Apuntes

Preparación de
Olimpiadas RSME
Bloque Geometría
Rosendo Ruiz Sánchez
David Crespo Casteleiro
Los siguientes conceptos y resultados, sirven de ayuda para resolver los problemas de
tipo geométrico que se plantean en las pruebas de las Olimpiadas. Además, algunas de
las cuestiones que citamos en este compendio, no aparecen recogidas en los libros de
texto convencionales y en el mejor de los casos se ven de manera superficial.
1. COSTRUCCIOES ELEMETALES CO REGLA Y COMPAS
•
PRODUCTO DE SEGMENTOS
Consideremos los puntos A, B y C. Pretendemos un segmento cuya longitud sea el
producto de las longitudes de CA y CB, es decir
. La construcción está basada en el teorema
· de Tales.
1. Calculamos un punto D sobre la semirrecta
CB, que se encuentre a una unidad de C.
2. Unimos los puntos A y C.
3. Trazamos un segmento paralelo al AD y que
pase por B. Tal segmento corta a la semirrecta CA
en un punto que llamamos E.
Por el Teorema de Tales, los triángulos CAD y
CBE son semejantes y por lo tanto sus lados son
proporcionales. Esto es:
· =
⇒ = 1
•
COCIENTE DE SEGMENTOS
Este problema es una variante del anterior. Consideremos los puntos A, B y C. Esta vez
queremos obtener un segmento cuya longitud sea el cociente de las longitudes de CA y
.
CB, es decir /
•
INVERSO DE UN SEGMENTO
= 1
Puede verse como cas particular del anterior tomando •
MEDIA PROPORCIONAL DE DOS SEGMENTOS
Sean A, O y B tres puntos alineados. Buscamos un punto C, de manera que
=
2
1. Trazamos una circunferencia cuyo centro sea el punto medio del
segmento AB y que pase por ambos puntos.
2. Dibujamos la recta perpendicular al segmento AB y que pasa por O.
3. Esta recta corta a la circunferencia anterior en dos puntos, del que sólo
nos interesa un que hemos nombrado por C.
4. El triángulo ACB es rectángulo en C, ya que es un ángulo inscrito y por
lo tanto su amplitud es la mitad del ángulo central correspondiente que es
de 180º.
5. Por el teorema de la altura
•
= · ⟹
=
RAIZ CUADRADA DE UN SEGMENTO
Es un caso particular del anterior, pues se resume en tomar por ejemplo =1
•
MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO
Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de otros dos. Por lo tanto,
la mediatriz será una recta de puntos perpendicular al segmento que pasa por su punto
medio. Obviamos su construcción pero la ilustramos con un dibujo.
3
•
BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los lados de un ángulo.
Estos puntos se encuentran en una recta que divide al ángulo en dos ángulos iguales.
Obviamos su construcción pero la ilustramos con un dibujo.
•
TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA DESDE UN PUNTO
Son las rectas trazadas desde un punto y que cortan a la circunferencia en un único
punto. Sea O el centro de la circunferencia sobre la que vamos a calcular las tangentes y
A el punto desde el que se trazan.
1. Calculamos el punto medio del segmento AO, al que llamamos B.
2. Trazamos la circunferencia de centro B y radio .
3. Dicha circunferencia auxiliar, corta a la inicial en los puntos C y D, que son
precisamente los puntos de tangencia.
El ángulo que forman las tangentes y el radio de la circunferencia es recto.
4
•
TANGENTES INTERIORES COMUNES A DOS CIRCUNFERENCIAS
Son las rectas que dejan a ambas circunferencias en distintos semiplanos. Hay dos
soluciones, simétricas respecto de la recta que une los centros.
Sean C y C’ dos circunferencias de centros O y O’ y radios r y r’ respectivamente.
Trazamos el segmento OO’ que une los centros de las dos circunferencias.
Dibujamos las rectas perpendiculares al segmento anterior que pasan por los
centros de las dos circunferencias. La recta correspondiente al punto O corta a la
circunferencia C en los puntos A y B, y la que corresponde a O’ corta a la
circunferencia C’en D y E.
3. Ahora trazamos el segmento AE, que corta al segmento OO’ en el punto F.
4. Queremos dibujar ahora la circunferencia de diámetro FO’. Para ello podemos
dibujar el punto medio G del segmento FO’. Esta circunferencia corta a la
circunferencia C’en los puntos H e I. Estos son los dos puntos de la
circunferencia C’ por los que pasarán las tangentes interiores.
5. Por último dibujamos las rectas que unen F con H y F con I, que son
precisamente las tangentes interiores a las dos circunferencias.
1.
2.
•
TANGENTES EXTERIORES COMUNES A DOS CIRCUNFERENCIAS
Son las rectas que dejan a ambas circunferencias en el mismo semiplano. Hay dos
soluciones, simétricas respecto de la recta que une los centros.
Sean C y C’ dos circunferencias de centros O y O’ y radios r y r’ respectivamente
1.
Trazamos ahora el segmento OO’, que une los centros de las dos
circunferencias, y a continuación los segmentos perpendiculares a éste que pasan
por esos centros. El correspondiente al punto O corta a C en el punto A y el de
O’corta a C’ en B.
5
Trazamos ahora la recta que pasa por OO’ y la que pasa por AB. Estas dos rectas
se cortan en un punto, al que llamamos D.
3. Ahora debemos dibujar una circunferencia de diámetro OD. Para ello
calculamos el punto medio del segmento OD, al que notamos por F, y después
representamos la circunferencia de centro este punto F y radio . Esta
circunferencia corta a la circunferencia C en dos puntos, G y H, que son los
puntos de C por los que pasarán las tangentes exteriores.
