1 Cs. Con frecuencia se usan unidades de corriente más pequeñas, como el miliampere A1 mA = 10 –3 AB y el microampere
A1 mA = 10–6 AB.
En un circuito sólo puede fluir corriente si existe una trayectoria conductora continua. Entonces se tiene un circuito completo. Si existe un rompimiento en el circuito
como, por ejemplo, un alambre cortado, se le llama circuito abierto y entonces no fluye
corriente por él. En cualquier circuito individual, con una trayectoria única para que siga
la corriente, como en la figura 18-6b, una corriente estable en cualquier instante es la misma en un punto (por ejemplo, punto A) que en cualquier otro (como el B). Esto se deriva de la conservación de la carga eléctrica: la carga no desaparece. Una batería no crea
(ni destruye) ninguna carga neta, ni tampoco una bombilla absorbe o destruye carga.
I =
EJEMPLO 18-1 Corriente es flujo de carga. En un alambre existe una corriente estable (estacionaria) de 2.5 A durante 4.0 min. a) ¿Cuánta carga total pasa por un punto dado en el circuito durante esos 4.0 min? b) ¿A cuántos electrones
equivaldría esto?
PLANTEAMIENTO La corriente es flujo de carga por unidad de tiempo (ecuación
18-1); así que la cantidad de carga que pasa por un punto es el producto de la corriente y el intervalo de tiempo. Para obtener el número de electrones para responder al inciso b), se divide por la carga en un electrón.
SOLUCIÓN a) Como la corriente es de 2.5 A, o 2.5 Cs, entonces, en 4.0 min
( 240 s) la carga total que fluye por un punto dado en el alambre es, a partir de la
ecuación 18-1,
¢Q = I ¢t = (2.5 Cs)(240 s) = 600 C.
496
CAPÍTULO 18
Corrientes eléctricas
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b) La carga en un electrón es 1.60 1019 C, así que 600 C consistiría en
600 C
= 3.8 * 1021 electrones.
1.6 * 10–19 Celectrón
EJERCICIO A Si 1 millón de electrones por segundo pasan por un punto en un alambre, ¿cuál es la corriente en amperes?
EJEMPLO CONCEPTUAL 18-2 Cómo conectar una batería. ¿Qué está mal
en cada uno de los esquemas que se muestran en la figura 18-7 para poder encender una bombilla con una batería de linterna y un solo alambre?
RESPUESTA a) No existe una trayectoria cerrada para que la carga fluya. Las
cargas pueden comenzar a fluir brevemente hacia la bombilla, pero ahí corren hacia un “callejón sin salida”, y el flujo se detendría de inmediato.
b) Ahora hay una trayectoria cerrada que pasa hacia la bombilla y desde ella; pero
el alambre sólo toca una terminal de la batería, así que no hay diferencia de potencial en el circuito que haga que la carga se mueva.
c) Nada está mal aquí. Éste es un circuito completo: la carga puede fluir desde una
terminal de la batería, a través del alambre y la bombilla, y hacia la otra terminal.
Este esquema encenderá la bombilla.
+
a)
+
+
b)
FIGURA 18-7 Ejemplo 18-2.
c)
En muchos circuitos reales, los alambres están conectados a un conductor común
para proporcionar continuidad. Este conductor común se llama tierra; generalmente
se representa como
, y en realidad está conectado a la tierra en un edificio o casa.
En un automóvil, una terminal de la batería se llama “tierra”, aunque no está conectada a la tierra, sino al chasis del automóvil, como lo está una conexión a cada bombilla y otros dispositivos. De este modo, el chasis del automóvil es un conductor en
cada circuito, lo que garantiza una trayectoria continua para que fluya la carga.
En el capítulo 16 (sección 16-3) se vio que los conductores contienen muchos
electrones libres. De esta forma, si un alambre conductor continuo está conectado a
las terminales de una batería, los electrones cargados negativamente fluyen en el alambre. Cuando el alambre se conecta por primera vez, la diferencia de potencial entre
las terminales de la batería establecen un campo eléctrico en el interior del alambre†
y paralelo a él. Los electrones libres en un extremo del alambre son atraídos hacia la
terminal positiva y, al mismo tiempo, otros electrones dejan la terminal negativa de
la batería y entran al alambre por el otro extremo. Existe un flujo continuo de electrones a través del alambre que comienza tan pronto como éste se conecta a ambas
terminales. Sin embargo, cuando se inventaron las convenciones de carga positiva y
negativa hace dos siglos, se supuso que la carga positiva fluía en un alambre. Para
casi todos los propósitos, la carga positiva que fluye en una dirección es exactamente
equivalente a la carga negativa que fluye en la dirección opuesta, como se muestra en
la figura 18-8. En la actualidad, todavía se usa la convención histórica de flujo de carga positiva cuando se analiza la dirección de una corriente. De modo que, cuando se
habla de la dirección de la corriente en un circuito, se hace referencia a la dirección
en la que fluirá la carga positiva. Esto a veces se conoce como corriente convencional. Cuando se quiera hablar de la dirección del flujo de electrones, se establecerá
específicamente que se trata de la corriente de electrones. En los líquidos y gases,
tanto las cargas positivas como las negativas (iones) se pueden mover.
Tierras y circuitos completos
FIGURA 18-8
La corriente convencional de a es equivalente a un
electrón negativo que fluye de a .
Corriente
convencional
Flujo
de electrones
Dispositivo
Corriente convencional
Corriente de electrón
+
–
P R E C A U C I Ó N
Distinción entre corriente convencional y flujo de electrones
†
Esto no contradice lo que se dijo en la sección 16-9 de que, en el caso estático, no puede haber campo eléctrico dentro de un conductor porque de otro modo las cargas se moverían. De hecho, cuando
existe un campo eléctrico en un conductor, las cargas se mueven, y se obtiene una corriente eléctrica.
SECCIÓN 18–2
Corriente eléctrica
497
18–3 Ley de Ohm: resistencia y resistores
Para producir una corriente eléctrica en un circuito se requiere una diferencia de
potencial. Una forma de producir una diferencia de potencial a lo largo de un alambre
es conectar sus extremos a las terminales opuestas de una batería. Fue Georg Simon
Ohm (1787-1854) quien estableció experimentalmente que la corriente en un alambre
metálico es proporcional a la diferencia de potencial V aplicada a sus dos extremos:
I r V.
Analogía
del agua
Si, por ejemplo, un alambre se conecta a una batería de 6 V, la corriente en el alambre será el doble de lo que sería si el alambre estuviese conectado a una batería de
3 V. También se encontró que invertir el signo del voltaje no afecta la magnitud de la
corriente.
Una analogía útil compara el flujo de carga eléctrica en un alambre con el flujo
de agua en un río, o en una tubería, sobre la que actúa la gravedad. Si el río o tubería está casi a nivel, la tasa de flujo es pequeña. Pero si un extremo está un poco más
elevado que el otro, la tasa de flujo (o corriente) es mayor. Cuanto mayor sea la diferencia en altura, más rápida será la corriente. En el capítulo 17 se vio que el potencial eléctrico es análogo, en el caso gravitacional, a la altura de un risco. Esto se
aplica en el presente caso a la altura a través de la que fluye el fluido. Tal como un
aumento en la altura provoca un mayor flujo de agua, una mayor diferencia de potencial eléctrico o voltaje, provocará una mayor corriente eléctrica.
Exactamente cuán grande es la corriente en un alambre depende no sólo del
voltaje, sino también de la resistencia que el alambre presenta al flujo de electrones.
Las paredes de una tubería, o los bancos y rocas en un río, oponen resistencia a la
corriente. De manera similar, las interacciones con los átomos del alambre impiden
el flujo de electrones. Cuanto mayor sea esta resistencia, menor será la corriente para un voltaje dado V. Entonces se define la resistencia eléctrica de modo que la corriente es inversamente proporcional a la resistencia; es decir,
V
(18-2a)
I
donde R es la resistencia de un alambre u otro dispositivo, V es la diferencia de potencial que se aplica a través del alambre o dispositivo, e I es la corriente que pasa
por él. La ecuación 18-2a con frecuencia se escribe como
R =
V = IR.
“LEY” DE OHM
Unidad de resistencia eléctrica:
ohm (1 = 1 VA)
(18-2b)
Como se mencionó antes, Ohm encontró experimentalmente que, en los conductores metálicos, R es una constante independiente de V, un resultado que se conoce
como ley de Ohm. La ecuación 18-2b, V IR, se reconoce a veces como ley de
Ohm, aunque sólo cuando se refiere a materiales o dispositivos para los que R es
una constante independiente de V. Pero R no es constante para muchas sustancias
distintas a los metales, ni para dispositivos como diodos, tubos de vacío, transistores
y algunos otros. Por tanto, la “ley” de Ohm no es una ley fundamental, sino más bien
una descripción de cierta clase de materiales: los conductores metálicos. Se dice que
los materiales o dispositivos que no siguen la ley de Ohm (R constante) son no
óhmicos. Véase la figura 18-9.
La unidad para resistencia se llama ohm y se abrevia (letra griega omega mayúscula). Puesto que R VI, se ve que 1.0 es equivalente a 1.0 VA.
FIGURA 18-9 Gráficas de corriente contra voltaje para
a) un conductor metálico que obedece la ley de Ohm y b) para
un dispositivo no óhmico, en este caso un diodo semiconductor.
I
a)
498
CAPÍTULO 18
Corrientes eléctricas
0
I
∆I 1
∆V = R
V
b)
0
V
EJEMPLO 18-3 Resistencia de la bombilla de una linterna. Una pequeña
bombilla de linterna (figura 18-10) extrae 300 mA de su batería de 1.5 V. a) ¿Cuál
es la resistencia de la bombilla? b) Si la batería se debilita y el voltaje desciende a
1.2 V, ¿cómo cambiaría la corriente?
PLANTEAMIENTO Se puede aplicar la ley de Ohm a la bombilla, donde el voltaje que se aplica a través de ella es el voltaje de la batería.
SOLUCIÓN a) Se cambia 300 mA a 0.30 A y se emplea la ecuación 18-2:
R =
1.5 V encendido
1.5 V
V
=
= 5.0 .
I
0.30 A
apagado
b) Si la resistencia permanece igual, la corriente sería
1.2 V
V
=
= 0.24 A = 240 mA,
R
5.0 o una disminución de 60 mA.
NOTA Con la corriente más pequeña en b, la temperatura del filamento de la
bombilla sería menor y la bombilla menos brillante. Además, la resistencia depende de la temperatura (sección 18-4), así que el cálculo sólo es una aproximación
simple.
I =
FIGURA 18-10
Linterna (ejemplo
18-3). Aquí se nota cómo el circuito se
completa a través de la tira lateral.
EJERCICIO B ¿Cuál es la resistencia de una bombilla si 0.50 A fluyen a través de ella
cuando se conecta a 120 V?
Todos los dispositivos eléctricos, desde los calentadores y las bombillas hasta los
amplificadores de sonido, ofrecen resistencia al flujo de corriente. Los filamentos de
las bombillas (figura 18-5) y los calentadores eléctricos son tipos especiales de alambres cuya resistencia da como resultado un aumento de temperatura. Por lo general, los alambres conectores tienen muy poca resistencia en comparación con los
filamentos de alambre o bobinas, así que los alambres generalmente tienen un efecto
mínimo sobre la magnitud de la corriente. En muchos circuitos, sobre todo en los
dispositivos electrónicos, los resistores se usan para controlar la cantidad de corriente.
Los resistores tienen resistencias que varían de menos de un ohm a millones de ohms
(figuras 18-11 y 18-12). Los tipos principales son resistores “devanados de alambre”
que constan de una bobina de alambre fino, los resistores de “composición” que por
lo general están hechos de carbono y delgadas películas de carbono o metal.
Cuando se dibuja un diagrama de circuito, se usa el símbolo
[símbolo de resistor]
FIGURA 18-11 Fotografía de resistores (con bandas) y otros dispositivos
en un tablero de circuito.
Símbolo de resistor
para indicar una resistencia. Sin embargo, los alambres cuya resistencia es despreciable se muestran simplemente como líneas rectas.
Código de color para resistores
Color
Negro
Café
Rojo
Anaranjado
Amarillo
Verde
Azul
Violeta
Gris
Blanco
Oro
Plata
Sin color
Número
Multiplicador
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
101
102
103
104
105
106
107
108
109
10–1
10 –2
Tolerancia
Primer dígito
Segundo dígito
Multiplicador
Tolerancia
FIGURA 18-12 El valor de resistencia de un resistor dado
5%
10%
20%
está escrito en el exterior, o se expresa mediante un código
de color, como se muestra arriba y en la tabla contigua: los
primeros dos colores representan los primeros dos dígitos en
el valor de la resistencia, el tercer color representa la potencia de 10 por la que se debe multiplicar, y el cuarto es la tolerancia de fabricación. Por ejemplo, un resistor cuyos cuatro
colores son rojo, verde, amarillo y plata tiene una resistencia
de 25 104 250,000 250 k, más o menos el 10%.
SECCIÓN 18–3
Ley de Ohm: resistencia y resistores
499
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I
A
B
R
FIGURA 18-13 Ejemplo 18-4.
“Caída” de voltaje
EJEMPLO CONCEPTUAL 18-4 Corriente y potencial. La corriente I entra a
un resistor R como se indica en la figura 18-13. a) ¿El potencial es más alto en el
punto A o en el punto B? b) ¿La corriente es mayor en el punto A o en el punto B?
RESPUESTA a) La carga positiva siempre fluye de a , de potencial alto a potencial bajo. Piense de nuevo en la analogía gravitacional: una masa caerá desde el
potencial gravitacional alto hacia el bajo. Así que, para la corriente positiva I,
el punto A está a un mayor potencial que el punto B.
b) La conservación de la carga requiere que, cualquiera que sea la carga que fluya
en el resistor en el punto A, emerja una cantidad igual de carga en el punto B. La
carga o corriente no se “agota” por un resistor, tal como un objeto que cae a través
de una diferencia de potencial gravitacional no gana ni pierde masa. De modo que
la corriente es la misma en A y en B.
A una disminución de potencial eléctrico, como del punto A al punto B en el
ejemplo 18-4, con frecuencia se le llama caída de potencial o caída de voltaje.
Algunas aclaraciones útiles
P R E C A U C I Ó N
El voltaje se aplica por medio de un
dispositivo; la corriente pasa a través
de un dispositivo.
P R E C A U C I Ó N
La corriente no se consume
He aquí un breve resumen de algunas posibles malas interpretaciones y sus respectivas aclaraciones. Las baterías no mantienen una corriente constante. En vez de
ello, las baterías intentan mantener una diferencia de potencial constante, o casi
constante. (Los detalles vienen en el capítulo 19). Por tanto, a una batería se le debería considerar como una fuente de voltaje. El voltaje se aplica por medio de un
alambre o dispositivo.
La corriente eléctrica pasa a través de un alambre o dispositivo (conectado a
una batería) y su magnitud depende de la resistencia de dicho dispositivo. La resistencia es una propiedad del alambre o dispositivo. El voltaje, por otra parte, es externo al alambre o dispositivo, y se aplica por medio de los dos extremos del
alambre o dispositivo. La corriente a través del dispositivo podría llamarse la “respuesta”: la corriente aumenta si el voltaje se incrementa o la resistencia disminuye,
como I VR.
La corriente no es un vector, aun cuando la corriente tiene una dirección. En un
alambre, la corriente siempre es paralela a él, sin importar cómo se curve, tal como
el agua en una tubería. La dirección de la corriente convencional (positiva) es del
potencial alto () hacia el potencial más bajo ().
La corriente y la carga no aumentan ni disminuyen ni se “agotan” cuando pasan
a través de un alambre u otro dispositivo. La cantidad de carga que entra en un extremo sale por el otro.
18–4 Resistividad
A partir de diversos experimentos se encontró que la resistencia R de cualquier
alambre es directamente proporcional a su longitud L e inversamente proporcional
a su área transversal A. Esto es
R = r
Resistividad
(unidad = m)
500
CAPÍTULO 18
L,
A
(18-3)
donde r, la constante de proporcionalidad, se llama resistividad y depende del material utilizado. En la columna media de la tabla 18-1 se proporcionan valores típicos
de r, cuyas unidades son m (véase la ecuación 18-3), para varios materiales. Los
valores dependen de algún modo de la pureza, el tratamiento térmico, la temperatura y otros factores. La plata tiene la resistividad más baja y por eso es el mejor conductor (aunque costoso). El cobre está cerca, y es mucho menos costoso, por lo que
la mayoría de los alambres están hechos de este material. El aluminio, aunque tiene
una mayor resistividad, es mucho menos denso que el cobre; así que es preferible al
cobre en algunos casos, como en el de las líneas de transmisión, pues su resistencia
para el mismo peso es menor que la del cobre.
Corrientes eléctricas
TABLA 18-1 Resistividad y coeficiente de temperatura (a 20°C)
Resistividad,
R ( m)
Material
Conductores
1.59 * 10–8
Plata
Cobre
1.68 * 10–8
Oro
2.44 * 10–8
Aluminio
2.65 * 10–8
Tungsteno
5.6 * 10–8
9.71 * 10–8
Hierro
Platino
10.6 * 10–8
98
* 10–8
Mercurio
Nicromo (aleación de Ni, Fe y Cr) 100
* 10–8
†
Semiconductores
Carbono (grafito)
(3–60) * 10–5
Germanio
(1–500) * 10–3
Silicio
0.1–60
Aisladores
Vidrio
109 – 1012
Hule duro
1013 – 1015
†
Coeficiente de
temperatura, A (C°)1
0.0061
0.0068
0.0034
0.00429
0.0045
0.00651
0.003927
0.0009
0.0004
– 0.0005
– 0.05
– 0.07
Los valores dependen enormemente de la presencia de incluso ligeras cantidades de impurezas.
20 m
20
PLANTEAMIENTO Se resuelve la ecuación 18-3 para obtener el área A, a partir
de lo que se puede calcular el radio del alambre mediante la fórmula A pr 2. El
diámetro es 2r. En b) se puede usar la ley de Ohm, V IR.
m
EJEMPLO 18-5 Alambres de bocinas. Una persona quiere conectar su estéreo a unas bocinas remotas (figura 18-14). a) Si cada alambre debe medir 20 m de
largo, ¿qué diámetro de alambre de cobre debe utilizar para mantener la resistencia menor que 0.10 W por alambre? b) Si la corriente en cada bocina es de 4.0 A,
¿cuál es la diferencia de potencial, o caída de voltaje, a través de cada alambre?
SOLUCIÓN a) Se resuelve la ecuación 18-3 para el área A y se encuentra r para
el cobre en la tabla 18-1:
A1.68 * 10–8 mB(20 m)
L
=
= 3.4 * 10–6 m2.
R
(0.10 )
El área transversal A de un alambre circular es A pr 2. Entonces, el radio debe ser
al menos
A
= 1.04 * 10–3 m = 1.04 mm.
r =
Bp
El diámetro es el doble del radio y por tanto debe ser de al menos 2 r 2.1 mm.
b) A partir de V IR se determina que la caída de voltaje a través de cada alambre es
V = IR = (4.0 A)(0.10 ) = 0.40 V.
NOTA La caída de voltaje a través de los alambres reduce el voltaje que alcanza
las bocinas desde el amplificador estéreo, lo que reduce un poco el nivel de sonido.
A = r
96.3 Hz
FIGURA 18-14 Ejemplo 18-5.
EJEMPLO CONCEPTUAL 18-6 El estiramiento cambia la resistencia. Un
alambre de resistencia R se estira de manera uniforme hasta que tiene el doble de
su longitud original. ¿Qué ocurre con su resistencia?
RESPUESTA Si la longitud L se duplica, entonces el área transversal A se divide a
la mitad, pues el volumen del alambre (V AL) permanece igual. A partir de la
1
ecuación 18-3 se ve que la resistencia aumentaría por un factor de cuatro (2_2 4).
EJERCICIO C Los alambres de cobre en las casas generalmente tienen un diámetro de
aproximadamente 1.5 mm. ¿Qué longitud tendría un alambre con una resistencia de 1.0
?
SECCIÓN 18–4
Resistividad
501
* La resistividad depende de la temperatura
La resistividad de un material depende un tanto de la temperatura. En general, la resistencia de los metales aumenta con la temperatura. Esto no es de sorprender, porque, a temperaturas mayores, los átomos se mueven más rápidamente y están
acomodados en una forma menos ordenada. Así que cabe esperar que interfieran más
con el flujo de electrones. Si el cambio de temperatura no es tan grande, la resistividad
de los metales generalmente aumenta de manera casi lineal con la temperatura. Esto es
Efecto de la temperatura
en la resistividad
F Í S I C A
A P L I C A D A
Termómetro de resistencia
rT = r0 C 1 + a AT - T0 B D
(18-4)
donde r 0 es la resistividad en alguna temperatura de referencia T0 (como a 0 o 20°C),
rT es la resistividad a una temperatura T, y a es el coeficiente de temperatura de resistividad. En la tabla 18-1 se proporcionan valores para a. Hay que hacer notar que
el coeficiente de temperatura para los semiconductores puede ser negativo. ¿Por
qué? Parece que, a temperaturas más altas, algunos de los electrones, que normalmente no son libres en un semiconductor, se liberan y pueden contribuir a la corriente. De esta manera, la resistencia de un semiconductor podría disminuir con un
aumento en la temperatura, aunque éste no siempre es el caso.
EJEMPLO 18-7 Termómetro de resistencia. La variación en la resistencia
eléctrica con la temperatura se puede aprovechar para realizar mediciones precisas de la temperatura. Es común que se utilice el platino ya que está relativamente libre de efectos corrosivos y tiene un elevado punto de fusión. Supongamos que,
a 20.0°C, la resistencia de un termómetro de resistencia de platino es de 164.2 .
Cuando se coloca en una solución particular, la resistencia es de 187.4 . ¿Cuál es
la temperatura de esta solución?
PLANTEAMIENTO Como la resistencia R es directamente proporcional a la resistividad r, se pueden combinar las ecuaciones 18-3 y 18-4 para encontrar R como
función de la temperatura T, y luego resolver esa ecuación para T.
SOLUCIÓN Se multiplica la ecuación 18-4 por (LA) para obtener (véase también la ecuación 18-3)
R = R0 C 1 + a AT - T0 B D .
Aquí R0 = r0LA es la resistencia del alambre en T0 20.0°C. Se resuelve esta
ecuación para T y se encuentra (tabla 18-1 para a)
T = T0 +
R - R0
187.4 - 164.2 = 20.0°C +
= 56.0°C.
aR0
A3.927 * 10–3(C°)–1 B(164.2 )
NOTA Los termómetros de resistencia tienen la ventaja de que se pueden usar a
temperaturas muy altas o muy bajas, donde los termómetros de gas o líquido serían inútiles.
FIGURA 18-15 Un termistor que se
muestra junto a una regla con milímetros para apreciar la escala.
NOTA Para algunas aplicaciones es más conveniente el termistor (figura 18-15),
que consiste en un óxido metálico o semiconductor cuya resistencia también varía
de forma repetible con la temperatura. Existen termistores muy pequeños que responden muy rápidamente a los cambios de temperatura.
El valor de a en la ecuación 18-4 en sí mismo puede depender de la temperatura, así que es importante verificar el rango de temperatura de validez de cualquier
valor (en un manual de datos físicos). Si el rango de temperatura es amplio, la ecuación 18-4 no es adecuada y entonces se necesitarán términos proporcionales al cuadrado y cubo de la temperatura, pero por lo general son muy pequeños excepto
cuando T T0 es grande.
18–5 Potencia eléctrica
La energía eléctrica es útil porque se puede transformar fácilmente en otros tipos
de energía. Los motores transforman energía eléctrica en energía mecánica y se estudiarán en el capítulo 20.
En otros dispositivos eléctricos, como los calentadores, estufas, tostadores y secadoras de cabello, la energía eléctrica se transforma en energía térmica en una resisten-
502
CAPÍTULO 18
Corrientes eléctricas
www.elsolucionario.org
cia de alambre conocida como “elemento calefactor”. Y en las bombillas ordinarias, el
delgado filamento de alambre (figura 18-5 y la fotografía de apertura del capítulo) se
pone tan caliente que brilla; sólo un pequeño porcentaje de la energía se transforma en
luz visible, y el resto, arriba del 90%, en energía térmica. Los filamentos de las bombillas y elementos calefactores (figura 18-16) en los aparatos electrodomésticos por lo general tienen resistencias de unos pocos ohms a unos cuantos cientos de ohms.
La energía eléctrica se transforma en energía térmica o en luz en tales dispositivos, y en ellos se efectúan muchas colisiones entre los electrones en movimiento y
los átomos del alambre. En cada colisión, parte de la energía cinética de los electrones se transfiere al átomo con el que choca. Como resultado, aumenta la energía cinética de los átomos del alambre y por ende aumenta la temperatura del elemento
de alambre. La energía térmica aumentada se transfiere como calor mediante conducción y convección al aire en un calentador o a la comida en una sartén, mediante radiación al pan en un tostador, o bien, se irradia como luz.
Para encontrar la potencia transformada por un dispositivo eléctrico, recuerde
que la energía transformada cuando una carga Q se mueve a través de una diferencia de potencial V es QV (ecuación 17-3). Entonces la potencia P, que es la tasa de
energía transformada, será
energía transformada
QV
.
P =
=
tiempo
t
FIGURA 18-16 El elemento
calefactor en forma de bobina de
un calentador eléctrico de espacio
a causa de la energía transformada
por la corriente eléctrica.
La carga que fluye por segundo, Qt, es simplemente la corriente eléctrica I. Por
tanto, se tiene
P IV.
(18-5)
Potencia eléctrica (general)
Esta relación general permite conocer la potencia transformada por cualquier dispositivo, donde I es la corriente que pasa a través de él y V es la diferencia de potencial a través de él. También proporciona la potencia entregada por una fuente
como una batería. La unidad SI de potencia eléctrica es la misma que para cualquier
tipo de potencia, el watt (1 W 1 Js).
La tasa de transformación de energía en una resistencia R se puede escribir de
otras dos formas, a partir de la relación general P IV y sustituyendo en V IR:
P = IV = I(IR) = I 2R
V2 .
V
P = IV = a b V =
R
R
(18-6a)
(18-6b)
Potencia eléctrica
(en resistencia R)
Las ecuaciones 18-6a y b se aplican sólo a resistores, mientras que la ecuación 18-5,
P IV, se aplica a cualquier dispositivo, incluso un resistor.
EJEMPLO 18-8 Faros de automóvil. Calcule la resistencia de un faro de automóvil de 40 W diseñado para 12 V (figura 18-17).
PLANTEAMIENTO Se conoce la potencia y la diferencia de potencial a través de
los faros, así que se resuelve la ecuación 18-6b para R.
SOLUCIÓN Dado P 40 W y V 12 V, y resolviendo la ecuación 18-6b para R,
se obtiene
(12 V)2
V2
=
= 3.6 .
P
(40 W)
NOTA Ésta es la resistencia cuando la bombilla se quema mientras brilla a 40 W.
Cuando la bombilla está fría, la resistencia es mucho menor, como se vio en la
ecuación 18-4. Como la corriente es alta cuando la resistencia es baja, las bombillas
se queman con más frecuencia cuando se encienden por primera vez.
R =
F Í S I C A
A P L I C A D A
¿Por qué las bombillas se
queman cuando se encienden
por primera ocasión?
FIGURA 18-17 Ejemplo 18-8.
12 V
Faro de 40 W
SECCIÓN 18–5
Potencia eléctrica
503
P R E C A U C I Ó N
Uno paga por la energía, que es
potencia tiempo, no por la potencia.
Kilowatt-hora
(unidad de energía usada
por las compañías eléctricas)
Es la energía, no la potencia, la que se paga en la factura de la electricidad.
Puesto que la potencia es la tasa a la que se transforma la energía, la energía total
utilizada por cualquier dispositivo es simplemente su consumo de potencia multiplicado por el tiempo que está encendido. Si la potencia está en watts y el tiempo está
en segundos, la energía estará en joules pues 1 W 1 Js. Por lo general, las compañías eléctricas especifican la energía con una unidad mucho más grande, el kilowatthora (kWh). Un kWh = (1000 W)(3600 s) = 3.60 * 106 J.
EJEMPLO 18-9 Calentador eléctrico. Un calentador eléctrico extrae 15.0 A
de manera constante en una línea de 120 V. ¿Cuánta potencia se requiere y cuánto
costará por mes (30 días) si opera 3.0 h al día y la compañía eléctrica cobra 9.2
centavos por kWh?
PLANTEAMIENTO Se conoce la corriente y el voltaje, así que se usa la ecuación
18-5 para encontrar la potencia. Se multiplica la potencia (en kW) por el tiempo
(h) de uso en un mes para encontrar la energía transformada en ese periodo, y luego se multiplica por el costo por unidad de energía, $0.092 por kWh, para obtener
el costo por mes.
SOLUCIÓN La potencia es
P = IV = (15.0 A)(120 V)
= 1800 W
o 1.80 kW. El tiempo (en horas) que el calentador se usa por mes es (3.0 hd)
(30 d) 90 h, que a 9.2¢kWh costaría (1.80 kW)(90 h)($0.092kWh) = $15.
NOTA La corriente doméstica en realidad es alterna (ca), pero la solución todavía
es válida si se supone que los valores dados para V e I son los promedios adecuados (rms), como se discutirá en la sección 18-7.
F Í S I C A
A P L I C A D A
Relámpagos
EJEMPLO 18-10 ESTIMACIÓN
Relámpagos. Los relámpagos son un ejemplo espectacular de la corriente eléctrica en un fenómeno natural (figura 18-18).
Existe mucha variabilidad en los relámpagos, pero un evento típico puede transferir 109 J de energía a través de una diferencia de potencial de tal vez 5 107 V durante un intervalo de tiempo de aproximadamente 0.2 s. Utilice esta información
para estimar a) la cantidad total de carga transferida entre la nube y la tierra, b) la
corriente en el relámpago y c) la potencia promedio entregada durante los 0.2 s.
PLANTEAMIENTO La carga Q se estima recordando que el cambio en la energía
potencial es igual a la diferencia de potencial Vba por la carga Q (ecuación 17-3).
Luego EP se iguala con la energía transferida, EP ≈ 109 J. A continuación, la corriente I es Qt (ecuación 18-1) y la potencia P es energíatiempo.
SOLUCIÓN a) A partir de la ecuación 17-3, la energía transformada es EP QVba. Se resuelve para Q:
FIGURA 18-18 Ejemplo 18-10: un
relámpago.
¢ep
109 J
= 20 coulombs.
L
V ba
5 * 107 V
b) La corriente durante los 0.2 s es aproximadamente
Q =
Q
20 C
L
= 100 A.
t
0.2 s
c) La potencia promedio entregada es
I =
P =
energía
tiempo
=
109 J
= 5 * 109 W = 5 GW.
0.2 s
También se puede utilizar la ecuación 18-5:
P = IV = (100 A)(5 * 107 V) = 5 GW.
NOTA Como la mayoría de los relámpagos constan de varias etapas, es posible
que partes individuales puedan portar corrientes mucho mayores que los 100 A
calculados.
504
CAPÍTULO 18
Corrientes eléctricas
EJERCICIO D Si 1 kWh 3.6 106 J, ¿cuánta masa se debe levantar contra la gravedad a lo largo de un metro para realizar la cantidad de trabajo equivalente?
18–6 Potencia en circuitos caseros
Los alambres eléctricos que portan electricidad hacia las luces y otros aparatos eléctricos tienen cierta resistencia, aunque por lo general es bastante pequeña. No obstante, si la corriente es lo suficientemente grande, los alambres se calentarán y
producirán energía térmica a una tasa igual a I 2R, donde R es la resistencia del
alambre. Un posible riesgo es que los alambres que portan corriente en la pared de
un edificio se calienten tanto que se inicie un incendio. Los alambres más gruesos
tienen menos resistencia (ecuación 18-3) y, por esa razón, pueden portar más corriente sin calentarse demasiado. Cuando un alambre porta más corriente de la que
es segura, se dice que está “sobrecargado”. Para evitar la sobrecarga, en los circuitos
se instalan fusibles o interruptores de circuito (estos últimos también conocidos como disyuntores o breakers). Básicamente se trata de interruptores (figura 18-19)
que abren el circuito cuando la corriente supera cierto valor particular. Por ejemplo,
un fusible de 20 A o un interruptor de circuito se abren cuando la corriente que pasa a través de ellos supera los 20 A. Si un circuito quema repetidamente un fusible o
abre un disyuntor, existen dos posibilidades: que haya demasiados dispositivos que
extraigan corriente en dicho circuito; o existe una falla en alguna parte, como un
“corto”. Un cortocircuito, o “corto”, significa que dos alambres que no deberían estar en contacto se tocan (quizá porque el aislador se gastó), así que la trayectoria de
la corriente se reduce. Entonces la resistencia del circuito es muy pequeña, de modo
que la corriente será muy grande. Los cortocircuitos se deben reparar de inmediato.
F Í S I C A
A P L I C A D A
Seguridad: los alambres se
calientan
Fusibles, interruptores de circuito
y cortos
FIGURA 18-19 a) Fusibles. Cuando la corriente supera cierto valor, el listón metálico se
funde y el circuito se abre. Entonces se debe reemplazar el fusible. b) Un tipo de disyuntor.
La corriente eléctrica pasa a través de una tira bimetálica. Cuando la corriente rebasa un
nivel de seguridad, el calentamiento de la tira bimetálica provoca que la tira se doble tanto
hacia la izquierda que la muesca en la tira metálica sostenida por el resorte baje sobre
el extremo de la tira bimetálica; c) entonces el circuito se abre en los puntos de contacto
(uno está unido a la tira metálica) y el interruptor exterior también se voltea. Tan pronto
como la tira bimetálica se enfría, se puede restaurar mediante el interruptor exterior.
Los disyuntores de tipo magnético se estudiarán en los capítulos 20 y 21.
Listón
fusible
a) Tipos de fusibles
F Í S I C A
Resorte
comprimido
Puntos
de contacto
Interruptor
exterior
A P L I C A D A
Fusibles y disyuntores
Contactos abiertos
Tira
metálica
Tira
bimetálica
Hacia circuito
eléctrico
b) Disyuntor
(cerrado)
c) Disyuntor
(abierto)
SECCIÓN 18–6
Potencia en circuitos caseros
505
www.elsolucionario.org
Interruptor
Los circuitos caseros están diseñados con los diversos dispositivos conectados
de modo que cada uno recibe el voltaje estándar (120 V en Estados Unidos) proveniente de la compañía eléctrica (figura 18-20). Los circuitos con los dispositivos ordenados como en la figura 18-20 se llaman circuitos en paralelo, y se estudiarán en el
capítulo 19. Cuando se quema un fusible o se abre un disyuntor, es importante verificar la corriente total que se extrae de dicho circuito, que es la suma de las corrientes en cada dispositivo.
Bombilla
100 W
EJEMPLO 18-11
¿Se quemará el fusible? Determine la corriente total que
extraen todos los dispositivos en el circuito de la figura 18-20.
Calefactor eléctrico
1800 W
96.3 Hz
Receptor estéreo
350 W
SOLUCIÓN El circuito en la figura 18-20 extrae las siguientes corrientes: la bombilla extrae I PV 100 W120 V 0.8 A; el calentador extrae 1800 W120 V
15.0 A; el estéreo extrae un máximo de 350 W120 V 2.9 A; y la secadora de
cabello extrae 1200 W120 V 10.0 A. La corriente total extraída, si todos los dispositivos se ponen en funcionamiento al mismo tiempo, es
Secadora
de cabello
1200 W
NOTA El calentador extrae tanta corriente como 18 bombillas de 100 W. Por seguridad, el calentador probablemente debería tener un circuito para él solo.
0.8 A + 15.0 A + 2.9 A + 10.0 A = 28.7 A.
Fusible o
disyuntor
120 V
(de la compañía eléctrica)
FIGURA 18-20 Conexión de aparatos electrodomésticos.
F Í S I C A
A P L I C A D A
Fusibles adecuados y cortos
F Í S I C A
PLANTEAMIENTO Cada dispositivo tiene el mismo voltaje de 120 V a través de
él. La corriente que cada uno extrae de la fuente se determina a partir de la fórmula I PV (ecuación 18-5).
A P L I C A D A
Cordones de extensión
y posibles peligros
Si el circuito en la figura 18-20 está diseñado para un fusible de 20 A, el fusible
se quemaría, y uno espera que así suceda, para evitar que los alambres sobrecargados se calienten tanto como para iniciar un incendio. Algo se tendrá que desconectar
para hacer que este circuito esté por debajo de los 20 A. (Las casas y departamentos, por lo general, tienen varios circuitos, cada uno con su propio fusible o disyuntor;
para comprobarlo, intente mover uno de los dispositivos a otro circuito). Si el circuito
está diseñado con alambre más pesado y un fusible de 30 A, el fusible no se debería
quemar; si lo hace, un corto puede ser el problema. (El lugar más probable para un
corto es el cordón de uno de los dispositivos). El tamaño de fusible adecuado se selecciona de acuerdo con el alambre que se usa para suministrar la corriente; un fusible adecuadamente clasificado nunca se debe sustituir por uno con clasificación más
alta. Un fusible quemado o un disyuntor abierto actúa como un interruptor, y establece un “circuito abierto”. Por circuito abierto se entiende que ya no existe una trayectoria conductora completa, así que no puede fluir corriente; es como si R = q.
