Límites y continuidad 25 de mayo

CÁLCULO I
MAT - 1101
TEOREMA 3.3. LIMITE DE FUNCIONES QUE COINCIDEN SALVO EN UN PUNTO
Si las funciones 𝑓 (𝑥 ) = 𝑔(𝑥) en un intervalo abierto que contiene al punto 𝑎,
excepto quizá en 𝑎. Entonces:
lim 𝑓(𝑥) = lim 𝑔(𝑥)
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
3.6. LÍMITE DE FUNCIONES IRRACIONALES
Si al determinar el límite de una función irracional aplicando los teoremas de
límites se obtiene una indeterminación, entonces debe aplicarse el teorema 3.3
para poder calcular el límite, por lo que debe:



Racionalizar la función (o un cambio de variable),
Identificar el factor (𝑥 − 𝑎)
Simplificar el factor (𝑥 − 𝑎)
Ejemplo 3.6. 𝐥𝐢𝐦
√𝟑𝒙𝟐 +𝟒−√𝟓𝒙+𝟔
𝒙→𝟐
𝒙−𝟐
Calculando el límite:
√3𝑥 2 + 4 − √5𝑥 + 6 √3 ∙ 22 + 4 − √5 ∙ 2 + 6 0
=
=
𝑥→2
𝑥−2
2−2
0
lim
𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜
Para racionalización:
𝑎𝑛 − 𝑏𝑛 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 𝑏 + 𝑎𝑛−3 𝑏2 + ⋯ + 𝑏𝑛−1 )
Para racionalizar raíces cuadradas: 𝑎2 − 𝑏2 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏)
Para racionalizar raíces cúbicas:
𝑎3 − 𝑏3 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2 )
Para racionalizar raíces cuartas:
𝑎4 − 𝑏4 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎3 + 𝑎2 𝑏 + 𝑎𝑏2 + 𝑏3 )
Racionalizando:
√3𝑥 2 + 4 − √5𝑥 + 6 √3𝑥 2 + 4 + √5𝑥 + 6
]=
lim [
∙
𝑥→2
𝑥−2
√3𝑥 2 + 4 + √5𝑥 + 6
ING. PAMELA MORAMAY MORANDO GUZMÁN
14
CÁLCULO I
MAT - 1101
2
2
(√3𝑥 2 + 4) − (√5𝑥 + 6)
1
]=
= lim [
∙
𝑥→2
𝑥−2
√3𝑥 2 + 4 + √5𝑥 + 6
3𝑥 2 + 4 − 5𝑥 − 6
1
]=
= lim [
∙
𝑥→2
𝑥−2
√3𝑥 2 + 4 + √5𝑥 + 6
Identificar el factor (𝑥 − 2):
(𝑥 − 2)(3𝑥 + 1)
1
]=
= lim [
∙
𝑥→2
𝑥−2
√3𝑥 2 + 4 + √5𝑥 + 6
Simplificando el factor (𝑥 − 2):
= lim [(3𝑥 + 1) ∙
𝑥→2
1
√3𝑥 2
+ 4 + √5𝑥 + 6
] = 𝑔(𝑥)
Calculando el límite:
= (3 ∙ 2 + 1) ∙
1
√3 ∙ 22 + 4 + √5 ∙ 2 + 6
=
7
8
Entonces:
√3𝑥 2 + 4 − √5𝑥 + 6 7
=
𝑥→2
𝑥−2
8
lim
Verificando por aproximación numérica:
𝑥 = 2.00001 → 𝑦 = 0.875001~
7
8
𝟑
Ejemplo 3.7. 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟐
√𝟔𝒙−𝟒 −𝟐
𝒙−𝟐
Calculando el límite mediante racionalización:
3
3
√6𝑥 − 4 − 2 √6 ∙ 2 − 4 − 2 0
lim
=
=
𝑥→2
𝑥−2
𝑥−2
0
ING. PAMELA MORAMAY MORANDO GUZMÁN
𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜
15
CÁLCULO I
MAT - 1101
Racionalizando:
16
3
lim [
𝑥→2
2
3
3
√6𝑥 − 4 − 2 ( √6𝑥 − 4) + 2√6𝑥 − 4 + 22
]=
∙ 3
2
3
𝑥−2
( √6𝑥 − 4) + 2√6𝑥 − 4 + 22
3
3
( √6𝑥 − 4) − 23
1
]=
= lim [
∙ 3
2
3
𝑥→2
𝑥−2
( √6𝑥 − 4) + 2√6𝑥 − 4 + 22
= lim [
𝑥→2
6𝑥 − 4 − 8
1
]=
∙ 3
2
3
𝑥−2
( √6𝑥 − 4) + 2√6𝑥 − 4 + 22
Identificar el factor (𝑥 − 2):
= lim [
𝑥→2
6(𝑥 − 2)
1
]=
∙ 3
2
3
𝑥 − 2 ( √6𝑥 − 4) + 2√6𝑥
− 4 + 22
Simplificando el factor (𝑥 − 2):
= lim [6 ∙
𝑥→2
1
2
3
3
( √6𝑥 − 4) + 2√6𝑥 − 4 + 22
] = 𝑔(𝑥)
Calculando el límite:
=6∙
1
2
3
3
( √6 ∙ 2 − 4) + 2√6 ∙ 2 − 4 + 22
=
Entonces:
3
√6𝑥 − 4 − 2 1
=
𝑥→2
𝑥−2
2
lim
Verificando por aproximación numérica:
𝑥 = 2.00001 → 𝑦 = 0.49999~
ING. PAMELA MORAMAY MORANDO GUZMÁN
1
2
6
1
=
12 2
CÁLCULO I
MAT - 1101
𝟑
Ejemplo 3.8. 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟐
√𝟔𝒙−𝟒 −𝟐
𝒙−𝟐
17
Calculando el límite mediante cambio de variable:
3
3
√6𝑥 − 4 − 2 √6 ∙ 2 − 4 − 2 0
lim
=
=
𝑥→2
𝑥−2
𝑥−2
0
𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜
Cambiando la variable: 𝒉𝒏 = 𝒓𝒂𝒅𝒊𝒄𝒂𝒏𝒅𝒐 , 𝒏 = 𝒎. 𝒄. 𝒎. {í𝒏𝒅𝒊𝒄𝒆 𝒓𝒂𝒊𝒄𝒆𝒔}
ℎ3 = 6𝑥 − 4
𝑥=
𝑥→2
Si:
ℎ3 + 4
6
6𝑥 → 12
6𝑥 − 4 → 8
ℎ3 → 8
ℎ→2
Reemplazando en el límite, para eliminar las raíces:
ℎ3 + 4
3
)−4−2
√ℎ3 + 4 − 4 − 2
6
=
lim
=
ℎ→2
ℎ3 + 4
ℎ3 + 4 12
( 6 )−2
6 − 6
3
3
√6𝑥 − 4 − 2
= lim
𝑥→2
ℎ→2
𝑥−2
√6 (
lim
3
= lim
ℎ→2
ℎ−2
√ℎ3 − 2
= lim 3
=
3
ℎ→2 ℎ − 8
ℎ −8
6
6
El límite es racional
Identificar el factor (ℎ − 2):
= lim (6
ℎ→2
ℎ−2
)=
(ℎ − 2)(ℎ2 + 2ℎ + 4)
Simplificando el factor (ℎ − 2):
= lim (
ℎ→2
6
6
6
1
)
=
=
=
(ℎ2 + 2ℎ + 4)
(22 + 2 ∙ 2 + 4) 12 2
ING. PAMELA MORAMAY MORANDO GUZMÁN
CÁLCULO I
MAT - 1101
Ejemplo 3.9. Calcular el límite
18
𝟑
𝐥𝐢𝐦
𝟒
√𝟔𝒙 − 𝟒 + √𝟒𝒙 − 𝟕 − 𝟑
𝒙→𝟐
√𝟑𝒙𝟐 + 𝟒 − √𝟓𝒙 + 𝟔
Calculando el límite directamente:
3
lim
𝑥→2
3
4
√6𝑥 − 4 + √4𝑥 − 7 − 3
√3𝑥 2 + 4 − √5𝑥 + 6
=
4
√6 ∙ 2 − 4 + √4 ∙ 2 − 7 − 3
√3 ∙ 22 + 4 − √5 ∙ 2 + 6
=
0
0
𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚
Como hay raíces de índice diferente y los radicandos también son distintos, la
alternativa para calcular el límite es evaluar los términos:
3
lim
( √6𝑥 − 4) + ( 4√4𝑥 − 7) − 3
(√3𝑥 2 + 4) − (√5𝑥 + 6)
𝑥→2
=
3
( √6𝑥 − 4 − 2) + ( 4√4𝑥 − 7 − 1) + 2 + 1 − 3