2.
•
DIVISIÓN AUREA DE UN SEGMENTO
Dado un segmento de extremos A y B, queremos encontrar un punto X que cumpla que
la parte total es a la mayor como esta a la pequeña. Esta división también se llama
división en media y extrema razón. Algebraicamente esta relación se expresa como:
=
Si tomamos el segmento XB como unidad, es decir, de longitud 1, y llamamos x a la
longitud de AX, la longitud del segmento total AB será 1+x, y podemos escribir la
proporción de esta forma:
6
1 = ⟹ 1 = ⟹ 1 = 1
De las dos soluciones de esta ecuación de segundo grado, la positiva es
=
1 = 11 !! "
Esta relación entre dos segmentos, se llama proporción áurea y aparece en multitud de
situaciones.
Para la división áurea de un segmento de extremos A y B procederemos como sigue:
Construimos un cuadrado cuyo lado sea AB. Marcamos el punto medio M del
lado BC y unimos A con M.
2. Con un compás, hacemos centro en M y con radio MB trazamos un arco hasta
que corte al segmento AM, llamando a este punto N.
3. Haciendo centro en A y con radio AN, trazamos otro arco hasta que corte al
segmento AB en el punto X. Este punto X divide al segmento original en dos
partes cuya razón es el número de oro.
1.
2. ÁGULOS
GULOS E LA CIRCUFERECIA
•
ÁNGULO CENTRAL
Es el ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y los lados son radios
de ella. Si el radio de la circunferencia es la unidad, la medida del arco corresponde con
el valor del ángulo expresada en radianes
radianes. Es decir:
# = $%&'()*+,-./%,
7
•
ÁNGULO INSCRITO
Es el que tiene su vértice en la circunferencia y sus lados son dos rectas secantes. Su
valor es la mitad del central correspondiente
0=
•
0
ÁNGULO SEMIINSCRITO
Es el que tiene el vértice en la circunferencia, un lado secante y el otro tangente. Su
valor es la mitad del central correspondiente
0=
8
0
•
ÁNGULO EXTERIOR
Es el que tiene el vértice fuera de la circunferencia y los lados son dos secantes. Su
valor es la semidiferencia de los dos arcos centrales. Este resultado sigue siendo válido
si los lados del ángulo son tangentes a la circunferencia.
0=
# = 1 2 ⇔ •
0 54
0
4
ÁNGULO INTERIOR
Es el que tiene el vértice dentro de la circunferencia y los lados son dos secantes. Su
valor es la semisuma de los dos arcos centrales
9
0=
# = 1 2 ⇔ •
0
05
4
ARCO CAPAZ DE UN ÁNGULO DADO SOBRE UN SEGMENTO
Es el lugar geométrico de los puntos del plano desde los cuales se ve un segmento dado
bajo ángulo constante. Por lo tanto es un arco de circunferencia.
Dado un ángulo # y un segmento , queremos construir el arco capaz sobre AB.
Veamos los pasos a seguir para su construcción.
1. Trazamos la mediatriz del
segmento 2. Dibujamos una recta que pase
por A y que forme con el segmento un ángulo #. Esta recta corta a la
mediatriz calculada en 1 en un punto
que notamos D.
3. Trazamos una perpendicular a la
recta AD y que pase por A. El punto de
corte entre esta perpendicular y la recta
calculada en 1 es el centro de la
circunferencia.
4. El arco capaz es el arco de la
circunferencia de centro O y radio OA,
desde A hasta B.
•
CUADRILÁTERO INSCRIPTIBLE
Es aquel en el que existe una circunferencia que pasa por sus cuatro vértices. La
condición necesaria y suficiente para que un cuadrilátero sea inscriptible es que dos
ángulos opuestos sean suplementarios.
10
•
CUADRILÁTERO CIRCUNSCRIPTIBLE
Es aquel en el que existe una circunferencia que es tangente a sus cuatro lados. La
condición necesaria y suficiente para que un cuadrilátero sea circunscriptible es que los
lados opuestos sumen igual.
•
POLÍGONOS REGULARES
Un polígono regular de n lados (n-ágono) es el que tiene todos sus lados iguales y todos
sus ángulos iguales, respectivamente.
Se llama radio del polígono (y lo denotaremos por r) al de su
circunferencia circunscrita
Se llama apotema del polígono (y la denotaremos a) al segmento que une
el centro de la circunferencia circunscrita, con el punto medio de
cualquier lado.
Denotando por l al lado del polígono, claramente se tiene . =
permite conociendo dos de los elementos, conocer el tercero.
67
8
- , relación que nos
El ángulo central # es el que tiene el vértice en el centro y sus lados sobre dos radios
que unen vértices consecutivos. Llamando 1 al ángulo formado por dos lados
consecutivos del polígono, se tiene:
#=
•
º
,
&
1=
& 1º
&
TEOREMA DE TOLOMEO
La condición necesaria y suficiente para que un cuadrilátero sea convexo e
inscriptible es que el producto de sus diagonales sea igual a la suma de los productos
de los lados opuestos
3. PUTOS OTABLES E EL TRIAGULO Y PRIMERAS RELACIOES
MÉTRICAS
Consideremos un triángulo de vértices A, B y C
•
MEDIATRICES, CIRCUNCENTRO
Una mediatriz de un triángulo, es cada una de las mediatrices de sus lados. Las tres
mediatrices de un triángulo, se cortan en un punto llamado ortocentro, al que notaremos
por O y que cumple:
= = Por lo tanto, es el centro de la circunferencia circunscrita. El valor del radio r de tal
circunferencia, puede ser obtenido aplicando el Teorema de los senos:
11
=
=
= .