EJERCICIO E Un calefactor eléctrico portátil de 1800 W está muy lejos de un escritorio
como para calentar los pies de una persona. Su cordón es muy corto, así que se conecta en
un cordón de extensión clasificado en 11 A. ¿Por qué esto es peligroso?
CD y CA
18–7 Corriente alterna
FIGURA 18-21 a) Corriente direc-
Corriente
ta, b) corriente alterna.
Tiempo
t
Corriente
a) CD
I0
−I0
t
Tiempo
Cuando una batería se conecta a un circuito, la corriente se mueve de manera estable en una dirección. A esto se le llama corriente directa, o cd (dc por sus siglas en inglés). Sin embargo, los generadores eléctricos en las centrales eléctricas producen
corriente alterna o ca (ac por sus siglas en inglés). (En ocasiones se usan letras mayúsculas, CD y CA). Una corriente alterna invierte la dirección muchas veces por segundo y comúnmente es sinusoidal, como se muestra en la figura 18-21. Los
electrones en un alambre se mueven primero en una dirección y luego en la otra. La
corriente suministrada a los hogares y negocios por las compañías eléctricas es ca
virtualmente a lo largo de todo el mundo. En el capítulo 21 se analizarán y discutirán en detalle los circuitos ca. Pero, como los circuitos ca son tan comunes en la vida real, a continuación se explicarán algunos de sus aspectos básicos.
El voltaje producido por un generador eléctrico ca es sinusoidal, como se verá
más tarde. La corriente que produce es, por ende, sinusoidal (figura 18-21b). El voltaje como función del tiempo se escribe como
V = V0 sen 2pft = V0 sen vt.
b) CA
506
CAPÍTULO 18
Corrientes eléctricas
El potencial V oscila entre V0 y V0, y V0 se conoce como voltaje pico. La frecuencia f es el número de oscilaciones completas efectuadas por segundo, v 2pf.
En la mayoría de las áreas de Estados Unidos y Canadá, f es de 60 Hz (la unidad
“hertz”, como se vio en el capítulo 11, significa ciclos por segundo). En muchos países se usan 50 Hz.
La ecuación 18-2, V IR, también funciona para ca: si por una resistencia R
existe un voltaje V, entonces la corriente I a través de la resistencia es
I =
V0
V
=
sen vt = I0 sen vt.
R
R
(18–7)
La cantidad I0 V0R es la corriente pico. La corriente se considera positiva
cuando los electrones fluyen en una dirección y negativa cuando fluyen en la dirección opuesta. Es claro a partir de la figura 18-21b que una corriente alterna con tanta frecuencia es positiva como negativa. Así que la corriente promedio es cero. Sin
embargo, esto no significa que no se necesite potencia o que no se produzca calor en
un resistor. Los electrones se mueven de ida y vuelta, y sí producen calor. De hecho,
la potencia transformada en una resistencia R en cualquier instante es
Puesto que la corriente está al cuadrado, se ve que la potencia siempre es positiva,
como se grafica en la figura 18-22. La cantidad sen2 vt varía entre 0 y 1; y no es demasiado difícil mostrar que su valor promedio es 1, como se indica en la figura 18-22.
Por tanto, la potencia promedio transformada, g, es
I 2R = 12 I 20R
I 20 R
Potencia
P = I2R = I20 R sen2 vt.
t
g = 12 I 20 R.
Como la potencia también se puede escribir P = V2R = AV20RB sen2 vt, también
se tiene que la potencia promedio es
Tiempo
FIGURA 18-22 Potencia transformada en un resistor en un circuito ca.
V20
.
g = 12
R
El promedio o valor medio del cuadrado de la corriente o voltaje es, por tanto, lo
que importa para calcular la potencia promedio: Y = 12 I 20 y Z = 12 V20 . La raíz
cuadrada de cada uno de éstos es el valor rms (raíz cuadrática media) de la corriente o voltaje:
Irms = 3Y =
Vrms = 3Z =
I0
22
V0
22
= 0.707I0 ,
= 0.707V0 .
(18–8a)
Corriente rms
(18–8b)
Voltaje rms
Los valores rms de V e I a veces se denominan valores efectivos. Estos valores
son útiles porque se pueden sustituir directamente en las fórmulas de potencia
(ecuaciones 18-5 y 18-6), para obtener la potencia promedio:
g = IrmsVrms
g =
1 2
2 I 0R
2
1 V0
2
=
(18–9a)
I 2rmsR
(18–9b)
V2rms
.
=
(18–9c)
R
R
En consecuencia, una corriente directa cuyos valores de I y V sean iguales a los valores rms de I y V para una corriente alterna producirá la misma potencia. Así que,
por lo general, son los valores rms de corriente los que se especifican o miden. Por
ejemplo, en Estados Unidos y Canadá, el voltaje de línea estándar† es de 120 V ca.
Los 120 V son Vrms; el voltaje pico V0 es
g =
V0 = 22 Vrms = 170 V.
En gran parte del mundo (Europa, Australia y Asia), el voltaje rms es de 240 V, de
modo que el voltaje pico es de 340 V.
†
El voltaje de línea puede variar, dependiendo de la carga total; sin embargo, la frecuencia de 60 o
50 Hz permanece constante.
SECCIÓN 18–7
Corriente alterna
507
Motor
EJEMPLO 18-12
Secadora de cabello. a) Calcule la resistencia y la corriente pico en una secadora de cabello de 1000 W (figura 18-23) conectada a una línea
de 120 V. b) ¿Qué ocurrirá si se conecta a una línea de 240 V en Gran Bretaña?
Ventilador
Bobinas
calefactoras
PLANTEAMIENTO Se proporcionan g y Vrms, de modo que Irms = gVrms (ecuación 18-9a o 18-5) y I0 = 12 Irms . Entonces se encuentra R a partir de V IR.
SOLUCIÓN a) Se resuelve la ecuación 18-9a para la corriente rms:
Irms =
Interruptor
g
1000 W
=
= 8.33 A.
Vrms
120 V
Entonces
Cordón
FIGURA 18-23 Secadora de cabello.
La mayor parte de la corriente pasa a
través de las bobinas calefactoras, una
resistencia pura; una pequeña parte va
al motor para activar el ventilador.
Ejemplo 18-12.
I0 = 12 Irms = 11.8 A.
La resistencia es
Vrms
120 V
=
= 14.4 .
R =
Irms
8.33 A
La resistencia se podría calcular igualmente bien con el uso de los valores pico:
V0
170 V
R =
= 14.4 .
=
I0
11.8 A
b) Cuando se conecta a una línea de 240 V, más corriente fluye y la resistencia
cambiará con el aumento de temperatura (sección 18-4). Pero mejor se realiza una
estimación de la potencia transformada con base en la misma resistencia de 14.4
W. La potencia promedio sería
(240 V)2
V2rms
=
= 4000 W.
g =
R
(14.4 )
Esto es cuatro veces la clasificación de potencia de la secadora e indudablemente
fundirá el elemento calefactor o las bobinas de alambre del motor.
EJEMPLO 18-13
Potencia de un estéreo. Cada canal de un receptor estéreo
es capaz de una salida de potencia promedio de 100 W en una bocina de 8 (figura 18-14). ¿Cuáles son el voltaje rms y la corriente rms que alimentan a la bocina
a) en la potencia máxima de 100 W y b) a 1.0 W cuando el volumen se apaga?
PLANTEAMIENTO Suponga que la bocina puede ser tratada como una resistencia simple (lo que no es muy cierto; véase el capítulo 21) con R 8.0 . Se proporciona la potencia P, así que es posible determinar Vrms e Irms mediante las
ecuaciones de potencia (ecuaciones 18-9).
SOLUCIÓN a) Se resuelve la ecuación 18-9c para Vrms y se establece que g = 100 W
(en el máximo):
Vrms = 3 gR = 3(100 W)(8.0 ) = 28 V.
A continuación se resuelve la ecuación 18-9 para Irms y se obtiene
Irms =
g
100 W
=
= 3.5 A.
BR
B 8.0 O se podría usar la ley de Ohm (V IR):
Irms =
Vrms
28 V
=
= 3.5 A.
R
8.0 b) En g = 1.0 W,
Vrms = 3(1.0 W)(8.0 ) = 2.8 V
2.8 V
= 0.35 A.
Irms =
8.0 EJERCICIO F ¿Cuáles serían el voltaje rms y la corriente rms del estéreo en el ejemplo
18-13 si los 100 W se conectan a una bocina de 4 ?
Esta sección constituyó una breve introducción a los aspectos más simples de
las corrientes alternas. En el capítulo 21 se estudiarán los circuitos ca con más detalle. El capítulo 19 sólo se ocupará de los detalles de los circuitos cd.
508
CAPÍTULO 18
Corrientes eléctricas
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18–8 Visión microscópica de la corriente eléctrica
B
+ E
Es útil analizar un modelo simple de la corriente eléctrica en el nivel microscópico
de átomos y electrones. En un alambre conductor, por ejemplo, uno puede imaginar
a los electrones libres en movimiento aleatorio a alta rapidez, rebotando de los átomos
del alambre (un poco como las moléculas de un gas; secciones 13-9 a 13-11). Cuando
en el alambre existe un campo eléctrico (figura 18-24) provocado por una diferencia de
potencial que se aplica entre sus extremos, los electrones sienten una fuerza y comienzan a acelerar. Pero pronto alcanzan una rapidez promedio más o menos estable (por
las colisiones con los átomos en el alambre), conocida como rapidez de deriva, vd .
La rapidez de deriva normalmente es mucho menor que la rapidez aleatoria promedio de los electrones.
vd se puede relacionar con la corriente macroscópica I en el alambre. En un
tiempo t, los electrones recorrerán una distancia l = vd ¢t en promedio. Suponga
que el alambre tiene un área de sección transversal A. Entonces, en el tiempo t, todos los electrones en un volumen V = Al = Avd ¢t pasarán a través de la sección
transversal A del alambre, como se muestra en la figura 18-25. Si existen n electrones libres (cada uno con carga e) por unidad de volumen, entonces el número total
de electrones es N nV (V es volumen, no voltaje), y la carga total Q que pasa a
través del área A en un tiempo t es
¢Q = (número de cargas, N) * (carga por partícula)
= (nV)(e) = AnAvd ¢t B(e).
La corriente I en el alambre es, por tanto,
¢Q
I =
= neAvd .
¢t
(18–10)
–
vBd
FIGURA
18-24 El campo eléctrico
B
E en un alambre proporciona a los
electrones en movimiento aleatorio
una rapidez de deriva vd .
Rapidez de deriva
FIGURA 18-25 Los electrones en el
volumen Al pasarán todos a través de
la sección transversal indicada en un
tiempo ¢t, donde l = vd ¢t.
vBd
A
l = vd ∆t
Corriente (variables microscópicas)
EJEMPLO 18-14
Rapidez de electrones en un alambre. Un alambre de cobre de 3.2 mm de diámetro porta una corriente de 5.0 A. Determine la rapidez de
deriva de los electrones libres. Suponga que un electrón por átomo de Cu está libre para moverse (los otros permanecen ligados al átomo).
PLANTEAMIENTO Se puede aplicar la ecuación 18-10 para calcular la rapidez de
deriva si se determina el número n de electrones libres por unidad de volumen.
Como se supone que existe un electrón libre por átomo, la densidad de electrones
libres, n, es la misma que la densidad de los átomos de Cu. La masa atómica del Cu
es 63.5 u (consulte la tabla periódica en los forros), de modo que 63.5 g de Cu contienen un mol o 6.02 1023 electrones libres. Entonces se usa la densidad de masa
del cobre (tabla 10-1), pD 8.9 103 kgm3, para encontrar el volumen de esta
cantidad, y luego n NV. (Se usa pD para distinguirla de la p de resistividad).
SOLUCIÓN La densidad de masa pD mV está relacionada con el número de
electrones libres por unidad de volumen, n NV, mediante
N (1 mol)
N
N
=
=
r
V
mrD
m (1 mol) D
6.02 * 1023 electrones
= ¢
≤ A8.9 * 103 kgm3 B
63.5 * 10–3 kg
= 8.4 * 1028 m–3.
El área de sección transversal del alambre es
2
A = pr2 = (3.14)A1.6 * 10–3 mB = 8.0 * 10–6 m2.
n =
Entonces, por la ecuación 18-10, la rapidez de deriva es
5.0 A
I
=
neA
A8.4 * 1028 m–3 B A1.6 * 10–19 CB A8.0 * 10–6 m2 B
= 4.7 * 10–5 ms,
que es sólo de aproximadamente 0.05 mms.
NOTA Esta rapidez de deriva se puede comparar con la rapidez real de los electrones libres que rebotan en el interior del metal como moléculas en un gas, que
está calculada en 1.6 106 ms a 20°C.
vd =
SECCIÓN 18–8
Visión microscópica de la corriente eléctrica
509
La rapidez de deriva de los electrones en un alambre es muy baja, sólo de alrededor de 0.05 mms para el ejemplo 18-14, lo que significa que a un electrón le toma 20 103 s, o 51 h, recorrer 1 m. Sin embargo, esto no es la rapidez a la que “viaja
la electricidad”: cuando se acciona el interruptor de la luz, ésta (aunque esté a muchos metros de distancia) se enciende casi instantáneamente porque los campos
eléctricos viajan en esencia a la rapidez de la luz (3 108 ms). Puede pensarse en
los electrones en un alambre como en una tubería llena con agua: cuando una pequeña cantidad de agua entra por un extremo de la tubería, casi de inmediato sale
agua por el otro extremo.
“Rapidez” de la electricidad
Resistividad, r
*
T
TC
FIGURA 18-26 Un material superconductor tiene resistividad cero cuando su temperatura está por debajo de
TC, su “temperatura crítica”. En TC, la
resistividad salta a un valor “normal”
distinto de cero y aumenta con la temperatura como lo hacen la mayoría de
los materiales (ecuación 18-4).
Superconductores
a alta temperatura
18–9 Superconductividad
A temperaturas muy bajas, muy por debajo de 0°C, la resistividad (sección 18-4) de
ciertos metales y ciertos compuestos o aleaciones se vuelve cero, según mediciones
basadas en técnicas de la mayor precisión. Se dice que los materiales en tal estado
son superconductores. Fue H. K. Onnes (1853-1926) quien observó por primera vez
este fenómeno en 1911, cuando enfrió mercurio por debajo de 4.2 K (269°C).
Onnes encontró que, a esta temperatura, la resistencia del mercurio súbitamente se
reducía a cero. En general, los superconductores se convierten en tales sólo por debajo de cierta temperatura de transición o temperatura crítica, TC, que por lo común
está a unos cuantos grados del cero absoluto. Se ha observado que la corriente en
un material superconductor con forma de anillo fluye durante años en ausencia de
una diferencia de potencial, sin disminución mensurable. Las mediciones muestran
que la resistividad p de los superconductores es menor que 4 1025 m, que es
más de 1016 veces menor que la del cobre, y en la práctica se considera que es cero.
Observe la figura 18-26.
Se han realizado extensas investigaciones en torno a la superconductividad para intentar comprender por qué ocurre, y para encontrar materiales que sean superconductores a temperaturas más altas y accesibles, y de este modo reducir el costo y
los inconvenientes de la refrigeración a la muy baja temperatura requerida. Antes
de 1986 la temperatura más alta a la que se encontró un material superconductor
fue de 23 K, y esto requirió helio líquido para mantener frío al material. En 1987 se
desarrolló un compuesto de itrio, bario, cobre y oxígeno (YBCO) que podía ser superconductor a 90 K. Como esta cifra está por arriba de la temperatura de ebullición
del nitrógeno líquido, 77 K, el nitrógeno líquido es suficientemente frío para mantener como superconductor al material. Esto fue un importante adelanto, pues el nitrógeno líquido es mucho más fácil y barato de obtener que el helio líquido que se
necesita para los superconductores convencionales. Desde entonces se ha reportado
superconductividad a temperaturas tan elevadas como 160 K, aunque en compuestos frágiles.
Se sigue realizando considerable investigación para desarrollar superconductores de alta TC como alambres que puedan portar corrientes lo suficientemente intensas como para ser prácticos. La mayoría de las aplicaciones actuales utilizan un
óxido de bismuto-estroncio-calcio-cobre conocido (para abreviar) como BSCCO. Un
gran problema que hay que resolver es cómo producir un alambre utilizable y flexible a partir del BSCCO, que es muy quebradizo. Una solución es incrustar delgados filamentos del superconductor de alta TC en una aleación metálica matriz con el
alambre superconductor enrollado en torno de un tubo que lleve nitrógeno líquido
para mantener al BSCCO por debajo de la TC. El alambre no puede estar libre de resistencia, a causa de las conexiones de plata, pero la resistencia es mucho menor que
la de un cable de cobre convencional.
* 18–10 Conducción eléctrica en el
sistema nervioso humano
Un ejemplo interesante del flujo de carga eléctrica es el sistema nervioso humano,
que proporciona los medios para estar consciente del mundo, para la comunicación
510
CAPÍTULO 18
Corrientes eléctricas
dentro del cuerpo y para controlar los músculos. Aunque el funcionamiento detallado
del enormemente complejo sistema nervioso todavía no se entiende bien, se tiene
una comprensión razonable de cómo se transmiten los mensajes dentro del sistema
nervioso: se trata de señales eléctricas que pasan a lo largo del elemento básico del
sistema nervioso, la neurona.
Las neuronas son células vivientes de forma inusual (figura 18-27). Unidos al
cuerpo celular principal hay varios pequeños apéndices conocidos como dendritas y
un largo tallo llamado axón. Las dendritas reciben las señales, que se propagan a lo
largo del axón. Cuando una señal alcanza las terminaciones nerviosas, se transmite
hacia la siguiente neurona o hacia un músculo en una conexión llamada sinapsis.
(Algunas neuronas tienen células separadas, llamadas células de Schwann, enrolladas en torno a sus axones; ellas forman una vaina en capas denominada vaina de
mielina, que ayuda a aislar unas neuronas de otras).
Las neuronas tienen tres capacidades. Las “neuronas sensoriales” portan mensajes de los ojos, oídos, piel y otros órganos hacia el sistema nervioso central, que
consta del cerebro y la médula espinal. Las “neuronas motoras” portan señales desde el sistema nervioso central hacia músculos particulares y pueden indicarles que
se contraigan. Estos dos tipos de neuronas conforman el “sistema nervioso periférico”, para distinguirlo del sistema nervioso central. El tercer tipo de células nerviosas
son las “interneuronas”, que transmiten señales entre neuronas. Las interneuronas
están en el cerebro y la médula espinal, y con frecuencia están conectadas en un
arreglo increíblemente complejo.
Una neurona, antes de transmitir una señal eléctrica, se encuentra en “estado
de reposo”. Como casi todas las células vivas, las neuronas tienen una carga positiva
neta en la superficie exterior de la membrana celular y una carga negativa en la superficie interior, como se mencionó en la sección 17-11 en relación con los músculos
cardiacos y el ECG. Esta diferencia en carga, o “capa dipolo”, significa que a través
de la membrana celular existe una diferencia de potencial. Cuando una neurona no
transmite una señal, este “potencial de reposo”, normalmente expresado como
Vinterior Vexterior,
por lo general es de 60 mV a 90 mV, dependiendo del tipo de organismo. Los
iones más comunes en una célula son K, Na y Cl. Existen grandes diferencias en
las concentraciones de estos iones dentro y fuera de una célula, como se indica por los
valores típicos que se incluyen en la tabla 18-2. También están presentes otros iones,
de modo que los fluidos tanto dentro como fuera del axón son eléctricamente neutros. En virtud de las diferencias en concentración existe una tendencia para que los
iones se difundan a través de la membrana (véase la sección 13-14 acerca de la difusión). Sin embargo, en el estado de reposo, la membrana celular evita cualquier flujo neto de Na (mediante un mecanismo de “bombeo activo” de Na hacia fuera de
la célula). Pero sí permite el flujo de iones Cl, y menos de los llamados iones K, y
son estos dos tipos de iones los que producen la capa dipolo de carga en la membrana. Puesto que existe mayor concentración de K en el interior de la célula que en
el exterior, más iones K tienden a difundirse hacia el exterior a través de la membrana que a difundirse hacia dentro. Un ión K que pasa a través de la membrana
queda unido a la superficie exterior de ésta y deja detrás una carga negativa igual
que yace en la superficie interior de la membrana (figura 18-28). Los fluidos mismos
permanecen neutros. De hecho, lo que mantiene a los iones en la membrana es su
atracción mutua a través de ella. De manera independiente de este proceso, los iones Cl tienden a difundirse en la célula pues afuera su concentración es mayor. La
difusión de K y Cl tiende a cargar negativamente la superficie interior de la membrana y positivamente la exterior. Conforme la carga se acumula en la superficie de
la membrana, cada vez se vuelve más difícil que se difundan más iones: los iones K
que intentan moverse hacia fuera, por ejemplo, son repelidos por la carga positiva
que ya está ahí. El equilibrio se alcanza cuando la tendencia a difundirse provocada
por la diferencia de concentración es apenas balanceada por la diferencia de potencial eléctrico a través de la membrana. Cuanto mayor sea la diferencia de concentración, mayor será la diferencia de potencial a través de la membrana, la que, como se
mencionó antes, está en el rango de 60 mV a 90 mV.
SECCIÓN 18–10
Señal desde otra neurona
Sinapsis
Dendritas
Cuerpo celular
Núcleo
Axón
Vaina de mielina
Nodo de Ranvier
Sinapsis
Terminaciones nerviosas
Otra neurona o
un músculo
FIGURA 18-27 Esquema simplificado de una neurona típica.
TABLA 18–2
Concentraciones de iones
dentro y fuera de un axón típico
Concentración Concentración
dentro del axón fuera del axón
(mol m3)
(mol m3)
K±
Na±
Cl–
140
15
9
5
140
125
FIGURA 18-28 Cómo se forma una
capa dipolo de carga en la membrana
de una célula.
Na+
K+
–
+
+
–
Fluido
extracelular Cl–
+
–
Axón
–
+
Membrana
–
+
Conducción eléctrica en el sistema nervioso humano
511
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Vexterior
Vinterior
Axón
FIGURA 18-29 Medición de la diferencia de potencial entre el interior y
el exterior de una célula nerviosa.
El aspecto más importante de una neurona no es que tenga un potencial de reposo (la mayoría de las células lo tienen), sino más bien que puede responder a un
estímulo y conducir una señal eléctrica a lo largo de ella. Un nervio puede ser estimulado de varias formas. El estímulo puede ser térmico (por ejemplo, cuando se
toca una estufa caliente) o químico (como en las papilas gustativas); puede ser presión
(como en la piel o en el tímpano) o luz (como en el ojo); o puede ser el estímulo
eléctrico de una señal que proviene del cerebro u otra neurona. En el laboratorio, el
estímulo generalmente es eléctrico y se aplica por medio de una pequeña sonda en
algún punto sobre la neurona. Si el estímulo supera cierto umbral, un pulso de voltaje viajará por el axón. Este pulso de voltaje se puede detectar en un punto sobre
el axón con el uso de un voltímetro o un osciloscopio conectado, como se representa en la figura 18-29. Este pulso de voltaje tiene la forma que se muestra en la figura 18-30 y se llama potencial de acción. Como se observa, el potencial aumenta
desde un potencial de reposo a aproximadamente 70 mV y se vuelve 30 mV o 40
mV positivo. El potencial de acción dura aproximadamente 1 ms y viaja por un axón
con una rapidez de 30 ms a 150 ms. Cuando se estimula un potencial de acción, se
dice que el nervio se ha “disparado”.
60
FIGURA 18-30 Potencial de acción.
Potencial V (mV)
40
20
Tiempo (ms)
0
1
2
3
4
−20
−40
−60
−80
Potencial
de reposo
FIGURA 18-31 Propagación de
un potencial de acción a lo largo
de la membrana de un axón.
Punto de estimulación
Membrana
Exterior
+ – – ++++++++++
– ++ – – – – – – – – – –
Interior
a)
+ – – ++++++++++
– ++ – – – – – – – – – –
b)
– ++ – +++++++++
+ – – + – – – – – – – – –
c)
++++ – ++++++++
– – – – + – – – – – – – –
Potencial de acción que se mueve
hacia la derecha
d)
512
CAPÍTULO 18
Potencial
de acción
¿Qué provoca el potencial de acción? Aparentemente, la membrana celular tiene la habilidad de alterar sus propiedades de permeabilidad. En el punto donde
ocurre el estímulo, la membrana súbitamente se vuelve mucho más permeable a los
iones Na que a los K o Cl. De esa forma, los iones Na se precipitan a la célula
y la superficie interior de la pared adquiere carga positiva, y la diferencia de potencial rápidamente cambia a positiva (L 30 mV en la figura 18-30). Inmediatamente,
la membrana regresa a sus características originales: se vuelve impermeable a Na y
de hecho bombea hacia el exterior iones Na. De nuevo predomina la difusión de
iones Cl y K y el potencial de reposo original se restaura (70 mV en la figura
18-30).
¿Qué causa que el potencial de acción viaje por el axón? El potencial de acción
ocurre en el punto de estimulación, como se ilustra en la figura 18-31a. La membrana, por un momento, es positiva en el interior y negativa en el exterior en este punto. Las cargas cercanas son atraídas hacia esta región, como se indica en la figura
18-31b. Entonces, en estas regiones adyacentes baja el potencial, lo que provoca un
potencial de acción. De este modo, conforme la membrana regresa a la normalidad
en el punto original, junto a él se registra un potencial de acción, de modo que éste
se mueve por el axón (figuras 18-31c y d).
Tal vez el lector se pregunte si el número de iones que pasan a través de la
membrana alterará significativamente las concentraciones. La respuesta es no; y se
puede demostrar por qué si se considera al axón como un capacitor, como en el
ejemplo siguiente.
Corrientes eléctricas
EJEMPLO 18-15 ESTIMACIÓN
Capacitancia de un axón. a) Realice una
estimación del orden de magnitud para la capacitancia de un axón de 10 cm de largo y 10 mm de radio. El grosor de la membrana es de aproximadamente 108 m, y
la constante dieléctrica es 3. b) ¿En qué factor cambia la concentración (número
de iones por volumen) de iones Na en la célula como resultado de un potencial de
acción?
PLANTEAMIENTO Se modela la membrana de un axón como un capacitor de
placas paralelas con forma cilíndrica, con cargas opuestas en cada lado. La separación de las “placas” es el grosor de la membrana, d ≈ 108 m. Primero se calcula el
área del cilindro y luego usa la ecuación 17-9, C = K 0 Ad, para determinar la
capacitancia. En b), se utiliza el cambio de voltaje durante un potencial de acción
para calcular la cantidad de carga que se mueve a través de la membrana.
SOLUCIÓN a) El área A es el área de un cilindro de radio r y longitud l:
A = 2prl L (6.28)A10–5 mB(0.1 m) L 6 * 10–6 m2.
A partir de la ecuación 17-9, se tiene
C = K 0
A
6 * 10–6 m2
L 10–8 F.
L (3) A8.85 * 10–12 C 2N m2 B
d
10–8 m
b) Como el voltaje cambia de 70 mV a casi 30 mV, el cambio total es de aproximadamente 100 mV. Entonces, la cantidad de carga que se mueve es
Q = CV L A10–8 FB(0.1 V) = 10–9 C.
Cada ion porta una carga e 1.6 1019 C, de modo que el número de iones que
fluyen por potencial de acción es Qe = A10 –9 CBA1.6 * 10 –19 CB L 1010. El volumen del axón cilíndrico es
V = pr2l L (3) A10–5 mB (0.1 m) = 3 * 10–11 m3,
2
y la concentración de iones Na en el interior de la célula (tabla 18-2) es
15 molm3 = 15 * 6.02 * 1023 ionesm3 L 1025 ionesm3. Por tanto, la célula
contiene A1025 ionesm3 B * A3 * 10–11 m3 B L 3 * 1014 iones Na±. Entonces, un
potencial de acción cambiará la concentración de iones Na en aproximadamente
1010A3 * 1014 B 13 * 10–4, o 1 parte en 30,000. Este pequeño cambio no sería
mensurable.
De esta manera, incluso 1000 potenciales de acción no alterarán la concentración significativamente. Por tanto, la bomba de sodio no tendrá que remover iones
Na rápidamente después de un potencial de acción, sino que puede operar con lentitud para mantener una concentración relativamente constante.
La propagación de un pulso nervioso como se describe aquí se aplica a un axón
desmielinizado. Los axones mielinizados, por otra parte, están aislados del fluido extracelular por medio de la vaina de mielina excepto en los nodos de Ranvier (figura
18-27). Donde hay vaina de mielina no se puede generar un potencial de acción.
Una vez que tal neurona recibe un estímulo, el pulso todavía viajará por la membrana, pero existirá una resistencia y el pulso se reducirá conforme se mueva por el
axón. No obstante, la señal debilitada todavía puede estimular un potencial de acción de despliegue completo cuando alcance un nodo de Ranvier. Así es como la señal se amplifica varias veces en estos puntos. Comparemos esto con una neurona
desmielinizada, en la que la señal se amplifica de manera continua mediante potenciales de acción repetidos a todo lo largo de ella, lo que requiere mucha más energía. El desarrollo de neuronas mielinizadas constituye un significativo paso
evolutivo, pues ello significa transmisión confiable de pulsos nerviosos con menor
gasto de energía. Y los pulsos viajan más rápidamente, en tanto que la conducción
ordinaria es más rápida que la producción repetida de potenciales de acción, cuya
rapidez depende del flujo de iones a través de la membrana.
SECCIÓN 18–10
Conducción eléctrica en el sistema nervioso humano
513
Resumen
Una batería eléctrica funciona como fuente de diferencia de potencial casi constante al transformar energía química en energía
eléctrica. Una batería simple consiste en dos electrodos hechos de
diferentes metales sumergidos en una solución o pasta conocida
como electrolito.
La corriente eléctrica, I, se refiere a la tasa de flujo de carga
eléctrica y se mide en amperes (A): 1 A es igual al flujo de 1 Cs
que pasa por un punto dado.
La dirección de la corriente convencional es la del flujo de
carga positiva. En un alambre, en realidad son los electrones cargados negativamente los que se mueven, de modo que fluyen en
una dirección opuesta a la corriente convencional. Un flujo de
carga positiva en una dirección casi siempre es equivalente a un
flujo de carga negativa en la dirección opuesta. La corriente convencional positiva siempre fluye de un alto potencial a un bajo
potencial.
La resistencia R de un dispositivo se define mediante la relación
V = IR,
(18-2)
donde I es la corriente en el dispositivo cuando se aplica una diferencia de potencial V a través de él. Para los materiales como los
metales, R es una constante independiente de V (por ende, I V),
un resultado que se conoce como ley de Ohm. En consecuencia,
la corriente I proveniente de una batería de voltaje V depende de la
resistencia R del circuito conectado a ella.
El voltaje se aplica mediante un dispositivo o entre los extremos de un alambre. La corriente pasa a través de un alambre o dispositivo. La resistencia es una propiedad del alambre o dispositivo.
La unidad de resistencia es el ohm (); donde 1 1 VA.
Vea la tabla 18-3.
P = IV,
que para los resistores se expresa como
P = I 2R =
1 A = 1 Cs
1 V = 1 JC
1 W = 1 Js
1 = 1 VA
La resistencia R de un alambre es inversamente proporcional a su área de sección transversal A y directamente proporcional
a su longitud l y a una propiedad del material llamada resistividad:
rL
.
A
V2 .
R
(18-6)
La unidad SI de potencia es el watt (1 W 1 Js).
La energía eléctrica total transformada en cualquier dispositivo es igual al producto de la potencia y el tiempo durante el que
el dispositivo está en funcionamiento. En unidades SI, la energía
está dada en joules (1 J = 1 W s), pero las compañías eléctricas
emplean una unidad más grande, el kilowatt-hora (1 kWh 3.6
106 J).
La corriente eléctrica puede ser corriente directa (cd), en la
que la corriente es estable en una dirección; o corriente alterna
(ca), en la que la corriente invierte su dirección a una frecuencia
particular f, generalmente de 60 Hz. Las corrientes alternas típicas son sinusoidales en el tiempo
I = I0 sen vt,
(18-7)
donde v = 2pf, y se producen mediante un voltaje alterno.
Los valores rms de las corrientes y voltajes alternos sinusoidales están dados por
Irms =
I0
22
I = neAvd ,
R =
(18-5)
y
Vrms =
V0
22
,
(18-8)
respectivamente, donde I0 y V0 son los valores pico. La relación
de potencia, P = IV = I 2R = V 2R, es válida para la potencia
promedio en las corrientes alternas cuando se usan los valores
rms de V e I.
[*La corriente en un alambre, a nivel microscópico, se considera como una rapidez de deriva de los electrones baja, v d . La
corriente I está dada por
TABLA 18-3 Resumen de unidades
Corriente
Diferencia de potencial
Potencia
Resistencia
La tasa a la que la energía se transforma en una resistencia
R de eléctrica a otras formas de energía (como calor y luz) es
igual al producto de la corriente y el voltaje. Esto es, la potencia
transformada, medida en watts, está dada por
(18-3)
La resistividad, r, aumenta con la temperatura para los metales,
pero para los semiconductores puede disminuir.
(18-10)
donde n es el número de electrones libres por unidad de volumen, e es la carga en un electrón y A es el área de sección transversal del alambre].
[*A temperaturas muy bajas, ciertos materiales se vuelven
superconductores, lo que significa que sus resistencias eléctricas
se vuelven cero].
[*El sistema nervioso humano opera mediante conducción
eléctrica: cuando un nervio “se dispara”, una señal eléctrica viaja
como un pulso de voltaje llamado potencial de acción].
Preguntas
1. ¿Qué cantidad se mide con la clasificación de una batería dada en ampere-horas (A h)?
2. Cuando una pila eléctrica se conecta a un circuito, los electrones fluyen alejándose de la terminal negativa en el circuito. Pero dentro de la pila, los electrones fluyen hacia la
terminal negativa. Explique este fenómeno.
3. Cuando una linterna se enciende, ¿qué se usa: corriente de
batería, voltaje de batería, energía de batería, potencia de batería o resistencia de batería? Explique su respuesta.
514
CAPÍTULO 18
Corrientes eléctricas
4. Se dice que una terminal de una batería de automóvil está
conectada a “tierra”. Pero en realidad no está conectada a
tierra, ¿qué significa entonces esta expresión?
5. Cuando se abre un grifo de agua, el agua casi siempre fluye
de inmediato. Uno no tiene que esperar para que el agua fluya de la válvula a la espita. ¿Por qué no? ¿Lo mismo es cierto cuando se conecta un alambre a las terminales de una
batería?
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6. ¿Un alambre de cobre y un alambre de aluminio de la misma
longitud pueden tener la misma resistencia? Explique su respuesta.
7. Si la resistencia de un pequeño calefactor de inmersión (para
calentar el agua para té o sopa, figura 18-32) se aumenta, esto ¿acelerará o frenará el proceso de calentamiento? Explique su respuesta.
FIGURA 18-32
12. ¿Cuál bombilla extrae más corriente: una de 100 W o una de
75 W? ¿Cuál tiene la mayor resistencia?
13. La potencia eléctrica se transfiere a través de grandes distancias a muy altos voltajes. Explique cómo el alto voltaje reduce las pérdidas de potencia en las líneas de transmisión.
14. Un fusible de 15 A se quema repetidamente. ¿Por qué es peligroso sustituir este fusible con uno de 25 A?
15. Cuando las luces eléctricas se operan a ca de baja frecuencia
(por ejemplo, 5 Hz), titilan notablemente. ¿Por qué?
16. Activados por una potencia ca, los mismos electrones pasan
de ida y vuelta a través de una lámpara para lectura una y
otra vez. Explique por qué la luz permanece encendida en lugar de apagarse después del primer paso de electrones.
17. El elemento calefactor en un tostador está hecho de alambre
de nicromo. Inmediatamente después de que el tostador se
enciende, la corriente (Irms) en el alambre ¿aumenta, disminuye o permanece constante? Explique su respuesta.
18. ¿Se emplea corriente en un resistor? Explique su respuesta.
19. Diferentes lámparas pueden tener baterías conectadas en
cualquiera de los dos arreglos que se muestran en la figura
18-33. ¿Cuáles serían las ventajas de cada esquema?
Pregunta 7.
8. Si un sólido rectangular hecho de carbono tiene lados de longitudes a, 2a y 3a, ¿cómo deberían conectarse los alambres de
una batería de modo que se obtenga a) la menor resistencia,
b) la mayor resistencia?
9. La ecuación P V 2R indica que la potencia disipada en un
resistor disminuye si la resistencia aumenta, mientras que la
ecuación P I 2R significa lo opuesto. ¿Esto implica contradicción? Explique su respuesta.
10. ¿Qué ocurre cuando una bombilla se quema?
11. Explique por qué las bombillas casi siempre se queman cuando se encienden por primera vez y no después de que han estado encendidas algún tiempo.