= lim
(√3𝑥 2 + 4 − 4) + 4 − (√5𝑥 + 6 − 4) − 4
𝑥→2
3
( √6𝑥 − 4 − 2) + ( 4√4𝑥 − 7 − 1)
= lim
𝑥→2 (√3𝑥 2
+ 4 − 4) − (√5𝑥 + 6 − 4)
=
Por los teoremas de límites:
3
=
4
lim( √6𝑥 − 4 − 2) + lim ( √4𝑥 − 7 − 1)
𝑥→2
𝑥→2
lim (√3𝑥 2 + 4 − 4) − lim (√5𝑥 + 6 − 4)
𝑥→2
=
𝑥→2
Dividiendo entre (𝑥 − 2):
3
lim (
=
𝑥→2
4
√6𝑥 − 4 − 2
√4𝑥 − 7 − 1
) + lim (
)
𝑥−2
𝑥−2
𝑥→2
√3𝑥 2 + 4 − 4
√5𝑥 + 6 − 4
lim (
) − lim (
)
𝑥
−
2
𝑥−2
𝑥→2
𝑥→2
ING. PAMELA MORAMAY MORANDO GUZMÁN
=
=
CÁLCULO I
MAT - 1101
3
lim (
=
𝑥→2
4
√6𝑥 − 4 − 2
√4𝑥 − 7 − 1
)
+
lim
(
)
𝑥−2
𝑥−2
𝑥→2
√3𝑥 2 + 4 − 4
√5𝑥 + 6 − 4
lim (
) − lim ( 𝑥 − 2 )
𝑥−2
𝑥→2
𝑥→2
19
=
En vez de un límite ahora se tienen cuatro límites para calcular.
Sin embargo, los límites del denominador podemos agruparlos en uno solo:
3
lim (
=
𝑥→2
4
√6𝑥 − 4 − 2
√4𝑥 − 7 − 1
)
+
lim
(
)
𝑥−2
𝑥−2
𝑥→2
√3𝑥 2 + 4 − √5𝑥 + 6
lim (
)
𝑥−2
𝑥→2
=
Ahora se calculan los límites por separado:
3
lim (
𝑥→2
lim (
𝑥→2
1
√6𝑥 − 4 − 2
)=
𝑥−2
2
𝑅𝑒𝑠𝑢𝑒𝑙𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 3.8
7
√3𝑥 2 + 4 − √5𝑥 + 6
)=
𝑥−2
8
𝑅𝑒𝑠𝑢𝑒𝑙𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 3.6
4
lim (
𝑥→2
0
√4𝑥 − 7 − 1
)=
𝑥−2
0
Puede resolverse racionalizando o con cambio de variable.
Cambiando la variable: 𝒉𝒏 = 𝒓𝒂𝒅𝒊𝒄𝒂𝒏𝒅𝒐 , 𝒏 = 𝒎. 𝒄. 𝒎. {í𝒏𝒅𝒊𝒄𝒆 𝒓𝒂𝒊𝒄𝒆𝒔}
ℎ4 = 4𝑥 − 7
𝑥=
ℎ4 + 7
4
Si:
𝑥→2
4𝑥 − 7 → 1
ℎ4 → 1
ℎ→1
ING. PAMELA MORAMAY MORANDO GUZMÁN
CÁLCULO I
MAT - 1101
Reemplazando en el límite, para eliminar las raíces:
4
+7
4 )−7−1
=
ℎ4 + 7
( 4 )−2
)
√4 (
4
√4𝑥 − 7 − 1
lim (
) = lim
𝑥→2
ℎ→1
𝑥−2
(
20
ℎ4
4
ℎ−1
√ℎ4 + 7 − 7 − 1
)
(
)=
= lim (
=
lim
ℎ→1
ℎ4 + 7 8
ℎ→1 ℎ 4 − 1
−
4
4
4
El límite es racional
Identificar el factor (ℎ − 1):
= lim (
ℎ→1
4(ℎ − 1)
)=
(ℎ − 1)(ℎ3 + ℎ2 + ℎ + 1)
Simplificando el factor (ℎ − 1):
= lim (
ℎ→1 ℎ 3
+
4
4
4
)= 3
= =1
2
+ℎ+1
1 +1 +1+1 4
ℎ2
Entonces:
4
lim (
𝑥→2
√4𝑥 − 7 − 1
)=1
𝑥−2
Reemplazando los límites calculados:
3
lim (
𝑥→2
4
√6𝑥 − 4 − 2
√4𝑥 − 7 − 1
) + lim (
)
𝑥−2
𝑥−2
𝑥→2
lim (
𝑥→2
√3𝑥 2 + 4 − √5𝑥 + 6
)
𝑥−2
ING. PAMELA MORAMAY MORANDO GUZMÁN
1
+ 1 12
=2
=
7
7
8
CÁLCULO I
MAT - 1101
Por tanto:
21
3
lim
4
√6𝑥 − 4 + √4𝑥 − 7 − 3
√3𝑥 2 + 4 − √5𝑥 + 6
𝑥→2
=
6
7
Verificando por aproximación numérica:
𝑥 = 2.00001 → 𝑦 = 1.71426~