9:&, 9:&, 9:&,
•
ALTURAS, ORTOCENTRO
Las alturas de un triángulo, son las rectas perpendiculares a un lado trazadas desde el
vértice opuesto. Se cortan en un punto llamado ortocentro y que notamos H.
12
•
BISECTRICES, INCENTRO
Las bisectrices de un triángulo, son las bisectrices de los ángulos de este. Se cortan en
un punto llamado incentro, que notaremos por I. Por construcción, I está a la misma
distancia de los tres lados del triángulo y por lo tanto es el centro de la circunferencia
circunscrita.
•
EXINCENTROS
Para localizar estos puntos hay que trabajar con las bisectrices exteriores. Ocurre que
dos bisectrices exteriores concurren en un puno con la bisectriz interior correspondiente
al tercer punto. Estos puntos, que notaremos ; ; ;< , se llaman exincentros y son los
centros de las circunferencias tangentes exteriores a un lado y a la prolongación de los
otros dos. Tales circunferencias, se llaman circunferencias exinscritas. En el dibujo, en
verde, se encuentran dibujadas las circunferencias exinscritas.
13
•
TRIANGULO ÓRTICO
Un proceso en sentido opuesto al anterior, sería: dado un triángulo de vértices ABC,
trazamos sus alturas. Al unir sus pies, se forma un triángulo de vértices = = =< que
se llama triángulo órtico (dibujado en línea discontinua).
Una propiedad de esta construcción, es que las bisectrices interiores del triángulo órtico,
coinciden con las alturas del triángulo inicial.
14
•
MEDIANAS, BARICENTRO
Las medianas son los segmentos que unen cada vértice con la mitad del lado opuesto.
Además son concurrentes en un punto, llamado baricentro y que notaremos por G, que
es el centro de gravedad del triángulo.
El baricentro divide a la mediana en dos partes, siendo la distancia del baricentro a un
vértice el doble que a la mitad del lado opuesto. Usando la notación del dibujo:
= >′
>
> = >′
= >′
>
•
RECTA DE EULER
En todo triángulo, el baricentro G, el ortocentro H y el circuncentro O están alineados
siendo la distancia GH doble que GO.
15
•
RECTA DE SIMSON
Si desde cualquier punto de la circunferencia circunscrita a un triángulo distinto de los
vértices se trazan perpendiculares a los lados del triángulo, los pies de estas
perpendiculares están alineados formando la recta de SIMSON.
•
CUADRADO DE UN LADO DE UN TRIÁNGULO
Queremos calcular el cuadrado del lado de un triángulo. En el caso de los triángulos
rectángulos, el teorema de Pitágoras nos da la clave. Nos centramos entonces en los
otros dos casos y aplicamos el teorema de Pitágoras al trazar la altura.
a) El ángulo opuesto es agudo.
- = ℎ / @
= A @ / @ /@ = A / /@
= A @ / @ /@ = A / /@
b) El ángulo es obtuso
- = ℎ @ &
Nótese que estas fórmulas son equivalentes al teorema del coseno
- = A / A/,/%9, 16
•
SUMA Y DIFERENCIA DE LOS CUADRADOS DE DOS LADOS DE UN
TRIANGULO
Consideremos un triángulo en el que hemos trazado la mediana y la altura que parten
desde el vértice C, que cortan al lado AB en los puntos M y H respectivamente.
Si aplicamos el resultado anterior a los triángulos AMC y MBC se tiene:
/ /
4=
- = B C 4
/ /
4=
A = B C 4
Sumando y restando miembro a miembro las igualdades anteriores obtenemos
/ E F1G,,,,,,,,,,,
A - = DB C 4
,,FG,,,
A - = /4=
De estas fórmulas podemos obtener dos consecuencias:
a) Si despejamos en [1] el valor de la mediana, tendremos su valor en función de
los lados:
A -
/ = H
4
B C
b) Si fijamos los vértices A y B, obtenemos el lugar geométrico de los puntos cuya
suma o diferencia de distancias a l cuadrado a dos puntos fijos es constante.
I.
Para que la suma de los cuadrados sea constante siendo C variable (pues
en caso contrario el triángulo sería constantes), debe ser constante la
mediana. Así el lugar geométrico pedido es una circunferencia de centro
el punto medio del lado AB y radio la mediana.
17
II.
•
Para que la resta sea constante, siendo C variable, debe ser constante el
segmento MH (la altura). Así C debe moverse en una recta perpendicular
al lado AB.
TEOREMA DE STEWART
Es una generalización de la fórmula [1] anterior cuando CM no es una mediana.
Observemos el siguiente dibujo:
Aplicando el resultado anterior a los triángulos MAC y MCB respectivamente, tenemos:
A = 9 ) )I
- = 9 * *I
Despejando v de una de las ecuaciones, al sustituir en la otra y operar quedaría
- ) = 9 ) * ) *A *9 *) - ) = 9 * ) *) * ) *A Teniendo en cuenta que c=u+t, aparece la expresión final del resultado:
/ 9 *) = A * - )
•
TEOREMA DE CEVA
Se llaman cevianas a las rectas que parten de un vértice y cortan al lado opuesto.
Claramente medianas, bisectrices y alturas, son casos particulares de cevianas. El
siguiente resultado nos aporta una condición necesaria y suficiente para que las tres
cevianas concurran en un punto. Para ello consideremos el siguiente triángulo en el que
se han trazados tres cevianas.