+
+
+
+
b)
a)
FIGURA 18-33
Pregunta 19.
Problemas
18-2 y 18-3
Corriente eléctrica, resistencia, ley de Ohm
19
(Nota: La carga en un electrón es 1.60 10 C).
1. (I) Una corriente de 1.30 A fluye en un alambre. ¿Cuántos
electrones fluyen por segundo por un punto cualquiera en el
alambre?
2. (I) Una estación de servicio carga una batería utilizando una
corriente de 6.7 A durante 5.0 h. ¿Cuánta carga pasa a través
de la batería?
3. (I) ¿Cuál es la corriente en amperes si 1200 iones Na fluyen
a través de la membrana de una célula en 3.5 ms? La carga en
el sodio es la misma que un electrón, pero positiva.
4. (I) ¿Cuál es la resistencia de un tostador si 120 V producen
una corriente de 4.2 A?
5. (I) ¿Qué voltaje producirá 0.25 A de corriente a través de un
resistor de 3800 ?
6. (II) Una secadora de cabello extrae 7.5 A cuando se conecta
a una línea de 120 V. a) ¿Cuál es su resistencia? b) ¿Cuánta
carga pasa a través de ella en 15 min? (Suponga corriente directa).
7. (II) Una secadora de ropa eléctrica tiene un elemento calefactor con una resistencia de 9.6 . a) ¿Cuál es la corriente
en el elemento cuando está conectado a 240 V? b) ¿Cuánta
carga pasa a través del elemento en 50 min?
8. (II) Una batería de 9.0 V está conectada a una bombilla cuya
resistencia es de 1.6 . ¿Cuántos electrones dejan la batería
por minuto?
Problemas
515
9. (II) Una ave se sostiene en una línea de transmisión eléctrica
de cd que porta 2800 A (figura 18-34). La línea tiene 2.5 105 de resistencia por metro y las patas del ave están separadas 4.0 cm. ¿Cuál es la diferencia de potencial entre las
patas del ave?
21. (II) Un sólido rectangular hecho de carbono tiene lados de
longitudes 1.0, 2.0 y 4.0 cm, que se encuentran a lo largo de los
ejes x, y y z, respectivamente (figura 18-35). Determine la resistencia para la corriente que pasa a través del sólido en a)
la dirección x, b) la dirección y y c) la dirección z. La resistividad es r 3.0 105 m.
4.
0
cm
y
2.0 cm
x
z
FIGURA 18-34 Problema 9.
10. (II) Un dispositivo eléctrico extrae 6.50 A a 240 V. a) Si el
voltaje disminuye un 15%, ¿cuál será la corriente, si se supone que todo lo demás permanece igual? b) Si la resistencia
del dispositivo se redujese un 15%, ¿qué corriente se extraería a 240 V?
11. (II) Una batería de 12 V provoca una corriente de 0.60 A a
través de un resistor. a) ¿Cuál es su resistencia y b) cuántos
joules de energía pierde la batería por minuto?
18-4
Resistividad
12. (I) ¿Cuál es el diámetro de un alambre de tungsteno de 1.00
m de largo cuya resistencia es de 0.32 ?
13. (I) ¿Cuál es la resistencia de un alambre de cobre de 3.5 m
de longitud y 1.5 mm de diámetro?
14. (II) Calcule la razón entre la resistencia de 10.0 m de alambre de aluminio con 2.0 mm de diámetro y la de 20.0 m de
alambre de cobre con 2.5 mm de diámetro.
15. (II) ¿Un alambre de cobre de 2.5 mm de diámetro puede tener la misma resistencia que un alambre de tungsteno de la
misma longitud? Proporcione detalles numéricos.
1.0 cm
FIGURA 18-35
Problema 21.
22. (II) Dos alambres de aluminio tienen la misma resistencia. Si
uno tiene el doble de longitud que el otro, ¿cuál es la razón
entre el diámetro del alambre más largo y el diámetro del
alambre más corto?
*23. (II) Un alambre de aluminio se conecta a un suministro de
potencia de precisión de 10.00 V, y se mide precisamente una
corriente de 0.4212 A a 20.0°C. El alambre se coloca en un
nuevo ambiente de temperatura desconocida donde la corriente es de 0.3618 A. ¿Cuál es la temperatura desconocida?
24. (III) Una alambre de 10.0 m de longitud está formado por
5.0 m de cobre seguido por 5.0 m de aluminio, ambos de 1.0
mm de diámetro. A través del alambre compuesto se coloca
una diferencia de voltaje de 85 mV. a) ¿Cuál es la resistencia
total (suma) de los dos alambres? b) ¿Cuál es la corriente a
través del alambre? c) ¿Cuáles son los voltajes a través de la
parte de aluminio y a través de la parte de cobre?
*25. (III) Para algunas aplicaciones, es importante que el valor de
una resistencia no cambie con la temperatura. Por ejemplo,
suponga que se elabora un resistor de 4.70 k a partir de un
resistor de carbono y un resistor de alambre devanado de nicromo conectados juntos de modo que la resistencia total es
la suma de sus resistencias separadas. ¿Qué valor debe tener
cada uno de estos resistores (a 0°C) de modo que la combinación sea independiente de la temperatura?
16. (II) Cierto alambre de cobre tiene una resistencia de 10.0 .
¿En qué punto a lo largo de él se debe cortar el alambre de
modo que la resistencia de una pieza sea 4.0 veces la resistencia de la otra? ¿Cuál es la resistencia de cada pieza?
18-5 y 18-6
*17. (II) ¿Cuánto tendría que elevarse la temperatura de un alambre de cobre (originalmente a 20°C) para aumentar su resistencia en un 15%?
26. (I) El elemento calefactor de un horno eléctrico está diseñado para producir 3.3 kW de calor cuando se conecta a una
fuente de 240 V. ¿Cuál debe ser la resistencia del elemento?
*18. (II) Estime a qué temperatura el cobre tendrá la misma resistividad que el tungsteno tiene a 20°C.
27. (I) ¿Cuál es el consumo de potencia máxima de un reproductor de discos compactos portátil de 3.0 V que extrae un máximo de 320 mA de corriente?
*19. (II) Una bombilla de 100 W tiene una resistencia cercana a
12 cuando está fría (20°C) y de 140 cuando está encendida (caliente). Estime la temperatura del filamento cuando está caliente, si se supone un coeficiente de temperatura de
resistividad promedio 0.0060 (C°)1.
20. (II) Calcule la caída de voltaje a lo largo de un alambre de
cobre casero del número 14 de 26 m de longitud (usado en
circuitos de 15 A). El alambre tiene un diámetro de 1.628
mm y porta una corriente de 12 A.
516
CAPÍTULO 18
Corrientes eléctricas
Potencia eléctrica
28. (I) ¿Cuál es el voltaje máximo que se puede aplicar a través
de un resistor de 2.7 k clasificado a 143 de watt?
29. (I) a) Determine la resistencia, y la corriente a través de una
bombilla de 75 W conectada a su fuente de voltaje apropiada
de 120 V. b) Repita el cálculo para una bombilla de 440 W.
30. (II) El calefactor de 115 V de una pecera está clasificado en
110 W. Calcule a) la corriente a través del calefactor cuando
está en funcionamiento y b) su resistencia.
31. (II) Una secadora de cabello de 120 V tiene dos configuraciones: 850 y 1250 W. a) ¿En cuál configuración se espera que
la resistencia sea mayor? Después de hacer una suposición,
determine la resistencia en b) la configuración más baja y c)
la configuración más alta.
32. (II) Una persona compra en Europa una bombilla de 75 W,
donde la electricidad se entrega a los hogares a 240 V. Si la
bombilla se usa en Estados Unidos a 120 V (suponiendo que
su resistencia no cambia), ¿qué tan brillante será en relación
con las bombillas de 75 W y 120 V? [Sugerencia: Suponga que
la brillantez es proporcional a la potencia consumida].
33. (II) ¿Cuántos kWh de energía usa un tostador de 550 W en la
mañana, si está en funcionamiento durante 15 min? A un
costo de 9.0 centavoskWh, estime cuánto sumaría esto a la
factura mensual de consumo eléctrico si el tostador se utiliza
cuatro mañanas a la semana.
34. (II) A $0.095 por kWh, ¿cuánto cuesta dejar encendida día y
noche la luz de 25 W del porche durante un año?
35. (II) Una linterna ordinaria usa dos baterías tipo D de 1.5 V
conectadas en serie como en la figura 18-4b (figura 18-36).
La bombilla extrae 450 mA cuando está encendida. a) Calcule la resistencia de la bombilla y la potencia disipada. b) ¿En
qué factor aumentaría la potencia si se usaran cuatro pilas D
en serie con la misma bombilla? (Ignore los efectos de calentamiento del filamento). ¿Por qué no se debe intentar esto?
FIGURA 18-36 Problema 35.
36. (II) ¿Cuál es la cantidad total de energía almacenada en una
batería de automóvil de 12 V y 85 A h cuando está completamente cargada?
37. (II) ¿Cuántas bombillas de 100 W, conectadas a 120 V como en
la figura 18-20, se pueden usar sin quemar un fusible de 15 A?
38. (II) Un cordón de extensión hecho de dos alambres de 0.129 cm
de diámetro (alambre de cobre del número 16) y 2.7 m (9 ft) de
largo se conecta a un calefactor eléctrico que extrae 15.0 A en
una línea de 120 V. ¿Cuánta potencia se disipa en el cordón?
39. (II) Una estación eléctrica entrega 620 kW de potencia a
12,000 V a una fábrica mediante alambres con resistencia total de 3.0 . ¿Cuánta potencia deja de desperdiciarse si la
electricidad se entrega a 50,000 V en lugar de a 12,000 V?
40. (III) La corriente en un electroimán conectado a una línea
de 240 V es de 17.5 A. ¿A qué tasa debe pasar el agua de enfriamiento sobre las bobinas, si la temperatura del agua no se
debe elevar en no más de 7.50 C°?
41. (III) Un pequeño calefactor de inmersión se utiliza en un automóvil con el fin de calentar una taza de agua para preparar
café o té. Si el calefactor es capaz de calentar 120 mL de agua
de 25 a 95°C en 8.0 min, a) ¿aproximadamente cuánta corriente extrae de la batería de 12 V del automóvil, y b) cuál
es su resistencia? Suponga que el fabricante anuncia un 60%
de eficiencia.
18-7
Corriente alterna
42. (I) Calcule la corriente pico en un resistor de 2.2 k conectado a una fuente de ca de 220 V rms.
43. (I) Un voltaje ca, cuyo valor pico es de 180 V, atraviesa un resistor de 330 . ¿Cuáles son las corrientes rms y pico en el
resistor?
44. (II) Estime la resistencia de los circuitos de 120 Vrms en una
casa, como los ve la compañía eléctrica, cuando a) todos los
aparatos eléctricos están desconectados y b) hay una sola
bombilla de 75 W encendida.
45. (II) El valor pico de una corriente alterna en un dispositivo
de 1500 W es de 5.4 A. ¿Cuál es el voltaje rms a través de él?
46. (II) Una soldadora de arco de 1800 W está conectada a una
línea ca de 660 Vrms. Calcule a) el voltaje pico y b) la corriente pico.
47. (II) a) ¿Cuál es la máxima potencia instantánea disipada por
una bomba de 3.0 hp conectada a una fuente de potencia ca
de 240 Vrms? b) ¿Cuál es la corriente máxima que pasa a través de la bomba?
48. (II) Una bobina calefactora, conectada a una línea ca de 240
Vrms, tiene una resistencia de 34 . a) ¿Cuál es la potencia
promedio usada? b) ¿Cuáles son los valores máximo y mínimo de la potencia instantánea?
* 18-8 Visión microscópica de la corriente eléctrica
* 49. (II) Un alambre de cobre de 0.65 mm de diámetro porta una
pequeña corriente de 2.3 mA. ¿Cuál es la rapidez de deriva
de los electrones en el alambre?
50.
(II) Un alambre de 2.0 mm de diámetro y 5.80 m de longitud
*
porta una corriente de 750 mA cuando a sus extremos se
aplican 22.0 mV. Si la rapidez de deriva es de 1.7 105 ms,
determine a) la resistencia R del alambre, b) la resistividad r
y c) el número n de electrones libres por unidad de volumen.
51.
(III)
En un punto alto en la atmósfera de la Tierra, los iones
*
de He2 en una concentración de 2.8 1012m3 se mueven
hacia el norte con una rapidez de 2.0 106 ms. Además, una
concentración de 7.0 1011m3 de iones O 2– se mueven hacia
el sur con una rapidez de 7.2 106 ms. Determine la magnitud y dirección de la corriente neta que pasa a través de unidad de área (Am2).
* 18-10 Conducción nerviosa
* 52. (I) ¿Cuál es la magnitud del campo eléctrico a través de la
membrana de un axón de 1.0 108 m de grosor, si el potencial de reposo es de 70 mV?
* 53. (II) Una neurona es estimulada con un pulso eléctrico. El potencial de acción se detecta en un punto 3.40 cm abajo del
axón, 0.0052 s más tarde. Cuando el potencial de acción se
detecta a 7.20 cm del punto de estimulación, el tiempo requerido es de 0.0063 s. ¿Cuál es la rapidez del pulso eléctrico a lo
largo del axón? (¿Por qué se necesitan las dos mediciones en
lugar de sólo una?)
* 54. (III) Estime cuánta energía se requiere para transmitir un
potencial de acción a lo largo del axón del ejemplo 18-15.
[Sugerencia: Considere que la energía para transmitir un pulso es equivalente a la energía almacenada al cargar la capacitancia del axón; consulte la sección 17-9]. ¿Qué potencia
mínima promedio se requiere para que 104 neuronas transmitan cada una 100 pulsos por segundo?
* 55. (III) Durante un potencial de acción, iones Na se mueven
dentro de la célula a una tasa de 3 107 molm2s. ¿Cuánta
potencia debe producir el sistema de “bombeo activo de
Na” para producir este flujo contra una diferencia de potencial de 30 mV? El axón mide 10 cm de largo y tiene 20 mm
de diámetro.
Problemas
517
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Problemas generales
56. ¿Cuántos coulombs hay en 1.00 ampere-hora?
57. ¿Cuál es la corriente promedio extraída por un motor de 1.0 hp
y 120 V? (1 hp 746 W).
58. Una persona accidentalmente deja encendidas las luces de su
automóvil. Si cada uno de los dos faros es de 40 W y cada
una de las dos luces traseras es de 6 W, para un total de 92 W,
¿cuánto durará una batería nueva de 12 V si está clasificada a
95 A h? Suponga que los 12 V aparecen a través de cada
bombilla.
59. El elemento calefactor de un calentador de 1500 W y 110 V
mide 5.4 m de largo. Si está hecho de hierro, ¿cuál debe ser
su diámetro?
60. La conductancia G de un objeto se define como el recíproco
de la resistencia R; es decir, G 1R. La unidad de la conductancia es el mho ( ohm1), que también se llama siemens (S). ¿Cuál es la conductancia (en siemens) de un objeto
que extrae 730 mA de corriente a 3.0 V?
61. Una pequeña ciudad requiere aproximadamente 10 MW de
potencia. Suponga que, en lugar de usar líneas de alto voltaje
para suministrar la potencia, ésta se entrega a 120 V. Si se supone una línea de dos alambres, con alambres de cobre de
0.50 cm de diámetro, estime el costo de la pérdida de energía
por calor por hora por metro. El costo de la electricidad es de
10 centavos por kWh.
62. a) Una casa particular usa un calefactor de 1.8 kW 3.0 hdía
(tiempo “encendido”), cuatro bombillas de 100 W 6.0 hdía,
un elemento de estufa eléctrica de 3.0 kW durante un total
de 1.4 hdía, y potencia diversa que representa 2.0 kWhdía.
Si la electricidad cuesta $0.105 por kWh, ¿cuál será su facturación mensual (30 d)? b) ¿Cuánto carbón (que produce
7000 kcalkg) debe quemar una planta eléctrica que es un
35% eficiente para proporcionar las necesidades anuales de
esta casa?
63. Una longitud de alambre se corta a la mitad y las dos piezas
se enrollan juntas lado a lado para hacer un alambre más
grueso. ¿Cómo se compara la resistencia de esta nueva combinación con la resistencia del alambre original?
64. Una secadora de cabello de 1200 W está diseñada para 117 V.
a) ¿Cuál será el cambio porcentual en la salida de potencia si
el voltaje cae a 105 V? Suponga que no hay cambio en la resistencia. b) ¿Cómo afectaría su respuesta el cambio real en
resistividad?
65. El alambrado de una casa debe ser lo suficientemente grueso
de modo que no se caliente demasiado como para iniciar un
incendio. ¿Qué diámetro debe tener un alambre de cobre si
debe portar una corriente máxima de 35 A y no producir más
de 1.8 W de calor por metro de longitud?
66. Suponga que una corriente está dada por la ecuación I 1.80 sen 210t, donde I está en amperes y t en segundos. a)
¿Cuál es la frecuencia? b) ¿Cuál es el valor rms de la corriente? c) Si ésta es la corriente a través de un resistor de 42.0 ,
anote la ecuación que describe el voltaje como función del
tiempo.
67. Un horno de microondas que tiene una eficiencia del 65%
entrega 950 W de energía por segundo al interior. Calcule a)
la potencia extraída de la fuente y b) la corriente extraída.
Suponga una fuente de voltaje de 120 V.
518
CAPÍTULO 18
Corrientes eléctricas
68. Un alambre de 1.00 se estira uniformemente a 3.00 veces
su longitud original. ¿Cuál es ahora su resistencia?
69. A dos diferentes conductores hechos del mismo material se
aplican 220 V. Un conductor tiene el doble de longitud y el
doble de diámetro que el segundo. ¿Cuál es la razón de la
potencia transformada en el primero en relación con el segundo?
70. Un calefactor eléctrico se usa para calentar una habitación
de 62 m3 de volumen. El aire se lleva a la habitación a 5°C y
es sustituido por completo dos veces por hora. La pérdida de
calor a través de las paredes representa aproximadamente
850 kcalh. Si el aire se va a mantener a 20°C, ¿qué wattaje mínimo debe tener el calefactor? (El calor específico del aire es
de 0.17 kcalkgC°).
71. Un horno de 2200 W está conectado a una fuente de 240 V. a)
¿Cuál es la resistencia del horno? b) ¿Cuánto tiempo tardará
en llevar 120 mL de agua a 15°C a 100°C, si se supone una
eficiencia del 75%? c) ¿Cuánto costará esto a 11 centavoskWh?
72. Un proyecto de vehículo eléctrico utiliza baterías de almacenamiento como su fuente de energía. Su masa es de 1560 kg
y es activado por 24 baterías, cada una de 12 V y 95 A h. El
automóvil es conducido sobre caminos a nivel a una rapidez
promedio de 45 kmh, y la fuerza de fricción promedio es de
240 N. Suponga una eficiencia del 100% e ignore la energía
utilizada para la aceleración. Cuando el vehículo está detenido no se consume energía, pues el motor no necesita marchar
en vacío. a) Determine la potencia requerida. b) ¿Después de
aproximadamente cuántos kilómetros se deben recargar las
baterías?
73. Un resistor de 12.5 está hecho de una bobina de alambre
de cobre cuya masa total es de 18.0 g. ¿Cuál es el diámetro
del alambre y cuál es su longitud?
74. Una bombilla de 100 W y 120 V tiene una resistencia de 12 cuando está fría (20°C) y de 140 cuando está encendida
(caliente). Calcule su consumo de potencia a) en el instante
en que se enciende y b) después de unos cuantos momentos,
cuando está caliente.
* 75. El acelerador Tevatrón en el Fermilab (Illinois) está diseñado
para portar un haz de protones de 11 mA que viajan a una
rapidez muy cercana a la de la luz (3.0 108 ms) alrededor
de un anillo de 6300 m de circunferencia. ¿Cuántos protones
se almacenan en el haz?
76. Un acondicionador de aire extrae 12 A a 220 V ca. El cordón
de conexión es alambre de cobre con un diámetro de 1.628
mm. a) ¿Cuánta potencia extrae el acondicionador de aire?
b) Si la longitud total del alambre es de 15 m, ¿cuánta potencia se disipa en el cableado? c) Si en vez de ello se usó alambre del número 12 con diámetro de 2.053 mm, ¿cuánta
potencia se disiparía? d) Si se supone que el acondicionador
de aire está en funcionamiento 12 h por día, ¿cuánto dinero
por mes (30 días) se ahorraría usando alambre del número
12? El costo de la electricidad es de 12 centavos por kWh.
77. El calefactor de una pecera está clasificado en 95 W cuando
se conecta a 120 V. El elemento calefactor es una bobina de
alambre de nicromo. Cuando no está enrollado, el alambre
tiene una longitud total de 3.8 m. ¿Cuál es el diámetro del
alambre?
78. En un automóvil, el voltaje del sistema varía desde 12 V,
cuando el carro está apagado, hasta 13.8 V cuando está encendido y el sistema de carga está en operación, lo que significa una diferencia del 15%. ¿En qué porcentaje varía la
potencia entregada a los faros conforme el voltaje cambia de
12 V a 13.8 V? Considere que la resistencia del faro permanece constante.
79. La bombilla A está clasificada en 120 V y 40 W para uso doméstico. La bombilla B está clasificada en 12 V y 40 W para
aplicaciones automotrices. a) ¿Cuál es la corriente a través de
cada bombilla? b) ¿Cuál es la resistencia de cada una? c) En
una hora, ¿cuánta carga pasa a través de cada bombilla? d)
En una hora, ¿cuánta energía utiliza cada una? e) ¿Cuál de
ellas requiere alambres de mayor diámetro para conectarse a
su fuente de potencia?
80. Para conectar un conjunto de aparatos a 120 V, que extraen
una potencia total de 2250 W, se usa alambre de cobre de
0.259 cm de diámetro. a) ¿Qué potencia se desperdicia en
25.0 m de este alambre? b) ¿Cuál es su respuesta si se utiliza
alambre de 0.412 cm de diámetro?
81. Una tubería de cobre tiene un diámetro interior de 3.00 cm y
un diámetro exterior de 5.00 cm (figura 18-37). ¿Cuál es la
resistencia de 10.0 m de esta tubería?
3.00 cm
5.00 cm
FIGURA 18-37
Problema 81.
82. Si un alambre de resistencia R se estira uniformemente de
modo que su longitud se duplique, ¿en qué factor cambia la
potencia disipada en el alambre, si se supone que permanece
conectado a la misma fuente de voltaje?
* 83. Un filamento de tungsteno usado en la bombilla de una linterna opera a 0.20 A y 3.2 V. Si su resistencia a 20°C es de 1.5
, ¿cuál es la temperatura del filamento cuando la linterna
está encendida?
Respuestas a los ejercicios
A:
B:
C:
D:
1.6 1013 A.
240 .
110 m.
370,000 kg, o aproximadamente 5000 personas.
E: 1800 W a 120 V extraen una corriente de 15 A. Los alambres
en el cordón de extensión clasificado en 11 A se podrían calentar lo suficiente como para derretir el aislamiento y provocar un incendio.
F: 20 V, 5.0 A.
Problemas generales
519
Este reproductor portátil MP3-CD
contiene circuitos que son cd, al menos en parte. (La señal de audio es
ca). El diagrama de circuito que lo
acompaña muestra un posible circuito
amplificador para cada canal estéreo. El gran triángulo es un chip amplificador que contiene transistores,
y aunque los demás elementos del
circuito, resistores y capacitores, ya
se han estudiado, ahora se les analizará en los circuitos. También nos
ocuparemos de los voltímetros y amperímetros, cómo se fabrican y cómo
se emplean para realizar mediciones.
15 V
470 mF
CAPÍTULO
19
2.2 mF
Entrada
a cada
canal
2.2 mF
470 mF
IC3
0.1 mF
50 k
47 k
2.2 mF
Audífonos
8
2.7 k
Circuitos CD
L
TABLA 19–1 Símbolos para
elementos de circuito
Símbolo
Dispositivo
±
Batería
ƒ o
Capacitor
Resistor
Alambre con
resistencia
despreciable
Interruptor
o
Tierra
os circuitos eléctricos son partes básicas de todos los dispositivos electrónicos,
desde los aparatos de radio y la televisión hasta las computadoras y automóviles. Las mediciones científicas, desde la física a la biología y la medicina,
utilizan circuitos eléctricos. En el capítulo 18 se estudiaron los principios básicos de
la corriente eléctrica. Ahora se aplicarán esos principios para analizar los circuitos
cd que incluyen combinaciones de baterías, resistores y capacitores. También se estudiará la operación de algunos instrumentos útiles.†
Cuando se dibuja un diagrama para un circuito, las baterías, capacitores y resistores se representan con los símbolos que se presentan en la tabla 19-1. Los alambres cuya resistencia es despreciable en comparación con otra resistencia en el
circuito se dibujan simplemente como líneas rectas. Algunos diagramas de circuito
incluyen un símbolo de tierra (
o
) que puede significar una conexión real a
tierra, por ejemplo, a través de una tubería de metal, o simplemente puede significar
una conexión común, como el chasis de un automóvil).
En la mayor parte de este capítulo, excepto la sección 19-6 acerca de circuitos
RC, el interés se centrará en los circuitos que operan en su estado estacionario. Es
decir, no se observará un circuito en el momento en que sobre él se realiza un cambio, como cuando una batería o un resistor se conecta o se desconecta, sino más bien
poco tiempo después de que las corrientes han alcanzado sus valores estables.
19–1 Fem y voltaje en terminales
Definición de fem
Para tener una corriente en un circuito eléctrico se necesita un dispositivo, como
una batería o un generador eléctrico, que transforme un tipo de energía (química,
mecánica o luz) en energía eléctrica. A tal dispositivo se le llama fuente de fuerza
electromotriz o de fem. (El término “fuerza electromotriz” es un nombre equívoco
pues no se refiere a una “fuerza” que se mida en newtons. Por eso, para evitar confusión, en el texto se preferirá el uso de la abreviatura fem). La diferencia de potencial
entre las terminales de tal fuente, cuando no fluye corriente hacia un circuito externo, se llama la fem de la fuente. Por lo general se usa el símbolo e para fem (no hay
que confundir con E de campo eléctrico) y su unidad es el volt.
†
Los circuitos ca que contienen sólo una fuente de voltaje y resistores se pueden analizar como los
circuitos cd en este capítulo. Sin embargo, los circuitos ca que contienen capacitores y otros elementos de circuito son más complicados, y se estudiarán en el capítulo 21.
520
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Una batería no es una fuente de corriente constante: la corriente que sale de una
batería varía de acuerdo con la resistencia en el circuito. Sin embargo, una batería es
una fuente de voltaje casi constante, pero no perfectamente constante, como se explicará a continuación. Es posible que el lector haya notado en su propia experiencia
que, cuando se extrae una corriente de una batería, la diferencia de potencial (voltaje)
a través de sus terminales cae por debajo de su fem de clasificación. Por ejemplo, si se
enciende un automóvil con los faros encendidos, podrá notarse que los faros se apagan por un momento. Esto ocurre porque el arranque extrae una gran corriente, y el
voltaje de la batería disminuye como consecuencia. La caída de voltaje ocurre porque
las reacciones químicas en una batería no pueden suministrar carga lo suficientemente rápido como para mantener la fem completa. Por una razón: la carga se debe mover
(dentro del electrolito) entre los electrodos de la batería, y siempre existe algún obstáculo para el flujo completamente libre. Por tanto, una batería en sí tiene alguna resistencia, que se llama resistencia interna, y generalmente se designa como r.
Una batería real está modelada como si fuese una fem e perfecta en serie con
un resistor r, como se muestra en la figura 19-1. Como esta resistencia r está en el interior de la batería, nunca se le puede separar de la batería. Los puntos a y b en el
diagrama representan las dos terminales de la batería. Lo que se mide es el voltaje
en terminales Vab Va – Vb. Cuando no se extrae corriente de la batería, el voltaje en
terminales es igual a la fem, que está determinada por las reacciones químicas en la
batería: Vab = e. Sin embargo, cuando una corriente I fluye de manera natural desde
la batería existe una caída interna en el voltaje igual a Ir. Así, el voltaje en las terminales (el voltaje verdadero) es†
Vab = e - Ir.
(19–1)
Por ejemplo, si una batería de 12 V tiene una resistencia interna de 0.1 , entonces,
cuando fluyan 10 A de la batería, el voltaje en las terminales será 12 V – (10 A)(0.1 )
11 V. En general, la resistencia interna de una batería es pequeña. Por ejemplo,
una batería ordinaria de linterna, cuando está nueva, podría tener una resistencia interna de 0.05 . (Sin embargo, conforme pasa el tiempo y el electrolito se seca, la resistencia interna aumenta a muchos ohms). Las baterías de los automóviles tienen
resistencia interna más baja.
EJEMPLO 19–1 Batería con resistencia interna. Un resistor de 65.0 (figura 19-2) está conectado a las terminales de una batería, cuya fem es de 12.0 V y cuya resistencia interna es de 0.5 . Calcule a) la corriente en el circuito, b) el voltaje
en las terminales de la batería, Vab, y c) la potencia disipada en el resistor R y en la
resistencia interna r de la batería.
PLANTEAMIENTO Primero se considera la batería como un todo, que se muestra
en la figura 19-2 como una fem e y una resistencia interna r entre los puntos a y b.
Se aplica entonces V IR al circuito mismo.
SOLUCIÓN a) A partir de la ecuación 19-1 se tiene
P R E C A U C I Ó N
¿Por qué el voltaje de una batería
no es perfectamente constante?
+
–
r
a
b
Voltaje en terminales
Vab
FIGURA 19–1 Diagrama de una
pila o batería eléctrica.
Voltaje en terminales
FIGURA 19–2 Ejemplo 19-1.
R = 65.0 Ω
I
a
b
r=
0.5 Ω
=
12.0 V
Vab = e - Ir.
Se aplica la ley de Ohm (ecuación 18-2) a esta batería y la resistencia R del circuito: Vab IR. Entonces, IR = e - Ir o e = I(R + r), y de este modo
12.0 V
12.0 V
e
=
=
= 0.183 A.
R + r
65.0 + 0.5 65.5 b) El voltaje en terminales es
Vab = e - Ir = 12.0 V - (0.183 A)(0.5 ) = 11.9 V.
c) La potencia disipada (ecuación 18-6) en R es
PR = I 2R = (0.183 A)2(65.0 ) = 2.18 W,
y en r es
Pr = I 2r = (0.183 A)2(0.5 ) = 0.02 W.
I =
EJERCICIO A Repita el ejemplo 19-1, pero suponga ahora que la resistencia es R 10.0 , mientras que e y r permanecen como antes.
†
Cuando se carga una batería, se fuerza a una corriente a pasar a través de ella; entonces se tiene
que escribir
Vab e + Ir.
Véase el ejemplo 19-9 o el problema 24 y la figura 19-44.
SECCIÓN 19–1
Fem y voltaje en terminales
521
En lo sucesivo, a menos que se especifique de otro modo, se supondrá que la resistencia interna de la batería es despreciable, y que el voltaje de la batería es su voltaje en
las terminales, que sólo se escribirá como V en lugar de Vab. Hay que tener cuidado
de no confundir V (itálica) para voltaje con V (no itálica) para la unidad volt.
19–2 Resistores en serie y en paralelo
Cuando dos o más resistores están conectados extremo con extremo a lo largo de
una sola trayectoria, como se ilustra en la figura 19-3a, se dice que están conectados
en serie. Los resistores podrían ser simples resistores como los de la figura 18-11, o
podrían ser bombillas (figura 19-3b), o elementos calefactores u otros dispositivos
resistivos. Cualquier carga que pase a través de R1 en la figura 19-3a también pasará a través de R2 y luego por R3. De esta forma, la misma corriente I pasa a través
de cada resistor. (Si no fuese así, esto implicaría que la carga no se conservó o que
la carga se acumuló en algún punto en el circuito, lo que no ocurre en el estado estacionario).
FIGURA 19–3 a) Resistencias conectadas en serie. b) Las resistencias podrían ser bombillas o cualquier otro
tipo de resistencia. c) Resistencia sola equivalente Req que extrae la misma corriente: Req R1 + R2 + R3 .
I
R1
R2
R3
V1
V2
V3
+
a)
Req
I
–
b)
V
Circuito en serie:
suma de voltajes; la corriente
es la misma en cada R.
c)
Batería
+
–
V
Sea V la representación de la diferencia de potencial (voltaje) a través de los
tres resistores en la figura 19-3a. Se supone que todas las otras resistencias en el circuito se pueden ignorar, de modo que V es igual al voltaje en las terminales suministrado por la batería. Sean V1, V2 y V3 las diferencias de potencial a través de cada
uno de los resistores, R1, R2 y R3, respectivamente. A partir de la ley de Ohm, V IR,
se escribe V1 = IR1 , V2 = IR2 , y V3 = IR3 . Puesto que los resistores están conectados extremo con extremo, a partir de la conservación de la energía se sabe que el
voltaje total V es igual a la suma de los voltajes† a través de cada resistor:
V = V1 + V2 + V3 = IR1 + IR2 + IR3 .
[series] (19–2)
Ahora se determinará la resistencia sola equivalente Req que extraería la misma
corriente I que la combinación de tres resistores en serie; observe la figura 19-3c. Tal
resistencia sola Req estaría relacionada con V mediante
V = IReq .
Esta expresión se iguala con la ecuación 19-2, V = I AR1 ± R2 + R3 B, y se encuentra
Resistencias en serie
Req = R1 + R2 + R3 .
[series] (19–3)
Esto es, de hecho, lo que se esperaba. Cuando se ponen varias resistencias en serie,
la resistencia total o equivalente es la suma de las resistencias separadas. (A veces se
le puede llamar “resistencia neta”). Esta suma se aplica a cualquier número de resistencias en serie. Note que, cuando se suman más resistencias al circuito, la corriente
a través de éste disminuye. Por ejemplo, si una batería de 12 V está conectada a un
resistor de 4 , la corriente será de 3 A. Pero si la batería de 12 V está conectada a
†
Para ver con más detalle por qué esto es cierto, note que una carga eléctrica q que pasa a través de
R1 pierde una cantidad de energía potencial igual a qV1. Al pasar por R2 y R3, la energía potencial
EP disminuye por qV2 y qV3, para un total ¢ep = qV1 + qV2 + qV3 ; esta suma debe ser igual a la
energía dada a q por la batería, qV, de modo que la energía se conserva. En consecuencia, qV q AV1 + V2 + V3 B, y por tanto V = V1 ± V2 + V3 , que es la ecuación 19-2.
522
CAPÍTULO 19
Circuitos
CD
tres resistores de 4 en serie, la resistencia total es de 12 y la corriente a través
de todo el circuito será sólo de 1 A.
Otra forma simple de conectar resistores es en paralelo, de modo que la corriente de la fuente se divide en las ramas o trayectorias separadas, como se ilustra
en la figura 19-4a. El cableado en las casas y en los edificios está arreglado de modo
que todos los dispositivos eléctricos estén en paralelo, como ya se vio en el capítulo 18
(figura 18-20). Con el alambrado en paralelo, si se desconecta un dispositivo (por
ejemplo, R1 en la figura 19-4a), la corriente hacia los otros dispositivos no se interrumpe. Compare con un circuito en serie, donde si un dispositivo (por ejemplo, R1
en la figura 19-3a) se desconecta, la corriente sí se detiene en todos los demás.
I1
R1
I2
R2
A
I3
a) Resistencias conectadas en paralelo.
b) Las resistencias podrían ser bombillas.
c) Circuito equivalente con Req obtenido
a partir de la ecuación 19-4:
R3
+
I
FIGURA 19–4
Req
B
+
–
+
V
a)
–
b)
I
–
1
1
1
1 .
+
+
Req
R1
R2
R3
V
c)
En un circuito en paralelo (figura 19-4a), la corriente total I que deja la batería
se divide en tres trayectorias separadas. Sean I1, I2 e I3 las corrientes a través de cada uno de los resistores, R1, R2 y R3, respectivamente. Puesto que la carga eléctrica se
conserva, la corriente I que fluye en la unión A (donde se encuentran los diferentes
alambres o conductores, figura 19-4a) debe ser igual a la corriente que fluye de la
unión. Por ende
I = I1 + I2 + I3 .
[paralelo]
Cuando los resistores están conectados en paralelo, el mismo voltaje pasa a través
de cada uno. (De hecho, dos puntos cualesquiera en un circuito conectado por un
alambre de resistencia despreciable están al mismo potencial). En consecuencia, todo
el voltaje de la batería se aplica a cada resistor en la figura 19-4a. Al aplicar la ley de
Ohm a cada resistor, se tiene
I1 =
V,
R1
I2 =
V
R2
y
I3 =
Circuito en paralelo:
las corrientes se suman; el voltaje
es el mismo a través de cada R.
V.
R3
Ahora se determinará qué resistor solo Req (figura 19-4c) extraerá la misma corriente I que estas tres resistencias en paralelo. Esta resistencia equivalente Req también
debe satisfacer la ley de Ohm:
I =
V .
Req
Ahora se combinan las ecuaciones anteriores:
I = I1 + I2 + I3 ,
V
V
V.