Ejemplo 3.10. Calcular el límite de: 𝐥𝐢𝐦
12
7
√𝟐+ 𝟑√𝒙 −𝟐
𝒙→𝟖
𝒙−𝟖
Calculando el límite directamente:
√2 + 3√𝑥 − 2 √2 + 3√8 − 2 0
lim
=
=
𝑥→8
𝑥−8
8−8
0
𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜
Calculando el límite mediante racionalización:
√2 + 3√𝑥 − 2
√2 + 3√𝑥 − 2 √2 + 3√𝑥 + 2
]
lim
= lim [
∙
𝑥→8
𝑥→8
𝑥−8
𝑥−8
√2 + 3√𝑥 + 2
= lim
𝑥→8 (
2 + 3√𝑥 − 4
𝑥 − 8) (√2 + 3√𝑥 + 2)
=
Racionalizando la raíz cúbica:
3
lim [
𝑥→8
= lim
𝑥→8 (
√𝑥 − 2
2
( 3√𝑥 ) + 2 3√𝑥 + 4
∙
]=
2
(𝑥 − 8) (√2 + 3√𝑥 + 2) ( 3√𝑥 ) + 2 3√𝑥 + 4
𝑥−8
2
𝑥 − 8) (√2 + 3√𝑥 + 2) (( 3√𝑥 ) + 2 3√𝑥 + 4)
ING. PAMELA MORAMAY MORANDO GUZMÁN
=
1
1
=
4 ∙ 12 48
CÁLCULO I
MAT - 1101
TEOREMA 3.4. TEOREMA DEL SANDWICH Ó TEOREMA DEL ENCAJE
22
Sean las funciones 𝑓(𝑥 ) ≤ 𝑔(𝑥) ≤ ℎ(𝑥) en un intervalo abierto que contiene
al punto 𝑎, excepto quizá en 𝑎. Si:
lim 𝑓(𝑥) = lim ℎ(𝑥) = 𝐿
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
Entonces:
lim 𝑔(𝑥) = 𝐿
𝑥→𝑎
3.7. LÍMITE DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
sin 𝑥
=1
𝑥→𝑎 𝑥
lim
(1)
Demostración.
En la figura se tiene representado el
círculo unitario (𝑟 = 1) en el que
están representadas las razones
trigonométricas,siendo:
̅̅̅̅
sin 𝑥 = 𝐵𝑃
̅̅̅̅
cos 𝑥 = 𝑂𝐵
̅̅̅̅
tan 𝑥 = 𝐴𝐶
̅̅̅̅ = 𝑂𝑃
̅̅̅̅ = 1
𝑟 = 𝑂𝐴
𝜋
Sea: 0 < 𝑥 < 2 el arco 𝐴𝑃 medido en radianes. En el gráfico se observa que:
Á𝑟𝑒𝑎 ∆𝑂𝑃𝐴 < Á𝑟𝑒𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑂𝑃𝐴 < Á𝑟𝑒𝑎 ∆𝑂𝐶𝐴
1 ∙ sin 𝑥 𝑥 ∙ 12 1 ∙ tan 𝑥
<
<
2
2
2
ING. PAMELA MORAMAY MORANDO GUZMÁN
CÁLCULO I
MAT - 1101
𝜋
Como 0 < 𝑥 < 2 entonces: sin 𝑥 > 0
23
2
Multiplicando la desigualdad por sin 𝑥 :
2 sin 𝑥
2 𝑥
2 tan 𝑥
∙
<
∙ <
∙
sin 𝑥 2
sin 𝑥 2 sin 𝑥
2
1<
𝑥
1
<
sin 𝑥 cos 𝑥
Como todos los miembros son positivos:
cos 𝑥 <
𝜋
Ahora sea: − 2 < 𝑥 < 0 → 0 < −𝑥 <
sin 𝑥
<1
𝑥
𝜋
2
Reemplazando en la desigualdad:
cos(−𝑥 ) <
cos 𝑥 <
sin(−𝑥 )
<1
−𝑥
sin 𝑥
<1
𝑥
Por tanto, la desigualdad se cumple para: 0 < |𝑥 | <
Aplicando el teorema del sandwich:
lim cos 𝑥 = 1
𝑥→0
lim 1 = 1
𝑥→0
Entonces:
sin 𝑥
=1
𝑥→0 𝑥
lim
ING. PAMELA MORAMAY MORANDO GUZMÁN
𝜋
2
CÁLCULO I
MAT - 1101
Para calcular límites trigonométricos, también pueden emplearse los siguientes
24
límites que se demuestran a partir del primero.