18
Las cevianas se cortan en un punto si y sólo si
K L
J
·
·
=1
J
K L
•
TEOREMA DE MENELAO
Sean X, Y y Z puntos respectivamente sobre los lados BC, AC y AB (o sus
prolongaciones). Entonces, una condición necesaria y suficiente para que los puntos X,
Y, Z estén alineados es que
M N
·
·
=1
M N
4. RELACIOES MÉTRICAS E LA CIRCUFERECIA
•
POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO DE UNA CIRCUNFERENCIA
Consideremos una circunferencia C y P un punto cualquiera del plano. Trazamos por P
tres rectas secantes a C en los puntos que indica el siguiente dibujo:
19
· K
O = KQ
· K
· KQ
O
Entonces se verifica: K
KO = K
Es decir, que el valor del producto no depende de la recta considerada, sino del punto P
(nótese que si P es un punto de C, este product
producto es cero).
Este valor constante de los productos, nos permite definir la potencia de un punto
· K
O para cualquier recta que
respecto de una circunferencia como el producto K
corte a C en y en O .
Hay dos casos de especial importancia: llas
as rectas que pasan por el centro de la
circunferencia O y la que es tangente a la circunferencia en un punto T.
Llamando + = K y . = P, obtenemos las siguientes expresiones:
· K
K
O = + . + .
= + . = KP
Dependiendo de si el punto P es exterior a la circunferencia, está contenido en ella o
bien es interior, la potencia será positiva, cero o negativa respectivamente.
20
•
EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS
Dadas dos circunferencias C y C’, con centros O, O’ y radios r, r’ respectivamente,
queremos encontrar todos los puntos del plano que tengan la misma potencia respecto
de las dos circunferencias. Razonando como antes y llamando d y d’ a las distancias de
P a O y O’ respectivamente, un punto P verifica esta condición si y sólo si:
+ . = + ′ . ′ ⇔ + + ′ = .′ . Podemos concluir que los puntos que buscamos están en una recta perpendicular a la
recta que une los centros. Tal recta se llama eje radical de las dos circunferencias dadas.
•
CONSTRUCCIÓN DEL EJE RADICAL
Bastará con encontrar un punto de igual potencia respecto de ambas circunferencias y
trazar por él una perpendicular a la recta que une los centros. Para ello distinguimos
cuatro casos:
a) Si las circunferencias son secantes o tangentes, tomaremos como punto del eje
uno común a ambas.
b) Si las circunferencias son exteriores, trazamos una tangente a ambas, y tomamos
como punto, el punto medio del segmento que une los puntos de tangencia
c) Si las circunferencias son interiores, trazamos una circunferencia auxiliar que
corte a ambas. Calculamos el eje radical de esta con cada una de las primeras, y
tomamos como punto el corte de los ejes radicales.
d) Si las circunferencias son concéntricas, no hay eje radical.
•
CENTRO RADICAL DE TRES CIRCUNFERENCIAS
Partimos de tres circunferencias y queremos averiguar el punto que tiene la misma
potencia respecto de las tres. Para ello construimos dos de los ejes radicales y el punto
buscado será la intersección de estos ejes.
•
CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES
La idea de ángulo de dos rectas, se puede extender al ángulo formado por dos curvas,
sustituyendo las curvas por las rectas tangentes en el punto donde se quiera calcular el
ángulo (generalmente donde se cortan).
Con esta idea, diremos que dos circunferencias C (de centro O y radio r) y C’ (de centro
O’ y radio r’) son ortogonales, si se cortan bajo un ángulo de 90º. Dibujamos esta
situación para ilustrarla:
21
Los siguientes resultados son equivalentes:
1. C y C’ son ortogonales.
2. Los radios de las circunferencias en los puntos de intersección son
perpendiculares.
3. La distancia d, entre los centros cumple: + = . .′ .
4. La potencia del centro de cada circunferencia respecto de la otra es su propio
radio al cuadrado.
•
HACES DE CIRCUNFERENCIAS Y HACES ORTOGONALES
Se deja al lector para su consulta.
5. RELACIOES MÉTRICAS E EL TRIÁGULO
En los siguientes epígrafes, vamos a calcular siempre en función de los lados,
lados todos los
elementos vistos hasta ahora. Usaremos la siguiente notación:
-
A, B y C denotarán los vértices.
A, b y c serán los lados opuestos.
H el ortocentro.
G el baricentro.
I el incentro.
O el circuncentro.
R el radio de la circunferencia circunscrita.
r el radio de la circunferencia inscrita.
2p el perímetro
S el área.
•
LA CIRCUNFERENCIA DE LOS NUEVE PUNTOS
Partimos de un triángulo ABC al que le trazamos su circunferencia circunscrita siendo
su circuncentro el punto O. La bisectrices interiores AI, BI, CI se cortan en el incentro I,
y las exteriores que determinan los tres exincentros R S T de modo que ABC es el
22
triángulo órtico de R S T ya que las bisectrices interiores de ABC son alturas de
R S T por la perpendicularidad de las bisectrices interiores respecto de las
exteriores. Los puntos O O y O bisecan los arcos BC, CA y AB respectivamente y
por ellos pasan tanto las mediatrices de los lados del triángulo ABC.
Por otra parte, los puntos I, B, R , C son concíclicos y la circunferencia que pasa por
ellos tendrá centro en O y diámetro ;R por ser rectos los ángulos IBR y R CI y estar
O en la mediatriz de BC. LuegoO es el punto medio del segmento IR .
De forma análoga, se puede probar que O es el punto medio de IS y O es el punto
medio de IT .
Repitiendo los razonamientos anteriores, podemos afirmar que:
La circunferencia que pasa por los pies de las alturas contiene a los puntos medios de
los lados y a los puntos medios de los segmentos determinados por el incentro y cada
vértice
Esta circunferencia (trazada para el triángulo R ,S ,T ) se llama circunferencia de los
nueve puntos, circunferencia de Feuerbach o circunferencia medial del triángulo dado.