V
=
+
+
Req
R1
R2
R3
Cuando se divide la V de cada término se tiene
1
1
1
1 .
=
+
+
Req
R1
R2
R3
[paralelo] (19–4)
Resistencias en paralelo
Por ejemplo, suponga que se conectan dos bocinas de 4 a un solo conjunto de terminales de salida de un amplificador o receptor estéreo. (Ignore por un momento el
otro canal: las dos bocinas están conectadas al canal izquierdo).
SECCIÓN 19–2
Resistores en serie y en paralelo
523
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La resistencia equivalente de los dos “resistores” de 4 V en paralelo es
1
1
1
2
1 ,
=
+
=
=
Req
4
4
4
2
h
FIGURA 19–5 Tuberías de agua en
paralelo: analogía con corrientes
eléctricas en paralelo.
y así Req 2 . De este modo, la resistencia neta (o equivalente) es menor que la de
cada resistencia sola. Al principio, tal vez esto parezca sorprendente. Pero recuerde que, cuando los resistores se conectan en paralelo, la corriente tiene trayectorias
adicionales para seguir. Así que la resistencia neta será menor.
Aquí resultará útil una analogía. Considere dos tuberías idénticas que toman el
agua cerca de la parte superior de una presa y la liberan abajo, como se muestra en
la figura 19-5. La diferencia de potencial gravitacional, proporcional a la altura h,
es la misma para ambas tuberías, tal como el voltaje es el mismo para los resistores en
paralelo. Si ambas tuberías están abiertas, en lugar de sólo una, fluirá el doble de agua.
Es decir, con dos tuberías iguales abiertas, la resistencia neta al flujo de agua se reducirá, a la mitad, tal como para los resistores eléctricos en paralelo. Note que si ambas tuberías están cerradas, la presa opone resistencia infinita al flujo de agua. Esto
corresponde, en el caso eléctrico, a un circuito abierto (cuando la trayectoria no es
continua y no fluye corriente), de modo que la resistencia eléctrica es infinita.
EJEMPLO CONCEPTUAL 19–2 ¿En serie o en paralelo? a) Las bombillas
en la figura 19-6 son idénticas y tienen idéntica resistencia R. ¿Cuál configuración produce más luz? b) ¿De qué forma estarán conectados los faros de un automóvil?
RESPUESTA a) La resistencia equivalente del circuito en paralelo se determina a
partir de la ecuación 19-4, 1Req 1R + 1R = 2R. Por tanto, Req R/2. Entonces la combinación en paralelo tiene resistencia más baja ( R/2) que la combinación en serie (Req R R 2R). Habrá más corriente total en la configuración
en paralelo (2), dado que I V/Req y V es el mismo para ambos circuitos. La potencia total transformada, que está relacionada con la luz producida, es P IV, de
modo que la mayor corriente en (2) significa más luz producida.
b) Los faros están conectados en paralelo (2), pues si una bombilla falla, la otra
puede permanecer encendida. Si estuviesen en serie (1), cuando una bombilla se
queme (y se rompa el filamento), el circuito estaría abierto y no fluiría corriente,
así que incluso la bombilla buena no encendería.
FIGURA 19–6 Ejemplo 19-6.
+
–
(1) En serie
+
–
(2) En paralelo
EJEMPLO 19–3 Resistores en serie y en paralelo. Dos resistores de 100 están conectados a) en paralelo y b) en serie a una batería de 24.0 V. Observe la figura 19-7. ¿Cuál es la corriente a través de cada resistor y cuál es la resistencia
equivalente de cada circuito?
PLANTEAMIENTO Se utiliza la ley de Ohm y las ideas apenas discutidas acerca
de las conexiones en serie y en paralelo para obtener la corriente en cada caso.
También serán útiles las ecuaciones 19-3 y 19-4.
524
CAPÍTULO 19
Circuitos
CD
SOLUCIÓN a) Cualquier carga (o electrón) puede fluir sólo a través de uno o el
otro de los dos resistores en la figura 19-7a. Tal como un río se separa en dos torrentes cuando pasa por de una isla, aquí también la corriente total I proveniente
de la batería (figura 19-7a) se divide para fluir a través de cada resistor, de modo
que I será igual a la suma de las corrientes separadas a través de los dos resistores:
V = 24.0 V
I
I = I1 + I2 .
I1
I2
La diferencia de potencial a través de cada resistor es el voltaje de la batería V 24.0 V. Al aplicar la ley de Ohm a cada resistor se obtiene
I = I1 + I2 =
R1
R2
a)
24.0 V
V
V
24.0 V
+
=
+
R1
R2
100 100 V = 24.0 V
= 0.24 A + 0.24 A = 0.48 A.
I
La resistencia equivalente es
Req
R1
24.0 V
V
=
=
= 50 .
I
0.48 A
R2
b)
FIGURA 19–7 Ejemplo 19-3.
También se podría haber obtenido este resultado a partir de la ecuación 19-4:
1
1
1
2
1 ,
+
=
=
=
Req
100 100 100 50 de modo que Req = 50 .
b) Toda la corriente que fluye de la batería pasa primero a través de R1 y luego
por R2, pues se encuentran a lo largo de una sola trayectoria (figura 19-7b). De
modo que la corriente I es la misma en ambos resistores; la diferencia de potencial
V a través de la batería es igual al cambio total en el potencial a través de los dos
resistores:
V = V1 + V2 .
La ley de Ohm da
V = IR1 + IR2 = I AR1 + R2 B.
En consecuencia
24.0 V
V
=
= 0.120 A.
I =
R1 + R2
100 + 100 La resistencia equivalente, utilizando la ecuación 19-3, es Req R1 R2 200 .
Req también podría obtenerse si se piensa desde el punto de vista de la batería: la
resistencia total Req debe ser igual al voltaje de la batería dividido entre la corriente que entrega:
Re q =
V
24.0 V
=
= 200 .
I
0.120 A
NOTA El voltaje a través de R1 es V1 = IR1 (0.120 A)(100 ) = 12.0 V, y el
que cruza R2 es V2 IR2 12.0 V, y cada uno es la mitad del voltaje de la batería.
Por eso, un circuito simple como el de la figura 19-7b con frecuencia se conoce como divisor de voltaje simple.
Divisor de voltaje
EJERCICIO B Diseñe un divisor de voltaje que proporcione un quinto (0.20) del voltaje de la batería a través de R2. ¿Cuál es la razón R1/R2?
Cabe hacer notar que, siempre que un grupo de resistores se sustituya por la resistencia equivalente, la corriente, el voltaje y la potencia en el resto del circuito no
resultarán afectados.
SECCIÓN 19–2
Resistores en serie y en paralelo
525
500 Ω I1
a 400 Ω b
c
700 Ω I2
I
I
FIGURA 19–8 a) Circuito para los
ejemplos 19-4 y 19-5. b) Circuito equivalente,
que muestra la resistencia equivalente de
290 para los dos resistores en paralelo en a).
12.0 V
a)
a
400 Ω
b
RP =
290 Ω
c
12.0 V
b)
EJEMPLO 19–4 Circuito con serie y paralelo. ¿Cuánta corriente se extrae
de la batería que se ilustra en la figura 19-8a?
PLANTEAMIENTO Toda la corriente I que fluye de la batería pasa a través del
resistor de 400 , pero luego se divide en I1 e I2, para pasar a través de los resistores
de 500 y de 700 . Los últimos dos resistores están en paralelo. Para simplificar se
busca algo que ya se sabe cómo tratar. Así que se comienza por encontrar la resistencia equivalente, RP, de los resistores en paralelo: 500 y 700 . Luego puede considerarse que esta RP está en serie con el resistor de 400 .
SOLUCIÓN La resistencia equivalente RP de los resistores de 500 y 700 en paralelo está dada por
1
1
1
=
+
= 0.0020 –1 + 0.0014 –1 = 0.0034 –1.
RP
500 700 P R E C A U C I Ó N
Recuerde considerar el recíproco.
Esto es 1/RP, así que se toma el recíproco para encontrar RP. Un error común es
olvidar tomar este recíproco. Advierta que las unidades de ohms recíprocos, 1,
son un recordatorio. Por tanto
RP =
1
= 290 .
0.0034 –1
Estos 290 son la resistencia equivalente de los dos resistores en paralelo y están
en serie con el resistor de 400 , como se muestra en el circuito equivalente de la
figura 19-8b. Para encontrar la resistencia equivalente total Req se suman los resistores de 400 y de 290 , pues están en serie, y se obtiene
Req = 400 + 290 = 690 .
La corriente total que fluye de la batería es entonces
I =
V
12.0 V
=
= 0.0174 A L 17 mA.
Req
690 NOTA Esta I también es la corriente que fluye a través del resistor de 400 , pero no a través de los resistores de 500 y 700 (ambas corrientes son menores; vea
el siguiente ejemplo).
NOTA Los circuitos con resistores complejos con frecuencia se pueden analizar de
esta forma, al considerar el circuito como una combinación de resistencias en serie
y en paralelo.
526
CAPÍTULO 19
Circuitos
CD
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EJEMPLO 19–5 Corriente en una rama. ¿Cuál es la corriente a través del resistor de 500 en la figura 19-8a?
PLANTEAMIENTO Se necesita encontrar el voltaje a través del resistor de 500 ,
que es el voltaje entre los puntos b y c en la figura 19-8a, al que se le llama Vbc.
Una vez que se conoce Vbc, se puede aplicar la ley de Ohm, V IR, para obtener
la corriente. Primero se calcula el voltaje a través del resistor de 400 , Vab, pues se
sabe que a través de él pasan 17 mA.
SOLUCIÓN Vab se determina mediante la fórmula V IR:
Vab = (0.0174 A)(400 ) = 7.0 V.
Como el voltaje total a través de la red de resistores es Vac 12.0 V, entonces Vbc
debe ser 12.0 V – 7.0 V 5.0 V. Entonces la ley de Ohm aplicada al resistor de 500
indica que la corriente I1 a través de ese resistor es
I1 =
5.0 V
= 1.0 * 10–2 A = 10 mA.
500 Ésta es la respuesta que se quería. También se puede calcular la corriente I2 a través del resistor de 700 , pues el voltaje a través de él también es de 5.0 V:
I2 =
5.0 V
= 7 mA.
700 NOTA Cuando I1 se combina con I2 para formar la corriente total I (en el punto c
de la figura 19-8a), su suma es 10 mA 7 mA 17 mA. Esto, desde luego, es la
corriente total I calculada en el ejemplo 19-4.
EJEMPLO CONCEPTUAL 19–6 Brillantez de una bombilla en un circuito.
El circuito que se muestra en la figura 19-9 tiene tres bombillas idénticas, cada una
con resistencia R. a) Cuando el interruptor S se cierra, ¿cómo se comparará la brillantez de las bombillas A y B con la de la bombilla C? b) ¿Qué ocurre cuando el
interruptor S se abre? Utilice un mínimo de matemáticas en sus respuestas.
RESPUESTA a) Con el interruptor S cerrado, la corriente que pasa a través de la
bombilla C debe dividirse en dos partes iguales cuando alcance la unión que
conduce a las bombillas A y B. Se divide en partes iguales porque la resistencia de
la bombilla A es igual a la de B. De esta forma, las bombillas A y B reciben, cada
una, la mitad de la corriente de C; A y B serán igualmente brillantes, pero serán
menos brillantes que la bombilla C.
b) Cuando el interruptor S se abre, ninguna corriente fluye a través de la bombilla
A, así que estará oscuro. Ahora se tiene un circuito en serie con un solo lazo, y se
espera que las bombillas B y C sean igualmente brillantes. Sin embargo, la resistencia equivalente de este circuito ( R R) es mayor que la del circuito con el interruptor cerrado. Cuando se abre el interruptor, se aumenta la resistencia y se reduce
la corriente que deja la batería. Por tanto, la bombilla C brillará menos cuando se
abra el interruptor. La bombilla B obtiene más corriente cuando el interruptor está abierto (aquí habrá que usar un poco de matemáticas) y de este modo será más
brillante que con el interruptor cerrado, y B será tan brillante como C.
A
C
FIGURA 19–9 Ejemplo 19-6, tres bombillas
idénticas. Cada círculo con
en su interior
representa una bombilla y su resistencia.
S
B
SECCIÓN 19–2
Resistores en serie y en paralelo
527
10.0 Ω
Ejemplo adicional
EJEMPLO 19–7 Análisis de un circuito. Una batería de 9.0 V, cuya resistencia interna r es de 0.50 , está conectada en el circuito que se representa en la figura 19-10a. a) ¿Cuánta corriente se extrae de la batería? b) ¿Cuál es el voltaje en
las terminales de la batería? c) ¿Cuál es la corriente en el resistor de 6.0 ?
8.0 Ω
6.0 Ω
4.0 Ω
5.0 Ω
PLANTEAMIENTO Para calcular la corriente de la batería, primero se necesita
determinar la resistencia equivalente Req de todo el circuito, incluso de r, lo que se
hace al identificar y aislar combinaciones simples de resistores en serie o en paralelo. Una vez que se calcula I a partir de la ley de Ohm, I = eReq , se obtiene el
voltaje en las terminales mediante Vab = e - Ir. Para c) se aplica la ley de Ohm
al resistor de 6.0 .
SOLUCIÓN a) Se quiere determinar la resistencia equivalente del circuito. Pero,
¿por dónde comenzar? Note que los resistores de 4.0 y 8.0 están en paralelo y,
por tanto, tienen una resistencia equivalente Req1 dada por
r = 0.50 Ω
a)
= 9.0 V
10.0 Ω
Req1 =
2.7 Ω
6.0 Ω
1
1
3
1
=
+
=
;
Req1
8.0 4.0 8.0 5.0 Ω
de modo que Req1 2.7 . Estos 2.7 están en serie con el resistor de 6.0 , como se muestra en el circuito equivalente de la figura 19-10b. La resistencia neta
del brazo inferior del circuito es entonces
r = 0.50 Ω
b)
= 9.0 V
Req2 = 6.0 + 2.7 = 8.7 ,
como se indica en la figura 19-10c. La resistencia equivalente Req3 de las resistencias en paralelo de 8.7 y 10.0 está dada por
10.0 Ω
Req2 = 8.7 Ω
1
1
1
=
+
= 0.21 –1,
Req3
10.0 8.7 así que Req3 = A10.21 –1 B 4.8 . Estos 4.8 están en serie con el resistor de
5.0 y la resistencia interna de 0.50 de la batería (figura 19-10d), así que la resistencia equivalente total Req del circuito es Req = 4.8 + 5.0 + 0.50 =
10.3 . En consecuencia, la corriente extraída es
5.0 Ω
r = 0.50 Ω
c)
= 9.0 V
I =
Req3 = 4.8 Ω
e
9.0 V
=
= 0.87 A.
Req
10.3 b) El voltaje en terminales de la batería es
Vab = e - Ir = 9.0 V - (0.87 A)(0.50 ) = 8.6 V.
c) Ahora se puede trabajar de vuelta y obtener la corriente en el resistor de 6.0 .
Debe ser la misma que la corriente a través de los 8.7 que se muestra en la figura 19-10c (¿por qué?). El voltaje a través de esos 8.7 será la fem de la batería menos la caída de voltaje a través de r y el resistor de 5.0 : V8.7 = 9.0 V - (0.87 A)
(0.50 + 5.0 ). Al aplicar la ley de Ohm se obtiene la corriente I¿ )
5.0 Ω
r = 0.50 Ω
d)
= 9.0 V
FIGURA 19–10 Circuito para el
ejemplo 19-7, donde r es la resistencia
interna de la batería.
I¿ =
9.0 V - (0.87 A)(0.50 + 5.0 )
= 0.48 A.
8.7 Ésta es la corriente a través del resistor de 6.0 .
FIGURA 19–11 Las corrientes se
pueden calcular mediante las reglas
de Kirchhoff.
30 Ω
I1
a
I3
40 Ω
h
r=
2=
1 Ω 45 V
d
b
1=
80 V
I2
g
528
19–3 Reglas de Kirchhoff
c
20 Ω
r=
1Ω
f
CAPÍTULO 19
e
Circuitos
CD
En los últimos ejemplos se han encontrado las corrientes en circuitos mediante la
combinación de resistencias en serie y en paralelo, y utilizando la ley de Ohm. Esta
técnica se aplica con muchos circuitos. Sin embargo, algunos de ellos son demasiado
complicados para ese análisis. Por ejemplo, no es posible determinar las corrientes
en cada parte del circuito que se representa en la figura 19-11 simplemente combinando las resistencias como se hizo antes.
A mediados del siglo XIX, G. R. Kirchhoff (1824-1887) estableció ciertas reglas,
conocidas como reglas de Kirchhoff, que permiten analizar los circuitos complejos.
Son dos reglas y se trata de simples aplicaciones convenientes de las leyes de con-
servación de la carga y de la energía. La primera regla de Kirchhoff o regla de la
unión (o del nodo) se basa en la conservación de la carga eléctrica y ya se usó al deducir la regla para resistores en paralelo. Tal regla afirma que
en cualquier punto de unión, la suma de todas las corrientes que entran a la Regla de la unión
unión debe ser igual a la suma de todas las corrientes que salen de ella.
(conservación de carga)
Esto es, cualquier carga que entra debe salir. Por ejemplo, en el punto de unión a de
la figura 19-11, I3 entra mientras que I1 e I2 salen. Así, la regla de la unión de Kirchhoff establece que I3 I1 I2. En la nota al final del ejemplo 19-5 se vio un ejemplo de esto.
La segunda regla de Kirchhoff o regla del lazo (o de la malla) se basa en la conservación de la energía. Esta regla establece que
la suma de los cambios en el potencial alrededor de cualquier trayectoria cerra- Regla del lazo
da de un circuito debe ser cero.
(conservación de la energía)
Para ver por qué esta regla debería cumplirse, considere una analogía simple con la
energía potencial de una montaña rusa en su vía. Cuando la montaña rusa parte de
la estación, tiene una energía potencial particular. Conforme asciende la primera colina, su energía potencial aumenta y alcanza un máximo en la cima. Conforme desciende hacia el otro lado, su energía potencial disminuye y alcanza un mínimo local en el
290 Ω c
fondo de la colina. Mientras la montaña rusa continúa en su trayectoria, su energía
a 400 Ω
b
potencial experimenta varios cambios más. Pero, cuando llega de regreso al punto
de partida, tiene exactamente tanta energía potencial como tenía cuando comenzó en ese
punto. Otra forma de decir esto es que hubo tantas subidas como bajadas en la ruta. I
+ –
Un razonamiento similar se podría aplicar a un circuito eléctrico. Dentro de poe
12.0 V d
co se resolverá el circuito de la figura 19-11, pero primero consideremos el circuito
a)
más simple de la figura 19-12. Se trata del mismo circuito de la figura 19-8b ya analizado. La corriente en este circuito es I = (12.0 V)(690 ) 0.0174 A, como se
calculó en el ejemplo 19-4. (Se mantiene un dígito adicional en I para reducir los 12
errores de redondeo). El lado positivo de la batería (punto e en la figura 19-12a) está
7.0 V
a un alto potencial en comparación con el punto d en el lado negativo de la batería.
Es decir, el punto e es como la cima de una colina para una montaña rusa. Seguimos
12.0 V
la corriente alrededor del circuito comenzando en cualquier punto. Comenzaremos en V
5.0 V
el punto e y seguiremos una carga de prueba positiva completamente alrededor de
este circuito. Al avanzar, notaremos todos los cambios en el potencial. Cuando la 0 e
a
b
c
d
e
carga de prueba regresa al punto e, el potencial será el mismo que cuando se inició
(el cambio total en el potencial alrededor del circuito es cero). Los cambios en el
400 Ω 290 Ω
+12.0 V
potencial alrededor del circuito están graficados en la figura 19-12b; el punto d se
b)
elige arbitrariamente como cero.
Conforme la carga de prueba positiva pasa del punto e al punto a, no existe FIGURA 19–12 Los cambios en el
cambio en el potencial pues no existe fuente de fem y se supone una resistencia des- potencial alrededor del circuito en
preciable en los alambres de conexión. A continuación, conforme la carga pasa a a) se grafican en b).
través del resistor de 400 para llegar al punto b, existe una disminución en el potencial de V = IR (0.0174 A)(400 ) 7.0 V. La carga de prueba positiva fluye
“colina abajo” ya que se dirige hacia la terminal negativa de la batería, como se indica en la gráfica de la figura 19-12b. Como se trata de una disminución en el potencial, se usa un signo negativo:
➥ RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Vba = Vb - Va = –7.0 V.
Conforme la carga avanza de b a c existe otra disminución de potencial (una “caída
de voltaje”) de (0.0174 A) * (290 ) 5.0 V, y esto también representa una disminución en el potencial:
Vcb = –5.0 V.
No hay cambio en el potencial conforme la carga de prueba se mueve de c a d, pues
se supone resistencia despreciable en los alambres. Pero cuando se mueve de d, que
es el lado negativo o de potencial bajo de la batería, al punto e, que es la terminal positiva (lado de alto potencial) de la batería, el potencial aumenta por 12.0 V. Esto es
Ved = ±12.0 V.
La suma de todos los cambios en el potencial alrededor del circuito de la figura 19-12 es
–7.0 V - 5.0 V + 12.0 V = 0.
Esto es exactamente lo que indica la regla del lazo de Kirchhoff.
Hay que ser consistentes con los
signos cuando se aplica la regla
del lazo.
SECCIÓN 19–3
Reglas de Kirchhoff
529
www.elsolucionario.org
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Reglas de Kirchhoff
4. Aplique la regla del lazo de Kirchhoff a uno o más lazos: siga cada lazo sólo en una dirección. Ponga mucha
atención a los subíndices y a los signos:
a) Para un resistor, aplique la ley de Ohm; la diferencia de potencial será negativa (una disminución) si
la dirección elegida del lazo es la misma que la dirección elegida de la corriente a través de tal resistor; la diferencia de potencial será positiva (un
aumento) si la dirección elegida del lazo es opuesta a la dirección elegida de la corriente.
b) Para una batería, la diferencia de potencial será
positiva si la dirección del lazo es de la terminal
negativa hacia la terminal positiva; la diferencia de
potencial será negativa si la dirección del lazo es
de la terminal positiva hacia la terminal negativa.
5. Resuelva las ecuaciones algebraicamente para las incógnitas. Hay que tener cuidado de no cometer errores con los signos al manipular las ecuaciones. Al final,
verifique las respuestas colocándolas en las ecuaciones originales, o incluso mediante el uso de algunas
ecuaciones adicionales de la regla de lazo o de unión
no usadas previamente.
1. Designe la corriente en cada rama separada del circuito dado con un subíndice diferente, como I1, I2, I3 (figura 19-11 o 19-13). Cada corriente se refiere a un
segmento entre dos uniones. Elija la dirección de cada
corriente e indíquela con una flecha. La dirección se
puede elegir de manera arbitraria: si en realidad la corriente está en la dirección opuesta, resultará con un
signo menos en la solución.
2. Identifique las incógnitas. Se necesitarán tantas ecuaciones independientes como incógnitas. Es probable
que puedan escribirse más ecuaciones, pero algunas
de ellas serán redundantes (es decir, no serán independientes en el sentido de que proporcionen nueva
información). Podrá usarse la fórmula V IR para cada resistor, lo que a veces reducirá el número de incógnitas.
3. Aplique la regla de la unión de Kirchhoff a una o más
uniones.
EJEMPLO 19–8 Uso de las reglas de Kirchhoff. Calcule las corrientes I1, I2
e I3 en las tres ramas del circuito de la figura 19-13.
PLANTEAMIENTO y SOLUCIÓN
➥
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Elija arbitrariamente las direcciones
de la corriente.
1. Designe las corrientes e indique sus direcciones. En la figura 19-13 se utilizaron
las etiquetas I1, I2 e I3 para la corriente en las tres ramas separadas. Puesto que la
corriente (positiva) tiende a moverse alejándose de la terminal positiva de una
batería, las direcciones de I2 e I3 se eligen como se muestra en la figura 19-13.
La dirección de I1 no es obvia por anticipado, así que arbitrariamente se elige la
dirección indicada. Si la corriente en realidad fluye en la dirección opuesta,
la respuesta tendrá un signo negativo.
2. Identifique las incógnitas. Se tienen tres incógnitas, de modo que se necesitan
tres ecuaciones, lo que se obtiene al aplicar las reglas de la unión y del lazo de
Kirchhoff.
3. Regla de la unión. Se aplica la regla de la unión de Kirchhoff a la corriente en
el punto a, donde entra I3 y salen I2 e I1:
I3 = I1 + I2 .
a)
Esta misma ecuación se sostiene en el punto d, así que no se obtiene nueva información al escribir una ecuación para el punto d.
FIGURA 19–13 Las corrientes se
pueden calcular mediante las reglas
de Kirchhoff. Vea el ejemplo 19-8.
30 Ω
I1
a
I3
40 Ω
h
r=
2=
1 Ω 45 V
b
1=
80 V
I2
g
530
CAPÍTULO 19
Circuitos
CD
f
d
c
20 Ω
r=
1Ω
e
4. Regla del lazo. Se aplica la regla del lazo de Kirchhoff a dos lazos cerrados diferentes. Primero se aplica al lazo superior ahdcba. Se comienza (y se termina) en
el punto a. De a a h se tiene una disminución de potencial Vha – AI1 B(30 ).
De h a d no hay cambio, pero de d a c el potencial aumenta por 45 V; esto es,
Vcd 45 V. De c a a el potencial disminuye a través de las dos resistencias por
una cantidad Vac – AI3 B (40 + 1 ) –(41 )I3 . Así, se tiene Vha + Vcd
± Vac = 0, o
–30I1 + 45 - 41I3 = 0,
b)
donde se omitieron las unidades. Para el segundo lazo, se toma el lazo exterior
ahdefga. (En lugar de éste, se pudo haber elegido el lazo inferior abcdefga). De
nuevo se comienza en el punto a y se tiene Vha = – AI1 B (30 ) y Vdh = 0.
Pero, cuando se lleva la carga de prueba positiva de d a e, en realidad se va colina arriba, contra la corriente, o al menos contra la dirección supuesta de la
corriente, que es lo que cuenta en este cálculo. Por tanto, Ved = I2(20 ) tiene
un signo positivo. De igual modo, Vf e = I2(1 ). De f a g existe una disminución en el potencial de 80 V pues se va de la terminal de alto potencial de la
batería a la baja. En consecuencia, Vgf 80 V. Por último, Vag 0 y entonces
la suma de los cambios de potencial alrededor de este lazo es
–30I1 + (20 + 1)I2 - 80 = 0.
c)
5. Resuelva las ecuaciones. Se tienen tres ecuaciones (a, b y c) y tres incógnitas. A
partir de la ecuación c) se tiene
I2 =
80 + 30I1
= 3.8 + 1.4I1 .
21
d)
De la ecuación b) se tiene
I3 =
45 - 30I1
= 1.1 - 0.73I1 .
41
e)
Al sustituir las ecuaciones d) y e) en la ecuación a):
I1 = I3 - I2 = 1.1 - 0.73I1 - 3.8 - 1.4I1 .
Se resuelve para I1, reuniendo términos:
3.1I1 = –2.7
I1 = –0.87 A.
El signo negativo indica que la dirección de I1 es en realidad opuesta a la que se
supuso inicialmente y se muestra en la figura 19-13. Note que la respuesta se obtiene en amperes porque todos los valores estuvieron en volts y en ohms. A
partir de la ecuación d) se tiene
I2 = 3.8 + 1.4I1 = 3.8 + 1.4(–0.87) = 2.6 A,
y de la ecuación e)
I3 = 1.1 - 0.73I1 = 1.1 - 0.73(–0.87) = 1.7 A.
Esto completa la solución.
NOTA Las incógnitas en diferentes situaciones no necesariamente son corrientes.
Podría presentarse el caso de que las corrientes estén dadas y uno tenga que resolver para la resistencia o el voltaje incógnitos.
EJERCICIO C Escriba la ecuación para el lazo inferior abcdefga del ejemplo 19-8 y demuestre, si se suponen las corrientes calculadas en este ejemplo, que los potenciales suman cero para este lazo inferior.
SECCIÓN 19–3
Reglas de Kirchhoff
531
* 19–4 Fem en serie y en paralelo;
cómo cargar una batería
Cuando dos o más fuentes de fem, como las baterías, se ordenan en serie como en la
figura 19-14a, el voltaje total es la suma algebraica de sus respectivos voltajes. Por
otra parte, cuando una batería de 20 V y una de 12 V se conectan de manera opuesta, como se observa en la figura 19-14b, el voltaje neto Vca es de 8 V (se ignoran las
caídas de voltaje a través de las resistencias internas). Es decir, una carga de prueba
positiva que se mueve de a a b gana 20 V en potencial, pero cuando pasa de b a c
cae 12 V. Así que el cambio es 20 V – 12 V 8 V. Se podría pensar que conectar las
baterías a la inversa, como en este caso, significaría un desperdicio. Para la mayoría
de los propósitos esto sería cierto. Pero tal ordenamiento a la inversa es precisamente
la manera como funciona un cargador de baterías. En la figura 19-14b, la fuente de
20 V carga a la batería de 12 V. A causa de su mayor voltaje, la fuente de 20 V fuerza
a la carga de regreso hacia la batería de 12 V: los electrones son forzados en su terminal negativa y removidos de su terminal positiva.
R
I
(a)
a
1.5 V
b
– +
1.5 V
c
– +
FIGURA 19–14
Baterías en serie a) y b), y
en paralelo c).
R
R
I
(b)
a
20 V
– +
b
12 V c
12 V
– +
I
(c)
+ –
– +
12 V
FIGURA 19–15 Ejemplo 19-9,
arranque sin batería.
Batería en buen estado
r1 =
0.020 Ω
RJ
=
12.5 V
Cables de
acoplamiento
I1
RJ
Batería débil
I2
A
r=
0.10 Ω
Interruptor
de arranque
(cerrado)
S
B
=
10.1 V
I3
Rs = 0.15 Ω
CAPÍTULO 19
Circuitos
EJEMPLO 19–9 Cómo arrancar un automóvil que se ha quedado sin batería. Para pasar corriente a la batería descargada de un automóvil, se usa una
batería de automóvil cargada. La batería en buen estado tiene una fem de 12.5 V y
resistencia interna de 0.020 . Suponga que la batería débil tiene una fem de 10.1 V
y resistencia interna de 0.10 . Cada cable de acoplamiento de cobre mide 3.0 m
de largo y 0.50 cm de diámetro, y se puede unir como se muestra en la figura 19-15.
Suponga que el arranque del motor se puede representar como un resistor RS 0.15 . Determine la corriente a través del arranque del motor a) si sólo está conectada la batería débil a él y b) si la batería en buen estado también está conectada, como se ilustra en la figura 19-15.
PLANTEAMIENTO Se aplican las reglas de Kirchhoff, pero en b) primero habrá
que determinar la resistencia de los cables de acoplamiento con base en sus dimensiones y la resistividad (r 1.68 10-8 m para el cobre), como se explicó
en la sección 18-4.
Arranque
del motor
532
Un alternador de automóvil mantiene la batería del auto cargada en la misma
forma. Un voltímetro colocado en las terminales de una batería de automóvil (12 V)
con el motor en marcha bastante rápido puede indicar si el alternador está cargando o no la batería. Si es así, el voltímetro registra 13 o 14 V. Si la batería no se está
cargando, el voltaje será de 12 V o menos, cuando la batería se descarga. Es posible
recargar las baterías de automóvil, pero algunas no son recargables, pues las reacciones químicas en ellas no se pueden invertir. En tales casos, el ordenamiento de la figura 19-14b simplemente desperdiciaría energía.
Las fuentes de fem también se pueden poner en paralelo (figura 19-14c), lo que
normalmente es útil sólo si las fem son iguales. Un arreglo en paralelo no se usa para
aumentar voltaje, sino más bien para proporcionar más energía cuando se necesitan
grandes corrientes. Cada una de las pilas en paralelo tiene que producir sólo una
fracción de la corriente total, de modo que la pérdida de energía debida a la resistencia
interna es menor que para una pila sola; y las baterías se agotarán más lentamente.
CD
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SOLUCIÓN a) El circuito que sólo tiene la batería débil y que carece de cables de
acoplamiento es simple: una fem de 10.1 V conectada a dos resistencias en serie, 0.10 0.15 0.25 . Por tanto, la corriente es I = VR (10.1 V)(0.25 ) 40 A.
b) Se necesita encontrar la resistencia de los cables de acoplamiento que conectan
la batería en buen estado. A partir de la ecuación 18-3, cada uno tiene resistencia
RJ = rLA A1.68 * 10–8 mB(3.0 m)(p)A0.25 * 10 –2 mB 0.0026 .
La regla del lazo de Kirchhoff para todo el lazo exterior da
12.5 V - I1 A2RJ + r1 B - I3 RS = 0
12.5 V - I1(0.025 ) - I3(0.15 ) = 0
a)
pues (2RJ + r) = (0.0052 + 0.020 ) = 0.025 .
La regla del lazo para el lazo inferior, que incluye la batería débil y el arrancador,
aporta
10.1 V - I3(0.15 ) - I2(0.10 ) = 0.
b)
La regla de la unión en el punto B da como resultado
I1 + I2 = I3 .
c)
Se tienen tres ecuaciones con tres incógnitas. A partir de la ecuación c), I1 = I3 I2 y esto se sustituye en la ecuación a):
12.5 V - AI3 - I2 B(0.025 ) - I3(0.15 ) = 0,
12.5 V - I3(0.175 ) + I2(0.025 ) = 0.
Al combinar esta última ecuación con b) se obtiene I3 71 A, un poco mejor que en
a). Las otras corrientes son I2 5 A e I1 76 A. Advierta que I2 5 A está en la
dirección opuesta a la que se supuso en la figura 19-15. De esta forma, el voltaje en
terminales de la batería débil de 10.2 V es VBA 10.1 V - (–5 A)(0.10 ) 10.6 V.
NOTA El circuito que se muestra en la figura 19-15, sin el arrancador del motor,
representa la forma como se puede cargar una batería. La batería más fuerte empuja la carga de regreso en la batería débil.
2
EJERCICIO D Si los cables de acoplamiento del ejemplo 19-9 se conectaran de manera
equivocada a la inversa, la terminal positiva de cada batería estaría conectada a la terminal negativa de la otra batería (figura 19-16). ¿Cuál sería la corriente I incluso antes
de que el arrancador del motor se enganche (el interruptor S en la figura 19-16 está
abierto)? ¿Por qué esto podría provocar que las baterías exploten?
0.020 Ω
12.5 V
NO
INTENTE
ESTO
RJ
RJ
I
C
D
0.10 Ω
S
10.1 V
Rs
Arrancador
del motor
FIGURA 19–16 Ejercicio D.
19–5 Circuitos que contienen capacitores
en serie y en paralelo
Así como los resistores se pueden colocar en serie o en paralelo en un circuito, lo
mismo sucede con los capacitores (capítulo 17). Consideremos primero una conexión en paralelo como la de la figura 19-17. Si una batería suministra una diferencia
de potencial V a los puntos a y b, esta misma diferencia de potencial V Vab existe
a través de cada uno de los capacitores. Esto es, dado que las placas de la izquierda
de todos los capacitores están conectadas mediante conductores, todas alcanzan el
mismo potencial Va cuando se conectan a la batería; y las placas de la derecha alcanzan
el potencial Vb. Cada placa de capacitor adquiere una carga dada por Q1 = C1 V,
Q2 = C2 V, y Q3 = C3 V. La carga total Q que debe dejar la batería es
Q = Q1 + Q2 + Q3 = C1 V + C2 V + C3 V.
Intentaremos encontrar un solo capacitor equivalente que sostenga la misma carga
Q al mismo voltaje V Vab. Tendrá una capacitancia equivalente Ceq dada por
Q = Ceq V.
Al combinar las dos ecuaciones previas se tiene
Ceq V = C1 V + C2 V + C3 V = AC1 + C2 + C3 BV
o
Ceq = C1 + C2 + C3 .
[paralelo] (19–5)
De esta forma, el efecto neto de conectar capacitores en paralelo es aumentar la capacitancia. Esto tiene sentido porque en esencia se aumenta el área de las placas
donde se puede acumular carga (véase, por ejemplo, la ecuación 17-8).
SECCIÓN 19–5
FIGURA 19–17 Capacitores en
paralelo: Ceq C1 + C2 + C3 .
1 C21
Q1
a
1 C22
b
Q2
1 C23
Q3
V = Vab
Capacitores en paralelo
Circuitos que contienen capacitores en serie y en paralelo
533
La carga en cada capacitor
en serie es igual.
a
C1
A
C2
B
C3
1Q 2Q 1Q 2Q 1Q 2Q
b
Los capacitores también se pueden conectar en serie; es decir, extremo con extremo, como se ilustra en la figura 19-18. Una carga Q fluye de la batería a una
placa de C1, y –Q fluye a una placa de C3. Las regiones A y B entre los capacitores
originalmente eran neutras, de modo que la carga neta todavía debe ser cero. La
Q en la placa izquierda de C1 atrae una carga de –Q en la placa opuesta. Puesto
que la región A debe tener una carga neta cero, en la placa izquierda de C2 existe
Q. Las mismas consideraciones se aplican a los otros capacitores, por lo que se ve
que la carga en cada placa de capacitor tiene la misma magnitud Q. Un solo capacitor que pudiese sustituir estos tres en serie sin afectar al circuito (es decir, de modo
que Q y V sean los mismos) tendría una capacitancia Ceq donde
Q = Ceq V.