LÍMITE 7.1.
𝟏 − 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝟏
=
𝒙→𝟎
𝒙𝟐
𝟐
𝐥𝐢𝐦
Demostración
1 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 0
=
𝑥→0
𝑥2
0
lim
Multiplicando por el conjugado:
1 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥
1 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 1 + cos 𝑥
12 − cos 2 𝑥
1
[
]
=
lim
[
∙
]
=
lim
∙
2
2
2
𝑥→0
𝑥→0
𝑥→0
𝑥
𝑥
1 + cos 𝑥
𝑥
1 + cos 𝑥
lim
Aplicando la identidad: sin2 𝑥 + cos 2 𝑥 = 1
sin2 𝑥
1
sin 𝑥 sin 𝑥
1
] = lim [
= lim [ 2 ∙
∙
∙
]
𝑥→0
𝑥→0
𝑥
1 + cos 𝑥
𝑥
𝑥 1 + cos 𝑥
Aplicando teoremas de límites y límite (1):
= lim [
𝑥→0
sin 𝑥
sin 𝑥
1
1
1
] ∙ lim [
] ∙ lim [
]=1∙1∙
=
𝑥→0
𝑥→0 1 + cos 𝑥
𝑥
𝑥
1 + cos 0 2
LÍMITE 7.2.
𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏 𝒙
=𝟏
𝒙→𝟎
𝒙
𝐥𝐢𝐦
Demostración
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 𝑥 0
=
𝑥→0
𝑥
0
lim
Cambiando la variable:
ℎ = arcsin 𝑥 → 𝑥 = sin ℎ
𝑥→0 , ℎ→0
ING. PAMELA MORAMAY MORANDO GUZMÁN
CÁLCULO I
MAT - 1101
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 𝑥
ℎ
1
1
= lim
= lim
= =1
sin
ℎ
𝑥→0
ℎ→0 sin ℎ
ℎ→0
𝑥
1
ℎ
lim
LÍMITE 7.3.
𝒔𝒊𝒏 (𝒂𝒙)
=𝟏
𝒙→𝟎
𝒂𝒙
𝐥𝐢𝐦
Demostración
𝑠𝑖𝑛 (𝑎𝑥 )
𝑠𝑖𝑛 (0) 0
= lim
=
𝑥→0
𝑥→0
𝑎𝑥
0
0
lim
ℎ
Cambiando la variable: ℎ = 𝑎𝑥 → 𝑥 = 𝑎
𝑥→0 ; ℎ→0
Reemplazando:
ℎ
𝑠𝑖𝑛 (𝑎 𝑎)
𝑠𝑖𝑛 (𝑎𝑥 )
𝑠𝑖𝑛 ℎ
lim
= lim
= lim
=1
ℎ
𝑥→0
ℎ→0
ℎ→0 ℎ
𝑎𝑥
𝑎𝑎
LÍMITE 7.4.