23
•
PROPIEDAD MÉTRICA DE LAS BISECTRICES
En un triángulo ABC trazamos la bisectriz interior CD. Sobre la prolongación del lado
AC, y hacia el exterior del triángulo, se ha llevado un segmento de longitud a que
determina el punto E.
El triángulo BCE es isósceles por lo que CF, mediatriz de BE, es también la bisectriz
exterior t DC es paralelo a BE. Los triángulos ADC y ABE son semejantes y se tiene:
Q
/
Q
=
=
,,,,F1G
A
-A
Luego la bisectriz interior divide al lado opuesto en dos partes proporcionales a los
lados que concurren con ella. Despejando los dos segmentos se obtiene:
=
Q
/·A
-A
Q =
/·-A
Para la bisectriz exterior tenemos una construcción análoga llevando un segmento de
longitud igual al lado a sobre el lado AC a partir de C y hacia la izquierda determinando
el punto L. Así:
LCB es isósceles, luego la mediatriz CD de LB es también bisectriz y LB es paralelo a
BF con lo que los triángulos ALB y ACF son semejantes y sus lados proporcionales:
/
=
=
,,,,
A
A-
Despejando, tenemos la misma propiedad que para la bisectriz interior
=
/·A
A-
Q =
/·A-
Una aplicación consiste en hallar el lugar geométrico de los puntos cuya razón de
distancias a otros dos puntos fijos es constante.
•
CÁLCULO DE LAS BISECTRICES
En la figura adjunta, se ha trazado la bisectriz interior que parte de C en el triángulo
ABC, la circunferencia circunscrita y el punto M de intersección de éste con la
prolongación de la bisectriz. Queremos hallar la longitud del segmento CD en función
de los lados a, b y c.
24
Los triángulos MAC y DBC son semejantes, ya que tienen los ángulos iguales. Por lo
tanto:
Q
· 4
= Q
· Q
4Q
Q
· Q
= Q
=
⇔ - · A = Q
A
4
La última igualdad se debe a que ambas expresiones son la potencia de D respecto de la
circunferencia. Sustituyendo los segmentos DA y DB del epígrafe anterior, tenemos:
-A = Q
/ -A
-A
= -A ⇔ Q
/ -A
-A
Teniendo en cuenta que - A / = U y despejando, se tiene:
Q =
•
V-AU U /
-A
RADIOS DE LAS CIRCUNFERENCIAS INSCRITA Y EXINSCRITAS
Si notamos LR LS LT los radios de las circunferencias exinscritas tangentes a los lados
del triángulo, se puede demostrar que:
LR = H
U UA U/
U-
U U- U/
LS = H
UA
Y el radio de la circunferencia inscrita viene dado por:
.=H
U- UA U/
U
25
LT = H
U U- UA
U/
•
CÁLCULO DE LAS MEDIANAS
Establecimos fórmulas para la suma y la diferencia de los cuadrados de los lados, de las
que podemos despejar el valor de las medianas. Notando por W W W las medianas
que parten de los vértices A, B y C, se tiene:
H
W =
•
A / -
!
W = H
- / A !
- A / X = H
!
FÓRMULAS PARA EL ÁREA
Vamos a ver distintas fórmulas para calcular el área de un triángulo. Consideremos un
caso en el que hemos trazado la altura sobre el lado a.
Y=
-ℎ -/,9:& -/V1 /%9 =
=
Despejando de la fórmula del teorema del coseno y sustituyendo en la anterior:
/%9 -/V1 - / A E
-/ H1 D
-/
=
-/
V -/
-/
=
-/ Z
=
- / A -/
- / A -/ V -/ - / A -/ - / A =
!
VF - / A GFA - / G
=
!
V -/A -/A A-/ A-/
=
!
Teniendo en cuenta la notación advertida
26
- A / = U /
U = - A / ⇒ [ / A = U A \
A / - = U Sustituyendo se tiene
VU U A U / U V1U U - U A U /
=
!
!
= VU U - U A U /
Finalmente se tiene la conocida como fórmula de Herón para el cálculo del área
Y = VU U - U A U /
•
FORMULAS PARA LA ALTURA
Sustituyendo en la expresión Y =
ℎ =
R]^
la fórmula de Herón y despejando se tiene
VU U - U A U /
-
Por simetría en la fórmula tenemos las correspondientes a los otros lados, es decir:
ℎ =
•
VU U - U A U /
A
ℎ< =
VU U - U A U /
/
RADIO DE LA CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA
Consideremos la figura adjunta, donde hemos trazado la mediatriz OM del lado AC y la
altura trazada desde C, NC.
Los ángulos NBC y MOC son iguales por ser uno inscrito en un arco doble que el otro.
Por construcción los ángulos BNC y OMC son rectos. Por lo tanto los triángulos BNC y
OMC son semejantes. Estableciendo la proporcionalidad entre los lados:
L A/
-A
=
⇔L=
ℎT
ℎT
Sustituyendo el valor obtenido en el epígrafe anterior para la altura
L=
-A/
!VU U - U A U /
Terminamos la sección dando tres resultados clásicos, cuya demostración puede ser
consultada por el lector
27
•
TEOREMA DE EULER
Este resultado establece la distancia entre el incentro y el circuncentro en función de los
radios de las circunferencias inscrita y circunscrita. Llamando a esta + = ;, se tiene:
+ = L L.
Una consecuencia inmediata es
≤ + = L L. = L L . ⇔ L . ≥ ⇔ L ≥ .