El voltaje total V a través de los tres capacitores en serie debe ser igual a la suma de
los voltajes a través de cada capacitor:
V = V1 + V2 + V3 .
V = Vab
FIGURA 19–18 Capacitores en serie: También para cada capacitor se tiene Q = C1 V1 , Q = C2 V2 , y Q = C3 V3 , de modo que se pueden sustituir V, V1, V2 y V3 en la última ecuación para obtener
1
1
1
1
+
+
.
Ceq
C1
C2
C3
Q
Q
Q
Q
1
1
1
Ceq
=
C1
+
C2
+
C3
= Q¢
C1
+
C2
+
C3
≤
o
1
1
1
1 .
=
+
+
Ceq
C1
C2
C3
Capacitores en serie
(se suman como recíprocos)
P R E C A U C I Ó N
La fórmula para
capacitores en serie se
asemeja a la fórmula para
resistores en paralelo.
[series] (19–6)
Note que la capacitancia equivalente Ceq es menor que la capacitancia contribuyente
más pequeña. Note también que las formas de las ecuaciones para capacitores en
serie o en paralelo son el inverso de sus contrapartes para resistencia. Esto es, la
fórmula para capacitores en serie se asemeja a la fórmula para resistores en paralelo.
EJEMPLO 19–10 Capacitancia equivalente. Determine la capacitancia de
un solo capacitor que tendrá el mismo efecto que la combinación que se muestra
en la figura 19-19a. Considere C1 = C2 C3 = C.
PLANTEAMIENTO Primero se determina la capacitancia equivalente de C2 y C3
en paralelo, y luego se considera esa capacitancia en serie con C1.
SOLUCIÓN Los capacitores C2 y C3 están conectados en paralelo, de modo que
son equivalentes a un solo capacitor que tiene capacitancia
C2 3 = C2 + C3 = 2C.
Este C23 está en serie con C1 (figura 19-19b), así que la capacitancia equivalente de
todo el circuito, Ceq, está dada por
1
1
3 .
1
1
1
+
=
=
+
=
Ceq
C1
C2 3
C
2C
2C
➥
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Recuerde considerar el recíproco.
Por tanto, la capacitancia equivalente de toda la combinación es Ceq 23 C, y es
menor que cualquiera de los capacitores contribuyentes, C1 = C2 C3 = C.
C2
C1
a
b
C23
a
FIGURA 19–19
Ejemplos 19-10 y 19-11.
V
C3
(a)
534
CAPÍTULO 19
Circuitos
CD
V
(b)
C1
b
* Ejemplo adicional. Cálculo de carga y voltaje
EJEMPLO 19–11 Carga y voltaje sobre capacitores. Determine la carga sobre cada capacitor en la figura 19-19a del ejemplo 19-10 y el voltaje a través de cada uno, si C 3.0 mF y el voltaje de la batería es V 4.0 V.
PLANTEAMIENTO Se tiene que trabajar “hacia atrás” en el ejemplo 19-10. Es decir, se encuentra la carga Q que deja la batería, mediante la capacitancia equivalente. Luego se determina la carga sobre cada capacitor separado y el voltaje a
través de cada uno. Cada paso se vale de la ecuación 17-7, Q CV.
SOLUCIÓN La batería de 4.0 V “piensa” que está conectada a una capacitancia
Ceq = 23 C 23 (3.0 mF) = 2.0 mF. Así, la carga Q que deja la batería, por la ecuación 17-7, es
Q = CV = (2.0 mF)(4.0 V) = 8.0 mC.
A partir de la figura 19-19a, esta carga llega a la placa negativa de C1, de modo que
Q1 8.0 mC. La carga Q que deja la placa positiva se divide de manera equitativa
entre C2 y C3 (simetría: C2 C3) y es Q2 = Q3 12 Q = 4.0 mC. Además, los voltajes a través de C2 y C3 tienen que ser iguales. El voltaje a través de cada capacitor se determina mediante la fórmula V Q/C. Así que
V1 = Q1C1 = (8.0 mC)(3.0 mF) = 2.7 V
V2 = Q2C2 = (4.0 mC)(3.0 mF) = 1.3 V
V3 = Q3C3 = (4.0 mC)(3.0 mF) = 1.3 V.
19–6 Circuitos RC. Resistor y capacitor en serie
Con frecuencia, en un circuito se encuentran juntos capacitores y resistores. Tales circuitos RC se usan para controlar los limpiaparabrisas de un automóvil y el tiempo de
encendido de las luces de los semáforos; se emplean también en los flashes de las cámaras, en los marcapasos cardiacos y en muchos otros dispositivos electrónicos. En los
circuitos RC no interesa tanto el voltaje y la carga en el capacitor en el “estado estable”
final, sino más bien cómo cambian estas variables con el tiempo. En la figura 19-20a se
VC
R
FIGURA 19–20 Para el circuito RC
que se muestra en a), el voltaje a través
del capacitor aumenta con el tiempo;
en b) se muestra después de que el
interruptor S se cierra.
0.63
–
C
+
S
a)
b)
t=0
t = RC
2RC
Time
3RC
t
presenta un ejemplo simple. A continuación se analizará este circuito RC. Cuando el
interruptor S se cierra, la corriente inmediatamente comienza a fluir a través del circuito. Los electrones fluirán desde la terminal negativa de la batería, a través del resistor
R, y se acumularán en la placa superior del capacitor. Y también los electrones fluirán
hacia la terminal positiva de la batería, y dejarán una carga positiva en la otra placa del
capacitor. Conforme la carga se acumula en el capacitor, la diferencia de potencial a
través de él aumenta (V Q/C), y la corriente se reduce hasta que eventualmente el
voltaje a través del capacitor iguala la fem de la batería, e. Entonces no existe diferencia de potencial a través del resistor y ya no fluirá más carga. La diferencia de potencial
a través del capacitor, que es proporcional a la carga sobre el capacitor (VC Q/C,
ecuación 17-7), aumenta entonces con el tiempo, como se observa en la figura 19-20b.
La forma verdadera de esta curva es un tipo de exponencial y está dada por la fórmula†
VC = e A1 - e –tRC B,
donde se usa el subíndice C para recordar que VC es el voltaje a través del capacitor
y aquí está dado como función del tiempo t. [La constante e, conocida como la base
de los logaritmos naturales, tiene el valor e = 2.718 p. No hay que confundir esta e
con la e para la carga en el electrón].
†
Circuitos RC
Cómo se carga el capacitor
P R E C A U C I Ó N
No hay que confundir e para
exponencial con e para carga
de electrón.
La deducción requiere cálculo.
SECCIÓN 19–6
Circuitos RC. Resistor y capacitor en serie
535
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Se puede escribir una fórmula similar para la carga Q ( CVC) en el capacitor:
Q = Q0 A1 - e –tRC B,
donde Q0 representa la carga máxima.
El producto de la resistencia R por la capacitancia C, que aparece en el exponente, se llama constante de tiempo T del circuito:
Constante de tiempo t RC
Descarga del
capacitor
t = RC.
(19–7)
La constante de tiempo es una medida de la rapidez con que se carga el capacitor. [Las unidades de RC son F (VA)(CV) C(Cs) = s]. Específicamente, se puede demostrar que el producto RC proporciona el tiempo requerido
para que el voltaje (y la carga) del capacitor alcance el 63% del máximo. Esto se puede comprobar† con una calculadora que tenga la función ex: e1 0.37, así que para
t RC, entonces A1 - e –tRC B = A1 - e –1 B = (1 - 0.37) = 0.63. Por ejemplo, en
un circuito donde R 200 k y C 3.0 mF, la constante de tiempo es
A2.0 * 105 BA3.0 * 10–6 FB 0.60 s. Si la resistencia es mucho menor, la constante de tiempo es mucho menor y el capacitor se carga casi de inmediato. Esto tiene
sentido, ya que una resistencia más baja retardará el flujo de menos carga. Todos los
circuitos contienen cierta resistencia (aunque sea sólo en los alambres conectores),
así que un capacitor nunca se puede cargar instantáneamente cuando se conecta a
una batería.
El circuito que se acaba de analizar implica la carga de un capacitor por medio de una batería a través de una resistencia. Ahora observe otra situación: un capacitor ya está cargado (por ejemplo, a un voltaje V0 y carga Q0), y luego se le
permite descargarse a través de una resistencia R, como se representa en la figura
19-21a. (En este caso no existe batería). Cuando el interruptor S se cierra, la carga
comienza a fluir a través del resistor R desde un lado del capacitor hacia el otro,
hasta que está completamente descargado. El voltaje a través del capacitor disminuye, como se muestra en la figura 19-21b. Esta curva de “decaimiento exponencial”
está dada por
VC = V0 e –tRC,
donde V0 es el voltaje inicial a través del capacitor. El voltaje cae el 63% del camino a cero (a 0.37v0) en un tiempo t RC. Como la carga Q en el capacitor es Q CV, se puede escribir
Q = Q0 e –tRC
para un capacitor que se descarga, donde Q0 es la carga inicial.
VC
FIGURA 19–21 Para el circuito RC
que se muestra en a), el voltaje VC en
el capacitor disminuye con el tiempo,
como se muestra en b), luego de que
el interruptor S se cierra. La carga en
el capacitor sigue la misma curva,
pues Q r V.
V0
C
–
V
+ 0
R
S
a)
0.37 V0
0
t = RC
2RC
Tiempo
b)
3RC
t
EJEMPLO 19–12 Un circuito RC que se descarga. Si un capacitor cargado,
C 35 mF, se conecta a una resistencia R 120 como en la figura 19-21a,
¿cuánto tiempo tardará hasta que el voltaje caiga al 10% de su valor original (máximo)?
PLANTEAMIENTO El voltaje a través del capacitor disminuye de acuerdo con VC
V0 e –tRC. Se hace VC 0.10V0 (10% de V0), pero primero se necesita calcular t
RC.
De manera más simple, e 2.718..., entonces e –1 = 1e 12.718 = 0.37. Advierta que e es la
operación inversa al logaritmo natural ln: ln(e) 1, y ln(ex) x.
†
536
CAPÍTULO 19
Circuitos
CD
SOLUCIÓN La constante de tiempo para este circuito está dada por
t = RC = (120 )(35 * 10–6 F) = 4.2 * 10–3 s.
Después de un tiempo t, el voltaje a través del capacitor será
VC = V0 Ae –tRC B.
Se quiere conocer el tiempo t para el que VC 0.10V0. Esto se sustituye en la
ecuación anterior
0.10V0 = V0 e –tRC
de modo que
e –tRC = 0.10.
La operación inversa al exponencial e es el log natural, ln. Por tanto
t
ln Ae –tRC B = –
= ln 0.10 = – 2.3.
RC
Al resolver para t, se encuentra que el tiempo transcurrido es
t = 2.3(RC) = (2.3)A4.2 * 10–3 sB = 9.7 * 10–3 s
o 9.7 ms.
NOTA Se puede encontrar el tiempo para cualquier voltaje especificado a través
de un capacitor mediante la fórmula t = RC ln AV0VC B.
EJERCICIO E Para el mismo capacitor de 35 mF del ejemplo 19-12, ¿qué valor de resistencia R produciría una reducción de voltaje al 10% de V0 en exactamente 1.0 s?
EJEMPLO CONCEPTUAL 19–13 Bombilla en circuito RC. En el circuito de
la figura 19-22, el capacitor originalmente no está cargado. Describa el comportamiento de la bombilla desde el instante en que se cierra el interruptor S hasta un
largo tiempo después.
RESPUESTA Cuando el interruptor se cierra por primera vez, la corriente en el
circuito es alta y la bombilla arde brillantemente. Conforme el capacitor se carga,
el voltaje a través del capacitor aumenta y la corriente se reduce, lo que provoca
que la bombilla emita una luz tenue. Conforme la diferencia de potencial a través
del capacitor se aproxima al mismo voltaje que el de la batería, la corriente disminuye hacia cero y la bombilla se apaga.
S
V0
C
R
FIGURA 19–22 Ejemplo 19-13.
*
Aplicaciones médicas y de otro tipo de los circuitos RC
La carga y descarga en un circuito RC se puede usar para producir pulsos de voltaje
a una frecuencia regular. La carga en el capacitor aumenta hacia un voltaje particular y luego se descarga. Una forma simple de iniciar la descarga del capacitor es con
el uso de un tubo lleno de gas que tiene un fallo eléctrico cuando el voltaje a través
de él alcanza cierto valor V0. Después de que la descarga termina, el tubo ya no conduce más corriente y el proceso de recarga se repite a sí mismo comenzando en un
voltaje más bajo V0œ . La figura 19-23 muestra un posible circuito, y los “dientes de
sierra” de voltaje que produce.
Una simple luz titilante puede ser una aplicación de un circuito oscilador en un
diente de sierra. Aquí la fem se suministra mediante una batería; la bombilla de
neón destella quizás a una tasa de 1 ciclo por segundo. El componente principal
de una “unidad de destellos” es un capacitor moderadamente grande.
F Í S I C A
A P L I C A D A
Voltaje en diente de sierra
de lámparas titilantes
V
R
+
–
R'
C
Tubo lleno
de gas
a)
FIGURA 19–23 a) Un circuito RC,
acoplado con un tubo lleno de gas
como interruptor, puede producir un
voltaje en “diente de sierra”
repetitivo, como se muestra en b).
V0
V0'
0
Tiempo
b)
SECCIÓN 19–6
Circuitos RC. Resistor y capacitor en serie
537
F Í S I C A
A P L I C A D A
Limpiaparabrisas
F Í S I C A
A P L I C A D A
Marcapasos cardiacos
FIGURA 19–24 En esta radiografía
de la caja torácica se observa el
marcapasos electrónico activado con
batería.
F Í S I C A
A P L I C A D A
Peligros de la electricidad
Los limpiaparabrisas intermitentes de un automóvil también utilizan un circuito
RC. La constante de tiempo del RC, que puede cambiar con el uso de un interruptor
de posiciones múltiples para diferentes valores de R con C fija, determina la tasa a
la que se activan los limpiadores.
Un interesante uso médico de un circuito RC es el marcapasos cardiaco electrónico, que es capaz de hacer que un corazón detenido comience a latir de nuevo al
aplicarle un estímulo eléctrico a través de electrodos unidos al pecho. Si es necesario, el estímulo se puede repetir a la tasa del latido normal. El corazón mismo contiene un células marcapasos que envían pequeños pulsos eléctricos a una tasa de 60
a 80 por minuto. Estas señales inducen el comienzo de cada latido. En algunas enfermedades cardiacas, el marcapasos natural falla en su funcionamiento adecuado y
el corazón pierde su ritmo. Para tales pacientes se prescriben los marcapasos electrónicos, capaces de producir un pulso de voltaje regular que inicia y controla la frecuencia
del latido cardiaco. Los electrodos se implantan en o cerca del corazón (figura 19-24)
y el circuito contiene un capacitor y un resistor. La carga en el capacitor aumenta
hasta cierto punto y luego se descarga. Luego comienza a cargarse de nuevo. La tasa de pulsación depende de los valores de R y C.
19–7 Riesgos eléctricos
El exceso de corriente eléctrica puede quemar los alambres en los edificios y provocar incendios, como se explicó en la sección 18-6. La corriente eléctrica también
puede dañar el cuerpo humano o incluso provocarle la muerte. Los daños que la corriente eléctrica podría provocar en el cuerpo humano son de dos tipos: 1. la corriente eléctrica calienta el tejido y causa quemaduras; 2. la corriente eléctrica estimula
los nervios y músculos (cuyo funcionamiento, como se vio en las secciones 17-11 y
18-10, es eléctrico) y se experimenta un “choque”. La severidad de un choque depende de la magnitud de la corriente, de cuánto tiempo actúa y de cuál parte del
cuerpo atraviesa. Una corriente que pasa a través de órganos vitales como el corazón o el cerebro es especialmente seria porque interfiere con su funcionamiento.
La mayoría de las personas “sienten” una corriente de aproximadamente 1 mA.
Corrientes de unos cuantos mA causan dolor pero rara vez provocan un daño considerable en una persona sana. Las corrientes por arriba de 10 mA provocan severas
contracciones de los músculos y es probable que una persona no sea capaz de soltar
la fuente de la corriente (como un aparato o alambre dañados). Es factible que sobrevenga la muerte por parálisis del sistema respiratorio. Sin embargo, en ocasiones
la respiración artificial puede revivir a una víctima. Si una corriente por arriba de un
rango comprendido entre 80 y 100 mA pasa a través del torso, de modo que una
porción pase a través del corazón durante más de un segundo o dos, los músculos
cardiacos comenzarán a contraerse de manera irregular y la sangre no podrá bombearse de manera adecuada. Esta condición se llama fibrilación ventricular. Si dura
mucho tiempo, ocasiona la muerte. Aunque parezca extraño, si la corriente es mucho
mayor, del orden de 1 A, la muerte por fallo cardiaco resulta menos probable,† pero
tales corrientes pueden provocar serias quemaduras, en especial si se concentran en
una pequeña área del cuerpo.
La seriedad de un choque depende del voltaje aplicado y de la resistencia efectiva del cuerpo. El tejido vivo tiene baja resistencia ya que el fluido de las células
contiene iones que son buenos conductores. Sin embargo, la capa exterior de la piel,
cuando está seca, ofrece alta resistencia y sirve de protección. La resistencia efectiva
entre dos puntos en lados opuestos del cuerpo cuando la piel está seca está en el
rango de 104 a 106 . Pero cuando la piel está mojada, la resistencia es de 103 o
menos. Una persona descalza o que lleva zapatos de suela delgada hará un buen
†
Las grandes corrientes aparentemente llevan al corazón a una pausa. Al liberar la corriente, el corazón regresa a su ritmo normal. Esto en ocasiones no sucede porque la fibrilación, una vez comenzada, es difícil de detener. La fibrilación también puede ocurrir como resultado de un ataque
cardiaco o durante una cirugía del corazón. Un dispositivo conocido como defibrilador (descrito en
la sección 17-9) permite aplicar una corriente intensa al corazón por un lapso breve, lo que provoca
un completo paro cardiaco que con frecuencia es seguido por la reanudación del latido normal.
538
CAPÍTULO 19
Circuitos
CD
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contacto con la tierra, y si toca una línea de 120 V con una mano húmeda esto dará
como resultado una corriente de
120 V
I =
= 120 mA.
1000 Como se vio, esto podría ser mortal.
Una persona que ha recibido un choque se ha convertido en parte de un circuito
completo. La figura 19-25 muestra dos formas en que el circuito se puede completar
cuando una persona accidentalmente toca un alambre eléctrico “vivo”. El término “vivo” significa un alto potencial como 120 V (voltaje doméstico normal) en relación con
la tierra. El otro lado del cableado de un edificio está conectado a tierra, ya sea mediante un alambre conectado a un conductor enterrado o a través de una tubería de
agua en el suelo. En la figura 19-25a, la corriente pasa del alambre de alto voltaje, a través de la persona, hacia tierra a través de sus pies descalzos y de vuelta a lo largo del
suelo (un buen conductor) hacia la terminal a tierra de la fuente. Si la persona está de
pie sobre un buen aislador, como zapatos con gruesas suelas de goma o un piso de madera seco, habrá mucho más resistencia en el circuito y, en consecuencia, mucho menos
corriente a través de la persona. Si la persona está de pie con los pies descalzos en el
suelo, o está en una bañera, existe un peligro mortal ya que la resistencia es mucho menor y la corriente mayor. En una bañera (o alberca), no sólo se está mojado, sino que
también el agua está en contacto con la tubería de drenaje que conduce a tierra. Por
eso se recomienda no tocar aparatos eléctricos cuando se esté mojado o descalzo.
En la figura 19-25b una persona toca un alambre “vivo” defectuoso con una
mano, y la otra mano toca un grifo (conectado a tierra a través de la tubería). La corriente es particularmente peligrosa porque pasa por el pecho, a través del corazón
y los pulmones. Como regla general, si una mano toca algún aparato eléctrico, hay
que mantener la otra mano en el bolsillo (¡no la use!), y además es recomendable
usar zapatos con suela gruesa de goma. También es una buena idea remover la joyería metálica, en especial los anillos ya que, por lo general, los dedos están húmedos
debajo de ellos).
Una persona entra en contacto con un alambre vivo al tocar un alambre cuyo
aislador se ha gastado, o un alambre expuesto en el interior de un aparato que intenta reparar. (¡Siempre hay que desconectar un aparato eléctrico antes de inspeccionar† su interior!) Otra posibilidad es que un alambre en el interior de un dispositivo
se rompa o pierda su aislamiento y entre en contacto con la cubierta. Si ésta es metálica, conducirá electricidad. Entonces una persona podría sufrir un severo choque
con tan sólo tocar la cubierta, como se muestra en la figura 19-26b. Para evitar un
accidente, se supone que las cubiertas metálicas están conectadas directamente a
tierra mediante un alambre separado. Entonces, si un alambre “vivo” toca la cubierta conectada a tierra, en el interior ocurre inmediatamente un cortocircuito a tierra,
como se muestra en la figura 19-26c, y la mayor parte de la corriente pasará a través del alambre de baja resistencia a tierra y no a través de la persona. Más aún, la
alta corriente debe abrir el fusible o el disyuntor (también conocido como breaker).
I
120 V
a)
“¡Aaayyy!”
b)
FIGURA 19–25 Una persona recibe
un choque eléctrico cuando el circuito
se completa.
P R E C A U C I Ó N
Es conveniente mantener una mano
en el bolsillo cuando la otra toque
electricidad.
F Í S I C A
A P L I C A D A
Aterrizaje y choques
†
Incluso entonces existe la posibilidad de recibir un choque de un capacitor que no se ha descargado hasta que se toca.
FIGURA 19–26 a) Un horno eléctrico que opera normalmente con un enchufe de dos patas.
b) Corto en la cubierta cuando ésta no se encuentra conectada a tierra: choque.
c) Corto en la cubierta cuando ésta se conecta a tierra mediante un enchufe de tres patas.
I
Corriente
I
I
I
120 V
120 V
120 V
Corriente
I
a)
b)
c)
SECCIÓN 19–7
Riesgos eléctricos
539
La conexión a tierra de una cubierta metálica se logra mediante un alambre de tierra separado que se conecta a la tercera pata (redonda) de un enchufe de tres patas
(figura 19-27a). Nunca corte la tercera pata de un enchufe: podría ser mortal.
¿Por qué se necesita un tercer alambre? Los 120 V son conducidos por los otros
dos alambres: uno vivo (120 V ca), el otro neutro, que en sí mismo está conectado a
tierra.† El tercer alambre “dedicado” a tierra, con la pata redonda, parecería inútil.
Pero representa protección por dos razones: 1. protege contra el alambrado interno
que pudo haberse realizado de manera incorrecta; 2. el alambre neutro porta corriente normal (“regresa” corriente de los 120 V) y tiene resistencia; así que puede
haber una caída de voltaje a lo largo de él, normalmente pequeña, pero si las conexiones son pobres o están corroídas, o si el enchufe está flojo, la resistencia podría
ser lo suficientemente grande como para que una persona sienta dicho voltaje si toca el alambre neutro a cierta distancia de su punto de conexión a tierra.
Algunos dispositivos eléctricos vienen sólo con dos alambres, y las dos patas del
enchufe tienen diferentes anchos; el enchufe se puede insertar sólo de una forma en
el tomacorriente, de modo que el neutro (pata más ancha) del dispositivo quede conectado al neutro en el alambrado. Por ejemplo, las vueltas de tornillo en una bombilla tienen la intención de ser conectadas a neutro (y el contacto de la base a vivo)
para evitar choques cuando se cambie una bombilla en un portalámparas que tal
vez esté salido. Los dispositivos con enchufes de dos patas no tienen sus cubiertas
conectadas a tierra; pero se supone que tienen doble aislamiento eléctrico. De cualquier forma, hay que tomar precauciones adicionales.
El aislamiento de un alambre puede tener código de colores. Los medidores de
mano, por lo general, tienen alambres guía rojos (vivo) y negros (tierra). Pero, en
una casa, el negro generalmente es vivo (o puede ser rojo), mientras que el blanco
es neutro y el verde es el dedicado a tierra. Pero tenga cuidado: no siempre se puede confiar en estos códigos de color.
Los disyuntores o breakers normales (secciones 18-6 y 20-7) protegen el equipo
y los edificios de sobrecargas e incendios. Protegen a los humanos sólo en algunas
circunstancias, como en el caso de corrientes muy altas que son resultado de un corto, si responden suficientemente rápido. Los interruptores de circuito para falla a
tierra, descritos en la sección 21-8, están diseñados para proteger a la gente de las
corrientes mucho más bajas (10 mA a 100 mA) que son mortales pero que no dispararían un disyuntor de 15 A o que no quemarían un fusible de 20 A.
a)
b)
†
En Estados Unidos, en una casa normalmente entran tres alambres: dos alambres vivos a 120 V cada uno (que en conjunto suman 240 V para aparatos o dispositivos que funcionan a 240 V) más el
neutro a tierra (que porta corriente de regreso para los dos vivos). Observe la figura 19-28. El alambre
“dedicado” a tierra (que no porta corriente) es un cuarto alambre que no proviene de la compañía
eléctrica pero que entra a la casa desde una pesada estaca cercana colocada en el suelo o desde una
tubería metálica enterrada. Los dos alambres vivos pueden alimentar circuitos separados de 120 V
en la casa, así que cada circuito de 120 V en el interior de la casa tiene sólo tres alambres, como se
explicó en el texto.
c)
FIGURA 19–27 a) Enchufe con
tres patas y b) un adaptador (gris)
para los antiguos tomacorrientes de
dos patas: asegúrese de atornillar la
lengüeta a tierra. c) Enchufe
polarizado de dos patas.
FIGURA 19–28 Los cuatro alambres que entran a una casa típica (en
Estados Unidos). Los códigos de color para los alambres no siempre son
los que se muestran aquí. ¡Tenga cuidado!
120 V
De la
compañía
eléctrica
P R E C A U C I Ó N
El alambre negro
puede ser tierra o vivo.
¡Tenga cuidado!
Negro (o rojo)
Vivo
120 Vrms 240 Vrms
0
Blanco
Neutro
Negro
Tierra en
poste eléctrico
CAPÍTULO 19
Circuitos
CD
0
120 Vrms
120 V
Vivo 120 V
Verde
540
120 V
0
Tierra en
casa
La corriente es la que daña, pero es el voltaje el que provoca la corriente. A veces se dice que 30 volts son el umbral para el peligro. Pero incluso una batería de
automóvil de 12 V (capaz de suministrar grandes corrientes) puede causar desagradables quemaduras y choques eléctricos.
Otro peligro es la fuga de corriente, término con el que se designa una corriente
a lo largo de una trayectoria no deseada. Las fugas de corriente con frecuencia son
“acopladas de forma capacitiva”. Por ejemplo, un alambre en una lámpara forma un
capacitor con la cubierta de metal; las cargas que se mueven en un conductor atraen
o repelen carga en el otro, así que existe una corriente. Los códigos típicos de electricidad limitan las fugas de corriente a 1 mA para cualquier dispositivo. Una fuga
de corriente de 1 mA, por lo general, no es dañina. Sin embargo, podría ser muy peligrosa para un paciente de hospital con electrodos implantados que se conectan a
tierra a través del aparato. Esto se debe a la ausencia de la capa protectora de la piel
y porque la corriente puede pasar directamente a través del corazón en comparación
con la situación común donde la corriente entra a las manos y se esparce a través
del cuerpo. Aunque se requieren 100 mA para provocar fibrilación cardiaca cuando
la corriente entra por las manos (en realidad muy poca de ella pasa al corazón), se ha
sabido de fibrilaciones producidas por cifras tan pequeñas como 0.02 mA que pasan
directamente al corazón. Por tanto, un paciente “conectado” está en considerable peligro por las fugas de corriente, incluso en un acto tan simple como tocar una lámpara.
Finalmente, nunca toque una línea de potencia caída (¡esto es mortal!); ni siquiera se acerque a ella. Una línea de potencia viva está a miles de volts. A través
del suelo o del pavimento puede fluir una enorme corriente, desde donde el alambre de
alto voltaje toca el suelo hasta el punto de conexión a tierra de la línea neutra, que
es suficiente como para que el voltaje entre las piernas sea grande. Sugerencia: Párese en un pie o corra (de modo que sólo un pie toque el suelo a la vez).
* 19–8 Amperímetros y voltímetros
Fuga de corriente
F Í S I C A
A P L I C A D A
Medidores de CD
Un amperímetro sirve para medir corriente, y un voltímetro mide diferencias de potencial o voltajes. Las mediciones de corriente y voltaje se realizan con medidores
que son de dos tipos: 1. medidores análogos, que despliegan valores numéricos mediante la posición de un puntero que se mueve a lo largo de una escala (figura 19-29a); y
2. medidores digitales, que despliegan el valor numérico en números (figura 19-29b).
Ahora se analizarán los medidores en sí y su funcionamiento, para luego explicar
cómo se conectan a los circuitos con la finalidad de realizar mediciones. Por último
se hablará de cómo el uso de medidores afecta al circuito que se mide, lo que posiblemente ocasiona resultados erróneos; se explicará qué hacer al respecto.
FIGURA 19–29 a) Multímetro
analógico que se usa como voltímetro.
b) Medidor digital electrónico.
a)
b)
* Amperímetros y voltímetros analógicos
La parte esencial de un amperímetro o voltímetro analógico, en el que la lectura se
realiza mediante un puntero sobre una escala (figura 19-29a), es un galvanómetro.
El galvanómetro funciona sobre el principio de la fuerza entre un campo magnético
y una bobina de alambre que porta corriente, que se estudiará en el capítulo 20. Por
el momento, simplemente se necesita saber que la desviación de la aguja del galvanómetro es proporcional a la corriente que fluye a través de él. La sensibilidad de
*SECCIÓN 19–8
Amperímetros y voltímetros
541
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El amperímetro usa un resistor
derivado en paralelo.
corriente a escala completa, Im, de un galvanómetro es la corriente necesaria para
hacer que la aguja se desvíe la escala completa.
Es posible usar un galvanómetro directamente para medir pequeñas corrientes
cd. Por ejemplo, un galvanómetro cuya sensibilidad Im es de 50 mA es capaz de medir corrientes desde aproximadamente 1 mA (corrientes más pequeñas que esto son
difíciles de leer en la escala) hasta 50 mA. Para medir corrientes mayores, se coloca
un resistor en paralelo con el galvanómetro. Así, un amperímetro, representado por
el símbolo A , consiste en un galvanómetro ( G ) en paralelo con un resistor llamado resistor en derivación o derivado, como se muestra en la figura 19-30. (“En
derivación” o “derivado” es un sinónimo de “en paralelo”). La resistencia en derivación es Rder, y la resistencia de la bobina del galvanómetro, a través de la que pasa la
corriente, es r. El valor de Rder se elige de acuerdo con la desviación de escala completa deseada; normalmente Rder es muy pequeña —dada la muy pequeña resistencia neta de un amperímetro— así que la mayor parte de la corriente pasa a través
de Rder y muy poca (f 50 mA) pasa a través del galvanómetro para desviar la aguja.
r
G
FIGURA 19–30 Un amperímetro es
un galvanómetro en paralelo con un
resistor (en derivación) con baja
resistencia, Rder.
IG
I
Amperímetro
A
=
I
IR
Rder
EJEMPLO 19–14 Diseño de amperímetro. Diseñe un amperímetro para leer
1.0 A a escala completa con el uso de un galvanómetro con una sensibilidad de escala completa de 50 mA y una resistencia r 30 . Verifique si la escala es lineal.
PLANTEAMIENTO Sólo 50 mA A IG 0.000050 AB de la corriente de 1.0 A
debe pasar a través del galvanómetro para proporcionar desviación de escala completa. El resto de la corriente AIR 0.999950 AB pasa a través del pequeño resistor en derivación, Rder (figura 19-30). La diferencia de potencial a través del
galvanómetro es igual a la que cruza el resistor en derivación (están en paralelo).
Se aplica la ley de Ohm para encontrar Rder.
SOLUCIÓN Puesto que I = IG + IR , cuando I 1.0 A fluye al medidor, se quiere que IR a través del resistor en derivación sea IR 0.999950 A. La diferencia de
potencial a través del derivado es la misma que cruza el galvanómetro, así que la
ley de Ohm dice
IR Rder = IG r;
entonces
Rder =
A5.0 * 10–5 AB(30 )
IG r
=
IR
(0.999950 A)
= 1.5 * 10–3 ,
o 0.0015 . Por tanto, el resistor en derivación debe tener una resistencia muy baja y la mayor parte de la corriente pasa a través de él.
Si la corriente I en el medidor es de 0.50 A, por ejemplo, esto producirá una
corriente hacia el galvanómetro igual a
IG =
(0.50 A)A1.5 * 10–3 )
IR Rder
=
r
30 = 25 mA,
que brinda una desviación de media escala completa; de modo que la escala es lineal.
542
CAPÍTULO 19
Circuitos
CD
Un voltímetro ( V ) también consta de un galvanómetro y un resistor. Pero el
resistor Rser está conectado en serie (figura 19-31), y por lo general es grande, lo que
le da al voltímetro una alta resistencia interna.
Voltímetro
Rser
=
V
El voltímetro usa un
resistor en serie.
FIGURA 19–31 Un voltímetro es un
r
galvanómetro en serie con un resistor
con alta resistencia, Rser.
G
EJERCICIO F Con el mismo galvanómetro que el del ejemplo 19-14, con resistencia interna r 30 y sensibilidad de corriente a escala completa de 50 mA, utilice la ley de
Ohm para determinar el valor de Rser para fabricar un voltímetro que permita registrar
desde 0 hasta 15 V.
Los medidores que se acaban de describir son para corriente directa. Es posible
modificar un medidor cd para medir ca (corriente alterna, sección 18-7) con la adición
de diodos, lo que permite que la corriente fluya sólo en una dirección. Un medidor
ca se puede calibrar para leer valores rms o pico.
Los voltímetros y amperímetros pueden tener varios resistores en serie o en derivación para ofrecer una variedad de rangos. Los multímetros pueden medir voltaje,
corriente y resistencia. A veces los multímetros se conocen como VOM (Volt-OhmMedidor o Volt-Ohm-Miliamperímetro).
Un óhmmetro mide resistencia, y debe contener una batería de voltaje conocido conectada en serie a un resistor (Rser) y a un amperímetro (figura 19-32). El resistor cuya resistencia se va a medir completa el circuito. La desviación de la aguja
es inversamente proporcional a la resistencia. La calibración de la escala depende
del valor del resistor en serie. Puesto que un óhmmetro envía una corriente a través del
dispositivo cuya resistencia se va a medir, no debería usarse en dispositivos muy delicados que pudiesen dañarse con la corriente.
La sensibilidad de un medidor por lo general se especifica en la carátula. Puede
estar dada como tantos ohms por volt, lo que indica cuántos ohms de resistencia hay en
el medidor por volt de lectura de escala completa. Por ejemplo, si la sensibilidad es
de 30,000 /V, esto significa que, en la escala de 10 V, el medidor tiene una resistencia de 300,000 , mientras que, en la escala de 100 V, la resistencia del medidor es de
3 M. La sensibilidad de corriente de escala completa, Im, discutida con anterioridad, es justo el recíproco de la sensibilidad en /V.
Medidores CA
Multímetros
VOM
Óhmmetros
r
G
Rder
Rser
V
R a ser
medida
FIGURA 19–32 Un óhmmetro.
* Cómo conectar los medidores
Suponga que se desea determinar la corriente I en el circuito que se muestra en la
figura 19-33a y el voltaje a través del resistor R1. ¿Cómo se conectan exactamente
los amperímetros y voltímetros al circuito que se va a medir?
FIGURA 19–33 Medición de corriente y voltaje.
a
b
c
R1
R2
V
a)
a
A P L I C A D A
V
b
c
R1
A
F Í S I C A
Cómo usar correctamente los
medidores
R2
c
b
a
R1
V
R2
V
b)
Como un amperímetro se usa para medir la corriente que fluye en el circuito, se
debe insertar directamente en el circuito, en serie con los otros elementos, como
se indica en la figura 19-33b. Cuanto más pequeña sea su resistencia interna, menos
afectará al circuito.
Por otra parte, un voltímetro se conecta “externamente”, en paralelo con el elemento de circuito a través del que se va a medir el voltaje. Se utiliza para medir la
diferencia de potencial entre dos puntos. Sus dos alambres guía (alambres conectores)
están conectados a los dos puntos, como se ilustra en la figura 19-33c, donde se va a
medir el voltaje que cruza R1. Cuanto mayor sea su resistencia interna, (Rser r) en
la figura 19-31, menos afectará al circuito que se mide.
*SECCIÓN 19–8
c)
El amperímetro se inserta
en el circuito.
El voltímetro se conecta
en paralelo.