𝟏 − 𝒄𝒐𝒔 (𝒂𝒙) 𝟏
=
𝒙→𝟎
𝒂𝒙
𝟐
𝐥𝐢𝐦
Demostración
ℎ
Cambiando la variable: ℎ = 𝑎𝑥 → 𝑥 = 𝑎
𝑥→0 ; ℎ→0
Reemplazando:
ℎ
𝟏 − 𝒄𝒐𝒔 (𝒂 𝑎 )
𝟏 − 𝒄𝒐𝒔 (𝒂𝒙)
1 − 𝑐𝑜𝑠 ℎ 1
lim
= lim
= lim
=
ℎ
𝑥→0
ℎ→0
ℎ→0
𝒂𝒙
ℎ
2
𝒂𝑎
ING. PAMELA MORAMAY MORANDO GUZMÁN
25
CÁLCULO I
MAT - 1101
Ejemplo 3.11. Calcular el límite:
𝒔𝒊𝒏 (𝟑𝒙) − 𝒕𝒂𝒏 (𝟐𝒙)
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝒙 + 𝒙 𝒄𝒐𝒔 (𝟐𝒙)
Calculando el límite directamente:
𝑠𝑖𝑛 (3𝑥 ) − 𝑡𝑎𝑛 (2𝑥 ) 𝑠𝑖𝑛 (0) − 𝑡𝑎𝑛 (0) 0
=
=
𝑥→0
𝑥 + 𝑥 𝑐𝑜𝑠 (2𝑥)
0 + 0 𝑐𝑜𝑠 (0)
0
lim
Operando:
𝑠𝑖𝑛 (3𝑥) − 𝑡𝑎𝑛 (2𝑥 )
1
𝑠𝑖𝑛 (3𝑥 ) 𝑡𝑎𝑛 (2𝑥 )
= lim [
∙(
−
)] =
𝑥→0
𝑥→0 1 + 𝑐𝑜𝑠 (2𝑥 )
𝑥 + 𝑥 𝑐𝑜𝑠 (2𝑥 )
𝑥
𝑥
lim
1
𝑠𝑖𝑛 (3𝑥 )
𝑠𝑖𝑛 (2𝑥 )
1
= lim [
∙ (3 ∙
−2∙
∙
)] =
𝑥→0 1 + 𝑐𝑜𝑠 (2𝑥 )
3𝑥
2𝑥
cos(2𝑥 )
Aplicando teorema de límites:
=
1
1
∙ (3 ∙ 1 − 2 ∙ 1 ∙
)=
1 + 𝑐𝑜𝑠 (2 ∙ 0)
cos(2 ∙ 0)
=
1
1
1
∙ (3 − 2 ∙ ) =
1+1
1
2
Entonces:
𝑠𝑖𝑛 (3𝑥) − 𝑡𝑎𝑛 (2𝑥) 1
=
𝑥→0
𝑥 + 𝑥 𝑐𝑜𝑠 (2𝑥 )
2
lim
ING. PAMELA MORAMAY MORANDO GUZMÁN
26
CÁLCULO I
MAT - 1101
Ejemplo 3.12 Calcular el límite:
27
𝟏 − 𝒄𝒐𝒔(𝒔𝒊𝒏(𝟒𝒙))
𝒙→𝟎 𝒔𝒊𝒏𝟐 (𝒔𝒊𝒏(𝟑𝒙))
𝐥𝐢𝐦
Calculando el límite directamente:
1 − 𝑐𝑜𝑠(𝑠𝑖𝑛(4𝑥)) 1 − 𝑐𝑜𝑠(𝑠𝑖𝑛(4 ∙ 0)) 0
=
=
𝑥→0 𝑠𝑖𝑛 2 (𝑠𝑖𝑛(3𝑥))
0
𝑠𝑖𝑛2 (𝑠𝑖𝑛(3 ∙ 0))
lim
Operando como el límite 7.3 y 7.4:
1 − 𝑐𝑜𝑠(𝑠𝑖𝑛(4𝑥))
2
(𝑠𝑖𝑛(4𝑥))
lim
𝑠𝑖𝑛2 (𝑠𝑖𝑛(3𝑥))
𝑥→0
[
2
(𝑠𝑖𝑛(3𝑥))
1 − 𝑐𝑜𝑠(𝑠𝑖𝑛(4𝑥))
2
∙ (𝑠𝑖𝑛(4𝑥))
2
(𝑠𝑖𝑛(4𝑥))
= lim
𝑠𝑖𝑛2 (𝑠𝑖𝑛(3𝑥))
𝑥→0
2
∙ (𝑠𝑖𝑛(3𝑥))
]
[
2
(𝑠𝑖𝑛(3𝑥))
1 − 𝑐𝑜𝑠(𝑠𝑖𝑛(4𝑥))
2
𝑠𝑖𝑛(4𝑥 )
(𝑠𝑖𝑛(4𝑥))