Esta última expresión es conocida con el nombre de desigualdad de Euler.
•
TEOREMA DE MORLEY
Si en un triángulo ABC trisecamos los tres ángulos, los puntos de intersección XYZ de
las tres rectas trisecantes adyacentes forman un triángulo equilátero
28
•
TEOREMA DE NAPOLEÓN
Los centros PMN de los triángulos equiláteros construidos hacia el exterior sobre los
lados de un triángulo cualquiera ABC forman un triángulo equilátero
•
DESIGUALDADES CON LOS LADOS
A. Desigualdad triangular: Cada lado es menor que la suma de los otros dos y
mayor que su diferencia.
B. 3(bc + ca + ab) ≤ (a + b + c)2 < 4 (bc + ca + ab)
RST
C. (p-a) (p-b) (p-c) ≤ a
Siendo válida la igualdad si y solo si el triángulo es equilátero.
D. R ≥ 2r
b
R
+
E. ≤
ScT
S
RcT
+
T
RcS
<2
Siendo válida la igualdad si y solo si el triángulo es equilátero.
En cualquier triángulo se cumple:
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
VII.
sen = Z
deS deT
ST
, sen
=Z
sen A + sen B + sen C = 4 cos
deR deT
RT
cos
, sen
cos
<
<
<
=Z
cos A + cos B + cos C = 1 + 4 sen sen sen
tg A + tg B + tg C = tg A tg B tg C
sen 2A + sen 2B + sen 2C = 4 sen A sen B sen C
cos 2A + cos 2B + cos 2C = - 1 – 4 cos A cos B cos C
<
<
ctg + ctg + ctg = ctg ctg
ctg
29
deR deS
RS
•
DESIGUALDADES CON LOS ÁNGULOS
<
A. 0 < sen sen sen ≤
O
a
B. 1 < cos A + cos B + cos C ≤
C. cos A cos B cos C ≤,,
D.
E.
b
8
f
b
RcScT<
≤ sen
,, ≤ ,,
2 + sen
RcScT
2 <
f
O
a
+ sen2
b
<
<1
Siendo válido el signo igual si y solo si el triangulo es equilátero
F. p2 ≥ 3 S
G. a2 + b2 + c2 ≥ 4 S
Dándose la igualdad si el triangulo es equilátero
30
DEMOSTRAR COMO EJERCICIOS:
1.- a2 + b2 + c2 = 2 (p – r2 – 4Rr)
2.-
O
RS
O
O
O
+ ST +RT = hi
3.- sen A + sen B + sen C =
4.5.6.-
O
jkl,,jkl,
+
deR
+
R
O
]m
+
+
S
deS
O
]n
,
O
jkl,,jkl,<
T
deT
O
]o
=
=
8h,
O
i
i
+
d
h
O
jkl,<,jkl,
=,
h,
i
≥4
-2≥6
b
7.- @R + @S , @T = (p – r2 – 4rR)
PROBLEMAS FASE DE DISTRITO
2
2
1. Calcular el valor de la expresión: E = (sec x + cosec x ) + ( tg x+cot x )  • sen 2 x.


2. Dada la recta x = a, un punto M(x1,y1) se proyecta ortogonalmente sobre x = a
en D y se traza OM que corta a x = a en B. Una paralela a OX por B corta a OD
en N. Hallar la ecuación del lugar geométrico. de N cuando M describe la
circunferencia (x-b)2 + y2 = b2.
3. Determinar el movimiento resultante de tres simetrías centrales respecto a los
vértices de un triángulo equilátero de lado 3 cm. Estudiar si el producto es
conmutativo.
4. Idem simetrías axiales respecto a las mediatrices. Estudiar el grupo que
engendran.
5. Siendo M el punto medio del segmento de extremos A y B , estudia el lugar
geométrico de los puntos P del plano tales que PM sea media proporcional entre
PA y PB.
6. Construir y resolver un triángulo rectángulo en A, conocidos c y a + b.
7. En el cuadrado de vértices A, B, C y D, de lado a, se trazan los arcos BD y AC
con centro en C y en D respectivamente, y radio a. Los dos arcos se cortan en M.
Hallar el radio del círculo inscrito en el triángulo curvilíneo DMC.
8. Sobre un segmento AB = 2a, tomado como base, se construyen tres triángulos
isósceles ACB, AC'B y AC"B, de alturas respectivas a, 2a y 3a. Demostrar que
C + C' + C" = 180º.
9. Se considera el triángulo ABC en el que A = 70º, B = 60º, y el triángulo A'B'C'
formado
10. Construir un cuadrado cuyos lados o sus prolongaciones pasen por cuatro puntos
dados sobre una recta.
31
11. Dados dos puntos A y B de la Tierra, supuesta esférica, tales que AB = 60º,
hallar la relación entre las alturas x e y, a que deben elevarse dos observadores
en las verticales de A y de B para que puedan verse y su valor concreto cuando
sea x = y.
12. Hallar los polígonos regulares cuyos ángulos miden un número entero de grados.
13. Un depósito cerrado tiene la forma de un cilindro "tumbado" acabado en dos
semiesferas por sus lados. Graduar una varilla para medir verticalmente el
volumen de liquido contenido en el depósito en función del la altura marcada en
la varilla.
14. Determinar el conjunto de puntos P(x,y) tales que sen(x + y) = senx + seny.
15. Construir un rectángulo conociendo un lado a = 6 y la diferencia d-b = 4 entre la
diagonal y el otro lado.
16. Determinar el grupo de movimientos del triángulo equilátero. Tablas.
17. En un trapecio ABCD, las diagonales AC y BD se cortan en P. Demostrar que el
área del triángulo PBC es media proporcional entre las áreas de los triángulos
ABP y PCD.