Amperímetros y voltímetros
543
* Efectos de la resistencia del medidor
F Í S I C A
A P L I C A D A
Corrección para resistencia del
medidor.
a
b
c
R2
R1
V
a)
V
c
b
a
R1
R2
V
Es importante conocer la sensibilidad de un medidor, porque en muchos casos la resistencia de éste puede afectar seriamente los resultados. Considere el ejemplo siguiente.
EJEMPLO 19–15 Lectura de voltaje frente a voltaje verdadero. Supongamos que se prueba un circuito electrónico que tiene dos resistores, R1 y R2, cada
uno de 15 k, conectados en serie como se aprecia en la figura 19-34a. La batería
mantiene 8.0 V a través de ellos y tiene resistencia interna despreciable. Un voltímetro, cuya sensibilidad es de 10,000 /V, se coloca en la escala de 5.0 V. ¿Qué voltaje indica el medidor cuando se conecta a través de R1 (figura 19-34b), y qué error
provoca la resistencia finita del medidor?
PLANTEAMIENTO El medidor actúa como un resistor en paralelo con R1. Se emplea el análisis de resistores en paralelo y en serie y la ley de Ohm para determinar las corrientes y los voltajes.
SOLUCIÓN En la escala de 5.0 V, el voltímetro tiene una resistencia interna de
(5.0 V)(10,000 V) = 50,000 . Cuando se conecta a través de R1, como en la
figura 19-34b, estos 50 k se tienen en paralelo con R1 15 k. La resistencia neta Req de estos dos está dada por
1
1
1
13
+
=
;
=
Req
50 k
15 k
150 k
b)
así que Req 11.5 k. Esta Req 11.5 k está en serie con R2 15 k, de modo
que la resistencia total del circuito ahora es de 26.5 k (en lugar del original 30 k).
En consecuencia, la corriente proveniente de la batería es
FIGURA 19–34 Ejemplo 19-15.
8.0 V
= 3.0 * 10–4 A = 0.30 mA.
26.5 k
Entonces la caída de voltaje a través de R1, que es la misma que la que cruza el
–4
3
voltímetro, es A3.0 * 10 ABA11.5 * 10 B 3.5 V. [La caída de voltaje a tra–4
3
vés de R2 es A3.0 * 10 AB A15 * 10 B 4.5 V, para un total de 8.0 V.] Si se supone que el medidor es preciso, indicará 3.5 V. En el circuito original, sin el
medidor, R1 R2, así que el voltaje que cruza R1 es la mitad del de la batería, o 4.0 V.
De este modo, el voltímetro, por su resistencia interna, brinda una lectura baja. En
este caso varía en 0.5 V, o más del 10%.
I =
El ejemplo 19-15 ilustra cómo un medidor puede afectar un circuito y arrojar
una lectura equivocada. Sin embargo, si la resistencia de un voltímetro es mucho
mayor que la resistencia del circuito, tendrá poco efecto y sus lecturas serán confiables, al menos hasta la precisión de fabricación del medidor, que para los medidores
analógicos generalmente es del 3 al 4% de desviación de escala completa. Un amperímetro también puede interferir con un circuito, pero el efecto es mínimo si su resistencia es mucho menor que la del circuito como un todo. Tanto para los voltímetros
como para los amperímetros, cuanto más sensible sea el galvanómetro, menor efecto tendrá. Un medidor de 50,000 /V es mucho mejor que un medidor de 1000 /V.
* Medidores digitales
Los medidores digitales (figura 19-29b) se utilizan de la misma forma que los medidores analógicos: se insertan directamente en el circuito, en serie, para medir corriente (figura 19-33b), y en el “exterior”, en paralelo con el circuito, para medir
voltaje (figura 19-33c).
Sin embargo, la construcción interna de los medidores digitales es diferente de
la de los medidores analógicos, ya que los primeros no usan galvanómetro. El circuito
electrónico y las lecturas digitales son más sensibles que el galvanómetro y la aguja
que sustituyen, y tienen menos efecto sobre el circuito sometido a medición. Cuando se miden voltajes cd, la resistencia del medidor es muy alta, por lo general en el
orden de 10 a 100 M (107-108 ). Esta resistencia interna no cambia significativamente cuando se seleccionan diferentes escalas de voltaje (como sucede para los
544
CAPÍTULO 19
Circuitos
CD
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medidores analógicos). Un medidor digital con esa alta resistencia extraerá muy poca corriente cuando se conecte a través de un elemento de circuito de incluso 1 M
de resistencia.
La precisión de los medidores digitales es excepcional, con frecuencia de una
parte en 104 ( 0.01%) o incluso mejor. Sin embargo, esta precisión no es lo mismo
que exactitud. Un medidor preciso de 108 de resistencia interna no brindará resultados exactos si se usa para medir un voltaje a través de un resistor de 108 , en cuyo
caso es necesario realizar un cálculo como el del ejemplo 19-15.
Un aspecto fundamental de esta sección es demostrar que, siempre que se realiza una medición en un circuito, éste se ve afectado hasta cierto grado (recuerde el
ejemplo 19-15). Esta afirmación también es cierta para otros tipos de mediciones:
siempre que se realiza una medición en un sistema, por lo general éste resulta afectado de alguna forma. En una medición de temperatura, por ejemplo, el termómetro
tiene un calor específico y puede intercambiar calor con el sistema, con lo que altera su temperatura (aunque sólo de manera ligera). Es importante tener la capacidad
de realizar cualquier corrección necesaria, como se hizo en el ejemplo 19-15.
Resumen
Un dispositivo que transforma otro tipo de energía en energía
eléctrica se llama fuente de fem. Una batería se comporta como
una fuente de fem en serie con una resistencia interna. La fem es
la diferencia de potencial determinada por las reacciones químicas en la batería y es igual al voltaje en las terminales cuando no
se extrae corriente. Cuando se extrae una corriente, el voltaje en
las terminales de la batería es menor que su fem por una cantidad
igual a la disminución de potencial Ir a través de la resistencia
interna.
Cuando las resistencias están conectadas en serie (extremo
con extremo en una sola trayectoria lineal), la resistencia equivalente es la suma de las resistencias individuales:
Req = R1 + R2 + p.
(19–3)
En una combinación en serie, Req es mayor que cualquier resistencia componente.
Cuando los resistores están conectados en paralelo, el recíproco de la resistencia equivalente es igual a la suma de los recíprocos de las resistencias individuales:
1
1
1
=
+
+ p.
Req
R1
R2
(19–4)
En una conexión en paralelo, la resistencia neta es menor que
cualquiera de las resistencias individuales.
Las reglas de Kirchhoff son útiles para determinar las corrientes y los voltajes en los circuitos. La regla de la unión de
Kirchhoff se basa en la conservación de la carga eléctrica y establece que la suma de todas las corrientes que entran a cualquier
unión es igual a la suma de todas las corrientes que dejan dicha unión. La segunda, o regla del lazo, se basa en la conservación de la energía y afirma que la suma algebraica de los cambios
en el potencial alrededor de cualquier trayectoria cerrada del circuito debe ser cero.
Cuando los capacitores están conectados en paralelo, la capacitancia equivalente es la suma de las capacitancias individuales:
Ceq = C1 + C2 + p.
(19–5)
Cuando los capacitores están conectados en serie, el recíproco de la capacitancia equivalente es igual a la suma de los recíprocos de las capacitancias individuales:
1
1
1
=
+
+ p.
Ceq
C1
C2
(19–6)
Si un circuito RC que contiene una resistencia R en serie
con una capacitancia C está conectado a una fuente cd de fem, el
voltaje a través del capacitor se eleva gradualmente en el tiempo
caracterizado por la constante de tiempo
t = RC.
(19–7)
Éste es el tiempo que le toma al voltaje alcanzar el 63% de su valor
máximo. Un capacitor que se descarga a través de un resistor se
caracteriza por la misma constante de tiempo: en un tiempo t RC, el voltaje a través del capacitor cae al 37% de su valor inicial.
Los choques eléctricos son provocados por la corriente que
pasa a través del cuerpo. Para evitar choques, la persona no debe
volverse parte de un circuito completo al permitir que diferentes
partes de su cuerpo entren en contacto con objetos a diferentes potenciales. Comúnmente, los choques tienen lugar porque
una parte del cuerpo toca tierra y otra entra en contacto con un
alto potencial eléctrico.
[*Un amperímetro mide corriente. Un amperímetro analógico consiste en un galvanómetro y un resistor en derivación en paralelo que porta la mayor parte de la corriente. Un voltímetro
analógico consiste en un galvanómetro y un resistor en serie. Un
amperímetro se inserta en el circuito cuya corriente se va a medir.
Un voltímetro es externo y se conecta en paralelo con el elemento
cuyo voltaje se va a medir. Los medidores digitales tienen mayor
resistencia interna y afectan al circuito que se va a medir menos
que los medidores analógicos].
Preguntas
1. Explique por qué las aves se pueden posar con seguridad en
las líneas de alta tensión, mientras que inclinar una escalera
de metal contra una línea de potencia para desenredar una
cometa atorada resulta extremadamente peligroso.
2. Discuta las ventajas y desventajas de las luces de los arbolitos
de Navidad en paralelo frente a las conectadas en serie.
3. Si se tiene una línea de 120 V, ¿sería posible iluminar varias
lámparas de 6 V sin quemarlas? ¿Cómo?
4. Dos bombillas de resistencias R1 y R2 (R2 > R1) están conectadas en serie. ¿Cuál es más brillante? ¿Y si estuviesen conectadas en paralelo? Explique sus respuestas.
Preguntas
545
5. Los tomacorrientes domésticos con frecuencia tienen tomacorrientes dobles. ¿Están conectados en serie o en paralelo?
¿Cómo se sabe?
6. Con dos bombillas idénticas y dos baterías idénticas, ¿cómo
deberían ordenarse las bombillas y las baterías en un circuito
para obtener la máxima salida de potencia total posible? (Suponga que las baterías tienen resistencia interna despreciable).
7. Si dos resistores idénticos se conectan en serie a una batería,
¿esta última tiene que suministrar más potencia o menos que
cuando sólo estaba conectado uno solo de los resistores? Explique su respuesta.
8. En una habitación se tiene una sola bombilla de 60 W. ¿Cómo
cambia la resistencia global del circuito eléctrico de la habitación si se enciende una bombilla adicional de 100 W?
9. Cuando se aplica la regla del lazo de Kirchhoff (como en la
figura 19-35), ¿el signo (o dirección) de la fem de una batería
depende de la dirección de la corriente a través de la batería? ¿Y qué hay acerca del voltaje en terminales?
r = 1.0 Ω
= 18 V
r = 2.0 Ω
11. ¿Para qué uso están conectadas las baterías en serie? ¿Para
qué uso están conectadas en paralelo? ¿Importa si las baterías son casi idénticas o no en cualquiera de los dos casos?
12. ¿El voltaje en las terminales de una batería puede superar alguna vez su fem? Explique su respuesta.
13. Explique con detalle cómo podría medirse la resistencia interna de una batería.
14. Compare y discuta las fórmulas para resistores y para capacitores cuando se conectan en serie y en paralelo.
15. Suponga que tres capacitores idénticos están conectados a
una batería. ¿Almacenarán más energía si se conectan en serie o en paralelo?
16. ¿Por qué es más peligroso encender un aparato eléctrico
cuando se está de pie en el exterior con los pies descalzos,
que cuando se está en el interior con zapatos de suela gruesa?
17. La figura 19-37 es un diagrama de un capacitor (o condensador) de micrófono. La presión del aire variable en una onda
sonora provoca que una placa del capacitor C se mueva de
ida y vuelta. Explique cómo se produce una corriente de la
misma frecuencia que la onda sonora.
R = 6.6 Ω
FIGURA 19–37
Diagrama del
capacitor de un
micrófono. Pregunta 17.
FIGURA 19–35
Pregunta 9.
= 12 V
C
10. Dado el circuito que se muestra en la figura 19-36, utilice las
palabras “aumenta”, “disminuye” o “permanece igual” para
completar los siguientes enunciados:
a) Si R7 aumenta, la diferencia de potencial entre A y
A ni en e.
E_____. Suponga que no hay resistencia en ~
b) Si R7 aumenta, la diferencia de potencial entre A y
A y e tienen resistencia.
E_____. Suponga que ~
c) Si R7 aumenta, la caída de voltaje a través de R4 _____.
d) Si R2 disminuye, la corriente a través de R1 __________.
e) Si R2 disminuye, la corriente a través de R6 __________.
f) Si R2 disminuye, la corriente a través de R3 __________.
g) Si R5 aumenta, la caída de voltaje a través de R2 ______.
h) Si R5 aumenta, la caída de voltaje a través de R4 ______.
i) Si R2, R5 y R7 aumentan, e (r = 0) _________________.
FIGURA 19–36
Pregunta 10. R2, R5 y R7
son resistores variables
(se puede cambiar su
resistencia), a las que se
les da el símbolo
.
Presión del
sonido
R
Placa
móvil
(diafragma)
+
–
Vsalida
V
18. Diseñe un circuito en el que se puedan usar dos diferentes
interruptores del tipo que se muestra en la figura 19-38 para
operar la misma bombilla desde los lados opuestos de una
habitación.
R4
Alambre
R5
C
D
Alambre
R6
Alambre FIGURA 19–38
Pregunta 18.
R2
R3
R7
B
19. En un circuito RC, la corriente fluye desde la batería hasta
que el capacitor está completamente cargado. ¿La energía total que suministra la batería es igual a la energía total almacenada por el capacitor? Si no lo es, ¿a dónde va la energía
adicional?
* 20. ¿Cuál es la diferencia principal entre un voltímetro analógico
y un amperímetro analógico?
R1
A
A
+ –
* 21. ¿Qué ocurriría si por equivocación se emplea un amperímetro donde se necesita usar un voltímetro?
E
* 22. Explique por qué un amperímetro ideal tendría resistencia
cero y un voltímetro ideal resistencia infinita.
546
CAPÍTULO 19
Circuitos
CD
* 23. Un voltímetro conectado a través de un resistor siempre
* 24. Una pequeña linterna operada con batería requiere una sola
arroja una lectura menor que el voltaje verdadero a través
del resistor cuando el medidor no está presente. Explique
por qué.
batería de 1.5 V. La bombilla apenas brilla, pero cuando se
extrae la batería y se mide con un voltímetro, registra 1.5 V.
¿Cómo explicaría esto?
Problemas
19–1 Fem y voltaje en terminales
1. (I) Calcule el voltaje en las terminales para una batería con
una resistencia interna de 0.900 y una fem de 8.50 V cuando la batería está conectada en serie con a) un resistor de
81.0 y b) un resistor de 810 .
2. (I) Cuatro pilas de 1.5 V están conectadas en serie a una
bombilla de 12 . Si la corriente resultante es de 0.45 A,
¿cuál es la resistencia interna de cada pila, si se supone que
son idénticas y se desprecian los alambres?
3. (II) ¿Cuál es la resistencia interna de una batería de automóvil de 12.0 V cuyo voltaje en terminales cae a 8.4 V cuando el arrancador extrae 75 A? ¿Cuál es la resistencia del
arrancador?
4. (II) Se puede probar una pila seca de 1.5 V al conectarla a un
amperímetro de baja resistencia. Debería ser capaz de suministrar al menos 22 A. ¿Cuál es la resistencia interna de la pila en este caso, si se supone que es mucho mayor que la del
amperímetro?
19–2 Resistores en serie y en paralelo
13. (II) Ocho luces idénticas están conectadas en serie a través
de una línea de 110 V. a) ¿Cuál es el voltaje a través de cada
bombilla? b) Si la corriente es de 0.50 A, ¿cuál es la resistencia
de cada bombilla y cuál es la potencia disipada en cada una?
14. (II) Ocho luces están conectadas en paralelo a una fuente de
110 V mediante dos largas guías de 1.6 de resistencia total.
Si 240 mA fluyen a través de cada bombilla, ¿cuál es la resistencia de cada una y qué fracción de la potencia total se desperdicia en las guías?
15. (II) Ocho luces de 7.0 W para un árbol de Navidad están conectadas en serie una con otra y a una fuente de 110 V. ¿Cuál
es la resistencia de cada bombilla?
16. (II) Una inspección cercana de un circuito eléctrico revela
que un resistor de 480 se soldó inadvertidamente en el lugar donde se necesita un resistor de 320 . ¿Cómo se puede
solucionar esto sin remover algo del circuito existente?
17. (II) Determine a) la resistencia equivalente del circuito que
se muestra en la figura 19-39 y b) el voltaje a través de cada
resistor.
En estos problemas, considere despreciable la resistencia interna
de una batería a menos que el problema se refiera a ella.
5. (I) Cuatro bombillas de 240 están conectadas en serie.
¿Cuál es la resistencia total del circuito? ¿Cuál es su resistencia si están conectadas en paralelo?
6. (I) Tres bombillas de 45 y tres bombillas de 75 están conectadas en serie. a) ¿Cuál es la resistencia total del circuito? b) ¿Cuál es su resistencia si las seis están conectadas en
paralelo?
7. (I) Dos resistores, uno de 650 y otro de 2200 , están conectados en serie con una batería de 12 V. ¿Cuál es el voltaje
a través del resistor de 2200 ?
8. (I) Dados sólo un resistor de 25 y uno de 35 , elabore
una lista con todos los posibles valores de resistencia que se
pueden obtener.
9. (I) Suponga que se tiene un resistor de 680 , otro de 940 y otro más de 1.20 k. ¿Cuáles son a) la resistencia máxima y
b) mínima que se pueden obtener al combinarlos?
10. (II) Suponga que se tiene una batería de 6.0 V y se quiere
aplicar un voltaje de sólo 4.0 V. Dado un suministro ilimitado
de 1.0 resistores, ¿cómo se les podría conectar de modo
que se haga un “divisor de voltaje” que produzca una salida
de 4.0 V por una entrada de 6.0 V?
820 Ω
FIGURA 19–39
12.0 V
Problema 17.
18. (II) Una bombilla de 110 V y 75 W se conecta en paralelo
con una bombilla de 110 V y 40 W. ¿Cuál es la resistencia neta?
19. (III) Considere la red de resistores que se muestran en la figura 19-40. Responda cualitativamente: a) ¿Qué ocurre con
el voltaje a través de cada resistor cuando el interruptor S
se cierra? b) ¿Qué ocurre a la corriente a través de cada
uno cuando el interruptor se cierra? c) ¿Qué ocurre con la
salida de potencia de la batería cuando el interruptor se cierra?
d) Sea R1 = R2 = R3 = R4 = 125 y V 22.0 V. Determine la corriente a través de cada resistor antes y después
de cerrar el interruptor. ¿Se confirman sus predicciones cualitativas?
FIGURA 19–40 Problema 19.
R1
11. (II) Tres resistores de 240 se pueden conectar juntos de
cuatro formas diferentes, con lo que se hacen combinaciones
de circuitos en serie yo en paralelo. ¿Cuáles son estas cuatro
formas y cuál es la resistencia neta en cada caso?
12. (II) Una batería con una fem de 12.0 V muestra un voltaje en
terminales de 11.8 V cuando opera en un circuito con dos
bombillas clasificadas en 3.0 W (a 12.0 V) que están conectadas en paralelo. ¿Cuál es la resistencia interna de la batería?
470 Ω
680 Ω
S
V
R3
R4
R2
Problemas
547
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20. (III) ¿Cuál es la resistencia neta del circuito conectado a
la batería en la figura 19-41? Cada resistencia tiene R 2.8 k
24. (II) Determine el voltaje en las terminales de cada batería en
la figura 19-44.
r = 1.0 Ω
R
= 18 V
B
R
R
R = 6.6 Ω
r = 2.0 Ω
R
A
= 12 V
FIGURA 19–44 Problema 24.
C
R
25. (II) a) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre los puntos a
y d en la figura 19-45 (mismo circuito que la figura 19-13,
ejemplo 19-8), y b) cuál es el voltaje en las terminales de cada
batería?
R
FIGURA 19–41
Problema 20.
12 V
30 Ω
21. (III) Tres resistores iguales (R) están conectados a una batería como se muestra en la figura 19-42. Cualitativamente,
¿qué ocurre con a) la caída de voltaje a través de cada uno
de estos resistores, b) el flujo de corriente a través de cada
uno y c) el voltaje en las terminales de la batería, cuando el
interruptor S se abre, después de que ha estado cerrado durante largo tiempo? d) Si la fem de la batería es de 15.0 V,
¿cuál es su voltaje en terminales cuando el interruptor se cierra,
si la resistencia interna es de 0.50 y R 5.50 ? e) ¿Cuál
es el voltaje en terminales cuando se abre el interruptor?
R
R
a
r=
2=
1 Ω 45 V
I3
40 Ω
b
1=
80 V
I2
g
d
c
20 Ω
r=
1Ω
f
e
FIGURA 19–45 Problema 25.
26. (II) Para el circuito que se representa en la figura 19-46,
determine la diferencia de potencial entre los puntos a y b.
Cada resistor tiene R 75 y cada batería es de 1.5 V.
S
r
I1
h
R
R
a
1.5 V
FIGURA 19–42 Problema 21.
R
R
R
1.5 V
b
22. (III) Un resistor de 2.8 k y uno de 2.1 k están conectados
en paralelo; esta combinación se conecta en serie con un resistor de 1.8 k. Si cada resistor está clasificado en 12 W (máximo sin sobrecalentamiento), ¿cuál es el voltaje máximo que
se puede aplicar a través de toda la red?
FIGURA 19–46 Problema 26.
27. (II) Determine las magnitudes y direcciones de las corrientes
a través de R1 y R2 en la figura 19-47.
19–3 Reglas de Kirchhoff
23. (I) Calcule la corriente en el circuito de la figura 19-43 y demuestre que la suma de todos los cambios de voltaje alrededor del circuito es cero.
V1 = 9.0 V R1 = 22 Ω
R2 = 15 Ω
r = 2.0 Ω
V3 = 6.0 V
9.0 V
8.0 Ω
FIGURA 19–47 Problemas 27 y 28.
12.0 Ω
FIGURA 19–43 Problema 23.
548
CAPÍTULO 19
Circuitos
CD
28. (II) Repita el problema 27, pero ahora suponga que cada batería tiene una resistencia interna r 1.2 .
29. (II) Determine las magnitudes y direcciones de las corrientes
en cada resistor que se ilustra en la figura 19-48. Las baterías
tienen fem de e1 9.0 V y e2 12.0 V, y los resistores tienen valores de R1 = 25 , R2 = 18 y R3 = 35 .
R1
1
R2
R3
2
FIGURA 19–48
Problemas 29 y 30.
30. (II) Repita el problema 29, pero ahora suponga que cada batería tiene resistencia interna r 1.0 .
31. (II) Calcule las corrientes en cada resistor de la figura 19-49.
19–5 Capacitores en serie y en paralelo
35. (I) a) Seis capacitores de 4.7 mF se conectan en paralelo.
¿Cuál es la capacitancia equivalente? b) ¿Cuál es su capacitancia equivalente si se conectan en serie?
36. (I) Se tienen tres capacitores con capacitancias de 3200 pF,
7500 pF y 0.0100 mF. ¿Qué capacitancias máxima y mínima se
pueden formar a partir de estas tres? ¿Cómo se hacen las conexiones en cada caso?
37. (I) Un capacitor de 3.00 mF y otro de 4.00 mF están conectados en serie y esta combinación se conecta en paralelo con
un capacitor de 2.00 mF (figura 19-52). ¿Cuál es la capacitancia neta?
3.00 mF
4.00 mF
2Ω
6.0 V
3.0 V
12 Ω
6Ω
2.00 mF
10 Ω
FIGURA 19–52
8Ω
26.0 V
Problemas 37 y 38.
FIGURA 19–49 Problema 31.
32. (III) a) Determine las corrientes I1, I2 e I3 en la figura 19-50.
Suponga que la resistencia interna de cada batería es r 1.0 . b) ¿Cuál es el voltaje en las terminales de la batería
de 6.0 V?
I1
r
12.0 V
8.0 Ω
12 Ω
I2
10 Ω
r
12.0 V
15 Ω
38. (II) Si a través de toda la red de la figura 19-52 se aplican
26.0 V, calcule el voltaje a través de cada capacitor.
39. (II) La capacitancia de una porción de un circuito se reducirá de 4800 a 2900 pF. ¿Qué capacitancia se puede agregar al
circuito para producir este efecto sin remover elementos de circuito existentes? ¿En el proceso se deben romper algunas conexiones existentes?
40. (II) Accidentalmente se construyó un circuito eléctrico con
un capacitor de 5.0 mF en lugar del valor requerido de 16 mF.
Sin remover el capacitor de 5.0 mF, ¿qué debería agregar un
técnico para corregir este circuito?
41. (II) Determine la capacitancia equivalente del circuito que se
ilustra en la figura 19-53.
18 Ω
r
6.0 V
I3
C1
FIGURA 19–50
Problemas 32 y 33.
C2
C3
33. (III) ¿Cuál sería la corriente I1 en la figura 19-50 si el resistor
de 12 se corta? Sea r 1.0 .
* 19–4 Fem combinada, carga de una batería
* 34. (II) Suponga que dos baterías, con fem distintas de 2.00 y
3.00 V, se conectan como se indica en la figura 19-51. Si cada
resistencia interna es r 0.100 y R 4.00 , ¿cuál es el
voltaje a través del resistor R?
R = 4.00 Ω
= 2.00 V
r
= 3.00V r
FIGURA 19–51
Problema 34.
FIGURA 19–53
V
Problemas 41, 42, 43 y 44.
* 42. (II) En la figura 19-53, si C1 = C2 2C3 = 22.6 mF, ¿cuánta carga se almacena en cada capacitor cuando V 45.0 V?
* 43. (II) En la figura 19-53, suponga C1 = C2 C3 = 16.0 mF.
Si la carga en C2 es Q2 24.0 mC, determine la carga en cada
uno de los otros capacitores, el voltaje a través de cada capacitor y el voltaje V a través de toda la combinación.
* 44. (II) En la figura 19-53, sea V 78 V y C1 = C2 = C3 7.2 mF. ¿Cuánta energía se almacena en la red capacitor?
* 45. (II) Un capacitor de 0.40 mF y otro de 0.60 mF están conectados en serie a una batería de 9.0 V. Calcule a) la diferencia de
potencial a través de cada capacitor y b) la carga en cada
uno. c) Repita los incisos a) y b) pero suponga que los dos capacitores están en paralelo.
Problemas
549
46. (II) Tres placas conductoras, cada una con área A, están conectadas como se muestra en la figura 19-54. a) ¿Los dos capacitores formados están en serie o en paralelo? b)
Determine C como función de d1, d2 y A. Suponga que d1 d2 es mucho menor que las dimensiones de las placas.
51. (II) El circuito RC de la figura 19-57 (misma que la figura
19-21a) tiene R 6.7 k y C 3.0 mF. El capacitor está a un
voltaje V0 en t 0 cuando el interruptor se cierra. ¿Cuánto le toma al
–
capacitor descargarse al 1.0% de su V0
R
C
+
voltaje inicial?
FIGURA 19–57
Problema 51.
d1
d2
V
FIGURA 19–54
Problema 46.
47. (II) Un circuito contiene un solo capacitor de 250 pF conectado a través de una batería. Se desea almacenar tres veces
tanta energía en una combinación de dos capacitores al agregar un solo capacitor al que ya se tiene. ¿Cómo lo conectaría
y cuál sería su valor?
52. (III) Dos resistores y dos capacitores no cargados están ordenados como se indica en la figura 19-58. Entonces se aplica
una diferencia de potencial de 24 V a través de la combinación, como se muestra. a) ¿Cuál es el potencial en el punto a
con el interruptor S abierto? (Sea V 0 en la terminal negativa de la fuente). b) ¿Cuál es el potencial en el punto b con
el interruptor abierto? c) Cuando el interruptor se cierra,
¿cuál es el potencial final del punto b? d) ¿Cuánta carga fluye a través del interruptor S después de que se cierra?
48. (III) Un capacitor de 185 pF está conectado en serie con una
capacitancia desconocida, y como una combinación en serie
están conectados a una batería con una fem de 25.0 V. Si el
capacitor de 185 pF almacena 125 pC de carga en sus placas,
¿cuál es la capacitancia desconocida?
8.8 Ω
+
24 V
–
Electrodo a la
pierna izquierda
Amplificador
C
Registro
R
50. (II) En la figura 19-56 (misma que la figura 19-20a), la resistencia total es de 15.0 k y la fem de la batería es de 24.0 V.
Si la constante de tiempo se mide en 35.0 ms, calcule a) la capacitancia total del circuito y b) el tiempo que toma el voltaje atravesar el resistor para alcanzar 16.0 V después de que se
cierra el interruptor.
250 V, si la sensibilidad del medidor es de 30,000 /V?
* 54. (I) Un amperímetro tiene una sensibilidad de 20,000 /V.
* 55.
* 56.
* 57.
* 58.
* 59.
FIGURA 19–56
S
550
CAPÍTULO 19
Problema 50.
Circuitos
CD
0.24 mF
* 53. (I) ¿Cuál es la resistencia de un voltímetro en la escala de
R
C
b
* 19–8 Amperímetros y voltímetros
Electrodo al brazo
FIGURA 19–55 Problema 49.
S
Problema 52.
R
Electrodo a la
pierna derecha
(tierra)
0.48 mF
FIGURA 19–58
C
–
+
a
4.4 Ω
19–6 Circuitos RC
49. (I) Con frecuencia, los electrocardiógrafos están conectados
como se ilustra en la figura 19-55. Se dice que las guías están
acopladas de manera capacitiva. Una constante de tiempo de
3.0 s es típica y permite que los rápidos cambios en el potencial se registren con precisión. Si C 3.0 mF, ¿qué valor debe
tener R? [Sugerencia: Considere cada pierna como un circuito separado].
S
¿Qué corriente en el galvanómetro produce desviación de escala completa?
(II) Un galvanómetro tiene una resistencia interna de 30 y
desviación de escala completa para una corriente de 50 mA.
Describa cómo usar este galvanómetro para hacer a) un amperímetro para leer corrientes de hasta 30 A y b) un voltímetro para proporcionar una desviación de escala completa de
250 V.
(II) Un galvanómetro tiene una sensibilidad de 35 k/V y resistencia interna de 20.0 . ¿Cómo podría hacerse esto en
a) un amperímetro que da una lectura de escala completa de
2.0 A o b) un voltímetro que da una lectura de escala completa de 1.00 V?
(II) Un miliamperímetro da una lectura de escala completa
de 10 mA. Consiste en un resistor de 0.20 en paralelo con
un galvanómetro de 33 . ¿Cómo podría cambiarse este amperímetro a un voltímetro que dé una lectura de escala completa de 10 V sin quitar el amperímetro? ¿Cuál será la
sensibilidad (/V) del voltímetro?
(II) Una batería de 45 V de resistencia interna despreciable
está conectada a dos resistores en serie, uno de 38 k y
otro de 27 k. ¿Qué lectura proporcionará un voltímetro,
de 95 k de resistencia interna, cuando se usa para medir el
voltaje a través de cada resistor? ¿Cuál es el porcentaje de imprecisión debido a la resistencia del medidor para cada caso?
(II) Un amperímetro cuya resistencia interna es de 63 registra 5.25 mA cuando se conecta en un circuito que contiene
una batería y dos resistores en serie cuyos valores son 750 y
480 . ¿Cuál es la corriente real cuando el amperímetro está
ausente?
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* 60. (II) Una batería con e 12.0 V y resistencia interna r 1.0 * 62. (III) ¿Qué resistencia interna debería tener el voltímetro del
está conectada a dos resistores de 9.0 k en serie. Un amperímetro de 0.50 de resistencia interna mide la corriente,
y al mismo tiempo un voltímetro con resistencia interna de
15 k mide el voltaje a través de uno de los resistores de 9.0 k
en el circuito. ¿Qué lectura arrojan el amperímetro y el voltímetro?
61. (III) Dos resistores de 9.4 k están colocados en serie y se
*
conectan a una batería. Un voltímetro de 1000 /V de sensibilidad está en la escala de 3.0 V e indica 2.0 V cuando se coloca a través de cualquier resistor. ¿Cuál es la fem de la
batería? (Ignore su resistencia interna).
ejemplo 19-15 para estar en un error menor al 3%?
63.
(III) Cuando el resistor R de la figura 19-59 es de 35 , el
*
voltímetro de alta resistencia indica 9.7 V. Cuando R se sustituye por un resistor de 9.0 , el voltímetro registra una caída a
8.1 V. ¿Cuáles son la fem y la resistencia interna de la batería?
V
R
FIGURA 19–59
Problema 63.
Problemas generales
64. Suponga que se quiere aplicar una diferencia de potencial de
0.25 V entre dos puntos en el cuerpo humano. La resistencia
es de aproximadamente 2000 y sólo se tiene una batería de
9.0 V. ¿Cómo podría conectarse uno o más resistores para
producir el voltaje deseado?
65. Una bombilla de tres vías puede producir 50, 100 o 150 W a
120 V. Tal bombilla contiene dos filamentos que se pueden
conectar a los 120 V individualmente o en paralelo. a) Describa cómo se tienen que hacer las conexiones a los dos filamentos para dar cada uno de los tres wattajes. b) ¿Cuál debe
ser la resistencia de cada filamento?
66. Suponga que se quiere poner en funcionamiento algún aparato que está a 95 m de un tomacorriente eléctrico. Cada uno
de los alambres que conectan el aparato con la fuente de 120
V tiene una resistencia por unidad de longitud de 0.0065
/m. Si el aparato extrae 3.0 A, ¿cuál será la caída de voltaje
a través de los alambres conectores y qué voltaje se aplicará
al aparato?
67. La electricidad puede ser peligrosa en los hospitales, particularmente para los pacientes que están conectados a electrodos, como en un ECG. Por ejemplo, suponga que el motor de
una cama motorizada corta al marco de la cama, y que la conexión a tierra del marco de la cama está rota (o no estaba
ahí en primer lugar). Si una enfermera toca la cama y al paciente al mismo tiempo, ella se convierte en conductor y se
puede formar un circuito completo a través del paciente a
tierra a través del aparato de ECG. Esto se muestra esquemáticamente en la figura 19-60. Calcule la corriente a través del
paciente.
Cama
Enfermera
Paciente
(baja R)
10 4 Ω
10 4 Ω
10 4 Ω
69. Un marcapasos cardiaco está diseñado para operar a 72 latidos/min con un capacitor de 7.5 mF en un circuito RC simple.
¿Qué valor de resistencia se debe usar si el marcapasos se
disparará (descarga de capacitor) cuando el voltaje alcance el
63% del máximo?
70. Suponga que la resistencia del cuerpo de una persona es de
950 . a) ¿Qué corriente pasa a través del cuerpo cuando la
persona accidentalmente está conectada a 110 V? b) Si existe
una trayectoria alternativa hacia tierra cuya resistencia es de
45 , ¿qué corriente pasa a través de la persona? c) Si la
fuente de voltaje puede producir cuando mucho 1.5 A, ¿cuánta corriente pasa a través de la persona en el caso b)?
71. Un puente de Wheatstone es un tipo de “circuito puente”
que se usa para realizar mediciones de resistencia. La resistencia desconocida que se medirá, Rx, se coloca en el circuito
con las resistencias R1, R2 y R3 que se conocen con precisión
(figura 19-61). Una de éstas, R3, es un resistor variable que se
ajusta de modo que, cuando el interruptor se cierre momenA registra flujo cero de corrientáneamente, el amperímetro ~
te. a) Determine Rx en términos de R1, R2 y R3. b) Si un
puente de Wheatstone está “balanceado” cuando R1 = 630 ,
R2 = 972 y R3 = 42.6 , ¿cuál es el valor de la resistencia desconocida?
B
I3
R3
A
A
Aparato
de ECG
(baja R)
Rx
Amperímetro C
S
I1
R1
R2
Motor
D
220 V
+
FIGURA 19–60 Problema 67.
68. ¿Cuánta energía debe gastar una batería de 45 V para cargar
completamente un capacitor de 0.40 mF y otro de 0.60 mF
cuando están colocados a) en paralelo, b) en serie? c) ¿Cuánta carga fluye de la batería en cada caso?
FIGURA 19–61
–
Problemas 71 y 72.
Puente de Wheatstone.
72. Una longitud desconocida de alambre de platino de 0.920
mm de diámetro se coloca como la resistencia desconocida
en un puente de Wheatstone (véase el problema 71; figura
19-61). Los brazos 1 y 2 tienen resistencias de 38.0 y 46.0 ,
respectivamente. El equilibrio se alcanza cuando R3 es de
3.48 . ¿Cuál es la longitud del alambre de platino?
Problemas generales
551
79. Para el circuito que se muestra en la figura 19-65, determine
a) la corriente a través de la batería de 14 V y b) la diferencia
de potencial entre los puntos a y b, Va – Vb.
a
15 kΩ
10 kΩ
b
18 V
12
kΩ
kΩ
14 V
20
73. ¿Cuáles son los valores de capacitancia efectiva que se pueden obtener al conectar cuatro capacitores idénticos, cada
uno con capacitancia C?