4𝑥 ∙ 4𝑥 )
= lim
∙
2
𝑥→0
𝑠𝑖𝑛2 (𝑠𝑖𝑛(3𝑥))
𝑠𝑖𝑛(3𝑥 )
(
∙
3𝑥)
2
3𝑥
[ (𝑠𝑖𝑛(3𝑥))
]
2
(
1 − 𝑐𝑜𝑠(𝑠𝑖𝑛(4𝑥))
2
𝑠𝑖𝑛(4𝑥 )
(𝑠𝑖𝑛(4𝑥))
4𝑥 2
4𝑥 )
= lim
∙
∙
(
)
2
𝑥→0
3𝑥
𝑠𝑖𝑛2 (𝑠𝑖𝑛(3𝑥))
𝑠𝑖𝑛(3𝑥 )
( 3𝑥 )
2
[ (𝑠𝑖𝑛(3𝑥))
]
2
(
1
(1)2 4 2 16 8
2
= ∙
∙( ) =
=
1 (1 )2 3
18 9
Entonces:
1 − 𝑐𝑜𝑠(𝑠𝑖𝑛(4𝑥 )) 8
=
𝑥→0 𝑠𝑖𝑛 2 (𝑠𝑖𝑛(3𝑥))
9
lim
ING. PAMELA MORAMAY MORANDO GUZMÁN
2
∙
(𝑠𝑖𝑛(4𝑥))
2
(𝑠𝑖𝑛(3𝑥))
]
CÁLCULO I
MAT - 1101
Ejemplo 3.13. Calcular el límite:
𝝅
[( − 𝒙) 𝒕𝒂𝒏 𝒙]
𝐥𝐢𝐦
𝝅
𝟐
𝒙→
𝟐
Calculando el límite directamente:
𝜋
𝜋 𝜋
𝜋
lim𝜋 [( − 𝑥) 𝑡𝑎𝑛 𝑥] = ( − ) 𝑡𝑎𝑛 = 0 ∙ ∞
2
2 2
2
𝑥→
2
Cambiando de variable:
𝜋
𝜋
→𝑥=ℎ+
2
2
𝜋
𝑥→
; ℎ→0
2
ℎ=𝑥−
Reemplazando:
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
lim𝜋 [( − 𝑥) 𝑡𝑎𝑛 𝑥] = lim [( − ℎ − ) 𝑡𝑎𝑛 (ℎ + )]
ℎ→0
2
2
2
2
𝑥→
2
𝜋
𝜋
𝜋
𝑠𝑖𝑛 (ℎ + 2 )
sin ℎ ∙ cos 2 + sin 2 ∙ cos ℎ
= lim [(−ℎ) ∙
lim [(−ℎ) ∙
𝜋
𝜋] =
𝜋 ] = ℎ→0
ℎ→0
cos ℎ ∙ cos 2 − sin ℎ ∙ sin 2
𝑐𝑜𝑠 (ℎ + 2 )
Aplicando el límite (1):
= lim [(−ℎ) ∙
ℎ→0
sin ℎ ∙ 0 + 1 ∙ cos ℎ
cos ℎ
cos 0
] = lim [
]=
=1
ℎ→0 − sin ℎ
cos ℎ ∙ 0 − sin ℎ ∙ 1
1
−ℎ
Entonces:
𝜋
lim𝜋 [( − 𝑥) 𝑡𝑎𝑛 𝑥] = 1
2
𝑥→
2
ING. PAMELA MORAMAY MORANDO GUZMÁN
28
CÁLCULO I
MAT - 1101
29
Ejemplo 3.15 Calcular el límite:
𝒙
𝟏 − 𝒔𝒊𝒏 𝟐
𝐥𝐢𝐦
𝒙
𝒙
𝒙
𝒙→𝝅
𝒄𝒐𝒔 𝟐 (𝒄𝒐𝒔 𝟒 − 𝒔𝒊𝒏 𝟒 )
Calculando el límite directamente:
𝑥
𝜋
1 − 𝑠𝑖𝑛 2
1 − 𝑠𝑖𝑛 2
0
lim
=
lim
=
𝑥
𝑥
𝑥
𝜋
𝜋
𝜋
𝑥→𝜋
𝑥→𝜋
0
𝑐𝑜𝑠 2 (𝑐𝑜𝑠 4 − 𝑠𝑖𝑛 4 )
𝑐𝑜𝑠 2 (𝑐𝑜𝑠 4 − 𝑠𝑖𝑛 4 )
Cambiando de variable:
ℎ =𝑥−𝜋→𝑥 =ℎ+𝜋