18. Se considera una superficie esférica E se radio 1 m., y un triedro trirrectángulo
con vértice en el centro de la esfera. Se deben colocar ocho esferas de radio a en
el interior de E, de forma que cada una de ellas sea tangente a los tres planos de
T y a la propia superficie E. Calcular el valor de a. Dar el resultado en
centímetros y con dos decimales.
19. Dado un triángulo ABC, trazar una secante que corte a AB en M y a BC en N,
de manera que el cuadrilátero AMNC y el triángulo BMN tengan el mismo
perímetro y la misma área.
20. Una circunferencia de radio a se mueve rodando sobre el eje de abscisas. En
cada posición de la circunferencia se traza la tangente no horizontal a la misma
que pasa por el origen O de coordenadas y que corta en M a la vertical que pasa
por su centro C. Por M se traza la segunda tangente a la circunferencia
(simétrica de la anterior OM respecto a la vertical CM) y que corta en A al eje
OX.
a) Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos M.
b) Dibujar su gráfica
c) Demostrar que la recta AC, para todas las posiciones de la circunferencia, pasa por un
punto fijo.
21. Dos circunferencias de radio 1 m y 75 cm respectivamente, cuyos centros distan
2 m, se unen por una correa sin fin exteriormente. Determinar su longitud.
Dibujarlo a escala 1/40. Calcular el área limitada por el perímetro del conjunto.
22. Por el punto medio de la hipotenusa de un triángulo rectángulo se traza una recta
que corta al cateto mayor con un ángulo de 45º. Calcular en función de la
hipotenusa, la suma de los cuadrados de los segmentos determinados así en ese
cateto.
23. Dada una circunferencia de radio R, considerar cuatro circunferencias iguales de
radio r, tangentes interiormente a la dada y tangentes exteriores cada una de ellas
con las otras. Expresar r en función de R, primero exactamente y luego con
cuatro decimales del correspondiente coeficiente. Hallar las áreas de los recintos
que determinan.
32
24. Dada una circunferencia y un punto exterior, trazar por él una secante que
intercepte en la circunferencia una cuerda de longitud dada.
25. Siendo A + B + C = 180º demostrar que tg A + tg B + tg C = tg A ·tg B· tg C.
26. Demostar que si en el triángulo ABC se cumple que sen2A +sen2B + sen2C = 2,
entonces el triángulo es rectángulo.
27. Se tiene una botella de fondo plano circular, cerrada y parcialmente llena en su
parte cilíndrica. Discutir en qué circunstancias podemos calcular la capacidad de
la botella y en qué forma se haría, si sólo disponemos de un doble decímetro
graduado.
28. Sea C una semicircunferencia de diámetro AB. Se construye una quebrada con
origen A, que va alternativamente del diámetro a la semicircunferencia y de ésta
al diámetro de modo que los lados formen todos igual ángulo # con el diámetro
AB, alternativamente de uno y otro signo. Hallar el ángulo # para que la
quebrada pase por el otro extremo B del diámetro. y la longitud total de la
quebrada en función del ángulo # y de la longitud a del diámetro.
29. Se da un triángulo equilátero ABC de centro O y radio OA = r. Las rectas de sus
lados dividen al plano en 7 regiones. (el propio triángulo, 3 angulares abiertas y
3 poligonales abiertas) Se pide dibujar y describir las regiones del plano
transformadas de una de las angulares y de una de las poligonales, por la
inversión de centro O y radio r2.
30. Dadas dos rectas r , r' y un punto P que pertenece al plano que determinan las
rectas pero no pertenece a ninguna de ellas, determinar un triángulo equilátero
que tenga por vértice el punto P y los otros dos vértices cada uno sobre una
recta.
31. Hallar la inversión que transforma tres puntos no alineados A,B,C en los vértices
de un triángulo equilátero.
32. Sean C y C' dos circunferencias concéntricas de radios r y r'. Determinar el valor
de la razón r/r' para que en la corona circular limitada entre C y C' existan ocho
circunferencias tangentes cada una con sus dos inmediatas y todas ellas con C y
C'.
33. Se considera un triángulo equilátero de altura 1. Para todo punto P interior al
triángulo sean x, y, z las distancias de P a los lados del triángulo.
a) Probar que x + y + x = 1 para todo punto P interior al triángulo.
b) ¿Para qué puntos del triángulo se verifica que la distancia a un lado es mayor
que la 76.- Estudiar el isomorfismo del grupo aditivo de los enteros módulo 4,
Z/(4), y el grupo multiplicativo de los elementos no nulos de los enteros módulo
5, Z/(5).
34. En una circunferencia de radio 1, se trazan dos cuerdas AB y AC de igual
longitud.
a) Construir la cuerda DE que queda dividida en tres partes iguales por sus cortes
con AB y AC.
b) ¿Cuánto valen los dos segmentos en que queda dividida AB, cuando AB abarca
un arco de 90º?
35. En el plano, dada una recta r y dos puntos A y B exteriores a la recta, y en el
mismo semiplano; se pide determinar un punto M de la recta, tal que el ángulo
de r con AM sea doble del de r con BM.
33
36. En el interior de un cuadrado ABCD de lado unidad se toma un punto P y se
consideran las cuatro distancias PA, PB, PC, PD. Demostrar que :
a) A lo más una de dichas distancias es mayor que 5 /2.
b) A lo más dos de dichas distancias son mayores que 1.
c) A lo más tres de dichas distancias son mayores que 2 /2
37. En un plano se dan cuatro puntos fijos A, B, C, D no alineados tres a tres.
Construir un cuadrado cuyos lados a, b, c y d sean segmentos a los que
pertenezcan respectivamente A, B, C y D.