74. La capacitancia variable de un viejo sintonizador de radio
consta de cuatro placas conectadas juntas colocadas de manera alternada entre otras cuatro placas, también conectadas
juntas (figura 19-62). Cada placa está separada de su vecina
por 1.5 mm de aire. Un conjunto de placas se puede mover
de modo que el área de traslape de cada placa varía de 2.0 cm2
a 9.5 cm2. a) ¿Estos siete capacitores están conectados en serie o en paralelo? b) Determine el rango de valores de capacitancia.
12 V
FIGURA 19–65 Problema 79.
80. Una celda solar de 3.0 cm cuadrados tiene una salida de
350 mA a 0.80 V cuando se expone a plena luz solar. Se necesita un panel solar que entregue cerca de 1.0 A de corriente a
120 V de fem para una carga externa. ¿Cuántas celdas solares
se necesitarán para crear el panel? ¿Qué tan grande debe ser
el panel y cómo se deben conectar las celdas una con otra?
¿Cómo se podría optimizar la salida del panel solar?
FIGURA 19–62
Problema 74.
75. Una batería produce 40.8 V cuando de ella se extraen 7.40 A,
y 47.3 V cuando se extraen 2.20 A. ¿Cuáles son la fem y la resistencia interna de la batería?
76. ¿Cuántos resistores de 12-W, cada uno de la misma resistencia, se deben usar para producir un resistor equivalente de
2.2 k y 3.5 W? ¿Cuál es la resistencia de cada uno y cómo
se deben conectar? No rebase P = 12 W en cada resistor.
77. La corriente a través del resistor de 4.0 k de la figura 19-63
es de 3.50 mA. ¿Cuál es el voltaje en terminales Vba de la batería “desconocida”? (Existen dos respuestas. ¿Por qué?)
[Sugerencia: Utilice la conservación de energía o las reglas de
Kirchhoff].
81. Un suministro de potencia tiene una salida de voltaje fija de
12.0 V, pero se necesita VT 3.0 V para un experimento. a)
Con el divisor de voltaje que se ilustra en la figura 19-66,
¿cuál sería R2 si R1 es de 10.0 ? b) ¿Cuál será el voltaje en
terminales VT si se conecta una carga a la terminal de 3.0 V, y
se supone que la carga tiene una resistencia de 7.0 ?
R1
12.0 V
R2
FIGURA 19–66 Problema 81.
4.0 kΩ
Vba
a
5.0 kΩ
b
1.0 Ω
8.0 kΩ
12.0 V
FIGURA 19–63 Problema 77.
78. Un capacitor de placas paralelas lleno de aire tiene capacitancia C0. Si dos láminas dieléctricas de idéntico tamaño, con
constantes dieléctricas K1 y K2, se insertan como se muestra
en la figura 19-64, ¿cuál es la nueva capacitancia? [Sugerencia: Considere esto como dos capacitores en combinación].
K1
K2
82. El circuito que se representa en la figura 19-67 utiliza un tubo lleno de neón como en la figura 19-23a. Esta lámpara de
neón tiene un voltaje de disparo V0 para conducción, porque
no fluye corriente hasta que el gas de neón en el tubo es ionizado por un campo eléctrico suficientemente intenso. Una
vez que se supera el voltaje de disparo, la lámpara tiene resistencia despreciable. El capacitor almacena energía eléctrica, que se puede liberar para hacer que la lámpara emita un
destello. Suponga que C = 0.150 mF, R = 2.35 * 106 ,
V0 = 90.0 V y e = 105 V. a) Si se supone que el circuito está conectado a la fem en el tiempo t 0, ¿en qué tiempo destellará la luz por primera vez? b) Si el valor de R aumenta, ¿el
tiempo encontrado en el inciso a) aumentará o disminuirá?
c) El destello de la lámpara es muy breve. ¿Por qué? d) Explique lo que ocurre después de que la lámpara emite un destello por primera vez.
R
105 V
FIGURA 19–64 Problema 78.
552
CAPÍTULO 19
Circuitos
CD
VT
C
Lámpara
de neón
FIGURA 19–67
Problema 82.
83. La corriente a través del resistor de 20 en la figura 19-68
no cambia si los dos interruptores S1 y S2 están ambos abiertos o ambos cerrados. Use esta clave para determinar el valor
de la resistencia desconocida R.
20 Ω
* 86. a) Un voltímetro y un amperímetro se pueden conectar como
se indica en la figura 19-71a para medir una resistencia R. Si
V es la lectura del voltímetro e I es la lectura del amperímetro, el valor de R no será V/I (como en la ley de Ohm) porque parte de la corriente en realidad se va a través del
voltímetro. Demuestre que el valor real de R está dado por
I
1
1
=
,
R
V
RV
R
S1
10
Ω
S2
50 Ω
donde RV es la resistencia del voltímetro. Note que R L VI
si RV W R. b) Un voltímetro y un amperímetro también se
pueden conectar como se muestra en la figura 19-71b para
medir una resistencia R. Demuestre en este caso que
R =
6.0 V
FIGURA 19–68 Problema 83.
V
- RA ,
I
donde V e I son las lecturas del voltímetro y el amperímetro
y RA es la resistencia del amperímetro. Note que R L VI si
84. En el circuito que se ilustra en la figura 19-69, el resistor de
33 disipa 0.50 W. ¿Cuál es el voltaje de la batería?
RA V R.
68 Ω
V
V
R
R
A
33 Ω
A
75 Ω
a)
FIGURA 19–69 Problema 84.
b)
FIGURA 19–71 Problema 86.
85. a) ¿Cuál es la resistencia equivalente del circuito que se representa en la figura 19-70? b) ¿Cuál es la corriente en el
resistor de 18 ? c) ¿Cuál es la corriente en el resistor de
12 ? d) ¿Cuál es la disipación de potencia en el resistor
de 4.5 ?
87. Una bombilla de linterna clasificada a 2.5 W y 3.0 V opera
mediante una batería de 9.0 V. Para iluminar la bombilla a este voltaje y potencia clasificados, se conecta en serie un resistor R, como se ilustra en la figura 19-72. ¿Qué valor debe
tener el resistor?
6.0 V
12 Ω
30 Ω
18 Ω
4.5 Ω
FIGURA 19–70 Problema 85.
R
9.0 V
FIGURA 19–72 Problema 87.
Respuestas a los ejercicios
A:
B:
C:
D:
a) 1.14 A; b) 11.4 V; c) PR = 13.1 W, Pr 0.65 W.
En serie con R1R2 4.0.
41I3 - 45 + 21I2 - 80 = 0.
E: 12 k.
F: El voltímetro consistirá en una resistencia Rser 300 k en
serie con el galvanómetro.
180 A; esta alta corriente a través de las baterías podría provocar que se pongan muy calientes; la potencia disipada en la
batería débil sería P = I 2r = (180 A)2(0.10 ) = 3200 W!
Problemas generales
553
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Los imanes producen campos magnéticos, pero lo mismo hacen las corrientes eléctricas.
Una corriente eléctrica que fluye en este alambre recto produce un campo magnético
que hace que las pequeñas piezas de hierro (“limaduras”) se alineen en el campo. En
este capítulo se definirá el campo magnético, y se verá que la dirección de éste
se localiza a lo largo de las limaduras de hierro. Las líneas de campo
magnético provocadas por la corriente eléctrica en este largo
alambre tienen la forma de círculos alrededor de él.
También se explicará cómo los campos magnéticos ejercen fuerzas sobre las corrientes eléctricas y sobre las partículas cargadas, y se presentarán aplicaciones útiles de
la interacción entre campos magnéticos, corrientes
eléctricas y cargas eléctricas en movimiento.
CAPÍTULO
20
Magnetismo
L
a historia del magnetismo comienza hace miles de años. En una región de
Asia menor conocida como Magnesia, se encontraron rocas que podían
atraerse unas a otras. Esas rocas recibieron el nombre de “magnetos” en honor al lugar donde se descubrieron.
Sin embargo, no fue sino hasta el siglo XIX cuando se comprendió que el magnetismo y la electricidad estaban estrechamente relacionados. Un hecho fundamental
fue descubrir que las corrientes eléctricas producen efectos magnéticos (más bien,
“campos magnéticos”) al igual que los imanes. Como se verá, todo tipo de dispositivos
prácticos dependen del magnetismo: desde las brújulas hasta los motores, las bocinas, la memoria de las computadoras y los generadores eléctricos.
20 –1 Imanes y campos magnéticos
FIGURA 20–1 Un imán de
herradura atrae alfileres.
Campos magnéticos
554
Todos hemos observado que un imán atrae sujetapapeles (clips), clavos y otros objetos hechos de hierro (figura 20-1). Cualquier imán, ya sea que tenga la forma de
barra o de herradura, tiene dos extremos o caras, llamados polos, donde el efecto
magnético es más intenso. Si un imán de barra se suspende de una fina hebra, un polo del imán siempre apuntará hacia el norte. No se sabe con certeza cuándo se descubrió este hecho, pero se sabe que los chinos hicieron uso de ello como auxiliar
para la navegación hacia el siglo XI y tal vez antes. Éste es el principio de la brújula.
La aguja de una brújula simplemente es un imán de barra que está sostenido en su
centro de gravedad de modo que puede girar con libertad. El polo de un imán sus-
pendido libremente que apunta hacia el norte geográfico se llama polo norte del
imán. El otro polo apunta hacia el sur y se llama polo sur.
Es común observar que, cuando dos imanes se acercan entre sí, cada uno ejerce
una fuerza sobre el otro. La fuerza puede ser o atractiva o repulsiva y se siente incluso cuando los imanes no se tocan. Si el polo norte de un imán de barra se acerca
al polo norte de un segundo imán, la fuerza es repulsiva. De manera similar, si dos
polos sur se acercan, la fuerza es repulsiva. Pero cuando un polo norte se acerca a
un polo sur, la fuerza es atractiva. Estos resultados se muestran en la figura 20-2 y
hacen recordar las fuerzas entre cargas iguales: polos iguales se repelen, polos distintos se atraen. Pero no hay que confundir polos magnéticos con carga eléctrica. Son
muy diferentes. Una diferencia importante es que una carga eléctrica, positiva o negativa, se puede aislar fácilmente. Pero nunca se ha observado el aislamiento de un
solo polo magnético. Si un imán de barra se corta a la mitad, no se obtienen polos
norte y sur aislados. En vez de ello, se producen dos nuevos imanes (figura 20-3), cada uno con polos norte (N) y sur (S). Si la operación de corte se repite, se producen
más imanes, cada uno con un polo norte y un polo sur. Los físicos han buscado polos magnéticos aislados (monopolos), pero nunca se ha observado un monopolo
magnético.
Sólo el hierro y algunos otros materiales, como el cobalto, el níquel, el gadolinio
y algunos de sus óxidos y aleaciones, muestran intensos efectos magnéticos. Se dice
que son ferromagnéticos (de la palabra latina ferrum, hierro). Otros materiales presentan cierto efecto magnético ligero, pero tan débil que sólo se puede detectar con
instrumentos delicados. En la sección 20-12 se estudiará con mayor detalle el ferromagnetismo.
En el capítulo 16 se explicó el concepto de campo eléctrico que rodeaba a una
carga eléctrica. De manera similar, se puede imaginar un campo magnético que rodea a un imán. La fuerza que un imán ejerce sobre otro se puede describir entonces
como la interacción entre un imán y el campo magnético del otro. Tal como se dibujaron líneas de campo eléctrico, también se pueden dibujar líneas de campo magnético. Tales líneas se dibujan, como las líneas de campo eléctrico, de modo que 1. la
dirección del campo magnético sea tangente a una línea de campo en cualquier punto y 2. el número de líneas por unidad de área sea proporcional a la intensidad del
campo magnético.
La dirección del campo magnético en un punto dado se define como la dirección en la que apuntaría el polo norte de la aguja de una brújula en ese punto. (En
la sección 20-3 se dará una definición más precisa.) La figura 20-4a muestra cómo finas limaduras de hierro (que actúan como pequeños imanes) revelan las líneas de
campo magnético al alinearse como las agujas de una brújula. En la figura 20-4b se
muestra el campo magnético determinado de esta forma para el campo que rodea a
un imán de barra. Note que, por definición, las líneas siempre apuntan desde el polo
norte y hacia el polo sur de un imán (el polo norte de la aguja de una brújula magnética es atraída hacia el polo sur del imán).
Las líneas de campo magnético continúan en el interior de un imán, como se indica en la figura 20-4b. De hecho, la falta de polos magnéticos solos hace que las líneas de campo magnético siempre formen lazos cerrados, a diferencia de las líneas
de campo eléctrico que comienzan en cargas positivas y terminan en cargas negativas.
S
N
a)
S
N
N
S
Repulsiva
N
S
S
N
Repulsiva
N
S
N
S
Atractiva
FIGURA 20–2 Polos iguales de un
imán se repelen; polos distintos se
atraen.
FIGURA 20–3 Si un imán se
separa, no se obtienen polos norte y
sur aislados; en vez de ello, se
producen dos nuevos imanes, cada
uno con un polo norte y un polo sur.
S
N
S
S
N
S
N
S
N
S
N
N
S
N
P R E C A U C I Ó N
Los imanes no atraen a todos los
metales.
Líneas de campo magnético
P R E C A U C I Ó N
Las líneas de campo magnético
forman lazos cerrados, a
diferencia de las líneas de
campo eléctrico.
FIGURA 20–4 a) Visualización de
las líneas de campo magnético
alrededor de un imán de barra, con el
uso de limaduras de hierro y agujas
de brújula. El extremo azul del imán de
barra es su polo norte. El polo N de la
aguja de una brújula cercana apunta
alejándose del polo norte del imán.
b) Líneas de campo magnético para
un imán de barra.
b)
SECCIÓN 20–1
Imanes y campos magnéticos
555
Polo norte
Eje de
geográfico
rotación
(“norte verdadero”)
Declinación
Campo magnético de la Tierra
W
E
En la figura 20-5 se muestra el campo magnético de la Tierra. El patrón de líneas de
campo es como si existiese un imán de barra imaginario en el interior de la Tierra.
Polo
Como el polo norte (N) de una brújula apunta hacia el norte, el polo magnético de
magnético
la Tierra que está en el norte geográfico es magnéticamente un polo sur, como se inBrújula
dica en la figura 20-5 mediante la S en el imán de barra representado en el interior
de la Tierra. Recuerde que el polo norte de un imán es atraído hacia el polo sur de
N
otro imán. No obstante, el polo de la Tierra en el norte todavía con frecuencia se llaS
ma “polo norte magnético” o “norte geomagnético”, simplemente porque está en el
S
norte. De manera similar, el polo magnético sur de la Tierra, que está cerca del polo
sur geográfico, es magnéticamente un polo norte (N). Los polos magnéticos de la
N
Tierra no coinciden con los polos geográficos, que están en el eje de rotación de
nuestro planeta. El polo magnético norte, por ejemplo, está en al Ártico canadiense,† aproximadamente a 900 km del polo norte geográfico o “norte verdadero”. EsPolo
ta diferencia se debe tomar en cuenta al usar una brújula (figura 20-6). A la
Polo sur
magnético
geográfico
diferencia angular entre el norte magnético y el norte verdadero (geográfico) se le
llama declinación magnética. En Estados Unidos varía de 0 a cerca de 20°, depenFIGURA 20–5 La Tierra actúa
diendo de la ubicación.
como un gran imán; pero sus polos
Cabe hacer notar, a partir de la figura 20-5, que el campo magnético de la Tiemagnéticos no están en los polos
rra en la mayoría de las ubicaciones no es tangente a la superficie de la Tierra. El
geográficos, que se localizan en el eje
ángulo que el campo magnético de la Tierra forma con la horizontal en cualquier
de rotación de la Tierra.
punto se conoce como ángulo de inclinación.
EJERCICIO A ¿El campo magnético de la Tierra tiene una mayor magnitud cerca de
los polos o cerca del ecuador? Sugerencia: Observe las líneas de campo en la figura 20-5.
F Í S I C A
A P L I C A D A
Uso de una brújula
FIGURA 20–6 Uso de mapa y brújula en
tierra salvaje. Primero se alinea la brújula de
modo que la aguja apunte alejándose del norte
verdadero (N) exactamente el número de grados
de declinación establecidos en el mapa (15° para
el lugar que se muestra en este mapa topográfico
de una parte de California). Luego se alinea el
mapa con el norte verdadero, como se muestra,
no con la aguja de la brújula.
FIGURA 20–7 El campo magnético
entre dos anchos polos de un imán es
casi uniforme, excepto en los bordes.
N
S
Campo magnético uniforme
El campo magnético más simple es aquel que es uniforme: no cambia en magnitud
ni dirección de un punto a otro. No es fácil producir un campo perfectamente uniforme en una área grande. Pero el campo entre los polos de dos piezas de imán paralelas planas es casi uniforme si el área de las caras de los polos es grande en
comparación con su separación, como se ilustra en la figura 20-7. En los bordes, el
campo “se quiebra” un poco hacia fuera: las líneas de campo magnético ya no son
tan paralelas ni uniformes. Las líneas de campo paralelas espaciadas de manera
equidistante en la región central de la brecha indican que el campo es uniforme en
puntos no muy cercanos al borde, en gran parte como el campo eléctrico entre dos
placas paralelas (figura 17-1).
†
En la actualidad, el norte magnético se mueve muchos kilómetros al año. El magnetismo en las rocas sugiere que los polos de la Tierra no sólo se han movido significativamente a lo largo del tiempo geológico, sino que también han invertido su dirección 400 veces durante los últimos 330
millones de años.
556
CAPÍTULO 20
Magnetismo
www.elsolucionario.org
I
I
a)
b)
c)
FIGURA 20–8 a) La desviación de las agujas de las brújulas cerca de un alambre que porta corriente indica la
presencia y dirección del campo magnético. b) Líneas de campo magnético alrededor de una corriente eléctrica en
un alambre recto. c) Regla de la mano derecha para recordar la dirección del campo magnético: cuando el pulgar
apunta en la dirección de la corriente convencional, los dedos alrededor del alambre apuntan en la dirección del
campo magnético.
20–2 Las corrientes eléctricas producen
campos magnéticos
Durante el siglo XVIII, muchos científicos trataron de averiguar la conexión entre
electricidad y magnetismo. Se demostró que una carga eléctrica estacionaria y un
imán no tenían influencia mutua. Pero, en 1820, Hans Christian Oersted (1777-1851)
descubrió que, cuando se coloca una brújula cerca de un alambre conductor, la aguja
se desvía tan pronto como el alambre es conectado a una batería y el alambre porta
una corriente eléctrica. Como se ha visto, la aguja de una brújula se desvía por un
campo magnético. De modo que el experimento de Oersted demostró que una corriente eléctrica produce un campo magnético. De esta forma, se encontró una conexión entre electricidad y magnetismo.
Una brújula colocada cerca de una sección recta de un alambre portador de corriente experimenta una fuerza, lo que provoca que la aguja se alinee de manera
tangente a un círculo alrededor del alambre (figura 20-8a). En consecuencia, las líneas de campo magnético producidas por una corriente en un alambre recto se disponen en la forma de círculos con el alambre en su centro (figura 20-8b). La dirección
de esas líneas está indicada por el polo norte de las brújulas en la figura 20-8a. Existe una forma simple de recordar la dirección de las líneas de campo magnético en
este caso. Se le llama regla de la mano derecha: Sujete el alambre con la mano derecha de modo que el pulgar apunte en la dirección de la corriente convencional (positiva); entonces sus dedos encerrarán en un círculo al alambre en la dirección del
campo magnético (figura 20-8c).
Las líneas de campo magnético debidas a un lazo circular de alambre portador
de corriente se determinan de forma similar con el uso de una brújula. El resultado
se presenta en la figura 20-9. De nuevo resulta útil la regla de la mano derecha, como se indica en la figura 20-10. A diferencia del campo uniforme mostrado en la figura 20-7, los campos magnéticos que se representan en las figuras 20-8 y 20-9 no
son uniformes: los campos son diferentes en magnitud y dirección en diferentes puntos.
EJERCICIO B Un alambre recto porta una corriente directamente hacia una persona.
¿En qué dirección rodean al alambre las líneas de campo magnético?
Las corrientes eléctricas
producen campos magnéticos.
Regla de la mano derecha 1:
dirección del campo magnético
producido por corriente eléctrica
FIGURA 20–9 Líneas de campo
magnético debidas a un lazo circular
de alambre.
I
FIGURA 20–10 Regla de la mano
I
Campo
magnético
derecha para determinar la dirección
del campo magnético en relación con
la corriente.
SECCIÓN 20–2
Las corrientes eléctricas producen campos magnéticos
557
Fuerza ascendente
I
I
B
B
F
B
S
N
N
S
B
B
+
Fuerza
descendente
–
–
+
B
22 V
22 V
I
B
I
I
a)
B
Regla de la mano derecha
b)
20–3 Fuerza sobre una corriente eléctrica
FIGURA 20–11 a) Fuerza sobre un
alambre portador de corriente
B
colocado en un campo magnético B;
b) lo mismo, pero con corriente
invertida; c) regla de la mano derecha
para la configuración en b).
El imán ejerce una fuerza
sobre una corriente eléctrica.
Regla de la mano derecha 2: fuerza
B
sobre corriente ejercida por B
I
B
θ
B
l
Fuerza sobre corriente eléctrica
en un campo magnético uniforme
Definición de
campo magnético
B
en un campo magnético; definición de B
En la sección 20-2 se vio que una corriente eléctrica ejerce una fuerza sobre un
imán, como en la aguja de una brújula. Por la tercera ley de Newton se puede esperar que lo contrario también sea cierto, es decir, que un imán ejerza una fuerza sobre un alambre portador de corriente. De hecho, los experimentos confirman este
efecto y fue también Oersted quien lo observó por primera vez.
Suponga que un alambre recto se coloca en el campo magnético entre los polos
de un imán de herradura, como se observa en la figura 20-11. Cuando una corriente
fluye en el alambre, los experimentos indican que se ejerce una fuerza sobre este último. Pero esa fuerza no es hacia uno u otro polo del imán. En vez de ello, la fuerza
está dirigida en ángulos rectos con la dirección del campo magnético, hacia abajo en
la figura 20-11a. Si la corriente se invierte en dirección, la fuerza está en la dirección
opuesta, esto es, hacia arriba, como se aprecia en la figura 20-11b. Los experimentos
demuestran que la dirección de la fuerza siempre es perpendicular a la dirección
de
B
la corriente y también perpendicular a la dirección del campo magnético, B.
La dirección de la fuerza está dada por otra regla de la mano derecha, como se
ilustra en la figura 20-11c. Se orienta la mano derecha hasta que los dedos estirados
apunten en la dirección de la corriente convencional I; cuando se doblen
los dedos,
B
éstos apuntarán en la dirección de las líneas de campo
magnético, B. Entonces el
B
pulgar estirado apuntará en la dirección de la fuerza F sobre el alambre.
Esta regla de la mano derecha describe la dirección de la fuerza. ¿Y qué hay
acerca de la magnitud de la fuerza sobre el alambre? De manera experimental se ha
observado que la magnitud de la fuerza es directamente proporcional a la corriente
I en el alambre, y a la longitud l de alambre expuesta al campo magnético (supuesto uniforme). Más aún, si el campo magnético se hace más intenso, la fuerza será
proporcionalmente más grande. La fuerza también depende del ángulo u entre la dirección de la corriente y el campo magnético (figura 20-12), y es proporcional a sen
u. Por tanto, la fuerza sobre un alambre que porta una corriente I con longitud l en
un campo magnético uniforme B está dada por
FIGURA 20–12 Alambre portador
de corriente en un campo magnético.
La fuerza sobre el alambre está
dirigida hacia dentro de la página.
c)
F r IlB sen u.
Cuando la corriente es perpendicular a las líneas de campo (u = 90°), la fuerza es
más intensa. Cuando el alambre es paralelo a las líneas de campo magnético (u = 0°),
no hay fuerza en absoluto.
Hasta ahora no se ha definido con precisión la intensidad del campo magnético.
De hecho, el campo magnético B se puede definir convenientemente en términos de
la proporción anterior, de modo que la constante de proporcionalidad es precisamente 1. Por tanto, se tiene
F = IlB sen u.
(20–1)
B
Si la dirección de la corriente es perpendicular al campo B (u = 90°), entonces la
fuerza es
B
Fmáx = IlB.
C corriente ⊥ B D (20–2)
B
Si la corriente es paralela al campo (u = 0°), la fuerza es cero. La magnitud de B se
puede definir con la ecuación 20-2 como B = FmáxIl, donde Fmáx es la magnitud de
la fuerza sobre un alambre recto
de longitud l que porta una corriente I cuando el
B
alambre es perpendicular a B.†
†
En la discusión se ha supuesto que el campo magnético es uniforme. Si no lo es, entonces B en las
ecuaciones 20-1 y 20-2 es el campo promedio sobre la longitud l del alambre.
558
CAPÍTULO 20
Magnetismo
La unidad SI del campo magnético B es el tesla (T). A partir de las ecuaciones
20-1 o 20-2, es claro que 1 T 1 NAm. Un nombre antiguo para el tesla es el de
“weber por metro cuadrado” (1 Wbm2 1 T). Otra unidad que a veces se usa para especificar campo magnético en unidades cgs es el gauss (G): 1 G 104 T. Un
campo dado en gauss siempre se debe cambiar a teslas antes de usarlo con otras
unidades SI. Para “acostumbrarse” a estas unidades, diremos que el campo magnético de la Tierra en su superficie es de aproximadamente 12 G o 0.5 104 T. Por otra
parte, los electroimanes más intensos producen campos del orden de 2 T y los imanes superconductores generan campos por arriba de 10 T.
Unidades del campo
magnético: tesla y gauss
EJEMPLO 20–1 Fuerza magnética sobre un alambre portador de corriente. Un alambre con longitud l 12 cm porta una corriente de 30 A entre los polos de un imán a un ángulo u 60° (figura 20-12). El campo magnético es
aproximadamente uniforme en 0.90 T. Ignore el campo más allá de las piezas del
polo. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza sobre el alambre?
PLANTEAMIENTO Se emplea la ecuación 20-1 para determinar la fuerza F sobre
los 12 cm de longitud de alambre dentro del campo uniforme B.
SOLUCIÓN Al utilizar la ecuación 20-1, con l = 12 cm, I = 30 A, B = 0.90 T y
u = 60°se obtiene
F = IlB sen u
= (30 A)(0.12 m)(0.90 T)(0.866) = 2.8 N.
EJERCICIO C Una línea de potencia recta porta 30 A y es perpendicular al campo
magnético de la Tierra de 0.50 104 T. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza que se
ejerce sobre 100 m de esta línea de transmisión?
En un diagrama, cuando se quiere representar una corriente eléctrica o un campo magnético que apunta fuera de la página (hacia el observador) o adentro de la
página, se usan o , respectivamente. El símbolo tiene la intención de recordar
el extremo puntiagudo de una flecha que apunta directamente hacia el lector, mientras que o z recuerda la cola de una flecha que se aleja. (Véase la figura 20-13).
EJEMPLO 20–2 Medición de un campo magnético. Un lazo rectangular de
alambre
cuelga verticalmente como se indica en la figura 20-13. Un campo magnéB
tico B está dirigido horizontalmente, perpendicular al alambre, y apunta hacia fuera
de laBpágina en todos los puntos, según representa el símbolo . El campo magnético B es casi uniforme a lo largo de la porción horizontal del alambre ab (longitud
l 10.0 cm) que está casi en el centro de la brecha de un gran imán que produce
el campo. La porción superior del lazo de alambre está libre del campo. El lazo
cuelga de una balanza que mide una fuerza descendente (además de la fuerza gravitacional) de F 3.48 102 N cuando el alambre porta una corriente I 0.245 A.
¿Cuál es la magnitud del campo magnético B?
I
I
10.0 cm
B
PLANTEAMIENTO Tres secciones rectas del lazo de alambre están en el campo
magnético: una sección horizontal y dos secciones verticales. Se aplica la ecuación
20-1 a cada sección y se usa la regla de la mano derecha.
SOLUCIÓN La fuerza magnética sobre la sección vertical izquierda del alambre
apunta hacia la izquierda; la fuerza sobre la sección vertical derecha apunta hacia
la derecha. Estas dos fuerzas son iguales y en direcciones opuestas y por tanto suman cero. En consecuencia, la fuerza magnética neta sobre el lazo es
la de la secB
ción horizontal ab, cuya longitud es l 0.100 m. El ángulo u entre B y el alambre
es u 90°, de modo que sen u 1. Por tanto, la ecuación 20-1 da
B =
B (hacia el
a
observador)
b
B
F
FIGURA 20–13 BMedición de un
campo magnético B. Ejemplo 20-2.
F
3.48 * 10–2 N
=
= 1.42 T.
Il
(0.245 A)(0.100 m)
NOTA Esta técnica puede ser un medio preciso para determinar la intensidad del
campo magnético.
SECCIÓN 20–3
B
Fuerza sobre una corriente eléctrica en un campo magnético; definición de B
559
www.elsolucionario.org
20 –4 Fuerza sobre una carga eléctrica que se mueve
B
F
B
B
N
S
en un campo magnético
Se ha visto que un alambre portador de corriente experimenta una fuerza cuando se
le coloca en un campo magnético. Puesto que una corriente en un alambre consiste
B
F
–
en cargas eléctricas en movimiento, se podría esperar que las partículas cargadas
+
(no en un alambre) que se mueven libremente también experimenten una fuerza
cuando pasen a través de un campo magnético. Aunque las cargas eléctricas libres
–qvB +qvB
no son tan fáciles de producir en el laboratorio como una corriente en un alambre,
Regla de la mano sí es factible, y los experimentos realizados demuestran que las cargas eléctricas en
derecha
movimiento experimentan una fuerza en un campo magnético.
A partir de lo que ya se conoce es posible predecir
la fuerza sobre una sola carB
ga eléctrica que se mueve en un campo magnético B. Si N de tales partículas de carFIGURA 20–14 La fuerza sobre
partículas cargadas debida a un
ga q pasan por un punto dado en el tiempo t, constituyen una corriente I Nqt. Sea
B
campo magnético es perpendicular a
t el tiempo para que una carga q recorra una distancia l en un campo magnético B;
B
la dirección del campo magnético.
entonces l vt, donde v es la magnitud de la velocidad v de la partícula. En conseFuerza sobre una carga que se mueve cuencia, la fuerza sobre estas N partículas es, por la ecuación 20-1, F = IlB sen u =
en un campo magnético (Nqt)(vt)B sen u = NqvB sen u. La fuerza sobre una de las N partículas es entonces
(20–3)
F = qvB sen u.
Esta ecuación proporciona la magnitud de la fuerza ejercida por un campo magnético sobre una partícula de carga q que se mueve con velocidad v en un punto donde
B
B
el campo magnético tiene magnitud B. El ángulo entre v y B es u. La fuerza es maB
yor cuando la partícula se mueve perpendicular a B (u 90°):
B
C vB ⊥ B D (20–4)
Fmáx = qvB.
La fuerza es cero si la partícula se mueve paralela a las líneas de campo (u 0°). La diB
B
rección de la fuerza es perpendicular al campo magnético B y a la velocidad (v), de la
Regla de la mano derecha 3: fuerza partícula. De nuevo está dada por una regla de la mano derecha: Se orienta la mano
sobre una carga en movimiento derecha de modo que los dedos estirados apunten a lo largo de la dirección de la veloB
ejercida por B cidad de la partícula (v); cuando se doblan los dedos, éstos deben apuntar a lo largo de
B
la dirección de B. Entonces el dedo pulgar apuntará en la dirección de la fuerza. Esto sólo es cierto para partículas cargadas positivamente y será “hacia abajo” para la
situación que se muestra en la figura 20-14. Para partículas con carga negativa, la fuerza está exactamente en la dirección opuesta, “hacia arriba” en la figura 20-14.
B
EJEMPLO CONCEPTUAL 20–3 Carga negativa cerca de un imán. Una carga negativa –Q se coloca en reposo cerca de un imán. ¿La carga comenzará a moverse? ¿Sentirá una fuerza? ¿Y si la carga fuese positiva, Q?
RESPUESTA No a todas las preguntas. Una carga en reposo tiene velocidad igual
a cero. Los campos magnéticos ejercen fuerza sólo sobre cargas eléctricas en movimiento (ecuación 20-3).
FIGURA 20–15 Ejemplo 20-4.
vB (arriba)
B
ⴙ
ⴙ Movimiento hacia
F
(oeste)
la página (norte)
a)
EJEMPLO 20–4 Fuerza magnética sobre un protón. Un protón que tiene
una rapidez de 5.0 106 ms en un campo magnético siente una fuerza de 8.0 1014 N hacia el oeste cuando se mueve verticalmente hacia arriba (figura 20-15a).
Cuando se mueve horizontalmente en una dirección rumbo al norte, siente fuerza
cero (figura 20-15b). Determine la magnitud y dirección del campo magnético en
esta región. (La carga sobre un protón es q = ±e 1.6 * 10 –19 C.)
PLANTEAMIENTO Como el protón no siente fuerza cuando se mueve hacia el norte, el campo debe estar en una dirección norte-sur. Para una fuerza hacia el oeste
B
cuando el protón se mueve hacia arriba, la regla de la mano derecha dice que B
debe apuntar hacia el norte. (El pulgar apunta al oeste y los dedos estirados de la
mano derecha apuntan Bhacia arriba sólo cuando los dedos doblados apuntan al
norte.) La magnitud de B se determina mediante la ecuación 20-3.
SOLUCIÓN La ecuación 20-3, con u 90°, da
b)
B =
8.0 * 10–14 N
F
=
= 0.10 T.
qv
A1.6 * 10–19 CBA5.0 * 106 msB
EJERCICIO D Determine la fuerza sobre el protón del ejemplo 20-4 si se dirige horizontalmente al sur.
560
CAPÍTULO 20
Magnetismo
vB
–P
Q
–
B
B
F
vB
F
FIGURA 20–16 La fuerza ejercida por
un campo magnético uniforme sobre una
partícula cargada en movimiento (en este
caso, un electrón) produce una trayectoria
circular.
Trayectoria del electrón
B
B está hacia la página
La trayectoria de una partícula cargada que se mueve en un plano perpendicular
a un campo magnético uniforme es un círculo, como ahora se demostrará. En la figura 20-16 el campo magnético está dirigido hacia el papel, según representan las .
Un electrón en el punto P se mueve hacia la derecha, y la fuerza sobre él en este
punto es descendente, como se indica (use la regla de la mano derecha e invierta la
dirección para carga negativa). Entonces, el electrón se desvía hacia abajo. Un momento después, por ejemplo, cuando alcanza el punto Q, la fuerza todavía es perpendicular a la velocidad y está en la dirección mostrada. Puesto que la fuerza
B
B
siempre es perpendicular a v, la magnitud de v no cambia: el electrón se mueve con
rapidez constante. En el capítulo 5 se vio que, si la fuerza sobre una partícula siemB
pre es perpendicular a su velocidad v, la partícula se mueve en un círculo y experimenta una aceleración centrípeta a = v2r (ecuación 5-1). Así que una partícula
cargada se mueve en una trayectoria circular con aceleración centrípeta constante
(ejemplo 20-5) en un campo magnético uniforme. En la figura 20-16 el electrón se
mueve en sentido de las manecillas del reloj. Una partícula positiva sentiría una
fuerza en la dirección opuesta y, por ende, se movería en sentido contrario al de las
manecillas del reloj.
EJEMPLO 20–5 Trayectoria de un electrón en un campo magnético uniforme. Un electrón viaja a 2.0 107 ms en un plano perpendicular a un campo
magnético uniforme de 0.010 T. Describa su trayectoria cuantitativamente.
PLANTEAMIENTO El electrón se mueve con rapidez v en una trayectoria curva,
por lo que debe tener una aceleración centrípeta a = v2r (ecuación 5-1). El radio
de curvatura se determina con la segunda ley de Newton. La fuerza está dada por
la ecuación 20-3, con sen u = 1, F = qvB.
SOLUCIÓN Se insertan F y a en la segunda ley de Newton:
©F = ma
qvB =
mv2 .
r
Se resuelve para r y se encuentra
r =
B
mv .
qB
B
B
Así que F es perpendicular
a v, la magnitud de v no cambia. A partir de esta ecuaB
ción se ve que, si B constante, entonces r constante y la curva debe ser un círculo, como se afirmó con anterioridad. Para obtener r se ponen números:
r =
A9.1 * 10–31 kgBA2.0 * 107 msB
A1.6 * 10–19 CB(0.010 T)
SECCIÓN 20–4
= 1.1 * 10–2 m = 1.1 cm.
Fuerza sobre una carga eléctrica que se mueve en un campo magnético
561
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Campos magnéticos
Los campos magnéticos son de algún modo análogos a
los campos eléctricos del capítulo 16, pero existen varias
diferencias importantes que hay que recordar:
1. La fuerza experimentada por una partícula cargada que
se mueve en un campo magnético es perpendicular a la
dirección del campo magnético (y a la dirección de la velocidad de la partícula), mientras que la fuerza ejercida
por un campo eléctrico es paralela a la dirección del
campo (y no es afectada por la velocidad de la partícula).