𝑥→𝜋 ; ℎ→0
Reemplazando:
ℎ+𝜋
𝑥
1 − 𝑠𝑖𝑛 ( 2 )
1 − 𝑠𝑖𝑛 2
lim
𝑥
𝑥
𝑥 = lim
𝑥→𝜋
𝑐𝑜𝑠 2 (𝑐𝑜𝑠 4 − 𝑠𝑖𝑛 4 ) ℎ→0 𝑐𝑜𝑠 (ℎ + 𝜋) (𝑐𝑜𝑠 (ℎ + 𝜋) − 𝑠𝑖𝑛 (ℎ + 𝜋) )
2
4
4
ℎ 𝜋
1 − 𝑠𝑖𝑛 (2 + 2 )
= lim
=
ℎ 𝜋
ℎ 𝜋
ℎ 𝜋
ℎ→0
𝑐𝑜𝑠 (2 + 2 ) (𝑐𝑜𝑠 (4 + 4 ) − 𝑠𝑖𝑛 (4 + 4 ) )
ℎ
𝜋
ℎ
𝜋
1 − 𝑠𝑖𝑛 ( ) cos ( ) − cos ( ) 𝑠𝑖𝑛 ( )
2
2
2
2
= lim
ℎ→0
ℎ
𝜋
ℎ
𝜋
ℎ+𝜋
ℎ+𝜋
(cos (2 ) cos ( 2 ) − 𝑠𝑖𝑛 (2) 𝑠𝑖𝑛 ( 2 )) (𝑐𝑜𝑠 ( 4 ) − 𝑠𝑖𝑛 ( 4 ) )
= lim
ℎ→0
ℎ
1 − 0 − cos (2)
ℎ
ℎ
𝜋
ℎ
𝜋
ℎ+𝜋
(−𝑠𝑖𝑛 (2)) (cos (4) cos ( 4) − 𝑠𝑖𝑛 (4) 𝑠𝑖𝑛 (4) − 𝑠𝑖𝑛 ( 4 ) )
ING. PAMELA MORAMAY MORANDO GUZMÁN
CÁLCULO I
= lim
ℎ→0
MAT - 1101
ℎ
1 − cos (2)
ℎ
ℎ
𝜋
ℎ
𝜋
ℎ
𝜋
ℎ
𝜋
(−𝑠𝑖𝑛 ( )) (cos ( ) cos ( ) − 𝑠𝑖𝑛 ( ) 𝑠𝑖𝑛 ( ) − 𝑠𝑖𝑛 ( ) cos ( ) − 𝑐𝑜𝑠 ( ) 𝑠𝑖𝑛 ( ))
2
4
4
4
4
4
4
4
4
= lim
ℎ→0
ℎ
1 − cos (2)
ℎ
ℎ √2
ℎ √2
ℎ √2
ℎ √2
(−𝑠𝑖𝑛 (2)) (cos (4) 2 − 𝑠𝑖𝑛 (4) 2 − 𝑠𝑖𝑛 (4) 2 − 𝑐𝑜𝑠 (4) 2 )
= lim
ℎ→0
ℎ
1 − cos (2)
ℎ
ℎ √2
(−𝑠𝑖𝑛 (2)) (−2𝑠𝑖𝑛 (4) 2 )
Operando como el límite 7.3 y 7.4:
ℎ
ℎ
1 − cos (2) ℎ 2
1 − cos (2)
(2 )
ℎ 2
ℎ 2
ℎ 2
(2 )
(2 )
(2 )
= lim
= lim
∙
ℎ
ℎ
ℎ
ℎ
ℎ ℎ
ℎ→0
ℎ→0
𝑠𝑖𝑛 (2) ℎ
𝑠𝑖𝑛 (4) ℎ
𝑠𝑖𝑛 (2)
𝑠𝑖𝑛 (4)
∙
(√2
)
(√2
) 2 4
2
4
ℎ
ℎ
ℎ
ℎ
4
4
[ 2
]
[ 2
]
ℎ
1 − cos ( )
2
2
ℎ
1 2
1
(2 )
( 2)
1
√2
2
= lim
∙
=
∙2 =
=
1 1
ℎ
ℎ
ℎ→0
2
1(√2 ∙ 1)
√2
∙4
𝑠𝑖𝑛 (2)
𝑠𝑖𝑛 (4)
2
(√2
)
ℎ
ℎ
4
[ 2
]
Entonces:
𝑥
1 − 𝑠𝑖𝑛 2
√2
lim𝜋 [
]=
𝑥
𝑥
𝑥
2
𝑥→
2 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑐𝑜𝑠 4 − 𝑠𝑖𝑛 4 )
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