38. Un solar en forma de trapecio tiene su base mayor de fachada. Dividirlo en dos
partes de igual área y de igual fachada.
39. Doblar las puntas de un cuadrado en la forma que indica la figura de modo que
el área del cuadrado del centro valga 1/n de la del cuadrado grande.
40. Dados un polígono p y un punto interior A, trazar una recta que pase por A y
que intercepte con p un segmento con punto medio en A.
41. Por un punto común a dos circunferencias secantes dadas, trazar una recta que
determine en ambas circunferencias cuerdas de igual longitud.
42. Dadas dos rectas r y s y un punto P fuera de ambas, construir un cuadrado con
un vértice en P y los dos contiguos en r y s.
43. Inscribir en un cuadrado dado un triángulo equilátero con un vértice común.
44. Hallar el lugar geométrico de los ortocentros de los triángulos con un lado fijo y
ángulo opuesto constante.
45. Dos tangentes a una circunferencia, paralelas entre sí, son cortadas por otra
tangente en los puntos A y B. Demostrar que las rectas que unen A y B con el
centro de la circunferencia son perpendiculares.
46. Dadas n rectas ordenadas, construir un n-ágono que tenga a las rectas dadas por
mediatrices de sus lados.
47. En una circunferencia se dan dos puntos fijos A y B y otro variable M. Sobre la
recta AM y fuera de la circunferencia, se toma un punto N tal que MN = MB.
Hallar el lugar de N.
48. En un cuadrilátero arbitrario ABCD se trazan las bisectrices de los cuatro
ángulos. Demostrar que los cuatro puntos de intersección de las bisectrices A y
C con B y D son concíclicos.
49. Dada una circunferencia y dos números positivos h y m, de modo que exista un
trapecio ABCD inscrito en la circunferencia, de altura h y suma de sus bases m.
126.
50. Dadas dos circunferencias C y C' y un segmento AB de longitud L, hallar una
recta paralela a AB que interseque en C y C' cuerdas cuya suma de longitudes
valga L.
51. Dado un triángulo ABC, determinar un punto P tal que los ángulos PAB, PBC y
PCA sean iguales.
34
52. ABC es un triángulo isósceles, r y R los radios de los círculos inscrito y
circunscrito respectivamente y d la distancia entre el incentro y el circuncentro.
Demostrar que:
d2 = R2 - 2Rr
53. Tres esferas de igual radio se encuentran sobre una mesa tocándose entre sí.
Hallar el radio máximo de una cuarta esfera para que quede entre las tres y la
mesa.
54. Hallar la inversión que transforma tres puntos alineados A,B,C en los vértices de
un triángulo equilátero.
55. En un pentágono regular se trazan las diagonales, que forman otro pentágono
regular en su interior. Hallar la razón entre sus áreas.
56. En el triángulo ABC, el vértice A es fijo y el ángulo BAC constante. B recorre
una recta y el producto AB·AC es constante. Hallar el lugar geométrico de C.
57. obre una circunferencia se dan tres puntos A,B,C . Construir con regla y compás
un cuarto punto D de modo que en el cuadrilátero ABCD se pueda inscribir otra
circunferencia.
58. Sea AC la diagonal mayor del paralelogramo
ABCD. Desde C se trazan las perpendiculares a AB
F
y AD. Sean E y F los pies de estas perpendiculares.
Demostrar que:
D
A
AB · AE + AD · AF = AC
C
B
E
2
59. Sobre los lados AB y AC de un triángulo, se toman, respectivamente los puntos
L y M tales que:
→
AL =
2 →
AB
5
→
,
AM =
2 →
AC
5
Las rectas BM y CL se cortan en P y AP corta en N a AC. Hallar el número x tal que:
→
→
BN = x BC
60. En un rectágulo se unen los puntos medios de cada lado con los extremos del
lado opuesto, calcular el área del octógono formado en el centro en función del
área del rectángulo.
61. Sean C1 y C2 dos circunferencias exteriores y r una recta exterior a ambas que
las deja en un mismo semiplano. Determinar los puntos P de esta recta que
verifiquen que las tangentes trazadas desde P a las circunferencias formen
ángulos iguales con r.
62. Sobre una circunferencia k, se dan tres puntos distintos, A,B,C. Indicar cómo se
puede obtener con regla y compás un cuarto punto D sobre k, tal que se pueda
inscribir un circulo en el cuadrilátero así construido.
35
63. Los cuadrados de los lados de un triángulo ABC son proporcionales a 1, 2 y 3.
a) Demostrar que los ángulos formados por las medianas son iguales a los ángulos
del triángulo ABC.
b) Demostrar que el triángulo cuyos lados son las medianas de ABC, es semejante
a ABC.
64. Dado un ángulo agudo XOY, y un punto A sobre OY, indicar cómo se puede
determinar con regla y compás un punto M sobre OY que equidiste de A y del
otro lado OX del ángulo.
65. Se consideran los lados del pentágono, hexágono y decágono regulares, inscritos
en una misma circunferencia de radio R. Demuéstrese que el triángulo, cuyos
lados son los de esos tres polígonos, es rectángulo.
66. Dado un cuadrado de lado a, se trazan arcos de circunferencia, de radio a, con
centro en cada uno de los vértices, interiores al cuadrado, dividiendo a éste en 9
regiones, cuatro iguales entre sí, otras cuatro iguales entre sí, y una distinta.
Calcular el área de cada uno de los tres tipos de regiones en que ha quedado
dividido el cuadrado.
36