2. La regla de la mano derecha, en sus diferentes formas,
tiene la intención de ayudar a determinar las direccio-
nes del campo magnético, y las fuerzas que ejerce, yo
las direcciones de la corriente eléctrica o la velocidad
de la partícula cargada. Las reglas de la mano derecha
(tabla 20-1) están diseñadas para tratar con la naturaleza “perpendicular” de estas cantidades.
3. Por lo general, las ecuaciones en este capítulo no están
expresadas como ecuaciones vectoriales, pues sólo incluyen magnitudes. Las reglas de la mano derecha se
tienen que usar para determinar las direcciones de
cantidades vectoriales.
TABLA 20–1 Resumen de reglas de la mano derecha (RMD)
Situación física
Ejemplo
1. Campo magnético producido
por corriente
(RMD-1)
I
Cómo orientar la mano derecha
Resultado
Se colocan los dedos alrededor
del alambre con el pulgar apunta
en dirección de la corriente I
Los dedos apuntan
en la
B
dirección de B
Los dedos apuntan a lo largo de
la corriente I, luego se doblan aB
lo largo del campo magnético B
El pulgar apunta en dirección
de la fuerza
Los dedos apuntan a lo largo
B
de la velocidad v, deB la partícula,
luego a lo largo de B
El pulgar apunta en dirección
de la fuerza
B
B
Fig. 20–8c
2. Fuerza sobre corriente eléctrica I
debida a campo magnético
(RMD-2)
B
F
B
I
B
B
Fig. 20–11c
3. Fuerza sobre la carga eléctrica q
debida a campo magnético
(RMD-3)
vB
B
B
B
F Fig. 20–14
EJEMPLO CONCEPTUAL 20–6 Trayectoria helicoidal. ¿Cuál es la trayectoria de una partícula cargada en un campo magnético uniforme, si su velocidad no
es perpendicular al campo magnético?
RESPUESTA El vector velocidad se puede desintegrar en componentes paralelo y
perpendicular al campo. El componente de velocidad paralelo a las líneas de campo no da como resultado una fuerza, así que este componente permanece constante. El componente de velocidad perpendicular al campo da como resultado un
movimiento circular en torno a las líneas de campo. Al poner juntos estos dos movimientos se produce un movimiento helicoidal (en espiral) alrededor de las líneas
de campo, como se ilustra en la figura 20-17.
EJERCICIO E ¿Cuál es el signo de la carga en la figura 20-17? ¿Cómo se modificaría el
dibujo si el signo se invirtiese?
B
B
vB
vB)
FIGURA 20–17 Ejemplo 20-6.
vB
562
CAPÍTULO 20
Magnetismo
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Partícula cargada
que se aproxima
a la Tierra
FIGURA 20–18 a) Diagrama que
muestra una partícula cargada que se
acerca a la Tierra y es “capturada” por el
campo magnético de nuestro planeta.
Tales partículas siguen las líneas de
campo hacia los polos, como se muestra.
b) Fotografía de una aurora boreal.
B
B
B
B
a)
b)
* Auroras boreales
Los iones cargados provenientes del Sol (el “viento solar”) que se aproximan a la
Tierra e ingresan a la atmósfera principalmente cerca de los polos, en ocasiones provocan un fenómeno denominado aurora boreal o “luces del norte” en latitudes del
norte. Para ver por qué, considere el ejemplo 20-6 y la figura 20-18 (véase también
la figura 20-17). En la figura 20-18 imagine una corriente de partículas cargadas que
se aproximan a la Tierra. El componente de velocidad perpendicular al campo para
cada partícula se convierte en una órbita circular alrededor de las líneas de campo,
mientras que el componente de velocidad paralelo al campo lleva a la partícula a lo
largo de las líneas de campo hacia los polos. Conforme la partícula se aproxima al
polo N, el campo magnético es más intenso y el radio de la trayectoria helicoidal se
vuelve más pequeño.
La alta concentración de partículas cargadas ioniza el aire, y conforme los electrones se recombinan con los átomos, se emite luz, que es la aurora. Las auroras son
especialmente espectaculares durante periodos de alta actividad de las manchas solares, cuando el viento solar trae más partículas cargadas hacia la Tierra.
F Í S I C A
A P L I C A D A
Las auroras boreales
* Producto vectorial
La ecuación 20-3 se puede escribir en forma vectorial que incorpore la regla de la
mano derecha:
B
B
B
F = qv * B
(20–5)
La cruz implica la regla de la mano derecha: primero apunte sus dedos a lo largo
vB , de modo que, cuando los doble, apuntarán en la dirección
del vector velocidad
del
B
B
campo magnético B. Entonces el pulgar proporciona la dirección de la fuerza F. La
cruz también implica el uso de sen u para la magnitud de F. La ecuación 20-5 es
una ecuación vectorial conocida como el producto cruz de vectores.
20 –5 Campo magnético debido a un largo alambre recto
En la sección 20-2 se vio (figura 20-8) que el campo magnético que rodea la corriente
eléctrica en un largo alambre recto es tal que las líneas de campo son círculos con el
alambre en el centro (figura 20-19). Cabría esperar que la intensidad del campo en
un punto dado fuera mayor si la corriente que fluye en el alambre fuese mayor; y
que el campo fuera menor en puntos más alejados del alambre. De hecho esto es lo que
ocurre. Experimentos minuciosos demuestran que el campo magnético B debido a
la corriente en un largo alambre recto es directamente proporcional a la corriente I
en el alambre e inversamente proporcional a la distancia r desde el alambre:
FIGURA 20–19 Igual que la figura
20-8b: líneas de campo magnético
alrededor de un largo alambre recto
portador de una corriente eléctrica I.
I
I.
r
Esta relación es válida en tanto r, la distancia perpendicular al alambre, sea mucho
menor que la distancia hacia los extremos del alambre (es decir, el alambre es largo).
B r
SECCIÓN 20–5
Campo magnético debido a un largo alambre recto
563
La constante de proporcionalidad se escribe† como m02p; por ende,
Campo magnético debido a corriente
en un alambre recto
m0 I
.
[cerca de un largo alambre recto] (20–6)
2p r
El valor de la constante m0, que se llama permeabilidad del espacio libre, es m0 4p * 10–7 T mA.
B =
B
I
10 cm
P
EJEMPLO 20–7 Cálculo de B cerca de un alambre. Un alambre eléctrico en
la pared de un edificio porta una corriente cd de 25 A verticalmente hacia arriba.
¿Cuál es el campo magnético debido a esta corriente en un punto P a 10 cm al norte del alambre (figura 20-20)?
PLANTEAMIENTO Se supone que el alambre es mucho más largo que la distancia de 10 cm hacia el punto P, así que se puede aplicar la ecuación 20-6.
SOLUCIÓN De acuerdo con la ecuación 20-6:
B =
A4p * 10–7 T mAB(25 A)
m0 I
=
= 5.0 * 10 –5 T,
2pr
(2p)(0.10 m)
FIGURA 20–20 Ejemplo 20-7.
P R E C A U C I Ó N
Una brújula cerca de una
corriente podría no
apuntar al norte.
o 0.50 G. Por la regla de la mano derecha (figura 20-8c), el campo apunta hacia el
oeste (hacia la página en la figura 20-20) en este punto.
NOTA El campo del alambre tiene aproximadamente la misma magnitud que el de
la Tierra, así que una brújula podría no apuntar hacia el norte sino en una dirección hacia el noroeste.
NOTA La mayor parte del cableado eléctrico en los edificios consiste en cables
con dos alambres en cada uno. Como los dos alambres portan corriente en direcciones opuestas, sus campos magnéticos se cancelarán en gran medida.
EJERCICIO F ¿A qué distancia del alambre del ejemplo 20-7 su campo magnético es 5
veces mayor que el de la Tierra?
FIGURA 20–21 Ejemplo 20-8. El
alambre 1 que porta corriente I1 hacia
el lector y el alambre 2 que porta
corriente I2 hacia la página producen
campos magnéticos cuyas líneas
son círculos alrededor de sus
respectivos alambres.
B1
B2
I2 (adentro)
I1 (afuera)
5.0 cm
5.0 cm
EJEMPLO 20–8 Campo magnético a la mitad entre dos corrientes. Dos
alambres rectos paralelos separados 10.0 cm portan corrientes en direcciones
opuestas (figura 20-21). La corriente I1 5.0 A es hacia fuera de la página, e I2 7.0
A es hacia dentro de la página. Determine la magnitud y dirección del campo magnético a la mitad entre los dos alambres.
PLANTEAMIENTO La magnitud del campo producido por cada alambre se calcula a partir de la ecuación 20-6. La dirección del campo de cada alambre se determina con la regla de la mano derecha. El campo total es la suma vectorial de los dos
campos en el punto medio.
SOLUCIÓN Las líneas del campo magnético debido a la corriente I2 forman círculos alrededor del alambre de I1, y la regla de la mano derecha 1 (figura 20-8c) indica
que apuntan en dirección contraria a las manecillas del reloj alrededor del alambre. Las líneas del campo debido a I2 forman círculos alrededor de I2 y apuntan en
sentido de las manecillas del reloj (figura 20-21). En el punto medio, ambos campos apuntan hacia arriba, como se muestra, y por tanto se suman. El punto medio
está a 0.050 m de cada alambre y, a partir de la ecuación 20-6, las magnitudes de B1
y B2 son
B1 =
B2 =
A4p * 10–7 T mAB(5.0 A)
m0 I1
=
= 2.0 * 10–5 T;
2pr
2p(0.050 m)
A4p * 10–7 T mAB(7.0 A)
m0 I2
=
= 2.8 * 10–5 T.
2pr
2p(0.050 m)
El campo total es hacia arriba, con una magnitud de
B = B1 + B2 = 4.8 * 10–5 T.
†
La constante se elige de esta forma complicada de modo que la ley de Ampère (sección 20-8), que
se considera más fundamental, tenga una forma simple y elegante.
564
CAPÍTULO 20
Magnetismo
EJEMPLO CONCEPTUAL 20–9 Campo magnético debido a cuatro alambres. La figura 20-22 muestra cuatro largos alambres paralelos que portan corrientes iguales hacia dentro o hacia fuera de la página, como se muestra. ¿En cuál
configuración, a) o b), el campo magnético es mayor en el centro del cuadrado?
RESPUESTA Es mayor en a). Las flechas señalan las direcciones del campo producido por cada alambre; verifíquelo con el uso de la regla de la mano derecha, para
confirmar estos resultados. El campo neto en el centro es la superposición de los
cuatro campos, que apuntarán hacia la izquierda en a) y es cero en b).
1
2
1
2
3
3 4
4
1
2
1
3
4
2
3
a)
4
b)
FIGURA 20–22 Ejemplo 20-9.
20 –6 Fuerza entre dos alambres paralelos
I1
I2
I1
paralelos que portan corrientes
I1 e I2.
B
b) Campo magnético B1 producido por
muestra el campo producido
I1. (No se
B
por I2.) B1 apunta hacia la página en la
posición de I2.
I1
I2
I1
I2
d
Alambre 2
m0 I1
.
2p d
Observe la figura 20-23b, donde se muestra el campo debido sólo a I1. De acuerdo
con la ecuación 20-2, la fuerza F2 ejercida por B1 sobre una longitud l2 de alambre 2,
que lleva corriente I2, es
F2 = I2 B1 l2 .
Hay que hacer notar que la fuerza sobre I2 se debe sólo al campo producido por I1.
Por supuesto, I2 también produce un campo, pero no ejerce fuerza sobre sí. Se sustituye B1 en la fórmula para F2 y se encuentra que la fuerza sobre una longitud l2 de
alambre 2 es
m0 I1 I2
F2 =
l .
(20–7)
2p d 2
Si se usa la regla de la mano derecha 1 de la figura 20-8c, se ve que las líneas de B1
son como se ilustra en la figura 20-23b. Entonces, al usar la regla de la mano derecha 2 de la figura 20-11c, se ve que la fuerza ejercida sobre I2 será hacia la izquierda
en la figura 20-23b. Es decir, I1 ejerce una fuerza atractiva sobre I2 (figura 20-24a).
Esto es cierto en tanto las corrientes estén en la misma dirección. Si I2 está en la dirección opuesta, la regla de la mano derecha indica que la fuerza es en la dirección
opuesta. Es decir, I1 ejerce una fuerza repulsiva sobre I2 (figura 20-24b).
Un razonamiento similar al anterior muestra que el campo magnético producido
por I2 ejerce una fuerza igual pero opuesta sobre I1. Desde luego, también se espera
que esto sea cierto a partir de la tercera ley de Newton. En consecuencia, como se
ilustra en la figura 20-24, corrientes paralelas en la misma dirección se atraen mutuamente, mientras que corrientes paralelas en direcciones opuestas se repelen.
B1 =
FIGURA 20–23 a) Dos conductores
Alambre 1
Se ha visto que un alambre que porta corriente produce un campo magnético (magnitud dada por la ecuación 20-6 para un largo alambre recto). Además, un alambre
portador de corriente experimenta una fuerza cuando se coloca en un campo magnético (sección 20-3, ecuación 20-1). En consecuencia, se espera que dos alambres
portadores de corriente ejerzan fuerza uno sobre otro.
Considere dos largos alambres paralelos separados por una distancia d, como
en la figura 20-23a. Éstos portan corrientes I1 e I2, respectivamente. Cada corriente
produce un campo magnético que “siente” el otro, así que cada uno debe ejercer
una fuerza sobre el otro. Por ejemplo, el campo magnético B1 producido por I1 en la
figura 20-23 está dado por la ecuación 20-6 que, en la ubicación del alambre 2, es
a)
b)
I2
FIGURA 20–24 a) Corrientes paralelas
F F
a)
F
F
en la misma dirección ejercen una fuerza
atractiva entre sí. b) Corrientes
antiparalelas (en direcciones opuestas)
ejercen una fuerza repulsiva entre sí.
b)
SECCIÓN 20–6
Fuerza entre dos alambres paralelos
565
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EJEMPLO 20–10 Fuerza entre dos alambres portadores de corriente. Los
dos alambres de 2.0 m de largo del cordón de un aparato están separados 3.0 mm
y portan una corriente de 8.0 A cd. Calcule la fuerza que un alambre ejerce sobre
el otro.
PLANTEAMIENTO Cada alambre está en el campo magnético del otro cuando la
corriente está encendida, así que se aplica la ecuación 20-7. Se puede escribir
m02p 2.0 * 10–7 T mA.
SOLUCIÓN La ecuación 20-7 da
A2.0 * 10–7 T mAB(8.0 A)2(2.0 m)
F =
= 8.5 * 10–3 N.
A3.0 * 10–3 mB
Las corrientes están en direcciones opuestas (una hacia el aparato, la otra alejándose de él), así que la fuerza será repulsiva y tenderá a separar los alambres.
d = 20 cm
I1 = 80A
EJEMPLO 20–11 Suspensión de una corriente con una corriente. Un
alambre horizontal porta una corriente I1 80 A cd. ¿Qué corriente I2 debe portar
un segundo alambre paralelo, 20 cm debajo del primero (figura 20-25), de modo
que no caiga por la acción de la gravedad? El alambre más bajo tiene una masa de
0.12 g por metro de longitud.
I2 = ?
PLANTEAMIENTO Si el alambre 2 no debe caer bajo la acción de la gravedad,
que actúa hacia abajo, la fuerza magnética sobre él debe ser hacia arriba. Esto significa que la corriente en los dos alambres debe estar en la misma dirección. La corriente I2 se determina al igualar las magnitudes de la fuerza magnética y la fuerza
gravitacional sobre el alambre.
SOLUCIÓN La fuerza de gravedad sobre el alambre 2 es hacia abajo. Por cada 1.0
m de longitud de alambre, la fuerza gravitacional tiene magnitud
B
FB
B
mg
FIGURA 20–25 Ejemplo 20-11.
F = mg = A0.12 * 10–3 kgmB(1.0 m)A9.8 ms2 B = 1.18 * 10–3 N.
La fuerza magnética sobre el alambre 2 debe ser hacia arriba, y la ecuación 20-7
produce
m0 I1 I2
l
2p d
donde d 0.20 m e I1 80 A. Se resuelve esto para I2 y se igualan las magnitudes
de las dos fuerzas (con l 1.0 m):
F =
I2 =
2p(0.20 m)
2pd F
a b =
A1.18 * 10–3 NmB = 15 A.
m0 I1 l
A4p * 10–7 T mAB(80 A)
* Definición de ampere y coulomb
Tal vez el lector se haya preguntado cómo la constante m0 de la ecuación 20-6 puede ser exactamente 4p * 10 –7 T mA. He aquí cómo ocurrió. Con una antigua definición del ampere, m0 experimentalmente se midió muy cerca de este valor. Sin
embargo, en la actualidad, m0 se define exactamente como 4p * 10 –7 T mA. Esto,
desde luego, no se pudo haber hecho si el ampere se hubiese definido de manera independiente. El ampere, la unidad de corriente, ahora se define en términos del
campo magnético B que produce usando el valor definido de m0.
En particular, se usa la fuerza entre dos alambres paralelos portadores de corriente (ecuación 20-7) para definir con precisión el ampere. Si I1 I2 1 A exactamente, y los dos alambres están separados exactamente 1 m, entonces
A4p * 10–7 T mAB (1 A)(1 A)
m0 I1 I2
F
=
=
= 2 * 10–7 Nm.
l
2p d
(2p)
(1 m)
Definiciones
de ampere
y coulomb
566
CAPÍTULO 20
Magnetismo
Por tanto, un ampere se define como aquella corriente que fluye en cada uno de dos
largos alambres paralelos, separados 1 m, que da como resultado una fuerza de exactamente 2 107 Nm de longitud de cada alambre.
Ésta es la definición precisa del ampere. Entonces el coulomb se define como
exactamente un ampere-segundo: 1 C 1 As.
I
20 –7 Solenoides y electroimanes
I
Una larga bobina de alambre que consta de muchos lazos (o vueltas) de alambre se
N
conoce como solenoide. El campo magnético dentro de un solenoide puede ser bas- S
tante grande pues es la suma de los campos debidos a la corriente en cada lazo (fil
gura 20-26). Un solenoide actúa como un imán; un extremo se puede considerar el
polo norte y el otro el polo sur, dependiendo de la dirección de la corriente en los
lazos (de acuerdo con la regla de la mano derecha). Como las líneas de campo mag- FIGURA 20–26 Campo magnético
nético salen del polo norte de un imán, el polo norte del solenoide en la figura 20-26 de un solenoide. El polo norte de este
está a la derecha. Como se verá en la siguiente sección, el campo magnético en el in- solenoide, considerado como un imán,
está a la derecha, y el polo sur está
terior de un solenoide apretadamente enrollado con N vueltas de alambre en una
a la izquierda.
longitud l, donde cada una porta corriente I, es
B = m0INl.
(20–8)
Si una pieza de hierro se coloca dentro del solenoide, el campo magnético aumenta enormemente porque el hierro se convierte en imán. El campo magnético resultante es la suma de los campos debidos a la corriente y al hierro, y puede ser
F Í S I C A A P L I C A D A
cientos o miles de veces el campo debido a la corriente sola (sección 20-12). Tal solenoide con núcleo de hierro es un electroimán.
Electroimanes y solenoides
Los electroimanes tienen muchas aplicaciones prácticas, desde su uso en motores y generadores hasta la producción de grandes campos magnéticos para investigación. A veces no está presente un núcleo de hierro: el campo magnético proviene
sólo de la corriente en las bobinas de alambre. Para algunas aplicaciones, los alambres portadores de corriente están hechos de material superconductor conservado
por abajo de la temperatura de transición (sección 18-9). Es posible producir campos muy elevados con el uso de alambre superconductor, sin utilizar un núcleo de
hierro. No se necesita potencia eléctrica para mantener grandes corrientes en las bobinas superconductoras, lo que significa grandes ahorros de energía; ni se disiparán
grandes cantidades de calor.
Otro dispositivo útil consiste en un solenoide en el que una barra de hierro está parcialmente insertada. Esta combinación también se conoce como solenoide. Un
uso simple es el del timbre (figura 20-27). Cuando el circuito se cierra al oprimir el
F Í S I C A A P L I C A D A
botón, la bobina efectivamente se convierte en un imán y ejerce una fuerza sobre la
Timbre, arranque de automóvil
barra de hierro. La barra se jala hacia la bobina y golpea la campana. En los arranques de los automóviles se usa un gran solenoide; cuando se activa el arranque, se
cierra un circuito que no sólo acciona el motor del arranque, sino que activa un solenoide que primero mueve el arranque en contacto directo con los engranes en el
volante del motor. Los solenoides se usan como interruptores en muchos dispositivos. Tienen la ventaja de mover partes mecánicas de manera rápida y exacta.
Los disyuntores modernos que protegen las casas y edificios de sobrecargas e inF Í S I C A A P L I C A D A
cendios no sólo contienen partes “térmicas” (las tiras bimetálicas descritas en la sección
Disyuntores magnéticos
18-6, figura 18-19), sino también un sensor magnético. Si la corriente está sobre cierto
nivel, el campo magnético que produce jala una placa de hierro que rompe los mismos
puntos de contacto que en las figuras 18-19b y c. En los disyuntores más avanzados,
incluso en los de falla a tierra (GFCI, por sus siglas en inglés, que se estudiarán en la
sección 21-8), se utiliza un solenoide. La barra de hierro de la figura 20-27, en lugar de
golpear una campana, golpea un lado de un par de puntos, con lo que los abre y también abre el circuito. Los disyuntores magnéticos reaccionan rápidamente ( 10 ms) y
para los edificios están diseñados de modo que reaccionen a las altas corrientes de los
cortos (pero no se apagan para las sobrecargas de arranque de los motores).
Barra de hierro
Campana
FIGURA 20–27 Solenoide usado
Resorte
como timbre.
I
Interruptor
120 V
120 V
SECCIÓN 20–7
Solenoides y electroimanes
567
I1
FIGURA 20–28 Trayectoria
arbitraria que encierra corrientes
eléctricas, por la ley de Ampère. La
trayectoria se separa en segmentos de
igual longitud ¢l. La corriente total
encerrada por la trayectoria mostrada
es Ienc = I1 + I2 .
I2
Trayectoria cerrada
constituida por
segmentos de
longitud ∆ l
I1
Área encerrada
por la trayectoria
I2
* 20 –8 Ley de Ampère
En la sección 20-5 se vio que la ecuación 20-6 proporciona la relación entre la corriente en un largo alambre recto y el campo magnético que produce. Esta ecuación
es válida sólo para un largo alambre recto. ¿Existe alguna relación general entre una
corriente en un alambre de cualquier forma y el campo eléctrico a su alrededor? Sí:
el científico francés André Marie Ampère (1775-1836) propuso tal relación poco
después del descubrimiento de Oersted. Considere cualquier trayectoria cerrada
(arbitraria) alrededor de una corriente, como se muestra en la figura 20-28, e imagine
esta trayectoria como constituida por segmentos cortos, cada uno de longitud ¢l. Tomamos el producto
de la longitud de cada segmento por el componente de campo
B
magnético B paralelo a ese segmento. Si ahora se suman todos estos términos, el resultado (dijo Ampère) será igual a m0 por la corriente neta Ienc que pasa a través de la superficie encerrada por la trayectoria. Esto se conoce como ley de Ampère y se escribe
©B∑∑ ¢l = m0 Ienc .
LEY DE AMPÈRE
(20–9)
B
El símbolo © significa “la suma de” y B∑∑ significa el componente de B paralelo a esa
¢l particular. Las longitudes ¢l se eligen lo suficientemente pequeñas de modo que
B∑∑ sea esencialmente constante en cada longitud. La suma se debe realizar sobre
una trayectoria cerrada, e Ienc es la corriente neta total encerrada por la trayectoria
cerrada.
* Campo debido a un alambre recto
FIGURA 20–29 Trayectoria circular
de radio r.
I
r
Es posible verificar la ley de Ampère aplicándola al caso simple de un largo alambre
recto que porta una corriente I. A continuación se encontrará la magnitud de B en
el punto A, a una distancia r del alambre en la figura 20-29. Las líneas de campo
magnético son círculos con el alambre en su centro (como en la figura 20-8). Como
trayectoria para la ecuación 20-9 se elige una conveniente:
un círculo de radio r
B
pues, en cualquier punto sobre esta trayectoria, B será
tangente
a este círculo. Para
B
cualquier segmento corto del círculo (figura 20-29), B será paralela a dicho segmento, de modo que B∑∑ = B. Suponga que la trayectoria circular se descompone en 100
segmentos.† Entonces la ley de Ampère afirma que
(B ¢l)1 + (B ¢l)2 + (B ¢l)3 + p + (B ¢l)100 = m0 I.
A
Los puntos representan todos los términos que no se escribieron. Todos los segmentos están a la misma distancia del alambre, así que por simetría se espera que B sea
el mismo en cada segmento. Entonces se puede factorizar B a partir de la suma:
B A¢l1 + ¢l2 + ¢l3 + p + ¢l100 B = m0 I.
La suma de las longitudes de segmento ¢l es justo la circunferencia del círculo, 2pr.
Por tanto, se tiene
I
†
En realidad, la ley de Ampère es precisa cuando existe un número infinito de segmentos infinitesimalmente cortos, pero ello conduce al cálculo.
568
CAPÍTULO 20
Magnetismo
www.elsolucionario.org
B(2pr) = m0 I,
o
m0 I
.
2pr
Ésta es justo la ecuación 20-6 para el campo cerca de un largo alambre recto, así que
la ley de Ampère concuerda con el experimento en este caso.
Una gran cantidad de experimentos indican que la ley de Ampère es válida en
general. Sin embargo, se puede usar para calcular el campo magnético principalmente para situaciones simples o simétricas. Su importancia radica en que relaciona al
campo magnético con la corriente en una forma directa y matemáticamente elegante.
Por eso, la ley de Ampère es considerada una de las leyes básicas de la electricidad
y el magnetismo. Es válida para cualquier situación donde las corrientes y campos
no cambien en el tiempo.
B =
B debido a un alambre
recto, con el uso de la
ley de Ampère
I
I
* Campo en el interior de un solenoide
Ahora se usará la ley de Ampère para calcular el campo magnético en el interior de un
solenoide, una larga bobina de alambre con muchos lazos o vueltas (figura 20-30). Cada
lazo produce un campo magnético, como se ilustra en la figura 20-9, y el campo total
dentro del solenoide será la suma de los campos debidos a cada lazo de corriente, como
se muestra en la figura 20-30a para unos cuantos lazos. Si los lazos del solenoide son muchos y están muy cercanos, el campo en el interior esencialmente será paralelo al eje, excepto en los extremos, como se observa en la figura 20-30b. Afuera del solenoide, las
líneas de campo se dispersan en el espacio, así que el campo magnético es mucho más
débil en el exterior del solenoide que en su interior. Para aplicar la ley de Ampère se elige la trayectoria abcd que se muestra en la figura 20-31 lejos de cualquier extremo. Considere esta trayectoria como constituida por cuatro segmentos rectos, los lados del
rectángulo: ab, bc, cd, da. Entonces la ley de Ampère, ecuación 20-9, se convierte en
AB∑∑ ¢lB ab + AB∑∑ ¢lB bc + AB∑∑ ¢lB cd + AB∑∑ ¢lB da = m0 Iencl .
El primer término en la suma a la izquierda será (casi) cero, pues el campo afuera
B
del solenoide es despreciable en comparación con el campo en el interior. Más aún, B
es perpendicular a los segmentos bc y da, así que dichos términos son cero también.
En consecuencia, el lado izquierdo de la ecuación anterior es simplemente AB∑∑ ¢lB cd
Bl, donde B es el campo en el interior del solenoide y l es la longitud cd. Bl se
iguala a m0 y se multiplica por la corriente encerrada por la elección del lazo rectanCorriente
hacia fuera
de la página
B
B
c
d
b
a
Corriente
hacia dentro
de la página
a)
I
I
b)
FIGURA 20–30 a) Campo
magnético debido a varios lazos de un
solenoide. b) Para muchos lazos muy
cercanos entre sí, el campo es casi
uniforme.
FIGURA 20–31 Vista transversal en el
interior de un solenoide. El campo magnético
en el interior es recto excepto en los extremos.
Las líneas punteadas indican la trayectoria
elegida para usar en la ley de Ampère. } y z
son direcciones de corriente eléctrica (en los
lazos de alambre) hacia fuera y hacia dentro
de la página.
l
gular: si una corriente I fluye en el alambre del solenoide, la corriente total encerrada
por la trayectoria abcd es NI, donde N es el número de lazos (o vueltas) que encierra
la trayectoria (cinco en la figura 20-31). Por tanto, la ley de Ampère produce
Bl = m0 NI.
Campo magnético en el
interior de un solenoide
y
m0 IN
,
[solenoide] (20–8 repetida)
l
que se citó en la sección previa. Ésta es la magnitud del campo magnético en el interior de un solenoide. B sólo depende del número de lazos por unidad de longitud,
Nl, y la corriente I. El campo no depende de la posición dentro del solenoide, así
que B es uniforme en el interior de este último. Esto es estrictamente cierto sólo para
un solenoide infinito, pero es una buena aproximación para los reales, para puntos
que no estén cerca de los extremos.
La dirección del campo magnético se encuentra con la regla de la mano derecha 1 (figura 20-8c) y es como se muestra en la figura 20-31.
B =
*SECCIÓN 20–8
Ley de Ampère
569
Eje de rotación
* 20 –9 Torca sobre un lazo de corriente;
momento magnético
b
I
B
B
B
F1
I
B
F2
a
I
I
a)
B
F1
B
B
Eje
I
I
I
B
F2
b)
M = NIA
(a la cara
de la bobina)
B
F1
θ
I
Eje
B
B
Cuando una corriente eléctrica fluye en un lazo de alambre cerrado colocado en un
campo magnético externo, como se ilustra en la figura 20-32, la fuerza magnética sobre la corriente puede producir una torca. Éste es el principio detrás de varios importantes dispositivos prácticos, incluidos los voltímetros, amperímetros y motores.
(Estas aplicaciones se analizarán en la siguiente sección). La interacción entre una
corriente y un campo magnético también es importante en otras áreas, incluida la física atómica.
La corriente
fluye a travésBdel lazo en la figura 20-32a, cuya cara se supone que
B
es paralela a B y rectangular. B no ejerce fuerza ni torca sobre los segmentos horizontales del alambre porque son paralelos al campo y sen u 0 en la ecuación 20-1.
Pero el campo magnético sí ejerce una
fuerza
sobre cada una de las secciones vertiB
B
cales de alambre, como se muestra, F1 y F2 (observe también la vista superior, figura
20-32b). Por la regla de la mano derecha 2 (figura 20-11c), la dirección de la fuerza
sobre
la corriente ascendente a la izquierda está en la dirección opuesta de la fuerB
za F2 de igual magnitud en la corriente descendente a la derecha. Estas fuerzas originan una torca neta que tiende a girar la bobina en torno a su eje vertical.
A continuación se calculará la magnitud de esta torca. A partir de la ecuación
B
20-2 (corriente ⊥ B), la fuerza F IaB, donde a es la longitud del brazo vertical de
la bobina. El brazo de palanca para cada fuerza es b2, donde b esBel ancho
de la boB
bina y el “eje” está en el punto medio. Las torcas producidas por F1 yF2 actúan en la
misma dirección, así que el momento de torsión total es la suma de las dos torcas:
b
b
+ IaB = IabB = IAB,
2
2
B
F2
donde
A
ab
es
el
área
de
la
bobina.
Si esta última consta de N lazos de alambre,
c)
entonces la corriente es NI, de modo que la torca se convierte en
FIGURA 20–32 Cálculo de la torca
t = NIAB.
sobre un lazo
de corriente en un campo
B
Si
la
bobina
forma
un ángulo u con el campo magnético, como se muestra en la figumagnético B. a) La cara del lazo es
B
paralela a las líneas de campo de B;
ra 20-32c, las fuerzas no cambian, pero cada brazo de palanca se reduce de 12 b a 12 b
B
b) vista superior;
c) el lazo forma un
B
sen u. Advierta que el ángulo u se toma como el ángulo entre B y la perpendicular a
ángulo con B, lo que reduce la torca,
la cara de la bobina (figura 20-32c). De modo que la torca se convierte en
pues el brazo de palanca disminuye.
(20–10)
t = NIAB sen u.
Momento de torsión sobre lazo
de corriente Esta fórmula, deducida aquí para una bobina rectangular, es válida para cualquier
forma de bobina plana.
La cantidad NIA se llama momento de dipolo magnético de la bobina:
Momento de dipolo magnético
M = NIA
(20–11)
y se considera un vector perpendicular a la bobina.
I
I
t = IaB
EJEMPLO 20–12 Torca sobre una bobina. Una bobina circular de alambre
tiene un diámetro de 20.0 cm y contiene 10 lazos. La corriente en cada lazo es de
3.00 A y la bobina se coloca en un campo magnético externo de 2.00 T. Determine
las torcas máxima y mínima que el campo ejerce sobre la bobina.
PLANTEAMIENTO La ecuación 20-10 es válida para cualquier forma de bobina,
incluso lazos circulares. Las torcas máxima y mínima se determinan mediante el
ángulo u que la bobina forma con el campo magnético.
SOLUCIÓN El área de un lazo de la bobina es
A = pr2 = p(0.100 m)2 = 3.14 * 10–2 m2.
La torca máxima ocurre cuando la cara de la bobina es paralela al campo magnético, de modo que u 90° en la figura 20-32c, y sen u 1 en la ecuación 20-10:
t = NIAB sen u = (10)(3.00 A)A3.14 * 10–2 m2 B(2.00 T)(1) = 1.88 N m.
La torca mínima ocurre si sen u 0, por lo que u 0°, y entonces t 0 de la
ecuación 20-10.
NOTA Si la bobina tiene libertad para girar, lo hará hacia la orientación con u 0°.
570
CAPÍTULO 20
Magnetismo
* 20 –10 Aplicaciones: galvanómetros,
motores, bocinas
2
1
0
3
4
Pivote
* Galvanómetro
El componente básico de los medidores analógicos (aquellos con puntero y dial), incluyendo los amperímetros, voltímetros y óhmmetros, es el galvanómetro. Ya se ha visto cómo están diseñados estos medidores (sección 19-8) y ahora se examinará cómo funciona
el elemento esencial, el galvanómetro. Como se ilustra en la figura 20-33, un galvanómetro consiste en una bobina de alambre (con puntero unido) suspendida en el campo
magnético de un imán permanente. Cuando la corriente fluye a través del lazo de
alambre, el campo magnético ejerce una torca sobre el lazo, dada por la ecuación 20-10,
t = NIAB sen u.
A esta torca se opone un resorte que ejerce una torca tR aproximadamente proporcional al ángulo f a través del cual gira (ley de Hooke). Es decir,
ts = kf,
donde k es la constante de rigidez del resorte. La bobina y el puntero unido a ella
giran al ángulo donde las torcas se equilibran. Cuando la aguja está en equilibrio en
reposo, las torcas son iguales: kf = NIAB sen u, o
NIAB sen u .
f =
k
La desviación del puntero, f, es directamente proporcional a la corriente I que
fluye
B
en la bobina, pero también depende del ángulo u que la bobina forma con B. Para
un medidor útil se necesita que f sólo dependa de la corriente I, independiente de u.
Para resolver este problema, se usan piezas de imanes con polos curvos, y la bobina
del galvanómetro se enrolla alrededor de un núcleo de hierro cilíndrico, como se
ilustra enB la figura 20-34. El hierro tiende a concentrar las líneas de campo magnético,
así que B siempre apunta de forma perpendicular a la cara de la bobina, y la torca
no variará con el ángulo. En consecuencia f será proporcional a I, como se requiere.
Resorte
B
F
b
a
N
S
B
F
I
I
Pivote
FIGURA 20–33 Galvanómetro.
FIGURA 20–34 Bobina de
galvanómetro enrollada en un
núcleo de hierro.
Puntero
B
F
N
S
B
F
Núcleo de hierro
Motores eléctricos
* Un motor eléctrico cambia energía eléctrica en energía mecánica (de rotación). Un
motor funciona con base en el mismo principio que un galvanómetro, excepto que
no existe resorte, de modo que la bobina puede girar de manera continua en una dirección. La bobina es grande y está montada sobre un gran cilindro llamado rotor o
armadura (figura 20-35). En realidad, existen varias bobinas, aunque en la figura sólo
se representa una. La armadura está montada en un eje. Cuando la armadura está en
la posición mostrada en la figura 20-35, el campo magnético ejerce fuerzas sobre la
corriente en el lazo, como se indica. Sin embargo, cuando la bobina, que en la figura
20-35 gira en sentido de las manecillas del reloj, pasa más allá de la posición vertical,
entonces las fuerzas actúan para regresar la bobina de vuelta a la vertical si la corriente permanece constante. Pero si la corriente de algún modo pudiera invertirse
en ese momento crítico, las fuerzas se invertirían y la bobina continuaría girando en
la misma dirección. Por ende, se necesita la alternación de la corriente si un motor
ha de dar vueltas de manera continua en un dirección. Esto se puede lograr con un
motor cd con el uso de conmutadores y escobillas: como se muestra en la figura 20-36,
las escobillas son contactos estacionarios que